探究中考试卷中的旋转问题,中考四大必掌握类型
中考数学旋转压轴题解题方法(详解答案)
中考数学旋转压轴题解题方法一、图形旋转知识与方法1、图形的变换是新课标中“空间与图形”领域的一个主要内容，体现运动变换的理念与思想，是教材中的一大亮点．初中数学所学的图形变换包括平移、轴对称、旋转、位似。
2、旋转，它是一种数学变换．生活中的旋转也是随处可见，汽车的轮子，钟表的指针，游乐园里的摩天轮，都是旋转现象．3、图形的旋转有三个要素：①旋转中心；②旋转方向；③旋转角度．三要素中只要任意改变一个，图形就会不一样．4、旋转具有以下性质：①对应点到旋转中心的距离相等，即边相等。
②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角，即角相等③旋转前、后的图形全等。
5、旋转是近几年中考数学的热点题型，对旋转的特例“中心对称”的考查多以选择题或填空题的形式出现，题目比较简单，大多数属于送分题；利用旋转作图，是格点作图题中的重点。
利用旋转构造复杂几何图形，通常将旋转融合在综合题中，题目难度中等，在选择题、填空题、解答题中都有出现。
有旋转点的，有旋转线段的，更多的是旋转图形的。
旋转三角形，旋转平行四边形，旋转矩形，旋转正方形，其中，近两年的各地中考试题中，旋转矩形出现的最频繁，深受出题老师的青睐。
其实旋转的题目还有一个好听的名字就是“手拉手问题”，本文将对这一类问题分类汇总，以这三个性质为突破口，就能快速解决问题。
二、典例精讲典例．在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝α，点D为直线BC上一动点，过点D作DF∥AC 交直线AB于点F，将AD绕点D顺时针旋转α得到ED，ED交直线AB于点O，连接BE．（1）问题发现：如图1，α＝90°，点D在边BC上，猜想：①AF与BE的数量关系是；②∠ABE＝度．（2）拓展探究：如图2，0°＜α＜90°，点D在边BC上，请判断AF与BE的数量关系及∠ABE的度数，并给予证明．（3）解决问题如图3，90°＜α＜180°，点D在射线BC上，且BD＝3CD，若AB＝8，请直接写出BE 的长．思路点拨：（1）①由等腰直角三角形的判定和性质可得：∠ABC＝45°，由平行线的性质可得∠FDB＝∠C＝90°，进而可得由等角对等边可得DF＝DB，由旋转可得：∠ADF＝∠EDB，DA＝DE，继而可知△ADF≌△EDB，继而即可知AF＝BE；②由全等三角形的性质可知∠DAF＝∠E，继而由三角形内角和定理即可求解；（2）由平行线的性质可得∠ACB＝∠FDB＝α，∠CAB＝∠DFB，由等边对等角可得∠ABC＝∠CAB，进而根据等角对等边可得DB＝DF，再根据全等三角形的判定方法证得△ADF≌△EDB，进而可得求证AF＝BE，∠ABE＝∠FDB＝α；（3）分两种情况考虑：①如图（3）中，当点D在BC上时，②如图（4）中，当点D在BC的延长线上时，由平行线分线段成比例定理可得1==4AF CDAB CB、1==2AF CDAB CB，代入数据求解即可；满分解答：（1）问题发现：如图1中，设AB交DE于O．∵∠ACB＝90°，AC＝BC，∴∠ABC＝45°，∵DF∥AC，∴∠FDB＝∠C＝90°，∴∠DFB＝∠DBF＝45°，∴DF＝DB，∵∠ADE＝∠FDB＝90°，∴∠ADF＝∠EDB，∵DA＝DE，DF＝DB∴△ADF≌△EDB（SAS），∴AF＝BE，∠DAF＝∠E，∵∠AOD＝∠EOB，∴∠ABE＝∠ADO＝90°故答案为：①AF＝BE，②90°．（2）拓展探究：结论：AF＝BE，∠ABE＝α．理由如下：∵DF‖AC∴∠ACB＝∠FDB＝α，∠CAB＝∠DFB，∵AC＝BC，∴∠ABC＝∠CAB，∴∠ABC＝∠DFB，∴DB＝DF，∵∠ADF＝∠ADE﹣∠FDE，∠EDB＝∠FDB﹣∠FDE，∴∠ADF＝∠EDB，∵AD＝DE，DB＝DF∴△ADF≌△EDB（SAS），∴AF＝BE，∠AFD＝∠EBD∵∠AFD＝∠ABC+∠FDB，∠DBE＝∠ABD+∠ABE，∴∠ABE＝∠FDB＝α．（3）解决问题①如图（3）中，当点D在BC上时，由（2）可知：BE＝AF，∵DF∥AC，∴1==4 AF CDAB CB，∵AB＝8，∴AF＝2，∴BE＝AF＝2，②如图（4）中，当点D在BC的延长线上时，∵AC∥DF，∴1==2 AF CDAB CB，∵AB＝8，∴BE＝AF＝4，故BE的长为2或4．名师点评：（1）本题考查等腰直角三角形的判定和性质、平行线的性质、等边对等角的性质和等角对等边的性质、旋转的性质、相似三角形的判定及其性质、三角形内角和定理、平行线分线段成比例定理，涉及到的知识点较多，解题的关键是综合运用所学知识．（2）旋转问题三步走：。
中考数学有关旋转的问题
中考数学有关旋转的问题1. 中考旋转问题解题技巧中考数学几何题解不出答案的时候可以旋转。
初三上册数学旋转不是很重要。
在考察学生1时，会以填空题或者单项选择的形式出现。
但是它的概念和技巧比较重要的。
可以用于几何图形当中，尤其是培养动手能力。
2. 中考数学旋转问题初三的几何知识中有旋转几何，以下是旋转几何解题技巧：1. 观察题目：在解决任何几何问题时，首先应该看清楚题目并理解题目所求，然后再考虑如何解决问题。
2. 明确旋转轴：确定问题中的旋转轴，这是解决旋转几何问题的关键。
旋转轴可以是线段，可以是一个点，也可以是一个平面，这取决于题目的情况。
3. 找到旋转规律：根据旋转轴，观察图形的旋转规律，判断数学性质，如旋转角度、角度大小、对称性等等，再根据这些性质设置等式或者简化题目的复杂性。
4. 运用公式：根据旋转规律、对称性、等角关系、余角关系、内角和公式等知识去解题，并选择适合题目的计算方法如比值法、勾股定理等方法来解决问题。
5. 画图辅助：画张清晰准确的图形，并标注出旋转轴、旋转角度、已知边角等信息，辅助你解决这些题目。
6. 细心检查：解决完题目后应该再仔细检查一遍是否符合题意，有无漏选或错选的情况，这样可以避免不必要的错误。
以上就是初三旋转几何解题技巧，如果你掌握这些技巧，应该能够较好地解决旋转几何的问题。
3. 中考旋转问题解题技巧和方法根据1，是：在中考数学中，旋转题的画图方法是如下的。
1.首先，将给定的图形按照要求进行旋转，旋转的角度可以通过题目给出的条件确定。
2.根据旋转后的图形，利用纸和铅笔在试卷上画出旋转后的图形。
在画图时要确保旋转后的图形与给定图形的形状和比例相同，要严格按照题目要求进行画图。
3.可以使用直尺工具和量角器等辅助工具来帮助准确画出旋转后的图形。
4.在画完图形后，根据题目要求进行进一步的分析和计算，以得出最终的解答。
总结可以说，中考数学中的旋转题在解答时需要准确画出旋转后的图形，注意形状和比例的保持，并根据题目要求进行进一步的分析和计算。
备战中考数学初中数学 旋转的综合热点考点难点含答案解析
备战中考数学初中数学旋转的综合热点考点难点含答案解析一、旋转1．操作与证明：如图1，把一个含45°角的直角三角板ECF和一个正方形ABCD摆放在一起，使三角板的直角顶点和正方形的顶点C重合，点E、F分别在正方形的边CB、CD上，连接AF．取AF中点M，EF的中点N，连接MD、MN．（1）连接AE，求证：△AEF是等腰三角形；猜想与发现：（2）在（1）的条件下，请判断MD、MN的数量关系和位置关系，得出结论．结论1：DM、MN的数量关系是；结论2：DM、MN的位置关系是；拓展与探究：（3）如图2，将图1中的直角三角板ECF绕点C顺时针旋转180°，其他条件不变，则（2）中的两个结论还成立吗？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由．【答案】（1）证明参见解析；（2）相等，垂直；（3）成立，理由参见解析.【解析】试题分析：（1）根据正方形的性质以及等腰直角三角形的知识证明出CE=CF，继而证明出△ABE≌△ADF，得到AE=AF，从而证明出△AEF是等腰三角形；（2）DM、MN的数量关系是相等，利用直角三角形斜边中线等于斜边一半和三角形中位线定理即可得出结论.位置关系是垂直，利用三角形外角性质和等腰三角形两个底角相等性质，及全等三角形对应角相等即可得出结论；（3）成立，连接AE，交MD于点G，标记出各个角，首先证明出MN∥AE，MN=AE，利用三角形全等证出AE=AF，而DM=AF，从而得到DM，MN数量相等的结论，再利用三角形外角性质和三角形全等，等腰三角形性质以及角角之间的数量关系得到∠DMN=∠DGE=90°．从而得到DM、MN的位置关系是垂直.试题解析：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD=BC=CD，∠B=∠ADF=90°，∵△CEF 是等腰直角三角形，∠C=90°，∴CE=CF，∴BC﹣CE=CD﹣CF，即BE=DF，∴△ABE≌△ADF，∴AE=AF，∴△AEF是等腰三角形；（2）DM、MN的数量关系是相等，DM、MN的位置关系是垂直；∵在Rt△ADF中DM是斜边AF的中线，∴AF=2DM，∵MN 是△AEF的中位线，∴AE=2MN，∵AE=AF，∴DM=MN；∵∠DMF=∠DAF+∠ADM，AM=MD，∵∠FMN=∠FAE，∠DAF=∠BAE，∴∠ADM=∠DAF=∠BAE，∴∠DMN=∠FMN+∠DMF=∠DAF+∠BAE+∠FAE=∠BAD=90°，∴DM⊥MN；（3）（2）中的两个结论还成立，连接AE，交MD于点G，∵点M为AF的中点，点N为EF的中点，∴MN∥AE，MN=AE，由已知得，AB=AD=BC=CD，∠B=∠ADF，CE=CF，又∵BC+CE=CD+CF，即BE=DF，∴△ABE≌△ADF，∴AE=AF，在Rt△ADF中，∵点M为AF的中点，∴DM=AF，∴DM=MN，∵△ABE≌△ADF，∴∠1=∠2，∵AB∥DF，∴∠1=∠3，同理可证：∠2=∠4，∴∠3=∠4，∵DM=AM，∴∠MAD=∠5，∴∠DGE=∠5+∠4=∠MAD+∠3=90°，∵MN∥AE，∴∠DMN=∠DGE=90°，∴DM⊥MN．所以（2）中的两个结论还成立.考点：1.正方形的性质；2.全等三角形的判定与性质；3.三角形中位线定理；4.旋转的性质．2．阅读材料：小胖同学发现这样一个规律：两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来则形成一组旋转全等的三角形．小胖把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形．如图1，在“手拉手”图形中，小胖发现若∠BAC＝∠DAE，AB＝AC，AD＝AE，则BD＝CE．(1)在图1中证明小胖的发现；借助小胖同学总结规律，构造“手拉手”图形来解答下面的问题：(2)如图2，AB＝BC，∠ABC＝∠BDC＝60°，求证：AD+CD＝BD；(3)如图3，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝m°，点E为△ABC外一点，点D为BC中点，∠EBC＝∠ACF，ED⊥FD，求∠EAF的度数（用含有m的式子表示）．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）∠EAF =12 m°.【解析】分析：（1）如图1中，欲证明BD=EC ，只要证明△DAB ≌△EAC 即可；（2）如图2中，延长DC 到E ，使得DB=DE ．首先证明△BDE 是等边三角形，再证明△ABD ≌△CBE 即可解决问题；（3）如图3中，将AE 绕点E 逆时针旋转m°得到AG ，连接CG 、EG 、EF 、FG ，延长ED 到M ，使得DM=DE ，连接FM 、CM ．想办法证明△AFE ≌△AFG ，可得∠EAF=∠FAG=12m°. 详（1）证明：如图1中，∵∠BAC=∠DAE ，∴∠DAB=∠EAC ，在△DAB 和△EAC 中，AD AE DAB EAC AB AC ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，∴△DAB ≌△EAC ，∴BD=EC ．（2）证明：如图2中，延长DC 到E ，使得DB=DE ．∵DB=DE ，∠BDC=60°，∴△BDE 是等边三角形，∴∠BD=BE ，∠DBE=∠ABC=60°，∴∠ABD=∠CBE ，∵AB=BC ，∴△ABD ≌△CBE ，∴AD=EC ，∴BD=DE=DC+CE=DC+AD．∴AD+CD=BD．（3）如图3中，将AE绕点E逆时针旋转m°得到AG，连接CG、EG、EF、FG，延长ED到M，使得DM=DE，连接FM、CM．由（1）可知△EAB≌△GAC，∴∠1=∠2，BE=CG，∵BD=DC，∠BDE=∠CDM，DE=DM，∴△EDB≌△MDC，∴EM=CM=CG，∠EBC=∠MCD，∵∠EBC=∠ACF，∴∠MCD=∠ACF，∴∠FCM=∠ACB=∠ABC，∴∠1=3=∠2，∴∠FCG=∠ACB=∠MCF，∵CF=CF，CG=CM，∴△CFG≌△CFM，∴FG=FM，∵ED=DM，DF⊥EM，∴FE=FM=FG，∵AE=AG，AF=AF，∴△AFE≌△AFG，∴∠EAF=∠FAG=12 m°．点睛：本题考查几何变换综合题、旋转变换、等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用“手拉手”图形中的全等三角形解决问题，学会构造“手拉手”模型，解决实际问题，属于中考压轴题．3．（操作发现）（1）如图1，△ABC为等边三角形，先将三角板中的60°角与∠ACB重合，再将三角板绕点C按顺时针方向旋转（旋转角大于0°且小于30°），旋转后三角板的一直角边与AB交于点D，在三角板斜边上取一点F，使CF=CD，线段AB上取点E，使∠DCE=30°，连接AF，EF．①求∠EAF的度数；②DE与EF相等吗？请说明理由；（类比探究）（2）如图2，△ABC为等腰直角三角形，∠ACB=90°，先将三角板的90°角与∠ACB重合，再将三角板绕点C按顺时针方向旋转（旋转角大于0°且小于45°），旋转后三角板的一直角边与AB交于点D，在三角板另一直角边上取一点F，使CF=CD，线段AB上取点E，使∠DCE=45°，连接AF，EF．请直接写出探究结果：①∠EAF的度数；②线段AE，ED，DB之间的数量关系．【答案】（1）①120°②DE=EF；（2）①90°②AE2+DB2=DE2【解析】试题分析：（1）①由等边三角形的性质得出AC=BC，∠BAC=∠B=60°，求出∠ACF=∠BCD，证明△ACF≌△BCD，得出∠CAF=∠B=60°，求出∠EAF=∠BAC+∠CAF=120°；②证出∠DCE=∠FCE，由SAS证明△DCE≌△FCE，得出DE=EF即可；（2）①由等腰直角三角形的性质得出AC=BC，∠BAC=∠B=45°，证出∠ACF=∠BCD，由SAS证明△ACF≌△BCD，得出∠CAF=∠B=45°，AF=DB，求出∠EAF=∠BAC+∠CAF=90°；②证出∠DCE=∠FCE，由SAS证明△DCE≌△FCE，得出DE=EF；在Rt△AEF中，由勾股定理得出AE2+AF2=EF2，即可得出结论．试题解析：解：（1）①∵△ABC是等边三角形，∴AC=BC，∠BAC=∠B=60°．∵∠DCF=60°，∴∠ACF=∠BCD．在△ACF和△BCD中，∵AC=BC，∠ACF=∠BCD，CF=CD，∴△ACF≌△BCD（SAS），∴∠CAF=∠B=60°，∴∠EAF=∠BAC+∠CAF=120°；②DE=EF．理由如下：∵∠DCF=60°，∠DCE=30°，∴∠FCE=60°﹣30°=30°，∴∠DCE=∠FCE．在△DCE和△FCE 中，∵CD=CF，∠DCE=∠FCE，CE=CE，∴△DCE≌△FCE（SAS），∴DE=EF；（2）①∵△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，∴AC=BC，∠BAC=∠B=45°．∵∠DCF=90°，∴∠ACF=∠BCD．在△ACF和△BCD中，∵AC=BC，∠ACF=∠BCD，CF=CD，∴△ACF≌△BCD（SAS），∴∠CAF=∠B=45°，AF=DB，∴∠EAF=∠BAC+∠CAF=90°；②AE2+DB2=DE2，理由如下：∵∠DCF=90°，∠DCE=45°，∴∠FCE=90°﹣45°=45°，∴∠DCE=∠FCE．在△DCE和△FCE 中，∵CD=CF，∠DCE=∠FCE，CE=CE，∴△DCE≌△FCE（SAS），∴DE=EF．在Rt△AEF 中，AE2+AF2=EF2，又∵AF=DB，∴AE2+DB2=DE2．4．在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，且∠EAF=∠CEF=45°.(1)将△ADF绕着点A顺时针旋转90°，得到△ABG(如图①)，求证：△AEG≌△AEF；(2)若直线EF与AB，AD的延长线分别交于点M，N(如图②)，求证：EF2=ME2+NF2；(3)将正方形改为长与宽不相等的矩形，若其余条件不变(如图③)，请你直接写出线段EF，BE，DF之间的数量关系.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）EF2=2BE2+2DF2.【解析】试题分析：（1）根据旋转的性质可知AF=AG，∠EAF=∠GAE=45°，故可证△AEG≌△AEF；（2）将△ADF绕着点A顺时针旋转90°，得到△ABG，连结GM．由（1）知△AEG≌△AEF，则EG=EF．再由△BME、△DNF、△CEF均为等腰直角三角形，得出CE=CF，BE=BM，NF=DF，然后证明∠GME=90°，MG=NF，利用勾股定理得出EG2=ME2+MG2，等量代换即可证明EF2=ME2+NF2；（3）将△ADF绕着点A顺时针旋转90°，得到△ABG，根据旋转的性质可以得到△ADF≌△ABG，则DF=BG，再证明△AEG≌△AEF，得出EG=EF，由EG=BG+BE，等量代换得到EF=BE+DF．试题解析：（1）∵△ADF绕着点A顺时针旋转90°，得到△ABG，∴AF=AG，∠FAG=90°，∵∠EAF=45°，∴∠GAE=45°，在△AGE与△AFE中，，∴△AGE≌△AFE（SAS）；（2）设正方形ABCD的边长为a．将△ADF绕着点A顺时针旋转90°，得到△ABG，连结GM．则△ADF≌△ABG，DF=BG．由（1）知△AEG≌△AEF，∴EG=EF．∵∠CEF=45°，∴△BME、△DNF、△CEF均为等腰直角三角形，∴CE=CF，BE=BM，NF=DF，∴a﹣BE=a﹣DF，∴BE=DF，∴BE=BM=DF=BG，∴∠BMG=45°，∴∠GME=45°+45°=90°，∴EG2=ME2+MG2，∵EG=EF，MG=BM=DF=NF，∴EF2=ME2+NF2；（3）EF2=2BE2+2DF2．如图所示，延长EF交AB延长线于M点，交AD延长线于N点，将△ADF绕着点A顺时针旋转90°，得到△AGH，连结HM，HE．由（1）知△AEH≌△AEF，则由勾股定理有（GH+BE）2+BG2=EH2，即（GH+BE）2+（BM﹣GM）2=EH2又∴EF=HE，DF=GH=GM，BE=BM，所以有（GH+BE）2+（BE﹣GH）2=EF2，即2（DF2+BE2）=EF2考点：四边形综合题5．请认真阅读下面的数学小探究系列，完成所提出的问题：()1探究1：如图1，在等腰直角三角形ABC 中，90ACB ∠=o ，BC a =，将边AB 绕点B 顺时针旋转90o 得到线段BD ，连接.CD 求证：BCD V 的面积为21.(2a 提示：过点D 作BC 边上的高DE ，可证ABC V ≌)BDE V ()2探究2：如图2，在一般的Rt ABC V 中，90ACB ∠=o ，BC a =，将边AB 绕点B 顺时针旋转90o 得到线段BD ，连接.CD 请用含a 的式子表示BCD V 的面积，并说明理由． ()3探究3：如图3，在等腰三角形ABC 中，AB AC =，BC a =，将边AB 绕点B 顺时针旋转90o 得到线段BD ，连接.CD 试探究用含a 的式子表示BCD V 的面积，要有探究过程．【答案】（1）详见解析；（2）BCD V 的面积为212a ，理由详见解析；（3）BCD V 的面积为214a ． 【解析】【分析】 ()1如图1，过点D 作BC 的垂线，与BC 的延长线交于点E ，由垂直的性质就可以得出ABC V ≌BDE V ，就有DE BC a.==进而由三角形的面积公式得出结论；()2如图2，过点D 作BC 的垂线，与BC 的延长线交于点E ，由垂直的性质就可以得出ABC V ≌BDE V ，就有DE BC a.==进而由三角形的面积公式得出结论；()3如图3，过点A 作AF BC ⊥与F ，过点D 作DE BC ⊥的延长线于点E ，由等腰三角形的性质可以得出1 BF BC2=，由条件可以得出AFBV≌BEDV就可以得出BF DE=，由三角形的面积公式就可以得出结论．【详解】()1如图1，过点D作DE CB⊥交CB的延长线于E，BED ACB90∠∠∴==o，由旋转知，AB AD=，ABD90∠=o，ABC DBE90∠∠∴+=o，A ABC90∠∠+=oQ，A DBE∠∠∴=，在ABCV和BDEV中，ACB BEDA DBEAB BD∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，ABC∴V≌()BDE AASVBC DE a∴==，BCD1S BC DE2=⋅VQ，2BCD1S a2∴=V；()2BCDV的面积为21a2，理由：如图2，过点D作BC的垂线，与BC的延长线交于点E，BED ACB90∠∠∴==o，Q线段AB绕点B顺时针旋转90o得到线段BE，AB BD∴=，ABD90∠=o，ABC DBE 90∠∠∴+=o ，A ABC 90∠∠+=o Q ，A DBE ∠∠∴=，在ABC V 和BDE V 中，ACB BED A DBE AB BD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，ABC ∴V ≌()BDE AAS V ，BC DE a ∴==，BCD 1S BC DE 2=⋅V Q ， 2BCD 1S a 2∴=V ； ()3如图3，过点A 作AF BC ⊥与F ，过点D 作DE BC ⊥的延长线于点E ，AFB E 90∠∠∴==o ，11BF BC a 22==， FAB ABF 90∠∠∴+=o ，ABD 90∠=o Q ，ABF DBE 90∠∠∴+=o ， FAB EBD ∠∠∴=，Q 线段BD 是由线段AB 旋转得到的，AB BD ∴=，在AFB V 和BED V 中，AFB E FAB EBD AB BD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，AFB ∴V ≌()BED AAS V ，1BF DE a 2∴==， 2BCD 1111S BC DE a a a 2224=⋅=⋅⋅=V Q ，BCD V 的面积为21a 4．【点睛】本题考查了旋转的性质、直角三角形的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形的面积等，综合性较强，有一定的难度，正确添加辅助线、熟练掌握和灵活运用相关的性质与定理是解题的关键.6．两块等腰直角三角板△ABC 和△DEC 如图摆放，其中∠ACB=∠DCE=90°，F 是DE 的中点，H 是AE 的中点，G 是BD 的中点．（1）如图1，若点D 、E 分别在AC 、BC 的延长线上，通过观察和测量，猜想FH 和FG 的数量关系为______和位置关系为______；（2）如图2，若将三角板△DEC 绕着点C 顺时针旋转至ACE 在一条直线上时，其余条件均不变，则（1）中的猜想是否还成立，若成立，请证明，不成立请说明理由；（3）如图3，将图1中的△DEC 绕点C 顺时针旋转一个锐角，得到图3，（1）中的猜想还成立吗？直接写出结论，不用证明．【答案】（1）相等，垂直．（2）成立，证明见解析；（3）成立，结论是FH=FG ，FH ⊥FG ． 【解析】试题分析：（1）证AD=BE ，根据三角形的中位线推出FH=12AD ，FH ∥AD ，FG=12BE ，FG ∥BE ，即可推出答案；（2）证△ACD ≌△BCE ，推出AD=BE ，根据三角形的中位线定理即可推出答案； （3）连接BE 、AD ，根据全等推出AD=BE ，根据三角形的中位线定理即可推出答案． 试题解析：（1）解：∵CE=CD ，AC=BC ，∠ECA=∠DCB=90°， ∴BE=AD ，∵F 是DE 的中点，H 是AE 的中点，G 是BD 的中点，∴FH=12AD ，FH ∥AD ，FG=12BE ，FG ∥BE ， ∴FH=FG ， ∵AD ⊥BE ， ∴FH ⊥FG ，故答案为相等，垂直． （2）答：成立，证明：∵CE=CD ，∠ECD=∠ACD=90°，AC=BC ， ∴△ACD ≌△BCE ∴AD=BE ，由（1）知：FH=12AD ，FH ∥AD ，FG=12BE ，FG ∥BE ， ∴FH=FG ，FH ⊥FG ，∴（1）中的猜想还成立．（3）答：成立，结论是FH=FG ，FH ⊥FG ． 连接AD ，BE ，两线交于Z ，AD 交BC 于X ， 同（1）可证∴FH=12AD ，FH ∥AD ，FG=12BE ，FG ∥BE ， ∵三角形ECD 、ACB 是等腰直角三角形， ∴CE=CD ，AC=BC ，∠ECD=∠ACB=90°， ∴∠ACD=∠BCE ， 在△ACD 和△BCE 中AC BC ACD BCE CE CD ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝ ， ∴△ACD ≌△BCE ， ∴AD=BE ，∠EBC=∠DAC ，∵∠DAC+∠CXA=90°，∠CXA=∠DXB ， ∴∠DXB+∠EBC=90°， ∴∠EZA=180°﹣90°=90°， 即AD ⊥BE ， ∵FH ∥AD ，FG ∥BE ， ∴FH ⊥FG ， 即FH=FG ，FH ⊥FG ， 结论是FH=FG ，FH ⊥FG.【点睛】运用了等腰直角三角形的性质、全等三角形的性质和判定、三角形的中位线定理，旋转的性质等知识点的理解和掌握，能熟练地运用这些性质进行推理是解此题的关键．7．如图1，在锐角△ABC中，∠ABC=45°，高线AD、BE相交于点F．（1）判断BF与AC的数量关系并说明理由；（2）如图2，将△ACD沿线段AD对折，点C落在BD上的点M，AM与BE相交于点N，当DE∥AM时，判断NE与AC的数量关系并说明理由．【答案】（1）BF=AC，理由见解析；（2）NE=12AC，理由见解析.【解析】试题分析：（1）如图1，证明△ADC≌△BDF（AAS），可得BF=AC；（2）如图2，由折叠得：MD=DC，先根据三角形中位线的推论可得：AE=EC，由线段垂直平分线的性质得：AB=BC，则∠ABE=∠CBE，结合（1）得：△BDF≌△ADM，则∠DBF=∠MAD，最后证明∠ANE=∠NAE=45°，得AE=EN，所以EN=12 AC．试题解析：（1）BF=AC，理由是：如图1，∵AD⊥BC，BE⊥AC，∴∠ADB=∠AEF=90°，∵∠ABC=45°，∴△ABD是等腰直角三角形，∴AD=BD，∵∠AFE=∠BFD，∴∠DAC=∠EBC，在△ADC和△BDF中，∵DAC DBFADC BDF AD BD∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ADC≌△BDF（AAS），∴BF=AC；（2）NE=12AC，理由是：如图2，由折叠得：MD=DC，∵DE∥AM，∴AE=EC，∵BE⊥AC，∴AB=BC，∴∠ABE=∠CBE，由（1）得：△ADC≌△BDF，∵△ADC≌△ADM，∴△BDF≌△ADM，∴∠DBF=∠MAD，∵∠DBA=∠BAD=45°，∴∠DBA﹣∠DBF=∠BAD﹣∠MAD，即∠ABE=∠BAN，∵∠ANE=∠ABE+∠BAN=2∠ABE，∠NAE=2∠NAD=2∠CBE，∴∠ANE=∠NAE=45°，∴AE=EN，∴EN=12 AC．8．如图（1）所示，将一个腰长为2等腰直角△BCD和直角边长为2、宽为1的直角△CED 拼在一起．现将△CED绕点C顺时针旋转至△CE’D’，旋转角为a．（1）如图（2），旋转角a=30°时，点D′到CD边的距离D’A=______．求证：四边形ACED′为矩形；（2）如图（1），△CED绕点C顺时针旋转一周的过程中，在BC上如何取点G，使得GD’=E’D；并说明理由．（3）△CED绕点C顺时针旋转一周的过程中，∠CE’D=90°时，直接写出旋转角a的值．【答案】1【解析】分析：（1）过D′作D′N⊥CD于N．由30°所对直角边等于斜边的一半即可得结论．由D’A∥CE且D’A=CE=1，得到四边形ACED’为平行四边形．根据有一个角为90°的平行四边形是矩形，即可得出结论；（2）取BC中点即为点G，连接GD’．易证△DCE’≌△D’CG，由全等三角形的对应边相等即可得出结论．（3）分两种情况讨论即可．详解：（1）D’A=1．理由如下：过D′作D′N⊥CD于N．∵∠NCD′=30°，CD′=CD=2，∴ND′= 12CD′=1．由已知，D’A∥CE，且D’A=CE=1，∴四边形ACED’为平行四边形．又∵∠DCE=90°，∴四边形ACED’为矩形；（2）如图，取BC中点即为点G，连接GD’．∵∠DCE=∠D’CE’=90°，∴∠DCE’=∠D’CG．又∵D’C= DC，CG=CE’，∴△DCE’≌△D’CG，∴GD’=E’D．（3）分两种情况讨论：①如图1．∵∠CE′D=90°，CD=2，CE′=1，∴∠CDE′=30°，∴∠E′CD=60°，∴∠E′CB=30°，∴旋转角=∠ECE′=180°+30°=210°．②如图2，同理可得∠E′CE=30°，∴旋转角=360°－30°=330°．点睛：本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．9．如图，△ABC是等边三角形，AB=6cm，D为边AB中点．动点P、Q在边AB上同时从点D出发，点P沿D→A以1cm/s的速度向终点A运动．点Q沿D→B→D以2cm/s的速度运动，回到点D停止．以PQ为边在AB上方作等边三角形PQN．将△PQN绕QN的中点旋转180°得到△MNQ．设四边形PQMN与△ABC重叠部分图形的面积为S（cm2），点P运动的时间为t（s）（0＜t＜3）．（1）当点N落在边BC上时，求t的值．（2）当点N到点A、B的距离相等时，求t的值．（3）当点Q沿D→B运动时，求S与t之间的函数表达式．（4）设四边形PQMN的边MN、MQ与边BC的交点分别是E、F，直接写出四边形PEMF 与四边形PQMN的面积比为2：3时t的值．【答案】（1）（2）2（3）S=S菱形PQMN=2S△PNQ=t2；（4）t=1或【解析】试题分析：（1）由题意知：当点N落在边BC上时，点Q与点B重合，此时DQ=3；（2）当点N到点A、B的距离相等时，点N在边AB的中线上，此时PD=DQ；（3）当0≤t≤时，四边形PQMN与△ABC重叠部分图形为四边形PQMN；当≤t≤时，四边形PQMN与△ABC重叠部分图形为五边形PQFEN．（4）MN、MQ与边BC的有交点时，此时＜t＜，列出四边形PEMF与四边形PQMN的面积表达式后，即可求出t的值．试题解析：（1）∵△PQN与△ABC都是等边三角形，∴当点N落在边BC上时，点Q与点B重合．∴DQ=3∴2t=3．∴t=；（2）∵当点N到点A、B的距离相等时，点N在边AB的中线上，∴PD=DQ，当0＜t＜时，此时，PD=t，DQ=2t∴t=2t∴t=0（不合题意，舍去），当≤t＜3时，此时，PD=t，DQ=6﹣2t∴t=6﹣2t，解得t=2；综上所述，当点N到点A、B的距离相等时，t=2；（3）由题意知：此时，PD=t，DQ=2t当点M在BC边上时，∴MN=BQ∵PQ=MN=3t，BQ=3﹣2t∴3t=3﹣2t∴解得t=如图①，当0≤t≤时，S△PNQ=PQ2=t2；∴S=S菱形PQMN=2S△PNQ=t2，如图②，当≤t≤时，设MN、MQ与边BC的交点分别是E、F，∵MN=PQ=3t，NE=BQ=3﹣2t，∴ME=MN﹣NE=PQ﹣BQ=5t﹣3，∵△EMF是等边三角形，∴S△EMF=ME2=（5t﹣3）2．；（4）MN、MQ与边BC的交点分别是E、F，此时＜t＜，t=1或．考点：几何变换综合题10．(1)观察猜想如图(1)，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC,点D是BC的中点．以点D为顶点作正方形DEFG，使点A，C分别在DG和DE上，连接AE，BG，则线段BG和AE的数量关系是_____；(2)拓展探究将正方形DEFG绕点D逆时针方向旋转一定角度后（旋转角度大于0°，小于或等于360°），如图2，则(1)中的结论是否仍然成立？如果成立，请予以证明；如果不成立，请说明理由.(3)解决问题若BC=DE=2，在(2)的旋转过程中，当AE为最大值时，直接写出AF的值．【答案】（1）BG＝AE．（2）成立．如图②，连接AD．∵△ABC是等腰三直角角形，∠BAC＝90°，点D是BC的中点．∴∠ADB＝90°，且BD＝AD．∵∠BDG＝∠ADB－∠ADG＝90°－∠ADG＝∠ADE，DG＝DE．∴△BDG≌△ADE，∴BG＝AE．…………………………………………7分（3）由（2）知，BG＝AE，故当BG最大时，AE也最大．正方形DEFG绕点D逆时针方向旋转270°时，BG最大，如图③．若BC＝DE＝2，则AD＝1，EF＝2．在Rt△AEF中，AF2＝AE2＋EF2＝(AD＋DE)2＋EF2＝(1＋2)2＋22＝13．∴AF＝【解析】解：（1）BG＝AE．（2）成立．如图②，连接AD．∵△ABC是等腰三直角角形，∠BAC＝90°，点D是BC的中点．∴∠ADB＝90°，且BD＝AD．∵∠BDG＝∠ADB－∠ADG＝90°－∠ADG＝∠ADE，DG＝DE．∴△BDG≌△ADE，∴BG＝AE．（3）由（2）知，BG＝AE，故当BG最大时，AE也最大．Z+X+X+K]因为正方形DEFG在绕点D旋转的过程中，G点运动的图形是以点D为圆心，DG为半径的圆，故当正方形DEFG旋转到G点位于BC的延长线上（即正方形DEFG绕点D逆时针方向旋转270°）时，BG最大，如图③．若BC＝DE＝2，则AD＝1，EF＝2．在Rt△AEF中，AF2＝AE2＋EF2＝(AD＋DE)2＋EF2＝(1＋2)2＋22＝13．∴AF＝．即在正方形DEFG旋转过程中，当AE为最大值时，AF＝．11．如图1，在正方形ABCD中，点E、F分别在边BC，CD上，且BE=DF，点P是AF的中点，点Q是直线AC与EF的交点，连接PQ，PD．（1）求证：AC垂直平分EF；（2）试判断△PDQ的形状，并加以证明；（3）如图2，若将△CEF绕着点C旋转180°，其余条件不变，则（2）中的结论还成立吗？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由．【答案】（1）证明见解析；（2）△PDQ是等腰直角三角形；理由见解析（3）成立；理由见解析.【解析】试题分析：（1）由正方形的性质得出AB=BC=CD=AD，∠B=∠ADF=90°，∠BCA=∠DCA=45°，由BE=DF，得出CE=CF，△CEF是等腰直角三角形，即可得出结论；（2）由直角三角形斜边上的中线的性质得出PD=AF，PQ=AF，得出PD=PQ，再证明∠DPQ=90°，即可得出结论；（3）由直角三角形斜边上的中线的性质得出PD=AF，PQ=AF，得出PD=PQ，再证明点A、F、Q、P四点共圆，由圆周角定理得出∠DPQ=2∠DAQ=90°，即可得出结论．试题解析：（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC=CD=AD，∠B=∠ADF=90°，∠BCA=∠DCA=45°，∵BE=DF，∴CE=CF，∴AC垂直平分EF；（2）解：△PDQ是等腰直角三角形；理由如下：∵点P是AF的中点，∠ADF=90°，∴PD=AF=PA，∴∠DAP=∠ADP，∵AC垂直平分EF，∴∠AQF=90°，∴PQ=AF=PA，∴∠PAQ=∠AQP，PD=PQ，∵∠DPF=∠PAD+∠ADP，∠QPF=∠PAQ+∠AQP，∴∠DPQ=2∠PAD+2∠PAQ=2（∠PAD+∠PAQ）=2×45°=90°，∴△PDQ是等腰直角三角形；（3）成立；理由如下：∵点P是AF的中点，∠ADF=90°，∴PD=AF=PA，∵BE=DF，BC=CD，∠FCQ=∠ACD=45°，∠ECQ=∠ACB=45°，∴CE=CF，∠FCQ=∠ECQ，∴CQ⊥EF，∠AQF=90°，∴PQ=AF=AP=PF，∴PD=PQ=AP=PF，∴点A、F、Q、P四点共圆，∴∠DPQ=2∠DAQ=90°，∴△PDQ是等腰直角三角形．考点：四边形综合题．12．思维启迪：（1）如图1，A，B两点分别位于一个池塘的两端，小亮想用绳子测量A，B间的距离，但绳子不够长，聪明的小亮想出一个办法：先在地上取一个可以直接到达B 点的点C，连接BC，取BC的中点P（点P可以直接到达A点），利用工具过点C作CD∥AB交AP的延长线于点D，此时测得CD＝200米，那么A，B间的距离是米．思维探索：（2）在△ABC和△ADE中，AC＝BC，AE＝DE，且AE＜AC，∠ACB＝∠AED＝90°，将△ADE绕点A顺时针方向旋转，把点E在AC边上时△ADE的位置作为起始位置（此时点B和点D位于AC的两侧），设旋转角为α，连接BD，点P是线段BD的中点，连接PC，PE．①如图2，当△ADE在起始位置时，猜想：PC与PE的数量关系和位置关系分别是；②如图3，当α＝90°时，点D落在AB边上，请判断PC与PE的数量关系和位置关系，并证明你的结论；③当α＝150°时，若BC＝3，DE＝l，请直接写出PC2的值．【答案】（1）200；（2）①PC＝PE，PC⊥PE；②PC与PE的数量关系和位置关系分别是PC＝PE，PC⊥PE，见解析；③PC21033.【解析】【分析】（1）由CD ∥AB ，可得∠C ＝∠B ，根据∠APB ＝∠DPC 即可证明△ABP ≌△DCP ，即可得AB ＝CD ，即可解题．（2）①延长EP 交BC 于F ，易证△FBP ≌△EDP （SAS ）可得△EFC 是等腰直角三角形，即可证明PC ＝PE ，PC ⊥PE ．②作BF ∥DE ，交EP 延长线于点F ，连接CE 、CF ，易证△FBP ≌△EDP （SAS ），结合已知得BF ＝DE ＝AE ，再证明△FBC ≌△EAC （SAS ），可得△EFC 是等腰直角三角形，即可证明PC ＝PE ，PC ⊥PE ．③作BF ∥DE ，交EP 延长线于点F ，连接CE 、CF ，过E 点作EH ⊥AC 交CA 延长线于H 点，由旋转旋转可知，∠CAE ＝150°，DE 与BC 所成夹角的锐角为30°，得∠FBC ＝∠EAC ，同②可证可得PC ＝PE ，PC ⊥PE ，再由已知解三角形得∴EC 2＝CH 2+HE 2＝10+求出2211022PC EC +== 【详解】（1）解：∵CD ∥AB ，∴∠C ＝∠B ，在△ABP 和△DCP 中， BP CP APB DPC B C =⎧⎪∠=∠⎨⎪∠=∠⎩，∴△ABP ≌△DCP （SAS ），∴DC ＝AB ．∵AB ＝200米．∴CD ＝200米，故答案为：200．（2）①PC 与PE 的数量关系和位置关系分别是PC ＝PE ，PC ⊥PE ．理由如下：如解图1，延长EP 交BC 于F ，同（1）理，可知∴△FBP ≌△EDP （SAS ），∴PF ＝PE ，BF ＝DE ，又∵AC ＝BC ，AE ＝DE ，∴FC ＝EC ，又∵∠ACB ＝90°，∴△EFC 是等腰直角三角形，∵EP ＝FP ，∴PC ＝PE ，PC ⊥PE ．②PC 与PE 的数量关系和位置关系分别是PC ＝PE ，PC ⊥PE ．理由如下：如解图2，作BF ∥DE ，交EP 延长线于点F ，连接CE 、CF ，同①理，可知△FBP ≌△EDP （SAS ），∴BF ＝DE ，PE ＝PF ＝12EF ，∵DE ＝AE ，∴BF ＝AE ，∵当α＝90°时，∠EAC ＝90°，∴ED ∥AC ，EA ∥BC∵FB ∥AC ，∠FBC ＝90，∴∠CBF ＝∠CAE ，在△FBC 和△EAC 中，BF AE CBE CAE BC AC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△FBC ≌△EAC （SAS ），∴CF ＝CE ，∠FCB ＝∠ECA ，∵∠ACB ＝90°，∴∠FCE ＝90°，∴△FCE 是等腰直角三角形，∵EP ＝FP ，∴CP ⊥EP ，CP ＝EP ＝12EF ． ③如解图3，作BF ∥DE ，交EP 延长线于点F ，连接CE 、CF ，过E 点作EH ⊥AC 交CA 延长线于H 点，当α＝150°时，由旋转旋转可知，∠CAE ＝150°，DE 与BC 所成夹角的锐角为30°， ∴∠FBC ＝∠EAC ＝α＝150°同②可得△FBP ≌△EDP （SAS ），同②△FCE 是等腰直角三角形，CP ⊥EP ，CP ＝EP， 在Rt △AHE 中，∠EAH ＝30°，AE ＝DE ＝1，∴HE ＝12，AH＝2， 又∵AC ＝AB ＝3， ∴CH ＝∴EC 2＝CH 2+HE 2＝10+∴PC 2＝211022EC +=【点睛】本题考查几何变换综合题，考查了旋转的性质、全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形性质、勾股定理和30°直角三角形性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于压轴题．13．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，点O为AB中点，点P为直线BC上的动点（不与点B、点C重合），连接OC、OP，将线段OP绕点P顺时针旋转60°，得到线段PQ，连接BQ．（1）如图1，当点P在线段BC上时，请直接写出线段BQ与CP的数量关系．（2）如图2，当点P在CB延长线上时，（1）中结论是否成立？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由；（3）如图3，当点P在BC延长线上时，若∠BPO=15°，BP=4，请求出BQ的长．-．【答案】（1）BQ=CP；（2）成立：PC=BQ；（3）434【解析】试题分析：（1）结论：BQ=CP．如图1中，作PH∥AB交CO于H，可得△PCH是等边三角形，只要证明△POH≌△QPB即可；（2）成立：PC=BQ．作PH∥AB交CO的延长线于H．证明方法类似（1）；（3）如图3中，作CE⊥OP于E，在PE上取一点F，使得FP=FC，连接CF．设CE=CO=a，则FC=FP=2a，EF3，在Rt△PCE中，表示出PC，根据PC+CB=4，可得方程a a+=，求出a即可解决问题；62)24试题解析：解：（1）结论：BQ=CP．理由：如图1中，作PH∥AB交CO于H．在Rt△ABC中，∵∠ACB=90°，∠A=30°，点O为AB中点，∴CO=AO=BO，∠CBO=60°，∴△CBO 是等边三角形，∴∠CHP =∠COB =60°，∠CPH =∠CBO =60°，∴∠CHP =∠CPH =60°，∴△CPH 是等边三角形，∴PC =PH =CH ，∴OH =PB ，∵∠OPB =∠OPQ +∠QPB =∠OCB +∠COP ，∵∠OPQ =∠OCP =60°，∴∠POH =∠QPB ，∵PO =PQ ，∴△POH ≌△QPB ，∴PH =QB ，∴PC =BQ ．（2）成立：PC =BQ ．理由：作PH ∥AB 交CO 的延长线于H ．在Rt △ABC 中，∵∠ACB =90°，∠A =30°，点O 为AB 中点，∴CO =AO =BO ，∠CBO =60°，∴△CBO 是等边三角形，∴∠CHP =∠COB =60°，∠CPH =∠CBO =60°，∴∠CHP =∠CPH =60°，∴△CPH 是等边三角形，∴PC =PH =CH ，∴OH =PB ，∵∠POH =60°+∠CPO ，∠QPO =60°+∠CPQ ，∴∠POH =∠QPB ，∵PO =PQ ，∴△POH ≌△QPB ，∴PH =QB ，∴PC =BQ ．（3）如图3中，作CE ⊥OP 于E ，在PE 上取一点F ，使得FP =FC ，连接CF ．∵∠OPC =15°，∠OCB =∠OCP +∠POC ，∴∠POC =45°，∴CE =EO ，设CE =CO =a ，则FC =FP =2a ，EF =3a ，在Rt △PCE 中，PC =22PE CE + =22(23)a a a ++=(62)a +，∵PC +CB =4，∴(62)24a a ++=，解得a =4226-，∴PC =434-，由（2）可知BQ =PC ，∴BQ =434-．点睛：此题考查几何变换综合题、旋转变换、等边三角形的判定和性质全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．14．正方形ABCD 中，点E 、F 分别是边AD 、AB 的中点，连接EF ．（1）如图1，若点G 是边BC 的中点，连接FG ，则EF 与FG 关系为： ；（2）如图2，若点P 为BC 延长线上一动点，连接FP ，将线段FP 以点F 为旋转中心，逆时针旋转90°，得到线段FQ ，连接EQ ，请猜想BF 、EQ 、BP 三者之间的数量关系，并证明你的结论．（3）若点P 为CB 延长线上一动点，按照（2）中的作法，在图3中补全图形，并直接写出BF 、EQ 、BP 三者之间的数量关系： ．【答案】（1）证明见解析（2）BF+EQ=BP （3）BF+BP=EQ【解析】试题分析：（1）EF 与FG 关系为垂直且相等（EF=FG 且EF ⊥FG ）．证明如下： ∵点E 、F 、G 分别是正方形边AD 、AB 、BC 的中点，∴△AEF 和△BGD 是两个全等的等腰直角三角形．∴EF=FG ，∠AFE=∠BFG=45°．∴∠EFG=90°，即EF ⊥FG ．（2）取BC 的中点G ，连接FG ，则由SAS 易证△FQE ≌△FPG ，从而EQ=GP ，因此()EF 2BP EQ =-．（3）同（2）可证△FQE ≌△FPG （SAS ），得EQ=GP ，因此，()()EF GF 2BG 2GP BP 2EQ BP ===-=-．15．如图，已知Rt △ABC 中，∠ACB =90°，AC =BC ，D 是线段AB 上的一点（不与A 、B 重合）．过点B 作BE ⊥CD ，垂足为E ．将线段CE 绕点C 顺时针旋转90︒，得到线段CF ，连结EF ．设∠BCE 度数为α.（1）①补全图形；②试用含α的代数式表示∠CDA ．（2）若3EF AB = ，求α的大小． （3）直接写出线段AB 、BE 、CF 之间的数量关系．【答案】（1）①答案见解析；②45α︒+；（2）30α=︒；（3）22222AB CF BE =+．【解析】试题分析：（1）①按要求作图即可；②由∠ACB=90°，AC=BC ，得∠ABC=45°,故可得出结论；（2）易证FCE ∆∽ ACB ∆，得32CF AC =；连结FA ，得△AFC 是直角三角形，求出∠ACF=30°，从而得出结论；（3）222A 22B CF BE =+.试题解析：（1）①补全图形．②∵∠ACB=90°，AC=BC ，∴∠ABC=45°∵∠BCE=α ∴∠CDA=45α︒+（2）在FCE ∆和ACB ∆中，45CFE CAB ∠=∠=︒ ，90FCE ACB ∠=∠=︒ ∴ FCE ∆∽ ACB ∆∴ CF EF AC AB= Q 3EF AB = ∴ 3CF AC = 连结FA ．Q 90,90FCA ACE ECB ACE ∠=︒-∠∠=︒-∠ ∴ FCA ECB ∠=∠=α在Rt CFA ∆中，90CFA ∠=︒，3cos 2FCA ∠= ∴ 30FCA ∠=︒即30α=︒.（3）22222AB CF BE =+。
初中数学旋转题型
初中数学旋转题型
在初中数学中，旋转是一个重要的概念和技能。
掌握旋转的原理和方法，可以帮助我们解决很多几何问题。
下面介绍一些初中数学中常见的旋转题型。
1. 点的旋转
在平面直角坐标系中，给定一个点P(x, y)，绕原点旋转θ度，求旋转后的点坐标。
解法：设旋转后的点为P'(x', y')，则有：
x' = x*cosθ - y*sinθ
y' = x*sinθ + y*cosθ
其中，cosθ和sinθ可以通过三角函数表查找。
2. 图形的旋转
在平面直角坐标系中，给定一个图形，绕原点旋转θ度，求旋转后的图形。
解法：将图形上的每个点都按照点的旋转方法进行旋转，然后连接这些点，就得到了旋转后的图形。
3. 对称图形的旋转
在平面直角坐标系中，给定一个对称图形，绕对称轴旋转θ度，求旋转后的图形。
解法：对称轴不变，将图形上的每个点都按照点的旋转方法进行旋转，然后连接这些点，就得到了旋转后的图形。
4. 正方形的旋转
在平面直角坐标系中，给定一个正方形，绕其中心旋转θ度，求旋转后的正方形。
解法：连接正方形的对角线，得到两个对称轴，分别将正方形上的每个点按照点的旋转方法进行旋转，然后连接这些点，就得到了旋转后的正方形。
5. 圆的旋转
在平面直角坐标系中，给定一个圆，绕其中心旋转θ度，求旋转后的圆。
解法：圆上每个点到圆心的距离不变，因此可以先求出旋转后的圆心坐标，然后将圆心和圆上的每个点都按照点的旋转方法进行旋转，就得到了旋转后的圆。
以上就是初中数学中常见的旋转题型，希望能对大家的学习有所帮助。
专题29 旋转-中考数学一轮复习精讲+热考题型(解析版)
专题29 旋转【知识要点】 知识点一 旋转的基础旋转的概念：把一个平面图形绕着平面内某一点O 转动一个角度，叫作图形的旋转.点O 叫作旋转中心，转动的角叫作旋转角.如图形上的点P 经过旋转变化点P '，那么这两个点叫作这个旋转的对应点.如图所示，A OB ''∆是AOB ∆绕定点O 逆时针旋转45︒得到的，其中点A 与点A '叫作对应点，线段OB 与线段OB '叫作对应线段，OAB ∠与OA B '∠叫作对应角，点O 叫作旋转中心，AOA '∠（或BOB '∠）的度数叫作旋转的角度. 【注意】1.图形的旋转由旋转中心、旋转方向与旋转的角度所决定.2.旋转中心可以是图形内，也可以是图形外。
【图形旋转的三要素】旋转中心、旋转方向和旋转角. 旋转的特征：➢ 对应点到旋转中心的距离相等；➢ 对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角； ➢ 旋转前、后的图形全等. 旋转作图的步骤方法：➢ 确定旋转中心、旋转方向、旋转角； ➢ 找出图形上的关键点；➢ 连接图形上的关键点与旋转中心，然后按旋转方向分别将它们旋转一定的角度，得到关键点的对应点； ➢ 按原图的顺序连接这些对应点，即得旋转后的图形. 平移、旋转、轴对称之间的联系：变化后不改变图形的大小和形状，对应线段相等、对应角相等。
平移、旋转、轴对称之间的区别： 1） 变化方式不同：平移：将一个图形沿某个方向移动一定距离。
旋转：将一个图形绕一个顶点沿某个方向转一定角度。
A轴对称：将一个图形沿一条直线对折。
2） 对应线段、对应角之间的关系不同平移： 变化前后对应线段平行（或在一条直线上），对应点连线平行（或在一条直线上），对应角的两边平行（或在一条直线上）、方向一致。
旋转： 变化前后任意一对对应点与旋转中心的连线所称的角都是旋转角。
轴对称：对应线段或延长线如果相交，那么交点在对称轴上。
3）确定条件不同 平移：距离与方向 旋转：旋转的三要素。
九年级数学旋转知识点总结
九年级数学旋转知识点总结九年级数学旋转知识点总结九年级数学中的旋转知识点是学生在几何学中学习的重要内容之一。
通过对平面图形的旋转操作，学生可以更好地理解和应用几何学原理，培养空间想象力和逻辑思维能力。
本文将对九年级数学中的旋转知识点进行总结，并对其相关概念和常见题型进行详细讲解。
一、旋转基本概念1. 旋转的定义：旋转是指将一个图形围绕某一点进行转动，保持图形形状和大小不变的操作。
2. 旋转中的基本概念：(1) 旋转中心：图形旋转的固定点。
(2) 旋转角度：旋转的角度大小，通常用度数表示。
(3) 旋转方向：图形旋转时顺时针或逆时针的方向。
二、旋转的基本性质1. 旋转的角度：一个图形旋转后，原形与变形之间的对应点与旋转中心的连线所成的角度大小是相等的，即旋转角度相等。
2. 旋转角的正负：顺时针旋转角度为负值，逆时针旋转角度为正值。
3. 旋转的性质：旋转操作不改变图形的形状和大小，保持图形的对称性。
三、旋转的常见图形1. 旋转的平面图形：点、线、线段、角、三角形、四边形等。
2. 旋转的空间图形：圆、球体等。
四、旋转的常见题型及解题方法1. 旋转图形的对称性：通过旋转可以得到与原图形相似的新图形，根据旋转中的对称性可以快速判断图形的对称性质。
2. 旋转图形的等角性：利用旋转的角度和方向，可以验证等角图形的特点，如全等三角形、相似四边形等。
3. 旋转图形的变换：根据给定的旋转中心、角度和方向，进行图形的旋转操作，并分析新图形的特征。
4. 旋转图形的坐标表示：对于平面坐标系中的点、线段、图形等，可以通过旋转公式计算其新的坐标位置。
五、旋转的应用1. 平面图形的构造：通过将已知的图形旋转得到新的图形，进行几何图形的构造。
2. 图形的变换：旋转是一种常用的图形变换方法，可以改变图形的朝向和位置。
3. 证明与推理：利用旋转的性质，可以推导证明几何命题、解决几何问题，提高数学的证明和推理能力。
总之，九年级数学中的旋转知识点是几何学中的重要内容，旋转的基本概念、性质和常见图形需要学生进行深入理解和掌握。
初中数学中考冲刺必备(旋转几个类型题)
初中数学中考冲刺必备(旋转几个类型题)
几何图形变换包括平移、旋转和翻折三种基本变换。
这些变换是根据确定的法则对给定的图形进行位置变化，然后在新的图形中分析有关图形之间的关系。
在这些变换中，旋转是其中一种基本变换。
旋转是指根据确定的旋转中心和旋转角度，将图形绕旋转中心旋转一定角度，得到新的图形。
在初中数学中考中，常见的旋转图形有三种类型：正三角形、正方形和等腰直角三角形。
对于正三角形类型的旋转题目，一般要求根据旋转角度和旋转中心，求出图形中某些线段的长度或角度。
例如，在正三角形ABC中，如果将ΔABP绕A点逆时针旋转60°，使得
AB与AC重合，那么需要求∠APB的度数。
对于正方形类型的旋转题目，一般要求根据旋转角度和旋转中心，求出正方形的面积或其他相关的线段长度或角度。
例如，在正方形ABCD中，如果将ΔABP绕B点顺时针旋转90°，使得BA与BC重合，那么需要求正方形ABCD的面积。
对于等腰直角三角形类型的旋转题目，一般要求根据旋转角度和旋转中心，求出图形中某些线段的长度或角度。
例如，在等腰直角三角形ABC中，如果将ΔAPC绕C点逆时针旋转90°，使得AC与BC重合，那么需要求∠___的度数。
通过以上三种类型的旋转题目的练，可以帮助学生更好地理解几何图形变换，提高他们的几何图形变换能力。
初中数学旋转问题解题技巧
初中数学旋转问题解题技巧
1. 嘿，你知道吗？遇到旋转问题别慌张！比如像钟表指针的转动，那就是旋转呀！咱就拿这个例子说，看到旋转角，那就是关键线索啊，可别小瞧它！
2. 同学们，旋转问题里找对应边对应角很重要哦！就好像拼图似的，得把它们都对上才行。
比如说一个三角形旋转后，那对应的边和角不就得赶紧找到呀！
3. 哎呀呀，旋转图形里的中心对称点可得看准了！你想想看，就像游乐场的摩天轮中心一样重要呢！比如给定一个图形绕着某个点旋转，那这个点不就是核心嘛！
4. 嘿，注意旋转方向呀！顺时针还是逆时针可不能搞错啊，这就好比走路，方向错了可就到不了目的地啦。
就像那个风车旋转，得清楚是怎么转的呀！
5. 别忘了利用旋转前后图形全等这个特性哦！这多有用呀！好比原来的你和现在的你，本质上还是同一个人呀！比如知道了一个图形旋转前的情况，那旋转后的很多性质就可以利用全等知道啦！
6. 哇塞，在做旋转问题时可以动手画一画呀！亲手画的过程就像给自己搭房子，一砖一瓦都清楚。
像一个四边形旋转，动手画画不就更直观了嘛！
7. 你们有没有发现呀，有些旋转问题和生活中的现象超像的！就像风扇的转动一样。
比如说判断图形经过旋转后的样子，是不是和风扇转了一圈很类似呀！
8. 哈哈，遇到复杂的旋转问题别头疼，一步步来呀！就像爬山，一步一步总能到山顶。
比如那个多次旋转的问题，不要怕，慢慢分析总会搞清楚的！
9. 反正呀，初中数学的旋转问题没那么难，只要用心去琢磨，就像研究自己喜欢的东西一样，总能找到方法解决的！
我的观点结论：只要掌握好方法和技巧，初中数学旋转问题就能轻松搞定！。
中考数学总复习之图形的旋转知识点归纳
中考数学总复习之图形的旋转知识点归纳1．旋转的性质（1）旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等．对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．旋转前、后的图形全等．（2）旋转三要素：①旋转中心；旋转方向；旋转角度．（3）注意：三要素中只要任意改变一个，图形就会不一样．2．中心对称（1）中心对称的定义把一个图形绕着某个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心，这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点．．（2）中心对称的性质①关于中心对称的两个图形能够完全重合；②关于中心对称的两个图形，对应点的连线都经过对称中心，并且被对称中心平分．3．坐标与图形变化-旋转（1）关于原点对称的点的坐标P（x，y）⇒P（﹣x，﹣y）（2）旋转图形的坐标图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊角度如：30°，45°，60°，90°，180°．4．作图-旋转变换（1）旋转图形的作法：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．（2）旋转作图有自己独特的特点，决定图形位置的因素较多，旋转角度、旋转方向、旋转中心，任意不同，位置就不同，但得到的图形全等．5．利用旋转设计图案由一个基本图案可以通过平移、旋转和轴对称以及中心对称等方法变换出一些复合图案．利用旋转设计图案关键是利用旋转中的三个要素（旋转中心；旋转方向；旋转角度）设计图案．通过旋转变换不同角度或者绕着不同的旋转中心向着不同的方向进行旋转都可设计出美丽的图案．。
九年级数学图形的旋转专题讲解+六大题型解析+专题训练,收藏学习
九年级数学图形的旋转专题讲解+六大题型解析+专题训练，收藏学习九年级数学图形的旋转专题讲解+六大题型解析+专题训练，收藏学习 -九年级数学图形的旋转专题讲解+六大题型解析+专题训练，收藏学习图形的旋转这一章节是初中几何内容中非常重要的一个章节，对于图形的运动的形式和规律以及旋转的性质都是我们在对几何的初步认识当中的一个过程，掌握其重要的性质之后，对于几何综合题型当中辅助线的运用起到了非常重要的作用。
并且图形的旋转加上已经学习过的平移和轴对称。
对几何图形的变化有充分地了解，建立几何空间思维的正确认识,对于几何空间能力的提升起到了非常重要的促进作用。
首先，在学习图形的旋转这一章节我们主要围绕以下两个重要的内容来展开:第一，掌握图形的旋转和中心对称的概念；第二，掌握旋转的本质。
这也是我们学习过程中的重点和难点内容。
因为在旋转前后的两个图形中，对应点与旋转中心之间的距离总是相同的，所以对应点必然分别在以旋转中心为圆心，以对应点到旋转中心的距离为半径的一组同心圆上，对应点与旋转中心连线所成的角等于且等于旋转角。
唐老师提醒大家，旋转过程中保持静止的点就是旋转的中心，不变的量就是对应的元素。
其次，旋转的三个要素：旋转中心、旋转的角度和旋转方向.第三，旋转的性质：（1）图形中的每一点都绕着旋转中心旋转了同样大小的连线所成的角度；—整体角度（2）对应点到旋转中心的距离相等；（3）对应线段相等，对应角相等；——局部角度（4）图形的形状和大小都没有发生变化，即旋转不改变图形的形状和大小.—变换结果.第四，简单图形的旋转作图：（1）确定旋转中心；（2）确定图形中的关键点；（3）将关键点沿指定的方向旋转指定的角度；(4)连接这些点，得到原始图形的旋转图形。
(以上四个步骤是我们在制作简单旋转图的过程中应该遵循的步骤。
按照以上步骤画图，可以提高大家的学习效率，保证其在画图过程中的正确率。
)第五，旋转对称图形：平面图形绕某点旋转一定角度(小于圆角)后，可以与自身重叠。
初中几何旋转解题技巧
初中几何旋转解题技巧引言几何学作为数学的一个重要分支，是初中数学教育中不可或缺的一部分。
而在几何学中，旋转是一种常见的变换方式。
通过旋转，我们可以改变图形的位置、形状和方向，从而解决与旋转相关的问题。
本文将介绍初中几何中常见的旋转解题技巧。
什么是旋转在几何学中，旋转是指将一个图形绕着某个点或某条线进行转动，使得图形保持形状不变但位置发生改变的操作。
我们可以通过角度来描述旋转的程度，常用单位为度（°）或弧度（rad）。
旋转解题技巧1. 确定旋转中心在解决旋转问题时，首先需要确定一个旋转中心。
这个中心可以是图形内部的一个点，也可以是图形外部的一个点。
根据问题给出的条件来选择合适的旋转中心。
2. 确定旋转方向确定了旋转中心后，接下来需要确定旋转方向。
根据问题描述和图形特点来判断顺时针还是逆时针方向进行旋转。
3. 确定旋转角度旋转角度是解决旋转问题的关键。
根据问题给出的条件，确定旋转角度。
常见的旋转角度有90°、180°和360°等。
4. 应用旋转公式在确定了旋转中心、旋转方向和旋转角度后，我们可以根据几何学中的旋转公式来解题。
以下是常见的几个旋转公式：•绕原点逆时针旋转θ°：对于坐标(x, y)，其逆时针旋转θ°后的新坐标为(x cosθ - y sinθ, x sinθ + y cosθ)。
•绕原点顺时针旋转θ°：对于坐标(x, y)，其顺时针旋转θ°后的新坐标为(x cosθ + y sinθ, -x sinθ + y cosθ)。
•绕任意点逆时针旋转θ°：先将图形平移使得旋转中心位于原点，然后按照绕原点逆时针旋转的方式计算新坐标，最后再将图形平移回原来位置。
5. 注意坐标变换在应用上述旋转公式进行计算时，需要注意坐标变换。
通常情况下，我们使用直角坐标系进行计算，在计算过程中需要将问题中给出的坐标转换为直角坐标系下的坐标，最后再将计算得到的坐标转换回原来的坐标系。
中考旋转问题解题技巧
中考旋转问题解题技巧
1. 哎呀呀，你知道吗，中考旋转问题里有个超重要的技巧就是找关键点呀！就像拼图一样，找到了关键点就能把整个图形拼凑起来啦！比如在这个图形里，找到那个关键的顶点，然后围绕它进行分析，疑惑是不是一下就解开啦？
2. 嘿，告诉你哦，旋转问题中要特别注意图形的对称性！这就好比是一把钥匙，能打开解题的大门呀！像这个图形，一旦发现了它的对称性，哇塞，解题思路不就一下子出来了嘛！
3. 哇哦，可别小看了观察已知条件这个步骤呀！它就像指明灯一样重要呢！比如这里给了这些条件，那我们就得像侦探一样，仔细分析，从中找到线索呀，你说是不是很有趣呢？
4. 哟呵，在解决旋转问题时，我们要大胆去尝试想象图形运动的过程呀！这就好像让图形在我们脑海里跳舞一样！像碰到这种情况，想象一下图形旋转之后的样子，好多问题就迎刃而解啦！
5. 哈哈，千万别忘了利用相似三角形这个好帮手呀！它可是解决旋转问题的得力干将！就好比是给我们配备了一件强大的武器！比如在这个例子里，通过相似三角形，一下子就能突破难关啦！
6. 哎呀呀，最后一点也很关键哦，那就是要多练习！只有不断练习，才能在考场上应对自如呀！就像运动员训练一样，练得多了自然就厉害啦！比如多做一些这样的题目，到时候就不会手忙脚乱啦！
我的观点结论就是：中考旋转问题并不可怕，只要掌握了这些技巧，多练习，遇到问题冷静分析，就一定能取得好成绩！。
中考专题目一旋转问题目题目型方法归纳
旋转问题考查三角形全等、相似、勾股定理、特殊三角形和四边形的性质与判定等。
旋转性质----对应线段、对应角的大小不变，对应线段的夹角等于旋转角。
注意旋转过程中三角形与整个图形的特殊位置。
一、直线的旋转1、(2009年浙江省嘉兴市)如图，已知A 、B 是线段MN 上的两点，4=MN ，1=MA ，1>MB ．以A 为中心顺时针旋转点M ，以B 为中心逆时针旋转点N ，使M 、N 两点重合成一点C ，构成△ABC ，设x AB =．（1）求x 的取值范围；（2）若△ABC 为直角三角形，求x 的值；2、（2009年河南）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°, ∠B =60°，BC =2．点0是AC 的中点，过点0的直线l从与AC 重合的位置开始，绕点0作逆时针旋转，交AB 边于点D .过点C 作CE ∥AB 交直线l 于点E ，设直线l 的旋转角为α.(1)①当α=________度时，四边形EDBC 是等腰梯形，此时AD 的长为_________； ②当α=________度时，四边形EDBC 是直角梯形，此时AD 的长为_________； (2)当α=90°时,判断四边形EDBC 是否为菱形，并说明理由．3、（2009年北京市） 在ABCD 中，过点C 作CE ⊥CD 交AD 于点E ,将线段EC 绕点E 逆时针旋转90得到线段EF (如图1)（1）在图1中画图探究： ①当P 为射线CD 上任意一点（P 1不与C 重合）时，连结EP 1-绕点E 逆时针旋转90得到线段EC 1.判断直线FC 1与直线CD 的位置关系，并加以证明；②当P 2为线段DC 的延长线上任意一点时，连结EP 2,将线段EP 2绕点E 逆时针旋转90得到线段EC 2.判断直线C 1C 2与直线CD 的位置关系，画出图形并直接写出你的结论. （2）若AD =6,tanB =43,AE =1,在①的条件下，设CP 1=x ，S 11P FC =y ，求y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围.分析：此题是综合开放题-------已知条件、问题结论、解题依据、解题方法这四个要素中缺少两个或两个以上，条件需要补充，结论需要探究，解题方法、思考方向有待搜寻。
初中数学旋转的六大模型题
初中数学旋转的六大模型题旋转是数学中的一个重要概念，也是初中数学中经常会遇到的一个题型。
通过旋转，我们可以改变图形的朝向和位置，从而帮助我们更好地理解几何形状和解决问题。
下面是初中数学中常见的六大旋转模型题，帮助学生更好地理解旋转的概念和运用。
1. 点的旋转：题目给出一个点的坐标和旋转角度，要求求出旋转后的点的坐标。
这种题目可以帮助学生理解点的旋转规律和计算方法。
2. 图形的旋转：题目给出一个图形的坐标或者边长，要求将图形按照给定的角度进行旋转，然后求出旋转后的图形的坐标或者边长。
这种题目可以帮助学生理解图形的旋转规律和变化。
3. 对称图形的旋转：题目给出一个对称图形和旋转角度，要求求出旋转后的图形。
这种题目可以帮助学生理解对称图形的旋转规律和变化。
4. 旋转体的表面积和体积：题目给出一个旋转体的形状和旋转轴的位置，要求求出旋转体的表面积和体积。
这种题目可以帮助学生理解旋转体的形成过程和计算方法。
5. 旋转体的截面图形：题目给出一个旋转体的形状和旋转轴的位置，要求求出旋转体在某一截面上的图形。
这种题目可以帮助学生理解旋转体的截面变化和图形特征。
6. 旋转体的切面面积：题目给出一个旋转体的形状和旋转轴的位置，要求求出旋转体在某一位置上的切面面积。
这种题目可以帮助学生应用切线和面积计算，理解旋转体的切面特征。
通过这六大旋转模型题，学生可以更好地掌握旋转的概念和运用，提高解决数学问题的能力。
在解题过程中，学生需要善于利用旋转的几何性质和计算方法，灵活运用数学知识，加深对数学的理解和认识。
同时，这些题目也能够培养学生的逻辑思维能力和推理能力，提高解决问题的能力和思维水平。
中考数学：各种旋转试题的解题技巧，初中生一定要掌握啊
中考数学：各种旋转试题的解题技巧，初中生一定要掌握啊图形的变换是新课标中“空间与图形”领域的一个主要内容，体现运动变换的理念与思想，是教材中的一大亮点．说起旋转，它是一种数学变换．生活中的旋转也是随处可见，汽车的轮子，钟表的指针，游乐园里的摩天轮，都是旋转现象．它有哪些值得我们注意的地方？我们如何解决中考数学卷中的各种旋转试题呢？图形的旋转有三个要素：①旋转中心；②旋转方向；③旋转角度．三要素中只要任意改变一个，图形就会不一样．旋转具有以下性质：①对应点到旋转中心的距离相等，即边相等。
②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角，即角相等③旋转前、后的图形全等。
以这三个性质为突破口，就能快速解决问题。
图形的旋转在中考中可能有三种出题方式，今天我们以下面几道试题为例研究一下旋转试题的解题技巧。
选择题【分析】根据旋转的性质得到AC=CD，BC=CE，AB=DE，故A 错误，C错误；得到∠ACD=∠BCE，根据三角形的内角和得到∠A=∠ADC=（180°-∠ADC）/2，∠CBE=（180°-∠BCE）/2求得∠A=∠EBC，故D 正确；由于∠A+∠ABC不一定等于90°，于是得到∠ABC+∠CBE不一定等于90°，故B错误．【解答】【点评】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，正确的识别图形是解题的关键．填空题【分析】连接CE′，根据等腰三角形的性质得到AB=BC=2√2，BD=BE=2，根据性质的性质得到D′B=BE′=BD=2，∠D′BE′=90′，∠D′BD=∠ABE′，由全等三角形的性质得到∠D′=∠CE′B=45°，过B作BH⊥CE′于H，解直角三角形即可得到结论．【解答】【点评】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，解直角三角形，正确的作出辅助线是解题的关键．解答题【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质得到AD=AE，AB=AC，∠BAC-∠EAF=∠EAD-∠EAF，求得∠BAE=∠DAC，根据全等三角形的性质得到∠ABE=∠ACD，根据余角的性质即可得到结论；（2）根据全等三角形的性质得到∠ABE=∠ACD，BE=CD，求得∠EPD=90°，得到DE=3√2，AB=6，求得BD=6-3=3，CD=√(AD2+AC2）=3√5，根据相似三角形的性质得到PD=√5/5，PB=6√5/5，根据三角形的面积公式即可得到结论．【解答】（1）略（2）【点评】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质．熟练掌握旋转的性质是解题的关键．小结对于旋转问题，首先，我们要观察图形，看看这个图形的旋转中心，找到它的旋转方向，这是我们看到一个几何图形的第一印象．其次，看看是什么旋转？因为旋转的种类有很多，你看它是点旋转还是线旋转或者是平面图形旋转·最后，你再观察出有哪些三角形全等，从已知中找到两个三角形全等的条件（包括隐藏的对顶角、公共角、公共边等）．只有掌握了这些信息，并以此为突破口，才能为解决此类问题奠定坚实的基础．真题演练我是氵林雨老师，每天发布中小学数学例题讲解文章、视频，如果觉得有益的话请点个赞吧，欢迎您收藏、分享和关注，感谢！。
初中旋转类型题及思路
初中旋转类型题及思路初中阶段，旋转类型题是数学中的重要内容之一。
这类题目要求考生通过观察图形的旋转变化，掌握旋转规律，找出图形间的联系和特征，并应用这些规律解答问题。
本文将围绕初中旋转类型题及解题思路展开论述。
旋转类型题在初中数学中经常出现，包括了平面图形的旋转、方向的判断及旋转后的位置等内容。
解决这类题目的关键是掌握图形旋转的规律和特点。
在解答旋转类型题目时，首先要观察图形中各点在旋转后的位置变化。
通过观察可以发现，图形的旋转一般都是以某一点为中心进行的，这个点被称为旋转中心。
旋转后的图形与原图形比较，可以发现旋转后的图形与原图形是相似的，只是位置或方向发生改变。
对于旋转类型题目的解题思路，我们可以通过以下几种方法进行分析和求解。
首先，可以利用图形中的对称性来求解旋转类型题。
我们可以观察图形，在旋转后是否存在对称的位置或线段，进而得出旋转的中心位置。
其次，可以通过在图形中添加辅助线和辅助点来求解。
通过添加辅助线和辅助点，可以更好地观察和分析图形的旋转规律。
此外，利用旋转的特点也是解答旋转题目的常用方法。
旋转后的图形与原图形相似，因此可以通过观察相似性质来寻找旋转规律。
最后，可以通过代数方法求解旋转类型题目。
将图形坐标化，利用坐标变换来解决问题。
解答旋转类型题目需要注意的是需要准确地观察图形和分析图形变换的规律。
在解题过程中，可以通过画图、辅助线和辅助点的添加等方法来辅助分析解题。
此外，掌握旋转基本性质和图形相似性质也是解答旋转类型题目的关键。
在实际解题过程中，可以通过练习和思考来提高对旋转类型题目的理解和解答能力。
可以选择一些典型的旋转类型题目进行思考和解答。
通过反复训练和总结，逐渐掌握旋转类型题目的解题思路和方法，并能够熟练地解答旋转类型题目。
总之，初中旋转类型题及解题思路是初中数学中重要的一部分。
解答旋转类型题目需要掌握图形旋转的规律和特点，并运用观察、分析和求解的方法来解答问题。
通过不断的练习和思考，逐渐提高对旋转类型题目的理解和解答能力，从而能够熟练地解答旋转类型题目。
中考数学旋转知识点总结
中考数学旋转知识点总结一、旋转的基本概念1. 旋转的定义旋转是几何变换的一种，它将图形绕某一定点进行旋转，使得原图形经过旋转后仍符合原图形的性质。
在平面几何中，这一定点通常被称为旋转中心，而旋转的角度则是旋转的重要参数。
2. 旋转的表示在数学中，旋转可以通过不同的表示方法来描述。
最常见的是使用坐标系中的点和向量表示旋转，也可以使用矩阵来进行描述。
3. 旋转的性质旋转具有许多重要的性质，比如旋转是等距变换，旋转后的图形与原图形的关系等。
这些性质对于理解旋转的本质和应用都具有重要的意义。
二、旋转的基本公式1. 二维平面的旋转公式在平面几何中，二维平面上的点可以通过旋转变换而成。
对于坐标系中的点(x, y)，绕原点逆时针旋转θ度后的新坐标可以根据公式进行计算。
2. 三维空间的旋转公式在三维空间中，点的旋转也是常见的几何变换。
旋转的角度可以沿着不同轴进行，因此三维空间中的旋转公式相对复杂一些，但也是可以通过矩阵等方式进行描述的。
三、旋转的应用1. 图形的旋转在几何中，通过旋转可以使得图形的位置和方向发生变化。
通过学习旋转的原理和公式，可以对图形的旋转进行分析和计算，从而更好地理解和掌握图形的性质和特点。
2. 向量的旋转在向量几何中，旋转是常见的几何变换。
向量的旋转不仅可以通过公式进行计算，还可以通过向量的性质和几何特点进行分析，从而更深入地理解向量的旋转。
3. 坐标系的旋转在空间几何和三维几何中，经常需要对坐标系进行旋转变换。
通过学习旋转的原理和方法，可以更清晰地理解坐标系的旋转规律，从而更好地应用于实际问题的解决中。
四、旋转的相关定理1. 旋转对称性质在平面几何中，旋转对称是一种重要的对称方式。
通过学习旋转对称的定理和性质，可以更好地理解和应用旋转对称在几何图形中的作用。
2. 旋转角度的性质旋转角度的性质是旋转的重要定理和性质之一。
通过学习旋转角度的性质，可以更深入地理解和应用旋转的基本特点。
3. 旋转的复合变换旋转可以与其他几何变换进行复合，比如平移、翻转等。
专题34 中考几何旋转类问题 (解析版)
专题34 中考几何旋转类问题1．旋转的定义：在平面内，将一个图形绕某一点按某个方向转动一个角度，这样的运动叫做图形的旋转。
这个定点叫做旋转中心，转动的角度叫做旋转角。
2. 旋转的性质：（1）对应点到旋转中心的距离相等，对应线段相等，对应角相等；（2）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角。
3．旋转对称中心：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角（旋转角小于0°，大于360°）。
4．中心对称：如果把一个图形绕着某一点旋转180度后能与另一个图形重合，那么我们就说，这两个图形成中心对称。
这个点就是它的对称中心。
5．中心对称的性质（1）关于中心对称的两个图形是全等形。
（2）关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分。
（3）关于中心对称的两个图形，对应线段平行（或在同一直线上）且相等。
【例题1】（2020•青岛）如图，将△ABC先向上平移1个单位，再绕点P按逆时针方向旋转90°，得到△A′B′C′，则点A的对应点A′的坐标是（）A．（0，4）B．（2，﹣2）C．（3，﹣2）D．（﹣1，4）【答案】D【解析】根据平移和旋转的性质，将△ABC先向上平移1个单位，再绕点P按逆时针方向旋转90°，得到△A′B′C′，即可得点A的对应点A′的坐标．如图，△A′B′C′即为所求，则点A的对应点A′的坐标是（﹣1，4）．【对点练习】（2019•河南）如图，在△OAB中，顶点O（0，0），A（﹣3，4），B（3，4），将△OAB与正方形ABCD组成的图形绕点O顺时针旋转，每次旋转90°，则第70次旋转结束时，点D的坐标为（）A．（10，3）B．（﹣3，10）C．（10，﹣3）D．（3，﹣10）【答案】D．【解析】先求出AB＝6，再利用正方形的性质确定D（﹣3，10），由于70＝4×17+2，所以第70次旋转结束时，相当于△OAB与正方形ABCD组成的图形绕点O顺时针旋转2次，每次旋转90°，此时旋转前后的点D 关于原点对称，于是利用关于原点对称的点的坐标特征可出旋转后的点D的坐标．∵A（﹣3，4），B（3，4），∴AB＝3+3＝6，∵四边形ABCD为正方形，∴AD＝AB＝6，∴D（﹣3，10），∵70＝4×17+2，∴每4次一个循环，第70次旋转结束时，相当于△OAB与正方形ABCD组成的图形绕点O顺时针旋转2次，每次旋转90°，∴点D的坐标为（3，﹣10）．【例题2】（2020•孝感）如图，点E在正方形ABCD的边CD上，将△ADE绕点A顺时针旋转90°到△ABF的位置，连接EF，过点A作EF的垂线，垂足为点H，与BC交于点G．若BG＝3，CG＝2，则CE的长为（）A ．54B ．154C ．4D ．92 【答案】B【解析】连接EG ，根据AG 垂直平分EF ，即可得出EG ＝FG ，设CE ＝x ，则DE ＝5﹣x ＝BF ，FG ＝EG ＝8﹣x ，再根据Rt △CEG 中，CE 2+CG 2＝EG 2，即可得到CE 的长．解：如图所示，连接EG ，由旋转可得，△ADE ≌△ABF ，∴AE ＝AF ，DE ＝BF ，又∵AG ⊥EF ，∴H 为EF 的中点，∴AG 垂直平分EF ，∴EG ＝FG ，设CE ＝x ，则DE ＝5﹣x ＝BF ，FG ＝8﹣x ，∴EG ＝8﹣x ，∵∠C ＝90°，∴Rt △CEG 中，CE 2+CG 2＝EG 2，即x 2+22＝（8﹣x ）2，解得x =154， ∴CE 的长为154。
初中数学旋转题型口诀
初中数学旋转题型口诀初中数学旋转题型口诀1：1。
证明两个角互补的题目常用手段：运动前后描点法，以运动点为圆心，以3倍角度为半径画弧，再以相应点为圆心以2倍角度为半径画弧交于另一点。
在三角形、平行四边形、梯形中各用到这一思路。
2。
相似三角形中经常遇到两个或两个以上已知量求其中一个未知量的题目，此时如果条件限定“某三角形与其对应的一个三角形相似”，可利用内错角相等的性质来解题。
3。
两圆的位置关系是相交与相切，还是相离与相交;是垂直与平行，还是垂直与相交;二者是否有公共点;二者中是否有两条直径等等都会涉及到比例尺问题。
4。
正多面体的棱长和表面积常出现在证明“某图形的表面积/体积关系式”或“某图形的体积/表面积关系式”时，此时不妨用球面上的截面面积公式来计算，简单而方便。
5。
证明两条平行线间距离时，注意区分两平行线间的距离与它们之间夹的平行线段的长度(可采用割补法)。
6。
解析几何中的两条平行直线垂直的判定方法，最常用的是：取斜边上一点为m，则另一直线与斜边所成的角的平分线为过m 的直线;又因为斜边所在的直线与这条直线垂直，所以过斜边的垂足的直线与另一条直线也垂直。
7。
面积问题中，要能找出已知条件与求证结论之间的联系，特别注意利用平移、旋转、对称的性质，推导出新的面积公式。
8。
解三角形的问题，最常用的是“设而不求”法，即通过构造辅助线，把所求三角形转化为一般的三角形进行计算。
9。
解答代数方程的题目时，要根据不同的方程灵活地选择恰当的运算法则，不可死守教材上的法则，如方程x^2+5y-10=0中，因为x=0，所以x^2+5y-10=0无解，此时就不能按照方程的基本解法去套用解方程。
10。
如果是比例尺中的正比例问题，可从比例尺入手，然后再用性质解答;如果是反比例问题，可从比例尺入手，然后再把比例尺变换成另外的比例关系，然后再用性质解答。
11。
解方程问题，必须注意到两点：一是根据实际情况灵活确定未知量，二是注意合理使用性质。
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一、与旋转有关的角度计算
例1 (2017•菏泽)如图1，将Rt△ABC绕直角顶点C时针旋转90°，得到△A₁B₁C₁，连接AA₁，若∠1=25°，则∠BAA₁的度数是( )
A.55°
B.60°
C.65°
D.70°
评注：与旋转有关的角度计算，一般联系旋转的性质、三角形全等的性质、三角形的内角和以及三角形的外角的性质等，注意结合图形信息，寻找已知角与未知角之间的关系，灵活运用三角形的边与角之间的关系解题.
二、与旋转有关的线段长度的计算问题
例2 (2017•娄底)如图2，在平面直角坐标系中，点A,B的坐标分别是A(3,0),B(0,4)，把线段AB绕点A旋转后得到线段AB₁，使得点B的对应点B₁落在x轴的正半轴上，则点B₁的坐标是( )
A.(5,0)
B.(8,0)
C.(0,5)
D.(0,8)
评注：此题旋转角度不是特殊角，但旋转后点B的对应点位于X轴的正半轴上，计算线段AB的长度是解决问题的关键.
一般地，如果旋转特殊角，有以下规律：
坐标平面内的点p(x,y)，绕着原点旋转一个90°,①如果是顺时针旋转，则有旋转后的对应点的坐标为(y,-x);②如果是逆时针旋转，则有旋转后的对应点的坐标为(-y,x).坐标平面
内的点绕着原点旋转180°，得出的点关于原点中心对称，点p(x,y)关于原点的中心对称点的坐标是(-x,-y)，p,p₁位于相对的两个象限，即分别位于第一、第三象限或者第二、第四象限.
三、与多次旋转有关的探究规律问题
评注：此题运用坐标系内的点到原点的距离与到坐标轴的距离之间的平方关系，再者根据旋转的性质，旋转前后对应线段的长度相等，因此得出oo₂，o₂o4之间的相等关系，运用直角三角形中三边之间的倍数关系，注意每一次偶数序号的变化，横坐标与纵坐标都是点o₂的横坐标与纵坐标的若干倍，这个倍数是序号的下标与2的商.
四、与旋转有关的开放探究问题
例4 (2017•河南)如图5，在Rt△ABC中，∠A=90°,AB=AC，点D,E分别在边AB,AC 上，AD=AE，连接DC，点MPN分别为DE,DC,BC的中点.
(1)观察猜想
如图5，线段PM与PN的数量关系是___________，位置关系是_______.
(2)探究证明
把△ADE绕点A逆时针旋转到图6的位置，连接MN,BD,CE，判断△PMN的形状，并说明理由；
(3)拓展延伸
把△ADE绕点A在平面直角坐标系内自由旋转，若AD=4,AB=10，请直接写出△PMN 面积的最大值.
评注：由于旋转具有旋转前后图形的大小形状不变的性质，因此旋转前后对应线段的长度，对应线段(或线段所在直线)的夹角都分别相等，因此结合特殊图形：等腰三角形(含等腰直角三角形与等边三角形)，正方形及相似的平行四边形(含矩形、菱形)，相似的三角形等绕其一个顶点旋转，探究对应线段(及对应线段的等分点之间的线段)等的数量与位置关系，是中考命题的一个热点，其一般解法是联系三角形的全等，综合旋转的性质等层层探究，为了找出最大值或最小值，有时可以构造辅助圆。