2021届重庆市一中高三上学期第三次月考数学试卷及答案

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2021届重庆市第一中学高三上学期第一次月考数学试题(解析版)

2021届重庆市第一中学高三上学期第一次月考数学试题一、单选题1．设集合(){}ln 1A y y x ==-，{B y y ==，则A B =（）A ．[)0,2B ．()0,2C ．[]0,2D ．[)0,1【答案】A【解析】先分别利用对数型函数以及指数型函数求值域的方法求出集合,A B ，注意集合中的代表元素，再利用集合的交集运算求解即可. 【详解】∵(){}ln 1A y y x R ==-=，{[)0,2B y y ===，∴[)0,2AB =.故选：A. 【点睛】本题主要考查了集合间的运算以及对数函数和指数函数.属于较易题.2．设a ，()0,b ∈+∞，A =，B =，则A ，B 的大小关系是（）A ．AB < B ．A B >C ．A B ≤D ．A B ≥【答案】B【解析】根据题意计算做差可得22A B >，得到答案. 【详解】由a ，()0,b ∈+∞，得0A =>，0B =>22220A B -=-=>，∴22A B >，故A B >，故选：B. 【点睛】本题考查了做差法比较大小，意在考查学生的计算能力和推断能力.3．已知直线l 是曲线2y x =的切线，则l 的方程不可能是（）A ．5210x y -+=B ．4210x y -+=C ．13690x y -+=D ．9440x y -+=【答案】B【解析】利用导数求出曲线2y x =的切线的斜率的取值范围，然后利用导数的几何意义判断各选项中的直线是否为曲线2y x =的切线，由此可得出结论.【详解】对于函数2y x =，定义域为[)0,+∞，则22y '=+>，所以，曲线2y x =的切线l 的斜率的取值范围是()2,+∞.对于A 选项，直线5210x y -+=的斜率为52，令522y '=+=，解得1x =，此时3y =，点()1,3在直线5210x y -+=上，则直线5210x y -+=与曲线2y x =相切；对于B 选项，直线4210x y -+=的斜率为2，该直线不是曲线2y x =的切线；对于C 选项，直线13690x y -+=的斜率为1326>，令1326y '=+=，解得9x =，此时21y =，点()9,21在直线13690x y -+=上，所以，直线13690x y -+=与曲线2y x=相切；对于D 选项，直线9440x y -+=的斜率为924>，令924y '==，解得4x =，此时10y =，点()4,10在直线9440x y -+=上，所以，直线9440x y -+=与曲线2y x =相切. 故选：B. 【点睛】本题考查利用导数的几何意义验证函数的切线方程，考查计算能力，属于中等题. 4．中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴．一般情况下，折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成，设扇形的面积为1S，圆面中剩余部分的面积为2S，当1S与2S的比值为512-时，扇面看上去形状较为美观，那么此时扇形的圆心角的弧度数为（）A．(35)π-B．(51)πC．51)πD．52)π【答案】A【解析】根据扇形与圆面积公式，可知面积比即为圆心角之比，再根据圆心角和的关系，求解出扇形的圆心角．【详解】1S与2S所在扇形圆心角的比即为它们的面积比，设1S与2S所在扇形圆心角分别为,αβ，则512αβ=，又2αβπ+=，解得(35)απ=-故选:A【点睛】本题考查圆与扇形的面积计算，难度较易．扇形的面积公式：21122S r lrα==，其中α是扇形圆心角的弧度数，l是扇形的弧长．5．若函数()(),2log2,xaa x af xx x a⎧<<⎪=⎨->⎪⎩（其中0a>，1a≠）存在零点，则实数a的取值范围是（）A．()1,11,32⎛⎫⋃⎪⎝⎭B．(]1,3C．()2,3D．(]2,3【答案】C【解析】根据题中所给的函数有零点，结合解析式的特征，求得函数的零点，再根据分段函数的意义再结合式子的特征求得结果.【详解】因为x a>时，()log(2)af x x=-，所以2a>，若函数若有零点，则()log 20a x -=，解得3x =，故3a >，又2a >，∴实数a 的取值范围是()2,3．故选：C. 【点睛】该题考查的是有关函数的问题，涉及到的知识点有根据分段函数有零点求参数的取值范围，属于简单题目.6．已知02ω<≤，函数()sin f x x x ωω=，对任意R x ∈，都有()3f x f x π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，则ω的值为（） A ．12B ．1C ．32D ．2【答案】D【解析】化简函数()y f x =的解析式为()2sin 3f x x πω⎛⎫=- ⎪⎝⎭，由题意可知，点,06π⎛⎫⎪⎝⎭是函数()y f x =的一个对称中心，结合02ω<≤可求得ω的值. 【详解】()sin 2sin 3f x x x x πωωω⎛⎫==- ⎪⎝⎭，根据()3f x f x π⎛⎫-=-⎪⎝⎭，得,06π⎛⎫⎪⎝⎭是函数()y f x =的一个对称中心，则2sin 0663f ππωπ⎛⎫⎛⎫=-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，可得sin 063πωπ⎛⎫-= ⎪⎝⎭， 02ω<≤，0363ππωπ∴-<-≤，所以063πωπ-=，解得2ω=.故选：D. 【点睛】本题考查利用正弦型函数的对称性求参数值，同时也考查了辅助角公式的应用，考查计算能力，属于中等题.7．函数()2cos sin 2f x x x =+的一个单调减区间是（）A ．,42ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．0,6π⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．5,6ππ⎛⎫⎪⎝⎭【答案】A【解析】利用导数求得函数()y f x =的单调递减区间，利用赋值法可得出结果. 【详解】()2cos sin 2f x x x =+，该函数的定义域为R ，()()()222sin 2cos2212sin 2sin 22sin sin 1f x x x x x x x '=-+=--=-+-()()2sin 12sin 1x x =-+-，1sin 1x -≤≤，可得sin 10x +≥，令()0f x '<，可得2sin 10x ->，即1sin 2x >，解得()52266k x k k Z ππππ+<<+∈. 所以，函数()y f x =的单调递减区间为()52,266k k k Z ππππ⎛⎫++∈ ⎪⎝⎭. 当0k =时，函数()y f x =的一个单调递减区间为5,66ππ⎛⎫⎪⎝⎭， 5,,4266ππππ⎛⎫⎛⎫⊆ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，对任意的k Z ∈，50,2,2666k k πππππ⎛⎫⎛⎫⊄++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，5,2,2266k k ππππππ⎛⎫⎛⎫⊄++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，55,2,2666k k ππππππ⎛⎫⎛⎫⊄++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故函数()y f x =的一个单调递减区间为,42ππ⎛⎫⎪⎝⎭. 故选：A. 【点睛】本题考查利用导数求解函数的单调区间，考查计算能力，属于中等题. 8．设函数()f x 在R 上存在导数()f x '，对任意的R x ∈，有()()2cos f x f x x +-=，且在[)0,+∞上有()sin f x x '>-，则不等式()cos sin 2f x f x x x π⎛⎫--≥- ⎪⎝⎭的解集是（）A ．,4π⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．,4π⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．,6π⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦D ．,6π⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【答案】B【解析】构造函数，由已知得出所构造的函数的单调性，再利用其单调性解抽象不等式，可得选项. 【详解】设()()cos F x f x x =-，∵()()2cos f x f x x +-=，即()()cos cos f x x x f x -=--，即()()F x F x =--，故()F x 是奇函数，由于函数()f x 在R 上存在导函数()f x '，所以，函数()f x 在R 上连续，则函数()F x 在R 上连续.∵在[)0,+∞上有()sin f x x '>-，∴()()sin 0F x f x x ''=+>，故()F x 在[)0,+∞单调递增，又∵()F x 是奇函数，且()F x 在R 上连续，∴()F x 在R 上单调递增， ∵()cos sin 2f x f x x x π⎛⎫--≥-⎪⎝⎭， ∴()cos sin cos 222f x x f x x f x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-≥--=---⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即()2F x F x π⎛⎫≥- ⎪⎝⎭，∴2x x π≥-，故4x π≥，故选：B ．【点睛】本题考查运用导函数分析函数的单调性，从而求解抽象不等式的问题，构造合适的函数是解决问题的关键，属于较难题.二、多选题9．已知ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2sin sin sin B A C =，则角B 的值不可能是（）A ．45°B ．60°C ．75°D ．90°【答案】CD【解析】先利用正弦定理得到2b ac =，再利用余弦定理和基本不等式得到0,3B π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，即可判断. 【详解】∵2sin sin sin B A C =，由正弦定理得： ∴2b ac =，∴2222221cos 2222a cb ac ac ac ac B ac ac ac +-+--==≥=，当且仅当a c =时取等号，又0B π<<，故0,3B π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦.故选：CD. 【点睛】本题主要考查了正弦定理以及余弦定理，考查了基本不等式.属于较易题. 10．下列说法正确的是（） A ．“4x π=”是“tan 1x =”的充分不必要条件B ．命题:p “若a b >，则22am bm >”的否定是真命题C ．命题“0R x ∃∈，0012x x +≥”的否定形式是“R x ∀∈，12x x+>” D ．将函数()cos2f x x x =+的图象向左平移4π个单位长度得到()g x 的图象，则()g x 的图象关于点0,4π⎛⎫⎪⎝⎭对称【答案】ABD【解析】解方程tan 1x =，利用集合的包含关系可判断A 选项的正误；判断命题p 的真假，可判断出该命题的否定的真假，进而可判断B 选项的正误；利用特称命题的否定可判断C 选项的正误；利用图象平移得出函数()y g x =的解析式，利用对称性的定义可判断D 选项的正误. 【详解】对于A 选项，解方程tan 1x =，可得()4x k k Z ππ=+∈，4π⎧⎫⎨⎬⎩⎭ ,4x x k k Z ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭，所以，“4x π=”是“tan 1x =”的充分不必要条件， A 选项正确；对于B 选项，当0m =时，22am bm =，则命题p 为假命题，它的否定为真命题，B 选项正确；对于C 选项，命题“0R x ∃∈，0012x x +≥”的否定形式是“R x ∀∈，12x x+<”，C 选项错误；对于D 选项，将函数()cos2f x x x =+的图象向左平移4π个单位长度，得到()cos 2sin 2444g x x x x x πππ⎛⎫=+++=-++ ⎪⎝⎭， ()()sin 2sin 244g x x x x x ππ-=---+=-+，则()()2g x g x π+-=，故函数()y g x =的图象关于点0,4π⎛⎫⎪⎝⎭对称，D 选项正确；故选：ABD. 【点睛】本题考查命题真假的判断，考查了充分不必要条件、命题的否定的真假、特称命题的否定的判断，同时也考查了函数对称性的验证，考查推理能力，属于中等题.11．在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它可应用到有限维空间，并构成一般不动点定理的基石，布劳威尔不动点定理得名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔（L.E.J.Brouwer ），简单的讲就是对于满足一定条件的连续函数()f x ，存在一个点0x ，使得()00f x x =，那么我们称该函数为“不动点”函数，下列为“不动点”函数的是（）A ．()2xf x x =+B ．()23g x x x =--C ．()21,12,1x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩D ．()ln 1f x x =-【答案】BC【解析】只要解方程00()f x x =，观察它有没有实解即可得，【详解】选项A ，若()00f x x =，则020x =，该方程无解，故A 中函数不是“不动点”函数；选项B ，若()00g x x =，则200230x x --=，解得03x =或-1，故B 中函数是“不动点”函数；选项C ，若()00f x x =，则01x ≤，0021xx -=，或01x >，002x x -=，解得01x =，故C 中函数是：“不动点”函数；选项D ，若()00f x x =，则00ln 1x x -=，该方程无解，故D 中函数不是“不动点”函数. 故选：BC. 【点睛】本题考查新定义“不动点”，解题关键是根据新定义把问题转化为方程有无实数解． 12．已知函数()[][]sin cos cos sin f x x x =+，其中[]x 表示不超过实数x 的最大整数，关于()f x 有下述四个结论，正确的是（） A ．()f x 的一个周期是2π B ．()f x 是非奇非偶函数C ．()f x 在(0,)π单调递减D ．()f x【答案】ABD【解析】先根据周期函数定义判断选项A ，再根据[]y x =函数的意义，转化()f x 为分段函数判断B 选项，结合三角函数的图象与性质判断C ，D 选项. 【详解】[][]()2sin co (cos in )s s f x x x f x π+=+=，()f x ∴的一个周期是2π，故A 正确；sin11,01,0,2cos1,21sin1,,2()3cos1sin1,,23cos1,,22cos1,,02x x x x f x x x x πππππππππ+=⎧⎪⎛⎫⎪∈ ⎪⎪⎝⎭⎪⎪=⎪⎪⎛⎤⎪-∈ ⎪⎥=⎝⎦⎨⎪⎛⎫⎪-∈ ⎪⎝⎭⎪⎪⎡⎫⎪∈⎪⎢⎪⎣⎭⎪⎛⎫⎪∈- ⎪⎪⎝⎭⎩，()f x ∴是非奇非偶函数，B 正确；对于C ，(0,)2x π∈时，()1f x =，不增不减，所以C 错误；对于D ，[0,)2x π∈，()sin11sin11 1.742f x π=+>+=+>>D 正确. 故选：ABD 【点睛】本题主要考查了函数的周期性，单调性，奇偶性，考查了特例法求解选择题，属于中档题.三、填空题13．若幂函数()f x 过点()2,8,则满足不等式(3)(1)f a f a -≤-的实数a 的取值范围是______. 【答案】(,2]-∞【解析】先求得幂函数()f x 的解析式，在根据()f x 的单调性求得不等式(3)(1)f a f a -≤-的解集.【详解】设()f x x α=，代入点()2,8，得28,3αα==，所以()3f x x =，所以()f x 在R 上递增，所以(3)(1)31f a f a a a -≤-⇒-≤-，解得2a ≤，所以实数a 的取值范围是(,2]-∞.故答案为：(,2]-∞ 【点睛】本小题主要考查幂函数解析式的求法，考查幂函数的单调性，属于基础题. 14．已知1a >，1b >，则log log 216a b b a +的最小值是______. 【答案】8【解析】利用换底公式可得log log 1a b b a ⨯=，再利用基本不等式可得答案. 【详解】因为1a >，1b >，所以log 0,log 0b a a b >>，因为lg log lg log log 1lg log lg aa b bb b a b a a a b ⎧=⎪⎪⇒⨯=⎨⎪=⎪⎩，所以，log log 2168a b b a +≥==，当log 2a b =时取“=”. 故答案为：8. 【点睛】本题主要考查指数式的运算、考查了换底公式与基本不等式的应用，属于中档题. 15．4cos50tan40-=______．【解析】【详解】4sin 40cos40sin 404cos50tan 40cos 40--=2cos10sin 30cos10sin10cos30cos 40--=,1cos10sin1022cos 40⎫-⎪⎝⎭=403cos 40==【考点】三角函数诱导公式、切割化弦思想.16．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2b =，()cos25cos 3A B C ++=-，点P 是ABC 的重心，且27AP =，则c =______.【答案】4【解析】首先根据余弦二倍角公式得到1cos 2A =，设BC 边上的中线为AD ，得到7AD =，从而得到()12AD AB AC =+，再平方解方程即可得到答案. 【详解】因为()cos25cos 3A B C +-＋＝，所以22cos 5cos 20A A -+=，所以1cos 2A =或cos 2A =（舍去）. 设BC 边上的中线为AD ，如图所示：因为27AP =，所以7AD = 又因为()12AD AB AC =+，所以()222124AD AB AC AB AC =++⋅，所以()22172cos 4c b bc A =++，2211722242⎛⎫=++⨯⨯ ⎪⎝⎭c c ，化简得22240c c +-=，解得4c =或6c =-（舍去）. 故答案为：4 【点睛】本题主要平面向量数量积的应用，同时考查了余弦二倍角公式，属于简单题.四、解答题17．已知点()2,1P -在角α的终边上，且02απ≤< .（1）求值：2sin cos 4sin cos αααα-+；（2）若32ππβ<<，且sin 210αβ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，求2αβ+的值.【答案】（1）2；（2）724απβ+=. 【解析】先利用同角三角函数的基本关系得到sin ,cos ,tan ααα；（1）原式分子分母同除cos α得到正切，代入已知量即可得出结果；（2）先利用已知角的范围求得5224παπβ<-<，求出cos 2αβ⎛⎫- ⎪⎝⎭，再利用22ααββα⎛⎫+=-+ ⎪⎝⎭，最后利用两角和的余弦公式求解即可得出结果. 【详解】由题意：sin α=，cos α=， 1tan 2α=-，且2παπ<<，（1）2sin cos 2tan 124sin cos 4tan 1αααααα--==++；（2）∵32ππβ<<，224παπ-<-<-，∴5224παπβ<-<，∴cos 2αβ⎛⎫-= ⎪⎝⎭ ∴cos cos cos cos sin sin 2222ααααββαβαβα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-+=--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，5521010⎛⎫=-⨯- ⎪ ⎪⎭=⎝-， ∵5242παβπ<+<， ∴724απβ+=. 【点睛】本题主要考查了同角三角函数的基本关系以及两角和的余弦公式.属于中档题.18．已知函数()22sin 24f x x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭.（1）当,42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求()f x 的值域；（2）是否存在实数()2,t ∈+∞，使得()f x 在()2,t 上单调递增？若存在，求出t 的取值范围，若不存在，说明理由.【答案】（1）()[]2,3f x ∈；（2）不存在，理由见解析.【解析】（1）由二倍角公式降幂，再由两角差的正弦公式化函数为一个角的一个三角函数形式，然后由正弦函数性质求得值域；（2）求出函数的单调区间，由2在减区间内部，得结论．【详解】解：（1）∵()22sin 24f x x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭1cos 21sin 212sin 223x x x x x ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+-=+-=+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦.又∵,42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴22633x πππ≤-≤，即212sin 233π⎛⎫≤+-≤ ⎪⎝⎭x ， ∴()[]2,3f x ∈；（2）由222232k x k πππππ-+≤-≤+()k Z ∈得51212k x ππππ-+≤≤+()k Z ∈，所以()f x 的递增区间是5,1212k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦()k Z ∈，递减区间是511,1212k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦()k Z ∈，令0k =，函数在511,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上递减，而5112,1212ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，即函数在112,12π⎛⎫⎪⎝⎭上是递减的，故不存在实数()2,t ∈+∞，使得()f x 在()2,t 上递增. 【点睛】本题考查正弦型函数的值域，考查正弦型函数的单调性，解题方法由二倍角公式，两角和与差的正弦公式化函数为一个角的一个三角函数形式，然后由正弦函数性质求解． 19．已知R a ∈，函数()1ln f x ax x =--在1x =处取得极值.（1）求函数()f x 的单调区间；（2）若对()0,x ∀∈+∞，()2f x bx ≥-恒成立，求实数b 的最大值. 【答案】（1）函数()f x 在0,1上单调递减，在1,上单调递增；（2）211e -. 【解析】（1）首先对函数求导，根据函数()1ln f x ax x =--在1x =处取得极值，得到()110f a '=-=，求得1a =，根据导数的符号求得其单调区间；（2）将不等式转化为1ln 1x b x x +-≥，之后构造新函数()1ln 1xg x x x=+-，利用导数求得其最小值，进而求得最值，得到结果. 【详解】()11ax f x a x x-'=-=，由()110f a '=-=得1a =，()1ln =--f x x x ，（1）()1x f x x-'=，由0f x 得1x >，由0f x 得01x <<，故函数()f x 在0,1上单调递减，在1,上单调递增.（2）()1ln 21x f x bx b x x≥-⇒+-≥，令()1ln 1x g x x x =+-，则()2ln 2x g x x -'=，由0g x，得2x e >，由0g x ，得20x e <<，故()g x 在()20,e上递减，在()2e ,+∞上递增，∴()()22min 1e1eg x g ==-，即211e b ≤-，故实数b 的最大值是211e-.【点睛】该题考查的是有关应用导数研究函数的问题，涉及到的知识点有根据极值点求参数的值，利用导数求函数的单调区间，利用导数求参数的取值范围，属于中档题目. 20．已知函数()1f x x ax =-，其中0a >. （1）求关于x 的不等式()2f x a>的解集；（2）若12a =，求[]0,x m ∈时，函数()f x 的最大值.【答案】（1）2,a ⎛⎫+∞⎪⎝⎭；（2）2max 2,0121,1212,212m m m y m m m m ⎧-<<⎪⎪⎪=≤≤+⎨⎪⎪->+⎪⎩. 【解析】（1）根据分段函数定义域解不等式可求得答案；（2）画出函数()f x 的图象，数形结合可求得()f x 的最大值【详解】（1）()()()11,11,x ax x af x x x x a α⎧-≥⎪⎪=⎨⎪-<⎪⎩，(0)a >当1x a ≥时，由()2>f x a ，得(12)x ax a ->，1(2)()0ax x a-+>，20ax ->，2x a>，当1x a <时，由()2>f x a ，即(1)2x ax a ->，220ax x a -+<，令220ax x a-+=，180∆=-<，方程无解，而0a >，所以220ax x a-+<无解，综上所述，2x a >，所以不等式()2f x a >的解集为2,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭. （2）12a =时()22,21212,22x x x f x x x x x x ⎧-≤⎪⎪=-=⎨⎪->⎪⎩，∵()112f =，由1122x x -=得另一个根21x =，由()f x 的图像可知，当01m <<时，函数的最大值为()2122m m f m m m ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭；当121m ≤≤+时，函数的最大值为12；当21m >+时，函数的最大值为()22m f m m =-综上所述，函数的最大值为2max2,0121,1212,212m m m y m m m m ⎧-<<⎪⎪⎪=≤≤+⎨⎪⎪->+⎪⎩. 【点睛】本题考查了解分段函数不等式的问题，分段函数求最值的问题，考查了数形结合的思想. 21．重庆、武汉、南京并称为三大“火炉”城市，而重庆比武汉、南京更厉害，堪称三大“火炉”之首.某人在歌乐山修建了一座避暑山庄O （如图）.为吸引游客，准备在门前两条夹角为6π（即AOB ∠）的小路之间修建一处弓形花园，使之有着类似“冰淇淋”般的凉爽感，已知弓形花园的弦长23AB =且点A ，B 落在小路上，记弓形花园的顶点为M ，且6MAB MBA π∠=∠=，设OBA θ∠=.（1）将OA ，OB 用含有θ的关系式表示出来；（2）该山庄准备在M 点处修建喷泉，为获取更好的观景视野，如何规划花园（即OA ，OB 长度），才使得喷泉M 与山庄O 距离即值OM 最大？【答案】（1）43OA θ=；436OB πθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；（2）当632OB OA ==时，OM 取最大值.【解析】（1）在OAB 中，利用正弦定理即可将OA ，OB 用含有θ的关系式表示出来；（2）在OMB △中，由余弦定理得出2OM 21632283πθ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭，结合三角函数的性质，即可得出OM 的最大值，再求出,OA OB 的长度即可. 【详解】（1）在ABC 中，由正弦定理可知sin sin 6OA ABπθ=，则OA θ=；同理由正弦定理可得sin sin 6OB ABOABπ=∠，则6OB OAB πθ⎛⎫=∠=+⎪⎝⎭，（2）∵AB =6MAB MBA π∠=∠=，∴2AM BM ==，在OMB △中，由余弦定理可知2222cos 6OM OB BM OB BM πθ⎛⎫=+-⋅+ ⎪⎝⎭248sin 4cos 666πππθθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++-++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭241cos 24233ππθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-++-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭2823cos 228228333πππθθθ⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-++++=-++ ⎪ ⎪ ⎪⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎦， ∵50,6πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， ∴2272,333πππθ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，∴2sin 21,32πθ⎡⎫⎛⎫+=-⎪⎢⎪⎪⎝⎭⎣⎭，当2sin 213πθ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭时，即512πθ=时， OM4=+，此时5sin cos cos sin 124646OA πππππ⎫==+=⎪⎭，5551261212OB πππππ⎛⎫⎛⎫=+=-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即当OB OA ==OM 取最大值.【点睛】本题主要考查了正弦定理和余弦定理的实际应用，涉及了三角函数求值域，属于中档题. 22．已知函数()sin ln()f x x a x b =++，()g x 是()f x 的导函数.（1）若0a >，当1b =时，函数()g x 在(,4)π内有唯一的极小值，求a 的取值范围；（2）若1a =-，1e 2b π<<-，试研究()f x 的零点个数.【答案】（1）(0,25sin 4)a ∈-；（2）()f x 有3个零点. 【解析】（1）先求导得2sin )(1)(ag x x x '=--+，求出2()0(1)a g ππ'=-<+()4sin 425a g '=--，再由sin 4025a --≤和sin 4025a-->两种情况讨论求得a 的取值范围；（2）分析可知，只需研究(,)b π-时零点的个数情况，再分(,),(,)22x b x πππ∈-∈两种情形讨论即可. 【详解】解：（1）当1b =时，si ()(l )n 1n f x a x x =++，cos 1()()x x ag f x x '==++， 2sin )(1)(a g x x x '=--+()0a >在(),4π是增函数，2()0(1)ag ππ'=-<+，(4)sin 425ag '=--，当(4)sin 4025ag '=--≤时，()g x 在(,4)π是减函数，无极值；当(4)sin 4025ag '=-->时，0(,4)x π∃∈，使得00()g x '=，从而()g x 在0(,)x π单调递减，在0(,4)x 单调递增，0x 为()g x 唯一的极小值点，所以()0,25sin 4a ∈-（2）当1a =-时，()sin ln()f x x x b =-+，(1,)2b e π∈-，可知，（i ）(),x π∈+∞时，()0f x <，无零点；所以只需研究(,)b π-，1()cos f x x x b'=-+，（ii ）(,)2x ππ∈时，1()cos 0f x x x b'=-<+，可知()f x 单调递减， ()1ln()1ln()02222f b e ππππ=-+>-+-=，()0f π<，存在唯一的(,)2s ππ∈，()0f s =；（iii ）当(,)2x b π∈-，21()sin ()f x x x b ''=-++是减函数，且21(0)00f b ''=+>，21()102()2f b ππ''=-+<+ 则1(0,)2x π∃∈，1()0f x ''=，()f x '在1(,)b x -是增函数，1()2x π，是减函数，并且 lim ()0x b f x +→-'<，()1010f b'=->，1()022f b ππ'=-<+，所以2(,0)x b ∃∈-，2()0f x '=；3(0,)2x π∃∈，3()0f x '=，且知()f x()f x 在()2,b x -减，在()23,x x 增，在3(,)2x π减，又因为()lim 0x b x f +→->，()00ln 0f b =-<，()02f π>，(,0)m b ∃∈-，()0f m =， (0,)2n π∃∈，()0f n =，综上所述，由（i ）（ii ）（iii ）可知，()f x 有3个零点. 【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的极值和零点问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.。

2021届重庆一中高三上学期第一次月考数学试卷及答案

2021届重庆一中高三上学期第一次月考数学试卷★祝考试顺利★(含答案)本卷满分 150 分,考试时间 120 分钟一、单项选择题。

本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分在每小题给出的四个选项中,只有1项是符合题目要求的.1. 设集合 A = {y |y =ln (1−x )} , B = {y |y =√4−2x },则 A ∩B= ( )A. [0,2)B. (0,2)C. [0,2]D. [0,1)2.a,b ∈(0,+∞), A =√a +√b , B =√a +b ,则 A,B 的大小关系是( )A. A<BB. A>BC. A ≤BD. A ≥ B3.已知直线 l 是曲线 y =√x +2x 的切线,则 l 的方程不可能是A.5x −2y +1=OB.4x −2y +1=OC.13x −6y +9=OD.9x − 4y + 4 = 04.中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴。

一般情况下,折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成,设扇形的面积为S 1 ,画面中剩余部分的面积为S 2,当 S 1 与S 2的比值为√5−12时,扇面看上去形状较为美观,那么此时扇形的圆心角的弧度数为( )A.(3−√5)πB. (√5−1)πC. (√5+1)πD. (√5−2)π 5. 若函数f (x )={a x ,2<x ≤a log a (x −2),x >a(其中a >0,且a ≠1)存在零点,则实数 a 的取值范围是 A.(12,1)U (1,3) B.(1,3] C.(2,3) D.(2,3]6. 己知0<ω≤2,函数f (x )=sin (ωx )−√3cos (ωx ),对任意x ∈R ,都有f (π3−x)=−f (x ),则 ω 的值为( )A. 12B. 1C.32D. 27. 函数f (x )=2cos x +sin 2x 的一个个单调递减区间是( )A.(π4,π2)B.(0,π6)C.(π2,π)D. (5π6,π)8.设函数 f (x )在 R 上存在导数f ′(x ),对任意的 x ∈R ,有f (x )+f (−x )=2cos x ,且在[0,+∞)上有f′(x)>−sin x ,则不等式f(x)−f(π2−x)≥cos x−sin x的解集是A.(−∞,π4] B.[π4,+∞) C.(−∞,π6] D.[π6,+∞)二、多项选择题。

重庆市第一中学2021届高三数学上学期期中试题文.doc

重庆市第一中学2021届高三数学上学期期中试题文注意事项：1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号码填写在答卷上。

2. 作答时，务必将答案写在答题卡上，写在本试卷及草稿纸上无效。

3. 考试结束后，将答题卡交回。

第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分. 在下列各题的四个选项中，只有一个选项是符合题意的）1．设全集U Z =，集合{}2|20A x Z x x =∈--≥，则U A =（） A ．{0} B ．{1} C ．{0,1} D ．{}1,0,1,2-2．若复数z 满足(1)12z i i +=+，则z 在复平面内对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限 3．等比数列{}n a 中，5a 、7a 是函数()243f x x x =-+的两个零点，则39=a a ⋅（）A.3-B. 3C.4-D. 44．已知向量()2,1a =，()2,sin 1b α=-，()2,cos c α=-，若()a b +//c ，则tan α的值为（）A. 2B. 12C.12-D. 2-5．(原创）“26m <<”是“方程22126x y m m-=--表示的曲线为双曲线”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．过点(12)A ，的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为（） A ．10x y -+= B ．30x y +-=C ．20+30x y x y -=-=或D ．2010x y x y -=-+=或 7．已知()2145f x x x -=+-，则()1f x +=（）A.287x x ++B.26x x +C.223x x +-D.2610x x +-8．(原创）定义域为R 的奇函数()y f x =的图象关于直线2x =对称，且(1)2018f =，(2)2019f =，则(2018)(2019)f f +=（）A. 4035B. 4036C. 4037D. 40389．如图，正三棱柱111ABC A B C -中，12AA AB =，D 是1BB 的中点，则AD 与平面11AAC C 所成角的正弦值等于（） A.22 B.326 10 10．已知正实数,x y 满足3x y xy ++=，若对任意满足条件的,,x y 都有2()()60x y a x y +-++≥恒成立，则实数a 的最大值为（）A ．26B ．7C ．46．811．(原创）已知ABC ∆的三个内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，ABC ∆的外接圆的面积为3π，且222cos cos cos A B C -+1sin sin A C =+，则ABC ∆的最大边长为（）A. 2B. 332312.设函数2()sin f x x ππ=-在(0,)+∞上最小的零点为0x ，曲线()y f x =在点0(,0)x 处的切线上有一点P ，曲线23ln 2y x x =-上有一点Q ，则||PQ 的最小值为（） A.105 5 31035 第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．cos 27cos18sin 27sin18︒︒︒︒-= __________.14．已知(2)n a a n a =-+,若数列{}n a 是递增数列，则实数a 的取值范围是________.15.(原创）在直三棱柱111ABC A B C -中，90BAC ︒∠=且3AB =14BB =，设其外接球的球心为O ，且球O 的表面积为28π，则ABC ∆的面积为__________.16．已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点为F ，左顶点为A ，以F 为圆心，FA 为半径的圆交C 的右支于M ，N 两点，且线段AM 的垂直平分线经过点N ，则C 的离心率为_________.三、解答题(共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.)17．(12分）(原创）已知函数22()332sin cos f x x x x x =-+. （1）求()f x 的对称轴；（2）当[0,]απ∈时，若()1f α=，求α的值.18．(12分）已知数列{}n a 中，11a =，()*121n n a a n N +=+∈. （1）求n a 的通项公式；（2）设()()21log 1n n n b a a =+⋅+，求{}n b 的前n 项和.19．(12分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，,P Q 分别是1AA 、11A C 的中点.（1）设棱1BB 的中点为D ，证明：1//C D 平面1PQB ；（2）若2AB =，114AC AA AC ===，1160AA B ∠=且平面11AA C C ⊥平面11AA B B ，求三棱柱111ABC A B C -的高.20．(12分）已知点()1,0F 和直线1:1l x =-，直线2l 过直线1l 上的动点M 且与直线1l 垂直，线段MF 的垂直平分线l 与直线2l 相交于点P .（1）求点P 的轨迹C 的方程；（2）设直线PF 与轨迹C 相交于另一点Q ，与直线1l 相交于点N ，求NP NQ ⋅的最小值.21．(12分）已知函数()()2e 2R R x f x mx m x m =--∈∈，．（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）若1m =，不等式()ln ln2f x x bx -≥+对一切0x >恒成立，求实数b 的取值范围.选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按第一题计分.22．(10分）在直角坐标系xOy 中，已知曲线1C的参数方程为4,x y t⎧=⎪⎨=-⎪⎩（t 为参数），曲线2C的参数方程为,sin 2x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩（θ为参数）.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求曲线1C ，2C 的极坐标方程；（2）在极坐标系中，射线3πθ=与曲线1C 交于点M ，射线6πθ=与曲线2C 交于点N ，求MON ∆的面积（其中O 为坐标原点）.23．(10分）已知函数()13f x x x =-+-.（1）解不等式()1f x x ≤+；（2）设函数()f x 的最小值为c ，实数ab 满足0a >，0b >，a b c +=，求证：22111a b a b +≥++.2021年重庆一中高2021级高三上期半期考试参考答案1-12 CA B D C D A C C B B D13.2 14. 2a <15. 2 16. 43 17．（1）()fx sin 222sin 23x x x π⎛⎫==+⎪⎝⎭ ...............2分得：2()32x k k Z πππ+=+∈ ...............4分所以对称轴为：()212k x k Z ππ=+∈ ...............6分（2）因为0απ≤≤，所以72333πππα≤+≤， ...............8分又因为()1f α=，即1sin 232πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭， ...............10分所以5236ππα+=或136π，则4πα=或1112π ................12分 18．（1）因为()*121n n a a n N +=+∈，所以112(1)n n a a ++=+，...............2分则数列{1}n a +是首项为2公比为2的等比数列，...............4分则：12n n a +=即21n n a =-；...............6分（2）()()21log 12nn n n b a a n =+⋅+=⋅，...............7分则：123122232...2n n S n =⋅+⋅+⋅++⋅，23412122232...2n n S n +=⋅+⋅+⋅++⋅， (9)分两式相减：1231112(12)1222 (22)22(1)212n n n n n n S n n n +++-=-⋅----+⋅=-+⋅=+-⋅-. 则{}n b 的前n 项和为：12(1)2n n ++-⋅. ...............12分19．（1）连接AD ，在三棱柱111ABC A B C -中，11//AA BB ， D 是1BB 的中点，P 是1AA 的中点，1//AP DB ∴，∴四边形1ADB P 是平行四边形， ...............2分1//AD PB ∴，AD ⊄平面1PQB ，1PB ⊂平面1PQB ，//AD ∴平面1PQB . P 、Q 分别是1AA 、11A C 的中点，1//AC PQ ∴，又1AC ⊄平面1PQB ，PQ ⊂平面1PQB ，1//AC ∴平面1PQB ， ...............4分 1AD AC A =，AD 、1AC ⊂平面1AC D ，∴平面1//AC D 平面1PQB . 1C D ⊂平面1AC D ，1//C D ∴平面1PQB ； ...............6分（2）三棱柱的高转化成三棱锥1C ABC -的高，过点B 作1BM A A ⊥交1A A 于点M ，因为平面11AA C C ⊥平面11AA B B ，平面11AAC C 平面111AA B B A A =，又因为1BM A A ⊥，BM ⊂平面11AA B B ，所以BM ⊥平面1ACC ，...............8分在ABM ∆中，1160BAM AA B ∠=∠=，sin BM AB BAM ∴=∠=又因为122ABC S ∆=⨯=114442ACC S ∆=⨯⨯=................10分所以11C ABC B ACC V V --=，所以1133ABC h S ∆⨯⨯=解得h =................12分 20．（1）l 为线段MF 的垂直平分线 PF PM ∴= ...............2分即点P 到定点()1,0F 的距离等于点P 到定直线1 : =-1l x 的距离由抛物线的定义可知，点P 的轨迹为：24y x =...............4分（2）由已知得直线PF 斜率存在，且斜率不为零,设()11,P x y ，()22,Q x y ，将直线():1PF y k x =-代入抛物线方程得()2222240k x k x k -++= 则()224224416160k k k ∆=+-=+> ...............5分212212241k x x k x x ⎧++=⎪∴⎨⎪=⎩...............8分又()1,2N k -- ()111,NP x kx k ∴=++，()221,NQ x kx k ∴=++ ()()()()()()2212121212111111NP NQ x x k x x k x x x x ∴⋅=+++++=++++⎡⎤⎣⎦()242222222448441248816k k k k k k k k ⎛⎫+++=+⋅+==++≥= ⎪⎝⎭........10分当且仅当2244k k =，即1k =±时取等号 ()min 16NP NQ ∴⋅= ...............12分21．（1）()f x 的定义域是R ，()2'2e 2x f x m =-．..............1分①0m ≤时，()'0f x >，()f x 在R 上单调递增：...............3分 ②0m >时，()2'2e 20x f x m =-=，解得1ln 2x m =，当1ln 2x m <时，()'0f x <，则()f x 在1ln 2m ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，上递减；当1ln 2x m >时，()'0f x >，则()f x 在1ln 2m ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，上递增．...............5分（2）当1m =时，()2e 21x f x x =--，依题意知不等式()ln ln2f x x bx -≥+，即2e 21ln ln 2x x x bx ---≥+在()0+∞，上恒成立，即()2e ln 2ln2e x x b x --+≥在()0+∞，上恒成立，设()()2e ln 2x g x x b x =--+，()()21'2e 2x g x b x =--+，令()()02001'2e 20x g x b x =--+=，()020012e 20x b x x -=+>，...............7分易知()g x 在()00x ，上递减，在()0,x +∞上递增，则()()()()002200000min e ln 212e ln 1ln2e x x g x g x x b x x x ==--+=--+≥，.........9分即()020021e ln20x x x -+≤，设020t x =>，则()()1e ln 0t h t t t =-+≤，()1'e 0t h t t t =+>，则()h t 递增，又()10h =，故0021t x <=≤，0102x <≤，........10分 ∴020122e 2e 2x b x +=-≤-，解得2e 4b ≤-．...............12分22．（1）由曲线1C：4,,x y t ⎧=⎪⎨=-⎪⎩（t 为参数），消去参数t得：4x += 化简极坐标方程为：sin 26πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭...............2分曲线2C：,,2x y sin θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩（θ为参数）消去参数θ得：224177x y += 化简极坐标方程为：()2213sin 7ρθ+=...............5分（2）联立263sin πρθπθ⎧⎛⎫+= ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎪=⎪⎩ 23ρπθ=⎧⎪⇒⎨=⎪⎩即2,3M π⎛⎫ ⎪⎝⎭...............7分联立()2213sin 76ρθπθ⎧+=⎪⎨=⎪⎩ 26ρπθ=⎧⎪⇒⎨=⎪⎩即2,6N π⎛⎫ ⎪⎝⎭...............9分故11··sin 22sin 12236MON S OM ON MON ππ∆⎛⎫=∠=⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭...............10分 23．（1）①当1x <时，不等式可化为421x x -≤+，1x ≥．又∵1x <，∴x 无解；...............1分②当13x ≤≤时，不等式可化为21x ≤+，1x ≥．又∵13x ≤≤，∴13x ≤≤．...............2分③当3x >时，不等式可化为241x x -≤+，5x ≤．又∵3x >，∴35x <≤...............3分∴原不等式的解集为[]1,5................5分（2）证明：由绝对值不等式性质得，()()13132x x x x -+-≥-+-=， ∴2c =，即2a b +=．.............7分令1a m +=，1b n +=，则1m >，1n >，1,1a m b n =-=-，4m n +=， ()()22221111m n a b a b m n --+=+++ 114m n m n =+-++ 4mn = 2412m n ≥=+⎛⎫ ⎪⎝⎭......10分。

重庆一中2021届高三第一学期第三次月考数学试题【含答案】

重庆一中2021届高三第一学期第三次月考数学试题本卷满分150分，考试时间120分钟．注意事项：1．答卷前，务必将自己姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上．2．作答时，务必将答案书写在答题卡规定的位置上．写在本试卷上及草稿纸上无效． 3．考试结束后，将答题卡交回．一、单项选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分，每个小题只有一个正确选项．1．已知复数21iz i=-，则复数z 的虚部是（） A ．1- B ．1 C ．i D ．i -2．已知集合{}2|2,A x x x Z =<∈，则A 的真子集共有（）个 A ．3 B ．4 C ．6 D ．73．已知某圆锥的母线长为4，底面圆的半径为2，则圆锥的全面积为（） A ．10π B ．12π C ．14π D ．16π4．为了衡量星星的明暗程度，古希腊天文学家喜帕恰斯在公元前二世纪首先提出了星等这个概念．星等的数值越小，星星就越亮；星等的数值越大它的光就越暗．到了1850年，由于光度计在天体光度测量的应用，英国天文学家普森又提出了亮度的概念，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足()12212.5lg lg m m E E -=-，其中星等为k m 的星的亮度为(1,2)k E k =．已知“心宿二”的星等是1.00，“天津四”的星等是1.25，则“心宿二”的亮度大约是“天津四”的（）倍．（当x 较小时，2101 2.3 2.7x x x ≈++）A ．1.22B ．1.23C ．1.26D ．1.27 5．向量,a b 满足||1a =，a 与b 的夹角为3π，则||a b -的取值范围为（） A ．[1,)+∞ B ．[0,)+∞ C ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．3⎫+∞⎪⎣⎭6．已知三棱锥P ABC -，过点P 作PO ⊥平面ABC ，O 为ABC 中的一点，且,,PA PB PB PC PC PA ⊥⊥⊥，则点O 为ABC 的（）A ．垂心B ．内心C ．重心D ．外心7．设sin5a π=，2log3b =2314c ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则（）A ．a c b <<B ．b a c <<C ．c a b <<D ．c b a << 8．已知三棱锥P ABC -的四个顶点均在同一个确定的球面上，且6BA BC ==2ABC π∠=，若三棱锥P ABC -体积的最大值为3，则其外接球的半径为（） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．9．设m 、n 是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，下列命题中错误．．的是（） A ．若,,//m n m n αβ⊆⊆，则//αβ B ．若,m n m α⊆⊥，则n α⊥ C ．若,m n αα⊥⊆，则m n ⊥ D ．若//,,m n αβαβ⊆⊆，则//m n 10．下列函数中，在(0,1)内是减函数的是（）A ．||12x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭ B ．212log y x = C ．121y x =+ D ．2log sin y x =11．下列关于函数1()2sin 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图像或性质的说法中，正确的为（）A ．函数()f x 的图像关于直线83x π=对称 B ．将函数()f x 的图像向右平移3π个单位所得图像的函数为12sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭C ．函数()f x 在区间5,33ππ⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递增 D ．若()f x a =，则1cos 232a x π⎛⎫-=⎪⎝⎭12．定义在(0,)+∞上的函数()f x 的导函数为()f x '，且()()f x f x x<'，则对任意1x 、2(0,)x ∈+∞，其中12x x ≠，则下列不等式中一定成立的有（）A ．()()()1212f x x f x f x +<+B ．()()()()21121212x xf x f x f x f x x x +<+ C ．()1122(1)x x f f < D ．()()()1212f x x f x f x <三、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分，各题答案必须填写在答题卡相应的位置上．13．已知球O 的体积为323π，则球O 的表面积为___________． 14．已知向量,a b 不共线，若a b λ+与2a b +平行，则λ的值为___________．15．一般把数字出现的规律满足如图的模型称为蛇形模型：数字1出现在第1行；数字2，3出现在第2行；数字6，5，4（从左至右）出现在第3行；数字7，8，9，10出现在第4行，依此类推，则第21行从左至右的第4个数字应是____________．16．已知等比数列{}n a 的公比为q ，且101a <<，20201a =，则q 的取值范围为_________；能使不等式12121110m m a a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-++-≤ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭成立的最大正整数m =_________．（注：前一空2分，后一空3分）四、解答题：本大题6个小题，共70分，各题解答必须答在答题卡相应题目指定方框内，并写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程．17．（本小题满分10分）在四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是等腰梯形，M 是线段AB 的中点，1160,22,2,6DAB AB CD DD C M ∠=︒====．（1）求证：1//C M 平面11A ADD ；（2）求异面直线CM 与1DD 所成角的余弦值． 18．（本小题满分12分）已知数列{}n a 满足：13a =，且对任意的n N *∈，都有1，1,n n a a +成等差数列．（1）证明数列{}1n a -等比数列；（2）已知数列{}n b 前n 和为n S ，条件①：()1(21)n n b a n =-+，条件②：11n n n b a +=-，请在条件①②中仅选择一个条件作为已知条件．．．．．．．．．．．．．来求数列{}n b 前n 和n S ．注：若两个条件都计算了．．．．．．．．．，只按照第一个条件来评分．．．．．．．．．．．！ 9．（本小题满分12分）已知椭圆C 的两个焦点分别为12(1,0),(1,0)F F -，短轴的两个端点分别为12,B B ．且122B B =．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）过点2F 的直线l 与椭圆C 相交于P ，Q 两点，且11F P FQ ⊥，求直线l 的方程． 20．（本小题满分12分）已知()cos sin 3cos 222x x x f x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．（1）求()f B 的取值范围；（2）当434,a b ==，且()f B 取（1）中的最大值时，求ABC 的面积． 21．（本小题满分12分）在直三棱柱111ABC A B C -中，12,120AB AC AA BAC ==∠=︒，D ，1D 分别是线段11,BC B C 的中点，过线段AD 的中点P 作BC 的平行线，分别交AB ，AC 于点M ，N ．（1）证明：平面1A MN ⊥平面11ADD A ；（2）求二面角1A A M N --的余弦值． 22．（本小题满分12分）已知21()(1)2xf x e ax b x =---．其中常数 2.71828e ≈⋅⋅⋅⋅⋅⋅．（1）当2,4a b ==时，求()f x 在[1,2]上的最大值；（2）若对任意0,()a f x >均有两个极值点()1212,x x x x <，（ⅰ）求实数b 的取值范围；（ⅱ）当a e =时，证明：()()12f x f x e +>．参考答案一、单项选择题：1-8：BDBCDACA二、多项选择题：9．ABD 10．ABC 11．AD 12．ABC 三、填空题13．16π 14．1215．228 16．1q > 4039 四、解答题17．解：（1）证明：因为四边形ABCD 是等腰梯形，且2AB CD =，所以//AB DC ．又由M 是AB 的中点，因此//CD MA 且CD MA =．连接1AD ，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，因为1111//,CD C D CD C D =，可得1111//,C D MA C D MA =，所以四边形11AMC D 为平行四边形．因此11//C M D A ，又1C M ⊄平面11A ADD ，1D A ⊂平面11A ADD ，所以1//C M 平面11A ADD ． 5分（2）因为//CM DA ，所以异面直线CM 与1DD 成的角，即为 DA 与1DD 相交所成的直角或锐角，在1ADD 中，16C M =，故116,1,2AD AD DD ===，由余弦定理可得：22211 111cos24AD DD ADADDAD DD+-∠==-⋅，故异面直线CM和1DD余弦值为14．10分18．解：（1）由条件可知112n na a++=，2分即121n na a+=-，∴()1121n na a+-=-，且112a-=4分∴{}1na-是以112a-=为首项，2q=为公比的等比数列，∴12nna-=，∴()21nna n N*=+∈6分（2）条件①：()1(21)(21)2nn nb a n n=-+=+，123325272(21)2nnS n=⋅+⋅+⋅+++⋅8分23412325272(21)2nnS n+=⋅+⋅+⋅+++⋅10分利用错位相减法可求得()12(21)2nns n n N+*=-+∈12分条件②：11(1)12nnnnb na+⎛⎫==+⋅ ⎪-⎝⎭231111234(1)2222n nS n=⋅+⋅+⋅+++⋅8分234111111234(1)22222n nS n+=⋅+⋅+⋅+++⋅10分利用错位相减法可求得()13(3)2nns n n N*⎛⎫=-+∈⎪⎝⎭12分注：若两个条件都计算了，只按照第一个条件来评分！19．解（1）易知椭圆C的方程为2212xy+=4分（2）当直线l的斜率不存在时，其方程为1x=，不符合题意；当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为(1)y k x =-，22(1)12y k x xy =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得()()2222214210k x k x k +-+-=，()2810k ∆=+>， 6分设()()1122,,,P x y Q x y ，则()22121222214,2121k k x x x x k k -+=⋅=++， ()()1111221,,1,F P x y FQ x y =+=+，∵110F P FQ ⋅=， 8分即()()()()()2221212121211110x x y y k x x k x x k i +++=+--+++=，得217,77k k ==±． 10分故直线l 的方程为710x +-=，或710x --=． 12分 20．解：（1）2()cossin 3sin cos 3222222x x x x x x f x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭ 13(cos 1)3sin sin 2232x x x π+⎛⎫=+=++⎪⎝⎭4分因为B 为三角形的内角，所以(0,)B π∈所以4,333B πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，所以3()0,1f B ⎛∈+ ⎝⎦ 5分（2）3()1326f B B B πππ=+⇒+=⇒= 7分由正弦定理得：43433sin 1sin sin sin 22a b A A B A =⇒=⇒=9分若3A π=，则2C π=，183sin 2ABCSab C == 11分若23A π=，则6C π=，143sin 2ABCS ab C == 12分 21．（1）证明：因为AB AC =，D 是BC 的中点，所以，BC AD ⊥．因为//MN BC ，所以M ，N 分别为AB ，AC 的中点．所以MN AD ⊥．因为1AA ⊥平面ABC ，MN ⊂平面ABC ，所以1AA MN ⊥．又因为AD ，1AA 在平面11ADD A 内，且AD 与1AA 相交，所以MN ⊥平面11ADD A ，．又MN ⊂平面1A MN ，所以平面1A MN ⊥平面11ADD A ； 5分（2）设11AA =．如图，过1A 作1A E 平行于11B C ，以1A 为坐标原点，分别以1111,,A E A D A A 的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系O xyz -（点O 与点1A 重合）．则1(0,0,0),(0,0,1)A A ．因为P 为AD 的中点，所以M ，N 分别为,AB AC 的中点，故3131,1,,122M N ⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以1131,,1,(0,0,1),(3,0,0)2A M A A NM ⎛⎫===⎪⎝⎭． 6分设平面1AA M 的法向量为()1111,,n x y z =，则1111,,n A M n A A ⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩即11110,0,n A M n A A ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩故有()()11111131,,,10,22,,(0,0,1)0.x y z x y z ⎧⎛⎫⋅=⎪ ⎪⎨⎝⎭⎪⋅=⎩从而1111310,220.x y z z ++=⎨⎪=⎩取11x =，则13y =- 所以1(1,3,0)n =-是平面1AA M 的一个法向量． 8分设平面1A MN 的法向量为()2222,,n x y z =，则212,,n A M n NM ⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩即2120,0,n A M n NM ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩故有()()22222231,,,10,2,,3,0,0)0.x y z x y z ⎧⎫⋅=⎪⎪⎨⎝⎭⎪⋅=⎩ 从而2222310,2230.x y z x ++==取22y =，则21z =-，所以2(0,2,1)n =-是平面1A MN 的一个法向量． 10分设二面角1A A M N --的平面角为θ，又θ为锐角，则1212|(1,3,0)(0,2,1)|15cos 25n n n n θ⋅-⋅-===⨯ 故二面角1A A M N --1512分 22．解：（1）2()4(1)[1,2]xf x e x x x =---∈，()24,()20xxf x e x f x e ''=='--->∵()f x '在[1,2]上单增，且2(2)80f e -'=<，∴()0,()f x f x <'在[1,2]上单减，∴max ()(1)1f x f e ==-． 3分（2）（ⅰ）(),()xxf x e ax b f x e a =-'-='-'，()f x '在(,ln )a -∞单减，(ln ,)a +∞单增， ∵()f x 有两个极值点12,x x ，∴(ln )ln 0f a a a a b =--<'，ln b a a a >-对任意0a >都成立，设()ln g a a a a =-，()ln ,()g a a g a '=-在(0,1)单增，(1,)+∞单减，∴(1)1b g >=，又∵0,,()ba b f e x f x a -⎛⎫-=>→+∞→+∞ ⎪⎝⎭''，∴1b >． 7分（ⅱ）当a e =时，()xf x e ex b '=--，可证()f x '在(,1)-∞单减，在(1,)+∞单增，∵12,x x 是()0f x '=两根，且12x x <．∴121,1x x >> 设()()(2),(1)h x f x f x x -'-<'=则2()2220xxh x e ee e e -=+->-='∴()h x 在(,1)-∞单增，()(1)0,()(2)h x h f x f x ''<=<-∵()()()112111,21,2x x f x f x f x <-=<''-'>，又∵()f x '在(1,)+∞上单增， ∴212x x <-，即1222x x x <-<，又∵()f x 在()12,x x 上单减，()()122f x f x >-()()()()2222122222222x x f x f x f x f x e e ex ex e -+>-+=+-+-令22()22x xM x e eex ex e -=+-+-，(1)x >22()22,()20x x x x M x e e ex e M x e e e --=--''+-'=+≥，()M x '在(1,)+∞单增，(1)0M '=，∴()0M x '>，故()M x 在(1,)+∞单增又∵x ()221,(1)x M x M e >>=，∴()()12f x f x e +> 12分。

重庆市第一中学校2021届高三3月月考数学(理)试题

附：，若 ~ ，， .
19．如图，在四棱锥中，平面，，，底面为菱形，为的中点，分别线段，上一点，， .
（1）求证：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
20．已知椭圆的左.右焦点分别为，为坐标原点.
（1）若斜率为的直线交椭圆于点，若线段的中点为，直线的斜率为，求的值；
∴q3＝ 8，∴q=2，
∴a2＝1 ．
故选B．
【点睛】
本题考查等比数列的通项公式的应用，比较基础．
4．B
【解析】
【分析】
根据三视图可判断几何体为半球的内部挖空了一个圆锥，运用球与圆锥的体积公式计算即可．
【详解】
∵几何体的三视图可得出几何体为半球的内部挖空了一个圆锥，如图：
∴该几何体的体积为 π 23 π×22×2＝ = ，
15．的内角的对边分别为，已知，， _____.
16．直线与圆相交于两点，若，为圆上任意一点，则的取值范围是______.
三、解答题
17．已知数列的前项和满足：，
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列满足，求数列的前项和 .
18．为调查某校学生每周体育锻炼落实的情况，采用分层抽样的方法，收集100位学生每周平均锻炼时间的样本数据(单位: ).根据这100个样本数据，制作出学生每周平均锻炼时间的频率分布直方图(如图所示).
3．实数数列为等比数列，则等于（）
A． B．4C．2D．或4
4．某几何体的三视图如图所示（图中半圆.圆的半径均为2），则该几何体的体积为（）
A． B． C． D．
5．如图所示的程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该程序框图，若输入的分别为15，18，则输出的为（）

重庆市第一中学2021-2022学年高三上学期半期考试数学试题及答案

8．
cos2x 3cos x 2 sin2 x 5cos x 1
0
(2cos x 1)(cos x 1)(cos x 5) cos x
0，解得
0
cos x
1 2
M
x
2kπ
π 2
x
2kπ
π 3
或2kπ
π 3
x
2kπ
π 2
，k
Z
，则
2kπ
π 2
x
2kπ
π 3
或2kπ
π 3
x
2kπ
π 2
，k
大人流量就越大现在记#1 #;的长度之和为-$!
! 求函数-$的解析式
# 求-$的最大值!
#!!本小题满分!# 分
已知函数在点 -$-)$3/:7$ ! !处的切线平行于$轴!
! 求实数) /的值
讨论函数的零点个数 #
< $-- $ .#647$ $"& 35
!
##!本小题满分!# 分如图在直角坐标系中以4& !为圆心的圆4与抛物线%-$# 依次交于# & , 7四点! ! 求圆4的半径=的取值范围 # 求四边形#&,7面积的最大值并求此时圆的半径!
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2021 年重庆一中高 2022 届高三上期半期考试数学参考答案
秘密!启用前$ 考试时间 !! 月#% 日!% &&'!( &&
#&#! 年重庆一中高 #&## 届高三上期半期考试数学试题卷
注意事项 !)答卷前考生务必将自己的姓名准考证号码填写在答题卡上* #)作答时务必将答案写在答题卡上*写在本试卷及草稿纸上无效* +)考试结束后将答题卡交回*

高三上学期第三次月考数学试题(含答案)

高三上学期第三次月考数学试题（含答案）考生在温习中多做题是高考数学温习中最重要的局部了，为此查字典数学网整理了2021届高三上学期第三次月考数学试题，请考生及时停止练习。

一、选择题：本大题共12小题，每题5分，总分值60分.在每题给出的四个选项中，只要一项为哪一项契合标题要求的.1.不等式(1+x)(1-|x|)0的解集是A. B. C. D.2.等差数列中，，，那么此数列前20项和等于A.160B.180C.200D.2203.向量，, 那么是与夹角为锐角的A.必要而不充沛条件B.充沛而不用要条件C.充沛必要条件D.既不充沛也不用要条件4.对一实在数x，不等式恒成立，那么实数a的取值范围是A.(-，-2)B.[-2，+)C.[-2,2]D.[0，+)5.命题，假定是真命题，那么实数的取值范围是A. B. C. D.6.设点是函数与的图象的一个交点，那么的值为A. 2B. 2+C. 2+D. 由于不独一，故不确定7.x、y为正实数，且x，a1，a2，y成等差数列，x，b1，b2，y成等比数列，那么的取值范围是A.RB.C.D.8.圆C的半径为2，圆心在轴的正半轴上，直线与圆C相切，那么圆C的方程为A.B.C.D.9.数列的通项公式为=，其中a、b、c均为正数，那么与的大小是A. B. C. = D. 与n的取值有关10.，是平面内两个相互垂直的单位向量，假定向量满足,那么的最大值是A.1B.2C.D.11. 函数在区间上的一切零点之和等于A. 2B. 6C. 8D. 1012.函数的周期为4，且事先，其中.假定方程恰有5个实数解，那么的取值范围为A. B. C. D.第二卷本卷包括必考题和选考题两局部.第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必需做答.第22题～第24题为选考题，考生依据要求做答.二.填空题：本大题共4小题，每题5分。

13.直线ax+y+1=0与连结A(2,3)，B(-3,2)的线段相交，那么a的取值范围是_ _.14.过点的直线与圆交于、两点，为圆心，当最小时，直线的方程是 .15.、满足约束条件，假定目的函数的最大值为7，那么的最小值为。

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重庆市第一中学2021届高三上学期第三次月考数学〔文〕试题20一. 选择题〔每题5分，共50分〕1sin ,(,),cos 22πααπα=∈=则〔〕A ．32-B ．32C ．12D ．12-2．以下函数图象中不正确的选项是．．．．．．．〔〕3．倾斜角为α的直线l 与直线220x y -+=平行，那么tan 2α的值为 ( )A.45 B. 34 C. 43 D. 234. 以下命题中，错误的选项是．．．．．．( ) A.一条直线与两个平行平面中的一个相交，那么必与另一个平面相交α不垂直平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面βl 不平行平面α，那么在平面α内不存在与l 平行的直线5．“2a =〞是 “函数()2xf x ax =-有零点〞的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件()f x 在[0,)+∞单调递增，那么满足2(21)(1)f x f x x -<-+的x 的取值范围是〔〕A ．()(),12,-∞+∞ B. ()(),21,-∞--+∞ C. ()1,2 D. ()2,1--(,1),(2,)a x z b y z =-=+，且a b ⊥，假设变量,x y 满足约束条件1325x y xx y ≥-⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩那么z 的最大值为〔〕A.1B.2 C8．给出如下四个命题：① 假设“p 且q 〞为假命题，那么p 、q 均为假命题； ②假设等差数列{}n a 的前n 项和为,n S 那么三点10100110(10,),(100,),(110,)10100110S S S共线; ③ “∀x ∈R ，x 2＋1≥1”的否认是 “∃x ∈R ，x 2＋1≤1”; ④ 在ABC ∆中，“A B >〞是“sin sin A B >〞的充要条件．其中正确．．的命题的个数是〔〕 A ．1B ．2C ． 3D ．49．直线()0,0022>>=+-b a by ax ，被圆014222=+-++y x y x 截得的弦长为4，那么b a 11+的最小值为〔〕 A ．41 B ．2 C ．21D ．410．定义在R 上的可导函数()x f 的导函数为()x f '，满足()()x f x f <'，且()2+x f 为偶函数， ()14=f ，那么不等式()x e x f <的解集为( )A ． ()2,-+∞B ．()0,+∞C ．()1,+∞D ．()4,+∞二填空题〔每题5分，共25分〕11.一个棱锥的三视图如图〔尺寸的长度单位为m 〕，那么该棱锥的体积是________3m .正视图侧视图俯视图{}n a 中，81,341==a a ，假设数列{}n b 满足n n a b 3log = ，那么数列 ⎭⎬⎫⎩⎨⎧+11n n b b 的前n 项和n s = .C ：22(1)8x y -+=，过点(1,0)A - 且倾斜角为锐角的直线将圆C 分成弧长之比为1:2的两段圆弧，那么直线的方程为 .14．在△ABC 中，M 是BC 的中点，AM=1，点P 在AM 上且满足2,()AP PM PA PB PC =⋅+则等于 .15．一个底面为正三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱内接于半径为3的球，那么该棱柱体积的最大值为___________.三解答题:〔共75分〕16．〔本小题总分值13分〕〔1〕直线1:210l mx y ++=与直线22:2430l x m y --=垂直，求直线1l 的方程；(结果要求用一般式)〔2〕假设直线:210l mx y ++=被圆22:2220C x y x y +-+-=所截得的线段长为l 的方程.(结果要求用一般式)17．〔本小题总分值13分〕函数()2sin26sin 2x x x f +⎪⎭⎫⎝⎛+=π ，〔1〕求()x f 的单调增区间〔2〕记ABC ∆的内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，假设()3,1,1===c a A f 求b 的值.18. 〔本小题总分值13分〕为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造本钱为6万元．该建筑物每年的能源消消耗用C 〔单位：万元〕与隔热层厚度x 〔单位：cm 〕满足两个关系：①C 〔x 〕=(010),35kx x ≤≤+②假设不建隔热层，每年能源消消耗用为8万元.设()x f 为隔热层建造费用与20年的能源消消耗用之和．〔1〕求k 的值及()x f 的表达式;〔2〕隔热层修建多厚时，总费用()x f 到达最小，并求最小值．PFE ABM C19. 〔本小题总分值12分〕如图，三棱锥ABC P -中，PB ⊥平面ABC ．090=∠BCA4===CA BC PB ， E 为PC 的中点，M 为AB 的中点点F 在PA 上，且FP AF 2=．〔1〕求证：⊥BE 平面PAC ；〔2〕求证：//CM 平面BEF ；〔3〕求三棱锥ABE F -的体积.20. 〔本小题总分值12分〕函数321()(2)41,()532mf x mx x xg x mx =-+++=+. (1)当4m ≥时,求()f x 的单调递增区间;(2)是否存在0m <,使得对任意的12,[2,3]x x ∈,都有12()()1f x g x -≤恒成立.假设存在,求出m 的取值范围; 假设不存在,请说明理由.21．〔本小题总分值12分〕 ()22(0)(1,(1))bf x ax a a f x=++->在图像在点处的切线与直线21y x =+平行。

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重庆市第一中学2021届高三上学期第三次月考数学〔理〕试题2021.11数学试题共4页。

总分值150分。

考试时间120分钟。

本卷须知：1.答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。

2.答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号。

3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。

4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。

一.选择题(每题5分,共50分).{x N x U *∈=＜}6，集合{}{1,3},3,5A B ==，那么()B A C U ⋃等于( ) A.{}4,1 B.{}5,1 C.{}5,2D.{}4,22.等比数列{n a }中，128a a +=,2324a a +=，那么34a a +等于〔〕A.40B.623.命题“2,20x Z x x m ∃∈++≤〞的否认是( )A ．2,20x Z x x m ∃∈++> B ．不存在x Z ∈使220x x m ++> C ．2,20x Z x x m ∀∈++≤ D ．2,20x Z x x m ∀∈++> 4.定义在R 上的偶函数()f x ，对任意1212,[0,)()x x x x ∈+∞≠，有1212()()0f x f x x x -<-,那么 ( )A ．(3)(2)(1)f f f <-<B ．(1)(2)(3)f f f <-<C ．(2)(1)(3)f f f -<<D ．(3)(1)(2)f f f <<-5.数列｛n a ｝满足11a =，12()1()n n na n a a n +⎧=⎨+⎩为正奇数为正偶数，那么其前6项之和是( )A.16B.20C.33D.1206.函数sin (0)y ax b a =+>的图象如以下列图，那么函数log ()a y x b =+的图象可能是〔〕A ．B ． C. D.7．对任意实数x ,都有|1|||2x x a +++>，那么实数a 的取值范围是〔〕 A. 1a <-或 3a > B. 3a <-或 1a > C. 13a -<< D. 31a -<<,a b 是非零向量，且(2)a b a -⊥，(2)b a b -⊥，那么a 与b 的夹角是〔〕A.6π B.3π C.32π D.π659．设,,,a b c d R ∈，假设,1,a b 成等比数列，且,1,c d 成等差数列，那么以下不等式恒成立的是( )A. 2a b cd +≤B. 2a b cd +≥C. ||2a b cd +≤D. ||2a b cd +≥ 10. 正实数,a b 满足1a b +=，那么2112M a b =+++的整数局部是〔〕Ａ．1或2 Ｂ．2 Ｃ．2或3 Ｄ．3 二.填空题(每题5分,共25分). 11．数11+2i(i 是虚数单位)的实部是 12.在约束条件：x+2y ≤5，2x+y ≤4，x ≥0，y ≥0下，z=x+4y 的最大值是3cos()45πθ-=，(,)2πθπ∈，那么cos θ= ．1)(23++-=x x x x f 在点)21(，处的切线与函数2)(x x g =围成的封闭图形的面积等于_________；15.等差数列{}n a 首项为a ，公差为b ；等比数列{}n b 首项为b ，公比为a 。

重庆市第一中学2022届高三上学期第三次月考数学试题及答案

重庆市第一中学2022届高三上学期第三次月考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题1．设i 为虚数单位，若()1i 2i z -=，则z =（） AB ．2C ．D ．82．电子元件A ，B 使用寿命时间统计如茎叶图所示，下列说法正确的是（）A ．A ，B 两电子元件使用时间的极差相等 B ．B 电子元件使用时间的中位数比A 小C ．B 电子元件使用时间众数与中位数相等D ．A ，B 两电子元件使用时间的平均数相等 3．已知函数()lg f x x =，则函数()21f x y x =-的定义域是（） A ．(),-∞+∞ B ．()()0,11,+∞C ．()0,∞+D ．()()(),00,11,∞∞-⋃⋃+4．某同学参加学校数学考试，数学考试分为选填题和解答题两部分，选填题及格的概率为45，两部分都及格概率为310，则在选填题及格的条件下两部分都能及格的概率为（） A ．625B ．310C ．38D ．14255．重庆某中学为测试高三学生的数学水平，组织学生参加了2021年12月考，共有1600名学生参加，其测试成绩X （满分150分）服从正态分布()295,N σ，成绩125分及以上者为优秀.已知115分及以上的人数为40人，请你通过以上信息，推断数学成绩优秀的人数为（）附：()0.68P X μσμσ-<<+≈，()220.95P X μσμσ-<<+≈，()330.99P X μσμσ-<<+≈. A ．8B ．13C ．16D ．326= （）A ．4BCD ．147．已知函数()g x ，()f x 分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且()()20212tan 5x f x g x x x +=+-，则下列说法错误的是（） A ．()01g =B ．()g x 在[]0,1上单调递减C ．()g x 的最小值是1D ．()2022g x -关于直线2022x =对称8．已知点()1,2Q 在抛物线C ：()220y px p =>上，AB ，MN 是抛物线C 的两条不过点Q 的弦，且满足QA QB AB +=，QM QN MN +=，记直线AB ，MN 的交点为T ，则TQ =（）A ．B ．C ．D ．二、多选题9．已知平面向量()1,2a =，()2,1b =--，则下列命题中正确的有（） A ．a b > B ．2a b +=C ．a b ⊥D ．4cos ,5a b =-10．下列说法正确的有（）A ．若m ∈R ，则“1m =”是“1l ：330x my m -+=与2l ：()20m x y m +--=平行”的充要条件B ．当圆222110x y x +--=截直线l ：()1y kx k =+∈R 所得的弦长最短时，1k =-C ．若圆1C ：222x y t +=+与圆2C ：()()22349x y -++=有且仅有两条公切线，则()2,6t ∈D ．直线l ：tan 412022y x =-︒⋅+的倾斜角为139°11．()1nx n x *⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭N 的展开式系数按x 升幂依次为0a ，1a ，…，n a ，其中4a 和5a 最大，以下判断正确的有（） A ．9n =B ．01512n a a a ++⋅⋅⋅+=C ．数列{}n b 是首项为1的等比数列，有901122315n n a b a b a b a b ++++⋅⋅⋅+=成立，则数列{}n b 的前5项和531S =D ．213nx x x x ⎛⎫⎛⎫-++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的展开式中2x 的系数是42-12．已知函数()()ln ,00,011,02x x x f x x f x x ⎧⎪>⎪==⎨⎪⎪+<⎩，则下列说法正确的有（） A ．当(]3,2x ∈--时，()()()13ln 38f x x x =++ B ．若不等式()0f x mx m --<至少有3个正整数解，则ln3m >C ．过点()2e ,0A --作函数()()0yf x x =>图象的切线有且只有一条D ．设实数0a >，若对任意的e x ≥，不等式()e ax a f x x≥恒成立，则a 的最大值是e三、填空题13．已知集合(){}2,M x y y x ==∣，(){},0N x y y ==，则M N =______.14．甲乙和其他三位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加“城市英雄”攀岩活动，则周六、周日都有同学参加活动且甲乙必须在同一天参加的安排方案有______种. 15．已知椭圆C ：()222124x y a a +=>的左、右焦点分别为1F ，2F ，若C 上存在点P 使得12PF PF ⊥，则双曲线Γ：22218x y a -=的离心率的取值范围是______. 16．已知函数()3232f x x x x =++，数列{}n a ，{}n b ，{}n c 满足：11a =，()1n n a f a +=；()21231n n n a a b ++=；()23n n n c a b =+.若{}n b 的前10项之积为10T ，{}n c 的前10项之和为10S ，那么1010T S +=______. 四、解答题17．从以下条件中任选一个，补充在下面问题的横线中，并作答.①()sin 2sin B A C =+；cos sin B b A =；①S =且B 为锐角.在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，面积为S ，若3b =， ______，sin sin 2sin a A c C b B +=.(1)求角B ； (2)求ABC 的周长.注：如果选多个条件分别作答，则按第一个解答记分.18．为了研究新冠病毒疫苗，医务人员需进人实验室完成某项具有高危险的实验，每次只派一个人进去，且每个人只被派一次，工作时间不超过30分钟，如果某人30分钟不能完成实验则必须撤出再派下一个人，否则实验结束.现有甲、乙、丙、丁四人可派，他们各自完成实验的概率分别为12、23、34、25，且假定每人能否完成实验相互独立.(1)求实验能被完成的概率；(2)根据四人的身体健康状况，现安排四人按照丙丁乙甲的顺序实验，记参与实验人数为随机变量X ，求随机变量X 的分布列和期望.19．某游乐场因疫情好转逐步增加游玩人数和延长游玩时间.为了解游玩情况，游乐场统计了最近5天游玩的人数x （百人）与平均游玩时间y （小时），得到如下统计表：(1)根据所给的5组数据，求出y 关于x 的线性回归方程ˆy bxa =+（最终结果保留一位小数），并利用所求线性回归方程预测当人数达到2000人时游客游玩的平均时间； (2)在（1）的结果之下，已知该游乐场因游客游玩消费所获利润C （千元）与时间y （小时）和人数x （百人）的关系为()1030y x C x+=，x N ∈，则人数为多少时利润最小？参考公式：121()()()niii nii x x y y b x x ==--=-∑∑，ˆa y bx=-20．已知数列{}n a 满足：11a =，35a =且112n n n a a a +-=+（n *∈N 且2n ≥）；数列{}n b 的前n 项和n S 满足：()21n n S b n *=-∈N .(1)求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； (2)求数列{}n n a b ⋅的前n 项和n T ；(3)设()132n n nn n a b c n a *++=∈N ，是否存在正整数m ，()2k m k <<，使2c ，m c ，k c 成等比数列？若存在，求出所有的正整数m ，k ；若不存在，请说明理由. 21．已知椭圆C ：22142x y +=.(1)若直线l 与椭圆C 相交于M ，N 两点，且线段MN 的中点为()1,1E ，求直线l 的斜率；(2)如图，已知椭圆Γ：()222210,2x y a b a a b +=>>>与椭圆C 有相同的离心率，过椭圆Γ上的任意一动点()()000,2P x y x ≠±作椭圆C 的两条不与坐标轴垂直的切线1l ，2l ，且1l ，2l 的斜率1k ，2k 的积恒为定值，试求椭圆Γ的方程及12k k ⋅的的值.22．已知函数()xf x a =（0a >且1a ≠）.(1)若函数()3213ln f x y x a'=-在其定义域()0,+∞内既有极大值也有极小值，其中f x 为()f x 的导函数，求实数a 的取值范围；(2)当e a =时，函数()()()1ln g x f x t x =+，其中32t ≥，若()0g p =，()g x '为()g x 的导函数，函数()g x '的极小值点为q ，试比较p ，q 的大小，并加以证明.参考答案：1．A 【解析】【分析】先求出复数z ，再求z . 【详解】由条件()()()2i 1i 2i 1i 1i 1i 1i z +===-+--+，①z =故选：A. 2．C 【解析】【分析】根据茎叶图即可判断各选项的真假．【详解】对A ，A 的极差是663234-=，B 的极差是723141-=，两者不相等，故A 选项错误；对B ，A 的中位数是47529922+=，B 的中位数是55，故A 的中位数较小，故B 选项错误；对C ，B 的众数为55，与中位数相同，故C 选项正确；对D ，A 的平均数是49.9，B 的平均数是52.9，不相等，故D 选项错误．故选：C. 3．D 【解析】【分析】列出使解析式有意义的条件，即可得到答案；【详解】由题意20,1,x x ⎧>⎨≠⎩，解得：0x ≠且1x ≠，∴函数的定义域为()()(),00,11,∞∞-⋃⋃+故选：D.4．C 【解析】【分析】由条件概率公式计算即可. 【详解】选填题及格记为事件A ，()45P A =，两部分都及格概率记为事件B ，()310P B =，则在选填题及格的条件下两部分都能及格的概率()()()3310485P AB P BA P A ===∣. 故选：C. 5．A 【解析】【分析】先根据频率约等于概率，求出P ，再结合题中给的参考数据可得答案. 【详解】400.0251600f P ==≈， ()10.02520.9522P x μσμσ-⨯=≈-<<+，11595202σ-==，10σ=， 10.990.01-=，16000.0058⨯=.故选：A. 6．D 【解析】【分析】利用同角三角函数基本关系式，诱导公式和辅助角公式直接求解. 【详解】()1sin 40sin 20cos 20122sin 201202sin 404︒︒⋅︒===︒+︒︒. 故选：D. 7．B【解析】【分析】根据函数的奇偶性，可解出()g x 的解析式，然后再结合函数的性质，对选项逐一判断即可. 【详解】已知()()20212tan 5xf xg x x x +=+-①，且()g x ，()f x 分别是R 上的偶函数和奇函数，则()()()20212tan 5xg x f x x x --+-=+-+，得：()()20212tan 5xg x f x x x --=-+①，由 ①+①得：()202120212x xg x -+=，①()01g =，故A 正确由均值不等式知()2021202112x x g x -+=≥=(当且仅当0x =时取等号)，所以()g x 的最小值是1，故C 正确；由C 选项可知，当0x =时，()g x 的最小值是1，()g x 在[]0,1上不可能单调递减，所以故B 错误.()g x 为偶函数，关于y 轴对称，则()2022g x -关于2022x =对称，故D 正确.故选：B. 8．C 【解析】【分析】先求出p 的值，由条件可得0QA QB ⋅=，从而得出12,y y 的关系，用12,y y 表示出直线AB 的方程，将12,y y 的关系代入，可得出AB 恒过定点()5,2-，同理MN 也恒过定点()5,2-，从而得出答案. 【详解】点()1,2Q 在抛物线C ：()220y px p =>,则42p =，则2p =所以C ：24y x =，设211,4y A y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，222,4y B y ⎛⎫⎪⎝⎭，由0QA QB AB QA QB +=⇒⋅=，()()()22121212121122022044y y y y y y y y ⎛⎫⎛⎫⇒--+--=⇒=-+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭直线AB 的斜率()1222121244y y k y y y y -==-+，故直线AB 的方程为()2112112121212444524y y y y x y x x y y y y y y y y ⎛⎫=-+=+=-- ⎪++++⎝⎭，即AB 恒过定点()5,2-，同理MN 也恒过定点()5,2-，故交点()5,2T -，TQ = 故选：C. 9．BD 【解析】【分析】由向量的定义判断A ，由模的坐标表示求出模判断B ，根据垂直的坐标表示判断C ，由数量积求得向量的夹角余弦判断D ．【详解】对于A ，由于向量不能比较大小，故A 错误；对于B ，①()1,1a b =-+，①()21a b +=-=B 正确；对于C ，①()()122140a b ⋅=⨯-+⨯-=-≠，①a b ⊥不成立，故C 错误；对于D ，①(12214cos ,55a b a b a b⨯-+⨯-⋅===-，故D 正确．故选：BD ． 10．AD 【解析】【分析】由直线平行的条件求得参数值判断A ，求出直线所过定点，当直线与定和圆心连线垂直时，弦长最短计算后判断B ，由两圆位置关系判断C ，根据直线的斜率与倾斜角的关系判断D ．【详解】对于A ：1m =时，1l ：330x y -+=，2l ：310x y --=，显然12l l ∥，反之，若12l l ∥，则有()()31201m m m ⨯-++=⇒=或3m =-，检验知3m =-时1l ，2l 重合，故1m =，所以A 对；对于B ：圆心()1,0M ，l 恒过()0,1P ，由圆性质知弦长最短时l MP ⊥，10101MP k -==--，所以1k =，所以B 错；对于C ：圆心()10,0C ，()23,4C -，125C C =，半径1r =23r =，由题知两圆相交，因此121212r r C C r r -<<+353<<，解得()2,62t ∈，所以C 错；对于D ：直线l 的斜率()tan 41tan 18041tan139k =-=-=︒︒︒︒，所以D 对．故选：AD. 11．ABD 【解析】【分析】对于A 和B ：利用二项式系数的性质直接求解；对于C ：设等比数列的公比为q ，求出4q =，即可求出{}n b 的前5项和；对于D ：由2x 项的构成，直接求解. 【详解】对于A 和B ：()1nx n x *⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭N 的展开式系数就是二项式系数，由二项式系数性质可知9n =，所有二项式系数之和为2512n =.故A ，B 正确；对于C ：设等比数列的公比为q ，则1n n b q -=，因为11b =，90112239105a b a b a b a b +++⋅⋅⋅+=，012991929391095C C b C C b b b +++⋅⋅⋅+=，所以()9001122999999915q C q C q C C q q +++⋅⋅⋅+=+=，所以4q =，所以等比数列{}n b 的前5项和()5511434114S -==-，故C 不正确；对于D ：91x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的通项公式为2919C k k k T x -+=⋅，0,1,2,,9k =⋅⋅⋅.9999282102999900021323k k k k k k k k k x x C xC x C x x x ---===⎛⎫⎛⎫-++=-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑，令2825k k -=⇒=，再令21026k k -=⇒=而292 5.5k k -=⇒=（舍），所以2x 项的系数为5699C 2C 12616842-=-=-，故D 正确；故选：ABD. 12．ACD 【解析】【分析】A 选项，利用分段函数特征求解解析式；B 选项，数形结合进行求解；C 选项，设出切点坐标，利用斜率列出方程，结合单调性得到零点个数，即可判断；D 选项，同构构造函数，参变分离，利用导函数得到最值，进而求出a 的最大值. 【详解】对于A ：当(]3,2x ∈--，①(]30,1x +∈，()()()33ln 3f x x x +=++，①()()138f x f x =+，①()()()13ln 38f x x x =++，A 正确；对于B ：()f x mx m <+，画出()1y f x =与2y mx m =+的图象，根据函数的图象，要想至少有3个正整数解，要满足()33f m m <+，①3ln 34m >，故B 错；对于C ：设切点()00,T x y 则()0AT k f x ='，①00002ln ln 11e x x x x =++，即200e ln 10x x ++=，设()2e ln 1h x x x =++，当0x >时，()0h x '>，①()h x 是单调递增函数，①()0h x =最多只有一个根，又2222111e ln 10e e e h ⋅⎛⎫=++= ⎪⎝⎭，①021e x =，由()01f x '=-得切线方程是210ex y ++=，故C 正确；对于D.：由题意ln e ln e a xx a x x⋅≥.设()()e 0xg x x x =⋅>，则()()1e 0x g x x '=+>，于是()g x 在()0,∞+上是增函数.因为0ax >，ln 0x >，所以ln a x x≤，即ln a x x ≤对任意的e x ≥恒成立，因此只需()min ln a x x ≤.设()()ln e f x x x x =≥，()()ln 10e f x x x =+>≥'，所以()f x 在[)e,+∞上为增函数，所以()min (e)e f x f ==，所以e a ≤，即a 的最大值是e ，选项D 正确；故选：ACD. 【点睛】分段函数与不等式相结合的题目，往往需要数形结合进行求解，尤其是整数解个数问题，画出函数图象，转化为交点个数问题等. 13．(){}0,0 【解析】根据题意，得到两集合均为点集，联立20y x y ⎧=⎨=⎩求解，即可得出结果.【详解】因为集合(){}2,M x y y x ==∣表示直线2y x 上所有点的坐标，集合(){},0N x y y ==，表示直线0y =上所有点的坐标，联立20y x y ⎧=⎨=⎩，解得00x y =⎧⎨=⎩ 则(){}0,0MN =.故答案为：(){}0,0. 14．14 【解析】【分析】将甲乙两人看作一个整体，根据先选后排的方法求解即可. 【详解】2221324224322214C C A C C A A += 故答案为：1415．(【解析】【分析】根据题意可得2248a c =+≥椭，用a 表示e 双，解不等式可得答案.【详解】因为C 上存在点P 使得12PF PF ⊥，所以1290F PF ︒∠≥,椭圆中，2222448c b a c ≥=⇒=+≥椭椭，因此，(22228812a e e a a+==+≤⇒∈双双.故答案为：(. 16．1【分析】根据条件求出1n n n a b a +=，再利用累乘法求出11011a T a =，利用裂项相消法求出1011111S a a =-，即可得到答案；【详解】由条件()()322132123n n n n n n n n a f a a a a a a a +==++=++，得：211123n n n n n a b a a a +==++ ①31012110123102341111a a a a a Tb b b b a a a a a =⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅=，又222312312311112323n n n n n n n n n n n a a a c a a a a a a a ++++-===-++++，101231012233410111111*********S c c c c a a a a a a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++=-+-+-++-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，又11a =，故11010111111111111111a T S a a a a a ⎛⎫⎛⎫+=+-=+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故答案为：1 17．(1)答案见解析 (2)答案见解析【解析】【分析】（1）选条件①①①分别利用正弦定理或面积公式求出B 的三角函数值；（2）选条件①①①，分别利用正弦定理和余弦定理求出,a c 的值，即可求得周长； (1) 选条件①①()sin 2sin B A C =+，①2sin cos sin B B B =，又()0,B π∈，sin 0B ≠ ①1cos 2B =，故3B π=选条件①cos sin B b A =，cos sin sin A B B A =，又()0,A π∈，sin 0A ≠sin B B =，即tan B 又()0,B π∈，故3B π=.选条件①①S =且1sin 2S ac B =，①1sin 2ac B =，即sin B =，又B 为锐角，故3B π=.(2)根据（1）的结果可得：3B π=①sin sin 2sin a A c C b B +=且3b =， ①由正弦定理得：222218a c b +==，① 又由余弦定理有：2222cos b a c ac B =+-，即23182cos183ac ac π=-=-，①9ac =，①由①①解得：3a c ==，故ABC 的周长9a b c ++=. 18．(1)3940(2)分布列见解析，1.45 【解析】【分析】(1)根据相互独立事件的概率求解即可；(2)先分析出随机变量X 的可能取值，求出每种情况下的概率，最后列出分布列，算出期望. (1)记实验能被完成为事件A ，丙丁乙甲顺利完成实验分别为事件B 、C 、D 、E ，则()34P B =，()25P C =，()23P D =，()12P E =，并且每人能否完成实验是相互独立.则实验不能被完成为事件A 的概率为()()()()()122311111235440P A P B P C P D P E ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯⨯⨯=-⋅-⋅-⋅-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，①实验能被完成的概率为()13914040P A =-=. (2)设按照丙丁乙甲的顺序参加实验的人数为随机变量X ， X 所有可能的取值为1，2，3，4，()()314P X P B ===，()()()()321214510P X P BC P B P C ⎛⎫===⨯=-⨯= ⎪⎝⎭，()()()()()322131145310P X P BCD P B P C P D ⎛⎫⎛⎫===⨯⨯=-⨯-⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()()()()()()()()()()()4P X P BCDE P BCDE P B P C P D P E P B P C P D P E==+=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯3221111114532220⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⨯-⨯-⨯+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则X 的分布列为①X 的数学期望为()3111291234 1.45410102020E X =⨯+⨯+⨯+⨯==. 19．(1)0.3 4.1y x =+，10.1小时 (2)6百人【解析】【分析】（1）由已知数据计算求得x ，y ，b ，求得ˆa y bx=-，得出回归直线方程0.3 4.1y x =+，20x 代入即可预测结果.（2）由（1）化简可得41350C x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，借助基本不等式，及x 的取值验证，即可得出结果. (1)由所给数据可得：1310171718155x ++++==，58910885y ++++==，121()()623()niii nii x x y y b x x ==--==-∑∑， 618490948152323ˆ23a y bx-=-=-⨯==， 94 4.123a =≈，60.323ˆb=≈， ①y 关于x 的线性回归方程为0.3 4.1y x =+.当人数达到2000人，预测游玩的平均时间为0.320 4.110.1y =⨯+=小时. (2)()1030y x C x+=，x N ∈， ()()20.3 4.1103035012341350x x x x C x x x x ++++⎛⎫===++ ⎪⎝⎭，6x =，775088.52C =+=， 7x =，9035088.577C =⨯+≈，所以人数为6百人时，利润最小为88.5千元. 20．(1)21n a n =-，13n nb = (2)113n nn T +=-(3)存在，4m =，40k = 【解析】【分析】（1）由已知可得{}n a ，{}n b 分别为等差、等比数列，求基本量即可. （2）用错位相减法求和.（3）由已知列出等式并分析出m 的取值，进而可得k 的范围. (1)①()1122n n n a a a n +-=+≥，①{}n a 是等差数列，设其公差为d ，则3124a a d -==，即2d =，①()()1111221n a a n d n n =+-=+-⨯=-. 又当1n =时，111212S b b =-=，①1103b =≠，当2n ≥时，()()()1112211n n n n n n n b S S b b b b ---=-=---=-，即13n n b b -=， ①113n n b b -=，故{}n b 是以为13首项，13为公比的等比数列，所以13n n b =.(2)由（1）知21n a n =-，13n n b =，则()1213nn n a b n ⋅=-⋅， ①()231111135213333n n T n =⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⨯，①①()2341111111352133333n n T n +=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⨯，① 则①-①得：23412111112123333333n n n n T +-⎛⎫=++++⋅⋅⋅+- ⎪⎝⎭()21111112112123321333313n n n n n -++⎛⎫- ⎪+-⎝⎭=+⋅-=--， ①113n nn T +=-. (3)由（1）可知()()1213322121n nnn n c n n -+⋅==++，假设存在正整数m ，()2k m k <<，使2c ，m c ，k c 成等比数列，即22mk c c c =，即2221521m k m k ⎛⎫⎛⎫=⋅ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭，化简得：225412m m k m -++=， ①2410m m -++>，解得22m <又,m k *∈N 且2m >，①3m =或4m =，当3m =时，解得458k *=∉N ，舍去；当4m =时，解得40k =，符合.综上：存在正整数4m =，40k =使2c ，m c ，k c 成等比数列. 21．(1)12-(2)22184x y +=，1212k k =-【解析】【分析】（1）设()11,M x y ，()22,N x y ，利用点差法计算即可得出结果；（2）由题意设椭圆Γ：22222x y b +=，设椭圆C 过点()00,P x y 的切线方程为l ：y kx m =+，联立，由()222200Δ04242m k y kx k =⇒=+⇒-=+，化简整理得2220000(4)220x k x y k y --+-=，则20122024y k k x -=-，而2220022x y b =-+，化简可得()20122202224y k k y b -=---,要使之恒为定值，只需212224b =-，计算可得结果. (1)设()11,M x y ，()22,N x y ，则221124x y +=，222224x y +=两式相减并整理得：()()121212121202MN y y x x y y k x x --+-=⇒==--； (2)由题得椭圆Γ的离心率e =222a b =，因此椭圆Γ：22222x y b +=，设椭圆C 过点()()000,2P x y x ≠±的切线方程为l ：y kx m =+，其中00y kx m =+，即00m y kx =-，且2220022x y b +=，即2220022x y b =-+联立：()22222,214240142y kx m k x kmx m x y =+⎧⎪⇒+++-=⎨+=⎪⎩，因为l 与椭圆C 相切，所以()222200Δ04242m k y kx k =⇒=+⇒-=+整理得2220000(4)220x k x y k y --+-=，视为k 的一元二次方程，则其两根即为1k ，2k由韦达定理，得20122024y k k x -=-，而2220022x y b =-+，故()22001222220022224224y y k k y b y b --==--+--- 上式要恒为定值，即与0y 无关，则212224b =-，得24b =，此时()201220212842y k k y -=-=---，综上，椭圆Γ：22184x y +=，1212k k =-.【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法：（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值. 22．(1)2e 1e a << (2)p q >，证明见解析【解析】【分析】（1）先对函数y 进行求导，再根据已知条件将问题转化为方程20x x a -=在()0,+∞有两个不相等实根，利用导数研究函数单调性，结合函数值的范围即可求解；（2）先对()g x 求导，通过构造函数()h x ，()H x 可得函数()H x 在区间()0,+∞上单调递增，根据题意通过x 取值范围以及函数的单调性，即可比较. (1)因为()xf x a =，①313ln xa y x a=-，2x y x a '=-因为函数313ln xa y x a =-在其定义域()0,+∞内既有极大值也有极小值，所以只需方程20x x a -=在()0,+∞有两个不相等实根.即2ln ln x a x =，令()2ln x t x x =，则()()221ln x t x x -'=， ()t x 在()0,e 递增，在()e,+∞递减.且在()e,+∞上()()2ln 20e e x t x t x =>=，，要使方程20x x a -=在()0,+∞有两个不相等实根，则2ln 0,e a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， ①2e 1e a <<；(2)设()()e 1ln x t h x g x t x x ⎛⎫==++ ⎪⎝⎭'，则()22e 1ln x t t h x t x x x ⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭' 设()()221ln 0t t H x t x x x x =+-+>，则()()223322220t x x t t t H x x x x x-+=-+'+=>，故函数()H x 在区间()0,+∞上单调递增，①32t ≥，所以()110H t =+>，11ln 21ln 02H t ⎛⎫=-≤- ⎪⎝⎭故存在1,12s ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()0H s =，所以，当0x s <<时，()0H x <，()0h x '<，函数()h x 单调递减；当x s >时，()0H x >，()0h x '>，函数()h x 单调递增.所以函数()h x 的极小值点q s =，即1,12q ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， ①1ln 1x x +≥，所以ln t t x t x+≥. 因此()()()e 1ln e 10q q t h x h q t q t q ⎛⎫≥=++≥+> ⎪⎝⎭，即0g x .所以函数()g x 在区间()0,+∞上单调递增.由于()0H q =，即221ln 0t t t q q q +-+=，即221ln t t t q q q+=-，所以()()()212e 1ln e 0q q q g q t q t g p q -=+=<= 又函数()g x 在区间()0,+∞上单调递增，所以p q >.【点睛】本题是以导数的运用为背景的函数综合题，主要考查了函数思想，化归思想，抽象概括能力，综合分析问题和解决问题的能力，属于较难题，近来高考在逐年加大对导数问题的考查力度，不仅题型在变化，而且问题的难度、深度与广度也在不断加大，本部分的要求一定有三个层次：第一层次主要考查求导公式，求导法则与导数的几何意义；第二层次是导数的简单应用，包括求函数的单调区间、极值、最值等；第三层次是综合考查，包括解决应用问题，将导数内容和传统内容中有关不等式甚至数列及函数单调性有机结合，设计综合题.。

【新高考精品解析】重庆一中高2021届高三下期第三次月考数学试题及参考答案

重庆一中高2021届高三下期第三次月考数学试题（考试时间：120分钟试卷满分：150分）一、单选题：共8题，每题5分，共40分.在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知R C A B ⋂=Φ（）,则下面选项中一定成立的是A. A B A ⋂=B. A B B ⋂=C.A B ⋂=ΦD.A B R ⋃= 2．“33(2)(2)a b ->-”是“lg lg a b >”的A ．充分不必要条件B ．充要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分又不必要条件3．某同学掷骰子4次，并记录了每次骰子出现的点数，得出平均数为2，方差为12的统计结果，则下列点数中一定不出现的是 A ．1B ．2C ．3D ．54．天干地支纪年法源于中国，中国自古便有十天干与十二地支，十天干即甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；十二地支即子、丑、寅、卯、辰、已、午、未、申、酉、戌、亥．天干地支纪年法是按顺序以一个天干和一个地支相配，排列起来，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由“子”起，例如，第一年为“甲子”，第二年为“乙丑”，第三年为“丙寅”……，以此类推，排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新开始，即“甲戌”，“乙亥”，然后地支回到“子”重新开始，即“丙子”……，以此类推．今年是辛丑年，也是重庆一中建校90周年，则重庆一中建校的那一年是A ．壬酉年B ．壬戊年C ．辛酉年D ．辛未年5．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左焦点为F ，点F 到双曲线C 的一条渐近线的距离为12a ，则双曲线C 的渐近线方程为A ．12y x =±B ．2y x =±C ．4y x =±D ．14y x =±6．已知ABC ∆是边长为4的等边三角形，D 为BC 的中点，点E 在边AC 上，且3AC AE =，设AD 与BE 交于点P ，则BP BC ⋅=A ．4B ．6C ．8D ．9 7．已知e 是自然对数的底数，关于x 的方程2x ex -=有两个不同的解1212,)x x x x <，则A ．121,3x x ><B ．121,3x x <>C ．124x x +>D ．212x x e > 8．已知n N +∈,若数列{}n a 的前n 项和是122nn S ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，设()2log n n b a =--，设12231111n n n T b b b b b b +=++⋅⋅⋅+，当且仅当5n ≥时，不等式n T t ≥成立，则实数t 的范围为 A ．4556⎛⎤ ⎥⎝⎦， B ．491log 23⎛⎤-∞+ ⎥ ⎝⎦， C ．5,6⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ D ．449931log 2log 2103⎛⎤++ ⎥ ⎝⎦，二、多选题：共4题，每小题5分，共20分.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9．已知平面α和两条不同的直线,m n ，下面的条件中一定可以推出m n ⊥的是A ．,//m n αα⊥B ．,m n αα⊥⊥C ．,m n αα⊂⊥D ．//,//m n αα10．已知1F ，2F 是椭圆22:1925x y C +=的两个焦点，过1F 的斜率存在且不为0的直线l 与椭圆C 交于A B ，两点，P AB 是的中点,O 为坐标原点，则下列说法正确的是A ．椭圆C 的离心率为35B ．存在点A 使得12AF AF ⊥C ．2212,8AF BF AB +==若则D ．OP 与AB 的斜率满足925op AB k k ⋅=-11．已知0a b >>，2a b +=，则Aa 的最大值是94B ．222a b ++的最小值是8C ．sin 2a b +<D ．ln 1b a +>12．已知2()2cos 10,0,24f x x ωπφωφ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+->∈ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，，具有下面三个性质：①将()f x 的图像右移π个单位得到的图像与原图像重合；②5,()12x R f x f π⎛⎫∀∈≤ ⎪⎝⎭；③()f x 在5012x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时存在两个零点，给出下列判断，其中正确的是A.()f x 在04x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时单调递减 B.91()()()483162f f f πππ++=C.将()f x 的图象左移24π个单位长度后得到的图象关于原点对称D.若()g x 与()f x 图像关于3x π=对称，则当223x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，时，()g x 的值域为112⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知sin 4πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭sin 2α=_______. 14．已知()()()()65601563111x a a x a x a x +=+++⋅⋅⋅++++，则4a =_______. 15．设复数z 满足22z z i =--，则z 的最小值为______.16．棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -,,E F 分别为棱11AB A D 与上的点，且EF =,则EF 的中点P 的轨迹为L ,则L 的长度为_________.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，59a =，10100S = ．（1）求数列{}n a 的通项公式n a ；（2）若________，求数列{}n b 的前n 项和n T ．在①(1)n n n b a =-⋅，②n b =，③+1n n n b a a =⋅这三个条件中任选一个补充在第（2）问中，并求解．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．18. 中国福利彩票双色球游戏规则是由中华人民共和国财政部制定的规则，是一种联合发行的“乐透型”福利彩票. “双色球”彩票投注区分为红色球号码区和蓝色球号码区， “双色球”每注投注号码由6个红色球号码和1个蓝色球号码组成，红色球号码从1—33中选择;蓝色球号码从1—16中选择.“双色球”奖级设置分为高等奖和低等奖,一等奖和二等奖为高等奖，三至六等奖为低等奖. “双色球”彩票以投注者所选单注投注号码与当期开出中奖号码相符的球色和个数确定中奖等级:一等奖:7个号码相符(6个红色球号码和1个蓝色球号码)(红色球号码顺序不限，下同)；二等奖:6个红色球号码相符;三等奖:5个红色球号码和1个蓝色球号码相符；四等奖:5个红色球号码，或4个红色球号码和1个蓝色球号码相符；五等奖:4个红色球号码，或3个红色球号码和1个蓝色球号码相符；六等奖:1个蓝色球号码相符(有无红色球号码相符均可). （1）求中三等奖的概率（结果用a 表示）；（2）小王买了一注彩票，在已知小王中了高等奖的条件下，求小王中二等奖的概率.参考数据：613316C C a =19. 如图，四棱锥P ABCD -中，//,,2,4AB CD BC CD BC CD PD AB ⊥====,侧面PAB 是以AB 为斜边的等腰直角三角形．（1）求证：CD PD ⊥；（2）作出平面PAD 与平面PBC 的交线m ,并求直线m 与平面PAB 所成角的大小.20. 已知锐角ABC ∆的面积为S ,角A B C 、、对边分别是a b c 、、，且满足22()b c a =+-.（1）求角A 的大小；（2）若a AB BC BC CA CA AB ⋅+⋅+⋅的取值范围.21. 过点A （-1,0)的直线l 与抛物线:C 24y x =交于P Q 、两点.（1）求线段PQ 的中点B 的轨迹方程；（2）抛物线C 的焦点为F ,若0120PFQ ∠≤,求直线l 的斜率的取值范围.22. 已知 21()ln ,()x f x x x g x e -=-=.（1）求()f x 过点(0,0)的切线方程；（2）正实数,a b 满足()()2()30f a f b g a b ab +-++=，求证：1a b +>.A重庆一中高2021届高三下期第三次月考数学试题参考答案一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）1.【答案】B 【解析】因为()R C A B φ=，所以B A ⊆，故A B B =,所以选B.2.【答案】C 【解析】因为33(2)(2)22a b a b a b ->-⇔->-⇔>，而lg lg 0a b a b >⇔>>，所以“33(2)(2)a b ->-”是“lg lg a b >”的必要不充分条件． 3.【答案】D 【解析】记4次出现的点数分别为1x ，2x ，3x ，4x ，则依题意有1234428x x x x +++=⨯=，222212341(2)(2)(2)(2)422x x x x -+-+-+-=⨯=，所以2(2)2i x -≤，1i =，2，3，4，即2i x -22i x ≤ 又{}1,2,3,4,5,6i x ∈，所以13i x ≤≤，1i =，2，3，4，所以点数5一定不出现，故选D ． 4.【答案】D 【解析】由题知，天干是公差为10的等差数列，地支为公差为12的等差数列，则90=910⨯，90=712+6⨯，因为2021年为辛丑年，则90年前的天干为“辛”，地支往前数6个，为“未”，所以90年前为辛未年，故选D. 5.【答案】A 【解析】由题知，左焦点为(0)F c ，，其中一条渐近线为by x a=，即0bx ay -=，则焦点到渐近线的距离为12a =222c b a =+，所以12a b =，即12b a =，故选A.6.【答案】C 【解析】法一：投影法依题意可知AD BC ⊥，且2BD =，4BC =根据向量数量积的几何意义可知()cos 248BP BC BC BP PBC BD BC ⋅=∠==⨯=．法二：坐标法如上图（右），以D 为坐标原点，分别以BC 、DA 所在直线为x 轴、y 轴建立平面直角坐标系xDy ，则(2,0)B -，(2,0)C ，(0,A ，(0,0)D ，23E ⎛ ⎝⎭，所以3223BEk ==+):2BE y x =+，令0x =，得y =(P ，所以(BP =，(4,0)BC =，所以2408BP BC ⋅=⨯=．法三：基底法依题意可知3AC AE =，设AP xAB y AC =+，又1122AD AB AC =+，因为//AP AD ，所以x y =①，又3AP xAB y AC xAB y AE =+=+，而点B ，P ，E 三点共线，所以31x y +=② 由①②可解得14x y ==，所以1144AP AB AC =+，所以1344BP AP AB AC AB =-=-，又BC AC AB =-，所以()()2213134444BP BC AC AB AC AB AC AB AC AB ⎛⎫⋅=-⋅-=+-⋅ ⎪⎝⎭()221434444cos6084=+⨯-⨯⨯⨯︒=． 7.【答案】C 【解析】由2x ex -=，得2ln x x -=，在同一坐标系中作出函数2y x =-和ln y x =的图象，由图可知12x <，22x >，即222ln x x -=，112ln x x -=，两式相减，得12214ln ln 0x x x x +-=->，即124x x +>，故选C8. 当n (n n +⨯log ⎧9.n α⊥，项，当直线m （不垂直）或者是异面的（不垂直）AC.10.BC 【解析】选项D ，设1112(),()A x ,y B x ,y ，则1212()22x x y y P ,++, 2211222219251925x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩①②，②-①得：222221210925x x y y --+=，即21212121()()()()0925x x x x y y y y +-+-+=所以21212121()()25()()9y y y y x x x x -+=--+，即259ABOP k k =-，所以D 错误； 11.【答案】AC 【解析】22a b b =-=-+219)24=-+，所以当17,44b a ==a +取得最大值94，故A 正确；2228a b ++=≥，当且仅当222a b +=即2a b =+时等号成立，此时由2a b +=解得2,0a b ==不合题意，故B 不正确；由题意得1,01a b ><<，此时sin b b <，所以sin a b +a <+b 2=，故C 正确；ln 2ln b a a a +=-+，令()2ln (12)f a a a a =-+<<，则1()1f a a'=-，当1a >时，()0f a '<，函数()f a 在区间(1,2)上单调递减，()(1)1f a f <=，所以ln 1b a +<，故D 不正确．所以正确答案为：AC12.【答案】BCD 【解析】()2()2cos 1=cos 22f x x x ωϕωϕ⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭,由①可得2kT k πω=⇒=,数形结合及性质②③综合可得,35412T T π<<,联立2k ω=,解得=4ω,即()()=cos 42f x x ϕ+,即5112f π⎛⎫= ⎪⎝⎭,即425212ϕππ⨯+=,化简得6πϕ=.所以()cos(4)3f x x π=+.易得A 错误, 55315171cos +cos cos cos cos 12312122122948316f f f ππππππππ+=⎛⎫⎛⎫⎛⎫++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+⎭+=⎝,故B 正确; +cos(4())cos(4)sin 4242432f x x x x ππππ⎛⎫=++=+= ⎪⎝⎭,故C 正确;因为在函数()g x 中,2,23x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,所以()f x 的定义域为0,6π⎡⎤⎢⎥⎣⎦,故()f x 的值域为11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦,即为()g x 的值域，故D 正确.三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.【答案】2425-【解析】sin()4πααα+==，1sin cos 5αα∴+=，两边平方得： 11+sin 225α=，所以24sin 225α=-.14.【答案】60【解析】左右两边同时求四阶导数，得：22456360(3)24120(1)360(1)x a a x a x +=++++. 令1x =-，得24360224a ⨯=，解得460a =. 15.令复数z x yi =+20x y +-=，即复数z 在复平面上对应的点Z 在直线20x y +-=上，那么z 的最小值即为OZ 的最小值，也就是点O 到直线20x y +-=的距离d ==16.【解析】易知1AA 为线段AB 和1A D 的公垂线，过线段1AA 的中点O 作平面α使1AA α⊥，M 点为点F 在平面α 上的投影，N 点为E 点在平面α的投影，即线段EF 在平面α的投影为线段MN ，此时112FM EN AA ==；因此，平面α与线段EF 的交点即为点EF 的中点P ，并且点P 也是线段MN 的中点。

2021届重庆市第一中学高三高考数学三诊试卷(解析版)

16．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为4的正方形，侧棱AA1＝t（t＞4），点E是BC的中点，点P是侧面ABB1A1内的动点（包括四条边上的点），且满足tan∠APD＝4tan∠EPB，则四棱锥P﹣ABED的体积的最大值是．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
（参考数据： ≈4.12）
A．6400mB．8100mC．9100mD．10000m
解：根据题意可知，L＝412km，R＝8490km，h2＝0.025km，
因为L＝＝，
所以412＝，
解得h1≈10km＝10000m，
所以舰载预警机的巡航高度至少约为10000m．
故选：D．
7．已知点A（1，0），B（﹣1，0），若圆C：x2+y2﹣6x﹣8y+m＝0上有且仅有一点P，使得＝0，则实数m的值为（）
C．若m⊥α，n∥β，m⊥n，则α∥βD．若m⊥α，n∥β，α∥β，则m⊥n
8．已知正实数a，b满足b（ +ln ），则2a+b的最小值为（）
A．2B．4C．2eD．2
解：由已知可得＝，
令f（x）＝（x＞0），
则f′（x）＝＝，
因为x＞0，所以f′（x）＞0，则函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，
所以f（a），可得a ，即ab≥2，
所以2aБайду номын сангаасb ，当且仅当2a＝b时取等号，
（附：若随机变量X～N（μ，σ2）（σ＞0），则P（μ﹣σ＜X＜μ+σ）＝0.6827，P（μ﹣2σ＜X＜μ+2σ）＝0.9545）
20．已知四棱柱ABCD﹣A'B'C'D'中，底面ABCD为菱形，AB＝2，AA'＝4，∠BAD＝60°，E为BC中点，C'在平面ABCD上的投影H为直线AE与DC的交点．

2021届重庆市第一中学校高三上学期第三次月考数学试题(解析版)

2021届重庆市第一中学校高三上学期第三次月考数学试题一、单选题 1．复数z 满足21iz i=-，则复数z 的虚部为（） A ．﹣1 B ．1C ．iD ．﹣i【答案】B【分析】利用复数的除法运算化简211ii i=-+-，再利用复数的代数形式求出结果. 【详解】解：∵()()()()2121211112i i i i i z i i i i ++====-+--+，则复数z 的虚部为1．故选：B ．【点睛】本题考查复数的除法运算.复数的除法运算关键是分母“实数化”，其一般步骤如下： (1)分子、分母同时乘分母的共轭复数； (2)对分子、分母分别进行乘法运算； (3)整理、化简成实部、虚部分开的标准形式．2．已知集合{}22,A xx x Z =<∈∣，则A 的真子集共有（）个 A ．3 B ．4C ．6D ．7【答案】D【分析】写出集合{1,0,1}A =-，即可确定真子集的个数.【详解】因为{}22,{1,0,1}A xx x Z =<∈=-∣，所以其真子集个数为3217-=. 故选：D.【点睛】本题考查集合的真子集个数问题，属于简单题.3．已知某圆锥的母线长为4，底面圆的半径为2，则圆锥的全面积为（） A ．10π B ．12πC ．14πD ．16π【答案】B【分析】首先求得底面周长，即侧面展开图的扇形弧长，然后根据扇形的面积公式即可求得侧面积，即圆锥的侧面积，再求得圆锥的底面积，侧面积与底面积的和就是全面积．【详解】底面周长是：2×2π=4π，则侧面积是：14π48π2⨯⨯=，底面积是：π×22=4π，则全面积是：8π+4π=12π．故选B ．【点睛】本题考查了圆锥的全面积计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长． 4．为了衡量星星的明暗程度，古希腊天文学家喜帕恰斯在公元前二世纪首先提出了星等这个概念.星等的数值越小，星星就越亮；星等的数值越大它的光就越暗.到了1850年，由于光度计在天体光度测量的应用，英国天文学家普森又提出了亮度的概念，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足()12212.5lg lg m m E E -=-，其中星等为k m 的星的亮度为(1,2)k E k =.已知“心宿二”的星等是1.00，“天津四”的星等是1.25，则“心宿二”的亮度大约是“天津四”的（）倍.（当||x 较小时，2101 2.3 2.7x x x ≈++） A ．1.27 B ．1.26C ．1.23D ．1.22【答案】B【分析】把已知数据代入公式计算12E E ．【详解】由题意211 1.25 2.5(lg lg )E E -=-，12lg0.1E E =, ∴0.1212101 2.30.1 2.70.1 1.257 1.26E E =≈+⨯+⨯=≈．故选：B ．【点睛】本题考查数学新文化，考查阅读理解能力．解题关键是在新环境中抽象出数学知识，用数学的思想解决问题．5．向量,a b 满足||1a =，a 与b 的夹角为3π，则||a b -的取值范围为（） A ．[1,)+∞ B ．[0,)+∞C ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．32⎫+∞⎪⎪⎣⎭【答案】D【分析】把||a b -用数量积表示后结合函数的性质得出结论．【详解】22222||()2121cos3a b a b a a b b b b π-=-=-⋅+=-⨯⨯+21b b -+=2134423b ⎛⎫=+≥ ⎪⎝⎭-，所以3||2a b -≥．1||2b =时取得最小值．故选：D ．【点睛】本题考查平面向量的模，解题关键是把模用向量的数量积表示，然后结合二次函数性质得出结论．6．已知三棱锥P ABC -，过点P 作PO ⊥面,ABC O 为ABC ∆中的一点，,PA PB PB PC ⊥⊥，PC PA ⊥，则点O 为ABC ∆的（）A ．内心B ．外心C ．重心D ．垂心【答案】D【分析】连接AO 并延长交BC 于一点E ，连接PO ，由于PA ，PB ，PC 两两垂直可以得到PA ⊥面PBC ，而BC ⊂面PBC ，可得BC ⊥PA ，由PO ⊥平面ABC 于O ，BC ⊂面ABC ，PO ⊥BC ，可得BC ⊥AE ，同理可以证明CO ⊥AB ，又BO ⊥AC ．故O 是△ABC 的垂心．【详解】连接AO 并延长交BC 于一点E ，连接PO ，由于PA ，PB ，PC 两两垂直可以得到PA ⊥面PBC ，而BC ⊂面PBC ，∴BC ⊥PA ，∵PO ⊥平面ABC 于O ，BC ⊂面ABC ，∴PO ⊥BC ，∴BC ⊥平面APE ，∵AE ⊂面APE ，∴BC ⊥AE ；同理可以证明CO ⊥AB ，又BO ⊥AC ． ∴O 是△ABC 的垂心．故选D ．【点睛】本题主要考查了直线与平面垂直的性质，解题时要注意数形结合，属于基本知识的考查． 7．设sin 5a π=，2log3b =2314c ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则（）A ．a c b <<B ．b a c <<C ．c a b <<D ．c b a <<【答案】C【分析】借助中间量1和12比较大小即可. 【详解】解：由对数函数2logy x =在()0,∞+单调递增的性质得：22log3log21b =>=，由指数函数12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭在R 单调递减的性质得：2413311142212c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭=<=，由三角函数sin y x =在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增的性质得1sinsin562a ππ=>=. 所以c a b <<. 故选：C.【点睛】本题考查利用函数的单调性比较大小，考查运算能力，化归转化思想，是中档题.本题解题的关键在于借助中间量1和12，尤其在比较a 与c 的大小时，将c 变形得24331142c ⎛⎫⎛⎫= ⎪ =⎪⎝⎭⎝⎭，进而与12比较大小是重中之核心步骤. 8．已知三棱锥P ABC -的四个顶点均在同一个确定的球面上，且6BA BC ==2ABC π∠=，若三棱锥P ABC -体积的最大值为3，则其外接球的半径为（）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】A【分析】由题意分析知三棱锥P ABC -体积的最大时，P ，O ，O '共线且O P '⊥面ABC ，P 在大于半球的的球面上，根据棱锥体积公式求得||O P '，进而应用勾股定理求外接球的半径.【详解】由题意知： AC 中点O '为面ABC 外接圆圆心，若外接球球心为O ，半径为R ，三棱锥P ABC -体积的最大时，P ，O ，O '共线且O 在P ，O '之间，∴1||33P ABC ABC V S O P -'=⋅⋅=，1||||32ABC S BA BC =⋅⋅=，即||3O P '=， ||||32AC O C '==，所以()22222'|||'|33O C OC OO R R =-=--=，解得2R =，故选：A【点睛】关键点点睛：理解三棱锥P ABC -体积的最大时P 的位置及与球心、底面外接圆圆心的关系，结合棱锥体积公式、勾股定理求球体半径.二、多选题9．设m 、n 是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，下列命题中错误．．的是（） A ．若,,//m n m n αβ⊂⊂，则//αβ B ．若,m n m α⊂⊥，则n α⊥ C ．若,mn αα，则m n ⊥D ．若//,,m n αβαβ⊂⊂，则//m n【答案】ABD【分析】根据空间线、面关系，结合空间关系相关图例以及线线、线面、面面间的平行、垂直判定与性质，即可知选项的正误.【详解】A ：,,//m n m n αβ⊂⊂，α、β不一定平行，错误.B ：,m n m α⊂⊥，n 不一定垂直于α，错误.C ：由线面垂直的性质：,m n αα，则必有m n ⊥，正确.D ：//,,m n αβαβ⊂⊂，m 、n 不一定平行，错误.故选：ABD10．下列函数中，在(0,1)内是减函数的是（）A ．||12x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭B ．212log y x =C ．121=+y x D ．2log sin y x =【答案】ABC【分析】根据复合函数的单调性判断确定选项中各函数是否为减函数即可.【详解】A ：1()2t y =为减函数，||t x =在(0,1)上为增函数，所以||12x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭为减函数； B ：12log y t =为减函数，2t x =在(0,1)上为增函数，所以212log y x =为减函数；C ：1y t =为减函数，21t x =+在(0,1)上为增函数，所以121=+y x 为减函数； D ：2log y t =为增函数，sin t x =在(0,1)上为增函数，所以2log sin y x =为增函数；故选：ABC【点睛】结论点睛：对于复合函数的单调性有如下结论 1、内外层函数同增或同减为增函数； 2、内外层函数一增一减为减函数； 11．下列关于函数1()2sin 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图像或性质的说法中，正确的为（）A ．函数()f x 的图像关于直线83x π=对称 B ．将函数()f x 的图像向右平移3π个单位所得图像的函数为12sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭C ．函数()f x 在区间5,33ππ⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递增 D ．若()f x a =，则1cos 232a x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭【答案】AD 【分析】令1262x k πππ+=+得到对称轴，即可判断A ；根据平移变换知识可判断B ；求出其单调增区间即可判断C ；利用配角法即可判断D. 【详解】对于A ，令1262x k πππ+=+ ()k ∈Z ，解得22()3x k k Z ππ=+∈，当1k =时，得83x π=，故A 正确；对于B ，将函数()f x 的图像向右平移3π个单位，得112sin[()]2sin 2362y x x ππ=-+=，故B 错误；对于C ，令122()2262k x k k Z πππππ-+<+<+∈4244()33k x k k Z ππππ⇒-+<<+∈，故C 错误；对于D ，若12sin()26x a π+=，则11cos()sin[()]23223x x πππ-=+-=1sin()262ax π+=，故D 正确. 故选：AD【点睛】方法点睛：函数()sin (0,0)y A x B A ωϕω=++>>的性质： (1) max min =+y A B y A B =-，. (2)周期2π.T ω=(3)由 ()ππ2x k k +=+∈Z ωϕ求对称轴 (4)由()ππ2π2π22k x k k -+≤+≤+∈Z ωϕ求增区间；由()π3π2π2π22k x k k +≤+≤+∈Z ωϕ求减区间. 12．定义在(0,)+∞上的函数()f x 的导函数为()'f x ，且()()f x f x x'<，则对任意1x 、2(0,)x ∈+∞，其中12x x ≠，则下列不等式中一定成立的有（）A ．()()()1212f x x f x f x +<+B ．()()()()21121212x xf x f x f x f x x x +<+ C ．()1122(1)x x f f <D ．()()()1212f x x f x f x <【答案】ABC 【分析】构造()()f x g x x=，由()()f x f x x '<有()0g x '<，即()g x 在(0,)+∞上单调递减，根据各选项的不等式，结合()g x 的单调性即可判断正误. 【详解】由()()f x f x x '<知：()()0xf x f x x'-<，令()()f x g x x =，则()()()20xf x f x g x x'-='<， ∴()g x 在(0,)+∞上单调递减，即122112121212()()()()0()g x g x x f x x f x x x x x x x --=<--当120x x ->时，2112()()x f x x f x <；当120x x -<时，2112()()x f x x f x >； A ：121()()g x x g x +<，122()()g x x g x +<有112112()()x f x x f x x x +<+，212212()()x f x x f x x x +<+，所以()()()1212f x x f x f x +<+；B:由上得21121212()()()()x f x x x x f x x x -<-成立，整理有()()()()21121212x xf x f x f x f x x x +<+； C ：由121x >，所以111(2)(1)(2)(1)21x x x f f g g =<=，整理得()1122(1)x x f f <； D ：令121=x x 且121x x >>时，211x x =，12111()()()()g x g x f x f x =，12()(1)(1)g x x g f ==，有121()()g x x g x >，122()()g x x g x <，所以无法确定1212(),()()g x x g x g x 的大小. 故选：ABC【点睛】思路点睛：由()()f x f x x '<形式得到()()0xf x f x x'-<， 1、构造函数：()()f x g x x =，即()()()xf x f x g x x'-'=. 2、确定单调性：由已知()0g x '<，即可知()g x 在(0,)+∞上单调递减. 3、结合()g x 单调性，转化变形选项中的函数不等式，证明是否成立.三、填空题13．若一个球的体积为323π，则该球的表面积为_________．【答案】16π【解析】由题意，根据球的体积公式343V R π=，则343233R ππ=，解得2R =，又根据球的表面积公式24S R π=，所以该球的表面积为24216S ππ=⋅=.14．设向量a ，b 不平行，向量a b λ+与2a b +平行，则实数λ=_________．【答案】12【解析】因为向量a b λ+与2a b +平行，所以2a b k a b λ+=+（），则{12,k k λ==，所以12λ=．【解析】向量共线．15．一般把数字出现的规律满足如图的模型称为蛇形模型：数字1出现在第1行；数字2，3出现在第2行；数字6，5，4（从左至右）出现在第3行；数字7，8，9，10出现在第4行，依此类推，则第21行从左至右的第4个数字应是____________.【答案】228【分析】由题知，第n 行有n 个数字，奇数行从右至左由小变大，偶数行从左至右由小变大，则前20行共有20(120)123202102+++++==个数字，第21行最左端的数为21021231+=，从左到右第4个数字为228．【详解】观察数据可知，第n 行有n 个数字，奇数行从右至左由小变大，偶数行从左至右由小变大，则前20行共有20(120)123202102+++++==个数字，第21行最左端的数为21021231+=，所以第21行从左到右第4个数字为228．故答案为：228.【点睛】关键点睛：本题考查合情推理、数列的前n 项和，解题关键要善于观察发现数据特征，考查了学生的逻辑思维能力、数据处理能力、运算求解能力，综合性较强，属于较难题型．四、双空题16．已知等比数列{}n a 的公比为q ，且101a <<，20201a =，则q 的取值范围为______；能使不等式12121110m m a a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-++-≤ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭成立的最大正整数m =______.【答案】(1,)+∞ 4039【分析】根据已知求得1a 的表达式，由此求得q 的取值范围.根据12121110m m a a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-++-≤ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭成立列不等式，化简求得m 的取值范围，从而求得最大正整数m .【详解】由已知201911201911a qa q =⇒=，结合101a <<知2019101q <<，解得1q >，故q 的取值范围为(1,)+∞.由于{}n a 是等比数列，所以1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为11a ，公比为1q 的等比数列.要使12121110m m a a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-++-≤ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭成立则1212111m ma a a a a a +++≤+++ 即()111111111mm a q a q q q⎛⎫-⎪-⎝⎭≤--，将120191a q=代入整理得：40394039m q qm ≤⇒≤故最大正整数4039m =. 故答案为：(1,)+∞；4039【点睛】本小题主要考查等比数列的性质，考查等比数列前n 项和公式，属于中档题.五、解答题17．在四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是等腰梯形，M 是线段AB 的中点，1160,22,2,6DAB AB CD DD C M ∠=︒====.（1）求证：1//C M 平面11A ADD ；（2）求异面直线 CM 与1DD 所成角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析；（2）14. 【分析】（1）易得1111//,C D MA C D MA =，则四边形11AMC D 为平行四边形，得到11//C M D A ，再利用线面平行的判定定理证明.（2）由//CM DA ，将异面直线CM 与1DD 成的角，转化为DA 与1DD 相交所成的角，然后在1ADD ，利用余弦定理求解.【详解】（1）因为四边形ABCD 是等腰梯形，且2AB CD =，所以//AB DC .又由M 是AB 的中点，因此//CD MA 且CD MA =. 如图所示：连接1AD ，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，因为1111//,CD C D CD C D =，可得1111//,C D MA C D MA =，所以四边形11AMC D 为平行四边形.因此11//C M D A ，又1C M ⊄平面11A ADD ，1D A ⊂平面11A ADD ，所以1//C M 平面11A ADD . （2）因为//CM DA ，所以异面直线CM 与1DD 成的角，即为 DA 与1DD 相交所成的直角或锐角，在1ADD 中，16C M =116,1,2AD AD DD ===，由余弦定理可得：22211111cos 24AD DD AD ADD AD DD +-∠==-⋅，所以异面直线CM 和1DD 余弦值为14. 【点睛】方法点睛：判断或证明线面平行的常用方法：(1)利用线面平行的定义，一般用反证法；(2)利用线面平行的判定定理(a ⊄α，b ⊂α，a ∥b ⇒a ∥α)，其关键是在平面内找(或作)一条直线与已知直线平行，证明时注意用符号语言的叙述；(3)利用面面平行的性质定理(α∥β，a ⊂α⇒a ∥β)；(4)利用面面平行的性质(α∥β，a ⊄β，a ∥α⇒a ∥β)．18．已知数列{}n a 满足：13a =，且对任意的n *∈N ，都有1，1,n n a a +成等差数列.（1）证明数列{}1n a -等比数列；（2）已知数列{}n b 前n 和为n S ，条件①：()1(21)n n b a n =-+，条件②：11n n n b a +=-，请在条件①②中仅选择一个条件作为已知条件．．．．．．．．．．．．．来求数列{}n b 前n 和n S . 【答案】（1）证明见解析；（2）答案不唯一，具体见解析. 【分析】（1）由条件得121n n a a +=-，利用等比数列定义可得证.（2）选条件①得(21)2n n b n =+，选条件②得1(1)()2nn b n =+⋅利用错位相减法可得解.【详解】（1）由条件可知112n n a a ++=，即121n n a a +=-，∴()1121n n a a +-=-，且112a -= ∴{}1n a -是以112a -=为首项，2q为公比的等比数列，∴12nn a -=，∴()21nn a n N*=+∈（2）条件①：()1(21)(21)2nn n b a n n =-+=+，123325272(21)2n n S n =⋅+⋅+⋅+++⋅23412325272(21)2n n S n +=⋅+⋅+⋅+++⋅利用错位相减法:1234132********(21)2n n n S n +-=⋅+⋅+⋅+⋅++⋅+⋅-118(12)6(21)212n n n S n -+--=++⋅--化简得()12(21)2n n S n n N +*=-+∈条件②：11(1)()12n n n n b n a +==+⋅- 231111234(1)2222n n S n =⋅+⋅+⋅+++⋅234111111234(1)22222n n S n +=⋅+⋅+⋅+++⋅利用错位相减法:23411111111(1)222222n n n S n +=++++-+⋅1111[1()]11421(1)12212n n n S n -+-=+-+⋅-化简得()13(3)()2n n s n n N *=-+∈【点睛】错位相减法求和的方法：如果数列{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，求数列{}n n a b 的前n 项和时，可采用错位相减法，一般是和式两边同乘以等比数列{}n b 的公比，然后作差求解; 在写“n S ”与“n qS ”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“n n S qS -”的表达式19．已知椭圆C 的两个焦点分别为12(1,0),(1,0)F F -，短轴的两个端点分别为12,B B .且122B B =.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）过点2F 的直线l 与椭圆C 相交于P ，Q 两点，且11F P FQ ⊥，求直线l 的方程. 【答案】（1）2212x y +=；（2）710x -=，或710x --=.【分析】（1）由题干条件可得c 和b 的值，进而求出2a 的值，从而求出椭圆方程；（2）首先考虑斜率不存在的情况，不符合题意；当斜率存在时，联立方程，可得()22121222214,2121k k x x x x k k -+=⋅=++，又110F P FQ ⋅=，向量坐标化可得()()()2221212111110k x x k x x k F P FQ ⋅--==++++，代入1212,x x x x +⋅，化简，即可求出k 的取值，从而求出直线方程.【详解】解（1）由条件可知：1c =，又122B B =，所以1b =，则22a =，所以椭圆C 的方程为2212x y +=（2）当直线l 的斜率不存在时，其方程为1x =，不符合题意；当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为(1)y k x =-，22(1)12y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得()()2222214210k x k x k +-+-=，()2810k ∆=+>，设()()1122,,,P x y Q x y ，则()22121222214,2121k k x x x x k k -+=⋅=++， ()()1111221,,1,F P x y FQ x y =+=+，∵110F P FQ ⋅=，即()()()()()22212121212111110x x y y k x x k x x k +++=+--+++=，即()()()222222221411()102121k k kk k k k -+--++=++ 化简得：2201172k k =+-解得217,77k k ==±. 故直线l 的方程为710x -=，或710x -=. 【点睛】方法点睛：（1）将向量转化为坐标的关系；（2）联立直线和椭圆，求出两根之和，两根之积；（3）将两根之和和两根之积代入坐标关系中，解出k . 20．已知()cossin 3222x x x f x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，记ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c . （1）求()f B 的取值范围；（2）当4a =，33b =，且()f B 取（1）中的最大值时，求ABC 的面积. 【答案】（1）30,1⎛ ⎝⎦；（28343【分析】（1）利用公式对函数化简，根据B 角的范围，求函数值域. （2）由（1）求出B 的大小，利用正弦定理和三角形面积公式即可求出结果. 【详解】（1）2()cossin 3sin cos 3222222x x x x x x f x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭ 13(cos 1)3sin sin 2232x x x π+⎛⎫=+=++⎪⎝⎭因为B 为三角形的内角，所以(0,)B π∈所以4,333Bπππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，所以3()0,1f B⎛⎤∈+⎥⎝⎦（2）34()1,sin1,,23333f B B Bππππ⎛⎫⎛⎫=++=+∈⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，,326B Bπππ∴+==，由正弦定理得：43433sin1sin sin sin22a bAA B A=⇒=⇒=()0,,3A Aππ∈∴=，或23Aπ=，若3Aπ=，则2Cπ=，183sin2ABCS ab C==若23π=A，则6π=C，143sin23==ABCS ab C【点睛】本题考查了三角恒等变换、正弦定理和三角形面积公式等基本数学知识，考查了数学运算能力和逻辑推理能力，属于中档题目.21．在直三棱柱111ABC A B C-中，112,120,,AB AC AA BAC D D==∠=分别是线段11,BC B C的中点，过线段AD的中点P作BC的平行线，分别交,AB AC于点,M N．（1）证明：平面1A MN⊥平面11ADD A；（2）求二面角1A A M N--的余弦值．【答案】（1）证明见解析；（215. 【分析】（1）根据线面垂直的判定定理即可证明MN ⊥平面ADD 1A 1；又MN ⊂平面A 1MN ，所以平面A 1MN ⊥平面ADD 1A 1；（2）建立空间坐标系，利用向量法求出平面的法向量，利用向量法进行求解即可．【详解】（1）证明：∵AB=AC ，D 是BC 的中点， ∴BC ⊥AD ，∵M ，N 分别为AB ，AC 的中点， ∴MN ∥BC ， ∴MN ⊥AD ，∵AA 1⊥平面ABC,MN ⊂平面ABC ， ∴AA 1⊥MN ，∵AD,AA 1⊂平面ADD 1A 1，且AD∩AA 1=A ， ∴MN ⊥平面ADD 1A 1∴，又MN ⊂平面A 1MN ，所以平面A 1MN ⊥平面ADD 1A 1；（2）设AA 1=1，如图：过A 1作A 1E ∥BC ，建立以A 1为坐标原点，A 1E ，A 1D 1，A 1A 分别为x ，y ，z 轴的空间直角坐标系如图：则A 1(0，0，0)，A(0，0，1)， ∵P 是AD 的中点，∴M ，N 分别为AB ，AC 的中点．则31,,122M ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，31,122N ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，则131,12A M ⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭，()10,0,1A A =，()3,0,0NM =，设平面AA 1M 的法向量为(),,m x y z =，则100m AM m A A ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得31020x y z z ⎧++=⎪⎪=⎩,令1x =，则3y =()1,3,0m =-，同理设平面A 1MN 的法向量为(),,n x y z =，则100n A M n NM ⎧⋅=⎨⋅=⎩，得310230x y z x ++=⎨⎪=⎩，令2y =，则1z =-，则()0,2,1n =-，则()2315cos ,525m n m n m n ⋅-===-⋅⨯， ∵二面角A-A 1M-N 是锐二面角， ∴二面角A-A 1M-N 的余弦值是15【点睛】本题主要考查直线垂直的判定以及二面角的求解，建立空间直角坐标系，利用向量法进行求解，综合性较强，运算量较大． 22．已知21()(1)2xf x e ax b x =---.其中常数 2.71828e ≈⋅⋅⋅⋅⋅⋅. （1）当2,4a b ==时，求()f x 在[1,2]上的最大值；（2）若对任意0,()a f x >均有两个极值点()1212,x x x x <，（ⅰ）求实数b 的取值范围；（ⅱ）当a e =时，证明：()()12f x f x e +>.【答案】（1）max ()1f x e =-；（2）（ⅰ）1b >；（ⅱ）证明见解析.【分析】（1）由题得2()4(1)x f x e x x =---，()24x f x e x '=--，()2x f x e ''=-，由[1,2]x ∈，可得()0f x ''>，即()'f x 在[1,2]上单增，且2(2)80f e -'=<，即()0f x '<，可知()f x 在[1,2]上单减，求得max ()(1)1f x f e ==-.（2）（ⅰ）利用两次求导可得(,ln )x a ∈-∞时，()'f x 单减； (ln ,)x a ∈+∞时，()'f x 单增，再由()f x 有两个极值点，知(ln )ln 0f a a a a b =--<'，即ln b a a a >-恒成立，构造函数()ln g a a a a =-，利用导数求其最大值，可得实数b 的取值范围；（ⅱ）设()()(2),(1)h x f x f x x ''=--<，求导可得()h x 在(,1)-∞单增，得到()(2)f x f x ''<-，可得()()112f x f x ''<-，()()122f x f x ''->，结合()'f x 在(1,)+∞上单增，可得()()122f x f x >-，得到()()()()2222122222222x x f x f x f x f x e e ex ex e -+>-+=+-+-，构造22()22x x M x e e ex ex e -=+-+-，(1)x >，再利用导数证明()2(1)M x M e >=，即可得到()()12f x f x e +>【详解】（1）由2,4a b ==得，2()4(1)xf x e x x =---，求导()24xf x e x '=--，()2x f x e ''=-，[1,2]x ∈，2[,]x e e e ∴∈，20x e ∴->，即()0f x ''>()f x '∴在[1,2]上单增，且2(2)80f e -'=<，即[1,2]x ∀∈，()0f x '<，()f x ∴在[1,2]上单减，max ()(1)1f x f e ∴==-.（2）（ⅰ）求导()xf x e ax b '=--，因为对任意0,()a f x >均有两个极值点12,x x ，所以()0f x '=有两个根，求二阶导()xf x e a ''=-，令()0f x ''=，得ln x a =当(,ln )x a ∈-∞时，()0f x ''<，()'f x 单减；当(ln ,)x a ∈+∞时，()0f x ''>，()'f x 单增，由()0f x '=有两个根12,x x ，知(ln )ln 0f a a a a b =--<'，即ln b a a a >-对任意0a >都成立，设()ln g a a a a =-，求导()ln g a a '=-，令()0g a '=，得1a =，当(0,1)x ∈时，()0g a '>，()g a 单增；当(1,)x ∈+∞时，()0g a '<，()g a 单减，max (()1)1g g a =∴=，1b ∴>又0,,()b a b f e x f x a -⎛⎫''-=>→+∞→+∞ ⎪⎝⎭，所以实数b 的取值范围是：1b >.（ⅱ）当a e =时，()x f x e ex b '=--，()xf x e e ''=-，令()0f x ''=，得1x =当(,1)x ∈-∞时，()0f x ''<，()'f x 单减；当(1,)x ∈+∞时，()0f x ''>，()'f x 单增，又12,x x 是()0f x '=的两根，且12x x <，121,1x x <∴>，121x ∴->设()()(2),(1)h x f x f x x ''=--<，即22(2)2()2,(1)x xx xe ex b e e x b e e ex e x h x --⎡⎤=-=-------+<⎣⎦，则2()2220xxh x e ee e e -=+->-='()h x ∴在(,1)-∞单增，()(1)0h x h ∴<=，即()(2)f x f x ''<-又11,x <，()()112f x f x ''∴<-，()()122f x f x ''∴-> 又()f x '在(1,)+∞上单增，122x x ∴->，即1222x x x <-<，又()f x 在()12,x x 上单减，()()122f x f x ∴>-()()()()2222122222222x x f x f x f x f x e e ex ex e -∴+>-+=+-+-令22()22x xM x e eex ex e -=+-+-，(1)x >则2()22xxM x e eex e -'=--+，2()20x x M x e e e -''=+-≥()M x '∴在(1,)+∞单增，且(1)0M '=，21 ()0M x '∴>，故()M x 在(1,)+∞单增又21x >，()2(1)M x M e ∴>=，即()()12f x f x e +>【点睛】方法点睛：本题考查利用导数研究函数的单调性，求极值，最值，以及证明不等式，证明不等式的方法：若证明()()f x g x <，(,)x a b ∈，可以构造函数()()()F x f x g x =－，如果()0F x '<，则()F x 在(,)a b 上是减函数，同时若()0F a ≤，由减函数的定义可知(,)x a b ∈时，有()0F x <，即证明了()()f x g x <，考查学生的函数与方程思想，化归与转化思想，考查逻辑思维能力与推理论证能力，属于难题.。

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秘密★启用前
2021届重庆市一中高三上学期第三次月考
数学试卷
★祝考试顺利★
（含答案）
本卷满分150分,考试时间120分钟．
注意事项：
1．答卷前,务必将自己姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上．
2．作答时,务必将答案书写在答题卡规定的位置上．写在本试卷上及草稿纸上无效．
3．考试结束后,将答题卡交回．
一、单项选择题：本大题共8个小题,每小题5分,共40分,每个小题只有一个正确选项．
1．已知复数21i z i
=-,则复数z 的虚部是（） A ．1- B ．1 C ．i D ．i -
2．已知集合{}2|2,A x x x Z =<∈,则A 的真子集共有（）个
A ．3
B ．4
C ．6
D ．7
3．已知某圆锥的母线长为4,底面圆的半径为2,则圆锥的全面积为（）
A ．10π
B ．12π
C ．14π
D ．16π
4．为了衡量星星的明暗程度,古希腊天文学家喜帕恰斯在公元前二世纪首先提出了星等这个概念．星等的数值越小,星星就越亮；星等的数值越大它的光就越暗．到了1850年,由于光度计在天体光度测量的应用,英国天文学家普森又提出了亮度的概念,天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足()12212.5lg lg m m E E -=-,其中星等为k m 的星的亮度为(1,2)k E k =．已知“心宿二”的星等是1.00,“天津四”的星等是1.25,则“心宿二”的亮度大约是“天津四”的（）倍．（当x 较小时,2101 2.3 2.7x x x ≈++）
A ．1.22
B ．1.23
C ．1.26
D ．1.27
5．向量,a b 满足||1a =,a 与b 的夹角为3
π,则||a b -的取值范围为（）
A ．[1,)+∞
B ．[0,)+∞
C ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭
D ．,2⎫+∞⎪⎣⎭
6．已知三棱锥P ABC -,过点P 作PO ⊥平面ABC ,O 为ABC 中的一点,且,,PA PB PB PC PC PA ⊥⊥⊥,则点O 为ABC 的（）
A ．垂心
B ．内心
C ．重心
D ．外心
7．设sin
5a π
=,b =,23
14c ⎛⎫= ⎪⎝⎭,则（） A ．a c b << B ．b a c << C ．c a b << D ．c b a <<
8．已知三棱锥P ABC -的四个顶点均在同一个确定的球面上,且BA BC ==2ABC π∠=,
若三棱锥P ABC -体积的最大值为3,则其外接球的半径为（）
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
二、多项选择题：本大题共4小题,每小题5分,共20分．在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求．全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分．
9．设m 、n 是两条不同的直线,α、β是两个不同的平面,下列命题中错误．．
的是（） A ．若,,//m n m n αβ⊆⊆,则//αβ B ．若,m n m α⊆⊥,则n α⊥
C ．若,m n αα⊥⊆,则m n ⊥
D ．若//,,m n αβαβ⊆⊆,则//m n
10．下列函数中,在(0,1)内是减函数的是（） A ．||
12x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭ B ．212log y x = C ．121y x =+ D ．2log sin y x = 11．下列关于函数1()2sin 2
6f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像或性质的说法中,正确的为（） A ．函数()f x 的图像关于直线83
x π=对称 B ．将函数()f x 的图像向右平移
3π个单位所得图像的函数为12sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ C ．函数()f x 在区间5,33ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增。