1980年全国高考数学试题及其解析

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1980年全国统一高考数学试卷(理科)

1980年全国统一高考数学试卷（理科）一、解答题（共10小题，满分0分）1．（6分）（1980•全国）将多项式x5y﹣9xy5分别在下列范围内分解因式：（1）有理数范围；（2）实数范围；（3）复数范围．2．（6分）（1980•全国）半径为1、2、3的三个圆两两外切．证明：以这三个圆的圆心为顶点的三角形是直角三角形．3．（10分）（1980•全国）用解析几何方法证明三角形的三条高线交于一点．4．（10分）（1980•全国）证明对数换底公式：（a，b，N都是正数，a≠1，b≠1）．5．（10分）（1980•全国）直升飞机上一点P在地面M上的正射影是A，从P看地面上一物体B（不同于A）．直线PB垂直于飞机窗玻璃所在的平面N（如图）．证明：平面N必与平面M相交，且交线垂直于AB．6．（12分）（1980•全国）设三角函数，其中k≠0．（1）写出f（x）极大值M、极小值m与最小正周期；（2）试求最小的正整数k，使得当自变量x在任意两个整数间（包括整数本身）变化时，函数f（x）至少有一个值是M与一个值是m．7．（14分）（1980•全国）CD为直角三角形ABC中斜边AB上的高，已知△ACD、△CBD、△ABC的面积成等比数列，求∠B（用反三角函数表示）．8．（14分）（1980•全国）已知0＜α＜π，证明：；并讨论α为何值时等号成立．9．（18分）（1980•全国）抛物线的方程是y2=2x，有一个半径为1的圆，圆心在x轴上运动问这个圆运动到什么位置时，圆与抛物线在交点处的切线互相垂直？（注：设P（x0，y0）是抛物线y2=2px上一点，则抛物线在P点处的切线斜率是）．10．（1980•全国）设直线（L）的参数方程是（t是参数）椭圆（E）的参数方程是（θ是参数）问a、b应满足什么条件，使得对于任意m值来说，直线（L）与椭圆（E）总有公共点．1980年全国统一高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、解答题（共10小题，满分0分）1．（6分）（1980•全国）将多项式x5y﹣9xy5分别在下列范围内分解因式：（1）有理数范围；（2）实数范围；（3）复数范围．【考点】A1：虚数单位i、复数．【专题】11 ：计算题．【分析】直接根据（1）有理数范围；（2）实数范围；（3）复数范围．的要求，分解因式即可．【解答】解：（1）x5y﹣9xy5=xy（x2+3y2）（x2﹣3y2）．（2）x5y﹣9xy5=xy（x2+3y2）（x+y）（x﹣y）．（3）x5y﹣9xy5=xy（x+yi）（x﹣yi）（x+y）（x﹣y）．【点评】本题考查实数系与数系的扩充，考查学生的基础知识，是基础题．2．（6分）（1980•全国）半径为1、2、3的三个圆两两外切．证明：以这三个圆的圆心为顶点的三角形是直角三角形．【考点】JA：圆与圆的位置关系及其判定．【专题】14 ：证明题．【分析】根据两圆外切时两圆心之间的距离等于两半径之和，由三个圆的半径分别求出三角形的三边，求出最长一边的平方且求出其余两边的平方和，发现其相等，利用勾股定理的逆定理即可得证．【解答】证明：设⊙O1、⊙O2、⊙O3的半径分别为1、2、3．因这三个圆两两外切，故有O1O2=1+2=3，O2O3=2+3=5，O1O3=1+3=4，则有O1O22+O1O32=32+42=52=O2O32根据勾股定理的逆定理，得到△O1O2O3为直角三角形．【点评】此题考查学生掌握两圆外切时圆心距与两半径之间的关系，是一道基础题．通过此题，学生要明白判断一个三角形是直角三角形的方法不仅可以根据一个角是直角得到三角形为直角三角形，还可以利用勾股定理的逆定理来判断一个三角形为直角三角形．3．（10分）（1980•全国）用解析几何方法证明三角形的三条高线交于一点．【考点】IM：两条直线的交点坐标；IG：直线的一般式方程．【专题】14 ：证明题；31 ：数形结合．【分析】建立直角坐标系，写出各点的坐标，利用两点的连线的斜率公式求出AB的斜率，利用两直线垂直斜率互为倒数得到AB边上的高的斜率，利用点斜式求出AB边的高的方程，同理求出AC边上的高，两高线的方程联立得到高线的交点．【解答】证明：取△ABC最长一边BC所在的直线为X轴，经过A的高线为Y轴，设A、B、C的坐标分别为A（0，a）、B（b，0）、C（c，0），根据所选坐标系，如图，有a＞0，b＜0，c＞0，AB的方程为，其斜率为，AC的方程为，其斜率为，高线CE的方程为高线BD的方程为．解（1）、（2），得：（b﹣c）x=0∵b﹣c≠0∴x=0即高线CE、BD的交点的横坐标为0，也即交点在高线AO上．因此，三条高线交于一点．【点评】本题考查通过建立直角坐标系将问题转化为代数问题、考查两点连线的斜率公式、考查两直线垂直斜率乘积为﹣1、考查两直线的交点坐标的求法．4．（10分）（1980•全国）证明对数换底公式：（a，b，N都是正数，a≠1，b≠1）．【考点】4I：换底公式的应用．【专题】14 ：证明题．【分析】利用指数式与对数式的互化，log b N=x 等价于b x=N，两边同取对数后解除x的解析式．【解答】证明：令log b N=x，则b x=N，两边同取以a为底的对数得：=log a N，∴x•log a b=log a N，∴x=，∴log b N=成立．【点评】本题考查对数的定义，体现解方程的思想．5．（10分）（1980•全国）直升飞机上一点P在地面M上的正射影是A，从P看地面上一物体B（不同于A）．直线PB垂直于飞机窗玻璃所在的平面N（如图）．证明：平面N必与平面M相交，且交线垂直于AB．【考点】LQ：平面与平面之间的位置关系；FC：反证法．【专题】14 ：证明题．【分析】用反证法先证平面N与平面M相交，假如平面N与平面M平行，则PA也垂直于N，因此PA与PB重合，B点与A点重合，但这与题设“不同于A”矛盾，从而平面N与平面M相交，设平面N与平面M的交线为L，然后证L⊥平面PAB，从而得到L垂直于AB．【解答】证明：假如平面N与平面M平行，则PA也垂直于N，因此PA与PB重合，B点与A点重合，但这与题设“不同于A”矛盾，所以平面N与平面M相交．设平面N与平面M的交线为L，∵PA⊥平面M，∴PA⊥L，又∵PB⊥平面N，∴PB⊥L，∴L⊥平面PAB，∴L⊥AB．【点评】本题主要考查了平面与平面之间的位置关系，以及反证法的应用，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．6．（12分）（1980•全国）设三角函数，其中k≠0．（1）写出f（x）极大值M、极小值m与最小正周期；（2）试求最小的正整数k，使得当自变量x在任意两个整数间（包括整数本身）变化时，函数f（x）至少有一个值是M与一个值是m．【考点】HJ：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；H1：三角函数的周期性；H2：正弦函数的图象．【专题】15 ：综合题．【分析】（1）根据正弦函数的性质可知函数最大值为1，最小值为﹣1，ω=进而根据T=可得函数的周期．（2）f（x）在它的每一个周期中都恰好有一个值是M与一个值是m．而任意两个整数间的距离都≥1，因此要使任意两个整数间函数f（x）至少有一个值是M 与一个值是m，必须且只须使f（x）的周期≤1，进而可知，可得k的范围．【解答】解：（1）M=1，m=﹣1，．（2）f（x）在它的每一个周期中都恰好有一个值是M与一个值是m．而任意两个整数间的距离都≥1，因此要使任意两个整数间函数f（x）至少有一个值是M与一个值是m，必须且只须使f（x）的周期≤1，即：．可见，k=32就是这样的最小正整数．【点评】本题主要考查了函数y=Asin（ωx+φ）的图象的性质．属基础题．7．（14分）（1980•全国）CD为直角三角形ABC中斜边AB上的高，已知△ACD、△CBD、△ABC的面积成等比数列，求∠B（用反三角函数表示）．【考点】N6：直角三角形的射影定理．【专题】11 ：计算题．【分析】要用反三角函数表示∠B，关键是要解三角形，求出含B的三角形中对应的边长，再利用三角函数的定义求出∠B的一个三角函数值，再用反三角函数表示∠B．【解答】解：设CD=h，AB=c，BD=x，则AD=c﹣x因此，△ACD的面积为，△CBD的面积为，△ABC的面积为，依题意，，即x2=c（c﹣x），即x2+cx﹣c2=0，．∵取负号不合题意，∴取正号，得．又依直角三角形的性质，有AC2=AD•AB=c（c﹣x）．但x2=c（c﹣x），∴AC2=x2，∴AC=x=DB=．在直角三角形ABC中，．故．【点评】在双垂直问题（即过直角三角形的直角顶点做斜边上的高）中，要善于利用勾股定理、射影定理去寻求边与边之间的关系．8．（14分）（1980•全国）已知0＜α＜π，证明：；并讨论α为何值时等号成立．【考点】GF：三角函数的恒等变换及化简求值；R6：不等式的证明．【分析】根据倍角公式，把证明转变为证明，两端乘以sinα，进而转换为证明（1+cosα）[4（1﹣cosα）cosα﹣1]≤0，再利用倍角公式可证．【解答】解：即证：．两端乘以sinα，问题化为证明2sinαsin2α≤1+cosα．而2sinαsin2α=4sin2αcosα=4（1﹣cos2α）cosα=4（1﹣cosα）（1+cosα）cosα所以问题又化为证明不等式（1+cosα）[4（1﹣cosα）cosα﹣1]≤0（1+cosα）≤0∴不等式得证，∵0＜α＜π，∴等号成立当且仅当cosα﹣=0即α=60°【点评】本题主要考查利用三角函数中的常用公式，完成弦切之间的转换．属基础题．9．（18分）（1980•全国）抛物线的方程是y2=2x，有一个半径为1的圆，圆心在x轴上运动问这个圆运动到什么位置时，圆与抛物线在交点处的切线互相垂直？（注：设P（x0，y0）是抛物线y2=2px上一点，则抛物线在P点处的切线斜率是）．【考点】KF：圆锥曲线的共同特征；JF：圆方程的综合应用；K8：抛物线的性质．【专题】11 ：计算题；16 ：压轴题．【分析】设出圆的方程，再设圆与抛物线的一个交点为P进而可求得在P点圆半径的斜率和在P点抛物线的切线斜率的表达式，根据在P点抛物线的切线与圆的切线垂直，必须且只须圆的半径与抛物线在P点相切进而建立等式，把P点代入抛物线方程和椭圆方程，联立方程组可求得k，则圆的方程可得．【解答】解：设圆的方程为（x﹣k）2+y2=1再设圆与抛物线的一个交点为P（x0，y0）在P点圆半径的斜率=．在P点抛物线的切线斜率=在P点抛物线的切线与圆的切线垂直，必须且只须圆的半径与抛物线在P点相切，∴．（1）因P（x0，y0）是圆与抛物线的交点，∴y02=2x0．（2）（x0﹣k）2+y02=1．（3）由（1）、（2）式消去y0，得x0=﹣k，将（2）代入（3），得（x0﹣k）2+2x0﹣1=0，将x0=﹣k代入，得4k2﹣2k﹣1=0，∴．由于抛物线在y轴的右方，所以k=﹣x0≤0故根号前应取负号，即．故所求圆的方程为．故圆心是（，0）时圆与抛物线在交点处的切线互相垂直【点评】本题主要考查了圆锥曲线的共同特征．解此类题应充分发挥判别式和韦达定理在解题中的作用．灵活应用数形结合的思想、函数思想、等价转化思想、分类讨论思想解题．10．（1980•全国）设直线（L）的参数方程是（t是参数）椭圆（E）的参数方程是（θ是参数）问a、b应满足什么条件，使得对于任意m值来说，直线（L）与椭圆（E）总有公共点．【考点】QJ：直线的参数方程；KH：直线与圆锥曲线的综合问题；QL：椭圆的参数方程．【专题】11 ：计算题；16 ：压轴题；17 ：选作题；47 ：判别式法．【分析】首先题中的直线方程及椭圆方程都是参数方程的形式，需要消去参数化简为一般方程，然后求公共点问题，考虑到联立方程式由求判别式的方法求取值范围即可得到答案．【解答】解：对于直线（L）消去参数，得一般方程y=mx+b；对于椭圆（E）消去参数，得一般方程．：消去y，整理得（1+a2m2）x2+2（a2mb﹣1）x+a2b2﹣a2+1=0．（L）、（E）有交点的条件是上式的判别式≥0，即4（a2mb﹣1）2﹣4（1+a2m2）（a2b2﹣a2+1）≥0．化简并约去a2得（a2﹣1）m2﹣2bm+（1﹣b2）≥0．对任意m的值，要使这个式子永远成立，条件是或（1）、（2）合写成：即所求的条件．故答案为．【点评】此题主要考查直线及椭圆参数方程化简一般方程的问题，其中对于求公共点的问题可以把方程联立，然后根据判别式法求得取值范围，属于综合性试题，有一定的计算量．考点卡片1．换底公式的应用【知识点归纳】换底公式及换底性质：（1）log a N=（a＞0，a≠1，m＞0，m≠1，N＞0）．（2）log a b=，（3）log a b•log b c=log a c，（4）log an b m=log a b．2．虚数单位i、复数【虚数单位i的概念】i是数学中的虚数单位，i2=﹣1，所以i是﹣1的平方根．我们把a+bi的数叫做复数，把a=0且b≠0的数叫做纯虚数，a≠0，且b=0叫做实数．复数的模为．【复数的运算】①复数的加法，若M=a+bi，N=c+di，那么M+N=（a+c）+（b+d）i，即实部与实部相加，虚部与虚部相加．②复数的乘法，若M=a+bi，N=c+di，那么M•N=（ac﹣bd）+（ad+bc）i，与多项式乘法类似，只不过要加上i．【例题解析】例：定义运算，则符合条件的复数z为．解：根据定义，可知1×zi﹣（﹣1）×z=4+2i，即z（1+i）=4+2i，∴z===3﹣i．这个题很好地反应了复数的一般考法，也就是考查复数的运算能力，其中常常用到复数与复数相除．这个题的第一步先把复数当做一个整体进行运算，第二部相除，思路就是把分母变成实数，方法就是乘以它的共轭复数（虚数前面的符号变为相反既是）．处理这种方法外，有的时候还需要设出复数的形式为a+bi，然后在求出a和b，这种类型的题一般用待定系数法．【复数的概念】形如a+bi（a，b∈R）的数叫复数，其中a，b分别是它的实部和虚部．若b=0，则a+bi为实数；若b≠0，则a+bi为虚数；若a=0，b≠0，则a+bi 为纯虚数．2、复数相等：a+bi=c+di⇔a=c，b=d（a，b，c，d∈R）．3、共轭复数：a+bi与c+di共轭⇔a=c，b+d=0（a，b，c，d∈R）．4、复数的模：的长度叫做复数z=a+bi的模，记作|z|或|a+bi|，即|z|=|a+bi|=．3．反证法【知识点的认识】反证法：假设结论的反面成立，在已知条件和“否定结论”这个新条件下，通过逻辑推理，得出与公理、定理、题设、临时假设相矛盾的结论或自相矛盾，从而断定结论的反面不能成立，即证明了命题的结论一定正确，这种证明方法就叫反证法．【解题思路点拨】用反证法证题时，首先要搞清反证法证题的方法，其次注意反证法是在条件较少，不易入手时常用的方法，尤其有否定词或含“至多”“至少”等词的问题中常用．使用反证法进行证明的关键是在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以是与已知矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实矛盾等．1．证明思路：肯定条件，否定结论→推出矛盾→推翻假设，肯定结论2．反证法的一般步骤：（1）分清命题的条件和结论；（2）作出与命题结论相矛盾的假设；（3）由假设出发，应用正确的推理方法，推出矛盾的结果；（4）断定产生矛盾的原因，在于开始所作的假设不真，于是原结论成立，从而间接地证明命题为真．4．三角函数的恒等变换及化简求值【概述】三角函数的恒等变化主要是指自变量x数值比较大时，如何转化成我们常见的数值比较小的而且相等的三角函数，主要的方法就是运用它们的周期性．【公式】①正弦函数有y=sin（2kπ+x）=sinx，sin（+x）=sin（﹣x）=cosx②余弦函数有y=cos（2kπ+x）=cosx，cos（﹣x）=sinx③正切函数有y=tan（kπ+x）=tanx，tan（﹣x）=cotx，④余切函数有y=cot（﹣x）=tanx，cot（kπ+x）=cotx．【例题解析】例：sin60°cos（﹣45°）﹣sin（﹣420°）cos（﹣570°）的值等于解：，，，，∴原式=．先利用诱导公式把sin（﹣420°）和cos（﹣570°）转化成﹣sin60°和﹣cos30°，利用特殊角的三角函数值求得问题的答案．这其实也就是一个化简求值的问题，解题时的基本要求一定要是恒等变换．【考点点评】本考点是三角函数的基础知识，三角函数在高考中占的比重是相当大的，所有有必要认真掌握三角函数的每一个知识点，而且三角函数的难度相对于其他模块来说应该是比较简单的．5．三角函数的周期性【知识点的认识】周期性①一般地，对于函数f（x），如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f（x+T）=f（x），那么函数f（x）就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期．②对于一个周期函数f（x），如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f（x）的最小正周期．③函数y=Asin（ωx+φ），x∈R及函数y=Acos（ωx+φ）；x∈R（其中A、ω、φ为常数，且A≠0，ω＞0）的周期T=．【解题方法点拨】1．一点提醒求函数y=Asin（ωx+φ）的单调区间时，应注意ω的符号，只有当ω＞0时，才能把ωx+φ看作一个整体，代入y=sin t的相应单调区间求解，否则将出现错误．2．两类点y=sin x，x∈[0，2π]，y=cos x，x∈[0，2π]的五点是：零点和极值点（最值点）．3．求周期的三种方法①利用周期函数的定义．f（x+T）=f（x）②利用公式：y=Asin（ωx+φ）和y=Acos（ωx+φ）的最小正周期为，y=tan （ωx+φ）的最小正周期为．③利用图象．图象重复的x的长度．6．正弦函数的图象【知识点的知识】正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质函数y=sin x y=cos x y=tan x图象定义域R R k∈Z 值域[﹣1，1][﹣1，1]R单调性递增区间：[2kπ﹣，2kπ+]（k∈Z）；递减区间：[2kπ+，2kπ+]（k∈Z）递增区间：[2kπ﹣π，2kπ]（k∈Z）；递减区间：[2kπ，2kπ+π]（k∈Z）递增区间：[kπ﹣，kπ+]（k∈Z）最值x=2kπ+（k∈Z）时，y max=1；x=2kπ﹣（k∈Z）时，y min=﹣1x=2kπ（k∈Z）时，y max=1；x=2kπ+π（k∈Z）时，y min=﹣1无最值奇偶性奇函数偶函数奇函数对称性对称中心：（kπ，0）（k∈Z）对称轴：x=kπ+，k∈Z对称中心：（kπ+，0）（k∈Z）对称轴：x=kπ，k∈Z对称中心：（，0）（k∈Z）无对称轴周期2π2ππ7．函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换【知识点的知识】函数y=sin x的图象变换得到y=A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的图象的步骤两种变换的差异先相位变换再周期变换（伸缩变换），平移的量是|φ|个单位；而先周期变换（伸缩变换）再相位变换，平移的量是（ω＞0）个单位．原因是相位变换和周期变换都是针对x而言的．【解题方法点拨】1．一个技巧列表技巧：表中“五点”中相邻两点的横向距离均为，利用这一结论可以较快地写出“五点”的坐标．2．两个区别（1）振幅A与函数y=A sin （ωx+φ）+b的最大值，最小值的区别：最大值M=A+b，最小值m=﹣A+b，故A=．（2）由y=sin x变换到y=A sin （ωx+φ）先变周期与先变相位的（左、右）平移的区别：由y=sin x的图象变换到y=A sin （ωx+φ）的图象，两种变换的区别：先相位变换再周期变换（伸缩变换），平移的量是|φ|个单位；而先周期变换（伸缩变换）再相位变换，平移的量是（ω＞0）个单位．原因在于相位变换和周期变换都是针对x而言，即x本身加减多少值，而不是依赖于ωx加减多少值．3．三点提醒（1）要弄清楚是平移哪个函数的图象，得到哪个函数的图象；（2）要注意平移前后两个函数的名称是否一致，若不一致，应先利用诱导公式化为同名函数；（3）由y=A sin ωx的图象得到y=A sin（ωx+φ）的图象时，需平移的单位数应为，而不是|φ|．8．直线的一般式方程【直线的一般式方程】直线方程表示的是只有一个自变量，自变量的次数为一次，且因变量随着自变量的变化而变化．直线的一般方程的表达式是ay+bx+c=0．9．两条直线的交点坐标【知识点的知识】两条直线的交点坐标：（1）一般地，将两条直线的方程联立，得到二元一次方程组．若方程组有惟一解，则两条直线相交，此解就是交点的坐标；若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行；若方程组有无数解，则两条直线有无数个公共点，此时两条直线重合．（2）方程λ（A1x+B1y+C1）+（A2x+B2y+C2）=0为直线系，所有的直线恒过一个定点，其定点就是A1x+B1y+C1=0与A2x+B2y+C2=0的交点．10．圆与圆的位置关系及其判定【知识点的认识】1．圆与圆的位置关系2．圆与圆的位置关系的判定设两圆圆心分别为O1，O2，半径分别为r1，r2，|O1O2|=d（1）几何法：利用两圆的圆心距与两圆半径的关系判断①外离（4条公切线）：d＞r1+r2②外切（3条公切线）：d=r1+r2③相交（2条公切线）：|r1﹣r2|＜d＜r1+r2④内切（1条公切线）：d=|r1﹣r2|⑤内含（无公切线）：0＜d＜|r1﹣r2|（2）代数法：联立两圆方程，转化为一元二次方程，但要注意一个x值可能对应两个y值．11．圆方程的综合应用【知识点的知识】圆的方程：（1）圆的标准方程：（x﹣a）2+（y﹣b）2=r2（r＞0），其中圆心C（a，b），半径为r．特别地，当圆心为坐标原点时，半径为r的圆的方程为：x2+y2=r2．其中，圆心（a，b）是圆的定位条件，半径r是圆的定形条件．（2）圆的一般方程：x2+y2+Dx+Ey+F=0（D2+E2﹣4F＞0）其中圆心（﹣，﹣），半径r=．12．抛物线的性质【知识点的知识】抛物线的简单性质：13．圆锥曲线的共同特征【知识点的知识】圆锥曲线的共同特征：圆锥曲线上的点到一个定点的距离与它到定直线的距离之比为定值e．当0＜e＜1时，圆锥曲线是椭圆；当e＞1时，圆锥曲线是双曲线；当e=1时，圆锥曲线是抛物线．其中定点是圆锥曲线的一个焦点，定直线是相应于这个交点的准线．14．直线与圆锥曲线的综合问题【概述】直线与圆锥曲线的综合问题是高考的必考点，比方说求封闭面积，求距离，求他们的关系等等，常用的方法就是联立方程求出交点的横坐标或者纵坐标的关系，通过这两个关系的变形去求解．【实例解析】例：已知圆锥曲线C上任意一点到两定点F1（﹣1，0）、F2（1，0）的距离之和为常数，曲线C的离心率．（1）求圆锥曲线C的方程；（2）设经过点F2的任意一条直线与圆锥曲线C相交于A、B，试证明在x轴上存在一个定点P，使的值是常数．解：（1）依题意，设曲线C的方程为（a＞b＞0），∴c=1，∵，∴a=2，∴，所求方程为．（2）当直线AB不与x轴垂直时，设其方程为y=k（x﹣1），由，得（3+4k2）x2﹣8k2x+4（k2﹣3）=0，从而，，设P（t，0），则=当，解得此时对∀k∈R，；当AB⊥x轴时，直线AB的方程为x=1，x A=x B=1，，对，，即存在x轴上的点，使的值为常数．这是一道符合高考命题思维的题型，一般命题思路都是第一问叫你求曲线的表达式；第二问在求证某种特殊的关系，像本题求证是个常数这是高考中非常喜欢考的一种形式．我们看看解答思路，第一问就是求a、b、c中的两个值即可；第二问先是联立方程，然后把我们要证的这个关系转化为根与系数的关系，这也是常用的方法．【考点分析】必考题，也是难题，希望大家多总结，尽量去总结一下各种题型和方法，在考试的时候，如果运算量大可以适当的放到最后做．15．平面与平面之间的位置关系【知识点的认识】平面与平面之间的位置关系：位置关系公共点个数符号表示图示两平面平行无α∥β两平面相交有一条公共直线α∩β=l16．直角三角形的射影定理【知识点的知识】直角三角形的射影定理直角三角形的斜边上的高是两直角边在斜边上的射影的比例中项；两条直角边分别是他们在斜边上射影与斜边的比例中项．17．直线的参数方程【知识点的认识】直线、圆锥曲线的普通方程和参数方程轨迹普通方程参数方程直线y﹣y0=tan α（x﹣x0）（t为参数）圆（x﹣a）2+（y﹣b）2=r2（θ为参数）椭圆（θ为参数）+=1（a＞b＞0）双曲线（θ为参数）﹣=1抛物线y2=2px（p＞0）（t为参数）【解题思路点拨】1．选取参数时的一般原则是：（1）x，y与参数的关系较明显，并列出关系式；（2）当参数取一值时，可唯一的确定x，y的值；（3）在研究与时间有关的运动物体时，常选时间作为参数；在研究旋转物体时，常选用旋转角作为参数；此外，也常用线段的长度、倾斜角、斜率、截距等作为参数．2．求曲线的参数方程常常分成以下几步：（1）建立直角坐标系，在曲线上设任意一点P（x，y）；（2）选择适当的参数；（3）找出x，y与参数的关系，列出解析式；（4）证明（常常省略）．3．根据直线的参数方程标准式中t的几何意义，有如下常用结论：（1）若M1，M2为l上任意两点，M1，M2对应t的值分别为t1，t2，则|M1M2|=|t1﹣t2|；（2）若M0为线段M1M2的中点，则有t1+t2=0；（3）若线段M1M2的中点为M，则M=t M=．一般地，若点P分线段M1M2所成的比为λ，则t P=．4．直线的参数方程的一般式（t为参数），是过点M0（x0，y0），斜率为的直线的参数方程．当且仅当a2+b2=1且b≥0时，才是标准方程，t才具有标准方程中的几何意义．将非标准方程化为标准方程是（t′∈R），式中“±”号，当a，b同号时取正；当a，b异号时取负．5．参数方程与普通方程互化时，要注意：（1）不是所有的参数方程都能化为普通方程；（2）在化参数方程为普通方程时变量的范围不能扩大或缩小；（3）把普通方程化为参数方程时，由于参数选择的不同而不同，参数的选择是由具体的问题来决定的．6．在已知圆、椭圆、双曲线和抛物线上取一点可考虑用其参数方程设定点的坐标，将问题转化为三角函数问题求解．7．在直线与圆和圆锥位置关系问题中，涉及距离问题探求可考虑应用直线参数方程中参数的几何意义求解．8．在求某些动点的轨迹方程时，直接寻找x，y的关系困难，甚至找不出时，可以通过引入参数，建立动点的参数方程后求解．18．椭圆的参数方程【知识点的认识】直线、圆锥曲线的普通方程和参数方程轨迹普通方程参数方程直线y﹣y0=tan α（x﹣x0）（t为参数）圆（x﹣a）2+（y﹣b）2=r2（θ为参数）椭圆（θ为参数）+=1（a＞b＞0）双曲线（θ为参数）﹣=1抛物线y2=2px（p＞0）（t为参数）【解题思路点拨】1．选取参数时的一般原则是：（1）x，y与参数的关系较明显，并列出关系式；（2）当参数取一值时，可唯一的确定x，y的值；（3）在研究与时间有关的运动物体时，常选时间作为参数；在研究旋转物体时，常选用旋转角作为参数；此外，也常用线段的长度、倾斜角、斜率、截距等作为参数．2．求曲线的参数方程常常分成以下几步：（1）建立直角坐标系，在曲线上设任意一点P（x，y）；（2）选择适当的参数；（3）找出x，y与参数的关系，列出解析式；（4）证明（常常省略）．3．根据直线的参数方程标准式中t的几何意义，有如下常用结论：（1）若M1，M2为l上任意两点，M1，M2对应t的值分别为t1，t2，则|M1M2|=|t1﹣t2|；（2）若M0为线段M1M2的中点，则有t1+t2=0；（3）若线段M1M2的中点为M，则M0M=t M=．一般地，若点P分线段M1M2所成的比为λ，则t P=．4．直线的参数方程的一般式（t为参数），是过点M0（x0，y0），斜率为的直线的参数方程．当且仅当a2+b2=1且b≥0时，才是标准方程，t才具有标准方程中的几何意义．将非标准方程化为标准方程是（t′∈R），式中“±”号，当a，b同号时取正；当a，b异号时取负．5．参数方程与普通方程互化时，要注意：（1）不是所有的参数方程都能化为普通方程；（2）在化参数方程为普通方程时变量的范围不能扩大或缩小；（3）把普通方程化为参数方程时，由于参数选择的不同而不同，参数的选择是由具体的问题来决定的．6．在已知圆、椭圆、双曲线和抛物线上取一点可考虑用其参数方程设定点的坐标，将问题转化为三角函数问题求解．7．在直线与圆和圆锥位置关系问题中，涉及距离问题探求可考虑应用直线参数方程中参数的几何意义求解．8．在求某些动点的轨迹方程时，直接寻找x，y的关系困难，甚至找不出时，可以通过引入参数，建立动点的参数方程后求解．19．不等式的证明【知识点的知识】证明不等式的基本方法：1、比较法：（1）作差比较法①理论依据：a＞b⇔a﹣b＞0；a＜b⇔a﹣b＜0．②证明步骤：作差→变形→判断符号→得出结论．注：作差比较法的实质是把两个数或式子的大小判断问题转化为一个数（或式子）与0的大小关系．（2）作商比较法①理论依据：b＞0，＞1⇒a＞b；b＜0，＜1⇒a＜b；②证明步骤：作商→变形→判断与1的大小关系→得出结论．2、综合法。

20世纪的高考——1980年数学高考试卷

1980年数学高考试卷理工农医类一、将多项式559x y xy -分别在下列范围内分解因式（1）有理数范围；（2）实数范围；（3）复数范围。

二、半径为1、2、3的三哥圆两两外切，证明：以这三哥圆的圆心为顶点的三角形是直角三角形。

三、用解析几何方法证明三角形的三条高线交于一点四、证明对数换底公式：log log log a b a N N b=（a 、b 、N 都是正数，1a ≠，1b ≠）五、直升飞机上一点P 在地平面M 的正摄影是A ，从P 看地面上一物体B （不同于A ），直线PB 垂直于飞机玻璃窗所在平面N （如图），证明：平面N 必与M 相交，且交线l 垂直于AB六、设三角函数()sin()53kx f x π=+，其中0k ≠ （1）写出()f x 的极大值M 、极小值m 与最小正周期T（2）试求最小正整数k ，使得当自变量x 在任意两个整数间（包括整数本身）变化时，函数()f x 至少有一个值是M 与一个值是m七、CD 为直角三角形ABC 中斜边AB 上的高，已知△ACD 、△CBD 、三角形ABC 的面积成等比数列，求B ∠（用反三角函数表示）八、已知0απ<<，证明：2sin 2cot2αα≤；并讨论α为何值时等号成立九、抛物线的方程是22y x =，有一个半径为1的圆，圆心在x 轴上运动，问这个圆运动到什么位置时，与圆抛物线的交点处的切线互相垂直（注：设00(,)P x y 是抛物线22y px =上的一点，则抛物线在P 点处的切线斜率是P y ）附加题设直线()L 的参数方程是x t y b mt =⎧⎨=+⎩（t 是参数），椭圆()E 的参数方程是1cos sin x a y θθ=+⎧⎨=⎩（θ是参数）问a 、b 满足什么条件，使得对任意m 值来说，直线()L 与椭圆()E 总有公共点答案：一、（1）2222(3)(3)xy x y x y +-；（2）22(3)()()xy x y x x +；（3）()()()()xy x x x x二、证明略三、证明略四、证明略五、证明略六、（1）1M =，1m =-，10T kπ=；（2）32k =七、1arcsin 2八、证明略，60α=°等号成立九、运动到方程是22(1x y +=时附加题、满足条件1a b a a ⎧≥⎪⎨-≤≤⎪⎩文史类一、化简1332i i-- 二、解方程组2354239321x y z x y z x y --=⎧⎪++=⎨⎪+=-⎩三、用解析几何的方法证明直径所对的圆周角是直角四、某地区1979年轻工业产值占工业总产值的20%，要使1980年的工业总产值比上一年增长10%，且使1980年的轻工业产值占工业总产值的24%，问1980年轻工业产值应比上一年增长百分之几五、设3544ππθ<<sin()4θ+六、（1）若四边形ABCD 的对角线AC 将四边形分成面积相等的两个三角形，证明：直线AC 必平分对角线DB（2）写出（1）的逆命题，这个逆命题是否正确？为什么？七、如图，长方形框架ABCD A B C D ''''-，三边AB 、AD 、AA '的长分别为6、8、3.6，AE 与底面的对角线B D ''垂直于E（1）证明A E B D '''⊥（2）求AE 的长八、（1）把参数方程（t 为参数）：sec 2tan x t y t =⎧⎨=⎩化为直角坐标方程，并画出方程的曲线略图（2）当02t π≤<及32t ππ≤<时，各得到曲线的哪一部分？答案：一、97 1313i-二、123 xyz=⎧⎪=-⎨⎪=⎩三、证明略四、32%五、1-六、（1）证明略；（2）逆命题：若四边形ABCD的对角线AC平分对角线DB，则AC将四边形ABCD分成两个面积相等的三角形；逆命题是正确的；证明略7、（1）证明略；（2）68、（1）2214yx-=。

1980全国高考理科数学试题

1980年普通高等学校招生全国统一考试数学（理科）一．（本题满分6分）将多项式x5y-9xy5分别在下列范围内分解因式：1．有理数范围;2.实数范围;3.复数范围解：1.x5y-9xy5=xy(x2+3y2)(x2-3y2).2.x5y-9xy5=xy(x2+3y2)(x+3y)(x-3y).3.x5y-9xy5=xy(x+3yi)(x-3yi)(x+3y)(x-3y).二．（本题满6分）半径为1、2、3的三个圆两两外切证明：以这三个圆的圆心为顶点的三角形是直角三角形证：设⊙O1⊙O2⊙O3的半径为1、2、3因这三个圆两两外切，故有O1O2=1+2=3， O2O3=2+3=5，O1O3=1+3=4，则有O1O22 + O1O32=32+42=52= O2O32根据勾股定理的逆定理，△O1O2O3为直角三角形三．（本题满分10分）用解析几何方法证明三角形的三条高线交于一点O33 31 2 O1O21 2证：取△ABC 最长一边BC 所在的直线为X 轴，经过A 的高线为Y 轴，设A 、B 、C 的坐标分别为A （0，a ）、B （b ，0）、C （c ，0），根据所选坐标系，如图，有a >0,b<0,c>0 AB 的方程为1=+a y b x ，其斜率为a b -AC 的方程为1=+a y c x ，其斜率为c a -高线CE 的方程为(1))(c x a by -= 高线BD 的方程为(2))(b x a cy -= 解（1）、（2），得：（b-c)x=0∵b-c ≠0∴x=0即高线CE 、BD 的交点的横坐标为0，也即交点在高线AO 上因此，三条高线交于一点四．（本题满分10分）证明对数换底公式：)1,1,(log log log ``≠≠=b a N b a bNN a a b 都是正数解：见课本五．（本题满分10分）直升飞机上一点P 在地面M 上的正射影是A ，从P 看地面上一物体B （不同于A ）直线PB 垂直于飞机窗玻璃所在的平面N （如图）证明：平面N 必与平面M 相交，且交线垂直于ABYA(0,a )E DB(b,0) O C(c,0) X证：用反证法假如平面N 与平面M 平行，则PA 也垂直于N ，因此PA与PB 重合，B 点与A 点重合，但这与题设矛盾，所以平面N 与平面M 相交设平面N 与平面M 的交线为L∵PA ⊥平面M ，∴PA ⊥L又∵PB ⊥平面N ，∴PB ⊥L∴L ⊥平面PAB ，∴L ⊥AB六．（本题满分12分）设三角函数),35k sin()x (f π+π=其中k ≠0 1．写出f(x)极大值M 、极小值m 与最小正周期;2．试求最小的正整数k ，使得当自变量x 在任意两个整数间（包括整数本身）变化时，函数f(x)至少有一个值是M 与一个值是m解：1.M=1，m=-1，.1025kk T ππ=⨯=2.f(x)在它的每一个周期中都恰好有一个值是M 与一个值是m 而任意两个整数间的距离都≥1因此要使任意两个整数间函数f(x)至少有一个值是M 与一个值是m ，必须且只须使f(x)的周期≤1即：.4.3110,110 =≥≤ππk k可见，k=32就是这样的最小正整数七．（本题满分14分）P N M B A LCD 为直角三角形ABC 中斜边AB 上的高，已知△ACD 、△CBD 、 △ABC 的面积成等比数列，求∠B （用反三角函数表示）解：设CD=h ，AB=c ，BD=x ，则 AD=c-x因此，△ACD 的面积为)(21x c h -，△CBD 的面积为hx 21，△ABC 的面积为hc 21，依题意，22222111()(),222(),0,4.2hx h c x hc x c c x x cx c c c c x =-⋅=-+-=-±+=即即∵取负号不合题意，∴取正号，得.215c x -= 又依直角三角形的性质，有AC 2=AD ·AB=c(c-x). 但 x 2=c(c-x)∴AC 2=x 2 ∴AC=x=DB=.215c - 在直角三角形ABC 中，215215sin -=-==cc AB ACB 故 .215arcsin-=∠B 八．（本题满分14分）已知0＜α＜π，证明：;2sin 2ααctg ≤并讨论α为何值时等号成立C AD B解：即证：.sin cos 12sin 2ααα+≤两端乘以sin α，问题化为证明2sin αsin2α≤1+cos α. 而 2sin αsin2α=4sin αcos 2α=4(1-cos 2α)cos α=4(1-cos α)(1+cos α)cos α所以问题又化为证明不等式 (1+cos α)[4(1-cos α)cos α-1]≤0（1+cos α)⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--221cos 4α≤0∴不等式得证∵0＜α＜π,∴等号成立当且仅当cos α-21=0 即α=600 九．（本题满分18分）抛物线的方程是y 2=2x ，有一个半径为1的圆，圆心在x 轴上运动问这个圆运动到什么位置时，圆与抛物线在交点处的切线互相垂直（注：设P （x 0,y 0)是抛物线y 2=2px 上一点，则抛物线在P 点处的切线斜率是y P）解：设圆的方程为（x-k)2+y 2=1再设圆与抛物线的一个交点为P （x 0,y 0) 在P 点圆半径的斜率=kx y -00.在P 点抛物线的切线斜率=1y在P 点抛物线的切线与圆的切线垂直，必须且只须圆的半径Y y=2x 2 P(x 0,y 0) · K(K ,0) O X与抛物线在P 点相切(1) .1000kx y y -=∴因P （x 0 ,y 0)是圆与抛物线的交点， ∴y 02=2x 0 , (2) (x 0-k)2+y 02=1. (3)由（1）、（2）式消去y 0 ,得x 0=-k,将（2）代入（3），得(x 0-k)2+2x 0-1=0,将x 0=-k 代入，得4k 2-2k-1=0， ∴.451±=k 由于抛物线在y 轴的右方，所以k=-x 0≤0故根号前应取负号，即.451-=k 故所求圆的方程为.1)451(22=+--y x 由对称性，圆与抛物线的另一交点（x 0 ,-y 0)处的切线也互相垂直附加题（成绩不计入总分，只作参考）设直线（L ）的参数方程是⎩⎨⎧+==;,mt b y t x （t 是参数）椭圆（E ）的参数方程是⎩⎨⎧θ=≠θ+=sin )0(,cos 1y a a x （θ是参数）问a 、b 应满足什么条件，使得对于任意m 值来说，直线（L ）与椭圆（E ）总有公共点解：消去参数，得（L ）：;b mx y +=（E ）：.1)1(222=+-y ax消去y ，整理得01)1(2)1(2222222=+-+-++a b a x mb a x m a（L ）、（E ）有交点的条件是上式的判别式≥0，即0)1)(1()1(2222222≥+-+--a b a m a mb a化简并约去a 2得.0)1(2)1(222≥-+--b bm m a对任意m 的值，要使这个式子永远成立，条件是⎩⎨⎧==⎪⎩⎪⎨⎧-≤≤-->⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧==-≤--->-0,1||)2(||1||1,1||)1(.0,01)2(;0)1)(1(,01)1(2222222b a a a b a a a b a b a b a 或解得或或（1）、（2）合写成：⎪⎩⎪⎨⎧-≤≤--≥.||1||1,1||22a ab a a a 即所求的条件（注：也可数形结合，由点P （0，b ）在椭圆（E ）内或（E ）上求解）。

高考数学普通高等学校招生全国统一考试80(附答案)

高考数学普通高等学校招生全国统一考试80一、填空题（4分⨯12=48分）1、函数)1(log )(4+=x x f 的反函数)(1x f-=__________.见理12、方程0224=-+x x 的解是__________.见理2 3、若y x ,满足条件⎩⎨⎧≤≤+xy y x 23，则y x z 43+=的最大值是__________. 【思路点拨】本题考查线性规划的基础知识，画出可行域，寻求目标函数的最大值.【正确解答】求y x z 43+=的最大值，即求y 轴上的截距最大值，由图可知，过点（1，2）时有最大值，为11【解后反思】线性规划是直线方程的应用，是新增的教学内容.要了解线性不等式表示的平面区域，了解线性规划的定义，会求在线性约束条件下的目标函数的最优解.4、直角坐标平面xoy 中，若定点)2,1(A 与动点),(y x P 满足4=•OA OP ，则点P 的轨迹方程是__________.见理35、函数x x x y cos sin 2cos +=的最小正周期T=__________.【思路点拨】本题考查二倍角公式等基础知识和变换能力，角的差异（由异角化同角）在同角的条件下，利用三角恒等式化成正弦函数，就可求出最小正周期.【正确解答】1cos 2sin cos cos 2sin 2)2y x x x x x x ϕ=+=+=+，得最小正周期为π 【解后反思】三角函数的变换要注意变换的方向，消除差异，达到转化.6、若71cos =α，⎪⎭⎫ ⎝⎛∈2,0πα，则⎪⎭⎫ ⎝⎛+3cos πα=__________. 【思路点拨本题考查两个角和的余弦的求法.熟记公式结构，根据条件求出运用公式必需值，再考虑三角函数的符号.【正确解答】⎪⎭⎫ ⎝⎛∈2,0πα，∴sin α== 11cos cos cos sin sin 33314πππααα⎛⎫+=-=- ⎪⎝⎭. 【解后反思】在三角函数的公式运用过程中取决于满足运用公式的条件，已知三角函数值求同角的其它三角函数值时必须注意符号，否则就无所谓解决三角函数问题.7、若椭圆长轴长与短轴长之比为2，它的一个焦点是()0,152，则椭圆的标准方程是__________.【思路点拨】本题考查椭圆的基础知识，数形的等价转换是解决此类型的关键.【正确解答】由题意可知，2a b=，c =222a b c =+，解得2280,20a b ==，所求椭圆的标准方程为2218020x y +=.【解后反思】在求椭圆方程和研究性质时，要深刻理解确定椭圆的形状及大小的主要特征数，如a 、b 、c 、p 、e 的几何意义及它们的关系式，熟练运用这些公式解决有关问题..8、某班有50名学生，其中15人选修A 课程，另外35人选修B 课程.从班级中任选两名学生，他们是选修不同课程的学生的概率是__________.（结果用分数表示）见理89、直线x y 21=关于直线1=x 对称的直线方程是__________. 【思路点拨】本题考查一条直线关于已知直线对称的直线方程，可取两个特殊点求出关于直线的对称点的坐标，再由两点式求出直线方程即可. 【正确解答】直线x y 21=上的点（0，0）关于1=x 对称的点是（2，0），且所求方程的斜率为－12，因此，直线x y 21=关于直线1=x 对称的直线方程是： 1(2)2y x =--，整理后得220x y +-=. 解法2设所求直线上任意点(,)P x y '''关于直线x=1对称点为(,)P x y 则22x x x x y y y y''+==-⎧⎧⇒⎨⎨''==⎩⎩∵12y x ''=∴1(2)2y x =-即x+2y-2=0 【解后反思】解法2是通法，详见理22.10、在ABC ∆中，若︒=120A ，AB=5，BC=7，则AC=__________.见理911、函数[]π2,0|,sin |2sin )(∈+=x x x x f 的图象与直线k y =有且仅有两个不同的交点，则k 的取值范围是__________.见理1012、有两个相同的直三棱柱，高为a2，底面三角形的三边长分别为)0(5,4,3>a a a a .用它们拼成一个三棱柱或四棱柱，在所有可能的情形中，全面积最小的是一个四棱柱，则a 的取值范围是__________.见理11二、选择题（4分⨯4=16分）13、若函数121)(+=x x f ，则该函数在()+∞∞-,上是（） A ．单调递减无最小值 B ．单调递减有最小值C ．单调递增无最大值D ．单调递增有最大值见理1314、已知集合{}R x x x M ∈≤-=,2|1||，⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈≥+=Z x x x P ,115|，则P M 等于（）A ．{}Z x x x ∈≤<,30|B ．{}Z x x x ∈≤≤,30|C ．{}Z x x x ∈≤≤-,01|D ．{}Z x x x ∈<≤-,01|见理14.15、条件甲：“1a >”是条件乙：“a >”的（）A ．既不充分也不必要条件B ．充要条件C ．充分不必要条件D ．必要不充分条件【思路点拨】本题考查了充要条件的定义及其判定只要判断甲⇒乙和乙⇒甲的真假性，利用充要条件将条件乙进行化简是解决这类问题的关键.【正确解答】解法1：甲⇒乙：11a a >⇒>⇒>，乙⇒甲：1)0101a a >⇒>⇒><⇒>因此是充要条件，选B解法2：∵201a a aa a >⎧>⇔⇔>⎨>⎩，∴选B 【解后反思】对命题的充要条件、必要条件可以从三个方面理解：①定义法，②等价法，即利用A B ⇒与B A ⌝⌝⇒，B A ⇒与A B ⌝⌝⇒的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题一般采用等价法，③利用集合间的包含关系判断：若A B ⊆则A 是B 的充分条件或B 是A 必要条件；若A B =则A 是B 的充要条件，另外，对于确定条件的不充分性或不必要性往往用构造反例的方法来说明.16、用n 个不同的实数n a a a ,,,21 可得到!n 个不同的排列，每个排列为一行写成一个!n 行的数阵.对第i 行in i i a a a ,,,21 ，记in n i i i i na a a a b )1(32321-++-+-=，!,,3,2,1n i =.例如：用1，2，3可得数阵如图，由于此数阵中每一列各数之和都是12，所以，2412312212621-=⨯-⨯+-=+++b b b ，那么，在用1，2，3，4，5形成的数阵中，12021b b b +++ 等于（）A ．—3600B ．1800C ．—1080D ．—720见理12123123123123123123三、解答题（本大题满分86分）17、（本题满分12分）已知长方体1111D C B A ABCD -中，M 、N 分别是1BB 和BC 的中点，AB=4，AD=2，D B 1与平面ABCD 所成角的大小为︒60，求异面直线D B 1与MN 所成角的大小.（结果用反三角函数值表示）【思路点拨】见理17.【正确解答】联结B 1C,由M 、N 分别是BB 1和BC 的中点,得B 1C ∥MN,∴∠DB 1C 就是异面直线B 1D 与MN 所成的角.联结BD,在Rt △ABD 中,可得BD=25,又BB 1⊥平面ABCD,∠B 1DB 是B 1D 与平面ABCD 所成的角, ∴∠B 1DB=60°.在Rt △B 1BD 中, B 1B=BDtan60°=215,又DC ⊥平面BB 1C 1C, ∴DC ⊥B 1C,在Rt △DB 1C 中, tan ∠DB 1C=212121=+=BB BC DC C B DC , ∴∠DB 1C=arctan 21. 即异面直线B 1D 与MN 所成角的大小为arctan21. 【解后反思】见理17.18、（本题满分12分）在复数范围内解方程ii i z z z +-=++23)(||2（i 为虚数单位）.【思路点拨】见理18. 【正确解答】原方程化简为i i z z z -=++1)(2,设z=x+yi(x 、y ∈R),代入上述方程得 x 2+y 2+2xi=1-i, ∴x 2+y 2=1且2x=-1,解得x=-21且y=±23, ∴原方程的解是z=-21±23i. 【解后反思】见理18.19、（本题满分14分）已知函数b kx x f +=)(的图象与y x ,轴分别相交于点A 、B ，j i AB 22+=（j i ,分别是与y x ,轴正半轴同方向的单位向量），函数6)(2--=x x x g .（1）求b k ,的值；（2）当x 满足)()(x g x f >时，求函数)(1)(x f x g +的最小值. 【思路点拨】本题是以向量为背景，解析法为手段，考查解析思想的运用和处理函数性质的方法，考查运算能力和运用数学模型的能力.【正确解答】 (1)由已知得A(kb -,0),B(0,b),则AB ={k b ,b},于是k b =2,b=2. ∴k=1,b=2. (2)由f(x)> g(x),得x+2>x 2-x-6,即(x+2)(x-4)<0, 得-2<x<4, )(1)(x f x g +=252+--x x x =x+2+21+x -5由于x+2>0,则)(1)(x f x g +≥-3,其中等号当且仅当x+2=1,即x=-1时成立 ∴)(1)(x f x g +的最小值是-3. 【解后反思】要熟悉在其函数的定义域内，常见模型函数求最值的常规方法.如1(0)y x x x=+≠型. 20、（本题满分14分）假设某市2004年新建住房面积400万平方米，其中有250万平方米是中低价房.预计在今后的若干年内，该市每年新建住房面积平均比上一年增长8%.另外，每年新建住房中，中低价房的面积均比上一年增加50万平方米.那么，到哪一年底，（1）该市历年所建中低价层的累计面积（以2004年为累计的第一年）将首次不少于4780万平方米？（2）当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%？见理2021、（本题满分16分）已知抛物线)0(22>=p px y 的焦点为F ，A 是抛物线上横坐标为4、且位于x 轴上方的点，A 到抛物线准线的距离等于5.过A 作AB 垂直于y 轴，垂足为B ，OB 的中点为M.（1）求抛物线方程；（2）过M 作FA MN ⊥，垂足为N ，求点N 的坐标；（3）以M 为圆心，MB 为半径作圆M ，当)0,(m K 是x 轴上一动点时，讨论直线AK 与圆M 的位置关系.【思路点拨】本题考查直线与抛物线、直线与圆的位置关系等基础知识，考查运用解析几何的方法分析问和解决问题的能力.第（1）（2）问是定量分析，难度不大，而解决（3）的常规方法之一就是利用点M 到直线AK 的距离d 与圆的半径比较为宜.【正确解答】 (1) 抛物线y 2=2px 的准线为x=-2p ,于是4+2p =5, ∴p=2. ∴抛物线方程为y 2=4x.(2)∵点A 是坐标是(4,4), 由题意得B(0,4),M(0,2),又∵F(1,0), ∴k FA =34;MN ⊥FA, ∴k MN =-43, 则FA 的方程为y=34(x-1),MN 的方程为y-2=-43x,解方程组得x=58,y=54, ∴N 的坐标(58,54). (1) 由题意得, ,圆M.的圆心是点(0,2), 半径为2,当m=4时, 直线AK 的方程为x=4,此时,直线AK 与圆M 相离.当m ≠4时, 直线AK 的方程为y=m-44(x-m),即为4x-(4-m)y-4m=0, 圆心M(0,2)到直线AK 的距离d=2)4(1682-++m m ,令d>2,解得m>1∴当m>1时, AK 与圆M 相离;当m=1时, AK 与圆M 相切;当m<1时, AK 与圆M 相交.【解后反思】解答圆锥这部分试题需准确地把握数与形的语言转换能力，推理能力，本题计算量并不大，但步步等价转换的意识要准确无误.22、（本题满分18分）对定义域是f D 、g D 的函数)(x f y =、)(x g y =，规定：函数⎪⎩⎪⎨⎧∈∉∉∈∈∈=g f g f g f D x D x x g D x D x x f D x D x x g x f x h 且当且当且当),(),(),()()(.（1）若函数11)(-=x x f ，2)(x x g =，写出函数)(x h 的解析式；（2）求问题（1）中函数)(x h 的值域；（3）若)()(α+=x f x g ，其中α是常数，且[]πα,0∈，请设计一个定义域为R 的函数)(x f y =，及一个α的值，使得x x h 4cos )(=，并予以证明.见理21。

【高考数学试题】1980年普通高等学校招生全国统一考试.理科数学试题及答案

【高考数学试题】1980年普通高等学校招生全国统一考试数学（理科）一．（本题满分6分）将多项式x 5y-9xy 5分别在下列范围内分解因式： 1．有理数范围;2.实数范围;3.复数范围解：1.x 5y-9xy 5=xy(x 2+3y 2)(x 2-3y 2). 2.x 5y-9xy 5=xy(x 2+3y 2)(x+3y)(x-3y).3.x 5y-9xy 5=xy(x+3yi)(x-3yi)(x+3y)(x-3y). 二．（本题满6分）半径为1、2、3的三个圆两两外切证明：以这三个圆的圆心为顶点的三角形是直角三角形证：设⊙O 1⊙O 2⊙O 3的半径为1、2、3因这三个圆两两外切，故有O 1O 2=1+2=3， O 2O 3=2+3=5，O 1O 3=1+3=4，则有O 1O 22 + O 1O 32=32+42=52= O 2O 32根据勾股定理的逆定理，△O 1O 2O 3为直角三角形三．（本题满分10分）用解析几何方法证明三角形的三条高线交于一点证：取△ABC 最长一边BC 所在的直线为X 轴，经过A 的高线为Y 轴，设A 、B 、C 的坐标分别为A （0，a ）、B （b ，0）、C （c ，0），根据所选坐标系，如图，有a >0,b<0,c>0AB 的方程为1=+a yb x，其斜率为a b - AC 的方程为1=+ay cx，其斜率为c a - 高线CE 的方程为(1) )(c x a b y -=高线BD 的方程为(2) )(b x acy -=解（1）、（2），得：（b-c)x=0∵b-c ≠0∴x=0即高线CE 、BD 的交点的横坐标为0，也即交点在高线AO 上因此，三条高线交于一点四．（本题满分10分）证明对数换底公式：)1,1,(log log log ``≠≠=b a N b a bNN a a b 都是正数解：见课本五．（本题满分10分）直升飞机上一点P 在地面M 上的正射影是A ，从P 看地面上一物体B （不同于A ）直线PB 垂直于飞机窗玻璃所在的平面N （如图）证明：平面N 必与平面M 相交，且交线垂直于ABY A(0,a )E DX证：用反证法假如平面N 与平面M 平行，则PA 也垂直于N ，因此PA与PB 重合，B 点与A 点重合，但这与题设矛盾，所以平面N 与平面M 相交设平面N 与平面M 的交线为L∵PA ⊥平面M ，∴PA ⊥L又∵PB ⊥平面N ，∴PB ⊥L∴L ⊥平面PAB ，∴L ⊥AB六．（本题满分12分）设三角函数),35k sin()x (f π+π=其中k ≠0 1．写出f(x)极大值M 、极小值m 与最小正周期;2．试求最小的正整数k ，使得当自变量x 在任意两个整数间（包括整数本身）变化时，函数f(x)至少有一个值是M 与一个值是m解：1.M=1，m=-1，.1025kk T ππ=⨯=2.f(x)在它的每一个周期中都恰好有一个值是M 与一个值是m 而任意两个整数间的距离都≥1因此要使任意两个整数间函数f(x)至少有一个值是M 与一个值是m ，必须且只须使f(x)的周期≤1即：.4.3110,110 =≥≤ππk k可见，k=32就是这样的最小正整数七．（本题满分14分）P NCD 为直角三角形ABC 中斜边AB 上的高，已知△ACD 、△CBD 、 △ABC 的面积成等比数列，求∠B （用反三角函数表示）解：设CD=h ，AB=c ，BD=x ，则 AD=c-x因此，△ACD 的面积为)(21x c h -，△CBD 的面积为hx 21，△ABC 的面积为hc 21，依题意，222111()(),222(),0,2hx h c x hc x c c x x cx c c x =-⋅=-+-=-=即即∵取负号不合题意，∴取正号，得.215c x -= 又依直角三角形的性质，有AC 2=AD ·AB=c(c-x). 但 x 2=c(c-x)∴AC 2=x 2 ∴AC=x=DB=.215c - 在直角三角形ABC 中，215215sin -=-==c cABACB故 .215arcsin-=∠B 八．（本题满分14分）已知0＜α＜π，证明：;2sin 2ααctg ≤并讨论α为何值时等号成立C解：即证：.sin cos 12sin 2ααα+≤两端乘以sin α，问题化为证明2sin αsin2α≤1+cos α. 而 2sin αsin2α=4sin αcos 2α=4(1-cos 2α)cos α=4(1-cos α)(1+cos α)cos α所以问题又化为证明不等式 (1+cos α)[4(1-cos α)cos α-1]≤0（1+cos α)⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--221cos 4α≤0∴不等式得证∵0＜α＜π,∴等号成立当且仅当cos α-21=0 即α=600 九．（本题满分18分）抛物线的方程是y 2=2x ，有一个半径为1的圆，圆心在x 轴上运动问这个圆运动到什么位置时，圆与抛物线在交点处的切线互相垂直（注：设P （x 0,y 0)是抛物线y 2=2px 上一点，则抛物线在P 点处的切线斜率是y P）解：设圆的方程为（x-k)2+y 2=1再设圆与抛物线的一个交点为P （x 0,y 0) 在P 点圆半径的斜率=kx y -00. 在P 点抛物线的切线斜率=1y在P 点抛物线的切线与圆的切线垂直，必须且只须圆的半径Y。

1980年全国统一高考数学试卷(理科)

9．（18 分）抛物线的方程是 y2=2x，有一个半径为 1 的圆，圆心在 x 轴上运动问这个圆运动到什么位置时，圆与抛物线在交点处的切线互相垂直？（注：设 P（x0，y0）是抛物线 y2=2px 上一点，则
抛物线在 P 点处的切线斜率是）．
10．设直线（L）的参数方程是
（t 是参数）椭圆（E）的参数方程是
3．（10 分）用解析几何方法证明三角形的三条高线交于一点．

4．（10 分）证明对数换底公式：
（a，b，N 都是正数，a≠1，b≠1）．
5．（10 分）直升飞机上一点 P 在地面 M 上的正射影是 A，从 P 看地面上一物体 B（不同于 A）．直线 PB 垂直于飞机窗玻璃所在的平面 N（如图）．证明：平面 N 必与平面 M 相交，且交线垂直于 AB．
1980 年全国统一高考数学试卷（理科）
一、解答题（共 10 小题，满分 0 分）
1．（6 分）将多项式 x5y﹣9xy5 分别在下列范围内分解因式：（1）有理数范围；（2）实数范围；
（3）复数范围． 2．（6 分）半径为 1、2、3 的三个圆两两外切．证明：以这三个圆的圆心为顶点的三角形是直角三角形．
6．（12 分）设三角函数
，其中 k≠0．
（1）写出 f（x）极大值 M、极小值 m 与最小正周期；（2）试求最小的正整数 k，使得当自变量 x 在任意两个整数间（包括整数本身）变化时，函数 f（x）至少有一个值是 M 与一个值是 m． 7．（14 分）CD 为直角三角形 ABC 中斜边 AB 上的高，已知△ACD、△CBD、△ABC 的面积成等比数列，求∠B（用反三角函数表示）．
（θ 是参数）问 a、b 应满足什么条件，使得对于任意 m 值来说，直线

1980年全国统一高考数学试卷(文科)

1980年全国统一高考数学试卷（文科）一、解答题（共8小题，满分100分）1．（8分）化简．2．（10分）解方程组：．3．（10分）用解析法证明直径所对的圆周角是直角．4．（12分）某地区1979年的轻工业产值占工业总产值的20%，要使1980年的工业总产值比上一年增长10%，且使1980年的轻工业产值占工业总产值的24%，问1980年轻工业产值应比上一年增长百分之几？5．（12分）设，化简．6．（16分）（1）若四边形ABCD的对角线AC将四边形分成面积相等的两个三角形，证明直线AC必平分对角线BD．（2）写出（1）的逆命题，这个逆命题是否正确？为什么？7．（16分）如图，长方形框架ABCD﹣A′B′C′D′，三边AB、AD、AA′的长分别为6、8、3.6，AE与底面的对角线B′D′垂直于E．（1）证明A′E⊥B′D′；（2）求AE的长．8．（16分）（1）把参数方程（t为参数）化为直角坐标方程；（2）当0≤t＜及π≤t＜时，各得到曲线的哪一部分？1980年全国统一高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、解答题（共8小题，满分100分）1．（8分）化简．考点：复数代数形式的乘除运算．分析：复数的分母实数化，即分子、分母同乘分母的共轭复数，化简即可．解答：解：原式==．点评：本题考查复数的代数形式的乘除运算，是基础题，也是常考题．2．（10分）解方程组：．考点：二元一次不定方程；二元一次不等式组．分析：采用加减消元法或代入消元法，消z，然后解出x，y再解z．解答：解：方程组：，①×3+②可得，∴解得x=1，y=﹣2，z=3方程组的解为．点评：本题是初中知识，解三元一次方程．3．（10分）用解析法证明直径所对的圆周角是直角．考点：两条直线垂直的判定．专题：证明题．分析：要证PA与PB垂直，即要求出PA的斜率和PB的斜率，把两个斜率相乘得到乘积为﹣1，所以以AB所在的直线为x轴，圆心为坐标原点建立平面直角坐标系，则得到A、B的坐标，设P（x，y），表示出PA与PB的斜率相乘，把P坐标代入圆的方程化简可得乘积为﹣1即可得证．解答：证明：将圆的直径AB所在的直线取为X轴，圆心作为原点，不妨设定圆的半径为1，于是圆的方程是x2+y2=1．A、B的坐标是A（﹣1，0）、B（1，0）．设P（x，y）是圆上任一点，则有y2=1﹣x2．∵PA的斜率为，PB的斜率为，∴∴PA⊥PB，∠APB为直角．点评：此题为一道证明题，要求学生掌握两直线垂直的条件为斜率乘积为﹣1，会利用解析的方法证明数学问题．4．（12分）某地区1979年的轻工业产值占工业总产值的20%，要使1980年的工业总产值比上一年增长10%，且使1980年的轻工业产值占工业总产值的24%，问1980年轻工业产值应比上一年增长百分之几？考点：数列的应用．专题：应用题．分析：设1980的轻工业产值比上一年增长x%，由题意，解此方程可得答案．解答：解：设1979年的工业总产值为a，又设1980的轻工业产值比上一年增长x%，则按题意，1980年的轻工业产值为；解得：x=32．答：1980年轻工业产值应比上一年增长32%．点评：本题考查数列的性质及其应用，解题时要认真审题，寻找数量间的相互关系，建立合理的方程．5．（12分）设，化简．考点：诱导公式一；同角三角函数基本关系的运用．专题：计算题．分析：利用诱导公式化简分式的分子，注意θ的范围然后求解即可．解答：解：原式==．∵，∴π＜θ+，∴sin（θ+）＜0，∴原式=﹣1．点评：本题考查诱导公式，同角三角函数基本关系的应用，考查学生的运算能力，是基础题．6．（16分）（1）若四边形ABCD的对角线AC将四边形分成面积相等的两个三角形，证明直线AC必平分对角线BD．（2）写出（1）的逆命题，这个逆命题是否正确？为什么？考点：相似三角形的性质；四种命题．专题：综合题．分析：（1）证明BD被AC平分，即证明OB=OD，结合同底等高的三角形面积相等这一性质，不难想到要证明线段相等，可以证明线段所在的三角形全等．（2）将（1）的思路进行倒推，不难解决本小题．解答：解：（1）证：S△ABC=S△ADC′且△ABC与△ADC有同底AC，∴两高线相等：BE=DF设AC与BD交于点O，则Rt△BOE≌Rt△DOF，∴OB=OD，即AC平分BD．（2）逆命题：若四边形ABCD的对角线AC平分对角线BD，则AC必将四边形分成两个面积相等的三角形这个逆命题是正确的．证明如下：在图中，由于OB=OD，∠BOE=∠DOF，∠BEO=∠DFO=Rt∠，∴△BOE≌△DOF．∴BE=DF，即两高线相等．∴S△ABC=AC•BE=AC•DF=S△ADC'．点评：证明线段相等是平面几何常见题型，常用的方法有：利用平行线等分线段定理、等腰三角形的性质、全等三角形对边相等、平行四边形对角线互相平分等，同学们要注意平时多进行总结．7．（16分）如图，长方形框架ABCD﹣A′B′C′D′，三边AB、AD、AA′的长分别为6、8、3.6，AE与底面的对角线B′D′垂直于E．（1）证明A′E⊥B′D′；（2）求AE的长．考点：棱锥的结构特征．专题：计算题；证明题．分析：（1）先由AA'⊥平面A'B'C'D'，可转化为AA'⊥B'D'，又AE⊥B'D'，由线面垂直的判断定理可得B'D'⊥平面AA'E，得证．（2）先由等面积法A'B'•A'D'=A'E•B'D'求得A'E，再由勾股定理求得AE．解答：（1）证明：AA'⊥平面A'B'C'D'，∴AA'⊥B'D'．又AE⊥B'D'，∴B'D'⊥平面AA'E，因此B'D'⊥A'E（2）解：A'B'•A'D'=A'E•B'D'（都是△A'B'D'面积的2倍）∴6×8=A'E×，∴A'E=4.8∴AE=．点评：本题主要考查长方体的结构特征，主要涉及了线线，线面，面面垂直的关系，以及基本量的关系．属中档题．8．（16分）（1）把参数方程（t为参数）化为直角坐标方程；（2）当0≤t＜及π≤t＜时，各得到曲线的哪一部分？考点：参数方程化成普通方程．专题：计算题．分析：（1）先利用公式sec2t=1+tg2t，将参数t消去，即可得到曲线的直角坐标普通方程；（2）根据t的范围求出x与y的取值范围，结合图象可得到的是曲线的哪一部分．解答：解：（1）利用公式sec2t=1+tg2t，得．∴曲线的直角坐标普通方程为．（2）当时，x≥1，y≥0，得到的是曲线在第一象限的部分（包括（1，0）点）；当时，x≤﹣1，y≥0，得到的是曲线在第二象限的部分，（包括（﹣1，0）点）．点评：本题主要考查了双曲线的参数方程化成直角坐标方程，以及数形集合的数学思想，属于基础题．。

1980年全国高考数学试题及答案解析

1980年全国高考数学试题及答案解析(理工农医类)一、将多项式x5y-9xy5分别在下列范围内分解因式:(1)有理数范围; (2)实数范围(3)复数范围.[Key]二、半径为1、2、3的三个圆两两外切.证明:以这三个圆的圆心为顶点的三角形是直角三角形.[Key] 二、证明:设⊙O1、⊙O2、⊙O3的半径分别为1、2、3.因这三个圆两两外切,故有O1O2=1+2=3,O2O3=2+3=5,O1O3=1+3=4,根据勾股弦定理的逆定理,或余弦定理,△O1O2O3为直角三角形.三、用解析几何方法证明三角形的三条高线交于一点.[Key] 三、证明:取△ABC最长的一边BC所在的直线为x轴,经过A的高线为y轴,设A、B、C的坐标分别为A(0,a)、B(b,0)、C(c,0),根据所选坐标系,如图,有a>0,b<0,c>0.解(1)、(2),得:(b-c)x=0.∵b-c≠0,∴x=0.这就是说,高线CE、BD的交点的横坐标为0,即交点在高线AO上.因此,三条高线交于一点.(a、b、N都是正数,a≠1,b≠1)[Key] 四、证法一:令log b N=x,根据对数定义,b x=N.两端取以a为底的对数,log a b x=log a N,xlog a b=log a N.∵b≠1,∴log a b≠0,证法二:令log b N=x,根据对数定义,N=b x=(a logab)x=a xlogab,∴xlog a b=log a N.∵b≠1,log a b≠0,五、直升飞机上一点P在地平面M上的正射影是A.从P看地平面上一物体B(不同于A),直线PB 垂直于飞机窗玻璃所在的平面N(如图).证明:平面N必与平面M相交,且交线l垂直于AB.[Key] 五、证明:用反证法.假如平面N与平面M平行,则PA也垂直于N,因此PA与PB重合,B点与A点重合,但这与题设矛盾,所以平面N与平面M相交.设平面N与平面M的交线为l.∵PA⊥平面M,∴PA⊥l.又∵PB⊥平面N,∴PB⊥l.∴l⊥平面PAB,∴l⊥AB.(1)写出f(x)的极大值M、极小值m与最小正周期T;(2)试求最小的正整数k,使得当自变量x在任意两个整数间(包括整数本身)变化时,函数f(x)至少有一个值是M与一个值是m.[Key] 六、解:(1)M=1,m=-1,(2)f(x)在它的每一个周期中都恰好有一个值是M与一个值是m.而任意两个整数间的距离都≥1.因此要使任意两个整数间函数f(x)至少有一个值是M与一个值是m,必须且只须使f(x)的周期≤1.可见,k=32就是这样的最小正整数.七、CD为直角三角形ABC中斜边AB上的高,已知△ACD、△CBD、△ABC的面积成等比数列,求∠B(用反三角函数表示).[Key] 七、解法一:设CD=h,AB=c,BD=x,则AD=c-x.即x2=c(c-x),即x2+cx-c2=0,∵取负号不合题意,又依直角三角形的性质,有AC2=AD·AB=c(c-x).但x2=c(c-x),∴AC2=x2,解法二:由题设有(CD·BD)2=(CD·AD)·(CD·AB), ∴BD2=AD·AB.但AC2=AD·AB,∴BD=AC.[Key]两端乘以正数sin,问题化为证明2sin sin2≤1+cos.而2sin sin2=4sin2cos=4(1-cos2)cos=4(1-cos)(1+cos)cos.所以问题又化为证明不等式(1+cos)[4(1-cos)cos-1]≤0.8t2(1-t2)≤(1+t2)2,即-9t4+6t2-1≤0,-(3t2-1)2≤0.∴不等式成立.九、抛物线的方程是y2=2x,有一个半径为1的圆,圆心在x轴上运动.问这个圆运动到什么位置时,圆与抛物线在交点处的切线互相垂直.[Key] 九、解:设圆的方程为(x-k)2+y2=1.再设圆与抛物线的一个交点为P(x0y0).在P点抛物线的切线与圆的切线垂直,必须且只须圆的半径与抛物线在P点相切.由(1)、(2)式消去y0,得x0=-k,将(2)代入(3),得(x0-k)2+2x0-1=0,将x0=-k代入,得4k2-2k-1=0,由于对称性,圆与抛物线的另一交点(x0,-y0)处的切线也互相垂直.附加题问a、b应满足什么条件,使得对于任意m值来说,直线(L)与椭圆(E)总有公共点.[Key] 附加题解法一:消去参数,得消去y,整理得(1+a2m2)x2+2(a2mb-1)x+a2b2-a2+1=0.(a2mb-1)2-(1+a2m2)(a2b2-a2+1)≥0.化简并约去a2得(a2-1)m2-2bm+(1-b2)≥0.对任何m的值,要使这个式子永远成立,条件是即为所求的条件.解法二:直线(L)即y=mx+b;它通过P(0,b)点,斜率为m.如果P(0,b)落在(E)内或(E)上,如P1,则过P1点作任意直线(L)显然与椭圆(E)总有公共点. 如果P(0,b)落在(E)外,如P2,那么由P2向椭圆作两切线,则(E)上所有的点都在两切线的一个夹角内,所以可以选择斜率m的值,使直线(L)落在这个夹角的补角内,(L)与(E)就没有公共点了.因此,(L)与(E)总有公共点的充要条件是p(0,b)点落在(E)内或(E)上.要使(E)与y轴有公共点,其充要条件是│a│≥1;这时,(E)与y轴的。

1980年高考数学试题

1980年高考数学试题1980年高考数学试题一、选择题：1. 在某个三角形中，三角形两边之和大于第三边，则这个三角形是（）A. 等腰三角形B. 直角三角形C. 锐角三角形D. 钝角三角形2. 如果a≤b≤c，则命题“bc＞2a”的正确形式是（）A. a≤b≤c，bc＞2aB. a≤b≤c，bc≥2aC. a＜b＜c，bc＞2aD. a＜b＜c，bc≥2a3. 已知四边形ABCD中，角A、B、C、D所对的边分别为a、b、c、d，其中c＞a＞d，则四边形ABCD的形状为（）A. 等腰直角三角形B. 等腰斜三角形C. 直角三角形D. 锐角三角形4. 已知数列{an}满足a1＝a,a＋1＝2a,对于任意的n＞3，都有an＋1＝2an－1，n∈N，则数列{an}的公式为（）A. an＝2^n－aB. an＝2^n＋aC. an＝2^n＋1D. an＝2^n－1二、填空题5. 如果点M在△ABC内部，而AM：MB：MC＝2：3：4，那么点M处BC边上等距离分成三等分，等距点的坐标分别是（）。

6. 一台机器在第一个月时生产168件产品，每个月生产量等比增加10%，则生产了400件产品的月份是（）月。

三、解答题7. 已知抛物线y=4x^2－4x＋2的顶点坐标（a，b），求实数a和b的值。

解：由抛物线的顶点的性质可知，顶点的坐标是抛物线方程的根，即4x^2－4x＋2=0解得x=1代入抛物线方程，得到y=b，即b=3故顶点坐标为（1，3），即a=1，b=38. 已知f(x)=lnx，g(x)=x^2，求函数 h(x)=g(f(x)) 的f(x)的值。

解：由题意知，h(x)=x^2·lny设f(x)=lnx=y，则h(x)=x^2·lnx^2=x^2·2y可知f(x)=lnx=y=1/2·h(x)，即f(x)=lnx=1/2·x^2·lnx^2又知x=exp(f(x))，即f(x)=ln(exp(f(x)))=1/2·(exp(f(x)))^2·ln(exp(f(x)))^2f(x)=1/2·exp(2·f(x))·ln(exp(f(x)))^2即f(x)=exp(2·f(x))·ln(exp(f(x)))。

一九八○年全国高等学校统一招生数学试题(副题)和解答

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作直线 M N 平行于 B C 交 A B 于 M 交 A C 于 N 今将△ A M N 沿 M N 折过去此时 A 点到 ` 了 A 点的位置成了一个立体图 “ 尸如果乙 A 产 E D = 6 0 证明 E A 土平面
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D 边长为 a 的正三乙MO N一6 角形 A B P 在匕 M O N 内滑动 ( 不能翻转 ) 使 B 始终在 O N 上得 A 始终在O M 上求点p ; 的轨迹的方程并求其直角坐标的标准方程 ; 说出轨迹是何种曲线 ; 并画出它的略图
1
募
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A D 的中点
B A 与 C O 的延线交于 E
CD
与 B O 的延线交于 F
评阅试卷要坚持每题评阅到底勿因考生解答中出现错误而中断本题评阅如考生的解答在某一步出现错误影响后继
2
, ,
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部分而未改变本题的内容和难度者视影响的程度决定对后面给分多少但原则上不超过后面部分应得分数之半如果有严重概念性错误就不给分 3 以下解答中各行右端所注分数表示正确作完该步应得的累加分数

1980年(高考数学试题文理科)

一九八0年（理科）一．（本题满分6分）将多项式x 5y-9xy 5分别在下列范围内分解因式： 1．有理数范围;2.实数范围;3.复数范围。

解：1.x 5y-9xy 5=xy(x 2+3y 2)(x 2-3y 2).2.x 5y-9xy 5=xy(x 2+3y 2)(x+3y)(x-3y).3.x 5y-9xy 5=xy(x+3yi)(x-3yi)(x+3y)(x-3y). 二．（本题满6分）半径为1、2、3的三个圆两两外切。

证明：以这三个圆的圆心为顶点的三角形是直角三角形。

证：设⊙O 1⊙O 2⊙O 3的半径为1、2、3。

因这三个圆两两外切，故有 O 1O 2=1+2=3， O 2O 3=2+3=5，O 1O 3=1+3=4，则有O 1O 22 + O 1O 32=32+42=52= O 2O 32。

根据勾股定理的逆定理，△O 1O 2O 3为直角三角形。

三．（本题满分10分）证：取△ABC 最长一边BC 所在的直线为X Y 轴，设A 、B 、C 的坐标分别为A （0，a ）、B （b ，0）、C （c ，0），根据所选坐标系，如图，有a >0,b<0,c>0AB 的方程为1=+a yb x ，其斜率为a b - AC 的方程为1=+a y cx，其斜率为ca - 高线CE 的方程为(1))(c x a by -= 高线BD 的方程为(2))(b x acy -= 解（1）、（2），得：（b-c)x=0∵b-c ≠0∴x=0即高线CE 、BD 的交点的横坐标为0因此，三条高线交于一点。

O 3Y A(0,a ) E D X四．（本题满分10分）证明对数换底公式：)1,1,(log log log ``≠≠=b a N b a bNN a a b 都是正数解：见课本。

五．（本题满分10分）直升飞机上一点P 在地面M 上的正射影是A ，从P 看地面上一物体B （不同于A ）。

1980年全国普通高等学校招生考试

1980年试题答题所需的原子量H:1O:16C:12Na:23S:32Fe:56Cu:64一、(本题共13分)1.0.3摩尔的氧气和0.2摩尔的臭氧(O3),它们的质量等,它们所含的分子数等,原子数等,它们的体积比(同温、同压)是.2.中和10毫升0.1N氨水,需用0.05N盐酸毫升;中和后溶液显性.3.在一密闭容器内,盛有碘化氢气体,在400℃时,建立下列平衡:如果温度升高,混合气体的摩尔数,颜色.4.配平以下化学方程式:[ ]KMnO4+[ ]HCl=[ ]KCl+[ ]MnCl2+[ ]Cl2↑+[ ]H2O反应中的还原剂是,电子转移总数是.(5)当电解氯化钠饱和溶液时,如果有0.4摩尔的电子发生转移.在标准状况下,产生毫升的氯气;同时有摩尔的氢氧化钠产生.二、(本题共13分)下表是元素周期表的一部分,列出了十个元素在周期表中的位置:回答下列问题时,请用化学符号.甲:这十个元素中,化学性质最不活泼的元素是.乙:①、③和⑤三个元素最高价氯化物的水溶液,酸性最强的化合物是.丙:②、③和④三个元素所形成简单离子的半径大小次序是小于小于.丁:⑦元素氢化物的分子式是,它跟固体②反应的化学方程式是: .⑨元素氢化物的分子式是,它的水溶液的pH值7.戊:⑨元素与①元素所形成的化合物是以键相结合的,高温灼烧时火显色.⑧元素与⑥元素所形成的化合物的分子式是,它们是以键相结合的.⑤元素在晶体中原子间是以键相结合的.已:⑧元素与⑨元素两者核电荷数之差是.三、(本题共5分)改错:用括号指出文中有科学性错误的地方,并将正确答案写在括号下面(如果将正确的地方改成错误的,则每处倒扣1分).二氧化碳是一种无色气体,它的密度比空气小,在实验室里,常用石灰石跟硫酸反应来制取.二氧化碳不能燃烧,可用作灭火剂,燃着的镁条放在二氧化碳中会熄灭.通常情况下,二氧化碳在水中的溶解度较大,它的水溶液是弱酸.碳酸盐有正盐、酸式盐、碱式盐,碳酸氢钠是酸式盐,它的水溶液显酸性.四、(本题共17分)本题为选择正确答案题.凡选错的,倒扣1分;不答的,不得分,也不倒扣分;凡填写两个或两个以上答案的,都倒扣1分.(1)有两个元素X与Y,能生成两种化合物C1和C2,每种化合物的质量百分组成为:如果知道C1的最简式为XY4,则C2的最简式是( ).XY2X2Y3X3Y2X3Y XY3(2)在2M醋酸钠溶液里,下列各种离子中( )含量最多.CH3COO-OH-Na+H+(3)在下列化合物中,常温常压下是气体,并在有盐酸催化时,可以跟苯酚发生缩聚反应的是( ).乙烯甲醇甲醛甲酸乙酸(4)在下列化合物中,能溶于氢氧化钠溶液,又溶于盐酸的是( ).盐酸苯胺硬脂酸苯酚丙氨酸氯乙烷(5)把铁片投入下列某溶液中,铁片溶解且其质量减轻,也没有气体产生.因此某溶液是( ).H2SO4Al2(SO4)3FeSO4Fe2(SO4)3CuSO4五、(本题共12分)下列四种有机物中,都含有杂质(括号内为杂质),怎样用化学试剂(包括(1)硝基苯(苯胺)(2)苯(苯酚)(3)溴乙烷(乙醇)(4)乙酸乙酯(乙酸)六、(本题共13分)在以下各步反应中,最后的生成物E是白色沉淀.A、B、C、D、E各是什么?ABCDE并写出六步反应的化学方程式.七、(本题共10分)1、以下各图中所示的实验方法、装置和操作有无错误,如果有,用文字指出错误在哪里(不必另外画图).2.盛硫化氢饱和溶液的试剂瓶的瓶壁上有一层固体,它是什么?它是怎样产生的?3.用氯酸钾和二氧化锰制备氧气,反应后,有一些二氧化锰牢固地附着在试管壁上,应该用什么试剂把它洗掉,为什么这种试剂能把二氧化锰洗掉?八、(本题共17分)(1)在500毫升1M硫酸铜溶液中,放入一块铁片.反应一段时间后,将铁片取出,经洗净、干燥后,铁片的质量增加了0.8克.求析出了多少克铜?反应后溶液中硫酸亚铁的摩尔浓度是多少?(2)有一亚硫酸钠试样,由于储藏时间太久,有一部分亚硫酸钠已经变质.经测定,在亚硫酸钠试样中还含有5.3%碳酸钠.现称取亚硫酸钠试样20克,加入4N盐酸300毫升,产生的气体经干燥后,其体积在标准状况下为2464毫升.问在这试样中亚硫酸钠的百分含量是多少?1980年试题答案及评分标准一、共13分(1)相等,不等,相等,3:2.(每空0.5分)共2分(2)20,酸性.(每空1分)共2分(3)不变,变深.(每空1分)共2分(4)2KMnO4+16HCl=2KCl+2MnCl2+5Cl2↑+8H2O2分(错一个系数就不给分)盐酸1分101分共4分(5)44802分0.41分共3分二、共13分甲:Ar1分乙:AlCl3分丙:Mg小于Ca2+小于K+2分丁:H2O,2K+2H2O=2KOH+H2↑(分子式错或不配平都不给分)HBr,小于.(每空0.5分)共2分戊:NaBr,离子键,黄,CCl4,共价键,金属键.(每空1分)共6分己:18.1分三、共5分二氧化碳是一种无色气体,它的密度比空气(小),在实验室里,常用石灰(大)跟(硫酸)反应来制取.二氧化碳不能燃烧,可用作灭火剂,燃着的镁条放在(盐酸)[注]二氧化碳中会(熄灭).通常情况下,二氧化碳在水中的溶解度较(大),它的(燃烧)(小)水溶液是弱酸.碳酸盐有正盐、酸式盐和碱式盐.碳酸氢钠是酸式盐,它的水溶液显(酸)性.(碱)每改对一处,给1分.答案包括“括号和正确的内容”,两者缺一,不给分.注:如改写成“常用(碳酸钠)跟硫酸反应来制取”,也算对.四、共17分(1)(XY3)4分(2)(Na+)3分(3)(甲醛)3分(4)(丙氨酸)3分(5)(Fe2(SO4)3)4分五、共12分(1)用盐酸洗涤,分出盐酸层.(各1.5分)共3分(2)用氢氧化钠溶液洗涤,分出氢氧化钠液层.(各1.5分)共3分(3)用水洗涤,分出水层.(各1.5分)共3分(4)用碳酸钠溶液洗涤,分出碳酸钠液层.(各1.5分)共3分(用氢氧化钠溶液或水洗涤,都扣1分)六、共13分A.Al,B.AlCl3C.Al2S3D.Al2(SO4)2,E.Al(OH)3.(每空1分)共5分AlCl3+3NH3·H2O=Al(OH)3↓+3NH4Cl1分Al2S3+6H2O=2Al(OH)3↓+3H2S↑2分2Al+3H2SO4=Al2(SO4)3+3H2↑1分Al2(SO4)3+3Na2CO3+3H2O=2Al(OH)3↓+3Na2SO4+3CO2↑2分注:化学方程式中分子式错不给分,不配平或不标明气体、沉淀符号的扣0.5分.七、共10分1.(1)正确.(2)温度计的水银球应靠近蒸馏烧瓶的支管处.(3)盐酸量不够.(4)瓶底应有一层细沙或水.(5)玻棒没有接触滤纸.(6)不能用酸式滴定管.(每空1分)共6分2.硫.1分由于硫化氢被空气氧化而生成的.1分共2分3.盐酸.1分因为盐酸能与二氧化锰反应生成可溶于水的物质.1分共2分注:2、3两小题如用化学方程式表示,同样给分.八、共17分(1)Fe+CuSO4==FeSO4+Cu56克1摩尔64克每析出64克铜,铁片的质量增加64-56=8(克),同时生成1摩尔FeSO4.今铁片的质量增加0.8克,则应有6.4克铜析出,同时生成0.1摩尔FeSO4.则FeSO4的摩尔浓度=0.1/0.5=0.2(M)列出化学方程式,并写对.1分得出Cu的析出量(6.4克).2分得出FeSO4的摩尔数(0.1摩尔).2分得出FeSO4的摩尔浓度(0.2M).2分共7分注:概念清楚,计算结果错误,根据错误情况,酌情扣2分左右.SO2气体的摩尔数:0.11-0.01=0.10(摩尔)1分Na2SO3的克数:0.10×126=12.6(克)3分如果采用下法:CO2气体的体积:0.01×22400=224(毫升)1分SO2气体的体积:2464-224=2240(毫升)1分Na2SO3的克数:0.1×126=12.6(克)3分共10分注:概念清楚,计算结果错误,根据错误情况,酌情扣3分左右.如果仅看作是一种气体来进行计算者,属于对本题总的概念不清,最多只能给2分(即气体的总摩尔数算对者,给2分).。

1980年高考数学全国卷(理科)及其参考答案

1980年高考数学全国卷（理科）及其参考答案一．（本题满分6分）将多项式x 5y-9xy 5分别在下列范围内分解因式： 1．有理数范围;2.实数范围;3.复数范围解：1.x 5y-9xy 5=xy(x 2+3y 2)(x 2-3y 2). 2.x 5y-9xy 5=xy(x 2+3y 2)(x+3y)(x-3y).3.x 5y-9xy 5=xy(x+3yi)(x-3yi)(x+3y)(x-3y). 二．（本题满6分）半径为1、2、3的三个圆两两外切证明：以这三个圆的圆心为顶点的三角形是直角三角形证：设⊙O 1⊙O 2⊙O 3的半径为1、2、3因这三个圆两两外切，故有O 1O 2=1+2=3， O 2O 3=2+3=5，O 1O 3=1+3=4，则有O 1O 22 + O 1O 32=32+42=52= O 2O 32根据勾股定理的逆定理，△O 1O 2O 3为直角三角形三．（本题满分10分）用解析几何方法证明三角形的三条高线交于一点证：取△ABC 最长一边BC 所在的直线为X 轴，经过A 的高线为Y 轴，设A 、B 、C 的坐标分别为A （0，a ）、B （b ，0）、C （c ，0），根据所选坐标系，如图，有a >0,b<0,c>012 1 2AB 的方程为1=+a yb x ，其斜率为a b - AC 的方程为1=+a y cx，其斜率为ca - 高线CE 的方程为(1) )(c x a by -=高线BD 的方程为(2) )(b x acy -=解（1）、（2），得：（b-c)x=0∵b-c ≠0∴x=0即高线CE 、BD 的交点的横坐标为0，也即交点在高线AO 上因此，三条高线交于一点四．（本题满分10分）证明对数换底公式：)1,1,(log log log ``≠≠=b a N b a bNN a a b 都是正数解：见课本五．（本题满分10分）直升飞机上一点P 在地面M 上的正射影是A ，从P 看地面上一物体B （不同于A ）直线PB 垂直于飞机窗玻璃所在的平面N （如图）证明：平面N 必与平面M 相交，且交线垂直于AB证：用反证法假如平面N 与平面M 平行，则PA 也垂直于N ，因此PA与PB 重合，B 点与A 点重合，但这与题设矛盾，所以平面N 与平面M 相交设平面N 与平面M 的交线为L∵PA ⊥平面M ，∴PA ⊥L又∵PB ⊥平面N ，∴PB ⊥L∴L ⊥平面PAB ，∴L ⊥AB六．（本题满分12分）设三角函数),35k sin()x (f π+π=其中k ≠0 1．写出f(x)极大值M 、极小值m 与最小正周期;2．试求最小的正整数k ，使得当自变量x 在任意两个整数间（包括整数本身）变化时，函数f(x)至少有一个值是M 与一个值是m解：1.M=1，m=-1，.1025kk T ππ=⨯=2.f(x)在它的每一个周期中都恰好有一个值是M 与一个值是m 而任意两个整数间的距离都≥1因此要使任意两个整数间函数f(x)至少有一个值是M 与一个值是m ，必须且只须使f(x)的周期≤1即：.4.3110,110 =≥≤ππk k可见，k=32就是这样的最小正整数七．（本题满分14分）CD 为直角三角形ABC 中斜边AB 上的高，已知△ACD 、△CBD 、 △ABC 的面积成等比数列，求∠B （用反三角函数表示）解：设CD=h ，AB=c ，BD=x ，则 AD=c-x因此，△ACD 的面积为)(21x c h -，△CBD 的面积为hx 21，A D B△ABC 的面积为hc 21，依题意，222111()(),222(),0,hx h c x hc x c c x x cx c x =-⋅=-+-==即即∵取负号不合题意，∴取正号，得.215c x -= 又依直角三角形的性质，有AC 2=AD ·AB=c(c-x). 但 x 2=c(c-x)∴AC 2=x 2 ∴AC=x=DB=.215c - 在直角三角形ABC 中，215215sin -=-==c cABACB故 .215arcsin-=∠B 八．（本题满分14分）已知0＜α＜π，证明：;2sin 2ααctg ≤并讨论α为何值时等号成立解：即证：.sin cos 12sin 2ααα+≤两端乘以sin α，问题化为证明2sin αsin2α≤1+cos α. 而 2sin αsin2α=4sin αcos 2α=4(1-cos 2α)cos α=4(1-cos α)(1+cos α)cos α所以问题又化为证明不等式 (1+cos α)[4(1-cos α)cos α-1]≤0（1+cos α)⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--221cos 4α≤0∴不等式得证∵0＜α＜π,∴等号成立当且仅当cos α-21=0 即α=600 九．（本题满分18分）抛物线的方程是y 2=2x ，有一个半径为1的圆，圆心在x 轴上运动问这个圆运动到什么位置时，圆与抛物线在交点处的切线互相垂直（注：设P （x 0,y 0)是抛物线y 2=2px 上一点，则抛物线在P 点处的切线斜率是y P）解：设圆的方程为（x-k)2+y 2=1再设圆与抛物线的一个交点为P （x 0,y 0) 在P 点圆半径的斜率=kx y -00. 在P 点抛物线的切线斜率=1y在P 点抛物线的切线与圆的切线垂直，必须且只须圆的半径与抛物线在P 点相切(1) .1000kx y y -=∴因P （x 0 ,y 0)是圆与抛物线的交点， ∴y 02=2x 0 , (2) (x 0-k)2+y 02=1. (3)由（1）、（2）式消去y 0 ,得x 0=-k,Y将（2）代入（3），得(x 0-k)2+2x 0-1=0,将x 0=-k 代入，得4k 2-2k-1=0， ∴.451±=k 由于抛物线在y 轴的右方，所以k=-x 0≤0故根号前应取负号，即.451-=k 故所求圆的方程为.1)451(22=+--y x 由对称性，圆与抛物线的另一交点（x 0 ,-y 0)处的切线也互相垂直附加题（成绩不计入总分，只作参考）设直线（L ）的参数方程是⎩⎨⎧+==;,mt b y t x （t 是参数）椭圆（E ）的参数方程是⎩⎨⎧θ=≠θ+=sin )0(,cos 1y a a x （θ是参数）问a 、b 应满足什么条件，使得对于任意m 值来说，直线（L ）与椭圆（E ）总有公共点解：消去参数，得（L ）：;b mx y +=（E ）：.1)1(222=+-y ax 消去y ，整理得1)1(2)1(2222222=+-+-++a b a x mb a x m a（L ）、（E ）有交点的条件是上式的判别式≥0，即)1)(1()1(2222222≥+-+--a b a m a mb a化简并约去a 2得.0)1(2)1(222≥-+--b bm m a对任意m 的值，要使这个式子永远成立，条件是⎩⎨⎧==⎪⎩⎪⎨⎧-≤≤-->⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧==-≤--->-0,1||)2(||1||1,1||)1(.0,01)2(;0)1)(1(,01)1(2222222b a a a b a a a b a b a b a 或解得或或（1）、（2）合写成：⎪⎩⎪⎨⎧-≤≤--≥.||1||1,1||22a a b a a a 即所求的条件（注：也可数形结合，由点P （0，b ）在椭圆（E ）内或（E ）上求解）。

1980年高考数学试卷

1980年高考数学试卷1980年高考数学试卷回顾高考是中国教育体系中最重要的考试之一，对于每个考生来说都是至关重要的。

本文将回顾1980年高考数学试卷，这是一份具有历史意义的试卷，通过分析该试卷的内容和题型，可以帮助我们更好地了解当时的教育水平和教学方法。

1980年，正值改革开放初期，我国教育体制发生了重大变革。

与今天的高考试卷相比，1980年的数学试卷显得比较简单和传统。

试卷中包含了选择题、填空题和计算题等题型。

试卷第一部分是选择题，共有20道题目。

这些题目主要测试考生的基础知识和对应用题的理解能力。

其中，常见的题型有代数式计算、几何形状、方程和比例等。

这些题目注重对概念和基本算法的考查，要求考生熟练掌握基本的数学运算。

试卷第二部分是填空题，共有10道题目。

填空题主要考察考生对数学概念的理解和解题能力。

题目要求考生填写运算过程中的某个变量或结果，以检验其对基本原理的掌握程度。

填空题在一定程度上要求考生思维敏捷，能够迅速理解问题并用适当的方法解决。

试卷的第三部分是计算题，共有6道题目。

这些题目主要考察考生的解题能力和计算能力。

所涉及的知识点包括代数、几何、概率等。

计算题通常情况下都是需要学生基于所学的知识和算法进行具体的计算。

这些题目要求考生在有限的时间内找到解题方法，完成较复杂的计算题目。

通过分析1980年的高考数学试卷，我们可以看到当时的数学教育注重基础知识的掌握和运用能力的培养。

试卷整体难度适中，注重考察学生基础知识的掌握和运用。

与现代的高考数学试卷相比，虽然题型和难度略有差异，但核心目标相似：考察学生的数学思维能力和解决实际问题的能力。

尽管1980年的高考试卷可能相对较简单，但重要的是记住，它展示了当时教育改革的早期阶段，这一时期的小步快走在帮助提高中国的整体教育水平方面发挥了重要作用。

同时，我们也要承认，通过与当代的高考试卷相比，我们的教育体制和教学方法已经发生了巨大的变化和进步。

总之，通过回顾1980年的高考数学试卷，我们可以更好地了解当时的教育水平和教学方法。

1980高考数学试卷理科

1980年普通高等学校招生全国统一考试数学（理科）一．（本题满分6分）将多项式x 5y-9xy 5分别在下列范围内分解因式： 1．有理数范围;2.实数范围;3.复数范围解：1.x 5y-9xy 5=xy(x 2+3y 2)(x 2-3y 2). 2.x 5y-9xy 5=xy(x 2+3y 2)(x+3y)(x-3y).3.x 5y-9xy 5=xy(x+3yi)(x-3yi)(x+3y)(x-3y). 二．（本题满6分）半径为1、2、3的三个圆两两外切证明：以这三个圆的圆心为顶点的三角形是直角三角形证：设⊙O 1⊙O 2⊙O 3的半径为1、2、3因这三个圆两两外切，故有O 1O 2=1+2=3， O 2O 3=2+3=5，O 1O 3=1+3=4，则有O 1O 22 + O 1O 32=32+42=52= O 2O 32根据勾股定理的逆定理，△O 1O 2O 3为直角三角形三．（本题满分10分）用解析几何方法证明三角形的三条高线交于一点证：取△ABC 最长一边BC 所在的直线为X 轴，经过A 的高线为Y 轴，设A 、B 、C 的坐标分别为A （0，a ）、B （b ，0）、C （c ，0），根据所选坐标系，如图，有a >0,b<0,c>0AB 的方程为1=+a yb x，其斜率为a b -AC 的方程为1=+ay cx，其斜率为c a -高线CE 的方程为(1))(c x a b y -= 高线BD 的方程为(2))(b x a cy -= 解（1）、（2），得：（b-c)x=0∵b-c ≠0∴x=0即高线CE 、BD 的交点的横坐标为0，也即交点在高线AO 上因此，三条高线交于一点四．（本题满分10分）证明对数换底公式：)1,1,(log log log ``≠≠=b a N b a bNN a a b 都是正数解：见课本五．（本题满分10分）直升飞机上一点P 在地面M 上的正射影是A ，从P 看地面上一物体B （不同于A ）直线PB 垂直于飞机窗玻璃所在的平面N （如图）证明：平面N 必与平面M 相交，且交线垂直于ABY A(0,a )E DX证：用反证法假如平面N 与平面M 平行，则PA 也垂直于N ，因此PA与PB 重合，B 点与A 点重合，但这与题设矛盾，所以平面N 与平面M 相交设平面N 与平面M 的交线为L∵PA ⊥平面M ，∴PA ⊥L又∵PB ⊥平面N ，∴PB ⊥L∴L ⊥平面PAB ，∴L ⊥AB六．（本题满分12分）设三角函数35k sin()x (f π+π=其中k ≠0 1．写出f(x)极大值M 、极小值m 与最小正周期;2．试求最小的正整数k ，使得当自变量x 在任意两个整数间（包括整数本身）变化时，函数f(x)至少有一个值是M 与一个值是m解：1.M=1，m=-1，.1025kk T ππ=⨯=2.f(x)在它的每一个周期中都恰好有一个值是M 与一个值是m 而任意两个整数间的距离都≥1f(x)至少有一个值是M 与一个值是m ，必须且只须使f(x)的周期≤1即：.4.3110,110 =≥≤ππk k可见，k=32就是这样的最小正整数七．（本题满分14分）P NCD 为直角三角形ABC 中斜边AB 上的高，已知△ACD 、△CBD 、 △ABC 的面积成等比数列，求∠B （用反三角函数表示）解：设CD=h ，AB=c ，BD=x ，则 AD=c-x因此，△ACD 的面积为)(21x c h -，△CBD 的面积为hx 21，△ABC 的面积为hc 21，依题意，222111()(),222(),0,hx h c x hc x c c x x cx c x =-⋅=-+-==即即∵取负号不合题意，∴取正号，得.215c x -= 又依直角三角形的性质，有AC 2=AD ·AB=c(c-x). 但 x 2=c(c-x)∴AC 2=x 2 ∴AC=x=DB=.215c - 在直角三角形ABC 中，215215sin -=-==c cABACB故 .215arcsin-=∠B 八．（本题满分14分）已知0＜α＜π，证明：;2sin 2ααctg ≤并讨论α为何值时等号成立C解：即证：.sin cos 12sin 2ααα+≤两端乘以sin α，问题化为证明2sin αsin2α≤1+cos α. 而 2sin αsin2α=4sin αcos 2α=4(1-cos 2α)cos α=4(1-cos α)(1+cos α)cos α所以问题又化为证明不等式 (1+cos α)[4(1-cos α)cos α-1]≤0（1+cos α)⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--221cos 4α≤0∴不等式得证∵0＜α＜π,∴等号成立当且仅当cos α-21=0 即α=600 九．（本题满分18分）抛物线的方程是y 2=2x ，有一个半径为1的圆，圆心在x 轴上运动问这个圆运动到什么位置时，圆与抛物线在交点处的切线互相垂直（注：设P （x 0,y 0)是抛物线y 2=2px 上一点，则抛物线在P 点处的切线斜率是y P）解：设圆的方程为（x-k)2+y 2=1再设圆与抛物线的一个交点为P （x 0,y 0) 在P 点圆半径的斜率=kx y -00.在P 点抛物线的切线斜率=1y在P 点抛物线的切线与圆的切线垂直，必须且只须圆的半径Y与抛物线在P 点相切(1) .1000kx y y -=∴因P （x 0 ,y 0)是圆与抛物线的交点， ∴y 02=2x 0 , (2) (x 0-k)2+y 02=1. (3)由（1）、（2）式消去y 0 ,得x 0=-k,将（2）代入（3），得(x 0-k)2+2x 0-1=0,将x 0=-k 代入，得4k 2-2k-1=0， ∴.451±=k 由于抛物线在y 轴的右方，所以k=-x 0≤0故根号前应取负号，即.451-=k 故所求圆的方程为.1)451(22=+--y x 由对称性，圆与抛物线的另一交点（x 0 ,-y 0)处的切线也互相垂直附加题（成绩不计入总分，只作参考）设直线（L ）的参数方程是⎩⎨⎧+==;,mt b y t x （t 是参数）椭圆（E ）的参数方程是⎩⎨⎧θ=≠θ+=sin )0(,cos 1y a a x （θ是参数）问a 、b 应满足什么条件，使得对于任意m 值来说，直线（L ）与椭圆（E ）总有公共点解：消去参数，得（L ）：;b mx y +=（E ）：.1)1(222=+-y ax消去y ，整理得01)1(2)1(2222222=+-+-++a b a x mb a x m a（L ）、（E ）有交点的条件是上式的判别式≥0，即)1)(1()1(2222222≥+-+--a b a m a mb a化简并约去a 2得.0)1(2)1(222≥-+--b bm m a对任意m 的值，要使这个式子永远成立，条件是⎩⎨⎧==⎪⎩⎪⎨⎧-≤≤-->⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧==-≤--->-0,1||)2(||1||1,1||)1(.0,01)2(;0)1)(1(,01)1(2222222b a a a b a a a b a b a b a 或解得或或（1）、（2）合写成：⎪⎩⎪⎨⎧-≤≤--≥.||1||1,1||22a ab a a a 即所求的条件（注：也可数形结合，由点P （0，b ）在椭圆（E ）内或（E ）上求解）。

高考理科数学试卷普通高等学校招生全国统一考试1980

高考理科数学试卷普通高等学校招生全国统一考试注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页. 2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置. 3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效. 4.考试结束后，将本试题和答题卡一并交回.第Ⅰ卷一. 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）已知集合{1,}A =2,3，{|(1)(2)0,}B x x x x =+-<∈Z ，则AB =（A ）{1}（B ）{12}，（C ）{0123}，，，（D ）{10123}-，，，，（2）已知(3)(1)i z m m =++-在复平面内对应的点在第四象限，则实数m 的取值范围是（A ）(31)-，（B ）(13)-，（C ）(1,)∞+（D ）(3)∞--，（3）已知向量(1,)(3,2)m =-，=a b ，且()⊥a +b b ，则m= （A ）－8（B ）－6 （C ）6 （D ）8（4）圆2228130x y x y +--+=的圆心到直线10ax y +-=的距离为1，则a= （A ）43-（B ）34-（C ）3（D ）2（5）如图，小明从街道的E 处出发，先到F 处与小红会合，再一起到位于G 处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为（A ）24 （B ）18 （C ）12 （D ）9（6）右图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（A ）20π（B ）24π（C ）28π（D ）32π（7）若将函数y=2sin 2x 的图像向左平移π12个单位长度，则评议后图象的对称轴为（A ）x=kπ2–π6 (k ∈Z) （B ）x=kπ2+π6 (k ∈Z) （C ）x=kπ2–π12 (k ∈Z) （D ）x=kπ2+π12 (k ∈Z)（8）中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，右图是实现该算法的程序框图.执行该程序框图，若输入的x=2，n=2，依次输入的a 为2，2，5，则输出的s=（A ）7 （B ）12 （C ）17 （D ）34 （9）若cos(π4–α)=35，则sin 2α=（A ）725（B ）15（C ）–15（D ）–725（10）从区间[]0,1随机抽取2n 个数1x ,2x ，…，nx ，1y ，2y ，…，ny ，构成n 个数对()11,x y ，()22,x y ，…，(),n n x y ，其中两数的平方和小于1的数对共有m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为（A ）4n m （B ）2n m （C ）4m n （D ）2m n（11）已知F1，F2是双曲线E 22221x y a b-=的左，右焦点，点M 在E 上，M F1与x 轴垂直，sin 2113MF F ∠=,则E 的离心率为（AB ）32（CD ）2 （12）已知函数学.科网()()f x x ∈R 满足()2()f x f x -=-，若函数1x y x+=与()y f x =图像的交点为1122(,),(,),,(,),m m x y x y x y ⋅⋅⋅则1()mi i i x y =+=∑（A ）0 （B ）m （C ）2m （D ）4m第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)题~第(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答.第(22)题~第(24)题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本大题共3小题，每小题5分(13)△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若cos A=45，cos C=513，a=1，则b=. (14)α、β是两个平面，m 、n 是两条直线，有下列四个命题：（1）如果m ⊥n ，m ⊥α，n ∥β，那么α⊥β. （2）如果m ⊥α，n ∥α，那么m ⊥n.（3）如果α∥β，m ⊂α，那么m ∥β. （4）如果m ∥n ，α∥β，那么m 与α所成的角和n 与β所成的角相等.其中正确的命题有.(填写所有正确命题的编号）（15）有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3。