高中数学第二章推理与证明2.3.1数学归纳法2.3.2数学归纳法应用举例课件新人教B版选修2_2

3．利用假设是核心 在第二步证明 n＝k＋1 成立时，一定要利用归纳假设，即必 须把归纳假设 “n ＝ k 时命题成立 ” 作为条件来导出 “n ＝ k ＋ 1”，在书写 f(k＋1)时，一定要把包含 f(k)的式子写出来，尤其 是 f(k)中的最后一项，这是数学归纳法的核心，不用归纳假设的 证明就不是数学归纳法．
)
)
)
[ 质疑· 手记] 预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流： 疑问 1：_______________________________________________________ 解惑：________________________________________________________ 疑问 2：_______________________________________________________ 解惑：________________________________________________________ 疑问 3：_______________________________________________________ 解惑：________________________________________________________
【自主解答】
(1)当 n＝1 时，左边应为 1＋2＋3＋4，故选ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱD.
(2)令 f(n)＝(n＋1)(n＋2)„(n＋n)，则 f(k)＝(k＋1)· (k＋2)„(k＋k)， fk＋1 2k＋12k＋2 f(k＋1)＝(k＋2)(k＋3)„(k＋k)(2k＋1)(2k＋2)， 所以 ＝ ＝ f k k＋1 2(2k＋1)．
【解析】
A 中，n＝1 时，式子＝1＋k；
B 中，n＝1 时，式子＝1； 1 1 C 中，n＝1 时，式子＝1＋2＋3； 1 1 1 1 D 中，f(k＋1)＝f(k)＋ ＋ ＋ － . 3k＋2 3k＋3 3k＋4 k＋1 故正确的是 C.
【答案】 C
用数学归纳法证明不等式
1 1 1 13 (1)用数学归纳法证明不等式 ＋ ＋„＋ > (n≥2，n∈ n＋1 n＋2 n＋n 24 N＋)的过程中， 由 n＝k 推导 n＝k＋1 时， 不等式的左边增加的式子是__________． 1 1 1 (2)证明：不等式 1＋ ＋ ＋„＋ <2 n(n∈N＋)． n 2 3 【精彩点拨】 (1)写出当 n＝k 时左边的式子， 和当 n＝k＋1 时左边的式子，
自然数 (1)当 n 取第一个值 n0 时命题成立
(2)n＝k(k∈N＋，且 k≥n0)
判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)与正整数 n 有关的数学命题的证明只能用数学归纳法．( (2)数学归纳法的第一步 n0 的初始值一定为 1.( (3)数学归纳法的两个步骤缺一不可．(
【答案】 (1)× (2)× (3)√
(2)①当 n＝1 时，左边＝1，右边＝2，左边<右边，不等式成立． ②假设当 n＝k(k≥1 且 k∈N＋)时，不等式成立， 1 1 1 即 1＋ ＋ ＋„＋ <2 k. k 2 3 则当 n＝k＋1 时， 1 1 1 1 1＋ ＋ ＋„＋ ＋ k 2 3 k ＋1
比较即可． (2)在由 n＝k 到 n＝k＋1 推导过程中利用放缩法，在利用放缩时，注意放缩 的度．
1 1 1 【自主解答】 (1)当 n＝k＋1 时左边的代数式是 ＋ ＋„＋ ＋ k＋2 k＋3 2k＋1 1 1 1 1 ，增加了两项 与 ，但是少了一项 ，故不等式的左边增加的 2k＋2 2k＋1 2k＋2 k＋1 1 1 1 1 式子是 ＋ － ＝ . 2k＋1 2k＋2 k＋1 2k＋12k＋2 1 【答案】 2k＋12k＋2
[ 小组合作型]
用数学归纳法证明等式
n＋3n＋4 (1)用数学归纳法证明等式 1＋2＋3＋„＋(n＋3)＝ (n ∈ 2 N＋)时，第一步验证 n＝1 时，左边应取的项是( A．1 C．1＋2＋3 B．1＋2 D．1＋2＋3＋4 )
(2)用数学归纳法证明(n＋1)· (n＋2)· „· (n＋n)＝2n×1×3ׄ×(2n－1)(n∈ N＋)，“从 k 到 k＋1”左端增乘的代数式为__________. 【导学号：05410051】
【答案】 (1)D (2)2(2k＋1)
数学归纳法证题的三个关键点 1．验证是基础 找准起点，奠基要稳，有些问题中验证的初始值不一定是 1. 2．递推是关键 数学归纳法的实质在于递推，所以从 “k” 到 “k ＋ 1” 的过程 中，要正确分析式子项数的变化．关键是弄清等式两边的构成规 律，弄清由 n＝k 到 n＝k＋1 时，等式的两边会增加多少项、增加 怎样的项．
[ 再练一题] 1．下面四个判断中，正确的是( )
A．式子 1＋k＋k2＋„＋kn(n∈N＋)中，当 n＝1 时，式子的值为 1 B．式子 1＋k＋k2＋„＋kn－1(n∈N＋)中，当 n＝1 时，式子的值为 1＋k 1 1 1 1 1 C．式子 1＋2＋3＋„＋ (n∈N＋)中，当 n＝1 时，式子的值为 1＋2＋3 2n＋1 1 1 1 D．设 f(n)＝ ＋ ＋„＋ (n∈N＋)， n＋1 n＋2 3n＋1 1 1 1 则 f(k＋1)＝f(k)＋ ＋ ＋ 3k＋2 3k＋3 3k＋4
阶 段 一
阶 段 三
2.3 2．3.1
阶 段 二
数学归纳法 数学归纳法
学 业 分 层 测 评
2．3.2
数学归纳法应用举例
1．了解数学归纳法的原理．(重点、易混点) 2．掌握数学归纳法的步骤．(难点) 3．能用数学归纳法证明一些简单的数学命题．(难点)
[ 基础· 初探] 教材整理 数学归纳法 阅读教材 P69～P72，完成下列问题． 数学归纳法的定义 一个与________相关的命题，如果(1)_______________________________； (2)在假设当________________________时命题也成立的前提下，推出当 n ＝k＋1 时命题也成立，那么可以断定，这个命题对 n 取第一个值后面的所有正 整数成立． 【答案】