《高等数学1》(下)(A 期末 09-10)及答案详解

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《高等数学》试卷1(下)

《高等数学》试卷1（下）一.选择题（3分⨯10）1.点1M ()1,3,2到点()4,7,22M 的距离=21M M （）.A.3B.4C.5D.62.向量j i b k j i a ρρρρρϖϖ+=++-=2,2，则有（）.A.a ρ∥b ρB.a ρ⊥b ρC.3,π=b a ρρD.4,π=b a ρρ3.函数1122222-++--=y x y x y 的定义域是（）.A.(){}21,22≤+≤y x y x B.(){}21,22<+<y x y xC.(){}21,22≤+<y xy x D (){}21,22<+≤y x y x4.两个向量a ρ与b ρ垂直的充要条件是（）.A.0=⋅b a ρρB.0ρρρ=⨯b aC.0ρρρ=-b aD.0ρρρ=+b a5.函数xy y x z 333-+=的极小值是（）. A.2 B.2- C.1 D.1- 6.设y x z sin =，则⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂4,1πyz ＝（）.A.22B.22-C.2D.2-7.若p 级数∑∞=11n p n 收敛，则（）. A.p 1< B.1≤p C.1>p D.1≥p8.幂级数∑∞=1n nnx 的收敛域为（）.A.[]1,1- B ()1,1- C.[)1,1- D.(]1,1-9.幂级数nn x ∑∞=⎪⎭⎫⎝⎛02在收敛域内的和函数是（）.A.x -11 B.x -22 C.x -12 D.x-21 10.微分方程0ln =-'y y y x 的通解为（）.A.xce y = B.xe y = C.xcxe y = D.cxe y =二.填空题（4分⨯5）1.一平面过点()3,0,0A 且垂直于直线AB ，其中点()1,1,2-B ，则此平面方程为______________________.2.函数()xy z sin =的全微分是______________________________.3.设13323+--=xy xy y x z ，则=∂∂∂yx z2_____________________________. 4.x+21的麦克劳林级数是___________________________. 5.微分方程044=+'+''y y y 的通解为_________________________________. 三.计算题（5分⨯6）1.设v e z usin =，而y x v xy u +==,，求.,yz x z ∂∂∂∂ 2.已知隐函数()y x z z ,=由方程05242222=-+-+-z x z y x 确定，求.,yz x z ∂∂∂∂ 3.计算σd y x D⎰⎰+22sin，其中22224:ππ≤+≤y x D .4.如图，求两个半径相等的直交圆柱面所围成的立体的体积（R 为半径）.5.求微分方程xey y 23=-'在00==x y条件下的特解.四.应用题（10分⨯2）1.要用铁板做一个体积为23m 的有盖长方体水箱，问长、宽、高各取怎样的尺寸时，才能使用料最省？ 2..曲线()x f y =上任何一点的切线斜率等于自原点到该切点的连线斜率的2倍，且曲线过点⎪⎭⎫ ⎝⎛31,1，求此曲线方程 .试卷1参考答案一.选择题 CBCAD ACCBD 二.填空题1.0622=+--z y x .2.()()xdy ydx xy +cos .3.19622--y y x .4.()n n n n x ∑∞=+-0121.5.()xe x C C y 221-+= .三.计算题 1.()()[]y x y x y e xzxy +++=∂∂cos sin ，()()[]y x y x x e y z xy +++=∂∂cos sin . 2.12,12+=∂∂+-=∂∂z yy z z x x z . 3.⎰⎰=⋅πππρρρϕ202sin d d 26π-.4.3316R . 5.x xe ey 23-=.四.应用题1.长、宽、高均为m 32时，用料最省.2..312x y =《高数》试卷2（下）一.选择题（3分⨯10）1.点()1,3,41M ，()2,1,72M 的距离=21M M （）. A.12 B.13 C.14 D.152.设两平面方程分别为0122=++-z y x 和05=++-y x ，则两平面的夹角为（）. A.6π B.4π C.3π D.2π 3.函数()22arcsin yx z +=的定义域为（）.A.(){}10,22≤+≤y x y xB.(){}10,22<+<y x y x C.()⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤+≤20,22πy x y x D.()⎭⎬⎫⎩⎨⎧<+<20,22πy x y x 4.点()1,2,1--P 到平面0522=--+z y x 的距离为（）. A.3 B.4 C.5 D.6 5.函数22232y x xy z --=的极大值为（）. A.0 B.1 C.1- D.21 6.设223y xy x z ++=，则()=∂∂2,1xz （）.A.6B.7C.8D.9 7.若几何级数∑∞=0n nar是收敛的，则（）.A.1≤rB. 1≥rC.1<rD.1≤r8.幂级数()nn xn ∑∞=+01的收敛域为（）.A.[]1,1-B.[)1,1-C.(]1,1-D. ()1,1- 9.级数∑∞=14sin n n na是（）. A.条件收敛 B.绝对收敛 C.发散 D.不能确定 10.微分方程0ln =-'y y y x 的通解为（）.A.cx ey = B.xce y = C.x e y = D.xcxe y =二.填空题（4分⨯5）1.直线l 过点()1,2,2-A 且与直线⎪⎩⎪⎨⎧-==+=t z t y t x 213平行，则直线l 的方程为__________________________.2.函数xye z =的全微分为___________________________.3.曲面2242y x z -=在点()4,1,2处的切平面方程为_____________________________________.4.211x+的麦克劳林级数是______________________. 5.微分方程03=-ydx xdy 在11==x y 条件下的特解为______________________________.三.计算题（5分⨯6）1.设k j b k j i a ρρρρρρρ32,2+=-+=，求.b a ρρ⨯2.设22uv v u z -=，而y x v y x u sin ,cos ==，求.,y z x z ∂∂∂∂ 3.已知隐函数()y x z z ,=由233=+xyz x 确定，求.,yz x z ∂∂∂∂ 4.如图，求球面22224a z y x =++与圆柱面ax y x 222=+（0>a ）所围的几何体的体积.5.求微分方程023=+'+''y y y 的通解. 四.应用题（10分⨯2） 1.试用二重积分计算由x y x y 2,==和4=x 所围图形的面积.2.如图，以初速度0v 将质点铅直上抛，不计阻力，求质点的运动规律().t x x =（提示：g dtxd -=22.当0=t时，有0x x =，0v dtdx=）试卷2参考答案一.选择题 CBABA CCDBA. 二.填空题 1.211212+=-=-z y x . 2.()xdy ydx exy+.3.488=--z y x .4.()∑∞=-021n n n x . 5.3x y =. 三.计算题1.k j i ρρρ238+-.2.()()()y y x y y y y x yz y y y y x x z 3333223cos sin cos sin cos sin ,sin cos cos sin +++-=∂∂-=∂∂ . 3.22,z xy xz y z z xy yz x z +-=∂∂+-=∂∂. 4.⎪⎭⎫ ⎝⎛-3223323πa . 5.x xe C eC y --+=221.四.应用题 1.316. 2. 00221x t v gt x ++-=.《高等数学》试卷3（下）一、选择题（本题共10小题，每题3分，共30分） 1、二阶行列式 2 -3 的值为（）4 5A 、10B 、20C 、24D 、222、设a=i+2j-k,b=2j+3k ，则a 与b 的向量积为（） A 、i-j+2k B 、8i-j+2k C 、8i-3j+2k D 、8i-3i+k3、点P （-1、-2、1）到平面x+2y-2z-5=0的距离为（） A 、2 B 、3 C 、4 D 、54、函数z=xsiny 在点（1，4π）处的两个偏导数分别为（） A 、,22 ,22 B 、,2222- C 、22- 22- D 、22-,225、设x 2+y 2+z 2=2Rx ，则yzx z ∂∂∂∂,分别为（） A 、z y z R x --, B 、z y z R x ---, C 、zyz R x ,-- D 、zyz R x ,- 6、设圆心在原点，半径为R ，面密度为22y x +=μ的薄板的质量为（）（面积A=2R π）A 、R 2AB 、2R 2AC 、3R 2AD 、A R 221 7、级数∑∞=-1)1(n nnn x 的收敛半径为（）A 、2B 、21C 、1D 、3 8、cosx 的麦克劳林级数为（）A 、∑∞=-0)1(n n)!2(2n x n B 、∑∞=-1)1(n n )!2(2n x n C 、∑∞=-0)1(n n )!2(2n x n D 、∑∞=-0)1(n n)!12(12--n x n9、微分方程(y``)4+(y`)5+y`+2=0的阶数是（） A 、一阶 B 、二阶 C 、三阶 D 、四阶 10、微分方程y``+3y`+2y=0的特征根为（） A 、-2，-1 B 、2，1 C 、-2，1 D 、1，-2 二、填空题（本题共5小题，每题4分，共20分） 1、直线L 1：x=y=z 与直线L 2：的夹角为z y x =-+=-1321___________。

大一下学期高等数学期末考试试题及答案

高等数学A(下册)期末考试试题【A卷】院（系）别班级学号姓名成绩一、填空题：（本题共5小题,每小题4分，满分20分，把答案直接填在题中横线上）1、已知向量、满足，，，则．2、设,则．3、曲面在点处的切平面方程为．4、设是周期为的周期函数，它在上的表达式为，则的傅里叶级数在处收敛于，在处收敛于．5、设为连接与两点的直线段，则．※以下各题在答题纸上作答，答题时必须写出详细的解答过程，并在每张答题纸写上:姓名、学号、班级．二、解下列各题：(本题共5小题，每小题7分，满分35分）1、求曲线在点处的切线及法平面方程．2、求由曲面及所围成的立体体积．3、判定级数是否收敛?如果是收敛的,是绝对收敛还是条件收敛？4、设，其中具有二阶连续偏导数，求．5、计算曲面积分其中是球面被平面截出的顶部．三、（本题满分9分）抛物面被平面截成一椭圆,求这椭圆上的点到原点的距离的最大值与最小值．四、（本题满分10分）计算曲线积分，其中为常数，为由点至原点的上半圆周．五、（本题满分10分)求幂级数的收敛域及和函数．六、（本题满分10分）计算曲面积分,其中为曲面的上侧．七、(本题满分6分）设为连续函数，，，其中是由曲面与所围成的闭区域，求．—-——-—-——-———--—————-—-——--——---—--—-备注：①考试时间为2小时；②考试结束时，请每位考生按卷面答题纸草稿纸由表及里依序对折上交;不得带走试卷。

高等数学A（下册)期末考试试题【A卷】参考解答与评分标准一、填空题【每小题4分，共20分】1、；2、;3、; 4、3，0；5、。

二、试解下列各题【每小题7分,共35分】1、解：方程两边对求导,得，从而，…………。

【4】该曲线在处的切向量为…………。

.【5】故所求的切线方程为 (6)法平面方程为即…….。

【7】２、解：，该立体在面上的投影区域为．….。

【2】故所求的体积为 (7)３、解:由，知级数发散 (3)又,。

故所给级数收敛且条件收敛．【7】４、解:， (3)【7】５、解：的方程为，在面上的投影区域为．又，…。

高等数学一下册教材答案

高等数学一下册教材答案第一章：函数与极限1. 函数的概念与性质- 函数定义- 定义域、值域与像- 函数图像与性质2. 数列极限- 数列收敛与发散的概念- 数列极限的性质与判定方法- 极限存在准则3. 函数的极限与连续- 函数极限的定义与性质- 极限运算法则- 连续函数与间断点第二章：导数与微分1. 导数的概念与计算- 导数的定义与几何意义- 导数的计算方法- 函数的凹凸性与拐点2. 微分中值定理与导数的应用- 罗尔中值定理与拉格朗日中值定理 - 函数的单调性与极值- 高阶导数与泰勒公式3. 隐函数与参数方程求导- 隐函数求导方法- 参数方程求导技巧- 高阶导数的应用第三章：定积分1. 不定积分与定积分- 不定积分的概念与性质- 定积分的概念与性质- 牛顿-莱布尼茨公式2. 定积分的计算方法- 基本积分表与换元积分法- 分部积分法与定积分的性质 - 数值积分的概念与计算3. 定积分的应用- 曲线长度与曲面面积- 旋转体的体积与侧面积- 牛顿定律与质心的坐标第四章：微分方程1. 微分方程的基本概念- 微分方程的定义与解- 一阶微分方程与二阶微分方程 - 高阶微分方程的归纳法解法2. 常微分方程- 一阶线性微分方程- 一阶齐次线性微分方程- 可降阶的高阶线性微分方程3. 变量分离与参数代换- 变量分离型微分方程- 参数代换与降阶法- 可化为恰当微分方程的条件总结：高等数学一下册教材答案为了帮助学生更好地理解教材内容，掌握题目的解题方法，提供了相应的答案供参考。

通过对函数与极限、导数与微分、定积分以及微分方程等内容的详细讲解和解题方法的展示，旨在引导学生培养数学分析与应用问题的能力。

希望学生通过学习这本教材和参考答案，能够更好地掌握高等数学的知识，为以后的学习和应用打下坚实的基础。

同济大学《高等数学》第七版上、下册问题详解(详解)

练习1-1
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练习1-2
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练习1-3
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同济大学《高等数学》第七版上、下册答案(详解),DOC

(4)2 12 (7 z)2 32 52 (2 z)2
解得 z 14
9
即所求点为 M（0，0，14 ）.
9
7. 试证：以三点 A（4，1，9），B（10，-1，6），C（2，4，3）为顶点的三角形是等腰直角三角形. 证明：因为|AB|=|AC|=7.且有 |AC|2+|AB|2=49+49=98=|BC|2. 故△ABC 为等腰直角三角形. 8. 验证： (a b) c a (b c) .
3 i 14
1 j 14
2 k.
14
14. 三个力 F1=(1,2,3), F2=(-2,3,-4), F3=(3,-4,5)同时作用于一点. 求合力 R 的大小和方向余弦.
解：R=（1-2+3，2+3-4，3-4+5）=（2，1，4）
| R | 22 12 42 21
cos 2 , cos 1 , cos 4 .
故 A 的坐标为 A(-2, 3, 0).
13. 一向量的起点是 P1（4，0，5），终点是 P2（7，1，3），试求：
（1） P1P2 在各坐标轴上的投影；（2） P1P2 的模；
（3） P1P2 的方向余弦；
（4） P1P2 方向的单位向量.
解：（1） ax Pr jx P1P2 3,
ay Pr jy P1P2 1,
练习 5-2
练习 5-3
练习 5-4
总习题五
练习 6-2
练习 6-3
(2) s 22 (3)2 (4)2 29
(3) s (1 2)2 (0 3)2 (3 4)2 67
(4) s (2 4)2 (1 2)2 (3 3)2 3 5 .
5. 求点（4，-3，5）到坐标原点和各坐标轴间的距离.

大学高等数学下册教材答案

大学高等数学下册教材答案【第一章：函数及其图像】1. 函数的概念与性质1.1 函数的定义在数学中，函数是一种特殊的关系，是一种把一个集合的元素映射到另一个集合的元素的规则。

通常用f(x)来表示函数，其中x是自变量，f(x)是函数的值。

1.2 函数的性质一个函数有许多重要性质，包括定义域、值域、单调性、奇偶性等。

这些性质可以帮助我们了解函数的特点以及在问题中的应用。

2. 基本初等函数2.1 幂函数幂函数是指以自变量的幂为基的函数，形式可以表示为f(x) = x^a，其中a为常数。

幂函数在我们的生活中有广泛的应用，如面积、体积的计算等。

2.2 指数函数指数函数是以指数函数为自变量的函数，形式可以表示为f(x) = a^x，其中a为常数，且a大于0且不等于1。

指数函数在经济学、生物学、化学等领域有着广泛的应用。

2.3 对数函数对数函数是指以对数为自变量的函数，形式可以表示为f(x) =log_a(x)，其中a为常数，且a大于0且不等于1。

对数函数是指数函数的逆运算，可以帮助我们解决指数运算中的问题。

2.4 三角函数三角函数是指以角度或弧度为自变量的函数，包括正弦函数、余弦函数、正切函数等。

三角函数在物理学、工程学、天文学等领域有着广泛的应用。

【第二章：导数与微分】1. 导数的定义与求导法则1.1 导数的定义导数是函数在某一点上的变化率，可以表示为f'(x)或df(x)/dx。

导数可以帮助我们研究函数的变化趋势以及寻找函数的极值点。

1.2 求导法则求导法则是一套求导的规则，包括常数倍法则、和差法则、乘积法则、商法则等。

这些法则可以简化我们的求导过程，提高计算效率。

2. 函数的微分与几何意义2.1 函数的微分函数的微分是指函数在某一点附近的线性逼近。

微分可以帮助我们计算函数在某一点的变化量。

2.2 函数的几何意义函数的微分可以对应于图像上的切线，切线的斜率对应于函数在该点的导数。

通过研究切线的斜率，我们可以了解函数的变化趋势以及图像的几何特征。

高等数学下册教材答案详解

高等数学下册教材答案详解第一章：一元函数微分学1.1 一元函数的概念在这一章节中，我们将学习一元函数的概念。

一元函数指的是只有一个自变量的函数，常用符号表示为y=f(x)。

其中，x为自变量，y为因变量。

一元函数可以描述自然界中很多变化规律，比如物体的运动轨迹、生物的生长变化等。

1.2 一元函数的极限一元函数的极限是指函数在某一点接近于这一点时的极限值。

我们用lim表示极限的计算方法。

极限可以帮助我们研究函数的变化趋势和性质。

1.3 一元函数的导数一元函数的导数描述了函数在某一点的变化速率。

导数可以用来求函数的切线方程、判断函数的单调性以及求函数的极值点等。

导数的计算方法有几何定义、极限定义和微分中值定理等。

第二章：一元函数积分学2.1 定积分的概念定积分是用来计算曲线下面的面积的工具。

定积分的计算方法有几何定义和换元积分法等。

2.2 不定积分与初等函数不定积分是指未给出积分上下限的积分，其结果是原函数。

初等函数是指由有限个常见函数的和、积、商、复合构成的函数。

2.3 定积分的计算方法定积分的计算方法有数值积分法和变量代换法等。

数值积分法常用于无法求解解析解的情况，变量代换法则是一种应用广泛的积分求解方法。

第三章：多元函数微分学3.1 多元函数的概念与一元函数不同，多元函数具有多个自变量。

我们可以用f(x,y)表示二元函数，用f(x,y,z)表示三元函数。

多元函数的研究可以帮助我们理解多变量之间的关系和变化规律。

3.2 偏导数与全微分偏导数是一种求多元函数导数的方法，它描述了函数在某一点对各个自变量的变化率。

全微分则描述了函数在某一点附近的变化情况。

3.3 多元函数的极值与条件极值多元函数的极值和条件极值是研究函数的重要内容。

通过求解多元函数在一定条件下的极值，我们可以找到函数的最优解。

第四章：多元函数积分学4.1 二重积分与三重积分类似于一元函数积分，多元函数积分也可以用来计算曲面下面的体积。

二重积分用于计算平面区域上的曲面体积，而三重积分用于计算空间区域内的曲面体积。

高等数学教材答案解析完整版下册

高等数学教材答案解析完整版下册第一章：极限与连续1.1 极限的定义和性质对于极限的理解，我们首先需要明确极限的概念以及相关的性质。

在数学上，我们将极限定义为：若数列{an}满足当n趋近于无穷时，an 趋近于某个常数A，则称A为数列{an}的极限，记作lim（n→∞）an= A。

根据极限的性质，我们可以推导得到一系列有用的定理，如极限的唯一性定理、有界性定理等。

1.2 函数连续性函数的连续性在高等数学中占据着重要地位。

我们知道，一个函数若在某点x=a处连续，则在该点的左极限等于函数值等于右极限，即lim（x→a^-）f(x) = f(a) = lim（x→a^+）f(x)。

根据函数连续性相关的定理，如函数四则运算的连续性、复合函数的连续性等，我们可以更加深入地理解和运用连续函数的性质。

1.3 导数与微分导数的概念是微积分中的核心概念之一，其本质是对函数在某一点的变化率进行描述。

函数f(x)在点x=a处的导数定义为：lim（h→0）[f(a+h) - f(a)] / h。

导数的求解涉及到一系列的求导法则，如基本导数法则、高阶导数的计算等。

微分是导数的几何意义，可以描述函数曲线在某一点的切线斜率。

第二章：导数的应用2.1 最值与最值问题在求解最值问题时，我们需要使用导数和极值的概念。

根据导数的性质，我们可以得到一系列求解函数最大值和最小值的定理，如费马定理和辅助函数法。

2.2 函数的凹凸性与拐点函数的凹凸性和拐点是函数图像的重要特征之一。

我们可以通过导数和二阶导数的方法来判断函数的凹凸性和拐点。

根据函数的凹凸性和拐点的性质，我们可以更好地理解和分析函数的变化趋势。

2.3 泰勒展开与函数逼近泰勒展开是将一个函数在某点附近展开成幂级数的形式。

利用泰勒展开，我们可以对函数进行逼近和求解近似值。

泰勒展开在工程和科学计算中具有广泛的应用，如求解方程和优化问题等。

第三章：定积分与不定积分3.1 定积分的定义和性质定积分是对函数在一定区间上的积分运算。

2018高数一下学期期末考试附答案

高等数学一（II ）期末B 卷答案与评分标准一、计算二重积分 ∬xy Ddxdy , 其中 D 为第一象限内的椭圆区域: x 24+y 2≤1,x ≥0, y ≥0.（7分）解：使用广义极坐标变换，即x =2r cos θ,y =r sin θ（1分），积分区域可表示为0≤θ<π2,0≤r ≤1（1分）注意到J =D (x,y )D (r,θ)=[2cos θsin θ−2r sin θr cos θ]=2r （1分），我们有 ∬xy D dxdy =∫dθπ/2∫2r cos θ⋅r sin θ⋅|J |10dr （1分）=∫4cos θ⋅sin θdθπ/2∫r 31dr (1分)=∫2sin 2θdθπ/2×r 44|01=−cos 2θ|0π2×14(1分) =−(−1−1)×14=12(1分)二、设 Ω 为曲面 z =1 与上半球面 z =√3−x 2−y 2 所围成的区域，S 为 Ω 的边界，求第一型曲面积分 ∬(x +S1)dS 的值. (7分)解：首先通过方程z =1=√3−x 2−y 2，容易算得两曲面交线为x 2+y 2=2，故积分投影区域为D:x 2+y 2≤2，上表面为上半球面z 上=√3−x 2−y 2，下表面为平面z 下≡1.（1分）同时，可计算出√1+z 上x 2+z 上y2=√3−x 2−y 2√1+z 下x 2+z 下y2=1 （1分）,由对称性，注意到两个表面均关于Oyz 平面对称，且x 关于x 为奇函数，所以有：∬(x +1)SdS =∬1SdS (对称性，1分)=∬3√3−x 2−y 2D +1dxdy （1分）=∫dθ2π0∫[3√3−r 21]⋅r √20dr （极坐标，1分） =2π×[−3√3−r 2+r 22]|0√2=2π×(−3−(−3√3)+1−0)=(6√3−4)π（1分）注：本题复杂度偏大，考生即使没有使用对称性，如果能正确列式评分至少可以给到4分。

大一下高等数学期末试题精确答案

大一下高等数学期末试题精确答案Last updated on the afternoon of January 3, 2021一、单选题（共15分，每小题3分）1．设函数(,)f x y 在00(,)P x y 的两个偏导00(,)x f x y ，00(,)y f x y 都存在，则() A ．(,)f x y 在P 连续B ．(,)f x y 在P 可微 C ．00lim (,)x x f x y →及00lim (,)y y f x y →都存在D ．00(,)(,)lim(,)x y x y f x y →存在2．若x y z ln =，则dz 等于（）．3．设Ω是圆柱面222x y x +=及平面01,z z ==所围成的区域，则(),,(=⎰⎰⎰Ωdxdydz z y x f）．4．4．若1(1)n n n a x ∞=-∑在1x =-处收敛，则此级数在2x =处（）． A ．条件收敛B ．绝对收敛C ．发散D ．敛散性不能确定5．曲线222x y z z x y-+=⎧⎨=+⎩在点（1，1，2）处的一个切线方向向量为（）. A.（-1，3，4）B.（3，-1，4）C.（-1，0，3）D.（3，0，-1）二、填空题（共15分，每小题3分） 1．设220x y xyz +-=，则'(1,1)x z =.2．交换ln 10(,)ex I dx f x y dy =⎰⎰的积分次序后，I =_____________________．3．设22z xy u -=，则u 在点)1,1,2(-M 处的梯度为.4.已知0!nxn x e n ∞==∑，则x xe -=.5.函数332233z x y x y =+--的极小值点是. 三、解答题（共54分，每小题6--7分）1.（本小题满分6分）设arctan y z y x=,求z x ∂∂,zy ∂∂.2.（本小题满分6分）求椭球面222239x y z ++=的平行于平面23210x y z -++=的切平面方程，并求切点处的法线方程.3.（本小题满分7分）求函数22z x y =+在点(1,2)处沿向量132l i j =+方向的方向导数。

高数下册期末a卷考试题及答案

高数下册期末a卷考试题及答案一、选择题（每题5分，共30分）1. 以下哪个函数不是周期函数？A. $ \sin(x) $B. $ \cos(x) $C. $ e^x $D. $ \tan(x) $答案：C2. 函数 $ f(x) = x^2 $ 在 $ x=1 $ 处的导数是：A. 0B. 1C. 2D. 3答案：C3. 以下哪个选项是 $ \int_0^1 x^2 dx $ 的正确计算结果？A. $ \frac{1}{3} $B. $ \frac{1}{2} $C. $ 1 $D. $ 2 $答案：A4. 以下哪个选项是 $ \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} $ 的值？A. 0B. 1C. 2D. 3答案：B5. 以下哪个选项是 $ \int \frac{1}{x} dx $ 的原函数？A. $ \ln|x| + C $B. $ x + C $C. $ e^x + C $D. $ \sin x + C $答案：A6. 以下哪个选项是 $ \int e^x \cos x \, dx $ 的正确积分结果？A. $ \frac{1}{2} e^x (\cos x + \sin x) + C $B. $ \frac{1}{2} e^x (\cos x - \sin x) + C $C. $ \frac{1}{2} e^x (\cos x + \sin x) - C $D. $ \frac{1}{2} e^x (\cos x - \sin x) - C $答案：B二、填空题（每题5分，共20分）1. 函数 $ f(x) = \ln(x) $ 的定义域是 $ ______ $。

答案：$ (0, +\infty) $2. 函数 $ f(x) = \sqrt{x} $ 的导数是 $ ______ $。

同济大学《高等数学》第七版上、下册答案(详解)

极大值
练习3-7
总习题三
x
(, 0)
0
f(x)
+
不存在
-
0
+
f(x)
↗
2
极大值
↘
极小值
↗
练习4-2
练习4-3
练习4-4
>>>
总习题四
练习5-1
练习5-2
练习5-3
练习5-4
总习题五
练习6-2
练习6-3
总习题六
练习7-1
练习7-2
练习7-3
练习7-4
练习7-5
练习7-6
总习题七
练习8-1
练习8-2
>
练习8-3
练习8-4
练习8-5
练习8-6
练习8-7
练习8-8
总习题八
练习9-1
练习9-2
>>
<<>>
<<
练习9-3
练习9-4
总习题九
练习10-1
练习10-2
练习10-3
练习10-4
练习10-5
练习10-6
练习10-7
总习题十
练习111
练习112
1
y
+
+
0
-
-
-
y
0
-
-
-
0
+
yf(x)
0
拐点
↗
极大值
↘
拐点
↘
x
1
y
+
+
+
0
-
-
-
y

高等数学1教材答案解析完整版

高等数学1教材答案解析完整版一、函数与极限在高等数学1教材中，函数与极限是一个重要的章节。

本章主要介绍了函数的定义、性质和分类，以及极限的概念、性质和计算方法。

1. 函数的定义和性质函数是数学中的一个重要概念，用于描述两个数集之间的对应关系。

在高等数学1教材中，函数的定义为：设有两个非空数集A和B，如果对于每一个A中的元素x，都有且只有一个B中的元素y与之对应，那么就称这种对应为函数。

函数通常用f(x)表示。

函数还有一些重要的性质，包括定义域、值域和图像。

定义域是指函数的自变量可能取值的集合，值域是指函数的因变量可能取值的集合，图像是指函数在平面上的点的集合。

通过这些性质，我们可以更好地理解函数的特点。

2. 极限的概念和性质在高等数学1教材中，极限是函数与变量之间的重要关系。

极限的概念可以从两个方向进行讨论：自变量趋于某一点时的极限和自变量趋于无穷大时的极限。

对于函数f(x)，当自变量x无限接近某一点a时，如果函数值f(x)无限接近一个确定的值L，那么我们称L为函数f(x)当x趋于a时的极限。

极限还具有一些重要的性质，包括唯一性、局部有界性和保号性。

唯一性指的是函数的极限值是唯一确定的；局部有界性指的是在某一点的某一邻域内，函数的值有上界和下界；保号性指的是当函数的极限存在且不为零时，函数在某一点附近总是保持正号或负号。

二、导数与微分导数与微分是高等数学1教材中的另一个重要章节。

本章主要介绍了导数与微分的概念、性质和计算方法。

1. 导数的定义和性质导数是函数在某一点处的变化率，可以用来描述函数的局部性质。

在高等数学1教材中，导数的定义为：设函数f(x)在点x处有定义，在x处若极限\[f'(x)=\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x} \]存在，则称此极限为函数f(x)在点x处的导数。

常用的导数符号为f'(x)或$\frac{df}{dx}$。

《高等数学1》期末考试试卷及答案

《高等数学1》期末考试试卷及答案一、填空题（每小题3分，共15分） 1、函数ln(1)yx =-+的定义域是。

2、极限20limxt x e dt x→=⎰。

3、设0xx =是可导函数()y f x =的极大值点，则()0f x '= 。

4、计算定积分43121sin 11x x dx x -+=+⎰ 。

5、微分方程x y xe ''=的通解是。

二、单项选择题（每小题3分，共15分）A. 可去间断点B. 跳跃间断点C. 无穷间断点D. 振荡间断点 7、当0x→时，下列函数中与sin 2x 是等价无穷小的是（）9、下列每对积分均采用分部积分法，其u 均选为幂函数的一对是（）。

A. x xe dx ⎰与ln x xdx ⎰B. xxe dx ⎰与sin x xdx ⎰C. ln x xdx ⎰与sin x xdx ⎰D. arcsin x xdx ⎰与sin x xdx ⎰10、)(x f 在区间),(b a 内恒有()()0,0f x f x '''<<时，曲线)(x f y =在),(b a 内是（）A. 单增且是凹的；B. 单增且是凸的；C. 单减且是凸的；D. 单减且是凹的三、判断题（正确打√，错误打Ⅹ，每小题2分，共10分）11、在闭区间上的连续函数必有原函数，从而必可积。

（） 12、设2sin x y e =，则()()()22sin 2x x y e e x ''''=。

（） 13、设点00(,())x f x 为曲线()y f x =的拐点，则必有0()0f x ''=。

（）14、常数零是无穷小量，无穷小量就是常数零。

（）15、()22212t d x e dt x e e dx =-⎰ ( )四、极限、连续和微分解答题（每小题6分，共30分）16、求数列极限2lim nn ne-→∞17、111lim ln 1x x x →⎛⎫- ⎪-⎝⎭18、20limsin xt x e dtx→⎰19、已知(ln ,x y e =+求dy dx ，22d y dx20、求由方程x y xye -=所确定的隐函数的微分dy五、积分和微分方程解答题（每小题5分，共25分）21、2221tan x x e e x dx -⎡⎤⎛⎫++⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦⎰22、dx ⎰23、1e ⎰24、2-145dx x x +∞∞++⎰25、求微分方程2x dyy e dx-+=的通解六、应用题（每小题5分，共5分）26、求平面曲线y=2x ²与y ²=4x 所围成的图形面积A 。

大一高数下习题册答案解析

大一高数下习题册答案解析大一高数下习题册答案解析大学的高等数学课程对于许多大一新生来说是一个巨大的挑战。

高数下学期的习题册更是让许多同学感到头疼。

为了帮助大家更好地理解和掌握高数下习题册中的问题，本文将对一些典型题目进行解析和讲解。

一、函数与极限在高数下学期的习题册中，函数与极限是一个重要的章节。

其中，极限的概念和性质是理解整个章节的关键。

在习题册中，经常会出现一些求极限的问题，下面我们就以一个典型的例子来进行解析。

例题：求极限lim(x→0) (sinx/x)。

解析：首先，我们可以观察到当x趋近于0时，分子sinx也趋近于0，而分母x 也趋近于0。

这个极限的形式是0/0型，我们可以利用洛必达法则来求解。

根据洛必达法则，我们可以对分子和分母同时求导。

对于分子sinx，它的导数是cosx；对于分母x，它的导数是1。

所以，原极限可以转化为求lim(x→0) (cosx/1)。

再次观察新的极限，我们可以发现当x趋近于0时，分子cosx也趋近于1，分母1保持不变。

所以最终的极限结果是1。

二、导数与微分导数与微分是高数下学期习题册中的另一个重要章节。

在这个章节中，我们需要掌握导数的定义和性质，以及一些常见函数的导数公式。

下面我们以一个例题来进行解析。

例题：求函数f(x) = 3x^2 - 2x + 1的导数。

解析：对于这个函数，我们可以使用导数的定义来求解。

导数的定义是函数在某一点的变化率，可以通过求函数的极限来得到。

对于函数f(x) = 3x^2 - 2x + 1，我们可以先求出它的变化率。

设x1和x2是两个不同的点，那么函数在这两个点的变化率为：Δy/Δx = [f(x2) - f(x1)] / (x2 - x1)将函数f(x) = 3x^2 - 2x + 1代入上式，我们可以得到：Δy/Δx = [3x2^2 - 2x2 + 1 - (3x1^2 - 2x1 + 1)] / (x2 - x1)化简上式，我们得到：Δy/Δx = 3(x2 + x1) - 2当Δx趋近于0时，上式的极限就是函数f(x)在点x处的导数。

大一高等数学教材下册答案

大一高等数学教材下册答案第一章：函数与极限1. 函数的定义与性质1.1 函数的定义1.2 函数的性质1.3 基本初等函数2. 极限与连续函数2.1 极限的概念2.2 极限的性质2.3 无穷小量与无穷大量2.4 连续函数3. 导数与微分3.1 导数的定义3.2 导数的性质3.3 微分的概念3.4 高阶导数3.5 隐函数求导3.6 参数方程求导4. 微分中值定理与导数的应用 4.1 费马定理与罗尔定理4.2 拉格朗日中值定理4.3 导数的应用4.4 曲线的凹凸性与拐点4.5 高阶导数的应用第二章：积分与不定积分1. 不定积分1.1 原函数与不定积分的概念 1.2 不定积分的基本性质1.3 牛顿－莱布尼茨公式1.4 微积分基本定理2. 定积分2.1 定积分的概念2.2 定积分的性质2.3 几何应用2.4 牛顿－莱布尼茨公式与定积分的计算3. 定积分的应用3.1 曲线的弧长3.2 曲线的面积3.3 物理应用3.4 平均值与均值定理4. 定积分的计算4.1 第一换元法4.2 第二换元法4.3 分部积分法4.4 有理函数积分第三章：多元函数微分学1. 二元函数与偏导数1.1 二元函数的概念1.2 偏导数的定义1.3 高阶偏导数2. 多元复合函数与链式法则2.1 多元复合函数的偏导数2.2 链式法则与隐函数偏导数3. 全微分与多元函数的微分3.1 多元函数的全微分3.2 多元函数的微分中值定理4. 多元函数的极值与条件极值4.1 多元函数的极值4.2 条件极值与拉格朗日乘数法第四章：多元函数积分学1. 二重积分1.1 二重积分的概念与性质1.2 二重积分的计算2. 三重积分2.1 三重积分的概念与性质2.2 三重积分的计算3. 曲线积分与曲面积分3.1 曲线积分的类型与计算3.2 曲面积分的类型与计算4. 广义积分4.1 瑕积分的收敛性4.2 瑕积分的计算第五章：向量与标量场1. 向量1.1 向量的概念与运算1.2 向量的数量积与夹角1.3 向量组的线性相关性与线性无关性1.4 向量的坐标表示与距离2. 空间解析几何2.1 空间坐标系与方向角2.2 直线与平面的方程2.3 空间曲线与曲面的方程3. 空间向量场与标量场3.1 向量场的概念与性质3.2 标量场的概念与性质4. 梯度与对偶4.1 标量场的梯度与梯度场4.2 梯度场的旋度与散度第六章：多元函数的微分学应用1. 多元函数的极值及条件极值1.1 多元函数的极值与条件极值的定义1.2 解决极值问题的方法2. 二元函数的泰勒公式2.1 二元函数的泰勒展开式2.2 求极值的条件3. 拉格朗日乘数法与最小二乘法3.1 拉格朗日乘数法3.2 最小二乘法的原理与应用4. 曲线积分与曲面积分的应用4.1 曲线积分的应用4.2 曲面积分的应用4.3 流量与通量以上是《大一高等数学教材下册》的答案内容概要，包括了每章节的主要内容及对应的知识点。

大一下册高等数学教材答案

大一下册高等数学教材答案高等数学教材答案第一章：函数与极限1.1 函数的概念及其表示法函数的概念：函数是一种把一个集合的元素（称为自变量）对应到另一个集合的元素（称为因变量）的规则。

函数的表示法：函数可以用四种表示法来表示，分别是：- 一个映射表格；- 一个解析式；- 一个图形；- 一个实例。

1.2 函数的性质函数的奇偶性：若函数满足f(x) = f(-x)，则称该函数是偶函数；若函数满足f(x) = -f(-x)，则称该函数是奇函数。

函数的周期性：若存在正数T，对于任意x∈D，都有f(x+T) = f(x)，则称函数具有周期T。

1.3 依据图像讨论函数的性质通过函数的图像可以了解函数的性质，包括函数的单调性、最值、有界性和奇偶性等。

第二章：数列与极限2.1 数列的概念数列是按照一定规律排列的一列数，常用表示形式为{an}，其中n 表示数列的第n项，an表示数列的第n项的值。

2.2 数列极限的概念数列极限是指当n趋近于无穷大时，数列中的项趋近于某个常数。

数列极限的表示方法：用lim(n→∞)an表示数列的极限为a。

2.3 数列极限的性质数列极限具有唯一性、有界性和保号性等性质。

第三章：连续函数与导数3.1 连续函数的概念连续函数是指在定义域内的每一个点，其函数值都存在，且与该点的极限值相等。

3.2 导数的概念导数是用来衡量函数在某一点附近的变化率的概念，常用dy/dx或f'(x)表示。

3.3 导数的基本运算法则导数的基本运算法则包括和差法、常数法则、乘法法则和除法法则等。

第四章：定积分与不定积分4.1 定积分的概念定积分是函数与自变量之间的积分关系，在几何意义上可以表示为曲线与x轴之间的面积。

4.2 定积分的性质定积分具有线性性、区间可加性、保号性和保序性等性质。

4.3 不定积分的概念与性质不定积分是函数的一个原函数，常用∫f(x)dx表示，具有线性性和长期趋于定积分的性质。

以上为大一下册高等数学教材答案的部分内容，希望对您的学习有所帮助。

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《高等数学》期末试卷A （工本）
注意事项：1. 考前请将密封线内的各项内容填写清楚； 2. 所有答案请直接答在试卷上(或答题纸上)； 3．考试形式：闭卷；
4. 本试卷共9道大题，满分100分，考试时间120分钟。

一 , 填空题 (每题3分,共15题,计45分) 1 函数y x z -=
的定义域为 .
2 =+-→xy
xy
y x 93lim )0,0(),( . 3 方程033=-xyz z 确定了一个二元函数),(y x z z =，求
=dz .
4 )(x
y f z =具有二阶导数，求
=∂∂∂y x z 2
. 5 曲面32=+-xy e
z z
在点)0,2,1(P 处的切平面方程为
.
6 函数x z z y y x u 2
22++=在点)1,1,1(M 处沿方向)1,2,1(-=l 的方向导数是
.
7 求以向量)1,2,2(),1,4,8(-==b a
为邻边的三角形的面积是
8 直线0
2121:
+=-=z y x l 与平面32:=++z y x π的夹角为
9 把直角坐标系下的二重积分转换成极坐标系下的二重积分
=+⎰
⎰
-dx y x f dy a y ay 20
20
222)(
10 设Ω为曲面)(2542
2
2
y x z +=与曲面5=z 所围成的空间有界闭区域,则用柱面坐标表示三重积分=+=⎰⎰⎰Ω
dv y x f I )(2
2 11
=-+-⎰dy x x dx y xy L
)4()22(2
其中L 为922=+y x 的边界曲线,按逆时针方向绕行.
12 ∑是由3,1,12
2===+z z y x 所围成的空间有界闭区域的边界曲面,指向外侧.则⎰⎰∑
=-+-+-dxdy x z dzdx z y dydz y x )()()(
13 常数项级数
∑
∞
=+12
3
)
1(sin n n n α(绝对还是条件) 收敛.
14 判断常数项级数∑∞
=+113n n n
e
的敛散性 .
15 设)(x f 是周期为π2的函数,且它在(]ππ,-上的表达式是
ππ≤<≤<-⎩
⎨⎧=x x x x f 00,0)(则由收敛定理,)(x f 的傅立叶级数在π3=x 处收敛
于 .
二利用朗格朗日乘数法求旋转抛物面22y x z +=与平面22=-+z y x 之间的最
短距离.(8分)
三计算 σd x x
D
⎰⎰sin 其中D 是由直线2,2,===x x y x y 所围成的有界闭区域.(7分)
四利用重积分求由az z y x 2222=++及222z y x =+(含z 轴的部分)所围成的立
体的体积.(8分)
五求幂级数∑∞
=+
01
n
n
n
x
的和函数.(8分)
六计算
⎰
+L
ds y x )(,其中L 是以)0,1(),0,0(B A 和)1,1(C 为顶点的三角形的边
界.(8分)
七计算曲面积分
dS y x ⎰⎰∑
+)(22,其中∑是锥面22y x z +=及平面1=z 所
围成的整个边界曲面.(8分)
八计算
dy y y x dx xe y x L
x )sin ()3(32-++⎰,其中L 为ax y x =+22的上半圆周取逆时针方向.(8分)
九附加题(8分) 求)0()(2
32
2
222>>++++⎰⎰∑
b a b z a y x zdxdy
ydzdx xdydz ，其中∑为上半球面222y x R z --=的上侧)0(>R .
2009-2010 高等数学（工本）第二学期 A 卷答案
一 1, },0),({2y x y y x D ≥≥= 2, 61- 3,dy xy
z xz
dx xy z yz dz -+-=2
2 4, )()(132x y f x
y x y f x ''-'-
5,042=-+y x 6,0 7,29 8, 3π
9,ρρρθπ
θ
d f d a ⎰⎰20sin 202)( 10,dz f d d ⎰⎰⎰
20
5
2
220
2)(ρπρρρθ 11,π18-
12, π6 13, 绝对 14,发散 15,2
π
二解一: 设 6
2
2--+=
z y x d (2分)
令)()22(),,,(222z y x z y x z y x L -++--+=λλ (3分) 解方程组0,0,0.0====λL Lz Ly Lx 得到唯一的驻点)8
1,41,41( (2分)
6
47min =
d (1分)
解二: 求22y x z +=上平行与平面022=--+z y x 的切平面方程,在求切点到已知平面的距离即可
切平面}1,2,2{-=y x n (2分) 已知切平面的法向量}2,1,1{1-=n , (2分)
n 平行与1n 所以
4
1,41211212==⇒--==y x y x (2分) 切点)8
1,41,41( (1分)
6
47min =
d (1分)
三 σd x x D
⎰⎰sin =⎰⎰x
x dy dx x x 220sin (5分) (包括图形)
)2c o s 1(2
1
)2s i n (s i n
2
-=-=⎰dx x x (2分) 四法一利用二重积分222:a y x D xy ≤+ (2分)
σd y x y x a a V D
⎰⎰+---+=)(22222 (4分)
3a π= (2分) 法二利用三重积分 ⎰⎰⎰Ω
=dv V 1
五解收敛域 )1,1[-=I (2分)
设 ∑∞
=+=01
)(n n
n x x S (1分)
两边同时乘以x 之后两边同时求导 1,11
))((<-=
'x x
x xS (2分) 两边同时积分 )1ln()(x x xS --= (1分)
010,
1)1ln()(=<<⎪⎩
⎪⎨⎧--=x x x x x S (2分) 六解
⎰
⎰
⎰
⎰
++=AC
BC
B
A L
(1分)
10,0:≤≤=x y AB ⎰⎰=
=1
021
xdx AB
（２分）
10,1:≤≤=y x BC ⎰⎰
=+=1023
)1(dy y CB
（２分） 10,:≤≤=x x y AC
⎰⎰
==1
222dx x AB
（２分）
⎰⎰
⎰
⎰
+=++=AC
BC
B
A L
22
(1分)
七解 21∑+∑=∑ 1
2
221=∑+=
∑z y x z
1:22≤+y x D xy
（３
分）
dS y x ⎰⎰∑
+)(22＝⎰⎰⎰⎰∑∑+2
1
＝π2
12)(2)(2222+=+++⎰⎰⎰⎰dxdy y x dxdy y x xy
xy D D （５
分）
八解 ;sin ,332y y x Q xe y x p x -=+= x
Q y p ∂∂=∂∂ 积分与路径无关（２分）
自选积分路径 )0,0()0,(→a 即 0,0:,0=→=dy a x y （２
分）
dy
y y x dx xe y x L
x )sin ()3(32-++⎰
＝
dx xe a
x ⎰
（３分）
＝1)1(--a e a （１分）九：
0=∂∂+∂∂+∂∂z
R
y Q x P ,取光滑曲面∑'222y x R a b z --=
上侧.并记
⎭
⎬⎫
⎩⎨⎧--≤≤--=Ω222222),,(y x R z y x R a b z y x
原
式
⎰⎰
-
∑++++-=2322222)(b z a y x zdxdy ydzdx xdydz 23222
22)(][b
z a y x z
y x ++++--=⎰⎰⎰⎰∑'+∑∑'
-
I
R
a zdxdy ydzdx xdydz R a zdxdy ydzdx xdydz R a dv 33
3333)(])(0[=++=++--=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰∑'Ω∑'
在取)(0:2
22R y x z ≤+=∑''下侧,并记}0),,({222y x R a
b
z z y x --≤
≤=Ω' 3203)(R a
b
dv zdxdy ydzdx xdydz I ⎰⎰⎰⎰⎰
⎰⎰
Ω'∑'
'∑'
'+∑'=-=++-=π
所以原式b a 2
3
2π=
《高等数学》期末试卷A第11 页共11 页。