第七章 截面的几何性质
材料力学 截面的几何性质
录
附录Ⅰ
§Ⅰ-1 §Ⅰ-2 §Ⅰ-3 §Ⅰ-4
截面的几何性质
截面的静矩和形心位置 惯性矩、惯性积和惯性半径 平行移轴公式 转轴公式 主惯性矩
静矩与形心
一、静矩的定义(与力矩类似)（也称面积矩或一次矩） 截面对z轴的静矩： y 截面对y轴的静矩：
Sz Sy
dS
A A
z
ydA
A
3
z 100
I
C
CI
a1 a2
I y I yI I yII 443 10 768 10
4
4
y
1211 104 mm 4
由于z轴是对称轴 ，故图形对两轴的惯性积为
140 103.3
CII
II
y
I yz 0
20
I z y 2 dA 2h y 2 bdy
3
附
录
组合截面形心
组合截面：如果截面的图形是由几个简单图形(如矩形、圆形 等）组成的，这种截面称为组合截面。 组合截面对X、Y轴静矩的计算：
S x Ai yci Ayc
i
n
S y Ai xci Axc
i
n
Ai——任一简单图形的面积； xci，yci——任一简单图形的形心坐标； n——全部简单图形的个数。 确定组合截面形心位置的公式：
C H/2
X
1 h 1 h yc 1 y1 ( y1 ) ( y1 ) 2 2 2 2
h 1 h S x Ayc 1 b( y 1 ) ( y 1 ) 2 2 2
b
b 2 2 (h 4y1 ) 8
例2、图形对 x 轴的静矩为
第七章 截面的几何性质
A 120 ×10 × 60 + 70 ×10 × 5 = = 39.7mm 120 ×10 + 70 ×10
yc =
Sy
5
§7-2 惯性矩、惯性积与极惯性 惯性矩、
一、惯性矩
Iz = ∫ y dA
2 A
I y = ∫ z dA
2 A
工程中常把惯性矩表示为平面图形的面积与某一长度平方的乘积， 即
I y = A iy
主惯性轴和主惯性矩
一、主惯性轴和主惯性矩 (1)主惯性轴 主惯性轴 当平面图形对某一对正交坐标轴z0 、
y0的惯性积 Iz0y0=0时，则坐标轴 z0 、y0称为主惯性轴。 因此，具有一个或两个对称轴的正交坐标轴一定是 平面图形的主惯性轴。 (2)主惯性矩 平面图形对任一主惯性轴的惯性矩称为 主惯性矩 主惯性矩。
例 计算图所示阴影部分截面的形心主惯性矩Iz。
解：1)求形心位置 由于y 轴为对称轴，故形心必在 此轴上，建立yoz′坐标系，故zc′=0 。将阴影部分截面看成是矩形Ⅰ 减去圆形Ⅱ而得到，故其形心的yc 坐标为：
15
ΣAi y ci yc = =( A
600 × 1000 × 500 − 600 × 1000 −
2
I z = Aiz
2
6
i y 、i z
分别称为平面图形对y轴和z轴的惯性半径
二、惯性积
I zy = ∫ A zydA
若截面具有一根对称轴，则该 截面对于包括此对称轴在内的 二正交坐标轴的惯性积一定等 于零。
I zy = 0
7
三、极惯性矩
Ip =
2
∫A
ρ dA
2
2 2
Qρ = z + y
截面的几何性质面积矩惯性矩惯性积平行移轴公式
b/2 b/2
z
Iz
1 bh3 12
5 d 4
32
y
13
例6 由两个20a号槽钢截面图形组成的组合平面图形，设a =100mm,设求此组合平面图形对y,z两根对称轴的惯性矩。
a
z0
z
zC
y
A=28.83×102mm2, Iyc=128×104mm4 Izc=1780.4×104mm4 ,z0=20.1mm
Iy、Iz为形心主惯性矩
bb/2/2 bb/2/2
hh/2/2
zz
y
hh/2/2
dy
yy
8
例4 计算图示圆形截面对其直径轴y和z的惯性矩。
d
d
z y
z
y
dy
zz y
Iy
Iz
64
d4
若为空心截面呢？（d/D）求Iy与Iz （作业题）
9
四、惯性半径的定义
√iy =
Iy
A
√iz =
Iz
A
故 Iy = A iy 2 Iz = A iz 2
i=1
n
Sz = ∑Ai yci
i=1
形心位置：
n
yc
Sz =
∑Ai yci
= i=1
A
n
∑Ai
i=1
n
Sy
∑Ai zci
zc =
= i=1
A
n
∑Ai
i=1
4
15.5
例2 求图示截面的形心的位置。
解： A1 15050mm 2 A2 18050mm 2
150
A3 250 50mm 2
50
C1
zC 0
截面的几何性质课件
第七章截面的几何性质【学时】2内容：静距、惯性矩、惯性积、惯性半径，简单图形和组合图形静矩的计算及形心位置的确定。
简单图形惯性矩和惯性积的计算；平行移轴公式、转轴公式；组合图形惯性矩和惯性积的计算。
形心主惯性轴和形心主惯性矩。
【基本要求】1．理解静距、惯性矩、惯性积、惯性半径的概念[2]。
2．掌握简单图形和组合图形静矩的计算及形心位置的确定[1]。
3．掌握简单图形惯性矩和惯性积的计算[1]。
4．掌握平行移轴公式[1]。
5．了解转轴公式[3]。
6．掌握组合图形惯性矩和惯性积的计算[1]。
7．了解形心主惯性轴和形心主惯性矩[3]。
【重点】简单图形和组合图形静矩的计算及形心位置的确定，简单图形惯性矩的计算；平行移轴公式；组合图形惯性矩的计算。
【难点】组合图形惯性矩的计算,转轴公式，形心主惯性矩。
§7-1 面积矩与形心位置一、面积（对轴）矩：y A S x ⋅=d d x A S y ⋅=d d ⎰⎰⎰⎰====AAy y AAx x Ax S S Ay S S d d d d二、形心：例1 试确定下图的形心。
解 ：用正负面积法解之。
1.用正面积法求解，图形分割及坐标如图212121A A Ax A x A A x x i i ++==∑3.201080110101101035-=⨯+⨯⨯⨯-= 7.341080110101101060=⨯+⨯⨯⨯=y 2.用负面积法求解， 图形分割及坐标如图212121A A A x A x AA x x ii ++==∑3.201107080120)11070(5-=⨯-⨯⨯-⨯=80120§7-2 惯性矩、惯性积、极惯性矩一、 惯性矩⎰⎰==Ay Ax A x I A y I d d 22二、极惯性矩y x AI I A I +==⎰d 2ρρ三、 惯性积⎰=Axy A xy I d如果 x 或 y 是对称轴，则I xy =0（1）惯性矩是对一定的轴而言的，同一图形对不同的轴的惯性矩一般不同。
第7章 截面几何性质答案
第七章 截面几何性质基本要求与重点1.形心与重心（1）理解重心与形心，熟知常见规则图形形心的位置。
（2）记住以下常见规则几何图形的形心位置：圆及圆环、矩形、三角形。
（3）能熟练计算，由规则图形构成的组合图形的形心位置。
2.面积静矩（又称静矩或面矩）（1）了解面积静矩的积分定义，掌握其有限式定义。
（2）能熟练计算组合图形的静矩。
（3）熟知面积静矩的重要性质。
3.惯性矩与极惯性矩。
（1）理解惯性矩与极惯性矩（2）了解惯性矩与极惯性矩的定义（3）掌握惯性矩与极惯性矩之间的关系（4）掌握平行轴定理及组合图形惯性矩的计算方法。
（5）记住圆及圆环对圆心的极惯性矩（6）记住矩形截面对其对称轴的惯性矩。
4.了解惯性积、形心主轴的概念主要内容1.形心与重心（1）概念与性质重心是物体的重力中心，形心是几何体的形状中心。
对均质物体，重心与形心位置重合。
若存在几何对称同，则形心必在对称轴上。
（2）计算形心位置的计算公式分积分式与代数式两种。
其中，常用的是代数形式的计算公式：11n n ic i ic ii i c c x A y A x y A A==⋅∆⋅∆==∑∑， 2.面积静矩（又称静矩或面矩）（1）定义：分为代数式和积分式两种形式有限式：几何图形的面积乘以形心到某轴的距离的坐标值，称为该图形对该轴的静矩。
积分式：几何图形的元面积乘以点到某轴的距离的坐标值，称为该元面积对该轴的静矩；所有点的元面积静矩之和，为几何图形的对该轴的静矩。
（2）面积静矩的重要性质：若图形对某轴的面积静矩为零，则该轴过这一图形的形心；反之亦然。
也就是说，静矩为零与轴过形心互为充要条件。
（3）计算根据实际情况可选用代数式或积分式进行计算，工程中主要是利用代数式进行计算。
11S S n nx ix i i c i i y A y A ====⋅∆=⋅∑∑11S S n ny iy i i c i i x A x A ====⋅∆=⋅∑∑3.惯性矩与极惯性矩。
建筑力学第七章 截面的几何性质
第七章平面图形的几何性质研究截面几何性质的意义从上章介绍的应力和变形的计算公式中可以看出，应力和变形不仅与杆的内力有关，而且与杆件截面的横截面面积A、极惯性矩I P、抗扭截面系数W P等一些几何量密切相关。
因此要研究构件的的承载能力或应力，就必须掌握截面几何性质的计算方法。
另一方面，掌握截面的几何性质的变化规律，就能灵活机动地为各种构件选取合理的截面形状和尺寸，使构件各部分的材料能够比较充分地发挥作用，尽可能地做到“物尽其用”，合理地解决好构件的安全与经济这一对矛盾。
第一节 静矩一、静距的概念Ay S z d d =Az S y d d =⎰⎰⎰⎰====AAy y AAz z Az S S A y S S d d d d zy d A yz静距是面积与它到轴的距离之积。
平面图形的静矩是对一定的坐标而言的，同一平面图形对不同的坐标轴，其静矩显然不同。
静矩的数值可能为正，可能为负，也可能等于零。
它常用单位是m 3或mm 3。
形心d A zyy zCx Cy ⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⋅∆∑=⋅∆∑=A y A y Az A z C C ⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫==⎰⎰A ydA y A zdA z AC A C ⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫==A S y A S z z C y C ⎭⎬⎫⋅=⋅=C y C z z A S y A S 平面图形对z 轴（或y 轴）的静矩，等于该图形面积A 与其形心坐标y C （或z C ）的乘积。
当坐标轴通过平面图形的形心时，其静矩为零；反之，若平面图形对某轴的静矩为零，则该轴必通过平面图形的形心。
如果平面图形具有对称轴，对称轴必然是平面图形的形心轴，故平面图形对其对称轴的静矩必等于零。
⎭⎬⎫⋅=⋅=C y C z z A S y A S二、组合图形的静矩根据平面图形静矩的定义，组合图形对z 轴（或y 轴）的静矩等于各简单图形对同一轴静矩的代数和，即⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫=+++==+++=∑∑==ni Ci i Cn n C C y ni Ci i Cn n C C z z A z A z A z A S y A y A y A y A S 1221112211 式中 y Ci 、z Ci 及A i 分别为各简单图形的形心坐标和面积;n 为组成组合图形的简单图形的个数。
材料力学截面的几何性质课件
截面的对称性
截面可以是对称的或非对称的。
对称截面是指沿中心线对称的截面，如圆形、正 方形等。
非对称截面是指不沿中心线对称的截面，如椭圆 形、三角形等。
截面的重心
重心是物体质量的集中点，对于规则形状的物体，重心位置可以通过几何计算得 到。
对于截面，重心是截面质量的集中点，其位置可以通过计算截面的面积和质量得 到。
材料力学的发展历程
总结词
材料力学的发展经历了多个阶段，从最早的实验观察到现代的理论建模和计算机模拟。
详细描述
最初的材料力学研究主要基于实验观察和经验总结，随着数学和物理学的发展，人们开始建立更精确 的理论模型，并使用计算机进行模拟和分析。这些理论模型和方法在解决复杂工程问题方面发挥了重 要作用。
02
意义
主惯性矩是衡量截面抗弯和抗扭能力的一个重要参数，其 值越大，抗弯和抗扭能力越强。
04
材料力学截面的弯曲性质
弯曲的定义
弯曲是指物体在力的作用下发 生形变，其中物体的一部分相 对于另一部分发生转动。
弯曲变形通常发生在梁、柱等 细长结构中，其中截面上的应 力分布不均匀。
弯曲变形可以通过施加外力或 重力等作用力引起，也可以由 热膨胀、收缩等因素引起。
扭转的变形能
1 2
变形能
物体在受到外力作用时，由于发生变形而储存的 能量称为变形能。
扭转变形能
物体在扭转变形时，由于变形而储存的能量称为 扭转变形能。
3
扭转变形能的计算
扭转变形能可以通过计算截面上的剪切应变和剪 切胡克常数来计算。
扭转的稳定性
01
稳定性
在材料力学中，稳定性是指物体在外力作用下保持其平衡状态的能力。
剪切变形能
材料力学教案-截面的几何性质
Iy
2
Iz
1 2
(I y
§1-1 截面的静矩和形心 (The first moment of the area & centroid of
an area)
一、静矩(The first moment of the area ）
截面对 y , z 轴的静矩为
z
S y
zdA
A
Sz
ydA
A
dA z
静矩可正，可负，也可能等于零.
形心主惯性矩( Centroidal principal moment of inertia) ：截面对 形心主惯性轴的惯性矩.
(Properties of Plane Areas)
（1）主惯性轴的位置 设 为主惯性轴与原坐标轴之间的夹角
则有
Iy
2
Iz
sin
2 0
I
yz
cos 2 0
0
由此
tg2 0
z
负面积
C2 C1
C1（0,0） C2（5,5）
y
y yi Ai y1 A1 y2 A2
A
A1 A2
5 (80 110) 22 120 90 80110
图(b)
(Properties of Plane Areas)
§1-2 极惯性矩、惯性矩、惯性积
(Polar moment of inertia、Moment of
§1-4 转轴公式 (Rotation of axes)
一 、转轴公式 (Rotation of axes)
yOz为过截面上的任 一点建立的坐标系
y1Oz1为yOz 转过 角后形成的新坐标系
逆時针转取为 + 号
第七章 截面几何性质 平行移轴公式
课时授课计划
第七章截面的几何性质
通过例子引入（让学生知道截面的重要性）
截面尺寸和形状完全相同的杆件，因为放置的方式不同，
其承载能力是大不相同的。
思考：抗弯能力与截面形状有何关系？
一、静矩与形心
平面图形对某轴的静矩等于其面积与形心
坐标（形心到该轴的距离）的乘积。
特性：
当坐标轴通过该平面图形的形心（简称形心轴）时，静矩等于零；反之，若平面图形对某轴的静矩等于零，则该轴必通过形心。
二、惯性矩
简单图形对其形心轴的的惯性矩
（见课本111页表7-1）
三、惯性矩的平行移轴公式
已知
对z 轴的惯性矩：
平行移轴定理，或称为平行移轴公式：截面对任意轴的惯性矩，等于截面对与该轴平行的形心轴的惯性矩加上截面面积与两轴间距离平方的乘积。
四、例题分析
1、T 字形截面尺寸及形心位置如下图所示，求该截面对其形心轴的惯性矩。
2、讲解：例8－7
五、讨论
形心的计算。
⎩⎨⎧+=+=b z z a y y C
C
⎰=A c z dA y I C
2
⎰=A z dA
y I 2⎰⎰++=+=A
C C A C z dA a a y y dA a y I )2()(2
2
2。
第7章-截面图形的几何性质（PDF）
第7章 截面图形的几何性质教学提示：在对构件进行应力和强度等计算时，需要用到构件截面图形的几何性质，即与构件截面几何形状和尺寸有关的一些量，例如形心、静矩、惯性矩、惯性半径、极惯性矩、惯性积等。
本章的主要内容就是讨论这些几何性质的定义和计算。
教学要求：通过本章学习，要求理解形心、静矩、惯性矩、极惯性矩、惯性积和主惯性矩的概念，会用平行移轴公式计算组合截面对形心轴的惯性矩、主惯性矩等。
受力构件的承载能力，不仅与材料性能和加载方式有关，而且与构件截面的几何形状和尺寸有关。
当研究构件的强度、刚度和稳定性问题时，都要涉及到一些与截面形状和尺寸有关的几何量。
这些几何量包括：形心、静矩、惯性矩、惯性半径、极惯性矩、惯性积、主惯性矩等，统称为“截面图形的几何性质”。
研究这些几何性质时，完全不需考虑研究对象的物理和力学因素，只作为纯几何问题处理。
7.1 静矩与形心考察如图7.1所示任意截面几何图形。
在其上取面积微元d A ，设该微元在Oyz 坐标系中的坐标为(y 、z )。
定义下列积分d y AS z A =∫， d z AS y A =∫(7.1)图7.1分别为截面图形对y 轴和z 轴的静矩(或称为面积矩)。
其量纲为长度的三次方。
常用单位是3m 或3mm 。
由于均质等厚薄板的重心与薄板截面图形的形心有相同的坐标(C y 、C z )，而薄板的重心坐标由式(2.24)给出，即d d AAzCy V y A S y V AA ===∫∫d d y AAC z Vz A S z VAA===∫∫第7章 截面图形的几何性质·91··91·所以，形心坐标为d Az Cy A Sy AA==∫， d y ACz A S z AA==∫ (7.2a)或y C S A z =⋅，z C S A y =⋅(7.2b)由式(7.2)可知，若某坐标轴通过形心轴，则图形对该轴的静矩等于零，即若0C y =，则0z S =，或若0C z =，则0y S =；反之，若图形对某一坐标轴的静矩等于零，则该坐标轴必然通过图形的形心。
截面的几何性质
附录Ⅰ 截面的几何性质§I −1 截面的静矩和形心位置如图I −1所示平面图形代表一任意截面，以下两积分⎪⎭⎪⎬⎫==⎰⎰A z S A y S A y Az d d （I −1） 分别定义为该截面对于z 轴和y 轴的静矩。
静矩可用来确定截面的形心位置。
由静力学中确定物体重心的公式可得⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫==⎰⎰A A z z A A y y AC ACd d利用公式（I −1），上式可写成⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫====⎰⎰A S A A z z A S A Ay y y AC z AC d d （I −2） 或⎭⎬⎫==C y C z Az S Ay S （I −3）⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫==A S z A S y y C z C （I −4）如果一个平面图形是由若干个简单图形组成的组合图形，则由静矩的定义可知，整个图形对某一坐标轴的静矩应该等于各简单图形对同一坐标轴的静矩的代数和。
即：⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫==∑∑==ni ci i y ni ci i z z A S y A S 11（I −5）式中A i 、y ci 和z ci 分别表示某一组成部分的面积和其形心坐标，n 为简单图形的个数。
将式（I −5）代入式（I −4），得到组合图形形心坐标的计算公式为图I −1⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎫==∑∑∑∑====n i i ni ci i c ni i ni ci i c A z A z A y A y 1111（I −6） 例题I −1 图a 所示为对称T 型截面，求该截面的形心位置。
解：建立直角坐标系zOy ，其中y 为截面的对称轴。
因图形相对于y 轴对称，其形心一定在该对称轴上，因此z C =0，只需计算y C 值。
将截面分成Ⅰ、Ⅱ两个矩形，则A Ⅰ=0.072m 2，A Ⅱ=0.08m 2 y Ⅰ=0.46m ，y Ⅱ=0.2m m323.008.0072.02.008.046.0072.0III IIII I I 11=+⨯+⨯=++==∑∑==A A y A y A AyA y ni ini cii c§I −2 惯性矩、惯性积和极惯性矩如图I −2所示平面图形代表一任意截面，在图形平面内建立直角坐标系zOy 。
截面的几何性质
b2
A
上式称为计算惯性矩的平行移轴公式。这个公式表明 ：截面对任意一个轴的惯性矩，等于截面对与该轴平行的 形心轴的惯性矩加上截面的面积与两轴距离的乘积。
工程力学与建筑结构
1.4 组合截面的惯性矩
在计算组合截面对某座标轴的惯性矩时，根据定义， 可分别计算各组成部分对该轴的惯性矩，然后再相加，即 ：
工程力学与建筑结构
工程力学与建筑结构
截面的几何性质
在工程中研究构件的受力和变形时，经常会遇到一些 和构件的横截面形状、尺寸有关的几何量，这些几何量通 称为截面的几何性质。 1.1 截面的静矩和形心 1. 截面的静矩
如图所示的平面图形代表一个任意截面，其面积为A 。在图形平面内选坐标系Oyz，在坐标为(y, z)处取微面积 dA ，则以下两个积分分别被定义为平面图形A 对于z轴和y 轴的静矩。
I z iz2 A
Iy
i
2 y
A
于是得到:
iz
Iz A
iy
IyБайду номын сангаасA
通常把iz和iy分别称为平面图形对z轴和y轴的惯性半径 （或回转半径）。
工程力学与建筑结构
1.3平称移轴公式 同一截面对于不同坐标轴的惯性矩不相同， 但它们
之间都存在着一定的关系。
I z I zc a 2 A
Iy
I yc
Ai
i 1
工程力学与建筑结构
1.2 截面的惯性矩 1. 惯性矩的计算公式
任意一个构件的横截面如图所示，其面积A 对于z轴和 y轴的惯性矩定义为 ：
I z
A
y 2dA
I y
z 2dA
A
常用截面的惯性矩可查阅工程设计手册。
工程力学与建筑结构
工程力学第七章重心及截面的几何性质
A. Oxy； B. O1xy1； C. O2 x1 y1； D. O3x1 y。
y1
y
O1
O
x
O2
O3
x1
C
课堂练习
I.
任意图形，若对某一对正交坐标轴的惯性积为零， 则这一对坐标轴一定是该图形的（ ）。
A. 形心轴； B. 主轴 C. 主形心轴 D. 对称轴
B
在图示开口薄壁截面图形中，当（ ）时，y-z轴始终保持 为一对主轴。
对称轴y的惯性矩分别为
I
a y
I，yb 则（
I
a x
I xb对
）。
A.
I
a y
I
yb，I
a x
I
b；
x
B.
I
a y
I
yb，I
a x
I
b；
x
C.
I
a y
I
yb，I
a x
I
b；
x
y
D.
I
a y
I
yb，I
a x
I
b。
x
y
o
x
o
x
(a)
(b)
C
课堂练习
I. 图示半圆形，若圆心位于坐标原点，则（ ）。
y
A.
F
LAC
A
LAB
1.3mm 100103 2
2 2.1105 106 252 106
4
cos 300
A
§8–4纯弯曲时梁横截面上的正应力
M
FS
M
FS
M
FS
梁弯曲时横截面上的正应力与切应力，分别称
为弯曲正应力与弯曲切应力。
截面的几何性质—平行移轴公式(材料力学)
1、平行移轴公式
右图任意截面，zc、yc 轴为通过截面形心C的一对正交轴，z、y轴为分别与zc、yc 轴平行的轴，
两平行轴之间的距离分别为a和b。
根据定义，图形对zc、yc 轴的惯性矩和惯性积分别为
Izc yc2dA, I yc zc2dA, Izc yc yc zcdA
I zy
i 1
I yzi
Izi， Iyi
,Iyz i
----指第
i个简单截面对
y, z
轴的惯性矩，惯性积。
例题 求T形截面对其形心轴 zC 的惯性矩（单位为mm）。
解：将截面分成两个矩形截面。 截面的形心必在对称轴 y 上。
取过矩形2的形心且平行于底边的轴作为参考轴记作z轴。
A1
20140
2800mm2 ,
Iz c
I1 zc
I2 zc
7.68106
4.43106
12.11106 mm4
20 140
yc
20
1
a1 zc
y1 a2 yc z
2
100
a2A b2A
c
I zy I zc yc abA
上式即为惯性矩和惯性积的平行移轴公式。
y
z yc
b
zc
dA
C
yc
a y zc
O
z
2、组合截面的惯性矩、惯性积
组合截面对某轴的惯性矩、惯性积，等于各简单图形对此轴的惯性矩、惯性积的代数和。
n
Iz Iz i
i 1
n
I y I y
i1 i
n
ycdA a2
dA
A
A
A
A
A
A
工程力学截面的几何性质
应等于它旳各构成部分对同一轴旳静矩旳代数和，
即：
n
S z Ai y ci i 1
n
S y Ai zci i 1
式中： yci , zci和 Ai 分别为第i个简单图形的形心坐标和面积。
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4
2.组合截面旳形心坐标公式
组合截面静矩 n S z Ai y ci i 1
n
S y Ai zci i 1
组合截面面积
n
A Ai i 1
组合截面旳形心坐标公式为：
n
yc
Sz A
i 1
Ai
yc i
，
n
Ai
i 1
n
zc
Sy A
Ai zci
i 1
n
Ai
i 1
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5
y
dy
例A-1 试计算图示三角形截面 对于与其底边重叠旳x轴旳静矩。
h
b (z )
解： 取平行于x轴旳狭长条，
y
易求 b( y) b (h y)
(4) 形心主惯性矩:截面对于形心主惯性轴旳惯性矩。
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22
(5)拟定主惯性轴旳位置
设0是旧轴x 逆时针转向主惯性轴x0旳角度，则 由惯性积旳转轴公式及主惯性轴旳定义，得
Iz
2
I
y
sin
2 0
I
yz
cos
2 0
0
可改写为
tan 20
2I yz Iz Iy
（注：将负号置于分子上有利于拟定2 0角旳象限）
I yc
2
4
I2 zc yc
321104 mm4
I yc0
截面图形的几何性质-材料力学
yC
Sz A
558000 9000
62
Sz Sz1 Sz2 120 40 20 140 30110 558000
A A1 A2 120 40 140 30 9000
120
I
CI
C
CII
II
y 30
参考轴
z 40
yC
zC 140
注意
① 由两块组成组合图形，其复合图形形心一定位于两个子图的形心连线上。 ② 组合图形形心计算公式也适用于负面积情况， 但要记住面积为负号。
z
I
C1 C
s
C2
II
b
y1 h
y
y2
t
典型例题
例3 已知组合截面尺寸t=20mm，h=140mm，b=100mm。试求截面图
形对形心轴 y 的惯性矩。
t
解： 由平行移轴定理
矩形1对y轴的惯性矩：
I (1) y
I y1
b12 A1
矩形2对y轴的惯性矩：
I (2) y
I y2
b22 A2
整个截面的惯性矩：
Iz
y 2 dA
A
h y2bdy 0
b
y3 3
/
h 0
bh3 3
y
h b
dy y
z
典型例题
例2 试求图示截面对形心轴zC轴的惯性矩。
IzC
y 2 dA
A
h
2 h
y2bdy
2
b
y3 3
h
/
2
h
2
bh3
12
I yC
z 2dA
A
y
yC
hb3 =
截面几何关系
I P πD I y = Iz = = 2 64
平行移轴公式
2 Izc = ∫ yc dA A
y
yc
z b C a
zc
dA
Iz = ∫ y dA
2 A
A
y = yc + a
yc
Iz = ∫ ( yc + a)2 dA = = ∫ y dA + 2a∫ ycdA + a A
A 2 c 2 A
y
zc
*
100
yc
2
z
20
yc =
∑A
i =1
n
i
yc i
A
=20×100+100× A=A1+A2=20×100+100×20=4000mm2 =2000 (100+10)=2.2× Sz1=A1 ×yc1 =2000×(100+10)=2.2×105mm3 =2000 (100/2)=1× 000× Sz2=A2 ×yc2 =2000×(100/2)=1×105mm3 Sz=Sz1+Sz2=3.2 ×105mm3 yc=Sz/A=80mm zc=0
A
的惯性积； 的惯性积；
Q ρ 2 = z 2 + y2
∴I p = ∫ ρ 2dA = ∫ (z2 + y2 )dA =I y + Iz
A A
I y , Iz , I p 恒为正
由定义可知： 由定义可知：
I yz 与所选坐标有关，可正、可负，也可为零 与所选坐标有关，可正、可负，
y 例2 计算矩形对形心轴的惯性矩。 计算矩形对形心轴的惯性矩。 形心轴的惯性矩
−h/ 2 0
z1
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一、工程实例 二、静矩和形心 三、惯性矩、极惯性矩、惯 惯性矩、极惯性矩、 性积 四、平行移轴公式 五、形心主轴 形心主惯性矩 六、小结
首先请大家仔细看图片
一 工 程 实 例
试想一下，工程当中为什么采用这种截面？
截面对于一个构件或者结构来说是非常重要的，下面我 们列举一下工程当中常见的几种截面：
zc = yc = S
y
A
=
Sz = A
∑ A z ∑ A ∑ A y ∑ A
i i i
中式中Ai、zci、yci— 其中式中Ai、zci、yci—公别表示各个简单截成的面积及形心坐标。
三 惯 性 矩 、 极 惯 矩 、 惯 性 积 性
一、惯性矩、极惯性矩、惯性积 惯性矩、极惯性矩、 惯性矩 惯性矩
这一对互相垂直的坐标轴（Zi、Yi轴）称之为截面的主惯性轴， 这一对互相垂直的坐标轴（Zi、Yi轴）称之为截面的主惯性轴， 简称为主轴；截面对于主轴的惯性矩称为主惯性矩。
形心主轴、形心主惯性矩： 形心主轴、形心主惯性矩：主轴如果通过形心则称为形心
主轴；截面对于形心主轴的惯性矩称为形心主惯性矩。
五、小结 小结
o
y1
z1
z
平行移轴公式为： 平行移轴公式为：
a A C
y
dA z y
z1
b
y1
I z = I zc + a 2 A 2 I y = I yc + b A
四 形 心 主 轴 形 心 主 惯 性 矩
四、形心主轴 形心主惯性矩 形心主轴
主轴、主惯性矩：若截面对于Zi轴和Yi轴的惯性积Izy=0，则 主轴、主惯性矩：若截面对于Zi轴和Yi轴的惯性积Izy=0，则
图形对z轴的惯性矩 图形对 轴的惯性矩 轴的
z y A o dA
I z = ∫ y dA
2 A
图形对y轴的惯性矩 图形对 轴的惯性矩 轴的
z y
I y = ∫ z dA
2 A
单位： 单位：m 4
三 惯 性 矩 、 极 惯 矩 、 惯 性 积 性
o y A z
图形对原点的极惯性矩 图形对原点的极惯性矩
一 工 程 实 例
槽钢 工字型
角钢
一、静矩和形心 静矩和形心 静矩
二 静 矩 和 形 心
o z y A dA z y
图形对z轴的静矩 图形对 轴的静矩
S z = ∫ ydA
A
图形对y轴的静矩 图形对 轴的静矩
S y = ∫ zdA
A
单位： 单位：m 3
形心
设截面的形心C的坐标为Zc和Yc，则 设截面的形心C的坐标为Zc和Yc，则
二 静 矩 和 形 心
z
yc
C A o
zc
zc = yc =
∫
A
ydA A zdA A
∫
A
式中：A 式中：A—截面面积。
y
由静矩和形心的计算公式可得到截面形心坐标与静矩之间的关系为：
S z = Ayc S y = Azc
组合截面的静矩和形心
二 静 矩 和 形 心
由若干个简单截面（如矩形、三角形、半圆形等）所组成的截 面称为组合截面。 组合截面对某轴的静矩的计算公式：
1.熟练掌握静矩、极惯性矩、惯性矩、主轴和形心主轴的定义及及特征。 1.熟练掌握静矩、极惯性矩、惯性矩、主轴和形心主轴的定义及及特征。 会确定截面的形心位置，尤其能熟练地确定具有对称轴的截面的形心位置。 2.牢记下列公式 2.牢记下列公式 矩形截面的形心主惯性矩公式: 矩形截面的形心主惯性矩公式:
bh 3 b3h Iz = , Iy = 12 12
五 小 结
圆形截面的形心主惯性矩公式: 圆形截面的形心主惯性矩公式:
Iz = Iy =
忣惯性矩公式: 忣惯性矩公式: 3.牢记平行移轴公式： 3.牢记平行移轴公式：
πD 4
64
Iρ =
πD 4
32
I z = I zc + a 2 A
并能利用平行移轴公式，熟练地计算具有纵向对称轴（y 并能利用平行移轴公式，熟练地计算具有纵向对称轴（y轴）的截面的形心 主惯性矩Iz。 主惯性矩Iz。
极惯性矩
ρ
dA z y
I P = ∫ ρ dA
2 A
单位： 单位：m 4
三 惯 性 矩 、 极 惯 矩 、 惯 性 积 性
惯性积 z y A o dA z y
图形对z、y轴的惯性积 图形对 、 轴的惯性积 轴的
I zy = ∫ yzdA
A
单位： 单位：m 4
三、平行移轴公式 平行移轴公式
三 平 行 移 轴 公 式