谈应用题的“一题多解”

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函数应用问题-学会解题之高三数学多题一解【解析版】

函数应用问题【高考地位】应用题是指利用数学知识解决一些非数学领域中的问题，在近几年全国各地高考中经常出现。

数学的高度抽象性决定了数学应用的广泛性，因而应用题的非数学背景是多种多样的，解应用题往往需要在陌生的情景中去理解、分析给出的有关问题，并舍弃与数学无关的非本质因素，通过抽象转化成相应的数学问题，或许正是这个原因让学生比较惧怕数学应用题。

在高考中要处理好函数应用题，学会数学建模分析的步骤和掌握数学建模的具体方法是关键.方法解函数应用题的一般步骤万能模板内容使用场景函数的实际应用问题解题模板第一步审题——弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系；第二步建模——将文字语言转化成数学语言，用数学知识建立相应的数学模型；第三步解模——求解数学模型，得到数学结论；第四步还原——将用数学方法得到的结论还原为实际问题的意义；第五步反思——对于数学模型得到的数学结果，必须验证这个数学结果对实际问题的合理性.例1.已知某公司生产某产品的年固定成本为100万元，每生产1千件需另投入27万元，设该公司一年内生产该产品x 千件()025x <≤并全部销售完，每千件的销售收入为()R x 万元，且()21108,(010)3{ 17557,(1025)x x R x x x x-<≤=-++<≤.⑴ 写出年利润()f x （万元）关于年产量x （千件）的函数解析式；⑴ 当年产量为多少千件时，该公司在这一产品的生产中所获年利润最大？（注：年利润＝年销售收入-年总成本）.【答案】(1)详见解析;(2) 9千件.【解析】第一步，审题——弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系；某公司的年固定成本为100万元，每生产1千件需另投入27万元，设该公司一年内生产该产品x 千件()025x <≤并全部销售完，每千件的销售收入为()R x 万元，且()21108,(010)3{ 17557,(1025)x x R x x x x-<≤=-++<≤. 第二步，建模——将文字语言转化成数学语言，用数学知识建立相应的数学模型；当010x <≤时，第三步，解模——求解数学模型，得到数学结论；第四步，还原——将用数学方法得到的结论还原为实际问题的意义；第五步，反思——对于数学模型得到的数学结果，必须验证这个数学结果对实际问题的合理性.考点：1、函数的解析式及定义域；2、函数的单调性．【点评】(1)由年利润＝年销售收入-年总成本，结合()R x ，即可得到所求()f x 的解析式；(2)由()1的解析式，我们求出各段上的最大值，即利润的最大值，然后根据分段函数的最大值是各段上最大值的最大者，即可得到结果。

分数百分数应用题解题思想(一通百通)

分数应用题解题思想介绍金仁虎一、分配思想分配思想就是根据题中的数量关系，从已知条件入手，通过列式，先求出单位“1”，再由单位“1”的量进行分配。

其具体思路我们还是从第十一册教材第63页的思考题谈起。

1．基本题：同学们参加野营活动。

一个同学到负责后勤工作的老师那里去领碗，老师问他领多少，他说领55个。

又问：“多少人吃饭?” 他说：“一人一个饭碗，两人一个菜碗，三人一个汤碗。

”算一算这个同学给多少人领碗。

〔分析与解〕这是一道六年级的思考题，解答此题可以用多种方法。

（1）方程法。

设：共有X人X＋X＋X＝55解得X＝3O。

（2）算术法。

55÷（l＋＋）＝55÷1＝3O（人）（3）此题还可以直接求最小公倍数来解。

根据“一人一个饭碗，二人一个菜碗，三人一个汤碗”的条件可得：[1、2、3]＝6（6是1、2、3的最小公倍数）。

即：每6人为一桌，每桌所需的碗数为：饭碗：6÷l＝6（个）；菜碗：6÷2＝3（个）；汤碗：6÷3＝2（个）。

共计：6＋3＋2＝11（个）→每桌的总碗数。

这样野营的同学正好可以安排：55÷11＝5（桌），而每桌都是6人，即共有6×5＝3O人参加野营。

此题运用最小公倍数来解，不但可以拓宽六年级同学的解题思路，更重要的是为四、五年级同学开辟了一条解题途径。

2．变形题。

节日期间给某班同学发水果，每人3个桔子，每2人3个苹果，每4人3根香蕉，最后又给每人发1个梨，结果共发水果2OO个，求该班有多少个同学？每种水果各多少个？［分析与解] 每人所发水果情况：桔子3（个）；苹果1（个）；香蕉（个）；梨1（个）。

（l）方程法。

设：共有X人X＋3X＋1X＋X＝200解得X＝32（人）（2）算术法。

200÷（1＋3＋l＋）＝2OO÷6＝32（人）（3）最小公倍数法（同学们自己思考列式）。

在求出单位“1”为32人以后，根据分配思想分别算出每种水果的个数，即：桔子3×32＝96（个）苹果32×l＝48（个）香蕉32×＝24（个）梨子1×32＝32（个）3．综合题：星期日某车间去郊外植树，休息时每人发2瓶汽水，每3人发2瓶果汁，每6人发2瓶雪碧，结果共发饮料180瓶，在这些人中，每人植一棵松树，每2人植5棵杨树，每3人植4棵柳树，每5人植3棵杏树，求该车间共植树多少棵？〔分析与解〕此题综合性很强，实际上是把前两个分配思想的小题合在一起。

应用题一题多解

一题多解一般应用题例1 一筐苹果连筐共重45千克，卖出苹果的一半后，剩下的苹果连筐共重24千克，求原来有苹果多少千克？（北京市海淀区）【分析1】先求卖出的苹果是多少千克，再乘以2即得原来苹果重量.【解法1】卖出的苹果有多少千克？45-24=21（千克）原来有苹果多少千克？21×2=42（千克）综合算式：（45-24）×2=42（千克）.【分析 2】用24千克乘以 2，即得两个筐和原来苹果总数的重量和.再减去连筐在内的45千克，即得一个筐的重量，再用45千克减去一个筐的重量，即得原有苹果重量.【解法2】两个筐和原来苹果共多少？24×2=48（千克）一个筐的重量是多少千克？48-45=3（千克）原来有苹果多少千克？45-3=42（千克）综合算式： 45-（24×2-45）=42（千克）.【分析3】先求两个筐和两筐苹果的重量和，再求出两个筐和一筐苹果的重量和，最后求两和之差就是原来有苹果多少千克.【解法3】两个筐和两筐苹果共多少？45×2=90（千克）两个筐和一筐苹果共重多少千克？24×2=48（千克）原来有苹果多少千克？90-48=42（千克）综合算式：45×2-24×2=42（千克）.【分析4】先求出半个筐和半筐苹果的重量和，再求半个筐重多少千克，进一步求出一个筐的重量，最后求出原有苹果多少千克.【解法4】半个筐和半筐苹果共多少？45÷2=22.5（千克）半个筐重多少千克？24-22.5=1.5（千克）一个筐重多少千克？1.5×2=3（千克）原有苹果多少千克？45-3=42（千克）综合算式： 45-（24-45÷2）×2=45-（24-22.5）×2=45-1.5×2=45-3=42（千克）.【分析5】“苹果的一半”可理解为“苹果的”.根据“比较量÷对应分率=标准量”，先求出“苹果的一半”是多少，再除以“”即得原有苹果多少千克.【解法5】苹果的一半是多少千克？45-24=21（千克）原来有苹果多少千克？21÷=21×=42（克）综合算式：（45-24）÷=21÷=42（克）答：原来有苹果42（千克）.【评注】以上五种解法中，解法1和解法5实际上是很相似的，只是形式不同，解法1是整数应用题的解法，而解法5是分数应用题的解法.这两种解法的思路简捷，计算简便，是本题较好的解法.解法5可通用于其他变换形式，如“卖出苹果的”等，若用解法1就太麻烦了.例2 朝阳菜市场运进每筐重量相等的西红柿.上午运进120筐，下午运进150筐，已知上午比下午少运900千克，全天共运进西红柿多少千克？（北京市东城区）【分析1】先求下午比上午多运进多少筐，进一步求出每筐重量，再乘以全天共运进的筐数，即得全天共运进西红柿多少千克.【解法1】下午比上午多运进多少筐？150-120=30（筐）每筐西红柿重多少千克？900÷30=30（千克）全天共运进多少筐西红柿？120+150=270（筐）全天共运进西红柿多少千克？30×270=8100（千克）综合算式：900÷（150-120）×（120+150）=900÷30×270=30×270=8100（千克）.【分析2】先求每筐西红柿重多少千克，再求上午和下午各运进多少千克，最后求出全天共运进西红柿多少千克.【解法2】每筐西红柿重多少千克？900÷（150-120）=900÷30=30（千克）上午运进西红柿多少千克？30×120=3600（千克）下午运进西红柿多少千克？30×150=4500（千克）全天共运进西红柿多少千克？3600+4500=8100（千克）综合算式：900÷（150-120）×120+900÷（150- 120）×150=900÷30×120+900÷30×150=3600+4500=8100（千克）.【分析3】先求出下午运进的筐数是上午的几倍，再求出下午比上午多的倍数，即900千克对应的倍数，由此可求上午运进西红柿多少千克，最后求全天共运进西红柿多少千克.【解法3】下午运的是上午运的几倍？150÷120=（倍）上午运进西红柿多少千克？900÷（-1）=3600（千克）全天运进西红柿多少千克？3600×（+1）=8100（千克）综合算式：900÷（150÷120-1）×（150÷120+1）=900÷（-1）×=900×=8100（千克）.【分析4】先求下午与上午运进西红柿筐数的比，再求每份西红柿的重量是多少千克，最后求出全天运进西红柿多少千克.【解法4】下午与上午运进筐数的比？150∶120=5∶4每份西红柿的重量是多少千克？900÷（5-4）=900（千克）全天运进西红柿多少千克？900×（ 5+4）=8100 （千克）答：全天共运进西红柿8100千克.【评注】以上四种解法中，解法1思路简捷，计算简便，是本题较好的解法.解法3和解法4分别运用有关分数和比的知识解题，思路独特，有新意.例3 一个农业专业户买种子用去10.50元，买农具的钱是买种子的3.4倍，买化肥比买农具少11.90元，他一共用去多少元？（甘肃省兰州市）【分析1】先求买农具用去多少元，再求买化肥用去多少元，最后求出他共用多少元.【解法1】买农具用去多少元？10.50×3.4=35.70（元）买化肥用去多少元？35.70-11.90=23.80（元）一共用去多少元？10.50+35.70+23.80=70（元）综合算式：10.50+10.50×3.4+（10.50 ×3.4-11.90）=10.50+10.50×3.4+23.80=70（元）.【分析2】先求出买农具和买化肥共用去多少元，再求他一共用去多少元.【解法2】买农具和化肥共用多少元？10.50×3.4×2-11.90=59.50（元）他一共用去多少元？10.50+59.50=70（元）综合算式： 10.50+（10.50×3.4×2-11.90）=10.50+（71.40-11.90）=10.50+59.50=70（元）.【分析3】因为买农具用去的钱是买种子用钱的3.4倍，而买化肥用钱可看作是买种子用钱的3.4倍少11.90元，所以他一共用去的钱是买种子用钱的（1+3.4×2）倍少11.90元.【解法3】10.50×（1+3.4×2）-11.90=10.50×7.8-11.90=81.90-11.90=70（元）.答：他一共用去70元.【评注】解法 1是一般解法，计算比较麻烦.解法 3思路简捷，运算简便，是本题的最佳解法.例4 师徒二人装订324本书，4小时完成，已知师傅每小时装订45本，徒弟每小时装订多少本？（广东省宝安县）【分析1】先求师傅共装订多少本，再求徒弟共装订多少本，最后求徒弟每小时装订多少本.【解法1】师傅共装订多少本？45×4=180（本）徒弟共装订了多少本？324-180=144（本）徒弟每小时装订多少本？144÷4=36（本）综合算式：（324-45×4）÷4=（324-180）÷4=144÷4=36（本）.【分析2】先求出师徒二人每小时共装订多少本，再减去师傅每小时装订本数，即得徒弟每小时装订多少本.【解法2】师徒每小时共装订多少本？324÷4=81（本）徒弟每小时装订多少本？81-45=36（本）综合算式：324÷4-45=81-45=36（本）.【分析3】因为师徒二人每小时装订本数×装订小时数=装订总本数，所以，可以“装订总本数”为等量列方程.【解法3】设徒弟每小时装订x本.（45+x）×4=32445+x=324÷4x=81-45x=36答：徒弟每小时装订36本.【评注】解法1是一般解法，解法2思路明确，运算过程简单，是本题最佳解法.例5 时新手表厂原计划25天生产10 000只手表，实际提前5天完成了计划，平均每天多生产手表多少只？（辽宁省大连市中山区）【分析1】先求实际生产了多少天，再分别求出实际和原计划每天生产手表各多少只，最后求出实际每天比原计划每天多生产手表多少只.【解法1】实际生产了多少天？25-5=20（天）实际平均每天生产手表多少只？10 000÷20=500（只）原计划平均每天生产手表多少只？10 000÷25=400（只）实际平均每天比原计划多生产多少只？500-400=100（只）综合算式：10 000÷（25- 5）- 10 000÷25=10 000÷20-10 000÷25=500-400=100（只）.【分析2】由题意可知，实际每天生产手表总数的，原计划每天生产手表总数的.由此可分别求出实际和原计划每天各生产手表多少只，最后求其差，即得本题所求问题.【解法2】实际生产了多少天？25-5=20（天）实际平均每天生产手表多少只？10000×=500（只）原计划平均每天生产手表多少只？10000×=400（只）实际平均每天比原计划多生产多少只？500-400=100（只）综合算式：10000×-10000×=10000×-10000×=500-400=100例6 某化肥厂生产一批化肥，原计划每天生产60吨，实际每天比原计划多生产15吨，结果提前6天完成了任务.这批化肥有多少吨？（黑龙江省哈尔滨市南岗区）【分析1】如果完成任务后继续生产 6天，就在原计划天数内超过计划总数（60+15）×6=450 吨）.这是因为实际每天比原计划每天多生产15吨，由此可求出原计划生产天数，再求出这批化肥有多少吨.【解法1】实际再生产6天完成几吨？（60+15）×6=450（吨）原计划生产多少天？450÷15=30（天）这批化肥有多少吨？60×30=1800（吨）综合算式：60×[（60+15）×6÷15]=60×[75×6÷15]=60×[450÷15]=60×30=1800（吨）【分析2】原计划生产每吨化肥要用天，实际生产每吨化肥要用天，由此可求出实际生产每吨化肥可提前-=（天）.而实际共提前了6天，所以提前的6天里包含天的个数，就是原计划生产化肥的总吨数.【解法2】实际生产每吨化肥比计划提前几天？-=-=（天）这批化肥有多少吨？6÷=1800（吨）综合算式：6÷（-）=6÷（-）=6÷=1 800（吨）.【分析3】因为每天生产吨数×生产的天数=化肥总吨数，而化肥总吨数一定，所以每天生产吨数和生产的天数成反比例.因为实际每天生产吨数与原计划每天生产吨数的比是（60+15）∶60=5∶4，所以实际生产天数与原计划生产天数的比是4∶5，并且实际比原计划少用了6天，由此可求出实际生产天数，或原计划生产天数，那么这批化肥总量即可求出.【解法3】实际与原计划生产天数的比？60∶（60+15）=4∶5实际生产了多少天？6÷（5-4）×4=24（天）计划生产多少天？6÷（5-4）×5=30（天）这批化肥有多少吨？60×30=1800（吨）或（60+15）×24=1800（吨）综合算式：60×[6÷（1-）]=60×[6÷]=60×30=1800（吨）.或：（60+15）×[6÷（-1）]=75×[6÷]=75×24=1800（吨）.【分析4】如果设这批化肥总吨数为x，那么原计划生产天数可表示为，实际生产的天数可表示为.因为实际比原计划少用了6天，所以根据关系式“原计划生产天数-实际生产天数=提前的天数”可列方程解.【解法4】设这批化肥有x吨.-=6（）x=6x=6÷x=1800答：这批化肥有1800吨.【评注】解法2的思路简明、新颖独特，运算简便，是本题的最佳解法.解法1比较容易想到，但运算太繁.解法3和解法4是运用比、分数和方程的知识解应用题，可作为拓宽解题思路的训练.例7 管道工厂用10米长的新管，换地下8米长的旧管450根，需要新管多少根？（北京市东城区）【分析1】先求要换旧管的总长是多少米，再求需要新管多少根.【解法1】要换旧管的总长是多少米？8×450=3600（米）需要新管多少根？3600÷10=360（根）综合算式：8×450÷10=360（根）.【分析2】用比例解法.因为每根管长×管的根数=换管的总长，要换管的总长一定，所以，每根管的长度和管的根数成反比例.【解法2】设需要新管x根.10x=8×450x=x=360【分析3】由分析2可知，每根管长和需换管的根数成反比例，所以，需要新管根数和旧管根数的比是8∶10，由此可求新管根数.【解法3】450÷10×8=45×8=360（根）.答：需要新管360根.【评注】解法1和解法2都属于一般解法，解法3是特殊解法，是本题较好的解法.例8 农具厂加工一批零件，计划每天加工50个，12天完成.要想提前2天完成任务，每天需要加工多少个？（山东省惠民地区）【分析1】先求要加工零件总个数，再求实际用的天数，最后求每天要加工的个数.【解法1】这批零件共有多少个？50×12=600（个）实际用了多少天？12-2=10（天）实际每天需要加工多少个？600÷10=60（个）综合算式：50×12÷（12-2）=600÷10=60（个）.【分析2】要提前2天完成，实际上就是把计划 2天完成的个数，平均分到前（12-2）天内完成。

浅谈小学数学中的“一题多解与一题多变”

浅谈小学数学中的“一题多解与一题多变”在当今教育模式下，通常我们数学的教育模式都是以“标准题目”和“标准答案”来解决问题，这导致学生的思维受到禁锢并沿着定向发展，导致千人一面，这种单一、刻板的思维严重地束缚着小学生创新思维的发展。

因此，教师必须打破禁锢。

想要锻炼思维，可以通过一系列的变式训练，以多侧面、多角度地去探索问题中的本质，这样有利于弄清知识脉络和知识间的联系，可以培养学生的思维转换能力。

在新课程改革实行的背景下，一题多解和一题多变是数学研究中的一个热点问题，一题多解式和一题多变式的教学形式也不断呈现出了新的特点，而数学作为一门应用最广泛，最能培养创造性思维和问题解决的能力的一门基础课程，通过不断激发学生积极思维和求知兴趣，从而达到举一反三、触类旁通的效果，因此其在培养学生的创新能力上具有独特优势。

一、“一题多解”在小学数学教学过程中的实践一个题目能否得到解决的确非常的重要，但是去探求不同于别人的新解法，才是学习上梦寐以求的乐事。

学生学习的兴趣往往与所创造出的欢乐是紧密相连的。

因此研究一题多解是为了增强学生们的求知欲望，从而激发人们的创新精神。

那么所谓的“一题多解”是什么呢？从字面上看很容易看出就是指一题多解训练，对同一问题的结论通过不同的方法得出，不断通过指引和启迪学生从不同的思路、不同的方向、不同的方法以及不同的运算过程去分析和解答问题。

为了能充分解释一题多解在培养小学生思维方面的应用，将通过下面两个例子，来详细的介绍“一题多解”。

例1：计划修一条长120米的水渠，前5天修了这条水渠的20%，照这样的进度，修完这条水渠还需多少天？这道题先启发学生求工作效率，即从“工作量÷工作时间”来思考：解法（1）：120÷（120×20%÷5）－5 ；解法（2）：（120－120×20%）÷（120×20%÷5）；这道题也还可以从分数的意义直接进行解答：解法（3）：1÷（20%÷5）－5 ；解法（4）：（1－20%）÷（20%÷5）；解法（5） 5÷20%－5例2：李老师带了若干元去买书。

应用题一题多解训练课的初步探索

：
６个）（
答：下的钱还可以买６篮球。剩个
解法２ｌ－３ ÷ ２：２４２７
＝
１６２－
６个）（答：同上）（解法３设剩下的钱还可以买ｘ篮球，：个
＝
７ｘ２７－３２＝１ｘ２４２
７２＝４３ｘ２ｘ＝６
答：同上）（解法４设剩下的钱还可以买Ｘ篮球，：个
７２＋４＝７２２ｘ３２￣１
７ｘ４２８４２＋３＝６７ｘ８４４２２＝６ — ３７ｘ４２２＝３ｘ６＝
行３３５＝３（里）乙每天走的就可以求出来了。８—０３３公，乙每天走多少公里知道了。每天走的也就可以知道了甲口述２甲行５，行４，如乙每天比原来多行１公：天乙天假０
一一
７００）３９０
生自己去进一步思维，一步去认识。否则是对是错，优是进是劣，简是繁，生都不知道，样就不能达到提高学生解题是学这能力的目的。只有通过引导学生自己对上述求得的各种解题方法进行逐一比较，开热烈的讨论或争论，能真正把握应展才用题的最简便的解题方法，才能进一步提高解答应用题的能力和效率。例１福小学原计划买１个篮球，个７元。买篮球的．幸２每２从钱中先拿出４２买足球，下的钱还够买几个篮球？３元剩

学生做数学题的一题多解释

学生做数学题的一题多解释（一题多解）是一种很好的学习方法，它有助于学生从多个角度理解问题，培养创新思维和解决问题的能力。

下面是一个例子：
题目：一个圆形的半径是5厘米，求它的面积。

方法一：使用圆的面积公式
我们知道，圆的面积可以通过公式 A = πr² 来计算，其中 A 是面积，r 是半径。

将 r = 5 代入公式，得到 A = π × 5² = 25π 平方厘米。

方法二：使用圆的面积与直径关系
我们知道，圆的面积与直径的关系是：A = (d/2)²π，其中 d 是直径。

由于 r = d/2，所以可以将 d = 10 代入公式，得到 A = (10/2)²π = 25π 平方厘米。

方法三：使用正方形近似法
我们可以将圆近似为一个正方形，这个正方形的边长就是圆的直径。

因此，圆的面积可以看作是正方形的面积。

所以，A = d²/4 = 10²/4 = 25π 平方厘米。

通过以上三种方法，我们可以得到相同的答案，这有助于学生从多个角度理解问题，提高解决问题的能力。

利用比列应用题的一题多解培养学生的开放思维

利用比列应用题的一题多解培养学生的开放思维作者：马志莲来源：《中学课程辅导·教学研究》2013年第10期小学数学第十二册教材中的“比例应用题”，是在学生已学习了整数应用题、分数应用题、百分数应用题的基础上来学习的。

为了更好地培养学生的创造性思维，在教学中，不但要让学生掌握用比例知识解答的方法，而且还要利用知识的迁移，掌握其他多种解答方法，从而使学生的思维从单一的教材例题的解答模式中向纵横发展，灵活多变，从不同的角度去分析研究问题，寻找正确的解题方法。

例、学校买来一批儿童读物，按4：5借给甲乙两个半，借给甲班20本，借给乙班多少本？一共买来多少本：解法一、用比例求解∵甲：乙=4：5 ∴20：乙=4：5 ∴乙=20×5÷4=25（本）总数：25+20=45（本）解法二、用归一求解∵甲解20本占4份，∴1份是20÷4=5（本），乙班是5份，乙班借得20÷4×5=25（本）总数为：20+25=45（本）解法三：用分数求救用分数求救，由于两种量各自所对应的分率和单位“1”的量不同，因而又有不同的解法。

∵甲：乙=4：5 ∴甲是乙的 45 ∴乙=20÷ 45 =25（本）总量为：20+25=45（本）∵甲：乙=4：5 ∴甲是总数的 49 ∴总数=20÷ 49 （本）乙=45-25=20（本）∵甲：乙=4：5 ∴乙是总数的59 总数=20÷（1- 49=45（本）乙=45-25=20（本）∵甲：乙=4：5 ∴甲比乙少 15 甲是乙的（1- 15 ）∴乙=20÷（1- 15 ）=25（本）总数为25+20=45（本）∵甲：乙=4：5 ∴乙比甲多 14 乙是甲的（1+ 14 ）∴乙=20×（1+ 14）=25（本）总数为25+20=45（本）解法四：用倍数求解∵甲：乙=4：5 ∴乙是甲的114 倍乙=20×1 14 =25（本）总数为25+20=45（本）以上这是一道典型的比例应用题，在教学过程中，教师不拘泥于常规的解题方法，引导学生进行顺向、逆向、横向、纵向的思维，使学生灵活运用所学的知识，广开思路。

一题多解归一应用题

一题多解归一应用题例1 一个打字员15分钟打了1800个字，照这样的速度，1小时能打多少个字？【分析1】先求1分钟能打多少个字，再求1小时能打多少个字。

【解法1】1分钟能打多少个字？1800÷15=120（个）1小时能打多少个字？120×60=7200 （个）综合算式：1800÷15×60=120×60=7200（个）。

【分析2】先求出1小时是15分钟的几倍，再用1800乘以所得的倍数，所得的积就是1小时能打字的个数。

【解法2】1小时是15分钟的几倍？60÷15=4（倍）1小时能打字多少个？1800×4=7 200（个）综合算式：1800×（60÷15）=1800×4=7200（个）。

【分析3】先求出15分钟是1小时的几分之几，根据分数除法的意义，用1800除以所得的几分之几，即得1小时能打字多少个。

【解法3】15分钟是1小时的几分之几？15÷60=1小时能打字多少个？1800÷=7200（个）综合算式：1800÷=1800÷=7200（个）。

【分析4】先求出打一个字需要多少分钟，再看1小时里包含多少个“这些分钟”，就是1小时能打字多少个。

【解法4】打一个字需要多少分钟？15÷1800=（分钟）1小时能打多少个字？60÷=60×120=7 200（个）综合算式：60÷（15÷1800）=60÷=7 200（个）。

【分析5】因为“工作总量÷工作时间=工作效率”，而工作效率一定，所以工作总量与工作时间成正比例。

【解法5】设1小时能打字x个。

x∶60=1 800∶15x=x=7200答：1小时能打字7 200个。

【评注】本题是正归一应用题。

解法1是正归一应用题的一般解法，即先求出“单一量”，再用单一量乘以“总份数”就等于“总数量”。

复杂的比和比例应用题(一题多解)-(附答案)

较复杂的比和比例应用一、热点回顾1、把一个图形按一定比放大或缩小，就是把它的每条边按一定的比放大或缩小。

2、表示两个比相等的式子叫做比例。

3、组成比例的四个数，叫做比例的项。

两端的两项叫做比例的外项，中间的两项叫做比例的内项。

4、在比例里，两个外项的积等于两个内项的积。

这叫做比例的基本性质。

5、根据比例的基本性质，如果已知比例中的任意三项，就可以求出这个比例中的另一个未知项。

求比例的未知项，叫做解比例。

例1一架飞机所带的燃料最多可以用6小时，飞机去时顺风，每小时可以飞行1500千米；飞回时逆风，每小时可以飞行1200千米。

这架飞机最多飞出去多少千米就要往回飞？解法1：抓住问题特点，用比例知识解答较简明。

飞出和飞回的路程一定，所以飞出和飞回使用时间和其速度成为反比。

飞出时间和飞回时间的比：1200：1500=4：5飞出距离：1500×6×400094=（千米）解法2：用工程问题的思路解答。

飞出时，每千米用15001小时，飞回时，每千米用12001小时，返回1千米用（15001+12001）小时，返回多少千米用6小时？6÷（15001+12001）=4000（千米）解法3：列比例解。

返回路程一定，速度与时间成反比例。

设：飞出x 小时后返回。

1500x=1200（6-x ） X=38 1500×38=4000（千米）解法4：利用时间和为6列方程。

设：飞出x 千米后返回。

612001500=+x x X=4000解法5：先求出平均速度，再求出飞出距离，假设飞出距离为“1”（1+1）÷（15001+12001）=34000（千米/小时） 34000×（6÷2）=4000（千米）练习：1，小明上学时每分钟走75米，放学时每分钟走90米。

这样他上学和放学在路上共用了22分钟。

你能求出小明家到学校的路程吗？、2，甲、乙两人各加工700个零件，甲比乙晚1.5小时开工，结果比乙还提前0.5小时完成。

小学数学应用题解题策略归纳

小学数学应用题解题策略归纳解答应用题一直是许多孩子做数学题的“心头大患"，因为它既要综合应用小学数学中的概念性质、法则、公式、数量关系和解题方法等最基本的知识，还要具有分析、综合、判断、推理的能力。

这也是为什么孩子觉得难的原因。

以下是总结的小孩子数学应用题解决方法。

方法一：数量关系分析法数量关系是指应用题中已知数量和未知数量之间的关系，只有搞清数量关系，才能根据四则运算的意义恰当的选择算法，把数学问题转化为数学式子，通过计算进行解答。

数量关系分析法分为三步：（一）寻找题中的数量。

(二)明确各数量间的关系。

（三)解决各个产生的问题。

下面以一道例题的教学从以下几方面来谈数量关系分析法的运用。

家长在家辅导孩子作业可以参考老师的引导方法教导孩子思考的角度和方法，养成孩子独立思考、快速解答的好习惯:例题：“学校举行运动会，三年级有35人参加比赛，四年级参加的人数是三年级3倍，五年级参加的人数比三、四年级参加的总人数多12人，五年级参加比赛的有多少人？”解题思路：师：题中有几个数量呢？生：三个。

师：哪两个数量之间有直接关系呢？生：三年级有35人参加比赛，四年级参加的人数是三年级3倍.师：这两个数量间的关系让我们头脑中产生一个什么问题呢？生：四年级有多少人参加比赛？师:怎样列式解答这个问题呢?生：用乘法35 ×3=105（人）.师：现在又多了一个数量:四年级有105人参加比赛，那么哪两个数量间又存在关系呢？根据他们的关系可以产生一个怎样的问题？生：三年级有35人参加比赛，四年级有105人参加比赛。

问题是：三四年级参加比赛一共有多少人？师:所以第二步算式怎样列呢？生：105+35=140（人）.师：根据现在已经产生的数量，又有哪两个数量间的关系存在呢?生：三、四年级参加比赛一共有多140人,五年级参加的人数比三、四年级参加的总人数多12人.师：这两个数量间的关系能帮助我们解决什么问题呢？生：五年级参加比赛的有多少人？师：那么解决最后问题的算式怎样列出呢？生：140+12=152（人）方法二:问题中心散射倒推法所谓的“问题中心散射法”就是根据分析法这一思路模式，让孩子从最后的问题出发，不断地逆向推理，层层解决。

一题多解-分数和百分数应用题

一题多解-分数和百分数应用题一题多解分数和百分数应用题(1)例1 某厂五月份计划用电2500度，实际用电2125度，节约百分之几？【分析1】先求出实际用电比计划节约了多少度，再除以五月份计划用电度数，即得实际用电比计划节约百分之几. 【解法1】实际比计划节约用电几度？2500-2125=375（度）实际比计划节约用电百分之几？375÷2500=0.15=15％综合算式：（2500-2125）÷2500 =375÷2500=15％.【分析2】把计划用电看作标准“1”。

先求出实际用电是计划的百分之几，再求出此百分数与“1”的差，即为实际比计划节约的百分数.【解法2】实际是计划的百分之几？2125÷2500=0.85=85％实际用电比计划节约百分之几？ 1-85％=15％综合算式： 1-2125÷2500=1-0.85=15％. 答：实际用电比计划节约了15％.【评注】解法1是一般解法，易于理解和掌握，并且运算较简便，是本题较好解法. 例2 某厂五月份生产机床160台，六月份生产200台，六月份比五月份增产百分之几？【分析1】先求出六月份比五月份增产多少台，再除以五月份生产台数，即得六月份比五月份增产百分之几. 【解法1】六月份比五月份增产多少台？ 200-160=40（台）六月份比五月份增产百分之几？40÷160=0.25=25％综合算式：（200-160）÷160=40÷160=25％.【分析2】把五月份生产台数看作“1”.先求出六月份生产台数是五月份的百分之几，再减去“1”，即得六月份比五月份增产百分之几.【解法2】六月份是五月份的百分之几？200÷160=1.25=125％六月份生产台数比五月份增产百分之几？ 125％-1=25％综合算式：200÷160-1=1.25-1=25％. 答：六月份比五月份增产25％.【评注】解法1 的思路简明，运算较为简便，也是通常使用的解法.例3 红星机床厂，上个月计划生产机床200台，实际比计划多生产40台，实际产量是计划的百分之几？【分析1】先求出实际生产多少台，再除以计划生产的台数，所得百分数就是实际产量是计划的百分之几. 【解法1】实际生产机床多少台？200+40=240（台）实际产量是计划的百分之几？240÷200=1.2=120％综合算式：（200+40）÷200=240÷200=120％.【分析2】把计划生产的台数看作标准“1”.先求出实际比计划多生产百分之几，再加上“1”即得实际产量是计划的百分之几.【解法2】实际比计划多生产百分之几？40÷200=0.2=20％实际产量是计划的百分之几？ 1+20％=120％综合算式：1+40÷200=1+0.2=1.2=120％.【评注】解法1是常用解法，思路直接，但计算较繁，解法2思路简明，运算简便，是本题的较好解法. 例4 五一班有50人，在一次数学测验中，有1人不及格，求及格率.【分析1】根据“×100％=及格率”，先求及格人数，再求及格率.【解法1】格率.×100％=0.98×100％=98％.【分析 2】先求出不及格人数占全班人数的百分之几，即不及格率，再用标准“1”减去不及格率，即得这次测验及【解法 2】1-10÷50=1-0.02=0.98=98％. 答：这次数学测验的及格率是98％.例5 小研看一本课外书，4天看了全书总页数的还要用的天数.【解法1】每天读全书的几分之几？，照这样计算，他看完这本书还要多少天？【分析1】先求出每天读全书的几分之几，再除全书总页数“1”，即得读全书要用天数.最后减去已用的4天，即得÷4=读全书共用多少天？1÷=6（天）看完全书还要多少天？ 6-4=2（天）综合算式：1÷（÷4）-4 =1÷-4=2（天）.【分析 2】把读全书要用天数看作标准“1”，那么4天恰是读全书要用天数的求还要多少天.【解法2】读全书共用多少天？，由此可求出读全书用多少天，再4÷=6（天）读完全书还要多少天？ 6-4=2（天）综合算式：4÷-4=6-4=2（天）.【分析3】把转化为2∶3，那么全书页数可平均分成3份，已读了2份，还剩下1份没有读.由此可求读每份书用多少天，即还要多少天. 【解法3】4÷2×（3-2）=4÷2×1=2（天）. 或：设还要用x天. 4∶2=x∶（3-2） 2x=4 x=2【分析4】因为“读书量÷天数=每天读书量”，每天读书量一定，所以读书量和读书的天数成正比例，由此列比例式解题.【解法 4】设读全书还要用x天.（1-）∶x=∶4∶x=∶4x=4×x= x=2【分析5】用倍比解法.把全书总页数看作“1”，先求出“1”里包含几个求出读全书要用天数，再求还要多少天.，那么读全书也就需要几个4天，由此【解法5】4×（1÷）-4=4×-4=6-4=2（天）.答：他看完全书还要2天.【评注】解法1和解法4都是常用解法，易于理解和掌握，但一般来说计算较繁，其它三种解法都是转换角度进行思考问题，有益于锻炼思维.其中解法2和解法3思维角度选择巧妙，运算简便，是本题的最好解法. 例6 六年三班有女生24人，占全班人数的40％，这个班有学生多少人？【分析 1】把全班人数看作标准“1”.根据“比较量÷对应分率=标准量”，用女生人数除以它占全班人数的40％，即得全班人数.【解法1】24÷40％=24×=60（人）.【分析2】把40％转化为40∶100，那么全班人数可分为100等份，其中女生占40份，可先求出每份有多少人，再求100份有多少人即全班的人数.【解法 2】24÷40×100=0.6×100=60（人）.【分析3】把女生人数看作标准“1”，那么全班人数是女生人数的.由此可根据分数乘法意义求出全班人数。

应用题解析

1．甲乙两个水管单独开，注满一池水，分别需要20小时，16小时.丙水管单独开，排一池水要10小时，若水池没水，同时打开甲乙两水管，5小时后，再打开排水管丙，问水池注满还是要多少小时？解：1/20+1/16＝9/80表示甲乙的工作效率9/80×5＝45/80表示5小时后进水量1-45/80＝35/80表示还要的进水量35/80÷（9/80-1/10）＝35表示还要35小时注满答：5小时后还要35小时就能将水池注满。

2．修一条水渠，单独修，甲队需要20天完成，乙队需要30天完成。

如果两队合作，由于彼此施工有影响，他们的工作效率就要降低，甲队的工作效率是原来的五分之四，乙队工作效率只有原来的十分之九。

现在计划16天修完这条水渠，且要求两队合作的天数尽可能少，那么两队要合作几天？解：由题意得，甲的工效为1/20，乙的工效为1/30，甲乙的合作工效为1/20*4/5+1/30*9/10＝7/100，可知甲乙合作工效>甲的工效>乙的工效。

又因为，要求“两队合作的天数尽可能少”，所以应该让做的快的甲多做，16天内实在来不及的才应该让甲乙合作完成。

只有这样才能“两队合作的天数尽可能少”。

设合作时间为x天，则甲独做时间为（16-x）天1/20*（16-x）+7/100*x＝1x＝10答：甲乙最短合作10天3．一件工作，甲、乙合做需4小时完成，乙、丙合做需5小时完成。

现在先请甲、丙合做2小时后，余下的乙还需做6小时完成。

乙单独做完这件工作要多少小时？解：由题意知，1/4表示甲乙合作1小时的工作量，1/5表示乙丙合作1小时的工作量（1/4+1/5）×2＝9/10表示甲做了2小时、乙做了4小时、丙做了2小时的工作量。

根据“甲、丙合做2小时后，余下的乙还需做6小时完成”可知甲做2小时、乙做6小时、丙做2小时一共的工作量为1。

所以1－9/10＝1/10表示乙做6-4＝2小时的工作量。

分数应用题解的技巧

分数应用题解的技巧解答分数应用题要做到“四个善于”（这里的方法其实也是一种思路）分数应用题变化多端,但我们只要仔细审题,掌握一定的解题技巧,便能迎刃而解.一、善于对应.在解答分数（百分数）应用题时,找不准数量之间的对应关系是造成错误的重要原因.因而,要正确解答分数应用题首先要善于找出数量之间的对应关系.如：某工厂有工人1350人,其中男工人占,男工人比女工人多多少人?根据题意,可找出下列对应关系：二、善于比较.有意识地进行题组比较,能使我们分清分数应用题的结构特征,清晰分数应用题的解题思路.如：（1）水果店运来苹果2000千克,比运来的梨多,梨有多少千克?（2）水果店运来苹果2000千克,运来的梨比苹果多,梨有多少千克?比较两道题,就会发现：一是单位“1”不同.（1）题中的单位“1”是梨的数量（未知）；（2）题中的单位“1”是苹果的数量（已知）.二是数量2000千克对应的分率不同.（1）题中2000千克对应的分率是；（2）题中2000千克对应的分率是“1”.三是类型不同.（1）题是“已知一个数的几分之几是多少,求这个数”,用方程或除法解答；（2）题是“求一个数的几分之几是多少”,用乘法解答.四是列式与计算结果不同.三、善于假设.遇到某些难以解答的分数应用题,我们不妨合理假设具体条件,使抽象的数量关系具体化.如：水结成冰时,体积增加.冰化成水时,体积减少几分之几?我们可先假设水有11立方米,求出水结成冰后的体积是12立方米,再求出冰化成水后体积减少几分之几：即.四、善于沟通.对相类似的知识进行联想沟通,能使我们解题时融会贯通,举一反三.如：（1）小明去买早点,包里的钱单买油条可买10根,单买包子可买5个.他买了2根油条后,还可买几个包子?（2）一块木料单做椅子可把10把,单做桌子可做5张.李师傅先用这块木料做了2把椅子,还可做几张桌子?如果我们把这一类题与工程问题进行沟通,就会很快找到解题思路.分数应用题是小学教学中的难点之一，它主要有三种类型：1.已知两个数，求一个数是另一个数的几分之几；2.已知一个数，求它的几分之几；3.已知一个数的几分之几是多少，求这个数。

(教案)解答排列组合应用题的常用方法(一)

解答排列组合应用题的常用方法（一）教学目标：要求学生在掌握分步计数原理与分类计数原理的基础上，能用它们分析和解决一些简单的应用问题。

要求学生掌握并能灵活运用解应用题的一些常用方法。

教学重难点：题型的分析和方法的灵活选用。

教材分析：解决排列组合问题首先必须分清它是排列问题还是组合问题；其次，分析求解过程要注意掌握处理排列与组合问题的基本思想，即按元素的性质分类或按事件发生过程分步。

另外，对于同一个问题应从多个角度去思考，一题多解，这样既可防止重复与遗漏问题，又可提高分析问题的能力。

解排列组合应用题，首先必须认真审题，明确问题是排列问题，还是组合问题，其次是抓住问题的本质特征，灵活运用基本原理和公式进行分析解答，同时，还要注意讲究一些基本策略和方法技巧，使一些看似复杂的问题迎刃而解。

教学过程：总的原则—合理分类和准确分步解排列（或）组合问题，应按元素的性质进行分类，事情的发生的连续过程分步，做到分类标准明确，分步层次清楚，不重不漏。

例1 、6个同学和2个老师排成一排照相，2个老师站中间，学生甲不站排头，学生乙不站排尾，共有多少种不同的排法？练习（1）0，1，2，3，4，5可组成多少个无重复数字的五位偶数？（2）0，1，2，3，4，5可组成多少个无重复数字且能被五整除的五位数？（3）0，1，2，3，4，5可组成多少个无重复数字且大于31250的五位数？（4）31250是由0，1，2，3，4，5组成的无重复数字的五位数中从小到大第几个数？解题方法（一）特殊优先，一般在后对于问题中的特殊元素、特殊位置要优先安排。

对实际问题，有时“元素优先”，有时“位置优先”。

例 2 用0，1，2，3，4这五个数，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有（）A.24B.30C.40D.60（二）排列组合混合，先选后排对于排列组合混合问题，宜先用组合选取元素，再进行排列。

例：4个不同的小球放入编号为1、2、3、4的四个盒内，则恰有一个空盒的放法有几种？（三）正难则反，间接处理（间接法）对于某些排列组合问题的正面情况较复杂，而反面情况较简单时，可先考虑无限制条件的排列，再减去其反面情况的总数，此时应注意既不能多减又不能少减。

应用题的一题多解

应用题的一题多解从上海到北京可以有多种走法，第一种从上海乘火车到北京；第二种坐飞机；第三种从上海坐轮船到天津，再从天津乘火车到北京；第四种坐汽车；第五种也可以骑自行车等等。

同样，应用题也有多种解法。

一道应用题可以从各种不同的角度进行分析，采用各种不同的思考方法，这样就会有不同的解答方法。

一题多解，能够开阔我们的思路，把学过的知识融会贯通；一题多解，也可以试试你手中的十二把钥匙到底灵不灵，能不能运用自如。

下面，我们列举的几道应用问题，每道题至少都用了三种解法。

[例1]：甲乙两地相距450公里，客车和货车同时从两地相向而行，客车行完全程需10小时，货车行完全程需15小时，相遇时两车各行了多少公里？第一种解法：一般解法先求出两车每小时的速度，再按照相遇问题的解答方法求两车相遇时间，最后求出相遇时两车各行了多少公里。

（1）客车每小时行多少公里？450÷10=45（公里）。

（2）货车每小时行多少公里？450÷15=30（公里）。

（3）几小时后两车相遇？450÷（45+30）=6（小时）。

（4）相遇后客车行了多少公里？45×6=270（公里）。

（5）相遇后货车行了多少公里？30×6=180（公里）。

答：两车相遇时，客车行了270公里，货车行了180公里。

第二种解法：用工程问题的解法把这道题目转化成工程问题来思考。

甲乙两地的路程作为“1”，客车每小时行完全路程的1/10，货车每小时行完全路程的1/15。

（1）几小时后两车相遇？1÷（1/10+1/15）=6（小时）。

（2）相遇时客车行了多少公里？450×6/10=270（公里）。

（3）相遇后货车行了多少公里？450×6/15=180（公里）。

答：两车相遇时，客车行了270公里，货车行了180公里。

第三种解法：用比例分配的解法两车所需要的时间之比是10：15，根据距离一定，速度与时间成反比例的关系进行解答。

谈分数应用题的教学策略

谈分数应用题的教学策略作者：姚乃萍来源：《小学教学参考·中旬》 2017年第6期［摘要］分数应用题是小学数学学习的一个重点,也是一个难点。

教师教起来吃力,学生学起来也不易。

在教学分数应用题时，教师可从学生熟悉的生活入手，设置有关分数的问题情境，激发学生的学习兴趣；同时注重引导学生正确审题和加强一题多解训练,从而培养学生良好的审题习惯和发散性思维。

［关键词］分数应用题；教学策略；审题；一题多解［中图分类号］G623.5 ［文献标识码］ A ［文章编号］1007-9068（201７）17-0048-02分数应用题是小学六年级数学学习的重要内容，分数应用题比整数应用题抽象,学生难于理解。

在教学分数应用题时，教师应让学生明白知识的发生与发展过程，形成良好的审题习惯，并学会多角度解决问题，从而提高学生解决问题的能力。

一、联系生活实际，挖掘教学素材数学源于生活，服务于生活。

数学课程标准指出：“数学教学必须从学生熟悉的生活情境和感兴趣的事物出发，使学生有更多机会从周围熟悉的事物中学习和理解数学，体会到数学就在身边，感受到数学趣味。

”对此，在分数应用题的教学中，教师应联系生活，为学生讲解分数应用题中常会涉及的相关知识，为学生后续解决应用题打下坚实的基础。

例如，在分数应用题中，经常会涉及“折扣”这一术语，其较抽象，学生不易理解。

对此，教师可联系学生熟悉的生活问题（如商品打折、话费促销等）进行教学。

教师可结合生活实例让学生了解“八折”“五折”“七五折”“买三送一”等常见的折扣知识。

这样学生通过学习，知道了打几折就是现价占原价的几分之几。

应用这个知识来解决生活实际问题能给自己的生活带来实惠，因此学生对这类问题兴趣倍增。

为了让学生进一步体会数学“源于生活，服务于生活”，体验数学给人们带来的便利，教师可结合学生最熟悉的生活例子教学这个知识。

例如，同一种钢笔售价都是10元，a店打八折出售，b店“买三送一”，请问哪家店更实惠？通过计算对比，可知:a店:10×4/5=8（元）。

例谈分数应用题解题策略

例谈分数应用题解题策略标签：数学教学；分数应用题；解题策略在小学数学分数应用题的教学中，怎样给学生讲授解题方法一直困扰着任课教师。

其主要表现为解题方法单一，教学效果不明显；学生学得枯燥，学习效果不佳。

如何破解这些问题一直是广大小学数学教育工作者的一道难题。

笔者通过多年的教学经验积累，归纳总结出了分数应用题教学中的解题方法，包括“拼凑法”、“转化法”和“等量代换法”等。

下面，就此详细进行阐述。

一、采用“拼凑法”解答分数应用题拼凑法在解分数应用题时非常有用，这种方法往往可以将不能整除的数量关系转化为可以整除的关系，使问题简化。

在一些分数应用题中，往往会出现数量不能被整除的情况，而执意相除则得到不符合实际的情况。

比如个人、辆车等等。

这些数量关系都不符合逻辑，不能直接简单相除，要想办法拼凑成可以整除的数量关系再计算。

例1 欢欢家有3个孩子，年龄从大到小分别是欢欢、乐乐和笑笑。

一次，欢欢爸爸去商店买回来了17颗糖，并告诉他们，欢欢分总数的，乐乐分总数的，笑笑分总数的，而且不能将糖果切开来分，这可把三兄弟难坏了，小朋友，你动动脑筋，为他们分一分好吗？这道题如果用一般的思维，真不好解，因为3、6、9都不是17的约数，不能整除，那怎么做呢，我们不妨采取拼凑的方法，假设向邻居借了1颗糖，加到买回来的糖果里，总数变为18颗，此时，分配就变得很容易了：欢欢：18×=6（颗）乐乐：18×=3（颗）笑笑：18×=8（颗）剩余的1颗还给邻居。

二、采用“转化法”解答分数应用题分数应用题中的分数关系往往可以转化为较为简单的整数运算，利用整数之间的数量关系进行解答。

例 2 某手机专卖店库存有手机若干部，第一个月卖出全部的，第二个月卖出剩下的，第三个月比第一个月少卖，还剩50部，这批手机共多少部？本例题切入点在于将第一、二、三个月卖出的量全部转化为其占总数的几分之几，从而找出数量之间的对应逻辑关系。

解法如下：第一个月卖出占总数的量：1×=第二个月卖出占总数的量：（1×）×=第三个月卖出占总数的量：×（1-）=剩余数量与其所占总数的量：=1500（部），可知这批手机共1500部。

基于对称视角的一题多法的研究

基于对称视角的一题多法的研究王志进【期刊名称】《中学数学》【年(卷),期】2016(000)004【总页数】4页(P90-93)【作者】王志进【作者单位】山东省栖霞市教体局教研室【正文语种】中文一题多法是具有中国特色的数学教育成果之一，它在培养学生的发散思维、提高学生的综合素养及减轻学生的学习负担等方面作用巨大.笔者在长期的实践与研究中，深感学生解题思路匮乏，不少学生面对教师或教辅给出的精彩纷呈的巧思妙解，往往产生难以企及的自卑感，因此，破解一题多法产生的密码，从而让更多的学生受益，是数学教育者共同面对的难题，也是笔者长期研究的课题.本文研究的范围仅限于某一知识领域内的、教师在教学中可操作的、学生便于掌握的一题多法，研究策略是基于对称视角下，对这些眼花缭乱的解法之间关系的揭示与梳理，从而揭示一题多法自然产生的密码.笔者见过不少专著、论文等文献探索一题多法的成因，下面的三个案例引起了笔者的注意.案例1 如下所示.例1如图1，在△ABC中，AC= BC，∠C=90°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E.（1）已知CD=4cm，求AC的长；（2）求证：AB=AC+CD.反思：这是山教版义务教育课程标准实验教科书数学七年级下册第128页的一个例题，也是初中数学的一个经典题型——求线段之和的问题，课本上的解法很显然是截长法.有经验的老师会补充另一种解法：补短法.截长与补短，它们之间是怎样的关系呢？它们之间的这种关系能引发我们对一题多法产生怎样的思考呢？案例2 如下所示.上海教师进修学校的孙琪斌老师早在20多年前就发现有一类题目的证明方法时常成对出现！并于2009年和2010年两次在《上海中学生报》（中招周刊）分别撰文《从一个有趣的证法成对说起》（例2）和《再谈“证法成对出现”》（例3），利用平行线构造A型或X型基本图解决问题的方法成对出现，即过图中的每个点都存在两种利用平行线构造A型或X型基本图的解题方法.例2（2009年山东潍坊）已知△ABC，延长BC到D，使CD=BC.取AB的中点F，连接FD交AC于点E（如图2）.（1）求的值；（2）若AB=a，FB=EC，求AC的长.反思：孙琪斌老师利用自己发现的成对理论，引导学生分别过A、B、C、D、E、F六个点中的任意一个点都可以作两条平行线，共得到十二种解法，例3（2010年上海）如图3，在Rt△ABC中，∠ACB= 90°.半径为1的圆A与边AB相交于点D，与边AC相交于点E，连接DE并延长，与线段BC的延长线交于点P.（1）当∠B=30°时，连接AP，若△AEP与△BDP相似，求CE的长；（2）若CE=2，BD=BC，求∠BPD的正切值；（3）若设CE=x，△ABC的周长为y，求y关于x的函数关系式.反思：2010年上海市初中毕业统一学业考试数学卷第25题中第二、三问也属于这类“证法成对出现”的范畴.引导学生分别过A、B、C、D、E、P六个点中的任意一个点都可以作两条平分线，共得到十二种解法.案例3 如下所示.列方程解应用题是初中数学的一个难点，学生列一个方程都很难，又怎能实施一题多法呢？特级教师孙维刚发现列方程的一个绝招：选择题目中的任意一个量，然后用两种方式加以表达，并用等号连接，即可以得到方程！反思：题中的任何一个量既然都可以用两种方式表达，那么这些量之间存在着怎样的关系？这三个案例都能够形成一题多法，它们的关键词分别是“截长与补短”“过任意一个点都可以作两条平行线，证法成对出现”“任意一个量用两种方式加以表达”！笔者隐隐约约觉得它们之间有着不可言喻的共性.那么这个共性到底是什么呢？应该如何来描述呢？笔者想到了用“对称”这个词来描述一题多法成因的内核，对称不是指数学、物理等学科上的定义，而是指广义的对称性，即指我们关注的研究对象在解题中的地位相同、功能相似.对称不仅是指已知条件之间的对称，也可以指结论之间的对称及解法之间的对称.比如，在案例1中线段和的问题，截长与补短在解题中地位一样，由截长联想到补短，能截长就一定能补短，反之，能补短就一定能截长；在案例2中，题目中出现的六个点的地位一样，能过其中一点作平行线，就能过另一点作平行线，能过其中一点作某一方向的平行线，就能过该点作另一方向的平行线；在案例3中，我们可以把其中任意一个量用两种方式加以表达，并用等号连接得到方程.这都是对称思想的具体体现.例4一艘轮船顺水航行40千米所用的时间与逆水航行30千米所用的时间相同，若水流速度为3千米/时，求轮船在静水中的速度.分析1：本题是数学中常见的题型——行程问题，根据我们解题经验的积累，常常是求谁设谁.法1：设轮船在静水中的速度为x千米/时，那么，轮船在顺水中的速度为（x+3）千米/时，轮船在逆水中的速度为（x-3）千米/时，根据题意，得分析2：我们知道，与速度有关的量共有四个：顺水速度、逆水速度、静水速度和水流速度，而水流速度是已知的，另外三个量都是未知的，所以我们认为顺水速度、逆水速度、静水速度这三个量之间应该是对称的，所以也可以采取如下未知数的设法.法2：设轮船在逆水中的速度为x千米/时，那么，轮船在静水中的速度为（x+3）千米/时，轮船在顺水中的速度为（x+6）千米/时，根据题意，得法3：设轮船在顺水中的速度为x千米/时，那么，轮船在静水中的速度为（x-3）千米/时，轮船在逆水中的速度为（x-6）千米/时，根据题意，得分析3：我们知道行程问题中有三个重要的条件：路程、时间、速度.由于路程已知，所以速度和时间就是对称的，当我们设速度为未知数时，同样也可以设时间为未知数.因为顺水速度=静水速度+水流速度，逆水速度=静水速度-水流速度，所以顺水速度-逆水速度=2×水流速度.法4：设轮船航行的时间为t小时，根据题意，得分析4：我们利用对称的思想探究了未知数设法的多样性，从而形成了一题多法.由于应用题的求解一般是按照审、设、列、解、验、答“六字诀”进行的，所以我们预测应用题的求解这六个步骤之间也是对称的！列方程实际上就是运用算两次的思想，把题中的一个量用两种方法表示即可！由于题目中涉及的量共七个：顺水路程、逆水路程、时间、顺水速度、逆水速度、水流速度、静水速度.根据对称性的理论，我们预测每一个量都可以用两种方式来表示. 我们设轮船在静水中的速度为x千米/时，则轮船在顺水中的速度为（x+3）千米/时，轮船在逆水中的速度为（x-3）千米/时为例来说明这个问题，我们还可以列出下面的方程：法5：用两种方式来表示顺水路程，则法6：用两种方式来表示逆水路程，则法7：用两种方式来表示顺水速度，则法8：用两种方式来表示逆水速度，则法9～法10：用两种方式来表示水流速度，则3=x-法11～法12：用两种方式来表示静水速度，则x=3+我们设轮船在静水中的速度为未知数，就有法1、法5～法12共9种解法，我们还可以设顺水速度、逆水速度或时间为未知数，这样共计形成36种解法的庞大解法体系，让我们再一次领略了基于对称性理论指导下产生一题多法的巨大威力.例5已知在△ABC中，∠B=2∠C，∠A的平分线AD 交BC边于点D.求证：AC=AB+BD.分析：这是初中数学常见的截长补短的题型，这个题目比例1更具一般性，因此，笔者选用本题实施对称思想下的一题多法的实践.本题主要的解法就是两大类：截长与补短，这两大类解法之间就充分体现了对称的思想.第一类：截长法（共四种方法）.法1：最常见的解法就是在AC上截取AE=AB，连接DE，然后证明BD=CE（如图4）.分析1：法1中，我们是在AC上截取AE=AB，根据对称的思想，我们能否在AC上截取AE=BD，然后证明AB= CE？所以产生法2.法2：在AC上截取AE=BD，然后作∠ABC的平分线BM，交AD于M点，过B点作BN∥AM且BN=AM，连接AN、NE，过E点作EF∥BN，交BC于点F，最后证明AB=CE（如图5）.这种截长法思路行得通，要证明比较复杂，图中众多的辅助线可以说明证明过程的艰辛.分析2：法1和法2是从A点开始截取，根据对称性，我们能否从C点开始截取呢？法3：在AC上截取CE=BD，然后证明AB=AE（如图6）.（法3也等价于作线段DC的垂直平分线，与线段AC交于E点）分析3：根据对称性结合法3，我们能否在AC上截取CE=AB，然后证明AE=BD？法4：在AC上截取CE=AB，然后过D作DF∥AE且DF= AE，连接EF、FC，再证明BD=AE（如图7）.第二类：补短法（共六种方法）.分析4：我们可以猜测，截长与补短在地位上、功能上是一样的，据此，我们展开补短法的探究.法5：延长AB到E，使BE=BD，连接DE，然后证明AE= AC（如图8）.分析5：法5中，我们是延长AB到E，根据对称性，我们能否延长BA到E，使AE=BD，然后证明BE=AC？法6：延长BA到E，使AE=BD，然后过B点作BF∥AD 且BF=AD，连接AF、EF，然后证明BE=AC（如图9）.分析6：法6是过B点作BF∥AD且BF=AD，根据对称性，我们能否在线段BE的另一个端点E作辅助线呢？法7：延长BA到E，使AE=BD，然后过E点作EF∥AD 且EF=AD，连接BF、DF，然后证明BE=AC（如图10）.（需要说明的是F点可能在线段AC上，也可能在线段AC的上方或下方，这并不影响证明的可行性）分析7：法5是延长线段AB，法6、法7是延长线段BA，我们能否延长线段DB 呢？法8：延长DB到E，使BE=AB，连接AE，然后证明DE= AC（如图11）.分析8：法8中，是从线段BD的B点向左延长，我们能否从线段BD的D点向右延长呢？法9：延长BD到E，使DE=AB（实际上是截取），然后过E点作EF∥AD且EF=AD，连接BF、AF，最后证明BE= AC（如图12）.（需要说明的是E点可能与C点重合，也可能在点C的左边或右边，这并不影响证明的可行性）分析9：法9中，是在线段BC的上方作辅助线，我们能否在线段BC的下方作辅助线呢？法10：延长BD到E，使DE=AB（实际上是截取），然后过B点作BF∥AD且BF=AD，过C点作CG∥BF且CG=BF，连接FD、DG、EF、FG，DG、EF相交于点O，最后证明BE= AC（如图13）.（需要说明的是E点可能与C点重合，也可能在点C的左边或右边，这并不影响证明的可行性）第三类：从角出发（共有四种方法）.观察前面的10种解法，都是首先基于线段长度的思考，我们知道线段的长和角是度量图形数量关系的两种根据，从广义的角度来看，这两种度量关系也是对称的，如果我们从角的角度来看，会有什么样的解法呢？法11：作∠ABC的平分线BE，交AD于点E，然后作DF∥BE交AB的延长线于点F（如图14），然后证明△AFD≌△ACD.实际上，这种方法和法5有异曲同工之妙.分析10：法11中，是过D点作DF∥BE交AB的延长线于点F，那么能否过D点作DN∥BM交AC于点N呢？法12：作∠ABC的平分线BM，交AD于点M，然后作DN∥BM交AC于点N （如图15），然后证明△ABD≌△AND.实际上，这种方法和法1、法3有异曲同工之妙.分析11：法11、法12是针对∠ABC设计的辅助线，分析重要的已知条件∠B=2∠C，从对称性的角度思考，我们能否针对∠C设计辅助线解题呢？法13：作∠ADE=∠ADB，交AC于点E，然后证明△ABD≌△AED（如图6）.（与法3有异曲同工之妙）法14：作∠CDE=∠C，交AC于点E，然后证明△ABD≌△AED（如图6）（与法3有异曲同工之妙）由于版面所限，本文只能选取5个例题说明对称思想指导下的一题多法的研究，根据上述例题的简略步骤，我们有如下的思考.1.根据对称的思想找到添加辅助线的方法，但是解法之间的繁简程度上是不对称的对于几何题目，特别是例5，虽然我们找出了14种方法，而且全部能解，但是根据添加辅助线的繁杂程度我们可以揣测解题步骤的繁简程度，比较简单、常用的是法1、法3、法5、法8、法13、法14，其余都比较复杂.虽然我们能够根据对称的思想找到添加辅助线的方法，但是我们发现它们在解题的繁简程度上是不对称的！笔者认为比较简单的解法往往吻合几何中条件集中的原则，比较复杂的解法常常是割裂了已知条件之间的内在关联.我们可以借助于算法框图展示一题多法形成的思维过程：2.对称是集知识结构、认知结构、思维结构和智能结构为一体的综合成因对称性的视角是开启学生解题思路之门的钥匙，它能够引导学生养成多层次、多角度思考问题的习惯；全面地应用知识来分析问题、解决问题；培养学生思维的灵活性、发散性、应变性和全面性.在解决数学问题的过程中，不要奢望任意选择一种方法都能解决问题，当解题遇到困难时，应该快速联想到其他解题思路，从而避免思路误入死胡同.3.初生之物其形必丑，臻善臻美需同仁助力本文涉及几何和方程等两类比较常见、简单、典型的例题，由于版面关系，删掉了一个代数求值的问题，而对称理论广泛应用还需要读者在深入的基础上进一步体验. 本文的研究是抛砖引玉的探索行为，就其成果而言是一个粗糙的、前瞻性的、成长中的理论，还有很多不完善的地方，比如，条件之间的对称性的界定，对称性的普适性的研究等.这个理论还需要我们在解题实践中不断地细化、完善、发展.【相关文献】1.孙琪斌.从一个有趣的证法成对说起［N］.上海中学生报（中招周刊），2009-10-20（11）.2.孙琪斌.再谈“证法成对出现”［N］.上海中学生报（中招周刊），2010-11-22（11）.3.慕学忠，王志进.探索布列方程通法的拾级历程［J］.中学数学教学参考（中），2011（4）.4.陈宏亮.从“学不得法”谈从条件寻找思维起点——从一份七年级考卷的两道题说起［J］.中学数学（下），2015（3）.5.曹伟娟.从一题多解到多解归一：解题教学的一种追求——2015年湖北武汉卷第24题解析与反思［J］.中学数学（下），2015（10）.。