(导学案)第二章函数的概念§2.1函数及其表示(教师版)
高中数学第二章函数概念与基本初等函数I函数的概念函数的概念名师导航学案苏教版
2。
1 函数的概念和图象2.1。
1 函数的概念名师导航知识梳理1.函数的概念设A ，B 是非空的数集，如果按某个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个x ，在集合B 中都有__________的数f （x)和它对应,那么就称f:A →B 为从集合A 到集合B 的函数，记作y=f （x)，x ∈A.其中x 叫__________，x 的取值范围A 叫做函数y=f （x ）的__________;与x 的值相对应的y 的值叫做函数值,函数值的集合{f(x ）|x ∈A ｝(⊆B ）叫做函数y=f(x ）的__________。
函数符号y=f （x)表示“y 是x 的函数"，有时简记作函数__________。
（1)函数实际上就是集合A 到集合B 的一个特殊对应f:A →B ，这里A ，B 为__________的数集.（2)A:定义域；{f(x ）|x ∈A}：值域,其中｛f(x ）｜x ∈A}__________B ；f ：对应法则，x ∈A,y ∈B.(3）函数符号：y=f （x ）↔y 是x 的函数，简记f(x).2。
已学函数的定义域和值域(1)一次函数f （x ）=ax+b(a ≠0):定义域为__________，值域为__________;(2）反比例函数f(x ）=xk （k ≠0）：定义域为__________，值域为__________； （3）二次函数f （x)=ax 2+bx+c （a ≠0）:定义域为__________，值域:当a 〉0时,为__________；当a 〈0时，为__________。
3。
函数的值:关于函数值f(a ）例：f （x)=x 2+3x+1，则f(2)= __________.4。
函数的三要素：对应法则f 、定义域A 和值域{f(x ）|x ∈A}.只有当这三要素__________时,两个函数才能称为同一函数。
疑难突破有关函数概念的理解剖析:(1)如果一个函数需要几条限制时，那么定义域为各限制所得x 的范围的交集。
高中数学 第二章 函数 2.1 函数的概念教案 苏教版必修1
2.1.1函数的概念（预习部分）一．教学目标1．理解函数概念；2．了解构成函数的三个要素；3．会求一些简单函数的定义域；4．培养理解抽象概念的能力．二．教学重点1.理解函数的概念，学会用集合与对应的语言刻画函数的概念；2.体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，会求函数的定义域．三．教学难点1.理解函数的概念，学会用集合与对应的语言刻画函数的概念；2.体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，会求函数的定义域．四．教学过程（一）创设情境，引入新课1. 在现实生活中，我们可能会遇到下列问题：估计人口数量变化趋势是我们制定一系列相关政策的依据。
从人口统计年鉴中可以查得我国1949-1999年人口数据资料如下表所示，你能根据该表说出我国人口的变化情况吗？2. 一物体从静止开始下落，下落的距离y（单位：m）与下落时间x（单位：s）之间近似地满足关系式29.4x y =.若一物体下落2s ，你能求出它下落的距离吗？问题1: 上述两个问题有什么共同点？问题2：如何用集合语言来阐述上述问题的共同点？ （二）推进新课 1.函数的概念：, 这样的对应叫做从A 到B 的一个函数 （function ），通常记为(),y f x x A =∈．其中， 集合A 叫做函数()y f x =的定义域（domain ）， 集合叫做函数()y f x =的值域（range ）．注意：（1）,A B 都是非空数集，因此定义域（或值域）为空集的函数是不存在的；（2）集合A 就是函数的定义域，但集合B 不一定是函数的值域，若值域为C ，则必有C B ⊆；（3）给定函数时要指明函数的定义域，对于解析式表示的函数，如果没有指明定义域，那么就认为函数的定义域是指使函数的解析式有意义的自变量的取值集合． 2．函数的三要素：1. 2. 3. 称为函数的三要素． 3．相同的函数：由函数定义知，由于函数的值域是由函数的定义域和对应法则完全确定，这样确定一个函数只需两个要素：定义域和对应法则．因此，定义域和对应法则为“y 是x 的函数”的两个基本条件，缺一不可，只有当两个函数的定义域和对应法则都分别相同时，两个函数才是同一函数．（三）预习巩固 见必修一教材第26页练习1,2,3,4函数的概念及定义域（课堂强化）（四）典型例题题型一：考查函数的概念【例1】判断下列对应是否是从集合A 到集合B 的函数． （1）*A B N ==，对应关系:3f x y x →=-；（2）[)0,,A B R =+∞=，对应关系:f x y →= （3）{|A x x =是矩形}，{|B x x =是圆}，对应关系f：每个矩形的外接圆．变式训练1. 对于函数()y f x =，下列说法正确的个数为 个． （1）y 是x 的函数；（2）对应不同的x 的值，y 的值也不同；（3）()f a 表示当x a =时函数()f x 的值，是一个常量； （4）()f x 一定可以用一个具体的式子表示出来． 题型二：求函数的定义域 【例2】求函数的定义域．（1）()12f x x =-；（2）()f x =；（3）()()01x f x x x+=-；（4）()1f x x =变式训练2 求下列函数的定义域：（1）()231x f x x -=+；（2）()f x =（3）()211f x x =-．题型三：函数的简单应用【例3】用长为l 的铁丝弯成下部为矩形，上部为半圆的框架（如图），若矩形底边长为2x ，求此框架围成的面积y 与x 的函数解析式，并写出其定义域．变式训练3 用长为20cm 的细铁丝围成一个矩形框，若矩形的一边长为xcm ，将矩形的面积y 表示为x 的函数，并写出其定义域．题型四：抽象函数的定义域【例4】（1）已知()f x 的定义域是[]2,3-，求)52(-x f 的定义域. （2）已知)52(-x f 的定义域为[]2,3-，求()f x 的定义域. （3）已知)52(-x f 的定义域为[]2,3-，求)13(+x f 的定义域.（五）随堂练习1. 判断下列各组中的两个函数是否表示同一函数，并说明理由．（1）()()2,f x g x ==（2）()(),1xf xg x x==；（3）()()222,2f x x x g t t t =-=-．2. 函数()y f x =的定义域为[]1,4-，则()f x 图象与直线x a =的交点个数为 ．3. 已知集合{}21|2,|2A x y B x y x ⎧⎫===⎨⎬-⎩⎭，则AB = ．4. 已知函数()3f x +的定义域是[]1,5-，则函数()4f x -的定义域是 ．5. （1）若函数2743kx y kx kx +=++的定义域是R ，求实数k 的取值集合．（2）若函数34)(2++=kx kx x f 的定义域为R ，求实数k 的取值集合．（六）课堂小结 （七）课后作业2.1函数的概念和图象第二课时 函数的值域及图象（预习部分）教学目标1．理解函数图象的意义；2．能正确画出一些常见函数的图象；3．会利用函数的图象求一些简单函数的值域、判断函数值的变化趋势；4．从“形”的角度加深对函数的理解． 教学重点1. 会画简单函数的图象，并能利用图象判断函数值的变化趋势；2. 能求一些简单函数的值域。
高中数学第二章函数概念与基本初等函数I函数的概念互动课堂学案苏教版
2．2．1 函数的单调性互动课堂疏导引导2。
1.1 函数的概念和图象 1.函数的概念一般地，设A 、B 是两个非空的数集,如果按某种对应法则f ,对于集合A 中的每一个元素x ，在集合B 中都有唯一的元素y 和它对应，这样对应叫做从A 到B 的一个函数，通常记为y =f (x )，x ∈A .其中所有的输入值x 组成的集合A 叫做函数y =f (x ）的定义域。
疑难疏引（1)构成函数的三要素：定义域，对应法则f ,值域.其中核心是对应法则f ，它是联系x 和y 的纽带,是对应得以实现的关键，对应法则可以由多种形式给出,可以是解析法，可以是列表法和图象法，不管是哪种形式,都必须是确定的,且使集合A 中的每一个元素在B 中都有唯一的元素与之对应。
当一个函数的定义域和对应法则确定之后，值域也就唯一的确定了,所以值域是定义域这个“原材料”通过对应法则“加工"而成的“产品”。
因此,要确定一个函数,只要定义域与对应法则确定即可。
在函数符号y =f (x )中，f 是表示函数的对应关系，等式y =f （x )表明，对于定义域中的任意x ，在对应关系f 的作用下,可得到y ，因此，f 是使“对应”得以实现的方法和途径.函数符号y =f （x )是“y 是x 的函数”这句话的数学表示,它不表示“y 等于f 与x 的乘积”。
f （x ）可以是解析式，也可以是图象或数表.符号f （a ）与f (x ）既有区别又有联系.f （a ）表示当自变量x =a 时函数f (x )的值,是一个常量;而f （x )是自变量x 的函数，在一般情况下,它是一个变量.f （a ）是f （x ）的一个特殊值.值域是全体函数值所组成的集合。
在多数情况下，一旦定义域和对应关系确定，函数的值域也就随之确定。
(2)关于函数的两个定义实质上是一致的.初中定义的出发点是运动变化的观点,而高中定义却是从集合、对应的观点出发.初中阶段学习的函数的概念的优点是:直观,生动.高中阶段学习的函数的概念的优点:更具一般性。
函数概念及表示法教案
函数概念及表示法教案一、引言函数是数学中的一个重要概念，也是学习和应用数学的基础。
本教案将介绍函数的概念及相关表示法，以帮助学生深入理解和掌握函数的基本原理。
二、函数的概念函数是一个特殊的关系，它将一个集合中的每个元素映射到另一个集合中的唯一元素。
简而言之，函数就是一个输入输出的规则。
示例1：考虑一个函数f(x)，它将自然数集合N的每个元素x映射到其平方，即f(x) = x^2。
例如，当x = 2时，f(2) = 4。
这里，N为输入集合，f(x)为输出集合。
三、函数的表示法函数有多种表示方法，以下是常见的几种表示法：1. 集合表示法函数可以使用集合表示法表示为 {(x, f(x)) | x ∈ N}，表示函数包括了所有输入与输出的有序对。
2. 公式表示法函数可以使用公式表示法表示为 f(x) = x^2，通过一个明确的公式表达函数的输入与输出之间的关系。
3. 图像表示法函数可以使用图像表示法，通过绘制函数的图像来显示输入与输出之间的关系。
例如，绘制函数f(x) = x^2的平面直角坐标系图像。
示例2：考虑函数f(x) = x^2，它可以表示为以下三种方式：- 集合表示法：{(x, x^2) | x ∈ N}- 公式表示法：f(x) = x^2- 图像表示法：绘制平面直角坐标系图像，横轴为x，纵轴为f(x)四、函数的性质函数具有以下几个重要的性质：1. 定义域：函数的定义域是指所有可能的输入值的集合。
对于函数f(x) = x^2，定义域可以是实数集R。
2. 值域：函数的值域是函数在定义域中所有可能的输出值的集合。
对于函数f(x) = x^2，值域可以是非负实数集R≥0。
3. 单调性：函数的单调性描述了函数在定义域内的增减关系。
例如，函数f(x) = x^2在定义域上是非递减的。
4. 奇偶性：函数的奇偶性描述了函数在定义域内的对称性。
例如，函数f(x) = x^2是偶函数。
五、函数的应用函数在数学和科学中有广泛的应用，例如：1. 函数在代数和几何中的应用：函数在解方程、求导数、计算曲线的性质等方面起着重要作用。
函数的概念教案
函数的概念教案函数是数学中一个非常重要的概念，它在数学建模、物理、经济学等领域有着广泛的应用。
本文将介绍函数的概念及其相关内容，帮助学生理解和掌握函数的基本知识。
一、函数的定义及表示函数是一个将一个集合的元素映射到另一个集合的元素的规则。
通常，将原集合中的元素称为自变量，将映射后的元素称为函数值。
函数可以用多种方式表示，常见的有：1. 函数的符号表示：一般用字母 f、g 等来表示函数，自变量用 x、y 等表示，函数值用 f(x)、g(x) 等表示。
2. 函数的图像表示：可以通过绘制函数的图像来表示函数。
将自变量 x 的取值范围确定后，可以根据函数的表达式或函数值计算出函数的函数值，然后绘制函数图像。
3. 函数的表达式表示：可以用代数表达式表示函数。
常见的函数表达式有：多项式、指数函数、对数函数、三角函数等。
二、函数的性质函数有许多重要的性质，下面介绍其中的几个常见性质：1. 定义域和值域：函数的定义域是自变量的取值范围，而函数的值域是函数值所能取到的范围。
2. 奇偶性：函数的奇偶性指的是函数关于原点对称的性质。
奇函数满足 f(-x) = -f(x)，即函数图像关于原点对称；偶函数满足f(-x) = f(x)，即函数图像关于 y 轴对称。
3. 单调性：函数的单调性指的是函数图像的变化趋势。
递增函数表示函数在定义域内随着自变量的增大，函数值逐渐增大；递减函数表示函数在定义域内随着自变量的增大，函数值逐渐减小。
三、函数的运算在数学中，函数之间可以通过运算生成新的函数。
常见的函数运算有：1. 函数的和、差、积、商：两个函数的和、差、积、商也是一个函数。
2. 函数的复合：给定两个函数 f(x) 和 g(x)，可以将一个函数的输出作为另一个函数的输入，生成新的函数。
复合函数表示为(f ∘ g)(x) 或 f(g(x))。
四、函数的应用函数在数学、物理、经济学等领域有着广泛的应用，下面介绍几个常见的应用举例：1. 物体的运动：通过函数来描述物体的运动状态，如位置函数、速度函数、加速度函数等。
函数的概念及表示导学案
1.2 《函数的概念及表示》导学案【导入新课】回顾问题导入：1．回顾初中函数的定义：在一个变化过程中，有两个变量x 和y ，对于x 的每一个确定的值，y 都有唯一的值与之对应，此时y 是x 的函数，x 是自变量，y 是因变量.新授课阶段（一）函数的概念：1. 函数的定义：设A 、B 是两个非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数()f x 和它对应，那么称 为从集合A 到集合B 的一个 （function ），记作：(),y f x x A=∈. 其中，x 叫自变量，x 的取值范围A 叫作 （domain ），与x 的值对应的y 值叫函数值，函数值的集合{()|}f x x A ∈叫 （range ）.显然，值域是集合B 的子集. 1．判断下列图中对应关系是否是函数2.下列函数中，哪些函数相等？①y x = ②||y x =③y ④2y = ⑤3y =（判别方法：函数是否为同一个函数，主要看 和 是否相同.）3．已知函数 f (x )＝12 x ＋1 求： f (0)，f (1)，f (－2)， f (a )2. 区间及写法：设a 、b 是两个实数，且a<b ，则：满足不等式a x b≤≤的实数x 的集合叫做 ，表示为 ； 满足不等式a x b<<的实数x 的集合叫做 ，表示为 ； 满足不等式a x b a x b≤<<≤或的实数x 的集合叫做 ，表示为[)(],,,ab ab ； 这里的实数a 和b 都叫做相应区间的 .（数轴表示见课本P 17表格）符号“∞”读“无穷大”；“－∞”读“负无穷大”；“+∞”读“正无穷大”.我们把满足,,,x a x a x b x b ≥>≤<的实数x 的集合分别表示为[)(),,,,a a +∞+∞(](),,,b b -∞-∞. 例1 对范围1x a-≤≤用区间表示正确的为（ ） A ．()1,a - B ．[]1,a - C ．[)1,a - D ．(]1,a -1.将下列集合与区间互化 ⑴ {}32≤≤-x x ⇔ ⑵{}20<<x x ⇔ ⑶x ∈{}xm x n <≤⇔ ⑷x ∈{}13-≤<-x x⇔ ⑸x ∈{}x x h ≥⇔ ⑹{}3<x x ⇔ （7）(),x∈-∞+∞⇔ （8）(),x b ∈-∞⇔ （9）()[]2,53,7⋂⇔3. 函数定义域的求法：函数的定义域通常由问题的实际背景确定，如果只给出解析式y=f(x)，而没有指明它的定义域，那么函数的定义域就是指 .1.()45f x x =-+ 2. 8()2f x x =+3. ()f x★4. 0()(1)f x x =-例2 函数x x y 22-=的定义域为{}3,2,1,0，那么其值域为 （ ） A ．{}3,0,1- B ．{}3,2,1,0 C ．{}31≤≤-y y D ．{}30≤≤y y 例3 如图，用长为1的铁丝弯成下部为矩形，上部为半圆形的框架，若半圆半径为x ，求此框架围成的面积y 与x 的函数式()y f x=，并写出它的定义域．（二）函数的三种表示方法：1. 结合课本P 15 给出的三个实例，说明三种表示方法的适用范围及其优点：解析法：就是用 表示两个变量之间的对应关系；优点：简明扼要；给自变量求函数值.图象法：就是用 表示两个变量之间的对应关系；优点：直观形象，反映两个变量的变化趋势.列表法：就是列出 来表示两个变量之间的对应关系.优点：不需计算就可看出函数值，如股市走势图； 列车时刻表；银行利率表等.例4 函数||)(x x x f =的图象是（ ）2. 分段函数的定义：在函数的定义域内，对于自变量x 的不同取值范围，有着不同的对应法则，这样的函数通常叫做 ，如以下的例9的函数就是分段函数.说明：（1）分段函数是一个函数而不是几个函数，处理分段函数问题时，首先要确定自变量的数值属于哪个区间段，从而选取相应的对应法则；画分段函数图象时，应根据不同定义域上的不同解析式分别作出；（2）分段函数只是一个函数，只不过x 的取值范围不同时，对应法则不相同.例5画出下列函数的图象．（1）y ＝x －2，x ∈Z 且｜x ｜2≤；（2）y ＝－22x ＋3x ，x ∈（0，2］；（3）y ＝｜x ｜； （4）3232232x y x x x ⎧⎪⎨⎪⎩≤≥＜－，＝－－＜－．.例6已知⎩⎨⎧>-<+=0404)(x x x x x f ，则)3([-f f ]的值为 .练习1.下列说法中正确的是 （ ）A.函数定义中的集合B 就是值域B.实数集可以表示为区间[,]-∞+∞C.任何一个集合都可以用区间来表示D.一个函数只要定义域和对应关系确定，那么这个函数就是确定的2.判断下列各组中的两个函数是否相等，若不相等，请说明理由。
高一数学2.1函数的概念导学案
南阳市十一中__一_年级__数学_学科导学案 _2011_年9_月15_日编制人:郑妍君 审核:______2.1函数的概念[预习内容]:认真阅读教材 P 26—27页。
深入理解本节的学习目标及重难点，认真独立完成本节的题目。
一．教学目标:1. 进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，在此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用；2. 了解构成函数的要素；3. 能够正确使用“区间”的符号表示某些集合。
重点：函数的概念；难点：对抽象符号()x f 的理解。
二．自学引入;1．你初中学习过哪些函数，试着写在下面。
2．什么是函数？从集合的观点叙述函数的概念。
3．什么叫定义域，值域？练一练（1）53+=x y 定义域 值域（2）12+=x y 定义域 值域 （3）11+=xy 定义域 值域班级:_______ 小组:_______ 学生评价:A B C 编号:（1）实数a ，b 都叫相应区间的 。
（2）思考总结：区间包括端点值用 不包括端点值用 。
5.看课本填空 练一练：1.{x|-3≤x ＜5}=2.{x|π＜x ＜6}=3.{x|x ≥7}=4.{x|x ＜2}=5.{x|x ＜1或x ≥7}=三 基础训练：1.求下列函数的值；（1）()35-=x x f ，求()3f ； （2）()7243-+=t t t g ，求()2g（3）()u u F =，()362-+=u u u M ，求F(3)+M(2) 2.求下列函数的定义域；（1）35-=x y ; （2）2-=x y ;（3）211--=x y .四 合作探究：例1 某山海拔7500m ，海平面温度为25℃，气温是海拔高度的函数，而且高度每升高100m,气温下降0.6℃.请你用解析表达式表示出气温T 随海拔高度x 变化的函数关系，并指出函数的定义域和值域.例2 课后练习第2题（做在下面空白处）五．课堂小结。
函数概念及表示法教案
函数概念及表示法教案一、引言函数在数学中是一个常见且重要的概念，它在各个领域都有广泛的应用。
本教案旨在介绍函数的基本概念以及表示法，帮助学生理解函数的本质与特点，并能够熟练运用函数的表示方法。
二、函数的定义函数是一种特殊的关系，它将一个集合中的每个元素都映射到另一个集合中的唯一元素。
形式化地说，设集合A和B，如果对于任意的a∈A，存在唯一的b∈B与之对应，那么我们就说存在一个从A到B的函数。
三、函数的表示法1. 函数的映射表表示法以映射表的形式表示函数，将集合A中的元素与集合B中的元素一一对应。
例如，对于函数f：A→B，可以使用以下形式表示： 2. 函数的解析式表示法使用方程或者公式来表示函数的规律。
例如，考虑函数f(x)=2x+1，其中x为实数。
这个函数表达了将实数x映射为2x+1的规则。
3. 函数的图像表示法将函数的映射关系可视化为图像，横轴表示定义域内的元素，纵轴表示值域内的元素。
函数的图像可以直观地展示函数的变化趋势。
例如，对于函数f(x)=2x+1，其图像为一条斜率为2的直线。
四、函数的性质1. 定义域和值域函数的定义域是输入变量的取值范围，值域是输出变量的取值范围。
通过确定定义域和值域，可以限定函数的输入和输出。
2. 奇偶性如果对于任意的x∈定义域，有f(-x)=-f(x)，则函数为奇函数；如果对于任意的x∈定义域，有f(-x)=f(x)，则函数为偶函数。
奇偶性可以由图像的对称性来判断。
3. 单调性如果对于定义域内的任意x1和x2，当x1<x2时，有f(x1)<f(x2)，则函数为增函数；如果当x1<x2时，有f(x1)>f(x2)，则函数为减函数。
4. 极值与最值若函数在某个点处的函数值大于或小于它邻近的函数值，则称该点为极值点。
最大极值即为函数的最大值，最小极值即为函数的最小值。
新人教版高中数学函数的概念导学案
函数的概念导学案一、预案：1. 函数的定义：设B A 、是两个非空的 ，如果按照某种对应法则f ，对于集合A 中的 x ，在集合B 中都有 的数和它对应，那么这样的对应叫做从A 到B 的一个函数，通常记为A x x f y ∈=),(2、函数的定义域、值域在函数A x x f y ∈=),(中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做)(x f y =的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{}A x x f ∈)(称为函数)(x f y =的值域3、函数的三要素： 、 和3、如何求函数的定义域?可以归纳为哪几种情况？讨论：以上实例存在哪些变量？变量的变化范围分别是什么？两个变量之间存在着这样的对应关系？归纳：以上实例变量之间的关系可以描述为，对于数集A 中的每一个x ，按照某种对应关系f ，在数集B 中都与唯一确定的y 和它对应，记作：:f A B →.新知：函数定义.试试：（1）已知2()23f x x x =-+，求(0)f 、(1)f 、(2)f 、(1)f -的值.（2）函数223,{1,0,1,2}y x x x =-+∈-值域是 .反思：构成函数的三要素是 、 、 .探究任务二：区间及写法新知：设a 、b 是两个实数，且a <b ，则：{|}[,]x a xb a b≤≤=叫闭区间； {|}(,)x a xb a b<<=叫开区间； {|}[,)x a xb a b ≤<=，{|}(,]x a xb a b<≤=都叫半开半闭区间. 实数集R 用区间(,)-∞+∞表示，其中“∞”读“无穷大”；“－∞”读“负无穷大”；“+∞”读“正无穷大”.试试：用区间表示.（1）{x |x ≥a }= 、{x |x >a }= 、{x |x ≤b }= 、{x |x <b }= .（2）{|01}xx x <>或= .（3）函数y 的定义域 ，值域是 .【自主探究】例1 判断下列对应是否为函数：（1）R x x xx ∈≠→,0,2； （2）,y x →这里R y N x x y ∈∈=,,2小组归纳：例2 已知函数253)(2+-=x x x f ，求)1(),(),2(),3(+-a f a f f f 。
2022数学第二章函数2
第二章函数2.1函数及其表示必备知识预案自诊知识梳理1.函数与映射的概念2。
函数的有关概念(1)函数的定义域、值域在函数y=f(x),x∈A中,x叫做自变量,叫做函数的定义域;与x的值相对应的y值叫做函数值,叫做函数的值域，显然，值域是集合B的子集.(2）函数的三要素：、和.(3)相等函数：如果两个函数的相同,并且完全一致，那么我们就称这两个函数相等.3。
函数的表示方法表示函数的常用方法有、和.4.分段函数(1)定义:如果一个函数,在其定义域内，对于自变量的不同取值区间,有不同的对应方式，则称其为分段函数。
(2）分段函数的相关结论①分段函数虽然由几个部分组成,但是它表示的是一个函数.②分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，值域等于各段函数的值域的并集。
1。
映射：(1)映射是函数的推广,函数是特殊的映射，A，B为非空数集的映射就是函数;(2）映射问题允许多对一，但不允许一对多。
2。
判断两个函数相等的依据是两个函数的定义域和对应关系完全一致。
考点自诊1。
判断下列结论是否正确，正确的画“√”，错误的画“×”。
（1)函数是其定义域到值域的映射.（）(2）函数y=f(x）的图象与直线x=1有两个交点.（）(3)定义域相同,值域也相同的两个函数一定是相等函数.(）(4)对于函数f:A→B,其值域是集合B.()（5）分段函数是由两个或几个函数组成的.（)+ln x的定义域是.2.(2020北京,11)函数f（x）=1x+13.已知f，g都是从A到A的映射（其中A={1,2，3}）,其对应关系如下表：则f（g（3）)等于()2022 2.1A.1 B。
2 C.3 D。
不存在4。
(2020辽宁大连模拟，文2)设函数f(x)={1-x2,x≤1,x2+x-2,x>1,则f1 f(2)的值为（）A.1516B。
—2716C.89D.185。
如图表示的是从集合A到集合B的对应，其中是映射，是函数.关键能力学案突破考点函数及其有关的概念【例1】以下给出的同组函数中，表示相等函数的有.(只填序号)①f1(x）=xx,f2（x)=1；②f1(x)={1,x≤1,2,1<x<2,3,x≥2,f2(x）:③f1(x)=2x,f2(x)：如图所示。
2.1函数及其表示教案(带详解)绝对经典
§2.1 函数及其表示要点梳理1．函数的基本概念(1)函数的定义设A ，B 是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数f (x )和它对应，那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数，记作y ＝f (x )，x ∈A .(2)函数的定义域、值域在函数y ＝f (x )，x ∈A 中，x 叫作自变量，x 的取值范围A 叫作函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫作函数值，函数值的集合{f (x )|x ∈A }叫作函数的值域．显然，值域是集合B 的子集． (3)函数的三要素：定义域、对应关系和值域． (4)函数的表示法：表示函数的常用方法有解析法、图像法、列表法．2．映射的概念设A 、B 是两个非空集合，如果按某一个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个元素x ，在集合B 中都有唯一确定的元素y 与之对应，那么就称对应f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个映射． 3． 函数解析式的求法求函数解析式常用方法有待定系数法、配凑法、换元法、构造方程组法等．4． 常见函数定义域的求法(1)分母≠0.(2)偶次方根的被开方式≥0.(3) x 0中，x ≠0(4)对数的真数>0(5)y ＝tan x 的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ∈R 且x ≠k π＋π2，k ∈Z . (6)复合函数定义域题型分类 深度解析题型一 函数的定义域例1 (1)函数y ＝ln (x ＋1)－x 2－3x ＋4的定义域为______________． （2）已知()f x 的定义域为[1,3]，求f (2x ＋1)的定义域；（3）已知(1)f x -的定义域为[1,0]-，求()f x 的定义及(1)f x +的定义域．练习 (1)若函数f (x )＝x －4mx 2＋4mx ＋3的定义域为R ，则实数m 的取值范围是__________． (2)已知f (x )的定义域是[0,4]，则f (x ＋1)＋f (x －1)的定义域是__________．（3）已知f(x 2)的定义域为{}31<<x x ，则f(2x-1)的定义域是__________．题型二 分段函数 例2 (1)设f (x )＝⎩⎨⎧≤+>+10))5((103x x f f x x ，，,则f (5)的值为_______． (2)已知a ≠0，函数f (x )＝⎩⎨⎧≥--<+1212x a x x a x ，，，若f (1-a )＝f (1+a )，则a 的值为_______．练习 （1）设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x ，x ≤2，log 81x ，x >2，则满足f (x )＝14的x 值为 。
学业水平考试复习导学案 第2课 函数的概念及表示
第2课 函数的概念及表示1． 了解函数的概念，知道映射的概念；2． 理解函数的表示方法；3． 会求简单函数的定义域和值域；1.映射：设A 、B 是两个 的集合，如果按某一个确定的对应关系f,对于集合A 中的 一个元素x,在集合B 中都有 的元素y 和它对应，那么就称这种对应f:B A →为从集合A 到集合B 的一个映射。
A 中的元素叫做原象，B 中的相应元素叫做象。
注意：判断是映射或不是映射：①第一个集合中的元素必须有象；②一对一，或多对一。
不可以一对多。
2.函数及其表示：设A 、B 是 集合，如果按照某种确定的对应关系f,使对于集合A 中的 一个数x,在集合B 中都有 的数)(x f 和它对应，那么就称 f:B A →为从集合A 到集合B 的一个函数。
记作：A x x f y ∈=),(函数三要素： 、 、_______。
函数的表示方法有： 、、 。
1. 下列哪一组中的函数)(x f 与)(x g 相等（A ）1)(,1)(2-=-=xx x g x x f ；（B ）42)()(,)(x x g x x f == （C ）362)(,)(x x g x x f == （D ）0)(,1)(x x g x f ==2.求下列函数的定义域：（1）1-=x y ；（2）21--=x x y ；（3）)4(log 2-=x y ；（4）0)1(-=x y ； 3.函数322+-=x x y 的值域为4. 知函数⎨⎧<-≥+=0),4(0),4()(x x x x x x x f ，则)3(-f 的值为__________ 例1. 求下列函数的定义域：（1）1log 2-=x y （2）21--=x x y （3）⎪⎩⎪⎨⎧≤<-≤<-=41,1111,2x x x y x变题：函数y =的定义域为 A ．[4,1]- B ．[4,0)-C ．(0,1]D ．[4,0)(0,1]-例2. 若,)(2c bx x x f ++=且f(1)=0,f(3)=0,求)1(-f 的值。
高中数学 第二章《第1课时 函数的概念》导学案 苏教版必修1
第1课时函数的概念1.理解函数的概念,了解构成函数的三要素.2.能正确使用区间表示数集.3.会求一些简单函数的定义域、函数值.我国著名数学家华罗庚说过这样一句话:从具体到抽象是数学发展的一条重要大道.我们来看三个现象:①清晨,太阳从东方冉冉升起;②随着二氧化碳的大量排放,地球正在逐渐变暖;③中国的国内生产总值在逐年增长.问题1:在初中,我们学习过函数,函数是刻画和描述两个变量之间依赖关系的数学模型,上述三个事例,向我们阐述了一个事实,世界时刻都是变化的,那么变化的本质是什么呢?从数学的角度看,我们发现在这些变化着的现象中,都存在着两个变量,当一个变量变化时,另一个变量随之发生变化.若当第一个变量确定时,另一个变量也随之确定,则它们之间具有.问题2:设A、B是非空数集,如果按照某个确定的对应关系f,使对于集合A中的数x,在集合B中都有的数y和它对应,那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数.记作.其中x叫作,x的取值集合叫作函数的;与x的值相对应的y值叫作,函数值的集合叫作函数的.问题3:(1)函数f:A→B应该满足什么样的对应关系?一个函数的构成要素有几部分?(2)两个函数的定义域和对应关系分别相同,值域相同吗?由此你对函数的三要素有什么新的认识?(1)应满足:①集合A、B都是;②对于数集A中的每一个元素x,在对应关系f:A→B下,在数集B中都有的元素y与之对应.一个函数的构成要素:、和,简称为函数的三要素.(2)如果两个函数的和分别相同,那么它们的值域一定相同.由此可以认识到:只要两个函数的和分别相同,那么这两个函数就相等.问题4:如何求函数的定义域?函数的定义域主要通过解不等式(组)或方程(组)来求解,定义域要用集合或区间表示.求给出解析式的函数的定义域需注意:①分式的分母不能为;②偶次根式的被开方数;③0次幂的底数不能为;④实际问题中定义域要由确定.1.四个函数:①y=x+1;②y=x3;③y=x2-1;③y=.其中定义域相同的函数有.2.若[a,3a-1]为一确定区间,则a的取值范围是.3.已知f(x)=2x+1,则f(5)=.4.已知函数f(x)=-.(1)求函数的定义域;(2)求f(-1),f(12)的值.对函数概念的考查(1)设M={x|-2≤x≤2},N={y|0≤y≤2},函数y=f(x)的定义域为M,值域为N,对于下列四个图象,不可作为函数y=f(x)的图象的是.(2)下列函数中,与函数y=x+1相等的函数是.①y=(x+1)0;②y=t+1;③y=()2;④y=|x+1|.函数值的求法已知f(x)=x3+2x+3,求f(1),f(t),f(2a-1)和f[f(-1)]的值.函数定义域的求法求下列函数的定义域:(1)f(x)=;(2)f(x)=(a为不等于0的常数).判断下列各组函数是否表示相等函数.(1)f(x)=与g(x)=;(2)f(x)=与g(x)=1;(3)f(x)=x2-x与g(t)=t(t-1);(4)f(x)=与g(x)=()2.已知函数f(x)=x2+|x-2|,求f(1)和f(x2+2).求下列函数的定义域.(1)y=+;(2)y=.1.函数y=的定义域是.2.设全集U=R,集合A=[3,7),B=(2,10),则R(A∩B)=.3.把下列集合用区间表示出来.(1){x|≥0}=;(2){x|-2≤x<8且x≠1}=.4.已知f(x)=,g(x)=x2+2,求f(2),f(g(2)).(2013年·陕西卷)设全集为R,函数f(x)=的定义域为M,则RM为().A.[-1,1]B.(-1,1)C.(-∞,-1]∪[1,+∞)D.(-∞,-1)∪(1,+∞)考题变式(我来改编):第二章函数第1课时函数的概念知识体系梳理问题1:函数关系问题2:任意一个唯一确定y=f(x),x∈A自变量定义域函数值值域问题3:(1)①非空数集②唯一确定定义域对应关系值域(2)定义城对应关系定义域对应关系问题4:①0②非负③0④实际意义基础学习交流1.①②③①②③的定义域都是R,④的定义域是{x∈R|x≠0}.2.(,+∞)由题意,得3a-1>a,则a>.3.11f(5)=2×5+1=11.4.解:(1)由题意知,x-1≠0且x+4≥0,即x≥-4且x≠1.即函数的定义域为[-4,1)∪(1,+∞).(2)f(-1)=-=-3-;f(12)=-=-4=-.重点难点探究探究一:【解析】(1)由函数定义可知,任意作一条直线x=a,则与函数的图象至多有一个交点,结合选项可知③中的图象不表示y是x的函数.(2)①③选项中定义域与y=x+1不同;④项中对应关系不同.对于②,尽管自变量不一样,但定义域、对应关系均相同,二者表示相等函数.【答案】(1)③(2)②【小结】(1)给定图象判断是否为函数关系时,可用垂直于x轴的直线与已知图象的交点个数来判断,若交点多于一个,则不是函数关系;(2)当且仅当定义域和对应关系完全相同时,两个函数才相等.探究二:【解析】f(1)=13+2×1+3=6;f(t)=t3+2t+3;f(2a-1)=(2a-1)3+2(2a-1)+3=8a3-12a2+10a;f[f(-1)]=f[(-1)3+2×(-1)+3]=f(0)=3.【小结】求函数的值只需将自变量的值代入函数的解析式化简即可.探究三:【解析】(1)要使函数有意义,需满足x-2≠0,故函数的定义域为x≠2.(2)要使函数有意义,需满足ax-3≥0,故函数的定义域为{x|x≥}.[问题]上面两个题目的解答正确吗?[结论](1)中的定义域应用集合来表示;(2)中含有参数,解该不等式时要对参数进行讨论.于是,正确解答如下:(1)要使函数有意义,需满足x-2≠0,即x≠2.故函数的定义域为{x|x≠2}.(2)要使函数有意义,需满足ax-3≥0.当a>0时,函数的定义域为{x|x≥};当a<0时,函数的定义域为{x|x≤}.【小结】在求函数的定义域时,列出使函数有意义的自变量所满足的不等关系式,求解即可求得函数的定义域.其依据有分式的分母不为0、偶次根式中被开方数不小于0、零次幂的底数不等于零等.当一个函数是由两个或两个以上数学式子的和、差、积、商的形式构成时,定义域是使各部分都有意义的公共部分的取值集合.思维拓展应用应用一:(1)f(x)与g(x)不相等;(2)f(x)与g(x)不相等;(3)f(x)与g(t)是相等函数;(4)f(x)与g(x)不相等.应用二:f(1)=12+|1-2|=2.f(x2+2)=(x2+2)2+|x2+2-2|=x4+5x2+4.应用三:(1)为使函数式有意义,则有解得即x>-2,且x≠3.故所求函数的定义域为(-2,3)∪(3,+∞).(2)要使函数有意义,需满足即解得x<0且x≠-1,故函数的定义域为(-∞,-1)∪(-1,0).基础智能检测1.{x|x≠0}要使函数有意义,需满足x≠0,用集合表示为{x|x≠0}.2.(-∞,3)∪[7,+∞)∵A∩B=[3,7),∴R(A∩B)=(-∞,3)∪[7,+∞).3.(1)[2,+∞)(2)[-2,1)∪(1,8)4.解:f(2)==,g(2)=22+2=6,故f(g(2))=f(6)==.全新视角拓展D∵1-x2≥0,即x∈[-1,1],∴f(x)的定义域M=[-1,1],则RM=(-∞,-1)∪(1,+∞).思维导图构建唯一定义域、值域、对应法则定义域对应关系。
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解法二：(分离常数法)
∵y＝＝－1＋，
又∵1＋x2≥1，∴0＜≤2，∴－1＜－1＋≤1，
∴函数的值域为(－1，1]．
(2)(代数换元法)
令t＝(t≥0)，∴x＝1－t2，
∴y＝2(1－t2)＋t＝－2t2＋t＋2＝－2＋.
∵t≥0，∴y≤，故函数的值域为.
(3)(三角换元法)
令x＝cost(0≤t≤π)，
∴y＝2cost＋sint＝sin(t＋φ)
.
∵0≤t≤π，∴φ≤t＋φ≤π＋φ，
∴sin(π＋φ)≤sin(t＋φ)≤1.
故函数的值域为[－2，]．
(4)解法一：(不等式法)
∵y＝＝＝(x－1)＋，
又∵x＞1时，x－1＞0，x＜1时，x－1＜0，
∴当x>1时，y＝(x－1)＋≥2＝4，且当
()设函数f(x)＝则f(f(3))＝()
A.B．3C.D.
解：f(f(3))＝f＝＋1＝.故选D.
下列各表示两个变量x，y的对应关系，则下列判断正确的是()
A．都表示映射，都表示y是x的函数
B．仅③表示y是x的函数
C．仅④表示y是x的函数
D．都不能表示y是x的函数
解：根据映射的定义，①②③中，x与y的对应关系都不是映射，当然不是函数关系，④是映射，是函数关系．故选C.
第二章函数的概念、基本初等函数(Ⅰ)及函数的应用
§2.1函数及其表示
1.了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念.
2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数.
3.了解简单的分段函数，并能简单应用(函数分段不超过三段).
从近几年高考来看，函数的概念、分段函数的解析式和求函数值是重点考查的内容之一，主要以选择、填空题的形式出现.
z＝x2＋y2＝x2＋3x－x2
＝－x2＋3x＝－(x－3)2＋.
∵对称轴为x＝3＞2，
即z在x∈[0，2]上单调递增．
∴当x＝0时，z有最小值0，当x＝2时，z有最大值4，
故所求函数的值域为[0，4]．
(7)(图象法)
f(x)＝
作出其图象，可知函数f(x)的值域是.
【评析】求函数值域的常用方法：①单调性法，如(6)；②配方法，如(2)；③分离常数法，如(1)；④数形结合法；⑤换元法(包括代数换元与三角换元)，如(2)，(3)；⑥判别式法，如(4)；⑦不等式法，如(4)，(5)；⑧导数法，主要是针对在某区间内连续可导的函数；⑨图象法求分段函数的值域通常先作出函数的图象，然后由函数的图象写出函数的值域，如(7)；对于二元函数的值域问题(如(5)，(6))，其解法要针对具体题目的条件而定，(6)可以将二元函数化为一元函数求值域，而(5)只能用不等式法求值域．求函数的值域是个较复杂的问题，它比求函数的定义域难度要大，而单调性法，即根据函数在定义域内的单调性求函数的值域是较为简单且常用的方法，应重点掌握．
(2)由题意知解得
∴函数的定义域为(－2，－]∪[，2)．
【评析】求函数定义域的原则：用列表法表示的函数的定义域，是指表格中实数x的集合；用图象法表示的函数的定义域，是指图象在x轴上的投影所对应的实数的集合；当函数y＝f(x)用解析法表示时，函数的定义域是指使解析式有意义的x的集合，一般通过列不等式(组)求其解集．若已知函数y＝f(x)的定义域为[a，b]，其复合函数y＝f[g(x)]的定义域由不等式a≤g(x)≤b解出．
解：∵1*k＝＋k＋1＝3，∴k＝1；k*x＝1*x＝＋x＋1＝＋>1，∴函数f(x)＝k*x的值域是(1，＋∞)．故填1；(1，＋∞)．
类型一函数和映射的定义
下列对应是集合P上的函数的是________.
①P＝Z，Q＝N*，对应关系f：对集合P中的元素取绝对值与集合Q中的元素相对应；
②P＝{－1，1，－2，2}，Q＝{1，4}，对应关系f：x→y＝x2，x∈P，y∈Q；
(说明：此题易错写成f(x)＝＋≥2.∴f(x)的值域为[2，＋∞)．请同学们想一想，错在哪里？)
类型五求函数的解析式
求下列函数的解析式：
(1)已知f(x)是一次函数，并且f[f(x)]＝4x＋3，求f(x)；
(2)已知f(2x＋1)＝4x2＋8x＋3，求f(x)；
(3)已知f＝x2＋－3，求f(x)；
()给出下列四个对应：
①A＝R，B＝R，对应关系f：x→y，y＝；
②A＝，B＝，对应关系f：a→b，b＝；
③A＝{x|x≥0}，B＝R，对应关系f：x→y，y2＝x；
④A＝{x|x是平面α内的矩形}，B＝{y|y是平面α内的圆}，对应关系f：每一个矩形都对应它的外接圆.
其中是从A到B的映射的为________.
类型三求函数的定义域
(1)求函数f(x)＝＋＋(x－4)0的定义域.
(2)若函数y＝f(x)的定义域为[－1，1)，求y＝f(x2－3)的定义域.
解：(1)要使函数有意义须满足
解得x≥1且x≠2，x≠4或x≤－1且x≠－2.
∴函数的定义域为{x|x≥1且x≠2，x≠4或x≤－1且x≠－2}，用区间表示为(－∞，－2)∪(－2，－1]∪[1，2)∪(2，4)∪(4，＋∞)．
③P＝{三角形}，Q＝{x|x>0}，对应关系f：对P中三角形求面积与集合Q中元素对应.
解：由于①中集合P中元素0在集合Q中没有对应元素，而③中集合P不是数集，所以①和③都不是集合P上的函数．由题意知，②正确．故填②.
【评析】函数是一种特殊的对应，要检验给定的两个变量之间是否具有函数关系，只需要检验：①定义域和对应关系是否给出；②根据给出的对应关系，自变量x在其定义域内的每一个值是否都有唯一确定的函数值y与之对应；③集合P，Q是否为非空数集．
(2)两个函数相等：如果两个函数的________相同，并且完全一致，则称这两个函数相等.
4.分段函数
若函数在定义域的不同子集上的对应关系也不同，这种形式的函数叫做分段函数，它是一类重要的函数.
5.映射的概念
一般地，设A，B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系f，使对于A中的________元素x，在集合B中都有________元素y与之对应，那么就称对应f：A→B为从集合A到集合B的一个映射.
x＝3，等号成立；
当x<1时，y＝－≤
－4，且当x＝－1，等号成立．
∴函数的值域为(－∞，－4]∪[4，＋∞)．
解法二：(判别式法)
∵y＝，∴x2－(y＋2)x＋(y＋5)＝0，
又∵函数的定义域为(－∞，1)∪(1，＋∞)，
∴方程x2－(y＋2)x＋(y＋5)＝0有不等于1的实根．∴Δ＝(y＋2)2－4(y＋5)＝y2－16≥0，解得y≤－4或y≥4.
6.映射与函数的关系
(1)联系：映射的定义是在函数的现代定义(集合语言定义)的基础上引申、拓展而来的；函数是一种特殊的_____________.
(2)区别：函数是从非空数集A到非空数集B的映射；对于映射而言，A和B不一定是数集.
7.复合函数
一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y＝f(u)和u＝g(x)的复合函数，记作y＝f(g(x))，其中y＝f(u)叫做复合函数y＝f(g(x))的外层函数，u＝g(x)叫做y＝f(g(x))的内层函数.
当y＝－4时，x＝－1；y＝4时，x＝3.
故所求函数的值域为(－∞，－4]∪[4，＋∞)．
(5)∵a＞b＞0，∴a－b＞0.
y＝[(a－b)＋b]2＋≥[2]2＋＝4(a－b)b＋≥2＝16.
当即时上式中两处等号均成立，故所求函数(二元函数)的值域为[16，＋∞)．
(6)(单调性法)
∵3x2＋2y2＝6x，∴2y2＝6x－3x2≥0，解得0≤x≤2.
A．g(x)＝B．g(x)＝
C．g(x)＝D．g(x)＝x－1
解：∵g(x)＝
与f(x)的定义域和对应关系完全一致，故选B.
【评析】两个函数相等的充要条件是它们的定义域和对应关系完全一致，与函数的自变量和因变量用什么字母表示无关．在对函数解析式进行化简变形时应注意定义域是否发生改变(即是否是等价变形)；对于含绝对值的函数式可以展开为分段函数后再判断．
解：对于①，当x＝－1时，y值不存在，所以①不是从A到B的映射；
对于②，A，B两个集合分别用列举法表述为
A＝{2，4，6，…}，B＝，由对应关系f：a→b，b＝知，②是从A到B的映射；
③不是从A到B的映射，如A中元素1对应B中两个元素±1；
④是从A到B的映射．
故填②④.
类型二判断两个函数是否相等
已知函数f(x)＝|x－1|，则下列函数与f(x)相等的函数是()
【自查自纠】
1.唯一确定的数函数自变量定义域函数值值域
2.(1)数学表达域(2)定义域
对应关系
5.任意一个唯一确定的
6.(1)映射
()下列函数中，与函数y＝定义域相同的函数为()
A．y＝B．y＝
C．y＝xexD．y＝
解：函数y＝的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，而y＝的定义域为{x∈R|x≠kπ，k∈Z}，y＝的定义域为(0，＋∞)，y＝xex的定义域为R，y＝的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．故选D.
函数y＝的定义域为________________.
解：依题意知解得－4≤x＜0或0＜x≤1.故填[－4，0)∪(0，1]．
规定记号“*”表示一种运算，且a*b＝＋a＋b，a，b是正实数，已知1*k＝3.
(1)正实数k的值为____________；
(2)在(1)的条件下，函数f(x)＝k*x的值域是___________.
(1)已知函数f(2x－1)的定义域为[1，4]，求函数f(x)的定义域.
(2)已知函数f(2x－1)的定义域为[1，4]，求函数f(2x)的定义域.