2010年辽宁省高考数学命题展望与复习对策
高考数学复习建议-基础是根本，能力是关键，落实是保证
2010年高考数学复习的思考与建议基础是根本，能力是关键，落实是保证——2010年高考数学复习的思考与建议一、研究“考纲”，了解高考数学命题的指导思想，把握复习方向。
纵观近几年我省选用的“教育部命题中心”命的高考数学试题，试题的方向是正确的，题型是稳定的，难度虽有起伏，但控制有度，基本上是按“考纲”的要求命题。
立足基础，重在能力，全面、重点、综合地考查学生的基础知识、基本技能，较好地实现了全面考查综合数学素养的要求。
2010年“考纲”中明确指出高考数学试题的考查要求是：(1)对数学基础知识的考查，要既全面又突出重点，对于支撑学科知识体系的重点内容，要占较大的比例，构成数学试卷的主体。
注重学科的内在联系和知识的综合性，不刻意追求知识的覆盖面。
从学科的整体高度和思维的价值高度考虑问题，在知识网络的交汇点处设计试题。
(2)对数学思想和方法的考查，是对数学知识在更高层次上的抽象和概括，通过对数学知识的考查反映考生对数学思想和方法的理解，注重通性通法，淡化特殊技巧。
(3)对数学能力的考查，强调“以能力立意”，是以数学知识为载体，考查考生对数学知识的理解和应用，尤其是综合和灵活的应用，考查考生的“再创造”能力。
能力考查，以思维能力为核心，思维能力的考查贯穿于全卷，强调思维的科学性、严谨性、抽象性；对运算能力的考查，主要是对算理和逻辑推理的考查；对空间想象能力的考查主要表现在对空间图形的识别理解和加工，同时与运算能力、逻辑思维能力相结合。
(4)对实践能力的考查，主要考查学生学数学用数学的意识和能力，命题坚持“贴近生活，背景公平，控制难度”的原则。
(5)对创新意识的考查是对高层次理性思维的考查，主要有体现数学素质的试题；反映数、形运动变化的试题；研究型、探索型、开放型的试题。
我省近几年选用的“教育部命题中心”命的数学试题“立足基础，重在能力，面向多数，激励潜能”得到社会的认可和支持，同学们也比较适应。
但实际完成的不好，成绩不理想，同时试题难度有时波动较大，区分度不稳定。
2010年辽宁省高考数学试卷(理科)含答案
2010年辽宁省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）（2010•辽宁）已知A、B均为集合U={1，3，5，7，9}的子集，且A∩B={3}，（∁U B）∩A={9}，则A等于（）A．{1，3} B．{3，7，9} C．{3，5，9} D．{3，9}【考点】Venn图表达集合的关系及运算．【分析】由韦恩图可知，集合A=（A∩B）∪（C U B∩A），直接写出结果即可．【解答】解：因为A∩B={3}，所以3∈A，又因为C U B∩A={9}，所以9∈A，选D．本题也可以用Venn图的方法帮助理解．故选D．【点评】本题考查了集合之间的关系、集合的交集、补集的运算，考查了同学们借助于Venn 图解决集合问题的能力．2．（5分）（2010•辽宁）设a，b为实数，若复数，则（）A．B．a=3，b=1 C．D．a=1，b=3【考点】复数相等的充要条件．【分析】先化简，然后用复数相等的条件，列方程组求解．【解答】解：由可得1+2i=（a﹣b）+（a+b）i，所以，解得，，故选A．【点评】本题考查了复数相等的概念及有关运算，考查计算能力．是基础题．3．（5分）（2010•辽宁）两个实习生每人加工一个零件．加工为一等品的概率分别为和，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为（）A．B．C．D．【考点】相互独立事件的概率乘法公式；互斥事件的概率加法公式．【专题】计算题．【分析】根据题意，分析可得，这两个零件中恰有一个一等品包含仅第一个实习生加工一等品与仅第二个实习生加工一等品两种互斥的事件，而两个零件是否加工为一等品相互独立，进而由互斥事件与独立事件的概率计算可得答案．【解答】解：记两个零件中恰好有一个一等品的事件为A，即仅第一个实习生加工一等品（A1）与仅第二个实习生加工一等品（A2）两种情况，则P（A）=P（A1）+P（A2）=，故选B．【点评】本题考查了相互独立事件同时发生的概率与互斥事件的概率加法公式，解题前，注意区分事件之间的相互关系（对立，互斥，相互独立）．4．（5分）（2010•辽宁）如果执行右面的程序框图，输入正整数n，m，满足n≥m，那么输出的P等于（）A．C n m﹣1B．A n m﹣1C．C n m D．A n m【考点】程序框图．【分析】本题考查了循环结构的程序框图、排列公式，考查了学生的视图能力以及观察、推理的能力，分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环计算并输出变量P的值，模拟程序的运行，用表格对程序运行过程中各变量的值进行分析，不难得到输出结果．【解答】解：第一次循环：k=1，p=1，p=n﹣m+1；第二次循环：k=2，p=（n﹣m+1）（n﹣m+2）；第三次循环：k=3，p=（n﹣m+1）（n﹣m+2）（n﹣m+3）…第m次循环：k=m，p=（n﹣m+1）（n﹣m+2）（n﹣m+3）（n﹣1）n此时结束循环，输出p=（n﹣m+1）（n﹣m+2）（n﹣m+3）（n﹣1）n=A n m故选D【点评】要注意对第m次循环结果的归纳，这是本题的关键．5．（5分）（2010•辽宁）设ω＞0，函数y=sin（ωx+）+2的图象向右平移个单位后与原图象重合，则ω的最小值是（）A．B．C．D．3【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】计算题；待定系数法．【分析】求出图象平移后的函数表达式，与原函数对应，求出ω的最小值．【解答】解：将y=sin（ωx+）+2的图象向右平移个单位后为=，所以有=2kπ，即，又因为ω＞0，所以k≥1，故≥，故选C【点评】本题考查了三角函数图象的平移变换与三角函数的周期性，考查了同学们对知识灵活掌握的程度．6．（5分）（2010•辽宁）设{a n}是有正数组成的等比数列，S n为其前n项和．已知a2a4=1，S3=7，则S5=（）A．B．C．D．【考点】等比数列的前n项和；等比数列的性质．【分析】先由等比中项的性质求得a3，再利用等比数列的通项求出公比q及首项a1，最后根据等比数列前n项和公式求得S5．【解答】解：由a2a4=a32=1，得a3=1，所以S3==7，又q＞0，解得=2，即q=．所以a1==4，所以=．故选B．【点评】本题考查等比中项的性质、等比数列的通项公式及前n项和公式．7．（5分）（2010•辽宁）设抛物线y2=8x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足．如果直线AF的斜率为，那么|PF|=（）A．B．8 C． D．16【考点】抛物线的简单性质；抛物线的定义．【分析】先根据抛物线方程求出焦点坐标，进而根据直线AF的斜率为求出直线AF 的方程，然后联立准线和直线AF的方程可得点A的坐标，得到点P的坐标，根据抛物线的性质：抛物线上的点到焦点和准线的距离相等可得到答案．【解答】解：抛物线的焦点F（2，0），准线方程为x=﹣2，直线AF的方程为，所以点、，从而|PF|=6+2=8故选B．【点评】本题考查了抛物线的定义、抛物线的焦点与准线、直线与抛物线的位置关系，考查了等价转化的思想．8．（5分）（2010•辽宁）平面上O，A，B三点不共线，设，则△OAB的面积等于（）A．B．C．D．【考点】向量在几何中的应用．【专题】计算题．【分析】利用三角形的面积公式表示出面积；再利用三角函数的平方关系将正弦表示成余弦；再利用向量的数量积公式求出向量夹角的余弦化简即得．【解答】解：==•=；故选C．【点评】本题考查三角形的面积公式；同角三角函数的平方关系，利用向量的数量积求向量的夹角．9．（5分）（2010•辽宁）设双曲线的﹣个焦点为F，虚轴的﹣个端点为B，如果直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【考点】双曲线的简单性质；两条直线垂直的判定．【专题】计算题；压轴题．【分析】先设出双曲线方程，则F，B的坐标可得，根据直线FB与渐近线y=垂直，得出其斜率的乘积为﹣1，进而求得b和a，c的关系式，进而根据双曲线方程a，b和c的关系进而求得a和c的等式，则双曲线的离心率可得．【解答】解：设双曲线方程为，则F（c，0），B（0，b）直线FB：bx+cy﹣bc=0与渐近线y=垂直，所以，即b2=ac所以c2﹣a2=ac，即e2﹣e﹣1=0，所以或（舍去）【点评】本题考查了双曲线的焦点、虚轴、渐近线、离心率，考查了两条直线垂直的条件，考查了方程思想．10．（5分）（2010•辽宁）已知点P在曲线y=上，α为曲线在点P处的切线的倾斜角，则α的取值范围是（）A．[0，） B．C．D．【考点】导数的几何意义．【专题】计算题；压轴题．【分析】利用导数在切点处的值是曲线的切线斜率，再根据斜率等于倾斜角的正切值求出角的范围．【解答】解：因为y′===，∵，∴e x+e﹣x+2≥4，∴y′∈[﹣1，0）即tanα∈[﹣1，0），∵0≤α＜π∴≤α＜π故选：D．【点评】本题考查导数的几何意义及直线的斜率等于倾斜角的正切值．11．（5分）（2010•辽宁）已知a＞0，则x0满足关于x的方程ax=b的充要条件是（）A．B．C．D．【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】简易逻辑．【分析】初看本题，似乎无从下手，但从题目是寻求充要条件，再看选项会发现构造二次函数求最值．【解答】解：由于a＞0，令函数，此时函数对应的开口向上，当x=时，取得最小值，而x0满足关于x的方程ax=b，那么x0═，y min=，那么对于任意的x∈R，都有≥=故选C．【点评】本题考查了二次函数的性质、全称量词与充要条件知识，考查了学生构造二次函数解决问题的能力．12．（5分）（2010•辽宁）有四根长都为2的直铁条，若再选两根长都为a的直铁条，使这六根铁条端点处相连能够焊接成一个三棱锥形的铁架，则a的取值范围是（）A．（0，）B．（1，）C．（，）D．（0，）【考点】棱锥的结构特征．【专题】计算题；压轴题．【分析】本题考查了学生的空间想象能力以及灵活运用知识解决数学问题的能力．我们可以通过分析确定当底面是边长为2的正三角形，三条侧棱长为2，a，a此时a取最大值，当构成三棱锥的两条对角线长为a，其他各边长为2，a有最小值，易得a的取值范围【解答】解：根据条件，四根长为2的直铁条与两根长为a的直铁条要组成三棱镜形的铁架，有以下两种情况①底面是边长为2的正三角形，三条侧棱长为2，a，a，如图，此时a可以取最大值，可知AD=，SD=，则有2﹣＜＜2+，即，即有＜a＜②构成三棱锥的两条对角线长为a，其他各边长为2，如图所示，此时0＜a＜2；综上分析可知a∈（0，）；故选A．【点评】本题考查的知识点是空间想像能力，我们要结合分类讨论思想，数形结合思想，极限思想，求出a的最大值和最小值，进而得到a的取值范围二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）（2010•辽宁）的展开式中的常数项为﹣5．【考点】二项式定理．【分析】展开式的常数项为展开式的常数项与x﹣2的系数和；利用二项展开式的通项公式求出第r+1项，令x的指数分别为0，﹣2即得．【解答】解：的展开式的通项为T r+1=C6r（﹣1）r x6﹣2r，当r=3时，T4=﹣C63=﹣20，的展开式有常数项1×（﹣20）=﹣20，当r=4时，T5=﹣C64=15，的展开式有常数项x2×15x﹣2=15，因此常数项为﹣20+15=﹣5故答案为﹣5【点评】本题考查等价转化的能力；考查二项展开式的通项公式是解决二项展开式的特定项问题的工具．14．（5分）（2010•辽宁）已知﹣1＜x+y＜4且2＜x﹣y＜3，则z=2x﹣3y的取值范围是（3，8）．（答案用区间表示）【考点】简单线性规划的应用．【专题】计算题；压轴题；数形结合．【分析】本题考查的知识点是线性规划，处理的思路为：根据已知的约束条件画出满足约束条件的可行域，再用角点法，求出目标函数的最大值和最小值，再根据最值给出目标函数的取值范围．【解答】解：画出不等式组表示的可行域如下图示：在可行域内平移直线z=2x﹣3y，当直线经过x﹣y=2与x+y=4的交点A（3，1）时，目标函数有最小值z=2×3﹣3×1=3；当直线经过x+y=﹣1与x﹣y=3的交点B（1，﹣2）时，目标函数有最大值z=2×1+3×2=8．z=2x﹣3y的取值范围是（3，8）．故答案为：（3，8）．【点评】用图解法解决线性规划问题时，分析题目的已知条件，找出约束条件和目标函数是关键，可先将题目中的量分类、列出表格，理清头绪，然后列出不等式组（方程组）寻求约束条件，并就题目所述找出目标函数．然后将可行域各角点的值一一代入，最后比较，即可得到目标函数的最优解．15．（5分）（2010•辽宁）如图，网格纸的小正方形的边长是1，在其上用粗线画出了某多面体的三视图，则这个多面体最长的一条棱的长为．【考点】简单空间图形的三视图；棱锥的结构特征．【专题】计算题；作图题；压轴题．【分析】结合题意及图形，可知几何体为一个底面边长为2的正方形且有一条长为2的侧棱垂直于底面的四棱锥，还原几何体，求解即可．【解答】解：由三视图可知，此多面体是一个底面边长为2的正方形，且有一条长为2的侧棱垂直于底面的四棱锥，所以最长棱长为．【点评】本题考查了三视图视角下多面体棱长的最值问题，考查了同学们的识图能力以及由三视图还原物体的能力．16．（5分）（2010•辽宁）已知数列{a n}满足a1=33，a n+1﹣a n=2n，则的最小值为．【考点】数列递推式；基本不等式在最值问题中的应用．【专题】计算题；压轴题．【分析】由累加法求出a n=33+n2﹣n，所以，设f（n）=，由此能导出n=5或6时f（n）有最小值．借此能得到的最小值．【解答】解：a n=（a n﹣a n﹣1）+（a n﹣1﹣a n﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1=2[1+2+…+（n﹣1）]+33=33+n2﹣n所以设f（n）=，令f′（n）=，则f（n）在上是单调递增，在上是递减的，因为n∈N+，所以当n=5或6时f（n）有最小值．又因为，，所以的最小值为【点评】本题考查了递推数列的通项公式的求解以及构造函数利用导数判断函数单调性，考查了同学们综合运用知识解决问题的能力．三、解答题（共8小题，满分90分）17．（12分）（2010•辽宁）在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2asinA=（2b+c）sinB+（2c+b）sinC．（Ⅰ）求A的大小；（Ⅱ）求sinB+sinC的最大值．【考点】余弦定理的应用．【分析】（Ⅰ）根据正弦定理，设，把sinA，sinB，sinC代入2asinA=（2b+c）sinB+（2c+b）sinC求出a2=b2+c2+bc再与余弦定理联立方程，可求出cosA的值，进而求出A的值．（Ⅱ）根据（Ⅰ）中A的值，可知c=60°﹣B，化简得sin（60°+B）根据三角函数的性质，得出最大值．【解答】解：（Ⅰ）设则a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC∵2asinA=（2b+c）sinB+（2c+b）sinC方程两边同乘以2R∴2a2=（2b+c）b+（2c+b）c整理得a2=b2+c2+bc∵由余弦定理得a2=b2+c2﹣2bccosA故cosA=﹣，A=120°（Ⅱ）由（Ⅰ）得：sinB+sinC=sinB+sin（60°﹣B）=cosB+sinB=sin（60°+B）故当B=30°时，sinB+sinC取得最大值1．【点评】本题主要考查了余弦函数的应用．其主要用来解决三角形中边、角问题，故应熟练掌握．18．（12分）（2010•辽宁）为了比较注射A，B两种药物后产生的皮肤疱疹的面积，选200只家兔做试验，将这200只家兔随机地分成两组，每组100只，其中一组注射药物A，另一组注射药物B．（Ⅰ）甲、乙是200只家兔中的2只，求甲、乙分在不同组的概率；（Ⅱ）下表1和表2分别是注射药物A和B后的试验结果．（疱疹面积单位：mm2）表1：注射药物A后皮肤疱疹面积的频数分布表疱疹面积[60，65）[65，70）[70，75）[75，80）频数30 40 20 10表2：注射药物B后皮肤疱疹面积的频数分布表疱疹面积[60，65）[65，70）[70，75）[75，80）[80，85）频数10 25 20 30 15（ⅰ）完成下面频率分布直方图，并比较注射两种药物后疱疹面积的中位数大小；完成下面2×2列联表，并回答能否有99.9%的把握认为“注射药物A后的疱疹面积与注射药物B后的疱疹面积有差异”．表3：疱疹面积小于70mm2疱疹面积不小于70mm2合计注射药物A a= b=注射药物B c= d=合计n=附：K2=．【考点】独立性检验的应用．【专题】应用题；图表型．【分析】（1）利用组合数找出所有事件的个数n，基本事件的个数m，代入古典概率计算公式p=（2）由频数分布表中的频数求出每组的，画出频率分布直方图，完成2×2列联表，代入计算随机变量值后与临界点比较判断两变量的相关性的大小．【解答】解：（Ⅰ）从200选100的组合数C200100，记：“甲、乙两只家兔分在不同组”为事件A，则事件A包含的情况有2C19899∴（4分）（Ⅱ）（i）图Ⅰ注射药物A后皮肤疱疹面积的频率分布直方图图Ⅱ注射药物B后皮肤疱疹面积的频率分布直方图可以看出注射药物A后的疱疹面积的中位数在65至70之间，而注射药物B后的疱疹面积的中位数在70至75之间，所以注射药物A后疱疹面积的中位数小于注射药物B后疱疹面积的中位数．（8分）（ii）表3：疱疹面积小于70mm2疱疹面积不小于70mm2合计注射药物A a=70 b=30 100注射药物B c=35 d=65 100合计105 95 n=200由于K2＞10.828，所以有99.9%的把握认为“注射药物A后的疱疹面积与注射药物B后的疱疹面积有差异”．（12分）【点评】本题考查的内容为：利用组合数求古典概率，由频数分布表画频率分布直方图及2×2列联表，考查独立性检验的计算公式与临界值比较以判断两个变量的关联性．要注意频率分布直方图的纵轴是19．（12分）（2010•辽宁）已知三棱锥P﹣ABC中，PA⊥ABC，AB⊥AC，PA=AC=AB，N为AB上一点，AB=4AN，M，S分别为PB，BC的中点．（Ⅰ）证明：CM⊥SN；（Ⅱ）求SN与平面CMN所成角的大小．【考点】平面与平面之间的位置关系；空间中直线与直线之间的位置关系．【专题】计算题；证明题．【分析】由PA=AC=AB，N为AB上一点，AB=4AN，我们不妨令PA=1，然后以A为原点，射线AB，AC，AP分别为x，y，z轴正向建立空间直角坐标系．由此不难得到各点的坐标（1）要证明CM⊥SN，我们可要证明即可，根据向量数量积的运算，我们不难证明；（2）要求SN与平面CMN所成角的大小，我们只要利用求向量夹角的方法，求出SN和方向向量与平面CMN的法向量的夹角，再由它们之间的关系，易求出SN与平面CMN所成角的大小．【解答】证明：设PA=1，以A为原点，射线AB，AC，AP分别为x，y，z轴正向建立空间直角坐标系如图．则P（0，0，1），C（0，1，0），B（2，0，0），M（1，0，），N（，0，0），S（1，，0）．（4分）（Ⅰ），因为，所以CM⊥SN（6分）（Ⅱ），设a=（x，y，z）为平面CMN的一个法向量，则令x=2，得a=（2，1，﹣2）．因为，所以SN与片面CMN所成角为45°．【点评】如果已知向量的坐标，求向量的夹角，我们可以分别求出两个向量的坐标，进一步求出两个向量的模及他们的数量积，然后代入公式cosθ=即可求解20．（12分）（2010•辽宁）设椭圆C：的左焦点为F，过点F的直线与椭圆C相交于A，B两点，直线l的倾斜角为60°，．（1）求椭圆C的离心率；（2）如果|AB|=，求椭圆C的方程．【考点】椭圆的简单性质；直线的倾斜角；椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题．【专题】计算题．【分析】（1）点斜式设出直线l的方程，代入椭圆，得到A、B的纵坐标，再由，求出离心率．（2）利用弦长公式和离心率的值，求出椭圆的长半轴、短半轴的值，从而写出标准方程．【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），由题意知y1＞0，y2＜0．（1）直线l的方程为，其中．联立得．解得，．因为，所以﹣y1=2y2．即﹣=2 ，解得离心率．（6分）（2）因为，∴•．由得，所以，解得a=3，．故椭圆C的方程为．（12分）【点评】本题考查椭圆的性质标和准方程，以及直线和圆锥曲线的位置关系，准确进行式子的变形和求值，是解题的难点，属于中档题．21．（12分）（2010•辽宁）已知函数f（x）=（a+1）lnx+ax2+1（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）设a＜﹣1．如果对任意x1，x2∈（0，+∞），|f（x1）﹣f（x2）|≥4|x1﹣x2|，求a的取值范围．【考点】利用导数研究函数的单调性．【专题】计算题；压轴题．【分析】（1）先确定函数的定义域然后求导数fˊ（x），在函数的定义域内解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0，求出单调区间．（2）根据第一问的单调性先对|f（x1）﹣f（x2）|≥4|x1﹣x2|进行化简整理，转化成研究g（x）=f（x）+4x在（0，+∞）单调减函数，再利用参数分离法求出a的范围．【解答】解：（Ⅰ）f（x）的定义域为（0，+∞）.．当a≥0时，f′（x）＞0，故f（x）在（0，+∞）单调增加；当a≤﹣1时，f′（x）＜0，故f（x）在（0，+∞）单调减少；当﹣1＜a＜0时，令f′（x）=0，解得．则当时，f'（x）＞0；时，f'（x）＜0．故f（x）在单调增加，在单调减少．（Ⅱ）不妨假设x1≥x2，而a＜﹣1，由（Ⅰ）知在（0，+∞）单调减少，从而∀x1，x2∈（0，+∞），|f（x1）﹣f（x2）|≥4|x1﹣x2|等价于∀x1，x2∈（0，+∞），f（x2）+4x2≥f（x1）+4x1①令g（x）=f（x）+4x，则①等价于g（x）在（0，+∞）单调减少，即．从而故a的取值范围为（﹣∞，﹣2]．（12分）【点评】本小题主要考查函数的导数，单调性，极值，不等式等基础知识，考查综合利用数学知识分析问题、解决问题的能力．22．（10分）（2010•辽宁）如图，△ABC的角平分线AD的延长线交它的外接圆于点E．（1）证明：△ABE∽△ADC；（2）若△ABC的面积S=AD•AE，求∠BAC的大小．【考点】圆內接多边形的性质与判定．【专题】计算题；证明题．【分析】（1）要判断两个三角形相似，可以根据三角形相似判定定理进行证明，但注意观察已知条件中给出的是角的关系，故采用判定定理1更合适，故需要再找到一组对应角相等，由圆周角定理，易得满足条件的角．（2）根据（1）的结论，我们可得三角形对应对成比例，由此我们可以将△ABC的面积转化为S=AB•AC，再结合三角形面积公式，不难得到∠BAC的大小．【解答】证明：（1）由已知△ABC的角平分线为AD，可得∠BAE=∠CAD因为∠AEB与∠ACB是同弧上的圆周角，所以∠AEB=∠ACD故△ABE∽△ADC．解：（2）因为△ABE∽△ADC，所以，即AB•AC=AD•AE．又S=AB•ACsin∠BAC，且S=AD•AE，故AB•ACsin∠BAC=AD•AE．则sin∠BAC=1，又∠BAC为三角形内角，所以∠BAC=90°．【点评】相似三角形有三个判定定理：判定定理1：两角对应相等的两个三角形相似；判定定理2：三边对应成比例的两个三角形相似；判定定理3：两边对应成比例，并且夹角相等的两个三角形相似．在证明三角形相似时，要根据已知条件选择适当的定理．23．（10分）（2010•辽宁）已知P为半圆C：（θ为参数，0≤θ≤π）上的点，点A 的坐标为（1，0），O为坐标原点，点M在射线OP上，线段OM与C的弧的长度均为．（1）以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求点M的极坐标；（2）求直线AM的参数方程．【考点】极坐标系；直线的参数方程；圆的参数方程．【专题】计算题；压轴题．【分析】（1）利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，进行代换即得．（2）先在直角坐标系中算出点M、A的坐标，再利用直角坐标的直线AM的参数方程求得参数方程即可．【解答】解：（Ⅰ）由已知，M点的极角为，且M点的极径等于，故点M的极坐标为（，）．（5分）（Ⅱ）M点的直角坐标为（），A（1，0），故直线AM的参数方程为（t为参数）（10分）【点评】本题考查点的极坐标和直角坐标的互化，能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化．24．（10分）（2010•辽宁）已知a，b，c均为正数，证明：≥6，并确定a，b，c为何值时，等号成立．【考点】基本不等式．【专题】证明题；压轴题．【分析】证法一：两次利用基本不等式放小，此处不用考虑等号成立的条件，因等号不成立不影响不等号的传递性．证法二：先用基本不等式推出a2+b2+c2≥ab+bc+ac与两者之和用基本不等式放小，整体上只用了一次放缩法．其本质与证法一同．【解答】证明：证法一：因为a，b，c均为正数，由平均值不等式得①所以②故．又③所以原不等式成立．当且仅当a=b=c时，①式和②式等号成立．当且仅当时，③式等号成立．即当且仅当a=b=c=时，原式等号成立．证法二：因为a，b，c均为正数，由基本不等式得所以a2+b2+c2≥ab+bc+ac①同理②故③所以原不等式成立．当且仅当a=b=c时，①式和②式等号成立，当且仅当a=b=c，（ab）2=（bc）2=（ac）2=3时，③式等号成立．即当且仅当a=b=c=时，原式等号成立．【点评】考查放缩法在证明不等式中的应用，本题在用缩法时多次用到基本不等式，请读者体会本题证明过程中不考虑等号是否成立的原理，并与利用基本不等式求最值再据最值成立的条件求参数题型比较．深入分析等号成立的条件什么时候必须考虑，什么时候可以不考虑．。
回顾探源 延伸发展——对2010年全国高考数学试题(理)第21题的思考
如 代 数 证 法 、 定 系 数 法 、 形 结 合 待 数 法 、 数法 、 参 向量 法 等 等 应 运 而 生 ． 但
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是 对 题 目本 身 的 蕴 含 部 分 就 研 究 的 较 少． 在 第 １ 如 ９题 基 础 上 取 准 线 与 对 称 轴 的 交 点 为 Ｋ， 连 Ａ 且 不 妨 设 与 抛 物 线 的 另 一 交 点 为 ，， Ｂ 与 对 称 轴 垂 Ｋ， Ｊ则 Ｄ 直． 证 明略） 如上 图虚线所示 ） （ （ 让 我们 马上 回到 现在 看看 ２１ ０ ０年 全 国 高 考 数 学 试 题 （ ） ２ 题． 理 第 １
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ＹＹ ＝ 一 ・Ｂ ／ｘ ， 点 Ｃ在 准线 ＝ 一 上 ， ｌ Ｐ．． Ｃ ／ 轴 且 ‘
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年 一 度 的 高 考 已 经 落 下 帷 幕 ， 给 我 们 一 线 教 师 的 带 思 考 有 很 多 ， 至 可 以 说 回 味 无 穷 ， 展 望 近 几 年 的 高 考 试 甚 而 题 ， 无 不 渗 透 了命 题 专 家 的智 慧 ， 我 们 在 欣 赏 题 目 的 同 又 让
高考数学证明题解题技巧分享
假设所要证明的结论不成立，然后通过逻辑推理 和运算，得到与已知条件或已证事实相矛盾的结 论，从而证明原结论成立。这种方法常用于一些 难以直接证明的题目。
高考数学证明题的常见类型和考点
• 等式或不等式的证明：这类题目通常要求考生利用已知条件和一些基本性质， 通过逻辑推理和运算，证明某个等式或不等式成立。常见的考点包括等式的性 质、不等式的性质、均值不等式等。
骤。
灵活运用数学知识，简化证明过程
熟练掌握数学基础知识，如代 数、几何、三角函数等。
在证明过程中，灵活运用数学 知识，简化计算和推理过程。
善于运用已知的结论和定理， 避免重复证明或引入不必要的 复杂性。
04
典型例题解析
等式证明题
观察等式两边的形式和结构，寻找可能的转化途径。
尝试对等式两边进行变形，通过加减、乘除、平方等运算，使等式两边形式更加接 近。
• 组合数学的证明：这类题目通常要求考生利用已知条件和组合数学的基本原理 ，通过逻辑推理和运算，证明某个与组合数学相关的命题成立。常见的考点包 括排列组合公式、二项式定理、容斥原理等。
03
解题思路与策略
分析题目条件和结论，明确解题目标
仔细阅读题目，理解 题目中的条件和结论 ，明确需要证明的目 标。
构造满足题目条件的对象，证明其存 在性。
唯一性证明题
分析题目条件，确定需要证明的唯一性对象及其性质。 假设存在两个或两个以上的满足题目条件的对象，导出矛盾。
根据矛盾，得出唯一性结论。
05
解题技巧总结与提升
熟练掌握基础知识，提高解题效率
熟练掌握数学基础知识
01
包括数学概念、公式、定理等，这是解题的基础。
在做完一道题目后，要及时总结反思，分析自己 的解题思路和方法是否正确、高效，有无改进之 处。
高考数学试题展望与总复习方略
在去年层次上 ， 试题表 述 明确 易懂 、 问层 次分 明 、 设
阶梯递进 、 由浅 入深 ， 多数考 生 都能 上手 ， 使 继续 采
学的分 析命 题 信 息 ， 瞄准 命题 方 向 ， 握 命 题 “ 掌 脉
搏” 使高考 复习针对性强 、 ， 重点突 出 ， 对科学 高效的 搞好高考 复习具有 十分重要 的意义 ．
１ 试 题 展 望
遵循 高考改革 “ 察 目标 以考 察能 力 与素 质为 考
主； 考察 内容遵 循教学大纲又不拘泥 于大纲 ； 考察试
维普资讯
《 中学 数学 杂志》 高 中） ２ ０ （ ０ ２年第 ３期
高考 数 学试 题 展 望 与 总 复 习方 略
山 东省安 丘 市 ７ ７ 信 箱 ５１
顺应 素质教育 和高考改革 的需要 ， 以稳 步 改革 考试 内容为重点 、 以科学 公正 地突 出考 查能 力 和素 质为核心 、 有助 于高校选 才 和中学 实施 素质 教育 的 高考新机制 日渐形 成 ， 高考 试题 不断 优化 ，通过 科
题增加 能力型与 应用 型试 题”的命 题方 针 ， 大力 加
度考 能力 、 素质 、 考 考应用 ， 将 是今 年高 考命 题 的 必
主旋 律 ． 教育部 高 考专 家组 在 ２ ０ ０ １年 高考 数 学试 题评 价报告 中旗 帜鲜明的建议高考 命题要 与高 中数 学课程 的改革 同步 ， 充分反映高 中课 程改革 的导 向 ； 努力提 高试卷对文 科考 生的适 应程 度 ； 力实 现数 努 学 的文 化性 、 应用性 、 理论 性 的有机 结合 ， 要相 互 渗 透提 高思维品位 ， 融知识 、 能力 与素 质 于一 体 ， 真正
2010-2019历年高考数学《等差数列》真题汇总
2010-2019历年高考数学《等差数列》真题汇总专题六 数列第十五讲 等差数列2019年1. （2019全国Ⅰ文18）记S n 为等差数列{}n a 的前n 项和，已知95S a =－． （1）若34a =，求{}n a 的通项公式；（2）若10a >，求使得n n S a ≥的n 的取值范围．2. （2019全国Ⅲ文14）记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若375,13a a ==，则10S =___________.3.（2019天津文18）设{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，公比大于0，已知113a b ==，23b a = ，3243b a =+.（Ⅰ）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（Ⅱ）设数列{}n c 满足21,,,n n n c b n ⎧⎪=⎨⎪⎩奇偶为数为数求()*112222n na c a c a c n N +++∈L .4.（2019江苏8）已知数列*{}()n a n ∈N 是等差数列，n S 是其前n 项和.若25890,27a a a S +==，则8S 的值是 .2010-2018年一、选择题1．（2017浙江）已知等差数列{}n a 的公差为d ，前n 项和为n S ，则“0d >”是“465+2S S S >”的A ． 充分不必要条件B ． 必要不充分条件C ． 充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 2．（2015新课标2）设n S 是数列}{n a 的前n 项和，若3531=++a a a ，则=5SA ．5B ．7C ．9D ．13．（2015新课标1）已知{}n a 是公差为1的等差数列，n S 为{}n a 的前n 项和，若844S S =，则10a = A ．172 B ．192C ．10D ．12 4．（2014辽宁）设等差数列{}n a 的公差为d ，若数列1{2}n a a为递减数列，则A ．0d <B ．0d >C ．10a d <D ．10a d >5．（2014福建）等差数列{}n a 的前n 项和n S ，若132,12a S ==，则6a =A ．8B ．10C ．12D ．14 6．（2014重庆）在等差数列{}n a 中，1352,10a a a =+=，则7a =A ．5B ．8C ．10D ．147．（2013新课标1）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，1m S -＝－2，m S ＝0，1m S +＝3，则m ＝A ．3B ．4C ．5D ．68．（2013辽宁）下面是关于公差0d >的等差数列{}n a 的四个命题：{}1:n p a 数列是递增数列；{}2:n p na 数列是递增数列； 3:n a p n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭数列是递增数列；{}4:3n p a nd +数列是递增数列； 其中的真命题为A ．12,p pB ．34,p pC ．23,p pD ．14,p p 9．（2012福建）等差数列{}n a 中，1510a a +=,47a =，则数列{}n a 的公差为A ．1B ．2C ．3D ．410．（2012辽宁）在等差数列{}n a 中，已知48+=16a a ，则该数列前11项和11=S A ．58 B ．88 C ．143 D ．17611．（2011江西）设{}n a 为等差数列，公差2d =-,n s 为其前n 项和，若1011S S =，则1a =A ．18B ．20C ．22D ．2412．（2011安徽）若数列}{n a 的通项公式是1210(1)(32),nn a n a a a =--+++=L 则A ．15B ．12C ．-12D ．-1513．（2011天津）已知{}n a 为等差数列，其公差为-2，且7a 是3a 与9a 的等比中项，n S 为{}n a 的前n 项和，*n N ∈，则10S 的值为A ．－110B ．－90C ．90D ．11014．（2010安徽）设数列{}n a 的前n 项和2n S n =，则8a 的值为A ．15B ．16C ．49D ．64 二、填空题15．（2015陕西）中位数为1010的一组数构成等差数列，其末项为2015，则该数列的首项为_____．16．（2014北京）若等差数列{}n a 满足7890a a a ++>，7100a a +<，则当n =____时，{}n a 的前n 项和最大．17．（2014江西）在等差数列{}n a 中，71=a ，公差为d ，前n 项和为n S ，当且仅当8=n 时n S 取最大值，则d 的取值范围_________．18．（2013新课标2）等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知100S =，1525S =，则n nS 的最小值为____．19．（2013广东）在等差数列{}n a 中,已知3810a a +=,则573a a +=_____． 20．（2012北京）已知{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和．若112a =，23S a =，则2a = ；n S = ．21．（2012江西）设数列{},{}n n a b 都是等差数列，若117a b +=，3321a b +=，则55a b +=____．22．（2012广东）已知递增的等差数列{}n a 满足11a =，2324a a =-，则n a =____．23．（2011广东）等差数列{}n a 前9项的和等于前4项的和．若11a =，40k a a +=，则k =_________．三、解答题24．（2018全国卷Ⅱ）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，已知17=-a ，315=-S ．(1)求{}n a 的通项公式； (2)求n S ，并求n S 的最小值．25．（2018北京）设{}n a 是等差数列，且123ln 2,5ln 2a a a =+=．(1)求{}n a 的通项公式； (2)求12e e e n aa a +++L ．26．（2017天津）已知{}n a 为等差数列，前n 项和为*()n S n ∈N ，{}n b 是首项为2的等比数列，且公比大于0，2312b b +=，3412b a a =-，11411S b =． （Ⅰ）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（Ⅱ）求数列2{}n n a b 的前n 项和*()n ∈N ． 27．（2017江苏）对于给定的正整数k ，若数列{}n a 满足11112n k n k n n n k n k n a a a a a a ka --+-++-+++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅++=对任意正整数n ()n k >总成立，则称数列{}n a 是“()P k 数列”． （1）证明：等差数列{}n a 是“(3)P 数列”；（2）若数列{}n a 既是“(2)P 数列”，又是“(3)P 数列”，证明：{}n a 是等差数列． 28．（2016年北京）已知{}n a 是等差数列，{}n b 是等差数列，且23b =，39b =，11a b =，144a b =．（Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设n n n c a b =+，求数列{}n c 的前n 项和．29．（2016年山东）已知数列{}n a 的前n 项和238n S n n =+，{}n b 是等差数列，且1n n n a b b +=+.（I ）求数列{}n b 的通项公式；（II ）令1(1)(2)n n n nn a c b ++=+.求数列{}n c 的前n 项和n T ． 30．（2015福建）等差数列{}n a 中，24a =，4715a a +=．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设22n a n b n -=+，求12310b b b b +++⋅⋅⋅+的值．31．（2015山东）已知数列}{n a 是首项为正数的等差数列，数列11{}n n a a +⋅的前n 项和为12+n n． （Ⅰ）求数列}{n a 的通项公式；（Ⅱ）设(1)2n an n b a =+⋅，求数列}{n b 的前n 项和n T ． 32．（2015北京）已知等差数列{}n a 满足1210a a +=，432a a -=．（Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设等比数列{}n b 满足23b a =，37b a =．问：6b 与数列{}n a 的第几项相等？ 33．（2014新课标1）已知{}n a 是递增的等差数列，2a ，4a 是方程2560x x -+=的根．(Ⅰ)求{}n a 的通项公式； （Ⅱ）求数列2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和． 34．(2014新课标1)已知数列{n a }的前n 项和为n S ，1a =1，0n a ≠，11n n n a a S λ+=-，其中λ为常数．(Ⅰ)证明：2n n a a λ+-=；（Ⅱ）是否存在λ，使得{n a }为等差数列？并说明理由．35．（2014浙江）已知等差数列{}n a 的公差0d >，设{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，2336S S ⋅= （Ⅰ）求d 及n S ；（Ⅱ）求,m k （*,m k N ∈）的值，使得1265m m m m k a a a a +++++++=L ． 36．（2013新课标1）已知等差数列{}n a 的前n 项和n S 满足30S =，55S =-．（Ⅰ）求{}n a 的通项公式； （Ⅱ）求数列21211{}n n a a -+的前n 项和．37．（2013福建）已知等差数列{}n a 的公差1d =，前n 项和为n S ．（Ⅰ）若131,,a a 成等比数列，求1a ； （Ⅱ）若519S a a >，求1a 的取值范围．38．（2013新课标2）已知等差数列{}n a 的公差不为零，125a =，且11113,,a a a 成等比数列． （Ⅰ）求{}n a 的通项公式； （Ⅱ）求14732+n a a a a -++⋅⋅⋅+．39．（2013山东）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且424S S =，221n n a a =+（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设数列{}n b 的前n 项和n T ,且12n n na T λ++=（λ为常数），令2n n c b =（*n ∈N ）．求数列{}n c 的前n 项和n R ．40．（2011福建）已知等差数列{}n a 中，1a =1，33a =-． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若数列{}n a 的前k 项和35k S =-，求k 的值．41．（2010浙江）设1a ，d 为实数，首项为1a ，公差为d 的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足56S S +15=0．（Ⅰ）若5S =5，求6S 及1a ； （Ⅱ）求d 的取值范围． 答案部分1.解析（1）设{}n a 的公差为d ．由95S a =-得140a d +=．由a 3=4得124a d +=．于是18,2a d ==-．因此{}n a 的通项公式为102n a n =-．（2）由（1）得14a d=-，故(9)(5),2n n n n da n d S -=-=.由10a >知0d <，故n n S a…等价于211100n n -+„，解得110n ≤≤．所以n 的取值范围是{|110,}n n n ∈N 剟． 2.解析 在等差数列{}n a 中，由35a =，713a =，得731352734a a d --===-，所以132541a a d =-=-=，则1010910121002S ⨯=⨯+⨯=．3.解析（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q 依题意，得23323154q d q d =+⎧⎨=+⎩，解得33d q =⎧⎨=⎩，故33(1)3n a n n =+-=，1333n nn b -=⨯=.所以，{}n a 的通项公式为3n a n =()n *∈N ，{}n b 的通项公式 为3n n b =()n *∈N .（Ⅱ）112222n na c a c a c ++⋯+()()135212142632n n n a a a a a b a b a b a b -=+++⋯++++++L()123(1)3663123183...632n n n n n -⎡⎤=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯++⨯⎢⎥⎣⎦()2123613233n n n =+⨯+⨯++⨯L1213233nn T n =⨯+⨯+⋯+⨯. ① 2331313233n T n +=⨯+⨯++⨯L ， ②②-①得，()12311313(21)3323333..3313.2n n n n n n n T n n +++--+=----+=-⨯=-+⨯-，故()121334n n n T +-+=.所以，()122112222213336332n n n n n a c a c a c n T n +-+++=+=+⨯L()22*(21)3692n n n n N +-++=∈.4.解析 设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，则1111()(4)70989272a d a d a d a d ++++=⎧⎪⎨⨯+=⎪⎩，解得152a d =-⎧⎨=⎩．所以818786(5)152162dS a ⨯=+=⨯-+⨯=.2010-2018年1．C 【解析】∵655465()()S S S S a a d---=-=，当0d >，可得465+2S S S >；当465+2S S S >，可得0d >．所以“0d >”是“465+2S S S >” 充分必要条件，选C ．2．A 【解析】13533331a a a a a ++==⇒=，()15535552a a S a +===．故选A ．3．B 【解析】设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，由题设知1d =，844S S =，所以118284(46)a a +=+，解得112a =，所以10119922a =+=．4．C 【解析】∵数列1{2}na a 为递减数列，111111[(1)]()n a a a a n d a dn a a d =+-=+-，等式右边为关于n 的一次函数，∴10a d <．5．C 【解析】 设等差数列{}n a 的公差为d ，则3133S a d=+，所以12323d =⨯+，解得2d =，所以612a =．6．B 【解析】由等差数列的性质得1735a a a a +=+，因为12a =，3510a a +=，所以78a =，选B ．7．C 【解析】有题意知m S =1()2m m a a +=0，∴1a =－m a =－（m S -1m S -）=－2， 1m a +=1m S +-mS =3，∴公差d =1m a +-ma =1，∴3=1m a +=－2m +，∴m =5，故选C ． 8．D 【解析】设1(1)n a a n d dn m=+-=+，所以1p 正确；如果312n a n =-则满足已知，但2312n na n n =-并非递增所以2p 错；如果若1n a n =+，则满足已知，但11n a n n =+，是递减数列，所以3p 错；34n a nd dn m +=+，所以是递增数列，4p 正确．9．B 【解析】由题意有153210a a a +==,35a =,又∵47a =，∴432a a -=，∴2d =．10．B 【解析】4866+=2=16=8a a a a ∴，而()11111611+==11=882a a S a ，故选B.11．B 【解析】由1011S S =，得1111100a S S =-=，111(111)0(10)(2)20a a d =+-=+-⨯-=．12．A 【解析】10121014710(1)(3102)a a a ++⋅⋅⋅+=-+-++⋅⋅⋅+-⋅⨯-910(14)(710)[(1)(392)(1)(3102)]15=-++-++⋅⋅⋅+-⋅⨯-+-⋅⨯-=．13．D 【解析】因为7a 是3a 与9a 的等比中项，所以2739a a a =，又数列{}n a 的公差为-2，所以2111(12)(4)(16)a a a -=--，解得120a =，故20(1)(2)222n a n n=+-⨯-=-，所以1101010()5(202)1102a a S +==⨯+=．14．A 【解析】887644915a S S =-=-=．15．5【解析】设该数列的首项为1a ，由等差数列的性质知1201510102a +=，所以1202020155a =-=．16．8【解析】∵数列{}n a 是等差数列，且789830a a a a ++=>，80a >．又710890a a a a +=+<，∴90a <．当n =8时，其前n 项和最大．17．7(1,)8--【解析】由题意可知，当且仅当8=n 时n S 取最大值，可得8900d a a <⎧⎪>⎨⎪<⎩，解得718d -<<-．18．－49【解析】设{}n a 的首项为1a ，公差d ，由100S =，1525S =，得112903215a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得123,3a d =-=，∴()321103n nS n n =-，设()()321103f n n n =-，()220,3f n n n '=- 当2003n <<时()0f n '<，当203n >，()0f n '>，由*n N ∈， 当6n =时，()()31661036483f =-⨯=- 当7n =时，()()3217107493f n =-⨯=-∴7n =时，nnS 取得最小值49-．19．20【解析】 依题意12910a d +=，所以()57111334641820a a a d a d a d +=+++=+=．或：()57383220a a a a +=+=20．1，(1)4n n +【解析】设公差为d ,则1122a d a d +=+,把112a =代入得12d =， ∴21a =，n S =1(1)4n n +21．35【解析】（解法一）因为数列{},{}n n a b 都是等差数列，所以数列{}n n a b +也是等差数列．故由等差中项的性质，得()()()5511332a b a b a b +++=+，即()557221a b ++=⨯，解得5535a b +=．（解法二）设数列{},{}n n a b 的公差分别为12,d d ,因为331112(2)(2)a b a d b d +=+++1112()2()a b d d =+++1272()21d d =++=所以127d d +=.所以553312()2()35a b a b d d +=+++=.22．21n a n =-【解析】221321,412(1)4a a a d d ==-⇔+=+-221n d a n ⇔=⇔=-．23．10【解析】设{}n a 的公差为d ，由94S S =及11a =，得9843914122d d ⨯⨯⨯+=⨯+，所以16d =-．又40k a a +=，所以11[1(1)()][1(41)()]066k +-⨯-++-⨯-=，即10k =． 24．【解析】(1)设{}n a 的公差为d ，由题意得13315a d +=-．由17a =-得2=d ．所以{}n a 的通项公式为29n a n =-． (2)由(1)得228(4)16n S n n n =-=--．所以当4=n 时，nS 取得最小值，最小值为−16．25．【解析】(1)设等差数列{}n a 的公差为d ，∵235ln 2a a +=， ∴1235ln 2a d +=，又1ln 2a =，∴ln 2d =．∴1(1)ln 2n a a n d n =+-=．(2)由(1)知ln 2n a n =，∵ln 2ln 2e ee =2nn a n n ==， ∴{e }na 是以2为首项，2为公比的等比数列． ∴212ln 2ln 2ln 2e e e e ee nn a a a +++=+++L L 2=222n +++L 1=22n +-．∴12e e ena a a+++L 1=22n +-．26．【解析】（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q ．由已知2312b b +=，得21()12b q q +=，而12b =，所以260q q +-=．又因为0q >，解得2q =．所以，2n n b =．由3412b a a =-，可得138d a -=①．由11411S b =，可得1516a d +=②，联立①②，解得11,3a d ==，由此可得32n a n =-．所以，{}n a 的通项公式为32n a n =-，{}n b 的通项公式为2nn b =．（Ⅱ）解：设数列2{}n n a b 的前n 项和为nT ，由262n a n =-，有2342102162(62)2nn T n =⨯+⨯+⨯++-⨯L ，2341242102162(68)2(62)2n n n T n n +=⨯+⨯+⨯++-⨯+-⨯L ，上述两式相减，得23142626262(62)2n n n T n +-=⨯+⨯+⨯++⨯--⨯L1212(12)4(62)2(34)21612n n n n n ++⨯-=---⨯=----．得2(34)216n n T n +=-+．所以，数列2{}n n a b 的前n 项和为2(34)216n n +-+．27．【解析】证明:（1）因为{}n a 是等差数列，设其公差为d ，则1(1)n a a n d =+-，从而，当n 4≥时，n k n k a a a -++=+11(1)(1)n k d a n k d--+++-122(1)2na n d a =+-=，1,2,3,k =所以n n n n n n na a a a a a a ---+++++=321123+++6，因此等差数列{}n a 是“(3)P 数列”.（2）数列{}n a 既是“(2)P 数列”，又是“(3)P 数列”，因此，当3n ≥时，n n n n na a a a a --+++++=21124，①当4n ≥时，n n n n n n na a a a a a a ---++++++++=3211236.②由①知，n n n a a a ---+=-32141()n n a a ++，③n n n a a a ++++=-23141()n n a a -+，④将③④代入②，得n n na a a -++=112，其中4n ≥，所以345,,,a a a L是等差数列，设其公差为d'.在①中，取4n =，则235644a a a a a +++=，所以23a a d'=-， 在①中，取3n =，则124534a a a a a +++=，所以122a a d'=-，所以数列{}n a 是等差数列.28．【解析】（I ）等比数列{}n b 的公比32933b q b ===，所以211bb q ==，4327b b q ==．设等差数列{}n a 的公差为d ．因为111a b ==，14427a b ==，所以11327d +=，即2d =．所以21n a n =-（1n =，2，3，⋅⋅⋅）．（II ）由（I ）知，21n a n =-，13n n b -=．因此1213n n n n c a b n -=+=-+．从而数列{}n c 的前n 项和()11321133n n S n -=++⋅⋅⋅+-+++⋅⋅⋅+()12113213n n n +--=+-2312n n -=+．29．【解析】（Ⅰ）由题意当2≥n 时，561+=-=-n S S a n n n ，当1=n 时，1111==S a ；所以56+=n a n ；设数列的公差为d ，由⎩⎨⎧+=+=322211b b a b b a ，即⎩⎨⎧+=+=d b db 321721111，解之得3,41==d b ，所以13+=n b n ．（Ⅱ）由（Ⅰ）知112)1(3)33()66(=-⋅+=++=n nn n n n n c ，又n n c c c c T +⋅⋅⋅+++=321，即23413[223242(1)2]n n T n +=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅++，所以]2)1(242322[322543+++⋅⋅⋅+⨯+⨯+⨯=n n n T ，以上两式两边相减得234123[22222(1)2]n n n T n ++-=⨯+++⋅⋅⋅+-+224(21)3[4(1)2]3221n n n n n ++-=+-+=-⋅-．所以223+⋅=n n n T ．30．【解析】（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d ．由已知得()()11143615a d a d a d +=⎧⎪⎨+++=⎪⎩，解得131a d =⎧⎨=⎩．所以()112n a a n d n =+-=+． （Ⅱ）由（Ⅰ）可得2n n b n=+，所以231012310(21)(22)(23)(210)b b b b ++++=+=+=++++…………2310(2222)=+++++......（1+2+3+ (10)102(12)(110)10122-+⨯=+-11(22)55=-+112532101=+=． 31．【解析】（Ⅰ）设数列{}n a 的公差为d ，令1n =，得12113a a =，所以123a a =．令2n =，得12231125a a a a +=，所以2315a a =．解得11,2a d ==，所以21n a n =-．（Ⅱ）由（Ⅰ）知24224,n n n b n n -=⋅=⋅所以121424......4,n n T n =⋅+⋅++⋅所以23141424......(1)44,n n n T n n +=⋅+⋅++-⋅+⋅两式相减，得121344......44n n n T n +-=+++-⋅114(14)13444,1433n n n n n ++--=-⋅=⨯-- 所以113144(31)44.999n n n n n T ++-+-⋅=⨯+=32．【解析】（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d ．因为432a a -=，所以2d =．又因为1210a a +=，所以1210a d +=，故14a =．所以42(1)22(1,2,)n a n n n =+-=+=L ．（Ⅱ）设等比数列{}n b 的公比为q ．因为238b a ==，3716b a ==，所以2q =，14b =．所以61642128b -=⨯=．由128=22n +得63n =．所以6b 与数列{}n a 的第63项相等．33．【解析】(Ⅰ)方程2560x x -+=的两根为2,3，由题意得242, 3.a a ==设数列{}n a 的公差为d ，则422,a a d -=故1,2d =从而13,2a = 所以{}n a 的通项公式为112n a n =+．（Ⅱ）设2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ，由（I ）知12,22n n n a n ++=则2313412...,2222n n n n n S +++=++++ 341213412....22222n n n n n S ++++=++++两式相减得31213112(...)24222n n n n S +++=+++-123112(1).4422n n n -++=+--所以1422n n n S ++=-．34．【解析】(Ⅰ)由题设，11211, 1.n n n n n n a a S a a S λλ++++=-=-两式相减得121().n n n a a a a λ+++-= 由于10n a +≠，所以2.n n a a λ+-=（Ⅱ）由题设，11a =，1211a a S λ=-，可得2 1.a λ=-由(Ⅰ)知，3 1.a λ=+令2132a a a =+，解得 4.λ= 故24n n a a +-=，由此可得{}21n a -是首项为1，公差为4的等差数列，2143n a n -=-； {}2n a 是首项为3，公差为4的等差数列，241n a n =-.所以21n a n =-，12n n a a --=.因此存在4λ=，使得数列{}n a 为等差数列．35．【解析】（Ⅰ）由题意，36)33)(2(11=++d a d a ， 将11=a 代入上式得2=d 或5-=d ，因为0>d ，所以2=d ，从而12-=n a n ，2n S n =（*∈N n ）.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，)1)(12(1+-+=+⋅⋅⋅++++k k m a a a k n n n ，所以65)1)(12(=+-+k k m ，由*∈N ,k m 知，1)1)(12(>+-+k k m ，所以⎩⎨⎧=+=-+511312k k m ，所以⎩⎨⎧==45k m . 36．【解析】（Ⅰ）设{}n a 的公差为d ，则n S =1(1)2n n na d -+。
解读数学考纲,调整复习策略
特策 Ｊ— 别划Ｉ Ｉ — Ｉ
合、 比较 ， 合理选择运算方法， 以提高运算效率 ， 减少运 ２ ０６ ２ ０ 年高考命题特点预测 算量， 增加正确率” 同时， ， 要结合学生在运算中所存在 展望 ２０ 年的数学高考， ０６ 笔者认 为将呈现以下 ５ 的具体问题 ， 分析学生的解题障碍， 出如何调整运算 指 大特点： 策略， 从而培养学生 的运算能力． 此外 ， 还要依据考试 １ 命题坚持 以能力立意 的方 向， ） 注重能力与素 大纲的变化 ， 强化数与式的运算． 质 的考查 ； ２ 对空间想象能力， ） 也作了进・步的注释： 空间 ２ 回归基础 ， ） 回归课本 ， 注重知识 主干， 突出通 想象能力 ， 主要表现 为识 图、 画图和对 图形 的理解 能 性通法 ； 力． 识图是指观察所给图形 中的几何元素之 间的相互 ３ 遵循大纲和考纲， ） 但不拘泥于教材 ， 促进课改 关系 ； 画图是将文字语言和符号语言转化为图形语言 ， 的健康发展 ； 以及对图形添加辅助图形或对 图形进行各种变换． 对 ４ 注重理论联系实际， ） 坚持加强对创新意识和 图形的想象主要包括有 图想象和无图想象两种 ， 它是 实践能力的考查 ； 空间想象能力高层次的标志． 针对上述的变化 ， 要特别 ５ 命题将在保持稳定的前题下 ， 中求进 ， 中 注意到培养识图画图的能力和无图想象能力 ） 稳 稳 求变 ， 中求新． 稳 ３ 对创新意识 ， ） 新的《 考试大纲》 概括如下 ： 对数 由此可见， 在高考“ 以能力立意” 的命 题原则不变 学 问题“ 观察、 猜测 、 抽象 、 概括 、 证明” 是发现 问题和解 和命题呈现“ 回归基础 ， 出通性通法” 突 的特点 的情况 决问题 的重要途径 ， 对数学知识的迁移 、 组合 、 融合 的 下， 如何处理好“ 基础” 能力” 与“ 的关系 ， 是每个数学教 程度越高 ， 显示出的创新意识也就越强． 因此 ， 在复习 师和考生必须认真思考和努力实践的重要课题． 问渠 过程中要利用新情境下 的数学问题 ， “ 引导学生对 问题 哪得清如许 ， 为有源头活水来．知识是能力的基础 ， 的分析 、 ， ” 是 观察 制定解决问题 的方案， 并通过对 问题的 能力之水 的源头， 而能力则是知识积累到一定程度后 抽象与概括 ， 验证 自己的解题策 略， 从而培养 发现问 的质的飞跃． 应该认识到 ： 能力考查与强调基础知识并 题 、 解决问题 的能力 ， 并在此过程中培养创新意识． 不矛盾 ， 而是统一的， 没有基础知识， 能力 培养就成了 ４ 对能力的考查无疑是高考的一个重点 ， ） 也是 无源之水 ， 无本之木． 同学们要明白“ 题在书外 ， 理在书 新考纲强调的一个方面 ， 能力背后是数学思想方法． 中 内” 的道理， 不要热衷于题海， 需知 ， 缺乏理性思维深度 学数学 的思想方法主要有 ： 函数与方程思想、 数形结合 的题海训练所培养出来 的学生 ， 最多只能是一个合格 与分离思想 、 分类与整合思 想、 化归与转化思想、 特殊 的“ 模仿者”应在老师的有针对性的指导下 ， ． 把零碎的 与一般思想 、 有限与无限思想、 或然与必 然思想、 待定 知识梳理成辫 ， 编结成 网， 形成完整的知识体系 ， 并上 系数法 、 换元 法、 配方 法、 反证法 等． 在备 战高考复习 升到理性思维的高度时 ， 才能内化为自身的能力． 时， 应反思是否已掌握 了这些思想方法的主要表现 、 基 ３ 热点问题提醒 本步骤 、 注意事项等． 例如分类讨论一直是高考命题 的 今年的考试大纲对运算能力 、 空间想象能力 、 创新 热点之一 ， 大多是含参变量问题． 是否已经掌握分类讨 意识等的解释上值得关注 ， 具体如下 ： 论的方法 ， 主要可从明确该题需不需要讨论 ， 为什么要 １ 以往的考试大纲 中， ） 对运算能力 的叙述一般 讨论 ， 按什么确定分类标准 ， 怎么讨论等方面去考查． 为：运算能力是思维能力和运算技能 的结合 ， “ 它不仅 ４ 复 习备 考建 议 包括数的运算 ， 还包括式的运算 ， 对考生运算能力的考 １ 夯实基础 ， ） 突出主干 同学们在复习 中， 要注意对基本概念 、 基本公式、 查主要是算理和逻辑推理的考查 ， 以含字母 的式的运 定理 的辨析 比较和灵活运用 ， 做到理 算为主． 而 ２０ 年考试大纲 明确了对运算能力的考 基本定律和公理 、 ” ０６ 解、 综合、 创新． 所谓“ 理解”就是力求对 中学所学
高中数学高考总复习---排列组合、二项式定理知识讲解及考点梳理
高中数学高考总复习---排列组合、二项式定理知识讲解及考点梳理【高考展望】命题角度：该部分的命题就是围绕两个点展开．第一个点是围绕排列，组合展开，设计利用排列组合和两个基本原理求解的实际计数问题的试题，目的是考查对排列组合基本方法的掌握程度，考查分类与整合的思想方法，试题都是选择题或者填空题，难度中等或者偏易；第二点是围绕二项式定理展开，涉及利用二项式的通项公式计算二项式中特定项的系数、常数项、系数和等试题，目的是考查对二项式定理的掌握程度和基本的运算求解能力，试题也都是选择题或者填空题，难度中等．预计高考对该部分的考查基本方向不变，即考查简单的计数问题、二项式定理的简单应用，但由于排列，组合试题的特点，也不排除出现难度稍大的试题的可能．复习建议：该部分的复习以基本问题为主，要点有两个：一个是引导学生掌握解决排列，组合问题的基本思想，即分类与分步的思想，使学生在解题时有正确的思维方向；一个是掌握好二项展开式的通项公式的应用，这是二项式定理的考查核心．【知识升华】一、排列与组合1、分类计数原理与分步计数原理是关于计数的两个基本原理，两者的区别在于分步计数原理和分步有关，分类计数原理与分类有关.2、排列与组合主要研究从一些不同元素中，任取部分或全部元素进行排列或组合，求共有多少种方法的问题.区别排列问题与组合问题要看是否与顺序有关，与顺序有关的属于排列问题，与顺序无关的属于组合问题.3、排列与组合的主要公式①排列数公式：)1()1()!(!+-⋅⋅⋅-=-=mnnnmnnA mn(m≤n)A nn=n! =n(n―1)(n―2) ·…·2·1.②组合数公式：12)1()1()1()!(!!⨯⨯⋅⋅⋅⨯-⨯+-⋅⋅⋅-=-=mmmnnnmnmnC mn(m≤n).③组合数性质：①mnnmnCC-=(m≤n). ②nnnnnnCCCC2210=+⋅⋅⋅+++③1314202-=⋅⋅⋅++=⋅⋅⋅++nnnnnnCCCCC4、分类应在同一标准下进行，确保“不漏”、“不重”，分步要做到“步骤连续”和“步骤独立”，并能完成事项.5、界定“元素与位置”要辩证地看待，“特殊元素”、“特殊位置”可直接优先安排，也可间接处理.6、解排列组合综合问题注意先选后排的原则，复杂的排列、组合问题利用分类思想转化为简单问题求解.7、常见的解题策略有以下几种：（1）特殊元素优先安排的策略；（2）合理分类与准确分步的策略；（3）排列、组合混合问题先选后排的策略；（4）正难则反、等价转化的策略；（5）相邻问题捆绑处理的策略；（6）不相邻问题插空处理的策略；（7）定序问题除法处理的策略；（8）分排问题直排处理的策略；（9）“小集团”排列问题中先整体后局部的策略；（10）构造模型的策略.二、二项式定理1、二项式定理(a +b)n =C 0n an +C1n an－1b+…+Crn an－rbr +…＋Cnn bn，其中各项系数就是组合数Crn，展开式共有n+1项，第r+1项是Tr+1 =C rn an－rbr.2、二项展开式的通项公式二项展开式的第r+1项Tr+1=C rn an－rbr(r=0,1,…n)叫做二项展开式的通项公式。
高考数学试题溯源及教学启示
2.（2007年全国一）设函数f (x) ex ex （Ⅰ）证明：f (x) 的导数 f (x)≥ 2
（Ⅱ）若对所有x ≥0 都有 f (x)≥ ax ，求 a 的取值范围．
2008全国2理
设函数 f (x) sin x ． 2 cos x
（Ⅰ）求 f (x) 的单调区间；
（Ⅱ）如果对任何 x≥0 ，都有 f (x) ≤ ax ，
的左焦点，定点A（1，4），P是双曲线右支
上的动点，则 | PF | | PA | 的最小值为_。
教材试题原型：已知点A(1,1),而且 F1 是椭圆
P x2 y 2 1 的左焦点， 是椭圆上任意一点，
95
求| PF1 | | PA | 的最小值和最大值。
选修2—1中2.2椭圆一节中习题2—2B第2题
A. 2 1 B.1 C. 2 D.2
09年全国卷6题
若a,b, c均为单位向量，且 a b 0, 则(a c) (b c)的最小值为
A. 2 B. 2 2 C. 1 D.1 2
示例2：11年辽宁理21题
已知函数 f (x) ln x ax2 (2 a)x ；
（I）讨论 f (x)的单调性；
.
，求证：cos cos cos 1
思考与感悟：
俗话说的好：“站的高，才能看 的远。”对于高考的研究不能仅局限 于高考范畴，要把眼界放的开一些。
教学启示：
5.试题下放于高等数学中的重要背景
高等背景下的初等试题，是对高中生 高层次理性思维和创新意识的有效检 测，能考查出学生进一步学习的潜质。
示例2(09年文8t）an已 知 2tan 2 ，则
sin2 sin cos 2cos2
（A） 4 （B）5 （C） 3（D） 4
新课标高考数学试题的命制的回眸与展望
新课标高考数学试题的命题的回眸与展望——兼析2010年高考数学（理科）试题海南华侨中学李红庆新课标高考数学试题的命题的回眸与展望新课程高考已经在最初进行课程改革的海南、宁夏、山东、广东四省（区）考了4年，作为海南重点中学的教研组长，连续3年受海南省考试局聘任的高考数学阅卷质量检查员，海南省高考数学方案《考试说明》的起草与论证的专家组成员，经历了4年考前调研试题的制作，3年试题评卷质量检查监督，连续4年试题分析与评价报告．可以说新课程高考过程我具备完整的履历．另外，这几年我为报刊杂志写了不少模拟试题，压轴题的预测的文章，连续3年的试题分析与评价报告都发表在考试专业委员会的刊物《考试研究》上，对2007年海南、宁夏试题的研究的文章《“沿袭”与“创新”永远是高考数学命题的主旋律》发表在《数学通报》2008年第3期上，对2009年海南、宁夏试题的研究的文章《一览庐山真面目方知身在此山中》发表在《数学通报》2009年第8期上，对2010年理科数学第21题的文章《一道新课标高考试题解法机理分析及其通性通法》发表在《中学数学》2010年第9期上．今天我报告的内容：高考数学命题特点的4年回眸，今年数学命题走向的展望，并兼评析2010年高考数学（理科）试题．一、4年命题特点回眸1．4年试题内容分布结构：2007年试题内容分布结构示图解：2008年试题内容分布结构示图解：2009年试题内容分布结构图解：2010年试题内容分布结构图解：2．试题出现的特点：必修一：前3年是1道简单的集合运算和1道函数的性质；2010年有3道小题，明显必修一考点与传统试题在靠拢．必修二：前3年是1道三视图的体积计算或三视图与基本不等式结合运算，1道在在长方体模型下位置关系判断，1道与空间向量都能解决的立体几何大题；2010年必修二的内容明显在增加，必修二分值提高了10分．必修三：前3年是1道算法框图，1道统计的数值特征，1道必修三与选修2-3结合的大题；2010年必修三只有1道程序框图，必修三连续3年考点较多，今年有明显的下降．必修四：前3年是1道三角函数图像，1道三角变换，1道平面向量与其他知识结合的小题，如果不出现数列大题时，或出现一道平面向量与三角结合的大题；2010年只有一道涉及到半角公式的三角变换小题，考点数和分值明显减少．必修五：前3年是1或2道数列小题，1道不等式小题，如果不出现数列大题时，或出现一道解三角形的大题，或与算法结合解三角形的大题，或出现一道数列大题，不难会与推理结合；2010年是1道解三角形的余弦定理和面积公式的试题，1道考查数列递推关系，叠加方法求通项和错项相减求和的大题，尽管是放的第17题的位置，既考常规又有一定的难度，考点与分值明显增加．选修2-1：内容与分值比较稳定，前3年是1或2道涉及到圆锥曲线性质的小题，1道简单逻辑用语的小题（命题的否定，充分、必要条件判断，与、或、非运算），1道与必修二都能解决的立体几何大题，1道圆锥曲线的大题；2010年考试内容比较常规，分值稳定．选修2-2：考试内容与分值比较稳定中稍有加强，前3年是1道简单的复数运算，或1道导数的分析函数性质或积分题，1道导数解决函数性质的大题（考查分类讨论思想）；2010年是1道复数小题，1道圆锥曲线小题，1道导数应用和1道各分小题，1道传统的导数应用的分类讨论大题，分值、难度、考点明显在变化．选修2-3：稳定中有点减弱，前3年与必修三结合整合成一道大题，1道计数原理或二项式定理小题，或统计案例的内容大题；2010年小道二项分布小题，1道独立检验的大题，但难度较小，每年都在选修2-3中找实际应用试题，应该说对新增加的内容考遍了，可以预测概率统计类应回归传统了．3．内容没有变但考点在变换内容分值基本上没有太多变化，但考点在变，如：考简单逻辑用语的内容：2007年考点是全称命题的否定，已知命题p ：x R ∀∈，sin 1x ≤，则 （ ）A ．p ⌝：x R ∃∈，sin 1x ≥B ．p ⌝：x R ，sin 1x ≥C ．p ⌝：x R ∃∈，sin 1x >D ．p ⌝：x R ，sin 1x2008年考点是充分与必要条件，平面向量a ，b 共线的充要条件是 （ ）A ．a ，b 方向相同B ．a ，b 两向量中至少有一个是零向量C ．R λ∃∈，λ=b aD ．存在不全为零的实数1λ，2λ，12λλ+=a b 02009年考点是判断命题的真假，有四个关于三角函数的命题：1p ：x R ∃∈，221sin cos 222x x += 2p ：x ∃，y R ∈，sin()sin sin x y x y -=-3p ：(0,]x π∀∈sin x 4p ：sin cos x x =⇒2x y π+= 其中的假命题是 （ ）A ．1p ，4pB ．2p ，4pC ．1p ，3pD ．2p ，3p2010年考点是考两个命题的“或”、“且”、“非”的运算：已知命题1p ：函数22x x y -=-在R 上为增函数，2p ：函数22x x y -=+在R 上为减函数，则在命题1q ：12p p ∨，2q ：12p p ∧，3q ：12()p p ⌝∨和4q ：12()p p ∧⌝中，真命题是（ ）A ．1q ，3qB ．2q ，3qC ．1q ，4qD ．2q ，4q纵观命题的走向，2007年仅考全称命题的否定的表达式的书写，不判断真假；2008年表面考充要条件，实质上考存在命题的概念，对于答案C 来说，存在λ是有前提条件是≠a 0，并且λ是能找出来的，即λ=ba ，存在命题的存在是具体的东西，不是抽象的；2009年考判断以三角函数为背景的全称、特称命题的真假．2010年试题走向可以继续考充要条件，也可能考两个命题的“或”、“与”、“非”的判断；今年考点预测比较困难，因为当考的考点都考遍了．又如：统计内容，2007年考统计的数字特征之一方差问题，2007年试题：甲、乙、丙三名射箭运动员在某次测试中各射箭20次，三人的测试成绩如下表1s 、2s 、3s 分别表示甲、乙、丙三名运动员这次测试成绩的标准差．则有（ ）（A ）3s >1s >2s （B ）2s >1s > 3s（C ）1s >2s >3s （D ）2s >3s >1s点评：本题采用又“算”又“不算”的方法最好，“算”注意提出公因数，“不算”注意规律，如()()()157891057105892020x ⨯+++⨯++⨯+==()175520⨯+=中不要约分，再如()()()()2222115 1.550.550.551.520s ⎡⎤=-+-++⎣⎦，把式子整理： 2211(55) 1.5(55)0.520s ⎡⎤=+⨯++⨯⎣⎦=()()1210210122108810110 1.5100.520⎡⎤↑↓⨯+↓↑⨯⎣⎦或或． 本题还可以利用标准差的“平均距离”的含义，不经过计算直接得到结论．2008年考的统计的茎叶图，2008年试题：从甲、乙两品种的棉花中各抽测了25根棉花的纤维长度（单位：mm ），结果如下：甲品种：271 273 280 285 287 292 294 295 301 303 303 307308 308 310 314 319 323 325 325 328 331 334 337 352乙品种：284 292 295 304 306 307 312 313 315 315 316 318320 322 322 324 327 329 331 333 336 337 343 354 356由以上数据设计了如下茎叶图：（略）根据以上茎叶图，对甲、乙两品种棉花的纤维长度作比较，写出两个统计结论：① ；② ．对变量x ，y 有观测数据(,)i i x y （1i =，2，…，10），得散点图1；对变量u ，v 有观测数据(,)i i u v （1i =，2，…，10），得散点图2．由这两个散点图可以判断 （ ）A ．变量x 与y 正相关，变量u 与v 正相关B ．变量x 与y 正相关，变量u 与v 负相关C ．变量x 与y 负相关，变量u 与v 正相关D ．变量x 与y 负相关，变量u 与v 负相关纵观命题的走向，统计从考数值特征，茎叶图，统计案例的散点图的相关性，从大题来看，已经考了统计数据的直方图与数学期望，实际上也考了数据的折线图，2010年考了统计案例中独立检验，现在的走向是回归直线的偏差、残差图和统计的抽样方法问题，数据的表格与扇形图，这些考点是命题的考量，当也可以把考点转向离散变量问题．4．同一考点但难易程度有变化，如复数考点为例：2007年试题：i 是虚单位，51034-++i i= （用a b +i 的形式表示，a ，b R ∈） 2008年试题：已知复数1z =-i ，则221z z z -=-（ ） A ．2i B ．2-i C ．2 D ．2-2009年试题：复数32322323+---+i i i i等于（ ） A ．0 B ．2 C ．2-i D ．2i2010年试题：已知复数z =，z 是z 的共轭复数，则z z =（ ）A ．14 B ．12C ．1D ．2 前4年都是考复数加减运算与分母实数化，2010年新增加了共轭复数概念考查，难度明显增大了．5．新课标与大纲的试题的区别以立体几何多面体试题为例，新课程主要考查视图、识图能力，计算图形的表面积与体积，新教材中不定义正棱锥、正棱柱、正棱台，教材的重点是视图、识图与计算，2007年、2009年考棱锥的三视图的体积，2008年考以长方体为模型的三视图与基本不等式交融问题，实行新课程的其他试题对三视图考查也多．又以算法的试题为例，这三年都考查了算法的框图问题，对于算法还是我在2007年讲的话，算法框图是以考查赋值框，判断框，输出输入框等功能的基础，从思维推理和代数运算角度考查学生，对于程序编写，还不能进行考查，其一，教材使用的程序还没有完全统一；其二，考虑到幅员辽阔国情，城乡差别较大，如果出现编写程序的题对考生有失公平．2009年考了以解三角形为背景的算法思想，这是一道非常好的题目．2009年理科第17题是一道开放性有度且可控的经典之作．它可以从新课程所倡导的研究性学习，算法思想和测量问题的实验的角度上解决问题，当然这道本质是考查算法思想，就算法思想而言，考生思考空间还比较广阔的，下面列举一些可行的方案．试度用开放性命题，但每次试验都不太成功，2008年茎叶图定性描述，学生描述非常混乱，试题极不好评分，2010年也是填空题，答案是开放的，应该说确切答案应是：圆锥、三棱锥、正四棱锥，当然还有三棱柱、一个侧面垂直于底面且底面是矩形的四棱锥等，问题是符合上述条件的四棱锥其实也是四棱锥，三棱柱也有符合条件的，也有不符合条件的，究竟填哪答案才符合题目的外延呢？！因此，这类试度是失败的．二、今年高考试题命题的走向统计、概率与离散变量的分布列命题走向统计、概率与离散变量分布列类的试题，国家考查中心命制试题往往受到它旗杆、引领作用的限制，这几年试题几乎把必修三和选修2-3新增加的内容都考够了，07年几何概型与二项分布相结合的试题，08年考查离散变量的线性关系的数学期望、方差关系，09考查统计数据的直方图，数据的期望，2010年还考查统计数据的频率分布直方图、数据的概率、分类变量的独立检验（辽宁第18题和全国新课标第19题）．从国家考试中心命制其他两题来看，在概率试题上专家在骨子里还是考查注重过程分析的离散变量分布列问题，从全国新课标试题的选择题来看，试题已经向大纲试题回归，我预测概率统计类试题也应该向大纲试题回归了．现在是时候了．辽宁省理科18题：为了比较注射A，B两种药物后产生的皮肤疱疹的面积，选200只家兔做试验，将这200只家兔随机分成两组，每组100只，其中一组注射药物A，另一组mm）注射药物B ．表1和表2分别是注射药物A和药物B后的试验结果．（疱疹面积单位：2表1：注射药物A后皮肤疱疹面积的频率分布表疱疹面积[60，65）[65，70）[70，75）[75，80）频数30 40 20 10表疱疹面积[60，65）[65，70）[70，75）[75，80）[80，85）频数10 25 20 30 15 （Ⅰ）完成下面频率分布直方图，并且比较注射两种药物后疱疹面积的中位数大小；注射药物A后皮肤疱疹面积的频率分布直方图注射药物B后皮肤疱疹面积的频率分布直方图（Ⅱ）完成下面2×2列联表，并回答能否有99.9%的把握认为“注射药物A 后的疱疹面积与注射药物B 后的疱疹面积有差异”．表3：疱疹面积小于70mm 2 疱疹面积不小于70mm 2 合 计 注射药物Aa =b = 注射药物Bc =d = 合 计n = 附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++． P （K 2≥k ）0．100 0．050 0．025 0．010 0．001 k 2．706 3．841 5．024 6．635 10．828两位初审专家的评审，则予以录用；若两位初审专家都未予通过，则不予录用；若恰能通过一位初审专家的评审，则再由第三位专家进行复审，若能通过复审专家的评审，则予以录用，否则不予录用．设稿件能通过初审专家的评审的概率均为0.5，复审稿件能通过评审的概率为0.3．各位专家独立评审．（Ⅰ）求投向该杂志的1篇稿件被录用的概率；（Ⅱ）记X 表示投到杂志的4篇稿件中被录用的篇数，求X 的分布列及期望．解析：（Ⅰ）记A 表示事件：稿件能通过初审专家的评审；B j （j=1，2）表示事件：稿件能通过第j 位初审专家的评审；C 表示事件：稿件能通过复审专家的评审．因为()0.5j P B =，()0.3P C =，则有211212()A B B B B B B C =++，所以，()0.50.5(0.50.50.50.5)0.3P A =⨯+⨯+⨯⨯0.4=；（Ⅱ）因为~(4,0.4)X B ，0X =，1，2，3，4．则X 的分布列为44()0.40.6k k k P X k C -==（0k =，1，2，3，4） X 的数学期望是40.4 1.6EX =⨯=．评析：考查事件的相互的逻辑关系，互斥事件的概率、二项分布与数学期望，属于注重过程分析，设分事件处理问题比较方便．全国大纲试题Ⅱ理科20题：如图，由M 到N 的电路中有4个元件，分别标为T 1，T 2，T 3，T 4，电流能通过T 1，T 2，T 3的概率都是p ，电流能通过T 4的的概率是0.9，电流能否通过各元件相互独立．已知T 1，T 2，T 3中至少有一个能通过电流的概率为0.999．（Ⅰ）求p ；（Ⅱ）求电流能在M 与N 之间通过的概率；（Ⅲ）ξ表示T 1，T 2，T 3，T 4中能通过电流的元件个数，求ξ的期望．解析：记j A 表示事件：电流能通过元件j T （1j =，2，3，4）；A 表示事件：T 1，T 2，T 3中至少一个能通过电流；B 表示事件：电流能在M 与N 之间通过． （Ⅰ）123A A A A =，1A ，2A ，3A 相互独立，则()P A =123()P A A A =3(1)p -10.999=-0.001=，则0.9p =有；（Ⅱ）414123()B A A A A A A =++，则有()414123()()(()()())()P B P A P A P A P A P A P A =++0.9891=（Ⅲ）由于电流通过电子元件的概率都是0.9，且电流能否通过电子元件是相互独立， 所以，~(4,0.9)B ξ，40.9 3.6E ξ=⨯=．导数应用与函数的命题走向分析：导数应用与函数类试题的命题，往往选择对数和指数函数为背景，考查函数的单调性，含参量的分类讨论，求不等式恒成立的条件，今年从国家考试中心命制的理科4份试题来看，围绕着两个重要不等式1x e x ≥+（仅当0x =时等号成立），ln(1)x x +≤及其变式，如：全国新课标试题第21题（1x e x ≥+），全国大纲Ⅱ理科第22题（1x e x ≥+）；全国大纲Ⅰ第20题（用1x -替代ln(1)x x +≤中的x ，得ln 10x x -+≤，再用1x 替代ln 10x x -+≤中x ，得11ln 10x x-+->；辽宁省试题还是沿袭过去分类讨论的风格． 辽宁理科第21题：已知函数()2(1)ln 1f x a x ax =+++．（Ⅰ）讨论函数()f x 的单调性；（Ⅱ）设1a <-，如果对任意1x ，2(0,)x ∈+∞，()()12f x f x -124x x ≥-，求a 的取值范围．解析：（Ⅰ）函数()f x 的定义域为(0,)+∞，()221ax a f x x++'=， 当1a ≤-时，()0f x '<，故函数()f x 在(0,)+∞上是减函数；当10a -<<时，令()0f x '=得，x =，若x ∈时，()0f x '>；若)x ∈+∞时，()0f x '>．故函数()f x 在上是增函数；在)+∞上是减函数．当0a ≥时，()0f x '≥，故函数()f x 在(0,)+∞上是增函数．（Ⅱ）由（Ⅰ）当1a <-时，函数()f x 在(0,)+∞上是减函数，不妨设120x x <≤，则()()12f x f x -()()12f x f x =-，122144()x x x x -=-，对任意1x ，2(0,)x ∈+∞，()()12f x f x -124x x ≥-等价于()()112244f x x f x x +≥+恒成立，则函数()()4g x f x x =+在(0,)+∞上是减函数，()2241ax x a g x x +++'=0≤在(0,)+∞上恒成立，即min 241()21x a x +≤-+， 因为2214()414119212()()448x x x x x -++-=++-++4192()1148()4x x -=++-+2≥=-， 所以，2a ≤-，故a 的取值范围是(,2]-∞-．全国大纲Ⅰ理科第20题：已知函数()(1)ln 1f x x x x =+-+．（Ⅰ）若()21xf x x ax '≤++，求a 的取值范围；（Ⅱ）证明：(1)()0x f x -≥．解析：（Ⅰ）函数()f x 的定义域为(0,)+∞，()1ln 1x f x x x +'=+-= ln 1x x x+， ()21xf x x ax '≤++，则ln a x x ≥-+在区间(0,)+∞上恒成立，令()ln h x x x =-+，()11h x x'=-+，令()0h x '=得1x =，则()max (1)1h x h ==-，故a 的取值范围[1,)-+∞； （Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知，()ln 1h x x x =-+≤-，即ln 10x x -+≤，当01x <<时，()(1)ln 1f x x x x =+-+ln ln 1ln 0x x x x x x =+-+≤<，又10x -<， 所以(1)()0x f x -≥；当1x ≥时，()ln (ln 1)f x x x x x =+-+11ln (ln1)x x x x=+-+-ln 0x ≥>， 所以(1)()0x f x -≥．注意：考查不等式ln(1)x x +≤！ 全国大纲Ⅱ理科第22题：设函数()1x f x e -=-．（Ⅰ）证明：当1x >-时，()1x f x x ≥+； （Ⅱ）设当0x ≥时，()1x f x ax ≤+，求a 的取值范围． 解析：（Ⅰ）证明：当1x >-时，()1x f x x ≥+等价于1x e x ≥+，令()1x g x e x =--， ()1x g x e '=-，若10x -<≤时，()0g x '≤；若()0g x '>．所以()(0)0g x g ≥=，即1x e x ≥+，故当1x >-时，()1x f x x ≥+； （Ⅱ）由题设0x ≥知，()10x f x e -=-≥，当0a <时，存在1x a >-，01x ax <+，所以()1x f x ax ≤+不成立；当0a ≥时，()1x f x ax ≤+等价于()()0axf x f x x +-≤， 令()h x =()()axf x f x x +-，()()()()1h x af x axf x f x '''=++-，()()1x f x e f x -'==-， 则 ()()()()h x af x axf x ax f x '=-+-．（i ）当102a ≤≤时，由（Ⅰ）知，()(1)x x f x ≤+，于是 ()()()()()(1)h x af x axf x a x f x f x '≤-++-()(21)a f x =-0≤，则 ()h x 在[0,)+∞上是减函数，()()00h x h ≤=，即()1x f x ax ≤+成立； （ii ）当12a >时，由（Ⅰ）知：1x e x ≥+，1x e x -≥-，即()x f x ≥，于是 ()()()()h x af x axf x ax f x '=-+-()()()()af x axf x af x f x ≥-+-，即()()(21)h x a ax f x '≥--，存在210a x a-<<，使得()0h x '>， 即 21(0,)a x a -∃∈时，()(0)0h x h >=，所以()1x f x ax ≤+不成立， 综上所述：实数a 的取值范围是1[0,]2． 另解：（Ⅱ）()111x x f x e ax =-≤+对0x ≥成立，由110x e-≥知0a ≥， 又 10ax +>，则11x ax ax x e ++-≤，若0x =时，a 为任意实数； 若0x >时，得11(1)x x x e a x e -+≤+-，令1()(1)x x x e u x x e -+=-111x e x=--， ∴ ()221(1)x x e u x e x '=-+-0>？，从而()u x 在(0,)+∞上递增， 01lim[1](1)x x x x e a x e →+-≤+-011lim (1)x x x x e x e →+-=+-011lim 1x x x x e e xe →-=+-+01lim 2xx x x e e xe →-=++ 0111lim22x x →-=+=+，故实数a 的取值范围是1[0,]2． 解析几何试题命题的走向分析：解析几何试题命题方向比较稳定，还是在考查圆锥曲线各种几何量及位置关系，考查直线与圆锥曲线的位置关系，试题命题挥不去的向量情结，解题方法上也挥不去的根与系数的关系的情结．注意传统教材中一些好的东西，尽管新课标减掉了，但解题的帮助较大，也要适当向学生介绍，如圆锥曲线的焦半径公式，今年试题使用焦半径公式做比较简捷．辽宁理科第20题：设1F ，2F 分别为椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）的左、右焦点，过2F 的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，直线l 的倾斜角为60，1F 到直线l 的距离为． （Ⅰ）求椭圆C 的焦距；（Ⅱ）如果222AF F B =，求椭圆C 的方程．解析：（Ⅰ）设椭圆的焦距122F F c =，依题意，2sin 6023c =2c =，故焦距为4； （Ⅱ）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，由222AF F B =及l 的倾斜角为60，直线l 的方程为2)y x =-．联立2222222)y x b x a y a b ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩，得22244(3)30b y y b ++-=（∵224a b =+）由韦达定理知，412234(3)b y y b =-+，12y y +=，因为222AF F B =，122y y =-，令2y Y =，则12y Y =-，所以，42122324(3)b Y y y b -==-+，得42238(3)b Y b =+，---------①21223Y y y b -=+=-+，得4222248(3)b Y b =+，--------②由①、②得，25b =，从而得，29a =，故椭圆C 的方程为22195x y +=．另解（Ⅱ）设11(,)A x y ，22(,)B x y ， 由于l 的倾斜角为60，直线l 的方程为2)y x =-．联立2222222)y x b x a y a b⎧=-⎪⎨+=⎪⎩，22244(3)(2)4(2)0b x b x b +-+--=（∵224a b =+）因为222AF F B =，得1222(2)x x -=-，令22x t -=，则122x t -=-，依韦达定理得，t -=2122(2)(2)3b x x b -+-=-+，得223b t b =+，------①22t -=4122(2)(2)4(3)b x x b --=-+，得4228(3)b t b =+，-------② 由①、②得，25b =，从而得，29a =，故椭圆C 的方程为22195x y +=．全国大纲Ⅰ理科第21题：已知抛物线C ：24y x =的焦点为F ，过点(1,0)K -的直线l 与C 相交于A ，B 两点，点A 关于x 轴对称点为D ．（Ⅰ）点F 在直线BD 上；（Ⅱ）设89FA FB =，求△BDK 的内切圆M 的方程．解析：（Ⅰ）证明：设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则11(,)D x y -，直线l 的方程为1x my =-， 联立214x my y x=-⎧⎨=⎩，得2440y my -+=，依韦达定理得，124y y m +=，124y y =，直线BD 的方程为2211221()4y y y y y x x x --=--，即222124()4y y y x y y -=-+， 令0y =，得1214y y x =-=，故点F 在直线BD 上． （Ⅱ）由（Ⅰ）知，124y y m +=，124y y =，1112x my -=-，2212x my -=-， 则 22121212(1)(1)2()884x x m y y m y y m --=-++=-，由89FA FB =得，28849m -=，解之：43m =±，则直线l ：3430x y -+=或3430x y ++=， 由（Ⅰ）知，判别式△216716(1)9m ⨯=-=，21||y y -=214BD k y y ==-，直线BD 的方程为330x --=或330x -=，因为A 关于x 对称点为D ，则KF 为BKD ∠的角平分线，设圆心为(,0)t ，则|33||33|54t t +-=，解之19t =或9t =（舍）， 半径13|1|2953r +==，故圆M 方程为2214()99x y -+=． 全国大纲Ⅱ理科第21题：已知斜率为1的直线l 与双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）相交于B ，D 两点，且BD 中点为(1,3)M ．（Ⅰ）求C 的离心率；（Ⅱ）设C 的右顶点为A ，右焦点为F ，||||17DF BF =，证明：过A ，B ，D 三点的圆与x 轴相切．解析：（Ⅰ）由题设知，直线l ：2y x =+，设11(,)B x y ，22(,)D x y ，联立2222222y x b x a y a b =+⎧⎨--=⎩，得222222()4(4)0b a x a x a b ---+=，依韦达定理：2122242a x x b a +==-，得22222()a c a a =--，得2c e a==；（Ⅱ）由（Ⅰ）双曲线C ：222330x y a --=（0a >），(,0)A a ，(2,0)F a ，122x x +=，212432a x x +=-0<，不妨设1x a ≤-，2x a ≥，则22221111||(2)44BF x a y x ax a -+-+12a x =-，||DF 22222222(2)44x a y x ax a -+=-+22x a =-，所以，12||||(2)(2)BF DF a x x a =--=212122()4a x x x x a +--=2548a a ++17=， 解之：1a =或95a =-（舍），故12||2|BD x x =-6=，||3MA =，则|MB |=|MD |=|MA |=3，经过B ，D 、A 三点的圆为22(1)(3)9x y -+-=，且点M 到x 轴的距离也等于圆的半径3，故过A ，B ，D 三点的圆与x 轴相切． 立体几何与空间向量命题走向分析：由于空间向量普通使用，立体几何试题变得相对“简单”了，学生在心理对立体几何的恐惧感有所减弱，但近几年立体几何试题命题的走向，考查设未知数，未知位置点的问题，给予的图形让空间直角坐标系不赋置上，预测立体几何试题的走向，还是考查未知线段的量、空间角，甚至可以考查点的未知位置问题．辽宁理科第19题：已知三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，AB AC ⊥，12PA AC AB ==，N 为AB 上一点，4AB AN =，M ，S 分别为PB ，BC 的中点． （Ⅰ）证明：CM SN ⊥；（Ⅱ）求SN 与平面CMN 所成角的大小．解析：由PA ⊥平面ABC ，AB AC ⊥，可建立如图所示空间直角坐标系A xyz -，因为12PA AC AB ==，可设2PA a =，则2AC a =，4AB a =，依题意可求出：(4,0,0)B a ，(0,2,0)C a ，(0,0,2)P a ，(2,0,)M a a ，(,0,0)N a ，(2,,0)S a a （Ⅰ）∵(2,2,)CM a a a =-，(,,0)SN a a =--，∴2()2()00CM SN a a a a a =---+=，∴CM SN ⊥，故CM SN ⊥；（Ⅱ）设平面CMN 的法向量为(,,1)x y =n ， ∵(,2,0)CN a a =-，(2,2,)CM a a a =-，∴ 00CM CN ⎧=⎪⎨=⎪⎩n n ，即202210x y x y -=⎧⎨-+=⎩，解之：1x =-，12y =-，∴1(1,,1)2=--n ，设SN 与平面CMN 所成角为α，则||sin ||||SN SN α=n n 32322a a=2=4πα=， 故SN 与平面CMN 所成角的大小为45．全国大纲Ⅰ理科第19题：四棱锥S ABCD -中，SD ⊥底面ABCD ，AB ∥DC ，AD DC ⊥，1AB AD ==，2DC SD ==，E 为棱SB 上的一点，平面EDC ⊥平面SBC ．（Ⅰ）证明：2SE EB =；（Ⅱ）求二面角A DE C --的大小．解析：建立空间直角坐标系D xyz -（如图）(1,0,0)A ，(1,1,0)B ，(0,2,0)C ，(0,0,0)D ，(0,0,2)S ，（Ⅰ）因为E 为棱SB 上的一点，设SE EB λ=， 设平面SBC 的法向量(,,1)x y =n ， ∵(1,1,0)BC =-，(0,2,2)CS =-，∴00BC CS ⎧=⎪⎨=⎪⎩n n ，即0220x y y -+=⎧⎨-+=⎩，解之：1x =，1y =，所以(1,1,1)=n ， ∵(1,1,2)SB =-，SE EB λ=， ∴ (1)EB λ+=(1,1,2)SB =-，112(,,)111BE λλλ--=+++， ∴DE DB BE =+2(,,)111λλλλλ=+++，又∵ CE CD DE =+22(,,)111λλλλλ--=+++∵y 轴⊂平面CDE ，∴可设平面CDE 的法向量为(,0,1)a =m ，∴2011a λλλ+=++，2a λ=-，所以2(,0,1)λ=-m ，由平面EDC ⊥平面SBC 得，210λ=-+=n m ，解之2λ=，∴2SE EB =，即2SE EB =．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，222(,,)333DE =，由于x 轴⊂平面ADE ，设平面ADE 的法向量为(0,,1)b =p ，所以22033DE b =+=p ，解之：(0,1,1)=-p ，由（Ⅰ）知，(1,0,1)=-m ，设二面角A DE C --的大小为θ（90180θ<<），|||cos |||||θ=p m p m 12=，∴120θ=，故二面角A DE C --的大小120．全国大纲Ⅱ理科第19题：如图，在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AC =BC ，AA 1=AB ，D 为BB 1的中点，E 为AB 1上一点，AE =3EB 1．（Ⅰ）证明：DE 为异面直线AB 1和CD 的公垂线；（Ⅱ）设异面直线AB 1和CD 的夹角为45，求二面角111A AC B --的余弦值． 解析：（Ⅰ）证明：以B 为原点，分别以射线BA ，BB 1为x 轴，y 轴建立空间直角坐标系B xyz -．设AB =2，由于AC =BC ，设等腰△ABC 的底边上的高为c ．则(0,0,0)B ，(2,0,0)A ，1(2,2,0)A ，1(0,2,0)B ，(1,0,)C c ，1(1,2,)C c ，因D 为BB 1的中点，(0,1,0)D ，∵1(2,2,0)AB =-，又∵AE =3EB 1，∴1333(,,0)422AE AB ==-， ∴ 13(,,0)22BE =，11(,,0)22DE =，(1,1,)DC c =-， ∴111(1)0022DE DC c =⨯+⨯-+⨯=，∴DE DC ⊥，即DE DC ⊥∵ 1112(2)00022DE AB =+-+=，∴ 1DE AB ⊥，即1ED AB ⊥，故DE 为异面直线AB 1和CD 的公垂线．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，1(2,2,0)AB =-，(1,1,)DC c =-，∴ 11||cos4||||AB DC AB DC π=22222c==+，解之：2c∵y 轴∥平面11AA C ，∴平面11AA C 法向量可设(,0,1)x =n ，又 1(2)AC =-，∴ 120AC x =-+=n ，得2x ，即(2=n ， 设平面11AC B 的法向量为(,,1)a b =m ，112)B C =，因为11100AC B C ⎧=⎪⎨=⎪⎩m m，即200a b a ⎧-++=⎪⎨=⎪⎩，解之：a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩∴(=m ，设二面角111A AC B --的大小为θ，则||cos ||||θ=n m n m =111A ACB --． 数列试题命题走向分析：由于新课标试题只有5道解答试题，数列与三角按大小年分配，数列与三角交换进行，如今年考查了数列大题，明年就可以考查2-3道数列小题，就数列命题而言，它应该与推理与证明结合比较好，可以选择递推数列，但难度不宜过大，最好是由特殊情形得到一般情形，由于新课标是把数列的要求与难度提高了，不是减弱了，应该把一阶和二阶线性递推数列落实到位，还有一次分式数列也要落实到位，请上/600055/blog.aspx 看文章《谈高考数学试题中递推数列解题模式研究》，就能可能出现递推数列解法搞明白．全国大纲Ⅰ理科第22题：已知数列{}n a 中，11a =，11n na c a +=-． （Ⅰ）设52c =，12n nb a =-，求数列{}n b 的通项公式；（Ⅱ）求使不等式13n n a a +<<成立的c 的取值范围． 解析：（Ⅰ）由52c =得，1525122n n n n a a a a +-=-=，则两边同加λ得，1522n n n a a a λλ+-+=+252(52)2n n a a λλ-+=+，----①，令252λλ=-+，解之：12λ=-或2λ=-， 代回①得，1112422n n na a a +--=，-----②，1222n n n a a a +--=，-----③ 由②、③得，111122422n n n n a a a a ++--=--，则数列12{}2n n a a --是等比数列，首项为12-，公比为4，所以，1112422n n n a a --=-⨯-，得nb =111(42)23n n a -=-+-． （Ⅱ）在11n na c a +=-两边同加μ得，11()n n n a c a c a μμμ+-++=+，令1c μμ=-+，得 210c μμ++=，12c μμ+=-，121μμ=，1μ=，2μ=，（i ）若2c =时，121μμ==-，1n a =，不符合12a a <； （ii ）当c =2-时，121μμ==，得111111n n a a +-=-++，数列1{}1n a +是等差数列，1132(1)122n n n a -=--=+，得2132n n a n -=-2123n =---，不符合12a a <； （iii ）若2c <-时， 1112n n n a a a μμμ+++=-，------④，2121n n na a a μμμ+++=-，-----⑤ 由④、⑤得，211112212122n n n n n n a a a a a a μμμμμμμμμ+++++==+++，数列12{}n n a a μμ++是等比数列，所以12n n a a μμ+=+1211μμ++222n μ-，解之：21222221n n n a μμμ---=-，则21212221n n n a μμμ++-=-， 由于21μ>，2422221212322(1)(1)(1)n n n n n a a μμμμ-+----=--，当1n =时，210a a -<，不符合12a a <； （iv ）若2c >时，由（iii ）知，21222221n n n a μμμ---=-，21212221n n n a μμμ++-=-，2422221212322(1)(1)(1)n n n n n a a μμμμ-+----=--，由于210μ-<<，则10n n a a +->，由13n a +<恒成立，由于21211222211lim lim n n n n n a μμμμμ++→∞→∞-==-=--，则1μ-=3≤，解103c ≤，（v ）当22c -<<时，n a （2n ≥）是虚数，不符合210a a -<； 综上所述：实数c 的取值范围是1023c <≤． 全国大纲Ⅱ理科第18题：已知数列{}n a 的前n 项和n S 2()3n n n =+． （Ⅰ）求limnn na S →∞； （Ⅱ）证明：122212a a ++ (2)3n n a n+>．第4题图解析：（Ⅰ）limnn na S →∞1lim n n n n S S S -→∞-=1lim(1)n n n S S -→∞=-1lim[1]3(1)n n n →∞-=-+11lim(1)33n n n→∞-=-+23=； （Ⅱ）当1n =时，21112(11)3631a =+=>， 当2n ≥时，122212a a ++ (32)1212222123n a S S S S S n --+=+++ (12)n n S S n --+=1222221111()()1223S S -+-+…122211[](1)n n S S n n n -+-+- 2133nn n S n n n +>=> 故122212a a ++ (2)3n n a n+>（*n N ∈）． 三、2010年高考数学试题评价1．已知集合{|||2A x x =≤，}x R ∈，{4B x x =，}x Z ∈，则AB =（ ）A ．(0，2)B ．[0，2]C ．{0，2}D ．{0，1，2}命制意图与评析：考查集合的基本概念与集合运算，同时考查了数集的特定符号，这几年考查集合概念与运算题型稳定，但难度有所上升． 2．已知复数23(13)z +=-i i ，z 是z 的共轭复数，则z z =（ ）A ．14 B ．12C ．1D ．2 命制意图与评析：考查复数的乘除运算，共轭复数的概念与性质，前几年都考查复数的简单运算，多属于复数概念和分母实数化，2010年对复数的考查难度明显加大，增加了对复数的平方运算和共轭复数的性质2z z z =考查．3．曲线2xy x =+在点(1-，1)-处切线方程为（ ） A ．21y x =+ B ．21y x =- C ．23y x =-- D ．22y x =--命制意图与评析：考查商数的导数运算，导数的几何意义和点斜式方程，属于常见的基础题，这几年曲线的切线问题出现的机率较高，多数出现在小题中，有时出现在大题中，如2008年就出现在大题中，应该说对多数考生难度是不大的，但要注意区分在某点处和过某点的曲线的切线问题．4．如图，质点P 在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为0(2P 2)，角速度为1，那么点P 到x 轴距离d 关于时间t 的函数图像大致为（ ）（注意曲线画的有点误差！）第7题图A ．B ．C ．D ．命制意图与评析：考查三角函数的图像、性质及物理学上圆周匀速运动的概念，同时考查考生识图像能力，利用特别赋值排除选项的能力．教学中要向考生渗透数形结合思想．题再往下发展就是要考虑质点在x 轴和y 轴方向的速度，就得自用导数解决问题了． 5．已知命题1p ：函数22x x y -=-在R 上为增函数，2p ：函数22x x y -=+在R 上为减函数，则在命题1q ：12p p ∨，2q ：12p p ∧，3q ：12()p p ⌝∨和4q ：12()p p ∧⌝中，真命题是（ ） A ．1q ，3q B ．2q ，3q C ．1q ，4q D ．2q ，4q命制意图与评析：考查简单逻辑用语中“与”（一假则假，都真则真）、“或”（一真则真，都假则假）、“非”（真假相对）运算性质，事实还考查了函数()()f x f x --是奇函数，()()f x f x +-是偶函数这个性质．回顾简单逻辑用语命题规律，07年特称命题的否定，08年的充要条件，09年以三角函数为背景的命题真假判断，2010年考查“与”、“或”、“非”运算性质是在预料之中的事，未来试题走向就不好判断了．6．某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1000粒，对于没有发芽的种子，每粒需补种2粒，补种的种子数记为X ，则X 的数学期望为（ ）A ．100B ．200C ．300D ．400命制意图与评析：考查了二项分布列及数学期望，同时考查了离散变量的线性关系的数学期望公式()E a b aE b ξξ+=+．由于在大题中没考查离散变量的分布列，作为整体考虑就设计了这个小题，这道应是常见的基础题． 7．如果执行如图所示的框图，输入N =5， 则输出的数等于（ ）A ．54 B ．45 C ．65 D ．56命制意图与评析：考查了简单的循环结构，并且把简单合情推理结合起来了，事实上，对于k =1，2，3，…，时，一组数列是：12，23，34，…关键要找到终止条件．这几年一直再考查程序框图，多数是在考查循环结构与数列结合的情境，试题的走向比较稳定，从数学逻辑思维上去掌握框图．8．设偶函数()f x 满足()38f x x =-（0x ≥），则(){}|20x f x ->=（ ） A ．{|2x x <-或4}x > B ．{|0x x <或4}x > C ．{|0x x <或6}x > D ．{|2x x <-或2}x >命制意图与评析：考查了函数的奇偶性，函数图像及数形结合思想，属于考查综合能力的试题，考生平时养成勤作函数草图，理解不等式的含义，采用数形结合方法解决问题也是比较简单的．这几年考查函数的图像与性质的题目不多，考生复习中容易忽视这方面的内容． 9．若4cos 5α=-，α是第三象限的角，则1tan 21tan2αα+-=（ ）A ．12-B ．12C ．2D ．2-命制意图与评析：考查同角的三角函数关系式和半角的万能公式，也可以考查两角和的正切公式的逆向思维和半角的公式，应该说新课程对半角公式和同角关系式的要求降的很低了，现行教材考查这些东西相对有一定的难度，半角的万能公式属于考生了解的内容，平时训练这类问题不多．三角函数中学对图像及性质，两角的和与差公式和欧拉变换平时训练的较多，考生掌握的较好，从考试走向来看，今后要加强三角变换训练．10．设三棱柱的侧面垂直于底面，所有棱的长度都为a ，顶点都在球面上，则该球的表面积为（ ）A ．2a πB ．273a πC ．2113a π D ．25a π命制意图与评析：考查考生三棱柱内接于球的情形，考查考生分析球心所在的位置，事实上考查了正三角形的中心到顶点的关系，要分析球心在两底中心连线的中点，各个顶点到中心的距离都是球的半径，也考查了球的表面积公式．这几年考查球内接长方体情形较多，考查球内接三棱柱不多，立体几何喜欢考查球内多面体的问题．11．已知函数()|lg |,01016,102x x f x x x <≤⎧⎪=⎨-+>⎪⎩，若a ，b ，c 互不相等，且()f a ()f b =()f c =，则abc 的取值范围是（ ）A ．(1，10)B ．(5，6)C ．(10，12)D ．(20，24) 命制意图与评析：考查函数的图像与性质，图像的关键点的找出与利用，考查估算与预测能力，利用函数图像解决问题．平时绘画草图对解函数题在平时复习中应引起注意． 12．已知双曲线E 的中心为原点，()3,0F 是E 的焦点，过点F 的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且AB 的中心为(12,15)N --，则E 的方程为（ ）A ．22136x y -=B ．22145x y -=C ．22163x y -=D ．22154x y -=命制意图与评析：综合考查直线方程，直线与双曲线的位置关系，考查韦达定理的应用及待定系数的思想方法，如果按提供的数据把草图画的规范可以直接看出结果．13．设()y f x =为区间[0，1]上的连续函数，且恒有()01f x ≤≤，可以用随机模拟方法近。
2010年辽宁省高考数学试题分析
2010年辽宁省高考数学试题分析2010年高考，作为辽宁省实施新课程改革后的第二次高考，引起了广大中学数学教师的高度关注。
文理科数学难度较2009年稳中有升。
一、试题总体概述1 、立足基础，突出主干2010年辽宁数学试题注重考查双基，多数试题的综合性不强。
如理科选择题的第1—10题、所有的填空题，都只是单纯地考查1~2个知识点，没有知识间的交叉；所有解答题及选作题也都只考查基本的知识和技能，这些题约占整个试卷的90%。
这些试题突出体现了考试大纲中“平稳过渡”指导思想。
2、关注课改，注重教材2010年辽宁数学试卷中，对课改中新增内容给予了足够的重视。
诸如算法、三视图、统计知识、2×2列联表及卡方、简单逻辑用语，以及理科的空间向量、等知识在试卷中都有所体现。
今年我省理科和文科数学试卷中新增内容都约占25%。
可以说，对新增内容基本上做到了全面覆盖，但对这些内容考查的难度要求都比09年的略高一些。
另外，试卷中相当数量的试题在教材中都有原型，例如理第8题是由必修4第113页的例3变式迁移得来的；理第14题和文科第15题就由必修5中第95页的思考与讨论改编而成；理第13题是由选修2—3中第35页的一道求解题改编过来的。
3 、注重通法，淡化技巧全卷没有直接考查纯记忆的陈述性知识，注重考查知识的运用能力及学生的计算能力和推理论证能力等等。
由于立足基本方法和通性通法，整卷试题的坡度较好地实现了由易到难，并且实现了解答题低起点、宽入口、逐步深入的格局。
4、注重知识交汇点本套试卷具有较为合理的覆盖面，集合、复数、常用逻辑、线性规划、向量、算法与框图、排列组合等内容在选择、填空题中得到了有效的考查；三角函数、概率统计、立体几何、解析几何、函数与导数、数列等主干知识在解答题中得到考查，构成试卷的主体内容。
同时，文、理科试卷都注重了考查知识间的内在联系，在知识点的交汇处设计试题，如理科第10题，将算法与排列组合相结合；理第16题将数列与不等式相结合；理第18题，将概率知识和实际背景相结合，并把必修3和选修系列2-3的统计概率知识结合起来；如文科4题和理科11题将简单逻辑用语同二次函数的最值知识融为一体。
高中数学说题
高中数学说题“教师说题”是近年来新兴的一项教研活动。
概括地说：“说题”是指执教者在精心做题的基础上，阐述对题目解答时所采用的思维方式、解题策略及依据，进而总结出经验性解题规律。
说题通过“做题、想题、改题、编题、说题”等一系列活动，将教师的“教”、学生的“学”与研究“考试命题”三者结合。
开展说题活动能促进教师加强对试题的研究，从而把握考题的趋势与方向，用以指导课堂教学，提高课堂教学的针对性和有效性。
“说题”不同于以往的“说课”，从“说课”到“说题”，没有了“探”的束手束脚，直接进入了“究”的境界，让你有种一步跨进课的最深处的感觉，是教研活动的极大的进步。
一、“说题”要注重“题”的选择美国数学家哈尔斯说：“问题是数学的心脏”。
没有好的问题就没有异彩纷呈的数学，没有好的问题去引领学生的学，就没有数学课堂的精彩。
教师教的“有效”要通过“好题”的深入浅出，落实学生学的“有效”。
说题的内涵不是“拿嘴拿题来说”，而是“用心用题去教”。
因此，说题中的“题”更要精选，这个“题”，应该是“一只产金蛋的母鸡”。
二、“说题”之“五说”教师说题不能仅停留在“从解题角度说题”这种浅表的意义上，要从“构建主义的教学观点上看说题”。
我个人认为，应从这样的五个方面进行“说题”。
即一说“题目立意”、二说“试题解法”、三说“数学思想方法”、四说“背景来源”、五说“拓展引申”。
说 题 稿东北育才学校 王成栋问题出处：2011年高考数学辽宁理科第21题已知函数x a ax x x f )2(ln )(2-+-=．（I ）讨论)(x f 的单调性；（II ）设0>a ，证明：当a x 10<<时，)1()1(x af x a f ->+； （III ）若函数)(x f y =的图像与x 轴交于B A 、两点，线段AB 中点的横坐标为0x ，证明： 0)(0'<x f ．说题目立意（1）考查求导公式（包括形如)(b ax f +的复合函数求导）及导数运算法则；（2）考查对数的运算性质；（3）导数法判断函数的单调性；（4）考查用构造函数的方法证明不等式；（5）考查分类讨论、数形结合、转化划归思想。
2010年辽宁省高考数学试卷(理科)
2010年辽宁省高考数学试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）已知A、B均为集合U={1，3，5，7，9}的子集，且A∩B={3}，（∁U B）∩A={9}，则A等于（）A．{1，3}B．{3，7，9}C．{3，5，9}D．{3，9}2．（5分）设a，b为实数，若复数，则（）A．B．a=3，b=1 C．D．a=1，b=33．（5分）两个实习生每人加工一个零件．加工为一等品的概率分别为和，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为（）A．B．C．D．4．（5分）如果执行右面的程序框图，输入正整数n，m，满足n≥m，那么输出的p等于（）A．C n m﹣1B．A n m﹣1C．C n m D．A n m5．（5分）设ω＞0，函数y=sin（ωx+）+2的图象向右平移个单位后与原图象重合，则ω的最小值是（）A．B．C．D．36．（5分）设{a n}是有正数组成的等比数列，S n为其前n项和．已知a2a4=1，S3=7，则S5=（）A．B．C．D．7．（5分）设抛物线y2=8x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A 为垂足．如果直线AF的斜率为，那么|PF|=（）A．B．8 C．D．168．（5分）平面上O，A，B三点不共线，设，则△OAB的面积等于（）A．B．C． D．9．（5分）设双曲线的一个焦点为F，虚轴的一个端点为B，如果直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为（）A．B．C．D．10．（5分）已知点P在曲线y=上，a为曲线在点P处的倾斜角，则a的取值范围是（）A．[0，）B．[，） C．（，]D．[，π）11．（5分）已知a＞0，则x0满足关于x的方程ax=b的充要条件是（）A．B．C．D．12．（5分）有四根长都为2的直铁条，若再选两根长都为a的直铁条，使这六根铁条端点处相连能够焊接成一个三棱锥形的铁架，则a的取值范围是（）A．（0，）B．（1，）C．（，） D．（0，）二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）的展开式中的常数项为．14．（5分）已知﹣1＜x+y＜4且2＜x﹣y＜3，则z=2x﹣3y的取值范围是．（答案用区间表示）15．（5分）如图，网格纸的小正方形的边长是1，在其上用粗线画出了某多面体的三视图，则这个多面体最长的一条棱的长为．16．（5分）已知数列{a n}满足a1=33，a n+1﹣a n=2n，则的最小值为．三、解答题（共8小题，满分90分）17．（12分）在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2asinA=（2b+c）sinB+（2c+b）sinC．（Ⅰ）求A的大小；（Ⅱ）求sinB+sinC的最大值．18．（12分）为了比较注射A，B两种药物后产生的皮肤疱疹的面积，选200只家兔做试验，将这200只家兔随机地分成两组，每组100只，其中一组注射药物A，另一组注射药物B．（Ⅰ）甲、乙是200只家兔中的2只，求甲、乙分在不同组的概率；（Ⅱ）下表1和表2分别是注射药物A和B后的试验结果．（疱疹面积单位：mm2）表1：注射药物A后皮肤疱疹面积的频数分布表表2：注射药物B后皮肤疱疹面积的频数分布表（ⅰ）完成下面频率分布直方图，并比较注射两种药物后疱疹面积的中位数大小；完成下面2×2列联表，并回答能否有99.9%的把握认为“注射药物A后的疱疹面积与注射药物B后的疱疹面积有差异”．表3：附：K2=．19．（12分）已知三棱锥P﹣ABC中，PA⊥ABC，AB⊥AC，PA=AC=AB，N为AB 上一点，AB=4AN，M，S分别为PB，BC的中点．（Ⅰ）证明：CM⊥SN；（Ⅱ）求SN与平面CMN所成角的大小．20．（12分）设椭圆C：的左焦点为F，过点F的直线l与椭圆C相交于A，B两点，直线l的倾斜角为60°，．（1）求椭圆C的离心率；（2）如果|AB|=，求椭圆C的方程．21．（12分）已知函数f（x）=（a+1）lnx+ax2+1（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）设a＜﹣1．如果对任意x1，x2∈（0，+∞），|f（x1）﹣f（x2）|≥4|x1﹣x2|，求a的取值范围．22．（10分）如图，△ABC的角平分线AD的延长线交它的外接圆于点E．（1）证明：△ABE∽△ADC；（2）若△ABC的面积S=AD•AE，求∠BAC的大小．23．（10分）已知P为半圆C：（θ为参数，0≤θ≤π）上的点，点A 的坐标为（1，0），O为坐标原点，点M在射线OP上，线段OM与C的弧的长度均为．（1）以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求点M的极坐标；（2）求直线AM的参数方程．24．（10分）已知a，b，c均为正数，证明：≥6，并确定a，b，c为何值时，等号成立．2010年辽宁省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）已知A、B均为集合U={1，3，5，7，9}的子集，且A∩B={3}，（∁U B）∩A={9}，则A等于（）A．{1，3}B．{3，7，9}C．{3，5，9}D．{3，9}【分析】由韦恩图可知，集合A=（A∩B）∪（C U B∩A），直接写出结果即可．【解答】解：因为A∩B={3}，所以3∈A，又因为C U B∩A={9}，所以9∈A，选D．本题也可以用Venn图的方法帮助理解．故选：D．【点评】本题考查了集合之间的关系、集合的交集、补集的运算，考查了同学们借助于Venn图解决集合问题的能力．2．（5分）设a，b为实数，若复数，则（）A．B．a=3，b=1 C．D．a=1，b=3【分析】先化简，然后用复数相等的条件，列方程组求解．【解答】解：由可得1+2i=（a﹣b）+（a+b）i，所以，解得，，故选：A．【点评】本题考查了复数相等的概念及有关运算，考查计算能力．是基础题．3．（5分）两个实习生每人加工一个零件．加工为一等品的概率分别为和，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为（）A．B．C．D．【分析】根据题意，分析可得，这两个零件中恰有一个一等品包含仅第一个实习生加工一等品与仅第二个实习生加工一等品两种互斥的事件，而两个零件是否加工为一等品相互独立，进而由互斥事件与独立事件的概率计算可得答案．【解答】解：记两个零件中恰好有一个一等品的事件为A，即仅第一个实习生加工一等品（A1）与仅第二个实习生加工一等品（A2）两种情况，则P（A）=P（A1）+P（A2）=，故选：B．【点评】本题考查了相互独立事件同时发生的概率与互斥事件的概率加法公式，解题前，注意区分事件之间的相互关系（对立，互斥，相互独立）．4．（5分）如果执行右面的程序框图，输入正整数n，m，满足n≥m，那么输出的p等于（）A．C n m﹣1B．A n m﹣1C．C n m D．A n m【分析】本题考查了循环结构的程序框图、排列公式，考查了学生的视图能力以及观察、推理的能力，分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环计算并输出变量p的值，模拟程序的运行，用表格对程序运行过程中各变量的值进行分析，不难得到输出结果．【解答】解：第一次循环：k=1，p=1，p=n﹣m+1；第二次循环：k=2，p=（n﹣m+1）（n﹣m+2）；第三次循环：k=3，p=（n﹣m+1）（n﹣m+2）（n﹣m+3）…第m次循环：k=m，p=（n﹣m+1）（n﹣m+2）（n﹣m+3）（n﹣1）n此时结束循环，输出p=（n﹣m+1）（n﹣m+2）（n﹣m+3）（n﹣1）n=A n m故选：D．【点评】要注意对第m次循环结果的归纳，这是本题的关键．5．（5分）设ω＞0，函数y=sin（ωx+）+2的图象向右平移个单位后与原图象重合，则ω的最小值是（）A．B．C．D．3【分析】求出图象平移后的函数表达式，与原函数对应，求出ω的最小值．【解答】解：将y=sin（ωx+）+2的图象向右平移个单位后为=，所以有=2kπ，即，又因为ω＞0，所以k≥1，故≥，故选：C．【点评】本题考查了三角函数图象的平移变换与三角函数的周期性，考查了同学们对知识灵活掌握的程度．6．（5分）设{a n}是有正数组成的等比数列，S n为其前n项和．已知a2a4=1，S3=7，则S5=（）A．B．C．D．【分析】先由等比中项的性质求得a3，再利用等比数列的通项求出公比q及首项a1，最后根据等比数列前n项和公式求得S5．【解答】解：由a2a4=a32=1，得a3=1，所以S3==7，又q＞0，解得=2，即q=．所以a1==4，所以=．故选：B．【点评】本题考查等比中项的性质、等比数列的通项公式及前n项和公式．7．（5分）设抛物线y2=8x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A 为垂足．如果直线AF的斜率为，那么|PF|=（）A．B．8 C．D．16【分析】先根据抛物线方程求出焦点坐标，进而根据直线AF的斜率为求出直线AF的方程，然后联立准线和直线AF的方程可得点A的坐标，得到点P的坐标，根据抛物线的性质：抛物线上的点到焦点和准线的距离相等可得到答案．【解答】解：抛物线的焦点F（2，0），准线方程为x=﹣2，直线AF的方程为，所以点、，从而|PF|=6+2=8故选：B．【点评】本题考查了抛物线的定义、抛物线的焦点与准线、直线与抛物线的位置关系，考查了等价转化的思想．8．（5分）平面上O，A，B三点不共线，设，则△OAB的面积等于（）A．B．C． D．【分析】利用三角形的面积公式表示出面积；再利用三角函数的平方关系将正弦表示成余弦；再利用向量的数量积公式求出向量夹角的余弦化简即得．【解答】解：==•=；故选：C．【点评】本题考查三角形的面积公式；同角三角函数的平方关系，利用向量的数量积求向量的夹角．9．（5分）设双曲线的一个焦点为F，虚轴的一个端点为B，如果直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【分析】先设出双曲线方程，则F，B的坐标可得，根据直线FB与渐近线y=垂直，得出其斜率的乘积为﹣1，进而求得b和a，c的关系式，进而根据双曲线方程a，b和c的关系进而求得a和c的等式，则双曲线的离心率可得．【解答】解：设双曲线方程为，则F（c，0），B（0，b）直线FB：bx+cy﹣bc=0与渐近线y=垂直，所以，即b2=ac所以c2﹣a2=ac，即e2﹣e﹣1=0，所以或（舍去）【点评】本题考查了双曲线的焦点、虚轴、渐近线、离心率，考查了两条直线垂直的条件，考查了方程思想．10．（5分）已知点P在曲线y=上，a为曲线在点P处的倾斜角，则a的取值范围是（）A．[0，）B．[，） C．（，]D．[，π）【分析】利用导数在切点处的值是曲线的切线斜率，再根据斜率等于倾斜角的正切值求出角的范围．【解答】解：因为y=上的导数为y′=﹣=﹣，∵e x+e﹣x≥2=2，∴e x+e﹣x+2≥4，∴y′∈[﹣1，0）即tanα∈[﹣1，0），∵0≤α＜π∴π≤α＜π．即α的取值范围是[π，π）．故选：D．【点评】本题主要考查直线的斜率关系、导数的几何意义．属于基础题．11．（5分）已知a＞0，则x0满足关于x的方程ax=b的充要条件是（）A．B．C．D．【分析】初看本题，似乎无从下手，但从题目中寻求充要条件，再看选项会发现构造二次函数求最值．【解答】解：由于a＞0，令函数，此时函数对应的开口向上，当x=时，取得最小值，而x0满足关于x的方程ax=b，那么x0═，y min=，那么对于任意的x∈R，都有≥=故选：C．【点评】本题考查了二次函数的性质、全称量词与充要条件知识，考查了学生构造二次函数解决问题的能力．12．（5分）有四根长都为2的直铁条，若再选两根长都为a的直铁条，使这六根铁条端点处相连能够焊接成一个三棱锥形的铁架，则a的取值范围是（）A．（0，）B．（1，）C．（，） D．（0，）【分析】本题考查了学生的空间想象能力以及灵活运用知识解决数学问题的能力．我们可以通过分析确定当底面是边长为2的正三角形，三条侧棱长为2，a，a此时a取最大值，当构成三棱锥的两条对角线长为a，其他各边长为2，a有最小值，易得a的取值范围【解答】解：根据条件，四根长为2的直铁条与两根长为a的直铁条要组成三棱镜形的铁架，有以下两种情况①底面是边长为2的正三角形，三条侧棱长为2，a，a，如图，此时a可以取最大值，可知AD=，SD=，则有2﹣＜＜2+，即，即有＜a＜②构成三棱锥的两条对角线长为a，其他各边长为2，如图所示，此时0＜a＜2；综上分析可知a∈（0，）；故选：A．【点评】本题考查的知识点是空间想像能力，我们要结合分类讨论思想，数形结合思想，极限思想，求出a的最大值和最小值，进而得到a的取值范围二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）的展开式中的常数项为﹣5．【分析】展开式的常数项为展开式的常数项与x﹣2的系数和；利用二项展开式的通项公式求出第r+1项，令x的指数分别为0，﹣2即得．【解答】解：的展开式的通项为T r=C6r（﹣1）r x6﹣2r，+1当r=3时，T4=﹣C63=﹣20，的展开式有常数项1×（﹣20）=﹣20，当r=4时，T5=﹣C64=15，的展开式有常数项x2×15x﹣2=15，因此常数项为﹣20+15=﹣5故答案为﹣5【点评】本题考查等价转化的能力；考查二项展开式的通项公式是解决二项展开式的特定项问题的工具．14．（5分）已知﹣1＜x+y＜4且2＜x﹣y＜3，则z=2x﹣3y的取值范围是（3，8）．（答案用区间表示）【分析】本题考查的知识点是线性规划，处理的思路为：根据已知的约束条件画出满足约束条件的可行域，再用角点法，求出目标函数的最大值和最小值，再根据最值给出目标函数的取值范围．【解答】解：画出不等式组表示的可行域如下图示：在可行域内平移直线z=2x﹣3y，当直线经过x﹣y=2与x+y=4的交点A（3，1）时，目标函数有最小值z=2×3﹣3×1=3；当直线经过x+y=﹣1与x﹣y=3的交点B（1，﹣2）时，目标函数有最大值z=2×1+3×2=8．z=2x﹣3y的取值范围是（3，8）．故答案为：（3，8）．【点评】用图解法解决线性规划问题时，分析题目的已知条件，找出约束条件和目标函数是关键，可先将题目中的量分类、列出表格，理清头绪，然后列出不等式组（方程组）寻求约束条件，并就题目所述找出目标函数．然后将可行域各角点的值一一代入，最后比较，即可得到目标函数的最优解．15．（5分）如图，网格纸的小正方形的边长是1，在其上用粗线画出了某多面体的三视图，则这个多面体最长的一条棱的长为．【分析】结合题意及图形，可知几何体为一个底面边长为2的正方形且有一条长为2的侧棱垂直于底面的四棱锥，还原几何体，求解即可．【解答】解：由三视图可知，此多面体是一个底面边长为2的正方形，且有一条长为2的侧棱垂直于底面的四棱锥，所以最长棱长为．【点评】本题考查了三视图视角下多面体棱长的最值问题，考查了同学们的识图能力以及由三视图还原物体的能力．16．（5分）已知数列{a n}满足a1=33，a n+1﹣a n=2n，则的最小值为．【分析】由累加法求出a n=33+n2﹣n，所以，设f（n）=，由此能导出n=5或6时f（n）有最小值．借此能得到的最小值．【解答】解：a n=（a n﹣a n﹣1）+（a n﹣1﹣a n﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1=2[1+2+…+（n﹣1）]+33=33+n2﹣n所以设f（n）=，令f′（n）=，则f（n）在上是单调递增，在上是递减的，因为n∈N，所以当n=5或6时f（n）有最小值．+又因为，，所以的最小值为【点评】本题考查了递推数列的通项公式的求解以及构造函数利用导数判断函数单调性，考查了同学们综合运用知识解决问题的能力．三、解答题（共8小题，满分90分）17．（12分）在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2asinA=（2b+c）sinB+（2c+b）sinC．（Ⅰ）求A的大小；（Ⅱ）求sinB+sinC的最大值．【分析】（Ⅰ）根据正弦定理，设，把sinA，sinB，sinC代入2asinA=（2b+c）sinB+（2c+b）sinC求出a2=b2+c2+bc再与余弦定理联立方程，可求出cosA的值，进而求出A的值．（Ⅱ）根据（Ⅰ）中A的值，可知c=60°﹣B，化简得sin（60°+B）根据三角函数的性质，得出最大值．【解答】解：（Ⅰ）设则a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC∵2asinA=（2b+c）sinB+（2c+b）sinC方程两边同乘以2R∴2a2=（2b+c）b+（2c+b）c整理得a2=b2+c2+bc∵由余弦定理得a2=b2+c2﹣2bccosA故cosA=﹣，A=120°（Ⅱ）由（Ⅰ）得：sinB+sinC=sinB+sin（60°﹣B）=cosB+sinB=sin（60°+B）故当B=30°时，sinB+sinC取得最大值1．【点评】本题主要考查了余弦函数的应用．其主要用来解决三角形中边、角问题，故应熟练掌握．18．（12分）为了比较注射A，B两种药物后产生的皮肤疱疹的面积，选200只家兔做试验，将这200只家兔随机地分成两组，每组100只，其中一组注射药物A，另一组注射药物B．（Ⅰ）甲、乙是200只家兔中的2只，求甲、乙分在不同组的概率；（Ⅱ）下表1和表2分别是注射药物A和B后的试验结果．（疱疹面积单位：mm2）表1：注射药物A后皮肤疱疹面积的频数分布表表2：注射药物B后皮肤疱疹面积的频数分布表（ⅰ）完成下面频率分布直方图，并比较注射两种药物后疱疹面积的中位数大小；完成下面2×2列联表，并回答能否有99.9%的把握认为“注射药物A后的疱疹面积与注射药物B后的疱疹面积有差异”．表3：附：K2=．【分析】（1）利用组合数找出所有事件的个数n，基本事件的个数m，代入古典概率计算公式p=（2）由频数分布表中的频数求出每组的，画出频率分布直方图，完成2×2列联表，代入计算随机变量值后与临界点比较判断两变量的相关性的大小．【解答】解：（Ⅰ）从200选100的组合数C200100，记：“甲、乙两只家兔分在不同组”为事件A，则事件A包含的情况有2C19899∴（4分）（Ⅱ）（i）图Ⅰ注射药物A后皮肤疱疹面积的频率分布直方图图Ⅱ注射药物B后皮肤疱疹面积的频率分布直方图可以看出注射药物A后的疱疹面积的中位数在65至70之间，而注射药物B后的疱疹面积的中位数在70至75之间，所以注射药物A后疱疹面积的中位数小于注射药物B后疱疹面积的中位数．（8分）（ii）表3：由于K2＞10.828，所以有99.9%的把握认为“注射药物A后的疱疹面积与注射药物B后的疱疹面积有差异”．（12分）【点评】本题考查的内容为：利用组合数求古典概率，由频数分布表画频率分布直方图及2×2列联表，考查独立性检验的计算公式与临界值比较以判断两个变量的关联性．要注意频率分布直方图的纵轴是19．（12分）已知三棱锥P﹣ABC中，PA⊥ABC，AB⊥AC，PA=AC=AB，N为AB 上一点，AB=4AN，M，S分别为PB，BC的中点．（Ⅰ）证明：CM⊥SN；（Ⅱ）求SN与平面CMN所成角的大小．【分析】由PA=AC=AB，N为AB上一点，AB=4AN，我们不妨令PA=1，然后以A为原点，射线AB，AC，AP分别为x，y，z轴正向建立空间直角坐标系．由此不难得到各点的坐标（1）要证明CM⊥SN，我们可要证明即可，根据向量数量积的运算，我们不难证明；（2）要求SN与平面CMN所成角的大小，我们只要利用求向量夹角的方法，求出SN和方向向量与平面CMN的法向量的夹角，再由它们之间的关系，易求出SN与平面CMN所成角的大小．【解答】证明：设PA=1，以A为原点，射线AB，AC，AP分别为x，y，z轴正向建立空间直角坐标系如图．则P（0，0，1），C（0，1，0），B（2，0，0），M（1，0，），N（，0，0），S（1，，0）．（4分）（Ⅰ），因为，所以CM⊥SN（6分）（Ⅱ），设a=（x，y，z）为平面CMN的一个法向量，则令x=2，得a=（2，1，﹣2）．因为，所以SN与平面CMN所成角为45°．【点评】如果已知向量的坐标，求向量的夹角，我们可以分别求出两个向量的坐标，进一步求出两个向量的模及他们的数量积，然后代入公式cosθ=即可求解20．（12分）设椭圆C：的左焦点为F，过点F的直线l与椭圆C相交于A，B两点，直线l的倾斜角为60°，．（1）求椭圆C的离心率；（2）如果|AB|=，求椭圆C的方程．【分析】（1）点斜式设出直线l的方程，代入椭圆，得到A、B的纵坐标，再由，求出离心率．（2）利用弦长公式和离心率的值，求出椭圆的长半轴、短半轴的值，从而写出标准方程．【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），由题意知y1＞0，y2＜0．（1）直线l的方程为，其中．联立得．解得，．因为，所以﹣y1=2y2．即﹣=2 ，解得离心率．（6分）（2）因为，∴•．由得，所以，解得a=3，．故椭圆C的方程为．（12分）【点评】本题考查椭圆的性质标和准方程，以及直线和圆锥曲线的位置关系，准确进行式子的变形和求值，是解题的难点，属于中档题．21．（12分）已知函数f（x）=（a+1）lnx+ax2+1（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）设a＜﹣1．如果对任意x1，x2∈（0，+∞），|f（x1）﹣f（x2）|≥4|x1﹣x2|，求a的取值范围．【分析】（1）先确定函数的定义域然后求导数fˊ（x），在函数的定义域内解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0，求出单调区间．（2）根据第一问的单调性先对|f（x1）﹣f（x2）|≥4|x1﹣x2|进行化简整理，转化成研究g（x）=f（x）+4x在（0，+∞）单调减函数，再利用参数分离法求出a 的范围．【解答】解：（Ⅰ）f（x）的定义域为（0，+∞）.．当a≥0时，f′（x）＞0，故f（x）在（0，+∞）单调递增；当a≤﹣1时，f′（x）＜0，故f（x）在（0，+∞）单调递减；当﹣1＜a＜0时，令f′（x）=0，解得．则当时，f'（x）＞0；时，f'（x）＜0．故f（x）在单调递增，在单调递减．（Ⅱ）不妨假设x1≥x2，而a＜﹣1，由（Ⅰ）知在（0，+∞）单调递减，从而∀x1，x2∈（0，+∞），|f（x1）﹣f（x2）|≥4|x1﹣x2|等价于∀x1，x2∈（0，+∞），f（x2）+4x2≥f（x1）+4x1①令g（x）=f（x）+4x，则①等价于g（x）在（0，+∞）单调递减，即．从而故a的取值范围为（﹣∞，﹣2]．（12分）【点评】本小题主要考查函数的导数，单调性，极值，不等式等基础知识，考查综合利用数学知识分析问题、解决问题的能力．22．（10分）如图，△ABC的角平分线AD的延长线交它的外接圆于点E．（1）证明：△ABE∽△ADC；（2）若△ABC的面积S=AD•AE，求∠BAC的大小．【分析】（1）要判断两个三角形相似，可以根据三角形相似判定定理进行证明，但注意观察已知条件中给出的是角的关系，故采用判定定理1更合适，故需要再找到一组对应角相等，由圆周角定理，易得满足条件的角．（2）根据（1）的结论，我们可得三角形对应对成比例，由此我们可以将△ABC的面积转化为S=AB•AC，再结合三角形面积公式，不难得到∠BAC 的大小．【解答】证明：（1）由已知△ABC的角平分线为AD，可得∠BAE=∠CAD因为∠AEB与∠ACB是同弧上的圆周角，所以∠AEB=∠ACD故△ABE∽△ADC．解：（2）因为△ABE∽△ADC，所以，即AB•AC=AD•AE．又S=AB•ACsin∠BAC，且S=AD•AE，故AB•ACsin∠BAC=AD•AE．则sin∠BAC=1，又∠BAC为三角形内角，所以∠BAC=90°．【点评】相似三角形有三个判定定理：判定定理1：两角对应相等的两个三角形相似；判定定理2：三边对应成比例的两个三角形相似；判定定理3：两边对应成比例，并且夹角相等的两个三角形相似．在证明三角形相似时，要根据已知条件选择适当的定理．23．（10分）已知P为半圆C：（θ为参数，0≤θ≤π）上的点，点A 的坐标为（1，0），O为坐标原点，点M在射线OP上，线段OM与C的弧的长度均为．（1）以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求点M的极坐标；（2）求直线AM的参数方程．（1）利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，【分析】进行代换即得．（2）先在直角坐标系中算出点M、A的坐标，再利用直角坐标的直线AM的参数方程求得参数方程即可．【解答】解：（Ⅰ）由已知，M点的极角为，且M点的极径等于，故点M的极坐标为（，）．（5分）（Ⅱ）M点的直角坐标为（），A（1，0），故直线AM的参数方程为（t为参数）（10分）【点评】本题考查点的极坐标和直角坐标的互化，能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化．24．（10分）已知a，b，c均为正数，证明：≥6，并确定a，b，c为何值时，等号成立．【分析】证法一：两次利用基本不等式放小，此处不用考虑等号成立的条件，因等号不成立不影响不等号的传递性．证法二：先用基本不等式推出a2+b2+c2≥ab+bc+ac与两者之和用基本不等式放小，整体上只用了一次放缩法．其本质与证法一同．【解答】证明：证法一：因为a，b，c均为正数，由平均值不等式得①所以②故．又③所以原不等式成立．当且仅当a=b=c时，①式和②式等号成立．当且仅当时，③式等号成立．即当且仅当a=b=c=时，原式等号成立．证法二：因为a，b，c均为正数，由基本不等式得所以a2+b2+c2≥ab+bc+ac①同理②故③所以原不等式成立．当且仅当a=b=c时，①式和②式等号成立，当且仅当a=b=c，（ab）2=（bc）2=（ac）2=3时，③式等号成立．即当且仅当a=b=c=时，原式等号成立．【点评】考查放缩法在证明不等式中的应用，本题在用缩法时多次用到基本不等式，请读者体会本题证明过程中不考虑等号是否成立的原理，并与利用基本不等式求最值再据最值成立的条件求参数题型比较．深入分析等号成立的条件什么时候必须考虑，什么时候可以不考虑．。
2010年 辽宁省高考数学试卷(文科)
2010年辽宁省高考数学试卷（文科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）（2010•辽宁）已知集合U={1，3，5，7，9}，A={1，5，7}，则∁U A=（）A．{1，3} B．{3，7，9} C．{3，5，9} D．{3，9}2．（5分）（2010•辽宁）设a，b为实数，若复数，则（）A．B．a=3，b=1 C．D．a=1，b=33．（5分）（2010•辽宁）设S n为等比数列{a n}的前n项和，已知3S3=a4﹣2，3S2=a3﹣2，则公比q=（）A．3 B．4 C．5 D．64．（5分）（2010•辽宁）已知a＞0，函数f（x）=ax2+bx+c，若x0满足关于x的方程2ax+b=0，则下列选项的命题中为假命题的是（）A．∂x∈R，f（x）≤f（x0） B．∂x∈R，f（x）≥f（x0）C．∀x∈R，f（x）≤f（x0）D．∀x∈R，f（x）≥f（x0）5．（5分）（2010•辽宁）如果执行右面的程序框图，输入n=6，m=4，那么输出的p等于（）A．720 B．360 C．240 D．1206．（5分）（2010•辽宁）设ω＞0，函数y=sin（ωx+）+2的图象向右平移个单位后与原图象重合，则ω的最小值是（）A．B．C．D．37．（5分）（2010•辽宁）设抛物线y2=8x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足．如果直线AF的斜率为，那么|PF|=（）A．B．8 C． D．168．（5分）（2010•辽宁）平面上O，A，B三点不共线，设，则△OAB的面积等于（）A．B．C．D．9．（5分）（2010•辽宁）设双曲线的﹣个焦点为F，虚轴的﹣个端点为B，如果直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为（）A．B．C．D．10．（5分）（2010•辽宁）设2a=5b=m，且，则m=（）A． B．10 C．20 D．10011．（5分）（2010•辽宁）已知S，A，B，C是球O表面上的点，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，SA=AB=1，，则球O的表面积等于（）A．4πB．3πC．2πD．π12．（5分）（2010•辽宁）已知点P在曲线y=上，α为曲线在点P处的切线的倾斜角，则α的取值范围是（）A．[0，） B．C．D．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）（2010•辽宁）三张卡片上分别写上字母E、E、B，将三张卡片随机地排成一行，恰好排成英文单词BEE的概率为．14．（5分）（2010•辽宁）设S n为等差数列{a n}的前n项和，若S3=3，S6=24，则a9=．15．（5分）（2010•辽宁）已知﹣1＜x+y＜4且2＜x﹣y＜3，则z=2x﹣3y的取值范围是．（答案用区间表示）16．（5分）（2010•辽宁）如图，网格纸的小正方形的边长是1，在其上用粗线画出了某多面体的三视图，则这个多面体最长的一条棱的长为．三、解答题（共8小题，满分90分）17．（12分）（2010•辽宁）在△ABC中，a、b、c分别为内角A、B、C的对边，且2asinA=（2b+c）sinB+（2c+b）sinC（Ⅰ）求A的大小；（Ⅱ）若sinB+sinC=1，试判断△ABC的形状．18．（12分）（2010•辽宁）为了比较注射A，B两种药物后产生的皮肤疱疹的面积，选200只家兔做试验，将这200只家兔随机地分成两组，每组100只，其中一组注射药物A，另一组注射药物B．（Ⅰ）甲、乙是200只家兔中的2只，求甲、乙分在不同组的概率；（Ⅱ）下表1和表2分别是注射药物A和B后的试验结果．（疱疹面积单位：mm2）完成下面2×2列联表，并回答能否有99.9%的把握认为“注射药物A后的疱疹面积与注射药物B后的疱疹面积有差异”．附：K2=．19．（12分）（2010•辽宁）如图，棱柱ABC﹣A1B1C1的侧面BCC1B1是菱形，B1C⊥A1B （Ⅰ）证明：平面AB1C⊥平面A1BC1；（Ⅱ）设D是A1C1上的点，且A1B∥平面B1CD，求A1D：DC1的值．20．（12分）（2010•辽宁）设F1，F2分别为椭圆（a＞b＞0）的左、右焦点，过F2的直线l与椭圆C相交于A，B两点，直线l的倾斜角为60°，F1到直线l的距离为．（Ⅰ）求椭圆C的焦距；（Ⅱ）如果，求椭圆C的方程．21．（12分）（2010•辽宁）已知函数f（x）=（a+1）lnx+ax2+1．（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；（Ⅱ）设a≤﹣2，证明：对任意x1，x2∈（0，+∞），|f（x1）﹣f（x2）|≥4|x1﹣x2|．22．（10分）（2010•辽宁）如图，△ABC的角平分线AD的延长线交它的外接圆于点E．（1）证明：△ABE∽△ADC；（2）若△ABC的面积S=AD•AE，求∠BAC的大小．23．（10分）（2010•辽宁）已知P为半圆C：（θ为参数，0≤θ≤π）上的点，点A 的坐标为（1，0），O为坐标原点，点M在射线OP上，线段OM与C的弧的长度均为．（1）以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求点M的极坐标；（2）求直线AM的参数方程．24．（10分）（2010•辽宁）已知a，b，c均为正数，证明：≥6，并确定a，b，c为何值时，等号成立．。
高考数学命题体现能力立意的策略
•引言•能力立意的体现•命题策略•命题实践目•能力立意在高考数学命题中的挑战与对策•结论与展望录01高考数学命题的背景和意义能力立意的概念及重要性010*******02总结词详细描述基础知识掌握程度数学思想方法的运用总结词数学思想方法是数学学习的灵魂，高考数学命题通过考察考生对数学思想方法的运用，来衡量考生在解决问题时的思路和方法。
详细描述高考数学命题通常会涉及对数学思想方法的考核，包括方程思想、函数思想、数形结合思想、化归思想等。
例如，在解决不等式问题时，可能会用到函数思想来构造函数并研究其性质，或者用数形结合思想来通过图形直观地解决不等式问题。
创新能力总结词详细描述总结词解决问题的能力是数学学习的核心能力，高考数学命题通过考察考生解决问题的能力，来衡量考生在面对实际问题时的解决能力和应用能力。
详细描述高考数学命题通常会涉及对解决问题的能力的考核，包括分析问题、寻找突破口、运用数学知识解决问题的能力。
例如，在解决概率统计问题时，可能会涉及到对问题的分析、寻找突破口、运用概率和统计知识解决问题的能力。
解决问题的能力03数学抽象能力逻辑推理能力数学建模能力数学运算能力基于数学核心素养的命题策略关注热点问题让考生了解数学在各个领域中的应用，如金融、工程、医学等，增强考生的应用意识。
增强应用意识培养分析能力结合实际问题的命题策略命题形式的多样性命题难度的层次性多元化的命题策略04实际命题案例分析案例101案例202案例303通过以上实际命题案例分析，我们可以看到高考数学命题在体现能力立意方面做了很多尝试，不仅注重考查学生的基础知识，还注重考查学生的数学思想方法和分析解决问题的能力。
这些命题实践对于我们在教学中注重培养学生的数学思想方法和分析解决问题的能力具有很好的启示作用。
教学启示在教学过程中，我们应该注重培养学生的数学思想方法和分析解决问题的能力，让学生能够运用所学知识解决实际问题。
同时，我们还应该注重培养学生的创新意识和实践能力，让学生在学习过程中得到全面的发展。
2010年高考数学总结及2011年高考数学展望(详细)
2010年高考数学总结及2011年高考数学展望各位老师，大家好。
从这次课开始，我将和各位老师一起总结2010年高考数学的命题特点，分析研究2011年高考数学的命题方向。
今天我将重点从以下几个方面一一介绍。
（一）新课改的基本情况（以下称新高考）首先，我对新课改的基本情况做一个梳理。
从2007年开始，广东、山东、海南、宁夏四地开始新高考，2008年增加了江苏省，2009年增加了天津、浙江、辽宁、福建、安徽，2010年增加黑龙江、吉林、湖南、北京、陕西，2011年山西、江西、河南、新疆也将加入新高考的行列。
2012年增加云南、内蒙古、河北、湖北，2013年全国推广。
所以在复习和教研资料的选取上，已经新高考和将要新高考地区的老师可以用最近四年新高考的一共28套数学真题作为最重要的参考资料。
（二）2010高考数学的基本特点1.全国19套高考数学试题难度系数基本控制在0.5-0.6之间，即平均分控制在75-90分之间；2.19套数学试卷的题型和分数比例与2009年几乎一致，总体难度理科保持稳定，文科难度有所下调，尤其体现在新课改地区。
继续保持对计算能力的考察力度，尤其是江苏省试题在计算能力的要求上达到全国近十年的最高水平。
3.已经新课改的地区对探索意识有一定的考察，这也是新课改提倡的。
新课改新增知识的考察基本遵循简易原则，不管是大题还是小题，都没有出现拉开差距的试题。
由于新课改新增内容本身不复杂，相信今后的高考数学试题在这个版块方面难有亮点。
各位老师也没有必要在此花大量的精力研究，高考试卷的难点依然是传统的导数、数列、解析几何和不等式收缩证明。
（三）考纲考点基本变化情况不管有没有新课改，函数、数列、三角函数、圆锥曲线、不等式、立体几何、概率与统计、导数八大章节的知识都是高中数学的主干知识，目前数学高考真题的大题基本都是在这八个板块当中单独或交错出题。
新课改教材内容的变化导致考点的变化，在此也做一个基本梳理。
2010年高考数学信息试卷(一)
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科学备考 专项突破——理科数学专题突破
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3小 15
2小 22 1大 2小 22 1大 2小 22 1大 1小 5
2小 10
1大 10
一、回顾 新课标高考试题特点
（一）严格遵循课程标准，传统内容考查稳中求新，平稳过渡
1、(2012大纲卷22)函数f (x) x2 2x 3,定义数列
xn如下：x1 2, xn1是过两点P(4,5), Qn (xn , f (xn ))
一、回顾
（二）新增内容适度考查，注重知识交汇，逐步深入
新增内容包括： 算法、样本估计总体、线性回归(最小二乘法)、 独立性检验、全称量词与特称量词、几何概型、 定积分、推理与证明、参数方程、极坐标、条 件概率等都是新课标增加的内容。此外还有一些 新增加的概念：函数零点、超几何分布、两点分布等。
对新增内容：简易逻辑，平面空间向量，线性规划，概率 与统计，函数的连续与导数又成为了命题者整合与交汇知 识的热点. 尤其是近三年的高考试卷中这些新增内容所占总 试题的出题率接近30%，这一比例大大超过了该内容的课时 比例.
构
修修修修 修 1234 5
选修3-4 选修3-3 选修3-2 选修3-1
选修4-4 选修4-3 选修4-2 选修4-1
图
*上图中 代表模块，
代表专题，其中2个专题组成1个模块.
一、回顾 新课标数学高考的发展
年份 2007 2008 2009 2010 2011
2012
2013
省份 宁夏 海南
宁夏 海南
a4 4, a7 2 a1 8, a10 1 a1 a10 7
a4 2, a7 4 a10 8, a1 1 a1 a10 7
选D
二、展望 2015年新课标高考考试说明解读
改进高考命题 推进素质教育——数学高考命题回顾与展望
改进高考命题推进素质教育——数学高考命题回顾与展望任子朝
【期刊名称】《中学数学月刊》
【年(卷),期】1997(000)009
【摘要】1 十年回顾从八十年代末到九十年代中期,大学入学考试研究和工作的重点一是解决考试与教学之间存在的矛盾,发挥高考对中学教学的积极的导向作用;二是考试自身的科学研究,包括考试目标的确定,题型功能的分析,命题方法的研究,数学科高考命题主要在以下五方面开展了研究,并取得了成效:抓纲靠本,注重基础;数学思想方法的总结与考查;数学科命题的标准化;强调数学在解决实际问题中的应用;数学能力的分析与细化。
【总页数】3页(P1-3)
【作者】任子朝
【作者单位】国家教委考试中心 100080
【正文语种】中文
【中图分类】G634.605
【相关文献】
1.2010年上海高考命题总体回顾及教学建议 [J], 杨敏
2.高考命题中初等数学知识与高等数学思想的融合 [J], 刘转玲
3.高等数学背景下的高考命题探究——2012年全国数学高考理科卷第22题 [J], 杨思源;
4.高考命题的热门话题——数学核心素养与数学文化 [J], 贾炳麟;贾冬婷;
5.参加全国数学高考命题工作回顾及对教学与复习的建议 [J], 钱昌本
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近三年高考数学试卷中问题情境的比较分析
试卷特点主要表现在以下几个方面
2. 强调数学思维和问题解决能力的考察，如解析几何 、不等式等题目；
4. 跨学科的题目有所增加，如以物理、化学等学科为 背景的数学题目。
03
问题情境分类及比较
实际问题情境
01
02
总结词：实际问题情境 强调数学在实际生活中 的应用，让学生在解决 实际问题的过程中体验 数学的实用性。
07
研究不足与展望
研究不足之处
研究样本的局限性
该研究仅选取了近三年的高考数学试卷，可能不能全面反映所有高考数学试卷中问题情境的变化。为了更准确地比较分析， 应该考虑更多的年份和试卷。
缺乏深入的理论分析
该研究主要基于实证数据的比较分析，没有结合相关理论或模型进行深入探讨。这限制了研究的深度和广度，可能无法揭 示问题情境变化的深层次原因。
THANKS
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3. 实际生活情境与学 科知识的结合：实际 生活情境与学科知识 的结合更加紧密。需 要学生不仅具备数学 基础知识
学科知识情境分析
01ห้องสมุดไป่ตู้
02
总结词：学科知识情境 在高考数学试卷中所占 比例较大，是考察学生 数学基础知识的主要方 式。
详细描述
03
04
05
1. 学科知识情境的覆盖 面：学科知识情境的覆 盖面较广，包括代数、 几何、概率统计等多个 方面，旨在全面考察学 生对数学基础知识的掌 握情况。
总结词：实际生活情 境在高考数学试卷中 的比例逐渐增加，反 映了高考对数学应用 能力的重视。
详细描述
1. 实际生活情境的多 样性：实际生活情境 包括与金融、工业、 农业、医学等众多领 域相关的数学应用题
2. 实际生活情境的难 度：实际生活情境的 难度相对较高，需要 学生具备一定的问题 解决能力和综合应用 知识的能力。
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2010年辽宁省高考数学命题展望与复习对策东北育才学校高三数学备课组王成栋一、2009年辽宁省高考数学试题分析与评价2009年高考，作为辽宁省实施新课程改革后的第一次高考，引起了广大中学数学教师的高度关注。
从这份试卷中可以获得哪些信息？它对中学数学教学有哪些启示？对2010年的高考数学复习备考会产生怎样的影响？下面就此谈一些看法，希望能给广大同仁提供帮助。
1.试题总体概说2009年辽宁高考数学试卷基本上贯彻了《2009年普通高等学校招生全国统一考试大纲》和《辽宁省考试说明》确定的高考命题的指导思想和命题的原则与考试要求，文理试卷融入了新课程改革的理念，较好的体现了“平稳中重基础，朴实中显特色”的命题思路，真正实现了新课程改革下的高考试卷与传统高考试卷的平稳过度。
文科与理科全卷布局结构合理，试题立足基础、突出主干、能力立意。
命题中正视了文理科考生的差异，合理地设计了文理试卷的难度系数，试后初步估计文科试卷难度系数0.6左右,理科难度系数0.5左右。
两张试卷很好地体现试题的信度、坡度、效度、区分度，有利于社会的和谐与稳定，有利于高校选拔人才,有利于中学实施素质教育，有利于培养学生的创新精神与实践能力。
它为2010年高考的数学复习指明了方向，为推动高中新课程的数学教学改革，发挥了良好的导向作用。
2.试题的主要特点分析2.1 立足基础，突出主干2009年辽宁数学试题注重考查基础知识和基本技能，多数试题的综合性不强。
如理科选择题的第1—7题和第10题、填空题第13、14题和第16题，都只是单纯地考查1~2个知识点，没有知识间的交叉；解答题的第17、18（I）、19（I）、20（I）题以及选作题也都只考查基本的知识和技能，这些题约占整个试卷的65%。
这些试题一方面突出体现了考试大纲中“平稳过渡”指导思想，另外也较好地贯彻了课程标准中“获得必要的数学基础知识和技能”的数学课程目标要求。
今年的辽宁高考数学试题对函数与导数、三角与向量、概率与统计、数列、不等式、立体几何、直线与圆锥曲线的考查约占全卷的70%，较好地体现了考试大纲提出的“对数学基础知识的考查，要求既全面又突出重点，对于支撑学科知识体系的重点知识，考查时要保持较高的比例，构成试卷的主体”的考查要求。
2.2 关注课改，注重教材2009年辽宁数学试卷中，对课改中新增内容给予了足够的重视。
诸如算法、三视图、几何概型、统计知识、事件的独立性检验、简单逻辑用语，以及理科的空间向量、条件概率等知识在试卷中都有所体现。
今年我省理科数学试卷中新增内容约占14%、文科试卷中新增内容约占17%。
可以说，对新增内容基本上做到了全面覆盖，但考虑到新增内容必须有一个逐步适应的过程，对这些内容考查的难度要求都比较低。
另外，试卷中相当数量的试题在教材中都有原型，例如理第6题和文科第8题分别是由必修5中2.3等比数列一节中练习B第2题和必修4中1.2.2同角三角函数基本关系式一节中练习B第2题改编而成；理第16题是由选修2—1中2.2椭圆一节中习题2—2B第2题：“已知点A(1,1),而且是椭圆的左焦点，是椭圆上任意一点，求的最小值和最大值”迁移而来；第17题是三角应用题，它是由必修5中1.2应用举例一节中练习A第1、2两小题捏合而成。
选择题第12题由函数中经典问题：已知是方程的解，的解，则演化而来。
2.3 注重思想方法，突出思维能力考查数学思想和方法是数学知识在更高层次上的抽象和概括，它蕴涵在数学知识发生、发展和应用的过程中。
因此，对数学思想和方法的考查必然要与数学知识的考查结合进行，以对数学知识的考查为载体，反映考生对数学思想和方法理解与掌握的程度。
2009年辽宁数学试卷在数学知识的考查中，注重考查了考生对数学思想和方法的理解和掌握程度。
整份试卷注意研究题目信息的配置，考虑从不同角度运用不同的方法，创设多条解题途径，有效地区分不同层次学生的思维水平。
如理科试卷中第12题考查数形结合思想；第19(II) 题和第21(I)题主要考查分类讨论思想；第10题和第21(II)题考查函数与方程、转化化归等思想。
在试卷中对反证法、极限法、待定系数法等都有不同程度的体现。
文科试卷中第20题强化了对学生概率与统计知识和独立性检验知识的考查，特别是对学生的计算能力要求较高。
2.4 注重通法，淡化技巧2009年辽宁数学试卷突出考查常规方法和通性通法，淡化特殊技巧，较好地体现了以知识为载体，以方法为依托，以能力为考查目的的命题指向。
全卷没有直接考查纯记忆的陈述性知识，注重考查知识的运用能力及学生的计算能力和推理论证能力等等。
由于立足基本方法和通性通法，整卷试题的坡度较好地实现了由易到难，并且实现了解答题低起点、宽入口、逐步深入的格局。
整卷新题不难，难题不怪，题型常规但不失难度，有助于检测考生对数学学科知识理解、掌握和运用情况，更有利于学优生充分发挥水平，展示实力，有利于区分和选拔。
2.5 打破常规，推陈出新新课程改革的一个重要理念就是要重视培养学生的应用意识和应用能力，培养学生的探究、发现和创造能力。
2009年辽宁数学试卷对此考查的题目量大并且达到了一定的深度。
如第10题考查算法；理科第13题考查统计；理科第17题和文科第18题考查三角函数的应用；理科第19题和文科第20题考查概率统计；理科第17题考查学生运用所学知识探究新问题的能力。
新课程标准与教学大纲对某些知识的要求发生了变化，例如新课程标准中提高了对正、余弦定理应用的要求，增加了证明方法中的反证法等。
这些要求的变化，导致高考试题的命题点发生改变。
2009年辽宁卷中理(17)对三角函数知识的考查从原来的三角函数的化简、求值、图象、性质等问题转变为三角实际应用问题；理（18）对立体几何知识的考查从原来立体几何中的平行、垂直关系的证明、二面角的求解等问题转变为求直线与平面所成角和用反正法证明两条直线为异面直线。
文（21）对函数、导数、不等式的考查从原来的三次函数转化成两项积的导数问题。
对于这些问题的考查乍看试题觉得有点意外，如果我们重新审视新课程标准后，觉得这些试题的出现是课改的必然。
但对于这个问题也有不同的声音：有些老师认为文理科试卷中不成功的试题就是用反证法证明两条直线是异面直线，它没有考出新课改所提倡的立体几何经典内容。
这道题所涉及的异面直线的证明在考纲和考试说明中都是模糊内容，学生与教师对它很难把握到位，因为数学课的教学内容多、课时紧，若所有知识按这种形式去要求学生，一定会进一步增加学生课业负担，面对新课程改革教师最大的疑惑是：新课标中没有提到或是淡化而传统教学中又比较经典的内容怎样去把握？这道题的引导中学教学的指挥棒作用非常值得我们思考与研究。
该题理科第一问也没有体现利用空间向量解题的优越性，对于立体几何的考查就是“穿新鞋走老路”。
我认为2009年文理科立体几何试题对学校教学的影响是很大的，最直接的后果是教师会盲目进行拓展训练，数学科的中差学生会越来越累，影响学习数学的积极性。
2.6文理试题区别增大根据辽宁省文理科学生的实际情况，与往年相比，2009年文理科数学试题文理共用试题数量有所下降。
其中文理共用试题数量是9道题，其中有填空题第15题、解答题的文科第18题与理科第17题、文理科第18(II)题、文科第22题与理科第20题，其余是选择题中的文（2）与理（2），文（4）与理（3），文（7）与理（4），文（12）与理（9），文（10）与理（10）。
从上面统计结果可以看出文理试题的难度差别较大，全卷有13道题文理科采用了不同试题。
在文理不同的试题中，文科的难度都小于理科的难度，这样做有利于激发文科学生学习数学的积极性，促进文科学生全面发展。
总之，试题在考查基础知识的基础上，注重对数学思想和方法的考查，注重对数学能力的考查，综合程度调控合理，注重多角度，多层次。
不过试卷中也存在略有不足之处，例如理科试卷中两道立体几何小题都考查求几何体的体积、两道数列小题都与数列的前项和有关，在考查这两方面知识时略显单调。
3.09年高考数学试题留给我们的教学启示3.1 对课改中新增内容应予以重视新课改中新增内容为高考命题既增加了素材、拓宽了空间，更为创新题型提供了背景、思想，在学习中对新增内容更应加大关注程度。
2009年辽宁数学卷对新增内容的考查还比较简单，综合性不强，随着课改的深入，新增内容与传统内容将逐渐融合，它主要表现为：算法与数列、函数、不等式等内容的有机结合；几何概型与函数、方程、不等式、解析几何、立体几何等知识的有机结合；类比推理与几何、数列等知识相结合等。
高考试题在新增内容的考查力度、难度也将出现新的变化，在这方面我们应有心理和行动上的准备。
3.2 对于知识点的复习不留空白2009年辽宁卷理科第18（II）题（文科第19（II）题）是用反证法证明两条直线是异面直线，在判卷的过程中，我们发现这个问题90%的学生不能得满分，多数只能得2分，到现在，部分师生仍对这个问题的出现感觉非常意外。
原因是多方面的，但我们分析其根本原因还在于很多老师在高三复习中只关注反证法原理的复习，对异面直线的概念强调不够，导致学生不会得出矛盾的结论。
因此对任何知识点不应不复习，也不应轻描淡写，复习时基本知识点的覆盖务必力求全面系统。
为避免学生遗忘，教师可在第二、三轮复习时，有计划地将这些非主干知识安排在历次考试后进行查缺补漏。
3.3 加强学生的计算能力，注重知识的综合，培养学生的探究能力今年辽宁省的考生普遍感觉数学试题难度不大，但计算量大。
新课程的基本理念之一是“发展学生的数学应用意识”，数学应用最终是通过运算求解来实现的，这就要求学生具有扎实的运算求解的能力。
算法的引入，圆锥曲线的第二定义的删除，都与加强学生运算能力有关。
无论从考试还是从学生发展的角度，都应把运算能力的训练贯穿复习的始终。
在实际训练时，还应避免繁琐的和人为技巧化的运算。
今年是宁夏、海南课改后的第三次高考，试题难度已明显增大，综合性也有了提高。
特别值得注意的是理科第17题，原题是这样表述的：“为了测量两山顶M，N间的距离，飞机沿水平方向在A，B两点进行测量，A，B，M，N在同一个铅垂平面内（如示意图），飞机能够测量的数据有俯角和A，B间的距离，请设计一个方案，包括：①指出需要测量的数据（用字母表示，并在图中标出）；②用文字和公式写出计算M，N间的距离的步骤。
”这是一道具有现实背景的开放性试题，考查学生学以致用的能力，彰显了高考命题中“以能力立意”的基本要求。
从这一点来看，今后辽宁省的命题方式和命题思路也将有大的改变。
因此复习时，不但要逐步培养学生解决实际问题、综合题的能力，还要加大学生数学建模、开放、探究问题的训练力度。
3.4 提高教材的利用度教材是数学知识和数学思想方法的载体，又是教学的依据，理应成为高考试题的源头。