河南省郑州市中牟县第一高级中学2019-2020学年下学期高二期中考试数学试题

河南省郑州市中牟县第一高级中学2019-2020学年下学期高二期中考试数学试题

学校_________ 班级__________ 姓名__________ 学号__________

一、单选题

1. 关于的方程的一个根是，则另一根的虚部为（）A．B．C．D．

2. 用反证法证明命题“，至少有一个为0”时，应假设（）

A．，没有一个为0 B．，只有一个为0

C．，至多有一个为0 D．，两个都为0

3. 下面几种推理是合情推理的是( )

①由圆的性质类比出球的有关性质；

②由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和是180°，归纳出所有三角形的内角和都是180°；

③张军某次考试成绩是100分，由此推出全班同学的成绩都是100分；

④三角形内角和是180°，四边形内角和是360°，五边形内角和是540°，由此得凸多边形内角和是(n－2)·180°.

A．①②B．①③

C．①②④D．②④

4. 已知随机变量，则（）

（参考数据，）A．0.6826 B．0.3413 C．0.0026 D．0.4772

5. 甲、乙、丙、丁四位同学计划去4个景点旅游，每人只去一个景点，设事件=“四位同学去的景点不相同”，事件=“甲同学独自去一个景点”，则

（）

A．B．C．D．

6. 某运动员投篮命中率为，他重复投篮5次，若他命中一次得10分，没命中不

得分，命中次数为，得分为，则分别为（）

A．，60 B．3，12 C．3，120 D．3,

7. 从6个正方形拼成的12个顶点(如图)中任取3个顶点作为一组，其中可以

构成三角形的组数为( )

A．208 B．204 C．200 D．196

8. （）

A．B．C．D．

9. 在过长方体任意两个顶点的直线中任取两条，其中异面直线有（）对. A．152 B．164 C．174 D．182

10. 袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半.甲、乙、丙是三个空盒.每

次从袋中任意取出两个球，将其中一个球放入甲盒，如果这个球是红球，就将

另一个球放入乙盒，否则就放入丙盒.重复上述过程，直到袋中所有球都被放入盒中，则（）

A．乙盒中黑球不多于丙盒中黑球B．乙盒中红球与丙盒中黑球一样多C．乙盒中红球不多于丙盒中红球D．乙盒中黑球与丙盒中红球一样多

11. 已知等式

，定义映射，则( )

A．B．

C．D．

12. 现需建造一个容积为的圆柱形铁桶，它的盖子用铝合金材料，已知单位面积的铝合金的价格是铁的3倍.要使该容器的造价最低，则铁桶的底面半径与高的比值为（）

A．B．C．D．

二、填空题

13. 定积分______.

14. 的展开式中的系数为______.

15. 把13个相同的小球放入编号为1，2，3，4的四个不同盒子中，若使放入盒子中的小球个数不小于盒子的编号数，则不同的放法种数为______.

16. 若存在正实数，使得关于的方程

有两个不同的根，其中为自然对数的底数，则实数的取值范围是______.

三、解答题

17. 已知，

（1）若展开式中第5项，第6项与第7项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大项

的系数；

（2）若展开式前三项的二项式系数和等于79，求展开式中系数最大的项．

18. 某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式．为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20人，第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式．根据工人完成生产任务的工作时间（单位：min）绘制了如下茎叶图：

（1）根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高？并说明理由；

（2）求40名工人完成生产任务所需时间的中位数，并将完成生产任务所需时间超过和不超过的工人数填入下面的列联表：

超过不超过

第一种生产方式

第二种生产方式

（3）根据（2）中的列联表，能否有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异？

，

19. 一种电脑屏幕保护画面，只有符号“”和“”随机地反复出现，每秒钟变化一次，每次变化只出现“”和“”之一，其中出现“”的概率为，出现“”的概率为，若第次出现“”，则记；若第次出现“”，则记，记.

（1）若，求的分布列及数学期望；

（2）若，，求且（=1，2，3，4）的概率.

20. 根据统计，某蔬菜基地西红柿亩产量的增加量（百千克）与某种液体肥料每亩使用量（千克）之间的对应数据的散点图，如图所示.

（1）依据数据的散点图可以看出，可用线性回归模型拟合与的关系，请计算相关系数并加以说明（若，则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合）；

（2）求关于的回归方程，并预测液体肥料每亩使用量为千克时，西红柿亩产量的增加量约为多少？

附：相关系数公式，回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：

，.

21. 已知函数，其中为常数.

（1）当时，求的最大值，并判断方程是否有实数解；

（2）若在区间上的最大值为，求的值.

22. 设函数

（1）求函数的极值点；

（2）当时，对，是否有不等式恒成立，并说明理由.