上海杨浦初级中学初三数学九年级上册期末模拟试卷通用版(含答案)
2020-2021学年上海市杨浦区九年级(上)期末数学试卷及参考答案
2020-2021学年上海市杨浦区九年级（上）期末数学试卷（一模）一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）1．（4分）关于抛物线y＝x2﹣x，下列说法中，正确的是（）A．经过坐标原点B．顶点是坐标原点C．有最高点D．对称轴是直线x＝12．（4分）在△ABC中，如果sin A＝，cot B＝，那么这个三角形一定是（）A．等腰三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．直角三角形3．（4分）如果小丽在楼上点A处看到楼下点B处小明的俯角是35°，那么点B处小明看点A处小丽的仰角是（）A．35°B．45°C．55°D．65°4．（4分）在△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，下列条件中，能判定DE∥BC的是（）A．＝B．＝C．＝D．＝5．（4分）下列命题中，正确的是（）A．如果为单位向量，那么＝||B．如果、都是单位向量，那么＝C．如果＝﹣，那么∥D．如果||＝||，那么＝6．（4分）在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC与BD相交于点O，下列说法中，错误的是（）A．S△AOB＝S△DOC B．＝C．＝D．＝二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．（4分）计算：3（+2）﹣2（﹣）＝．8．（4分）已知抛物线y＝（1﹣a）x2+1的开口向上，那么a的取值范围是．9．（4分）如果小明沿着坡度为1：2.4的山坡向上走了130米，那么他的高度上升了米．10．（4分）已知线段AB的长为4厘米，点P是线段AB的黄金分割点（AP＜BP），那么线段AP的长是厘米．11．（4分）已知抛物线y＝x2﹣4x+3与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，那么△ABC的面积等于．12．（4分）已知抛物线y＝x2，把该抛物线向上或向下平移，如果平移后的抛物线经过点A （2，2），那么平移后的抛物线的表达式是．13．（4分）如图，已知小李推铅球时，铅球运动过程中离地面的高度y（米）关于水平距离x（米）的函数解析式为y＝﹣x2+x+，那么铅球运动过程中最高点离地面的距离为米．14．（4分）如图，已知在平行四边形ABCD中，点E在边AB上，＝，联结DE交对角线AC于点O，那么的值为．15．（4分）如图，已知在△ABC中，∠ACB＝90°，点G是△ABC的重心，CG＝2，BC＝4，那么cos∠GCB＝．16．（4分）如图，已知在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，cot B＝，正方形DEFG的顶点G、F分别在AC、BC上，点D、E在斜边AB上，那么正方形DEFG的边长为．17．（4分）新定义：有一组对角互余的凸四边形称为对余四边形，如图，已知在对余四边形ABCD中，AB＝10，BC＝12，CD＝5，tan B＝，那么边AD的长为．18．（4分）如图，已知在△ABC中，∠B＝45°，∠C＝60°，将△ABC绕点A旋转，点B、C分别落在点B1、C1处，如果BB1∥AC，联结C1B1交边AB于点D，那么的值为．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19．（10分）计算：．20．（10分）已知一个二次函数的图象经过点A（﹣1，0）、B（0，3）、C（2，3）．（1）求这个函数的解析式及对称轴；（2）如果点P（x1，y1）、Q（x2，y2）在这个二次函数图象上，且x1＜x2＜0，那么y1y2．（填“＜”或“＞”）21．（10分）如图，已知在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC，点M为边BC上一点，BM＝BC，联结AM交DE于点N．（1）求的值；（2）设＝，＝，如果＝，请用向量、表示向量．22．（10分）如图，为了测量河宽，在河的一边沿岸选取B、C两点，对岸岸边有一块石头A，在△ABC中，测得∠B＝64°，∠C＝45°，BC＝50米，求河宽（即点A到边BC的距离）（结果精确到0.1米）．（参考数据：≈1.41，sin64°＝0.90，cos64°＝0.44，tan64°＝2.05）23．（12分）已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线BD、AC相交于点E，过点A作AF∥DC，交对角线BD于点F．（1）求证：＝；（2）如果∠ADB＝∠ACD，求证：线段CD是线段DF、BE的比例中项．24．（12分）已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣（x﹣m）2+4与y轴交于点B，与x轴交于点C、D（点C在点D左侧），顶点A在第一象限，异于顶点A的点P（1，n）在该抛物线上．（1）如果点P与点C重合，求线段AP的长；（2）如果抛物线经过原点，点Q是抛物线上一点，tan∠OPQ＝3，求点Q的坐标；（3）如果直线PB与x轴的负半轴相交，求m的取值范围．25．（14分）如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，点D为边BC上一动点（与点B、C不重合），点E为AB上一点，∠EDB＝∠ADC，过点E作EF⊥AD，垂足为点G，交射线AC于点F．（1）如果点D为边BC的中点，求∠DAB的正切值；（2）当点F在边AC上时，设CD＝x，CF＝y，求y关于x的函数解析式及x的取值范围；（3）联结DF，如果△CDF与△AGE相似，求线段CD的长．2020-2021学年上海市杨浦区九年级（上）期末数学试卷（一模）参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）1．【分析】先用配方法把二次函数化成顶点式，即可判断B、D，由a的正负判断有最大值和最小值即可判断C，看（0，0）是否满足y＝x2﹣x即可判断A．【解答】解：∵y＝x2﹣x＝（x﹣）2﹣，∴顶点坐标是：（，﹣），对称轴是直线x＝，∵a＝1＞0，∴开口向上，有最小值，∵当x＝0时，y＝x2﹣x＝0，∴图象经过坐标原点，故选：A．【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，把二次函数化成顶点式是解题的关键．2．【分析】求出∠A，∠B的值即可判断．【解答】解：∵sin A＝，cot B＝，∴∠A＝30°，∠B＝60°，∴∠C＝180°﹣30°﹣60°＝90°，∴△ABC是直角三角形，故选：D．【点评】本题考查解直角三角形，锐角三角函数等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．3．【分析】根据两点之间的仰角与俯角正好是两条水平线夹角的内错角，应相等即可得结论．【解答】解：因为从点A看点B的仰角与从点B看点A的俯角互为内错角，大小相等．所以小丽在楼上点A处看到楼下点B处小明的俯角是35°，点B处小明看点A处小丽的仰角是35°．故选：A．【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，解决本题的关键是掌握仰角与俯角的定义．4．【分析】根据平行线分线段成比例定理对各个选项进行判断即可．【解答】解：当，则DE∥BC，故选项A不符合题意；当＝，则DE∥BC，故选项B符合题意；当＝，则DE∥BC，故选项C不符合题意；由于＝，DE∥BC不一定成立，选项D不符合题意．故选：B．【点评】本题考查平行线分线段成比例定理，如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边5．【分析】根据平面向量的定义、共线向量的定义以及平面向量的模的定义进行分析判断．【解答】解：A、如果为单位向量，且与方向相同时，那么＝||，故本选项不符合题意．B、如果、都是单位向量且方向相同，那么＝，故本选项不符合题意．C、如果＝﹣，则向量与﹣的大小相等、方向相反，那么∥，故本选项符合题意．D、若||＝||，那么与的模相等，但是方向不一定相等，即＝不一定成立，故本选项不符合题意．故选：C．【点评】本题主要考查了平面向量的知识，注意平面向量既有大小，又有方向，属于易错题．6．【分析】如图，利用三角形面积公式得到S△ABC＝S△DCB，则S△AOB＝S△DOC，于是可对A选项进行判断；根据平行线分线段成比例定理得到＝，再利用三角形面积公式得到＝，于是可对B选项进行判断；证明△AOD∽△COB，利用相似三角形的性质可对C选项进行判断；利用两平行线的距离的定义得到点B到AD的距离等于点A 到BC的距离，然后根据三角形面积公式可对D选项进行判断．【解答】解：如图，∵AD∥BC，＝S△DCB，∴S△ABC+S△OBC＝S△OBC+S△DOC，即S△AOBS△AOB＝S△DOC，所以A选项的结论正确；∵AD∥BC，∴＝，∵＝，∴＝；所以B选项的结论正确；∵AD∥BC，∴△AOD∽△COB，∴＝（）2，所以C选项的结论错误；∵AD∥BC，∴点B到AD的距离等于点A到BC的距离，∴＝，所以D选项的结论正确；故选：C．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；可利用相似三角形的性质得到对应角相等，通过相似比进行几何计算．也考查了梯形和三角形面积公式．二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．【分析】乘法结合律也同样应用于平面向量的计算．【解答】解：原式＝3+6﹣2+2）＝+8．故答案是：+8．【点评】本题主要考查了平面向量，属于基础题，实数的运算法则同样应用于平面向量的计算．8．【分析】根据二次函数的性质可知，当抛物线开口向上时，二次项系数1﹣a＞0．【解答】解：因为抛物线y＝（1﹣a）x2+1的开口向上，所以1﹣a＞0，即a＜1．故答案为：a＜1．【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．当a＞0时，抛物线开口向上；当a＜0时，抛物线开口向下．9．【分析】设他沿着垂直方向升高了x米，根据坡度的概念用x表示出他行走的水平宽度，根据勾股定理计算即可．【解答】解：设他沿着垂直方向升高了x米，∵坡比为1：2.4，∴他行走的水平宽度为2.4x米，由勾股定理得，x2+（2.4x）2＝1302，解得，x＝50，即他沿着垂直方向升高了50米，故答案为：50．【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，解决本题的关键是掌握坡度坡角的定义．10．【分析】先根据黄金分割的定义求出BP的长，即可得出答案．【解答】解：∵点P是线段AB的黄金分割点，AP＜BP，AB＝4厘米，∴BP＝AB＝（2﹣2）厘米，∴AP＝AB﹣BP＝4﹣（2﹣2）＝（6﹣2）厘米，故答案为：（6﹣2）．【点评】本题考查了黄金分割的定义，熟练掌握黄金分割的定义及黄金比值是解题的关键．11．【分析】根据抛物线y＝x2﹣4x+3，可以求得该抛物线与x轴和y轴的交点，然后即可得到点A、B、C的坐标，从而可以求得△ABC的面积．【解答】解：∵抛物线y＝x2﹣4x+3＝（x﹣1）（x﹣3），∴当y＝0时，x＝1或x＝3，当x＝0时，y＝3，∴点A、B、C的坐标为分别为（1，0），（3，0），（0，3），∴AB＝2，∴△ABC的面积是：＝3，故答案为：3．【点评】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．12．【分析】可设所求的函数解析式为y＝x2+k，把A坐标代入可得平移后的抛物线．【解答】解：设所求的函数解析式为y＝x2+k，∵点A（2，2）在抛物线上，∴2＝22+k解得：k＝﹣2，∴平移后的抛物线的表达式是y＝x2﹣2．故答案为：y＝x2﹣2．【点评】考查二次函数的平移问题；用到的知识点为：上下平移不改变二次项系数及顶点的横坐标，只改变顶点的纵坐标，上加下减．13．【分析】直接利用配方法求出二次函数最值即可．【解答】解：由题意可得：y＝﹣x2+x+＝﹣（x2﹣8x）+＝﹣（x﹣4）2+3，故铅球运动过程中最高点离地面的距离为：3m．故答案为：3．【点评】此题主要考查了二次函数的应用，正确利用配方法求出最值是解题关键．14．【分析】根据平行四边形的性质得AB∥CD，AB＝CD，则利用比例的性质和等量代换得到＝，接着证明△AOE∽△COD，然后利用相似比得到的值．【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD，∵＝，∴＝，∴＝，∵AE∥CD，∴△AOE∽△COD，∴＝＝．故答案为．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；可利用相似三角形的性质得到对应角相等，通过相似比进行几何计算．也考查了平行四边形的性质．15．【分析】延长CG交AB于D，如图，根据三角形重心的定义和性质得到DG＝CG＝1，AD＝BD，再利用直角三角形斜边上的中线性质得到CD＝BD＝AD＝3，所以∠DCB＝∠B，然后在Rt△ACB中利用余弦的定义求出cos B的值，从而得到cos∠GCB的值．【解答】解：延长CG交AB于D，如图，∵点G是△ABC的重心，∴DG＝CG＝1，AD＝BD，∵∠ACB＝90°，∴CD＝BD＝AD＝2+1＝3，∴AB＝6，∠DCB＝∠B，在Rt△ACB中，cos B＝＝＝，∴cos∠GCB＝．故答案为．【点评】本题考查了三角形的重心：三角形的重心是三角形三边中线的交点；重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1．也考查了解直角三角形．16．【分析】先利用余切的定义得到cot B＝＝，则可设BC＝t，则AC＝2t，AB＝t，所以t＝10，求出得到BC＝2，AC＝4，过C点作CH⊥AB于H，交GF于M，如图，设正方形的边长为x，利用面积法得到CH＝4，则CM＝4﹣x，然后证明△CGF∽△CAB，则利用相似比得到＝，从而解方程求出x即可．【解答】解：∵∠C＝90°，∴cot B＝＝，设BC＝t，则AC＝2t，∴AB＝＝t，∴t＝10，解得t＝2，∴BC＝2，AC＝4，过C点作CH⊥AB于H，交GF于M，如图，设正方形的边长为x，易得四边形DGMH为矩形，∴MH＝DG＝x，∵CH×AB＝×AC×BC，∴CH＝＝4，∴CM＝CH﹣MH＝4﹣x，∵GF∥AB，∴△CGF∽△CAB，∴＝，即＝，解得x＝，即正方形DEFG的边长为．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；可利用相似三角形的性质得到对应角相等，通过相似比进行几何计算．也考查了正方形的性质和解直角三角形．17．【分析】如图，过端午A作AH⊥BC于H，过点C作CE⊥AD于E，连接AC．解直角三角形求出AE，DE即可解决问题【解答】解：如图，过端午A作AH⊥BC于H，过点C作CE⊥AD于E，连接AC．在Rt△ABH中，tan B＝＝，∴可以假设AH＝3k，BH＝4k，则AB＝5k＝10，∴k＝2，∴AH＝6，BH＝8，∵BC＝12，∴CH＝BC﹣BH＝12﹣8＝4，∴AC＝＝＝2，∵∠B+∠D＝90°，∠D+∠ECD＝90°，∴∠ECD＝∠B，在Rt△CED中，tan∠ECD＝＝，∵CD＝5，∴DE＝3，CE＝4，∴AE＝＝＝6，∴AD＝AE+DE＝9．故答案为：9．【点评】本题考查解直角三角形，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．18．【分析】由旋转的性质和等腰三角形的性质可求∠B1AB＝30°，由直角三角形的性质可求DB1＝DE，DB＝DE﹣DE，即可求解．【解答】解：如图，过点D作DE⊥AB1于E，∵∠B＝45°，∠C＝60°，∴∠CAB＝75°，∵BB1∥AC，∴∠CAB＝∠ABB1＝75°，∵将△ABC绕点A旋转，∴AB＝AB1，∠AB1C1＝∠ABC＝45°，∴∠AB1B＝∠ABB1＝75°，∴∠B1AB＝30°，又∵DE⊥AB1，∠AB1C1＝45°，∴AD＝2DE，AE＝DE，DE＝B1E，∴AB1＝DE+DE＝AB，DB1＝DE，∴DB＝AB﹣AD＝DE﹣DE，∴＝＝，故答案为：．【点评】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19．【分析】把特殊角的三角函数值代入，根据二次根式的混合运算法则计算，得到答案．【解答】解：原式＝＝＝＝4﹣2．【点评】本题考查的是特殊角的三角函数值、熟记特殊角的三角函数值是解题的关键．20．【分析】（1）根据待定系数法求得即可；（2）可根据二次函数增减性进行解答．【解答】解：（1）设二次函数的解析式为y＝ax2+bx+c（a≠0）．根据题意，得，解得．∴二次函数的解析式为y＝﹣x2+2x+3，∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝1；（2）由（1）可知，抛物线开口向下，对称轴为直线x＝1，∵点P（x1，y1）、Q（x2，y2）在这个二次函数图象上，且x1＜x2＜0，∴y1＜y2，故答案为＜．【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．21．【分析】（1）利用平行线截线段成比例解答；（2）根据已知条件和三角形法则求得，然后利用（1）的结论求向量．【解答】（1）解：∵BM＝BC，∴＝．∵DE∥BC，∴＝，∴＝＝．即：的值是；（2）解：∵＝，＝，∴＝﹣＝﹣．∵DE∥BC，＝，∴＝＝．∴DN＝BM．由（1）知，＝，则NE＝2DN．∴＝2＝2×＝﹣．【点评】本题主要考查了平面向量的知识，难度不大，熟练运用三角形法则解题即可．22．【分析】作AD⊥BC与D，由三角函数得出CD＝AD，AD＝BD，由已知条件得出关于AD的方程，解方程即可．【解答】解：过点A作AD⊥BC于点D．如图所示：在Rt△ACD中，∵∠C＝45°，∴tan C＝＝1，∴CD＝AD，在Rt△ABD中，∵∠B＝64°，∴tan∠B＝＝2.05，∴BD＝BD，∵BC＝BD+CD＝50米，∴AD+AD＝50米，解得：AD≈33.6（米）．答：河的宽度约为33.6米．【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，解此题的关键是把实际问题抽象到直角三角形中，利用三角函数求解．23．【分析】（1）根据平行线的性质和等量代换证明∠DAF＝∠BCD，则可证明△DAF∽△BCD，利用相似比得到＝，再证明△ADE∽△CBE，则＝，然后利用等量代换得到结论；（2）证明△DCE∽△DBC，则根据相似比得DC2＝DE•DB，再利用（1）中的结论得到＝，利用等量代换得到DC2＝DF•BE，从而得到结论．【解答】证明：（1）∵AD∥BC，∴∠CBD＝∠ADF，∠ADC+∠BCD＝180°，∵AF∥CD，∴∠ADC+∠DAF＝180°，∴∠DAF＝∠BCD，∴△DAF∽△BCD，∴＝，∵AD∥BC，∴△ADE∽△CBE，∴＝，∴＝；（2）∵∠ADB＝∠ACD，∠ADB＝∠CBD，∴∠ECD＝∠CBD，而∠CDE＝∠BDC，∴△DCE∽△DBC，∴＝，∴DC2＝DE•DB，∵＝，∴DE•DB＝DF•BE，∴DC2＝DF•BE，即线段CD是线段DF、BE的比例中项．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；可利用相似三角形的性质得到对应角相等，通过相似比进行几何计算．也考查了梯形的性质．24．【分析】（1）由题意，抛物线y＝﹣（x﹣m）2+4经过点C（1，0），利用待定系数法求出m，再求出点P的坐标即可解决问题．（2）如图1中，延长PQ交X轴于F，设F（t，0）．证明OF＝PF，由此构建方程求出t，再求出直线PF的解析式，构建方程组确定交点坐标即可．（3）构建不等式组，解决问题即可．【解答】解：（1）由题意，抛物线y＝﹣（x﹣m）2+4经过点C（1，0），∴（1﹣m）2＝4，解得m＝3或﹣1（舍弃），∴A（3，4），P（1，0），∴PA＝＝2．（2）∵抛物线y＝﹣（x﹣m）2+4经过点C（0，0），∴m2＝4，解得m＝2或﹣2（舍弃），∴抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣2）2+4，当x＝1时，n＝3，∴P（1，3），如图1中，延长PQ交X轴于F，设F（t，0）．∵P（1，3），∴tan∠POF＝3，∵tan∠OPQ＝3，∴tan∠POF＝tan∠OPQ，∴∠POF＝∠OPQ，∴OF＝PF，∴t2＝32+（t﹣1）2，∴t＝5，∴F（5，0），∴直线PF的解析式为y＝﹣x+，由，解得（即点P）或，∴Q（，）．（3）如图2中，当点B在y轴的正半轴上时，由题意，，解得＜m＜2且m≠1．当点B与原点O重合时，显然不符合题意，当点B在y轴的负半轴上时，4﹣m2＜0，且m＞2，∴m＞2，此时点P在抛物线的对称轴的左侧，不符合题意．综上所述，＜m＜2且m≠1．【点评】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，一次函数的性质，不等式组等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程或不等式组解决问题，属于中考压轴题．25．【分析】（1）过点D作DH⊥AB于H．解直角三角形求出DH，AH即可解决问题．（2）如图2中，过点A作AT⊥AC，延长FE交AT于T，直线DE交AT于K，交AC的延长线于R．想办法证明AR＝AT＝8，再证明△ACD∽△TAF，可得＝＝，推出AF＝2CD＝2x，可得结论．（3）利用△CFD与△ADH相似，可得＝或＝，由此构建方程求出CD，当点F在下方时，同法可求CD．【解答】解：（1）如图1中，过点D作DH⊥AB于H．∵CA＝CB＝4，∠ACB＝90°，∴AB＝＝＝4，∵CD＝DB＝2，∠B＝45°，∠DHB＝90°，∴DH＝BH＝DB＝，∴AH＝AB﹣BH＝3，∴tan∠DAB＝＝．（2）如图2中，过点A作AT⊥AC，延长FE交AT于T，直线DE交AT于K，交AC的延长线于R．∵AT⊥AC，BC⊥AC，∴AT∥BC，∴∠ADC＝∠DAK，∠EDB＝∠AKD，∵∠ADC＝∠EDB，∴∠DAK＝∠DKA，∴DA＝DK，∵∠R+∠DKA＝90°，∠DAC+∠DAK＝90°，∴∠DAC＝∠R，∴DA＝DR，∵DC⊥AR，∴AC＝CR＝4，∵∠AFE+∠CAD＝90°，∠AKE+∠R＝90°，∴∠AFE＝∠AKE，∵∠EAF＝∠EAK＝45°，AE＝AE，∴△AEF≌△AEK（AAS），∴AF＝AK，∵∠RAK＝∠TAF＝90°，∠AKR＝∠AFT，∴△AKR≌△AFT（ASA），∴AR＝AT＝8，∠R＝∠T＝∠DAC，∵∠ACD＝∠TAF，∴△ACD∽△TAF，∴＝＝，∴AF＝2CD＝2x，∵CF+AF＝4，∴y+2x＝4，∴y＝4﹣2x（0＜x≤2）．（3）如图3中，连接DF，作DH⊥AB于H．∵∠GAE＝∠DAH，∠AGE＝∠AHD，∴△AGE∽△AHD，∵△CDF与△AGE相似，∴△CFD与△ADH相似，∴＝或＝，∴＝或＝，整理得，x2+8x﹣16＝0或x2﹣16x﹣16＝0，解得，x＝4﹣4或﹣4﹣4（舍弃）或8﹣4或8+4（舍弃），∴CD＝4﹣4或8﹣4，当点F在下方时，同法可得，CD＝，综上所述，满足条件的CD的值为4﹣4或8﹣4或．【点评】本题属于相似形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形或相似三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．。
2024届上海市杨浦区九年级数学第一学期期末调研模拟试题含解析
2024届上海市杨浦区九年级数学第一学期期末调研模拟试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。
用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。
将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。
答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题（每题4分，共48分）1．下列说法中，不正确的是（ ）A ．圆既是轴对称图形又是中心对称图形B ．圆有无数条对称轴C ．圆的每一条直径都是它的对称轴D ．圆的对称中心是它的圆心2．如图，二次函数y ＝ax 2+bx+c 的图象与x 轴相交于A 、B 两点，C(m ，﹣3)是图象上的一点，且AC ⊥BC ，则a 的值为（ ）A ．2B ．12C ．3D ．13 3．把抛物线22y x =-向右平移l 个单位，然后向下平移3个单位，则平移后抛物线的解析式为（ ）A ．22(1)3y x =-+-B ．22(1)3y x =--+C ．22(1)3y x =-++D ．22(1)3y x =---4．如图，这个几何体的左视图是（ ）A ．B ．C ．D ．5．已知一元二次方程2330p p --=，2330q q --=，则p q +的值为（ ） A ．3- B ．3 C ．3- D ．36．计算（24827(73)(73)(231)3-+--++的结果为（ ） A ．8﹣43 B ．﹣8﹣43 C ．﹣8+43D ．8+43 7．如图，ABC 中，D 、E 分别是BC 、AC 边上一点，F 是AD 、BE 的交点，2CE AE =，BF EF =，EN BC ∥交AD 于N ，若3BD =，则CD 长度为（ ）A ．6B ．7C ．8D ．98．如图所示，Rt ABC ∆中，30B ∠=，3AC =，点M 为BC 中点，将ABC ∆绕点C 旋转，N 为11A B 中点，则线段MN 的最小值为( )A ．12B 332C ．15D 31- 9．对于二次函数y ＝4（x +1）（x ﹣3）下列说法正确的是（ ）A ．图象开口向下B ．与x 轴交点坐标是（1，0）和（﹣3，0）C ．x ＜0时，y 随x 的增大而减小D ．图象的对称轴是直线x ＝﹣110．从一张圆形纸板剪出一个小圆形和一个扇形，分别作为圆锥体的底面和侧面，下列的剪法恰好配成一个圆锥体的是（ ）A ．B ．C ．D ．11．如图，在正方形ABCD 中，H 是对角线BD 的中点，延长DC 至E ，使得DE=DB ，连接BE ，作DF ⊥BE 交BC于点G ，交BE 于点F ，连接CH 、FH ，下列结论：（1）HC=HF ；（2）DG=2EF ；（3）BE·DF=2CD 2；（4）S △BDE =4S △DFH ；（5）HF ∥DE ，正确的个数是（ ）A ．5B ．4C ．3D ．212．下列图形：（1）等边三角形，（2）矩形，（3）平行四边形，（4）菱形，是中心对称图形的有（ ）个 A ．4 B ．3 C ．2 D ．1二、填空题（每题4分，共24分）13．如图，点P 在函数y ＝k x 的图象上，PA ⊥x 轴于点A ，PB ⊥y 轴于点B ，且△APB 的面积为4，则k 等于_____．14．从﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2这6个数中任意取出一个数记作k ，则既能使函数y ＝k x的图象经过第一、第三象限，又能使关于x 的一元二次方程x 2﹣kx +1＝0有实数根的概率为_____． 15．在平面直角坐标系xOy 中，点O 的坐标为O ，□OABC 的顶点A 在反比例函数2y x =的图象上，顶点B 在反比例函数5y x=的图象上，点C 在x 轴正半轴上，则□OABC 的面积是________16．在▱ABCD 中，E 是AD 上一点，且点E 将AD 分为2：3的两部分，连接BE 、AC 相交于F ，则AEF CBF S S ∆∆：是_______．17．如图，半圆 O 的半径为4，初始状态下其直径平行于直线 l ．现让半圆 O 沿直线 l 进行无滑动滚动，直到半圆 O 的直径与直线 l 重合为止．在这个滚动过程中，圆心 O 运动路径的长度等于_________．18．⊙O 的半径为10cm ，点P 到圆心O 的距离为12cm ，则点P 和⊙O 的位置关系是_____．三、解答题（共78分）19．（8分）已知正比例函数y ＝x 的图象与反比例函数y ＝k x （k 为常数，且k ≠0）的图象有一个交点的纵坐标是1． （Ⅰ）当x ＝4时，求反比例函数y ＝k x的值； （Ⅱ）当﹣1＜x ＜﹣1时，求反比例函数y ＝k x的取值范围． 20．（8分）已知二次函数2y x bx c =-++的图像是经过()3,0A 、()1,0B -两点的一条抛物线.（1）求这个函数的表达式，并在方格纸中画出它的大致图像；（2）点P 为抛物线上一点，若PAB ∆的面积为10，求出此时点P 的坐标.21．（8分）在△ABC 中，AB ＝6cm ，AC ＝8cm ，BC ＝10cm ，P 为边BC 上一动点，PE ⊥AB 于E ，PF ⊥AC 于F ，连接EF ，则EF 的最小值为多少cm ？22．（10分）已知，如图，在矩形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，过点C 作BD 的平行线，过点D 作AC的平行线，两线交于点P．①求证：四边形CODP是菱形．②若AD＝6，AC＝10，求四边形CODP的面积．23．（10分）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，A点在原点的左侧，抛物线的对称轴x＝1，与y轴交于C（0，﹣3）点，点P是直线BC下方的抛物线上一动点．（1）求这个二次函数的解析式及A、B点的坐标．（2）连接PO、PC，并把△POC沿CO翻折，得到四边形POP′C，那么是否存在点P，使四边形POP′C为菱形；若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．（3）当点P运动到什么位置时，四边形ABPC的面积最大；求出此时P点的坐标和四边形ABPC的最大面积．24．（10分）阅读下面材料，完成(1)-(3)题.数学课上，老师出示了这样一道题:如图，△ABC中，D为BC中点，且AD=AC,M为AD中点，连结CM并延长交AB于N.探究线段AN、MN、CN之间的数量关系，并证明.同学们经过思考后，交流了自已的想法:小明：“通过观察和度量，发现线段AN、AB之间存在某种数量关系.”小强：“通过倍长不同的中线，可以得到不同的结论，但都是正确的，大家就大胆的探究吧.”小伟：“通过构造、证明相似三角形、全等三角形，就可以将问题解决.”......老师: “若其他条件不变，设AB=a,则可以用含a 的式子表示出线段CM 的长.”（1）探究线段AN 、AB 之间的数量关系，并证明;（2）探究线段AN 、MN 、CN 之间的数量关系，并证明;（3）设AB=a,求线段CM 的长（用含a 的式子表示）.25．（12分）如图，已知二次函数2y x x 2=--的图象与 x 轴， y 轴分别交于A B C ，， 三点，A 在B 的左侧，请求出以下几个问题：（1）求点A B ，的坐标；（2）求函数图象的对称轴；（3）直接写出函数值0y <时，自变量x 的取值范围．26．4张相同的卡片分别写有数字﹣1、﹣3、4、6，将这些卡片的背面朝上，并洗匀．（1）从中任意抽取1张，抽到的数字大于0的概率是______；（2）从中任意抽取1张，并将卡片上的数字记作二次函数y ＝ax 2+bx 中的a ，再从余下的卡片中任意抽取1张，并将卡片上的数字记作二次函数y ＝ax 2+bx 中的b ，利用树状图或表格的方法，求出这个二次函数图象的对称轴在y 轴右侧的概率．参考答案一、选择题（每题4分，共48分）1、C【分析】圆有无数条对称轴，但圆的对称轴是直线，故C 圆的每一条直线都是它的对称轴的说法是错误的【题目详解】本题不正确的选C ，理由：圆有无数条对称轴，其对称轴都是直线，故任何一条直径都是它的对称轴的说法是错误的，正确的说法应该是圆有无数条对称轴，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴故选C【题目点拨】此题主要考察对称轴图形和中心对称图形，难度不大2、D【分析】在直角三角形ABC 中，利用勾股定理AD 2+DC 2+CD 2+BD 2=AB 2，即m 2﹣m (x 1+x 2)+18+x 1x 2=0；然后根据根与系数的关系即可求得a 的值．【题目详解】过点C 作CD ⊥AB 于点D ．∵AC ⊥BC ，∴AD 2+DC 2+CD 2+BD 2=AB 2，设ax 2+bx +c =0的两根分别为x 1与x 2(x 1≤x 2)，∴A (x 1，0)，B (x 2，0)．依题意有(x 1﹣m )2+9+(x 2﹣m )2+9=(x 1﹣x 2)2，化简得：m 2﹣m (x 1+x 2)+9+x 1x 2=0，∴m 2b a +m +9c a+=0， ∴am 2+bn +c =﹣9a ．∵(m ，﹣3)是图象上的一点，∴am 2+bm +c =﹣3，∴﹣9a =﹣3，∴a 13=． 故选：D ．【题目点拨】本题是二次函数的综合试题，考查了二次函数的性质和图象，解答本题的关键是注意数形结合思想．3、D【分析】根据题意原抛物线的顶点坐标为（0，0），根据平移规律得平移后抛物线顶点坐标为（1，-3），根据抛物线的顶点式求解析式．【题目详解】解：抛物线形平移不改变解析式的二次项系数，平移后顶点坐标为（1，-3），∴平移后抛物线解析式为22(1)3y x =---．故选：D ．【题目点拨】本题考查抛物线的平移与抛物线解析式的联系，关键是把抛物线的平移转化为顶点的平移，利用顶点式求解析式． 4、B【解题分析】根据三视图概念即可解题.【题目详解】解：因为物体的左侧高,所以会将右侧图形完全遮挡,看不见的直线要用虚线代替,故选B.【题目点拨】本题考查了三视图的识别,属于简单题,熟悉三视图的概念是解题关键.5、B【分析】根据题干可以明确得到p,q 是方程230x -=的两根,再利用韦达定理即可求解.【题目详解】解：由题可知p,q 是方程230x -=的两根,∴故选B.【题目点拨】本题考查了一元二次方程的概念,韦达定理的应用,熟悉韦达定理的内容是解题关键.6、B【分析】先按照平方差公式与完全平方公式计算21)-，同时按照二次根式的除法计算，再合并即可得到答案．【题目详解】解：21)-+ ()73121=--+41343=---8=--故选B ．【题目点拨】本题考查的是二次根式的混合运算，掌握二次根式的乘法与二次根式的除法运算是解本题的关键．7、D【分析】根据AAS 证明△BDF ≌△ENF ，得到NE =BD =1，再由NE ∥BC ，得到△ANE ∽△ADC ，根据相似三角形的对应边成比例即可得出结论．【题目详解】∵NE∥BC，∴∠ENF=∠BDF，∠NEF=∠DBF．∵BF=EF，∴△BDF≌△ENF，∴NE=BD=1．∵NE∥BC，∴△ANE∽△ADC，∴13 NE AE AEDC AC AE EC===+，∴313 DC=，∴DC=2．故选：D．【题目点拨】本题考查了相似三角形的判定与性质．求出NE的长是解答本题的关键．8、B【分析】如图，连接CN．想办法求出CN，CM，根据MN≥CN−CM即可解决问题．【题目详解】如图，连接CN．在Rt△ABC中，∵AC＝4，∠B＝30°，∴AB＝2AC＝2 3BC3＝3，∵CM＝MB＝12BC＝32，∵A1N＝NB1，∴CN ＝12A 1B 1， ∵MN ≥CN−CM ，∴MN 32，即MN 32，∴MN 32， 故选：B ．【题目点拨】本题考查解直角三角形，旋转变换等知识，解题的关键是用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．9、C【解题分析】先把解析式化为顶点式的二次函数解析式,再利用二次函数的性质求解即可.【题目详解】()()413y x x =+-A. ∵a=4>0,图象开口向上,故本选项错误,B. 与x 轴交点坐标是（-1,0）和（3,0）,故本选项错误,C. 当x ＜0时，y 随x 的增大而减小,故本选项正确,D.图象的对称轴是直线x=1,故本选项错误,故选C.【题目点拨】本题主要考查了二次函数的性质,解题的关键是理解并灵活运用二次函数的性质.10、B【分析】根据圆锥的底面圆的周长等于扇形弧长，只要图形中两者相等即可配成一个圆锥体即可．【题目详解】选项A 、C 、D 中，小圆的周长和扇形的弧长都不相等，故不能配成一个圆锥体，只有B 符合条件． 故选B ．【题目点拨】本题考查了学生的动手能力及空间想象能力．对于此类问题，学生只要亲自动手操作，答案就会很直观地呈现． 11、B【解题分析】由等腰三角形“三线合一”的性质可得EF=BF ，根据H 是正方形对角线BD 的中点可得CH=DH=BH ，即可证明HF 是△BDE 的中位线，可得HF=12DE ，HF//DE ；由BD=DE 即可得HC=HF ；利用直角三角形两锐角互余的关系可得∠CBE=∠CDG ，利用ASA 可证明△BCE ≌△DCG ，可得DG=BE ，可判定DG=2EF ，由正方形的性质可得BD 2=2CD 2，根据∠CBE=∠CDG ，∠E 是公共角可证明△BCE ∽△DFE ，即可得DE DF BE BC =，即BE·DF=DE·BC ，可对③进行判定，根据等底等高的三角形面积相等可对④进行判定，综上即可得答案.【题目详解】∵BD=DE，DF⊥BE，∴EF=BF，∵H是正方形ABCD对角线BD的中点，∴CH=DH=BH=12 BD，∴HF是△BDE的中位线，∴HF=12DE=12BD=CH，HF//DE，故①⑤正确，∵∠CBE+∠E=90°，∠FDE+∠E=90°，∴∠CBE=∠FDE，又∵CD=BC，∠DCG=∠BCE=90°，∴△BCE≌△DCG，∴DG=BE，∵BE=2EF，∴DG=2EF，故②正确，∵∠CBE=∠FDE，∠E=∠E，∴△BCE∽△DFE，∴DE DFBE BC，即BE·DF=DE·BC，∵BD2=CD2+BC2=2CD2∴DE2=2CD2，∴DE·BC≠2CD2，∴BE·DF≠2CD2，故③错误，∵DH=12 BD，∴S△DFH=12S△DFB，∵BF=12 BE，∴S△DFB=12S△BDE，∴S△DFH=14S△BDE，即S△BDE=4S△DFH，故④正确，综上所述：正确的结论有①②④⑤，共4个，故选B.【题目点拨】本题考查正方形的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质及三角形中位线的性质，综合性较强，熟练掌握所学性质及定理是解题关键.12、B【解题分析】根据中心对称图形的概念判断即可．【题目详解】矩形，平行四边形，菱形是中心对称图形，等边三角形不是中心对称图形．故选B．【题目点拨】本题考查了中心对称图形的概念，判断中心对称图形的关键是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．二、填空题（每题4分，共24分）13、-1【解题分析】由反比例函数系数k 的几何意义结合△APB 的面积为4 即可得出k＝±1，再根据反比例函数在第二象限有图象即可得出k＝﹣1，此题得解．【题目详解】∵点P 在反比例函数y＝kx的图象上，PA⊥x 轴于点A，PB⊥y 轴于点B，∴S△APB＝12|k|＝4，∴k＝±1．又∵反比例函数在第二象限有图象，∴k＝﹣1．故答案为﹣1．【题目点拨】本题考查了反比例函数系数k 的几何意义，熟练掌握“在反比例函数y＝kx图象中任取一点，过这一个点向x 轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|是解题的关键．14、16．【分析】确定使函数的图象经过第一、三象限的k的值，然后确定使方程有实数根的k值，找到同时满足两个条件的k的值即可．【题目详解】解：这6个数中能使函数y＝kx的图象经过第一、第三象限的有1，2这2个数，∵关于x的一元二次方程x2﹣kx+1＝0有实数根，∴k2﹣4≥0，解得k≤﹣2或k≥2，能满足这一条件的数是：﹣3、﹣2、2这3个数，∴能同时满足这两个条件的只有2这个数，∴此概率为16， 故答案为：16．15、3【分析】根据平行四边形的性质和反比例函数系数k 的几何意义即可求得．【题目详解】解：如图作BD ⊥x 轴于D,延长BA 交y 轴于E, ∵四边形OABC 是平行四边形, ∴AB ∥OC,OA=BC, ∴BE ⊥y 轴, ∴OE=BD,∴Rt △AOE ≌Rt △CBD （HL ）,根据系数k 的几何意义,S 矩形BDOE =5,S △AOE =1 , ∴四边形OABC 的面积=5-1-1=3, 故选：C ． 【题目点拨】本题考查了反比例函数的比例系数k 的几何意义、平行四边形的性质等,有一定的综合性 16、425：或925：【分析】分2332AE ED AE ED ：＝：、：＝：两种情况，根据相似三角形的性质计算即可． 【题目详解】解：①当23AE ED ：＝：时， ∵四边形ABCD 是平行四边形，//25AD BC AE BC ∴，：＝：， AEF CBF ∴∆∆∽，224255AEF CBF S S ∆∆∴：＝（）＝：；②当32AE ED ：＝：时，同理可得，239255AEF CBF S S ∆∆：＝（）＝：，故答案为425：或925：．【题目点拨】考查的是相似三角形的判定和性质、平行四边形的性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键． 17、4π【分析】由图可知，圆心 O 运动路径的长度主要分两部分求解，从初始状态到垂直状态，圆心一直在一条直线上；从垂直状态到重合状态，圆心运动轨迹是14圆周，计算两部分结果，相加即可． 【题目详解】由题意知：半圆 O 的半径为4， ∴从初始状态到垂直状态，圆心 O 运动路径的长度=124=24．∴从垂直状态到重合状态，圆心 O 运动路径的长度=124=24．即圆心 O 运动路径的总长度= 22=4．故答案为4π． 【题目点拨】本题主要考查了弧长公式和圆周公式，正确掌握弧长公式和圆周公式是解题的关键． 18、点P 在⊙O 外【分析】根据点与圆心的距离d ，则d ＞r 时，点在圆外；当d=r 时，点在圆上；当d ＜r 时，点在圆内． 【题目详解】解：∵⊙O 的半径r=10cm ，点P 到圆心O 的距离OP=12cm ， ∴OP ＞r ， ∴点P 在⊙O 外， 故答案为点P 在⊙O 外． 【题目点拨】本题考查了对点与圆的位置关系的判断．关键要记住若半径为r ，点到圆心的距离为d ，则有：当d ＞r 时，点在圆外；当d=r 时，点在圆上，当d ＜r 时，点在圆内．三、解答题（共78分）19、（Ⅰ）1；（Ⅱ）﹣4＜y ＜﹣1．【解题分析】（Ⅰ）首先把y ＝1代入直线的解析式，求得交点坐标，然后利用待定系数法求得反比例函数的解析式，最后把x ＝4代入求解；（Ⅱ）首先求得当x ＝﹣1和x ＝﹣1时y 的值，然后根据反比例函数的性质求解． 【题目详解】解：（Ⅰ）在y ＝x 中，当y ＝1时，x ＝1，则交点坐标是（1，1），把（1，1）代入y ＝kx，得：k ＝4， 所以反比例函数的解析式为y ＝4x，当x ＝4，y ＝4k＝1；（Ⅱ）当x ＝﹣1时，y ＝2k-＝﹣1；当x ＝﹣1时，y ＝1k-＝﹣4，则当﹣1＜x ＜﹣1时，反比例函数y ＝kx的范围是：﹣4＜y ＜﹣1． 【题目点拨】此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，以及反比例函数的增减性，两函数的交点即为同时满足两函数解析式的点，其中用待定系数法确定函数的解析式，是常用的一种解题方法．同学们要熟练掌握这种方法． 20、（1）2y x 2x 3=-++，图画见解析；（2）()2,5P --或()4,5-.【分析】（1）利用交点式直接写出函数的表达式，再用五点法作出函数的图象； （2）先求得AB 的长，再利用三角形面积法求得点P 的纵坐标，即可求得答案. 【题目详解】（1）由题意知：1a =-.()()23123y x x x x ∴=--+=-++.∵顶点坐标为：()14，描点、连线作图如下：（2）设点P 的纵坐标为y ,4AB =，1141022PABSAB y y =⨯⨯=⨯⨯= ∴5y =.∴5y =或5y =-，将5y =代入223y x x =-++，得：2220x x +=-，此时方程无解. 将5y =-代入223y x x =-++，得：2280x x --=，解得：12x =-；24x =()2,5P ∴--或()4,5-.【题目点拨】本题主要考查了待定系数法求函数的解析式以及利用三角形面积法求点的坐标的应用，求函数图象上的点的坐标的问题一般要转化为求线段的长的问题． 21、4.8cm【分析】连接AP ，先利用勾股定理的逆定理证明△ABC 为直角三角形，∠A ＝90°，可知四边形AEPF 为矩形，则AP ＝EF ，当AP 的值最小时，EF 的值最小，利用垂线段最短得到AP ⊥BC 时，AP 的值最小，然后利用面积法计算此时AP 的长即可．【题目详解】解：连接AP ，∵AB ＝6cm ，AC ＝8cm ，BC ＝10cm ， ∴AB 2+AC 2＝BC 2， ∴△ABC 是直角三角形，又∵PE⊥AB，PF⊥AC，∴四边形AEPF是矩形，∴AP＝EF，当AP⊥BC时，EF的值最小，∵1122=⨯=⨯ABCS AB AC BC AP，∴111068 22⨯⨯=⨯⨯AP．解得AP＝4.8cm．∴EF的最小值是4.8cm．【题目点拨】此题考查了直角三角形的判定及性质、矩形的判定与性质．关于矩形，应从平行四边形的内角的变化上认识其特殊性：一个内角是直角的平行四边形，进一步研究其特有的性质：是轴对称图形、内角都是直角、对角线相等．同时平行四边形的性质矩形也都具有．利用矩形对角线线段对线段进行转换求解是解题关键．22、①证明见解析；(2)S菱形CODP＝24.【解题分析】①根据DP∥AC，CP∥BD，即可证出四边形CODP是平行四边形，由矩形的性质得出OC=OD，即可得出结论；②利用S△COD＝S菱形CODP，先求出S△COD,即可得.【题目详解】证明：①∵DP∥AC，CP∥BD∴四边形CODP是平行四边形，∵四边形ABCD是矩形，∴BD＝AC，OD＝BD，OC＝AC，∴OD＝OC，∴四边形CODP是菱形．②∵AD＝6，AC＝10∴DC＝＝8∴S △COD ＝S △ADC ＝××AD×CD ＝12 ∵四边形CODP 是菱形， ∴S △COD ＝S 菱形CODP ＝12， ∴S 菱形CODP ＝24 【题目点拨】本题考查了矩形性质和菱形的判定，解题关键是熟练掌握菱形的判定方法，由矩形的性质得出OC=OD ． 23、（1）y ＝x 2﹣2x ﹣3，点A 、B 的坐标分别为：（﹣1，0）、（3，0）；（2）存在，点P （1+102，﹣32）；（3）故S 有最大值为758，此时点P （32，﹣154）．【分析】（1）根据题意得到函数的对称轴为：x ＝﹣2b＝1，解出b ＝﹣2，即可求解； （2）四边形POP ′C 为菱形，则y P ＝﹣12OC ＝﹣32，即可求解；（3）过点P 作PH ∥y 轴交BC 于点P ，由点B 、C 的坐标得到直线BC 的表达式，设点P （x ，x 2﹣2x ﹣3），则点H （x ，x ﹣3），再根据ABPC 的面积S ＝S △ABC +S △BCP 即可求解． 【题目详解】（1）函数的对称轴为：x ＝﹣2b＝1，解得：b ＝﹣2， ∴y ＝x 2﹣2x+c ，再将点C （0，﹣3）代入得到c=-3， ,∴抛物线的表达式为：y ＝x 2﹣2x ﹣3， 令y ＝0，则x ＝﹣1或3，故点A 、B 的坐标分别为：（﹣1，0）、（3，0）； （2）存在，理由：如图1，四边形POP ′C 为菱形，则y P ＝﹣12OC ＝﹣32，即y ＝x 2﹣2x ﹣3＝﹣32，解得：x ＝1102±（舍去负值）， 故点P （1+102，﹣32）；（3）过点P 作PH ∥y 轴交BC 于点P ，由点B 、C 的坐标得到直线BC 的表达式为：y ＝x ﹣3， 设点P （x ，x 2﹣2x ﹣3），则点H （x ，x ﹣3），ABPC 的面积S ＝S △ABC +S △BCP＝12×AB ×OC +12×PH ×OB ＝12×4×3+12×3×（x ﹣3﹣x 2+2x +3） ＝﹣32x 2+92x +6， = 23375()228x --+ ∵-32＜0，∴当x=32时，S 有最大值为758，此时点P （32，﹣154）．【题目点拨】此题是一道二次函数的综合题，考查待定系数法求函数解析式，图象与坐标轴的交点，翻折的性质，菱形的性质，利用函数解析式确定最大值，（3）是此题的难点，利用分割法求四边形的面积是解题的关键. 24、（1）13AN AB =（2）2AN MN CN =或2AN MN NC +=，证明见解析（3）12MC a = 【分析】（1）过B 做BQ ∥NC 交AD 延长线于Q ，构造出全等三角形△BDQ ≌△CDM （ASA ）、相似三角形△ANM ∽△ABQ ，再利用全等和相似的性质即可得出结论13AN AB =； （2）延长AD 至H ，使AD=DH ，连接CH ，可得△ABD ≌△HCD(SAS)，进一步可证得AMCACH ∆∆，得到ACM H =∠∠，然后证明ANM CNA ∆∆，即可得到结论：2AN MN CN =；延长CM 至Q ，使QM=CM ，连接AQ ，延长BC 至H ，使CH CD =可得()AQM DCM SAS ≌、四边形AQCH 为平行四边形，进一步可证得()ADB ACH SAS ≌，即可得到结论2AN MN NC +=；（3）在（1）、（2）的基础之上，用含a 的式子表示出AN 、MN ，从而得出12MC a =． 【题目详解】（1）过B 做BQ ∥NC 交AD 延长线于Q ，如图：∵D 为BC 中点易得△BDQ ≌△CDM （ASA ） ∴DQ=DM ， ∵M 为AD 中点， ∴AM=DM=DQ ， ∵BQ ∥NC ， ∴△ANM ∽△ABQ ， ∴13AN AM AB AQ ==， ∴13AN AB =； （2）①结论：2AN MN CN =，证明：延长AD 至H ，使AD=DH ，连接CH ，如图：易得△ABD ≌△HCD(SAS) ， ∴∠H=∠BAH ， ∴AB ∥HC ，设AM=x ，则AD=AC=2x ，AH=4x ，∴224AC x =，24AM AH x =，∴2AC AM AH =； ∴AC AH AM AC=，=MAC CAH ∠∠， ∴AMCACH ∆∆， ∴ACM H =∠∠，∴ACM BAH =∠∠，∵ANM CNA =∠∠，∴ANMCNA ∆∆， ∴AN NM CN AN=， ∴2AN MN CN =；②结论：2AN MN NC +=；证明：延长CM 至Q ，使QM CM =，连接AQ ，延长BC 至H ，使CH CD =，如图：则()AQM DCM SAS ≌，则四边形AQCH 为平行四边形，∴AQ CD =，Q QCB ∠=∠，//AQ BC ，QAB B ∠=∠，//AH QC ，H QCB ∠=∠，∴()ADB ACH SAS ≌，∴H B ∠=∠，∴H B Q QAB ∠=∠=∠=∠，∴QN AN =， QN MN MC +=，∴AN MN NC MN +=-，∴2AN MN NC +=；(3)由（1）得，3AB AN =，∴13AN a =， 由（2）①得==HC AB a ，∵HC AB ∥，∴HMCAMN ∆， ∴31HC MC AN MN ==， ∴3MC MN =，∵2AN MN NC =⋅， ∴221()43a MN =， ∴16MN a =， ∴12MC a =. 【题目点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质，合理的添加辅助线是解题的关键．25、（1）A(10,-，) B(20，)；（2）x 12=；（3）12x -<<． 【分析】（1）令0y =则220x x --=，解方程即可；（2）根据二次函数的对称轴公式2b x a=-代入计算即可； （3）结合函数图像，取函数图像位于x 轴下方部分，写出x 取值范围即可．【题目详解】解：（1）令0y =则220x x --=，解得 121,2x x =-=；∴A(10,-，) B(20，)；（2）11 2212b x a -=-=-=⨯ ∴对称轴为1 2x =； （3）∵0y <，∴图像位于x 轴下方，∴x 取值范围为12x -<< ．【题目点拨】本题考查了二次函数与一元二次方程关系，对称轴求法，二次函数与不等式的关系，熟记相关知识是解题关键．26、（1）12；（2）23．【分析】（1）直接利用概率公式求解；（2）画树状图展示所有12种等可能的结果数，利用一次函数的性质，找出a、b异号的结果数，然后根据概率公式求解．【题目详解】（1）∵共由4种可能，抽到的数字大于0的有2种，∴从中任意抽取1张，抽到的数字大于0的概率是12，故答案为：1 2（2）画树状图为：共有12种等可能的结果数，其中a、b异号有8种结果，∴这个二次函数的图象的对称轴在y轴右侧的概率为812＝23．【题目点拨】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．注意树状图法与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意概率=所求情况数与总情况数之比，熟练掌握a、b异号时，对称轴在y轴右侧是解题关键．。
2020-2021上海杨浦初级中学九年级数学上期末模拟试卷(含答案)
2020-2021上海杨浦初级中学九年级数学上期末模拟试卷(含答案)一、选择题1．一元二次方程的根是（ ） A ．3x = B ．1203x x ==-， C ．1203x x ==， D ．1203x x ==，2．如图，在△ABC 中，∠CAB=65°，在同一平面内，将△ABC 绕点A 旋转到△AB′C′的位置，使得CC′∥AB ，则∠BAB′的度数为（ ）A ．25°B ．30°C ．50°D ．55°3．如图，四边形ABCD 是菱形，∠A=60°，AB=2，扇形BEF 的半径为2，圆心角为60°，则图中阴影部分的面积是（ ）A ．233π-B ．233π-C ．3π-D ．3π-4．已知关于x 的一元二次方程2(2)0a x c -+=的两根为12x =-，26x =，则一元二次方程220ax ax a c -++=的根为( )A ．0，4B ．－3，5C ．－2，4D ．－3，15．某同学在解关于x 的方程ax 2+bx +c ＝0时，只抄对了a ＝1，b ＝﹣8，解出其中一个根是x ＝﹣1．他核对时发现所抄的c 是原方程的c 的相反数，则原方程的根的情况是（ ） A ．有两个不相等的实数根B ．有两个相等的实数根C ．有一个根是x ＝1D ．不存在实数根6．抛物线2y x 2=-+的对称轴为 A ．x 2= B ．x 0= C ．y 2= D ．y 0= 7．一个盒子内装有大小、形状相同的四个球，其中红球1个、绿球1个、白球2个，小明摸出一个球不放回，再摸出一个球，则两次都摸到白球的概率是（ ）A ．12B ．14C ．16D ．112 8．抛物线2y ax bx c =++经过点(1，0)，且对称轴为直线1x =-，其部分图象如图所示．对于此抛物线有如下四个结论：①abc ＜0； ②20a b +=；③9a-3b+c=0；④若0m n >>，则1x m =-时的函数值小于1x n =-时的函数值．其中正确结论的序号是（ ）A ．①③B ．②④C ．②③D ．③④9．如图，二次函数2y ax bx c =++的图象与x 轴相交于（﹣2，0）和（4，0）两点，当函数值y ＞0时，自变量x 的取值范围是（ ）A ．x ＜﹣2B ．﹣2＜x ＜4C ．x ＞0D ．x ＞410．若20a ab -=（b ≠0），则a ab +=（ ） A ．0 B ．12 C ．0或12 D ．1或 211．当﹣2≤x≤1时，二次函数y=﹣（x ﹣m ）2+m 2+1有最大值4，则实数m 的值为（ ）A ．74-B 3或3C ．2或3-D ．2或3-74- 12．一只布袋里装有4个只有颜色不同的小球，其中3个红球，1个白球，小敏和小丽依次从中任意摸出1个小球，则两人摸出的小球颜色相同的概率是（ ）A ．14B ．12C ．23D ．34二、填空题13．如图，在“3×3”网格中，有3个涂成黑色的小方格．若再从余下的6个小方格中随机选取1个涂成黑色，则完成的图案为轴对称图案的概率是______．14．如图，在矩形ABCD 中，AD=3，将矩形ABCD 绕点A 逆时针旋转，得到矩形AEFG ，点B 的对应点E 落在CD 上，且DE=EF ，则AB 的长为_____．15．小明把如图所示的3×3的正方形网格纸板挂在墙上玩飞镖游戏（每次飞镖均落在纸板上，且落在纸板的任何一个点的机会都相等），则飞镖落在阴影区域（四个全等的直角三角形的每个顶点都在格点上）的概率是______________．16．一个等腰三角形的两条边长分别是方程x 2﹣7x +10＝0的两根，则该等腰三角形的周长是_____．17．已知关于x 方程x 2﹣3x+a=0有一个根为1，则方程的另一个根为_____．18．请你写出一个有一根为0的一元二次方程：______．19．若二次函数y ＝x 2﹣3x +3﹣m 的图象经过原点，则m ＝_____．20．若1x 、2x 是方程22x 2mx m m 10-+--=的两个实数根，且x 1+x 2=1-x 1⋅x 2，则 m 的值为________.三、解答题21．在一个不透明的盒子里装有4个标有1，2，3，4的小球，它们形状、大小完全相同．小明从盒子里随机取出一个小球，记下球上的数字，作为点P 的横坐标x ，放回然后再随机取出一个小球，记下球上的数字，作为点P 的纵坐标y ．（1）画树状图或列表，写出点P 所有可能的坐标；（2）求出点P 在以原点为圆心，5为半径的圆上的概率．22．某文具店购进一批纪念册，每本进价为20元，出于营销考虑，要求每本纪念册的售价不低于20元且不高于28元，在销售过程中发现该纪念册每周的销售量y （本）与每本纪念册的售价x （元）之间满足一次函数关系：当销售单价为22元时，销售量为36本；当销售单价为24元时，销售量为32本．（1）求出y与x的函数关系式；（2）当文具店每周销售这种纪念册获得150元的利润时，每本纪念册的销售单价是多少元？（3）设该文具店每周销售这种纪念册所获得的利润为w元，将该纪念册销售单价定为多少元时，才能使文具店销售该纪念册所获利润最大？最大利润是多少？23．石狮泰禾某童装专卖店在销售中发现，一款童装每件进价为80元，销售价为120元时，每天可售出20件，为了迎接“十一”国庆节，商店决定采取适当的降价措施，以扩大销售量，增加利润，经市场调查发现，如果每件童装降价1元，那么平均可多售出2件．（1）设每件童装降价x元时，每天可销售______ 件，每件盈利______ 元；（用x的代数式表示）（2）每件童装降价多少元时，平均每天赢利1200元．（3）要想平均每天赢利2000元，可能吗？请说明理由．24．如图7，某中学要在教学楼后面的空地上用40米长的竹篱笆围出一个矩形地块作生物园，矩形的一边用教学楼的外墙，其余三边用竹篱笆，设矩形的宽为x，面积为y．（1）求y与x的函数关系式，并求自变量x的取值范围；（2）生物园的面积能否达到210平方米，说明理由．25．如图，在平面直角坐标系xOy中，A（﹣2，0），B（0，3），C（﹣4，1）．以原点O为旋转中心，将△ABC顺时针旋转90°得到△A'B'C'，其中点A，B，C旋转后的对应点分别为点A'，B'，C'．（1）画出△A'B'C'，并写出点A'，B'，C'的坐标；（2）求经过点B'，B，A三点的抛物线对应的函数解析式．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D解析：D【解析】x2−3x=0，x(x−3)=0，∴x1=0，x2=3.故选：D.2．C解析：C【解析】试题解析：∵CC′∥AB，∴∠ACC′=∠CAB=65°，∵△ABC绕点A旋转得到△AB′C′，∴AC=AC′，∴∠CAC′=180°﹣2∠ACC′=180°﹣2×65°=50°，∴∠CAC′=∠BAB′=50°．故选C．3．B解析：B【解析】【分析】根据菱形的性质得出△DAB是等边三角形，进而利用全等三角形的判定得出△ABG≌△DBH，得出四边形GBHD的面积等于△ABD的面积，进而求出即可．【详解】连接BD，∵四边形ABCD是菱形，∠A=60°，∴∠ADC=120°，∴∠1=∠2=60°，∴△DAB是等边三角形，∵AB=2，∴△ABD3，∵扇形BEF 的半径为2，圆心角为60°，∴∠4+∠5=60°，∠3+∠5=60°，∴∠3=∠4，设AD 、BE 相交于点G ，设BF 、DC 相交于点H ，在△ABG 和△DBH 中，2{34A AB BD ∠=∠=∠=∠，∴△ABG ≌△DBH （ASA ），∴四边形GBHD 的面积等于△ABD 的面积，∴图中阴影部分的面积是：S 扇形EBF -S △ABD=2602123602π⨯-⨯=23π 故选B ． 4．B解析：B【解析】【分析】先将12x =-，26x =代入一元二次方程2(2)0a x c -+=得出a 与c 的关系，再将c 用含a 的式子表示并代入一元二次方程220ax ax a c -++=求解即得．【详解】∵关于x 的一元二次方程2(2)0a x c -+=的两根为12x =-，26x =∴()2620a c -+=或()2220a c --+=∴整理方程即得：160a c +=∴16c a =-将16c a =-代入220ax ax a c -++=化简即得：22150x x --=解得：13x =-，25x =故选：B ．【点睛】本题考查了含参数的一元二次方程求解，解题关键是根据已知条件找出参数关系，并代入要求的方程化简为不含参数的一元二次方程． 5．A解析：A【解析】【分析】直接把已知数据代入进而得出c 的值，再解方程根据根的判别式分析即可．【详解】∵x ＝﹣1为方程x 2﹣8x ﹣c ＝0的根，1+8﹣c ＝0，解得c ＝9，∴原方程为x 2－8x ＋9＝0，∵24b ac ∆=-＝（﹣8）2－4×9＞0， ∴方程有两个不相等的实数根．故选：A ．【点睛】本题考查一元二次方程的解、一元二次方程根的判别式，解题的关键是掌握一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程()200++=≠ax bx c a ，根的情况由24b ac ∆=-来判别，当24b ac -＞0时，方程有两个不相等的实数根，当24b ac -＝0时，方程有两个相等的实数根，当24b ac -＜0时，方程没有实数根．6．B解析：B【解析】【分析】根据顶点式的坐标特点，直接写出对称轴即可．【详解】解∵：抛物线y=-x 2+2是顶点式，∴对称轴是直线x=0，即为y 轴．故选：B ．【点睛】此题考查了二次函数的性质，二次函数y=a （x-h ）2+k 的顶点坐标为（h ，k ），对称轴为直线x=h ．7．C解析：C【解析】【分析】画树状图求出共有12种等可能结果，符合题意得有2种，从而求解.【详解】解：画树状图得：∵共有12种等可能的结果，两次都摸到白球的有2种情况，∴两次都摸到白球的概率是：21126． 故答案为C ．【点睛】 本题考查画树状图求概率，掌握树状图的画法准确求出所有的等可能结果及符合题意的结果是本题的解题关键．8．D解析：D【解析】【分析】①根据抛物线开口方向、对称轴、与y 轴的交点即可判断；②根据抛物线的对称轴方程即可判断；③根据抛物线y ＝ax 2+bx +c 经过点（1，0），且对称轴为直线x ＝﹣1可得抛物线与x 轴的另一个交点坐标为（﹣3，0），即可判断；④根据m ＞n ＞0，得出m ﹣1和n ﹣1的大小及其与﹣1的关系，利用二次函数的性质即可判断．【详解】解：①观察图象可知：a ＜0，b ＜0，c ＞0，∴abc ＞0，所以①错误；②∵对称轴为直线x ＝﹣1， 即﹣2b a＝﹣1，解得b ＝2a ，即2a ﹣b ＝0， 所以②错误；③∵抛物线y ＝ax 2+bx +c 经过点（1，0），且对称轴为直线x ＝﹣1，∴抛物线与x 轴的另一个交点为（﹣3，0），当a ＝﹣3时，y ＝0，即9a ﹣3b +c ＝0，所以③正确；∵m ＞n ＞0，∴m ﹣1＞n ﹣1＞﹣1，由x ＞﹣1时，y 随x 的增大而减小知x ＝m ﹣1时的函数值小于x ＝n ﹣1时的函数值，故④正确；故选：D ．【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，解决本题的关键是掌握二次函数的图象和性质及点的坐标特征．9．B解析：B【解析】【详解】当函数值y ＞0时，自变量x 的取值范围是：﹣2＜x ＜4．故选B ．10．C解析：C【解析】【分析】【详解】解：∵20a ab -= ()0b ≠，∴a(a-b)=0，∴a=0，b=a ．当a=0时，原式=0；当b=a 时，原式=12，故选C 11．C解析：C【解析】【分析】根据对称轴的位置，分三种情况讨论求解即可．【详解】二次函数的对称轴为直线x=m ，①m ＜﹣2时，x=﹣2时二次函数有最大值，此时﹣（﹣2﹣m ）2+m 2+1=4，解得m=74-，与m ＜﹣2矛盾，故m 值不存在； ②当﹣2≤m≤1时，x=m 时，二次函数有最大值，此时，m 2+1=4，解得m=③当m ＞1时，x=1时二次函数有最大值，此时，﹣（1﹣m ）2+m 2+1=4，解得m=2，综上所述，m 的值为2或﹣故选C ．12．B解析：B【解析】画树状图展示所有12种等可能的结果数，再两人摸出的小球颜色相同的结果数然后根据概率公式求解．【详解】解：画树状图如下：，一共12种可能，两人摸出的小球颜色相同的有6种情况，所以两人摸出的小球颜色相同的概率是612=12，故选：B．【点睛】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．解题的关键是要注意是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．二、填空题13．13【解析】【分析】【详解】试题分析：有6种等可能的结果符合条件的只有2种则完成的图案为轴对称图案的概率是考点：轴对称图形的定义求某个事件的概率解析：．【解析】【分析】【详解】试题分析：有6种等可能的结果，符合条件的只有2种，则完成的图案为轴对称图案的概率是..考点：轴对称图形的定义，求某个事件的概率 .14．3【解析】【分析】根据旋转的性质知AB=AE在直角三角形ADE中根据勾股定理求得AE长即可得【详解】∵四边形ABCD是矩形∴∠D=90°BC=AD=3∵将矩形ABCD绕点A逆时针旋转得到矩形AEFG解析：【解析】【分析】根据旋转的性质知AB=AE，在直角三角形ADE中根据勾股定理求得AE长即可得.【详解】∵四边形ABCD是矩形，∴∠D=90°，BC=AD=3，∵将矩形ABCD绕点A逆时针旋转得到矩形AEFG，∴EF=BC=3，AE=AB，∵DE=EF，∴AD=DE=3，∴，∴，故答案为.【点睛】本题考查矩形的性质和旋转的性质，熟知旋转前后哪些线段是相等的是解题的关键.15．【解析】∵阴影部分的面积=4个小正方形的面积大正方形的面积=9个小正方形的面积∴阴影部分的面积占总面积的∴飞镖落在阴影区域(四个全等的直角三角形的每个顶点都在格点上)的概率是故答案为解析：4 9【解析】∵阴影部分的面积=4个小正方形的面积，大正方形的面积=9个小正方形的面积，∴阴影部分的面积占总面积的49，∴飞镖落在阴影区域(四个全等的直角三角形的每个顶点都在格点上)的概率是4 9 .故答案为4 9 .16．12【解析】【分析】首先利用因式分解法解方程再利用三角形三边关系得出各边长进而得出答案【详解】解：x2﹣7x+10＝0（x﹣2）（x﹣5）＝0解得：x1＝2x2＝5故等腰三角形的腰长只能为55底边长解析：12【解析】【分析】首先利用因式分解法解方程，再利用三角形三边关系得出各边长，进而得出答案.【详解】解：x2﹣7x+10＝0（x﹣2）（x﹣5）＝0，解得：x 1＝2，x 2＝5，故等腰三角形的腰长只能为5，5，底边长为2，则其周长为：5+5+2＝12．故答案为：12．【点睛】本题考查因式分解法解一元二次方程，需要熟悉三角形三边的关系以及等腰三角形的性质. 17．2【解析】分析：设方程的另一个根为m 根据两根之和等于-即可得出关于m 的一元一次方程解之即可得出结论详解：设方程的另一个根为m 根据题意得：1+m=3解得：m=2故答案为2点睛：本题考查了根与系数的关系 解析：2【解析】分析：设方程的另一个根为m ，根据两根之和等于-b a ，即可得出关于m 的一元一次方程，解之即可得出结论．详解：设方程的另一个根为m ，根据题意得：1+m=3，解得：m=2．故答案为2．点睛：本题考查了根与系数的关系，牢记两根之和等于-b a是解题的关键． 18．【解析】【分析】根据一元二次方程定义只要是一元二次方程且有一根为0即可【详解】可以是=0等故答案为：【点睛】本题考核知识点：一元二次方程的根解题关键点：理解一元二次方程的意义解析：240x x -=【解析】【分析】根据一元二次方程定义，只要是一元二次方程，且有一根为0即可.【详解】可以是240x x -=，22x x -=0等.故答案为：240x x -=【点睛】本题考核知识点：一元二次方程的根. 解题关键点：理解一元二次方程的意义.19．【解析】【分析】此题可以将原点坐标（00）代入y=x2-3x+3-m 求得m 的值即可【详解】由于二次函数y=x2-3x+3-m 的图象经过原点把（00）代入y=x2-3x+3-m 得：3-m=0解得：m=解析：【解析】【分析】此题可以将原点坐标（0，0）代入y=x 2-3x+3-m ，求得m 的值即可．【详解】由于二次函数y=x 2-3x+3-m 的图象经过原点，把（0，0）代入y=x 2-3x+3-m ，得：3-m=0，解得：m=3．故答案为3．【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，通过代入点的坐标即可求解．20．1【解析】【分析】【详解】若x1x2是方程x2-2mx+m2-m-1=0的两个实数根；∴x1+x2=2m；x1·x2=m2−m −1∵x1+x2=1-x1x2∴2m=1-(m2−m −1)解得：m1=- 解析：1【解析】【分析】【详解】若x 1，x 2是方程x 2-2mx+m 2-m-1=0的两个实数根；∴x 1+x 2=2m ；x 1·x 2= m 2−m−1， ∵x 1+x 2=1-x 1x 2，∴2m=1-(m 2−m−1)，解得：m 1=-2，m 2=1.又∵一元二次方程有实数根时，△ 0≥，∴22(2)4(1)0m m m ----≥,解得m≥-1，∴m=1.故答案为1.【点睛】（1）若方程()20?0ax bx c a ++=≠的两根是12x x 、，则1212bc x x x x a a+=-⋅=，，这一关系叫做一元二次方程根与系数的关系；（2）使用一元二次方程根与系数关系解题的前提条件是方程要有实数根，即各项系数的取值必须满足根的判别式△=24b ac -0≥.三、解答题21．（1）列表见解析，P 所有可能的坐标有：(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)；（2）18【解析】【分析】（1）用列表法列举出所有可能出现的情况，注意每一种情况出现的可能性是均等的，（2）点P在以原点为圆心，5为半径的圆上的结果有2个，即(3，4)，(4，3)，由概率公式即可得出答案．【详解】（1）由列表法列举所有可能出现的情况：因此点P所有可能的坐标有：(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，共16种．（2）点P在以原点为圆心，5为半径的圆上的结果有2个，即(3，4)，(4，3)，∴点P在以原点为圆心，5为半径的圆上的概率为21 168=．【点睛】本题考查了列表法或树状图法求等可能事件发生的概率，利用这种方法注意每一种情况出现的可能性是均等的．22．（1）y=﹣2x+80（20≤x≤28）；（2）每本纪念册的销售单价是25元；（3）该纪念册销售单价定为28元时，才能使文具店销售该纪念册所获利润最大，最大利润是192元．【解析】【分析】（1）待定系数法列方程组求一次函数解析式.(2)列一元二次方程求解.(3)总利润=单件利润⨯销售量：w＝(x－20)(－2x＋80)，得到二次函数，先配方，在定义域上求最值.【详解】(1)设y与x的函数关系式为y＝kx＋b.把(22，36)与(24，32)代入，得2236 2432.k bk b+=⎧⎨+=⎩解得280. kb=-⎧⎨=⎩∴y＝－2x＋80（20≤x≤28）.(2)设当文具店每周销售这种纪念册获得150元的利润时，每本纪念册的销售单价是x元，根据题意，得(x－20)y＝150，即(x－20)(－2x＋80)＝150.解得x1＝25，x2＝35(舍去)．答：每本纪念册的销售单价是25元．(3)由题意，可得w＝(x－20)(－2x＋80)＝－2(x－30)2＋200.∵售价不低于20元且不高于28元，当x ＜30时，y 随x 的增大而增大，∴当x ＝28时，w 最大＝－2×(28－30)2＋200＝192(元)．答：该纪念册销售单价定为28元时，能使文具店销售该纪念册所获利润最大，最大利润是192元．23．（1）（20+2x ），（40﹣x ）；（2）每件童装降价20元或10元，平均每天赢利1200元；（3）不可能做到平均每天盈利2000元．【解析】【分析】(1)、根据销售量=原销售量+因价格下降而增加的数量；每件利润=原售价－进价－降价，列式即可；(2)、根据总利润=单件利润×数量，列出方程即可；(3)、根据(2)中的相关关系方程，判断方程是否有实数根即可．【详解】(1)、设每件童装降价x 元时，每天可销售20+2x 件，每件盈利40-x 元，故答案为（20+2x ），（40-x ）；(2)、根据题意可得：(20+2x)(40－x)=1200，解得：121020x x ==，，即每件童装降价10元或20元时，平均每天盈利1200元；(3)、(20+2x)(40－x)=2000， 230x 6000x -+=，∵此方程无解，∴不可能盈利2000元．【点睛】本题主要考查的是一元二次方程的实际应用问题，属于中等难度题型．解决这个问题的关键就是要根据题意列出方程．24．（1）y= -2x 2+40x ；0＜x≤403；（2）不能，理由见解析． 【解析】【分析】（1）设矩形的宽为x ，则长为40-2x ，根据矩形面积公式“面积=长×宽”列出函数的关系式；（2）令y=210，看函数方程有没有解．【详解】解：（1）设矩形的宽为x ，则长为40-2x ，y=x （40-2x ）=-2x 2+40x 又要围成矩形，则40-2x≥x ，x≤403x 的取值范围：0＜x≤403（2）令y=210，则-2x2+40x=210变形得：2x2-40x+210=0，即x2-20x+105=0，又∵△=b2-4ac=（-20）2-4×1×105＜0，∴方程无实数解，∴生物园的面积达不到210平方米．【点睛】本题考查的是函数关系式的求法及最值的求法，同学们应该掌握．25．（1）见解析；（2）抛物线的解析式为y＝﹣12x2+12x+3．【解析】【分析】（1）分别作出A，B，C的对应点A′，B′，C′即可．（2）设抛物线的解析式为y＝a（x+2）（x﹣3），把B（0，3）代入求出a即可．【详解】解：（1）如图△A'B'C'即为所求．A′（0，2），B′（3，0），C′（1，4）（2）设抛物线的解析式为y＝a（x+2）（x﹣3），把B（0，3）代入得到a＝﹣12，∴抛物线的解析式为y＝﹣12x2+12x+3．【点睛】本题考查的知识点是求抛物线解析式以及图形的旋转变换，根据旋转的性质得出A′，B′，C′的坐标是解此题的关键．。
2020-2021学年上海市杨浦区九年级(上)期末数学试卷(一模)
2020-2021学年上海市杨浦区九年级（上）期末数学试卷（一模）一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）1．（4分）关于抛物线2y x x =-，下列说法中，正确的是( ) A ．经过坐标原点 B ．顶点是坐标原点 C ．有最高点D ．对称轴是直线1x =2．（4分）在ABC ∆中，如果1sin 2A =，cot B =，那么这个三角形一定是( )A ．等腰三角形B ．锐角三角形C ．钝角三角形D ．直角三角形3．（4分）如果小丽在楼上点A 处看到楼下点B 处小明的俯角是35︒，那么点B 处小明看点A 处小丽的仰角是( )A ．35︒B ．45︒C ．55︒D ．65︒4．（4分）在ABC ∆中，点D 、E 分别在AB 、AC 上，下列条件中，能判定//DE BC 的是( ) A ．AD DEAB BC=B ．AD AEDB EC=C ．DB AEEC AD=D ．AD AEAC AB=5．（4分）下列命题中，正确的是( ) A ．如果e 为单位向量，那么||a a e = B ．如果a 、b 都是单位向量，那么a b = C ．如果a b =-，那么//a b D ．如果||||a b =，那么a b =6．（4分）在梯形ABCD 中，//AD BC ，对角线AC 与BD 相交于点O ，下列说法中，错误的是( ) A ．AOB DOC S S ∆∆= B ．AOB BOC S ODS OB ∆∆=C ．AOD BOC S OAS OC∆∆=D ．ABD ABC S ADS BC∆∆=二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分） 7．（4分）计算：3(2)2()a b a b +--= ．8．（4分）已知抛物线2(1)1y a x =-+的开口向上，那么a 的取值范围是 ．9．（4分）如果小明沿着坡度为1:2.4的山坡向上走了130米，那么他的高度上升了 米．10．（4分）已知线段AB 的长为4厘米，点P 是线段AB 的黄金分割点()AP BP <，那么线段AP 的长是 厘米．11．（4分）已知抛物线243y x x =-+与x 轴交于点A 、B ，与y 轴交于点C ，那么ABC ∆的面积等于 ．12．（4分）已知抛物线2y x =，把该抛物线向上或向下平移，如果平移后的抛物线经过点(2,2)A ，那么平移后的抛物线的表达式是 ．13．（4分）如图，已知小李推铅球时，铅球运动过程中离地面的高度y （米)关于水平距离x （米)的函数解析式为21251233y x x =-++，那么铅球运动过程中最高点离地面的距离为 米．14．（4分）如图，已知在平行四边形ABCD 中，点E 在边AB 上，12AE EB =，联结DE 交对角线AC 于点O ，那么AOOC的值为 ．15．（4分）如图，已知在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，点G 是ABC ∆的重心，2CG =，4BC =，那么cos GCB ∠= ．16．（4分）如图，已知在ABC ∆中，90C ∠=︒，10AB =，1cot 2B =，正方形DEFG 的顶点G 、F 分别在AC 、BC 上，点D 、E 在斜边AB 上，那么正方形DEFG 的边长为 ．17．（4分）新定义：有一组对角互余的凸四边形称为对余四边形，如图，已知在对余四边形ABCD中，10AB=，12BC=，5CD=，3 tan4B=，那么边AD的长为．18．（4分）如图，已知在ABC∆中，45B∠=︒，60C∠=︒，将ABC∆绕点A旋转，点B、C分别落在点1B、1C处，如果1//BB AC，联结11C B交边AB于点D，那么1BDB D的值为．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19．（10分）计算：22602sin30445cot30tancos︒-︒︒+︒．20．（10分）已知一个二次函数的图象经过点(1,0)A-、(0,3)B、(2,3)C．（1）求这个函数的解析式及对称轴；（2）如果点1(P x，1)y、2(Q x，2)y在这个二次函数图象上，且12x x<<，那么1y2y．（填“<”或“>”)21．（10分）如图，已知在ABC∆中，点D、E分别在边AB、AC上，//DE BC，点M为边BC上一点，13BM BC=，联结AM交DE于点N．（1）求DNNE的值；（2）设AB a =，AM b =，如果23AD DB =，请用向量a 、b 表示向量NE ．22．（10分）如图，为了测量河宽，在河的一边沿岸选取B 、C 两点，对岸岸边有一块石头A ，在ABC ∆中，测得64B ∠=︒，45C ∠=︒，50BC =米，求河宽（即点A 到边BC 的距离）（结果精确到0.1米）．（参考数据：2 1.41≈，sin640.90︒=，cos640.44︒=，tan64 2.05)︒=23．（12分）已知：如图，在梯形ABCD 中，//AD BC ，对角线BD 、AC 相交于点E ，过点A 作//AF DC ，交对角线BD 于点F ． （1）求证：DF DEBD BE=； （2）如果ADB ACD ∠=∠，求证：线段CD 是线段DF 、BE 的比例中项．24．（12分）已知在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2()4y x m =--+与y 轴交于点B ，与x 轴交于点C 、D （点C 在点D 左侧），顶点A 在第一象限，异于顶点A 的点(1,)P n 在该抛物线上．（1）如果点P 与点C 重合，求线段AP 的长；（2）如果抛物线经过原点，点Q是抛物线上一点，tan3∠=，求点Q的坐标；OPQ（3）如果直线PB与x轴的负半轴相交，求m的取值范围．25．（14分）如图，已知在Rt ABC==，点D为边BC上一动AC BC∠=︒，4ACB∆中，90点（与点B、C不重合），点E为AB上一点，EDB ADC⊥，垂足∠=∠，过点E作EF AD为点G，交射线AC于点F．（1）如果点D为边BC的中点，求DAB∠的正切值；（2）当点F在边AC上时，设CD x=，求y关于x的函数解析式及x的取值范围；=，CF y（3）联结DF，如果CDF∆与AGE∆相似，求线段CD的长．2020-2021学年上海市杨浦区九年级（上）期末数学试卷（一模）参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）1．（4分）关于抛物线2y x x =-，下列说法中，正确的是( ) A ．经过坐标原点 B ．顶点是坐标原点 C ．有最高点 D ．对称轴是直线1x =【解答】解：2211()24y x x x =-=--，∴顶点坐标是：1(2，1)4-，对称轴是直线12x =， 10a =>，∴开口向上，有最小值，当0x =时，20y x x =-=，∴图象经过坐标原点，故选：A ．2．（4分）在ABC ∆中，如果1sin 2A =，cotB =，那么这个三角形一定是( )A ．等腰三角形B ．锐角三角形C ．钝角三角形D ．直角三角形【解答】解：1sin 2A =，cot B ，30A ∴∠=︒，60B ∠=︒， 180306090C ∴∠=︒-︒-︒=︒， ABC ∴∆是直角三角形，故选：D ．3．（4分）如果小丽在楼上点A 处看到楼下点B 处小明的俯角是35︒，那么点B 处小明看点A 处小丽的仰角是( )A ．35︒B ．45︒C ．55︒D ．65︒【解答】解：因为从点A 看点B 的仰角与从点B 看点A 的俯角互为内错角，大小相等． 所以小丽在楼上点A 处看到楼下点B 处小明的俯角是35︒， 点B 处小明看点A 处小丽的仰角是35︒． 故选：A ．4．（4分）在ABC ∆中，点D 、E 分别在AB 、AC 上，下列条件中，能判定//DE BC 的是( ) A ．AD DEAB BC=B ．AD AEDB EC=C ．DB AEEC AD=D ．AD AEAC AB=【解答】解：当AD AEAB AC=， 则//DE BC ，故选项A 不符合题意； 当AD AEDB EC=， 则//DE BC ，故选项B 符合题意； 当DB ABEC AC=， 则//DE BC ，故选项C 不符合题意； 由于AD AEAC AB=，//DE BC 不一定成立，选项D 不符合题意． 故选：B ．5．（4分）下列命题中，正确的是( ) A ．如果e 为单位向量，那么||a a e = B ．如果a 、b 都是单位向量，那么a b = C ．如果a b =-，那么//a b D ．如果||||a b =，那么a b =【解答】解：A 、如果e 为单位向量，且e 与a 方向相同时，那么||a a e =，故本选项不符合题意．B 、如果a 、b 都是单位向量且方向相同，那么a b =，故本选项不符合题意．C 、如果a b =-，则向量a 与b -的大小相等、方向相反，那么//a b ，故本选项符合题意．D 、若||||a b =，那么a 与b 的模相等，但是方向不一定相等，即a b =不一定成立，故本选项不符合题意． 故选：C ．6．（4分）在梯形ABCD 中，//AD BC ，对角线AC 与BD 相交于点O ，下列说法中，错误的是( ) A ．AOB DOC S S ∆∆= B ．AOB BOC S ODS OB ∆∆=C．AOD BOC S OAS OC∆∆=D ．ABD ABC S ADS BC∆∆=【解答】解：如图， //AD BC ， ABC DCB S S ∆∆∴=，即AOB OBC OBC DOC S S S S ∆∆∆∆+=+， AOB DOC S S ∆∆=，所以A 选项的结论正确；//AD BC ，∴OA ODOC OB =， AOB BOC S OAS OC∆∆=， ∴AOB BOC S ODS OB∆∆=；所以B 选项的结论正确； //AD BC ， AOD COB ∴∆∆∽，∴2()AOD BOC S OA S OC∆∆=，所以C 选项的结论错误； //AD BC ，∴点B 到AD 的距离等于点A 到BC 的距离，∴ABD ABC S ADS BC∆∆=，所以D 选项的结论正确； 故选：C ．二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分） 7．（4分）计算：3(2)2()a b a b +--= 8a b + ．【解答】解：原式3622)8a b a b a b =+-+=+． 故答案是：8a b +．8．（4分）已知抛物线2(1)1y a x =-+的开口向上，那么a 的取值范围是 1a < ． 【解答】解：因为抛物线2(1)1y a x =-+的开口向上， 所以10a ->，即1a <． 故答案为：1a <．9．（4分）如果小明沿着坡度为1:2.4的山坡向上走了130米，那么他的高度上升了 50 米． 【解答】解：设他沿着垂直方向升高了x 米， 坡比为1:2.4，∴他行走的水平宽度为2.4x 米，由勾股定理得，222(2.4)130x x +=， 解得，50x =，即他沿着垂直方向升高了50米， 故答案为：50．10．（4分）已知线段AB 的长为4厘米，点P 是线段AB 的黄金分割点()AP BP <，那么线段AP 的长是 (6- 厘米．【解答】解：点P 是线段AB 的黄金分割点，AP BP <，4AB =厘米，2)BP AB ∴==厘米，42)(6AP AB BP ∴=-=-=-厘米，故答案为：(6-．11．（4分）已知抛物线243y x x =-+与x 轴交于点A 、B ，与y 轴交于点C ，那么ABC ∆的面积等于 3 ．【解答】解：抛物线243(1)(3)y x x x x =-+=--，∴当0y =时，1x =或3x =，当0x =时，3y =， ∴点A 、B 、C 的坐标为分别为(1,0)，(3,0)，(0,3)，2AB ∴=，ABC ∴∆的面积是：2332⨯=， 故答案为：3．12．（4分）已知抛物线2y x =，把该抛物线向上或向下平移，如果平移后的抛物线经过点(2,2)A ，那么平移后的抛物线的表达式是 22y x =- ．【解答】解：设所求的函数解析式为2y x k =+， 点(2,2)A 在抛物线上， 222k ∴=+解得：2k =-，∴平移后的抛物线的表达式是22y x =-．故答案为：22y x =-．13．（4分）如图，已知小李推铅球时，铅球运动过程中离地面的高度y （米)关于水平距离x （米)的函数解析式为21251233y x x =-++，那么铅球运动过程中最高点离地面的距离为 3 米．【解答】解：由题意可得： 2212515(8)1233123y x x x x =-++=--+ 21(4)312x =--+， 故铅球运动过程中最高点离地面的距离为：3m ． 故答案为：3．14．（4分）如图，已知在平行四边形ABCD 中，点E 在边AB 上，12AE EB =，联结DE 交对角线AC 于点O ，那么AO OC 的值为 13．【解答】解：四边形ABCD 为平行四边形，//AB CD ∴，AB CD =， 12AE BE =， ∴13AE AB =， ∴13AE CD =， //AE CD ，AOE COD ∴∆∆∽，∴13AO AE OC CD ==． 故答案为13． 15．（4分）如图，已知在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，点G 是ABC ∆的重心，2CG =，4BC =，那么cos GCB ∠= 23．【解答】解：延长CG 交AB 于D ，如图，点G 是ABC ∆的重心，112DG CG ∴==，AD BD =， 90ACB ∠=︒，213CD BD AD ∴===+=，6AB ∴=，DCB B ∠=∠，在Rt ACB ∆中，42cos 63BC B AB ===，2cos 3GCB ∴∠=． 故答案为23．16．（4分）如图，已知在ABC ∆中，90C ∠=︒，10AB =，1cot 2B =，正方形DEFG 的顶点G 、F 分别在AC 、BC 上，点D 、E 在斜边AB 上，那么正方形DEFG 的边长为207 ．【解答】解：90C ∠=︒，1cot 2BC B AC ∴==， 设BC t =，则2AC t =，22(2)5AB t t t ∴+， ∴510t =，解得25t =25BC ∴=45AC =过C 点作CH AB ⊥于H ，交GF 于M ，如图，设正方形的边长为x ，易得四边形DGMH 为矩形，MH DG x ∴==，1122CH AB AC BC ⨯=⨯⨯， 25454CH ⨯∴==， 8CM CH MH x ∴=-=-，//GF AB ，CGF CAB ∴∆∆∽， ∴CM GF CH AB =，即4410x x -=，解得207x =， 即正方形DEFG 的边长为207．17．（4分）新定义：有一组对角互余的凸四边形称为对余四边形，如图，已知在对余四边形ABCD 中，10AB =，12BC =，5CD =，3tan 4B =，那么边AD 的长为 9 ．【解答】解：如图，过端午A 作AH BC ⊥于H ，过点C 作CE AD ⊥于E ，连接AC ．在Rt ABH ∆中，3tan 4AH B BH ==， ∴可以假设3AH k =，4BH k =，则510AB k ==，2k ∴=，6AH ∴=，8BH =，12BC =，1284CH BC BH ∴=-=-=，222264213AC AH CH ∴++90B D∠+∠=︒，90D ECD∠+∠=︒，ECD B∴∠=∠，在Rt CED∆中，3tan4DEECDEC ∠==，5CD=，3DE∴=，4CE=，2222(213)46AE AC CE∴=-=-=，9AD AE DE∴=+=．故答案为：9．18．（4分）如图，已知在ABC∆中，45B∠=︒，60C∠=︒，将ABC∆绕点A旋转，点B、C分别落在点1B、1C处，如果1//BB AC，联结11C B交边AB于点D，那么1BDB D的值为62-．【解答】解：如图，过点D作1DE AB⊥于E，45B∠=︒，60C∠=︒，75CAB∴∠=︒，1//BB AC，175CAB ABB∴∠=∠=︒，将ABC ∆绕点A 旋转，1AB AB ∴=，1145AB C ABC ∠=∠=︒，1175AB B ABB ∴∠=∠=︒，130B AB ∴∠=︒，又1DE AB ⊥，1145AB C ∠=︒，2AD DE ∴=，AE =，1DE B E =，1AB DE AB ∴=+=，1DB =，DB AB AD DE ∴=--，∴1BD B D =，三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19．（10分）计算：22602sin30445cot 30tan cos ︒-︒︒+︒． 【解答】解：原式212-⨯===4=-20．（10分）已知一个二次函数的图象经过点(1,0)A -、(0,3)B 、(2,3)C ．（1）求这个函数的解析式及对称轴；（2）如果点1(P x ，1)y 、2(Q x ，2)y 在这个二次函数图象上，且120x x <<，那么1y <2y ．（填“<”或“>” ) 【解答】解：（1）设二次函数的解析式为2(0)y ax bx c a =++≠．根据题意，得03423a b c c a b c -+=⎧⎪=⎨⎪++=⎩，解得123a b c =-⎧⎪=⎨⎪=⎩．∴二次函数的解析式为223y x x =-++，∴抛物线的对称轴为直线212(1)x =-=⨯-； （2）由（1）可知，抛物线开口向下，对称轴为直线1x =，点1(P x ，1)y 、2(Q x ，2)y 在这个二次函数图象上，且120x x <<，12y y ∴<，故答案为<．21．（10分）如图，已知在ABC ∆中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，//DE BC ，点M 为边BC 上一点，13BM BC =，联结AM 交DE 于点N ． （1）求DN NE的值； （2）设AB a =，AM b =，如果23AD DB =，请用向量a 、b 表示向量NE ．【解答】（1）解：13BM BC =， ∴12BM MC =． //DE BC ，∴DN NE BM MC=，2NE MC 即：DN NE 的值是12；（2）解：AB a =，AM b =， ∴BM AM AB b a =-=-．//DE BC ，23AD DB =， ∴23AD DN AB BM ==． 23DN BM ∴=． 由（1）知，12DN NE =，则2NE DN =． ∴24422333NE DN BM b a ==⨯=-．22．（10分）如图，为了测量河宽，在河的一边沿岸选取B 、C 两点，对岸岸边有一块石头A ，在ABC ∆中，测得64B ∠=︒，45C ∠=︒，50BC =米，求河宽（即点A 到边BC 的距离）（结果精确到0.1米）．（参考数据：2 1.41≈，sin640.90︒=，cos640.44︒=，tan64 2.05)︒=【解答】解：过点A 作AD BC ⊥于点D ．如图所示：在Rt ACD ∆中，45C ∠=︒，CD CD AD ∴=，在Rt ABD ∆中，64B ∠=︒，tan 2.05AD B BD ∴∠==， 12.05BD BD ∴=， 50BC BD CD =+=米，1502.05AD AD ∴+=米， 解得：33.6AD ≈（米)．答：河的宽度约为33.6米．23．（12分）已知：如图，在梯形ABCD 中，//AD BC ，对角线BD 、AC 相交于点E ，过点A 作//AF DC ，交对角线BD 于点F ．（1）求证：DF DE BD BE=； （2）如果ADB ACD ∠=∠，求证：线段CD 是线段DF 、BE 的比例中项．【解答】证明：（1）//AD BC ，CBD ADF ∴∠=∠，180ADC BCD ∠+∠=︒，//AF CD ，180ADC DAF ∴∠+∠=︒，DAF BCD ∴∠=∠，DAF BCD ∴∆∆∽，∴AD DF BC BD =， //AD BC ，ADE CBE ∴∆∆∽，∴AD DE BC BE =， ∴DF DE BD BE=； （2）ADB ACD ∠=∠，ADB CBD ∠=∠，ECD CBD ∴∠=∠，而CDE BDC ∠=∠，DCE DBC ∴∆∆∽，∴DC DE BD DC=， 2DC DE DB ∴=⋅，DF DE BD BE=， DE DB DF BE ∴⋅=⋅，2DC DF BE ∴=⋅，即线段CD 是线段DF 、BE 的比例中项．24．（12分）已知在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2()4y x m =--+与y 轴交于点B ，与x 轴交于点C 、D （点C 在点D 左侧），顶点A 在第一象限，异于顶点A 的点(1,)P n 在该抛物线上．（1）如果点P 与点C 重合，求线段AP 的长；（2）如果抛物线经过原点，点Q 是抛物线上一点，tan 3OPQ ∠=，求点Q 的坐标；（3）如果直线PB 与x 轴的负半轴相交，求m 的取值范围．【解答】解：（1）由题意，抛物线2()4y x m =--+经过点(1,0)C ， 2(1)4m ∴-=，解得3m =或1-（舍弃），(3,4)A ∴，(1,0)P ， 224225PA ∴=+=．（2）抛物线2()4y x m =--+经过点(0,0)C ， 24m ∴=，解得2m =或2-（舍弃），∴抛物线的解析式为2(2)4y x =--+，当1x =时，3n =，(1,3)P ∴，如图1中，延长PQ 交X 轴于F ，设(,0)F t ．(1,3)P ，tan 3POF ∴∠=，tan 3OPQ ∠=，tan tan POF OPQ ∴∠=∠，POF OPQ ∴∠=∠，OF PF ∴=，2223(1)t t ∴=+-，5t ∴=，(5,0)F ∴，∴直线PF 的解析式为31544y x =-+， 由2(2)431544y x y x ⎧=--+⎪⎨=-+⎪⎩，解得13x y =⎧⎨=⎩（即点)P 或1541516x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 15(4Q ∴，15)16．（3）如图2中，当点B 在y 轴的正半轴上时，由题意，222(1)44401m m m m ⎧--+>-+⎪-+>⎨⎪≠⎩，解得122m <<且1m ≠． 当点B 与原点O 重合时，显然不符合题意，当点B 在y 轴的负半轴上时，240m -<，且2m >， 2m ∴>，此时点P 在抛物线的对称轴的左侧，不符合题意． 综上所述，122m <<且1m ≠． 25．（14分）如图，已知在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，4AC BC ==，点D 为边BC 上一动点（与点B 、C 不重合），点E 为AB 上一点，EDB ADC ∠=∠，过点E 作EF AD ⊥，垂足为点G ，交射线AC 于点F ．（1）如果点D 为边BC 的中点，求DAB ∠的正切值；（2）当点F 在边AC 上时，设CD x =，CF y =，求y 关于x 的函数解析式及x 的取值范围；（3）联结DF ，如果CDF ∆与AGE ∆相似，求线段CD 的长．【解答】解：（1）如图1中，过点D 作DH AB ⊥于H ．4CA CB ==，90ACB ∠=︒，22224442AB AC BC ∴=+=+2CD DB ==，45B ∠=︒，90DHB ∠=︒，22DH BH ∴===， 32AH AB BH ∴=-=1tan 3DH DAB AH ∴∠==． （2）如图2中，过点A 作AT AC ⊥，延长FE 交AT 于T ，直线DE 交AT 于K ，交AC 的延长线于R ．AT AC ⊥，BC AC ⊥，//AT BC ∴，ADC DAK ∴∠=∠，EDB AKD ∠=∠，ADC EDB ∠=∠，DAK DKA ∴∠=∠，DA DK ∴=，90R DKA ∠+∠=︒，90DAC DAK ∠+∠=︒， DAC R ∴∠=∠，DA DR ∴=，DC AR ⊥，4AC CR ∴==，90AFE CAD ∠+∠=︒，90AKE R ∠+∠=︒， AFE AKE ∴∠=∠，45EAF EAK ∠=∠=︒，AE AE =，()AEF AEK AAS ∴∆≅∆，AF AK ∴=，90RAK TAF ∠=∠=︒，AKR AFT ∠=∠， ()AKR AFT ASA ∴∆≅∆，8AR AT ∴==，R T DAC ∠=∠=∠，ACD TAF ∠=∠，ACD TAF ∴∆∆∽，∴12CD AC AF TA ==， 22AF CD x ∴==，4CF AF +=，24y x ∴+=，42(02)y x x ∴=-<．（3）如图3中，连接DF ，作DH AB ⊥于H ．GAE DAH ∠=∠，AGE AHD ∠=∠，AGE AHD ∴∆∆∽，CDF ∆与AGE ∆相似，CFD ∴∆与ADH ∆相似，∴CF CD DH AH =或CF CD AH DH=， ∴22(4)42(4)2x x =---2242(4)(4)2x x --- 整理得，28160x x +-=或216160x x --=， 解得，424x =或424-（舍弃）或843-843+， 424CD ∴=或843-当点F 在下方时，同法可得，43CD =， 综上所述，满足条件的CD 的值为24或843-43。
上海市杨浦区2023-2024学年九年级上学期期末模拟数学试题
上海市杨浦区2023-2024学年九年级上学期期末模拟数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题A ．35AD AF =B ．BC CE 4．如图，传送带和地面所成斜坡的坡度为米高的B 处，则物体从A 到B A ．310米B ．25．已知非零向量a 、b 、c ，下列条件中，能判定向量A ．a c ∥ ，b c ∥B ．aA．AFEV的面积△的面积B．BDF C．BCN△的面积△的面积D．DCE二、填空题的重心，过点G16．已知G是ABC点E，如果四边形ADGE的面积为17．如果一个三角形的两个内角α△“倍角互余三角形”．已知在Rt ABC三、应用题19．在平面直角坐标系xOy (1)如果m n =，那么抛物线的对称轴为直线(2)如果点A 、B 在直线y x =四、解答题20．如图，在梯形ABCD 中，BC BD 、于点E F 、，若AB (1)用、a b 表示BD 和AF ；(2)求作BF 在、a b 方向上的分向量．中表示结论的分向量）21．如图，已知在ABC 中，是边BC 的中点．(1)求边AC 的长；(2)求EAB ∠的正弦值．五、计算题22．图1是某款篮球架，图2是其示意图，立柱OA 垂直地面OB ，支架CD 与OA 交于点A ，支架CG CD ⊥交OA 于点G ，支架DE 平行地面OB ，篮筺EF 与支架DE 在同一直线上， 2.5OA =米，0.8AD =米，32AGC ∠=︒．(1)求GAC ∠的度数．(2)某运动员准备给篮筐挂上篮网，如果他站在発子上，最高可以把篮网挂到离地面3米处，那么他能挂上篮网吗？请通过计算说明理由．（参考数据：sin 320.53,cos 320.85,tan 320.62︒≈︒≈︒≈）六、证明题23．如图，已知ADE V 的顶点E 在ABC 的边BC 上，DE 与AB 相交于点F ，FEA B ∠=∠，DAF CAE ∠=∠．七、解答题24．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝ax 2+bx +3与x 轴交于A ，B 两点（点B 在点A 的右边），点A 坐标为(1，0)，抛物线与y 轴交于点C ，S △ABC ＝3．(1)求抛物线的函数表达式；(2)点P (x ，y )是抛物线上一动点，且x ＞3．作PN ⊥BC 于N ，设PN ＝d ，求d 与x 的函数关系式；(3)在（2）的条件下，过点A 作PC 的平行线交y 轴于点F ，连接BF ，在直线AF 上取点E ，连接PE ，使PE ＝2BF ，且∠PEF +∠BFE ＝180°，请直接写出P 点坐标．25．如图，在矩形ABCD 中，2AB =，1AD =，点E 在边AB 上（点E 与端点A 、B 不重合），联结DE ，过点D 作DF DE ⊥，交BC 的延长线于点F ，联结EF ，与对角线AC 、边CD 分别交于点G 、H ．设AE x =，DH y =．（1）求证：ADE CDF ∽△△，并求EFD ∠的正切值；（2）求y 关于x 的函数解析式，并写出该函数的定义域；（3）联结BG ，当BGE △与DEH △相似时，求x 的值．。
2022年上海市杨浦区九级第一期期末一模考试数学九上期末达标检测试题含解析
2022-2023学年九上数学期末模拟试卷注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题(每小题3分,共30分)1．在等腰直角三角形ABC 中，AB=AC=4，点O 为BC 的中点，以O 为圆心作⊙O 交BC 于点M 、N ，⊙O 与AB 、AC 相切，切点分别为D 、E ，则⊙O 的半径和∠MND 的度数分别为（ ）A ．2，22.5°B ．3，30°C ．3，22.5°D ．2，30°2．某商场对上周女装的销售情况进行了统计，如下表，经理决定本周进女装时多进一些红色的，可用来解释这一现象的统计知识是（ ） 颜色 黄色 绿色 白色 紫色 红色 数量（件） 10018022080520A ．平均数B ．中位数C ．众数D ．方差3．如图，抛物线y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）与x 轴交于点（﹣3，0），其对称轴为直线x ＝﹣12，结合图象分析下列结论：①abc ＞0；②3a +c ＞0；③当x ＜0时，y 随x 的增大而增大：④若m ，n （m ＜n ）为方程a （x +3）（x ﹣2）+3＝0的两个根，则m ＜﹣3且n ＞2；⑤244b ac a-＜0，其中正确的结论有（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个4．如图，函数31y x =与函数21=y x在同一坐标系中的图象如图所示，则当12y y >时（ ）．A ．-1 < x < 1B ．-1 < x < 0 或 x > 1C ．-1 < x < 1 且 x ≠ 0D ．0 < x < 1或 x < -15．如图，∠AOB 是放置在正方形网格中的一个角,则tan ∠AOB （ ）A ．33B ．3C ．1D ．256．对于反比例函数y=1x，下列说法正确的是（ ） A ．图象经过点（1，﹣1） B ．图象关于y 轴对称C ．图象位于第二、四象限D ．当x ＜0时，y 随x 的增大而减小7．如图，正方形ABCD 的顶点,A B 分别在x 轴和y 轴上，与双曲线18y x=恰好交于BC 的中点E . 若2OB OA =，则ABO S ∆的值为（ ）A ．6B ．8C ．10D ．128．如图是某个几何体的三视图，该几何体是（ ）A ．长方体B ．圆锥C ．三棱柱D ．圆柱9．方程23x x =的解是（ ） A ．3x =B ．13x =，20x =C ．13x =，20x =D ．3x =10．抛物线y=x 2﹣2x+2的顶点坐标为（ ） A ．（1，1）B ．（﹣1，1）C ．（1，3）D ．（﹣1，3）二、填空题(每小题3分,共24分)11．如图，E 是矩形ABCD 的对角线的交点，点F 在边AE 上，且DF=DC ，若∠ADF=25°，则∠BEC=________．12．已知423x y x +=，xy=________． 13．写出一个图象的顶点在原点，开口向下的二次函数的表达式_____． 14．如图，ABC 内接于O ，AD BC ⊥于点D ，AD BD =，若O 的半径2OA =，则AC 的长为______．15．在比例尺为1:1000000的地图上,量得甲、乙两地的距离是2.6cm,则甲、乙两地的实际距离为_______千米. 16．如图，圆心角都是90°的扇形OAB 与扇形OCD 叠放在一起，OA ＝3，OC ＝1，分别连接AC 、BD ，则图中阴影部分的面积为_____．17．如图，O 是锐角ABC ∆的外接圆，FH 是O 的切线，切点为F ，//FH BC ，连结AF 交BC 于E ，ABC∠的平分线BD 交AF 于D ，连结BF ．下列结论：①AF 平分BAC ∠；②连接DC ，点F 为BDC ∆的外心；③sin sin BE ACBCE ABC∠=∠；④若点M ，N 分别是AB 和AF 上的动点，则BN MN +的最小值是sin AB BAC ∠．其中一定正确的是__________(把你认为正确结论的序号都填上)．18．如图AC ，BD 是⊙O 的两条直径，首位顺次连接A ，B ，C ，D 得到四边形ABCD ，若AD=3，∠BAC=30°，则图中阴影部分的面积是______．三、解答题(共66分)19．（10分）如图，已知二次函数21:43L y x x =-+与x 轴交于A B 、两点（点A 在点B 的左边），与y 轴交于点C ． （1）写出A B 、两点的坐标；（2）二次函数()22:430L y kx kx k k =-+≠，顶点为P ．①直接写出二次函数2L 与二次函数1L 有关图象的两条相同的性质；②是否存在实数k ，使ABP ∆为等边三角形？如存在，请求出k 的值；如不存在，请说明理由；③若直线8y k =与抛物线2L 交于E F 、两点，问线段EF 的长度是否发生变化？如果不会，请求出EF 的长度；如果会，请说明理由．20．（6分）如图，在边长为1的正方形网格中，△ABC 的顶点均在格点上．（1）画出△ABC绕点O顺时针旋转90°后的△A′B′C′．（2）求点B绕点O旋转到点B′的路径长（结果保留π）．21．（6分）如图，点B、C、D都在⊙O上，过点C作AC∥BD交OB延长线于点A，连接CD，且∠CDB=∠OBD=30°，DB=63cm．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）求由弦CD、BD与弧BC所围成的阴影部分的面积．（结果保留π）22．（8分）周老师家的红心猕猴桃深受广大顾客的喜爱，猕猴桃成熟上市后，她记录了15天的销售数量和销售单价，其中销售单价y（元/千克）与时间第x天（x为整数）的数量关系如图所示，日销量P（千克）与时间第x天（x为整数）的部分对应值如下表所示：（1）求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（2）从你学过的函数中，选择合适的函数类型刻画P随x的变化规律，请直接写出P与x的函数关系式及自变量x的取值范围；（3）求出销售额W在哪一天达到最大，最大销售额是多少元？23．（8分）如图，在△ABC 中，AB =10，AC ＝8，D 、E 分别是AB 、AC 上的点，且AD ＝4，∠BDE +∠C =180°．求AE 的长．24．（8分）如图，在平面直角坐标系中，∠AOB =90°，AB ∥x 轴，OA =2，双曲线ky x=经过点A ．将△AOB 绕点A 顺时针旋转，使点O 的对应点D 落在x 轴的负半轴上，若AB 的对应线段AC 恰好经过点O ．（1）求点A 的坐标和双曲线的解析式； （2）判断点C 是否在双曲线上，并说明理由25．（10分）如图，C 是线段AB 上--动点，以AB 为直径作半圆，过点C 作CD AB ⊥交半圆于点D ，连接AD .已知8AB cm =，设A C 、两点间的距离为xcm ，ACD 的面积为2ycm .(当点C 与点A 或点B 重合时，y 的值为0)请根据学习函数的经验，对函数y 随自变量x 的变化而变化的规律进行探究. (注: 本题所有数值均保留一位小数)()1通过画图、测量、计算，得到了x 与y 的几组值，如下表:xcm0.5 1.0 1.52.02.53.03.54.04.55.0 5.56.0 6.57.07.58.02ycm0.51.32.3a4.65.87.08.0 8.9 9.710.210.410.2bc补全表格中的数值: a = ；b = ；c = .()2根据表中数值，继续描出()1中剩余的三个点(),x y ，画出该函数的图象并写出这个函数的一条性质;()3结合函数图象，直接写出当ACD 的面积等于25cm 时，AC 的长度约为___ _cm .26．（10分）如图，一次函数5y kx =+（k 为常数，且0k ≠）的图像与反比例函数8y x=-的图像交于()2,A b -，B 两点.（1）求一次函数的表达式；（2）若将直线AB 向下平移(0)m m >个单位长度后与反比例函数的图像有且只有一个公共点，求m 的值.参考答案一、选择题(每小题3分,共30分) 1、A【解析】解：连接OA ， ∵AB 与⊙O 相切， ∴OD ⊥AB ，∵在等腰直角三角形ABC 中，AB=AC=4，O 为BC 的中点，∴AO⊥BC，∴OD∥AC，∵O为BC的中点，∴OD=AC=2；∵∠DOB=45°，∴∠MND=∠DOB=1．5°，故选A．【点睛】本题考查切线的性质；等腰直角三角形．2、C【解析】在决定本周进女装时多进一些红色的，主要考虑的是各色女装的销售的数量，而红色上周销售量最大．【详解】解：在决定本周进女装时多进一些红色的，主要考虑的是各色女装的销售的数量，而红色上周销售量最大．由于众数是数据中出现次数最多的数，故考虑的是各色女装的销售数量的众数．故选：C．【点睛】反映数据集中程度的统计量有平均数、中位数、众数方差等，各有局限性，因此要对统计量进行合理的选择和恰当的运用．3、C【分析】根据题意和函数图象中的数据，利用二次函数的性质可以判断各个小题中的结论是否正确，从而可以解答本题．【详解】∵抛物线y=ax2+bx+c(a≠1)与x轴交于点(﹣3，1)，其对称轴为直线x12 =-，∴抛物线y=ax2+bx+c(a≠1)与x轴交于点(﹣3，1)和(2，1)，且1 22ba-=-，∴a=b，由图象知：a＜1，c＞1，b＜1，∴abc＞1，故结论①正确；∵抛物线y =ax 2+bx +c (a ≠1)与x 轴交于点(﹣3，1)， ∴9a ﹣3b +c =1． ∵a =b ， ∴c =﹣6a ， ∴3a +c =﹣3a ＞1， 故结论②正确； ∵当x 12<-时，y 随x 的增大而增大；当12-<x ＜1时，y 随x 的增大而减小， 故结论③错误；∵抛物线y =ax 2+bx +c (a ≠1)与x 轴交于点(﹣3，1)和(2，1)， ∴y =ax 2+bx +c =a (x +3)(x ﹣2)．∵m ，n (m ＜n )为方程a (x +3)(x ﹣2)+3=1的两个根， ∴m ，n (m ＜n )为方程a (x +3)(x ﹣2)=﹣3的两个根，∴m ，n (m ＜n )为函数y =a (x +3)(x ﹣2)与直线y =﹣3的两个交点的横坐标， 结合图象得：m ＜﹣3且n ＞2， 故结论④成立；∵当x 12=-时，y 244ac b a-=＞1，∴244b aca-＜1．故结论⑤正确． 故选：C ． 【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y =ax 2+bx +c (a ≠1)，二次项系数a 决定抛物线的开口方向和大小：当a ＞1时，抛物线向上开口；当a ＜1时，抛物线向下开口；一次项系数b 和二次项系数a 共同决定对称轴的位置：当a 与b 同号时(即ab ＞1)，对称轴在y 轴左；当a 与b 异号时(即ab ＜1)，对称轴在y 轴右；常数项c 决定抛物线与y 轴交点位置：抛物线与y 轴交于(1，c )；抛物线与x 轴交点个数由△决定：△=b 2﹣4ac ＞1时，抛物线与x 轴有2个交点；△=b 2﹣4ac =1时，抛物线与x 轴有1个交点；△=b 2﹣4ac ＜1时，抛物线与x 轴没有交点． 4、B【分析】根据题目中的函数解析式和图象可以得到当12y y >时的x 的取值范围，从而可以解答本题．【详解】根据图象可知，当函数31y x =图象在函数21=y x图象上方即为12y y >，∴当12y y >时，-1 < x < 0 或 x > 1. 故选B. 【点睛】此题考查反比例函数与一次函数的交点问题，解题关键在于利用函数图象解决问题. 5、C【分析】连接AB ，分别利用勾股定理求出△AOB 的各边边长，再利用勾股定理逆定理求得△ABO 是直角三角形，再求tan ∠AOB 的值即可．【详解】解：连接AB如图，利用勾股定理得221310AB =+221310AO =+=，222425OB +=∵210AB =，210AO =,220OB = ∴222OB AB AO =+∴利用勾股定理逆定理得，△AOB 是直角三角形 ∴tan ∠AOB=AB AO 10110= 故选C 【点睛】本题考查了在正方形网格中，勾股定理及勾股定理逆定理的应用. 6、D【解析】A 选项：∵1×（-1）=-1≠1，∴点（1，-1）不在反比例函数y=1x的图象上，故本选项错误； B 选项：反比例函数的图象关于原点中心对称，故本选项错误； C 选项：∵k=1＞0，∴图象位于一、三象限，故本选项错误； D 选项：∵k=1＞0，∴当x ＜0时，y 随x 的增大而减小，故是正确的． 故选B ．7、D【分析】作EH ⊥x 轴于点H ，EG ⊥y 轴于点G ，根据“OB=2OA”分别设出OB 和OA 的长度，利用矩形的性质得出△EBG∽△BAO，再根据相似比得出BG和EG的长度，进而写出点E的坐标代入反比例函数的解析式，即可得出答案.【详解】作EH⊥x轴于点H，EG⊥y轴于点G设AO=a，则OB=2OA=2a∵ABCD为正方形∴∠ABC=90°，AB=BC∵EG⊥y轴于点G∴∠EGB=90°∴∠EGB=∠BOA=90°∠EBG+∠BEG=90°∴∠BEG=∠ABO∴△EBG∽△BAO∴AB BO AO BE EG BG==∵E是BC的中点∴12 BE AB=∴221a aEG BG ==∴BG=12a，EG=a∴OG=BO-BG=3 2 a∴点E的坐标为3,2a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭∵E在反比例函数上面∴318 2a a⨯=解得：a =∴AO=BO=1122ABO S AO BO =⨯⨯= 故答案选择D.【点睛】本题考查的是反比例函数与几何的综合，难度系数较高，解题关键是根据题意求出点E 的坐标.8、D【分析】首先根据俯视图排除正方体、三棱柱，然后跟主视图和左视图排除圆锥，即可得到结论．【详解】∵俯视图是圆，∴排除A 和C ，∵主视图与左视图均是长方形，∴排除B ，故选：D ．【点睛】本题主要考查了简单几何体的三视图，用到的知识点为：三视图分为主视图、左视图、俯视图，分别是从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．9、B【分析】用因式分解法求解即可得到结论．【详解】∵x 2﹣3x =0，∴x (x ﹣3)=0，则x =0或x ﹣3=0，解得：13x =，20x =．故选：B ．【点睛】本题考查了解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解答本题的关键．10、A【解析】分析：把函数解析式整理成顶点式形式，然后写出顶点坐标即可．详解：∵y=x 2-2x+2=（x-1）2+1，∴顶点坐标为（1，1）．故选A ．点睛：本题考查了二次函数的性质，熟练掌握利用顶点式解析式写出顶点坐标的方法是解题的关键．二、填空题(每小题3分,共24分)11、115°【解析】由∠ADF 求出∠CDF ，再由等腰三角形的性质得出∠DFC ，从而求出∠BCE ，最后用等腰三角形的性质即可．【详解】解：∵四边形ABCD 是矩形，∴∠ADC =∠BCD =90°，BE =CE ．∵∠ADF =25°，∴∠CDF =∠ADC ﹣∠ADF =90°﹣25°=65°．∵DF =DC ，∴∠DFC =∠DCA =（180°-∠CDF ）÷2=（180°-65°）÷2=1152， ∴∠BCE =∠BCD ﹣∠DCA =90°﹣1152=652． ∵BE =CE ， ∴∠BEC =180°﹣2∠BCE =180°﹣65°=115°．故答案为115°．【点睛】本题是矩形的性质，主要考查了矩形的性质，等腰三角形的性质和判定，解答本题的关键是求出∠DFC ．是一道中考常考的简单题．12、35【分析】先去分母，然后移项合并，即可得到答案. 【详解】解：∵423x y x +=， ∴3()8x y x +=，∴338x y x +=，∴53x y =， ∴35x y =； 故答案为：35. 【点睛】本题考查了解二元一次方程，解题的关键是掌握解二元一次方程的方法.13、y =﹣2x 2(答案不唯一)【分析】由题意知，图象过原点，开口向下则二次项系数为负数，由此可写出满足条件的二次函数的表达式．【详解】解：由题意可得：y =﹣2x 2(答案不唯一)．故答案为：y =﹣2x 2(答案不唯一)．【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．14、22【分析】连接OC ，先证出△ADB 为等腰直角三角形，从而得出∠ABD=45°，然后根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半即可求出∠AOC ，然后根据勾股定理即可求出AC ．【详解】解：连接OC∵AD BC ⊥，AD BD =，∴△ADB 为等腰直角三角形∴∠ABD=45°∴∠AOC=2∠ABD=90°∵O 的半径2OA =∴OC=OA=2在Rt △OAC 中，2222OA OC +=故答案为：22【点睛】此题考查的是等腰直角三角形的判定及性质、圆周角定理和勾股定理，掌握等腰直角三角形的判定及性质、同弧所对的圆周角是圆心角的一半和利用勾股定理解直角三角形是解决此题的关键．15、1【解析】根据比例尺＝图上距离：实际距离．根据比例尺关系即可直接得出实际的距离．【详解】根据比例尺＝图上距离：实际距离，得：A ，B 两地的实际距离为2.6×1000000＝100000（cm ）＝1（千米）． 故答案为1．【点睛】本题考查了线段的比．能够根据比例尺正确进行计算，注意单位的转换．16、2π【解析】通过分析图可知：△ODB 经过旋转90°后能够和△OCA 重合（证全等也可），因此图中阴影部分的面积=扇形AOB 的面积-扇形COD 的面积，所以S 阴=14π×（9-1）=2π． 【详解】由图可知，将△OAC 顺时针旋转90°后可与△ODB 重合，∴S △OAC =S △OBD ；因此S 阴影=S 扇形OAB +S △OBD -S △OAC -S 扇形OCD =S 扇形OAB -S 扇形OCD =14π×（9-1）=2π． 故答案为2π．【点睛】本题中阴影部分的面积可以看作是扇形AOB 与扇形COD 的面积差，求不规则的图形的面积，可以转化为几个规则图形的面积的和或差来求．17、①②③④【分析】如图１，连接,OF CF ，通过切线的性质证OF FH ⊥，进而由//,FH BC OF BC ⊥得 ，即可由垂径定理得到Ｆ是BC 的中点，根据圆周角定理可得BAF CAF ∠=∠，可得AF 平分BAC ∠；由三角形的外角性质和同弧所对的圆周角相等可得BDF FBD =∠∠，可得BF DF CF ==，可得点F 为BDC 得外心；如图2，过点Ｃ作//,CG AB 交AF 的延长线与点G 通过证明BAE CGE ，可得AB BE CG EC=；如图3，作点M 关于AF 的对称点'M ，当点N 在线段'BM 上，且'BM AC ⊥时，'BN MN BM +有最小值为．【详解】如图1，连接,OF CF ，∵FH 是O ☉的切线，∴OF FH ⊥ ，∵//FH BC∴OF BC ⊥，且OF 为半径∴OF 垂直平分BC∴BF CF =∴12,BF CF ∠=∠=∴AF 平分BAC ∠，故①正确12,43,52∠=∠∠=∠∠=∠1423∴∠+∠=∠+∠1453∴∠+∠=∠+∠14,53BDF FBD ∠+∠=∠∠+∠=∠BDF FBD ∴∠=∠,BF FD BF CF ∴==且BF DF CF ∴==点F BDC 为的外心，故②正确；如图2，过点Ｃ作//,CG AB 交AF 的延长线与点GCG//ABBAE EGC,BAE CAE ∴∠=∠∠=∠且CAE CGE ∴∠=∠AC CG ∴= CG//ABBAECGE ∴ AB BE CG EC∴= 11sin sin ABC 11sin sin ACB AB BE ACB AN EC ABCAC AN ⨯∠∠∴===∠⨯∠，故③正确；如图3，作点M 关于AF 的对称点'M ，点M 与点'M 关于AF 对称，MN M N '∴=BN MN BN M N '∴+=+当点N 在线段'BM 上，且'BM AC ⊥时，'BN MN BM +有最小值为， 且sin BM BAC AB∠= ∴BN MN ∴+的最小值为sin AB BAC ∠；故④正确．故答案为：①②③④．【点睛】本题是相似综合题，考查了圆的相关知识，相似三角形的判定和性质，轴对称的性质，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键．18、3π【分析】首先证明△BOC 是等边三角形及△OBC ≌△AOD （SAS ），进而得出S △AOD ＝S △DOC ＝S △BOC ＝S △AOB ，得到S 阴＝2•S 扇形OAD ，再利用扇形的面积公式计算即可；【详解】解：∵AC 是直径，∴∠ABC ＝∠ADC=90°，∵∠BAC ＝30°，AD ＝3，∴AC ＝2AD=6，∠ACB ＝60°，∴OA=OC=3，∵OC ＝OB=OA=OD ，∴△OBC 与△AOD 是等边三角形，∴∠BOC ＝∠AOD ＝60°，∴△OBC ≌△AOD （SAS ）又∵O 是AC ，BD 的中点，∴S △AOD ＝S △DOC ＝S △BOC ＝S △AOB ，∴S 阴＝2•S 扇形OAD =260323360ππ⨯⨯=， 故答案为：3π．【点睛】本题考查扇形的面积公式、解直角三角形、等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．三、解答题(共66分)19、（1）()()1,0,3,0A B ；（2）①对称轴都为直线2x =或顶点的横坐标为2；都经过()()1,0,3,0A B 两点；②存在实数k ，使ABP ∆为等边三角形，k =；③线段EF 的长度不会发生变化，值为1．【分析】（1）令2430x x -+=，求出解集即可；（2）①根据二次函数2L 与1L 有关图象的两条相同的性质求解即可；②根据()22432y kx kx k k x k =-+=--，可得到结果；③根据已知条件列式2438kx kx k k -+=，求出定值即可证明．【详解】解：（1）令2430x x -+=，∴()()130x x --=，∴11x =，23x =，∵点A 在点B 的左边，∴()()1,0,3,0A B ；（2）①二次函数2L 与1L 有关图象的两条相同的性质：（I ）对称轴都为直线2x =或顶点的横坐标为2；（II ）都经过()()1,0,3,0A B 两点；②存在实数k ，使ABP ∆为等边三角形．∵()22432y kx kx k k x k =-+=--，∴顶点()2,P k -，∵()()1,0,3,0A B ，∴2AB =，要使ABP ∆为等边三角形，必满足k -=∴3k =±；③线段EF 的长度不会发生变化．∵直线8y k =与抛物线2L 交于E F 、两点，∴2438kx kx k k -+=，∵0k ≠，∴2438x x -+=，∴11x =-，25x =，∴216EF x x =-=，∴线段EF 的长度不会发生变化．【点睛】本题主要考查了二次函数综合，结合一次函数、等边三角形的性质求解是关键．20、（1）画图见解析；（2）点B 绕点O 旋转到点B′的路径长为322π． 【分析】（1）利用网格特点和旋转的性质画出点A 、B 、C 的对应点A′、B′、C′，从而得到△A′B′C′；（2）先计算出OB 的长，然后根据弧长公式计算点B 绕点O 旋转到点B′的路径长．【详解】（1）如图，△A′B′C′为所作；（2）OB 2233+2，点B 绕点O 旋转到点B′的路径长＝9032180π⨯⨯＝322π． 【点睛】 本题考查作图﹣旋转变换和旋转的性质，解题的关键是掌握旋转的性质．21、（3）证明见解析；（3）2πcm 3．【分析】连接BC ，OD ，OC ，设OC 与BD 交于点M ．（3）求出∠COB 的度数，求出∠A 的度数，根据三角形的内角和定理求出∠OCA 的度数，根据切线的判定推出即可；（3）证明△CDM ≌△OBM ，从而得到S 阴影=S 扇形BOC ．【详解】如图，连接BC ，OD ，OC ，设OC 与BD 交于点M ．（3）根据圆周角定理得：∠COB=3∠CDB=3×30°=20°，∵AC ∥BD ，∴∠A=∠OBD=30°，∴∠OCA=380°﹣30°﹣20°=90°，即OC ⊥AC ，∵OC 为半径，∴AC 是⊙O 的切线；（3）由（3）知，AC 为⊙O 的切线，∴OC ⊥AC ．∵AC ∥BD ，∴OC ⊥BD ．由垂径定理可知，MD=MB=12BD=33． 在Rt △OBM 中， ∠COB=20°，OB=33cos3032MB ︒==2．在△CDM 与△OBM 中3090CDM OBM MD MBCMD OMB ︒︒⎧∠=∠=⎪=⎨⎪∠=∠=⎩， ∴△CDM ≌△OBM （ASA ），∴S △CDM =S △OBM∴阴影部分的面积S 阴影=S 扇形BOC =2606360π⋅=2π（cm 3）．考点：3．切线的判定；3.扇形面积的计算．22、（1）14y x =-+；（2）20300,(110)1001500,(1015)x x p x x +≤≤⎧=⎨-+<≤⎩（x 取整数）；（3）第10天销售额达到最大，最大销售额是4500元【分析】（1）是分段函数，利用待定系数法可得y 与x 的函数关系式；（2）从表格中的数据上看，是成一次函数，且也是分段函数，同理可得p 与x 的函数关系式；（3）根据销售额=销量×销售单价，列函数关系式，并配方可得结论．【详解】解：（1）① 当15x ≤≤时，设y kx b =+（0k ≠），把点（0，14），（5，9）代入y kx b =+， 得1495b k b =⎧⎨=+⎩ ，解得：114k b =-⎧⎨=⎩ ， ∴14y x =-+；②当515x <≤时，9y = ，∴14,(15)9(515)x x y x -+≤≤⎧=⎨<≤⎩，（x 取整数）； （2）∴20300,(110)1001500,(1015)x x p x x +≤≤⎧=⎨-+<≤⎩（x 取整数）； （3）设销售额为W 元，①当15x ≤≤时，2(14)(20300)20204200W x x x x =-++=--+=2120()42052x -++， ∴当1x =时，2120(1)420541602W =-++=最大值； ②当510x <≤时，9(20300)1802700W x x =+=+，∴当10x =时，=18010+2700=4500W ⨯最大值；③当1015x <≤时，9(1001500)90013500W x x =-+=-+，∴当11x =时，=90011135003600W -⨯+=最大值，综上所述：第10天销售额达到最大，最大销售额是4500元；【点睛】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．最大利润的问题常利函数的增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案．23、AE=5【分析】根据∠BDE +∠C =180°可得出C=ADE ，继而可证明△ADE ∽△ACB ，再利用相似三角形的性质求解即可．【详解】解：∵BDE+C=180° BDE+ADE=180° ∴C=ADE∵A= A∴ADE ACB ∴AE AD AB AC = ∴4108AE = ∴AE=5【点睛】本题考查的知识点是相似三角形的判定及性质，利用已知条件得出C=ADE ，是解此题的关键． 24、（1）()13A -，，双曲线的解析式为3y x=-；（2）点C 在双曲线上，理由见解析. 【分析】（1）根据旋转的性质和平行线的性质，得到OAD BAO AOD ADO ∠=∠=∠=∠，得到△AOD 是等边三角形，根据特殊角的三角函数，求出点A 的坐标，然后得到双曲线的解析式；（2）先求出OC 的长度，然后利用特殊角的三角函数求出点C 的坐标，然后进行判断即可.【详解】解：（1）过点A 作AE x ⊥轴，垂足为E ．∵//AB x 轴，BAO AOD ∴∠=∠．有旋转的性质可知OAD BAO ∠=∠，AD AO =．AOD ADO ∴∠=∠．OAD BAO AOD ADO ∴∠=∠=∠=∠．AOD ∴∆为等边三角形．60AOD ∴=︒∠．3sin 2sin 6023AE OA AOE ︒∴=⋅∠=== 1cos 2cos60212OE OA AOE =⋅∠=︒=⨯=． ∴点A 的坐标为(3)-．由题意知，31k =-，3k =-． ∴双曲线的解析式为：3y x=-． （2）点C 在双曲线上，理由如下：过点C 作CF x ⊥轴，垂足为F ．由（1）知60BAO AOD ∠=∠=︒，9030B BAO ∠=︒-∠=︒．24AB OA ∴==．422OC AC OA AB OA ∴=-=-=-=．1cos cos 2cos60212OF OC FOC OC AOE ∴=⋅∠=⋅∠=︒=⨯=， 3sin sin 2sin 6023FC OC FOC OC AOE =⋅∠=⋅∠=︒== ∴点C 的坐标为(1,3)．将1x =代入3y =中，33y == ∴点(1,3)C 在双曲线上．【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，旋转的性质，等边三角形的判定和性质，特殊角的三角函数等，求得△AOD 是等边三角形是解题的关键．25、（1）3.1，9.3，7.3；（2）见解析；（3）2.7或7.8.【分析】D（1）如图1，当x=1.5时，点C 在C 处，x=2.0时，点C 在C 1处，此时，D 'C'=DC ，则2 1.5ADC AD C y SS ''==，同理可求b 、c ；（2）依据表格数据描点即可；（3）从图象可以得出答案.【详解】解：() 1如图当x=1.5时，点C 在C 处，x=2.0时，点C 在C 1处∴D 'C'=DC ∴241 2.3 3.1.53ADC AD C y S S ''=⨯=== 同理可得：b=9.3，c=7.3∴ 3.1,9.3,7.3a b c === ( 允许合理的误差存在)()2如图由函数图像可知，当06x ≤≤时，y 随x 增大而增大，当68x <≤时，y 随x 增大而减小;当6x =时，y 的最大值为10.4.()3由函数图像可知，2.7或7.8【点睛】本题考查的是二次函数综合应用，确定未知点数据、再描点、准确画出函数图像是解答本题的关键. 26、（1）152y x =+；（2）1或9. 【解析】试题分析：（1）把A(－2，b)的坐标分别代入一次函数和反比例函数表达式，求得k 、b 的值，即可得一次函数的解析式；（2）直线AB 向下平移m(m ＞0)个单位长度后，直线AB 对应的函数表达式为y ＝12x ＋5－m ，根据平移后的图象与反比例函数的图象有且只有一个公共点，把两个解析式联立得方程组，解方程组得一个一元二次方程，令△=0，即可求得m 的值.试题解析：(1)根据题意，把A(－2，b)的坐标分别代入一次函数和反比例函数表达式，得2582b kb=-+⎧⎪⎨-=⎪-⎩，解得412 bk=⎧⎪⎨=⎪⎩，所以一次函数的表达式为y＝12x＋5.(2)将直线AB向下平移m(m＞0)个单位长度后，直线AB对应的函数表达式为y＝12x＋5－m.由8152yxy x m⎧=-⎪⎪⎨⎪=+-⎪⎩得，1 2x2＋(5－m)x＋8＝0.Δ＝(5－m)2－4×12×8＝0，解得m＝1或9.点睛：本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解．。
2021-2022学年上海市杨浦区九年级(上)期末数学试卷(一模)(含答案解析)
2021-2022学年上海市杨浦区九年级（上）期末数学试卷（一模）1.将函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象向下平移2个单位，下列结论中，正确的是( )A. 开口方向不变B. 顶点不变C. 与x轴的交点不变D. 与y轴的交点不变2.在Rt△ABC中，∠C=90∘，如果∠A=α，AC=1，那么AB等于( )A. sinαB. cosαC. 1sinαD. 1cosα3.已知e1⃗⃗⃗ 和e2⃗⃗⃗ 都是单位向量，下列结论中，正确的是( )A. e1⃗⃗⃗ =e2⃗⃗⃗B. e1⃗⃗⃗ −e2⃗⃗⃗ =0⃗C. |e1⃗⃗⃗ |+|e2⃗⃗⃗ |=2D. e1⃗⃗⃗ +e2⃗⃗⃗ =24.已知点P是线段AB上的一点，线段AP是PB和AB的比例中项，下列结论中，正确的是( )A. PBAP =√5+12B. PBAB=√5+12C. APAB=√5−12D. APPB=√5−125.如图，在梯形ABCD中，AD//BC，过对角线交点O的直线与两底分别交于点E、F，下列结论中，错误的是( )A. AEFC =OEOFB. AEDE =BFFCC. ADBC =OEOFD. ADDE =BCBF6.如图，点F是△ABC的角平分线AG的中点，点D、E分别在AB、AC边上，线段DE过点F，且∠ADE=∠C，下列结论中，错误的是( )A. DFGC =12B. DEBC=12C. AEAB=12D. ADBD=127.已知yx =34，那么x−yx=______.8.计算：cos245∘−tan30∘sin60∘=______.9.抛物线y=x2+3与y轴的交点坐标为______.10.二次函数y=x2−4x图象上的最低点的纵坐标为______.11.已知a⃗的长度为2，b⃗ 的长度为4，且b⃗ 和a⃗方向相反，用向量a⃗表示向量b⃗ =______.12.如果两个相似三角形对应边之比是4：9，那么它们的周长之比等于______.13. 已知在△ABC 中，AB =10，BC =16，∠B =60∘，那么AC =______.14. 已知在△ABC 中，∠C =90∘，AC =8，BC =6，点G 是△ABC 的重心，那么点G 到斜边AB 的距离是______.15. 在某一时刻，直立地面的一根竹竿的影长为3米，一根旗杆的影长为25米，已知这根竹竿的长度为1.8米，那么这根旗杆的高度为______米． 16. 如图，海中有一个小岛A ，一艘轮船由西向东航行，在点B 处测得小岛A 在它的北偏东60∘方向上，航行12海里到达点C 处，测得小岛A 在它的北偏东30∘方向上，那么小岛A 到航线BC 的距离等于______海里．17. 新定义：已知三条平行直线，相邻两条平行线间的距离相等，我们把三个顶点分别在这样的三条平行线上的三角形称为格线三角形．如图，已知等腰Rt △ABC 为“格线三角形”，且∠BAC =90∘，那么直线BC 与直线c 的夹角α的余切值为______.18. 如图，已知在Rt △ABC 中，∠C =90∘，tanA =512，将△ABC 绕点A 逆时针旋转90∘后得△ADE ，点B 落在点D 处，点C 落在点E 处，连接BE 、CD ，作∠CAD 的平分线AN ，交线段BE 于点M ，交线段CD 于点N ，那么AMAN 的值为______.19. 如图，已知在△ABC 中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，DE//BC ，且DE =23BC. (1)如果AC =6，求AE 的长；(2)设AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，试用a ⃗ 、b⃗ 的线性组合表示向量DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .20. 已知二次函数y =2x 2−4x +5.(1)用配方法把二次函数y =2x 2−4x +5化为y =a(x +m)2+k 的形式，并指出这个函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标；(2)如果将该函数图象沿y轴向下平移5个单位，所得新抛物线与x轴正半轴交于点A，与y 轴交于点B，顶点为C，求△ABC的面积．，点E是21.如图，已知在△ABC中，CD⊥AB，垂足为点D，AD=2，BD=6，tan∠B=23边BC的中点．(1)求边AC的长；(2)求∠EAB的正弦值．22.如图，为了测量建筑物AB的高度，先从与建筑物AB的底部B点水平相距100米的点C 处出发，沿斜坡CD行走至坡顶D处，斜坡CD的坡度i=1：3，坡顶D到BC的距离DE=20米，在点D处测得建筑物顶端A点的仰角为50∘，点A、B、C、D、E在同一平面内，根据测量数据，请计算建筑物AB的高度(结果精确到1米)(参考数据：sin50∘≈0.77；cos50∘≈0.64；tan50∘≈1.19)23.已知，如图，在四边形ABCD中，∠ABC=∠BCD，点E在边BC上，AE//CD，DE//AB，过点C作CF//AD，交线段AE于点F，连接BF.(1)求证：△ABF≌△EAD；(2)如果射线BF经过点D，求证：BE2=EC⋅BC.x2+bx+c与x轴交于点A(−1,0)和点B，24.已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=−12与y轴交于点C(0,2)，点P是该抛物线在第一象限内一点，连接AP、BC，AP与线段BC相交于点F.(1)求抛物线的表达式；(2)设抛物线的对称轴与线段BC交于点E，如果点F与点E重合，求点P的坐标；(3)过点P作PG⊥x轴，垂足为点G，PG与线段BC交于点H，如果PF=PH，求线段PH的长度．25.如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB=90∘，AC=BC=5，点D为射线AB上一动点，且BD< AD，点B关于直线CD的对称点为点E，射线AE与射线CD交于点F.(1)当点D在边AB上时，①求证：∠AFC=45∘；②延长AF与边CB的延长线相交于点G，如果△EBG与△BDC相似，求线段BD的长；(2)连接CE、BE，如果S△ACE=12，求S△ABE的值．答案和解析1.【答案】A【解析】解：A、将函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象向下平移2个单位，a不变，开口方向不变，故正确．B、将函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象向下平移2个单位，顶点的横坐标不变，纵坐标改变，故错误；C、将函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象向下平移2个单位，形状不变，顶点改变，与x轴的交点改变，故错误．D、将函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象向下平移2个单位，与y轴的交点也向下平移两个单位，故错误．故选：A.由于抛物线平移后的形状不变，对称轴不变，a不变，抛物线的增减性不变．本题主要考查了二次函数图象与几何变换，二次函数的性质，注意：抛物线平移后的图象形状不变，开口方向不变，顶点坐标改变．2.【答案】D【解析】解：在Rt△ABC中，∠C=90∘，如果∠A=α，AC=1，那么：cosA=ACAB =1AB，∴AB=1cosα，故选：D.在Rt△ABC中，根据∠A的余弦即可解答．本题考查了锐角三角函数的定义，熟练掌握正弦，余弦和正切的区别是解题的关键．3.【答案】C【解析】解：根据单位向量的定义可知：e1⃗⃗⃗ 和e2⃗⃗⃗ 的模长都是1，但是这两个向量并没有明确方向，∴A，B，D错误，C正确，故选：C.根据单位向量的定义判断即可．本题考查了平面向量中的单位向量知识，熟练掌握单位向量的定义是解题的关键．4.【答案】C【解析】解：∵点P是线段AB上的一点，线段AP是PB和AB的比例中项，∴AP2=PB⋅AB，∴点P是AB的黄金分割点，∴AP AB =√5−12，故选：C.根据黄金分割的定义判断即可．本题考查了黄金分割，熟练掌握黄金分割的定义，找出黄金分割中成比例的对应线段是解题的关键．5.【答案】B【解析】解：A.∵AD//BC，∴△AOE∽△COF，∴AE FC =OEOF，A正确，故本选项不符合题意；B.∵AD//BC，∴△AOE∽△COF，△DEO∽△BFO，∴AE FC =OEOF，DEBF=OEOF，∴AE FC =DEBF，∴AE DE =FCBF，B错误，故本选项符合题意；C.∵AD//BC，∴△AOE∽△COF，△AOD∽△COB，∴AO CO =OEOF，ADBC=AOCO，∴AD BC =OEOF，C正确，故本选项不符合题意；D.∵AD//BC，∴△DEO∽△BFO，△AOD∽△COB，∴DE BF =DOBO，ADBC=DOBO，∴AD BC =DEBF，∴AD DE =BCBF，D正确，故本选项不符合题意；故选：B.根据相似三角形的判定得出△AOE∽△COF，△DEO∽△BFO，△AOD∽△COB，再根据相似三角形的性质得出比例式，最后根据比例的性质得出即可．本题考查了相似三角形的性质和判定，平行线分线段成比例定理和比例的性质等知识点，能熟记相似三角形的性质定理和判定定理是解此题的关键．6.【答案】D【解析】解：∵AG平分∠BAC，∴∠BAG=∠CAG，∵点F是AG的中点，∴AF=FG=12，∵∠ADE=∠C，∠DAE=∠BAC，∴△DAE∽△CAB，∴∠AED=∠B，DEBC =ADAC=AEAB，又∵∠BAG=∠CAG，∴△EAF∽△BAG，∴AE AB =AFAG=12，∴DE BC =AEAB=12，∵∠ADE=∠C，∠BAG=∠CAG，∴△ADF∽△ACG，∴AD AC =AFAG=DFGC=12，∴选项A、B、C正确，选项D错误. 故选：D.通过证明△DAE∽△CAB，△EAF∽△BAG，可得AEAB =AFAG=12，DEBC=AEAB=12，通过证明△ADF∽△ACG，可得ADAC =AFAG=DFGC=12，即可求解．本题考查了相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．7.【答案】14【解析】解：∵yx =34，∴设x=4k，y=3k，∴x−yx =4k−3k4k=k4k=14，故答案为：14.利用设k法解答，即可得到结果．本题考查了比例的性质，熟练掌握设k法是解题的关键．8.【答案】0【解析】解：cos245∘−tan30∘sin60∘=12−√33×√32=12−12=0，故答案为：0.原式利用特殊角的三角函数值计算即可得到结果．此题考查了特殊角的三角函数值，实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．9.【答案】(0,3)【解析】解：当x=0时，y=3，则抛物线y=x2+3与y轴交点的坐标为(0,3)，故答案为：(0,3)把x=0代入解析式求出y，根据y轴上点的坐标特征解答即可．本题考查的是二次函数图象上点的坐标特征，掌握y轴上点的横坐标为0是解题的关键．10.【答案】−4【解析】解：∵y=x2−4x=(x−2)2−4，∴抛物线最低点坐标为(2,−4)，∴抛物线最低点的纵坐标为−4.故答案为：−4.将二次函数解析式化为顶点式求解即可．本题考查二次函数的性质，解题关键是熟练掌握二次函数一般式与顶点式的转化．11.【答案】−2a⃗【解析】解：∵a⃗的长度为2，b⃗ 的长度为4，且b⃗ 和a⃗方向相反，∴b⃗ =−2a⃗，故答案为：−2a⃗ .根据a⃗与b⃗ 的长度与方向即可得出结果．本题考查了平面向量的基本知识，熟练掌握平面向量的定义和性质是解题的关键．12.【答案】4：9【解析】解：∵两个相似三角形对应边之比是4：9，∴它们的周长之比等于4：9，故答案为：4：9.根据相似三角形的性质即可得出结果．本题考查了相似三角形的性质，能熟记相似三角形的周长之比等于相似比是解此题的关键．13.【答案】14【解析】解：过A 作AD ⊥BC 于D ，则∠ADB =∠ADC =90∘，∵∠B =60∘， ∴sin60∘=ADAB，cos60∘=BD AB， ∵AB =10， ∴√32=AD 10，12=BD10， ∴BD =5，AD =5√3， ∵BC =16，BD =5， ∴CD =BC −BD =11，由勾股定理得：AC =√AD 2+CD 2=√(5√3)2+112=14， 故答案为：14.过A 作AD ⊥BC 于D ，解直角三角形求出BD 和AD ，求出CD ，再根据勾股定理即可求出AC. 本题考查了解直角三角形和勾股定理，能熟记锐角三角形函数的定义和勾股定理是解此题的关键．14.【答案】85【解析】解：过C 点作CE ⊥AB 于E ，过G 点作GH ⊥AB 于H ，如图． 在Rt △ABC 中，∠ACB =90∘，AC =8，BC =6， ∴AB =√AC 2+BC 2=√82+62=10， ∵12CE ⋅AB =12AC ⋅BC ， ∴CE =8×610=245， ∵G 是△ABC 的重心， ∴DG =12CG ， ∴DG =13CD ，∵CE ⊥AB ，GH ⊥AB ，∴GH//CE，∴△DHG∽△DEC，∴GH CE =DGDC=13，∴GH=13CE=13×245=85.故答案为：85.过C点作CE⊥AB于E，过G点作GH⊥AB于H，如图，先利用勾股定理计算出AB，再利用三角形等面积法求出CE=245，根据G是△ABC的重心得到DG=13CD，然后证明△DHG∽△DEC，利用相似比可求出GH的长度．此题考查了三角形重心的性质：三角形的重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍，也考查了勾股定理，三角形的面积，相似三角形的判定与性质．15.【答案】15【解析】解：设旗杆的高度为x米，根据同一时刻，物高与影长成正比得，x：1.8=25：3，x=15，∴旗杆的高度为15米，故答案为：15.根据同一时刻，物高与影长成正比即可列出等式求解．本题主要考查了相似三角形的应用，熟练掌握平行投影的基本特征：物高与影长成正比是解题的关键．16.【答案】6√3【解析】解：过点A作AE⊥BC交BC的延长线于点E，由题意得：BC=12海里，∠ABC=90∘−60∘=30∘，∠ACE=90∘−30∘=60∘，∴∠BAC=∠ACE−∠ABC=30∘，∴∠BAC=∠ABC，∴AC=BC=12海里，在Rt△ACE中，sin∠ACE=AEAC，∴AE=AC⋅sin∠ACE=12×√32=6√3(海里)，即小岛A到航线BC的距离是6√3海里，故答案为：6√3.过点A作AE⊥BC交BC的延长线于点E，根据三角形的外角性质得∠BAC=∠ABC，由等腰三角形的判定得AC=BC，再由锐角三角函数定义求出AE的长即可．本题考查的是解直角三角形的应用-方向角问题，掌握方向角的概念，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．17.【答案】3【解析】解：过B作BE⊥直线a于E，延长EB交直线c于F，过C作CD⊥直线a于D，则∠CDA=∠AEB=90∘，∵直线a//直线b//直线c，相邻两条平行线间的距离相等(设为d)，∴BF⊥直线c，CD=2d，∴BE=BF=d，∵∠CAB=90∘，∠CDA=90∘，∴∠DCA+∠DAC=90∘，∠EAB+∠DAC=90∘，∴∠DCA=∠EAB，在△CDA和△AEB中，{∠DCA=∠EAB ∠CDA=∠AEB AC=AB，∴△CDA≌△AEB(AAS)，∴AE=CD=2d，AD=BE=d，∴CF=DE=AE+AD=2d+d=3d，∵BF=d，∴cotα=CFBF =3dd=3，故答案为：3.过B作BE⊥直线a于E，延长EB交直线c于F，过C作CD⊥直线a于D，根据全等三角形的判定得出△CDA≌△AEB，根据全等三角形的性质得出AE=CD=2d，AD=BE=d，求出CF= DE=AE+AD=3d，再解直角三角形求出答案即可．本题考查了解直角三角形，等腰直角三角形的性质，全等三角形的性质和判定，平行线间的距离等知识点，能正确作出辅助线是解此题的关键．18.【答案】23 【解析】解：由∠C =90∘和tanA =512可设BC =5k ，AC =12k ， ∴AB =13k ，由旋转得，AE =AC =12k ，ED =BC =5k ，AB =AD =13k ，如图，以点C 为原点，BC 和AC 所在直线分别为x 轴和y 轴，建立平面直角坐标系，则A(0,12k)，B(−5k,0)，∵旋转角为90∘，∴E(12k,12k)，D(12k,7k)，过点N 作NF ⊥AC 于点F ，交BE 于点P ，过点N 作NH ⊥AD 于点H ，∵AN 平分∠CAD ，∴NF =NH ，∴S △ANC S △AND =AC AD =12k13k =1213， 又∵△ANC 在边CN 上的高和△AND 在边DN 上的高相等，∴CNDN =S △ANC S △AND =1213， ∴点N 的坐标为(144k 25,84k 25)，设直线BE 的解析式为y =mx +n (m ≠0)，则{−5km +n =012km +n =12k ，解得：{m =1217n =60k 17， ∴直线BE 的解析式为y =1217x +6017k ， 当y =84k 25时，1217x +6017k =84k 25， 解得：x =−625k ，∴P(−625k,84k 25)， ∴NP =144k 25−(−625k)=6k ，∵NF ⊥AC ，∠EAC =90∘，∴AE//NP ，∴△MAF ∽△MNP ，∴AM NM =AE NP =12k6k =2，∴AM AN =23，故答案为：23.先根据题目条件作出图象，由∠C =90∘和tanA =512设BC =5k ，AC =12k ，然后由旋转的性质得到AE =AC =12k ，ED =BC =5k ，AB =AD =13k ，以点C 为原点、BC 和AC 所在直线分别为x 轴和y 轴建立平面直角坐标系，则A(0,12k)，B(−5k,0)，E(12k,12k)，D(12k,7k)，过点N 作NF ⊥AC 于点F ，交BE 于点P ，过点N 作NH ⊥AD 于点H ，得到NF =NH ，得到S △ANC S △AND=AC AD =12k 13k ，然后由高相等的两个三角形的面积之比为底边长之比得到CN DN 的值，进而用含有k 的式子表示点N 的坐标，再求得直线BE 的解析式，然后求得点P 的坐标得到NP 的长，最后通过△MAE ∽△MNP 得到AM NM 的值，即可得到AM AN的值． 本题考查了旋转的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质、角平分线的性质定理、三角形的面积，解题的关键是通过旋转的性质建立平面直角坐标系．19.【答案】解：(1)∵DE//BC ，∴△ADE ∽△ABC ，∴AE AC =DE BC ，∵DE =23BC ，∴AE =23×6=4；(2)由(1)知，DE BC =23， ∴DE =23BC ，∵BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ −a ⃗ ，∴DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =23BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =23(b ⃗ −a ⃗ ). 【解析】(1)根据相似三角形的性质得出等式即可求解；(2)根据平面向量的加减运算法则即可求解．本题考查了平面向量，相似三角形的性质等知识，熟练掌握平面向量的加减运算法则是解题的关键．20.【答案】解：(1)y =2x 2−4x +5=2(x 2−2x)+5=2(x 2−2x +1−1)+5=2(x −1)2+3，∴开口向上，对称轴为直线x =1，顶点坐标为(1,3).(2)抛物线y =2x 2−4x +5沿y 轴向下平移5个单位后解析式是y =2x 2−4x +5−5，即y =2x2−4x.∵y=2x2−4x=2(x−1)2−2，∴顶点C的坐标是(1,−2).在y=2x2−4x中令y=0，则2x2−4x=0，解得x=0或2，∴A(2,0)，B(0,0)，∴△ABC的面积为：12×2×2=2.【解析】(1)利用配方法把一般式化为顶点式，根据二次函数的性质解答即可．(2)首先求得抛物线y=2x2−4x+5沿y轴向下平移5个单位后解析式，利用配方法求得C的坐标，令y=0求得A、B的坐标，然后根据三角形面积公式求解即可．本题考查的是二次函数三种形式的转化，抛物线与x轴的交点，二次函数的图象与几何变换，三角形的面积，掌握配方法、平移的规律是解题的关键．21.【答案】解：(1)∵CD⊥AB，∴△ACD、△BCD均为直角三角形．在Rt△CDB中，∵BD=6，tan∠B=CDBD =23，∴CD=4.在Rt△CDA中，AC=√CD2+AD2=√42+22=2√5.(2)过点E作EF⊥AB，垂足为F.∵CD⊥AB，EF⊥AB，∴CD//EF.又∵点E是边BC的中点，∴EF是△BCD的中位线．∴DF=BF=3，EF=12CD=2.∴AF=AD+DF=5.在Rt△AEF中，AE=√AF2+EF2=√52+22=√29.∴sin∠EAB=EF AE=2√29=229√29.【解析】(1)利用∠B的正切值先求出CD，再利用勾股定理即可求出AC；(2)过点E作EF⊥AB，垂足为F.先判断EF是三角形的中位线，再求出EF、DF、AF及AE，最后即可求出∠EAB的正弦值．本题主要考查了解直角三角形和勾股定理，掌握直角三角形的边角间关系以及三角形的中位线定理是解决本题的关键．22.【答案】解：过D作DF⊥AB于F，则DF=EB，FB=DE=20米，∵斜坡CD的坡度i=1：3=DE：CE，坡顶D到BC的距离DE=20米，∴CE=3DE=60(米)，∴DF=EB=BC−CE=100−60=40(米)，在Rt△ADF中，∠ADF=50∘，∵tan∠ADF=AFDF=tan50∘≈1.19，∴AF≈1.19DF=1.19×40=47.6(米)，∴AB=AF+BF≈47.6+20≈68(米)，即建筑物AB的高度约为68米．【解析】过D作DF⊥AB于F，由坡度的定义求出CE=3DE=60(米)，则DF=EB=40(米)，再解直角三角形求出AF的长，即可得出答案本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题、坡度坡角问题，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．23.【答案】解：(1)证明：∵AE//CD，∴∠AEB=∠BCD，∵∠ABC=∠BCD，∴∠ABC=∠AEB，∴AB=AE，∵DE//AB，∴∠DEC=∠ABC，∠AED=∠BAF，∵∠ABC=∠BCD，∴∠DEC=∠BCD，∴DE=DC，∵CF//AD，AE//CD，∴四边形ADCF是平行四边形，∴AF=CD，∴AF=DE，在△ABF和△EAD中，{AB=EA∠BAF=∠AED AF=ED，∴△ABF≌△EAD(SAS)；(2)如图，连接FD，∵射线BF经过点D，∴点B，点F，点D三点共线，∵AE//DC，∴△BEF∽△BCD，∴BE BC =EFCD，ECBE=DFBF，∵DE//AB，∴△DEF∽△BAF，∴EF AF =DFBF，∴EC BE =EFAF，∵CD=AF，∴BE BC =EFCD=EFAF=ECBE，∴BE2=EC⋅BC.【解析】(1)先证AB=AE，DE=DC，再证四边形ADCF是平行四边形，得出AF=CD，进而得出AF=DE，再由平行线性质得∠AED=∠BAF，进而证得结论；(2)通过证明△BEF∽△BCD，△DEF∽△BAF，可得BEBC =EFCD=EFAF=ECBE，即可得结论．本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，利用相似三角形的性质得到线段的关系是解题的关键．24.【答案】解：(1)将点A(−1,0)和点C(0,2)代入y =−12x 2+bx +c ，∴{−12−b +c =0c =2， ∴{b =32c =2， ∴y =−12x 2+32x +2；(2)∵y =−12x 2+32x +2，∴对称轴为直线x =32，令y =0，则−12x 2+32x +2=0，解得x =−1或x =4，∴B(4,0)，设直线BC 的解析式为y =kx +m (k ≠0)，∴{4k +m =0m =2， ∴{k =−12m =2， ∴y =−12x +2，∴E(32,54)，设直线AE 的解析式为y =k′x +n (k ′≠0)，∴{−k′+n =032k′+n =54， ∴{k′=12n =12， ∴y =12x +12，联立{y =12x +12y =−12x 2+32x +2， ∴x =3或x =−1(舍)，∴P(3,2)；(3)设P(t,−12t 2+32t +2)，则H(t,−12t +2)，∴PH =−12t 2+2t ，设直线AP 的解析式为y =k 1x +b 1(k 1≠0)，∴{−k 1+b 1=0k 1t +b 1=−12t 2+32t +2， ∴{k 1=4−t 2b 1=4−t 2， ∴y =4−t 2x +4−t 2， 联立{y =−12x +2y =4−t 2x +4−t 2， ∴x =t 5−t ，∴F(t 5−t ,20−5t 10−2t)， 直线AP 与y 轴交点E(0,4−t 2)， ∴CE =2−4−t2=t2， ∵PF =PH ，∴∠PFH =∠PHF ，∵PG//y 轴，∴∠ECF =∠PHF ，∵∠CFE =∠PFH ，∴∠CEF =∠CFE ，∴CE =EF ，∴(t 2)2=(t 5−t )2+(20−5t 10−2t −4−t 2)2，∴(4−t)2+4=(5−t)2，∴t =52，∴PH =−12t 2+2t =158. 【解析】(1)将点A(−1,0)和点C(0,2)代入y =−12x 2+bx +c ，即可求解；(2)分别求出B(4,0)和直线BC 的解析式为y =−12x +2，可得E(32,54)，再求直线AE 的解析式为y =12x +12，联立{y =12x +12y =−12x 2+32x +2，即可求点P(3,2)； (3)设P(t,−12t 2+32t +2)，则H(t,−12t +2)，则PH =−12t 2+2t ，用待定系数法求出直线AP 的解析式为y =4−t 2x +4−t 2，联立{y =−12x +2y =4−t 2x +4−t 2，可求出F(t 5−t ,20−5t 10−2t )，直线AP 与y 轴交点E(0,4−t 2)，则CE =t 2，再由PF =PH ，可得CE =EF ，则有方程(t 2)2=(t 5−t )2+(20−5t 10−2t −4−t 2)2，求出t =52，即可求PH=−12t2+2t=158.本题是二次函数的综合题，熟练掌握二次函数的图象及性质，会求函数的交点坐标，本题计算量较大，准确的计算是解题的关键．25.【答案】解：(1)①证明：如图1，连接CE，∵点B关于直线CD的对称点为点E，∴EC=BC，∠ECF=∠BCF，设∠ECF=∠BCF=α，则∠BCE=2α，∴∠ACE=90∘−2α，∵AC=BC，∴AC=EC，∴∠AEC=∠EAC=12[180∘−(90∘−2α)]=45∘+α，∵∠AEC=∠AFC+∠ECF=∠AFC+α，∴∠AFC=45∘；②如图2，连接BE，CE，∵B、E关于直线CF对称，∴CF垂直平分BE，由(1)知：∠AFC=45∘，∴∠BEF=45∘，∵△EBG与△BDC相似，∠BEG=∠DBC=45∘，∵∠EBG与∠BDC均为钝角，∴△EBG∽△BDC，∴∠G=∠BCD=∠BAG，∵∠G+∠BAG=∠ABC=45∘，∴∠G=∠BCD=22.5∘，过点D作DH⊥AB交BC于点H，则△BDH是等腰直角三角形，∴DH=BD，BH=√2BD，∠BHD=45∘，∵∠CDH=∠BHD−∠BCD=45∘−22.5∘=22.5∘=∠BCD，∴CH=DH=BD，∵CH+BH=BC=5，∴BD+√2BD=5，∴BD=5√2+1=5√2−5，∴线段BD的长为5√2−5；(2)Ⅰ.当点D在AB上时，如图3，过点C作CM⊥AE于点M，连接BF，∵AC=EC=BC=5，∴AM=EM=12AE，∴①AM2+CM2=AC2=25，∵S△ACE=12AE⋅CM=12，∴②AM⋅CM=12，①+②×2，得：(AM+CM)2=49③，①-②×2，得：(AM−CM)2=49③，∵CM>AM>0，∴AM=3，CM=4，∴AE=6，由(1)知：∠AFC=45∘，BE⊥CF，∴∠BEF=45∘，∵∠AFC=∠ABC=45∘，∴A、C、B、F四点共圆，∴∠AFB+∠ACB=180∘，∴∠AFB=90∘，∴△BEF是等腰直角三角形，∴EF=BF，设EF=BF=x，则AE=x+6，在Rt△ABF中，AF2+BF2=AB2，∴(x+6)2+x2=50，解得：x=1或x=−7(舍去)，∴BF=1，∴S△ABE=12AE⋅BF=12×6×1=3；Ⅰ.当点D在AB的延长线上时，如图4，过点C作CM⊥AE于点M，连接BF，由(1)知：∠AFC=45∘，CF垂直平分BE，∴∠BEF=45∘，BF=EF，∴∠EBF=∠BEF=45∘，∴∠BFE=90∘，∵AC=EC=BC=5，∴AM=EM=12AE，与Ⅰ同理可得：AM=EM=4，CM=3，AE=8，设BF=EF=y，则AF=8−y，在Rt△ABF中，AF2+BF2=AB2，∴(8−x)2+x2=50，解得：x=1或x=7(舍去)，∴BF=1，∴S△ABE=12AE⋅BF=12×8×1=4；综上，S△ABE的值为3或4.【解析】(1)①如图1，连接CE，根据轴对称的性质可得：EC=BC，∠ECF=∠BCF，设∠ECF=∠BCF=α，则∠BCE=2α，∠ACE=90∘−2α，再利用等腰三角形性质即可证得结论；②如图2，连接BE，CE，由△EBG∽△BDC，可得出∠G=∠BCD=22.5∘，过点D作DH⊥AB交BC于点H，则△BDH是等腰直角三角形，推出CH=DH=BD，再根据CH+BH=BC=5，建立方程求解即可；(2)分两种情况：Ⅰ.当点D在AB上时，如图3，过点C作CM⊥AE于点M，连接BF，利用勾股定理、三角形面积建立方程求解即可；Ⅰ.当点D在AB的延长线上时，如图4，过点C作CM⊥AE于点M，连接BF，利用勾股定理、三角形面积建立方程求解即可．本题考查了三角形面积，等腰直角三角形性质和判定，相似三角形的判定和性质，轴对称变换的性质，勾股定理等，解题关键是添加辅助线构造直角三角形，运用分类讨论思想和方程思想解决问题．。
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上海杨浦初级中学初三数学九年级上册期末模拟试卷通用版(含答案)一、选择题1．如图，四边形ABCD 内接于O ，若40A ∠=︒，则C ∠=（ ）A ．110︒B ．120︒C ．135︒D ．140︒ 2．在半径为3cm 的⊙O 中，若弦AB ＝32，则弦AB 所对的圆周角的度数为（ ） A ．30°B ．45°C ．30°或150°D ．45°或135°3．下列方程中，是关于x 的一元二次方程的为（ ） A ．2210x x += B ．220x x --=C ．2320x xy -=D ．240y -=4．已知34a b=（0a ≠，0b ≠），下列变形错误的是（ ） A ．34a b = B ．34a b =C ．43b a = D ．43a b =5．下图是甲、乙两人2019年上半年每月电费支出的统计，则他们2019年上半年月电费支出的方差2S 甲和2S 乙的大小关系是（ ）A ．2S 甲＞2S 乙B ．2S 甲＝2S 乙C ．2S 甲＜2S 乙D ．无法确定6．若x=2y ，则xy的值为（ ）A ．2B ．1C ．12D ．137．分别写有数字0，﹣1，﹣2，1，3的五张卡片，除数字不同外其他均相同，从中任抽一张，那么抽到负数的概率是（ ）A ．15B ．25C ．35D ．458．电影《我和我的祖国》讲述了普通人与国家之间息息相关的动人故事．一上映就获得全国人民的追捧，第一天票房约3亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，三天后累计票房收入达10亿元，若把平均每天票房的增长率记作x ，则可以列方程为（ ） A ．3(1)10x += B ．23(1)10x +=C ．233(1)10x ++=D ．233(1)3(1)10x x ++++=9．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，已知∠A ＝80°，则∠C 的度数是（ ）A ．40°B ．80°C ．100°D ．120°10．sin30°的值是（ ） A ．12B ．22C ．32D ．111．函数y=(x+1)2-2的最小值是（ ） A ．1B ．－1C ．2D ．－212．我国传统文化中的“福禄寿喜”图（如图）由四个图案构成．这四个图案中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．13．如图，BC 是A 的内接正十边形的一边，BD 平分ABC ∠交AC 于点D ，则下列结论正确的有（ ）①BC BD AD ==；②2BC DC AC =⋅；③2AB AD =；④512BC AC -=．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 14．已知△ABC ≌△DEF ，∠A =60°，∠E =40°，则∠F 的度数为（ ）A ．40B ．60C ．80D ．10015．如图，在平面直角坐标系xOy 中，二次函数21y ax bx =++的图象经过点A ，B ，对系数a 和b 判断正确的是（ ）A ．0,0a b >>B ．0,0a b <<C ．0,0a b ><D ．0,0a b <>二、填空题16．三角形的两边长分别为3和6，第三边的长是方程x 2﹣6x+8＝0的解，则此三角形的周长是_____．17．如图，某数学兴趣小组将边长为4的正方形铁丝框ABCD 变形为以A 为圆心，AB 为半径的扇形 (忽略铁丝的粗细)，则所得的扇形DAB 的面积为__________ ．18．设x 1、x 2是关于x 的方程x 2＋3x －5＝0的两个根，则x 1＋x 2－x 1•x 2＝________． 19．已知三点A （0，0），B （5，12），C （14，0），则△ABC 内心的坐标为____． 20．在泰州市举行的大阅读活动中，小明同学发现自己的一本书的宽与长之比为黄金比．已知这本书的长为20 cm ，则它的宽为________cm ．(结果保留根号)21．如图，由边长为1的小正方形组成的网格中，点,,,A B C D 为格点（即小正方形的顶点），AB 与CD 相交于点O ，则AO 的长为_________．22．圆锥的母线长是5 cm,底面半径长是3 cm,它的侧面展开图的圆心角是____. 23．二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，若点()11,A y ，()23,B y 是图象上的两点，则1y ____2y (填“>”、“<”、“=”).24．若m 是关于x 的方程x 2-2x-3=0的解，则代数式4m-2m 2+2的值是______． 25．如图，点G 为△ABC 的重心，GE ∥AC ，若DE ＝2，则DC ＝_____．26．在某市中考体考前，某初三学生对自己某次实心球训练的录像进行分析，发现实心球飞行高度y （米）与水平距离x （米）之间的关系为21251233y x x =-++，由此可知该生此次实心球训练的成绩为_______米．27．已知二次函数y ＝ax 2+bx +c 的图象如图，对称轴为直线x ＝1，则不等式ax 2+bx +c ＞0的解集是_____．28．如图，1ABB △，12AB B ，△A 2B 2B 3 是全等的等边三角形，点 B ，B 1，B 2，B 3 在同一条 直线上，连接 A 2B 交 AB 1 于点 P ，交 A 1B 1 于点 Q ，则 PB 1∶QB 1 的值为___．29．如图，AB 是⊙O 的直径，弦BC=2cm ，F 是弦BC 的中点，∠ABC=60°．若动点E 以2cm/s 的速度从A 点出发沿着A ⇒B ⇒A 方向运动，设运动时间为t （s ）（0≤t ＜3），连接EF ，当t 为_____s 时，△BEF 是直角三角形．30．如果三角形有一边上的中线长恰好等于这边的长，那么称这个三角形为“好玩三角形”，在△ABC 中，AB=AC ，若△ABC 是“好玩三角形”，则tanB____________。
三、解答题31．如图，已知抛物线经过原点O ，顶点为A(1，1)，且与直线-2y x =交于B ，C 两点． （1）求抛物线的解析式及点C 的坐标； （2）求△ABC 的面积；（3）若点N 为x 轴上的一个动点，过点N 作MN ⊥x 轴与抛物线交于点M ，则是否存在以O ，M ，N 为顶点的三角形与△ABC 相似？若存在，请求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．32．计算： （1）()28233+--（2）()13127+3.14+2π-⎛⎫- ⎪⎝⎭33．为了从小华和小亮两人中选拔一人参加射击比赛，现对他们的射击水平进行测试，两人在相同条件下各射击6次，命中的环数如下（单位：环）： 小华：7，8，7，8，9，9； 小亮：5，8，7，8，10，10． （1）填写下表：平均数（环） 中位数（环） 方差（环2） 小华 8 小亮83（2）根据以上信息，你认为教练会选择谁参加比赛，理由是什么？（3）若小亮再射击2次，分别命中7环和9环，则小亮这8次射击成绩的方差 ．（填“变大”、“变小”、“不变”）34．在平面直角坐标系中，直线y =x +3与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，抛物线y =a 2x +bx +c (a <0)经过点A ，B ，(1)求a 、b 满足的关系式及c 的值，(2)当x <0时，若y =a 2x +bx +c (a <0)的函数值随x 的增大而增大，求a 的取值范围，(3)如图，当a=−1时，在抛物线上是否存在点P，使△PAB的面积为32?若存在，请求出符合条件的所有点P的坐标；若不存在，请说明理由，35．如图，在直角三角形ABC中，∠C＝90°，点D是AC边上一点，过点D作DE⊥BD，交AB于点E，若BD＝10，tan∠ABD＝12，cos∠DBC＝45，求DC和AB的长．四、压轴题36．在平面直角坐标系xOy中，对于任意三点A，B，C，给出如下定义：若矩形的任何一条边均与某条坐标轴平行，且A，B，C三点都在矩形的内部或边界上，则称该矩形为点A，B，C的外延矩形．点A，B，C的所有外延矩形中，面积最小的矩形称为点A，B，C的最佳外延矩形．例如，图中的矩形，，都是点A，B，C的外延矩形，矩形是点A，B，C的最佳外延矩形．（1）如图1，已知A（－2，0），B（4，3），C（0，）．①若，则点A，B，C的最佳外延矩形的面积为；②若点A，B，C的最佳外延矩形的面积为24，则的值为；（2）如图2，已知点M（6，0），N（0，8）．P（，）是抛物线上一点，求点M，N，P的最佳外延矩形面积的最小值，以及此时点P的横坐标的取值范围；（3）如图3，已知点D（1，1）．E（，）是函数的图象上一点，矩形OFEG是点O，D，E的一个面积最小的最佳外延矩形，⊙H是矩形OFEG的外接圆，请直接写出⊙H的半径r的取值范围．37．如图①，O 经过等边ABC 的顶点A ，C （圆心O 在ABC 内），分别与AB ，CB 的延长线交于点D ，E ，连结DE ，BF EC ⊥交AE 于点F ． （1）求证：BD BE =．（2）当:3:2AF EF =，6AC =，求AE 的长．（3）当:3:2AF EF =，AC a =时，如图②，连结OF ，OB ，求OFB △的面积（用含a 的代数式表示）．38．已知：在ABC 中，,90AC BC ACB ︒=∠=，点F 在射线CA 上，延长BC 至点D ，使CD CF =，点E 是射线BF 与射线DA 的交点．（1）如图1，若点F 在边CA 上；①求证：BE AD ⊥；②小敏在探究过程中发现45BEC ︒∠=，于是她想：若点F 在CA 的延长线上，是否也存在同样的结论？请你在图2上画出符合条件的图形并通过测量猜想BEC ∠的度数． （2）选择图1或图2两种情况中的任一种，证明小敏或你的猜想．39．如图，AB 是⊙O 的直径，AF 是⊙O 的弦，AE 平分BAF ∠，交⊙O 于点E ，过点E 作直线ED AF ⊥，交AF 的延长线于点D ，交AB 的延长线于点C .(1)求证:CD 是⊙O 的切线; (2)若10,6AB AF ==，求AE 的长.40．如图，抛物线2y x bx c =-++与x 轴的两个交点分别为(1,0)A ，(30)B ，．抛物线的对称轴和x 轴交于点M ．（1）求这条抛物线对应函数的表达式；（2）若P 点在该抛物线上，求当PAB △的面积为8时，求点P 的坐标．（3）点G 是抛物线上一个动点，点E 从点B 出发，沿x 轴的负半轴运动，速度为每秒1个单位，同时点F 由点M 出发，沿对称轴向下运动，速度为每秒2个单位，设运动的时间为t ．①若点G 到AE 和MF 距离相等，直接写出点G 的坐标．②点C 是抛物线的对称轴上的一个动点，以FG 和FC 为边做矩形FGDC ，直接写出点E 恰好为矩形FGDC 的对角线交点时t 的值．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D解析：D【解析】【分析】直接利用圆内接四边形的对角互补计算∠C的度数．【详解】∵四边形ABCD内接于⊙O，∠A＝400，∴∠C＝1800－400＝1400，故选D.【点睛】此题考查圆内接四边形的性质，解题关键在于利用圆内接四边形的对角互补2．D解析：D【解析】【分析】根据题意画出图形，连接OA和OB，根据勾股定理的逆定理得出∠AOB＝90°，再根据圆周角定理和圆内接四边形的性质求出即可．【详解】解：如图所示，连接OA，OB，则OA＝OB＝3，∵AB＝2，∴OA2+OB2＝AB2，∴∠AOB＝90°，∴劣弧AB的度数是90°，优弧AB的度数是360°﹣90°＝270°，∴弦AB对的圆周角的度数是45°或135°，故选：D．【点睛】此题主要考查圆周角的求解，解题的关键是根据图形求出圆心角，再得到圆周角的度数. 3．B解析：B【解析】【分析】根据一元二次方程的定义，一元二次方程有三个特点：（1）只含有一个未知数；（2）未知数的最高次数是2；（3）是整式方程．要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程，若是，再对它进行整理．如果能整理为ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的形式，则这个方程就为一元二次方程． 【详解】 解：A.2210x x +=,是分式方程, B.220x x --=,正确,C.2320x xy -=,是二元二次方程,D.240y -=,是关于y 的一元二次方程, 故选B 【点睛】此题主要考查了一元二次方程的定义，关键是掌握一元二次方程必须同时满足三个条件：①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数； ②只含有一个未知数； ③未知数的最高次数是2．4．B解析：B 【解析】 【分析】根据两内项之积等于两外项之积对各项分析判断即可得解. 【详解】 解：由34a b=，得出，3b=4a, A.由等式性质可得：3b=4a ，正确； B.由等式性质可得：4a=3b ，错误； C. 由等式性质可得：3b=4a ，正确； D. 由等式性质可得：4a=3b ，正确. 故答案为：B. 【点睛】本题考查的知识点是等式的性质，熟记等式性质两内项之积等于两外项之积是解题的关键.5．A解析：A 【解析】 【分析】方差的大小反映数据的波动大小，方差越小，数据越稳定，根据题意可判断乙的数据比甲稳定，所以乙的方差小于甲. 【详解】解：由题意可知，乙的数据比甲稳定，所以2S 甲＞2S 乙 故选：A 【点睛】本题考查方差的定义与意义,方差反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．6．A解析：A【解析】【分析】将x=2y 代入x y 中化简后即可得到答案. 【详解】将x=2y 代入x y得： 22x y y y ==， 故选：A.【点睛】此题考查代数式代入求值，正确计算即可. 7．B解析：B【解析】试题分析：根据概率的求法，找准两点：①全部等可能情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率. 因此，从0，﹣1，﹣2，1，3中任抽一张，那么抽到负数的概率是25. 故选B.考点：概率. 8．D解析：D【解析】【分析】根据题意分别用含x 式子表示第二天，第三天的票房数，将三天的票房相加得到票房总收入，即可得出答案．【详解】解：设增长率为x ，由题意可得出，第二天的票房为3(1+x)，第三天的票房为3(1+x)2， 根据题意可列方程为233(1)3(1)10x x ++++=．故选：D ．【点睛】本题考查的知识点是由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是读懂题意，找出等量关系式． 9．C解析：C【解析】【分析】根据圆内接四边形的性质得出∠C+∠A=180°，代入求出即可．【详解】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠C+∠A=180°，∵∠A=80°，∴∠C=100°，故选：C．【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质的应用.熟记圆内接四边形对角互补是解决此题的关键. 10．A解析：A【解析】【分析】根据特殊角的三角函数值计算即可．【详解】解：sin30°＝12．故选：A．【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键．11．D解析：D【解析】【分析】抛物线y=(x+1)2-2开口向上，有最小值，顶点坐标为(-1，-2)，顶点的纵坐标-2即为函数的最小值.【详解】解：根据二次函数的性质，当x=-1时，二次函数y=(x+1)2-2的最小值是-2.故选D.【点睛】本题考查了二次函数的最值.12．B解析：B【解析】试题分析：根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．解：A、不是轴对称图形，也不是中心对称图形．故错误；B、是轴对称图形，也是中心对称图形．故正确；C、是轴对称图形，不是中心对称图形．故错误；D、不是轴对称图形，也不是中心对称图形．故错误．故选B．点睛：掌握中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．13．C解析：C【解析】【分析】①③，根据已知把∠ABD，∠CBD，∠A角度确定相等关系，得到等腰三角形证明腰相等即可;②通过证△ABC∽△BCD,从而确定②是否正确,根据AD=BD=BC,即BC AC BC AC BC-=解得BC=12AC，故④正确.【详解】①BC是⊙A的内接正十边形的一边,因为AB=AC,∠A=36°,所以∠ABC=∠C=72°,又因为BD平分∠ABC交AC于点D,∴∠ABD=∠CBD=12∠ABC=36°=∠A,∴AD=BD,∠BDC=∠ABD+∠A=72°=∠C,∴BC=BD,∴BC=BD=AD,正确;又∵△ABD中，AD+BD＞AB∴2AD＞AB,故③错误.②根据两角对应相等的两个三角形相似易证△ABC∽△BCD,∴BC CDAB BC=,又AB=AC,故②正确,根据AD=BD=BC,即BC AC BC AC BC-=,解得AC,故④正确,故选C．【点睛】本题主要考查圆的几何综合,解决本题的关键是要熟练掌握圆的基本性质和几何图形的性质. 14．C解析：C【分析】根据全等三角形对应角相等可得∠B=∠E=40°，∠F=∠C ，然后利用三角形内角和定理计算出∠C 的度数，进而可得答案．【详解】解：∵△ABC ≌△DEF ，∴∠B=∠E=40°，∠F=∠C ，∵∠A=60°，∴∠C=180°-60°-40°=80°，∴∠F=80°，故选：C ．【点睛】此题主要考查了全等三角形的性质，关键是掌握全等三角形的对应角相等．15．D解析：D【解析】【分析】根据二次函数y=ax 2+bx+1的图象经过点A ，B ，画出函数图象的草图，根据开口方向和对称轴即可判断．【详解】解：由二次函数y=ax 2+bx+1可知图象经过点（0，1），∵二次函数y=ax 2+bx+1的图象还经过点A ，B ，则函数图象如图所示，抛物线开口向下，∴a ＜0，，又对称轴在y 轴右侧，即02b a-> ， ∴b ＞0，故选D 二、填空题16．14【分析】先求出方程的两根，然后根据三角形的三边关系，得到合题意的边，进而求得三角形周长即可．【详解】解：x2﹣6x+8＝0，(x﹣2)(x﹣4)＝0，x﹣2＝0，x﹣4＝0解析：14【解析】【分析】先求出方程的两根，然后根据三角形的三边关系，得到合题意的边，进而求得三角形周长即可．【详解】解：x2﹣6x+8＝0，(x﹣2)(x﹣4)＝0，x﹣2＝0，x﹣4＝0，x1＝2，x2＝4，当x＝2时，2+3＜6，不符合三角形的三边关系定理，所以x＝2舍去，当x＝4时，符合三角形的三边关系定理，三角形的周长是3+6+4＝13，故答案为：13．【点睛】本题考查了因式分解法解一元二次方程以及三角形的三边关系，不能盲目地将三边长相加起来，而应养成检验三边长能否成三角形的好习惯，熟练掌握一元二次方程的解法是解法本题的关键．17．【解析】【分析】【详解】设扇形的圆心角为n°，则根据扇形的弧长公式有：，解得所以解析：16【解析】【分析】【详解】设扇形的圆心角为n°，则根据扇形的弧长公式有：π·4=8180n，解得360πn所以22360S==16360360扇形π4πrπn18．2【解析】【分析】先根据根与系数的关系得出两根之和与两根之积，代入即可得出结论．【详解】解：∵x1，x2是关于 x 的方程x2＋3x－5＝0的两个根，根据根与系数的关系，得，x1+x2=解析：2【解析】【分析】先根据根与系数的关系得出两根之和与两根之积，代入即可得出结论．【详解】解：∵x1，x2是关于 x 的方程x2＋3x－5＝0的两个根，根据根与系数的关系，得，x1+x2=-3，x1x2=-5，则 x1+x2-x1x2=-3-（-5）=2，故答案为2．【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，求出x1+x2=-3，x1x2=-5是解题的关键．19．（6，4）．【解析】【分析】作BQ⊥AC于点Q，由题意可得BQ=12，根据勾股定理分别求出BC、AB的长，继而利用三角形面积，可得△OAB内切圆半径，过点P作PD⊥AC于D，PF⊥AB于F，P解析：（6，4）．【解析】【分析】作BQ⊥AC于点Q，由题意可得BQ=12，根据勾股定理分别求出BC、AB的长，继而利用三角形面积，可得△OAB内切圆半径，过点P作PD⊥AC于D，PF⊥AB于F，PE⊥BC于E，设AD=AF=x，则CD=CE=14-x，BF=13-x，BE=BC-CE=15-（14-x）=1+x，由BF=BE可得13-x=1+x，解之求出x的值，从而得出点P的坐标，即可得出答案．【详解】解：如图，过点B作BQ⊥AC于点Q，则AQ=5，BQ=12，∴AB=2213AQ BQ +=，CQ=AC-AQ=9，∴BC=2215BQ CQ +=设⊙P 的半径为r ，根据三角形的面积可得：r=14124141315⨯=++ 过点P 作PD ⊥AC 于D ，PF ⊥AB 于F ，PE ⊥BC 于E ，设AD=AF=x ，则CD=CE=14-x ，BF=13-x ，∴BE=BC-CE=15-（14-x ）=1+x ，由BF=BE 可得13-x=1+x ，解得：x=6，∴点P 的坐标为（6，4），故答案为：（6，4）．【点睛】本题主要考查勾股定理、三角形的内切圆半径公式及切线长定理，根据三角形的内切圆半径公式及切线长定理求出点P 的坐标是解题的关键．20．()【解析】设它的宽为xcm ．由题意得.∴ .点睛：本题主要考查黄金分割的应用.把一条线段分割为两部分，使其中较长部分与全长之比等于较短部分与较长部分之比，其比值是一个无理数，即，近似值约解析：(10510)【解析】设它的宽为x cm ．由题意得51:20x -=.∴10x= .点睛：本题主要考查黄金分割的应用.把一条线段分割为两部分，使其中较长部分与全长之，近似值约为0.618. 21．【解析】【分析】如图所示，由网格的特点易得△CEF≌△DBF，从而可得BF的长，易证△BOF∽△AOD，从而可得AO与AB的关系，然后根据勾股定理可求出AB 的长，进而可得答案.【详解】解：【解析】【分析】如图所示，由网格的特点易得△CEF≌△DBF，从而可得BF的长，易证△BOF∽△AOD，从而可得AO与AB的关系，然后根据勾股定理可求出AB的长，进而可得答案.【详解】解：如图所示，∵∠CEB=∠DBF=90°，∠CFE=∠DFB，CE=DB=1，∴△CEF≌△DBF，∴BF=EF=12BE=12，∵BF∥AD，∴△BOF∽△AOD，∴11248 BO BFAO AD===，∴89AO AB=，∵AB=∴AO=【点睛】本题以网格为载体，考查了全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质以及勾股定理等知识，属于常考题型，熟练掌握上述基本知识是解答的关键.22．216°.【解析】【分析】【详解】圆锥的底面周长为2π×3=6π(cm),设圆锥侧面展开图的圆心角是n°,则=6π,解得n=216.故答案为216°.【点睛】本题考查了圆锥的计算，解析：216°.【解析】【分析】【详解】圆锥的底面周长为2π×3=6π(cm),设圆锥侧面展开图的圆心角是n°,则π5 180n=6π,解得n=216.故答案为216°.【点睛】本题考查了圆锥的计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．23．>【解析】【分析】利用函数图象可判断点，都在对称轴右侧的抛物线上，然后根据二次函数的性质可判断与的大小．【详解】解：∵抛物线的对称轴在y轴的左侧，且开口向下，∴点，都在对称轴右侧的抛物线解析：>【解析】【分析】利用函数图象可判断点()11,A y ，()23,B y 都在对称轴右侧的抛物线上，然后根据二次函数的性质可判断1y 与2y 的大小．【详解】解：∵抛物线的对称轴在y 轴的左侧，且开口向下，∴点()11,A y ，()23,B y 都在对称轴右侧的抛物线上，∴1y ＞2y ．故答案为＞．【点睛】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质．解决本题的关键是判断点A 和点B 都在对称轴的右侧．24．-4【解析】【分析】先由方程的解的含义，得出m2-2m-3=0，变形得m2-2m=3，再将要求的代数式提取公因式-2，然后将m2-2m=3代入，计算即可．【详解】解：∵m 是关于x 的方程x2解析：-4【解析】【分析】先由方程的解的含义，得出m 2-2m-3=0，变形得m 2-2m=3，再将要求的代数式提取公因式-2，然后将m 2-2m=3代入，计算即可．【详解】解：∵m 是关于x 的方程x 2-2x-3=0的解，∴m 2-2m-3=0，∴m 2-2m=3，∴4m-2m 2+2= -2（m 2-2m ）+2= -2×3+2= -4．故答案为：-4．【点睛】本题考查了利用一元二次方程的解的含义在代数式求值中的应用，明确一元二次方程的解的含义并将要求的代数式正确变形是解题的关键．25．【解析】【分析】根据重心的性质可得AG：DG＝2：1，然后根据平行线分线段成比例定理可得＝＝2，从而求出CE，即可求出结论．【详解】∵点G为△ABC的重心，∴AG：DG＝2：1，∵GE解析：【解析】【分析】根据重心的性质可得AG：DG＝2：1，然后根据平行线分线段成比例定理可得CEDE＝AGDG＝2，从而求出CE，即可求出结论．【详解】∵点G为△ABC的重心，∴AG：DG＝2：1，∵GE∥AC，∴CEDE＝AGDG＝2，∴CE＝2DE＝2×2＝4，∴CD＝DE+CE＝2+4＝6．故答案为：6．【点睛】此题考查的是重心的性质和平行线分线段成比例定理，掌握重心的性质和平行线分线段成比例定理是解决此题的关键．26．10【解析】【分析】根据铅球落地时，高度，把实际问题可理解为当时，求x的值即可．【详解】解：当时，，解得，（舍去），．故答案为10．【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，解析式中自解析：10【解析】【分析】根据铅球落地时，高度0y ＝，把实际问题可理解为当0y ＝时，求x 的值即可．【详解】解：当0y ＝时，212501233y x x =-++=， 解得，2x =-（舍去），10x =．故答案为10．【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，解析式中自变量与函数表达的实际意义；结合题意，选取函数或自变量的特殊值，列出方程求解是解题关键．27．﹣1＜x ＜3【解析】【分析】先求出函数与x 轴的另一个交点，再根据图像即可求解.【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线x ＝1，而抛物线与x 轴的一个交点坐标为（3，0），∴抛物线与x 轴的另一个解析：﹣1＜x ＜3【解析】【分析】先求出函数与x 轴的另一个交点，再根据图像即可求解.【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线x ＝1，而抛物线与x 轴的一个交点坐标为（3，0），∴抛物线与x 轴的另一个交点坐标为（﹣1，0），∵当﹣1＜x ＜3时，y ＞0，∴不等式ax 2+bx +c ＞0的解集为﹣1＜x ＜3．故答案为﹣1＜x ＜3．【点睛】此题主要考查二次函数的图像，解题的关键是求出函数与x 轴的另一个交点.28．【解析】【分析】根据题意说明PB1∥A2 B3，A1B1∥A2B2，从而说明△BB1P ∽△BA2 B3，△BB1Q ∽△BB2A2，再得到PB1 和A2B3的关系以及QB1和A2B2的关系，根据解析：23【解析】【分析】根据题意说明PB 1∥A 2 B 3，A 1B 1∥A 2B 2，从而说明△BB 1P ∽△BA 2 B 3，△BB 1Q ∽△BB 2A 2，再得到PB 1 和A 2B 3的关系以及QB 1和A 2B 2的关系，根据A 2B 3=A 2B 2，得到PB 1和QB 1的比值.【详解】解：∵△ABB 1，△A 1B 1B 2，△A 2B 2B 3是全等的等边三角形，∴∠BB 1P=∠B 3，∠A 1B 1 B 2=∠A 2B 2B 3，∴PB 1∥A 2B 3，A 1B 1∥A 2B 2，∴△BB 1P ∽△BA 2 B 3，△BB 1Q ∽△BB 2A 2， ∴112331==3PB BB A B BB ,112221==2QB BB A B BB , ∴1231=3PB A B ，1221=2QB A B ， ∵2322=A B A B ， ∴PB 1∶QB 1=13A 2B 3∶12A 2 B 2=2：3. 故答案为：23. 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，等边三角形的性质，平行线的判定，正确的识别图形是解题的关键． 29．1或1.75或2.25s【解析】试题分析：∵AB 是⊙O 的直径,∴∠C=90°．∵∠ABC=60°,∴∠A=30°．又BC=3cm,∴AB=6cm．则当0≤t＜3时,即点E 从A 到B 再到解析：1或1.75或2.25s【解析】试题分析：∵AB 是⊙O 的直径,∴∠C=90°．∵∠ABC=60°,∴∠A=30°．又BC=3cm,∴AB=6cm．则当0≤t＜3时,即点E从A到B再到O（此时和O不重合）．若△BEF是直角三角形,则当∠BFE=90°时,根据垂径定理,知点E与点O重合,即t=1;当∠BEF=90°时,则BE=BF=34,此时点E走过的路程是214或274,则运动时间是74s或94s．故答案是t=1或74或94．考点：圆周角定理．30．2或【解析】【分析】分两种情形分别求解即可解决问题．【详解】①如图1中，取BC的中点H，连接AH．∵AB=AC，BH=CH，∴AH⊥BC，设BC=AH=2a，则BH=CH=a，∴t解析：2或153【解析】【分析】分两种情形分别求解即可解决问题．【详解】①如图1中，取BC的中点H，连接AH．∵AB=AC，BH=CH，∴AH⊥BC，设BC=AH=2a，则BH=CH=a，∴tanB=2AH aBH a=2．②取AB的中点M，连接CM，作CN⊥AM于N，如图2．设CM=AB=AC=4a，则BM=AM=2a，∵CN⊥AM，CM=CA，∴AN=NM=a，在Rt△CNM中，，∴tanB=33a=，故答案为2或3．【点睛】本题考查解直角三角形、等腰三角形的性质、“好玩三角形”的定义等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．三、解答题31．（1）y=﹣（x﹣1）2+1，C(﹣1，﹣3)；（2）3；（3）存在满足条件的N点，其坐标为(53，0)或(73，0)或(﹣1，0)或(5，0)【解析】【分析】（1）可设顶点式，把原点坐标代入可求得抛物线解析式，联立直线与抛物线解析式，可求得C点坐标；（2）设直线AC的解析式为y＝kx＋b，与x轴交于D，得到y＝2x−1，求得BD于是得到结论；（3）设出N点坐标，可表示出M点坐标，从而可表示出MN、ON的长度，当△MON和△ABC相似时，利用三角形相似的性质可得MN ONAB BC=或MN ONBC AB=，可求得N点的坐标．【详解】（1）∵顶点坐标为（1，1），∴设抛物线解析式为y=a（x﹣1）2+1，又抛物线过原点，∴0=a（0﹣1）2+1，解得a=﹣1，∴抛物线解析式为y=﹣（x﹣1）2+1，即y=﹣x2+2x，联立抛物线和直线解析式可得22-2y x xy x⎧=+⎨=⎩﹣，解得2xy=⎧⎨=⎩或13xy=-⎧⎨=-⎩，∴B（2，0），C（﹣1，﹣3）；（2）设直线AC的解析式为y=kx+b，与x轴交于D，把A（1，1），C（﹣1，﹣3）的坐标代入得13k bk b=+⎧⎨-=-+⎩，解得：21k b =⎧⎨=-⎩， ∴y=2x ﹣1，当y=0，即2x ﹣1=0，解得：x=12，∴D （12，0）， ∴BD=2﹣12=32， ∴△ABC 的面积=S △ABD +S △BCD =12×32×1+12×32×3=3； （3）假设存在满足条件的点N ，设N （x ，0），则M （x ，﹣x 2+2x ），∴ON=|x|，MN=|﹣x 2+2x|，由（2）知，，，∵MN ⊥x 轴于点N ，∴∠ABC=∠MNO=90°，∴当△ABC 和△MNO 相似时，有MN ON AB BC =或MN ON BC AB=， ①当MN ON AB BC =时，∴=|x||﹣x+2|=13|x|， ∵当x=0时M 、O 、N 不能构成三角形，∴x≠0，∴|﹣x+2|=13，∴﹣x+2=±13，解得x=53或x=73，此时N 点坐标为（53，0）或（73，0）； ②当或MN ON BC AB =时，∴=，即|x||﹣x+2|=3|x|， ∴|﹣x+2|=3，∴﹣x+2=±3，解得x=5或x=﹣1，此时N 点坐标为（﹣1，0）或（5，0），综上可知存在满足条件的N 点，其坐标为（53，0）或（73，0）或（﹣1，0）或（5，0）．【点睛】本题为二次函数的综合应用，涉及知识点有待定系数法、图象的交点问题、直角三角形的判定、勾股定理及逆定理、相似三角形的性质及分类讨论等．在（1）中注意顶点式的运用，在（3）中设出N 、M 的坐标，利用相似三角形的性质得到关于坐标的方程是解题的关键，注意相似三角形点的对应．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．32．（1；（2）6【解析】【分析】（1）将原式三项化简，合并同类二次根式后即可得到结果；（2）原式第一项利用绝对值的代数意义化简，第二项利用零指数公式化简，第三项利用负指数公式化简，合并后即可得到结果；【详解】解：（1）原式=，（2）原式=3+1+2=6【点睛】此题考查了实数的混合运算，涉及的知识有：算术平方根和立方根，绝对值的性质，0指数和负整指数幂，熟练掌握公式及法则是解本题的关键．33．（1）8，8，23；（2）选择小华参赛．（3）变小 【解析】【分析】（1）根据方差、平均数和中位数的定义求解；（2）根据方差的意义求解；（3）根据方差公式求解．【详解】（1）解：小华射击命中的平均数:7+8+7+8+9+96=8, 小华射击命中的方差:2222122(78)2(88)2(98)63S ⎡⎤=-+-+-=⎣⎦, 小亮射击命中的中位数:8+8=82； （2）解：∵x 小华＝x 小亮，S 2小华＜S 2小亮∴选小华参赛更好，因为两人的平均成绩相同，但小华的方差较小，说明小华的成绩更稳定，所以选择小华参赛．（3）解：小亮再射击2次，分别命中7环和9环，则小亮这8次射击成绩的方差变小.【点睛】本题考查了方差：一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差．方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．也考查了算术平均数和众数．34．（1）b=3a+1；c=3；（2）103a -≤<；（3）点P，. 【解析】【分析】（1）求出点A 、B 的坐标，即可求解；（2）当x ＜0时，若y=ax 2+bx+c （a ＜0）的函数值随x 的增大而增大，则函数对称轴。