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二次函数与方程和不等式当堂练习与答案

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第二章 一元二次函数、方程和不等式章节练习 参考答案

第二章 一元二次函数、方程和不等式章节练习 参考答案

第二章 一元二次函数、方程和不等式章节练习 参考答案1．D【分析】根据元素与集合，集合与集合的关系逐项判断，即可得到结果.【详解】因为*{|2}N M x x =∈≤，所以{1,2}M =，所以0M ∉，A 错误；2M ∈，B 错误；{0,1,2}M，C 错误；D 正确.故选:D.2．B【分析】利用充分条件、必要条件的概念以及集合之间的关系进行判断.【详解】因为x ∈R ，所以集合{|3}x x >是集合{|0}x x >的真子集，所以“0x >”是“3x >”的必要非充分条件，故A ，C ，D 错误.故选：B.3．B【解析】利用作差法比较大小即可得正确选项.【详解】()()()222324696810x x x x x x x ----=-+-+-=>，所以()()()2324x x x ->--，故选：B4．C【分析】根据一元二次不等式的解法计算可得；【详解】解：由()()130x x ++<，解得31x -<<-，即不等式的解集为{31}x x -<<-∣； 故选：C5．A【分析】由于1a >，所以10a ->，则44(1)111a a a a +=-++--，然后利用基本不等式可求出其最小值【详解】由于1a >，所以10a ->所以44111511a a a a +=-++≥=--， 当且仅当411a a -=-，即3a =时取等号.故选：A.6．B【分析】根据特称命题的否定是全称命题求解即可【详解】因为特称命题的否定是全称命题，所以命题p ：∀x ＞0，总有（x +1）ln x ＞1，则¬p 为∃x 0＞0，使得（x 0+1）ln x 0≤1.故选：B.7．A【分析】由二次函数与一元二次不等式关系，结合函数图象确定不等式解集.【详解】由二次函数图象知：20ax bx c ++>有21x -<<.故选：A8．A【分析】讨论0k =、0k ≠，根据不等式恒成立，结合二次函数性质列不等式组求范围.【详解】当0k =时，20x ->不恒成立；当0k ≠时，204(1)0k k >⎧⎨∆=-<⎩，所以1k >； 综上，1k >.故选：A9．ACD【分析】由不等式的性质可判断ACD ，由特值法可判断B ．【详解】若0a <，0b >，则0a ->，则0b a ->，故A 成立；a b >不一定成立，如5,6a b =-=，故B 不成立；∵0a <，0b >，∵20a ab >>，故C 成立，因为0,0a b <> 所以10a <，10b >，则11a b<，成立，故D 正确， 故选：ACD ．10．ABC【分析】不等式220x x -+>的解集为R ，再求出各个选项的不等式的解，即得解.【详解】解：因为2(1)4270∆=--⨯=-<，二次函数的图象开口朝上，所以不等式220x x -+>的解集为R ，A.14(1)(2)70∆=-⨯--=-<，二次函数的图象开口朝下，所以220x x --<+的解集为R ；B.2(3)42270∆=--⨯⨯=-<，二次函数的图象开口朝上，所以不等式22320x x -+>的解集为R ；C.2(1)413110∆=--⨯⨯=-<，二次函数的图象开口朝上，所以不等式230x x -+≥的解集为R ；D. 220x x +->，所以(2)(1)0,1x x x +->∴>或2x <-，与已知不符.故选：ABC11．BD【分析】由基本不等式知识对选项逐一判断【详解】对于A ，当0x <时，0y <，故A 错误，对于B ，由基本不等式知当0ab >，则2b a a b+≥，故B 正确， 对于C ，令22122x x +=+，方程无解，则2212132x x +++≥+等号不成立，故C 错误， 对于D ，当0x <时，12x x +≤-，当1x =-时等号成立，故函数()120y x x x =++<的最大值为0，故D 正确，故选：BD12．AB【分析】利用基本不等式可判断AB ，利用不等式的性质可判断C ，利用作差法可判断D ．【详解】对于选项A ，若102x <<，则1－2x ＞0，2x ＞0， 则2112121(12)2(12)2228x x x x x x +-⎛⎫-=⨯-≤⨯= ⎪⎝⎭， 当且仅当212x x =-，即14x =时，等号成立，即x (1﹣2x )的最大值为18，故A 正确； 对于选项B ，当43x <时，430x ->，∵13134y x x =-+-14333143x x ⎛⎫=--++≤-= ⎪-⎝⎭，当且仅当14343x x-=-，即1x =时，等号成立，即13134y x x =-+-的最大值是1，故B 正确； 对于选项C ：∵13a <<，25b <<，∵226a <<，1536b -<-<-，∵122311a b -<-+<，故C 错误；对于选项D ，∵()227M a a =-+，()()23N a a =--，∵()()222213247561024M N a a a a a a a ⎛⎫-=-+--+=++=++> ⎪⎝⎭， ∵M N >，故D 错误；故选：AB.13．∅【分析】根据解一元二次不等式的方法进行求解即可.【详解】2260226x x x x ⇒->++<-，因为一元二次方程2260x x ++=的判别式2246200∆=-⨯=-<，二次函数226y x x =++的开口向上，所以不等式2260x x ++<的解集为空集，故答案为：∅14．[3,4]【分析】由不含参的一元二次不等式的解法即可得出结论.【详解】由(4)(3)0x x --≥，解得：34x ≤≤.所以(4)(3)0x x --≥的解集是：[3,4]故答案为：[3,4]15．()1,3-【分析】根据分式不等式与一元二次不等式之间的转化，即可根据一元二次不等式进行求解. 【详解】由301x x -<+，得()()310x x -+<，解得13x ，所以不等式301x x -<+的解集为()1,3-.故答案为：()1,3-16．M N >【分析】利用作差法直接比较大小.【详解】解：因为23M x x =-,233N x x =-+-所以()()222213334434202M N x x x x x x x ⎛⎫-=---+-=-+=-+> ⎪⎝⎭ 所以M N >.故答案为：M N >.17．（1）2256259x x x x ++<++；（2）2(3)(2)(4)x x x ->--【分析】利用作差法，分析两式之差的正负判定即可【详解】（1）因为()()2225625930x x x x x ++-++=--<，故2256259x x x x ++<++；（2）因为()()2220(63)(2)(4)9681x x x x x x x --=--++---=>，故2(3)(2)(4)x x x ->--【点睛】本题主要考查了作差法判定两式大小的问题，属于基础题18．(1)(,2)(3,)-∞⋃+∞(2)(,3)(3,)-∞⋃+∞(3)∅(4)()2,3-【分析】利用一元二次不等式的解法即可.（1）原不等式化为(2)(3)0x x -->,解得2x <或3x >,所以解集为(,2)(3,)-∞⋃+∞.（2）原不等式化为2(3)0x ->,解得3x ≠,所以解集为(,3)(3,)-∞⋃+∞.（3）原不等式化为230x x -+<,因为24110b ac ∆=-=-<，则不等式无解，即原不等式的解集为∅.（4）由()()023x x +-<解得23x -<<,所以解集为()2,3-.19．(1){|3}x x ≠-；(2){|03}x x <<；(3){|57}x x <<．【分析】（1）二次三项式配方，由平方的性质可得不等式的解集；（2）不等式两边同乘以1-，然后左边因式分解，转化为两个一元一次不等式组求解；（3）移项，通分，再把分子、分母中最高次项化为正数，然后转化为两个一元一次不等式组求解．（1）2690x x ++>可化为2(3)0x +>，所以30x +≠，即3x ≠-，解集为{|3}x x ≠-；（2）230x x ->或化为230x x -<，即(3)0x x -<，所以030x x >⎧⎨-<⎩或030x x <⎧⎨->⎩， 030x x >⎧⎨-<⎩的解集为03x <<，030x x <⎧⎨->⎩无解， 综上，原不等式的解集为{|03}x x <<；（3）325x x ->-化为3205x x -->-，即705x x -+>-，即705x x -<-， 所以7050x x ->⎧⎨-<⎩或7050x x -<⎧⎨->⎩， 不等式组7050x x ->⎧⎨-<⎩无解，不等式7050x x -<⎧⎨->⎩的解集为57x <<． 综上，原不等式的解集为{|57}x x <<．20．(1)10,4⎛⎤ ⎥⎝⎦； (2)18【分析】（1）由,a b 是正数，再结合基本不等式即可得到答案；（2）利用基本不等式“1”的整体替换即可得到答案（1）因为,a b 是正数，且1a b +=，所以由基本不等式得a b +≥，即1≥，所以14ab ≤， 当且仅当12a b ==时，取等号； 因为,a b 是正数，所以0ab >，所以ab 的取值范围10,4⎛⎤ ⎥⎝⎦； （2）因为正数,a b 满足1a b +=，所以()282828281101018b a a b a b a b a b a b ⎛⎫⎛⎫+=+⨯=+⨯+=++≥+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 当且仅当28b a a b =即12,33a b ==时，取等号， 所以28a b+的最小值为18 21．(1){}12A B x x ⋂=-<<；(2)2a ≤.【分析】（1）解不等式求出集合B ，再根据交集的定义求A B ；（2）由A B A =得到A B ⊂，再根据集合间的包含关系列不等式即可.（1） 由{}260B x x x =+-<得{}32B x x =-<<，因为4a =，所以{}14A x x =-<<，所以{}12A B x x ⋂=-<<.（2）因为A B A =，所以A B ⊂，∵当A =∅时,1a ≤-；∵当A ≠∅时，12a a >-⎧⎨≤⎩，即12a -<≤，综上所述，2a ≤.22．(1)菜园的长x 为，宽y 为时，所用篱笆总长最小 (2)310【分析】（1）利用基本不等式求解和的最小值；（2）利用基本不等式“1”的妙用求解最小值.（1）由题意得，36xy =，所用篱笆总长为2x y +.因为22x y +≥=当且仅当2x y =时，即x =y =.所以菜园的长x 为，宽y 为时，所用篱笆总长最小.（2）由题意得，230x y +=，()2121121221325530303010x y y x x y xy x y x y x y ⎛⎛⎫⎛⎫+=+=++=++≥+= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝， 当且仅当22y x x y =，即10x y ==时等号成立， 所以2x y xy +的最小值是310.。

二次函数与二元一次方程组不等式专项练习60题(有答案过程)ok

二次函数与二元一次方程组不等式专项练习60题(有答案过程)ok

二次函数与二元一次方程组、不等式专项练习60题（有答案）1．已知二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）的图象如图所示，则下列结论：（1）4a+2b+c ＞0；（2）方程ax 2+bx+c=0两根之和小于零；（3）y 随x 的增大而增大；（4）一次函数y=x+bc 的图象 一定不过第二象限，其中错误的个数是（ ）A ． 4个B ． 3个C ． 2个D ． 1个2．如图是二次函数y=ax 2+bx+c 的图象，图象上有两点分别为A （2.18，﹣0.51）、B （2.68，0.54），则方程ax 2+bx+c=0的一个解只可能是（ ）A ． 2.18B ． 2.68C ． ﹣0.51D ． 2.453．方程x 2+3x ﹣1=0的根可看作是函数y=x+3的图象与函数y=的图象交点的横坐标，那么用此方法可推断出方程 x 3﹣x ﹣1=0的实数根x 0所在的范围是（ ）A ． ﹣1＜x 0＜0B ． 0＜x 0＜1C ． 1＜x 0＜2D ． 2＜x 0＜34．根据二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0，a 、b 、c 为常数）得到一些对应值，列表如下：判断一元二次方程ax 2+bx+c=0的一个解x 1的范围是（ ）A ． 2.1＜x 1＜2.2B ． 2.2＜x 1＜2.3C ． 2.3＜x 1＜2.4D ． 2.4＜x 1＜2.55．已知二次函数y=ax 2+bx+c 的y 与x 的部分对应值如下表：则下列判断中正确的是（ ）A ． 抛物线开口向上B ． 抛物线与y 轴交于负半轴C ． 当x=3时，y ＜0D ．方程ax 2+bx+c=0有两个相等实数根6．二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）中，自变量x 与函数y 的对应值如下表： x 2.2 2.3 2.4 2.5y ﹣0.76 ﹣0.11 0.56 1.25 x…﹣2﹣11234…若，则一元二次方程ax 2+bx+c=0的两个根x 1，x 2的取值范围是（ ）A ．﹣1＜x1＜0，2＜x2＜3B ．﹣2＜x1＜﹣1，1＜x2＜2C ． 0＜x1＜1，1＜x2＜2D ．﹣2＜x1＜﹣1，3＜x2＜47．根据抛物线y=x 2+3x ﹣1与x 轴的交点的坐标，可以求出下列方程中哪个方程的近似解（ ）A ． x 2﹣1=﹣3xB ． x 2+3x+1=0C ． 3x 2+x ﹣1=0D ． x 2﹣3x+1=08．已知二次函数y=x 2+2x ﹣10，小明利用计算器列出了下表：那么方程x 2+2x ﹣10=0的一个近似根是（ ） A ． ﹣4.1 B ． ﹣4.2 C ． ﹣4.3 D ． ﹣ 4.49．根据关于x 的一元二次方程x 2+px+q=0，可列表如下：则方程x 2+px+q=0的正数解满足（ ）A ． 解的整数部分是0，十分位是5B ． 解的整数部分是0，十分位是8C ．解的整数部分是1，十分位是1D ． 解的整数部分是1，十分位是210．根据下列表格中的二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0，a 、b 、c 为常数）的自变量x 与函数y 的对应值，判断ax 2+bx+c=0 的一个解x 的取值范围为（ ）A ． 1.40＜x ＜1.43B ． 1.43＜x ＜1.44C ． 1.44＜x ＜1.45D ． 1.45＜x ＜1.4611．已知二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）的顶点坐标（﹣1，﹣3.2）及部分图象（如图），由图象可知关于x 的一元二次方程ax 2+bx+c=0的两个根分别是x 1=1.3和x 2=（ ）A ． ﹣1.3B ． ﹣2.3C ． ﹣0.3D ． ﹣3.312．如图，已知二次函数y=ax 2+bx+c 的部分图象，由图象可知关于x 的一元二次方程ax 2+bx+c=0的两个根分别是x 1=1.6，x 2=（ ）A ． ﹣1.6B ． 3.2C ． 4.4D ． 以上都不对y…m ﹣2mm ﹣2… x ﹣4.1 ﹣4.2 ﹣4.3 ﹣4.4 x 2+2x ﹣10 ﹣1.39 ﹣0.76﹣0.11 0.56 x 0 0.5 1 1.1 1.2 1.3 x 2+px+q﹣15 ﹣8.75 ﹣2 ﹣0.59 0.84 2.29 x 1.43 1.44 1.45 1.46y=ax 2+bx+c﹣0.095 ﹣0.046 0.003 0.05213．二次函数y=x2﹣6x+n的部分图象如图所示，若关于x的一元二次方程x2﹣6x+n=0的一个解为x1=1，则另一个解x2=_________．14．如图，已知抛物线y=x2+bx+c经过点（0，﹣3），请你确定一个b的值，使该抛物线与x轴的一个交点在（1，0）和（3，0）之间．你确定的b的值是_________．15．抛物线y=x2﹣4x+m与x轴的一个交点的坐标为（1，0），则此抛物线与x轴的另一个交点的坐标是_________．16．已知二次函数y=﹣x2+2x+m的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程﹣x2+2x+m=0的解为_________．17．抛物线y=x2﹣4x+与x轴的一个交点的坐标为（1，0），则此抛物线与x轴的另一个交点的坐标是_________．18．开口向下的抛物线y=（m2﹣2）x2+2mx+1的对称轴经过点（﹣1，3），则m=_________．19．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标（﹣1，﹣3.2）及部分图象（如图），由图象可知关于x的方程ax2+bx+c=0的两个根分别是x1=1.3和x2=_________．20．如图，已知二次函数y=ax2+bx+c的部分图象，由图象可知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根分别是_________．21．对于二次函数y=x 2+2x ﹣5，当x=1.4时，y=﹣0.24＜0，当x=1.45时，y=0.0025＞0；所以方程x 2+2x ﹣5=0的一个正根的近似值是 _________ ．（精确到0.1）．22．根据下列表格中y=ax 2+bx+c 的自变量x 与函数值y 的对应值，判断方程ax 2+bx+c=0（a ≠0，a ，b ，c 为常数）的一个解x 的范围是 _________ ． x 6.17 6.18 6.196.20y=ax 2+bx+c﹣0.03 ﹣0.01 0.02 0.0423．抛物线y=2x 2﹣4x+m 的图象的部分如图所示，则关于x 的一元二次方程2x 2﹣4x+m=0的解是 _________ ．24．二次函数y=ax 2+bx+c 的部分对应值如下表：①抛物线的顶点坐标为（1，﹣9）； ②与y 轴的交点坐标为（0，﹣8）；③与x 轴的交点坐标为（﹣2，0）和（2，0）；④当x=﹣1时，对应的函数值y 为﹣5．以上结论正确的是 _________ ．25．二次函数y=ax 2+bx+c 的自变量x 与函数值y 的部分对应值如下表：x … ﹣1 0 1 2 3 …y … ﹣1 ﹣ ﹣2﹣…根据表格中的信息，完成下列各题 （1）当x=3时，y= _________ ；（2）当x= _________ 时，y 有最 _________ 值为 _________ ； （3）若点A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2）是该二次函数图象上的两点，且﹣1＜x 1＜0，1＜x 2＜2，试比较两函数值的大 小：y 1 _______ y 2（4）若自变量x 的取值范围是0≤x ≤5，则函数值y 的取值范围是 _________ ．26．阅读材料，解答问题．例 用图象法解一元二次不等式：．x 2﹣2x ﹣3＞0解：设y=x 2﹣2x ﹣3，则y 是x 的二次函数．∵a=1＞0，∴抛物线开口向上．又∵当y=0时，x 2﹣2x ﹣3=0，解得x 1=﹣1，x 2=3．∴由此得抛物线y=x 2﹣2x ﹣3的大致图象如图所示． 观察函数图象可知：当x ＜﹣1或x ＞3时，y ＞0． ∴x 2﹣2x ﹣3＞0的解集是：x ＜﹣1或x ＞3．（1）观察图象，直接写出一元二次不等式：x 2﹣2x ﹣3＞0的解集是 _________ ；（2）仿照上例，用图象法解一元二次不等式：x 2﹣1＞0．x … ﹣3 ﹣20 1 3 5 … y … 7 0 ﹣8 ﹣9 ﹣5 7…27．一元二次方程x2+7x+9=1的根与二次函数y=x2+7x+9的图象有什么关系？试把方程的根在图象上表示出来．28．画出函数y=﹣2x2+8x﹣6的图象，根据图象回答：（1）方程﹣2x2+8x﹣6=0的解是什么；（2）当x取何值时，y＞0；（3）当x取何值时，y＜0．29．已知二次函数y=﹣x2+2x+m的部分图象如图所示，你能确定关于x的一元二次方程﹣x2+2x+m=0的解？30．小明在复习数学知识时，针对“求一元二次方程的解”整理了以下几种方法，请你将有关内容补充完整：例题：求一元二次方程x2﹣x﹣1=0的两个解．（1）解法一：选择合适的一种方法（公式法、配方法、分解因式法）．（2）解法二：利用二次函数图象与两坐标轴的交点求解．如图，把方程x2﹣x﹣1=0的解看成是二次函数y=_________的图象与x轴交点的横坐标即x1，x2就是方程的解．（3）解法三：利用两个函数图象的交点求解①把方程x2﹣x﹣1=0的解看成是二次函数y=_________的图象与一个一次函数y=_________的图象交点的横坐标②画出这两个函数的图象，用x1，x2在x轴上标出方程的解．31．如图是二次函数y=ax2+bx+c的部分图象，由图象可知不等式ax2+bx+c＜0的解集是（）A．﹣1＜x＜5 B．x＞5 C．x＜﹣1且x＞5 D．x＜﹣1或x＞532．二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）的图象如图所示，则下列结论中，正确的是（ ）A ． a bc ＜0B ． a +c ＜bC ． b ＞2aD ． 4a ＞2b ﹣c33．现定义某种运算a ⊕b=a （a ＞b ），若（x+2）⊕x 2=x+2，那么x 的取值范围是（ ）A ． ﹣1＜x ＜2B ． x ＞2或x ＜﹣1C ． x ＞2D ． x＜﹣134．如图，一次函数y 1=kx+n （k ≠0）与二次函数y 2=ax 2+bx+c （a ≠0）的图象相交于A （﹣1，5）、B （9，2）两点，则关于x 的不等式kx+n ≥ax 2+bx+c 的解集为（ ）A ． ﹣1≤x ≤9B ． ﹣1≤x ＜9C ． ﹣1＜x ≤9D ． x ≤﹣1或x ≥935．如图所示的抛物线是二次函数y=ax 2﹣3x+a 2﹣1的图象，那么下列结论错误的是（ ）36．已知：二次函数y=x 2﹣4x ﹣a ，下列说法中错误的个数是（ ）①若图象与x 轴有交点，则a ≤4；②若该抛物线的顶点在直线y=2x 上，则a 的值为﹣8；③当a=3时，不等式x 2﹣4x+a ＞0的解集是（3，0）；④若将图象向上平移1个单位，再向左平移3个单位后过点x ，则a=﹣1；⑤若抛物线与x 轴有两个交点，横坐标分别为x1、x 2，则当x 取x 1+x 2时的函数值与x 取0时的函数值相等． A ． 1 B ． 2 C ． 3 D ． 437．二次函数y=ax 2的图象如图所示，则不等式ax ＞a 的解集是（ ）A ． x ＞1B ． x ＜1C ． x ＞﹣1D ． x ＜﹣138．如图，函数y=x 2﹣2x+m （m 为常数）的图象如图，如果x=a 时，y ＜0；那么x=a ﹣2时，函数值（ ）A ． 当y ＜0时，x ＞0B ． 当﹣3＜x ＜0时，y ＞0C ． 当x ＜时，y 随x 的增大而增大D ．上述抛物线可由抛物线y=﹣x 2平移得到A．y＜0 B．0＜y＜m C．y=m D．y＞m39．已知：二次函数y=x2﹣4x+a，下列说法中错误的个数是（）①当x＜1时，y随x的增大而减小②若图象与x轴有交点，则a≤4③当a=3时，不等式x2﹣4x+a＞0的解集是1＜x＜3④若将图象向上平移1个单位，再向左平移3个单位后过点（1，﹣2），则a=﹣3．A．1B．2C．3D．440．如图，二次函数y1=ax2+bx+c与一次函数y2=kx+n的图象相交于A（0，4），B（4，1）两点，下列三个结论：①不等式y1＞y2的解集是0＜x＜4②不等式y1＜y2的解集是x＜0或x＞4③方程ax2+bx+c=kx+n的解是x1=0，x2=4其中正确的个数是（）A．0个B．1个C．2个D．3个41．二次函数y=x2﹣2x﹣3的图象如图所示．当y＜0时，自变量x的取值范围是_________．42. 如图是抛物线y=ax2+bx+c的一部分，其对称轴为直线x=1，若其与x轴一交点为B（3，0），则由图象可知，不等式ax2+bx+c＞0的解集是_________．43．已知二次函数y=x2﹣6x+5．（1）请写出该函数的对称轴，顶点坐标；（2）函数图象与x轴交点坐标为_________，与y轴的交点坐标为_________；（3）当_________时y＞0，_________时y随x的增大而增大；（4）写出不等式x2﹣6x+5＜0的解集．_________44．如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴相交于两个点，根据图象回答：（1）b_________0（填“＞”、“＜”、“=”）；（2）当x满足_________时，ax2+bx+c＞0；（3）当x满足_________时，ax2+bx+c的值随x增大而减小．45．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，根据图象解答下列问题：（1）写出方程ax2+bx+c=0的两个根．x1=_________，x2=_________；（2）写出不等式ax2+bx+c＞0的解集．_________；（3）写出y随x的增大而减小的自变量x的取值范围．_________；（4）若方程ax2+bx+c=k有两个不相等的实数根，求k的取值范围．_________．46．二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，给出下列说法：①ac＞0；②2a+b=0；③a+b+c=0；④当x＞1时，函数y随x的增大而增大；⑤当y＞0时，﹣1＜x＜3．其中，正确的说法有_________．（请写出所有正确说法的序号）47．如图是函数y=x2+bx﹣1的图象，根据图象提供的信息，确定使﹣1≤y≤2的自变量x的取值范围是_________．48．已知抛物线y=x2﹣x﹣6，则不等式x2﹣x﹣6＜0的解集为_________．49．已知二次函数y=x2﹣2x﹣3的函数值y＜0，则x的取值范围为_________．50．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，根据图象解答下列问题：（1）不等式ax2+bx+c＞0的解集为_________．（2）若y随x的增大而减小，则自变量x的取值范围是_________．（3）若方程ax2+bx+c=k有两个不相等的实数根，求k的取值范围是_________．51．如图，直线y=x+m和抛物线y=x2+bx+c都经过点A（1，0）和B（3，2），不等式x2+bx+c＞x+m 的解集为_________．52．函数y=x2﹣2x﹣2的图象如图所示，观察图象，使y≥l成立的x的取值范围是_________．53．已知函数y1=x2与y2=﹣x+3的图象大致如图，若y1≤y2，则自变量x的取值范围是_________．54．已知二次函数y=4x2﹣4x﹣3的图象如图所示，，则函数值y_________0．55．函数y=x2﹣2x﹣2的图象如图所示，根据其中提供的信息，可求得使y≥1成立的x的取值范围是_________．56．已知抛物线y=﹣x2﹣3x﹣（1）写出抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标；（2）求抛物线与x轴、y轴的交点坐标；（3）画出草图；（4）观察草图，指出x为何值时，y＞0，y=0，y＜0．57．如图是二次函数y=x2﹣2x﹣3的图象．（1）求该抛物线的顶点坐标、与x轴的交点坐标（2）观察图象直接指出x在什么范围内时，y＞0？58．如图，直线y=x+m和抛物线y=x2+bx+c都经过点A（1，0），B（3，2）．（1）求m的值和抛物线的解析式；（2）求抛物线的对称轴和顶点坐标；（3）求不等式x2+bx+c＞x+m的解集．（直接写出答案）59．如图，二次函数的图象与x轴交于A、B 两点，与y轴交于点C，且点B的坐标为（1，0），点C的坐标为（0，﹣3），一次函数y2=mx+n的图象过点A、C．（1）求二次函数的解析式；（2）求二次函数的图象与x轴的另一个交点A的坐标；（3）根据图象写出y2＜y1时，x的取值范围．60．已知抛物线y1=x2+（m+1）x+m﹣4与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），且对称轴为x=﹣1．（1）求m的值；（2）画出这条抛物线；（2）若直线y2=kx+b过点B且与抛物线交于点P（﹣2m，﹣3m），根据图象回答：当x取什么值时，y1≥y2．参考答案：1.解：∵当x=2时，y=4a+2b+c，对应的y值即纵坐标为正，即4a+2b+c＞0；故（1）正确；∵由二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象可知：函数图象与x轴有两个不同的交点，即对应方程有两个不相等的实数根；并且正根的绝对值较大，∴方程ax2+bx+c=0两根之和大于零；故（2）错误；∵函数的增减性需要找到其对称轴才知具体情况；不能在整个自变量取值范围内说y随x的增大而增大；故（3）错误；∵由图象可知：c＜0，b＜0，∴bc＞0，∴一次函数y=x+bc的图象一定经过第二象限，故（4）错误；∴错误的个数为3个，故选B．2．解：∵图象上有两点分别为A（2.18，﹣0.51）、B（2.68，0.54），∴当x=2.18时，y=﹣0.51；x=2.68时，y=0.54，∴当y=0时，2.18＜x＜2.68，只有选项D符合，故选D．3.解：方程x3﹣x﹣1=0，∴x2﹣1=，∴它的根可视为y=x2﹣1和y=的交点的横坐标，当x=1时，x2﹣1=0，=1，交点在x=1的右边，当x=2时，x2﹣1=3，=，交点在x=2的左边，又∵交点在第一象限．∴1＜x0＜2，故选C．4. ：根据表格可知，ax2+bx+c=0时，对应的x的值在2.3～2.4之间．故选C．5．解：∵由图表可以得出当x=0或2时，y=1，可以求出此函数的对称轴是x=1，顶点坐标为（1，3），∴二次函数解析式为：y=a（x﹣1）2+3，再将（0，1）点代入得：1=a（﹣1）2+3，解得：a=﹣2，∴y=﹣2（x﹣1）2+3，∵a＜0∴A，抛物线开口向上错误，故：A错误；∵y=﹣2（x﹣1）2+3=﹣2x2+4x+1，与y轴交点坐标为（0，1），故与y轴交于正半轴，故：B错误；∵x=3时，y=﹣5＜0，故：C正确；∵方程ax2+bx+c=0，△=16+4×2×1=22＞0，此方程有两个不相等的实数根，故：D．方程有两个相等实数根错误；故选：C．6．解：∵，∴﹣1＜m﹣2＜﹣，＜m﹣＜1，∴函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点就是方程ax2+bx+c=0的根，函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点的纵坐标为0．由表中数据可知：y=0在y=m﹣2与y=m﹣之间，故对应的x的值在﹣1与0之间，即﹣1＜x1＜0，y=0在y=m﹣2与y=m﹣之间，故对应的x的值在2与3之间，即2＜x2＜3．故选：A．7．解：∵抛物线y=x2+3x﹣1与x轴的交点的横坐标就是方程x2+3x﹣1=0的根，∴可以求出方程x2+3x﹣1=0的根，方程x2﹣1=﹣3x与方程x2+3x﹣1=0等价，∴可以求出方程x2﹣1=﹣3x的根．故选A．8．解：根据表格得，当﹣4.4＜x＜﹣4.3时，﹣0.11＜y＜0.56，即﹣0.11＜x2+2x﹣10＜0.56，∵0距﹣0.11近一些，∴方程x2+2x﹣10=0的一个近似根是﹣4.3，故选C．9. 解：根据表中函数的增减性，可以确定函数值是0时，x应该是大于1.1而小于1.2．所以解的整数部分是1，十分位是1．故选C．10．解：由表可以看出，当x取1.44与1.45之间的某个数时，y=0，即这个数是ax2+bx+c=0的一个根．ax2+bx+c=0的一个解x的取值范围为1.44＜x＜1.45．故选C11．解：方法一：∵二次函数y=ax2+bx+c的顶点坐标（﹣1，﹣3.2）∴﹣=﹣1则﹣=﹣2∵x1x2是一元二次方程ax2+bx+c=0的两根∴x1+x2=﹣又∵x1=1.3∴x1+x2=1.3+x2=﹣2解得x2=﹣3.3．方法二：根据对称轴为；x=﹣1，关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根分别是x1=1.3，则=﹣1，即=﹣1，解得：x2=﹣3.3，故选D12．解：由抛物线图象可知其对称轴为x=3，又抛物线是轴对称图象，∴抛物线与x轴的两个交点关于x=3对称，而关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根分别是x1，x2，那么两根满足2×3=x1+x2，而x1=1.6，∴x2=4.4．故选C．13．解：由图可知，对称轴为x=﹣==3，根据二次函数的图象的对称性，=3，解得x2=5．故答案为：514．解：把（0，﹣3）代入抛物线的解析式得：c=﹣3，∴y=x2+bx﹣3，∵使该抛物线与x轴的一个交点在（1，0）和（3，0）之间，∴把x=1代入y=x2+bx﹣3得：y=1+b﹣3＜0把x=3代入y=x2+bx﹣3得：y=9+3b﹣3＞0，∴﹣2＜b＜2，即在﹣2＜b＜2范围内的任何一个数都符合，故答案为：在﹣2＜b＜2范围内的任何一个数．15.解：把点（1，0）代入抛物线y=x2﹣4x+m中，得m=3，所以，原方程为y=x2﹣4x+3，令y=0，解方程x2﹣4x+3=0，得x1=1，x2=3，∴抛物线与x轴的另一个交点的坐标是（3，0）．故答案为：（3，0）．16．解：依题意得二次函数y=﹣x2+2x+m的对称轴为x=1，与x轴的一个交点为（3，0），∴抛物线与x轴的另一个交点横坐标为1﹣（3﹣1）=﹣1，∴交点坐标为（﹣1，0）∴当x=﹣1或x=3时，函数值y=0，即﹣x2+2x+m=0，∴关于x的一元二次方程﹣x2+2x+m=0的解为x1=﹣1或x2=3．故填空答案：x1=﹣1或x2=3．17. 解：把点（1，0）代入抛物线y=x2﹣4x+中，得m=6，所以，原方程为y=x2﹣4x+3，令y=0，解方程x2﹣4x+3=0，得x1=1，x2=3 ∴抛物线与x轴的另一个交点的坐标是（3，0）18.解：由于抛物线y=（m2﹣2）x2+2mx+1的对称轴经过点（﹣1，3），∴对称轴为直线x=﹣1，x==﹣1，解得m1=﹣1，m2=2．由于抛物线的开口向下，所以当m=2时，m2﹣2=2＞0，不合题意，应舍去，∴m=﹣1．19．解：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（﹣1，﹣3.2），则对称轴为x=﹣1；所以=﹣1，又因为x1=1.3，所以x2=﹣2﹣x1=﹣2﹣1.3=﹣3.3．20. 解：依题意得二次函数y=ax2+bx+c的部分图象的对称轴为x=3，而对称轴左侧图象与x轴交点与原点的距离，约为1.6，∴x1=1.6；又∵对称轴为x=3，则=3，∴x2=2×3﹣1.6=4.4．21. 解：∵二次函数y=x2+2x﹣5中a=1＞0，∴抛物线开口方向向上，∵对称轴x=﹣=﹣1，∴x＞﹣1时y随x的增大而增大，∵当x=1.4时，y=﹣0.24＜0，当x=1.45时，y=0.0025＞0，∴方程x2+2x﹣5=0的一个正根：1.4＜x＜1.45，∴近似值是1.4．答案1.4．22．解：由表格中的数据看出﹣0.01和0.02更接近于0，故x应取对应的范围．故答案为：6.18＜x＜6.19．23．解：观察图象可知，抛物线y=2x2﹣4x+m与x轴的一个交点为（﹣1，0），对称轴为x=1，∴抛物线与x轴的另一交点坐标为（3，0），∴一元二次方程2x2﹣4x+m=0的解为x1=﹣1，x2=3．故本题答案为：x1=﹣1，x2=3．24．解：根据上表可画出函数的图象，由图象可得，①抛物线的顶点坐标为（1，﹣9）；②与y轴的交点坐标为（0，﹣8）；③与x轴的交点坐标为（﹣2，0）和（4，0）；④当x=﹣1时，对应的函数值y为﹣5．故答案为：①②④．25．解：（1）由表得，解得，∴二次函数的解析式为y=x2﹣x﹣，当x=3时，y==﹣1；（2）将y=x2﹣x﹣配方得，y=（x﹣1）2﹣2，∵a=＞0，∴函数有最小值，当x=1时，最小值为﹣2；（3）令y=0，则x=±2+1，抛物线与x轴的两个交点坐标为（2+1，0）（﹣2+1，0）∵﹣1＜x1＜0，1＜x2＜2，∴x1到1的距离大于x2到1的距离，∴y1＞y2（4）∵抛物线的顶点为（1，﹣2），∴当x=5时，y最大，即y=2；当x=1时，y最小，即y=﹣2，∴函数值y的取值范围是﹣2≤y≤2；故答案为﹣1；1、小、﹣2；＞；﹣2≤y≤2．26．解：（1）x＜﹣1或x＞3；（2）设y=x2﹣1，则y是x的二次函数，∵a=1＞0，∴抛物线开口向上．又∵当y=0时，x2﹣1=0，解得x1=﹣1，x2=1．∴由此得抛物线y=x2﹣1的大致图象如图所示．观察函数图象可知：当x＜﹣1或x＞1时，y＞0．∴x2﹣1＞0的解集是：x＜﹣1或x＞1．27．解：一元二次方程x2+7x+9=1的根是二次函数y=x2+7x+9图象中y=1时，所对应的x的值；当y=1时，x2+7x+9=1，∴作出二次函数y=x2+7x+9的图象如图，由图中可以看出，当y=1时，x≈﹣5.6或﹣1.4，∴一元二次方程x2+7x+9=1的根为x1≈﹣5.6，x2≈﹣1.4．28．解：函数y=﹣2x2+8x﹣6的图象如图．由图象可知：（1）方程﹣2x2+8x﹣6=0的解x1=1，x2=3．（2）当1＜x＜3时，y＞0．（3）当x＜1或x＞3时，y＜0．29．解：根据图象可知，二次函数y=﹣x2+2x+m的部分图象经过点（3，0），所以该点适合方程y=﹣x2+2x+m，代入，得﹣32+2×3+m=0解得，m=3 ①把①代入一元二次方程﹣x2+2x+m=0，得﹣x2+2x+3=0，②解②，得x1=3，x2=﹣130．解：（1）由原方程，得：=0，即=；解得x1=，x2=．（2）设二次函数方程为y=ax2+bx+c（a，b，c均为实数，且a≠0）．由图象得知，该函数过点（0，﹣1），所以该点满足方程y=ax2+bx+c，∴把（0，﹣1）代入方程y=ax2+bx+c，得c=﹣1，①二次函数方程为y=ax2+bx+c与x轴交点的横坐标就是方程x2﹣x﹣1=0的解；∴x1•x2==﹣1，即c=﹣a；②x1+x2==1；③由①②③，得：；∴二次函数方程为y=x2﹣x﹣1．（3）31．解：由图象得：对称轴是x=2，其中一个点的坐标为（5，0），∴图象与x轴的另一个交点坐标为（﹣1，0）．利用图象可知：ax2+bx+c＜0的解集即是y＜0的解集，∴x＜﹣1或x＞5．故选：D．32．解：A、∵图象开口向下，∴a＜0，∵与y轴交于正半轴，∴c＞0，∵对称轴在y轴左侧，﹣＜0，∴b＜0，∴abc＞0，故本选项错误；B、∵当x=﹣1时，对应的函数值y＞0，即a﹣b+c＞0，∴a+c＞b，故本选项错误；C、∵抛物线的对称轴为直线x=﹣＞﹣1，又a＜0，∴b＞2a，故本选项正确；D、∵当x=﹣2时，对应的函数值y＜0，即4a﹣2b+c＜0，∴4a＜2b﹣c，故本选项错误．故选C．33. 解：由定义运算得：x+2＞x2，即解不等式x2﹣x﹣2＜0，设y=x2﹣x﹣2，函数图象开口向上，图象与x轴交点是（﹣1，0），（2，0），由图象可知，当﹣1＜x＜2时，y＜0，即x的取值范围﹣1＜x＜2．故选A．34．解：由图形可以看出：抛物线y2=ax2+bx+c（a≠0）和一次函数y1=kx+n（k≠0）的交点的横坐标分别为﹣1，9，当y1≥y2时，x的取值范围正好在两交点之内，即﹣1≤x≤9．故选A．35．解：由图象可知，抛物线经过原点（0，0），所以a2﹣1=0，解得a=±1，∵图象开口向下，a＜0，∴a=﹣1．∴y=﹣x2﹣3x，∴二次函数与图象的交点为：（﹣3，0），（0，0），∴当y＜0时，x＜﹣3或x＞0，故A选项错误；当﹣3＜x＜0时，y＞0，故B选项正确；当x＜时，y随x的增大而增大故C选项正确；上述抛物线可由抛物线y=﹣x2平移得到，故D选项正确；故选：A．36．解：①∵图象与x轴有交点，则△=16﹣4×1×（﹣a）≥0，解得a≥﹣4；故本选项错误；②∵二次函数y=x2﹣4x﹣a的顶点坐标为（2，﹣a﹣4），代入y=2x得，﹣a﹣4=2×2，a=﹣8，故本选项正确；③表达错误，解集不能表示为（3，0），故本选项错误；④表达错误，点不能用x表示，故本选项错误；⑤由根与系数的关系，x1+x2=4，当x=4时，y=16﹣16﹣a=﹣a，当x=0时，y=﹣a，故本选项正确．故选C．37．解：由图象可知a＜0，∴不等式ax＞a的解集为x＜1．故选B．38．解：x=a代入函数y=x2﹣2x+m中得：y=a2﹣2a+m=a（a﹣2）+m，∵x=a时，y＜0，∴a（a﹣2）+m＜0，由图象可知：m＞0，∴a（a﹣2）＜0，又∵x=a时，y＜0，∴a＞0则a﹣2＜0，由图象可知：x=0时，y=m，又∵x＜1时y随x的增大而减小，∴x=a﹣2时，y＞m．故选：D．39.解：二次函数为y=x2﹣4x+a，对称轴为x=2，图象开口向上．则：A、当x＜1时，y随x的增大而减小，故说法正确；B、若图象与x轴有交点，即△=16﹣4a≥0，则a≤4，故说法正确；C、当a=3时，不等式x2﹣4x+3＜0的解集是x＜0或x＞3，故说法错误；D、原式可化为y=（x﹣2）2﹣4+a，将图象向上平移1个单位，再向左平移3个单位后所得函数解析式是y=（x+1）2﹣3+a，函数过点（1，﹣2），代入解析式得到：a=﹣3．故说法正确．故选A．40．①通过图象可知，在点A和B之间y1的图象在y2的上面，也就是y1＞y2，且解集是0＜x＜4，此选项正确；②通过图象可知，在点A的左边和在B的右边，y1的图象在y2的下面，也就是y1＜y2，且解集是x＜0或x＞4，此选项正确；③两函数图象的交点就是y1=y2的解，且解是x1=0，x2=4，此选项正确．故选D．41．解：∵二次函数y=x2﹣2x﹣3的图象如图所示．∴图象与x轴交在（﹣1，0），（3，0），∴当y＜0时，即图象在x轴下方的部分，此时x的取值范围是：﹣1＜x＜3，故答案为：﹣1＜x＜3．42．解：∵抛物线与x轴的一个交点（3，0）而对称轴x=1∴抛物线与x轴的另一交点（﹣1，0）当y=ax2+bx+c＞0时，图象在x轴上方此时x＜﹣1或x＞3故填空答案：x＜﹣1或x＞3．43.解：（1）根据二次函数的性质可知对称轴为x=﹣=﹣=3顶点坐标为x=﹣=3，y===﹣4，故对称轴为x=3，顶点坐标为（3，﹣4）；（2）令y=0，即x2﹣6x+5=0解得x1=1，x2=5故函数图象与x轴交点为（1，0），（5，0）∴c=0，故图象与y轴交点为（0，5）；（3）由图象可知当x＜1或x＞5时，y＞0当x＞3时，y随x的增大而增大（4）由图象可知，x2﹣6x+5＜0的解集为1＜x＜5．44．解：（1）根据图象得二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象，a＞0，∵对称轴经过x轴的负半轴，即可得出a，b同号，∴b＞0，故答案为：b＞0；（2）根据图象得二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交点坐标为（2，0）、（﹣4，0），而ax2+bx+c＞0，即y＞0，∴x＜﹣4或x＞2；故答案为：x＜﹣4或x＞2；（3）根据图象得二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交点坐标为（2，0）、（﹣4，0），∴抛物线的对称轴为x=﹣1，∴当x＜﹣1时，y随x的增大而减小．故答案为：x＜﹣1．45．解：（1）∵二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点为（1，0），（3，0）∴方程ax2+bx+c=0的两个根x1=1，x2=3；（2）由二次函数y=ax2+bx+c的图象可知：1＜x＜3时，二次函数y=ax2+bx+c的值大于0∴不等式ax2+bx+c＞0的解集为1＜x＜3；（3）由图象可知：二次函数y=ax2+bx+c的对称轴为x=2∴y随x的增大而减小的自变量x的取值范围为x＞2；（4）由图象可知：二次函数y=ax2+bx+c的顶点坐标为（2，2），当直线y=k，在（0，2）的下边时，一定与抛物线有两个不同的交点，因而当k＜2时，方程ax2+bx+c=k有两个不相等的实数根．46．解：∵抛物线的开口向下，与y轴的交点在y轴的正半轴上，∴a＜0，c＞0，∴ac＜0，∴①错误；由图象可知：﹣=1，∴2a+b=0，∴②正确；当x=1时，y=a+b+c＞0，∴③错误；由图象可知：当x＞1时，函数y随x的增大而减小，∴④错误；根据图象，当﹣1＜x＜3时，y＞0，∴⑤正确；正确的说法有②⑤．47．解：∵y=x2+bx﹣1经过（3，2）点，∴b=﹣2，∵﹣1≤y≤2，∴﹣1≤x2﹣2x﹣1≤2，解得2≤x≤3或﹣1≤x≤0．48. 解：∵x2﹣x﹣6=0∴x1=﹣2，x2=3∴抛物线y=x2﹣x﹣6与x轴的交点坐标为（﹣2，0），（3，0）而抛物线y=x2﹣x﹣6开口向上当y＜0时，图象在x轴的下方，此时﹣2＜x＜3故填空答案：﹣2＜x＜3．49. 解：当y=0时，即x2﹣2x﹣3=0，∴x1=﹣1，x2=3，∴图象与x轴的交点是（﹣1，0），（3，0），当y＜0时，图象在x轴的下方，此时﹣1＜x＜3．故填空答案：﹣1＜x＜3．50．解：（1）依题意因为ax2+bx+c＞0，得出x的取值范围为：1＜x＜3；（2）如图可知，当y随x的增大而减小，自变量x的取值范围为：x＞2；（3）由顶点（2，2）设方程为a（x﹣2）2+2=0，∵二次函数与x轴的2个交点为（1，0），（3，0），∴a=﹣2，∴抛物线方程为y=﹣2（x﹣2）2+2，y=﹣2（x﹣2）2+2﹣k实际上是原曲线下移k个单位，由图形知，当k＜2时，曲线与x轴有两个交点．故k＜2．故答案为：（1）1＜x＜3；（2）x＞2；（3）k＜2．51．解：∵直线y=x+m和抛物线y=x2+bx+c都经过点A（1，0）和B（3，2），∴根据图象可知，不等式x2+bx+c＞x+m 的解集为x＜1或x＞3；故答案为：x＜1或x＞3．52．解：直线y=1上方的函数图象所对应的自变量的取值为x≤﹣1或x≥3，故答案为x≤﹣1或x≥3．53.解：根据图象知，当y1≤y2时，自变量x的取值范围是﹣2≤x≤．故答案为﹣2≤x≤．54．解：由图可知，﹣＜x＜时，函数图象在x轴的下方，所以y＜0．故答案为：＜．55．解：当y=1时，x2﹣2x﹣2=1，解得（x+1）（x﹣3）=0，x1=﹣1，x2=3．由图可知，x≤﹣1或x≥3时y≥1．故答案为x≤﹣1或x≥3．56．解：（1）∵y=﹣x2﹣3x﹣=﹣（x2+6x+5）=﹣（x2+6x+9﹣4）=﹣（x+3）2+2，∴开口向下，对称轴为x=﹣3，顶点坐标为（﹣3，2）；（2）∵令x=0，得：y=﹣，∴抛物线与y轴的交点坐标为：（0，﹣）；令y=0，得到﹣x2﹣3x﹣=0，解得：x=﹣1或x=﹣5，故抛物线与x轴的交点坐标为：（﹣1，0）和（﹣5，0）；（3）草图为：（4）根据草图知：当x=﹣1或x=﹣5时，y=0，当﹣5＜x＜﹣1时y＞0，当x＜﹣5或x＞﹣1时y＜0．57．解：（1）∵y=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4=（x+1）（x﹣3），∴抛物线的顶点坐标为（1，﹣4），对称轴为直线x=1，与x轴交点为（﹣1，0），（3，0）；（2）由图象可知，当x＞3或x＜﹣1时，y＞0．58．解：（1）把点A（1，0），B（3，2）分别代入直线y=x+m和抛物线y=x2+bx+c得：0=1+m，，∴m=﹣1，b=﹣3，c=2，所以y=x﹣1，y=x2﹣3x+2；（2）由（1）知，该抛物线的解析式为：y=x2﹣3x+2，∴y=（x﹣）2﹣，∴抛物线的对称轴是：x=；顶点坐标是（，﹣）；（3）x2﹣3x+2＞x﹣1，解得：x＜1或x＞3．59．解：（1）由二次函数的图象经过B（1，0）、C （0，﹣3）两点，得，解这个方程组，得，∴抛物线的解析式为；（2）令y1=0，得x2+2x﹣3=0，解这个方程，得x1=﹣3，x2=1，∴此二次函数的图象与x轴的另一个交点A的坐标为（﹣3，0）；（3）当x＜﹣3或x＞0，y2＜y1．60．解：（1）由题意，有，解得m=1．（2）∵m=1，∴y1=x2+2x﹣3，∴y1=（x+1）2﹣4，列表为：x …﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 …y=x2+2x﹣3 …0 ﹣3 ﹣4 ﹣3 0 …描点并连线为：（3）∵m=1∴P（﹣2，﹣3），∴可以画出直线的图象．∴由图象得x≤﹣2或x≥1时，y1≥y2．。

二次函数与方程不等式练习题(带答案) (2)

二次函数与方程不等式练习题(带答案) (2)

或 时，函数图象在 轴的下方， 的图象与 轴的交点为 ， ， 的解集为 或 ．
【标注】【知识点】利用二次函数解不等式问题
6. 如下图，在平面直角坐标系中，抛物线 旋转 后得到点 ，连接 、 、 ，则
与 轴正半轴交于点 ，其顶点为 ，将点 绕点
的面积为
．
y
x
【答案】
【解析】 当 时，有
，
故或，
∴ 的坐标为 ，
，且
时，
；
时，
．
（ 1 ） 求一次函数
的表达式．
（ 2 ） 若该商场获得利润为 元，试写出利润 与销售单价 之间的关系式；销售单价定为多少元
时，该超市的最大利润是多少元?（利润 销售收入 进货成本，不含其他支出）
【答案】（ 1 ）
．
（ 2 ） 当销售单价定为 元时，商场可获得最大利润，最大利润是Fra bibliotek元．6
【解析】（ 1 ） 根据题意得
解得
，
所求一次函数的表达式为
．
（2）
，
∵
，
∴当
时， 随 的增大而增大，
又∵销售单价不低于成本单价，且获利不得高于 ，
∴
，即
，
∴当
时， 取得最大值为：
．
∴当销售单价定为 元时，商场可获得最大利润，最大利润是
元．
【标注】【知识点】二次函数的利润问题
7
，
∴，．
（ 2 ） 抛物线
平移后为
，
∵
，
∴
，
．
∴
．
（ 3 ）∵
，
∴
，
，
∵ 时，
恒成立，
∴由图象性质可知
， ．（或用作差法求解．）

人教A版必修一二次函数与方程不等式同步练习题(含答案及解析)

人教A版必修一二次函数与方程不等式同步练习题(含答案及解析)

人教A版必修一二次函数与方程不等式同步练习题一单项选择题1．已知关于x的不等式（m﹣2）x2+2（m﹣2）x+4＞0得解集为R，则实数m的取值范围是（）A．（2，6） B．（﹣∞，2）∪（6，+∞）C．（﹣∞，2]∪（6，+∞） D．[2，6）2．不等式对任意实数x都成立，则m的取值范围是（）A．（﹣∞，2] B．C．D．3．若函数f（x）＝的定义域为R，则实数a的取值范围是（）A．{a|a≤﹣1或a≥0} B．{a|a＜﹣1或a＞0} C．{a|﹣1≤a≤0} D．{a|﹣1＜a＜0}4．关于x的不等式（x﹣1）（x﹣a）＜0的解集中，恰有3个整数，则a的取值范围是（）A．{a|4＜a＜5} B．{a|4＜a＜5或﹣3＜a＜﹣2}C．{a|4＜a≤5} D．{a|4＜a≤5或﹣3≤a＜﹣2}5．不等式x2﹣3|x|＜0的解集为（）A．{x|0＜x＜3} B．{x|﹣3＜x＜0或0＜x＜3}C．{x|﹣3＜x＜0} D．{x|﹣3＜x＜3}6．关于x的不等式x2﹣（a+1）x+a＜0的解集中恰有两个整数，则实数a的取值范围是（）A．（﹣2，﹣1]∪[3，4）B．[﹣2，﹣1]∪[3，4]C．[﹣2，﹣1）∪（3，4] D．（﹣2，﹣1）∪（3，4）7．已知关于x的不等式a≤x2﹣3x+4≤b，下列结论正确的是（）A．当a＜b＜1，不等式a≤x2﹣3x+4≤b的解集为∅B．当a＝2时，不等式a≤x2﹣3x+4≤b的解集可以为{x|c≤x≤d}的形式C．不等式a≤x2﹣3x+4≤b的解集恰好为{x|a≤x≤b}，那么b＝D．不等式a≤x2﹣3x+4≤b的解集恰好为{x|a≤x≤b}，那么b﹣a＝48．若a、b、c均大于0，且，则a（a+b+c）+bc的最大值为（）A．B．C．D．2二多项选择题9．已知函数f（x）＝ax2﹣bx+c（a＜b＜c）有两个零点﹣1和m，若存在实数x0，使得f（x）＞0，则实数m的值可能是（） A．x0﹣2 B．x+C．x+D．x+210．已知关于x的不等式ax2+bx+c＞0解集为{x|﹣2＜x＜3}，则（）A．a＞0 B．不等式ax+c＞0的解集为{x|x＜6}C．a+b+c＞0 D．不等式cx2﹣bx+a＜0的解集为11．已知函数y＝x2+ax+b（a＞0）有且只有一个零点，则（）A．a2﹣b2≤4 B．a2+≥4C．若不等式x2+ax﹣b＜0的解集为（x1，x2），则x1x2＞0D．若不等式x2+ax+b＜c的解集为（x1，x2），且|x1﹣x2|＝4，则c＝4三填空题12．研究问题：“已知关于x的不等式ax2﹣bx+c＞0的解集为（1，2），则关于x的不等式cx2﹣bx+a＞0有如下解法：由，令，则，所以不等式cx 2﹣bx+a ＞0的解集为．参考上述解法，已知关于x 的不等式的解集为（﹣2，﹣1）∪（2，3），则关于x 的不等式的解集 ．13．定义域为R 的函数f （x ）满足f （x+2）＝2f （x ），当x ∈[0，2]时，，若x ∈[4，6]时，f （x ）≥t 2﹣2t ﹣4恒成立，则实数t 的取值范围是 ．14．已知函数f （x ）＝﹣x 2+ax+b 的最大值为0，若关于x 的不等式f （x ）＞c ﹣1的解集为{x|m ﹣4＜x ＜m}，则实数c 的值为 ． 15．已知y 1＝x+m ，，若对∀x 1∈[0，1]，总∃x 2∈[1，2]，使得y 1（x 1）＞y 2（x 2），则实数m 的取值范围是 ．注：y 1（x 1）表示的是函数y 1＝x+m 中x 1对应的函数值，y 2（x 2）表示的是中x 2对应的函数值． 四 解答题16．已知函数f （x ）＝x 2﹣2ax+2a 2+2．（1）关于x 的方程f （x ）＝2a 2有解，求实数a 的取值范围；（2）求函数f （x ）在区间的最小值．17．已知函数f （x ）＝x 2+bx+c （b ，c ∈R ）．（1）当c ＝b 时，解关于x 的不等式f （x ）＞1；（2）若f （x ）的值域为[1，+∞），关于x 的不等式f （x ）＜a 的解集为（m ，m+4），求实数a 的值；（3）设g （x ）＝，函数f （g （x ））的最大值为1，且当时，恒成立，求b 2+c 2的取值范围．18．知函数f （x ）＝log 2x+1，g （x ）＝f （x 2）+[f （x ）]2．（1）求方程g （x ）＝2的解集；（2）若f （x ）的定义域是[1，16]，求函数g （x ）的最值；（3）若不等式[f （x ）]2+log 2x+4＞m •f （x ）对于∀x ∈[1，16]恒成立，求m 的取值范围． 19．已知函数f （x ）＝x 2﹣2ax （a ＞0）．（1）当a ＝2时，解关于x 的不等式﹣3＜f （x ）＜5； （2）对于给定的正数a ，有一个最大的正数M （a ），使得在整个区间[0，M （a ）]上，不等式|f （x ）|≤5恒成立．求出M （a ）的解析式；（3）函数y ＝f （x ）在[t ，t+2]的最大值为0，最小值是﹣4，求实数a 和t 的值．20．已知f （x ）＝﹣3x 2+a （6﹣a ）x+12．（1）若不等式f （x ）＞b 的解集为（0，3），求实数a 、b 的值；（2）若a ＝3时，对于任意的实数x ∈[﹣1，1]，都有f （x ）≥﹣3x 2+（m+9）x+10，求m 的取值范围．21．已知集合A ＝{x|﹣1≤x ≤2}，B ＝{x|x 2﹣2mx+m 2﹣1≤0}．（1）命题p ：x ∈A ，命题q ：x ∈B ，且p 是q 的必要非充分条件，求实数m 的取值范围；（2）若∀x ∈A ，都有x 2+m ≥4+3x ，求实数m 的取值范围．22．已知定义在R 上的函数f （x ）＝x 2﹣x+k ，其中k 为常数．（1）求解关于x 的不等式f （x ）＜kx 的解集；（2）若f （2）是f （a ）与f （b ）的等差中项，求a+b 的取值范围．人教A版必修一二次函数与方程不等式同步练习题参考答案与解析1.分析:对m讨论，分m＝2，m＞2，结合二次函数的图象和判别式的符号，可得所求范围．解：①当m＝2时，4＞0，解集为R，②当m＞2且△＝4（m﹣2）2﹣16（m﹣2）＜0，即2＜m＜6时，不等式解集为R，综上可得，m的取值范围是[2，6）．故选D．2.分析:题意转化为（3﹣m）x2+（2﹣m）x+2﹣m≥0对任意实数x恒成立，分二次项系数是否为0，即m＝3和m≠3两种情况分类讨论可得结果．解：∵恒成立，不等式等价于3x2+2x+2≥m（x2+x+1），即（3﹣m）x2+（2﹣m）x+2﹣m≥0对任意实数x恒成立，①当3﹣m＝0，即m＝3时，不等式为﹣x﹣1≥0，对任意实数x不恒成立，不满足题意；②当3﹣m≠0，即m≠3时，则，解得m≤2，综上可得，实数m的取值范围是（﹣∞，2]．故选A．3.分析:根据函数的定义域为R，转化为﹣1≥0恒成立，结合指数函数的性质以及一元二次不等式的解法进行转化求解即可．解：∵f（x）的定义域为R，∴﹣1≥0，得≥1恒成立，得x2+2ax﹣a≥0恒成立，即判别式△＝4a2+4a≤0，得a（a+1）≤0，得﹣1≤a≤0，故选C．4.分析:对a讨论，写出解集，再根据题目要求求出对应的a的范围．解：①当a＞1时，解得1＜x＜a，此时解集中的整数为2，3，4，则4＜a≤5，②当a＜1时，解得a＜x＜1，此时解集中的整数为0，﹣1，﹣2，则﹣3≤a＜﹣2．故a∈{a|﹣3≤a＜﹣2或4＜a ≤5}，故选D．5.分析:根据x2﹣3|x|＜0去绝对值可得或，然后解不等式组即可．解：∵x2﹣3|x|＜0，∴或，∴0＜x＜3或﹣3＜x＜0，∴不等式的解集为{x|﹣3＜x＜0或0＜x＜3}．故选B．6.分析:不等式化为（x﹣1）（x﹣a）＜0，只需讨论a＞1，a＜1时，求出解不等式的解集，再根据不等式的解集中恰有两个整数，求出a的取值范围．解：关于x的不等式x2﹣（a+1）x+a＜0可化为（x﹣1）（x﹣a）＜0，当a＞1时，解不等式得1＜x＜a；当a＜1时，解不等式得a＜x＜1；由不等式的解集中恰有两个整数，则3＜a≤4或﹣2≤a＜﹣1，所以a的取值范围是[﹣2，﹣1）∪（3，4]．故选C．7.分析:A：由x2﹣3x+4≤b，利用判别式即可判断；B：在同一平面直角坐标系中作出函数y＝x2﹣3x+4＝（x﹣2）2+1的图象以及y＝a和y＝b，利用图象可判断；C：根据不等式的解集求出b 的值，再判断a是否小于1；D：利用不等式求出a的值，即可得到结论．解：对于A：由x2﹣3x+4≤b，可得3x2﹣12x+16﹣4b≤0，又b＜1，所以△＝48（b﹣1）＜0，从而不等式a≤x2﹣3x+4≤b的解集为∅，故A正确；对于B：在同一平面直角坐标系中作出函数y ＝x2﹣3x+4＝（x﹣2）2+1的图象以及y＝a和y＝b，如图所示，由图可知，当a＝2时，不等式a≤x2﹣3x+4≤b的解集为{x|xA ≤x≤xC}∪{x|xB≤x≤xD}的形式，故B错误；由不等式a≤x2﹣3x+4≤b的解集恰好为{x|a≤x≤b}，可知a≤ymin，即a≤1，因此当x＝a，x＝b时函数值都是b，由当x＝b时，函数值是b，可得b2﹣3b+4＝b，解得b＝或b＝4，由a2﹣3a+4＝b＝，解得a ＝或a＝，不满足a≤1，不符合题意，故C错误；当b＝4时，由a2﹣3a+4＝b＝4，解得a＝0或a＝4，a＝0满足a≤1，此时b﹣a＝4﹣0＝4，故D正确．故选AD．8.分析:根据题意，分析可得a（a+b+c）+bc＝a2+ab+ac+bc＝（a+b）（a+c），结合基本不等式的性质分析可得答案．解：根据题意，a，b，c都是正数，且，则a（a+b+c）+bc＝a2+ab+ac+bc＝（a+b）（a+c）≤[]2＝＝；当且仅当a+b＝b+c时等号成立，故a2+ab+ac+bc的最大值为，故选C．9.分析:根据题意，分析可得a＜0，c＞0，由根与系数的关系可得m＞0，由二次函数的性质分析零点﹣1到对称轴的距离，进而可得m﹣（﹣1）的取值范围，又由x0∈（﹣1，m），变形可得m与x的关系，据此分析选项可答案．解：根据题意，函数f（x）＝ax2﹣bx+c（a＜b＜c）有两个零点﹣1和m，则有f（﹣1）＝a+b+c ＝0，又由a＜b＜c，则a＜0，c＞0，方程ax2﹣bx+c＝0的两个根为﹣1和m，则有（﹣1）×m＝﹣m＝＜0，必有m＞0，由a＜b，a＜0，得＜1①，由0＝a+b+c＞a+b+b＝a+2b，得﹣＜，即＞﹣②，由①②得：﹣＜＜1．函数f（x）＝ax2﹣bx+c的图象是开口向下的抛物线，其对称轴方程为x＝，则﹣＜＜，∴零点﹣1到对称轴的距离d∈（，），另一零点为m＞0，则有m﹣（﹣1）＝m+1＝2d∈（，3），因为f（x0）＞0，所以x∈（﹣1，m），故0＜m﹣x＜（2d）min ，∴x＜m≤+x，综合四个选项，实数m的值可能是x+或+x，故选BC．10.分析:由已知可得﹣2，3是方程ax2+bx+c＝0的两根，则由韦达定理可得：，且a＜0，解得c＝﹣6a，b＝﹣a，然后对应各个选项逐个判断即可．解：由已知可得﹣2，3是方程ax2+bx+c＝0的两根，则由韦达定理可得：，且a＜0，解得c＝﹣6a，b＝﹣a，所以A错误，选项B：ax+c＞0化简为x﹣6＜0，解得x＜6，B正确，选项C：a+b+c＝a﹣a﹣6a＝﹣6a＞0，C正确，选项D：cx2﹣bx+a＜0化简为：6x2﹣x﹣1＜0，解得﹣，D正确，故选BCD．11.分析:由函数的零点的定义和二次方程有两个相等的实数解的条件可得a，b的关系式，由二次函数的最值求法，可判断A；由基本不等式可判断B；由二次方程的韦达定理可判断C，D．解：根据题意，函数y＝x2+ax+b（a＞0）有且只有一个零点，必有a2﹣4b＝0，即a2＝4b，（b＞0），依次分析选项：对于A，a2﹣b2﹣4＝4b﹣b2﹣4＝﹣（b2﹣4b+4）＝﹣（b﹣2）2≤0，b＝2时，等号成立，即有a2﹣b2≤4，故A正确；对于B，a2+＝4b+≥2＝4，当且仅当b＝时，取得等号，故B正确；对于C，由x1，x2为方程x2+ax﹣b＝0的两根，可得x1x2＝﹣b＜0，故C错误；对于D，由x1，x2为方程x2+ax+b﹣c＝0的两根，可得x1+x2＝﹣a，x1x2＝b﹣c，则|x1﹣x2|2＝（x1+x2）2﹣4x1x2＝a2﹣4（b﹣c）＝a2﹣4b+4c＝4c＝16，解得c＝4，故D正确．故选ABD．12.分析:先明白题目所给解答的方法：ax2﹣bx+c＞0化为，类推为cx2﹣bx+a＞0，解答不等式；然后依照所给定义解答题目即可．解：关于x的不等式+＜0的解集为（﹣2，﹣1）∪（2，3），用替换x，不等式可以化为：可得,可得,故答案为：．13.分析:先确定当x∈[0，2]时，f（x）的最小值为﹣，利用函数f（x）满足f（x+2）＝2f（x），可得x∈[4，6]时，f（x）的最小值为﹣1，从而可得﹣1≥t2﹣2t﹣4，即可得出结论．解：当x∈[0，1）时，f（x）＝x2﹣x∈[﹣，0],当x∈[1，2]时，f（x）＝（x﹣2）x∈[﹣，0],∴当x∈[0，2]时，f（x）的最小值为﹣，又∵函数f（x）满足f（x+2）＝2f（x），当x∈[2，4]时，f（x）的最小值为﹣，当x∈[4，6]时，f（x）的最小值为﹣1，∵x∈[4，6]时，f（x）≥t2﹣2t﹣4恒成立，∴﹣1≥t2﹣2t﹣4,∴（t+1）（t﹣3）≤0，解得：﹣1≤t≤3，故答案为：﹣1≤t≤3．14.分析:根据题意，由二次函数的性质可得△＝0，即a2+4b＝0，由不等式的解集可得方程f（x）＝c﹣1即﹣x2+ax﹣﹣c+1＝0的两根分别为：m﹣4，m，利用根与系数的关系分析可得答案．解：根据题意，函数f（x）＝﹣x2+ax+b的最大值为0，则二次函数f（x）与x轴只有一个交点，所以△＝0，即a2+4b＝0，变形可得b＝﹣,关于x的不等式f（x）＞c﹣1的解集为{x|m﹣4＜x ＜m}，所以方程f（x）＝c﹣1即﹣x2+ax﹣﹣c+1＝0的两根分别为：m﹣4，m，则有（m﹣4）+m ＝﹣a，m（m﹣4）＝+c﹣1，则有[m﹣（m﹣4）]2＝[m+（m﹣4）]2﹣4m（m﹣4）＝a2﹣4（+c ﹣1）＝4﹣4c＝16，解可得：c＝﹣3；故答案为：﹣3．15.分析:将∀x1∈[0，1]，总∃x2∈[1，2]，使得y1（x1）＞y2（x2），转化为y1（x）min＞y2（x）min，借助一次函数，二次函数的性质求解最大，最小值，再得到m的取出范围．解：对∀x1∈[0，1]，总∃x2∈[1，2]，使得y1（x1）＞y2（x2），等价于y1（x）min＞y2（x）min，由于y＝x+m在x∈[0，1]单调递增，因此y1（x）min＝y1（0）＝m；而+2m﹣3，对称轴为x＝，（1）若＜1，即m＜2，，即，得﹣2＜m＜2，（2）若，即2≤m≤4，，即m＞，得﹣6＜m＜2，而2≤m≤4，即m无解，（3）若＞2，即m＞4，，∴m＞，得m无解．综上，m的取出范围为（﹣2，2）．16.分析:（1）关于x的方程f（x）＝2a2有解，则Δ≥0，从而解不等式即可得出实数a的取值范围；（2）函数f（x）的对称轴为x＝a，开口向上，按照a≤﹣，﹣＜a＜和a≥分类，分别根据函数的单调性，进而得出最小值．解：（1）由关于x 的方程f （x ）＝2a 2有解，等价于x 2﹣2ax+2＝0有解，∴Δ＝（﹣2a ）2﹣4×2≥0，解得a ≤﹣或a ≥，故实数a 的取值范围是（﹣∞，﹣]∪[，+∞）； （2）根据题意，f （x ）＝x 2﹣2ax+2a 2+2，x ∈[﹣，]，对称轴为x ＝a ，开口向上，当a ≤﹣时，函数在[﹣，]上单调递增，此时f （x ）min ＝f （﹣）＝2a 2+3a+；当﹣＜a ＜时，函数在[﹣，a]上单调递减，在[a ，]上单调递增，此时f （x ）min ＝f （a ）＝a 2+2；当a ≥时，函数在[﹣，]上单调递减，此时f （x ）min ＝f （）＝2a 2﹣3a+，综上，函数在区间[﹣，]的最小值为f （x ）min ＝．17.分析:（1）首先将所给的不等式写成两根式的形式，然后分类讨论确定不等式的解集即可，（2）由三个二次的关系得到方程的两个根之差为4，据此可得实数a 的值，（3）由题意将c 表示为含有b 的等式，然后求得实数b 的取值范围，最后结合二次函数的性质可得求b 2+c 2的取值范围． 解：（1）当c ＝b 时，由f （x ）＞1得x 2+bx+b ﹣1＞0，即（x+b ﹣1）（x+1）＞0，当1﹣b ＞﹣1，即b ＜2时，原不等式的解集为（﹣∞，﹣1）∪（1﹣b ，+∞），当b ＝2时，原不等式的解集为（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，+∞），当b ＞2时，原不等式的解集为（﹣∞，1﹣b ）∪（﹣1，+∞）．（2）由f （x ）的值域为[1，+∞），得，因为关于x 的不等式f （x ）＜a 的解集为（m ，m+4），所以m ，m+4是方程f （x ）＝a 的两个实根，即x 2+bx+c ﹣a ＝0的两根之差为4，所以，则，得a ＝5．（3），则，,则x ∈（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）时，f （x ）≥0恒成立，又，因为f （g （x ））的最大值为1，所以f （x ）在xe[﹣3，﹣2）上的最大值为1，由f （x ）图象开口向上，得，即，则c ＝3b ﹣8，且b ≤5，此时由x ∈（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）时，f （x ）≥0恒成立，得x 2+bx+3b ﹣8≥0恒成立，且f （﹣2）≥0，得b ≥4，要满足x ∈（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）时，f （x ）≥0恒成立，则Δ≤0，b 2﹣4（3b ﹣8）≤0，解得4≤b ≤8，综上，4≤b ≤5，此时b 2+c 2＝b 2+（3b ﹣8）2＝10b 2﹣48b+64∈[32，74]．18.分析:（1）依题意，g （x ）＝2可化简为+4log 2x ＝0，解之即可得到方程g （x ）＝2的解集；（2）依题意得1≤x 2≤16⇒1≤x ≤4⇒0≤log 2x ≤2，换元，令t ＝f （x ）＝log 2x+1，则t ∈[1，3]，于是可得h （t ）＝（t+1）2﹣2，利用二次函数的单调性即可求得函数g （x ）的最值；（3）令t ＝f （x ）＝log 2x+1，则t ∈[1，5]，则不等式[f （x ）]2+log 2x+4＞m •f （x ）对于∀x ∈[1，16]恒成立⇔t 2+t+3＞mt 对于∀t ∈[1，5]恒成立⇔m ＜t++1（1≤t ≤5）恒成立，利用基本不等式即可求得m 的取值范围． 解：（1）∵f （x ）＝log 2x+1，∴g （x ）＝f （x 2）+[f （x ）]2＝2log 2x+1++2log 2x+1＝+4log 2x+2，由g （x ）＝2得：+4log 2x ＝0，解得：log 2x ＝0或log 2x ＝﹣4，∴x ＝1或x ＝，∴方程g （x ）＝2的解集为{，1}；（2）∵f （x ）的定义域是[1，16]，∴1≤x 2≤16，∴1≤x ≤4，∴0≤log 2x ≤2，∴f （x ）＝log 2x+1∈[1，3]，令t＝f（x）＝log2x+1，则t∈[1，3]，则h（t）＝g（x）＝+4log2x+2＝（t﹣1）2+4（t﹣1）+2＝（t+1）2﹣2，t∈[1，3]．∵h（t）＝（t+1）2﹣2的对称轴方程为t＝﹣1，∴y＝（t+1）2﹣2在区间[1，3]上单调递增，∴h（t）min ＝h（1）＝2，h（t）max＝h（3）＝14．即g（x）min＝2，g（x）max＝14．（3）若不等式[f（x）]2+log2x+4＞m•f（x）对于∀x∈[1，16]恒成立，令t＝f（x）＝log2x+1（1≤x≤16），则t∈[1，5]，则上式等价于t2+t+3＞mt对于∀t∈[1，5]恒成立⇔m＜t++1（1≤t≤5）恒成立，∵t++1≥2+1，当且仅当t＝，即t＝时取“＝”，∴m＜2+1．19.分析:（1）a＝2时，把不等式﹣3＜f（x）＜5化为不等式组﹣3＜x2﹣4x＜5，求出解集即可；（2）由二次函数的图象与性质，讨论a＞0时|f（x）|≤5在x∈[0，M（a）]上恒成立时，M（a）最大，此时对应的方程f（x）＝±5根的情况，从而求出M（a）的解析式；（3）f（x）＝（x﹣a）2﹣a2（t≤x≤t+2），显然f（0）＝f（2a）＝0，分类讨论，利用y＝f（x）在[t，t+2]的最大值为0，最小值是﹣4，求实数a和t的值．解：（1）当a＝2时，函数f（x）＝x2﹣4x，∴不等式﹣3＜f（x）＜5可化为﹣3＜x2﹣4x＜5，解得，∴不等式的解集为（﹣1，1）∪（3，5）；（2）∵a＞0时，f（x）＝x2﹣2ax＝（x﹣a）2﹣a2，∴当﹣a2＜﹣5，即a＞时，要使|f（x）|≤5在x∈[0，M（a）]上恒成立，要使得M（a）最大，M（a）只能是x2﹣2ax＝﹣5的较小的根，即M（a）＝a﹣；当﹣a2≥﹣5，即0＜a≤时，要使|f（x）|≤5在x∈[0，M（a）]上恒成立，要使得M（a）最大，M（a）只能是x2﹣2ax＝5的较大的根，即M（a）＝a+；综上，M（a）＝．（3）f（x）＝（x﹣a）2﹣a2（t≤x≤t+2），显然f（0）＝f（2a）＝0．①若t＝0，则a≥t+1，且f（x）min ＝f（a）＝﹣4，或f（x）min＝f（2）＝﹣4，当f（a）＝﹣a2＝﹣4时，a＝±2，a＝﹣2不合题意，舍去.当f（2）＝4﹣4a＝﹣4时，a＝2，②若t+2＝2a，则a≤t+1，且f（x）min＝f（a）＝﹣4，或f（x）min＝f（2a﹣2）＝﹣4，当f（a）＝﹣a2＝﹣4时，a＝±2，若a＝2，t＝2，符合题意；若a＝﹣2，则与题设矛盾，不合题意，舍去.当f（2a﹣2）＝﹣4时，a＝2，t＝2.综上所述，a＝2，t＝0和a＝2，t＝2符合题意．20.分析:（1）根据不等式f（x）＞b的解集知对应方程的实数根，由根与系数的关系求出a、b 的值；（2）a＝3时问题转化为mx≤2对于任意的实数x∈[﹣1，1]都成立，讨论m的取值情况，从而求出m的取值范围．解：（1）因为f（x）＝﹣3x2+a（6﹣a）x+12，不等式f（x）＞b的解集为（0，3），所以0和3是一元二次方程3x2﹣a（6﹣a）x﹣12+b＝0的两实数根，所以，解得a＝3，b＝12；（2）当a＝3时，f（x）＝﹣3x2+9x+12，不等式f（x）≥﹣3x2+（m+9）x+10可化为﹣3x2+9x+12≥﹣3x2+（m+9）x+10，即mx≤2对于任意的实数x∈[﹣1，1]都成立；m＝0时，mx＝0≤2显然成立；m＞0时，mx≤2化为x≤，即≥1，解得m≤2，即0＜m≤2；m＜0时，mx≤2化为x≥，即≤﹣1，解得m≥﹣2，即﹣2≤m＜0；综上知，m的取值范围是[﹣2，2]．21.分析:（1）求出集合B的取值范围，根据p是q的必要非充分条件，即可求得m的取值范围（2）由若∀x∈A，得不等式的定义域，解关于m的不等式，即可求得m的取值范围．解：（1）B＝{x|x2﹣2mx+m2﹣1≤0}＝{x|（x﹣m+1）（x﹣m﹣1）≤0}⇒{x|m﹣1≤x≤m+1}．由p是q的必要非充分条件知：B⫋A，∴，解得0≤m≤1．（2）由∀x∈A，都有x2+m≥4+3x，得m≥﹣x2+3x+4，x∈[﹣1，2]，令y＝﹣x2+3x+4＝﹣（x﹣）2+，x∈[﹣1，2]，∴当x＝时，y取最大值为，∴m≥．22.分析:（1）对k分类讨论，利用一元二次不等式的解法可得结论；（2）由等差中项的性质可得关于a，b的等式，再利用基本不等式即可得结论解：（1）由f（x）＜kx，可得x2﹣x+k＜kx，即（x﹣k）（x﹣1）＜0，当k＝1时，不等式的解集为∅；当k＜1时，不等式的解集为（k，1）；当k＞1时，不等式的解集为（1，k）．（2）若f（2）是f（a）与f（b）的等差中项，则2（2+k）＝（a2﹣a+k）+（b2﹣b+k），整理得a2+b2﹣（a+b）＝4，∴4＝a2+b2﹣（a+b）＝（a+b）2﹣（a+b）﹣2ab≥（a+b）2﹣（a+b）﹣2（）2，解得﹣2≤a+b≤4，所以a+b的取值范围为[﹣2，4]．。

2023年九年级数学中考专题训练——二次函数与不等式练习附答案

2023年九年级数学中考专题训练——二次函数与不等式练习附答案

2023年九年级数学中考专题训练——二次函数与不等式练习附答案1．二次函数y＝a2x+bx+c的图像如图所示，根据图像解答下列问题：（1）方程a2x+bx+c＝0的两个根为，不等式a2x+bx+c＞0的解集为；（2）若关于x的一元二次方程a2x+bx+c＝k的两个不相等的实数根，则k的取值范围为；（3）若关于x的一元二次方程a2x+bx+c﹣t＝0在1＜x＜4的范围内有实数根，求t的取值范围．-，且过点(0,3)．2．已知抛物线的顶点坐标是()1,4()1求这个抛物线对应的函数表达式．()2在所给坐标系中画出该函数的图象．()3当x取什么值时，函数值小于0?3．在平面直角坐标系xOy 中，二次函数212y x bx c =++的图象经过()2,0-和()3,0两点．（1）求此二次函数图象的顶点坐标．（2）直接写出当32x -<<时，y 的取值范围．（3）将一次函数()12y k x =-+的图象向下平移(0)k k >个单位后，与二次函数212y x bx c =++图象交点的横坐标分别是m 和n ，其中4m n <<，试求k 的取值范围．4．已知抛物线2y x bx c =++经过两点A （4，0），B （2，-4）．（1）求该抛物线的表达式；（2）在平面直角坐标系xOy 内画出抛物线的示意图；（3）若直线y=mx+n 经过A ，B 两点，结合图象直接写出不等式2x bx c mx n ++<+的解集．5．在平面直角坐标系xOy 中，点()1,P m y 在二次函数2y x bx c =++的图象上，点()2,Q m y 在一次函数4y x =-+的图象上．（1）若二次函数图象经过点(0,4)，(4,4)．①求二次函数的解析式与图象的顶点坐标；②判断0m <时，1y 与2y 的大小关系；（2）若只有．．当m 1≥时，满足120y y ⋅≤，求此时二次函数的解析式．6．如图，二次函数()()11444y x m x =--+的图象经过直线4y =上的A ，B 两点，点A 坐标为(),4m ，其中0m <．（1）求点B 的坐标；（2）若1y 的图象过点()1,2C m +，求m 的值；（3）在（2）的条件下，已知点D 和点C 关于1y 的图象的对称轴对称．若函数2y kx b =+的图象过B ，D 两点，则当12y y <时，求x 的取值范围．7．已知抛物线的顶点为(4,3)-，并且经过点(5,2)-．（1）试确定此抛物线的解析式；（2）在如图所示的平面直角坐标系内画出这个函数的大致图案；（3）请直接写出0y <时，x 的取值范围．8．已知抛物线2142y x x =--+．（1）用配方法求它的顶点坐标、对称轴；（2）当x 的值在什么范围内时，y 随x 的增大而增大？当x 的值在什么范围内时，y 随x 的增大而减小？（3）当x 的值在什么范围内时，抛物线在x 轴上方？9．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，经过（﹣1，0）、（3，0）、（0，﹣3）．（1）求二次函数的解析式；（2）不等式ax2+bx+c＞0的解集为；（3）方程ax2+bx+c＝m有两个实数根，m的取值范围为．10．观察下表：（1）求a、b、c的值，并在表内空格处填入正确的数；（2）根据上面的结果解答问题：①在方格纸中画出函数y＝ax2+bx+c的图象；②根据图象回答：当x的取值范围是时，y≤0？11．在函数的学习中，读图能力是一项很重要的基本功.请仔细阅读如图，解决下列问题：（1）函数1(0)y x x x =+>在x =时，有最小值y =最小；（2）依据（1）的结论，结合换元思想求1(1)1y x x x =+>-的最小值，并求函数值最小时的x 的取值；（3）求函数221223y x x x x =++++的最小值.12．如图，抛物线y ＝x 2+bx +c 与x 轴交于A （﹣1，0）和B 点，与y 轴交于点C （0，﹣3）．（1）求该抛物线的解析式；（2）观察图象，直接写出不等式x 2+bx +c ＞0的解集；（3）设（1）中的抛物线上有一个动点P ，点P 在该抛物线上滑动且满足S △PAB ＝8，请求出此时P 点的坐标．13．已知二次函数y ＝﹣x 2﹣2x+3（1）求出顶点，并画出二次函数的图象．（2）根据图象解决下列问题①若y ＞0，写出x 的取值范围．②求出﹣32≤x≤2时，y 的最大值和最小值．③求出﹣5＜y ＜3时，x 的取值范围．14．已知二次函数223y x x =--+.（1）求抛物线顶点M 的坐标；（2）设抛物线与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，求A 、B 、C 的坐标（点A 在点B 的左侧），并画出函数图像的大致示意图；（3）根据图像，写出不等式2230x x --+>的解集.15．根据下列二次函数部分图象信息，已知顶点D （1,4），与x 轴的一交点B (3,0)．（1）求二次函数的解析式；（2）当0y ＞时，直接写出x 的取值范围；（3）当-22x 时，求y 的最大值与最小值．16．已知抛物线21y ax bx c =++的顶点坐标为（32，-14）且经过点A （1，0），直线2y x m =+恰好也经过点A（1）分别求抛物线和直线的解析式；（2）当x 取何值时，函数值12y y >；（3）当02x ≤≤时，直接写出2y 和1y 的最小值分别为多少？17．设x i （i=1，2，3，，n ）为任意代数式，我们规定：y=max{x 1，x 2，x 3，…，x n }表示x 1，x 2，…，x n 中的最大值，如y=max{1，2}=2．（1）求y=max{x ，3}；（2）借助函数图象，解决以下问题：①解不等式max{x+1，2x}≥2；②若函数y=max{|x ﹣1|，12x+a ，x 2﹣4x+3}的最小值为1，求实数a 的值．18．已知抛物线2y x mx n =-++经过点A （1，0）,B （6，0）.（1）求抛物线的解析式；（2）当y ＜0,直接写出自变量x 的取值范围．（3）抛物线与y 轴交于点D ，P 是x 轴上一点，且△PAD 是以AD 为腰的等腰三角形，试求P 点坐标．19．设二次函数2143y x x =-+的图象为C 1．二次函数22(0)y ax bx c a =++≠的图象与C 1关于y 轴对称．（1）求二次函数22y ax bx c =++的解析式；（2）当3x -<≤0时，直接写出2y 的取值范围；（3）设二次函数22(0)y ax bx c a =++≠图象的顶点为点A ，与y 轴的交点为点B ，一次函数3y kx m =+（k ，m 为常数，k≠0）的图象经过A ，B 两点，当23y y <时，直接写出x 的取值范围．20．关于x 的二次函数21(21)2y kx k x =+--（k 为常数）和一次函数22y x =+(1)若k =2，求函数1y 的顶点坐标(2)若函数1y 的图像不经过第一象限，求k 的取值范围．(3)已知函数1y 的图像与x 轴的两个交点间的距离等于3．①试求此时k 的值②若12y y >，试求x 的取值范围．参考答案：1．（1）11x =，23x =，1＜x＜3；（2）2k ＜；（3）6t -≤＜2．【分析】（1）抛物线与x 轴交点的横坐标就是对应一元二次方程的根，利用数形结合思想确定解集即可；（2）看直线y=k 与抛物线有两个不同的交点即可；（3）根据图像信息，确定抛物线的解析式为y=2-2x 86x +-，根据2-2x 86x +--t=0在1＜x ＜4的范围内有实数根，确定x=1时，函数值小于0，当x=2时，函数值大于等于0，确定x=3时，函数值大于0，当x=4时，函数值小于0，建立不等式，并确定解集即可．【解析】（1）∵抛物线y ＝a 2x +bx+c 与x 轴交点的横坐标分别是1和3，∴a 2x +bx+c=0的两个根为11x =，23x =，∵当1＜x＜3时，y ＞0，∴a 2x +bx+c ＞0的解集为1＜x＜3，故答案为：11x =，23x =，1＜x＜3；（2）当y=2时，与抛物线有一个交点即顶点，∴当y ＜2时，与抛物线有两个不同的交点，∴一元二次方程a 2x +bx+c ＝k 的两个不相等的实数根，则k 的取值范围为k ＜2，故答案为：k ＜2；（3）设抛物线的解析式为y=a 2(x-2)2+，把（1，0）代入解析式，得a 2(1-2)2+=0，解得a=-2，∴抛物线的解析式为y=-22(x-2)2+=2-2x 86x +-，∵2-2x 86x +--t=0在1＜x ＜4的范围内有实数根，∴-8166t +--≥0，-32326t +--＜0，∴6t -≤＜2．【点评】本题考查了抛物线与x 轴的交点问题，抛物线与一元二次方程的关系，函数解析式的待定系数确定法，熟练掌握关系，灵活运用数形结合思想是解题的关键．2．()()2114y x =-++或223y x x =--+；()2见解析；()33x <-或1x >【分析】（1）由抛物线的顶点坐标是()1,4-，设抛物线的解析式为()214y a x =++，由抛物线()214y a x =++过点(0,3)，1a =-即可；（2）列表，描点在平面直角坐标系中描出点（-3，0），（-2，3），（-1，4），（0，3），（1，0）用平滑曲线连接即可；（3）由函数值小于0，可得函数图像再x 轴下方，在-3左侧和1右侧即可．【解析】解：（1）∵抛物线的顶点坐标是()1,4-，设抛物线的解析式为()214y a x =++，抛物线()214y a x =++过点(0,3)，4=3a +，1a =-，抛物线的解析式为()214y x =-++；（2）列表：x …-3-2-101…y…343…描点：在平面直角坐标系中描出点（-3，0），（-2，3），（-1，4），（0，3），（1，0）连线：用平滑曲线连接，（3）∵函数值小于0，∴函数图像再x 轴下方，在-3左侧和1右侧，当x<-3或x>1时，函数值小于0．【点评】本题考查抛物线的解析式，画函数图像，函数图像的位置关系，掌握抛物线的解析式的求法，描点画函数图像的方法，函数图像与x 轴关系自变量范围是解题关键．3．（1）125,28⎛⎫- ⎪⎝⎭；（2）2538y -≤<；（3）305k <<【分析】（1）根据待定系数法直接求出二次函数的解析式，从而得到顶点坐标；（2）先画出函数的准确图象，从图象上观察即可得出结论；（3）根据题意，得到平移后的一次函数表达式，由4m n <<得()21112322k x k x x >--+--，取4x =解出即可．【解析】（1）由二次函数的图象经过()2,0-和()3,0两点，则0229032b cb c =-+⎧⎪⎨=++⎪⎩，解得123b c ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩∴此二次函数的表达式22111125322228y x x x ⎛⎫=-=--- ⎪⎝⎭，∴二次函数的顶点坐标是125,28⎛⎫- ⎪⎝⎭；（2）如图，当3x =-时，3y =，∴当32x -<<时，y 的取值范围是2538y -≤<；（3）将一次函数()12y k x =-+的图象向下平移k 个单位后的一次函数表达式为()12y k x k =-+-，根据一次函数定义可知其中1k ≠，且0k >，∵()12y k x k =-+-与二次函数212y x bx c =++图象交点的横坐标为m 和n ，∴得方程()21131222x x k x k -=-+--，整理得2135022x k x k ⎛⎫ ⎪⎝+-+-=⎭，∵()223154560222k k k ⎛⎫⎛⎫∆=--⨯⨯-=-+> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴上述方程无论k 取何值，均能够满足有两个不相等的实数根m 和n ，即：无论k 取何值，()12y k x k =-+-的图象与212y x bx c =++的图象总有两个交点，∵m 和n 满足4m n <<，∴当4x =时，满足()21112322k x k x x >--+--即可，∴把4x =代入()21112322k x k x x >--+--，解得35k <，∴k 的取值范围为305k <<．【点评】本题考查了求二次函数的解析式，指定自变量的取值范围求对应函数值的范围，以及二次函数与一次函数交点问题，熟练运用数形结合的思想对两个函数的交点问题与一元二次方程联系起来求解是解题关键．4．（1）24y x x =-；（2）见解析；（3）24x <<【分析】（1）根据待定系数法将点A 、B 坐标代入解析式即可求解；（2）根据二次函数解析式画出函数图象即可；（3）根据已求的图象即可求解．【解析】解：（1）∵抛物线2y x bx c =++经过两点(4,0),(2,4)-∴1640424b c b c ++=⎧⎨++=-⎩解得：4b c =-⎧⎨=⎩∴该抛物线的表达式为24y x x =-；（2）画出函数图象，如图所示：（3）由图象可知：2x bx c mx n ++<+即抛物线24y x x =-图象在直线y=mx ＋n 图象的上方，即点A 、B 之间的部分符合题意，∴2x bx c mx n ++<+不等式的解集：24x <<．【点评】本题考查待定系数法求解析式、二次函数的图象和性质，正确画出二次函数图象，利用数形结合的思想是解题的关键．5．（1）①二次函数的解析式为244y x x =-+，顶点坐标为()2,0；②12y y ＞；（2）254y x x =-+【分析】（1）①由二次函数图象经过点(0,4)，(4,4)，代入2y x bx c =++即可得二次函数的解析式，化为顶点式即可得顶点坐标；②画出二次函数和一次函数的图象，利用图像即可求解；（2）由120y y ⋅≤得出()()240m mb c m ++-+≤，分两种情况考虑可得出2y x bx c =++过点()1,0，()4,0，代入2y x bx c =++即可得二次函数的解析式．【解析】解：（1）①∵二次函数图象经过点(0,4)，(4,4)，∴41644c b c =⎧⎨++=⎩，解得44b c =-⎧⎨=⎩，∴244y x x =-+，∵()22442y x x x =-+=-，∴二次函数的顶点坐标为()2,0；②如图，画出二次函数和一次函数的图象，由图像可得0m <时，12y y >；（2）∵当m 1≥时，满足120y y ⋅≤，∴当m 1≥时，()()240m mb c m ++-+≤，分两种情况：40m -+≥即14m ≤≤时，20m mb c ++≤；40m -+＜即4m ＞时，20m mb c ++＞；∴二次函数2y x bx c =++过点()1,0，()4,0，∴101640b c b c ++=⎧⎨++=⎩，解得54b c =-⎧⎨=⎩，∴此时二次函数的解析式为254y x x =-+．【点评】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，一次函数的性质，待定系数法等知识，解题的关键是理解题意，学会利用参数解决问题．6．（1）B （4，4）；（2）m ＝−5；（3）3＜x ＜4.【分析】（1）利用函数值为4求对应的自变量的值，即解方程()()14444x m x --+=可得B 点坐标；（2）把C （m ＋1，2）代入()()11444y x m x =--+中得到关于m 的方程，然后解方程求出m 即可；（3）由m ＝−5，B （4，4），易得C （−4，2），A （−5，4），利用A 、B 为对称点得到抛物线的对称轴为直线x ＝12-，再利用点D 和点C 关于y 1的图象的对称轴对称得到D （3，2），然后利用函数图象写出一次函数图象在二次函数图象上方所对应的自变量的范围即可．【解析】解：（1）当y ＝4时，即()()14444x m x --+=，解得x 1＝m ，x 2＝4，∴B （4，4）；（2）把C （m ＋1，2）代入()()11444y x m x =--+中得()()1211444m m m =+-+-+，解得m ＝−5；（3）∵m ＝−5，B （4，4），∴C （−4，2），A （−5，4），∴抛物线的对称轴为直线x ＝45122-=-，∵点D 和点C 关于y 1的图象的对称轴对称，∴D （3，2），且点D 也在y 1的图象上，如图所示，∴当3＜x ＜4时，y 1＜y 2．【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数与不等式（组）：利用两个函数图象在直角坐标系中的上下位置关系求自变量的取值范围，可作图利用交点直观求解．7．（1）2813y x x =-+；（2）见解析；（3）44x -<+【分析】（1）根据顶点坐标，设二次函数的解析式为2(4)3y a x =--，然后将(5,2)-代入即可求出结论；（2）列表、描点、连线即可画出二次函数的图象；（3）先求出二次函数的图象与x 轴的交点坐标，然后根据图象即可得出结论．【解析】解：（1）设二次函数的解析式为2(4)3y a x =--将(5,2)-代入，得∴2(54)32a --=-，∴1a =2(4)3y x =--2813x x =-+（2）列表：x 23456y1-2-3-21描点、连线，如图所示，该图象即为所求．（3）将y=0代入2813y x x =-+中，得28130x x -+=解得：1244x x ==+∴二次函数2813y x x =-+的图象与x 轴的交点为（4-）和（4）由图象可知：当0y <时，44x -<+【点评】此题考查的是求二次函数的解析式、画二次函数的图象和利用二次函数的函数值的取值范围，求自变量的取值范围，掌握利用待定系数法求二次函数的解析式、函数图象的画法和利用图象求取值范围是解决此题的关键．8．（1）顶点坐标是91,2⎛⎫- ⎪⎝⎭，对称轴是直线=1x -；（2）当1x <-时，y 随x 的增大而增大；当1x >-时，y 随x 的增大而减小；（3）当42x -<<时，抛物线在x 轴上方．【分析】（1）根据配方法的要求把一般式转化为顶点式，根据顶点式的坐标特点，写出顶点坐标及对称轴；（2）结合对称轴及开口方向确定抛物线的增减性；（3）结合抛物线与x 轴的交点坐标来确定抛物线位于x 轴上方时，自变量的取值范围．【解析】解：（1）()22114211422y x x x x =--+=-++-+，211(1)422x =-+++219(1)22x =-++则顶点坐标是91,2⎛⎫- ⎪⎝⎭对称轴是直线=1x -．（2）∵a=12-且对称轴为直线=1x -∴当1x <-时，y 随x 的增大而增大；当1x >-时，y 随x 的增大而减小．（3）令0y =，则21402x x --+=，解得14x =-，22x =，102a =-< ，∴抛物线开口向下，∴当42x -<<时，抛物线在x 轴上方．【点评】本题考查二次函数的性质，结合图像采用数形结合思想解题是本题的解题关键．9．（1）y ＝x 2﹣2x ﹣3；（2）x ＜﹣1或x ＞3；（3）m ≥﹣4．【分析】（1）把（﹣1，0）、（3，0）、（0，﹣3）代入y ＝ax 2+bx +c 解方程组即可得到结论；（2）根据图象即可得到结论；（3）设y ＝ax 2+bx +c 和y ＝m ，方程ax 2+bx +c ＝m 有两个实数根，即二次函数图象与直线y ＝m 有两个交点或一个交点，结合一元二次方程根的判别式即可求出m 的取值范围．【解析】解：（1）把（﹣1，0）、（3，0）、（0，﹣3）代入y ＝ax 2+bx +c 得09303a b c a b c c -+=⎧⎪++=⎨⎪=-⎩，解得：123a b c =⎧⎪=-⎨⎪=-⎩，∴二次函数的解析式为y ＝x 2﹣2x ﹣3；（2）由函数图象可知抛物线和x 轴的两个交点横坐标为﹣1，3，所以不等式ax 2+bx +c ＞0的解集为x ＜﹣1或x ＞3；（3）设y ＝ax 2+bx +c 和y ＝m ，方程ax 2+bx +c ＝m 有两个实数根，则二次函数图象与直线y ＝m 有两个交点或一个交点，即223x x m --=有两个实数根，∴0∆≥，即()()224130m --⨯⨯--≥，解得m ≥﹣4．【点评】本题考查二次函数与不等式，抛物线与x 轴的交点问题，数形结合是数学中的重要思想之一，解决函数问题更是如此，同学们要引起重视．10．（1）a ＝1，b ＝﹣2，c ＝3，表格中的空格填0，4，﹣4；（2）①详见解析；②﹣1≤x≤3【分析】（1）设函数的解析式为：y ＝ax 2+bx+c ，由表格知，当x ＝0时，ax 2+bx+c ＝﹣3；当x ＝1时，ax 2＝1；当x ＝2时，ax 2+bx+c ＝﹣3，根据待定系数法求出函数的解析式，从而求解；（2）①描点、连线画出函数y ＝ax 2+bx+c 的图象；②找到函数图象在x 轴下方部分对应的x 的取值范围即可．【解析】解：（1）由表知，当x ＝0时，ax 2+bx+c ＝﹣3；当x ＝1时，ax 2＝1；当x ＝2时，ax 2+bx+c ＝﹣3．∴31423c a a b c =-⎧⎪=⎨⎪++=-⎩，解得：123a b c =⎧⎪=-⎨⎪=-⎩，∴函数解析式为：y ＝x 2﹣2x ﹣3，∴表格中的空格填0，4，﹣4，故答案为：0，4，﹣4；（2）①画出函数图象如图：②由图象可知，当﹣1≤x≤3时，y≤0，故答案为﹣1≤x≤3．【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的图象和性质，解答此题时，同学们要认真观察表格，正确求出函数解析式．11．（1）1、2；（2）2x =时，y 有最小值3；（3）=1x -时，12最小y =-.【分析】（1）正确的观察图像即可求解；（2）先将11y x x =+-变形为11=1111y x x x x =+-++--，再由（1）的结论即可求解；（3）先将221223y x x x x =++++变形为221(23)323y x x x x =+++-++，再由2223(1)22x x x ++=++≥，所以当2232x x ++=时，有最小值.【解析】解：（1）有图像知，当x=1时，有最小值y =最小2，故答案为1；2；（2）1-1y x x =+=1112131x x -++≥+=-当11x -=时，即2x =时，y 有最小值3（3）221223y x x x x =++++221(23)323x x x x =+++-++2223(1)22x x x ++=++≥ ∴当2232x x ++=时，即=1x -时，112322y =+-=-最小【点评】此题主要考查了读图能力及用换元法求函数最值.正确的将函数解析式变形是解决问题的关键.12．（1）y ＝x 2﹣2x ﹣3；（2）x ＜﹣1或x ＞3；（3）（4）或（1﹣，4），（1，﹣4），【分析】（1）直接把A ，C 点代入进而求出函数解析式；（2）直接求出B 点坐标进而利用函数图象得出答案；（3）分点P 在x 轴上方时，点P 在x 轴下方时两种情况，分别求解得出答案．【解析】解：（1）把A （﹣1，0）和C （0，﹣3）代入抛物线解析式得：310c b c =-⎧⎨-+=⎩，解得：23b c =-⎧⎨=-⎩，故抛物线解析式为：y ＝x 2﹣2x ﹣3；（2）当y ＝0时，0＝x 2﹣2x ﹣3，则（x ﹣3）（x +1）＝0，解得：x 1＝﹣1，x 2＝3，故B （3，0），则不等式x 2+bx +c ＞0的解集是：x ＜﹣1或x ＞3；（3）设P 的纵坐标为|yP |，∵S △PAB ＝8，∴12AB •|yP |＝8，∵AB ＝3+1＝4，∴|yP |＝4，∴yP ＝±4，当点P 在x 轴上方时，∴yP ＝4，把yP ＝4代入解析式得，4＝x 2﹣2x ﹣3，解得，x＝，∴点P在该抛物线上滑动到（4）或（1﹣，4）．当点P在x轴下方时，∴yP＝﹣4，把yP＝﹣4代入解析式得，﹣4＝x2﹣2x﹣3，解得，x＝1，∴点P在该抛物线上滑动到（1，﹣4），综上所述：P点坐标为：（，4）或（1，﹣4）或（1﹣，4）．【点评】本题考查待定系数法求函数解析式、二次函数的性质、二次函数与不等式组，解题的关键是利用待定系数法得到关于b、c的方程，掌握三角形面积计算公式．13．（1）（﹣1，4），见解析（2）①﹣3＜x＜1②4和﹣5③﹣4＜x＜﹣2或0＜x＜2【分析】（1）y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，即可求解；（2）①若y＞0，则﹣3＜x＜1；②﹣32≤x≤2时，y在顶点处取得最大值4，y在x＝2时，取得最小值，当x＝2时，y＝﹣5，即可求解；③当y＝﹣5时，即y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣5，解得：x＝2或﹣4，即可求解．【解析】解：（1）y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，顶点坐标为：（﹣1，4），令y＝0，则x＝1或﹣3，令x＝0，则y＝3，则函数图象如下：（2）①若y＞0，则﹣3＜x＜1；②﹣32≤x≤2时，y在顶点处取得最大值4，y在x＝2时，取得最小值，当x＝2时，y＝﹣5，故y 的最大值和最小值分别为：4和﹣5；③当y ＝﹣5时，即y ＝﹣x 2﹣2x+3＝﹣5，解得：x ＝2或﹣4，当y ＝3时，同理x ＝0或﹣2，从图象看：﹣5＜y ＜3时，﹣4＜x ＜﹣2或0＜x ＜2．【点评】本题考查了画图像以及利用图像解不等式，数形结合的思想是解题的关键14．（1）(1,4)M -；（2）(3,0)A -(1,0)B (0,3)C ；（3）31x -<<【分析】（1）利用配方法即可解决问题．（2）对于抛物线的解析式，分别令x=0，y=0，解方程即可解决问题．（3）利用抛物线的图象写出在x 轴上方部分的x 取值范围．【解析】（1）∵y=-x 2-2x+3=-（x+1）2+4，∴顶点M 的坐标为（-1，4）．（2）对于抛物线y=-x 2-2x+3，令x=0，得y=3，令y=0，得-x 2-2x+3=0，解得x=-3或1，所以A （-3，0）B （1，0）C （0，3）（3）由图象可知，-3＜x ＜1时，y ＞0．【点评】本题考查二次函数与x 轴的交点、二次函数与不等式等知识，解题的关键是熟练掌握求抛物线与坐标轴的交点坐标，学会利用函数图象，确定坐标自变量的取值范围．15．（1）()214y x =--+；（2）13x -<<；（3）最大值为4，最小值为5-.【分析】（1）设出抛物线顶点式，代入B 点坐标即可求出函数的解析式；（2）求出抛物线与x 轴的另一个交点坐标，根据函数图象可得答案；（3）根据对称轴的位置可知，当x=－2时，y 取最小值，当x=1时，y 取最大值，分别计算即可.【解析】解：（1）设抛物线解析式为：()214y a x =-+，代入(3,0)得：()20314a =-+，解得：1a =-，故二次函数的解析式为：()214y x =--+；（2）∵抛物线的对称轴为x=1，与x 轴的一个交点坐标为（3，0），∴与x 轴的另一个交点坐标为（－1，0），由函数图象可得，当0y ＞时，x 的取值范围为：13x -<<；（3）∵抛物线的对称轴为x=1，顶点坐标为（1，4），∴在-22x 的范围内，当x=－2时，y 取最小值，最小值为()22145---+=-，当x=1时，y 取最大值，最大值为4.【点评】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数的对称性以及图象法解不等式等知识，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题关键.16．（1）2132y x x =-+；21y x =-；（2）当x <1或x >3时，函数值12y y >；（3）1y 的最小值为14-；2y 的最小值为-1．【分析】（1）由于已知顶点坐标，则可设顶点式y 1=a （x -32）2-14，然后把点（1，0）代入求出a 即可；再把（1，0）代入2y x m =+，求出m 的值即可；（2）解由抛物线和直线解析式所组成的方程即可得到它们的交点坐标，由此得到答案；（3）由于抛物线开口向上，则当02x ≤≤时，即可得解．【解析】（1）根据题意设二次函数解析式为y 1=a （x -32）2-14，把点（1，0）代入上式得：a =1，∴二次函数解析式为：221313224y x x x ⎛⎫=--=-+ ⎪⎝⎭；把（1，0）代入2y x m =+得：m =-1，∴21y x =-；（2）当2132y x x =-+与2y 1x =-相交时，解方程2321x x x -+=-，解得121,3x x ==，故当x <1或x >3时，函数值12y y >；（3）∵2132y x x =-+的顶点坐标为（32，-14），且开口向上，0232≤≤，∴当02x ≤≤时，1y 的最小值为14-；∵21y x =-，当x =0时y =-1；当x =2时y =1，且函数值y 随着x 的增大而增大，∴当02x ≤≤时，2y 的最小值为-1．【点评】此题考查待定系数法求二次函数解析式，判定一次函数与二次函数函数值的大小，求函数的交点坐标，正确掌握二次函数与一次函数的知识并应用是解题的关键．17．（1）y =()33(3)x x x ⎧≥⎨<⎩；（2）①x ＞0；②．【解析】（1）解：由题意得：y=()33(3)x x x ⎧≥⎨<⎩；（2）①由图可知，两函数图象交点为（1，2），∴不等式max{x+1，2x}≥2的解集为x ＞0；②∵函数y 的最小值为1由图可知，最小值为y=12x+a 与抛物线y=x 2﹣4x+3的交点的纵坐标，∴x 2﹣4x+3=1，解得x 1=2x 2（舍去），∴12×（2+a=1，解得18．（1）（2）（3）P （-1，0）或P （，0）或P （，0）【解析】试题分析：（1）把点A 、B 的坐标代入函数解析式求出m 、n 即可得解；（2）根据二次函数开口方向向下写出x 轴下方部分的x 的取值范围即可；（3）分三种情况解答.试题解析：（1）将A （1，0），B （6，0）代入抛物线得：1m n 0{366m n 0-++=++=解得7{6m n ==-，所以276y x x =-+-（2）根据图形得：y ＜0时，x 的范围为x ＜1或x ＞6；（3）令x=0.则y=-6.所以点D 坐标是（0，-6），所以=,△PAD 是以AD 为腰的等腰三角形，分三种情况：①当AP=AD 且点P 在点A 右边时，所以点P （，0）;②当AP=AD 且点P 在点A 左边时，，所以点P （，0）；③当AD=PD 时，点P 在点O 左边且OP=OA=1,所以点P 的坐标是：）P （-1，0）.综上点P 坐标是：P （-1，0）或P （，0）或P （，0）.考点：1.待定系数法求二次函数解析式；2.二次函数图象上点的坐标特征；3.等腰三角形.．19．（1）y 2=x 2+4x+3；（2）-1≤y 2≤3；（3）-2＜x ＜0．【分析】（1）求出抛物线C1的顶点坐标，再根据关于y 轴对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标相同求出抛物线C2的顶点坐标，然后利用顶点式形式写出即可；（2）作出函数图象，然后根据图形写出y2的取值范围即可；（3）根据函数图象写出抛物线C2在直线AB 的下方部分的x 的取值范围即可．【解析】解：（1）二次函数y 1=x 2-4x+3=（x-2）2-1图象的顶点（2，-1），关于y 轴的对称点坐标为（-2，-1）所以，所求的二次函数的解析式为y 2=（x+2）2-1，即y 2=x 2+4x+3；（2）如图，-3＜x≤0时，y 2的取值范围为：-1≤y 2≤3；（3）由图象可知，y 2＜y 3时，-2＜x ＜0．考点：1.二次函数图象与几何变换；2.二次函数与不等式（组）．20．(1)325(,)48--(2)0k ≤(3)①k =1或k =-15②当k =1时，x ＜-2或x ＞2；当k =-15时-10＜x ＜-2【分析】（1）将k =2时的函数解析式配方成顶点式即可得；（2）由该抛物线与x 轴的交点为（-2，0）、（1k ，0），与y 轴的交点为（0，-2），根据函数1y 的图象不经过第一象限知点（1k，0）必不在x 轴的正半轴上，据此解答即可；（3）①根据两点间的距离公式列出关于k 的方程求解可得；②分k =1和k =-15两种情况，依据12y y >列出关于x 的不等式，解之可得．（1）解：当k =2时，21232y x x =+-=23252()48x +-，∴顶点坐标为325(,)48--．（2）解：∵21(21)2y kx k x =+--12(2)()x x k=+-，∴该抛物线与x 轴的交点为（-2，0）、（1k，0），与y 轴的交点为（0，-2），而函数1y 的图象不经过第一象限，∴点（1k ，0）必不在x 轴的正半轴上，∴1k＜0，即k ＜0．（3）解：①∵1y 的图象与x 轴的两个交点间的距离等于3，∴1k+2=±3，解得：1211,5k k ==-；②当k =1时，1(2)(1)y x x =+-，22y x =+，∵12y y >，∴（x +2）（x -1）＞x +2，即（x +2）（x -2）＞0，解得：x ＜-2或x ＞2；当k =-15时，∵12y y >，∴-15（x +2）（x +5）＞x +2，即（x +2）（x +10）＜0，解得：-10＜x ＜-2．故当k =1时，x ＜-2或x ＞2；当k =-15时-10＜x ＜-2．【点评】本题主要考查二次函数与不等式组及二次函数与x 轴的交点，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．。

高考数学专题《二次函数与一元二次方程、不等式》习题含答案解析

高考数学专题《二次函数与一元二次方程、不等式》习题含答案解析

专题2.3 二次函数与一元二次方程、不等式1．（浙江高考真题）已知a ，b ，c ∈R ，函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c .若f (0)＝f （4）>f （1），则（ ）A ．a >0，4a ＋b ＝0B ．a <0，4a ＋b ＝0C ．a >0，2a ＋b ＝0D ．a <0，2a ＋b ＝0【答案】A 【解析】由已知得f (x )的图象的对称轴为x ＝2且f (x )先减后增，可得选项.【详解】由f (0)＝f （4），得f (x )＝ax 2＋bx ＋c 图象的对称轴为x ＝－2ba＝2，∴4a ＋b ＝0，又f (0)>f （1），f （4）>f （1），∴f (x )先减后增，于是a >0，故选：A.2．（2021·全国高三专题练习（文））已知函数42()f x x x =-，则错误的是（ ）A ．()f x 的图象关于y 轴对称B ．方程()0f x =的解的个数为2C ．()f x 在(1,)+∞上单调递增D ．()f x 的最小值为14-【答案】B 【解析】结合函数的奇偶性求出函数的对称轴，判断A ，令()0f x =，求出方程的解的个数，判断B ，令2t x =，2211()()24g t t t t =-=--，从而判断C ，D 即可．【详解】42()f x x x =-定义域为R ，显然关于原点对称，又()()4242()f x x x x x -=---=-()f x =，所以()y f x =是偶函数，关于y 轴对称，故选项A 正确.令()0f x =即2(1)(1)0x x x +-=，解得：0x =，1，1-，函数()f x 有3个零点，故B 错误；练基础令2t x =，2211()(24g t t t t =-=--，1x >时，函数2t x =，2()g t t t =-都为递增函数，故()f x 在(1,)+∞递增，故C 正确；由12t =时，()g t 取得最小值14-，故()f x 的最小值是14-，故D 正确．故选：B ．3．（2021·北京高三其他模拟）设x ∈R ，则“2560x x -+<”是“|2|1x -<”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】分别解出两个不等式的解集，比较集合的关系，从而得到两命题的逻辑关系.【详解】2560x x -+<23x ⇒<<；|2|1x -<13x ⇒<<；易知集合()2,3是()1,3的真子集，故是充分不必要条件.故选：A.4．（2021·全国高三月考）已知函数2()f x x bx c =-++，则“02b f f ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭”是“方程()0f x =有两个不同实数解且方程(())0f f x =恰有两个不同实数解”的（ ）A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】根据二次函数的图象与性质，求得((02b f f >，反之若()0f t =有两个正根12t t <，当12max ()t t f x <<，得到方程(())0f f x =恰有四个不同实数解，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解.【详解】由2()f x x bx c =-++表示开口向下的抛物线，对称轴的方程为2b x =，要使得方程()0f x =有两个不同实数，只需()02b f >，要使得方程(())0f f x =恰有两个不同实数解，设两解分别为12,x x ，且12x x <，则满足1max 2()x f x x <<，因为12(,)x x x ∈时，()0f x >，所以((02bf f >，所以必要性成立；反之，设(02b t f =>，即()0f t >，当()0f t =有两个正根，且满足12t t <，若12max ()t t f x <<，此时方程(())0f f x =恰有四个不同实数解，所以充分性不成立.所以“02b f f ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭”是“方程()0f x =有两个不同实数解且方程(())0f f x =恰有两个不同实数解”的必要不充分条件.故选：C.5．（2021·全国高三专题练习）若当x ∈(1，2)时，函数y =(x -1)2的图象始终在函数y =log a x 的图象的下方，则实数a 的取值范围是___________.【答案】1<a ≤2.【解析】在同一个坐标系中画出两个函数的图象，结合图形，列出不等式组，求得结果.【详解】如图，在同一平面直角坐标系中画出函数y =(x -1)2和y =log a x 的图象.由于当x ∈(1，2)时，函数y =(x -1)2的图象恒在函数y =log a x 的图象的下方，则1log 21a a >⎧⎨⎩…，解得1<a ≤2.故答案为：1<a ≤2.6.（2020·山东省微山县第一中学高一月考）若不等式220ax x a ++<对任意x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围是_________.【答案】(,1)-∞-【解析】∵不等式220ax x a ++<对任意x ∈R恒成立，∴函数22y ax x a =++的图象始终在x 轴下方，∴20440a a <⎧⎨∆=-<⎩，解得1a <-，故答案为：(,1)-∞-．7.（2021·全国高三专题练习）已知当()0,x ∈+∞时，不等式9x －m ·3x ＋m ＋1>0恒成立，则实数m 的取值范围是________．【答案】(,2-∞+【解析】先换元3x ＝t ，()1,t ∈+∞，使f （t ）＝t 2－mt ＋m ＋1>0在()1,t ∈+∞上恒成立，再利用二次函数图象特征列限定条件，计算求得结果即可.【详解】令3x ＝t ，当()0,x ∈+∞时，()1,t ∈+∞，则f （t ）＝t 2－mt ＋m ＋1>0在()1,t ∈+∞上恒成立，即函数在()1,t ∈+∞的图象在x 轴的上方，而判别式()()224144m m m m ∆=--+=--，故2440m m ∆=--<或()0121110m f m m ∆≥⎧⎪⎪≤⎨⎪=-++≥⎪⎩，解得2m <+.故答案为：(,2-∞+.8．（2021·浙江高一期末）已知函数2()1(0)f x ax x a =-+≠，若任意1x 、2[1,)x ∈+∞且12x x ≠，都有()()12121f x f x x x ->-，则实数a 的取值范围是___________．【答案】[)1,+∞【解析】本题首先可令12x x >，将()()12121f x f x x x ->-转化为()()1122f x x f x x ->-，然后令()()g x f x x =-，通过函数单调性的定义得出函数()g x 在[1,)+∞上是增函数，最后分为0a =、0a ≠两种情况进行讨论，结合二次函数性质即可得出结果.【详解】因为任意1x 、2[1,)x ∈+∞且12x x ≠，都有()()12121f x f x x x ->-，所以令12x x >，()()12121f x f x x x ->-即()()1212f x f x x x ->-，()()1122f x x f x x ->-，令()()221g x f x x ax x =-=-+，则函数()g x 在[1,)+∞上是增函数，若0a =，则()21g x x =-+，显然不成立；若0a ≠，则0212a a>⎧⎪-⎨-≤⎪⎩，解得1a ≥，综合所述，实数a 的取值范围是[)1,+∞，故答案为：[)1,+∞.9.（2021·四川成都市·高三三模（理））已知函数21,0()2,0x x f x x x x --≤⎧=⎨-+>⎩，若()()12f x f x =，且12x x ≠，则12x x -的最大值为________．【答案】134【解析】由()()12f x f x =得，212221x x x =--，把12x x -转化为212212231x x x x x x -=-=-++，利用二次函数求最值.【详解】()y f x =的图像如图示：不妨令12x x <，由图像可知，10x ≤，20x >由()()22121221221221f x f x x x x x x x =⇒--=-+⇒=--，由212212231x x x x x x -=-=-++当232x =时，12max134x x -=．故答案为：134.10．（2021·浙江高一期末）已知函数2()24f x kx x k =-+．（Ⅰ）若函数()f x 在区间[2,4]上单调递减，求实数k 的取值范围；（Ⅱ）[2,4]x ∀∈，()0f x ≥恒成立，求实数k 的取值范围．【答案】（Ⅰ）1(,]4-∞；（Ⅱ）1[,)2+∞【解析】（Ⅰ）由题意讨论0k =，0k >与0k <三种情况，求出函数的对称轴，结合区间，列不等式求解；（Ⅱ）利用参变分离法得24k x x≥+在[2,4]上恒成立，令4()f x x x =+，根据单调性，求解出最值，即可得k 的取值范围.【详解】（Ⅰ）当0k =时，()2f x x =-，在区间[2,4]上单调递减，符合题意；当0k >时，对称轴为1x k=，因为()f x 在区间[2,4]上单调递减，所以14k ≥，得14k ≤，所以104k <≤；当0k <时，函数()f x 在区间[2,4]上单调递减，符合题意，综上，k 的取值范围为1(,]4-∞.（Ⅱ）[2,4]x ∀∈，()0f x ≥恒成立，即[2,4]x ∀∈，22244x k x x x≥=++恒成立，令4()f x x x=+，可知函数()f x 在[2,4]上单调递增，所以()4f x ≥，所以max 2142x x ⎛⎫ ⎪= ⎪⎪+⎝⎭，所以12k ≥，故k 的取值范围为1[,)2+∞1．（2020·山东省高三二模）已知函数()()21f x x m x m =+--，若()()0ff x …恒成立，则实数m 的范围是（ ）A．3,3⎡--+⎣B．1,3⎡--+⎣C ．[]3,1-D．3⎡⎤-+⎣⎦【答案】A 【解析】()()()()211f x x m x m x m x =+--=-+，（1）1m >-，()()0ff x ≥恒成立等价于()f x m ≥或()1f x ≤-恒成立，即()()21f x x m x m m =+--≥或()()211f x x m x m =+--≤-（不合题意，舍去）恒成立；即01m ∆≤⎧⎨>-⎩，解得(1,3m ∈--+，（2）1m =-恒成立，符合题意；（3）1m <-，()()0ff x ≥恒成立等价于()f x m ≤（不合题意，舍去）或()1f x ≥-恒成立，等价于1m ∆≤⎧⎨<-⎩，解得[)3,1m ∈--.综上所述，3,3m ⎡∈--+⎣，故选：A.2．（2021·浙江高三二模）已知()22f x x x =-，对任意的1x ，[]20,3x ∈．方程()()()()12f x f x f x f x m -+-=在[]0,3上有解，则m 的取值范围是（ ）A ．[]0,3B ．[]0,4C ．{}3D ．{}4【答案】D 【解析】对任意的1x ，[]20,3x ∈．方程()()()()12f x f x f x f x m -+-=在[]0,3上有解，不妨取取练提升()11f x =-，()23f x =，方程有解m 只能取4，则排除其他答案.【详解】2()(1)1f x x =-- ，[0,3]x ∈，则min ()1f x =-，max ()3f x =.要对任意的1x ，[]20,3x ∈．方程()()()()12f x f x f x f x m -+-=在[]0,3上都有解,取()11f x =-，()23f x =，此时，任意[0,3]x ∈，都有()()()()124m f x f x f x f x =-+-=，其他m 的取值，方程均无解，则m 的取值范围是{}4.故选：D.3.（2020·浙江省高三二模）已知函数()321,020a x x f x x ax x ⎧-≤⎪=⎨-+->⎪⎩的图象经过三个象限，则实数a 的取值范围是________.【答案】2a <或3a >.【解析】当0x ≤时，3()||11f x a x =-≤-，此时函数图象经过第三象限，当02x <<时，2()(1)2f x x a x =-++，此时函数图象恒经过第一象限，当2[(1)]40a =--->V 且10a +>，即3a >时，函数图像经过第一、四象限，当2x ≥时，2()(1)2f x x a x =---，此时函数图象恒经过第一象限，当(2)0f <，即2a >时，函数图像经过第一、四象限， 综上所述：2a <或3a >.4．（2020·陕西省西安中学高三其他（理））记{},max ,,,m m nm n n m n ≥⎧=⎨<⎩函数{}22()max 44(1),ln (1)f x x ax a x a =-+--<有且只有一个零点，则实数a 的取值范围是_________.【答案】12a <【解析】令()()2244(1)0g x x ax a x =-+-->，因为1a <，则()2(1)651(5)0ln1g a a a a =-+-=---<=，所以(1)ln10f ==，即1是函数()f x 的零点，因为函数()g x 的对称轴为122a x =<，所以根据题意，若函数()f x 有且只有一个零点，则二次函数()g x 没有零点，22(4)16(1)0a a ∆=--<，解得12a <.故答案为：12a <5．（2021·浙江高三专题练习）已知函数()21,()2f x x x a b a b R =+-+∈，若[1,1]x ∈-时，()1f x ≤，则12a b +的最大值是___________.【答案】12-【解析】根据函数()21,()2f x x x a b a b R =+-+∈，分1a >，1a <-和11a -≤≤三种情况讨论，分别求得其最大值，即可求解.【详解】由题意，函数()21,()2f x x x a b a b R =+-+∈，当1a >时，()211,[1,1]22f x x x a b x =-++∈-，因为()1f x ≤，可得(1)11()14f f -≤⎧⎪⎨≥-⎪⎩，所以1122115216a b a b ⎧+≤-⎪⎪⎨⎪+≥-⎪⎩，所以15111622a b -≤+≤-；当1a <-时，()211,[1,1]22f x x x a b x =+-+∈-，因为()1f x ≤，可得()max 11(1)1122f x f a b ==+-+≤，所以1122b a ≤-，所以113222a b a +=-≤-；当11a -≤≤时，()21,[1,1]2f x x x a b x =+-+∈-，由()1f x ≤知，()max (1)1112f f x a b =+--+=，因为11a -≤≤，所以10a --≤，所以()max (1)1112f f x a b =+--+=，所以1122a b +≤-，综上可得，12a b +的最大值是12-.故答案为：12-6.（2021·浙江高三期末）已知函数()()21sin sin ,22bf x x x a a b R =+-+∈，若对于任意x ∈R ，均有()1f x ≤，则+a b 的最大值是___________.【答案】1-【解析】首先讨论1a ≥、1a ≤-时()f x 的最值情况，由不等式恒成立求+a b 的范围，再讨论11a -<<并结合()f x 的单调情况求+a b 的范围，最后取它们的并集即可知+a b 的最大值.【详解】当sin a x ≥时，211()(sin )4216a b f x x +=-+-，当sin a x <时，211()(sin 4216b a f x x -=++-，令sin [1,1]t x =∈-，则()()2211,4216{11(),()4216a b t a t g t b a t a t +⎛⎫-+-≥ ⎪⎝⎭=-++-<∴当1a ≥时，14t =有min 1()216a b g t +=-；1t =-有max 3()22a b g t +=+；由x ∈R 有()1f x ≤，有131121622a b a b ++-≤-<+≤，故1518a b -≤+≤-；当1a ≤-时，14t =-有min 1()216b a g t -=-；1t =有max 3()22b a g t -=+；由x ∈R 有()1f x ≤，有131121622b a b a ---≤-<+≤，故1518b a -≤-≤-，即3a b +≤-；当11a -<<时，()2211(),(1)4216{11,(1)4216a b t t a g t b a t a t +-+--<<=-⎛⎫++-≤< ⎪⎝⎭，∴1(1,)4a ∈--：()g t 在(1,)a -上递减，1[,)4a -上递减，1[,1]4-上递增；11[,]44a ∈-：()g t 在(1,)a -上递减，[,1)a 上递增；1(,1)4a ∈：()g t 在1(1,]4-上递减，1[,)4a 上递增，[,1)a 上递增；∴综上，()g t 在(1,1)-上先减后增，则(1)1(1)1g g ≤⎧⎨-≤⎩，可得1a b +≤-∴1a b +≤-恒成立，即+a b 的最大值是-1.故答案为：1-.7．（2020·武汉外国语学校（武汉实验外国语学校）高一期中）已知函数2()3(,)f x ax bx a b R =++∈，且()0f x ≤的解集为[1,3]．（1）求()f x 的解析式；（2）设()()41xh x f x x =+-，在定义域范围内若对于任意的12x x ，，使得()()12h x h x M -≤恒成立，求M 的最小值．【答案】（1）2()43f x x x =-+；（2．【解析】（1）代入方程的根，求得参数值.（2）使不等式恒成立，根据函数单调性求得函数的最值，从而求得参数的值.【详解】解：（1）由题意(1)30(3)9330f a b f a b =++=⎧⎨=++=⎩解得14a b =⎧⎨=-⎩2()43f x x x ∴=-+（2）由题意max ()()minM h x h x - (2)(),2xh x x R x =∈+当0()0x h x ==当10()2x h x x x≠=+，令2()g x x x=+，当0,()x g x >…，当x =取等号，当0,()x g x <≤-当x =取等号，()(,)g x ∴∈-∞-⋃+∞()(0)h x x ⎡⎫⎛∈⋃≠⎪ ⎢⎪ ⎣⎭⎝综上，()h x ⎡∈⎢⎣M ⎛∴= ⎝…min M ∴=8．（2021·浙江高一期末）设函数()()2,f x x ax b a b R =-+∈．（1）若()f x 在区间[]0,1上的最大值为b ，求a 的取值范围；（2）若()f x 在区间[]1,2上有零点，求2244a b b +-的最小值．【答案】（1）[)1,+∞；（2）45.【解析】（1）对实数a 的取值进行分类讨论，分析函数()f x 在区间[]0,1上的单调性，求得()max f x ，再由()max f x b =可求得实数a 的取值范围；（2）设函数()f x 的两个零点为1x 、2x ，由韦达定理化简()22222221222222241414144a x x x x x x b b x +-=+⎛⎫=+--⎪++⎝⎭，设()22224124g x x =⎛⎫+- ⎪⎝⎭，由[]21,2x ∈结合不等式的基本性质求出()2g x 的最小值，即为所求.【详解】（1）二次函数()2f x x ax b =-+的图象开口向上，对称轴为直线2a x =.①当02a≤时，即当0a ≤时，函数()f x 在区间[]0,1上单调递增，则()()max 11f x f a b ==-+；②当012a <<时，即当02a <<时，函数()f x 在0,2a ⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递减，在,12a ⎛⎤⎥⎝⎦上单调递增，()0f b = ，()11f a b =-+，所以，(){}max 1,01max ,1,12a b a f x b a b b a -+<<⎧=-+=⎨≤<⎩；③当12a≥时，即当2a ≥时，函数()f x 在区间[]0,1上单调递减，则()()max 0f x f b ==.综上所述，()max 1,1,1a b a f x b a -+<⎧=⎨≥⎩.所以，当()f x 在区间[]0,1上的最大值为b ，实数a 的取值范围是[)1,+∞；（2）设函数()f x 的两个零点为1x 、2x ，由韦达定理可得1212x x ax x b +=⎧⎨=⎩，所以，()()22222222222212121211221212122444424142a b b x x x x x x x x x x x x x x x x x +-=++-=-++=+-+()222222222212222222241414141x x x x x x x x x x ⎛⎫=+-+-≥- ⎪+++⎝⎭，设()242222222222422222444144141124x x g x x x x x x x =-===++⎛⎫++- ⎪⎝⎭，由212x ≤≤可得221114x ≤≤，所以，()2222445124g x x =≥⎛⎫+- ⎪⎝⎭.此时，21x =，由212241x x x =+可得115x =.所以，当115x =，21x =时，2244a b b +-取最小值45.9．（2020·全国高一单元测试）已知函数f （x ）=9x ﹣a ⋅3x +1+a 2（x ∈[0，1]，a ∈R ），记f （x ）的最大值为g （a ）．（Ⅰ）求g （a ）解析式；（Ⅱ）若对于任意t ∈[﹣2，2]，任意a ∈R ，不等式g （a ）≥﹣m 2+tm 恒成立，求实数m 的范围．【答案】（Ⅰ）g （a ）=22499,3431,3a a a a a a ⎧-+≤⎪⎪⎨⎪-+>⎪⎩；（Ⅱ）m ≤﹣52或m ≥52．【解析】（Ⅰ）令u =3x ∈[1，3]，得到f （x ）=h （u ）=u 2﹣3au +a 2，分类讨论即可求出，（Ⅱ）先求出g （a ）min =g （32）=﹣54，再根据题意可得﹣m 2+tm ≤﹣54，利用函数的单调性即可求出．【详解】解：（Ⅰ）令u =3x ∈[1，3]，则f （x ）=h （u ）=u 2﹣3au +a 2．当32a≤2，即a ≤43时，g （a ）=h （u ）min =h （3）=a 2﹣9a +9；当322a>，即a ＞43时，g （a ）=h （u ）min =h （1）=a 2﹣3a +1；故g （a ）=22499,3431,3a a a a a a ⎧-+≤⎪⎪⎨⎪-+>⎪⎩；（Ⅱ）当a≤43时，g （a ）=a 2﹣9a +9，g （a ）min =g （43）=﹣119；当a 43>时，g （a ）=a 2﹣3a +1，g （a ）min =g （32）=﹣54；因此g （a ）min =g （32）=﹣54；对于任意任意a ∈R ，不等式g （a ）≥﹣m 2+tm 恒成立等价于﹣m 2+tm ≤﹣54．令h （t ）=mt ﹣m 2，由于h （t ）是关于t 的一次函数，故对于任意t ∈[﹣2，2]都有h （t ）≤﹣54等价于5(2)45(2)4h h ⎧-≤-⎪⎪⎨⎪≤-⎪⎩，即2248504850m m m m ⎧+-≥⎨--≥⎩，解得m ≤﹣52或m ≥52．10．（2021·全国高一课时练习）已知函数()22(0)f x ax ax b a =-+>，在区间[]0,3上有最大值16，最小值0.设()()f xg x x=．（1）求()g x 的解析式；（2）若不等式()22log log 0g x k x -⋅≥在[]4,16上恒成立，求实数k 的取值范围；【答案】（1）()148g x x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭(0)x ≠；（2）(,1]-∞．【解析】（1）由二次函数的性质知()f x 在()0,1上为减函数，在()1,3上为增函数，结合其区间的最值，列方程组求,a b ，即可写出()g x 解析式；（2）由题设得222184()4log log k x x≤-+在[]4,16x ∈上恒成立，即k 只需小于等于右边函数式的最小值即可.【详解】（1）∵()2(1)f x a x b a =-+-(0a >)，即()f x 在()0,1上为减函数，在()1,3上为增函数．又在[]0,3上有最大值16，最小值0，∴(1)0f b a =-=，(3)316f a b =+=，解得4a b ==，∴()148g x x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭(0)x ≠；（2）∵()22log log 0g x k x -≥∴22214log 8log log x k x x ⎛⎫+-≥ ⎪⎝⎭，由[]4,16x ∈，则[]2log 2,4x ∈，∴222221814(44(1)log log log k x x x ≤-+=-，设21log t x =，11,42t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴()24(1)h t t =-在11,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为减函数，当12t =时，()h t 最小值为1，∴1k ≤，即(,1]k ∈-∞.1．（浙江省高考真题）若函数()2f x =x ax b ++在区间[0,1]上的最大值是M,最小值是m,则M m -的值练真题（ ）A ．与a 有关，且与b 有关B ．与a 有关，但与b 无关C ．与a 无关，且与b 无关D ．与a 无关，但与b 有关【答案】B 【解析】因为最值在2(0),(1)1,()24a a fb f a b f b ==++-=-中取，所以最值之差一定与b 无关，选B ．2.（2018·浙江高考真题）已知λ∈R，函数f (x )=x ―4,x ≥λx 2―4x +3,x <λ，当λ=2时，不等式f (x )<0的解集是___________．若函数f (x )恰有2个零点，则λ的取值范围是___________．【答案】 (1,4) (1,3]∪(4,+∞) 【解析】由题意得x ≥2x ―4<0 或x <2x 2―4x +3<0，所以2≤x <4或1<x <2，即1<x <4，不等式f (x )<0的解集是(1,4),当λ>4时，f (x )=x ―4>0，此时f (x )=x 2―4x +3=0,x =1,3，即在(―∞,λ)上有两个零点；当λ≤4时，f (x )=x ―4=0,x =4，由f (x )=x 2―4x +3在(―∞,λ)上只能有一个零点得1<λ≤3.综上，λ的取值范围为(1,3]∪(4,+∞).3.（北京高考真题）已知0x ≥,0y ≥,且1x y +=,则22x y +的取值范围是_____.【答案】1[,1]2【解析】试题分析：22222(1)221,[0,1]x y x x x x x +=+-=-+∈，所以当01x =或时，取最大值1；当12x = 时，取最小值12.因此22x y +的取值范围为1[,1]2.4.（2018·天津高考真题（理））已知0a >，函数222,0,()22,0.x ax a x f x x ax a x ⎧++≤=⎨-+->⎩若关于x 的方程()f x ax=恰有2个互异的实数解，则a 的取值范围是______________.【答案】(48)，【解析】分析：由题意分类讨论0x ≤和0x >两种情况，然后绘制函数图像，数形结合即可求得最终结果.详解：分类讨论：当0x ≤时，方程()f x ax =即22x ax a ax ++=，整理可得：()21x a x =-+，很明显1x =-不是方程的实数解，则21x a x =-+，当0x >时，方程()f x ax =即222x ax a ax -+-=，整理可得：()22x a x =-，很明显2x =不是方程的实数解，则22x a x =-，令()22,01,02x x x g x x x x ⎧-≤⎪⎪+=⎨⎪>⎪-⎩，其中211211x x x x ⎛⎫-=-++- ⎪++⎝⎭，242422x x x x =-++--原问题等价于函数()g x 与函数y a =有两个不同的交点，求a 的取值范围.结合对勾函数和函数图象平移的规律绘制函数()g x 的图象，同时绘制函数y a =的图象如图所示，考查临界条件，结合0a >观察可得，实数a 的取值范围是()4,8.5.（2020·江苏省高考真题）已知关于x 的函数(),()y f x y g x ==与()(,)h x kx b k b =+∈R 在区间D 上恒有()()()f x h x g x ≥≥．（1）若()()222 2()f x x x g x x x D =+=-+=∞-∞+，，，，求h (x )的表达式；【答案】（1）()2h x x =；【解析】（1）由题设有2222x x kx b x x -+≤+≤+对任意的x ∈R 恒成立.令0x =，则00b ≤≤，所以0b =.因此22kx x x ≤+即()220x k x +-≥对任意的x ∈R 恒成立，所以()220k ∆=-≤，因此2k =.故()2h x x =.6．（浙江省高考真题（文））设函数2(),(,)f x x ax b a b R =++∈.（1）当214a b =+时，求函数()f x 在[1,1]-上的最小值()g a 的表达式；（2）已知函数()f x 在[1,1]-上存在零点，021b a ≤-≤，求b 的取值范围.【答案】（1）222,2,4(){1,22,2,24a a a g a a a a a ++≤-=-<≤-+>；（2）[3,9--【解析】（1）当214a b =+时，2()()12a f x x =++，故其对称轴为2a x =-.当2a ≤-时，2()(1)24a g a f a ==++.当22a -<≤时，()()12a g a f =-=.当2a >时，2()(1)24a g a f a =-=-+.综上，222,2,4(){1,22,2,24a a a g a a a a a ++≤-=-<≤-+>（2）设,s t 为方程()0f x =的解，且11t -≤≤，则{s t ast b+=-=.由于021b a ≤-≤，因此212(11)22t ts t t t --≤≤-≤≤++.当01t ≤≤时，222222t t t b t t --≤≤++，由于222032t t --≤≤+和212932t t t --≤≤-+，所以293b -≤≤-.当10t -≤≤时，222222t t t b t t --≤≤++，由于22202tt--≤<+和2302t tt--≤<+，所以30b-≤<.综上可知，b的取值范围是[3,9--.。

2024年中考数学二轮复习模块专练—二次函数与方程、不等式综合(含答案)

2024年中考数学二轮复习模块专练—二次函数与方程、不等式综合(含答案)

2024年中考数学二轮复习模块专练—二次函数与方程、不等式综合（含答案）一、二次函数与一元二次方程1．抛物线与x 轴交点的横坐标抛物线2y ax bx c =++，令y =0，则20ax bx c ++=，方程的解就是抛物线与x 轴交点的横坐标；2．抛物线与x 轴交点情况（1）抛物线2y ax bx c =++与x 轴的交点个数由判别式24b ac ∆=-的值的正负确定；（2）当240b ac ∆=->时，抛物线与x 轴有两个交点；当240b ac ∆=-=时，抛物线与x 轴只有一个交点；当24<0b ac ∆=-时，抛物线与x 轴没有交点；3．利用二次函数求一元二次方程的近似根对于一元二次方程20ax bx c ++=，令2y ax bx c =++，画出函数的图像，抛物线与x 轴的交点的横坐标就是方程的解；二、二次函数与不等式1．二次函数与一元二次不等式20ax bx c ++>的解集就是抛物线2y ax bx c =++在x 轴上方的那部分图像对应的自变量的取值范围．《义务教育数学课程标准》2022年版，学业质量要求：1．知道二次函数和一元二次方程之间的关系；2．会根据二次函数的求其图像与坐标轴的交点坐标；试卷第2页，共12页3．会利用二次函数的图像求一元二次方程的近似解；【例1】（2023·四川巴中·统考中考真题）1．规定：如果两个函数的图象关于y 轴对称，那么称这两个函数互为“Y 函数”．例如：函数3y x =+与3y x =-+互为“Y 函数”．若函数2(1)34k y x k x k =+-+-的图象与x 轴只有一个交点，则它的“Y 函数”图象与x 轴的交点坐标为．【变1】（2023·河南鹤壁·统考三模）2．已知抛物线233(0)y mx mx m m --=>与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 左侧）．(1)抛物线对称轴为，A 点坐标为．(2)当0m >时，不等式232m mx mx ≤-的解集为．(3)已知点(2,4)M -、1(,4)2N -，连接MN 所得的线段与该抛物线有一个交点，求m 的取值范围．【例1】（2023·四川成都·校考三模）3．在探究关于x 的二次三项式21215x x +-的值时，小明计算了如下四组值：x1.1 1.2 1.3 1.421215x x +-0.59-0.842.293.76小明说，他通过这四组值能得到方程212150x x +-=的一个近似根，这个近似根的个位是，十分位是．【变1】（2023·河南商丘·统考二模）4．为解方程31212x x -=，小舟根据学习函数的经验对其进行了探究，下面是其探究的过程，请补充完整：(1)先研究函数3122y x x =-，列表如表：x 2-1-0121252y32m324516表格中，m 的值为__________．(2)如图，在平面直角坐标系xOy 中，描出了以上表中各组对应值为坐标的点，根据描出的点，画出了函数3122y x x =-图象的一部分，请根据剩余的点补全此函数图象．(3)观察图象，当31202x x ->时，满足条件的x 的取值范围是__________．(4)在第（2）问的平面直角坐标系中画出直线1y =．根据图象直接写出方程31212x x -=的近似根（结果保留一位小数）试卷第4页，共12页【例1】（2021·广西贺州·统考中考真题）5．如图，已知抛物线2y ax c =+与直线y kx m =+交于1(3,)A y -，2(1,)B y 两点，则关于x 的不等式2ax c kx m +≥-+的解集是（）A ．3x ≤-或1x ≥B ．1x ≤-或3x ≥C ．31x -≤≤D ．13x -≤≤【变1】（2023·山西太原·校联考二模）6．请仔细阅读下面的材料，并完成相应的任务．利用二次函数图象解不等式数学活动课上，老师提出这样一个问题：我们曾经利用一次函数的图象解一元一次不等式，类比前面的学习经验，我们能否利用二次函数的图象解相应的不等式呢？例如解不等式2233x x -->-，同学们以小组为单位展开了讨论．善思小组展示了他们的方法：将不等式进一步变形为220x x ->，如图1，画出函数22y x x =-的图象，抛物线与x 轴相交于()0,0和()2,0两点，这两个点将x 轴分为三段，当0x <或2x >时，二次函数的图象位于x 轴上方，此时0y >，所以220x x ->，即2233x x -->-，所以此不等式的解集为0x <或2x >．勤学小组受善思小组的启发，画出函数2=23y x x --的图象和直线=3y -．如图2所示，它们相交于()0,3-和()2,3-两点，当0x <或2x >时，二次函数的图象位于直线=3y -的上方，此时3y >-，即2233x x -->-，所以不等式的解集为0x <或2x >．任务：(1)两个小组的方法主要运用的数学思想是______（从下面的选项中选择一个即可）．A ．数形结合思想B ．分类讨论思想C ．公理化思想(2)请你选择阅读材料中的一个方法解不等式243x x -<-．请将函数图象画在图3的平面直角坐标系中，并参照材料中的分析过程写出你的分析过程．【例1】（2023·青海西宁·统考中考真题）7．直线1y ax b =+和抛物线22y ax bx =+（a ，b 是常数，且0a ≠）在同一平面直角坐标系中，直线1y ax b =+经过点()4,0-．下列结论：试卷第6页，共12页①抛物线22y ax bx =+的对称轴是直线2x =-②抛物线22y ax bx =+与x 轴一定有两个交点③关于x 的方程2ax bx ax b +=+有两个根14x =-，21x =④若0a >，当<4x -或1x >时，12y y >其中正确的结论是（）A ．①②③④B ．①②③C ．②③D ．①④【变1】（2023·江苏·统考中考真题）8．已知二次函数23y xbx =+-（b 为常数）．(1)该函数图像与x 轴交于A B 、两点，若点A 坐标为()3,0，①则b 的值是_________，点B 的坐标是_________；②当<<0y 5时，借助图像，求自变量x 的取值范围；(2)对于一切实数x ，若函数值y t >总成立，求t 的取值范围（用含b 的式子表示）；(3)当m y n <<时（其中m n 、为实数，m n <），自变量x 的取值范围是12x <<，求n 和b 的值以及m的取值范围．一、选择题（2023·湖北恩施·统考中考真题）9．如图，在平面直角坐标系xOy 中，O 为坐标原点，抛物线()20y ax bx c a =++≠的对称轴为1x =，与x 轴的一个交点位于()2,0，()3,0两点之间．下列结论：①20a b +>；②0bc <；③13a c <-；④若1x ，2x 为方程20ax bx c ++=的两个根，则1230x x ⋅-<<．其中正确的有（）个．A ．1B ．2C ．3D ．4（2023·河北·统考中考真题）10．已知二次函数22y x m x =-+和22y x m =-（m 是常数）的图象与x 轴都有两个交点，且这四个交点中每相邻两点间的距离都相等，则这两个函数图象对称轴之间的距离为（）A ．2B ．2m C ．4D ．22m （2023·湖南·统考中考真题）11．已知0m n >>，若关于x 的方程2230x x m +--=的解为()1212,x x x x <．关于x 的方程2230x x n +--=的解为3434,()x x x x <．则下列结论正确的是（）A ．3124x x x x <<<B ．1342x x x x <<<C ．1234x x x x <<<D ．3412x x x x <<<（2023·四川自贡·统考中考真题）12．经过23,()41,),(A b m B b c m -+-两点的抛物线22122y x bx b c =-+-+（x 为自变量）与x 轴有交点，则线段AB 长为（）A ．10B ．12C ．13D ．15（2023·浙江衢州·统考中考真题）13．已知二次函数24y ax ax =-（a 是常数，a<0）的图象上有()1,A m y 和()22,B m y 两点．若点A ，B 都在直线3y a =-的上方，且12y y >，则m 的取值范围是（）A ．312m <<B ．423m <<C ．4332m <<D ．m>2二、填空题试卷第8页，共12页（2023·广东深圳·深圳市石岩公学校考模拟预测）14．如图，二次函数与x 轴交点坐标为()10-，，()20，，当0y <时，x的取值范围是（2023·江苏镇江·统考二模）15．已知一次函数()10y kx m k =+≠和二次函数()220y ax bx c a =++≠的自变量和对应函数值如表：x…1-047 (1)y (01)58 (x)…2-1-04 (2)y …503-5…21y y>当时，自变量x 的取值范围是（2023·云南昆明·统考二模）16．如图，在平面直角坐标中，抛物线()20y ax bx a =+>和直线()0y kx k =>交于点O和点A ，则不等式2ax bx kx +<的解集为．（2023·江苏南京·统考二模）17．二次函数2y ax bx c =++（0,a a b c ≠、、是常数）的图象如图所示，则不等式()220ax b x c +-+>的解集是．（2023·湖南永州·统考二模）18．我们学习了一元二次方程和二次函数，综合利用它们的性质解决问题，阅读下列材料，回答问题：例：已知关于x 的方程2(2)40tx t x t +-+=有实数根，求t 的最大值？解：由题意可知，当t =0时，方程有实数解当0t ≠时，240b ac ∆=-≥即()22440t t t --⋅⋅≥∴215440t t +-≤设函数()21544f t t t =+-当()0f t ≤时，2235t -≤≤综上max 25t =(1)已知关于x 的方程2252214x mx x m m -++-=有实数根，则m 的最大值为；(2)已知方程22221x xy y -+=有实数根，则x -2y 的最大值为．三、解答题（2022·山东青岛·统考中考真题）19．已知二次函数y =x 2+mx +m 2−3（m 为常数，m >0）的图象经过点P (2，4)．(1)求m 的值；(2)判断二次函数y =x 2+mx +m 2−3的图象与x 轴交点的个数，并说明理由．试卷第10页，共12页（2023·广东广州·统考模拟预测）20．如图，抛物线2y x mx =+与直线y x b =-+交于点A (2，0)和点B．（1）求m 和b 的值；（2）求点B 的坐标，并结合图象写出不等式2x mx x b +>-+的解集；（3）点M 是直线AB 上的一个动点，将点M 向左平移3个单位长度得到点N ，若线段MN 与抛物线只有一个公共点，直接写出点M 的横坐标M x 的取值范围．（2023·河南南阳·统考三模）21．如图，抛物线23y x mx =-++与直线2y x b =-+交于点()4,5A -和点B．(1)求抛物线和直线的解析式；(2)请结合图象直接写出不等式232x mx x b -++<-+的解集；(3)点N 是抛物线对称轴上一动点，且点N 纵坐标为n ，记抛物线在A ，B 之间的部分为图象G （包含A ，B 两点）．若点1,2P t ⎛⎫- ⎪⎝⎭在直线2y x b =-+上，且直线PN 与图象G有公共点，结合函数图象，直接写出点N 纵坐标n 的取值范围．（2023·云南·统考中考真题）22．数和形是数学研究客观物体的两个方面，数（代数）侧重研究物体数量方面，具有精确性、形（几何）侧重研究物体形的方面，具有直观性．数和形相互联系，可用数来反映空间形式，也可用形来说明数量关系．数形结合就是把两者结合起来考虑问题，充分利用代数、几何各自的优势，数形互化，共同解决问题．同学们，请你结合所学的数学解决下列问题．在平面直角坐标系中，若点的横坐标、纵坐标都为整数，则称这样的点为整点．设函数2(42)(96)44y a x a x a =++--+（实数a 为常数）的图象为图象T ．(1)求证：无论a 取什么实数，图象T 与x 轴总有公共点；(2)是否存在整数a ，使图象T 与x 轴的公共点中有整点？若存在，求所有整数a 的值；若不存在，请说明理由．（2023·江苏盐城·统考中考真题）23．定义：若一次函数的图象与二次函数的图象有两个交点，并且都在坐标轴上，则称二次函数为一次函数的轴点函数．【初步理解】（1）现有以下两个函数：①21y x =-；②2y x x =-，其中，_________为函数1y x =-的轴点函数．（填序号）【尝试应用】（2）函数y x c =+（c 为常数，0c >）的图象与x 轴交于点A ，其轴点函数2y ax bx c=++与x 轴的另一交点为点B .若14OB OA =，求b 的值．【拓展延伸】（3）如图，函数12y x t =+（t 为常数，0t >）的图象与x 轴、y 轴分别交于M ，C 两点，在x 轴的正半轴上取一点N ，使得ON OC =.以线段MN 的长度为长、线段MO 的长度为宽，在x 轴的上方作矩形MNDE .若函数12y x t =+（t 为常数，0t >）的轴点函数2y mx nx t =++的顶点P 在矩形MNDE 的边上，求n 的值．试卷第12页，共12页参考答案：1．(3,0)C 或(4,0)C 【分析】根据题意2(1)34k y x k x k =+-+-与x 轴的交点坐标和它的“Y 函数”图象与x 轴的交点坐标关于y 轴对称，再进行分类讨论，即0k =和0k ≠两种情况，求出2(1)34k y x k x k =+-+-与x 轴的交点坐标，即可解答．【详解】解：①当0k =时，函数的解析式为3y x =--，此时函数的图象与x 轴只有一个交点成立，当0y =时，可得03x =--，解得3x =-，∴3y x =--与x 轴的交点坐标为()3,0-，根据题意可得，它的“Y 函数”图象与x 轴的交点坐标为()3,0；①当0k ≠时，函数2(1)34k y x k x k =+-+-的图象与x 轴只有一个交点，240∴-=b ac ，即()()214304k k k --⨯⨯-=，解得1k =-，∴函数的解析式为21244y x x =---，当0y =时，可得210244x x =---，解得4x =-，根据题意可得，它的“Y 函数”图象与x 轴的交点坐标为()4,0，综上所述，它的“Y 函数”图象与x 轴的交点坐标为(3,0)C 或()4,0C ，故答案为：(3,0)C 或(4,0)C ．【点睛】本题考查了轴对称，一次函数与坐标轴的交点，抛物线与x 轴的交点问题，理解题意，进行分类讨论是解题的关键．答案第2页，共28页2．(1)32x =；3(2(2)1x ≤-或3x ≥(3)m 的取值范围为416517m ≤<或1621m =【分析】（1）根据抛物线的对称轴方程可得答案；令0y =，求出x 的值，即可得出答案．（2）由题意得，2230x x --≥，求出方程2230x x --=的解，进而可得答案．（3）分别求出抛物线顶点在线段MN 上、抛物线经过点M 或点N 时m 的值，进而可得答案．【详解】（1）解：抛物线的对称轴为3322m x m -=-=，令0y =，得2330mx mx m --=，解得12x x ==A 在B的左侧，33,,022A B ⎛⎫⎛⎫+∴ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故答案为：32x =；；（2）232m mx mx -≤ ，0m >2230x x --∴≥，解方程223=0x x --，得1213x x ，=-=，2230x x --∴≥的解集为1x ≤-或3x ≥，即不等式232m mx mx ≤-的解集为1x ≤-或3x ≥，故答案为：1x ≤-或3x ≥；（3）当抛物线233(0)y mx mx m m --=>的顶点在MN 上时，即2334mx mx m --=-有两个相等的实数根，()294340m m m ∴∆=--+=，解得10m =（舍去），21621m =；当抛物线经过线段MN 的左端点N 时，把1(,4)2N -代入233y mx mx m -=-，得133442m m m --=-，解得1617m =，当抛物线经过线段MN 的右端点M 时，把(2,4)M -代入233y mx mx m -=-，得4634m m m --=-，解得45m =；综上所述，m 的取值范围为416517m ≤<或1621m =．【点睛】本题考查了二次函数与不等式（组）：利用两个函数图象在直角坐标系中的上下位置关系求自变量的取值范围，可作图利用交点直观求解，也可把两个函数解析式列成不等式求解．也考查了二次函数图象与系数的关系和抛物线与x 轴的交点问题．3．11【分析】根据表格可得0.5900.84-<<，则方程212150x x +-=的一个近似根取值范围为：1.1 1.2x <<，即可进行解答．【详解】解：根据题意可得：0.5900.84-<<，∴方程212150x x +-=的一个近似根取值范围为：1.1 1.2x <<，∴这个近似根的个位是1，十分为是1，故答案为：1，1．【点睛】本题主要考查了求一元二次方程的近似根，解题的关键是掌握正确理解表格中的数答案第4页，共28页据，根据表格得出近似根的取值范围．4．(1)1516-(2)见解析(3)20x -<<或2x >(4)231.7,0.5, 2.2x x x =-=-=【分析】（1）将12x =代入函数解析式进行求解即可；（2）根据表格，描点，连线画出函数图象即可；（3）结合图象即可得出结果；（4）图象法解方程即可．【详解】（1）解：当12x =时，311115222216y ⎛⎫=⨯-⨯=- ⎪⎝⎭，∴1516m =-，故答案为：1516-；（2）根据（1）中表格数据，描点，连线，如图，（3）解：由图象可知，当20x -<<或2x >时，图象在x 轴上方，即：31202x x ->，故答案为：20x -<<或2x >；（4）解：作图如下：由图象可得：方程的解为231.7,0.5, 2.2x x x =-=-=．【点睛】本题考查函数的图象和性质．熟练掌握函数图象的画法，利用图象法解不等式和方程，是解题的关键．5．D【分析】将要求的不等式抽象成两个函数的函数关系问题，根据二次函数图象的对称性，以及两一次函数图象的关系，求出新的一次函数与二次函数的交点，从而写出抛物线在直线上方部分的x 的取值范围即可．【详解】y kx m =+ 与y kx m =-+关于y 轴对称抛物线2y ax c =+的对称轴为y 轴，因此抛物线2y ax c =+与直线y kx m =+的交点和与直线y kx m =-+的交点也关于y 轴对称设y kx m =-+与2y ax c =+交点为A B ''、，则A '2(1,)y -，B '1(3,)y 2ax c kx m+≥-+即在点A B ''、之间的函数图像满足题意2ax c kx m ∴+≥-+的解集为：13x -≤≤故选D ．【点睛】本题考查了轴对称，二次函数与不等式，数形结合是数学中的重要思想之一，解决答案第6页，共28页函数问题更是如此．理解y kx m =+与y kx m =-+关于y 轴对称是解题的关键．6．(1)A(2)见解析【分析】（1）根据材料中两个小组的做法进行判别即可；（2）根据材料中两个小组的解题步骤进行解答即可．【详解】（1）两个小组都是画出了坐标系函数图象，通过观察图象得出的结论，∴主要运用的是数形结合的思想，故答案为：A ；（2）①选择善思小组的方法：将不等式进一步变形为2430x x -+<，画出函数243y x x =-+的图象，观察图象可知：抛物线与x 轴相交于()1,0和()3,0两点，这两个点将x 轴分为三段，当13x <<时，二次函数的图象位于x 轴下方，此时0y <，即2430x x -+<，∴不等式243x x -<-的解集为13x <<．②选择勤学小组的方法：画出函数24y x x =-的图象和直线=3y -，观察图象可知：函数24y x x =-的图象和直线=3y -相交于()1,3-和()3,3-两点，当13x <<时，二次函数的图象位于直线=3y -的下方，此时3y <-，即243x x -<-，∴不等式的解集为13x <<．【点睛】本题考查了二次函数与不等式的综合，熟练运用数形结合的思想方法是解题的关键．7．B【分析】①可得40a b -+=，从而可求4b a =，即可求解；②可得2240b ac b ∆=-=≥，由0a ≠，可得20b ∆=>，即可求解；③可判断抛物线也过()4,0-，从而可得方程()20ax b a x b +--=的一个根为4x =-，可求抛物线()23y ax b a x b =+--的对称轴为直线32x =-，从而可得抛物线()23y ax b a x b =+--与x 轴的另一个交点为()1,0，即可求解；④当0a >，当41x -<<时，12y y <，即可求解．【详解】解：① 直线1y ax b =+经过点()4,0-，40a b ∴-+=，4b a ∴=，抛物线的对称轴为直线4222b a x a a=-=-=-，故①正确；答案第8页，共28页②2240b ac b ∆=-=≥，由①得4b a =，0a ≠ ，0b ∴≠，∴20b ∆=>，∴抛物线22y ax bx =+与x 轴一定有两个交点，故②正确；③当4x =-时，164y a b=-16160a a =-=，∴抛物线也过()4,0-，由2ax bx ax b +=+得∴方程()20ax b a x b +--=，∴方程的一个根为4x =-，抛物线()23y ax b a x b =+--， 43222b a a a x a a --=-=-=-，∴抛物线()23y ax b a x b =+--的对称轴为直线32x =-，与x 轴的一个交点为()4,0-，()33422x ⎛⎫∴--=--- ⎪⎝⎭，解得：1x =，∴抛物线()23y ax b a x b =+--与x 轴的另一个交点为()1,0，∴关于x 的方程2ax bx ax b +=+有两个根14x =-，21x =，故③正确；④当0a >，当41x -<<时，12y y <，故④错误；故选：B ．【点睛】本题考查了二次函数的基本性质，二次函数与一次函数交点，二次函数与不等式等，理解性质，掌握解法是解题的关键．8．(1)①()2,1,0--②2<<1x --或34x <<(2)234b t <--(3)213,5,4b n m =-=-<-【分析】（1）①待定系数法求出函数解析式，令0y =，求出点B 的坐标即可；②画出函数图像，图像法求出x 的取值范围即可；（2）求出二次函数的最小值，即可得解；（3）根据当m y n <<时（其中m n 、为实数，m n <），自变量x 的取值范围是12x <<，得到1x =和2x =关于对称轴对称，进而求出b 的值，得到n 为1x =的函数值，求出n ，推出直线y m =过抛物线顶点或在抛物线的下方，即可得出结论．【详解】（1）解：①∵函数图像与x 轴交于A B 、两点，点A 坐标为()3,0，∴20333b =+-，∴2b =-，∴2=23y x x --，∴当0y =时，2230x x --=，∴121,3x x =-=，答案第10页，共28页∴点B 的坐标是()1,0-；故答案为：()21,0--，；②2=23y x x --，列表如下：xL 2-1-134L y L 504-05L画出函数图像如下：由图可知：当<<0y 5时，2<<1x --或34x <<；（2）∵2223324b b y x bx x ⎛⎫=+-=+-- ⎪⎝⎭，∴当2b x =-时，y 有最小值为234b --；∵对于一切实数x ，若函数值y t >总成立，∴234b t <--；（3）∵2223324b b y x bx x ⎛⎫=+-=+-- ⎪⎝⎭，∴抛物线的开口向上，对称轴为2b x =-，又当m y n <<时（其中m n 、为实数，m n <），自变量x 的取值范围是12x <<，∴直线y n =与抛物线的两个交点为()()1,,2,n n ，直线y m =在抛物线的下方，∴()()1,,2,n n 关于对称轴对称，∴1222b +-=，∴3b =-，∴223932132424y x x ⎛⎫⎛⎫=---=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴23211524n ⎛⎫=--=- ⎪⎝⎭，当32x =时，y 有最小值214-，∴214m <-．答案第12页，共28页【点睛】本题考查二次函数的图像和性质，熟练掌握二次函数的图像和性质，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键．本题的综合性较强，属于中考压轴题．9．B【分析】由图象得a<0，0c >，由对称轴12b x a=-=得20b a =->，20a b +=，0bc >；抛物线与x 轴的一个交点位于()2,0，()3,0两点之间，由对称性知另一个交点在(1,0)-，(0,0)之间，得0y a b c =-+<，于是13a c <-，进一步推知30c a -<<，由根与系数关系知1230x x -<< ；【详解】解：开口向下，得a<0，与y 轴交于正半轴，0c >，对称轴12b x a=-=，20b a =->，20a b +=，故①20a b +>错误；0bc >故②0bc <错误；抛物线与x 轴的一个交点位于()2,0，()3,0两点之间，对称轴为1x =，故知另一个交点在(1,0)-，(0,0)之间，故=1x -时，0y a b c =-+<∴(2)0a a c --+<，得13a c <-，故③13a c <-正确；由13a c <-，a<0，0c >知30c a -<<，∵1x ，2x 为方程20ax bx c ++=的两个根，∴12cx x a= ∴1230x x -<< ，故④正确；故选：B【点睛】本题考查二次函数图象性质，一元二次方程根与系数关系，不等式变形，掌握函数图象性质，注意利用特殊点是解题的关键．10．A【分析】先求得两个抛物线与x 轴的交点坐标，据此求解即可．【详解】解：令0y =，则220x m x -+=和220x m -=，解得0x =或2x m =或x m =-或x m =，不妨设0m >，∵()0m ，和()0m -，关于原点对称，又这四个交点中每相邻两点间的距离都相等，∴()20m ，与原点关于点()0m ，对称，∴22m m =，∴2m =或0m =（舍去），答案第14页，共28页∵抛物线22y x m =-的对称轴为0x =，抛物线22y x m x =-+的对称轴为222m x ==，∴这两个函数图象对称轴之间的距离为2，故选：A ．【点睛】本题考查了抛物线与x 轴的交点问题，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．11．B【分析】把12x x ，看做是直线y m =与抛物线223y x x =+-交点的横坐标，把34x x ，看做是直线y n =与抛物线223y x x =+-交点的横坐标，画出对应的函数图象即可得到答案．【详解】解：如图所示，设直线y m =与抛物线223y x x =+-交于A 、B 两点，直线y n =与抛物线223y x x =+-交于C 、D 两点，∵0m n >>，关于x 的方程2230x x m +--=的解为()1212,x x x x <，关于x 的方程2230x x n +--=的解为3434,()x x x x <，∴1234，，，x x x x 分别是A 、B 、C 、D 的横坐标，∴1342x x x x <<<，故选B．【点睛】本题主要考查了抛物线与一元二次方程的关系，正确把一元二次方程的解转换成直线与抛物线交点的横坐标是解题的关键．12．B【分析】根据题意，求得对称轴，进而得出1c b =-，求得抛物线解析式，根据抛物线与x 轴有交点得出240b ac ∆=-≥，进而得出2b =，则1c =，求得,A B 的横坐标，即可求解．【详解】解：∵抛物线22122y x bx b c =-+-+的对称轴为直线1222b b x b a =-=-=⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭∵抛物线经过23,()41,),(A b m B b c m -+-两点∴23412b bc b -++-=，即1c b =-，∴22221122222y x bx b c x bx b b =-+-+=-+-+-，∵抛物线与x 轴有交点，∴240b ac ∆=-≥，即()22142202b b b ⎛⎫-⨯-⨯-+-≥ ⎪⎝⎭，即2440b b -+≤，即()220b -≤，∴2b =，1211c b =-=-=，∴23264,418118b b c -=-=-+-=+-=，∴()()41238412AB b c b =+---=--=，故选：B ．【点睛】本题考查了二次函数的对称性，与x 轴交点问题，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．13．C【分析】根据已知条件列出不等式，利用二次函数与x 轴的交点和二次函数的性质，即可解答．答案第16页，共28页【详解】解：0a < ，30y a ∴=->，点A ，B 都在直线3y a =-的上方，且12y y >，可列不等式：2483am am a ->-，0a < ，可得24830m m -+<，设抛物线21483y m m =-+，直线10x =，∴24830m m -+<可看作抛物线21483y m m =-+在直线10x =下方的取值范围，当10y =时，可得20483m m =-+，解得1213,22m m ==，40> ，21483y m m ∴=-+的开口向上，24830m m ∴-+<的解为1322m <<，根据题意还可列不等式：22448am am am am ->-，0a < ，∴可得22448m m m m -<-，整理得2340m m -+<，设抛物线2234y m m =-+，直线20x =，∴2340m m -+<可看作抛物线2234y m m =-+在直线20x =下方的取值范围，当20y =时，可得2034m m =-+，解得1240,3m m ==，30-<Q ，∴抛物线2234y m m =-+开口向下，2340m m ∴-+<的解为0m <或43m >，综上所述，可得4332m <<，故选：C ．【点睛】本题考查了二次函数图象上的点的坐标特征，一次函数图象上点的坐标特征，正确列出不等式是解题的关键．14．12x -<<##21x >>-【分析】写出图象在x 轴下方所对应的自变量的范围即可．【详解】解：由图象可知，当0y <时，12x -<<．故答案为：12x -<<．【点睛】本题考查了抛物线与x 轴的交点问题，二次函数与不等式的关系，利用了转化及数形结合的数学思想．15．1x <-或4x >##4x >或1x <-【分析】利用表中数据得到直线与抛物线的交点为()10-，和()45，，画出草图，从而得到当21y y >时，自变量x 的取值范围．【详解】解：∵当=1x -时，120y y ==；当4x =时，125y y ==；∴直线与抛物线的交点为()10-，和()45，，画出草图如图所示，答案第18页，共28页当21y y >时，1x <-或>4x ，故答案为：1x <-或>4x ．【点睛】本题考查了二次函数与不等式，对于二次函数2y ax bx c =++（a 、b 、c 是常数，0a ≠）与不等式的关系，利用两个函数图象在直角坐标系中的上下位置关系求自变量的取值范围，可作图利用交点直观求解，也可把两个函数解析式列成不等式求解．16．03x <<【分析】根据已知图象，确定交点横坐标,再找出直线在抛物线上方的部分，即可得到答案．【详解】解：由图象可知，抛物线与直线交点的横坐标分别为0、3，当03x <<时，直线在抛物线上方，∴不等式2ax bx kx +<的解集为03x <<，故答案为：03x <<．【点睛】本题考查了二次函数与不等式的关系，利用数形结合的思想解决问题是解题关键．17．1x <或3x >【分析】利用图象法解不等式即可．【详解】解：∵()220ax b x c +-+>，∴22ax bx c x ++>，将不等式转化为两个函数：2y ax bx c =++与2y x =的交点问题，由图可知：点()()1,2,3,6在抛物线2y ax bx c =++，又∵()()1,2,3,6满足直线2y x =的解析式，∴两个函数的交点坐标为：()()1,2,3,6，由图象可知：当1x <或3x >时，22ax bx c x ++>，∴不等式()220ax b x c +-+>的解集是1x <或3x >；故答案为：1x <或3x >．【点睛】本题考查图象法求不等式的解集．解题的关键是将不等式转化为二个函数图象交点的问题，利用数形结合的思想进行求解．18．5【分析】（1）仿照例题得出()2252142104m m m ⎛⎫-+---≥ ⎪⎝⎭，进而根据二次函数的性质即可求解．（2）令2x y t -=，则2x t y =+，将2x t y =+代入，得()()2222221t y t y y y +-++=，根据题意得出222Δ43640+200b ac t t =-=-≥，进而根据二次函数的性质即可求解．【详解】解：（1）∵关于x 的方程2252214x mx x m m -++-=，即22522104x mx x m m -++--=有实数根，∴240b ac ∆=-≥，1,21a b m ==-+，25214c m m =--，即()2252142104m m m ⎛⎫-+---≥ ⎪⎝⎭答案第20页，共28页∴2540m m +-≥设函数()245f m m m =-++当()0f m ≥时，15m -≤≤综上max 5m =，故答案为：5．（2）令2x y t -=，则2x t y =+，将2x t y =+代入，()()2222221t y t y y y +-++=整理得2256210y ty t ++-=，该方程有实数根，∴222Δ43640+200b ac t t =-=-≥∴t ≤≤t即2x y -【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．19．(1)m =1(2)二次函数22y x x =+-的图象与x 轴有两个交点，理由见解析．【分析】（1）把P (2，4)代入y =x 2+mx +m 2−3即可求得m 的值；（2）首先求出Δ=b 2-4ac 的值，进而得出答案．【详解】（1）解：∵二次函数y =x 2+mx +m 2−3图象经过点P (2，4)，∴4=4+2m +m 2−3，即m 2+2m −3=0，解得：m 1=1，m 2=−3，又∵m >0，∴m =1；（2）解：由（1）知二次函数y =x 2+x −2，∵Δ=b 2−4ac =12+8=9>0，∴二次函数y =x 2+x −2的图象与x 轴有两个交点．【点睛】此题主要考查了抛物线与x 轴的交点以及一元二次方程的解法，得出△的值是解题关键．20．（1）2m =-，2b =；（2）不等式2x mx +>x b -+的解集为1x <-或2x >；（3）点M 的横坐标M x 的取值范围是：12M x -≤<或3M x =．【分析】（1）把A (2，0)分别代入两个解析式，即可求得m 和b 的值；（2）解方程222x x x -=-+求得点B 的坐标为(-1，3)，数形结合即可求解；（3）画出图形，利用数形结合思想求解即可．【详解】解：（1）∵点A (2，0)同时在2y x mx =+与y x b =-+上，∴2022m =+，02b =-+，解得：2m =-，2b =；（2）由（1）得抛物线的解析式为22y x x =-，直线的解析式为2y x =-+，解方程222x x x -=-+，得：1221x x ==-，．∴点B 的横坐标为1-，纵坐标为23y x =-+=，∴点B 的坐标为(-1，3)，观察图形知，当1x <-或2x >时，抛物线在直线的上方，答案第22页，共28页∴不等式2x mx +>x b -+的解集为1x <-或2x >；（3）如图，设A 、B 向左移3个单位得到A 1、B 1，∵点A (2，0)，点B (-1，3)，∴点A 1(-1，0)，点B 1(-4，3)，∴A A 1=BB 1=3，且A A 1∥BB 1，即MN 为A A 1、BB 1相互平行的线段，对于抛物线()22211y x x x =-=--，∴顶点为(1，-1)，如图，当点M 在线段AB 上时，线段MN 与抛物线22y x x =-只有一个公共点，此时12M x -≤<，当线段MN 经过抛物线的顶点(1，-1)时，线段MN 与抛物线22y x x =-也只有一个公共点，此时点M 1的纵坐标为-1，则12M x -=-+，解得3M x =，综上，点M 的横坐标M x 的取值范围是：12M x -≤<或3M x =．．【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质；能够画出图形，结合函数图象，运用二次函数的性质求解是关键．21．(1)223y x x =-++和23y x =-+(2)0x <或4x >(3)14n ≤≤【分析】（1）将点A 的坐标代入23y x mx =-++，2y x b =-+求出m 、b 的值即可；（2）求出点B 的坐标，根据图象得出不等式的解集即可；（3）求出点P 的坐标为1,42⎛⎫- ⎪⎝⎭，直线AB 与抛物线对称轴的交点为()1,1，结合图象即可得出答案．【详解】（1）解：将点()4,5A -代入23y x mx =-++得：25443m -=-++，解得：2m =，将点()4,5A -代入2y x b =-+得：524b -=-⨯+，解得：3b =，∴抛物线和直线的解析式分别为223y x x =-++和23y x =-+．（2）解：联立22323y x x y x ⎧=-++⎨=-+⎩，解得：1103x y =⎧⎨=⎩，2145x y =⎧⎨=-⎩，∴()0,3B ，∴根据图象可知，不等式232x mx x b -++<-+的解集为0x <或>4x ；（3）解：把1,2P t ⎛⎫- ⎪⎝⎭代入23y x =-+得：4t =，∴点P 的坐标为1,42⎛⎫- ⎪⎝⎭，∵抛物线解析式为()222314y x x x =-++=--+，∴抛物线的顶点坐标为()1,4，对称轴为直线1x =，把1x =代入23y x =-+得：1y =，∴直线AB 与抛物线对称轴的交点为()1,1，根据图象可知，当直线PN 与图像G 有公共点时，14n ≤≤．答案第24页，共28页【点睛】本题主要考查了求二次函数解析式，一次函数解析式，一次函数与二次函数的交点问题，解题的关键是数形结合，熟练掌握待定系数法，以及求出两个函数解析式和交点坐标．22．(1)见解析(2)0a =或1a =-或1a =或2a =-【分析】（1）分12a =-与12a ≠-两种情况讨论论证即可；（2）当12a =-时，不符合题意，当12a ≠-时，对于函数2(42)(96)44y a x a x a =++--+，令0y =，得2(42)(96)440a x a x a ++--+=，从而有4421a x a -=+或12x =-，根据整数a ，使图象T 与x 轴的公共点中有整点，即x 为整数，从而有211a +=或211a +=-或212a +=或212a +=-或213a +=或213a +=-或216a +=或216a +=-，解之即可．【详解】（1）解：当12a =-时，420a +=，函数2(42)(96)44y a x a x a =++--+为一次函数126y x =+，此时，令0y =，则1260x +=，解得12x =-，∴一次函数126y x =+与x 轴的交点为102⎛⎫- ⎪⎝⎭；当12a ≠-时，420a +≠，函数2(42)(96)44y a x a x a =++--+为二次函数，∵2(42)(96)44y a x a x a =++--+，∴()2(96)(42)444a a a ∆=+---+228110836643232a a a a =-++--214049100a a -+=。

高中数学第二章一元二次函数方程和不等式专项训练题(带答案)

高中数学第二章一元二次函数方程和不等式专项训练题(带答案)

高中数学第二章一元二次函数方程和不等式专项训练题单选题1、实数a,b 满足a >b ，则下列不等式成立的是（ ） A ．a +b <ab B ．a 2>b 2C ．a 3>b 3D ．√a 2+b 2<a +b 答案：C分析：利用不等式的性质逐一判断即可. A ，若a =1,b =0，则a +b >ab ，故A 错误； B ，若a =1,b =−2，则a 2<b 2，故B 错误；C ，若a >b ，则a 3−b 3=(a −b )(a 2+ab +b 2)=(a −b )[(a +b 2)2+3b 24]>0，所以a 3>b 3，故C 正确；D ，若a =1,b =−2，则√a 2+b 2>a +b ，故D 错误. 故选：C2、若a,b,c ∈R ，则下列命题为假命题的是（ ） A ．若√a >√b ，则a >b B ．若a >b ，则ac >bc C ．若b >a >0，则1a >1b D ．若ac 2>bc 2，则a >b 答案：B分析：根据不等式的性质逐一分析各选项即可得答案. 解：对A ：因为√a >√b ，所以a >b ≥0，故选项A 正确；对B ：因为a >b ，c ∈R ，所以当c >0时，ac >bc ；当c =0时，ac =bc ；当c <0时，ac <bc ，故选项B 错误；对C ：因为b >a >0，所以由不等式的性质可得1a>1b >0，故选项C 正确；对D ：因为ac 2>bc 2，所以c 2>0，所以a >b ，故选项D 正确. 故选：B.3、若x >53，则3x +43x−5的最小值为（ ）A ．7B ．4√3C ．9D ．2√3 答案：C分析：利用基本不等式即可求解. 解：∵x >53， ∴3x −5>0，则3x +43x−5=(3x −5)+43x−5+5≥2√(3x −5)⋅43x−5+5=9， 当且仅当3x −5=2时，等号成立， 故3x +43x−5的最小值为9，故选：C ．4、已知2<a <3，−2<b <−1，则2a −b 的范围是（ ） A ．(6,7)B ．(5,8)C ．(2,5)D ．(6,8) 答案：B分析：由不等式的性质求解即可.，故4<2a <6，1<−b <2，得5<2a −b <8 故选：B5、已知a,b >0，a +4b =ab ，则a +b 的最小值为（ ） A ．10B ．9C ．8D ．4 答案：B分析：由题可得4a +1b =1，根据a +b =(a +b )(4a +1b )展开利用基本不等式可求.∵a,b >0，a +4b =ab ，∴4a +1b =1， ∴a +b =(a +b )(4a +1b )=4b a +a b +5≥2√4b a ⋅ab +5=9，当且仅当4ba =ab 时等号成立，故a +b 的最小值为9. 故选：B.23,21<<-<<-a b6、已知两个正实数x ，y 满足x +y =2，则1x+9y+1的最小值是（ ）A ．163B ．112C ．8D ．3 答案：A分析：根据题中条件，得到1x +9y+1=13(1x +9y+1)[x +(y +1)]，展开后根据基本不等式，即可得出结果. 因为正实数x,y 满足x +y =2，则1x +9y+1=13(1x +9y+1)[x +(y +1)]=13(10+y+1x+9x y+1)≥13(10+2√y+1x⋅9x y+1)=163，当且仅当y+1x=9xy+1，即x =34,y =54时，等号成立.故选：A ．小提示：易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.7、关于x 的方程x 2+2(m −1)x +m 2−m =0有两个实数根α，β，且α2+β2=12，那么m 的值为（ ） A ．−1B ．−4C ．−4或1D ．−1或4 答案：A分析：α2+β2=(α+β)2−2α⋅β，利用韦达定理可得答案. ∵关于x 的方程x 2+2(m −1)x +m 2−m =0有两个实数根， ∴Δ=[2(m −1)]2−4×1×(m 2−m )=−4m +4⩾0， 解得：m ⩽1，∵关于x 的方程x 2+2(m −1)x +m 2−m =0有两个实数根α，β， ∴α+β=−2(m −1)，α⋅β=m 2−m ，∴α2+β2=(α+β)2−2α⋅β=[−2(m −1)]2−2(m 2−m )=12，即m 2−3m −4=0，解得：m =−1或m =4(舍去). 故选：A.8、已知实数x ，y 满足x 2+y 2=2，那么xy 的最大值为（ ） A ．14B ．12C ．1D ．2 答案：C分析：根据重要不等式x 2+y 2≥2xy 即可求最值，注意等号成立条件.由x 2+y 2=2≥2xy ，可得xy ≤1，当且仅当x =y =1或x =y =−1时等号成立. 故选：C. 多选题9、下面所给关于x 的不等式，其中一定为一元二次不等式的是（ ） A ．3x +4<0B ．x 2+mx -1>0 C ．ax 2+4x -7>0D ．x 2<0 答案：BD分析：利用一元二次不等式的定义和特征对选项逐一判断即可.选项A 是一元一次不等式，故错误；选项B ，D ，不等式的最高次是二次，二次项系数不为0，故正确；当a =0时，选项C 是一元一次不等式，故不一定是一元二次不等式，即错误. 故选：BD.10、已知a >0，b >0，且a 2+b 2=2，则下列不等式中一定成立的是（ ） A ．ab ≥1B ．a +b ≤2 C ．lga +lgb ≤0D ．1a +1b ≤2 答案：BC分析：对于AD ，举例判断，对于BC ，利用基本不等式判断 解：对于A ，令a =√22,b =√62满足a 2+b 2=2，则ab =√22×√62=√32<1，所以A 错误，对于B ，因为(a +b)2=a 2+b 2+2ab =2+2ab ≤2+a 2+b 2=4，所以a +b ≤2，当且仅当a =b =1时取等号，所以B 正确，对于C ，因为lga +lgb =lgab ≤lg a 2+b 22=lg1=0，当且仅当a =b =1时取等号，所以C 正确，对于D ，令a =√22,b =√62满足a 2+b 2=2，则1a +1b =√2+√63≈1.414+0.8165>2，所以D 错误，故选：BC11、已知a >0，b >0，且a +b =1，则（ ） A ．a 2+b 2≥12B ．2a−b >12C ．log 2a +log 2b ≥−2D ．√a +√b ≤√2 答案：ABD分析：根据a +b =1，结合基本不等式及二次函数知识进行求解. 对于A ，a 2+b 2=a 2+(1−a )2=2a 2−2a +1=2(a −12)2+12≥12， 当且仅当a =b =12时，等号成立，故A 正确；对于B ，a −b =2a −1>−1，所以2a−b >2−1=12，故B 正确；对于C ，log 2a +log 2b =log 2ab ≤log 2(a+b 2)2=log 214=−2，当且仅当a =b =12时，等号成立，故C 不正确； 对于D ，因为(√a +√b)2=1+2√ab ≤1+a +b =2，所以√a +√b ≤√2，当且仅当a =b =12时，等号成立，故D 正确； 故选：ABD小提示：本题主要考查不等式的性质，综合了基本不等式，指数函数及对数函数的单调性，侧重考查数学运算的核心素养.12、下列选项中正确的是（ ） A ．不等式a +b ≥2√ab 恒成立B ．存在实数a ，使得不等式a +1a ≤2成立 C ．若a ，b 为正实数，则ba +ab ≥2D ．若正实数x ，y 满足，则2x +1y ≥821x y +=答案：BCD分析：根据基本不等式的条件与“1”的用法等依次讨论各选项即可得答案. 解：对于A选项，当a<0,b<0时不成立，故错误；对于B选项，当a<0时，a+1a =−[(−a)+(−1a)]≤2，当且仅当a=−1等号成立，故正确；对于C选项，若a，b为正实数，则ba >0,ab>0，所以ba+ab≥2√ba⋅ab=2，当且仅当a=b时等号成立，故正确；对于D选项，由基本不等式“1”的用法得2x +1y=(2x+1y)(x+2y)=4+4yx+xy≥4+2√4yx⋅xy=8，当且仅当x=2y时等号成立，故正确.故选：BCD13、已知函数f(x)=x2−2(a−1)x+a，若对于区间[−1,2]上的任意两个不相等的实数x1，x2，都有f(x1)≠f(x2)，则实数a的取值范围可以是（）A．(−∞,0]B．[0,3]C．[−1,2]D．[3,+∞)答案：AD解析：对于区间[−1,2]上的任意两个不相等的实数x1，x2，都有f(x1)≠f(x2)，分析即f(x)在区间[−1,2]上单调，利用二次函数的单调区间判断.二次函数f(x)=x2−2(a−1)x+a图象的对称轴为直线x=a−1，∵任意x1,x2∈[−1,2]且x1≠x2，都有f(x1)≠f(x2)，即f(x)在区间[−1,2]上是单调函数，∴a−1≤−1或a−1≥2，∴a≤0或a≥3，即实数a的取值范围为(−∞,0]∪[3,+∞).故选：AD小提示：（1）多项选择题是2020年高考新题型，需要要对选项一一验证．（2）二次函数的单调性要看开口方向、对称轴与区间的关系．填空题14、已知三个不等式：①ab>0，②ca >db，③bc>ad，用其中两个作为条件，剩下的一个作为结论，则可组成______个真命题． 答案：3分析：根据题意，结合不等式性质分别判断①、②、③作为结论的命题的真假性即可. 由不等式性质，得{ab >0c a >d b ⇒{ab >0bc−ad ab>0⇒bc >ad ；{ab >0bc >ad ⇒c a >d b ；{ca>d bbc >ad⇒{bc−adab>0bc >ad⇒ab >0．故可组成3个真命题．所以答案是：3.15、命题p:∀x ∈R ，x 2+ax +a ≥0，若命题p 为真命题，则实数a 的取值范围为___________. 答案：[0,4]分析：根据二次函数的性质判别式解题即可.∀x ∈R ，要使得x 2+ax +a ≥0，则Δ=a 2−4a ≤0，解得0≤a ≤4. 若命题p 为真命题，则实数a 的取值范围为[0,4]. 所以答案是：[0,4]. 16、a >b >c ，n ∈N ∗，且1a−b+1b−c≥n a−c恒成立，则n 的最大值为__．答案：4分析：将不等式变形分离出n ，不等式恒成立即n 大于等于右边的最小值；由于a −c =a −b +b −c ，凑出两个正数的积是常数，利用基本不等式求最值． 解：由于1a−b+1b−c≥n a−c恒成立，且a >c即恒成立 只要的最小值即可∵a −c a −b +a −c b −c =a −b +b −c a −b +a −b +b −cb −c=2+b −c a −b +a −bb −c∵a >b >ca c a cn a b b c --≤+--a c a cn a b b c --≤+--∴a −b >0，b −c >0，故(a−c a−b +a−cb−c )≥4，因此n ≤4 所以答案是：4． 解答题17、（1）已知x >1，求4x +1+1x−1的最小值；（2）已知0<x <1，求x (4−3x )的最大值． 答案：（1）9；（2）43．分析：（1）由于x −1>0，则4x +1+1x−1=4(x −1)+1x−1+5，然后利用基本不等式求解即可， （2）由于0<x <1，变形得x (4−3x )=13⋅(3x )⋅(4−3x )，然后利用基本不等式求解即可. （1）因为x >1，所以x −1>0，所以4x +1+1x−1=4(x −1)+1x−1+5≥2√4(x −1)⋅1x−1+5=9， 当且仅当4(x −1)=1x−1，即x =32时取等号，所以4x +1+1x−1的最小值为9．（2）因为0<x <1，所以x (4−3x )=13⋅(3x )⋅(4−3x )≤13(3x+4−3x 2)2=43，当且仅当3x =4−3x ，即x =23时取等号，故x (4−3x )的最大值为43．18、在△ABC 中，内角A ，B ，C 对边分别为a ，b ，c ，已知2acosB =2c −b ． （1）求角A 的值；（2）若b =5，AC⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =−5，求△ABC 的周长； （3）若2bsinB +2csinC =bc +√3a ，求△ABC 面积的最大值． 答案：（1）A =π3;（2）20;（3）3√34. 解析：（1）利用正弦定理及两角和的正弦公式展开，可得，可求得角A 的值；（2）根据向量的数量积及余弦定理分别求出a,c ，即可求得周长；1cos 2A（3）将利用正弦定理将角化成边，再利用余弦定理结合基本不等式可求得面积的最值； （1）∵2acosB =2c −b ⇒2sinA ⋅cosB =2sinC −sinB ,∴2sinA ⋅cosB =2⋅sin(A +B)−sinB =2(sinA ⋅cosB +cosA ⋅sinB)−sinB , ∴,∵0<A <π,∴A =π3;（2）∵AC⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2 =c ⋅5⋅cos π3−52=52c −25=−5⇒c =8，在△ABC 中利用余弦定理得：a 2=b 2+c 2−2b ⋅c ⋅cosA =52+82−2⋅5⋅8⋅12=49， ∴a =7，∴ΔABC 的周长为：5+8+7=20； （3）∵bsinB =csinC =asinA =√32=2√3a3，∴sinB =√32ba，sinC =√32ca， ∴2b ⋅√32⋅b a+2c ⋅√32⋅ca=bc +√3a ，∴√3(b 2+c 2−a 2)=abc ⇒√3⋅cosA =a2⇒√3⋅12=a2⇒a =√3， ∴√3(b 2+c 2−3)=√3bc ⇒b 2+c 2=3+bc ， ∴3+bc ⩾2bc ⇒bc ⩽3，等号成立当且仅当， △ABC 面积的最大值为(12bcsinA)max=3√34. 小提示：本题考查三角恒等变换、正余弦定理在解三角形中的应用，求解时注意选择边化成角或者角化成边的思路.1cos 2A =b c =。

初中数学二次函数与方程和不等式专题训练

初中数学二次函数与方程和不等式专题训练

初中数学二次函数与方程和不等式专题训练一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）1．（3分）（2010•保定一模）已知二次函数y=﹣x2+2x+m的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程﹣x2+2x+m=0的解为（）A．x1=1，x2=3 B．x1=0，x2=3 C．x1=﹣1，x2=1 D．x1=﹣1，x2=32．（3分）根据二次函数y=ax2+bx+c（a≠0，a、b、c为常数）得到一些对应值，列表如下：x 2.2 2.3 2.4 2.5y ﹣0.76 ﹣0.11 0.56 1.25判断一元二次方程ax2+bx+c=0的一个解x1的范围是（）A．2.1＜x1＜2.2 B．2.2＜x1＜2.3 C．2.3＜x1＜2.4 D．2.4＜x1＜2.53．（3分）（2013•宝坻区一模）已知关于x的一元二次方程x2+mx+n=0的两个实数根分别为x1=a，x2=b （a＜b），则二次函数y=x2+mx+n中，当y＜0时，x的取值范围是（）A．x＜a B．x＞b C．a＜x＜b D．x＜a或x＞b4．（3分）如图，以（1，﹣4）为顶点的二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴负半轴交于A点，则一元二次方程ax2+bx+c=0的正数解的范围是（）A．2＜x＜3 B．3＜x＜4 C．4＜x＜5 D．5＜x＜65．（3分）若二次函数y1=ax2+bx+c与一次函数y2=kx+f的图象如图，当y1＜y2时，关于x的取值范围，有可能是下列不等式组解中的哪一个（）A．B．C．D．6．（3分）已知关于x的不等式组无解，则二次函数y=（a﹣2）x2﹣x+的图象与x轴（）A．没有交点B．相交于两点C．相交于一点D．相交于一点或没有交点7．（3分）若不等式组（x为未知数）无解，则二次函数的图象y=ax2﹣4x+1与x轴的交点（）A．没有交点B．一个交点C．两个交点D．不能确定8．（3分）（2011•黔东南州）如图，一次函数y1=kx+n（k≠0）与二次函数y2=ax2+bx+c（a≠0）的图象相交于A（﹣1，5）、B（9，2）两点，则关于x的不等式kx+n≥ax2+bx+c的解集为（）A．﹣1≤x≤9B．﹣1≤x＜9 C．﹣1＜x≤9D．x≤﹣1或x≥9二．填空题（共8小题，满分24分，每小题3分）9．（3分）如图为二次函数y=ax2﹣bx的图象，若一元二次方程ax2﹣bx+m=0有实数根，则m的最小值为_________．10．（3分）若一元二次方程x2﹣2x﹣k=0无实数根，则二次函数y=x2+（k+1）x+k的图象最低点在第_________象限．11．（3分）写出以4，﹣5为根且二次项的系数为1的一元二次方程是_________．12．（3分）已知：关于x的一元二次方程ax2+bx+c=﹣3的一个根为x=2，且二次函数y=ax2+bx+c的对称轴是直线x=2，则抛物线的顶点坐标为_________．13．（3分）若二次函数y=﹣x2+4x+k的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程﹣x2+4x+k=0 的一个解x1=5，另一个解x2=_________．14．（3分）如图，已知二次函数y1=ax2+bx+c与一次函数y2=kx+m的图象相交于A（﹣2，4）、B（8，2）两点，则能使关于x的不等式ax2+（b﹣k）x+c﹣m＞0成立的x的取值范围是_________．15．（3分）如图，已知二次函数y1=ax2+bx+c（a≠0）与一次函数y2=kx+m（k≠0）的图象相交于点A（﹣2，4），B（8，2），则关于x的不等式ax2+（b﹣k）x+c﹣m＞0的解集是_________．16．（3分）如图，在同一坐标系内，二次函数的图象与两坐标轴分别交于点A（﹣1，0），点B（2，0）和点C（0，4），一次函数的图象与抛物线交于B，C两点．（1）二次函数的解析式为_________；（2）当自变量x_________时，两函数的函数值都随x增大而减小；（3）当自变量x_________时，一次函数值大于二次函数值．三．解答题（共7小题，满分56分，每小题8分）17．（8分）已知，二次函数y=ax2+bx的图象如图所示．（1）若二次函数的对称轴方程为x=1，求二次函数的解析式；（2）已知一次函数y=kx+n，点P（m，0）是x轴上的一个动点．若在（1）的条件下，过点P垂直于x 轴的直线交这个一次函数的图象于点M，交二次函数y=ax2+bx的图象于点N．若只有当1＜m＜时，点M位于点N的上方，求这个一次函数的解析式；（3）若一元二次方程ax2+bx+q=0有实数根，请你构造恰当的函数，根据图象直接写出q的最大值．18．（8分）已知关于x的一元二次方程2x2+4x+k﹣1=0有实数根，k为正整数．（1）求k的值；（2）当此方程有两个非零的整数根时，将关于x的二次函数y=2x2+4x+k﹣1的图象向下平移8个单位，求平移后的图象的解析式．19．（8分）已知二次函数y=ax2﹣（a+1）x﹣4（a为常数）（1）已知二次函数y=ax2﹣（a+1）x﹣4的图象的顶点在y轴上，求a的值；（2）经探究发现无论a取何值，二次函数的图象一定经过平面直角坐标系内的两个定点．请求出这两个定点的坐标；（3）已知关于x的一元二次方程ax2﹣（a+1）x﹣4=0的一个根在﹣1和0之间（不含﹣1和0），另一个根在2和3之间（不含2和3），试求整数a的值．20．（8分）已知关于x的一元二次方程kx2+（3k+1）x+2k+1=0．（1）求证：该方程必有两个实数根；（2）若该方程只有整数根，求k的整数值；（3）在（2）的条件下，在平面直角坐标系中，若二次函数y=（k+1）x2+3x+m与x轴有两个不同的交点A和B（A在B左侧），并且满足OA=2•OB，求m的非负整数值．21．（8分）如图，已知二次函数的图象经过A（2，0）．（1）求c的值；（2）当x为何值时，这个二次函数有最大值，最大值为多少；（3）若二次函数与y轴相交于的B点，且该二次函数的对称轴与x轴交于点C，连结BA、BC，求△ABC 的面积．22．（8分）（2012•定边县模拟）如图，已知二次函数的图象经过点A（3，3）、B（4，0）和原点O．P 为二次函数图象上的一个动点，过点P作x轴的垂线，垂足为D（m，0），并与直线OA交于点C．（1）求出二次函数的解析式；（2）当点P在直线OA的上方时，求线段PC的最大值；（3）当m＞0时，探索是否存在点P，使得△PCO为等腰三角形，如果存在，求出P的坐标；如果不存在，请说明理由．23．（8分）如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=﹣x2+bx+c的图象与x轴相交于点A（4，0），与y轴相交于点B（0，4），动点C是从点A出发，向O点运动，到达0点时停止运动，过点C作EC⊥x 轴，交直线AB于点D，交抛物线于点E．（1）求二次函数的解析式；（2）连接OE交AB于F点，连接AE，在动点C的运动过程中，若△AOF的面积是△AEF面积的2倍，求点C的坐标？（3）在动点C的运动过程中，△DEF能否为等腰三角形？若能，请直接写出点F的坐标；若不能，请说明理由．。

二次函数与一元二次方程、不等式同步练习

二次函数与一元二次方程、不等式同步练习

二次函数与一元二次方程、不等式同步练习二次函数与一元二次方程、不等式同步练一、本节知识点1.一元二次不等式的概念。

2.三个二次的关系。

3.一元二次不等式的解法。

知识点拓展:4.分式不等式的解法。

5.高次不等式的解法。

二、本节题型1.解不含参数的一元二次不等式。

2.解含参数的一元二次不等式。

3.三个二次之间的关系。

4.简单高次不等式、分式不等式的解法。

5.XXX成立问题。

6.一元二次不等式的应用。

三、同步练1.解不等式(x+2)(5-x)>0的解集为【B】{x2}。

2.已知不等式x+ax+44}。

3.不等式(2-x)/(x+1)>=0的解集为【A】{x=2}。

4.若关于x的不等式(mx-1)(x-2)>0的解集为{x|12}。

5.不等式ax+bx+2>0的解集为{x|-1<x<2}，则不等式2x+bx+a<0的解集为【B】{x|-1<x<2}。

6.设全集U=R，集合A={x|x>4}，B={x|2<x+3/x-1}，则交集B∩A的解集为【A】{x|-2≤x<1}。

7.若关于x的不等式a(x+1)(x-3)+1>0的解集是{x|1<x<2}，其中x1<x2，则下列结论中正确的是【A、D】：x1+x2=2，-1<x1<x2<3.8.不等式x^2-2x+3≤a-2a-1在R上的解集为∅，则实数a的取值范围是【B】{a3}。

9.若关于x的不等式ax^2+bx+2>0的解集是{x|22}。

解:根据题意,不等式x ax4的解集为空集,即对于任意实数x,都有x ax40.又因为x ax4是关于x的一元二次函数,所以其图像开口向上,且顶点在x轴上.因此,当a4或a4时,函数图像在x轴上没有交点,即不等式恒成立.而当4a4时,函数图像在x轴上有交点,即不等式有解.综上所述,实数a的取值范围是aa4或a4,即选择答案【D】.1.不等式$x^2+ax+4<0$的解集为空集，即相应的二次函数$y=x^2+ax+4$的图像位于$x$轴上及其上方，或者不等式$x^2+ax+4\geq 0$在$\mathbb{R}$上恒成立。

二次函数与一元二次方程、不等式同步练习

二次函数与一元二次方程、不等式同步练习

二次函数与一元二次方程、不等式同步练习一、本节知识点（1）一元二次不等式的概念. （2）三个二次的关系. （3）一元二次不等式的解法. 知识点拓展:（4）分式不等式的解法. （5）高次不等式的解法. 二、本节题型（1）解不含参数的一元二次不等式. （2）解含参数的一元二次不等式. （3）三个二次之间的关系.（4）简单高次不等式、分式不等式的解法. （5）不等式恒成立问题. （6）一元二次不等式的应用. 三、同步练习1. 一元二次不等式()()052>-+x x 的解集为 【 】（A ）{}52>-<x x x 或 （B ）{}25>-<x x x 或 （C ）{}52<<-x x （D ）{}25<<-x x2. 已知不等式042<++ax x 的解集为空集,则实数a 的取值范围是 【 】（A ）{}44≤≤-a a （B ）{}44<<-a a （C ）{}44≥-≤a a a 或 （D ）{}44>-<a a a 或3. 不等式12+-x x≥0的解集为 【 】 （A ）{}20≤<x x （B ）{}21≤<-x x （C ）{}1->x x （D ）R4. 若关于x 的不等式()()021>--x mx 的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<21x m x,则实数m 的取值范围是 【 】 （A ）{}0>m m （B ）{}20<<m m （C ）⎭⎬⎫⎩⎨⎧>21m m （D ）{}0<m m 5. 不等式022>++bx ax 的解集为{}21<<-x x ,则不等式022<++a bx x 的解集为 【 】 （A ）⎭⎬⎫⎩⎨⎧>-<211x x x 或 （B ）⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<-211x x （C ）{}12<<-x x （D ）{}12>-<x x x 或6. 设全集=U R ,集合{}42>=x x A ,⎭⎬⎫⎩⎨⎧<-+=013x x xB ,则（C U A ）=B 【 】 （A ）{}12<≤-x x （B ）{}23<<-x x （C ）{}22<<-x x （D ）{}23≤≤-x x7.（多选）若关于x 的不等式()()0131>+-⋅+x x a （0≠a ）的解集是{}21x x x x <<,其中21x x <,则下列结论中正确的是 【 】 （A ）221=+x x （B ）321-<x x （C ）412>-x x （D ）3121<<<-x x8. 不等式322+-x x ≤122--a a 在R 上的解集为∅,则实数a 的取值范围是_____________.9. 若关于x 的不等式022>++bx ax 的解集是⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<-3121x x ,则=+b a ______. 10. 已知集合{}Z x x x x A ∈<--=,062,则集合A 中所有元素之和为_________. 11. 已知1=x 不是关于x 的不等式08622<+-kx x k 的解,则实数k 的取值范围是_____________.12. 已知关于x 的不等式xax +≤b （∈b a ,R ）的解集为{}210≤≤<x x x 或,则a 的值为_________,b 的值为__________.13. 解下列不等式:（1）0652<+--x x ; （2）()()02>--x a x a .14. 已知关于x 的不等式0622<+-k x kx .（1）若不等式的解集为{}23->-<x x x 或,求实数k 的值; （2）若不等式的解集为R ,求实数k 的取值范围.15. 已知下列两个说法:①012=++mx x 有两个不等的负根; ②()012442=+-+x m x 无实数根. 若说法①和说法②有且只有一个成立,求实数m 的取值范围.16. 已知集合{}a x a x A ≤-<-=127,()(){}021≤+-=x x x B .（1）若0=a ,求B A ,B A ; （2）若A B ⊆,求实数a 的取值范围.17. 已知关于x 的不等式222->-x kx kx .（1）当2=k 时,解不等式; （2）当∈k R ,解不等式.二次函数与一元二次方程、不等式同步练习同步练习1. 一元二次不等式()()052>-+x x 的解集为 【 】（A ）{}52>-<x x x 或 （B ）{}25>-<x x x 或 （C ）{}52<<-x x （D ）{}25<<-x x分析 本题可用数轴标根法求解.使用该方法时,要把乘积中所有因式的最高次项的系数化为正数.解: 原不等式可化为:()()052<-+x x .∵方程()()052=-+x x 的根为5,221=-=x x .∴不等式()()052<-+x x 的解集为{}52<<-x x ,即原不等式的解集. ∴选择答案【 C 】.2. 已知不等式042<++ax x 的解集为空集,则实数a 的取值范围是 【 】（A ）{}44≤≤-a a （B ）{}44<<-a a （C ）{}44≥-≤a a a 或 （D ）{}44>-<a a a 或分析 本题考查一元二次不等式与相应的二次函数之间的关系,同时问题还可以转化为一元二次不等式恒成立的问题.不等式042<++ax x 的解集为空集,即相应的二次函数42++=ax x y 的图象位于x 轴上及其上方,或者不等式42++ax x ≥0在R 上恒成立.解: ∵不等式042<++ax x 的解集为空集∴162-=∆a ≤0,解之得:4-≤a ≤4. ∴实数a 的取值范围是{}44≤≤-a a . ∴选择答案【 A 】.3. 不等式12+-x x≥0的解集为 【 】 （A ）{}20≤<x x （B ）{}21≤<-x x （C ）{}1->x x （D ）R分析 本题考查分式不等式的解法,求解的思路是把分式不等式转化为同解的整式不等式.解: 原不等式可化为:12+-x x ≤0,它同解于不等式组()()⎩⎨⎧≠+≤-+01021x x x . 解之得:1-x <≤2.∴原不等式的解集为{}21≤<-x x . ∴选择答案【 B 】.4. 若关于x 的不等式()()021>--x mx 的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<21x m x,则实数m 的取值范围是 【 】 （A ）{}0>m m （B ）{}20<<m m （C ）⎭⎬⎫⎩⎨⎧>21m m （D ）{}0<m m 分析 本题由题意可知:0<m .解: ∵()()021>--x mx ,∴()02122>++-x m mx .∵其解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<21x m x ∴0<m .∴实数m 的取值范围是{}0>m m . ∴选择答案【 D 】.5. 不等式022>++bx ax 的解集为{}21<<-x x ,则不等式022<++a bx x 的解集为 【 】 （A ）⎭⎬⎫⎩⎨⎧>-<211x x x 或 （B ）⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<-211x x （C ）{}12<<-x x （D ）{}12>-<x x x 或解: ∵不等式022>++bx ax 的解集为{}21<<-x x∴0<a ,方程022=++bx ax 的两个实数根分别为1-和2. 由根与系数的关系定理可得:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⨯-=+-=-21221aab ,解之得:⎩⎨⎧=-=11b a . ∴022<++a bx x 即0122<-+x x ,解之得:211<<-x . ∴不等式022<++a bx x 的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<-211x x .∴选择答案【 B 】.6. 设全集=U R ,集合{}42>=x x A ,⎭⎬⎫⎩⎨⎧<-+=013x x xB ,则（C U A ）=B 【 】 （A ）{}12<≤-x x （B ）{}23<<-x x （C ）{}22<<-x x （D ）{}23≤≤-x x解: 解不等式42>x 得:2>x 或2-<x ;分式不等式013<-+x x 同解于不等式()()013<-+x x ,解之得:13<<-x . ∴{}22-<>=x x x A 或,{}13<<-=x x B . ∴C U A ={}22≤≤-x x . ∴（C U A ）=B {}12<≤-x x . ∴选择答案【 A 】.7.（多选）若关于x 的不等式()()0131>+-⋅+x x a （0≠a ）的解集是{}21x x x x <<,其中21x x <,则下列结论中正确的是 【 】 （A ）221=+x x （B ）321-<x x （C ）412>-x x （D ）3121<<<-x x解: ∵()()0131>+-⋅+x x a∴03122>-+-a ax ax .∵不等式的解集为{}21x x x x <<,∴0<a .由题意可知,方程03122=-+-a ax ax 有两个不相等的实数根∴()031442>--=∆a a a ,解之得:41>a 或0<a . ∴0<a ,即实数a 的取值范围是()0,∞-.对于（A ）,由根与系数的关系定理可得:2221=--=+aax x . ∴（A ）正确;对于（B ）,由根与系数的关系定理可得:3313121-<-=-=aa a x x ; ∴（B ）正确; 对于（C ）,∵ax x ∆=-21,21x x <,0<a ∴4164164164162221221=>⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=-=--=-=-a a a a a a a x x x x . ∴（C ）正确;或者: ∵21x x <,∴012>-x x .∴()()4416314442122122112>⎪⎭⎫⎝⎛-+=-⨯-=-+=-=-a a a x x x x x x x x . 对于（D ）,∵221=+x x ,∴122x x -=. ∵412>-x x ,∴4211>--x x ,解之得:11-<x . 同理,求得:32>x . ∴（D ）错误.综上所述,结论中正确的是【 ABC 】.8. 不等式322+-x x ≤122--a a 在R 上的解集为∅,则实数a 的取值范围是_____________.解: ∵不等式322+-x x ≤122--a a 在R 上的解集为∅∴123222-->+-a a x x 在R 上恒成立,只需()min 223212+-<--x x a a 即可. ∵()213222+-=+-x x x ≥2∴()232min 2=+-x x∴2122<--a a ,解之得:31<<-a .∴实数a 的取值范围是()3,1-.9. 若关于x 的不等式022>++bx ax 的解集是⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<-3121x x ,则=+b a ______. 解: ∵不等式022>++bx ax 的解集是⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<-3121x x ∴0<a ,方程022=++bx ax 的两个实数根分别为31,21-.由根与系数的关系定理可得:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⨯-=+-=-312123121a a b ,解之得:⎩⎨⎧-=-=212b a . ∴14212-=--=+b a .10. 已知集合{}Z x x x x A ∈<--=,062,则集合A 中所有元素之和为_________.解: 解不等式()()03262<-+=--x x x x 得:32<<-x .∴{}{}2,1,0,1,32-=∈<<-=Z x x x A . ∴集合A 中所有元素之和为22101=+++-.11. 已知1=x 不是关于x 的不等式08622<+-kx x k 的解,则实数k 的取值范围是_____________.解: ∵1=x 不是关于x 的不等式08622<+-kx x k 的解∴当1=x 时,8686222+-=+-k k kx x k ≥0. 解之得:k ≥4或k ≤2.∴实数k 的取值范围是[)(]2,,4∞-+∞ .12. 已知关于x 的不等式xax +≤b （∈b a ,R ）的解集为{}210≤≤<x x x 或,则a 的值为_________,b 的值为__________.解: ∵x a x +≤b ,∴x a bx x +-2≤0,它同解于不等式组()⎩⎨⎧≠≤+-002x a bx x x .∵不等式xax +≤b 的解集为{}210≤≤<x x x 或∴方程02=+-a bx x 的两个实数根分别为1和2. 由根与系数的关系定理可得:⎩⎨⎧⨯=+=2121a b ,解之得:⎩⎨⎧==32b a . ∴a 的值为2,b 的值为3.13. 解下列不等式:（1）0652<+--x x ; （2）()()02>--x a x a .解:（1）原不等式可化为:0652>-+x x .解方程0652=-+x x 得:6,121-==x x . ∴0652>-+x x 的解集为{}61-<>x x x 或. ∴原不等式的解集为{}61-<>x x x 或;（2）当0>a ,原不等式同解于()()02>--x a x . 若2>a ,则原不等式的解集为{}2<>x a x x 或; 若2=a ,则()022>-x ,原不等式的解集为{}2≠x x ;若20<<a ,原不等式的解集为{}a x x x <>或2; 当0=a 时,原不等式的解集为∅;当0<a 时,原不等式同解于()()02<--x a x ,∴原不等式的解集为{}2<<x a x . 综上所述,当2>a 时,原不等式的解集为{}2<>x a x x 或; 当2=a 时,原不等式的解集为{}2≠x x ;当20<<a 时,原不等式的解集为{}a x x x <>或2; 当0=a 时,原不等式的解集为∅;当0<a 时,原不等式的解集为{}2<<x a x .14. 已知关于x 的不等式0622<+-k x kx .（1）若不等式的解集为{}23->-<x x x 或,求实数k 的值; （2）若不等式的解集为R ,求实数k 的取值范围.解:（1）∵关于x 的不等式0622<+-k x kx 的解集为{}23->-<x x x 或∴0<k ,方程0622=+-k x kx 的两个实数根分别为2,3--. 由根与系数的关系定理可得:()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-⨯-=--=--236232kk k ,解之得:52-=k . ∴实数k 的值为52-; （2）∵不等式0622<+-k x kx 的解集为为R ∴当0=k 时,02<-x ,不等式的解集为{}0>x x ,不符合题意;当0≠k 时,则有:⎩⎨⎧<-=∆<024402k k ,解之得:66-<k . 综上所述,实数k 的取值范围是⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞-66,. 15. 已知下列两个说法:①012=++mx x 有两个不等的负根; ②()012442=+-+x m x 无实数根. 若说法①和说法②有且只有一个成立,求实数m 的取值范围.解: 当说法①成立时,则有:⎩⎨⎧<->-=∆0042m m ,解之得:2>m ; 当说法②成立,则有:()[]016242<--=∆m ,解之得:31<<m . （显然,说法②不成立时,m ≤1或m ≥3）若说法①成立,说法②不成立,则有:⎩⎨⎧≥≤>312m m m 或,解之得:m ≥3; 若说法①不成立,说法②成立,则有:⎩⎨⎧<<≤312m m ,解之得:m <1≤2. 综上所述,实数m 的取值范围为{}3≥m m 或{}21≤<m m .16. 已知集合{}a x a x A ≤-<-=127,()(){}021≤+-=x x x B .（1）若0=a ,求B A ,B A ;（2）若A B ⊆,求实数a 的取值范围. 解:（1）当0=a 时,{}⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤<-=≤-<-=2130127x x x x A . ()(){}{}12021≤≤-=≤+-=x x x x x B . ∴⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤-=212x x B A ,{}13≤<-=x x B A ; （2）{}()()⎭⎬⎫⎩⎨⎧+≤<-=≤-<-=121621127a x a x a x a x A . ∵A B ⊆∴()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥+-<-11212621a a ,解之得:1≤2<a . ∴实数a 的取值范围是[)2,1.17. 已知关于x 的不等式222->-x kx kx . （1）当2=k 时,解不等式;（2）当∈k R ,解不等式.解:（1）当2=k 时,2422->-x x x ∴02522>+-x x∴()()0212>--x x .解之得:2>x 或21<x . ∴原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<>212x x x 或; （2）原不等式可化为()02122>++-x k kx . 当0=k 时,02>+-x ,解之得:2<x .∴原不等式的解集为{}2<x x ; 当0≠k 时,原不等式可化为()()012>--kx x∴()012>⎪⎭⎫ ⎝⎛--k x x k . 方程222->-x kx kx 的根为kx x 1,221==. 当0<k 时,原不等式同解于()012<⎪⎭⎫ ⎝⎛--k x x ,且21<k . ∴原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<21x k x ; 当0>k 时,原不等式同解于()012>⎪⎭⎫ ⎝⎛--k x x . ①若21>k ,则21<k ,∴原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<>k x x x 12或; ②若21=k ,则21=k,∴原不等式的解集为{}2≠x x ; ③若210<<k ,则21>k ,∴原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<>21x k x x 或. 综上所述,当0=k 时,原不等式的解集为{}2<x x ;当0<k 时,原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<21x k x ; 当210<<k 时,原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<>21x k x x 或; 当21=k 时,原不等式的解集为{}2≠x x ; 当21>k 时,原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<>k x x x 12或.。

一元二次函数、方程和不等式单元基础达标测试卷及答案解析

一元二次函数、方程和不等式单元基础达标测试卷及答案解析

高一上学期数学单元基础达标测试卷一元二次函数、方程和不等式考生注意: 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第二卷（非选择题）两部分,共150分,考试时间120分钟.2.请将各题答案填写在答题卡上.第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、单项选择题（每小题5分,共40分）1. 若b a <<0,则 【 】 （A ）b a -<-11 （B ）ba 11> （C ）22b a > （D ）33b a > 2. 已知集合{}042<-=x x A ,{}032<+=x x x B ,则=B A 【 】 （A ）{}3-≤x x （B ）{}23-<<-x x （C ）{}02<<-x x （D ）{}20<<x x3. 若0,0>>y x ,且31=+y x ,则xy 的最大值为 【 】 （A ）332 （B ）32 （C ）31 （D ）3614. 若不等式02>+-a x ax 对所有的实数x 都成立,则实数a 的取值范围为 【 】（A ）21-<a 或21>a （B ）21>a 或0<a （C ）21>a （D ）210<<a5. 若0,0>>b a ,则“2ba x +>”是“ab x >”的 【 】（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件6. 若某商店将进货单价为8元的商品按每件10元出售,则每天可销售100件,现准备采用提高售价、减少进货量的方法来增加利润.已知这种商品的售价每提高1元,销售量就要减少10件.那么要保证该商品每天的利润在320元以上,售价应定为 【 】 （A ）12元 （B ）12元到16元之间 （C ）16元 （D ）10元到14元之间7. 在使x x 22+-≤M 成立的所有常数M 中,我们把M 的最小值称为x x 22+-的上确界.若0,0>>b a ,且1=+b a ,则ba 221--的上确界为 【 】（A ）3- （B ）4- （C ）41- （D ）29-8. 在R 上定义运算:()b a b a 1+=⊕.已知1≤x ≤2时,存在x 使不等式()()4<+⊕-x m x m 成立,则实数m 的取值范围为 【 】 （A ）{}22<<-m m （B ）{}21<<-m m （C ）{}23<<-m m （D ）{}21<<m m二、多项选择题（每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多个选项符合题目要求,全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分）9. 下列说法中正确的是 【 】 （A ）若∈b a ,R ,则44b a +≥222b a（B ）若∈b a ,R ,则33b a ≤266b a +（C ）若0,0>>b a ,则()()11-+-b a ≥()()112--b a（D ））若∈b a ,R ,则ab ≤22⎪⎭⎫⎝⎛+b a10. 设∈b a ,R ,若0>-b a ,则下列结论错误的是 【 】 （A ）0>-a b （B ）0>+a b （C ）033<+b a （D ）022<-b a 11. 下列不等式中,与不等式23282<+++x x x 解集相同的是 【 】（A ）()()23282<+++x x x （B ）()32282++<+x x x （C ）823212+<++x x x （D ）02322>-+x x 12. 已知关于x 的方程()032=+-+m x m x ,下列结论正确的是 【 】 （A ）方程()032=+-+m x m x 有实数根的充要条件是{}91><∈m m m m 或 （B ）方程()032=+-+m x m x 有两正实数根的充要条件是{}10≤<∈m m m（C ）方程()032=+-+m x m x 无实数根的必要条件是{}1>∈m m m （D ）当3=m 时,方程的两实数根之和为0第Ⅱ卷 非选择题（共90分）三、填空题（每小题5分,共20分）13. 已知集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤-+=021x x x A ,{}04<+=p x x B ,若A B ⊆,则实数p 的取值范围是_____________.14. 若方程()002>=++a c bx ax 有唯一实数根2-,则不等式02>++c bx ax 的解集为_____________. 15. 如果命题0:>∀x p ,x x94+≥75+m 为真命题,则实数m 的取值范围是____________. 16. 某项研究表明:在考虑行车安全的情况下,某路段车流量F （单位时间内经过测量点的车辆数,单位:辆／时）与车流速度v （假设车辆以相同速度v 行驶,单位:米／秒）、平均车长l （单位:米）的值有关,其公式为lv v vF 2018760002++=.（1）如果不限定车型,05.6=l ,则最大车流量为__________辆／时;（2）如果限定车型,5=l ,则最大车流量比（1）中的最大车流量增加__________辆／时. （本题第一空2分,第二空3分）四、解答题（共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17.（本题满分10分） 已知b a ,均为正实数,试比较ab ba +与b a +的大小.设b a ,均为正实数,求证:ab ba ++2211≥22.19.（本题满分12分）设命题:p 方程()0422=+-+m x m x 有两个不相等的实数根;命题:q 对所有的2≤x ≤3,不等式1342+-x x ≥2m 恒成立.（1）若命题p 为真命题,求实数m 的取值范围; （2）若命题q p ,一真一假,求实数m 的取值范围.求解下列各题:（1）求x x x y 2432++=（0<x ）的最大值;（2）求182-+=x x y （1>x ）的最小值.21.（本题满分12分）如图所示,已知小矩形花坛ABCD ,3=AB m,2=AD m,现要将小矩形花坛建成大矩形花坛AMPN ,点B 在AM 上,点D 在AN 上,且对角线MN 过点C . （1）若矩形AMPN 的面积等于32 m 2,求AN 的长度;（2）是否存在点M 、N ,使矩形AMPN 的面积最小?若存在,求出最小面积及此时AM 、AN 的长度;若不存在,请说明理由.NPMDCBA已知二次函数1222-+-=t tx x y （∈t R ）.（1）若该二次函数有两个互为相反数的零点,解不等式1222-+-t tx x ≥0;（2）若关于x 的方程01222=-+-t tx x 的两个实数根均大于2-且小于4,求实数t 的取值范围.高一上学期数学单元基础达标测试卷 一元二次函数、方程和不等式答案解析考生注意: 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第二卷（非选择题）两部分,共150分,考试时间120分钟.2.请将各题答案填写在答题卡上.第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、单项选择题（每小题5分,共40分）1. 若b a <<0,则 【 】 （A ）b a -<-11 （B ）ba 11> （C ）22b a > （D ）33b a > 答案 【 B 】解析 本题考查不等式的基本性质.对于（A ）,∵b a <,∴b a ->-,∴b a ->-11.故（A ）错误;对于（B ）,∵b a <<0,∴01>ab ,根据不等式性质的可乘性,得:ab b ab a 11⋅<⋅,∴ab 11<.故（B ）正确.另外,根据不等式性质的倒数法则,若0>ab ,且b a >,则ba 11<,可知（B ）正确;对于（C ）,∵b a <<0,∴0,0<->+b a b a ,∴()()022<-+=-b a b a b a ,∴22b a <.故（C ）错误;（D ）,∵b a <<0,∴0<-b a .()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=++-=-2222334321b b a b a b ab a b a b a ,∵0432122>+⎪⎭⎫ ⎝⎛+b b a ,∴033<-b a ,∴33b a <.故（D ）错误.2. 已知集合{}042<-=x x A ,{}032<+=x x x B ,则=B A 【 】 （A ）{}3-≤x x （B ）{}23-<<-x x （C ）{}02<<-x x （D ）{}20<<x x 答案 【 B 】解析 本题考查一元二次不等式的解法和交集运算. 解不等式042<-x 得:2>x 或2-<x .∴{}22-<>=x x x A 或.{}{}03032<<-=<+=x x x x x B .∴{}23-<<-=x x B A . ∴选择答案【 B 】.3. 若0,0>>y x ,且31=+y x ,则xy 的最大值为 【 】 （A ）332 （B ）32 （C ）31 （D ）361答案 【 D 】解析 本题考查利用基本不等式（也叫均值不等式）求最值. ∵0,0>>y x ,31=+y x ∴31=+y x ≥xy 2,∴xy ≤361. 当且仅当61==y x 时,等号成立. ∴xy 的最大值为361.∴选择答案【 D 】.4. 若不等式02>+-a x ax 对所有的实数x 都成立,则实数a 的取值范围为 【 】（A ）21-<a 或21>a （B ）21>a 或0<a （C ）21>a （D ）210<<a答案 【 C 】解析 本题考查与一元二次不等式、一元二次函数有关的恒成立问题. 当0=a 时,0>-x ,解之得:0<x ,不符合题意;当0≠a 时,则有:⎩⎨⎧<-=∆>04102a a ,解之得:21>a . ∴实数a 的取值范围为⎭⎬⎫⎩⎨⎧>21a a .∴选择答案【 C 】. 5. 若0,0>>b a ,则“2ba x +>”是“ab x >”的 【 】 （A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件（C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件 答案 【 A 】解析 本题考查充分必要条件的判断和基本不等式的知识. 判断充分必要条件的基本思路 （1）先确定条件是什么,结论是什么;（2）尝试用条件推结论,或由结论推条件;（必要时举出反例） （3）指出条件是结论的什么条件. ∵0,0>>b a ,∴2ba +≥ab . ∵2ba x +>,∴ab x >. ∴若0,0>>b a ,由条件“2ba x +>”可以推出结论“ab x >”; 取2.2,4,1===x b a ,则2=>ab x ,但是252=+<b a x .∴若0,0>>b a ,由结论“ab x >”不一定能推出条件“2ba x +>”.综上, 若0,0>>b a ,则“2ba x +>”是“ab x >”的充分不必要条件.∴选择答案【 A 】.6. 若某商店将进货单价为8元的商品按每件10元出售,则每天可销售100件,现准备采用提高售价、减少进货量的方法来增加利润.已知这种商品的售价每提高1元,销售量就要减少10件.那么要保证该商品每天的利润在320元以上,售价应定为 【 】 （A ）12元 （B ）12元到16元之间 （C ）16元 （D ）10元到14元之间 答案 【 B 】解析 本题考查一元二次不等式的应用.当售价为10元时,每天的利润为()200810100=-⨯（元）,不符合题意; 设售价应定为x 元,由题意可得:()()[]32010101008>---x x整理得:0192282<+-x x . 解之得:1612<<x .∴要保证该商品每天的利润在320元以上,售价应定为12元到16元之间.∴选择答案【 B 】.7. 在使x x 22+-≤M 成立的所有常数M 中,我们把M 的最小值称为x x 22+-的上确界.若0,0>>b a ,且1=+b a ,则ba 221--的上确界为 【 】（A ）3- （B ）4- （C ）41- （D ）29-答案 【 D 】解析 本题考查利用基本不等式求最值. ∵0,0>>b a ,且1=+b a ∴()a bb a b a b a b a 2225221221++=⎪⎭⎫⎝⎛++=+≥2922225=⋅+a b b a . 当且仅当abb a 22=,即32,31==b a 时,等号成立. ∴b a 221--≤29-. ∴b a221--的上确界为29-. ∴选择答案【 D 】.8. 在R 上定义运算:()b a b a 1+=⊕.已知1≤x ≤2时,存在x 使不等式()()4<+⊕-x m x m 成立,则实数m 的取值范围为 【 】 （A ）{}22<<-m m （B ）{}21<<-m m （C ）{}23<<-m m （D ）{}21<<m m 答案 【 C 】解析 本题考查与一元二次不等式、一元二次函数有关的恒成立问题. ∵()()4<+⊕-x m x m ∴()()41<++-x m x m . 整理得:422+-<+x x m m .由题意可知,当1≤x ≤2时,422+-<+x x m m 恒成立. 设()42+-=x x x f ,只需()max 2x f m m <+即可.∵()41521422+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+-=x x x x f∴()()641521222max=+⎪⎭⎫ ⎝⎛-==f x f∴62<+m m ,解之得:23<<-m . ∴实数m 的取值范围为{}23<<-m m . ∴选择答案【 C 】.二、多项选择题（每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多个选项符合题目要求,全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分）9. 下列说法中正确的是 【 】 （A ）若∈b a ,R ,则44b a +≥222b a（B ）若∈b a ,R ,则33b a ≤266b a +（C ）若0,0>>b a ,则()()11-+-b a ≥()()112--b a（D ））若∈b a ,R ,则ab ≤22⎪⎭⎫⎝⎛+b a答案 【 ABD 】解析 本题考查基本不等式以及重要推论. 若∈b a ,R ,则有如下重要结论:ab ≤22⎪⎭⎫ ⎝⎛+b a ≤222b a +. 当且仅当b a =时,上面的等号均成立.对于（A ）,设n b m a ==22,,则有2244n m b a +=+≥2222b a mn =.故（A ）正确;对于（B ）,33ba ≤()()22662323b a b a +=+.故（B ）正确; 对于（C ）,当01,01>->-b a ,即1,1>>b a 时,()()11-+-b a ≥()()112--b a .故（C ）错误;对于（D ）,若∈b a ,R ,则ab ≤22⎪⎭⎫ ⎝⎛+b a .故（D ）正确.∴选择答案【 ABD 】.10. 设∈b a ,R ,若0>-b a ,则下列结论错误的是 【 】 （A ）0>-a b （B ）0>+a b （C ）033<+b a （D ）022<-b a 答案 【 ACD 】解析 本题考查不等式的基本性质（绝对值不等式）及其应用. 若b a x <-,则有b a x b <-<-,即b a x b a +<<-,其中0>b . ∵0>-b a ,∴a b <,且0>a ,∴a b a <<-. 对于（A ）,∵a b <,∴0<-a b .故（A ）错误;对于（B ）,∵b a <-,∴()b a a a +<=-+0,即0>+a b .故（B ）正确;对于（C ）,∵0>+b a ,∴()()()04321222233>⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=+-+=+b b a b a b ab a b a b a ,∴033>+b a .故（C ）错误;对于（D ）, ∵0>+b a ,0>-b a ,∴()()022>-+=-b a b a b a ,∴022>-b a .故（D ）错误. ∴选择答案【 ACD 】. 11. 下列不等式中,与不等式23282<+++x x x 解集相同的是 【 】（A ）()()23282<+++x x x （B ）()32282++<+x x x （C ）823212+<++x x x （D ）02322>-+x x 答案 【 BD 】解析 本题考查不等式的基本性质和不等式的恒等变形. ∵()0213222>++=++x x x 对∈∀x R 恒成立∴()()32232328222++<++⋅+++x x x x x x x ,即()32282++<+x x x .故（B ）正确; ∵23282<+++x x x ,∴0322322328222<+++--=-+++x x x x x x x ,∴03223222>++-+x x x x . ∵0322>++x x ,∴02322>-+x x .故（D ）正确. ∴选择答案【 BD 】.12. 已知关于x 的方程()032=+-+m x m x ,下列结论正确的是 【 】（A ）方程()032=+-+m x m x 有实数根的充要条件是{}91><∈m m m m 或 （B ）方程()032=+-+m x m x 有两正实数根的充要条件是{}10≤<∈m m m （C ）方程()032=+-+m x m x 无实数根的必要条件是{}1>∈m m m （D ）当3=m 时,方程的两实数根之和为0 答案 【 BD 】解析 本题考查一元二次函数、一元二次不等式和一元二次方程之间的关系.对于（A ）,若方程()032=+-+m x m x 有实数根,则()m m 432--=∆≥0,解之得: m ≥9或m ≤1.故（A ）错误;对于（B ）,∵方程()032=+-+m x m x 有两正实数根,∴()()⎪⎩⎪⎨⎧>>--≥--=∆0030432m m m m ,解之得:m <0≤1;当m <0≤1时,()()()919104322--=+-=--=∆m m m m m m ≥0,21x x +()033>-=--=m m ,021>=m x x ,∴该方程有两个正实数根.故方程()032=+-+m x m x 有两正实数根的充要条件是{}10≤<∈m m m .故（B ）正确;对于（C ）,若方程()032=+-+m x m x 无实数根,则()0432<--=∆m m ,解之得:91<<m . ∴实数m 的取值范围是{}91<<m m .∴由方程()032=+-+m x m x 无实数根可以推出{}1>∈m m m .故（C ）正确; 另外,若设{}91<<=m m A ,{}1>=m m B ,则B A ⊆,∴（C ）正确. 对于（D ）,当3=m 时,方程为032=+x ,方程无实数根.故（D ）错误. ∴选择答案【 BC 】.第Ⅱ卷 非选择题（共90分）三、填空题（每小题5分,共20分）13. 已知集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤-+=021x x x A ,{}04<+=p x x B ,若A B ⊆,则实数p 的取值范围是_____________. 答案 [)+∞,4解析 本题考查分式不等式的解法和根据集合之间的基本关系确定参数的取值范围. 由分式不等式x x -+21≤0得:21-+x x ≥0,它同解于不等式组()()⎩⎨⎧≠-≥-+02021x x x .解之得:2>x 或x ≤1-.∴{}12-≤>=x x x A 或.{}⎭⎬⎫⎩⎨⎧-<=<+=404p x x p x x B .∵A B ⊆ ∴4p-≤1-,解之得:p ≥4. ∴实数p 的取值范围是[)+∞,4.14. 若方程()002>=++a c bx ax 有唯一实数根2-,则不等式02>++c bx ax 的解集为_____________. 答案 {}2-≠x x解析 本题考查一元二次方程与对应的一元二次不等式之间的关系. 由题意可知,不等式02>++c bx ax 的解集为{}2-≠x x . 15. 如果命题0:>∀x p ,x x94+≥75+m 为真命题,则实数m 的取值范围是____________. 答案 (]1,∞-解析 本题考查利用基本不等式求最值. ∵0>∀x ,x x 94+≥75+m 恒成立,∴75+m ≤min94⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x .∵x x94+≥12942=⋅x x ,∴75+m ≤12,解之得:m ≤1. ∴实数m 的取值范围是(]1,∞-.16. 某项研究表明:在考虑行车安全的情况下,某路段车流量F （单位时间内经过测量点的车辆数,单位:辆／时）与车流速度v （假设车辆以相同速度v 行驶,单位:米／秒）、平均车长l （单位:米）的值有关,其公式为lv v vF 2018760002++=.（1）如果不限定车型,05.6=l ,则最大车流量为__________辆／时;（2）如果限定车型,5=l ,则最大车流量比（1）中的最大车流量增加__________辆／时. （本题第一空2分,第二空3分） 答案 1900 , 100解析 本题考查基本不等式的应用. （1）当05.6=l 时,181217600012118760002++=++=v v v v vF ≤190018121276000=+⋅vv （辆／时）.当且仅当vv 121=,即11=v 时,等号成立. （2）当5=l 时,181007600010018760002++=++=v v v v v F ≤200018100276000=+⋅vv （辆／时）. 当且仅当vv 100=,即10=v 时,等号成立. ∴最大车流量2000（辆／时）.10019002000=-（辆／时）.∴最大车流量比（1）中的最大车流量增加100（辆／时）.四、解答题（共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17.（本题满分10分） 已知b a ,均为正实数,试比较ab ba +与b a +的大小.解（作差法）:ab ba +()b a +-()()()()abba ba abb a b a abab b a abbb a a 2-+=--=+-+=.∵b a ,均为正实数 ∴()2,0,0b a b a ab ->+>≥0∴()()abba ba 2-+≥0.∴a b b a +≥b a +.另解（作商法）:∵b a ,均为正实数 ∴0>+a b b a ,0>+b a . ∴()()()()()b a b a abb a b b a aba abb b a a ba abb b a a ba a bb a-+-+=++=++=++()()()()()122+-=+-=-+=--+-=abb a ab ab b a ab ab b a b a ab ab b a b a .∵()2b a -≥0,0>ab∴()12+-abb a ≥1∴ab ba+≥b a +.18.（本题满分12分） 设b a ,均为正实数,求证:ab ba ++2211≥22. 证明: ∵b a ,均为正实数∴ab b a ++2211≥abab+2≥2222=⋅ab ab . 当且仅当ab ab b a ==2,11,即42==b a 时,上面两个不等式等号成立.∴ab ba ++2211≥22. 19.（本题满分12分）设命题:p 方程()0422=+-+m x m x 有两个不相等的实数根;命题:q 对所有的2≤x ≤3,不等式1342+-x x ≥2m 恒成立.（1）若命题p 为真命题,求实数m 的取值范围; （2）若命题q p ,一真一假,求实数m 的取值范围.解:（1）若命题p 为真命题,即方程()0422=+-+m x m x 有两个不相等的实数根 则有()04544222>+-=--=∆m m m m ,解之得:4>m 或1<m . ∴实数m 的取值范围为{}14<>m m m 或;（2）若命题q 为真命题,则对所有的2≤x ≤3,不等式1342+-x x ≥2m 恒成立. 设()1342+-=x x x f ,只需[]3,2∈x 时,2m ≤()min x f 即可. ∵()()9213422+-=+-=x x x x f ,[]3,2∈x∴()()92min ==f x f ,∴2m ≤9,解之得:3-≤m ≤3. ∴当命题q 为真命题时,实数m 的取值范围为{}33≤≤-m m . ∵命题q p ,一真一假∴若命题p 为真命题,命题q 为假命题,则有:⎩⎨⎧-<><>3314m m m m 或或,解之得:4>m 或3-<m ; 若命题p 为假命题,命题q 为真命题,则有:⎩⎨⎧≤≤-≤≤3341m m ,解之得:1≤m ≤3. 综上所述,当命题q p ,一真一假时,实数m 的取值范围为{}4313>≤≤-<m m m m 或或. 20.（本题满分12分） 求解下列各题:（1）求x x x y 2432++=（0<x ）的最大值;（2）求182-+=x x y （1>x ）的最小值.解:（1）∵0<x∴232223222432+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+--=++=++=x x x x x x x y ≤2123222-=+-⋅--x x . 当且仅当x x -=-22,即2-=x 时,等号成立. ∴求x x x y 2432++=（0<x ）的最大值为21-;（2）∵1>x ,∴01>-x .∴()()2191191211822+-+-=-+-+-=-+=x x x x x x x y ≥()821912=+-⋅-x x .当且仅当191-=-x x ,即4=x 时,等号成立.∴182-+=x x y （1>x ）的最小值为8.21.（本题满分12分）如图所示,已知小矩形花坛ABCD ,3=AB m,2=AD m,现要将小矩形花坛建成大矩形花坛AMPN ,点B 在AM 上,点D 在AN 上,且对角线MN 过点C . （1）若矩形AMPN 的面积等于32 m 2,求AN 的长度;（2）是否存在点M 、N ,使矩形AMPN 的面积最小?若存在,求出最小面积及此时AM 、AN 的长度;若不存在,请说明理由.NPMDCBA解:（1）设x AN =m,则()2-=x DN m. ∵AB CD //,∴AM CD //. ∴△DCN ∽△AMN . ∴AM x x AM DC AN DN 32,=-=,∴23-=x xAM m. ∵矩形AMPN 的面积等于32 m 2∴3223=-⋅x xx ,整理得:0643232=+-x x . 解之得:8,3821==x x .答:AN 的长度为38m 或8 m;（2）存在,矩形AMPN 的最小面积为24 m 2,此时6=AM m,4=AN m. 理由如下:设矩形AMPN 的面积为S m 2,由（1）可知:()()()122122321221223232322+-+-=-+-+-=-=-⋅=x x x x x x x x x x S≥()2412212232=+-⋅-x x （2>x ）.当且仅当()21223-=-x x ,即4=x 时,等号成立.∴存在点M 、N ,使矩形AMPN 的面积最小,最小面积为24 m 2,此时6=AM m,4=AN m. 22.（本题满分12分）已知二次函数1222-+-=t tx x y （∈t R ）.（1）若该二次函数有两个互为相反数的零点,解不等式1222-+-t tx x ≥0;（2）若关于x 的方程01222=-+-t tx x 的两个实数根均大于2-且小于4,求实数t 的取值范围.解:（1）∵二次函数1222-+-=t tx x y 有两个互为相反数的零点∴方程01222=-+-t tx x 有两个互为相反数的实数根,设为21,x x ,∴021=+x x .由根与系数的关系定理可得:0221==+t x x ,解之得:0=t .∵1222-+-t tx x ≥0∴12-x ≥0,解之得:x ≥1或x ≤1-. ∴该不等式的解集为{}11-≤≥x x x 或;（2）∵()()044441422222>=+-=---=∆t t t t∴∈∀t R ,该方程总有两个不相等的实数根. ∵方程的两个实数根均大于2-且小于4∴()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+-=>++=-<--<-015840342422222t t f t t f t ,解之得:31<<-t . ∴实数t 的取值范围是()3,1-.。

二次函数基础练习题大全含答案

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二次函数基础练习题练习一 二次函数1、 一个小球由静止开始在一个斜坡上向下滚动，通过仪器观察得到小球滚动的距离s （米）与时间t写出用t 表示s 的函数关系式：2、 下列函数：① y =② ()21y x x x =-+；③ ()224y x x x =+-；④ 21y x x =+； ⑤ ()1y x x =-，其中是二次函数的是 ，其中a = ，b = ，c =3、当m 时，函数()2235y m x x =-+-（m 为常数）是关于x 的二次函数4、当____m =时，函数()2221m m y m m x --=+是关于x 的二次函数5、当____m =时，函数()2564m m y m x -+=-+3x 是关于x 的二次函数 6、若点 A ( 2, m ) 在函数 12-=x y 的图像上，则 A 点的坐标是＿＿＿＿.7、在圆的面积公式 S ＝πr 2 中，s 与 r 的关系是（ ）A 、一次函数关系B 、正比例函数关系C 、反比例函数关系D 、二次函数关系8、正方形铁片边长为15cm ，在四个角上各剪去一个边长为x （cm ）的小正方形，用余下的部分做成一个无盖的盒子．(1)求盒子的表面积S （cm 2）与小正方形边长x （cm ）之间的函数关系式；(2)当小正方形边长为3cm 时，求盒子的表面积．9、如图，矩形的长是 4cm ，宽是 3cm ，如果将长和宽都增加 x cm ，那么面积增加 ycm 2， ① 求 y 与 x 之间的函数关系式.② 求当边长增加多少时，面积增加 8cm 2.10、已知二次函数),0(2≠+=a c ax y 当x=1时，y= -1；当x=2时，y=2，求该函数解析式.11、富根老伯想利用一边长为a 米的旧墙及可以围成24米长的旧木料，建造猪舍三间，如图，它们的平面图是一排大小相等的长方形.（1） 如果设猪舍的宽AB 为x 米，则猪舍的总面积S （米2）与x 有怎样的函数关系？（2） 请你帮富根老伯计算一下，如果猪舍的总面积为32米2，应该如何安排猪舍的长BC 和宽AB 的长度？旧墙的长度是否会对猪舍的长度有影响？怎样影响？练习二 函数2ax y =的图像与性质1、填空：（1）抛物线221x y =的对称轴是 （或 ），顶点坐标是 ，当x 时，y 随x 的增大而增大，当x 时，y 随x 的增大而减小，当x= 时，该函数有最 值是 ；（2）抛物线221x y -=的对称轴是 （或 ），顶点坐标是 ，当x 时，y 随x 的增大而增大，当x 时，y 随x 的增大而减小，当x= 时，该函数有最 值是 ； 2、对于函数22x y =下列说法：①当x 取任何实数时，y 的值总是正的；②x 的值增大，y 的值也增大；③y 随x 的增大而减小；④图像关于y 轴对称.其中正确的是 .3、抛物线 y ＝－x 2 不具有的性质是（ ）A 、开口向下B 、对称轴是 y 轴C 、与 y 轴不相交D 、最高点是原点4、苹果熟了，从树上落下所经过的路程 s 与下落时间 t 满足 S ＝12gt 2（g ＝9.8），则 s 与 t 的函数图像大致是（ ）A B C D 5、函数2ax y =与b ax y +-=的图像可能是（ ）A ．B ．C ．D ． 6、已知函数24m m y mx--=的图像是开口向下的抛物线，求m 的值. 7、二次函数12-=mmx y 在其图像对称轴的左侧，y 随x 的增大而增大，求m 的值. 8、二次函数223x y -=，当x 1＞x 2＞0时，求y 1与y 2的大小关系. 9、已知函数()422-++=m m x m y 是关于x 的二次函数，求：（1） 满足条件的m 的值；（2） m 为何值时，抛物线有最低点？求出这个最低点，这时x 为何值时，y 随x 的增大而增大；（3） m 为何值时，抛物线有最大值？最大值是多少？当x 为何值时，y 随x 的增大而减小？10、如果抛物线2y ax =与直线1y x =-交于点(),2b ，求这条抛物线所对应的二次函数的关系式. tt tt练习三 函数c ax y +=2的图象与性质1、抛物线322--=x y 的开口 ,对称轴是 ,顶点坐标是 ,当x 时, y 随x 的增大而增大, 当x 时, y 随x 的增大而减小.2、将抛物线231x y =向下平移2个单位得到的抛物线的解析式为 ,再向上平移3个单位得到的抛物线的解析式为 ,并分别写出这两个函数的顶点坐标 、 . 3、任给一些不同的实数k ，得到不同的抛物线k x y +=2，当k 取0，1±时，关于这些抛物线有以下判断：①开口方向都相同；②对称轴都相同；③形状相同；④都有最底点.其中判断正确的是 .4、将抛物线122-=x y 向上平移4个单位后，所得的抛物线是 ，当x= 时，该抛物线有最 （填大或小）值，是 .5、已知函数2)(22+-+=x m m mx y 的图象关于y 轴对称，则m ＝________；6、二次函数c ax y +=2()0≠a 中，若当x 取x 1、x 2（x 1≠x 2）时，函数值相等，则当x 取x 1+x 2时，函数值等于 .练习四 函数()2h x a y -=的图象与性质 1、抛物线()2321--=x y ，顶点坐标是 ,当x 时,y 随x 的增大而减小， 函数有 最 值 . 2、试写出抛物线23x y =经过下列平移后得到的抛物线的解析式并写出对称轴和顶点坐标.（1）右移2个单位；（2）左移32个单位；（3）先左移1个单位，再右移4个单位.3、请你写出函数()21+=x y 和12+=x y 具有的共同性质（至少2个）.4、二次函数()2h x a y -=的图象如图：已知21=a ，OA=OC ，试求该抛物线的解析式.5、抛物线2)3(3-=x y 与x 轴交点为A ，与y 轴交点为B ，求A 、B 两点坐标及⊿AOB 的面积.6、二次函数2)4(-=x a y ，当自变量x 由0增加到2时，函数值增加6.（1）求出此函数关系式.（2）说明函数值y 随x 值的变化情况.7、已知抛物线9)2(2++-=x k x y 的顶点在坐标轴上，求k 的值.练习五 ()k h x a y +-=2的图象与性质1、请写出一个二次函数以（2, 3）为顶点，且开口向上.＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.2、二次函数 y ＝(x －1)2＋2，当 x ＝＿＿＿＿时，y 有最小值.3、函数 y ＝12(x －1)2＋3，当 x ＿＿＿＿时，函数值 y 随 x 的增大而增大. 4、函数y=21(x+3)2-2的图象可由函数y=21x 2的图象向 平移3个单位，再向 平移2个单位得到.5、 已知抛物线的顶点坐标为()2,1，且抛物线过点()3,0，则抛物线的关系式是6、 如图所示，抛物线顶点坐标是P （1，3），则函数y 随自变量x 的增大而减小的x 的取值范围是（ ）A 、x>3B 、x<3C 、x>1D 、x<17、已知函数()9232+--=x y . （1）确定下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标； （2）当x= 时，抛物线有最 值，是 . （3）当x 时，y 随x 的增大而增大；当x 时，y 随x 的增大而减小. （4）求出该抛物线与x 轴的交点坐标及两交点间距离； （5） 求出该抛物线与y 轴的交点坐标；（6） 该函数图象可由23x y -=的图象经过怎样的平移得到的？8、已知函数()412-+=x y . （1）指出函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标； （2）若图象与x 轴的交点为A 、B 和与y 轴的交点C ，求△ABC 的面积； （3）指出该函数的最值和增减性； （4）若将该抛物线先向右平移2个单位，在向上平移4个单位，求得到的抛物线的解析式； （5）该抛物线经过怎样的平移能经过原点. （6）画出该函数图象，并根据图象回答：当x 取何值时，函数值大于0；当x 取何值时，函数值小于0.练习六 c bx ax y ++=2的图象和性质 1、抛物线942++=x x y 的对称轴是 .2、抛物线251222+-=x x y 的开口方向是 ，顶点坐标是 .3、试写出一个开口方向向上，对称轴为直线x=-2，且与y 轴的交点坐标为（0，3）的抛物线的解析式 .4、将 y ＝x 2－2x ＋3 化成 y ＝a (x －h)2＋k 的形式，则 y ＝＿＿＿＿.5、把二次函数215322y x x =---的图象向上平移3个单位，再向右平移4个单位，则两次平移后的函数图象的关系式是6、抛物线1662--=x x y 与x 轴交点的坐标为_________；7、函数x x y +-=22有最____值，最值为_______；8、二次函数c bx x y ++=2的图象沿x 轴向左平移2个单位，再沿y 轴向上平移3个单位，得到的图象的函数解析式为122+-=x x y ，则b 与c 分别等于（ ）A 、6，4B 、－8，14C 、－6，6D 、－8，－149、二次函数122--=x x y 的图象在x 轴上截得的线段长为（ ）A 、22B 、23C 、32D 、3310、通过配方，写出下列函数的开口方向、对称轴和顶点坐标：（1）12212+-=x x y ； （2）2832-+-=x x y ； （3）4412-+-=x x y 11、把抛物线1422++-=x x y 沿坐标轴先向左平移2个单位，再向上平移3个单位，问所得的抛物线有没有最大值，若有，求出该最大值；若没有，说明理由.12、求二次函数62+--=x x y 的图象与x 轴和y 轴的交点坐标13、已知一次函数的图象过抛物线223y x x =++的顶点和坐标原点1） 求一次函数的关系式；2） 判断点()2,5-是否在这个一次函数的图象上14、某商场以每台2500元进口一批彩电.如每台售价定为2700元，可卖出400台，以每100元为一个价格单位，若将每台提高一个单位价格，则会少卖出50台，那么每台定价为多少元即可获得最大利润？最大利润是多少元？练习七 c bx ax y ++=2的性质1、函数2y x px q =++的图象是以()3,2为顶点的一条抛物线，这个二次函数的表达式为2、二次函数2224y mx x m m =++-的图象经过原点，则此抛物线的顶点坐标是3、如果抛物线2y ax bx c =++与y 轴交于点A (0,2)，它的对称轴是1x =-，那么ac b = 4、抛物线c bx x y ++=2与x 轴的正半轴交于点A 、B 两点，与y 轴交于点C ，且线段AB 的长为1，△ABC 的面积为1，则b 的值为______.5、已知二次函数c bx ax y ++=2的图象如图所示，则a___0，b___0，c___0，ac b 42-____0；6、二次函数c bx ax y ++=2的图象如图，则直线bc ax y +=的图象不经过第 象限.7、已知二次函数2y ax bx c =++（0≠a ）的图象如图所示，则下列结论：1）,a b 同号；2）当1x =和3x =时，函数值相同；3）40a b +=；4）当2y =-时，x 的值只能为0；其中正确的是（第5题） （第6题） （第7题） （第10题）8、已知二次函数2224m mx x y +--=与反比例函数xm y 42+=的图象在第二象限内的一个交点的横坐标是-2，则m=9、二次函数2y x ax b =++中，若0a b +=，则它的图象必经过点（ ） A ()1,1-- B ()1,1- C ()1,1 D ()1,1-10、函数b ax y +=与c bx ax y ++=2的图象如上图所示，则下列选项中正确的是（ ）A 、0,0>>c abB 、0,0><c abC 、0,0<>c abD 、0,0<<c ab11、已知函数c bx ax y ++=2的图象如图所示，则函数b ax y +=的图象是（ ）12、二次函数c bx ax y ++=2的图象如图，那么abc 、2a+b 、a+b+c 、a-b+c 这四个代数式中，值为正数的有（ ）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个13、抛物线的图角如图，则下列结论：①＞0；②；③＞；④＜1.其中正确的结论是（ ）.（A ）①② （B ）②③ （C ）②④ （D ）③④14、二次函数2y ax bx c =++的最大值是3a -，且它的图象经过()1,2--，()1,6两点， 求a 、b 、c 的值。

高中数学(必修一)二次函数与一元二次方程、不等式练习题

高中数学(必修一)二次函数与一元二次方程、不等式练习题

高中数学（必修一）二次函数与一元二次方程、不等式练习题（含答案解析）学校:___________姓名：___________班级：____________一、解答题1．（1）解不等式：245014x x -->+；（2）已知102α-<<，13β<<，求123αβ-的范围．2．当自变量x 在什么范围取值时,下列函数的值等于0?大于0?小于0?(1)2362y x x =-+;(2)225y x =-;(3)2610y x x =++;(4)231212y x x =-+-.3．已知{}{}2|430,||1|1A x x x B x x =-+≤=-≤ (1)求集合A 和B ；(2)求A ∪B ，A ∩B ，4．某地有一座水库，设计最大容量为128000m 3．根据预测，汛期时水库的进水量n S （单位：3m ）与天数()*n n N ∈的关系是10)n S n =.水库原有水量为800003m ，水闸泄水量每天40003m .当汛期来临第一天，水库就开始泄洪，估计汛期将持续10天，问：此期间堤坝会发生危险吗？请说明理由（水库水量超过最大容量，堤坝就会发生危险）.5．某小企业生产某种产品，月销售量x （件）与货价p （元/件）之间的关系为1602p x =-，生产x 件的成本50030r x =+元.该厂月产量多大时，月获利不少于1300元？6．解下列不等式：（1）24210x x +-< （2） 230x x -+≥（3）210x -> （4）26x x -+<-7．求函数y . 8．设全集为R ，{3A x x =≤或}9x ≥，{}29B x x =-<≤.(1)求A B ，A B ；(2)求()R B A .9．甲、乙两城相距100，在两城之间距甲城处的丙地建一核电站给甲、乙两城供电，为保证城市安全，核电站距两地的距离不少于10．已知各城供电费用（元）与供电距离（）的平方和供电量（亿千瓦时）之积都成正比，比例系数均是=0．25，若甲城供电量为20亿千瓦时/月，乙城供电量为10亿千瓦时/月，（1）把月供电总费用（元）表示成（）的函数，并求其定义域；（2）求核电站建在距甲城多远处，才能使月供电总费用最小．10．已知集合{}|2A x x =≥，{}|35B x x =<<.(1)求A B ；(2)定义{}|M N x x M x N -=∈∉且，求A B -.11．如图，为了测量两山顶M ，N 间的距离，飞机沿水平方向在A ，B 两点进行测量，A ，B ，M ，N 在同一个铅垂平面内.请设计一个测量方案，包括：(1)指出要测量的数据（用字母表示，并标示在图中）；(2)用文字和公式写出计算M ，N 间的距离的步骤.参考答案：1．（1）{}59x x <<；（2）112233αβ-<-<-．【分析】（1）通过一元二次不等式的解法计算即可；（2）通过不等式的性质计算即可.【详解】解：（1）214450x x --+>245014x x ∴+<- ()()590x x -∴<-{}59x x ∴<<（2）1032αβ-<<<<，111120133αβ∴-<<-<-<-， 112233αβ∴-<-<-2．(1)等于0,⎪⎪⎩⎭;大于0,|x x ⎧⎪<⎨⎪⎩或x >⎪⎭;小于0,|x x ⎧⎪<<⎨⎪⎪⎩⎭. (2)等于0,{5,5}-;大于0,{|55}x x -<<;小于0,{|5x x <-或5}x >.(3)等于0,∅;大于0,R ;小于0,∅.(4)等于0,{2};小于0,{|2}x x ≠;大于0,∅.【解析】根据二次函数与一元二次方程的关系,结合二次函数的图像与性质即可求解.【详解】（1）二次函数2362y x x =-+令23620x x -+=由一元二次方程的求根公式可知x =所以12x x ==结合二次函数的图像与性质可知,开口向上,与x 轴有两个交点,所以当x ∈⎪⎪⎩⎭时,函数值等于0;当|x x x ⎧⎪∈<⎨⎪⎩x >⎪⎭时,函数值大于0;当x x x ⎧⎪∈<<⎨⎪⎪⎩⎭时,函数值小于0.（2）二次函数225y x =-令2250x -=解一元二次方程可知5x =±所以125,5x x =-=结合二次函数的图像与性质可知:当{}5,5x ∈-时,函数值等于0;当{|5x x x ∈<-或}5x >时,函数值大于0;当{}|55x x x ∈-<<时,函数值小于0.（3）二次函数2610y x x =++则()231y x =++结合二次函数的图像与性质可知:当函数值等于0时x 为∅;当x ∈R 时,函数值大于0;当函数值小于0时x 为∅;（4）二次函数231212y x x =-+-则()232y x =--结合二次函数的图像与性质可知,开口向下,与x 轴有一个交点,所以:当{2}x ∈时函数值等于0; 当{}2x x x ∈≠时,函数值大于0;当函数值小于0时x 为∅;【点睛】本题考查了二次函数、一元二次方程和一元二次不等式的关系,二次函数图像与性质的应用,属于基础题.3．(1){}13A x x =≤≤；{}02B x x ≤≤ (2){}03A B x x ⋃=≤≤；{}12A B x x ⋂=≤≤【分析】（1）分别解两个不等式，即可得出答案；（2）根据交集和并集的运算即可得出答案.（1）解：解不等式2430x x -+≤得13x ≤≤，所以{}13A x x =≤≤，解不等式|1|1x -≤得02x ≤≤，所以{}02B x x ≤≤；（2） 解：{}03A B x x ⋃=≤≤，{}12A B x x ⋂=≤≤.4．第9天会有危险【分析】根据进水量与出水量，以及最多总增加水量列不等式，转化为一元二次不等式，解不等式求得第9天会有危险.【详解】设第n 天发生危险.由题意得400012800080000n >-，即2242560n n +->，得8n >.所以汛期的第9天会有危险.【点睛】注意对于数学应用性问题，首先要认真审题，理解题意；其次是建立合理的数学模型；最后用所学的数学知识去求解.同时，所得结果注意与事实相符，如本题n 是天数，需满足0n >.5．20~45【分析】根据销售额和成本以及获利要求列不等式，解一元二次不等式求得产量的取值范围.【详解】设月产量为x 件.由题意可知(1602)(50030)1300x x x -⨯-+≥，即2659000x x -+≤，得2045x ≤≤.【点睛】本小题主要考查函数的实际应用问题，考查一元二次不等式的解法，属于基础题.6．（1）{}73x x -<<；（2）{}03x x ≤≤；（3）{1x x <-或}1x >；（4）{2x x <-或}3x >.【分析】利用一元二次不等式的解法直接求解即可【详解】（1）由24210x x +-<，得(7)(3)0x x +-<，得73x -<<， 所以不等式的解集为{}73x x -<<，（2）由230x x -+≥，得230x x -≤，得03x ≤≤， 所以原不等式的解集为{}03x x ≤≤，（3）由210x ->，得(1)(1)0x x +->，解得1x <-或1x >， 所以不等式的解集为{1x x <-或}1x >，（4）由26x x -+<-，得260x x -->，(2)(3)0x x +->，解得2x <-或3x >， 所以原不等式的解集为{2x x <-或}3x >7．定义域为512x x ⎧⎫-≤<⎨⎬⎩⎭，用区间表示为51,2. 【分析】根据原函数列出不等式组求解即可.【详解】因为函数y 所以24506210x x x ⎧-++≥⎨-->⎩，解得1552x x -≤≤⎧⎪⎨<⎪⎩， 所以原函数定义域为512x x ⎧⎫-≤<⎨⎬⎩⎭，用区间表示为51,2. 8．(1){23A B x x ⋂=-<≤或}9x =，A B R =(2)(){2R B A x x ⋂=≤-或}9x >【分析】（1）根据集合的交集和并集的定义即可求解； （2）先根据补集的定义求出B R ，然后再由交集的定义即可求解. （1）解：因为{3A x x =≤或}9x ≥，{}29B x x =-<≤，所以{23A B x x ⋂=-<≤或}9x =，A B R =；（2）解：因为全集为R ，{3A x x =≤或}9x ≥，{}29B x x =-<≤，所以{2R B x x =≤-或}9x >，所以(){2R B A x x ⋂=≤-或}9x >.9．（1）（2）1003km 【详解】试题分析：（∪）甲城供电费用y 1=0．25×20x 2，乙城供电费用y 2=0．25×10（100-x ）2，总费用y=y 1+y 2，整理即可；因为核电站距甲城xkm ，则距乙城（100-x ）km ，由x≥10，且100-x≥10，得x 的范围；（∪）因为函数y=7．5x 2-500x+25000是二次函数，由二次函数的性质可得，x=-2b a时，函数y 取得最小值试题解析：（1）由题意知：经化简，为．定义域为[10,90]--- -5分（2）将（1）中函数配方为，所以当月供电总费用最小，为元．---10分．考点：函数模型的选择与应用；二次函数在闭区间上的最值10．(1){}|2x x ≥(2){}235x x x |≤≤≥或【分析】(1)直接根据集合并集的定义进行求解；(2)根据新定义{}|M N x x M x N -=∈∉且，即元素属于集合M 当不属于集合N ，从而可求出所求.（1）{}|2A x x =≥，{}|35B x x =<<，∴{}|2A B x x =≥；（2）{}|M N x x M x N -=∈∉且，{}|2A x x =≥，{}|35B x x =<<，∴{}235A B x x x -=|≤≤≥或.11．(1)答案见解析(2)答案见解析【分析】（1）需要测量的数据有A 到,M N 的的俯角11,αβ，B 到,M N 的的俯角22,αβ，AB 之间的距离d ，得到答案.（2）根据正弦定理得到()212sin sin d AM ααα=+，()221sin sin d AN βββ=-，再根据余弦定理得到答案. (1)需要测量的数据：A 到,M N 的的俯角11,αβ，B 到,M N 的的俯角22,αβ，AB 之间的距离d .(2)第一步：计算AM ABM 中，根据正弦定理：()122sin πsin d AM ααα=--，故()212sin sin d AM ααα=+. 第二步：计算AN ABN 中，根据正弦定理：()()212sin sin πd AN βββ=--，故()221sin sin d AN βββ=-. 第三步：计算MN AMN 中，根据余弦定理：()222112cos MN AM AN AM AN αβ=+-⋅-，即MN =。

2.3二次函数与一元二次方程、不等式同步练习

2.3二次函数与一元二次方程、不等式同步练习

2.3二次函数与一元二次方程、不等式同步练习一、基础巩固1.(2020-四川省三台中学高一月考)不等式(Λ-3)(X+5)>O的解集是( )A. {Λf∣-5<x<3)∣B. {xlx<—5或兀>3}C. {ΛT∣-3<X<5)∣D. {xlx<—3或x>5}【答案】B【解析】与不等式对应的一元二次函数为：y = (x-3)(x+5),如图函数开口向上，与X轴的交点为：(—5,0), (3,0),可得不等式的解集为：{x∣ XV-5或X >3}.2.(2020-江苏省高一期末)不等式X1 2 >8的解集是()A. (-2√2,2√2)B. (-OO,-2√2)<J(2√2,-+<O)C. (-4√2,4√2)D. (-s,-4>^)u(4√∑,+s)【答案】B【解析】由”〉8得x2-8>0,即(x-2√2)(x + 2√2)>0,解得X< -2√2或％> 2√Σ，所以不等式的解集为(―s,_2血)u(2√∑, +∞)■3.(2020-吉林省实验高一期中)不等式X(4-Λ)<3的解集为()A. {xlXVI或x>3}B. {∙φvθ或x>4}C. {x∣l<x<3}D. {x∣0<x<4}【答案】A【解析】由题：等式X(4-J)<3化简为：X2-4X +3>0, (X-I)(X-3)>0,解得：兀< 1或χ>3.1 31 3 1 3A. {χ∣χv--或x> 二}B. {xlxS--或ΛY二}2 2 2 24.(2020-安徽省怀宁县第二中学高一期中)不等式(x + -)(--x)≥0的解集是()221 3C. {x I —≤ x ≤ —}【答案】C221 3所以不等式的解集为.{xl-≤x≤-}2 25. (2020.浙江省髙一期末)不等式3√÷2x-l<0的解集是(【答案】A【解析】由3√+2x-l≤0> 可得，(x + l)(3x-l)≤0,所以，一15x5*,故选：A6.(2020-盘锦市第二高级中学髙一期末)不等式9-X2< 0的解集为()A. {x∣x>3}B. {xprv-3}C. {x∣-3VXV3}D. {尤卜<一3或/>3}【答案】D【解析】将不等式9-x2<0变形为x2-9>0,解此不等式得Λ<-3或X>3∙因此,不等式9-X2<0的解集为{x∖x<-3或X>3}.7.(2020-浙江省高一期末)不等式X2-3X-∖0< 0的解集是()A. (—2,5)B. (-5,2)C. (YO5)U(2,+°o)D. (Y)2)U(5,+c<>)【答案】A【解析】解：因为F_3X —10V0,所以(x + 2)(x-5)<0,解得-2<x<5,所不等式的解集为{Λ-∣-2<X<5},故选：A8.(2020-邢台市第二中学高一开学考试)已知集合M ={x∣Y<xv2}, N = {x∖x2-x-6 <0},则MCN =A. {X H<XV3}B. {x∖-A<x<-2}C. {x∖-2<x<2}D. {x∣2<x<3}【答案】C【解析】由题意得，M={Λ∣M<X <2},∕√ = {X ∣-2<X <3},则 MCN = {x|—2vxv2}.故选 C.9. （2020-元氏县第四中学髙一月考）一元二次不等式2/+龙一62O 的解集为（）【答案】A【解析】原不等式可化为（2x-3）（x+2）≥0,解得，χ≤-2,或∏∙∣.10. （2020-浙江省诸暨中学髙一期中）关于X 的不等式（Or-I ）（X-I ）<0（Λ>1）的解集为（）A. I h — B ・-G O,— IU （h+cc ） C. I 丄,1 D ・（一8,1）U —.+CCj∖ a ）U 丿 W ）【答案】C【解析】方程（Or-I ）（X-I ）=O 的两根分别为丄,1,又a>∖,所以丄<1,故此不等式的解集为（丄,1 aa ∖ ClH. （2019∙天津市双菱中学高一月考）一元二次不等式ax 2+bx+2> O 的解集是卜∣ΛL 则d+b 的值【解析】X 2—(d + l)x + dv θu>(x-d)(x-l)v θ,因解集中恰好有两个正整数，可判断解集为 XW(I,d),是（）A. 10【答案】DB. -10C. 14D. -14【解析】解：根据题意，一元二次不等式ax 2+bx+2> O 的解集是-∣Λ则方程心+反+ 2 = 0的两根为冷和扌,则有<1<~2>「刃31 h+ —=——3G,解可得 a = —12 ♦ b = —2、1 2则α+b = -14,故选：D.12. （2020•安徽省六安中学髙一期末（理））关于X 的不等式X 2- 3+l ）x+d <0的解集中恰有两个正整数,则实数"的取值范国是（）A. [2, 4)【答案】CB. [3, 4]C. (3, 4]D. (3, 4)D.两正整数为2/5,故Λ∈(3,4]V2 - 2 r - ?13.(2020-吉林省实验髙一期末)不等式A、」-V 2的解集为()Jr + X +1A. {x∣x≠-2}B. RC. 0D. {xlXV-2或x>2}【答案】A【解析】由≤≡-2<2得：M二2 =TjTVOΛβ +X+1 χ∙+X+l ΛΓ+X + 1∙.∙χ2 +x + l >0恒成立.∖ -X1 -4x-4 VO又-X2-4Λ--4=-(X +2)2.∙.(X +2)2 >0 .∙.x≠-2不等式I7' 一： < 2的解集为{x∖x ≠ -2}14.(2020-宁夏回族自治区银川一中高一期末)不等式X2+(IX+ ↑≥0对于一切x∈[θ,∣J成立，则α的最小值为()A. YB. 一?C. 2D. -22 2【答案】B【解析】记/(x) = F+dX+l,不等式x2+iιx + ↑≥0对于一切"|°，£|成立，则必须有7(0) = l≥0〔1 1 1 1 n，解得α 2_才，a = _才时，f(x) = X2Λ +1 =(牙_；)2 _77，在Iak j∖ - =- + -a + ∖≥0 2 2 2 4 16 k 2」(2 丿4 2上单调递减，∕ωmin=∕d)=o^满足题意，∙∙.α的最小值是一？.2 215.(2020-浙江省髙一期末)不等式A-2-1<0的解集是()A. (T,l)B. (→×>,-l)C. (-oo,l)D. (v,-l)U(l,P)【答案】A【解析】解：因为A -2-I <0,所以(X-I)(Λ÷1)<0,解得-1<A-<1,即X∈(-l,l) 故选：A16. (2020-重庆高一期末)若关于X 的一元二次不等式ax 2+2x + ∖> 0的解集为R ，则实数。

二次函数与方程不等式练习及答案

二次函数与方程不等式练习及答案

二次函数与方程不等式练习及答案1.如图K13-1是二次函数y=-x2+2x+4的图象,则使y≤1成立的x的取值范围是()图K13-1A.-1≤x≤3B.x≤-1C.x≥1D.x≤-1或x≥32.二次函数y=ax2+bx的图象如图K13-2,若一元二次方程ax2+bx+m=0有实数根,则m的最大值为()图K13-2A.-3B.3C.-6D.93.已知二次函数y=x2-3x+m(m为常数)的图象与x轴的一个交点为(1,0),则关于x的一元二次方程x2-3x+m=0的两个实数根是()A.x1=1,x2=-1B.x1=1,x2=2C.x1=1,x2=0D.x1=1,x2=34.若二次函数y=x2+2x+m的图象与坐标轴有3个交点,则m的取值范围是()A.m>1B.m<1C.m>1且m≠0D.m<1且m≠05.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图K13-3,且关于x的一元二次方程ax2+bx+c-m=0没有实数根,有下列结论:①b2-4ac>0;②abc<0;③m>2.其中,正确结论的个数是()图K13-3A.0B.1C.2D.36.已知抛物线y=ax2+bx+c上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表:x…-1 0 1 2 3 …y… 3 0 -1 m 3 …有以下几个结论:①抛物线y=ax2+bx+c的开口向下;②抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为直线x=-1;③方程ax2+bx+c=0的根为0和2;④当y>0时,x的取值范围是x<0或x>2.其中正确的是()A.①④B.②④C.②③D.③④7.若抛物线y=x2+2x+c与x轴没有交点,写出一个满足条件的c的值:.8.若函数y=ax2+3x+1的图象与x轴有两个交点,则a的取值范围是.9.如图K13-4,直线y1=kx+n(k≠0)与抛物线y2=ax2+bx+c(a≠0)分别交于A(-1,0),B(2,-3)两点,那么当y1>y2时,x的取值范围是.图K13-410.已知二次函数y=ax2+bx+c中,函数y与自变量x的部分对应值如下表:x…-1 0 1 2 3 …y…10 5 2 1 2 …则当y<5时,x的取值范围是.11.如图K13-5,已知二次函数y=x2+bx+c的图象经过点A(-1,0),B(1,-2),该图象与x轴的另一个交点为C,则AC的长为.图K13-512.已知直线y=-2x+3与抛物线y=x2相交于A,B两点,O为坐标原点,那么△OAB的面积等于.13.已知二次函数y=x2-4x+3.图K13-6(1)用配方法将y=x2-4x+3化成y=a(x-h)2+k的形式;(2)在平面直角坐标系xOy中画出该函数的图象;(3)当0≤x≤3时,y的取值范围是.14.一个二次函数图象上部分点的横坐标x,纵坐标y的对应值如下表:x…-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 …y…0 2 0 m-6 …(1)求这个二次函数的表达式;(2)求m的值;(3)在给定的直角坐标系中,画出这个函数的图象;(4)根据图象,写出当y<0时,x的取值范围.图K13-715.如图K13-8,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与y轴交于点C,与x轴交于A,B两点,其中点B的坐标为B(4,0),抛物线的对称轴交x轴于点D,CE∥AB,并与抛物线的对称轴交于点E.现有下列结论:①a>0;②b>0;③4a+2b+c<0;④AD+CE=4.其中所有正确结论的序号是.图K13-816.在平面直角坐标系中,二次函数y=x2+mx+2m-7的图象经过点(1,0).(1)求抛物线的解析式;(2)把-4<x<1时的函数图象记为H,求此时函数y的取值范围;(3)在(2)的条件下,将图象H在x轴下方的部分沿x轴翻折,图象H的其余部分保持不变,得到一个新图象M.若直线y=x+b与图象M有三个公共点,求b的取值范围.参考答案1.D2.B [解析] ∵抛物线的开口向上,顶点的纵坐标为-3,∴a>0, -b 24a =-3,即b 2=12a.∵一元二次方程ax 2+bx+m=0有实数根,∴Δ=b 2-4am ≥0,即12a-4am ≥0,即12-4m ≥0,解得m ≤3,∴m 的最大值为3.故选B . 3.B 4.D5.D [解析] ①∵二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与x 轴有两个交点,∴b 2-4ac>0,故①正确;②∵抛物线的开口向下,∴a<0.∵抛物线与y 轴交于正半轴,∴c>0.∵对称轴方程x=-b2a >0,∴ab<0.∵a<0,∴b>0,∴abc<0,故②正确;③∵一元二次方程ax 2+bx+c-m=0没有实数根,∴抛物线y=ax 2+bx+c 和直线y=m 没有交点,由图可得m>2,故③正确.故选D . 6.D7.c=2(答案不唯一,c>1即可) 8.a<94且a ≠0 9.-1<x<210.0<x<4 [解析] 由表可知,抛物线的对称轴为直线x=2,所以x=4时,y=5,所以y<5时,x 的取值范围为0<x<4.11.3 [解析] 由二次函数y=x 2+bx+c 的图象过点(-1,0),(1,-2),得{1−b +c =0,1+b +c =−2,解得{b =−1,c =−2,所以y=x 2-x-2.令x 2-x-2=0,解得x 1=-1,x 2=2,所以AC 的长为3. 12.613.解:(1)由题意得y=(x-2)2-1. (2)如图:(3)-1≤y ≤314.解:(1)设这个二次函数的表达式为y=a (x-h )2+k. 依题意可知,顶点为(-1,2),∴y=a (x+1)2+2. ∵图象过点(1,0),∴0=a(1+1)2+2.∴a=-1.2∴这个二次函数的表达式为y=-1(x+1)2+2.2.(2)m=-52(3)如图.(4)x<-3或x>115.②④16.解:(1)将(1,0)代入,得m=2.∴抛物线的解析式为y=x2+2x-3.(2)抛物线y=x2+2x-3开口向上,且在-4<x<1范围内有最低点, ∴当x=-1时,y有最小值为-4.当x=-4时,y=5.∴y的取值范围是-4≤y<5.(3)当直线y=x+b经过(-3,0)时,b=3.变换后抛物线的解析式为y=-x2-2x+3(-3≤x≤1).联立可得:-x2-2x+3=x+b,.令判别式为零可得b=214.由图象可知,b的取值范围是3<b<214。

二次函数与方程和不等式练习题

二次函数与方程和不等式练习题

演习 【2 】九二次函数与方程和不等式1.已知二次函数772--=x kx y 与x 轴有交点,则k 的取值规模是.2.关于x 的一元二次方程02=--n x x 没有实数根,则抛物线n x x y --=2的极点在第_____象限;3.抛物线222++-=kx x y 与x 轴交点的个数为（ ）A.0B.1C.2D.以上都不对4.二次函数c bx ax y ++=2对于x 的任何值都恒为负值的前提是（ ）A.0,0>∆>aB.0,0<∆>aC.0,0>∆<aD.0,0<∆<a5.12++=kx x y 与k x x y --=2的图象订交,如有一个交点在x 轴上,则k 为（ ）A.0B.-1C.2D.41 6.若方程02=++c bx ax 的两个根是－3和1,那么二次函数c bx ax y ++=2的图象的对称轴是直线（ ）A.x ＝－3B.x ＝－2C.x ＝－1D.x ＝17.已知二次函数2y x px q 的图象与x 轴只有一个公共点,坐标为1,0,求,p q 的值 8.画出二次函数322--=x x y 的图象,并应用图象求方程0322=--x x 的解,解释x 在什么规模时0322≤--x x .9.如图：（1） 求该抛物线的解析式;（2） 依据图象答复：当x 为何规模时,该函数值大于0.10.二次函数c bx ax y ++=2的图象过A(-3,0),B(1,0),C(0,3),点D 在函数图象上,点C.D 是二次函数图象上的一对对称点,一次函数图象过点B.D,求（1）一次函数和二次函数的解析式,（2）写出使一次函数值大于二次函数值的x 的取值规模.11.已知抛物线22y x mx m .（1）求证此抛物线与x 轴有两个不同的交点;y x mx m与x轴交于整数点,求m的值; （2）若m是整数,抛物线22（3）在（2）的前提下,设抛物线极点为A,抛物线与x轴的两个交点中右侧交点为B.若M为坐标轴上一点,且MA=MB,求点M的坐标.。

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二次函数与方程和不等式当堂练习与答案
1、已知二次函数772--=x kx y 与x 轴有交点，则k 的取值范围是 .
2、关于x 的一元二次方程02=--n x x 没有实数根，则抛物线n x x y --=2的顶点在第_____象限；
3、抛物线222++-=kx x y 与x 轴交点的个数为（ ）
A 、0
B 、1
C 、2
D 、以上都不对
4、二次函数c bx ax y ++=2对于x 的任何值都恒为负值的条件是（ ）
A 、0,0>∆>a
B 、0,0<∆>a
C 、0,0>∆<a
D 、0,0<∆<a
5、12++=kx x y 与k x x y --=2的图象相交，若有一个交点在x 轴上，则k 为（ ）
A 、0
B 、-1
C 、2
D 、
41 6、若方程02=++c bx ax 的两个根是－3和1，那么二次函数c bx ax y ++=2的图象的
对称轴是直线（ ）
A 、x ＝－3
B 、x ＝－2
C 、x ＝－1
D 、x ＝1
7、已知二次函数2
y x px q =++的图象与x 轴只有一个公共点，坐标为()1,0-，求,p q 的值
8、画出二次函数322--=x x y 的图象，并利用图象求方程0322=--x x 的解，说明x 在什么范围时0322≤--x x .
9、如图：
（1） 求该抛物线的解析式；
（2） 根据图象回答：当x 为何范围时，该函数值大于0.
10、二次函数c bx ax y ++=2
的图象过A(-3,0),B(1,0),C(0,3),点D 在函数图象上，点C 、D 是二次函数图象上的一对对称点，一次函数图象过点B 、D ，求（1）一次函数和二次函数的解析式，（2）写出使一次函数值大于二次函数值的x 的取值范围.
11、已知抛物线22y x mx m =-+-.
（1）求证此抛物线与x 轴有两个不同的交点；
（2）若m 是整数，抛物线22y x mx m =-+-与x 轴交于整数点，求m 的值；
（3）在（2）的条件下，设抛物线顶点为A ，抛物线与x 轴的两个交点中右侧交点为B.
若M 为坐标轴上一点，且MA=MB ，求点M 的坐标.
二次函数与方程和不等式
参考答案9：1、4
7-≥k 且0≠k ；2、一；3、C ；4、D ；5、C ；6、C ；7、2，1；8、31,3,121≤≤-=-=x x x ；9、（1）x x y 22-=、x<0或x>2；10、y=-x+1，
322+--=x x y ,x<-2或x>1;11、
（1）略,(2)m=2,(3)(1，0)或（0，1）。

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