高三一轮复习14平面向量第一讲简单版
平面向量的基本定理及坐标表示课件-2025届高三数学一轮复习
2
3
2
故
1
2
=
1
−
2
1=−
−
1
3
⇒
5
=
7
6
=−
7
,
6
6
2
8
所以= = + ,λ+μ= ,故B选项错误;
7
7
7
7
1
2
=-=- + ,
3
3
5
2
1
2
7
因为= ,所以= =- + ,故= ,C选项正确;
7
7
7
7
3
6
6
2
1
因为= ,所以S△ABM= S△ABF= S△ABC= S,故D选项正确.
(
,
).
3
3
2.如果对于一个基底 1 , 2 ,有a=λ1e1+λ2e2=μ1e1+μ2e2,那么可以得到λ1=μ1,λ2=μ2.
特别地,若λ1e1+λ2e2=0,则λ1=λ2=0.
基础诊断·自测
类型
辨析
改编
易错
高考
题号
1
2
4
3
1.(思考辨析)(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)在△ABC中,{,}可以作为基底.(
等分点,记=a,=b,则下列说法正确的是(
A.点M,N,E三点共线
9
B.若=λa+μb,则λ+μ=
7
7
C.=
3
1
D.S△ABM= S,S为平行四边形ABCD的面积
7
)
【解析】选ACD.如图所示:
人教版高中数学课件：高三数学第一轮复习的课件 平面向量坐标运算
k＜
2 3
思考2：△ABC为钝角三角形，求k的范围？
k＜
或
3 2 13
＜k＜
3 2
或
3
＜k ＜ 2
3 2
13
或k＞
11 3
思考3：△ABC为锐角三角形，求k的范围？
让我们共同来提高！ 问题2已知向量 u ( x , y ) 与 v ( y , 2 y x ) 的对应关系用 v f (u ) 表示． （1）设a (1,1), b (1, 0 ) ，求向量 f ( a )及 f (b ) 的坐标； （2）证明：对于任意向量 a , b 及常数m，n恒有： f ( m a n b ) mf ( a ) nf ( b ) 成立； （3）求使 f ( c ) ( p , q )（p，q为常数）的向量 c 的坐标． 解：⑴ 由题意，知：
五、作业布置：
苏大《自我测试》B册 P179 §32 作业部分及例题2
△ABC为钝角三角形，求k的范围？
AB AC
y C4 C2 B
＜0且
AB 、 AC
不共线；
k＜
2 3
即 2 3 k ＜0
或
BA BC
BC ＜0且 BA、 不共线. 即 1 ( 2 ) 3 ( k 3 )＜0
又 mf ( a ) nf ( b ) m ( a 2 , 2 a 2 a 1 ) n ( b 2 , 2 b 2 b1 ),
( ma 2 nb 2 , 2 ma 2 2 nb 2 ma 1 nb 1 )
f ( m a n b ) mf ( a ) nf ( b ).
若u
( x , y ),
高考理科第一轮复习课件(4.4平面向量的应用)
【规范解答】（1）选C.设a，b的夹角为θ，由条件得
cos ab , a b ab 2 ) 1 , 2 a b | | a | b |
sin 1 cos 2 1 (
【解析】选D.|F3|2=|F1|2+|F2|2+2|F1||F2|cos 60°=28,所以
|F3|= 2 7, 选D.
2.若不重合的四点P，A，B，C，满足 PA PB PC 0,
AB AC mAP, 则实数m的值为(
【思路点拨】(1)将a·b表示为θ的三角函数，然后求得a·b 的最值，转化为解不等式的问题. (2)①由 | BC BA | 2 得到关于θ的关系式，两边平方可求解； ②用含θ的关系式表示m,n，然后转化为三角函数的最值问题
求解.
【规范解答】(1)选B.由已知得|b|=1，所以|a|= 因此a· b=mcos θ+nsin θ =
3. 在△ABC中，∠C＝90°，且CA＝CB＝3，点M满足 BM＝2MA， 则 CMCB 等于( (A)2 (B)3
) (C)4 (D)6
【解析】选B.由题意可知，
1 CM CB CA＋ AB)CB ＝( 3 1 ＝CACB ABCB ＋ 3 1 ＝0＋ 3 2 3cos 45＝3. 3
(A)等边三角形
(C)等腰非等边三角形
(B)直角三角形
(D)三边均不相等的三角形
【解析】选A.由 ( AB AC )BC 0 知△ABC为等腰三角形，且 AB | AC | AB＝AC.由 AB AC 1 知， 与AC 的夹角为60°，所以 AB 2 AB | AC |
高考数学一轮总复习教学课件第五章 平面向量、复数第1节 平面向量的概念及线性运算
→
→
②利用结论“若=λ+μ(λ,μ为实数),则 A,B,C 三点共线的
充要条件是λ+μ=1”来证明三点共线,但应注意此结论成立的前提条
→
→
件是“,不共线”.
[针对训练]
→
→
→
(1)已知向量 a,b 且=a+2b,=-5a+6b,=7a-2b,则一定共线的三
点是(
A.A,B,D
相等,与起点(终点)无关.
(3)两向量可以相等,也可以不相等,但两向量不能比较大小.向量
的模长均为实数,所以模长可以比较大小.
(4)非零向量a与 || 的关系: ||是与a同方向的单位向量.
[针对训练] 给出下列命题:
→
→
①若A,B,C,D是不共线的四点,且 = ,则四边形ABCD为平行
(1)|a|与|b|是否相等和a,b的方向无关.( √
(2)若a∥b,b∥c,则a∥c.(
→
×
)
)
→
(3)向量与向量是共线向量,则 A,B,C,D 四点在一条直线上.
(
)
×
(4)当两个非零向量a,b共线时,一定有b=λa,反之成立.( √
)
2.在平行四边形ABCD中,点E是DC的中点,点F是BC的一个三等分点
k(2a-b),则有(1-2k)a+(k+λ)b=0,因为a,b是两个不共线向量,故a
- = ,
与b均不为零向量,所以
+ = ,
解得 k=,λ=-.
提升·关键能力
类分考点,落实四翼
考点一
平面向量的基本概念
[例1] (1)下列命题正确的是(
第一节 平面向量的概念讲义--高三数学一轮复习备考
平面向量与复数第一节平面向量的概念一、课程标准1.向量概念(1)通过对力、速度、位移等的分析，了解平面向量的实际背景，理解平面向量的意义和两个向量相等的含义；(2)理解平面向量的几何表示和基本要素．2.向量运算(1)借助实例和平面向量的几何表示，掌握平面向量加、减运算及运算规则，理解其几何意义；(2)通过实例分析，掌握平面向量数乘运算及运算规则，理解其几何意义．理解两个平面向量共线的含义；(3)了解平面向量的线性运算性质及其几何意义；(4)通过物理中功等实例，理解平面向量数量积的概念及物理意义，会计算平面向量的数量积；(5)通过几何直观了解平面向量投影的概念及投影向量的意义．新高考命题方向：主要考查平面向量的线性运算(加法、减法、数乘向量)及其几何意义、共线向量基本定理，有时也会有创新的新定义问题；题型以选择题、填空题为主，属于中低档题目，偶尔会在解答题中作为工具出现．考查理性思维、数学探究、数学抽象学科素养．二、知识梳理知识点一向量的有关概念名称定义备注向量既有又有的量；向量的大小叫做向量的(或称)平面向量是自由向量零向量长度为的向量记作，其方向是任意的单位向量长度等于长度的向量非零向量a的单位向量为±a|a|平行向量方向或的非零向量(又叫做共线向量)0与任意向量或共线相等向量长度且方向的向量两向量只有相等或不等，不能比较大小相反向量长度且方向的向量0的相反向量为01.对于平行向量易忽视两点：(1)零向量与任意向量平行；(2)表示两平行向量的有向线段所在的直线平行或重合，易忽视重合这一情况．2．单位向量的定义中只规定了长度，没有方向限制． 知识点二 向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算法则法则(1)交换律：a ＋b ＝ (2)结合律：(a ＋b )＋c ＝减法 求a 与b 的相反向量－b 的和的运算叫做a 与b 的差法则a －b ＝a ＋(－b )数乘求实数λ与向量a 的积的运算|λa |＝ ；当λ>0时，λa 的方向与a 的方向 ；当λ<0时，λa 的方向与a 的方向相反；当λ＝0时，λa ＝λ(μa )＝(λμ)a ；(λ＋μ)a ＝ ；λ(a ＋b )＝知识点三 共线向量定理向量a (a ≠0)与b 共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使得 ． 知识点四 平面向量的数量积 1．向量的夹角 定义图示范围共线与垂直已知两个非零向量a 和b ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则 就是a 与b 的夹角设θ是a 与b 的夹角，则θ的取值范围是θ＝0或θ＝π⇔ ，⇔a ⊥b• 温馨提醒 •对于两个非零向量a 与b ，由于当θ＝0°时，a ·b >0，所以a ·b >0是两个向量a ，b 夹角为锐角的必要不充分条件；a ·b ＝0也不能推出a ＝0或b ＝0，因为a ·b ＝0时，有可能a ⊥b .2．平面向量的数量积 (1)投影向量①如图，设a ，b 是两个非零向量，AB → ＝a ，CD →＝b ，分别过A ，B 作CD 的垂线，垂足分别为A 1，B 1，得到，我们称上述变换为向量a 向向量b 投影，叫做向量a 在向量b 上的投影向量．如图，在平面内任取一点O 作OM → ＝a ，ON →＝b ，过M 作ON 的垂线，垂足为M 1，则就是向量a 在向量b 上的投影向量，设与b 方向相同的单位向量为e ，〈a ，b 〉为θ，则＝(|a |cos θ)e .两个向量数量积的几何意义：a ·b 等于a 在b 上的投影数量与b 的模的乘积． (2)向量数量积的运算律①a ·b ＝ ；②(λa )·b ＝λ(a ·b )＝ ；③(a ＋b )·c ＝ ．• 温馨提醒 •1．数量积运算律要准确理解、应用，例如，a ·b ＝a ·c (a ≠0)不能得出b ＝c ，两边不能约去一个向量．2．a ·b ＝0不能推出a ＝0或b ＝0，因为a ·b ＝0时，有可能a ⊥b . 3．在用|a |＝a 2 求向量的模时，一定要先求出a 2再进行开方．三、基础自测1．若m ∥n ，n ∥k ，则向量m 与向量k ( )A ．共线B ．不共线C ．共线且同向D ．不一定共线 2．已知a·b ＝－122 ，|a |＝4，a 和b 的夹角为135°，则|b |为( ) A ．12 B ．6 C ．33 D ．33．(易错题)已知两个非零向量a 与b 的夹角为θ，则“a ·b >0”是“θ为锐角”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件4．已知向量a ，b 满足|a |＝1，a ·b ＝－1，则a ·(2a －b )＝( ) A ．4 B ．3 C ．2 D ．05．已知▱ABCD 的对角线AC 和BD 相交于点O ，且OA → ＝a ，OB → ＝b ，则DC → ＝________，BC →＝________(用a ，b 表示).四、核心题型题型一 平面向量的有关概念及线性运算例1（1） (多选)已知a ，b 是两个单位向量，下列命题中正确的是( )A .|a |＝|b |＝1B ．a ·b ＝1C ．当a ，b 反向时，a ＋b ＝0D ．当a ，b同向时，a ＝b（2）设a ，b 都是非零向量，下列四个条件中，一定能使a |a | ＋b|b |＝0成立的是( )A ．a ＝2bB ．a ∥bC ．a ＝－13b D ．a ⊥b(3)在△ABC 中，D 为AB 的中点，点E 满足EB → ＝4EC → ，则ED →＝( )A ．56 AB → －43 AC → B ．43 AB → －56 AC → C ．56 AB → ＋43 AC →D ．43AB → ＋56AC →题型二 平面向量共线定理的应用例2(1)已知两个非零向量a ，b 互相垂直，若向量m ＝4a ＋5b 与n ＝2a ＋λb 共线，则实数λ的值为( )A ．5B ．3C ．52 D ．2(2)设a ，b 是不共线的两个向量，已知BA → ＝a ＋2b ，BC → ＝4a －4b ，CD →＝－a ＋2b ，则( )A ．A ，B ，D 三点共线 B ．B ，C ，D 三点共线 C ．A ，B ，C 三点共线 D ．A ，C ，D 三点共线(3)已知O 为△ABC 内一点，且AO → ＝12 (OB → ＋OC → )，AD → ＝tAC →，若B ，O ，D 三点共线，则t 的值为( )A ．14B ．13C ．12D ．23题型三 平面向量的数量积及应用例3(1)已知在矩形ABCD 中，AB ＝4，AD ＝2.若E ，F 分别为AB ，BC 的中点，则DE → ·DF →＝( )A ．8B ．10C ．12D ．14(2)在如图所示的平面图形中，已知OM ＝1，ON ＝2，∠MON ＝120°，BM → ＝2MA → ,CN →＝2NA → ，则BC → ·OM →的值为( )A ．－15B ．－9C ．－6D ．0(3) 已知|a |＝6，e 为单位向量，当向量a ，e 的夹角θ分别等于45°，90°，135°时，求向量a 在向量e 上的投影向量．(4)(2021·全国甲卷)若向量a ，b 满足|a |＝3，|a －b |＝5，a·b ＝1，则|b |＝________． (5)已知向量a ，b 满足(a ＋2b )·(5a －4b )＝0，且|a |＝|b |＝1，则a 与b 的夹角θ为( )A ．3π4B ．π4C ．π3D ．2π3(6)(2020·全国Ⅱ卷)已知单位向量a ，b 的夹角为45°，k a －b 与a 垂直，则k ＝________．五、变式训练1.如图所示，在直角梯形ABCD 中，DC → ＝14 AB → ，BE → ＝2EC → ，且AE → ＝rAB → ＋sAD →，则2r ＋3s ＝( )A ．1B ．2C ．3D ．42..设两个非零向量a 与b 不共线．(1)若AB → ＝a ＋b ，BC → ＝2a ＋8b ，CD →＝3(a －b )，求证：A ，B ，D 三点共线； (2)试确定实数k ，使k a ＋b 和a ＋k b 共线．3.已知a ，b 均为单位向量，它们的夹角为60°，那么|a ＋3b |＝( )A ．7B ．10C ．13D ．44.非零向量a ，b ，c 满足a ·b ＝a ·c ，a 与b 的夹角为π6 ，|b |＝4，则c 在a 上的投影向量的长度为( )A ．2B ．23C ．3D ．4六、作业一轮复习资料《课时作业》437页 A 组：全部 B 组：2、3。
2014高考一轮复习课件4.1平面向量的基本概念及线性运算
•2．下列给出的命题正确的是( ) •A．零向量是唯一没有方向的向量 •B．平面内的单位向量有且仅有一个 •C．a与b是共线向量，b与c是平行向量，则 a与c是方向相同的向量 •D．相等的向量必是共线向量
•【解析】 零向量方向任意，而不是没有方 向，故A错；平面内单位向量有无数个，故B 错；若b＝0，b与a、c都平行，但a、c不一 定共线，故C错；相等的向量方向相同，必是 共线向量，故D正确． •【答案】 D
a b 【解析】 表示与a同向的单位向量， 表示与b同向 |a| |b| a b 的单位向量，只要a与b同向，就有 ＝ ，观察选择项易知 |a| |b| C满足题意．
•【答案】 C
给出下列四个命题： ①若|a|＝|b|，则a＝b或a＝－b； → → ②若AB＝DC，则四边形ABCD为平行四边形； ③若a与b同向，且|a|＞|b|，则a＞b； ④λ ，μ为实数，若λa＝μb，则a与b共线． 其中假命题的个数为( ) A．1 B．2 C．3 D．4
→ → → → 1．(人教A版教材习题改编)化简OP －QP ＋MS ＋QM 的 结果为( ) → A.OM → B.SM → C.PS → D.OS
【解析】
→ → → → → → → OP －QP ＋MS ＋QM ＝(OP ＋PQ )＋(QM ＋
→ → → → MS)＝OQ＋QS＝OS.
•【答案】 D
•从近两年高考试题来看，平面向量的概念， 线性运算及向量共线是高考命题的重点，常 与平面向量基本定理、平面向量的数量积交 汇命题，多以客观题形式呈现．在求解过程 中，不要忽视零向量的特殊性．
易错辨析之八 忽视零向量的特殊性致误 (2013· 杭州模拟)下列命题正确的是( ) A．向量a、b共线的充要条件是有且仅有一个实数λ ， 使b＝λa → → → B．在△ABC中，AB＋BC＋CA＝0 C．不等式||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|中两个等号不可能 同时成立 D．向量a、b不共线，则向量a＋b与向量a－b必不共线
高考数学一轮复习第4章平面向量第1讲作业课件理
则A→B＋A→C＝2A→D， 因为|λA→M－A→B－A→C|＝0， 所以 λA→M－A→B－A→C＝0， 所以 λA→M＝A→B＋A→C＝2A→D.
12/13/2021
第三十页，共三十三页。
解析
于是 A，M，D 三点共线，且||AA→→MD||＝|2λ|， 又 S△ABC＝3S△ABM，所以SS△△AABBMC＝13. 又因为 S△ABD＝12S△ABC， 且SS△△AABBMD＝||AA→→MD||＝|2λ|， 所以13＝2SS△△AABBMD＝12×|2λ|，解得 λ＝±3.
A．λ(A→B＋A→D)，λ∈(0,1)
B．λ(A→B＋B→C)，λ∈0，
2
2
C．λ(A→B－A→D)，λ∈(0,1)
D．λ(A→B－B→C)，λ∈0，
2
2
答案 A 12/13/2021
第八页，共三十三页。
答案
解析 根据向量的平行四边形法则，得A→C＝A→B＋A→D.因为点 P 在对角线 AC 上(不包括端点 A，C)，所以A→P与A→C共线，所以A→P＝λA→C＝λ(A→B＋A→D)，λ ∈(0,1)，故选 A.
第十一页，共三十三页。
解析
7．设 O 在△ABC 的内部，D 为 AB 的中点，且O→A＋O→B＋2O→C＝0，则 △ABC 的面积与△AOC 的面积的比值为( )
A．3 B．4 C．5 D．6
答案 B
12/13/2021
第十二页，共三十三页。
答案
解析 ∵D 为 AB 的中点，
则O→D＝21(O→A＋O→B)， 又O→A＋O→B＋2O→C＝0， ∴O→D＝－O→C，∴O 为 CD 的中点． 又∵D 为 AB 的中点，∴S△AOC＝21S△ADC＝14S△ABC，
高三数学一轮复习平面向量复习教案和学案
1、向量的概念及运算 一、考纲要求：（1）平面向量的实际背景及基本概念通过力和力的分析等实例，了解向量的实际背景，理解平面向量和向量相等的含义，理解向量的几何表示；（2）向量的线性运算①通过实例，掌握向量加、减法的运算，并理解其几何意义； ②通过实例，掌握向量数乘的运算，并理解其几何意义，以及两个向量共线的含义；③了解向量的线性运算性质及其几何意义.（3）平面向量的基本定理及坐标表示了解平面向量的基本定理及其意义；二、知识梳理：1．向量的概念①向量既有大小又有方向的量。
向量一般用c b a ,,……来表示，或用有向线段的起点与终点的大写字母表示，如：AB .几何表示法AB ，a ；坐标表示法),(y x j y i x a =+= 。
向量的大小即向量的模（长度），记作|AB |.即向量的大小，记作｜a|。
向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小.②零向量长度为0的向量，记为0 ，其方向是任意的，0 与任意向量平行.零向量a ＝0 ⇔｜a｜＝0。
由于0的方向是任意的，且规定0平行于任何向量，故在有关向量平行（共线）的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件。
（注意与0的区别）③单位向量 模为1个单位长度的向量，向量0a 为单位向量⇔｜0a ｜＝1。
④平行向量（共线向量）方向相同或相反的非零向量。
任意一组平行向量都可以移到同一直线上，方向相同或相反的向量，称为平行向量，记作a ∥b 。
由于向量可以进行任意的平移(即自由向量)，平行向量总可以平移到同一直线上，故平行向量也称为共线向量。
数学中研究的向量是自由向量，只有大小、方向两个要素，起点可以任意选取，现在必须区分清楚共线向量中的“共线”与几何中的“共线”、的含义，要理解好平行向量中的“平行”与几何中的“平行”是不一样的.⑤相等向量长度相等且方向相同的向量.相等向量经过平移后总可以重合，记为b a =。
大小相等，方向相同),(),(2211y x y x =⎩⎨⎧==⇔2121y y x x 。
高三理科数学一轮复习 专题 平面向量课件
向量数量积满足分配律，即 $(overset{longrightarrow}{a} + overset{longrightarrow}{c}) cdot overset{longrightarrow}{b} = overset{longrightarrow}{a} cdot overset{longrightarrow}{b} + overset{longrightarrow}{c} cdot overset{longrightarrow}{b}$。
理解混合积的几何意义
详细描述
混合积的几何意义是表示三个向量的体积。 具体来说，当三个向量表示一个平行六面体 的三条边时，混合积的大小就等于这个平行 六面体的体积。
当两向量同向时，投影长度等于向量 $overset{longrightarrow}{a}$的模；当两向量反向时，投 影长度等于负的向量$overset{longrightarrow}{a}$的模； 当两向量垂直时，投影长度为0。
向量数量积的运算律
向量数量积满足交换律，即 $overset{longrightarrow}{a} cdot overset{longrightarrow}{b} = overset{longrightarrow}{b} cdot overset{longrightarrow}{a}$。
向量的模
总结词
向量的模是表示向量大小的数值，记作|a|。
详细描述
向量的模是表示向量大小的数值，记作|a|。向量的模的计算公式为$sqrt{x^2 + y^2}$，其中$x$和$y$分别是向量在x轴和y轴上的分量。
向量的加法
总结词
向量的加法是通过向量起点对齐、同向相加、反向取反的方 式进行。
高三一轮复习平面向量知识点整理(K12教育文档)
高三一轮复习平面向量知识点整理(word版可编辑修改)编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（高三一轮复习平面向量知识点整理(word版可编辑修改)）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为高三一轮复习平面向量知识点整理(word版可编辑修改)的全部内容。
平面向量知识点整理1、概念（1）向量：既有大小,又有方向的量． 数量：只有大小，没有方向的量．有向线段的三要素：起点、方向、长度． （2）单位向量：长度等于1个单位的向量．（3）平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量．零向量与任一向量平行．提醒：①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等;②两个向量平行与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线，但两条直线平行不包含两条直线重合；③平行向量无传递性!（因为有零向量）④三点A 、B 、C 共线 AC AB 、共线（4）相等向量:长度相等且方向相同的向量．(5）相反向量:长度相等方向相反的向量.a 的相反向量是-a(6)向量表示：几何表示法；字母a 表示;坐标表示：a ＝ｘｉ＋ｙj ＝（ｘ，ｙ）. (7)向量的模:设OA a =,则有向线段OA 的长度叫做向量a 的长度或模，记作：||a 。
（ 222222||,||a x y a a x y =+==+.） （8)零向量：长度为0的向量。
a ＝O ⇔｜a ｜＝O .【例题】1。
下列命题：（1）若ab=，则a b =.(2）两个向量相等的充要条件是它们的起点相同，终点相同.（3）若AB DC =，则ABCD 是平行四边形.（4)若ABCD 是平行四边形，则AB DC =。
平面向量 高三 一轮复习(完整版)
题记：向量由于具有几何形式与代数形式的“双重身份”，使它成为高中数学知识的一个交汇点，成为多项内容的媒介．一、平面向量的概念及其线性运算 【例1】判断下列命题的真假：1、有向线段就是向量，向量就是有向线段；2、非零向量a 与非零向量b 平行，则a 与b 的方向相同或相反；3、向量AB →与向量CD →共线，则A 、B 、C 、D 四点共线； 4、若向量a 与b 同向，且|a |>|b |，则a >b ；5、若向量|a |＝|b |，则a 与b 的长度相等且方向相同或相反；6、对于任意向量|a |＝|b |，且a 与b 的方向相同，则a ＝b ；7、由于零向量0方向不确定，故0不能与任意向量平行；8、起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等向量；9、向量与的长度相等；10、两个相等向量若起点相同，则终点必相同； 11、只有零向量的模等于0； 12、共线的单位向量都相等； 13、向量与是两平行向量；14、与任一向量都平行的向量为向量； 15、若AB =DC ,则A 、B 、C 、D 四点构成平行四边形；16、设O 是正三角形ABC 的中心，则向量AB 的长度是OA 长度的3倍；17、在坐标平面上，以坐标原点O 为起点的单位向量的终点P 的轨迹是单位圆； 18、凡模相等且平行的两向量均相等；19、与共线的等价条件可以是存在一个实数λ，使=λ或=λ；20、设,,是任意的非零平面向量且互不共线，则a b a b +>+21、下列命题中：其中正确的是_____________① →→→→→→→⋅-⋅=-⋅c a b a c b a )(；② →→→→→→⋅⋅=⋅⋅c b a c b a )()(；③ 2()a b →→-2||a →=22||||||a b b →→→-⋅+； ④ 若0=⋅→→b a ，则0=→a 或0=→b ；⑤若,a b c b ⋅=⋅ 则a c =⑥22a a = ；⑦2a b ba a⋅=； ⑧222()a b a b ⋅=⋅ ； ⑨222()2a b a a b b -=-⋅+二、平面向量平行定理（共线定理）（1）若//(0)a b b ≠⇒（2）若a b λ=共线定理作用（1） （2）【例2】设两个非零向量a 与b不共线,（1）若,28,3().AB a b BC a b CD a b =+=+=-求证：A..B.D 三点共线;（2） 试确定实数k,使ka b + 和a kb +共线。
2023届高三数学一轮复习专题 平面向量的表示、三点共线研究 讲义 (解析版)
高三第一轮复习专题 平面向量表示、三点共线研究 一、平面向量基本定理：设12,e e 是同一平面内两个不共线向量，a 是这一平面内的任一向量。
在平面内任取一点O ，作12,,OA e OB e OC a ===，过C 作OB 的平行线，交直线OA 于M ；过C 作OA 的平行线，交直线OB 于N 。
因OM 与OA 共线，则存在实数1λ，使得：11OM e λ=；因ON 与OB 共线，则存在实数2λ，使得：22ON e λ=； OC OM ON =+1122a e e λλ∴=+也即，任一向量a 都可表示成1122e e λλ+的形式。
平面向量基本定理：若12,e e 是同一平面内的两个不共线向量，则对于这个平面内的任意向量a ，有且只有一对实数12,λλ，使得：1122a e e λλ∴=+。
（也可称为a 用12,e e 表示出来）不共线向量12,e e 称为表示这一平面内所有向量的一组基底，12,e e 称为基向量。
例1。
ABCD 两条对角线交于O ，AB a =，AD b =，用a 、b 表示OA 、OB 、OC 、OD 。
2e2ea解：AC AB AD a b =+=+，DB AB AD a b =-=-O ABCD 为两条对角线的交点()1122OA AC a b ∴=-=-+，()1122OC AC a b ==+()1122OB DB a b ==-， ()1122OD DB a b =-=--。
故在一个图形中，任意两个不共线向量都可以作为一组基底，其余向量都可用这一组基向量表示出来。
在具体问题中，基向量的选择十分重要，它决定了是否容易表示。
二、向量的表示：★★★★★在研究向量间关系时，常先取两个基向量作为一组基底，其余向量用这两个基向量表示出来，这样能够更清晰地找出所研究向量间的关系。
1.，其余向量用这两个基向量表示出来。
例。
在ABC 中，2BD DC =，设,AB a AC b ==，用,a b 表示AD 。
全国版2019版高考数学一轮复习第4章平面向量第1讲平面向量的概念及其线性运算学案201805092
第1讲平面向量的概念及其线性运算板块一知识梳理·自主学习[必备知识]考点1 向量的有关概念(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的模．(2)零向量：长度为0的向量，其方向是任意的．(3)单位向量：长度等于1个单位的向量．(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量．规定：0与任一向量共线．(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量．(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量．考点2 向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算交换律：a＋b＝b＋a；结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)减法求a与b的相反向量－b的和的运算a－b＝a＋(－b)续表向量运算定义法则(或几何意义)运算律数乘求实数λ与向量a 的积的运算|λa |＝|λ||a |，当λ＞0时，λa 与a 的方向相同；当λ＜0时，λa 与a 的方向相反；当λ＝0时，λa ＝0λ(μa )＝(λμ)a ；(λ＋μ)a ＝λa ＋μa ； λ(a ＋b )＝ λa ＋λb考点3 共线向量定理向量a (a ≠0)与b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b ＝λa .[必会结论]1．一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向量，即A 1A 2→＋A 2A 3→＋A 3A 4→＋…＋A n －1A n ＝A 1A n →.特别地，一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量．2．若P 为线段AB 的中点，O 为平面内任一点，则OP →＝12(OA →＋OB →)．[考点自测]1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小．( )(2)向量与有向线段是一样的，因此可以用有向线段来表示向量．( ) (3)BA →＝OA →－OB →.( )(4)向量a －b 与b －a 是相反向量．( )(5)向量AB →与向量CD →是共线向量，则A ，B ，C ，D 四点在一条直线上．( ) (6)当两个非零向量a ，b 共线时，一定有b ＝λa ，反之成立．( ) 答案 (1)√ (2)× (3)√ (4)√ (5)× (6)√2．[课本改编]如图所示，在平行四边形ABCD 中，下列结论中错误的是( )A.AB →＝DC →B.AD →＋AB →＝AC →C.AB →－AD →＝BD →D.AD →＋CB →＝0答案 C解析 由AB →－AD →＝DB →＝－BD →，故C 错误．3．[课本改编]设P 是△ABC 所在平面内的一点，BC →＋BA →＝2BP →，则( )A.PA →＋PB →＝0B.PC →＋PA →＝0C.PB →＋PC →＝0D.PA →＋PB →＋PC →＝0答案 B解析 ∵BC →＋BA →＝2BP →，∴P 为AC 的中点，∴PC →＋PA →＝0.选B.4．[2018·温州模拟]已知a 与b 是两个不共线向量，且向量a ＋λb 与－(b －3a )共线，则λ＝________.答案 －13解析 设a ＋λb ＝k [－(b －3a )]＝3k a －k b ，∴1＝3k ，且λ＝－k ，∴λ＝－13.5．[2015·北京高考]在△ABC 中，点M ，N 满足AM →＝2MC →，BN →＝NC →.若MN →＝xAB →＋yAC →，则x ＝________；y ＝________.答案 12 －16解析 由题中条件得MN →＝MC →＋CN →＝13AC →＋12CB →＝13AC →＋12(AB →－AC →)＝12AB →－16AC →＝xAB →＋yAC →，所以x ＝12，y ＝－16.板块二 典例探究·考向突破 考向平面向量的概念例 1 给出下列命题：①若两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同； ②若a 与b 共线，b 与c 共线，则a 与c 也共线；③若A ，B ，C ，D 是不共线的四点，则AB →＝DC →，则ABCD 为平行四边形； ④a ＝b 的充要条件是|a |＝|b |且a ∥b ；⑤已知λ，μ为实数，若λa ＝μb ，则a 与b 共线． 其中真命题的序号是________． 答案 ③解析 ①错误，两个向量起点相同，终点相同，则两个向量相等；但两个向量相等，不一定有相同的起点和终点．②错误，若b ＝0，则a 与c 不一定共线．③正确，因为AB →＝DC →，所以|AB →|＝|DC →|且AB →∥DC →；又A ，B ，C ，D 是不共线的四点，所以四边形ABCD 为平行四边形．④错误，当a ∥b 且方向相反时，即使|a |＝|b |，也不能得到a ＝b ，所以|a |＝|b |且a ∥b 不是a ＝b 的充要条件，而是必要不充分条件．⑤错误，当λ＝μ＝0时，a 与b 可以为任意向量，满足λa ＝μb ，但a 与b 不一定共线．故填③. 触类旁通对于向量的概念应注意的问题(1)向量的两个特征：有大小，有方向，向量既可以用有向线段表示，字母表示，也可以用坐标表示．(2)相等向量不仅模相等，而且方向要相同，所以相等向量一定是平行向量，而平行向量则未必是相等向量．(3)向量与数量不同，数量可以比较大小，向量则不能，但向量的模是非负实数，故可以比较大小．(4)向量是自由向量，所以平行向量就是共线向量，二者是等价的．【变式训练1】 设a 0为单位向量，下列命题中：①若a 为平面内的某个向量，则a ＝|a |·a 0；②若a 与a 0平行，则a ＝|a |a 0；③若a 与a 0平行且|a |＝1，则a ＝a 0.假命题的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3 答案 D解析 向量是既有大小又有方向的量，a 与|a |a 0的模相同，但方向不一定相同，故①是假命题；若a 与a 0平行，则a 与a 0的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a ＝－|a |a 0，故②③也是假命题．综上所述，假命题的个数是3.考向平面向量的线性运算命题角度1 向量加减法的几何意义例 2 [2017·全国卷Ⅱ]设非零向量a ，b 满足|a ＋b |＝|a －b |，则( ) A ．a ⊥b B ．|a |＝|b | C ．a ∥b D ．|a |＞|b |答案 A解析 解法一：∵|a ＋b |＝|a －b |， ∴|a ＋b |2＝|a －b |2.∴a 2＋b 2＋2a ·b ＝a 2＋b 2－2a ·b .∴a ·b ＝0.∴a ⊥b . 故选A.解法二：利用向量加法的平行四边形法则．在▱ABCD 中，设AB →＝a ，AD →＝b ， 由|a ＋b |＝|a －b |知|AC →|＝|DB →|，从而四边形ABCD 为矩形，即AB ⊥AD ，故a ⊥b . 故选A.命题角度2 向量的线性运算例 3 [2015·全国卷Ⅰ]设D 为△ABC 所在平面内一点，BC →＝3CD →，则( )A.AD →＝－13AB →＋43AC →B.AD →＝13AB →－43AC →C.AD →＝43AB →＋13AC →D.AD →＝43AB →－13AC →答案 A解析 AD →＝AC →＋CD →＝AC →＋13BC →＝AC →＋13(AC →－AB →)＝43AC →－13AB →＝－13AB →＋43AC →.故选A.命题角度3 利用向量的线性运算求参数例 4 [2018·唐山模拟]在直角梯形ABCD 中，∠A ＝90°，∠B ＝30°，AB ＝23，BC＝2，点E 在线段CD 上，若AE →＝AD →＋μAB →，则μ的取值范围是________．答案 0≤μ≤12解析 由题意可求得AD ＝1，CD ＝3，所以AB →＝2DC →.∵点E 在线段CD 上， ∴DE →＝λDC →(0≤λ≤1)． ∵AE →＝AD →＋DE →，又AE →＝AD →＋μAB →＝AD →＋2μDC →＝AD →＋2μλDE→，∴2μλ＝1，即μ＝λ2.∵0≤λ≤1，∴0≤μ≤12. 触类旁通平面向量线性运算的一般规律(1)用已知向量来表示另外一些向量是用向量解题的基本功，除利用向量的加法、减法、数乘运算外，还应充分利用平面几何的一些定理．(2)在求向量时，要尽可能转化到平行四边形或三角形中，运用平行四边形法则、三角形法则，利用三角形中位线、相似三角形对应边成比例等平面几何的性质，把未知向量转化为与已知向量有直接关系的向量来求解．考向共线向量定理的应用例 5 设e 1，e 2是两个不共线的向量，已知AB →＝2e 1－8e 2，CB →＝e 1＋3e 2，CD →＝2e 1－e 2.(1)求证：A ，B ，D 三点共线；(2)若BF →＝3e 1－k e 2，且B ，D ，F 三点共线，求k 的值．解 (1)证明：由已知得BD →＝CD →－CB →＝(2e 1－e 2)－(e 1＋3e 2)＝e 1－4e 2， ∵AB →＝2e 1－8e 2，∴AB →＝2BD →. 又∵AB →与BD →有公共点B ， ∴A ，B ，D 三点共线．(2)由(1)可知BD →＝e 1－4e 2， ∵BF →＝3e 1－k e 2，且B ，D ，F 三点共线， ∴BF →＝λBD →(λ∈R )，即3e 1－k e 2＝λe 1－4λe 2，得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝3，－k ＝－4λ.解得k ＝12.触类旁通怎样用向量证明三点共线问题两向量共线且有公共点(起点相同或终点相同，或一个向量的起点是另一个向量的终点)，则可以得到三点共线；反之由三点共线也可得到向量共线．【变式训练2】 已知O ，A ，B 是不共线的三点，且OP →＝mOA →＋nOB →(m ，n ∈R )．(1)若m ＋n ＝1，求证：A ，P ，B 三点共线； (2)若A ，P ，B 三点共线，求证：m ＋n ＝1. 证明 (1)若m ＋n ＝1， 则OP →＝mOA →＋(1－m )OB →＝OB →＋m (OA →－OB →)， ∴OP →－OB →＝m (OA →－OB →)，即BP →＝mBA →，∴BP →与BA →共线．又∵BP →与BA →有公共点B ，∴A ，P ，B 三点共线．(2)若A ，P ，B 三点共线，存在实数λ，使BP →＝λBA →，∴OP →－OB →＝λ(OA →－OB →)． 又OP →＝mOA →＋nOB →.故有mOA →＋(n －1)OB →＝λOA →－λOB →， 即(m －λ)OA →＋(n ＋λ－1)OB →＝0. ∵O ，A ，B 不共线，∴OA →，OB →不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧m －λ＝0，n ＋λ－1＝0，∴m ＋n ＝1.核心规律1.向量的加、减法运算，要在所表达的图形上多思考，多联系相关的几何图形，比如平行四边形、菱形、三角形等，可多记忆一些有关的结论．2.对于向量共线定理及其等价定理，关键要理解向量a 与b 共线是指a 与b 所在的直线平行或重合．3.要证明三点共线或直线平行都是先探索有关的向量满足向量等式b ＝λa ，再结合条件或图形有无公共点证明几何位置．满分策略1.两向量起点相同，终点相同，则两向量相等；但两相等向量，不一定有相同的起点和终点．2.零向量和单位向量是两个特殊的向量．它们的模确定，但方向不确定．3.注意区分向量共线与向量所在的直线平行间的关系．向量AB →与CD →是共线向量，但A ，B ，C ，D 四点不一定在一条直线上．4.向量共线的充要条件中要注意“a ≠0”，否则λ可能不存在，也可能有无数个.板块三 启智培优·破译高考易错警示系列6——向量线性运算中的易错点[2018·铁岭模拟]已知△ABC 和点M 满足MA →＋MB →＋MC →＝0.若存在实数m 使得AB →＋AC →＝mAM →成立，则m ＝( )A ．2B ．3C ．4D ．5错因分析 本题主要考查向量的有关运算以及向量运算的几何意义．求解该题时容易出现两个问题：一是不能根据MA →＋MB →＋MC →＝0分析出点M 与△ABC 之间的关系；二是不能灵活利用三角形的性质和向量运算的几何意义找出AB →，AC →与AM →之间的关系．解析 解法一：由MA →＋MB →＋MC →＝0，知点M 为△ABC 的重心，设点D 为边BC 的中点，则由向量加法，可知AB →＋AC →＝2AD →.由重心的性质，可知|AM →|＝23|AD →|，而且AM →与AD →同向，故AM →＝23AD →，所以AM →＝23×12(AB →＋AC →)＝13(AB →＋AC →)，所以AB →＋AC →＝3AM →，m ＝3.故选B.解法二：由已知得AM →＋MB →＋AM →＋MC →＝mAM →，又∵MB →＋MC →＝－MA →＝AM →，∴3AM →＝mAM →， ∴m ＝3.故选B.答案 B答题启示 进行向量运算时，要尽可能转化到平行四边形或三角形中，选用从同一顶点出发的基底或首尾相接的向量，运用向量加、减法运算及数乘运算来求解.充分利用相等向量、相反向量和线段的比例关系，把未知向量转化为与已知向量有直接关系的向量来求解.跟踪训练在△ABC 中，点D 在边CB 的延长线上，且CD →＝4BD →＝rAB →－sAC →，则s ＋r 等于( )A ．0 B.45 C.83 D ．3答案 C解析 因为CD →＝4BD →，所以CD →＝43CB →.又因为CB →＝AB →－AC →，所以CD →＝43(AB →－AC →)＝43AB →－43AC →，所以r ＝s ＝43，s ＋r ＝83.板块四 模拟演练·提能增分[A 级 基础达标]1．[2018·南京模拟]对于非零向量a ，b ，“a ＋b ＝0”是“a ∥b ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件答案 A解析 若a ＋b ＝0，则a ＝－b ，所以a ∥b ；若a ∥b ，则a ＝λb ，a ＋b ＝0不一定成立，故前者是后者的充分不必要条件．故选A.2．已知O ，A ，B ，C 为同一平面内的四个点，若2AC →＋CB →＝0，则向量OC →等于( )A.23OA →－13OB → B ．－13OA →＋23OB →C ．2OA →－OB →D ．－OA →＋2OB →答案 C解析 因为AC →＝OC →－OA →，CB →＝OB →－OC →，所以2AC →＋CB →＝2(OC →－OA →)＋(OB →－OC →)＝OC →－2OA→＋OB →＝0，所以OC →＝2OA →－OB →.故选C.3．[2018·嘉兴模拟]已知向量a 与b 不共线，且AB →＝λa ＋b ，AC →＝a ＋μb ，则点A ，B ，C 三点共线应满足 ( )A ．λ＋μ＝2B ．λ－μ＝1C ．λμ＝－1D ．λμ＝1 答案 D解析 若A ，B ，C 三点共线，则AB →＝kAC →，即λa ＋b ＝k (a ＋μb )，所以λa ＋b ＝k a ＋μk b ，所以λ＝k,1＝μk ，故λμ＝1.故选D.4．设D ，E ，F 分别为△ABC 的三边BC ，CA ，AB 的中点，则EB →＋FC →＝( ) A.AD →B.12AD →C.BC →D.12BC →答案 A解析 EB →＋FC →＝12(AB →＋CB →)＋12(AC →＋BC →)＝12(AB →＋AC →)＝AD →.故选A.5．在四边形ABCD 中，AB →＝a ＋2b ，BC →＝－4a －b ，CD →＝－5a －3b ，则四边形ABCD 的形状是( )A ．矩形B ．平行四边形C ．梯形D ．以上都不对答案 C解析 由已知得，AD →＝AB →＋BC →＋CD →＝a ＋2b －4a －b －5a －3b ＝－8a －2b ＝2(－4a －b )＝2BC →，故AD →∥BC →.又因为AB →与CD →不平行，所以四边形ABCD 是梯形．故选C.6.[2018·北京海淀期末]如图，在正方形ABCD 中，E 为DC 的中点，若AE →＝λAB →＋μAC →，则λ＋μ的值为( )A.12 B ．－12C ．1D ．－1答案 A解析 因为E 为DC 的中点，所以AC →＝AB →＋AD →＝12AB →＋12AB →＋AD →＝12AB →＋AE →，即AE →＝－12AB →＋AC →，所以λ＝－12，μ＝1，所以λ＋μ＝12.故选A.7．[2018·绵阳模拟]在等腰梯形ABCD 中，AB →＝－2CD →，M 为BC 的中点，则AM →＝( )A.12AB →＋12AD → B.34AB →＋12AD →C.34AB →＋14AD → D.12AB →＋34AD → 答案 B解析 因为AB →＝－2CD →，所以AB →＝2DC →.又M 是BC 的中点，所以AM →＝12(AB →＋AC →)＝12(AB →＋AD→＋DC →)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →＋AD →＋12AB →＝34AB →＋12AD →.故选B.8．若点O 是△ABC 所在平面内的一点，且满足|OB →－OC →|＝|OB →＋OC →－2OA →|，则△ABC 的形状为________．答案 直角三角形解析 因为OB →＋OC →－2OA →＝OB →－OA →＋OC →－OA →＝AB →＋AC →，OB →－OC →＝CB →＝AB →－AC →，所以|AB →＋AC →|＝|AB →－AC →|，即AB →·AC →＝0，故AB →⊥AC →，△ABC 为直角三角形．9．[2018·江苏模拟]设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，AD ＝12AB ，BE ＝23BC .若DE →＝λ1AB →＋λ2AC →(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．答案 12解析 DE →＝DB →＋BE →＝12AB →＋23BC →＝12AB →＋23(AC →－AB →)＝－16AB →＋23AC →，∵DE →＝λ1AB →＋λ2AC →，∴λ1＝－16，λ2＝23，故λ1＋λ2＝12.10．△ABC 所在的平面内有一点P ，满足PA →＋PB →＋PC →＝AB →，则△PBC 与△ABC 的面积之比是________．答案 23解析 因为PA →＋PB →＋PC →＝AB →，所以PA →＋PB →＋PC →＝PB →－PA →，所以PC →＝－2PA →＝2AP →，即P是AC 边的一个三等分点，且PC ＝23AC ，由三角形的面积公式可知，S △PBC S △ABC ＝PC AC ＝23.[B 级 知能提升]1．[2018·福建模拟]设M 为平行四边形ABCD 对角线的交点，O 为平行四边形ABCD 所在平面内任意一点，则OA →＋OB →＋OC →＋OD →等于( )A.OM → B ．2OM →C ．3OM →D ．4OM →答案 D解析 OA →＋OB →＋OC →＋OD →＝(OA →＋OC →)＋(OB →＋OD →)＝2OM →＋2OM →＝4OM →.故选D.2．在平行四边形ABCD 中，点E 是AD 的中点，BE 与AC 相交于点F ，若EF →＝mAB →＋nAD →(m ，n ∈R )，则mn的值为( )A ．－2B ．－12C ．2 D.12答案 A解析 设AB →＝a ，AD →＝b ，则EF →＝m a ＋n b ，BE →＝AE →－AB →＝12b －a ，由向量EF →与BE →共线可知存在实数λ，使得EF →＝λBE →，即m a ＋n b ＝12λb －λa ，又a 与b 不共线，则⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－λ，n ＝12λ，所以mn＝－2.故选A.3．[2018·泉州四校联考]设e 1，e 2是不共线的向量，若AB →＝e 1－λe 2，CB →＝2e 1＋e 2，CD→＝3e 1－e 2，且A ，B ，D 三点共线，则λ的值为________．答案 2解析 ∵CB →＝2e 1＋e 2，CD →＝3e 1－e 2，∴BD →＝CD →－CB →＝(3e 1－e 2)－(2e 1＋e 2)＝e 1－2e 2，若A ，B ，D 三点共线，则AB →与BD →共线，存在μ∈R 使得AB →＝μBD →，即e 1－λe 2＝μ(e 1－2e 2)，由e 1，e 2是不共线的向量，得⎩⎪⎨⎪⎧1＝μ，－λ＝－2μ，解得λ＝2.4．已知|OA →|＝1，|OB →|＝3，∠AOB ＝90°，点C 在∠AOB 内，且∠AOC ＝30°.设OC →＝mOA →＋nOB →(m ，n ∈R )，求mn的值．解 如图所示，因为OB ⊥OA ，设|OC →|＝2，过点C 作CD ⊥OA 于点D ，CE ⊥OB 于点E ，所以四边形ODCE 是矩形，OC →＝OD →＋DC →＝OD →＋OE →.因为|OC →|＝2，∠COD ＝30°，所以|DC →|＝1，|OD →|＝ 3. 又因为|OB →|＝3，|OA →|＝1，所以OD →＝3OA →，OE →＝33OB →，OC →＝3OA →＋33OB →，此时m ＝3，n ＝33，所以m n ＝333＝3. 5．[2018·大同模拟]若点M 是△ABC 所在平面内的一点，且满足5AM →＝AB →＋3AC →，求△ABM 与△ABC 的面积之比．解 设AB 的中点为D ，如图，连接MD ，MC ，由5AM →＝AB →＋3AC →，得5AM →＝2AD →＋3AC →①，即AM →＝25AD →＋35AC →，即25＋35＝1，故C ，M ，D 三点共线，又AM →＝AD →＋DM →②，①②联立，得5DM →＝3DC →，即在△ABM 与△ABC 中，边AB 上的高的比值为35，所以△ABM与△ABC 的面积的比值为35.。
全国近年高考数学一轮复习第4章平面向量第1讲平面向量的概念及其线性运算增分练(2021年整理)
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第1讲平面向量的概念及其线性运算板块四模拟演练·提能增分[A级基础达标]1．［2018·南京模拟］对于非零向量a,b,“a＋b＝0”是“a∥b"的( ）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件答案A解析若a＋b＝0，则a＝－b，所以a∥b；若a∥b，则a＝λb，a＋b＝0不一定成立，故前者是后者的充分不必要条件．故选A.2．已知O,A，B，C为同一平面内的四个点，若2错误!＋错误!＝0，则向量错误!等于( )A.错误!错误!－错误!错误!B．－错误!错误!＋错误!错误!C．2错误!－错误!D．－错误!＋2错误!答案C解析因为错误!＝错误!－错误!，错误!＝错误!－错误!,所以2错误!＋错误!＝2（错误!－错误!）＋（错误!－错误!）＝错误!－2错误!＋错误!＝0，所以错误!＝2错误!－错误!。
故选C。
3．［2018·嘉兴模拟]已知向量a与b不共线，且错误!＝λa＋b，错误!＝a＋μb，则点A，B,C三点共线应满足 ( ）A．λ＋μ＝2 B．λ－μ＝1 C．λμ＝－1 D．λμ＝1答案D解析若A，B,C三点共线，则错误!＝k错误!，即λa＋b＝k（a＋μb)，所以λa＋b＝k a ＋μk b，所以λ＝k,1＝μk，故λμ＝1。
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平面向量的概念及线性运算
一、知识要点梳理
知识点一：向量的概念
1．向量:既有大小又有方向的量叫做向量.
2．向量的表示方法:
(1)字母表示法:如等.
(2)几何表示法:用一条有向线段表示向量.如等.
(3)向量的有关概念
向量的模:向量的大小叫向量的模(就是用来表示向量的有向线段的长度).
零向量:长度为零的向量叫零向量.
单位向量:长度等于1个单位的向量.
相等向量:长度相等且方向相同的向量.
相反向量: 长度相等且方向相反的向量.
共线向量:方向相同或相反的非零向量，叫共线向量(共线向量又称为平行向量).
规定:与任一向量共线.
要点诠释：
1．数量与向量的区别：数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小；
向量有方向，大小，双重性，不能比较大小.
2．零向量的方向是任意的，注意0与0的含义与书写区别.
3．平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；共线向量可以相互平行，要区别于在
同一直线上的线段的位置关系.
知识点二：向量的加(减)法运算
1．运算法则：三角形法则、平行四边形法则
2．运算律：①交换律：；②结合律：
要点诠释：
1．两个向量的和与差仍是一个向量，可用平行四边形或三角形法则进行运算，但要注意向量的起点与
终点.
2．.探讨该式中等号成立的条件，可以解决许多相关的问题.
知识点三：数乘向量
1．实数与向量的积：实数与向量的积是一个向量，记作：
(1)；
(2)①当时，的方向与的方向相同；
②当时.的方向与的方向相反；
③当时，.
2．运算律
设为实数
结合律：；
分配律：，
3．共线向量基本定理
非零向量与向量共线的充要条件是当且仅当有唯一一个非零实数，使.
要点诠释：
是判定两个向量共线的重要依据，其本质是位置关系与数量关系的相互转化，体现了数形结合的高度统一.
三、规律方法指导
1.向量的线性运算
(1)在正确掌握向量加法减法运算法则的基础上能结合图形进行向量的计算，将数和形有机结合，并
能
利用向量运算完成简单的几何证明；
(2)向量的加法表示两个向量可以合成，利用它可以解决有关平面几何中的问题，减法的三角形法则
应
记住:连接两端(两向量的终点)，指向被减(箭头指向被减数).记清法则是灵活运用的前提.
2.共线向量与三点共线问题
向量共线的充要条件实质上是由实数与向量的积得到的.通常用来判断三点在同一条直线上或两直线
平行.该定理主要用于证明点共线、求系数、证直线平行等题型问题.
题型一： 平面向量基本定理
【例1】 若已知1e 、2e
是平面上的一组基底，则下列各组向量中不能作为基底的一组是 ( )
A ．1e 与—2e
B ．31e 与22e
C ．1e ＋2e 与1e —2e
D ．1e 与21e
【例2】 在ABC △中，AB = c ，AC = b ．若点D 满足2BD DC = ，则AD =
( )
A ．
2133
+ b c B ．523
3-
c b C ．2133
- b c D ．123
3
+
b c
【例3】 如图,线段与互相平分,则可以表示为 ( )
A .
B .
C. D.
【例4】 在ABC △中，AB c = ，AC b = ．若点D 满足2BD DC =
，则AD = （ ）
A ．2133
b c +
B ．5233c b -
C ．2133b c -
D ．1233
b c +
【例5】 已知ABCD □的两条对角线交于点O ，设A B a = ，AD b = ，用向量a 和b
表示向量BD ，AO ．
AB CD BD
AB CD - 1122AB CD -+
1()2
AB CD -
()AB CD --
【例6】 已知ABCD □的两条对角线交于点O ，设对角线AC =a ，BD =b ，用a ，b 表示BC ，AB
．
题型二: 平面向量的坐标表示与运算
【例7】 设向量(2,3)AB =
，且点A 的坐标为(1,2)，则点B 的坐标为 ．
【例8】 若(2,1)a = ，(3,4)b =- 则34a b +
的坐标为_________．
【例9】 设平面向量()()3,5,2,1a b ==-
，则2a b -= （ ）
A ．()6,3
B ．()7,3
C ．()2,1
D ． ()7,2
【例10】 已知(2,3),(1,2)a x b y =-=+ ，若a b =
，则x = ，y = ．
【例11】 若A (0, 1), B (1, 2), C(3, 4) 则-2BC =
【例12】 若M(3, -2) N(-5, -1) 且 12
MP = MN , 求P 点的坐标；
【例13】 已知两个向量()()121a b x == ，，，
，若a b
∥，则x 的值等于（ ） A ．1
2
- B ．
12
C ．2-
D ．2
【例14】 若向量()1a x =-
，与()2b x =- ，共线且方向相同，求x
A
C
【例15】 已知向量，如果那么（ ）
A ．且与同向
B ．且与反向
C ．且与同向
D ．且与反向
【例16】 已知向量()11a = ，，()2b x = ，若a b + 与42b a - 平行，则实数
的值是（ ）
A ．-2
B ．0
C ．1
D ．2
【例17】 若向量a =（1，1），b =（-1,1），c =（4，2），则c = ( )
A .3a +b
B . 3a -b C.-a +3b D. a +3b
【例18】 在平面直角坐标系xoy 中，四边形AB CD 的边AB ∥DC,A D ∥B C,已知点A (－2，0)，B （6，8），
C(8,6),则D 点的坐标为___________.
【例19】 已知向量，，，若∥，则= ．
【例20】 在直角坐标系xOy 中，已知(3,13)A --，(0,2)B ，(2,12)C ，求证：A 、B 、C 三点共线．
【例21】 已知()12a = ，，()32b =- ，，当ka b + 与3a b -
平行，k 为何值（ ）
A
14 B －14
C －31
D 31
【例22】 已知(1,2),(3,2)a b ==- ,当实数k 取何值时,k a ＋2b 与2a —4b
平行？
【例23】 点(2,3)A 、(5,4)B 、(7,10)C ，若(R)AP AB AC λλ=+∈ ，试求λ为何值时，点P 在一、三
(1,0),(0,1),(),a b c ka b k R d a b ===+∈=-//c d 1k =c d 1k =c d 1k =-c d 1k =-c d x (3,1)a = (1,3)b = (,7)c k = ()a c - b k
象限角平分线上．
【例
，求线段AB 的其中一个四等分点P 的坐标．
【例25】 若平面向量a ,b 满足1a b +=，a b + 平行于
轴，()21b =- ，，则a
= .
【例26】 设O 为坐标原点，向量()12OA = ，．将OA 绕着点O 按逆时针方向旋转90︒得到向量OB
，
则2OA OB +
的坐标为 ．
【例27】 正方形PQRS 对角线交点为M ，坐标原点O 不在正方形内部，且(03)OP = ，
，(40)OS =
，，则RM =
（ ）
A ．7122⎛⎫-- ⎪⎝⎭，
B ．7122⎛⎫ ⎪⎝⎭，
C ．(74)，
D ．7722⎛⎫
⎪⎝⎭
，
【例28】 已知(10)(21)a b ==
，，，， ①求3a b + ；
②当k 为何实数时，ka b - 与3a b +
平行，平行时它们是同向还是反向？
【例29】 已知A （—2,4）、B （3,—1）、C （—3,—4）且CA CM 3=,CB CN 2=,求点M 、N 的坐标及
向量MN 的坐标.
x
【例30】 已知向量(2,2),(5,)a b k =-=
，若a b + 不超过5，则k 的取值范围是
．
【例31】 已知向量(1sin )a θ= ，，(1
)b θ= ，则a b - 的最大值为 ．
【例32】 已知向量a =(1sin ,1)θ-，b =1(,1sin )2
θ+，若a //b ，则锐角θ等于（ ）
A ．30︒
B ． 45︒
C ．60︒
D ．75︒
【例33】 已知点O(0，0)，A (1，2)，B (4，5)及OP OA t AB =+ ，
求(1)t 为何值时，P 在x 轴上？P 在y 轴上？P 在第二象限。
(2)四边形O AB P 能否构成为平行四边形？若能，求出相应的t 值；若不能，请说明理由。