高考必备圆锥曲线知识点及解题技巧

椭圆

椭圆

1. 点P 处的切线PT 平分△PF1F2在点P 处的外角.

2. PT 平分APFiF?在点P 处的外如，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除公 长轴的两个端点.

3. 以議点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离.

4. 以焦点半径PF 】为肓.径的圆必与以长轴为宜径的圆内切.

5. 若&(%,儿)在椭圆匚+ — = 1上，则过&的椭圆的切线方程是卑+冷=1.

n b a b

6.

若P D (A -0,V 0)在椭圆^+2T =1外，则过Po 作桶圆的两条切线切点为円、P2,贝9切点弦吋2的直线

a b 方程是年+臂=1.

a h

2 Q

7.

椭岡3 + S = l (a>b>0)的左右焦点分别为F 】，F2，点P 为椭圆上任恿一点乙FfF 厂y ,则椭恻

a b

的焦点角形的面积为S“ =h 2tan^・

1 z 2

2

2

8.

椭圆冷+冷=1 b>0)的焦半径公式：

异b 2 I MF X 1= a +• J MF 2 1= a -

(F,(-c,0) , F 2(c,0) M(x 0> j a )).

9. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交P 、Q 为点，A 为椭圆长轴匕一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相 应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点，则MF 丄NF.

过椭圆一个焦点F 的直线与椭恻交于两点氏Q,A f . A?为橢圆k 轴上的顶点，A|P 和A?Q 交丁点皿

A?P 和AQ 交于点N,则MF 丄NF. F y 2

h 2

AB 足椭圆—+ —= 1的不平行于对称轴的弦，儿)为AB 的中点，则k aM ^k Ali =- — a ■方-

a"

即K 舶学。

a 几

则被Po 所平分的中点弦的方程足写+卑二斗+牛. a b a b

椭圆一(会推导的经典结论)

10. 11.

12.

若P 0(A 0,儿)在椭圆鼻+士 = 1内, a

13. 若尸畑儿)在椭圆

则过Po 的弦中点的轨迹方程是

1.

椭圆^7 + ^ = 1(a>b>o)的两个顶点为州(-4())，2(S O)，与y 轴平行的直线交椭圆于P|・

a b'

X 2 y 2

P2时AjP|与A 2P 2交点的轨迹方程是飞- r = 1・

/ b 2

2 2

2.

过椭圆―+耳"(a>0, b>0)上任一点儿)任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于B,C

a b

h 2x

两点，则直线BC 有定向且匕厂―L

(常数).

3. 若P 为椭圆3+斗=| (a>b>0) h 异于长轴端点的任一点,F b F 2是焦点，ZPFF O =« ,

a b 2

_

ZPF 2F { = /J ,则

tan —e<7t —・

a + c

2 2

1 2

4.

设椭圆±r + 2- = l (a>b>0)的两个焦点为Fi 、F 2?P (异于长轴端点)为椭圆上任恿一点，在

s1n 6?

c

APF1F2中，记上件尸尺=伉，乙PF\F&=卩，乙Ff2P = y ，则有——;————=一=宅.

•

*

■

sin ft + sin / a

1

2

5. 若椭恻二+匚二1 (a>b>0)的左、右焦点分别为Fj. F 2,左那线为L,则肖0V 虫石-1时, a" h

可在椭恻上求一点P ，使得PR 是P 到对应准线距离d 与PF 2的比例中项.

r v

6.

P 为椭圆〒沽I (5>。)上任-点,閘为二焦点，A 为椭圆内-定点，则

2a-\AF 1 1^1 P4I+I PFJV 2“ I A F } I ，当且仅当A.F^ P 三点共线时,等号成立.

过椭圆^ + ^- = 1 (a Ab AO)的右焦点F 作直线交该椭圆右支于M ?N 两点，弦MN 的垂直平 a b 分线交x 轴于p,则竺丄=£.

\MN I 2

2

+耳=1 ( a>b>0)

4、B.是椭圆上的两点，线段AB 的垂肖平分线与x 轴相

b

交于点 p （®,o ）,则-・±»<*。<二± a

a

7.

8.

椭圆忆字1+上申匸=1与直线Ax +^ + C = 0有公共点的充要条件是 a b

A 2a 2 + H 2h 2 A (Ax 0 + By 。+ C)l

x 2

y?

已知椭圆—+ ^ = 1 (a>b>o ), o 为坐标原点，P 、Q 为桶圆上两动点，H OP 丄OQ ・(1) a b

I

1 1 1

------ + -------- =——+ —

\OP I 2 \OQ I 2 a 2 b 2

2 2

;(2) IOPF+IOQF 的最人值为-^二；(3)片讥的最小值是

a +

b J

a + h

9.

2

X

10・已知椭R —

a

11・设P点是椭圆—• + 2r = l（ a>b>0）上异于长轴端点的任一点JVF2为其焦点记ZF/代二a

丿Z? Y

__.(2) G 十心巧•

al)IPF1I1FF2l=

12.设A、B是橢圆一+ -^-r = 1 ( a>b>0)的长轴两端点，P是椭圆上的一点，Z.PAB = a , a b

2 乙PBA="上BPA = y , c、e分别是椭圆的半焦距离心率，则有⑴I/M 1= "°'纠・(2)

a" - co /

, 2a2h2

tana tan// = 1-^ ・(3) S^Ab = —----------- co"・

b — a

13-已如椭吟f " < Ab>0）的右准细与x轴相交于点E ‘过椭圆右焦点F的直线与椭

圆相交于A. B两点，点C在右准线/上，且PC丄x轴，则直线AC经过线段EF的中点.

14.过椭圆焦半径的端点作•椭圆的切线，与以K轴为直径的圆相交，则相应交点为相应焦点的连线必

与切线垂扎

15.过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点，则该点打焦点的连线必与焦半径互相垂直.

16•:椭圆焦三角形中，内点到一焦点的距离•与以该焦点为端点的焦半径之比为常数c（离心率）.

（注:在椭洌憊二角形中，菲焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点・）

17•椭圆焦-:角形屮，内心将内点•与#焦顶点连线段分成定比e.

1&椭圆焦三角形中，半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项.