高考数学 333线性规划的应用课后强化作业新人教A版必修5(1)

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高中数学新人教A版必修5练习附答案：第三章不等式3.3.2简单的线性规划问题练习16.doc

高中数学新人教A 版必修 5 练习附答案3. 3. 2 简单的线性规划问题课后篇巩固探究A 组1. 已知某线性规划问题中的目标函数为 z=3x-y , 若将其看成直线方程 , 则 z 的几何意义是()A . 该直线的截距B . 该直线的纵截距C . 该直线的纵截距的相反数D . 该直线的横截距解析由 z=3x-y , 得 y=3x-z , 在该方程中 -z 表示直线的纵截距 , 因此 z 表示该直线的纵截距的相反数 . 答案 C2. 目标函数 z=x-y 在的线性约束条件下 , 取得最大值的可行解为 ( )A (0,1)B ( - 1, - 1)C (1,0) D. ... 解析可以验证这四个点均是可行解 , 当 x=0, y=1 时 , z=-1; 当 x=- 1, y=- 1 时 , z=0; 当 x=1, y=0 时, z=1; 当 x=, y=时 , z=0. 排除选项 A,B,D, 故选 C .答案 C3. 若变量 x , y 满足约束条件目标函数为 z=4x+2y , 则有 ()A. z 有最大值无最小值B. z 有最小值无最大值C.z 的最小值是 8D. z 的最大值是 10解析由 z=4x+2y , 得 y=- 2x+.作出不等式组对应的平面区域 , 如图阴影部分所示 .平移直线 y=- 2x ,当直线 y=- 2x+经过点 B (0,1) 时 , 直线 y=- 2x+在 y 轴上的截距最小 , 此时 z 最小 , 且 z min =2.当直线 y=- 2x+经过点 C(2,1)时,直线 y=- 2x+在 y 轴上的截距最大, 此时z最大 , 且z max=4×2+2×1=10. 故选D.答案 D4.若直线y=2x上存在点 ( x, y) 满足约束条件则实数m的最大值为()A.- 1B.1C. D.2解析满足约束条件的平面区域如图中的阴影部分所示, 由得交点P(1,2).当直线 x=m经过点 P 时, m取到最大值1.答案 B5.已知实数x, y 满足约束条件则z=2x+y的最小值为.解析因为 z=2x+y,所以 y=- 2x+z. 不等式组满足的平面区域如图阴影部分所示. 平移直线2x+y=0, 由图形可求得z=2x+y 的最小值是 - 2.答案 -26.已知变量x, y 满足则z=x+y-2的最大值为.解析作出可行域 , 如图阴影部分所示.由图知 , 目标函数z=x+y- 2在点 A 处取得最大值 .易知 (1,2), 故max 1 2 2 1A z = + - = .答案 17.铁矿石 A 和 B 的含铁率a、冶炼每万吨铁矿石的CO2的排放量b及每万吨铁矿石的价格 c 如下表 :b/c/ 百a 万万元吨A 50%1 3B 70%0. 5 6某冶炼厂至少要生产1. 9 万吨的铁 , 若要求 CO2的排放量不超过 2 万吨 , 则购买铁矿石的最少费用为百万元 .解析设需购买铁矿石 A x万吨 , 铁矿石 B y万吨 , 购买费用为z,则根据题意得到的约束条件为目标函数为z=3x+6y. 画出约束条件表示的可行域, 如图阴影部分所示.当直线3 6 经过点 (1,2) 时 ,z 取最小值 , 且z最小值 3 16 215x+ y=z = ×+×= .答案 158.导学号04994076已知S为平面上以A(3, - 1), B( - 1,1),C(1,3)为顶点的三角形区域 ( 含三角形内部及边界) .若点 ( x, y) 在区域S上移动.(1)求 z=3x- 2y 的最值;(2)求 z=y-x 的最大值,并指出其最优解 .解 (1) z=3x- 2y可化为y=x-x+b,故求 z 的最大值、最小值, 相当于求直线y=x+b 在 y 轴上的截距 b 的最小值、最大值, 即b取最大值 , z取最小值 ; 反之亦然.①如图 ①, 平移直线 y=x , 当 y=x+b 经过点 B 时 , b max =, 此时 z min =-2b=- 5; 当 y=x+b 经过点 A时, b min =- , 此时 z max =- 2b=11. 故 z=3x- 2y 的最大值为 11, 最小值为 - 5.(2) z=y-x 可化为 y=x+z , 故求 z 的最大值 , 相当于求直线y=x+z 在 y 轴上的截距 z 的最大值 .如图② , 平行移动直线y=x , 当直线y=x+z 与直线重合时 ,max2, 此时线段上任一点的坐BCz = BC标都是最优解 .②9. 甜柚和脐橙是赣州地区的两大水果特产 , 一农民有山地 20 亩 , 根据往年经验 , 若种脐橙 , 则每年每亩平均产量为1 000 千克 ; 若种甜柚 , 则每年每亩平均产量为1 500 千克 . 已知脐橙成本每年每亩 4 000 元, 甜柚成本较高 , 每年每亩 12 000 元 , 且脐橙每千克卖 6 元 , 甜柚每千克卖 10 元 . 现该农民有 120 000 元 , 那么两种水果的种植面积分别为多少 , 才能获得最大收益 ?解设该农民种 x 亩脐橙 , y 亩甜柚时 , 能获得利润 z 元.则 z=(1 000 ×6- 4 000) x+(1 500 ×10- 12 000) y=2 000 x+3 000 y ,其中 x , y 满足条件作出可行域 , 如图中阴影部分所示 .当直线 y=-x+经过点 A (15,5), 即种 15 亩脐橙 ,5 亩甜柚时 , 每年收益最大 , 为 45 000 元 .B 组1 . 若变量 , y 满足约束条件且 5的最大值为 , 最小值为 b , 则 a-b 的值是x z= y-x a( )A.48B.30C.24D.16解析画出可行域 , 如图阴影部分所示 .由图可知 , 当直线 y=经过点 A 时 , z 有最大值 ; 经过点 B 时, z 有最小值 . 联立方程组解得即 A (4,4) .对 x+y=8, 令 y=0, 则 x=8, 即 B (8,0), 所以 a=5×4- 4=16, b=5× 0- 8=-8, 则 a-b=16- ( - 8) =24, 故选 C . 答案 C2. 已知正数 x , y 满足则 z=22x+y 的最大值为 ()A . 8B . 16C . 32D . 64解析设 t= 2x+y , 可求得当直线 t= 2x+y 经过 2x-y= 0 与 x- 3y+5=0 的交点 (1,2) 时 , t 取最大值4, 故22x+y的最大值为 16 . z=答案 B3. 已知 x , y 满足约束条件若 z=x- 3y+m 的最小值为 4, 则 m=( )A .6B .8C .10D .12解析作出满足约束条件的可行域, 如图中的阴影部分所示 . 由 z=x- 3y+m , 得 y=x- , 则由图可知 z=x- 3y+m 在点 A ( - 2,2) 处取得最小值 , 则有 z=- 2- 3×2+m=4, 所以 m=12, 故选 D .答案 D4. 已知变量 x , y 满足约束条件则 z=3|x|+y 的取值范围为 ()A . [ - 1,5]B . [1,11]C . [5,11]D . [ - 7,11] 解析画出可行域 , 由可行域可知 ,当 x ≥0时, 3 的取值范围是 [1,11];当0 时, 3的取值范围是 (1,5] . 综z= x+yx<z=- x+y上, z=3|x|+y 的取值范围为 [1,11] .答案 B5. 若变量 x , y 满足约束条件则 z=x+的取值范围为.解析由题意知不等式组所表示的平面区域为如图所示的阴影部分( △ OAB 及其内部 ), 其中 (0,0), (1,2), (2, 1), 因此当直线经过点 A 时 , z 取得最大值 , 即 z max 12; 当直线 OAB -z=x+= +=z=x+经过点 O 时 , z 取得最小值 , 即 z min =0. 所以 z=x+的取值范围为 [0,2] .答案 [0,2]6. 某公司生产甲、乙两种桶装产品 , 已知生产甲产品 1 桶需耗 A 原料 1 千克、B 原料 2 千克 ;生产乙产品 1 桶需耗 A 原料 2 千克、 B 原料 1 千克 . 每桶甲产品的利润是 300 元 , 每桶乙产品的利润是 400 元 . 公司在生产这两种产品的计划中 , 要求每天消耗 A,B 原料都不超过 12 千克 . 通过合理安排生产计划 , 从每天生产的甲、乙两种产品中 , 公司共可获得的最大利润是元.解析设生产甲产品 x 桶 , 乙产品 y 桶 , 每天利润为 z 元, 则z=300x+400y.作出可行域 , 如图中的阴影部分所示. 作直线300x+400y=0,向右上平移,当直线经过点 A时, z=300x+400y取最大值.由所以A(4,4),故z max=300×4+400×4=2 800.答案 2 8007.已知z=2y- 2x+4, 其中x, y满足条件求z的最大值和最小值.解作出不等式组表示的平面区域,如图中的阴影部分所示. 令2y- 2x=t ,则当直线2y- 2x=t 经过点 A(0,2)时, z max=2×2- 2×0+4=8;当直线 2y- 2x=t经过点B(1,1) 时 , z min=2×1- 2×1+4=4.故z 的最大值为 8, 最小值为 4.8. 导学号 04994077 某公司有 60 万元资金 , 计划投资甲、乙两个项目 , 按要求对甲项目的投资不小于对乙项目投资的, 且对每个项目的投资不能低于 5 万元.对甲项目每投资 1 万元可获得0. 4 万元的利润 , 对乙项目每投资 1 万元可获得 0. 6 万元的利润 , 该公司正确规划投资后 , 在这两个项目上一共可获得的最大利润是多少?解设投资甲项目x 万元,投资乙项目 y 万元,可获得利润为z 万元,则目标函数为z=0. 4x+0. 6y.作出满足题意的可行域如图阴影部分所示.由 z=0. 4x+0. 6y,得 y=-x+z.由得 A(24,36) .由图知 , 当直线y=-x+z经过点A时 , z取得最大值 , 即z取得最大值. 故 z max=0. 4×24+0. 6×36=31. 2(万元),即一共可获得的最大利润为31.2 万元.。

人教A版高中数学必修五3.3.2简单的线性规划问题练习.doc

一、本节学习目标1．会利用“数形结合法”求目标函数的最优解；2．经历从实际情境中抽象出简单的线性规划问题的过程，提高数学建模能力．二、重难点指引重点：线性规划问题的图解法．难点：建立线性约束条件．三、学习指导本节最常用的数学思想方法就是：数形结合法，因此，做出的每条直线的相对位置关系必须准确，否则观察结果时就可能有误．四、教材多维研读 ▲ 一读教材1．线性约束条件：由y x 、的__________不等式（或方程）组成的条件组； 2．线性目标函数：关于y x 、的__________解析式；3．一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的__________或__________的问题，统称为线性规划问题．4．可行解、可行域和最优解：满足线性约束条件的__________叫可行解．由所有可行解组成的__________叫做可行域．5．使目标函数取得_______或________的可行解叫线性规划问题的最优解． ▲ 二读教材1．已知41,31≤≤-≤≤y x ,则y x 23+的取值范围是．2．求满足不等式组⎪⎩⎪⎨⎧>++<++<016340440y x y x x 的整数解()y ,x 是__________．▲ 三读教材1．目标函数y x z -=2,将其看成直线方程时，z 的意义是 ( )A ．该直线的截距B ．该直线的纵截距C ．该直线纵截距的相反数D ．该直线的横截距 2．设E 为平面上以A （4，1），B （-1，-6），C （-3，2）为顶点的三角形区域（包括边界），则z=4x-3y 的最大值与最小值分别为 .3．设变量x 、y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥-≥+,y x ,y x ,y x 3213则目标函数z ＝2x ＋3y 的最小值为（）A ．6B ．7C ．8D ．234．在约束条件：102,632,1052≤+-≥-≥+y x y x y x 下，求22y x z +=的最小值．五、典型例析例1 已知关于x 、y 的二元一次不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥+≤-≤+,02,1,42x y x y x(Ⅰ)求函数u ＝3x －y 的最大值和最小值； (Ⅱ)求函数z ＝x ＋2y ＋2的最大值和最小值．例2 要将大小不同甲、乙的两种钢板截成A 、B 、C 三种不同规格的钢板，每种钢板可同甲、乙每张钢板的面积分别为1平方米、2平方米.现在需要A 、B 、C 三种钢板各12、15、27块，问各截甲、乙两种钢板各多少张，能满足需要且使所使用的甲、乙两种钢板面积和最小？例3 (2009·陕西高考)若x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥-≥+2211y x y x y x ,目标函数z ＝ax ＋2y 仅在点(1,0)处取得最小值，则a 的取值范围是 ( )A ．(－1,2)B ．(－4,2)C ．(－4,0]D ．(－2,4)例4 如果点P 在平面区域⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≤+-≥+-02012022y x y x y x 上，点Q 在曲线x 2＋(y ＋2)2＝1上，那么|PQ |的最小值为( ) A.5－1 B.45－1 C ．22－1 D.2－1六、课后自测 ◆ 基础知识自测1．下列命题正确的是（）A ．线性规划中最优解指的是使目标函数取得最大值或最小值的变量x 或y 的值B ．线性规划中最优解指的是使目标函数的最大值或最小值C ．线性规划中最优解指的是使目标函数取得最大值或最小值的可行域D ．线性规划中最优解指的是使目标函数取得最大值或最小值的可行解2．已知x 、y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+≥+-3005x y x y x ，则z=2x+4y 的最小值为 ( )A ．5B ．－6C ．10D ．－103．某电脑用户计划用不超过500元的资金购买单价分别为60元、70元的单片软件和盒装磁盘．根据需要，软件至少买3片，磁盘至少买2盒，则不同的选购方式共有( ) A ．5种 B ．6种 C ．7种 D ．8种4．已知⎪⎩⎪⎨⎧-≥≥+-≤-+10101y y x y x 且84422+--+=y x y x u ，则u 的最小值是．5．非负实数x 、y 满足y x y x y x 3,03042+⎩⎨⎧≤-+≤-+则的最大值为．◆ 能力提升训练1．完成一项装修工程，木工和瓦工的比例是2：3，请木工需付工资每人50元，请瓦工需付工资每人40元，现有工资预算2000元，设木工x 人，瓦工y 人，请工人数的约束条件是 ( )A ．⎩⎨⎧∈≤+N y x y x 、532 B. ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∈=≤+N y x y x y x 、3220004050 C ．⎪⎩⎪⎨⎧=≤+321004050y x y x D ．⎪⎩⎪⎨⎧=≤+3220004050y x y x 2．在如图所示的坐标平面的可行域内（阴影部分包括周界），目标函数z=x+ay 取得最小值的最优解有无数个，则a 的一个可能值为（） A ．3-B ． 3C ．1-D ．13．4枝牡丹花与5枝月季花的价格之和小于22元，而6枝牡丹花与3枝月季花的价格之和大于24元，则2枝牡丹花与3枝月季花的价格比较结果是（）A ．2枝牡丹花贵B ． 3枝月季花贵C ．相同D ．不确定 4．△ABC 中，三个顶点的坐标分别为A （2，4）B （-1，0）C （1，0），当点P （x,y ）在△ABC 的内部及边界上运动时，z=x-y 的最大值与最小值分别是 .5．满足约束条件,0,0625⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≤+≤+y x y x y x 的点（x,y ）中使目标函数z=6x+8y 取得最大值的点的坐标是．6．设M 为平面上不等式组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤--≥+-≥++≤-+020204340634y x y x y x y x 表示的平面区域.求点(x ，y )在M 上变动时，y －2x 的最大值.◆ 智能拓展训练1．设f(x)=ax 2＋bx ，且－1≤f(－1)≤2，2≤f(1)≤4，求f(－2)的取值范围．2.在平面直角坐标系中，若不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≤-≥-+010101y ax x y x ，(a 为常数)所表示的平面区域的面积等于2，则a 的值为 ( ) A ．－5 B ．1 C ．2 D ．3xyA(1,1)B(5,1)C(4,2)3.已知实数x ，y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≤+-≤≥m y x x y y 121，如果目标函数z ＝x －y 的最小值为－1，则实数m 等于( )A ．7B ．5C ．4D ．3 4.某食物营养研究所想用x 千克甲种食物，y 千克乙种食物，z 千克丙种食物配成100千克的混合食物，并使混合食物至少含56000单位维生素A 和63000单位维生素B ．（Ⅰ）用x 、y 表示混合物成本C ．（Ⅱ）确定x 、y 、z 的值，使成本最低．5．已知O 为坐标原点，A(2,1)，P(x ，y)满足⎪⎩⎪⎨⎧≥-≤+≤+-012553034x y x y x ,则| |·cos ∠AOP 的最大值等于______．3.3.2简单的线性规划问题答案▲ 一读教材1．一次；.2．一次；3．最大值、最小值； 4．解（x ,y ）、集合；5．最大值、最小值． ▲ 二读教材 1．[1,17]2．整数解有:(－1,－1)、( －1,－2)、()3,1--( －2,－1)、( －2,－2)、( －3,－1) ▲ 三读教材1．C ； 2；14，-18 3． B ； 4．29100．课后自测◆ 基础知识自测1. D ；2.B ；3.C ；4. 29； 5.9 ． ◆ 能力提升自测1.B ；2.A ；3.A ；4.1,－2 ；5.(0,5) ；6. 724． ◆ 智能拓展训练 1. 解依题：⎩⎨⎧≤+≤≤-≤-4221b a b a 而()b a f 242-=-设)()()2(b a n b a m f ++-=-则⎩⎨⎧-=+-=+24n m n m ⎩⎨⎧==∴13n m10)()(31≤++-≤-∴b a b a)2(-∴f 的取值范围是：[]10,1-2. 解析：不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≤-≥-+010101y ax x y x 所围成的区域如图所示．则A (1,0)，B (0,1)，C (1,1＋a )且a >－1，∵ABC S ∆＝2，∴12(1＋a )×1＝2，解得a ＝3.答案：D3. 解析：选B.将直线y ＝x ＋1与y ＝2x －1联立解得A (2,3)，据题意即为最优解，又点A 必在直线x ＋y ＝m 上，代入求得m ＝5.4. 解（Ⅰ）依题意：x 、y 、z 满足x+y+z=100可化为z=100-x-y ∴ 成本C=11x+9y+4z=7x+5y+400（元）（Ⅱ）依题意⎩⎨⎧≥++≥++6300050040080056000400700600z y x z y x∵ y x z --=100∴⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≥-≥+0,0130316032y x y x y x作出不等式组所对应的可行域，如图所示．联立⎩⎨⎧=-=+130316032y x y x 的交点)20,50(A 作直线C y x =++40057则易知该直线截距越小，C 越小，所以该直线过)20,50(A 时，直线在y 轴截距最小，从而C 最小，此时7×50＋5×20＋400＝C ＝850元 ∴ x=50千克，z=30千克时成本最低．5. 解析：在平面直角坐标系中画出不等式组所表示的可行域(如图)，由于|OP |·cos ∠AOP＝OAAOPCOS OA OP ∠⋅＝OAOAOP ⋅，而OA ＝(2,1)，OP ＝(x ，y )，所以|OP |·cos ∠AOP ＝2x ＋y5，令z ＝2x ＋y ，则y ＝－2x ＋z ，即z 表示直线y ＝－2x ＋z 在y 轴上的截距，由图形可知，当直线经过可行域中的点M 时，z 取到最大值，由⎩⎨⎧=+=+-2553034y x y x 得M (5,2)，这时z ＝12，所以|OP |·cos ∠AOP ＝125＝1255，故|OP |·cos ∠AOP 的最大值等于1255.答案：1255。

人教A版高中数学必修五课时作业第一课时简单的线性规划问题

3.3.2 简单的线性规划问题第一课时简单的线性规划问题[选题明细表]知识点、方法题号线性目标函数的最值1,3,6非线性目标函数的最值2,5,7,8含参数的线性规划问题4,9,10,11,12基础巩固1.若变量x,y满足约束条件则z=2x+y的最大值和最小值分别为( B )(A)4和3 (B)4和2 (C)3和2 (D)2和0解析: 作出可行域,通过目标函数线的平移寻求最优解.作出可行域如图阴影部分,作直线2x+y=0,并向右上平移,过点A时z取最小值,过点B时z取最大值,可求得A(1,0),B(2,0),所以z min=2,z max=4.故选B.2.(2019·杭州高二检测)已知x,y满足约束条件则(x+3)2+y2的最小值为( D )(A) (B)2 (C)8 (D)10解析: 画出可行域(如图所示).(x+3)2+y2即点A(-3,0)与可行域上点(x,y)间距离的平方.显然|AC|长度最小,所以|AC|2=(0+3)2+(1-0)2=10.故选D.3.设变量x,y满足约束条件则目标函数z=3x-y的取值范围是( A )(A)[-,6] (B)[-,-1](C)[-1,6] (D)[-6,]解析:作出可行域如图所示.目标函数z=3x-y可转化为y=3x-z,作l0:3x-y=0,在可行域内平移l0,可知在A点处z取最小值为-,在B点处z取最大值为6.故选A.4.(2019·太原高二检测)已知a>0,x,y满足约束条件若z=2x+y的最小值为1,则a等于( B )(A)(B)(C)1 (D)2解析: 作出不等式组表示的可行域,如图(阴影部分).易知直线z=2x+y过交点A时,z取最小值,由得所以z min=2-2a=1,解得a=,故选B.5.已知实数x,y满足则z=|3x+4y-5|的最大值为( D )(A)1 (B)2 (C)8 (D)9解析:如图阴影部分为不等式组表示的可行域,z=|3x+4y-5|=×5,其几何意义为可行域内的点到直线3x+4y-5=0的距离的5倍,显然点(0,-1)到直线3x+4y-5=0的距离最大,此时z max=9.故选D.6.(2019·微山高二检测)设x,y满足约束条件则z=3x+y的最大值为.解析: 不等式组表示的平面区域如图所示.把z=3x+y变形为y=-3x+z得到斜率为-3,在y轴截距为z的一族平行直线,由图得当直线l:y=-3x+z过可行域内一点M时,在y轴截距最大,z 也最大.由得即M(3,-2).所以当x=3,y=-2时,z max=3×3+(-2)=7.答案:77.若实数x,y满足则z=3x+2y的最小值是.解析: 由不等式组,得可行域是如图阴影部分以A(0,0),B(0,1), C(-0.5,0.5)为顶点的三角形,易知当x=0,y=0时,z′=x+2y取得最小值0,所以z=3x+2y的最小值为1.答案:18.已知求:(1)z=x2+y2-10y+25的最小值;(2)z=的范围.解: 作出可行域如图,并求出顶点的坐标A(1,3),B(3,1),C(7,9).(1)z=x2+(y-5)2表示可行域内任一点(x,y)到定点 M(0,5)的距离的平方,过M作直线AC的垂线,易知垂足N在线段AC上,故z的最小值是|MN|2=.(2)z=2·表示可行域内任一点(x,y)与定点Q (-1,-)连线的斜率的两倍,因为k QA=,k QB=,故z的范围为[,].能力提升9.(2019·山东临沭期中)已知实数x,y满足如果目标函数z=x-y的最小值为-1,则实数m等于( B )(A)7 (B)5 (C)4 (D)3解析: 作出不等式组对应的平面区域如图,由目标函数z=x-y的最小值是-1,得y=x-z,即当z=-1时,函数为y=x+1,此时对应的平面区域在直线y=x+1的下方, 由解得即A(2,3),同时点A也在直线x+y=m上,即m=2+3=5.故选B.10.已知x,y满足约束条件如果(2,)是z=ax-y取得最大值时的最优解,则实数a的取值范围是.解析: 画出可行域如图,将目标函数化为直线的斜截式方程y=ax-z,当目标函数的斜率大于等于3y-x=2的斜率时,直线y=ax-z在点(2,)处截距最小,即a≥时,(2,)是目标函数z=ax-y取得最大值时的最优解.答案:[,+∞)11.(2019·绵阳高二检测)若x,y满足约束条件(1)求目标函数z=x-y+的最值;(2)若目标函数z=ax+2y仅在点(1,0)处取得最小值,求a的取值范围. 解: (1)作出可行域如图,可求得A(3,4),B(0,1),C(1,0),平移初始直线y=x,当过A(3,4)时z取得最小值-2,当过C(1,0)时,z取得最大值1.所以z的最大值为1,最小值为-2.(2)由ax+2y=z,得y=-x+,因为直线ax+2y=z仅在点(1,0)处取得最小值,由图象可知-1<-<2,解得-4<a<2.故所求a的取值范围为(-4,2).探究创新12.(2019·聊城高二检测)设m>1,在约束条件下,目标函数z=x+my的最大值小于2,求m的取值范围.解: 根据约束条件画出可行域如图所示,将目标函数化为斜截式y=-x+,结合图形可以看出当目标函数过y=mx 与x+y=1的交点时取到最大值.联立得交点坐标为(,).将其代入目标函数得z max=.由题意可得<2,又m>1,所以1<m<1+.故m的取值范围为(1,1+).。

高中数学 3.3.2.1简单的线性规划问题新人教A版必修5

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【解】由约束条件画出可行域，如图所示．
点C的坐标为(3,1)，z最大时，即平移y＝－ax时使直线在y 轴上的截距最大，∴y＝－ax的斜率要小于直线CD：x＋y－4＝ 0的斜率．
即－a<kCD，即－a<－1，∴a>1.
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规律技巧这是一道线性规划的逆向思维问题，解答此类问题必须明确线性目标函数的最值一般在可行域的顶点或边界取得，运用数形结合的思想方法求解．同时，要注意边界直线斜率与目标函数斜率关系.
第三章不等式
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§3.3 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题
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3．3.2 简单的线性规划问题
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第一课时简单的线性规划问题
课前预习目标
课堂互动探究
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课前预习目标
梳理知识夯实基础
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自学导引 1.了解线性规划的意义． 2．会求一些简单的线性规划问题.
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x＋y≥2， 3．若实数x，y满足不等式组 2x－y≤4，
x－y≥0，
小值是________．
则2x＋3y的最
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取点(5,4)知在可行域内，因此，当x＝5，y＝4时，z取得最大值90.
【答案】 90
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随堂训练
1.设变量x，y满足约束条件： xx＋－yy≤≥10，， x＋2y≥1，
则z＝5x＋y的
最大值为( A．2
) B．3
C．4
D．5
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解析作出可行域，如图所示．
由z＝5x＋y，得y＝－5x＋z，目标函数在点(1,0)处取最大值，即z＝5×1＋0＝5.
课前热身
线性规划中的基本概念.

高中数学：3.3.3 线性规划的实际应用课件新人教A版必修5

可行解：满足线性约束条
件的解(x，y)叫可行解； 2x+y=3
2x+y=12
可行域：由所有可行解组
成的集合叫做可行域；
最优解：使目标函数取得最大或最小值的可行解叫线性规划问题的最优解。
可行域
(1,1)
(5,2)
7
复习线性规划
解线性规划问题的一般步骤：第一步：在平面直角坐标系中作出可行域；第二步：在可行域内找到最优解所对应的点；第三步：解方程的最优解，从而求出目标函数的最大值或最小值。
式x点+3400y组-1成>的0的平解面为区域坐。标不的点的集合等20{式( xa，x+yb)y|+xc+<0y表- 1示>的0 } 是
O
1
x+y-1<0
东部
西北部部 x
什么是1图0另形一?侧的平面区域。
x+y-1=0
0
第一季度
第二季度
第三季度
第四季度探索结论
4
复习判断二元一次不等式表示哪一侧平面区域的方法
新课标人教版课件系列
《高中数学》
必修5
1
3.3.3《线性规划的实际应用》
审校：王伟
2
教学目标
❖ 1．知识目标： ❖ 会用线性规划的理论和方法解决一些较简单的实际问题； ❖ 2．能力目标：培养学生观察、分析、联想、以及作图的能力，渗透集合、
化归、数形结合的数学思想，培养学生自主探究意识，提高学生“建模” 和解决实际问题的能力； ❖ 3．情感目标：培养学生学习数学的兴趣和“用数学”的意识，激励学生创新，鼓励学生讨论，学会沟通，培养团结协作精神． ❖ 教学重点：把实际问题转化成线性规划问题，即建模，并给出解答． ❖ 教学难点： ❖ 1．建立数学模型．把实际问题转化为线性规划问题； ❖ 2．寻找整点最优解的方法．

[精品]新人教A版必修五高中数学强化习题3.3.2简单的线性规划问题(一)和答案

3．3.2 简单的线性规划问题(一) 课时目标1．了解线性规划的意义．2．会求一些简单的线性规划问题．线性规划中的基本概念一、选择题1．若实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y －3≥0，2x －y －3≤0，x －y ＋1≥0，则x ＋y 的最大值为( )A ．9B.157C ．1D.715答案 A解析画出可行域如图：当直线y ＝－x ＋z 过点A 时，z 最大．由⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －3＝0，x －y ＋1＝0得A (4,5)，∴z max ＝4＋5＝9.2．已知点P (x ，y )的坐标满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤4，y ≥x ，x ≥1，则x 2＋y 2的最大值为( )A.10B ．8C ．16D ．10答案 D解析画出不等式组对应的可行域如下图所示：易得A (1,1)，|OA |＝2，B (2,2)， |OB |＝22，C (1,3)，|OC |＝10.∴(x 2＋y 2)max ＝|OC |2＝(10)2＝10.3．在坐标平面上有两个区域M 和N ，其中区域M ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ，y ⎩⎪⎨⎪⎧y ≥0y ≤x y ≤2－x，区域N ＝{(x ，y )|t ≤x ≤t ＋1,0≤t ≤1}，区域M 和N 公共部分的面积用函数f (t )表示，则f (t )的表达式为( )A ．－t 2＋t ＋12B ．－2t 2＋2tC ．1－12t 2D.12(t －2)2答案 A 解析作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≥0y ≤xy ≤2－x所表示的平面区域．由t ≤x ≤t ＋1,0≤t ≤1，得f (t )＝S △OEF －S △AOD －S △BFC＝1－12t 2－12(1－t )2＝－t 2＋t ＋12.4．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，x －5y ＋10≤0，x ＋y －8≤0，则目标函数z ＝3x －4y 的最大值和最小值分别为( )A ．3，－11B ．－3，－11C ．11，－3D ．11,3 答案 A解析作出可行域如图阴影部分所示，由图可知z ＝3x －4y 经过点A 时z 有最小值，经过点B 时z 有最大值．易求A (3,5)，B (5,3)．∴z 最大＝3×5－4×3＝3，z 最小＝3×3－4×5＝－11.5设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x －2y ＋3≥0y ≥x，所表示的平面区域是Ω1，平面区域Ω2与Ω1关于直线3x －4y －9＝0对称．对于Ω1中的任意点A 与Ω2中的任意点B ，则|AB |的最小值为( )A.285B ．4C.125D ．2 答案 B解析如图所示．由约束条件作出可行域，得D (1,1)，E (1,2)，C (3,3)．要求|AB |min ，可通过求D 、E 、C 三点到直线3x －4y －9＝0距离最小值的2倍来求．经分析，D (1,1)到直线3x －4y －9＝0的距离d ＝|3×1－4×1－9|5＝2最小，∴|AB |min ＝4.二、填空题6．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥3，x －y ≥－1，2x －y ≤3.则目标函数z＝2x ＋3y 的最小值为________．答案 7解析作出可行域如图所示．由图可知，z ＝2x ＋3y 经过点A (2,1)时，z 有最小值，z 的最小值为7.7．已知－1<x ＋y <4且2<x －y <3，则z ＝2x －3y 的取值范围是________．(答案用区间表示)答案 (3,8)解析由⎩⎪⎨⎪⎧－1<x ＋y <4，2<x －y <3得平面区域如图阴影部分所示．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝－1，x －y ＝3得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－2.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝4，x －y ＝2得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝1.∴2×3－3×1<z ＝2x －3y <2×1－3×(－2)，即3<z <8，故z ＝2x －3y 的取值范围是(3,8)．8．已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －5≤0，x ≥1，y ≥0，x ＋2y －3≥0，则yx的最大值为________．答案 2解析画出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －5≤0，x ≥1，y ≥0，x ＋2y －3≥0对应的平面区域Ω，y x ＝y －0x －0表示平面区域Ω上的点P (x ，y )与原点的连线的斜率．A (1,2)，B (3,0)，∴0≤yx≤2.三、解答题9．线性约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y ≥12x ＋y ≤103x ＋y ≥12下，求z ＝2x －y 的最大值和最小值．解如图作出线性约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y ≥12x ＋y ≤103x ＋y ≥12下的可行域，包含边界：其中三条直线中x ＋3y＝12与3x ＋y ＝12交于点A (3,3)，x ＋y ＝10与x ＋3y ＝12交于点B (9,1)， x ＋y ＝10与3x ＋y ＝12交于点C (1,9)，作一组与直线2x －y ＝0平行的直线l ：2x －y ＝z ，即y ＝2x －z ，然后平行移动直线l ，直线l 在y 轴上的截距为－z ，当l 经过点B 时，－z 取最小值，此时z 最大，即z max ＝2×9－1＝17；当l 经过点C 时，－z 取最大值，此时z 最小，即z min ＝2×1－9＝－7.∴z max ＝17，z min ＝－7.10．已知⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －5≥03x －y －5≤0x －2y ＋5≥0，求x 2＋y 2的最小值和最大值．解作出不等式组 ⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －5≥03x －y －5≤0x －2y ＋5≥0的可行域如图所示，由⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋5＝02x ＋y －5＝0，得A (1,3)，由⎩⎪⎨⎪⎧ x －2y ＋5＝03x －y －5＝0，得B (3,4)，由⎩⎪⎨⎪⎧3x －y －5＝02x ＋y －5＝0，得C (2,1)，设z ＝x 2＋y 2，则它表示可行域内的点到原点的距离的平方，结合图形知，原点到点B 的距离最大，注意到OC ⊥AC ，∴原点到点C 的距离最小．故z max ＝|OB |2＝25，z min ＝|OC |2＝5. 能力提升11．已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋x ＋y－1≤x ≤4，求x 2＋y 2－2的取值范围．解作出可行域如图，由x 2＋y 2＝(x －0)2＋(y －0)2，可以看作区域内的点与原点的距离的平方，最小值为原点到直线x ＋y －6＝0的距离的平方，即|OP |2，最大值为|OA |2，其中A (4,10)，|OP |＝|0＋0－6|12＋12＝62＝32， |OA |＝42＋102＝116，∴(x 2＋y 2－2)min ＝(32)2－2＝18－2＝16， (x 2＋y 2－2)max ＝(116)2－2＝116－2＝114， ∴16≤x 2＋y 2－2≤114.即x 2＋y 2－2的取值范围为16≤x 2＋y 2－2≤114. 12．已知实数x 、y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －2≥0x －2y ＋4≥03x －y －3≤0，试求z ＝y ＋1x ＋1的最大值和最小值．解由于z ＝y ＋1x ＋1＝y －－1x －－，所以z 的几何意义是点(x ，y )与点M (－1，－1)连线的斜率，因此y ＋1x ＋1的最值就是点(x ，y )与点M (－1，－1)连线的斜率的最值，结合图可知，直线MB 的斜率最大，直线MC 的斜率最小，即z max ＝k MB ＝3，此时x ＝0，y ＝2；z min ＝k MC ＝12，此时x ＝1，y ＝0.∴z 的最大值为3，最小值为12.1．作不等式组表示的可行域时，注意标出相应的直线方程，还要给可行域的各顶点标上字母，平移直线时，要注意线性目标函数的斜率与可行域中边界直线的斜率进行比较，确定最优解．2．在解决与线性规划相关的问题时，首先考虑目标函数的几何意义，利用数形结合方法可迅速解决相关问题．。

高考数学 332线性规划的概念课后强化作业新人教A版必

【成才之路】2013-2014学年高考数学 3-3-2线性规划的概念课后强化作业新人教A 版必修5基础巩固一、选择题1．目标函数z ＝2x －y ，将其看成直线方程时，z 的意义是( ) A ．该直线的截距 B ．该直线的纵截距 C ．该直线的纵截距的相反数 D ．该直线的横截距 [答案] C[解析] z ＝2x －y 可变化形为y ＝2x －z ，所以z 的意义是该直线在y 轴上截距的相反数，故选C.2．若x ≥0，y ≥0，且x ＋y ≤1，则z ＝x －y 的最大值为( ) A ．－1 B ．1 C ．2 D ．－2[答案] B[解析] 可行域为图中△AOB ，当直线y ＝x －z 经过点B 时，－z 最小从而z 最大∴z max＝1.3．已知x 、y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋5≥0x ＋y ≥0x ≤3，则z ＝2x ＋4y 的最小值为( )A ．5B ．－6C ．10D ．－10[答案] B[解析] 可行域为图中△ABC 及其内部的平面区域，当直线y ＝－x 2＋z4经过点B (3，－3)时，z 最小，z min ＝－6.4．若x 、y ∈R ，且⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1x －2y ＋3≥0y ≥x，则z ＝x ＋2y 的最小值等于( )A ．2B ．3C ．5D ．9[答案] B[解析] 不等式组表示的可行域如图所示：画出直线l 0：x ＋2y ＝0，平行移动l 0到l 的位置，当l 通过点M 时，z 取到最小值．此时M (1,1)，即z min ＝3.5．(2013·四川文，8)若变量x 、y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤82y －x ≤4x ≥0y ≥0，且z ＝5y －x 的最大值为a ，最小值为b ，则a －b 的值是( )A ．48B ．30C ．24D ．16[答案] C[解析] 本题考查了线性规划中最优解问题．如图所示．平移直线l 0：y ＝15x .当l 0过A 点(4,4)时可得z max ＝a ＝16. 当l 0过B 点(8,0)时可得z min ＝b ＝－8. 故a －b ＝16－(－8)＝24.6．设函数x 、y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ≥4x －y ≥1x －2y ≤2，则目标函数z ＝x ＋y ( )A ．有最小值2，无最大值B ．有最大值3，无最小值C ．有最小值2，最大值3D ．既无最小值，也无最大值 [答案] A[解析] 画出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ≥4x －y ≥1x －2y ≤2表示的平面区域，如下图，由z ＝x ＋y ，得y ＝－x ＋z ，令z ＝0，画出y ＝－x 的图象．当它的平行线经过点A (2,0)时，z 取得最小值，最小值为2；无最大值．故选A.二、填空题7．(2013·安徽文，12)若非负变量x 、y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥－1x ＋2y ≤4，则x ＋y 的最大值为________．[答案] 4[解析] 本题考查线性规化的最优解问题．x 、y 满足的条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0y ≥0x －y ≥7x ＋2y ≤4.画出可行域如图所示．设x ＋y ＝t ⇒y ＝－x ＋t ，t 表示直线在y 轴截距，截距越大，t 越大．作直线l 0：x ＋y ＝0，平移直线l 0，当l 0经过点A (4,0)时， t 取最大值4.8．(2013·山东文，14)在平面直角坐标系xOy 中，M 为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y －6≤0x ＋y －2≥0y ≥0所表示的区域上一动点，则|OM |的最小值是________．[答案]2[解析] 本题考查不等式组表示平面区域及点到直线距离问题．不等式组所表示平面区域如图，|OM |最小即O 到直线x ＋y －2＝0的距离．故|OM |的最小值为|－2|2＝ 2.三、解答题9．求z ＝3x ＋5y 的最大值和最小值，使式中的x 、y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋3y ≤15y ≤x ＋1x －5y ≤3.[解析] 作出可行域为如图所示的阴影部分．∵目标函数为z ＝3x ＋5y ，∴作直线l 0：3x ＋5y ＝0.当直线l 0向右上平移时，z 随之增大，在可行域内以经过点A (32，52)的直线l 1所对应的z 最大．类似地，在可行域内，以经过点B (－2，－1)的直线l 2所对应的z 最小，∴z max ＝17，z min ＝－11，∴z 的最大值为17，最小值为－11.能力提升一、选择题1．若变量x 、y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ≤40x ＋2y ≤50x ≥0y ≥0，则z ＝3x ＋2y 的最大值是( )A ．90B ．80C ．70D ．40[答案] C[解析] 作出可行域如图所示．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝40x ＋2y ＝50，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝10y ＝20.∴z max ＝3×10＋2×20＝70.2．设变量x 、y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －5≤0x －y －2≤0x ≥0，则目标函数z ＝2x ＋3y ＋1的最大值为( )A ．11B ．10C ．9D ．8.5[答案] B[解析] 作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －5≤0x －y －2≤0x ≥0表示的可行域，如下图的阴影部分所示．又z ＝2x ＋3y ＋1可化为y ＝－23x ＋z 3－13，结合图形可知z ＝2x ＋3y ＋1在点A 处取得最大值．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －5＝0x －y －2＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3y ＝1.故A 点坐标为(3,1)．此时z ＝2×3＋3×1＋1＝10.3．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y －2x ≤0x ＋2y ＋3＞05x ＋3y －5＜0表示的平面区域内的整点个数为( )A ．2B ．3C ．4D ．5 [答案] B[解析] 不等式y －2x ≤0表示直线y －2x ＝0的右下方区域(含边界)，x ＋2y ＋3＞0表示直线x ＋2y ＋3＝0右上方区域(不含边界)，5x ＋3y －5＜0表示直线5x ＋3y －5＝0左下方区域，所以不等式组表示的平面区域是上述三区域的公共部分，即如图所示的△ABC 区域．可求得A (－35，－65)、B (511，1011)、C (197，－207)，所以△ABC 区域内的点(x ，y )满足－35≤x ＜197，－207＜y ＜1011.∵x 、y ∈Z ，∴0≤x ≤2，－2≤y ≤0，且x 、y ∈Z . 经检验，共有三个整点(0,0)，(1，－1)，(2，－2)．4．(2012·广东文，5)已知变量x 、y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤1x －y ≤1x ＋1≥0，则z ＝x ＋2y 的最小值为( )A ．3B ．1C ．－5D ．－6[答案] C[解析] 本题考查二元一次不等式组表示的平面区域，线性目标函数最值．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤1x －y ≤1x ＋1≥0画出可行域如图．令z ＝0画出l 0：x ＋2y ＝0，平移l 0至其过A 点时z 最小，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＝0x －y ＝1，得A (－1，－2)，∴z min ＝－1＋2×(－2)＝－5. 二、填空题5．在△ABC 中，三个顶点分别为A (2,4)、B (－1,2)、C (1,0)，点P (x ，y )在△ABC 的内部及其边界上运动，则y －x 的取值范围为________．[答案] [－1,3][解析] 画出三角形区域如图，易知k AB＝23<1，令z ＝y －x ，则y ＝x ＋z ，作出直线l 0：y ＝x ，平移直线l 0，当经过点C 时，z min ＝－1，当经过点B 时，z max ＝3，∴－1≤z ≤3.6．已知点M 、N 是⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1y ≥1x －y ＋1≥0x ＋y ≤6所围成的平面区域内的两点，则|MN |的最大值是________．[答案]17[解析] 不等式组表示的平面区域如图中的阴影部分所示，∵直线x －y ＋1＝0与直线x ＋y ＝6垂直，直线x ＝1与y ＝1垂直， ∴|MN |的最大值是|AB |＝5－12＋2－12＝17. 三、解答题7．咖啡馆配制两种饮料，甲种饮料每杯含奶粉9 g ，咖啡4 g ，糖3 g ；乙种饮料每杯含奶粉4 g ，咖啡5 g ，糖10 g ，已知每天原料的使用限额为奶粉3 600 g ，咖啡2 000 g ，糖3 000g.如果甲种饮料每杯能获利0.7 元，乙种饮料每杯能获利1.2元，每天在原料的使用限额内饮料能全部售出，若你是咖啡馆的经理，你将如何配制这两种饮料？[解析] 经营咖啡馆者，应想获得最大的利润，设配制饮料甲x 杯，饮料乙y 杯，线性约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧9x ＋4y ≤3 6004x ＋5y ≤2 0003x ＋10y ≤3 000x ，y ∈N，利润z ＝0.7x ＋1.2 y ，因此这是一个线性规划问题，作出可行域如图，因为－94<－810<－712<－310，所以在可行域内的整数点A (200,240)使z max ＝0.7×200＋1.2×240＝428(元)，即配制饮料甲200杯，乙240杯可获得最大利润．8．设x 、y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋5≥0x ＋y ≥0x ≤3.(1)求u ＝x 2＋y 2的最大值与最小值； (2)求v ＝yx －5的最大值与最小值．[解析] 满足条件的可行域如图所示(阴影部分)．(1)令x 2＋y 2＝u 表示一组同心圆(圆心为点O )，且对同一圆上的点，x 2＋y 2的值都相等．由图可知(x ，y )在可行域内取值，当且仅当圆O 过C 点时，u 最大，过点(0,0)时，u 最小．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3x －y ＋5＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3y ＝8.∴C (3,8)，∴u max ＝32＋82＝73，u min ＝02＋02＝0. (2)v ＝yx －5表示可行域内的点(x ，y )和定点D (5,0)的连线的斜率，由图可知k BD 最大，k CD 最小．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3x ＋y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3y ＝－3.∴B (3，－3)．∴v max ＝－33－5＝32，v min ＝83－5＝－4.。

【成才之路】高考数学 3-3-3线性规划的应用课后强化作业新人教A版必修5

【成才之路】2013-2014学年高考数学 3-3-3线性规划的应用课后强化作业新人教A 版必修5基础巩固一、选择题1．若变量x 、y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≤1x ＋y ≥0x －y －2≤0，则z ＝x －2y 的最大值为( )A ．4B ．3C ．2D ．1[答案] B[解析] 先作出可行域如图．作直线x －2y ＝0在可行域内平移，当x －2y －z ＝0在y 轴上的截距最小时z 值最大．当移至A (1，－1)时，z max ＝1－2×(－1)＝3，故选B. 2．设变量x 、y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ≤44x －y ≥－1x ＋2y ≥2，则目标函数z ＝3x －y 的取值范围是( )A ．[－32，6]B ．[－32，－1]C ．[－1,6]D ．[－6，32][答案] A[解析] 本题考查了线性规划的基础知识及数形结合的思想．根据约束条件，画出可行域如图，作直线l 0：3x －y ＝0，将直线平移至经过点A (2,0)处z 有最大值，经过点B (12，3)处z 有最小值，即－32≤z ≤6.3．设z ＝x －y ，式中变量x 和y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≥0x －2y ≥0，则z 的最小值为( )A ．1B ．－1C ．3D ．－3[答案] A[解析] 作出可行域如图中阴影部分．直线z ＝x －y 即y ＝x －z .经过点A (2,1)时，纵截距最大，∴z 最小．z min ＝1.4．变量x 、y 满足下列条件⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ≥122x ＋9y ≥362x ＋3y ＝24x ≥0y ≥0，则使z ＝3x ＋2y 最小的(x ，y )是( )A ．(4,5)B ．(3,6)C ．(9,2)D ．(6,4)[答案] B[解析] 检验法：将A 、B 、C 、D 四选项中x 、y 代入z ＝3x ＋2y 按从小到大依次为A 、B 、D 、C.然后按A→B→D→C 次序代入约束条件中，A 不满足2x ＋3y ＝24，B 全部满足，故选B.5．已知x 、y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ≤4x ＋2y ≤4x ≥0，y ≥0，则z ＝x ＋y 的最大值是( )A.43 B.83 C ．2 D ．4[答案] B[解析] 画出可行域为如图阴影部分．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝42x ＋y ＝4，解得A (43，43)，∴当直线z ＝x ＋y 经过可行域内点A 时，z 最大，且z max ＝83.6．设变量x 、y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤3x －y ≥－1y ≥1，则目标函数z ＝4x ＋2y 的最大值为( )A ．12B ．10C ．8D ．2[答案] B[解析] 首先绘制不等式组表示的平面区域(如图所示)当直线4x ＋2y ＝z 过直线y ＝1与直线x ＋y －3＝0的交点(2,1)时，目标函数z ＝4x ＋2y 取得最大值10.二、填空题7．已知x 、y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0x ≥y2x －y ≤1，则z ＝3x ＋2y 的最大值为________．[答案] 5[解析] 作出可行域如图，当直线z ＝3x ＋2y 平移到经过点(1,1)时，z 最大∴z max ＝5.8．已知x 、y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y －2≤0x ＋3≥0x －y －1≤0，则x 2＋y 2的最大值为________．[答案] 25[解析] 画出不等式组表示的平面区域，如图中的阴影部分所示．由图知，A (－3，－4)，B (－3,2)，C (3,2)，则|OA |＝9＋16＝5， |OB |＝9＋4＝13， |OC |＝9＋4＝13.设P (x ，y )是不等式组表示的平面区域内任意一点，则x 2＋y 2＝(x 2＋y 2)2＝|OP |2，由图知，|OP |的最大值是|OA |＝5，则x 2＋y 2最大值为|OA |2＝25. 三、解答题9．制造甲、乙两种烟花，甲种烟花每枚含A 药品3 g 、B 药品4 g 、C 药品4 g ，乙种烟花每枚含A 药品2 g 、B 药品11 g 、C 药品6 g ．已知每天原料的使用限额为A 药品120 g 、B 药品400 g 、C 药品240 g ．甲种烟花每枚可获利2 元，乙种烟花每枚可获利1 元，问每天应生产甲、乙两种烟花各多少枚才能获利最大．[解析] 设每天生产甲种烟花x 枚，乙种烟花y 枚，获利为z 元，则⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y ≤1204x ＋11y ≤4004x ＋6y ≤240x ≥0y ≥0，作出可行域如图所示．目标函数为：z ＝2x ＋y .作直线l ：2x ＋y ＝0，将直线l 向右上方平移至l 1的位置时，直线经过可行域上的点A (40,0)且与原点的距离最大．此时z ＝2x ＋y 取最大值．故每天应只生产甲种烟花40枚可获最大利润. 能力提升一、选择题1．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧|x ＋y |≤1|x －y |≤1表示的平面区域内整点的个数是( )A ．0B ．2C ．4D ．5[答案] D[解析] 不等式组 ⎩⎪⎨⎪⎧|x ＋y |≤1|x －y |≤1变形为⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x ＋y ≤1－1≤x －y ≤1，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤1x ＋y ≥－1x －y ≤1x －y ≥－1作出其平面区域如图．可见其整点有：(－1,0)、(0,1)、(0 ,0)、(0，－1)和(1,0)共五个．2．已知x 、y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －5≤0x ≥1y ≥0x ＋2y －3≥0，则yx的最值是( )A ．最大值是2，最小值是1B ．最大值是1，最小值是0C ．最大值是2，最小值是0D ．有最大值无最小值 [答案] C[解析] 作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －5≤0x ≥1y ≥0x ＋2y －3≥0表示的平面区域如图．yx表示可行域内点与原点连线的斜率．显然在A (1,2)处取得最大值2.在x 轴上的线段BC 上时取得最小值0，∴选C.3．若实数x 、y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －5≥02x ＋y －7≥0x ≥0，y ≥0，则3x ＋4y 的最小值是( )A ．13B ．15C ．20D ．28[答案] A[解析] 作出可行域如图示，令z ＝3x ＋4y ∴y ＝－34x ＋z4求z 的最小值，即求直线y ＝－34x ＋z4截距的最小值．经讨论知点M 为最优解，即为直线x ＋2y －5＝0与2x ＋y －7＝0的交点，解之得M (3,1)． ∴z min ＝9＋4＝13.4．已知变量x 、y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ＋x －1≤0y －3x －1≤0y －x ＋1≥0，则z ＝2x ＋y 的最大值为( )A ．4B ．2C ．1D ．－4[答案] B[解析] 作出可行域如图，作直线l 0：2x ＋y ＝0，平移直线l 0可见，当l 0经过可行域内的点B (1,0)时，z 取得最大值，∴z max ＝2×1＋0＝2.二、填空题5．已知实数x 、y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0x ＋y ≥0x ≤1，则z ＝2x ＋y 的最小值是________．[答案] －1[解析] 画出可行域如图中阴影部分所示．由图知，z 是直线y ＝－2x ＋z 在y 轴上的截距，当直线y ＝－2x ＋z 经过点A (－1,1)时，z 取最小值，此时x ＝－1，y ＝1，则z 的最小值是z min ＝2x ＋y ＝－2＋1＝－1.6．设x 、y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤1y ≤xy ≥0，则z ＝2x ＋y 的最大值是________．[答案] 2[解析] 可行域如图，当直线z ＝2x ＋y 即y ＝－2x ＋z 经过点A (1,0)时，z max ＝2.三、解答题7．已知甲、乙两煤矿每年的产量分别为200万吨和260万吨，需经过东车站和西车站两个车站运往外地．东车站每年最多能运280万吨煤，西车站每年最多能运360万吨煤，甲煤矿运往东车站和西车站的运费价格分别为1元/t 和1.5 元/t ，乙煤矿运往东车站和西车站的运费价格分别为0.8 元/t 和1.6 元/t.煤矿应怎样编制调运方案，能使总运费最少？[解析] 设甲煤矿向东车站运x 万吨煤，乙煤矿向东车站运y 万吨煤，那么总运费z ＝x ＋1.5(200－x )＋0.8y ＋1.6(260－y )(万元)即z ＝716－0.5x －0.8y .x 、y 应满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0y ≥0200－x ≥0260－y ≥0x ＋y ≤280200－x ＋ 260－y ≤360，即⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤2000≤y ≤260100≤x ＋y ≤280，作出上面的不等式组所表示的平面区域，如图．设直线x ＋y ＝280与y ＝260的交点为M ，则M (20,260)．把直线l 0：5x ＋8y ＝0向上平移至经过平面区域上的点M 时，z 的值最小．∵点M 的坐标为(20,260)，∴甲煤矿生产的煤向东车站运20万吨，向西车站运180万吨，乙煤矿生产的煤全部运往东车站时，总运费最少．8．某厂有一批长为18m 的条形钢板，可以割成1.8m 和1.5m 长的零件．它们的加工费分别为每个1元和0.6元．售价分别为20元和15元，总加工费要求不超过8元．问如何下料能获得最大利润． [分析] 能获得最大利润的下料数学语言即为：销售总值与加工费之差为最大． [解析] 设割成的1.8m 和1.5m 长的零件分别为x 个、y 个，利润为z 元，则z ＝20x ＋15y －(x ＋0.6y )即z ＝19x ＋14.4y 且 ⎩⎪⎨⎪⎧1.8x ＋1.5y ≤18x ＋0.6y ≤8x 、y ∈N，作出不等式组表示的平面区域如图，又由⎩⎪⎨⎪⎧ 1.8x ＋1.5y ＝18x ＋0.6y ＝8，解出x ＝207，y ＝607， ∴M (207，607)， ∵x 、y 为自然数，在可行区域内找出与M 最近的点为(3,8)，此时z ＝19×3＋14.4×8＝172.2(元)．又可行域的另一顶点是(0,12)，过(0,12)的直线使z ＝19×0＋14.4×12＝172.8(元)；过顶点(8,0)的直线使z ＝19×8＋14.4×0＝152(元)．M (207，607)附近的点(1,10)、(2,9)，直线z ＝19x ＋14.4y 过点(1,10)时，z ＝163；过点(2,9)时z ＝167.6.∴当x ＝0，y ＝12时，z ＝172.8元为最大值．答：只要截1.5m 长的零件12个，就能获得最大利润．。

高中数学 333线性规划的应用课件新人教A必修5

[解析] 设该公司在甲电视台和乙电视台做广告的时间分别为 x 分钟和 y 分钟，总收益为 z 元，
由题意得约束条件为5x＋00yx≤＋320000，y≤90000， x≥0，y≥0.
目标函数为 z＝3000x＋2000y.
x＋y≤300，二元一次不等式组等价于5x＋2y≤900，
x≥0，y≥0.
建模应用引路
命题方向收益最大问题(利润、收入、产量等)
[例 2] 某工厂计划生产甲、乙两种产品，这两种产品都需要两种原料．生产甲产品 1 工时需要 A 种原料 3kg，B 种原料 1kg；生产乙产品 1 工时需要 A 种原料 2kg，B 种原料 2kg.现有 A 种原料 1200kg，B 种原料 800kg.如果生产甲产品每工时的平均利润是 30 元，生产乙产品每工时的平均利润是 40 元，问甲、乙两种产品各生产多少工时能使利润的总额最大？最大利润是多少？
应用线性规划的方法，一般须具备下列条件： (1)一定要能够将目标表达为最大或最小化的问题； (2)一定要有达到目标的不同方法，即必须要有不同选择的可能性存在；
(3)所求的目标函数是有约束(限制)条件的； (4)必须将约束条件用数字表示为线性等式或线性不等式，并将目标函数表示为线性函数．线性规划的理论和方法经常被应用于两类问题中：一是在人力、物力、资金等资源一定的条件下，如何使用其完成最多的任务，收到最大效益；二是给定一项任务，如何合理安排和规划，能用最少的人力、物力、资金等资源来完成这项任务．
第三章 3.3 第3课时
课前自主预习
1．线性规划常用来解决下列问题： (1)给定一定数量的人力、物力、资金等资源，怎样安排运用这些资源，才能使完成的任务量最大或收到的效益最大．某公司计划 2012 年在甲、乙两个电视台做总时间不超过 300 分钟的广告，广告总费用不超过 9 万元，甲、乙电视台的广告收费标准分别为 500 元/分钟和 200 元/分钟，已知甲、乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告，能给公司带来的收益

人教版高中数学必修五课后提升作业二十二3321简单的线性规划问题含解析.doc

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课后提升作业二十二简单的线性规划问题(45分钟70分)一、选择题(每小题5分，共40分)(2》:—y + 1 色 0,1. z=x-y 在X - J - 1 < E 的线性约束条件下,取得最大值的可行解+ y < 1为()A. (0, 1)B. (-1,-1)C.(l,o)D. Q, i)【解析】选C.可以验证这四个点均是可行解，当 x 二0, y=1 时，z 二T ; 当 x=-1, y=-1 时，z 二0; 当 xh, y 二0 时，z=1;1 1 当 x 电,y 二?时，z 二0.(x + 2y 玉乙2. (2015 •广东高考)若变量x,y 满足约束条件｛x + y > 0,贝0 z=2x+3y(x 0 4,的最大值为()【解题指南】先根据不等式组画出可行域，再作直线/°:2x+3y 二0,平移直线/o,找到z取最大值时与可行域的交点，进而求出Z的最大值.【解析】选C•作出可行域如图所示：作直线/o：2x+3y二0,再作一族平行于/o的直线/:2x+3y二Z,当直线/经过点A时，z二2x+3y取得最大值，由卜+乡=2’解得$=蔦U = 4, (y = 7所以点A的坐标为(4,-1),所以Zmax二2 X 4+3 X (-1)二5・(X + 2y > 63.(2015 •福建高考)若变量x,y满足约束条件U-y < 03则U 一2y + 2 > 0,z=2x-y的最小值等于()A. B. -2 C. —- D. 22 2【解题指南】画出可行域，根据目标函数确定出在y轴上截距最大时，z取最小值.【解析】选A.画出可行域如图所示，当目标函数对应直线平移至B点时截距最大，所以fl 严(-功把点B坐标代入目标函数可得z mi=2X (-1)-1=-2.(x + y < 乙4.若变量x, y满足2〉：一3y <虬则x2+y2的最大值是()(x 仝0,A. 4B. 9C. 10D. 12［解题指南】利用线性规划知识，画出可行域，找出关键点，数形结合, 求出到原点的距离的最大值，便可求解.【解析】选C.根据限制条件，可画出其可行域，数形结合，通过观察发现直线x+y二2与2x-3y=9的交点(3, -1)到原点的距离最大，所以x2+y2 的最大值为32+(-1)2=10,(2x — y 十4 3 0>5.(2016 •银川高二检测)已知不等式组x + y -3 < 0,构成平面区“ > 0域Q (其中x,y是变量)•若目标函数z=ax4-6y (a>0)的最小值为-6,则实数a 的值为()A.-B. 6C. 3D.-2 22x— y + 4 > 0 ,【解析】选C.不等式组jx + y-3 < 0?表示的平面区域如图阴影部M A °分所示,因为a>0,故-沃0•可知z 二ax+6y 在C 点处取得最小值，联立6阳厂4"解得即 C (-2, 0),故-6二-2a+6 X 0,解得 a 二3.示,去表示可行域内的点(“)与点P(-3,-4)连线的斜率，结合图形可知点P(-3,-4)与可行域内的点A(0, 1)连线的斜率最大，故1+4 57 — ------- 二—7. (2016 •潍坊高二检测)已知正数x,y 满足£二/：?,0则x= 一2 y = o.6.设变量x, y 满足fy 已一x+ 1,则 Z 二器的最大值为()A.-3【解析】选A.画出不等式组表示的平面区域，如图中的阴影部分所 B.-C. 2D. 1z=r • (I)-的最小值为()A. 1B.-^T4则（2x+y ） max —2 X 1 +2—4.从而•（》匚2如=（扌广灯有最小值（扌丫二吕.x + 3y - 3 > 0,8. （ 2016 •长沙高二检测）若实数x, y 满足不等式组2x -y-3 < 0, nX — my+ 1 > Q #且x+y 的最大值为9,则实数m 二（）A. -2B.-1C. 1D. 2【解析】选C ・如图，作出可行域,(2x_y_3=6 田&一 my + 1 = 0,平移y 二-x,当其经过点A 时，x+y 取得最大值, 即±^+_^_二9.解得 m =i.-n-2m二、填空题（每小题5分，共10分）(y <1,9. (2016 •广州高二检测)若变量x,y 满足约束条件jx + y > 0, 则(x - y - 2 < Q,所表示的平面区域:z二x-2y的最大值为________ ・［解析】作出可行域(如图)，由z二x-2y得y4x-|,2则当目标函数过C⑴T)时Z取得最大值，所以Z4-2 X (-1)二3.答案：3(2x ■ y + 1 > Oj10.设x, y满足约束条件农-2y - 1 < 0」则Z二2x+3y-5的最小值为(X < 1,【解析】不等式组所表示的可行域如图，z=2x+3y-5可转化为y二-?x+手当该直线的截距兰最小时z最小.y二-?x+兰的截距在直线3 3. 3 3 32x-y+l=0和直线x-2y-l=0的交点处取到最小值，联立£二；1；二聘可得交点坐标为(-1,-1),所以z的最小值为z二2X(-D+3X (―1)—5二T0.答案:TO【误区警示】画出正确的可行域及确定什么时候取到最小值是关键, 同时注意目标函数的转化.三、解答题(每小题10分，共20分)(X ■ y + 5 3 Q11.(2016 •长春高二检测)已知x,y满足约束条件jx + y - 5 > U,求: \X S 3 (l)zj=2x+4y的最大值和最小值.⑵z尸丄的最大值和最小值.x+1(X — y + 5 3 0【解析】(1)约束条件jx + y - 5 > U,表示的平面区域为AABC及内部(X S3如图，可得A(0, 5),B(3,8),C(3,2), 因为Zi二2x+4y,所以y-~x+^z b则乙表示直线y二-；x+：Zi在y轴上的截距的4倍，显然2 4 A 4当直线过点C时最小，过点B时最大，所以z1ma=38, z1mi=14.⑵Z2二丄厂上产则Z2表示点(x, y)与点(-1,0)连线的斜率，显然点x+1 x-(-l)(X, y)在点C时取得最小值，在点A时取得最大值且Z2max二5, Z2min二1y > -X,表示的平面区域的面积是4,点P(x, y)在所 X< £ 给平而区域内，求Z 二2x+y 的最大值.【解析】画出不等式组表示的平面区域，如图所示，易知dA (a, a), B(a, -a) (a>0),因为 S A()AB =7 |Za| • |a|=a 2=4,所以 a=2,由线性规划的知识可得，当直线经过点A ⑵2)时，z 有最大值，且z max =2 X2+2=6.【能力挑战题】pc + y — 7 玉 a*已知圆C: (x-a)?+ (y-b) ~1,设平面区域Q Ux - y + 3 > *若圆心CG \y 壬 o, Q ,且圆C 与x 轴相切，求a 2+b 2的最大值.【解题指南】画出可行域，发现最优解. 【解析】由圆C 与x 轴相切可知，bh. 又圆心C (a, b)在平面区域Q (如图)内，rx-y+3 = a -2,由—,解陀=1・12.已知不等式组x+ y- 7 = Q,故a W [-2, 6]・所以当a二6,bh时,a2+b2取最大值为37.关闭Word文档返回原板块。

人教版高中数学必修五课时作业15：第1课时线性规划的有关概念及图解法

3.3.2 简单的线性规划问题第1课时线性规划的有关概念及图解法一、选择题1.若点(x ，y )位于曲线y ＝|x |与y ＝2所围成的封闭区域内，则2x －y 的最小值为( ) A.－6 B.－2 C.0 D.2 考点线性目标最优解题点求线性目标函数的最值答案 A解析如图，曲线y ＝|x |与y ＝2所围成的封闭区域如图中阴影部分(含边界)所示，令z ＝2x －y ，则y ＝2x －z ，作直线y ＝2x ，在封闭区域内平行移动直线y ＝2x ，当经过点A (－2,2)时，z 取得最小值，此时z ＝2×(－2)－2＝－6. 2.若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y －3≥0，2x －y －3≤0，x －y ＋1≥0，则x ＋y 的最大值为( )A.9B.157C.1D.715考点线性目标最优解题点求线性目标函数的最值答案 A解析画出可行域如图阴影部分(含边界)所示，令z ＝x ＋y ，则y ＝－x ＋z .当直线y ＝－x ＋z 过点A 时，z 最大.由⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －3＝0，x －y ＋1＝0，得A (4,5)，∴z max ＝4＋5＝9.3.设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y －6≥0，x －y －2≤0，y －3≤0，则目标函数z ＝y －2x 的最小值为( )A.－7B.－4C.1D.2 考点线性目标最优解题点求线性目标函数的最值答案 A解析可行域如图阴影部分(含边界)所示，令z ＝0，得直线l 0：y －2x ＝0，平移直线l 0知，当直线l 0过D 点时，z 取得最小值.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3，x －y －2＝0，得D (5,3).∴z min ＝3－2×5＝－7，故选A.4.设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，x －5y ＋10≤0，x ＋y －8≤0，则目标函数z ＝3x －4y 的最大值和最小值分别为( ) A.3，－11 B.－3，－11 C.11，－3D.11,3考点线性目标最优解题点求线性目标函数的最值答案 A解析作出可行域如图阴影部分(含边界)所示，由图可知z ＝3x －4y 经过点A 时，z 有最小值，经过点B 时，z 有最大值.易求得A (3,5)，B (5,3).∴z max ＝3×5－4×3＝3，z min ＝3×3－4×5＝－11. 5.已知a >0，x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x ＋y ≤3，y ≥a (x －3)，若z ＝2x ＋y 的最小值为1，则a 等于( )A.14B.12C.1D.2 考点线性规划中的参数问题题点线性规划中的参数问题答案 B解析作出不等式组表示的可行域，如图阴影部分(含边界)所示.易知直线z ＝2x ＋y 过交点B 时，z 取最小值，由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝a (x －3)，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－2a ，∴z min ＝2－2a ＝1，解得a ＝12，故选B.6.已知⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x －y ＋1≥0，2x －y －2≤0，若z ＝ax ＋y 的最小值是2，则a 的值为( )A.1B.2C.3D.4考点线性规划中的参数问题题点线性规划中的参数问题答案 B解析作出可行域，如图中阴影部分所示，又z ＝ax ＋y 的最小值为2，若a >－2，则(1,0)为最优解，解得a ＝2；若a ≤－2，则(3,4)为最优解，解得a ＝－23，舍去，故a ＝2.7.已知平面直角坐标系xOy 上的区域D 由不等式组⎩⎨⎧0≤x ≤2，y ≤2，x ≤2y确定.若M (x ，y )为D 上的动点，点A 的坐标为(2，1)，则z ＝OM →·OA →的最大值为( )A.3B.4C.3 2D.4 2 考点线性目标最优解题点求线性目标函数的最值答案 B解析由线性约束条件 ⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤2，y ≤2，x ≤2y ，画出可行域如图阴影部分(含边界)所示，目标函数z ＝OM →·OA →＝2x ＋y ，将其化为y ＝－2x ＋z ，结合图形可知，当目标函数的图象过点(2，2)时，z 最大，将点(2，2)代入z ＝2x ＋y ，得z 的最大值为4. 8.已知A (2,5)，B (4,1).若点P (x ，y )在线段AB 上，则2x －y 的最大值为( ) A.－1 B.3 C.7 D.8 考点线性目标最优解题点求线性目标函数的最值答案 C解析作出线段AB ，如图所示，作直线2x －y ＝0并将其向下平移至直线过点B (4,1)时，2x －y 取最大值，为2×4－1＝7. 二、填空题9.已知－1≤x ＋y ≤4且2≤x －y ≤3，则z ＝2x －3y 的取值范围是________.(答案用区间表示) 考点线性目标最优解题点求线性目标函数的最值答案 [3,8]解析作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x ＋y ≤4，2≤x －y ≤3表示的可行域，如图中阴影部分(含边界)所示. 在可行域内平移直线2x －3y ＝0，当直线经过x －y ＝2与x ＋y ＝4的交点A (3,1)时，目标函数有最小值， z min ＝2×3－3×1＝3；当直线经过x ＋y ＝－1与x －y ＝3的交点B (1，－2)时，目标函数有最大值， z max ＝2×1＋3×2＝8. 所以z ∈[3,8].10.在线性约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y ≥12，x ＋y ≤10，3x ＋y ≥12下，z ＝2x －y 的最小值是________.考点线性目标最优解题点求线性目标函数的最值答案－7解析如图作出线性约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y ≥12，x ＋y ≤10，3x ＋y ≥12下的可行域，包含边界.三条直线中x ＋3y ＝12与3x ＋y ＝12交于点A (3,3)， x ＋y ＝10与x ＋3y ＝12交于点B (9,1)， x ＋y ＝10与3x ＋y ＝12交于点C (1,9)，作一族与直线2x －y ＝0平行的直线l ：2x －y ＝z .即y ＝2x －z ，然后平行移动直线l ，直线l 在y 轴上的截距为－z ，当l 经过点C 时，－z 取最大值，此时z 最小，即z min ＝2×1－9＝－7.11.某公司租赁甲、乙两种设备生产A ，B 两类产品，甲种设备每天能生产A 类产品5件和B 类产品10件，乙种设备每天能生产A 类产品6件和B 类产品20件.已知设备甲每天的租赁费为200元，设备乙每天的租赁费为300元，现该公司至少要生产A 类产品50件，B 类产品140件，则所需租赁费最少为________元. 考点生活实际中的线性规划问题题点线性规划在实际问题中的应用答案 2 300解析设需租赁甲种设备x 台，乙种设备y 台，则⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋6y ≥50，10x ＋20y ≥140，x ∈N ，y ∈N .目标函数为z ＝200x ＋300y .作出其可行域(图略)，易知当x ＝4，y ＝5时，z ＝200x ＋300y 有最小值2 300. 三、解答题12.设x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ≥4，x －y ≥－1，x －2y ≤2，求z ＝x ＋y 的取值范围.考点线性目标最优解题点求线性目标函数的最值解作出约束条件表示的可行域，如图所示，z ＝x ＋y 表示直线y ＝－x ＋z 过可行域时，在y 轴上的截距，当目标函数平移至过可行域内的A 点时，z 有最小值.联立⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝4，x －2y ＝2，解得A (2,0).z min ＝2，z 无最大值.∴x ＋y ∈[2，＋∞).13.某运输公司接受了向抗洪救灾地区每天送至少180 t 支援物资的任务.该公司有8辆载重为6 t 的A 型卡车与4辆载重为10 t 的B 型卡车，有10名驾驶员，每辆卡车每天往返的次数为A 型卡车4次，B 型卡车3次；每辆卡车每天往返的成本费A 型为320元，B 型为504元.请为公司安排一下，应如何调配车辆，才能使公司所花的成本费最低？考点生活实际中的线性规划问题题点线性规划在实际问题中的应用解设需A 型、B 型卡车分别为x 辆和y 辆.列表分析数据.由表可知x ，y 满足线性约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤10，24x ＋30y ≥180，0≤x ≤8，0≤y ≤4，x ，y ∈N ，且目标函数z ＝320x ＋504y .作出可行域，如图阴影部分(含边界)所示.可知当直线z ＝320x ＋504y 过A (7.5,0)时，z 最小，但A (7.5,0)不是整点，继续向上平移直线z ＝320x ＋504y ，可知点(8,0)是最优解.这时z min ＝320×8＋504×0＝2 560(元)，即用8辆A 型车，成本费最低. 所以公司每天调出A 型卡车8辆时，花费成本最低. 四、探究与拓展14.若平面区域⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≥0，2x －y －3≤0，x －2y ＋3≥0夹在两条斜率为1的平行直线之间，则这两条平行直线间的距离的最小值是( ) A.355 B. 2 C.322 D. 5考点线性目标最优解题点求线性目标函数的最值答案 B解析画出不等式组所表示的平面区域如图(阴影部分)所示，由⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋3＝0，x ＋y －3＝0，得A (1,2)，由⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －3＝0，x ＋y －3＝0，得B (2,1).由题意可知当斜率为1的两条直线分别过点A 和点B 时，阴影部分夹在这两条直线之间，且人教版高中数学必修五11 与这两条直线有公共点，所以这两条直线为满足条件的距离最小的一对直线，即|AB |＝(1－2)2＋(2－1)2＝ 2.故选B.15.已知变量x ，y 满足的约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2y －3≤0，x ＋3y －3≥0，y －1≤0.若目标函数z ＝ax ＋y (其中a ＞0)仅在点(3,0)处取得最大值，求a 的取值范围.考点线性规划中的参数问题题点线性规划中的参数问题解依据约束条件，画出可行域.∵直线x ＋2y －3＝0的斜率k 1＝－12，目标函数z ＝ax ＋y (a ＞0)对应直线的斜率k 2＝－a ，若符合题意，则需k 1＞k 2.即－12＞－a ，得a ＞12.。

人教A版高中数学高一必修5作业 3-3-2-2线性规划的实际应用

课时作业(二十七)(第二次作业)1．如果实数x，y满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x－y＋1≥0，y＋1≥0，x＋y＋1≤0，那么2x－y的最大值为()A．2B．1C．－2 D．－3答案 B解析如图所示可行域中，2x－y在点C处取得最大值，即在C(0，－1)处取得最大值，最大值为1.2．若实数x，y满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x＋3y－3≥0，2x－y－3≤0，x－my＋1≥0且x＋y的最大值为9，则实数m＝()A．－2 B．－1C．1 D．2答案 C解析如图，设x ＋y ＝9，显然只有在x ＋y ＝9与直线2x －y －3＝0的交点处满足要求，解得此时x ＝4，y ＝5，即点(4,5)在直线x －my ＋1＝0上，代入得m ＝1.3．已知x ，y ∈Z ，则满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x ＋y ≤5，y ≥0的点(x ，y )的个数为( )A ．9B ．10C ．11D ．12答案 D解析画出不等式组对应的可行域，共12个点．4．若实数x 、y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≤0，x >0，则y x 的取值范围是( ) A ．(0,1) B ．(0,1] C ．(1，＋∞) D ．[1，＋∞)答案 C解析在平面内作出x 、y 满足的可行域，设P (x ，y )为可行域内任一点，则直线PO 的斜率k PO ＝y x ，由数形结合得，k PO >1，故yx 的取值范围是(1，＋∞)，选C.5．已知x 、y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －5≤0，x ≥1，y ≥0，x ＋2y －3≥0，则yx 的最值是( )A ．最大值是2，最小值是1B ．最大值是1，最小值是0C ．最大值是2，最小值是0D ．有最大值无最小值答案 C6．(2013·山东)在平面直角坐标系xOy 中，M 为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －2≥0，x ＋2y －1≥0，3x ＋y －8≤0所表示的区域上一动点，则直线OM 斜率的最小值为( )A ．2B ．1C ．－13 D ．－12答案 C解析不等式组表示的区域如图阴影部分所示，结合斜率变化规律，当M 位于C 点时OM 斜率最小，且为－13，故选C 项．7．(2013·广东)在平面直角坐标系xOy中，M为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x＋3y－6≤0，x＋y－2≥0，y≥0所表示的区域上一动点，则|OM|的最小值是_______．答案 2解析由约束条件可画出可行域如图阴影部分所示．由图可知OM的最小值即为点O到直线x＋y－2＝0的距离，即d min＝|－2|2＝ 2.8．(2013·北京)设D为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x≥0，2x－y≤0，x＋y－3≤0表示的平面区域，区域D上的点与点(1,0)之间的距离的最小值为________．答案255解析区域D表示的平面部分如图阴影部分所示．根据数形结合知(1,0)到D的距离最小值为(1,0)到直线2x－y＝0的距离|2×1－0|5＝255.9．当x，y满足⎩⎪⎨⎪⎧2≤x≤4，y≥3，x＋y≤8时，求目标函数k＝3x－2y的最大值．解析如图所示，作约束条件的可行域．由k＝3x－2y，得y＝32x－12k.求k的最大值，即可转化为求－12k的最小值，也就是斜率为32的直线系过可行域内的点且在y轴上的截距最小．由图可见，当直线过点(4,3)时，直线的截距最小，即k有最大值为6.10．已知点P(x，y)的坐标满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x＋y≤4，y≥x，x≥1，点O为坐标原点，那么|PO|的最小值、最大值各为多少？解析点P(x，y)满足的可行域为图所示的△ABC区域，A(1,1)，C(1,3)，由图可得|PO|min＝|AO|＝2，|PO|max＝|CO|＝10.。

人教版高中数学必修五课后提升作业二十三3322简单线性规划的应用含解析.doc

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课后提升作业二十三简单线性规划的应用（45分钟70分）一、选择题（每小题5分，共40分）1. 某学校用800元购买两种教学用品,A种教学用品每件100元,B种教学用品每件160元,两种教学用品至少各买一件，要使剩下的钱最少」,B 应各买的件数为（）A. 2,4 B. 3, 3 C. 4,2 D.不确定【解析】选B.设买A种教学用品x件,B种教学用品y件，剩下的钱为Z 元.（X > XIv > 1,则z=800-100x-160y最小时的整数解（x, y）即\10Qx + 16Qy < 80Q,为所求，由可行域可得$ =]【误区警示】解答本题时易出现不考虑实际意义的错误.2. （2016轿宁高二检测）某所学校计划招聘男教师x名，女教师y名,x- y > 5,和y需满足约束条件则该校招聘的教师最多为I X < 6,\x G N,, y G N ・A.10 名B.ll 名C.12 名D.13 名【解析】选D.设z二x+y,作出可行域如图所示，可知当直线z二x+y过A 点时z最大，由住蔦=5,得* =；故z的最大值为6+7=3.3. 某运输公司有12名驾驶员和19名工人，有8辆载重量为10吨的甲型卡车和7辆载重量为6吨的乙型卡车•某天需送往A地至少72吨的货物,派用的每辆车需满载且只运送一次，派用的每辆甲型卡车需配2 名工人，运送一次可得利润450元;派用的每辆乙型卡车需配1名工人, 运送一次可得利润350元•该公司合理计划当天派用两类卡车的车辆数，可得最大利润为()A. 4650 元B. 4700 元C. 4900 元D. 5000 元【解析】选C.设派用甲型卡车x辆,乙型卡车y辆,获得的利润为zdQx + 6y > 72,x + y < 12,元，则<2x + y玉10 目标函数z=450x+350y,画出可行域，当目标0 < x < 8,<0 < y < 7,函数经过x+y二12与2x+y=19的交点(7, 5)时，利润z最大，为4900元.4. 某公司有60万元资金,计划投资甲、乙两个项目，按要求对项目甲的投资不小于对项目乙的投资的|,且对每个项目的投资不能低于5 万元，对项目甲每投资1万元可获得0. 4万元的利润，对项目乙每投资1万元可获得0. 6万元的利润，该公司正确规划投资后,在这两个项目上共可获得的最大利润为（）A.36万元B. 31. 2万元C. 30. 4万元D.24万元【解析】选B.设投资甲项目x万元，投资乙项目y万元，可获得利润为z万元，VA3x-2y=0乂(24,36)尸5760\ x x+j=60x=5『x + y玉60,则曲靱x > 5,<y a 5z=0.4x+0. 6y.由图象知，目标函数z=0.4x+0. 6y在A点取得最大值.所以z rax=0. 4x 24+0. 6x 36=31. 2（万元）.5. （2015 •陕西高考）某企业生产甲、乙两种产品均需用A, B两种原料, 已知生产1吨每种产品需原料及每天原料的可用限额如表所示，如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元,则该企业每天可获得最大利润为（）甲乙原料限额A （吨）3212B （吨）128A. 12B. 16C. 17万元D. 18万元【解题指南】设每天生产甲、乙两种产品分别为x吨,y吨,利润为z 万元，然后根据题目条件建立约束条件，得到目标函数,画出约束条件所表示的区域，然后利用平移法求出Z的最大值.【解析】选D.设每天生产甲、乙两种产品分别为x吨,y吨,利润为z 万元（3x + 2y < 12,则贋+ 2y < & 目标函数为z=3x+4y.（X > 0,y >0,作出二元一次不等式组所表示的平面区域（阴影部分），即可行域.平移直线尸比,由图象可知当直线严址经过点A时,直线x = 2,y = 3,由z=3x+4y 得y—解方程组肚常，得即A的坐标为（2, 3）, 所以z na x=3x+4y=6+12=18.即每天生产甲、乙两种产品分别为2吨、3吨，能够产生最大的利润, 最大的利润是18万元.6. 一农民有基本农田2亩,根据往年经验，若种水稻，则每季每亩产量为400千克;若种花生，则每季每亩产量为100千克，但水稻成本较高, 每季每亩240元，而花生只需80元，且花生每千克卖5元，稻米每千克卖3元，现该农民手头有400元,那么获得最大收益为（）A. 840 元B. 1150 元C. 1600 元D. 1650 元【解析】选D.设该农民种x亩水稻,y亩花生时能获得利润z元，贝IJ （x + y 笛2, <x+y < 2,豐：+8心叫卩協匕罰性\y > 0, （y 芒 0,作出可行域如图阴影部分所示，将目标函数变形为y二兰x+丄, 作出直线y二*x, 在可行域内平移直线y 二兰X+忘, 可知当直线过点B时纵截距島有最大值由泾7=5解得B（韵' 故当x=1. 5, y=0. 5 时，z rax=1650 元即该农民种1. 5亩水稻,0. 5亩花生时，能获得最大利润，最大利润为1650元.7. 某汽车公司有两家装配厂，生产甲、乙两种不同型的汽车，若A厂每小时可完成1辆甲型车和2辆乙型车;B厂每小时可完成3辆甲型车和1辆乙型车•今欲制造40辆甲型车和40辆乙型车，若要使所费的总工作时数最少，那么这两家工厂工作的时间（单位：小时）分别为（）A. 16,8B. 15,9C. 17, 7D. 14, 10【解析】选A.设A工厂工作x小时,B工厂工作y小时,总工作时数为z,则目标函数rx +3y > 40,为z二x+y,约束条件^]2x+y>4Q作出可行域如图所示，由图知当（x > 0,y > 0直线/: y=- x+z过Q点时,z最小，解方程组二常得Q16, 8）,故A厂工作16小时,B厂工作8小时，可使所费的总工作时数最少. 【补偿训练】某厂生产甲、乙两种产品每吨所需的煤、电和产值如表所示：用煤（吨）用电（千瓦）产值（万元）甲产品7208乙产品35012但国家每天分配给该厂的煤、电有限，每天供煤至多56吨，供电至多450千瓦，则该厂最大M产值为()A.120万元B. 124万元C. 130万元D. 135万元【解析】选B.设该厂每天安排生产甲产品x吨,乙产品y吨,则日产f7x + 3y < 56,值z二8x+12y,线性约束条件为20x + 50y < 450,作出可行域如图所(x > a y > 0,经过可行域上的点M时，截距寿最大，即z取最大值，解方程组= 45Q,得M5,7),Zmx=8x 5+12x 7=124,所以，该厂每天安排生产甲产品5吨,乙产品7吨时该厂日产值最大，最大日产值为124万元.8. 已知甲、乙两种不同品牌的PVC管材都可截成A,B,C三种规格的成品配件，且每种PVC管材同吋截得三种规格的成品个数如下表：A 规格成品（个）B 规格成品（个）C 规格成品（个）每根品牌甲 2 1 1 每根品牌乙112现在至少需要A, B, C 三种规格的成品配件分别是6个、5个、6个, 若甲、乙两种PVC 管材的价格分别是20元/根、15元/根，则完成以上数量的配件所需的最低成本是（）【解题指南】根据条件设需要甲种管材x 根,乙种管材y 根,成本z 元建立约束条件和目标函数，利用线性规划的知识进行求解即可. 【解析】选C.设需要甲种管材x 根，乙种管材y 根，成本z 元则2x + y > 6, 总書®5y‘ x E N, y E N,作出可行域如图所示，由第匙了可得駕:冨窪可得氏根据图象，可知z=20x+15y 在（1, 4）处取得最小值为80.二、填空题（每小题5分，共10分）A. 70 元B. 75 元C. 80 元D. 95 元9. (2016 •天津高二检测)某农户计划种植黄瓜和韭菜，种植面积不超过50亩，投入资金不超过54万元,假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表：为使一年的种植的总利润最人，那么黄瓜和韭菜的种植面积分别为【解析】设黄瓜、韭菜的种植面积分别为x,y亩，则总利润z=(4x0. 55-1. 2) x+( 6 x 0. 3- 0. 9) y=x+0. 9y,此时x, y 满足条件]1.2x + Q.9y < 54,画出可行域知，最优解为(30, 20)・(x > O,y > 0,答案：30亩、20亩10. 某工厂用两种不同的原料均可生产同一种产品，若采用甲种原料, 每吨成本1000元,运费500元,可得产品90kg;若采用乙种原料，每吨成本1 500元，运费400元,可得产品100 kg.如果每刀原料的总成本不超过6 000元，运费不超过2 000元，那么工厂每月最多可生产_______ kg产品.【解析】设此工厂每月甲、乙两种原料各用x(t),y(t),生产z(kg) 产品，则作出以上不等式组表示的平面区域，即可行域.5x+4y=20/:9x+lOv=o\作直线 /: 90x+100y=0f 即 9x+10y=0.把/向右上方移动到位置/i 时，直线经过可行域上的点M 此时 z=90x+100y 取得最大值.所以 z rax =90x 兰+100x <=440,因此工厂最多每月生产440kg 产品.答案：440 三、解答题（每小题10分，共20分）11. （2016 •广州高二检测）某营养师要为某个儿童预订午餐和晚餐. 已知一个单位的午餐含12个单位的碳水化合物,6个单位的蛋口质和 6个单位的维生素C; 一个单位的晩餐含8个单位的碳水化合物,6个单位的蛋白质和10个单位的维生素C.另外，该儿童这两餐需要的营养屮至少含64个单位的碳水化合物,42个单位的蛋白质和54个单位的维生素C.如果一个单位的午餐、晚餐的费用分别是2. 5元和4元, 那么要满足上述的营养要求，并且花费最少，应当为该儿童分别预订多少个单位的午餐和晚餐？【解析】设需要预订满足要求的午餐和晩餐分别为X 个单位和y 个单位,所花的费用为z 元，则依题意得:刁二2・5x+4y,且x, y 满足X > 0, y > 0, (x > a, y > 0, 12x + 8y>64, l3x + 2y >16, 6x + 6y > 42, jx-F y > 7, 6x + lOy > 54, \3x + Sy > 27.x> Q, y 狂a即 1 OOQx + 1 500y < 6 OOQ, 1 500x + 40Qy < 2 000.x> 0,v > Q f 2x + 3y < 12严0x+100y ・5x + 4y < 2 0.作出可行域如图所示.让目标函数表示的直线2.5x+4y二z在可行域上平移，由此可知z=2. 5x+4y在B(4,3)处得最小值.因此，应当为该儿童预订4个单位的午餐和3个单位的晚餐，就可满足要求.12•为保增长、促发展，某地计划投资甲、乙两项目，市场调研得知,甲项目每投资百万元需要配套电能2万千瓦，可提供就业岗位24个, 增加GDP260万元；乙项目每投资百万元需要配套电能4万千瓦，可提供就业岗位32个，增加GDP200万元，已知该地为甲、乙两项冃最多可投资3000万元，配套电能100万千瓦，并要求它们提供的就业岗位不少于800个,如何安排甲、乙两项口的投资额,增加的GDP最人？【解析】设甲项目投资x （单位:百万元）,乙项目投资y （单位:百万元）, 两项目增加的GDP为z=260x+200y,依题意，x, y满足/x + y < 30,2x 4>4y < 100,y 24x + 32y > 800,所确定的平面区域如图中阴影部分,x > 0,<y 却 °,解战;爲=8g 得f Z 誥即政20,10）.设z=0,得y=-1. 3x,将直线y=-1. 3x 平移至经过点B （ 20,10）,即甲项目投资2000万元乙项目投资1000万元时，两项目增加的GDP 最大.【能力挑战题】两类药片有效成分如下表所示，若要求至少提供12毫克阿司匹林,70 毫克小苏打,28毫克可待因，问两类药片最小总数是多少?怎样搭配价格最低？种类阿司匹林小苏打可待因每片价格（元） A （毫克/片） 2 5 1 0. 1(x + y = 30,(2x + 4y = 100,B （毫克/片）1760.2【解析】设A, B两种药片分别为x片和y片,/2x + y > 12,Ux+7y>70,AJT3|x+6y > 28,\x > iy > 0・两类药片的总数为z二x+y,两类药片的价格和为k=0.1x+0. 2y.作出可行域如图所示，作直线/: x+y二0,2r+y=12 F将直线/向右上方平移至人位置时，直线经过可行域上一点A此时z 取得最小值.解方程组陰:订无得交点A的坐标为(雳)•由于A不是整点，因此不是z的最优解，结合图形可知,经过可行域内整点且z取最小值时的直线是x+y=11,经过可行域内的整点是(1,10), (2, 9),(3, 8),因此z的最小值为11 •药片最小总数为11片. 同理可得，当x二3 y=8时,k取最小值1. 9,因此当A类药品3片、B类药品8片时，药品价格最低.关闭Word文档返回原板块。

人教版高中数学高二必修五【课堂强化】3.线性规划的实际应用

1．配置A 、B 两种药剂都需要甲、乙两种原料，用料要求如下表所示(单位：kg)原料药剂甲乙 A 2 5 B54药剂A 、B 200元，现有原料甲20 kg ，原料乙33 kg ，那么可以获得的最大销售额为( )A ．600元B ．700元C ．800元D ．900元解析：设配制药剂A 为x 剂，药剂B 为y 剂，则有不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋5y ≤20，5x ＋4y ≤33，x ∈N *，y ∈N *，成立，即求u ＝100x ＋200y 在上述线性约束条件下的最大值．借助于线性规划可得x ＝5，y ＝2时u 最大，u max ＝900.答案：D2．某电视台每周播放甲、乙两部连续剧，播放连续剧甲一次需80分钟，有60万观众收看，播放连续剧乙一次需40分钟，有20万观众收看．已知电视台每周至少播出电视剧6次，总时间不超过320分钟，则电视台最高收视率为每周观众有( )A ．300万人B ．200万人C ．210万人D ．220万人解析：设电视台每周播放连续剧甲x 次，连续剧乙y 次，收视观众为z 万人，则有⎩⎪⎨⎪⎧80x ＋40y ≤320，x ＋y ≥6，x ，y ∈N *，即⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ≤8，x ＋y ≥6，x ，y ∈N *，目标函数z ＝60x ＋20y ， l 0：3x ＋y ＝0.作出不等式组表示的可行域，如图阴影部分的整点，将直线l 0向可行域平移，当直线l 0过A 时，z 有最大值．由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝8，x ＋y ＝6，得A (2,4)，则z max ＝60×2＋20×4＝200(万人)．答案：B3．(2011·四川高考)某运输公司有12名驾驶员和19名工人，有8辆载重量为10吨的甲型卡车和7辆载重量为6吨的乙型卡车．某天需运往A 地至少72吨的货物，派用的每辆车需满载且只运送一次．派用的每辆甲型卡车需配2名工人，运送一次可得利润450元；派用的每辆乙型卡车需配1名工人，运送一次可得利润350元，该公司合理计划当天派用两类卡车的车辆数，可得最大利润为( )A ．4 650元B ．4 700元C ．4 900元D ．5 000元解析：设派用甲型卡车x (辆)，乙型卡车y (辆)，获得的利润为u (元)，u ＝450x ＋350y ，由题意，x ，y 满足关系式⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤12，2x ＋y ≤19，10x ＋6y ≥72，0≤x ≤8，0≤y ≤7，作出相应的平面区域，u ＝450x ＋350y ＝50(9x＋7y )在由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤12，2x ＋y ≤19确定的交点(7,5)处取得最大值4 900元．答案：C4．某公司租赁甲、乙两种设备生产A ，B 两类产品，甲种设备每天能生产A 类产品5件和B 类产品10件，乙种设备每天能生产A 类产品6件和B 类产品20件．已知设备甲每天的租赁费为200元，设备乙每天的租赁费为300元，现该公司至少要生产A 类产品50件，B 类产品140件，所需租赁费最少为________元．解析：设需租赁甲种设备x 台，乙种设备y 台，则⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋6y ≥50，10x ＋20y ≥140，x ∈N *，y ∈N *.目标函数为z ＝200x ＋300y .作出其可行域(图中阴影部分的整点)，易知当x ＝4，y ＝5时，z ＝200x ＋300y 有最小值2 300元．答案：2 3005．某验室至少需要某种化学药品10 kg ，现在市场上出售的该药品有两种包装，一种是每袋3 kg ，价格为12元；另一种是每袋2 kg ，价格为10元．由于保质期的限制，每一种包装购买的数量都不能超过5袋，则在满足需要的条件下，花费最少为________元．解析：设购买每袋3 kg 的药品袋数为x ，购买2 kg 的药品袋数为y ，花费为z 元，由题意可得⎩⎨⎧3x ＋2y ≥100≤x ≤50≤y ≤5，作出不等式组表示的平面区域，结合图形可知，当目标函数z ＝12x ＋10y 对应的直线过整数点(2,2)时，目标函数z ＝12x ＋10y 取得最小值12×2＋10×2＝44，故在满足需要的条件下，花费最少为44元．答案：446．医院用甲、乙两种原料为手术后的病人配营养餐．甲种原料每10 g 含5单位蛋白质和10单位铁质，售价3元；乙种原料每10 g 含7单位蛋白质和4单位铁质，售价2元．若病人每餐至少需要35单位蛋白质和40单位铁质．试问：应如何使用甲、乙两种原料，才能既满足病人的营养需要，又使费用最省？解：设甲、乙两种原料分别用10x g 和10y g ，总费用为z ，那么⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋7y ≥35，10x ＋4y ≥40，x ≥0，y ≥0.目标函数为z ＝3x ＋2y ，作出可行域如图所示：把z ＝3x ＋2y 变形为y ＝－32x ＋z 2，得到斜率为－32，它是在y 轴上的截距为z2且随z 变化的一组平行直线．由图可知，当直线y ＝－32x ＋z 2经过可行域上的点A 时，截距z 2最小，即z 最小．由⎩⎪⎨⎪⎧10x ＋4y ＝40，5x ＋7y ＝35，得A (145，3)，∴z min ＝3×145＋2×3＝14.4.∴甲种原料145×10＝28(g)，乙种原料3×10＝30(g)，即当使用甲、乙两种原料分别为28 g 、30 g 时，才能既满足病人的营养需要，又能使费用最省．。

数学3.3.3线性规划的应用强化作业成才之路(人教A版必修5)

3.3.3一、选择题1．在△ABC 中，三顶点分别为A (2,4)，B (－1,2)，C (1,0)，点P (x ，y )在△ABC 内部及其边界上运动，则m ＝y －x 的取值范围为( )A ．[1,3]B ．[－3,1]C ．[－1,3]D ．[－3，－1][答案] C[解析] ∵直线m ＝y －x ，斜率k 1＝1＞k AB ＝23∴经过C 时m 最小为－1，经过B 时m 最大为3.2．(2010·全国卷文，3)若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≤1x ＋y ≥0x －y －2≤0，则z ＝x －2y 的最大值为( )A ．4B ．3C ．2D ．1[答案] B[解析] 先作出可行域如图．作直线x －2y ＝0在可行域内平移，当x －2y －z ＝0在y 轴上的截距最小时z 值最大．当移至A (1，－1)时，z max ＝1－2×(－1)＝3，故选B.3．设集合U ＝{(x ，y )|x 、y ∈R }，A ＝{(x ，y )|2x －y ＋m ＞0}，B ＝{(x ，y )|x ＋y －n ≤0}，那么点P (2,3)∈A ∩∁U B 的条件是( )A ．m ＞－1，n ＜5B ．m ＜－1，n ＜5C ．m ＞－1，n ＞5D ．m ＜－1，n ＞5[答案] A[解析] 由题设点P (2,3)满足2x －y ＋m ＞0和x ＋y －n ＞0，∴m ＞－1且n ＜5.4．设z ＝x －y ，式中变量x 和y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≥0，x －2y ≥0，则z 的最小值为( )A ．1B ．－1C ．3D ．－3[答案] A[解析] 作出可行域如图中阴影部分．直线z ＝x －y 即y ＝x －z .经过点A (2,1)时，纵截距最大，∴z 最小．z min ＝1.5．变量x 、y 满足下列条件⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ≥12，2x ＋9y ≥36，2x ＋3y ＝24，x ≥0，y ≥0，则使z ＝3x ＋2y 最小的(x ，y )是( )A ．(4,5)B ．(3,6)C ．(9,2)D ．(6,4)[答案] B[解析] 检验法：将A 、B 、C 、D 四选项中x ，y 代入z ＝3x ＋2y 按从小到大依次为A 、B 、D 、C.然后按A →B →D →C 次序代入约束条件中，A 不满足2x ＋3y ＝24，B 全部满足，故选B.[点评] 本题用一般解法需先画出可行域，然后通过比较直线3x ＋2y ＝z 的斜率k ＝－32与不等式组中各直线斜率的大小找出z ＝3x ＋2y 的最小值点．解答过程较复杂，如果注意分析会发现，使z ＝3x ＋2y 最小的最优解一定在选项中，故将各选项代入z ＝3x ＋2y 中按z 值从小到大排列，然后检验是否满足不等式组即可找出此最优解，这样解答简便多了．6．(2010～2011·辽宁鞍山高二期中)已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ≤4x ＋2y ≤4x ≥0，y ≥0，则z ＝x ＋y的最大值是( )A.43B.83 C ．2 D ．4[答案] B[解析] 画出可行域为如图阴影部分．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝42x ＋y ＝4，解得A (43，43)，∴当直线z ＝x ＋y 经过可行域内点A 时，z 最大，且z max ＝83.7．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧|x ＋y |≤1|x －y |≤1，表示的平面区域内整点的个数是( )A ．0B ．2C ．4D ．5[答案] D[解析] 不等式组 ⎩⎪⎨⎪⎧|x ＋y |≤1|x －y |≤1变形为⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x ＋y ≤1－1≤x －y ≤1，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤1x ＋y ≥－1x －y ≤1x －y ≥－1作出其平面区域如图．可见其整点有：(－1,0)、(0,1)、(0 ,0)、(0，－1)和(1,0)共五个．8．已知x 、y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －5≤0x ≥1y ≥0x ＋2y －3≥0，则yx的最值是( )A ．最大值是2，最小值是1B ．最大值是1，最小值是0C ．最大值是2，最小值是0D ．有最大值无最小值 [答案] C[解析] 作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －5≤0x ≥1y ≥0x ＋2y －3≥0表示的平面区域如图．yx表示可行域内点与原点连线的斜率．显然在A (1,2)处取得最大值2.在x 轴上的线段BC 上时取得最小值0，∴选C.9．(2011·浙江文，3)若实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －5≥02x ＋y －7≥0x ≥0，y ≥0，则3x ＋4y 的最小值是( )A ．13B ．15C ．20D ．28[答案] A[解析] 作出可行域如图所示，令z ＝3x ＋4y ∴y ＝－34x ＋z4求z 的最小值，即求直线y ＝－34x ＋z4截距的最小值．经讨论知点M 为最优解，即为直线x ＋2y －5＝0与2x ＋y －7＝0的交点，解之得M (3,1)． ∴z min ＝9＋4＝13. 10．已知⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≥0x －y ＋1≤0y ≥1，z ＝x 2＋y 2－4x －4y ＋8，则z 的最小值为( )A.322B.92C.22D.12[答案] D[解析] z ＝(x －2)2＋(y －2)2为可行域内点到定点A (2,2)距离的平方，画出可行域如图，可行域内的点到定点A 距离的最小值为A 到直线x －y ＋1＝0的距离d ＝22，故z min ＝12.二、填空题11．设x 、y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤1，y ≤x ，y ≥0，则z ＝2x ＋y 的最大值是________．[答案] 2[解析] 可行域如图，当直线z ＝2x ＋y 即y ＝－2x ＋z 经过点A (1,0)时，z max ＝2.12．由y ≤2，|x |≤y ≤|x |＋1，围成的几何图形面积为________．[答案] 3[解析] ⎩⎪⎨⎪⎧y ≤2|x |≤y ≤|x |＋1化为⎩⎪⎨⎪⎧y ≤2x ≥0x ≤y ≤x ＋1或⎩⎪⎨⎪⎧y ≤2x ≤0－x ≤y ≤－x ＋1作出其图形如图中阴影部分，面积S ＝12AB ·OM －12CD ·NM .＝12×4×2－12×2×1＝3.三、解答题13．要将甲、乙两种长短不同的钢管截成A 、B 、C 三种规格，每根钢管可同时截得三种规格的短钢管的根数如下表所示：种规格钢管，且使所用钢管根数最少．[解析] 设需截甲种钢管x 根，乙种钢管y 根，则⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋2y ≥13，x ＋3y ≥16，4x ＋y ≥18，x ≥0，y ≥0.作出可行域如图：目标函数为z ＝x ＋y ，作出一组平行直线x ＋y ＝t (t 为参数)，经过可行域内的点且和原点距离最近的直线必经过直线4x ＋y ＝18和直线x ＋3y ＝16的交点A (3811，4611)，直线方程为x ＋y＝8411.由于3811和4611都不是整数，所以可行域内的点(3811，4611)不是最优解． ∵7<8411<8，且x ＋y ＝7与可行域无公共点，∴经过可行域内的整点且与原点距离最近的直线是x ＋y ＝8，经过的整点是B (4,4)，它是最优解．综上所述知，应截取甲、乙两种钢管各4根可得所需三种规格钢管且使所用根数最少． [点评] 此例的解法是，先依条件列出不等式组，作出可行域，不考虑x 、y 为整数的条件，求出符合题中其他条件的最优解，然后看此最优解是否为非负整数解，若是非负整数解，则即为所求．若不是非负整数解，则应求出经过可行域内的非负整数解且与原点距离最远(或最近)的点的直线，这个非负整数解就是最优解．14．已知甲、乙两煤矿每年的产量分别为200万吨和260万吨，需经过东车站和西车站两个车站运往外地．东车站每年最多能运280万吨煤，西车站每年最多能运360万吨煤，甲煤矿运往东车站和西车站的运费价格分别为1元/吨和1.5 元/吨，乙煤矿运往东车站和西车站的运费价格分别为0.8 元/吨和1.6 元/吨．煤矿应怎样编制调运方案，能使总运费最少？[解析] 设甲煤矿向东车站运x 万吨煤，乙煤矿向东车站运y 万吨煤，那么总运费 z ＝x ＋1.5(200－x )＋0.8y ＋1.6(260－y )(万元)即z ＝716－0.5x －0.8y .x 、y 应满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0200－x ≥0，260－y ≥0，x ＋y ≤280，(200－x )＋(260－y )≤360，即⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤2000≤y ≤260100≤x ＋y ≤280，作出上面的不等式组所表示的平面区域，如图．设直线x ＋y ＝280与y ＝260的交点为M ，则M (20,260)．把直线l 0：5x ＋8y ＝0向上平移至经过平面区域上的点M 时，z 的值最小．∵点M 的坐标为(20,260)，∴甲煤矿生产的煤向东车站运20万吨，向西车站运180万吨，乙煤矿生产的煤全部运往东车站时，总运费最少．15．制造甲、乙两种烟花，甲种烟花每枚含A 药品3 g 、B 药品4 g 、C 药品4 g ，乙种烟花每枚含A 药品2 g 、B 药品11 g 、C 药品6 g ．已知每天原料的使用限额为A 药品120 g 、B 药品400 g 、C 药品240 g ．甲种烟花每枚可获利2 元，乙种烟花每枚可获利1 元，问每天应生产甲、乙两种烟花各多少枚才能获利最大．[解析] 设每天生产甲种烟花x 枚，乙种烟花y 枚，获利为z 元，则⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y ≤120，4x ＋11y ≤400，4x ＋6y ≤240，x ≥0y ≥0，作出可行域如图所示．目标函数为：z ＝2x ＋y .作直线l ：2x ＋y ＝0，将直线l 向右上方平移至l 1的位置时，直线经过可行域上的点A (40,0)且与原点的距离最大．此时z＝2x＋y取最大值．故每天应只生产甲种烟花40枚可获最大利润．16．(2010～2011·辽宁鞍山市高二期中)某承包户承包了两块鱼塘，一块准备放养鲫鱼，另一块准备放养鲤鱼，现知放养这两种鱼苗时都需要鱼料A、B、C，每千克鱼苗所需饲料量如下表：30倍与50倍，目前这位承包户只有饲料A、B、C分别为120kg、50kg、144kg，问如何放养这两种鱼苗，才能使得成鱼的重量最重．[解析]设放养鲫鱼x kg，鲤鱼y kg，则成鱼重量为ω＝30x＋50y(x，y≥0)，其限制条件为作出可行域如图，作直线l0：3x＋5y＝0，平移直线l0当平移到经过可行域内的点C(3.6,6.4)时，ω＝30x＋50y取最大值，ωmax＝428.因此，当鲫鱼放养3.6kg，鲤鱼放养6.4kg时，成鱼的重量达到最重428kg.高%考:试。

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【成才之路】2013-2014学年高考数学 3-3-3线性规划的应用课后强化作业新人教A 版必修5基础巩固一、选择题1．若变量x 、y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≤1x ＋y ≥0x －y －2≤0，则z ＝x －2y 的最大值为( )A ．4B ．3C ．2D ．1[答案] B[解析] 先作出可行域如图．作直线x －2y ＝0在可行域内平移，当x －2y －z ＝0在y 轴上的截距最小时z 值最大．当移至A (1，－1)时，z max ＝1－2×(－1)＝3，故选B. 2．设变量x 、y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ≤44x －y ≥－1x ＋2y ≥2，则目标函数z ＝3x －y 的取值范围是( )A ．[－32，6]B ．[－32，－1]C ．[－1,6]D ．[－6，32][答案] A[解析] 本题考查了线性规划的基础知识及数形结合的思想．根据约束条件，画出可行域如图，作直线l 0：3x －y ＝0，将直线平移至经过点A (2,0)处z 有最大值，经过点B (12，3)处z 有最小值，即－32≤z ≤6.3．设z ＝x －y ，式中变量x 和y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≥0x －2y ≥0，则z 的最小值为( )A ．1B ．－1C ．3D ．－3[答案] A[解析] 作出可行域如图中阴影部分．直线z ＝x －y 即y ＝x －z .经过点A (2,1)时，纵截距最大，∴z 最小．z min ＝1.4．变量x 、y 满足下列条件⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ≥122x ＋9y ≥362x ＋3y ＝24x ≥0y ≥0，则使z ＝3x ＋2y 最小的(x ，y )是( )A ．(4,5)B ．(3,6)C ．(9,2)D ．(6,4)[答案] B[解析] 检验法：将A 、B 、C 、D 四选项中x 、y 代入z ＝3x ＋2y 按从小到大依次为A 、B 、D 、C.然后按A→B→D→C 次序代入约束条件中，A 不满足2x ＋3y ＝24，B 全部满足，故选B.5．已知x 、y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ≤4x ＋2y ≤4x ≥0，y ≥0，则z ＝x ＋y 的最大值是( )A.43 B.83 C ．2 D ．4[答案] B[解析] 画出可行域为如图阴影部分．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝42x ＋y ＝4，解得A (43，43)，∴当直线z ＝x ＋y 经过可行域内点A 时，z 最大，且z max ＝83.6．设变量x 、y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤3x －y ≥－1y ≥1，则目标函数z ＝4x ＋2y 的最大值为( )A ．12B ．10C ．8D ．2[答案] B[解析] 首先绘制不等式组表示的平面区域(如图所示)当直线4x ＋2y ＝z 过直线y ＝1与直线x ＋y －3＝0的交点(2,1)时，目标函数z ＝4x ＋2y 取得最大值10.二、填空题7．已知x 、y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0x ≥y2x －y ≤1，则z ＝3x ＋2y 的最大值为________．[答案] 5[解析] 作出可行域如图，当直线z ＝3x ＋2y 平移到经过点(1,1)时，z 最大∴z max ＝5.8．已知x 、y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y －2≤0x ＋3≥0x －y －1≤0，则x 2＋y 2的最大值为________．[答案] 25[解析] 画出不等式组表示的平面区域，如图中的阴影部分所示．由图知，A (－3，－4)，B (－3,2)，C (3,2)，则|OA |＝9＋16＝5， |OB |＝9＋4＝13， |OC |＝9＋4＝13.设P (x ，y )是不等式组表示的平面区域内任意一点，则x 2＋y 2＝(x 2＋y 2)2＝|OP |2，由图知，|OP |的最大值是|OA |＝5，则x 2＋y 2最大值为|OA |2＝25. 三、解答题9．制造甲、乙两种烟花，甲种烟花每枚含A 药品3 g 、B 药品4 g 、C 药品4 g ，乙种烟花每枚含A 药品2 g 、B 药品11 g 、C 药品6 g ．已知每天原料的使用限额为A 药品120 g 、B 药品400 g 、C 药品240 g ．甲种烟花每枚可获利2 元，乙种烟花每枚可获利1 元，问每天应生产甲、乙两种烟花各多少枚才能获利最大．[解析] 设每天生产甲种烟花x 枚，乙种烟花y 枚，获利为z 元，则⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y ≤1204x ＋11y ≤4004x ＋6y ≤240x ≥0y ≥0，作出可行域如图所示．目标函数为：z ＝2x ＋y .作直线l ：2x ＋y ＝0，将直线l 向右上方平移至l 1的位置时，直线经过可行域上的点A (40,0)且与原点的距离最大．此时z ＝2x ＋y 取最大值．故每天应只生产甲种烟花40枚可获最大利润. 能力提升一、选择题1．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧|x ＋y |≤1|x －y |≤1表示的平面区域内整点的个数是( )A ．0B ．2C ．4D ．5[答案] D[解析] 不等式组 ⎩⎪⎨⎪⎧|x ＋y |≤1|x －y |≤1变形为⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x ＋y ≤1－1≤x －y ≤1，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤1x ＋y ≥－1x －y ≤1x －y ≥－1作出其平面区域如图．可见其整点有：(－1,0)、(0,1)、(0 ,0)、(0，－1)和(1,0)共五个．2．已知x 、y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －5≤0x ≥1y ≥0x ＋2y －3≥0，则yx的最值是( )A ．最大值是2，最小值是1B ．最大值是1，最小值是0C ．最大值是2，最小值是0D ．有最大值无最小值 [答案] C[解析] 作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －5≤0x ≥1y ≥0x ＋2y －3≥0表示的平面区域如图．yx表示可行域内点与原点连线的斜率．显然在A (1,2)处取得最大值2.在x 轴上的线段BC 上时取得最小值0，∴选C.3．若实数x 、y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －5≥02x ＋y －7≥0x ≥0，y ≥0，则3x ＋4y 的最小值是( )A ．13B ．15C ．20D ．28[答案] A[解析] 作出可行域如图示，令z ＝3x ＋4y ∴y ＝－34x ＋z4求z 的最小值，即求直线y ＝－34x ＋z4截距的最小值．经讨论知点M 为最优解，即为直线x ＋2y －5＝0与2x ＋y －7＝0的交点，解之得M (3,1)． ∴z min ＝9＋4＝13.4．已知变量x 、y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ＋x －1≤0y －3x －1≤0y －x ＋1≥0，则z ＝2x ＋y 的最大值为( )A ．4B ．2C ．1D ．－4[答案] B[解析] 作出可行域如图，作直线l 0：2x ＋y ＝0，平移直线l 0可见，当l 0经过可行域内的点B (1,0)时，z 取得最大值，∴z max ＝2×1＋0＝2.二、填空题5．已知实数x 、y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0x ＋y ≥0x ≤1，则z ＝2x ＋y 的最小值是________．[答案] －1[解析] 画出可行域如图中阴影部分所示．由图知，z 是直线y ＝－2x ＋z 在y 轴上的截距，当直线y ＝－2x ＋z 经过点A (－1,1)时，z 取最小值，此时x ＝－1，y ＝1，则z 的最小值是z min ＝2x ＋y ＝－2＋1＝－1.6．设x 、y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤1y ≤xy ≥0，则z ＝2x ＋y 的最大值是________．[答案] 2[解析] 可行域如图，当直线z ＝2x ＋y 即y ＝－2x ＋z 经过点A (1,0)时，z max ＝2.三、解答题7．已知甲、乙两煤矿每年的产量分别为200万吨和260万吨，需经过东车站和西车站两个车站运往外地．东车站每年最多能运280万吨煤，西车站每年最多能运360万吨煤，甲煤矿运往东车站和西车站的运费价格分别为1元/t 和1.5 元/t ，乙煤矿运往东车站和西车站的运费价格分别为0.8 元/t 和1.6 元/t.煤矿应怎样编制调运方案，能使总运费最少？[解析] 设甲煤矿向东车站运x 万吨煤，乙煤矿向东车站运y 万吨煤，那么总运费z ＝x ＋1.5(200－x )＋0.8y ＋1.6(260－y )(万元)即z ＝716－0.5x －0.8y .x 、y 应满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0y ≥0200－x ≥0260－y ≥0x ＋y ≤280200－x ＋260－y ≤360，即⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤2000≤y ≤260100≤x ＋y ≤280，作出上面的不等式组所表示的平面区域，如图．设直线x ＋y ＝280与y ＝260的交点为M ，则M (20,260)．把直线l 0：5x ＋8y ＝0向上平移至经过平面区域上的点M 时，z 的值最小．∵点M 的坐标为(20,260)，∴甲煤矿生产的煤向东车站运20万吨，向西车站运180万吨，乙煤矿生产的煤全部运往东车站时，总运费最少．8．某厂有一批长为18m 的条形钢板，可以割成1.8m 和1.5m 长的零件．它们的加工费分别为每个1元和0.6元．售价分别为20元和15元，总加工费要求不超过8元．问如何下料能获得最大利润． [分析] 能获得最大利润的下料数学语言即为：销售总值与加工费之差为最大． [解析] 设割成的1.8m 和1.5m 长的零件分别为x 个、y 个，利润为z 元，则z ＝20x ＋15y －(x ＋0.6y )即z ＝19x ＋14.4y 且 ⎩⎪⎨⎪⎧1.8x ＋1.5y ≤18x ＋0.6y ≤8x 、y ∈N，作出不等式组表示的平面区域如图，11又由⎩⎪⎨⎪⎧ 1.8x ＋1.5y ＝18x ＋0.6y ＝8，解出x ＝207，y ＝607， ∴M (207，607)， ∵x 、y 为自然数，在可行区域内找出与M 最近的点为(3,8)，此时z ＝19×3＋14.4×8＝172.2(元)．又可行域的另一顶点是(0,12)，过(0,12)的直线使z ＝19×0＋14.4×12＝172.8(元)；过顶点(8,0)的直线使z ＝19×8＋14.4×0＝152(元)．M (207，607)附近的点(1,10)、(2,9)，直线z ＝19x ＋14.4y 过点(1,10)时，z ＝163；过点(2,9)时z ＝167.6.∴当x ＝0，y ＝12时，z ＝172.8元为最大值．答：只要截1.5m 长的零件12个，就能获得最大利润．。