初中数学中考总复习冲刺：阅读理解型问题--巩固练习题及答案(基础)
中考数学专题复习强化练习《阅读理解问题》(整理含答案)
中考数学专题复习强化练习《阅读理解问题》专题三阅读理解问题类型一定义新的运算对于实数a，b，定义运算“◆”：a◆b＝例如4◆3，因为4>3，所以4◆3＝42＋32＝5.若x，y满足方程组则x◆y＝________.【分析】根据二元一次方程组的解法以及新定义运算法则即可求出答案．【自主解答】定义新运算问题的实质是一种规定，规定某种运算方式，然后要求按照规定去计算、求值，解决此类问题的方法技巧是：(1)明白这是一种特殊运算符号，常用※，●，▲，★，&，◎，◆，♂等来表示一种运算；(2)正确理解新定义运算的含义，严格按照计算顺序把它转化为一般的四则运算，然后进行计算；(3)新定义的算式中，有括号的要先算括号里面的．1．对于两个非零实数x，y，定义一种新的运算：x*y＝ax＋by.若1*(－1)＝2，则(－2)*2的值是________．2．我们规定：若m＝(a，b)，n＝(c，d)，则m·n＝ac＋bd.如m＝(1，2)，n＝(3，5)，则m·n＝1×3＋2×5＝13.(1)已知m＝(2，4)，n＝(2，－3)，求m·n；(2)已知m＝(x－a，1)，n＝(x－a，x＋1)，求y＝m·n，问y＝m·n的函数图象与一次函数y＝x－1的图象是否相交，请说明理由．类型二方法模拟型对于三个数a，b，c，用M{a，b，c}表示这三个数的中位数，用max{a，b，c}表示这三个数中最大数，例如：M{－2，－1，0}＝－1，max{－2，－1，0}＝0，max{－2，－1，a}＝解决问题：(1)填空：M{sin 45°，cos 60°，tan 60°}＝________，如果max{3，5－3x，2x－6}＝3，则x的取值范围为________；(2)如果2·M{2，x＋2，x＋4}＝max{2，x＋2，x＋4}，求x的值；(3)如果M{9，x2，3x－2}＝max{9，x2，3x－2}，求x的值．【分析】 (1)根据定义写出sin 45°，cos 60°，tan 60°的值，确定其中位数；根据max{a，b，c}表示这三个数中最大数，对于max{3，5－3x，2x－6}＝3，可得不等式组，即可得结论；(2)根据已知条件分情况讨论，分别解出即可；(3)不妨设y1＝9，y2＝x2，y3＝3x－2，画出图象，两个函数相交时对应的x的值符合条件，结合图象可得结论．【自主解答】该类题目是指通过阅读所给材料，将得到的信息通过观察、分析、归纳、类比，作出合理的推断，大胆的猜测，从中获取新的思想、方法或解题途径，进而运用归纳与类比的方法来解答题目中所提出的问题．3．根据下列材料，解答问题．等比数列求和：一定值，即a k a k －1＝q(常数)，那么这一列数a 1，a 2，a 3…，a n ，…成等比数列，这一常数q 叫做该数列的公比． 例：求等比数列1，3，32，33，…，3100的和．解：令S ＝1＋3＋32＋33＋ (3100)则3S ＝3＋32＋33＋…＋3100＋3101，因此，3S －S ＝3101－1，所以S ＝3101－12， 即1＋3＋32＋33＋…＋3100＝3101－12. 仿照例题，等比数列1，5，52，53，…，52 018的和为________．4．我们知道，有理数包括整数、有限小数和无限循环小数，事实上，所有的有理数都可以化为分数形式(整数可看作分母为1的分数)，那么无限循环小数如何表示为分数形式呢？请看以下示例：例：将0.7·化为分数形式，由于0.7·＝0.777…，设x ＝0.777…，①则10x ＝7.777…，②②－①得9x ＝7，解得x ＝79，于是得0.7·＝79. 同理可得0.3·＝39＝13，1.4·＝1＋0.4·＝1＋49＝139. 根据以上阅读，回答下列问题：(以下计算结果均用最简分数表示)【基础训练】(1)0.5·＝________，5.8·＝________；(2)将0.2·3·化为分数形式，写出推导过程；【能力提升】(3)0.3·15·＝________，2.01·8·＝________；(注：0.3·15·＝0.315 315…，2.01·8·＝2.018 18…)【探索发现】(4)①试比较0.9·与1的大小：0.9·________1；(填“＞”“＜”或“＝”)②若已知0.2·85 714·＝27，则3.7·14 285·＝________． (注：0.2·85 714·＝0.285 714 285 714…)类型三 学习新知型阅读以下材料：对数的创始人是苏格兰数学家纳皮尔(J.Napier ，1550－1617年)，纳皮尔发明对数是在指数书写方式之前，直到18世纪瑞士数学家欧拉(Eu l er ，1707－1783年)才发现指数与对数之间的联系．对数的定义：一般地，若a x ＝N(a ＞0，a≠1)，那么x 叫做以a 为底N 的对数，记作：x ＝log a N.比如指数式24＝16可以转化为4＝log 216，对数式2＝log 525可以转化为52＝25.我们根据对数的定义可得到对数的一个性质：log a (M·N )＝log a M ＋log a N(a ＞0，a≠1，M ＞0，N ＞0)；理由如下：设log a M ＝m ，log a N ＝n ，则M ＝a m ，N ＝a n ，∴M·N＝a m ·a n ＝a m ＋n ，由对数的定义得m ＋n ＝log a (M·N)．又∵m＋n ＝log a M ＋log a N ，∴log a (M·N)＝log a M ＋log a N.解决以下问题：(1)将指数43＝64转化为对数式________；(2)证明：log a M N＝log a M －log a N(a ＞0，a≠1，M ＞0，N ＞0)； (3)拓展运用：计算log 32＋log 36－log 34＝________．【分析】 (1)根据题意可以把指数式43＝64写成对数式；(2)根据对数的定义可表示为指数式，计算M N的结果，同理由所给材料的证明过程可得结论； (3)根据公式：log a (M·N)＝log a M ＋log a N 和log a M N＝log a M －log a N 的逆用，可得结论． 【自主解答】这类题目就是由阅读材料给出一个新的定义、运算等，涉及的知识可能是以后要学到的数学知识，也有可能是其他学科的相关内容，然后利用所提供的新知识解决所给问题．解答这类问题的关键是要读懂题目提供的新知识，理解其本质，把它与已学的知识联系起来，把新的问题转化为已学的知识进行解决．5．知识背景当a ＞0且x ＞0时，因为(x －a x)2≥0，所以x －2a ＋a x ≥0，从而x ＋a x ≥2a(当x ＝a 时取等号)． 设函数y ＝x ＋a x(a ＞0，x ＞0)，由上述结论可知，当x ＝a 时，该函数有最小值为2 a. 应用举例已知函数y 1＝x(x ＞0)与函数y 2＝4x (x ＞0)，则当x ＝4＝2时，y 1＋y 2＝x ＋4x有最小值为24＝4. 解决问题(1)已知函数y 1＝x ＋3(x ＞－3)与函数y 2＝(x ＋3)2＋9(x ＞－3)，当x 取何值时，y 2y 1有最小值？最小值是多少？(2)已知某设备租赁使用成本包含以下三部分：一是设备的安装调试费用，共490元；二是设备的租赁使用费用，每天200元；三是设备的折旧费用，它与使用天数的平方成正比，比例系数为0.001.若设该设备的租赁使用天数为x 天，则当x 取何值时，该设备平均每天的租赁使用成本最低？最低是多少元？6．阅读理解：在平面直角坐标系中，若P ，Q 两点的坐标分别是P(x 1，y 2)，Q(x 2，y 2)，则P ，Q 这两点间的距离为|PQ|＝（x 1－x 2）2＋（y 1－y 2）2.如P(1，2)，Q(3，4)，则|PQ|＝（1－3）2＋（2－4）2＝2 2.对于某种几何图形给出如下定义：符合一定条件的动点形成的图形，叫做符合这个条件的点的轨迹．如平面内到线段两个端点距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线．解决问题：如图，已知在平面直角坐标系xOy 中，直线y ＝kx ＋12交y 轴于点A ，点A 关于x 轴的对称点为点B ，过点B 作直线l 平行于x 轴．(1)到点A 的距离等于线段AB 长度的点的轨迹是________；(2)若动点C(x ，y)满足到直线l 的距离等于线段CA 的长度，求动点C 轨迹的函数解析式；问题拓展：(3)若(2)中的动点C 的轨迹与直线y ＝kx ＋12交于E ，F 两点，分别过E ，F 作直线l 的垂线，垂足分别是点M ，N.求证：①EF 是△AMN 外接圆的切线；②1AE ＋1AF 为定值．参考答案类型一【例1】 解方程组得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝12.∵5＜12，∴x◆y＝5×12＝60.故答案为60.变式训练1．－12．解：(1)m ·n ＝2×2＋4×(－3)＝－8.(2)m ·n ＝(x －a)2＋(x ＋1)＝x 2－(2a －1)x ＋a 2＋1，∴y＝x 2－(2a －1)x ＋a 2＋1.联立方程得x 2－(2a －1)x ＋a 2＋1＝x －1，化简得x 2－2ax ＋a 2＋2＝0.∵Δ＝b 2－4ac ＝－8＜0，∴方程无实数根，两函数图象无交点．类型二【例2】 (1)∵sin 45°＝22，cos 60°＝12，tan 60°＝3，∴M{sin 45°，cos 60°，tan 60°}＝22.∵max{3，5－3x ，2x －6}＝3，则⎩⎪⎨⎪⎧3≥5－3x ，3≥2x－6，∴x 的取值范围为23≤x≤92. 故答案为22，23≤x≤92. (2)2·M{2，x ＋2，x ＋4}＝max {2，x ＋2，x ＋4}，分三种情况：①当x ＋4≤2时，即x≤－2，原等式变为2(x ＋4)＝2，解得x ＝－3.②x＋2≤2≤x＋4时，即－2≤x≤0，原等式变为2×2＝x ＋4，解得x ＝0.③当x ＋2≥2时，即x≥0，原等式变为2(x ＋2)＝x ＋4，解得x ＝0.综上所述，x 的值为－3或0.(3)不妨设y 1＝9，y 2＝x 2，y 3＝3x －2，画出图象，如图所示．结合图象，不难得出，在图象中的交点A ，B 两点处，满足条件且M{9，x 2，3x －2}＝max{9，x 2，3x －2}＝y A ＝y B ，此时x 2＝9，解得x ＝3或－3.变式训练3.52 019－144．解：(1)59 539(2)0.2·3·＝0.232 323…，设x ＝0.232 323…，①则100x ＝23.232 3…，②②－①得99x ＝23，解得x ＝2399，∴0.2·3·＝23.(3)35111 11155(4)①＝ ②267 类型三【例3】 (1)由题意可得，指数式43＝64写成对数式为3＝log 464.故答案为3＝log 464.(2)设log a M ＝m ，log a N ＝n ，则M ＝a m ，N ＝a n，∴M N ＝ama n ＝a m －n ，由对数的定义得m －n ＝log a M N .又∵m－n ＝log a M －log a N ，∴log a M N ＝log a M －log a N(a ＞0，a≠1，M ＞0，N ＞0)．(3)log 32＋log 36－log 34＝log 3(2×6÷4)＝log 33＝1. 故答案为1.变式训练5．解：(1)∵x＞－3，∴x＋3＞0，∴y 2y 1＝（x ＋3）2＋9x ＋3＝(x ＋3)＋9x ＋3≥2（x ＋3）×9x ＋3，即y 2y 1≥6，∴y 2y 1的最小值为6，此时x ＋3＝9＝3，解得x ＝0.(2)设该设备的租赁使用成本为w. 根据题意得w ＝490＋200x ＋0.001x2x ，∴w＝0.001(490 000x ＋x)＋200.∵x＞0，∴w≥0.001×2490 000x ·x＋200， 即w≥201.4，∴w 的最小值为201.4，此时x ＝490 000＝700.答：当x 取700时，该设备平均每天的租赁使用成本最低，最低是201.4元．6．解：(1)以A 为圆心，AB 长为半径的圆(2)设点C 到直线l 的距离为d.∵直线y ＝kx ＋12交y 轴于点A ，11∴|CA|＝（x －0）2＋（y －12）2.∵点B 关于x 轴与点A 对称，∴B(0，－12)，∴x 2＋(y －12)2＝(y ＋12)2，∴动点C 轨迹的函数解析式为y ＝12x 2.(3)①证明如下：如图，由(2)可知EA ＝EM ，FA ＝FN.又∵EM⊥直线l ，FN⊥直线l ，∴EM∥FN，∴∠MEA＋∠NFA＝180°，∴∠EAM＝12(180°－∠MEA)，∠FAN＝12(180°－∠NFA)，则∠E AM ＋∠FAN＝12(180°－∠MEA)＋12(180°－∠NFA)＝180°－12(∠MEA＋∠NFA)＝90°，∴∠MAN＝90°，即△AMN 是直角三角形． 设点G 是△AMN 外接圆的圆心，则点G 是直径MN 的中点，连接AG ，EG.由EM ＝EA ，AG ＝MG ，EG ＝EG ，可证明△AEG≌△MEG，∴∠EAG＝∠EMG＝90°，∴GA⊥EF，∴EF 是△AMN 的外接圆的切线．②证明如下：设点E ，F 的坐标分别为(x 1，kx 1＋12)，(x 2，kx 2＋12)，则EM ＝kx 1＋1，FN ＝kx 2＋1. 联立抛物线与直线EF 的解析式⎩⎪⎨⎪⎧y ＝12x 2，y ＝kx ＋12，则有12x 2－kx －12＝0，∴1AE＋1AF＝1EM＋1FN＝EM＋FNEM·FN＝kx1＋1＋kx2＋1（kx1＋1）（kx2＋1）＝k（x1＋x2）＋2（kx1＋1）（kx2＋1）＝k（x1＋x2）＋2k2x1x2＋k（x1＋x2）＋1＝2k2＋2k2＋1＝2，∴1AE＋1AF的值为定值．11。
中考数学复习第五讲《阅读理解型问题》经典题型含答案
中考数学复习专题第五讲阅读理解型问题【要点梳理】阅读理解能力是初中数学课程的主要目标，是改变学生学习方式，实现自主探索主动发展的基础．阅读理解型问题，一般篇幅较长，涉及内容丰富，构思新颖别致．这类问题，主要考查解题者的心理素质，自学能力和阅读理解能力，考查解题者的观察分析能力、判辩是非能力、类比操作能力、抽象概括能力、数学归纳能力以及数学语言表达能力．这就要求同学们在平时的学习活动中，逐步养成爱读书、会学习、善求知、勤动脑、会创新和独立获取新知识的良好习惯．阅读理解题型分类：题型一：考查掌握新知识能力的阅读理解题命题者给定一个陌生的定义或公式或方法，让你去解决新问题，这类考题能考查我们自学能力和阅读理解能力，能考查我们接收、加工和利用信息的能力．题型二：考查解题思维过程的阅读理解题言之有据，言必有据，这是正确解题的关键所在，是提高我们数学水平的前提．数学中的基本定理、公式、法则和数学思想方法都是理解数学、学习数学和应用数学的基础，这类试题就是为了检测我们理解解题过程、掌握基本数学思想方法和辨别是非的能力而设置的．题型三：考查纠正错误挖病根能力的阅读理解题理解知识不是拘泥于形式的死记硬背，而是要把握知识的内涵或实质，理解知识间的相互联系，形成知识脉络，从而整体地获取知识．这类试题意在检测我们对知识的理解以及认识问题和解决问题的能力．题型四：考查归纳、探索规律能力的阅读理解题对材料信息的加工提炼和运用，对规律的归纳和发现能反映出我们的应用数学、发展数学和进行数学创新的意识和能力．这类试题意在检测我们的“数学化”能力以及驾驭数学的创新意识和才能．【学法指导】解决阅读理解问题的基本思路是“阅读→分析→理解→解决问题”，具体做法：①认真阅读材料，把握题意，注意一些数据、关键名词；②全面分析，理解材料所蕴含的基本概念、原理、思想和方法，提取有价值的数学信息；③对有关信息进行归纳、整合，并且和方程、不等式、函数或几何等数学模型结合来解答．【考点解析】阅读新知识，解决新问题（2017深圳）阅读理解：引入新数i，新数i满足分配律，结合律，交换律，已知i2=﹣1，那么（1+i）•（1﹣i）= 2 ．【考点】4F：平方差公式；2C：实数的运算．【分析】根据定义即可求出答案．【解答】解：由题意可知：原式=1﹣i2=1﹣（﹣1）=2故答案为：2阅读解题过程，模仿解题策略（1）阅读理解：如图①，在四边形ABCD中，AB∥DC，E是BC的中点，若AE是∠BAD的平分线，试判断AB，AD，DC之间的等量关系．解决此问题可以用如下方法：延长AE交DC的延长线于点F，易证△AEB≌△FEC，得到AB=FC，从而把AB，AD，DC转化在一个三角形中即可判断．AB、AD、DC之间的等量关系为AD=AB+DC ；（2）问题探究：如图②，在四边形ABCD中，AB∥DC，AF与DC的延长线交于点F，E是BC的中点，若AE是∠BAF的平分线，试探究AB，AF，CF之间的等量关系，并证明你的结论．（3）问题解决：如图③，AB∥CF，AE与BC交于点E，BE：EC=2：3，点D 在线段AE上，且∠EDF=∠BAE，试判断AB、DF、CF之间的数量关系，并证明你的结论．【考点】SO：相似形综合题．【分析】（1）延长AE交DC的延长线于点F，证明△AEB≌△FEC，根据全等三角形的性质得到AB=FC，根据等腰三角形的判定得到DF=AD，证明结论；（2）延长AE交DF的延长线于点G，利用同（1）相同的方法证明；（3）延长AE交CF的延长线于点G，根据相似三角形的判定定理得到△AEB ∽△GEC，根据相似三角形的性质得到AB=CG，计算即可．【解答】解：（1）如图①，延长AE交DC的延长线于点F，∵AB∥DC，∴∠BAF=∠F，∵E是BC的中点，∴CE=BE，在△AEB和△FEC中，，∴△AEB≌△FEC，∴AB=FC，∵AE是∠BAD的平分线，∴∠DAF=∠BAF，∴∠DAF=∠F，∴DF=AD，∴AD=DC+CF=DC+AB，故答案为：AD=AB+DC；（2）AB=AF+CF，证明：如图②，延长AE交DF的延长线于点G，∵E是BC的中点，∴CE=BE，∵AB∥DC，∴∠BAE=∠G，在△AEB和△GEC中，，∴△AEB≌△GEC，∴AB=GC，∵AE是∠BAF的平分线，∴∠BAG=∠FAG，∵AB∥CD，∴∠BAG=∠G，∴∠FAG=∠G，∴FA=FG，∴AB=CG=AF+CF；（3）AB=（CF+DF），证明：如图③，延长AE交CF的延长线于点G，∵AB∥CF，∴△AEB∽△GEC，∴==，即AB=CG，∵AB∥CF，∴∠A=∠G，∵∠EDF=∠BAE，∴∠FDG=∠G，∴FD=FG，∴AB=CG=（CF+DF）．阅读探索规律，推出一般结论（2017内江）观察下列等式：第一个等式：第二个等式：第三个等式：第四个等式：按上述规律，回答下列问题：（1）请写出第六个等式：a6= = ﹣；（2）用含n的代数式表示第n个等式：an= =﹣；（3）a1+a2+a3+a4+a5+a6= （得出最简结果）；（4）计算：a1+a2+…+an．【考点】37：规律型：数字的变化类．【分析】（1）根据已知4个等式可得；（2）根据已知等式得出答案；（3）利用所得等式的规律列出算式，然后两两相消，计算化简后的算式即可得；（4）根据已知等式规律，列项相消求解可得．==﹣，【解答】解：（1）由题意知，a6故答案为：，﹣；（2）a==﹣，n故答案为：，﹣；（3）原式=﹣+﹣+﹣+﹣+﹣+﹣=﹣=，故答案为：；（4）原式=﹣+﹣+…+﹣=﹣=．【真题训练】训练一：（2017浙江湖州）对于任意实数a，b，定义关于“⊗”的一种运算如下：a⊗b=2a﹣b．例如：5⊗2=2×5﹣2=8，（﹣3）⊗4=2×（﹣3）﹣4=﹣10．（1）若3⊗x=﹣2011，求x的值；（2）若x⊗3＜5，求x的取值范围．训练二：（2017日照）阅读材料：在平面直角坐标系xOy中，点P（x0，y）到直线Ax+By+C=0的距离公式为：d=．例如：求点P（0，0）到直线4x+3y﹣3=0的距离．解：由直线4x+3y﹣3=0知，A=4，B=3，C=﹣3，∴点P（0，0）到直线4x+3y﹣3=0的距离为d==．根据以上材料，解决下列问题：问题1：点P1（3，4）到直线y=﹣x+的距离为 4 ；问题2：已知：⊙C是以点C（2，1）为圆心，1为半径的圆，⊙C与直线y=﹣x+b相切，求实数b的值；问题3：如图，设点P为问题2中⊙C上的任意一点，点A，B为直线3x+4y+5=0上的两点，且AB=2，请求出S△ABP的最大值和最小值．训练三：（2017山东临沂）数学课上，张老师出示了问题：如图1，AC，BD是四边形ABCD的对角线，若∠ACB=∠ACD=∠ABD=∠ADB=60°，则线段BC，CD，AC三者之间有何等量关系？经过思考，小明展示了一种正确的思路：如图2，延长CB到E，使BE=CD，连接AE，证得△ABE≌△ADC，从而容易证明△ACE是等边三角形，故AC=CE，所以AC=BC+CD．小亮展示了另一种正确的思路：如图3，将△ABC绕着点A逆时针旋转60°，使AB与AD重合，从而容易证明△ACF是等边三角形，故AC=CF，所以AC=BC+CD．在此基础上，同学们作了进一步的研究：（1）小颖提出：如图4，如果把“∠ACB=∠ACD=∠ABD=∠ADB=60°”改为“∠ACB=∠ACD=∠ABD=∠ADB=45°”，其它条件不变，那么线段BC，CD，AC三者之间有何等量关系？针对小颖提出的问题，请你写出结论，并给出证明．（2）小华提出：如图5，如果把“∠ACB=∠ACD=∠ABD=∠ADB=60°”改为“∠ACB=∠ACD=∠ABD=∠ADB=α”，其它条件不变，那么线段BC，CD，AC三者之间有何等量关系？针对小华提出的问题，请你写出结论，不用证明．训练四：（2017滨州）观察下列各式： =﹣；=﹣；=﹣；…请利用你所得结论，化简代数式： +++…+（n≥3且n为整数），其结果为．训练五：（2017山东滨州）根据要求，解答下列问题：①方程x2﹣2x+1=0的解为x1=x2=1 ；②方程x2﹣3x+2=0的解为x1=1，x2=2 ；③方程x2﹣4x+3=0的解为x1=1，x2=3 ；…（2）根据以上方程特征及其解的特征，请猜想：①方程x2﹣9x+8=0的解为1、8 ；②关于x的方程x2﹣（1+n）x+n=0 的解为x1=1，x2=n．（3）请用配方法解方程x2﹣9x+8=0，以验证猜想结论的正确性．参考答案：训练一：（2017浙江湖州）对于任意实数a，b，定义关于“⊗”的一种运算如下：a⊗b=2a﹣b．例如：5⊗2=2×5﹣2=8，（﹣3）⊗4=2×（﹣3）﹣4=﹣10．（1）若3⊗x=﹣2011，求x的值；（2）若x⊗3＜5，求x的取值范围．【考点】C6：解一元一次不等式；2C：实数的运算；86：解一元一次方程．【分析】（1）根据新定义列出关于x的方程，解之可得；（2）根据新定义列出关于x的一元一次不等式，解之可得．【解答】解：（1）根据题意，得：2×3﹣x=﹣2011，解得：x=2017；（2）根据题意，得：2x﹣3＜5，解得：x＜4．训练二：（2017日照）阅读材料：在平面直角坐标系xOy中，点P（x0，y）到直线Ax+By+C=0的距离公式为：d=．例如：求点P（0，0）到直线4x+3y﹣3=0的距离．解：由直线4x+3y﹣3=0知，A=4，B=3，C=﹣3，∴点P（0，0）到直线4x+3y﹣3=0的距离为d==．根据以上材料，解决下列问题：问题1：点P1（3，4）到直线y=﹣x+的距离为 4 ；问题2：已知：⊙C是以点C（2，1）为圆心，1为半径的圆，⊙C与直线y=﹣x+b相切，求实数b的值；问题3：如图，设点P为问题2中⊙C上的任意一点，点A，B为直线3x+4y+5=0上的两点，且AB=2，请求出S△ABP的最大值和最小值．【考点】FI：一次函数综合题．【分析】（1）根据点到直线的距离公式就是即可；（2）根据点到直线的距离公式，列出方程即可解决问题．（3）求出圆心C到直线3x+4y+5=0的距离，求出⊙C上点P到直线3x+4y+5=0的距离的最大值以及最小值即可解决问题．【解答】解：（1）点P1（3，4）到直线3x+4y﹣5=0的距离d==4，故答案为4．（2）∵⊙C与直线y=﹣x+b相切，⊙C的半径为1，∴C（2，1）到直线3x+4y﹣b=0的距离d=1，∴=1，解得b=5或15．（3）点C（2，1）到直线3x+4y+5=0的距离d==3，∴⊙C上点P到直线3x+4y+5=0的距离的最大值为4，最小值为2，∴S△ABP 的最大值=×2×4=4，S△ABP的最小值=×2×2=2．训练三：（2017山东临沂）数学课上，张老师出示了问题：如图1，AC，BD是四边形ABCD的对角线，若∠ACB=∠ACD=∠ABD=∠ADB=60°，则线段BC，CD，AC三者之间有何等量关系？经过思考，小明展示了一种正确的思路：如图2，延长CB到E，使BE=CD，连接AE，证得△ABE≌△ADC，从而容易证明△ACE是等边三角形，故AC=CE，所以AC=BC+CD．小亮展示了另一种正确的思路：如图3，将△ABC绕着点A逆时针旋转60°，使AB与AD重合，从而容易证明△ACF是等边三角形，故AC=CF，所以AC=BC+CD．在此基础上，同学们作了进一步的研究：（1）小颖提出：如图4，如果把“∠ACB=∠ACD=∠ABD=∠ADB=60°”改为“∠ACB=∠ACD=∠ABD=∠ADB=45°”，其它条件不变，那么线段BC，CD，AC三者之间有何等量关系？针对小颖提出的问题，请你写出结论，并给出证明．（2）小华提出：如图5，如果把“∠ACB=∠ACD=∠ABD=∠ADB=60°”改为“∠ACB=∠ACD=∠ABD=∠ADB=α”，其它条件不变，那么线段BC，CD，AC三者之间有何等量关系？针对小华提出的问题，请你写出结论，不用证明．【分析】（1）先判断出∠ADE=∠ABC，即可得出△ACE是等腰三角形，再得出∠AEC=45°，即可得出等腰直角三角形，即可；（判断∠ADE=∠ABC也可以先判断出点A，B，C，D四点共圆）（2）先判断出∠ADE=∠ABC，即可得出△ACE是等腰三角形，再用三角函数即可得出结论．【解答】解：（1）BC+CD=AC；理由：如图1，延长CD至E，使DE=BC，∵∠ABD=∠ADB=45°，∴AB=AD，∠BAD=180°﹣∠ABD﹣∠ADB=90°，∵∠ACB=∠ACD=45°，∴∠ACB+∠ACD=45°，∴∠BAD+∠BCD=180°，∴∠ABC+∠ADC=180°，∵∠ADC+∠ADE=180°，∴∠ABC=∠ADE，在△ABC和△ADE中，，∴△ABC≌△ADE（SAS），∴∠ACB=∠AED=45°，AC=AE，∴△ACE是等腰直角三角形，∴CE=AC，∵CE=CE+DE=CD+BC，∴BC+CD=AC；（2）BC+CD=2AC•cosα．理由：如图2，延长CD至E，使DE=BC，∵∠ABD=∠ADB=α，∴AB=AD，∠BAD=180°﹣∠ABD﹣∠ADB=180°﹣2α，∵∠ACB=∠ACD=α，∴∠ACB+∠ACD=2α，∴∠BAD+∠BCD=180°，∴∠ABC+∠ADC=180°，∵∠ADC+∠ADE=180°，∴∠ABC=∠ADE，在△ABC和△ADE中，，∴△ABC≌△ADE（SAS），∴∠ACB=∠AED=α，AC=AE，∴∠AEC=α，过点A作AF⊥CE于F，∴CE=2CF，在Rt△ACF中，∠ACD=α，CF=AC•cos∠ACD=AC•cosα，∴CE=2CF=2AC•cosα，∵CE=CD+DE=CD+BC，∴BC+CD=2AC•cosα．【点评】此题是几何变换综合题，主要考查了全等三角形的判定，四边形的内角和，等腰三角形的判定和性质，解本题的关键是构造全等三角形，是一道基础题目．训练四：（2017滨州）观察下列各式： =﹣；=﹣；=﹣；…请利用你所得结论，化简代数式： +++…+（n≥3且n为整数），其结果为．【考点】6B：分式的加减法．【分析】根据所列的等式找到规律=（﹣），由此计算+ ++…+的值．【解答】解：∵ =﹣，=﹣，=﹣，…∴=（﹣），∴+++…+=（1﹣+﹣+﹣+…+﹣）=（1﹣）=．故答案是：．训练五：（2017山东滨州）根据要求，解答下列问题：①方程x2﹣2x+1=0的解为x1=x2=1 ；②方程x2﹣3x+2=0的解为x1=1，x2=2 ；③方程x2﹣4x+3=0的解为x1=1，x2=3 ；…（2）根据以上方程特征及其解的特征，请猜想：①方程x2﹣9x+8=0的解为1、8 ；②关于x的方程x2﹣（1+n）x+n=0 的解为x1=1，x2=n．（3）请用配方法解方程x2﹣9x+8=0，以验证猜想结论的正确性．【考点】A6：解一元二次方程﹣配方法；A3：一元二次方程的解；A8：解一元二次方程﹣因式分解法．【分析】（1）利用因式分解法解各方程即可；（2）根据以上方程特征及其解的特征，可判定方程x2﹣9x+8=0的解为1和8；②关于x的方程的解为x1=1，x2=n，则此一元二次方程的二次项系数为1，则一次项系数为1和n的和的相反数，常数项为1和n的积．（3）利用配方法解方程x2﹣9x+8=0可判断猜想结论的正确．【解答】解：（1）①（x﹣1）2=0，解得x1=x2=1，即方程x2﹣2x+1=0的解为x 1=x2=1，；②（x﹣1）（x﹣2）=0，解得x1=1，x2=2，所以方程x2﹣3x+2=0的解为x1=1，x2=2，；③（x﹣1）（x﹣3）=0，解得x1=1，x2=3，方程x2﹣4x+3=0的解为x1=1，x2=3；…（2）根据以上方程特征及其解的特征，请猜想：①方程x2﹣9x+8=0的解为x1=1，x2=8；②关于x的方程x2﹣（1+n）x+n=0的解为x1=1，x2=n．（3）x2﹣9x=﹣8，x2﹣9x+=﹣8+，（x﹣）2=x﹣=±，所以x1=1，x2=8；所以猜想正确．故答案为x1=x2=1；x1=1，x2=2；x1=1，x2=3；x2﹣（1+n）x+n=0；。
中考数学考点复习冲刺集训1阅读理解型问题
冲刺集训1 阅读理解型问题一、选择题1. 对于非零的两个实数a ，b ，规定a ⊕b ＝1b －1a.若2⊕(2x －1)＝1，则x 的值为( )A. 56B. 54C. 32D. －16(第2题)2. (2015·湖南常德)若两个扇形满足弧长的比等于它们半径的比，则称这两个扇形相似．如图，如果扇形OAB 与扇形O 1A 1B 1相似，且半径OA ∶O 1A 1＝k (k 为不等于0的常数)，有下列结论：①∠AOB ＝∠A 1O 1B 1；②△AOB ∽△A 1O 1B 1；③AB A 1B 1＝k ；④扇形OAB 与扇形O 1A 1B 1的面积之比为k 2.其中成立的个数为( )A. 1B. 2C. 3D. 43. 现定义一种变换：对于一个由有限个数组成的序列S 0，将其中的每个数换成该数在S 0中出现的次数，可得到一个新序列．例如序列S 0：(4，2，3，4，2)，通过变换可得到新序列S 1：(2，2，1，2，2)．若S 0可以为任意序列，则下面的序列可以作为S 1的是( )A. (1，2，1，2，2)B. (2，2，2，3，3)C. (1，1，2，2，3)D. (1，2，1，1，2)4. 若自然数n 使得三个数的加法运算“n ＋(n ＋1)＋(n ＋2)”产生进位现象，则称n 为“连加进位数”．例如：2不是“连加进位数”，因为2＋3＋4＝9不产生进位现象；4是“连加进位数”，因为4＋5＋6＝15产生进位现象；51是“连加进位数”，因为51＋52＋53＝156产生进位现象．如果从0，1，2，…，99这100个自然数中任取一个数，那么取到“连加进位数”的概率是( )A. 0.88B. 0.89C. 0.90D. 0.915. 为了确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文→密文(加密)，接收方由密文→明文(解密)，已知有一种密码，将英文26个小写字母a ，b ，c ，…，z 依次对应0，1，2，…，25这26个自然数(见表格)，当明文中的字母对应的序号为β时，将β＋10除以26后所得的余数作为密文中的字母对应的序号，例如明文s 对应密文c .字母 abcdefghijklm序号 0123456789101112字母 nopqrstuvwxyz序号 13141516171819202122232425按上述规定，将明文“maths ”译成密文后是( ) A. wkdrc B. wkhtc C. eqdjc D. eqhjc6. 给出定义：设一条直线与一条抛物线只有一个公共点，且这条直线与这条抛物线的对称轴不平行，就称直线与抛物线相切，这条直线是抛物线的切线．有下列命题：①直线y ＝0是抛物线y ＝14x 2的切线；②直线x ＝－2与抛物线y ＝14x 2相切于点(－2，1)；③若直线y ＝x ＋b 与抛物线y ＝14x 2相切，则切点为(2，1)；④若直线y ＝kx －2与抛物线y ＝14x 2相切，则实数k ＝ 2.其中正确命题的序号是( )A. ①②④B. ①③C. ②③D. ①③④ 二、填空题7. 我们定义一种新的运算“！”，即对非0自然数n ，有n ！＝n ×(n －1)×…×3×2×1，如3！＝3×2×1，4！＝4×3×2×1，则2015！2014！＝________．(第8题)8. 如图，平面中两条直线l 1和l 2交于点O ，对于平面上任意一点M ，若p ，q 分别是点M 到直线l 1和l 2的距离，则称有序非负实数对(p ，q )是点M 的“距离坐标”．根据上述定义，有下列结论：①“距离坐标”是(0，1)的点有1个；②“距离坐标”是(5，6)的点有4个；③“距离坐标”是(a ，a )(a 为非负实数)的点有4个．其中正确的是________(填序号)．9. (2015·湖南常德)取一个自然数，若它是奇数，则乘3加上1；若它是偶数，则除以2，按此规则经过若干步的计算最终可得到 1.这个结论在数学上还没有得到证明，但举例验证都是正确的．例如，取自然数5，经过下面5步运算可得1，即：5――→×3＋116――→÷28――→÷24――→÷22――→÷21.若自然数m 经过7步运算可得到1，则所有符合条件的m 的值为________．三、解答题10. (2015·浙江台州)定义：如图①，点M ，N 把线段AB 分割成AM ，MN 和BN ，若以AM ，MN ，BN 为边的三角形是一个直角三角形，则称M ，N 是线段AB 的勾股分割点．(第10题)(1)已知M ，N 是线段AB 的勾股分割点，若AM ＝2，MN ＝3，求BN 的长．(2)如图②，在△ABC 中，FG 是中位线，D ，E 是线段BC 的勾股分割点，且EC >DE ≥BD ，连结AD ，AE 分别交FG 于点M ，N ，求证：M ，N 是线段FG 的勾股分割点．(3)已知C 是线段AB 上的一定点，其位置如图③所示，请在BC 上画一点D ，使C ，D 是线段AB 的勾股分割点(要求尺规作图，保留作图痕迹，画出一种情形即可)．(4)如图④，已知M ，N 是线段AB 的勾股分割点，MN >AM ≥BN ，△AMC ，△MND 和△NBE 均为等边三角形，AE 分别交CM ，DM ，DN 于点F ，G ，H .若H 是DN 的中点，试探究S △AMF ，S △BEN 和S 四边形MNHG 的数量关系，并说明理由．11. 如图①，在△ABC 中，沿∠BAC 的平分线AB 1折叠，剪掉重复部分；将余下部分沿∠B 1A 1C 的平分线A 1B 2折叠，剪掉重复部分……将余下部分沿∠B n A n C 的平分线A n B n ＋1折叠，点B n 与点C 重合，无论折叠多少次，只要最后一次恰好重合，则称∠BAC 是△ABC 的好角．(第11题)小丽展示了确定∠BAC是△ABC的好角的两种情形．情形一：如图②，沿等腰三角形ABC顶角∠BAC的平分线AB1折叠，点B与点C重合；情形二：如图③，沿∠BAC的平分线AB1折叠，剪掉重复部分；将余下部分沿∠B1A1C的平分线A1B2折叠，此时点B1与点C重合．探究发现：(1)在△ABC中，∠B＝2∠C，经过两次折叠，∠BAC是不是△ABC的好角？答：________(填“是”或“不是”)．(2)小丽经过三次折叠发现了∠BAC是△ABC的好角，请探究∠B与∠C(不妨设∠B＞∠C)之间的等量关系为________．根据以上内容猜想：若经过n次折叠∠BAC是△ABC的好角，则∠B与∠C(不妨设∠B＞∠C)之间的等量关系为________．应用提升：(3)小丽找到一个三角形，三个角分别为15°，60°，105°，发现60°和105°的两个角都是此三角形的好角．请你完成，如果一个三角形的最小角是4°，试求出三角形另外两个角的度数，使该三角形的三个角均是此三角形的好角．参考答案1．A 2．D 3．D[由于序列S0含5个数，于是新序列中不可能有3个2，所以A，B中所给序列不能作为S1；如果S1中有3，那么S1中应有3个3，所以C中所给序列也不能作为S1，故选D．] 4．A[由题意，得0，1，2，10，11，12，20，21，22，30，31，32都不是“连加进位数”，其余各数都是“连加进位数”，∴在这100个数中“连加进位数”有88个，其概率为88100＝0．88．] 5．A[m 对应的数字是12，12＋10＝22，除以26的余数仍是22，因此对应字母w ；a 对应的数字是0，0＋10＝10，除以26的余数仍是10，因此对应字母k ；t 对应的数字是19，19＋10＝29，除以26的余数是3，因此对应字母d ，同样推理得h 对应r ，s 对应c ，∴译成密文后是wkdrc ．] 6．B[①∵直线y ＝0是x 轴，抛物线y ＝14x 2的顶点在x 轴上，∴直线y ＝0是抛物线y ＝14x 2的切线，故此命题正确；②∵直线x ＝－2与抛物线y ＝14x 2的对称轴(y 轴)平行，∴不符合定义，故此命题错误；③∵直线y＝x ＋b 与抛物线y ＝14x 2相切，∴14x 2－x －b ＝0，∴Δ＝1＋b ＝0，解得b ＝－1．把b ＝－1代入14x2－x －b ＝0，得x ＝2．把x ＝2代入抛物线的函数表达式，得y ＝1，∴直线y ＝x ＋1与抛物线y ＝14x2相切，且相切于点(2，1)，故此命题正确；④∵直线y ＝kx －2与抛物线y ＝14x 2相切，∴14x 2＝kx －2，即14x 2－kx ＋2＝0，Δ＝k 2－2＝0，解得k ＝±2，故此命题错误．综上所述，正确命题的序号是①③．] 7．2015 8．② 9．128，21，20，3[由题意，得3x ＋1中的x 一定是自然数，逆推可得： 1――→×2此处不能3x ＋1x 非自然数2――→×2此处不能3x ＋1x 非自然数4――→×2此处不能3x ＋1x ＝18――→×2此处不能3x ＋1x 非自然数16⎩⎪⎨⎪⎧――→×2下一个数是偶数32――→×2此处不能3x ＋1x 非自然数64⎩⎨⎧――→×2下一个数是偶数128――→3x ＋1下一个数是奇数21――→3x ＋1下一个数是奇数5――→×2此处不能3x ＋1x 非自然数10⎩⎨⎧――→×2下一个数是偶数20――→3x ＋1下一个数是奇数3]10．(1)∵M ，N 是线段AB 的勾股分割点， AM ＝2，MN ＝3，∴若MN 为斜边，则MN 2＝AM 2＋BN 2，即32＝22＋BN 2，解得BN ＝5；若BN 为斜边，则BN 2＝AM 2＋MN 2，即BN 2＝22＋32，解得BN ＝13．∴BN 的长为5或13． (2)∵FG 是△ABC 的中位线，AD ，AE 分别交FG 于点M ，N ，∴FM ，MN ，NG 分别是△ABD ，△ADE ，△AEC 的中位线．∴BD ＝2FM ，DE ＝2MN ，EC ＝2NG ．∵D ，E 是线段BC 的勾股分割点，且EC >DE ≥BD ，∴EC 2＝DE 2＋B D 2．∴()2NG 2＝()2MN 2＋()2FM 2，∴NG 2＝MN 2＋FM 2．∴M ，N 是线段FG 的勾股分割点． (3)如解图，C ，D 是线段AB 的勾股分割点．(第10题解)(4)S 四边形MNHG ＝S △AMF ＋S △BEN ．理由如下：设AM ＝a ，BN ＝b ，MN ＝c ．∵H 是DN 的中点，∴DH ＝HN ＝12c ．∵△MND ，△BNE 均为等边三角形，∴∠D ＝∠DNE ＝60°．又∵∠DHG ＝∠NHE ，∴△DGH ≌△NEH ．∴DG ＝EN ＝b ．∴MG ＝c －b ．∵GM ∥EN ，∴△AGM ∽△AEN ．∴c －b b ＝a a ＋c．∴c 2＝2ab －ac ＋bc ．∵M ，N 是线段AB 的勾股分割点，∴c 2＝a 2＋b 2．∴(a －b )2＝(b －a )c ．又∵b －a ≠c ，∴a ＝b ．在△DGH 和△CAF 中，∠D ＝∠C ，DG ＝CA ，∠DGH ＝∠CAF ，∴△DGH ≌△CAF ．∴S △DGH ＝S △CAF ．∵c 2＝a 2＋b 2，∴34c 2＝34a 2＋34b 2．∴S △DMN ＝S △ACM ＋S △ENB ．∵S △DMN ＝S △DGH ＋S 四边形MNHG ，S △ACM ＝S △CAF ＋S △AMF ，∴S 四边形MNHG ＝S △AMF＋S △BEN ．(第11题解)11．(1)是[由折叠的性质知，∠B ＝∠AA 1B 1．∵∠AA 1B 1＝∠A 1B 1C ＋∠C ，而∠B ＝2∠C ，∴∠A 1B 1C ＝∠C ，就是说第二次折叠后∠A 1B 1C 与∠C 重合，因此∠BAC 是△ABC 的好角．] (2)∠B ＝3∠C ∠B ＝n ∠C [∵经过三次折叠∠BAC 是△ABC 的好角，∴第三次折叠的∠A 2B 2C ＝∠C ，如解图所示．∵∠ABB 1＝∠AA 1B 1，∠AA 1B 1＝∠A 1B 1C ＋∠C ，又∵∠A 1B 1C ＝∠A 1A 2B 2，∠A 1A 2B 2＝∠A 2B 2C ＋∠C ，∴∠ABB 1＝∠A 1B 1C ＋∠C ＝∠A 2B 2C ＋∠C ＋∠C ＝3∠C ．由上面的探索发现，若∠BAC 是△ABC 的好角，折叠一次重合，有∠B ＝∠C ；折叠二次重合，有∠B ＝2∠C ；折叠三次重合，有∠B ＝3∠C ；…；由此可猜想若经过n 次折叠∠BAC 是△ABC 的好角，则∠B ＝n ∠C ．] (3)∵最小角4°是△ABC 的好角，不妨设∠A ＝4°，∠B ＝x °，∠C ＝y °，则x ＝my ，y ＝4n (m ，n 均为正整数)．由∠A ＋∠B ＋∠C ＝180°，得4＋4mn＋4n ＝180，即n (m ＋1)＝44．可得符合条件的正整数解有⎩⎪⎨⎪⎧m ＝43，n ＝1； ⎩⎪⎨⎪⎧m ＝21，n ＝2； ⎩⎪⎨⎪⎧m ＝10，n ＝4； ⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3，n ＝11；⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1，n ＝22.∴此三角形三个角的度数分别为①4°，172°，4°；②4°，168°，8°；③4°，160°，16°；④4°，132°，44°；⑤4°，88°，88°．。
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一、选择题1.（2016•江西模拟）已知二次函数y=x2﹣（m﹣1）x﹣m，其中m＞0，它的图象与x轴从左到右交于R和Q两点，与y轴交于点P，点O是坐标原点．下列判断中不正确的是（）A．方程x2﹣（m﹣1）x﹣m=0一定有两个不相等的实数根B．点R的坐标一定是（﹣1，0）C．△POQ是等腰直角三角形D．该二次函数图象的对称轴在直线x=﹣1的左侧2．若一个图形绕着一个定点旋转一个角α(0°＜α＜180°)后能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做旋转对称图形．例如：等边三角形绕着它的中心旋转120°(如图所示)能够与原来的等边三角形重合，因而等边三角形是旋转对称图形．显然，中心对称图形都是旋转对称图形，但旋转对称图形不一定是中心对称图形．下面图所示的图形中，是旋转对称图形的有( )A．1个B．2个C．3个D．4个二、填空题3．阅读下列材料，并解决后面的问题．在锐角△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c．过A作AD⊥BC于D(如图)，则sinB=，sinC=，即AD=csinB，AD=bsinC，于是csinB=bsinC，即．同理有，．所以………(*)即：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等．在锐角三角形中，若已知三个元素a、b、∠A，运用上述结论(*)和有关定理就可以求出其余三个未知元素c、∠B、∠C，请你按照下列步骤填空，完成求解过程：第一步：由条件a、b、∠A ______∠B；第二步：由条件∠A、∠B．______∠C；第三步：由条件．____________c．4．（榆树市期末）我们知道，在平面内，如果一个图形绕着一个定点旋转一定的角度后能与自身重合，那么就称这个图形是旋转对称图形，转的这个角称为这个图形的一个旋转角．例如，正方形绕着它的对角线的交点旋转90°后能与自身重合所以正方形是旋转对称图形，它有一个旋转角为90°．（1）判断下列说法是否正确（在相应横线里填上“对”或“错”）①正五边形是旋转对称图形，它有一个旋转角为144°．__________________②长方形是旋转对称图形，它有一个旋转角为180°．__________________（2）填空：下列图形中时旋转对称图形，且有一个旋转角为120°的是__________________．（写出所有正确结论的序号）①正三角形②正方形③正六边形④正八边形（3）写出两个多边形，它们都是旋转对称图形，都有一个旋转角为72°，其中一个是轴对称图形，但不是中心对称图形；另一个既是轴对称图形，又是中心对称图形．.（写在横线上）三、解答题5. 阅读材料：为解方程，我们可以将看作一个整体，然后设，那么原方程可化为①，解得y1＝1，y2＝4．当y＝1时，，∴，∴；当y＝4时，，∴，∴．故原方程的解为：，，，．解答问题：（1）上述解题过程，在由原方程得到方程①的过程中，利用________法达到了解方程的目的，体现了转化的数学思想；（2）请利用以上知识解方程．6．阅读材料，解答问题：图2－7－2表示我国农村居民的小康生活水平实现程度．地处西部的某贫困县，农村人口约50万，2002年农村小康生活的综合实现程度才达到68％，即没有达到小康程度的人口约为（1－68 ％）×50万= 16万．（1）假设该县计划在2002年的基础上，到2004年底，使没有达到小康程度的16万农村人口降至10．24万，那么平均每年降低的百分率是多少？（2）如果该计划实现2004年底该县农村小康进程接近图2－7－2中哪一年的水平？（假设该县人口2年内不变）7. （2016•吉林一模）类比平行四边形，我们学习筝形，定义：两组邻边分别相等的四边形叫做筝形．如图①，若AD=CD，AB=CB，则四边形ABCD是筝形．（1）在同一平面内，△ABC与△ADE按如图②所示放置，其中∠B=∠D=90°，AB=AD，BC与DE相交于点F，请你判断四边形ABFD是不是筝形，并说明理由．（2）请你结合图①，写出一个筝形的判定方法（定义除外）．在四边形ABCD中，若______，则四边形ABCD是筝形．（3）如图③，在等边三角形OGH中，点G的坐标为（﹣1，0），在直线l：y=﹣x 上是否存在点P，使得以O，G，H，P为顶点的四边形为筝形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．8．先阅读下列材料，再解答后面的问题:材料：23=8，此时,3叫做以2为底8的对数,记为．一般地，若则n叫做以为底b的对数，记为，则4叫做以3为底81的对数，记为．问题：（1）计算以下各对数的值: .（2）观察（1）中三数4、16、64之间满足怎样的关系式？之间又满足怎样的关系式（3）由（2）的结果，你能归纳出一个一般性的结论吗？根据幂的运算法则：以及对数的含义证明上述结论．9. 某校研究性学习小组在研究相似图形时，发现相似三角形的定义、判定及其性质，可以拓展到扇形的相似中去．例如，可以定义：“圆心角相等且半径和弧长对应成比例的两个扇形叫做相似扇形”；相似扇形有性质：弧长比等于半径比、面积比等于半径比的平方…．请你协助他们探索这个问题．（1）写出判定扇形相似的一种方法：若______，则两个扇形相似；（2）有两个圆心角相等的扇形，其中一个半径为a、弧长为m，另一个半径为2a，则它的弧长为______；（3）如图1是一完全打开的纸扇，外侧两竹条AB和AC的夹角为120°，AB为30cm，现要做一个和它形状相同、面积是它一半的纸扇（如图2），求新做纸扇（扇形）的圆心角和半径．10. 阅读材料，如图（1）所示，在四边形ABCD中，对角线AC⊥BD，垂足为P，求证：．证明：∴．解答问题：（1）上述证明得到的性质可叙述为________．（2）已知：如图（2）所示，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC⊥BD且相交于点P，AD＝3 cm，BC＝7 cm，利用上述性质求梯形的面积．11. 阅读下面的材料：小明在学习中遇到这样一个问题：若1≤x≤m，求二次函数的最大值．他画图研究后发现，和时的函数值相等，于是他认为需要对进行分类讨论．他的解答过程如下：∵二次函数的对称轴为直线，∴由对称性可知，和时的函数值相等．∴若1≤m＜5，则时，的最大值为2；若m≥5，则时，的最大值为．请你参考小明的思路，解答下列问题：（1）当≤x≤4时，二次函数的最大值为_______；（2）若p≤x≤2，求二次函数的最大值；（3）若t≤x≤t+2时，二次函数的最大值为31，则的值为_______．答案与解析【答案与解析】一、选择题1.【答案】D；【解析】令y=0得x2﹣（m﹣1）x﹣m=0，则（x+1）（x﹣m）=0，解得：x1=﹣1，x2=m．∵m＞0＞﹣1，∴R（﹣1，0）、Q（m，0）．∴方程由两个不相等的实数根．∴A、B正确，与要求不符；当x=0，y=﹣m，∴P（0，﹣m）．∴OP=PQ．∴△OPQ为等腰直角三角形．∴C正确，与要求不符；∵抛物线的对称轴为x=﹣=，m＞0，∴x＞﹣．∴D错误，与要求相符．2.【答案】C；二、填空题3.【答案】, ∠A+∠B+∠C=180°，a、∠A、∠C或b、∠B、∠C，或4.【答案】（1）①对；②对；（2）①③（3）正五边形，正十边形【解析】解：（1）①=72°，∴正五边形是旋转对称图形，它有一个旋转角为144°，说法正确；②=90°，∴长方形是旋转对称图形，它有一个旋转角为180°，说法正确；（2）①正三角形的最小旋转角为=120°；②正方形的最小旋转角为=90°；③正六边形的最小旋转角为=60°；④正八边形的最小旋转角为=45°；则有一个旋转角为120°的是①③．（3）=72°，则正五边形是满足有一个旋转角为72°，是轴对称图形，但不是中心对称图形；正十边形有一个旋转角为72°，既是轴对称图形，又是中心对称图形．三、解答题5.【答案与解析】（1）换元；（2）设，则原方程可化为，解得y1＝3，y2＝-2．当y＝3时，，所以．因为不能为负，所以y＝-2不符合题意，应舍去．所以原方程的解为，．6.【答案与解析】（1）设平均每年降低的百分率为.据题意，得 16（1－x）2=10.24，（1－x）2=0．64,（1－x）= ±0.8，x1=1.8（不合题意，舍去），x2=0.2．即平均每年降低的百分率是20％.（2）×100%=7 9.52％.所以根据图2－7－2所示,如果该计划实现2004年底该县农村小康进程接近1996年全国农村小康进程的水平7.【答案与解析】解：（1）四边形ABFD是筝形．理由：如图②，连接AF．在Rt△AFB和Rt△AFD中，，∴Rt△AFB≌Rt△AFD（HL），∴BF=DF，又∵AB=AD，∴四边形ABFD是筝形．（2）若要四边形ABCD是筝形，只需△ABD≌△CBD即可．当AD=CD，∠ADB=∠CDB时，在△ABD和△CBD中，，∴△ABD≌△CBD（SAS），∴AB=CB，∴四边形ABCD是筝形．故答案为：AD=CD，∠ADB=∠CDB．（3）存在，理由如下：过点H作HP1⊥OG于点M交直线y=﹣x于点P1点，连接GP1，过点G作GP2⊥OH与N交直线y=﹣x于点P2，连接HP2，如图③所示．∵△OGH为等边三角形，∴HM为OG的垂直平分线，GN为OH的垂直平分线，且OG=GH=HO，∴P2O=P2H，P1O=P1G，∴四边形OHGP1为筝形，四边形OGHP2为筝形．∵△OGH为等边三角形，点G的坐标为（﹣1，0），∴点H的坐标为（，），点M的坐标为（，0），点N 的坐标为（，）．①∵H（，），M（，0），∴直线HM的解析式为x=，令直线y=﹣x中的x=，则y=﹣．∴P1的坐标为（，﹣）；②设直线GN的解析式为y=kx+b，则有，，解得：，∴直线GN的解析式为y=﹣x+．联立，解得：，故点P2的坐标为（﹣1，1）．综上可知：在直线l：y=﹣x上存在点P，使得以O，G，H，P为顶点的四边形为筝形，点P的坐标为（，﹣）或（﹣1，1）．8.【答案与解析】（1），，（2）4×16=64，+ =（3）+ =证明：设=b1 , =b2则，∴∴b1+b2=即+ =9.【答案与解析】（1）答案不唯一，例如“圆心角相等”、“半径和弧长对应成比例”；（2）2m ；（3）∵两个扇形相似，∴新扇形的圆心角为120°设新扇形的半径为r，则.即新扇形的半径为cm.10.【答案与解析】（1）对角线互相垂直的四边形的面积等于两对角线乘积的一半．（2）∵四边形ABCD为等腰梯形，∴AC＝BD．由AD∥BC，可得PD:PB＝3:7，故设PD＝3x，则PB＝7x，∴在Rt△APD中，，，．∴BD＝10x＝，精品初中数学讲义（带详细答案）∴(cm2)．11.【答案与解析】（1）当时，二次函数的最大值为49 ；（2）∵二次函数的对称轴为直线，∴由对称性可知，当和时函数值相等.∴若，则当时，的最大值为.若，则当时，的最大值为17.（3）的值为或.。
中考数学备考专题复习： 阅读理解问题(含解析)
中考数学备考专题复习：阅读理解问题（含解析）中考备考专题复习：阅读理解问题一、单选题1、对于实数a，b，我们定义符号max{a，b}的意义为：当a≥b时，max{a，b}=a；当a＜b时，max{a，b]=b，如：max{4，﹣2}=4，max{3，3}=3，若关于x的函数为y=max{x+3，﹣x+1}，则该函数的最小值是（）A、0B、2C、3D、42、对于实数a、b，定义一种新运算“⊗”为：a⊗b= ，这里等式右边是实数运算．例如：1⊗3=．则方程x⊗（﹣2）= ﹣1的解是（）A、x=4B、x=5C、x=6D、x=73、设a，b是实数，定义@的一种运算如下：a@b=（a+b）2﹣（a﹣b）2，则下列结论：①若a@b=0，则a=0或b=0②a@（b+c）=a@b+a@c③不存在实数a，b，满足a@b=a2+5b2④设a，b是矩形的长和宽，若矩形的周长固定，则当a=b时，a@b最大．其中正确的是（）A、②③④B、①③④C、①②④D、①②③4、定义：点A（x，y）为平面直角坐标系内的点，若满足x=y，则把点A叫做“平衡点”．例如：M（1，1），N（﹣2，﹣2）都是“平衡点”．当﹣1≤x≤3时，直线y=2x+m上有“平衡点”，则m的取值范围是（）A、0≤m≤1B、﹣3≤m≤1C、﹣3≤m≤3D、﹣1≤m≤0二、填空题5、州）阅读材料并解决问题：求1+2+22+23+…+22014的值，令S=1+2+22+23+…+22014等式两边同时乘以2，则2S=2+22+23+…+22014+22015两式相减：得2S﹣S=22015﹣1所以，S=22015﹣1依据以上计算方法，计算1+3+32+33+…+32015=________．三、解答题6、自学下面材料后，解答问题．分母中含有未知数的不等式叫分式不等式．如：等．那么如何求出它们的解集呢？根据我们学过的有理数除法法则可知：两数相除，同号得正，异号得负．其字母表达式为：（1）若a＞0，b＞0，则＞0；若a＜0，b＜0，则＞0；（2）若a＞0，b＜0，则＜0；若a＜0，b＞0，则＜0．反之：（1）若＞0，则或（2）＜0，则____________ ．根据上述规律，求不等式＞0的解集．7、阅读与计算：请阅读以下材料，并完成相应的任务．斐波那契（约1170﹣1250）是意大利数学家，他研究了一列数，这列数非常奇妙，被称为斐波那契数列（按照一定顺序排列着的一列数称为数列）．后来人们在研究它的过程中，发现了许多意想不到的结果，在实际生活中，很多花朵（如梅花、飞燕草、万寿菊等）的瓣数恰是斐波那契数列中的数．斐波那契数列还有很多有趣的性质，在实际生活中也有广泛的应用．斐波那契数列中的第n个数可以用[()n﹣()n]表示（其中，n≥1）．这是用无理数表示有理数的一个范例．任务：请根据以上材料，通过计算求出斐波那契数列中的第1个数和第2个数．8、先阅读下列材料，然后解答问题：材料1 从3张不同的卡片中选取2张排成一列，有6种不同的排法，抽象成数学问题就是从3个不同元素中选取2个元素的排列，排列数记为A32＝3×2＝6.一般地，从n个不同元素中选取m个元素的排列数记作A n m，A n m＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)(m≤n)．例：从5个不同元素中选3个元素排成一列的排列数为：A53＝5×4×3＝60.材料2 从3张不同的卡片中选取2张，有3种不同的选法，抽象成数学问题就是从3个元素中选取2个元素的组合，组合数记为C32＝＝3.一般地，从n个不同元素中选取m个元素的组合数记作C n m，C n m＝(m≤n)．例：从6个不同元素中选3个元素的组合数为：C63＝＝20.问：(1)从7个人中选取4人排成一排，有多少种不同的排法？(2)从某个学习小组8人中选取3人参加活动，有多少种不同的选法？9、定义新运算：对于任意实数m、n都有m☆n=m2n+n，等式右边是常用的加法、减法、乘法及乘方运算．例如：﹣3☆2=（﹣3）2×2+2=20．根据以上知识解决问题：若2☆a的值小于0，请判断方程：2x2﹣bx+a=0的根的情况．四、综合题10、阅读材料：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，==，利用上述结论可以求解如下题目：在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a，b，c．若∠A=45°，∠B=30°，a=6，求b．解：在△ABC中，∵=∴b====3．理解应用：如图，甲船以每小时30海里的速度向正北方向航行，当甲船位于A1处时，乙船位于甲船的北偏西105°方向的B1处，且乙船从B1处按北偏东15°方向匀速直线航行，当甲船航行20分钟到达A2时，乙船航行到甲船的北偏西120°方向的B2处，此时两船相距10海里．(1)判断△A1A2B2的形状，并给出证明(2)求乙船每小时航行多少海里？11、阅读下列材料：2015年清明小长假，北京市属公园开展以“清明踏青，春色满园”为主题的游园活动，虽然气温小幅走低，但游客踏青赏花的热情很高，市属公园游客接待量约为190万人次．其中，玉渊潭公园的樱花、北京植物园的桃花受到了游客的热捧，两公园的游客接待量分别为38万人次、21.75万人次；颐和园、天坛公园、北海公园因皇家园林的厚重文化底蕴与满园春色成为游客的重要目的地，游客接待量分别为26万人次、20万人次、17.6万人次；北京动物园游客接待量为18万人次，熊猫馆的游客密集度较高．2014年清明小长假，天气晴好，北京市属公园游客接待量约为200万人次，其中，玉渊潭公园游客接待量比2013 年清明小长假增长了25%；颐和园游客接待量为26.2万人次，2013 年清明小长假增加了4.6万人次；北京动物园游客接待量为22万人次．2013年清明小长假，玉渊潭公园、陶然亭公园、北京动物园游客接待量分别为32万人次、13万人次、14.9 万人次．根据以上材料解答下列问题：(1)2014年清明小长假，玉渊潭公园游客接待量为________ 万人次(2)选择统计表或统计图，将2013﹣2015年清明小长假玉渊潭公园、颐和园和北京动物园的游客接待量表示出来．12、阅读下列材料，并用相关的思想方法解决问题．计算：（1﹣﹣﹣）×（+++）﹣（1﹣﹣﹣﹣）×（++）．令++=t，则原式=（1﹣t）（t+）﹣（1﹣t﹣）t=t+﹣t2﹣t﹣t+t2=问题：(1)计算（1﹣﹣﹣﹣…﹣）×（++++…++）﹣（1﹣﹣﹣﹣﹣…﹣﹣）×（+++…+）；(2)解方程（x2+5x+1）（x2+5x+7）=7．13、）阅读下列材料，并解决相关的问题．按照一定顺序排列着的一列数称为数列，排在第一位的数称为第1项，记为a1，依此类推，排在第n位的数称为第n项，记为an．一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示（q≠0）．如：数列1，3，9，27，…为等比数列，其中a1=1，公比为q=3．(1)等比数列3，6，12，…的公比q为________ ，第4项是________(2)如果一个数列a1， a2， a3， a4，…是等比数列，且公比为q，那么根据定义可得到：=q，=q，=q，…=q．所以：a2=a1•q，a3=a2•q=（a1•q）•q=a1•q2， a4=a3•q=（a1•q2）•q=a1•q3，…由此可得：an =________（用a1和q的代数式表示）．(3)若一等比数列的公比q=2，第2项是10，请求它的第1项与第4项．14、阅读材料：善于思考的小军在解方程组时，采用了一种“整体代换”的解法：解：将方程②变形：4x+10y+y=5 即2（2x+5y）+y=5③把方程①带入③得：2×3+y=5，∴y=﹣1把y=﹣1代入①得x=4，∴方程组的解为．请你解决以下问题：(1)模仿小军的“整体代换”法解方程组;(2)已知x，y满足方程组（i）求x2+4y2的值；（ii）求+的值．15、）阅读理解材料一：一组对边平行，另一组对边不平行的四边形叫梯形，其中平行的两边叫梯形的底边，不平行的两边叫梯形的腰，连接梯形两腰中点的线段叫梯形的中位线．梯形的中位线具有以下性质：梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半．如图（1）：在梯形ABCD中：AD∥BC∵E、F是AB、CD的中点∴EF∥AD∥BCEF=（AD+BC）材料二：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边如图（2）：在△ABC中：∵E是AB的中点，EF∥BC∴F是AC的中点如图（3）在梯形ABCD中，AD∥BC，AC⊥BD于O，E、F分别为AB、CD的中点，∠DBC=30°请你运用所学知识，结合上述材料，解答下列问题．(1)求证：EF=AC；(2)若OD=，OC=5，求MN的长．16、我们给出如下定义：顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫中点四边形．(1)如图1，四边形ABCD中，点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点．求证：中点四边形EFGH是平行四边形；(2)如图2，点P是四边形ABCD内一点，且满足PA=PB，PC=PD，∠APB=∠CPD，点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点，猜想中点四边形EFGH的形状，并证明你的猜想；(3)若改变（2）中的条件，使∠APB=∠CPD=90°，其他条件不变，直接写出中点四边形EFGH的形状．（不必证明）17、已知点P（x0， y）和直线y=kx+b，则点P到直线y=kx+b的距离证明可用公式d= 计算．例如：求点P（﹣1，2）到直线y=3x+7的距离．解：因为直线y=3x+7，其中k=3，b=7．所以点P（﹣1，2）到直线y=3x+7的距离为：d= = = = ．根据以上材料，解答下列问题：(1)求点P（1，﹣1）到直线y=x﹣1的距离；(2)已知⊙Q的圆心Q坐标为（0，5），半径r为2，判断⊙Q与直线y= x+9的位置关系并说明理由；(3)已知直线y=﹣2x+4与y=﹣2x﹣6平行，求这两条直线之间的距离．18、定义：有三个内角相等的四边形叫三等角四边形．(1)三等角四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C，求∠A的取值范围；(2)如图，折叠平行四边形纸片DEBF，使顶点E，F分别落在边BE，BF上的点A，C处，折痕分别为DG，DH．求证：四边形ABCD是三等角四边形．(3)三等角四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C，若CB=CD=4，则当AD的长为何值时，AB的长最大，其最大值是多少？并求此时对角线AC的长．19、我们定义：有一组邻角相等的凸四边形叫做“等邻角四边形”(1)概念理解：请你根据上述定义举一个等邻角四边形的例子；(2)问题探究；如图1，在等邻角四边形ABCD中，∠DAB=∠ABC，AD，BC的中垂线恰好交于AB边上一点P，连结AC，BD，试探究AC与BD的数量关系，并说明理由；(3)应用拓展；如图2，在Rt△ABC与Rt△ABD中，∠C=∠D=90°，BC=BD=3，AB=5，将Rt△ABD绕着点A顺时针旋转角α（0°＜∠α＜∠BAC）得到Rt△AB′D′（如图3），当凸四边形AD′BC为等邻角四边形时，求出它的面积．20、阅读下列材料：北京市正围绕着“政治中心、文化中心、国际交往中心、科技创新中心”的定位，深入实施“人文北京、科技北京、绿色北京”的发展战略．“十二五”期间，北京市文化创意产业展现了良好的发展基础和巨大的发展潜力，已经成为首都经济增长的支柱产业．2011年，北京市文化创意产业实现增加值1938.6亿元，占地区生产总值的12.2%．2012年，北京市文化创意产业继续呈现平稳发展态势，实现产业增加值2189.2亿元，占地区生产总值的12.3%，是第三产业中仅次于金融业、批发和零售业的第三大支柱产业．2013年，北京市文化产业实现增加值2406.7亿元，比上年增长9.1%，文化创意产业作为北京市支柱产业已经排到了第二位．2014年，北京市文化创意产业实现增加值2749.3亿元，占地区生产总值的13.1%，创历史新高，2015年，北京市文化创意产业发展总体平稳，实现产业增加值3072.3亿元，占地区生产总值的13.4%．根据以上材料解答下列问题：(1)用折线图将2011﹣2015年北京市文化创意产业实现增加值表示出来，并在图中标明相应数据；(2)根据绘制的折线图中提供的信息，预估2016年北京市文化创意产业实现增加值约________亿元，你的预估理由________．21、）阅读材料：关于三角函数还有如下的公式：sin（α±β）=sinαcosβ±cosαsinβtan（α±β）=利用这些公式可以将一些不是特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数来求值．例：tan75°=tan（45°+30°）= = =2+根据以上阅读材料，请选择适当的公式解答下面问题(1)计算：sin15°；(2)某校在开展爱国主义教育活动中，来到烈士纪念碑前缅怀和纪念为国捐躯的红军战士．李三同学想用所学知识来测量如图纪念碑的高度．已知李三站在离纪念碑底7米的C处，在D点测得纪念碑碑顶的仰角为75°，DC为米，请你帮助李三求出纪念碑的高度．22、阅读下面材料：小明遇到这样一个问题：如图1，△ABC中，AB=AC，点D在BC边上，∠DAB=∠ABD，BE⊥AD，垂足为E，求证：BC=2AE．小明经探究发现，过点A作AF⊥BC，垂足为F，得到∠AFB=∠BEA，从而可证△ABF≌△BAE（如图2），使问题得到解决．(1)根据阅读材料回答：△ABF与△BAE全等的条件是 AAS（填“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”或“HL”中的一个）参考小明思考问题的方法，解答下列问题：(2)如图3，△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，D为BC的中点，E为DC的中点，点F在AC的延长线上，且∠CDF=∠EAC，若CF=2，求AB的长；(3)如图4，△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，点D、E分别在AB、AC边上，且AD=kDB（其中0＜k＜），∠AED=∠BCD，求的值（用含k的式子表示）．答案解析部分一、单选题1、【答案】B【考点】分段函数【解析】【解答】解：当x+3≥﹣x+1，即：x≥﹣1时，y=x+3，∴当x=﹣1时，y min=2，当x+3＜﹣x+1，即：x＜﹣1时，y=﹣x+1，∵x＜﹣1，∴﹣x＞1，∴﹣x+1＞2，∴y＞2，∴y min=2，故选B【分析】分x≥﹣1和x＜﹣1两种情况进行讨论计算，此题是分段函数题，主要考查了新定义，解本题的关键是分段．2、【答案】B【考点】分式方程的解，定义新运算【解析】【解答】解：根据题意，得= ﹣1，去分母得：1=2﹣（x﹣4），解得：x=5，经检验x=5是分式方程的解．故选B．【分析】所求方程利用题中的新定义化简，求出解即可．此题考查了解分式方程，弄清题中的新定义是解本题的关键．3、【答案】C【考点】整式的混合运算，因式分解的应用，二次函数的最值【解析】【解答】解：①根据题意得：a@b=（a+b）2﹣（a﹣b）2∴（a+b）2﹣（a﹣b）2=0，整理得：（a+b+a﹣b）（a+b﹣a+b）=0，即4ab=0，解得：a=0或b=0，正确；②∵a@（b+c）=（a+b+c）2﹣（a﹣b﹣c）2=4ab+4aca@b+a@c=（a+b）2﹣（a﹣b）2+（a+c）2﹣（a﹣c）2=4ab+4ac，∴a@（b+c）=a@b+a@c正确；③a@b=a2+5b2， a@b=（a+b）2﹣（a﹣b）2，令a2+5b2=（a+b）2﹣（a﹣b）2，解得，a=0，b=0，故错误；④∵a@b=（a+b）2﹣（a﹣b）2=4ab，（a﹣b）2≥0，则a2﹣2ab+b2≥0，即a2+b2≥2ab，∴a2+b2+2ab≥4ab，∴4ab的最大值是a2+b2+2ab，此时a2+b2+2ab=4ab，解得，a=b，∴a@b最大时，a=b，故④正确，故选C．【分析】根据新定义可以计算出啊各个小题中的结论是否成立，从而可以判断各个小题中的说法是否正确，从而可以得到哪个选项是正确的．本题考查因式分解的应用、整式的混合运算、二次函数的最值，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．4、【答案】 B【考点】一元一次不等式组的应用【解析】【解答】解：∵x=y，∴x=2x+m，即x=﹣m．∵﹣1≤x≤3，∴﹣1≤﹣m≤3，∴﹣3≤m≤1．故选B．【分析】根据x=y，﹣1≤x≤3可得出关于m的不等式，求出m的取值范围即可．本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，根据题意得出关于m的不等式是解答此题的关键．二、填空题5、【答案】【考点】探索数与式的规律【解析】【解答】解：令s=1+3+32+33+ (32015)等式两边同时乘以3得：3s=3+32+33+ (32016)两式相减得：2s=32016﹣1．所以S= ．【分析】令s=1+3+32+33+…+32015，然后再等式的两边同时乘以2，接下来，依据材料中的方程进行计算即可．本题主要考查的是数字的变化规律，依据材料找出解决问题的方法和步骤是解题的关键．三、解答题6、【答案】解：（2）若＜0，则或；故答案为：或；由上述规律可知，不等式转化为或，所以，x＞2或x＜﹣1．【考点】一元一次不等式组的应用【解析】【分析】根据两数相除，异号得负解答；先根据同号得正把不等式转化成不等式组，然后根据一元一次不等式组的解法求解即可．7、【答案】【解答】解：第1个数，当n=1时，[()n﹣()n]=（﹣）=×=1．第2个数，当n=2时，[()n﹣()n]=[（）2﹣（）2]=×（+）（﹣）=×1×=1．【考点】二次根式的应用【解析】【分析】分别把1、2代入式子化简求得答案即可．8、【答案】解：(1)A74＝7×6×5×4＝840(种)．(2)C83＝＝56(种)【考点】探索数与式的规律【解析】【分析】探索数与式的规律。
中考冲刺阅读理解型问题巩固练习提高
中考冲刺：阅读理解型问题一巩固练习(提高)【巩固练习】一、选择题1. 已知坐标平面上的机器人接受指令“[a，A]” (a >0, 0°v A v 180° )后的行动结果为：在原地顺时针旋转A后，再向其面对方向沿直线行走a•若机器人的位置在原点，面对方向为y轴的负半轴，则它完成一次指令[2 , 60 ° ]后，所在位置的坐标为()A. (-1 , 、.3) B • (-1 , •、3) C • ( ,3 , -1) D • ( ,3 , -1)2 .任何一个正整数n都可以进行这样的分解：n= s x t(s、t是正整数，且s< t)，如果p x q在n的所有这种分解中两因数之差的绝对值最小，我们就称p x q是n的最佳分解，并规定：F(n)—.例如18q3 1可以分解成1 x 18, 2x 9, 3x 6这三种，这时就有F(18)6 21 3给出下列关于F(n)的说法：(1) F(2) -; (2) F(24) ; (3)F(27) = 3; (4)若n是一个完全平2 8方数，则F(n) = 1.其中正确说法的个数是().A . 1B . 2C . 3D . 4二、填空题3 •阅读下列题目的解题过程：已知a、b、c ABC的三边长，且满足a2c2 b2c2a4 b4，试判断厶ABC的形状.2 2 . 2 2 4 . 4解：.a c b c a b , (A)…c (a b ) (a b )(a b ) , (B)2 2 2-c2 a2 b2, (C)•••△ ABC是直角三角形.问：(1)上述解题过程中，从哪一步开始出现错误？请写出该错误步骤的代号：____________________ .(2) 错误的原因为：___________________________ .(3) 本题的正确结论为：______________________ .4 .先阅读下列材料，然后解答问题：从A, B, C三张卡片中选两张，有三种不同选法，抽象成数学问题就是从3个元素中选取2个元素组合，记作c2 - - 3 .2 1一般地，从m个元素中选取n个元素组合，记作：c m m(m 1)ggg(m匸^.n(n 1) ggg 3 2 157 6 5 4 3例：从7个元素中选5个元素，共有C5 3种不同的选法.5 4 3 2 1问题：从某学习小组10人中选取3人参加活动，不同的选法共有 ___________________ 种.三、解答题 5.已知 p 2-p -1=0,1- q -q 2=0,且 pq z 1,求pq 1的值.q解：由 p 2-p -1=0 及 1-q -q 2=0,可知 p M 0, q M01又••• pq M 1, ••• p q2• l -q-q 2=0可变形为1 11 o 的特征q q12所以p 与-是方程x 2-x -1=0的两个不相等的实数根则p 11 pq 1 1qp—I, Iq q根据阅读材料所提供的方法，完成下面的解答.21 5已知：2m i -5 m -仁0, -20,且 n ,求：1 1的值.n n， m n6.阅读以下材料，并解答以下问题. "完成一件事有两类不同的方案，在第一类方案中有m 种不同的方法，在第二类方案中有 n 种不同的方法，那么完成这件事共有 N= m+n 种不同的方法，这是分类加法计数原理，完成一件事需要两个步骤，做第一步有 m 种不同的方法，做第二步有 n 种不同的方法.那么完成这件事共有 N = mxn 种不同的方法，这就是分步乘法的计数原理.”如完成沿图①所示的街道从A 点出发向B 点行进这件事(规定必须向北走，或向东走 )，会有多种不同的走法，其中从A 点出发到某些交叉点的走法数已在图②填出.(1) 根据以上原理和图②的提示，算出从A 出发到达其余交叉点的走法数，将数字填入图②的空圆中，并回答从 A 点出发到B 点的走法共有多少种？(2) 运用适当的原理和方法算出从A 点出发到达B 点，并禁止通过交叉点C 的走法有多少种？(3) 现由于交叉点 C 道路施工，禁止通行，求如任选一种走法，从 A 点出发能顺利开车到达B 点(无返回)的概率是多少？ 7 .阅读：我们知道，在数轴上，x = 1表示一个点，而在平面直角坐标系中， x = 1表示一条直线；我们还知道，以二元一次方程 2x — y + 1 = 0的所有解为坐标的点组成的图形就是一次函数 y = 2x + 1的图象，它也是一条直线，如图①观察图①可以得出：直线 x = 1与直线y = 2x + 1的交点P 的坐标(1, 3)就是方程组的解，所以这个方程组的解为在直角坐标系中，X W 1表示一个平面区域，即直线 x = 1以及它左侧的部分，如图②；y W 2x + 1也表示一个平面区域，即直线 y = 2x + 1以及它下方的部分，如图③.x 1 2x y 1x>- 2(2)用阴影表示y W —2x + 2,所围成的区域.y8. 我们学习过二次函数图象的平移，如：将二次函数y 3x2的图象向左平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度，所得图象的函数表达式是y 3(x 2)2 4 .类比二次函数图象的平移，我们对反比例函数的图象作类似的变换：1(1) 将y —的图象向右平移1个单位长度，所得图象的函数表达式为_______________ ，再向上平移1个单x位长度，所得图象的函数表达式为__________ .x 1 1 x 1 (2) 函数y ——的图象可由y —的图象向_______________ 平移_________ 个单位长度得到；y ——的x x x 2图象可由哪个反比例函数的图象经过怎样的变换得到？x b(3) 一般地，函数y (ab工0，且b)的图象可由哪个反比例函数的图象经过怎样的变换得x a到？9. “三等分角”是数学史上一个着名的问题，但仅用尺规不可能“三等分角”.下面是数学家帕普斯借助函数给出的一种“三等分锐角”的方法(如图)：将给定的锐角/ AOB置于直角坐标系中，边0B在x轴1上、边0A与函数y 的图象交于点P,以P为圆心、以20P为半径作弧交图象于点R分别过点P和x一一1 -R作x轴和y轴的平行线，两直线相交于点M，连接0M得到/ MOB则/ MOB= / AOB要明白帕普斯3的方法，请研究以下问题：1 1(1) 设P(a,—)、R(b,—)，求直线0M对应的函数表达式(用含a,b的代数式表示).a b(2 )分别过点P和R作y轴和x轴的平行线，两直线相交于点Q.请说明Q点在直线0M上，并据此证1明/ MOB= / AOB3(3)应用上述方法得到的结论，你如何三等分一个钝角(用文字简要说明)10•阅读下列材料：问题：如图1所示，在菱形ABCD和菱形BEFG中，点A, B, E在同一条直线上，P是线段DF的中点，PG连接PG PC.若/ ABC=Z BEF= 60°,探究PG与PC的位置关系的值.小聪同学的思路是：延长PCGP交DC于点H,构造全等三角形，经过推理使问题得到解决.请你参考小聪同学的思路，探究并解决下列问题：PG(1) 写出上面问题中线段PG,与PC的位置关系及的值；PC(2) 将图1中的菱形BEFG绕点B顺时针旋转，使菱形BEFG的对角线BF恰好与菱形ABCD勺边AB在同一条直线上，原问题中的其他条件不变(如图2).你在(1)中得到的两个结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明.35(3)若图1中/ ABC=Z BEM 2a (0 °VaV 90° )，将菱形BEFG 绕点B 顺旋转任意角度，原问题中 PG的其他条件不变，请你直接写出 PG的值(用含a 的式子表示)•PC【答案与解析】 一、 选择题 1. 【答案】D; 2. 【答案】B ; 二、 填空题 3. 【答案】 (1)C ;(2) 错误的原因是由(B)到(C)时，等式两边同时约去了因式 (3) △ ABC 是等腰三角形或直角三角形 4. 【答案】120. 三、解答题 5. 【答案与解析】解: 由 2n i -5 m 仁0 知 nr 50, T m r n ,.1 1m n得丄 252 0mm根据 152 0与 45 2 0的特征m 2 mn n...1 与 1是方程 x 2+5 x -2=0 的两个不相目等的实数根 .1 1m nm n6.【答案与解析】 (1)•••完成从A 点到B 点必须向北走，或向东走,到达A 点以外的任意交叉点的走法数只能是与其相邻的南边的交叉点和西边交叉点的数字之和， 故使用分类加法原理，由此算出从 A 点到达其余各交叉点的走法数，填表如图所示•故从A 点到B点的走法共35种.⑵方法1:可先求从A 点到B 点，并经过交叉点 C 的走法数，再用从 A 点到B 点总走法数减去它， 即得从A点到B 点。
中考数学复习《阅读理解问题》经典题型及测试题(含答案)
中考数学复习《阅读理解问题》经典题型及测试题（含答案）阅读与理解阅读理解问题是通过阅读材料，理解其实质，揭示其方法规律从而解决新问题．既考查学生的阅读能力、自学能力，又考查学生的解题能力和数学应用能力．这类题目能够帮助学生实现从模仿到创造的思维过程，符合学生的认知规律．该类问题一般是提供一定的材料或介绍一个概念或给出一种解法等，让考生在理解材料的基础上，获得探索解决问题的途径，用于解决后面的问题．基本思路是“阅读→分析→理解→解决问题”．类型一新概念学习型新概念学习型是指在题目中先构建一个新数学概念(或定义)，然后再根据新概念提出要解决的相关问题．主要目的是考查学生的自学能力和对新知识的理解与运用能力．解决这类问题：要求学生准确理解题目中所构建的新概念，将学习的新概念和已有的知识相结合，并进行运用．例1 (2017·枣庄) 我们知道，任意一个正整数n都可以进行这样的分解：n=p ×q（p，q是正整数，且p≤q），在n的所有这种分解中，如果p，q两因数之差的绝对值最小，我们就称p×q是n的最佳分解．并规定：F（n）=．例如12可以分解成1×12，2×6或3×4，因为12﹣1＞6﹣2＞4﹣3，所以3×4是12的最佳分解，所以F（12）=．（1）如果一个正整数m是另外一个正整数n的平方，我们称正整数m是完全平方数．求证：对任意一个完全平方数m，总有F（m）=1；（2）如果一个两位正整数t，t=10x+y（1≤x≤y≤9，x，y为自然数），交换其个位上的数与十位上的数得到的新数减去原来的两位正整数所得的差为36，那么我们称这个数t为“吉祥数”，求所有“吉祥数”；（3）在（2）所得“吉祥数”中，求F（t）的最大值．【分析】（1）对任意一个完全平方数m，设m=n2（n为正整数），找出m的最佳分解，确定出F（m）的值即可；（2）设交换t的个位上数与十位上的数得到的新数为t′，则t′=10y+x，根据“吉祥数”的定义确定出x与y的关系式，进而求出所求即可；（3）利用“吉祥数”的定义分别求出各自的值，进而确定出F（t）的最大值即可．【自主解答】解：（1）证明：对任意一个完全平方数m，设m=n2（n为正整数），∵|n﹣n|=0，∴n×n是m的最佳分解，∴对任意一个完全平方数m，总有F（m）==1；（2）设交换t的个位上数与十位上的数得到的新数为t′，则t′=10y+x，∵t是“吉祥数”，∴t′﹣t=（10y+x）﹣（10x+y）=9（y﹣x）=36，∴y=x+4，∵1≤x≤y≤9，x，y为自然数，∴满足“吉祥数”的有：15，26，37，48，59；（3）F（15）=，F（26）=，F（37）=，F（48）==，F（59）=，∵＞＞＞＞，∴所有“吉祥数”中，F（t）的最大值为．变式训练1．(2016·常德)平面直角坐标系中有两点M(a，b)，N(c，d)，规定(a，b)⊕(c，d)＝(a＋c，b＋d)，则称点Q(a＋c，b＋d)为M，N的“和点”．若以坐标原点O 与任意两点及它们的“和点”为顶点能构成四边形，则称这个四边形为“和点四边形”．现有点A(2，5)，B(－1，3)，若以O，A，B，C四点为顶点的四边形是“和点四边形”，则点C的坐标是 ______________2．(2016·荆州) 阅读：我们约定，在平面直角坐标系中，经过某点且平行于坐标轴或平行于两坐标轴夹角平分线的直线，叫该点的“特征线”．例如，点M（1，3）的特征线有：x=1，y=3，y=x+2，y=﹣x+4．问题与探究：如图，在平面直角坐标系中有正方形OABC，点B在第一象限，A、C分别在x轴和y轴上，抛物线经过B、C两点，顶点D在正方形内部．（1）直接写出点D（m，n）所有的特征线；（2）若点D有一条特征线是y=x+1，求此抛物线的解析式；（3）点P是AB边上除点A外的任意一点，连接OP，将△OAP沿着OP折叠，点A落在点A′的位置，当点A′在平行于坐标轴的D点的特征线上时，满足（2）中条件的抛物线向下平移多少距离，其顶点落在OP上？解：（1）∵点D（m，n），∴点D（m，n）的特征线是x=m，y=n，y=x+n﹣m，y=﹣x+m+n；（2）点D有一条特征线是y=x+1，∴n﹣m=1，∴n=m+1∵抛物线解析式为，∴y=（x﹣m）2+m+1，∵四边形OABC是正方形，且D点为正方形的对称轴，D（m，n），∴B（2m，2m），∴（2m﹣m）2+n=2m，将n=m+1带入得到m=2，n=3；∴D（2，3），∴抛物线解析式为y=（x﹣2）2+3（3）如图，当点A′在平行于y轴的D点的特征线时，根据题意可得，D（2，3），∴OA′=OA=4，OM=2，∴∠A′OM=60°，∴∠A′OP=∠AOP=30°，∴MN==，∴抛物线需要向下平移的距离=3﹣=．乳头，当点A′在平行于x轴的D点的特征线时，∵顶点落在OP上，∴A′与D重合，∴A′（2，3），设P（4，c）（c＞0），由折叠有，PD=PA，∴=c，∴c=，∴P（4，）∴直线OP解析式为y=，∴N（2，），∴抛物线需要向下平移的距离=3﹣=，即：抛物线向下平移或距离，其顶点落在OP上．类型二新公式应用型新公式应用型是指通过对所给材料的阅读，从中获取新的数学公式、定理、运算法则或解题思路等，进而运用这些知识和已有知识解决题目中提出的数学问题．解决这类问题，一是要所运用的思想方法、数学公式、性质、运算法则或解题思路与阅读材料保持一致；二是要创造条件，准确、规范、灵活地解答．例2（2017•日照）阅读材料：在平面直角坐标系xOy中，点P（x0，y）到直线Ax+By+C=0的距离公式为：d=．（0，0）到直线4x+3y﹣3=0的距离．例如：求点P解：由直线4x+3y﹣3=0知，A=4，B=3，C=﹣3，（0，0）到直线4x+3y﹣3=0的距离为d==．∴点P根据以上材料，解决下列问题：问题1：点P（3，4）到直线y=﹣x+的距离为 4 ；1问题2：已知：⊙C是以点C（2，1）为圆心，1为半径的圆，⊙C与直线y=﹣x+b相切，求实数b的值；问题3：如图，设点P为问题2中⊙C上的任意一点，点A，B为直线3x+4y+5=0上的两点，且AB=2，请求出S的最大值和最小值．△ABP【分析】（1）根据点到直线的距离公式就是即可；（2）根据点到直线的距离公式，列出方程即可解决问题．（3）求出圆心C到直线3x+4y+5=0的距离，求出⊙C上点P到直线3x+4y+5=0的距离的最大值以及最小值即可解决问题．（3，4）到直线3x+4y﹣5=0的距离d=【自主解答】解：（1）点P1=4，故答案为4．（2）∵⊙C与直线y=﹣x+b相切，⊙C的半径为1，∴C（2，1）到直线3x+4y﹣4b=0的距离d=1，∴=1， 解得b=或．（3）点C （2，1）到直线3x+4y+5=0的距离d==3， ∴⊙C 上点P 到直线3x+4y+5=0的距离的最大值为4，最小值为2，∴S △ABP 的最大值=×2×4=4，S △ABP 的最小值=×2×2=2．变式训练3．一般地，如果在一次实验中，结果落在区域D 中每一个点都是等可能的，用A 表示“实验结果落在D 中的某个小区域M 中”这个事件，那么事件A 发生的概率P(A)＝ .如图，现在等边△ABC 内射入一个点，则该点落在△ABC 内切圆中的概率是____ ．4．(2016·随州)如图1，PT 与⊙O 1相切于点T ，PB 与⊙O 1相交于A ，B 两点，可证明△PTA ∽△PBT ，从而有PT 2＝PA ·PB ．请应用以上结论解决下列问题：如图2，PAB ，PCD 分别与⊙O 2相交于A ，B ，C ，D 四点，已知PA ＝2，PB ＝7，PC＝3，则CD ＝______.类型三 新方法应用型新方法应用型是指通过对所给材料的阅读，从中获取新的思想、方法或解题途径，进而运用这些知识和已有的知识解决题目中提出的问题．例3 (2017·毕节)D M 93 35）观察下列运算过程：计算：1+2+22+ (210)解：设S=1+2+22+…+210，①①×2得2S=2+22+23+…+211，②②﹣①得S=211﹣1．所以，1+2+22+…+210=211﹣1运用上面的计算方法计算：1+3+32+…+32017= ．【分析】令s=1+3+32+33+…+32017，然后在等式的两边同时乘以3，接下来，依据材料中的方程进行计算即可．【自主解答】解：令s=1+3+32+33+…+32017等式两边同时乘以3得：3s=3+32+33+…+32018两式相减得：2s=32018﹣1，∴s=，故答案为：．变式训练5、仔细阅读下面例题，解答问题：例题：已知二次三项式x2-4x+m有一个因式是（x+3），求另一个因式以及m的值．设另一个因式为（x+n），得x2-4x+m=（x+3）（x+n），则x2-4x+m=x2+（n+3）x+3n ∴n+3=-4m=3n 解得：n=-7，m=-21∴另一个因式为（x-7），m的值为-21．问题：（1）若二次三项式x2-5x+6可分解为（x-2）（x+a），则a=______；（2）若二次三项式2x2+bx-5可分解为（2x-1）（x+5），则b=______；（3）仿照以上方法解答下面问题：已知二次三项式2x2+5x-k有一个因式是（2x-3），求另一个因式以及k的值．解：（1）∵（x-2）（x+a）=x2+（a-2）x-2a=x2-5x+6，∴a-2=-5，解得：a=-3；（2）∵（2x-1）（x+5）=2x2+9x-5=2x2+bx-5，∴b=9；（3）设另一个因式为（x+n），得2x2+5x-k=（2x-3）（x+n）=2x2+（2n-3）x-3n，则2n-3=5，k=3n，解得：n=4，k=12，故另一个因式为（x+4），k 的值为12．故答案为：（1）-3；（2分）（2）9；（2分）（3）另一个因式是x+4，k=12（6分）． 6、（2015遂宁）阅读下列材料，并用相关的思想方法解决问题．计算：11111111111111(1)()(1)()23423452345234---⨯+++-----⨯++． 令111234t ++=，则 原式=11(1)()(1)55t t t t -+--- =22114555t t t t t +---+ =15 问题：（1）计算1111111111111111111(1...)(...)(1...)(...)2342014234520152345201420152342014-----⨯+++++--------⨯++++。
中考总复习数学专题优化训练： 阅读理解型问题
专题训练十 阅读理解型问题一、选择题1.火车票上的车次号有两个意义，一是数字越小表示车速越快，1—98次为特快列车，101—198次为直快列车，301—398次为普快列车，401—498次为普客列车；二是单数与双数表示不同的行驶方向，其中单数表示从北京开出,双数表示开往北京，根据以上规定，杭州开往北京的某一直快列车的车次号可能是A.20B.119C.120D.319 2.阅读下面文字后，解答问题.有这样一道题目：“已知二次函数y=x 2+bx+c 的图象经过点(1,0)_________________，求证：这个二次函数图象关于直线x=2对称.”题目中的横线部分是一段被墨水污染了无法辨认的文字. 根据现有信息，题目中二次函数图象不具有的性质是A.过点(3，0)B.顶点是(2，-2)C.在x 轴上截得的线段长是2D.与y 轴交点是(0，3)3.扑克牌游戏：小明背对小亮，让小亮按下列四个步骤操作：第一步:分发左、中、右三堆牌，每堆牌不少于两张，且各堆牌的张数相同； 第二步:从左边一堆拿出两张，放入中间一堆； 第三步:从右边一堆拿出一张，放入中间一堆；第四步:左边一堆有几张牌，就从中间一堆拿几张牌放入左边一堆.这时，小明准确说出了中间一堆牌现有的张数，你认为中间一堆的张数是A.4B.5C.6D.无法确定二、填空题4.自然数中有许多奇妙而有趣的现象，很多秘密等待着我们去探索！比如：对任意一个自然数，先将其各位数字求和，再将其和乘以3后加上1，多次重复这种操作运算，运算结果最终会得到一个固定不变的数R ，它会掉入一个数字“陷阱”，永远也别想逃出来，没有一个自然数能逃出它的“魔掌”.那么最终掉入“陷阱”的这个固定不变的数R=__________________.5.据指令［s,A ］(s ≥0,0°≤A<360°)机器人在平面上能完成如下动作：先在原地逆时针旋转角度A ，再朝其面对的方向沿直线行走距离s.现在机器人在平面直角坐标系的原点，且面对y 轴的负方向，为使其移动到点(-3，3)，应下的指令是____________________________. 三、解答题6.阅读下列解题过程：题目：已知方程x 2+3x+1=0的两个根为α、β，求βα+αβ的值.解：∵Δ=32-4×1×1=5＞0，∴α≠β. (1) 由一元二次方程的根与系数的关系，得α+β=-3，αβ=1. (2) ∴βα+αβ=βα+αβ=αββα+=13-=-3.(3)阅读后回答问题：上述的解题过程是否正确？若不正确，指出错在哪一步，并写出正确的解题过程. 7.阅读下列材料：如图3-20，在四边形ABCD 中，对角线AC ⊥BD ，垂足为P.图3-20求证： S四边形ABCD=21AC ·BD.证明：AC ⊥BD ⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∙=∙=∆∆.21,21PB AC S PD AC S ACBACD∴S四边形ABCD=S △ACD +S △ACB =21AC(PD+PB)=21AC ·BD.解答问题：(1)上述证明得到的性质可叙述为_________________________________________.(2)如图3-21，已知等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，对角线AC ⊥BD 且相交于点P ，AD=3 cm,BC=7 cm ，利用上述的性质求梯形的面积.图3-218.规定a 、b 两数之间的一种运算，记作(a ，b)：如果a c =b ，那么(a ，b)=c.比如：(2，8)=3.对于任意的自然数n ，可以证得(3n ，4n )=(3，4).证明如下：设(3n ，4n )=x ，则3n x=4n ，即(3x )n =4n ，因此3x =4，即(3，4)=x ，从而(3n ，4n )=(3，4). 现在请你证明下面等式：(3，4)+(3，5)=(3，20). 9.阅读下列材料，按要求解答问题：在△ABC ，∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别用a 、b 、c 表示.(1)如图3-22，在△ABC 中，∠A=2∠B ，且∠A=60°，求证：a 2=b(b+c).图3-22(2)若一个三角形的一个内角是另一个内角的两倍，则称这种三角形为倍角三角形.本题图3-23中的三角形是特殊的倍角三角形，那么对于任意的倍角三角形(如图3-23)，当∠A=2∠B 时，关系式a 2=b(b+c)是否仍然成立？若成立，证明你的结论；若不成立，举出反例.图3-23一、选择题1答案：C提示：由直快列车车次号为101—198之间,再由杭州开往北京车次号为双数即为120. 2答案：B提示：相当于“二次函数y=x 2+bx+c 的图象经过点（1,0），对称轴为直线x=2，判断四个选项的对错”.3答案：B提示：设各堆牌的张数相同,为a,然后根据题意用含a 的代数式表示中间的牌的数目. 二、填空题4答案：13提示：可以随意找一个数(比如12),按步骤操作即可. 5答案：［32,225°］提示：由点(-3,3)在第二象限平分线上,则机器人需逆时针旋转225°,再向前行走32. 6答案：不正确. 解：第（3）步错.正确的解题过程是：∵Δ=32-4×1×1=5＞0，∴α≠β.由一元二次方程的根与系数的关系，得α+β=-3＜0，αβ=1＞0， ∴α＜0，β＜0. ∴βα+αβ=-ββα∙-αβα∙=-βα∙·αββα+=3.7答案：(1)对角线互相垂直的四边形的面积等于对角线长的乘积的一半(2)25 cm2.提示：(2)中，可以过P点作两底的垂线，即高，运用直角三角形斜边中线等于斜边一半分别求出两垂线段的长,即高的大小.从而可求出面积.另一种方法是平移对角线.8证明：设（3，4）=x，（3，5）=y，∵3x=4，3y=5,∴3x·3y=5·4=20.从而3x+y=20,∴（3，20）=x+y.∴（3，4）+（3，5）=（3，20）.9提示：(1)设b=x，则c=2x，a=3x，然后可证.(2)思路一：延长CA至D，使AD=AB，连结BD，证明△CAB∽△CBD.思路二：延长BA至D，使AD=AC，连结CD，证明△CAD∽△BCD.。
初中数学中考总复习冲刺：阅读理解型问题--巩固练习题及答案(提高)
中考冲刺：阅读理解型问题—巩固练习（提高）【巩固练习】一、选择题1. 已知坐标平面上的机器人接受指令“[a ，A]”(a ≥0，0°＜A ＜180°)后的行动结果为：在原地顺时针旋转A 后，再向其面对方向沿直线行走a ．若机器人的位置在原点，面对方向为y 轴的负半轴，则它完成一次指令[2，60°]后，所在位置的坐标为( )A ．(-1，)B ．(-1．-1) D ．(-1)2．任何一个正整数n 都可以进行这样的分解：n ＝s ×t(s 、t 是正整数，且s ≤t)，如果p ×q 在n 的所有这种分解中两因数之差的绝对值最小，我们就称p ×q 是n 的最佳分解，并规定：()pF n q=．例如18可以分解成1×18，2×9，3×6这三种，这时就有31(18)62F ==． 给出下列关于F(n)的说法：(1)1(2)2F =；(2)3(24)8F =；(3)F(27)＝3；(4)若n 是一个完全平方数，则F(n)＝1．其中正确说法的个数是( )．A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题3．阅读下列题目的解题过程：已知a 、b 、c 为△ABC 的三边长，且满足222244a cbc a b -=-，试判断△ABC 的形状． 解：∵222244a cbc a b -=-， (A)∴2222222()()()c a b a b a b -=+-， (B) ∴222c a b =+， (C)∴△ABC 是直角三角形．问：(1)上述解题过程中，从哪一步开始出现错误？ 请写出该错误步骤的代号：________________． (2)错误的原因为：________________________． (3)本题的正确结论为：____________________．4．先阅读下列材料，然后解答问题：从A ，B ，C 三张卡片中选两张，有三种不同选法，抽象成数学问题就是从3个元素中选取2个元素组合，记作2332C 321⨯==⨯． 一般地，从m 个元素中选取n 个元素组合，记作：(1)(1)(1)321nm m m m n C n n --+=-⨯⨯⨯ggg ggg ．例：从7个元素中选5个元素，共有577654354321C ⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯种不同的选法．问题：从某学习小组10人中选取3人参加活动，不同的选法共有______________种．三、解答题5． 已知p 2-p -1=0,1-q -q 2=0,且pq ≠1，求1pq q+的值.解：由p 2-p -1=0及1-q -q 2=0,可知p ≠0,q ≠0 又∵pq ≠1,∴1p q ≠ ∴1-q-q 2=0可变形为21110q q ⎛⎫⎛⎫--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的特征所以p 与1q 是方程x 2- x -1=0的两个不相等的实数根则111,1pq p qq++=∴=根据阅读材料所提供的方法，完成下面的解答.已知：2m 2-5m -1=0,21520n n +-=,且m ≠n ，求：11m n+的值.6. 阅读以下材料，并解答以下问题．“完成一件事有两类不同的方案，在第一类方案中有m 种不同的方法，在第二类方案中有n 种不同的方法，那么完成这件事共有N ＝m+n 种不同的方法，这是分类加法计数原理，完成一件事需要两个步骤，做第一步有m 种不同的方法，做第二步有n 种不同的方法．那么完成这件事共有N ＝m ×n 种不同的方法，这就是分步乘法的计数原理．”如完成沿图①所示的街道从A 点出发向B 点行进这件事(规定必须向北走，或向东走)，会有多种不同的走法，其中从A 点出发到某些交叉点的走法数已在图②填出．(1)根据以上原理和图②的提示，算出从A 出发到达其余交叉点的走法数，将数字填入图②的空圆中，并回答从A 点出发到B 点的走法共有多少种?(2)运用适当的原理和方法算出从A 点出发到达B 点，并禁止通过交叉点C 的走法有多少种?(3)现由于交叉点C 道路施工，禁止通行，求如任选一种走法，从A 点出发能顺利开车到达B 点(无返回)的概率是多少?7．阅读：我们知道，在数轴上，x ＝1表示一个点，而在平面直角坐标系中，x ＝1表示一条直线；我们还知道，以二元一次方程2x －y ＋1＝0的所有解为坐标的点组成的图形就是一次函数y ＝2x ＋1的图象，它也是一条直线，如图①.观察图①可以得出：直线x ＝1与直线y ＝2x ＋1的交点P 的坐标（1，3）就是方程组1210x x y =⎧⎨-+=⎩的解，所以这个方程组的解为13x y =⎧⎨=⎩在直角坐标系中，x ≤1表示一个平面区域，即直线x ＝1以及它左侧的部分，如图②；y ≤2x ＋1也表示一个平面区域，即直线y ＝2x ＋1以及它下方的部分，如图③．① ② ③ 回答下列问题：（1）在直角坐标系中，用作图象的方法求出方程组222x y x =-⎧⎨=-+⎩的解；（2）用阴影表示2y 2x 2y 0x ⎧⎪⎨⎪⎩≥－≤－＋≥，所围成的区域．8. 我们学习过二次函数图象的平移，如：将二次函数23y x =的图象向左平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度，所得图象的函数表达式是23(2)4y x =+-．类比二次函数图象的平移，我们对反比例函数的图象作类似的变换： (1)将1y x=的图象向右平移1个单位长度，所得图象的函数表达式为________，再向上平移1个单位长度，所得图象的函数表达式为________． (2)函数1x y x +=的图象可由1y x =的图象向________平移________个单位长度得到；12x y x -=-的图象可由哪个反比例函数的图象经过怎样的变换得到？(3)一般地，函数x by x a+=+(ab ≠0，且a ≠b)的图象可由哪个反比例函数的图象经过怎样的变换得到?9. “三等分角”是数学史上一个著名的问题，但仅用尺规不可能“三等分角”．下面是数学家帕普斯借助函数给出的一种“三等分锐角”的方法（如图）：将给定的锐角∠AOB 置于直角坐标系中，边OB 在x 轴上、边OA 与函数xy 1=的图象交于点P ，以P 为圆心、以2OP 为半径作弧交图象于点R ．分别过点P 和R 作x 轴和y 轴的平行线，两直线相交于点M ，连接OM 得到∠MOB ，则∠MOB=31∠AOB ．要明白帕普斯的方法，请研究以下问题：（1）设)1,(a a P 、)1,(bb R ，求直线OM 对应的函数表达式（用含b a ,的代数式表示）．（2）分别过点P 和R 作y 轴和x 轴的平行线，两直线相交于点Q ．请说明Q 点在直线OM 上，并据此证明∠MOB=31∠AOB ． （3）应用上述方法得到的结论，你如何三等分一个钝角（用文字简要说明）．10. 阅读下列材料：问题：如图1所示，在菱形ABCD 和菱形BEFG 中，点A ，B ，E 在同一条直线上，P 是线段DF 的中点，连接PG ，PC ．若∠ABC ＝∠BEF ＝60°，探究PG 与PC 的位置关系PGPC的值．小聪同学的思路是：延长GP 交DC 于点H ，构造全等三角形，经过推理使问题得到解决．请你参考小聪同学的思路，探究并解决下列问题： (1)写出上面问题中线段PG,与PC 的位置关系及PGPC的值； (2)将图1中的菱形BEFG 绕点B 顺时针旋转，使菱形BEFG 的对角线BF 恰好与菱形ABCD 的边AB 在同一条直线上，原问题中的其他条件不变(如图2)．你在(1)中得到的两个结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明．(3)若图1中∠ABC ＝∠BEF ＝2α(0°＜α＜90°)，将菱形BEFG 绕点B 顺旋转任意角度，原问题中的其他条件不变，请你直接写出PGPC的值(用含α的式子表示)．【答案与解析】 一、选择题 1.【答案】D ； 2.【答案】B ；二、填空题 3.【答案】 (1)C ；(2)错误的原因是由(B)到(C)时，等式两边同时约去了因式22()a b -，而22a b -可能等于0；(3)△ABC 是等腰三角形或直角三角形. 4.【答案】120.三、解答题 5.【答案与解析】解：由2m 2-5m -1=0知m ≠0，∵m ≠n ，∴11m n≠得21520mm+-=根据2215152020m m n n +-=+-=与的特征∴11mn与是方程x 2+5 x -2=0的两个不相等的实数根 ∴115m n+=- .6. 【答案与解析】(1)∵完成从A 点到B 点必须向北走，或向东走，∴到达A 点以外的任意交叉点的走法数只能是与其相邻的南边的交叉点和西边交叉点的数字之和，故使用分类加法原理，由此算出从A 点到达其余各交叉点的走法数，填表如图所示．故从A 点到B 点的走法共35种．(2)方法1：可先求从A 点到B 点，并经过交叉点C 的走法数，再用从A 点到B 点总走法数减去它，即得从A 点到B 点。
华东师大初中数学初三中考冲刺：阅读理解型问题--知识讲解(基础)
中考冲刺：阅读理解型问题—知识讲解（基础）：【中考展望】阅读理解型问题在近几年的全国中考试题中频频“亮相”，应该特别引起我们的重视. 它由两部分组成：一是阅读材料；二是考查内容．它要求学生根据阅读获取的信息回答问题．提供的阅读材料主要包括：一个新的数学概念的形成和应用过程，或一个新的数学公式的推导与应用，或提供新闻背景材料等．考查内容既有考查基础的，又有考查自学能力和探索能力等综合素质的．这类问题一般文字叙述较长，信息量较大，内容丰富，超越常规，源于课本，又高于课本，各种关系错综复杂，不仅能考查同学们阅读题中文字获取信息的能力，还能考查同学们获取信息后的抽象概括能力、建模能力、决策判断能力等.同时，更能够综合考查同学们的数学意识和数学综合应用能力.【方法点拨】题型特点：先给出一段材料，让学生理解，再设立新的数学概念，新概念的解答可以借鉴前面材料的结论或思想方法．解题策略：从给的材料入手，通过理解分析本材料的内容，捕捉已知材料的信息，灵活应用这些信息解决新材料的问题．解决阅读理解问题的关键是要认真仔细地阅读给定的材料，弄清材料中隐含了什么新的数学知识、结论，或揭示了什么数学规律，或暗示了什么新的解题方法，然后依题意进行分析、比较、综合、抽象和概括，或用归纳、演绎、类比等进行计算或推理论证，并能准确地运用数学语言阐述自己的思想、方法、观点．展开联想，将获得的新信息、新知识、新方法进行迁移，建模应用，解决题目中提出的问题.阅读理解题一般可分为如下几种类型：(1)方法模拟型——通过阅读理解，模拟提供材料中所述的过程方法，去解决类似的相关问题；(2)判断推理型——通过阅读理解，对提供的材料进行归纳概括；按照对材料本质的理解进行推理，作出解答；(3)迁移发展型——从提供的材料中，通过阅读，理解其采用的思想方法，将其概括抽象成数学模型去解决类同或更高层次的另一个相关命题．【典型例题】类型一、阅读试题提供新定义、新定理，解决新问题1．阅读材料：如图，建立平面直角坐标系，点P（x，0）是x轴上一点，离，所以原代数式的值可以看成线段PA与PB长度之和，它的最小值就是PA+PB的最小值．设点A关于x轴的对称点为A′，则PA=PA′，因此，求PA+PB的最小值，只需求PA′+PB的最小值，而点A′、B间的直线段距离最短，所以PA′+PB的最小值为线段A′B的长度．为此，构造直角△A′CB，根据以上阅读材料，解答下列问题：【思路点拨】标系中点P（x，0）与点A（0，7）、点B（6，1）的距离之和，然后在坐标系内描出各点，利用勾股定理得出结论即可．【答案与解析】B（2，3）的距离之和，故答案为（2，3）；∴所求代数式的值可以看成平面直角坐标系中点P（x，0）与点A（0，7）、点B（6，1）的距离之和，如图所示：设点A关于x轴的对称点为A′，则PA=PA′，∴PA+PB的最小值，只需求PA′+PB的最小值，而点A′、B间的直线段距离最短，∴PA′+PB的最小值为线段A′B的长度，∵A（0，7），B（6，1）∴A′（0，-7），A′C=6，BC=8，故答案为：10．【总结升华】本题考查的是轴对称——最短路线问题，解答此题的关键是根据题中所给给的材料画出图形，再利用数形结合求解．类型二、阅读试题信息，归纳总结提炼数学思想方法2．阅读材料：（1）对于任意两个数a、b的大小比较，有下面的方法：当a-b＞0时，一定有a＞b；当a-b=0时，一定有a=b；当a-b＜0时，一定有a＜b．反过来也成立．因此，我们把这种比较两个数大小的方法叫做“求差法”．（2）对于比较两个正数a、b的大小时，我们还可以用它们的平方进行比较：∵a2-b2=（a+b）（a-b），a+b＞0，∴（a2-b2）与（a-b）的符号相同.当a2-b2＞0时，a-b＞0，得a＞b；当a2-b2=0时，a-b=0，得a=b；当a2-b2＜0时，a-b＜0，得a＜b.解决下列实际问题：（1）课堂上，老师让同学们制作几种几何体，张丽同学用了3张A4纸，7张B5纸；李明同学用了2张A4纸，8张B5纸．设每张A4纸的面积为x，每张B5纸的面积为y，且x＞y，张丽同学的用纸总面积为W1，李明同学的用纸总面积为W2．回答下列问题：①W1= （用x、y的式子表示）；W2= （用x、y的式子表示）；②请你分析谁用的纸面积更大．（2）如图1所示，要在燃气管道l上修建一个泵站，分别向A、B两镇供气，已知A、B到l的距离分别是3km、4km（即AC=3km，BE=4km），AB=xkm，现设计两种方案：方案一：如图2所示，AP⊥l于点P，泵站修建在点P处，该方案中管道长度a1=AB+AP．方案二：如图3所示，点A′与点A关于l对称，A′B与l相交于点P，泵站修建在点P处，该方案中管道长度a2=AP+BP．①在方案一中，a1= km（用含x的式子表示）；②在方案二中，a2= km（用含x的式子表示）；③请你分析要使铺设的输气管道较短，应选择方案一还是方案二．【思路点拨】（1）①根据题意得出3x+7y和2x+8y，即得出答案；②求出W1-W2=x-y，根据x和y的大小比较即可；（2）①把AB和AP的值代入即可；②过B作BM⊥AC于M，求出AM，根据勾股定理求出BM．再根据勾股定理求出BA′，即可得出答案；③求出a12-a22=6x-39，分别求出6x-39＞0，6x-39=0，6x-39＜0，即可得出答案．【答案与解析】（1）解：①W1=3x+7y，W2=2x+8y，故答案为：3x+7y，2x+8y．②解：W1-W2=（3x+7y）-（2x+8y）=x-y，∵x＞y，∴x-y＞0，∴W1-W2＞0，得W1＞W2，所以张丽同学用纸的总面积更大．（2）①解：a1=AB+AP=x+3，故答案为：x+3．②解：过B作BM⊥AC于M，则AM=4-3=1，在△ABM中，由勾股定理得：BM2=AB2-12=x2-1，当a12-a22＞0（即a1-a2＞0，a1＞a2）时，6x-39＞0，解得x＞6.5，当a12-a22=0（即a1-a2=0，a1=a2）时，6x-39=0，解得x=6.5，当a12-a22＜0（即a1-a2＜0，a1＜a2）时，6x-39＜0，解得x＜6.5，综上所述，当x＞6.5时，选择方案二，输气管道较短，当x=6.5时，两种方案一样，当0＜x＜6.5时，选择方案一，输气管道较短．【总结升华】本题考查了勾股定理，轴对称——最短路线问题，整式的运算等知识点的应用，通过做此题培养了学生的计算能力和阅读能力，题目具有一定的代表性，是一道比较好的题目．举一反三：【变式】如图所示，正方形ABCD和正方形EFGH的边长分别为，对角线BD、FH都在直线l上，O1、O2分别是正方形的中心，线段O1O2的长叫做两个正方形的中心距．当中心O在直线l上平移时，正方形 EFGH也随之平移，在平移时正方形EFGH的形状、大小没有改变．（1）计算：O1D=_______，O2F=______；（2）当中心O2在直线l上平移到两个正方形只有一个公共点时，中心距O1 O2 =_________.（3）随着中心 O2在直线l上的平移，两个正方形的公共点的个数还有哪些变化？并求出相对应的中心距的值或取值范围．（不必写出计算过程）【答案】（1）O1D=2，O2F=1；（2）O1 O2 =3；（3）当O1 O2＞3或0≤O1 O2＜1时，两个正方形无公共点；当O1 O2=1时，两个正方形有无数个公共点；当1＜O1 O2＜3时，两个正方形有2个公共点．类型三、阅读相关信息，通过归纳探索，发现规律，得出结论3．（2016•无锡一模）已知：如图正方形ABCD中，点E、F分别是边AB和BC上的点，且满足BE=CF．（1）不用圆规，请只用不带刻度的直尺作图：在边CD和DA上分别作出点G和点H，使DG=AH=BE=CF（保留作图痕迹，不要求写作法）（2）在（1）的条件下，当点E在AB边上的何处时，能使S四边形EFGH：S四边形ABCD=5：8，并说明理由．（3）如图：正六边形ABCDEF中，点A′、B′、C′、D′、E′、F′分别是边AB、BC、CD、DE、EF、FA上的点，且AA′=BB′=CC′=DD′=EE′=FF′．①设AA′：A′B=1：3，则S六边形A′B′C′D′E′F′：S六边形ABCDEF= ；②设AA′：A′B=k，求S六边形A′B′C′D′E′F′：S六边形ABCDEF的值（用含k的代数式表示）．【思路点拨】（1）根据正方形是中心对称图形作图即可；（2）设BE=CF=x，根据勾股定理表示出EF，根据相似多边形的性质列出比例式，计算即可；（3）①作B′H⊥AB交AB的延长线于H，设AA′=a，根据题意表示出A′B，利用三角函数的定义表示出B′H和BH，根据勾股定理求出A′B′，根据相似多边形的性质计算即可；②设AA′=k，利用①的思路进行解答即可．【答案与解析】解：（1）如图1所示：DG=AH=BE=CF；（2）设BE=CF=x，BC=y，则BF=y﹣x，由勾股定理得，EF2=BE2+BF2=x2+（y﹣x）2=2x2﹣2xy+y2，∵S四边形EFGH：S四边形ABCD=5：8，∴（2x2﹣2xy+y2）：（y2）=5：8，则2（）2﹣2×+=0，解得，=，=，∴当BE=AB或BE=AB时，S四边形EFGH：S四边形ABCD=5：8；（3）①如图3，作B′H⊥AB交AB的延长线于H，设AA′=a，则A′B=3a，AB=4a，B′B=a，∵六边形ABCDEF为正六边形，∴∠ABC=120°，∴∠B′BH=60°，∴BH=a，B′H=a，∴A′B′==a，∴=，∴S六边形A′B′C′D′E′F′：S六边形ABCDEF=13：16，故答案为：13：16；②∵AA′：A′B=k，∴设AA′=k，则A′B=1，则BH=k，B′H=k，∴A′B′==，AB=1+k，∴S六边形A′B′C′D′E′F′：S六边形ABCDEF=（）2=．【总结升华】本题考查的是正方形和正六边形的性质以及全等三角形的判定和性质，掌握正方形是中心对称图形、正确求出正六边形的内角的度数、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．举一反三：【变式】（2015秋•邹城市期中）阅读材料大数学家高新在上学时，曾经研究过这样一个问题：1+2+3+4+5+…+100=？经过研究，这个问题的一般性结论是：1+2+3+4+5+…+n=n（n+1），其中n是正整数．现在我们来研究一个类似的问题：1×2+2×3+3×4+4×5×…+n（n+1）=？观察下面三个特殊的等式：1×2=．2×．3×．如果将这三个等式的两边相加，你会有怎样的发现呢？解决问题要求：直接在横线上写出结果（式子或数值），不必写过程．（1）将材料中的三个特殊的等式两边相加，可以得到：1×2+2×3+3×4=；（2）探究并计算：1×2+2×3+3×4+4×5+…+20×21=；1×2+2×3+3×4+4×5+…+n（n+1）=.【答案】解：（1）三式相加得：1×2+2×3+3×4=（1×2×3﹣0×1×2+2×3×4﹣1×2×3+3×4×5﹣2×3×4）=×3×4×5；（2）归纳总结得：原式=×20×21×22；原式=n（n+1）（n+2）．故答案为：（1）×3×4×5；（2）×20×21×22；n（n+1）（n+2）．类型四、阅读试题信息，借助已有数学思想方法解决新问题4．已知：如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=2，BC=6，AB=3．E为BC边上一点，以BE为边作正方形BEFG，使正方形BEFG和梯形ABCD在BC的同侧．（1）当正方形的顶点F恰好落在对角线AC上时，求BE的长；（2）将（1）问中的正方形BEFG沿BC向右平移，记平移中的正方形BEFC为正方形B′EFG，当点E与点C重合时停止平移．设平移的距离为t，正方形B′EFG的边EF与AC交于点M，连接B′D，B′M，DM，是否存在这样的t，使△B′DM是直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；（3）在（2）问的平移过程中，设正方形B′EFG与△ADC重叠部分的面积为S，请直接写出S与t之间的函数关系式以及自变量t的取值范围．【思路点拨】【答案与解析】解：（1）如图①，设正方形BEFG的边长为x，则BE=FG=BG=x，（Ⅲ）若∠B′DM=90°，则B′M2=B′D2+DM2，7444422【总结升华】此题考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质、直角梯形的性质以及勾股定理等知识．此题难度较大，注意数形结合思想、方程思想与分类讨论思想的应用，注意辅助线的作法．5．阅读理解如图1，△ABC中，沿∠BAC的平分线AB1折叠，剪掉重复部分；将余下部分沿∠B1A1C的平分线A1B2折叠，剪掉重复部分；…；将余下部分沿∠B n A n C的平分线A n B n+1折叠，点B n与点C重合，无论折叠多少次，只要最后一次恰好重合，∠BAC是△ABC的好角．小丽展示了确定∠BAC是△ABC的好角的两种情形．情形一：如图2，沿等腰三角形ABC顶角∠BAC的平分线AB1折叠，点B与点C重合；情形二：如图3，沿∠BAC的平分线AB1折叠，剪掉重复部分；将余下部分沿∠B1A1C的平分线A1B2折叠，此时点B1与点C重合．探究发现:（1）△ABC中，∠B=2∠C，经过两次折叠，∠BAC是不是△ABC的好角？（填“是”或“不是”）．（2）小丽经过三次折叠发现了∠BAC是△ABC的好角，请探究∠B与∠C（不妨设∠B＞∠C）之间的等量关系．根据以上内容猜想：若经过n次折叠∠BAC是△ABC的好角，则∠B与∠C（不妨设∠B＞∠C）之间的等量关系为．应用提升（3）小丽找到一个三角形，三个角分别为15°、60°、105°，发现60°和105°的两个角都是此三角形的好角．请你完成，如果一个三角形的最小角是4°，试求出三角形另外两个角的度数，使该三角形的三个角均是此三角形的好角．【思路点拨】（1）在小丽展示的情形二中，如图3，根据三角形的外角定理、折叠的性质推知∠B=2∠C；（2）根据折叠的性质、根据三角形的外角定理知∠A1A2B2=∠C+∠A2B2C=2∠C；根据四边形的外角定理知∠BAC+2∠B-2C=180°①，根据三角形ABC的内角和定理知∠BAC+∠B+∠C=180°②，由①②可以求得∠B=3∠C；利用数学归纳法，根据小丽展示的三种情形得出结论：∠B=n∠C；（3）利用（2）的结论知∠B=n∠C，∠BAC是△ABC的好角，∠C=n∠A，∠ABC是△ABC的好角，∠A=n∠B，∠BCA是△ABC的好角；然后三角形内角和定理可以求得另外两个角的度数可以是88°、88°．【答案与解析】解：（1）△ABC中，∠B=2∠C，经过两次折叠，∠BAC是△ABC的好角；理由如下：小丽展示的情形二中，如图3，∵沿∠BAC的平分线AB1折叠，∴∠B=∠AA1B1；又∵将余下部分沿∠B1A1C的平分线A1B2折叠，此时点B1与点C重合，∴∠A1B1C=∠C；∵∠AA1B1=∠C+∠A1B1C（外角定理），∴∠B=2∠C；故答案是：是；（2）∠B=3∠C；如图所示，在△ABC中，沿∠BAC的平分线AB1折叠，剪掉重复部分；将余下部分沿∠B1A1C 的平分线A1B2折叠，剪掉重复部分，将余下部分沿∠B2A2C的平分线A2B3折叠，点B2与点C重合，则∠BAC 是△ABC的好角．证明如下：∵根据折叠的性质知，∠B=∠AA1B1，∠C=∠A2B2C，∠A1 B1C=∠A1A2B2，∴根据三角形的外角定理知，∠A1A2B2=∠C+∠A2B2C=2∠C；∵根据四边形的外角定理知，∠BAC+∠B+∠AA1B1-∠A1 B1C=∠BAC+2∠B-2C=180°，根据三角形ABC的内角和定理知，∠BAC+∠B+∠C=180°，∴∠B=3∠C；由小丽展示的情形一知，当∠B=∠C时，∠BAC是△ABC的好角；由小丽展示的情形二知，当∠B=2∠C时，∠BAC是△ABC的好角；由小丽展示的情形三知，当∠B=3∠C时，∠BAC是△ABC的好角；故若经过n次折叠∠BAC是△ABC的好角，则∠B与∠C（不妨设∠B＞∠C）之间的等量关系为∠B=n∠C；（3）由（2）知，∠B=n∠C，∠BAC是△ABC的好角，∴∠C=n∠A，∠ABC是△ABC的好角，∠A=n∠B，∠BCA是△ABC的好角，∴如果一个三角形的最小角是4°，三角形另外两个角的度数是4、172；8、168；16、160；44、132；88°、88°．【总结升华】本题考查了翻折变换（折叠问题）．解答此题时，充分利用了三角形内角和定理、三角形外角定理以及折叠的性质,难度较大．举一反三：【阅读理解型问题例3】【变式】阅读以下短文，然后解决下列问题：如果一个三角形和一个矩形满足条件：三角形的一边与矩形的一边重合，且三角形的这边所对的顶点在矩形这边的对边上，则称这样的矩形为三角形的“友好矩形”. 如图8①所示，矩形ABEF即为△ABC 的“友好矩形”.显然，当△ABC是钝角三角形时，其“友好矩形”只有一个.(1) 仿照以上叙述，说明什么是一个三角形的“友好平行四边形”；(2) 如图②，若△ABC为直角三角形，且∠C=90°，在图②中画出△ABC的所有“友好矩形”，并比较这些矩形面积的大小；(3) 若△ABC是锐角三角形，且BC＞AC＞AB，在图③中画出△ABC的所有“友好矩形”，指出其中周长最小的矩形并加以证明.①②③【答案】(1) 如果一个三角形和一个平行四边形满足条件：三角形的一边与平行四边形的一边重合，三角形这边所对的顶点在平行四边形这边的对边上，则称这样的平行四边形为三角形的“友好平行四边形”.(2) 此时共有2个友好矩形，如图中的矩形BCAD、ABEF.易知，矩形BCAD、ABEF的面积都等于△ABC 面积的2倍，∴△ABC的“友好矩形”的面积相等.(3) 此时共有3个友好矩形，如图的矩形BCDE 、CAFG 及ABHK ，其中矩形ABHK 的周长最小 .证明如下：易知，这三个矩形的面积相等，令其为S. 设矩形BCDE 、CAFG 及ABHK 的周长分别为L 1，L 2，L 3， △ABC 的边长BC=a ，CA=b ，AB=c ，则L 1=2S a +2a ，L 2=2S b +2b ，L 3=2S c+2c . ∴L 1-L 2=(2S a +2a)-(2S b +2b)=2(a-b)ab S ab ， 而ab ＞S ，a ＞b ，∴L 1-L 2＞0，即L 1＞L 2 .同理可得，L 2＞L 3 .∴L 3最小，即矩形ABHK 的周长最小.。
2019-2020年九年级中考数学冲刺练习：观察、归纳型问题--巩固练习(基础,含答案与解析)
撰稿：张晓新审稿：杜少波【巩固练习】一、选择题1. 用边长为1的正方形覆盖3×3的正方形网格，最多覆盖边长为1的正方形网格(覆盖一部分就算覆盖)的个数是( )A．2 B．4 C．5 D．62．求1＋2＋22＋23＋…＋22 012的值，可令S＝1＋2＋22＋23＋…＋22 012，则2S＝2＋22＋23＋24＋…＋22 013，因此，2S－S＝22 013－1.仿照以上推理，计算出1＋5＋52＋53＋…＋52 012的值为( )A．52 012－1 B．52 013－1 C.2013514-D.2012514-二、填空题4．已知，如图，△OBC中是直角三角形，OB与x轴正半轴重合，∠OBC=90°，且OB=1，BC=，将△OBC绕原点O逆时针旋转60°再将其各边扩大为原来的m倍，使OB1=OC，得到△OB1C1，将△OB1C1绕原点O逆时针旋转60°再将其各边扩大为原来的m倍，使OB2=OC1，得到△O B2C2，…，如此继续下去，得到△OB2012C2012，则m= ．点C2012的坐标是．5．如图，在平面直角坐标系中，有若干个横坐标分别为整数的点，其顺序按图中“→”方向排列，如（1，0），（2，0），（2，1），（1，1），（1，2），（2，2）…根据这个规律，第2012个点的横坐标为．6.如图，n个边长为1的相邻正方形的一边均在同一直线上，点M1，M2，M3，…M n分别为边B1B2，B2B3，B3B4，…，B n B n+1的中点，△B1C1M1的面积为S1，△B2C2M2的面积为S2，…△B n C n M n 的面积为S n，则S n=___________.（用含n的式子表示）三、解答题7．观察下列等式：……请解答下列问题：(1)按以上规律列出第5个等式：a 5＝______＝______；(2)用含有n 的代数式表示第n 个等式：a n ＝______＝______(n 为正整数)； (3)求a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋…＋a 100的值．8. 如下表所示，是按一定规律排列的方程组和它的解的对应关系，若方程组自左至右依次记作方程组1、方程组2、方程组3、…、方程组n ． （1）将方程组1的解填入表中．（2）请依据方程组和它的解的变化规律，将方程组n 和它的解直接填入表中；9. 如图所示，是由若干个小圆圈堆成的一个形如正三角形的图案，最上面一层有一个圆圈，以下各层均比上一层多一个圆圈，一共堆了n 层．将图①倒置后与原图拼成图②的形状，这样我们可以算出图①中所有圆圈的个数为123+++ (1)2n n n ++=．如果图①中的圆圈共有12层，(1)我们自上往下，在每个圆圈中都按图③的方式填上一串连续的正整数1，2，3，4，…，则最底层最左边的这个圆圈中的数是________；(2)我们自上往下，在每个圆圈中都按图④的方式填上一串连续的整数-23，-22，-21，…，求图④中所有圆圈中各数的绝对值之和．10. 将一张正方形纸片剪成四个大小形状一样的小正方形，然后将其中的一片又按同样的方法剪成四小片，再将其中的一小片正方形纸片剪成四片，如此循环进行下去，将结果填在下表中，并解答所提出的问题：⑴如果能剪100次，共有多少个正方形？据上表分析，你能发现什么规律？3.【答案】A；【解析】由题意得，AD=BC=，AD1=AD﹣DD1=，AD2=，AD3=，…，AD n=，又AP n=AD n，故AP1=，AP2=，AP3=…APn=，故可得AP6=．故选A．二、填空题4.【答案】2，（﹣22013，0）．【解析】∵∠OBC=90°，OB=1，∴tan∠BOC=∴∠BOC=60°，∴OC=2OB=2×1=2，∵将△OBC绕原点O逆时针旋转60°再将其各边扩大为原来的m倍，使OB1=OC，∴m=2，∴OC1=2OC=2×2=4=22，OC2=2OC1=2×4=8=23，OC3=2OC2=2×8=16=24，…，OC n=2n+1，∴OC2012=22013，∵2012÷6=335…2，∴点C2012与点C2x在同一射线上，在x轴负半轴，坐标为（﹣22013，0）．故答案为：2，（﹣22013，0）．5.【答案】45．【解析】根据图形，以最外边的正方形边长上的点为准，点的总个数等于x轴上右下角的点的横坐标的平方，例如：右下角的点的横坐标为1，共有1个，1=12，右下角的点的横坐标为2时，共有4个，4=22，右下角的点的横坐标为3时，共有9个，9=32，右下角的点的横坐标为4时，共有16个，16=42，…右下角的点的横坐标为n时，共有n2个，∵452=2025，45是奇数，∴第2025个点是（45，0），第2012个点是（45，13），所以，第2012个点的横坐标为45．故答案为：45．6.【答案】．【解析】∵n个边长为1的相邻正方形的一边均在同一直线上，点M1，M2，M3，…M n分别为边B1B2，B2B3，B3B4，…，B n B n+1的中点，∴S1=×B1C1×B1M1=×1×=，S△B1C1M2=×B1C1×B1M2=×1×=，S△B1C1M3=×B1C1×B1M3=×1×=，S△B1C1M4=×B1C1×B1M4=×1×=，S△B1C1Mn=×B1C1×B1M n=×1×=，∵B n C n∥B1C1，∴△B n C n M n∽△B1C1M n，∴S△BnCnMn：S△B1C1Mn=（）2=（）2，即S n：=，∴S n=．故答案为：．三、解答题7．【答案与解析】解：根据观察知，答案分别为：8．【答案与解析】显然该方程组不符合（2）中的规律．9．【答案与解析】解：(1)67．(2)图④中所有圆圈中共有1+2+3+…+12＝12(21)782+=个数，其中23个负数，1个0，54个正数，∴图④中所有圆圈中各数的绝对值之和＝|-23|+|-22|+…+|-1|+0+1+2+…+54＝(1+2+3+...+23)+(1+2+3+ (54)＝276+1485＝1761．10．【答案与解析】解：⑴100×3＋1＝301，规律是：本次剪完后得到的小正方形的个数比上次剪完后得到的小正方形的个数多3个；⑵A n＝3n＋1；⑶若A n＝22，则3n＋1＝22，∴n＝7，故需要剪7次；⑷若A n＝2004，则3n＋1＝2004，此方程无自然数解，∴不能将原正方形剪成2004个小正方形；⑸a n＝12；⑹a1＝12＜1，a1＋a2＝12＋14＝34＜1，a1＋a2＋a3＝12＋14＋18＝78＜1，……从而猜想到：a1＋a2＋a3＋…＋a n＜1.直观的几何意义如图所示.。
数学中考冲刺：阅读理解型问题--巩固练习(基础)
中考冲刺：阅读理解型问题—巩固练习（基础）【巩固练习】 一、选择题1.（2016•江西模拟）已知二次函数y=x 2﹣（m ﹣1）x ﹣m ，其中m ＞0，它的图象与x 轴从左到右交于R 和Q 两点，与y 轴交于点P ，点O 是坐标原点．下列判断中不正确的是（ ） A ．方程x 2﹣（m ﹣1）x ﹣m=0一定有两个不相等的实数根 B ．点R 的坐标一定是（﹣1，0） C ．△POQ 是等腰直角三角形D ．该二次函数图象的对称轴在直线x=﹣1的左侧2．若一个图形绕着一个定点旋转一个角α(0°＜α＜180°)后能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做旋转对称图形．例如：等边三角形绕着它的中心旋转120°(如图所示)能够与原来的等边三角形重合，因而等边三角形是旋转对称图形．显然，中心对称图形都是旋转对称图形，但旋转对称图形不一定是中心对称图形．下面图所示的图形中，是旋转对称图形的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二、填空题3．阅读下列材料 ，并解决后面的问题．在锐角△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别是a 、b 、c ．过A 作AD ⊥BC 于D(如图)，则sinB=cAD，sinC=b AD ，即AD=csinB ，AD=bsinC ，于是csinB=bsinC ，即C cB b sin sin =． 同理有A aC c sin sin =，B bA a sin sin =． 所以CcB b A a sin sin sin ==………(*)即：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等．在锐角三角形中，若已知三个元素a 、b 、∠A ，运用上述结论(*)和有关定理就可以求出其余三个未知元素c 、∠B 、∠C ，请你按照下列步骤填空，完成求解过程： 第一步：由条件a 、b 、∠A ∠B ； 第二步：由条件 ∠A 、∠B ．∠C ； 第三步：由条件．c ．4．（榆树市期末）我们知道，在平面内，如果一个图形绕着一个定点旋转一定的角度后能与自身重合，那么就称这个图形是旋转对称图形，转的这个角称为这个图形的一个旋转角．例如，正方形绕着它的对角线的交点旋转90°后能与自身重合所以正方形是旋转对称图形，它有一个旋转角为90°． （1）判断下列说法是否正确（在相应横线里填上“对”或“错”） ①正五边形是旋转对称图形，它有一个旋转角为144°． ②长方形是旋转对称图形，它有一个旋转角为180°．（2）填空：下列图形中时旋转对称图形，且有一个旋转角为120°的是 ．（写出所有正确结论的序号）①正三角形 ②正方形 ③正六边形 ④正八边形（3）写出两个多边形，它们都是旋转对称图形，都有一个旋转角为72°，其中一个是轴对称图形，但不是中心对称图形；另一个既是轴对称图形，又是中心对称图形． .（写在横线上）三、解答题 5. 阅读材料：为解方程222(1)5(1)40x x ---+=，我们可以将21x -看作一个整体，然后设21x y -=，那么原方程可化为2540y y -+=①，解得y 1＝1，y 2＝4．当y ＝1时，211x -=，∴ 22x =，∴ 2x =±；当y ＝4时，214x -=，∴ 25x =，∴ 5x =±．故原方程的解为：12x =，22x =-，35x =，45x =-．解答问题：(1)上述解题过程，在由原方程得到方程①的过程中，利用________法达到了解方程的目的，体现了转化的数学思想；(2)请利用以上知识解方程4260x x --=．6．阅读材料，解答问题：图2－7－2表示我国农村居民的小康生活水平实现程度．地处西部的某贫困县，农村人口约50万，2002年农村小康生活的综合实现程度才达到68％，即没有达到小康程度的人口约为（1－68 ％）×50万= 16万．（1）假设该县计划在2002年的基础上，到2004年底，使没有达到小康程度的16万农村人口降至10．24万，那么平均每年降低的百分率是多少？（2）如果该计划实现，2004年底该县农村小康进程接近图2－7－2中哪一年的水平？（假设该县人口2年内不变）7. （2016•吉林一模）类比平行四边形，我们学习筝形，定义：两组邻边分别相等的四边形叫做筝形．如图①，若AD=CD ，AB=CB ，则四边形ABCD 是筝形．（1）在同一平面内，△ABC 与△ADE 按如图②所示放置，其中∠B=∠D=90°，AB=AD ，BC 与DE 相交于点F ，请你判断四边形ABFD 是不是筝形，并说明理由． （2）请你结合图①，写出一个筝形的判定方法（定义除外）．在四边形ABCD 中，若 ，则四边形ABCD 是筝形． （3）如图③，在等边三角形OGH 中，点G 的坐标为（﹣1，0），在直线l ：y=﹣x 上是否存在点P ，使得以O ，G ，H ，P 为顶点的四边形为筝形？若存在，请直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．8．先阅读下列材料，再解答后面的问题:材料：23=8，此时，3叫做以2为底8的对数，记为()38log 8log 22=即．一般地，若()0,10>≠>=b a a b a n 且，则n 叫做以a 为底b 的对数，记为()813.log log 4==如即n b b a a ，则4叫做以3为底81的对数，记为)481log (81log 33=即． 问题：（1）计算以下各对数的值: ===64log 16log 4log 222.（2）观察（1）中三数4、16、64之间满足怎样的关系式？64log 16log 4log 222、、之间又满足怎样的关系式？（3）由（2）的结果，你能归纳出一个一般性的结论吗？()0,0,10log log >>≠>=+N M a a N M a a 且根据幂的运算法则：m n mna a a +=⋅以及对数的含义证明上述结论．9. 某校研究性学习小组在研究相似图形时，发现相似三角形的定义、判定及其性质，可以拓展到扇形的相似中去．例如，可以定义：“圆心角相等且半径和弧长对应成比例的两个扇形叫做相似扇形”；相似扇形有性质：弧长比等于半径比、面积比等于半径比的平方…．请你协助他们探索这个问题． （1）写出判定扇形相似的一种方法：若 ，则两个扇形相似；（2）有两个圆心角相等的扇形，其中一个半径为a 、弧长为m ，另一个半径为2a ，则它的弧长为 ； （3）如图1是一完全打开的纸扇，外侧两竹条AB 和AC 的夹角为120°，AB 为30cm ，现要做一个和它形状相同、面积是它一半的纸扇（如图2），求新做纸扇（扇形）的圆心角和半径．10. 阅读材料，如图(1)所示，在四边形ABCD中，对角线AC⊥BD，垂足为P，求证：12ABCDS AC BD=g四边形．证明：1,21,2ACDACBS AC PDAC BDS AC PB⎧=⎪⎪⊥⇒⎨⎪=⎪⎩gg△△∴ACD ACBABCDS S S==△△四边形1122AC PD AC PB=+g g11()22AC PD PB AC BD=+=g．解答问题：(1)上述证明得到的性质可叙述为________．(2)已知：如图(2)所示，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC⊥BD且相交于点P，AD＝3 cm，BC＝7 cm，利用上述性质求梯形的面积．11.阅读下面的材料：小明在学习中遇到这样一个问题：若1≤x≤m，求二次函数267y x x=-+的最大值．他画图研究后发现，1x=和5x=时的函数值相等，于是他认为需要对m进行分类讨论．他的解答过程如下：∵二次函数267y x x =-+的对称轴为直线3x =， ∴由对称性可知，1x =和5x =时的函数值相等． ∴若1≤m ＜5，则1x =时，y 的最大值为2； 若m ≥5，则m x =时，y 的最大值为267m m -+． 请你参考小明的思路，解答下列问题：（1）当2-≤x ≤4时，二次函数1422++=x x y 的最大值为_______； （2）若p ≤x ≤2，求二次函数1422++=x x y 的最大值；（3）若t ≤x ≤t +2时，二次函数1422++=x x y 的最大值为31，则t 的值为_______．【答案与解析】 一、选择题 1.【答案】D ；【解析】令y=0得x 2﹣（m ﹣1）x ﹣m=0，则（x+1）（x ﹣m ）=0，解得：x 1=﹣1，x 2=m ．∵m ＞0＞﹣1，∴R （﹣1，0）、Q （m ，0）．∴方程由两个不相等的实数根． ∴A 、B 正确，与要求不符；当x=0，y=﹣m ，∴P （0，﹣m ）．∴OP=PQ ．∴△OPQ 为等腰直角三角形． ∴C 正确，与要求不符； ∵抛物线的对称轴为x=﹣=，m ＞0，∴x ＞﹣．∴D 错误，与要求相符．2.【答案】C ；二、填空题 3.【答案】B bA a sin sin =, ∠A+∠B+∠C=180°，a 、∠A 、∠C 或b 、∠B 、∠C ， A a C c sin sin =或CcB b sin sin =4.【答案】（1）①对；②对；（2）①③（3）正五边形，正十边形 【解析】解：（1）①=72°，∴正五边形是旋转对称图形，它有一个旋转角为144°，说法正确； ②=90°，∴长方形是旋转对称图形，它有一个旋转角为180°，说法正确； （2）①正三角形的最小旋转角为=120°； ②正方形的最小旋转角为=90°； ③正六边形的最小旋转角为=60°； ④正八边形的最小旋转角为=45°；则有一个旋转角为120°的是①③． （3）=72°，则正五边形是满足有一个旋转角为72°，是轴对称图形，但不是中心对称图形； 正十边形有一个旋转角为72°，既是轴对称图形，又是中心对称图形． 三、解答题5. 【答案与解析】(1)换元； (2)设2x y =，则原方程可化为260y y --=，解得y 1＝3，y 2＝-2．当y ＝3时，23x =，所以3x =±．因为2x 不能为负，所以y ＝-2不符合题意，应舍去．所以原方程的解为13x =，23x =-．6.【答案与解析】（1）设平均每年降低的百分率为. 据题意，得 16（1－x ）2=10.24，（1－x ）2=0．64,（1－x ）= ±0.8，x 1=1.8（不合题意，舍去），x 2=0.2． 即平均每年降低的百分率是20％. （2）50-10.2450×100%=7 9.52％. 所以根据图2－7－2所示，如果该计划实现，2004年底该县农村小康进程接近1996年全国农村小康进程的水平．7.【答案与解析】解：（1）四边形ABFD 是筝形．理由：如图②，连接AF．在Rt△AFB和Rt△AFD中，，∴Rt△AFB≌Rt△AFD（HL），∴BF=DF，又∵AB=AD，∴四边形ABFD是筝形．（2）若要四边形ABCD是筝形，只需△ABD≌△CBD即可．当AD=CD，∠ADB=∠CDB时，在△ABD和△CBD中，，∴△ABD≌△CBD（SAS），∴AB=CB，∴四边形ABCD是筝形．故答案为：AD=CD，∠ADB=∠CDB．（3）存在，理由如下：过点H作HP1⊥OG于点M交直线y=﹣x于点P1点，连接GP1，过点G作GP2⊥OH与N交直线y=﹣x于点P2，连接HP2，如图③所示．∵△OGH 为等边三角形，∴HM 为OG 的垂直平分线，GN 为OH 的垂直平分线，且OG=GH=HO ， ∴P 2O=P 2H ，P 1O=P 1G ，∴四边形OHGP 1为筝形，四边形OGHP 2为筝形． ∵△OGH 为等边三角形，点G 的坐标为（﹣1，0），∴点H 的坐标为（，），点M 的坐标为（，0），点N 的坐标为（，）．①∵H （，），M （，0），∴直线HM 的解析式为x=， 令直线y=﹣x 中的x=，则y=﹣． ∴P 1的坐标为（，﹣）；②设直线GN 的解析式为y=kx+b ，则有，，解得：，∴直线GN 的解析式为y=﹣x+．联立，解得：，故点P 2的坐标为（﹣1，1）．综上可知：在直线l ：y=﹣x 上存在点P ，使得以O ，G ，H ，P 为顶点的四边形为筝形， 点P 的坐标为（，﹣）或（﹣1，1）．8．【答案与解析】（1）24log 2=， 416log 2=，664log 2= （2）4×16=64，4log 2 + 16log 2=64log 2 （3）M a log + N a log =)(log MN a 证明：设M a log =b 1 , N a log =b 2 则M ab =1，Nab =2∴2121b b b b a a a MN+=⋅=∴b 1+b 2=)(log MN a即M a log + N a log =)(log MN a 9．【答案与解析】（1）答案不唯一，例如“圆心角相等”、“半径和弧长对应成比例”； （2）2m ； （3）∵两个扇形相似，∴新扇形的圆心角为120° 设新扇形的半径为r ，则21()302r =152r ⇒=. 即新扇形的半径为152cm.10．【答案与解析】(1)对角线互相垂直的四边形的面积等于两对角线乘积的一半． (2)∵四边形ABCD 为等腰梯形， ∴AC ＝BD ．由AD ∥BC ，可得PD:PB ＝3:7， 故设PD ＝3x ，则PB ＝7x ，∴在Rt △APD 中，22(3)(3)9x x +=，212x =，22x =．∴BD ＝10x ＝52， ∴21252ABCD S BD ==g 梯形(cm 2)． 11．【答案与解析】（1）当24x -≤≤时，二次函数1422++=x x y 的最大值为 49 ； （2）∵二次函数2241y x x =++的对称轴为直线1-=x ， ∴由对称性可知，当4-=x 和2=x 时函数值相等. ∴若4p ≤-，则当p x =时，y 的最大值为1422++p p . 若42p -<≤，则当2=x 时，y 的最大值为17. （3）t 的值为 1或5- .。
中考数学总复习训练阅读理解问题含解析
小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3+=（1+）2．善于思考的小明进行了以下探索：设a+b=（m+n）2（其中a、b、m、n均为整数），则有a+b=m2+2n2+2mn．∴a=m2+2n2，b=2mn．这样小明就找到了一种把类似a+b的式子化为平方式的方法．请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：（1）当a、b、m、n均为正整数时，若a+b=，用含m、n的式子分别表示a、b，得：a= ，b= ；（2）利用所探索的结论，找一组正整数a、b、m、n填空：+ =（+ ）2；（3）若a+4=，且a、m、n均为正整数，求a的值？9．先阅读下列材料，然后解答问题：材料1：从三张不同的卡片中选出两张排成一列，有6种不同的排法，抽象成数学问题就是从3个不同的元素中选取2个元素的排列，排列数记为A32=3_2=6．一般地，从n个不同的元素中选取m个元素的排列数记作Anm．Anm=n（n﹣1）（n﹣2）（n﹣3）…（n﹣m+1）（m≤n）例：从5个不同的元素中选取3个元素排成一列的排列数为：A53=5_4_3=60．材料2：从三张不同的卡片中选取两张，有3种不同的选法，抽象成数学问题就是从3个元素中选取2个元素的组合，组合数为．一般地，从n个不同的元素中取出m个元素的排列数记作Anm，Anm=n（n﹣1）（n﹣2）（n﹣3）…（n﹣m+1）（m≤n）例：从6个不同的元素选3个元素的组合数为：．问：（1）从某个学习小组8人中选取3人参加活动，有种不同的选法；（2）从7个人中选取4人，排成一列，有种不同的排法．10．我们把对称中心重合，四边分别平行的两个正方形之间的部分叫“方形环”，易知方形环四周的宽度相等．一条直线l与方形环的边线有四个交点M、M′、N′、N．小明在探究线段MM′与N′N 的数量关系时，从点M′、N′向对边作垂线段M′E、N′F，利用三角形全等、相似及锐角三角函数等相关知识解决了问题．请你参考小明的思路解答下列问题：（1）当直线l与方形环的对边相交时，如图1，直线l分别交AD、A′D′、B′C′、BC于M、M′、N′、N，小明发现MM′与N′N相等，请你帮他说明理由；（2）当直线l与方形环的邻边相交时，如图2，l分别交AD、A′D′、D′C′、DC于M、M′、N′、N，l与DC的夹角为α，你认为MM′与N′N还相等吗？若相等，说明理由；若不相等，求出的值（用含α的三角函数表示）．阅读理解问题参考答案与试题解析1．一个平面封闭图形内（含边界）任意两点距离的最大值称为该图形的“直径”，封闭图形的周长与直径之比称为图形的“周率”，下面四个平面图形（依次为正三角形、正方形、正六边形、圆）的周率从左到右依次记为a1，a2，a3，a4，则下列关系中正确的是（）A．a4＞a2＞a1 B．a4＞a3＞a2 C．a1＞a2＞a3 D．a2＞a3＞a4【考点】正多边形和圆；等边三角形的判定与性质；多边形内角与外角；平行四边形的判定与性质．【专题】计算题；压轴题．【分析】设等边三角形的边长是a，求出等边三角形的周长，即可求出等边三角形的周率a1；设正方形的边长是_，根据勾股定理求出对角线的长，即可求出周率；设正六边形的边长是b，过F作FQ∥AB交BE于Q，根据等边三角形的性质和平行四边形的性质求出直径，即可求出正六边形的周率a3；求出圆的周长和直径即可求出圆的周率，比较即可得到答案．【解答】解：设等边三角形的边长是a，则等边三角形的周率a1==3设正方形的边长是_，由勾股定理得：对角线是_，则正方形的周率是a2==2≈2.828，设正六边形的边长是b，过F作FQ∥AB交BE于Q，得到平行四边形ABQF和等边三角形EFQ，直径是b+b=2b，∴正六边形的周率是a3==3，圆的周率是a4==π，∴a4＞a3＞a2．故选：B．【点评】本题主要考查对正多边形与圆，多边形的内角和定理，平行四边形的性质和判定，等边三角形的性质和判定等知识点的理解和掌握，理解题意并能根据性质进行计算是解此题的关键．2．阅读下列文字与例题将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法是分组分解法．例如：（1）am+an+bm+bn=（am+bm）+（an+bn）=m（a+b）+n（a+b）=（a+b）（m+n）（2）_2﹣y2﹣2y﹣1=_2﹣（y2+2y+1）=_2﹣（y+1）2=（_+y+1）（_﹣y﹣1）试用上述方法分解因式a2+2ab+ac+bc+b2= （a+b）（a+b+c）．【考点】因式分解﹣分组分解法．【专题】压轴题；阅读型．【分析】首先进行合理分组，然后运用提公因式法和公式法进行因式分解．【解答】解：原式=（a2+2ab+b2）+（ac+bc）=（a+b）2+c（a+b）=（a+b）（a+b+c）．故答案为（a+b）（a+b+c）．【点评】此题考查了因式分解法，要能够熟练运用分组分解法、提公因式法和完全平方公式．3．定义新运算“⊗”，，则12⊗（﹣1）= 8 ．【考点】代数式求值．【专题】压轴题；新定义．【分析】根据已知可将12⊗（﹣1）转换成a﹣4b的形式，然后将a、b的值代入计算即可．【解答】解：12⊗（﹣1）=_12﹣4_（﹣1）=8故答案为：8．【点评】本题主要考查代数式求值的方法：直接将已知代入代数式求值．4．如图，正方形ABCD和正方形EFGH的边长分别为2和，对角线BD、FH都在直线L上，O1、O2分别是正方形的中心，线段O1O2的长叫做两个正方形的中心距．当中心O2在直线L上平移时，正方形EFGH也随平移，在平移时正方形EFGH的形状、大小没有改变．（1）计算：O1D= 2 ，O2F= 1 ．（2）当中心O2在直线L上平移到两个正方形只有一个公共点时，中心距O1O2= 3 ．（3）随着中心O2在直线L上的平移，两个正方形的公共点的个数还有哪些变化？并求出相对应的中心距的值或取值范围（不必写出计算过程）．【考点】四边形综合题．【分析】（1）根据正方形对角线是正方形边长的倍可得正方形的对角线长，除以2即为所求的线段的长；（2）此时中心距为（1）中所求的两条线段的和，若只有一个公共点，则点D与点F重合，由此可得出答案．（3）动手操作可得两个正方形的边长可能没有公共点，有1个公共点，2个公共点，或有无数个公共点，据此找到相应取值范围即可．【解答】解：（1）O1D=2_÷2=2；O2F=_÷2=1．故答案为：2，1；（2）点D、F重合时有一个公共点，O1O2=2+1=3．故答案为：3；（3）两个正方形的边长有两个公共点时，1＜O1O2＜3；无数个公共点时，O1O2=1；1个公共点时，O1O2=3；无公共点时，O1O2＞3或0≤O1O2＜1．【点评】考查正方形的动点问题；需掌握正方形的对角线与边长的数量关系；动手操作得到两正方形边长可能的情况是解决本题的主要方法．5．数学的美无处不在．数学家们研究发现，弹拨琴弦发出声音的音调高低，取决于弦的长度，绷得一样紧的几根弦，如果长度的比能够表示成整数的比，发出的声音就比较和谐．例如，三根弦长度之比是15：12：10，把它们绷得一样紧，用同样的力弹拨，它们将分别发出很调和的乐声do、mi、so，研究15、12、10这三个数的倒数发现：．我们称15、12、10这三个数为一组调和数．现有一组调和数：_，5，3（_＞5），则_的值是15 ．【考点】分式方程的应用．【专题】阅读型．【分析】题中给出了调和数的规律，可将_所在的那组调和数代入题中给出的规律里，然后列出方程求解．【解答】解：根据题意，得：．解得：_=15经检验：_=15为原方程的解．故答案为：15．【点评】此题主要考查了分式方程的应用，重点在于弄懂题意，准确地找出题目中所给的调和数的相等关系，这是列方程的依据．6．若自然数n使得作竖式加法n+（n+1）+（n+2）均不产生进位现象，则称n为“可连数”，例如32是“可连数”，因为32+33+34不产生进位现象；23不是“可连数”，因为23+24+25产生了进位现象，那么小于200的“可连数”的个数为24 ．【考点】一元一次不等式的应用．【专题】压轴题．【分析】首先理解“可连数”的概念，再分别考虑个位、十位、百位满足的数，用排列组合的思想求解．【解答】解：个位需要满足：_+（_+1）+（_+2）＜10，即_＜，_可取0，1，2三个数．十位需要满足：y+y+y＜10，即y＜，y可取0，1，2，3四个数（假设0n就是n）因为是小于200的“可连数”，故百位需要满足：小于2，则z可取1一个数．则小于200的三位“可连数”共有的个数=4_3_1=12；小于200的二位“可连数”共有的个数=3_3=9；小于200的一位“可连数”共有的个数=3．故小于200的“可连数”共有的个数=12+9+3=24．【点评】解决问题的关键是读懂题意，依题意列出不等式进行求解，还要掌握排列组合的解法．7．我们定义=ad﹣bc，例如=2_5﹣3_4=10﹣12=﹣2，若_，y均为整数，且满足1＜＜3，则_+y 的值是±3．【考点】一元一次不等式组的整数解．【专题】压轴题；新定义．【分析】先根据题意列出不等式，根据_的取值范围及_为整数求出_的值，再把_的值代入求出y的值即可．【解答】解：由题意得，1＜1_4﹣_y＜3，即1＜4﹣_y＜3，∴，∵_、y均为整数，∴_y为整数，∴_y=2，∴_=±1时，y=±2；_=±2时，y=±1；∴_+y=2+1=3或_+y=﹣2﹣1=﹣3．【点评】此题比较简单，解答此题的关键是根据题意列出不等式，根据_，y均为整数求出_、y 的值即可．8．阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3+=（1+）2．善于思考的小明进行了以下探索：设a+b=（m+n）2（其中a、b、m、n均为整数），则有a+b=m2+2n2+2mn．∴a=m2+2n2，b=2mn．这样小明就找到了一种把类似a+b的式子化为平方式的方法．请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：（1）当a、b、m、n均为正整数时，若a+b=，用含m、n的式子分别表示a、b，得：a=m2+3n2 ，b= 2mn ；（2）利用所探索的结论，找一组正整数a、b、m、n填空： 4 + 2 =（ 1 + 1 ）2；（3）若a+4=，且a、m、n均为正整数，求a的值？【考点】二次根式的混合运算．【分析】（1）根据完全平方公式运算法则，即可得出a、b的表达式；（2）首先确定好m、n的正整数值，然后根据（1）的结论即可求出a、b的值；（3）根据题意，4=2mn，首先确定m、n的值，通过分析m=2，n=1或者m=1，n=2，然后即可确定好a的值．【解答】解：（1）∵a+b=，∴a+b=m2+3n2+2mn，∴a=m2+3n2，b=2mn．故答案为：m2+3n2，2mn．（2）设m=1，n=1，∴a=m2+3n2=4，b=2mn=2．故答案为4、2、1、1．（3）由题意，得：a=m2+3n2，b=2mn∵4=2mn，且m、n为正整数，∴m=2，n=1或者m=1，n=2，∴a=22+3_12=7，或a=12+3_22=13．【点评】本题主要考查二次根式的混合运算，完全平方公式，解题的关键在于熟练运算完全平方公式和二次根式的运算法则．9．先阅读下列材料，然后解答问题：材料1：从三张不同的卡片中选出两张排成一列，有6种不同的排法，抽象成数学问题就是从3个不同的元素中选取2个元素的排列，排列数记为A32=3_2=6．一般地，从n个不同的元素中选取m个元素的排列数记作Anm．Anm=n（n﹣1）（n﹣2）（n﹣3）…（n﹣m+1）（m≤n）例：从5个不同的元素中选取3个元素排成一列的排列数为：A53=5_4_3=60．材料2：从三张不同的卡片中选取两张，有3种不同的选法，抽象成数学问题就是从3个元素中选取2个元素的组合，组合数为．一般地，从n个不同的元素中取出m个元素的排列数记作Anm，Anm=n（n﹣1）（n﹣2）（n﹣3）…（n﹣m+1）（m≤n）例：从6个不同的元素选3个元素的组合数为：．问：（1）从某个学习小组8人中选取3人参加活动，有56 种不同的选法；（2）从7个人中选取4人，排成一列，有840 种不同的排法．【考点】有理数的混合运算．【专题】压轴题；阅读型．【分析】（1）利用组合公式来计算；（2）都要利用排列公式来计算．【解答】解：（1）C83==56（种）；（2）A74=7_6_5_4=840（种）．【点评】本题为信息题，根据题中所给的排列组合公式求解．10．我们把对称中心重合，四边分别平行的两个正方形之间的部分叫“方形环”，易知方形环四周的宽度相等．一条直线l与方形环的边线有四个交点M、M′、N′、N．小明在探究线段MM′与N′N 的数量关系时，从点M′、N′向对边作垂线段M′E、N′F，利用三角形全等、相似及锐角三角函数等相关知识解决了问题．请你参考小明的思路解答下列问题：（1）当直线l与方形环的对边相交时，如图1，直线l分别交AD、A′D′、B′C′、BC于M、M′、N′、N，小明发现MM′与N′N相等，请你帮他说明理由；（2）当直线l与方形环的邻边相交时，如图2，l分别交AD、A′D′、D′C′、DC于M、M′、N′、N，l与DC的夹角为α，你认为MM′与N′N还相等吗？若相等，说明理由；若不相等，求出的值（用含α的三角函数表示）．【考点】四边形综合题．【分析】（1）证线段相等，可证线段所在的三角形全等．结合本题，证△MM′E≌△NN′F即可；（2）由于M′E∥CD，则∠EM′M=∠FNN′=α，易证得△FNN′∽△EM′M，那么MM′：NN′=EM′：FN；而EM′=FN′，则比例式可化为： ==tanα，由此可知：当α=45°时，MM′=NN′；当α≠45°时，MM′≠NN′．【解答】解（1）在方形环中，∵M′E⊥AD，N′F⊥BC，AD∥BC，在△MM′E与△NN′F中，，∴△MM′E≌△NN′F（AAS）．∴MM′=N′N；（2）法一∵∠NFN′=∠MEM′=90°，∠FNN′=∠EM′M=α，∴△NFN′∽△M′EM，∴=．∵M ′E=N ′F ，∴==tan α（或）．①当α=45°时，tan α=1，则MM ′=NN ′；②当α≠45°时，MM ′≠NN ′，则=tan α（或）．法二 在方形环中，∠D=90°． ∵M ′E ⊥AD ，N ′F ⊥CD ， ∴M ′E ∥DC ，N ′F=M ′E ． ∴∠MM ′E=∠N ′NF=α． 在Rt△NN′F 与Rt△MM′E 中，sin α=，cos α=，即=tan α（或）． ①当α=45°时，MM ′=NN ′；②当α≠45°时，MM ′≠NN ′，则=tan α（或）．【点评】此题主要考查了相似三角形、全等三角形的判定和性质以及解直角三角形的应用等知识．。
通用版2019年中考数学冲刺：阅读理解型问题--巩固练习(提高)
中考冲刺：阅读理解型问题—巩固练习（提高）【巩固练习】一、选择题1. （2016•绍兴）我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结记录数量，即“结绳计数”．如图，一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，满七进一，用记录孩子自出生后的天数，由图可知，孩子自出生后的天数是（ ）A ．84B ．336C ．510D ．13262．任何一个正整数n 都可以进行这样的分解：n ＝s ×t(s 、t 是正整数，且s ≤t)，如果p ×q 在n 的所有这种分解中两因数之差的绝对值最小，我们就称p ×q 是n 的最佳分解，并规定：()pF n q=．例如18可以分解成1×18，2×9，3×6这三种，这时就有31(18)62F ==． 给出下列关于F(n)的说法：(1)1(2)2F =；(2)3(24)8F =；(3)F(27)＝3；(4)若n 是一个完全平方数，则F(n)＝1．其中正确说法的个数是( )． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4二、填空题3．阅读下列题目的解题过程：已知a 、b 、c 为△ABC 的三边长，且满足222244a cbc a b -=-，试判断△ABC 的形状． 解：∵222244a cbc a b -=-， (A)∴2222222()()()c a b a b a b -=+-， (B) ∴222c a b =+， (C) ∴△ABC 是直角三角形．问：(1)上述解题过程中，从哪一步开始出现错误？ 请写出该错误步骤的代号：________________． (2)错误的原因为：________________________． (3)本题的正确结论为：____________________．4．（2016•高县一模）如图1，E 为矩形ABCD 边AD 上一点，点P 从点B 沿折线BE ﹣ED ﹣DC 运动到点C 时停止，点Q 从点B 沿BC 运动到点C 时停止，它们运动的速度都是1cm/s ．若点P ，Q 同时开始运动，设运动时间为t （s ），△BPQ 的面积为y （cm 2）．已知y 与t 的函数关系图象如图2，有下列四个结论：①AE=6cm ；②sin ∠EBC=；③当0＜t ≤10时，y=t 2； ④当t=12s 时，△PBQ 是等腰三角形．其中正确结论的序号是 ．三、解答题5． 已知p 2-p -1=0,1-q -q 2=0,且pq ≠1，求1pq q+的值.解：由p 2-p -1=0及1-q -q 2=0,可知p ≠0,q ≠0 又∵pq ≠1,∴1p q ≠ ∴1-q-q 2=0可变形为21110q q ⎛⎫⎛⎫--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的特征所以p 与1q 是方程x 2- x -1=0的两个不相等的实数根则111,1pq p qq++=∴=根据阅读材料所提供的方法，完成下面的解答.已知：2m 2-5m -1=0,21520n n +-=,且m ≠n ，求：11m n+的值.6.（市北区二模）【阅读材料】完成一件事有两类不同的方案，在第一类方案中有m 种不同的方法，在第二类方案中有n 种不同的方法，那么完成这件事共有N=m+n 种不同的方法，这是分类加法计数原理；完成一件事需要两个步骤，做第一步有m 种不同的方法，做第二步有n 种不同的方法，那么完成这件事共有N=m ×n 种不同的方法，这就是分步乘法计数原理． 【问题探究】完成沿图1的街道从A 点出发向B 点行进这件事（规定必须向北走，或向东走），会有多少种不同的走法？（1）根据材料中的原理，从A点到M点的走法共有（1+1）=2种．从A点到C点的走法：①从A点先到N点再到C点有1种；②从A点先到M点再到C点有2种，所以共有（1+2）=3种走法．依次下去，请求出从A点出发到达其余交叉点的走法数，将数字填入图2的空圆中，并回答从A点出发到B点的走法共有多少种？（2）运用适当的原理和方法，算出如果直接从C点出发到达B点，共有多少种走法？请仿照图2画图说明．【问题深入】（3）在以上探究的问题中，现由于交叉点C道路施工，禁止通行，求从A点出发能顺了到达BB点的走法数？说明你的理由．7．阅读：我们知道，在数轴上，x＝1表示一个点，而在平面直角坐标系中，x＝1表示一条直线；我们还知道，以二元一次方程2x－y＋1＝0的所有解为坐标的点组成的图形就是一次函数y＝2x＋1的图象，它也是一条直线，如图①.观察图①可以得出：直线x＝1与直线y＝2x＋1的交点P的坐标（1，3）就是方程组1210 xx y=⎧⎨-+=⎩的解，所以这个方程组的解为13 xy=⎧⎨=⎩在直角坐标系中，x≤1表示一个平面区域，即直线x＝1以及它左侧的部分，如图②；y≤2x＋1也表示一个平面区域，即直线y＝2x＋1以及它下方的部分，如图③．P(1,3)O xy 3lx=1 y=2x+1Oxylx=1Oxyly=2x+1① ② ③ 回答下列问题：（1）在直角坐标系中，用作图象的方法求出方程组222x y x =-⎧⎨=-+⎩的解；（2）用阴影表示2y 2x 2y 0x ⎧⎪⎨⎪⎩≥－≤－＋≥，所围成的区域．8. 我们学习过二次函数图象的平移，如：将二次函数23y x =的图象向左平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度，所得图象的函数表达式是23(2)4y x =+-． 类比二次函数图象的平移，我们对反比例函数的图象作类似的变换： (1)将1y x=的图象向右平移1个单位长度，所得图象的函数表达式为________，再向上平移1个单位长度，所得图象的函数表达式为________． (2)函数1x y x +=的图象可由1y x =的图象向________平移________个单位长度得到；12x y x -=-的图象可由哪个反比例函数的图象经过怎样的变换得到？ (3)一般地，函数x by x a+=+(ab ≠0，且a ≠b)的图象可由哪个反比例函数的图象经过怎样的变换得到?9. “三等分角”是数学史上一个著名的问题，但仅用尺规不可能“三等分角”．下面是数学家帕普斯借助函数给出的一种“三等分锐角”的方法（如图）：将给定的锐角∠AOB 置于直角坐标系中，边OB 在x 轴上、边OA 与函数xy 1=的图象交于点P ，以P 为圆心、以2OP 为半径作弧交图象于点R ．分别过点P 和R 作x 轴和y 轴的平行线，两直线相交于点M ，连接OM 得到∠MOB ，则∠MOB=31∠AOB ．要明白帕普斯的方法，请研究以下问题：（1）设)1,(a a P 、)1,(bb R ，求直线OM 对应的函数表达式（用含b a ,的代数式表示）．（2）分别过点P 和R 作y 轴和x 轴的平行线，两直线相交于点Q ．请说明Q 点在直线OM 上，并据此证明∠MOB=31∠AOB ． （3）应用上述方法得到的结论，你如何三等分一个钝角（用文字简要说明）．10. 阅读下列材料：问题：如图1所示，在菱形ABCD 和菱形BEFG 中，点A ，B ，E 在同一条直线上，P 是线段DF 的中点，连接PG ，PC ．若∠ABC ＝∠BEF ＝60°，探究PG 与PC 的位置关系PGPC的值．小聪同学的思路是：延长GP 交DC 于点H ，构造全等三角形，经过推理使问题得到解决．请你参考小聪同学的思路，探究并解决下列问题： (1)写出上面问题中线段PG,与PC 的位置关系及PGPC的值； (2)将图1中的菱形BEFG 绕点B 顺时针旋转，使菱形BEFG 的对角线BF 恰好与菱形ABCD 的边AB 在同一条直线上，原问题中的其他条件不变(如图2)．你在(1)中得到的两个结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明．(3)若图1中∠ABC ＝∠BEF ＝2α(0°＜α＜90°)，将菱形BEFG 绕点B 顺旋转任意角度，原问题中的其他条件不变，请你直接写出PGPC的值(用含α的式子表示)．【答案与解析】一、选择题 1.【答案】C ；【解析】1×73+3×72+2×7+6=510. 2.【答案】B ；二、填空题3.【答案】(1)C ；(2)错误的原因是由(B)到(C)时，等式两边同时约去了因式22()a b -，而22a b -可能等于0；(3)△ABC 是等腰三角形或直角三角形.4.【答案】①②③.【解析】（1）分析函数图象可知，BC=10cm ，ED=4cm ，故AE=AD ﹣ED=BC ﹣ED=10﹣4=6cm ，故①正确；（2）如答图1所示，连接EC ，过点E 作EF ⊥BC 于点F ，由函数图象可知，BC=BE=10cm ，S △BEC =40=BC •EF=×10×EF ，∴EF=8，∴sin ∠EBC=，故②正确；（3）如答图2所示，过点P 作PG ⊥BQ 于点G ， ∵BQ=BP=t ，∴y=S △BPQ =BQ •PG=BQ •BP •sin ∠EBC=t •t •=t 2． 故③正确；（4）结论D 错误．理由如下：当t=12s 时，点Q 与点C 重合，点P 运动到ED 的中点，设为N ， 如答图3所示，连接NB ，NC ．此时AN=8，ND=2，由勾股定理求得：NB=8，NC=2，∵BC=10，∴△BCN 不是等腰三角形，即此时△PBQ 不是等腰三角形． 故④错误； 故答案为：①②③．三、解答题5.【答案与解析】解：由2m 2-5m -1=0知m ≠0，∵m ≠n ，∴11m n≠得21520mm+-=根据2215152020m m n n +-=+-=与的特征∴11mn与是方程x 2+5 x -2=0的两个不相等的实数根 ∴115m n+=- .6. 【答案与解析】解：（1）∵完成从A 点到B 点必须向北走，或向东走，∴到达A 点以外的任意交叉点的走法数只能是与其相邻的南边交叉点和西边交叉点的数字之和， 故使用分类加法计数原理，由此算出从A 点到达其余各交叉点的走法数，填表如图1． 答：从A 点到B 点的走法共有35种．（2）如图3，使用分类加法计数原理，算出从C 点到B 点的走法为6种；（3）方法一：可先求从A 点到B 点，并经过交叉点C 的走法数，再用从A 点到B 点总走法数减去它，即得从A 点到B 点，但不经过交叉点C 的走法数．完成从A 点出发经C 点到B 点这件事可分两步，先从A 点到C 点，再从C 点到B 点， 使用分类加法计数原理，算出从A 点到C 点的走法是3种，见图2； 见图3，从C 点到B 点的走法为6种，再运用分步乘法计数原理，得到从A 点经C 点到B 点的走法有3×6=18种． ∴从A 点到B 点但不经过C 点的走法数为35﹣18=17种．方法二：如图4：由于交叉点C道路施工，禁止通行，故视为相邻道路不通，可删除与C点紧相连的线段，运用分类加法计数原理，算出从A点到B点并禁止通过交叉点C的走法有17种．从A点到各交叉点的走法数，∴从A点到B点并禁止经过C点的走法数为35﹣18=17种．7．【答案与解析】（1）如图所示，在坐标系中分别作出直线x＝－2和直线y＝－2x＋2，这两条直线的交点是P（－2，6）.则26xy=-⎧⎨=⎩是方程组222xy x=-⎧⎨=-+⎩的解.（2）如阴影所示.8．【答案与解析】(1)11yx=-；1xyx=-(2)上，1；12x y x -=-可转化为y ＝112x +-，它的图象可由反比例函数1y x=的图象先向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度得到．(3)函数x b y x a +=+(ab ≠0，且a ≠b)可转化为1b a y x a -=++．当a ＞0时，x b y x a+=+的图象可由反比例函数b ay x-=的图象向左平移a 个单位长度，再向上平移1个单位长度得到；当a ＜0时，x b y x a +=+的图象可由反比例函数b ay x-=的图象向右平移-a 个单位长度，再向上平移1个单位长度得到．9．【答案与解析】（1）设直线OM 的函数关系式为)1,(),1,(,bb R a a P kx y =．则),1,(a b M ∴abb a k 11=÷=． ∴直线OM 的函数关系式为x aby 1=． （2）∵Q 的坐标)1,(ba 满足x aby 1=，∴点Q 在直线OM 上． （或用几何证法，见《九年级上册》教师用书191页） ∵四边形PQRM 是矩形，∴SP=SQ=SR=SM=21PR ． ∴∠SQR=∠SRQ ． ∵PR=2OP ，∴PS=OP=21PR ．∴∠POS=∠PSO ． ∵∠PSQ 是△SQR 的一个外角，∴∠PSQ=2∠SQR ．∴∠POS=2∠SQR ． ∵QR ∥OB ，∴∠SOB=∠SQR ．∴∠POS=2∠SOB ． ∴∠SOB=31∠AOB ． （3）以下方法只要回答一种即可．方法一：利用钝角的一半是锐角，然后利用上述结论把锐角三等分的方法即可．方法二：也可把钝角减去一个直角得一个锐角，然后利用上述结论把锐角三等分后，再将直角利用等边三角形（或其它方法）将其三等分即可．方法三：先将此钝角的补角（锐角）三等分，再作它的余角．10．【答案与解析】(1)线段PG 与PC 的位置关系是PG ⊥PC ；3PGPC． (2)猜想：(1)中的结论没有发生变化．证明：如图所法，延长GP 交AD 于点H ，连接CH ，CG ．∵P 是线段DF 的中点， ∴FP ＝DP ．由题意可知AD ∥FG ， ∴∠GFP ＝∠HDP ． ∵∠GPF ＝∠HPD ， ∴△GFP ≌△HDP ． ∴GP ＝HP ，GF ＝HD ． ∵四边形ABCD 是菱形，∴CD ＝CB ，∠HDC ＝∠ABC ＝60°．由∠ABC ＝∠BEF ＝60°，且菱形BEFG 的对角线BF 恰好与菱形ABCD 的边AB 在同一条直线上， 可得∠GBC ＝60°． ∴∠HDC ＝∠GBC ． ∵四边形BEFG 是菱形， ∴GF ＝FB ． ∴HD ＝GB ． ∴△HDC ≌△GBC ． ∴CH ＝CG ，∠DCH ＝∠BCG ．∴∠DCH+∠HCB ＝∠BCG+∠HCB ＝120°， 即∠HCG ＝120°．11 ∵CH ＝CG ，PH ＝PG ，∴PG ⊥PC ，∠GCP ＝∠HCP ＝60°． ∴3PG PC=． (3)tan(90)PG PC α=-°．。
2022学年中考数学阅读理解问题冲刺专题训练【含答案】
2022学年中考数学阅读理解问题冲刺专题训练一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）1．定义一种新运算：1an n nbn xdx a b -⋅=-⎰，例如：222khxdx k h ⋅=-⎰，若m252mx dx --=-⎰，则m =（ ）A ．-2B ．25-C ．2D ．252．定义：形如a bi +的数称为复数（其中a 和b 为实数，i 为虚数单位，规定21i =-），a 称为复数的实部，b 称为复数的虚部．复数可以进行四则运算，运算的结果还是一个复数．例如2222(13)1213(3)16916986i i i i i i i +=+⨯⨯+=++=+-=-+，因此，2(13)i +的实部是﹣8，虚部是6．已知复数2(3)mi -的虚部是12，则实部是（ ）A ．﹣6B ．6C ．5D ．﹣53．定义一种新的运算：a •b =2a b a +，如2•1=2212+⨯=2，则（2•3）•1=（ ） A ．52 B ．32C ．94D ．1984．定义运算“※”：aa b a ba b b a b b a⎧>⎪⎪-=⎨⎪<⎪-⎩，※， ．若5※x =2，则x 的值为（ ）A ．52B ．52或10 C ．10 D ．52或1525．定义新运算f ：f （x ，y ）＝-yx y，则f （a ，b ）﹣f （b ，a ）＝（ ） A ．0 B ．a 2﹣b 2C ．-+a ba bD ．+-a ba b6．把所有正奇数从小到大排列，并按如下规律分组：（1），（3，5，7），（9，11，13，15，17），（19，21，23，25，27，29，31），…，现用等式A M =（i ，j ）表示正奇数M 是第i 组第j 个数（从左往右数），如A 7=（2，3），则A 2017=A ．（45，77）B ．（45，39）C ．（32，48）D ．（32，25）7．对于不为零的两个实数m ，n ，我们定义：m ⊗n ＝()()m n m n n m n m-⎧⎪⎨-<⎪⎩，那么函数y ＝x ⊗3的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．8．在平面直角坐标系中，对于平面内一点（m ，n ）规定以下两种变换， ①f （m ，n ）=（m ，–n ），如f （2，1）=（2，–1）； ②g （m ，n ）=（–m ，–n ），如g （2，1）=（–2，–1）．按照以上变换，则经过点f [g （3，4）]，点g [f （–3，2）]的直线方程为A ．y =–13x +3 B ．y =13x +3C ．y =–13x –3D ．y =13x –3二、填空题（本大题共4个小题，每小题6分，共24分）9．规定a ※b =a 2+（b -1），则[（-2）※6]※（+2）的值为__________． 10．规定：log a b （a >0，a ≠1，b >0）表示a ，b 之间的一种运算．现有如下的运算法则：log an n a =，log N M =log log n n MN（n >0，n ≠1，N >0，N ≠1，M >0）．例如：log 223=3，log 25=1010log 5log 2，则100log 1000= ．11．对于实数a 、b ，定义运算：()(0)0b b a a b a a b a a b a -⎧>≠⎪∆=⎨≤≠⎪⎩，，，，例如-321232424168，∆==∆==，照此定义的运算方式计算：()()()2441⎡⎤⎡⎤∆-⨯-∆-⎣⎦⎣⎦=_____________.12．对非负实数x “四舍五入”到个位的值记为()x ，即当n 为非负整数时，若0.50.5n x n -≤<+，则()x n =．如()1.341=，()4.865=．若()0.516x -=，则实数x 的取值范围是__________．三、解答题（本大题共3个小题，每小题12分，共36分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）13．阅读以下材料：对数的创始人是苏格兰数学家纳皮尔（J ．Nplcr ，1550﹣1617年），纳皮尔发明对数是在指数书写方式之前，直到18世纪瑞士数学家欧拉（Evlcr ，1707﹣1783年）才发现指数与对数之间的联系．对数的定义：一般地，若x a N =（0a >且1x ≠），那么x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =，比如指数式4216=可以转化为对数式24log 16=，对数式52log 25=，可以转化为指数式2525=． 我们根据对数的定义可得到对数的一个性质：log ()log log a a a M N M N ⋅=+（0a >，1a ≠，0M >，0N >），理由如下：设log a M m =，log a N n =，则m M a =，n N a =，∴m n m n M N a a a +⋅=⋅=，由对数的定义得log ()a m n M N +=⋅ 又∵log log a a m n M N +=+ ∴log ()log log a a a M N M N ⋅=+ 根据阅读材料，解决以下问题：（1）将指数式4381=转化为对数式________； （2）求证：log log log aa a MM N N=-（0a >，1a ≠，0M >，0N >） （3）拓展运用：计算666log 9log 8log 2+-=________．14．我们把两条中线互相垂直的三角形称为“中垂三角形”．例如图1，图2，图3中，AF ，BE 是△ABC 的中线，AF ⊥BE ，垂足为P ．像△ABC 这样的三角形均为“中垂三角形”．设BC =a ，AC b =，AB c =．（1）【特例探索】如图1，当∠ABE=45°，22c=时，a=__________，b=__________；c=时，a=__________，b=__________．如图2，当∠ABE=30°，4（2）【归纳证明】请你观察（1）中的计算结果，猜想222,,a b c三者之间的关系，用等式表示出来，并利用图3证明你发现的关系．（3）【拓展应用】如图4，在平行四边形ABCD中，点E，F，G分别是AD，BC，CD的中点，BE⊥EG，AD=217，AB=6．求AF的长．15．对于二次函数y=x2-3x+2和一次函数y=-2x+4，把y=t（x2-3x+2）+（1-t）（-2x+4）称为这两个函数的“再生二次函数”，其中t是不为零的实数，其图象记作抛物线E．现有点A（2，0）和抛物线E上的点B（-1，n），请完成下列任务：【尝试】（1）当t=2时，抛物线E的顶点坐标是.（2）点A 抛物线E上；（填“在”或“不在”）（3）n= .．【发现】通过（2）和（3）的演算可知，对于t取任何不为零的实数，抛物线E总过定点，这个定点的坐标是.【应用1】二次函数y=-3x 2+5x+2是二次函数y=x 2-3x+2和一次函数y=-2x+4的一个“再生二次函数”吗？如果是，求出t 的值；如果不是，说明理由．【应用2】以AB 为一边作矩形ABCD ，使得其中一个顶点落在y 轴上，若抛物线E 经过点A 、B 、C ，求出所有符合条件的t 的值．2022学年中考数学阅读理解问题冲刺专题训练一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）1．定义一种新运算：1an n nbn xdx a b -⋅=-⎰，例如：222khxdx k h ⋅=-⎰，若m252mx dx --=-⎰，则m =（ ）A ．-2B ．25-C ．2D ．25【答案】B 【解析】 根据题意得，5211m11(5)25m x dx m m m m---⎰-=-=-=-， 则25m =-， 经检验，25m =-是方程的解， 故选B.2．定义：形如a bi +的数称为复数（其中a 和b 为实数，i 为虚数单位，规定21i =-），a 称为复数的实部，b 称为复数的虚部．复数可以进行四则运算，运算的结果还是一个复数．例如2222(13)1213(3)16916986i i i i i i i +=+⨯⨯+=++=+-=-+，因此，2(13)i +的实部是﹣8，虚部是6．已知复数2(3)mi -的虚部是12，则实部是（ ）A ．﹣6B ．6C ．5D ．﹣5【答案】C 【解析】∵222222(3)323()9696mi mi mi mi m i m mi -=-⨯⨯+=-+=-- ∴复数2(3)mi -的实部是29m -，虚部是6m -， ∴612m -=， ∴2m =-，∴2299(2)945m -=--=-=． 故选：C ．3．定义一种新的运算：a •b =2a b a +，如2•1=2212+⨯=2，则（2•3）•1=（ ） A ．52 B ．32C ．94D ．198【答案】B 【解析】 ∵2a ba b a+⋅=， ∴（2•3）•12232+⨯=•1 =4•14421+⨯=32=， 故选B ．4．定义运算“※”：aa b a ba b b a b b a⎧>⎪⎪-=⎨⎪<⎪-⎩，※， ．若5※x =2，则x 的值为（ ）A ．52B ．52或10 C ．10 D ．52或152【答案】B 【解析】当x ＜5时，55x =-2，解得：x 52=，经检验，x 52=是原分式方程的解； 当x ＞5时，5xx =-2，解得：x =10，经检验，x =10是原分式方程的解； 综上所述：x 52=或10．故选B ．5．定义新运算f ：f （x ，y ）＝-yx y，则f （a ，b ）﹣f （b ，a ）＝（ ）A ．0B ．a 2﹣b 2C ．-+a ba bD ．+-a ba b【答案】C 【解析】 原式=---a b b ab a =-+a ba b. 故选：C ．6．把所有正奇数从小到大排列，并按如下规律分组：（1），（3，5，7），（9，11，13，15，17），（19，21，23，25，27，29，31），…，现用等式A M =（i ，j ）表示正奇数M 是第i 组第j 个数（从左往右数），如A 7=（2，3），则A 2017= A ．（45，77） B ．（45，39）C ．（32，48）D ．（32，25）【答案】C【解析】2017是第2017110092+=个奇数，设2017在第n 组，则1+3+5+7+…+（2n –1）≥1009，即(121)2n n+-≥1009，解得：n 2≥1009．当n =31时，n 2=961<1009；当n =32时，n 2=1024>1009．∴第1009个数在第32组．∵第32组的第一个数为：(13561)211923++++⨯+=，∴2017是第32组的201719231482-+=个数．∴A 2017=（32，48）．故选C ． 7．对于不为零的两个实数m ，n ，我们定义：m ⊗n ＝()()m n m n n m n m-⎧⎪⎨-<⎪⎩，那么函数y ＝x ⊗3的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】当x ≥3时，y ＝x ﹣3，图象是一次函数的一段， 当x ＜3时，3y x=-，图象是反比例函数的一部分； 结合解析式，可知B ． 故选：B ．8．在平面直角坐标系中，对于平面内一点（m ，n ）规定以下两种变换， ①f （m ，n ）=（m ，–n ），如f （2，1）=（2，–1）； ②g （m ，n ）=（–m ，–n ），如g （2，1）=（–2，–1）．按照以上变换，则经过点f [g （3，4）]，点g [f （–3，2）]的直线方程为A ．y =–13x +3B ．y =13x +3C ．y =–13x –3D ．y =13x –3【答案】A【解析】根据题意得：f [g （3，4）]=f （–3，–4）=（–3，4），点g [f （–3，2）]=g （–3，–2）=（3，2），设直线方程的解析式为y =kx +b ，得到3432k b k b -+=+=⎧⎨⎩，解得133k b =-=⎧⎪⎨⎪⎩，故选A ．二、填空题（本大题共4个小题，每小题6分，共24分）9．规定a ※b =a 2+（b -1），则[（-2）※6]※（+2）的值为__________． 【答案】82【解析】根据题意可得：（-2）※6=（-2）2+（6-1）=4+5=9，因此[（-2）※6]※（+2）=9※（+2）=92+（2-1）=81+1=82，故答案为：82．10．规定：log a b （a >0，a ≠1，b >0）表示a ，b 之间的一种运算．现有如下的运算法则：log an n a =，log N M =log log n n MN（n >0，n ≠1，N >0，N ≠1，M >0）．例如：log 223=3，log 25=1010log 5log 2，则100log 1000= ．【答案】32【解析】100log 1000=1010log 1000log 100=310210log 10log 10=32．故答案为：32．11．对于实数a 、b ，定义运算：()(0)0bb a a b a a b a a b a -⎧>≠⎪∆=⎨≤≠⎪⎩，，，，例如-321232424168，∆==∆==，照此定义的运算方式计算：()()()2441⎡⎤⎡⎤∆-⨯-∆-⎣⎦⎣⎦=_____________. 【答案】14- 【解析】根据题意得：2 ∆ (−4)=41216-=，(−4) ∆ (−1)1(4)4=-=-，则[2 ∆ (−4)]×[(−4) ∆ (−1)]()114.164=⨯-=-故答案为1.4-12．对非负实数x “四舍五入”到个位的值记为()x ，即当n 为非负整数时，若0.50.5n x n -≤<+，则()x n =．如()1.341=，()4.865=．若()0.516x -=，则实数x 的取值范围是__________．【答案】1315x ≤<．【解析】依题意得：60.50.5160.5x -≤-<+ 解得1315x ≤<． 故答案是：1315x ≤<．三、解答题（本大题共3个小题，每小题12分，共36分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）13．阅读以下材料：对数的创始人是苏格兰数学家纳皮尔（J ．Nplcr ，1550﹣1617年），纳皮尔发明对数是在指数书写方式之前，直到18世纪瑞士数学家欧拉（Evlcr ，1707﹣1783年）才发现指数与对数之间的联系．对数的定义：一般地，若x a N =（0a >且1x ≠），那么x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =，比如指数式4216=可以转化为对数式24log 16=，对数式52log 25=，可以转化为指数式2525=． 我们根据对数的定义可得到对数的一个性质：log ()log log a a a M N M N ⋅=+（0a >，1a ≠，0M >，0N >），理由如下：设log a M m =，log a N n =，则m M a =，n N a =，∴m n m n M N a a a +⋅=⋅=，由对数的定义得log ()a m n M N +=⋅ 又∵log log a a m n M N +=+ ∴log ()log log a a a M N M N ⋅=+ 根据阅读材料，解决以下问题：（1）将指数式4381=转化为对数式________； （2）求证：log log log aa a MM N N=-（0a >，1a ≠，0M >，0N >） （3）拓展运用：计算666log 9log 8log 2+-=________． 【答案】（1）34log 81=；（2）详见解析；（3）2. 【解析】（1）34log 81=（或3log 814=），故答案为：34log 81=； （2）证明：设log a M m =，log a N n =，则m M a =，n N a =，∴m m n n M a a N a -==，由对数的定义得log a M m n N -=， 又∵log log a a m n M N -=-，∴log log log a a a M M N N=-； （3）666log 9log 8log 2+-66log (982)log 362=⨯÷==．故答案为：2．14．我们把两条中线互相垂直的三角形称为“中垂三角形”．例如图1，图2，图3中，AF ，BE 是△ABC 的中线，AF ⊥BE ，垂足为P ．像△ABC 这样的三角形均为“中垂三角形”．设BC =a ，AC b =，AB c =．（1）【特例探索】如图1，当∠ABE =45°，22c =时，a =__________，b =__________；如图2，当∠ABE =30°，4c =时，a =__________，b =__________．（2）【归纳证明】请你观察（1）中的计算结果，猜想222,,a b c 三者之间的关系，用等式表示出来，并利用图3证明你发现的关系．（3）【拓展应用】如图4，在平行四边形ABCD 中，点E ，F ，G 分别是AD ，BC ，CD 的中点，BE ⊥EG ，AD =217，AB =6．求AF 的长．【解析】（1）图1：a =25，b =25；图2：a =213，b =27．（2分）对于图1，易证：PEF PBA ∽△△，且相似比为12EF AB =， 所以等腰直角PBA △和PEF △中，2PA PB ==，2EF =，1PE PF ==，22125AE BF ==+=，所以25a b ==；对于图2，PEF PBA ∽△△，且相似比为12FE AB =， 等腰直角PBA △和PEF △中，2PA =，23PB =，3PE =，1PF =，根据勾股定理得，347AE =+=，12113BF =+=，所以a =213，b =27．（2）猜想：a 2+b 2=5c 2．（3分）设PE =m ，PF =n ，那么PB =2m ，PA =2n ．根据勾股定理得：AE 2=PE 2+PA 2=m 2+（2n ）2=m 2+4n 2，∴AC 2=（2AE ）2=4AE 2=4（m 2+4n 2）=4m 2+16n 2=b 2，（5分）同理BC 2=（2BF 2）=4BF 2=4（n 2+4m 2）=4n 2+16m 2=a 2，∴a 2+b 2=（4n 2+16m 2）+（4m 2+16n 2）=20m 2+20n 2=5（4m 2+4n 2），又∵AB 2=PA 2+PB 2=（2n ）2+（2m ）2=4m 2+4n 2=c 2，∴a 2+b 2=5c 2．（7分）（3）连接AC ，交BE 于点P ，取AB 中点H ，连接FH ，交BE 于点Q ．∵E ，G 分别是AD ，CD 的中点，∴EG 是△ACD 的中位线，∴EG ∥AC ，又∵BE ⊥EG ，∴∠1=90°，∴∠2=90°，同理FH 是△ABC 的中位线，FH ∥AC ，∴∠3=∠2=90°，（9分）又可以证得△ARE ≌△FRB ，∴AR =FR ，∴BR 和FH 都是△ABF 的中线并且BR ⊥FH ，∴△ABF 是“中垂三角形”，（11分）∴2225AB AF BF +=，∴2226517)AF +=⨯，∴AF =7．（12分）15．对于二次函数y=x 2-3x+2和一次函数y=-2x+4，把y=t （x 2-3x+2）+（1-t ）（-2x+4）称为这两个函数的“再生二次函数”，其中t是不为零的实数，其图象记作抛物线E．现有点A（2，0）和抛物线E上的点B（-1，n），请完成下列任务：【尝试】（1）当t=2时，抛物线E的顶点坐标是.（2）点A 抛物线E上；（填“在”或“不在”）（3）n= .．【发现】通过（2）和（3）的演算可知，对于t取任何不为零的实数，抛物线E总过定点，这个定点的坐标是.【应用1】二次函数y=-3x2+5x+2是二次函数y=x2-3x+2和一次函数y=-2x+4的一个“再生二次函数”吗？如果是，求出t的值；如果不是，说明理由．【应用2】以AB为一边作矩形ABCD，使得其中一个顶点落在y轴上，若抛物线E经过点A、B、C，求出所有符合条件的t的值．【答案】（1，-2）．点A（2，0）在抛物线E上．6．抛物线E必过定点（2，0）、（-1，6）．二次函数y=-3x2+5x+2不是二次函数y=x2-3x+2和一次函数y=-2x+4的一个“再生二次函数”．所有t的值为：-54；58，-12，52．【解析】【尝试】（1）将t=2代入抛物线E中，得：y=t（x2-3x+2）+（1-t）（-2x+4）=2x2-4x=2（x-1）2-2，∴此时抛物线的顶点坐标为：（1，-2）．（2）将x=2代入y=t（x2-3x+2）+（1-t）（-2x+4），得y=0，∴点A（2，0）在抛物线E上．（3）将x=-1代入抛物线E的解析式中，得：n=t （x 2-3x+2）+（1-t ）（-2x+4）=6．【发现】将抛物线E 的解析式展开，得：y=t （x 2-3x+2）+（1-t ）（-2x+4）=t （x-2）（x+1）-2x+4∴抛物线E 必过定点（2，0）、（-1，6）．【应用1】将x=2代入y=-3x 2+5x+2，y=0，即点A 在抛物线上．将x=-1代入y=-3x 2+5x+2，计算得：y=-6≠6，即可得抛物线y=-3x 2+5x+2不经过点B ，二次函数y=-3x 2+5x+2不是二次函数y=x 2-3x+2和一次函数y=-2x+4的一个“再生二次函数”．【应用2】如图，作矩形ABC 1D 1和ABC 2D 2，过点B 作BK ⊥y 轴于点K ，过B 作BM ⊥x 轴于点M ， 易得AM=3，BM=6，BK=1，△KBC 1∽△MBA ，则：1C K AM BM BK= 即1361C K = 求得 C 1K=12所以点C 1（0，132）． 易知△KBC 1≌△GAD 1，得AG=1，GD 1=12， ∴点D 1（3，12）． 易知△OAD 2∽△GAD 1，12A D G OD AG O =，由AG=1，OA=2，GD1=12，求得OD2=1，∴点D2（0，-1）．易知△TBC2≌△OD2A，得TC2=AO=2，BT=OD2=1，所以点C2（-3，5）．∵抛物线E总过定点A（2，0）、B（-1，6），∴符合条件的三点可能是A、B、C或A、B、D当抛物线E经过A、B、C1时，将C1（0，132）代入y=t（x2-3x+2）+（1-t）（-2x+4），求得t1=-54；当抛物线E经过A、B、D1，A、B、C2，A、B、D2时，可分别求得t2=58，t3=-12，t4=52．∴满足条件的所有t的值为：-54；58，-12，52．。
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中考冲刺：阅读理解型问题—巩固练习（基础）【巩固练习】 一、选择题1.对于二次函数2(0)y ax bx c a =++≠，我们把使函数值等于0的实数x 叫做这个函数的零点，则二次函数22y x mx m =-+-(m 为实数)的零点的个数是( )A ．1B ．2C ．0D ．不能确定2．若一个图形绕着一个定点旋转一个角α(0°＜α＜180°)后能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做旋转对称图形．例如：等边三角形绕着它的中心旋转120°(如图所示)能够与原来的等边三角形重合，因而等边三角形是旋转对称图形．显然，中心对称图形都是旋转对称图形，但旋转对称图形不一定是中心对称图形．下面图所示的图形中，是旋转对称图形的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二、填空题3．阅读下列材料，并解决后面的问题．在锐角△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别是a 、b 、c ．过A 作AD ⊥BC 于D(如图)，则sinB=cAD，sinC=b AD ，即AD=csinB ，AD=bsinC ，于是csinB=bsinC ，即C cB b sin sin =． 同理有A aC c sin sin =，B bA a sin sin =． 所以CcB b A a sin sin sin ==………(*)即：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等．在锐角三角形中，若已知三个元素a 、b 、∠A ，运用上述结论(*)和有关定理就可以求出其余三个未知元素c 、∠B 、∠C ，请你按照下列步骤填空，完成求解过程： 第一步：由条件a 、b 、∠A ∠B ； 第二步：由条件 ∠A 、∠B ．∠C ； 第三步：由条件．c ．4．请耐心阅读，然后解答后面的问题：上周末，小明在书城随手翻阅一本高中数学参考书时，无意中看到了几个等式：sin51°cos12°+cos51°sin12°=sin63°, sin25°cos76°+cos25°sin76°=sin101°一个猜想出现在他脑海里，回家后他马上用科学计算器进行验证，发现自己的猜想成立，并能推广到一般．其实这是大家将在高中学的一个三角函数知识．你是否和小明一样也有想法了？下面考考你，看你悟到了什么： ①根据你的猜想填空:sin37°cos48°+cos37°sin48°=_________. sinαcosβ+cosαsinβ＝____________.②尽管75°角不是特殊角，请你用发现的规律巧算出sin75°的值为 ．三、解答题 5. 阅读材料：为解方程222(1)5(1)40x x ---+=，我们可以将21x -看作一个整体，然后设21x y -=，那么原方程可化为2540y y -+=①，解得y 1＝1，y 2＝4．当y ＝1时，211x -=，∴ 22x =，∴ 2x = 当y ＝4时，214x -=，∴ 25x =，∴ 5x =故原方程的解为：12x =22x =-35x =45x =-．解答问题：(1)上述解题过程，在由原方程得到方程①的过程中，利用________法达到了解方程的目的，体现了转化的数学思想；(2)请利用以上知识解方程4260x x --=．6．阅读材料，解答问题：图2－7－2表示我国农村居民的小康生活水平实现程度．地处西部的某贫困县，农村人口约50万，2002年农村小康生活的综合实现程度才达到68％，即没有达到小康程度的人口约为（1－68 ％）×50万= 16万．（1）假设该县计划在2002年的基础上，到2004年底，使没有达到小康程度的16万农村人口降至10．24万，那么平均每年降低的百分率是多少？（2）如果该计划实现，2004年底该县农村小康进程接近图2－7－2中哪一年的水平？（假设该县人口2年内不变）7. 菱形、矩形与正方形的形状有差异，我们将菱形、矩形与正方形的接近程度称为“接近度”．在研究“接近度”时，应保证相似图形的“接近度”相等．(1)设菱形相邻两个内角的度数分别为m °和n °，将菱形的“接近度”定义为|m-n|，于是，|m-n|越小，菱形越接近于正方形．①若菱形的一个内角为70°，则该菱形的“接近度”等于________； ②当菱形的“接近度”等于________时，菱形是正方形．(2)设矩形相邻两条边长分别是a 和b(a ≤b)，将矩形的“接近度”定义为|a-b|，于是，|a-b|越小，矩形越接近于正方形．你认为这种说法是否合理？若不合理，给出矩形的“接近度”一个合理的定义．8．先阅读下列材料，再解答后面的问题:材料：23=8，此时，3叫做以2为底8的对数，记为()38log 8log 22=即．一般地，若()0,10>≠>=b a a b a n 且，则n 叫做以a 为底b 的对数，记为()813.log log 4==如即n b b a a ，则4叫做以3为底81的对数，记为)481log (81log 33=即． 问题：（1）计算以下各对数的值: ===64log 16log 4log 222.（2）观察（1）中三数4、16、64之间满足怎样的关系式？64log 16log 4log 222、、之间又满足怎样的关系式？（3）由（2）的结果，你能归纳出一个一般性的结论吗？()0,0,10log log >>≠>=+N M a a N M a a 且根据幂的运算法则：m n mna a a +=⋅以及对数的含义证明上述结论．9. 某校研究性学习小组在研究相似图形时，发现相似三角形的定义、判定及其性质，可以拓展到扇形的相似中去．例如，可以定义：“圆心角相等且半径和弧长对应成比例的两个扇形叫做相似扇形”；相似扇形有性质：弧长比等于半径比、面积比等于半径比的平方…．请你协助他们探索这个问题． （1）写出判定扇形相似的一种方法：若 ，则两个扇形相似；（2）有两个圆心角相等的扇形，其中一个半径为a 、弧长为m ，另一个半径为2a ，则它的弧长为 ； （3）如图1是一完全打开的纸扇，外侧两竹条AB 和AC 的夹角为120°，AB 为30cm ，现要做一个和它形状相同、面积是它一半的纸扇（如图2），求新做纸扇（扇形）的圆心角和半径．10. 阅读材料，如图(1)所示，在四边形ABCD 中，对角线AC ⊥BD ，垂足为P ，求证：12ABCD S AC BD =g 四边形． 证明：1,21,2ACD ACBS AC PD AC BD S AC PB ⎧=⎪⎪⊥⇒⎨⎪=⎪⎩g g △△∴ACD ACB ABCD S S S ==△△四边形1122AC PD AC PB =+g g 11()22AC PD PB AC BD =+=g ．解答问题：(1)上述证明得到的性质可叙述为________．(2)已知：如图(2)所示，等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，对角线AC ⊥BD 且相交于点P ，AD ＝3 cm ， BC ＝7 cm ，利用上述性质求梯形的面积．11.阅读下面的材料：小明在学习中遇到这样一个问题：若1≤x ≤m ，求二次函数267y x x =-+的最大值．他画图研究后发现，1x =和5x =时的函数值相等，于是他认为需要对m 进行分类讨论．他的解答过程如下：∵二次函数267y x x =-+的对称轴为直线3x =， ∴由对称性可知，1x =和5x =时的函数值相等． ∴若1≤m ＜5，则1x =时，y 的最大值为2； 若m ≥5，则m x =时，y 的最大值为267m m -+． 请你参考小明的思路，解答下列问题：（1）当2-≤x ≤4时，二次函数1422++=x x y 的最大值为_______； （2）若p ≤x ≤2，求二次函数1422++=x x y 的最大值；（3）若t ≤x ≤t +2时，二次函数1422++=x x y 的最大值为31，则t 的值为_______．【答案与解析】 一、选择题 1.【答案】B ； 2.【答案】C ；二、填空题3.【答案】B bA a sin sin =, ∠A+∠B+∠C=180°，a 、∠A 、∠C 或b 、∠B 、∠C ， A a C c sin sin =或CcB b sin sin =4.【答案】①sin85°；sin(α+β)；②4【解析】②sin75°＝sin （45°+30°）＝sin45°cos30°+ cos45°sin 30°=4. 三、解答题5. 【答案与解析】(1)换元；(2)设2x y =，则原方程可化为260y y --=，解得y 1＝3，y 2＝-2．当y ＝3时，23x =，所以x =因为2x 不能为负，所以y ＝-2不符合题意，应舍去．所以原方程的解为1x =2x =．6.【答案与解析】（1）设平均每年降低的百分率为. 据题意，得 16（1－x ）2=10.24，（1－x ）2=0．64,（1－x ）= ±0.8，x 1=1.8（不合题意，舍去），x 2=0.2． 即平均每年降低的百分率是20％. （2）50-10.2450×100%=7 9.52％. 所以根据图2－7－2所示，如果该计划实现，2004年底该县农村小康进程接近1996年全国农村小康进程的水平．7.【答案与解析】 (1)①40；②0；(2)不合理．例如，对两个相似而不全等的矩形来说，它们接近正方形的程度是相同的，但|a-b|却不相等．合理定义方法不唯一，如定义为b a ，b a 越小，矩形与正方形的形状差异越小；1ba=时，矩形就变成了正方形．（1）24log 2=， 416log 2=，664log 2= （2）4×16=64，4log 2 + 16log 2=64log 2 （3）M a log + N a log =)(log MN a 证明：设M a log =b 1 , N a log =b 2 则Mab =1，Nab =2∴2121b b b b a a a MN+=⋅=∴b 1+b 2=)(log MN a即M a log + N a log =)(log MN a 9．【答案与解析】（1）答案不唯一，例如“圆心角相等”、“半径和弧长对应成比例”； （2）2m ； （3）∵两个扇形相似，∴新扇形的圆心角为120°设新扇形的半径为r ，则21()302r =r ⇒=即新扇形的半径为10．【答案与解析】(1)对角线互相垂直的四边形的面积等于两对角线乘积的一半． (2)∵四边形ABCD 为等腰梯形， ∴AC ＝BD ．由AD ∥BC ，可得PD:PB ＝3:7， 故设PD ＝3x ，则PB ＝7x ，∴在Rt △APD 中，22(3)(3)9x x +=，212x =，2x =．∴BD ＝10x ＝ ∴21252ABCD S BD ==g 梯形(cm 2)．（1）当24x -≤≤时，二次函数1422++=x x y 的最大值为 49 ； （2）∵二次函数2241y x x =++的对称轴为直线1-=x ， ∴由对称性可知，当4-=x 和2=x 时函数值相等. ∴若4p ≤-，则当p x =时，y 的最大值为1422++p p . 若42p -<≤，则当2=x 时，y 的最大值为17. （3）t 的值为 1或5- .。