八年级数学暑假培优-北师大版
北师大版八升九数学暑假综合复习培优试题(2)
北师大版八升九数学暑假综合复习培优试题（2）一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．（3分）下列环保标志图案既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．2．（3分）下列各式从左到右的变形是因式分解的是（）A．x2+2x+3＝（x+1）2+2B．（x+y）（x﹣y）＝x2﹣y2C．2x2﹣2＝2（x2﹣1）D．4x2﹣1＝（2x+1）（2x﹣1）3．（3分）不等式3（x+2）≥2x+9的解集是（）A．x≥7B．x≥3C．x≤3D．x≤74．（3分）下面的多边形中，内角和与外角和相等的是（）A．B．C．D．5．（3分）若a≠b，则下列各式从左到右成立的是（）A．B．C．D．6．（3分）如图所示，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝15°，DE垂直平分AB，交BC 于点E，AC＝3cm，则BE等于（）A．6cm B．5cm C．4cm D．3cm7．（3分）一次函数y＝kx和y＝﹣x+3的图象如图所示，则关于x的不等式kx＞﹣x+3的解集是（）A．x＞1B．x≥1C．x＜2D．x≤28．（3分）下列命题中，是假命题的是（）A．一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形B．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形C．一组对边平行，一条对角线平分另一条对角线的四边形是平行四边形D．一组对边平行，一组对角的角平分线平行的四边形是平行四边形9．（3分）如图，▱ABCD的对角线AC和BD相交于点O，E，F分别是AB，BC的中点，如果▱ABCD的周长是18cm，那么四边形EBFO的周长是（）A．9 cm B．6cm C．10 cm D．8cm10．（3分）将函数y＝x先绕坐标原点O顺时针旋转90°，然后沿x轴向右平移2个单位长度后得到的解析式为（）A．y＝x B．y＝﹣2x+4C．y＝x+2D．y＝﹣2x+2二．填空题（共4小题，满分16分，每小题4分）11．（4分）分解因式：（x+2y）2﹣4z2＝．12．（4分）式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是．13．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＞BC，点D为边AC上一点，连接BD，将△ABD沿BD翻折得△BDE，连接CE，（1）若DE⊥AC，则∠BDC的度数为°；（2）若四边形BDEC是平行四边形，AC＝4，则AB＝．14．（4分）如图所示，已知∠AOB＝40°，现按照以下步骤作图：①在OA，OB上分别截取线段OD，OE，使OD＝OE；②分别以D，E为圆心，以DE长为半径画弧，在∠AOB 内两弧交于点C；③作射线OC；④连接DC、EC．则∠OEC的度数为．三．解答题（共6小题，满分54分）15．（12分）（1）解方程：3﹣＝；（2）因式分解：3a2（x+y）3﹣27a4（x+y）．16．（6分）解不等式组，并在数轴上表示它的解集．17．（8分）已知，求的值．18．（8分）已知：如图，△ABC绕某点按一定方向旋转一定角度后得到△A1B1C1．（1）根据点A和B的位置确定旋转中心是点．（2）请在图中画出△A1B1C1；（3）请具体描述一下这个旋转：．19．（10分）如图，AD是△ABC的中线，点E是AD的中点，AF∥BC交CE的延长线于点F，连接BF．（1）求证：四边形AFBD是平行四边形．（2）在不添加任何线段的情况下，请直接写出图中面积是△CDE面积2倍的三角形．20．（10分）如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠DCB，点E为BC上一点，且DE∥AB，过点B作BF∥AD交DE的延长线于点F，连接CF，CF＝BF．（1）求证：△ADE≌△FCD；（2）如图（2），连接DB交AE于点G．①若AG＝DC．求证：BC平分∠DBF；②若DB∥CF，求的值．四．填空题（共5小题，满分25分，每小题5分）21．（5分）按图所示的流程，若输出的A＝﹣2，则输入的a的值为．22．（5分）已知直线y＝kx+b（k≠0）平行于直线y＝x+3，且在y轴上的截距是﹣1，那么这条直线的表达式是．23．（5分）若实数a使关于x的分式方程+＝4的解为正数，且使关于y的不等式组的解集为y＞a，求符合条件的所有整数a的和为．24．（5分）如图，已知钝角三角形ABC的面积为18，BD平分∠ABC，点M、N分别是BD、BC上的动点，若CM+MN的最小值为3，则AB＝．25．（5分）如图，已知Rt△ABC中，∠B＝90°，∠A＝60°，AC＝2+4，点M、N分别在线段AC、AB上，将△ANM沿直线MN折叠，使点A的对应点D恰好落在线段BC 上．（1）当四边形MAND为平行四边形时，则平行四边形MAND必为．（2）当△DMC为直角三角形时，则折痕MN的长为．五．解答题（共3小题，满分25分）26．（7分）某玩具商店为了儿童节提前储备货物，用3000元购进一批儿童玩具，接着又用5400元购进第二批这种玩具，所购数量是第一批数量的1.5倍，但每套进价多了10元．（1）求第一批玩具每套的进价是多少元？（2）儿童节期间，为了促销全店商品打7折销售，该玩具全部售完并且总利润不低于25%，那么每套玩具打折前的标价至少是多少元？27．（8分）已知△ABC为等边三角形，点D为平面内一点，（1）如图1，点D在BC延长线上，且∠CAD＝15°，若AB＝6，求CD长；（2）如图2，点D在BC延长线上，点E为AC延长线一点，BE＝DE，点F为BE中点，连接AF，求证：AD＝2AF；（3）若点D为△ABC右侧一点，BC＝BD，连接AD交BC于点E，若∠ABD＝150°，直接写出的值．28．（10分）如图，在平面直角坐标系中，直线l交x轴负半轴于A（a，0），交y轴于B（0，1），且∠BAO＝30°，C是x轴正半轴上一点，且点C关于直线l的对称点D正好落在y 轴上．（1）直接写出：①a＝；②直线l的解析式为：；③C点的坐标：；（2）点E为直线l上一点，且在第一象限内．①如图2，若∠AEC＝45°，求E点坐标；②如图3，若直线CE的解析式为y＝x+b，P是直线CE上位于y轴右侧的一点，点Q在y轴上，当△CPQ为等边三角形时，直接写出P点的坐标．。
北师大版八升九数学暑假综合复习培优试题(3)
北师大版八升九数学暑假综合复习培优试题（3）一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．（3分）已知﹣a≥b，则a≤﹣2b，其根据是（）A．不等式的两边都加上（或减去）同一个整式，不等号的方向不变B．不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变C．不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变D．以上答案均不对2．（3分）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．3．（3分）其解集如数轴上所示的不等式组为（）A．B．C．D．4．（3分）以下因式分解正确的是（）A．a5﹣a3＝a3（a2﹣1）B．﹣a2﹣2ab﹣b2＝﹣（a+b）2C．﹣a2+2ab+b2＝﹣（a+b）2D．m2﹣2mn+n2﹣1＝（m﹣n）2﹣15．（3分）如果分式的值等于0，那么（）A．x＝±2 B．x＝2 C．x＝﹣2 D．x≠26．（3分）下列说法中错误的是（）A．对角线互相平分的四边形是菱形B．对角线相等的平行四边形是矩形C．菱形的对角线互相垂直D．对角线长为a的正方形的面积是7．（3分）如图，在正方形ABCD中，△ABE经旋转，可与△CBF重合，AE的延长线交FC于点M，以下结论正确的是（）A．BE＝CE B．FM＝MC C．AM⊥FC D．BF⊥CF8．（3分）随着快递业务的增加，某快递公司为快递员更换了快捷的交通工具，公司投递快件的能力由每周2800件提高到3600件，平均每人每周比原来多投递40件，已知快递公司的快递员人数不变，若设原来平均每人每周投递快件x件，则根据题意可列方程为（）A．B．C．D．9．（3分）如图，在等腰直角△DEF中，∠EDF＝90°，点M为EF上一点，连接DM，以D为直角顶点作等腰直角△MDN，连接NE，MN交DE于点Q，若MQ＝NQ+DQ，则∠MNE的度数为（）A．90°B．75°C．60°D．45°10．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC．在AB、AC上分别截取AP、AQ，使AP＝AQ．再分别以点P，Q为圆心，以大于PQ的长为半径作弧，两弧在∠BAC内交于点R，作射线AR，交BC于点D．已知BC＝5，AD＝6．若点M、N分别是线段AD和线段AB上的动点，则BM+MN 的最小值为（）A．4 B．5 C．D．2二．填空题（共7小题，满分28分，每小题4分）11．（4分）因式分解：m3﹣4m＝．12．（4分）已知﹣2＜x+y＜3且1＜x﹣y＜4，则z＝2x﹣3y的取值范围是．13．（4分）如图，在△ABC中，AB＝AC，AC的垂直平分线分别交AB、AC于点D、E．∠DCA ＝40°，则∠DCB＝°．14．（4分）方程﹣3有增根，则增根x＝．15．（4分）已知一次函数y1＝﹣x+3，y2＝3x﹣5，则当x时，y1＞y2．16．（4分）如图，在▱ABCD中，BD为对角线，E、F分别是AD、BD的中点，连接EF．若EF ＝，则CD的长为．17．（4分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB于点E．给出下列结论：①CD＝ED；②AC+BE＝AB；③∠BDE＝∠BAC；④BE＝DE；⑤S△BDE：S△ACD＝BD：AC．其中正确的是．三．解答题（共8小题，满分50分）18．（6分）解方程：﹣＝019．（6分）解不等式组并将解集在数轴上表示出来．20．（6分）已知a＝﹣1，b＝﹣10，m＝8，n＝9，求÷的值．21．（6分）△ABC和点S在平面直角坐标系中的位置如图所示．（1）将△ABC向左平移3个单位，画出平移后△A1B1C1，并写出B1点的坐标；（2）将△ABC绕点S按顺时针方向旋转90°，画出旋转后的△A2B2C2．22．（6分）在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，A（0，4），B（3，0），C（﹣5，4）．（1）求△ABC的面积；（2）过A作AD⊥BC于D，延长AD交x轴于点E，求AE的长；（3）在（2）的条件下，设BC交y轴于点F，G是y轴左侧的点，使得以A、G、E、F为顶点的四边形是平行四边形，求点G的坐标．23．（6分）学校新到一批理、化、生实验器材需要整理，若实验管理员李老师一人单独整理需要40分钟完成，现在李老师与工人王师傅共同整理20分钟后，李老师因事外出，王师傅再单独整理了20分钟才完成任务．（1）王师傅单独整理这批实验器材需要多少分钟？（2）学校要求王师傅的工作时间不能超过30分钟，要完成整理这批器材，李老师至少要工作多少分钟？24．（6分）在等腰△ABC中，AB＝AC，点D在AC上一点，点E在BD的延长线上，且AB＝AE，AF平分∠CAE交DE于点F，连接CF．（1）如图1，请找出和∠CFB相等的角，并证明；（2）如图，当∠ABC＝60°，AF＝m，EF＝n时，求FB的长（用含m，n的式子表示）；（3）如图，当AE∥BC，且∠ABC＝45°时，探索BD和EF的数量关系．25．（8分）思维启迪：（1）如图1，Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝4，AB＝5，点D是AB的中点，点E在AC上，过B点作AC的平行线，交直线ED于点F，当CE＝1时，BF＝．思维探索：（2）如图2，Rt△ABC中，∠C＝90°，点D是AB的中点，点E在AC上，DF⊥DE交BC 于F，连接EF，请直接写出AE，EF，BF的数量关系，并说明理由；（3）Rt△ABC中，∠C＝90°，点D是AB的中点，点E在直线AC上，DF⊥DE交直线BC 于F，若AC＝3，AB＝，EC＝1，请直接写出线段BF长．。
2021-2022学年北师大版八年级下期数学暑假作业——第7次(附答案)
北师大版八年级下期2021-2022学年数学暑假作业——第7次1. 解不等式：x−22≤7−x 3．2. 解不等式6−4x ≥3x −8，并写出其正整数解．3. 解不等式x−52+1>x −3．4. 解不等式：x 3>1−x−22．5. 解不等式：x−12≤4−x ．6. 解不等式组{5x −1>3(x +1)12x −1≤7−32x ．7. 解不等式组：{3(x −1)<2x +1x−12≤x +2．8. 解不等式组{x −2>03(x −2)≤x +2．9. 解不等式组：{5x −2>3(x +1)①12x −1⩾7−32x②．10. 解不等式组：{5x +2≥4x −1x+14>x−32+1．11. 把下列各式因式分解：(1) −x 2+6xy −9y 2．(2)a 3+9ab 2−6a 2b.12. 把下列各式因式分解：(1)3x 3+6x 4． (2)4a 3b 2−10ab 3c.13. 把下列各式因式分解：(1)28x 4−21x 3+7xy ．(2)−10m 4n 2+8m 4n −2m 3n.14.把下列各式因式分解：(1)16m3−mn2；(2)a2(a−b)−4(a−b)．15.把下列各式因式分解：(1)x2(y−2)−x(2−y)(2)(a2+b2)2−4a2b216.化简：(3a−2−1a+2)⋅(a2−4)．17.计算：(1)2aa−b −2ba−b；(2)a2a2−6a+9÷aa−3．18.计算：m2−2m+1m2−1÷(m−1−m−1m+1)．19.计算(1)a2−b2a+b ⋅2a+2b a2−ab；(2)xx2−4−12x−4+1x+2．20.化简：(2a−1a2−a −aa−1)÷a2−1a．21.解方程：1−x2−x −3=1x−222.解方程：xx−1−1=3x2−1．23.解分式方程：x−2x+2−1=16x2−4．24.解分式方程：(1)3x −2x−2=0(2)34−x +2=1−xx−4．25.解方程：2xx−2−x−3x2−2x=2．参考答案1.解：去分母得：3(x−2)≤2(7−x)，去括号得：3x−6≤14−2x，移项合并得：5x≤20，解得：x≤4．2.解：移项得：−4x−3x≥−6−8，合并同类项得：−7x≥−14，系数化为1得：x≤2，∴正整数解为1，2．3.解：将不等式x−52+1>x−3两边同乘以2得，x−5+2>2x−6，解得x<3．4.解：x>125．5.解：x−12≤4−xx−1≤8−2xx+2x≤8+13x⩽9x⩽3 6.解：解不等式5x−1>3(x+1)，得：x>2，解不等式12x−1≤7−32x，得：x≤4，则不等式组的解集为2<x≤4．7.解：{3(x−1)<2x+1①x−12≤x+2②，解不等式①，得：x<4，解不等式②，得：x≥−5，故原不等式组的解集是−5≤x<4．8.解：{x−2>0①3(x−2)≤x+2②，由不等式①，得x>2，由不等式②，得x≤4，故原不等式组的解集是2<x≤4．9.解：解不等式①，得x>52．解不等式②，得x⩾4．在同一条数轴上表示不等式①②的解集，如图．所以，原不等式组的解集是x⩾4．10.解：{5x+2≥4x−1①x+14>x−32+1②，解不等式①得：x≥−3，解不等式②得：x<3．∴不等式组的解集为−3≤x<3．11.解：(1)原式=−(x−3y)2．(2)原式=a(a−3b)2．12.解：(1)原式=3x3(1+2x).(2)原式=2ab2(2a2−5bc)．13.解：(1)原式=7x(4x3−3x2+y).(2)原式=−2m3n(5mn−4m+1)．14.解：(1)原式=m(4m+n)(4m−n).(2)原式=(a−b)(a+2)(a−2)．15.解：(1)原式=x2(y−2)+x(y−2)=x(y−2)(x+1)；(2)原式=(a2+b2)2−(2ab)2=(a2+b2+2ab)(a2+b2+2ab)=(a+b)2(a−b)2．16.解：(3a−2−1a+2)⋅(a2−4)=3(a+2)−(a−2)(a+2)(a−2)⋅(a+2)(a−2)=3a+6−a+2=2a+8．17.解：(1)原式=2a−2ba−b=2(a−b)a−b=2；(2)原式=a2(a−3)2⋅a−3a=aa−3．18.解：原式=(m−1)2(m+1)(m−1)÷m2−1−m+1m+1=m−1m+1⋅m+1m(m−1)=1m．19.解：(1)原式=(a+b)(a−b)a+b ⋅2(a+b) a(a−b)=2(a+b)a=2a+2ba；(2)原式=x(x+2)(x−2)−12(x−2)+1x+2=2x2(x+2)(x−2)−x+22(x+2)(x−2)+2(x−2)2(x+2)(x−2)=2x−x−2+2x−4 2(x+2)(x−2)=3(x−2)2(x+2)(x−2)=32x+4．20.解：原式=[2a−1a(a−1)−a2a(a−1)]÷(a+1)(a−1)a=2a−1−a2a(a−1)⋅a(a+1)(a−1)=−(a−1)2a(a−1)⋅a(a+1)(a−1)=−1a+1．21.解：原方程可化为1−x2−x −3=−12−x，方程的两边同乘(2−x)，得：1−x−3(2−x)=−1，解得：x=2．检验：把x=2代入(2−x)=0，x=2是增根，故原分式方程无解．22.解：方程两边都乘以(x+1)(x−1)，去分母得x(x+1)−(x2−1)=3，即x2+x−x2+1=3，解得x=2，检验：当x=2时，(x+1)(x−1)=(2+1)(2−1)=3≠0，∴x=2是原方程的解，故原分式方程的解是x=2．23.解：x−2x+2−1=16x2−4(x−2)2−(x+2)(x−2)=16x2−4x+4−x2+4=16x2−4x−x2=16−4−4−4x=8x=−2，检验：当x=−2时，(x+2)(x−2)=0，∴x=−2是原方程的增根，原方程无解．24.解：(1)去分母得3(x−2)−2x=0，解得x=6，经检验x=6是原方程的根，则原分式方程的根为x=6；(2)去分母得3+2(4−x)=x−1，解得x=4，经检验x=4是原方程的增根，则原分式方程无解．25.解：去分母，得2x2−(x−3)=2x(x−2)，去括号，得2x2−x+3=2x2−4x，移项、合并同类项，得3x=−3，系数化为1，得x=−1，检验：当x=−1时，x(x−2)≠0，∴原方程的解为x=−1．。
八年级数学暑假作业辅导 第六讲 反比例函数 北师大版
八年级数学暑假作业辅导 第六讲 反比例函数 北师大版一、学习指引 1.知识要点：反比例函数的意义、图象、性质与应用 2.方法指引：（1）结合函数图象学习本讲内容（数形结合）．（2）用待定系数发求解析式．能进行一些简单的函数应用. 二、知识梳理与典型例题 知识点一、反比例函数的意义反比例函数：一般地，如果两个变量x 、y 之间的关系可以表示成y ＝ 或 （k 为常数，k ≠0）的形式，那么称y 是x 的反比例函数．1.近视眼镜的度数y （度）与镜片焦距x （米）成反比例，已知400度近视眼镜镜片的焦距为0.25米，则眼镜度数y 与镜片焦距x 之间的函数关系式为 ．2.在对物体做功一定的情况下，力F (牛)与此物体在力的方向上移动的距离s (米)成反比例函数关系，其图象如图所示，P (5，1)在图象上，则当力达到10牛时，物体在力的方向上移动的距离是 米．3.已知一个函数具有以下条件：⑴该图象经过第四象限；⑵当0x >时， y 随x 的增大而增大；⑶该函数图象不经过原点。
请写出一个符合上述条件的函数关系式： .4.已知点(12)-，在反比例函数ky x=的图象上，则k = ． 知识点三、反比例函数的增减性5.已知点A （-2，y 1）、B （-1，y 2）、C （3，y 3）都在反比例函数4y x=的图象上，则（ ） A.y 1<y 2<y 3 B. y 3<y 2<y 1 C.y 3<y 1<y 2 D. y 2<y 1<y 36.已知反比例函数xm y )23(1-=，当m 时，其图象的两个分支在第一、三象限内；k 的符号k ＞0 k ＜0 图像的大致位置经过象限 第 象限 第 象限 性质在每一象限内y 随x 的增大而在每一象限内y 随x 的增大而oy xy xom 时，其图象在每个象限内y 随x 的增大而增大.知识点四、反比例函数的解析式7.若反比例函数ky x=的图象经过点()3,1-，则,k =8.某反比例函数的图象经过点(23)-，，则此函数图象也经过点 （ ）A ．(23)-，B ．(33)--，C ．(23)，D ．(46)-，知识点五、图像与图形的面积k 的几何含义：反比例函数y ＝k x (k ≠0)中比例系数k 的几何意义，即过双曲线y ＝kx(k≠0)上任意一点P 作x 轴、y 轴垂线，设垂足分别为A 、B ，则所得矩形OAPB 的面积为 .9.如图，若点A 在反比例函数(0)ky k x=≠的图象上，AM x ⊥轴于点M ，AMO △的面积为3，求k 的值．10.如图，一次函数y kx b =+的图象与反比例函数my x=的图象交于(21)(1)A B n -，，，两点．（1）试确定上述反比例函数和一次函数的表达式；（2）求AOB △的面积．知识点六、一次函数与反比例函数OyxBA11. 已知正比例函数y=kx 与反比例函数y=3x的图象都过A （m,，1）点，求此正比例函数解析式及另一个交点的坐标．12. 若反比例函数xy 6=与一次函数4-=mx y 的图象都经过点A （a ，2） （1）求点A 的坐标；（2）求一次函数4-=mx y 的解析式；（3）设O 为坐标原点，若两个函数图像的另一个交点为B ，求△AOB 的面积。
暑假培优参考答案
暑假培优参考答案暑假培优参考答案暑假是学生们放松心情、享受自由的时光，然而对于一些追求卓越的学生来说，暑假是一个提升自己学业能力的绝佳时机。
因此，很多学生会选择参加暑假培优班来强化自己的学习能力。
在这篇文章中，我将分享一些暑假培优参考答案，希望能对广大学生有所帮助。
首先，数学是许多学生感到困惑的科目之一。
在暑假培优班中，数学的参考答案是学生们最关心的。
数学题目往往需要灵活的思维和准确的计算能力。
针对初中数学，一道常见的题目是如何求解一元一次方程。
考虑到这个问题，我们可以给出以下参考答案：假设一元一次方程为ax + b = 0，其中a和b为已知数。
首先，将方程转化为标准形式，即将常数项移到等号右边。
得到方程ax = -b。
接下来，将方程两边都除以a，得到x = -b/a。
这就是一元一次方程的解。
除了数学，英语也是学生们需要提高的重要科目。
在英语学习中，阅读理解是一个常见的难题。
为了帮助学生更好地理解阅读材料，我们可以提供以下参考答案：首先，仔细阅读文章，理解文章的主题和大意。
其次，注意文章中的关键词和词组，它们有助于理解文章的细节。
然后，根据问题的要求，找到文章中对应的信息。
最后，将问题和文章中的信息进行对比，选择正确的答案。
除了数学和英语，科学也是学生们需要加强的科目之一。
在科学学习中，实验设计和数据分析是关键的技能。
以下是一个关于实验设计和数据分析的参考答案：首先，明确实验的目的和假设。
然后，设计实验的步骤和所需材料。
在实验过程中，记录实验数据并保持准确性。
完成实验后，对数据进行分析，包括计算平均值、标准差和相关性等。
最后，根据实验结果得出结论，并与假设进行比较。
除了学科知识，培养学生的学习方法和思维能力也是暑假培优的重要目标。
以下是一些建议和参考答案：首先，制定学习计划，合理安排学习时间和任务。
其次，培养良好的学习习惯，如定期复习、做笔记和解题技巧等。
此外，培养批判性思维和问题解决能力，通过思考和讨论来加深对知识的理解。
北师大版八升九数学暑假综合复习培优试题(1)
北师大版八升九数学暑假综合复习培优试题（1）一．选择题（共12小题，满分36分，每小题3分）1．（3分）下列四个通信商标图中，不是中心对称图形的是（）A．B．C．D．2．（3分）下列命题中正确的是（）A．若a＜b，则a2＜b2B．若ab＞0，则a＞0，b＞0C．若|a|＜b，则a2＜b2D．3．（3分）下列命题，其中是真命题的是（）A．对角线互相垂直的四边形是平行四边形B．有一个角是直角的四边形是矩形C．对角线互相平分的四边形是菱形D．对角线互相垂直的矩形是正方形4．（3分）下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（）A．x2﹣4x+1＝x（x﹣4）+1B．（x+1）2＝x2+2x+1C．x2﹣4＝（x+2）（x﹣2）D．18a3bc＝3a2b⋅6ac5．（3分）如果三角形的三边长a，b，c满足，且三角形的周长为33cm，那么a，b，c的值为（）A．8cm、10cm、15cm B．5cm、12cm、16cmC．5cm、10.5cm、15cm D．6cm、12cm、15cm6．（3分）如图，平行四边形ABCD的周长为36cm，若点E是AB的中点，则线段OE与线段AE的和为（）A．18cm B．12cm C．9cm D．6cm7．（3分）在直角坐标系中有A（﹣3，1），B（3，1）两点，则在坐标轴上与A、B两点距离相等的点的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．无数个8．（3分）直线l1：y＝k1x+b与直线l2：y＝k2x在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于x的不等式k2x＞k1x+b的解集为（）A．x＞3B．x＜3C．x＞﹣1D．x＜﹣19．（3分）已知分式方程的解为负数，则k的取值范围是（）A．k＞1B．k＞1且k≠﹣1C．k＜1D．k＜1且k≠0 10．（3分）某班在体育课上进行1000米测试，在起点处学生小明比小华先跑1分钟，当小明到达终点时，小华还有440米没跑．已知小明每秒钟比小华每秒钟多跑1米．设小华速度为x米/秒，则可列方程为（）A．+1＝B．+60＝C．﹣1＝D．﹣60＝11．（3分）如图，在△ABC中，延长BC至点D，使得CD＝BC，过AC的中点E作EF ∥CD（点F位于点E右侧），且EF＝BC，连接DF，若AB＝4，则DF的长为（）A．3B．2C．2D．12．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，AE平分∠BAD，交BC于点E，且AB＝AE，延长AB与DE的延长线交于点F，连接AC，CF．下列结论：①△ABC≌△EAD；②△ABE是等边三角形；③AD＝AF；④S△BEF＝S△ABE；⑤S△CEF＝S△ABE．其中正确的是（）A．①②③B．①②④C．②③④D．①②⑤二．填空题（共4小题，满分12分，每小题3分）13．（3分）因式分解：（1）a2﹣16b2＝；（2）x2﹣4y2＝；（3）a2﹣9b2＝；（4）x3﹣xy2＝．14．（3分）小明同学按照老师要求对本班40名学生的血型进行了统计，列出统计表，则本班A型血的人数是人．组别A型B型C型O型占总人数的百分比35%10%15% 15．（3分）如图，△ABC是边长为3的等边三角形，D是BC上一点，DE⊥BC交AB于点E，BD＝1，则AE＝．16．（3分）如图，在正方形ABCD中，点M、N为边BC和CD上的点，∠MAN＝45°，MN＝2MC，则∠NAD＝．三．解答题（共7小题，满分52分）17．（6分）解不等式组，并求它的整数解．18．（6分）先化简，再求值：已知x＝，y＝1，求的值．19．（6分）如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系中，△OAB的三个顶点O（0，0），A（4，1），B（3，4）均在格点上．（1）画出△OAB向左平移4个单位长度后得到的△O1A1B1，并写出点A1的坐标；（2）画出将△OAB绕原点O按顺时针方向旋转90°得到的△OA2B2，并写出点A2的坐标；（3）画出△OAB以原点O为旋转中心的中心对称图形△OA3B3，并写出点A3的坐标．20．（6分）某工程，甲工程队单独做40天完成；若乙工程队单独做20天后，甲、乙两工程队再合作，10天完成．求乙工程队单独做需要多少天完成？21．（8分）已知，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O．（Ⅰ）如图①，若AB＝6，BC＝8，则BD＝，OD＝；（Ⅱ）如图②，DE∥AC，CE∥BD，求证：四边形OCED是菱形．22．（8分）以点A（0，4），B（8，4），C（8，0）为顶点的四边形OABC在平面直角坐标系中位置如图，现将四边形OABC沿直线AC折叠使点B落在点D处，AD交OC于E．（1）试求E点坐标及直线AE的解析式；（2）试求经过点O、D、C三点抛物线的解析式及顶点F的坐标；（3）一动点P从点A出发，沿射线AB以每秒一个单位长度的速度匀速运动．①当t为何值时，直线PE把△EAC分成面积之比为1：3的两部分；②在P点的运动过程中，是否存在某一时刻使△APE为直角三角形？若存在，直接写出t的值；若不存在，请说明理由．23．（12分）如图，在正方形ABCD中，AB＝1，延长BC至M，使BM＝5．以BD、BM为邻边作▱DBMN．动点P从点D出发，以每秒1个单位的速度沿DN向终点N运动，过点P作PQ⊥BM交BM或BM的延长线于点Q，以PQ为边向右作正方形PQRS．设正方形PQRS与▱DBMN的重叠部分的面积为y，点P运动的时间为x（x＞0，单位：秒）．（1）用含x的代数式表示线段PN为；（2）当点S与点N重合时，求x的值；（3）当正方形PQRS与▱DBMN的重叠部分不是正方形时，求y与x之间的函数关系式；（4）当△DQS或△PRN是直角三角形时，直接写出x的值．。
北师大版2020八年级数学第一章勾股定理暑假自主学习培优测试卷(附答案详解)
北师大版2020八年级数学第一章勾股定理暑假自主学习培优测试卷（附答案详解）1．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A、C的坐标分别为(10,0)，(0,4)，点D是OA的中点点P在BC上运动，当ODP是腰长为5的等腰三角形时，点P的坐标不可能的是（）A．(2.5,4)B．(3,4)C．(8,4)D．(2,4)2．从电杆上离地面5 m的C处向地面拉一条长为7 m的钢缆，则地面钢缆A到电线杆底部B的距离是()A．24 B．12 C．74D．263．如果正整数a、b、c满足等式222+=a b c，那么正整数a、b、c叫做勾股数.某同学将自己探究勾股数的过程列成下表，观察表中每列数的规律，可知x y+的值为（）A．47 B．62 C．79 D．984．下列各数据中，不能组成直角三角形的是（）A．3，4，5 B．1，123，3 C．1，113，213D．6，8，105．已知△ABC中，a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边，则下列条件中：①a＝4，b＝712；c＝812；②a2：b2：c2＝1：3：2；③∠A：∠B：∠C＝3：4：5；④∠A＝2∠B＝2∠C．其中能判断△ABC是直角三角形的有（）个．A．1 B．2 C．3 D．46．下列选项中的三个数，可作为三边长构成直角三角形的是（ ）.A ．1，2，2B ．3，3，3C ．2,3,5D ．3,4,5 7．下列各组数据为勾股数的是（ ）A ．3，4，5B ．1，2，3C ．5，12，13D ．2，3，48．如图，在ABC ∆中，90C ∠=︒，5cm AB =，4cm AC =，点D 在AC 上，将BCD ∆沿着BD 所在直线翻折，使点C 落在斜边AB 上的点E 处，则DC 的长为（ ）A ．2cm 3B ．3cm 2C ．2cmD ．3cm9．如果△ABC 的三边长a 、b 、c 满足关系式(a+2b−60)2+|b−18|+|c−30|=0，则△ABC 的形状是（ ）A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．无法确定 10．四个全等的直角三角形按图示方式围成正方形ABCD ，过各较长直角边的中点作垂线，围成面积为S 的小正方形EFGH ．已知AM 为Rt △ABM 较长直角，AM=23EF ，则正方形ABCD 的面积为（ ）A ．14SB ．13SC ．12SD ．11S11．如图，等腰三角形ABC ∆，D 是底边上的中点，5AB =，4=AD 则图中阴影部分的面积是__________．12．如图所示，，，，，，则该图形的面积是________.13．如图，在△ABC 中，∠ACB =90°，AC = BC =2，AB =22，点P 是AB 边上的点（异于点A ，B ），点Q 是BC 边上的点（异于点B ，C ），且∠CPQ =45°.当△CPQ 是等腰三角形时，CQ 的长为________.14．折纸飞机是我们儿时快乐的回忆，现有一张长为290mm ，宽为200mm 的白纸，如图所示，以下面几个步骤折出纸飞机：（说明：第一步：白纸沿着EF 折叠，AB 边的对应边A ′B ′与边CD 平行，将它们的距离记为x ；第二步：将EM ，MF 分别沿着MH ，MG 折叠，使EM 与MF 重合，从而获得边HG 与A ′B ′的距离也为x ），则PD =______mm ．15．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝3BC ，以点A 为圆心，AD 为半径画弧交AB 于点E 连接CE ，作线段CE 的中垂线交AB 于点F ，连接CF ，则sin ∠CFB ＝_____．16．我国古代数学家赵爽的“勾股圆方图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形（如图所示）．如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的两直角边长分别为a 、b ，那么2()a b 的值是____．17．如图所示，为了安全起见，要为一段高5米，斜边长13米的楼梯上红地毯，则红地毯至少需要________米长。
2024年新八年级数学暑假提升精品讲义(北师大版)第14讲 解题技巧专题：平面直角坐标系
第14讲解题技巧专题：平面直角坐标系求面积、规律、新定义问题【题型一利用补形法或分割法求图形的面积】例1．（23-24七年级下·全国·课后作业）如图，在平面直角坐标系中，点，，，，求四边形的面积．【变式1-1】（2023上·安徽滁州·八年级统考期中）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，，过点作轴，过点作轴，轴，过点作轴，分别与和交于点和点，分别与和交于点和点．(1)直接写出下列点的坐标：点____，点____，点____；(2)利用图形求的面积．【变式1-2】如图所示，在平面直角坐标系中，已知，，(1)在平面直角坐标系中画出．(2)求的面积．【变式1-3】已知，在平面直角坐标系中的位置如图所示(1)写出A、B、C三点的坐标；(2)求的面积；(3)中任意一点经平移后对应点为，将作同样的平移得到，画出．【题型二与图形面积相关的点的存在性问题】例2.（23-24七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，轴，垂足为A，轴，垂足为C，已知，，其中a，c满足关系式，点P从O点出发沿折线的方向运动到点C停止，运动的速度为每秒2个单位长度，设点P的运动时间为t 秒．(1)求点A、C的坐标；(2)在运动过程中，当点P到的距离为2个单位长度时，_________；(3)点，在点P的运动过程中，是否存在这样的t值，使，若存在，请求出t值，若不存在，请说明理由．【变式2-1】（2024上·江西吉安·八年级统考期末）如图，在直角坐标平面内，已做，，(1)求的面积．(2)在y轴上找一点D，使，求点D的坐标．【变式2-2】（2023下·黑龙江牡丹江·七年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，点坐标为，点坐标为，点坐标为，且，，满足关系式(1)请求出、、三点的坐标：(2)如果在第三象限内有一点，请用含的式子表示四边形的面积；(3)在（2）的条件下，当时，在轴上是否存在点，使三角形的面积等于四边形面积的若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由．【变式2-3】（2023下·七年级课时练习）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标分别为，且满足．同时将点分别向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到点的对应点，连接．(1)求点的坐标及四边形的面积；(2)在坐标轴上是否存在一点，连接，使？若存在，求出点的坐标；若不存在，试说明理由；(3)是线段上的一个动点，连接，当点在上移动时（不与点重合），给出下列结论：①的值不变；②的值不变．其中有且只有一个结论是正确的，请你找出这个结论并求其值．【题型三平面直角坐标系中新定义规律探究问题】例距离的较小值称为点点的若点的若，两点为点的若点是若点的长距为的坐标为，试说明：中的任意一点，给出如下定义：记，那么我们把点与点称为点和谐点”．例如，点的一对“和谐点是点与点点的一对“和谐点”坐标是与；若点的一对重合，则y的值为若点C的一个坐标为，求点“”(1)直接写出点A，B的“－”(2)若点A为B，C的“－3”系和点，求点(3)点D为A，B的“k”系和点．①求点D的坐标（结果用k含的式子表示）；②若三角形ABD的面积为6，则符合条件的【题型四平面直角坐标系中点运动规律探究问题】例4. （23-24七年级下·重庆江北·阶段练习）如图，在平面直角坐标中，动点M从点出发，按图中箭头所示方向依次运动，第1次运动到点，第2次运动到点，第3次运动到点，…，按这样的运动规律，动点M第2024次运动到点（）A．B．C．D．【变式4-1】（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，动点在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点，第2次接着运动到点，第3次接着运动到点，按这样的运动规律，经过第47次运动后动点的坐标是【变式4-2】如图，在平面直角坐标系中，设一动点自处向下运动1个单位长度至处，然后向左运动2个单位长度至处，再向上运动2个单位长度至处，再向左运动2个单位长度至处，再向下运动2个单位长度至处，，如此继续运动下去，设，，2，3，，则的坐标是．【变式4-3】（23-24七年级上·山东东营·期末）如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点O出发，沿着箭头所示方向，每次移动1个单位，依次得到点…，则点的坐标是．【题型五平面直角坐标系中图形变换规律探究问题】例5. （23-24九年级上·山东枣庄·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中有一菱形且，点O，B在y轴上，，现在把菱形向右无滑动翻转，每次翻转，点B的落点依次为…，连续翻转2023次，则的坐标为（）A．B．C．D．【变式5-1】（2024·云南·模拟预测）如图，将边长为的正方形沿轴正方向连续翻转次，点依次落在点、、、、、的位置上，则点的坐标为（ ）A．B．C．D．【变式5-2】（23-24七年级上·山东东营·期末）如图，在平面直角坐标系中有一边长为1的正方形，边分别在轴、轴上，如果以对角线为边作第二个正方形，再以对角线为边作第三个正方形……照此规律作下去，则的长为．【变式5-3】（23-24九年级上·四川广安·期末）如图，在平面直角坐标系中，矩形的边在轴上，点，点．将矩形绕点A顺时针旋转，每次旋转，当第2023次旋转结束时，点的对应点的坐标是．一、单选题1．（2024·山东淄博·二模）定义：两点关于某条直线对称，则称这条直线为这两个点的“幸福直线”·若点，幸福直线是，则点A关于这条幸福直线的对称点B的坐标是（）A．B．C．D．2．（23-24七年级下·湖北武汉·期中）如图在平面直角坐标系中，点，点，点，则三角形的面积是（）A．19B．20C．21D．21.53．（2024七年级下·北京·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，，把一条长为2023个单位长度且没有弹性的细线（线的粗细忽略不计）的一端固定在点处，并按的规律紧绕在四边形的边上，则细线另一端所在位置的坐标是（ ）A．B．C．D．二、填空题4．（23-24七年级下·黑龙江绥化·期中）如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点O出发，按向上，向右，向下，向右的方向不断地移动，每移动一个单位，得到点，，，，…那么点的坐标为5．（23-24七年级下·福建厦门·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，．则四边形的面积（用含有k的式子表示）6．（23-24七年级下·天津·期中）在平面直角坐标系中，给出如下定义：点到轴、轴的距离的较大值称为点的“长距”，点到轴、轴的距离相等时，称点为“完美点”．（1）点的“长距”为；（2）若点是“完美点”，则的值为；三、解答题7．（23-24七年级下·重庆潼南·期中）如图，在平面直角坐标系中，，，，且满足，线段交y轴交于点F．(1)求点A、B的坐标；(2)求点F的坐标；(3)y轴上是否存在一点P，使的面积和的面积相等，若存在求出P点坐标，若不存在说明理由．8．（23-24七年级下·江西赣州·期中）在平面直角坐标系中，给出如下定义：点到轴、轴的距离的较大值称为点的“长距”，点到轴、轴的距离相等时，称点为“完美点”．(1)点的“长距”为______；(2)若点是“完美点”，求的值；(3)若点的长距为4，且点在第二象限内，点的坐标为，试说明：点是“完美点”．9．（2024七年级下·天津·专题练习）如图1，四边形各个顶点的坐标分别为，，，．(1)______，点到轴的距离为______．(2)求四边形的面积．(3)如图2，已知点为轴正半轴上的一个动点，点是否存在一个位置使得的面积是四边形面积的一半？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．10．（2024七年级下·全国·专题练习）如图，在直角坐标系中，第一次将变换成，第二次将变换成，第三次将变换成，已知，，，；，，，．(1)观察每次变换前后的三角形有何变化，找出规律，按此变化规律再将变换成，则的坐标是，的坐标是．(2)若按（1）找到的规律将进行了次变换，得到，比较每次变换中三角形顶点有何变化，找出规律，推测的坐标是，的坐标是．11．（23-24八年级上·北京丰台·期中）在平面直角坐标系中，对于任意图形G及直线，，给出如下定义：将图形G先沿直线翻折得到图形，再将图形沿直线翻折得到图形，则称图形是图形G的【】伴随图形，例如：点的【x轴，y轴】伴随图形是点．(1)点的【x轴，y轴】伴随图形点的坐标为_________；(2)已知，，，直线经过点．①当，且直线与轴平行时，点的【轴，】伴随图形点的坐标为_________；②当直线经过原点时，若的【轴，】伴随图形上只存在两个与轴的距离为1的点，求的取值范围．12．（23-24七年级下·吉林延边·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知，两点，其中、、满足等式．动点从点出发，沿折线以每秒2个单位长度的速度向终点运动．设点运动时间为，当四边形为正方形时，解答下列问题．(1)__________，__________，__________；当点在线段上时，的长度为___________．（用含的代数式表示）(2)当时，求三角形的面积．(3)当时，三角形的面积为__________．(4)当时，直接写出的值．第14讲解题技巧专题：平面直角坐标系求面积、规律、新定义问题【题型一利用补形法或分割法求图形的面积】例1．（23-24七年级下·全国·课后作业）如图，在平面直角坐标系中，点，，，，求四边形的面积．【答案】15【分析】本题主要考查了利用直角坐标系求多边形的面积，过点B，C分别作x轴的垂线，垂足分别为点E，F，即可知，代入求解即可．【详解】解：如下图，过点B，C分别作x轴的垂线，垂足分别为点E，F．∵点，，，∴，，∴，，，，．所以四边形的面积是15．【变式1-1】（2023上·安徽滁州·八年级统考期中）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，，过点作轴，过点作轴，轴，过点作轴，分别与和交于点和点，分别与和交于点和点．(1)直接写出下列点的坐标：点____，点____，点____；(2)利用图形求的面积．【答案】(1)，，(2)的面积为9．【分析】本题考查网格中求三角形的面积，坐标与图形．（1）根据点，点，点在坐标系中的位置，直接写出其坐标即可；（2）利用正方形的面积减去周围三个三角形的面积即可求解．【详解】（1）解：点，点，点；故答案为：，，；（2）解：的面积．【变式1-2】如图所示，在平面直角坐标系中，已知，，(1)在平面直角坐标系中画出．(2)求的面积．【答案】(1)见解析(2)15【分析】（1）根据点的坐标画出图形即可；（2）把三角形的面积看成长方形的面积减去周围的三个三角形面积即可．【详解】（1）如图，即为所求；（2）【点睛】本题考查作图-复杂作图，三角形的面积等知识，解题的关键是学会利用面积法解决问题．【变式1-3】已知，在平面直角坐标系中的位置如图所示(1)写出A、B、C三点的坐标；(2)求的面积；(3)中任意一点经平移后对应点为，将作同样的平移得到，画出．【答案】(1)，，(2)11.5(3)见解析【分析】（1）根据平面坐标系得出A、B、C三点的坐标即可；（2）根据各点坐标，利用梯形面积与三角形面积公式求出即可；（3）根据点经平移后对应点为判断出平移方式，然后画出三个顶点的对应点即可．【详解】（1）如图所示：A、B、C三点的坐标分别为：，，；（2）的面积；（3）∵点经平移后对应点为，∴把向右平移4个单位，再向下平移3个单位得．如图，【点睛】此题考查了平移的性质，以及平移图形的画法和三角形面积求法，根据平移的性质正确平移对应顶点是解题关键．【题型二与图形面积相关的点的存在性问题】例2.（23-24七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，轴，垂足为A，轴，垂足为C，已知，，其中a，c满足关系式，点P从O点出发沿折线的方向运动到点C停止，运动的速度为每秒2个单位长度，设点P的运动时间为t 秒．(1)求点A、C的坐标；(2)在运动过程中，当点P到的距离为2个单位长度时，_________；(3)点，在点P的运动过程中，是否存在这样的t值，使，若存在，请求出t值，若不存在，请说明理由．【答案】(1)，(2)2秒或8秒(3)当或时【分析】本题主要考查了坐标与图形的性质，平方和二次根式的非负性，一元一次方程的应用，（1）由平方和二次根式的非负性即可求出a，b的值，即可求出点A、C的坐标．（2）由点A，点C的坐标即可求出点B的坐标，然后根据当点P到的距离为2个单位长度时，分两种情况，即可求出t的值．（3）先根据已知条件，求出，然后根据P在上，P在上，P在上，P在上时，根据已知条件，建立关于t的一元一次方程，解方程即可求解．【详解】（1）解∵，∴，，∴，，∴，，∴，（2）由（1）可知，，∴，当点P到的距离为2个单位长度时，运动路程或者，∴秒或秒∴秒或秒，故答案为：2秒或8秒．（3）存在，理由如下：∵，∴，，∵，，轴，轴，∴，∴，，∴，∴，①当P在上时，，即时，，∴∴，解得，舍去②当P在上时，，即时，，∴∴，解得③当P在上时，，即时，∴，∴，解得，舍去④当P在上时，，即时，∴∴，解得综上，当或时【变式2-1】（2024上·江西吉安·八年级统考期末）如图，在直角坐标平面内，已做，，(1)求的面积．(2)在y轴上找一点D，使，求点D的坐标．【答案】(1)16(2)或【分析】本题考查的是坐标与图形面积，理解坐标系的特点是解本题的关键；（1）直接利用三角形的面积公式计算即可；（2）设点D的坐标为，再利用面积公式建立方程求解即可．【详解】（1）解：；（2）设点D的坐标为，．解得．∴满足条件的点D的坐标为或；【变式2-2】（2023下·黑龙江牡丹江·七年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，点坐标为，点坐标为，点坐标为，且，，满足关系式(1)请求出、、三点的坐标：(2)如果在第三象限内有一点，请用含的式子表示四边形的面积；(3)在（2）的条件下，当时，在轴上是否存在点，使三角形的面积等于四边形面积的若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由．【答案】(1)点坐标为，点坐标为，点坐标为；(2)；(3)存在这样的点M，点M的坐标为或．【分析】本题考查非负数的性质，直角坐标系中的面积问题，三角形的面积公式等知识．（1）根据非负数的性质求解即可；（2）求出，，再用计算即可；（3）根据设为，则，，再结合题意列出绝对值方程，求解即可．【详解】（1）解：∵，∴，∴，，；∴点坐标为，点坐标为，点坐标为；（2）解：过点作于，则，∵，，∴，，∴，，∴；（3）解：存在，点M的坐标为或，理由如下：假设存在这样的点M，设为，则，∵，∴∵，由题意得解得：或，∴存在这样的点M，点M的坐标为或．【变式2-3】（2023下·七年级课时练习）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标分别为，且满足．同时将点分别向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到点的对应点，连接．(1)求点的坐标及四边形的面积；(2)在坐标轴上是否存在一点，连接，使？若存在，求出点的坐标；若不存在，试说明理由；(3)是线段上的一个动点，连接，当点在上移动时（不与点重合），给出下列结论：①的值不变；②的值不变．其中有且只有一个结论是正确的，请你找出这个结论并求其值．【答案】(1)，(2)存在，或(3)①正确，【详解】（1），．点，点．根据平移规律可得，．（2）坐标轴上存在点满足．当点在轴上时，，．．点的坐标为或；当点在轴上时，，．．点的坐标为或．综上，点的坐标为或或或．（3）如图，点在线段上（不与点，重合），作交于点，．．．．．①正确．【题型三平面直角坐标系中新定义规律探究问题】例3.（2023上·安徽宿州·八年级统考期中）在平面直角坐标系中，给出如下定义：点A到x轴、y轴距离的较小值称为点A的“短距”，当点P的“短距”等于点Q的“短距”时，称P，Q两点为“等距点”．(1)点的“短距”为______；(2)若点的“短距”为3，求m的值；(3)若，两点为“等距点”，求k的值．【答案】(1)7(2)4或(3)或【分析】本题主要考查新定义下点到坐标轴的距离，（1）根据新定义，求得点B到坐标轴的距离即可；（2）根据新定义得到，求解即可；（3）根据新定义分别找到点C和点D到坐标轴的距离，再分类讨论与2的大小，列出对应的等式即可求得答案；【详解】（1）解：点到x轴、y轴距离分别为和7，根据定义得点的点的“短距，且，∴，解得或．（3）点C到x轴的距离为，到轴的距离为，到当时，，则或，解得或（舍）．当时，，则或，解得或（舍）．综上，k的值为或．2023上八年级统考期中）轴的距离的较大值称为点点的“长距”若点是若点的长距为的坐标为，试说明：【答案】(1)3(2)或见解析【分析】本题主要考查了平面直角坐标系的知识，属于阅读理解类型题目，关键是要读懂题目里定义的完美点”．）解：根据题意，得点到轴的距离为，到轴的距离为点是∴，∴或，解得或；）解：点的长距为∴，解得，∴，∴点D的坐标为，y轴的距离都是完美点”．中的任意一点，给出如下定义：记，那么我们把点与点称为点和谐点”．例如，点的一对“和谐点是点与点点的一对“和谐点”坐标是与；若点的一对重合，则y的值为若点C的一个坐标为，求点(1)(3)或【分析】（1）根据“2）根据和谐点”的含义及两点重合即可完成；的坐标为，根据）解：由题意得：，，所以点的一对坐标是与；故答案为：；）解：由题意得：，，所以点的一对“和谐点坐标是与；又点的一对重合，，，故答案为：6（3）解：设，的一个“和谐点坐标为，则，，；；若点C的另一个“和谐点”坐标为，则，，；；综上，点C的坐标为或．【点睛】本题是新定义问题，考查了坐标与图形，关键是理解题中“和谐点”的含义．【变式3-3】在平面直角坐标系中，点P（a，b），Q（c，d）给出如下定义：对于实数k（k≠0），我们称点M（ka＋kc，kb＋kd）为P，Q两点的“k”系和点．例如，点P（3，4），Q（1，－2），则点P．Q的“”系和点的坐标为：（2，1），如图，已知点A（4，－1），B（－2，－1）．(1)直接写出点A，B的“－”系和点坐标为_________；(2)若点A为B，C的“－3”系和点，求点C的坐标：(3)点D为A，B的“k”系和点．①求点D的坐标（结果用k含的式子表示）；②若三角形ABD的面积为6，则符合条件的k的值为_________（直接写出结果）．【答案】(1)（-1，1）(2)（，）(3)①，②或【分析】（1）直接根据系和点的定义分别求出点的横坐标与纵坐标即可；（2）设出点C的坐标，根据系和点的定义列出方程，解方程即可得到答案；（3）①根据系和点的定义将k代入计算即可；②求出AB的长度，同时表示出AB边上的高，列出方程解出k的值即可．【详解】（1）解：∵点A（4，－1），B（－2，－1），∴点A，B的“－”系和点的横坐标为，纵坐标为，∴点A，B的“－”系和点坐标为（-1，1）．（2）解：∵点A为B，C的“－3”系和点，设点C坐标为（m，n），∴，，解得，．∴点C的坐标为（，）．（3）解：①∵点D为A，B的“k”系和点，设点D坐标为（a，b）则，，∴点D的坐标为；②∵点A（4，－1），B（－2，－1），∴．∵点D到AB的距离为，三角形ABD的面积为6，∴，解得或，∴符合条件的k的值为或．【点睛】本题考查新定义问题，图形与坐标，解题的关键是正确理解新定义的含义列出代数式表示出点的横纵坐标．【题型四平面直角坐标系中点运动规律探究问题】例4. （23-24七年级下·重庆江北·阶段练习）如图，在平面直角坐标中，动点M从点出发，按图中箭头所示方向依次运动，第1次运动到点，第2次运动到点，第3次运动到点，…，按这样的运动规律，动点M第2024次运动到点（）A．B．C．D．【答案】D【分析】本题考查点的运动规律，能根据点的运动发现第次为正整数）运动后，动点的坐标是是解题的关键．依次求出前几次运动后点的坐标，再根据坐标的变化规律即可解决问题．【详解】解：由题知，第1次运动后，动点的坐标是；第2次运动后，动点的坐标是；第3次运动后，动点的坐标是；第4次运动后，动点的坐标是；第5次运动后，动点的坐标是；第6次运动后，动点的坐标是；第7次运动后，动点的坐标是；由此可见，第次为正整数）运动后，动点的坐标是．又，即第2024次运动后，动点的坐标是，即．故选：D【变式4-1】（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，动点在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点，第2次接着运动到点，第3次接着运动到点，按这样的运动规律，经过第47次运动后动点的坐标是【答案】【分析】本题主要考查了点的坐标规律，从所给的数据和图形中寻求规律进行解题是解答本题的关键．根据已知提供的数据从横纵坐标分别分析得出横坐标为运动次数，纵坐标为1，0，2，0，每4次一轮这一规律，进而求出即可．【详解】解：根据动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点，第2次接着运动到点，第3次接着运动到点，第4次运动到点，第5次接着运动到点，…，∴点P的横坐标为运动次数，纵坐标为1，0，2，0，每4次一轮，∵，则经过第47次运动后，动点P的横坐标为47，纵坐标为2，即经过第47次运动后，动点P的坐标是∶，故答案为∶．【变式4-2】如图，在平面直角坐标系中，设一动点自处向下运动1个单位长度至处，然后向左运动2个单位长度至处，再向上运动2个单位长度至处，再向左运动2个单位长度至处，再向下运动2个单位长度至处，，如此继续运动下去，设，，2，3，，则的坐标是．【答案】【分析】本题考查点的坐标变化规律，根据点的运动方式，依次求出点的坐标，发现规律即可解决问题，能通过计算发现点坐标变化的规律是解题的关键．【详解】解：根据点的运动方式可知，点的坐标为；点的坐标为；点的坐标为；点的坐标为；点的坐标为；点的坐标为；点的坐标为；点的坐标为；点的坐标为；，由此可见，点的横坐标为，纵坐标为，当时，，，所以点的坐标为，所以点的坐标为，故答案为：．【变式4-3】（23-24七年级上·山东东营·期末）如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点O出发，沿着箭头所示方向，每次移动1个单位，依次得到点…，则点的坐标是．【答案】【分析】本题属于平面直角坐标系中找点的规律问题，解答本题的关键是找到循环规律．先根据即可得到，再根据，则，可得．即可作答．【详解】解：由图可得，，，∵∴，即，∴，，故答案为：【题型五平面直角坐标系中图形变换规律探究问题】例5. （23-24九年级上·山东枣庄·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中有一菱形且，点O，B在y轴上，，现在把菱形向右无滑动翻转，每次翻转，点B的落点依次为…，连续翻转2023次，则的坐标为（）A．B．C．D．【答案】D【分析】连接交y轴于点D，根据条件可以求出，画出第5次、第6次、第7次翻转后的图形，容易发现规律：每翻转6次，图形向右平移4．由于，因此点向右平移1348（即）到点，即可求出点的坐标．【详解】连接交y轴于点D，如图所示，∵四边形是菱形，∴，，∴，，∴是等边三角形，∴，∴，∵，∴，∴，∴，画出第5次､第6次､第7次翻转后的图形，由图可知:每翻转6次，图形向右平移4，∵，∴点向右平移1348（即）到点，，∵的坐标为，∴的坐标为，故选：D．【点睛】本题考查点坐标规律探索，菱形的性质、等边三角形的判定与性质等知识，考查了操作、探究、发现规律的能力．发现“每翻转6次，图形向右平移4”是解决本题的关键．【变式5-1】（2024·云南·模拟预测）如图，将边长为的正方形沿轴正方向连续翻转次，点依次落在点、、、、、的位置上，则点的坐标为（ ）A．B．C．D．【答案】A【分析】此题主要考查了通过图形观察规律，根据题意分别求出、、、横坐标，再总结出规律即可得出，解题的关键是善于观察，总结规律．【详解】根据规律、、、、、、、、，；每个一个循环，，依次规律在次循环后与纵坐标一致，横坐标分别为：为、为、为、为；为、为、为、为；依次规律与横坐标为减，∴横坐标为，则坐标是，故选：．【变式5-2】（23-24七年级上·山东东营·期末）如图，在平面直角坐标系中有一边长为1的正方形，边分别在轴、轴上，如果以对角线为边作第二个正方形，再以对角线为边作第三个正方形……照此规律作下去，则的长为．【答案】【分析】首先求出的坐标，找出这些坐标之间的规律，然后根据规律计算出点的坐标．【详解】解：正方形边长为，，正方形是正方形的对角线为边，，点坐标为，同理可知，点坐标为，同理可知，点坐标为，点坐标为，点坐标为，，，，，由规律可以发现，每经过次作图后，点的坐标符号与第一次坐标符号相同，每次正方形的边长变为原来的倍，即，，的横纵坐标符号与点相同，横纵坐标相同，且都在第一象限，的坐标为，，故答案为：．【变式5-3】（23-24九年级上·四川广安·期末）如图，在平面直角坐标系中，矩形的边在轴上，点，点．将矩形绕点A顺时针旋转，每次旋转，当第2023次旋转结束时，点的对应点的坐标是．【答案】【分析】本题主要考查旋转的性质、坐标与图形等致死点，熟练根据旋转的知识确定旋转后的位置是解题的关键．先根据矩形的性质作出旋转后的图形，然后找到C点的坐标规律，并按照规律解答即可．【详解】解：如图：将矩形绕点A顺时针旋转，可知：，，则：每旋转4次则回到原位置，∵，∴第2023次旋转结束时，完成了505次循环，又旋转了3次，∴当第2023次旋转结束时，点C对应的坐标是．故答案为：．。
八年级数学暑假作业辅导 第四讲 三角形与四边形 北师大版
八年级数学暑假作业辅导 第四讲 三角形与四边形 北师大版一、学习指引1.知识要点：三角形的性质，全等三角形的定义、判定和性质，结合等腰三角形、直角三角形以及平行四边形（含矩形、菱形、正方形），梯形等性质的应用，中位线的应用. 2.方法指导：(1)处理有关三角形和四边形的问题，常转化成基本图形来考虑. (2)解题过程中常需添加辅助线.（3）折叠问题中应重视轴对称知识的应用.二、典型例题 例1．如图，已知边长为5的等边三角形ABC 纸片，点E 在AC 边上，点F 在AB 边上，沿着EF 折叠，使点A 落在BC 边上的点D 的位置，且ED BC ⊥，则CE 的长是（ ）A ．10315- B.1053-C ．535- D.20103-例2．如图，O 为□ABCD 的对角线交点，E 为AB 的中点，DE 交AC 于点F ，若S □ABCD ＝12，则S △DOE 的值为 ( )A ．1B ．32C ．2D ．94例3.如图，已知每个小方格的边长为1，A 、B 、C 都在小方格的顶点上，则点C 到AB 所在直线的距离等于 .例4．如图，点A 是5×5网格图形中的一个格点(小正方形的顶点)，图中每个小正方形的边长为1，以A 为其中的一个顶点，面积等于25的格点等腰直角三角形(三角形的三个顶点都是格点)的个数是（ ）A.10个B.12个C.14个D.16个例5．如图，将两张长为8，宽为2的矩形纸条交叉，使重叠部分是一个菱形，容易知道当两张纸条垂直时，菱形的周长有最小值8，那么菱形周长的最大值是 ．A (例4图)BA C (例3图) AB CDEF（例1图） （例2图）例6．如图a是长方形纸带，∠DEF=20°，将纸带沿EF折叠成图b，再沿BF折叠成图c，则图c中的∠CFE的度数是．例7．如图，在四边形ABCD中，E为AB上一点，△ADE和△BCE都是等边三角形，AB、BC、CD、DA的中点分别为P、Q、M、N，试判断四边形PQMN为怎样的四边形，并证明你的结论．例8．如图，已知△ABC中，∠ABC=90°,AB=BC，三角形的顶点在相互平行的三条直线l1，l2，l3上，且l1，l2之间的距离为2 , l2，l3之间的距离为3 ,则AC的长是（）A．172 B．52C．24 D．7例9．如图，l1、l2、l3、l4是同一平面内的四条平行直线，且每相邻的两条平行直线间的距离为h，正方形ABCD的四个顶点分别在这四条直线上，且正方形ABCD的面积是25.（1）连结EF，证明△ABE、△FBE、△EDF、△CDF的面积相等.(例8图)l1l2l3ACB（例5图）A DACBAEACABAFA DACDBEA FCGBABAEACGBA图a图b 图c（2）求h 的值.例10．定义：到凸四边形一组对边距离相等，到另一组对边距离也相等的点叫凸四边形的准内点．．．．如图1，PH PJ =，PI PG =，则点P 就是四边形ABCD 的准内点．（1）如图2， AFD ∠与DEC ∠的角平分线,FP EP 相交于点P ．求证：点P 是四边形ABCD 的准内点．（2）分别画出图3平行四边形和图4梯形的准内点．（作图工具不限，不写作法，但要有必要的说明） （3）判断下列命题的真假，在括号内填“真”或“假”． ①任意凸四边形一定存在准内点．（ ） ②任意凸四边形一定只有一个准内点．（ ）③若P 是任意凸四边形ABCD 的准内点，则PD PC PB PA +=+ 或PD PB PC PA +=+．( )例11．如图，四边形ABCD 中，∠A ＝∠BCD ＝90º，BC ＝CD ，E 是AD 延长线上一点，若DE ＝AB ＝3cm ，CE ＝42cm ，求AD 的长？（例10图）图2图4FEDCB A P G H JI 图1B JI HGD CA P （例11图）例12.在图1至图3中，点B 是线段AC 的中点，点D 是线段CE 的中点．四边形BCGF 和CDHN 都是正方形．AE 的中点是M ．（1）如图1，点E 在AC 的延长线上，点N 与点G重合时，点M 与点C 重合， 求证：FM = MH ，FM⊥MH ；（2）将图1中的CE 绕点C 顺时针旋转一个锐角，得到图14-2， 求证：△FMH 是等腰直角三角形；（3）将图2中的CE 缩短到图14-3的情况， △FMH 还是等腰直角三角形吗？（不必说明理由）三角形与四边形同步练习班级 姓名【基础巩固】1.如图4，∠A=65°，∠B=75°，将纸片的一角折叠，使点C•落在△ABC 内，若∠1=20°，则∠2的度数为______．2．如图，已知在Rt ABC △中，Rt ACB ∠=∠，4AB =，分别以AC ，BC 为直径作半圆，面积分别记为1S ，2S ，则1S +2S 的值等于 ．3．如图，已知矩形ABCD ，将BCD △沿对角线BD 折叠，记点C的对应点为C ′，若ADC ∠′=20°，则BDC ∠的度数为_．4．如图，梯形ABCD 中，∠ABC 和∠DCB 的平分线相交于梯形中位线EF 上的一点P ，若EF=3，则梯形ABCD 的周长为 A.9 B.10.5 （第3题）C ′ AD C 20° （第2题）C ABS 1S 2 AD EFP（第1题）图1 AHC(M) D E B F G (N ) G 图2AH C DEB FN M A H CD E图3 B FG M NC.12D.155．矩形纸片ABCD 的边长AB =4，AD =2．将矩形纸片沿EF 折叠，使点A 与点C 重合，折叠后在其一面着色(如图)，则着色部分的面积为 A. 8 B.112C. 4D.526．将宽为2cm 的长方形纸条折叠成如图所示的形状，那么折痕PQ 长是（ ）A ．233cm B ．433cm C ．5cm D ．2cm 7.如图，在由24个边长都为1的小正三角形的网格中，点P 是 正六边形的一个顶点，以点P 为直角顶点作格点直角三角形 （即顶点均在格点上的三角形），请你写出所有可能的直角三 角形斜边的长 8．如图3，在△ABC 中，AC=BC=2，∠ACB=90°，D 是BC 边的中点，E•是AB 边上一动点，则EC+ED 的最小值是________．9．如图，已知正方形ABCD 的边长为2，△BPC 是等边三角形，则△CDP 的面积是 ；△BPD 的面积是 ．10．如图，∠AOB ＝60°，过OA 上到点O 的距离分别为1，3，5， 7， 9，11，…的点作OA 的垂线与OB 相交，得到并标出一组黑色 梯形，它们的面积分别为1S ，2S ，3S ，4S ，…．观察图中的规 律，求出第100个黑色梯形的面积100S ＝_______________．11．如图，在梯形ABCD 中，AD BC AB DE AF DC E F ∥，∥，∥，、两点在边BC 上，（第10题） P(第7题)C A BDP (第9题) AC D EGF（第5题）F (第8题)60°P Q2cm（第6题）且四边形AEFD 是平行四边形．（1）AD 与BC 有何等量关系？请说明理由； （2）当AB DC =时，求证：ABCD 是矩形．【能力拓展】12.如图，在等腰Rt△ABC 中，∠C=90º，AC=8，F 是AB 边上的中点，点D 、E 分别在AC 、BC 边上运动，且保持AD=CE ，连接DE 、DF 、EF 。
八年级数学暑假作业参考答案(北师大版)
八年级数学暑假作业参考答案（北师大版）1.答案：B2.解析：∠α=30°+45°=75°.答案：D3.解析：延长线段CD到M，根据对顶角相等可知∠CDF=∠EDM.又因为AB∥CD，所以根据两直线平行，同位角相等，可知∠EDM=∠EAB=45°，所以∠CDF=45°.答案：B4. 解析：∵CD∥AB，∴∠EAB=∠2=80°.∵∠ 1=∠E+∠EAB=120°，∴∠E=40°，故选A.答案：A5.答案：B6.答案：D7. 答案：D8. 答案：D9.解析：根据四个选项的描述，画图如下，从而直接由图确定答案.答案：①②④10.答案：如果两个角是同一个角或相等角的余角，那么这两个角相等11.答案：40°12.答案：112.5°13.解：(1)如果一个四边形是正方形，那么它的四个角都是直角，是真命题;(2)如果两个三角形有两组角对应相等，那么这两个三角形相似，是真命题;(3)如果两条直线不相交，那么这两条直线互相平行，是假命题，如图中长方体的棱a，b所在的直线既不相交，也不平行.14. 解：平行.理由如下：∵∠ABC=∠ACB，BD平分∠ABC，CE平分∠ACB，∴∠DBC=∠ECB.∵∠DBF=∠F，∴∠ECB=∠F.∴EC与DF平行.15.证明：∵CE平分∠ACD(已知)，∴∠1=∠2(角平分线的定义).∵∠BAC>∠1(三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角)，∴∠BAC >∠2(等量代换).∵∠2>∠B(三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角)，∴ ∠BAC>∠B(不等式的性质).16.证明：如图④，设AD与BE交于O点，CE与AD交于P点，则有∠EOP=∠B+∠D，∠OPE=∠A+∠C(三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和).∵∠EOP+∠OPE+∠E=180°(三角形的内角和为180°)，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°.如果点B移动到AC上(如图⑤)或AC的另一侧(如图⑥)时，∠EOP，∠OPE仍然分别是△BOD，△APC的外角，所以可与图④类似地证明，结论仍然成立.17.解：(1)∠3=∠1+∠2;证明：证法一：过点P作CP∥l1(点C在点P的左边)，如图①，则有∠1=∠MPC .图①∵CP∥l1，l1∥l2，∴CP∥l2，∴∠2=∠NPC.∴∠3=∠MPC+∠NPC=∠1+∠2，即∠3=∠1+∠2.证法二：延长NP交l1于点D，如图②.图②∵l1∥l2，∴∠2=∠MDP.又∵∠3=∠1+∠MDP，∴∠3=∠1+∠2.(2)当点P在直线l1上方时，有∠3=∠2-∠1;当点P在直线l2下方时，有∠3=∠1-∠2.。
勾股定理-2023年新八年级数学暑假精品课(北师大版)(解析版)
勾股定理1. 掌握勾股定理，了解利用拼图验证勾股定理的方法；会借助勾股定理确定数轴上表示无理数的点，理解实数与数轴上的点一一对应关系；3.能够从实际问题中抽象出直角三角形，并能运用勾股定理进行有关的计算和证明。
知识点 1 勾股定理直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方如图：直角三角形ABC 的两直角边长分别为a b ，，斜边长为c ，那么222a b c +=.注意：（1）勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系.（2）利用勾股定理，当设定一条直角边长为未知数后，根据题目已知的线段长可以建立方程求解，这样就将数与形有机地结合起来，达到了解决问题的目的.（3）理解勾股定理的一些变式：222a c b =−，222b c a =−， ()222c a b ab =+−.运用：1.已知直角三角形的任意两条边长，求第三边；2.用于解决带有平方关系的证明问题；3.利用勾股定理，作出长为的线段 知识点2 勾股定理证明方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形.图（1）中，所以.方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形.图（2）中，所以.方法三：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形.，所以.考点一：一直直角三角形的两边，求第三边长例1．（2022八下·灌阳期末）在直角三角形中，若勾为6，股为8，则弦为（）A．7 B．8 C．9 D．10【答案】D【解答】解：在直角三角形中，若勾为6，股为8，则弦为.故答案为：D.【变式1-1】（2022八下·福州期中）在Rt△ABC中，∠C＝90°.若a＝6，b＝8，则c的值是（）A．10 B．2 C．2 D．4.8【答案】A【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝6，b＝8，由勾股定理得：c＝＝10. 故答案为：A.【变式1-2】（2022八下·兴仁月考）在一个直角三角形中，斜边的长为10，其中一条直角边的长为6，则另一条直角边的长为（）A．B．12 C．9 D．8【答案】D【解答】解：在直角三角形中，∵斜边的长为10，其中一条直角边的长为6，∴另一条直角边的长为：.故答案为：D.【变式1-3】（2022秋•雁塔区校级期中）若直角三角形的三边长为5，12，m，则m2的值为（）A．13 B．119 C．169 D．119或169【答案】D【解答】解：当m为直角边时，m2＝122﹣52＝119；当m为斜边时，m2＝52+122＝169．故选：D．考点二：求直接三角形周长，面积、斜边上的高等问题例2.（2022秋•南关区校级期末）如图，已知正方形A的面积为3，正方形B的面积为4，则正方形C的面积为（）A．7 B．5 C．25 D．1【答案】A【解答】解：∵正方形A的面积为3，正方形B的面积为4，∴正方形C的面积＝3+4＝7．故选：A．【变式2-1】（2022秋•浑南区月考）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，以它的三边为边分别向外作正方形，面积分别为S1，S2，S3，已知S1＝5，S2＝12，则S3的值为（）A．13 B．17 C．7 D．169【答案】B【解答】解：在△ABC中，∠ACB＝90°，则AC2+BC2＝AB2，∴S1+S2＝S3，∵S1＝5，S2＝12，∴S3＝5+12＝17．故选：B．【变式2-2】（2022秋•兴庆区校级月考）如图，△ABC中，∠ABC＝90°，AC＝8，BC＝4，则正方形ABDE 的面积为（）A．18 B．48 C．65 D．72【答案】B【解答】解：在Rt△ABC中，由勾股定理得，AB2＝AC2﹣BC2＝82﹣42＝48，∴正方形ABDE的面积为48，故选：B．【变式2-3】如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为16cm，则正方形A，B，C，D的面积之和为cm2．【答案】256【解答】解：如右图所示，根据勾股定理可知，S正方形2+S正方形3＝S正方形1，S正方形C+S正方形D＝S正方形3，S正方形A+S正方形B＝S正方形2，∴S正方形C+S正方形D+S A+S正方形B＝S正方形2+S正方形3＝S正方形1＝162＝256（cm2）．故答案为：256．考点三：等面积法求直接斜边上的高问题例3.（2020秋•南关区期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，AB＝10，CD⊥AB于D，则CD的长是（）A．6 B．C．D．【答案】C【解答】解：∵∠ACB＝90°，AC＝8，AB＝10，∴BC＝＝6，△ABC的面积＝×AB×CD＝×AC×BC，即×10×CD＝×8×6，解得，CD＝，故选：C．【变式3-1】（2022秋•杭州期中）直角三角形两直角边长度为5，12，则斜边上的高（）A．6 B．8 C．13 D．【答案】D【解答】解：根据勾股定理可得：斜边长2＝52+122，则斜边长＝13，直角三角形面积S＝×5×12＝×13×斜边的高，解得：斜边的高＝；故选：D．【变式3-2】如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，AC＝20，BC＝15．求：（1）CD的长；（2）AD的长．【解答】解：（1）在Rt△ABC中，由勾股定理得，AB＝＝＝25，∵CD⊥AB，∴S，∴CD＝＝12；（2）在Rt△BDC中，由勾股定理得，BD＝＝＝9，AD＝25﹣9＝16．考点四：作无理数的线段例4.（2022八上·兴平期中）如图，是直角三角形，点C在数轴上对应的数为，目，，若以点C为圆心，为半径画弧交数轴于点M，则A，M两点间的距离为（）A．0.4 B．C．D．【答案】C【解答】解：∵△ABC是直角三角形，AB=1，AC=3，OA=1∴，∵AC=1-（-2）=3，∴A，M之间的距离为.故答案为：C【变式4-1】（2022八上·历城期中）如图，点表示的数为，则（）A．B．-1 C．D．【答案】D【解答】解：根据题意得，如图所示，∵是等腰直角三角形，且，∴，又∵弧是以长为半径的圆的一部分，∴，∵是在数轴上原点的坐标，∴点表示的数是，即，故答案为：．【变式4-2】（2022八上·薛城期中）如图，在2×2的正方形网格中，每个小正方形边长为1，点A，B，C 均为格点，以点A为圆心，AB长为半径作弧，交格线于点D，则CD的长为（）A．B．C．D．【答案】D【解答】解：如图所示：∵AD=AB=2，∴，∴CD=；故答案为：D．【变式4-3】（2022八上·埇桥期中）如图所示，在数轴上点A所表示的数为a，CD＝1，则a的值为（）A．B．﹣1C．1D．﹣1【答案】B【解答】解：∵BD，∴BA，∴a＝﹣1，故答案为：B．考点五：勾股定理的证明例 5.勾股定理是毕达哥拉斯定理的中国称谓，它揭示了直角三角形三边的数量关系：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，中国是发现、研究和运用勾股定理最古老的国家之一，我国古代称直角三角形的直角边为“勾”或“股”，斜边为“弦”，因而将这条定理称为勾股定理．请你从以下图形中，任意选择一个来证明这个定理．【解答】证明：方法一：由（1S正方形ABCD＝（a+b）2＝a2+b2+2ab，又∵S正方形ABCD＝，∴a2+b2+2ab＝2ab+c2，∴a2+b2＝c2，方法二：由（2）图可知：S正方形ABCD＝c2，又∵S正方形ABCD＝＝2ab+a2+b2﹣2ab＝a2+b2，∴a2+b2＝c2，方法三：由（3）图可知：S梯形ABCD＝＝+ab，又∵s梯形ABCD＝，∴，∴a2+b2＝c2．【变式5-1】（2022八上·历城期中）如图，赵爽弦图是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的大正方形，若，，则中间小正方形的面积是．【答案】49【解答】解：根据题意得，在中，，，且，∴，又∵，∴，即小正方形的边长是7，∴小正方形的面积为，故答案是：49．【变式5-2】（2021秋•东坡区期末）勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，当两个全等的直角三角形如图摆放时，可以用“面积法”来证明．将两个全等的直角三角形按如图所示摆放，使点A、E、D【解答】证明：∵两个全等的直角三角形如图摆放，∴∠EBA＝∠CED，∵∠EBA+∠BEA＝90°，∴∠BEA+∠CED＝90°，∴∠BEC＝90°，∴△BCE是直角三角形，用两种方法求梯形的面积：S梯形ABCD＝2×ab+c2，S梯形ABCD＝（a+b）2，∴2×ab+c2＝（a+b）2，化简得a2+b2＝c2．1．（2022•荆门）如图，一座金字塔被发现时，顶部已经荡然无存，但底部未曾受损．已知该金字塔的下底面是一个边长为120m的正方形，且每一个侧面与地面成60°角，则金字塔原来高度为（）A．120m B．60m C．60m D．120m【答案】B【解答】解：如图，∵底部是边长为120m的正方形，∴BC＝×120＝60m，∵AC⊥BC，∠ABC＝60°，∴∠BAC＝30°，∴AB＝2BC＝120m，∴AC＝＝m．故选：B2．（2022•黑龙江）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，AC＝6，BC＝8，CD＝．【答案】3【解答】解：如图，过点D作DE⊥AB于E，∵∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，∴AB＝＝＝10，∵AD平分∠CAB，∴CD＝DE，∴S△ABC＝AC•CD+AB•DE＝AC•BC，即×6•CD+×10•CD＝×6×8，解得CD＝3．故答案为：3．3．（2021•娄底）如图，△ABC中，AB＝AC＝2，P是BC上任意一点，PE⊥AB于点E，PF⊥AC于点F，若S△ABC＝1，则PE+PF＝．【答案】1【解答】解：如图所示，连接AP，则S△ABC＝S△ACP+S△ABP，∵PE⊥AB于点E，PF⊥AC于点F，∴S△ACP＝AC×PF，S△ABP＝AB×PE，又∵S△ABC＝1，AB＝AC＝2，∴1＝AC×PF+AB×PE，即1＝×2×PF+×2×PE，∴PE+PF＝1，故答案为：1．4．（2022•永州）我国古代数学家赵爽创制了一幅“赵爽弦图”，极富创新意识地给出了勾股定理的证明．如图所示，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．若大正方形的面积是25，小正方形的面积是1，则AE＝．【答案】3【解答】解：∵大正方形的面积是25，小正方形的面积是1，∴AB＝BC＝CD＝DA＝5，EF＝FG＝GH＝HE＝1，根据题意，设AF＝DE＝CH＝BG＝x，则AE＝x﹣1，在Rt△AED中，AE2+ED2＝AD2，∴（x﹣1）2+x2＝52，解得：x1＝4，x2＝﹣3（舍去），∴x﹣1＝3，故答案为：3．5．（2022•青岛）【图形定义】有一条高线相等的两个三角形称为等高三角形、例如：如图①，在△ABC和△A'B'C'中，AD，A'D'分别是BC和B'C'边上的高线，且AD＝A'D'、则△ABC和△A'B'C'是等高三角形．【性质探究】如图①，用S△ABC，S△A'B'C′分别表示△ABC和△A′B′C′的面积，则S△ABC＝BC•AD，S△A'B'C′＝B′C′•A′D′，∵AD＝A′D′∴S△ABC：S△A'B'C′＝BC：B'C'．【性质应用】（1）如图②，D是△ABC的边BC上的一点．若BD＝3，DC＝4，则S△ABD：S△ADC＝；（2）如图③，在△ABC中，D，E分别是BC和AB边上的点．若BE：AB＝1：2，CD：BC＝1：3，S△ABC ＝1，则S△BEC＝，S△CDE＝；（3）如图③，在△ABC中，D，E分别是BC和AB边上的点．若BE：AB＝1：m，CD：BC＝1：n，S△ABC ＝a，则S△CDE＝．【解答】解：（1）∵BD＝3，DC＝4，∴S△ABD：S△ADC＝BD：DC＝3：4，故答案为：3：4；（2）∵BE：AB＝1：2，∴S△BEC：S△ABC＝BE：AB＝1：2，∵S△ABC＝1，∴S△BEC＝；∵CD：BC＝1：3，∴S△CDE：S△BEC＝CD：BC＝1：3，∴S△CDE＝S△BEC＝×＝；故答案为：，；（3）∵BE：AB＝1：m，∴S△BEC：S△ABC＝BE：AB＝1：m，∵S△ABC＝a，∴S△BEC＝S△ABC＝；∵CD：BC＝1：n，∴S△CDE：S△BEC＝CD：BC＝1：n，∴S△CDE＝S△BEC＝•＝，故答案为：．1．（2022八上·大田期中）直角三角形的一条直角边长是8cm，另一条直角边比斜边短2cm，则斜边长为（）A．12 cm B．15 cm C．17 cm D．20 cm【答案】C【解答】解：设直角三角形斜边为，则另一条直角边为，根据勾股定理，得：，解得：，斜边长为，故答案为：C2．（2023八上·渠县期末）如图，在数轴上，点A，B表示的数分别为﹣2，2，于点B，且.连接，在上截取，以点A为圆心，的长为半径画弧，交线段于点E，则点E表示的实数是（）A．B．C．D．【答案】B【解答】解：∵点A，B表示的数分别为﹣2，2，∴，∵于点B，且.∴，∵，∴，∴，∴点E表示的实数是，故答案为：B.3．（2022八上·杏花岭期中）如图，作一个正方形，使其边长为单位长度，以表示数1的点为圆心，正方形对角线的长为半径画弧，交数轴于点A，则点A表示的数是（）A．B．C．D．【答案】D【解答】解：由题意得：正方形对角线的长为，则点A表示的数为，故答案为：D．4．（2021八上·侯马期末）如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长是，则图中所有正方形的面积的和是（）A．B．C．D．【答案】D【解答】解：如图所示，根据勾股定理可知，，，，则，则故答案为：D.5．（2022八上·泗县期中）若直角三角形的两条边长为a，b，且满足，则该直角三角形的斜边长为．【答案】2或【解答】解：∵，，∴当时，且，∴，，当，是两直角边长时，则该直角三角形的斜边长；由于，当是斜边长时，则该直角三角形的斜边长为2；故答案为：2或6．（2022八上·大田期中）2002年8月在北京召开的国际数学家大会会徽取材于我国古代数学家赵爽的弦图，它是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的大正方形，如图，如果大正方形的面积是49，小正方形的面积为4，直角三角形的较长直角边长为，较短直角边长为，下列四个说法：①②③④其中正确的是.【答案】①③【解答】解∶由题意可得小正方形的边长，大正方形的边长=7，故可得，即②错误；等于大正方形斜边的平方=大正方形的面积，即①正确；小正方形的面积四个直角三角形的面积等于大正方形的面积，即可得，即③正确；根据③可得，故可得，从而可得，即④错误.综上可得①③正确，故答案为∶①③7．（2022八上·源城期中）在等腰三角形中，，，则边上的高是．【答案】8【解答】解：如图所示，过点A作于点D，，，，．故答案为：8．8．（2022八上·代县期末）如图，是张大爷的一块小菜地，已知CD是中AB边上的高，，求BD的长．（结果保留根号）【答案】解：∵CD是中AB边上的高，∴△ACD和△BCD都是直角三角形.在Rt△ACD中∴，∵，∴，在Rt△BCD中，.9.（2022春•巢湖市校级期中）学习勾股定理之后，同学们发现证明勾股定理有很多方法．某同学提出了一种证明勾股定理的方法：如图1点B是正方形ACDE边CD上一点，连接AB，得到直角三角形ACB，三边分别为a，b，c，将△ACB裁剪拼接至△AEF位置，如图2所示，该同学用图1、图2的面积不变证明了勾股定理．请你写出该方法证明勾股定理的过程．【解答】证明：如图，连接BF，∵AC＝b，∴正方形ACDE的面积为b2，∵CD＝DE＝AC＝b，BC＝a，EF＝BC＝a，∴BD＝CD﹣BC＝b﹣a，DF＝DE+EF＝a+b，∵∠CAE＝90°，∴∠BAC+∠BAE＝90°，∵∠BAC＝∠EAF，∴∠EAF+∠BAE＝90°，∴△BAE为等腰直角三角形，∴四边形ABDF的面积为：c2+（b﹣a）（a+b）＝c2+（b2﹣a2），∵正方形ACDE的面积与四边形ABDF的面积相等，∴b2＝c2+（b2﹣a2），∴b2＝c2+b2﹣a2，∴a2+b2＝c2，∴a2+b2＝c2．10．（2022八上·太原期中）阅读与应用：下面是小敏学习实数之后，写的数学日记的一部分，请你认真阅读，并完成相应的任务．．如图半径画弧与数轴分别交于点，对应的数为，点．类似地，我们可以在数轴上找到表示，，…的点．拓展思考：如图中正方形的位置，用类似的方法作图，可在数轴上构造出线段与，与按照这样的思路，只要构造出特定长度的线段，就能在数轴上找到无理数对应的点！任务：（1）“拓展思考”中，线段的长为，的长为；点B表示的数为，点表示的数为．（2）请从A，B两题中任选一题作答．我选择题A．请在图3所示的数轴上，画图确定表示的点M，N；B．请在图3所示的数轴上，画图确定表示的点M．【答案】（1）；；；（2）解：选A题：因为，作出单位长度以1和3为直角边的直角三角形，其斜边即是，然后以原点为圆心，以为半径画弧，如图所示：选B题：∵，∴点M在数轴的负半轴；，以表示的数为2的点为圆心，在圆心的左侧，作出单位长度以1和3为直角边的直角三角形，其斜边即是，然后，以为半径画弧，与数轴负半轴相交的点即为所求，如图所示：【解析】【解答】解：（1）记表示的数为1的点（记作C）为圆心作弧，∵圆的半径为，即，∴；；又点B，分别在原点的右侧、左侧，∴点B表示的数为，点表示的数为。
八年级数学北师大版数学培优辅差记录表8篇
八年级数学北师大版数学培优辅差记录表8篇【引言】八年级数学是初中阶段的关键学科，不仅对学生的后续学习产生深远影响，而且对学生的逻辑思维和解决问题能力有着重要培养作用。
为了更好地帮助学生掌握数学知识，提高数学素养，北师大版数学教材应运而生。
同时，与之配套的培优辅差记录表也发挥着举足轻重的作用。
【北师大版八年级数学教材特点】1.教材内容设置：北师大版八年级数学教材在内容设置上，遵循由浅入深、循序渐进的原则，让学生在掌握基础知识的同时，逐步提高数学素养。
2.教材难度与知识点覆盖：相较于其他版本教材，北师大版八年级数学教材难度适中，知识点覆盖全面，有利于学生系统地学习数学知识。
3.教材的实用性与前瞻性：北师大版教材注重培养学生的实际应用能力，引入现实生活中的案例，使学生能够学以致用。
同时，教材还关注数学学科的发展趋势，为学生今后的学习打下坚实基础。
【培优辅差记录表的设计与应用】1.记录表的结构与内容：培优辅差记录表分为五个部分，包括学生基本信息、学习计划、学习进度、成果展示和教师评价。
2.记录表的使用方法：教师可以根据学生的实际情况，制定个性化的学习计划，并在课堂上进行针对性辅导。
同时，学生可以利用记录表自我监督，确保学习计划的落实。
3.记录表在教学中的优势与作用：通过记录表，教师可以全面了解学生的学习状况，及时调整教学方法，提高教学质量。
学生可以通过记录表，明确自己的学习目标和进度，养成良好的学习习惯。
家长也可以通过记录表，了解孩子的学习状况，更好地配合教师进行家校共育。
【如何利用记录表提高学生数学能力】1.学生自主学习：学生可以根据记录表上的学习计划，自主完成学习任务，培养独立思考和解决问题的能力。
2.教师针对性地进行辅导与指导：教师根据记录表上的学生学习进度，有针对性地进行辅导，帮助学生解决学习中遇到的困难。
3.家长参与监督与鼓励：家长可以通过记录表，了解孩子的学习情况，对孩子进行有效监督和鼓励，增强孩子的学习信心。
八年级数学暑假培优-北师大版
225400 A225400B256112 C144400D勾股定理【知识要点】1、勾股定理是：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，即：222c b a =+2、勾股定理逆定理：如果三角形的三边长a 、b 、c 满足222a b c +=那么这个三角形是直角三角形。
【典型习题】例1、如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC=6cm,BC=8cm,现将直角边AC 沿直线AD 折叠，使它落在斜边AB 上，且与AE 重合，那么CD 等于〔〕 A. 2cm B. 3cm C. 4cm D. 5cm例2、求以下各图字母中所代表的正方形的面积。
=A S =B S =C S =D S例3、如图，一次“台风〞过后，一根旗杆被台风从离地面8.2米处吹断，倒下的旗杆的顶端落在离旗杆底部6.9米处，那么这根旗杆被吹断裂前至少有多高？例4、如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边和长为7cm ,那么正方形A ，B ，C ，D 的面积之和为___________cm 2。
2.8米9.6米例5、在平静的湖面上，有一支红莲，高出水面1米，阵风吹来，红莲被吹到一边，花朵齐与水面，红莲移动的水平距离为2米，问这里水深是________m 。
例6、为丰富少年儿童的业余文化生活，某社区要在如下图的AB 所在的直线上建一图书阅览室，该社区有两所学校，所在的位置分别在点C 和点D 处。
CA ⊥AB 于A ，DB ⊥AB 于B ，AB=25km ，CA=15km,DB=10km,试问：阅览室E 建在距A 点多远时，才能使它到C 、D 两所学校的距离相等？例7、如下图，MN 表示一条铁路，A 、B 是两个城市，它们到铁路的所在直线MN 的垂直距离分别AA1=20km,BB1=40km ，A1B1=80km.现要在铁路A1，B1=80km 。
现要在铁路A1，B1之间设一个中转站P ，使两个城市到中转站的距离之和最短。
八年级数学暑假作业辅导 第二讲 方程与方程组 北师大版
八年级数学暑假作业辅导 第二讲 方程与方程组 北师大版一、 学习指引1．知识要点（1）一元一次方程 （2）二元一次方程组 （3）一元二次方程 （4）分式方程 （5）方程的整数根 （6）方程应用问题2．方法指导（1）一元一次方程经变形总可以化成ax=b 的形式，此时需注意对字母系数的讨论． （2）二元及多元(二元以上)一次方程组的求解，主要是通过同解变形进行消元，最终转化为一元一次方程来解决．所以，解方程组的基本思想是消元．（3）方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)称为一元二次方程：①一元二次方程的基本解法有开平方法、配方法、公式法和因式分解法．②对于方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)， b 2-4ac 称为该方程的根的判别式．（4）解分式方程的基本方法：①去分母；②求出整式方程未知数的值；③验根.（5）列方程（组）解应用题其具体步骤是： ①审－－理解题意,弄清问题中已知量是什么，未知量是什么，问题给出和涉及的相等关系是什么；②设－－即找出题中和未知量，选择其中一个设为未知数；③列－－找出题中和等量关系，列出方程；④解－－解出所列的方程；⑤答－－检验作答.其中列是关键，特别是找等量关系。
找等量关系的方法是—用两种方式表达同一个量！ 二、典型例题例1．解关于x 的方程：(1)4x+b=ax-8； (2) 0232=+-x x ；(3) 6,234()5() 2.x y x yx y x y +-⎧+=⎪⎨⎪+--=⎩ (4)21124x x x -=--例2．若关于x ，y 的二元一次方程组⎩⎨⎧=-=+k y x ,k y x 95的解也是二元一次方程632=+y x 的解，求k 的值．例3．关于x 的方程0112)21(2=-+--x k x k 有两个不相等的实数根，求k 的取值范围．例4. 符号“a b c d”称为二阶行列式，规定它的运算法则为：a b ad bc c d=-，请你根据上述规定求出下列等式中x 的值：2111111xx =-- ．例5．设a 是方程0120062=+-x x 的一个根，求代数式20061200722++-a a a 的值．例6．求出二元一次方程2x+3y=20的非负整数解．例7．小明计划将今年春节期间得到的压岁钱的一部分作为自己一年内购买课外书籍的费用，其余的钱计划买这些玩具去看望市福利院的孩子们．某周日小明在商店选中了一种小熊玩具，单价是10元，按原计划买了若干个，•结果他的压岁钱还余30%，于是小明又多买了6个小熊玩具，这样余下的钱仅是压岁钱的10%．（1）问小明原计划买几个小熊玩具，小明的压岁钱共有多少元？（2）为了保证小明购书费用不少于压岁钱的20%，•问小明最多可比原计划多买几个玩具？例8．某超市对顾客实行优惠购物，规定如下：（1）若一次购物少于200元，则不予优惠；（2）若一次购物满200元，但不超过500元，按标价给予九折优惠；（3）若一次购物超过500元，其中500元以下部分（包括500元）给予九折优惠，超过500元部分给予八折优惠． 小李两次去该超市购物，分别付款198元和554元，现在小张决定一次性地购买和小李分两次购买同样多的物品，他需付多少元？例9．春秋旅行社为吸引市民组团去天水湾风景区旅游，推出了如图1对话中收费标准．某单位组织员工去天水湾风景区旅游，共支付给春秋旅行社旅游费用27000元.请问该单位这次共有多少员工去天水湾风景区旅游？例10．为了支援四川人民抗震救灾，某休闲用品有限公司主动承担了为灾区生产2万顶帐篷的任务，计划10天完成．（1）按此计划，该公司平均每天应生产帐篷 顶；（2）生产2天后，公司又从其它部门抽调了50名工人参加帐篷生产，同时，通过技术革新等手段使每位工人．．．．的工作效率比原计划提高了25％，结果提前2天完成了生产任务．求该公司原计划安排多少名工人生产帐篷？图1 如果人数超过25人，每增加1人，人均旅游费用降低20元，但人均旅游费用不得低于700如果人数不超过25人，人均旅游费用为1000元.第二讲 方程与方程组同步练习 班级 姓名【基础巩固】1.若n （0n ≠）是关于x 的方程220x mx n ++=的根，则m+n 的值为__________． 2.如果关于x 的一元二次方程22(21)10k x k x -++=有两个不相等的实数根，那么k 的取值范围是 . 3.已知关于x 的方程322=-+x mx 的解是正数，则m 的取值范围为____________. 4.已知x ay b=⎧⎨=⎩是方程组||223x x y =⎧⎨+=⎩的解，则a+b 的值等于 ．5. 若x 与y 互为相反数，且532=-y x ，则=+332y x _________．6.一家商店将某种服装按成本价提高40%后标价,又以8折优惠卖出,结果每件仍获利15元,这种服装每件的成本为 元. 7.已知方程组325(1)7x y kx k y -=⎧⎨+-=⎩的解x ，y ，其和x+y=1，则k ＝_____8.篮球巨星姚明在一场比赛中24投14中，拿下28分，其中三分球三投全中，那么姚明两分球投中 球，罚球投中 球. 9. 用换元法解分式方程13101x x x x --+=-时，如果设1x y x-=，将原方程化为关于y 的整式方程，那么这个整式方程是（ ）A ．230y y +-= B ．2310y y -+= C ．2310y y -+= D ．2310y y --= 10. 一条船顺流航行是逆流航行的速度的3倍，则船在静水中航速与水的流速之比为（ ）A ．3:1 B.2:1 C.1:1 D.5:211.方程(3)(1)3x x x -+=-的解是（ ）A ．0x =B ．3x =C ．3x =或1x =-D ．3x =或0x = 12．08年省政府提出确保到2010年实现全省森林覆盖率达到63%的目标，已知08年我省森林覆盖率为60.05%，设从08年起我省森林覆盖率年平均增长率为x ，则可列方程（ ） A ．()60.051263%x += B ．()60.051263x += C ．()260.05163%x +=D ．()260.05163x +=13．方程4x+y=20的正整数解有（ ）组.A ．2 B.3 C.4D.5142()x y =+，则x －y 的值为（ ）A ．－1B ．1C ．2D ．315．两位数的大小恰好等于其个位与十位数字之和的4倍，这样的两位数共有（ ）个 A.3 B.4 C.5 D.6 16.方程12x ⨯+23x ⨯+…+19951996x ⨯=1995的解是( ) A.1995 B.1996 C.1997 D.1998【能力拓展】17.解下列关于x 的方程:(1)ax-1=bx (2) x 2－6x+9=（5－2x ）2（3）271132x y y x -=⎧⎪⎨--=⎪⎩ (4) 3215122=-+-x x x18．已知关于x ，y 的方程组⎩⎨⎧=+=+12by ax y x 与⎩⎨⎧=-=-452by ax y x 的解相同，求a ，b 的值．19. 已知等腰三角形两边长分别是方程28150x x -+=的两根，求此等腰三角形的周长．20．已知a,b 是一元二次方程x 2－x －1=0的两个根,求代数式3a 2+2b 2－3a －2b 的值．21.已知：关于x 的方程0122=-+kx x .（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）若方程的一个根是-1，求另一个根及k值.22.某人沿着向上移动的自动扶梯从顶部朝下走到底部用了7min30s，而他沿着自动扶梯从底部朝上走到顶部只用了1min30s，那么此人不走，•乘着扶梯从底部到顶部需用几分钟？若停电，此人沿扶梯从底部走到顶部需几分钟？（假定此人上，下扶梯的行走速度相同）23. 一辆汽车从A地驶往B地，前13路段为普通公路，其余路段为高速公路．已知汽车在普通公路上行驶的速度为60km/h，在高速公路上行驶的速度为100km/h，汽车从A地到B地一共行驶了2.2h．请你根据以上信息，就该汽车行驶的“路程”或“时间”，提出一个用二元一次方程组．．．．．．．解决的问题，并写出解答过程．24.通惠新城开发某工程准备招标，指挥部现接到甲、乙两个工程队的投标书，从投标书中得知：乙队单独完成这项工程所需天数是甲队单独完成这项工程所需天数的2倍；该工程若由甲队先做6天，剩下的工程再由甲、乙两队合作16天可以完成．（1）求甲、乙两队单独完成这项工程各需要多少天？（2）已知甲队每天的施工费用为0.67万元，乙队每天的施工费用为0.33万元，该工程预算的施工费用为19万元．为缩短工期，拟安排甲、乙两队同时开工合作完成这项工程，问：该工程预算的施工费用是否够用？若不够用，需要追加预算多少万元？请说明理由．25．如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=6cm ，BC=8cm ．点P 、Q 同时由A 、B 两点出发，分别沿AC 、BC 方向都以1cm/s 的速度匀速移动，几秒后△PCQ 的面积是△ABC 面积的一半？QPCBA第二讲 方程（典型例题）例1.(1) 当a ≠4时,•方程有惟一解x=84b a +-； 当a=4且b=-8时,方程有无数个解；当a=4且b ≠-8时,方程无解；(2)x=1或2；(3) ⎩⎨⎧==17y x ；(4) x=23-．例2．k=103． 例3. ∵原方程有两个不相等的实数根，224(4(12)(1)480b ac k k -=---⋅-=-+∴．> ，∴2k <．又∵原方程中，021≠-k ，10k +≥，∴112k k -≠≥且 ∴1122k k -≠≤且<． 例4.x=4． 例5.-1． 例6.⎩⎨⎧==010y x ，⎩⎨⎧==27y x ，⎩⎨⎧==44y x ，⎩⎨⎧==61y x例7.（1）由小明原计划买x 个小熊玩具，压岁钱共有y 元由题意，得1030%,10(6)10%.y x y y x y -=⎧⎨-+=⎩ 解这个方程组，得21300x y =⎧⎨=⎩答：小明原计划买21个小熊玩具，压岁钱共有300元．（2）设小明比原计划多买z 个小熊玩具，由题意得300－10（21+z ）≥20%×300，解得z≤3． 例8. （1）小李第一次购物付款198元．①当小李购买的物品不超过200元时，不予优惠，此时实际购买198元的物品； ②当小李购买的物品超过200元时，设小李购买x 元的物品，依题意可得： x ×90%=198，解之，得x=220即小李实际购买220元的物品．（2）小李第二次购物付款554元，因为554>500，故第二次小李购物超过500元，•设第二次小李购物y 元，依题意可得：（y －500）×80%+500×90%=554，解之得y=630，即小李实际购买630元的物品． 当小张决定一次性购买和小李分两次购买同样多的物品时，•小张应购买的物品为：198+630=828（元）或者220+630=850（元），此时应付款为： 500×90%+（828－500）×80%=712.4（元） 或者：500×90%+（850－500）×80%=730（元）答：小张应付款712.4元或730元．例9. 设该单位这次共有x 名员工去天水湾风景区旅游.因为1000×25＝25000＜27000，所以员工人数一定超过25人.则根据题意，得[1000－20(x －25)]x ＝27000.整理，得x 2－75x +1350＝0，解这个方程，得x 1＝45，x 2＝30. 当x ＝45时，1000－20(x －25)＝600＜700，故舍去x 1； 当x 2＝30时，1000－20(x －25)＝900＞700，符合题意. 答：该单位这次共有30名员工去天水湾风景区旅游.例10.（1）2000（2）设该公司原计划安排x 名工人生产帐篷，则由题意得：20002000022000(125)(1022)(50)x x -⨯+=--+％， 5163(50)x x ∴=+． ∴解这个方程，得750x =．经检验，750x =是所列方程的根，且符合题意．答：该公司原计划安排750名工人生产帐篷．第二讲 方程（同步练习）【基础巩固】 1．-2 2．k ＞14-且0k ≠ 3．m ＞-6 且m ≠-4 4．1或5 5．-1 6．125 7．5338．8，3 9．A 10．B 11．D 12．D 13．C 14．C 15．B 16．B【能力拓展】17．(1)当a ≠b 时,方程有惟一解x=1a b-；当a=b 时,方程无解；(2)x=38或2；(3) ⎩⎨⎧-==31y x ； (4) x=21-18． ⎩⎨⎧-==13y x ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==2365b a 19．11或13.20.∵ a ，b 是方程x 2－x －1=0的两个根 ∴ a= a 2－1 ，b= b 2－1∴ 3a 2+2b 2－3a －2b=3a 2+2b 2－3（a 2－1）－2（b 2－1）=5． 21.（1）略；（2）另一根为21；k=1． 22．设此不走，乘着扶梯从底部到顶部需要xmin ，停电时此人从底部走到顶部需用ymin ，依题意得 1111.51117.5x y y x ⎧+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩解得 3.752.5x y =⎧⎨=⎩故乘着扶梯从底部到顶部需要用3min45s ；•停电时此人从底部走到顶部需要用2min30s ．23．答案不唯一，略。
北师大版八年级数学暑假作业(七)及答案
初中八年级数学(北师大版)暑假作业（七）一、基础训练之填空题：乐洋洋给我们送来了一组题目，（总共是30枚会标)赶快去收集吧。
1、的最简公分母为______4ab2______。
2、的最简公分母为x2 -y2。
3、如果m2 +n2 =10, mn=3, 那么的值为。
(用假分数表示)4、不改变分式的值，使分子、分母都不含负号：＝；＝；＝；＝。
5、已知, 则=。
有点难，认真想想哦！二．基础训练题：同学们，我是阿祥上面乐洋洋的题答的怎么样了？我可遇到难题了，老师给我出了一些更难的题，我没达到老师的要求，没能收集到会标，全靠你们了（总共是30枚会标）。
1. 若,则x=_____3_____.2. 当a=-0.5时,关于x的方程的解为 1 .3. 要把分式方程化为整式方程,方程两边需要同时乘以x (2x-4).4．分式方程+1=有增根，则m=___3____.5、计算＝，则T＝。
做得太好了！三、能力训练阿和气喘嘘嘘得跑过来对大家说：“快点，亚运组委会招记分员和算分员呢，我们去看看吧。
”到那一看原来他们是有条件的，得答对下面的题，你能行吗？（总共是30枚会标）1、计算：（1）＝，则T＝；（2）＝。
2、解分式方程：（1）方程的解为：x= 3；（2）方程的解为：x= -6。
四、能力提升阿如发现下面这道题很难解答，你来帮她看看，应该怎么解答呢？（总共是10枚会标）算一算：1、某公司出租一批店面,每间店面的租金第二年比第一年多600元,所有店面出租的租金第一年为6万元,第二年为9万元,则第一年每间店面的租金是1200元。
2、甲、乙两人分别加工1500个零件,由于采用新技术,在同一时间内乙加工的零件数是甲的3倍,因此,乙比甲少用20h加工完,则甲每小时各加工50个零件，则乙每小时各加工150个零件。
同学们，我们一起努力把数学学好哦！。
2024年新八年级数学暑假提升精品讲义(北师大版)第12讲 平面直角坐标系【六大考点+过关测】
第12讲 平面直角坐标系模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材）模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测1．认识到建立平面直角坐标系的必要性，并能掌握平面直角坐标系的相关概念；2．在给定的坐标系中，会根据坐标描出点的位置、由点的位置写出点的坐标；知识点一．有序数对：有顺序的两个数a 与b 组成的数对叫做有序数对，记作．注意：有序数对是有顺序的，可以准确地表示出平面内一个点的位置，和表示的意义是不同的．知识点二．平面直角坐标系：两条互相垂直的共原点数轴组成．水平的数轴叫做横轴（x轴），取向右为正方向；竖直的数轴叫做纵轴（y轴），取向上为正方向；两轴公共的原点为坐标原点．注意：同一数轴上的单位长度是一样的，一般情况下两轴上的单位长度也相同．知识点三．点的坐标：如下图，由点P分别向x轴和y轴作垂线，垂足A在x轴上的坐标是a，垂足B在y轴上的坐标是b，则点P的坐标为，其中a为点P的横坐标，b为点P的纵坐标．知识点四．象限和坐标轴：（1）第一象限内的点的坐标满足：，；（2）第二象限内的点的坐标满足：，；（3）第三象限内的点的坐标满足：x＜0，；（4）第四象限内的点的坐标满足：，.（5）x轴上的点的坐标满足：；（6）y轴上的点的坐标满足：；注意：两条坐标轴上的点不属于任何一个象限．知识点五．坐标系中的特殊直线：（1）与x轴平行的直线：所有点的纵坐标都相等，即直线为；（2）与y轴平行的直线：所有点的横坐标都相等，即直线为．（3）一、三象限角平分线：横坐标与纵坐标相等，且直线为；（4）二、四象限角平分线：横坐标与纵坐标互为相反数，且直线为．知识点六．点到特殊直线的距离：（1）点到x轴的距离为；到直线（m为常数）的距离为；（2）点到y轴的距离为；到直线（n为常数）的距离为．考点一：用有序数对表示位置/路线例八年级统考期末）若用表示第为【变式1-1】（23-24七年级下·广东广州·阶段练习）如果“2街5号”，记作，那么“”表示．【变式1-2】（23-24八年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，雷达探测器在一次探测中发现了三个目标A、B、C，点A、B的坐标分别表示为，则点C的坐标表示为．【变式1-3】（23-24七年级上·江苏泰州·期末）如图，点在射线上，．现将绕点按逆时针方向旋转到，那么点的位置可以用表示；再将延长到，使，再将按逆时针方向继续旋转到，那么点的位置可以用表示．考点二：判断点所在的象限例2.（23-24八年级上·安徽安庆·期末）若点P的坐标为，则点P在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【变式2-1】（2023上·浙江·八年级专题练习）在平面直角坐标系中，点位于（ ）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【变式2-2】（23-24八年级下·河南南阳·阶段练习）在平面直角坐标系中，若点在第二象限内，则点所在的象限是（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【变式2-3】（2023·广西梧州·三模）在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点在（ ）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限考点三：求点到坐标轴的距离例3. （22-23八年级上·河南洛阳·阶段练习）点到y轴的距离为，到x轴的距离为．八年级统考期末）平面内点到x轴的距离是，到轴的距离是，到原点的距离是．【变式3-3】（23-24八年级上·四川达州·期中）点到x轴的距离为，到y轴的距离为，到原点的距离为．考点四：已知含参数的点在坐标轴上求点的坐标例4. （23-24八年级上·广东茂名·阶段练习）点在轴上，则的值为．【变式4-1】（23-24八年级上·安徽宿州·期中）若点在y轴上，则点P的坐标为．【变式4-2】（23-24八年级上·湖南长沙·开学考试）如果点在第三象限，则点在象限；若点在直角坐标系的x轴上，则点的坐标为．【变式4-3】（23-24八年级上·广东茂名·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知点．(1)若点在轴上，求点的坐标；(2)若点在第二、四象限的角平分线上，求点的坐标．考点五：已知点所在的直线平行于坐标轴求点的坐标例5. （2023八年级上·全国·专题练习）在平面直角坐标系中，已知点，直线与轴平行，若，则点的坐标为．【变式5-1】（2024上·安徽安庆·八年级统考期末）已知点，分别根据下列条件求出点M的坐标．(1)点M在x轴上，(2)点N的坐标为，且直线轴．【变式5-2】（23-24八年级上·江西抚州·期中）已知点，分别根据下列条件求出点P的坐标．(1)点P在y轴上；(2)点Q的坐标为，且直线轴；(3)点P到x轴的距离与到y轴的距离相等．【变式5-3】（22-23七年级下·湖南长沙·阶段练习）已知点，解答下列各题：(1)若点Q的坐标为，直线轴，求点P的坐标：(2)若点P在第二象限，且它到x轴、y轴的距离相等，求的值．考点六：建立适当的平面直角坐标系并写出点的坐标例6.（23-24八年级上·安徽六安·阶段练习）如图，是某学校的平面示意图．(1)请以国旗杆所在位置为坐标原点建立平面直角坐标系；(2)根据（1）所建立的平面直角坐标系，直接写出校门、图书馆、劳动基地和教学楼的坐标．【变式6-1】．（23-24七年级上·山东淄博·期末）如图，是某市各建筑设施的平面位置示意图，每个小正方形的边长为1（单位：千米）．(1)建立适当的坐标系，使码头的坐标为；(2)在（1）中所建立的坐标系内，要在某位置建一个广场，使其与码头的位置关于轴对称，在图中描出点的位置．【变式6-2】（23-24八年级上·贵州贵阳·期中）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，请根据如图解决问题．(1)在学校南偏西的方向上有______（填场所名）(2)若体育场的坐标为，图书馆的坐标为．①请建立适当的平面直角坐标系并写出游乐园和电视塔的坐标；②市政府所表示的点关于y轴对称后的点坐标为______，请在坐标系中标出该点的位置．一、单选题1．（23-24七年级下·江苏南通·期中）在平面直角坐标系中，点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．（23-24七年级下·广西南宁·期中）根据下列表述，不能确定具体位置的是（）A．青县众视影城1号厅的3排4座B．青县清州镇新华西路226号C．某灯塔南偏西方向D．东经，北纬3．（23-24七年级下·四川自贡·期中）若在y轴上，则P到x轴的距离是（ ）A．B．1C．2D．34．（23-24七年级下·吉林延边·期中）如图，小明告诉小华图中两点的坐标分别为，小华一下就说出了点的正确坐标，那么小华说出的点的坐标是（）A．B．C．D．5．（23-24七年级下·云南昭通·期中）平面直角坐标系内点A到x轴的距离为3，到y轴的距离为4．点A的坐标不可能是（）A．B．C．D．二、填空题6．（23-24七年级下·内蒙古通辽·期中）点所在的象限是．7．（23-24七年级下·河南商丘·期中）已知，则点在第象限．8．（23-24七年级下·重庆铜梁·期中）平面直角坐标系中，若点在x轴上，则点的坐标为；9．（23-24七年级下·山东德州·期中）如图，一艘船在处遇险后向相距80海里位于处的救生船报警．用方向和距离描述救生船相对于遇险船的位置．10．（2024七年级下·北京·专题练习）点，B在平面直角坐标系中，且轴．若的面积为5，则点B坐标为．三、解答题11．（23-24七年级下·湖北·期中）如图，如果“将”的位置用有序数对表示为．(1)用同样的方式表示“相”与“象”的位置；(2)“馬”走“日”字对角线．用同样的方式表示“馬7进8”（即第7列的马前进到第8列）后的位置．12．（2024七年级下·天津·专题练习）已知点，，．(1)在平面直角坐标系中描出A，B，C三点；(2)求的面积；(3)若点P在y轴上，当的面积为6时，请直接写出点P的坐标．13．（23-24七年级下·四川泸州·期中）在平面直角坐标系中，已知点．(1)若点在轴上，求的值；(2)若点在第一、三象限的角平分线上，求的值．(3)若点坐标，并且轴，求点坐标．14．（23-24七年级下·广东珠海·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知，点，，．(1)请直接写出A、B的坐标；(2)若点在第二象限内，请用含m的式子表示四边形的面积：(3)在（2）的条件下，若四边形的面积与的面积相等，求出点P的坐标．第12讲 平面直角坐标系模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材）模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测1．认识到建立平面直角坐标系的必要性，并能掌握平面直角坐标系的相关概念；2．在给定的坐标系中，会根据坐标描出点的位置、由点的位置写出点的坐标；知识点一．有序数对：有顺序的两个数a 与b 组成的数对叫做有序数对，记作．注意：有序数对是有顺序的，可以准确地表示出平面内一个点的位置，和表示的意义是不同的．知识点二．平面直角坐标系：两条互相垂直的共原点数轴组成．水平的数轴叫做横轴（x轴），取向右为正方向；竖直的数轴叫做纵轴（y轴），取向上为正方向；两轴公共的原点为坐标原点．注意：同一数轴上的单位长度是一样的，一般情况下两轴上的单位长度也相同．知识点三．点的坐标：如下图，由点P分别向x轴和y轴作垂线，垂足A在x轴上的坐标是a，垂足B在y轴上的坐标是b，则点P的坐标为，其中a为点P的横坐标，b为点P的纵坐标．知识点四．象限和坐标轴：（1）第一象限内的点的坐标满足：，；（2）第二象限内的点的坐标满足：，；（3）第三象限内的点的坐标满足：x＜0，；（4）第四象限内的点的坐标满足：，.（5）x轴上的点的坐标满足：；（6）y轴上的点的坐标满足：；注意：两条坐标轴上的点不属于任何一个象限．知识点五．坐标系中的特殊直线：（1）与x轴平行的直线：所有点的纵坐标都相等，即直线为；（2）与y轴平行的直线：所有点的横坐标都相等，即直线为．（3）一、三象限角平分线：横坐标与纵坐标相等，且直线为；（4）二、四象限角平分线：横坐标与纵坐标互为相反数，且直线为．知识点六．点到特殊直线的距离：（1）点到x轴的距离为；到直线（m为常数）的距离为；（2）点到y轴的距离为；到直线（n为常数）的距离为．考点一：用有序数对表示位置/路线例八年级统考期末）若用表示第为【答案】【分析】本题考查了坐标确定位置，理解有序数对的两个数的实际意义是解题的关键．【详解】解：∵第3排第2座表示为，∴第5排第4座可表示为，故答案为：．【变式1-1】（23-24七年级下·广东广州·阶段练习）如果“2街5号”，记作，那么“”表示．【答案】5街6号【分析】本题考查有序数对表示的含义．根据题意可知表示“5街6号”，即为答案．【详解】解：∵“2街5号”，记作，∴“”表示“5街6号”，故答案为：5街6号．【变式1-2】（23-24八年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，雷达探测器在一次探测中发现了三个目标A、B、C，点A、B的坐标分别表示为，则点C的坐标表示为．【答案】【分析】此题考查了用有序数对表示点的位置，根据点的位置写出答案即可．【详解】解：如图所示，根据题意可得，点C的坐标表示为．故答案为：．【变式1-3】（23-24七年级上·江苏泰州·期末）如图，点在射线上，．现将绕点按逆时针方向旋转到，那么点的位置可以用表示；再将延长到，使，再将按逆时针方向继续旋转到，那么点的位置可以用表示．【答案】【分析】本题考查了坐标位置确定，直接利用已知点的意义，进而得出点的位置表示方法，正确得出坐标的意义是解此题的关键．【详解】解：如图所示，由题意可得：，，，点的位置可以用表示，故答案为：．考点二：判断点所在的象限例2.（23-24八年级上·安徽安庆·期末）若点P的坐标为，则点P在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】B【分析】根据平面直角坐标系各象限点的坐标特点即可求解，熟知四个象限点的坐标的符号特点是解题关键．四个象限的符号特点分别是：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限．【详解】解：点的坐标为，则点在第二象限．故选：B【变式2-1】（2023上·浙江·八年级专题练习）在平面直角坐标系中，点位于（ ）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】B【分析】本题考查了平面直角坐标系各象限的符号特点，根据平面直角坐标系各象限的点坐标特点即可求解．【详解】解：在平面直角坐标系中，点位于第二象限．故选：B．【变式2-2】（23-24八年级下·河南南阳·阶段练习）在平面直角坐标系中，若点在第二象限内，则点所在的象限是（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】A【分析】本题考查象限内点的符号特征，根据在第二象限内得到，，从而得到，即可得到答案；【详解】解：∵点在第二象限内得到，，∴，∴点在第一象限，故选：A．【变式2-3】（2023·广西梧州·三模）在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点在（ ）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】C【分析】本题考查了实数的非负性，点与象限，原点对称，根据非负性，判定位于第一象限，结合原点对称的特征，解答即可．【详解】解：∵，∴，∴点在第一象限，∴点关于原点对称的点在第三象限，故选：C．考点三：求点到坐标轴的距离例3. （22-23八年级上·河南洛阳·阶段练习）点到y轴的距离为，到x轴的距离为．∵，点到y轴的距离是故答案为：52．【变式3-1】八年级统考期末）平面内点到【答案】【分析】本题考查点到坐标轴的距离，根据点到轴的距离为点的横坐标的绝对值解答即可．【详解】解：平面内点到轴的距离是故答案为：．【变式3-2】（23-24八年级上·辽宁阜新·期末）点到x轴的距离是，到y轴的距离是，到原点的距离是．【答案】【分析】此题考查了点的坐标，勾股定理；根据点到轴的距离等于纵坐标的绝对值，到轴的距离等于横坐标的绝对值；再利用勾股定理列式求出求出到原点的距离．【详解】点到轴的距离是，到轴的距离是，到原点的距离是故答案为；；【变式3-3】（23-24八年级上·四川达州·期中）点到x轴的距离为，到y轴的距离为，到原点的距离为．【答案】8 4【分析】本题考查点到坐标轴的距离，勾股定理．根据点到坐标轴的距离分别为横纵坐标的绝对值，进行求解即可．【详解】解：点到x轴的距离为8，到y轴的距离为4，到原点的距离为；故答案为：．考点四：已知含参数的点在坐标轴上求点的坐标例4. （23-24八年级上·广东茂名·阶段练习）点在轴上，则的值为．【答案】2【分析】本题考查了点的坐标特征，根据在轴上的点的纵坐标为零，可得，由此即可得到答案，熟练掌握在轴上的点的坐标特征是解此题的关键．【详解】解：点在轴上，，，故答案为：．【变式4-1】（23-24八年级上·安徽宿州·期中）若点在y轴上，则点P的坐标为．【答案】【分析】本题主要考查了坐标轴上的点的特征：x轴上的点的纵坐标为0，y轴上的点的横坐标为0，根据y轴上的点的横坐标为0，先求出m的值，再代入纵坐标中求出P点的纵坐标，即可得P点的坐标，掌握坐标轴上的点的特征是解题的关键．【详解】解：∵点在y轴上，，解得，，∴点P的坐标为．故答案为：．【变式4-2】（23-24八年级上·湖南长沙·开学考试）如果点在第三象限，则点在象限；若点在直角坐标系的x轴上，则点的坐标为．【答案】四【分析】根据象限内点的符号特征，以及x轴上的点的纵坐标为0，进行求解即可．【详解】解：由点在第三象限，得．∴，则点在四象限；若点在直角坐标系的x轴上，得．解得，∴，则点P坐标为；故答案为：四，．【点睛】本题考查象限内点的符号特征，以及坐标轴上点的特征．熟练掌握象限内点的符号特征，以及x 轴上的点的纵坐标为0，是解题的关键．【变式4-3】（23-24八年级上·广东茂名·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知点．(1)若点在轴上，求点的坐标；(2)若点在第二、四象限的角平分线上，求点的坐标．【答案】(1)(2)【分析】本题考查了一元一次方程的解法，点与坐标的对应关系，坐标轴上的点的特征，各个象限的点的特征，第一、三象限的角平分线上的点的特征：（1）根据题意得到，解答即可；（2）根据题意得到点横、纵坐标互为相反数，进而即可求解．【详解】（1）解：由题意得：，∴，（2）解：在第二、四象限的角平分线上，，，．考点五：已知点所在的直线平行于坐标轴求点的坐标例5. （2023八年级上·全国·专题练习）在平面直角坐标系中，已知点，直线与轴平行，若，则点的坐标为．【答案】或【分析】本题考查求点的坐标，理解平行于轴的直线上所有点的纵坐标均相同，再分情况讨论是解决问题的关键．【详解】解：在平面直角坐标系中，已知点，直线与轴平行，点的纵坐标与点纵坐标相同，，分两种情况讨论：①若在点左侧，相当于将向左数个单位长度，得到；②若在点右侧，相当于将向右数个单位长度，得到；故答案为：或．【变式5-1】（2024上·安徽安庆·八年级统考期末）已知点，分别根据下列条件求出点M的坐标．(1)点M在x轴上，(2)点N的坐标为，且直线轴．【答案】(1)(2)【分析】本题主要考查了坐标与图形性质，熟练掌握坐标的特征是解题的关键．（1）根据x轴上纵坐标为列式计算；（2）根据平行于x轴的点的纵坐标相同列出方程．【详解】（1）解：点M在x轴上，，，则，；（2）轴，，，则，．【变式5-2】（23-24八年级上·江西抚州·期中）已知点，分别根据下列条件求出点P的坐标．(1)点P在y轴上；(2)点Q的坐标为，且直线轴；(3)点P到x轴的距离与到y轴的距离相等．【答案】(1)(2)(3)或【分析】本题主要考查平面直角坐标系中点的特点，掌握点在坐标轴上的特点，平行于坐标轴的点的特点，点到轴的距离的知识是解题的关键．（1）根据y轴上的点的坐标得到，求出，进而求解即可；（2）根据题意得到，求出，进而求解即可；（3）根据题意得到或，求出或，进而求解即可．【详解】（1）点在y轴上，∴，解得，，∴，∴；（2）∵点Q的坐标为，且直线轴，∴，解得，∴，∴；（3）∵点到x轴的距离与到y轴的距离相等，∴或，解得或，∴，或，，∴或．【变式5-3】（22-23七年级下·湖南长沙·阶段练习）已知点，解答下列各题：(1)若点Q的坐标为，直线轴，求点P的坐标：(2)若点P在第二象限，且它到x轴、y轴的距离相等，求的值．【答案】(1)(2)【分析】本题主要考查了坐标与图形，点到坐标轴的距离，第二象限内点的坐标特点．（1）根据平行于y轴的直线上的点横坐标相同得到，求出a的值，进而求出即可得到答案；（2）根据点到x轴的距离为纵坐标的绝对值，点到y轴的距离为x轴的绝对值结合第二象限横坐标为负，纵坐标为正列出方程求出a的值，然后代值计算即可．【详解】（1）解：∵，点Q的坐标为，直线轴，∴，∴，∴，∴；（2）解：∵点在第二象限，且它到x轴、y轴的距离相等，∴，∴，∴．考点六：建立适当的平面直角坐标系并写出点的坐标例6.（23-24八年级上·安徽六安·阶段练习）如图，是某学校的平面示意图．(1)请以国旗杆所在位置为坐标原点建立平面直角坐标系；(2)根据（1）所建立的平面直角坐标系，直接写出校门、图书馆、劳动基地和教学楼的坐标．【答案】(1)见解析(2)校门的坐标为，图书馆的坐标为，劳动基地的坐标为，教学楼的坐标为【分析】本题考查了坐标确定位置，主要利用了平面直角坐标系中确定点的坐标的方法，是基础题．（1）根据题意建立面直角坐标系即可．（2）根据坐标系写出校门、图书馆、劳动基地和教学楼的坐标．【详解】（1）如图所示：；（2）校门的坐标为，图书馆的坐标为，劳动基地的坐标为，教学楼的坐标为．【变式6-1】．（23-24七年级上·山东淄博·期末）如图，是某市各建筑设施的平面位置示意图，每个小正方形的边长为1（单位：千米）．(1)建立适当的坐标系，使码头的坐标为；(2)在（1）中所建立的坐标系内，要在某位置建一个广场，使其与码头的位置关于轴对称，在图中描出点的位置．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】本题考查平面直角坐标系，坐标与轴对称．掌握数形结合的思想，是解题的关键．（1）根据码头的坐标确定原点的位置，建立坐标系即可；（2）根据关于轴对称的点的特征，横坐标相同，纵坐标互为相反数，确定点的位置即可．【详解】（1）解：建立平面直角坐标系，如图所示；（2）如图所示，点即为所求．【变式6-2】（23-24八年级上·贵州贵阳·期中）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，请根据如图解决问题．(1)在学校南偏西的方向上有______（填场所名）(2)若体育场的坐标为，图书馆的坐标为．①请建立适当的平面直角坐标系并写出游乐园和电视塔的坐标；②市政府所表示的点关于y轴对称后的点坐标为______，请在坐标系中标出该点的位置．【答案】(1)游乐园，菜市场；(2)）①图见解析，游乐园的坐标为，电视塔的坐标为；②，图见解析．【分析】本题考查根据已知点的坐标建立平面直角坐标系，掌握坐标轴上点与各象限点的特征是解题关键．（1）利用方向角知识即可求解；（2）①根据点的坐标到坐标轴的距离，确定两轴的位置，建立坐标系，再根据其他点的位置确定点的坐标即可；②先写出市政府所表示的点的坐标，再写出这点关于y轴对称后的点坐标，最后描出这个点即可．【详解】（1）解：由图象得，在学校南偏西的方向上有：游乐园和菜市场，故答案为：游乐园和菜市场；（2）①∵体育场的坐标为，图书馆的坐标为，建立平面直角坐标系如图所示，游乐园的坐标为，电视塔的坐标为；②市政府的坐标为，这点关于y轴对称后的点坐标为，故答案为：,点A是市政府所表示的点关于y轴对称后的点．一、单选题1．（23-24七年级下·江苏南通·期中）在平面直角坐标系中，点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】C【分析】本题主要考查了判断点所在的象限，熟知每个象限内点的坐标特点是解题的关键：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限．【详解】解：∵，∴点位于第三象限，故选：C．2．（23-24七年级下·广西南宁·期中）根据下列表述，不能确定具体位置的是（）A．青县众视影城1号厅的3排4座B．青县清州镇新华西路226号C．某灯塔南偏西方向D．东经，北纬【答案】C【分析】本题考查了有序实数对表示位置，理解有序实数对表示位置是解题的关键．根据有序实数对表示位置，逐项分析即可．【详解】解：A、青县众视影城1号厅的3排4座，能确定具体位置，故该选项不符合题意；B、青县清州镇新华西路226号，能确定具体位置，故该选项不符合题意；C、某灯塔南偏西方向，不能确定具体位置，故该选项符合题意；D、东经，北纬，能确定具体位置，故该选项不符合题意；故选：C．3．（23-24七年级下·四川自贡·期中）若在y轴上，则P到x轴的距离是（ ）A．B．1C．2D．3【答案】C【分析】本题考查了坐标轴上点的坐标特征，点到坐标轴的距离，求得是解题的关键．根据轴上的点的横坐标为得出，进而得出纵坐标即可求解．【详解】解：∵在轴上，∴，∴，∴，则到轴的距离是，故选：C．4．（23-24七年级下·吉林延边·期中）如图，小明告诉小华图中两点的坐标分别为，小华一下就说出了点的正确坐标，那么小华说出的点的坐标是（）A．B．C．D．【答案】D【分析】本题考查了点坐标的平移．熟练掌握：点坐标平移，左减右加，上加下减是解题的关键．由点向右平移2个单位，向上平移两个单位得点，求解作答即可．【详解】∵图中两点的坐标分别为，∴每格长度为1，∵点向右平移2个单位，向上平移两个单位得点，∴，故选：D．5．（23-24七年级下·云南昭通·期中）平面直角坐标系内点A到x轴的距离为3，到y轴的距离为4．点A 的坐标不可能是（）A．B．C．D．【答案】A【分析】本题考查了点到坐标轴的距离，掌握“到轴的距离为，到轴的距离为．”是解题的关键．【详解】解：由题意得A. 到轴的距离为，到轴的距离，故符合题意；B. 到轴的距离为，到轴的距离，故不符合题意；C. 到轴的距离为，到轴的距离，故不符合题意；D. 到轴的距离为，到轴的距离，故不符合题意；故选：A二、填空题6．（23-24七年级下·内蒙古通辽·期中）点所在的象限是．【答案】第二象限【分析】本题考查了象限内的点的符号特点，牢记点在各象限内坐标的符号特征是解题的关键．根据平方根和立方根的性质，即可判断出点的横纵坐标的符号，再根据各象限内点的符号特征判断点所在象限即可．【详解】∵，∴，∵，∴，∴，。
八年级数学暑假作业辅导 第一讲 数与式 北师大版
第一讲 数与式一、学习指引 1.知识要点（1）运算与运用（2）数的规律探究（3）新背景下的数的运算 （4）整式、分式、二次根式（5）代数式的值 2.方法指导（1）巧算要注意算式的特点，运用运算律适当更换次序，使计算简便，平时要不断归纳拆、拼、凑整、交换等运算技巧.（2）数的规律探究主要是解题的过程中去找出内在的规律（3）解决定义新运算的问题，关键是通过新运算的定义，将新运算转化为常规运算. （4）对于代数式的化简、求值，常用到的技巧有：①因式分解，对所给的条件、所求的代数式实施因式分解，达到化繁为简的目的； ②运算律，适当运用运算律，也有助于化简； ③换元、配方、待定系数法、倒数法等；④有时对含有根式的等式两边同时实施平方，也不失为一种有效的方法. 二、典型例题例1. 计算（1）99163135115131++++（2）（21＋31＋……＋20021）（1＋21＋31＋……＋20011）－ （1＋21＋31＋……＋20021）（21＋31＋……＋20011）（3）设22211148()34441004A =⨯++--- ，则与A 最接近的正整数是（ ） A.18 B.20 C.24 D.25例2. 将一些半径相同的小圆按如图所示的规律摆放：第1个图形有6个小圆，第2个图形有10个小圆，第3个图形有16个小圆，第4个图形有24个小圆，……，依次规律，第6个图形有 个小圆.例3.（1） 一串数1，1，1，2，2，3，4，5，7，9，12，16，21，……称为帕多瓦数第1个图形 第2个图形 第3个图形 第4个图形…列，请根据这个数列的一个规律，写出其中的第19个数是 ．（2）将正整数按如图所示的规律排列下去，若有序实数对（n ，m ）表示第n 排，从左到右第m 个数，如（4，2）表示9，则表示58的有序数对是（ ） A.（11，3） B.（3，11）C.（11，9）D.（9，11）例4. 已知123112113114,,,...,1232323438345415a a a =+==+==+=⨯⨯⨯⨯⨯⨯依据上述规律，则99a = .例5.（1）y ＝︱x ＋1︱＋︱x －2︱＋︱x －３︱的最小值 .（2）试求︱x －１︱＋︱x －２︱＋︱x －３︱＋……＋︱x －1999︱的最小值.例6.（1）刘谦的魔术表演风靡全国，小明也学起了刘谦发明了一个魔术盒，当任意实数对（a ，b ）进入其中时，会得到一个新的实数：a 2+b -1，例如把（3，-2）放入其中，就会得到32+（-2）-1=6.现将实数对（m ，-2m ）放入其中，得到实数2，则m = ．（2）在平面直角坐标系中，对于平面内任一点()a b ，，若规定以下三种变换：()()()()1313;f a b a b f -=-如①，=，．，，， ()()()()1331;g a b b a g =如②，=，．，，， ()()()()1313h a b a b h --=--如③，=，．，，，．按照以上变换有：(())()()233232f g f -=-=，，，，那么()()53f h -，等于（ ）A ．()53--，B ．()53，C ．()53-，D ．()53-，(3) 定义一种对正整数n 的“F ”运算：①当n 为奇数时，结果为3n ＋5；②当n为偶数时，结果为kn2（其中k 是使k n 2为奇数的正整数），并且运算重复进行．例如，取n ＝26，则：若n ＝49，则第449次“F 运算”的结果是_____________．例7.（1）化简：22221369x y x y x y x xy y+--÷--+＝_______ ； (2) 若x 2－2y ＋6x ＋10＋y 2=0,则223442xyy x x yx +--=__________； (3)设a =5432322a a a a a a a+---+=-________. (4)已知b a x -=c b y -=ac z -,那么x+y+z= .例8.（1）如果式子aa ---11)1( 根号外的因式移入根号内，化简的结果为（ ） A ．a -1 B ．1-a C ．1--a D ．a --1(2) 已知)0,0(02>>=+-y x y xy x ，则yxy x y xy x 4353-++-的值为 ( )A ．31 B ．21 C ．32D ．43例9.(1)设Ｎ＝２３x ＋９２y 为完全平方数，且Ｎ不超过２３９２，则满足上述条件的一切正整数对（x ，y ）共有多少对？(2)一个一次函数的图象与直线y ＝45x ＋495平行，与x 轴、y 轴的交点分别为Ａ、Ｂ，并且过点（－１，－２５），则在线段ＡＢ上（包括点Ａ、Ｂ），横、纵坐标都是整数的点有多2644 11 第一次 F ②第三次F ②…4=1+3 9=3+616=6+10…少个？(3) 如图，菱形ABCD 的对角线长分别为a b 、，以菱形ABCD 各边的中点为顶点作矩形1111A B C D ，然后再以矩形1111A B C D 各边的中点为顶点作菱形2222A B C D ，……，如此下去．则得到四边形2009200920092009A B C D 的面积用含a b 、的代数式表示为__________.第一讲同步练习班级 姓名【基础巩固】一、选择题1. 若的值为则2y-x 2,54,32==yx( )A.53 B.-2 C.553 D.562. 已知a －b=b －c=52，a 2＋b 2＋c 2=1则ab ＋bc ＋ca 的值等于 （ ） Ａ.2513 Ｂ.2512 Ｃ.53 Ｄ.523．古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1、3、6、10… 这样的数称为“三角形数”，而把1、4、9、16…这样的数称为“正方形数”．从图中可以发现，任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻 “三角形数”之和．下列等式中，符 合这一规律的是（ ） A ．13 = 3+10 B ．25 = 9+16 C ．36 = 15+21D ．49 = 18+314．观察以下数组：（1），（3、5），（7、9、11），（13、15、17、19），…问2009在第（ ）组．Ａ．44 Ｂ． 45 Ｃ．46 Ｄ．47 5．若将代数式中的任意两个字母交换，代数式不变，则称这个代数式为完全对称式．．．．．，如a b c ++就是完全对称式.下列三个代数式：①2)(b a -；②ab bc ca ++；③222a b b c c a ++．其中是完全对称式的是( )A ．①②B ．①③C ． ②③D ．①②③6．某校数学课外小组，在坐标纸上为学校的一块空地设计植树方案如下：第k 棵树种植在点)(k k k y x P ，处，其中11=x ，11=y ，当k ≥2时，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧---+=----+=--]52[]51[])52[]51([5111k k y y k k x x k k k k ，[a ]表示非负实数a 的整数部分，例如[2.6]=2，[0.2]=0.按此方案，第2009棵树种植点的坐标为A.（5，2009）B.（6，2010）C.（3，401）D.（4，402）7．下面是按一定规律排列的一列数：第1个数：11122-⎛⎫-+ ⎪⎝⎭；第2个数：2311(1)(1)1113234⎛⎫⎛⎫---⎛⎫-+++ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭；第3个数：234511(1)(1)(1)(1)11111423456⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-----⎛⎫-+++++ ⎪⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭； ……第n 个数：232111(1)(1)(1)111112342n n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫----⎛⎫-++++ ⎪⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭． 那么，在第10个数、第11个数、第12个数、第13个数中，最大的数是 （ ）A ．第10个数B ．第11个数C ．第12个数D ．第13个数 二、填空题8.观察下表，回答问题：第 个图形中“△”的个数是“○”的个数的5倍9．已知Rt △ABC 中，AC=3，BC= 4，过直角顶点C 作CA 1⊥A B ，垂足为A 1，再过A 1作A 1C 1⊥BC ，垂足为C 1，过C 1作C 1A 2⊥AB ，垂足为A 2，再过A 2作A 2C 2⊥BC ，垂足为C 2，…，这样一直做下去，得到了一组线段CA 1，A 1C 1，12C A ，…，则CA 1= ，=5554C A A C .10．已知21(123...)(1)n a n n ==+，，，，记112(1)b a =-，2122(1)(1)b a a =--，…，122(1)(1)...(1)n n b a a a =---，则通过计算推测出n b 的表达式n b ＝_______．11．已知25350x x --=，则22152525x x x x --=-- ． 12. 正方形A 1B 1C 1O ，A 2B 2C 2C 1，A 3B 3C 3C 2，A ，A ，…和点C 1，C 2，C 3，…分别在直线y kx b =+(k ＞0)和x 轴上，已知点B 1(1，1)，B 2(3，2)， 则B n 的坐标是______________．三、解答题 13.１21＋2221＋3321＋4421＋ (101021)14. 若４x －３y －６z=0, x+2y －7z=0 (xyz ≠0),求代数式222222103225z y x z y x ---+的值.【能力拓展】15．如图，已知Rt ABC △，1D 是斜边AB 的中点，过1D 作11D E AC ⊥于E 1，连结1BE 交1CD 于2D ；过2D 作22D E AC ⊥于2E ，连结2BE 交1CD 于3D ；过3D 作33D E AC ⊥于3E ，…，如此继续，可以依次得到点45D D ，，…，n D ，分别记11223B D E B D E B D E △，△，△，…，n n BD E △的面积为123S S S ，，，…n S .则n S =________ABC S △（用含n 的代数式表示）.16.如图所示，P 1（x 1，y 1）、P 2（x 2，y 2），……P n （x n ，y n ）在函数y=x9（x ＞0）的图象上，△OP 1A 1，△P 2A 1A 2，△P 3A 2A 3……△P n A n －1A n ……都是等腰直角三角形，斜边OA 1，A 1A 2……A n-1A n ，都在x 轴上，则y 1+y 2+…y n = .（第5题图）BD 1（第2题）17.对任意实数x 、y ，定义运算x *y 为x *y=ax+by+cxy 其中a 、b 、c 为常数，等式右端运算是通常的实数的加法和乘法．现已知1*2=3，2*3=4，并且有一个非零实数d ，使得对于任意实数x,都有x *d=x ，求d 的值．18.如图所示，在矩形ABCD 中，AB =12，AC =20，两条对角线相交于点O . 以OB 、OC 为邻边作第1个平行四边形OBB 1C ，对角线相交于点A 1；再以A 1B 1、A 1C 为邻边作第2个平行四边形A 1B 1C 1C ，对角线相交于点O 1；再以O 1B 1、O 1C 1为邻边作第3个平行四边形O 1B 1B 2C 1……依次类推.（1）求矩形ABCD 的面积； （2）求第1个平行四边形OBB 1C 、第2个平行四边形A 1B 1C 1C 和第6个平行四边形的面积.O 1 A BD 2A 2B 2A 1B 1O 1第一讲数与式（典型例题）例1.（1）115（2）20021 提示：设1＋21＋31＋……＋20011＝a ，21＋31＋……＋20011 ＝b ，则a －b ＝1 (3) D例2.（1）46 例3.（1）114（2）A 例4.9999100例5.（1）4（2）用几何意义做比较方便，只有x 取1，2，……，1999的中间位置时最小，所以x=1000，原式= 999000 例6.（1）3或-1（2）B （3）98 例7.（1）y x y -2（2）151（3）-2 （4）0 例8.（1）C （2）D 例9.（1）27（2）5（3）（21）3000第一讲 数与式（同步练习）【基础巩固】 一．选择题1.A2.A3.C4.B5.A6.D7.A 二．填空题 7.208.512，45 9.12++n n 10.528 11.（2n -1,2n-1） 三．解答题12.102410235513.-13 【能力拓展】 14.（11+n ）215.3n 16. 17.1*2=a+2b+2c=3 ① 2*3=2a+3b+6c=4 ② x *d=ax+bd+cxd=(a+cd)x+bd=x ③ 由③得 a+cd=1 bd=0 因为d ≠0，所以b=0 代入①得a+2c=3，代入②得2a+6c=4，从而解得a=5，c= -1，将a=5，c= -1代入a+cd=1得d=4 17.(1)192，（2）96，48，3。
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225400 A225400B256112 C144400D勾股定理【知识要点】1、勾股定理是：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，即：222c b a =+2、勾股定理逆定理：如果三角形的三边长a 、b 、c 满足222a b c +=那么这个三角形是直角三角形。
【典型习题】例1、如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC=6cm,BC=8cm,现将直角边AC 沿直线AD 折叠，使它落在斜边AB 上，且与AE 重合，则CD 等于（） A. 2cm B. 3cm C. 4cm D. 5cm例2、求下列各图字母中所代表的正方形的面积。
=A S =B S =C S =D S例3、如图，一次“台风”过后，一根旗杆被台风从离地面8.2米处吹断，倒下的旗杆的顶端落在离旗杆底部6.9米处，那么这根旗杆被吹断裂前至少有多高？例4、如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边和长为7cm ,则正方形A ，B ，C ，D 的面积之和为___________cm 2。
2.8米9.6米例5、在平静的湖面上，有一支红莲，高出水面1米，阵风吹来，红莲被吹到一边，花朵齐及水面，已知红莲移动的水平距离为2米，问这里水深是________m 。
例6、为丰富少年儿童的业余文化生活，某社区要在如图所示的AB 所在的直线上建一图书阅览室，该社区有两所学校，所在的位置分别在点C 和点D 处。
CA ⊥AB 于A ，DB ⊥AB 于B ，已知AB=25km ，CA=15km,DB=10km,试问：阅览室E 建在距A 点多远时，才能使它到C 、D 两所学校的距离相等？例7、如图所示，MN 表示一条铁路，A 、B 是两个城市，它们到铁路的所在直线MN 的垂直距离分别AA1=20km,BB1=40km ，A1B1=80km.现要在铁路A1，B1=80km 。
现要在铁路A1，B1之间设一个中转站P ，使两个城市到中转站的距离之和最短。
请你设计一种方案确定P 点的位置，并求这个最短距离。
例8、“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城街路上行驶速度不得超过70千米/小时，如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路面对车速检测仪A 正前方30米B 处，过了2秒后，测得小汽车C 与车速检测仪A 间距离为50米，这辆小汽车超速了吗？AE B DC1AB14米 2.8 图2—5—4例9、如图是一个三级台阶，它的每一级的长宽和高分别为20分米、3分米、2分米，A 和B 是这个台阶两个相对的端点，A 点有一只蚂蚁，想到B 点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到B 点最短的路程是多少?例10、直角三角形的周长为24，斜边长为10，则其面积为_______例11、如图，一个长为10米的梯子斜靠在墙上， 梯子的顶端距地面的垂直高度为8米，梯子的顶端下滑2米后，底端也水平滑动2米吗？试说明理由。
例12、如图2—5—4所示，某市住宅社区在相邻两楼之间修建一个仿古通道，它的上方是一个半圆，下方是长方形，现有一辆卡车装满家具后，高4米，宽2.8米，请问这辆送家具的卡车能通过这个通道吗？例13、甲、乙两船同时从A 港出发，甲朝北偏东60°方向行驶，乙朝南偏东30°方向行驶。
已知甲、乙两船的航速分别为45千米/时和50千米/时，经2小时航行后，试估算两船相距多少千米？（精确到0.1千米）ABDE·例14、如图1—3—10，已知直角三角形ABC的三边分别为6、8、10，分别以它的三边为直径向上作三个半圆，求图中阴影部分的面积。
【随堂练习】一、填空题（每空3分，共24分）1、若直角三角形两直角边分别为6和8，则斜边为___________；2、已知两条线的长为5cm和4cm，当第三条线段的长为_________时，这三条线段能组成一个直角三角形；3、能够成为直角三角形三条边长的正整数，称为勾股数。
请你写出三组勾股数：_________________________；4、如图，求出下列直角三角形中未知边的长度。
C=__________ b=__________ h=__________5、在Rt△ABC中，∠C=90°，BC∶AC=3∶4，AB=10，则AC=_______，BC=________一、选择题（每题3分，共15分）1、a、b、c是△ABC的三边，①a=5,b=12,c=13 ②a=8,b=15,c=17 ③a∶b∶c=3∶4∶5 ④a=15,b=20,c=25上述四个三角形中直角三角形有（）A、1个B、2个C、3个D、4个2、一直角三角形的三边分别为2、3、x，那么以x为边长的正方形的面积为（）A、13B、5C、13或5D、无法确定3、将一个直角三角形两直角边同时扩大到原来的两倍，则斜边扩大到原来的（）A、4倍B、2倍C、不变D、无法确定图1—3—10BCA ·6 84、正方形的面积是4，则它的对角线长是（）2D、4A、2B、2C、25、如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，AB=3，BD=2，DC=1，则AC=（）A、6B、6C、5D、4二、在5×5的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，请在给定网格中按下列要求画出图形。
（1）从点A出发画一条线段AB，使它的另一端点B在格点上，且长度为5；（2）画出所有的以（1）中的AB为边的等腰三角形，使另一个顶点在格点上，且令两边的长度都是无理数。
三、解答题1、公路旁有一棵大树高为5.4米，在刮风时被吹断，断裂处距地面1.5米，请你通过计算说明在距离该大树多大范围内将受到影响。
2如图，∠C=90°,AC=3，BC=4，AD=12，BD=13，试判断△ABD的形状，并说明理由。
2、已知三角形的三边分别是n-2，n，n+2，当n是多少时，三角形是一个直角三角形？3、 如图，每个小方格都是边长为1的正方形，试计算出五边形ABCDE 的周长和面积。
4、 如图，一个圆柱形纸筒的底面周长是40cm ，高是30cm ，一只小蚂蚁在圆筒底的A 处，它想吃到上底与下底面中间与A 点相对的B 点处的蜜糖，试问蚂蚁爬行的最短的路程是多少？【课后练习】一、填空题（每题3分，共24分）1．三角形的三边长分别为 a 2＋b 2、2ab 、a 2－b 2（a 、b 都是正整数），则这个三角形是（ ） A.直角三角形 B.钝角三角形 C.锐角三角形 D.不能确定2．若△ABC 的三边a 、b 、c 满足a 2＋b 2＋c 2十338＝10a ＋24b ＋26c ，则△ABC 的面积是（ ） A.338 B.24 C.26 D.303．若等腰△ABC 的腰长AB ＝2，顶角∠BAC ＝120°，以 BC 为边的正方形面积为（ ） A.3 B.12 C.427 D.316 4．△ABC 中，AB ＝15，AC ＝13，高AD ＝12，则△ABC 的周长为（ ）A.42B.32C.42 或32D.37 或 335．直角三角形三条边的比是3∶4∶5.则这个三角形三条边上的高的比是（ ） A.15∶12∶8 B. 15∶20∶12 C. 12∶15∶20 D.20∶15∶12 6．在△ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝3，AC ＝4.以斜边AB 为直径作半圆，则这个半圆的面积等于（ ） A.258π B.254π C.2516πD.25π 7．如图1，有一块直角三角形纸片，两直角边AC ＝6cm ，BC ＝8cm ，现将直角边AC 沿直线AD 折叠，使它落在斜边AB 上，且与AE 重合，则CD 等于（）A.2cmB.3 cmC.4 cmD.5 cm8．如图2，一个圆桶儿，底面直径为16cm，高为18cm，则一只小虫底部点A爬到上底B处，则小虫所爬的最短路径长是（π取3）（）A.20cmB.30cmC.40cmD.50cm二、填空题（每小题3分，共24分）9．在△ABC中，若其三条边的长度分别为9、12、15，则以两个这样的三角形所拼成的长方形的面积是＿＿＿．10．一个长方体同一顶点的三条棱长分别是3、4、12，则这个长方体内能容下的最长的木棒为＿＿＿.11．在△ABC中，∠C＝90°，BC＝60cm，CA＝80cm，一只蜗牛从C点出发，以每分20cm的速度沿CA→AB→BC的路径再回到C点，需要＿＿＿分的时间．12．如图3，一艘船由岛A正南30海里的B处向东以每小时20海里的速度航行2小时后到达C处.则AC间的距离是＿＿＿．13．在△ABC中，∠B＝90°，两直角边AB＝7，BC＝24，三角形内有一点P到各边的距离相等，则这个距离是＿＿＿．14．已知两条线段长分别为5cm、12cm，当第三条线段长为＿＿＿时，这三条线段可以组成一个直角三角形，其面积是＿＿＿．15．观察下列一组数：列举：3、4、5，猜想：32＝4+5；列举：5、12、13，猜想：52＝12+13；列举：7、24、25，猜想：72＝24+25；…………列举：13、b、c，猜想：132＝b+c；请你分析上述数据的规律，结合相关知识求得b＝＿＿＿，c＝＿＿＿.16．已知：正方形的边长为1.（1）如图4（a），可以计算出正方形的对角线长为2；如图（b），两个并排成的矩形的对角线的长为＿＿＿；n个并排成的矩形的对角线的长为＿＿＿.（2）若把（c）（d）两图拼成如图5“L”形，过C作直线交DE于A，交DF于B.若DB＝53，则DA的长度为＿＿＿．ACBE图1D16cm18cm图2BA图3第一节 平方根［情景引入］【知识要点】1、平方根一般地，如果一个数x 的平方等于a ，即a x 2，那么这个数x 就叫做a 的平方根（也叫做二次方根）。
①一个正数有两个平方根，它们互为相反数； ②0只有一个平方根是0； ③负数没有平方根。
图5EFBCA图4（a ） （b ） （c ） （d ）图6图7E DCBA2、算术平方根一般地，如果一个正数x 的平方等于a ，即a x =2，那么这个正数x 就叫做a 的算术平方根，记为“a ”，读作“根号a ”。
特别地，我们规定0的算术平方根是0，即00=。
3、开平方求一个数a 的平方根的运算叫做开平方，其中a 叫做被开方数，a 必须为非负数，即a 有意义的条件是a ≥0。
4、开平方与平方的关系：互为逆运算。
5、a （a ≥0）的非负性，即一个非负数的算术平方根仍为非负数。
6、形如()()⎩⎨⎧<-≥==002a a a a a a【典型例题】例1-1、求下列各数的算术平方根、平方根。
①259； ②64； ④0.09； ⑤49151； ⑥0。
例1-2、求下列各数的算术平方根、平方根： ①3625； ③0.0036； ④2563； ⑤81；例2、填空：（1）23=； （2）()231-=； （5）210=； （6）()2101-=；（9）对于任意数x ，2x =；例3、求适合下列各式中未知数的值：（1）()0064252<=-x x （2）()4912=+x（3）()()3252100-=--x（4）13=x例4、已知355+-+-=x x y ；求x+y 的值。