(新)江苏专版2018年高考数学二轮复习14个填空题专项强化练六三角恒等变换与解三角形

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2018年江苏高考数学二轮复习：专题限时集训6数列有答案

专题限时集训(六) 数列(对应学生用书第92页) (限时：120分钟)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分，请把答案填写在题中横线上．)1．(四川省凉山州2017届高中毕业班第一次诊断性检测)设数列{a n }满足a 1＝a ，a n ＋1＝a 2n －2a n ＋1(n ∈N *)，若数列{a n }是常数列，则a ＝________.－2 [因为数列{a n }是常数列，所以a ＝a 2＝a 21－2a 1＋1＝a 2－2a ＋1，即a (a ＋1)＝a 2－2，解得a ＝－2.]2．(江苏省南京市、盐城市2017届高三第一次模拟)设{a n }是等差数列，若a 4＋a 5＋a 6＝21，则S 9＝________.63 [由a 4＋a 5＋a 6＝21得a 5＝7，所以S 9＝a 1＋a 92＝9a 5＝63.]3．数列{a n }满足a n ＋1＋(－1)na n ＝2n －1，则{a n }的前60项和为________．1 830 [当n ＝2k 时，a 2k ＋1＋a 2k ＝4k －1；当n ＝2k －1时，a 2k －a 2k －1＝4k －3. 所以a 2k ＋1＋a 2k －1＝2，所以a 2k ＋1＋a 2k ＋3＝2，所以a 2k －1＝a 2k ＋3，所以a 1＝a 5＝…＝a 61. 所以a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 60＝(a 2＋a 3)＋(a 4＋a 5)＋…＋(a 60＋a 61) ＝3＋7＋11＋…＋(2×60－1) ＝30×3＋1192＝30×61＝1 830.]4．(江苏省泰州中学2017届高三上学期第二次月考)等差数列{a n }的前n 项和S n ，若a 1＝2，S 3＝12，则a 6＝________.12 [∵S 3＝12，∴S 3＝3a 1＋3×22d ＝3a 1＋3d ＝12.解得d ＝2，则a 6＝a 1＋5d ＝2＋2×5＝12.]5．(2017·江苏省苏、锡、常、镇四市高考数学二模)已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，公比q ＝3，S 3＋S 4＝533，则a 3＝________.3 [∵等比数列{a n }的前n 项和为S n ，公比q ＝3，S 3＋S 4＝533，∴a 13－3－1＋a 14－3－1＝533，解得a 1＝13.则a 3＝13×32＝3.] 6．(2017·江苏省无锡市高考数学一模)设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3，S 9，S 6成等差数列．且a 2＋a 5＝4，则a 8的值为________．2 [∵等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3，S 9，S 6成等差数列．且a 2＋a 5＝4，∴⎩⎪⎨⎪⎧2×a 1－q 91－q ＝a 1－q 31－q ＋a 1－q61－q，a 1q ＋a 1q 4＝4，解得a 1q ＝8，q 3＝－12，∴a 8＝a 1q 7＝(a 1q )(q 3)2＝8×14＝2.]7．(2017·江苏省泰州市高考数学一模)《九章算术》中的“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则该竹子最上面一节的容积为________升．1322[设最上面一节的容积为a 1，由题设知⎩⎪⎨⎪⎧4a 1＋4×32d ＝3，⎝ ⎛⎭⎪⎫9a 1＋9×82d －⎝ ⎛⎭⎪⎫6a 1＋6×52d ＝4，解得a 1＝1322.]8．(2017·江苏省淮安市高考数学二模)已知{a n }是公差不为0的等差数列，S n 是其前n 项和，若a 2a 3＝a 4a 5，S 9＝1，则a 1的值是________.【导学号：56394041】－527[设等差数列{a n }的公差为d (d ≠0)， ∵a 2a 3＝a 4a 5，S 9＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋d a 1＋2d ＝a 1＋3d a 1＋4d ，9a 1＋9×82d ＝1，解得a 1＝－527.]9．(广东湛江市2017届高三上学期期中调研考试)在各项均为正数的等比数列{a n }中，若log 2a 2＋log 2a 8＝1，则a 3·a 7＝________.2 [由log 2a 2＋log 2a 8＝1得log 2(a 2a 8)＝1，所以a 2a 8＝2，由等比数列性质可得a 3a 7＝a 2a 8＝2.]10．(2017·江苏省盐城市高考数学二模)记公比为正数的等比数列{a n }的前n 项和为S n .若a 1＝1，S 4－5S 2＝0，则S 5的值为________．31 [若等比数列的公比等于1，由a 1＝1，则S 4＝4,5S 2＝10，与题意不符．设等比数列的公比为q (q ≠1)，由a 1＝1，S 4＝5S 2，得a 1－q 41－q＝5a 1(1＋q )，解得q ＝±2.∵数列{a n }的各项均为正数，∴q ＝2. 则S 5＝1－251－2＝31.]11．(广东郴州市2017届高三第二次教学质量监测试卷)在△ABC 中，A 1，B 1分别是边BA ，CB 的中点，A 2，B 2分别是线段A 1A ，B 1B 的中点，…，A n ，B n 分别是线段A n －1A ，B n －1B (n ∈N *，n >1)的中点，设数列{a n }，{b n }满足：向量B n A n →＝a n CA →＋b n CB →(n ∈N *)，有下列四个命题，其中假命题是：________.【导学号：56394042】①数列{a n }是单调递增数列，数列{b n }是单调递减数列； ②数列{a n ＋b n }是等比数列； ③数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a nb n 有最小值，无最大值；④若△ABC 中，C ＝90°，CA ＝CB ，则|B n A n →|最小时，a n ＋b n ＝12.③ [由BA n →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n BA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n (CA →－CB →)，B n B →＝12n CB →，B n A n →＝B n B →＋BA n →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n CA →＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－1CB →，所以a n ＝1－12n ，b n ＝12n －1－1.则数列{a n }是单调递增数列，数列{b n }是单调递减数列，故①正确；数列{a n ＋b n }即为⎩⎨⎧⎭⎬⎫12n 是首项和公比均为12的等比数列，故②正确；而当n ＝1时，a 1＝12，b 1＝0，a n b n 不存在；n ＞1时，a nb n ＝2n －12－2n ＝－1＋12－2n 在n ∈N *上递增，无最小值和最大值，故③错误；在△ABC 中，C ＝90°，CA ＝CB ，则|B n A n →|2＝(a 2n ＋b 2n )CA →2＋2a n b n CA →·CB →＝5⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －352－15，当n ＝1时，取得最小值，即有|B n A n →|最小时，a n ＋b n ＝12，故④正确．]12．(天津六校2017届高三上学期期中联考)已知数列{a n }满足：a 1＝1，a n ＋1＝a n a n ＋2(n ∈N *)．若b n ＋1＝(n －2λ)·⎝ ⎛⎭⎪⎫1a n＋1(n ∈N *)，b 1＝－λ，且数列{b n }是单调递增数列，则实数λ的取值范围是________．⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，23 [因为a n ＋1＝a n a n ＋2⇒1a n ＋1＝2a n ＋1⇒1a n ＋1＋1＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1a n ＋1⇒1a n ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 1＋12n －1＝2n ，所以b n ＋1＝(n －2λ)·2n，因为数列{b n }是单调递增数列，所以当n ≥2时b n ＋1>b n ⇒(n －2λ)·2n>(n －1－2λ)·2n －1⇒n >2λ－1⇒2>2λ－1⇒λ<32；当n ＝1时，b 2>b 1⇒(1－2λ)·2>－λ⇒λ<23，因此λ<23.]13. (山西大学附属中学2017级上学期11月模块诊断)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S 17>0，S 18<0，则S 1a 1，S 2a 2，…，S 15a 15中最大的项为________． S 9a 9[S 17>0⇒a 1＋a 172>0⇒a 92>0⇒a 9>0，S 18<0⇒a 1＋a 182<0⇒a 9＋a 102<0⇒a 10＋a 9<0⇒a 10<0，因此S 1a 1>0，S 2a 2>0，…，S 8a 8>0，S 9a 9>0，S 10a 10<0，而S 1<S 2<…<S 9，a 1>a 2>…>a 8>a 9，所以S 1a 1<S 2a 2<…<S 8a 8<S 9a 9.]14．(云南大理2017届高三第一次统测)若数列{a n }的首项a 1＝2，且a n ＋1＝3a n ＋2(n ∈N *)；令b n ＝log 3(a n ＋1)，则b 1＋b 2＋b 3＋…＋b 100＝________.5 050 [由a n ＋1＝3a n ＋2(n ∈N *)可知a n ＋1＋1＝3(a n ＋1)，∴a n ＋1＋1a n ＋1＝3，所以数列{a n ＋1}是以3为首项，3为公比的等比数列，所以a n ＋1＝3n，∴a n ＝3n－1，所以b n ＝log 3(a n ＋1)＝n ，因此b 1＋b 2＋b 3＋…＋b 100＝＋2＝5 050.]二、解答题(本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．)15．(本小题满分14分)(泰州中学2017届高三上学期期中考试)已知{a n }是一个公差大于0的等差数列，且满足a 3a 6＝55，a 2＋a 7＝16.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)等比数列{b n }满足：b 1＝a 1，b 2＝a 2－1，若数列c n ＝a n ·b n ，求数列{c n }的前n 项和S n . [解] (1)设等差数列{a n }的公差为d ，则依题意设d >0.由a 2＋a 7＝16，得2a 1＋7d ＝16. ① 由a 3a 6＝55，得(a 1＋2d )(a 1＋5d )＝55. ②4分由①得2a 1＝16－7d 将其代入②得(16－3d )(16＋3d )＝220.即256－9d 2＝220，∴d 2＝4，又d >0，∴d ＝2.代入①得a 1＝1，∴a n ＝1＋(n －1)2＝2n －1.6分 (2)∵b 1＝1，b 2＝2，∴b n ＝2n －1，∴c n ＝a n b n ＝(2n －1)2n －1， 8分S n ＝1·20＋3·21＋…＋(2n －1)·2n －1,2S n ＝1·21＋3·22＋…＋(2n －1)·2n .两式相减可得：－S n ＝1·20＋2·21＋2·22＋…＋2·2n －1－(2n －1)·2n＝1＋2×－2n －11－2－(2n －1)·2n，∴－S n ＝1＋－2n －11－2－(2n －1)·2n＝1＋2n ＋1－4－(2n －1)·2n＝2n ＋1－3－(2n －1)·2n， ∴S n ＝3＋(2n －1)·2n－2n ＋1＝3＋(2n －3)·2n.14分16．(本小题满分14分)(河南省豫北名校联盟2017届高三年级精英对抗赛)已知各项均不相等的等差数列{a n }的前五项和S 5＝20，且a 1，a 3，a 7成等比数列． (1)求数列{a n }的通项公式； (2)若T n 为数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n a n ＋1的前n 项和，且存在n ∈N *，使得T n －λa n ＋1≥0成立，求实数λ的取值范围．[解] (1)设数列{a n }的公差为d ，则 ⎩⎪⎨⎪⎧5a 1＋5×42d ＝20，a 1＋2d 2＝a 1a 1＋6d ，即⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2d ＝4，2d 2＝a 1d . 2分又因为d ≠0，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，d ＝1.4分所以a n ＝n ＋1. 5分(2)因为1a n a n ＋1＝1n ＋n ＋＝1n ＋1－1n ＋2，所以T n ＝12－13＋13－14＋…＋1n ＋1－1n ＋2＝12－1n ＋2＝nn ＋. 7分因为存在n ∈N *，使得T n －λa n ＋1≥0成立，所以存在n ∈N *，使得n n ＋－λ(n ＋2)≥0成立，即存在n ∈N *，使λ≤n n ＋2成立.10分又n n ＋2＝12⎝⎛⎭⎪⎫n ＋4n＋4≤116(当且仅当n ＝2时取等号)，所以λ≤116.即实数λ的取值范围是⎝⎛⎦⎥⎤－∞，116. 14分17．(本小题满分14分)(四川省凉山州2017届高中毕业班第一次诊断性检测)已知数列{a n }满足a 1＝1，a n a n ＋1＝2n，n ∈N *.(1)若函数 f (x )＝A sin(2x ＋φ)(A >0,0<φ<π)在x ＝π6处取得最大值a 4＋1，求函数 f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，π2上的值域； (2)求数列{a n }的通项公式． [解] (1)∵a n a n ＋1＝2n，则a n ＋1a n ＋2＝2n ＋1，∴a n ＋2a n＝2，又a 1＝1，故a 1a 2＝21，即a 2＝2， ∴a 3＝2，a 4＝4，∴A ＝a 4＋1＝5，故f (x )＝5sin(2x ＋φ)，4分又x ＝π6时，f (x )＝5，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋φ＝1，且0<φ<π，解得φ＝π6， ∴f (x )＝5sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，6分而x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，π2，故2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，7π6，从而sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1，综上知f (x )∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－52，5. 8分18．(本小题满分16分)(天津六校2017届高三上学期期中联考)已知各项都是正数的数列{a n }的前n 项和为S n ，S n ＝a 2n ＋12a n ，n ∈N *.(1) 求数列{a n }的通项公式；(2) 设数列{b n }满足：b 1＝1，b n －b n －1＝2a n (n ≥2)，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n 的前n 项和为T n ，求证：T n <2；(3)若T n ≤λ(n ＋4)对任意n ∈N *恒成立，求λ的取值范围.【导学号：56394043】[解] (1)n ＝1时，a 1＝a 21＋12a 1，∴a 1＝12.⎩⎪⎨⎪⎧S n －1＝a 2n －1＋12a n －1S n ＝a 2n ＋12a n⇒a n ＝a 2n －a 2n －1＋12a n －12a n －1，⇒(a n ＋a n －1)⎝ ⎛⎭⎪⎫a n －a n －1－12＝0，∵a n >0，∴a n －a n －1＝12，∴{a n }是以12为首项，12为公差的等差数列．∴a n ＝12n .4分(2)证明：b n －b n －1＝n ，⎩⎪⎨⎪⎧b 2－b 1＝2b 3－b 2＝3⋮b n －b n －1＝n⇒b n －b 1＝n ＋n －2⇒b n ＝n n ＋2.1b n＝2n n ＋1＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1，∴T n ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ＋1＝2n n ＋1，即T n <2. (3)由2nn ＋1≤λ(n ＋4)得λ≥2nn ＋n ＋＝2n ＋4n ＋5，当且仅当n ＝2时，2n ＋4n＋5有最大值29，∴λ≥29.16分19．(本小题满分16分)(中原名校豫南九校2017届第四次质量考评)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 5＝a 5＋a 6＝25.(1)求{a n }的通项公式；(2)若不等式2S n ＋8n ＋27>(－1)nk (a n ＋4)对所有的正整数n 都成立，求实数k 的取值范围． [解] (1)设公差为d ，则5a 1＋5×42d ＝a 1＋4d ＋a 1＋5d ＝25，∴a 1＝－1，d ＝3.∴{a n }的通项公式为a n ＝3n －4. 6分(2)S n ＝－n ＋3nn －2，2S n ＋8n ＋27＝3n 2＋3n ＋27，a n ＋4＝3n ；8分(－1)nk <n ＋1＋9n，当n 为奇数时，k >－⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋1＋9n ；当n 为偶数时，k <n ＋1＋9n，∵n ＋1＋9n ≥7，当且仅当n ＝3时取等号，∴当n 为奇数时，n ＋1＋9n的最小值为7，当n 为偶数时，n ＝4时，n ＋1＋9n 的最小值为294，∴－7<k <294.16分20．(本小题满分16分)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)是函数f (x )＝12＋log 2x1－x 的图象上任意两点，且OM →＝12(OA →＋OB →)，已知点M 的横坐标为12.(1)求证：M 点的纵坐标为定值；(2)若S n ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2n ＋…＋f ⎝⎛⎭⎪⎫n －1n ，n ∈N *，且n ≥2，求S n；(3)已知a n＝⎩⎪⎨⎪⎧23，n ＝1，1S n＋Sn ＋1＋，n ≥2.其中n ∈N *.T n 为数列{a n }的前n 项和，若T n <λ(S n ＋1＋1)对一切n ∈N *都成立，试求λ的取值范围.【导学号：56394044】[解] (1)证明：∵OM →＝12(OA →＋OB →)，∴M 是AB 的中点．设M 点的坐标为(x ，y )，由12(x 1＋x 2)＝x ＝12，得x 1＋x 2＝1，则x 1＝1－x 2或x 2＝1－x 1.2分而y ＝12(y 1＋y 2)＝12[f (x 1)＋f (x 2)]＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋log 2x 11－x 1＋12＋log 2x 21－x 2 ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋log 2x 11－x 1＋log 2x 21－x 2＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋log 2x 11－x 1·x 21－x 2 ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋log 2x 1x 2x 1x 2＝12()1＋0＝12，∴M 点的纵坐标为定值12. 5分(2)由(1)，知x 1＋x 2＝1，f (x 1)＋f (x 2)＝y 1＋y 2＝1，S n ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫n 2＋…＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫n －1n ，S n ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫n －1n ＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫n －2n ＋…＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ，两式相加，得2S n ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫n －1n ＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2n ＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫n －2n ＋…＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫n －1n ＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＝1＋1＋…＋1n －1，∴S n＝n －12(n ≥2，n ∈N *).8分(3)当n ≥2时，a n ＝1S n ＋S n ＋1＋＝4n ＋n ＋＝4⎝⎛⎭⎪⎫1n ＋1－1n ＋2.10分 T n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝23＋4⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫13－14＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋1－1n ＋2＝23＋4⎝ ⎛⎭⎪⎫13－1n ＋2＝2n n ＋2. 12分由T n <λ(S n ＋1＋1)，得2n n ＋2<λ·n ＋22.∴λ>4n n ＋2＝4nn 2＋4n ＋4＝4n ＋4n＋4. ∵n ＋4n≥4，当且仅当n ＝2时等号成立，∴4n ＋4n＋4≤44＋4＝12. 因此λ>12，即λ的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞. 16分。

江苏专版2018年高考数学二轮复习14个填空题综合仿真练五

14个填空题综合仿真练(五)1．已知集合U ＝{1,2,3,4,5}，A ＝{3,4}，B ＝{1,4,5}，则A ∪(∁U B )＝________. 解析：∵集合U ＝{1,2,3,4,5}，A ＝{3,4}，B ＝{1,4,5}，∴∁U B ＝{2,3}，A ∪(∁U B )＝{2,3,4}．答案：{2,3,4}2．已知i 为虚数单位，复数z 1＝3＋y i(y ∈R)，z 2＝2－i ，且z 1z 2＝1＋i ，则y ＝________. 解析：因为z 1z 2＝1＋i ，所以z 1＝(1＋i)z 2＝(1＋i)(2－i)＝3＋i ，所以y ＝1. 答案：13．已知倾斜角为α的直线l 的斜率等于双曲线x 2－y 23＝1的离心率，则sin ⎝⎛⎭⎪⎫2 019π3－2α＝________.解析：因为双曲线的离心率e ＝2，所以tan α＝2，所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫2 019π3－2α＝sin2α＝2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝2tan α1＋tan 2α＝45. 答案：454．某中学共有学生2 000人，其中高一年级共有学生650人，高二男生有370人．现在全校学生中随机抽取1名，抽到高二年级女生的概率是0.19.则该校高三学生共有________人．解析：设高二女生人数为x 人，所以x2 000＝0.19，即x ＝380，所以高三人数为2 000－650－370－380＝600人．答案：6005．已知偶函数f (x )在[0，＋∞)上单调递减，且f (3)＝0，则不等式f (x 2－2x )>0的解集为________．解析：根据偶函数的性质，可得－3<x 2－2x <3，从而可得－1<x <3，所以不等式的解集为(－1,3)．答案：(－1,3)6．阅读如图所示的算法流程图，若输入的n 是30，则输出的变量S 的值是________．解析：根据算法流程图知，当n ＝30时，n ＞2，S ＝30，n ＝28；当n ＝28时，n ＞2，S ＝58，n ＝26；……；当n ＝2时，S ＝30＋28＋26＋…＋2＝＋2＝240，n ＝0.当n＝0时，n ＜2，输出S ＝240.答案：2407．已知Ω1是集合{(x ，y )|x 2＋y 2≤1}所表示的区域，Ω2是集合{(x ，y )|y ≤|x |}所表示的区域，向区域Ω1内随机的投一个点，则该点落在区域Ω2内的概率为________．解析：如图所示，作出区域Ω1(圆面)，Ω2(虚线部分)的图象，根据几何概型的概率计算公式得，该点落在区域Ω2内的概率P ＝34πr 2πr 2＝34.答案：348．数列{a n }满足a 1＝2，a 2＝1，且a n －1a n ＋1＝a n －1－a na n －a n ＋1(n ≥2)，则使得a n ＝2a 2 018成立的正整数n ＝________.解析：显然数列{a n }中通项a n ≠0，由a n －1a n ＋1＝a n －1－a n a n －a n ＋1可得，a n ·a n －1a n －1－a n ＝a n ·a n ＋1a n －a n ＋1，两边取倒数可得：1a n －1a n －1＝1a n ＋1－1a n，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是等差数列且首项1a 1＝12，公差d ＝1－12＝12，所以1a n ＝12＋12(n －1)＝n 2，即a n ＝2n，所以由a n ＝2a 2 018可得2n ＝2×22 018，所以n ＝1 009.答案：1 0099．函数f (x )＝sin x ＋3cos x －a 在区间[0,2π]上恰有三个零点x 1，x 2，x 3，则x 1＋x 2＋x 3＝________.解析：f (x )＝sin x ＋3cos x －a ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3－a ，函数在区间[0,2π]上恰有三个零点x 1，x 2，x 3，则a ＝ 3.令sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝32，所以x ＋π3＝2k π＋π3或x ＋π3＝2k π＋π－π3，所以x ＝2k π或x ＝2k π＋π3，所以x 1＝0，x 2＝π3，x 3＝2π，即x 1＋x 2＋x 3＝7π3. 答案：7π310．已知椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2.其中F 2也是抛物线C 2：y 2＝4x 的焦点，点M 为C 1与C 2在第一象限的交点，且MF 1＝2a －53.则椭圆C 1的方程为________．解析：依题意知F 2(1,0)，设M (x 1，y 1)，由椭圆的定义可得MF 2＝53，由抛物线定义得MF 2＝1＋x 1＝53，即x 1＝23，将x 1＝23代入抛物线方程得y 1＝263，进而由⎝ ⎛⎭⎪⎫232a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2632b2＝1及a2－b 2＝1，解得a 2＝4，b 2＝3，故椭圆C 1的方程为x 24＋y 23＝1.答案：x 24＋y 23＝111．在平行四边形ABCD 中，∠A ＝π3，边AB ，AD 的长分别为2,1，若M ，N 分别是边BC ，CD 上的点，且满足|BM ―→||BC ―→|＝|CN ―→||CD ―→|，则AM ―→·AN ―→的最大值为________．解析：以AB 所在直线为x 轴，过点A 作垂直于直线AB 所在的直线为y 轴，建立如图所示的直角坐标系．设|BM ―→||BC ―→|＝|CN ―→||CD ―→|＝λ(0≤λ≤1)，所以|BM ―→|＝λ，|CN ―→|＝2λ，所以M ⎝⎛⎭⎪⎫2＋λ2，32λ，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫52－2λ，32，所以AM ―→·AN ―→＝5－4λ＋54λ－λ2＋34λ＝－λ2－2λ＋5＝－(λ＋1)2＋6，因为λ∈[0,1]，所以AM ―→·AN ―→∈[2,5]，所以AM ―→·AN ―→的最大值为5. 答案：512．已知x >0，y >0，且x ＋y ≤2，则4x ＋2y ＋12x ＋y的最小值为________．解析：令x ＋2y ＝m,2x ＋y ＝n (m >0，n >0)，则问题转化为m ＋n ≤6，求4m ＋1n的最小值，而(m ＋n )⎝ ⎛⎭⎪⎫4m ＋1n ≥9，即4m ＋1n ≥9m ＋n ≥32，故所求最小值为32. 答案：3213．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x 2＋2mx －1，0≤x ≤1，mx ＋2，x >1，若f (x )在区间[0，＋∞)上有且只有2个零点，则实数m 的取值范围是________．解析：法一：由题意得当m ≥0时，函数f (x )＝2x 2＋2mx －1的对称轴－m2≤0，且f (0)＝－1，所以此时f (x )在[0,1]上至多有一个零点，而f (x )＝mx ＋2在(1，＋∞)上没有零点．所以m ≥0不符合题意．当m <0时，函数f (x )＝2x 2＋2mx －1的对称轴－m2>0，且f (0)＝－1，所以，此时f (x )在[0,1]上至多有一个零点，而f (x )＝mx ＋2在(1，＋∞)上至多有一个零点，若f (x )在[0，＋∞)上有且只有2个零点，则要求⎩⎪⎨⎪⎧0<－m2≤1，2＋2m －1≥0，m ＋2>0，解得－12≤m <0.综上，实数m 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，0. 法二：由题意得x ＝0不是函数f (x )的零点．当0＜x ≤1时，由f (x )＝0，得m ＝12x－x ，此时函数y ＝12x －x 在(0,1]上单调递减，从而y ＝12x －x ≥－12，所以，当m ≥－12时，f (x )在(0,1]上有且只有一个零点，当x ＞1时，由f (x )＝0，得m ＝－2x ，此时函数y ＝－2x在(1，＋∞)上单调递增，从而y ＝－2x∈(－2,0)，所以，当－2＜m ＜0时，f (x )在(1，＋∞)上有且只有一个零点，若f (x )在[0，＋∞)上有且只有2个零点，则要求⎩⎪⎨⎪⎧m ≥－12，－2<m <0，解得－12≤m <0. 综上，实数m 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，0. 答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，014．已知函数f (x )＝x |x 2－12|的定义域为[0，m ]，值域为[0，am 2]，则实数a 的取值范围是________．解析：仅考虑函数f (x )在x >0时的情况，可知f (x )＝⎩⎨⎧12x －x 3，x <23，x 3－12x ，x ≥2 3.函数f (x )在x ＝2时，取得极大值16.令x 3－12x ＝16，解得x ＝4.作出函数的图象(如图所示)．函数f (x )的定义域为[0，m ]，值域为[0，am 2]，分为以下情况考虑：(1)当0<m <2时，函数的值域为[0，m (12－m 2)]，有m (12－m 2)＝am 2，所以a ＝12m－m ，因为0<m <2，所以a >4；(2)当2≤m ≤4时，函数的值域为[0,16]，有am 2＝16，所以a ＝16m2，因为2≤m ≤4，所以1≤a ≤4；(3)当m >4时，函数的值域为[0，m (m 2－12)]，有m (m 2－12)＝am 2，所以a ＝m －12m，因为m >4，所以a >1，综上所述，实数a 的取值范围是[1，＋∞)．答案：[1，＋∞)。

江苏专版2018年高考数学二轮复习14个填空题综合仿真练七

14个填空题综合仿真练(七)1．已知集合A ＝{－1,0,1}，B ＝(－∞，0)，则A ∩B ＝________. 解析：A ∩B ＝{－1,0,1}∩(－∞，0)＝{－1}．答案：{－1}2．设z ＝1＋i(i 是虚数单位)，则2z＋z 2＝________.解析：2z ＋z 2＝21＋i ＋(1＋i)2＝1－i ＋2i ＝1＋i.答案：1＋i3．某路段检测点对200辆汽车的车速进行检测，检测结果表示为频率分布直方图，如图所示，则车速不小于90 km/h 的汽车约有________辆．解析：车速不小于90 km/h 的频率为(0.01＋0.02)×10＝0.3，车辆数为200×0.3＝60. 答案：604．若一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面，则该圆锥的体积为________．解析：因为半圆面的面积为12πl 2＝2π，所以l 2＝4，解得l ＝2，即圆锥的母线为l ＝2，底面圆的周长2πr ＝πl ＝2π，所以圆锥的底面半径r ＝1，所以圆锥的高h ＝l 2－r 2＝3，所以圆锥的体积为13πr 2h ＝13×π×3＝3π3.答案：3π35．已知A ，B ∈{－3，－1,1,2}且A ≠B ，则直线Ax ＋By ＋1＝0的斜率小于0的概率为________．解析：所有的基本事件(A ，B )为(－3，－1)，(－1，－3)，(－3,1)，(1，－3)，(－3,2)，(2，－3)，(－1,1)，(1，－1)，(－1,2)，(2，－1)，(1,2)，(2,1)，共12种，其中(－3，－1)，(－1，－3)，(1,2)，(2,1)能使直线Ax ＋By ＋1＝0的斜率小于0，所以所求的概率为P ＝412＝13.答案：136．如图所示的算法流程图，当输入n 的值为10时，则输出S 的值为________．解析：根据算法流程图执行程序循环结果依次为：当n ＝1答案：547．若a >0，b >2，且a ＋b ＝3，则使得4a ＋1b －2取得最小值时，实数a ＝________.解析：∵a ＞0，b ＞2，且a ＋b ＝3，∴a ＋b －2＝1， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫4a ＋1b －2[a ＋(b －2)]＝4＋1＋b －a ＋ab －2≥5＋2b －a·ab －2＝9，当且仅当2(b －2)＝a 时即取等号．联立⎩⎪⎨⎪⎧b －＝a ，a ＋b ＝3，解得a ＝23.答案：238．若双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的焦点到相应准线的距离等于实轴长，则双曲线的离心率为________．解析：由题意，c －a 2c＝2a ，即c 2－2ac －a 2＝0，即e 2－2e －1＝0，解得e ＝1±2，又∵e >1，故e ＝1＋ 2.答案：1＋ 29．已知函数f (x )＝x ＋2|x |＋2，x ∈R ，则f (x 2－2x )<f (3x －4)的解集是________．解析：由题意，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ≥0，－1－4x －2，x <0，故若要使不等式成立，则有⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x <0，x 2－2x <3x －4，得1<x <2.答案：(1,2)10．记等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝3，且数列{S n }也为等差数列，则a 11＝________.解析：设等差数列{a n }的公差为d (d >0)， ∵a 1＝3，且数列{S n }为等差数列， ∴2S 2＝a 1＋S 3， ∴26＋d ＝3＋9＋3d ，即d 2－12d ＋36＝0，解得d ＝6， ∴a 11＝3＋10×6＝63. 答案：6311．在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (－t,0)(t >0)，B (t,0)，点C 满足AC ―→·BC ―→＝8，且点C 到直线l ：3x －4y ＋24＝0的最小距离为95，则实数t 的值是________．解析：设C (x ，y )，则AC ―→·BC ―→＝(x ＋t ，y )·(x －t ，y )＝x 2＋y 2－t 2＝8，所以点C 的轨迹为以原点为圆心， 8＋t 2为半径的圆，故圆心到直线的距离d ＝245＝95＋8＋t 2，解得t ＝1(负值舍去)．答案：112．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a 2＝3b 2＋3c 2－23bc sin A ，则C ＝________.解析：由题意知a 2＝3b 2＋3c 2－23bc sin A ，① 余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，②由①－②可得，2b 2＋2c 2＝23bc sin A －2bc cos A ，化简得，b 2＋c 2＝3bc sin A －bc cos A ，整理得b 2＋c 2＝2bc sin ⎝⎛⎭⎪⎫A －π6，∵b 2＋c 2≥2bc ，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A －π6＝1，∴A ＝2π3，此时b 2＋c 2＝2bc ，故得b ＝c ，即B ＝C ，∴C ＝π6.答案：π613．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x －1，x <1，2x 2，x ≥1，则满足f (f (a ))＝2(f (a ))2的a 的取值范围为________．解析：设t ＝f (a )，所以f (f (a ))＝2(f (a ))2可化为f (t )＝2t 2，由函数式得3t －1＝2t 2(t <1)或2t 2＝2t 2(t ≥1)，所以t ＝12或t ≥1，即f (a )＝12或f (a )≥1，所以a ＝12或a ≥23，因此a 的取值范围为⎩⎨⎧⎭⎬⎫12∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞. 答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫12∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞14．已知函数f (x )＝a ln x ＋(x ＋1)2，若图象上存在两个不同的点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(x 1＞x 2)，使得f (x 1)－f (x 2)≤4(x 1－x 2)成立，则实数a 的取值范围为________．解析：由题意可得，f (x )＝a ln x ＋x 2＋2x ＋1，f ′(x )＝ax＋2(x ＋1)，由题意知，存在x ＞0，使得f ′(x )≤4成立，即存在x ＞0，使得a ≤－2x 2＋2x 成立，设g (x )＝－2x 2＋2x＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋12，其最大值为12，因而a ≤12.答案：⎝⎛⎦⎥⎤－∞，12。

(新)江苏专版2018年高考数学二轮复习14个填空题专项强化练五三角函数的图象和性质

14个填空题专项强化练(五) 三角函数的图象和性质A 组——题型分类练题型一三角函数的定义域和值域1．函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的定义域为________．解析：由2x －π3≠k π＋π2(k ∈Z)，得x ≠k π2＋5π12(k ∈Z)，故所求定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫xx ≠k π2＋5π12，k ∈Z .答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫xx ≠k π2＋5π12，k ∈Z2．函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫πx 6－π3(0≤x ≤9)的最大值与最小值之和为________．解析：因为0≤x ≤9，所以－π3≤π6x －π3≤7π6，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，1.所以y ∈[－3，2]，所以y max ＋y min ＝2－ 3. 答案：2－ 33．函数y ＝2cos 2x ＋5sin x －4的值域为________．解析：y ＝2cos 2x ＋5sin x －4 ＝2(1－sin 2x )＋5sin x －4 ＝－2sin 2x ＋5sin x －2 ＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x －542＋98. 故当sin x ＝1时，y max ＝1，当sin x ＝－1时，y min ＝－9，故y ＝2cos 2x ＋5sin x －4的值域为[－9,1]．答案：[－9,1]题型二三角函数的图象1．将函数y ＝sin 4x 的图象向左平移π12个单位长度，得到y ＝sin(4x ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫0<φ<π2的图象，则φ＝________.解析：将函数y ＝sin 4x 的图象向左平移π12个单位长度，得到y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤4⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π12＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x ＋π3，所以φ＝π3. 答案：π32.已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示，则函数f (x )的解析式为____________________．解析：由题图可知，A ＝1，函数f (x )的最小正周期T ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－π12＝π，∴ω＝2πT＝2.又当x ＝π12时，f (x )取得最大值1，∴1＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π12＋φ，∴π6＋φ＝2k π＋π2，k ∈Z ， ∴φ＝2k π＋π3，k ∈Z.又|φ|<π2，∴φ＝π3，则函数f (x )的解析式为f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.答案：f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π33．在同一直角坐标系中，函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3(x ∈[0,2π])的图象和直线y ＝12的交点的个数是____________．解析：由sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝12，解得x ＋π3＝2k π＋π6或x ＋π3＝2k π＋5π6，k ∈Z ，即x ＝2k π－π6或x ＝2k π＋π2，k ∈Z ，又因为x ∈[0,2π]，所以x ＝π2或11π6，所以函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3 (x ∈[0,2π])的图象和直线y ＝12 的交点的个数是2. 答案：24．将函数y ＝5sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图象向左平移φ⎝ ⎛⎭⎪⎫0<φ<π2个单位长度后，所得函数图象关于y 轴对称，则φ＝______________.解析：将函数y ＝5sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图象向左平移φ⎝ ⎛⎭⎪⎫0<φ<π2个单位长度后，所得函数为f (x )＝5sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x ＋φ＋π4，即f (x )＝5sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x ＋⎝⎛⎭⎪⎫2φ＋π4.因为所得函数f (x )的图象关于y 轴对称，所以2φ＋π4＝π2＋k π，k ∈Z ，所以φ＝π8＋k π2，k ∈Z ，因为0＜φ＜π2，所以φ＝π8. 答案：π8题型三三角函数的性质1．函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －π3的最小正周期为________．解析：函数f (x )的最小正周期T ＝2πω＝2π3.答案：2π32．函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6与y 轴最近的对称轴方程是________．解析：由2x －π6＝k π＋π2(k ∈Z)，得x ＝k π2＋π3(k ∈Z)，因此，当k ＝－1时，直线x ＝－π6是与y 轴最近的对称轴．答案：x ＝－π63．若函数f (x )＝2sin(2x ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫0<φ<π2的图象过点(0，3)，则函数f (x )在[0，π]上的单调递减区间是____________．解析：由题意可得，2sin(2×0＋φ)＝3， ∴sin φ＝32. 又0<φ<π2，∴φ＝π3，∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.由2k π＋π2≤2x ＋π3≤2k π＋3π2，k ∈Z ，得k π＋π12≤x ≤k π＋7π12，k ∈Z.∵0≤x ≤π，∴k ＝0时，π12≤x ≤7π12，∴函数f (x )在[0，π]上的单调递减区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，7π12.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，7π124．若函数f (x )＝sinx ＋φ3(φ∈[0,2π])是偶函数，则φ＝________.解析：若f (x )为偶函数，则f (0)＝±1，即sin φ3＝±1，所以φ3＝k π＋π2(k ∈Z)．所以φ＝3k π＋3π2(k ∈Z)．因为φ∈[0,2π]，所以φ＝3π2.答案：3π25．若函数f (x )＝4cos ωx sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx －π6＋1(ω>0)的最小正周期是π，则函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最小值是________．解析：由题意知，f (x )＝4cos ωx sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6＋1＝23sin ωx cos ωx －2cos 2ωx ＋1＝3sin 2ωx －cos 2ωx ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx －π6，由f (x )的最小正周期是π，且ω>0，可得2π2ω＝π，ω＝1，则f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6. 又x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，所以2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，5π6，故函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最小值是－1. 答案：－1B 组——高考提速练1．函数y ＝12sin x －1的定义域是________．解析：由2sin x －1≠0得sin x ≠12，故x ≠π6＋2k π(k ∈Z)且x ≠5π6＋2k π(k ∈Z)，即x ≠(－1)k·π6＋k π(k ∈Z)．答案：⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠－1k·π6＋k π，k ∈Z 2．函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6的单调递增区间为________．解析：由2k π－π2≤x ＋π6≤2k π＋π2(k ∈Z)，得－2π3＋2k π≤x ≤π3＋2k π(k ∈Z)，所以单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2π3＋2k π，π3＋2k π(k ∈Z)．答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2π3＋2k π，π3＋2k π(k ∈Z)3．函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3－1，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3的值域为________．解析：∵0≤x ≤π3，∴π3≤2x ＋π3≤π，∴0≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3≤1， ∴－1≤2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3－1≤1，即值域为[－1,1]．答案：[－1,1]4.函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ为常数，A >0，ω>0)在闭区间[－π，0]上的图象如图所示，则ω＝________.解析：由图象可知，T 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3－⎝⎛⎭⎪⎫－2π3＝π3，则T ＝2π3.因为T ＝2πω＝2π3，所以ω＝3.答案：35．函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图象与x 轴的交点坐标是______．解析：由2x ＋π4＝k π(k ∈Z)得，x ＝k π2－π8(k ∈Z)．∴函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图象与x 轴交点的坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2－π8，0，k ∈Z. 答案：⎝⎛⎭⎪⎫k π2－π8，0，k ∈Z 6．已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3(ω>0)，将函数y ＝f (x )的图象向右平移2π3个单位长度后，所得图象与原函数图象重合，则ω的最小值等于________．解析：将函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3(ω>0)的图象向右平移2π3个单位长度后，所得函数为y ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2π3.因为所得图象与原函数图象重合，所以f (x )＝f ⎝⎛⎭⎪⎫x －2π3，所以kT ＝2π3，k ∈N *，即2k πω＝2π3，k ∈N *，所以ω＝3k ，k ∈N *，所以ω的最小值等于3. 答案：37．已知函数f (x )＝3sin 2ωx －cos 2ωx (其中ω∈(0,1))，若f (x )的图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0，则f (x )在区间[0，π]上的单调递增区间为____________．解析：f (x )＝3sin 2ωx －cos 2ωx ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx －π6，∵f (x )的图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0，∴2sin ⎝⎛⎭⎪⎫π3ω－π6＝0， ∴π3ω－π6＝k π，k ∈Z ，解得ω＝3k ＋12，k ∈Z ， ∵ω∈(0,1)，∴ω＝12，∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6，由－π2＋2k π≤x －π6≤π2＋2k π，k ∈Z ，得－π3＋2k π≤x ≤2π3＋2k π，k ∈Z ，∴f (x )在区间[0，π]上的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2π3.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2π38．如果函数y ＝3cos(2x ＋φ)的图象关于点⎝⎛⎭⎪⎫4π3，0中心对称，那么|φ|的最小值为________．解析：由题意得3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×4π3＋φ＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋φ＝0，所以2π3＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ，所以φ＝k π－π6，k ∈Z ，取k ＝0，得|φ|的最小值为π6. 答案：π69.设函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，0<φ<π2的部分图象如图所示，直线x ＝π6是它的一条对称轴，则函数f (x )的解析式为______________．解析：由题意可知，T 4＝5π12－π6＝π4，所以T ＝2πω＝π，所以ω＝2，又因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝1，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π6＋φ＝1，所以π3＋φ＝2k π＋π2(k ∈Z)，而φ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以φ＝π6，所以f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.答案：f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π610．已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|<π2的最小正周期为π，且它的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12，－2，则φ的值为________．解析：由题意可得函数f (x )的最小正周期T ＝2πω＝π，解得ω＝2.又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＋φ＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫|φ|<π2，得φ＝－π12.答案：－π1211.函数y ＝sin(πx ＋φ)(φ>0)的部分图象如图，设P 是图象的最高点，A ，B 是图象与x 轴的交点，则∠APB ＝________.解析：由题意知T ＝2，作PD ⊥x 轴，垂足为D ，则PD ＝1，AD ＝12，BD ＝32，设α＝∠APD ，β＝∠BPD ，则tan α＝12，tan β＝32，∠APB ＝α＋β，故tan ∠APB ＝12＋321－12×32＝8.答案：812．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3(0≤x <π)，且f (α)＝f (β)＝12(α≠β)，则α＋β＝________.解析：因为0≤x <π，所以2x ＋π3∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫π3，7π3，由f (x )＝12，得2x ＋π3＝5π6或13π6，解得x ＝π4或11π12，由于f (α)＝f (β)＝12(α≠β)，所以α＋β＝π4＋11π12＝7π6.答案：7π613．已知函数f (x )＝sin x (x ∈[0，π])和函数g (x )＝12tan x 的图象交于A ，B ，C 三点，则△ABC 的面积为________．解析：由题意知，x ≠π2，令sin x ＝12tan x ，可得sin x ＝sin x 2cos x ，x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2∪⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，π，可得sin x ＝0或cos x ＝12，则x ＝0或π或π3，不妨设A (0,0)，B (π，0)，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，32，则△ABC 的面积为12×π×32＝3π4. 答案：3π414．已知函数f (x )＝sin(2x ＋φ)，其中φ为实数，若f (x )≤⎪⎪⎪⎪⎪⎪f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6对x ∈R 恒成立，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＞f (π)，则f (x )的单调递增区间是______________．解析：若f (x )≤⎪⎪⎪⎪⎪⎪f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6对x ∈R 恒成立，则⎪⎪⎪⎪⎪⎪f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋φ＝1，所以π3＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ，φ＝k π＋π6，k ∈Z.由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2>f (π)，可知sin(π＋φ)>sin(2π＋φ)，即sin φ<0，所以φ＝2k π＋7π6，k ∈Z ，代入f (x )＝sin(2x ＋φ)，得f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋7π6，由2k π－π2≤2x ＋7π6≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－5π6≤x ≤k π－π3，k ∈Z.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－5π6，k π－π3(k ∈Z)。

2018年高考数学江苏专版三维二轮专题复习训练：14个填空题综合仿真练(一) Word版含解析

14个填空题综合仿真练(一)1．已知集合A＝{0,3,4}，B＝{－1,0,2,3}，则A∩B＝________.解析：因为集合A＝{0,3,4}，B＝{－1,0,2,3}，所以A∩B＝{0,3}．答案：{0,3}2．已知x＞0，若(x－i)2是纯虚数(其中i为虚数单位)，则x＝________.解析：因为x＞0，(x－i)2＝x2－1－2x i是纯虚数(其中i为虚数单位)，所以x2－1＝0且－2x≠0，解得x＝1.答案：13．已知函数f(x)＝x2－2x－3，则该函数的单调递增区间为________．解析：设t＝x2－2x－3，由t≥0，即x2－2x－3≥0，解得x≤－1或x≥3，所以函数f(x)的定义域为(－∞，－1]∪[3，＋∞)，因为函数t＝x2－2x－3的图象的对称轴为x＝1，所以函数t＝x2－2x－3在(－∞，－1]上单调递减，在[3，＋∞)上单调递增，所以函数f(x)的单调递增区间为[3，＋∞)．答案：[3，＋∞)4．从2个白球，2个红球，1个黄球中随机取出2个球，则取出的2球中恰有1个红球的概率是________．解析：将2个白球记为A，B,2个红球记为C，D,1个黄球记为E，则从中任取两个球的所有可能结果为(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(C，D)，(C，E)，(D，E)，共10个，恰有1个红球的可能结果为(A，C)，(A，D)，(B，C)，(B，D)，(E，C)，(E，D)共6个，故所求概率为P＝610＝3 5.答案：3 55．执行如图所示的伪代码，若输出的y的值为13，则输入的x的值是________．Read xIf x≤2Theny←6xElsey←x＋5End IfPrint y解析：若6x＝13，则x＝136>2，不符合题意；若x＋5＝13，则x＝8>2，符合题意，故x＝8.答案：86．一种水稻品种连续5年的平均单位面积产量(单位：t/hm2)分别为：9.4,9.7,9.8,10.3,10.8，则这组样本数据的方差为________．解析：这组数据的平均数为15(9.4＋9.7＋9.8＋10.3＋10.8)＝10，方差为15[(10－9.4)2＋(10－9.7)2＋(10－9.8)2＋(10－10.3)2＋(10－10.8)2]＝0.244.答案：0.2447．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(0<ω<2,0<φ<π)．若x ＝－π4为函数f (x )的一个零点，x ＝π3为函数f (x )图象的一条对称轴，则ω的值为________．解析：函数f (x )的周期T ＝4×⎝⎛⎭⎫π3＋π4＝7π3，又T ＝2πω，所以ω＝2π×37π＝67. 答案：678．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足cos A 2＝255，AB ―→·AC ―→＝3，b ＋c ＝6，则a ＝________.解析：∵cos A 2＝255，∴cos A ＝2cos 2A 2－1＝35，又由AB ―→·AC ―→＝3，得bc cos A ＝3，∴bc ＝5，由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝(b ＋c )2－2bc (1＋cos A )＝36－10×85＝20，解得a ＝2 5.答案：2 59．已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝12，tan β＝－15，则tan α的值为________．解析：tan α＝tan[(α－β)＋β]＝tan (α－β)＋tan β1－tan (α－β)tan β＝12－151－12×⎝⎛⎭⎫－15＝311. 答案：31110．已知关于x 的一元二次不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为(－1,5)，其中a ，b ，c 为常数．则不等式cx 2＋bx ＋a ≤0的解集为________．解析：因为不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为(－1,5)，所以a (x ＋1)(x －5)>0，且a <0，即ax 2－4ax －5a >0，则b ＝－4a ，c ＝－5a ，则cx 2＋bx ＋a ≤0即为－5ax 2－4ax ＋a ≤0，从而5x 2＋4x －1≤0，解得－1≤x ≤15. 答案：⎣⎡⎦⎤－1，15 11．已知正数x ，y 满足1x ＋2y ＝1，则log 2x ＋log 2y 的最小值为________．解析：由1x ＋2y ＝1，得x ＝y y －2>0，则log 2x ＋log 2y ＝log 2xy ＝log 2y 2y －2＝log 2(y －2＋2)2y －2＝log 2⎣⎡⎦⎤(y －2)＋4y －2＋4≥log 28＝3，当且仅当(y －2)2＝4，即y ＝4时等号成立，故log 2x ＋log 2y 的最小值为3.答案：312．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C ：x 2＋y 2＋2x －8＝0，直线l ：y ＝k (x －1)(k ∈R)过定点A ，且交圆C 于点B ，D ，过点A 作BC 的平行线交CD 于点E ，则△AEC 的周长为________．解析：易得圆C 的标准方程为(x －1)2＋y 2＝9，即半径r ＝3，定点A (－1,0)，因为AE ∥BC ，所以EA ＝ED ，则EC ＋EA ＝EC ＋ED ＝3，从而△AEC 的周长为5.答案：513．设集合A ＝{x |x ＝2n ，n ∈N *}，集合B ＝{x |x ＝b n ，n ∈N *}，满足A ∩B ＝∅，且A ∪B ＝N *.若对任意的n ∈N *，b n <b n ＋1，则b 2 017＝________.解析：因为210＝1 024<2 017,211＝2 048>2 017，所以小于等于2 017的正整数中有10个是集合A 中的元素，所以由集合B 的定义可知b 2 017＝2 017＋10＝2 027.答案：2 02714．已知函数f (x )＝kx ，g (x )＝2ln x ＋2e ⎝⎛⎭⎫1e ≤x ≤e 2，若f (x )与g (x )的图象上分别存在点M ，N ，使得M ，N 关于直线y ＝e 对称，则实数k 的取值范围是________________．解析：设直线y ＝kx 上的点M (x ，kx )，点M 关于直线y ＝e 的对称点N (x,2e －kx )，因为点N 在g (x )＝2ln x ＋2e ⎝⎛⎭⎫1e ≤x ≤e 2的图象上，所以2e －kx ＝2ln x ＋2e ，所以kx ＝－2ln x ．构造函数y ＝kx ，y ＝－2ln x ⎝⎛⎭⎫1e ≤x ≤e 2，画出函数y ＝－2ln x ⎝⎛⎭⎫1e ≤x ≤e 2的图象如图所示，设曲线y ＝－2ln x ⎝⎛⎭⎫1e ≤x ≤e 2上的点P (x 0，－2ln x 0)，则k OP ≤k ≤k OB (其中B 为端点，P 为切点)．因为y ′＝－2x ，所以过点P 的切线方程为y ＋2ln x 0＝－2x 0(x －x 0)，又该切线经过原点，所以0＋2ln x 0＝－2x 0(0－x 0)，x 0＝e ，所以k OP ＝－2e.又点B ⎝⎛⎭⎫1e ，2，所以k OB ＝2e ，所以k ∈⎣⎡⎦⎤－2e ，2e . 答案：⎣⎡⎦⎤－2e ，2e。

(江苏专版)2018年高考数学二轮复习6个解答题专项强化练(三)解析几何

6个解答题专项强化练(三) 解析几何1．已知圆M ：x 2＋y 2－2x ＋a ＝0.(1)若a ＝－8，过点P (4,5)作圆M 的切线，求该切线方程；(2)若AB 为圆M 的任意一条直径，且OA ―→·OB ―→＝－6(其中O 为坐标原点)，求圆M 的半径．解：(1)若a ＝－8，则圆M 的标准方程为(x －1)2＋y 2＝9，圆心M (1，0)，半径为3. 若切线斜率不存在，圆心M 到直线x ＝4的距离为3，所以直线x ＝4为圆M 的一条切线；若切线斜率存在，设切线方程为y －5＝k (x －4)，即kx －y －4k ＋5＝0，则圆心到直线的距离为|k －4k ＋5|k 2＋1＝3，解得k ＝815，即切线方程为8x －15y ＋43＝0.所以切线方程为x ＝4或8x －15y ＋43＝0.(2)圆M 的方程可化为(x －1)2＋y 2＝1－a ，圆心M (1，0)，则OM ＝1，半径r ＝1－a (a <1)．因为AB 为圆M 的任意一条直径，所以MA ―→＝－MB ―→，且|MA ―→|＝|MB ―→|＝r ，则OA ―→·OB ―→＝(OM ―→＋MA ―→)·(OM ―→＋MB ―→)＝(OM ―→－MB ―→)·(OM ―→＋MB ―→)＝OM ―→2－MB ―→2＝1－r 2，又因为OA ―→·OB ―→＝－6，解得r ＝7，所以圆M 的半径为7.2.如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左焦点为F (－1，0)，且经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32. (1)求椭圆的标准方程；(2)已知椭圆的弦AB 过点F ，且与x 轴不垂直．若D 为x 轴上的一点，DA ＝DB ，求AB DF的值．解：(1)法一：由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝1，1a 2＋94b 2＝1，a 2＝b 2＋c 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝3.所以椭圆的标准方程为x 24＋y 23＝1.法二：由题意，知2a ＝＋2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322＋－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322＝4，所以a ＝2. 又c ＝1，a 2＝b 2＋c 2，所以b ＝3，所以椭圆的标准方程为x 24＋y 23＝1.(2)法一：设直线AB 的方程为y ＝k (x ＋1)． ①当k ＝0时，AB ＝2a ＝4，FD ＝FO ＝1，所以AB DF＝4；②当k ≠0时，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，AB 的中点为M (x 0，y 0)，把直线AB 的方程代入椭圆方程，整理得(3＋4k 2)x 2＋8k 2x ＋4k 2－12＝0，所以x 1＋x 2＝－8k 23＋4k 2，x 1·x 2＝4k 2－123＋4k 2，所以x 0＝－4k23＋4k 2，所以y 0＝k (x 0＋1)＝3k3＋4k2，所以AB 的垂直平分线方程为y －3k 3＋4k 2＝－1k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋4k 23＋4k 2. 因为DA ＝DB ，所以点D 为AB 的垂直平分线与x 轴的交点，所以D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－k 23＋4k 2，0，所以DF ＝－k 23＋4k 2＋1＝3＋3k23＋4k 2.又因为AB ＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k 2·x 1＋x 22－4x 1x 2＝12＋12k23＋4k2，所以AB DF＝4.综上，得AB DF的值为4.法二：①若直线AB 与x 轴重合，则AB DF＝4； ②若直线AB 不与x 轴重合，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，AB 的中点为M (x 0，y 0)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 214＋y 213＝1，x 224＋y 223＝1，两式相减得x 21－x 224＋y 21－y 223＝0，所以x 1－x 2x 04＋y 1－y 2y 03＝0，所以直线AB 的斜率为y 1－y 2x 1－x 2＝－3x 04y 0，所以直线AB 的垂直平分线方程为y －y 0＝4y 03x 0(x －x 0)．因为DA ＝DB ，所以点D 为AB 的垂直平分线与x 轴的交点，所以D ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 04，0，所以DF ＝x 04＋1.因为椭圆的左准线的方程为x ＝－4，离心率为12，由AFx 1＋4＝12，得AF ＝12(x 1＋4)，同理BF ＝12(x 2＋4)．所以AB ＝AF ＋BF ＝12(x 1＋x 2)＋4＝x 0＋4，所以AB DF＝4. 综上，得AB DF的值为4.3.如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的右顶点和上顶点分别为A ，B ，M 为线段AB 的中点，且OM ―→·AB ―→＝－32b 2.(1)求椭圆的离心率；(2)若a ＝2，四边形ABCD 内接于椭圆，AB ∥DC .记直线AD ，BC 的斜率分别为k 1，k 2，求证：k 1k 2为定值．解：(1)由题意，A (a,0)，B (0，b )，由M 为线段AB 的中点得M ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，b2. 所以OM ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，b 2，AB ―→＝(－a ，b )．因为OM ―→·AB ―→＝－32b 2，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，b 2·(－a ，b )＝－a 22＋b 22＝－32b 2，整理得a 2＝4b 2，即a ＝2b .因为a 2＝b 2＋c 2，所以3a 2＝4c 2，即3a ＝2c . 所以椭圆的离心率e ＝c a ＝32. (2)证明：法一：由a ＝2得b ＝1，故椭圆方程为x 24＋y 2＝1.从而A (2,0)，B (0,1)，直线AB 的斜率为－12.因为AB ∥DC ，故可设DC 的方程为y ＝－12x ＋m ，D (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)．联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－12x ＋m ，x24＋y 2＝1，消去y ，得x 2－2mx ＋2m 2－2＝0，所以x 1＋x 2＝2m ，从而x 1＝2m －x 2. 直线AD 的斜率k 1＝y 1x 1－2＝－12x 1＋m x 1－2，直线BC 的斜率k 2＝y 2－1x 2＝－12x 2＋m －1x 2，所以k 1k 2＝－12x 1＋m x 1－2·－12x 2＋m －1x 2＝14x 1x 2－12m －x 1－12mx 2＋m m －x 1－x 2＝14x 1x 2－12m x 1＋x 2＋12x 1＋m m －x 1x 2－2x 2＝14x 1x 2－12m ·2m ＋12m －x 2＋m m －x 1x 2－2x 2＝14x 1x 2－12x 2x 1x 2－2x 2＝14，即k 1k 2为定值14.法二：由a ＝2得b ＝1，故椭圆方程为x 24＋y 2＝1.从而A (2,0)，B (0,1)，直线AB 的斜率为－12.设C (x 0，y 0)，则x 204＋y 20＝1.因为AB ∥CD ，故CD 的方程为y ＝－12(x －x 0)＋y 0.联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－12x －x 0＋y 0，x24＋y 2＝1，消去y ，得x 2－(x 0＋2y 0)x ＋2x 0y 0＝0，解得x ＝x 0或x ＝2y 0. 所以点D 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2y 0，12x 0.所以k 1k 2＝12x 02y 0－2·y 0－1x 0＝14，即k 1k 2为定值14.4.已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左焦点为F (－1,0)，左准线方程为x ＝－2.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)已知直线l 交椭圆C 于A ，B 两点．①若直线l 经过椭圆C 的左焦点F ，交y 轴于点P ，且满足PA ―→＝λAF ―→，PB ―→＝μBF ―→.求证：λ＋μ为定值；②若A ，B 两点满足OA ⊥OB (O 为坐标原点)，求△AOB 面积的取值范围．解：(1)由题设知c ＝1，－a 2c＝－2，解得a 2＝2，b 2＝1，∴椭圆C 的标准方程为x 22＋y 2＝1.(2)①证明：由题设知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y ＝k (x ＋1)，则P (0，k )．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，把直线l 的方程代入椭圆的方程得x 2＋2k 2(x ＋1)2＝2，整理得(1＋2k 2)x 2＋4k 2x ＋2k 2－2＝0， ∴x 1＋x 2＝－4k 21＋2k 2，x 1x 2＝2k 2－21＋2k2.由PA ―→＝λAF ―→，PB ―→＝μBF ―→知，λ＝－x 11＋x 1，μ＝－x 21＋x 2，∴λ＋μ＝－x 1＋x 2＋2x 1x 21＋x 1＋x 2＋x 1x 2＝－－4k 21＋2k 2＋4k 2－41＋2k 21＋－4k 21＋2k 2＋2k 2－21＋2k 2＝－－4－1＝－4(定值)．②当直线OA ，OB 分别与坐标轴重合时，易知△AOB 的面积S ＝22，当直线OA ，OB 的斜率均存在且不为零时，设OA ：y ＝kx ，OB ：y ＝－1kx ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，将y ＝kx 代入椭圆C 得到x 2＋2k 2x 2＝2，∴x 21＝22k 2＋1，y 21＝2k 22k 2＋1，同理x 22＝2k 22＋k 2，y 22＝22＋k2，故△AOB 的面积S ＝OA ·OB2＝k 2＋2k 2＋k 2＋.令t ＝k 2＋1∈(1，＋∞)，故S ＝t 2t －t ＋＝12＋1t －1t2. 再令u ＝1t∈(0,1)，则S ＝1－u 2＋u ＋2＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫u －122＋94∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，22.综上所述，S ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，22.5.如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 24＋y 23＝1的左、右顶点分别为A ，B ，过右焦点F 的直线l 与椭圆C 交于P ，Q 两点(点P 在x 轴上方)．(1)若QF ＝2FP ，求直线l 的方程；(2)设直线AP ，BQ 的斜率分别为k 1，k 2.是否存在常数λ，使得k 1＝λk 2？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．解：(1)因为a 2＝4，b 2＝3，所以c ＝a 2－b 2＝1，所以F 的坐标为(1,0)，设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，直线l 的方程为x ＝my ＋1，代入椭圆方程，消去x ，得(4＋3m 2)y 2＋6my －9＝0，则y 1＝－3m ＋61＋m 24＋3m 2，y 2＝－3m －61＋m 24＋3m 2. 若QF ＝2FP ，则－y 2＝2y 1，即y 2＋2y 1＝0，所以－3m －61＋m 24＋3m 2＋2×－3m ＋61＋m24＋3m 2＝0，解得m ＝255，故直线l 的方程为5x －2y －5＝0.(2)由(1)知，y 1＋y 2＝－6m 4＋3m 2，y 1y 2＝－94＋3m 2，所以my 1y 2＝－9m 4＋3m 2＝32(y 1＋y 2),所以k 1k 2＝y 1x 1＋2·x 2－2y 2＝y 1my 2－y 2my 1＋＝32y 1＋y 2－y 132y 1＋y 2＋3y 2＝13，故存在常数λ＝13，使得k 1＝13k 2.6.如图，已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，其离心率e ＝12，左准线方程为x ＝－8.(1)求椭圆的方程；(2)过F 1的直线交椭圆于A ，B 两点，I 1，I 2分别为△F 1AF 2，△F 1BF 2的内心. ①求四边形F 1I 1F 2I 2与△AF 2B 的面积比；②是否存在定点C ，使CA ―→·CB ―→为常数？若存在，求出点C 的坐标；若不存在，说明理由．解：(1)由题意⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝12，a2c ＝8，解得a ＝4，c ＝2，故b ＝23，所以椭圆的方程为x 216＋y 212＝1.(2)①设△F 1AF 2的内切圆半径为r ，则S △F 1I 1F 2＝12·F 1F 2·r ＝12·2c ·r ＝2r ，S △F 1AF 2＝12·(AF 1＋AF 2＋F 1F 2)·r ＝12·(2a ＋2c )·r ＝6r ，∴S △F 1I 1F 2∶S △F 1AF 2＝1∶3，同理S △F 1I 2F 2∶S △F 1BF 2＝1∶3， ∴S 四边形F 1I 1F 2I 2∶S △AF 2B ＝1∶3.②假设存在定点C (s ，t )，使得CA ―→·CB ―→为常数．若直线AB 存在斜率，设AB 的方程为y ＝k (x ＋2)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x ＋，x 216＋y 212＝1，消去y ，得(3＋4k 2)x 2＋16k 2x ＋16k 2－48＝0，由此得x 1＋x 2＝－16k 23＋4k 2，x 1x 2＝16k 2－483＋4k 2，∴CA ―→·CB ―→＝(x 1－s ，y 1－t )·(x 2－s ，y 2－t ) ＝(x 1－s )(x 2－s )＋(y 1－t )(y 2－t )＝(x 1－s )(x 2－s )＋[k (x 1＋2)－t ][k (x 2＋2)－t ] ＝(1＋k 2)x 1x 2＋(2k 2－tk －s )(x 1＋x 2)＋s 2＋t 2＋4k 2－4tk ＝1＋k216k 2－483＋4k 2＋2k 2－tk －s －16k23＋4k2＋s 2＋t 2＋4k 2－4tk ＝－12tk －12s －333＋4k＋s 2＋t 2＋4s －5. ∵与k 无关，∴⎩⎪⎨⎪⎧－12t ＝0，－12s －33＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧s ＝－114，t ＝0，此时CA ―→·CB ―→＝－13516；若直线AB 不存在斜率，则A 与B 的坐标为(－2，±3)，CA ―→·CB ―→＝(s ＋2，t －3)·(s ＋2，t ＋3)＝(s ＋2)2＋t 2－9，将⎩⎪⎨⎪⎧s ＝－114，t ＝0代入，此时CA ―→·CB ―→＝－13516也成立．综上所述，存在定点C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－114，0，使得CA ―→·CB ―→为常数．。

2018年高考数学江苏专版三维二轮专题复习训练：14个填空题综合仿真练(二)

14个填空题综合仿真练(二)1．已知全集U ＝{1,2,3,4}，集合A ＝{1,4}，B ＝{3,4}，则∁U (A ∪B )＝_________.解析：因为A ＝{1,4}，B ＝{3,4}，所以A ∪B ＝{1,3,4}，因为全集U ＝{1,2,3,4}，所以∁U (A ∪B )＝{2}．答案：{2}2．已知复数z ＝1－i 2i，其中i 为虚数单位，则复数z 的虚部为________．解析：z ＝1－i 2i ＝i (1－i )2i 2＝1＋i －2＝－12－12i.所以z 的虚部为－12. 答案：－123．某校有足球、篮球、排球三个兴趣小组，共有成员120人，其中足球、篮球、排球的成员分别有40人、60人、20人．现用分层抽样的方法从这三个兴趣小组中抽取24人来调查活动开展情况，则在足球兴趣小组中应抽取________人．解析：设足球兴趣小组中抽取人数为n ，则n 24＝40120，所以n ＝8. 答案：84．如图是一个算法的流程图，则输出的n 的值为________．解析：由题意，n ＝1，a ＝1，第1次循环，a ＝5，n ＝3，满足a ＜16，第2次循环，a ＝17，n ＝5，不满足a ＜16，退出循环，输出的n 的值为5.答案：55．从集合{1,2,3,4}中任取两个不同的数，则这两个数的和为3的倍数的概率为__________．解析：从集合{1,2,3,4}中任取两个不同的数，基本事件总数n ＝6，这两个数的和为3的倍数包含的基本事件有：(1,2)，(2,4)，共2个，故这两个数的和为3的倍数的概率P ＝26＝13. 答案：136．设x ∈R ，则p ：“log 2x <1”是q ：“x 2－x －2<0”的__________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“既不充分也不必要”“充要”)解析：由log 2x <1，得0<x <2，由x 2－x －2<0可得－1<x <2，所以p ⇒q ，q ⇒/p ，故p 是q 的充分不必要条件．答案：充分不必要7．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左焦点到渐近线的距离等于实轴长，则双曲线C 的离心率为________．解析：由题意，双曲线C 的左焦点到渐近线的距离d ＝bc a 2＋b 2＝b ，则b ＝2a ，因此双曲线C 的离心率e ＝c a ＝1＋⎝⎛⎭⎫b a 2＝ 5. 答案： 58．记公比为正数的等比数列{a n }的前n 项和为S n .若a 1＝1，S 4－5S 2＝0，则S 5的值为________．解析：由题意q ≠1，设等比数列的公比为q (q ≠1)，由a 1＝1，S 4－5S 2＝0，得1－q 41－q－5(1＋q )＝0，化简得1＋q 2＝5，解得q ＝±2.∵数列{a n }的各项均为正数，∴q ＝2.故S 5＝1－251－2＝31. 答案：319.如图所示，在棱长为4的正方体ABCD -A1B 1C 1D 1中，P 是A 1B 1上一点，且PB 1＝14A 1B 1，则多面体P -BB 1C 1C 的体积为________．解析：因为四棱锥P -BB 1C 1C 的底面积为16，高PB 1＝1，所以VP -BB 1C 1C ＝13×16×1＝163. 答案：163 10．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3(0≤x <π)，且f (α)＝f (β)＝13(α≠β)，则α＋β＝__________. 解析：由0≤x <π，知π3≤2x ＋π3<7π3，因为f (α)＝f (β)＝13<32，所以⎝⎛⎭⎫2α＋π3＋⎝⎛⎭⎫2β＋π3＝2×3π2，所以α＋β＝7π6. 答案：7π611．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－1，x ≥0，－x ＋1，x ＜0.若函数y ＝f (f (x ))－k 有3个不同的零点，则实数k 的取值范围是________.解析：当x <0时，－x >0，故－x ＋1>0，所以f (－x ＋1)＝x 2－2x ＋1－1＝x 2－2x ，当x ≥0时，f (x )＝x 2－1，当0≤x <1时，x 2－1<0，故f (x 2－1)＝－x 2＋2，当x ≥1时，x 2－1≥0，故f (x 2－1)＝x 4－2x 2.故f (f (x ))＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－2x ，x <0，－x 2＋2，0≤x <1，x 4－2x 2，x ≥1，作出函数f (f (x ))的图象如图所示，可知当1<k ≤2时，函数y ＝f (f (x ))－k 有3个不同的零点．答案：(1,2]12．已知△ABC 外接圆O 的半径为2，且AB ―→＋AC ―→＝2AO ―→，|AB ―→|＝|AO ―→|，则CA ―→·CB―→＝__________.解析：由AB ―→＋AC ―→＝2AO ―→，可得OB ―→＋OC ―→＝0，即BO ―→＝OC ―→，所以圆心在BC 中点上，且AB ⊥AC .因为|AB ―→|＝|AO ―→|＝2，所以∠AOC ＝2π3，C ＝π6，由正弦定理得AC sin 2π3＝AO sin π6，故AC ＝23，又BC ＝4，所以CA ―→·CB ―→＝|CA ―→|·|CB ―→|·cos C ＝4×23×32＝12. 答案：1213．设a ，b ，c 是三个正实数，且a (a ＋b ＋c )＝bc ，则a b ＋c的最大值为__________．解析：由a (a ＋b ＋c )＝bc ，得1＋b a ＋c a ＝b a ·c a ，设x ＝b a ，y ＝c a ，则x ＋y ＋1＝xy ，a b ＋c＝1x ＋y ，因为x ＋y ＋1＝xy ≤⎝⎛⎭⎫x ＋y 22，所以x ＋y ≥2＋22，所以a b ＋c 的最大值为2－12.答案：2－1214．设a 为实数，记函数f (x )＝ax －ax 3⎝⎛⎭⎫x ∈⎣⎡⎦⎤12，1的图象为C .如果任何斜率不小于1的直线与C 都至多有一个公共点，则a 的取值范围是__________．解析：因为任何斜率不小于1的直线与C 都至多有一个公共点，所以f ′(x )≤1在x ∈⎣⎡⎦⎤12，1上恒成立．因为f ′(x )＝a －3ax 2，所以3ax 2－a ＋1≥0在⎣⎡⎦⎤12，1上恒成立．设g (t )＝3at －a ＋1，t ∈⎣⎡⎦⎤14，1，只需⎩⎪⎨⎪⎧ g ⎝⎛⎭⎫14≥0，g (1)≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧34a －a ＋1≥0，3a －a ＋1≥0，解得－12≤a ≤4.答案：⎣⎡⎦⎤－12，4。

2018年高考数学江苏专版三维二轮专题复习训练：14个填空题专项强化练(九)

14个填空题专项强化练(九) 不等式A 组——题型分类练题型一一元二次不等式1．已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，若不等式f (x )<0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <12或x >3，则f (e x )>0(e 是自然对数的底数)的解集是________．解析：法一：依题意可得f (x )＝a ⎝⎛⎭⎫x －12(x －3)(a <0)，则f (e x )＝a ⎝⎛⎭⎫e x －12(e x －3)(a <0)，由f (e x )＝a ⎝⎛⎭⎫e x －12(e x －3)>0可得12<e x <3，解得－ln 2<x <ln 3. 法二：由题知，f (x )>0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪12<x <3，令12<e x <3，得－ln 2<x <ln 3. 答案：{x |－ln 2<x <ln 3}2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1，x >0，－x 2－4x ，x ≤0，则不等式f (x )>3的解集为________________．解析：当x >0时，2x －1>3，解得x >2，当x ≤0时，－x 2－4x >3，即x 2＋4x ＋3<0，解得－3<x <－1，所以所求不等式的解集为{x |x >2或－3<x <－1}．答案：{x |x >2或－3<x <－1}3．已知函数y ＝x 2－2x ＋a 的定义域为R ，值域为[0，＋∞)，则实数a 的取值集合为________．解析：由定义域为R ，得x 2－2x ＋a ≥0恒成立．又值域为[0，＋∞)，则函数y ＝x 2－2x ＋a 的图象只能与x 轴有1个交点，所以Δ＝4－4a ＝0，a ＝1.答案：{1}4．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋1，x ≥0，－x 2＋1，x <0，则关于x 的不等式f (x 2)>f (2－x )的解集是________．解析：由x 2≥0，得f (x 2)＝－x 2＋1，所以原不等式可转化为f (2－x )<－x 2＋1，则当2－x ≥0，即x ≤2时，由－(2－x )＋1<－x 2＋1，得－2<x <1，所以－2<x <1；当2－x <0，即x >2时，由－(2－x )2＋1<－x 2＋1，得x ∈∅.综上得，关于x 的不等式f (x 2)>f (2－x )的解集是{x |－2<x <1}．答案：{x |－2<x <1} 题型二基本不等式 1．若x >1，则x ＋4x －1的最小值为________．解析：由x >1，得x －1>0，则x ＋4x －1＝x －1＋4x －1＋1≥4＋1＝5.当且仅当x －1＝4x －1，即x ＝3时等号成立．故x ＋4x －1的最小值为5. 答案：52．已知0<x <1，则x (3－3x )取得最大值时x 的值为________．解析：由0<x <1，故3－3x >0，则x (3－3x )＝13×3x (3－3x )≤13×94＝34，当且仅当3x ＝3－3x ，即x ＝12时等号成立．答案：123．已知正数a ，b 满足1a ＋9b ＝ab －5，则ab 的最小值为________．解析：因为正数a ，b 满足1a ＋9b ＝ab －5，所以ab －5≥21a ×9b，可化为(ab )2－5ab －6≥0，解得ab ≥6，即ab ≥36，当且仅当1a ＝9b ，即a ＝2，b ＝18时取等号．即ab 的最小值为36.答案：364．已知正数x ，y 满足x 2＋4y 2＋x ＋2y ≤2－4xy ，则1x ＋1y 的最小值为________．解析：由题意得(x ＋2y )2＋(x ＋2y )－2≤0，且x >0，y >0，所以0<x ＋2y ≤1，所以1x ＋1y ＝⎝⎛⎭⎫1x ＋1y ·1≥⎝⎛⎭⎫1x ＋1y ·(x ＋2y )＝3＋2y x ＋x y ≥3＋22，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝1，2y x ＝x y ，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2－1，y ＝1－22时，1x ＋1y 取得最小值3＋2 2.答案：3＋2 25．已知a >0，b >0，且12a ＋b ＋1b ＋1＝1，则a ＋2b 的最小值是________．解析：a ＋2b ＝2a ＋b ＋3(b ＋1)2－32，故a ＋2b ＝⎣⎡⎦⎤2a ＋b 2＋3(b ＋1)2·⎝⎛⎭⎫12a ＋b ＋1b ＋1－32 ＝12＋32＋2a ＋b2(b ＋1)＋3(b ＋1)2(2a ＋b )－32≥12＋22a ＋b 2(b ＋1)·3(b ＋1)2(2a ＋b )＝12＋3，当且仅当2a ＋b 2(b ＋1)＝3(b ＋1)2(2a ＋b )，且12a ＋b ＋1b ＋1＝1时取等号．故a ＋2b 的最小值为12＋ 3.答案：12＋ 3题型三简单的线性规划1．已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －5≤0，2x －y ＋2≥0，y ≥0，则目标函数z ＝x －y 的最小值为________．解析：根据题意，画出可行域如图所示，易知当目标函数z ＝x －y 经过点A (1,4)时，取得最小值－3.答案：－32．设不等式⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x －y ≤0，x ＋y ≤4，表示的平面区域为M ，若直线l ：y ＝kx －2上存在M 内的点，则实数k 的取值范围是________．解析：作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示．因为直线l ：y ＝kx －2的图象过定点A (0，－2)，且斜率为k ，由图知，当直线l 过点B (1,3)时，k 取最大值3＋21－0＝5，当直线l 过点C (2,2)时，k 取最小值2＋22－0＝2，故实数k 的取值范围是[2,5]．答案：[2,5]3．已知约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1≤0，ax －y ≥0，x ≤1表示的平面区域为D ，若区域D 内至少有一个点在函数y ＝e x 的图象上，那么实数a 的取值范围为________．解析：由题意作出约束条件表示的平面区域及函数y ＝e x 的图象，结合函数图象知，当x ＝1时，y ＝e ，把点(1，e)代入ax －y ≥0，则a ≥e.故实数a 的取值范围为[e ，＋∞)．答案：[e ，＋∞) B 组——高考提速练1．不等式x ＋1x <2的解集为______________．解析：∵x ＋1x <2，∴x ＋1x －2<0，即(x ＋1)－2x x ＝1－xx<0， ∴1－xx<0等价于x (x －1)＞0，解得x ＜0或x ＞1， ∴不等式x ＋1x <2的解集为{x |x ＜0或x ＞1}．答案：{x |x ＜0或x ＞1}2．若实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ≤4，x ＋3y ≤7，x ≥0，y ≥0，则z ＝3x ＋2y 的最大值为________．解析：作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示．由z ＝3x ＋2y 得y ＝－32x ＋12z ，平移直线y ＝－32x ＋12z ，由图象可知当直线y ＝－32x ＋12z 经过点A 时，直线y ＝－32x ＋12z的截距最大，此时z 最大．由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝4，x ＋3y ＝7，解得A (1,2)，代入目标函数z ＝3x ＋2y ，得z ＝3×1＋2×2＝7. 即目标函数z ＝3x ＋2y 的最大值为7. 答案：73．若a ，b 均为大于1的正数，且ab ＝100，则lg a ·lg b 的最大值为________．解析：因为a >1，b >1，所以lg a >0，lg b >0. lg a ·lg b ≤(lg a ＋lg b )24＝(lg ab )24＝1.当且仅当a ＝b ＝10时取等号，故lg a ·lg b 的最大值为1. 答案：14．不等式x 2＋ax ＋4<0的解集不是空集，则实数a 的取值范围是________．解析：因为不等式x 2＋ax ＋4<0的解集不是空集，所以Δ＝a 2－4×4>0，即a 2>16. 所以a >4或a <－4.答案：(－∞，－4)∪(4，＋∞)5．若关于x 的不等式ax 2－6x ＋a 2<0的解集是(1，m )，则m 的值为________．解析：根据不等式与方程之间的关系知1为方程ax 2－6x ＋a 2＝0的一个根，即a 2＋a －6＝0，解得a ＝2或a ＝－3，当a ＝2时，不等式ax 2－6x ＋a 2<0的解集是(1,2)，符合要求；当a ＝－3时，不等式ax 2－6x ＋a 2<0的解集是(－∞，－3)∪(1，＋∞)，不符合要求，舍去．故m ＝2.答案：26．已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x >0时，f (x )＝1－log 2x ，则不等式f (x )<0的解集是________．解析：法一：当x <0时，f (x )＝－f (－x )＝log 2(－x )－1，f (x )<0，即log 2(－x )－1<0，得－2<x <0；当x >0时，f (x )＝1－log 2x ，f (x )<0，即1－log 2x <0，解得x >2.综上所述，不等式f (x )<0的解集是(－2,0)∪(2，＋∞)．法二：先作出函数f (x )在x >0时的图象，再根据奇函数f (x )的图象关于原点对称可得f (x )在R 上的图象，结合图象可知，不等式f (x )<0的解集是(－2,0)∪(2，＋∞)．答案：(－2,0)∪(2，＋∞)7．已知点P 是△ABC 内一点(不包括边界)，且AP ―→＝m AB ―→＋n AC ―→，m ，n ∈R ，则(m －2)2＋(n －2)2 的取值范围是________．解析：因为点P 是△ABC 内一点(不包括边界)，且AP ―→＝m AB ―→＋n AC ―→，所以m ，n 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧m ＞0，n ＞0，m ＋n ＜1，作出不等式组所表示的平面区域如图所示．因为(m －2)2＋(n －2)2表示的是区域内的动点(m ，n )到点A (2,2)的距离的平方．因为点A 到直线m ＋n ＝1的距离为|2＋2－1|2＝32，故⎝⎛⎭⎫322＜(m －2)2＋(n －2)2＜OA 2，即(m －2)2＋(n －2)2的取值范围是⎝⎛⎭⎫92，8.答案：⎝⎛⎭⎫92，88．已知O 为坐标原点，A (1,2)，点P 的坐标(x ，y )满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋|y |≤1，x ≥0，则z ＝OA ―→·OP ―→的最大值为________．解析：如图作满足约束条件的可行域，z ＝OA ―→·OP ―→＝x ＋2y ，显然在B (0,1)处取得最大值，所以z max ＝2. 答案：29．已知正项等比数列{a n }满足：a 7＝a 6＋2a 5，若存在两项a m ，a n 使得 a m a n ＝4a 1，则1m ＋4n 的最小值为________．解析：设正项等比数列{a n }的公比为q ，由a 7＝a 6＋2a 5，得q 2－q －2＝0，解得q ＝2(q ＝－1，舍去)由a m a n ＝4a 1，即2m+n-22＝4，得2m＋n －2＝24，即m ＋n ＝6.故1m ＋4n ＝16(m ＋n )⎝⎛⎭⎫1m ＋4n ＝56＋16⎝⎛⎭⎫4m n ＋n m ≥56＋46＝32，当且仅当4m n ＝nm 即m ＝2，n ＝4时等号成立，即1m ＋4n 的最小值为32.答案：3210．已知A ，B ，C 是平面上任意三点，BC ＝a ，CA ＝b ，AB ＝c ，则y ＝c a ＋b＋bc 的最小值是________．解析：y 要取最小值，则a 要最大，而a 的最大值是b ＋c ，所以y ＝c a ＋b ＋b c ≥c 2b ＋c＋b c ＝12⎝⎛⎭⎫b c ＋12＋⎝⎛⎭⎫b c ＋12－12≥ 2－12，当且仅当12⎝⎛⎭⎫b c ＋12＝b c ＋12时取等号，即y 的最小值是2－12.答案：2－1211．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a 不是最大边，已知a 2－b 2＝2bc sin A ，则tan A －9tan B 的最小值为________．解析：由余弦定理，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A 及a 2－b 2＝2bc sin A ，得c 2－2bc cos A ＝2bc sin A ，即c －2b cos A ＝2b sin A ，再由正弦定理，得sin C －2sin B cos A ＝2sin B sin A ，即sin(A ＋B )－2sin B cos A ＝2sin B sin A ，即sin A cos B －cos A sin B ＝2sin A sin B ，所以tan A －tan B ＝2tan A tan B . 所以tan B ＝tan A 2tan A ＋1，由题意知tan A >0，所以2tan A ＋1>0，所以tan A －9tan B ＝tan A －9tan A2tan A ＋1＝12(2tan A ＋1)＋92(2tan A ＋1)－5 ≥212(2tan A ＋1)×92(2tan A ＋1)－5＝－2. 当且仅当12(2tan A ＋1)＝92(2tan A ＋1)，即tan A ＝1时取“＝”．故tan A －9tan B 的最小值为－2. 答案：－212．已知a ，b 均为正数，且ab －a －2b ＝0，则a 24－2a ＋b 2－1b 的最小值为________．解析：因为ab －a －2b ＝0，所以2a ＋1b ＝1，因为a ，b 均为正数，所以b >1，所以a 24－2a ＋b 2－1b ＝a 24＋b 2－1＝b 2(b －1)2＋b 2－1，令x ＝b －1>0，所以a 24－2a ＋b 2－1b ＝(x ＋1)2x 2＋(x ＋1)2－1＝x 2＋1x 2＋2x ＋2x ＋1＝⎝⎛⎭⎫x ＋1x 2＋2⎝⎛⎭⎫x ＋1x －1，因为x ＋1x ≥2x ·1x ＝2，当且仅当x ＝1时取等号，所以⎝⎛⎭⎫x ＋1x 2＋2⎝⎛⎭⎫x ＋1x －1≥22＋2×2－1＝7，即a 24－2a ＋b 2－1b 的最小值为7. 答案：713．若关于x 的不等式(ax －1)(ln x ＋ax )≥0在(0，＋∞)上恒成立，则实数a 的取值范围是________．解析：(ax －1)(ln x ＋ax )≥0⇔⎝⎛⎭⎫a －1x ⎝⎛⎭⎫a ＋ln x x ≥0⇔⎩⎨⎧a ≤1x ，a ≤－ln x x或⎩⎨⎧a ≥1x ，a ≥－ln xx.设函数f (x )＝1x ，g (x )＝－ln x x，在同一平面直角坐标系内画出它们的图象如图所示，由图象可得实数a 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，－1e ∪{e}．答案：⎝⎛⎦⎤－∞，－1e ∪{e} 14．已知a ＞0，b ＞0，c ＞2，且a ＋b ＝2，则ac b ＋c ab －c 2＋5c －2的最小值为________．解析：考虑所求的结构特征，变形为⎝⎛⎭⎫a b ＋1ab －12c ＋5c －2，先求a b ＋1ab －12的最小值．a b ＋1ab －12＝a 2＋1a (2－a )－12＝1(2a ＋1)－(a 2＋1)a 2＋1－12＝12a ＋1a 2＋1－1－12，令2a ＋1＝t ，则2a ＋1a 2＋1－1＝t ⎝⎛⎭⎫t －122＋1－1＝4t ＋5t －2－1≤42t ×5t －2－1＝5－12，所以a b ＋1ab －12≥52，当且仅当2a ＋1＝52a ＋1，即a ＝5－12时等号成立，故ac b ＋c ab －c 2＋5c －2≥5c 2＋5c －2＝5⎝ ⎛⎭⎪⎫c －22＋1c －2＋1≥5⎝ ⎛⎭⎪⎫2c －22×1c －2＋1＝5＋10.当且仅当(c －2)2＝2，即c ＝2＋2时等号成立．答案：5＋10。

2018高考数学江苏专版三维二轮专题复习训练：6个解答题专项强化练(一) 三角函数与解三角形 Word版含解析

6个解答题专项强化练(一) 三角函数与解三角形1、已知向量m ＝(cos α,－1),n ＝(2,sin α),其中α∈⎝⎛⎭⎫0，π2,且m ⊥n 、 (1)求cos 2α的值；(2)若sin(α－β)＝1010,且β∈⎝⎛⎭⎫0，π2,求角β的值、解：法一：(1)由m ⊥n 得,2cos α－sin α＝0,即sin α＝2cos α,代入sin 2α＋cos 2α＝1,得cos 2α＝15, 又α∈⎝⎛⎭⎫0，π2, 所以cos α＝55,sin α＝255, 所以cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝⎝⎛⎭⎫552－⎝⎛⎭⎫2552＝－35、 (2)由α∈⎝⎛⎭⎫0，π2,β∈⎝⎛⎭⎫0，π2,得α－β∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2、因为sin(α－β)＝1010,所以cos(α－β)＝31010、所以sin β＝sin[α－(α－β)]＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β)＝255×31010－55×1010＝22、因为β∈⎝⎛⎭⎫0，π2,所以β＝π4、法二：(1)由m ⊥n 得,2cos α－sin α＝0,tan α＝2,故cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝cos 2α－sin 2αcos 2α＋sin 2α＝1－tan 2α1＋tan 2α＝1－41＋4＝－35、 (2)由(1)知,2cos α－sin α＝0,且sin 2α＋cos 2α＝1,α∈⎝⎛⎭⎫0，π2, 所以sin α＝255,cos α＝55, 由α∈⎝⎛⎭⎫0，π2,β∈⎝⎛⎭⎫0，π2,得α－β∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2、因为sin(α－β)＝1010,所以cos(α－β)＝31010、所以cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)＝55×31010＋255×1010＝22、因为β∈⎝⎛⎭⎫0，π2,所以β＝π4、 2、在△ABC 中,∠A ＝60°,c ＝37a 、 (1)求sin C 的值；(2)若a ＝7,求△ABC 的面积、解：(1)在△ABC 中,因为∠A ＝60°,c ＝37a , 所以由正弦定理得sin C ＝c sin A a ＝37×32＝3314、 (2)因为a ＝7,所以c ＝37×7＝3、由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ,得72＝b 2＋32－2b ×3×12, 解得b ＝8或b ＝－5(舍去)、所以△ABC 的面积S ＝12bc sin A ＝12×8×3×32＝63、 3、已知函数f (x )＝sin 2x －cos 2x －23sin x cos x (x ∈R)、(1)求f ⎝⎛⎭⎫2π3的值；(2)求f (x )的最小正周期及单调递增区间、解：(1)由题意,f (x )＝－cos 2x －3sin 2x＝－2⎝⎛⎭⎫32sin 2x ＋12cos 2x ＝－2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6, 故f ⎝⎛⎭⎫2π3＝－2sin ⎝⎛⎭⎫4π3＋π6＝－2sin 3π2＝2、 (2)由(1)知f (x )＝－2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6、则f (x )的最小正周期是π、由正弦函数的性质：令π2＋2k π≤2x ＋π6≤3π2＋2k π,k ∈Z, 解得π6＋k π≤x ≤2π3＋k π,k ∈Z, 所以f (x )的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤π6＋k π，2π3＋k π(k ∈Z)、 4、如图,在△ABC 中,D 为边BC 上一点,AD ＝6,BD ＝3,DC ＝2、(1)若AD ⊥BC ,求∠BAC 的大小；(2)若∠ABC ＝π4,求△ADC 的面积、解：(1)设∠BAD ＝α,∠DAC ＝β、因为AD ⊥BC ,AD ＝6,BD ＝3,DC ＝2,所以tan α＝12,tan β＝13, 所以tan ∠BAC ＝tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β ＝12＋131－12×13＝1、又∠BAC ∈(0,π),所以∠BAC ＝π4、 (2)设∠BAD ＝α、在△ABD 中,∠ABC ＝π4,AD ＝6,BD ＝3、由正弦定理得AD sin π4＝BD sin α,解得sin α＝24、因为AD ＞BD ,所以α为锐角,从而cos α＝1－sin 2α＝144、因此sin ∠ADC ＝sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝sin αcos π4＋cos αsin π4＝22×⎝⎛⎭⎫24＋144＝1＋74、所以△ADC 的面积S ＝12×AD ×DC ×sin ∠ADC ＝12×6×2×1＋74＝3(1＋7)2、 5、设函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π6＋sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π2,其中0<ω<3、已知f ⎝⎛⎭⎫π6＝0、 (1)求ω；(2)将函数y ＝f (x )的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变),再将得到的图象向左平移π4个单位,得到函数y ＝g (x )的图象,求g (x )在⎣⎡⎦⎤－π4，3π4上的最小值、解：(1)因为f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π6＋sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π2, 所以f (x )＝32sin ωx －12cos ωx －cos ωx ＝32sin ωx －32cos ωx ＝3⎝⎛⎭⎫12sin ωx －32cos ωx ＝3sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π3、因为f ⎝⎛⎭⎫π6＝0,所以ωπ6－π3＝k π,k ∈Z 、故ω＝6k ＋2,k ∈Z 、又0<ω<3,所以ω＝2、(2)由(1)得f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3, 所以g (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4－π3＝3sin ⎝⎛⎭⎫x －π12、因为x ∈⎣⎡⎦⎤－π4，3π4, 所以x －π12∈⎣⎡⎦⎤－π3，2π3, 当x －π12＝－π3,即x ＝－π4时,g (x )取得最小值－32、 6、在△ABC 中,a ,b ,c 分别为角A ,B ,C 的对边、若向量m ＝(a ,cos A ),向量n ＝(cos C ,c ),且m ·n ＝3b cos B 、(1)求cos B 的值；(2)若a ,b ,c 成等比数列,求1tan A ＋1tan C的值、解：(1)因为m ·n ＝3b cos B ,所以a cos C ＋c cos A ＝3b cos B 、由正弦定理,得sin A cos C ＋sin C cos A ＝3sin B cos B , 所以sin(A ＋C )＝3sin B cos B ,所以sin B ＝3sin B cos B 、因为B 是△ABC 的内角,所以sin B ≠0,所以cos B ＝13、(2)因为a ,b ,c 成等比数列,所以b 2＝ac 、由正弦定理,得sin 2B ＝sin A sin C 、因为cos B ＝13,B 是△ABC 的内角,所以sin B ＝223、所以1tan A ＋1tan C ＝cos A sin A ＋cos Csin C＝cos A sin C ＋sin A cos C sin A sin C ＝sin (A ＋C )sin A sin C＝sin B sin A sin C ＝sinB sin 2B ＝1sin B ＝324、。

2018年高考数学江苏专版二轮专题复习附加题高分练全套含解析

2018年高考数学江苏专版二轮专题复习附加题高分练1．矩阵与变换1．(2017²常州期末)已知矩阵A ＝⎣⎡⎦⎤2 13 2，列向量X ＝⎣⎡⎦⎤x y ，B ＝⎣⎡⎦⎤47，若AX ＝B ，直接写出A －1，并求出X . 解由A ＝⎣⎡⎦⎤2 13 2，得到A －1＝⎣⎡⎦⎤ 2 －1－3 2.由AX ＝B ，得到X ＝A －1B ＝⎣⎡⎦⎤ 2 －1－3 2⎣⎡⎦⎤47＝⎣⎡⎦⎤12.也可由AX ＝B 得到⎣⎡⎦⎤2 13 2⎣⎡⎦⎤x y ＝⎣⎡⎦⎤47，即⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝4，3x ＋2y ＝7，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2，所以X ＝⎣⎡⎦⎤12.2．(2017²江苏淮阴中学调研)已知矩阵A ＝⎣⎡⎦⎤3 3c d ，若矩阵A 属于特征值6的一个特征向量为α1＝⎣⎡⎦⎤11，属于特征值1的一个特征向量α2＝⎣⎡⎦⎤ 3－2.求矩阵A ，并写出A 的逆矩阵．解由矩阵A 属于特征值6的一个特征向量α1＝⎣⎡⎦⎤11可得，⎣⎡⎦⎤33cd ⎣⎡⎦⎤11＝6⎣⎡⎦⎤11，即c ＋d ＝6；由矩阵A 属于特征值1的一个特征向量α2＝⎣⎡⎦⎤ 3－2，可得⎣⎡⎦⎤3 3c d ⎣⎡⎦⎤ 3－2＝⎣⎡⎦⎤3－2，即3c －2d ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝2，d ＝4.即A ＝⎣⎡⎦⎤3 32 4，A 的逆矩阵是⎣⎢⎡⎦⎥⎤23 －12－13 123．(2017²江苏建湖中学月考)曲线x 2＋4xy ＋2y 2＝1在二阶矩阵M ＝⎣⎡⎦⎤1 a b 1的作用下变换为曲线x 2－2y 2＝1. (1)求实数a ，b 的值； (2)求M 的逆矩阵M －1.解 (1)设P(x ，y)为曲线x 2－2y 2＝1上任意一点，P ′(x ′，y ′)为曲线x 2＋4xy ＋2y 2＝1上与P 对应的点，则⎣⎡⎦⎤1 a b 1⎣⎡⎦⎤x ′y ′＝⎣⎡⎦⎤x y ，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x ′＋ay ′，y ＝bx ′＋y ′，代入x 2－2y 2＝1得(x ′＋ay ′)2－2(bx ′＋y ′)2＝1得(1－2b 2)x ′2＋(2a －4b)x ′y ′＋(a 2－2)y ′2＝1，及方程x 2＋4xy ＋2y 2＝1，从而⎩⎪⎨⎪⎧1－2b 2＝1，2a －4b ＝4，a 2－2＝2，解得a ＝2，b ＝0. (2)因为M ＝⎪⎪⎪⎪1 20 1＝1≠0，故M－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11 －210111＝⎣⎡⎦⎤1 －20 1. 4．已知曲线C ：y 2＝12x ，在矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 －2对应的变换作用下得到曲线C 1，C 1在矩阵N ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0110对应的变换作用下得到曲线C 2，求曲线C 2的方程．解设A ＝NM ，则A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0110⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 －2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －21 0，设P(x ′，y ′)是曲线C 上任一点，在两次变换下，在曲线C 2上对应的点为P(x ，y)，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －21 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2y ′ x ′，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2y ′，y ＝x ′，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝y ，y ′＝－12x.又点P(x ′，y ′)在曲线C ：y 2＝12x 上，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫－12x 2＝12y ，即x 2＝2y. 2．坐标系与参数方程1．(2017²南通一模)在极坐标系中，求直线θ＝π4(ρ∈R )被曲线ρ＝4sin θ所截得的弦长．解方法一在ρ＝4sin θ中，令θ＝π4，得ρ＝4sin π4＝22，即弦长为2 2.方法二以极点O 为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系．直线θ＝π4(ρ∈R )的直角坐标方程为y ＝x ，①曲线ρ＝4sin θ的直角坐标方程为x 2＋y 2－4y ＝0.②由①②得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝2，所以直线θ＝π4(ρ∈R )被曲线ρ＝4sin θ所截得的弦长为(2－0)2＋(2－0)2＝2 2.2．(2017²江苏六市联考)平面直角坐标系xOy 中，已知直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－32＋22l ，y ＝22l (l 为参数)与曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝18t 2，y ＝t(t 为参数)相交于A ，B 两点，求线段AB 的长．解直线的普通方程为2x －2y ＋3＝0，曲线的普通方程为y 2＝8x.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x －2y ＋3＝0，y 2＝8x ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12，y ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝92，y ＝6.取A ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫92，6，得AB ＝4 2.3．(2017²江苏滨海中学质检)已知直线的极坐标方程为ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝22，圆M 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝－2＋2sin θ，(其中θ为参数)．(1)将直线的极坐标方程化为直角坐标方程； (2)求圆M 上的点到直线的距离的最小值．解 (1)极点为直角坐标原点O ，ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝ρ⎝⎛⎭⎪⎫22sin θ＋22cos θ＝22，∴ρsin θ＋ρcos θ＝1，其直角坐标方程为x ＋y －1＝0.(2)将圆的参数方程化为普通方程为x 2＋(y ＋2)2＝4，圆心为M(0，－2)， ∴点M 到直线的距离为d ＝|0－2－1|2＝32＝322，∴圆上的点到直线距离的最小值为32－42.4．(2017²常州期末)在平面直角坐标系中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．已知圆ρ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6被射线θ＝θ0⎝ ⎛⎭⎪⎫ρ≥0，θ0为常数，且θ0∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2所截得的弦长为23，求θ0的值．解圆ρ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6的直角坐标方程为(x －1)2＋(y －3)2＝4，射线θ＝θ0的直角坐标方程可以设为y ＝kx(x ≥0，k ＞0)．圆心(1，3)到直线y ＝kx 的距离d ＝|k －3|1＋k 2. 根据题意，得24－(k －3)21＋k 2＝23，解得k ＝33. 即tan θ0＝33，又θ0∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，所以θ0＝π6.3．曲线与方程、抛物线1．(2017²江苏南通天星湖中学质检)已知点A(1,2)在抛物线F ：y 2＝2px 上．(1)若△ABC 的三个顶点都在抛物线F 上，记三边AB ，BC ，CA 所在直线的斜率分别为k 1，k 2，k 3, 求1k 1－1k 2＋1k 3的值；(2)若四边形ABCD 的四个顶点都在抛物线F 上，记四边AB ，BC ，CD ，DA 所在直线的斜率分别为k 1，k 2，k 3，k 4，求1k 1－1k 2＋1k 3－1k 4的值．解 (1)由点A(1,2)在抛物线F 上，得p ＝2，∴抛物线F ：y 2＝4x ，设B ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 214，y 1，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 224，y 2，∴1k 1－1k 2＋1k 3＝y 214－1y 1－2－y 224－y 214y 2－y 1＋1－y 2242－y 2＝y 1＋24－y 2＋y 14＋2＋y 24＝1. (2)另设D ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 234，y 3，则1k 1－1k 2＋1k 3－1k 4＝y 1＋24－y 2＋y 14＋y 3＋y 24－2＋y 34＝0.2．(2017²江苏赣榆中学月考)抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点，点P(1,2)，A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)均在抛物线上．(1)写出该抛物线的方程及其准线方程；(2)当PA 与PB 的斜率存在且倾斜角互补时，求y 1＋y 2的值及直线AB 的斜率．解 (1)由已知条件，可设抛物线的方程为y 2＝2px. ∵点P(1,2)在抛物线上， ∴22＝2p ³1，得p ＝2，故所求抛物线的方程是y 2＝4x ，准线方程是x ＝－1.(2)设直线PA 的斜率为k PA ，直线PB 的斜率为k PB ，则k PA ＝y 1－2x 1－1(x 1≠1)，k PB ＝y 2－2x 2－1(x 2≠1)．∵PA 与PB 的斜率存在且倾斜角互补， ∴k PA ＝－k PB ，由A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)在抛物线上，得 y 21＝4x 1，① y 22＝4x 2，② ∴y 1－214y 21－1＝－y 2－214y 22－1， ∴y 1＋2＝－(y 2＋2)， ∴y 1＋y 2＝－4，由①－②得直线AB 的斜率k AB ＝y 2－y 1x 2－x 1＝4y 1＋y 2＝－44＝－1(x 1≠x 2)．3．(2017²江苏常州中学质检)已知点A(－1,0)，F(1,0)，动点P 满足AP →²AF →＝2||FP →. (1)求动点P 的轨迹C 的方程；(2)在直线l ：y ＝2x ＋2上取一点Q ，过点Q 作轨迹C 的两条切线，切点分别为M ，N.问：是否存在点Q ，使得直线MN ∥l ？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．解 (1)设P(x ，y)，则AP →＝(x ＋1，y)，FP →＝(x －1，y)，AF →＝(2,0)，由AP →²AF →＝2|FP →|，得2(x ＋1)＝2(x －1)2＋y 2，化简得y 2＝4x. 故动点P 的轨迹C 的方程为y 2＝4x.(2)直线l 方程为y ＝2(x ＋1)，设Q(x 0，y 0)，M(x 1，y 1)，N(x 2，y 2)．设过点M 的切线方程为x －x 1＝m(y －y 1)，代入y 2＝4x ，得y 2－4my ＋4my 1－y 21＝0，由Δ＝16m 2－16my 1＋4y 21＝0，得m ＝y 12，所以过点M 的切线方程为y 1y ＝2(x ＋x 1)，同理过点N 的切线方程为y 2y ＝2(x ＋x 2)．所以直线MN 的方程为y 0y ＝2(x 0＋x)，又MN ∥l ，所以2y 0＝2，得y 0＝1，而y 0＝2(x 0＋1)，故点Q 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，1. 4．(2017²江苏宝应中学质检)如图，已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，过F 的直线l 与抛物线C 交于A(x 1，y 1)(y 1＞0)，B(x 2，y 2)两点，T 为抛物线的准线与x 轴的交点．(1)若TA →²TB →＝1，求直线l 的斜率； (2)求∠ATF 的最大值．解 (1)因为抛物线y 2＝4x 焦点为F(1,0)，T(－1,0)．当l ⊥x 轴时，A(1,2)，B(1，－2)，此时TA →²TB →＝0，与TA →²TB →＝1矛盾，所以设直线l 的方程为y ＝k(x －1)，代入y 2＝4x ，得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0，则x 1＋x 2＝2k 2＋4k2，x 1x 2＝1，①所以y 21y 22＝16x 1x 2＝16，所以y 1y 2＝－4，② 因为TA →²TB →＝1，所以(x 1＋1)(x 2＋1)＋y 1y 2＝1，将①②代入并整理得，k 2＝4，所以k ＝±2.(2)因为y 1＞0，所以tan ∠ATF ＝y 1x 1＋1＝y 1y 214＋1＝1y 14＋1y 1≤1，当且仅当y 14＝1y 1，即y 1＝2时，取等号，所以∠ATF ≤π4，所以∠ATF 的最大值为π4.4．空间向量与立体几何1．(2017²苏锡常镇调研)如图，已知正四棱锥P －ABCD 中，PA ＝AB ＝2，点M ，N 分别在PA ，BD 上，且PM PA ＝BN BD ＝13.(1)求异面直线MN 与PC 所成角的大小； (2)求二面角N －PC －B 的余弦值．解 (1)设AC ，BD 交于点O ，在正四棱锥P －ABCD 中，OP ⊥平面ABCD ，又PA ＝AB ＝2，所以OP ＝ 2.以O 为坐标原点，DA →，AB →，OP →方向分别为x 轴，y 轴，z 轴正方向，建立空间直角坐标系O －xyz ，如图．则A(1，－1,0)，B(1,1,0)，C(－1,1,0)，D(－1，－1,0)，P(0,0，2)，AP →＝(－1,1，2)．故OM →＝OA →＋AM →＝OA →＋23AP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13，－13，223，ON →＝13OB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13，13，0，所以MN →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，23，－223，PC →＝(－1,1，－2)，所以cos 〈MN →，PC →〉＝MN →²PC →|MN →||PC →|＝32，所以异面直线MN 与PC 所成角的大小为π6.(2)由(1)知PC →＝(－1,1，－2)，CB →＝(2,0,0)，NC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－43，23，0.设m ＝(x ，y ，z)是平面PCB 的法向量，则m ²PC →＝0，m ²CB →＝0，可得⎩⎨⎧－x ＋y －2z ＝0，x ＝0，令y ＝2，则z ＝1，即m ＝(0，2，1)．设n ＝(x 1，y 1，z 1)是平面PCN 的法向量，则n ²PC →＝0，n ²CN →＝0，可得⎩⎨⎧－x 1＋y 1－2z 1＝0，－2x 1＋y 1＝0，令x 1＝2，则y 1＝4，z 1＝2，即n ＝(2,4，2)，所以cos 〈m ，n 〉＝m²n |m||n|＝523³22＝53333，则二面角N －PC －B 的余弦值为53333.2．(2017²常州期末)如图，以正四棱锥V －ABCD 的底面中心O 为坐标原点建立空间直角坐标系O －xyz ，其中Ox ∥BC ，Oy ∥AB ，E 为VC 的中点．正四棱锥的底面边长为2a ，高为h ，且有cos 〈BE →，DE →〉＝－1549.(1)求ha的值；(2)求二面角B －VC －D 的余弦值．解 (1)根据条件，可得B(a ，a,0)，C(－a ，a,0)，D(－a ，－a,0)，V(0,0，h)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2，a 2，h 2，所以BE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32a ，－a 2，h 2，DE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，32a ，h 2，故cos 〈BE →，DE →〉＝h 2－6a 2h 2＋10a2.又cos 〈BE →，DE →〉＝－1549，则h 2－6a 2h 2＋10a 2＝－1549，解得h a ＝32.(2)由h a ＝32，得BE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32a ，－a 2，34a ，DE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，32a ，34a ，且容易得到，CB →＝(2a,0,0)，DC →＝(0,2a,0)．设平面BVC 的法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)，则⎩⎪⎨⎪⎧n 1²BE →＝0，n 1²CB →＝0.即⎩⎪⎨⎪⎧－32ax 1－a 2y 1＋34az 1＝0，2ax 1＝0，则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝0，2y 1＝3z 1，取y 1＝3，z 1＝2，则n 1＝(0,3,2)．同理可得平面DVC 的一个法向量为n 2＝(－3,0,2)． cos 〈n 1，n 2〉＝n 1²n 2|n 1||n 2|＝0³(－3)＋3³0＋2³213³13＝413，结合图形，可以知道二面角B －VC －D 的余弦值为－413.3．(2017²南京学情调研)如图，在底面为正方形的四棱锥P －ABCD 中，侧棱PD ⊥底面ABCD ，PD ＝DC ，E 是线段PC 的中点．(1)求异面直线AP 与BE 所成角的大小；(2)若点F 在线段PB 上，且使得二面角F －DE －B 的正弦值为33，求PFPB的值．解 (1)在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为正方形，侧棱PD ⊥底面ABCD ，所以DA ，DC ，DP 两两垂直，故以{DA →，DC →，DP →}为正交基底，建立空间直角坐标系D －xyz.因为PD ＝DC ，所以DA ＝DC ＝DP ，不妨设DA ＝DC ＝DP ＝2，则D(0,0,0)，A(2,0,0)，C(0,2,0)，P(0,0,2)，B(2,2,0)．因为E 是PC 的中点，所以E(0,1,1)，所以AP →＝(－2,0,2)，BE →＝(－2，－1,1)，所以cos 〈AP →，BE →〉＝AP →²BE →|AP →||BE →|＝32，从而〈AP →，BE →〉＝π6.因此异面直线AP 与BE 所成角的大小为π6.(2)由(1)可知，DE →＝(0,1,1)，DB →＝(2,2,0)，PB →＝(2,2，－2)．设PF →＝λPB →，则PF →＝(2λ，2λ，－2λ)，从而DF →＝DP →＋PF →＝(2λ，2λ，2－2λ)．设m ＝(x 1，y 1，z 1)为平面DEF 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧m ²DF →＝0，m ²DE →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧λx 1＋λy 1＋(1－λ)z 1＝0，y 1＋z 1＝0，取z 1＝λ，则y 1＝－λ，x 1＝2λ－1.故m ＝(2λ－1，－λ，λ)为平面DEF 的一个法向量，设n ＝(x 2，y 2，z 2)为平面DEB 的法向量．则⎩⎪⎨⎪⎧n ²DB →＝0，n ²DE →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧2x 2＋2y 2＝0，y 2＋z 2＝0，取x 2＝1，则y 2＝－1，z 2＝1.所以n ＝(1，－1,1)为平面BDE 的一个法向量．因为二面角F －DE －B 的余弦值的绝对值为63，即|cos 〈m ，n 〉|＝|m²n ||m||n|＝|4λ－1|3²(2λ－1)2＋2λ2＝63，化简得4λ2＝1.因为点F 在线段PB 上，所以0≤λ≤1，所以λ＝12，即PF PB ＝12.4.(2017²苏北四市一模)如图，在四棱锥P －ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，∠ABC ＝∠BAD ＝90°，AD ＝AP ＝4，AB ＝BC ＝2，M 为PC 的中点． (1)求异面直线AP ，BM 所成角的余弦值；(2)点N 在线段AD 上，且AN ＝λ，若直线MN 与平面PBC 所成角的正弦值为45，求λ的值．解 (1)因为PA ⊥平面ABCD ，且AB ，AD ⊂平面ABCD ，所以PA ⊥AB ，PA ⊥AD. 又因为∠BAD ＝90°，所以PA ，AB ，AD 两两互相垂直．分别以AB ，AD ，AP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，如图所示，则由AD ＝2AB ＝2BC ＝4，PA ＝4可得A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(2,2,0)，D(0,4,0)，P(0,0,4)．又因为M 为PC 的中点，所以M(1,1,2)．所以BM →＝(－1,1,2)，AP →＝(0,0,4)，所以cos 〈AP →，BM →〉＝AP →²BM →|AP →||BM →|＝0³(－1)＋0³1＋4³24³6＝63，所以异面直线AP ，BM 所成角的余弦值为63. (2)因为AN ＝λ，所以N(0，λ，0)(0≤λ≤4)，则MN →＝(－1，λ－1，－2)，BC →＝(0,2,0)，PB →＝(2,0，－4)．设平面PBC 的法向量为m ＝(x ，y ，z)，则⎩⎪⎨⎪⎧m ²BC →＝0，m ²PB →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧2y ＝0，2x －4z ＝0.令x ＝2，解得y ＝0，z ＝1，所以m ＝(2,0,1)是平面PBC 的一个法向量．因为直线MN 与平面PBC 所成角的正弦值为45，所以|cos 〈MN →，m 〉|＝|MN →²m ||MN →||m |＝|－2－2|5＋(λ－1)2²5＝45，解得λ＝1∈[0,4]，所以λ的值为1.5．离散型随机变量的概率分布1．(2017²南京、盐城一模)某年级星期一至星期五每天下午排3节课，每天下午随机选择1节作为综合实践课(上午不排该课程)，张老师与王老师分别任教甲、乙两个班的综合实践课程．(1)求这两个班“在星期一不同时上综合实践课”的概率；(2)设这两个班“在一周中同时上综合实践课的节数”为X ，求X 的概率分布与数学期望E(X)．解 (1)这两个班“在星期一不同时上综合实践课”的概率为P ＝1－33³3＝23.(2)由题意得X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫5，13，P(X ＝k)＝C k 5⎝ ⎛⎭⎪⎫13k²⎝ ⎛⎭⎪⎫235－k ，k ＝0,1,2,3,4,5.所以X 的概率分布为所以X 的数学期望为E(X)＝5³13＝53.2．一位网民在网上光顾某网店，经过一番浏览后，对该店铺中的A ，B ，C 三种商品有购买意向．已知该网民购买A 种商品的概率为34，购买B 种商品的概率为23，购买C 种商品的概率为12.假设该网民是否购买这三种商品相互独立． (1)求该网民至少购买2种商品的概率；(2)用随机变量η表示该网民购买商品的种数，求η的概率分布和数学期望．解 (1)该网民恰好购买2种商品的概率为P(AB C )＋P(A B C)＋P(A BC)＝34³23³12＋34³13³12＋14³23³12＝1124；该网民恰好购买3种商品的概率为P(ABC)＝34³23³12＝14，所以P ＝1124＋14＝1724.故该网民至少购买2种商品的概率为1724.(2)随机变量η的可能取值为0,1,2,3，由(1)知，P(η＝2)＝1124，P(η＝3)＝14，而P(η＝0)＝P(A B C )＝14³13³12＝124，所以P(η＝1)＝1－P(η＝0)－P(η＝2)－P(η＝3)＝14.随机变量η的概率分布为所以随机变量η的数学期望E(η)＝0³124＋1³14＋2³1124＋3³14＝2312.3．(2017²南京学情调研)甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一次篮，先投中者获胜，投篮进行到有人获胜或每人都已投球3次时结束．设甲每次投篮命中的概率为25，乙每次投篮命中的概率为23，且各次投篮互不影响．现由甲先投．(1)求甲获胜的概率；(2)求投篮结束时甲的投篮次数X 的概率分布与数学期望．解 (1)设甲第i 次投中获胜的事件为A 1(i ＝1,2,3)，则A 1，A 2，A 3彼此互斥．甲获胜的事件为A 1＋A 2＋A 3.P(A 1)＝25，P(A 2)＝35³13³25＝225，P(A 3)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫352³⎝ ⎛⎭⎪⎫132³25＝2125.所以P(A 1＋A 2＋A 3)＝P(A 1)＋P(A 2)＋P(A 3)＝25＋225＋2125＝62125.(2)X 的所有可能取值为1,2,3. 则P(X ＝1)＝25＋35³23＝45，P(X ＝2)＝225＋35³13³35³23＝425，P(X ＝3)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫352³⎝ ⎛⎭⎪⎫132³1＝125.即X 的概率分布为所以数学期望E(X)＝1³45＋2³425＋3³125＝3125.4．为了提高学生学习数学的兴趣，某校决定在每周的同一时间开设《数学史》、《生活中的数学》、《数学与哲学》、《数学建模》四门校本选修课程，甲、乙、丙三位同学每人均在四门校本课程中随机选一门进行学习，假设三人选择课程时互不影响，且每人选择每一课程都是等可能的．(1)求甲、乙、丙三人选择的课程互不相同的概率；(2)设X 为甲、乙、丙三人中选修《数学史》的人数，求X 的概率分布和数学期望E(X)．解 (1)甲、乙、丙三人从四门课程中各任选一门，共有43＝64种不同的选法，记“甲、乙、丙三人选择的课程互不相同”为事件M ，事件M 共包含A 34＝24个基本事件，则P(M)＝2464＝38，所以甲、乙、丙三人选择的课程互不相同的概率为38.(2)方法一 X 可能的取值为0,1,2,3. P(X ＝0)＝3343＝2764，P(X ＝1)＝C 13³3243＝2764，P(X ＝2)＝C 23³343＝964，P(X ＝3)＝C 3343＝164.所以X 的概率分布为所以E(X)＝0³2764＋1³2764＋2³964＋3³164＝34.方法二甲、乙、丙三人从四门课程中任选一门，可以看成三次独立重复试验，X 为甲、乙、丙三人中选修《数学史》的人数，则X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，14，所以P(X ＝k)＝C k 3⎝ ⎛⎭⎪⎫14k ⎝ ⎛⎭⎪⎫343－k，k ＝0,1,2,3，所以X 的概率分布为所以X 的数学期望E(X)＝3³14＝34.6．计数原理、二项式定理和数学归纳法1．已知等式(1＋x)2n －1＝(1＋x)n －1(1＋x)n.(1)求(1＋x)2n －1的展开式中含x n的项的系数，并化简：C 0n －1C nn ＋C 1n －1C n －1n ＋…＋C n －1n －1C 1n ；(2)证明：(C 1n )2＋2(C 2n )2＋…＋n(C n n )2＝nC n2n －1. (1)解 (1＋x)2n －1的展开式中含x n 的项的系数为C n2n －1，由(1＋x)n －1(1＋x)n＝(C 0n －1＋C 1n －1x ＋…＋C n －1n －1xn －1)(C 0n ＋C 1n x ＋…＋C n n x n )可知，(1＋x)n －1(1＋x)n的展开式中含x n的项的系数为C 0n －1C nn ＋C 1n －1C n －1n ＋…＋C n －1n －1C 1n . 所以C 0n －1C nn ＋C 1n －1C n －1n ＋…＋C n －1n －1C 1n ＝C n2n －1. (2)证明当k ∈N *时，kC kn ＝k²n ！k ！(n －k )！＝n ！(k －1)！(n －k )！＝n²(n －1)！(k －1)！(n －k )！＝nC k －1n －1，所以(C 1n)2＋2(C 2n)2＋…＋n(C n n)2＝∑k ＝1n[k(C k n )2]＝k ＝1n (kC k n C kn )＝k ＝1n (nC k －1n －1C kn )＝n k ＝1n (C k －1n －1C kn )＝n k ＝1n (C n －k n －1C kn )．由(1)知C 0n －1C n n ＋C 1n －1C n －1n ＋…＋C n －1n －1C 1n ＝C n2n －1，即k ＝1n (C n －k n －1C k n )＝C n2n －1，所以(C 1n )2＋2(C 2n )2＋…＋n(C n n )2＝nC n2n －1.2．(2017²江苏泰州中学调研)在平面直角坐标系xOy 中，点P(x 0，y 0)在曲线y ＝x 2(x ＞0)上．已知点A(0，－1)，P n (x n0，y n0)，n ∈N *.记直线AP n 的斜率为k n . (1)若k 1＝2，求P 1的坐标； (2)若k 1为偶数，求证：k n 为偶数． (1)解因为k 1＝2，所以y 0＋1x 0＝x 20＋1x 0＝2，解得x 0＝1，y 0＝1，所以P 1的坐标为(1,1)．(2)证明方法一设k 1＝2p(p ∈N *)，即y 0＋1x 0＝x 20＋1x 0＝2p.所以x 20－2px 0＋1＝0，所以x 0＝p±p 2－1. 因为y 0＝x 2，所以k n ＝y n0＋1x n 0＝x 2n0＋1x n 0＝x n 0＋1x n 0，所以当x 0＝p ＋p 2－1时，k n ＝(p ＋p 2－1)n＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1p ＋p 2－1n ＝(p ＋p 2－1)n ＋(p －p 2－1)n. 同理，当x 0＝p －p 2－1时，k n ＝(p ＋p 2－1)n ＋(p －p 2－1)n.①当n ＝2m(m ∈N *)时，k n ＝2∑k ＝0mC 2k n pn －2k(p 2－1)k，所以k n 为偶数．②当n ＝2m ＋1(m ∈N )时，k n ＝2∑k ＝0mC 2k n pn －2k(p 2－1)k，所以k n 为偶数．综上，k n 为偶数．方法二因为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0＋1x 0⎝ ⎛⎭⎪⎫x n ＋10＋1x n ＋10＝x n ＋20＋1x n ＋20＋x n0＋1x n 0，所以k n ＋2＝k 1k n ＋1－k n .k 2＝x 20＋1x 20＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0＋1x 02－2＝k 21－2.设命题p(n)：k n ，k n ＋1均为偶数．以下用数学归纳法证明“命题p(n)是真命题”．①因为k 1是偶数，所以k 2＝k 21－2也是偶数．当n ＝1时，p(n)是真命题；②假设当n ＝m(m ∈N *)时，p(n)是真命题，即k m ，k m ＋1均为偶数，则k m ＋2＝k 1k m ＋1－k m 也是偶数，即当n ＝m ＋1时，p(n)也是真命题．由①②可知，对n ∈N *，p(n)均是真命题，从而k n 是偶数．3．(2017²江苏扬州中学模拟)在数列{a n }中，a n ＝cos π3³2(n ∈N *)(1)试将a n ＋1表示为a n 的函数关系式； (2)若数列{b n }满足b n ＝1－2n²n！(n ∈N *)，猜想a n 与b n 的大小关系，并证明你的结论．解 (1)a n ＝cos π3³2n －2＝cos 2π3³2n －1＝2⎝⎛⎭⎪⎫cosπ3³2n －12－1， ∴a n ＝2a 2n ＋1－1， ∴a n ＋1＝±a n ＋12，又n ∈N *，n ＋1≥2，a n ＋1＞0， ∴a n ＋1＝a n ＋12. (2)当n ＝1时，a 1＝－12，b 1＝1－2＝－1，∴a 1＞b 1，当n ＝2时，a 2＝12，b 2＝1－12＝12，∴a 2＝b 2，当n ＝3时，a 3＝32，b 3＝1－19＝89，∴a 3＜b 3，猜想：当n ≥3时，a n ＜b n ，下面用数学归纳法证明． ①当n ＝3时，由上知，a 3＜b 3，结论成立． ②假设当n ＝k ，k ≥3，n ∈N *时，a k ＜b k 成立，即a k ＜1－2k²k！，则当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝a k ＋12＜2－2k²k！2＝1－1k²k！， b k ＋1＝1－2(k ＋1)²(k ＋1)！，要证a k ＋1＜b k ＋1，即证明⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1k²k！2＜⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2(k ＋1)²(k ＋1)！2，即证明1－1k²k！＜1－4(k ＋1)²(k ＋1)！＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2(k ＋1)²(k ＋1)！2，即证明1k²k！－4(k ＋1)²(k ＋1)！＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2(k ＋1)²(k ＋1)！2＞0，即证明(k －1)2k (k ＋1)²(k ＋1)！＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2(k ＋1)²(k ＋1)！2＞0，显然成立．∴n ＝k ＋1时，结论也成立．综合①②可知：当n ≥3时，a n ＜b n 成立．综上可得：当n ＝1时，a 1＞b 1；当n ＝2时，a 2＝b 2，当n ≥3，n ∈N *时，a n ＜b n .4．已知f n (x)＝C 0n x n －C 1n (x －1)n ＋…＋(－1)k C k n (x －k)n ＋…＋(－1)n C n n (x －n)n，其中x ∈R ，n ∈N *，k ∈N ，k ≤n.(1)试求f 1(x)，f 2(x)，f 3(x)的值；(2)试猜测f n (x)关于n 的表达式，并证明你的结论．解 (1)f 1(x)＝C 01x －C 11(x －1)＝1，f 2(x)＝C 02x 2－C 12(x －1)2＋C 22(x －2)2＝x 2－2(x －1)2＋(x －2)2＝2，f 3(x)＝C 03x 3－C 13(x －1)3＋C 23(x －2)3－C 33(x －3)3＝x 3－3(x －1)3＋3(x －2)3－(x －3)3＝6. (2)猜测f n (x)＝n ！，n ∈N *. 以下用数学归纳法证明．①当n ＝1时，f 1(x)＝1，等式成立． ②假设当n ＝m 时，等式成立，即 f m (x)＝k ＝0m (－1)k C k m (x －k)m＝m ！.当n ＝m ＋1时，则f m ＋1(x)＝k ＝0m ＋1(－1)k C k m ＋1²(x－k)m ＋1.因为C k m ＋1＝C k m ＋C k －1m ，kC k m ＋1＝(m ＋1)²C k －1m ，其中k ＝1,2，…，m ，且C 0m ＋1＝C 0m ，C m ＋1m ＋1＝C mm ，所以f m ＋1(x)＝k ＝0m ＋1(－1)k C k m ＋1(x －k)m ＋1＝x k ＝0m ＋1(－1)k C k m ＋1(x －k)m －k ＝0m ＋1(－1)k kC km ＋1(x －k)m＝x k ＝0m (－1)k C k m(x －k)m＋x ∑k ＝1m ＋1²(－1)k Ck －1m(x －k)m－(m ＋1)∑k ＝1m ＋1²(－1)k C k －1m (x －k)m＝x²m！＋(－x ＋m ＋1)k ＝0m (－1)k C km ²[(x－1)－k]m＝x²m！＋(－x ＋m ＋1)²m!＝(m＋1)²m！＝(m＋1)！.即n＝m＋1时，等式也成立．由①②可知，对n∈N*，均有f n(x)＝n！.。

2018年高考数学二轮复习训练(江苏版) 14个填空题专项强化练(六) 三角恒等变换与解三角形 Word版含解析

2018年高考数学江苏专版三维二轮专题复习训练：14个填空题专项强化练(十二) 椭圆

14个填空题专项强化练(十二) 椭圆A 组——题型分类练题型一椭圆的定义及标准方程1．设F 1，F 2是椭圆x 249＋y 224＝1的两个焦点，P 是椭圆上的点，且PF 1∶PF 2＝4∶3，则△PF 1F 2的面积为________．解析：因为PF 1＋PF 2＝14，又PF 1∶PF 2＝4∶3，所以PF 1＝8，PF 2＝6. 因为F 1F 2＝10，所以PF 1⊥PF 2.所以S △PF 1F 2＝12PF 1·PF 2＝12×8×6＝24.答案：242．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点为F 1，F 2，离心率为33，过F 2的直线l 交C 于A ，B 两点，若△AF 1B 的周长为43，则椭圆C 的方程为________．解析：由椭圆的定义知AF 1＋AF 2＝2a ，BF 1＋BF 2＝2a ，又∵△AF 1B 的周长＝AF 1＋AF 2＋BF 1＋BF 2＝43，∴a ＝ 3.又e ＝33，∴c ＝1.∴b 2＝a 2－c 2＝2， ∴椭圆C 的方程为x 23＋y 22＝1.答案：x 23＋y 22＝13．一个椭圆的中心在原点，焦点F 1，F 2在x 轴上，P (2，3)是椭圆上一点，且PF 1，F 1F 2，PF 2成等差数列，则椭圆方程为________________．解析：设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)．由点(2，3)在椭圆上，知4a 2＋3b 2＝1①.又PF 1，F 1F 2，PF 2成等差数列，则PF 1＋PF 2＝2F 1F 2，即2×2c ＝2a ，c a ＝12②，又c 2＝a 2－b 2③，联立①②③得a 2＝8，b 2＝6.故椭圆方程为x 28＋y 26＝1.答案：x 28＋y 26＝1题型二椭圆的几何性质1．椭圆x 29＋y 24＝1的离心率是________．解析：根据题意知，a ＝3，b ＝2，则c ＝a 2－b 2＝5，∴椭圆的离心率e ＝c a ＝53.答案：532．椭圆x 2＋my 2＝1的焦点在x 轴上，长轴长是短轴长的2倍，则m ＝________.解析：由题意可得，1m ＝12，所以m ＝4. 答案：43．中心在坐标原点的椭圆，焦点在x 轴上，焦距为4，离心率为22，则该椭圆的方程为______________．解析：依题意，2c ＝4，c ＝2，又e ＝c a ＝22，则a ＝22，b ＝2，所以椭圆的标准方程为x 28＋y 24＝1. 答案：x 28＋y 24＝14．已知圆C 1：x 2＋2cx ＋y 2＝0，圆C 2：x 2－2cx ＋y 2＝0，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，若圆C 1，C 2都在椭圆内，则椭圆离心率的取值范围是________．解析：圆C 1，C 2都在椭圆内等价于圆C 2的右顶点(2c,0)，上顶点(c ，c )在椭圆内部，∴只需⎩⎪⎨⎪⎧2c ≤a ，c 2a 2＋c 2b2≤1⇒0<c a ≤12.答案：⎝⎛⎦⎤0，12 5．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右顶点分别为A 1，A 2，且以线段A 1A 2为直径的圆与直线bx －ay ＋2ab ＝0相切，则C 的离心率为________．解析：以线段A 1A 2为直径的圆的方程为x 2＋y 2＝a 2，由原点到直线bx －ay ＋2ab ＝0的距离d ＝2ab b 2＋a 2＝a ，得a 2＝3b 2，所以C 的离心率e ＝1－b 2a 2＝63. 答案：63题型三椭圆的综合问题1．已知椭圆x 24＋y 2＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点M 在该椭圆上，且MF ―→1·MF ―→2＝0，则点M 到y 轴的距离为________．解析：由题意，得F 1(－3，0)，F 2(3，0)．设M (x ，y )，则MF ―→1·MF ―→2＝(－3－x ，－y )·(3－x ，－y )＝0，整理得x 2＋y 2＝3.①又因为点M 在椭圆上，故x 24＋y 2＝1，即y 2＝1－x 24.②将②代入①，得34x 2＝2，解得x ＝±263.故点M 到y 轴的距离为263.答案：2632．设点P 在圆C ：x 2＋(y －2)2＝1上移动，点Q 在椭圆x 29＋y 2＝1上移动，则PQ 的最大值是________．解析：圆心C (0,2)，PQ ≤PC ＋CQ ＝1＋CQ ，于是只要求CQ 的最大值．设Q (x ，y )，∴CQ ＝x 2＋(y －2)2＝9(1－y 2)＋(y －2)2＝－8y 2－4y ＋13＝－8⎝⎛⎭⎫y ＋142＋272. ∵－1≤y ≤1，∴当y ＝－14时，CQ max ＝272＝362， ∴PQ max ＝1＋362. 答案：1＋3623．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)及点B (0，a )，过B 与椭圆相切的直线交x 轴的负半轴于点A ，F 为椭圆的右焦点，则∠ABF ＝________.解析：法一：由题意知，切线的斜率存在，设切线方程为y ＝kx ＋a (k >0)，与椭圆方程联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋a ，x 2a 2＋y 2b 2＝1，得b 2x 2＋a 2(kx ＋a )2－a 2b 2＝0，即(b 2＋a 2k 2)x 2＋2a 3kx ＋a 4－a 2b 2＝0，由Δ＝4a 6k 2－4(b 2＋a 2k 2)(a 4－a 2b 2)＝0，得k ＝c a ，从而y ＝c a x ＋a 交x 轴于A ⎝⎛⎭⎫－a 2c ，0，又F (c,0)，易知BA ―→·BF ―→＝0，故∠ABF ＝90°.法二：由椭圆性质可知，过B 且与椭圆相切的斜率为正的直线方程为y ＝ex ＋a (e 为椭圆的离心率)，即切线斜率为e ，∴tan ∠BAF ＝c a ＝e ，又tan ∠OBF ＝ca ＝e ，则∠BAF ＝∠OBF ，因而∠ABF ＝90°.答案：90° B 组——高考提速练1．在矩形ABCD 中，AB ＝4，BC ＝3，则以A ，B 为焦点，且过C ，D 两点的椭圆的短轴的长为________．解析：依题意得AC ＝5，所以椭圆的焦距为2c ＝AB ＝4，长轴长2a ＝AC ＋BC ＝8，所以短轴长为2b ＝2a 2－c 2＝216－4＝4 3.答案：4 32．已知P 是以F 1，F 2为焦点的椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)上的一点，若PF ―→1·PF ―→2＝0，tan∠PF 1F 2＝12，则此椭圆的离心率为________．解析：因为PF ―→1·PF ―→2＝0，tan ∠PF 1F 2＝12，所以PF ―→1⊥PF ―→2，sin ∠PF 1F 2＝55，cos ∠PF 1F 2＝255.所以PF 1＝455c ，PF 2＝255c ，则PF 1＋PF 2＝655c ＝2a ，所以e ＝c a ＝53.答案：533．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的一个焦点是F (1,0)，若椭圆短轴的两个三等分点M ，N与F 构成正三角形，则此椭圆的方程为________．解析：由△FMN 为正三角形，得c ＝OF ＝32MN ＝32×23b ＝1.解得b ＝3，∴a 2＝b 2＋c 2＝4.故椭圆的方程为x 24＋y 23＝1.答案：x 24＋y 23＝14．过椭圆x 225＋y 216＝1的中心任作一直线交椭圆于P ，Q 两点，F 是椭圆的一个焦点，则△PQF 周长的最小值是________．解析：设F 为椭圆的左焦点，右焦点为F 2，根据椭圆的对称性可知FQ ＝PF 2，OP ＝OQ ，所以△PQF 的周长为PF ＋FQ ＋PQ ＝PF ＋PF 2＋2PO ＝2a ＋2PO ＝10＋2PO ，易知2OP 的最小值为椭圆的短轴长，即点P ，Q 为椭圆的上下顶点时，△PQF 的周长取得最小值18.答案：185．已知椭圆C ：x 24＋y 23＝1的左、右顶点分别为M ，N ，点P 在C 上，且直线PN 的斜率是－14，则直线PM 的斜率为________．解析：设P (x 0，y 0)，则x 204＋y 203＝1，直线PM 的斜率k PM ＝y 0x 0＋2，直线PN 的斜率k PN＝y 0x 0－2，可得k PM ·k PN ＝y 20x 20－4＝－34，故k PM ＝－34·1k PN ＝3.答案：36．已知椭圆的对称轴在坐标轴上，短轴的一个端点与两个焦点构成一个正三角形，焦点到椭圆上的点的最短距离是3，则这个椭圆方程为________．解析：由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a －c ＝3，c a ＝12，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝23，c ＝ 3.所以椭圆方程为x 212＋y 29＝1或y 212＋x 29＝1.答案：x 212＋y 29＝1或y 212＋x 29＝17．已知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，离心率为55，且过点P (－5,4)，则椭圆的方程为________．解析：设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，将点P (－5,4)代入得25a 2＋16b2＝1.又离心率e ＝c a ＝55，即e 2＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝15，解得a 2＝45，b 2＝36，故椭圆的方程为x 245＋y 236＝1.答案：x 245＋y 236＝18．已知抛物线x 2＝2py (p ＞0)的焦点F 是椭圆y 2a 2＋x 2b2＝1(a ＞b ＞0)的一个焦点，若P ，Q是椭圆与抛物线的公共点，且直线PQ 经过焦点F ，则该椭圆的离心率为________．解析：设点P 在第一象限，由题意，p ＝2c ，P (2pc ，c )，即P (2c ，c )，代入椭圆方程，可得c 2a 2＋4c 2b2＝1，整理可得e 4－6e 2＋1＝0，∵0＜e ＜1，∴e ＝2－1.答案：2－19．已知动点P (x ，y )在椭圆C ：x 225＋y 216＝1上，F 是椭圆C 的右焦点，若点M 满足|MF―→MF ―→|＝1且MP ―→·MF ―→＝0，则|PM ―→|的最小值为________．解析：由题意可得FP ―→·FM ―→＝|FM ―→|2＝1，所以|PM ―→|＝|FM ―→－FP ―→|＝1＋|FP ―→|2－2＝|FP ―→|2－1≥(5－3)2－1＝3，当且仅当点P 在右顶点时取等号，所以|PM ―→|的最小值是3.答案： 310.如图，已知过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左顶点A (－a,0)作直线l 交y轴于点P ，交椭圆于点Q ，若△AOP 是等腰三角形，且PQ ―→＝2QA ―→，则椭圆的离心率为________．解析：法一：因为△AOP 是等腰三角形，所以OA ＝OP ，故A (－a,0)，P (0，a )，又PQ ―→＝2QA ―→，所以Q ⎝⎛⎭⎫－2a 3，a 3，由点Q 在椭圆上得49＋a 29b 2＝1，解得b 2a 2＝15，故离心率e ＝1－b 2a2＝1－15＝255. 法二：因为△AOP 是等腰三角形，所以OA ＝OP ，故直线AP 的方程为y ＝x ＋a ，与椭圆方程联立并消去y 得(a 2＋b 2)x 2＋2a 3x ＋a 2c 2＝0，从而(－a )x Q ＝a 2c 2a 2＋b2，即x Q ＝－ac 2a 2＋b2，又由A (－a,0)，P (0，a )，PQ ―→＝2QA ―→，得x Q ＝－2a 3，故－ac 2a 2＋b 2＝－2a 3，即5c 2＝4a 2，e 2＝45，故e ＝255. 答案：25511．若椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的焦点在x 轴上，过点(2,1)作圆x 2＋y 2＝4的切线，切点分别为A ，B ，直线AB 恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是________．解析：设切点坐标为(m ，n )，则n －1m －2·nm ＝－1，即m 2＋n 2－n －2m ＝0. ∵m 2＋n 2＝4， ∴2m ＋n －4＝0，即AB 的直线方程为2x ＋y －4＝0.∵直线AB 恰好经过椭圆的右焦点和上顶点， ∴2c －4＝0，b －4＝0，解得c ＝2，b ＝4. ∴a 2＝b 2＋c 2＝20，故椭圆方程为x 220＋y 216＝1.答案：x 220＋y 216＝112．若A ，B 为椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)长轴的两个端点，垂直于x 轴的直线与椭圆交于点M ，N ，且k AM ·k BN ＝14，则椭圆C 的离心率为________．解析：不妨取A (－a,0)，B (a,0)，设M (x 1，y 1)，N (x 1，－y 1)． ∵k AM ·k BN ＝14，∴y 1x 1＋a ·－y 1x 1－a ＝14. 即－y 21x 21－a 2＝14.① ∵M (x 1，y 1)在椭圆C 上，∴x 21a 2＋y 21b2＝1，即y 21＝b 2a2(a 2－x 21)，②将②代入①得b 2a 2＝14，即a 2＝4b 2＝4(a 2－c 2)． ∴3a 2＝4c 2，即e 2＝34，∴e ＝32. 答案：3213.如图所示，椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，上顶点为A ，离心率为12，点P 为椭圆在第一象限内的一点．若S △PF 1A ∶S △PF 1F 2＝2∶1，则直线PF 1的斜率为________．解析：连结AF 2交PF 1于点B .由S △PF 1A ∶S △PF 1F 2＝2∶1得AB BF 2＝21.而A (0，b )，F 1(－c,0)，F 2(c,0)，所以由A ，B ，F 2三点共线得B ⎝⎛⎭⎫2c 3，b 3，kPF 1＝b 3－02c 3－(－c )＝b 5c .又因为离心率为12，所以a ＝2c ，b ＝3c ，故kPF 1＝b 5c ＝35.答案：35 14．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为e .直线l ：y＝ex ＋a 与x 轴、y 轴分别交于A ，B 两点，M 是直线l 与椭圆C 的一个公共点，设AM ＝eAB ，则该椭圆的离心率e ＝________.解析：因为点A ，B 分别是直线l ：y ＝ex ＋a 与x 轴，y 轴的交点，所以点A ，B 的坐标分别是⎝⎛⎭⎫－ae ，0，(0，a )．设点M 的坐标是(x 0，y 0)，由AM ＝eAB ，得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝a e (e －1)，y 0＝ea .(*) 因为点M 在椭圆上，所以x 20a 2＋y 20b 2＝1，将(*)式代入，得(e －1)2e 2＋e 2a 2b 2＝1，整理得，e 2＋e －1＝0，解得e ＝5－12或e ＝－5－12(舍去)．5－1答案：2。

江苏高考2018年数学二轮复习限时集训全册配套练习及预测试题有答案(共22份)

专题限时集训(一) 集合与常用逻辑用语(对应学生用书第77页)(限时：120分钟)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分，请把答案填写在题中横线上．) 1．(2017·江苏省苏、锡、常、镇四市高考数学二模)已知集合A＝{x|－1＜x＜3}，B＝{x|x＜2}，则A∩B ＝________.{x|－1＜x＜2} [集合A＝{x|－1＜x＜3}，B＝{x|x＜2}，则A∩B＝{x|－1＜x＜2}，故答案为：{x|－1＜x＜2}．]2．(江苏省南通市如东县、徐州市丰县2017届高三10月联考)对于函数y＝f(x)，x∈R，“y＝|f(x)|的图象关于y轴对称”是“y＝f(x)是奇函数”的________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”)．必要不充分[充分性不成立，如y＝x2图象关于y轴对称，但不是奇函数；必要性成立，y＝f(x)是奇函数，|f(－x)|＝|－f(x)|＝|f(x)|，所以y＝|f(x)|的图象关于y轴对称．]3．(江苏省泰州中学2017届高三上学期第二次月考)已知R为实数集，集合A＝{1,2,3,4,5}，B＝{x|x(4－x)＜0}，则A∩(∁R B) ＝________.{1,2,3,4} [集合A＝{1,2,3,4,5}，B＝{x|x(4－x)＜0}＝{x|x(x－4)＞0}＝{x|x＜0或x＞4}，∴∁R B＝{x|0≤x≤4}，∴A∩(∁R B)＝{1,2,3,4}．故答案为：{1,2,3,4}．]4．(河北唐山市2017届高三年级期末)已知数列{a n}，{b n}满足b n＝a n＋a n＋1，则“数列{a n}为等差数列”是“数列{b n}为等差数列”的________条件．充分不必要[若数列{a n}为等差数列，设其公差为d1，则b n＋1－b n＝(a n＋1＋a n＋2)－(a n＋a n＋1)＝a n＋2－a n ＝2d1，所以数列{b n}是等差数列；若数列{b n}为等差数列，设其公差为d2，则b n＋1－b n＝(a n＋1＋a n＋2)－(a n＋a n＋1)＝a n＋2－a n＝d2，不能推出数列{a n}为等差数列，所以“数列{a n}为等差数列”是“数列{b n}为等差数列”的充分不必要条件．]5．(山东省枣庄市2017届高三上学期期末)若集合A＝{x∈Z|－2＜x＜2}，B＝{x|y＝log2x2}，则A∩B ＝________.【导学号：56394004】{－1,1} [因为A＝{x∈Z|－2＜x＜2}＝{－1,0,1}，B＝{x|y＝log2x2}＝{x|x≠0}，所以A∩B＝{－1,1}．]6．(广东省佛山市2017届高三教学质量检测(一))设等比数列{a n}的公比为q，前n项和为S n，则“|q|＝1”是“S6＝3S2”的________条件 .充要[由S6＝3S2，得a1(1＋q＋q2＋q3＋q4＋q5)＝3a1(1＋q)，即q5＋q4＋q3＋q2－2－2q＝0，(q＋1)2(q－1)(q 2＋2)＝0，解得q ＝±1，所以“|q |＝1”是“S 6＝3S 2”的充要条件．]7．(四川省2016年普通高考适应性测试)设集合A ＝{－1,1}，集合B ＝{x |ax ＝1，a ∈R }，则使得B ⊆A 的a 的所有取值构成的集合是________．{－1,0,1} [因为B ⊆A ，所以B ＝∅，{－1}，{1}，因此a ＝－1,0,1.]8．已知数列{a n }的前n 项和为S n ＝aq n＋b (a ≠0，q ≠0,1)，则“a ＋b ＝0”是数列{a n }为等比数列的________条件．充要 [当a ＋b ＝0时，a 1＝S 1＝aq ＋b ＝a (q －1)，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝aq n －1(q －1)，当n ＝1时，也成立，于是a n ＋1a n ＝aq n q －aq n －1q －＝q (n ∈N *)，即数列{a n }为等比数列；当n ＝1时，a 1＝S 1＝aq ＋b ，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝aq n －1(q －1)，∵q ≠0，q ≠1，∴a n ＋1a n ＝aq n q －aq n －1q －＝q (n ∈N *)，∵{a n }为等比数列，∴a 2a 1＝a n ＋1a n ＝q ，aq 2－aq aq ＋b＝q ，即aq －a ＝aq ＋b ，∴a ＋b ＝0，综上所述，“a ＋b ＝0”是数列{a n }为等比数列的充要条件．]9．(江苏省南通中学2017届高三上学期期中考试)命题“∃x ∈R ，x 2－x ＋1≤0”的否定是________． ∀x ∈R ，x 2－x ＋1＞0 [命题“∃x ∈R ，x 2－x ＋1≤0”的否定是“∀x ∈R ，x 2－x ＋1＞0”．]10．(中原名校豫南九校2017届第四次质量考评)下列四个命题：p 1：任意x ∈R,2x ＞0；p 2：存在x ∈R ，x 2＋x ＋1＜0；p 3：任意x ∈R ，sin x ＜2x ；p 4：存在x ∈R ，cos x＞x 2＋x ＋1.其中的真命题是________．p 1，p 4 [对于x ∈R,2x ＞0，p 1为真命题；x 2＋x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋34＞0，p 2为假命题；sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π2＝1＞2－3π2，p 3为假命题；x ＝－12时，cos x ＞cos π6＝32＞34＝x 2＋x ＋1，p 4为真命题．] 11．(广东郴州市2017届高三第二次教学质量监测试卷)若命题p ：“∃x 0∈R,2x 0－2≤a 2－3a ”是假命题，则实数a 的取值范围是________．[1,2] [“∃x 0∈R,2x 0－2≤a 2－3a ”是假命题等价于∀x ∈R,2x －2＞a 2－3a ，即－2≥a 2－3a ，解之得1≤a ≤2，即实数a 的取值范围是[1,2]．]12．(江苏省泰州中学2017届高三上学期第二次月考)设集合S ＝{0,1,2,3，…，n }，则集合S 中任意两个元素的差的绝对值的和为________．16n 3＋12n 2＋13n [设集合中第k 个元素，则其值为k －1. |(k －1)－k |＋|(k －1)－(k ＋1)|＋…＋|(k －1)－n | ＝1＋2＋…＋(n ＋1－k ) ＝n ＋1－kn ＋1－k ＋2，T n ＝12n 2·n ＋32n ·n ＋n －(1＋2＋…＋n )n －32(1＋2＋…＋n )＋12·(12＋22＋…＋n 2)＝n n ＋n ＋6＝16n 3＋12n 2＋13n .故答案是：16n 3＋12n 2＋13n .] 13．(泰州中学2016－2017年度第一学期第一次质量检测)设实数a ＞1，b ＞1，则“a ＜b ”是“ln a －ln b ＞a －b ”的________条件．(请用“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”中之一填空)充要 [令f (x )＝ln x －x (x ＞1)，则f ′(x )＝1x－1＜0，因此a ＜b ⇔f (a )＞f (b )⇔ln a －a ＞ln b －b⇔ln a －ln b ＞a －b ，即“a ＜b ”是“ln a －ln b ＞a －b ”的充要条件．] 14．(四川省凉山州2017届高中毕业班第一次诊断性检测)下列四个结论： ①若x ＞0，则x ＞sin x 恒成立；②命题“若x －sin x ＝0，则x ＝0”的逆否命题为“若x ≠0，则x －sin x ≠0”； ③“命题p ∧q 为真”是“命题p ∨q 为真”的充分不必要条件； ④命题“∀x ∈R ，x －ln x ＞0”的否定是“∃x 0∈R ，x 0－ln x 0≤0 ”．其中正确结论的个数是________．4 [对于①，令y ＝x －sin x ，则y ′＝1－cos x ≥0，则函数y ＝x －sin x 在R 上单调递增，则当x ＞0时，x －sin x ＞0－0＝0，即x ＞sin x 恒成立，故①正确；对于②，命题“若x －sin x ＝0，则x ＝0” 的逆否命题为“若x ≠0，则x －sin x ≠0”正确；对于③，命题p ∧q 为真，则命题p ，q 均为真，命题p ∨q 为真，反过来，当命题p ∨q 为真时，则p ，q 中至少有一个为真，不能推出命题p ∧q 为真，所以“命题p ∧q 为真”是“命题p ∨q 为真”的充分不必要条件，故③正确；对于④，由全称命题与特称命题的关系可知，命题“∀x ∈R ，x －ln x ＞0 ”的否定是“∃x 0∈R ，x 0－ln x 0≤0”，所以④正确．] 二、解答题(本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．)15．(本小题满分14分)(山东潍坊2017届高三上学期期中联考)已知m ∈R ，设p ：∀x ∈[－1,1]，x 2－2x －4m 2＋8m －2≥0成立；q ：∃x ∈[1,2]，log 12(x 2－mx ＋1)＜－1成立，如果“p ∨q ”为真，“p ∧q ”为假，求m 的取值范围.【导学号：56394005】[解] 若p 为真：对∀x ∈[－1,1]，4m 2－8m ≤x 2－2x －2恒成立，设f (x )＝x 2－2x －2，配方得f (x )＝(x －1)2－3， ∴f (x )在[－1,1]上的最小值为－3， ∴4m 2－8m ≤－3，解得12≤m ≤32，2分∴p 为真时：12≤m ≤32；若q 为真：∃x ∈[1,2]，x 2－mx ＋1＞2成立，∴m ＜x 2－1x 成立.4分设g (x )＝x 2－1x ＝x －1x，易知g (x )在[1,2]上是增函数，∴g (x )的最大值为g (2)＝32，∴m ＜32，∴q 为真时，m ＜32，∵“p ∨q ”为真，“p ∧q ”为假，∴p 与q 一真一假，9分当p 真q 假时⎩⎪⎨⎪⎧ 12≤m ≤32，m ≥32，∴m ＝32，当p 假q 真时⎩⎪⎨⎪⎧m ＜12或m ＞32，m ＜32 ，∴m ＜12，12分综上所述，m 的取值范围是m ＜12或m ＝32.14分16．(本小题满分14分)(江苏省南通市如东县、徐州市丰县2017届高三10月联考)设集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪132≤2－x≤4，B ＝{x |x 2＋2mx －3m 2＜0}(m ＞0)． (1)若m ＝2，求A ∩B ；(2)若A ⊇B ，求实数m 的取值范围．[解] 集合A ＝{x |－2≤x ≤5}，因为m ＞0，所以B ＝(－3m ，m )，4分 (1)m ＝2时，B ＝{x |－6＜x ＜2}，所以A ∩B ＝{x |－2≤x ＜2}.8分 (2)B ＝(－3m ，m )，要使B ⊆A ，10分只要⎩⎪⎨⎪⎧－3m ≥－2m ≤5⇒m ≤23，12分所以0＜m ≤23.综上，知m 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤0，23.14分 17．(本小题满分14分)已知集合A ＝{x |log 2x ＜log 23}，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＋2x －4＜0，C ＝{x |a ＜x ＜a ＋1}． (1)求集合A ∩B ；(2)若B ∪C ＝B ，求实数a 的取值范围． [解] (1)由log 2x ＜log 23，得0＜x ＜3. 2分由不等式x ＋2x －4＜0得(x －4)(x ＋2)＜0，所以－2＜x ＜4.5分所以A ∩B ＝{x |0＜x ＜3}. 7分 (2)因为B ∪C ＝B ，所以C ⊆B ， 9分所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1≤4，a ≥－2.11分解得－2≤a ≤3.所以，实数a 的取值范围是[－2,3].14分18．(本小题满分16分)设命题p ：函数y ＝kx ＋1在R 上是增函数，命题q ：∃x ∈R ，x 2＋(2k －3)x ＋1＝0，如果p ∧q 是假命题，p ∨q 是真命题，求k 的取值范围． [解] ∵函数y ＝kx ＋1在R 上是增函数，∴k ＞0，2分由∃x ∈R ，x 2＋(2k －3)x ＋1＝0得方程x 2＋(2k －3)x ＋1＝0有解，4分 ∴Δ＝(2k －3)2－4≥0，解得k ≤12或k ≥52.6分 ∵p ∧q 是假命题，p ∨q 是真命题，∴命题p ，q 一真一假，10分①若p 真q 假，则⎩⎪⎨⎪⎧ k ＞0，12＜k ＜52，∴12＜k ＜52； 12分②若p 假q 真，则⎩⎪⎨⎪⎧k ≤0，k ≤12或k ≥52，解得k ≤0， 14分综上可得k 的取值范围为(－∞，0]∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，52. 16分19．(本小题满分16分)已知命题p ：函数y ＝log a (2x ＋1)在定义域上单调递增；命题q ：不等式(a －2)x2＋2(a －2)x －4＜0对任意实数x 恒成立，若“p 且﹁q ”为真命题，求实数a 的取值范围． [解] 因为命题p ：函数y ＝log a (2x ＋1)在定义域上单调递增，所以a ＞1.4分∴又因为命题q ：不等式(a －2)x 2＋2(a －2)x －4＜0对任意实数x 恒成立；所以a ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a －2＜0，Δ＝a －2＋a －＜0，综上所述：－2＜a ≤2，10分因为p 且﹁q 为真命题，∴p 真q 假，12分 ∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＞1，a ≤－2或a ＞2，∴a ∈(2，＋∞).14分 ∴实数a 的取值范围为(2，＋∞).16分20．(本小题满分16分)(江苏省泰州中学2017届高三上学期第二次月考)已知命题p ：函数f (x )＝x 3＋ax 2＋x 在R 上是增函数；命题q ：若函数g (x )＝e x －x ＋a 在区间[0，＋∞)上没有零点．(1)如果命题p 为真命题，求实数a 的取值范围；(2)命题“p ∨q ”为真命题，“p ∧q ”为假命题，求实数a 的取值范围.【导学号：56394006】[解] (1)如果命题p 为真命题，∵函数f (x )＝x 3＋ax 2＋x 在R 上是增函数，∴f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋1≥0对x ∈(－∞，＋∞)恒成立， 4分 ∴Δ＝4a 2－12≤0⇒a ∈[－3，3].7分(2)g ′(x )＝e x－1≥0对任意的x ∈[0，＋∞)恒成立， ∴g (x )在区间[0，＋∞)上递增，9分若命题q 为真命题，g (0)＝a ＋1＞0⇒a ＞－1，11分由命题“p ∨q ”为真命题，“p ∧q ”为假命题知p ，q 一真一假，若p 真q 假，则⎩⎨⎧ －3≤a ≤3a ≤－1⇒a ∈[－3，－1]， 13分若p 假q 真，则⎩⎨⎧a ＜－3或a ＞3a ＞－1⇒a ∈(3，＋∞)， 14分综上所述，a ∈[－3，－1]∪(3，＋∞). 16分专题限时集训(二) 函数 (对应学生用书第80页) (限时：120分钟)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分，请把答案填写在题中横线上．)1．(河南省豫北名校联盟2017届高三年级精英对抗赛)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 5x ，x ＞0，2x，x ≤0，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫125＝________.14 [f ⎝ ⎛⎭⎪⎫125＝log 5125＝－2，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫125＝f (－2)＝2－2＝14.] 2．(江苏省苏州市2017届高三上学期期中)已知函数f (x )是定义在R 上的周期为2的奇函数，当0＜x＜1时，f (x )＝8x.则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－193＝________.－2 [函数f (x )是定义在R 上的周期为2的奇函数，当0＜x ＜1时，f (x )＝8x，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－193＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝－813＝－2.]3．(2017·江苏省淮安市高考数学二模)函数f (x )＝－x2的定义域是________．[－2,2] [由lg(5－x 2)≥0，得5－x 2≥1，即x 2≤4，解得－2≤x ≤2. ∴函数f (x )＝－x2的定义域是[－2,2]．故答案为：[－2,2]．]4．(广西柳州市2017届高三10月模拟)设a ，b ，c 均为正数，且2a＝log 12a ，⎝ ⎛⎭⎪⎫12b ＝log 12b ，⎝ ⎛⎭⎪⎫12c ＝log 2c ，则a ，b ，c 的大小关系为________．a ＜b ＜c [画图可得0＜a ＜b ＜1＜c .]5．(广东2017届高三上学期阶段测评(一))定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x ＋2)＝－f (x )，当0≤x ≤1时，f (x )＝x ，则f (37.5)等于________．0.5 [∵f (x ＋2)＝－f (x )，∴f (x ＋4)＝f (x )且f (－x )＝－f (x )，0≤x ≤1时，f (x )＝x ， ∴f (37.5)＝f (1.5)＝－f ()－0.5＝f ()0.5＝0.5.]6．(广东省佛山市2017届高三教学质量检测(一))函数f (x )＝1x －log 21＋ax1－x 为奇函数，则实数a ＝________.±1 [因为函数f (x )为奇函数，所以f (－x )＝1－x －log 21－ax 1＋x ＝－1x ＋log 21＋ax 1－x ，即1＋x 1－ax ＝1＋ax1－x ，所以a ＝±1.]7．(天津六校2017届高三上学期期中联考)已知定义在R 上的偶函数f (x )满足f (x ＋2)·f (x )＝1对于x ∈R 恒成立，且f (x )＞0，则f (2 015)＝________. 1 [因为f (x ＋2)·f (x )＝1⇒f (x ＋4)＝1fx ＋2＝f (x )⇒T ＝4，因此f (2 015)＝f (3)＝f (－1)＝f (1)；而f (x ＋2)·f (x )＝1⇒f (－1＋2)·f (－1)＝1⇒f 2(1)＝1，f (x )＞0⇒f (1)＝1，所以f (2 015)＝1.]8．(河南省豫北名校联盟2017届高三年级精英对抗赛)已知函数f (x )是R 上的单调函数，且对任意实数x ，都有f ⎝⎛⎭⎪⎫fx ＋22x＋1＝13，则f (log 23)＝________. 12 [因为函数f (x )是R 上的单调函数，且f ⎝⎛⎭⎪⎫fx ＋22x＋1＝13，所以可设f (x )＋22x ＋1＝t (t 为常数)，即f (x )＝t －22x ＋1，又因为f (t )＝13，所以t －22t ＋1＝13，令g (x )＝x －22x ＋1，显然g (x )在R 上单调递增，且g (1)＝13，所以t ＝1，f (x )＝1－22x ＋1，f (log 23)＝1－22log 23＋1＝12.]9．(湖北省荆州市2017届高三上学期第一次质量检测)已知函数f (x )＝|ln x |－1，g (x )＝－x 2＋2x ＋3，用min{m ，n }表示m ，n 中最小值，设h (x )＝min{f (x )，g (x )}，则函数h (x )的零点个数为________． 3 [作出函数f (x )和g (x )的图象(两个图象的下面部分图象)如图，由g (x )＝－x 2＋2x ＋3＝0，得x ＝－1或x ＝3，由f (x )＝|ln x |－1＝0，得x ＝e 或x ＝1e .∵g (e)＞0，∴当x ＞0时，函数h (x )的零点个数为3个．]10．(江苏省南京市2017届高三上学期学情调研)已知f (x )，g (x )分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，且f (x )＋g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x .若存在x 0∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1，使得等式af (x 0)＋g (2x 0)＝0成立，则实数a 的取值范围是________.【导学号：56394011】⎣⎢⎡⎦⎥⎤22，522 [由f (x )＋g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 得f(－x )＋g (－x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x ，即－f (x )＋g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x，所以f (x )＝12(2－x －2x )，g (x )＝12(2－x ＋2x )．存在x 0∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1，使得等式af (x 0)＋g (2x 0)＝0成立，即x 0∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1，a ＝－g x 0f x 0，设h (x )＝－g x fx ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1，则h (x )＝－12－2x＋22x12－x －2x＝22x ＋2－2x2x －2－x ＝(2x －2－x )＋22－2，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1时，2x －2－x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤22，32，设t ＝2x －2－x，则t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤22，32，而h (x )＝t ＋2t ，易知y ＝t ＋2t 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤22，2上递减，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤2，32上递增，因此y min ＝2＋22＝22，y max ＝22＋222＝522，所以h (x )∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤22，522，即a ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤22，522.] 11．(江苏省苏州市2017届高三上学期期中)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1，x ＞0，x 2＋x ，x ≤0，若函数g (x )＝f (x )－m 有三个零点，则实数m 的取值范围是________．⎝ ⎛⎦⎥⎤－14，0 [由g (x )＝f (x )－m ＝0得f (x )＝m ，若函数g (x )＝f (x )－m 有三个零点，等价为函数f (x)与y ＝m 有三个不同的交点，作出函数f (x )的图象如图：当x ≤0时，f (x )＝x 2＋x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122－14≥－14，若函数f (x )与y ＝m 有三个不同的交点，则－14＜m ≤0，即实数m 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－14，0，故答案为：⎝ ⎛⎦⎥⎤－14，0.] 12．(2017·江苏省苏、锡、常、镇四市高考数学二模)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧4x －x 2，x ≥0，3x，x ＜0，若函数g (x )＝|f (x )|－3x ＋b 有三个零点，则实数b 的取值范围为________．(－∞，－6)∪⎝ ⎛⎦⎥⎤－14，0 [函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧4x －x 2，x ≥0，3x ，x ＜0，若函数g (x )＝|f (x )|－3x ＋b 有三个零点，就是h (x )＝|f (x )|－3x 与y ＝－b 有3个交点，h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －x 2，0≤x ≤4，x 2－7x ，x ＞4，－3x－3x ，x ＜0，画出两个函数的图象如图：当x ＜0时，－3x－3x ≥6，当且仅当x ＝－1时取等号，此时－b ＞6，可得b ＜－6；当0≤x ≤4时，x －x 2≤14，当x ＝12时取得最大值，满足条件的b ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤－14，0 .综上，b ∈(－∞，－6)∪⎝ ⎛⎦⎥⎤－14，0. 故答案为：(－∞，－6)∪⎝ ⎛⎦⎥⎤－14，0.] 13．(2017·江苏省淮安市高考数学二模)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋m ，x ＜0，x 2－1，x ≥0，其中m ＞0，若函数y ＝f(f (x ))－1有3个不同的零点，则m 的取值范围是________．(0,1) [①当x ＜0时，f (f (x ))＝(－x ＋m )2－1，图象为开口向上的抛物线在y 轴左侧的部分，顶点为(0，m 2－1)；②当0≤x ＜1时，f (f (x ))＝－x 2＋1＋m ，图象为开口向下的抛物线在0≤x ＜1之间的部分，顶点为(0，m ＋1)．根据题意m ＞0，所以m ＋1＞1；③当x ≥1时，f (f (x ))＝(x 2－1)2－1，图象为开口向上的抛物线在x ＝1右侧的部分，顶点为(1，－1)．根据题意，函数y ＝f (f (x ))－1有3个不同的零点，即f (f (x ))的图象与y ＝1有3个不同的交点．根据以上三种分析的情况：第③种情况x ＝1时，f (f (x ))＝－1，右侧为增函数，所以与y ＝1有一个交点；第②种情况，当x →1时，f (f (x ))→m ，所以与y ＝1有交点，需m ＜1；第①种情况，当x →0时，f (f (x ))→m 2－1，只要m 2－1＜1即可，又m ＞0，∴0<m ＜2，综上m 的取值范围为(0,1)．]14．(2017·江苏省无锡市高考数学一模)若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧12－1，x ＜1，ln xx 2，x ≥1，则函数y ＝|f (x )|－18的零点个数为________．4 [当x ≥1时，ln x x 2＝18，即ln x ＝18x 2，令g (x )＝ln x －18x 2，x ≥1时函数是连续函数，g (1)＝－18＜0，g (2)＝ln 2－12＝ln2e＞0，g (4)＝ln 4－2＜0，由函数的零点判定定理可知g (x )＝ln x －18x 2有2个零点．(结合函数y ＝ln x x 2与y ＝18可知函数的图象有2个交点．)当x ＜1时，y ＝⎩⎪⎨⎪⎧12x－1，x ＜0，1－12x，x ∈[0，，函数的图象与y ＝18的图象如图，考查两个函数有2个交点，综上函数y ＝|f (x )|－18的零点个数为4个．故答案为4.]二、解答题(本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．)15．(本小题满分14分)(2016－2017学年度江苏苏州市高三期中调研考试)已知函数f (x )＝3x＋λ·3－x(λ∈R )．(1)若f (x )为奇函数，求λ的值和此时不等式f (x )＞1的解集； (2)若不等式f (x )≤6对x ∈[0,2]恒成立，求实数λ的取值范围.【导学号：56394012】[解] (1)函数f (x )＝3x ＋λ·3－x的定义域为R ，∵f (x )为奇函数，∴f (－x )＋f (x )＝0对∀x ∈R 恒成立，即3－x＋λ·3x ＋3x ＋λ·3－x ＝(λ＋1)(3x＋3－x)＝0对∀x ∈R 恒成立，∴λ＝－1. 3分此时f (x )＝3x－3－x＞1，即3x －3－x－1＞0，解得3x ＞1＋52或3x＜1－52(舍去)，6分∴解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ＞log 31＋52. 7分(2)由f (x )≤6得3x＋λ·3－x≤6，即3x＋λ3≤6，令t ＝3x∈[1,9]，原问题等价于t ＋λt≤6对t ∈[1,9]恒成立，亦即λ≤－t 2＋6t 对t ∈[1,9]恒成立，10分令g (t )＝－t 2＋6t ，t ∈[1,9]，∵g (t )在[1,3]上单调递增，在[3,9]上单调递减． ∴当t ＝9时，g (t )有最小值g (9)＝－27， ∴λ≤－27.14分16．(本小题满分14分)(泰州中学2016－2017年度第一学期第一次质量检测)设函数y ＝lg(－x 2＋4x －3)的定义域为A ，函数y ＝2x ＋1，x ∈(0，m )的值域为B . (1)当m ＝2时，求A ∩B ；(2)若“x ∈A ”是“x ∈B ”的必要不充分条件，求实数m 的取值范围． [解] (1)由－x 2＋4x －3＞0，解得1＜x ＜3，所以A ＝(1,3)， 2分又函数y ＝2x ＋1在区间(0，m )上单调递减，所以y ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫2m ＋1，2，即B ＝⎝⎛⎭⎪⎫2m ＋1，2，5分当m ＝2时，B ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23，2，所以A ∩B ＝(1,2).7分 (2)首先要求m ＞0，9分而“x ∈A ”是“x ∈B ”的必要不充分条件，所以B 是A 的真子集，从而2m ＋1≥1，解得0＜m ≤1. 所以实数m 的取值范围为(0,1].14分17．(本小题满分14分)(江苏省泰州中学2017届高三上学期第二次月考)无锡市政府决定规划地铁三号线：该线起于惠山区惠山城铁站，止于无锡新区硕放空港产业园内的无锡机场站，全长28公里，目前惠山城铁站和无锡机场站两个站点已经建好，余下的工程是在已经建好的站点之间铺设轨道和等距离修建停靠站．经有关部门预算，修建一个停靠站的费用为6 400万元，铺设距离为x 公里的相邻两个停靠站之间的轨道费用为400x 3＋20x 万元．设余下工程的总费用为f (x )万元．(停靠站位于轨道两侧，不影响轨道总长度)． (1)试将f (x )表示成x 的函数；(2)需要建多少个停靠站才能使工程费用最小，并求最小值．[解] (1)设需要修建k 个停靠站，则k 个停靠站将28公里的轨道分成相等的k ＋1段， ∴(k ＋1)x ＝28⇒k ＝28x－1，3分∴f (x )＝6 400k ＋(k ＋1)(400x 3＋20x )＝6 400⎝ ⎛⎭⎪⎫28x－1＋28x(400x 3＋20x )，化简得f (x )＝28×400x 2＋28×6 400x－5 840，7分(2)f (x )＝28×400x 2＋28×3 200x ＋28×3 200x－5 840≥3328×400x 2·28×3 200x ·28×3 200x－5 840＝128 560(万元)，当且仅当28×400x 2＝28×3 200x ，即x ＝2，k ＝28x－1＝13时取“＝”.13分故需要建13个停靠站才能使工程费用最小，最小值费用为128 560万元.14分18．(本小题满分16分)(泰州中学2017届高三上学期期中考试)已知函数f (x )＝|x 2－1|＋x 2＋kx ，且定义域为(0,2)．(1)求关于x 的方程f (x )＝kx ＋3在(0,2)上的解；(2)若关于x 的方程f (x )＝0在(0,2)上有两个的解x 1，x 2，求k 的取值范围．[解] (1)∵f (x )＝|x 2－1|＋x 2＋kx ，f (x )＝kx ＋3，即|x 2－1|＋x 2＝3.当0＜x ≤1时，|x 2－1|＋x 2＝1－x 2＋x 2＝1，此时该方程无解．当1＜x ＜2时，|x 2－1|＋x 2＝2x 2－1，原方程等价于：x 2＝2，此时该方程的解为 2.综上可知：方程f (x )＝kx ＋3在(0,2)上的解为 2. (2)当0＜x ≤1时，kx ＝－1，① 当1＜x ＜2时，2x 2＋kx －1＝0，② 若k ＝0，则①无解，②的解为x ＝±22∉(1,2)，故k ＝0不合题意．若k ≠0，则①的解为x ＝－1k. (ⅰ)当－1k∈(0,1]时，k ≤－1时，方程②中Δ＝k 2＋8＞0，故方程②中一根在(1,2)内，一根不在(1,2)内．设g (x )＝2x 2＋kx －1，而x 1x 2＝－12＜0，则⎩⎪⎨⎪⎧g ＜0，g ＞0，⎩⎪⎨⎪⎧k ＜－1，k ＞－72，又k ≤－1，故－72＜k＜－1.12分(ⅱ)当－1k ∉(0,1]时，即－1＜k ＜0或k ＞0时，方程②在(1,2)需有两个不同解，而x 1x 2＝－12＜0，知道方程②必有负根，不合题意. 综上所述，故－72＜k ＜－1.16分19．(本小题满分16分)(江苏省南通市如东县、徐州市丰县2017届高三10月联考)已知函数f (x )＝－3x＋a3x ＋1＋b. (1)当a ＝b ＝1时，求满足f (x )＝3x的x 的值； (2)若函数f (x )是定义在R 上的奇函数．①存在t ∈R ，不等式f (t 2－2t )＜f (2t 2－k )有解，求k 的取值范围；②若函数g (x )满足f (x )·[g (x )＋2]＝13(3－x －3x)，若对任意x ∈R ，不等式g (2x )≥m ·g (x )－11恒成立，求实数m 的最大值 .[解] (1) 由题意，－3x＋13x ＋1＋1＝3x ，化简得3·(3x )2＋2·3x－1＝0，解得3x ＝－1(舍)或3x＝13，2分所以x ＝－1.4分(2) 因为f (x )是奇函数，所以f (－x )＋f (x )＝0，所以－3－x＋a 3－x ＋1＋b ＋－3x＋a 3x ＋1＋b＝0，化简并变形得： (3a －b )(32x＋1)＋(2ab －6)·3x＝0，要使上式对任意的x 成立，则3a －b ＝0且2ab －6＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－3，因为f (x )的定义域是R ，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1b ＝－3(舍去)，所以a ＝1，b ＝3, 所以f (x )＝－3x＋13x ＋1＋3.6分①f (x )＝－3x＋13x ＋1＋3＝13⎝⎛⎭⎪⎫－1＋23x ＋1，对任意x 1，x 2∈R ，x 1＜x 2有： f (x 1)－f (x 2)＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫23x 1＋1－23x 2＋1＝23⎝⎛⎭⎪⎫3x 2－3x 1x 1＋x 2＋，因为x 1＜x 2，所以3x 2－3x 1＞0，所以f (x 1)＞f (x 2)，因此f (x )在R 上递减.8分因为f (t 2－2t )＜f (2t 2－k )，所以t 2－2t ＞2t 2－k ，即t 2＋2t －k ＜0在t ∈R 上有解，所以Δ＝4＋4k ＞0，解得k ＞－1，所以k 的取值范围为(－1，＋∞). 10分②因为f (x )·[g (x )＋2]＝13(3－x －3x)，所以g (x )＝3－x－3x3f x －2，即g (x )＝3x ＋3－x. 12分所以g (2x )＝32x＋3－2x＝(3x＋3－x )2－2.不等式g (2x )≥m ·g (x )－11恒成立，即(3x＋3－x )2－2≥m ·(3x ＋3－x)－11，即m ≤3x ＋3－x＋93x ＋3－x 恒成立.14分令t ＝3x ＋3－x，t ≥2，则m ≤t ＋9t在t ≥2时恒成立，令h (t )＝t ＋9t ，h ′(t )＝1－9t2，t ∈(2,3)时，h ′(t )＜0，所以h (t )在(2,3)上单调递减， t ∈(3，＋∞)时，h ′(t )＞0，所以h (t )在(3，＋∞)上单调递增，所以h (t )min ＝h (3)＝6，所以m ≤6，所以实数m 的最大值为6 .16分20．(本小题满分16 分)(江苏省南通市如东县、徐州市丰县2017届高三10月联考)给出定义在(0，＋∞)上的两个函数f (x )＝x 2－a ln x ，g (x )＝x －a x . (1)若f (x )在x ＝1处取最值，求a 的值；(2)若函数h (x )＝f (x )＋g (x 2)在区间(0,1]上单调递减，求实数a 的取值范围； (3)在(1)的条件下，试确定函数m (x )＝f (x )－g (x )－6的零点个数，并说明理由.【导学号：56394013】[解] (1)f ′(x )＝2x －a x，由已知f ′(1)＝0，即2－a ＝0，解得a ＝2，经检验a ＝2满足题意，所以a ＝2.4分(2)h (x )＝f (x )＋g (x 2)＝x 2－a ln x ＋x 2－ax ＝2x 2－a (x ＋ln x )，h ′(x )＝4x －a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x ，要使得h (x )＝2x 2－a (x ＋ln x )在区间(0,1]上单调递减，则h ′(x )≤0，即4x －a ⎝⎛⎭⎪⎫1＋1x ≤0在区间(0,1]上恒成立，6分因为x ∈(0,1]，所以a ≥4x2x ＋1，设函数F (x )＝4x2x ＋1，则a ≥F (x )max ，8分F (x )＝4x 2x ＋1＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＋1x，因为x ∈(0,1]，所以1x∈[1，＋∞)，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＋1x min ＝2，所以F (x )max ＝2，所以a ≥2.10分(3)函数m (x )＝f (x )－g (x )－6有两个零点．因为m (x )＝x 2－2ln x －x ＋2x －6，所以m ′(x )＝2x －2x－1＋1x＝2x 2－2－x ＋x x＝x －x x ＋2x ＋x ＋x.当x ∈(0,1)时，m ′(x )＜0，当x ∈(1，＋∞)时， m ′(x )＞0，所以m (x )min ＝m (1)＝－4＜0，14分m (e －2)＝－＋e ＋2e3e4＜0，m (e －4)＝1＋2e 8＋e42－e8＞0，m (e 4)＝e 4(e 4－1)＋2(e 2－7)＞0，故由零点存在定理可知：函数m (x )在(e－4,1)上存在一个零点，函数m (x )在(1，e 4)上存在一个零点，所以函数m (x )＝f (x )－g (x )－6有两个零点. 16分专题限时集训(三) 导数 (对应学生用书第83页) (限时：120分钟)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分，请把答案填写在题中横线上．)1．(湖北省荆州市2017届高三上学期第一次质量检)若函数f (x )＝x 33－a2x 2＋x ＋1在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3上单调递减，则实数a 的取值范围是________.⎣⎢⎡⎭⎪⎫103，＋∞ [因为函数f (x )＝x 33－a 2x 2＋x ＋1在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3上单调递减，所以f ′(x )＝x 2－ax ＋1≤0在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3上恒成立，所以x 2＋1≤ax ⇒a ≥⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x max ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x max ，当且仅当x ＝3时，⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x max ＝103，所以a ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫103，＋∞.] 2．(泰州中学2016－2017年度第一学期第一次质量检测)若函数y ＝f (x )的定义域为R ，∀x ∈R ，f ′(x )＜f (x )，且f (x ＋1)为偶函数，f (2)＝1，则不等式f (x )＜e x的解集为________． (0，＋∞) [令g (x )＝f xex，则g ′(x )＝f x －f xex＜0，所以g (x )在定义域内为减函数，因为f (x ＋1)为偶函数，所以f (x ＋1)＝f (－x ＋1)⇒f (0)＝f (2)＝1⇒g (0)＝1，因此f (x )＜e x⇒g (x )＜1＝g (0)⇒x ＞0.]3．(江苏省南通市如东县、徐州市丰县2017届高三10月联考)函数f (x )＝log 2x 在点A (1,2)处切线的斜率为________.【导学号：56394017】1ln 2 [∵f ′(x )＝1x ln 2，∴k ＝f ′(1)＝1ln 2.] 4．(江苏省南通市如东县、徐州市丰县2017届高三10月联考)若实数a ，b ，c ，d 满足|b ＋a 2－4ln a |＋|2c －d ＋2|＝0，则(a －c )2＋(b －d )2的最小值为________．5 [|b ＋a 2－4ln a |＋|2c －d ＋2|＝0⇒b ＋a 2－4ln a ＝0,2c －d ＋2＝0，所以(a －c )2＋(b －d )2表示直线2x －y ＋2＝0上点P 到曲线y ＝4ln x －x 2上点Q 距离的平方．由y ′＝4x－2x ＝2⇒x ＝1(负舍)得Q (1，－1)，所以所求最小值为⎝ ⎛⎭⎪⎫|2＋1＋2|52＝5.]5．(江苏省南通市如东县、徐州市丰县2017届高三10月联考)已知函数f (x )＝x 3＋mx ＋14，g (x )＝－ln x ，min{a ，b }表示a ，b 中的最小值，若函数h (x )＝min{f (x )，g (x )}(x ＞0)恰有三个零点，则实数m 的取值范围是________．⎝ ⎛⎭⎪⎫－54，－34 [f ′(x )＝3x 2＋m ，因为g (1)＝0，所以要使h (x )＝min{f (x )，g (x )}(x ＞0)恰有三个零点，需满足f (1)＞0，f ⎝⎛⎭⎪⎫－m 3 ＜0，m ＜0，解得m ＞－54，－m 3＞12⇒－54＜m ＜－34.] 6．(河北唐山市2017届高三年级期末)已知函数f (x )＝ln(e x＋e －x)＋x 2，则使得f (2x )＞f (x ＋3)成立的x 的取值范围是________．(－∞，－1)∪(3，＋∞) [因为f (－x )＝ln(e －x＋e x )＋(－x )2＝ln(e x ＋e －x )＋x 2＝f (x )，所以函数f (x )是偶函数，易知函数y ＝e x ＋e －x 在x ∈(0，＋∞)是增函数，所以函数f (x )＝ln(e x ＋e －x )＋x 2在x ∈(0，＋∞)也是增函数，所以不等式f (2x )＞f (x ＋3)等价于|2x |＞|x ＋3|，解得x ＜－1或x ＞3.] 7．(广东省佛山市2017届高三教学质量检测(一))已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，g (x )＝3x 2＋2ax ＋b (a ，b ，c 是常数)，若f (x )在(0,1)上单调递减，则下列结论中：①f (0)·f (1)≤0；②g (0)·g (1)≥0；③a 2－3b 有最小值．正确结论的个数为________．2 [由题意，得 f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，若函数f (x )在(0,1)上单调递减，则⎩⎪⎨⎪⎧f ′，f ，即⎩⎪⎨⎪⎧b ≤0，3＋2a ＋b ≤0，所以g (0)·g (1)＝b ·(3＋2a ＋b )≥0，故②正确；不妨设f (x )＝x 3－2x 2－3x ＋5，则f (0)·f (1)＝5·(1－2－3＋5)＞0，故①错；画出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧b ≤0，3＋2a ＋b ≤0表示的平面区域，如图所示，令z ＝a 2－3b ，则b ＝13a 2－z 3，①当－z 3＞－3，即z ＜9时，抛物线b ＝13a 2－z 3与直线2a ＋b ＋3＝0有公共点，联立两个方程消去b 得a 2＋6a ＋9－z ＝0，z ＝(a ＋3)2≥0，所以0≤z ＜9；当－z3≤－3，即z ≥9时，抛物线与平面区域必有公共点，综上所述，z ≥0，所以z ＝a 2－3b 有最小值，故③正确．]8．(广东省佛山市2017届高三教学质量检测(一))对任意的a ∈R ，曲线y ＝e x (x 2＋ax ＋1－2a )在点P (0,1－2a )处的切线l 与圆C ：x 2＋2x ＋y 2－12＝0的位置关系是________.相交 [由题意，得y ′＝e x (x 2＋ax ＋1－2a )＋e x(2x ＋a )，所以y ′|x ＝0＝1－a ，所以直线l 的方程为y －(1－2a )＝(1－a )x ，即(1－a )x －y ＋1－2a ＝0.化圆C 的方程为(x ＋1)2＋y 2＝13，其圆心(－1,0)到直线l 的距离为－a－－0＋1－2a |－a 2＋－2＝|a |a 2－2a ＋2＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2－1a ＋1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －122＋12≤2＜13，所以直线l 与圆相交．]9．(山东省枣庄市2017届高三上学期期末)定义在R 上的奇函数y ＝f (x )满足f (3)＝0，且当x ＞0时，f (x )＞－xf ′(x )恒成立，则函数g (x )＝xf (x )＋lg|x ＋1|的零点的个数为________.【导学号：56394018】3 [因为当x ＞0时，[xf (x )]′＝f (x )＋xf ′(x )＞0，所以xf (x )在(0，＋∞)上单调递增，又函数f (x )为奇函数，所以函数xf (x )为偶函数，结合f (3)＝0，作出函数y ＝xf (x )与y ＝－lg|x ＋1|的图象，如图所示，由图象知，函数g (x )＝xf (x )＋lg|x ＋1|的零点有3个．]10．(湖北省荆州市2017届高三上学期第一次质量检测)设函数f (x )在R 上存在导函数f ′(x )，对任意的实数x 都有f (x )＝4x 2－f (－x )，当x ∈(－∞，0)时，f ′(x )＋12＜4x .若f (m ＋1)≤f (－m )＋4m ＋2，则实数m 的取值范围是________.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，＋∞ [∵f (x )－2x 2＋f (－x )－2x 2＝0，设g (x )＝f (x )－2x 2，则g (x )＋g (－x )＝0，∴g (x )为奇函数，又g ′(x )＝f ′(x )－4x ＜－12，∴g (x )在(－∞，0)上是减函数，从而在R 上是减函数，又f (m ＋1)≤f (－m )＋4m ＋2等价于f (m ＋1)－2(m ＋1)2≤f (－m )－2(－m )2，即g (m ＋1)≤g (－m )，∴m ＋1≥－m ，解得m ≥－12.]11．(湖北省荆州市2017届高三上学期第一次质量检测)已知函数f (x )＝ax sin x －32(a ∈R )，且在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值为π－32，则实数a 的值为________．1 [由已知得f ′(x )＝a (sin x ＋x cos x )，对于任意的x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，有sin x ＋x cos x ＞0，当a ＝0时，f (x )＝－32，不合题意；当a ＜0时，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，f ′(x )＜0，从而f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2单调递减，又函数在图象上是连续不断的，故函数在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值为f (0)＝－32，不合题意；当a ＞0时， x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，f ′(x )＞0，从而f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2单调递增，又函数在图象上是连续不断的，故函数在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝π2·a －32＝π－32，解得a ＝1.]12．(天津六校2017届高三上学期期中联考)设函数f (x )＝ln x x，关于x 的方程[f (x )]2＋mf (x )－1＝0有三个不同的实数解，则实数m 的取值范围是________．⎝ ⎛⎭⎪⎫e －1e ，＋∞ [f (x )＝ln x x ⇒f ′(x )＝1－ln x x 2＝0⇒x ＝e ，因此当0＜x ≤e 时，f (x )≤1e ；当x ＞e 时，0＜f (x )＜1e ，因此g (t )＝t 2＋mt －1＝0有两个根，其中t 1∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，1e ，t 2∈(－∞，0]∪⎩⎨⎧⎭⎬⎫1e ，因为g (0)＝－1，所以g ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e＞0⇒m ＞e －1e.]13．(山西大学附属中学2017级上学期11月模块诊断)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋，x ＞0，12x ＋1，x ≤0，若m＜n ，且f (m )＝f (n )，则n －m 的取值范围是________.[3－2ln 2,2) [如图，作出函数y ＝f (x )的图象，不妨设f (m )＝f (n )＝t ，由f (m )＝f (n )可知函数f (x )的图象与直线y ＝t 有两个交点，而x ≤0时，函数y ＝f (x )单调递增，其图象与y 轴交于点(0,1)，所以0＜t ≤1.又m ＜n ，所以m ≤0，n ＞0，由0＜t ≤1，得0＜ln(n ＋1)≤1，解得0＜n ≤e－1. 由f (m )＝t ，即12m ＋1＝t ，解得m ＝2t －2；由f (n )＝t ，即ln(n ＋1)＝t ，解得n ＝e t－1；记g (t )＝n －m ＝e t －1－(2t －2)＝e t －2t ＋1(0＜t ≤1)，g ′(t )＝e t－2. 所以当0＜t ＜ln 2时，g ′(t )＜0，函数g (t )单调递减；当ln 2＜t ≤1时，g ′(t )＞0，函数g (t )单调递增．所以函数g (t )的最小值为g (ln 2)＝eln 2－2ln 2＋1＝3－2ln 2；而g (0)＝e 0＋1＝2，g (1)＝e －2＋1＝e －1＜2，所以3－2ln 2≤g (t )＜2.]14．(贵州遵义市2017届高三第一次联考)已知定义域为R 的偶函数f (x )，其导函数为f ′(x )，对任意x ∈[0，＋∞)，均满足：xf ′(x )＞－2f (x )．若g (x )＝x 2f (x )，则不等式g (2x )＜g (1－x )的解集是________.⎝⎛⎭⎪⎫－1，13 [x ∈[0，＋∞)时，g ′(x )＝2xf (x )＋x 2f ′(x )＝x (2f (x )＋xf ′(x ))＞0，而g (x )＝x 2f (x )也为偶函数，所以g (2x )＜g (1－x )⇔g (|2x |)＜g (|1－x |)⇔|2x |＜|1－x |⇔3x 2＋2x －1＜0⇔－1＜x ＜13.] 二、解答题(本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．)15．(本小题满分14分)(江苏省南通市如东县、徐州市丰县2017届高三10月联考)在互联网时代，网校培训已经成为青年学习的一种趋势，假设某网校的套题每日的销售量h (x )(单位：千套)与销售价格(单位：元/套)满足关系式h (x )＝f (x )＋g (x )(3＜x ＜7，m 为常数)，其中f (x )与(x －3)成反比，g (x )与(x －7)的平方成正比，已知销售价格为5元/套时，每日可售出套题21千套，销售价格为3.5元/套时，每日可售出套题69千套． (1)求h (x )的表达式；(2)假设网校的员工工资，办公等所有开销折合为每套题3元(只考虑销售出的套数)，试确定销售价格的值，使网校每日销售套题所获得的利润最大．(保留1位小数) [解] (1)因为f (x )与x －3成反比，g (x )与x －7的平方成正比，所以可设：f (x )＝k 1x －3，g (x )＝k 2(x －7)2，k 1≠0，k 2≠0，则h (x )＝f (x )＋g (x )＝k 1x －3＋k 2(x －7)2. 2分因为销售价格为5元/套时，每日可售出套题21千套，销售价格为3.5元/套时，每日可售出套题69千套，所以，h (5)＝21，h (3.5)＝69，即⎩⎪⎨⎪⎧k 12＋4k 2＝21，2k 1＋494k 2＝69，解得：⎩⎪⎨⎪⎧k 1＝10，k 2＝4， 6分所以，h (x )＝10x －3＋4(x －7)2(3＜x ＜7). 8分(2)由(1)可知，套题每日的销售量h (x )＝10x －3＋4(x －7)2，设每日销售套题所获得的利润为F (x )，则F (x )＝(x －3) ⎣⎢⎡⎦⎥⎤10x －3＋x －2＝10＋4(x －7)2(x －3) ＝4x 3－68x 2＋364x －578，10分从而F ′(x )＝12x 2－136x ＋364＝4(3x －13)(x －7)，3＜x ＜7，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3，133时，F ′(x )＞0，所以函数F (x )在⎝⎛⎭⎪⎫3，133上单调递增，12分x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫133，7时，F ′(x )＜0，所以函数F (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫133，7上单调递减，所以x ＝133≈4.3时，函数F (x )取得最大值，即当销售价格为4.3元/套时，网校每日销售套题所获得的利润最大.14分16．(本小题满分14分)(河南省豫北名校联盟2017届高三年级精英对抗赛)已知函数f (x )＝x ＋a ln x (a ∈R )．(1)若曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处与直线y ＝3x －2相切，求a 的值； (2)若函数g (x )＝f (x )－kx 2有两个零点x 1，x 2，试判断g ′⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22的符号，并证明.【导学号：56394019】[解] (1)f ′(x )＝1＋a x，又∵f ′(1)＝3. 2分所以a ＝2.3分(2)函数g (x )的定义域是(0，＋∞). 4分若a ＝0，则g (x )＝f (x )－kx 2＝x －kx 2. 令g (x )＝0，则x －kx 2＝0. 又据题设分析知k ≠0， ∴x 1＝0，x 2＝1k.又g (x )有两个零点，且都大于0， ∴a ＝0，不成立.5分据题设知⎩⎪⎨⎪⎧gx 1＝x 1＋a ln x 1－kx 21＝0，gx 2＝x 2＋a ln x 2－kx 22＝0，不妨设x 1＞x 2，x 1x 2＝t ，t ＞1.6分所以x 1－x 2＋a (ln x 1－ln x 2)＝k (x 1－x 2)(x 1＋x 2)．所以1＋ax 1－ln x 2x 1－x 2＝k (x 1＋x 2)，7分又g ′(x )＝1＋a x－2kx ，所以g ′⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22＝1＋2a x 1＋x 2－k (x 1＋x 2)＝1＋2a x 1＋x 2－1－ax 1－ln x 2x 1－x 2＝a ⎝⎛⎭⎪⎫2x 1＋x 2－ln x 1－ln x 2x 1－x 2＝a x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫2t ＋1－ln t t －1＝a x 2·1t －1⎣⎢⎡⎦⎥⎤t －t ＋1－ln t .9分引入h (t )＝t －t ＋1－ln t (t ＞1)，则h ′(t )＝4t ＋2－1t＝－t －2t t ＋2＜0.所以h (t )在(0，＋∞)上单调递减. 10分而h (1)＝0，所以当t ＞1时，h (t )＜0. 易知x 2＞0，1t －1＞0，所以当a ＞0时，g ′⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22＜0；当a ＜0时，g ′⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22＞0.14分17．(本小题满分14分)(广东郴州市2017届高三第二次教学质量监测试卷)已知函数f (x )＝x ln x ，g (x )＝－x 2＋ax －3.(1)求函数f (x )在[t ，t ＋2](t ＞0)上的最小值；(2)对一切x ∈(0，＋∞)，2f (x )≥g (x )恒成立，求实数a 的取值范围；(3)探讨函数F (x )＝ln x －1e x ＋2e x 是否存在零点？若存在，求出函数F (x )的零点；若不存在，请说明理由．[解] (1)f ′(x )＝ln x ＋1，由f ′(x )＜0得，0＜x ＜1e ，由f ′(x )＞0得x ＞1e，∴函数f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，＋∞上单调递增，1分当0＜t ≤1e 时，t ＋2＞1e ，∴f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝－1e ；当t ＞1e时，f (x )在[t ，t ＋2]上单调递增，f (x )min ＝f (t )＝t ln t ，2分∴f (x )min＝⎩⎪⎨⎪⎧－1e ，0＜t ≤1e ，t ln t ，t ＞1e. 3分(2)原问题可化为a ≤2ln x ＋x ＋3x， 4分设h (x )＝2ln x ＋x ＋3x(x ＞0 )，h ′(x )＝x ＋x －x，当0＜x ＜1时，h ′(x )＜0，h (x )在(0,1)上单调递减；5分当x ＞1时， h ′(x )＞0，h (x )在(1，＋∞)上单调递增；6分 ∴h (x )min ＝h (1)＝4，故a 的取值范围为(－∞，4].7分 (3)令F (x )＝0，得ln x －1e x ＋2e x ＝0，即x ln x ＝x e x －2e (x ＞0)，8分由(1)知当且仅当x ＝1e 时，f (x )＝x ln x (x ＞0)的最小值是－1e，9分设φ(x )＝x e x －2e (x ＞0)，则φ′(x )＝1－xex ，易知φ(x )在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，∴当且仅当x ＝1时，φ(x )取最大值，且φ(1)＝－1e，12分∴对x ∈(0，＋∞)都有ln x ＞1e x －2e x ，即F (x )＝ln x －1e x ＋2e x ＞0恒成立，故函数F (x )无零点.18．(本小题满分16分)(无锡市普通高中2017届高三上学期期中基础性检测)已知函数f (x )＝sin xe x 的定义域为[0,2π]，g (x )为f (x )的导函数．(1)求方程g (x )＝0的解集； (2)求函数g (x )的最大值与最小值；(3)若函数F (x )＝f (x )－ax 在定义域上恰有2个极值点，求实数a 的取值范围． [解] (1)因为f ′(x )＝－sin x e x ＋cos xex ， 1分所以g (x )＝cos x e －sin x e ＝0，解得x ＝π4或x ＝5π4；3分 (2)因为g ′(x )＝－cos x e x －sin x e x ＋sin x e x －cos x e x ＝－2cos xe x ，4分令g ′(x )＝0，解得x ＝π2或x ＝3π2，5分所以g (x )的最大值为g (0)＝1，所以g (x )的最小值为g ⎝ ⎛⎭⎪⎫2＝－e π2. 7分(3)因为F ′(x )＝－sin x e x ＋cos xex －a ＝g (x )－a ，所以函数F (x )＝f (x )－ax 在定义域上恰有2个极值点，等价于g (x )－a ＝0在定义域上恰有2个零点且在零点处异号，即y ＝g (x )与y ＝a 的图象恰有两个交点，9分由(2)知F ′(0)＝g (0)－a ＝1－a ，F ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－a ＝－e －π2－a ，F ′⎝⎛⎭⎪⎫3π2＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－a ＝e －3π2－a ，F ′(2π)＝g (2π)－a ＝e －2π－a ，若F ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2≥0，则F ′⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＞F ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＞0，所以F ′(x )＝0至多只有1个零点，不成立，10分所以只有F ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＜0；11分若F ′⎝⎛⎭⎪⎫3π2＜0，则F ′(2π)＜0，所以F ′(x )＝0只有1个零点，不成立，12分所以F ′⎝⎛⎭⎪⎫3π2≥0，13分。

2018高考数学江苏专版三维二轮专题复习训练：14个填空题专项强化练(四) 导数及其简单应用 Word版含解析

14个填空题专项强化练(四) 导数及其简单应用A 组——题型分类练题型一导数的概念与运算 1、y ＝ln xx 的导数为________、解析：y ′＝⎝⎛⎭⎫ln x x ′＝(ln x )′x －x ′ln x x 2＝1x ·x －ln x x 2＝1－ln x x 2、答案：1－ln xx 22、已知a ∈R ，设函数f (x )＝ax －ln x 的图象在点(1，f (1))处的切线为l ，则l 在y 轴上的截距为________、解析：因为f ′(x )＝a －1x ，所以f ′(1)＝a －1，又f (1)＝a ，所以切线l 的方程为y －a ＝(a －1)(x －1)，令x ＝0，得y ＝1、答案：13、若曲线y ＝a cos x ＋1在点⎝⎛⎭⎫π2，1处的切线与直线2x ＋y ＋3＝0垂直，则a ＝________、解析：因为y ＝a cos x ＋1的导函数为y ′＝－a sin x ，所以曲线在点⎝⎛⎭⎫π2，1处的切线的斜率为k ＝－a ，由于切线与直线2x ＋y ＋3＝0垂直，则(－a )·(－2)＝－1，即a ＝－12、答案：－124、已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足f (x )＝3x 2＋2xf ′(2)，则f ′(5)＝________、解析：对f (x )＝3x 2＋2xf ′(2)求导，得f ′(x )＝6x ＋2f ′(2)、令x ＝2，得f ′(2)＝－12、再令x ＝5，得f ′(5)＝6×5＋2f ′(2)＝6、答案：6题型二导数与函数的单调性1、函数f (x )＝x －ln x 的单调递减区间为________、解析：函数f (x )的定义域是(0，＋∞)，且f ′(x )＝1－1x ＝x －1x ，令f ′(x )<0，解得0<x <1，所以单调递减区间是(0,1)、答案：(0,1)2、已知函数f (x )＝x 3－ax 2＋bx 在区间(－∞，－3)和(2，＋∞)上是增函数，在(－3,2)上是减函数，则ab ＝________、解析：因为f ′(x )＝3x 2－2ax ＋b ，由已知条件可得－3,2是f ′(x )＝0的两根，所以a ＝－32，b ＝－18，从而ab ＝27、答案：273、若函数f (x )＝13x 3＋x 2－ax ＋3a 在区间[1,2]上单调递增，则实数a 的取值范围是________、解析：由题意得，f ′(x )＝x 2＋2x －a ，根据题意知f ′(x )≥0，即x 2＋2x ≥a ，而x 2＋2x ＝(x ＋1) 2－1≥(1＋1) 2－1＝3，所以a ≤3、答案：(－∞，3]4、设函数f (x )＝12x 2－9ln x 在区间[a －1，a ＋1]上单调递减，则实数a 的取值范围是________、解析：因为f (x )＝12x 2－9ln x ，所以f ′(x )＝x －9x (x >0)，当x －9x ≤0时，有0<x ≤3，即在(0,3]上f (x )是减函数，所以a －1>0且a ＋1≤3，解得1<a ≤2、答案：(1,2]题型三导数与函数的极值、最值 1、函数y ＝2x －1x 2的极大值是________、解析：y ′＝2＋2x 3，令y ′＝0，得x ＝－1、当x <－1时，y ′>0；当－1<x <0时，y ′<0、所以当x ＝－1时，y 取得极大值－3、答案：－32、已知函数f (x )＝13x 3＋x 2－2ax ＋1，若函数f (x )在(1,2)上有极值，则实数a 的取值范围为________、解析：因为函数f (x )在(1,2)上有极值，则需函数f (x )在(1,2)上有极值点、法一：令f ′(x )＝x 2＋2x －2a ＝0，得x 1＝－1－1＋2a ，x 2＝－1＋1＋2a ，因为x 1∉(1,2)，因此则需1<x 2<2，即1<－1＋1＋2a <2，即4<1＋2a <9，所以32<a <4，故实数a 的取值范围为⎝⎛⎭⎫32，4、法二：f ′(x )＝x 2＋2x －2a 的图象是开口向上的抛物线，且对称轴为x ＝－1，则f ′(x )在(1,2)上是单调递增函数，因此⎩⎪⎨⎪⎧f ′(1)＝3－2a <0，f ′(2)＝8－2a >0，解得32<a <4，故实数a 的取值范围为⎝⎛⎭⎫32，4、答案：⎝⎛⎭⎫32，43、函数f (x )＝x sin x ＋cos x 在⎣⎡⎦⎤π6，π上的最大值为________、解析：因为f ′(x )＝sin x ＋x cos x －sin x ＝x cos x ，所以f ′(x )＝0在x ∈⎣⎡⎦⎤π6，π上的解为x ＝π2、又f ⎝⎛⎭⎫π6＝π12＋32，f ⎝⎛⎭⎫π2＝π2，f (π)＝－1，所以函数f (x )＝x sin x ＋cos x 在⎣⎡⎦⎤π6，π上的最大值为π2、答案：π24、已知函数f (x )＝a ln x －bx 2的图象在x ＝1处与直线y ＝－12相切，则函数f (x )在[1，e]上的最大值为________、解析：由题意知，f ′(x )＝ax －2bx ，因为函数f (x )＝a ln x －bx 2的图象在x ＝1处与直线y ＝－12相切，所以⎩⎪⎨⎪⎧f ′(1)＝a －2b ＝0，f (1)＝－b ＝－12，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝12，即函数f (x )＝ln x －x 22、又当x ∈[1，e]时，f ′(x )＝1x －x ≤0，所以函数f (x )在[1，e]上单调递减，其最大值为f (1)＝－12、答案：－12B 组——高考提速练1、已知函数f (x )＝4ln x ＋ax 2－6x ＋b (a ，b 为常数)，且x ＝2为f (x )的一个极值点，则a 的值为________、解析：由题意知，函数f (x )的定义域为(0，＋∞)， ∵f ′(x )＝4x ＋2ax －6，∴f ′(2)＝2＋4a －6＝0，即a ＝1、答案：12、若曲线f (x )＝a cos x 与曲线g (x )＝x 2＋bx ＋1在交点(0，m )处有公切线，则a ＋b ＝________、解析：∵f ′(0)＝－a sin 0＝0， ∴g ′(0)＝2×0＋b ＝0，∴b ＝0，又m ＝1＝a ，∴a ＋b ＝1、答案：13、若直线y ＝ax 是曲线y ＝2ln x ＋1的一条切线，则实数a ＝________、解析：依题意，设直线y ＝ax 与曲线y ＝2ln x ＋1的切点的横坐标为x 0，则有y ′| x ＝x 0＝2x 0，于是有⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2x 0，ax 0＝2ln x 0＋1.解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝e ，a ＝2e －12.答案：2e －124、函数f (x )＝2x ＋1x 2＋2的极小值为________、解析：f ′(x )＝2(x 2＋2)－2x (2x ＋1)(x 2＋2)2＝－2(x ＋2)(x －1)(x 2＋2)2、由f ′(x )<0，得x <－2或x >1、由f ′(x )>0，得－2<x <1、∴f (x )在(－∞，－2)，(1，＋∞)上是减函数，在(－2,1)上是增函数， ∴f (x )极小值＝f (－2)＝－12、答案：－125、已知曲线y ＝a ln x (a ＞0)在x ＝1处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为4，则a ＝________、解析：因为y ＝a ln x ，所以y ′＝ax ，所以在x ＝1处的切线的斜率k ＝a ，而f (1)＝a ln 1＝0，故切点为(1,0)，所以切线方程为y ＝a (x －1)、令y ＝0，得x ＝1；令x ＝0，得y ＝－a 、所以三角形面积S ＝12×a ×1＝4，所以a ＝8、答案：86、已知函数f (x )＝－x 3＋ax 2－4在x ＝2处取得极值，若m ∈[－1,1]，则f (m )的最小值为________、解析：求导得f ′(x )＝－3x 2＋2ax ，由f (x )在x ＝2处取得极值知f ′(2)＝0，即－3×4＋2a ×2＝0，故a ＝3、则f (x )＝－x 3＋3x 2－4，f ′(x )＝－3x 2＋6x 、由此可得f (x )在(－1,0)上单调递减，在(0,1)上单调递增，所以对m ∈[－1,1]时，f (m )min ＝f (0)＝－4、答案：－47、已知函数f (x )＝x ＋a sin x 在(－∞，＋∞)上单调递增，则实数a 的取值范围是________、解析：∵函数f (x )＝x ＋a sin x 在(－∞，＋∞)上单调递增，∴函数f (x )的导函数f ′(x )＝1＋a ·cos x ≥0在(－∞，＋∞)上恒成立、令cos x ＝t ，t ∈[－1,1]，问题转化为g (t )＝at ＋1≥0在t ∈[－1,1]上恒成立，即g (－1)≥0，g (1)≥0成立，所以－1≤a ≤1、答案：[－1,1]8、设函数f (x )＝x 3－x 22－2x ＋5，若对任意的x ∈[－1，2]，都有f (x )>a ，则实数a 的取值范围为________、解析：f ′(x )＝3x 2－x －2，令f ′(x )＝0，得3x 2－x －2＝0，解得x ＝1或x ＝－23，故f (x )在⎝⎛⎭⎫－1，－23，(1,2)上单调递增，在⎝⎛⎭⎫－23，1上单调递减，故f (x )在x ＝1处取得极小值，且f (1)＝72，f (－1)＝112，故f (x )min ＝72，所以a <72、答案：⎝⎛⎭⎫－∞，72 9、f (x )＝13x 3－4x ＋m 的极小值为－43，则m 的值为________、解析：f ′(x )＝x 2－4，当f ′(x )＝0时，x ＝－2或x ＝2、当f ′(x )<0时，－2<x <2、 f ′(x )>0时，x <－2或x >2、∴f (x )在(－∞，－2)，(2，＋∞)上是增函数，在(－2,2)上是减函数、 ∴f (x )极小值＝f (2)＝13×23－4×2＋m＝－163＋m ＝－43、∴m ＝4、答案：410、已知函数f (x )(x ∈R)满足f (1)＝1，且f (x )的导函数f ′(x )<12，则f (x )<x 2＋12的解集为________、解析：设F (x )＝f (x )－⎝⎛⎭⎫x 2＋12，则F (1)＝f (1)－⎝⎛⎭⎫12＋12＝1－1＝0，F ′(x )＝f ′(x )－12，对任意x ∈R ，有F ′(x )＝f ′(x )－12<0，即函数F (x )在R 上单调递减，则F (x )<0的解集为(1，＋∞)，即f (x )<x 2＋12的解集为(1，＋∞)、答案：(1，＋∞)11、已知函数f (x )＝x 3－3ax －1，a ≠0、若f (x )在x ＝－1处取得极值，直线y ＝m 与y ＝f (x )的图象有三个不同的交点，则m 的取值范围为________、解析：因为f (x )在x ＝－1处取得极值，所以f ′(－1)＝3×(－1)2－3a ＝0，所以a ＝1、所以f (x )＝x 3－3x －1，f ′(x )＝3x 2－3，由f ′(x )＝0，解得x 1＝－1，x 2＝1、故由f (x )的单调性可知，f (x )在x ＝－1处取得极大值f (－1)＝1，在x ＝1处取得极小值f (1)＝－3、因为直线y ＝m 与函数y ＝f (x )的图象有三个不同的交点，结合f (x )的图象(如图所示)可知，实数m 的取值范围是(－3,1)、答案：(－3,1)12、已知函数f (x )，g (x )满足f (5)＝5，f ′(5)＝3，g (5)＝4，g ′(5)＝1，则函数h (x )＝f (x )＋2g (x )的图象在x ＝5处的切线方程为____________________、解析：由h ′(x )＝f ′(x )g (x )－(f (x )＋2)g ′(x )g 2(x )，得h ′(5)＝f ′(5)g (5)－(f (5)＋2)g ′(5)g 2(5)＝3×4－(5＋2)×142＝516、又h (5)＝f (5)＋2g (5)＝5＋24＝74，所以切线方程为y －74＝516(x －5)，即5x －16y ＋3＝0、答案：5x －16y ＋3＝013、设直线y ＝a 分别与曲线y 2＝x 和y ＝e x 交于点M ，N ，则当线段MN 取得最小值时a 的值为________、解析：由题意，a >0，M (a 2，a )，N (ln a ，a )，故MN 的长l ＝|a 2－ln a |，设f (a )＝a 2－lna (a >0)，所以f ′(a )＝2a －1a ＝2a 2－1a ＝2⎝⎛⎭⎫a ＋22⎝⎛⎭⎫a －22a ，令f ′(a )>0，得a >22，所以f (a )在⎝⎛⎭⎫22，＋∞上单调递增；令f ′(a )<0，得0<a <22，所以f (a )在⎝⎛⎭⎫0，22上单调递减，所以当a ＝22时，f (a )min ＝f ⎝⎛⎭⎫22＝12－ln 22>0，所以l ＝|a 2－ln a |＝a 2－ln a ＝f (a )，所以当a ＝22时，线段MN 的长取得极小值，也是最小值、答案：2214、若函数f (x )＝e x ＋x 3－12x －1的图象上有且只有两点P 1，P 2，使得函数g (x )＝x 3＋m x的图象上存在两点Q 1，Q 2，且P 1与Q 1，P 2与Q 2分别关于坐标原点对称，则实数m 的取值集合是________、解析：设函数f (x )的图象上两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，则Q 1(－x 1，－y 1)，Q 2(－x 2，－y 2)，故有⎩⎪⎨⎪⎧－⎝⎛⎭⎫e x 1＋x 31－12x 1－1＝－x 31＋m －x 1，－⎝⎛⎭⎫e x 2＋x 32－12x 2－1＝－x 32＋m －x 2，即方程－⎝⎛⎭⎫e x ＋x 3－12x －1＝－x 3－m x 在(－∞，0)∪(0，＋∞)上有两解，即方程x e x －12x 2－x ＝m 在(－∞，0)∪(0，＋∞)上有两解，即函数h (x )＝x e x －12x 2－x (x ≠0)的图象与y ＝m 的图象有两个交点，令h ′(x )＝(e x －1)(x ＋1)＝0得，x ＝0(舍去)或x ＝－1，作出函数h (x )图象知，当且仅当x ＝－1时有两解，所以m ＝h (－1)＝e －22e、答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫e －22e。

2018高考数学江苏专版三维二轮专题复习训练：14个填空题综合仿真练(八)含解析

＝
21 7.
答案：
21 7
10、已知函数
f(x
)＝
x－
e
1－
tx，
?
x0∈R ， f(x0)≤ 0，则实数
t 的取值范围为
________ 、
解析：
若
t＜ 0，令
x＝ 1t，则
f
1 t
＝ e1t－ 1－ 1＜ 1e－ 1＜ 0；若
t＝ 0， f(x)＝ ex－ 1＞ 0，不合题意；若
t＞ 0，只需
k＝
611，从而
cosAcos BcosC ＝
3× 20
2× 15
1 12
＝
1 10.
答案
：
1 10
2x3＋ 7x2＋ 6x 14、已知函数 f(x)＝ x2＋ 4x＋ 3 ， x∈ [0,4]，则 f(x)最大值是 ________、
解析：法一：当 x＝ 0 时，原式值为 0；当 x≠ 0 时，由 f (x)＝
P
＝ 4－ 5－
3＝ 0
15.
答案
：
1 5
4、已知一组数据 x1，x2，…， x100 的方差是 2，则数据 3x1,3x2，…， 3x100 的标准差为 ________、
解析：由 x1， x2， … ， x100 的方差是 2，则 3x1,3x2， … ， 3x100 的方差是 18，所以所求标准差为 3 2.
14 个填空题综合仿真练 (八 )
1、已知集合 A＝ {x|－1< x<3} ， B＝ {x|x<2} ，则 A∩ B＝ ________. 解析：因为 A＝ { x|－ 1<x<3}， B＝ {x|x<2} ，所以 A∩ B＝ {x|－1<x<2}、答案：{x|－ 1< x<2}

(江苏专)高考数学二轮复习14个填空题专项强化练(六)三角恒等变换与解三角形

14个填空题专项强化练(六) 三角恒等变换与解三角形A 组——题型分类练题型一同角三角函数的基本关系与诱导公式 1．sin 240°＝________.解析：sin 240°＝sin(180°＋60°)＝－sin 60°＝－32. 答案：－322．已知cos α＝－513，角α是第二象限角，则tan(2π－α)＝________.解析：因为cos α＝－513，角α是第二象限角，所以sin α＝1213，所以tan α＝－125，故tan(2π－α)＝－tan α＝125.答案：1253．已知θ是第三象限角，且sin θ－2cos θ＝－25，则sin θ＋cos θ＝________.解析：由⎩⎪⎨⎪⎧sin 2θ＋cos 2θ＝1，sin θ－2cos θ＝－25，且θ为第三象限角，得⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＝－2425，cos θ＝－725，故sin θ＋cos θ＝－3125.答案：－3125题型二三角恒等变换1．若1＋cos 2αsin 2α＝12，则tan 2α＝________.解析：因为1＋cos 2αsin 2α＝2cos 2α2sin αcos α＝cos αsin α＝12，所以tan α＝2，所以tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝41－4＝－43.答案：－432．若sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝35，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，则cos α的值为________．解析：∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴α－π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，π3. 又∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝35，∴cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－π6＝45， ∴cos α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＋π6＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6cos π6－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6sin π6＝45×32－35×12＝43－310. 答案：43－3103．若f (x )＝2tan x －2sin 2x2－1sin x 2cos x 2，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12的值为________．解析：因为f (x )＝2tan x ＋1－2sin2x212sin x ＝2tan x ＋2cos x sin x ＝2sin x cos x ＝4sin 2x，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＝4sinπ6＝8. 答案：84．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6－sin α＝233，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－7π6的值是________．解析：由cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6－sin α＝233，得32cos α－32sin α＝233，即－⎝⎛⎭⎪⎫32sin α－12cos α＝23，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝－23.所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－7π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6－π＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝23. 答案：235．设α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，若sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝45，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π3＝13，则tan(2α＋β)的值为________．解析：因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，所以α＋π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，5π12.又sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝45，所以cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6＝35，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ 2α＋π3＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝2425，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ 2α＋π3＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6－1＝－725，所以tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝－247.又2α＋β＝⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π3，所以tan(2α＋β)＝tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π3＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＋tan ⎝⎛⎭⎪⎫β－π31－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3·ta n ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π3＝－247＋131＋247×13＝－139.答案：－139题型三正弦定理和余弦定理1．在△ABC 中，a ＝4，b ＝5，c ＝6，则sin 2Asin C ＝________.解析：由正弦定理得sin A sin C ＝ac，由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc，∵a ＝4，b ＝5，c ＝6， ∴sin 2A sin C ＝2sin A cos A sin C ＝2·sin Asin C·cos A＝2×46×52＋62－422×5×6＝1.答案：12．在锐角△ABC 中，AB ＝3，AC ＝4.若△ABC 的面积为33，则BC 的长是________．解析：因为S △ABC ＝12AB ·AC sin A ，所以33＝12×3×4×sin A ，所以sin A ＝32，因为△ABC 是锐角三角形，所以A ＝60°，由余弦定理得，BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC cos A ，解得BC ＝13.答案：133．已知在△ABC 中，A ＝120°，AB ＝2，角B 的平分线BD ＝3，则BC ＝________. 解析：在△ABD 中，由正弦定理得AB sin ∠ADB ＝BDsin A，∴sin ∠ADB ＝AB ·sin A BD ＝22，∴∠ADB ＝45°， ∴∠ABD ＝15°，∴∠ABC ＝30°，∠ACB ＝30°， ∴AC ＝AB ＝ 2.在△ABC 中，由余弦定理得BC ＝ AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos A ＝ 6.答案： 64．在斜三角形ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对的边，若1tan A ＋1tan B ＝1tan C ，则ab c2的最大值为________．解析：由1tan A ＋1tan B ＝1tan C 可得，cos A sin A ＋cos B sin B ＝cos Csin C ，即sin B cos A ＋cos B sin A sin A sin B ＝cos Csin C ，∴sin B ＋A sin A sin B ＝cos Csin C ，即sin C sin A sin B ＝cos Csin C，∴sin 2C ＝sin A sin B cos C . 根据正弦定理及余弦定理可得，c 2＝ab ·a 2＋b 2－c 22ab，整理得a 2＋b 2＝3c 2.∴ab c 2＝ab a 2＋b 23＝3ab a 2＋b 2≤3ab 2ab ＝32，当且仅当a ＝b 时等号成立．答案：32B 组——高考提速练1．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－φ＝32，且|φ|<π2，则tan φ＝________.解析：cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－φ＝sin φ＝32，又|φ|<π2，则cos φ＝12，所以tan φ＝ 3.答案： 32．已知sin 2α＝35⎝ ⎛⎭⎪⎫π2<2α<π，tan(α－β)＝12，则tan(α＋β)等于________．解析：由题意，可得cos 2α＝－45，则tan 2α＝－34，tan(α＋β)＝tan[2α－(α－β)]＝tan 2α－tan α－β1＋tan 2αtan α－β＝－2.答案：－23．已知sin(π－α)＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α，则sin αcos α＝________. 解析：由sin(π－α)＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α，得sin α＝－2cos α，所以tan α＝－2，所以sin αcos α＝sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝tan αtan 2α＋1＝－25. 答案：－254．若tan β＝2tan α，且cos αsin β＝23，则sin(α－β)的值为________．解析：由tan β＝2tan α得，2sin αcos β＝cos αsin β，所以2sin αcos β＝23，所以sin αcos β＝13，所以sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β＝13－23＝－13.答案：－135．若tan 2α＋1cos 2α＝3，则tan ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4＝________. 解析：由tan 2α＋1cos 2α＝3，得2tan α1－tan 2α＋1＋tan 2α1－tan 2α＝3，解得tan α＝12.所以tan ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4＝tan α－11＋tan α＝－13.答案：－136．已知sin(α－45°)＝－210，且0°<α<90°，则cos 2α的值为________．解析：∵sin(α－45°)＝－210，0°＜α＜90°， ∴－45°＜α－45°＜45°，cos(α－45°)＝7210，∴cos 2α＝－sin(2α－90°)＝－2sin(α－45°)cos(α－45°)＝－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－210×7210＝725. 答案：7257.如图，在△ABC 中，D 是边AC 上的点，且AB ＝AD,2AB ＝3BD ，BC ＝2BD ，则sin C ＝________.解析：设BD ＝1，则AB ＝AD ＝32，BC ＝2.在△ABD 中，由余弦定理，得cos A ＝AB 2＋AD 2－BD22·AB ·AD ＝13，所以sin A ＝223，在△ABC 中，由正弦定理AB sin C ＝BC sin A ，得sin C ＝66. 答案：668．在△ABC 中，AC ＝7，BC ＝2，B ＝60°，则BC 边上的高的长度为________．解析：设AB ＝x ，则由AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos B ，知7＝x 2＋4－2x ，即x 2－2x －3＝0，所以x ＝3(负值舍去)．所以BC 边上的高为AB ·sin B ＝3×32＝332. 答案：3329．已知tan(α＋β)＝2，tan(α－β)＝3，则 sin 2αcos 2β的值为________．解析：sin 2αcos 2β＝sin[α＋β＋α－β]cos[α＋β－α－β]＝sin α＋βcos α－β＋cos α＋βsin α－βcos α＋βcos α－β＋sin α＋βsin α－β＝tan α＋β＋tan α－β1＋tan α＋βtan α－β＝2＋31＋2×3＝57.答案：5710.2cos 10°－sin 20°sin 70°的值是________．解析：原式＝2cos 30°－20°－sin 20°sin 70°＝2cos 30°cos 20°＋sin 30°sin 20°－sin 20°sin 70°＝3cos 20°cos 20°＝ 3.答案： 311．已知△ABC ，AB ＝AC ＝4，BC ＝2.点D 为AB 延长线上一点，BD ＝2，连结CD ，则△BDC 的面积是________，cos ∠BDC ＝________.解析：在△ABC 中，AB ＝AC ＝4，BC ＝2，由余弦定理得cos ∠ABC ＝AB 2＋BC 2－AC 22AB ·BC＝42＋22－422×4×2＝14，则sin ∠ABC ＝sin ∠CBD ＝154，所以S △BDC ＝12BD ·BC sin ∠CBD ＝12×2×2×154＝152.因为BD ＝BC ＝2，所以∠CDB ＝12∠ABC ，则cos ∠CDB ＝ cos ∠ABC ＋12＝104. 答案：15210412．已知sin α－m cos αcos α＋m sin α＝tan β，且α－β＝π3，则m ＝________.解析：由题意得sin α－m cos αcos α＋m sin α＝tan α－m1＋m tan α＝tan β，又α－β＝π3，所以tan β＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3＝tan α－31＋3tan α，所以tan α－m 1＋m tan α＝tan α－31＋3tan α，所以m ＝ 3.答案： 313．已知α，β均为锐角，且cos(α＋β)＝sin αsin β，则tan α的最大值是________．解析：因为α，β均为锐角，且cos(α＋β)＝sin αsin β，则cos(α＋β)sin β＝sin α＝sin[(α＋β)－β]，即cos(α＋β)sin β＝sin(α＋β)cos β－cos(α＋β)sin β，转化为tan(α＋β)＝2tan β，即tan α＋tan β1－tan αtan β＝2tan β，则2tan αtan 2β－tan β＋tan α＝0，所以Δ≥0，且两根x 1，x 2均大于0. 即x 1＋x 2＞0.x 1x 2＞0，即1－8tan 2α≥0，tan α＞0，解得0<tan α≤24. 则tan α的最大值为24. 答案：2414．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若△ABC 为锐角三角形，且满足b 2－a 2＝ac ，则1tan A －1tan B的取值范围是________．解析：由余弦定理得b 2－a 2＝(a 2＋c 2－2ac cos B )－(b 2＋c 2－2bc cos A )＝a 2－b 2＋2c (b cos A －a cos B )，即b 2－a 2＝c (b cos A －a cos B )＝ac ⇒b cos A －a cos B ＝a ⇒sin(B －A )＝sin A ⇒B ＝2A .又△ABC 为锐角三角形，所以π3<B <π2.则1tan A －1tan B ＝sin B －A sin A sin B＝1sin B ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1，233. 答案：⎝⎛⎭⎪⎫1，233。

2018年江苏高考数学二轮复习：专项限时集训1与三角变换、平面向量综合的三角形问题有答案

专项限时集训(一)与三角变换、平面向量综合的三角形问题(对应学生用书第113页)(限时：60分钟)1．(本小题满分14分)(2015·江苏高考)在△ABC 中，已知AB ＝2，AC ＝3，A ＝60˚.(1)求BC 的长； (2)求sin 2C 的值．[解] (1)由余弦定理知，BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos A ＝4＋9－2×2×3×12＝7，所以BC ＝7.(2)由正弦定理知，AB sin C ＝BCsin A，所以sin C ＝AB BC ·sin A ＝2sin 60˚7＝217.因为AB ＜BC ，所以C 为锐角，则cos C ＝1－sin 2C ＝1－37＝277.因此sin 2C ＝2sin C ·cos C ＝2×217×277＝437. 14分2．(本小题满分14分)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2cos C (a cos B ＋b cos A )＝c .(1)求C ；(2)若c ＝7，△ABC 的面积为332，求△ABC 的周长． [解] (1)由已知及正弦定理得2cos C (sin A cos B ＋sin B cos A )＝sin C ，即2cos C sin(A ＋B )＝sin C ，故2sin C cos C ＝sin C . 可得cos C ＝12，所以C ＝π3.6分(2)由已知，12ab sin C ＝332.又C ＝π3，所以ab ＝6.10分由已知及余弦定理得a 2＋b 2－2ab cos C ＝7，故a 2＋b 2＝13，从而(a ＋b )2＝25. 所以△ABC 的周长为5＋7.14分3．(本小题满分14分)(江苏省南通市如东高中2017届高三上学期第二次调研)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，cos C ＝310.(1)若CA →·CB →＝92，求△ABC 的面积；(2)设向量x ＝(2sin B ，－3)，y ＝⎝⎛⎭⎪⎫cos 2B ，1－2sin 2B 2，且x ∥y ，求角B 的值.【导学号：56394091】[解] (1)根据题意，∵CB →·CA →＝92，∴ab cos C ＝92，∴ab ＝15，又∵cos C ＝310，C ∈(0，π)，sin C ＝9110.所以S △ABC ＝12ab sin C ＝3914.6分(2)根据题意，∵x ∥y ，∴2sin B ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2sin 2B 2－(－3)·cos 2B ＝0，即2sin B ⎝⎛⎭⎪⎫1－2sin 2B 2＋3cos 2B ＝0，2sin B cos B ＋3cos 2B ＝0，即sin 2B ＋3cos 2B ＝0，显然cos 2B ≠0，所以tan 2B ＝－3，10分所以2B ＝2π3或5π3，即B ＝π3或5π6，因为cos C ＝310＜32，所以C ＞π6，所以B ＝5π6(舍去)，即B ＝π3.14分 4．(本小题满分16分)已知向量a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫k sin x 3，cos 2x 3，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x3，－k ，实数k 为大于零的常数，函数f (x )＝a ·b ，x ∈R ，且函数f (x )的最大值为2－12. (1)求k 的值；(2)在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 所对的边，若π2<A <π，f (A )＝0，且a ＝210，求AB →·AC→的最小值．[解] (1)由已知f (x )＝a ·b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫k sin x 3，cos 2x 3·⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x3，－k＝k sin x 3cos x 3－k cos 2x 3＝12k sin 2x 3－k ·1＋cos2x 32＝k 2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2x3－cos 2x 3－k 2＝2k 2⎝ ⎛⎭⎪⎫22sin 2x 3－22cos 2x 3－k 2＝2k 2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 3－π4－k 2. 5分因为x ∈R ，所以f (x )的最大值为2－k2＝2－12，则k ＝1.7分(2)由(1)知，f (x )＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 3－π4－12，所以f (A )＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A 3－π4－12＝0，化简得sin ⎝⎛⎭⎪⎫2A 3－π4＝22.9分因为π2<A <π，所以π12<2A 3－π4<5π12.则2A 3－π4＝π4，解得A ＝3π4. 因为cos A ＝－22＝b 2＋c 2－a 22bc ＝b 2＋c 2－402bc ，所以b 2＋c 2＋2bc ＝40，则b 2＋c 2＋2bc ＝40≥2bc ＋2bc ，所以bc ≤402＋2＝20(2－2).14分则AB →·AC →＝|AB →||AC →|cos 3π4＝－22bc ≥20(1－2)．所以AB →·AC →的最小值为20(1－2).16分5．(本小题满分16分)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知b ＋c ＝2a cos B .(1)证明：A ＝2B ；(2)若△ABC 的面积S ＝a 24，求角A 的大小．[解] (1)证明：由正弦定理得sin B ＋sin C ＝2sin A cos B ，故2sin A cos B ＝sin B ＋sin(A ＋B ) ＝sin B ＋sin A cos B ＋cos A sin B ，于是sin B ＝sin(A －B )．又A ，B ∈(0，π)，故0<A －B <π，所以B ＝π－(A －B )或B ＝A －B ，因此A ＝π(舍去)或A ＝2B ，所以A ＝2B . 8分(2)由S ＝a 24得12ab sin C ＝a 24，故有sin B sin C ＝12sin A ＝12sin 2B ＝sin B cos B .因为sin B ≠0，所以sin C ＝cos B ． 12分又B ，C ∈(0，π)，所以C ＝π2±B . 当B ＋C ＝π2时，A ＝π2；当C －B ＝π2时，A ＝π4.综上，A ＝π2或A ＝π4.16分6．(本小题满分16分)(江苏省苏州市2017届高三上学期期中)如图2，有一块平行四边形绿地ABCD ，经测量BC ＝2百米，CD ＝1百米，∠BCD ＝120°，拟过线段BC 上一点E 设计一条直路EF (点F 在四边形ABCD 的边上，不计路的宽度)，将绿地分为面积之比为1∶3的左右两部分，分别种植不同的花卉，设EC ＝x 百米，EF ＝y 百米．图2(1)当点F 与点D 重合时，试确定点E 的位置； (2)试求x 的值，使路EF 的长度y 最短．[解] (1)∵S 平行四边形ABCD ＝2×12×1×2sin 120°＝3，当点F 与点D 重合时，由已知S △CDE ＝14S 平行四边形ABCD ＝34，又∵S △CDE ＝12CE ·CD ·sin 120°＝34x ＝34⇒x ＝1，E 是BC 的中点.6分(2)①当点F 在CD 上，即1≤x ≤2时，利用面积关系可得CF ＝1x，再由余弦定理可得y ＝x 2＋1x2＋1≥3；当且仅当x ＝1时取等号．②当点F 在DA 上时，即0≤x ＜1时，利用面积关系可得DF ＝1－x ，10分(ⅰ)当CE ＜DF 时，过E 作EG ∥CD 交DA 于G (图略)，在△EGF 中，EG ＝1，GF ＝1－2x ，∠EGF ＝60°，利用余弦定理得y ＝4x 2－2x ＋1.(ⅱ)同理当CE ≥DF ，过E 作EG ∥CD 交DA 于G (图略)，在△EGF 中，EG ＝1，GF ＝2x －1，∠EGF ＝120°，利用余弦定理得y ＝4x 2－2x ＋1.由(ⅰ)、(ⅱ)可得y ＝4x 2－2x ＋1，0≤x ＜1， ∴y ＝4x 2－2x ＋1＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫x －142＋34， ∵0≤x ＜1，∴y min ＝32，当且仅当x ＝14时取等号，由①②可知当x ＝14时，路EF 的长度最短为32.16分。

江苏2018版高考数学复习简单的三角恒等变换第2课时简单的三角恒等变换教师用书理苏教版

第2课时简单的三角恒等变换题型一三角函数式的化简与求值例1 (1)化简：2cos 4x －2cos 2x ＋122tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ＝ . (2)计算：tan 12°－34cos 212°－2sin 12°＝ . 答案 (1)12cos 2x (2)－4 解析 (1)原式＝124cos 4x －4cos 2x ＋12×sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ·cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝2cos 2x －124sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝cos 22x 2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2x ＝cos 22x 2cos 2x ＝12cos 2x . (2)原式＝sin 12°－3cos 12°2sin 12°cos 12°cos 24°＝2sin 12°－60°12sin 48°＝－4. 思维升华 (1)三角函数式的化简要遵循“三看”原则，一看角，二看名，三看式子结构与特征.(2)三角函数式化简要注意观察条件中角之间的联系(和、差、倍、互余、互补等)，寻找式子和三角函数公式之间的共同点.(1)计算：tan 70°cos 10°(3tan 20°－1)＝ .(2)若α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，且3cos 2α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α，则sin 2α的值为 . 答案 (1)－1 (2)－1718解析 (1)原式＝sin 70°cos 70°·cos 10°(3sin 20°－cos 20°cos 20°) ＝cos 10°·232sin 20°－12cos 20°cos 70° ＝－2cos 10°sin 10°cos 70°＝－sin 20°cos 70°＝－1. (2)cos 2α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2α ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α 代入原式，得6sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α， ∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝16， ∴sin 2α＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫π2－2α ＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α－1＝－1718. 题型二三角函数的求值命题点1 给值求值问题例2 (1)(2017·盐城、南京联考)已知α，β为锐角，cos α＝17，sin(α＋β)＝5314，则cos β＝ .答案 12解析 ∵α为锐角，∴sin α＝ 1－172＝437. ∵α，β∈(0，π2)，∴0<α＋β<π. 又∵sin(α＋β)<sin α，∴α＋β>π2， ∴cos(α＋β)＝－1114.cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝－1114×17＋5314×437＝4998＝12. (2)(2015·广东)已知tan α＝2. ①求tan(α＋π4)的值； ②求sin 2αsin 2α＋sin αcos α－cos 2α－1的值. 解 ①tan(α＋π4)＝tan α＋tan π41－tan αtan π4＝2＋11－2×1＝－3. ②sin 2αsin 2α＋sin αcos α－cos 2α－1 ＝2sin αcos αsin 2α＋sin αcos α－2cos 2α ＝2tan αtan 2α＋tan α－2＝2×24＋2－2＝1. 命题点2 给值求角问题例3 (1)设α，β为钝角，且sin α＝55，cos β＝－31010，则α＋β的值为 . (2)已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝12，tan β＝－17，则2α－β的值为 . 答案 (1)7π4 (2)－3π4解析 (1)∵α，β为钝角，sin α＝55，cos β＝－31010， ∴cos α＝－255，sin β＝1010， ∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝22>0. 又α＋β∈(π，2π)，∴α＋β∈(3π2，2π)， ∴α＋β＝7π4. (2)∵tan α＝tan[(α－β)＋β]＝tan α－β＋tan β1－tan α－βtan β＝12－171＋12×17＝13>0， ∴0<α<π2. 又∵tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2×131－132＝34>0， ∴0<2α<π2， ∴tan(2α－β)＝tan 2α－tan β1＋tan 2αtan β＝34＋171－34×17＝1. ∵tan β＝－17<0， ∴π2<β<π，－π<2α－β<0， ∴2α－β＝－3π4. 引申探究本例(1)中，若α，β为锐角，sin α＝55，cos β＝31010，则α＋β＝ . 答案 π4 解析 ∵α，β为锐角，∴cos α＝255，sin β＝1010， ∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝255×31010－55×1010＝22. 又0<α＋β<π，∴α＋β＝π4. 思维升华 (1)给值求值问题的关键在“变角”，通过角之间的联系寻找转化方法；(2)给值求角问题：先求角的某一三角函数值，再求角的范围确定角.(1)设α∈(0，π2)，β∈(0，π2)，且tan α＝1＋sin βcos β，则2α－β＝ . (2)(2016·南京检测)若sin 2α＝55，sin(β－α)＝1010，且α∈[π4，π]，β∈[π，3π2]，则α＋β的值是 .答案 (1)π2 (2)7π4解析 (1)由tan α＝1＋sin βcos β，得sin αcos α＝1＋sin βcos β，即sin αcos β＝cos α＋sin βcos α，所以sin(α－β)＝cos α，又cos α＝sin(π2－α)，所以sin(α－β)＝sin(π2－α)，又因为α∈(0，π2)，β∈(0，π2)，所以－π2<α－β<π2，0<π2－α<π2，因此α－β＝π2－α，所以2α－β＝π2. (2)因为α∈[π4，π]，sin 2α＝55>0，所以2α∈[π2，π]，所以cos 2α＝－255且α∈[π4，π2]，又因为sin(β－α)＝1010>0，β∈[π，3π2]，所以β－α∈[π2，π]，所以cos(β－α)＝－31010，因此sin(α＋β)＝sin[(β－α)＋2α]＝sin(β－α)cos 2α＋cos(β－α)sin 2α＝1010×(－255)＋(－31010)×55 ＝－22，cos(α＋β)＝cos[(β－α)＋2α]＝cos(β－α)cos 2α－sin(β－α)sin 2α＝(－31010)×(－255)－1010×55＝22，又α＋β∈[5π4，2π]，所以α＋β＝7π4. 题型三三角恒等变换的应用例4 (2016·天津)已知函数f (x )＝4tan x sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ·cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3－ 3. (1)求f (x )的定义域与最小正周期；(2)讨论f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4上的单调性. 解 (1)f (x )的定义域为{x |x ≠π2＋k π，k ∈Z }. f (x )＝4tan x cos x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3－ 3 ＝4sin x cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3－ 3 ＝4sin x ⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos x ＋32sin x － 3 ＝2sin x cos x ＋23sin 2x － 3＝sin 2x ＋3(1－cos 2x )－ 3＝sin 2x －3cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3. 所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π. (2)令z ＝2x －π3，则函数y ＝2sin z 的单调递增区间是 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2＋2k π，π2＋2k π，k ∈Z . 由－π2＋2k π≤2x －π3≤π2＋2k π，k ∈Z ，得－π12＋k π≤x ≤5π12＋k π，k ∈Z . 设A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4，B ＝{x |－π12＋k π≤x ≤5π12＋k π，k ∈Z }，易知A ∩B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，π4. 所以当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4时，f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，π4上单调递增，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，－π12上单调递减.思维升华三角恒等变换的应用策略(1)进行三角恒等变换要抓住：变角、变函数名称、变结构，尤其是角之间的关系；注意公式的逆用和变形用.(2)把形如y ＝a sin x ＋b cos x 化为y ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)，可进一步研究函数的周期、单调性、最值与对称性. 已知函数f (x )＝cos x ·sin(x ＋π3)－3cos 2x ＋34，x ∈R . (1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在闭区间[－π4，π4]上的最大值和最小值. 解 (1)由已知，有 f (x )＝cos x ·(12sin x ＋32cos x )－3cos 2x ＋34 ＝12sin x ·cos x －32cos 2x ＋34＝14sin 2x －34(1＋cos 2x )＋34＝14sin 2x －34cos 2x ＝12sin(2x －π3). 所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π. (2)因为f (x )在区间[－π4，－π12]上是减函数，在区间[－π12，π4]上是增函数， f (－π4)＝－14，f (－π12)＝－12，f (π4)＝14，所以函数f (x )在闭区间[－π4，π4]上的最大值为14，最小值为－12.9.化归思想和整体代换思想在三角函数中的应用典例 (14分)(2015·重庆)已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x sin x －3cos 2x .(1)求f (x )的最小正周期和最大值；(2)讨论f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3上的单调性. 思想方法指导 (1)讨论形如y ＝a sin ωx ＋b cos ωx 型函数的性质，一律化成y ＝a 2＋b 2sin(ωx ＋φ)型的函数.(2)研究y ＝A sin(ωx ＋φ)型函数的最值、单调性，可将ωx ＋φ视为一个整体，换元后结合y ＝sin x 的图象解决.规范解答解 (1)f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x sin x －3cos 2x＝cos x sin x －32(1＋cos 2x )＝12sin 2x －32cos 2x －32＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3－32，[5分]因此f (x )的最小正周期为π，最大值为2－32.[7分](2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3时，0≤2x －π3≤π，[8分]从而当0≤2x －π3≤π2，即π6≤x ≤5π12时，f (x )单调递增，[10分]当π2≤2x －π3≤π，即5π12≤x ≤2π3时，f (x )单调递减.[12分]综上可知，f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，5π12上单调递增；在⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π12，2π3上单调递减.[14分]1.sin 15°＋sin 75°的值是 .答案 62解析 sin 15°＋sin 75°＝sin 15°＋cos 15°＝2sin(15°＋45°)＝2sin 60°＝62. 2.(2016·全国甲卷改编)若cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝35，则sin 2α＝ . 答案－725解析因为sin 2α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2α＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α－1，又因为cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝35，所以sin 2α＝2×925－1＝－725. 3.已知α∈R ，sin α＋2cos α＝102，则tan 2α＝ . 答案－34解析 (sin α＋2cos α)2＝52，展开得3cos 2α＋4sin αcos α＝32，再由二倍角公式得32cos 2α＋2sin 2α＝0，故tan 2α＝sin 2αcos 2α＝－322＝－34. 4.函数f (x )＝cos x 2·(sin x 2－3cos x 2)的最小正周期为 . 答案 2π解析因为f (x )＝cos x 2(sin x 2－3cos x2) ＝12sin x －32(cos x ＋1) ＝sin(x －π3)－32，所以f (x )的最小正周期为2π.5.(2016·江苏扬州中学四模)函数y ＝sin α(sin α－cos α) (α∈[－π2，0])的最大值为 .答案 12＋22解析 y ＝sin α(sin α－cos α)＝sin 2α－sin αcos α＝1－cos 2α2－12sin 2α＝12－12cos 2α－12sin 2α＝12－22sin(2α＋π4). ∵α∈[－π2，0]，∴－3π4≤2α＋π4≤π4， ∴当2α＋π4＝－π2时，函数取最大值y max ＝12＋22. 6.函数f (x )＝sin(2x ＋θ)＋3cos(2x ＋θ)⎝ ⎛⎭⎪⎫|θ|＜π2的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0对称，则f (x )的单调递增区间为 .答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－7π12＋k π，－π12＋k π，k ∈Z 解析 ∵f (x )＝sin(2x ＋θ)＋3cos(2x ＋θ)＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋θ＋π3，由题意知2×π6＋θ＋π3＝k π(k ∈Z )， ∴θ＝k π－23π(k ∈Z ). ∵|θ|＜π2，∴θ＝π3. ∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋23π. 由2k π－π2≤2x ＋23π≤2k π＋π2(k ∈Z )，得k π－712π≤x ≤k π－π12(k ∈Z ). 7.若f (x )＝2tan x －2sin 2 x 2－1sin x 2cos x 2，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12的值为 . 答案 8解析 ∵f (x )＝2tan x ＋1－2sin 2 x 212sin x ＝2tan x ＋2cos x sin x ＝2sin x cos x ＝4sin 2x ， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＝4sin π6＝8.8.若锐角α、β满足(1＋3tan α)(1＋3tan β)＝4，则α＋β＝ . 答案 π3 解析由(1＋3tan α)(1＋3tan β)＝4，可得tan α＋tan β1－tan αtan β＝3，即tan(α＋β)＝ 3. 又α＋β∈(0，π)，∴α＋β＝π3. 9.化简：3tan 12°－34cos 212°－2sin 12°＝ . 答案－4 3解析原式＝3·sin 12°cos 12°－322cos 212°－1sin 12° ＝2312sin 12°－32cos 12°cos 12°2cos 24°sin 12°＝23sin －48°2cos 24°sin 12°cos 12°＝－23sin 48°sin 24°cos 24°＝－23sin 48°12sin 48°＝－4 3. 10.设α∈(0，π3)，β∈(π6，π2)，且53sin α＋5cos α＝8， 2sin β＋6cos β＝2，则cos(α＋β)的值为 .答案－210解析由53sin α＋5cos α＝8，得sin(α＋π6)＝45， ∵α∈(0，π3)，∴π6<α＋π6<π2， ∴cos(α＋π6)＝35. 由2sin β＋6cos β＝2，得sin(β＋π3)＝22，∵β∈(π6，π2)， ∴π2<β＋π3<56π，∴cos(β＋π3)＝－22.∴cos(α＋β)＝sin[π2＋(α＋β)] ＝sin[(α＋π6)＋(β＋π3)] ＝sin(α＋π6)cos(β＋π3)＋cos(α＋π6)sin(β＋π3) ＝－210. 11.已知函数f (x )＝sin(x ＋π6)＋cos x . (1)求函数f (x )的最大值，并写出当f (x )取得最大值时x 的取值集合；(2)若α∈(0，π2)，f (α＋π6)＝335，求f (2α)的值. 解 (1)f (x )＝sin(x ＋π6)＋cos x ＝32sin x ＋12cos x ＋cos x ＝32sin x ＋32cos x ＝3sin(x ＋π3). 当x ＋π3＝2k π＋π2(k ∈Z )，即x ＝2k π＋π6(k ∈Z )时，f (x )取得最大值 3. 此时x 的取值集合为{x |x ＝2k π＋π6，k ∈Z }. (2)由(1)知，f (x )＝3sin(x ＋π3)，又f (α＋π6)＝335，所以3sin(α＋π6＋π3)＝3cos α＝335，即cos α＝35.因为α∈(0，π2)，所以sin α＝45，所以sin 2α＝2sin αcos α＝2×45×35＝2425， cos 2α＝2cos 2α－1＝－725. 所以f (2α)＝3sin(2α＋π3)＝32sin 2α＋32cos 2α＝32×2425－32×725＝243－2150. 12.已知函数f (x )＝cos 2x ＋sin x cos x ，x ∈R .(1)求f (π6)的值； (2)若sin α＝35，且α∈(π2，π)，求f (α2＋π24). 解 (1)f (π6)＝cos 2π6＋sin π6cos π6＝(32)2＋12×32＝3＋34. (2)因为f (x )＝cos 2x ＋sin x cos x ＝1＋cos 2x 2＋12sin 2x ＝12＋12(sin 2x ＋cos 2x )＝12＋22sin(2x ＋π4)，所以f (α2＋π24)＝12＋22sin(α＋π12＋π4) ＝12＋22sin(α＋π3)＝12＋22(12sin α＋32cos α). 又因为sin α＝35，且α∈(π2，π)，所以cos α＝－45，所以f (α2＋π24)＝12＋22(12×35－32×45) ＝10＋32－4620. 13.(2015·安徽)已知函数f (x )＝(sin x ＋cos x )2＋cos 2x .(1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值和最小值. 解 (1)因为f (x )＝sin 2x ＋cos 2x ＋2sin x cos x ＋cos 2x ＝1＋sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋1，所以函数f (x )的最小正周期为T ＝2π2＝π. (2)由(1)的计算结果知，f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋1.当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，2x ＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，5π4，由正弦函数y ＝sin x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，5π4上的图象知，当2x ＋π4＝π2，即x ＝π8时，f (x )取最大值2＋1；当2x ＋π4＝5π4，即x ＝π2时，f (x )取最小值0. 综上，f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值为2＋1，最小值为0.。

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