龙东地区 高一数学下1
2023-2024学年黑龙江省双鸭山市高一下册第一次月考数学试题(含解析)
2023-2024学年黑龙江省双鸭山市高一下册第一次月考数学试题一、单选题1．化简OP PS SQ ++的结果等于（）A ．QPB ．OQC ．SPD ．SQ【正确答案】B【分析】根据向量的三角形法则，即可求解.【详解】根据向量的三角形法则，可得OP PS SQ OS SQ OQ =+++=.故选：B.2．已知向量(2,3)OA =，(4,1)OB =- ，P 是线段AB 的中点，则P 点的坐标是（）A ．(2,4)-B ．(3,1)C ．(2,4)-D ．(6,2)【正确答案】B【分析】由向量坐标的基本运算即可求解.【详解】因为点P 是线段AB 的中点，所以2OA OB OP +=，设(,)P x y ，所以242312x y +=⎧⎨-=⎩，解得31x y =⎧⎨=⎩，所以点P 的坐标是(3,1).故选：B3．复数()2i i z =-的共轭复数在复平面内的对应点在（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【正确答案】D【分析】根据复数乘法运算和共轭复数定义可求得z ，根据其对应点的坐标可确定结果.【详解】()2i i 12i z =-=+ ，12i z ∴=-对应的点为()1,2-，位于第四象限.故选：D.4．若向量(1,3)a = ，(,2)b k =- ，且a b ⊥ ，则k =（）A ．6-B ．16C ．3D ．6【正确答案】D【分析】利用向量数量积的坐标表示计算即可.【详解】解：∵a b ⊥ ∴0a b ⋅=即()1320k ⨯+⨯-=，解得6k =，D 项正确.故选：D5．在ABC 中，若()()a b c c b a bc +++-=，则A =（）A ．56πB ．23πC ．3πD ．6π【正确答案】B【分析】利用余弦定理求角即可.【详解】()()a b c c b a bc +++-=可整理为222b c a bc +-=-，所以2221cos 222b c a bc A bc bc +--===-，又()0,A π∈，所以23A π=.故选：B.6．已知空间向量a ，b，且2AB a b =+ ，56BC a b =-+ ，72CD a b =- ，则一定共线的三点是（）A ．、、ABC B ．B C D、、C ．A B D、、D ．A C D、、【正确答案】C【分析】根据向量共线判断三点共线即可．【详解】解：567224BD BC CD a b a b a b=+=-++-=+2(2)2a b AB =+= ，又AB与BD 过同一点B ，∴A 、B 、D 三点共线．故选：C ．7．已知(),1a m = ，()2,31b m =+ ，若(),1a m =，()2,31b m =+ 的夹角为钝角，则m 的取值范围为（）A ．1,5⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭B ．(),1,511∞⎛⎫--⋃-- ⎪⎝⎭C ．1,5⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭D ．()1,11,5∞⎛⎫--⋃-+ ⎪⎝⎭【正确答案】B【分析】根据向量夹角为钝角可知0a b ⋅<，,πa b <>≠ ，由此可构造不等式求得结果.【详解】,a b 夹角为钝角，0a b ∴⋅<，且,πa b <>≠ ，由0a b ⋅<得：2310m m ++<，解得：15m <-；当,a b共线时，()312m m +=，解得：23m =或1m =-，当1m =-时，12a b =-，此时,πa b = ，1m ∴≠-；综上所述：实数m 的取值范围为(),1,511∞⎛⎫--⋃-- ⎪⎝⎭.故选：B.8．安邦河，在黑龙江省内有两条.一条属于松花江二级支流，位于黑龙江省中部，发源于小兴安岭支脉平顶山西坡；另一条属于松花江右岸支流，位于黑龙江省东部，发源于完达山支脉分水岗，自南向北流经双鸭山、集贤、桦川3个市县，在桦川县新城乡境内注入松花江.安邦河从双鸭山一中旁流过，其中一河段的两岸基本上是平行的，根据城建工程计划，需要测量出该河段的宽度，现在一侧岸边选取两点,A B 并测得AB a =，选取对岸一目标点C 并测得，ABC α∠=，BAC β∠=，则该段河流的宽度为（）A ．()sin sin sin a αβαβ+B ．()sin cos sin a αβαβ+C ．()sin cos sin a αααβ+D ．()2sin sin a ααβ+【正确答案】A【分析】利用正弦定理可得BC ，由sin d BC ABC =∠可求得结果.【详解】在ABC 中，由正弦定理得：()sin sin sin sin AB BAC a BC ACB βαβ∠==∠+，∴河流的宽度()sin sin sin sin a d BC ABC αβαβ=∠=+.故选：A.二、多选题9．关于向量,a b下列命题中不正确的是（）A ．若a b = ，则a b =B ．若a b =- ，则//a bC ．若a b > ，则a b > D ．若//a b ，//b c，则//a c【正确答案】ACD【分析】根据向量相等的定义、共线向量的定义和性质依次判断各个选项即可.【详解】对于A ，当a b = 时，,a b 方向可能不同，a b ∴= 未必成立，A 错误；对于B ，若a b =- ，则,a b 反向，//a b ∴，B 正确；对于C ，a b > 只能说明,a b 长度的大小关系，但,a b还有方向，无法比较大小，C 错误；对于D ，当0b = 时，//a b ，//b c，此时,a c 未必共线，D 错误.故选：ACD.10．在ABC 中，已知6A π=，且ba=C 的值可能是（）A ．4πB ．34πC ．712πD ．12π【正确答案】CD【分析】利用正弦定理边化角，结合已知可得角B ，然后由内角和可得C .【详解】由正弦定理可得sin sin b B a A=sin B A =又6A π=，所以sin 62B π==因为(0,)B π∈，所以4B π=或34B π=.所以ππ7ππ6412C =--=或π3πππ6412C =--=故选：CD11．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，则下列结论正确的是（）A ．若sin sin AB >，则A >BB ．若△ABC 为锐角三角形，则sin cos A B>C ．若cos cos a B b A c -=，则△ABC 一定为直角三角形D ．若tan tan tan 0A B C ++>，则△ABC 可以是钝角三角形【正确答案】ABC【分析】由正弦定理及三角形中大角对大边即可判断A ；通过内角和为π化简，再借助角C 为锐角得到角A ，B 满足的关系，在再取角的正弦值化简即可判断B ；边化角，运用两角差的正弦公式化简，得到角A ，B ，C 的关系，再借助内角和为π计算即可判断C ；通过内角和为π化简角C ，再利用两角和的正切公式化简即可得到tan tan tan tan tan tan 0A B C A B C ++=>，然后即可判断D ．【详解】对于A ，因为sin sin A B >，所以由正弦定理知a b >，又因为在三角形中大角对大边，所以A >B ．故A 正确；对于B ，因为△ABC 为锐角三角形，所以π2A B C π+=->，即π2A B >-，所以πsin sin cos 2A B B ⎛⎫>-= ⎪⎝⎭．故B 正确；对于C ，由正弦定理边化角得()sin sin cos sin cos sin C A B B A A B =-=-，则C A B =-或πC A B +-=（舍），则πA B C A =+=-，即π2A =，则△ABC 一定为直角三角形．故C 正确；对于D ，由()()tan tan tan tan πtan 1tan tan A BC A B A B A B+=-+=-+=-⎡⎤⎣⎦-，则()tan tan tan tan tan 1A B C A B +=-，所以()tan tan tan tan tan tan 1tan tan tan tan 0A B C C A B C A B C ++=-+=>，又因为最多只有一个角为钝角，所以tan 0A >，tan 0B >，tan 0C >，即三个角都为锐角，所以△ABC 为锐角三角形．故D 错误．故选：ABC ．12．已知△ABC 三个内角A ，B ，C 的对应边分别为a ，b ，c ，且π3C ∠=，c =2．则下列结论正确的是（）A ．△ABC 的周长最大值为6B ．AC AB ⋅的最大值为23+C ．cos cos b A a B +=D ．cos cos BA 的取值范围为),2∞∞⎛-⋃+ ⎝⎭【正确答案】AB【分析】A选项，利用余弦定理和基本不等式即可求解周长的最大值；B选项，先利用向量的数量积计算公式和余弦定理得2242b a AC AB+-⋅=，再利用正弦定理和三角恒等变换得到22π26b a B⎛⎫-=-⎪⎝⎭，结合B的取值范围即可求出AC AB⋅的最大值；C选项，结合B选项中的正弦定理进行求解即可；D选项，用()cos cosB A C=-+进行变换得到cos1cos2B AA=-，结合A的取值范围即可得到coscosBA的取值范围．【详解】对于A，由余弦定理得2241cos22a bCab+-==，解得224a b ab+=+，所以()22+343+42a ba b ab⎛⎫+=+≤⨯ ⎪⎝⎭，当且仅当2a b==时，等号成立，解得+4a b≤，当且仅当2a b==时，等号成立，则△ABC周长4+26l a b c=++≤=，所以△ABC周长的最大值为6，故A正确；对于B，由222224cos22b c a b aAC AB AC AB A bcbc+-+-⋅=⋅=⋅=，又由正弦定理得2πsin sin3sin3a bA B===，则a A=，b B，所以()22222216162πsin sin sin sin333b a B A B B⎡⎤⎛⎫-=-=--⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦4π1cos2161cos28π3cos232236BB B⎡⎤⎛⎫--⎪⎢⎥-⎛⎫⎝⎭⎢⎥=-=--⎪⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦，因为2π0,3B⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以ππ7π2,666B⎛⎫-∈-⎪⎝⎭，则22π26b a B⎛⎫-=-⎪⎝⎭，即2242b a+-的最大值为2所以AC AB⋅的最大值为23+，故B正确；对于C，结合B选项得)()cos cos sin cos sin cos sin2 33332b A a B B A A B A B C+=+=+===，故C错误；对于D，由π1cos cos cos 1322cos cos cos 2A A AB A A A A ⎛⎫-+- ⎪⎝⎭==-，又2π0,3A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以(()tan ,0,A ∞∞∈-⋃+，()11,2,22A ∞∞⎛⎫-∈--⋃-+ ⎪⎝⎭，故D 错误．故选：AB ．三角函数相关的取值范围问题，常常利用正弦定理，将边转化为角，结合三角函数性质及三角恒等变换进行求解，或者将角转化为边，利用基本不等式进行求解．三、填空题13．若复数12z i =+，则|z |＝___．【分析】根据复数的模长的计算公式，可得答案.【详解】由题意，复数12z i =+的实部为1，虚部为2，则z =故答案为14．在边长为1的正ABC 中，AC 在AB方向上的投影向量是__________．【正确答案】12AB【分析】由投影向量定义直接计算即可.【详解】π1cos ,cos cos 32AC AC AB A === ，AB AB AB =，AC ∴ 在AB 方向上的投影向量为1cos ,2AB AC AC AB AB AB ⋅=.故答案为.12AB 15．如图，在OAB 中，P 为线段AB 上一点，则OP xOA yOB =+ ，若3AP PB =，||4OA = ，||2OB =uu u r ，且OA 与OB的夹角为60︒，则OP AB ⋅ 的值为_______.【正确答案】-3【分析】利用向量线性运算及平面向量基本定理，用,OB OA 表示OP 与AB，然后利用数量积的运算律求解即可【详解】因为3AP PB =，所以33()44AP AB OB OA ==- ，所以13()()()()44OP AB OA AP OB OA OA OB OB OA ⋅=+⋅-=+⋅-2213113116442cos 603442442OA OB OA OB =-+-⋅=-⨯+⨯-⨯⨯⨯︒=- ，即3OP AB ⋅=-，故-316．1909年，戴姆勒公司申请登记了“三叉星”做为奔驰轿车的标志，象征着陆上，水上和空中的机械化，而此圆环中的星形标志演变成今天的图案，沿用至今，并成为世界十大著名的商标之一（图一）.已知O 为ABC 内一点，OBC △，OAC ，OAB 的面积分别为A S ，B S ，C S ，则有0A B CS OA S OB S OC ++=，我们称之为“奔驰定理”（图二）.已知ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且7cos 8A =，O 为ABC 内的一点且为内心.若AO x AB y AC =+ ，则x y +的最大值为___________.【正确答案】45##0.8.【分析】根据内心特点可知0aOA bOB cOC ++=，利用向量线性运算进行转化可求得b x a bc =++，c y a b c=++，则11x y a b c+=++；利用余弦定理和基本不等式可求得14a b c ≥+，由此可得x y +的最大值.【详解】O 为ABC 的内心，::::A B C S S S a b c ∴=，0aOA bOB cOC ∴++=，()()()aAO bOB cOC b AB AO c AC AO bAB cAC b c AO ∴=+=-+-=+-+ ，()a b c AO bAB cAC ∴++=+ ，b c AO AB AC a b c a b c∴=+++++，即b x a b c =++，c y a b c=++，11b cx y a a b cb c+∴+==++++；()()22222222715152cos 4442b c a b c bc A b c bc b c bc b c +⎛⎫=+-=+-=+-≥+-⨯ ⎪⎝⎭ ()2116b c =+（当且仅当b c =时取等号），()22116a b c ∴≥+，14a b c ∴≥+，141514x y ∴+≤=+（当且仅当b c =时取等号），x y ∴+的最大值为45.故答案为.45四、解答题17．计算(1)()()()21i 1i 2i -+++(2)2i 12i-+【正确答案】(1)54i +(2)i-【分析】根据复数乘除法运算法则直接求解即可.【详解】（1）()()()2221i 1i 2i 1i 44i i 54i -+++=-+++=+.（2）()()()()22i 12i 2i 24i i 2ii 12i 12i 12i 5-----+===-++-.18．已知向量(a = ，3b = ，向量a ，b 的夹角为π6﹒(1)求()()2a b a b -⋅+ 的值；(2)求3a b - ﹒【正确答案】(1)152-【分析】（1）根据题意得到a = 92a b ⋅= ，再根据数量积的定义即可求解；（2）结合（1）可得2357a b -= ，进而即可求得3a b - ﹒【详解】（1）由(a = ，3b = ，向量a ，b 的夹角为π6，则a == π9cos 62a b a b ⋅=⋅⋅=，所以()()22915226922a b a b a a b b -⋅+=-⋅-=--=- ﹒（2）结合（1）可得2223693278157a b a a b b -=-⋅+=-+=，所以3a b -=19．设ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ．已知cos sin a C c A =．(1)求角C 的大小；(2)若a =，c =，求b ．【正确答案】(1)π4C =(2)1b =或3b =【分析】（1）利用正弦定理边化角可求得tan C ，由此可得C ；（2）利用余弦定理直接构造方程求解即可.【详解】（1）由正弦定理得：sin cos sin sin A C C A =，()0,πA ∈ ，sin 0A ∴≠，cos sin C C ∴=，即tan 1C =，又()0,πC ∈，π4C ∴=.（2）c = a ==，22222cos 845c a b ab C b b ∴=+-=+-=，解得：1b =或3b =.20．已知a ，b ，c 分别为ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边，在①sin cos a B A =，②2cos cos cos a A b C c B =+，③()()()sin sin sin a b A B c b C +-=-这三个条件中任选一个，并解答下列问题（如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）：(1)求角A ；(2)若5b =，3c =，求BC 边上的中线长．【正确答案】(1)3A π=；(2)72.【分析】(1)选①，利用正弦定理边化角计算作答；选②，利用正弦定理边化角并逆用和角的正弦计算作答；选③，利用正弦定理角化边并利用余弦定理计算作答.(2)在ABC 中，用余弦定理求出边a 及角B ，在ABD △中，用余弦定理计算作答.【详解】（1）选①，在ABC 中，由正弦定理及sin cos a B A =得：sin sin cos A B B A =，而0B π<<，即sin 0B >，于是得tan A =0A π<<，所以3A π=.选②，在ABC 中，由正弦定理及2cos cos cos a A b C c B =+得：2sin cos sin cos sin cos sin()sin =+=+=A A B C C B B C A ，而0A π<<，sin 0A >，则1cos 2A =，所以3A π=.选③，在ABC 中，由正弦定理及()()()sin sin sin a b A B c b C +-=-得：()()()a b a b c b c +-=-，即222a b c bc =+-，由余弦定理得2221cos 22b c a A bc +-==，而0A π<<，所以3A π=.（2）由(1)知，3BAC π∠=，在ABC 中，由余弦定理得：2222212cos 53253192a b c bc BAC =+-∠=+-⨯⨯⨯=，即a =222222cos2a c b B ac +-=BC 的中点为D ，则12BD a ==在ABD △中，由余弦定理得：222221149()2cos 323224AD c a c a B =+-⨯=+-⨯=，解得72AD =，所以BC 边上的中线长72.21．已知向量()sin ,1m x = ，1,cos22n x x ⎫=⎪⎭，函数()f x m n =⋅ .(1)求函数()f x 的最大值.(2)在锐角ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若()12f A =，a =求ABC 面积的取值范围．【正确答案】(1)1(2)(【分析】（1）结合向量数量积的坐标表示及和差角与辅助角公式进行化简，然后结合正弦函数的性质计算可得；（2）由已知先求A ，然后结合正弦定理化表示bc ，然后结合和差角，二倍角公式及辅助角公式进行化简，结合锐角三角形确定出B 的范围，再由正弦函数性质及三角形面积公式可求．【详解】（1）因为()sin ,1m x = ，1,cos22n x x ⎫=⎪⎭，且()f x m n =⋅ ，所以()1cos cos 22f x m n x x x =⋅=+ 1πcos 2sin 226x x x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，所以当ππ22π62x k +=+，Z k ∈，即ππ6x k =+，Z k ∈时，()f x 最大，且()f x 最大值为1；（2）由（1）知，()πsin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则()π1sin 262f A A ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，则ππ22π66A k +=+或π5π22π66A k +=+，Z k ∈解得π,Z A k k =∈或ππ,Z 3k k +∈，所以ABC 中，0πA <<，所以π3A =，又a =，由正弦定理得4πsin sin sin sin 3a b c A B C ===，所以4sin b B =，4sin c C =，所以2π116sin sin 16sin sin 16sin sin 322bc B C B B B B B ⎛⎫⎛⎫==-=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2πcos 8sin 24cos 248sin 246B B B B B B ⎛⎫=+=-+=-+ ⎪⎝⎭，在锐角ABC 中，π022ππ032B B ⎧<<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩，解得ππ62B <<，所以ππ5π2666B <-<，π61sin 212B ⎛⎫<-≤ ⎪⎝⎭，所以bc 的取值范围为(]8,12，所以(1sin 2ABC S bc A ==∈ ．22．已知ABC 的三个内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且113a b b c a b c+=++++，b =．(1)求2a c +的最大值；(2)若ABC 的内切圆半径为r ，求()21r a +的最大值．【正确答案】(1)(2)2【分析】（1）化简已知等式，结合余弦定理可求得B ，由正弦定理边化角，结合三角恒等变换知识可整理得到()2a c A ϕ+=+，由正弦型函数最值可求得结果；（2）利用面积桥和余弦定理可将r表示为(6a c +，代入所求式子，结合正弦定理边化角和三角恒等变换知识可得到()π212sin 23r a A ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭由正弦型函数值域的求法可求得最大值.【详解】（1）由113a b b c a b c +=++++得：()()()()()()3b c a b c a b a b c a b b c +++++++=++，整理可得：222a c b ac +-=，2221cos 22a cb B ac +-∴==，又()0,πB ∈，π3B ∴=，由正弦定理得：2sin sin sin b a c B A C ===，2sin a A ∴=，2sin c C =，π24sin 2sin 4sin 2sin 4sin sin 3a c A C A A A A A ⎛⎫∴+=+=++=+ ⎪⎝⎭()5sin cos sin A A A ϕ==+（其中tan ϕ=π0,2ϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭），2π0,3A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ ，2π,3A ϕϕϕ⎛⎫∴+∈+ ⎪⎝⎭，∴当π2A ϕ+=时，2a c +取得最大值（2）()11sin 22ABC S ac B a b c r ==++⋅=，r ∴=由余弦定理得：()22222cos 33b a c ac B a c ac =+-=+-=，()233a c ac +-∴=，()(236a c r a c ⎤+-∴=+-，())21133r a a c a a c a ⎤∴+=+-+=+⎥⎣⎦，由（1）知：()()321sin sin sin sin cos 3322r a A A C A A A ⎛⎫+=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭2π2sin cos 2sin 22sin 23A A A A A A ⎛⎫=+=+=-+ ⎪⎝⎭2π0,3A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ ，ππ2,π33A ⎛⎫∴-∈- ⎪⎝⎭，πsin 232A ⎛⎤⎛⎫∴-∈- ⎥ ⎪ ⎝⎭⎝⎦，()(210,2r a∴+∈，则()21r a +的最大值为2.。
2023-2024学年黑龙江省哈尔滨市高一下册第一次质量检测数学试题(含解析)
2023-2024学年黑龙江省哈尔滨市高一下册第一次质量检测数学试题一、单选题1．下列结论中，正确的是（）A ．零向量只有大小没有方向B ．||||AB BA = C ．对任一向量a，||0a > 总是成立的D ．||AB与线段BA 的长度不相等【正确答案】B【分析】根据平面向量的概念，逐一判断即可得出答案．【详解】既有大小又有方向的量叫向量，则零向量既有大小又有方向，故A 错误；由于AB与BA 方向相反，长度相等，故B 正确；因为零向量的模为0，故C 错误；||AB与线段BA 的长度相等，故D 错误．故选：B ．2．如图所示，点O 是正六边形ABCDEF 的中心，则以图中点A 、B 、C 、D 、E 、F 、O 中的任意一点为始点，与始点不同的另一点为终点的所有向量中，除向量OA 外，与向量OA共线的向量共有（）A ．6个B ．7个C ．8个D ．9个【正确答案】D【分析】根据共线向量的定义与正六边形的性质直接得出.【详解】图中与OA共线的向量有：,,,,,,,,AO BC CB OD DO EF FE AD DA，共9个，故选：D.3．已知向量1e ，2e 是两个不共线的向量，122a e e =- 与12b e e λ=+共线，则λ=（）A ．2B ．2-C ．12-D ．12【正确答案】C【分析】根据向量共线的充要条件建立方程直接求解.【详解】因为122a e e =- 与12b e e λ=+ 共线，所以k a b =，0k ≠，所以12121212()22=k k e e e e e e e e k λλ-+⇒-=+，因为向量1e ，2e 是两个不共线的向量，所以21k k λ=⎧⎨-=⎩，解得12λ=-，故选：C ．4．若复数z 满足(1i)i z -=，则下列说法正确的是（）A ．z 的虚部为1i2B ．z 的共轭复数为11i22z =-+C ．z 对应的点在第二象限D ．1z =【正确答案】C【分析】根据已知条件及复数的除法法则，再利用复数的概念及共轭复数，结合复数的几何意义及复数的摸公式即可求解.【详解】由(1i)i z -=，得()()()i 1i i 1i 11i 1i 1i 1i 222z ⨯+-+====-+--⨯+，对于A ，复数z 的虚部为12，故A 不正确；对于B ，复数z 的共轭复数为11i 22z =--，故B 不正确；对于C ，复数z 对应的点为11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以复数z 对应的点在第二象限，故C 正确；对于D ，z ==D 不正确.故选：C.5．欧拉公式e i x ＝cos x ＋isin x (i 为虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里非常重要，被誉为“数学中的天桥”．根据欧拉公式可知，e 2i 表示的复数在复平面中对应的点位于()A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【正确答案】B【分析】由题意得2cos 2sin 2i e i =+，得到复数在复平面内对应的点(cos 2,sin 2)，即可作出解答.【详解】由题意得，e 2i ＝cos 2＋isin 2，∴复数在复平面内对应的点为(cos 2，sin 2)．∵2∈，∴cos 2∈(－1，0)，sin 2∈(0，1)，∴e 2i 表示的复数在复平面中对应的点位于第二象限，故选B.本题主要考查了复数坐标的表示，属于基础题.6．已知向量a ，b是两个单位向量，则“,a b ”为锐角是“a b -<”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【正确答案】A【分析】根据充分不必要条件的概念，平面向量数量积的定义与性质即可判断．【详解】 向量a ，b是两个单位向量，∴由,a b 为锐角可得cos ,0a b >，∴-=a b反过来，由a b - 2222a a b b -⋅+<，22cos ,2a b ∴-< ，cos ,0a b ∴>，∴π,0,2⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭ a b ，,∴a b 不一定为锐角，故“,a b为锐角”是“a b -<的充分不必要条件，故选：A ．7．已知D ，E 分别是ABC 边AB ，AC 上的点，且满足32AB AD = ，4AC AE = ，BE CD O = ，连接AO 并延长交BC 于F 点．若AO AF λ=，则实数λ的值为（）A ．23B ．25C ．57D ．710【正确答案】D【分析】根据,,D O C 三点共线，可得2233AO k AB k AC ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，再根据,,B O E 三点共线，可求出()114AO AB AC μμ=-+ ，由平面向量基本定理可得2213314k k μμ⎧-=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以可求出AO ，所以知17BF BC = ，再由6177AO AB AC λ⎛⎫=+⎪⎝⎭，即可求出λ的值.【详解】由题意可得，23AO AD DO AB DO =+=+，因为,,D O C 三点共线，则()1233DO k DC k BC BD k AC AB BA k AC AB ⎛⎫⎛⎫==-=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以22223333AO AB k AC AB k AB k AC ⎛⎫⎛⎫=+-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，同理，,,B O E 三点共线，131131444444BO BE BC BA AC AB AB AC AB μμμμ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==+=--=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，又因为()11144AO AB BO AB AC AB AB AC μμμ⎛⎫=+=+-=-+ ⎪⎝⎭，所以2213314k k μμ⎧-=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以25110k μ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以31510AO AB AC =+，所以17BF BC = ，所以()1116177777AO AF AB BF AB BC AB AC AB AB AC λλλλλ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==+=+=+-=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，6375λ=，所以710λ=故选：D.8．已知ABC ∆是边长为4的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则()PA PB PC ⋅+的最小值是（）A ．2-B ．32-C ．3-D ．6-【正确答案】D【分析】建系将向量用坐标表示，转化为关于,x y 式子，以,x y 为独立变量求此式子的最值.【详解】建立直角坐标系如图：则A （0，，B （﹣2，0），C （2，0），设P （x ，y ），则PA=（﹣x ，y ），PB=（﹣2﹣x ，﹣y ），PC =（2﹣x ，﹣y ），所以PA •（PB +PC）=﹣x •（﹣2x ）+（y ）•（﹣2y ）=2x 2﹣+2y 2=2[x 2+（y 2﹣3]；所以当x =0，yPA •（PB +PC）取得最小值为2×（﹣3）=﹣6．故选：D ．与向量有关的最值或取值范围，常考虑两种方法：（1）若能建系用坐标表示，可转化为关于,x y 式子，用函数或解析几何来求；（2）利用向量几何意义转化为长度和夹角来求，此题就可以用()=2||||cos 6PA PB PC PA PD PA P APD D =∠≥-⋅+⋅⋅求得.二、多选题9．下列关于复数12,z z 的命题中，正确的是（）A ．若120z z -=，则12z z =B ．若12z z =，则12z z =C ．若12=z z ，则1122z z z z ⋅=⋅D ．若12=z z ，则2212z z =【正确答案】ABC【分析】根据复数的模、共轭复数的定义及复数代数形式的乘法运算法则判断即可.【详解】解：对于A ：因为120z z -=，则120z z -=，则12z z =，所以12z z =，故A 正确；对于B ：若12z z =，则12z z =，故B 正确；对于C ：令1i z a b =+，2i z c d =+，,,,R a b c d ∈，由12=z z ，所以2222+=+a b c d ，所以1i z a b =-，则()()2121i i z a b z a b a b ⋅=+=+⋅-，同理可得2222z z c d ⋅+=，所以1122z z z z ⋅=⋅，故C 正确；对于D ：令1i z =，21z =，则121z z ==，但是211z =-、221z =，所以2212z z ≠，故D 错误；故选：ABC10．已知向量(1,2)a = ，(2,6)b = ，ka b + 与2a b +平行，则（）A ．12k =B ．2k =C ．||b =D ．13(2,3)2a b -=【正确答案】ACD【分析】先表示出ka b + ，2a b +，然后根据向量平行的条件列方程求出k ，从而判断AB ；根据向量的模长公式可判断C ，根据向量的减法运算可以判断出D.【详解】依题意可知(2,26)ka b k k +=++ ，2(5,14)a b += ．因为ka b + 与2a b +平行，所以()1425(26)k k +=+，解得12k =，故A 正确，B 错误；b = ()()()133,61,32,32a b -=-=，故CD 正确.故选：ACD11．已知向量,a b在平面直角坐标系中的位置如图所示.若网格中每个小正方形的边长均为1，则下列选项中正确的是（）A ．6a b ⋅= B ．向量b 在向量a方向上的投影向量为23aC ．()()a b a b +⊥- D ．若()1,2c =-，则()//c a b- 【正确答案】ABD【分析】利用数量积运算，投影向量和向量平行公式即可判断每个选项【详解】由图可得()()3,0,2,2a b ==，对于A ，326a b ⋅=⨯=，故A 正确；对于B ，向量b 在向量a方向上的投影向量()22,03a b a a aa ⋅⋅==，故B 正确；对于C ，()()5,2,1,2a b a b +=-=-，所以()()()512210a b a b +⋅-=⨯+⨯-=≠，故C 不正确；对于D ，因为()1,2c =- ，()1,2a b -=-，所以()b c a =-- ，故()//c a b - ，故D 正确.故选：ABD12．在边长为4的正方形ABCD 中，P 在正方形（含边）内，满足AP xAB y AD =+，则下列结论正确的是（）A ．若点P 在BD 上时，则1x y +=B ．x y +的取值范围为[]1,4C ．若点P 在BD 上时，22AP AC xAB y AD+=+D ．当P 在线段BD 上时，223x y +的最小值为16【正确答案】AD【分析】根据题意建立平面直角坐标系，然后利用向量的线性坐标运算逐个分析判断即可.【详解】如图建立平面直角坐标系，则(0,0),(4,0),(4,4),(0,4)A B C D ，设(,)(,[0,4])P m n m n ∈，因为AP xAB y AD =+ ，所以(,)(4,0)(0,4)m n x y =+，所以44m xn y =⎧⎨=⎩，对于A ，由题意可得线段BD 的方程为4x y ''+=，[0,4]x '∈，因为点P 在BD 上，所以4m n +=，因为44m xn y =⎧⎨=⎩，所以4()4m n x y +=+=，所以1x y +=，所以A 正确，对于B ，因为44m x n y =⎧⎨=⎩，所以4()m n x y +=+，所以4m n x y ++=，因为,[0,4]m n ∈，所以[0,8]m n +∈，所以[0,2]x y +∈，所以B 错误，对于C ，因为(,),(4,4)AP m n AC == ，所以(4,4)AP AC m n +=++，因为222(4,0)2(0,4)(8,8)x AB y AD x y x y +=+= ，44m xn y =⎧⎨=⎩，所以22(2,2)x AB y AD m n +=，若22AP AC xAB y AD +=+ ，则4242m m n n +=⎧⎨+=⎩，得44m n =⎧⎨=⎩，因为4m n +=，所以44m n =⎧⎨=⎩不满足，所以22AP AC xAB y AD +=+不成立，所以C 错误，对于D ，222()212333x y x y xy xy++--==2121236x y +⎛⎫-⨯ ⎪⎝⎭≥=，当且仅当12x y ==时取等号，所以当P 在线段BD 上时，223x y +的最小值为16，所以D 正确，故选：AD三、填空题13．已知向量()3,24AB m =- ，()2,4BC =，若A ，B ，C 三点共线，则m =____________．【正确答案】5【分析】由向量共线的坐标表示求解.【详解】由A ，B ，C 三点共线知//AB BC，则()34242m ⨯=-⨯，解得5m =．故5．14．如图，为测量山高MN ，选择A 和另一座山的山顶C 为测量观测点.从A 点测得M 点的仰角45,MAN C ∠=︒点的仰角30CAB ∠=︒以及75MAC ∠=︒；从C 点测得60MCA ∠=︒，已知山高50m BC =，则山高MN =________m .【正确答案】【分析】通过直角ABC 可先求出AC 的值，在AMC 由正弦定理可求AM 的值，在Rt MNA △中，由AM ，45MAN ∠=︒，从而可求得MN 的值．【详解】在Rt ABC △中，30CAB ∠=︒，50m BC =，所以100m AC =．在AMC 中，75MAC ∠=︒，60MCA ∠=︒，从而45AMC ∠=︒，由正弦定理得，sin 45sin 60AC AM=︒︒，因此506m AM =．在Rt MNA △中，506m AM =，45MAN ∠=︒，得503m MN =．故503．15．已知ABC 内一点P 满足14AP AB AC λ=+，若PCB 的面积与ABC 的面积之比为1:3，则λ的值为______．【正确答案】512【分析】过点P 作//PM AC ，//PN AB ，根据向量运算和平面向量基本定理可得AM AB λ=，14AN AC =．作PG ⊥AC 于点G ，BH ⊥AC 于点H ．根据三角形面积公式结合三角形相似判断可得PAC ABC S S λ=△△，14PAB ABC S S =△△，列方程求λ的值.【详解】如图，过点P 作//PM AC ，//PN AB ，则AP AM AN =+，又14AP AB AC λ=+ ，由平面向量基本定理可得AM AB λ=，14AN AC =．作PG ⊥AC 于点G ，BH ⊥AC 于点H ．又因为PNG BAH ∽△△，所以PG PNBH ABλ==，因为PAC ABC S S λ=△△，同理14PAB ABC S S =△△．因为PCB 的面积与ABC 的面积之比为1:3，所以11143λ++=，解得512λ=．故答案为.51216．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若22sin sin sin sin B C A C -=，则12tan +2tan B C的最小值为________．【正确答案】【分析】利用正弦定理及余弦定理可得2cos c a c B =-，再利用正弦定理及三角变换可得()sin sin C B C =-，2B C =，然后利用基本不等式即得.【详解】∵22sin sin sin sin B C A C -=，∴22b c ac -=，22b c ac =+，又2222cos b a c ac B =+-，∴2222cos c ac a c ac B +=+-，即2cos c a c B =-，∴()sin sin 2sin cos sin 2sin cos C A C B B C C B=-=+-()sin cos sin cos sin B C C B B C =-=-，∴C B C =-或C B C π+-=(舍去)，∴2B C =，∴tan tan02B C =>，∴12tan +22tan B C ≥当且仅当12tan2tan B C=时取等号，故答案为.四、解答题17．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，A （1，1），B （2，－3）．(1)若()OA OA AB λ⊥+ ，求实数λ的值；(2)设C （－6，k ），若AB ，BC 的夹角为钝角，求实数k 的取值范围．【正确答案】(1)23λ=(2)(5,29)(29,)-⋃+∞【分析】（1）由()OA OA AB λ⊥+ ，得()0OA OA AB λ⋅+= ，则1140λλ++-=，从而可求出实数λ的值，（2）由题意可得0BC AB ⋅< ，则84(3)<0k --+，求出k 的范围，再考虑AB ，BC 共线反向的情况，从而可求出实数k 的取值范围【详解】（1）因为(1,1),(1,4),OA AB ==- ，所以(1,14).OA AB λλλ+=+- 因为()OA OA AB λ⊥+ ，所以()0OA OA AB λ⋅+= ，即1140λλ++-=，解得23λ=．（2）因为(1,4),(8,3)AB BC k =-=-+ ，所以0BC AB ⋅< ，即84(3)<0k --+，解得>5k -．若//AB BC ，则8314k -+=-解得k ＝29．故实数k 的取值范围是(5,29)(29,)-⋃+∞．-18．在ABC 中，内角A B C ，，所对的边分别为,,,a b c 22ππsin sin cos cos 66B A A A ⎛⎫⎛⎫-=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．(1)求sin B 的值；(2)若2a =，2b ac =，求ABC 的面积．【正确答案】(1)sin 2B =【分析】（1）根据两角和与差的余弦公式展开，以及同角平方和关系即可求解；（2）根据（1）的结果可分两种情况讨论1cos 2B =或1cos 2B =-，结合余弦定理即可判断ABC 为等边三角形，根据面积公式即可求解.【详解】（1）由22ππsin sin cos cos 66B A A A ⎛⎫⎛⎫-=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭得2222ππππ31sin sin cos cos sin sin cos cos sin sin =cos sin 666644B A A A A A A A ⎛⎫⎛⎫-=-+=- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭则222333sin cos sin 444B A A =+=，且()0,πB ∈，sin B ∴（2）方法一：由（1）得sin B =，()0,πB ∈可得，1cos 2B =或1cos 2B =-由余弦定理可得2222cos b a c ac B =+-，当1cos 2B =时，222b a c ac =+-；由2b ac =可得，2220+-=a c ac ，即a c =，此时ABC 为等边三角形，故1sin 2ABC S ac B == 当1cos 2B =-时，222b a c ac =++，由2b ac =可得，220a c +=即0a c ==，不符合要求，所以，ABC方法二：2b ac= 由余弦定理可得，2222221cos 2222a cb ac ac ac ac B ac ac ac +-+--==≥=，当且仅当a c =时，等号成立即1cos 2B ≥，()0πB ∈，∴π03B ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，，由（1）sin B =π3B =且2a c ==，即1sin 2ABC S ac B == 方法三：2b ac= 由正弦定理可得，2sin sin sin B A C =，由（1）可得，3sin sin 4A C =，则3sin sin()4A A B +=，()3sin sin cos cos sin 4A A B A B +=，当1cos 2B =，即π3B =时，13sin sin 24A A A ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，即213sin cos 224A A A =，进一步得1cos23sin 2444A A -+=，πsin 216A ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，ππ7π2666A -<-<，即ππ2=62A -，故π3A =于是ABC 为等边三角形，1sin 2ABC S ac B ∆==当1cos 2B =-，即2π3B =时，13sin sin 24A A A ⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭，即213sin cos 224A A A -+=，cos21344A A -=，即sin 226A π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，推出矛盾；∴综上所述，ABC19．在ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ．若222a c acb ++=（1）求角B 的大小；（2）设BC 的中点为D，且AD =，求2a c +的取值范围．【正确答案】（1）23π；（2）.【分析】（1）根据余弦定理的推论即可求出；（2）设BAD θ∠=，在ABD △中利用正弦定理用θ的三角函数值表示出,a c ，再利用三角函数值域的求法即可求出2a c +的取值范围．【详解】（1）因为2221cos 222a cb ac B ac ac +--===-，而0B π<<，所以23B π=（2）如图所示：设BAD θ∠=，则ABD △中，由23B π=可知0,3πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,由正弦定理及AD =22sin sin sin 33BD AB AD ===⎛⎫- ⎪⎝⎭ππθθ，所以4sin a θ=，2sin 3c ⎛⎫=- ⎪⎝⎭πθ∴124sin 4sin 4sin cos 32a c πθθθθ⎛⎫⎛⎫+=+-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭4sin 3πθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭由0,3πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，可知，2,333πππθ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，sin ,13πθ⎤⎛⎫∴+∈⎥ ⎪⎝⎭⎝⎦24]a c ∴+∈.思路点睛：本题第一问直接根据余弦定理的推论即可求出，第二问有两种思路，第一种转化为求2a c +即AB BD +，在ABD △中利用余弦定理以及两边之和大于第三边即可求出；第二种引入角参数θ，由正弦定理用θ的三角函数值表示出,a c ，再利用三角函数值域的求法即可求出2a c +的取值范围，第二种方案可以求解任意形如ma nc +的取值范围，解法更一般．。
2024届黑龙江省普通高等学校数学高一下期末学业质量监测试题含解析
2024届黑龙江省普通高等学校数学高一下期末学业质量监测试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．执行如图所示的程序框图，输出S 的值为（ ）A ．－32B ．32C ．－12D ．122．平面直角坐标系xOy 中，角α的顶点在原点，始边在x 轴非负半轴，终边与单位圆交于点34,55A ⎛⎫⎪⎝⎭，将其终边绕O 点逆时针旋转34π后与单位园交于点B ，则B 的横坐标为（ ） A ．42B ．72C 72D ．2 3．在直三棱柱（侧棱垂直于底面）111ABC A B C -中，若2AB BC ==，13AA =，90ABC ∠=︒，则其外接球的表面积为（ ）A ．17πB ．43π C ．173πD 1717πA ．m ∥n ，m ∥α⇒n ∥αB ．α∥β，m ⊂α，n ⊂β⇒m ∥nC ．α⊥β，m ⊂α，n ⊂β⇒m ⊥nD ．α∥β，m ∥n ，m ⊥α⇒n ⊥β5．在某种新型材料的研制中，实验人员获得了下列一组实验数据：现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律，其中最接近的一个是（ ）x3 4 5.15 6.126 y4.04187.512 18.01 A ．()2112y x =- B ．22y x =-C ．2log y x =D ．12log y x =6．已知数据1210,,,x x x ⋯，2的平均值为2，方差为1，则数据1210,,,x x x ⋯相对于原数据( ) A ．一样稳定 B ．变得比较稳定 C ．变得比较不稳定D ．稳定性不可以判断7．从四件正品、两件次品中随机取出两件，记“至少有一件次品”为事件A ，则A 的对立事件是（ ）A ．至多有一件次品B ．两件全是正品C ．两件全是次品D ．至多有一件正品8．已知函数()223f x x mx =--，若对于[]()1,2,2x f x m ∈<-恒成立，则实数m的取值范围为（ ） A ．1,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭B ．1,3⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭C ．14,3⎛⎫-- ⎪⎝⎭D ．14,3⎡⎤--⎢⎥⎣⎦9．将函数()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像向右平衡6π个单位长度，再把图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）得到函数()g x 的图象，则下列说法正确的是（ ）A ．函数()g x 的最大值为31+B ．函数()g x 的最小正周期为2πC ．函数()g x 的图象关于直线3x π=-对称 D ．函数()g x 在区间2[,]3ππ上单调递增 10．已知等差数列中，，.若公差为某一自然数,则n 的所有可能取值为( ) A ．3,23,69B ．4,24,70C ．4,23,70D ．3,24,7011．函数2sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦的递增区间为______. 12．已知函数4(1)1y x x x =+>-，则函数的最小值是___． 13．已知角α终边经过点(1,3)，则sin cos sin 2cos αααα+=-__________. 14．方程3sin 10x -=在区间()0,2π的解为_______.15．若21lim 01n n an b n →∞⎛⎫+--=⎪+⎝⎭，则a =______，b =______. 16．直线1:l y x a =+和2:l y x b =+将单位圆22:1C x y +=分成长度相等的四段弧，则a b +=________.三、解答题：本大题共5小题，共70分。
黑龙江省高一下学期期末数学试卷(文科) (I)卷
黑龙江省高一下学期期末数学试卷（文科）（I）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）下列命题正确的是（）A . 若a＞b，则B . 若a＞b，c＞d，则ac＞bdC . 若＞，则a＞bD . 若a＞b，ab＞0，则2. （2分） (2017高二下·湘东期末) 已知数列{an}为等比数列，且a3=﹣4，a7=﹣16，则a5=（）A . 8B . ﹣8C . 64D . ﹣643. （2分） (2017高一下·扶余期末) 设满足约束条件则目标函数的最大值是（）A . 3B . 4C . 6D . 84. （2分） (2017高一上·石家庄期末) 已知α∈（0，π）且，则cosα的值为（）A .B .C .D .5. （2分） (2016高二下·六安开学考) 在正三棱柱（底面是正三角形的直棱柱）ABC﹣A1B1C1中，已知AB=2，CC1= ，则异面直线AB1和BC1所成角的正弦值为（）A .B .C .D . 16. （2分）若，，则sin=（）A .B .C .D .7. （2分）设m,n是两条不同的直线，是两个不同的平面，下列命题正确的是（）A . 若，则B . 若,则C . 若，则D . 若则8. （2分）若不论取何实数，直线恒过一定点，则该定点的坐标为（）A .B .C .D .9. （2分）用一个平面截半径为25cm的球，截面面积是225πcm2 ，则球心到截面的距离是（）A . 5cmB . 10cmC . 15cmD . 20cm10. （2分） (2016高二上·温州期末) 如图，三棱锥V﹣ABC底面为正三角形，侧面VAC与底面垂直且VA=VC，已知其主视图的面积为，则其左视图的面积为（）A .B .C .D .11. （2分）在数列中，，，则的值为（）A . 49B . 50C . 51D . 5212. （2分）若直线始终平分圆的周长，则的最小值为（）A . 1B . 5C . 3＋D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2016高一上·青海期中) 已知函数h（x）=4x2﹣kx﹣8在[5，20]上是减函数，则k的取值范围是________．14. （1分） (2018高一下·苏州期末) 已知的三个内角，，所对的边分别是，，，且角，，成等差数列，则的值为________．15. （1分）(2017·沈阳模拟) 已知四面体ABCD的顶点都在同一个球的球面上，BC= ，BD=4，且满足BC⊥BD，AC⊥BC，AD⊥BD．若该三棱锥的体积为，则该球的球面面积为________．16. （1分） (2020高三上·青浦期末) 我国古代庄周所著的《庄子天下篇》中引用过一句话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，其含义是：一根一尺长的木棒，每天截下其一半，这样的过程可以无限地进行下去.若把“一尺之棰”的长度记为1个单位，则第天“日取其半”后，记木棒剩下部分的长度为，则________三、解答题 (共6题；共40分)17. （5分）已知点O（0，0），A（4，0），B（0，3）为矩形的三个顶点，求矩形的两条对角线所在的直线的方程．18. （10分）已知函数f（x）= sin2x﹣cos2x﹣（x∈R）．（1）求函数f（x）的单调增区间．（2）设△ABC的内角A，B，C的对应边分别为a，b，c，且c= ，f（C）=0，若向量 =（1，sinA）与向量 =（2，sinB）共线，求a，b的值．19. （10分） (2015高二上·安徽期末) 如图，四边形ABCD与BDEF均为菱形，设AC与BD相交于点O，若∠DAB=∠DBF=60°，且FA=FC．（1）求证：FC∥平面EAD；（2）求直线AF与平面BCF所成角的余弦值．20. （5分）(2018·济南模拟) 已知函数．(I)求函数的最小正周期和单调递减区间；(II)在中，A，B，C的对边分别为，求的值．21. （5分）为美化环境，某市计划在以A、B两地为直径的半圆弧上选择一点C建造垃圾处理厂（如图所示）．已知A、B两地的距离为10km，垃圾场对某地的影响度与其到该地的距离关，对A、B两地的总影响度为对A地的影响度和对B地影响度的和．记C点到A地的距离为xkm，垃圾处理厂对A、B两地的总影响度为y．统计调查表明：垃圾处理厂对A地的影响度与其到A地距离的平方成反比，比例系数为；对B地的影响度与其到B地的距离的平方成反比，比例系数为k．当垃圾处理厂建在弧的中点时，对A、B两地的总影响度为0.15．（Ⅰ）将y表示成x的函数；（Ⅱ）判断弧上是否存在一点，使建在此处的垃圾处理厂对A、B两地的总影响度最小？若存在，求出该点到A地的距离；若不存在，说明理由．22. （5分）已知数列{an}的前n项和为Sn ， a1=2，Sn=n2+n．（1）求数列{an}的通项公式；（2）设{}的前n项和为Tn ，求证Tn＜1．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共40分) 17-1、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、21-1、22-1、。
2014-2015年黑龙江省龙东南四校高一下学期数学期末试卷及参考答案(理科)
2014-2015学年黑龙江省龙东南四校高一（下）期末数学试卷（理科）一.选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请把答案涂在答题卡上.）1．（5分）在等差数列{a n}中，若a1+a4+a7=39，a3+a6+a9=27，则S9=（）A．66 B．99 C．144 D．2972．（5分）已知直线x+2ay﹣1=0与直线（a﹣2）x﹣ay+2=0平行，则a的值是（）A．B．或0 C．﹣ D．﹣或03．（5分）已知△ABC中，a=，b=，∠A=30°，则c=（）A． B．C．2或D．或4．（5分）设一元二次不等式ax2+bx+1＞0的解集为{x|﹣1＜x＜2}，则ab的值为（）A．1 B．﹣ C．4 D．﹣5．（5分）某四面体的三视图如图所示，该四面体四个面的面积中最大的是（）A．8 B．4 C．4 D．106．（5分）已知等比数列{a n}中，a4+a8=，则a6（a2+2a6+a10）的值为（）A．1 B．﹣4 C．D．﹣7．（5分）过点P（﹣，﹣1）的直线l与圆x2+y2=1有公共点，则直线l倾斜角的取值范围是（）A．（0，]B．[0，]C．[0，]D．（0，]8．（5分）设a、b是两条不同直线，α、β是两个不同平面，则下列命题错误的是（）A．若a⊥α，b∥α，则a⊥b B．若a⊥α，b∥a，b⊂β，则α⊥βC．若a⊥α，b⊥β，α∥β，则a∥b D．若a∥α，a∥β，则α∥β9．（5分）用与球心距离为2的平面去截球，所得的截面面积为π，则球的体积为（）A．B．C．20πD．10．（5分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cos（A﹣C）=1﹣cosB，a=2c，则cos2C的值为（）A．B．C．D．11．（5分）不等式组表示的平面区域为Ω，直线y=kx﹣1与区域Ω有公共点，则实数k的取值范围为（）A．（0，3]B．[﹣1，3]C．（﹣∞，﹣1）∪[3，+∞）D．（﹣∞，1]∪[3，+∞）12．（5分）已知圆C1：（x﹣3）2+（y+1）2=1，圆C2与圆C1关于直线2x﹣y﹣2=0对称，则圆C2的方程为（）A．（x﹣1）2+（y﹣2）2=1 B．x2+（y﹣1）2=1 C．（x+1）2+（y﹣1）2=1 D．（x+2）2+（y﹣1）2=1二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分.请把答案填在答题卡上.）13．（5分）已知数列{a n}对于任意p，q∈N*，有a p+a q=a p+q，若，则a36=．14．（5分）已知△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且满足csinA=acosC，则sinA+sinB的最大值是．15．（5分）函数y=的最小值是．16．（5分）如图所示，在四边形ABCD中，AB=AD=CD=1，BD=，BD⊥CD，将四边形ABCD沿对角线BD折成四面体A′﹣BCD，使平面A′BD⊥平面BCD，则下列结论正确的是．（1）A′C⊥BD；（2）∠BA′C=90°；（3）CA′与平面A′BD所成的角为30°；（4）四面体A′﹣BCD的体积为．三、解答题（本大题共六小题，满分70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17．（10分）在四棱柱P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，PD⊥面ABCD，E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F，PD=DC．（1）证明：PA∥平面EDB；（2）证明：PB⊥平面EFD．18．（12分）已知等差数列{b n}，等比数列{a n}（q≠1），且a1=b1=3，a2=b4，a3=b13（1）求：通项公式a n，b n（2）令c n=a n b n，求{c n}的前n项和S n．19．（12分）在△ABC中，内角A，B，C所对边分别为a，b，c，且=．（1）求角B的大小；（2）如果b=2，求△ABC面积的最大值．20．（12分）已知直线l过点M（1，1），并且与直线2x+4y+9=0平行．（1）求直线l的方程；（2）若直线l与圆x2+y2+x﹣6y+m=0相交于P，Q两点，O为原点，且OP⊥OQ，求实数m的值．21．（12分）已知数列{a n}的各项均为正数，前n项和为S n，且（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设，求T n．22．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，∠BAD=90°，PA⊥底面ABCD，且PA=AD=AB=2BC=2，M、N分别为PC、PB的中点．（1）求证：PB⊥平面ADMN；（2）求BD与平面ADMN所成的角；（3）点E在线段PA上，试确定点E的位置，使二面角A﹣CD﹣E为45°．2014-2015学年黑龙江省龙东南四校高一（下）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一.选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请把答案涂在答题卡上.）1．（5分）在等差数列{a n}中，若a1+a4+a7=39，a3+a6+a9=27，则S9=（）A．66 B．99 C．144 D．297【解答】解：由a1+a4+a7=3a1+9d=39，得a1+3d=13①，由a3+a6+a9=3a1+15d=27，得a1+5d=9②，②﹣①得d=﹣2，把d=﹣2代入①得到a1=19，则前9项的和S9=9×19+×（﹣2）=99．故选：B．2．（5分）已知直线x+2ay﹣1=0与直线（a﹣2）x﹣ay+2=0平行，则a的值是（）A．B．或0 C．﹣ D．﹣或0【解答】解：∵直线x+2ay﹣1=0与直线（a﹣2）x﹣ay+2=0平行，∴1×（﹣a）=2a（a﹣2），解得a=或a=0，经验证当a=0时两直线重合，应舍去，故选：A．3．（5分）已知△ABC中，a=，b=，∠A=30°，则c=（）A． B．C．2或D．或【解答】解：∵a=，b=，∠A=30°，∴由正弦定理可得：sinB===，∴B=60°或120°．∴C=180°﹣A﹣B=90°或30°，可得sinC=1或∴由c==可得c=2或．故选：C．4．（5分）设一元二次不等式ax2+bx+1＞0的解集为{x|﹣1＜x＜2}，则ab的值为（）A．1 B．﹣ C．4 D．﹣【解答】解：∵一元二次不等式ax2+bx+1＞0的解集为{x|﹣1＜x＜2}，∴方程ax2+bx+1=0的解为﹣1，2∴﹣1+2=﹣，（﹣1）×2=∴a=﹣，b=，∴ab=﹣．故选：B．5．（5分）某四面体的三视图如图所示，该四面体四个面的面积中最大的是（）A．8 B．4 C．4 D．10【解答】解：由已知中的三视图，可知该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥，其直观图如下图所示：四个面的面积分别为：8，4，4，4，显然面积的最大值为4，故选：C．6．（5分）已知等比数列{a n}中，a4+a8=，则a6（a2+2a6+a10）的值为（）A．1 B．﹣4 C．D．﹣【解答】解：a6（a2+2a6+a10）=a6a2+2+a6a10=+2a4a8+=（a4+a8）2==，故选：C．7．（5分）过点P（﹣，﹣1）的直线l与圆x2+y2=1有公共点，则直线l倾斜角的取值范围是（）A．（0，]B．[0，]C．[0，]D．（0，]【解答】解：若直线斜率不存在，此时x=﹣与圆没有交点，则直线斜率k一定存在，设为k，则过P的直线方程为y+1=k（x+），即kx﹣y+k﹣1=0，若过点P（﹣，﹣1）的直线l与圆x2+y2=1有公共点，则圆心到直线的距离d≤1，即，即|k﹣1|≤，平方得k2﹣k≤0，解得0≤k≤，即0≤tanα≤，解得0≤α≤，故选：B．8．（5分）设a、b是两条不同直线，α、β是两个不同平面，则下列命题错误的是（）A．若a⊥α，b∥α，则a⊥b B．若a⊥α，b∥a，b⊂β，则α⊥βC．若a⊥α，b⊥β，α∥β，则a∥b D．若a∥α，a∥β，则α∥β【解答】解：A选项不正确，由于a⊥α，b∥α，可得出a⊥b，故此命题是正确命题B选项不是正确选项，若a⊥α，b∥a，可得出b⊥α，又b⊂β，由字定理知则α⊥β，故此命题是正确命题C选项不是正确选项，若a⊥α，b⊥β，α∥β两条直线分别垂直于两个平行平面，可得出a∥b，故此命题是正确命题D选项是正确选项，a∥α，a∥β，不能得出α∥β，因为平行于同一直线的两个平面可能相交故选：D．9．（5分）用与球心距离为2的平面去截球，所得的截面面积为π，则球的体积为（）A．B．C．20πD．【解答】解：用一平面去截球所得截面的面积为π，所以小圆的半径为1．已知球心到该截面的距离为2，所以球的半径为r=，所以球的体积为：；故选：B．10．（5分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cos（A﹣C）=1﹣cosB，a=2c，则cos2C的值为（）A．B．C．D．【解答】解：∵cos（A﹣C）=1﹣cosB，∴cosAcosC+sinAsinC=1+cos（A+C）=1+cosAcosC﹣sinAsinC，∴sinAsinC=，∵a=2c，∴sinA=2sinC，∴2sin2C=，cos2C=1﹣2sin2C=，故选：A．11．（5分）不等式组表示的平面区域为Ω，直线y=kx﹣1与区域Ω有公共点，则实数k的取值范围为（）A．（0，3]B．[﹣1，3]C．（﹣∞，﹣1）∪[3，+∞）D．（﹣∞，1]∪[3，+∞）【解答】解：作出不等式组表示的平面区域，如图示：得到如图所示的△ABC及其内部，即为区域Ω其中A（，﹣1，0），B（﹣1，4），C（1，2）∵直线y=kx﹣1经过定点M（0，﹣1），∴当直线y=kx﹣1与区域Ω有公共点时，它的位置应界于AM、CM之间（含边界）∵直线CM的斜率k==3，直线AM的斜率k=﹣1，∴k＞0时，直线y=kx﹣1斜率的最小值为3，可得实数k的取值范围为[3，+∞），k＜0时，直线y=kx﹣1斜率的最大值为﹣1，可得实数k的取值范围为（﹣∞，﹣1]，故选：C．12．（5分）已知圆C1：（x﹣3）2+（y+1）2=1，圆C2与圆C1关于直线2x﹣y﹣2=0对称，则圆C2的方程为（）A．（x﹣1）2+（y﹣2）2=1 B．x2+（y﹣1）2=1 C．（x+1）2+（y﹣1）2=1 D．（x+2）2+（y﹣1）2=1【解答】解：设圆C2的圆心为（a，b），则由，求得，故圆C2的圆心（﹣1，1），且半径为1，故圆C2的方程为（x+1）2+（y﹣1）2=1，故选：C．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分.请把答案填在答题卡上.）13．（5分）已知数列{a n}对于任意p，q∈N*，有a p+a q=a p+q，若，则a36= 4．【解答】解：由题意得，．故答案为4．14．（5分）已知△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且满足csinA=acosC，则sinA+sinB的最大值是．【解答】解：∵csinA=acosC，∴由正弦定理可得sinCsinA=sinAcosC，∴tanC=，即C=，则A+B=，∴B=﹣A，0＜A＜，∴sinA+sinB=sinA+sin（﹣A）=sinA+cosA+sinA=sinA+cosA=sin （A+），∵0＜A＜，∴＜A+＜，∴当A+=时，sinA+sinB取得最大值，故答案为：．15．（5分）函数y=的最小值是．【解答】解：函数y===+=（+）+≥2+=．当且仅当=，即有x=0，取得等号．则函数的最小值为．故答案为：．16．（5分）如图所示，在四边形ABCD中，AB=AD=CD=1，BD=，BD⊥CD，将四边形ABCD沿对角线BD折成四面体A′﹣BCD，使平面A′BD⊥平面BCD，则下列结论正确的是（2）（4）．（1）A′C⊥BD；（2）∠BA′C=90°；（3）CA′与平面A′BD所成的角为30°；（4）四面体A′﹣BCD的体积为．【解答】解：∵四边形ABCD中，AB=AD=CD=1，BD=，BD⊥CD，平面A'BD⊥平面BCD，则由A′D与BD不垂直，BD⊥CD，故BD与平面A′CD不垂直，则BD 仅于平面A′CD与CD平行的直线垂直，故（1）不正确；由题设知：△BA'D为等腰Rt△，CD⊥平面A'BD，得BA'⊥平面A'CD，于是（2）正确；由BD⊥CD，平面A′BD⊥平面BCD，易得CD⊥平面A′BD，∴CD⊥A′B，CD⊥A′D，∵A′D=CD，∴△A′CD为等腰直角三角形，∴∠A′DC=45°，则CA′与平面A′BD所成的角为45°，知（3）不正确；V A′﹣BCD=V C﹣A′BD=，故（4）正确．故答案为：（2）（4）．三、解答题（本大题共六小题，满分70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17．（10分）在四棱柱P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，PD⊥面ABCD，E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F，PD=DC．（1）证明：PA∥平面EDB；（2）证明：PB⊥平面EFD．【解答】证明：（1）连结AC，设AC∩BD=O，连接EO，∵底面是正方形，∴O为AC的中点，OE为△PAC的中位线，∴PA∥OE，而OE⊂平面EDB，PA⊄平面EBD，∴PA∥平面EDB；（2）∵PD⊥平面AC，BC⊂平面AC，∴BC⊥PD，而BC⊥CD，PD∩CD=D，∴BC⊥平面PDC，∵DE⊂平面AC，∴BC⊥DE，①，又∵PD⊥平面AC，DC⊂平面AC，∴PD⊥DC，而PD=DC，∴△PDC为等腰三角形，∴DE⊥PC，②，由①②得：DE⊥平面PBC，∴DE⊥PB，又EF⊥PB，∴PB⊥平面DEF．18．（12分）已知等差数列{b n}，等比数列{a n}（q≠1），且a1=b1=3，a2=b4，a3=b13（1）求：通项公式a n，b n（2）令c n=a n b n，求{c n}的前n项和S n．【解答】解：（1）设等差数列{b n}的公差为d，等比数列{a n}的公比为q≠1，∵a1=b1=3，a2=b4，a3=b13，∴，解得，∴，b n=2n+1．，∴3S n=3×32+5×33+…+（2n﹣1）×3n+（2n+1）×3n+1，∴﹣2S n=3×3+2×32+2×33+…+2×3n﹣（2n+1）×3n+1=3+2（3+32+…3n）﹣（2n+1）3n+1=﹣（2n+1）×3n+1=﹣2n×3n+1∴．19．（12分）在△ABC中，内角A，B，C所对边分别为a，b，c，且=．（1）求角B的大小；（2）如果b=2，求△ABC面积的最大值．【解答】解：（1）∵由正弦定理得，a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，∴==．可得：c2﹣b2=ac﹣a2，整理得：c2+a2﹣b2=ac∴由余弦定理可得：cosB===，0＜B＜π，∴…（6分）（2），∴a2+c2=ac+4…（8分）又∴a2+c2≥2ac，所以ac≤4，当且仅当a=c取等号．…（10分）=acsinB，∴S△ABC∴△ABC为正三角形时，S max=．…（12分）20．（12分）已知直线l过点M（1，1），并且与直线2x+4y+9=0平行．（1）求直线l的方程；（2）若直线l与圆x2+y2+x﹣6y+m=0相交于P，Q两点，O为原点，且OP⊥OQ，求实数m的值．【解答】解：（1）∵直线2x+4y+9=0的斜率k=﹣，∴所求直线斜率k′=﹣．故过点（1，1）且与已知直线平行的直线为y﹣1=﹣（x﹣1），即x+2y﹣3=0．（2）设P、Q的坐标分别为（x1，y1）、（x2，y2），由OP⊥OQ可得：⊥，即•=0，所以x1•x2+y1•y2=0．由x+2y﹣3=0得x=3﹣2y代入x2+y2+x﹣6y+m=0化简得：5y2﹣20y+12+m=0，∴y1+y2=4，y1•y2=．∴x1•x2+y1•y2=（3﹣2y1）•（3﹣2y2）+y1•y2=9﹣6（y1+y2）+5y1•y2=9﹣6×4+5×=m﹣3=0解得：m=3．21．（12分）已知数列{a n}的各项均为正数，前n项和为S n，且（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设，求T n．【解答】解：（Ⅰ）∵，∴，①，②由①﹣②得：，（2分）（a n+a n﹣1）（a n﹣a n﹣1﹣1）=0，∵a n＞0，∴，又∵，∴a1=1，∴，（5分）当n=1时，a1=1，符合题意．故a n=n．（6分）（Ⅱ）∵，∴，（10分）故．（12分）22．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，∠BAD=90°，PA⊥底面ABCD，且PA=AD=AB=2BC=2，M、N分别为PC、PB的中点．（1）求证：PB⊥平面ADMN；（2）求BD与平面ADMN所成的角；（3）点E在线段PA上，试确定点E的位置，使二面角A﹣CD﹣E为45°．【解答】证明：（1）∵M、N分别为PC、PB的中点，AD∥BC，∴AD∥MN，即A，D，M，N四点共面∵N是PB的中点，PA=AB，∴AN⊥PB．∵AD⊥面PAB，∴AD⊥PB．又∵AD∩AN=N∴PB⊥平面ADMN．（4分）解：（2）连结DN，∵PB⊥平面ADMN，∴∠BDN是BD与平面ADMN所成的角．在Rt△BDN中，，∴BD与平面ADMN所成的角是．（8分）（3）作AF⊥CD于点F，连结EF，∵PA⊥底面ABCD∴CD⊥PA∴CD⊥平面PAF∴CD⊥EF∴∠AFE就是二面角A﹣CD﹣E的平面角若∠AFE=45°，则AE=AF由AF•CD=AB•AD，可解得∴当时，二面角A﹣CD﹣E的平面角为45°．（12分）。
龙东地区高一数学下期末测试题学科试卷
龙东地区高一数学下期末测试题学科试卷的编辑就为您准备了龙东地区高一数学下册期末测试题答案一、选择题ACDCB CDABB DC二、填空题13.15 14.1 15. 16.3三、解答题17.解：已知圆的标准方程是它关于_轴的对称圆的方程是设光线L所在直线方程是：4分由题设知对称圆的圆心C_prime;(2，-2)到这条直线的距离等于1，即.6分整理得解得.8分故所求的直线方程是，或，即3_+4y-3=0，或4_+3y+3=0.10分18.解：(1)由已知得，又4分是首项为1，公差为1的等差数列;6分12分19.解：(Ⅰ)∵，4分_there4;故函数的最小正周期为;递增区间为(Z)6分(Ⅱ)，_there4;.∵，_there4;，_there4;，即.9分由正弦定理得：，_there4;，∵，_there4;或.当时，;当时，.(不合题意，舍)所以.12分20.解：(1)当a=0时，不等式的解集为__lt;2;2分(2)当a_ne;0时，将原不等式分解因式，得a(_+)(_-2)_lt;0①当a0时，原不等式等价于(_+)(_-2)0，不等式的解集为;4分②当时，，不等式的解集为或;6分③当时，，不等式的解集为或;8分④当时，不等式的解为。
10分综上，当a=0时，不等式的解集为;当a0时，不等式的解集为;当时，不等式的解集为;当时，不等式的解集为12分21、解：(1)∵在长方体中AE_perp;平面AA1DD1，A1D平面AA1DD1_there4;AE_perp;A1D又∵在正方体中A1D_perp;AD1，且AE_cap;AD1=A _there4;A1D_perp;平面AED1从而D1E_perp;A1D.------3分(2)设点E到面ACD1的距离为h，在△ACD1中，AC=CD1=，AD1=，_there4;------5分------7分(3)过D作DH_perp;CE于H，连D1H、DE，∵DD1_perp;CE，DH_cap;DD1=D_there4;CE_perp;平面DHD1则D1H_perp;CE，_there4;_ang;DHD1为二面角D1ECD的平面角.------8分设AE=_，则BE=2-_，22、解：圆C的方程可化为(_-a)2+(y-3a)2=4a_there4;圆心为C(a,3a),半径为r=2-------------2分 (1)若a=2，则c(2,6),r=,∵弦AB过圆心时最长，_there4;ma_=4-------------4分 (2)若m=2，则圆心C(a,3a)到直线_-y+2=0的距离d=,r=2-------------8分=2_there4;当a=2时，ma_=2，-------------12分。
黑龙江省高一下学期数学第一次在线考试试卷
黑龙江省高一下学期数学第一次在线考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分） (2019高一下·长春月考) 与向量平行的单位向量为（）A .B .C . 或D .2. （2分）用抽签法进行抽样有以下几个步骤：①将总体中的个体编号；②把号码写在形状、大小相同的号签上（号签可以用小球、卡片、纸条制作）；③将这些号签放在一个容器内并搅拌均匀；④从这容器中逐个不放回地抽取号签，将取出号签所对应的个体作为样本．这些步骤的先后顺序应为（）A . ①②③④B . ②③④①C . ①③④②D . ①④②③3. （2分）若复数Z满足，则复数（）A .B .C .D .4. （2分） (2020高一下·北京期中) 如果是两个单位向量，那么下列四个结论中正确的是（）.A .B .C .D .5. （2分） (2020高一下·故城期中) 在中，等于（）A .B .C .D .6. （2分） (2018高一下·唐山期末) 某校有女生1400人，男生1600人，用分层抽样的方法从该校所有学生中抽取一个容量为60的样本，则男生应抽取（）A . 14人B . 16人C . 28人D . 32人7. （2分） (2017高一下·福州期中) 200辆汽车通过某一段公路时的时速的频率分布直方图如图所示，则时速在[50，70）的汽车大约（）A . 60辆B . 80辆C . 100辆D . 120辆8. （2分）下列命题中正确的是（）A . 若两个向量相等,则它们的起点和终点分别重合.B . 模相等的两个平行向量是相等向量.C . 若和都是单位向量,则 .D . 两个相等向量的模相等.9. （2分）已知△ABC为等边三角形,AB=2,设点P,Q满足,,,若,则（）A .B .C .D .10. （2分）某社区有800户家庭，其中高收入家庭200户，中等收入家庭480户，低收入家庭120户，为了调查社会购买力的某项指标，要从中抽取一个容量为100户的样本，记作1；某学校高一年级有12名音乐特长生，要从中选出3名调查学习训练情况，记作2．那么完成上述两项调查应采用的抽样方法是（）A . ①用简单随即抽样②用系统抽样B . ①用分层抽样②用简单随机抽样C . ①用系统抽样②用分层抽样D . ①用分层抽样②用系统抽样11. （2分） (2020高一下·湖州期末) 对于向量，，和实数，下列命题中正确的是（）A . 若，则或B . 若，则或C . 若，则或D . 若，则12. （2分）(2017·浙江模拟) 已知两个单位向量，，且满足• =﹣，存在向量使cos （﹣，﹣）= ，则| |的最大值为（）A . 2B .C .D . 1二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）设某总体是由编号为01，02，…，19，20的20个个体组成．利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号是________14. （1分）(2018·南充模拟) 已知，， ,则 ________．15. （1分） (2019高一下·镇赉期中) 在中，若，则是________三角形．16. （1分）复数z=在复平面内对应点所在的象限是________三、解答题 (共6题；共45分)17. （5分） (2019高二下·舒兰月考) 已知复数，复数，其中是虚数单位，，为实数．（1）若，为纯虚数，求；（2）若，求，的值．18. （5分） (2018高二上·阜阳月考) 在中，角A,B,C 的对边分别是，已知（1）求角B的大小（2）求三角形ABC的面积。
黑龙江省高一下学期期初考试数学试题(解析版)
高一数学试题（考试时间120分钟，满分150分）一、单选题1. 已知集合，，则（ ）{}12A x x =-<<{}0B x x =<A B = A. B.C.D.{}10x x -<<{}02x x <<{}20x x -<<{}12x x -<<【答案】A 【解析】【分析】根据交集的定义求解.【详解】, 12{|12}{|0}{|10}0x A B x x x x xx x x ⎧⎫-<<⎧⎪⎪⋂=-<<⋂<==-<<⎨⎨⎬<⎩⎪⎪⎩⎭故选：A.2. 命题“”的否定是（ ）[)320,,320x x x ∞∀∈+-+≥A.[)320,,320x x x ∞∃∈+-+<B. ()320,,320x x x ∞∃∈+-+≥C.()32,0,320x x x ∞∀∈--+<D.()32,0,320x x x ∞∀∈--+≥【答案】A 【解析】【分析】根据全称命题的否定分析判断.【详解】命题“”的否定是“”.[)320,,320x x x ∞∀∈+-+≥[)320,,320x x x ∞∃∈+-+<故选：A.3. 已知一次函数满足，则（ ） ()f x ()()2196f x f x x ++=+()4f =A. 12 B. 13C. 14D. 15【答案】B 【解析】【分析】根据待定系数法可得函数解析式，进而即得.【详解】设，则,()()0f x ax b a =+≠()()()2122133f x f x ax b a x b ax a b ++=++++=++因为，()()2196f x f x x ++=+所以，解得，3936a ab =⎧⎨+=⎩3,1a b ==所以，. ()31f x x =+()413f =故选：B.4. 函数的单增区间为（ ） ()|2|f x x x =-A. B.(,1][2,)-∞⋃+∞(1,2)C. D.(2,)+∞(,1),(2,)-∞+∞【答案】D 【解析】【分析】得出分段函数解析式，即可得解.【详解】. 222,2()22,2x x x f x x x x x x ⎧-≥=-=⎨-<⎩因为，，()22211y x x x =-=--()22211y x x x =-=--+所以的增区间是． ()f x (,1),(2,)-∞+∞故选：D5. 下列函数中，表示同一个函数的是（ ）A. 与B. 与2y x =4y =3y x =-y =C. 与D. 与x y x=1(0)1(0)x y x ≥⎧=⎨-<⎩2y x =2S a =【答案】D 【解析】【分析】利用当两函数的定义域相同，对应关系相同时是相同的函数逐个分析判断即可.【详解】对于A ，的定义域为，的定义域为，两函数的定义域不相同，所以2y x =R 4y =[0,+)∞不是相同函数，故A 错误；对于B ，的定义域为，，两函数的定义域相同，3y x =-R y =R因为，所以两函数的对应关系不相同，3y x ==-所以两函数不是相同的函数，故B 错误，对于C ，的定义域为，的定义域为，两函数的定义域不相xy x =(,0)(0,+)-∞⋃∞1(0)1(0)x y x ≥⎧=⎨-<⎩R 同，所以不是相同函数，故C 错误；对于D ，的定义域为，的定义域为，两函数的定义域相同，而且两函数的对应关系相2y x =R 2S a =R 同，所以两函数是同一个函数，故D 正确； 故选：D6. 函数的单调递增区间是（）()212log 6y x x=+-A.B.1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦12,2⎛⎤- ⎥⎝⎦C.D.1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭1,32⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】D 【解析】【分析】先求函数的定义域，再利用复合函数的单调性原理得解. 【详解】解：由题得，解得. 260x x +->23x -<<因为在定义域内单调递减，所以当函数在定义域内单调递减时，函数12log y x =2y -x +x 6=+单调递增.()212log 6y x x =+-函数的单调递减区间为，2y -x +x 6=+1[,3)2故函数的单调递增区间是.()212log 6y x x =+-1[,3)2故选：D7. 若关于x 的不等式恒成立，则实数a 的取值范围为( ) 2220ax ax --<A. B. {}10a a -≤≤{}20a a -<≤C. D. 或{}21a a -<<{2a a <-0}a ≥【答案】B 【解析】【分析】分a ＝0和a ≠0两种情况讨论，a ≠0时，根据二次函数图像性质即可求出a 的范围．【详解】当a ＝0时，不等式变为－2＜0恒成立，故a ＝0满足题意； 当a ≠0时，若恒成立，2220ax ax --<则，即，解得．0Δ0a a ≠⎧⎪<⎨⎪<⎩20480a a a <⎧⎨+<⎩20a -<<综上，． 20a -<≤故选：B ．8. 若，则下列各式恒成立的是（ ） 13,24a b -<<<<A. B. 1214a b <-+<4211a b -<-+<-C. D.9211a b -<-+<-8210a b -<-+<【答案】D 【解析】【分析】根据不等式的性质可得，进而即得. 8210a b -<-+<【详解】因为，24b <<所以，又， 824b -<-<-13a -<<则. 8210a b -<-+<故选：D.二、多选题9. 下列各图是函数图象的是（ ）A.B.C.D.【答案】ACD 【解析】【分析】根据函数的定义，进行分析判断即可得解..【详解】根据函数的定义可知，定义域内的每一个只有一个和它对应， x y 因此不能出现一对多的情况，所以B 不是函数图象，AC D 是函数图象. 故选：ACD.10. 若（，且）在上单调递增，则的值可能是（ ）()22,24,2x a x f x x ax a x ⎧<=⎨-+≥⎩0a >1a ≠R a A.B.C. 2D.1252【答案】BC 【解析】【分析】结合分段函数的单调性即可求解.【详解】根据题意，（，且）在上单调递增，()22,24,2x a x f x x ax a x ⎧<=⎨-+≥⎩0a >1a ≠R 则有，解得，21222424a a a a a>⎧⎪⎪≤⎨⎪≤-+⎪⎩12a <≤故选：BC ．11. 下列不等关系中一定成立的是（ ） A. B.3log 2<2log 321551152⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C. ,D. >，()12112nn +<+*n ∈N 2n 2n *n ∈N 【答案】AC 【解析】【分析】根据题意，由不等式的性质对选项逐一判断，即可得到结果.【详解】选项A ，因为，所以，即A 正确；32log 21,log 31<>32log 2log 3<选项B ，若成立，则，即，显然与实际矛盾，即B 错误； 21551152⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭21152⎛⎫> ⎪⎝⎭11252>选项C ,，所以，即，故C 正确；()22111024n n n ⎛⎫+-+=-< ⎪⎝⎭2112n n ⎛⎫+<+ ⎪⎝⎭12(1)12n n +<+选项D ，取，则，即D 错误. 2n =22n n =故选:AC.12. 已知函数的图像经过点，则下列说法正确的是（ ）()f x x α=()4,2A. 函数为偶函数()f x B. 函数在其定义域内为增函数 ()f x C. 当时， 1x >()1f x >D. 当时，120x x <<()()121222f x f x x x f ++⎛⎫< ⎪⎝⎭【答案】BCD 【解析】【分析】根据题意先求得函数的解析式为()f x =【详解】由于函数的图像经过点，()f x x α=()4,2故有，，故 42α=12α∴=()f x =显然，函数为非奇非偶函数，故A 错误； ()f x 函数在其定义域内为增函数，故B 正确； ()f x当时，，故C 正确；1x >()1f x =>由于函数为上凸型函数，故有当时，，故D 正确．()f x 120x x <<()()121222f x f x x x f ++⎛⎫< ⎪⎝⎭故选：BCD ．三、填空题13. 已知函数，若，则________()221,1,1x x f x xx -≤-⎧=⎨>-⎩()4f x =x =【答案】2 【解析】【分析】分两种情况，当时和当时，解方程即可. 1x ≤-1x >-【详解】当时，，可得，不成立， 1x ≤-()214f x x =-=52x =当时，，可得或（舍去）， 1x >-()24f x x ==2x =2x =-所以.2x =故答案为：2.14. 已知是定义在R 上的奇函数，当时，，则当时，______． ()f x 0x <()13x f x =0x >()f x =【答案】 3x -【解析】【分析】由题意设，则，利用题中所给解析式求出，再由奇函数的定义即可得出答案.0x >0x -<()f x -【详解】当时，则，则， 0x >0x -<()133xx f x --==又函数是定义在R 上的奇函数， ()f x 所以当时，.0x >()()3xf x f x =--=-故答案为：.3x -15. 已知是R 上的偶函数，且在上是严格增函数，若，则a 的取值范()f x ()f x (],0-∞()()2f a f ≥围是______． 【答案】 []22-,【解析】【分析】利用函数的奇偶性和单调性解不等式.【详解】因为是R 上的偶函数，所以的图像关于轴对称. ()f x ()f x y 因为在上是严格增函数，所以在上是严格减函数. ()f x (],0-∞()f x ()0,∞+所以可化为，解得：. ()()2f a f ≥2a ≤22a -≤≤故答案为：[]22-,16. 已知函数，若函数有两个零点，则实数的取值范围是______．()22,2,2x f x x x x ⎧≥⎪=⎨⎪<⎩()()g x f x k =-k 【答案】 ()1,4【解析】【分析】根据分段函数解析式，确定函数图象，将函数零点转化为方程的根，结合函数图象即可得实数k 的取值范围.【详解】解：已知函数，则函数图象如下：()22,2,2x f x x x x ⎧≥⎪=⎨⎪<⎩故函数有两个零点即方程的根有两个，结合函数图象即可得，故实数()()g x f x k =-()f x k =14k <<的取值范围是.k ()1,4故答案为：.()1,4四、解答题17. 已知函数. ()()()()log 3log 301a a f x x x a =-++<<（1）求函数的定义域；()f x （2）若函数的最小值为，求的值. ()f x 2-a 【答案】（1）()3,3-（2）13【解析】【分析】（1）利用对数的真数大于零可得出关于实数的不等式组，即可解得函数的定义域； x ()f x （2）求得，求出的取值范围，利用对数函数的最值可得出关于实数的等式，()()2log 9a f x x=-29x-a 结合可求得实数的值. 01a <<a 【小问1详解】解：对于函数，有，解得，()()()()log 3log 301a a f x x x a =-++<<3030x x ->⎧⎨+>⎩33x -<<因此，函数的定义域为. ()f x ()3,3-【小问2详解】解：因为，且，则，()()2log 9a f x x=-33x -<<2099x<-≤因为，则函数为上的减函数， 01a <<log a y u =()0,∞+故，可得，，解得. ()min log 92a f x ==-29a -=01a << 13a =18. 已知函数 ()()2f x x x =-（1）作出函数的图象； ()f x （2）写出函数的单调区间； ()f x （3）当时，求的值域. []0,1x ∈()f x 【答案】（1）见解析 （2）单调增区间为，单调减区间为()[),0,1,-∞+∞[)0,1（3） []1,0-【解析】【分析】（1）根据二次函数的图象作图即可； （2）根据函数图象写出单调区间即可；（3）根据函数在上的单调性，即可得出答案. []0,1x ∈【小问1详解】解：，()()222,022,0x x x f x x x x x x ⎧-≥=-=⎨-+<⎩作出函数图象，如图所示：【小问2详解】解：由图可得：函数的单调增区间为， ()[),0,1,-∞+∞单调减区间为； [)0,1【小问3详解】解：因为函数在上递减，[]0,1x ∈所以， ()()()()max min 00,11f x f f x f ====-所以的值域为.()f x []1,0-19.设函数(a ≠0)．2()8f x ax bx =+-（1）若不等式，的解集为，求a ，b 的值；()0f x <(2,4)-（2）若，，求的最小值． (1)7=-f 0,0a b >>14a b+【答案】（1）a =1，2b =-（2）9 【解析】【分析】（1）由不等式的解集得一元二次方程的解，由韦达定理可求得； ,a b （2）由基本不等式求得最小值． 【小问1详解】因为不等式f (x )<0的解集为(－2，4)， 所以－2和4是方程的两个实根，()0f x =从而由韦达定理，解得，；24824b aa ⎧-+=-⎪⎪⎨-⎪-⨯=⎪⎩1a =2b =-【小问2详解】由，得， (1)7=-f 1a b +=又a >0，b >0， 所以＝(a ＋b )＝5＋＋≥5＋＝9， 14a b +14()a b +b a 4a b 当且仅当且，即时等号成立， 4b a a b =1a b +=12,33a b ==所以的最小值为9. 14a b+20. 已知幂函数(Z )的图象关于轴对称，且在上是单调递减函数．()223mm f x x --=m ∈y ()0,+∞（1）求的值；m （2）解不等式．()()122f x f -≥【答案】（1）1m =（2） 1113,,2222⎡⎫⎛⎤-⋃⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦【解析】【分析】（1）先利用幂函数在上是单调递减函数，得到，再验证其图象关于轴()0,+∞2230m m --<y 对称进行求值即可；（2）利用（1）中函数的奇偶性和单调性进行求解即可．【小问1详解】因为幂函数(Z )的图象关于轴对称，所以函数是偶函数，()223m m f x x --=m ∈y ()f x 为偶数，为奇数，223m m ∴--22m m ∴-因为函数在上是单调递减函数，所以，解得，()0,+∞2230m m --<13m -<<因为Z ，则，，，m ∈0m =12当时，为偶数，舍去；0m =220m m -=当时，为奇数，1m =221m m -=-当时，为偶数，舍去；2m =220m m -=故；1m =【小问2详解】由（1）可得，定义域为，且在上是单调递减函数，为偶函数， ()4f x x -={|0}x x ≠()0,+∞()f x 又，即，且，解得且， ()()122f x f -≥122x -≤120x -≠1322x -≤≤12x ≠所以不等式的解集为． 1113,,2222⎡⎫⎛⎤-⋃⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦21. 已知函数. ()321x f x a =-+（1）判断函数的单调性，并证明你的结论；()f x （2）若函数在区间（，1）上有零点，求a 的取值范围.()f x 1-【答案】（1）在上单调递增，证明见解析.()f x R （2）.()1,2【解析】【分析】（1）根据函数的单调性的定义可得证； （2）根据函数的单调性和零点存在定理建立不等式，由此可求得a 的范围.()()110f f -⋅<【小问1详解】解：在上单调递增，证明如下：()f x R 的定义域为任取且，()f x ,R ∴12,x x R ∈12x x <则， ()()()()()121212123223321211212x x x x x x f x f x a a ⋅--=--+=++++在上单调递增且， 2x y = R 12121212,022,220,210,210x x x x x x x x <∴<<∴-<+>+>，即在上单调递增.()()120f x f x ∴-<()()()12,f x f x f x <∴R 【小问2详解】解：由（1）知在上单调递增.又函数在区间（，1）上有零点，所以，()f x R ()f x 1-()()110f f -⋅<即，解得.()()120a a --<()2a ∈22. 已知函数，. ()22441f x ax x =+-a ∈R （1）若，恒成立，求实数的取值范围；x ∀∈R ()0f x <a （2）证明关于的方程有唯一的实数根；a ()0f a =（3）若函数在区间内恰有一个零点，求实数的取值范围.()f x ()1,1-a 【答案】（1） 16a <-（2）证明见解析 （3） 151,8246⎛⎫⎧⎫-⋃-⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭【解析】 【分析】（1）讨论与结合判断式即可求解；0a =0a ≠（2）问题等价于函数有唯一的零点，又因为且()32441f a a a =+-()()010f f <在是增函数，即可证明；()32441f a a a =+-R （3）当时有唯一零点，符合题意；当时，讨论与结合零点定理即可求解． 0a =140a ≠Δ0=0∆>【小问1详解】当时，，不成立；0a =()41f x x =-当时，恒成立，则，解得； 0a ≠()0f x <0Δ0a <⎧⎨<⎩016960a a <⎧⎨+<⎩16a <-【小问2详解】关于的方程有唯一的实数根等价于函数有唯一的零点a ()0f a =()32441f a a a =+-因为，，所以()010f =-<()12441270f =+-=>()()010f f <所以在有零点，()32441f a a a =+-()0,1又在是增函数，()32441f a a a =+-R 所以函数有唯一的零点，即方程有唯一的实数根；()32441f a a a =+-()0f a =【小问3详解】当时，，有唯一零点，符合题意；0a =()41f x x =-14当时，令，得，此时，有唯一的零点； 0a ≠Δ0=16a =-()()2244121f x x x x =-+-=--12当时，若函数在区间内恰有一个零点，有0∆>()f x ()1,1-，解得或 ()()()()0112452430a f f a a ≠⎧⎨-=-+<⎩108a -<<5024a <<综上，实数的取值范围． a 151,8246⎛⎫⎧⎫-⋃-⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭。
【高一】2021龙东地区高一数学下册教学联合体期末试题(带答案)
【高一】2021龙东地区高一数学下册教学联合体期末试题（带答案）2021龙东地区高一数学下册教学联合体期末试题（带答案）本试卷分第ⅰ卷（）和第ⅱ卷(非)两部分，共150分。
考试时间120分钟。
第ⅰ卷（选择题共60分后）一、选择题（每小题5分，共60分。
下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上）1．若，，则（）a.b.c.d.2．若一个几何体的主视图和左视图都是等腰三角形，俯视图是圆，则这个几何体可能是（）a．三棱柱b.圆柱c.圆锥d.球体3．已知等差数列中，，则公差的值为（）a.b.c.d.4．在中，已知且，则外接圆的面积是a.b.c.d.（）5．已知点和在直线的两侧，则的取值范围是a.，或b.（）c.或24d.6．例如图就是正方体的平面进行图，则在这个正方体中与的边线关系为a.平行b.相交成60°角（）c.异面变成60°角d.异面且横向7．关于直线a、b、l及平面、n，下列命题中正确的是()a.若a∥，b∥，则a∥bb.若a∥，b⊥a，则b⊥c.若a，b，且l⊥a，l⊥b，则l⊥d.若a⊥，a∥n，则⊥n8．圆o1：和o2：处设a、b两点，则ab的垂直平分线的方程就是（）a.3x－y－9=0b.3x－y－5=0c.x+3y+3=0d.x－3y+7=09．等比数列的各项均为正数，且＝18，则＝a．12b．10c．8d．2＋()10．关于x的方程至少存有一个正的实根，则a的值域范围就是（）a.b.c.或d.11．未知，且的最大值就是最小值的3倍，则a等同于（）a．或3b．c．或2d．12.设立就是定义在上恒不为零的函数，对任一实数、，都存有，若，（），则数列的前项和的值域范围就是（）a.b.c.d.第ⅱ卷（非选择题共90分后）二、题（每题5分，共20分。
把答案填在答题纸的横线上）13．未知等差数列中，就是方程的两根，则_______.14．已知直线和，若∥，则的值为_______.15．例如图(1)，直三棱柱的侧棱长和底面边长均为2，正视图和俯视图例如图(2)(3)右图，则其侧视图的面积为.16．已知：，且，则的最小值为.三、答疑题（本大题共6小题，共70分后，求解应允写下字表明、证明过程或编程语言步骤，写下在答题纸的适当边线）17．（本小题满分l0分）自点（－3，3）收到的光线l覆没x轴上，被x轴散射，其反射线所在直线与圆切线，谋光线l所在直线方程．18．（本小题满分l2分）在数列中，.（ⅰ）设证明是等差数列;(ⅱ)谋数列的前项和.19.（本小题满分l2分）未知函数()．(ⅰ)求函数的最小正周期及单调递增区间；(ⅱ)内角的对边短分别为，若且试求角b和角c.20．(本小题满分12分后)已知a∈r，解关于x的不等式21．(本小题满分12分后)如图，在长方体abcd―a1b1c1d1，中，ad=aa1=1，ab=2，点e在棱ab上移动.(ⅰ)证明：d1e⊥a1d;(ⅱ)当e为ab的中点时，求点e到面acd1的距离；(ⅲ)当ae等同于何值时，二面角d1―ec－d的大小为.22．(本小题满分12分)未知圆x2+y2-2ax-6ay+10a2-4a=0(0<a4)的圆心为c,直线l：y=x+。
龙东地区高一数学下册期末测试题答案
龙东地区高一数学下册期末测试题答案尽快地掌握科学知识，迅速提高学习能力,由xx为您提供的最新初三重点语文知识点综合练习，希望给您带来启发!1.选出下列加点字注音有误的一项( )A.葫芦(huacute;) 狭小(xiaacute;) 热衷(zhōnɡ) 呵叱(chigrave;)B.模样(moacute;) 顽固(waacute;n) 摩擦(cā) 隐瞒(maacute;n)C.纵使(zograve;nɡ) 跃进(yuegrave;) 吮吸(shǔn) 塑料(sugrave;)D .绘画(huigrave;) 檐廊(laacute;nɡ) 投掷(zhigrave;) 屹立(yigrave;)提示：B项模样(moacute;)，应读muacute;。
答案：B2.下面敬语使用得体的一项是( )A.读者给报社编辑写信说：敬颂编安。
B.长辈给侄儿李冰写信说：顺颂安康。
C.老李给同事老张写信说：谨致鸣谢。
D.小明给同学小王写信说：特此函达。
提示：B项长辈对晚辈不能用顺颂;C、D两项中谨致鸣谢特此函达是官方书信用语。
答案：A3.(2020浙江杭州中考模拟)下列句子中加点的成语使用不当的一项是( )A.学历并不代表一切，千万不要妄自菲薄，要相信自己的能力，要对自己有信心。
B.提前确定主力阵容也有一定的弊端，一个最根本的表现就是替补队员容易自暴自弃。
C.回收废电池的口号天天喊，可浙江桐乡的电池墓地建成已有十年，却无人问津。
D.这个孩子，本来基础不太好，读书又无动于衷，这样的学习态度，成绩怎会提高?提示：先要理解成语的含义，然后分析在具体语境中的运用是否恰当。
无动于衷指对应该关心的事毫不关心，用在此处不妥。
只要这样踏踏实实完成每天的计划和小目标，就可以自如地应对新学习，达到长远目标。
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黑龙江高一下学期开学考试数学试题(解析版) (2)
一、单选题1．命题“，”的否定是 0(0,)x ∃∈+∞00ln 1x x =-A ．， B ．， 0(0,)x ∃∈+∞00ln 1x x ≠-0(0,)x ∃∉+∞00ln 1x x =-C ．， D ．，(0,)x ∀∈+∞ln 1x x ≠-(0,)x ∀∉+∞ln 1x x =-【答案】C【详解】试题分析：特称命题的否定是全称命题，并将结论加以否定，所以命题的否定为：，(0,)x ∀∈+∞ln 1x x ≠-【解析】全称命题与特称命题2．在平面直角坐标系中，角以轴的非负半轴为始边，终边与单位圆交于点，则xOy αx 12，）=（ ）sin2αAB ．C ． D12【答案】A【分析】直接利用任意角的三角函数定义,结合正弦二倍角公式求解即可.【详解】由任意角三角函数定义得：,,1sin 2α==cosα==1sin22sin cos 22ααα==⨯=故选：A.3．若，，，则、、的大小关系为（ ） 0.62a =πlog 3b =22πlog sin 3c =a b c A ． B ． a b c >>b a c >>C ． D ．c a b >>b c a >>【答案】A【分析】利用指数、对数的单调性，以及三角函数特殊值，即可得出结果. 【详解】解：，0.60221a =>= ，，πππ0log 1log 3log π1=<<=01b <<，2222log sin πlog log 103c ==<=∴，故选：A. 4．函数的零点所在区间是（ ） 3ln y x x=-A ． B ．C ．D ．()3,4()2,3()1,2()0,1【答案】B【分析】根据解析式判断函数单调性，再应用零点存在性定理确定所在区间即可. 【详解】由在上递减， 3,ln y y x x==-(0,)+∞所以在上递减， 3ln y x x=-(0,)+∞又，， 3(2)ln 202f =-=>e (3)1ln 3ln 03f =-=<所以零点所在区间为. ()2,3故选：B5．要得到函数的图象, 只需将函数的图象（ ）()sin2f x x =()sin 3g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭A ．所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变), 再将所得的图像向左平移个单位. 3πB ．所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变), 再将所得的图像向左平移个单位. 6πC ．所有点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变), 再将所得的图像向左平移个单位. 123πD ．所有点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变), 再将所得的图像向左平移个单位.126π【答案】D【分析】根据三角函数的图象变换，即可求解，得到答案.【详解】由题意，将函数的图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不()πg x sin x 3⎛⎫=- ⎪⎝⎭12变)，可得，再将函数图象的各点向左平移个单位，可得()sin(23g x x π=-()sin(23g x x π=-6π，()sin[2()]sin 263f x x x ππ=+-=所以要得到函数的图象, 只需将函数的图象上所有点的横坐标缩短到()f x sin2x =()πg x sin x 3⎛⎫=- ⎪⎝⎭原来的 倍(纵坐标不变), 再将所得的图像向左平移个单位，故选D.126π【点睛】本题主要考查了三角函数的图象变换，其中解答中熟记三角函数图象变换的原则，合理准确地完成平移与伸缩是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.6．函数的最大值与最小值之和为2cos sin y x x x ππ⎛⎫=+-≤≤ ⎪A ．B ．2C ．0D ．3234【答案】A【分析】先由同角三角函数的平方关系可得，22cos sin sin sin 1y x x x x =+=-++再设，又，则，再结合二次函数在闭区间上最值的求法求解即可.sin t x =,66x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦11,22t ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦【详解】解：由，22cos sin sin sin 1y x x x x =+=-++又，所以，,66x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦11sin ,22x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦设，则，sin t x =11,22t ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦则，，2()1f t t t =-++11,22t ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦又函数在为增函数，()f t 11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦则，，max 15()()24f t f ==min 11()(24f t f =-=则函数的最大值与最小值之和为，2cos sin 66y x x x ππ⎛⎫=+-≤≤ ⎪⎝⎭513442+=故选：A.【点睛】本题考查了同角三角函数的平方关系，重点考查了二次函数最值的求法，属基础题.7．函数（，且）的图象过一个定点P ，且点P 在直线（()13x f x a -=+0a >1a ≠10mx ny +-=，且）图象上，则的最小值是（ ） 0m >0n >11m n+A ．9 B ．8C ．5D ．4【答案】A【分析】确定函数过定点，代入直线方程得到，变换，利用()1,441m n +=()11114m n m n m n ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭均值不等式计算得到答案.【详解】过定点，故，即，()13x f x a -=+()1,4410m n +-=41m n +=， ()111144559n m m n m n m n m n ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭当，即，时等号成立.4n m m n =13m =16n =故选：A8．意大利画家达·芬奇提出：固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，那么项链所形成的表达式为，相应的双曲正弦函数的表达式为．设函数e e cosh 2x x x -+=e esinh 2x xx --=()sinh cosh xf x x=，若实数a 满足不等式，则a 的取值范围为（ ）()()232020f a f a ++-<A ．B ．5,42⎛⎫- ⎪⎝⎭54,2⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．D ．()5,4,2⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭()5,4,2⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭【答案】D【分析】根据题意，写出函数的解析式，由函数的奇偶性和单调性列出不等式，解之即可.【详解】由题意可知：的定义域为，e e ()e +ex xx x f x ---=R 因为，所以函数为奇函数，e e ()()e +ex xx x f x f x ----==-()f x 又因为，且在上为减函数，222e e e 12()==1e +e e +1e +1x x x x x x x f x ----=-22()=e +1x g x R 由复合函数的单调性可知：在上为增函数， 22()1e +1x f x =-R 因为，所以，()()232020f a f a ++-<()()()2232022f a f a f a +<--=所以，解得：或，23202a a +<4a >52a <-所以实数的取值范围为，a 5(,)(4,)2-∞-+∞ 故选：D.二、多选题9．下列结论正确的是（ ） A ．是第三象限角 7π6-B ．若角的终边过点，则α(3,4)P -3cos 5α=-C ． 3πcos()sin(π)2A A -=+D ．若圆心角为的扇形弧长为，则该扇形面积为 π3π3π2【答案】BCD【分析】利用终边相同的角判断A ；利用任意角的三角函数的定义可判断B ；利用诱导公式求解可判断C ；利用扇形面积公式可判断D. 【详解】对于A ：，是第二象限角，故A 错误； 7π5π2π-=-对于B ：角的终边过点，则，所以，故B 正确； α(3,4)P -||5r OP ==cos 53x r α==-对于C ：，π3πcos cos πcos sin 222πA A A A ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-=--=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，则，故C 正确； sin(π)sin A A +=-3πcos()sin(π)2A A -=+对于D ，扇形的半径为，面积为，D 正确；π3π3=13ππ322⨯⨯=故选：BCD.10．已知，，则（ ） ()0,πθ∈1sin cos 5θθ+=A ．B ．π,π2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭3cos 5θ=C ．D ． 3tan 4θ=-7sin cos 5θθ-=【答案】AD【分析】对两边平方得，结合的范围得到，可判断1sin cos 5θθ+=12sin cos 025θθ=-<θπ,π2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭A ；再对平方将代入可求出可判断D ；结合同角三角函数平方sin cos θθ-sin cos θθ7sin cos 5θθ-=关系得到正弦和余弦值，进而求出正切值，BC 错误. 【详解】，两边平方得：，1sin cos 5θθ+=112sin cos 25θθ+=解得：①， 12sin cos 025θθ=-<故异号，sin ,cos θθ因为，所以，A 正确；()0,πθ∈π,π2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭所以，sin 0,cos 0θθ><， ()22449sin cos 12sin cos 12525θθθθ-=-⋅=+=所以②，D 正确； 7sin cos 5θθ-=由①②可得，故，故B ，C 不正确.43sin ,cos 55θθ==-4tan 3θ=-故选：AD.11．函数相邻两个最高点之间的距离为，则以下正确的是（ ）π()(0)3f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭πA ．的最小正周期为()f x π2π⎛⎫C ．的图象关于直线对称() f x π6x =-D ．在上单调递增() f x 5ππ1212⎡⎤-⎢⎣⎦,【答案】ABD【分析】根据相邻两个最高点之间的距离为得到函数的最小正周期，从而求出，即可得到函数πω解析式，再根据正弦函数的性质一一判断即可.【详解】解：因为函数相邻两个最高点之间的距离为，π()(0)3f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭π即函数的最小正周期为，故A 正确； ()f x π所以，解得，则， 2ππT ω==2ω=()π23f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭所以为奇函数，故B 正确；2π2ππ22333f x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=-+= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦又，所以函数关于点对称，即C 错误；ππ0π26036f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝-⎭-π,06⎛⎫- ⎪⎝⎭若，则，因为在上单调递增，5ππ1212x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦,ππ223π2x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣+⎦,sin y x =ππ,22⎡⎤-⎢⎣⎦所以在上单调递增，故D 正确；()f x 5ππ1212⎡⎤-⎢⎥⎣⎦,故选：ABD12．已知定义在R 上的函数满足，且当时，，若对任()f x (2)2()f x f x +=[0,2]x ∈()22xf x =-都有，则实数m 的取值可以是（ ） (,]x m ∈-∞()6f x ≤A ．4 B ．5 C ． D ． 274log 2+275log 2+【答案】ABC【分析】判断函数在的单调性及值域，则可将命题转化为，求解可得范围，[]2,22k k +max ()6f m =即可判断.【详解】当时，，则在，单调递减，，单调递[0,2]x ∈()22xf x =-[)0,1x ∈()f x []1,2x ∈()f x 增，此时.[]()0,2f x ∈由定义在R 上的函数满足得，在的图象向右移动个单位()f x (2)2()f x f x +=()f x [0,2]*2()k k ÎN 时，图象纵坐标拉伸为原来的倍，对应值域为；2k 0,2k ⎡⎤⎣⎦向左移动个单位时，图象纵坐标压缩为原来的倍，对应值域为. *2()k k ÎN 12k 10,2k ⎡⎤⎢⎥⎣⎦图象如图所示，若对任都有，由及图象可得，，(,]x m ∈-∞()6f x ≤23262<<max ()6f m =[]max 4,6m Î又当时，，故有， []4,6x ∈4()422x f x -=-max max max 42()4222764log m m f m -=⇒=+=-故实数m 的取值范围为. 27,4log 2⎛⎤-∞+ ⎥⎝⎦故选：ABC.三、填空题13．已知幂函数在上单调递增，则实数的值为______()()22321m m f x m x -+=-()0,∞+m 【答案】0【解析】由题可得，解出即可.()2211320m m m ⎧-=⎪⎨-+>⎪⎩【详解】由题可得，解得.()2211320m m m ⎧-=⎪⎨-+>⎪⎩0m =故答案为：0.14．函数的定义域为，则实数的取值范围是_______________.()2lg 243y kx kx =--+R k 【答案】3,02⎛⎤- ⎥⎝⎦【分析】根据题意，将问题转化为恒成立问题，结合二次函数的性质即可得解. 22430kx kx --+>【详解】由题意可知，恒成立， 22430kx kx --+>当时，恒成立，0k =30>当时，，解得， 0k ≠20Δ16240k k k <⎧⎨=+<⎩302k -<<综上：，故的取值范围为. 302k -<≤k 3,02⎛⎤- ⎥⎝⎦故答案为：.3,02⎛⎤- ⎥⎝⎦15．已知，则_________.π3cos(124α+=-πsin(23α-=【答案】18-【分析】利用诱导公式变形，再借助二倍角的余弦公式计算作答.【详解】因为，则π3cos 124α⎛⎫+=- ⎪⎝⎭ππππsin 2sin 2cos 2312212ααα⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦.2π118112cos 11286α⎛⎫=-+=-=- ⎪⎝⎭故答案为：.18-16．函数，若在区间内无最值，则的取值范围是_________.π()2sin(0)4f x x ωω=+>()f x ()π,2πω【答案】1150,,848⎛⎤⎡⎤⋃ ⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦【分析】根据正弦函数的图像与性质，可求得取最值时的自变量值， 由在区间上没有最值可知， ()f x ()π,2π()πππ,2π4kωω+∉进而可知或，解不等式并取的值，即可确定的取值范围. πππ4k ωω+≤ππ2π4k ωω+≥k ω【详解】函数，()()π2sin ,04f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭由正弦函数的图像与性质可知，当取得最值时满足， πππ,Z 42x k k ω+=+∈解得， ππ,Z 4kx k ωω=+∈由题意可知，在区间上没有最值，则()f x ()π,2π2π2π,<1T ωω=>则，， ()πππ,2π4kωω+∉Z k ∈所以或， πππ4k ωω+≤ππ2π4k ωω+≥因为，解得或，0ω>14k ω≥+1182k ω≤+当时，代入可得或， 0k =14ω≥18ω≤当时，代入可得或，1k =54ω≥58ω≤当时，代入可得或，此时无解.2k =9ω≥9ω≤综上可得或，即的取值范围为.108ω<≤1548ω≤≤ω1150,,848⎛⎤⎡⎤⋃ ⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦故答案为：.1150,,848⎛⎤⎡⎤⋃ ⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦四、解答题17．， {}|26A x a x a =-<<-105x B xx ⎧⎫+=<⎨⎬-⎩⎭（1）若，求；4a =R A ð（2）若，求实数的取值范围. A B B ⋃=a 【答案】（1）； (][),42,A =-∞-⋃+∞R ð（2）.2a ≤【分析】（1）根据的值得出集合，再由集合的补集运算得出；a A R A ð（2）先求出集合，再由，得出，分集合和两种情况讨论可得出实B A B B ⋃=A B ⊆A =∅A ≠∅数的取值范围.a 【详解】（1）若，则，所以， 4a ={}()|424,2A x x =-<<=-(][),42,A =-∞-⋃+∞R ð（2）由得，所以， 105x x +<-15x -<<()1,5B =-因为，所以， A B B ⋃=A B ⊆①当时，，；A =∅26a a -≤-2a ∴≤②当时，即时，要使，则需，解得，解得，A ≠∅2a >AB ⊆1265a a -≥-⎧⎨-≤⎩1112a a ≤⎧⎪⎨≤⎪⎩1a ≤所以此时无解.a 综上：实数的取值范围是.a 2a ≤【点睛】本题考查集合间的子集关系和并集、补集运算，由集合的并集结果得出集合间的子集关系是本题的关键，注意需考虑子集是空集和不是空集的情况分类讨论，属于基础题.18．已知.()()()()3πsin 3πtan πsin 2πcos tan 3π2f αααααα⎛⎫-+- ⎪⎝⎭=⎛⎫-- ⎪⎝⎭(1)化简;()f α(2)若求的值.()40π(),f αα∈=-,，1cos 2α+【答案】(1) ()cos f αα=(2)43-【分析】（1）利用诱导公式即可化简；()f α（2）利用同角三角函数的基本关系可求的值，进而根据二倍角公式化简，即可得tan α1cos 2sin 2αα+出答案．【详解】（1）根据诱导公式得： ()()()()3πsin 3πtan πsin 2πcos tan 3π2f αααααα⎛⎫-+- ⎪⎝⎭=⎛⎫-- ⎪⎝⎭.()()sin tan cos cos sin tan αααααα⋅⋅-==⋅-（2）因为所以，，()40,π(),5f αα∈=-，4()cos 5f αα==-sin 0α>所以由可得：，22sin cos 1αα+=33sin ,tan 54αα==-所以.21cos 22cos 14sin 22sin cos tan 3αααααα+===-19．已知函数的一部分图象如图所示，如果，，． ()sin()f x A x B ωϕ=++0A >0ω>π2ϕ<(1)求函数的解析式；()f x (2)当时，求函数的取值范围．ππ,66x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦()f x 【答案】(1)()π2sin 226f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭(2) []1,4【分析】（1）由函数的最大值和最小值求出，，由周期求出，由特殊点求出，即可求得函A B ωϕ数解析式；ππ⎡⎤ππ⎛⎫围.【详解】（1）由图象可知，，， 4022A -==4022B +==设最小正周期为，，∴， ()f x T 12π5πππ441264T ω=⨯=-=2ω=∴，()()2sin 22f x x ϕ=++又∵，且， ππ2sin 22466f ϕ⎛⎫⎛⎫=⨯++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭π2ϕ<∴，，∴， ππ22π62k ϕ⨯+=+k ∈Z π6ϕ=∴函数的解析式为. ()f x ()π2sin 226f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭（2）当时，，， ππ,66x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦πππ2662x ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦，π1sin 2162x ⎛⎫⎡⎤+∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦∴函数的取值范围是. ()π2sin 226f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭[]1,420．已知函数.()2log f x x =(1)设函数是定义域在上的奇函数，当时，，求函数的解析式;()g x R 0x >()()g x f x =()g x (2)当时，函数（其中）的最小值为，求实数的值. 14x ≤≤()24a x x h x f f ⎛⎫⎛⎫=⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭02a <≤14-a 【答案】(1) ()()22log ,00,0log ,0x x g x x x x ⎧>⎪==⎨⎪--<⎩(2)1【分析】（1）根据函数的奇偶性对解析式进行求解即可；（2）由题意，化简后，使用换元法进行求解即可.()h x 【详解】（1）当时，，0x >()()2log g x f x x ==当时，，∴0x <0x ->()()2log g x x -=-又∵为奇函数，∴当时，，()g x 0x <()()()2log g x g x x =--=--又∵是定义域在上的奇函数，∴，()g x R ()00g =综上所述，函数的解析式为. ()g x ()()22log ,00,0log ,0x x g x x x x ⎧>⎪==⎨⎪--<⎩（2）当时，，， 14x ≤≤02a x >04x >∴ ()()()222222log log log log 2log log 42424a a a x x x x h x f f x x ⎛⎫⎛⎫=⋅==-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()22log log 2x a x =--令，当时，，2log x t =14x ≤≤02t ≤≤设，，()()()()2222F t t a t t a t a =--=-++[]0,2t ∈∵，∴由二次函数知识知，当时，最小值为， 02a <≤(]21,22a t +=∈()F t 22a F +⎛⎫ ⎪⎝⎭令，解得（舍）或， ()2221244a a F -+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭3a =1a =∴当时，函数（其中）的最小值为， 14x ≤≤()24a x x h x f f ⎛⎫⎛⎫=⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭02a <≤14-则实数的值为.a 121．已知函数 2211()cos sin cos 222222x x x x f x =-(1)将函数化简成的形式，并求出函数的最小正周期；()f x sin()A x ωϕ+(2)将函数的图象各点的横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），再向左平移个单位长度，得()f x 12π12到函数的图象.若方程在上有两个不同的解，，求实数的取值()y g x =2()1g x m -=[0,]2x π∈1x 2x m 范围，并求的值.12tan()x x +【答案】(1)，最小正周期为 ()πsin 6f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭2π(2)实数的取值范围是，m )1,1()12tan x x += 【分析】（1）使用三角恒等变换和辅助角公式化简，并利用求出最小正周期即可.()f x 2πT ω=（2）先使用伸缩和平移变换得到，再将方程等价变换为，由的()g x 2()1g x m -=1()2m g x +=()g x 图象和性质求出的取值范围，即可求出实数的取值范围，同时，利用的对称性，可求12+m m ()g x 出的值.12tan()x x +【详解】（1） 2211()cos sin cos 222222x x x x f x =-221cos sin 2sin cos 22222x x x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭1cos 2x x =， πsin 6x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭∴函数的最小正周期. ()f x 2π2π1T ==（2）由（1）， ()πsin 6f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭将函数的图象各点的横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），再向左平移个单位长度， ()f x 12π12得到函数的图象，∴， ()y g x =()πππsin 2sin 21263g x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦由，，得，， πππ2π22π232k x k -+≤+≤+k ∈Z 5ππππ1212k x k -+≤≤+k ∈Z ∴在区间（）上单调递增， ()πsin 23g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭5πππ,π1212k k ⎡⎤⎢⎥⎣++⎦-k ∈Z 同理可求得在区间（）上单调递减， ()πsin 23g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭π7ππ,π1212k k ⎛⎫++ ⎪⎝⎭k ∈Z 且的图象关于直线，对称， ()g x ππ122k x =+k ∈Z 方程等价于， 2()1g x m -=1()2m g x +=∴当时，方程有两个不同的解，， [0,2x π∈1()2m g x +=1x 2x 由单调性知，在区间上单调递增，在区间上单调递减， ()g x ()g x π0,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦ππ,122⎛⎤ ⎥⎝⎦且，， ()π06g g ⎛⎫== ⎪⎝⎭π112g ⎛⎫= ⎪⎝⎭π2g ⎛⎫= ⎪⎝⎭∴时，方程有两个不同的解，， 112m +≤<1()2m g x +=1x 2x，实数的取值范围是.11m -≤<m )1,1又∵的图象关于直线对称，∴，即， ()g x π12x =12π212x x +=12π6x x +=∴. ()12tan x x +=22．函数 2π()()cos()sin()3f x x x x ωϕωϕωϕ=+-+⋅++π(0,0)2ωϕ><<同时满足下列两个条件： ①图象最值点与左右相邻的两个对称中心构成等腰直角三角形;()f x ②是的一个对称中心; 2(,0)3()f x (1)当x ∈[0，2]时，求函数的单调递减区间； ()f x (2)令若g （x ）在时有零点，求此时的取值范围． 2511()((,643g x f x f x m =-+-+53[,62x ∈m【答案】(1)和 10,6⎡⎤⎢⎥⎣⎦7,26⎡⎤⎢⎥⎣⎦(2) 171,648⎡⎤--⎢⎥⎣⎦【分析】（1）化简的解析式，根据条件①②求得，利用整体代入法求得的单调递()f x ,ωϕ()f x 减区间.（2）化简的解析式，通过分离常数法，结合三角函数的值域求得的取值范围.()g x m【详解】（1）2π()()cos()sin(3f x x x x ωϕωϕωϕ=+-+⋅++()()21()cos()sin 2x x x x ωϕωϕωϕωϕ⎡⎤=+-+⋅++⎢⎥⎣⎦21sin()cos()()2x x x ωϕωϕωϕ=-+++11cos(22)sin(22)42x x ωϕωϕ++=-+1sin(22)2)4x x ωϕωϕ=-++. 12πsin 2223x ωϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的最大值是， ()f x 12由于图象最值点与左右相邻的两个对称中心构成等腰直角三角形，()f x 所以，， 12ππ2,2,2222T T ωω=⨯===()12πsin π223f x x ϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭由于是的一个对称中心， 2(,0)3()f x 所以， 2π2π4πsin 2sin 20333ϕϕ⎛⎫⎛⎫++=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以， 4ππ2π2π,,Z 323k k k ϕϕ+==-∈由于，所以， π02ϕ<<π3ϕ=则， ()12π2π14πsin πsin π23323f x x x ⎛⎫⎛⎫=++=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭由， π4π3π2ππ2π232k x k +≤+≤+解得， 5122,Z 66k x k k -≤≤+∈由于，所以的单调递减区间是和. []0,2x ∈()f x 10,6⎡⎤⎢⎥⎣⎦7,26⎡⎤⎢⎥⎣⎦（2）， ()515π4π1π1sin πsin πcos π6263222f x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， ()11π4π11sin πsin ππsin π323322f x x x x ⎛⎫⎛⎫-=-+=+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以， ()()211cos πsin π48g x x x m =-+依题意，在时有零点， ()g x 53,62x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦即方程在时有解， ()211cos πsin π048x x m -+=53,62x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦即在时有解， ()211cos πsin π48m x x =-+53,62x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦ ()211cos πsin π48m x x =-+()2111sin πsin π48x x ⎡⎤=--+⎣⎦， ()2111sin πsin π484x x =+-()21117sin π4464x ⎡⎤=+-⎢⎥⎣⎦， ()53531,,ππ,π,sin π1,62622x x x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤∈∈∈-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，， ()133sin π,444x ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦()219sin π0,416x ⎡⎤⎡⎤+∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦所以. 171,648m ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦。
2022-2023学年黑龙江省哈尔滨市高一年级下册学期期末数学试题含答案
2022-2023学年黑龙江省哈尔滨市高一下学期期末数学试题一、单选题1．若复数32i z =-，则复数z 的虚部为（）A ．2i -B ．2iC ．2-D ．2【答案】C【分析】由复数的概念判断即可.【详解】由复数的概念可知，复数32i z =-的虚部为2-．故选：C ．2．m n ，是两条不同直线，αβ，是两个不同的平面，则下列说法正确的是（）A ．若//,//m n αα，则//m nB ．若//,//m n n α，则//m αC ．若,ααβ⊥⊥m ，则//m βD ．若,n n αβ⊥⊥，则//αβ【答案】D【分析】根据线面位置的判定逐一判断即可.【详解】若////m n αα，，则m 与n 平行，相交或者异面，故A 错误；若//,//m n n α，则//m α或者m α⊂，故B 错误；若,ααβ⊥⊥m ，则//m β或者m β⊂，故C 错误；若,n n αβ⊥⊥，则//αβ，故D 正确；故选：D.3．若1()9P AB =，2()3P A =，1()3P B =，则事件A 与B 的关系是（）A ．互斥但不对立B ．对立C ．相互独立D ．既互斥又独立【答案】C【分析】根据独立事件的乘法公式判断独立性，根据互斥事件的定义判断是否互斥．【详解】∵2()3P A =，∴21()1()133P A P A =-=-=，∴1()()()09P AB P A P B ==≠，∴事件A 与B 相互独立，题中事件A 与B 可以同时发生，它们既不互斥也不对立.故选：C ．4．已知向量,a b的夹角为56π，且||1,||3a b == ，则(2)()a b a b -⋅+= （）A ．312--B ．12C ．72D ．52-【答案】D【分析】根据数量积公式和运算律计算即可.【详解】()()2253522cos 2133622a b a b a a b b π⎛⎫-⋅+=+⋅-=+⨯⨯--=- ⎪ ⎪⎝⎭.故选：D.5．某人从水库中打了一网鱼共1000条，作上记号再放回水库中，数日后又从水库中打了一网鱼共n 条，其中k 条有记号，由此估计水库中共有鱼的条数为（）A ．1000kB ．1000n kC ．1000nD ．无法估计【答案】B【分析】估计水库中共有鱼的条数为x ，解方程1000kx n=即得解.【详解】估计水库中共有鱼的条数为x ，则10001000,k n x x n k=∴=.故选：B6．围棋起源于中国，据先秦典籍《世本》记载：“尧造围棋，丹朱善之”，围棋至今已有四千多年历史，蕴含者中华文化的丰富内涵.在某次国际比赛中，中国派出包含甲、乙在内的5位棋手参加比赛，他们分成两个小组，其中一个小组有3位，另外一个小组有2位，则甲和乙不在同一个小组的概率为（）A ．110B ．25C ．35D ．710【答案】C【分析】利用列举法求得基本事件的总数，以及所求事件包含的基本事件的个数，结合古典摡型的概率计算公式，即可求解.【详解】由题意，另3位棋手分别记为丙、丁、戊，则这5位棋手的分组情况有（甲乙丙，丁戊），（甲乙丁，丙戊），（甲乙戊，丙丁），（甲丙丁，乙戊），（甲丙戊，乙丁），（甲丁戊，乙丙），（乙丙丁，甲戊），（乙丙戊，甲丁），（乙丁戊，甲丙），（丙丁戊，甲乙），共10种，其中甲和乙不在同一个小组的情况分别为（甲丙丁，乙戊），（甲丙戊，乙丁），（甲丁戊，乙丙），（乙丙丁，甲戊），（乙丙戊，甲丁），（乙丁戊，甲丙），共有6种，所以甲和乙不在同一个小组的概率63105P ==.故选：C.7．在三棱锥-P ABC 中，PA ⊥底面ABC ，2AB AC AP ==，，BC CA ⊥，若三棱锥-P ABC 外接球的表面积为5π，则BC =（）A ．1B ．2C ．3D ．5【答案】C【分析】根据外接球的特点和线面垂直的判定结合几何关系即可求解.【详解】因为PA ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，所以BC PA ⊥，由,,BC CA CA PA A ⊥⋂=,CA PA ⊂面PAC ，所以BC ⊥面PAC ，由AB ⊂面ABC ，则PA ⊥AB ，由PC ⊂面PAC ，则BC ⊥PC ，PB 是Rt PBC 和Rt PBA 的公共斜边，则PB 是三棱锥的外接球直径，由254π5π2S R R ==⇒=，设AC AP m ==，则2245PB R m ==+=，则1,413m BC ==-=，故选：C ．8．如图，在山脚A 测得山顶P 的仰角为α，沿倾斜角为β的斜坡向上走a 米到B ，在B 处测得山顶P 的仰角为γ，则山高h =（）A ．cos sin()sin()a αγαγβ--B ．sin sin()sin()a αγαγβ--C ．cos sin()sin()a αγβγα--D ．sin sin()sin()a αγβγα--【答案】D【分析】在PAB 中，根据正弦定理求得sin()sin()a PB αβγα-=-，结合PQ PC CQ =+，即可求解.【详解】在PAB 中，ππ,()()22PAB BPA αβαγγα∠=-∠=---=-，由正弦定理得sin()sin()PB a αβγα=--，可得sin()sin()a PB αβγα-=-，过点B 作BD AQ ⊥，可得sin CQ BD a β==所以sin sin()sin sin sin()a PQ PC CQ PB a αγβγβγα-=+=⋅+=-.故选：D.二、多选题9．下列说法正确的是（）A ．用简单随机抽样的方法从含有50个个体的总体中抽取一个容量为5的样本，则个体m 被抽到的概率是0.1B ．已知一组数据1，2，3，3，4，5的众数大于中位数C ．数据27，12，14，30，15，17，19，23的第70百分位数是21D ．甲乙丙三种个体按3:1:2的比例分层抽样，如果抽取的甲个体数为9，则样本容量为18【答案】AD【分析】利用简单随机抽样的意义判断A ；求出众数、中位数判断B ；求出第70百分位数判断C ；利用分层抽样的意义求出样本容量判断D 作答.【详解】对于A ，个体m 被抽到的概率为50.150=，A 正确；对于B ，数据1，2，3，3，4，5的众数为3，中位数为3，B 错误；对于C ，数据27，12，14，30，15，17，19，23从小到大排列为：12，14，15，17，19，23，27，30，由于870⨯% 5.6=，因此给定数据的第70百分位数是23，C 错误；对于D ，令样本容量为n ，依题意，93312n =++，解得18n =，D 正确.故选：AD10．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为A B ∠∠，，∠C 的对边，则下列叙述正确的是（）A ．若cos cos a bB A=，则△ABC 为等腰三角形B ．若A B >，则sin sin A B>C ．若·0AB BC <，则△ABC 为钝角三角形D ．若sin cos a b C c B =+，则π4C ∠=【答案】BD【分析】由正弦定理边角互化，结合三角函数的性质以及和差角二倍角公式即可判断ABD ，由向量的数量积定义即可判断C.【详解】由cos cos a b B A =得sin sin sin 2sin 2222π,cos cos A BB A A B k B A=⇒=⇒=+或22π2π,Z A B k k +=+∈，由于在三角形中，所以A B =或π2A B +=，故△ABC 为等腰三角形或者为直角三角形，故A 错误，由A B >，得a b >，由正弦定理得sin sin A B >，故B 正确，若·0AB BC <，则()·cos π0cos 0AB BC B B <⇒> -,因此B 为锐角，故无法确定△ABC 为钝角三角形，故C 错误，由sin cos a b C c B =+得sin sin sin sin cos A B C C B =+,进而可得sin()sin sin sin cos sin cos sin sin B C B C C B B C B C ⇒+=+⇒=，由于sin 0B ≠,所以cos sin tan 1C C C =⇒=,由于()0,πC ∈,所以π4C =,故D 正确，故选：BD11．如图AD 与BC 分别为圆台上下底面直径，//AD BC ，若3AB =，2AD =，4BC =，则（）A ．圆台的母线与底面所成的角的正切值为22B ．圆台的全面积为14πC ．圆台的外接球（上下底面圆周都在球面上）的半径为2D ．从点A 经过圆台的表面到点C 的最短距离为33【答案】ABD【分析】取圆台的轴截面ABCD ，利用线面角的定义可判断A 选项；利用圆台的表面积公式可判断B 选项；利用正弦定理求出等腰梯形ABCD 的外接圆半径，即为圆台的外接球半径，可判断C 选项；将圆台沿着轴截面ABCD 切开，将圆台的侧面的一半展开，结合余弦定理可判断D 选项.【详解】取圆台的轴截面ABCD ，设AD 、BC 的中点分别为1O 、2O ，连接12O O ，分别过点A 、D 在平面ABCD 内作AE BC ⊥，DF BC ⊥，垂足分别为点E 、F，由题意可知，12O O 与圆台的底面垂直，易知四边形ABCD 为等腰梯形，且3AB CD ==，2AD =，4BC =，在ABE 和DCF 中，AB DC =，ABE DCF ∠=∠，90AEB DFC ∠=∠= ，所以，ABE DCF △≌△，所以，BE CF =，因为//AD BC ，AE BC ⊥，DF BC ⊥，则四边形ADFE 为矩形，且2EF CD ==，同理可证四边形21AEO O 为矩形，则12O O AE =，且12//AE O O ，所以，AE 与圆台的底面垂直，则圆台的母线与底面所成的角为ABE ∠，所以，42122AB EF BE CF --====，则2223122AE AB BE =-=-=，所以，tan 22AEABE BE∠==，A 对；对于B 选项，圆台的全面积为()22π1π2π12314π⨯+⨯+⨯+⨯=，B 对；对于C 选项，易知圆台的外接球球心在梯形ABCD 内，且413CE BC BE =-=-=，由勾股定理可得228917AC AE CE =+=+=，且22sin 3AE ABE AB ∠==，所以，圆台的外接球直径为173342sin 4223AC R ABE ===∠，则3348R =，B 错；对于C 选项，将圆台沿着轴截面ABCD 切开，将圆台的侧面的一半展开如下图所示：延长BA 、DC 交于点M ，在圆台的轴截面等腰梯形ABCD 中，//AB CD 且12AB CD =，易知A 、D 分别为BM 、CM 的中点，所以，3AM DM AB ===，设AMD θ∠=，则 3πAD θ==，则π3θ=，在ACM △中，3AM =，6CM =，π3AMD ∠=，由余弦定理可得2222π12cos362363332AC AM CM AM CM =+-⋅=+-⨯⨯⨯=，因此，从点A 经过圆台的表面到点C 的最短距离为33，D 对.故选：ABD.12．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的三叉车标很相似，故形象地称其为“奔驰定理”．奔驰定理：已知O 是ABC 内的一点，BOC ，AOC ，AOB 的面积分别为A S 、B S 、C S ，则有0A B C S OA S OB S OC ++=，设O 是锐角ABC 内的一点，BAC ∠，ABC ∠，ACB ∠分别是ABC 的三个内角，以下命题正确的是（）．A ．若0OA OB OC ++=，则O 为ABC 的重心B ．若230OA OB OC ++=，则::1:2:3A B C S S S =C ．若O 为ABC （不为直角三角形）的垂心，则tan tan tan 0BAC OA ABC OB ACB OC ∠⋅+∠⋅+∠⋅=D ．若2OA OB == ，5π6AOB ∠=，2340OA OB OC ++= ，则92ABC S =【答案】ABC【分析】根据向量的线性运算结合三角形重心判断A ；结合“奔驰定理”即可判断B ；根据三角形垂心性质，推出::BOC AOC AOB S S S tan tan :ta :n BAC ABC ACB ∠∠∠=，结合“奔驰定理”判断C ；求出1AOB S = ，结合“奔驰定理”可得4,132BOC AOC S S == ，从而求得ABC S ，判断D.【详解】对于A ，设BC 的中点为D ，则2OB OC OD OA +==-，即,,O A D 三点共线，则23AO AD =，设,E F 为,AB AC 的中点，同理可得,2233CO CE BO BF ==，故O 为ABC 的重心，A 正确；对于B ，若230OA OB OC ++=，结合0A B C S OA S OB S OC ++= ，可知::1:2:3A B C S S S =，B 正确；对于C ，1||||sin 2BOC S OB OC BOC =∠ ，1||||sin 2AOC S OA OC AOC =∠，1||||sin 2AOB S OA OB AOB =∠，又O 为ABC （不为直角三角形）的垂心，设AO 延长后交BC 与G ，则AG BC ⊥,同理,BH AC CI AB ⊥⊥，则BOI BAC ∠=∠，即πBOC BOI BOC BAC ∠+∠=∠+∠=，同理π,πAOB ACB AOC ABC ∠+∠=∠+∠=，故sin sin BOC BAC ∠∠=，同理,sin in sin sin AOC s ABC AOB ACB ∠∠∠∠==，又||||cos ||||cos OA OB OA OB AOB OA OB ACB ⋅=∠=-∠，||||cos ||||cos OB OC OB OC BOC OB OC BAC ⋅=∠=-∠，又O 为ABC （不为直角三角形）的垂心，则()0OB AC OB OC OA OB OC OA OB ⋅=⋅-=⋅-⋅=，故||cos ||cos OA ACB OC BAC ∠=∠ ，即||||cos co ::s OA OC BAC ACB =∠∠，同理||||||cos co :::s :cos OA OB OC BAC ABC ACB =∠∠∠，则||||sin ||sin cos sin cos sin ||||sin ||sin BOC AOCS OB OC BOC OB BAC ABC BAC S BACABC OA OC AOC OA ABC ∠∠∠∠===∠∠∠∠sin sin :cos cos BAC ABCBAC ABC∠∠=∠∠，同理sin sin cos s :co AOC AOB S ABC ACBS ABC ACB ∠∠=∠∠ ，故::::sin sin sin cos cos cos BOC AOC AOB BAC ABC ACBS S S BAC ABC ACB∠∠∠=∠∠∠ tan tan :ta :n BAC ABC ACB ∠∠∠=，又0A B C S OA S OB S OC ++= ，可得tan tan tan 0BAC OA ABC OB ACB OC ∠⋅+∠⋅+∠⋅= ，C 正确；对于D ，AOB 中，2OA OB == ，5π6AOB ∠=，则1122122AOB S =⨯⨯⨯= ，又2340OA OB OC ++=，故234::::BOC AOC AOB S S S = ，则4,132BOC AOC S S == ，故1391244ABC AOB BOC AOC S S S S =++=++= ，D 错误，故选：ABC【点睛】关键点睛：本题题意比较新颖，综合考查了向量知识的应用，解答的关键是能灵活应用向量知识，比如三角形“心”的向量表示，结合“奔驰定理”进行解答.三、填空题13．已知2i z =-，i z +=.【答案】22【分析】确定2i z =+，i 22i z +=+，再计算模长得到答案.【详解】2i z =-，则2i z =+，i 22i z +=+，则i 22i 822z +=+==.故答案为：22.14．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为菱形，60ABC ∠=︒，且PA AB =，E 为AP 的中点，则异面直线PC 与DE 所成的角的余弦值为．【答案】105/1105【分析】利用平移法作出异面直线PC 与DE 所成的角，解三角形即可求得答案.【详解】连接,AC BD 交于点F ，连接EF ，由于四边形ABCD 为菱形，故,AC BD 互相垂直平分，F 为AC 的中点，E 为AP 的中点，故EF PC ∥，且12EF PC =，12DF BD =，则异面直线PC 与DE 所成的角即为直线EF 与DE 所成的角，因为PA ⊥平面ABCD ，DF ⊂平面ABCD ，故PA DF ⊥,又DF AC ⊥,,,PA AC A PA AC ⋂=⊂平面PAC ，故DF ⊥平面PAC ，EF ⊂平面PAC ，故DF EF ^，即EFD △为直角三角形，设2PA AB ==，四边形ABCD 为菱形，60ABC ∠=︒，则2AC =，322232BD =⨯⨯=，故22122,232,PC PA AC EF PC DF =+=∴===，则225DE EF DF =+=,则210cos 55EFDEF ED∠===，因为异面直线所成的角的范围为π(0,]2，即异面直线PC 与DE 所成的角的余弦值为105，故答案为：105四、双空题15．甲､乙两班参加了同一学科的考试，其中甲班50人，乙班40人.甲班的平均成绩为76分，方差为96分2；乙班的平均成绩为85分，方差为60分2.那么甲､乙两班全部90名学生的平均成绩是分，方差是分2.【答案】80100【分析】根据平均数及方差公式求解即可.【详解】设甲班50人的成绩为1250,,,x x x ，则其平均成绩12507650x x x x +++== ，设乙班40人的成绩为1240,,,y y y ，则其平均成绩12408540y y y y +++== ，则甲乙两班全部90名学生的平均成绩为()()125012405040507640858050409090x x x y y y x y z ++++++++⨯+⨯====+ ；设甲班50人成绩的方差为21s ，所以()()()()()()2222112502222221501501501501125050,5050s x x x x x x x x x x x x x x x ⎡⎤=-+-++-⎣⎦⎡⎤⎡⎤=++-+++=++-⎣⎦⎣⎦ 则()2222150150x x s x++=+ ，设乙班40人成绩的方差为22s ，则()2222140240y y s y++=+ ，设甲乙两班全部90人成绩的方差为2s ，则()()()()()22222222222150140122221190504090909015096764060859080100.90s x x y y z s x s y z ⎡⎤⎡⎤=+++++-=+++-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎡⎤=⨯++⨯+-⨯=⎣⎦ 故答案为：①80；②100.【点睛】关键点点睛：本题的关键点是：由()2222150150x x s x++=+ 和()2222140240y y s y++=+ 得到()()22222212150409090s s x s y z ⎡⎤=+++-⎢⎥⎣⎦.五、填空题16．二战期间盟军的统计学家主要是将缴获的德军坦克序列号作为样本，用样本估计总体的方法得出德军某月生产的坦克总数．假设德军某月生产的坦克总数是N ，缴获的该月生产的n 辆坦克编号从小到大为1x ，2x ，…，n x ，即最大编号为n x ，且缴获的坦克是从所生产的坦克中随机获取的，因为生产坦克是连续编号的，所以缴获坦克的编号1x ，2x ，…，n x ，，相当于从[]0,N 中随机抽取的n 个整数，这n 个数将区间[]0,N 分成()1n +个小区间，由于N 是未知的，除了最右边的区间外，其他n 个区间都是已知的．由于这n 个数是随机抽取的，所以可以用前n 个区间的平均长度nx n估计所有()1n +个区间的平均长度1Nn +，进而得到N 的估计值．例如，缴获坦克的编号是3，5，12，18，20，则统计学家利用上述方法估计德军每月生产的坦克数为．【答案】24【分析】根据统计学家利用的方法列比例式计算，即可求得答案.【详解】由于用前n 个区间的平均长度n x n估计所有()1n +个区间的平均长度1N n +，而缴获坦克的编号是3，5，12，18，20，即55,20n x ==，故20,24551NN =∴=+,即则统计学家利用上述方法估计德军每月生产的坦克数为24，故答案为：24六、解答题17．四棱锥A BCDE -的侧面ABC 是等边三角形，EB ⊥平面ABC ，DC ⊥平面ABC ，1BE =，2BC CD ==，F 是棱AD 的中点.(1)证明：EF ∥平面ABC ；(2)求四棱锥A BCDE -的体积.【答案】(1)证明见解析(2)3【分析】（1）取AC 中点G ，连接,G F G B ，根据中位线的性质证明BE GF ∥得到平行四边形BEFG ，进而得到EF ∥平面ABC ；（2）取BC 中点H ，连接AH ，易得AH ⊥平面BCDE ，进而求得四棱锥A BCDE -的体积即可【详解】（1）取AC 中点G ，连接,G F G B ，由中位线性质可得GF CD ∥，又EB ⊥平面ABC ，DC ⊥平面ABC ，故EB CD ∥.又12GF CD =，12BE CD =，故EB CD =.所以平行四边形BEFG ，所以∥BG EF .因为EF ⊄平面ABC ，BG ⊂平面ABC ，故EF ∥平面ABC ；（2）取BC 中点H ，连接AH ，因为EB ⊥平面ABC ，AH ⊂平面ABC ，故EB AH ⊥，又等边三角形ABC ，故AH BC ⊥，且3AH =.又BC BE B = ，故AH ⊥平面BCDE ，所以四棱锥A BCDE -的体积()111223332A BCDE V -=⋅+⋅⋅=18．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ．已知39a =，2b =，120A ∠=︒．(1)求c 的值；(2)求()sin B C -．【答案】(1)5(2)7326-【分析】（1）根据余弦定理即可求得答案；（2）利用正弦定理分别求得sin ,sin B C ，继而可求得cos ,cos B C ，利用两角和的正弦公式即可求得答案.【详解】（1）由39a =，2b =，120A ∠=︒，可得2222cos a b c bc A =+-，即23942,5c c c =++∴=（负值舍去）；（2）由正弦定理可得32sin 132sin 1339b AB a⨯===，由于a b >，故B 为锐角，则2239cos 1sin 13B B =-=，35sin 5132sin 2639c AC a⨯===，又a b >，故C 为锐角，则2339cos 1sin 26C C =-=，则()sin sin cos cos sin B C B C B C-=-13339239513731326132626=⨯-⨯=-.19．如图，从参加环保知识竞赛的学生中抽出40名，将其成绩（均为整数．．．．）整理后画出的频率分布直方图如下：观察图形，回答下列问题：(1)80~90这一组的频数､频率分别是多少？(2)估计这次环保知识竞赛成绩的平均数､众数､中位数.(3)从成绩是80分以上（包括80分）的学生中选两人，求他们在同一分数段的概率.【答案】(1)4，0.1(2)68.5，75，70(3)715【分析】（1）先求得40~50，50~60，60~70，70~80，90~100各组的频率，再利用对立事件的概率求解，进而得到频数；（2）根据频率分布直方图，利用平均数的平均数､众数､中位数的定义求解；（3）易得80~90和90~100之间的人数分别为4人和2人，然后利用古典概型的概率求解.【详解】（1）根据题意，40~50的这一组的频率为0.01100.1⨯=，50~60的这一组的频率为0.015100.15⨯=，60~70的这一组的频率为0.025100.25⨯=，70~80的这一组的频率为0.035100.35⨯=，90~100的这一组的频率为0.005100.05⨯=，则80~90这一组的频率为()10.10.150.250.350.05-++++0.1=，其频数为400.14⨯=；（2）这次竞赛的平均数为450.1550.15650.25750.35850.1950.0568.5⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，70~80一组的频率最大，人数最多，则众数为75，70分左右两侧的频率均为0.5，则中位数为70；（3）记“取出的2人在同一分数段”为事件E ，因为80~90之间的人数为400.14⨯=，设为a ､b ､c ､d ，90~100之间有400.052⨯=人，设为A ､B ，从这6人中选出2人，有(),a b 、(),a c 、(),a d 、(),a A ､(),a B 、(),b c 、(),b d 、(),b A 、(),b B 、(),c d 、(),c A ､(),c B 、(),d A 、(),d B 、(),A B ，共15个基本事件，其中事件E 包括(),a b 、(),a c 、(),a d 、(),b c 、(),b d 、(),c d 、(),A B ，共7个基本事件，则()715P E =.20．如图，三棱柱111ABC A B C -中､四边形11ABB A 是菱形，且160ABB ∠=，2AB BC ==，1CA CB =，1CA CB ⊥，(1)证明：平面1CAB ⊥平面11ABB A ；(2)求直线1BB 和平面ABC 所成角的正弦值；【答案】(1)证明见解析(2)217【分析】（1）连接1BA 交1AB 于O ，连接CO ，证明CO BO ⊥可得线面垂直，再由面面垂直的判定定理得证；（2）利用等体积法求出点1B 到平面ABC 的距离d ，再由线面角公式1sin dBB θ=求解即可.【详解】（1）连接1BA 交1AB 于O ，连接CO ，如图，四边形11ABB A 是菱形，所以11AB A B ⊥，又1CA CB =，1CA CB ⊥，O 是1AB 的中点，所以1CO AB ⊥且112CO AB =，由160ABB ∠=︒，可知1ABB 为正三角形，所以12AB AB ==，3BO =，在BOC 中，2222221(3)2CO BO BC =+==+，所以CO BO ⊥，又1BO AB O = ，1,BO AB ⊂平面11ABB A ，所以CO ⊥平面11ABB A ，又CO ⊂平面1CAB ，所以平面1CAB ⊥平面11ABB A .（2）设1B 到平面ABC 的距离为d ，因为ABC 中，2AB BC ==，122AB AC ==，所以()222221172224242ABCAC SAC AB =⋅-=⨯⨯-=，又123234ABB S =⨯= ，1CO =，所以由11B ABC C ABB V V --=，可得11133ABC ABB d S CO S ⋅=⋅△△,即13221772ABB ABCS d S ===△△,设直线1BB 和平面ABC 所成角为θ，则1221217sin 27d BB θ===.21．已知ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，在①cos cos 2B b C a c=-+，②sin sin sin A b cB C a c +=-+，③23S BA BC =-⋅三个条件中任选一个补充在下面的横线上，并加以解答．(1)选__________，求角B 的大小；(2)如图，作AB AD ⊥，设BAC θ∠=，使得四边形ABCD 满足π3ACD ∠=，3AD =，求BC 的取值范围．【答案】(1)2π3B =(2)(0,2)【分析】（1）选①，利用正弦定理边化角，结合两角和的正弦公式化简，即可求得答案；选②，利用正弦定理角化边，结合余弦定理化简，即可求得答案；选③，利用三角形面积公式以及数量积的定义，化简求值，即得答案.（2）解三角形求出AC 的表达式，结合三角恒等变换，即可求得BC 的表达式，结合角的范围，根据正弦函数性质，即可求得答案.【详解】（1）选①cos cos 2B b C a c=-+，则cos sin cos 2sin sin B BC A C =-+，即2sin cos sin cos sin cos sin()sin A B B C C B B C A =--=-+=-，由于(0,π),sin 0A A ∈∴>，故1cos 2B =-，而(0,π)B ∈，故2π3B =；选②sin sin sin A b c B C a c+=-+，则a b cb c a c +=-+，故222a cb ac +-=-，则2221cos 22a cb B ac +-==-，而(0,π)B ∈，故2π3B =；选③23S BA BC =-⋅ ，则32S BA BC =-⋅，即13sin cos 22ac B ac B ⨯=-，即sin 3cos =-B B ，故tan 3B =-，又(0,π)B ∈，故2π3B =；（2）设BAC θ∠=，π33,ACD AD ∠==，则2,ππ6CAD CDA θθ∠=-∠=+，在ACD 中，sin sin AD AC ACD ADC =∠∠，则π3sin π62sin π6si n3AC θθ⎛⎫⨯+ ⎪⎛⎫⎝⎭==+ ⎪⎝⎭，在ABC 中，sin sin AC BCB θ=，则2π2sin sin 4π4316sin sin sin sin cos 2π62233sin3BC θθθθθθθ⎛⎫+ ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭==⨯+=⨯+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()2123sin 2sin cos 3θθθ=+123π3(1cos 2)sin 2]sin 21333[θθθ⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭，因为π03θ<<，故πππ2333θ-<-<，π33sin 2(,)322θ⎛⎫-∈-⎪⎝⎭，则23πsin 21(0,2)33θ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭，即BC 的取值范围为(0,2).22．在校运动会上，有甲､乙､丙三位同学参加羽毛球比赛，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束.经抽签，甲､丙首先比赛，乙轮空.设每场比赛双方获胜的概率都为12.(1)求丙连胜四场的概率；(2)求需要进行第五场比赛的概率；(3)甲､乙､丙三人中谁最终获胜的概率最大？请说明理由.【答案】(1)1 16(2)3 4(3)乙，理由见解析【分析】（1）根据题意，由独立事件的概率公式，代入计算即可得到结果.（2）根据题意，分别求出甲､丙连胜四场与乙上场后连胜三场获胜的概率，即可得到结果；（3）根据题意，列出基本事件个数，求出甲､乙､丙获胜的概率，即可得到结果.【详解】（1）丙连胜四场的情况为：“丙胜甲负，丙胜乙负，丙胜甲负，丙胜乙负”，所以丙连胜四场的概率：4111216P⎛⎫==⎪⎝⎭；（2）根据赛制，至少需要进行四场比赛，至多需要进行五场比赛.而甲､丙连胜四场的概率为411228⎛⎫⨯=⎪⎝⎭，乙上场后连胜三场获胜的概率为321128 P⎛⎫==⎪⎝⎭，∴需要进行第五场比赛的概率31113 11 8844P=--=-=.（3）三人中乙最终获胜的概率最大.理由如下：记事件A为甲输，事件B为丙输，事件C为乙输，记事件M：甲赢，记事件:N：赢，则甲赢的基本事件包括：BCBC ABCBC ACBCB BABCC､､､､BACBC BCACB BCABC BCBAC､､､，∴甲赢的概率为()45 11972232P M⎛⎫⎛⎫=+⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.由对称性可知，丙最终获胜的概率和甲最终获胜的概率相等，即丙最终获胜的概率也是9 32 .所以乙赢的概率为()97 123216P N=-⨯=.又791632>，所以三人中乙最终获胜的概率最大.。
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1. 设 m 、 n 是 两 条 不 同 的 直 线 ， α ， β ， γ
是三个不同的平面，给出下列四个命题： ④ ） D． ① 和 ④
① 若 m⊥ α ， n∥ α ， 则 m⊥ n
② 若 m∥ α ， n∥ α ， 则 m∥ n③ 若 α ⊥ γ ， β ⊥γ ， 则 α ∥β
若 α ∥ β ， β ∥ γ ， m⊥ α ， 则 m⊥ γ 其 中 正 确 命 题 的 序 号 是 （ A． ① 和 ② B． ② 和 ③ C． ③ 和 ④
考点：平面的基本性质及推论． 专题：计算题． 分析：本题是一个研究空间中线面之间位置关系的问题， ①选项由线面垂直与线面平行判断线线 垂直，②选项根据平行于同一个平面的两条直线不一定平行进行判断， ③选项由垂直于同一个平 面的两个平面不一定平行进行判断，④选项由当一条直线垂直于两平行平面中的一个时，则它必 垂直于另一个进行判断，从而得到正确选项． 解 答 ： 解 ： ① 选 项 正 确 ， 因 为 由 m⊥ α ， n∥ α ， 可 得 出 m⊥ n； ② 选 项 不 正 确 ， 因 为 在 “ m∥ α ， n∥ α ， 则 m∥ n， ” 条 件 中 缺 少 条 件 线 m ， 线 n 在 同 一 个 平 面 ， 故 不 满 足 面 面 平 行 的 性 质 定 理 ， 不 能 得 m∥ n； ③选项不正确，因为当“α ⊥γ ，β ⊥γ ”，两平面 α 与 β 的关系可以是平行或者相交； ④选项正确，因为当一条直线垂直于两平行平面中的一个时，则它必垂直于另一个． 综上知①④选项正确 故选 D． 2.
设 x，y 满足约束条件 x+y≤1 y≤x y≥-2 ，则 z=3x+y 的最大值为（ A．5 B．3
）
C．7
D．-8
题型：单选题难度：中档来源：不详
答案（找作业答案--->>上魔方格）
如图，作出可行域，作出直线 l0：y=-3x，将 l0平移至过点 A（3，-2）处时，函数 z=3x+y 有最大值7． 故选 C．
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