2013年中考数学解题方法及提分突破训练：反证法专题

解题方法及提分突破训练：反证法专题对于一个几何命题，当用直接证法比较困难时，则可采用间接证法，反证法就是一种间接证法，它不是直接去证明命题的结论成立，而是去证明命题结论的反面不能成立。

从而推出命题的结论必然成立，它给我们提供了一种可供选择的新的证题途径，掌握这种方法，对于提高推理论证的能力、探索新知识的能力都是非常必要的。

一真题链接1.用反证法证明：圆的两条不是直径的相交弦不能互相平分。

已知：如图，在⊙O 中，弦AB 、CD 交于点P ，且AB 、CD 不是直径.求证：弦AB 、CD 不被P 平分.2.平面内有四个点，没有三点共线，证明：以任意三个点为顶点的三角形不可能都是锐角三角形3. 平面内有四个点，没有三点共线证明：以任意三个点为顶点的三角形不可能都是锐角三角形二 名词释义反证法是一种间接证法，它是先提出一个与命题的结论相反的假设，然后，从这个假设出发，经过正确的推理，导致矛盾，从而否定相反的假设，达到肯定原命题正确的一种方法。

反证法可以分为归谬反证法(结论的反面只有一种)与穷举反证法(结论的反面不只一种)。

用反证法证明一个命题的步骤，大体上分为：(1)反设；(2)归谬；(3)结论。

反设是反证法的基础，为了正确地作出反设，掌握一些常用的互为否定的表述形式是有必要的，例如：是/不是；存在/不存在；平行于/不平行于；垂直于/不垂直于；等于/不等于；大(小)于/不大(小)于；都是/不都是；至少有一个/一个也没有；至少有n 个/至多有(n 一1)个；至多有一个/至少有两个；唯一/至少有两个。

归谬是反证法的关键，导出矛盾的过程没有固定的模式，但必须从反设出发，否则推导将成为无源之水，无本之木。

推理必须严谨。

导出的矛盾有如下几种类型：与已知条件矛盾；与已知的公理、定义、定理、公式矛盾；与反设矛盾；自相矛盾。

例如： 已知：a 是整数，2能整除2a 。

试证：2能整除a① 探究：问题实际上是在讨论a 是奇数，还是偶数。

已知中：说明2a 是偶数，则()22a m m N =∈，此时)a m N =∈② 反思：条件已用完，结论还不能明确得证，可能结论自身有问题。

③ 若结论有问题，则“2不能整除a ”应该成立，此时会发生怎样的情况，进行推理引出反证法。

总结：在上题由“2不能整除a ”这个假设下，推理出了矛盾，肯定了原题的结论，从而说明了这种思想可以作为一种证明问题的方法，再通过问题2继续认识。

三 典型例题反证法的证题步骤：① 假设。

假设结论的反面成立，重点完成对假设的等价转化 ② 归结矛盾。

矛盾来源：与已知，定理，公理，已证，已作，矛盾。

③ 否定假设，肯定结论。

例1.是无理数是有理数，那么它就可以表示成两个整数之比，设,0,qp p =≠且,p q q =。

所以，222p q =。

---------① 故2q 是偶数，q 也必然为偶数。

不妨设2q k =，代入①式，则有2224p k =，即222p k=，所以，p也为偶数。

p和q都是偶数，它们有公约数2，这与,p q互素相矛盾。

不是有理数，而是无理数。

例2.在同一平面内，两条直线,a b都和直线c垂直。

求证：a与b平行。

证明：假设命题的结论不成立，即“直线a与b相交”。

不妨设直线,a b的交点为M,,a b与c的交点分别为,P Q,如图所示，则0 PMQ ∠>.这样，MPQ∆的内角和PMQ MPQ PQM=∠+∠+∠0009090180PMQ=∠++>这与定理“三角形的内角和等于0180”相矛盾。

说明假设不成立。

所以，直线a与b不相交，即a与b平行。

例3．已知：在四边形ABCD中，M、N分别是AB、DC的中点，且MN ＝（AD＋BC）。

求证：AD∥BC证明：假设AD BC，连结ABD，并设P是BD的中点，再连结MP、PN。

在△ABD中∵BM＝MA，BP＝PD∴MP AD，同理可证PN BC从而MP＋PN ＝（AD＋BC）①这时，BD的中点不在MN上若不然，则由MN∥AD，MN∥BC，得AD∥BC与假设AD BC矛盾，于是M、P、N三点不共线。

从而MP＋PN＞MN②由①、②得（AD＋BC）＞MN，这与已知条件MN＝（AD＋BC）相矛盾，故假设AD BC不成立，所以AD∥BC。

解析：反证法是根据“正难则反”的原理，即如果正面证明有困难时，或者直接证明需要分多种情况而反面只有一种情况时，可以考虑用反证法。

反证法不仅在几何中有着广泛的应用，而且在代数中也经常出现。

用反证法证明不等式就是最好的应用。

要证明不等式A＞B，先假设A≤B，然后根据题设及不等式的性质，推出矛盾，从而否定假设。

要证明的不等式中含有“至多”、“至少”、“均是”、“不都”、“任何”、“唯一”等特征字眼，若正面难以找到解题的突破口，可转换视角，用反证法往往立见奇效。

四巩固强化1. 设a，b，c，d均为正数，求证：下列三个不等式①a＋b＜c＋d，②，③中至少有一个不正确。

2. 已知求证：。

3. 若，求证：。

4. 设a，b，c均为小于1的正数，求证：，不能同时大于。

5. 若，，，求证：，不能同时大于1。

6求证：三角形中至少有一个角不大于60°。

7求证：一直线的垂线与斜线必相交。

8．在△ABC中，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，AD与BE相交于H，求证：AD与BE不能被点H 互相平分。

9.求证：直线与圆最多只有两个交点。

10.求证：等腰三角形的底角必为锐角。

已知：△ABC 中，AB ＝AC ，求证：∠B 、∠C 必为锐角。

五 参考答案真题链接答案：1.证明：假设弦AB 、CD 被P 平分， 连结 AD 、BD 、BC 、AC,因为弦AB 、CD 被P 点平分，所以四边形ACBD 是平行四边形所以因为 ABCD 为圆内接四边形 所以因此所以，对角线AB 、CD 均为直径，这与已知条件矛盾，即假设不成立所以，弦AB 、CD 不被P 平分。

2.证明：假设以任意三个点为顶点的三角形都是锐角三角形。

记四个点为A 、B 、C 、D 。

考虑点D 在 △ABC 之内或之外两种情况。

(1) 如果点D 在△ABC 之内，根据假设，都为锐角三角形所以这与一个周角为360°矛盾。

CBD CAD ADB ACB ∠=∠∠=∠,180,180=∠+∠=∠+∠CBD CAD ADB ACB 90,90=∠=∠CADACBBDC ADB ADC ∆∆∆,, 270<∠+∠+∠BDC ADBADC3.(1)如果点D在 之外，根据假设，都是锐角三角形，即这与四边形内角和矛盾。

所以，综上所述，假设不成立，从而题目结论成立。

即这些三角形不可能都为锐角三角形。

巩固强化答案 1.证明：假设不等式①、②、③都成立，因为a ，b ，c ，d 都是正数，所以由不等式①、②得，。

由不等式③得，因为，所以综合不等式②，得，即由不等式④，得，即，显然矛盾。

∴不等式①、②、③中至少有一个不正确。

2.证明：由知≠0，假设，则又因为，所以，即从而，与已知矛盾。

∴假设不成立，从而 同理，可证。

3.证明：假设，则，即。

因为所以故又，，即ABC ∆BCDBAD ADC ABC ∆∆∆∆,,,∴，即，不成立。

4.证明：假设同时大于，即，，。

故假设不成立，即。

则由，可得同理，，三个同向不等式两边分别相加，得，所以假设不成立。

∴原结论成立。

5.证明：由题意知假设有那么同理，①＋②＋③，得矛盾，假设不成立。

故，，不能同时大于1。

6．证明：假设△ABC中的∠A、∠B、∠C都大于60°则∠A＋∠B＋∠C＞3×60°＝180°这与三角形内角和定义矛盾，所以假设不能成立。

故三角形中至少有一个角不大于60°。

7．证明：假设m和n不相交则m∥n∵m⊥l ∴n⊥l这与n是l的斜线相矛盾，所以假设不能成立。

故m和n必相交。

8．证明：假设AD、BE被交点H互相平分，则ABDE是平行四边形。

∴AE∥BD，即AC∥BC这与AC、BC相交于C点矛盾，故假设AD、BE被交点H平分不能成立。

所以AD与BE不能被点H互相平分。

9．证明：假设一直线l与⊙O有三个不同的交点A、B、C，M、N分别是弦AB、BC的中点。

∵OA＝OB＝OC∴在等腰△OAB和△OBC中OM⊥AB，ON⊥BC从而过O点有两条直线都垂直于l，这是不可能的，故假设不能成立。

因此直线与圆最多只有两个交点。

10．证明：假设∠B、∠C不是锐角，则可能有两种情况：(1)∠B＝∠C＝90°(2)∠B＝∠C＞90°若∠B＝∠C＝90°，则∠A＋∠B＋∠C＞180°，这与三角形内角和定理矛盾。

若∠B＝∠C＞90°，则∠A＋∠B＋∠C＞180°，这与三角形内角和定理矛盾。

所以假设不能成立。

故∠B、∠C必为锐角。