区间数多属性决策的一种ELECTRE方法

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本文的思路是，根据已有的研究成果[1~4]，多个区间数的比较和排序可以通过两两比较 以及可能度的计算建立可能度矩阵，然后根据一定的规则[1]，将区间数的排序问题转化为优 劣关系与之等价的一组实数来实现。 这样对于区间数的多属性决策问题就可以先对各方案同 一指标下的一组区间数通过可能度矩阵的建立再映射为一组优劣关系与原区间数等价的精 确值形式，然后再应用已有的决策模型，这样解决了基于区间数的ELECTRE方法的方案排 序问题，具体步骤如下： （1）采用“比重变换法[6]”, 运用区间数运算规则, 套用公式将区间数的决策矩阵
l r l r l l r r
记为 a = b ，此时 a 大于 b （或 b 大于 a ） 的可能度等于0.5； 如果 a 大于 b 的可能度大于0.5， 则称区间数 a 大于区间数 b ，记为 a > b ；如果 a 大于 b 的可能度小于0.5，则称区间数 a 小 于区间数 b ，记为 a < b 。 定义2 两个非退化的区间数 a = [ a , a ], b = [b , b ] (0 < a < a , 0 < b < b ) ，且记
l r
4） a ÷ b = [a b , a b ];
l r r l
5） 1 a = [1 a ,1 a ].
r l
4 区间数可能度的定义
文献[1]针对多个区间数的排序问题给出了区间数比较的一个可能度公式，并基于该公 式提出了区间数排序的可能度法， 它实际上是通过将区间数最后转化为优劣关系等价的实数 形式来完成区间数的排序的，这里引用其中的一些结论。 定义1 设2个区间数 a = [ a , a ], b = [b , b ] ，当 a = b 且a = b 时，称 a与b 相等并
l r l r l r l r
la = a r − a l , lb = b r − bl ，则称 p ( a ≥ b) = min{la + lb , max(a r − bl , 0)} la + lb
（1）
为 a ≥ b 的可能度。根据可能度的性质[1]， p (b ≥ a ) ＝1- p ( a ≥ b) 。
1引 言
有限方案的多属性决策是在考虑多个属性或指标的情况下进行方案排序的决策问题。 它 在经济管理及工程等领域有着广泛的实际应用背景。 在对多指标决策问题进行分析时， 如果 决策信息是以精确的数值形式给出，那么方案排序是较为容易的。但在许多实际问题中，由 于客观事物的复杂性、不确定性以及人类思维的模糊性，决策信息往往也是不确定的，是模 糊的，其中就有决策信息以区间数形式给出的情况。本文对传统ELECTRE多属性决策方法 进行了改进， 使之很好地解决具有区间数的多属性决策问题， 并用实例说明了它的使用过程。
ELECTRE Method for Multiple Attribute Decision Making with Intervals
CHEN Chang-qing
(School of Business, Central South University, Changsha, Hunan, 410083) ABSTRACT With respect to multi-criteria decision-making problems with uncertain intervals, an analysis method for Elimination Et Choice Translating Reality(ELECTRE) was proposed. Firstly, the multiple attribute decision-making problems with intervals and algorithm on intervals were introduced. Then the possibility degree of intervals were calculated and intervals were transformed into equivalent real numbers. At last, alternatives were sequenced according to the simplified ELECTRE method’s analysis steps. The analysis method is simple and practical. It overcomes the shortages that occur in ranking intervals in the traditional analysis methods. A numerical example was given to illustrate the use of the proposed method. KEYWORDS：Multi-criteria decision-making; Interval; Possibility-degree; ELECTRE; Ranking
ri =
（4）
由于 ri 的次序关系反映了 n 个区间数的次序关系， 因此利用它替代对应的区间数不会改变该 指标下 n 个方案的优劣关系。按照同样的方法，实现其他属性下区间数到精确值的映射，最 终得到基于精确数据的决策信息。经过映射后的决策矩阵如下：
⎛ ⎞ x1m ⎟ ⎜ x11 x12 X n×m = ⎜ x21 x22 … x2 m ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ xnm ⎠ ⎝ xn1 xn 2 矩阵 X 中元素 xij ( i = 1, 2, …, n; j = 1, 2 …, m ) 表示第 i 个方案第 j 个指标经转换后的决策数

区间数多属性决策的一种 ELECTRE 方法
陈常青
中南大学商学院管理科学与信息管理系，长沙 410083 E-Mail:ccqccq000@ 摘 要： 针对具有不确定性区间数的多指标决策问题,给出了一种消去与转换算法(ELECTRE) 的分析方法。首先对区间数多指标决策问题和区间数运算法则进行了描述;然后通过区间数 可能度的计算， 将指标值从区间数映射到优劣关系等价的实数形式， 最后依据简化的ELECTRE 方法的计算步骤进行方案排序。该分析方法具有简单、实用的特点,它克服了以往研究此类 决策问题时所遇到的区间数难以排序的问题。文章最后给出了一个算例。 关键词：多属性决策;区间数;可能度；ELECTRE;排序
建立区间数两两比较可能度矩阵，即
∑a )
i =1 n l ij
∑a )
i =1 r ij
（ Q j 为成本型属性）
（3）
（2）对 n 个方案在同一个指标下的评价区间数 b1 j , b2 j " , bnj ( j = 1, 2,..., m) 两两比较，
Pn×n
⎛ ⎜ 0.5 = ⎜ p21 ⎜ # ⎜p ⎝ n1
5 基于区间数的 ELECTRE 方法决策模型
ELECTRE(Elimination Et Choice Translation Reality) 方 法 首 先 由 Benayoun ， Roy 与 Sussman三人于二十世纪六十年代年所提出，而后由Roy，Nijkamp，Van Delft等人将此方法 应用在决策方面[8]。由于它能充分利用由所获信息转换成决策矩阵并能精炼萃取较好方案及 对方案进行排序，被很多学者称之为较好的多准则决策方法。ELECTRE在以往的应用中， 决策信息多位精确值的情形， 如前文所述， 当决策信息为区间数的时候， 如何应用ELECTRE 方法进行方案排序呢？这正是本文要探讨的。
值。至此实现了决策数据的改造，下面直接应用简化 ELECTRE 模型，该模型的详细讨论详见
3

文献[7]。这里给出简要步骤。 （3）将 X 矩阵的列向量加以正规化得到正规化矩阵 R。
Rn×m
⎛ ⎜ r11 = ⎜ r21 ⎜ ⎜ ⎝ rn1
⎞ r12 r1m ⎟ r22 … r2 m ⎟ ，其中 r i j = ⎟ ⎟ rn 2 rnm ⎠ Vij = ∑ rij ⋅ w j ( j = 1, 2,
A = (aij ) n×m 规范化为 B = (bij ) n×m 。
⎧ l l bij = aij ⎪ aij ⎪ bij = n ⇔⎨ ⎪b r = a r aij ∑ ij ij ⎪ i =1 ⎩
∑a
i =1 n i =1
n
r ij
∑a
（ Q j 为效益型属性）
（2）
l ij n
⎧ l r ⎪bij = 1 aij (1 1 aij ⎪ bij = ⇔⎨ n ⎪b r = 1 a l (1 1 ∑ aij ij ij ⎪ i =1 ⎩
1

l r A = [aij ]n×m 为具有区间数形式的决策矩阵，其中 aij = [aij , aij ] 表示方案 ai 对应于属性 q j 下 的评价值。本文要解决的问题是根据已知的区间数决策信息，如何应用ELECTRE方法对 n 个
方案进行排序。
⎞ p1n ⎟ 0.5" p2 n ⎟ # # ⎟ pn 2 " 0.5 ⎟ ⎠ p12 "
其中 pij 表示区间数 bi > b j 的可能度。然后根据式子（4）计算出 r1 , r2 ," , rn ，根据文献[2] 的论述和证明 ri 的次序关系反映了 n 个区间数的优劣次序关系
n 1 n (∑ pik + − 1), ( i = 1, 2," , n ) n(n − 1) k =1 2
利用式子（8）确定一致性矩阵。
{
}
（7）
C=⎡ ⎣cij ⎤ ⎦n×n , cij = ∑ wk
k∈Cij
∑w
k =1
m
k
（8）
其中 c ij 表示方案 ai 比放方案 a j 的相对优势指数。 根据式子（9）即得到非一致矩阵。