第7讲 信道编码：循环码、典型矩阵、编码电路

gnk 0 G 0
g n k 1 gnk
g n k 1 0
g1 g nk
g0 g1 g n k 1
x k 1 g ( x) 0 0 k 2 x g ( x) g0 0 xg ( x) g1 g 0 g ( x)
xn-ku(x) = x4u(x) = x14 + x11 + x8 + x5 →( 10010010010 0000 )
r(x) = [x4u(x)]mod g(x) = x2 →(0100) c(x) = x4 u(x) + r(x) = x14 + x11 + x8 + x5 + x2
即：循环码组c = ( 10010010010 0100 )
用矩阵的形式表示上式：
[ x n-k u ( x)]mod g ( x ) uk 1 uk 2
[ x n 1 ]mod g ( x ) n2 [ x ]mod g ( x ) u0 r ( x) [ x n k ] mod g ( x )
g0 h0 + gn-k hk = 0
那么对于生成多项式所构成的生成矩阵G
g nk 0 G 0 g n k 1 g nk g n k 1 0 g1 g nk g0 g1 g n k 1 0 g0 0 g1 g 0 0
k ( n k ) r1,1 r1,2 r1,n k r2,1 r2,2 r2,n k rk ,1 rk ,2 rk ,n k
即该生成矩阵是由一个k阶的单位阵和一个k×(n – k)阶的矩阵Q拼 接而成，若能确定这两个矩阵，就能确定生成系统码的生成矩 阵
xn-k +
k n-k] [x mod g(x) =
g(x)
x n 1 [ x n 1 ]mod g ( x ) x n 1 [ x n 1 ]mod g ( x ) n 2 n2 n2 x [ x ]mod g ( x ) n2 x [ x ]mod g ( x ) G I k Q n k 1 n k 1 nk x [x ]mod g ( x ) n k x [ x ]mod g ( x ) g ( x)
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
1 1 1 0
0 1 1 1
1 1 0 1
监督多项式与监督矩阵
因为生成多项式g(x)是xn + 1的一个因子，因此：xn + 1 = g(x)h(x)
g(x) = gn-kxn-k + …+ g1x + g0
h(x) = hk xk + …+ h1x + h0 xn + 1 = g(x)h(x) = (gn-kxn-k + …+ g1x + g0)(hk xk + …+ h1x + h0)
x n 1 n2 x Ik nk x
x n 1 r1,1 n2 r 2,1 x G nk rk ,1 x
r1,2 r1, n k r2,2 r2,n k rk ,2 rk ,n k
前k位为信息位，后n – k 位为监督位，其所对应的多项式：
c(x) = un-1 xn-1 + un-2 xn-2 + …+ un-k xn-k + rn-k-1 xn-k-1 + rn-k-2 xn-k-2 + … + r0 = xn-k (un-1 xk-1 + un-2 xk-2 因此：若要生成系统码，先将输入的信息码多 + …+ un-k ) + rn-k-1 xn-k-1 + rn-k-2 xn-k-2 + … + r0 项式乘以xn-k，即在信息码组后补n - k位做为监 督码的填充位，循环码组的前k位为信息码 再由，任意一个循环码能够整除生成多项式g(x)： 0 = [c(x)]mod g(x) = [xn-k u(x) + r(x)]mod g(x) = [xn-k u(x)]mod g(x) + r(x)
循环码生成矩阵
假设( n, k )循环码的生成多项式具有形式：
g(x) = xn-k + gn-k-1xn-k-1 + …+ g1x + 1
由于xig(x)(i = 0, 1, …, k – 1 )对应k个码组，且它们不相关，则可利 该生成矩阵并不是典型 用两个多项式的乘法特性构造生成矩阵： 形式的，所以由此矩阵 c( x) u ( x) g ( x) 生成的码组是非系统码
例如：( 7, 4 )循环码的生成多项式为：g(x)=( x3 + x + 1 )，求其系统码的生成矩阵
1）n = 7，k = 4，因此生成矩阵阶数：4×7。其中单位阵Ik为4×4，Q矩阵4×3
2）求解[xn-i]mod g(x) ( i = 1, 2, …, k ) 即：
x n 1 x 6 n2 5 x x I4 x4 nk 3 x x
确定Q阵。考虑：c(x) = xn-k u(x) + r(x)，r(x) = [xn-k u(x)]mod g(x)
k位信息位多项式：u(x) = uk-1 xk-1 + uk-2 xk-2 + …+ u1 x + u0
所以： xn-k u(x) = uk-1 xn-k+k-1 + uk-2 xn-k+k-2 + …+ u1 xn-k+1 + u0 xn-k = uk-1 xn-1 + uk-2 xn-2 + …+ u1 xn-( k+1) + u0 xn- k [xn-k u(x)]mod g(x) = [uk-1 xn-1]mod g(x)+ [uk-2 xn-2]mod g(x)+…+ [u0 xn- k]mod g(x) = uk-1[xn-1]mod g(x)+ uk-2[xn-2]mod g(x)+…+ u0[xn- k]mod g(x)
确定k阶单位阵
考虑这个典型的矩阵第一行，若用多项式表示，其形式为：
I1 ( x) xn1 0 0 xn1
第二行：
k 1
I 2 ( x) 0 xn2 0 0 xn2
最后一行： I k ( x) 0 0 x n k x n k 因此单位阵与典型的生成矩阵表示为：
1 1 0 1 1 1 0 1 1
0 0 1
u1
(a2 x 2 g ( x) a1 xg ( x ) a0 g ( x )) (a2 x 2 a1 x a0 ) g ( x)
对于系统码的循环码，其生成矩阵必然具有下面的典型形式：
k k 1 0 0 0 1 0 G 0 0 1
[x6]mod g(x)=x2 + 1, [x5]mod g(x)= x2 + x+ 1, [x4]mod g(x)= x2 + x, [x3]mod g(x)= x + 1
x 6 [ x 6 ]mod g ( x ) 1 5 5 x [ x ]mod g ( x ) 0 G I 4Q 4 x [ x 4 ]mod g ( x ) 0 3 3 x [ x ]mod g ( x ) 0
那么信息位组成的矩阵： uk 1 uk 2 u0由前述分析系统码形 U 式的循环码为： n 1 乘以单位阵I ：
k
U I k uk 1 uk 2
x n 2 c(x) = xn-k u(x) + r(x) x u0 nk x
uk 1 x n 1 uk 2 x n 2 u0 x n k x n k u ( x)
再由刚才分析的：
[ x n-k u ( x)]mod g ( x ) uk 1 uk 2
[ x n 1 ]mod g ( x ) n2 [ x ]mod g ( x ) u0 r ( x) [ x n k ] mod g ( x )
例如：( 7, 3 )循环码中的生成码多项式： g(x) = x4 + x3 + x2 + 1，那 么其生成矩阵：
x 2 g ( x) G xg ( x) g ( x)
c ( x ) u2
1 0 1 G 0 1 0 0 0 1
x 2 g ( x) u0 xg ( x) g ( x)
k 1
k 2
k k 1 0 0 0 1 0 0 0 1
k ( n k ) r1,1 r1,2 r1,n k r2,1 r2,2 r2, n k rk ,1 rk ,2 rk ,n k
则：
g0 hi + g1 hi-1 + …+ gn-k hi-n+k = 0, ( i = 1, 2, …, n - 1 )
k 1 h0 h1 hk 0 0 H 0 h0 h1 hk 0 0 0 0 h0 h1 hk ( n k )n