人教版数学九年级上册最大利润课件
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数学九年级人教版第二课时二次函数最大利润问题ppt课件
析
要
点
分
类
练
知识点 2
“每……每……”的销售利润问题
3.将进货价为70元/件的某种商品按零售价100元/件出售时
每天能卖出20件,若这种商品的零售价在一定范围内每降价
1元/件,其日销售量就增加1件,为了获得最大利润,决定每件
降价x元,则单件的利润为
元,每天的销售量为
(30-x)
(20+x) 件,则每天的利润y(元)关于x(元)的函数关系式是
把(280,40),(290,39)代入,得
1
=- ,
280 + = 40,
10
解得
290 + = 39,
= 68,
1
∴y 与 x 之间的函数解析式为 y=- x+68(200≤x≤320).
10
规
律
方
法
综
合
练
(2)当每个房间每天的定价定为多少时,宾馆每天所获利润最
大?最大利润是多少元?
A.2500元
B.47500元
C.50000元
D.250000元
[解析] 因为抛物线的对称轴为直线x=500,在对称轴左侧,y随x的
增大而增大,因此在0<x≤450的范围内,当x=450时,函数有最大值
为47500.
规
律
方
法
综
合
练
6.(2021鄂尔多斯)鄂尔多斯市某宾馆共有50个房间供游客居
住,每个房间每天的定价不低于200元且不超过320元.如果
(1)求y与x之间的函数解析式(不必写出自变量的取值范围);
解:(1)根据题意,得y=300-10(x-60)=-10x+900.
要
点
分
类
练
知识点 2
“每……每……”的销售利润问题
3.将进货价为70元/件的某种商品按零售价100元/件出售时
每天能卖出20件,若这种商品的零售价在一定范围内每降价
1元/件,其日销售量就增加1件,为了获得最大利润,决定每件
降价x元,则单件的利润为
元,每天的销售量为
(30-x)
(20+x) 件,则每天的利润y(元)关于x(元)的函数关系式是
把(280,40),(290,39)代入,得
1
=- ,
280 + = 40,
10
解得
290 + = 39,
= 68,
1
∴y 与 x 之间的函数解析式为 y=- x+68(200≤x≤320).
10
规
律
方
法
综
合
练
(2)当每个房间每天的定价定为多少时,宾馆每天所获利润最
大?最大利润是多少元?
A.2500元
B.47500元
C.50000元
D.250000元
[解析] 因为抛物线的对称轴为直线x=500,在对称轴左侧,y随x的
增大而增大,因此在0<x≤450的范围内,当x=450时,函数有最大值
为47500.
规
律
方
法
综
合
练
6.(2021鄂尔多斯)鄂尔多斯市某宾馆共有50个房间供游客居
住,每个房间每天的定价不低于200元且不超过320元.如果
(1)求y与x之间的函数解析式(不必写出自变量的取值范围);
解:(1)根据题意,得y=300-10(x-60)=-10x+900.
人教版数学九年级上册实际问题与二次函数——利润最大(小)值问题课件
即房价为180+170=350时，利润 y 有最大值。
分析题目的两个变量
解：设房租涨价10x元，则利润为y元，
y写 出(18函0 数10关x)系(50式 x) 20(50 x) (0 x 5写0)出等量关系
利润=房价×入住数量—支出
9000180x 500x 10x2 1000 20x
三、总结提升
实际问题
目 标
实际问题 的答案
归纳
二次函数
抽象
y ax2 bx c
图象 性质
利用二次函数的 图像和性质求解
变式1 原条件不变，旅游局为了促进低碳 环保，规定宾馆空房率不能超过20%，房 价定为多少的时候，利润最大？
y (18010x)(50 x) 20(50 x) (0 x 10) y
本题是以文字信息情势出现，求最大 利润的实际应用问题，要抓住题目中的关 键词来审题，对信息进行梳理、分析 。
二、解题过程
问题一：题目研究的是哪两个变量的关系？ （利润随房价的变化而变化）
问题二：能根据题意列出等量关系吗？
（利润=房价×入住数量—支出） 问题三：等量关系中各数据关系是什么？
房价=180+涨价 入住数量=涨10元空一间 支出=20 ×入住数量
x 设涨价 元，利润为 y 元.
y (180 x)(50 x ) 20(50 x ) 0 x 50
10
10
9000 1 x2 32x 1000 2x
1
10
x2 34x 8000
10
当 x b 34 170 时，利润y 有最大值。
2a 2 ( 1 ) 10
一、题目分析
四、自我评价
1、数学教育要使学生掌握现代生活和学习中 所需要的数学知识与技能。题目的解决体现 了知识对日常生活的重大作用，学生对数学 知识实用性的有更深一层认识。
22.3.2商品利润最大问题(第2课时)(课件)2024-2025学年九年级数学上册(人教版)
银行家说：“你看你的手指上是不是有油。”
服装厂生产某品牌的 T 恤衫成本是每件 10 元.根据市场调查，
以单价 13 元批发给经销商，经销商愿意经销 5000 件 ，并且表
示单价每降价 0.1 元，愿意多经销 500 件.
请你帮助分析，厂家批发单价是多少时可以获利最多?
总利润 = (销售单价 - 成本单价)×销量 = 单利润×销量
= −4x2 + 140x − 864
∴当
答：当
时，利润 w 有最大值，最大值为 361.
时，利润最大.
某网络玩具店引进一批进价为20元/件的玩具，如果以单价30元出
售，那么一个月内售出180件，根据销售经验，提高销售单价会导
致销售量的下降，即销售单价每上涨1元，月销售量将相应减少10
件，当销售单价为多少元时，该店能在一个月内获得最大利润？
13
10
假设批发单价12.8 5000 +
5000
− .
500×
.
3
12.8 - 10
① 设未知数，用含未知数的代数式表示相关量
解：设厂家批发单价是为 x 元，获利 y 元.
② 根据题意，求出自变量的取值范围
还有其他的设未
知数方法吗？
∵ 13 − x≥0，且 x＞10，∴ 10＜x≤13.
在日常生活中存在着许许多多的与数学知识有关的实际问题.商
品买卖过程中，作为商家追求利润最大化是永恒的追求.
有一个这样的故事：
银行家的儿子问爸爸：“爸爸，银行里的钱都是客户和储户的，
那你是怎么赚来房子、奔驰和游艇的呢？”
“儿子，冰箱里有一块肥肉，你把它拿来。”
儿子拿来了。“你再把它放回去。”
服装厂生产某品牌的 T 恤衫成本是每件 10 元.根据市场调查，
以单价 13 元批发给经销商，经销商愿意经销 5000 件 ，并且表
示单价每降价 0.1 元，愿意多经销 500 件.
请你帮助分析，厂家批发单价是多少时可以获利最多?
总利润 = (销售单价 - 成本单价)×销量 = 单利润×销量
= −4x2 + 140x − 864
∴当
答：当
时，利润 w 有最大值，最大值为 361.
时，利润最大.
某网络玩具店引进一批进价为20元/件的玩具，如果以单价30元出
售，那么一个月内售出180件，根据销售经验，提高销售单价会导
致销售量的下降，即销售单价每上涨1元，月销售量将相应减少10
件，当销售单价为多少元时，该店能在一个月内获得最大利润？
13
10
假设批发单价12.8 5000 +
5000
− .
500×
.
3
12.8 - 10
① 设未知数，用含未知数的代数式表示相关量
解：设厂家批发单价是为 x 元，获利 y 元.
② 根据题意，求出自变量的取值范围
还有其他的设未
知数方法吗？
∵ 13 − x≥0，且 x＞10，∴ 10＜x≤13.
在日常生活中存在着许许多多的与数学知识有关的实际问题.商
品买卖过程中，作为商家追求利润最大化是永恒的追求.
有一个这样的故事：
银行家的儿子问爸爸：“爸爸，银行里的钱都是客户和储户的，
那你是怎么赚来房子、奔驰和游艇的呢？”
“儿子，冰箱里有一块肥肉，你把它拿来。”
儿子拿来了。“你再把它放回去。”
九年级数学上册2实际问题与二次函数(利润问题)课件
x
b 2a
5时，y最大值
10 52
100
5
6000
6250
所以，当定价为65元时，利润最大，最大利润为6250元
y\元
6250 6000
05
可以看出，这个函数的
图像是一条抛物线的一
部分，这ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ抛物线的顶
点是函数图像的最高点，
也就是说当x取顶点坐标
的横坐标时，这个函数
有最大值。由公式可以
30
x \ 元 求出顶点的横坐标.
期少卖10x件，实际卖出(300-10x)件,每件利润为 (60+x-40) 元，
因此，所得利润为 （60+x-40）(300-10x)
元
怎样确定 x的取值
范围
y=(60+x-40)(300-10x)
即y=-10（x-5）²+6250(0≤X≤30)
∴当x=5时，y最大值=6250
也可以这样求极值
某商品现在的售价为每件60元，每 星期可卖出300件，市场调查反应： 每涨价1元，每星期少卖出10件； 每降价1元，每星期可多卖出20件， 已知商品的进价为每件40元，如何 定价才能使利润最大？
分析: 调整价格包括涨价和降价两种情况
先来看涨价的情况：⑴设每件涨价x元，则每星期售出商品的利润y
也随之变化，我们先来确定y与x的函数关系式。涨价x元时则每星
在降价的情况下，最大利润是多少？请你参考（1） 的过程得出答案。
解：设降价a元时利润最大，则每星期可多卖20a件，实 际卖出（300+20a)件，每件利润为（60-40-a）元，因 此，得利润
b=(300+20a)(60-40-a)
最新人教版初中数学九年级上册《实际问题与二次函数(第2课时商品销售最大利润问题)》优质教学课件
故300 − 10 ≥ 0，且 ≥ 0,因此自变量的取值范围是0 ≤ ≤ 30.
（3）涨价多少元时利润最大，最大利润是多少？
= −102 + 100 + 6 000，
当 = −
100
2× −10
= 5时, = −10 × 52 + 100 × 5 + 6 000 = 6 250.
模型，相信所有的题目都万变不
离其宗。
谢谢聆
听
单件利润（元） 销售量（件）
正常销售
涨价销售
20
+
每星期利润（元）
300
6000
−
( + )( − )
建立函数关系式： = (20 + )(300 − 10),
即 = −102 + 100 + 6000.
（2）如何确定自变量x的取值范围？
通常价格上涨，则销量下降，因此只考虑销售量即可，
当 =−
=
时，二次函数
−
.
= + + 有最小（大）值
新课导入
日常生活中到处可以
用到数学知识，商品
买卖过程中，商家追
求的目标往往是利润
的最大化.
如果你是商场经理，
如何定价才能使商场
获得最大利润呢？
知识讲解
商品利润最大问题
问题
商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件.市场调查反映：
（2）销售单价在什么范围时，该种商品每天的销售利润不低于16元？
y
解：(1)由图象可得函数图象过点（5，0），（7，16），
代入得 = −2 + 20 − 75.
人教版数学九年级上册22 第2课时 商品利润最大问题课件
答：当销售单价为34元时，该店在一个月内能获得最 大利润1960元.
例2 某商店试销一种新商品，新商品的进价为30元/件， 经过一段时间的试销发现，每月的销售量会因售价的调 整而不同.令每月销售量为y件，售价为x元/件，每月的总 利润为Q元. （1）当售价在40～50元时，每月销售量都为60件，则
k =−2， b = 160. ∴y =−2x +160（50≤x≤70）.
∴Q=(x −30)y =(x −30)(−2x + 160) =−2x2 + 220x − 4800 = −2(x −55)2 +1250 (50≤ x ≤70)
∵a = −2＜0，图象开口向下， ∴当x = 55时，Q最大= 1250 ∴当售价在50～70元时，售价x是55元时，获利最大，
学习目标
1.能应用二次函数的性质解决商品销售过程中的最大 利润问题.（重点） 2.弄清商品销售问题中的数量关系及确定自变量的取 值范围. （难点）
在日常生活中存在着许许多多的与数学知识有关 的实际问题.商品买卖过程中，作为商家追求利润最大 化是永恒的追求.
如果你是商场经理，如何定价才能使商场获得最大利润呢？
当 x 由1(010)(2)的5讨时论,及y 现在20的 (销5)售2 100 5 6000 6125.
2情 (况20，) 你2知道应该如何定2 价
2
能使利润最大了吗?
综上可知，定价57.5元时，最大利润是6125元.
变式 某电商在购物平台上销售一款小电器，其进价为 45元件，每销售一件需缴纳平台推广费5元，该款小电 器每天的销售量y(件)与每件的销售价格x(元)满足函数 关系：y=−2x+180．为保证市场稳定，供货商规定销售 价格不得低于75元/件且不得高于90元/件． (1)写出每天的销售利润w(元)与销售价格x(元)的函
例2 某商店试销一种新商品，新商品的进价为30元/件， 经过一段时间的试销发现，每月的销售量会因售价的调 整而不同.令每月销售量为y件，售价为x元/件，每月的总 利润为Q元. （1）当售价在40～50元时，每月销售量都为60件，则
k =−2， b = 160. ∴y =−2x +160（50≤x≤70）.
∴Q=(x −30)y =(x −30)(−2x + 160) =−2x2 + 220x − 4800 = −2(x −55)2 +1250 (50≤ x ≤70)
∵a = −2＜0，图象开口向下， ∴当x = 55时，Q最大= 1250 ∴当售价在50～70元时，售价x是55元时，获利最大，
学习目标
1.能应用二次函数的性质解决商品销售过程中的最大 利润问题.（重点） 2.弄清商品销售问题中的数量关系及确定自变量的取 值范围. （难点）
在日常生活中存在着许许多多的与数学知识有关 的实际问题.商品买卖过程中，作为商家追求利润最大 化是永恒的追求.
如果你是商场经理，如何定价才能使商场获得最大利润呢？
当 x 由1(010)(2)的5讨时论,及y 现在20的 (销5)售2 100 5 6000 6125.
2情 (况20，) 你2知道应该如何定2 价
2
能使利润最大了吗?
综上可知，定价57.5元时，最大利润是6125元.
变式 某电商在购物平台上销售一款小电器，其进价为 45元件，每销售一件需缴纳平台推广费5元，该款小电 器每天的销售量y(件)与每件的销售价格x(元)满足函数 关系：y=−2x+180．为保证市场稳定，供货商规定销售 价格不得低于75元/件且不得高于90元/件． (1)写出每天的销售利润w(元)与销售价格x(元)的函
部编人教版九年级数学上册优质课件 第2课时 最大利润问题
由6m00m， 40 0.
可得：0≤m≤20.
怎样确定m的取
值范围？
降价：
m取何值时，y有最大
值？最大值是多少？
y2=-20m2+100m+6000 (0≤m≤20) =-20(m2-5m)+6000
=-20(m-2.5)2+6125
抛物线y2=-20m2+100m+6000顶点坐标为 (2.5,6125) ， 所以商品的单价下降 2.5 元时，利润最大，为 6125 元.
综合应用 3.某种文化衫以每件盈利20元的价格出售，每天可售出40 件. 若每件降价1元，则每天可多售10件，如果每天要盈利 最多，每件应降价多少元？
解：设每件应降价x元，每天的利润为y元， 由题意得：y=(20-x)(40+10x)
=-10x2+160x+800 =-10(x-8)2+1440 (0＜x＜20). 当x=8时，y取最大值1440. 即当每件降价8元时，每天的盈利最多。
22.3 实际问题与二次函数 第2课时 最大利润问题
R·九年级上册
新课导入
问题：某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300 件.市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少 卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件．已知商品 的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？
(1)能用二次函数表示实际问题中的数量关系(包括写出解 析式、自变量的取值范围、画图象草图). (2)会用二次函数Βιβλιοθήκη 销售问题中的最大利润.课堂小结
利用二次函数解决利润问题的一般步骤： (1)审清题意，理解问题； (2)分析问题中的变量和常量以及数量之间的关系； (3)列出函数关系式； (4)求解数学问题； (5)求解实际问题.
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y=（300-10x）（60+x）-40（300-10x ）
人 教 版 数 学 九年级 上册22 .3.3最 大利润 课件
人 教 版 数 学 九年级 上册22 .3.3最 大利润 课件
2．探究二次函数利润问题
（1） 题目中有几种调整价格的方法？ （2） 题目涉及哪些变量？哪一个量是自变量？哪 些量随之发生了变化？哪个量是函数？ （3） 当每件涨 1 元时，售价是多少？每星期销量 是多少？成本是多少？销售额是多少？利润呢？ （4） 最多能涨多少钱呢？ （5） 当每件涨 x 元时，售价是多少？每星期销量 是多少？成本是多少？销售额是多少？利润 y 呢？
九年级 上册
22.3 实际问题与二次函数 （第2课时）
• 学习目标： 能够分析和表示实际问题中，变量之间的二次函数关 系，并运用二次函数的顶点坐标求出实际问题的最大 （小）值．
• 学习重点： 探究利用二次函数的最大值（或最小值）解决实际问 题的方法．
1．复习二次函数解决实际问题的方法
问题1 解决上节课所讲的实际问题时，你用到了什么知识？ 所用知识在解决生活中问题时，还应注意哪些问题？
1．复习二次函数解决实际问题的方法
归纳： 1．由于抛物线 y = ax2 + bx + c 的顶点是最低（高） 点，当
x b 2a
时，二次函数 y = ax2 + bx + c 有最小（大） 值 y 4ac b2 ． 4a
2．列出二次函数的解析式，并根据自变量的实际 意义，确定自变量的取值范围；
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2．探究二次函数利润问题
问题4 在降价情况下，最大利润是多少？请你参考上述的 讨论，自己得出答案． （1） x = 2.5 是在自变量取值范围内吗？ （2）由上面的讨论及现在的销售情况， 你知道应 如何定价能使利润最大了吗？
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•是 ．
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• 2．某商店销售一种商品，每件的进价为 2.50元，根据市场调查，销售量与销售单价 满足如下关系：在一段时间内，单价是 13.50元时，销售量为500件，而单价每降低 1元，就可以多售出200件.设每件商品降价x 元，总利润为y元，请你写出y与x的函数关 系式，并分析，当销售单价为多少元时， 获利最大，最大利润是多少？
人 教 版 数 学 九年级 上册22 .3.3最 大利润 课件
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4．小结
（1）这节课学习了用什么知识解决哪类问题？ （2）解决问题的一般步骤是什么？应注意哪些问 题？ （3）你学到了哪些思考问题的方法？
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3、巩固练习
• 1．某商场购进一批单价为16元的日用品， 经试销发现，若按每件20元的价格销售时 ，每月能卖360件，若按每件25元的价格销 售时，每月能卖210件，假定每月销售件数 y（件）是价格x（元/件）的一次函数，则
• y与x之间的关系式是 ，销售所获得的 利润为w（元）与价格x（元/件）的关系式
3．在自变量的取值范围内，求出二次数 学 九年级 上册22 .3.3最 大利润 课件
2．探究二次函数利润问题
问题2 某商品现在的售价为每件 60 元，每星期可卖出300 件．市场调查反映：如调整价格，每涨价 1 元，每星期 要少卖出 10 件；每降价 1 元，每星期可多卖出 20 件． 已知商品的进价为每件 40 元，如何定价才能使利润最 大？
y=（300-10x）（60+x）-40（300-10x ）
人 教 版 数 学 九年级 上册22 .3.3最 大利润 课件
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2．探究二次函数利润问题
y 10x2 100x 6 000（0≤x≤30）． （6）这是一个什么函数？自变量取值范围是什么？ 这个函数有最大值吗？
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2．探究二次函数利润问题
问题3 x = 5 是在自变量取值范围内吗？为什么？ 如果计算出的 x 不在自变量取值范围内，怎么办？
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2．探究二次函数利润问题
（1） 题目中有几种调整价格的方法？ （2） 题目涉及哪些变量？哪一个量是自变量？哪 些量随之发生了变化？哪个量是函数？ （3） 当每件涨 1 元时，售价是多少？每星期销量 是多少？成本是多少？销售额是多少？利润呢？ （4） 最多能涨多少钱呢？ （5） 当每件涨 x 元时，售价是多少？每星期销量 是多少？成本是多少？销售额是多少？利润 y 呢？
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5．课后反思，布置作业
教科书习题 22.3 第 2，8 题．
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2．探究二次函数利润问题
（1） 题目中有几种调整价格的方法？ （2） 题目涉及哪些变量？哪一个量是自变量？哪 些量随之发生了变化？哪个量是函数？ （3） 当每件涨 1 元时，售价是多少？每星期销量 是多少？成本是多少？销售额是多少？利润呢？ （4） 最多能涨多少钱呢？ （5） 当每件涨 x 元时，售价是多少？每星期销量 是多少？成本是多少？销售额是多少？利润 y 呢？
九年级 上册
22.3 实际问题与二次函数 （第2课时）
• 学习目标： 能够分析和表示实际问题中，变量之间的二次函数关 系，并运用二次函数的顶点坐标求出实际问题的最大 （小）值．
• 学习重点： 探究利用二次函数的最大值（或最小值）解决实际问 题的方法．
1．复习二次函数解决实际问题的方法
问题1 解决上节课所讲的实际问题时，你用到了什么知识？ 所用知识在解决生活中问题时，还应注意哪些问题？
1．复习二次函数解决实际问题的方法
归纳： 1．由于抛物线 y = ax2 + bx + c 的顶点是最低（高） 点，当
x b 2a
时，二次函数 y = ax2 + bx + c 有最小（大） 值 y 4ac b2 ． 4a
2．列出二次函数的解析式，并根据自变量的实际 意义，确定自变量的取值范围；
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2．探究二次函数利润问题
问题4 在降价情况下，最大利润是多少？请你参考上述的 讨论，自己得出答案． （1） x = 2.5 是在自变量取值范围内吗？ （2）由上面的讨论及现在的销售情况， 你知道应 如何定价能使利润最大了吗？
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•是 ．
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• 2．某商店销售一种商品，每件的进价为 2.50元，根据市场调查，销售量与销售单价 满足如下关系：在一段时间内，单价是 13.50元时，销售量为500件，而单价每降低 1元，就可以多售出200件.设每件商品降价x 元，总利润为y元，请你写出y与x的函数关 系式，并分析，当销售单价为多少元时， 获利最大，最大利润是多少？
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4．小结
（1）这节课学习了用什么知识解决哪类问题？ （2）解决问题的一般步骤是什么？应注意哪些问 题？ （3）你学到了哪些思考问题的方法？
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3、巩固练习
• 1．某商场购进一批单价为16元的日用品， 经试销发现，若按每件20元的价格销售时 ，每月能卖360件，若按每件25元的价格销 售时，每月能卖210件，假定每月销售件数 y（件）是价格x（元/件）的一次函数，则
• y与x之间的关系式是 ，销售所获得的 利润为w（元）与价格x（元/件）的关系式
3．在自变量的取值范围内，求出二次数 学 九年级 上册22 .3.3最 大利润 课件
2．探究二次函数利润问题
问题2 某商品现在的售价为每件 60 元，每星期可卖出300 件．市场调查反映：如调整价格，每涨价 1 元，每星期 要少卖出 10 件；每降价 1 元，每星期可多卖出 20 件． 已知商品的进价为每件 40 元，如何定价才能使利润最 大？
y=（300-10x）（60+x）-40（300-10x ）
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2．探究二次函数利润问题
y 10x2 100x 6 000（0≤x≤30）． （6）这是一个什么函数？自变量取值范围是什么？ 这个函数有最大值吗？
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2．探究二次函数利润问题
问题3 x = 5 是在自变量取值范围内吗？为什么？ 如果计算出的 x 不在自变量取值范围内，怎么办？
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2．探究二次函数利润问题
（1） 题目中有几种调整价格的方法？ （2） 题目涉及哪些变量？哪一个量是自变量？哪 些量随之发生了变化？哪个量是函数？ （3） 当每件涨 1 元时，售价是多少？每星期销量 是多少？成本是多少？销售额是多少？利润呢？ （4） 最多能涨多少钱呢？ （5） 当每件涨 x 元时，售价是多少？每星期销量 是多少？成本是多少？销售额是多少？利润 y 呢？
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5．课后反思，布置作业
教科书习题 22.3 第 2，8 题．
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