黑龙江省哈师大附中2017-2018学年高二上学期期中考试数学(理)试题Word版含答案
黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学2017-2018学年高二10月月考数学(理)试题 Word版含解析
哈师大附中高二上学期月考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 已知焦点在轴上的椭圆的长轴长是8，离心率是，则此椭圆的标准方程是( )A. B. C. D.【答案】A【解析】由题意知，2a=8，∴a=4，又，∴c=3，则b2=a2﹣c2=7．当椭圆的焦点在x轴上时，椭圆方程为；故答案为：。
故答案为A。
2. 圆x2＋y2＝5在点（1，2）处的切线方程为( )A. x＋2y＋5＝0B. 2x＋y＋5＝0C. 2x＋y -5＝0D. x＋2y -5＝0【答案】D【解析】根据结论圆，在点处的切线方程为，将点（1，2）代入切线方程得到x＋2y-5＝0。
故答案为：D。
3. 已知实数，满足约束条件，则的最大值为（）A. 0B.C. 4D.【答案】C【解析】试题分析：由不等式组作出可行域，如图，当目标函数经过点时，取得最大值，且为.考点：简单线性规划．【方法点睛】本题主要考查线性规划问题，首先由不等式组作出相应的可行域，作图时，可将不等式转化为（或），“”取下方，“”取上方，并明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值取法、值域范围.4. 若圆的半径1，圆心在第一象限，且与直线和轴均相切，则该圆的标准方程是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】试题分析：设圆心坐标为，由题意知，且．又圆和直线相切，所以，解得，所以圆的方程为，故选B．考点：1、直线与圆的位置关系；2、点到直线的距离．5. 已知点为椭圆的两个焦点,过的直线交椭圆于两点,且,则（）A. 20B. 18C. 12D. 10【答案】C【解析】点F1，F2为椭圆的两个焦点，过F 1的直线交椭圆于A ，B 两点，且|AB|=8，a=5．则|AF 2|+|BF 2|+AF 1||+|BF 1|=|AF 2|+|BF 2|+|AB|=|AF 2|+|BF 2|+8=4a=20． |AF 2|+|BF 2|=12． 故答案为：C 。
黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学2017-2018学年高三上学期期中考试数学(理)试题 Word版含答案
哈师大附中2017-2018学年度高三上学期期中考试数学试题（理科）考试时间：120分钟 满分：150分第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、 选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．已知集合{}|3A x x =<，{}|20B x x =-≤，那么集合=B A A ．(],3-∞B ．(),3-∞C ．[)2,3D ．(]3,2-2．已知不共线的向量,a b ，||2,||3==a b ，()1⋅-=a b a ，则||-=a bAB ． CD 3．等差数列{}n a 中，35710133()2()24a a a a a ++++=，则这个数列的前13项和为A ．13B ．26C ．52D ．156 4．右图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的体积是 A ．133π B ． 7π C ．11πD ． 12π5．将函数()sin (0)f x x ωω=>的图象向右平移4π个单位长度，所得图象关于点3,04π⎛⎫⎪⎝⎭对称，则ω的最小值是 A ．13B ．1C ．53D ． 2 6．设tan()2πα+=，则sin()cos()sin()cos()αππααππα-+-=+--A ．13B ．1C ．3D ． -17．设{}n a 是由正数组成的等比数列，n S 为其前n 项和，已知241a a =，37,S =则5S = A ．152 B ．314 C ．334D ．1728．定义在R 上的奇函数()f x 满足(3)(),f x f x +=-且(1)2f =，则(2013)(2015)f f += A ．-2 B ．0 C ．2D ．49．已知函数()3sin ,f x x x π=-:(0,),()02p x f x π∀∈<，则A ．p 是真，00:(0,),()02p x f x π⌝∃∈≥ B ．p 是真，:(0,),()02p x f x π⌝∀∈>C ．p 是假，:(0,),()02p x f x π⌝∀∈≥D ．p 是假，00:(0,),()02p x f x π⌝∃∈≥10．已知函数(12)3,1()ln ,1a x a x f x x x -+<⎧=⎨≥⎩的值域为R ，则实数a 的取值范围是A ．(],1-∞-B ．11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．11,2⎡⎫-⎪⎢⎣⎭D ． 10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭11．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，若co s (2)c o s c a B a b A -=-，则ABC∆的形状是A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰或直角三角形12．已知函数()ln f x x x x =+，若k Z ∈，且(2)()k x f x -<对任意2x >恒成立，则k 的最大值为A ．3B ．4C ．5D ．6第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．等差数列{}n a 中，12342,4a a a a +=+=，则56a a += ． 14．设α为锐角，若3cos(),65πα+=则sin()12πα-= ． 15．已知向量)2,2(=，)1,4(=，在x 轴上存在一点P 使⋅有最小值，则点P 的坐标是 ．16．在平面直角坐标系xoy 中，使角的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合．已知点(),P x y 是角θ终边上一点，()0OP r r =>，定义()ryx f -=θ．对于下列说法：①函数()f θ的值域是⎡⎣； ②函数()f θ的图象关于原点对称；③函数()fθ的图象关于直线34x π=对称； ④函数()f θ是周期函数，其最小正周期为2π；⑤函数()fθ的单调递减区间是32,2,.44k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦其中正确的是 ．（填上所有正确的序号）三、解答题（本大题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）P A B CD E17．（本题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1110,910n n a a S +==+. （Ⅰ）求证：{lg }n a 是等差数列； （Ⅱ）设12(lg )(lg )n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T .18．（本题满分12分）已知向量m 2(2cos x =n (1,sin 2),x =函数()f x =⋅m n ． （Ⅰ）求函数()f x 的图象的对称中心和单调递增区间；（Ⅱ）在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，且()3,1,f C c ab ===且a b >，求,a b 的值．19．（本题满分12分）四棱锥P -ABCD 中，直角梯形ABCD 中，AD ⊥CD ，AB ∥CD ，∠APD =60°，P A =CD =2PD =2AB =2，且平面PDA ⊥平面ABCD ，E 为PC 的中点．（Ⅰ）求证：PD ⊥平面ABCD ；（Ⅱ）求直线PD 与平面BDE 所成角的大小．20．（本题满分12分）如图，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB =AA 1=1，E 为BC 中点． （Ⅰ）求证：C 1D ⊥D 1E ；（Ⅱ）在棱AA 1上是否存在一点M ，使得BM ∥平面AD 1E ? 存在，说明理由；（Ⅲ）若二面角B 1-AE -D 1的大小为90°，求AD 的长．21．（本题满分12分）设函数()()1ln 2++=x a x x f ，其中0≠a ．（Ⅰ）当1-=a 时，求曲线()x f y =在原点处的切线方程；（Ⅱ）试讨论函数()x f 极值点的个数； （Ⅲ）求证：对任意的*N n ∈，不等式()3112ln +>⎪⎭⎫⎝⎛++n n n n 恒成立．请从下面所给的22 , 23 ,24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分. 22．(本题满分10分）选修4—1：几何证明选讲已知AB 是半圆O 的直径，AB =4，点C 是半圆O 上一点，过C 作半圆O 的切线CD ，过点A 作AD ⊥CD 于D ，交半圆于E ，DE =1．（Ⅰ）求证：AC 平分∠BAD ； （Ⅱ）求BC 的长．23．(本题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xoy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C 的极坐标方程为2sin ,0,.2πρθθ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦（Ⅰ）求C 的参数方程；（Ⅱ）设点D 在C 上，C 在D 处的切线与直线:20l x -=垂直，根据（Ⅰ）中的参数方程，确定点D 的坐标． 24．（本题满分10分）选修4—5：不等式选讲（Ⅰ）已知不等式28x t t +-≤的解集是{}54x x -≤≤，求实数t 的值； （Ⅱ）已知实数,,x y z 满足22211249x y z ++=，求x y z ++的最大值．哈师大附中2015-2016学年度高三上学期期中考试数学（理科）答案1-6：BABADC 7-12：BAACDB13、 6 14、1015、（3，0） 16、 ①③④ 17．（1）当2≥n 时，由1091+=+n n S a ，得1091+=-n n S a ，相减得：n n a a 101=+当1=n 时，11210100109a S a ==+=，∴)(10*1N n a a n n ∈=+，n n n a a a lg 1)10lg(lg 1+==∴+， 1lg lg 1=-∴+n n a a ，又1lg 1=a {}n a lg ∴是首项为1，公差为1的等差数列. L L 6‘（2）()⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=+=111212n n n n b n ，则11111212231n T n n ⎛⎫=-+-++- ⎪+⎝⎭L =12+n nL L 12‘18、解：（1）2()2cos 2cos212==+f x x x x x 2sin(2)16π=++x L L2‘令2,6ππ+=∈x k k Z ，,212ππ∴=-∈k x k Z ，∴对称中心为,1212ππ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭k k Z L L 4‘ 令222,262πππππ-≤+≤+∈k x k k Z ，∴,36ππππ-≤≤+∈k x k k Z∴增区间：,36ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦k k k Z L L 6‘（2）()2sin 2136π⎛⎫=++= ⎪⎝⎭f C C ，sin 216π⎛⎫∴+= ⎪⎝⎭C ，E DCBAD 1C 1B 1A 1MN z yxMA 1B 1C 1D 1A B C DE 0π<<Q C ，132,666πππ∴<+<C 262ππ∴+=C 6π∴=C ， LL 8‘ ()2222222cos 2=+-=+=+-c a b ab C a ba b ab 1,==Q c ab ，2∴+=a b =ab 且>a b ，2,∴==a bL L 12‘19、解：（1）2,1,60,==∠=o Q PA PD PAD2222cos 3∴=+-⋅∠=AD PA PD PA PD PAD ，∴=AD ，222∴=+PA AD PD∴⊥PD AD ，又⊂Q PD 平面PDA ，平面PDA I 平面=ABCD AD ，平面PDA ⊥平面ABCD ，∴⊥PD 平面AL L 6‘（2）⊥Q AD CD ，∴以,,DA DC DP 分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系1(0,0,0),(0,0,1),(0,1,),2D P E B 1(0,1,),2∴==uuu ruu ur DE DB ，设平面BDE的一个法向量为(,,)=r n x y z，则1020⎧+=⎪+=y z y ，令1=x ，(1∴=r n cos ,∴〈〉==uu u r r DP n ，设直线PD 与平面BDE 所成的角为θ，sin θ=∴直线PD与平面BDE所成的角为60.oL L 12‘20．方法一：证明：（1）连D 1C ，长方体中，EC ⊥平面DCC 1D 1，∴EC ⊥DC 1∵AB=AA 1，∴正方形DCC 1D 1中，D 1C ⊥DC 1 又EC ∩D 1C=C ，∴DC 1⊥平面ECD 1∵D 1E ⊂面ECD 1，∴C 1D ⊥D 1E L L 4‘解：（2）存在点M 为AA 1中点，使得BM ∥平面AD 1E ．证明：取A 1D 1中点N ，连，NB∵E 为BC 中点，∴∴四边形BED 1N BN ∥D 1E 又BN ⊄平面AD 1E ，D 1E ⊂平面AD 1E ∴BN ∥平面AD 1E∵AD 1，MN ⊄平面AD 1E ，AD 1⊂平面AD 1E ∴MN ∥平面AD 1E∵BN ∩MN=N ，∴平面BMN ∥平面AD 1E ∵BM ⊂平面BMN ，∴BM ∥平面AD 1En n n n n n n n m m m m m m 此时，112AM AA = L L 8‘ 方法二： 证明：（1）以D 为原点，如图建立空间直角坐标系D-xyz ，设AD=a ，则D(0,0,0)，A(a ,0,0)，B(a ,1,0)，B 1(a ,1,1)，C 1(0,1,1)，D 1(0,0,1)，E(2a,1,0)， ∴11(0,1,1),(,1,1)2aC D D E =--=-uuu r uuu r ，∴110C D D E ⋅=uuu r uuu r ，∴C 1D ⊥D 1E L L 4‘解：（2）设1AMh AA =，则(,0,)M a h ，∴(0,1,)B M h =-u u u r ，1(,1,0),(,0,1)2a AE AD a =-=-uu u r uuu r ，设平面AD 1E 的法向量 (,,)x y z =，则1020a AE x y AD ax z ⎧⋅=-+=⎪⎨⎪⋅=-+=⎩uu u r uuu r，∴平面AD 1E 的一个法向量 (2,,2)aa = ∵BM ∥平面AD 1E ，∴BM ⊥uuu r ，即20BM a ah ⋅=-=u u u r ，∴12h =即在存在AA 1上点M ，使得BM ∥平面AD 1E ，此时112AM AA =．L L 8‘ 解：（3）设平面B 1AE 的法向量 (,,)x y z '''=，1(,1,0),(0,1,1)2aAE AB =-=uu u r uuu r 则1020a AE x y AB y z ⎧''⋅=-+=⎪⎨⎪⋅=+=⎩uu u r uuu r，∴平面B 1AE 的一个法向量 (2,,)aa =- ∵二面角B 1-AE-D 1的大小为90°，∴ ⊥ ，∴ 22420a a ⋅=+-= ∵a >0，∴a =2，即AD=2． L L 12‘21．解：（1）当1-=a 时，()()1ln 2+-=x x x f ，则()112'+-=x x x f，()10'-=∴f ∴曲线()x f y =在原点处的切线方程为x y -= L L 2‘（２）()1,122122'->+++=++=x x a x x x a x x f ，令()1,222->++=x a x x x g 当21>a 时，0<∆，所以()x g >０，则()x f '>０，所以()x f 在()+∞-,1上为增函数， 所以无极值点； 当21=a 时，0=∆，所以()x g ≥０，则()x f '≥０，所以()x f 在()+∞-,1上为增函数，所以无极值点； 当21<a 时，0>∆，令()x f '=０，则22111a x ---=，22112a x -+-= 当210<<a 时，⎪⎭⎫ ⎝⎛--∈21,11x ，⎪⎭⎫⎝⎛+∞-∈,212x ，此时有２个极值点； 当0<a 时，()1,1-∞-∈x ，()+∞∈,02x ，此时有１个极值点；综上：当21≥a 时，无极值点； 当210<<a 时，有２个极值点；当0<a 时，有１个极值点； L L 8‘（３）对于函数()2ln(1)f x x x =-+，令函数()332()ln(1)h x x f x x x x =-=-++则()32213(1)3211x x h x x x x x +-'=-+=++，()[0,)0x h x '∈+∞>当时，，所以函数()h x 在[0,)+∞上单调递增，又(0)0,(0,)h x =∴∈+∞时，恒有()(0)0h x h >= 即23ln(1)<++x x x 恒成立.取11+=n x ，则有()()321111111ln +-+>⎪⎭⎫ ⎝⎛++n n n 恒成立， 即不等式()3112ln +>⎪⎭⎫⎝⎛++n n n n 恒成立. L L 12‘ 22.解：(1)连接OC, 因为OA=OC,所以∠OAC=∠OCA因为CD 为半圆O 的切线,所以OC ⊥CD, 因为AD ⊥CD,所以OC ∥AD,所以∠OCA=∠CAD,∠OAC=∠CAD, 所以AC 平分∠BAD………………5分 (2)连接CE,有(1)知∠OAC=∠CAD,所以BC=CE.因A,B,C,D 四点共圆,故∠ABC=∠CED,因为AB 是半圆O 的直径, 所以∠ACB 是直角, Rt △CDE 相似于Rt △ACB,DE:CE=CB:AB,BC=2.………………10分 23. 解 (I )半圆C 的普通方程为;[]2220,0,1,x y y x +-=∈ ………………2分半圆C 的参数方程为cos ,,1sin .22x y αππαα=⎧⎛⎫⎡⎤∈-⎨⎪⎢⎥=+⎣⎦⎝⎭⎩为参数 ………………5分 (II )设点D 对应的参数为α,则点D 的坐标为()cos ,1sin αα+且,22ππα⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦ 由(1)可知半圆C 的圆心是C(0,1),因半圆C 在D 处的切线与直线l 垂直,故直线DC 的斜率与直线l 的斜率相等,(1sin )1tan cos ααα+-==即,,,226πππαα⎡⎤∈-∴=⎢⎥⎣⎦………………8分所以点D 的坐标为322⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭………………10分24.解 (I )28,80,8+≤++≥≥-x t t t t 得所以 ,828,44,t x t t t x --≤+≤+--≤≤由()8f x ≤的解集是{}54,x x -≤≤得45,1t t --=-=(II )由柯西不等式得()()222221491234923y z y zx x x y z⎛⎫⎛⎫++++≥++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ()228,x y z x y z ≥++-≤++≤当且仅当320123zyx ==>即22224949y z y z x x ==++=>0且,亦即x y z ===时(()max x y z ++=。
【期中试卷】黑龙江省哈师大附中2017-2018学年高二上学期期中考试数学(理)试题Word版含答案
2017年哈师大附中学业水平考试数学试卷 （理科）考试时间：120分钟 满分：150分第Ⅰ卷 （选择题 共60分）一．选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的）1. 已知椭圆1162522=+y x 上的一点P 到椭圆一个焦点的距离为3，则P 到另一焦点距离为（ ）A. 2B.3C.5D.72．抛物线220x y =的焦点坐标为（ ）A. ()5,0-B. ()5,0C.()05，D.()0,5- 3.双曲线4422=-y x 的渐近线方程是（ ）A. x y 2±=B. x y 21±= C. x y 4±= D. x y 41±=4. 已知双曲线222211x y a a-=-()01a <<a 的值为（ ）A.12B.2C.135.已知P 是椭圆22184x y +=上一点，1F 2,F 是其左、右焦点，若1260F PF ∠= ，则12PF F ∆的面积为（ ）A. 35B. 34C.334 D. 335 6．设直线l 过点)0,2(-，且与圆122=+y x 相切，则l 的斜率是（ ）A.3±B.1±C.21±D.33±7.已知抛物线C ：22x y =，过点(0,2)M 的直线交抛物线C 于,A B ,若O 为坐标原点，则直线,OA OB 的斜率之积为（ ）A ．1-B ． 0C ．1D ．2-8.如果y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-≤-+≥+-020201y x y x y x ，则y x z +=2的最大值是（ ）A ．5-B ．52C ．103D ．5 9．过双曲线的一个焦点2F 作垂直于实轴的弦PQ ，1F 是另一焦点，若∠21π=Q PF ，则双曲线的离心率等于（ ）A.2B.12+C.22+10.过抛物线24y x =的焦点作两条互相垂直的弦AB CD 、，则11AB CD+=（ ） A.2B.1C.12D. 1411.已知抛物线C ：28y x =的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个交点，若3FP FQ =，则||QF =（ ） A.83B.52C.3D. 2 12．已知抛物线C ：210y x =，点P 为抛物线C 上任意一点，过点P 向圆22:12350D x y x +-+=作切线，切点分别为,A B ，则四边形PADB 面积的最小值为（ ） A．D第Ⅱ卷 （非选择题 共90分）二．填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．双曲线221416x y -=的实轴长为． 14．已知双曲线：22154x y -=，若直线l 交该双曲线于,P Q 两点，且线段PQ 的中点为点(1,1)A ,则直线l 的斜率为．15.已知1F ，2F 是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且321π=∠PF F ，椭圆的离心率为1e ，双曲线的离心率2e ，则=+222131e e ．16. 已知椭圆C ：2211612x y +=，点M 与C 的焦点不重合，若M 关于C 的两焦点的对称点分别为P ，Q ，线段MN 的中点在C 上，则||||PN QN +=．三．解答题：（本题共6小题，共70分，解答题应写出文字说明证明过程或演算步骤） 17.（本小题满分10分）已知圆C经过点(2,0),(1A B 且圆心C 在直线y x =上． （Ⅰ）求圆C 的方程；（Ⅱ）过点13（，的直线l 截圆C所得弦长为，求直线l 的方程．18．（本小题满分12分）如图，三棱柱111ABC A B C -中，侧棱垂直于底面，90ACB ∠= ，112AC BC AA ==，D 是棱1AA 的中点. （Ⅰ）证明：平面1BDC ⊥平面BDC ；（Ⅱ）求异面直线DC 与1BC 所成角的余弦值. 19．（本小题满分12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为12，椭圆的短轴端点与双曲线2212y x -=的焦点重合，过点(4,0)P 且不垂直于x 轴的直线l 与椭圆C 相交于,A B 两点. （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）求OA OB ⋅的取值范围.B 1 CBADC 1A 1PDBCAEF20．（本小题满分12分）如图，四棱锥P ABCD -的底面是边长为1的正方形，PA ⊥底面ABCD ，,E F 分别为,AB PC 的中点.（Ⅰ）求证：EF //平面PAD ；（Ⅱ）若2PA =，试问在线段EF 上是否存在点Q ，使得二面角 Q AP D --Q 的位置；若不存在，请说明理由.21.（本小题满分12分）已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为21,F F ，短轴两个端点为,,A B 且四边形12F AF B 是边长为2的正方形．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）若,C D 分别是椭圆长轴的左、右端点，动点M 满足MD CD ⊥，连接CM ，交椭圆于点P ．证明：OM OP为定值．22.（本小题满分12分）如图，抛物线1C ：px y 22=与椭圆2C ：1121622=+y x 在第一象限的交点为B ，O 为坐标原点，A 为椭圆的右顶点，OAB ∆的面积为368. （Ⅰ）求抛物线1C 的方程；（Ⅱ）过A 点作直线l 交1C 于C 、D 两点，射线OC 、OD 分别交2C 于E 、F 两点，记OEF ∆和OCD ∆的面积分别为1S 和2S ，问是否存在直线l ，使得77:3:21=S S ？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．2017年哈师大附中学业水平考试数学答案 （理科）一．选择题1-6 DCBBCD 7-12 ACBDAB 二．填空题 13.4 14. 4515.4 16.16 三．解答题17.（Ⅰ）设圆心 ．所以，圆 的方程为．……………4分（Ⅱ） 若直线 的斜率不存在，方程为 ，此时直线 截圆所得弦长为，符合题意；若直线 的斜率存在，设方程为 ，即 ．由条件知，圆心到直线的距离直线 的方程为 ．综上，所求方程为或．……………10分18.不妨设1AC =，则12AA =，（Ⅰ）因为D 是1AA 中点，所以12DC DC ==,从而22211DC DC CC +=，故1D C D C ⊥，又因为侧棱垂直于底面，90ACB ∠=，所以11,BC DCC BC DC ⊥∴⊥平面，1,DC BC C DC BDC =∴⊥ 平面，11,DC BDC ⊂平面1BDC BDC ⊥平面平面;……………6分（Ⅱ）以如图，以C 为原点，1,,CA CB CC 为,,x y z 轴正向建立空间直角坐标系， 则()()()()10,0,0,1,0,1,0,1,0,0,0,2C D B C()()11,0,1,0,1,2CD BC ==-111cos ,5CD BC CD BC CD BC ∙==所以直线DC 与1BC所成角的余弦值是5……………12分19.解：（Ⅰ）由题意知22222211,24c c a b e e a a a -==∴===， 2243a b =.又双曲线的焦点坐标为(0,b =，224,3a b ∴==，∴椭圆的方程为22143x y +=.……………4分 （Ⅱ）若直线l 的倾斜角为0，则(2,0),(2,0),4A B OA OB -⋅=-，当直线l 的倾斜角不为0 时，直线l 可设为4x my =+，22224(34)243603412x my m y my x y =+⎧⇒+++=⎨+=⎩，由 2220(24)4(34)3604m m m ∆>⇒-⨯+⨯>⇒>设1122(4,),(4,)A my y B my y ++，1212222436,3434m y y y y m m +=-=++，……………6分 21212121212(4)(4)416OA OB my my y y m y y my y y y ⋅=+++=+++……………8分2116434m =-+……………10分2134,(4,)4m OA OB >∴⋅∈- ，综上所述：范围为13[4,)4-……………12分20.证明：（Ⅰ）取PD 中点M ，连接MF ，MA 在ΔCPD 中，F 为PC 的中点，//MF DC ∴,且MF=12DC ，正方形ABCD 中E 为AB 中点，//AE DC ∴且AE =12DC ，//AE MF ∴且=AE MF ，故：EFMA 为平行四边形，//AM EF ∴ (2)分又∴EF ⊄平面P AD ，AM ⊂平面P AD∴EF //平面P AD ……4分 （Ⅱ）如图：以点A 为坐标原点建立空间直角坐标系： (0,0,2)P ，(0,1,0)B ，(1,1,0)C ，1(0,,0)2E ，11(,,1)22F由题易知平面P AD 的法向量为(0,1,0)n =， ……6分yx ,⎪⎩⎪⎨⎧≤-≤-+≥+-020201y x y x y x yx z +=25-假设存在Q 满足条件：设EQ EF λ= ，1(,0,1)2EF = ，1(,,)22Q λλ=，[0,1]λ∈，(0,0,2)AP = ，1(,,)22AQ λλ=设平面P AQ 的法向量为(,,)m x y z =，10(1,,0)220x y z m z λλλ⎧++=⎪⇒=-⎨⎪=⎩……10分cos ,m n m n m n ⋅<>==，由已知：=解得：12λ=，所以：满足条件的Q 存在，是EF 中点。
哈师大附中高二学年上学期期中考试 数学试卷(理科)
哈师大附中高二学年上学期期中考试 数学试卷（理科）一、选择题（每小题5分，共60分）1．方程2x xy x +=的曲线是 （ ）A. 一个点B. 一条直线C. 两条直线D. 一个点和一条直线 2．若k R ∈，则“3k >”是“方程22133x y k k -=-+表示双曲线”的 ( )A. 充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件 D ．既不充分也不必要条件3. 椭圆的短轴长为2, 长轴是短轴长的2倍, 则椭圆的中心到其准线的距离为( )A. 5B. 5C. 3D. 3 4．若抛物线2y mx =与椭圆22195x y +=有一个共同的焦点，则m 的值为 ( )A. 8B. 8-C. 8±D. 4±5．已知定点A 、B ，且4AB =，若动点P 满足3PA PB -=，则PA 的最小值为 （ ） A. 12 B. 32 C. 72D. 5 6．过点(1,2)A 的直线与抛物线22y px =恒有公共点, 则实数p 的取值范围是( )A. [)2,+∞B. ()2,+∞C. (]0,2D. ()0,27．若双曲线2221613x y p-=的左焦点在抛物线22y px =的准线上，则p 的值为 ( )A. 2B. 3C. 4D.8．已知抛物线24x y =的焦点F 和定点(1,8)A -，P 为抛物线上的动点，则PA PF +的最小值为（ ）A.16B.6C. 12D. 9 9．以双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点为圆心，且与此双曲线的渐近线相切的圆的半径为（ ）A. aB. bC.D.10．如图所示，双曲线以正六边形ABCDEF 的顶点F 、C 为焦点，且经过A 、E 、D 、B ，则此双曲线的离心率为 （ ）A. 1B. 1C. 1D. 111． 已知1F 、2F 是椭圆22221x y a b+=(0a b >>)的两个焦点, P 是椭圆上任意一点,从任一焦点引12F PF ∠的外角平分线的垂线,垂足为Q , 则点Q 的轨迹为 ( )A. 圆B. 椭圆C. 双曲线D. 抛物线12．如图，高脚酒杯的轴截面为抛物线2y x =，现将一玻璃球放入杯中，若球与杯底不接触，则球半径的取值范围是 （ ）A.1(0,2⎤⎥⎦B. (]0,1C. 1(,)2+∞ D. (1,)+∞ 二、填空题（每小题5分，共20分） 13．椭圆2212y x +=的离心率为 ___________. 14．与双曲线22193x y -=有共同渐近线，并且经过点4)-的双曲线方程为___________. 15．若椭圆:C 2221(0)x y a a+=>的两个焦点为1(,0)F c -、2(,0)F c (0)c >,且椭圆C 与圆 222x y c +=有公共点, 则a 的取值范围是___________.16．AB 为过抛物线24x y =焦点F 的一条弦，设1122(,),(,)A x y B x y ，以下结论正确的是___________.（填写所有正确结论的序号）①124,x x =-且121y y =； ②AB 的最小值为4； F E DC B A③以AF 为直径的圆与x 轴相切； ④若直线AB 的倾斜角为α，则22cos AB α=； ⑤存在直线AB ，使得OA OB ⊥.三、解答题 17．（本小题满分10分）已知定点A(4,0)和椭圆2214x y +=上的动点B ，P 为线段AB 的中点，求点P 的轨迹方程.18．（本小题满分12分）椭圆:C 22221x y a b+=(0a b >>)的两个焦点为1F 、2F , 点P 在椭圆C 上,且11212414,,33PF F F PF PF ⊥==. (1) 求椭圆的方程;(2) 若直线l 经过圆22420x y x y ++-=的圆心M , 交椭圆C 于A 、B 两点, 且A 、B 关于点M 对称, 求直线l 的方程.19．（本小题满分12分）已知:C 双曲线221x y -=与直线:1l y kx =-交于A 、B 两点.(1) 求实数k 的取值范围;(2) O 为坐标原点,若AOB V ,求实数k 的值.20．（本小题满分12分）抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，过点F 的直线交抛物线于A 、B 两点，点C 在抛物线的准线上，且//BC x 轴，证明：直线AC 经过原点O21．（本小题满分12分）已知椭圆的中心在原点,左焦点为(F ,右顶点为(2,0)D . 定点1(1,)2A .(1) 求椭圆的标准方程;(2) 过原点O 的直线交椭圆于B 、C 两点, 求ABC V 面积的最大值.22．（本小题满分12分）已知椭圆长轴的一个端点是抛物线2y =的焦点，离心率为3.过点(1,0)C -的动直线交椭圆于A 、B 两点.（1）求椭圆的标准方程；（2）在x 轴上是否存在点M , 使MA MB ⋅u u u r u u u r 为常数? 若存在,求出点M 的坐标; 若不存在,说明理由.哈师大附中高二学年上学期期中考试数学答案（理科）1．C2．A3．D4．C5．C6．A7．C8．D9．B10.D11.A12.C13.214.2211545y x -=15.)+∞16.①②③17.2241(2)x y +=-18.（1）22194y x +=（2）点差法：202089k bx y a =-=，直线l 的方程：89250x y -+= 19.（1）联立方程2211y kx y x ⎧-=⎪⎨=-⎪⎩得22(1)220kx k x -+-= 2100k ⎧-≠⎨∆>⎩得(1)(1,1)k ∈--U U （2）0k =或2k =±20．略21．（1）2214x y += （2）ABC V22．（1）椭圆的标准方程：221553y x += （2）存在M 7(,0)3-，使49MA MB =u u u r u u u r g .。
黑龙江省哈师大附中20172018高二上学期期中考试数学理试题Word版含答案
黑龙江省哈师大附中20172018高二上学期期中考试数学理试题Word版含答案2017年哈师大附中学业水平考试（理科）数学试卷分满分：150分钟考试时间：120 第Ⅰ卷分）共60（选择题分，在每小题给出的四个选项中，只有60小题，每小题5分，共一．选择题：（本题共12 一项是正确的）22yx31PP到另一焦点距离为上的一点，则到椭圆一个焦点的距离为1. 已知椭圆1625 （）5372 B.D.C.A.2y?20x ）2．抛物线的焦点坐标为（，55,005?5,00,?C.D.B.A.224xy?4? ）的渐近线方程是（3.双曲线11x?xy?yxy?2x?4y A. C. B. D. 4222yx a211a?0?已知双曲线4. 的值为（的离心率为，则）22a1?a 1132 B.C.D.A.*****yx?1FPF?F,F60PFFP则若已知是其左、上一点，5.，是椭圆右焦点，）的面积为（ C.A. D.B. 3322ll1?x?y),0(?2 ．设直线过点，且与圆相切，则）的斜率是（*****? B.C.D.A. 232M(0,2)A,BOCCy?2x为坐标原点，则,，过点于7.已知抛物线若：的直线交抛物线OA,OB的斜率之积为（）直线?1?210 ．D．C ．B．A．01y?x0?y?2x?y2xzyx, 8.如果）的最大值是（满足约束条件，则02yx?5105?5 ．BD．A．C．23?FF?PFQPQ，则，9．过双曲线的一个焦点作垂直于实轴的弦是另一焦点，若∠ 2112 双曲线的离心率等于（）22?221?22 C.B.D.A.112CD、AB10.x?y4 过抛物线，则的焦点作两条互相垂直的弦）（CDAB11 12D.C.B.A.422CCllx?y8PFFPQ的，准线为11.已知抛物线上一点，：，与是是直线的焦点为|QF|?FQ?3FP（），则一个交点，若85A.B.C.3D. 2 232CCxy10?PP向圆过点任意一点，点物为抛知12．已抛物线线：，上22PADBB,A0x?xD:35?y12面积的最小值为作切线，切点分别为，则四边形（）34 ***-***** B．．．C DA．2第Ⅱ卷（非选择题共90分）二．填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分）22yx1的实轴长为．13．双曲线*****yx1P,QPQl的中点为点14．已知双曲线：，若直线两点，且线段交该双曲线于54A(1,1)l 的斜率为．,则直线?FF?FPF?P，是椭圆和双曲线的公共焦点，15.已知，是它们的一个公共点，且***-*****ee．，则，双曲线的离心率椭圆的离心率为2122ee21．22yxCCC1MM：的两焦点的对称点16. 与的焦点不重合，若已知椭圆，点关于1216 分别为CMNP?QN||PN|?|Q 的中点在，．，线段上，则分，解答题应写出文字说明证明过程或演算步骤）三．解答题：（本题共6小题，共70 分）17.（本小题满分10 x?yCC3)(1，?A(2,0),B 且圆心已知圆上．经过点在直线C （Ⅰ）求圆的方程；3 ）1（，Cll32 截圆所得弦长为，求直线（Ⅱ）过点的直线的方程． 3（本小题满分12分）18．C B CABC?AB 中，侧棱垂直于底面，如图，三棱柱111 A1?AABC?AC?D90?ACB?AA. 是棱，的中点，112DBDCBDC （Ⅰ）证明：平面；⊥平面1BCDCBC. （Ⅱ）求异面直线所成角的余弦值与1A19．（本小题满分12分）22yx10)?b?1(a?:C?线曲点端与双已知椭为圆，椭圆的短轴离的心率22ab22y2xlC1?x?AP(4,0),B两点相交于且不垂直于轴的直线的焦点重合，过点. 与椭圆2C的方程；（Ⅰ）求椭圆OA?OB的取值范围（Ⅱ）求.．（本小题满分12分）20 PABCD?P1 的底面是边长为如图，四棱锥的正方形，ABCD?PAPC,FABE,.底面分别为，的中点//PADEF 平面；（Ⅰ）求证：EF?2PAQDAP?Q? ，上是否存在点若，试问在线段使得二面角（Ⅱ）F 5Q.？若存在，确定点的位置；若不存在，请说明理由的余弦值为5E BA（本小题满分21.12分）C D22yx0)1(a?b的左、右焦点已知椭圆22ba,FF，分别为12BAFF2,,BA是边长为短轴两个端点为且四边形21 的正方形．（Ⅰ）求椭圆的方程；MDC, 分别是椭圆长轴的左、右端点，动点（Ⅱ）若满足*****CDMD．证明：，连接，交椭圆于点为定值．（本小题满分12分）22.22yx2CC1pxy?2：：在第一象限如图，抛物线与椭圆AB?OBA. 为坐标原点，，为椭圆的右顶点，的面积为的交点为3C （Ⅰ）求抛物线的方程；1ODCl*****A两点，于（Ⅱ）过、点作直线交于分别交、两点，射线、21lOCD?OEF?77?SSS3::S？若的面积分别为，使得记和和，问是否存在直线2112l 存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．2017年哈师大附中学业水平考试数学答案（理科）一．选择题1-6 DCBBCD 7-12 ACBDAB二．填空题4 15.4 16.16 13.4 14. 5三．解答题．17.（Ⅰ）设圆心4的方程为分所以，圆．……………，的斜率不存在，方程为，此时直线（Ⅱ）若直线截圆所得弦长为符合题意；．的斜率存在，设方程为，即若直线由条件知，圆心到直线的距离直线．的方程为．……………10 或分综上，所求方程为1AC?2AA? ，，则18.不妨设1222*****A?DC?2?***** ，所以中点，从而,（Ⅰ）因为故是，*****?DC?BC?平面DCC,?***** ，所以，又因为侧棱垂直于底面，11BDCC,?DC?平面BCDC ，1BDC 平面平面BDC?BDCDC?平面, 分……………6;111CCCB,CA,z,x,yC （Ⅱ为原点，轴正向建立空间直角坐标系，为）以如图，以 1 0,0,2,C,0,11,B,00,1C0,0,0,D则1 ?1,2BC1,0,1CD?,?0,?1．BCCD?10 1?cosCD,BC? 15BCCD1 10BC DC5与……………12分所成角的余弦值是所以直线*****bcc1?a2,?e?e （Ⅰ）由题意知解：，19.224a2aa4 *****?4,b?a?ba?33),b(0, .，，又双曲线的焦点坐标为322yx1?椭圆的方程为分.……………434l04?OBBA(?2,0),(2,0),OA ，则（Ⅱ）若直线，的倾斜角为?ll04?x?my 的倾斜角不为可设为，当直线时，直线4?x?my?220?my?(3m4)y36?24 ，由?*****y3x?2224m4?(3m4)?36?0(240?m)3624m)my?4,y),ymy?4,B(A(?,y?yyy 6分设，……………，***-*****2243m?3m?42y16?y?y4myy?my?OAOB?(my?4)(?4)?yym?y 8分……………***-********** 分……………*****m*****))[?4,(m?4,?OA?OB4,? 分……………12，综上所述：范围为44 的中点，PC，20.证明：（Ⅰ）取PD中点M，连接MFMA在ΔCPD中，F为11DC///DC?AE/?MF ，且,MF=且，正方形ABCD中E为AB中点，AE=DCDC 22MF=AEEF/?AM/?AE//MF……2 且，故：EFMA为平行四边形，分y?2xz PADAD，AM又平面EF平面P 分……4 //EF平面PAD为坐标原点建立空间直角坐标系：（Ⅱ）如图：以点A111 ，，，，(1,1,0)PC(0,0,2)(0,1,0)B,1),0)(F,(0,E 222? 分，由题易知平面PAD 的法向量为……6,0)?(0,1n5?y,x1? 假设存在Q满足条件：设，，EFEQ?,0,1)?(EF 2?11 ，，，[0,1]?(0,0,2)AP?)(,,Q(,,AQ) 2222 设平面PAQ的法向量为，)y,zm?(x,?1?0zx?y ? 分……10 ,0)m?(1,220z 5?mn? ?cos?mn,，由已知：52?2nm1?11? ……12 分解得：，所以：满足条件的Q存在，是EF中点。
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2016-2017学年黑龙江省哈尔滨师大附中高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1．（5分）抛物线x2=2y的焦点坐标是（）A．B．C．（1，0） D．（0，1）2．（5分）设双曲线的焦点在x轴上，两条渐近线方程为y=±x，则该双曲线的离心率为（）A．B．1 C．D．23．（5分）命题“若α=，则tanα=1”的逆否命题是（）A．若tanα≠1，则α≠B．若α=，则tanα≠1C．若α≠，则tanα≠1 D．若tanα≠1，则α=4．（5分）正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，BB1与平面ACD1所成角的余弦值为（）A．B．C．D．5．（5分）过原点且倾斜角为60°的直线被圆x2+y2﹣4y=0所截得的弦长为（）A．B．2 C．D．26．（5分）命题“对任意x∈R，都有x2≥0”的否定为（）A．对任意x∈R，都有x2＜0 B．不存在x∈R，都有x2＜0C．存在x0∈R，使得x02≥0 D．存在x0∈R，使得x02＜07．（5分）已知抛物线C：y2=4x，则该抛物线的准线方程为（）A．y=﹣1 B．y=1 C．x=﹣1 D．x=18．（5分）若椭圆+=1上一点P到焦点F1的距离为2，则点P到另一个焦点F2的距离为（）A．2 B．4 C．6 D．89．（5分）已知椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，椭圆的右顶点为A，点P在椭圆上，且PF1⊥x轴，直线AP交y轴于点Q，若=3，则椭圆的离心率等于（）A．B．C．D．10．（5分）设抛物线y2=8x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是（）A．[﹣，]B．[﹣2，2]C．[﹣1，1]D．[﹣4，4]11．（5分）设曲线C：﹣=1，则“m＞3”是“曲线C为双曲线”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件12．（5分）已知椭圆C：+=1的左右焦点分别为F1，F2，则在椭圆C上满足∠F1PF2=的点P的个数有（）A．0个 B．1个 C．2 个D．4个二、填空题（本大题共4小题，每小题5分）13．（5分）已知三角形AOB的顶点的坐标分别是A（4，0），B（0，3），O（0，0），求三角形AOB外接圆的方程．14．（5分）已知棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，SA⊥底面ABCD，SA=AB，则异面直线AC与SD所成角为．15．（5分）过抛物线y2=8x焦点F作直线l交抛物线于A、B两点，若线段AB中点M的横坐标为4，则|AB|=．16．（5分）已知命题p：“直线l：x﹣y+a=0与圆C：（x+1）2+y2=2有公共点”，则a的取值范围是．三、解答题（本大题共6个小题，总分70分，解答应写出文字说明，证明过程或验算步骤）17．（10分）如图所示，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=AD=1，AA1=2，M是棱CC1的中点．（1）证明：B1M⊥平面ABM；（2）求异面直线A1M和C1D1所成角的余弦值．18．（12分）设椭圆C：+=1（a＞b＞0）过点（2，0），离心率为．（1）求C的方程；（2）过点（1，0）且斜率为1的直线l与椭圆C相交于A，B两点，求AB的中点M的坐标．19．（12分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AC⊥BC，AC=BC=AA1=2，D是AC的中点．（1）求证：B1C∥平面A1BD；（2）求直线AC与平面A1BD所成角的正弦值．20．（12分）已知抛物线y2=﹣x与直线y=k（x+1）相交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，O为坐标原点．（1）求y 1y2的值；（2）求证：OA⊥OB．21．（12分）已知四棱锥P﹣ABCD的底面为直角梯形，AB∥DC，∠DAB=90°，PA ⊥底面ABCD，且PA=AD=DC=AB=1，M为PB中点．（1）证明：CM∥平面PAD；（2）求二面角A﹣MC﹣B的余弦值．22．（12分）已知一条曲线C在y轴右边，C上每一点到点F（1，0）的距离减去它到y轴距离的差都是1．（Ⅰ）求曲线C的方程；（Ⅱ）是否存在正数m，对于过点M（m，0）且与曲线C有两个交点A，B的任一直线，都有＜0？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．2016-2017学年黑龙江省哈尔滨师大附中高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1．（5分）抛物线x2=2y的焦点坐标是（）A．B．C．（1，0） D．（0，1）【解答】解：根据抛物线的定义可得，x2=2y的焦点坐标（0，）故选：B．2．（5分）设双曲线的焦点在x轴上，两条渐近线方程为y=±x，则该双曲线的离心率为（）A．B．1 C．D．2【解答】解：∵焦点在x轴上的双曲线的渐近线方程为y=±x，∴=，∴a=2b，∴c=b，∴e==．故选：C．3．（5分）命题“若α=，则tanα=1”的逆否命题是（）A．若tanα≠1，则α≠B．若α=，则tanα≠1C．若α≠，则tanα≠1 D．若tanα≠1，则α=【解答】解：命题“若α=，则tanα=1”的逆否命题是：若tanα≠1，则α≠，故选：A．4．（5分）正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，BB1与平面ACD1所成角的余弦值为（）A．B．C．D．【解答】解：如图，设上下底面的中心分别为O1，O，设正方体的棱长等于1，则O1O与平面ACD1所成角就是BB1与平面ACD1所成角，即∠O1OD1，直角三角形OO1D1中，cos∠O1OD1===，故选：D．5．（5分）过原点且倾斜角为60°的直线被圆x2+y2﹣4y=0所截得的弦长为（）A．B．2 C．D．2【解答】解：将圆x2+y2﹣4y=0的方程可以转化为：x2+（y﹣2）2=4，即圆的圆心为A（0，2），半径为R=2，∴A到直线ON的距离，即弦心距为1，∴ON=，∴弦长2，故选：D．6．（5分）命题“对任意x∈R，都有x2≥0”的否定为（）A．对任意x∈R，都有x2＜0 B．不存在x∈R，都有x2＜0C．存在x 0∈R，使得x02≥0 D．存在x0∈R，使得x02＜0【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以命题“对任意x∈R，都有x2≥0”的否定为．存在x0∈R，使得x02＜0．故选：D．7．（5分）已知抛物线C：y2=4x，则该抛物线的准线方程为（）A．y=﹣1 B．y=1 C．x=﹣1 D．x=1【解答】解：由抛物线C：y2=4x，焦点在x正半轴上，=1，∴抛物线的准线方程x=﹣=﹣1，故选：C．8．（5分）若椭圆+=1上一点P到焦点F1的距离为2，则点P到另一个焦点F2的距离为（）A．2 B．4 C．6 D．8【解答】解：椭圆+=1，可得a=4．由椭圆的定义可得：2+|PF2|=2×a=8，解得|PF2|=6，故选：C．9．（5分）已知椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，椭圆的右顶点为A，点P在椭圆上，且PF1⊥x轴，直线AP交y轴于点Q，若=3，则椭圆的离心率等于（）A．B．C．D．【解答】解：如图，因为PF1⊥x轴，A（a，0），故x P=c，y P=，即P（﹣c，），设Q（0，t）∵=3，（﹣a，t）=3（﹣c，﹣t），a=3c，∴e==故选B．10．（5分）设抛物线y2=8x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是（）A．[﹣，]B．[﹣2，2]C．[﹣1，1]D．[﹣4，4]【解答】解：∵y2=8x，∴Q（﹣2，0）（Q为准线与x轴的交点），设过Q点的直线l方程为y=k（x+2）．∵l与抛物线有公共点，有解，∴方程组即k2x2+（4k2﹣8）x+4k2=0有解．∴△=（4k2﹣8）2﹣16k4≥0，即k2≤1．∴﹣1≤k≤1，故选：C．11．（5分）设曲线C：﹣=1，则“m＞3”是“曲线C为双曲线”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：由双曲线的定义得：或，解得：m＞3或﹣3＜x＜﹣2，故m＞3”是“曲线C为双曲线”的充分不必要条件，故选：A．12．（5分）已知椭圆C：+=1的左右焦点分别为F1，F2，则在椭圆C上满足∠F1PF2=的点P的个数有（）A．0个 B．1个 C．2 个D．4个【解答】解：设椭圆+=1上的点P坐标为P（m，n）由a=4，b=2，c=2，可得焦点分别为F1（﹣2，0），F2（﹣2，0）由此可得=（﹣2﹣m，﹣n），=（2﹣m，﹣n），由∠F1PF2=，即•=0，得（﹣2﹣m）（2﹣m）+n2=0，n2=12﹣m2，又∵点P（m，n）在椭圆C上，即化简得：m2+4n2=16，代入求得n2=，m2=，∴n=±，m=±，故这样的点由4个，故选：D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分）13．（5分）已知三角形AOB的顶点的坐标分别是A（4，0），B（0，3），O（0，0），求三角形AOB外接圆的方程．【解答】解：设三角形AOB的外接圆的方程为：x2+y2+Dx+Ey+F=0，把A（4，0），B（0，3），O（0，0）三点代入，得：，解得D=﹣4，E=﹣3，F=0，∴三角形AOB外接圆的方程为x2+y2﹣4x﹣3y=0．14．（5分）已知棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，SA⊥底面ABCD，SA=AB，则异面直线AC与SD所成角为60°．【解答】解：建立如图所示的坐标系，设AB=1，则=（1，1，0），=（0，1，﹣1），设异面直线AC与SD所成角为θ∴cosθ==，∴θ=60°．故答案为60°15．（5分）过抛物线y2=8x焦点F作直线l交抛物线于A、B两点，若线段AB中点M的横坐标为4，则|AB|=12．【解答】解：抛物线y2=8x的焦点为F（2，0），设A（x1，y1），B（x2，y2），M（4，y0），过A，B，M做准线的垂直，垂足分别为A1，B1及M1，由中点坐标公式可知：x1+x2=2×4=8，∴丨AA1丨+丨BB1丨=x1++x2+=x1+x2+p=8+4=12∴丨AA1丨+丨BB1丨=12由抛物线的性质可知：丨AA1丨+丨BB1丨=丨AF丨+丨BF丨=丨AB丨，∴丨AB丨=12，故答案为：12．16．（5分）已知命题p：“直线l：x﹣y+a=0与圆C：（x+1）2+y2=2有公共点”，则a的取值范围是[﹣1，3] ．【解答】解：圆C：（x+1）2+y2=2的圆心（﹣1，0），半径为，∵直线l：x﹣y+a=0与圆C：（x+1）2+y2=2有公共点，∴∴|a﹣1|≤2，解得实数a取值范围是[﹣1，3]．故答案为：[﹣1，3]．三、解答题（本大题共6个小题，总分70分，解答应写出文字说明，证明过程或验算步骤）17．（10分）如图所示，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=AD=1，AA1=2，M是棱CC1的中点．（1）证明：B1M⊥平面ABM；（2）求异面直线A1M和C1D1所成角的余弦值．【解答】（1）证明：∵AB⊥面BCC1B1，BM⊂面BCC1B1∴AB⊥B1M①∵B1M=，BM=，B1B=2∴BM⊥B1M②∵AB∩BM=B∴由①②可知B1M⊥平面ABM．（2）解：如图，因为C1D1∥B1A1，所以∠MA1B1为异面直线A1M和C1D1所成的角，∵A1B1⊥面BCC1B1∴∠A1B1M=90°∵A1B1=1，B1M=∴tan∠MA1B1=即异面直线A1M和C1D1所成的角的正切值为．∴异面直线A1M和C1D1所成角的余弦值为．18．（12分）设椭圆C：+=1（a＞b＞0）过点（2，0），离心率为．（1）求C的方程；（2）过点（1，0）且斜率为1的直线l与椭圆C相交于A，B两点，求AB的中点M的坐标．【解答】解：（1）由椭圆C：+=1（a＞b＞0）可知：焦点在x轴上，过（2，0），∴a=2，由离心率e===，解得：b2=3，∴椭圆的标准方程为：；（2）由题意可知：直线方程为y=x﹣1，设A（x1，y1），B（x2，y2），M（x，y），∴，整理得：7x2﹣8x﹣8=0，由韦达定理可知：x1+x2=，y1+y2=x1﹣1+x2﹣1=﹣，由中点坐标公式可知x==，y==﹣，∴AB的中点M的坐标（，﹣）．19．（12分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AC⊥BC，AC=BC=AA1=2，D是AC的中点．（1）求证：B1C∥平面A1BD；（2）求直线AC与平面A1BD所成角的正弦值．【解答】（1）证明：连接AB1交A1B于O，则O为AB1的中点，连接OD，又D是AC的中点，∴OD∥B1C，又OD⊂平面A1BD，B1C⊄平面A1BD，∴B1C∥平面A1BD；（2）解：∵AA1⊥底面ABC，AC⊥BC，∴分别以CA、CB、CC1所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系，∵AC=BC=AA1=2，∴C（0，0，0），A（2，0，0），D（1，0，0），B（0，2，0），A1（2，0，4），则，，，设平面A 1BD的一个法向量为，由，取z=﹣1，得，∴直线AC与平面A1BD所成角的正弦值为sinθ=||=||=．20．（12分）已知抛物线y2=﹣x与直线y=k（x+1）相交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，O为坐标原点．（1）求y1y2的值；（2）求证：OA⊥OB．【解答】解：（1）由题意可知：将直线y=k（x+1）代入抛物线方程，，消去x后整理得ky2+y﹣k=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），由韦达定理，得y1•y2=﹣1，（2）由（1）可知：A，B在抛物线y2=﹣x上，可得则=x1x2，∴k OA•k OB=•===﹣1，即有无论k为何值都有，OA⊥OB．21．（12分）已知四棱锥P﹣ABCD的底面为直角梯形，AB∥DC，∠DAB=90°，PA ⊥底面ABCD，且PA=AD=DC=AB=1，M为PB中点．（1）证明：CM∥平面PAD；（2）求二面角A﹣MC﹣B的余弦值．【解答】证明：（1）取AB中点N，连结MN，CN，∵四棱锥P﹣ABCD的底面为直角梯形，AB∥DC，∠DAB=90°，PA⊥底面ABCD，且PA=AD=DC=AB=1，M为PB中点，∴MN∥PA，CN∥AD，∵MN∩CN=N，PA∩AD=A，MN，CN⊂平面MNC，PA，AD⊂平面PAD，∴平面MNC∥平面PAD，∵CM⊂平面MNC，∴CM∥平面PAD．解：（2）以A为原点，AD，AB，AP为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，A（0，0，0），C（1，1，0），P（0，0，1），B（0，2，0），M（0，1，），=（1，0，﹣），=（0，﹣1，﹣），=（0，1，﹣），设平面AMC的法向量=（x，y，z），则，取z=2，得=（1，﹣1，2），设平面BMC的法向量=（a，b，c），则，取c=2，得=（1，1，2），设二面角A﹣MC﹣B的平面角为θ，则cosθ=﹣=﹣=﹣，∴二面角A﹣MC﹣B的余弦值为﹣．22．（12分）已知一条曲线C在y轴右边，C上每一点到点F（1，0）的距离减去它到y轴距离的差都是1．（Ⅰ）求曲线C的方程；（Ⅱ）是否存在正数m，对于过点M（m，0）且与曲线C有两个交点A，B的任一直线，都有＜0？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．【解答】解：（Ⅰ）设P（x，y）是曲线C上任意一点，那么点P（x，y）满足：化简得y2=4x（x＞0）．（Ⅱ）设过点M（m，0）（m＞0）的直线l与曲线C的交点为A（x1，y1），B（x2，y2）．设l的方程为x=ty+m，由得y2﹣4ty﹣4m=0，△=16（t2+m）＞0，于是①又．⇔（x 1﹣1）（x2﹣1）+y1y2=x1x2﹣（x1+x2）+1+y1y2＜0②又，于是不等式②等价于③由①式，不等式③等价于m 2﹣6m +1＜4t 2④对任意实数t ，4t 2的最小值为0，所以不等式④对于一切t 成立等价于m 2﹣6m +1＜0，解得．由此可知，存在正数m ，对于过点M （m ，0）且与曲线C 有两个交点A ，B 的任一直线，都有，且m 的取值范围．赠送：初中数学几何模型举例 【模型四】几何最值模型：图形特征： PA Bl运用举例：1. △ABC 中，AB =6，AC =8，BC =10，P 为边BC 上一动点，PE ⊥AB 于E ，PF ⊥AC 于F ，M 为AP 的中点，则MF 的最小值为B2.如图，在边长为6的菱形ABCD中，∠BAD＝60°，E为AB的中点，F为AC上一动点，则EF+BF的最小值为_________。
2017-2018学年黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学高二上学期期中考试数学(理)试题(解析版)
2017-2018学年黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学高二上学期期中考试数学（理）试题一、单选题1．已知椭圆2212516x y +=上的一点P 到椭圆一个焦点的距离为3，则P 到另一焦点距离为（ ）A. 2B. 3C. 5D. 7 【答案】D【解析】试题分析：椭圆上的点到两个焦点距离之和等于2a ，所以到另一个焦点的距离为231037a -=-=. 【考点】椭圆定义．2．抛物线220x y =的焦点坐标为（ ）A. ()5,0-B. ()5,0C. ()05，D. ()0,5- 【答案】C【解析】由已知可得22052pp =⇒=⇒ 焦点为()05， ，故选C. 3．双曲线2244x y -=的渐近线方程是（ ） A. 2y x =± B. 12y x =± C. 4y x =± D. 14y x =± 【答案】B【解析】令2240x y -=⇒渐近线方程为12y x =±，故选B.4．已知双曲线222211x y a a-=- ()01a <<a 的值为（ ）A.12 B. C. 13 D. 【答案】B【解析】由已知可得()2222122a a e a a +-==⇒=，故选B. 5．已知P 是椭圆22184x y +=上一点， 1F 2,F 是其左、右焦点，若1260F PF ∠=，则12PF F ∆的面积为（ ）A. B. C.D.【答案】C【解析】由已知可得122012tan4tan3023PF F F PF S b ∆∠===，故选C. 6．设直线l 过点)0,2(-，且与圆122=+y x 相切，则l 的斜率是（）A. 1±B. 21±C ．33±D . 3±【答案】C 【解析】设直线l 的斜率为k,则直线l 的方程为y=k(x+2),因为直线l 与圆相切，所以1=,解之得k =. 7．已知抛物线C ： 22x y =，过点()0,2M 的直线交抛物线C 于,A B ,若O 为坐标原点，则直线,OA OB 的斜率之积为（ ） A. 1- B. 0 C. 1 D. 2- 【答案】A【解析】显然直线AB 的斜率存在，设其方程为2y k x =+ ，由222{2402y k x x k x x y=+⇒--== 22121212121212·224?14OA OBx x y y x x x x k k x x x x ⇒=-⇒====-，故选A. 8．如果满足约束条件，则的最大值是（ ）A. 5-B. 52C. 103D. 5 【答案】C【解析】由上图可得作直线0:20l x y += ，将0l 移至A 点得最大值，由20{2x y y x+-==max 4210,333A z ⎛⎫⇒⇒= ⎪⎝⎭，故选C.利用线性规划求最值，一般用图解法求解，其步骤是：1.在坐标系中作出可行域；2.根据目标函数的几何意义，将目标函数进行变形；3. 确定最优解：在可行域内平行移动目标函数变形后的直线，从面确定最优解；4.求最值：将最解代入目标函数即可求最大值与最小值.9．过双曲线的一个焦点2F 作垂直于实轴的弦PQ ， 1F 是另一焦点，若∠12PF Q π=，则双曲线的离心率等于（ ）A.B. 1C.D.2【答案】B 【解析】由已知可得22222220202101b c b ac c a ac e e e a=⇒-=⇒--=⇒--=⇒= ，故选B.10．过抛物线24y x =的焦点作两条互相垂直的弦AB CD 、，则11AB CD+=（ ） A. 2 B. 1 C. 12 D. 14【答案】D【解析】不妨设()()()()11223344,,,,,,,A x y B x y C x y D x y ,直线:AB y kx = ，由()24{ 1y xy k x =⇒=- 22k x - ()22212122224424024k k x k x x AB x x k k +++=⇒+=⇒=++=+，同理可得222111114444444CD k AB CD k k =+⇒+=+=++,故选D. 11．已知抛物线C ： 28y x =的焦点为F ，准线为l ， P 是l 上一点， Q 是直线PF与C 的一个交点，若3FP FQ =，则QF =（ ） A.83 B. 52C. 3D. 2 【答案】A 【解析】由3FP FQ = 可得直线PF 的倾斜角为))02260:2{8y x PF y x y x=-⇒=-⇒=212320123x x x ⇒-+⇒=或218623x QF x =⇒=+=，故选A. 12．已知抛物线C ： 210y x =，点P 为抛物线C 上任意一点，过点P 向圆22:12350D x y x +-+=作切线，切点分别为,A B ，则四边形PADB 面积的最小值为（ ）A.B.C.D. 【答案】B【解析】由圆()22:61D x y -+=⇒ 圆心()6,0D ，半径1r =，设2,10y P y PD ⎛⎫⇒= ⎪⎝⎭min min PD PA ===min min 122S PA r =⨯⨯= B.【点睛】解答本题的关键步骤是： 1.确定圆的标准方程；2.根据两点距离公式求出min PD = ； 3.根据直角三角形三边关系求出min PA =4..根据四边形面积公式求出min min S PA r =⨯=.二、填空题13．双曲线221416x y -=的实轴长为 ____________． 【答案】4【解析】由已知可得实轴长为24a = .14．已知双曲线： 22154x y -=，若直线l 交该双曲线于,P Q 两点，且线段PQ 的中点为点()1,1A ,则直线l 的斜率为 ____________． 【答案】45【解析】设()()1122,,,P x y Q x y ，则()()()()2211121212122222154{ 054154x y x x x x y y y y x y-=-+-+⇒-=-= ()1225x x -⇒()12121224045y y y y k x x ---=⇒==-.【点睛】本题采用的是点差法求直线低斜率，即设出弦的两个端点的坐标，这两个端点的坐标满足双曲线方程，把这两个端点坐标代入到双曲线方程，将所得的两个式子作差.15．已知1F ， 2F 是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且123F PF π∠=，椭圆的离心率为1e ，双曲线的离心率2e ，则221213e e +=_______． 【答案】4【解析】设椭圆方程为221122111(0)x y a b a b -=>>，双曲线方程为222222221(0,0)x y a b a b -=>>， 点P 为第一象限内的交点，令12,()PF m PF n m n ==>，则122{2m n a m n a +=-=，解得1212{ m a a n a a =+=-。
2017-2018学年黑龙江省高三(上)期中数学试卷(理科)Word版(解析版)
2017-2018学年黑龙江省高三（上）期中理科数学试卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）若复数z满足，则z的共轭复数的虚部是（）A．B．C．D．2．（5分）已知全集为R，集合M={x|≤0}，N={x|（ln2）1﹣x＜1}，则集合M∩（∁R N）=（）A．[﹣1，1] B．[﹣1，1）C．[1，2] D．[1，2）3．（5分）如果幂函数y=（m2﹣3m+3）x的图象不过原点，则m取值是（）A．﹣1≤m≤2 B．m=1或m=2 C．m=2 D．m=14．（5分）设x，y∈R，则“x≥2且y≥2”是“x2+y2≥4”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件5．（5分）在平面直角坐标系中，已知向量=（1，2），﹣=（3，1），=（x，3），若（2+）∥，则x=（）A．﹣2 B．﹣4 C．﹣3 D．﹣16．（5分）已知数列{a n}满足log3a n+1=log3a n+1（n∈N*），且a2+a4+a6=9，则log（a5+a7+a9）的值是（）A．﹣ B．﹣5 C．5 D．7．（5分）已知P（x，y）为区域内的任意一点，当该区域的面积为4时，z=2x﹣y的最大值是（）A．6 B．0 C．2 D．28．（5分）设α∈（0，），β∈（0，），且tanα=，则（）A．3α﹣β=B．3α+β=C．2α﹣β=D．2α+β=9．（5分）数列{a n}满足a1=1，对任意的n∈N*都有a n+1=a1+a n+n，则=（）A．B．C．D．10．（5分）一个四棱锥的三视图如图所示，那么这个四棱锥的表面积是（）A．B．C．D．11．（5分）在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，若BC⊥AC，，AC=4，AA1=4，M为AA1的中点，P为BM的中点，Q在线段CA1上，A1Q=3QC．则异面直线PQ与AC所成角的正弦值为（）A．B．C．D．12．（5分）对于任意实数a，b，定义min{a，b}=，定义在R上的偶函数f （x）满足f （x+4）=f（x），且当0≤x≤2时，f （x）=min{2x﹣1，2﹣x}，若方程f （x）﹣mx=0恰有两个根，则m的取值范围是（）A．{﹣1，1}∪（﹣ln2，）∪（，ln2）B．[﹣1，）∪C．{﹣1，1}∪（﹣ln2，）∪（，ln2）D．（，）∪（，）二、填空题（每题4分，满分16分，将答案填在答题纸上）13．（4分）|x2﹣1|dx= ．14．（4分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2=b2+，则= ．15．（4分）已知x，y∈R，满足x2+2xy+4y2=6，则z=x2+4y2的取值范围为．16．（4分）已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱垂直于底面，各顶点都在同一球面上，若该棱柱的体积为，AB=2，AC=1，∠BAC=60°，则此球的表面积等于．三、解答题（本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）极坐标系的极点为直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，两种坐标系中的长度单位相同，已知曲线C的极坐标方程为ρ=2（cosθ+sinθ）．（1）求C的直角坐标方程；（2）直线l：为参数）与曲线C交于A，B两点，与y轴交于E，求|EA|+|EB|的值．18．（12分）△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，，sin（B﹣A）=cosC．（1）求A，C；（2）若S△ABC=，求a，c．19．（12分）已知数列{a n}的前n项和S n满足：S n=2（a n﹣1），数列{b n}满足：对任意n∈N*有a1b1+a2b2+…+a n b n=（n﹣1）•2n+1+2（1）求数列{a n}与数列{b n}的通项公式；（2）记c n=，数列{c n}的前n项和为T n，证明：当n≥6时，n|2﹣T n|＜1．20．（12分）如图，PCBM是直角梯形，∠PCB=90°，PM∥BC，PM=1，BC=2，又AC=1，∠ACB=120°，AB⊥PC，直线AM与直线PC所成的角为60°．（Ⅰ）求证：平面PAC⊥平面ABC；（Ⅱ）求二面角M﹣AC﹣B的大小；（Ⅲ）求三棱锥P﹣MAC的体积．21．（12分）已知各项均不相等的等差数列{a n}的前五项和S5=20，且a1，a3，a7成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设T n为数列{}的前n项和，若存在n∈N*，使得T n﹣λa n+1≥0成立．求实数λ的取值范围．22．（14分）已知函数f（x）=（2﹣a）lnx++2ax（Ⅰ）当a=2时，求函数f（x）的极值；（Ⅱ）当a＜0时，讨论f（x）的单调性；（Ⅲ）若对任意的a∈（﹣3，﹣2），x1，x2∈[1，3]恒有（m+ln3）a﹣2ln3＞|f（x1）﹣f（x2）|成立，求实数m的取值范围．2017-2018学年黑龙江省高三（上）期中试卷（理科数学）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）（2015秋•嘉峪关校级期末）若复数z满足，则z的共轭复数的虚部是（）A．B．C．D．【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出．【解答】解：满足，∴﹣i•（﹣i），∴z=，∴=i．则z的共轭复数的虚部是．故选：C．【点评】本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义，考查了计算能力，属于基础题．2．（5分）（2015秋•香坊区校级期中）已知全集为R，集合M={x|≤0}，N={x|（ln2）1﹣x＜1}，则集合M∩（∁R N）=（）A．[﹣1，1] B．[﹣1，1）C．[1，2] D．[1，2）【分析】求出M与N中不等式的解集确定出M与N，根据全集R及N求出N的补集，找出M与N 补集的交集即可．【解答】解：∵≤0，即（x+1）（x﹣2）≤0且x﹣2≠0，解得﹣≤x＜2，∴集合M=[﹣1，2），∵（ln2）1﹣x＜1=（ln2）0，∴1﹣x＞0，解得x＜1，即N=（﹣∞，1]，∴∁R N=[1，+∞），∴M∩（∁R N）=[1，2），故选：D．【点评】此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．3．（5分）（2014秋•红塔区校级期末）如果幂函数y=（m2﹣3m+3）x的图象不过原点，则m取值是（）A．﹣1≤m≤2 B．m=1或m=2 C．m=2 D．m=1【分析】幂函数的图象不过原点，所以幂指数小于等于0，系数为1，建立不等式组，解之即可．【解答】解：幂函数的图象不过原点，所以解得m=1或2，符合题意．故选B．【点评】本题主要考查了幂函数的图象及其特征，考查计算能力，属于基础题．4．（5分）（2011•天津）设x，y∈R，则“x≥2且y≥2”是“x2+y2≥4”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【分析】由“x≥2且y≥2”推出“x2+y2≥4”可证明充分性；由满足“x2+y2≥4”可举出反例推翻“x≥2且y≥2”，则证明不必要性，综合可得答案．【解答】解：若x≥2且y≥2，则x2≥4，y2≥4，所以x2+y2≥8，即x2+y2≥4；若x2+y2≥4，则如（﹣2，﹣2）满足条件，但不满足x≥2且y≥2．所以“x≥2且y≥2”是“x2+y2≥4”的充分而不必要条件．故选A．【点评】本题主要考查充分条件与必要条件的含义．5．（5分）（2016•焦作二模）在平面直角坐标系中，已知向量=（1，2），﹣=（3，1），=（x，3），若（2+）∥，则x=（）A．﹣2 B．﹣4 C．﹣3 D．﹣1【分析】由向量的坐标运算结合已知求得的坐标，进一步得到2+的坐标，再由向量共线的坐标表示列式求x的值．【解答】解：由=（1，2），﹣=（3，1），得=（1，2）﹣（3，1）=（﹣2，1），则，∴2+=（2，4）+（﹣4，2）=（﹣2，6），，又（2+）∥，∴6x+6=0，得x=﹣1．故选：D．【点评】本题考查了平面向量的坐标运算，考查了向量共线的条件，要特别注意垂直与平行的区别．若=（a1，a2），=（b1，b2），则⊥⇔a1a2+b1b2=0，∥⇔a1b2﹣a2b1=0．该题是中低档题．6．（5分）（2013•新余二模）已知数列{a n}满足log3a n+1=log3a n+1（n∈N*），且a2+a4+a6=9，则log（a5+a7+a9）的值是（）A．﹣ B．﹣5 C．5 D．【分析】数列{a n}满足log3a n+1=log3a n+1（n∈N*），可得a n+1=3a n＞0，数列{a n}是等比数列，公比q=3．又a2+a4+a6=9，a5+a7+a9=33×9，再利用对数的运算性质即可得出．【解答】解：∵数列{a n}满足log3a n+1=log3a n+1（n∈N*），∴a n+1=3a n＞0，∴数列{a n}是等比数列，公比q=3．又a2+a4+a6=9，∴=a5+a7+a9=33×9=35，则log（a5+a7+a9）==﹣5．故选；B．【点评】本题考查了对数的运算性质、等比数列的定义及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．7．（5分）（2016•德阳模拟）已知P（x，y）为区域内的任意一点，当该区域的面积为4时，z=2x﹣y的最大值是（）A．6 B．0 C．2 D．2【分析】由约束条件作出可行域，求出使可行域面积为4的a值，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合可得最优解，求出最优解的坐标，代入目标函数得答案．【解答】解：由作出可行域如图，由图可得A（a，﹣a），B（a，a），由，得a=2．∴A（2，﹣2），化目标函数z=2x﹣y为y=2x﹣z，∴当y=2x﹣z过A点时，z最大，等于2×2﹣（﹣2）=6．故选：A．【点评】本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．8．（5分）（2014•新课标I）设α∈（0，），β∈（0，），且tanα=，则（）A．3α﹣β=B．3α+β=C．2α﹣β=D．2α+β=【分析】化切为弦，整理后得到sin（α﹣β）=cosα，由该等式左右两边角的关系可排除选项A，B，然后验证C满足等式sin（α﹣β）=cosα，则答案可求．【解答】解：由tanα=，得：，即sinαcosβ=cosαsinβ+cosα，sin（α﹣β）=cosα=sin（），∵α∈（0，），β∈（0，），∴当时，sin（α﹣β）=sin（）=cosα成立．故选：C．【点评】本题考查三角函数的化简求值，训练了利用排除法及验证法求解选择题，是基础题．9．（5分）（2016•漳州二模）数列{a n}满足a1=1，对任意的n∈N*都有a n+1=a1+a n+n，则=（）A．B．C．D．【分析】利用累加法求出数列的通项公式，得到．再由裂项相消法求得答案．【解答】解：∵a1=1，∴由a n+1=a1+a n+n，得a n+1﹣a n=n+1，则a2﹣a1=2，a3﹣a2=3，…a n﹣a n﹣1=n（n≥2）．累加得：a n=a1+2+3+…+n=（n≥2）．当n=1时，上式成立，∴．则．∴=2=．故选：B．【点评】本题考查数列递推式，考查了累加法求数列的通项公式，训练了裂项相消法求数列的和，是中档题．10．（5分）（2015•银川模拟）一个四棱锥的三视图如图所示，那么这个四棱锥的表面积是（）A．B．C．D．【分析】由三视图作直观图，从而结合三视图中的数据求各面的面积即可．【解答】解：由三视图可知，其直观图如右图，S△ABC==1，S△ABE=×2×2=2，S△ACD=×1×=，可知AD⊥DE，AD==，DE=，S△ADE=××=，S梯形BCDE=×（1+2）×1=；故其表面积为S=1+2+++=；故选A．【点评】本题考查了三视图的识图与计算，属于基础题．11．（5分）（2015秋•香坊区校级期中）在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，若BC⊥AC，，AC=4，AA1=4，M为AA1的中点，P为BM的中点，Q在线段CA1上，A1Q=3QC．则异面直线PQ与AC所成角的正弦值为（）A．B．C．D．【分析】由条件即可分别以CA，CB，CC1三直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，根据条件即可求出图中一些点的坐标，进而得出向量的坐标，从而可求出cos，这样便可求出异面直线PQ与AC所成角的正弦值．【解答】解：根据条件知，CA，CB，CC1三直线两两垂直，分别以这三直线为x，y，z轴，建立如图所示空间直角坐标系，则：C（0，0，0），A（4，0，0），B（），A1（4，0，4），M（4，0，2），，Q（1，0，1）；∴，；∴；∴；∴sin=；即异面直线PQ与AC所成角的正弦值为．故选C．【点评】考查通过建立空间直角坐标系，利用空间向量解决几何问题的方法，能求空间上点的坐标，中点坐标公式，根据点的坐标能求向量坐标，向量夹角的余弦公式．12．（5分）（2015•银川模拟）对于任意实数a，b，定义min{a，b}=，定义在R上的偶函数f （x）满足f （x+4）=f（x），且当0≤x≤2时，f （x）=min{2x﹣1，2﹣x}，若方程f （x）﹣mx=0恰有两个根，则m的取值范围是（）A．{﹣1，1}∪（﹣ln2，）∪（，ln2）B．[﹣1，）∪C．{﹣1，1}∪（﹣ln2，）∪（，ln2）D．（，）∪（，）【分析】首先由题意求出f（x），然后令g（x）=mx，转化为图象交点的问题解决．【解答】解：由题意得，又因为f（x）是偶函数且周期是4，可得整个函数的图象，令g（x）=mx，本题转化为两个交点的问题，由图象可知有三部分组成，排除B，D易得当过（3，1），（﹣3，1）点时恰有三个交点，此时m=±，故选A．【点评】本题考查的是函数的性质的综合应用，利用数形结合快速得解．二、填空题（每题4分，满分16分，将答案填在答题纸上）13．（4分）（2015秋•香坊区校级期中）|x2﹣1|dx= ．【分析】根据定积分的计算法则计算即可．【解答】解：，故答案为：【点评】本题考查了定积分的计算，属于基础题．14．（4分）（2016•包头校级二模）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2=b2+，则=．【分析】由已知等式可得c2=4a2﹣4b2，又由余弦定理可得cosB=，代入所求化简即可得解．【解答】解：∵a2=b2+，∴解得：c2=4a2﹣4b2，又∵由余弦定理可得：cosB=，∴=====．故答案为：．【点评】本题主要考查了余弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．15．（4分）（2015•唐山一模）已知x，y∈R，满足x2+2xy+4y2=6，则z=x2+4y2的取值范围为[4，12] ．【分析】x2+2xy+4y2=6变形为=6，设，，θ∈[0，2π）．代入z=x2+4y2，利用同角三角函数基本关系式、倍角公式、两角和差的正弦公式化简整理即可得出．【解答】解：x2+2xy+4y2=6变形为=6，设，，θ∈[0，2π）．∴y=sinθ，x=，∴z=x2+4y2==+6=2×（1﹣cos2θ）﹣+6=，∵∈[﹣1，1]．∴z∈[4，12]．故答案为：[4，12]．【点评】本题考查了同角三角函数基本关系式、倍角公式、两角和差的正弦公式、三角函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．16．（4分）（2016•贵阳二模）已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱垂直于底面，各顶点都在同一球面上，若该棱柱的体积为，AB=2，AC=1，∠BAC=60°，则此球的表面积等于8π．【分析】利用三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱垂直于底面，棱柱的体积为，AB=2，AC=1，∠BAC=60°，求出AA1，再求出△ABC外接圆的半径，即可求得球的半径，从而可求球的表面积．【解答】解：∵三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱垂直于底面，棱柱的体积为，AB=2，AC=1，∠BAC=60°，∴=∴AA1=2∵BC2=AB2+AC2﹣2AB•ACcos60°=4+1﹣2，∴BC=设△ABC外接圆的半径为R，则，∴R=1∴外接球的半径为=∴球的表面积等于4π×=8π故答案为：8π【点评】本题考查球的表面积，考查棱柱的体积，考查学生的计算能力，属于基础题．三、解答题（本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）（2016•漳州二模）极坐标系的极点为直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，两种坐标系中的长度单位相同，已知曲线C的极坐标方程为ρ=2（cosθ+sinθ）．（1）求C的直角坐标方程；（2）直线l：为参数）与曲线C交于A，B两点，与y轴交于E，求|EA|+|EB|的值．【分析】（1）将极坐标方程两边同乘ρ，进而根据ρ2=x2+y2，x=ρcosθ，y=ρsinθ，可求出C的直角坐标方程；（2）将直线l的参数方程，代入曲线C的直角坐标方程，求出对应的t值，根据参数t的几何意义，求出|EA|+|EB|的值．【解答】解：（1）∵曲线C的极坐标方程为ρ=2（cosθ+sinθ）∴ρ2=2ρcosθ+2ρsinθ∴x2+y2=2x+2y即（x﹣1）2+（y﹣1）2=2﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）（2）将l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程，得t2﹣t﹣1=0，所以|EA|+|EB|=|t1|+|t2|=|t1﹣t2|==．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）【点评】本题考查的知识点是参数方程与普通方程，直线与圆的位置关系，极坐标，熟练掌握极坐标方程与普通方程之间互化的公式，及直线参数方程中参数的几何意义是解答的关键．18．（12分）（2009•江西）△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，，sin（B﹣A）=cosC．（1）求A，C；（2）若S△ABC=，求a，c．【分析】（1）先根据同角三角函数的基本关系将正切化为正余弦之比再相乘可得到3内角的正弦关系式，再由sin（B﹣A）=cosC可求出答案．（2）先根据正弦定理得到a与c的关系，再利用三角形的面积公式可得答案．【解答】解：（1）因为所以左边切化弦对角相乘得到sinCcosA﹣cosCsinA=cosCsinB﹣sinCcosB，所以sin（C﹣A）=sin（B﹣C）．所以C﹣A=B﹣C或C﹣A=π﹣（B﹣C）（不成立）即2C=A+B，C=60°，所以A+B=120°，又因为sin（B﹣A）=cosC=，所以B﹣A=30°或B﹣A=150°（舍），所以A=45°，C=60°．（2）由（1）知A=45°，C=60°∴B=75°∴sinB=根据正弦定理可得即：∴a=S=acsinB==3+∴c2=12∴c=2∴a==2【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系和正弦定理与三角形面积公式的应用．对于三角函数这一部分公式比较多，要强化记忆．19．（12分）（2015秋•香坊区校级期中）已知数列{a n}的前n项和S n满足：S n=2（a n﹣1），数列{b n}满足：对任意n∈N*有a1b1+a2b2+…+a n b n=（n﹣1）•2n+1+2（1）求数列{a n}与数列{b n}的通项公式；（2）记c n=，数列{c n}的前n项和为T n，证明：当n≥6时，n|2﹣T n|＜1．【分析】（1）利用数列的通项公式与前n项和的关系求出数列的通项公式，然后化简已知条件求出数列{b n}的通项公式．（2）利用错位相减法求出Tn，然后构造函数利用函数的单调性讨论怎么见过即可．【解答】解：（1）当n=1时，S1=2（a1﹣1），所以a1=2，当n＞1时，a n=S n﹣S n﹣1=2（a n﹣1）﹣2（a n﹣1﹣1），∴a n=2a n﹣1，a2=4=2a1，数列{a n}是等比数列，a n=2n，a1b1=（1﹣1）•22+2=2，b1=1，当n≥2时，a n b n=a1b1+a2b2+…+a n b n﹣（a1b1+a2b2+…+a n﹣1b n﹣1）=[（n﹣1）•2n+1+2]﹣[（n﹣2）•2n+2]=n•2n．验证首项满足，于是b n=n．数列{b n}的通项公式：b n=n．（2）证明：T n==，所以=，错位相减得=，所以T n=2﹣，即|2﹣T n|=，下证：当n≥6时，，令f（n）=，f（n+1）﹣f（n）=﹣=当n≥2时，f（n+1）﹣f（n）＜0，即当n≥2时，f（n）单调减，又f（6）＜1，所以当n≥6时，f（n）＜1，即＜1，即当当n≥6时，n|2﹣T n|＜1．【点评】本题目主要考查了利用数列的递推公式求解数列的通项公式，解题中要注意对n=1的检验不要漏掉，还要注意等比数列的通项公式的应用．考查分析问题解决问题的能力．20．（12分）（2007•四川）如图，PCBM是直角梯形，∠PCB=90°，PM∥BC，PM=1，BC=2，又AC=1，∠ACB=120°，AB⊥PC，直线AM与直线PC所成的角为60°．（Ⅰ）求证：平面PAC⊥平面ABC；（Ⅱ）求二面角M﹣AC﹣B的大小；（Ⅲ）求三棱锥P﹣MAC的体积．【分析】法一（Ⅰ）通过证明PC⊥平面ABC，证明平面PAC⊥平面ABC；（Ⅱ）取BC的中点N，则CN=1，连接AN，MN，说明∠MHN为二面角M﹣AC﹣B的平面角，解三角形求二面角M﹣AC﹣B的大小；（Ⅲ）三棱锥P﹣MAC的体积，转化V P﹣MAC=V A﹣PCM=V A﹣MNC=V M﹣ACN，求出底面ACN的面积，求出高MN即可．法二（Ⅱ）在平面ABC内，过C作CD⊥CB，建立空间直角坐标系C﹣xyz，求出平面MAC的一个法向量为，平面ABC的法向量取为=（{0，0，1}）利用，解答即可．（Ⅲ）取平面PCM的法向量取为=（{1，0，0}），则点A到平面PCM的距离，求出体积即可．【解答】解法一：（Ⅰ）∵PC⊥AB，PC⊥BC，AB∩BC=B，∴PC⊥平面ABC，又∵PC⊂平面PAC，∴平面PAC⊥平面ABC．（Ⅱ）取BC的中点N，则CN=1，连接AN，MN，∵PM CN，∴MN PC，从而MN⊥平面ABC作NH⊥AC，交AC的延长线于H，连接MH，则由三垂线定理知，AC⊥NH，从而∠MHN为二面角M﹣AC﹣B的平面角直线AM与直线PC所成的角为600∴∠AMN=60°在△ACN中，由余弦定理得AN=；在△AMN中，MN=AN•cot∠AMN==1；在△CNH中，NH=CN•sin∠NCH=1×；在△MNH中，MN=tan∠MHN=；故二面角M﹣AC﹣B的平面角大小为arctan．（Ⅲ）由（Ⅱ）知，PCMN为正方形∴V P﹣MAC=V A﹣PCM=V A﹣MNC=V M﹣ACN=解法二：（Ⅰ）同解法一（Ⅱ）在平面ABC内，过C作CD⊥CB，建立空间直角坐标系C﹣xyz（如图）由题意有，设P（0，0，z0）（z0＞0），则M（0，1，z0），由直线AM与直线PC所成的解为60°，得，即z02=，解得z0=1∴，设平面MAC的一个法向量为，则，取x1=1，得，平面ABC的法向量取为，设与所成的角为θ，则cosθ=，显然，二面角M﹣AC﹣B的平面角为锐角，故二面角M﹣AC﹣B的平面角大小为arccos．（Ⅲ）取平面PCM的法向量取为，则点A到平面PCM的距离h=，∵|=1，∴V P﹣MAC=V A﹣PCM═．【点评】本题主要考查异面直线所成的角、平面与平面垂直、二面角、三棱锥体积等有关知识，考查思维能力和空间想象能力、应用向量知识解决数学问题的能力、化归转化能力和推理运算能力．21．（12分）（2015•武汉校级模拟）已知各项均不相等的等差数列{a n}的前五项和S5=20，且a1，a3，a7成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设T n为数列{}的前n项和，若存在n∈N*，使得T n﹣λa n+1≥0成立．求实数λ的取值范围．【分析】（1）设数列{a n}的公差为d，运用等差数列的求和公式和等比数列的性质，解方程可得a1=2，d=1，再由等差数列的通项即可得到；（2）运用裂项相消求和，求得T n，再由参数分离和基本不等式即可得到所求范围．【解答】解：（1）设数列{a n}的公差为d，由已知得即为，即，由d≠0，即有，故a n=2+n﹣1=n+1；（2）==﹣∴=﹣=，∵存在n∈N*，使得T n﹣λa n+1≥0成立，∴存在n∈N*，使得﹣λ（n+2）≥0成立，即λ≤有解，即有λ≤[]max，而=≤=，n=2时取等号∴．【点评】本题考查等差数列的通项和求和公式的运用，同时考查等比数列的性质，以及数列的求和方法：裂项相消求和，运用参数分离和基本不等式是解题的关键．22．（14分）（2015秋•香坊区校级期中）已知函数f（x）=（2﹣a）lnx++2ax（Ⅰ）当a=2时，求函数f（x）的极值；（Ⅱ）当a＜0时，讨论f（x）的单调性；（Ⅲ）若对任意的a∈（﹣3，﹣2），x1，x2∈[1，3]恒有（m+ln3）a﹣2ln3＞|f（x1）﹣f（x2）|成立，求实数m的取值范围．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，解关于导函数的方程，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值即可；（Ⅱ）先求出函数的导数，通过讨论a的范围，从而求出函数的单调区间；（Ⅲ）分别求出函数f（x）的最大值和最小值，从而得到|f（x1）﹣f（x2）|≤f（1）﹣f（3），根据（m+ln3）a﹣2ln3＞﹣4a+（a﹣2）ln3，求出m的范围即可．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域是（0，+∞），f′（x）=﹣+4，令f′（x）=0，解得：x=，x=﹣（舍），故f（x）在（0，）递减，在（，+∞）递增，故f（x）的极小值是f（）=4，无极大值；（Ⅱ）由题意得函数f（x）的定义域是（0，+∞），f′（x）=﹣+2a=，当a＜﹣2时，﹣＜，令f′（x）＜0，得：0＜x＜﹣或x＞，令f′（x）＞0，得﹣＜x＜，当﹣2＜a＜0时，得﹣＞，令f′（x）＜0，得0＜x＜或x＞﹣，令f′（x）＞0，得＜x＜﹣，当a=﹣2时，f′（x）=＜0，综上所述，当a＜﹣2时，f（x）的递减区间为（0，﹣）和（，+∞）单调区间为（﹣，），当a=﹣2时，f（x）在（0，+∞）单调递减，当﹣2＜a＜0时，f（x）的递减区间为（0，）和（﹣，+∞），递增区间为：（，﹣）．（Ⅲ）由（Ⅱ）得，当x∈（﹣3，﹣2]时，f（x）在区间[1，3]上单调递减，当x=1时，f（x）取得最大值，当x=3时，f（x）取得最小值，|f（x1）﹣f（x2）|≤f（1）﹣f（3）=（1﹣2a）﹣[（2﹣a）ln3++6a]=﹣4a+（a﹣2）ln3，∵|f（x1）﹣f（x2）|＜（m+ln3）a﹣2ln3恒成立，∴（m+ln3）a﹣2ln3＞﹣4a+（a﹣2）ln3，整理得ma＞﹣4a，∵a＜0，∴m＜﹣4恒成立，∵﹣3＜a＜﹣2，∴﹣＜﹣4＜﹣，∴m≤﹣．【点评】本题考察了函数的单调性，考察导数的应用，考察分类讨论思想，是一道综合题．。
黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学高二上学期期中试题理(数学)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1.抛物线24y x =的焦点坐标是（ ） .A ()1,0 .B 1016⎛⎫ ⎪⎝⎭， .C ()0,1 .D 104⎛⎫ ⎪⎝⎭， 2.圆心为（-1，-1）且过原点的圆方程是（ ） .A 22(1)(1)1x y -+-= .B 22(+1)(+1)1x y +=.C 22(1)(1)2x y -+-= .D 22(+1)(+1)2x y +=3.抛物线28y x =的焦点到双曲线221124x y -=的渐近线的距离为( ).A 1 .B .C .D 4. 若曲线22141x y k k+=+-表示椭圆，则k 的取值范围是（ ） .A 3(4,)2-- .B 33(4,)(,1)22---U .C 3(,1)2- .D (4,1)- 5. 已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b+=>>与双曲线222:4C x y -=有相同的右焦点2F ，点P 是椭圆1C 和双曲线2C 的一个公共点，若22PF =，则椭圆1C 的短轴长为（ ）.A .B .C 4 .D 26.椭圆221mx ny +=与直线10x y +-=相交于,A B 两点，过AB 中点M ，则m n的值为（ ）.A .B .C .D 2 7.过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 作倾斜角为60o 的直线l ，与抛物线分别交于A B 、两点（A 点在x轴上方），则||||AF BF 的值等于（ ） .A 5 .B 4 .C 3 .D 28. 已知,,A B P 是双曲线22221x y a b-=上的不同三点，且AB 连线经过坐标原点，若直线,PA PB 的斜率乘积23PA PB k k ⋅=，则该双曲线的离心率e =（ ）.A .B .C .D 9.已知抛物线 22y x =上一点A 到焦点F 距离与其到对称轴的距离之比为5:4，且2AF > ，则A 点到原点的距离为.A .B 4 .C .D10.已知椭圆2222:+1,(0)x y E a b a b=>>的右焦点为F ,短轴的一个端点为M ,直线:340l x y -=交椭圆E 于A B 、两点.若||||4AF BF +=，点M 到直线l 的距离不小于45,则椭圆E 的离心率的取值范围是( ).A 02（， .B 30]4（， .C 2 .D 3[,1)411.已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的右顶点为A ，O 为坐标原点，以A 为圆心的圆与双曲线C的一条渐近线交于P Q 、两点，若2PAQ π∠=，且PQ ，则双曲线的渐近线为（ ）.A 12y x =± .B y = .C 2y x =± .D y x =± 12.过双曲线22115y x -=的右支上一点P ，分别作圆()221:44C x y ++=和圆()222:41C x y -+=切线，切点分别为,M N ，则22PM PN -的最小值为（ ） .A 11 .B 12 .C 13 .D 20二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.圆：06422=+-+y x y x 和圆：0622=-+x y x 交于,A B 两点，则AB 的垂直平分线的方程是 _____ .14.已知双曲线渐近线方程为2y x =±，且过点2), 则该双曲线的标准方程为 _______ .15．如图，抛物线24x y =，圆()22:11F x y +-= ，过F 的 直线自上而下顺次与上述两曲线交于点A B C D 、、、，则 AB CD ⋅= ． 16.已知F 是双曲线22:18y C x -=的右焦点,P 是C 的左支上一点,A (0,6).当APF ∆周长最小时,该三角形的面积为__________________.三、解答题(本大题共6小题,共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.)17.（本题满分10分）在平面直角坐标系xoy 中，直线l 的参数方程为12232x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ (t 为参数)，曲线C 的方程为24y x =.（Ⅰ）求直线l 的普通方程；（Ⅱ）设(2,0)M ，直线l 与曲线C 交于,A B 两点，求11||||AM BM +的值．18.（本题满分12分）已知圆M 经过点(1,1)A -和点(1,1)B -，且圆心在直线20x y +-=上．（Ⅰ）求圆M 的方程；（Ⅱ）求过点()3,2P -与圆M 相切的直线方程.19.（本题满分12分）已知椭圆方程2222:1(0)x y C a b a b+=>>过点，长轴长为4. （Ⅰ）求椭圆C 的方程； （Ⅱ）设过定点(0,2)M 的直线l 与椭圆C 交于不同的两点P Q 、，若0OP OQ ⋅>u u u r u u u r （O 为坐标原点），求直线l 的斜率k 的取值范围．20.（本题满分12分）直线l 与抛物线2:4C x y =交于,A B 两点，O 为坐标原点，且4OA OB ⋅=-u u u r u u u r . （Ⅰ）求证：直线l 经过定点P ，并求出点P 的坐标；（Ⅱ）记（Ⅰ）中的P 与O 的中点为Q ，过OP 的中点作两条互相垂直直线分别交抛物线C 于,M E 和,N F ，求四边形EFMN 面积的最小值.21.（本题满分12分）如图，椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>经过点(0,1)A -，且离心率为2. （Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）经过点(1,1)，且斜率为k 的直线与椭圆E 交于不同两点,P Q （异于点A ）证明：直线AP 与AQ 的斜率之和为定值.22.（本题满分12分）已知y 轴右侧曲线C 上的动点P 到(1,0)F 的距离比到y 轴的距离大1，过(1,0)H -的直线与曲线C 交于A B 、（A B 、均在x 轴上方），且4HA HB =u u u r u u u r . （Ⅰ）求曲线C 的轨迹方程；（Ⅱ）与AB 平行的直线l 交曲线C 与,P Q ，M 为曲线C 上一点（异于P Q 、）满足0MP MQ ⋅=u u u r u u u u r ，且点M 横坐标0149[,]1616x ∈，求直线l 横截距的取值范围.。
黑龙江省哈师大附中2018届高三上学期期中考试理科数学试题Word版
2017-2018 年度高三上学期第二次月考数学试卷（理科）一．选择题：（每小题5分，共60分，只有一个选项是正确的）1.复数z=i i 211+-的虚部是（ ）A.-53iB.53iC.-53D.532.已知:A=｛x|log 2x<2｝,B ｛x|4x-1≥8｝则A ∩B=（ ） A.[25,4) B.[25,+∞) C.(0,4) D.(0,25)3.等差数列{a n }中,a 3+a 9=10,则该数列的前11项和S 11=（ ） A.58 B.55 C.44 D.334.设命题p:函数y=sin(2x-3π)+cos(2x-6π)的最小正周期为π; 命题q:函数y=cos(2x-4 )关于直线x=83π对称，则下列判断正确的是（ ）A.p ⌝为真B.q 为真C.p ∧q 为真D.p ∨q 为真5.为了得到函数y=sin(2x+1)的图像，只需将函数y=sin2x 的图像（ ）A ．向左平移1个单位 B.向右平移1个单位C.向左平移21个单位D.向右平移21个单位 6.下列不等式一定成立的是（ ）A.lg(x 2+41)>lg x (x>0) B.x+x1≥2(x ≠0)C.a 3+b 3≥a 2b+ab 2(a,b ∈R) D.a 4+b 4≥a 3b+ab 3(a,b ∈R)7.正三棱柱ABC-A 1B 1C 1(底面是正三角形，侧棱与底面垂直），AB=2AA 1,则AB 1与BC 1所成的角为（ ） A.30°B.45°C.60°D.90°8.向量,OB 的夹角为120°C 在∠AOB 内,∠AOC=30°,若λ+=2，则 λ=( )A.41B.21 C.1 D.29.等比数列{an}的前n 项和为Sn=2²3n+a,则数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n a 1的前n 项和为（ ）A.⎥⎦⎤⎢⎣⎡-n 31183B.⎥⎦⎤⎢⎣⎡-n 31123 C.[]1381-n D.[]1321-n10.已知某个几何体的三视图如下，则该几何体的体积为（ ）正视图 侧视图俯视图 A.36 B.362 C.263 D.2611.已知f(x)是定义在R 上的函数，f(x-1)和f(x+1)分别为奇函数和偶函数，当x ∈[-1,1] 时，f(x)=-x 2+2x+3，若函数g(x)=f(x)-k 在(-5,7)上有四个零点，则实数k 的取值范围是（ ）A.(0,4)B.(-4,4)C.(-4,0)D.(0,2)12.表面积为16π的球内接一个正三棱柱，则此三棱柱体积的最大值为（ ） A.4B.10C.8D.15 二．填空题：（每小题 5 分，共 20 分）13.设变量x,y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥+-≥-+01042022x y x y x ,则目标函数z=2x-y 的最小值为 .14.函数y=cos2x+sinx+1 的最大值为 .15.已知m,n 是两条不同的直线，a,β是两个不同的平面，给出下列命题： ①若a ⊥β,a ∩β=m,n ⊥m ，则n ⊥a 或n ⊥β；②若a ∩β=m,n//a,n//β，则n//m ；③若m 不垂直于平面a ，则m 不可能垂直于a 内的无数条直线；④若m ⊥a,n ⊥β,a//β,则m//n .其中正确的是 __________.(填上所有正确的序号）16.已知平面向量a,b 的夹角余弦值为-32,=3,若平面向量满足⋅=⋅= .三．解答题：（共六道大题，满分 70 分） 17.（本题10分）已知函数f(x)=sin 2x+sinxcosx-1.(1)求f(x)的对称轴方程； (2)求f(x)的单调递减区间. 18.（本题 12 分）在数列{a n }中,a 1=4,a n+1=2a n +3n(n ∈R *). (1)求证:数列｛a n -3n｝是等比数列；(2)设b n =(2n-1)(an-2n-1) ，求数列｛b n ｝的前n 项和S n .19.（本题 12 分）数可列｛n a ｝的前n 项和为S n ，2a n =S n +1(n ∈N *)(1)求数列｛n a ｝的通项公式；(2)设n b =λn a +3n，若数列｛n b ｝是递增数列，求λ的取值范围.20.（本题 12 分）如图，三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，A 1C 底面 ABC ，∠ACB=120°，A 1C=AC=BC=2，D 为AB 中点.（1）求证:BC 1//平面 A 1CD ；（2）求A 1D 与平面A 1C 1B 所成角的正弦值.21.(本题 12 分）四棱锥P —ABCD 的底面是矩形，平面 PDA ⊥平面ABCD ，平面PDC ⊥平面ABCD. (1)求证：PD ⊥AC ； (2)若PD=AD=21AB ,求二面角A —PB —C 的余弦值.22.（本题12分）已知函数f(x)=21x 2-(a+1)x+a1nx (a>0).（1）求f(x)的极值点；（2）当a=2 时，函数f(x)在[1,t](t>1)上的最大值是f(t),求t 的最小整数值.2017-2018 年度高三上学期第二次月考一、选择题：CABDC DDBAB CC 二、填空题： 13.-2 14.817 15.②④ 16.5703 三、解答题：17.解：（1）由已知：f(x)=2122cos 1+-x sin2x-1 =22sin(2x-4π)-21 ………3分由sin(2x-4π)=±1得：2x-4π=k π+2π(k ∈Z ） 所以f(x)对称轴方程为：x=2πk +83π(k ∈Z ） ………6分（2）由2k π+2π≤2x-4π≤2k π+23π(k ∈Z ）得f(x)的递减区间为：[k π+83π,k π+87π](k ∈Z ） ………10分18.（1）证明：由已知a n+1-3n-1=2a n +3n-3n-1=2(a n -3n)又a 1-3=1 故nn n n a a 3311--++=2 ………4分所以数列｛a n -3n｝为等比数列. ………5分 （2）由（1）知：a n -3n=2n-1 ∴a n =3n +2n-1∴b n =(2n-1)²3n………6分 ∵S n =1.31+3.32+5.33+…+(2n-1)²3n∴3S n =1.32+3.33+…+(2n-3)²3n+(2n-1)²3n+1………8分 ∴-2S n =3+2(32+33+ (3))-(2n-1)²3n+1………9分 =…=-2(n-1)²3n+1-6 ………11分 ∴S n =(n-1)²3n+1+3 19.解：（1）由已知：2a n =S n +1(n ≥1） ∴2a n+1=S n+1+1 ∴2a n+1-2a n =a n+1即：a n+1=2a n (n ≥1）， ………3分又由2a 1=a 1+1得：a 1=1 ………4分 所以a n =2n-1（2）由（1）知：b n =λ²2n-1+3n依题意：b n+1>b n 对n ∈N *恒成立. ………8分 即：λ²2n+3n+1>λ²2n-1+3n 整理得：λ>-4²(23)n(n ∈N*) ………10分 ∵当n=1时：-4(23)n取最大值-6 ………11分 故：λ> -6 ………12分 20.（1）证明：连AC 1交A 1C 于M 点,则M 为AC 1中点，连MD ， 在△ABC 1中，D ，M 分别为AB ，AC 1中点，故DM ∥BC 1 ∵BC 1⊂平面A 1CD ，DM ⊂平面A 1CD ， ∴BC 1∥平面A 1CD ，（2）在△ABC 中，AC=BC ，D 为AB 中点，∴CD ⊥AB 以D 为原点，如图建立空间直角坐标系，由已知：D （0,0,0）A （0,3，0,）B （0，-3，0）C （1,0,0）A 1（1,0,2） 设n =（x ，y ，z ）为平面A 1C 1B 的法向量，则： A 1⋅=（x ，y ，z ）²(-1，-3,-2)=-x-3y-2z=0 AC n C A n ⋅=⋅⋅11=（x ，y ，z ）²(1，-3,0)=x-3y=0 取y=3,x=3,z=-3即：=（3，3，3） ………9分 又D A 1=（-1,0，-2） ∴cos<D A 1,n >=35105 ………11分∴A 1D 与平面A 1C 1B 所成角的正弦值为3510521.（1）证明：在矩形ABCD 中，AB ⊥AD又∵平面PDA ⊥平面ABCD ，平面PDA ∩平面ABCD=AD ， AB ⊂平面ABCD∴AB ⊥平面PDA ∴AB ⊥PD 同理：BC ⊥PD 又AB ∩BC=B∴PD ⊥平面ABCD ∴PD ⊥AC ………6分 （2）-510………12分 22.解：（1）由已知：f(x)=x-(a+1)+xa（x>0,a>0） =xx a x )1)((--当0<a<1时：由f(x)=0得：x=a 或x=1∴f(x)的极大值点为a ，极小值点为1. ………3分 当a=1时：由f(x)=0得：x=1∴f(x)没有极值点 ………5分 当a>1时：由f(x)=0得：x=a 或x=1∴f(x)的极大值点为1，极小值点为a. （2）当a=2时：f(x)=21x 2-3x+2lnx f(x)=xx x )2)(1(-- (x>0) 由f(x)=0得：x=2或x=1当1<t ≤2时：f(x)在[1,t]上为减函数，f(x)在[1,t]上最大值为f(1)………8分当t>2时：f(x)在[1,2]上为减函数，f(x)在[2,t]上为增函数故f(x)在[1，t]上最大值为f(1）和f(t)中较大者 ………9分设个g(t)=f(t)-f(1)=21t 2-3t+2lnt+25（t>2） 则g(t)在（2，+∞）上为增函数，又g(3)=21³32-3³3+2ln3+25=2ln3-2>0故t 的最小整数值为3。
【精品】2018年黑龙江省哈尔滨三中高二上学期期中数学试卷带解析答案(理科)
2017-2018学年黑龙江省哈尔滨三中高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）两条异面直线所成角的范围是（）A．B．（0，π]C．D．（0，π）2．（5分）若x，y满足约束条件，则z=2x+y的最大值为（）A．0 B．4 C．5 D．63．（5分）如图，ABCD﹣A1B1C1D1为正方体，下面结论错误的是（）A．BD∥平面CB1D1B．AC1⊥BDC．AC1⊥平面CB1D1D．异面直线AD与CB1所成的角为60°4．（5分）一个三角形水平放置的直观图，是一个以O'B'为斜边的等腰直角三角形A'O'B'，且O'B'=2（如图），则原三角形AOB的面积是（）A．B．1 C．D．5．（5分）双曲线的两条渐近线为（）A． B．y=±4x C． D．y=±2x6．（5分）如图，一个空间几何体的正视图和侧视图都是边长为1的正方形，俯视图是一个圆，那么这个几何体的侧面积为（）A．B．C．πD．7．（5分）抛物线y2=4x上两点A、B，弦AB的中点为P（2，1），则直线AB的斜率为（）A．2 B．2或﹣2 C．2或D．﹣28．（5分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ACB=90°，AA1=2，AC=BC=1，则异面直线A1B与AC所成角的余弦值是（）A．B．C．D．9．（5分）已知点P在抛物线y2=4x上，点A（5，3），F为该抛物线的焦点，则△PAF周长的最小值为（）A．9 B．10 C．11 D．1210．（5分）已知双曲线（a＞0，b＞0）的焦距为，且双曲线的一条渐近线与直线y=2x垂直，则双曲线的方程为（）A．B．C．D．11．（5分）如图（1）所示，已知正方体面对角线长为a，沿阴影面将它切割成两块，拼成如图（2）所示的几何体，那么此几何体的表面积为（）A．（1+2）a2 B．（2+）a2C．（3+2）a2D．（4+）a212．（5分）已知双曲线（a＞0，b＞0）的右支上一点P，过P点分别做双曲线的两条渐近线的平行线PQ、PR分别交渐近线于Q、R，则平行四边形PQOR的面积（）A．为定值B．有最大值，无最小值C．有最小值，无最大值D．无法确定二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在答题卡相应的位置上）13．（5分）已知抛物线方程是y2=﹣4x，则它准线方程为．14．（5分）设α，β为互不重合的平面，m，n是互不重合的直线，给出下列四个命题：①若m∥n，n⊂α，则m∥α②若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β③若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥n④若α⊥β，α∩β=m，n⊂α，n⊥m，则n⊥β；其中正确命题的序号为．15．（5分）将一个半圆形纸片没有重叠的卷成一个圆锥（如图），则圆锥的母线与底面所成的角为．16．（5分）一个三棱锥的三视图如图所示，则该几何体的体积为．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）17．（10分）斜率为1的直线过抛物线y2=4x的焦点，与抛物线交于两点A、B，M为抛物线上的点．（I）求|AB|；（II）若，求点M的坐标．18．（12分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M、N分别为AB、BC中点．（I）当点P在棱DD1上运动时，是否都有MN∥平面A1C1P，证明你的结论；（II）若P是DD1的中点，求异面直线A1P与B1N所成的角的余弦值．19．（12分）如图，四面体ABCD中，，，BD=1．（I）求二面角B﹣AC﹣D的大小；（II）求四面体ABCD的体积．20．（12分）已知双曲线x2﹣y2=1与直线l：y=kx﹣1有两个不同的交点A，B．（I）求实数k的取值范围；（II）若，求实数k的取值范围．21．（12分）在矩形ABCD中，AB=4，AD=2，将△ABD沿BD折起，使得点A折起至A′，设二面角A′﹣BD﹣C的大小为θ．（1）当θ=90°时，求A′C的长；（2）当cosθ=时，求BC与平面A′BD所成角的正弦值．22．（12分）已知抛物线L：y2=2px（p＞0）的焦点为F，直线与y轴的交点为P，与L的交点为Q，若．（I）求L的方程；（II）过Q作抛物线L的切线与x轴相交于N点，N点关于原点的对称点为M 点，过点M的直线交抛物线L于A，B两点，交椭圆于C，D 两点，使得|AM||CM|=|BM||DM|成立，求该椭圆长轴长的范围．2017-2018学年黑龙江省哈尔滨三中高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）两条异面直线所成角的范围是（）A．B．（0，π]C．D．（0，π）【解答】解：由异面直线所成角的概念得：两条异面直线所成角的范围是（0，]．故选：C．2．（5分）若x，y满足约束条件，则z=2x+y的最大值为（）A．0 B．4 C．5 D．6【解答】解：画出x，y满足约束条件的平面区域，如图示：由，解得A（3，0），由z=2x+y可知直线过A（3，0）时，z最大，得：y=2×3+0=6，故选：D．3．（5分）如图，ABCD﹣A1B1C1D1为正方体，下面结论错误的是（）A．BD∥平面CB1D1B．AC1⊥BDC．AC1⊥平面CB1D1D．异面直线AD与CB1所成的角为60°【解答】解：A中因为BD∥B1D1，正确；B中因为AC⊥BD，由三垂线定理知正确；C中由三垂线定理可知AC1⊥B1D1，AC1⊥B1C，故正确；D中显然异面直线AD与CB1所成的角为45°故选：D．4．（5分）一个三角形水平放置的直观图，是一个以O'B'为斜边的等腰直角三角形A'O'B'，且O'B'=2（如图），则原三角形AOB的面积是（）A．B．1 C．D．【解答】解：因为三角形的斜二侧直观图是等腰直角三角形A′B′O′，所以△ABO 的底OB=O′B′=2．腰A′O′=，△ABO为直角三角形，且高OA=2A′O′=2×=2．所以直角三角形△ABO的面积是×2×2=2．故选：D．5．（5分）双曲线的两条渐近线为（）A． B．y=±4x C． D．y=±2x【解答】解：根据题意，双曲线的标准方程为：﹣=1，其中a==4，b==2，双曲线的焦点在y轴上，则其渐近线方程为：y=±2x；故选：D．6．（5分）如图，一个空间几何体的正视图和侧视图都是边长为1的正方形，俯视图是一个圆，那么这个几何体的侧面积为（）A．B．C．πD．【解答】解：由已知中的三视力可得该几何体是一个圆柱，∵几何体的正视图和侧视图都是边长为1的正方形，∴圆柱的底面直径和母线长均为1，故圆柱的底面周长为：π，故圆柱的侧面面积为：π×1=π，故选：C．7．（5分）抛物线y2=4x上两点A、B，弦AB的中点为P（2，1），则直线AB的斜率为（）A．2 B．2或﹣2 C．2或D．﹣2【解答】解：设交点A（x1，y1），B（x2，y2），∵点P（2，1）为弦AB的中点，∴x1+x2=4，y1+y2=2，把A（x1，y1），B（x2，y2）代入抛物线y2=4x，得，两式作差可得：（y1+y2）（y1﹣y2）=4（x1﹣x2），∴2（y1﹣y2）=4（x1﹣x2），∴k==2，∴则直线AB的斜率为：2．故选：A．8．（5分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ACB=90°，AA1=2，AC=BC=1，则异面直线A1B与AC所成角的余弦值是（）A．B．C．D．【解答】解：连结BC1，∵AC∥A1C1，∴∠C1A1B是异面直线A1B与AC所成角（或所成角的补角），∵在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ACB=90°，AA1=2，AC=BC=1，∴AB=，，BC 1==，A1C1=1，∴cos∠C1A1B===，∴异面直线A1B与AC所成角的余弦值为．故选：D．9．（5分）已知点P在抛物线y2=4x上，点A（5，3），F为该抛物线的焦点，则△PAF周长的最小值为（）A．9 B．10 C．11 D．12【解答】解：抛物线y2=4x的焦点F（1，0），准线l：x=﹣1，点A（5，3）在抛物线内部，丨FA丨==5．P是抛物线上的动点，PD⊥l交l于D，由抛物线的定义可知|PF|=|PD|；∴要求|PA|+|PF|取得最小值，即求|PA|+|PD|取得最小，当D，P，A三点共线时|PA|+|PD|最小，为5﹣（﹣1）=6，则（|PA|+|PF|）min=6．△PAF周长的最小值为：6+5=11．故选：C．10．（5分）已知双曲线（a＞0，b＞0）的焦距为，且双曲线的一条渐近线与直线y=2x垂直，则双曲线的方程为（）A．B．C．D．【解答】解：根据题意，双曲线（a＞0，b＞0）的焦距为，即2c=2，则有c=，双曲线的方程为，其渐近线方程为y=±x，又由双曲线的一条渐近线与直线y=2x垂直，则有﹣=﹣，即a=2b，又由c2=a2+b2=5b2=10，解可得b2=2，a2=8，则双曲线的标准方程为：﹣=1；故选：A．11．（5分）如图（1）所示，已知正方体面对角线长为a，沿阴影面将它切割成两块，拼成如图（2）所示的几何体，那么此几何体的表面积为（）A．（1+2）a2 B．（2+）a2C．（3+2）a2D．（4+）a2【解答】解：拼成的几何体比原正方体的表面增加了两个截面，减少了原来两个正方形面．由于截面为矩形，长为a，宽为a，所以面积为a2，所以拼成的几何体表面积为4×（a）2+2×a2=（2+）a2故选：B．12．（5分）已知双曲线（a＞0，b＞0）的右支上一点P，过P点分别做双曲线的两条渐近线的平行线PQ、PR分别交渐近线于Q、R，则平行四边形PQOR的面积（）A．为定值B．有最大值，无最小值C．有最小值，无最大值D．无法确定【解答】解：如图，设P（x0，y0），则PR的方程为，联立，解得．P到直线OR的距离d=，又tan∠xOR=，∴cos∠xOR=，∴S=2S△OPR=|OR|•d==．四边形PQOR故选：A．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在答题卡相应的位置上）13．（5分）已知抛物线方程是y2=﹣4x，则它准线方程为x=1．【解答】解：根据题意，抛物线方程是y2=﹣4x，其焦点在x轴的负半轴上，且p=2，则其准线方程为：x=1，故答案为：x=114．（5分）设α，β为互不重合的平面，m，n是互不重合的直线，给出下列四个命题：①若m∥n，n⊂α，则m∥α②若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β③若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥n④若α⊥β，α∩β=m，n⊂α，n⊥m，则n⊥β；其中正确命题的序号为④．【解答】解：当m∥n，n⊂α，则m⊂α也可能成立，故①错误；当m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，m与n相交时，α∥β，但m与n平行时，α与β不一定平行，故②错误；若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m与n可能平行也可能异面，故③错误；若α⊥β，α∩β=m，n⊂α，n⊥m，由面面平行的性质，易得n⊥β，故④正确故答案为：④15．（5分）将一个半圆形纸片没有重叠的卷成一个圆锥（如图），则圆锥的母线与底面所成的角为．【解答】解：由已知可得圆锥底面周长为πR，母线长为R，设圆锥底面半径为r，则2πr=πR，∴r=，令母线与底面所成角为θ，则cosθ==，故θ=，故答案为：16．（5分）一个三棱锥的三视图如图所示，则该几何体的体积为2．【解答】解：由三视图可得到如图所示几何体，该几何体是由正方体切割得到的，EF为正方体的对角线，顶点P为棱的中点，O为底面中心，连接OP．则OP EF，由正方体的性质可得：EF⊥平面ABC，∴三棱锥的高为正方体对角线的，因此为=，∴该几何体的体积==2．故答案为：2．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）17．（10分）斜率为1的直线过抛物线y2=4x的焦点，与抛物线交于两点A、B，M为抛物线上的点．（I）求|AB|；（II）若，求点M的坐标．【解答】解：（Ⅰ）设A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB：y=x﹣1，代入y2=4x 中可得：x2﹣6x+1=0则x1+x2=6，由定义可得：|AB|=x1+x2+p=8．（II）=|AB|=，解得d=，设与直线l平行的直线方程为：y=x+m，可得=，解得m=1或﹣3，当m=1或﹣3时，与直线y=x﹣1平行的直线为：y=x+1或y=x﹣3．，解得，，解得或所求M的坐标为：（1，2），（1，﹣2），（9，6）．18．（12分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M、N分别为AB、BC中点．（I）当点P在棱DD1上运动时，是否都有MN∥平面A1C1P，证明你的结论；（II）若P是DD1的中点，求异面直线A1P与B1N所成的角的余弦值．【解答】（Ⅰ）解：当点P在棱DD1上运动时，都有MN∥平面A1C1P．证明如下：连接AC，在正方形ABCD中，MN为△ABC的中位线，可得MN∥AC，由正方体的截面性质可得四边形A1ACC1为矩形，则AC∥A1C1，可得MN∥A1C1，MN⊄平面A1C1P，A1C1⊂平面A1C1P，则MN∥平面A1C1P；（Ⅱ）取AD的中点F，连接PF，FA1，则易得：FA1∥B1N则∠FA1P即为异面直线A1P与B1N所成的角，令正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，则在△FA1P中，FA1=A1P=，PF=，则cos∠FA1P==19．（12分）如图，四面体ABCD中，，，BD=1．（I）求二面角B﹣AC﹣D的大小；（II）求四面体ABCD的体积．【解答】解：（Ⅰ）取AC的中点M，连结BM，DM，∵AB=BC=AD=CD，∴BM⊥AC，DM⊥AC，∴∠BMD为二面角B﹣AC﹣D的平面角，由，，可得BM=DM=1，又BD=1，∴∠BMD=60°，即二面角B﹣AC﹣D的大小为60°；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，AC⊥平面BMD，∵△BMD是边长为1的正三角形，∴，又AC=，∴=．20．（12分）已知双曲线x2﹣y2=1与直线l：y=kx﹣1有两个不同的交点A，B．（I）求实数k的取值范围；（II）若，求实数k的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）双曲线x2﹣y2=1与直线l：y=kx﹣1有两个不同的交点A，B，则方程组有两个不同的实数根，整理得（1﹣k2）x2+2kx﹣2=0．∴，解得﹣＜k＜且k≠±1．双曲线与直线l有两个不同交点时，k的取值范围是（﹣，﹣1）∪（﹣1，1）∪（1，）．（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），由（Ⅰ）可得（1﹣k2）x2+2kx﹣2=0．则x1+x2=，x1x2=﹣，∵•＞0，∴x1x2+y1y2=x1x2+（kx1﹣1）（kx2﹣1）=（1+k2）x1x2﹣k（x1+x2）+1=（1+k2）•（﹣）﹣k（）+1＞0，∴＞0，即有k2＞1，∴k＞1，或k＜﹣1，又﹣＜k＜且k≠±1．可得﹣＜k＜﹣1或1＜k＜，则k的取值范围是．21．（12分）在矩形ABCD中，AB=4，AD=2，将△ABD沿BD折起，使得点A折起至A′，设二面角A′﹣BD﹣C的大小为θ．（1）当θ=90°时，求A′C的长；（2）当cosθ=时，求BC与平面A′BD所成角的正弦值．【解答】解：（1）在图1中，过A作BD的垂线交BD于E，交DC于F，连接CE．∵AB=4，AD=2，∴BD==10．∴，BE==8，cos∠CBE==．在△BCE中，由余弦定理得CE==2．∵θ=90°，∴A′E⊥平面ABCD，∴A′E⊥CE．∴|A′C|==2．（2）DE==2．∵tan∠FDE=，∴EF=1，DF==．当即cos∠A′EF=时，．∴A′E2=A′F2+EF2，∴∠A'FE=90°又BD⊥AE，BD⊥EF，∴BD⊥平面A'EF，∴BD⊥A'F∴A'F⊥平面ABCD．以F为原点，以FC为x轴，以过F的AD的平行线为y轴，以FA′为z轴建立空间直角坐标系如图所示：∴A′（0，0，），D（﹣，0，0），B（3，2，0），C（3，0，0）．∴=（0，2，0），=（4，2，0），=（，0，）．设平面A′BD的法向量为=（x，y，z），则，∴，令z=1得=（﹣，2，1）．∴cos＜＞===．∴BC与平面A'BD所成角的正弦值为．22．（12分）已知抛物线L：y2=2px（p＞0）的焦点为F，直线与y轴的交点为P，与L的交点为Q，若．（I）求L的方程；（II）过Q作抛物线L的切线与x轴相交于N点，N点关于原点的对称点为M点，过点M的直线交抛物线L于A，B两点，交椭圆于C，D 两点，使得|AM||CM|=|BM||DM|成立，求该椭圆长轴长的范围．【解答】解：（Ⅰ）由抛物线L：y2=2px（p＞0），得F（），准线方程为x=﹣，联立，解得Q（，），∴|QF|=，|PQ|=，由|PQ|=|QF|，得，解得p=4．∴L的方程为：y2=8x．（Ⅱ）由y2=8x，得y=2•，y′=，∴y′|x=4=，则抛物线在点Q处的切线方程为y﹣4=（x﹣4），令y=0，得N（﹣4，0），∴M（4，0），设直线AB的方程为：ty=x﹣4，A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4）由|AM||CM|=|BM||DM|成立，得，联立，化为：y2﹣8ty﹣32=0，得y1+y2=8t y1y2=﹣32，可得联立，化为：（3t2+4）y2+24ty+48﹣12m2=0，y3+y4=y1y2==∴⇒t2=0，或m2=当t=0时，只需2m＞4，即m＞2，当m2=时，m2=≤6∴m∈（2，]．椭圆长轴长的范围为（4，2]．赠送：初中数学几何模型举例【模型四】几何最值模型：图形特征：l 运用举例：1. △ABC中，AB=6，AC=8，BC=10，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为AP的中点，则MF的最小值为B2.如图，在边长为6的菱形ABCD中，∠BAD＝60°，E为AB的中点，F为AC上一动点，则EF+BF的最小值为_________。
2017-2018学年高二上学期期中数学试卷 Word版含解析
2017-2018学年高二上学期期中数学试卷一.选择题（每小题5分，共40分）1．（5分）已知两条相交直线a，b，a∥平面α，则b与α的位置关系是（）A．b⊂平面αB．b⊥平面αC．b∥平面αD．b与平面α相交，或b∥平面α2．（5分）已知过点A（﹣2，m）和B（m，4）的直线与直线2x+y﹣1=0平行，则m的值为（）A．0 B．﹣8 C．2 D．103．（5分）过点M（﹣1，5）作圆（x﹣1）2+（y﹣2）2=4的切线，则切线方程为（）A．x=﹣1 B．5x+12y﹣55=0C．x=﹣1或5x+12y﹣55=0 D．x=﹣1或12x+5y﹣55=04．（5分）设m，n表示两条不同的直线，α、β表示两个不同的平面，则下列命题中不正确的是（）A．m⊥α，m⊥β，则α∥βB．m∥n，m⊥α，则n⊥αC．m⊥α，n⊥α，则m∥n D．m∥α，α∩β=n，则m∥n5．（5分）点P（4，﹣2）与圆x2+y2=4上任一点连线的中点轨迹方程是（）A．（x﹣2）2+（y+1）2=1 B．（x﹣2）2+（y+1）2=4 C．（x+4）2+（y﹣2）2=1 D．（x+2）2+（y﹣1）2=16．（5分）在△ABC中，AB=4，BC=3，∠ABC=90°，若使△ABC绕直线BC旋转一周，则所形成的几何体的体积是（）A．36πB．28πC．20πD．16π7．（5分）某正三棱柱的三视图如图所示，其中正（主）视图是边长为2的正方形，该正三棱柱的表面积是（）A．B．C．D．8．（5分）已知点A（0，2），B（2，0）．若点C在函数y=x2的图象上，则使得△ABC的面积为2的点C的个数为（）A．4 B．3 C．2 D．1二.填空题（每小题5分，共30分）9．（5分）若圆C的半径为1，其圆心与点（1，0）关于直线y=x对称，则圆C的标准方程为．10．（5分）棱锥的高为16cm，底面积为512cm2，平行于底面的截面积为50cm2，则截面与底面的距离为．11．（5分）平面α截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面α的距离为，则球O的表面积为．12．（5分）如图，若边长为4和3与边长为4和2的两个矩形所在平面互相垂直，则cosα：cosβ=．13．（5分）已知直线ax+y﹣2=0与圆心为C的圆（x﹣2）2+（y﹣2）2=4相交于A，B两点，且△ABC为等边三角形，则实数a=．14．（5分）在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2+y2﹣8x+15=0，若直线y=kx﹣2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的最大值是．三.解答题（公3小题，共30分）15．（10分）在平面直角坐标系xOy内有三个定点A（2，2）．B（1，3），C（1，1），记△ABC的外接圆为E．（I）求圆E的方程；（Ⅱ）若过原点O的直线l与圆E相交所得弦的长为，求直线l的方程．16．（10分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA=PB=AB=2，BC=3，∠ABC=90°，平面PAB⊥平面ABC，D，E分别为AB，AC中点．（Ⅰ）求证：DE∥面PBC；（Ⅱ）求证：AB⊥PE；（Ⅲ）求三棱锥B﹣PEC的体积．17．（10分）在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1⊥底面ABCD，底面ABCD为菱形，O为A1C1与B1D1交点，已知AA1=AB=1，∠BAD=60°．（Ⅰ）求证：A1C1⊥平面B1BDD1；（Ⅱ）求证：AO∥平面BC1D；（Ⅲ）设点M在△BC1D内（含边界），且OM⊥B1D1，说明满足条件的点M的轨迹，并求OM的最小值．四.填空题（每小题4分，共20分）18．（4分）已知（ax+1）5的展开式中x3的系数是10，则实数a的值是．19．（4分）已知正三棱锥P﹣ABC的每个侧面是顶角为30°，腰长为4的三角形，E，F分别是PB，PC上的点，则△AEF的周长的最小值为．20．（4分）空间四边形ABCD中，若AB=BC=CD=DA=BD=1，则AC的取值范围是．21．（4分）设点M（x0，1），若在圆O：x2+y2=1上存在点N，使得∠OMN=45°，则x0的取值范围是．（4分）设m∈R，过定点A的动直线x+my=0和过定点B的动直线mx﹣y﹣m+3=0交于点P（x，y）．则|PA|•|PB| 22．的最大值是．五.解答题（共3题，共30分）23．（10分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C中，AA1⊥底面ABC，AB⊥AC，AC=AA1，E、F分别是棱BC、CC1的中点．（Ⅰ）求证：AB⊥平面AA1 C1C；（Ⅱ）若线段AC上的点D满足平面DEF∥平面ABC1，试确定点D的位置，并说明理由；（Ⅲ）证明：EF⊥A1C．24．（10分）已知点P（2，0）及圆C：x2+y2﹣6x+4y+4=0．（Ⅰ）若直线l过点P且与圆心C的距离为1，求直线l的方程；（Ⅱ）设过P直线l1与圆C交于M、N两点，当|MN|=4时，求以MN为直径的圆的方程；（Ⅲ）设直线ax﹣y+1=0与圆C交于A，B两点，是否存在实数a，使得过点P（2，0）的直线l2垂直平分弦AB？若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由．25．（10分）设圆C1的方程为（x﹣2）2+（y﹣3m）2=4m2，直线l的方程为y=x+m﹣1．（Ⅰ）求C1关于l对称的圆C2的方程；（Ⅱ）当m变化且m≠0时，求证：C2的圆心在一条定直线上，并求C2所表示的一系列圆的公切线方程．2017-2018学年高二上学期期中数学试卷参考答案与试题解析一.选择题（每小题5分，共40分）1．（5分）已知两条相交直线a，b，a∥平面α，则b与α的位置关系是（）A．b⊂平面αB．b⊥平面αC．b∥平面αD．b与平面α相交，或b∥平面α考点：空间中直线与平面之间的位置关系．专题：阅读型．分析：根据空间中直线与平面的位置关系可得答案．解答：解：根据空间中直线与平面的位置关系可得：b可能与平面α相交，也可能b与平面相交α，故选D．点评：解决此类问题的关键是熟练掌握空间中点、直线以及平面之间的位置关系．2．（5分）已知过点A（﹣2，m）和B（m，4）的直线与直线2x+y﹣1=0平行，则m的值为（）A．0 B．﹣8 C．2 D．10考点：斜率的计算公式．专题：计算题．分析：因为过点A（﹣2，m）和B（m，4）的直线与直线2x+y﹣1=0平行，所以，两直线的斜率相等．解答：解：∵直线2x+y﹣1=0的斜率等于﹣2，∴过点A（﹣2， m）和B（m，4）的直线的斜率K也是﹣2，∴=﹣2，解得，故选 B．点评：本题考查两斜率存在的直线平行的条件是斜率相等，以及斜率公式的应用．3．（5分）过点M（﹣1，5）作圆（x﹣1）2+（y﹣2）2=4的切线，则切线方程为（）A．x=﹣1 B．5x+12y﹣55=0C．x=﹣1或5x+12y﹣55=0 D．x=﹣1或12x+5y﹣55=0考点：圆的切线方程．专题：直线与圆．分析：首先讨论斜率不存在的情况，直线方程为x=﹣1满足条件．当斜率存在时，设直线方程为：y﹣5=k （x+1）．利用圆心到直线的距离等于半径解得k的值，从而确定圆的切线方程．解答：解：①斜率不存在时，过点M（﹣1，5）的直线方程为x=﹣1．此时，圆心（1，2）到直线x=﹣1的距离d=2=r．∴x=﹣1是圆的切线方程．②斜率存在时，设直线斜率为k，则直线方程为：y﹣5=k（x+1）．即kx﹣y+k+5=0．∵直线与圆相切，∴圆心到直线的距离．解得，．∴直线方程为5x+12y﹣55=0．∴过点M（﹣1，5）且与圆相切的直线方程为x=﹣1或5x+12y﹣55=0．故选：C．点评：本题考查直线与圆相切的性质，点到直线的距离公式等知识的运用．做题时容易忽略斜率不存在的情况．属于中档题．4．（5分）设m，n表示两条不同的直线，α、β表示两个不同的平面，则下列命题中不正确的是（）A．m⊥α，m⊥β，则α∥βB．m∥n，m⊥α，则n⊥αC．m⊥α，n⊥α，则m∥n D．m∥α，α∩β=n，则m∥n考点：空间中直线与平面之间的位置关系．专题：空间位置关系与距离．分析：充分利用线面平行和线面垂直的性质和判定定理对四个选项逐一解答．A选项用垂直于同一条直线的两个平面平行判断即可；B选项用两个平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面；C选项用线面垂直的性质定理判断即可；D选项由线面平行的性质定理判断即可．解答：解：A选项中命题是真命题，m⊥α，m⊥β，可以推出α∥β；B选项中命题是真命题，m∥n，m⊥α可得出n⊥α；C选项中命题是真命题，m⊥α，n⊥α，利用线面垂直的性质得到n∥m；D选项中命题是假命题，因为无法用线面平行的性质定理判断两直线平行．故选D．点评：本题考查了空间线面平行和线面垂直的性质定理和判定定理的运用，关键是熟练有关的定理．5．（5分）点P（4，﹣2）与圆x2+y2=4上任一点连线的中点轨迹方程是（）A．（x﹣2）2+（y+1）2=1 B．（x﹣2）2+（y+1）2=4 C．（x+4）2+（y﹣2）2=1 D．（x+2）2+（y﹣1）2=1考点：轨迹方程．专题：直线与圆．分析：设圆上任意一点为（x1，y1），中点为（x，y），则，由此能够轨迹方程．解答：解：设圆上任意一点为（x1，y1），中点为（x，y），则代入x2+y2=4得（2x﹣4）2+（2y+2）2=4，化简得（x﹣2）2+（y+1）2=1．故选A．点评：本题考查点的轨迹方程，解题时要仔细审题，注意公式的灵活运用．6．（5分）在△ABC中，AB=4，BC=3，∠ABC=90°，若使△ABC绕直线BC旋转一周，则所形成的几何体的体积是（）A．36πB．28πC．20πD．16π考点：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．专题：空间位置关系与距离．分析：使△ABC绕直线BC旋转一周，则所形成的几何体是一个底面半径为4，高为3的一个圆锥，代入圆锥体积公式，可得答案．解答：解：将△ABC绕直线BC旋转一周，得到一个底面半径为4，高为3的一个圆锥，故所形成的几何体的体积V=×π×42×3=16π，故选：D点评：本题考查的知识点是旋转体，其中分析出旋转得到的几何体形状及底面半径，高等几何量是解答的关键．7．（5分）某正三棱柱的三视图如图所示，其中正（主）视图是边长为2的正方形，该正三棱柱的表面积是（）A．B．C．D．考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题．分析：利用三视图的数据，直接求解三棱柱的表面积．解答：解：因为正三棱柱的三视图，其中正（主）视图是边长为2的正方形，棱柱的侧棱长为2，底面三角形的边长为2，所以表面积为：2×+2×3×2=12+2．故选C．点评：本题考查几何体的三视图的应用，几何体的表面积的求法，考查计算能力．8．（5分）已知点A（0，2），B（2，0）．若点C在函数y=x2的图象上，则使得△ABC的面积为2的点C的个数为（）A．4 B．3 C．2 D．1考点：抛物线的应用．专题：函数的性质及应用．分析：本题可以设出点C的坐标（a，a2），求出C到直线AB的距离，得出三角形面积表达式，进而得到关于参数a的方程，转化为求解方程根的个数（不必解出这个跟），从而得到点C的个数．解答：解：设C（a，a2），由已知得直线AB的方程为，即：x+y﹣2=0点C到直线AB的距离为：d=，有三角形ABC的面积为2可得：=|a+a2﹣2|=2得：a2+a=0或a2+a﹣4=0，显然方程共有四个根，可知函数y=x2的图象上存在四个点（如上面图中四个点C1，C2，C3，C4）使得△ABC的面积为2（即图中的三角形△ABC1，△ABC2，△ABC3，△ABC4）．故应选：A点评：本题考查了截距式直线方程，点到直线的距离公式，三角形的面积的求法，就参数的值或范围，考查了数形结合的思想二.填空题（每小题5分，共30分）9．（5分）若圆C的半径为1，其圆心与点（1，0）关于直线y=x对称，则圆C的标准方程为x2+（y﹣1）2=1．考点：圆的标准方程．专题：直线与圆．分析：利用点（a，b）关于直线y=x±k的对称点为（b，a），求出圆心，再根据半径求得圆的方程．解答：解：圆心与点（1，0）关于直线y=x对称，可得圆心为（0，1），再根据半径等于1，可得所求的圆的方程为x2+（y﹣1）2=1，故答案为：x2+（y﹣1）2=1．点评：本题主要考查求圆的标准方程，利用了点（a，b）关于直线y=x±k的对称点为（b，a），属于基础题．10．（5分）棱锥的高为16cm，底面积为512cm2，平行于底面的截面积为50cm2，则截面与底面的距离为11cm．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：计算题．分析：利用面积之比是相似比的平方，求出截取棱锥的高，然后求出截面与底面的距离．解答：解：设截取棱锥的高为：h，则，∴h=5，所以截面与底面的距离：16﹣5=11cm故答案为：11cm点评：本题是基础题，考查面积之比是选上比的平方，考查计算能力，空间想象能力．11．（5分）平面α截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面α的距离为，则球O的表面积为12π．考点：球的体积和表面积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：利用平面α截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面α的距离为，求出球的半径，然后求解球O的表面积．解答：解：因为平面α截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面α的距离为，所以球的半径为：=．所以球O的表面积为4π×3=12π．故答案为：12π．点评：本题考查球的表面积的求法，考查空间想象能力、计算能力．12．（5分）如图，若边长为4和3与边长为4和2的两个矩形所在平面互相垂直，则cosα：cosβ=．考点：平面与平面垂直的性质．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：由题意，两个矩形的对角线长分别为5，=2，利用余弦函数，即可求出cosα：cosβ．解答：解：由题意，两个矩形的对角线长分别为5，=2，∴cosα==，cosβ=，∴cosα：cosβ=，故答案为：．点评：本题考查平面与平面垂直的性质，考查学生的计算能力，比较基础．13．（5分）已知直线ax+y﹣2=0与圆心为C的圆（x﹣2）2+（y﹣2）2=4相交于A，B两点，且△ABC为等边三角形，则实数a=±．考点：直线与圆相交的性质．专题：计算题；直线与圆．分析：根据圆的标准方程，求出圆心和半径，根据点到直线的距离公式即可得到结论．解答：解：圆心C（2，2），半径r=2，∵△ABC为等边三角形，∴圆心C到直线AB的距离d=，即d==，解得a=±，故答案为：±．点评：本题主要考查点到直线的距离公式的应用，利用条件求出圆心和半径，结合距离公式是解决本题的关键．14．（5分）在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2+y2﹣8x+15=0，若直线y=kx﹣2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的最大值是．考点：圆与圆的位置关系及其判定；直线与圆的位置关系．专题：直线与圆．分析：由于圆C的方程为（x﹣4）2+y2=1，由题意可知，只需（x﹣4）2+y2=1与直线y=kx﹣2有公共点即可．解答：解：∵圆C的方程为x2+y2﹣8x+15=0，整理得：（x﹣4）2+y2=1，即圆C是以（4，0）为圆心，1为半径的圆；又直线y=kx﹣2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，∴只需圆C′：（x﹣4）2+y2=1与直线y=kx﹣2有公共点即可．设圆心C（4，0）到直线y=kx﹣2的距离为d，则d=≤2，即3k2﹣4k≤0，∴0≤k≤．∴k的最大值是．故答案为：．点评：本题考查直线与圆的位置关系，将条件转化为“（x﹣4）2+y2=4与直线y=kx﹣2有公共点”是关键，考查学生灵活解决问题的能力，属于中档题．三.解答题（公3小题，共30分）15．（10分）在平面直角坐标系xOy内有三个定点A（2，2）．B（1，3），C（1，1），记△ABC的外接圆为E．（I）求圆E的方程；（Ⅱ）若过原点O的直线l与圆E相交所得弦的长为，求直线l的方程．考点：圆的标准方程；直线与圆的位置关系．专题：计算题；直线与圆．分析：（I）设圆E的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，将A、B、C的坐标代入，建立关于D、E、F的方程组，解之即可得到△ABC的外接圆E的方程；（II）化圆E为标准方程，得圆心为E（1，2），半径r=1．设直线l方程为y=kx，由点到直线的距离公式和垂径定理建立关于k的方程，解之得到k=1或7，由此即可得到直线l的方程．解答：解：（I）设圆E的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0∵A（2，2）、B（1，3）、C（1，1）都在圆E上∴，解之得因此，圆E的方程为x2+y2﹣2x﹣4y+4=0；（II）将圆E化成标准方程，可得（x﹣1）2+（y﹣2）2=1∴圆心为E（1，2），半径r=1设直线l方程为y=kx，则圆心E到直线l的距离为d=∵直线l与圆E相交所得弦的长为，∴由垂径定理，得d2+（）2=r2=1可得d2=，即=，解之得k=1或7∴直线l的方程是y=x或y=7x．点评：本题给出三角形ABC三个顶点，求它的外接圆E的方程，并求截圆所得弦长为的直线方程．着重考查了直线的方程、圆的方程和直线与圆的位置关系等知识，属于中档题．16．（10分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA=PB=AB=2，BC=3，∠ABC=90°，平面PAB⊥平面ABC，D，E分别为AB，AC中点．（Ⅰ）求证：DE∥面PBC；（Ⅱ）求证：AB⊥PE；（Ⅲ）求三棱锥B﹣PEC的体积．考点：直线与平面垂直的性质；直线与平面平行的判定．专题：计算题；证明题；空间位置关系与距离．分析：（I）根据三角形中位线定理，证出DE∥BC，再由线面平行判定定理即可证出DE∥面PBC；（II）连结PD，由等腰三角形“三线合一”，证出PD⊥AB，结合DE⊥AB证出AB⊥平面PDE，由此可得AB ⊥PE；（III）由面面垂直性质定理，证出PD⊥平面ABC，得PD是三棱锥P﹣BEC的高．结合题中数据算出PD=且S△BEC=，利用锥体体积公式求出三棱锥P﹣BEC的体积，即得三棱锥B﹣PEC的体积．解答：解：（I）∵△ABC中，D、E分别为AB、AC中点，∴DE∥BC∵DE⊄面PBC且BC⊂面PBC，∴DE∥面PBC；（II）连结PD∵PA=PB，D为AB中点，∴PD⊥AB∵DE∥BC，BC⊥AB，∴DE⊥AB，又∵PD、DE是平面PDE内的相交直线，∴AB⊥平面PDE∵PE⊂平面PDE，∴AB⊥PE；（III）∵PD⊥AB，平面PAB⊥平面ABC，平面PAB∩平面ABC=AB∴PD⊥平面ABC，可得PD是三棱锥P﹣BEC的高又∵PD=，S△BEC=S△ABC=∴三棱锥B﹣PEC的体积V=V P﹣BEC=S△BEC×PD=点评：本题在三棱锥中求证线面平行、线线垂直，并求锥体的体积．着重考查了线面平行、线面垂直的判定与性质和锥体体积公式等知识，属于中档题．17．（10分）在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1⊥底面ABCD，底面ABCD为菱形，O为A1C1与B1D1交点，已知AA1=AB=1，∠BAD=60°．（Ⅰ）求证：A1C1⊥平面B1BDD1；（Ⅱ）求证：AO∥平面BC1D；（Ⅲ）设点M在△BC1D内（含边界），且OM⊥B1D1，说明满足条件的点M的轨迹，并求OM的最小值．考点：直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质．专题：空间位置关系与距离．分析：（Ⅰ）先根据线面垂直的性质证明出BB1⊥A1C1．进而根据菱形的性质证明出A1C1⊥B1D1．最后根据线面垂直的判定定理证明出A1C1⊥平面B1BDD1．（Ⅱ）连接AC，交BD于点E，连接C1E．先证明OC1∥AE和OC1=AE，推断出AOC1E为平行四边形，进而推断AO∥C1E，最后利用线面平行的判定定理证明出AO∥平面BC1D．（Ⅲ）先由E为BD中点，推断出BD⊥C1E，进而根据C1D=C1B，推断出ME⊥BD，进而根据OM⊥BD，推断出BD∥B1D1．直角三角形OC1E中利用射影定理求得OM．解答：解：（Ⅰ）依题意，因为四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1⊥底面ABCD，所以BB1⊥底面A1B1C1D1．又A1C1⊂底面A1B1C1D1，所以BB1⊥A1C1．因为A1B1C1D1为菱形，所以A1C1⊥B1D1．而BB1∩B1D1=B1，所以A1C1⊥平面B1BDD1．（Ⅱ）连接AC，交BD于点E，连接C1E．依题意，AA1∥CC1，且AA1=CC1，AA1⊥AC，所以A1ACC1为矩形．所以OC1∥AE．又，，A1C1=AC，所以OC1=AE，所以AOC1E为平行四边形，则AO∥C1E．又AO⊄平面BC1D，C1E⊂平面BC1D，所以AO∥平面BC1D．（Ⅲ）在△BC1D内，满足OM⊥B1D1的点M的轨迹是线段C1E，包括端点．分析如下：连接OE，则BD⊥OE．由于BD∥B1D1，故欲使OM⊥B1D1，只需OM⊥BD，从而需ME⊥BD．又在△BC1D中，C1D=C1B，又E为BD中点，所以BD⊥C1E．故M点一定在线段C1E上．当OM⊥C1E时，OM取最小值．在直角三角形OC1E中，OE=1，，，所以．点评：本题主要考查了线面平行和线面垂直的判定定理的应用．考查了学生基础知识的综合运用．四.填空题（每小题4分，共20分）18．（4分）已知（ax+1）5的展开式中x3的系数是10，则实数a的值是1．考点：二项式系数的性质．专题：计算题；二项式定理．分析：在展开式的通项公式，令x的指数为3，利用（ax+1）5的展开式中x3的系数是10，即可实数a的值．解答：解：（ax+1）5的展开式的通项公式为T r+1=，则∵（ax+1）5的展开式中x3的系数是10，∴=10，∴a=1．故答案为：1．点评：二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题的重要方法．19．（4分）已知正三棱锥P﹣ABC的每个侧面是顶角为30°，腰长为4的三角形，E，F分别是PB，PC上的点，则△AEF的周长的最小值为4．考点：棱锥的结构特征．专题：空间位置关系与距离．分析：根据侧面展开图求解得出，再利用直角三角形求解．解答：解：∵正三棱锥P﹣ABC的每个侧面是顶角为30°，腰长为4的三角形，∴侧面展开为下图连接AA得：RT△中，长度为4，∴△AEF的周长的最小值为4，故答案为：4，点评：本题考查了空间几何体中的最小距离问题，属于中档题．20．（4分）空间四边形ABCD中，若AB=BC=CD=DA=BD=1，则AC的取值范围是（0，]．考点：棱锥的结构特征．专题：空间位置关系与距离．分析：运用图形得||=||，再根据向量求解．解答：解：0为BD中点，∵AB=BC=CD=DA=BD=1，∴|OA|=|OB|=，||=||==，θ∈（0°，180°]∴AC的取值范围是（0，]故答案为：（0，]点评：本题考查了向量的运用求解距离，属于中档题．21．（4分）设点M（x0，1），若在圆O：x2+y2=1上存在点N，使得∠OMN=45°，则x0的取值范围是[﹣1，1]．考点：直线与圆的位置关系．专题：直线与圆．分析：根据直线和圆的位置关系，利用数形结合即可得到结论．解答：解：由题意画出图形如图：点M（x0，1），要使圆O：x2+y2=1上存在点N，使得∠OMN=45°，则∠OMN的最大值大于或等于45°时一定存在点N，使得∠OMN=45°，而当MN与圆相切时∠OMN取得最大值，此时MN=1，图中只有M′到M″之间的区域满足MN=1，∴x0的取值范围是[﹣1，1]．故选：A．点评：本题考查直线与圆的位置关系，直线与直线设出角的求法，数形结合是快速解得本题的策略之一．（4分）设m∈R，过定点A的动直线x+my=0和过定点B的动直线mx﹣y﹣m+3=0交于点P（x，y）．则|PA|•|PB| 22．的最大值是5．考点：点到直线的距离公式．专题：直线与圆．分析：先计算出两条动直线经过的定点，即A和B，注意到两条动直线相互垂直的特点，则有PA⊥PB；再利用基本不等式放缩即可得出|PA|•|PB|的最大值．解答：解：有题意可知，动直线x+my=0经过定点A（0，0），动直线mx﹣y﹣m+3=0即 m（x﹣1）﹣y+3=0，经过点定点B（1，3），注意到动直线x+my=0和动直线mx﹣y﹣m+3=0始终垂直，P又是两条直线的交点，则有PA⊥PB，∴|PA|2+|PB|2=|AB|2=10．故|PA|•|PB|≤=5（当且仅当时取“=”）故答案为：5点评：本题是直线和不等式的综合考查，特别是“两条直线相互垂直”这一特征是本题解答的突破口，从而有|PA|2+|PB|2是个定值，再由基本不等式求解得出．直线位置关系和不等式相结合，不容易想到，是个灵活的好题．五.解答题（共3题，共30分）23．（10分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C中，AA1⊥底面ABC，AB⊥AC，AC=AA1，E、F分别是棱BC、CC1的中点．（Ⅰ）求证：AB⊥平面AA1 C1C；（Ⅱ）若线段AC上的点D满足平面DEF∥平面ABC1，试确定点D的位置，并说明理由；（Ⅲ）证明：EF⊥A1C．考点：直线与平面垂直的判定．专题：空间位置关系与距离．分析：（I）由线面垂直得A1A⊥AB，再由AB⊥AC，能证明AB⊥面A1CC1．（II）由AB∥DE，在△ABC中，E是棱BC的中点，推导出D是线段AC的中点．（III）由已知条件推导出A1C⊥AC1，AB⊥A1C，从而得到A1C⊥面ABC1，由此能证明EF⊥AC1．解答：（I）证明：∵AA1⊥底面ABC，∴A1A⊥AB，（2分）∵AB⊥AC，A1A∩AC=A，∴AB⊥面A1CC1．（4分）（II）解：∵面DEF∥面ABC1，面ABC∩面DEF=DE，面ABC∩面ABC1=AB，∴AB∥DE，（7分）∵在△ABC中，E是棱BC的中点，∴D是线段AC的中点．（8分）（III）证明：∵三棱柱ABC﹣A1B1C1中，A1A=AC，∴侧面A1ACC1是菱形，∴A1C⊥AC1，（9分）由（Ⅰ）得AB⊥A1C，∵AB∩AC1=A，∴A1C⊥面ABC1，（11分）∴A1C⊥BC1．（12分）又∵E，F分别为棱BC，CC1的中点，∴EF∥BC1，（13分）∴EF⊥AC1．（14分）点评：本题考查直线与平面垂直的证明，考查点的位置的确定，考查异面直线垂直的证明，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．24．（10分）已知点P（2，0）及圆C：x2+y2﹣6x+4y+4=0．（Ⅰ）若直线l过点P且与圆心C的距离为1，求直线l的方程；（Ⅱ）设过P直线l1与圆C交于M、N两点，当|MN|=4时，求以MN为直径的圆的方程；（Ⅲ）设直线ax﹣y+1=0与圆C交于A，B两点，是否存在实数a，使得过点P（2，0）的直线l2垂直平分弦AB？若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由．考点：直线与圆的位置关系．专题：综合题．分析：（Ⅰ）分两种情况：当直线l的斜率存在时，设出直线l的斜率为k，由P的坐标和设出的k写出直线l的方程，利用点到直线的距离公式表示出P到直线l的距离d，让d等于1列出关于k的方程，求出方程的解即可得到k的值，利用求出的k和P写出直线l的方程即可；当直线l的斜率不存在时，得到在线l的方程，经过验证符合题意；（Ⅱ）由利用两点间的距离公式求出圆心C到P的距离，再根据弦长|MN|的一半及半径，利用勾股定理求出弦心距d，发现|CP|与d相等，所以得到P为MN的中点，所以以MN为直径的圆的圆心坐标即为P的坐标，半径为|MN|的一半，根据圆心和半径写出圆的方程即可；（Ⅲ）把已知直线的方程代入到圆的方程中消去y得到关于x的一元二次方程，因为直线与圆有两个交点，所以得到△＞0，列出关于a的不等式，求出不等式的解集即可得到a的取值范围，利用反证法证明：假设符合条件的a存在，由直线l2垂直平分弦AB得到圆心必在直线l2上，根据P与C的坐标即可求出l2的斜率，然后根据两直线垂直时斜率的乘积为﹣1，即可求出直线ax﹣y+1=0的斜率，进而求出a的值，经过判断求出a的值不在求出的范围中，所以假设错误，故这样的a不存在．解答：解：（Ⅰ）设直线l的斜率为k（k存在）则方程为y﹣0=k（x﹣2）．又圆C的圆心为（3，﹣2），半径r=3，由，解得．所以直线方程为，即3x+4y﹣6=0；当l的斜率不存在时，l的方程为x=2，经验证x=2也满足条件；（Ⅱ）由于，而弦心距，所以d=，所以P为MN的中点，所以所求圆的圆心坐标为（2，0），半径为|MN|=2，故以MN为直径的圆Q的方程为（x﹣2）2+y2=4；（Ⅲ）把直线ax﹣y+1=0即y=ax+1．代入圆C的方程，消去y，整理得（a2+1）x2+6（a﹣1）x+9=0．由于直线ax﹣y+1=0交圆C于A，B两点，故△=36（a﹣1）2﹣36（a2+1）＞0，即﹣2a＞0，解得a＜0．则实数a的取值范围是（﹣∞，0）．设符合条件的实数a存在，由于l2垂直平分弦AB，故圆心C（3，﹣2）必在l2上．所以l2的斜率k PC=﹣2，而，所以．由于，故不存在实数a，使得过点P（2，0）的直线l2垂直平分弦AB．点评：此题考查学生掌握直线与圆的位置关系，灵活运用点到直线的距离公式及两点间的距离公式化简求值，考查了分类讨论的数学思想，以及会利用反证法进行证明，是一道综合题．25．（10分）设圆C1的方程为（x﹣2）2+（y﹣3m）2=4m2，直线l的方程为y=x+m﹣1．（Ⅰ）求C1关于l对称的圆C2的方程；（Ⅱ）当m变化且m≠0时，求证：C2的圆心在一条定直线上，并求C2所表示的一系列圆的公切线方程．考点：直线与圆相交的性质．专题：直线与圆．分析：（Ⅰ）由圆的方程找出圆心坐标，设出圆心关于直线l的对称点的坐标，由直线l的斜率，根据两直线垂直时斜率的乘积为﹣1求出直线C1C2的斜率，由圆心及对称点的坐标表示出斜率，等于求出的斜率列出一个关系式，然后利用中点坐标公式，求出两圆心的中点坐标，代入直线l的方程，得到另一个关系式，两关系式联立即可用m表示出a与b，把表示出的a与b代入圆C2的方程即可；（Ⅱ）由表示出的a与b消去m，得到a与b的关系式，进而得到圆C2的圆心在定直线上；分公切线的斜率不存在和存在两种情况考虑，当公切线斜率不存在时，容易得到公切线方程为x=0；当公切线斜率存在时，设直线y=kx+b与圆系中的所有圆都相切，根据点到直线的距离公式表示出圆心（a，b）到直线y=kx+b的距离d，当d等于圆的半径2|m|，化简后根据多项式为0时各项的系数为0，即可求出k与b的值，从而确定出C2所表示的一系列圆的公切线方程，这样得到所有C2所表示的一系列圆的公切线方程．解答：解：（Ⅰ）∵圆C1的方程为（x﹣2）2+（y﹣3m）2=4m2，∴圆心为（2，3m），设它关于直线l：y=x+m﹣1的对称点为（a，b），则，解得a=2m+1，b=m+1，∴圆C2的圆心为（2m+1，m+1），∴圆C2的方程为：（x﹣2m﹣1）2+（y﹣m﹣1）2=4m2，∴C1关于l对称的圆C2的方程：（x﹣2m﹣1）2+（y﹣m﹣1）2=4m2．（Ⅱ）根据（Ⅰ）得圆C2的圆心为（2m+1，m+1），令，消去m得x﹣2y+1=0，它表示一条直线，故C2的圆心在一条定直线上，①当公切线的斜率不存在时，易求公切线的方程为x=0；②当公切线的斜率存在时，设直线y=kx+b与圆系中的所有圆都相切，∴=2|m|，即：（1﹣4k）m2+2（2k﹣1）（k+b﹣1）m+（k+b﹣1）2=0∵直线y=kx+b与圆系中的所有圆都相切，所以上述方程对所有的m值都成立，∴所以有：，解得，∴C2所表示的一系列圆的公切线方程为：y=，∴故所求圆的公切线为x=0或y=．点评：此题考查了直线与圆的位置关系，以及关于点与直线对称的圆的方程．此题的综合性比较强，要求学生审清题意，综合运用方程与函数的关系，掌握直线与圆相切时圆心到直线的距离等于半径，在作（Ⅱ）时先用消去参数的方法求定直线的方程，然后采用分类讨论的数学思想分别求出C2所表示的一系列圆的公切线方程．。
2017-2018学年黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学高二上学期期中考试地理试题 解析版
哈师大附中2017-2018学年度高二学年上学期期中考试地理试题一、选择题（下列各题的四个选项中，只有一个最符合题意，每题1分，共计50分）读某城市城区示意图，该城市主城区的面积为60平方千米，回答下面小题。
1. 若海平面上升0.5米，该城市主城区被海水淹没的面积约为A. 18平方千米B. 33平方千米C. 51平方千米D. 78平方千米2. 由图示信息可知，该城市主城区四个地点的地面坡度最大的是A. e地B. h地C. q地D. f地【答案】1. B 2. D【解析】试题分析：1. 由材料可知，该城市主城区的面积为60平方千米；仔细读图，注意左图中主城区的范围，结合右图中海平面上升0.5米时的等值线范围，可以推断大约占左图中主城区面积的一半左右，即30平方千米左右，故选项B正确。
2. 由右图中不同时期海平面上升后的海岸线疏密差异，结合等高线疏密变化规律可以推断，海岸线稀疏的地区，坡度较缓，海岸线密集的地区对应主城区，坡度较陡，对比左右两图可知，f地海岸线密集坡度最陡，故选项D正确。
考点：本题考查等值线图。
下图为我国亚热带湿润气候区某地等高线图，图中虚线表示景观步道。
读图，回答下面小题。
3. 关于图示区域说法正确的是A. 常年水域为海洋B. 该地区面临的环境问题是水土流失C. 最高峰不超过110米D. 站在山顶可全程观看景观步道4. 图中虚线是景观步道的一段，其最大的缺点是A. 林荫蔽日B. 云雾缭绕C. 坡度过大D. 山洪隐患【答案】3. B 4. D【解析】试题分析：3. 读图分析，常年水域也可能是湖泊，不一定是海洋，A错。
图中等高线密集，说明坡度陡，容易发生水土流失，B对。
根据等高线数值，分析等高距是5米，所以最高峰海拔范围是110-115米，不超过115米，C错。
山顶等高线稀疏，山腰等高线密集，形成凸坡，挡住了视线，不能观看全程步道，D错。
4. 图中景观步道位于山谷中，该地是亚热带湿润气候，夏季降水多，且多暴雨，容易发生洪水灾害，存在山洪隐患，D对。
精选2017-2018学年高二数学上学期期中试题理
哈师大青冈实验中学2017—2018学年度期中考试高二学年数学试题（理科）第I 卷（选择题 共60分）一、选择题：（共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，选择一个符合题目要求的选项.）1．原命题p ：“设a ，b ，c ∈R ，若a >b ，则ac 2>bc 2”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．42.设a ，b 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则能得出a ⊥b 的是( )A ．a ⊥α，b ∥β，α⊥βB ．a ⊥α，b ⊥β，α∥βC ．a ⊂α，b ⊥β，α∥βD ．a ⊂α，b ∥β，α⊥β 3．抛物线y ＝ax 2的准线方程是y ＝1，则a 的值为( )A ．14B ．－14C ．4D ．－4 4．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ log 2x ，x >0，－2x ＋a ，x ≤0有且只有一个零点的充分不必要条件是( )A ．a <0B ．0<a <12C.12<a <1D ．a ≤0或a >1 5．设e 是椭圆x 24＋y 2k ＝1的离心率，且e ＝23，则实数k 的取值是( ) A ．209 B ．365C ．209或525 D ．209或3656．已知直线l 1：4x －3y ＋6＝0和直线l 2：x ＝－1，抛物线y 2＝4x 上一动点P 到直线l 1和直线l 2的距离之和的最小值是( )A ．355B ．2C ．115D ．3 7．执行如图所示的程序框图，输出的S 值是( )A.22B ．－1C ．0 D ．－1－22 8.过双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左焦点F 1作斜率为1的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为A ，B ，若1F A ＝AB ，则双曲线的渐近线方程为( )A ．3x ±y ＝0B ．x ±3y ＝0C ．2x ±3y ＝0D ．3x ±2y ＝09.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A.13＋π12 B ．1＋π12C ．13＋π4 D ．1＋π410.圆x 2＋y 2＋2y －3＝0被直线x ＋y －k ＝0分成两段圆弧，且较短弧长与较长弧长之比为1∶3，则k ＝( )A ．2－1或－2－1B ．1或－3C ．1或－ 2D ． 211.设双曲线C 的中心为点O,若有且只有一对相交于点O 、所成的角为60°的直线A 1B 1和A 2B 2,使|A 1B 1|=|A 2B 2|,其中A 1,B 1和A 2,B 2分别是这对直线与双曲线C 的交点,则该双曲线的离心率的取值范围是( ) A. B. C. D. 12.如图，平面四边形ABCD 中，AB ＝AD ＝CD ＝1，BD ＝2，BD ⊥CD ，将其沿对角线BD 折成四面体A ′BCD ，使平面A ′BD ⊥平面BCD ，若四面体A ′BCD 的顶点在同一个球面上，则该球的表面积为( )A ．3πB ．32πC ．4πD ．34π 第II 卷（非选择题共90分）二、填空题：(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)13．命题“2,-+3>0x R x x ∀∈”的否定是14.在长方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，BC ＝AA 1＝1，则D 1C 1与平面A 1BC 1所成角的正弦值为________．15.已知圆C 1：x 2＋y 2＋4ax ＋4a 2－4＝0和圆C 2：x 2＋y 2－2by ＋b 2－1＝0只有一条公切线，若a ，b ∈R 且ab ≠0，则1a 2＋1b2的最小值为 16..平面α过正方体ABCD A 1B 1C 1D 1的顶点A ，α∥平面CB 1D 1，α∩平面ABCD ＝m ，α∩平面ABB 1A 1＝n ，则m ，n 所成角的正弦值为三．解答题:本大题共6题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（本小题满分10分）设p ：实数x 满足x 2－4ax ＋3a 2＜0，其中a ＞0.q ：实数x 满足⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－x －6≤0，x 2＋2x －8＞0.(1)若a ＝1，且p ∧q 为真，求实数x 的取值范围；(2)綈p 是綈q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．18. （本小题满分12分）已知过点A (0,1)且斜率为k 的直线l 与圆C ：(x －2)2＋(y －3)2＝1交于M ，N 两点．(1)求k 的取值范围；(2)若OM ·ON ＝12，其中O 为坐标原点，求|MN |.19.（本小题满分12分）如图，在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 为菱形且∠DAB=60°，O 为AD 中点.（Ⅰ）若PA=PD ，求证：平面POB ⊥平面PAD ；（Ⅱ）若平面PAD ⊥平面ABCD ，且PA=PD=AD=2，试问在线段PC 上是否存在点M ，使二面角M —BO —C 的大小为60°，如存在，求PCPM 的值，如不存在，说明理由.20.（本小题满分12分）已知抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F (1，0)，抛物线E ：x 2＝2py 的焦点为M .(1)若过点M 的直线l 与抛物线C 有且只有一个交点，求直线l 的方程；(2)若直线MF 与抛物线C 交于A ，B 两点，求△OAB 的面积．21. （本小题满分12分） 设A ，B 分别为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右顶点，双曲线的实轴长为43，焦点到渐近线的距离为 3.(1)求双曲线的方程；(2)已知直线y ＝33x －2与双曲线的右支交于M ，N 两点，且在双曲线的右支上存在点D ，使OM ＋ON ＝t OD ，求t 的值及点D 的坐标．o22. （本小题满分12分）椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)过点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32，离心率为12，左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线交椭圆于A ，B 两点．(1)求椭圆C 的方程；(2)当△F 2AB 的面积为1227时，求直线的方程．高二期中考试数学（理）答案一，选择题：1---5 CCBAD 6-----10 BDABB 11—12 CA . 二，填空题：13.，2000R 30x x x ∃∈-+≤， 14.，13 15，9 16，3217答案.解：由x 2－4ax ＋3a 2＜0，a ＞0，得a ＜x ＜3a ，即p 为真命题时，a ＜x ＜3a ，由⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－x －6≤0，x 2＋2x －8＞0，得⎩⎪⎨⎪⎧－2≤x ≤3，x ＞2或x ＜－4， 即2＜x ≤3，即q 为真命题时，2＜x ≤3.(1)a ＝1时，p ：1<x <3.由p ∧q 为真知p ，q 均为真命题，则⎩⎪⎨⎪⎧ 1＜x ＜3，2＜x ≤3，得2＜x ＜3，所以实数x 的取值范围为(2,3)．…………………………5分(2)设A ＝{x |a ＜x ＜3a }，B ＝{x |2＜x ≤3}，由题意知p 是q 的必要不充分条件，所以B A ，有⎩⎪⎨⎪⎧ 0＜a ≤2，3a ＞3，∴1＜a ≤2，所以实数a 的取值范围为(1,2]．…………………………10分18题答案：解：(1)由题设可知直线l 的方程为y ＝kx ＋1.因为直线l 与圆C 交于两点， 所以|2k －3＋1|1＋k 2<1，解得4－73<k <4＋73.所以k 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫4－73，4＋73.…………………………5分(2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．将y ＝kx ＋1代入方程(x －2)2＋(y －3)2＝1，整理得(1＋k 2)x 2－4(1＋k )x ＋7＝0.所以x 1＋x 2＝＋k 1＋k 2，x 1x 2＝71＋k 2. OM ·ON ＝x 1x 2＋y 1y 2＝(1＋k 2)x 1x 2＋k (x 1＋x 2)＋1＝4k ＋k 1＋k 2＋8.…………………………10分 由题设可得4k ＋k 1＋k 2＋8＝12，解得k ＝1， 所以直线l 的方程为y ＝x ＋1.故圆心C (2,3)在直线l 上，所以|MN |＝2.…………………………12分 19答案 (1)∵PA=PD O 为AD 中点 ∴PO ⊥AD又∵ABCD 为菱形且∠DAB=60°∴OB ⊥AD∵PO ∩OB=O ∴AD ⊥面POB∵AD 面PAD ∴面POB ⊥面PAD …………………………4分(2)∵面PAD ⊥面ABCD 且面PAD ∩面ABCD=AD ∴PO ⊥面ABCD 以O 为坐标原点，分别以OA 、OB 、OP 为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系∴O(0,0,0)、P(0,0,)、B(0,,0)、C(-2,,0) 设=λ(0<λ<1) ∴M(-2λ,λ,(1-λ))∵平面CBO 的法向量为n 1=(0,0,)设平面MOB 的法向量为n 2=(x,y,z) ………………………………………………8分 ∴⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0022n n OM 取n 2=(λλ233-,0,) ∵二面角M —BO —C 的大小为60° ||||2121n n ⋅21 解得λ=31 ∴存在M 点使二面角M —BO —C 等于60°，且PC PM =31…………………………12分。
黑龙江省哈尔滨市2017_2018学年高二数学上学期期中试题理201711100268
黑龙江省哈尔滨市 2017-2018学年高二数学上学期期中试题 理直线OA ,OB 的斜率之积为（ ）考试时间：120分钟满分：150分A ． 1B ． 0C ．1D ． 2第Ⅰ卷 （选择题 共 60分） 一．选择题：（本题共 12小题，每小题 5分，共 60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的）x22y1. 已知椭圆1上的一点 P 到椭圆一个焦点的距离为 3，则 P 到另一焦点距离为25 16（）x 1 y 08. 如果 x , y 满足约束条件 y 2x，则 的最大值是（ ）z 2x yx 2y 0510A ． 5B ．C ．D ．523A. 2B.3C.5D.72．抛物线 x 220y 的焦点坐标为（）9． 过双曲线的一个焦点作垂直于实轴的弦， 是另一焦点，若∠，则双FPQ FPF Q2112曲线的离心率等于（ ）A.5, 0B.5, 0C.0，5D.0,5A . 2 B. 2 1 C. 2 2 D. 223. 双曲线 x 2 4y 2 4的渐近线方程是（）1 1A. y2xB. y xC. y 4xD. yx2 4 4. 已知双曲线xy2 2221 a1a 0 a 1的离心率为 2 ，则 a 的值为（ ）A.1 22 B.C.21 3 31 1 10. 过抛物线 y 24x 的焦点作两条互相垂直的弦 AB 、CD ，则（）AB CD11A. 2B. 1C.D.2 411. 已知抛物线C ： y 2 8x 的焦点为 F ，准线为l ， P 是l 上一点，Q 是直线 PF 与C 的一个交点，若 FP 3FQ ，则| QF |（） 8 5A.B.C. 3D. 2323D.x y225.已知P是椭圆上一点，F是其左、右焦点，若1260，则1,F F PF PF F1212 8412．已知抛物线C：y210x，点P为抛物线C上任意一点，过点P向圆D:x2y212x 350A,B PADB作切线，切点分别为，则四边形面积的最小值为的面积为（）43A. B. C. D.534336．设直线l过点(2,0)，且与圆x2y21相切，则l的斜率是（）533（）343423435A．B．C．D．2第Ⅱ卷（非选择题共90分）133A. 3B. 1C.D.27.已知抛物线C：x22y，过点M(0,2)的直线交抛物线C于A,B,若O为坐标原点，则二．填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分）x y22113．双曲线的实轴长为．4161xyl P ,QPQ22114．已知双曲线： ，若直线 交该双曲线于两点，且线段的中点为点5 4（Ⅱ）求异面直线 DC 与 BC 所成角的余弦值.1A (1, 1)l,则直线 的斜率为．15.已知 ， 是椭圆和双曲线的公共焦点， 是它们的一个公共点，且，椭FFP F PF1212313 圆的离心率为 ，双曲线的离心率 ，则 ．ee1222ee1 219．（本小题满分 12分）xy221已 知 椭 圆的 离 心 率 为， 椭 圆 的 短 轴 端 点 与 双 曲 线C :1(a b 0)ab222xyM C M C2216. 已知椭圆C ：1，点与 的焦点不重合，若 关于 的两焦点的对称点16 12分别为y22（Ⅰ）求椭圆 的方程；Cx 21 P (4, 0) x l C A , B的焦点重合，过点 且不垂直于 轴的直线 与椭圆 相交于两点.x 2 1P (4, 0)xlCA , BP QMNC | PN | | QN |， ，线段的中点在 上，则．（Ⅱ）求OAOB 的取值范围.三．解答题：（本题共 6小题，共 70分，解答题应写出文字说明证明过程或演算步骤） 17.（本小题满分 10分）已知圆C 经过点 A (2, 0), B (1， 3) 且圆心C 在直线 y x 上．20．（本小题满分 12分）如图，四棱锥 P ABCD 的底面是边长为1的正方形，PPAABCD E , FAB , PC底面，分别为的中点.（Ⅰ）求圆C 的方程；3 （1， ）l C 2 3 l（Ⅱ）过点的直线 截圆 所得弦长为 ，求直线 的方程．3（Ⅰ）求证： EF / / 平面 PAD ；（Ⅱ）若 PA 2 ，试问在线段 EF 上是否存在点Q ，使得二面角 Q APDF5的余弦值为？若存在，确定点 的位置；若不存在，请说明理由.Q518．（本小题满分12分）A E B如图，三棱柱中，侧棱垂直于底面，ABC A B C111A1C21.（本小题满分12分） CACB 901AC BC AA D，，是棱的中点.AA112x y22已知椭圆的左、右焦a b221(0)a ba b（Ⅰ）证明：平面⊥平面；BDC BDC1点分别为F，F21,短轴两个端点为A,B,且四边形F AF B是边长为2的正方形．123若直线푙的斜率存在，设方程为푦―，即．3=푘(푥―1)3푘푥―3푦+3―3푘=0（Ⅰ）求椭圆的方程；由条件知，圆心到直线的距离（Ⅱ）若C,D分别是椭圆长轴的左、右端点，动点M满足푑=∣3―3푘∣9푘2+9=22―(3)2=1⇒푘=―3.3MD CD CM P OM A OP，连接，交椭圆于点．证明：为定值．直线푙的方程为푥+3푦―2=0．综上，所求方程为푥=1或푥+3푦―2=0．……………10分22.（本小题满分12分）18. 不妨设AC 1，则AA ，12x y22如图，抛物线：与椭圆：在第一象限的C y22px C 1121612（Ⅰ）因为D是中点，所以,从而，故AA DC DC 22212DC DC CC11186交点为B，O为坐标原点，A为椭圆的右顶点，OAB的面积为.3DC DC，1又因为侧棱垂直于底面，ACB 90，所以（Ⅰ）求抛物线的方程；C1BC 平面DCC BCDC，1,1，（Ⅱ）过A点作直线l交C于C、D两点，射线OC、OD分别交C于E、F两点，12DC BC C ,DC 平面BDC1，记OEF和OCD的面积分别为和，问是否存在直线，使得S1S ？若存S S l:3:77122在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．DC1平面BDC1,平面平面BDC BDC1; ……………6分数学答案（理科）（Ⅱ）以如图，以C为原点，CA,CB,CC1为x,y,z轴正向建立空间直角坐标系，一．选择题1-6 DCBBCD 7-12 ACBDAB则C0,0,0,D1,0,1,B0,1,0,C0,0,21二．填空题413.4 14. 15.4 16.165三．解答题CD 1,0,1,BC0,1,21cos CD,BC1CD BC11CD BC110517. （Ⅰ）设圆心퐶(푎,푎)．∣퐶퐴∣=∣퐶퐵∣⇒푎2+(푎―2)2=(푎―1)2+(푎+3)2⇒푎=0,所以푟=∣퐶퐴∣=2，圆퐶的方程为푥2+푦2=4． (4)分10所以直线DC与BC1所成角的余弦值是……………12分5（Ⅱ）若直线푙的斜率不存在，方程为푥=1，此时直线푙截圆所得弦长为23，符合题意；3c1c a b1222219. 解：（Ⅰ）由题意知，e ,ea2a a422AE//MF AE=MF AM//EF且，故：EFMA为平行四边形， (2)分又EF 平面PAD，AM 平面PADEF//平面PAD……4分242a b (0,3),b 3a24,b23.又双曲线的焦点坐标为，，3x y221椭圆的方程为. ……………4分43（Ⅱ）如图：以点A为坐标原点建立空间直角坐标系：1P(0,0,2)，B(0,1,0)，C(1,1,0)，E(0,,0)，211F(,,1)22由题易知平面PAD的法向量为n (0,1,0)， (6)分（Ⅱ）若直线l的倾斜角为0，则A (2,0),B(2,0),OA OB 4，假设存在Q满足条件：设EQ EF，(1,0,1)，EF2当直线l的倾斜角不为0时，直线l可设为x my 4，Q1[0,1]AP (0,0,2)(,1,)(,,)，，，1[0,1]AP (0,0,2)(,1,)AQ2222 x my4(3m 4)y 24my 36022，由3x4y12220(24m)4(3m 4)360m 4222设平面PAQ的法向量为m (x,y,z)，1x y z0m(1,,0)22z0……10分24m36设，， (6)A(my 4,y),B(my 4,y)y y,y y11221221223m43m4m ncos m,nm n 1，由已知：12552分OA OB (my 4)(my 4)y y m y y 4my y 16 y y21212121212 (8)1解得：，所以：满足条件的Q存在，是EF中点。
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黑龙江省哈尔滨师范大学青冈实验中学校2017-2018学年高二上学期期中考试数学（理）试题第I卷（选择题共60分）一、选择题：（共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，选择一个符合题目要求的选项.）1.原命题p：“设a，b，c∈R，若a>b，则ac2>bc2”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为( )A. 0B. 1C. 2D. 4【答案】C【解析】分析：对原命题以及它的逆命题、否命题、逆否命题逐一判断真假即可.详解：原命题：“设a，b，c∈R，若a>b，则ac2>bc2”，当c=0时显然不成立，所以是假命题；由于原命题是假命题，所以其逆否命题也是假命题；逆命题为：若ac2>bc2，则a>b,是真命题；由于逆命题和否命题互为逆否命题，所以其真假性是一样的，所以其否命题也是真命题.所以在原命题以及它的逆命题、否命题、逆否命题中真命题的个数为2，故答案为：C点睛：（1）本题主要考查四种命题及其真假，考查互为逆否的命题的真假性是一样的这个知识点，意在考查学生对这些基础知识的掌握水平和分析推理能力. (2)互为逆否的命题的真假性是一致的，这个重要性质在判断命题真假时要灵活运用.2.设a，b是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则能得出a⊥b的是( )A. a⊥α，b∥β，α⊥βB. a⊥α，b⊥β，α∥βC. a⊂α，b⊥β，α∥βD. a⊂α，b∥β，α⊥β【答案】C【解析】【分析】根据线线垂直的判断定理.【详解】A.a可能垂直于b也可能不垂直于b，故错误；B．a//b故错误；C．因为a⊂α，b⊥β，α∥β，所以b⊥α又a⊂α，则a⊥bD．a可能垂直于b也可能不垂直于b，故错误；故选C【点睛】本题考查了空间直线与直线、直线与平面位置关系，直线与直线位置包括：平行、相交、异面，直线与平面位置包括：直线在平面内和直线在平面外；位置关系判定主要应用线线平行、垂直，线面平行、垂直的判定定理.3.抛物线y＝ax2的准线方程是y＝1，则实数a的值为A. B. － C. 4 D. －4【答案】B【解析】试题分析：由已知中抛物线方程又抛物线的准线方程是y=1，，选B.考点：本试题考查了抛物线的简单性质的简单运用。
黑龙江省哈师大附中高二数学上学期期中考试试题 理
黑龙江省哈师大附中高二数学上学期期中考试试题 理【会员独享】考试时间：120分钟 满分：150分 第Ⅰ卷 （选择题 共60分）一．选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的）1. 若命题“p q ∧”为假，且“p ”为真，则（ ） A ．p 或q 为假 B ．q 假C ．q 真D ．不能判断q 的真假2. 已知椭圆1162522=+y x 上的一点P 到椭圆一个焦点的距离为3，则P 到另一焦点距离为（ ）A ．2B ．3C ．5D ．7 3. 下列各组向量中不共线的是（ ）A ．(1,2,2),(2,4,4)=-=--a bB ．(1,0,0),(3,0,0)==-c dC ．(2,3,0),(0,0,0)==e fD ．(2,3,5),(16,24,40)=-=g h 4. 已知点(3,1,4)A --，则点A 关于x 轴对称的点的坐标为（ ） A ．)4,1,3(-- B ．)4,1,3(--- C ．)4,1,3( D ．)4,1,3(--5. 若抛物线28y x =上一点P 到其焦点的距离为9，则点P 的坐标为（ ）A ．(7,B ．(14,C ．(7,±D ．(7,-±6.已知△ABC 的三个顶点为A （3，3，2），B （4，－3，7），C （0，5，1），则BC 边上的中线长为 （ ）A ．2B ．3C ．4D ．57. 若点A 的坐标为(3,2)，F 是抛物线x y 22=的焦点，点M 在抛物线上移动时，使MAMF +取得最小值的M 的坐标为（ ）A ．()0,0B ．⎪⎭⎫⎝⎛1,21 C ．()2,1 D ．()2,2 8．有下述说法：①0a b >>是22a b >的充要条件；②0a b >>是b a 11<的充要条件；③0a b >>是33a b >的充要条件.则其中正确的说法有（ ） A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个9. 过双曲线的一个焦点2F 作垂直于实轴的弦PQ ，1F 是另一焦点，若∠21π=Q PF ，则双曲线的离心率e 等于（ ）A ．12-B ．2C ．12+D ．22+10. 空间四边形OABC 中，OB OC =，3AOB AOC π∠=∠=，则cos <,OA BC >的值是（ ）A ．21B ．22C ．－21D ．011.若直线2+=kx y 与双曲线622=-y x 的右支交于不同的两点，那么k 的取值范围是（ ）A ．（315,315-） B ．（315,0） C ．（0,315-） D ．（1,315--）12.从双曲线()222210,0x y a b a b -=>>的左焦点F 引圆222x y a +=的切线，切点为T ，延长FT 交双曲线右支于P 点，若M 为线段FP 的中点，O 为坐标原点，则MO MT -与b a -的大小关系为（ ）A ．MO MT b a ->- B.MO MT b a-=-C ．MO MT b a-<- D.不确定第Ⅱ卷 （非选择题 共90分）二．填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．椭圆5522=+ky x 的一个焦点是)2,0(，那么=k . 14．设双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 的离心率为3，且它的一个焦点与抛物线x y 42=的焦点重合，则此双曲线的方程____________.15．对于抛物线24y x =上任意一点Q ，点(,0)P a 都满足PQ a ≥，则a 的取值范围是____ ．16．有下列四个命题：①命题“若1=xy ，则x ，y 互为倒数”的逆命题； ②命题“面积相等的三角形全等”的否命题；③命题“若1m ≤，则022=+-m x x 有实根”的逆否命题； ④命题“若A B B =，则A B ⊆”的逆否命题.其中是真命题的是 （填上你认为正确的命题的序号）.三．解答题：（本题共6小题，共70分，解答题应写出文字说明证明过程或演算步骤） 17．（本题满分10分） 如图，正方体D C B A ABCD ''''-棱长为1，E 是B B '的中点，F 是C B ''的中点. （1）求证：DE A F D ''平面//； （2）求二面角A DE A '--的余弦值. 18．（本题满分12分）在圆22:4C x y +=上任取一点P ，过P 作PD 垂直x 轴于D ，且P 与D 不重合.（1）当点P 在圆上运动时，线段PD 中点M 的轨迹E 的方程；（2）直线:1l y x =+与（1）中曲线E 交于,A B 两点，求AB的值.19．（本题满分12分）已知双曲线2212y x -=，过(1,1)P 能否作一条直线l ，与双曲线交于,A B 两点，且点P是A '线段AB 中点？若能，求出l 的方程；若不能，请说明理由. 20．（本题满分12分）如图，四边形PCBM 是直角梯形，∠PCB ＝90°，PM ∥BC ，PM ＝1，BC ＝2，又AC ＝1，∠ACB ＝120°，AB ⊥PC ，直线AM 与直线PC 所成的角为60°. （1）求证：平面PAC ⊥平面ABC ； （2）求三棱锥MAC P -的体积； 21．（本题满分12分）已知直线:1l y kx =+与圆22:46120C x y x y +--+=相交于,M N 两点，（1）求k 的取值范围；（2）若O 为坐标原点，且12OM ON ⋅=，求k 的值.22．（本题满分12分）已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为32，x 轴被抛物线22:C y x b =-截得的线段长等于1C 的长半轴长.（1）求12,C C 的方程；（2）设2C 与y 轴的交点为M ，过坐标原点O 的直线:l y kx =与2C 相交于,A B 两点，直线,MA MB 分别与1C 相交于,DE .①证明：MD ME ⋅为定值;②记MDE ∆的面积为S ，试把S 表示成k 的函数，并求S 的最大值.参考答案一．选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的）1. 若命题“p q∧”为假，且“p”为真，则（ B ）A．p或q为假 B．q假 C．q真 D．不能判断q的真假2. 已知椭圆1162522=+yx上的一点P到椭圆一个焦点的距离为3，则P到另一焦点距离为（ D ）A．2 B．3 C．5 D．73. 下列各组向量中不共线的是（ D ）A．(1,2,2),(2,4,4)=-=--a b B．(1,0,0),(3,0,0)==-c dC．(2,3,0),(0,0,0)==e f D．(2,3,5),(16,24,40)=-=g h4. 已知点(3,1,4)A--，则点A关于x轴对称的点的坐标为（ A ）A ．)4,1,3(--B ．)4,1,3(---C ．)4,1,3(D ．)4,1,3(--5. 若抛物线28y x =上一点P 到其焦点的距离为9，则点P 的坐标为（ C ） A ．(7,14)± B ．(14,14)± C ．(7,214)± D ．(7,214)-±6.已知△ABC 的三个顶点为A （3，3，2），B （4，－3，7），C （0，5，1），则BC 边上的中线长为 （ B ）A ．2B ．3C ．4D ．57. 若点A 的坐标为(3,2)，F 是抛物线x y 22=的焦点，点M 在抛物线上移动时，使MAMF +取得最小值的M 的坐标为（ D ）A ．()0,0B ．⎪⎭⎫⎝⎛1,21 C ．()2,1 D ．()2,28．有下述说法：①0a b >>是22a b >的充要条件；②0a b >>是b a 11<的充要条件； ③0a b >>是33a b >的充要条件.则其中正确的说法有（ A ） A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个9. 过双曲线的一个焦点2F 作垂直于实轴的弦PQ ，1F 是另一焦点，若∠21π=Q PF ，则双曲线的离心率e 等于（ C ）A ．12-B ．2C ．12+D ．22+10. 空间四边形OABC 中，OB OC =，3AOB AOC π∠=∠=，则cos <,OA BC >的值是（ D ）A ．21B ．22C ．－21D ．011.若直线2+=kx y 与双曲线622=-y x 的右支交于不同的两点，那么k 的取值范围是（ D ）A ．（315,315-） B ．（315,0） C ．（0,315-） D ．（1,315--）12.从双曲线()222210,0x y a b a b -=>>的左焦点F 引圆222x y a +=的切线，切点为T ，延长FT 交双曲线右支于P 点，若M 为线段FP 的中点，O 为坐标原点，则MO MT -与b a -的大小关系为（ B ）A ．MO MT b a ->- B.MO MT b a-=-C ．MO MT b a-<- D.不确定第Ⅱ卷 （非选择题 共90分）二．填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．椭圆5522=+ky x 的一个焦点是)2,0(，那么=k .1 14．设双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 的离心率为3，且它的一个焦点与抛物线x y 42=的焦点重合，则此双曲线的方程____________.2211233x y -=15．对于抛物线24y x =上任意一点Q ，点(,0)P a 都满足PQ a ≥，则a 的取值范围是____ ．(],2-∞详解：设2(,)4t Q t ，由PQ a ≥得222222(),(168)0,4t a t a t t a -+≥+-≥ 221680,816t a t a +-≥≥-恒成立，则8160,2a a -≤≤ 16．有下列四个命题：①命题“若1=xy ，则x ，y 互为倒数”的逆命题； ②命题“面积相等的三角形全等”的否命题；③命题“若1m ≤，则022=+-m x x 有实根”的逆否命题； ④命题“若AB B =，则A B ⊆”的逆否命题.其中是真命题的是 （填上你认为正确的命题的序号）.①②③三．解答题：（本题共6小题，共70分，解答题应写出文字说明证明过程或演算步骤） 17．（本题满分10分） 如图，正方体D C B A ABCD ''''-棱长为1，E 是B B '的中点，F 是C B ''的中点. （1）求证：DE A F D ''平面//；A '（2）求二面角A DE A '--的余弦值.（1）证明：以D 为坐标原点，直线DA ，DC ，D D '分别为x, y, z 轴， 建立空间直角坐标系，1'则)0,0,0(D ,A （1，0，0）, A '（1，0，1），D '（0，0，1），E （1，1，21），F （21，1，1），)0,1,21(='F D ,)1,0,1(='A D ,)21,1,1(=DE , 2'设平面DE A '的法向量为),,(c b a n =，则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅'00n DE n A D 即⎪⎩⎪⎨⎧=++=+0210c b a c a从而)1,21,1(--=n4')21(0)21(1121=-⨯+-⨯+⨯='⋅F D n ，n F D ⊥'∴所以DE A F D ''平面//6'（2）解：设平面ADE 的法向量为),,(111z y x a =，)0,0,1(=DA ，)21,1,1(=DE 则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅00a DE a DA 即⎪⎩⎪⎨⎧=++=02101111z y x x 从而)2,1,0(-=a8'由（1）知A DE '的法向量为 )1,21,1(--=n55495)1()2()21(110,cos =⨯-⨯-+-⨯+⨯=>=<n a∴二面角A DE A '--的余弦值为55.10'18．（本题满分12分）在圆22:4C x y +=上任取一点P ，过P 作PD 垂直x 轴于D ，且P 与D 不重合.（1）当点P 在圆上运动时，线段PD 中点M 的轨迹E 的方程；（2）直线:1l y x =+与（1）中曲线E 交于,A B 两点，求AB的值.解：设PD 中点(,),(,)M x y P x y ''，依题意22x x x x y y y y '=⎧'=⎧⎪⇒'⎨⎨'==⎩⎪⎩2'又点P 在圆22:4C x y +=上，22()()4x y ''∴+=即2244x y += 4'又P 与D 不重合，∴PD 中点M 的轨迹E 的方程为221(0)4x y y +=≠6'（2）222158044y x x x x y =+⎧⇒+=⎨+=⎩8'设1122(,),(,)A x y B x y 12128,05x x x x ∴+=-= 10'125AB x ∴=-=12'19．（本题满分12分）已知双曲线2212y x -=，过(1,1)P 能否作一条直线l ，与双曲线交于,A B 两点，且点P 是线段AB 中点？若能，求出l 的方程；若不能，请说明理由. 解：设l 与双曲线交于1122(,),(,)A x yB x y则22111212121222221()()2()()0212y x y y y y x x x x y x ⎧-=⎪+-⎪⇒+--=⎨⎪-=⎪⎩4'即12121212()()02y y y y x x x x +-+-⋅=-6'又(1,1)P ，12122,2x x y y ∴+=+=2AB k ∴= ，l ∴方程为：21y x =- 8'222212430,16423022y x x x x y =-⎧⇒-+=∆=-⨯⨯<⎨-=⎩，10'故直线l与双曲线没有交点，即直线l不存在12'20．（本题满分12分）如图，四边形PCBM 是直角梯形，∠PCB ＝90°，PM ∥BC ，PM ＝1，BC ＝2，又AC ＝1，∠ACB ＝120°，AB ⊥PC ，直线AM 与直线PC 所成的角为60°. （1）求证：平面PAC ⊥平面ABC ； （2）求三棱锥MAC P -的体积； 解法一：（Ⅰ）∵,,PC AB PC BC AB BC B⊥⊥=2'∴PC ABC ⊥平面，又∵PC PAC ⊂平面 4' ∴PAC ABC ⊥平面平面6'（Ⅱ）取BC 的中点N ，则1CN =，连结,AN MN ，∵//PMCN =，∴//MN PC =，从而MN ABC ⊥平面又1CN PM ==，1,AC =∠ACB ＝120°3AN ∴=MN ABC ⊥平面，30MAN ∴∠=，1MN ∴=，1PC MN PM CN ∴====∴PCMN 为正方形 8'∴011sin12032P MAC A PCM A MNC M ACN V V V V AC CN MN ----====⨯⋅⋅⋅=12'解法二：（Ⅰ）同解法一 （Ⅱ）取平面PCM的法向量取为()11,0,0n =，8'则点A 到平面PCM 的距离1132CA n h n ⋅==∵1,1PC PM ==，∴11111326212P MAC A PCM V V PC PM h --===⨯⋅⋅=⨯⨯⨯=12'21．（本题满分12分）已知直线:1l y kx =+与圆22:46120C x y x y +--+=相交于,M N 两点， （1）求k 的取值范围；（2）若O 为坐标原点，且12OM ON ⋅=，求k 的值.（1）解：2221(1)4(1)7046120y kx k k x x y x y =+⎧⇒+-++=⎨+--+=⎩2'2216(1)47(1)0k k ∆=⋅+-⋅⋅+>4'4433k ∴<<6'（2）设1122(,),(,)M x y N x y则12121212(1)(1)OM ON x x y y x x kx kx ⋅=+=+++21212(1)()1k x x k x x =++++21212(1)()1k x x k x x =++++8'又1224(1)1k x x k ++=+，12271x x k =+∴原式22274(1)(1)11211k k k k k +=+⋅+⋅+=++10'解得1k = 12'22．（本题满分12分）已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为32，x 轴被抛物线22:C y x b =-截得的线段长等于1C 的长半轴长.（1）求12,C C 的方程；（2）设2C 与y 轴的交点为M ，过坐标原点O 的直线:l y kx =与2C 相交于,A B 两点，直线,MA MB 分别与1C 相交于,DE .①证明：MD ME ⋅为定值;②记MDE ∆的面积为S ，试把S 表示成k 的函数，并求S 的最大值.解：（1）由已知32c a=，222a b c =+，2a b ∴= ① 2'在2y x b =-中，令0y =，得,2x b b a =±∴=② 由①②得，2,1a b ==22212:1,:14x C y C y x ∴+==-4'(2)由21y kxy x =⎧⎨=-⎩得210x kx --= 设1122(,),(,)A x yB x y ，则1212,1x x k x x +==-6'而1112(0,1),(,1)(,1)M MA MB x y x y -∴⋅=+⋅+1212121212212121222(1)(1)1()1110x x y y x x y y y y x x k x x k x x k k =+++=++++=++++=--++=,0MA MB MD ME MD ME ∴⊥∴⊥∴⋅=8'（3）设1122(,),(,),A x kxB x kx A 在21y x =-上，∴2111kx x =-即2111kx x +=，1111AMkx k x x +∴==，∴直线AM 方程为：11,y x x =-代入2214x y +=，得2111()204x x x x +-=，2112211841(,)4141x x D x x -∴++，同理2222222841(,)4141x x E x x -++10'121122MDES S MD ME ∆∴==⋅=由（2）知，1212,1x x k x x +==-，2)425S k R k ∴=∈+,2t t =≥，23232,(2)9494t S t t t t ∴==≥++又94,u t t =+在[2,)t ∈+∞时，u 为增函数，∴min 252u =， 当2t =，即0k =时，max 6425S =12'。
黑龙江省哈尔滨市高二数学上学期期中试题理
2017-2018学年度上学期期中考试高二理科数学试卷考试说明：本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟．（1）答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚；（2）选择题必须使用2B 铅笔填涂, 非选择题必须使用0.5毫米黑色的签字笔书写, 字迹清楚；（3）请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸上答题无效； （4）保持卡面清洁，不得折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀．第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的1. 已知命题:p x R ∀∈,210x x ++>，那么p ⌝是（ ）A. 20,10x R x x ∃∈++>B. 20,10x R x x ∀∈++≤ C. 20,10x R x x ∃∈++≤ D.20,10x R x x ∀∈++<2. 已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率e =，则它的渐近线方程为 ( )A. y =B. y =C.x y 22±= D. y x =± 3. 在命题“若m n >-，则22m n >”的逆命题、否命题、逆否命题中，假命题的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 0 个 4. 下列几何体中轴截面是圆面的是（ ）A. 圆柱B. 圆锥C. 球D. 圆台 5.下列命题正确的个数是（ ）①梯形的四个顶点在同一平面内 ②三条平行直线必共面③有三个公共点的两个平面必重合 ④每两条相交的且交点各不相同的四条直线一定共面D 1DC BA A 1B 1C 1 MNA. 1个B. 2个C. 3个D. 4 个6.已知一个三棱柱高为3，其底面用斜二测画法所画出的水平放置的直观图是一个直角边长为1的等腰直角三角形（如右图所示），则此三棱柱的体积为（ ） A. 2 B. 62 C. 13D. 327. 如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点P 是棱CD 上一点，则三棱锥11P A B A -的侧视图是（ ）8. 在正方体1111ABCD A B C D -中，M 和N 分别为BC 、1C C 的中点，那么异面直线MN 与AC 所成角的大小为（ ） A. 30 B. 45 C. 60 D. 909.短道速滑队组织6名队员（含赛前系列赛积分最靠前的甲乙丙三名队员在内）进行冬奥会选拔，记“甲得第一名”为p ，“乙得第二名”为q ，“丙得第三名”为r ，若p q ∨是真命题，p q ∧是假命题，()q r ⌝∧ 是真命题，则选拔赛的结果为（ ）A. 甲得第一名、乙得第二名、丙得第三名B. 甲得第二名、乙得第一名、丙得第三名C. 甲得第一名、乙得第三名、丙得第二名D. 甲得第一名、乙没得第二名、丙得第三名10.若“01x ≤≤”是“[]((2)0x a x a --+<）”的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是（ ）A. 0][1,)-∞+∞（，B. [1,0]-C. (1,0)-D.(,1)(0,)-∞-+∞11. 如图所示，点F 是抛物线24y x =的焦点，点A B 、分别在抛物线24y x =及圆22(1)4x y -+=的实线部分上运动，且AB 总是平行于x 轴，则FAB ∆的周长的取值范围（ ）A. (4,6)B. []4,6C. (2,4)D. []2,412. 过双曲线22221x y a b-=右焦点F 作一条直线，当直线的斜率为2时，直线与双曲线左右两支各有一个交点；当直线的斜率为3时，直线与双曲线右支有两个不同的交点，则双曲线的离心率的取值范围是A. 2)B. 5,10)C. 2,10)D. 21)第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案写在答题卡上相应的位置 13.已知两个球的表面积之比为4:25，则这两个球的半径之比为14. 一个几何体的三视图如右图所示，则该几何体的表面积为 15. 已知1F ，2F 是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且321π=∠PF F ，椭圆的离心率为1e ，双曲线的离心率2e ，则=+222131e e ． 16． 给出以下说法：①不共面的四点中，任意三点不共线； ②有三个不同公共点的两个平面重合； ③没有公共点的两条直线是异面直线； ④分别和两条异面直线都相交的两条直线异面；⑤一条直线和两条异面直线都相交，则它们可以确定两个平面． 其中正确结论的序号是________．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤17．（本小题满分10分）如下的三个图中，左面的是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图．右面是它的正视图和侧视图（单位：cm ）（1）在正视图下面，按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图； （2）按照给出的尺寸，求该多面体的表面积。
(超值)黑龙江省哈尔滨师范大学青冈实验中学校2017-2018学年高二上学期期中考试数学(理)试题(解析版)
黑龙江省哈尔滨师范大学青冈实验中学校2017-2018学年高二上学期期中考试数学（理）试题第I卷（选择题共60分）一、选择题：（共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，选择一个符合题目要求的选项.）1.原命题p：“设a，b，c∈R，若a>b，则ac2>bc2”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为( )A. 0B. 1C. 2D. 4【答案】C【解析】分析：对原命题以及它的逆命题、否命题、逆否命题逐一判断真假即可.详解：原命题：“设a，b，c∈R，若a>b，则ac2>bc2”，当c=0时显然不成立，所以是假命题；由于原命题是假命题，所以其逆否命题也是假命题；逆命题为：若ac2>bc2，则a>b,是真命题；由于逆命题和否命题互为逆否命题，所以其真假性是一样的，所以其否命题也是真命题.所以在原命题以及它的逆命题、否命题、逆否命题中真命题的个数为2，故答案为：C点睛：（1）本题主要考查四种命题及其真假，考查互为逆否的命题的真假性是一样的这个知识点，意在考查学生对这些基础知识的掌握水平和分析推理能力. (2)互为逆否的命题的真假性是一致的，这个重要性质在判断命题真假时要灵活运用.2.设a，b是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则能得出a⊥b的是( )A. a⊥α，b∥β，α⊥βB. a⊥α，b⊥β，α∥βC. a⊂α，b⊥β，α∥βD. a⊂α，b∥β，α⊥β【答案】C【解析】【分析】根据线线垂直的判断定理.【详解】A.a可能垂直于b也可能不垂直于b，故错误；B．a//b故错误；C．因为a⊂α，b⊥β，α∥β，所以b⊥α又a⊂α，则a⊥bD．a可能垂直于b也可能不垂直于b，故错误；故选C【点睛】本题考查了空间直线与直线、直线与平面位置关系，直线与直线位置包括：平行、相交、异面，直线与平面位置包括：直线在平面内和直线在平面外；位置关系判定主要应用线线平行、垂直，线面平行、垂直的判定定理.3.抛物线y＝ax2的准线方程是y＝1，则实数a的值为A. B. － C. 4 D. －4【答案】B【解析】试题分析：由已知中抛物线方程又抛物线的准线方程是y=1，，选B.考点：本试题考查了抛物线的简单性质的简单运用。
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2017年哈师大附中学业水平考试数学试卷 （理科）考试时间：120分钟 满分：150分第Ⅰ卷 （选择题 共60分）一．选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的）1. 已知椭圆1162522=+y x 上的一点P 到椭圆一个焦点的距离为3，则P 到另一焦点距离为（ ）A. 2B.3C.5D.72．抛物线220x y =的焦点坐标为（ ）A. ()5,0-B. ()5,0C.()05，D.()0,5- 3.双曲线4422=-y x 的渐近线方程是（ ） A. x y 2±= B. x y 21±= C. x y 4±= D. x y 41±=4. 已知双曲线222211x y a a -=-()01a <<a 的值为（ ） A. 12B. 2C. 13D.35.已知P 是椭圆22184x y +=上一点，1F 2,F 是其左、右焦点，若1260F PF ∠= ，则12PF F ∆的面积为（ ）A. 35B. 34C.334 D. 335 6．设直线l 过点)0,2(-，且与圆122=+y x 相切，则l 的斜率是（ ）A.3±B.1±C.21±D.33± 7.已知抛物线C ：22x y =，过点(0,2)M 的直线交抛物线C 于,A B ,若O 为坐标原点，则直线,OA OB 的斜率之积为（ ）A ．1-B ． 0C ．1D ．2-8.如果y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-≤-+≥+-020201y x y x y x ，则y x z +=2的最大值是（ ）A ．5-B ．52C ．103D ．5 9．过双曲线的一个焦点2F 作垂直于实轴的弦PQ ，1F 是另一焦点，若∠21π=Q PF ，则双曲线的离心率等于（ ）A.2B.12+C.22+10.过抛物线24y x =的焦点作两条互相垂直的弦AB CD 、，则11AB CD+=（ ） A.2B.1C.12D. 1411.已知抛物线C ：28y x =的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个交点，若3FP FQ =，则||QF =（ ） A.83B.52C.3D. 2 12．已知抛物线C ：210y x =，点P 为抛物线C 上任意一点，过点P 向圆22:12350D x y x +-+=作切线，切点分别为,A B ，则四边形PADB 面积的最小值为（ ） A．2B．D第Ⅱ卷 （非选择题 共90分）二．填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．双曲线221416x y -=的实轴长为． 14．已知双曲线：22154x y -=，若直线l 交该双曲线于,P Q 两点，且线段PQ 的中点为点(1,1)A ,则直线l 的斜率为．15.已知1F ，2F 是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且321π=∠PF F ，椭圆的离心率为1e ，双曲线的离心率2e ，则=+222131e e ．16. 已知椭圆C ：2211612x y +=，点M 与C 的焦点不重合，若M 关于C 的两焦点的对称点分别为P ，Q ，线段MN 的中点在C 上，则||||PN QN +=．三．解答题：（本题共6小题，共70分，解答题应写出文字说明证明过程或演算步骤）17.（本小题满分10分）已知圆C经过点(2,0),(1A B 且圆心C 在直线y x =上．（Ⅰ）求圆C 的方程；PDBCAEF（Ⅱ）过点13（，的直线l 截圆C 所得弦长为，求直线l 的方程．18．（本小题满分12分）如图，三棱柱111ABC A B C -中，侧棱垂直于底面，90ACB ∠= ，112AC BC AA ==，D 是棱1AA 的中点. （Ⅰ）证明：平面1BDC ⊥平面BDC ；（Ⅱ）求异面直线DC 与1BC 所成角的余弦值.19．（本小题满分12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为12，椭圆的短轴端点与双曲线2212y x -=的焦点重合，过点(4,0)P 且不垂直于x 轴的直线l 与椭圆C相交于,A B 两点.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）求OA OB ⋅的取值范围.20．（本小题满分12分）如图，四棱锥P ABCD -的底面是边长为1的正方形， PA ⊥底面ABCD ，,E F 分别为,AB PC 的中点.（Ⅰ）求证：EF //平面PAD ；（Ⅱ）若2PA =，试问在线段EF 上是否存在点Q ，使得二面角 Q AP D --Q 的位置；若不存在，请说明理由.21.（本小题满分12分）已知椭圆22221(0)x ya b a b+=>>的左、右焦点分别为21,F F ，B 1 CBADC 1A 1短轴两个端点为,,A B 且四边形12F AF B 是边长为2的正方形． （Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）若,C D 分别是椭圆长轴的左、右端点，动点M 满足MD CD ⊥，连接CM ，交椭圆于点P ．证明：OM OP 为定值．22.（本小题满分12分）如图，抛物线1C ：px y 22=与椭圆2C ：1121622=+y x 在第一象限的交点为B ，O 为坐标原点，A 为椭圆的右顶点，OAB ∆的面积为368. （Ⅰ）求抛物线1C 的方程；（Ⅱ）过A 点作直线l 交1C 于C 、D 两点，射线OC 、OD 分别交2C 于E 、F 两点，记OEF ∆和OCD ∆的面积分别为1S 和2S ，问是否存在直线l ，使得77:3:21=S S ？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．2017年哈师大附中学业水平考试数学答案 （理科）一．选择题1-6 DCBBCD 7-12 ACBDAB 二．填空题 13.4 14. 4515.4 16.16 三．解答题17.（Ⅰ）设圆心 ．所以，圆 的方程为．……………4分（Ⅱ） 若直线 的斜率不存在，方程为 ，此时直线 截圆所得弦长为，符合题意；若直线 的斜率存在，设方程为 ，即 ．由条件知，圆心到直线的距离直线 的方程为 ．综上，所求方程为或．……………10分18.不妨设1AC =，则12AA =，（Ⅰ）因为D 是1AA 中点，所以12DCDC ==,从而22211DC DC CC +=，故1DC DC ⊥，又因为侧棱垂直于底面，90ACB ∠=，所以11,BCDCC BC DC ⊥∴⊥平面，1,DC BC C DC BDC =∴⊥ 平面，11,DC BDC ⊂平面1BDC BDC ⊥平面平面;……………6分（Ⅱ）以如图，以C 为原点，1,,CA CB CC 为,,x y z 轴正向建立空间直角坐标系， 则()()()()10,0,0,1,0,1,0,1,0,0,0,2CD B C()()11,0,1,0,1,2CD BC ==-111cos ,CD BC CD BC CD BC ∙==所以直线DC 与1BC所成角的余弦值是5……………12分19.解：（Ⅰ）由题意知22222211,24c c a b e e a a a -==∴===， 2243a b =.又双曲线的焦点坐标为(0,b =，224,3a b ∴==，∴椭圆的方程为22143x y +=.……………4分 （Ⅱ）若直线l 的倾斜角为0，则(2,0),(2,0),4A B OA OB -⋅=-，当直线l 的倾斜角不为0 时，直线l 可设为4x my =+，22224(34)243603412x my m y my x y =+⎧⇒+++=⎨+=⎩，由 2220(24)4(34)3604m m m ∆>⇒-⨯+⨯>⇒>设1122(4,),(4,)A my y B my y ++，1212222436,3434m y y y y m m +=-=++，……………6分 21212121212(4)(4)416OA OB my my y y m y y my y y y ⋅=+++=+++……………8分2116434m =-+……………10分2134,(4,)4m OA OB >∴⋅∈- ，综上所述：范围为13[4,)4-……………12分20.证明：（Ⅰ）取PD 中点M ，连接MF ，MA 在ΔCPD 中，F 为PC 的中点，//MF DC ∴,且MF=12DC ，正方形ABCD 中E 为AB 中点，//AE DC ∴且AE =12DC ，//AE MF ∴且=AE MF ，故：EFMA 为平行四边形，//AM EF ∴ ……2分又∴EF ⊄平面P AD ，AM ⊂平面P AD∴EF //平面P AD ……4分 （Ⅱ）如图：以点A 为坐标原点建立空间直角坐标系：(0,0,2)P ，(0,1,0)B ，(1,1,0)C ，1(0,,0)2E ，11(,,1)22F由题易知平面P AD 的法向量为(0,1,0)n =， ……6分假设存在Q 满足条件：设EQ EF λ= ，1(,0,1)2EF = ，1(,,)22Q λλ=，[0,1]λ∈，(0,0,2)AP = ，1(,,)22AQ λλ=设平面P AQ 的法向量为(,,)m x y z =，10(1,,0)220x y z m z λλλ⎧++=⎪⇒=-⎨⎪=⎩……10分cos ,m n m n m n ⋅<>==，由已知：=解得：12λ=，所以：满足条件的Q 存在，是EF 中点。
……12分 21.（Ⅰ）由题意得 ，所以，，所以所求的椭圆方程为 ．……………4分 （Ⅱ） 由（1）知，，．由题意可设 ，因为，所以．……………6分由 整理得 ，因为 ，所以 ，……………8分所以 ，，……………10分所以 ．即为定值 ．……………12分y x ,⎪⎩⎪⎨⎧≤-≤-+≥+-020201y x y x y x y x z +=25-22. 解: (Ⅰ)因为OAB ∆的面积为368,所以364=B y ，……………2分 代入椭圆方程得)364,34(B ，抛物线的方程是：x y 82=……………4分（Ⅱ）显然直线l 不垂直于y 轴，故直线l 的方程可设为4x my =+， 与x y82=联立得03282=--my y .设),(),,(2211y x D y x C ,则32,82121-=⋅=+y y m y y12211sin 21sin 2E F OC OD COD OC OD y y S S OE OF y y OE OF EOF ∠∴===∠F E y y 32=.……………6分 由直线OC 的斜率为1118y x y =,故直线OC 的方程为x y y 18=，与1121622=+y x 联立得 1)1211664(212=+⋅y y E ，同理1)1211664(222=+⋅y y F ，所以2E y ⋅1)1211664)(1211664(22212=+⋅+⋅y y y F ………8分可得2E y ⋅223625612148F y m ⨯=+要使37712=S S ，只需22232(12148)77362563m +⎛⎫= ⎪⨯⎝⎭………10分即21214849121m +=⨯解得11±=m ，所以存在直线l :0411=-±y x 符合条件………… 12分。