中考第一轮复习(数学)《解三角形》PPT课件
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高考数学一轮总复习教学课件第四章 三角函数、解三角形第3节 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
D.tan(α+β)=-1
解析:(2)由题意得
sin αcos β+sin βcos α+cos α cos β-sin αsin β
= 2 × (cos α-sin α)·sin β,整理,
得sin αcos β-sin β cos α+cos αcos β+sin αsin β=
0,即sin(α-β)+cos(α-β)=0,所以tan(α-β)=-1.故选C.
即 sin(α+β)= .故选 C.
(1)三角函数求值中变角的原则
①当“已知角”有两个时,“所求角”一般表示为两个“已知角”
的和或差的形式.
②当“已知角”有一个时,此时应着眼于“所求角”与“已知角”
的和或差的关系,再应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”.
(2)常用的拆角、配角技巧
2α=(α+β)+(α-β),α=(α+β)-β=(α-β)+β,β=
=cos(α+ )cos -sin(α+ )sin
= × - × =- .故选 C.
( 2 )(2024 ·山东日照模拟 ) 已知α∈ (
,
) , β∈( π,
cos(α- )=- ,sin(β- )= ,则 sin(α+β)的值为(
.
又因为β∈[π, ],所以β-α∈[ , ],故 cos(β-α)=
第4章第四章三角函数、解三角形第4节二倍角公式及应用课件(共35张PPT) 高考数学一轮复习
内容索引
＝12－co2s2α＋12＋14cos2α－ 43sin2α＋ 43sin2α－12sin2α＝1－14cos2α－12 sin2α
＝1－14(1－2sin2α)－12sin2α＝34.
内容索引
思考1►►► 如何利用二倍角公式进行三角函数式的化简及恒等式的证明？要注 意什么？
内容索引
要充分观察角与角之间的联系，看角是否有倍数关系？能否用二倍 角公式化简？有切有弦要弦切互化．
sin15°cos15°＝12sin30°＝14，故 D 不正确．
【答案】 C
内容索引
2. 已知角α的顶点为坐标原点 ，始边与x轴的非负半轴重合 ，且
P(8,3cosα)为α终边上一点，则cos2α等于( )
A. －79
B. －89
7
8
C. 9
D. 9
【分析】 根据三角函数定义和同角三角函数关系求出sinα，再由二
＝cos2αcsoinsαα2cosα2＝cosαsinα2cosα2＝12sinαcosα＝14sin2α＝右边， 所以原式成立．
内容索引
某同学在一次研究性学习中发现，以下四个式子的值都等于同 一个常数：
①sin212°＋cos242°＋sin12°cos42°； ②sin215°＋cos245°＋sin15°cos45°； ③sin220°＋cos250°＋sin20°cos50°； ④sin230°＋cos260°＋sin30°cos60°. (1) 试从上述式子中选择一个，求出这个常数； (2) 根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明 你的结论．
倍角公式可求cos2α.
内容索引
【解析】 由三角函数定义可知 tanα＝3c8osα＝csoinsαα，则 3cos2α＝8sinα ＝3－3sin2α，解得 sinα＝13或 sinα＝－3(舍去)，则 cos2α＝1－2sin2α＝79.
＝12－co2s2α＋12＋14cos2α－ 43sin2α＋ 43sin2α－12sin2α＝1－14cos2α－12 sin2α
＝1－14(1－2sin2α)－12sin2α＝34.
内容索引
思考1►►► 如何利用二倍角公式进行三角函数式的化简及恒等式的证明？要注 意什么？
内容索引
要充分观察角与角之间的联系，看角是否有倍数关系？能否用二倍 角公式化简？有切有弦要弦切互化．
sin15°cos15°＝12sin30°＝14，故 D 不正确．
【答案】 C
内容索引
2. 已知角α的顶点为坐标原点 ，始边与x轴的非负半轴重合 ，且
P(8,3cosα)为α终边上一点，则cos2α等于( )
A. －79
B. －89
7
8
C. 9
D. 9
【分析】 根据三角函数定义和同角三角函数关系求出sinα，再由二
＝cos2αcsoinsαα2cosα2＝cosαsinα2cosα2＝12sinαcosα＝14sin2α＝右边， 所以原式成立．
内容索引
某同学在一次研究性学习中发现，以下四个式子的值都等于同 一个常数：
①sin212°＋cos242°＋sin12°cos42°； ②sin215°＋cos245°＋sin15°cos45°； ③sin220°＋cos250°＋sin20°cos50°； ④sin230°＋cos260°＋sin30°cos60°. (1) 试从上述式子中选择一个，求出这个常数； (2) 根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明 你的结论．
倍角公式可求cos2α.
内容索引
【解析】 由三角函数定义可知 tanα＝3c8osα＝csoinsαα，则 3cos2α＝8sinα ＝3－3sin2α，解得 sinα＝13或 sinα＝－3(舍去)，则 cos2α＝1－2sin2α＝79.
高考数学第一轮章节复习课件 第三章 三角函数 解三角形
2.已知角α的终边所在的直线方程，则可先设出终边上一 点的坐标，求出此点到原点的距离，然后用三角函数 的定义来求相关问题，若直线的倾斜角为特殊角，也 可直接写出角α的值.
【注意】 若角α的终边落在某条直线上，一般要分类讨论.
已知角α的终边在直线3x＋4y＝0上，求sinα， cosα，tanα的值.
.
解析：tan= 答案：
5.某时钟的秒针端点A到中心点O的距离为5 cm，秒针均匀 地绕点O旋转，当时间t＝0时，点A与钟面上标12的点B
重
合.将A、B两点间的距离d(cm)表示成t(s)的函数，则d
＝
，其中t∈[0,60].
解析：∵经过t(s)秒针转了 弧度
d
5. t
, d
t
10 sin
.
2 60
)内的单调性.
知识点
考纲下载
考情上线
函数y＝ Asin(ωx ＋φ)的图 象
1.考查图象的变换和 1.了解函数y＝Asin(ωx＋φ)
解析式的确定，以 的
及通过图象描绘， 物理意义；能画出y＝
观察讨论有关性质. Asin(ωx＋φ)的图象，了解
2.以三角函数为载体， 参数A、ω、φ对函数图象
考查数形结合的思想. 变化的影响.
当且仅当α＝ ，即α＝2时取等号， 此时 故当半径r＝1 cm，圆心角为2弧度时，扇形面积最大， 其最大值为1 cm2.
法二：设扇形的圆心角为α(0<α<2π)，半径为r，面积为S，
则扇形的弧长为rα，由题意有：2r＋rα＝4⇒α＝
×r2＝2r－r2＝－(r－1)2＋1，
∴当r＝1(cm)时，S有最大值1(cm2)，
为余弦线
有向线段 AT 为正切线
【注意】 若角α的终边落在某条直线上，一般要分类讨论.
已知角α的终边在直线3x＋4y＝0上，求sinα， cosα，tanα的值.
.
解析：tan= 答案：
5.某时钟的秒针端点A到中心点O的距离为5 cm，秒针均匀 地绕点O旋转，当时间t＝0时，点A与钟面上标12的点B
重
合.将A、B两点间的距离d(cm)表示成t(s)的函数，则d
＝
，其中t∈[0,60].
解析：∵经过t(s)秒针转了 弧度
d
5. t
, d
t
10 sin
.
2 60
)内的单调性.
知识点
考纲下载
考情上线
函数y＝ Asin(ωx ＋φ)的图 象
1.考查图象的变换和 1.了解函数y＝Asin(ωx＋φ)
解析式的确定，以 的
及通过图象描绘， 物理意义；能画出y＝
观察讨论有关性质. Asin(ωx＋φ)的图象，了解
2.以三角函数为载体， 参数A、ω、φ对函数图象
考查数形结合的思想. 变化的影响.
当且仅当α＝ ，即α＝2时取等号， 此时 故当半径r＝1 cm，圆心角为2弧度时，扇形面积最大， 其最大值为1 cm2.
法二：设扇形的圆心角为α(0<α<2π)，半径为r，面积为S，
则扇形的弧长为rα，由题意有：2r＋rα＝4⇒α＝
×r2＝2r－r2＝－(r－1)2＋1，
∴当r＝1(cm)时，S有最大值1(cm2)，
为余弦线
有向线段 AT 为正切线
2025版高考数学一轮总复习第4章三角函数解三角形第2讲同角三角函数的基本关系式与诱导公式课件
组数 一
二
三
四
五
六
2kπ＋α 角
(k∈Z)
π＋α
－α
π－α
π2－α
π2＋α
正弦 余弦 正切
sin α cos α tan α
__－__si_n_α___ __－__s_in__α__ ___s_in__α___ __c_o_s__α___ ___c_o_s_α___ _－__c_o_s__α__ ___c_o_s_α___ __－__c_o_s_α__ ___si_n_α____ __－__s_i_n_α__ __t_a_n_α____ __－__t_a_n_α__ __－__t_an__α__
归纳拓展 1．同角三角函数基本关系式的常见变形 sin2α＝1－cos2α＝(1＋cos α)(1－cos α)； cos2α＝1－sin2α＝(1＋sin α)(1－sin α)； (sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α. (sin α＋cos α)2＋(sin α－cos α)2＝2； (sin α＋cos α)2－(sin α－cos α)2＝4sin αcos α；
1－sin 1＋sin
αα＋sin
α
π<α<32π得( A ) A．sin α＋cos α－2 C．sin α－cos α
B．2－sin α－cos α D．cos α－sin α
1－cos α 1＋cos α
[解析] 原式＝cos α
1－cossi2nαα2＋sin α
1－cos sin2α
α2，
α＋bcos α＋dcos
αα＝acttaann
αα＋＋db；
sin
αcos
α＝sin
αcos 1
中考全景透视一轮复习课件(第25讲解直角三角形及应用)
半圆 O，点 C 恰在半圆上，过 C 作 CD⊥AB 交 AB 于
D，已知 cos∠ACD＝35，BC＝4，则 AC 的长为(
)
A．1
B.
20 3
C．3
D.
16 3
解 析 ： ∵AB 是 半 圆 O 的 直 径 ， ∴∠ACB ＝ 90°.∵CD⊥AB ， ∴∠ADC ＝ 90°.∴∠ACD ＝ ∠B. 在 Rt△ABC 中，∵cos B＝cos∠ACD＝35，BC＝4，即BACB
4．在△ABC 中，a，b，c 分别是∠A，∠B，∠C
的对边，如果 a2＋b2＝c2，那么下列结论正确的是
(A)
A．csin A＝a
B．bcos B＝c
C．atan A＝b
D．ctan B＝b
解析：∵a2＋b2＝c2，∴∠C＝90°.∵sin A＝ac，
∴csin A＝a，∴A 正确．故选 A.
5．(2014·毕节)如图是以△ABC 的边 AB 为直径的
考点训练
一、选择题(每小题 4 分，共 40 分)
1．已知在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，∠A＝α，AC
＝3，那么 AB 的长为( D )
A．3sin α
B．3cos α
3 C. sin α
3 D. cos α
解析：在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，cos α＝AACB，
∴AB＝cAosCα＝co3s α.故选 D.
(3)边角之间的关系： sin A＝ac，cos A＝bc，tan A＝ab， sin B＝bc，cos B＝ac，tan B＝ba.
3．解直角三角形的类型 已知条件
解法
两直角边 (如 a，b)
由 tan A＝ab，求∠A；∠B＝90°－∠A； c＝ a2＋b2
2025版高考数学一轮总复习第4章三角函数解三角形第1讲任意角和蝗制及任意角的三角函数课件
[引申](1)本例4中，若把第二象限改为第三象限，则结果如何？ [答案] α2的终边在第二或第四象限． (2)在本例 4 中，条件不变，α3的终边所在的位置是_在__第__一__、__二__或__四__象__ _限____. (3)在本例4中，条件不变，则π－α是第___一___象限角，2α终边的位 置是____第__三__或__第__四__象__限__或__y_轴__负__半__轴__上___.
设扇形的弧长为 l，圆心角大小为 α(rad)，半径为 r，则 l＝_____|α_|r____， 扇形的面积为 S＝12lr＝________12_|α_|_·r_2______.
知识点三 任意角的三角函数 1．定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那 么sin α＝___y___，cos α＝___x___，tan α＝______yx(_x_≠__0_)___.
扇形的弧长、面积公式的应用——师生共研
已知扇形的圆心角是α，半径为R，弧长为l. (1)若α＝60°，R＝10 cm，求扇形的弧长l； (2)ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ α＝π3，R＝2 cm，求扇形的弧所在的弓形的面积； (3)若扇形的周长是20 cm，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇 形的面积最大？
[解析] (1)α＝60°＝π3，l＝10×π3＝103π(cm)．
2．三角函数的符号
三角函数在各象限的符号一定要熟记口诀：_一__全__正___、_二__正__弦___、 __三__正__切__、_四__余__弦___.
1．象限角
归纳拓展
2．轴线角
3．终边相同的角与对称性拓展 (1)β，α终边相同⇔β＝α＋2kπ，k∈Z. (2)β，α终边关于x轴对称⇔β＝－α＋2kπ，k∈Z. (3)β，α终边关于y轴对称⇔β＝π－α＋2kπ，k∈Z. (4)β，α终边关于原点对称⇔β＝π＋α＋2kπ，k∈Z. 4．若角 α∈0，π2，则 sin α<α<tan α.
一轮复习三角函数PPT课件
[自主解答] (1)∵在(0，π)内终边在直线 y＝ 3x 上的角 是π3，∴终边在直线 y＝ 3x 上的角的集合为
α|α＝π3＋kπ，k∈Z. (2)∵θ＝67π＋2kπ(k∈Z)， ∴θ3＝27π＋2k3π(k∈Z)． 依题意 0≤27π＋2k3π＜2π⇒－37≤k＜178，k∈Z.
[备考方向要明了]
考什么 1.了解任意角的概念． 2.了解弧度制的概念，能进
行弧度与角度的互化． 3.理解任意角三角函数(正
弦、余弦、正切)的定 义．
1.三角函怎数么的定考义与三 角恒等变换等相结 合，考查三角函数
求 值问 题，如2008
年 高考T15等.
[归纳
1．角的有关概念
知识整合]
角的特点
三角函数线
有向线段 ____ 有向线段____ 有向线段____
MP
OM
AT
为正弦线
为余弦线
为正切线
[探究] 3.三角函数线的长度及方向各有什么 意义？
提示：三角函数线的长度表示三角函数值的绝 对值，方向表示三角函数值的正负．
[自测 牛刀小试] 1．(教材习题改编)下列与94π的终边相同的角 α 的集合为___．
解析：∵94π＝94×180°＝360°＋45° ∴与94π 终边相同的角可表示为 k·360°＋45°(k∈Z)
答案：{α|α＝k·360°＋ 45°(k∈Z)}
2．(教材习题改编)若角θ同时满足sin θ＜0且tan θ＜0， 则角θ的终边一定落在第________象限． 解析：由sin θ＜0，可知θ的终边可能位于第三或第 四象限，也可能与y轴的非正半轴重合．由tan θ＜0， 可知θ的终边可能位于第二象限或第四象限，可知θ的
2．弧度的概念与公式
2022中考数学第一轮考点系统复习第四章三角形第19讲解直角三角形及其应用讲本课件
AB＝AC＝10，BC＝12，则tan∠OBD的值是( )A
1 A.
B.2
C. 6
D.
6
2
3
4
命题点2 解直角三角形的应用
5.(2021·十堰)如图，小明利用一个锐角是30°的三角板测操场旗杆EC的高度
，已知他与旗杆之间的水平距离BC为15 m，AB为1.5 m(即小明的眼睛与地
面的距离)，那么旗杆EC的高度是( D)
2 3
2 3.
CD 2 3 (2 3)(2 3)
类比这种方法，计算tan22.5°的值为( B )
A. 2+1 C. 2
B. 2-1
1 D. 2
1、书籍是朋友,虽然没有热情,但是非常忠实。2022年3月12日星期六下午2时3分37秒14:03:3722.3.12 2、科学的灵感，决不是坐等可以等来的。如果说，科学上的发现有什么偶然的机遇的话，那么这种‘偶然的机遇’只能给那些学有素养的人，给
那些善于独立思考的人，给那些具有锲而不舍的人。2022年3月下午2时3分22.3.1214:03March 12, 2022 3、书籍—通过心灵观察世界的窗口.住宅里没有书,犹如房间里没有窗户。2022年3月12日星期六2时3分37秒14:03:3712 March 2022
谢谢观赏
You made my day!
在Rt△BCE中，BE＝CE·tan∠BCE＝6×tan60°＝ 6 3(m) .
在Rt△AFD中，∠AFD＝45°，∴AD＝DF＝(3 3 ＋6)m， ∴AB＝AD＋DE－BE＝3 3＋6＋2 3－6 3＝6－ 3 ≈4.3(m).
答：宣传牌的高度AB约为4.3m.
命题点1 直角三角形的边角关系
△ABC的顶点都在这些小正方形的顶点上，那么sin∠ACB的值为( D )
2025年中考数学一轮复习课件：第31讲解直角三角形
离是多少米.
答案：解：由题意，得∠CHA＝∠CHB＝90°，CH＝60，所以∠A
＝60°，∠B＝45°.
在Rt△ACH中，AH＝
＝ ＝20
°
在Rt△BCH中，BH＝
＝ ＝60.
°
所以AB＝AH＋BH＝20 ＋60.
答：A，B之间的距离是(20 ＋60)米.
在Rt△ABC中，∠ACB＝45°，所以AB＝BC·tan45°＝a m.
在Rt△ADB中，∠ADB＝42°，所以AB＝BD·tan42°≈0.9(22－a)m，
则a＝0.9(22－a)，解得a≈10.4，所以AB＝BC＝10.4 m，
即乌当惜字塔AB的高度约为10.4 m.
(2)由(1)得BC＝AB＝10.4 m，所以BD＝CD－BC＝22－10.4＝11.6(m).
×
＝15(米).
在Rt△CAD中，AD＝15 米，∠CAD＝60°.
因为tan∠CAD＝
，所以CD＝AD·tan∠CAD＝15
所以BC＝BD＋CD＝15＋45＝60(米).
答：这栋高楼的高BC为60 米.
× ＝45(米)，
12.一架无人机沿水平直线飞行进行测绘工作，在点P处测得正前方水平地面上某建筑
.
11.如图，小强从热气球上的A点测量一栋高楼顶部的仰角∠DAB＝30°，测量这栋高
楼底部的俯角∠DAC＝60°，热气球与高楼的水平距离AD为15 米，求这栋高楼的
高BC.
答案：解：在Rt△BAD中，AD＝15 米，∠DAB＝30°.
因为tan∠DAB＝
，所以BD＝AD·tan∠DAB＝15
答案：解：由题意，得∠CHA＝∠CHB＝90°，CH＝60，所以∠A
＝60°，∠B＝45°.
在Rt△ACH中，AH＝
＝ ＝20
°
在Rt△BCH中，BH＝
＝ ＝60.
°
所以AB＝AH＋BH＝20 ＋60.
答：A，B之间的距离是(20 ＋60)米.
在Rt△ABC中，∠ACB＝45°，所以AB＝BC·tan45°＝a m.
在Rt△ADB中，∠ADB＝42°，所以AB＝BD·tan42°≈0.9(22－a)m，
则a＝0.9(22－a)，解得a≈10.4，所以AB＝BC＝10.4 m，
即乌当惜字塔AB的高度约为10.4 m.
(2)由(1)得BC＝AB＝10.4 m，所以BD＝CD－BC＝22－10.4＝11.6(m).
×
＝15(米).
在Rt△CAD中，AD＝15 米，∠CAD＝60°.
因为tan∠CAD＝
，所以CD＝AD·tan∠CAD＝15
所以BC＝BD＋CD＝15＋45＝60(米).
答：这栋高楼的高BC为60 米.
× ＝45(米)，
12.一架无人机沿水平直线飞行进行测绘工作，在点P处测得正前方水平地面上某建筑
.
11.如图，小强从热气球上的A点测量一栋高楼顶部的仰角∠DAB＝30°，测量这栋高
楼底部的俯角∠DAC＝60°，热气球与高楼的水平距离AD为15 米，求这栋高楼的
高BC.
答案：解：在Rt△BAD中，AD＝15 米，∠DAB＝30°.
因为tan∠DAB＝
，所以BD＝AD·tan∠DAB＝15
《中考大一轮数学复习》课件 锐角三角函数与解直角三角形
1 2
3
3
夯实基本
中考大一轮复习讲义◆ 数学
知已知彼
基础知识回顾 1. 锐角三角函数定义 若在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C 的对边分别为 a，b，c，则 sinA＝________，cosA ＝________，tanA＝________． 温馨提示 ①锐角三角函数是在直角三角形中定义的． ②sinA，cosA，tanA 表示的是一个整体，是指两条线段的比，没有单位． ③锐角三角函数的大小仅与角的大小有关，与该角所处的直角三角形的大小无关． ④当 A 为锐角时，0<sinA<1，0<cosA<1，tanA>0. 2. 特殊角的三角函数值 α 30° 45° 60° sinα cosα tanα
1 2 3
5
夯实基本
中考大一轮复习讲义◆ 数学
知已知彼
4. 解直角三角形的应用中的相关概念 (1)仰角、俯角：如图①，在测量时，视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角， 在水平线下方的角叫俯角． (2)坡度(坡比)、坡角：如图②，坡面的高度 h 和________的比叫坡度(或坡比)，即 i＝tanα＝ h ，坡面与水平面的夹角 α 叫坡角． l
a 5 12 解析 sinA＝ ＝ ，可设 a＝5k，c＝13k，根据勾股定理得 b＝12k，所以 cosA＝ .故选 D. c 13 13
1 2
8
3
热点看台
中考大一轮复习讲义◆ 数学
快速提升
点对点训练 1. (2013·山东济南)已知直线 l1∥l2∥l3∥l4，相邻的两条平行直线间的距离均为 h，矩形 ABCD 的四个顶点分别在这四条直线上，放置方式如图所示，AB＝4，BC＝6，则 tanα的值等于( C )
2025版高考数学一轮总复习第4章三角函数解三角形第4讲三角函数的图象与性质课件
(2)y＝3tanπ6－4x＝－3tan4x－π6， 由 kπ－π2<4x－π6<kπ＋π2， 解得 4kπ－43π<x<4kπ＋83π(k∈Z)． ∴函数的单调递减区间为 4kπ－34π，4kπ＋83π(k∈Z)．无增区间．
(3)画图知单调递减区间为kπ－π4，kπ＋π4(k∈Z)．
2．(2023·洛阳模拟)若 f(x)＝2sin ωx(ω>0)在区间－π2，23π上是增函数， 则 ω 的取值范围是_____0_，__34_ ___.
[解析] 依题意可知 f(x)＝cos2 x－sin2x＝cos 2x，对于 A 选项，因为 x ∈－π2，－6π，所以 2x∈－π，－π3，函数 f(x)＝cos 2x 在－π2，－6π上单 调递增,所以 A 选项不正确；对于 B 选项，因为 x∈－π4，1π2，所以 2x∈ －π2，π6,函数 f(x)＝cos 2x 在－π4，1π2上不单调,所以 B 选项不正确；对于 C 选项,因为 x∈0，π3，所以 2x∈0，23π,函数 f(x)＝cos 2x 在0，π3上单 调递减，所以 C 选项正确；对于 D 选项，因为 x∈π4，71π2，所以 2x∈π2，76π， 函数 f(x)＝cos 2x 在π4，71π2上不单调,所以 D 选项不正确,故选 C．
y＝tan x ___R___
单调性
在____－__π2_＋__2_k_π_，__2π_＋__2_k_π_ _， 在_[_(_2_k－__1_)_π_，__2_k_π_]_，
k∈Z 上递增；
k∈Z 上递增；
在____π2_＋__2_k_π_，__32_π_＋__2_k_π_ __，
在_[_2_k_π_，__(2_k_＋__1_)_π_]_， k∈Z 上递减
2025版高考数学一轮总复习第4章三角函数解三角形第3讲第1课时三角函数公式的基本应用课件
配方变形：1±sin
α＝sin
α 2±cos
α22,1＋cos
α＝2cos2α2，1－cos
α＝
2sin2α2.
【变式训练】
1．(角度 1)(2024·河北武邑中学调研)下列式子的运算结果不等于 3的
是( D )
A．tan 25°＋tan 35°＋ 3tan 25°tan 35°
B．2(sin 35°cos 25°＋cos 35°cos 65°)
2．tan 70°＋tan 50°－ 3tan 70°tan 50°的值为( D )
A． 3
B．
3 3
C．－
3 3
D．－ 3
[解析] 因为 tan 120°＝1t－ant7a0n°7＋0°ttaann5500°°＝－ 3，
所以 tan 70°＋tan 50°－ 3tan 70°tan 50°＝－ 3.故选 D．
2．熟记三角函数公式的2类变式 (1)和差角公式变形： sin αsin β＋cos(α＋β)＝cos αcos β， cos αsin β＋sin(α－β)＝sin αcos β. tan α±tan β＝tan(α±β)·(1∓tan α·tan β)．
(2)倍角公式变形： 降幂公式 cos2α＝1＋c2os 2α，sin2α＝1－c2os 2α，
C．11＋ －ttaann
15° 15°
π D．1－tantan62π6
[解析] 对于 A，tan 25°＋tan 35°＋ 3tan 25°·tan 35°＝tan(25°＋
35°)·(1－tan 25°tan 35°)＋ 3tan 25°tan 35°＝ 3－ 3tan 25°tan 35°＋ 3tan
2tan α 3．tan 2α＝__1_－__t_a_n_2_α__α≠k2π＋π4且α≠kπ＋2π，k∈Z.
2024年中考第一轮复习直角三角形 课件
[解析] 设AB=x,则AC=x-2.由勾股定理,
.
得x2-(x-2)2=82.解得x=17.
■ 知识梳理
勾股定理
直角三角形两条直角边的平方和等于⑥ 斜边的平方
勾股定理
如果三角形中两边的平方和等于第三边的⑦ 平方 ,那么这个三角形
的逆定理 是直角三角形
勾股数
能够成为直角三角形三条边长的三个正整数,称为勾股数
∴AD=BC,∠A=∠B=∠CFE=90°,AB∥CD,∴∠AED=∠CDF,∠A=∠CFD=90°,
AD=CF,∴△ADE≌△FCD,∴ED=CD=x,∴FD=x-1,
在Rt△CFD中,FD2+CF2=CD2,∴(x-1)2+32=x2,解得x=5,∴CD=5.故选B.
考向三
勾股定理与拼图
例 3 [2020·孝感]如图 19-11①,四个全等的直角三角形围成一个大正方形,中间是个
图19-6
∴∠BEC=90°,∠BFC=90°,
1
2
∵G 是 BC 的中点,∴EG=FG= BC=5,
∵D 是
1
EF 的中点,∴ED= EF=3,GD⊥EF,
2
∴∠EDG=90°.在 Rt△ EDG 中,
由勾股定理得,DG= 2 - 2 =4,故答案为 4.
考向二
利用勾股定理进行计算
例2 [2020·宜宾]如图19-7,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,D是AB的中点,BE平分
∠ABC交AC于点E,连结CD交BE于点O.若AC=8,BC=6,则OE的长是
.
图19-7
【方法点析】勾股定理是求线段长的重要工具,主要应用:(1)已知直角三角形的
两边长求第三边长;(2)已知直角三角形的一边长求另两边的关系;(3)用于证明平
第4章第四章三角函数、解三角形第2节同角三角函数的基本关系式与诱导公式课件 高考数学一轮复习
－cosα这三个式子，利用(sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα，可以知一求二． 3. 注意公式逆用及变形应用：1＝sin2α＋cos2α，sin2α＝1－cos2α，
cos2α＝1－sin2α. 4. 同角三角函数的基本关系本身是恒等式，也可以看作是方程，对
于一些题，可利用已知条件，结合同角三角函数的基本关系列方程组， 通过解方程组达到解决问题的目的．
第四章 三角函数、解三角形
第二节 同角三角函数的基本关系式与诱导公式
内容索引
学习目标 核心体系 活动方案 备用题
内容索引
学习目标 1. 能利用单位圆中的三角函数线推导出π2±α，π±α 的正弦、 余弦、正切的诱导公式.2. 理解同角三角函数的基本关系式：sin2α＋ cos2α＝1，csoinsαα＝tanα.3. 能利用同角三角函数的基本关系式及三角函 数的诱导公式进行求值、化简、证明．
内容索引
诱导公式第一类π2的偶数倍：－α、π±α 第二类π2的奇数倍：π2±α、32π±α 平方关系：sin2α＋cos2α＝1
同角关系商数关系：csoinsαα＝tanα
内容索引
内容索引
活动一 基础训练
1. (2023贵溪实验中学高三校考)设sin23°＝m，则tan67°等于( )
A. －
【解析】 因为 θ∈0，π2，所以 sinθ>0，cosθ>0.因为 tanθ＝csoinsθθ＝12， 所以 cosθ＝2sinθ，所以 cos2θ＋sin2θ＝4sin2θ＋sin2θ＝5sin2θ＝1，解得 sinθ
＝
55或
sinθ＝－
55(舍去)，所以
sinθ－cosθ＝sinθ－2sinθ＝－sinθ＝－
【答案】 D
cos2α＝1－sin2α. 4. 同角三角函数的基本关系本身是恒等式，也可以看作是方程，对
于一些题，可利用已知条件，结合同角三角函数的基本关系列方程组， 通过解方程组达到解决问题的目的．
第四章 三角函数、解三角形
第二节 同角三角函数的基本关系式与诱导公式
内容索引
学习目标 核心体系 活动方案 备用题
内容索引
学习目标 1. 能利用单位圆中的三角函数线推导出π2±α，π±α 的正弦、 余弦、正切的诱导公式.2. 理解同角三角函数的基本关系式：sin2α＋ cos2α＝1，csoinsαα＝tanα.3. 能利用同角三角函数的基本关系式及三角函 数的诱导公式进行求值、化简、证明．
内容索引
诱导公式第一类π2的偶数倍：－α、π±α 第二类π2的奇数倍：π2±α、32π±α 平方关系：sin2α＋cos2α＝1
同角关系商数关系：csoinsαα＝tanα
内容索引
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活动一 基础训练
1. (2023贵溪实验中学高三校考)设sin23°＝m，则tan67°等于( )
A. －
【解析】 因为 θ∈0，π2，所以 sinθ>0，cosθ>0.因为 tanθ＝csoinsθθ＝12， 所以 cosθ＝2sinθ，所以 cos2θ＋sin2θ＝4sin2θ＋sin2θ＝5sin2θ＝1，解得 sinθ
＝
55或
sinθ＝－
55(舍去)，所以
sinθ－cosθ＝sinθ－2sinθ＝－sinθ＝－
【答案】 D
高考数学一轮总复习第3章三角函数解三角形3.5两角和与差的正弦余弦和正切公式课件文
例 1 (1)[2017·衡水中学二调]cos130°－sin1170°＝(
)
A．4
B．2
C．－2
D．－4
[解析]
3－ 1 ＝
3－ 1 ＝
cos10° sin170° cos10° sin10°
3ssiinn1100°°c－osc1o0s°10°＝2sin110°－30°＝－12sin20°＝－4.
3 2
，1，f(x)∈0，1＋
23.
故
f(x)的值域为0，1＋
23.
核心规律 重视三角函数的“三变”：“三变”是指“变角、变名、变式”； 变角：对角的拆分要尽可能化成同名、同角、特殊角；变名： 尽可能减少函数名称；变式：对式子变形一般要尽可能有理 化、整式化、降低次数等．在解决求值、化简、证明问题时， 一般是观察角度、函数名、所求(或所证明)问题的整体形式 中的差异，再选择适当的三角公式恒等变形．
2sin20°
2sin20°
(2)4cos50°－tan40°＝(
)
A． 2
B．
2＋ 2
3
C． 3 [解析]
D．2 2－1
4cos50°－
tan40°＝
4sin40°cos40°－sin40°＝ cos40°
2sin80°－sin40°
＝
cos40°
2sin100°－sin40°
＝
cos40°
2sin60°＋ cos4400°°－sin40°＝2×
23cos10°＋12sin10° cos20°
考向 三角函数的条件求值
命题角度 1 给值求值问题
例 2 [2016·全国卷Ⅱ]若 cosπ4－α＝35，则 sin2α＝(
高考总复习一轮数学精品课件 第5章 三角函数、解三角形 第4节 三角恒等变换
2.cos2α-sin2α=(cos α+sin α)(cos α-sin α).
3.sin α±cos α= 2sin(α± ).
4
4.函数 y=asin ωx±bcos ωx 的最大值是 2 + 2 ,最小值是- 2 + 2 ,最小正
2
周期为 .
|ω|
自主诊断
题组一 思考辨析(判断下列结论是否正确,正确的画“ ”,错误的画“×”)
π 7π
π 7π
D,x∈(4 , 12)时,2x∈(2 , 6 ),f(x)不单调,故 D 错误.故选 C.
研考点
精准突破
考点一
三角函数式的化简
2 18°×(3 2 9°- 2 9°-1)
例 1(1)(2024·重庆模拟)式子
化简的结果为
6°+ 3 6°
1
A.
B.1
C. 3 或- 3
2
D. 3
解析 因为 tan α,tan β 是方程 x2+3 3x+4=0 的两根,
所以 tan α+tan β=-3 3,tan αtan β=4,所以
tan+tan
tan(α+β)=
1-tantan
= 3.
因为 tan α+tan β=-3 3,tan αtan β=4,
1. 1- =
2sin2 .(
× )
2.y=3sin x+4cos x 的最大值是 7.( × )
3.半角的正弦、余弦公式实质就是将倍角的余弦公式逆用得来的.(
θ
4.tan2
=
θ
1+ θ
=
1- θ
3.sin α±cos α= 2sin(α± ).
4
4.函数 y=asin ωx±bcos ωx 的最大值是 2 + 2 ,最小值是- 2 + 2 ,最小正
2
周期为 .
|ω|
自主诊断
题组一 思考辨析(判断下列结论是否正确,正确的画“ ”,错误的画“×”)
π 7π
π 7π
D,x∈(4 , 12)时,2x∈(2 , 6 ),f(x)不单调,故 D 错误.故选 C.
研考点
精准突破
考点一
三角函数式的化简
2 18°×(3 2 9°- 2 9°-1)
例 1(1)(2024·重庆模拟)式子
化简的结果为
6°+ 3 6°
1
A.
B.1
C. 3 或- 3
2
D. 3
解析 因为 tan α,tan β 是方程 x2+3 3x+4=0 的两根,
所以 tan α+tan β=-3 3,tan αtan β=4,所以
tan+tan
tan(α+β)=
1-tantan
= 3.
因为 tan α+tan β=-3 3,tan αtan β=4,
1. 1- =
2sin2 .(
× )
2.y=3sin x+4cos x 的最大值是 7.( × )
3.半角的正弦、余弦公式实质就是将倍角的余弦公式逆用得来的.(
θ
4.tan2
=
θ
1+ θ
=
1- θ
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A
30°
B 60° E C D
例3.如图，某货船以每小时20海里的速度将一批 重要物资由A处运往正西方向的B处，经过16小 时的航行到达.此时，接到气象部门的通知，一 台风中心正以40海里每小时的速度由A向北偏西 60°方向移动，距台风中心200海里的圆形区域 （包括边界）均会受到影响. ⑴B处是否会受到台风的影响？请说明理由. ⑵为避免受到台风的影响， 该船应在到达后多少小时 内卸完货物？
y C B
O
A
x
图2
图3
二、例题解析
例1.如图所示，A、B两城市相距100km. 现计划在这两 座城市间修筑一条高速公路（即线段AB），经测量 ，森林保护中心P在A城市的北偏东30°和B城市的北 偏西45°的方向上. 已知森林保护区的范围在以P点 为圆心，50km为半径的圆形区域内. 请问：计划修筑的这条 P 高速公路会不会穿越保 E F 护区. 为什么？ 参考数据：
2 1.414
A
30º
45º
B
3 1.732
例2. 法航客机失事引起全球高度关注，为调查失事原 因，巴西军方派出侦察机和搜救船在失事海域同时沿 同一方向配合搜寻飞机残骸（如图）.在距海面900米 的高空A处，侦察机测得搜救船在俯角为30°的海面C 处，当侦察机以 150 3 米/分的速度平行海面飞行20分 钟到达B处后，测得搜救船在俯角为60°的海面D处， 求搜救船搜寻的平均速度.(结果保留三个有效数字. 参考数据： 3 ≈1.732). 2 ≈1.414，
一、知识回顾 1.填空： （1）若地面上的甲看到高山上的乙的仰 角为20°，则乙看到甲的俯角为 .
（2）已知一斜坡的坡度为1﹕4，水平距 离为20m，则该斜坡的垂直高度 .
2.选择： （1）B的坡度等于 （ ） A.1﹕3 B.1﹕2.6 C.1﹕2.4 D.1﹕2
（2）为了测量学校某教学楼的高度，在距离该教学楼30m 的A处，测得楼顶的仰角为a，则教学楼的高为（ ）
30 A.─── tanα
B.30 tanα
C.30sinα
30 D.─── sinα
（3）如图2，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=45°， ∠ C=120° ，AB=8，则CD的长为 ( ） A. 8 6 B.4 6 C. 8 2 D. 4 2 3 3 （4）菱形在平面直角坐标系中的位置如图3所示， 则点的坐标为 （ ） A． D． (1 ，2 1) ( 2， 1) B． (1，2) C． ( 2 11) ，
30°
B 60° E C D
例3.如图，某货船以每小时20海里的速度将一批 重要物资由A处运往正西方向的B处，经过16小 时的航行到达.此时，接到气象部门的通知，一 台风中心正以40海里每小时的速度由A向北偏西 60°方向移动，距台风中心200海里的圆形区域 （包括边界）均会受到影响. ⑴B处是否会受到台风的影响？请说明理由. ⑵为避免受到台风的影响， 该船应在到达后多少小时 内卸完货物？
y C B
O
A
x
图2
图3
二、例题解析
例1.如图所示，A、B两城市相距100km. 现计划在这两 座城市间修筑一条高速公路（即线段AB），经测量 ，森林保护中心P在A城市的北偏东30°和B城市的北 偏西45°的方向上. 已知森林保护区的范围在以P点 为圆心，50km为半径的圆形区域内. 请问：计划修筑的这条 P 高速公路会不会穿越保 E F 护区. 为什么？ 参考数据：
2 1.414
A
30º
45º
B
3 1.732
例2. 法航客机失事引起全球高度关注，为调查失事原 因，巴西军方派出侦察机和搜救船在失事海域同时沿 同一方向配合搜寻飞机残骸（如图）.在距海面900米 的高空A处，侦察机测得搜救船在俯角为30°的海面C 处，当侦察机以 150 3 米/分的速度平行海面飞行20分 钟到达B处后，测得搜救船在俯角为60°的海面D处， 求搜救船搜寻的平均速度.(结果保留三个有效数字. 参考数据： 3 ≈1.732). 2 ≈1.414，
一、知识回顾 1.填空： （1）若地面上的甲看到高山上的乙的仰 角为20°，则乙看到甲的俯角为 .
（2）已知一斜坡的坡度为1﹕4，水平距 离为20m，则该斜坡的垂直高度 .
2.选择： （1）B的坡度等于 （ ） A.1﹕3 B.1﹕2.6 C.1﹕2.4 D.1﹕2
（2）为了测量学校某教学楼的高度，在距离该教学楼30m 的A处，测得楼顶的仰角为a，则教学楼的高为（ ）
30 A.─── tanα
B.30 tanα
C.30sinα
30 D.─── sinα
（3）如图2，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=45°， ∠ C=120° ，AB=8，则CD的长为 ( ） A. 8 6 B.4 6 C. 8 2 D. 4 2 3 3 （4）菱形在平面直角坐标系中的位置如图3所示， 则点的坐标为 （ ） A． D． (1 ，2 1) ( 2， 1) B． (1，2) C． ( 2 11) ，