机械振动5
2021_2022学年新教材高中物理第二章机械振动5实验：用单摆测量重力加速度课件新人教版选择性必修
(2)单摆的周期公式。
(3)处理数据的方法。
实验互动探究 一、实验步骤
【实验过程】
1．制作单摆：让细线的一端穿过小球的小孔，并打一个比小孔大一些的结，然 后把线的另一端用铁夹固定在铁架台上，并把铁架台放在实验桌边，使铁夹伸到 桌面以外，让摆球自然下垂。且在单摆平衡位置处作标记，如图所示。 2．观察单摆运动的等时性。 3．测摆长：用米尺量出摆线长l′，精确到毫米，用游标卡尺测出小球的直径d， 也精确到毫米，则单摆长l＝l′＋d2 。
4．有五组同学用单摆测定重力加速度，各组的实验器材、数据如表中所示。若 各组同学实验操作水平一样，那么第________组同学测定的结果最准确。若该组 同学根据自己测得的实验数据作出单摆的振动图像，如图所示，那么该同学测出 的重力加速度大小是________m/s2。
【解析】第5组同学的单摆摆长适当，偏角小于5°，振动次数较多，误差最小。T ＝1.80 s，代入公式g＝4Tπ22l ， 得g＝9.74 m/s2。 答案：5 9.74
4π2l T2
，求出加
速度g，然后算出g的平均值。
2．图像法：由公式g＝
4π2l T2
，分别测出一系列摆长l对应的周期T，作出l-T2的图
像，如图所示，图像应是一条通过原点的直线，求出图线的斜率k，k＝
l T2
＝
Δl ΔT2
，g＝4π2k。即可求得g值。
【误差分析】 1．实验原理不完善造成系统误差： 来源于单摆模型本身是否符合要求。即：悬点是否固定，是单摆还是复摆，球、 线是否符合要求，振动是圆锥摆还是在同一竖直平面内振动，以及测量哪段长度 作为摆长等等。只要注意了上面这些方面，就可以使系统误差减小到远小于偶然 误差而忽略不计的程度。
第5章 机械振动
令
2＝ mgh
J
单摆或复摆在小角度摆动情况下， 经过近似处理，它们的运动方程与弹簧振 子的运动方程具有完全相同的数学形式。
O h C
P
例题
【例 题】 一质量为 m 的物体悬挂于轻弹簧下端，不计空气阻力，试证其在平
衡位置附近的振动是简谐振动。
证 如图所示，以平衡位置 A 为原点，向下为 x 轴正向，设某一 瞬时振子的坐标为 x 。
5.1.2 微振动的简谐近似
一端固定且不可伸长的细线与可视为质的物体相连，当它在竖
直平面内作小角度( ≤5°)摆动时，该系统称为单摆，如图所示。
单摆过 C 点的力矩：
M＝－mglsin 很小，近似简化
C l
M＝－mgl
T
摆球的动力学方程：
P sin m
－mgl＝ml
2
d2
dt 2
解 设此简谐振动为
x＝Acos( t+0 )
x cm 4
A＝0.4 m,只需求出0 和 。
2
P
0
从图中分析可知，t＝0 时，x0＝－2cm ， 2
1
ts
且
v0＝
dx dt
＜0
(由曲线的斜率决定)，
4
代入振动方程，有
－2＝4cos0
故 0＝
2π 3
，又由
v0＝－ Asin0＜0
x0＝Acos0
－
v0
＝Asin0
注意：
A＝
x02
(
v0
)2
（1）振幅 A 是离开平衡位置的最大位移的绝对值，只能取正值； （2）振幅 A 确定了系统运动的范围。
五、机械振动
第一节、 第一节、简谐振动
一、简谐振动(simple harmonic vibration )的基本特征 简谐振动 的基本特征 以弹簧振子为例讨论， 以弹簧振子为例讨论， 弹簧振子是典型的简谐 振动 弹簧的弹力
O
x
M x
F = -kx
根据牛顿第二定律有 所以 其解
医学物理学
x = Acos(ωt +ϕ)
二、同一直线上两个频率相近的简谐振动的合成 两简谐振动分别为
x1 = A1 cos( ω 1t + ϕ 1 )
x 2 = A2 cos( ω 2 t + ϕ 2 )
y
ω1
合振动 x = x1 + x2 = A1 cos(ω1t + ϕ1 ) + A2 cos(ω 2t + ϕ 2 ) 合振动不再是简谐振动， 合振动不再是简谐振动， 而是一种复杂振动 如图] 矢量图解法 [如图 如图 由矢量图得合振动的振幅为
一、同一直线上两个同频率简谐振动的合成 设有两个同频率的简谐振动 x1 = A1 cos(ωt + ϕ1 ) x2 = A2 cos(ωt + ϕ 2 ) 合振动 x = x1 + x2 = A1 cos(ωt + ϕ1 ) + A2 cos(ωt + ϕ 2 ) 由矢量图得 而
仍为同频率谐振动） x = A cos( ω t + ϕ ) （仍为同频率谐振动）
医学物理学
v A2 v A1
v A
• 推广：多个同方向同频率简谐振动的合成 推广： 合振动仍是简谐振动。
x = Acos(ω⋅t +ϕ)
tgϕ =
∑ A sinϕ
i =1 n i i =1 i
机械振动(五)答案
机械振动（五）答案1. 图为同一实验中甲、乙两个单摆的振动图象，从图象可知（）A.两摆球质量相等B.两单摆的摆长相等C.两单摆相位相差π4D.在相同的时间内，两摆球通过的路程总有s甲=2s 乙【解析】根根据图线得到振幅和周期的情况，然后结合单摆的周期公式进行分析讨论．【解答】解：A、从单摆的位移时间图象可以看出两个单摆的周期相等，根据周期公式T=2π√Lg可知，两个单摆的摆长相等，周期与摆球的质量无关，故A错误，B正确；C、从图象可以看出，t=0时刻，甲到达了正向最大位移处而乙才开始从平衡位置向正向的最大位移处运动，所以两单摆相位相差为π2，故C错误；D、由于两个摆的初相位不同，所以只有从平衡位置或最大位移处开始计时时，而且末位置也是平衡位置或最大位移处的特殊情况下，经过相同时间，两球通过的路程才一定满足s甲=2s乙，若不能满足以上的要求，则不一定满足：s甲=2s乙．故D错误；故选：B2. 某质点在0∼4s的振动图象如图所示，则下列说法正确的是（）A.质点沿振动曲线运动B.在0∼1s内质点做初速度为0的加速运动C.在0∼4s内质点通过的路程为20cmD.振动图象是从平衡位置开始计时的【解析】由图象直接读出．根据质点位移的变化，不能确定其轨迹的形状．加速度方向总与位移方向相反．分析质点振动的过程，确定其路程．质点的振幅等于位移x的最大值，由图象直接读出．【解答】解：A、振动图象反映质点的位移随时间的变化情况，不是质点的运动轨迹，该图并不表示质点沿曲线运动．故A错误．B、在0∼1s内质点从平衡位置向正向最大位移处运动，做初速度不为0的减速运动，故B错误．C、在0∼4s内质点通过的路程等于四倍振幅，为4A=40cm，故C错误．D、由图知，t=0时，x=0，可知振动图象是从平衡位置开始计时的．故D正确．故选：D．3. 一列简谐横波沿直线由A向B传播，相距10.5m的A、B两处的质点振动图象如图a、b所示，则（）A.该波的振幅一定是20cmB.该波的波长可能是14mC.该波的波速可能是10.5m/sD.该波由a传播到b可能历时7s【解析】根据振动图象读出质点的振幅，即为该波的振幅．由图读出同一时刻a、b两质点的位置和速度方向，结合波形分析质点间的距离与波长的关系，得到波长的通项，再求解波长的特殊值，求出波速的通项，求解波速的特殊值．【解答】解：A、由图读出，该波的振幅为A=10cm，周期为4s．故A错误．B、C、由图看出，在t=0时刻，质点a经过平衡位置向上运动，质点b位于波谷，波由a向b传播，结合波形得到a、b间距离与波长的关系为：△x=(n+14)λ，(n=0, 1, 2,…)，得到波长为：λ=4△x4n+1=424n+1m，如果λ=14m，则n=0.5，不是整数，矛盾；故B错误；当n=1时，λ=8.4m，波速为：v=λT=8.44=2.1m/s，当n=0时，λ=42m，波速为：v=10.5m/s．故C正确．D、该波由a传播到b的时间为t=(n+14)T=(4n+1)s，(n= 0, 1, 2,…)，由于n是整数，t不可能等于7s．故D错误．故选：C．4. 如图为一水平弹簧振子的振动图象，由此可知（）A.在t2时刻，振子的速度方向沿x轴正方向B.在t4时刻，振子的速度最大，加速度最大C.在0−t1时间内，振子的速度逐渐增大，位移逐渐增大D.在t2−t3时间内，振子做加速度逐渐增大的减速运动【解析】振动图象是位移时间图象，其切线斜率等于速度，斜率的正负表示速度的方向；直接读出振子的位置随时间的变化关系，结合运动的方向和位移判定加速度的变化与速度的变化．【解答】解：A、t2时刻图象切线的斜率为负，说明振子处于平衡位置且速度方向沿x轴负方向，故A错误．B、在t4时刻，振子位于平衡位置处，的速度最大，加速度是0，故B错误．C 、在0−t 1时间内，振子的位移逐渐增大，速度逐渐减小．故C错误； D 、由图可知在t 2−t 3时间内，振子的位移向负方向逐渐增大，由a =−kx m振子做加速度逐渐增大的减速运动，故D 正确．故选：D5. 如图所示为某弹簧振子在0∼5s 内的振动图像，由图可知，下列说法中正确的是（ ）A.振动周期为5s ，振幅为8cmB.第2s 末振子的速度为零，加速度为负向的最大值C.第3s 末振子的速度为正向的最大值D.从第1s 末到第2s 末振子在做加速运动 【解析】 此题暂无解析 【解答】解：A ．由图知，质点的振幅是8cm ，周期是4s ，故A 错误； B ．在t =2s 时，物体到达负向最大位移处，速度为零，加速度为正向最大值，故B 错误；C ．第3s 末振子在平衡位置处，其速度为正向的最大值，故C 正确；D ．从第1s 末到第2s 末振子在平衡位置向负向移动，振子在做减速运动，故D 错误． 故选C ．6. 关于简谐振动，下列说法正确的是（ ）A.如果质点振动的位移与时间的关系遵从正弦函数的规律，这样的振动叫做简谐振动B.如果质点做简谐振动，则质点振动的动能和弹性势能的总和保持不变C.回复力F =−kx ，是简谐振动的条件，回复力F 只能是弹力D.弹簧振子的振动在考虑空气阻力时，做的也是简谐振动 【解析】简谐振动的位移与时间的关系遵从正弦函数的规律；回复力可以在弹力，也可以是其他的力；回复力是做简谐运动的物体所受到的指向平衡位置的合力，方向总是指向平衡位置；回复力公式F =−kx 中的k 是比例系数；回复力是变力． 【解答】解：A 、根据简谐振动的特点可知，如果质点振动的位移与时间的关系遵从正弦函数的规律，这样的振动叫做简谐振动．故A 正确； B 、如果质点做简谐振动，则质点振动的动能、重力势能、弹性势能等的总和保持不变．故B 错误；C 、回复力F =−kx ，是简谐振动的条件，但是回复力F 不一定只是弹力，可以会有其他的外力．故C 错误；D 、弹簧振子的振动在考虑空气阻力时，做阻尼振动．故D 错误． 故选：A7. 图为某弹簧振子的简谐运动图象，由图可知（ ）A.周期为3s ，振幅为20cmB.1s 末质点的速度最大、加速度最小C.2s 末质点的速度最大，势能最小D.4s 末质点的速度为零，回复力为正的最大 【解析】由位移的最大值读出振幅，相邻两个最大值之间的时间间隔读出周期．根据质点的位置分析速度大小．根据质点位置的变化，判断其速度方向．根据回复力与位移方向间的关系，判断回复力做功的正负． 【解答】解：A 、由图读出周期为T =4s ，振幅为A =10cm ．故A 错误． B 、1s 末质点位于平衡位置；速度为最大值，加速度最小；故B 正确；C 、2s 末质点的位移沿负方向且为最大值，速度为零；故C 错误；D 、4s 末质点的位移沿正方向且为最大值，速度为零，回复力为负的最大．故D 错误． 故选：B8. 有一弹簧振子，振幅为0.8cm ，周期为0.5s ，初始时具有正方向的最大位移，则它的振动方程是（ ） A.x =8×10−3sin(4πt +π2)m B.x =8×10−3sin(4πt −π2)m C.x =8×10−1sin(πt +3π2)mD.x =8×10−1sin(π4t +π2)m 【解析】t =0时刻振子的位移是正向最大．由周期求出圆频率ω，即可由x =Asin(ωt +φ0)求出简谐振动方程． 【解答】解：周期为0.5s ，则角速度为：ω=2πT=2π0.5rad/s =4πrad/s振子的初始位移是正向最大，则位移表达式x =Asin(ωt +φ0)中，φ0=π2；则位移表达式为x =Asin(ωt +φ0)=0.8sin(4πt +π2)(cm)=8×10−3sin(4πt +π2)m ．故A 正确，BCD 错误， 故选：A ．9. 一列简谐横波沿x 轴负方向传播，甲图是该横波t =2s 时的波形图，乙图是波中某质点位移随时间变化的振动图线，则乙图可能是甲图中哪个质点的振动图线（ ）A.x =0处的质点B.x =1m 处的质点C.x =2m 处的质点D.x =3m 处的质点【解析】由振动图象乙读出t =2s 时刻质点的运动状态，在波动图象甲上找出相对应的质点．【解答】解：由图知周期为T=4s，波长λ=4m；图乙上t=2s时质点位于平衡位置正向上运动．图甲上，t=2s时刻，只有x=1m处质点、x=3m处质点经过平衡位置．简谐横波沿x轴负方向传播，根据波形平移法可知，x=1m处质点经平衡位置向上，与图乙t=2s时刻质点的状态相同．故选：B．10. 如图所示，做简谐运动的弹簧振子从平衡位置O向B 运动过程中，下述说法中正确的是（）A.振子做匀减速运动B.振子的回复力指向BC.振子的位移不断增大D.振子的速度不断增大【解析】振子做远离平衡位置的运动，位移增加，加速度增大，做减速运动．【解答】解：AB、弹簧振子从平衡位置O向B运动过程中，弹簧的弹力与速度方向相反，做减速运动．随着位移的增大，加速度增大，做变减速运动．故A错误．B、振子的回复力是始终指向平衡位置的，所以指向O，故B错误；C、振子的位移起点是平衡位置，则知弹簧振子从平衡位置O向B运动过程中，振子的位移不断增大，故C正确．D、由上分析知振子做减速运动，速度不断减小，故D错误．故选：C．11. 如图所示为弹簧振子的振动图象，关于振子振动的判断正确的是（）A.振幅为8cmB.周期为1sC.在0.25s时刻振子正在作减速运动D.若0.25s时刻弹簧处于伸长状态，弹簧未形变时振子处于平衡位置，则在0.75s时刻处于压缩状态【解析】根据图象可直接读出周期和振幅．根据位移的变化即可分析振子速度的变化．根据对称性和平衡位置的特点分析弹簧的状态．【解答】解：AB、由图看出振子的振幅为4cm，周期为2s，故A、B错误；C、在0.25s时刻振子的位移正在减小，向平衡位置靠近，速度在增大，故B错误；D、若0.25s时刻弹簧处于伸长状态，弹簧未形变时振子处于平衡位置，则根据对称性可知在0.75s时刻处于压缩状态．故D正确．故选：D 12. 一质点做简谐运动的图象如图所示，下列说法正确的是（）A.质点振动频率是4HzB.质点在任意2s内的路程不一定都是4cmC.第6s末质点的速度有负向最大值D.在t=3s和t=5s两时刻，质点位移相同【解析】由图可读出质点振动周期、振幅及各点振动情况，求频率；再根据振动的周期性，可得质点振动的路程及各时刻物体的速度．【解答】解：A、由图可知，质点振动的周期为4s，故频率为f=1T=14Hz=0.25Hz，故A错误；B、振动的振幅为A=2cm，质点做简谐运动，一个周期内通过的路程一定是4A，半个周期即2s内，通过的路程一定是2A=4cm，故B错误；C、第6s末质点处于平衡位置处，故质点的速度最大，图象的斜率为负，则第6s末质点的速度有负向最大值．故C正确；D、在t=3s和t=5s两时刻，质点的位移大小相等，方向相反，所以位移不同．故D错误；故选：C13. 某个质点做简谐振动，得到如图所示的振动图象，下列说法错误的是（）A.质点的振动周期为2sB.质点在0.5s时具有最大的加速度C.质点在1s时受到的回复力为零D.质点在1.5s时具有最大的动能【解析】振动物体完成一次全振动的时间叫做周期，由振动图象直接读出．质点在最大位移处时速度为零，加速度最大，加速度方向与位移方向相反．【解答】解：A、由图，周期为2s，故A正确；B、质点在0.5s时的位移最大，具有最大的加速度，故B正确；C、质点在1s时处于平衡位置处，位移是零，所以受到的回复力为零．故C正确；D、质点在1.5s时位移最大，势能最大，故动能为零，速度最小．故D错误．本题选择错误的，故选：D．14. 弹簧振子做简谐运动的过程中（）A.当加速度最大时，速度最大B.当速度最大时，位移最大C.当位移最大时，回复力最大D.当回复力最大时，速度最大【解析】简谐运动的平衡位置是回复力为零的位置，速度最大，加速度最小；【解答】解：A、根据a=−kxm，当加速度最大时，位移最大，而位移最大时速度为零，故A错误；B、当速度最大时，位移为零，B 错误；C、当位移最大时，回复力F=kx最大，C正确；D、当回复力最大时，位移最大，速度为零，D错误；故选：C．15. 如图所示，下述说法正确的是（）A.第0.2s末加速度为正，速度为0B.第0.6s末加速度为0，速度为正最大C.质点振动的频率是1.25HzD.质点振动的振幅是10cm【解析】根据振动图象得到位移情况，根据a=−kxm判断加速度情况，切线的斜率表示速度．【解答】解：A、第0.2s末位移为正向最大，根据a=−kxm，加速度为负的最大；最大位移处速度为零；故A错误；B、第0.6s末位移为负向最大；加速度最大，速度为零；故B错误；C、振动周期为0.8s；则频率f=10.8=1.25Hz；故C正确；D、由图可知，振幅为5cm；D错误；故选：C．16. 如图是一正弦式交变电流的电流图象．由图可知，这个电流的（）A.最大值为10AB.最大值为5√2AC.频率为100HzD.频率为200Hz【解析】根据图象可以直接得出电流的最大值和周期的大小，根据周期与频率的关系得出频率的大小．【解答】解：由图象可知，电流的最大值为10A，周期T=0.02s，则交流电的频率f=1T=50Hz．故A正确，B、C、D错误．故选：A．17. 如图所示为同一地点质量相同的甲、乙两单摆的振动图象，下列说法中正确的是（）A.甲、乙两单摆的摆长不相等B.甲摆的振幅比乙摆大C.甲摆的机械能比乙摆大D.在t=0.5s时有正向最大加速度的是乙摆【解析】由图读出两单摆的周期，由单摆的周期公式分析摆长关系；由位移的最大值读出振幅；由于两摆的质量未知，无法比较机械能的大小；根据加速度与位移方向相反，确定加速度的方向．【解答】解：A、由图看出，两单摆的周期相同，同一地点g相同，由单摆的周期公式T=2π√Lg得知，甲、乙两单摆的摆长L相等．故A错误．B、甲摆的振幅为10cm，乙摆的振幅为7cm，则甲摆的振幅比乙摆大．故B正确．C、尽管甲摆的振幅比乙摆大，两摆的摆长也相等，但由于两摆的质量未知，无法比较机械能的大小．故C错误．D、在t=0.5s时，甲摆经过平衡位置，振动的加速度为零，而乙摆的位移为负的最大，则乙摆具有正向最大加速度．故D正确．故选：BD．18. 如图所示，在同一地点的A、B两个单摆做简谐运动的图象，其中实线表示A的简谐运动图象，虚线表示B的简谐运动图象．关于这两个单摆的以下判断中正确的是（）A.摆球质量一定相等B.单摆的摆长一定不同C.单摆的最大摆角一定相同D.单摆的振幅一定相同【解析】根据图线得到振幅和周期的情况，然后结合单摆的周期公式进行分析讨论，分析时要抓住单摆的周期与摆球质量、振幅无关．【解答】解：AD、由图知，A的周期小于B的周期，两摆的振幅相同，但单摆的周期与摆球质量无关，所以不能确定摆球质量关系，故A错误，D正确．C、由单摆的周期公式T=2π√Lg知，周期不同，则摆长一定不同，故B正确．D、单摆的摆长不同，振幅相同，则单摆的最大摆角一定不同，故C错误．故选：BD19. 如图所示是某弹簧振子的振动图象，由图可知（）A.质点的振幅是5cm，周期是2sB.在t=1.5s时，质点的速度和加速度方向相同C.在t=1.0s时，质点的位移最大，速度为零，加速度−x方向最大D.在t=4.0s时，质点的速度为零【解析】由振动图象能直接振幅和周期．根据图象的斜率读出速度的方向．根据位移的方向分析加速度方向．质点通过平衡位置时速度最大．【解答】解：A、由图知，质点的振幅是5cm，周期是4s，故A错误．B、在t=1.5s时，图象的斜率为负值，质点的速度沿负向．位移为正值，由a=−kxm知，加速度为负向，所以质点的速度和加速度方向相同，故B正确．C 、在t=1.0s时，质点的位移为正向最大，速度为零，由a=−kxm知，加速度−x方向最大，故C正确．D、在t=4.0s时，质点的位移为0，表示质点通过平衡位置，速度最大，故D错误．故选：BC．20. 关于振动图象和波的图象，下列说法正确的是（）A.波的图象反映的是很多质点在同一时刻的位移B.通过波的图象可以找出任一质点在任一时刻的位移C.它们的横坐标都表示时间D.它们的纵坐标都表示质点的位移【解析】振动图象反映同一质点在不同时刻的位移，而波动图象反映同一时刻介质中各个质点的位移．【解答】解：A、波的图象反映的是介质中很多质点在同一时刻的位移，故A正确．B、运用波形的平移法，通过波的图象可以找出任一质点在任一时刻的位移，故B正确．C、振动图象横坐标表示时间，波的图象横坐标质点的平衡位置，故C错误．D、它们的纵坐标都表示质点的位移．故D正确．故选：ABD．21. 如图为某物体做简谐运动的图象，以下说法正确的是（）A.1.2s时刻物体的回复力与0.4s时刻的回复力相同B.0.2s时刻的速度与0.4s时刻的速度相同C.0.7s到0.9s时间内加速度在减小D.1.1s到1.3s时间内的势能在增大【解析】简谐运动的图象中图线切线的斜率表示速度，加速度和位移的关系是a=−kxm，物体经过平衡位置时动能最大，在最大位移处时动能为零．根据这些知识进行分析【解答】解：A、由图知物体在1.2s与0.4s时刻位移相同，由F=−kx知，A正确．B、物体在0.2s时刻与0.4s时刻的位移相对于平衡位置对称，由运动特点可得故速度大小方向均相同，故B正确．C、0.7s∼0.9s时间内物体的位移增大，由a=−kxm，可知物体的加速度在增大，故C错误．D、1.1s∼1.3s时间内物体的位移增大，物体远离平衡位置，则势能在增大，故D正确．故选：ABD22. 如图所示是一弹簧振子在水平面内作简谐运动的x−t图象，则下列说法正确的是（）A.t1时刻和t2时刻具有相同的动能B.t2到1.0s时间内加速度变小，速度减小C.弹簧振子的振动方程是x=0.10sinπt(m)D.t2数值等于3倍的t1数值【解析】振动图象中图象的纵坐标表示质点运动位移，根据位移情况分析摆球的位置，分析摆球的速度和拉力大小，当摆球在平衡位置时速度最大，回复力最小，则加速度最小，当摆球在最大位移处速度为零，回复力最大，则加速度最大，根据图象得出周期和振幅，从而写出弹簧振子的振动方程，根据t2、t1时刻位移都是5cm求出时间，从而求出t2、t1的关系．【解答】解：A、根据图象可知，t1时刻和t2时刻在同一个位置，速度大小相等，但方向相反，所以动能相同，故A正确；B、t2到1.0s时间内振子由正向位移处向平衡位置处振动，加速度减小，速度增大，平衡位置处速度最大，故B错误；C、根据图象可知，振动的周期T=2s，则角速度ω=2πT=πrad/s，振幅A=10cm=0.1m，则弹簧振子的振动方程是x=0.10sinπt(m)，故C正确；D、当x=5cm=0.05m时，根据振动方程是x=0.10sinπt(m)得：t1=16s，t2=56s，则t2数值等于5倍的t1数值，故D错误．故选：AC23. 如图所示为一水平弹簧振子做简谐运动的振动图象，由图可以推断，振动系统（）A.t1和t3时刻具有相等的动能和相同的加速度B.t3和t4时刻具有相同的速度C.t4和t6时刻具有相同的位移和速度D.t1和t6时刻具有相等的动能和相反方向的速度【解析】在简谐运动的振动图象上，某点斜率的大小代表速度的大小，斜率的正负代表速度的方向．【解答】解：A、v−t图象的斜率表示速度，在t1和t3时刻，速度大小相等，动能相等；另外，相同位置处振子的加速度是相等的，故A正确；B、v−t图象的斜率表示速度，在t3和t4时刻，速度相等，方向也相同，故速度相同，故B正确；C、在t4和t6时刻具有相同的位移，均为负值；但速度大小相等，方向相反，故不同，故C错误；D、v−t图象的斜率表示速度，在t1和t6时刻，速度相等，方向也相同，故速度相同，故D错误；故选：AB．24. 如图所示为某物体做简谐运动的振动图象，在所画的曲线范围内，下列关于物体的判断中正确的是（）A.在0到t1时间内，速度变大，加速度变小B.在t1到t2时间内，速度变大，加速度变小C.在t2到t3时间内，动能变大，势能变小D.在t3到t4时间内，动能变大，势能变小【解析】由振动图象直接读出质点的位移及其变化情况，能判断质点的振动方向．根据简谐运动特征：F=−kx、a=−kxm分析回复力和加速度．动量P=mv，根据速度分析．【解答】解：A、由图知，在0到t1时间内质点远离平衡位置，速度变小，加速度变大．故A错误．B、在t1到t2时间内质点靠近平衡位置，速度变大，加速度变小．故B正确．C、在t2到t3时间内质点远离平衡位置，动能变小，势能变大．故C错误．D、在t3到t4时间内，动能变大，势能变小．故D正确．故选：BD25. 如图表示某质点做简谐运动的图象，以下说法中正确的是（）A.t1、t2时刻的速度相同B.从t1到t2这段时间内，速度与加速度同向C.从t2到t3这段时间内，速度变大，加速度变小D.t1、t3时刻的加速度相同【解析】简谐运动中质点的加速度a=−kxm．加速度方向总是与质点的位移方向相反，而速度与位移变化情况相反．根据位移的变化进行分析．【解答】解：A、t1时刻图象切线的斜率为负值，说明质点的速度沿负方向，而t2时刻切线斜率为零，速度为零，则这两个时刻质点的速度不同．故A错误．B、从t1到t2这段时间内，质点的位移增大，离开平衡位置，速度沿负方向，位移为负方向，由a=−kxm，则知加速度沿正方向，所以速度与加速度方向相反．故B错误．C、从t2到t3这段时间内，质点的位移减小，靠近平衡位置，速度变大，加速度变小，故C正确．D、t1、t3时刻质点经过平衡位置，加速度都为零，故D正确．故选：CD．26. （多选）如图所示为某物体做简谐运动的图象，下列说法中正确的是（）A.由P→Q位移在增大B.由P→Q速度在增大C.由M→N位移是先减小后增大D.由M→N位移始终减小【解析】简谐运动的质点位移随时间按正弦规律变化，由图象可得振幅和周期以及振子的运动方向及位移变化情况．【解答】A、由图可知，由P→Q，位移在增大，故A正确；B、由P→Q，位移在增大，速度在减小，故B错误；C、由M→N，中间越过了平衡位置，位移先减小后增大，故C正确；D、由C分析得，D错误。
高二物理第十一章 机械振动 第4～5节人教实验版知识精讲
高二物理第十一章机械振动第4～5节人教实验版【本讲教育信息】一. 教学内容：第十一章机械振动第四节单摆第五节外力作用下的振动二. 重点、难点解析：1. 知道什么是单摆，了解单摆的构成。
2. 掌握单摆振动的特点，知道单摆回复力的成因，理解摆角很小时单摆的振动是简谐运动。
3. 知道单摆的周期跟什么因素有关，了解单摆的周期公式，并能用来进展有关的计算。
4. 知道用单摆可测定重力加速度。
5. 知道什么是阻尼振动；知道在什么情况下可以把实际发生的振动看作简谐运动。
6. 知道什么叫驱动力，什么叫受迫振动，能举出受迫振动的实例。
7. 知道受迫振动的频率等于驱动力的频率，跟物体的固有频率无关。
8. 知道什么是共振以与发生共振的条件。
三. 知识内容：第一局部1. 单摆〔1〕定义：细线一端固定在悬点，另一端栓一个小球，悬挂小球的细线的伸缩和质量可以忽略，线长又比球的直径大得多，这样的装置叫单摆。
说明：单摆是实际摆的理想化模型线的伸缩和质量可以忽略──使摆线有一定的长度而无质量，质量全部集中在摆球上。
线长比球的直径大得多，可把摆球当作一个质点，此时悬线的长度就是摆长，实际单摆的摆长是从悬点到小球的球心。
单摆的运动忽略了空气阻力，实际的单摆在观察的时间内可以不考虑各种阻力。
〔2〕单摆的摆动①单摆的平衡位置当摆球静止在O点时，摆球受到重力G和悬线的拉力Ｆ＇作用，这两个力是平衡的。
O点就是单摆的平衡位置。
②单摆的摆动摆球沿着以平衡位置O 为中点的一段圆弧做往复运动，这就是单摆的振动。
2. 单摆做简谐运动〔1〕回复力：重力G 沿圆弧切线方向的分力G 1=mgsinθ是沿摆球运动方向的力，正是这个力提供了使摆球振动的回复力，也可以说成是摆球沿运动方向的合力提供了摆球摆动的回复力。
F=G 1=mgsinθ〔2〕单摆做简谐运动的推证在偏角很小时，sinθ≈Lx ，又回复力Ｆ=mgsinθ 所以单摆的回复力为mg F x L =- 〔期中x 表示摆球偏离平衡位置的位移，L 表示单摆的摆长，负号表示回复力F 与位移x 的方向相反〕对确定的单摆，m 、g 、L 都有确定的数值，Lmg 可以用一个常数表示。
大学物理第五章机械振动习题解答和分析
5-1 有一弹簧振子，振幅m A 2100.2-⨯=，周期s T 0.1=，初相.4/3πϕ=试写出它的振动位移、速度和加速度方程。
分析 根据振动的标准形式得出振动方程，通过求导即可求解速度和加速度方程。
解：振动方程为：]2cos[]cos[ϕπϕω+=+=t TA t A x 代入有关数据得：30.02cos[2]()4x t SI ππ=+ 振子的速度和加速度分别是：3/0.04sin[2]()4v dx dt t SI πππ==-+ 2223/0.08cos[2]()4a d x dt t SI πππ==-+5-2若简谐振动方程为m t x ]4/20cos[1.0ππ+=，求： （1）振幅、频率、角频率、周期和初相； （2）t=2s 时的位移、速度和加速度.分析 通过与简谐振动标准方程对比，得出特征参量。
解：(1)可用比较法求解.根据]4/20cos[1.0]cos[ππϕω+=+=t t A x 得：振幅0.1A m =，角频率20/rad s ωπ=，频率1/210s νωπ-==， 周期1/0.1T s ν==，/4rad ϕπ=（2）2t s =时，振动相位为：20/4(40/4)t rad ϕππππ=+=+ 由cos x A ϕ=，sin A νωϕ=-，22cos a A x ωϕω=-=-得 20.0707, 4.44/,279/x m m s a m s ν==-=-5-3质量为kg 2的质点，按方程))](6/(5sin[2.0SI t x π-=沿着x 轴振动.求： （1）t=0时，作用于质点的力的大小；（2）作用于质点的力的最大值和此时质点的位置.分析 根据振动的动力学特征和已知的简谐振动方程求解，位移最大时受力最大。
解：（1）跟据x m ma f 2ω-==，)]6/(5sin[2.0π-=t x 将0=t 代入上式中，得： 5.0f N =（2）由x m f 2ω-=可知，当0.2x A m =-=-时，质点受力最大，为10.0f N =5-4为了测得一物体的质量m ，将其挂到一弹簧上并让其自由振动，测得振动频率Hz 0.11=ν；而当将另一已知质量为'm 的物体单独挂到该弹簧上时，测得频率为Hz 0.22=ν.设振动均在弹簧的弹性限度内进行，求被测物体的质量.分析 根据简谐振动频率公式比较即可。
高中物理新教材同步选择性必修第一册 第2章机械振动 5 实验：用单摆测量重力加速度
5 实验：用单摆测量重力加速度
【学习目标】
1.进一步理解单摆做简谐运动的条件和单摆周期公式中各量 的意义.
2.学会利用单摆的周期公式测量重力加速度.
【内容索引】
明确原理 提炼方法
精析典题 提升能力
随堂演练 逐点落实
课时 对点练
明确原理 提炼方法
MINGQUEYUANLI TI LIAN FANG FA
2
4.把单摆拉开一个角度，角度小于5°，释放摆球.摆球经过最低位置时， 用停表开始计时，测出单摆完成30次(或50次)全振动的时间，求出一次 全振动的时间，即为单摆的振动周期. 5.改变摆长，反复测量几次，将数据填入表格.
四、数据分析
1.公式法：每改变一次摆长，将相应的l和T代入公式g＝
4π2l T2
解析 摆线与竖直方向的夹角小于 5°时，才可以认为摆球的运动为简 谐运动，故A错误； 细线上端应用铁夹子固定，防止松 动引起摆长变化，故B正确； 当小球运动到最低点时开始计时误差较小，故C错误； 实验时应该测量小球自由下垂时摆线的长度，故D正确.
12345
(2)某同学通过测量30次全振动的时间来测定单摆的周期T，他在单摆经 过平衡位置时按下秒表记为“1”，若同方向再次经过平衡位置时记为 “2”，在数到“30”时停止秒表，读出这段时间t，算出周期T＝3t0.其他 操作步骤均正确.多次改变摆长时，他均按此方法记录多组数据，并绘制 了T2－L图像，则他绘制的图像可能是__D__.
n ⑤根据单摆周期公式计算重力加速度的大小. 其中有一处操作不妥当，是__②__.(填写操作步骤前面的序号)
解析 步骤②中存在不妥当之处，应该测得摆线长度加上摆球的半径作 为单摆的摆长.
(3)发现(2)中操作步骤的不妥之处后，他们做了如下改进：让单摆在不同
2023新教材高中物理第二章机械振动第5节实验：用单摆测量重力加速度课件新人教版选择性必修第一册
(3)如果某同学测得的g值偏小，可能的原因是________。 A．误将摆线长当作摆长 B．测摆线线长时将摆线拉得过紧 C．摆动过程中悬挂点松动了 D．实验中误将49次全振动计为50次 [解析] (1)单摆摆球经过平衡位置的速度最大，最大位移处速度为0，在平衡位 置计时误差最小。 (2)摆线要选择细些的(减小阻力)、伸缩性小些的(不改变摆长)并且尽量长一些(周 期较大，容易测量)，所以A正确；为减小摆球受阻力影响，摆球应选择质量大些、 体积小些的，所以B正确；若摆线相距平衡位置有较大的角度，则单摆就不能视为简 谐运动了，所以C错误，在测量周期时，应在摆球经过最低点开始计时，测量多次全 振动的周期，所以D错误。
设计如下所示实验表格
实验 次数
摆长 l/m
周期 T/s
重力加速度 重力加速度 g 的平
g/(m·s－2)
均值/(m·s－2)
1
2
g＝g1＋g32＋g3
3
2．图像法：由 T＝2π gl 得 T2＝4gπ2l，作出 T2-l 图像，即以 T2 为纵轴，以 l 为横轴，其斜率 k＝4gπ2，由图像的斜率即可求出重 力加速度 g。
(3)根据单摆的周期公式 T＝2π gl ，解得重力加速度 g＝4Tπ22l，若误将摆线 长当作摆长，则 l 偏小，g 偏小，选项 A 正确；测摆线线长时将摆线拉得过紧， 则 l 测量值偏大，g 偏大，选项 B 错误；摆动过程中悬挂点松动了，则周期变 大，g 偏小，选项 C 正确；实验中误将 49 次全振动计为 50 次，则周期偏小， g 偏大，选项 D 错误。
实验原理与操作
[典例1] 根据单摆周期公式可以通过实验测量当地的重力加速度。如图所示，将细 线的上端固定在铁架台上，下端系一小钢球，就做成了单摆。
机械振动-5拉格朗日方程
在线性系统中，势能是广义坐标的二次函数。可用矩阵形式表示成：
U ＝ 1 {q} T [ K ]{q} 2
其中，[ K ]为刚度矩阵。一般地，刚度矩阵是对称、半正定矩阵。
例 5.4 右图表示由刚性杆l 1和质量m 1及刚性杆l 2和质量m 2 组成的两个单摆在O’ 处用铰链连接成双摆，并通过铰链O 与固定点连接，使双摆只能在平面内摆动。求系统作微振
虚功
力在虚位移上的元功称为虚功。
力的分类
作用于系统的力可分为两类：约束反力和主动力。
理想约束约束作用于系统的力。
在系统运动或平衡中处于主导地位。
在虚位移上不做功的约束称为理想约束。
虚位移原理
受定常理想约束的质点系在某一位置平衡的必要与充分条件是：
作用于质点系所有主动力在该位置处的任何虚位移中的虚功之和等于零。
例 5.3 刚体A通过三个点放置 在xoy 平面上，其中的两个接 触点可在平面上作无摩擦自由 滑动，而P点有一个刀片，使 其只能沿刀片方向移动，分析 冰刀系统的广义坐标和自由度。
解 由于刚体A在xoy平面中移动，因此需要三个广义坐标(x, y和q)描述其
在任意时刻的位置。
而刚体A只能沿刀片方向移动，因
k
k
第5章 分析力学基础 5.2 虚位移原理
对换求和的次序，得：
d
n
W＝
k 1
p i 1
F i
r i
q k
d
q k
p
其中， Q ＝
F
r i
q k
i
义力。
i 1
k
(k 1, 2, , n) 为与广义坐标qk 对应的广
这样，虚功方程可以写成：
第五章 机械振动习题
∆t
∆ϕ 0.10 -0.10 -0.05 0.05 x/m
（3） ∆ϕ ' = ）
π
3
A
0.10 -0.10 -0.05 0.05 A x/m∆t =ຫໍສະໝຸດ ∆ϕ 'ω
= 1.6 s
习题选解
5-13
第五章 机械振动
13-12 有一单摆，长为 有一单摆，长为1.0 m ，最大摆角为 0，如图所 最大摆角为5 。（1）求摆的角频率和周期；（ ；（2） 示。（ ）求摆的角频率和周期；（ ）设开始时摆角 最大，使写出此单摆的运动方程；（ ；（3）当摆角为3 最大，使写出此单摆的运动方程；（ ）当摆角为 0时 的角速度和摆球的线速度各为多少？ 的角速度和摆球的线速度各为多少？ θ 2π g −1 ：（1） 解：（ ） ω = = 2.01s = 3.13s T = ω l （2） ϕ = 0 ）
习题选解
5-15
第五章 机械振动
5-15 如图所示，质量为 1.00 ×10−2 kg的子弹，以 500m / s 如图所示， 的子弹， 的速度射入并嵌在木块中，同时使弹簧压缩从而作简谐 的速度射入并嵌在木块中， 运动。 运动。设木块的质量为 4.99kg ，弹簧的劲度系数为 8.00 × 103 N / m 。若以弹簧原长时物体所在处为坐标原点， 若以弹簧原长时物体所在处为坐标原点， 轴正向，求简谐运动方程。 向左为 x 轴正向，求简谐运动方程。 m2 k 解： 子弹射入的过程动量守恒 设子弹的初速度为v，碰撞后与木块的共同速度为v 设子弹的初速度为 ，碰撞后与木块的共同速度为 0
dt 4
求：（1）振幅、频率、角频率、周期和初相 ）振幅、频率、角频率、 时的位移、 （2）t = 2 s 时的位移、速度和加速度 ） ：（1） −1 解：（ ）
《机械振动》张义民—第5章第9、10、11节ppt
例5.9-1 考虑图5.9-1所示系统，在系统上作用 有激励向量F(t)=[0 F0u(t)]T，u(t)为单位阶跃函数。 求在零初始条件下系统的响应。
解：系统的运动微分方程
1 m 0
0 2
q1 q2
k
2 1
1 q1
2
q2
0
F0u
t
为了用振型分析方法求解，
首先要解特征值问题，得
N t uTF t
F0 m
0.627963 0.325057
u
t
将上式代入方程(5.9-14)，得
1t
0.627963
F0 1
m 1
t 0
u
sin
1
t
d
0.62796312F0 m 1 cos1t
2t 0.325057
F0 1
m 2
t 0
u
sin
2
t
d
0.325057
F0
22
m
F0 1
m 2
t 0
sin
sin
1
t
d
0.325057
F0
22
m
sin
t
2
sin
2t
1
1
2
22
最后，得
q1t
F0 m
0.455295112
sin
t
1
sin
1t
1
1
2
12
0.122009
1
22
sin
t
2
sin
2t
1
1
2
22
q2t
F0 m
0.621945
高中物理第2章机械振动5阻尼振动受迫振动教科版选择性必修第一册
1.知道什么是阻尼振动,什么是受迫振动,什么是共振。(物理观念)
2.知道阻尼振动能量的转化情况。掌握物体做受迫振动的特点。(科学思
维)
3.掌握产生共振的条件。(科学思维)
4.知道常见的共振的应用和危害。(科学态度与责任)
目录索引
基础落实·必备知识全过关
重难探究·能力素养全提升
学以致用·随堂检测全达标
A.机械能逐渐转化为其他形式的能
B.后一时刻的动能一定小于前一时刻的动能
C.后一时刻的势能一定小于前一时刻的势能
D.后一时刻的机械能一定小于前一时刻的机械能
解析 单摆在振动过程中,不断克服空气阻力做功,使机械能逐渐转化为内
能,选项A、D正确;虽然单摆总的机械能在逐渐减小,但在振动过程中动能
和势能仍在不断地相互转化,动能转化为势能时,动能逐渐减小,势能逐渐
增大,而势能转化为动能时,势能逐渐减小,动能逐渐增大,所以不能断言后
一时刻的动能(或势能)一定小于前一时刻的动能(或势能),选项B、C错误。
探究点二
受迫振动和共振
导学探究
如图所示,在一根张紧的绳子上挂五个单摆,其中A、B、C
的摆长相等,当A摆振动的时候,通过张紧的绳子给其他各摆
施加驱动力,使其余各摆都发生摆动。
周期和频率也不变,故A错误;弹簧振子做阻尼运动,即振子振动的幅度逐渐
减小,但不能说弹簧振子的位移越来越小,故B错误,C正确;根据能量守恒定
律可知,由于阻力做负功,所以机械能越来越小,故D错误。
1 2 3
2.(受迫振动和共振)(2023山东滨州高二期中)如图是用来测量各种发动机
转速的转速计原理图。在同一铁支架MN上焊有固有频率依次为100 Hz、
大学物理第5章习题解答
第五章 机械振动5-1一远洋货轮，质量为t M 4102⨯=，浮在水面对其水平截面积为23102m S ⨯=。
设在水面附近货轮的截面积与货轮高度无关，试证明此货轮在水中的铅直自由运动是简谐振动，并求其自由振动的周期。
解：取固定坐标xOy ，坐标原点O 在水面上（图题所示）设货轮静止不动时，货轮上的A 点恰在水面上，则浮力为S ρga .这时 ga s Mg ρ= 往下沉一点时，合力 )(y a g s Mg F +-=ρ gy s ρ-=. 又 22d d t yMMa F == 故0d d 22=+gy s t y M ρ022=+y M gs dt dy ρ 故作简谐振动 M gs ρω=2)(35.68.910102101022223334s g s M T =⨯⨯⨯⨯⨯===πρπωπ5-2 重物A 的质量M=1kg ，放在倾角030=θ的光滑斜面上，并用绳跨过定滑轮与劲度系数149-⋅=m N k 的轻弹簧连接，如习题5-2图所示，将物体由弹簧未形变的位置静止释放，并开始计时，试求:（1）不计滑轮质量，物体A 的运动方程;（2）滑轮为质量M ，半轻r 的均质圆盘，物体A 的运动方程。
解：取物体A 为研究对象，建立坐标Ox 轴沿斜面向下，原点取在平衡位置处，即在初始位置斜下方距离l 0处，此时：)(1.0sin 0m kmg l ==θ(1) 习题5-1图(1) A 物体共受三力；重mg, 支持力N, 张力T.不计滑轮质量时，有 T =kx列出A 在任一位置x 处的牛顿方程式220d d )(sin sin txm x l k mg T mg =+-=-θθ将（1）式代入上式，整理后得0d d 22=+x mkt x 故物体A 的运动是简谐振动，且)rad/s (7==mkω 由初始条件,000⎩⎨⎧=-=v l x 求得,1.00⎩⎨⎧===πϕml A 故物体A 的运动方程为x =(7t+π)m(2) 当考虑滑轮质量时，两段绳子中张力数值不等，如图所示，分别为T 1、T 2,则对A 列出任一位置x 处的牛顿方程式为:221d d sin txm T mg =-θ (2)对滑轮列出转动方程为：22221d d 2121t x Mr r a Mr J r T r T =⎪⎭⎫ ⎝⎛==-β (3)式中,T 2=k (l 0+x ) （4）由式（3）、(4)知2201d d 21)(t xM x l k T ++=代入(2)式知22021)(sin dtxd m M x l k mg ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+-θ又由（1）式知0sin kl mg =θ故0d d )21(22=++kx txm M即0)2(d d 22=++x m M ktx 习题5-2图m M k +=22ω可见，物体A 仍作简谐振动，此时圆频率为：rad/s)(7.52=+=m M k ω由于初始条件：0,000=-=v l x可知，A 、ϕ不变，故物体A 的运动方程为:m t x )7.5cos(1.0π+=由以上可知：弹簧在斜面上的运动，仍为简谐振动，但平衡位置发生了变化，滑轮的质量改变了系统的振动频率.5-3质点作简谐振动的振动曲线如习题5-3图所示，试根据图得出该质点的振动表达式。
第五章 机械振动
cos 2 (t
0)
3、总能
E
Ek
EP
1 2
kA2
1 2
m 2 A2
1 2
mv
2 max
4、动能和势能在一个周期内的平均值
cos 2 1 (1 cos 2 )
2
sin2 1 1 cos 2
2
32
在一个周期 T 内的平均动能
Ek
1 T
T 0
1 2
kA 2
sin 2
(t
0
)dt
1
T
A A; B A; C 3 A; D 2 A
4
2
2
2
解： 1 mv 2 1 kx 2 1 kA2
2
2
2
而题知 1 mv 2 1 kx 2
2
2
1 kx 2 1 1 kA2
2
22
于是 x 2 A,即应选D
2
34
例： 一物体质量为0.25kg，在弹性力作用下作简谐振
动，弹簧的倔强系数k=25Nm-1，如果起始振动具有势
3过阻尼541弱阻尼谐振子系统谐受迫振动微分方程ptdtdt452受迫振动ptdtdt不讨论随机外力cospt只讨论谐和策动力f周期性外力用下的新平衡点将坐标原点移至恒力作恒力作用552方程的解及其物理意义由微分方程理论上述方程的解为1自由振动的能量是外界一次性输入减幅振动有能量损耗有阻尼等幅振动能量守恒无阻尼2受迫振动过程中外界在不断地向振动系统补充能量的稳定受迫振动是由谐和策动力所维持也就不存在了与初始条件相关的a当其衰减完毕时的固有项就是由初始能量所维持563稳定的受迫振动说明此时振动方程的位相与初始条件无关其表示振动位移的位相与策动力位相的位相差
大学物理第五章机械振动
A0 B C
提交
例题2. 弹簧振子放在光滑的水平面上，已知k=1.60N/m，m=0.4kg.
试就下列两种情形分别求运动方程. (1)将物体从平衡位置向右移到
x=0.10m处后释放; (2)将物体从平衡位置向右移到x=0.10m处后并给
物体以向左的速度0.20m/s.
解： k m 1.6 0.4 2rad s1
k
m
(1) t 0， x0 0.10m， v0 0
o
x
A
x02
v02
2
x0 0.10m
cos x0 1
A
0
x 0.1cos2t (m)
(2)
t
0，
x0
0.10m，
v0
0.20m/s
cos
x0
1
A
x02
v02
2
0.1
2m
A2
sin v0 0
A
x 0.1 2 cos(2t ) (m)
设弹簧振子在任一时刻 t 的位移为x，速度为v，则
振动系统所具有的弹性势能Ep和动能Ek分别为：
Ep
1 kx2 2
x Acos( t )
Ep
1 2
kA2
cos2 (
t
)
Ek
1 2
mv2
v A sin( t )
Ek
1 2
m 2 A2
sin2 (
t
)
2 k /m
1 kA2 sin2 ( t )
大加速度为 4.0 ms-2. 求：(1) 振动的周期；(2) 通过平衡位置的动
能；(3) 总能量；(4) 物体在何处其动能和势能相等？
解: (1) amax A 2
机械振动学 第五章_两自由度系统振动(讲)
第五章两自由度系统振动§5-1 概述单自由度系统的振动理论是振动理论的基础。
在实际工程问题中，还经常会遇到一些不能简化为单自由度系统的振动问题，因此有必要进一步研究多自由度系统的振动理论。
两自由度系统是最简单的多自由度系统。
从单自由度系统到两自由度系统，振动的性质和研究的方法有质的不同。
研究两自由度系统是分析和掌握多自由度系统振动特性的基础。
所谓两自由度系统是指要用两个独立坐标才能确定系统在振动过程中任何瞬时的几何位置的振动系统。
很多生产实际中的问题都可以简化为两自由度的振动系统。
①汽车动力学模型：图3.1两自由度汽车动力学模型§5-2 两自由度系统的自由振动一、系统的运动微分方程②以图3.2的双弹簧质量系统为例。
设弹簧的刚度分别为k 1和k 2，质量为m 1、m 2。
质量的位移分别用x 1和x 2来表示，并以静平衡位置为坐标原点，以向下为正方向。
(分析)在振动过程中的任一瞬间t ，m 1和m 2的位移分别为x 1及x 2。
此时，在质量m 1上作用有弹性恢复力()12211x x k x k -及，在质量m 2上作用有弹性恢复力()122x x k -。
这些力的作用方向如图所示。
应用牛顿运动定律，可建立该系统的振动微分方程式：()()⎭⎬⎫=-+=--+00122221221111x x k x m x x k x k xm （3.1）令2212121,,m k c m k b m k k a ==+=则（3.1）式可改写成如下形式：()()⎭⎬⎫=-+=--+00122221221111x x k x m x x k x k xm⎭⎬⎫=+-=-+00212211cx cx xbx ax x（3.2） 这是一个二阶常系数线性齐次联立微分方程组。
(分析)在第一个方程中包含2bx -项，第二个方程中则包含1cx -项，称为“耦合项”（coupling term ）。
这表明，质量m 1除受到弹簧k 1的恢复力的作用外，还受到弹簧 k 2的恢复力的作用。
高中物理第十一章机械振动5外力作用下的振动名师导航学案选修3_4
5 外力作用下的振动名师导航知识梳理1.阻尼振动（1）阻尼振动是指振幅逐渐____________的振动，它是从____________是否变化的角度来区分.（2）等幅振动不受阻力作用.2.受迫振动物体在____________性变化的____________ 作用下的振动叫受迫振动，受迫振动稳定时，系统振动的频率等于____________的频率，与系统的____________ 无关.3.共振共振的条件是_______________，产生共振时，物体的振幅____________.知识导学复习振幅与能量的关系，再结合生活中的振动现象，如树梢在空中摆动几下，最后会停下来等等，认识和理解阻尼振动.自然界中的一切振动，严格地讲都属于阻尼振动.在认识阻尼振动的基础上，更进一步联想到若要使振动持续下去，会有什么办法呢？提出猜想：补充能量，由此认识受迫振动.对共振的认识，要通过教材图11.53的实验，归纳总结得出共振的概念和意义.疑难突破1.受迫振动的振动频率与驱动力频率的关系剖析：受迫振动是周期性外力作用下的振动.外力对系统做功，克服阻尼作用，补偿系统的能量损耗，使系统持续地振动下去.设计一个实验如下：如图11-5-1所示的装置，匀速转动把手时，把手给弹簧振子以驱动力使振子做受迫振动.用不同的转速匀速地转动把手，认真观察实验中驱动力的周期与把手转动周期的关系，通过实验，我们可以得出结论：驱动力周期与把手周期是相同的，而受迫振动稳定后的频率等于驱动力的频率，跟物体的固有频率无关.图11-5-12.产生共振的条件及振幅随驱动力频率的变化关系剖析：设计一个实验如图11-5-2所示，一根张紧的水平绳上挂五个摆，其中A、E摆长相等，D摆摆长最长，B摆最短.图11-5-2开始时，各摆都静止，让A摆先摆动起来，然后带动其他摆跟着摆起来.观察和分析A、B、C、D、E这五个单摆摆动周期的关系，观察B、C、D、E四个摆在振动过程中，振幅的大小关系.由实验我们可以得出结论：A、E摆振幅最大，D摆振幅最小.分析原因：B 、C 、D 、E 四个摆只有摆长不同，其他条件都相同，摆长决定了四个摆的固有频率，A 、E 摆长相同，说明A 、E 固有频率相同，结合实验现象可知，当驱动力频率等于固有频率时，振幅最大，这就是产生共振的条件.固有频率与驱动力频率相差越大，振幅越小，我们可以总结如下：|f-f′|越大，振幅越小|f-f′|越小，振幅越大|f-f′|等于零，振幅最大.典题精讲【例1】在图11-5-3中，当A 振动起来后，通过水平绳迫使B 、C 振动，下列说法中正确的是（)图11-5-3A.只有A 、C 的振动周期相等B.A 的振幅比B 小C.C 振动的振幅比B 大D.A 、B 、C 的振动周期相等思路解析：A 振动后迫使水平绳振动，水平绳振动，水平绳再迫使B 、C 振动，所以B 、C 做受迫振动，其振动周期等于驱动力周期，即A 的自由振动周期，T b =T c =T A 固=2πgl ，所以C 发生共振，B 不发生共振，C 的振幅比B 大.答案：CD绿色通道：做受迫振动的物体，它的固有频率与驱动力的频率越接近，其振幅就越大，当二者相等时，振幅达到最大.变式训练：一洗衣机在正常工作时非常平稳，当切断电源后发现先是振动越来越剧烈，然后振动逐渐减弱.对这一现象下列说法正确的是（ )①正常工作时，洗衣机波轮的运转频率大于洗衣机的固有频率②正常工作时，洗衣机波轮的运转频率比洗衣机的固有频率小③当洗衣机振动最剧烈时，波轮的运转频率恰好等于洗衣机的固有频率④当洗衣机振动最剧烈时，固有频率最大A.①④B.②③C.①③D.②④答案：C【例2】在火车车厢里吊着一小球，由于在铁轨接合处振动使球摆动，若钢轨长12.5 m ，线长40 cm ，那么当火车的速度达到多大时，球振动的振幅最大？思路解析：悬线吊着的小球由于车轮在钢轨接合处受到冲击而摆动，显然稳定后摆球做受迫振动，在受迫振动中当驱动力的频率等于小球振动的固有频率时发生共振，单摆振动的振幅最大，F 驱=F 固. 即g L21π=L v v= Lg 2πL=10 m/s. 答案：10 m/s绿色通道：受迫振动是物体在周期性外力（驱动力）作用下的振动，其振动特点是受迫振动中的频率等于驱动力的频率，与物体的固有频率无关，只有当固有频率等于驱动力的频率时，发生共振，即振幅最大. 变式训练：部队过桥时，规定不许齐步走，主要原因是（ )A.减轻对桥的压力B.避免使桥发生共振C.使桥受到的压力更为均匀答案：B问题探究问题：挑水时，有时桶里的水会荡得厉害，并从桶中溅出来，这是为什么？如何避免发生这一现象？导思：在此例中，水振动厉害的主要原因是驱动力的频率跟振动物体的固有频率相接近或相等，但是仅说出这个共振条件是不够的，还必须从题意的具体情况出发，指出其特征条件.例如，题中的驱动力是由于人行走的起伏引起的，同理在解答如何防止共振时，是破坏产生共振的条件，这是共振，同时还要指出具体办法，如此例采用停止走动片刻或水中放些漂浮物体的办法.探究：挑水时，由于行走时肩膀的起伏，人通过扁担对桶的作用，使水因受到周期性的驱动力而产生受迫振动，当驱动力频率接近或等于桶里水的固有频率时，水桶里的水就发生共振，所以水的动荡越来越厉害，直到溅出来.为了避免发生这种现象，就要使驱动力的频率和水桶里的水的固有频率相远离，解决的办法有改变行走的快慢或停止走动片刻，若在桶里放些漂浮物，增大阻尼，使振动系统克服阻力，消耗些能量，以减小振幅.高考理综物理模拟试卷注意事项：1. 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
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胡克定律
在弹簧发生弹性形变时，弹簧振子 的回复力F与振子偏离平衡位置的 位移x大小成正比，且方向总是相 反，即：
F kx
这个关系在物理学中叫做胡克定律
式中k是弹簧的劲度系数。负 号表示回复力的方向跟振子离开 平衡位置的位移方向相反。
物体在跟位移大小成正比，并且 总是指向平衡位置的力作用下的振动， 叫做 简谐运动。
简谐运动的特点：
1、回复力与位移成正比而方向相 反，总是指向平衡位置。 2、简谐运动是一种理想化的运动， 振动过程中无阻力，所以振动 系统机械能守恒。 3、简谐运动是一种非匀变速运动。
简谐运动举例：
第九章 机械振动
第一节
简谐运动
一、机械振动
物体（或物 体的一部分） 在某一中心 位置两侧所 做的往复运 动，就叫做 机械振动。
比如：
钟摆的摆动，水上浮标的浮动，
担物行走时扁担的颤动，
在微风中树梢的摇摆，
振动的音叉、锣、鼓、琴弦等都 是机械振动。
二、简谐运动
振子以O点为中心在水平杆 方向做往复运动。振子由A点开 始运动，经过O点运动到A’点， 由C 点再经过O 点回到A 点，且 OA 等于OA’ , 此后振子不停地重 复这种往复运动。以上装置称为 弹簧振子。