高考数学12月份四校联考模拟试题

高考数学12月份四校联考模拟试题
考生注意：
本卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分。

考试时间150分钟。

考试结束后将第Ⅱ卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷（选择题，共60分）
注意事项：
1．答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目、试卷类型用2B 铅笔涂写在答题卡上。

2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

不能答在试卷上。

一、选择题：本大题共12小题；每小题5分，共计60分。

在每小题列出的四个选项只有一项是最符
合题目要求的。

1．复数i
i
z 21-=的虚部是 （ ）
A ．1
B ．－1
C ．i
D ．－i
2．已知集合}0,2|{}2|{2>==-==x y y B x x y x A x ，R 是实数集，则（ B ）∩A=
（ ）
A ．[0，1]
B ．)1,0[
C ．]0,(-∞
D ．以上都不对
3．甲、乙、丙、丁四位同学各自对A 、B 两变量的线性相关性作试验，并用回归分析方法分 别求得相关系数r 与残差平方和m 如下表：
（ ）
则哪位同学的试验结果体现A 、B 两变量有更强的线性相关性？ A ．甲 B ．乙 C ．丙 D ．丁 4．已知条件p:x ≤1，条件，q ：
x
1
<1，则⌝p 是q 的 （ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．即非充分也非必要条件
5．若函数f (x )=sin ax +cos ax (a >0)的最小正周期为1，则它的图像的一个对称中心为 （ ）
A ．（－
8
π
，0） B ．（0，0） C ．（－
8
1
，0） D ．（
8
1
，0） 6．若n x
x )13(-的展开式各项系数和为64，则展开式中的常数项为
（ ）
A ．－540
B ．－162
C ．162
D ．540
7．曲线)2
3
0(cos π≤≤=x x y 与坐标轴所围成的图形的面积是 （ ）
A ．2
B ．3
C ．2
5
D ．4
8．如图所示的程序输出结果为sum=1320，则判断框中应填
（ ）
A ．i ≥9
B ．i ≥10
C ．i ≤10
D ．i ≤9
9．已知函数f (x )=2x 的反函数f －
1(x )满足 f －
1(a )+ f －
1(b)=4，则
b
a 1
1+的最小值为（ ） A ．1 B ．31
C ．
2
1 D ．4
1
10．过抛物线y 2=4x 的焦点作一条直线与抛物线相交
于A 、B 两点，它们的横坐标之和等于5，则这样 的直线 （ ） A ．有且仅有一条 B ．有且仅有两条 C ．有无穷多条 D ．不存在
11．设偶函数f(x)=log a |ax+b|在（0，+∞）上单调递增，则f(b －2)与f(a+1)的大小关系是（ ） A ．f(b －2)=f(a+1) B ．f(b －2)>f(a+1) C ．f(b －2)<f(a+1) D ．不能确定 12．如图所示，在正三棱锥S —ABC 中（底面是正多边形，
顶点在底面上的射影是底面的中心的棱锥为正棱锥） M 、N 分别是棱SC ，BC 的中点，且MN ⊥AM ，若
侧棱SA=23，则此正三棱锥S —ABC 外接球的 表面积是（ ） A ．45π B ．32π
C ．12π
D ．36π
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
注意事项：
1．第Ⅱ卷用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷中（除题目有特殊规定外）。

2．答卷前将密封线内项目填写清楚。

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上.
13．已知y x z k y x x y x z y x 42,03
05,,+=⎪⎩
⎪
⎨⎧≥++≤≥+-且满足的最小值为－6，则常数k = . 14．观察下式：1=12，2+3+4=32，3+4+5+6+7=52，4+5+6+7+8+9+10=72，…，则可得出一般结
论： .
15．下图是一个物体的三视图，根据图中尺寸（单位：cm ），它的体积为 cm 3
.
16．已知两个点M （－5，0）和N （5，0），若直线上存在点P ，使|PM|－|PN|=6，则称该直线
为“B 型直线”，给出下列直线：①y=x +1，②y=
3
4
x , ③y=2，④y=2x+1，其中为“B 型直线”的是 .（填上所有正确结论的序号）
三、解答题：本大题共6小题，共计74分.解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤. 17．（本小题满分12分）
在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且满足（2a －c ）cosB=bcosC. （Ⅰ）求角B 的大小；
（Ⅱ）设k k A A ⋅>==且),1)(1,4(),2cos ,(sin 的最大值是5，求k 的值.
18．（本小题满分12分）
如图，三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AA 1⊥面ABC ，BC ⊥AC ，BC=AC=2，AA 1=3，D 为AC 的中点.
（Ⅰ）求证：AB 1//面BDC 1；
（Ⅱ）求二面角C 1—BD —C 的余弦值； （Ⅲ）在侧棱AA 1上是否存在点P ，使得
CP ⊥面BDC 1？并证明你的结论.
有A ，B ，C ，D 四个城市，它们都有一个著名的旅游点，依此记为a ，b ，c ，d.把ABCD
和a ，b ，c ，d 分别写成左、右两列，现在一名旅游爱好者随机用4条线把左右两边的字母全部连接起来，构成“一一对应”，已知每连对一个得2分，连错得0分； （Ⅰ）求该爱好者得分的分布列； （Ⅱ）求该爱好者得分的数期望.
20．（本小题满分12分）
已知定义在R 上的单调函数y=f (x )，当x <0时，f (x )>1，且对任意的实数x 、y ∈R ，有
f (x +y)=f (x )f (y )，
（Ⅰ）求f (0)，并写出适合条件的函数f (x )的一个解析式； （Ⅱ）数列{a n }满足)()
2(1
)()0(*11N n a f a f f a n n ∈--==+且,
①求通项公式a n 的表达式；
②令1
3221211
11,,)2
1(++
++=
+++==n n n n n a
n a a a a a a T b b b S b n ， 试比较S n 与3
4
T n 的大小，并加以证明.
已知动圆P 与定圆B ：0315222=-++x y x 内切，且动圆P 经过一定点A （5， 0），
（Ⅰ）求动圆圆心P 的轨迹方程；
（Ⅱ）若已知点D （0，3），M 、N 在动点P 的轨迹上，且DN DM λ=，求实数λ的取
值范围.
22．（本小题满分12分）
已知函数f(x)=ax 3+bx 2－3x 在x=±1处取得极值. （Ⅰ）求函数f(x)的解析式；
（Ⅱ）求证：对于区间[－1，1]上任意两个自变量的值x 1，x 2，都有|f(x 1)－f(x 2)|≤4； （Ⅲ）若过点A （1，m ）（m ≠－2）可作曲线y=f(x)的三条切线，求实数m 的取值范围.
参考答案
一、选择题（每小题5分，共12小题）
BADAC ABBCB CD
二、填空题（每小题4分，共4小题） 13．0
14．n+(n+1)+…+(3n －2)=(2n －1)2 15．256+64π 16．①③ 三、解答题
（I ）∵(2a －c)cosB=bcosC ，
∴（2sinA －sinC ）cosB=sinBcosC.……………………………………………2分 即2sinAcosB=sinBcosC+sinCcosB
=sin(B+C)
∵A+B+C=π，∴2sinAcosB=sinA.…………………………………………4分 ∵0<A<π,∴sinA ≠0. ∴cosB=
2
1
.…………………………………………………………………5分 ∵0<B<π，∴B=
3
π
.…………………………………………………………6分 （II ）n m ⋅=4ksinA+cos2A.…………………………………………………………7分
=－2sin 2A+4ksinA+1，A ∈（0，3
22
）……………………………………9分 设sinA=t ，则t ∈]1,0(.
则⋅=－2t 2+4kt+1=－2(t －k)2+1+2k 2,t ∈]1,0(.…………………………10分 ∵k>1，∴t=1时，n m ⋅取最大值. 依题意得，－2+4k+1=5，∴k=
2
3
.………………………………………………12分 （18）（I ）证明：
连接B 1C ，与BC 1相交于O ，连接OD ∵BCC 1B 1是矩形，
∴O 是B 1C 的中点. 又D 是AC 的中点，
∴OD//AB 1.………………………………………………2分 ∵AB 1⊄面BDC 1，OD ⊂面BDC 1，
∴AB 1//面BDC 1.…………………………………………4分
（II ）解：如力，建立空间直角坐标系，则
C 1（0，0，0），B （0，3，2），C （0，3，0），A （2，3，0），
D （1，3，0）……………………5分
设n =（x 1，y 1，z 1）是面BDC 1的一个法向量，则
,0
11⎪⎩⎪⎨
⎧=⋅=⋅C C 即)21,31,1(,
030231111-=⎩⎨⎧=+=+y x z y 取.…………6分
易知C 1=(0，3，0)是面ABC 的一个法向量.
72
36
71|
|||,cos 111-=⋅-=
⋅>=
<∴C C n C .…………………………8分 ∴二面角C 1—BD —C 的余弦值为
7
2
.………………………………9分 （III ）假设侧棱AA 1上存在一点P （2，y ，0）（0≤y ≤3），使得CP ⊥面BDC 1.
则⎪⎩
⎪
⎨⎧==∴⎩⎨⎧=-+=-⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅.373,0)3(320)3(3,0011y y y y C B C CP 即
∴方程组无解.
∴假设不成立.……………………………………………………11分 ∴侧棱AA 1上不存在点P ，使CP ⊥面BDC 1.…………………12分
19．（I ）解：设答对题的个数为y ，得分为ξ,y=0，1，2，4
∴ξ=0，2，4，8…………………………………………………………1分 24
9
9)0(4
4==
=A P ξ……………………………………………………3分 31
2481)2(4
424==⨯==A C P ξ…………………………………………5分 41
2461)4(4
4
2
4==⨯==A C P ξ…………………………………………7分 2411)8(4
4
==
=A P ξ………………………………………………9分
（II ）E ξ=0×
249+2×31+4×41+8×24
1=2 答：该人得分的期望为2分………………………………12分
20．解：
（I ）由题意，令y=0，x<0，得f(x)[1－f(0)]=0，∵x<0时，f(x)>1.
∴1－f(0)=0. f(0)=1.…………………………………………………………2分 适合题意的f(x)的一个解析式为f(x)=(
2
1)x
.………………………………4分 （II ）①由递推关系知f(a n+1)·f(－2－a n )=1，即f(a n+1－2－a n )=f(0).
∵f(x)的R 上单调，∴a n+1－a n =2，（n ∈N *），…………………………6分 又a 1=1，故a n =2n －1.……………………………………………………7分
②b n =12)21()
21(-=n a n ,S n =b 1+b 2+…+b n =21+(21)3+…+(21
)2n －1 n n n n n n n n n
n n n n n n T S n n n n n a a a a a a T 4)12()12(423)41121(32)1211(23)4
11(32349)1211(21)1211215131311(21)
12)(12(1531311111).
411(23)21(1]
)21(1[21132212
2⋅++-⋅
=-+=+---==+-=+--++-+-=
+-++⨯+⨯=+++=-=--+分
欲比较S n 与n T 3
4
的大小，只需比较4n 与2n+1的大小.
由=1，2，3代入可知4n >2n+1，猜想4n >2n+1.……………………10分 下用数学归纳法证明
（i ）当n=1时，41>2×1+1成立
（ii ）假设当n=k 时命题成立，即4k >2k+1
当n=k+1时，4k+1=4×4k >4(2k+1)=8k+4=2(k+1)+1+6k+1>2(k+1)+1， 说明当n=k+1时命题也成立.
由（i ）（ii ）可知，4n >2n+1 对于n ∈N *都成立.
故S n >n T 3
4.………………………………………………………………12分 注：证明4n >2n+1，除用数学归纳法证明以外，还可用其它方法证明， 如：4n =(1+3)n =1+.12313332
2
1
+>+≥⋅++⋅+⋅n n C C C n
n
n n n
21．解：（I ）定圆B 的圆心坐标B （－5，0），半径r=6，
因为动圆P 与定圆B 内切，所以|PA|+|PB|=6.
所以动圆圆心P 的轨迹是以B 、A 为焦点，长轴长为6的椭圆. ………………2分
设椭圆的方程为)0(122
22>>=+b a b
y a x
则2a=6，a=3，c=5 ∴b 2=a 2－c 2=4.
∴椭圆的方程为14
92
2=+y x .……………………4分 （II ）设M(x 1，y 1)，N （x 2，y 2），
则由⎩⎨
⎧+-==-=-=3
)3(),3,()3,(,212
12211y y x x y x y x λλλλ故可得
分
或解得得消去91)1(65
1314)33(:,149
14)33(9)(22
2222222
2222
222 =≠-=-=--+⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=-++∴λλλ
λλλλλλλλy y y x y x y x
（1）当λ=1时，M 与N 重合，.DN DM =，满足条件。

（2）当1,551
,2|6513|,2||,12≠≤≤≤-∴
≤≠λλλλλ且解得时y .
综合可得λ的取值范围是[
5
1
，5].………………………………12分 22．解：
（I ）f ′(x)=3ax 2+2bx －3，依题意，f ′(1)=f ′(－1)=0， 即,0
3230
323⎩⎨
⎧=--=-+b a b a …………………………………………2分
解得a=1，b=0.
∴f(x)=x 3－3x.……………………………………………………4分 （II ）∵f(x)=x 3－3x,∴f ′(x)=3x 2－3=3(x+1)(x －1)，
当－1<x<1时，f ′(x)<0，故f(x)在区间[－1，1]上为减函数，
f max (x)=f(－1)=2，f min (x)=f(1)=－2……………………………………6分 ∵对于区间[－1，1]上任意两个自变量的值x 1，x 2， 都有|f(x 1)－f(x 2)|≤|f max (x) －f min (x)|
|f(x 1)－f(x 2)|≤|f max (x)－f min (x)|=2－(－2)=4………………………………8分
（III ）f ′(x)=3x 2－3=3(x+1)(x －1)，
∵曲线方程为y=x 3－3x ，∴点A （1，m ）不在曲线上.
设切点为M （x 0，y 0），则点M 的坐标满足.303
00x x y -=
因)1(3)(2
00-='x x f ，故切线的斜率为 13)1(3003
020
---=
-x m
x x x ， 整理得03322
030=++-m x x .
∵过点A （1，m ）可作曲线的三条切线，
∴关于x 0方程3322030++-m x x =0有三个实根.……………………10分 设g(x 0)= 3322030++-m x x ，则g ′(x 0)=60206x x -，
由g ′(x 0)=0，得x 0=0或x 0=1.
∴g(x 0)在（－∞，0），（1，+∞）上单调递增，在（0，1）上单调递减.
∴函数g(x 0)= 3322
030++-m x x 的极值点为x 0=0，x 0=1………………12分 ∴关于x 0方程3322030++-m x x =0有三个实根的充要条件是
⎩
⎨
⎧<>0)1(0
)0(g g ，解得－3<m<－2. 故所求的实数a 的取值范围是－3<m<－2.……………………14分。