全等三角形证明题(含答案版)

1、如图,四边形ABCD是边长为2的正方形，点G是

BC延长线上一点，连结AG，点E、F分别在AG 上，连接BE、DF，∠1=∠2 ，∠3=∠4.

(1)证明：△ABE≌△DAF；

（2）若∠AGB=30°，求EF的长.

【解析】

（1）∵四边形ABCD是正方形，

∴AB=AD，

在△ABE和△DAF中，⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

∠

=

∠

=

∠

=

∠

3

4

1

2

DA AB

，

∴△ABE≌△DAF.

（2）∵四边形ABCD是正方形，

∴∠1+∠4=90o

∵∠3=∠4,

∴∠1+∠3=90o

∴∠AFD=90o

在正方形ABCD中，AD∥BC,

∴∠1=∠AGB=30o

在Rt△ADF中，∠AFD=90o AD=2 ,

∴AF=3

, DF =1,

由(1)得△ABE≌△ADF, ∴AE=DF=1,

∴EF=AF-AE=

1 3-

.

2、如图，

,

AB AC AD BC D AD AE AB DAE DE F

=⊥=∠

于点，，平分交于点

，请你写出图中三对全等三角形，并选取其中一对加以

证明．

【解析】

（1）

ADB ADC

△≌△、

ABD ABE

△≌△、AFD AFE

△≌△、

BFD BFE

△≌△、

ABE ACD

△≌△（写出其中的三对即

可）.

（2）以

△ADB≌ADC为例证明．

证明：

,90

AD BC ADB ADC

⊥∴∠=∠=°.

在Rt

ADB

△和Rt ADC

△中，

,,

AB AC AD AD

==

∴Rt ADB

△≌Rt ADC

△.

3、在△ABC中,AB=CB,∠ABC=90º,F为AB延长线上

一点,点E在BC上,且AE=CF.

(1)求证:Rt△AB E≌Rt△CBF;

(2)若∠CAE=30º,求∠ACF度数.

A

C

B

D

E

F

G

1

4

2

3

【解析】

（1）∵∠ABC=90°∴∠CBF=∠ABE=90°

在Rt△ABE和Rt△CBF中

∵AE=CF, AB=BC ∴Rt△ABE≌Rt△

CBF(HL)

(2)∵AB=BC, ∠ABC=90°∴∠CAB=∠

AC B=45°

∵∠BAE=∠CAB-∠CAE=45°-30°=15°.

由（1）知Rt△ABE≌Rt△CBF，∴∠BCF=

∠BAE=15°

∴∠ACF=∠BCF+∠ACB=45°+15°=60°

4、已知：如图，点C是线段AB的中点，CE=CD，∠ACD=

∠BCE,

求证：AE=BD．

题20图

【解析】

∵点C是线段AB的中点，

∴AC=BC，

∵∠ACD=∠BCE,

∴∠ACD+∠DCE=∠BCE+∠DCE,

即∠ACE=∠BCD,

在△ACE和△BCD中，

AC BC

ACE BCD

CE CD

⎧=

⎪

∠=∠

⎨

⎪=

⎩

，

∴△ACE≌△BCD（SAS），

∴AE=BD.

5、如图10，已知ADE

Rt

ABC

Rt∆

≅

∆，

︒

=

∠

=

∠90

ADE

ABC,

BC与DE相交于点F，连接EB

CD,．

（1）图中还有几对全等三角形，请你一一列举；

（2）求证：EF

CF=．

【解析】

（1）ABE

ADC∆

≅

∆,EBF

CDF∆

≅

∆

（2）证法一：连接CE

∵ADE

Rt

ABC

Rt∆

≅

∆

∴AE

AC=

∴AEC

ACE∠

=

∠

又∵ADE

Rt

ABC

Rt∆

≅

∆

∴AED

ACB∠

=

∠

∴AED

AEC

ACB

ACE∠

-

∠

=

∠

-

∠

A

B

C

E

F

第22题图

即DEC BCE ∠=∠

∴EF CF

=

证法二：∵ADE Rt ABC Rt ∆≅∆

∴

EAD CAB AB AD AE AC ∠=∠==,,,

∴DAB EAD DAB CAB ∠-∠=∠-∠ 即EAB CAD ∠=∠ ∴)(SAS AEB ACD ∆≅

∆

∴ABE ADC EB CD

∠=∠=,

又∵ABC ADE ∠=∠

∴EBF CDF

∠=∠

又∵BFE DFC ∠=∠ ∴)(AAD EBF CDF ∠≅∠

∴EF CF

=

6、如图，点F 是CD 的中点，且AF ⊥CD ，BC ＝ED ，∠BCD ＝∠EDC ． （1）求证：AB=AE ；

（2）连接BE ，请指出BE 与AF 、BE 与CD 分别有怎样的关系？

（只需写出结论，不必证明）． 【解析】

（1）证明：联结AC 、AD

∵点F 是CD 的中点，且AF ⊥CD ，∴AC=AD ∴∠ACD=∠ADC ∵∠BCD ＝∠EDC

∴∠ACB ＝∠ADE ∵BC=DE ，AC=AD ∴△ABC ≌△AED ∴AB=AE

（2）BE ⊥AF,BE//CD,AF 平分BE

7、如图l ，已知正方形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，E 是AC 上一点，连结EB ，过点A 作AM ⊥BE ，

垂足为M ，AM 交BD 于点F ． (1)求证：OE=OF ；

(2)如图2，若点E 在AC 的延长线上，AM ⊥BE 于点M ，交DB 的延长线于点F ，其它条件不变，则结论“OE=OF ”还成立吗?如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由．

图1

F M O C

D

B

A

E

图2

F

M

O

C

D

B

A

E

【解析】

(1)证明：∵四边形ABCD 是正方形． ∴∠BOE=∠AOF ＝90︒．OB ＝OA 又∵AM

⊥

BE ，∴

∠

MEA+

∠

MAE ＝

90︒=∠AFO+∠MAE

∴∠MEA ＝∠AFO

∴Rt △BOE ≌ Rt △AOF ∴OE=OF (2)OE ＝OF 成立

证明：∵四边形ABCD 是正方形， ∴∠BOE=∠AOF ＝90︒．OB ＝OA

A

B

C

D

E