《球面距离》的教学设计说明 全国高中青年数学教师参赛优秀教案
高中数学《第二讲球面上的距离和角一球面上的距离》4PPT课件 一等奖名师公开课比赛优质课评比试讲
教学设计【课时安排】第1课时【教学对象】高二（下）学生【教材分析】由地球上经纬度的定义在航海与空中飞行中，如何寻找球面上两点最短路线。
在球面上，不在同一直径上的两点之间的最短距离，就是经过这两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度，我们把这段抓长叫做球面上这两点间的球面距离．（也叫球面上的短程线或测地线）求球面上两点距离。
这一节课体现了数学在实际问题的应用，立几方法的代数求解，学生掌握球面上现两点距离与方法，探索解决问题的一般思路和运用公式的本质，本节课的教学定位是：既是球面中立几的边线关系的理解运用，又是公式发现的探索思路，问题思考解决是关键；既强调学习该内容涉及的数学思想方法，又渗透问题解决的数学转化思想。
【学情分析】★认知基础：①已经学习了立几中解三角形的方法②空间想象行基本能力逐步形成③有一定解决应用问题的能力★认知障碍：①如何把各种解在不同图形中转化②解决不同图形中解决部题主法的切入点。
【教学目标】★知识与技能①了解球面上两点距离的应用背景，探索与证明球面上两点距离；②分不同认知层面掌握求球面上两点距离的方法。
③总结求球面上两点距离的方法与从不同角度认识距离公式。
★过程与方法①经历观察发现、比较，并求解两点的距离的过程，领悟问题发现的探索思路，学习由特殊到一般的思维方式；②通过尝试公式的证明，领悟分类讨论和等价转化，化归的数学思想。
★情感态度价值观①感受数学公式的统一美、对称美；②体会数学概念的科学价值和应用价值，形成崇尚数学的精神。
【教学重点】球面上两点距离定义与距离的求法【教学难点】定义的理解，距离的求解【教学关键】比较不同环境下数量关系；求解化归问题等价与转化。
【教学方法】以问题驱动，目标的比较为主【教学手段】板书、计算机、PPT、几何画板【教学流程】球面距离的计算及其计算公式问题提出：一．球面上两点距离的定义1）定义：在球面上，不在同一直径上的两点之间的最短距离，就是经过这两点的大圆在这两点间的一段劣派的长度，我们把这段抓长叫做球面上这两点间的球面距离．（也叫球面上的短程线或测地线）2）问题说明与推导如图1，A、B为球面上不在同一直径上的两点，O为圆心，⊙O为过A、B的大圆，⊙O为过A、B的任一个小圆，我们把这两个圆画在同一个平面内．（见图1）设2AOB，2BOA，球半径为R，半径为r．则有AB大圆弧长RL2，AB小圆弧长rl2raRrRlL22（1）但sin2sin2rRAB，即sinsinrR（2）将（2）代入（1）得sinsinsinsinalL（3）∵rR，由（2）式知.由于20，故只需证明函数xxxfsin在2.0内为单调递减即可.∴0tancossincos22xxxxxxxxxf,∵当2,0x时，有xxtan）∴xf在2,0单调递减,由（3）式不难得到1lL，即lL.故大圆劣弧最短。
球面距离(说课课件)
教 学 目 标
绵阳实验高级中学
绵阳实验高级中学
（1）教学重点 教 学 点 、 难 点 重 球面距离发现过程及激励学生主动参与、 球面距离发现过程及激励学生主动参与、相互协 作的精神，并能够解决实际问题。 作的精神，并能够解决实际问题。 （2）教学难点 实际问题数学化（建模）以及球面距离求法的运用． 实际问题数学化（建模）以及球面距离求法的运用． 突出重点，突破难点的策略： 突出重点，突破难点的策略：
绵阳实验高级中学
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引导---探究” “引导---探究”教学模式 引导---探究
教 学 方 法 本节课从知识结构呈现的角度看， 本节课从知识结构呈现的角度看 ， 为了实现教学 目标， 我采用“ 情境引入--- 探索思考------探索思考 ----问题解决 目标 ， 我采用 “ 情境引入 --- 探索思考 ---- 问题解决 数学建模）-----知识运用及巩固强化-----课堂小 知识运用及巩固强化----（数学建模）-----知识运用及巩固强化-----课堂小 的学习模式， 结”的学习模式，这种模式清晰地再现了知识的生成 与发展的过程，也符合学生的认知规律。 与发展的过程，也符合学生的认知规律。从教学内容 的性质出发，充分利用实际问题， 的性质出发，充分利用实际问题，尽可能的增强教学 的互动性和可操作性， 的互动性和可操作性，强调学生的动手操作能力和团 队合作精神，通过丰富多彩的集体讨论，小组活动， 队合作精神，通过丰富多彩的集体讨论，小组活动， 以合作学习促自主探究。 以合作学习促自主探究。
绵阳实验高级中学
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教 学 程 序 设 计
情境引入
探索思考
问题解决 数学建模） （数学建模）
课堂小结
知识运用 及巩固
素质教育课堂教学设计一例_球面距离及其求解
2000年第5期 九江师专学报(自然科学版)总第106期No15,2000 Journal of Jiujiang Teacherπs College(Natural Science)Sum No1106素质教育课堂教学设计一例———球面距离及其求解邓更生Ξ(江西九江三中 江西九江332000)1、课题:此课是“球的概念和性质”的第二课时,上一节课学习了(1)球面、球体、球心、球的半径、直径;(2)球的截面性质;(3)大园小园及地球的经纬度;(4)求地球上同一纬度圈上两地间的纬度长等有关知识。
这一节课学习的内容是:球面距离及其求解。
“球面距离”是立体几何中继“异面直线距离”“点到面的距离”“线到面的距离”“面到面的距离”之后,又一重要距离,其概念的产生和形成,不但加深学生对球面及球的截面的理解,而且在求其解的过程中,沟通了立体几何中三个重要成角(线面成角、面面成角、异面直线成角)概念。
“球面距离”具有十分重要的实际应用,通过对它的学习,使学生认识到数学源于实践又作用于实践;通过对它的学习,可以培养学生学习数学,用好数学的思想品质;通过对它的学习,可以使学生掌握有关地理知识,增强综合素质。
2、教学目标:211 知识目标:(一级目标)理解球面距离的定义;(二级目标)熟练掌握地球上同经度、赤道上两地间的球面距离求解;(三级目标)掌握地球上同纬度不同经度两地间的球面距离求解;(潜在目标)思考地球上不同纬度又不同经度两地间的球面距离的求解。
212 能力目标:通过对“球面距离定义和求解”的学习、培养:(1)数学直觉思维能力;(2)空间想象能力;(3)几何计算能力;(4)数学实际应用能力;(5)分类思想;(6)有关地理知识。
213 非智目标:发挥学习小组讨论的作用,让学生之间得到磋商、交流、互补,促进数学学习,以“富”带“穷”,提高学习的积极性,培养团结、务实的学习风气,学生之间、师生之间的情感得到比较充分的交流。
浅析“球面距离”概念的教学
浅析“球面距离”概念的教学上海中学数学?2010年第l2期37一,问题的提出浅析"球面距离"概念的教学200050上海市长宁教育学院沈子兴"球面距离"是立体几何中的重要概念,上海市二期课改教材(高三年级)第41页关于"球面距离"的概念是这样阐述的:"可以证明,在连接球面上两点的路径中,通过该两点的大圆劣弧最短,因此该弧的长度就是这两点的球面距离."最近在上海市青年数学教师教学评优中,共有8节课,课题都是"球面距离",可谓同课异构,各显神通,精彩纷呈."异构"中最大的差异就在于"球面距离"概念教学的处理,课本中"可以证明"这几个字让教师费尽心机,让学生疑虑重重.听完课以后,观摩教师议论纷纷,总感到"球面距离"概念的教学有欠缺,大家都存在这样的疑问:"球面距离"的概念到底该如何教?首先让我们一起赏析几位参赛教师的教学设计.二,教学设计及分析设计一:情境引入,呈现概念(以下为师生的一段对话)师:在三棱柱ABC_A1B1C1中,一只蚂蚁在平面A1.B上某一点P处向平面B1C上一点Q处爬行,蚂蚁爬行的最短路径如何确定?生:将三棱柱沿着棱A1A展开成平面图形,平面上两点间线段最短,连接PQ的线段长即为所求最短距离.师:在圆柱和圆锥中也有类似的问题,我们也是通过这种方法解决问题的.那么在球上两点A,B之间,它们的距离又该如何确定?课本上是这样定义的:(略)(接着,通过一个练习,强化定义,落实关键词:大圆,劣弧.)【赏析】本设计通过实例揭示距离的本质是"最短",直接给出球面距离的概念,开门见山,使学生很快了解了球面距离概念的两个关键词"大圆,劣弧",很快进入"如何求两点间的球面距离?"的环节,显然教学的重点是掌握球面距离的计算方法.但情境的刨设不尽合理,虽然展开图让学生知道了距离本质是最短,但同时也强化了另一认识:在空间图形中要求距离就需要展开图.听课时笔者在担心:在教师提出如何求球面上两点之间距离时,假如有学生提出将球面展开成平面图形,教师又该如何回答?如果教师讲球面不能展开成平面图形,学生追问为什么,教师该如何解释?"可以证明……"这句话是难以让学生信服的,这些都给学生留下了谜团.设计二:1.实例引入,形成冲突上海在靠近北纬3O度东经120度A点,美国洛杉矶在靠近北纬3O度西经120度的B点,上海航空公司的航班客机从上海飞往洛杉矶, 请你设计飞机航线.2.动手实验,探索新知在地球仪上,选定上海和洛杉矶两点,用橡皮筋两端固定并绷紧,这就是球面上两点间的最短距离.再用几何画板演示,过球面上两点的圆中,半径越大,劣弧越短.3.思辨论证,得出结论为了体现数学的严密性,必须对实验结果严格论证,但证明过程中涉及到函数—slnx~E(0,)上的单调性.几位教师的处理各有特厶色,大致有三种处理方法:一种是由于证明较复杂,留给同学们课后思考;第二种是利用单调性的定义,借助于三角比的不等式0<sinx< tanx,∈(o,-5"-)进行放缩,得出结论;第三种作厶出—sinx在zE(0,-5"-)图像,在图像上任取一厶点P(x,sinx),当从0增加到时,从图上直'观地看到,直线OP的斜率越来越小,因此说明函数.)I:在E(o,詈)上单调递减.厶4.形成概念,完善结构在以上基础上,给出球面距离的概念,突出关键词,揭示距离的本质,即最小性.【赏析】本设计中教学的重点设定在揭示球面距离概念的形成过程,通过设计一个实际问题情境, 32上海中学数学?2010年第12期使学生的认识与实际情况之问出现矛盾,产生冲突,激发学生的探究欲望,接着从研究方法上进行引导,先从实验出发,形成感性认识,再从数学的角度进行严格的证明,整个过程展示了实验猜想…论证这一科学研究的基本方法,让学生经历了概念形成过程,通过与其它距离的比较,加深了对球面距离概念的理解,并将球面距离的概念纳入到距离概念的体系之中, 进一步完善学生的知识结构.但不足之处是显然的:1.教学情境的创设必须与本节课研究的问题密切相关,本设计所用实例"飞行航线的确定"不仅是航线最短的问题,最主要的是安全问题,设计航线涉及的因素很多,包括气流的变化,地形地貌的变化,因此让学生设计航线就很困难,这类题属于指向不明,虽然激疑,但疑惑的解决与本节课所学习, 研究的内容没有很直接的因果关系,不能将学生的思维聚焦在"距离"上.没有发挥情境应有的作用.2.对函数一三在∈(0,)的单调性,￡'虽然各自处理方法不同,但从课堂上学生的反应来看,这三种处理方法都不妥当,都没有达到效果.留给学生课后思考,对绝大多数学生来说是一句卒话.都已经到了这一步,突然停止."早知此刻,何必当初"呢?第二种处理方法,教师花费力气将结论加以证明,由于证明难度较大, 对绝大多数学生来说这个证明是无效的,同时又为本节课制造了一个新的难点,是否有喧宾夺主的嫌疑,花费了许多时问,完成了一个对本节课来说是"非主流"的证明,使得后面的教学非常急促,实在不值得.第三种处理方法虽然设想得很巧妙.但从图像上直线OP斜率的变化情况也是不容易看出的,而且也不能达到严格证明的目的,完全可以在开始时就直接通过直观演示得出结论,不必要绕这么大的一个圈子, 因此从教学的实际来看,要说明"过A,B两点的圆中,半径越大,劣弧越短"的结论,不宜将问题引到函数y一在∈(0,鲁)的单调性进f'行讨论,否则不仅浪费了时间而且又讲不清楚, 教师费尽心机.学生形同雾里看花.三,对教学的启示1.情境的创没应具有启发意义,能让学生进入情境后对新问题的解决有导向作用,因此创设情境环节应强调"两个适合":一是适合学生,情境是学生熟悉的,感兴趣的才能引发思考;二是适合后续问题的展开与研究,设置情境引发思考,要对后续问题的解决具有启发意义, 且具有一定的逻辑关系及类比关系,绝不能让学生在情境中迷失方向,节外生枝.2.数学中无论是概念还是定理,法则的教学,都需要一个让学生认同,接受的过程,尽管只有一个概念如"球面距离".学生仍会有很多疑虑:为什么过球面上两点作截面与球的交线一定是圆?为什么过这两点的大圆的劣弧最短?可能有教师认为学生现有的知识不能解释这些问题,但绝不能用"可以证明"四个字蒙混过关,虽然不能证明,我们可以借助多媒体,通过直观的演示让学生感受到"确实是这样",消除疑虑,才能进一步地学习,否则总是学生的一块"心病".3.《上海市中小学数学课程标准》对球面距离的教学给出了明确的要求:知道球面距离和经度纬度等概念,进一步认识数学与实际的联系.由此可以看出教学设计二的教学要求是偏高了,并且与学生现有水平有了距离.新教材与旧教材相比,立体几何内容变化最大,新教材对立体几何教学的要求是加强直观,淡化沦证,转化方式,降低难度.因此对一些学生难以理解的概念,性质,可更多地借助于直观模型,借助于媒体,直观地描述空间图形特征,加深学生的理解,而对一些复杂线面关系的证明转化为利用空间向量处理,这样有效地解决了几何学习证明难的问题,包括一些角的计算如线面角,二面角等,都转化为向量所成的角进行计算,因此在立体几何学习过程中,如果每个结论都要利用课堂时问进行严格证明,显然是不可取的.四,教学建议1.教学情境的设计应符合学生的认知心理,使学生感到数学问题来源于现实生活.例如:上海在靠近北纬3O度东经12O度A点,美国洛杉矶在靠近北纬3o度西经120度的B点, 问上海到洛杉矶的最短距离是多少?2.概念的引入通过实验…观察一归纳的过程,采用直观与论证相结合的办法实现.如:在地球仪上,选定上海和洛杉矶两点,学生用橡皮筋两端固定并绷紧,从而感受到这就是球面上两点间的最短距离.再用几何画板演示.过球面上两点的圆中,半径越大,劣弧越短.如果只是老师讲解哪段弧最长最短,学生不太相信,难以接受,而通过亲手实验,动手操上海中学数学?2010年第l2期33一节动态生成的习题探究课315500浙江省奉化二中金晖浙江省奉化中学孙伟奇教学有预设的一面,也有生成的一面.从某种意义上说,课堂教学中的生成比预设更有意义和价值.在生成的过程中,师生双方超越了传统的教与学的理念,积极互动,课堂中充满了对智慧的挑战和对好奇心的满足,焕发了师生的生命活力.精彩往往缘自生成!最近笔者就上了这样一节高三习题课.案例记录一,抛砖引玉,发现结论例已知抛物线—4x的焦点为F及其准线上一点M(一1,1),经过点F任作一条直线交抛物线于A(l,Ly1),B(x2,yz)(.yl>0,2<O)两点,则是M4+是Ⅷ一()11A.÷B.1C.一÷D.一1厶题目刚拿出不久,就有个同学举手了.生1:答案是D吗?师:非常正确,你在这么短的时间就做出答案了,真是太了不起了,你能告诉我你是怎么思考的吗?生1:通过点M我可以求出抛物线的方程,然后直线既然是任意的,那我就取了一条特殊的垂直于轴的,这样A,B两点的坐标就求出来了.其他的同学都哗然了,纷纷在小声地赞叹他.师:你真是太聪明了!作为选择题,我们就作后,学生有了感受,对这一结论也就信服了,并借助于媒体演示在同一平面上过A,B两点的圆中,"半径越大,劣弧越短"的现象,让学生从感性上认识到这个结论是正确的,是不容置疑的,如果教师想严格论证,那将会陷入困境,因此在立体几何教学中学生的直觉思维非常重要,有些问题学生目前没有能力进行严格论证, 但这是一个正确的结论,那么可以通过实验,通过观察图形的变化验证这一结论,这样学生的"思维链"不会断裂,保证了学生思维的流畅性, 从而对这一问题形成正确的认识,在此基础上引出球面距离的概念就显得很自然.应该选择最优的解法,取特殊的元素就是非常好的做法.值得推荐!上面的题目是点M为定点,直线动,现在若反过来呢?在这道题的基础上,笔者将其做了以下变式:变式l:已知抛物线Y0—4x的焦点为F及其准线上一点M,经过点F作倾斜角为6O.的直线交抛物线于A(zl,y1),B(X2,y2)(yl>0,y2<O)两点,若+尼:m,则是MF一.学生很快给出下面的解答:解:设M(～1,a),联立直线与抛物线的方fv2—4x一1程:c一,可解得A(3,2√3),B(÷,【=43(一1)29一—一a一).又因为是_Ⅵ4+尼=m,所以有一.1一(一1)+二f_一,&一一,所以一.十——,&一一,所以定一百. 笔者在备课时觉得像这样挖掘一下就差不多了,顶多再把抛物线方程变得更一般些,根本没有往深的地方去想,可是学生的反应远远超出我的预料.生:我觉得上面的题目好像有志+忌MB一2七M,这个结论,我验证了刚才的那道题也是成立的.很快有一部分同学都表示赞同,但也有人表示怀疑:"会不会是巧合啊?".师:想知道结论是否恒成立,大家自己去证3.概念形成后应强化对关键词的理解.球面距离的概念出现之后,必须对概念进行分析,揭示其内涵和外延,明确定义中的关键词:大圆,劣弧,这样更有利于学生对概念的理解和记忆.由以上的分析可以看出,在教学过程中必须正确把握教学基本要求,根据学生的实际设计科学而且合理的教学过程,立体几何教学是高中新课程的难点,要突破这一难点,教师不仅要正确掌握教学的内容,而且要准确把握新旧教材的差异,这样才能使新课程的教学要求真正落到实处.。
高中高三数学《球面距离》教案、教学设计
三、教学重难点和教学设想
（一）教学重点
1.球面距离的定义及其与欧几里得距离的区别。
2.球面三角学基本公式的掌握和应用。
3.球面距离在实际问题中的计算和运用。
（二）教学难点
1.球面距离概念的理解，尤其是球面余弦定理和球面正弦定理的应用。
2.空间想象能力的培养，尤其是在解决球面角、球冠、球扇形等问题时的运用。
3.学生对球面距离计算的熟练程度和准确性。
教学设想：
1.创设情境导入：通过引入地球表面两点之间的最短距离问题，激发学生对球面距离的兴趣，引导学生思考球面距离与平面距离的区别。
2.理论知识讲解：采用形象直观的多媒体教学手段，如球面模型、动画等，帮助学生理解球面距离的概念。结合实际例题，详细讲解球面三角学的基本公式，强调公式的适用条件和注意事项。
3.案例分析与讨论：选取具有代表性的例题，组织学生进行小组讨论，培养学生的合作交流能力和解决问题的能力。在讨论过程中，教师应及时解答学生的疑问，引导学生正确运用球面三角学公式。
4.练习巩固：设计不同难度的练习题，让学生在课堂上及时巩固所学知识。针对学生的错误，教师应进行分析和指导，帮助学生找到问题所在，提高计算准确率。
在教学过程中，教师应注重引导学生主动探究、合作交流，培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力。具体包括以下方面：
1.创设问题情境，引导学生通过观察、思考、讨论，发现球面距离的计算规律。
2.利用多媒体教学手段，如球面模型、动画等，帮助学生建立空间概念，理解球面距离的计算方法。
3.组织学生进行小组讨论，培养学生合作交流的能力，提高学生的数学表达水平。
数学15.6球面距离教案沪教版高中三级第一学期
球面距离的发现教学目标：1. 认知目标：理解球面距离的合理性，掌握几种简单球面距离的求法,改进有关“距离”的认知结构．2. 能力目标：渗透类比、猜想及“数学化”的思想，提高动手实验、合情推理的能力，培养数学交流能力，体验基本的“科研”方法．3. 情感目标：通过“做数学”，亲历“球面距离”的形成过程，并体验研究与成功的快乐，感悟“数学美”，激发学习热情，并潜移默化地得到热爱地球、热爱科学的德育熏陶；树立正确的“数学观”并初步形成创新意识和科学精神．教学重点：球面距离发现过程及激励学生主动参与、相互协作、探索研究的精神．教学难点:实际问题数学化（建模），球面距离定义的合理性．教具学具：TI-92Plus图形计算器、计算机、实物投影仪、橡皮筋、地球仪等．教学过程1．创设问题情境引发研究课题教师：同学们，今天是6月6日，请问昨天（6月5日）是一个什么日子？学生众：世界环境日！教师：对！是第30个世界环境日．联合国环境规划署将今年的环境日主题确定为：“让地球充满生机”，如果说上个世纪是人类环境意识觉醒的世纪，那么，新世纪将是人类保护环境、拯救地球开始采取切实可行的实际行动的世纪.为纪念并庆祝这一节日，我们今天研究一个关于地球的问题．引例（计算机演示）：1993年4月7日,中国东方航空公司的MU583航班喷气客机，从上海（A）飞往美国洛杉矶（B），因受强气流影响，被迫在美国阿拉斯加州阿留申群岛（C）的某空军基地紧急降落．经过紧急处置，除60名伤员仍留在阿拉斯加的安克雷奇医院中之外，其余173名旅客已于4月9日到达洛杉矶．（用FLASH软件制作演示文稿：世界政区图及客机动画模型,略）.学生观察后提出问题：从世界地图（平面）上看似乎沿北纬300的圆“直行”最近，可为什么从上海飞往洛杉矶的飞机会迫降在东北方向的阿拉斯加呢？这岂不是在绕远道吗？老师：同学们，生活中处处有数学，就看我们是否有发现的眼睛了．对于这一现象我们该做何解释呢？我们能用数学的观点给出一个合理、科学的解释吗？进而，我们能把这个问题一般化吗？（回答多种多样，但最终统一到选择航线的主要标准是什么？——行程尽可能短．问题的一般化——球面上两地间的最短路线是什么？）师：那么，怎样的航线可能最短呢？生1：沿纬线圈走可能短些．生2：不对，从上海飞往洛杉矶的飞机绕道东北方向的阿拉斯加这一现象，可以说明沿纬线圈走不是最短．生3：对地球上任意两点来说，并不是都有同一纬线经过它们，所以沿纬线圈走不可能总是最短．师：非常好！同学们的讨论说明这是一个值得研究的问题．即，到底什么是球面上两点间的最短路线?目前还不知道，那么,能否想起与这个问题类似而已经研究过的问题吗？生4：蚂蚁在正方体的表面上从一个顶点爬行到相对顶点的最短路线问题．生5：在圆锥、圆台侧面上爬行也可提出类似的问题．生6：上述问题的解决方法是相同的，都是将空间图形展开成平面图形，利用两点之间线段最短，使问题获解．师：非常好！对我们的问题有帮助吗？生7：把球面展成平面图形……生8：球面不能展成平面图形！师：有这方面的经验吗？生9：吃剩下的西瓜皮无论怎样切，它总是展不平．师：对，球面是不可展的，这一点与多面体、圆柱、圆锥、圆台有本质的不同．那么，这些问题的解决方法对我们现在的问题有帮助吗？学生10：有！前面那几个“最短路线”都是“平面曲线”它类似于直线，因此，可猜想球面上两点间最短的路线也是一条类似于“直线段”的曲线的长，它可能是某个平面与球面的交线，也就是一条特殊圆弧的长．师：好极了，经验和直觉都告诉我们，球面上两点间最短的路线应是一条特殊圆弧．而在球面上经过两点的圆弧有无数多条，哪一条最短？同学们，数学是一种活动，不仅应该动脑，也应该动手，请同学们以小组为单位，动手探索球面上两点间的最短路线，并给出你的猜想．2．动手实验探索新知学生以小组为单位，利用地球仪、橡皮筋,协作实验探索，2～3分钟后，学生11、12到前面提供了实验1: 一位同学将橡皮筋的两头分别置于地球仪的上海和洛杉矶处(此时橡皮筋已被伸长),另一同学将橡皮筋在球面上来回移动，由于“摩擦力”的作用，橡皮筋并不是总回到“理想”位置，两同学面露难色．此时，一位女生跑上前去，提起橡皮筋的中部再突然放开,由于弹性的作用, 橡皮筋停止于最短的状态（同学们报以热烈掌声，团结协作精神也体现的淋漓尽致）．由经验猜想:沿橡皮筋这条弧线航行行程最短．师：wonderful！同学们，科学需要观察，但观察并不总是可靠的，眼睛有时也会欺骗我们．谁能进一步说明或者推翻他们的这一结论？生13：（实验2）借助TI-92Plus图形计算器中“几何画板”功能，做出以线段AB为公共弦的若干圆，并用画板中的度量功能，分别测算出这几个圆中AB弦所对的劣弧的长，不难发现，较大的圆中AB弦所对的劣弧的长较小．（用实物投影仪演示,如图1）猜想1：以线段AB为公共弦的若干个圆，以半径较大的圆中AB弦所对的劣弧长较小.生14：由于地球上大圆的半径最大，根据上述猜想1，学生11、12的结论是正确的，即地球上两地间的最短路线就是经过这两点的大圆在这两点间的劣弧．3．思辩论证，得出结论师：经过上面的实验和探索，我们已基本上“认同”了上述猜想，但“认同”毕竟不是“论证”．数学的一大特征是它的逻辑严谨性．我们能证明这一猜想吗？首先，我们要先弄清问题（将实际问题数学化—建模）．生15：（实物投影）如图，AB 是圆O 1和圆O 2的公共弦，O 2A ＞O 1A ，求证：AmB AnB >．分析：分析：设∠A O 1B=2α，∠A O 2B=2β，O 2A=R,O 1A=r, 则0＜β＜α＜2π，0＜ r ＜R ．欲证，AmB AnB >，即：2αr ＞2βR （公式化），也就是，α·αsin AB ＞β·βsin AB ， ααsin ＞ββsin ，或证，ααsin ＜ββsin ．又因为y=x x sin （0＜x ＜2π)是单调减函数，所以，问题得证．在球面上，由于，大圆的半径最大，所以，大圆中所对的劣弧最短．师：同学15用他浓郁的家乡话再一次向我们展示了他的聪明才智．但，我们也注意到在他的证明中用到了“sin x x y =（0＜x ＜2π)是单调减函数”这一结论，而它的证明有一定的困难，我们能检验这一结论吗？生16：能！用TI 图形计算器，从下图示中，我们不难发现函数sin x x y =（0＜x ＜2π)是单调减函数．师：漂亮！这从“形”的方面支持了同学15的证明是正确的，若那位同学能从“数”的一面给出证明，将显得严谨有力．由于时间的关系，这个问题留给感兴趣的同学课下研究．师：我们已证明了上述猜想是正确的，那么，我们给球面上任两点这一条最短的路线的长度取个什么名字呢？生众：两点间的球面距离．（多媒体演示课题：球面距离）师：好，请同学们用数学语言陈述球面距离的定义．生17： …（投影球面距离的定义，略）师：由上不难知道，为什么飞机、轮船都是尽可能以大圆劣弧为航线了． O 2O 1A B R m nr4．看图辨析强化概念师：请同学们观察下列球面模型（多媒体演示，略）中，标出的弧AnB的长是不是A、B两点的球面距离？同学通过观察、比较总结出球面距离概念的内涵：（1）A、B两点必须在大圆上;（2）是大圆在这两点间的劣弧（或不超过半圆弧）的长度 .5．距离扩张的历程回顾师：好，经过同学们的探索、研究发现了球面距离的概念，扩大了知识、提高了能力．请回忆,以前我们还学习了哪几种几何基本对象间的距离？它们有什么共同的特征？经过学生的讨论可以回忆出下面各种距离：（演示文稿）两点间的距离点到直线的距离异面直线间的距离点到平面的距离平行直线间的距离平行平面间的离平行于平面的直线与平面间的距离共同的特征：存在性、最小性、唯一性，是一条特殊线段的长．师：正如同学们总结的那样，以前各种“距离”都是一条特殊线段的长，而“球面距离”却是一条特殊的圆弧长．但是，它们都是平面“曲线”,具有“最小性”和“唯一性”，体现了数学概念“和谐发展”．6．例题分类寻求解法师：数学来源于生产与科研实践，又服务于生产与科研实践．例1．东方明珠香港于97年7月1日回归祖国，之前京九铁路也已全面贯通．请计算北京（约北纬400、东经1160）与香港（约北纬220、东经1160）的距离大约是多少千米？例2．求上海到洛杉矶的距离．（上海和洛杉矶的纬度差不多都在北纬300稍北的位置，而上海的经度为东经1200稍偏东，洛杉矶的经度为西经1200稍偏西）．例3．2004年的奥运会在雅典举行，2008年的奥运会在北京举行．请计算北京与雅典之间的距离．（供学有余力的同学课后研究）同学们借TI图形计算器分组得出了例1、例2的答案，为规范书写格式提供“标准”答案仍是必要的（用文稿演示，略）．师：例3的解决有一定的困难，请有兴趣的同学课下研究，我期待着你们的成功．从经纬度来看，球面距离问题可分为几种类型？如何解决？生18：1.同经度不同纬度的两地间的距离—经度差的绝对值乘以地球半径；2.同纬度不同经度的两地间的距离—先在纬度圈（小圆）中求出弦长，再在大圆中求出这两点的球心角，进而求出劣弧的长，即：线段AB的长——→∠AOB的弧度数——→大圆劣弧AB的长；3.经、纬度都不同度的两地间的距离．生19：计算球面距离的关键是先求出此两点所对应的球心角，再根据弧长公式即可求出劣弧长，即这两点的球面距离．师：非常好！同学们先做后说，提炼出了程序性、操作性的方法，这就是算法．7.课题小结交流体验师：同学们，一节课在不知不觉中就要过去了，愉快的时光总是显得那么短暂．下面就请同学们小结一下，你有何收获和体验？生：……师：随便说，一句不少，十句不多．生20：数学无处不在、无处没有．现实生活中存在着大量的数学问题，我们要养成用数学的眼光观察、发现、分析、解决实际问题的习惯，做有数学头脑的人．师：实际问题数学化是重要的数学能力，也是数学素养的体现．生21：这节课跟以前的数学课不大一样，更像物理课．通过观察、转化、猜想、实验、证明，不仅知道了什么是球面距离，还了解了研究问题的一些方法．师：方法往往比知识重要，而探索方法的过程更重要．生22：TI图形计算器是我们探索数学奥秘的好帮手，能使我们更好地发现、探究和理解数学．生23：这样上课很好玩、很有趣．好像是在“做数学”．师：朴素的语言，真实的感受．以上同学都谈的非常好，对体验、方法和球面距离的具体求法进行了总结．我相信其他同学也定会有不少感受，这样吧，请同学们课下将学习体会写出来，下周一交给课代表．.结束语：同学们，6月5日是世界环境日，无独有偶，每年的4月22日为世界地球日．人类只有一个地球，为了明天更美好，为了我们的子孙后代，人类必须“善待地球”，为此，首先要更多地了解地球，那么,我们还应研究球体的那些问题呢？生众：面积和体积！师：对，下一节我们将研究这些问题．这一节课，同学们表现的都非常出色，祝同学们学习成功，下课！案例分析“距离”是数学中重要的“源”概念，作为中学八种距离中的最后一个的“球面距离”，因为不能像其它距离那样可以转化成一条特殊线段的长而成为学生的认和难点，所以，“球面距离”对于学生来说是一个极富有挑战性的问题．如何让学生在愉悦的环境中主动地对“球面距离”进行有意义的建构，并且在思维能力、人文素养等方面得到提升是本教案设计的初衷．本课例，以现代建构主义理论为指导，辅以TI技术教育手段，既重视了学生“知识”和“技能”的学习，又注意思想方法的渗透和使用，并且，创设了一个很好的情景，使得既能向学生渗透“环保”的有关思想，又能自然地感受到拓展“距离”概念的必要性，同时，把探索发现“球面距离定义”的过程，作为教学重点，“既教猜想、又教证明”，准确地抓住了实际问题数学化和定义的合理性．对球面距离定义的合理性，学生在原有的知识和经验的基础上，不难理解它的存在性和唯一性，但，对球面距离为什么是大圆劣弧的长颇感困惑．美国数学家哈尔莫斯说：“学习数学的唯一方法是做数学”．由于TI技术能以更多的方式向学生提供刺激(多元联系表示)，产生直观丰富的形象，从不同侧面认识数学的中的同一个对象(球面距离)，因而可以突破传统技术在时空上的限制，表现传统技术所不能表现的内容．学生通过亲自动手实验，辅以TI图形计算器的支持，可以地看到球面距离概念的形成和发展过程，深刻理解了概念的本质．教材上对球面距离的处理是重计算、轻发现，枯燥、乏味，给人一种冰冷的感觉．而人类(学生)对数学的思考、发现却是火热的、生动活泼的．因此，本节课又遵循了“返璞归真”原则，把“球面距离”的学术形态转化为教育形态，“把冰冷的美丽变为火热的思考”．整个教学过程，沿着发现问题——提出问题——分析问题——探索和解决问题的途径展开，在师生共同参与下，亲历了知识生长(即“球面距离”概念的形成)过程，学生不仅认识到当前这个概念是应运而生，又是合理的(承袭了“距离”概念的极小性、存在性、唯一性，又有所不同——由直线段变成了圆弧的长)，而且，通过对拓广与承袭关系的分析，把新旧知识联结起来，形成更为完善的有关“距离”的认知结构(包括计算方法)．在亲历“球面距离”概念的形成和发展过程中，学生的创新精神得到了高扬、创新能力得到了培养，特别是为每一个学生个性的充分展开创造了空间，课堂上洋溢着浓郁的人文精神，体现着鲜明的时代特色．。
地球上两点之间的球面距离(卫福山)
地球上两点之间的球面距离的教学设计与思考卫福山（上海市松江二中）一、教学内容分析球面距离是上海教育出版社数学（高三）第15章简单几何体第6节内容，《上海市中小学课程标准》对球的要求是：类比关于圆的研究，对球及有关截面的性质深入探讨；知道球的表面积和体积的计算公式，并会用于进行有关的度量计算；知道球面距离和经度、纬度等概念，进一步认识数学和实际的联系.在本节中，引导学生理解球面距离的概念（这不同于一般的直线距离），原因在于球面不能展开成平面.然后具体探究了如何求同纬度不同经度、同经度不同纬度、不同经度不同纬度的地球上两点之间的距离的求法，特别强调将其中的线面关系转化为多面体（主要是特殊的棱锥）来分析，并综合使用扇形、弧长、解三角形等数学知识.在探究球面距离的计算中培养了学生空间想象能力和探究性学习的能力.二、教学目标设计1、 知道球面距离的定义，知道地球的经度与纬度的概念，会求地球上同经度或同纬度的两点间的球面距离.2、 在解决问题的过程中，领会计算地球上两点间的球面距离的方法.3、 在实际问题中，探索新知识，成功解决问题，完成愉悦体验.三、教学重难点教学重点：掌握计算地球上两点间的球面距离的方法.教学难点：如何求地球上同纬度的两点间的球面距离.四、教学内容安排（一）、知识准备1、联系右图及中学地理中的有关知识认识地球——半径为6371千米的球.（理想模型）2、经度、纬度等相关知识地轴:连结北南极的球的直径,称为地轴.经线:经过北南极的半大圆,称为经线.本初子午线:它是地球上的零度经线,分别向东和向西计量经度，称为东经和西经,从0度到180度.经度:经线所在半平面与零度经线所在半平面所成的二面角的度数.参见右图.赤道:过球心且垂直于地轴的大圆,称为赤道.赤道的圆心就是球心.纬线:平行于赤道的小圆,称为纬线.位于赤道以北的称为北纬,位于赤道之南的称为南纬.纬度:球面上某点所在球半径与赤道平面所成的角.从0度到90度.参见上图.3、 球面距离在球面上两点之间的最短距离就是经过这两点的大圆在这两点间的劣弧的长度——这个弧长叫两点的球面距离.问题：为何最短距离是经过两点的大圆的劣弧解释如下：如图所示，A 、B 是球面上两点，圆O '是经过A 、B 的任一小圆（纬线圆），O 是球心，设,,AOB AO B θα'∠=∠=,(0,),αθπ∈地球半径为,OA OB R ==小圆半径为,O A O B r ''==则A 、B 两地所在的大圆劣弧长为1,s R θ=小圆的劣弧长为2,s r α=下面只要说明12s s <即可。
人教版高中选修3-3第二讲球面上的距离和角教学设计
人教版高中选修3-3第二讲球面上的距离和角教学设计一、教学目标1.理解球面上两点之间的距离和球面上的角的概念。
2.掌握球面上两点之间的距离和球面上的角的计算方法。
3.能够应用球面上的距离和角的知识解决实际问题。
二、教学重点和难点1.球面上两点之间的距离的计算。
2.球面上的角的概念和计算方法。
3.应用球面距离和角解决实际问题的能力。
三、教学内容及安排1. 球面上两点之间的距离（1）概念介绍球面上两点之间的距离的概念。
通过视频、图片等多种形式讲解，让学生直观感受两点之间的距离。
（2）计算方法讲解球面上两点之间的距离的计算方法。
通过例题讲解，让学生掌握计算球面距离的方法。
（3）练习让学生在教师的指导下，自主完成练习题，巩固所学知识。
2. 球面上的角（1）概念介绍球面上的角的概念。
通过视频、图片等多种形式讲解，让学生理解球面上的角。
（2）计算方法讲解球面上角的计算方法。
通过例题讲解，让学生掌握计算球面角的方法。
（3）练习让学生在教师的指导下，自主完成练习题，巩固所学知识。
3. 应用实际问题（1）例题分析让学生分析例题并应用所学知识解决实际问题。
通过讲解例题及其解法，让学生掌握应用球面上的距离和角解决实际问题的方法。
（2）练习让学生在教师的指导下，自主完成练习题，巩固所学知识。
四、教学方法1.演示法：通过视频、图片等多种形式展示球面上的距离和角的知识，让学生直观感受。
2.讲解法：详细讲解球面上距离和角的概念及计算方法。
3.练习法：通过让学生自主完成练习题，巩固所学知识，提高应用能力。
五、教学手段1.课件展示：通过PPT等形式展示教学内容，让学生更清晰地了解所学知识。
2.视频展示：通过播放相关视频，让学生直观感受球面上的距离和角的概念及应用方法。
3.练习册：提供练习册让学生自主完成练习题，巩固所学知识。
六、教学评价1.学生掌握的知识点和技能能否达到教学要求。
2.学生的实际应用能力。
3.学生的参与度和合作度。
人教版高中选修(B版)3-31.3球面上两点间的距离和球面直线教学设计
人教版高中选修(B版)3-31.3球面上两点间的距离和球面直线教学设计一、教学目标1.掌握球面上两点间的距离的计算方法；2.掌握球面直线的方程和参数方程的求解方法；3.培养学生的数学思维能力和解决实际问题的能力；4.提高学生的空间想象能力和数学表达能力。
二、教学重难点1.教学重点：球面上两点间的距离的计算方法和球面直线的方程、参数方程的求解方法；2.教学难点：应用球面上两点间的距离和球面直线的方程、参数方程求解实际问题。
三、教学内容与方法1. 教学内容本节课的教学内容主要包括以下几方面：1.球面上两点间的距离的定义和计算方法；2.球面直线的定义、方程和参数方程的求解方法；3.应用实例分析。
2. 教学方法本节课的教学方法主要包括以下几种：1.讲授法：通过讲解概念、定义、公式和例题，让学生掌握求解球面上两点间的距离和球面直线的方程、参数方程的方法；2.实例演练法：通过实例演练，使学生掌握应用求解球面上两点间的距离和球面直线的方程、参数方程解决实际问题的方法；3.讨论法：鼓励学生提出问题、交流思想，提高学生的自主思考和动手解决问题的能力；4.案例分析法：通过实际问题的案例分析，激发学生学习兴趣，提高解决实际问题的能力。
四、教学步骤1. 导入环节（5分钟）让学生回顾、总结上一节课的内容，并导入本节课的教学内容：本节课我们将要学习求解球面上两点间的距离以及球面直线的方程和参数方程的方法，通过实例演练和案例分析，深入了解球面上两点间的距离和球面直线的性质和应用。
2. 课堂讲授（35分钟）（1）球面上两点间的距离的计算方法定义球面上两点间的距离，并介绍求解公式（2）球面直线的定义、方程和参数方程的求解方法介绍球面直线的定义、方程和参数方程的求解方法3. 实例演练与案例分析（55分钟）（1）实例演练做一些练习题，让学生巩固所学知识和技能。
（2）案例分析通过实际问题的案例分析，让学生了解如何应用所学知识和技能解决实际问题。
高中高三数学《球面距离》优秀教学案例
（三）学生小组讨论
1.教师将学生分成若干小组，每组针对以下问题进行讨论：
a.球面距离的计算方法有哪些？
b.如何将球面距离应用于实际问题？
c.在计算球面距离时，可能会遇到哪些困难？如何解决？
2.各小组讨论并在黑板上展示讨论成果，教师巡回指导，解答学生疑问。
5.运用信息技术手段，如几何画板、数学软件等，辅助教学，提高学生的学习效果。
（三）情感态度与价值观
1.培养学生对数学学习的兴趣和热情，使学生体会到数学在现实生活中的重要性。
2.培养学生勇于探索、敢于创新的精神，提高学生面对困难和挑战时的自信心。
3.培养学生的空间观念，使学生认识到数学知识在人类文明进步中的价值。
（二）问题导向
本节课将采用问题导向的教学策略，引导学生主动探究球面距离的计算方法。在教学过程中，设计一系列由浅入深的问题，如：“球面距离与空间直线距离有何区别？”“如何利用球面三角学知识计算球面距离？”等。通过这些问题，激发学生的思维，引导学生逐步掌握球面距离的计算方法。
（三）小组合作
小组合作是本节课的重要教学策略。在问题导向的基础上，将学生分成若干小组，每组针对某一问题进行讨论、交流和合作。小组成员之间相互支持、相互学习，共同解决问题。在这个过程中，教师要注意观察各小组的讨论情况，适时给予指导，确保每个学生都能参与到小组合作中。
4.培养学生的合作意识，让学生在团队协作中体验到共享成果的喜悦。
5.培养学生的环保意识，通过球面距离的学习，引导学生关注地球家园，培养学生的社会责任感。
三、教学策略
（一）情景创设
为了让学生更好地理解球面距离的概念，本节课将采用情景创设的教学策略。首先，通过展示地球仪上不同城市的位置，提出问题：“如何计算地球表面上两点之间的最短距离？”引发学生对球面距离的好奇心和探究欲望。接着，利用多媒体课件呈现地球的立体图像，让学生在视觉上直观地感受球面的弯曲，从而引出球面距离的学习。
球面上的距离优秀教学设计
球面上的距离【教学目标】1．掌握球面上的距离。
2．熟练运用球面上的距离解决具体问题。
3．亲历球面上的距离的探索过程，体验分析归纳得出球面的一些基本性质，进一步发展学生的探究、交流能力。
【教学重难点】重点：球面上的距离。
难点：球面上的距离的实际应用。
【教学过程】一、直接引入师：今天这节课我们主要学习球面上的距离，这节课的主要内容有球面上的距离，并且我们要掌握这些知识的具体应用，能熟练解决相关问题。
二、讲授新课（1）教师引导学生在预习的基础上了解球面上的距离内容，形成初步感知。
（2）首先，我们先来学习球面上的距离，它的具体内容是：1．劣弧上的长度是球面上两点之间的最短路径；2．我们把它称为球面上两点之间的距离；3．球面上连结两点之间的最短路径是经过这两点的一段大圆弧——劣弧。
4．对径点：如图，因为球面上的两个大圆所在的平面都经过球心O，所以这两个大圆所在的平面有一个公共点，因此这两个平面必有一条过球心O的相交直线，这条相交直线显然是球面的直径所在直线，两个大圆的交点是这条直经的两个端点A，A'。
我们把球的直径的两个端点A，A'称为对径点。
因此，两个大圆相交于对径点A，A'。
它是如何在题目中应用的呢？我们通过一道例题来具体说明。
例：已知地球半径为R，A、B两点均位于北纬45度线上，点A在东经30度，点B在东经120度。
求在北纬45度圈上劣弧AB的长度。
解析：教师板书根据例题的解题方法，让学生自己动手练习。
练习：已知地球半径为R，A、B两点均位于北纬45度线上，点A在东经30度，点B在东经120度。
求经过A、B两地的球面距离？三、课堂总结（1）这节课我们主要讲了：1．劣弧上的长度是球面上两点之间的最短路径；2．我们把它称为球面上两点之间的距离；3．球面上连结两点之间的最短路径是经过这两点的一段大圆弧——劣弧。
4．对径点：我们把球的直径的两个端点A，A 称为对径点。
（2）它们在解题中具体怎么应用？四、习题检测1．为什么球面上两个大圆必定相交。
“球面距离”的结构化教学设计案例
第五届全国高中数学青年教师观摩与评比活动《球面距离》说课稿
诚西郊市崇武区沿街学校球面间隔的教学设计说明课题：球面间隔教材:高级中学课本数学高三年级〔出版社出版〕一．教学内容的地位、作用分析球是我们在日常生活中经常见到的熟悉而特殊的一种旋转体。
在学生已经掌握圆柱、圆锥的概念和性质后进一步探究球的相关性质，使学生摆脱旋转体的母线只能是线段的狭隘理解，也是对旋转体知识体系的完善。
球面间隔是在学生理解了球的有关概念及性质根底上的一节内容，它既是教材中关于球的最后一个知识点，也是立体几何中继“异面直线间的间隔〞、“点到平面的间隔〞、“直线到平面的间隔〞、“平面到平面的间隔〞之后又一间隔概念,是高中阶段研究的最后一种间隔。
区别于其他间隔的是“球面间隔〞是一段圆弧的长度。
学习球面间隔，有助于学生空间想象才能的培养，有助于学生思维才能的训练与进步。
它不但能加深学生对球面及球的截面的理解,而且在求其解过程中,可以帮助学生运用扇形、弧长、解三角形等众多数学知识，并且沟通了立体几何中两个重要的角(直线和平面所成的角、二面角)的概念，具有本质的教学意义。
另外，“球面间隔〞具有一定的实际应用意义。
通过学习，使学生认识到数学源于理论又作用于理论，同时数学中的球面间隔与地理中的经纬度等知识的综合运用，表达二期课改中学科整合的思想。
二．教学目的和重点、难点分析“球面间隔〞是高中数学教材中高三年级的教学内容，中小学数学课程标准对“球面间隔〞的教学要求是：知道球面间隔和经度、纬度等概念，进一步认识数学和实际的联络。
结合课程标准，我将这节课的教学目的和重点难点定为：教学目的：1.知道球面间隔的概念，会在简单情形下计算两点间的球面间隔。
2.体验将空间中的计算转换为平面上的问题的求解方法。
3.会求地球上同经度和同纬度两点间的球面间隔，感受数学知识在实际问题中的应用价值。
教学重点：会计算简单情形下球面上两点间的球面间隔。
教学难点：地球上同纬度的两点间的球面间隔的求法。
三．教学问题诊断这节课的授课对象是示范性高中的学生，他们有较好的学习习惯，有一定的口头和书面表达才能。
高二数学最新教案-地球表面上任意两点间的球面距离 精
地球表面上任意两点间的球面距离地球表面某点的位置是用纬度和经度来确定的，只要知道地表某两点的经纬度，就能求出该两点的球面距离.对这个问题，我做了分析和总结，介绍给大家，希望能有用.1．位于同一纬度圈上的两点间的球面距离的求法如果A 、B 两点在纬度为α的纬度圈上，且所在的经线平面间的夹角为θ（由A 、B 两点的经度很容易确定，θ的含义不同）（0≤θ≤π），则A 、B 两点间的球距离为)cos cos arccos(sin 22θαα⋅+=R d ①注α、θ均用弧度制表示，R 为地球半径.2.A 、B 两点位于不同的纬度圈时的情况 (1)A 、B 都位于同一半球，如北半球.设A 点纬度为α，B 点纬度为β，θ仍为A 、B 两点各自所在的经线平面间的夹角，则A 、B 两点间的球面距离d =R arccos(sin α·sin β+cos α·cos β·cos θ) ②证明：如图1所示，O 1C ∥O 2A .图1在Rt △O 1BO 中，OO 1=R sin β,O 1B =R cos β.在Rt △O 1CO 中，O 1C =OO 1cot α=R sin β·cot α,OC =.sin sin sin 1αβαR OO = 在△O 1CB 中，由余弦定理得 BC 2=O 1C 2+O 1B 2－2O 1C ·O 1Bcosθ=R 2(sin 2β·cot 2α+cos 2β-2sin β·cos β·cot α·cos θ)在△OCB 中，由余弦定理，得OBOC BC OB OC ⋅-+=2cos 222γ=sin α·sin β+cos α·cos β·cos θ,所以A 、B 两地球面距离 d =R arccos γ=R arccos(sin α·sin β+cos β·cos α·cos θ). （2）A 、B 位于不同的半球，设A 位于北半球，B 位于南半球.图2A 点纬度为α、B 点的纬度为β，θ含义同上. 则A 、B 两点间球面距离d =R arccos(－sin α·sin β+cos α·cos β·cos θ) ③证明：如图2所示，O 1C ∥O 2B ，BC ∥O 1O 2，四边形O 1CBO 2为矩形，易知BC ⊥面CO 1A ， 所以 BC ⊥AC .在Rt △OO 2B 中，O 2B =O Bcos β=R cos β,所以O 1C =O 2B =R cos β. 在Rt △OO 1A 中 ,O 1A =OA cos α=R cos α. 在△ACO 1中，由余弦定理，得AC 2=O 1C 2+O 1A 2－2O 1C ·O 1A cos θ=R 2(cos 2β+cos 2α－2cos α·cos β·cos θ), 易知 BC =O 1O 2=R （sin α+sin β）,所以 在Rt △ABC 中，AB 2=AC 2+BC 2=2R 2(1+sin α·sin β－cos α·cos β·cos θ). 在△AOB 中，由余弦定理得cos γ=-sin α·sin β+cos α·cos β·cos θ,所以 A 、B 间球面距离 d =R arccos γ=R arccos(－sin α·sin β+cos α·cos β·cos θ). 如果规定在北半球的纬度为正值，在南半球的纬度为负值，则③式可统一到②式中去，即A 、B 两点间的球面距离d =R arcos(sin α·sin β+cos α·cos β·cos θ)， (α,β]),0[],2,2[πθππ∈-∈ ④ 如果令α=β，则④式变为d =R arccos(sin 2α+cos 2α ·cos θ),就变为①式了. 例：甲地位于北纬45°，东经140°，乙地位于南纬45°，西经130°.设地球半径为R ，则甲、乙两地球面的距离为（ ）A .R π21 B.R π41 C.R π31 D.R π32 解：对此题直接用公式， ,2,4,445πθπβπα=-==︒=则 .32)21a r c c o s (]2c o s )4c o s (4c o s )4s i n (4a r c c o s [s i nR R R d π=-=π⋅π-⋅π+π-⋅π=。
高中数学新沪教版精品学案《球面距离》
球面距离【学习目标】1．知道经度、纬度的概念，及其与地球上的点之间的对应关系。
2．理解球面距离的概念。
3．会求地球上两点间的球面距离，感受数学知识在实际问题中的应用价值。
4．通过球面距离的计算，体验将空间问题平面化的化归思想。
【学习重难点】重点：会计算球面上两点间的球面距离。
难点：地球上不同经度、不同纬度的两点间的球面距离的求法。
【学习过程】一、知识的准备1．弧长公式：2．余弦定理：3．两圆中弦长相等，半径越大，劣弧越短。
二、自主学习1．地球的形状和大小地球形状是一个两极部位略扁的不规则的球体。
地球的平均半径为千米，赤道半径千米，极半径千米。
赤道周长约为万千米。
我们将地球看成一个半径为千米的球。
已知点F E B A S N 、、、、、在球面上，且S O N 、、三点共线，⊥NS 平面，如图（1）中，地球上的各字母表示的含义：——北极，——南极，平面——赤道平面，EOF ∠——球心角。
阅读课本并填空：2．球面上两点间的球面距离是指 。
3．设是地球面上异于S N 、的任意一点。
地球的经线——过S P N 、、的半圆叫做过点的经线；经度——过点和极线的经线所在的半平面与本初子午线所在的半平面构成的二面角的度数。
地球的纬线——过点且垂直于的圆叫做过点的纬线；纬度——地球半径与赤道平面所成角的度数。
三、自主自测1．将地球当作一个球体，那么东经这个经度圈是球的（ ）（A ）一个大圆 （B ）一个小圆 （C ）半个大圆 （D ）半个小圆2．如图（2），点在本初子午线上，大圆是赤道平面，点在东经的经线上，点在东经的经线上，点在西经的经线上，则=∠KOA ____，=∠AOB ____，=∠COA ____；3．如图（3），设地球的半径为，点在半圆上，且在北纬的纬线上，则=∠EOA _________；点是北纬纬线小圆圆心，则=1EO _______。
4．若的圆心角所对的弦长为，则此圆心角所夹扇形的弧长为_________。
人教版高中选修3-3第二讲球面上的距离和角课程设计 (2)
人教版高中选修3-3第二讲球面上的距离和角课程设计一、教学目标1. 知识目标•掌握球面上两点之间的距离计算方法；•掌握一个点在球面上的极角和方位角的计算方法；•掌握两点在球面上的距离和一个点在球面上的极、方位角的联合计算方法。
2. 能力目标•培养学生运用向量和三角函数解决现实问题的能力；•培养学生利用数学工具解决实际问题的能力。
3. 情感目标•培养学生发掘和解决现实问题的兴趣；•培养学生合作学习和互动交流的习惯。
二、教学重难点1. 教学重点•掌握球面上两点之间的距离计算方法；•掌握一个点在球面上的极角和方位角的计算方法。
2. 教学难点•掌握两点在球面上的距离和一个点在球面上的极、方位角的联合计算方法。
三、教学内容与步骤1. 教学内容1.球面上两点之间的距离计算方法；2.一个点在球面上的极角和方位角的计算方法；3.两点在球面上的距离和一个点在球面上的极、方位角的联合计算方法。
2. 教学步骤(1) 导入通过生活实例引出本节课的主题：地球上两个城市之间的直线距离如何计算？(2) 概念讲解1.球面上两点之间的距离的概念；2.一个点在球面上的极角和方位角的概念。
(3) 计算方法讲解1.球面上两点之间的距离计算方法；2.一个点在球面上的极角和方位角的计算方法；3.两点在球面上的距离和一个点在球面上的极、方位角的联合计算方法。
(4) 知识应用1.通过一个生活实例让学生掌握两点在球面上的距离和一个点在球面上的极、方位角的联合计算方法；2.学生自我拓展：运用所学知识解决生活实际问题。
(5) 总结通过回答问题或者让学生阅读教材相关部分，总结本课时所学内容。
四、教学方法1.情景教学法：通过情景化的方式帮助学生掌握知识；2.活动教学法：通过活动或案例分析等方式培养学生的计算能力；3.合作学习法：促进学生之间的交流和合作。
五、教学工具1.多媒体设备；2.教科书。
六、教学评估通过课后作业和课堂小测验评估学生的掌握程度。
七、教学策略1.在教学初期加强学生对直线、曲线距离计算原理的巩固；2.在教学过程中因材施教，根据学生的差异，分别进行知识引导和补充；3.在教学过程中，让学生参与讲解，激励学生的自主性和自我拓展能力。
球面距离的教学思考和教具设计
球面距离的教学思考和教具设计
郑东刚
【期刊名称】《数学教学》
【年(卷),期】2009(000)005
【摘要】旋转体是上海市新教材立体几何新增加的一个教学内容，教师和学生都反映其中的球面距离是一个难点．如何认识和处理球面距离这一部分内容，便于教师讲授，便于学生掌握和领会，本文做了一些思考和探索．
【总页数】3页(P9-11)
【作者】郑东刚
【作者单位】上海市市东中学,200082
【正文语种】中文
【中图分类】G633.63
【相关文献】
1.陈晓斌：文理科班级学生分层教学设计——以《球面距离》为例 [J], 陈晓斌
2.距离不是无情物,放在球面更生辉——兼论教材上“球面距离”处理之疑义 [J], 涂远文
3.地球椭球面上两点间椭球面距离的准确计算 [J], 王存良[1];辛明洋[2]
4."球面距离"的结构化教学设计案例 [J], 陈龙
5.“低压触电”的教学思考及教具设计 [J], 廖浩铭
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球面距离教学设计
球面距离教学设计引言：球面距离（Spherical Distance）是在三维空间中度量两个点之间距离的一种方式。
球面距离在地理学、天文学等领域中得到了广泛的应用，而在计算几何和计算机图形学中，球面距离也具有重要意义。
本文将介绍如何设计一个有效的球面距离教学方案，以便帮助学生更好地理解和运用球面距离的概念。
1. 教学目标：- 了解球面距离的定义和应用领域；- 掌握计算球面距离的方法和算法；- 理解球面距离与欧氏距离的区别和联系；- 应用球面距离解决实际问题。
2. 教学准备：- 计算机和投影仪；- 编写好的教案；- 计算机图形学软件。
3. 教学步骤：3.1 引入：通过介绍球面距离的定义和应用领域，激发学生的学习兴趣和对球面距离的好奇心。
可举例说明球面距离在地理学中的应用，如测量两个城市之间的距离。
3.2 理论讲解：向学生介绍球面距离的概念，以及如何计算球面距离。
比较球面距离与欧氏距离的区别，强调球面距离考虑了地球的曲率。
通过示意图和数学公式的方式，让学生理解球面距离的计算过程。
3.3 算法演示：使用计算机图形学软件，展示计算球面距离的算法。
通过实际的计算例子，让学生亲自操作并观察算法的执行过程和结果。
引导学生思考算法中的关键步骤和原理。
3.4 实例分析：给学生提供一些实际问题，要求使用球面距离进行解决。
可选择一些与地理位置有关的问题，如计算两个城市之间最短的航行距离。
让学生动手计算并分析结果，以增强他们对球面距离应用的理解和实际操作能力。
3.5 讨论和总结：在本节课的最后，组织学生进行小组讨论，分享彼此的计算结果和思考过程。
指导学生总结球面距离的特点和应用，并与欧氏距离进行对比分析。
鼓励学生提出问题和思考球面距离在其他领域的可能应用。
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《球面距离》的教学设计说明
课题：球面距离
教材:上海市高级中学课本数学高三年级（上海教育出版社出版）
一．教学内容的地位、作用分析
球是我们在日常生活中经常见到的熟悉而特殊的一种旋转体。
在学生已经掌握圆柱、圆锥的概念和性质后进一步探究球的相关性质，使学生摆脱旋转体的母线只能是线段的狭隘理解，也是对旋转体知识体系的完善。
球面距离是在学生了解了球的有关概念及性质基础上的一节内容，它既是教材中关于球的最后一个知识点，也是立体几何中继“异面直线间的距离”、“点到平面的距离”、“直线到平面的距离”、“平面到平面的距离”之后又一距离概念,是高中阶段研究的最后一种距离。
区别于其他距离的是“球面距离”是一段圆弧的长度。
学习球面距离，有助于学生空间想象能力的培养，有助于学生思维能力的训练与提高。
它不但能加深学生对球面及球的截面的理解, 而且在求其解过程中, 可以帮助学生运用扇形、弧长、解三角形等众多数学知识，并且沟通了立体几何中两个重要的角(直线和平面所成的角、二面角) 的概念，具有实质的教学意义。
另外，“球面距离”具有一定的实际应用意义。
通过学习，使学生认识到数学源于实践又作用于实践，同时数学中的球面距离与地理中的经纬度等知识的综合运用，体现二期课改中学科整合的思想。
二．教学目标和重点、难点分析
“球面距离”是上海市高中数学教材中高三年级的教学内容，《上海市中小学数学课程标准》对“球面距离”的教学要求是：知道球面距离和经度、纬度等概念，进一步认识数学和实际的联系。
结合课程标准，我将这节课的教学目标和重点难点定为：
教学目标：1. 知道球面距离的概念，会在简单情形下计算两点间的球面距离。
2. 体验将空间中的计算转换为平面上的问题的求解方法。
3. 会求地球上同经度和同纬度两点间的球面距离，感受数学知识在
实际问题中的应用价值。
教学重点：会计算简单情形下球面上两点间的球面距离。
教学难点：地球上同纬度的两点间的球面距离的求法。
三．教学问题诊断
这节课的授课对象是上海市示范性高中的学生，他们有较好的学习习惯，有一定的口头和书面表达能力。
学生已经知道球的相关概念、球的截面的性质、球大圆的定义，具备了理解球面距离概念的基础，并能运用相关三角知识解三角形。
本节课的教学难点是地球上同纬度的两点间的球面距离的求法。
对教学难点的突破我采取了三个策略：
1.教材在引出球面距离的概念后，直接进入了地球上同经度、同纬度两点间的球面距离的求法（例1、例2），从概念到应用之间的跨度较大。
为此，我设计了一组过渡性的练习，为难点的突破作铺垫。
2. 学生在高一地理课上已初步了解经度和纬度的定义，但由于时间相隔较长，可能已生疏。
所以在讲解例题前我运用教具和多媒体演示对地球经纬度知识作了简单回顾，以唤起学生的记忆。
3．在例题2的讲解中通过师生、生生互动利用分析法引导学生寻找解决问题的途径。
另外，由于球面不能展开成平面图形，教学中学生在认知上可能产生的困难及其应对策略是：
1. 对球面距离概念的理解——按照课程标准的规定，本节内容对球面距离概念的引入采用直接告知的做法，不要求对“通过球面上两点的大圆劣弧是这两点在球面上的最短路径”作出证明或说明。
并且在给出概念后我设置了一组相关的辨析题来强化概念中的“大圆”和“劣弧”等关键词，同时在作业中加强训练。
2. 球面距离计算公式的推导——通过教师设问，以问题推进的方式引导学生得到公式。
3. 球小圆上两点间线段长度的计算——课本在例2中求AB的长度是把它投影到赤道平面上，但实施过程中AB的长也可以利用纬度圈这个小圆来解决，所以我预设了两种途径。
同时在求AB长的方法上，我也预设了区别于教材的另一种解法，即通过解直角三角形求得。
四．教学过程
由学生动手探索球面上两点间的最短路径。
新知构建
球面距离定义的给出：
球面上两点的球面距离具有唯一性
在定义中指出球面距离是大圆上一段劣弧的长度，
2
由玉树地震发生后的两条新闻报道引出例题）
千米，玉门的位置约为东
°北纬33 °,求
从数学角度对经度和纬度知识作简单回顾。
千米，西宁的位置约为东
；济南的位置约为东经117 °，北纬
（结果精确到1千米）。