相似矩阵与二次型6

为标准型， 为标准型，并求出所用 的可逆线性变换 x = Cy的可逆 变换矩阵 C .
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解 用 配 方 法得
2 2 f = x12 + ( 2 x1 x2 + 2 x1 x3 ) + 2 x2 + 6 x2 x3 + 6 x3
x 2 + 2 x ( x + x ) + ( x + x )2 − ( x + x )2 + 2 x 2 = 1 1 2 3 2 3 2 3 2 2 + 6 x2 x3 + 6 x3
0 −1 0 0 0 − 1 − 1 1 − 1 0 1 0
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x1 1 − 1 − 1 y1 故可逆线性变换 x 2 = 0 1 − 1 y2 1 y3 x3 0 0
2 1 3 0 0 1
列乘（ ）加到第2 第 1 列乘（-1）加到第 列 列乘（ ）加到第3 第 1 列乘（-2）加到第 列 行乘（ ）加到第2 第 1 行乘（-1）加到第 行 行乘（ ）加到第2 第 1 行乘（-2）加到第 行
0 1 0 0 − 1 − 1 0 − 1 − 1 1 − 1 − 2 0 0 1 0 0 1
2
2
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1 y1 = z1 + 2 z3 1 令 y2 = z2 + z3 2 y3 = z3
1 z1 = y1 − 2 y3 1 其逆变换为 z2 = y2 − y3 2 z 3 = y3
z1 1 0 − 1 y1 2 即 z2 = 0 1 − 1 y2 2 z 0 0 1 y 3 3
于是所求可逆变换矩阵为
1 1 − 1 x = Cy 其中C = 1 − 1 0 1 0 0
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评注 1、二次型的标准型中所含变元的个数与原二次型中变 、 元的个数不一定相等。 元的个数不一定相等。二次型的标准型中所含变元的 个数都等于二次型的秩。 个数都等于二次型的秩。
2 2 2 = ( x1 + x2 + x3 ) + x2 + 4 x2 x3 + 4 x3 + x3 2
(
)
= ( x1 + x2 + x3 ) + ( x2 + 2 x3 ) + x
2 2
2 3
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y1 = x1 + x2 + x3 令 y2 = x2 + 2 x 3 y = x 3 3
2 1
2 2
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y1 = x1 − 2 x2 + x3 令 y2 = x2 − x3 y3 = x3
x1 = y1 + 2 y2 + y3 其逆变换为 x2 = y2 + y3 x3 = y3
所用可逆变换阵为
1 2 1 C = 0 1 1 0 0 1
A 作初等列变换， 作初等列变换， E
作同样的初等行变换， 然后再对 A 作同样的初等行变换， 则当子块 A 化为对 角阵 Λ 时，子块 E 也相应的化为 C 。
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例 4 用初等变换法将二次型
2 f ( x1 , x 2 , x3 ) = x12 + 3 x3 + 2 x1 x2 + 4 x1 x3 + 2 x2 x3
化二次型 f 为 f = y − y .
2 1 2 2
注：上述方法中， 由于所作可逆线性变换不唯一， 上述方法中， 由于所作可逆线性变换不唯一， 所以标准型也不唯一。 所以标准型也不唯一。
二、小结
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将一个二次型化为标准型，可以用正交变换法， 将一个二次型化为标准型，可以用正交变换法， 正交变换法 也可以用拉格朗日配方法 或者其它方法， 拉格朗日配方法， 也可以用拉格朗日配方法，或者其它方法，这取决 于问题的要求。如果要求找出一个正交矩阵， 于问题的要求。如果要求找出一个正交矩阵，无疑 应使用正交变换法； 应使用正交变换法；如果只需要找出一个可逆的线 性变换，那么各种方法都可以使用。 性变换，那么各种方法都可以使用。正交变换的好 处是有固定的步骤，可以按部就班一步一步地求解， 处是有固定的步骤，可以按部就班一步一步地求解， 但计算量较大；如果二次型中变量个数较少， 但计算量较大；如果二次型中变量个数较少，使用 拉格朗日配方法反而比较简单。需要注意的是， 拉格朗日配方法反而比较简单。需要注意的是，使 用不同的方法，所得到的标准型可能不相同， 用不同的方法，所得到的标准型可能不相同，但标 准型中含有的项数必定相同， 准型中含有的项数必定相同，项数等于所给二次型 的秩。 的秩。
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0 1 0 0 − 1 − 1 0 − 1 − 1 1 − 1 − 2 0 0 1 0 0 1
列乘（ ） 第 2 列乘（-1）加到第 3 列 行乘（ ） 第 2 行乘（-1）加到第 3 行
1 0 0 1 0 0
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二、初等变换法 为标准型， 用可逆线性变换 x = Cy 化实二次型 f 为标准型，就 是找一个可逆矩阵 C，使 C T AC 为对角阵，相当于对 为对角阵， 做一系列同种形式的行变换和列变换， 对A 做一系列同种形式的行变换和列变换，将 A 化为 对角阵，具体步骤是： 对角阵，具体步骤是：
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的平方项， 如果二次型 f 中含有 xi的平方项，则先把含有 xi 的
各项集中， 配成完全平方， 各项集中，按 xi 配成完全平方，然后按 此方法对其它
变量配方， 直至都配成平方项。 变量配方， 直至都配成平方项。
2 2 例1 化二次型 f = x12 + 2 x2 + 2 x1 x2 + 2 x1 x3 + 6 x2 x3 + 6 x3
( x1 − 2 x2 + x3 )2 − (2 x2 − x3 )2 + x22 + 2 x2 x3 − 2 x32 = ( x1 − 2 x2 + x3 )2 − 3 x22 + 6 x2 x3 − 3 x32 =
= ( x1 − 2 x2 + x3 ) − 3( x2 − x3 )
2 2
= y − 3y
例3
为标准型， 化 f ( x1 , x 2 , x 3 ) = x1 x 2 + x 2 x 3为标准型，并求出 所用的可逆变换矩阵 C .
解
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x1 = z1 + z2 令 x2 = z1 − z2 x = z 3 3
x1 1 1 0 z1 即 x2 = 1 − 1 0 z2 (1) x3 0 0 1 z3
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第六节
用配方法化二次型为标准型
配方法 初等变换法
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化二次型为标准型的方法很多。 化二次型为标准型的方法很多。除正交变换法 之外， 之外，本节我们将用例题来介绍常用的另一种方法 ——拉格朗日配方法。 拉格朗日配方法。 拉格朗日配方法 一、配方法 利用配方法化二次型为标准型的要点是利用和的平方 公式和两数平方差公式逐步消去非平方项并构选新平方 项。
2 1
1 - 1 1 C = 0 1 - 2 0 0 1
2 2 2 3
于是将原二次型化为标 准型f = y + y + y
所用的可逆变换阵为
一般地，将二次型化为标准型时， 一般地，将二次型化为标准型时，原二次型中变量的
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的个数与标准型中变元的个数形式上不一定相等， 的个数与标准型中变元的个数形式上不一定相等，这主 要取决于二次型的秩。 要取决于二次型的秩。也就是二次型的秩即为标准型中 所含变元的个数。 显然， 所含变元的个数。 显然，上例中二次型的秩为 3，所以 ， 个变量。 原二次型的标准型中含 3 个变量。
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思考题
化二次型
f ( x1 , x2 , x3 ) = x1 x2 + x1 x3 + x2 x3
为标准型，并写出所作的可逆线性变换。 为标准型，并写出所作的可逆线性变换。
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思考题解答
将(2 )代入(1)得
(2)
工 程 大 学 线 性 代 数 电 子 教 案
x1 1 1 0 z1 x2 = 1 − 1 0 z 2 x 0 0 1 z 3 3
1 1 0 1 0 − 1 y1 1 1 − 1 y1 2 = 1 − 1 0 0 1 − 1 y2 = 1 − 1 0 y2 2 1 y3 0 0 1 0 0 1 y3 0 0
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2 2 例2 化f ( x1 , x2 , x3 ) = x12 − 4 x1 x2 + 2 x1 x3 + x2 + 2 x2 x3 − 2 x3
为标准型，并求所用的可逆变换矩阵 为标准型，并求所用的可逆变换矩阵C. 解
2 2 f = x12 − 2 x1 (2 x2 − x3 ) + x2 + 2 x2 x3 − 2 x3
2、由于配方的顺序不同，因此所用的可逆变换阵C也 、由于配方的顺序不同，因此所用的可逆变换阵 也 不同，或者说，由于化二次型f 为标准型的方法不同， 不同，或者说，由于化二次型 为标准型的方法不同， 所以f 的标准型也不同。即二次型的标准型不是唯一的。 所以 的标准型也不同。即二次型的标准型不是唯一的。