分式定义及通分约分

分式的约分和通分

分式的约分和通分(1)约分的概念：把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分．(2)分式约分的依据：分式的基本性质．(3)分式约分的方法：把分式的分子与分母分解因式，然后约去分子与分母的公因式．(4)最简分式的概念：一个分式的分子与分母没有公因式时，叫做最简分式．3．例题与练习：例1：约分：()532164.1abc bc a - ()()()x y a y x a --322.2 （1）①有没有公因式？②公因式是什么？解：23235324444164ca abc c abc a abc bc a -=⋅⋅-=- 小结：分式的分子、分母都是几个因式的积的形式，所以约去分子、分母中相同因式的最低次幂，注意系数也要约分(2).请学生分析如何约分：由于()y x x y --=-，所以，分子和分母的公因式是：()y x a -，约分可得：解：()()()()()()()()2232322222y x a y x a y x y x a y x a y x a x y a y x a --=--⋅--=---=-- 小结：①当分式的分子、分母为多项式时，先要进行因式分解，才能够依据分式的基本性质进行约分．②注意对分子、分母符号的处理．分子或分母的系数是负数时，一般先把负号提到分式本身的前边．例2 .把下列各式约分：()x x x 525.122-- ()634.222-+++a a a a 解：()()()()x x x x x x xx x 5555525.122+=--+=-- ()()()()()212313634.222-+=-+++=-+++a a a a a a a a a a (五)小结：1．约分的主要步骤：先把分式的分子，分母分解因式，然后约去分子分母中的相同因式的最低次幂，（包括分子分母中系数的最大公约数）。

2．约分的依据是分式的基本性质：约去分子与分母的公因式相当于被约去的公因式同时除原分式的分子分母，根据分式的基本性质，所得的分式与原分式的值相等。

分式的约分和通分

分式的约分和通分(1)约分的概念：把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分．(2)分式约分的依据：分式的基本性质．(3)分式约分的方法：把分式的分子与分母分解因式，然后约去分子与分母的公因式．(4)最简分式的概念：一个分式的分子与分母没有公因式时，叫做最简分式．3．例题与练习：例1：约分：()532164.1abc bc a - ()()()x y a y x a --322.2 （1）①有没有公因式？②公因式是什么？解：23235324444164ca abc c abc a abc bc a -=⋅⋅-=- 小结：分式的分子、分母都是几个因式的积的形式，所以约去分子、分母中相同因式的最低次幂，注意系数也要约分(2).请学生分析如何约分：由于()y x x y --=-，所以，分子和分母的公因式是：()y x a -，约分可得：解：()()()()()()()()2232322222y x a y x a y x y x a y x a y x a x y a y x a --=--⋅--=---=-- 小结：①当分式的分子、分母为多项式时，先要进行因式分解，才能够依据分式的基本性质进行约分．②注意对分子、分母符号的处理．分子或分母的系数是负数时，一般先把负号提到分式本身的前边．例2 .把下列各式约分：()x x x 525.122-- ()634.222-+++a a a a 解：()()()()x x x x x x xx x 5555525.122+=--+=-- ()()()()()212313634.222-+=-+++=-+++a a a a a a a a a a (五)小结：1．约分的主要步骤：先把分式的分子，分母分解因式，然后约去分子分母中的相同因式的最低次幂，（包括分子分母中系数的最大公约数）。

2．约分的依据是分式的基本性质：约去分子与分母的公因式相当于被约去的公因式同时除原分式的分子分母，根据分式的基本性质，所得的分式与原分式的值相等。

分式的基本性质应用：约分、通分

1.通分：
归例纳((112.))通4分b22adca33：22bb与与与34abcaa26bb522bcc
找最简公分母的方法： 1.把各分母因式分解
2.取系数的最小公倍数；
3.取所有因式的最高次幂。
例2.通分： 2x x5
与
3x x5
1
2
1
2
x 1 与 1 x (x 1)2 与 1 x2
找最简公分母的方法：
1.你根据什么进行分式变形？
2.分式变形后，各分母有什么变化？
通分的定义：
利用分式的基本性质，把不同分母
的分式化为相同分母的分式，这样的分式变形叫分式的通分。
3.分式的分母 4ab 、6a2最终都化成什么？
4ab
6a2
12a2b 最简公分母
取各分母的所有因式的最高次幂的积作为公分母，它叫做最简公分母。
1、分式的基本性质内容是什么？
分式的分子与分母同时乘以（或除以）同
一个不等于0的整式，分式的值不变.
2、什么是分式的约分？分式的约分有什么要求？
1 3、把右边的分数通分：2
,
3 4
,
5 6
探究
一. 填空：
ab 4ab
3a2 3ab
12a2b
,
2a b 6a2
4ab 2b2
12a2b
,
1.已知 x y z ,试求 x y z 的值.
234
x yz
2.已x2
的值.
3.已知x2
3x
1
0, 试求x 2
1 x2
的值.
1. (多项式)因式分解；
2xy 与 x (x y)2 x2 y2
2.取系数的最小公倍数； 1 与 x x2 4 4 2x

分式的通分

2xy 2xy
y2
(4) x
y与
2xy 2 2
解：∵最简公分母是（x-y)2(x+y)
2x x y
2x•(x (x y)•(x
y)(x y)(x
y) y)
2x(x y)(x
(x y)2 (x
y) y)
3x x y
3x •(x y)2 (x y) • (x y)2
3x(x y)2 (x y)2 (x y)
x2
2xy
2xy
y2
(
2x
x
y
y)2
2xy(x y)
(x y)2 (x
y)
例题
求下列分式的最简公分母：
1 , 1 ,1 2x3 y 2 z 4x 2 y 3 6xy 4
1.怎样找公分母？ 2.找最简公分母应从方面考虑？第一要看系数；第二要看字母
试一试 y x 1 (1)分式的 2x , 3y2 , 4xy
ab
a ab b
3、已知：a2-5a+1=0,求
(1)a
1 a
(2)
a2
1
a2
(3)
a4
3a2 a2
1
(4)
a4
a2 3a2
1
练习1、如果
:
x y
3 10
，
求
x2
8xy 16 x2 16 y2
y2
的值
2、若 1 1 2，求分式 2x 3xy 2 y的值
xy
x xy y
3、已知：x2-3x+1=0,求
(2) 2x 与 3x x5 x5
解：∵最简公分母是(x+5)(x-5).
2x x5

15.1.3分式的约分和通分

15.1.3分式的约分和通分一知识要点：【约分】（1）定义：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分。

（2）步骤：把分式分子分母因式分解，然后约去分子与分母的公因。

（3）注意：①分式的分子与分母均为单项式时可直接约分，约去分子、分母系数的最大公约数，然后约去分子分母相同因式的最低次幂。

②分子分母若为多项式，先对分子分母进行因式分解，再约分。

（4）最简分式的定义：一个分式的分子与分母没有公因式时，叫做最简分式。

约分时。

分子分母公因式的确定方法：①系数取分子、分母系数的最大公约数作为公因式的系数.②取各个公因式的最低次幂作为公因式的因式.③如果分子、分母是多项式,则应先把分子、分母分解因式,然后判断公因式【通分】（1）定义：把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母分式，叫做分式的通分。

（依据：分式的基本性质！）（2）最简公分母：取各分母所有因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母。

通分时，最简公分母的确定方法：①系数取各个分母系数的最小公倍数作为最简公分母的系数.②取各个公因式的最高次幂作为最简公分母的因式.③如果分母是多项式,则应先把每个分母分解因式,然后判断最简公分母.【分式的约分和通分--关键先是分解因式】二例题教学：题型一：最简分式的概念例1: 1）下列各分式中，最简分式是( )A 、()()y x y x +-8534B 、2222xy y x y x ++ C 、y x x y +-22 D 、()222y x y x +- 2）下列分式.,24,,424,x 2222ba b a b b x x m m x +++-++π中，最简分式是————————————。

题型二：分式的约分例2：约分：（1）322016xy yx -；（3）n m m n --22；（3）6222---+x x x x . 题型三：最简公分母的确定例3: 1）分式23a ，a 65，28ba 的最简公分母是（） A ．48a 3b 2 B ．24a 3b 2 C ．48a 2b 2 D ．24a 2b 22）分式22)2(14a 1--a b b b 和的最简公分母是———————— 。

初二数学分式

初二数学分式一、知识要点1：分式的定义：一般地，如果A ，B 表示两个整数，并且B 中含有字母，那么式子BA 叫做分式，A 为分子，B 为分母且B 不能为0。

2：分式的基本性质：分式的分子和分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变。

3：分式的约分：把分式分子分母因式分解，然后约去分子与分母的公因。

①分式的分子与分母为单项式时可直接约分，约去分子、分母系数的最大公约数，然后约去分子分母相同因式的最低次幂。

②分子分母若为多项式，约分时先对分子分母进行因式分解，再约分。

4：最简分式的定义：一个分式的分子与分母没有公因式时，叫做最简分式。

5：分式的通分：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母分式，叫做分式的通分。

注意：分式的分母为多项式时，一般应先因式分解。

6：整数指数幂：引入负整数、零指数幂后，指数的取值范围就推广到了全体实数，并且正正整数幂的法则对对负整数指数幂一样适用。

即n m n m a a +=⋅a ()mn n m a a =()n n n b b a a = n m n m a a -=÷a （0≠a ）n n b a b a =⎪⎭⎫ ⎝⎛nn a 1=-n a （0≠a ） 10=a （0≠a ）（任何不等于零的数的零次幂都等于1）其中m ，n 均为整数。

7：分式方程的解的步骤⑴去分母，把方程两边同乘以各分母的最简公分母。

（产生增根的过程）⑵解整式方程，得到整式方程的解。

⑶检验，把所得的整式方程的解代入最简公分母中：如果最简公分母为0，则原方程无解，这个未知数的值是原方程的增根；如果最简公分母不为0，则是原方程的解。

产生增根的条件是：①是得到的整式方程的解；②代入最简公分母后值为0。

8：应用题的几种类型：（1）行程问题：基本公式：路程=速度×时间而行程问题中又分相遇问题、追及问题。

（2）、工程问题基本公式：工作量=工时×工效。

分式的约分与通分

分式的约分与通分
分数在数学中非常常见。

在进行数学计算和分析时，通常需要
将分数进行约分或通分。

在本文中，我们将探讨分数约分和通分的
方法及其在数学中的应用。

分数的约分是指将分数的分子和分母同时除以它们的公约数，
使分数变得简化。

例如，2/4可以约分为1/2，因为2和4的最大公
约数是2，除以2后得到1和2。

分数约分的方法是，先求出分子
和分母的最大公约数，然后同时除以最大公约数。

分数的通分是指将两个或多个分数的分母改为相同的数，使它
们具有相同的分母。

例如，1/3和2/5的通分可以得到5/15和6/15，因为它们的最小公倍数是15。

分数通分的方法是，先分别求出每个分数的因数分解式，然后将分母的因数相乘，再将分子和新的分母
相应乘上一个倍数，使新分子和旧分子相等。

分数的约分和通分在数学中具有广泛的应用。

例如，当我们想
要将两个分数进行比较时，通常需要将它们变成相同分母的分数，
然后再比较它们的分子大小。

又例如，在分数加减法中，通常需要先将分数通分，然后再做加减运算。

综上所述，分数的约分和通分虽然看上去简单，但却是数学中很重要的基础知识。

对于初学者来说，熟练掌握这些方法，可以为后续的学习打下坚实的基础。

分式

分式二．知识概念1.分式：形如A/B，A、B是整式，B中含有未知数且B不等于0的整式叫做分式(fraction)。

其中A叫做分式的分子，B叫做分式的分母。

2.分式有意义的条件：分母不等于03.约分：把一个分式的分子和分母的公因式(不为1的数）约去，这种变形称为约分。

4.通分：异分母的分式可以化成同分母的分式，这一过程叫做通分。

分式的基本性质:分式的分子和分母同时乘以（或除以）同一个不为0的整式，分式的值不变。

用式子表示为：A/B=A*C/B*C A/B=A÷C/B÷C （A,B,C为整式，且C≠0）5.最简分式:一个分式的分子和分母没有公因式时,这个分式称为最简分式.约分时,一般将一个分式化为最简分式.6.分式的四则运算：(1.)同分母分式加减法则:同分母的分式相加减,分母不变，把分子相加减.用字母表示为：a/c±b/c=a±b/c(2).异分母分式加减法则:异分母的分式相加减,先通分,化为同分母的分式,然后再按同分母分式的加减法法则进行计算.用字母表示为：a/b ±c/d=ad±cb/bd(3.)分式的乘法法则:两个分式相乘,把分子相乘的积作为积的分子,把分母相乘的积作为积的分母.用字母表示为：a/b * c/d=ac/bd (4.)分式的除法法则:(1).两个分式相除,把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘.a/b÷c/d=ad/bc (2).除以一个分式，等于乘以这个分式的倒数:a/b÷c/d=a/b*d/c7.分式方程的意义:分母中含有未知数的方程叫做分式方程.8.分式方程的解法:①去分母(方程两边同时乘以最简公分母,将分式方程化为整式方程);②按解整式方程的步骤求出未知数的值;③验根(求出未知数的值后必须验根,因为在把分式方程化为整式方程的过程中,扩大了未知数的取值范围,可能产生增根).分式和分数有着许多相似点。

分式的定义是什么数学中分式的定义是什么

分式的定义是什么数学中分式的定义是什么分式(fēn shì)是指有除法运算，而且除数中含有未知数的有理式。

如果A、B 表示两个整式，并且B中含有字母(B≠0)，那么式子A / B 就叫做分式，其中A叫做分子，B叫做分母。

分式是不同于整式的另一类式子。

数学中分式的定义是什么?以下是本文库为大家整理的关于分式的定义，欢迎大家前来阅读!分式的概念定义形如，A、B是整式，B中含有字母且B不等于0的式子叫做分式(fraction)。

其中A叫做分式的分子，B叫做分式的分母。

如是分式，还有也是分式。

要使分式有意义，则y不等于0.注意掌握分式的概念应注意：判断一个式子是否是分式，不要看式子是否是A/ B的形式，关键要满足：(1)分式的分母中必须含有字母。

(2)分母的值不能为零。

若分母的值为零，则分式无意义。

由于字母可以表示不同的数，所以分式比分数更具有一般性。

整式和分式统称为有理式。

带有根号且根号下含有字母的式子叫做无理式无理式和有理式统称代数式有意义的条件(1)分式有意义条件：分母不为0(2)分式无意义条件：分母为0;(3)分式值为0条件：分子为0且分母不为0;(4)分式值为正(负)数条件：同号得正，异号得负。

分式性质介绍1.分式的基本性质：分式的分子和分母同时乘以(或除以)同一个不为0的整式，分式的值不变。

用式子表示为：，(A,B,C为整式，且B、C≠0)。

2.约分：把一个分式的分子和分母的公因式约去，这种变形称为分式的约分。

约分的关键是确定分式中分子与分母的公因式。

3.分式的约分步骤：(1)如果分式的分子和分母都是单项式或者是几个因式乘积的形式，将它们的公因式约去。

(2)分式的分子和分母都是多项式，将分子和分母分别分解因式，再将公因式约去。

注：公因式的提取方法：系数取分子和分母系数的最大公约数，字母取分子和分母共有的字母，指数取公共字母的最小指数，即为它们的公因式。

4.最简分式：一个分式的分子和分母没有公因式时，这个分式称为最简分式。

分式的约分与通分技巧

分式的约分与通分技巧在数学中，分式是由分子和分母组成的表达式，分式可以通过约分和通分来进行简化或合并。

约分是指分式的分子与分母同时除以它们的公约数，使分子和分母尽可能小。

通分则是将两个分式的分母统一为相同的数，以便进行比较或运算。

在本文中，我们将介绍分式的约分与通分的一些技巧。

一、分式的约分技巧当一个分式的分子和分母有公约数时，可以进行约分。

约分的目的是使得分子和分母尽可能地简化，这样可以方便计算和比较。

1. 找出分子和分母的公约数：公约数是指能够同时整除两个或多个数的数。

例如，对于分式4/8，公约数有1、2和4。

2. 除去公约数：将分子和分母分别除以它们的公约数。

对于分式4/8，我们可以除以公约数2，得到最简分式1/2。

3. 化简分式：如果分式的分子和分母仍然有公约数，可以继续进行约分操作，直到无法再约分为止。

例如，对于分式12/24，我们可以先找出它们的最大公约数为12，然后进行除法操作，得到最简分式1/2。

二、分式的通分技巧在进行分式的比较或运算时，往往需要将分式的分母统一为相同的数，这就是通分操作。

1. 找出分式的最小公倍数：最小公倍数是指两个或多个数的公倍数中最小的一个数。

例如，对于分式1/2和3/4，我们可以找出它们的最小公倍数为4。

2. 乘以适当的倍数：将分子和分母同时乘以适当的倍数，使得分母变为最小公倍数。

对于分式1/2，我们乘以2/2得到2/4；对于分式3/4，我们乘以1/1得到3/4。

3. 进行比较或运算：通分后的分式可以进行比较或运算。

例如，对于分式1/2和3/4，通分后分别为2/4和3/4，可以直接比较它们的大小。

三、约分与通分的应用约分与通分技巧在数学中的应用非常广泛，特别是在分数的计算、比较和运算中。

1. 分数的加减运算：当进行分数的加减运算时，需要先找到它们的最小公倍数，然后进行通分操作，最后进行相应的运算。

例如，对于分式1/2和1/3的相加，我们可以找到它们的最小公倍数为6，然后分别将它们通分为3/6和2/6，再进行加法运算得到5/6。

分式

分式1. 分式的定义：如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子BA 叫做分式。

分式有意义的条件是分母不为零，分式值为零的条件分子为零且分母不为零2.分式的基本性质：分式的分子与分母同乘或除以一个不等于0的整式，分式的值不变。

3.分式的通分和约分：关键先是分解因式4.分式的运算：分式乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为分母。

分式除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。

分式乘方法则：分式乘方要把分子、分母分别乘方。

分式的加减法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减。

异分母的分式相加减，先通分，变为同分母分式，然后再加减混合运算:运算顺序和以前一样。

能用运算率简算的可用运算率简算。

5.任何一个不等于零的数的零次幂等于16.正整数指数幂运算性质正整数指数幂运算性质正整数指数幂运算性质正整数指数幂运算性质也可以推广到整数指数幂．(m,n是整数)（1）同底数的幂的乘法：；（2）幂的乘方：; （3）积的乘方；（4）同底数的幂的除法：；（5）商的乘方；7. 分式方程：含分式，并且分母中含未知数的方程——分式方程。

解分式方程的过程，实质上是将方程两边同乘以一个整式（最简公分母），把分式方程转化为整式方程。

解分式方程时，方程两边同乘以最简公分母时，最简公分母有可能为0，这样就产生了增根，因此分式方程一定要验根。

解分式方程的步骤：(1)能化简的先化简(2)方程两边同乘以最简公分母，化为整式方程；(3)解整式方程；(4)验根．增根应满足两个条件：一是其值应使最简公分母为0，二是其值应是去分母后所的整式方程的根。

分式方程检验方法：将整式方程的解带入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解。

列方程应用题的步骤是什么？ (1)审；(2)设；(3)列；(4)解；(5)答．应用题有几种类型；基本公式是什么？基本上有五种： (1)行程问题：基本公式：路程=速度×时间而行程问题中又分相遇问题、追及问题． (2)数字问题在数字问题中要掌握十进制数的表示法． (3)工程问题基本公式：工作量=工时×工效． (4)顺水逆水问题 v顺水=v静水+v水． v逆水=v静水-v水． 8.科学记数法：把一个数表示成na10×的形式（其中101<≤a，n是整数）的记数方法叫做科学记数法．用科学记数法表示绝对值大于10的n位整数时，其中10的指数是1−n 用科学记数法表示绝对值小于1的正小数时,其中10的指数是第一个非0数字前面0的个数(包括小数点前面的一个0) 第十七章反比例函数 1.定义：形如y＝xk（k为常数，k≠0）的函数称为反比例函数。

分式讲义

分式一、基本知识1、分式定义：形如BA的式子叫分式，其中A 、B 是整式，且B 中含有字母。

（1）分式无意义：B=0时，分式无意义； B ≠0时，分式有意义。

（2）分式的值为0：A=0，B ≠0时，分式的值等于0。

（3）分式的约分：把一个分式的分子与分母的公因式约去叫做分式的约分。

方法是把分子、分母因式分解，再约去公因式。

（4）最简分式：一个分式的分子与分母没有公因式时，叫做最简分式。

分式运算的最终结果若是分式，一定要化为最简分式。

（5）通分：把几个异分母的分式分别化成与原来分式相等的同分母分式的过程，叫做分式的通分。

（6）最简公分母：各分式的分母所有因式的最高次幂的积。

（7）有理式：整式和分式统称有理式。

2、分式的基本性质：（1）)0(的整式是≠⋅⋅=M M B M A B A ；（2）)0(的整式是≠÷÷=M MB M A B A （3）分式的变号法则：分式的分子，分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变。

3、分式的运算：（1）加、减：同分母的分式相加减，分母不变，分子相加减；异分母的分式相加减，先把它们通分成同分母的分式再相加减。

（2）乘：先对各分式的分子、分母因式分解，约分后再分子乘以分子，分母乘以分母。

（3）除：除以一个分式等于乘上它的倒数式。

（4）乘方：分式的乘方就是把分子、分母分别乘方。

二、例题讲析 1、（2011黑龙江黑河，18，3分）分式方程=--11x x)2)(1(+-x x m 有增根，则m 的值为（）A 0和3B 1C 1和－2D 3 【答案】D2、（2011年铜仁地区，4，4分）小明从家里骑自行车到学校，每小时骑15km ，可早到10分钟，每小时骑12km 就会迟到5分钟．问他家到学校的路程是多少km?设他家到学校的路程是xkm ，则据题意列出的方程是（）A.60512601015-=+x x B.60512601015+=-x x C.60512601015-=-x x D.5121015-=+x x .【答案】A3、（2011内蒙古包头，17，3分）化简122144112222-++÷++-⋅-+a a a a a a a ，其结果是 . 【答案】11-a 4. （2011广西梧州，24，10分）由于受金融危机的影响，某店经销的甲型号手机今年的售价比去年每台降价500元．如果卖出相同数量的手机，那么去年销售额为8万元，今年销售额只有6万元．（1）今年甲型号手机每台售价为多少元？（2）为了提高利润，该店计划购进乙型号手机销售，已知甲型号手机每台进价为1000元，乙型号手机每台进价为800元，预计用不多于1.84万元且不少于1.76万元的资金购进这两种手机共20台，请问有几种进货方案？（3）若乙型号手机的售价为1400元，为了促销，公司决定每售出一台乙型号手机，返还顾客现金a 元，而甲型号手机仍按今年的售价销售，要使（2）中所有方案获利相同，a 应取何值？【答案】解：（1）设今年甲型号手机每台售价为x 元，由题意得， 80000x+500=60000x ．解得x =1500．经检验x =1500是方程的解．故今年甲型号手机每台售价为1500元．（2）设购进甲型号手机m 台，由题意得， 17600≤1000m +800（20-m ）≤18400， 8≤m ≤12．因为m 只能取整数，所以m 取8、9、10、11、12，共有5种进货方案．（3）方法一：设总获利W 元，则W =（1500-1000）m +（1400-800-a ）（20-m ）， W =（a -100）m +12000-20a ．所以当a =100时，（2）中所有的方案获利相同．方法二：由（2）知，当m =8时，有20-m =12．此时获利y 1=（1500-1000）×8+（1400-800-a ）×12=4000+（600-a ）×12 当m=9时，有20-m=11此时获利y 2=（1500-1000）×9+（1400-800-a ）×11=4500+（600-a ）×11 由于获利相同，则有y 1= y 2．即4000+（600-a ）×12=4500+（600-a ）×11，解之得a =100 ．所以当a =100时，（2）中所有方案获利相同． 5. （2011贵州黔南，21，10分）为了美化都匀市环境，打造中国优秀旅游城市，现欲将剑江河进行清淤疏通改造，现有两家清淤公司可供选择，这两家公司提供信息如表所示：单位清淤费用（元/m 3）清淤处理费（元）甲公司18 5000 乙公司20 0 （1）若剑江河首批需要清除的淤泥面积大约为1.2万平方米，平均厚度约为0.4米，那么请哪个清淤公司进行清淤费用较省，请说明理由。

初二数学分式知识点

初二数学分式知识点一、引言分式是初中数学中的重要概念，它在代数运算、方程求解以及后续的高中数学学习中都扮演着关键角色。

本文旨在总结初二数学中分式的基本概念、性质、运算规则以及应用实例，帮助学生掌握分式相关知识点。

二、分式的定义1. 分式：形如 $\frac{a}{b}$ 的代数式，其中 $a$ 称为分子，$b$ 称为分母，$b \neq 0$。

2. 条件：分母不能为零，因为除以零没有定义。

三、分式的基本性质1. 等值变换：分式的分子和分母同时乘以或除以同一个非零数，分式的值不变。

2. 符号规则：分式的符号由分子和分母的符号决定，分子分母同号结果为正，异号结果为负。

3. 约分：通过找出分子和分母的最大公约数并约去，简化分式。

4. 通分：将多个分式转化为具有相同分母的分式，便于进行加减运算。

四、分式的运算规则1. 加减法：- 同分母分式相加减：分子相加减，分母不变。

- 异分母分式相加减：先通分，再按照同分母分式进行加减。

2. 乘法：- 分式的乘法：分子乘分子，分母乘分母。

3. 除法：- 分式的除法：将除数的分式取倒数，然后进行乘法运算。

4. 乘方：- 分式的乘方：分子和分母分别取方。

五、分式的解方程1. 一元一次方程：通过移项和化简分式，求解未知数。

2. 一元二次方程：在解一元二次方程时，要注意分式的化简和检验根。

六、分式的应用题1. 比例问题：利用分式表示比例关系，解决实际问题。

2. 工作问题：通过分式方程解决工作效率和工作时间的问题。

3. 浓度问题：使用分式计算溶液的稀释和浓缩。

七、常见题型与解题技巧1. 化简求值：熟练掌握分式的化简方法，准确求出分式的值。

2. 分式方程：注意检验解的有效性，避免出现除以零的情况。

3. 应用题：理解题意，找出等量关系，建立分式方程求解。

八、总结分式是初中数学的重要内容，掌握分式的性质和运算规则对于提高数学成绩至关重要。

通过不断的练习和应用，可以加深对分式概念的理解，提高解题能力。

八年级数学下分式的通分和约分

八年级数学下分式的通分和约分分式的通分和约分是数学中的一个重要概念，它们在解决问题和简化计算过程中起着至关重要的作用。

本文将详细讨论八年级数学下分式的通分和约分，以及相关的概念和应用。

一、分式的基本概念首先，我们来了解一下分式的基本概念。

分式是指两个整数或两个整式相除得到的式子，通常表示为a/b的形式，其中a被称为分子，b被称为分母。

分数在数学中有着广泛的应用，它可以表示实数、整数和分数之间的关系，且可以简化计算过程，提高计算的效率。

在分式中，分母不为0，这是因为除数不能为0，这一点在实际应用中尤为重要。

同时，我们还需要了解分式的约分和通分，它们对于化简分式和比较大小有着重要作用。

二、分式的通分和约分1.通分：通分是指将分母不同的分式转化为分母相同的分式。

通分的目的是便于比较大小和进行加减运算。

通分的方法有两种：一种是找到两个分母的最小公倍数，将分子和分母同时乘以一个适当的数；另一种是利用分式相乘的性质将分母相乘得到通分分母。

举例来说，要将1/2和1/3通分，我们可以找到它们的最小公倍数6，分别乘以3和2，得到通分后的分式3/6和2/6。

2.约分：约分是指将分子和分母将公因式约去成最简分式的过程。

约分的目的是使分式更加简洁和易于理解。

约分的方法是找到分子和分母的最大公约数，并将其约去。

继续以上面的例子，分式3/6和2/6可以约分得到1/2和1/3，分别是它们的最简分式。

三、分式的应用分式在数学中有着广泛的应用，它们可以用来解决各种实际问题。

在解决实际问题时，通分和约分是必不可少的步骤。

下面我们通过一些具体的例子来进一步说明分式的应用。

1.比较大小：比较大小是分式的一个常见应用，通分和约分是比较大小的关键步骤。

例如，我们要比较1/2和2/3的大小，可以通分得到6为通分分母，分别乘以3和2得到3/6和4/6，发现2/3比1/2大。

2.加减运算：在加减运算中，通分是必不可少的步骤。

例如，我们要计算1/2+1/3，可以先通分得到6为通分分母，分别乘以3和2得到3/6和2/6，然后相加得到5/6。

分式的约分与通分及其运算规则

分式的约分与通分及其运算规则分式是数学中常见的一种数形式，由分子和分母组成，表示为a/b的形式。

分式的约分与通分是分式运算的基础，它们在分式的运算过程中起到了重要的作用。

本文将介绍分式的约分与通分的概念和运算规则。

一、分式的约分与通分的概念1. 约分：约分是指将分式中的分子和分母同时除以它们的公因数，使得分式的值保持不变且分子与分母互素（即它们的最大公约数为1）。

约分后的分式与原式等值，但其分子与分母通常会更小。

2. 通分：通分是指将两个或多个分式的分母进行相同的乘积操作，使它们拥有相同的分母。

通分后的分式可以方便地进行相加、相减、相乘、相除等运算。

二、约分与通分的运算规则1. 约分运算规则：a) 分式的分子与分母可以同时除以一个相同的非零整数，得到等值的分式。

b) 分式的分子与分母可以同时乘以一个相同的非零整数，得到等值的分式。

2. 通分运算规则：a) 对于两个分式a/b和c/d，若它们的分母相等，则可以直接相加、相减、相乘、相除等运算。

b) 对于两个分式a/b和c/d，若它们的分母不等，则需要进行通分操作，即将它们的分母相乘，并将分子按相应倍数扩大，使得它们的分母相等，然后再进行相加、相减、相乘、相除等运算。

三、约分与通分的实例演示1. 约分实例：分式4/8可以约分为1/2，因为它们的最大公约数是4。

分式6/15可以约分为2/5，因为它们的最大公约数是3。

分式12/18可以约分为2/3，因为它们的最大公约数是6。

2. 通分实例：分式1/3和2/5需要进行通分操作才能相加。

首先，它们的分母分别为3和5，所以它们的最小公倍数为15。

将1/3乘以5/5，得到5/15；将2/5乘以3/3，得到6/15。

现在，它们的分母相等，所以可以相加，结果为5/15 + 6/15 =11/15。

四、总结分式的约分与通分是数学中重要的运算规则，能够简化分式表达式和方便分式的运算。

约分能够使分式的分子和分母互素，降低分式的大小；通分能够使不同分式的分母相等，进而方便进行分式的加减乘除等运算。

分式基础知识讲解

分式基础知识讲解分式，也称为有理数，是指一个整数除以另一个非零整数所得的数。

在数学中，分式是一个重要的概念，它在各种数学问题中都有广泛的应用。

本文将对分式的基础知识进行讲解。

一、分式的定义和表示方式分式可以看作是两个整数的比值，其中一个整数作为分子，另一个整数作为分母。

分式的一般表示方式为“a/b”，其中a为分子，b为分母。

例如，2/3、5/8都是分式。

分式可以用于表示一个数量相对于另一个数量的比值，比如“5个苹果中有3个是红色的”，可以表示为分式5/3。

二、分式的性质和运算法则1. 分式的相等性质对于任意两个分式a/b和c/d，如果ad=bc，则a/b=c/d，即分式相等性质。

2. 分式的相反数和倒数对于任意一个分式a/b，它的相反数是- a/b，它的倒数是b/a。

3. 分式的加减法当两个分式的分母相同时，可以直接对分子进行加减运算，并保持分母不变。

例如，对于分式a/b和c/b，它们的和为(a+c)/b，差为(a-c)/b。

当两个分式的分母不同时，可以通过求公共分母的方法将它们进行相加或相减。

具体方法可以参考通分的原理。

4. 分式的乘除法两个分式相乘时，只需将它们分子相乘得到新的分子，分母相乘得到新的分母。

例如，分式a/b和c/d的乘积为ac/bd。

两个分式相除时，可以将第二个分式的倒数乘以第一个分式。

即，分式a/b和c/d的商为(a/b) * (d/c) = (ad)/(bc)。

三、分式的简化和约分当一个分式的分子和分母有公约数时，可以进行约分，即将分子和分母同时除以它们的最大公约数。

约分后的分式与原分式表示相同的数。

四、分式的应用1. 倒数的表示当需要表示一个数的倒数时，可以使用分式。

例如，数x的倒数可以表示为1/x。

倒数在分数的求解和比较中起到重要作用。

2. 比例问题在比例问题中，分式被广泛使用。

比如“苹果的单价是2元/个，芒果的单价是3元/个，求苹果和芒果价格的比值”，可以表示为2/3这个分式。

分式的概念与运算

分式的概念与运算分式是数学中常见的一种数形式，它表示为两个整数之间的比例关系，通常用一个横线将两个整数隔开。

在分数中，分子表示分数的一部分，分母表示整体的数量。

在本文中，将介绍分式的概念以及如何进行分式的运算。

一、分式的概念分式是由两个整数构成的有理数，其中分母不为零。

分式的常见形式如下：a/b 或 a ÷ b其中，a为分子，b为分母。

分子表示分数的一部分，分母表示整体的数量。

分式可以表示一个数或者某种量的比例关系。

二、分式的基本运算1. 分式的加法和减法分式的加法和减法运算基于分式的分母相同的规则。

当两个分式的分母相同时，可以直接对分子进行加减运算，并保持分母不变。

例如：a/b + c/b = (a + c)/ba/b - c/b = (a - c)/b若两个分式的分母不同，需要通过通分后再进行运算。

首先找到两个分式的最小公倍数，然后将分子和分母分别乘以相应的倍数，使得两个分式的分母相同。

接下来，可以按照上述相同分母的规则进行运算。

2. 分式的乘法分式的乘法运算简单直接。

将两个分式的分子相乘作为新的分子，分母相乘作为新的分母。

例如：(a/b) × (c/d) = (a × c) / (b × d)3. 分式的除法分式的除法是通过将除法转化为乘法来完成的。

具体操作是将被除数的分子和除数的分母相乘作为新的分子，被除数的分母和除数的分子相乘作为新的分母。

例如：(a/b) ÷ (c/d) = (a/b) × (d/c) = (a × d) / (b × c)三、分式的简化与约分对于一个分式，可以通过约分（简化）来使其表达更加简洁。

约分是将分式的分子和分母同时除以一个相同的非零整数，使得分子和分母没有公因数。

例如：8/12 = 4/6 = 2/3在约分时，应确保分子和分母同时除以相同的数，以保持两者的比例关系不变。

四、分式的应用分式在日常生活和实际问题中应用广泛。

分式与分式方程

分式与分式方程分式是指形如 $\frac{a}{b}$ 的数，其中 a 和 b 都是实数，且 b 不等于零。

分式方程则是含有分式的方程。

在解分式方程之前，我们先来了解一下分式、分式的化简和分式方程的一些基本概念。

一、分式的基本概念分式由分子和分母组成，分子表示分式的被除数，而分母则表示分式的除数。

1. 真分数和假分数当分子小于分母时，分式称为真分数；当分子大于等于分母时，分式称为假分数。

如 $\frac{3}{4}$ 是真分数，$\frac{5}{3}$ 是假分数。

2. 约分和通分约分是指将分式的分子和分母同时除以一个公约数，使得分子和分母的最大公约数为1。

通分是指将分式的分子和分母同时乘以一个系数，使得分式的分母相等。

通分后可以进行分式的加减运算。

如$\frac{3}{8}$ 和 $\frac{6}{16}$ 可以通分为 $\frac{6}{16}$ 和$\frac{6}{16}$。

二、分式的运算法则1. 分式的加减法当分母相同时，可以直接相加或相减分子，而分母保持不变。

例如，$\frac{1}{4} + \frac{3}{4} = \frac{4}{4} = 1$。

当分母不同时，需要先通分，然后再进行加减运算。

通分后，将分子相加或相减，分母保持不变。

例如，$\frac{2}{3} + \frac{1}{4} =\frac{8}{12} + \frac{3}{12} = \frac{11}{12}$。

2. 分式的乘法分式的乘法是将两个分式的分子相乘，分母相乘。

例如，$\frac{2}{3} \times \frac{4}{5} = \frac{8}{15}$。

3. 分式的除法分式的除法是将第一个分式的分子与第二个分式的分母相乘，第一个分式的分母与第二个分式的分子相乘。

例如，$\frac{2}{3} \div\frac{4}{5} = \frac{2}{3} \times \frac{5}{4} = \frac{10}{12} =\frac{5}{6}$。

分式定义及通分约分

分式的约分和通分

分式的约分和通分

分式的基本性质应用：约分、通分

分式的通分

15.1.3分式的约分和通分

初二数学分式

分式的约分与通分

分式

分式的定义是什么 数学中分式的定义是什么

分式的约分与通分技巧

分式

分式讲义

初二数学分式知识点

八年级数学下分式的通分和约分

分式的约分与通分及其运算规则

分式基础知识讲解

分式的概念与运算

分式与分式方程

分式的定义是什么数学中分式的定义是什么