高斯定理1
大学物理 高斯定理
引言概述：在大学物理中，高斯定理是一项重要的物理原理，它描述了电场和磁场的性质。
高斯定理由德国物理学家卡尔·弗里德里希·高斯于18世纪中叶提出，是电磁学的基础之一。
本文将介绍高斯定理的概念、原理及其在电场和磁场中的应用。
正文内容：1. 高斯定理的概念1.1 定义高斯定理是描述电场和磁场分布的一种数学工具，它通过计算电场或磁场通过一个闭合曲面（高斯面）的总通量来研究场的分布。
1.2 数学表达高斯定理可以用数学表达式表示为：∮E·dA = q/ε0，其中∮E·dA表示场在闭合曲面上的总通量，q表示闭合曲面内的电荷量，ε0为真空介电常数。
2. 高斯定理的原理2.1 高斯面的选择高斯定理中的高斯面是根据具体问题选择的，一般情况下我们选择对称性较高的闭合曲面，以简化计算。
2.2 电场线的特性高斯定理的基础是电场线的性质，电场线从正电荷流向负电荷，且与介质边界垂直，通过一个封闭曲面的电场线数目与该封闭曲面内的电荷量有关。
2.3 通量与电场强度高斯定理中的总通量与电场强度呈正相关关系，通过计算总通量可以得到闭合曲面内的电场强度大小。
3. 高斯定理在电场中的应用3.1 点电荷的场分布高斯定理可以用来研究点电荷周围的电场分布，通过选择以点电荷为中心的球面作为高斯面，可以计算出球面内外的电场强度大小。
3.2 均匀带电球壳的场分布对于均匀带电球壳，可以通过选择以球壳为中心的闭合曲面来计算球壳内外的电场分布，根据高斯定理可以得到球壳内外的电场强度大小。
4. 高斯定理在磁场中的应用4.1 磁场的总通量类似于电场，磁场也可以使用高斯定理来描述，通过计算磁场通过闭合曲面的总通量可以了解磁场的分布情况。
4.2 磁场的磁感应强度高斯定理在磁场中的应用可以得到磁场的磁感应强度大小，通过选择合适的闭合曲面，可以计算出曲面内外的磁感应强度。
5. 高斯定理的实际应用5.1 高斯定理在电容器中的应用电容器是电子器件中常见的元件，根据高斯定理，可以计算电容器两极板之间的电场强度，进而了解电容器的性能。
高斯定理1ppt课件
三、高斯定理
1、定理的描述：
在任意静电场中，通过任一闭合曲面的电场强度通
量，等于该曲面所包围电荷的代数和的
1 0
倍。
qi
e EdS
S
i
0
真空中静电场
qi
i
介质中静电场
qi
i
.
自由电荷
自由电荷与介 质极化电荷
2、讨论： （1）高斯定理中的
E是
q
内
和q外
在闭合面上任一
点激发的总电场；
（2）通过闭合曲面的总电通量之决定于它所包围的电荷；
当带电体的分布具有某种对称性时，其在空
间激发的电场也将具有某种对称性，可以选择合
适的高斯面，利用高斯定理求出
E E (x ,y ,z)
.
常见的电量分布的对称性
球对称
柱对称
均 电匀
带
球体 球面 (点电荷)
长
无 限
柱体 柱面 带电线
面对称
无 平板 限 大
平面
.
例1 讨论一个半径为R均匀带电量为Q的 球体的电场分布。
空 0 <r ≤ R 间 R <r <
Q
R
.
（1） R < r <
Q dq1Βιβλιοθήκη O RS1r1
dq2
dE2 P
dE
dE1
.
解：
q0i
EdS i
S
ε0
Q r
S1
方程
左边
S 1E 1dSS 1E 1dS
R
E1Sd 1 S E14πr2
方程 右边
i q 0i Q
ε0
ε0
E1
【电磁学】高斯定理
【电磁学】高斯定理在高中物竞以及高考物理中经常出现高斯定理（高考物理中一般可以用对称法，填补法等等解出），建议阅读时间：7分钟一、高斯定理简介高斯定理（Gauss' law）也称为高斯通量理论（Gauss' flux theorem），或称作散度定理、高斯散度定理、高斯－奥斯特罗格拉德斯基公式、奥氏定理或高－奥公式（通常情况的高斯定理都是指该定理，也有其它同名定理）。
在静电学中，表明在闭合曲面内的电荷之和与产生的电场在该闭合曲面上的电通量积分之间的关系。
高斯定律（Gauss' law）表明在闭合曲面内的电荷分布与产生的电场之间的关系。
高斯定律在静电场情况下类比于应用在磁场学的安培定律，而二者都被集中在麦克斯韦方程组中。
因为数学上的相似性，高斯定律也可以应用于其它由平方反比律决定的物理量，例如引力或者辐照度。
在麦克斯韦方程组中也有麦克斯韦方程组对麦克斯韦方程组有兴趣的同学可以看看这篇文章，不过以后我也会讲的给一个百度百科的解释[1]好，我们开始了二、电场线电场线密度：经过电场中任一点，作一面积元 dS 并使它与该点的场强垂直，若通过 dS 面的电场线条数为 dN ,则电场线密度为 E=\frac{dN}{dS}可见，电场线密集处电场强度大，电场线稀疏处电场强度小电场强度通量：在电场中穿过任意曲面的电场线的总条数称为穿过该面的电通量，用 \phi_{c} 表示.匀强电场： \phi_{e}=EScos\theta ;非匀强电场：d\phi_{e}=EdS \Rightarrow \phi_{e}=\int_{S}^{}E·dS（哈哈，打不来矢量，看着有点恼火）3.电通量的正负在电磁学中是这样规定:1.对于不闭合的曲面(平面)S,可以任意选取电场线穿进S产生的电通量为正或为负，也就是说完全取决于 dS 与 E 的夹角.\theta<\frac{π}{2}时， \phi_{e}>0 ；\theta>\frac{π}{2}时， \phi_{e}<02.对于闭合的曲面(如球面),规定选取电场线穿出时的电通量为正.\phi_{e}=\iint_{S}EdS三、高斯定理内容穿过一封闭曲面的电通量与封闭曲面所包围的du电荷量成正比。
高等数学11.6高斯(Gauss)公式
一、高斯公式
P Q R )dV ( x y z Pdydz Qdzdx Rdxdy
其中 取外侧 .
由两类曲面积分之间的关系得高斯公式的另一种形式：
P Q R Pdydz Qdzdx Rdxdy ( ) dv x y z
对图中区域 , 可添加曲面 3 ( 上侧 ),
1 2 ,
1 2 ,
1 1 3 , 2 2 3 ,
1 2
z
2
3
2
1
1 3
2 3
2
z=h
1
法向量 y z h( h 0) (0,0,1)
2 2
h
D xy
o
y
2 2 2 1 4 ( x cos y cos z cos ) dS 2 ( x y z ) dv h . 2 1
x
( x 2 cos y 2 cos z 2 cos )dS z 2 dS
2
y z h( h 0)
2 2
h
D xy
o
y
2
x P Q R ( P cos Q cos R cos )dS . ( ) dv x y z
2 2 2 ( x cos y cos z cos )dS ( x y z )dv 1
0,
( x y )dxdy ( y z ) xdydz
高斯定理
1
4π0
q r3
rdS
e
S de
q
q
dS
S 4π0r 2
4π0r 2
dS q
S
0
Φe 与r 无关q ，也就是说，无论高斯面多大，总 电通量都为 0 ，即通过各球面的电力线总条数相 等。 说明点电荷的电力线可以延伸到无限远处。 9
2. 点电荷在任意封闭曲面内
穿过球面S1和S2的电场线，必定也穿 过闭合曲面S。所以穿过任意闭合曲
e ES cos 或 e E S
S cos
(3) 非均匀电场强度电通量
de E dS
通过任一曲面S 的电通量：
e de EdS
S
S
5
思考题：电场线与电通量的区别
(4) 任意闭合曲面的电通量：
e d e E dS
S
S
一个闭合曲面把整个空间分割成两部分： 内部空间和外部空间
外法线矢量：指向曲面外部空间的法线矢量 内法线矢量：指向曲面内部空间的法线矢量
S2
S
E
面 S的电通量必然为q/ 0 ，即
q S1
Φe
s
Ev dSv
q
0
• 点电荷为-q时，通过任意闭合曲面的电通量
Φe
S
Ev
dSv
q
0
电场线是穿入闭合曲面的。
10
3. 任意闭合曲面S包围多个点电荷q1、q2、…、qn 根据电通量的定义和电场强度的叠加原理，其电通
量可以表示为
Φe
E
S
dS
(E1
其实高斯定理不仅适用于静电场，还可用于变化的电 场，比库仑定律更广泛，是Maxwell方程组之一
16
高斯定理[1]
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三、高斯定理1、高斯定理的内容通过任意一个闭合曲面的电通量等于包围在该闭合面内所有电荷电量的代数和除以，与闭合面外的电荷无关。
用公式表示，得这个闭合面习惯上叫高斯面。
闭合面内的电荷可能有正有负，电量的代数和指的是正负电荷电量的代数和。
2、高斯定理的证明（1）单个点电荷包围在同心球面内设空间有一点电荷，其周围激发电场。
以为球心，为半径作一球面为高斯面。
则高斯面上各点场强的大小相等，方向沿矢径方向向外。
在高斯面上取一面元，则通过的电通量为通过整个高斯面的电通量为（2）单个点电荷包围在任意闭合曲面内在闭合曲面内以为球心，为半径作一任意球面为高斯面。
在面上取一面元，则通过的电通量为通过整个闭合曲面的电通量为（3）单个点电荷在任意闭合曲面外以为顶点作一锥面，立体角为。
锥面在闭合曲面上截取了两个面元,，它们到顶点的距离分别为，则通过和的电通量为即和的数值相等，符号相反，它们的代数和为零。
而通过整个闭合曲面的电通量是通过这样一对对面元的电通量之和，因而也等于零。
（4）多个点电荷的情形设空间同时存在个点电荷，其中在高斯面之内，在高斯面之外。
设面上任一点的场强为，由场强叠加原理，得式中是各点电荷单独存在时的场强。
穿过面的电通量为高斯定理是静电场的两条基本定理之一，它反映了静电场的基本性质：静电场是有源场，"源"即电荷。
此外高斯定理不仅对静电场适用，对变化的电场也适用，它是电磁场理论的基本方程之一。
四、应用高斯定理求场强1、均匀带电球壳的场强设有一半径为的球壳均匀带电，其所带电量为，求球壳内外的电场强度。
解：（1）、球壳外的场强通过点以为球心、为半径作一封闭球面为高斯面。
由于对称性，该面上场强的数值都相同，方向沿半径向外。
应用高斯定理，得所以（2）、球壳内的场强通过点以为球心、为半径作一封闭球面为高斯面。
由于对称性，该面上场强的数值都相同，方向沿半径向外。
应用高斯定理，得所以2、均匀带电球体的场强设有一半径为的均匀带电球体，其所带电荷的体密度为，求球体内外的电场强度。
大学物理第22章_高斯定理 (1)
均匀带电球壳或球面外的电场与将所有电荷集中在球心处作为一
个点电荷所产生的电场是一样的。
(b)选择半径为r（r<r0）的同 心球面为高斯面。 根据高斯定理，A2面内无电荷
E dQA en clE 0(4r2)0
E0
（c）这些结果同样也适用于均匀带电球形导体，因为 全部电荷都聚集在球表面。
均匀带电球外的电场等效于将所有电荷作为一
E 1 Q
40 r 2
个点电荷集中在球心处所产生的电场。
（b）球内，选择半径为r(r<r0)的同心球面作 为高斯面A2
高斯定理可写为 E dA E(4r2)Qencl
0
Qencl是由A2包围的电荷
定义电荷密度 EdQdV
Qencl
应用高斯定律求解电场强度的一般步骤：
1、分析带电体的电荷分布和电场分布的特点，以 便依据其对称特点选取合适的闭合面（高斯面）。
2、闭合面（高斯面）选取类型：a、面上各点电场 强度与面垂直，大小处处相等；b、面上一部分各点 电场强度处处相等且与面垂直，另外部分电场强度 与面处处平行。
例22-3 球形导体
q2 q4 0
Q 0
练习B（自学） 一个点电荷Q处于球形高斯曲面A的球心处，
当第二个电荷Q放在曲面A外部时，通过这个球形 曲面A总的净通量将： (a)不变，(b)加倍，(c)减半，(d)abc选项都不正确。
练习C（自学） 一个小盒子里有3个带电量为2.95μ C的电荷。
离开盒子的净通量是多少？ (a) 3.3×1012 Nm2 /C，(b) 3.3×105 Nm2 /C， (c) 1.0×1012 Nm2 /C，(d) 1.0×106 Nm2 /C， (e) 6.7×106 Nm2 /C。
高斯定理1
E
0
R
r
如果是均匀带电球面
0 <r ≤ R
E dS
S
S1
q
i
Q r
R
S1
0i
S1
E1 dS E1dS E1 dS E1 4π r 2
S1
ε0
q
i
0i
ε0
0
E1 0
E2 Q r 2 0 4π ε 0r
讨论：
i 一般情况下电场线不是正电 荷在场中运动的轨迹，正电荷 受力方向与电场线方向一致；
F
ii 电场线是人为引入的，电 场中不存在电场线；
3、电场线密度：
dN E dS
dS
电场中某点场强的大小 等于通过该点附近垂直于电 场方向单位面积的电场线条 数，即电场线密度；
n
E
二、电场强度通量的计算：
s
根据高斯定理
E ds
s
q
i
i
0
h E 2rh 0 E 2r 0
(II)柱体内部(r<R)
在柱体内过p点,半径r,做 与带电圆柱同轴高为h的 柱面为高斯面
o
o o
R
p
h
e E ds E 2rh
s
根据高斯定理
E ds
当带电体的分布具有某种对称性时，其在空 间激发的电场也将具有某种对称性，可以选择合 适的高斯面，利用高斯定理求出 E E(x, y, z)
常见的电量分布的对称性
球对称
柱对称
面对称
均 匀 带 电
球体 球面 (点电荷)
磁场的高斯定理(1)
磁场的高斯定理什么是磁场的高斯定理？磁场的高斯定理是电磁学中的一项重要定理，用于描述磁场在闭合曲面上的表现。
它类似于电场的高斯定理，但与电场的高斯定理稍有不同。
在电磁学中，磁场是由电荷产生的，而通过磁化的物质（如永磁体或电流）也能产生磁场。
磁场是一个矢量场，有大小和方向。
磁场的高斯定理描述了磁场通过一个闭合曲面的通量与该曲面所包围的总磁荷的关系。
高斯定理的公式表达磁场的高斯定理的数学表达如下：∮ B·dA = µ₀·∫ J·dV其中，左边的积分表示磁场矢量B与闭合曲面上的微元面积矢量dA的点积之和。
右边的积分表示磁场中的磁荷密度J与整个空间的微元体积dV的点积之和。
µ₀是真空中的磁导率，其数值为4π×10⁻⁷ T·m/A。
高斯定理的解释与电场的高斯定理类似，磁场的高斯定理表明，磁场线经过一个闭合曲面上的通量与该曲面所包围的总磁荷（或磁矩）成正比。
如果闭合曲面不包围任何磁荷，则通量为零。
要注意的是，由于自由磁荷的稀缺性，磁场的高斯定理通常不被广泛使用，而更多的是应用于磁化体（如永磁体）或电流产生的磁场。
高斯定理的应用磁场的高斯定理在许多电磁学问题中都有广泛的应用。
以下是一些常见的应用示例：1. 计算磁场分布磁场的高斯定理可以用于计算磁场在闭合曲面上的总通量，从而了解磁场的分布情况。
通过选取不同的闭合曲面，可以获得不同位置的磁场特性，有助于对磁场的理解和分析。
2. 计算磁场与磁荷之间的关系通过高斯定理，可以计算闭合曲面上磁场与所包围磁荷之间的关系。
这对于研究磁场与磁荷之间的相互作用非常有用。
3. 计算磁化体的磁场磁场的高斯定理可以用于计算磁化体（如永磁体）内部的磁场分布。
通过选取适当的闭合曲面，可以将磁化体内部的磁场与外部的磁场相分离，从而提供更准确的磁场计算。
4. 计算电流线圈的磁场高斯定理可以用于计算通过电流线圈产生的磁场分布。
第一章 高斯定理
ˆ dS = dSn
大小等于面元的面积，方向取其法线方向 大小等于面元的面积，方向取其法线方向. 因此电通量 电通量: 因此电通量
dφ = EdS⊥ = EdS cosθ = E ⋅ dS
2. 穿过任意曲面的电通量φ
φ = ∫∫S dφ = ∫∫SE ⋅ dS
= ∫∫ EdS cosθ
S
dφ
dS
E
高斯面
定理表述: 静电场中任一闭合曲面 任一闭合曲面的电通量等于该曲面 定理表述: 静电场中任一闭合曲面的电通量等于该曲面 内电荷的代数和除以 与面外电荷无关) 内电荷的代数和除以ε0 (与面外电荷无关) 与面外电荷无关 证明: 证明:
φ = ∫∫ E ⋅ dS =
S
1
ε0
∑q
内
1.通过包围点电荷q 1.通过包围点电荷q的同心球面的电通量 通过包围点电荷 穿过面元的电通量 dφ = E ⋅ dS = EdS cos θ 穿过球面的电通量 φ = ∫∫ EdS cos θ 球面上各点E大小相等 球面上各点 大小相等 E // dS , cosθ = 1
φ = ∫∫ E ⋅ dS = ∫∫ E ⋅ dS + ∫∫ E ⋅ dS = ∫∫SE ⋅ dS = ∫∫SEdS cos θ = E ∫∫SdS
S S1 S2
2 2
2
而另一部分(S 各点的场强大小相等 各点的场强大小相等, 而另一部分 2)各点的场强大小相等 方向与高斯面法线方向一 致 目的: 目的 将E从积分号中提出 从积分号中提出
不会在无电荷处中断； 电 荷(或“∞”远) , 不会在无电荷处中断； 或 为非闭合曲 2) 电力线密处场强大 疏处场强小 线 电力线密处场强大, 疏处场强小; 3) 电力线方向为电势降低的方向；U B < U A 电力线方向为电势降低的方向；
高 斯 定 理
1.3 高斯定理
静电场是由电荷所激发的，通过电场空间某一给定闭合 曲面的电通量与激发电场的场源电荷必定有确定的关系。德 国科学家高斯通过缜密运算论证了这个关系，并提出了著名 的高斯定理。该定理给出了通过任何曲面S的电通量φe与闭 合曲面内部所包围的电荷之间的关系。下面就以点电荷为例 来讨论。
（3）利用高斯定理解出场强E。
【例7-4】求点电荷Q的电场强度的分布情况。
S
0
由此可见，通过此球面的电通量等于球面内的电荷量q除以 真空电容率ε0 ，与球面半径无关。
（2）一个正点电荷q，被任意闭合曲 面S′和球面S同时包围，如下图所示。根 据电力线的连续性可知，凡是通过球面S 的电力线都一定通过曲面S′。所以通过闭 合曲面S′的电通量等于通过球面S的电通 量，均为 q/ε0 。
物理学
高斯定理
1.1 电场线
电场线是空间中一系列假想的曲线，主要反映电场的特
征，描述电场中各点场强E的大小和方向。为此，对电场线作
如下规定：
（1）电场线上每一点的切线方向与该点场强E的方向一
致。这样，电场线的方向就反映了场强方向的分布情况。
（2）在任一场点，使通过垂直于场强E的单位面积的电
场线数目（称为电场线密度），正比于该点处场强E的大小。
2．非均匀电场的电通量
在非均匀电场中，为了求出通过任意曲面S的电通量φe， 可以把曲面S分成无限多个面元dS，如下图所示。此时，面元 dS可以近似看成一个平面，并且在面元的范围内电场强度可 以近似看成大小相等、方向相同的匀强电场。
高斯定理
高斯定理：1高斯定理反映了电场对闭合曲面的E 通量e φ与闭合曲面包含的我电荷量的代数和的关系，而并非指闭合曲面中电场强度与电荷量的代数和的关系2闭合面外的电荷对通过闭合面的E 通量e φ并没有影响，但是对闭合面上的个点的电场强度是有影响的，也就是闭合曲面上各点的电场强度是由闭合面内外所有电荷共同激发的。
3静电场是有源场。
高斯定理的应用：对于有对称性的电场，可以利用高斯定理来求电场强度，具体步骤如下：1. 从点和分布的对称性来分析电场强度的对称性，判定电场强度的方向；2. 根据电场强度的对称性，作对应的高斯面（通常为球面、圆柱面等），且使得高斯面上的各点的电场强度相等；3. 确定高斯面内所包围的电荷的代数和；4. 根据高斯定理来计算出电场强度的大小。
注意：不具有对称性的电荷分布，其电场不能直接用高斯定理求出。
但是高斯定理同样成立。
静电场的环路定理 电势 5-4-1静电场的环路定理在静电场中，实验电荷0q 从一个位置移动到另一个位置时，电场力对他所做的功只与0q 基础是位置有关，而与路径无关。
静电场是保守场。
有关实验电荷做功：00000200cos a b 111W 44b ba a r rb a b a r r dW F dl q Edl dW q Edrq qdW q Edr dr qq r r r θπεπε=⋅==⎛⎫====- ⎪⎝⎭⎰⎰⎰实验电荷从点移到点，电场力对他做功是：静电场的环路定理：静电场中E 的环流恒等于零，这一结论与静电场中电场力做功与路径无关等价，称为静电场的环路定理。
E 的环流： 0E l E l Edl =⎰ 是电场强度沿闭合路径的线积分，称为电场强度的环流。
静电场的高斯定理和环路定理是描述经典性质的两条基本定理，高斯定理指出静电场是有源场，环路定理指出静电场的是有势场，即为一种保守场。
5-4-2电势能电势能记作E p ，静电场是一种保守场，保守力做功相应势能的减少。
高斯定理
高斯定理科技名词定义中文名称：高斯定理英文名称：Gauss theorem定义：通过任意闭合曲面的电通量等于该闭合曲面所包围的所有电荷量的代数和与电常数之比。
所属学科：电力（一级学科）；通论（二级学科）本内容由全国科学技术名词审定委员会审定公布目录编辑本段高斯定理1矢量分析的重要定理之一。
穿过一封闭曲面的电通量与封闭曲面所包围的电荷量成正比。
换一种说法：电场强度在一封闭曲面上的面积分与封闭曲面所包围的电荷量成正比由于磁力线总是闭合曲线，因此任何一条进入一个闭合曲面的磁力线必定会从曲面内部出来，否则这条磁力线就不会闭合起来了。
如果对于一个闭合曲面，定义向外为正法线的指向，则进入曲面的磁通量为负，出来的磁通量为正，那么就可以得到通过一个闭合曲面的总磁通量为0。
这个规律类似于电场中的高斯定理，因此也称为高斯定理[1]。
与静电场中的高斯定理相比较，两者有着本质上的区别。
在静电场中，由于自然界中存在着独立的电荷，所以电场线有起点和终点，只要闭合面内有净余的正（或负）电荷，穿过闭合面的电通量就不等于零，即静电场是有源场；而在磁场中，由于自然界中没有单独的磁极存在，N极和S极是不能分离的，磁感线都是无头无尾的闭合线，所以通过任何闭合面的磁通量必等于零。
电场 E （矢量）通过任一闭曲面的通量，即对该曲面的积分等于4π乘以该曲面所包围的总电荷量。
公式表达：∫(E·da) = 4π*S(ρdv)适用条件：任何电场静电场（见电场）的基本方程之一，它给出了电场强度在任意封闭曲面上的面积分和包围在封闭曲面内的总电量之间的关系。
根据库仑定律可以证明电场强度对任意封闭曲面的通量正比于该封闭曲面内电荷的代数和，即公式这就是高斯定理。
它表示，电场强度对任意封闭曲面的通量只取决于该封闭曲面内电荷的代数和，与曲面内电荷的分布情况无关，与封闭曲面外的电荷亦无关。
在真空的情况下,Σq是包围在封闭曲面内的自由电荷的代数和。
当存在介质时,Σq应理解为包围在封闭曲面内的自由电荷和极化电荷的总和。
静电4-高斯定理 (1)
1) 通过包围点电荷q 的同心球面的电通量都等于q/0 在该场中任取一包围点电荷的闭合球面(如图示)
穿过S的电通量 = 穿过S的电力线条数
Φe S E dS EdS E dS
q 4 0 r
2
4r
2
Φe
q
0
S
q E
E
dS
这一结论是库仑平方反比关系的必然结果 电量为q 的点电荷产生的电力线总条数为： N q / 0 2 4 r 以q为球心、半径为r 的整个 4 4球面度 2 球面对球心张开的立体角为： r 任意闭合曲面对曲面内任一点所张 开的总立体角均为4球面度:
3.3 高斯定理的表述和证明
1.表述： 在真空中的静电场内，通过一个任意闭合曲面 的电通量e等于该闭合面所包围的所有电荷量的代 数和qi 除以0 ，与闭合面外的电荷无关 。
e= E dS
S
q
i
i内
0
闭合面S习惯上 称为高斯面
2.高斯定理的明
库仑定律 + 叠加原理
一般电荷分布的场
3.4 从高斯定理看电力线的性质
看书自学
3.5. 高斯定理在解场方面的应用
E dS
S
q
i
i
0
Q 分布具有某种对称性的情况，高斯定理求 E较方便
步骤
1. 对称分析 2. 选取适当高斯面
3. 计算电通量
4. 让它等于面内自由电荷的
1/ 0
9
常见的电量分布的对称性：
球对称 均匀带电的 轴对称 无限长 柱体 柱面 带电线 面对称 无限大
E
均匀带电球体
E内 0 E外
Q 4 0 r
初中数学高斯定理
初中数学高斯定理高斯定理，也称为高斯-斯托克斯定理，是微积分学中的一个定理。
它是利用曲面积分和向量分析的基本概念提出的，经常用于解决电场、磁场、流体力学等领域的问题。
高斯定理可以将曲面积分转化为体积积分，从而简化计算。
高斯定理的表述高斯定理可以表示为以下几种形式：1.对于封闭曲面S和任意向量场F，高斯定理为：∯s (F·n)dS = ∬∬∬V (divF)dV其中，n是曲面S上的单位法向量，dS是微元面积，divF是向量场F的发散。
2.对于无限大的截面为S的长直导体内部的电场E和电荷密度ρ，高斯定理为：∮E·ds = Q/ε0其中，Q是截面S内的总电荷量，ε0是真空介电常数，s是导体截面上的微元弧长。
∫∫∫V (divE)dV = ∫∫∫V (ρ/ε0)dV其中，ε0表示真空电容率。
高斯定理在实际问题中有着广泛的应用，下面以几个例子来说明。
1.求解电场强度高斯定理在电场强度的求解中有着重要应用。
当电荷分布对称时，高斯定理可以将曲面上的积分转换为体积内的积分，从而大大简化了计算。
例：求电荷均匀分布球壳内外的电势、场强。
先选择一个脱离球心面的球形高斯面，并经过导体上下表面的设想，表明导体表面电势相等，且在面外区域电场强度场为0，在内壳面区域电场强度场相等，则有：其中Q_e是高斯面内电荷量。
因为在球心处电场强度为0，则高斯面以外的积分为0，则：解得E={K_eQ_e}/r^2其中K_e=1/4πε0为电强度常数。
2.求解电通量利用高斯定理，我们可以计算负荷对于导体表面（不包括孔和缝）和导体中的电通量。
例：计算均匀电荷分布球体的电通量。
设有一个半径为r1的均匀带电球体，在离球心r处(小于r1)取一小球，其面积为S，则由于电场分布对称，则小球上各相等的面元二相互平行，则关于小球表面总的电力矢量可看成是在小球中心通的电通量矢量。
由Gauss定理，通量与小球的尺寸无关，有：Φ_e = E.S = Q/(4πε0r^2)×4πr^2 = Q/ε0其中Φ_e是电通量，E是电场强度，Q是球体内的总电荷量。
高斯定理证明
高斯定理证明
高斯定理是电磁学中的一个重要定理，也称为高斯第一定理、高斯-奥波尔兹定理或高斯-斯托克斯定理。
它是电场、磁场和流体动力学中的基本方程之一，描述电场、磁场和流体速度的场在一个闭合曲面上的性质。
高斯定理可以用来计算电场通过一个任意形状的闭合曲面的总通量，它的数学表达式为：
∮E · dA = 1/ε₀ · ∫∫∫ρ dV
其中：
- ∮E · dA表示电场E与曲面元dA的点乘积（即电场E沿曲面法向量方向的分量与曲面元面积的乘积）之和。
- ε₀为电场中的真空介电常数，其值为8.854×10⁻¹²
C²/(N·m²)。
- ∫∫∫ρ dV表示在闭合曲面内的电荷密度ρ乘以体积元dV 之和。
高斯定理的证明分为两个步骤：
1. 假设电场E是有限个点电荷的叠加，可以根据库仑定律得到电场E与闭合曲面上各点的点乘积之和等于电荷与外部点产生的共同电势的梯度在该点上的点乘积之和。
2. 利用极限的思想，将点电荷的数量无限逼近，使得点电荷产生的电场可以看作一个连续的场，通过对电场的积分可以得到闭合曲面上的总通量。
综上所述，高斯定理的证明基于库仑定律和极限的思想，将点电荷的叠加近似为连续的电场场源，通过对电场的积分计算闭合曲面上的总通量。
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q e E ds 0 S
通过正方形平面的电通量： q
eS
1
q 6 0
伟大的科学家—高斯
高斯（K.F.Gauss,17771855)，德国物理学家，数学家和 天文学家。
一、清苦的童年：
１７７７．４．３０生于德国布伦 瑞克，父亲是引水站站长，家境并 不十分富裕； １７８４年在卡塔林伦小学读书，表现出非凡的数学 天赋；
当带电体的分布具有某种对称性时，其在空 间激发的电场也将具有某种对称性，可以选择合 适的高斯面，利用高斯定理求出 E E(x, y, z)
常见的电量分布的对称性
球对称
柱对称
面对称
均 匀 带 电
球体 球面 (点电荷)
无 限 长
柱体 柱面
带电线
无 限 大
平板
平面
例1： 求半径为R，带电量为q的均匀带电球体的电场分布。
（5）高斯定理与库仑定律：
不是相互独立的，而是用不同形式表示的电场与场 源关系的同一客观规律；
适用范围： 库仑定律适用于静电场；
高斯定理适用于静电场、变化的电场；
库仑定律 已知q分布 E分布 高斯定理 q对称分布 E分布 高斯定理 任意区域内电荷 E分布
电场强度通量
一、电场线： 1、电场线与电场强度的关系： i电场线上每一点的切线方向表示该点场强的方向； ii电场线的疏密表示场强的大小；
视频
正负带电板
不规则形状 的带电导体
2、电场线的特征：
（1）电场线起于正点荷（或无穷远），终止与负电荷或 无穷远），不会在没有电荷的地方中断； （2）任何两条电力线不能相交；
１７９２年，在布伦瑞克城卡尔．威廉．费尔南多公 爵的资助下，考入卡诺利努高等专科学校； １７９４年创立了最小二乘法；
二、大学生活 １７９５年１０月,考入格廷根大学,成为一个多才多艺 的优秀学员; 1796年3月30日,成功的用直尺和圆规做出了正17边形. 1798年大学毕业返回家乡
三、勤奋的工作和出色的成果 1799年,研究代数数论《算术研究》，于1801年出版； 1801-1818年研究天文学，计算星体的位置，发表了 《天体运动论》 “谷神星”，“智神星”， “昏神星”，“灶神星”
e dN E ds
S
开放曲面：任取；
取向： ds
s
封闭曲面：自内向外为正；
例： 有一长为L，底面面积为b的圆柱体沿x轴方向放在
E 200i
的均匀电场中，求：通过此柱体左底面、
右底面、侧面的电通量及通过整个柱体的电通量
E
o
x
o
解:
x
E dS
(6).高斯定理的微分形式
1 E ρ ε0
散度
电场强度在空间某点 的散度等于该点电荷 密度的1／0倍。
E （ i j k）E x y z
(div E)
（7）高斯定理说明静电场是有源场；
二. 高斯定理的应用
E ds
S
q
i
-
E-
+3 B C
E A E- E
A
σ 0 3σ 0 σ0 ( )i i 2ε 0 2ε 0 ε0
σ 0 3σ 0 2σ 0 EB i i i 2ε 0 2ε 0 ε0
E+ O
σ 0 3σ 0 σ 0 EC i i i 2ε 0 2ε 0 ε0
R
e E ds
s
E 4r
2
根据高斯定理 e E ds
s
q
i
i
0
qr E 3 40 R
qr 3 1 2 E 4r 3 0 R
II区(r>R): 过球外任一点p,以op为半径做与带电 球同心的球面为高斯面
（4）E随r的变化关系图
E
0
R
r
例2：有一边长为a的正方形平面，在其中垂线上距中心0
1 点 a 处，有一电量为q的正点电荷，如图所示，则通过 2
该平面的电场强度通量为？ 解：电场具有对称性，可 以做一闭合曲面，利用高 斯定理求电通量 以点电荷所在位置为中心，做 一边长为a的正方体面如图 q
q
由高斯定理，通过该闭合曲 面的电通量
ds
E n ds A
二、电场强度通量的计算：
1、通量：矢量场中任意给定面积上通过的矢量线的条 数，叫做该曲面的通量，其大小与假想曲面有关；
2、电通量：通过电场中任意给定面积上的电场线的条 数，叫做通过该曲面的电通量。
推导：
dN E dS
E
n
ds
dN E ds E ds cos E ds
e E ds E 2rh
s
根据高斯定理
0 h 2 E 2rh r 2 0R
s
E ds
q
i
i
r E 2 2r 0 R
故:无限长带电圆柱体的场强分布
r E 2 R 2 r R 0 E r R 20 r
求电通量 求电场强度 求电荷
i内
ε0
1.求电通量 例1 在点电荷+q的静电场中，有两个如图所示的闭 合曲面S1、 S2 ，则1 =（ ）、 2 = （ ）。
Φ1
q
i
S1
i内
ε0
q ε0 0
S2
+q
Φ2
q
i
i内
ε0
例2
如图所示，半径为R的半球面置于电场强度为E的 均匀电场中，则通过该半球面的电场强度通量为
s左
n
E
柱体左底面的电通 量:
n n
柱体右底面的电通量:
n
e左
EdS
s左
Eb
2
e右
E dS EdS
s右 s右
200b 2
200b
2
n
E
e右 E dS
s右
柱体侧面的电通量: n n
例3
点电荷Q被闭合曲面S包围，从无穷远处引入另 一点电荷q至曲面外一点，则引入前后 （A）曲面S的电通量不变，曲面上各点场强不变。 （B）曲面s的电通量变化，曲面上各点场强不变。 （C）曲面s的电通量变化，曲面上各点场强变化。 （D）曲面s的电通量不变，曲面上各点场强变化。
S E2 Q
O
E1
q
2.求电场强度
E
E 1 r2
E
E 1 r2
O
R
r
O
R
r
例2
下面那条曲线表示的是均匀带电球体的电场分布？ 那条曲线表示的是均匀带电球面的电场分布？
E E
E 1 r2
E
E 1 r
(A)
O
R
(B) r
E O
(C)
E
1 r2
R
r
E
O
R
r
(D)
O R
E
1 r2
(E)
E
1 r
r
O
R
r
q1
q2
I
S1
S2
II III
n
R S1
EΒιβλιοθήκη 解： 做曲面S1，使 S+S1为闭合曲面
E dS
q
i
i
ε0
ΦS S1
E dS 0
S S1
S
ΦS S1 ΦS ΦS1
ΦS ΦS 1
2 E S1 E S1 E S1 EπR
（4）E随r的变化关系图
E
0
R
r
均匀带电球体的电场分布 Qr E1 r (0 r R) 3 0 4π ε 0R
均匀带电球面的电场分布
E1 0
(0 r R)
E2
Q Q r (R r ) r0 (R r ) E2 2 0 2 4π ε 0r 4π ε 0r
（3）静电场中电力线有头有尾，不能形成闭合曲线；
讨论：
i 一般情况下电场线不是正电 荷在场中运动的轨迹，正电荷 受力方向与电场线方向一致； ii 电场线是人为引入的，电 场中不存在电场线；
F
3、电场线密度：
dN E dS
电场中某点场强的大小 等于通过该点附近垂直于电 场方向单位面积的电场线条 数，即电场线密度；
n
柱体的总电通量:
o
x
总 0
高斯定理及其应用 一、高斯定理
1、定理的描述：
在任意静电场中，通过任一闭合曲面的电场强度通 量，等于该曲面所包围电荷的代数和的 倍。 0
1
e E dS
S
q
i
i
真空中静电场
0
q
i i
i
自由电荷 自由电荷与介 质极化电荷
介质中静电场 qi
2、讨论： （1）高斯定理中的 点激发的总电场； （3）
是 q内 和 q外 在闭合面上任一 E E p q2 q1 q4 q5 q 3
（2）通过闭合曲面的总电通量之决定于它所包围的电荷；
e 0 qi 0
不能推出曲面上各 点的场强为零；
e
（4）高斯面只能是闭合曲面；
q7
q8 q6
x
例3：求半径为R，单位长度带电量为 的无限长圆
柱的电场分布
分析对称性:
空间任一 点的场强方向 垂直柱面成辐 射状分布,并且 与轴线距离相 等的地方场强 大小相等