地下水流数值模拟讲义

Q = KIω 或V = KI
（2）裘布依稳定井流公式（1863 年，法国）
Sw
=
H0
−
Hw
=
Q 2πT
ln
R rw
（承压水井）
H
2 0
− hw2
=
Q πK
ln
R rw
（潜水井）
（3）泰斯非稳定井流公式（1935 年，美国，泰斯）
∫ S = Q ∞ 1 e−y dy = Q W (u) ； u = r 2 µ *
（1）极限理论：如果一个无限序列 {xn }收敛于某个极限值 x* ，那么我们可
用这个序列中的某个元素 xN 作为 x* 的近似值。只要序号 N 取得足够大，那么 xN
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《地下水流数值模拟》讲义，杜新强，2006 年
与 x* 的差值 xN − x* 就不会超过某个预先给定的充分小的正数 ε
（2）泰勒级数展开式：若函数 f (x) 在 x0 的某一邻域内具有直到 (n + 1) 阶的
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备； （3）、不仅可以解线性问题，非线性问题也比较容易处理，而且可以用于水
文地质的很多领域，如水位预报、水量计算、水质以及水温的计算、地下水的合 理开发利用等问题；
（4）、可以程序化，修改算法、修改模型都比较方便。对某一类问题只要编 出通用程序后，对不同的具体问题只要按程序整理好数据就可以直接上机计算。
∂H ∂y
⎟⎟⎠⎞
+W
=
S
∂H ∂t
<均质各向同性>
T
⎜⎜⎝⎛
∂2 H ∂x 2
+
∂ 2H ∂y 2
⎟⎟⎠⎞ + W
=
S
∂H ∂t
式中，W 为单位时间、单位面积上从垂直方向上流入或流出含水层的水量（流
入为正，流出为负）；
S：为贮水系数（释水系数），它表示当水头升高（或降低）一个单位时，单位含
水层面积、高度为含水层厚度的柱体中所释放出来（贮存起来）的水量（体积）。
与周围环境的制约关系。
（1）第一类边界条件（Dirichlet 条件）
边界上各点在每一时刻的水头都是已知的。
H (x, y, z,t) S1 = ϕ1(x, y, z,t)
(x, y, z) ∈ S1
自然界中可作为第一类边界条件的情况：①河流、湖泊切割含水层，地表水
与地下水有直接的水力联系；②根据观测孔水位人为确定；③泉水在不被疏干的
用矢量表示渗流速度，形式如下：
V = VX i +Vy j +Vz k
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适用条件：Re＜1～10 之间某一数值的层流运动，即粘滞力占优势，而非惯 性力占优势。所以在流速很大的情况下，水流运动可能出现不服从达西定律的情 况。目前的数学模型都是以适用达西定律为基础的。 二、渗流连续性方程
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《地下水流数值模拟》讲义，杜新强，2006 年
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绪言
一、数值计算方法概述
1、数值计算的重要意义 17 世纪是数学发展史上一个划时代的时期，当我们今天享受着高科技成果 所带来的各种便利条件时，应该意识到笛卡尔（Descartes,1596-1650）和牛顿 （Newton,1642-1727）这两位卓越先驱人物所作出的具有划时代意义的贡献。 首先，笛卡尔创立了平面解析几何，使我们能够用数学形式描述动态变化着 的客观对象，接下来牛顿和莱布尼兹（Leibniz）等人创立了微积分学，为我们研 究连续变量的变化规律给出了完整的方法体系。随后，又在这个基础上产生了更 多的数学分支以及相关的一些交叉学科分支。 由于数学研究的范围在不断扩大，而且研究的对象更为复杂，一个伴随的问 题就是相应的数值计算更加困难。如果不解决与理论方法平行的数值计算问题， 再好的数学理论也难以发挥应有的作用。 数值计算的重要性一方面促进了计算方法的研究，另一方面也促进了计算工 具的发展。随着 20 世纪 40 年代中期人类第一台电子数字计算机的问世，数值计 算终于有了理想的支撑工具。 坚实的数学理论，科学的计算方法以及先进的计算工具的有机结合，可以为 我们打造了一个无比坚实的工作平台。完全可以这么讲，今天几乎所有的高科技 成果都是在这个平台上产生的。正是因为有了这样一个平台，从而使得我们这个 时代的科学技术能够飞速发展。 2、数值计算方法的涵义 数值计算方法，过去有不少人称之为数值分析，现在更多的人称之为科学计 算，其核心思想就是通过有限步的加、减、乘、除四则运算得到某个连续变量的 近似值。追根溯源，它是微积分学孕育出来的一个数学分支。 3、数值计算的理论基础 极限理论和泰勒级数展开式为近似计算提供了理论基础：
4πT u y
4πT
4Tt
<无补给的承压水完整井流非稳定流公式> 非稳定流理论问世以来，解地下水运动问题的解析法有了很大发展，建立
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了一系列的方程、公式和图表，并被广泛应用到生产实践中去。它不仅推动了地 下水理论的发展，还解决了大量的生产实际问题。
解析法的缺点：在确立定解问题时，需要对地质、水文地质条件进行大量 的简化，一般来说，它只适用于含水层几何形状简单，并且是均质、各向同性的 情形，而实际水文地质条件往往十分复杂，如果①勉强应用解析解，必定大量简 化水文地质条件，可以得到粗略的结果，与实际情况不相符合；②建立符合实际 条件的复杂的数学公式，其解析解的求取则相当困难，在当前条件下甚至是不可 能的。 2、物理模拟方法
四、潜水非稳定运动的基本微分方程
1、三维非稳定流
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<非均质各向异性介质>
∂ ∂x
(K xx
∂H ) + ∂x
∂ ∂y
(K yy
∂H ∂y
)+
∂ ∂z
(K zz
∂H ) + W ∂z
=
Ss
∂H ∂t
2、二维非稳定流 <非均质各向异性介质>
∂ ∂x
⎡ ⎢⎣
20 世纪 30 年代，各种物理模拟方法开始出现，先是砂槽、窄缝槽模拟地下 水运动（怀科夫），而后电网络模拟开始出现（马斯卡特，电流与水流的特性相 似性；欧姆定律与达西公式的形式相似），到 20 世纪 50－60 年代，电网络模拟 一度成为主要计算手段。
与理论计算相比，物理模拟方法可以将水文地质现象依一定比例地相似再现 出来，对一些相对复杂的水文地质问题也可以得到较理想的效果，但它们需要较 多的材料，问题的修改很不方便，而且对于许多复杂的水文地质条件的物理再现 的难度也相当大。 3、地下水数值模模拟
根据一定的数学模型在计算机上用数值法模拟地下水的运动状态便称为地 下水数值模拟。
（1）1956 年，斯图尔曼（R.W.Stallman）将数值模拟应用于水文地质计算； （2）20 世纪 60 年代，华尔顿（W.C.Walton）首次将计算机引入水文地质数 值模拟的计算当中； （3）20 世纪 70 年代至今，数值法已成为当代水文地质研究与应用的最重 要手段之一，使地下水的定量评价进入到一个崭新的阶段。 三、地下水数值法的特点 （1）、与解析法相比，灵活、适应性强，善于模拟复杂的水文地质条件，解 决复杂的地下水定量计算问题； （2）、模拟在通用计算机上进行，不需要像物理模拟那样建立复杂的专门设
情况下也可做第一类边界。
注意：①某些河、湖底部、两侧沉积有一定的低渗透物质，阻碍了地表水与地下水之间 直接的水力联系，尽管河湖水位是已知的，也不能将其视为第一类边界条件；② 给定水头
的边界不一定是定水头边界。所谓定水头边界意味着函数ϕ1 不随时间而变化，是常数。只
要区域内部的水头比它低时，它就供给水，而且要多少有多少。当区域内部的水头比它高时， 它吸收水，而且有多少它吸收多少。因此，自然界这种情况是很少见的。
x
)
+
∂ ( ρV y ∂y
)
+
∂(ρVz ∂z
)
⎤ ⎥∆x∆y∆z
⎦
=
∂ ∂t
[ρn∆x∆y∆z]
其中：Vx 、Vy 、Vz 是 p 点沿坐标轴的渗透速度的分量；
ρn∆x∆y∆z ：平行六面体内液体的质量； ∂ (ρn∆x∆y∆z) ：平行六面体内液体质量的变化量，即储存量的变化量。 ∂t 如果把地下水当作不可压缩的均质液体，同时设流入和流出六面体的总的质 量差为零，则有：
（5）、对使用者要求更高：扎实的水文地质知识；对研究区有深入的了解； 严谨的科学态度。
数值法可以在不同水平上建立起对它的理解。人们可以通过非常直观的途径 来学习和应用这一方法；另一方面也可以建立起严格的数学解释。
第一章 渗流理论基础
运用数值模拟首先要建立数学模型：由一个或几个表述地下水运动的数学方
程式，联同表示该研究地区特定条件(初始条件、边界条件)的数学表达式就构成
K
x
(H
−
B) ∂H
∂x
⎤ ⎥⎦
+
∂ ∂y
⎡ ⎢
K
y
(H
⎣
−
B) ∂H
∂y
⎤ ⎥⎦
+W
=
µ
∂H ∂t
上述方程为二阶非线性偏微分方程，除了对某些个别情况找到几个特解外，上述
方程还没有精确的解析解。
五、定解条件
一个偏微分方程的适用范围很广，满足一个偏微分方程的解也是很多的，因
此，单从方程本身而言，其解（H）是不确定的。要把解确定下来，也即为了能
从全部解中选出一个能满足某个具体问题的确定的解，就必须加上一些用来表达
该问题的特定的附加条件。这些附加条件就是通常所说的边界条件和初始条件，