13.2.4 三角形全等的判定(第4课时)
人教版八年级数学上册《全等三角形的判定(第4课时)》示范教学课件
例3 如图，已知 AD 为△ABC的高，E 为 AC 上一点，BE 交AD 于点 F，且有 BF＝AC，FD＝CD．求证：BE⊥AC．
一锐角（A）
ASA或AAS
直角与已知锐角的夹边对应相等及锐角（或直角）的对边对应相等
斜边（H）
HL或AAS
一条直角边对应相等或一组锐角对应相等
一直角边（L）
HL或ASA或AAS
斜边对应相等或与已知边相邻的锐角对应相等或已知边所对的锐角对应相等
三角形全等的判定
对任意三角形均成立
仅适用于直Байду номын сангаас三角形
“边边边”或“SSS”
此判定方法在三角形是直角三角形的前提下，只需满足两条边（斜边与一直角边）相等即可，之前的判定方法都需满足三个条件．
问题
“HL”判定方法：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等．此判定方法只适用于直角三角形．
判定直角三角形全等的方法
直角三角形
已知对应相等的元素
可选择的判定方法
需寻找的条件
操作
B′
A′
画一个Rt△A′B′C′，使∠C′＝90°，B′C′＝BC，A′B′＝AB： （1）画∠MC′N＝90°； （2）在射线 C′M 上取 B′C′＝BC； （3）以点 B′ 为圆心，AB 长为半径画弧，交射线 C′N 于点 A′； （4）连接 A′B′．
B′
A′
画一个Rt△A′B′C′，使∠C′＝90°，B′C′＝BC，A′B′＝AB： （1）画∠MC′N＝90°； （2）在射线 C′M 上取 B′C′＝BC； （3）以点 B′ 为圆心，AB 长为半径画弧，交射线 C′N 于点 A′； （4）连接 A′B′．
八年级数学上册 第13章 全等三角形 13.2 三角形全等的判定 4 角边角课件
第十五页，共二十一页。
3.如图，某同学将一块三角形玻璃打碎成了三块，现要到玻璃店
去配一块完全(wánquán)一样的玻璃，那么最省事的办法是( )
(A)带(1)去
(B)带(2)去
(C)带(3)去
(D)带(1)(2)去
【解析】选C.题干中图(3)包含原三角形的两角一边，根据“A.S.A.”
可配一块与原三角形玻璃完全一样的玻璃.
内容(nèiróng)总结
13.4 全等三角形的判定。上节课，我们得到了全等三角形的一种判定方法，还记得吗。下 面用叠合的方法，看看你和你同伴所画的两个三角形是否可以完全重合.。求证：
No △ABC≌△DCB,AB=DC．。分析：证明△ACD≌△ABE,就可以得出AB=AC.。∴AB=A'B'（全等三角形
第十一页，共二十一页。
例3 求证(qiúzhèng)：全等三角形对应边的高相等.
已知：如图，△ABC ≌△A′B′C′ ，AD，A′ D′ 分别(fēnbié)是△ABC 和
△A′B′C′的高.求证：AD＝ A′D′ .
A
A′
B
DC
B′
D′ C′
分析：从图中看出，AD，A′ D′ 分别(fēnbié)属于△ABD 和△A′B′D′，
证明： 在△ABC和△DCB中，
A
∵∠ABC＝∠DCB(已知），
BC＝CB（公共边），
∠ACB＝∠DBC（已知），
B
∴△ABC≌△DCB（A.S.A. ）. ∴AB=DC(全等三角形的对应边相等)
第七页，共二十一页。
D C
二 “角角边”判定三角形全等
思考
如图，如果两个三角形有两个角分别对应相等，且其中(qízhōng)一组相等 的角的对边相等，那么这两个三角形是否一定全等？
1三角形全等的判定(第4课时)PPT课件(华师大版)
当堂检测
1．为班级中每名同学准备了长分别为a、b、c三根木条，所有同学都
用三根木条，首尾顺次拼接组成三角形，这时小陈同学说：“我们所
有人的三角形，形状和大小是完全一样的”小陈同学的说法根据
_______．
SSS
根据：三个木条长度a，b，c，无论怎么摆放，长度不变，利用三
角形全等的判定理由：SSS
当堂检测
（简写为“边边边”或“S.S.S.”）
A
几何语言：
在△ABC和△ DEF中，
AB=DE，
B
C
D
BC=EF，
CA=FD，
∴ △ABC ≌△ DEF（S.S.S.）.
E
F
讲授新课
典例精析
【例1】如图，在四边形 ABCD 中，AD = CB，AB = CD.
求证: ∠B = ∠D.
证明：在△ABC 和△CDA 中，
＝，
＝ ,
＝.
∴△ABC≌△DFC(SSS).
讲授新课
变式1 若将上题中右边的三角形向左平移(如图)，若AB＝DF，
AC＝DE，BE＝CF.问：△ABC和△DFE全等吗？
解:全等.
A
B
E
D
C
F
∵ BE＝CF ，
∴BE+EC=CF+EC.
即BC＝FE .
在△ABC和△DFE中，
在△ABD和△CDB中,
＝(已知)，
= (已知),
＝(公共边).
∴△ABD≌△CDB（SSS）,
∴∠A=∠C.（全等三角形的对应角相等）.
②证明:∵ △ABD≌△CDB（已证） ,
∴∠ABD=∠CDB， ∠ADB=∠CBD .
（全等三角形的对应角相等）
华师大版八年级数学上册【说课稿】13.2.4 边边边
13.2.4 边边边一、教材分析：（一）本节内容在全书和章节的地位本节内容选自华师版初中数学八年级上册第十三章，本课是探索三角形全等条件的第四课时的。
对于全等三角形的研究，实际是平面几何对封闭的两个图形关系研究的第一步，它是两个三角形间最简单、最常见的关系，它不仅是下节课探索三角形全等其它条件的基础，还是证明线段相等、角相等的重要依据，同时也为今后探索直角三角形全等的条件以及三角形相似的条件提供很好的模式和方法。
因此,本节课的知识具有承前启后的作用,占有相当重要的地位。
（二）三维教学目标1．知识与能力目标因为是第一课时，本节课主要给学生讲解全等三角形的“SSS”判定公理，同时理解三角形的稳定性，能用三角形全等解决一些现实问题，熟悉掌握“SSS”|的判定方法，能够自主探索，动手操作，在过程中体会到自主学习索取知识的乐趣，从而启发学生学习数学的方式，为下节课打下基础。
2．过程与方法目标通过分解三角形的各个边和角，两个三角形做对比，用问题分解法求解，探索全等三角形的全等条件，经历认知探知过程，体会挖掘知识的过程。
通过两个三角形边与角的对比发现全等三角形的判定条件“SSS”，锻炼学生分析问题，解决问题的能力。
3．情感态度与价值观培养学生勇于探索、团结协作的精神，积累数学活动的经验。
（三）重点与难点1．教学难点认识三角形全等的发现过程以及边边边的辨析。
能够对运用三角形判定公理“SSS”解决三角形全等问题，对三角形其他定理的拓展与思考，了解三角形的稳定性。
2．教学重点利用性质和判定，关键是学会准确地找出两个全等三角形中的对应边与对应角。
准确理解“SSS”三角形判定的公理，规范书写全等三角形的证明；二、教法与学情分析1．教法分析数学是一门培养人的思维，发展人的思维的重要学科，因此在教学中，不仅要使学生知其然，而且还要使学生知其所以然。
针对初二年纪学生的认知结构和心理特征，和本节课的特色。
本节课采用“引导发现式+自主探究式+交流讨论”相结合的教学方式。
人教版八年级数学上册 《三角形全等的判定》PPT教育课件(第4课时)
思考
对于两个直角三角形，除了直角相等的条件，还要满足几个条件？这两个三角形就全等了？
A
Hale Waihona Puke A’BC
B
C
’
1.若已知AB=A ’ B ’，BC=B’ C ’ ，则两个三角形全等(
) SAS
’
2.若已知∠A=∠A ’ ，AB=A ’ B ’ ，则两个三角形全等(
) ASA
3. 若已知∠A=∠A ’ ，BC=B’ C ’，则两个三角形全等(
第九页，共十四页。
课堂测试
1.已知∠ACB =∠ADB=90，要证明△ABC≌ △BAD，还需一个什么条件？
判定全等的理由是什么？
（1）
AD=BC （
） HL
（2）
AC=BD（
）
HL
D
（3）
（
）
∠CAB=∠DBA
（4）
（
AA）S
∠DAB=∠CBA AAS
A
第十页，共十四页。
C B
课堂测试
2.如图：AC⊥BC，BD⊥AD，AC=BD.求证：BC=AD.
C A
D
解：在Rt△ACB和Rt△ADB中,
AB=AB,
B
AC=AD.
∴ Rt△ACB≌Rt△ADB (HL).
∴BC=BD(全等三角形对应边相等).
第十二页，共十四页。
课堂测试
4.如图，AB =CD，AE⊥BC，DF⊥BC，垂足分别为E ，F，CE=BF．求证：AE
=DF．
C
D
FE
A
B
证明：∵CE=BF， ∴CE-FE=BF-EF ∴CF=BE
∵ AE⊥BC，DF⊥BC ∴△AEB和△DFC为直角三角形
八年级数学上册12.2三角形全等的判定(第4课时)课件(新版)新人教版
3.如图所示,要用“HL”判定Rt△ABC和Rt△DEF全
等的条件是 ( C )
A.AC=DF,BC=EF B.∠A=∠D,AB=DE C.AC=DF,AB=DE D.∠B=∠E,BC=EF
解析:∵在两个三角形中AB,DE是斜边,∴只有C 中,AC=DF,AB=DE符合.故选C.
第九页，共21页。
△A'B'C'就是所求作的三角形吗?
把画好的△A'B'C'剪下来放在△ABC上, 观察这两个三角形是否全等.
方法(FĀNGFǍ)
判定两个直角三角形全等的一个方法:斜边和一条直角 边分别相等的两个直角三角形全等(可以简写成“斜边、直
角边”或“HL”).
第十页，共21页。
第十一页，共21页。
吗?
想一想，怎样画呢?
画一个Rt△A'B'C',使 ∠C'=90°,B'C'=BC,A'B'=AB.
第八页，共21页。
步骤
(1)画∠MC'N
=90°; N
C' M
(2)在射线C'M上截取B'C' =BC; N
B'
C' M
(3)以点B'为圆心,AB为半径画弧,交射线C'N于点A';
(4)连接A'B'.
例5 如图所示,AC⊥BC,BD⊥AD,垂足(chuí zú) 分别为C,D,AC= BD.求证BC=AD.
解析
欲证BC=AD,首先应寻找和这两条线段有关的三角形,这 里有 △ ABD和 △ BAC, △ADO 和△ BCO,其中 (qízhōng)O为DB,AC的交点,经过对条件的分析,发现 △ ABD和 △ BAC具备全等的条件.
13.2.4三角形全等的判定(角边角或角角边)
B E ∵BC EF C F
在△ABC和△DEF中，
A
D
B
\
C
E
\
F
练习
∴ △ABC≌△DEF (A.S.A.)
例1、已知：点D在AB上，点E在AC上，BE和 CD相交于点O，AB=AC，∠B=∠C。 求证： △ABE≌△ACD
A
证明：在△ABE和△ACD中 ∠A=∠A（公共角） ∵ AB=AC（已知）
C
A
O
B
D
探究2
在△ABC和△DEF中，∠A=∠D，∠B=∠E ， BC=EF，△ABC与△DEF全等吗？能利用角边 角条件证明你的结论吗？
A D
C E B
F
探究反映的规律是：
有两角和其中一个角的对边分别对应相等的 两个三角形全等(简写成“角角边”或 “A.A.S.”）
用数学符号表示
在△ABC和△A`B`C`中 ∠A=∠A` A
例2.如图，已知AB=AC，∠ADB= ∠AEC，求证：△ABD≌△ACE
证明：∵ AB=AC， ∴ ∠B= ∠C（等边对等角） ∵ ∠ADB= ∠AEC， AB=AC，
A
∴ △ABD≌△ACE（A.A.S.）
B
D
E
C
练习：
1.如图,AB⊥BC, AD⊥DC, ∠1=∠2.求证AB=AD
2：如图，已知∠ABC＝∠D， ∠ACB＝∠CBD判断图中的 两个三角形是否全等， 并说明理由．
不全等。因为虽然有两组内角相等， 且BC＝BC，但BC不都是两个三角形两 组内角的夹边，所以不全等。
作业：
1.如图已知∠ABC＝∠DCB， ∠ACB＝ ∠DBC， 求证：△ABC≌△DCB， AB=DC
2022秋八年级数学上册第13章全等三角形13.2三角形全等的判定4边边边授课课件新版华东师大版20
知1－讲
知1－讲
本例的导引采用的是分析法．下面就分析法进行解
读．分析法：(逆推证教法你或一执果招索因法)它是从证明的
结论 出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直到把要证
明的 结论归结为判定一个明显成立的条件(已知、定理、
定义、 公理等)，这种证明方法叫分析法． 注意：(1)分析法一般用来寻找证明或解题思路，而 证明或解题过程一般都采用综合法(下例讲)来完
求证：△ABC≌△FDE.
导引：欲证△ABC≌△FDE，已知AC＝FE，BC ＝DE，需证AB＝FD，然后根据“S.S.S.”证 得结论．由AD＝FB，利用等式的性质可得 AB＝FD，进而得证．
证明：∵AD＝FB， ∴AD＋DB＝FB＋DB，即AB＝FD. 在△ABC与△FDE中，
AC＝FE， AB＝FD， BC＝DE， ∴△ABC≌△FDE(S.S.S.)．
把你画的三角形与你同伴画的三角形进行比较， 或将你 画的三角形剪下，放到你同伴画的三角形上，看看是否 完全重 合. 所画的三角形都全等吗？ 换三条线段，试试看，是否有同样的结论？
知1－讲
1.基本事实：三边分别相等的两个三角形全等．简记为 S.S.S. (或边边边)．
2．几何语言：在△ABC和△A′B′C′中，
例2 如图13. 2. 17, 在四边形ABCD中，AD= CB，AB= CD. 求证：∠B= ∠D. 证明：在△ABC和 △ CDA 中， ∵CB=AD, AB=CD (已知）， AC=CA(公共边）， ∴ △ ABC≌ △ CDA(S.S.S.). ∴ ∠B= ∠D(全等三角形的对应角相等）.
已知
相等
读
一
读
知2－讲
至此，我们已经学习了关于全等三角形的三个基本 事实，这是进 行演绎推理的重要依据.它们是从静态的角 度探索发现的判定方法， 其本质与动态的全等三角形定 义是一致的，即在这些条件下，两个三 角形一定可以通 过图形的基本变换（轴对称、平移与旋转）而相互 重合.
课题：13.2三角形全等的判定(第4课时角边角)
学以致用
例 2 如图，已知∠1=∠2，∠C=∠D.求证：AC=AD
P 68
练习题 13.2
第 1、 2 、 3 题
选做题
1.如图1，△ABC中，AD是中线，分别过点B，C作AD的延长线及AD的 垂线BE，CF，垂足分别为E、F，求证：BE=CF.
A
F B E D C
选做题
2.已知四边形ABCD中，AB=CD,AD=BC,E,F分别是直线BD上的两点, 且∠BAE＝∠DCF. （1）若点E,F的位置如图1所示，则AE,CF之间有怎样的关系？请说明 理由； （2）若点E,F的位置如图2所示,则（1）中的结论还成立吗？为什么？
F C
D
E
B
学以致用
例 3 如图,小明不慎将一块三角形模具打碎为两块，他是否可以只带其
的一块碎片到商店去，就能配一块与原来一样的三角形模具吗？如果可 以，带哪块去合适？你能说明其中理由吗？
怎么办，可 以帮帮我吗？
你能帮小 明解决这 个问题吗？
小 结
这节课我学到了什么？
我的收获是……
我还有……的疑惑
温故知新
A
D
B
C
E
F
∵△ABC≌△DEF ∴AB=DE,BC=EF,CA=FD ∠A= ∠D,∠B= ∠E,∠C= ∠F
温故知新
A
D
B
C
E
F
①指明对象 ②书写条件 ③得出结论
12.2三角形全等的判定(第4课时)教学PPT课件
全等（SAS）
二、新课讲解
判断： 满足下列条件的两个三角形是否全等?为什么?
4.有两边对应相等的两个直角三角形. 全等
情况1：全等（SAS）
情况2：全等（HL）
二、新课讲解
例 已知：如图,在△ABC和△ABD中，AC⊥BC, AD⊥BD, 垂足分别为C,D,AC=BD,求证： BC=AD.
证明：∵ AC⊥BC, AD⊥BD，
∴∠C=∠D=90°.
在Rt△ABC和Rt△BAD中，
D
C
AB=BA，
AC=BD，
∴ Rt△ABC≌Rt△BAD (HL). A
B
∴BC=AD.
二、新课讲解
一般三角
形全等的 “SAS”“ ASA ”“ AAS ” “ SSS ”
判定
直角三角
形全等的“ SAS ”“ ASA ”“ AAS ”“ SSS ”“ HL ”
∴BD=CD,∠BAD=∠CAD
B
D
C
五、布置作业 习题12.2
写在最后
成功的基础在于好的学习习惯
The foundation of success lies in good habits
22
谢谢聆听
· 学习就是为了达到一定目的而努力去干, 是为一个目标 去战胜各种困难的过程,这个过程会充满压力、痛苦和挫折
八年级数学人教版·上册
第十二章三角 形
12.2三角形全等的判定（第4课时）
授课人：XXXX
一、新课引入
1、全等三角形的对应边 —相——等——，对 应角—相——等——.
2、判定三角形全等的方法有： SAS、ASA、AAS、SSS
认识直角三角形 Rt△ABC
12.2 第4课时 直角三角形全等的判定(“HL”)练习题 人教版八年级数学上册
第4课时直角三角形全等的判定(“HL”)知识点 1 用“HL”判定直角三角形全等1.如图1,可直接用“HL”判定Rt△ABC和Rt△DEF全等的条件是 ()图1A.AC=DF,BC=EFB.∠A=∠D,AB=DEC.AC=DF,AB=DED.∠B=∠E,BC=EF2.如图2所示,P是∠BAC内一点,且点P到AB,AC的距离PE,PF相等,则直接得到Rt△PEA≌Rt△PFA的依据是 ()图2A.AASB.ASAC.HLD.SSS3.如图3,若要用“HL”证明Rt△ABC≌Rt△ABD,则需要添加的一个条件是.图34.如图4,BD,CE均是△ABC的高,且BE=CD.求证:△BEC≌△CDB.图4 知识点 2 直角三角形全等的灵活运用5.如图5,在Rt△ABC和Rt△A'B'C'中,∠C=∠C'=90°,那么下列各组条件中,不能判定Rt△ABC≌Rt△A'B'C'的是 ()图5A.AB=A'B'=5,BC=B'C'=3B.AB=B'C'=5,∠A=∠B'=40°C.AC=A'C'=5,BC=B'C'=3D.AC=A'C'=5,∠A=∠A'=40°6.如图6,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,分别过点B,C作过点A的直线的垂线BD,CE,垂足分别为D,E.若BD=4 cm,CE=3 cm,则DE= cm.图67.如图7,点E,F在BC上,AE⊥BC,DF⊥BC,AC=DB,BE=CF.求证:AC∥DB.图7 8.如图8所示,为了固定电线杆AD,将两根长均为10 m的钢丝一端同系在电线杆上的点A处,另一端固定在地面上的两个锚上,那么两个锚(B,C)离电线杆底部(D)的距离相等吗?为什么?图8【能力提升】9.如图9所示,在△ABC中,AB=AC,D是BC的中点,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为E,F,则图中全等三角形共有 ()图9A.2对B.3对C.4对D.5对10.如图10,D为Rt△ABC中斜边BC上的一点,且BD=AB,过点D作BC的垂线,交AC于点E.若AE=12 cm,则DE的长为 cm.图1011.如图11,∠C=90°,AC=10,BC=5,AX⊥AC,点P和点Q从点A同时出发,分别在线段AC和射线AX上运动,且AB=PQ,当点P运动到AP= 时,△ABC与△APQ全等.图1112.如图12,已知在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CA=CB,D是AC上一点,点E在BC的延长线上,且AE=BD,BD的延长线与AE交于点F.试通过观察、测量、猜想等方法来探索BF与AE有何特殊的位置关系,并证明.图1213.如图13①,AB=4 cm,AC⊥AB,BD⊥AB,AC=BD=3 cm.点P在线段AB上以1 cm/s的速度由点A向点B运动,同时,点Q在线段BD上由点B向点D运动,它们运动的时间为t(s).(1)若点Q的运动速度与点P的运动速度相等,当t=1时,△ACP与△BPQ是否全等?判断此时线段PC和线段PQ的位置关系,请分别说明理由.(2)如图②,将图①中的“AC⊥AB,BD⊥AB”改为“∠CAB=∠DBA=60°”,其他条件不变.设点Q的运动速度为x cm/s,是否存在实数x,使得△ACP与△BPQ全等?若存在,求出相应的x,t 的值;若不存在,请说明理由.图13第4课时 直角三角形全等的判定(“HL ”)1.C [解析] “HL ”是斜边、直角边分别相等,则必须有AB=DE ,故排除A,D 两个选项,而选项B 中另一个条件为∠A=∠D ,不是直角边对应相等,故排除选项B .故选C .2.C3.答案不唯一,如AC=AD 或BC=BD4.证明:∵BD ,CE 均是△ABC 的高,∴∠BEC=∠CDB=90°.在Rt △BEC 和Rt △CDB 中,{BC =CB,BE =CD,∴Rt △BEC ≌Rt △CDB (HL).5.B [解析] 在Rt △ABC 和Rt △A'B'C'中,∠C=∠C'=90°,选项A 符合直角三角形全等的判定方法“HL ”;选项B 不符合三角形全等的判定方法;选项C 符合三角形全等的判定方法“SAS ”;选项D 符合三角形全等的判定方法“ASA ”.6.7 [解析] ∵∠BAC=90°,∠ADB=∠AEC=90°,∴∠BAD+∠EAC=90°,∠BAD+∠DBA=90°. ∴∠EAC=∠DBA.又∵AB=AC ,∴△ABD ≌△CAE (AAS). ∴AD=CE ,BD=AE. ∴DE=AD+AE=CE+BD=7 cm .故答案为7. 7.证明:∵BE=CF ,∴BE+EF=CF+EF ,即BF=CE.∵AE ⊥BC ,DF ⊥BC , ∴∠AEC=∠DFB=90°.在Rt △AEC 和Rt △DFB 中,{AC =DB,CE =BF,∴Rt △AEC ≌Rt △DFB (HL). ∴∠ACE=∠DBF.∴AC ∥DB.8.解:相等.理由如下:∵AD ⊥BC ,∴∠ADB=∠ADC=90°.在Rt △ADB 和Rt △ADC 中,{AB =AC,AD =AD,∴Rt △ADB ≌Rt △ADC (HL). ∴BD=CD ,即两个锚(B ,C )离电线杆底部(D )的距离相等. 9.B [解析] ∵AB=AC ,BD=CD ,AD=AD ,∴△ABD ≌△ACD (SSS).∴∠B=∠C.又∵∠DEB=∠DFC=90°,BD=CD ,∴△BED ≌△CFD (AAS).∴DE=DF.在Rt △AED 和Rt △AFD 中,∵AD=AD ,DE=DF ,∴Rt △AED ≌Rt △AFD (HL).故图中共有3对全等三角形. 10. 12 [解析] 如图,连接BE. 在Rt △DBE 和Rt △ABE 中,{DB =AB(已知),BE =BE(公共边),∴Rt △DBE ≌Rt △ABE (HL).∴AE=DE.又AE=12 cm,∴DE=12 cm .11.5或10 [解析] ∵AX ⊥AC ,∴∠PAQ=90°.∴∠C=∠PAQ=90°.分两种情况:①当AP=BC=5时, 在Rt △ABC 和Rt △QPA 中,{AB =QP,BC =PA,∴Rt △ABC ≌Rt △QPA (HL);②当AP=CA=10时, 在Rt △ABC 和Rt △PQA 中,{AB =PQ,CA =AP,∴Rt △ABC ≌Rt △PQA (HL).综上所述,当点P 运动到AP=5或10时,△ABC 与△APQ 全等. 故答案为5或10. 12.解:BF ⊥AE. 证明:∵∠ACB=90°,∴∠ACE=∠BCD=90°.在Rt △BDC 和Rt △AEC 中,{CB =CA,BD =AE,∴Rt △BDC ≌Rt △AEC (HL). ∴∠CBD=∠CAE. ∵∠CAE+∠E=90°, ∴∠CBD+∠E=90°. ∴∠BFE=90°,即BF ⊥AE.13.解:(1)当t=1时,△ACP ≌△BPQ ,此时PC ⊥PQ. 理由:当t=1时,AP=BQ=1 cm,∴BP=AC=3 cm .在△ACP 和△BPQ 中,{AP =BQ,∠A =∠B =90°,AC =BP,∴△ACP ≌△BPQ (SAS). ∴∠ACP=∠BPQ.∴∠APC+∠BPQ=∠APC+∠ACP=90°. ∴∠CPQ=90°,即PC ⊥PQ.(2)存在.由题意得AP=t cm,BP=(4-t )cm,AC=3 cm,BQ=xt cm .分两种情况讨论: ①若△ACP ≌△BPQ , 则AC=BP ,AP=BQ ,即{3=4−t,t =xt,解得{t =1,x =1; ②若△ACP ≌△BQP , 则AC=BQ ,AP=BP , 即{3=xt,t =4−t,解得{t =2,x =32. 综上所述,当x=1,t=1或x=32,t=2时,△ACP 与△BPQ 全等.。
八年级数学上册12.2三角形全等的判定第4课时
SSS √ SAS √ SSA × ASA√ AAS AAA ×
如图，在△ABC和△DEF中，∠A＝∠D，∠B＝∠E， BC＝EF. 那么△ABC与△DEF全等吗？ ∠C＝∠F？ 即角角边“AAS”成立吗？
A
D
B 证明：△ABC中， ∠A+∠B+∠C＝180° ∴ ∠C＝180°－ ∠A －∠B 同理 ∠F＝180° － ∠D － ∠E ∵ ∠A＝∠DF
在△ABC和△DEF中
∠B＝∠E
BC＝EF ∠C＝∠F
∴ △ABC ≌△ DEF（ASA）
三角形全等判定方法3推论: 两角和其中一个角的对边分别相等的两个三角形全等． 简记为“角角边”或“AAS” ．
A D
B
C
E
F
用几何语言表达为： 在△ABC与△DEF中 ∠A=∠D ∠B=∠E BC=EF ∴△ABC≌△DEF（AAS）
第4课时
三角形全等判定方法1： 三边分别对应相等的两个三角形全等 . 简写: SSS . 三角形全等判定方法2: 两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等 简写: SAS . 三角形全等判定方法3: 两角和它们的夹边分别相等两个三角形全等 ASA . 简写： ．
.
（1）三边 （2）两边一角 给定三个条件： （3）一边两角 （4）三角
1、如图，AB⊥BC，AD⊥DC，∠1=∠2. 求证：AB=AD
证明： ∵ AB⊥BC，AD⊥DC ∴ ∠B=∠D=900 在⊿ABC和⊿ADC中 ∠1=∠2 ∠B=∠D AC=AC ∴⊿ABC≌⊿ADC（AAS） ∴ AB=AD
A
1 2
B C
D
2.如图，已知：AC∥DF，BF=EC，∠A=∠D， 求证： AB∥DE 证明：∵ AC∥DF A
八年级数学上册13.2 三角形全等的判定 第4课时
B
C
D
BC=EF，
CA=FD，
∴ △ABC ≌△ DEF（S.S.S.）.
E
F
典例精析
例1 如图，有一个三角形钢架，AB =AC ，AD 是连接点A 与BC 中点D 的支架．求证：△ABD ≌△ACD ．
A 解题思路：
先找隐含条件 公共边AD
再找现有条件 AB=AC B
D
C
最后找准备条件 BD=CD
∴△ABC≌△FDE（SSS）；
（2）∵ △ABC≌△FDE（已证），
∴ ∠C=∠E（全等三角形的对应角相等）.
课堂小结
内容 应用 边边边
有三边对应相等的两个三角形 全等（简写成 “SSS”)
思路分析
结合图形找隐含条件和 现有条件，证准备条件
书写步骤 四步骤
注意
1. 说明两三角形全等所需的条件应按对 应边的顺序书写. 2. 结论中所出现的边必须在所证明的两 个三角形中.
= ×× =
B D FC
3.已知：如图，AC=FE，AD=FB,BC=DE.
求证：(1)△ABC≌△FDE; (2) ∠C= ∠E.
证明：(1)∵ AD=FB，
∴AB=FD（等式性质）.
在△ABC和△FDE 中， AC=FE（已知），
A
。 ?C
D
=
=
B
E? 。
F
BC=DE（已知），
AB=FD（已证），
证明：连结AB.
C
在△ACB 和 △ADB中
AC = A D ，
BC = BD，
A
B
AB = AB (公共边），
∴△ACB≌△ADB（S.S.S.）. D
∴∠C＝∠D（全等三角形的对应角相等）.
角边角
件
，才能使△ABC≌△DEF （写出一个即可）.
B A
× AB=DE可以吗？
C F
D E
AB∥DE
∠B=∠E （ASA） 或∠A=∠D （AAS） 或 AC=DF （SAS）
3.已知：如图， AB⊥BC，AD⊥DC，∠1=∠2, 求证：AB=AD.
A 证明： ∵ AB⊥BC，AD⊥DC，
∴ ∠ B=∠D=90 °.
B
E
D
C C′
A 作法：
B A′
B′
（1）画A'B'=AB;
（2）在A'B'的同旁画∠DA'B '=∠A，∠EB'A '=∠B，A'D，
B'E相交于点C'.
想一想：从中你能发现什么规律？
知识要点
“角边角”判定方法
文字语言：有两角及其夹边分别相等的两个三角形全等(简
写成“角边角”或“ASA”）.
A
C
A
O
B
在 AOC和BOD 中
D
A B (已知)
AO BO (中点的定义)
AOC BOD (对顶角相等)
AOC BOD （( AS）A)
4.已知如图，∠1 = ∠2，∠C = ∠D 求证：AC = AD
证明：在△ABC和△ABD中
D
∠1 = ∠2 ∠C = ∠D
AB = AB
2
A1
B
∴△ABC≌△ABD（AAS）
定理： 两个角分别相等且其中一组等角的对边相等 的两个三角形全等．简记为A.A.S.（或角角 边）．
A
D
B
CE
F
当堂练习
1. 如图，已知∠ACB=∠DBC，∠ABC=∠CDB，判别 下面的两个三角形是否全等，并说明理由.
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课题： 13.2.3三角形全等的判定（ASA ）
课型：新授课
学习目标：
1、熟记角边角公理的内容，能应用角边角公理证明两个三角形全等。
2. 通过“角边角”公理的运用，提高逻辑思维能力。
通过观察几何图形，培养学生的识图能力。
3、通过几何证明的学习，养成尊重客观事实和形成质疑的习惯。
培养勇于创新，多方位
审视问题的创造技巧。
学习重点：学会运用角边角公理及其推论证明两个三角形全等。
学习难点：SAS 公理、ASA 公理和AAS 推论的综合运用。
学习过程
一、自主学习
问题1：如果两个三角形有两个角和一条边分别对应相等，那么它有几种情况？画出相应的
示意图进行说明.
问题2：画△ABC,使AB=4cm ，∠A=60°，∠B=45°.然后把你画的三角形与其他同学画的三
角形进行比较，所有的三角形都全等吗？再换两个角和一条线段试试，是否有同样的结论？
我发现： 三角形全等判定方法2，用符号语言表示为：
问题3：如图两个三角形有两个角及其中一个角的对边分别对应相等，那么这两个三角形是否一定全等？试写出已知，求证并证明.
已知： 求证： 证明：
三角形全等判定方法3，用符号语言表示为：
二、展示提升
1、根据已知条件说出识别下列全等三角形的方法
已知: AO=BO 已知：∠B=∠ C 已知：AB ∥CD
已知：∠B=∠C ∠A=∠B ∠1=∠2 ∠B=∠D AB=AC 则：△ ≌△ 则：△ ≌△ 则：△ ≌△ 则：△ ≌
△
（ ） （ ） （ ） （ ） 三．合作交流
1. 如图，∠1=∠2，∠3=∠4
求证：AC=AD
A
D O
C B
B C D 1 2 A A D
C A
E
D C
B
B
A C
A D
B 1 2 3 4
2、如图1，已知D ABC ∠=∠，CBD ACB ∠=∠， 判断图中的两个三角形是否全等，并说明理由.
四、课堂检测
1. （2013 湛江）如图1，点,,,B C F E 在同一直线上, 12∠=∠,BC FE =,1∠ （填“是”或“不是”） 2∠的对顶角，要使ABC DEF ∆≅∆，还需添加一个条件，这个
条件可以是 （只需写出一个）．
2. （2014 宿迁）如图2，已知∠1＝∠2，则不一定．．．
能使△ABD ≌△ACD 的条件是（ ） A ．AB ＝AC B ．BD ＝CD C ．∠B ＝∠C D ．∠ BDA ＝∠CDA
图 1
图2 图3
3. 如上图1，已知：AB=AC ，∠B=∠C ；求证：BD=CE
4.如上图2，已知：AB ⊥BC ，AD ⊥DC ，∠1=∠2 ；求证：AB=AD 五、拓展延伸
* 如上图3，在△ABC 和△DBC 中，∠ACB=∠DBC=90° ,E 是BC 的中点，EF ⊥AB,
垂足为F,且AB=DE.(1)求证：BD=BC; (2)若BD=8cm ，求AC 的长.
图2 图1
A
D
F
C
E
B （第1题）D
C
B A
图1。