平行四边形构造方法专训
八年级数学下册 第二十二章 四边形 专题训练(四)平行四边形性质与判定的综合应用练习 冀教版
专题训练(四) 平行四边形性质与判定的综合应用应用一平行四边形与三角形1．如图4－ZT－1，在▱ABCD中，若AD＝8 cm，AB＝6 cm，DE平分∠ADC交BC 边于点E，则BE的长为( )图4－ZT－1A．2 cm B．4 cmC．6 cm D．8 cm2．如图4－ZT－2，在▱ABCD中，CE⊥AB，E为垂足．如果∠A＝120°，那么∠BCE 的度数是( )图4－ZT－2A．80°B．50°C．40°D．30°3．xx·丽水如图4－ZT－3，在▱ABCD中，连接AC，∠ABC＝∠CAD＝45°，AB＝2，则BC的长是( )图4－ZT－3A. 2 B．2 C．2 2 D．44．已知平行四边形的一边长是14，下列各组数中能分别作为它的两条对角线长的是( )A．10与16 B．12与16C．20与22 D．10与40应用二平行四边形的性质与全等三角形5．xx·眉山如图4－ZT－4，EF过▱ABCD对角线的交点O，交AD于点E，交BC于点F.若▱ABCD的周长为18，OE＝1.5，则四边形EFCD的周长为( )图4－ZT－4A．14 B．13 C．12 D．106．如图4－ZT－5，四边形ABCD是平行四边形，点E在边BC上，如果F是边AD上的点，那么△CDF与△ABE不一定全等的条件是( )图4－ZT－5A．DF＝BE B．AF＝CEC．CF＝AE D．CF∥AE7．如图4－ZT－6，将▱ABCD沿对角线AC剪开，再把△ACD沿CA方向平移得到△A1C1D1，分别连接AD1，BC1.(1)从线段CA1上找出两对相等的线段；(2)求证：△A1AD1≌△CC1B.图4－ZT－6应用三平行四边形的性质与平面直角坐标系8．如图4－ZT－7，在平面直角坐标系中，▱MNEF的两条对角线ME，NF交于原点O，点F的坐标是(4，1)，则点N的坐标是( )图4－ZT－7A．(－4，－1) B．(－4，1)C．(－1，4) D．(1，4)9．如图4－ZT－8，在平面直角坐标系中，以O(0，0)，A(1，1)，B(3，0)为顶点，构造平行四边形，下列各点中不能作为平行四边形的顶点的是( )图4－ZT－8A．(－3，1) B．(4，1)C．(－2，1) D．(2，－1)应用四平行四边形判定中的开放性试题10．在四边形ABCD中，已知AD∥BC，若再添加一个条件，能使四边形ABCD成为平行四边形，则这个条件可以是________(写出一个条件即可)．11．如图4－ZT－9，在▱ABCD中，E，F分别为AD，BC边上的一点，若再增加一个条件______________(只需写一个条件)，就可推得BE＝DF.图4－ZT－912．如图4－ZT－10，点E，F在▱ABCD的对角线BD上，要使四边形AECF是平行四边形，还需添加一个条件____________(只需写出一个结论，不必考虑所有情况)．图4－ZT－10应用五平行四边形性质与判定的综合应用13．如图4－ZT－11，已知D是△ABC的边AB上一点，CE∥AB，DE交AC于点O，且OA＝OC，猜想线段CD与线段AE的数量关系和位置关系，并加以证明．14．如图4－ZT－12，在▱ABCD中，∠ABC＝60°，E，F分别在CD和BC的延长线上，AE∥BD，EF⊥BC，EF＝3，求AB的长．图4－ZT－1215．四边形ABCD是平行四边形，且AB＝BE，CD＝DF.(1)如图4－ZT－13，若点E，F分别在CB，AD的延长线上，求证：四边形AECF是平行四边形；(2)若点E，F分别在DA，BC的延长线上，(1)中的结论还成立吗？说明理由．图4－ZT－13详解详析1．A [解析] 根据平行四边形的性质得AD ∥BC ，∴∠EDA ＝∠DEC . 又∵DE 平分∠ADC ，∴∠EDC ＝∠ADE ，∴∠EDC ＝∠DEC ，∴CD ＝CE ＝AB ＝6 cm ，∴BE ＝BC －EC ＝AD －AB ＝8－6＝2(cm)．故选A. 2．D [解析] ∵四边形ABCD 是平行四边形，∠A ＝120°，∴∠B ＝180°－120°＝60°. 又∵CE ⊥AB ，∴∠BCE ＝90°－∠B ＝30°.故选D.3．C [解析] ∵四边形ABCD 是平行四边形，∴CD ＝AB ＝2，BC ＝AD ，∠D ＝∠ABC ＝∠CAD ＝45°，∴AC ＝CD ＝2，∠ACD ＝90°，即△ACD 是等腰直角三角形，∴BC ＝AD ＝22＋22＝22.故选C.4．C [解析] 如图，假设AB ＝14，由较短两边之和大于第三边可知，只有C 项符合题意，故选C.5．C [解析] ∵四边形ABCD 是平行四边形，周长为18， ∴AB ＝CD ，BC ＝AD ，OA ＝OC ，AD ∥BC ， ∴CD ＋AD ＝9，∠OAE ＝∠OCF .在△AEO 和△CFO 中，⎩⎨⎧∠OAE ＝∠OCF ，OA ＝OC ，∠AOE ＝∠COF ，∴△AEO ≌△CFO (ASA)， ∴OE ＝OF ＝1.5，AE ＝CF ，∴四边形EFCD 的周长＝ED ＋CD ＋CF ＋EF ＝(DE ＋CF )＋CD ＋EF ＝AD ＋CD ＋EF ＝9＋3＝12.故选C.6．C [解析] A 项，当DF ＝BE 时，由平行四边形的性质可得AB ＝CD ，∠B ＝∠D ，利用SAS 可判定△CDF ≌△ABE .B 项，当AF ＝CE 时，由平行四边形的性质可得BE ＝DF ，AB ＝CD ，∠B ＝∠D ，利用SAS 可判定△CDF ≌△ABE .C 项，当CF ＝AE 时，由平行四边形的性质可得AB ＝CD ，∠B ＝∠D ，利用SSA 不能判定△CDF ≌△ABE .D 项，当CF ∥AE 时，由平行四边形的性质可得AB ＝CD ，∠B ＝∠D ，∠AEB ＝∠CFD ，利用AAS 可判定△CDF ≌△ABE .故选C.7．解：(1)相等的线段：AA 1＝CC 1，A 1C 1＝AC . (2)证明：由题意，得A 1D 1∥BC ，A 1D 1＝BC ， 则∠D 1A 1A ＝∠BCC 1.在△A 1AD 1和△CC 1B 中，∵⎩⎨⎧AA 1＝C 1C ，∠D 1A 1A ＝∠BCC 1，A 1D 1＝CB ，∴△A 1AD 1≌△CC 1B (SAS)．8．A [解析] 在▱MNEF中，点F和点N关于原点对称，∵点F的坐标是(4，1)，∴点N 的坐标是(－4，－1)． 9．A [解析] 因为经过三点可构造三个平行四边形，即▱AOBC 1，▱ABOC 2，▱AOC 3B .根据平行四边形的性质，可知B ，C ，D 三个选项正好是点C 1，C 2，C 3的坐标．故选A.10．答案不唯一，如AD ＝BC [解析] 添加条件AD ＝BC ，由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得出该四边形是平行四边形．11．答案不唯一，如AE ＝CF 12．答案不唯一，如DE ＝BF13．解：猜想：CD ∥AE ，CD ＝AE . 证明：∵CE ∥AB ， ∴∠DAO ＝∠ECO .在△ADO 和△CEO 中，∵⎩⎨⎧∠DAO ＝∠ECO ，AO ＝CO ，∠AOD ＝∠COE ，∴△ADO ≌△CEO (ASA)， ∴AD ＝CE ，∴四边形ADCE 是平行四边形， ∴CD ∥AE ，且CD ＝AE .14．解：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AB ∥CD ，AB ＝CD . ∵AE ∥BD ，∴四边形ABDE 是平行四边形， ∴AB ＝DE ＝CD ， 即D 为CE 的中点．∵EF ⊥BC ，∴∠F ＝90°.∵AB ∥CD ，∴∠DCF ＝∠ABC ＝60°， ∴∠CEF ＝30°. ∵EF ＝3，∴CE ＝2，∴AB ＝1.15．解：(1)证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD ＝BC ，AD ∥BC ，AB ＝CD .∵点E ，F 分别在CB ，AD 的延长线上， ∴AF ∥CE .∵AB ＝BE ，CD ＝DF ，∴BE ＝DF ，∴AD ＋DF ＝BE ＋BC ， ∴AF ＝CE ，∴四边形AECF 是平行四边形．(2)成立．.精品 理由：如图，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ＝CD ，∠DAB ＝∠DCB ，AD ∥BC .∵∠EAB ＋∠DAB ＝180°，∠DCB ＋∠DCF ＝180°， ∴∠EAB ＝∠FCD .∵AB ＝BE ，CD ＝DF ，∴∠BEA ＝∠EAB ＝∠DCF ＝∠DFC .在△EBA 和 △FDC 中，⎩⎨⎧∠EAB ＝∠FCD ，∠BEA ＝∠DFC ，AB ＝CD ，∴△EBA ≌△FDC (AAS)，∴AE ＝CF .∵点E ，F 分别在DA ，BC 的延长线上，∴AE ∥CF ，∴四边形AECF 是平行四边形． 如有侵权请联系告知删除，感谢你们的配合！。
典中点平行四边形专训5 构造中位线解题的五种常用方法
典中点平行四边形专训5 构造中位线解题的五种常用方法◐名师点金◑三角形的中位线具有两方面的性质：一是位置上的平行关系,二是数量上的倍分关系.因此,当题目中给出三角形两边的中点时,可以直接 连出中位线;当题目中给出一边的中点时,往往需要找另一边的中点,作出三角形的中位线。
典例剖析：如图,在△ABC 中,BD,CE 分别平分∠ABC,∠ACB,AM ⊥CE 于点M,AN ⊥BD 于点N.求证:MN=21(AB+AC-BC)解题秘方:图中不存在中点,但结论与三角形中位线定理很类似,因此应设法寻找中点,再构造三角形的中位线.要证明MN=21(AB+AC-BC),可找以MN 为中位线的三角形,故延长AM 交BC 于点F,延长AN 交BC 于点G,易证明2MN=FG,而FG=BC+FC-BC.又易证明BG=AB,FC=AC,故问题得解。
方法1：连接两点构造三角形的中位线1.如图,点B 为AC 上一点,分别以AB,BC 为边在AC 同侧作等边△ABD 和等边△BCE,点P,M,N 分别为AC,AD,CE 的中点。
(1)求证PM=PN ；(2)求∠MPN 的度数。
方法2：已知角平分线及垂直构造中位线2.如图,在△ABC 中,点M 为BC 的中点,AD 为△ABC 的外角平分线,且AD ⊥BD.若AB=12,AC=18,求DM 的长。
3.如图,在△ABC 中,已知AB=6,AC=10,AD 平分∠BAC,BD ⊥AD 于点D,点E 为BC 的中点，求DE 的长。
方法3：倍长法构造三角形的中位线4.如图,在△ABC 中,∠ABC=90°,BA=BC ，△BEF 为等腰直角三角形,∠BEF=90°,M 为AF 的中点， 求证ME=21CF方法4：已知两边中点,取第三边中点构造三角形的中位线5. 如图,在△ABC 中,∠C=90°,CA=CB,E,F 分别为CA,CB 上一点,CE=CF,M,N 分别为AF 、BE 的中点， 求证AE=2MN方法5：已知一边中点推理得出另一边中点再取第三边中点构造三角形的中位线6.如图,在△ABC 中,AB=AC,AD ⊥BC 于点D,点P 是AD 的中点,连接BP 并延长交AC 于点N ，求证AN=31AC。
人教【数学】培优平行四边形辅导专题训练
一、平行四边形真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．问题发现：（1）如图①，点P 为平行四边形ABCD 内一点，请过点P 画一条直线l ，使其同时平分平行四边形ABCD 的面积和周长．问题探究：（2）如图②，在平面直角坐标系xOy 中，矩形OABC 的边OA 、OC 分别在x 轴、y 轴正半轴上，点B 坐标为(8,6)．已知点(6,7)P 为矩形外一点，请过点P 画一条同时平分矩形OABC 面积和周长的直线l ，说明理由并求出直线l ，说明理由并求出直线l 被矩形ABCD 截得线段的长度．问题解决：（3）如图③，在平面直角坐标系xOy 中，矩形OABCD 的边OA 、OD 分别在x 轴、y 轴正半轴上，DC x ∥轴，AB y ∥轴，且8OA OD ==，2AB CD ==，点(1052,1052)P --为五边形内一点．请问：是否存在过点P 的直线l ，分别与边OA 与BC 交于点E 、F ，且同时平分五边形OABCD 的面积和周长?若存在，请求出点E 和点F 的坐标：若不存在，请说明理由．【答案】（1）作图见解析；（2）25y x =-，353）(0,0)E ，(5,5)F ．【解析】试题分析：（1）连接AC 、BD 交于点O ，作直线PO ，直线PO 将平行四边形ABCD 的面积和周长分别相等的两部分．（2）连接AC ，BD 交于点O '，过O '、P 点的直线将矩形ABCD 的面积和周长分为分别相等的两部分．（3）存在，直线y x =平分五边形OABCD 面积、周长．试题解析：（1）作图如下：（2）∵(6,7)P ，(4,3)O '，∴设:6PO y kx =+'，67{43k b k b +=+=，2{5k b ==-， ∴25y x =-，交x 轴于5,02N ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 交BC 于11,62M ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 2211563522MN ⎛⎫=+-= ⎪⎝⎭．（3）存在，直线y x =平分五边形OABCD 面积、周长．∵(1052,102)P --在直线y x =上，∴连OP 交OA 、BC 于点E 、F ，设:BC y kx b =+，(8,2)(2,8)B C ，82{28k b k +=+=，1{10k b =-=， ∴直线:10BC y x =-+，联立10{y x y x =-+=，得55x y =⎧⎨=⎩， ∴(0,0)E ，(5,5)F ．2．如果两个三角形的两条边对应相等，夹角互补，那么这两个三角形叫做互补三角形，如图2，分别以△ABC的边AB、AC为边向外作正方形ABDE和ACGF，则图中的两个三角形就是互补三角形．（1）用尺规将图1中的△ABC分割成两个互补三角形；（2）证明图2中的△ABC分割成两个互补三角形；（3）如图3，在图2的基础上再以BC为边向外作正方形BCHI．①已知三个正方形面积分别是17、13、10，在如图4的网格中（网格中每个小正方形的边长为1）画出边长为、、的三角形，并计算图3中六边形DEFGHI的面积．②若△ABC的面积为2，求以EF、DI、HG的长为边的三角形面积．【答案】（1）作图见解析（2）证明见解析（3）①62；②6【解析】试题分析：（1）作BC边上的中线AD即可．（2）根据互补三角形的定义证明即可．（3）①画出图形后，利用割补法求面积即可．②平移△CHG到AMF，连接EM，IM，则AM=CH=BI，只要证明S△EFM=3S△ABC即可．试题解析：（1）如图1中，作BC边上的中线AD，△ABD和△ADC是互补三角形．（2）如图2中，延长FA到点H，使得AH=AF，连接EH．∵四边形ABDE，四边形ACGF是正方形，∴AB=AE，AF=AC，∠BAE=∠CAF=90°，∴∠EAF+∠BAC=180°，∴△AEF和△ABC是两个互补三角形．∵∠EAH+∠HAB=∠BAC+∠HAB=90°，∴∠EAH=∠BAC，∵AF=AC，∴AH=AB，在△AEH和△ABC中，∴△AEH≌△ABC，∴S△AEF=S△AEH=S△ABC．（3）①边长为、、的三角形如图4所示．∵S△ABC=3×4﹣2﹣1.5﹣3=5.5，∴S六边形=17+13+10+4×5.5=62．②如图3中，平移△CHG到AMF，连接EM，IM，则AM=CH=BI，设∠ABC=x，∵AM∥CH，CH⊥BC，∴AM⊥BC，∴∠EAM=90°+90°﹣x=180°﹣x，∵∠DBI=360°﹣90°﹣90°﹣x=180°﹣x，∴∠EAM=∠DBI，∵AE=BD，∴△AEM≌△DBI，∵在△DBI和△ABC中，DB=AB，BI=BC，∠DBI+∠ABC=180°，∴△DBI和△ABC是互补三角形，∴S△AEM=S△AEF=S△AFM=2，∴S△EFM=3S△ABC=6．考点：1、作图﹣应用与设计，2、三角形面积3．如图，ABCD是正方形，点G是BC上的任意一点，DE⊥AG于E，BF∥DE，交AG于F．求证：AF=BF+EF．【答案】详见解析.【解析】【分析】由四边形ABCD为正方形，可得出∠BAD为90°，AB=AD，进而得到∠BAG与∠EAD互余，又DE垂直于AG，得到∠EAD与∠ADE互余，根据同角的余角相等可得出∠ADE=∠BAF，利用AAS可得出△ABF≌△DAE；利用全等三角的对应边相等可得出BF=AE，由AF-AE=EF，等量代换可得证.【详解】∵ABCD是正方形，∴AD=AB，∠BAD=90°∵DE⊥AG，∴∠DEG=∠AED=90°∴∠ADE+∠DAE=90°又∵∠BAF+∠DAE=∠BAD=90°，∴∠ADE=∠BAF ．∵BF ∥DE ，∴∠AFB=∠DEG=∠AED ．在△ABF 与△DAE 中，AFB AED ADE BAF AD AB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△ABF ≌△DAE （AAS ）．∴BF=AE ．∵AF=AE+EF ，∴AF=BF+EF ．点睛：此题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，熟练掌握判定与性质是解本题的关键．4．(1)如图①，在矩形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，过点O 作直线EF ⊥BD ，交AD 于点E ，交BC 于点F ，连接BE 、DF ，且BE 平分∠ABD ．①求证：四边形BFDE 是菱形；②直接写出∠EBF 的度数；(2)把(1)中菱形BFDE 进行分离研究，如图②，点G 、I 分别在BF 、BE 边上，且BG=BI ，连接GD ，H 为GD 的中点，连接FH 并延长，交ED 于点J ，连接IJ 、IH 、IF 、IG.试探究线段IH 与FH 之间满足的关系，并说明理由；(3)把(1)中矩形ABCD 进行特殊化探究，如图③，当矩形ABCD 满足AB=AD 时，点E 是对角线AC 上一点，连接DE 、EF 、DF ，使△DEF 是等腰直角三角形，DF 交AC 于点G.请直接写出线段AG 、GE 、EC 三者之间满足的数量关系.【答案】（1）①详见解析；②60°．（2）IH 3；（3）EG 2＝AG 2+CE 2．【解析】【分析】（1）①由△DOE ≌△BOF ，推出EO ＝OF ，∵OB ＝OD ，推出四边形EBFD 是平行四边形，再证明EB ＝ED 即可．②先证明∠ABD ＝2∠ADB ，推出∠ADB ＝30°，延长即可解决问题．（2）IH＝3FH ．只要证明△IJF 是等边三角形即可．（3）结论：EG 2＝AG 2+CE 2．如图3中，将△ADG 绕点D 逆时针旋转90°得到△DCM ，先证明△DEG ≌△DEM ，再证明△ECM 是直角三角形即可解决问题．【详解】（1）①证明：如图1中，∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ∥BC ，OB ＝OD ，∴∠EDO ＝∠FBO ，在△DOE 和△BOF 中，EDO FBO OD OBEOD BOF ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩＝＝＝ ， ∴△DOE ≌△BOF ，∴EO ＝OF ，∵OB ＝OD ，∴四边形EBFD 是平行四边形，∵EF ⊥BD ，OB ＝OD ，∴EB ＝ED ，∴四边形EBFD 是菱形．②∵BE 平分∠ABD ，∴∠ABE ＝∠EBD ，∵EB ＝ED ，∴∠EBD ＝∠EDB ，∴∠ABD ＝2∠ADB ，∵∠ABD +∠ADB ＝90°，∴∠ADB ＝30°，∠ABD ＝60°，∴∠ABE ＝∠EBO ＝∠OBF ＝30°，∴∠EBF ＝60°．（2）结论：IH ＝3FH ．理由：如图2中，延长BE 到M ，使得EM ＝EJ ，连接MJ ．∵四边形EBFD 是菱形，∠B ＝60°，∴EB ＝BF ＝ED ，DE ∥BF ，∴∠JDH ＝∠FGH ，在△DHJ 和△GHF 中，DHG GHF DH GHJDH FGH ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩＝＝＝ ， ∴△DHJ ≌△GHF ，∴DJ ＝FG ，JH ＝HF ，∴EJ ＝BG ＝EM ＝BI ，∴BE ＝IM ＝BF ，∵∠MEJ ＝∠B ＝60°，∴△MEJ 是等边三角形，∴MJ ＝EM ＝NI ，∠M ＝∠B ＝60°在△BIF 和△MJI 中，BI MJ B M BF IM ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，∴△BIF ≌△MJI ，∴IJ ＝IF ，∠BFI ＝∠MIJ ，∵HJ ＝HF ，∴IH ⊥JF ，∵∠BFI +∠BIF ＝120°，∴∠MIJ +∠BIF ＝120°，∴∠JIF ＝60°，∴△JIF 是等边三角形，在Rt △IHF 中，∵∠IHF ＝90°，∠IFH ＝60°，∴∠FIH ＝30°，∴IH＝3FH ．（3）结论：EG 2＝AG 2+CE 2．理由：如图3中，将△ADG 绕点D 逆时针旋转90°得到△DCM ，∵∠FAD +∠DEF ＝90°，∴AFED 四点共圆，∴∠EDF ＝∠DAE ＝45°，∠ADC ＝90°，∴∠ADF +∠EDC ＝45°，∵∠ADF ＝∠CDM ，∴∠CDM +∠CDE ＝45°＝∠EDG ，在△DEM 和△DEG 中，DE DE EDG EDM DG DM ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝ ， ∴△DEG ≌△DEM ，∴GE ＝EM ，∵∠DCM ＝∠DAG ＝∠ACD ＝45°，AG ＝CM ，∴∠ECM ＝90°∴EC 2+CM 2＝EM 2，∵EG ＝EM ，AG ＝CM ，∴GE 2＝AG 2+CE 2．【点睛】考查四边形综合题、矩形的性质、正方形的性质、菱形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形，学会转化的思想思考问题.5．如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，∠CAB=30°，以线段AB 为边向外作等边△ABD ，点E 是线段AB 的中点，连接CE 并延长交线段AD 于点F ．（1）求证：四边形BCFD 为平行四边形；（2）若AB=6，求平行四边形ADBC 的面积．【答案】（1）见解析；（2）S 平行四边形ADBC =32． 【解析】【分析】 （1）在Rt △ABC 中，E 为AB 的中点，则CE=12AB ，BE=12AB ，得到∠BCE=∠EBC=60°.由△AEF ≌△BEC ，得∠AFE=∠BCE=60°.又∠D=60°，得∠AFE =∠D=60度.所以FC ∥BD ，又因为∠BAD=∠ABC=60°，所以AD ∥BC ，即FD//BC ，则四边形BCFD 是平行四边形.（2）在Rt △ABC 中，求出BC ，AC 即可解决问题；【详解】解：（1）证明：在△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°，∴∠ABC=60°，在等边△ABD中，∠BAD=60°，∴∠BAD=∠ABC=60°，∵E为AB的中点，∴AE=BE，又∵∠AEF=∠BEC，∴△AEF≌△BEC，在△ABC中，∠ACB=90°，E为AB的中点，∴CE=12AB，BE=12AB，∴CE=AE，∴∠EAC=∠ECA=30°，∴∠BCE=∠EBC=60°，又∵△AEF≌△BEC，∴∠AFE=∠BCE=60°，又∵∠D=60°，∴∠AFE=∠D=60°，∴FC∥BD，又∵∠BAD=∠ABC=60°，∴AD∥BC，即FD∥BC，∴四边形BCFD是平行四边形；（2）解：在Rt△ABC中，∵∠BAC=30°，AB=6，∴BC=AF=3，AC=33，∴S平行四边形BCFD=3×33=93，S△ACF=12×3×33=93，S平行四边形ADBC=2732．【点睛】本题考查平行四边形的判定和性质、直角三角形斜边中线定理、等边三角形的性质、解直角三角形、勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型.6．如图，在平行四边形ABCD中，AD⊥DB，垂足为点D，将平行四边形ABCD折叠，使点B落在点D的位置，点C落在点G的位置，折痕为EF，EF交对角线BD于点P．（1）连结CG，请判断四边形DBCG的形状，并说明理由；（2）若AE＝BD，求∠EDF的度数．【答案】（1）四边形BCGD是矩形，理由详见解析；（2）∠EDF＝120°．【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质和折叠性质以及矩形的判定解答即可；（2）根据折叠的性质以及直角三角形的性质和等边三角形的判定与性质解答即可．【详解】解：（1）四边形BCGD是矩形，理由如下，∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC∥AD，即BC∥DG，由折叠可知，BC＝DG，∴四边形BCGD是平行四边形，∵AD⊥BD，∴∠CBD＝90°，∴四边形BCGD是矩形；（2）由折叠可知：EF垂直平分BD，∴BD⊥EF，DP＝BP，∵AD⊥BD，∴EF∥AD∥BC，∴AE PD1==BE BP∴AE＝BE，∴DE是Rt△ADB斜边上的中线，∴DE＝AE＝BE，∵AE＝BD，∴DE＝BD＝BE，∴△DBE是等边三角形，∴∠EDB＝∠DBE＝60°，∵AB∥DC，∴∠DBC＝∠DBE＝60°，∴∠EDF＝120°．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，折叠性质，等边三角形的性质和判定，主要考查学生运用定理进行推理和计算的能力，题目综合性比较强，有一定的难度7．如图1，已知正方形ABCD的边CD在正方形DEFG的边DE上，连接AE，GC．(1)试猜想AE与GC有怎样的关系(直接写出结论即可)；(2)将正方形DEFG绕点D按顺时针方向旋转，使点E落在BC边上，如图2，连接AE和CG．你认为(1)中的结论是否还成立？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由．(3)在(2)中，若E是BC的中点，且BC＝2，则C，F两点间的距离为．【答案】(1) AE＝CG，AE⊥GC；(2)成立，证明见解析； (3)2．【解析】【分析】（1）观察图形，AE、CG的位置关系可能是垂直，下面着手证明．由于四边形ABCD、DEFG都是正方形，易证得△ADE≌△CDG，则∠1＝∠2，由于∠2、∠3互余，所以∠1、∠3互余，由此可得AE⊥GC．（2）题（1）的结论仍然成立，参照（1）题的解题方法，可证△ADE≌△CDG，得∠5＝∠4，由于∠4、∠7互余，而∠5、∠6互余，那么∠6＝∠7；由图知∠AEB＝∠CEH＝90°﹣∠6，即∠7+∠CEH＝90°，由此得证．（3）如图3中，作CM⊥DG于G，GN⊥CD于N，CH⊥FG于H，则四边形CMGH是矩形，可得CM＝GH，CH＝GM．想办法求出CH，HF，再利用勾股定理即可解决问题．【详解】(1)AE＝CG，AE⊥GC；证明：延长GC交AE于点H，在正方形ABCD与正方形DEFG中，AD＝DC，∠ADE＝∠CDG＝90°，DE＝DG，∴△ADE≌△CDG(SAS)，∴AE，CG，∠1＝∠2∵∠2+∠3＝90°，∴∠1+∠3＝90°，∴∠AHG＝180°﹣(∠1+∠3)＝180°﹣90°＝90°，∴AE⊥GC．(2)答：成立；证明：延长AE和GC相交于点H，在正方形ABCD和正方形DEFG中，AD＝DC，DE＝DG，∠ADC＝∠DCB＝∠B＝∠BAD＝∠EDG＝90°，∴∠1＝∠2＝90°﹣∠3；∴△ADE≌△CDG(SAS)，∴AE＝CG，∠5＝∠4；又∵∠5+∠6＝90°，∠4+∠7＝180°﹣∠DCE＝180°﹣90°＝90°，∴∠6＝∠7，又∵∠6+∠AEB＝90°，∠AEB＝∠CEH，∴∠CEH+∠7＝90°，∴∠EHC＝90°，∴AE⊥GC．(3)如图3中，作CM⊥DG于G，GN⊥CD于N，CH⊥FG于H，则四边形CMGH是矩形，可得CM＝GH，CH＝GM．∵BE＝CE＝1，AB＝CD＝2，∴AE＝DE＝CG═DG＝FG5∵DE＝DG，∠DCE＝∠GND，∠EDC＝∠DGN，∴△DCE≌△GND(AAS)，∴GCD＝2，∵S△DCG＝12•CD•NG＝12•DG•CM，∴2×25，∴CM＝GH45，∴MG＝CH22CG CM355，∴FH ＝FG ﹣FG ＝5， ∴CF ＝22FH CH +＝22535()()55+＝2． 故答案为2．【点睛】 本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考压轴题．8．如图①，在矩形ABCD 中，点P 从AB 边的中点E 出发，沿着E B C --速运动，速度为每秒2个单位长度，到达点C 后停止运动，点Q 是AD 上的点，10AQ =，设PAQ ∆的面积为y ，点p 运动的时间为t 秒，y 与t 的函数关系如图②所示.(1)图①中AB = ，BC = ，图②中m = .(2)当t =1秒时，试判断以PQ 为直径的圆是否与BC 边相切?请说明理由:(3)点p 在运动过程中，将矩形沿PQ 所在直线折叠，则t 为何值时，折叠后顶点A 的对应点A '落在矩形的一边上.【答案】(1)8,18,20;(2)不相切，证明见解析；（3）t=12、5、173. 【解析】【分析】 （1）由题意得出AB=2BE ，t=2时，BE=2×2=4，求出AB=2BE=8，AE=BE=4，t=11时，2t=22，得出BC=18，当t=0时，点P 在E 处，m=△AEQ 的面积=12AQ×AE=20即可； （2）当t=1时，PE=2，得出AP=AE+PE=6，由勾股定理求出34PQ 为直径的圆的圆心为O'，作O'N ⊥BC 于N ，延长NO'交AD 于M ，则MN=AB=8，O'M ∥AB ，MN=AB=8，由三角形中位线定理得出O'M=12AP=3，求出O'N=MN-O'M=5＜圆O'的半径，即可得出结论；（3）分三种情况：①当点P 在AB 边上，A'落在BC 边上时，作QF ⊥BC 于F ，则QF=AB=8，BF=AQ=10，由折叠的性质得：PA'=PA ，A'Q=AQ=10，∠PA'Q=∠A=90°，由勾股定理求出22AQ QF '-，得出A'B=BF-A'F=4，在Rt △A'BP 中，BP=4-2t ，PA'=AP=8-（4-2t ）=4+2t ，由勾股定理得出方程，解方程即可；②当点P在BC边上，A'落在BC边上时，由折叠的性质得：A'P=AP，证出∠APQ=∠AQP，得出AP=AQ=A'P=10，在Rt△ABP中，由勾股定理求出BP=6，由BP=2t-4，得出2t-4=6，解方程即可；③当点P在BC边上，A'落在CD边上时，由折叠的性质得：A'P=AP，A'Q=AQ=10，在Rt△DQA'中，DQ=AD-AQ=8，由勾股定理求出DA'=6，得出A'C=CD-DA'=2，在Rt△ABP和Rt△A'PC中，BP=2t-4，CP=BC-BP=22-2t，由勾股定理得出方程，解方程即可．【详解】（1）∵点P从AB边的中点E出发，速度为每秒2个单位长度，∴AB=2BE，由图象得：t=2时，BE=2×2=4，∴AB=2BE=8，AE=BE=4，t=11时，2t=22，∴BC=22-4=18，当t=0时，点P在E处，m=△AEQ的面积=12AQ×AE=12×10×4=20；故答案为8，18，20；（2）当t=1秒时，以PQ为直径的圆不与BC边相切，理由如下：当t=1时，PE=2，∴AP=AE+PE=4+2=6，∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=90°，∴PQ=2222106234AQ AP+=+=，设以PQ为直径的圆的圆心为O'，作O'N⊥BC于N，延长NO'交AD于M，如图1所示：则MN=AB=8，O'M∥AB，MN=AB=8，∵O'为PQ的中点，∴O''M是△APQ的中位线，∴O'M=12AP=3，∴O'N=MN-O'M=534∴以PQ为直径的圆不与BC边相切；（3）分三种情况：①当点P在AB边上，A'落在BC边上时，作QF⊥BC于F，如图2所示：则QF=AB=8，BF=AQ=10，∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=∠B=∠BCD=∠D=90°，CD=AB=8，AD=BC=18，由折叠的性质得：PA'=PA，A'Q=AQ=10，∠PA'Q=∠A=90°，∴A'F=22AQ QF'-=6，∴A'B=BF-A'F=4，在Rt△A'BP中，BP=4-2t，PA'=AP=8-（4-2t）=4+2t，由勾股定理得：42+（4-2t）2=（4+2t）2，解得：t=12；②当点P在BC边上，A'落在BC边上时，连接AA'，如图3所示：由折叠的性质得：A'P=AP，∴∠APQ'=∠A'PQ，∵AD∥BC，∴∠AQP=∠A'PQ，∴∠APQ=∠AQP，∴AP=AQ=A'P=10，在Rt△ABP中，由勾股定理得：22108-，又∵BP=2t-4，∴2t-4=6，解得：t=5；③当点P在BC边上，A'落在CD边上时，连接AP、A'P，如图4所示：由折叠的性质得：A'P=AP ，A'Q=AQ=10，在Rt △DQA'中，DQ=AD-AQ=8，由勾股定理得：DA'=22108-=6，∴A'C=CD-DA'=2， 在Rt △ABP 和Rt △A'PC 中，BP=2t-4，CP=BC-BP=18-（2t-4）=22-2t ，由勾股定理得：AP 2=82+（2t-4）2，A'P 2=22+（22-2t ）2，∴82+（2t-4）2=22+（22-2t ）2，解得：t=173； 综上所述，t 为12或5或173时，折叠后顶点A 的对应点A′落在矩形的一边上． 【点睛】 四边形综合题目，考查了矩形的性质、折叠变换的性质、勾股定理、函数图象、直线与圆的位置关系、三角形中位线定理、等腰三角形的判定、以及分类讨论等知识.9．在平面直角坐标系中，O 为原点，点A （﹣6，0）、点C （0，6），若正方形OABC 绕点O 顺时针旋转，得正方形OA′B′C′，记旋转角为α：（1）如图①，当α＝45°时，求BC 与A′B′的交点D 的坐标；（2）如图②，当α＝60°时，求点B′的坐标；（3）若P 为线段BC′的中点，求AP 长的取值范围（直接写出结果即可）．【答案】（1）(62,6)-；（2）(333,333)+；（3）323323AP +.【解析】【分析】（1）当α＝45°时，延长OA′经过点B ，在Rt △BA′D 中，∠OBC ＝45°，A′B ＝626，可求得BD的长，进而求得CD的长，即可得出点D的坐标；（2）过点C′作x轴垂线MN，交x轴于点M，过点B′作MN的垂线，垂足为N，证明△OMC′≌△C′NB′，可得C′N＝OM＝33，B′N＝C′M＝3，即可得出点B′的坐标；（3）连接OB，AC相交于点K，则K是OB的中点，因为P为线段BC′的中点，所以PK＝1OC′＝3，即点P在以K为圆心，3为半径的圆上运动，即可得出AP长的取值范围．2【详解】解：（1）∵A（﹣6，0）、C（0，6），O（0，0），∴四边形OABC是边长为6的正方形，当α＝45°时，如图①，延长OA′经过点B，∵OB＝62，OA′＝OA＝6，∠OBC＝45°，∴A′B＝626-，∴BD＝（626=-，-）×21262∴CD＝6﹣（1262-，-）=626∴BC与A′B′的交点D的坐标为（662-，6）；（2）如图②，过点C′作x轴垂线MN，交x轴于点M，过点B′作MN的垂线，垂足为N，∵∠OC′B′＝90°，∴∠OC′M＝90°﹣∠B′C′N＝∠C′B′N，∵OC′＝B′C′，∠OMC′＝∠C′NB′＝90°，∴△OMC′≌△C′NB′（AAS），当α＝60°时，∵∠A′OC′＝90°，OC′＝6，∴∠C′OM＝30°，∴C′N＝OM＝33，B′N＝C′M＝3，∴点B′的坐标为333,333+；（3）如图③，连接OB ，AC 相交于点K ，则K 是OB 的中点，∵P 为线段BC′的中点，∴PK ＝12OC′＝3， ∴P 在以K 为圆心，3为半径的圆上运动，∵AK ＝32，∴AP 最大值为323+，AP 的最小值为323-，∴AP 长的取值范围为323323AP -+.【点睛】本题考查正方形性质，全等三角形判定与性质，三角形中位线定理．（3）问解题的关键是利用中位线定理得出点P 的轨迹．10．定义：我们把三角形被一边中线分成的两个三角形叫做“友好三角形”．性质：如果两个三角形是“友好三角形”，那么这两个三角形的面积相等．理解：如图①，在△ABC 中，CD 是AB 边上的中线，那么△ACD 和△BCD 是“友好三角形”，并且S △ACD =S △BCD ．应用：如图②，在矩形ABCD 中，AB=4，BC=6，点E 在AD 上，点F 在BC 上，AE=BF ，AF 与BE 交于点O ．（1）求证：△AOB 和△AOE 是“友好三角形”；（2）连接OD ，若△AOE 和△DOE 是“友好三角形”，求四边形CDOF 的面积．探究：在△ABC 中，∠A=30°，AB=4，点D 在线段AB 上，连接CD ，△ACD 和△BCD 是“友好三角形”，将△ACD 沿CD 所在直线翻折，得到△A′CD ，若△A′CD 与△ABC 重合部分的面积等于△ABC面积的，请直接写出△ABC的面积．【答案】（1）见解析；（2）12；探究：2或2．【解析】试题分析：（1）利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，得到四边形ABFE是平行四边形，然后根据平行四边形的性质证得OE=OB，即可证得△AOE和△AOB是友好三角形；（2）△AOE和△DOE是“友好三角形”，即可得到E是AD的中点，则可以求得△ABE、△ABF的面积，根据S四边形CDOF=S矩形ABCD-2S△ABF即可求解．探究：画出符合条件的两种情况：①求出四边形A′DCB是平行四边形，求出BC和A′D推出∠ACB=90°，根据三角形面积公式求出即可；②求出高CQ，求出△A′DC的面积．即可求出△ABC的面积．试题解析：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∵AE=BF，∴四边形ABFE是平行四边形，∴OE=OB，∴△AOE和△AOB是友好三角形．（2）∵△AOE和△DOE是友好三角形，∴S△AOE=S△DOE，AE=ED=AD=3，∵△AOB与△AOE是友好三角形，∴S△AOB=S△AOE，∵△AOE≌△FOB，∴S△AOE=S△FOB，∴S△AOD=S△ABF，∴S四边形CDOF=S矩形ABCD-2S△ABF=4×6-2××4×3=12．探究：解：分为两种情况：①如图1，∵S△ACD=S△BCD．∴AD=BD=AB，∵沿CD折叠A和A′重合，∴AD=A′D=AB=×4=2，∵△A′CD与△ABC重合部分的面积等于△ABC面积的，∴S△DOC=S△ABC=S△BDC=S△ADC=S△A′DC，∴DO=OB，A′O=CO，∴四边形A′DCB是平行四边形，∴BC=A′D=2，过B作BM⊥AC于M，∵AB=4，∠BAC=30°，∴BM=AB=2=BC，即C和M重合，∴∠ACB=90°，由勾股定理得：AC=，∴△ABC的面积是×BC×AC=×2×2=2；②如图2，∵S△ACD=S△BCD．∴AD=BD=AB，∵沿CD折叠A和A′重合，∴AD=A′D=AB=×4=2，∵△A′CD与△ABC重合部分的面积等于△ABC面积的，∴S△DOC=S△ABC=S△BDC=S△ADC=S△A′DC，∴DO=OA′，BO=CO，∴四边形A′BDC是平行四边形，∴A′C=BD=2，过C作CQ⊥A′D于Q，∵A′C=2，∠DA′C=∠BAC=30°，∴CQ=A′C=1，∴S△ABC=2S△ADC=2S△A′DC=2××A′D×CQ=2××2×1=2；即△ABC的面积是2或2．考点：四边形综合题．。
初中数学复习几何模型专题讲解11---构造平行四边形
初中数学复习几何模型专题讲解专题11 构造平行四边形一、单选题1．如图，菱形ABCD的边长为13，对角线24AC=，点E、F分别是边CD、BC的中点，连接EF并延长与AB的延长线相交于点G，则EG=（）A．13 B．10 C．12 D．5【答案】B【分析】连接对角线BD，交AC于点O，求证四边形BDEG是平行四边形，EG=BD，利用勾股定理求出OD的长，BD=2OD，即可求出EG．【详解】连接BD，交AC于点O，由题意知：菱形ABCD的边长为13，点E、F分别是边CD、BC的中点，∴AB=BC=CD=DA=13，EF//BD，∵AC、BD是菱形的对角线，AC=24，∴AC⊥BD，AO=CO=12，OB=OD，又∵AB//CD，EF//BD∴DE//BG，BD//EG在四边形BDEG中，∵DE//BG，BD//EG∴四边形BDEG是平行四边形∴BD=EG在△COD中，∵OC⊥OD，CD=13，CO=12∴OD=OB=5∴BD=EG=10故选B．【点睛】本题主要考查了菱形的性质，平行四边形的性质及勾股定理，熟练掌握菱形、平行四边形的性质和勾股定理是解题的关键．2．在等边三角形ABC中，BC=6cm，射线AG//BC，点E从点A出发，沿射线AG以1cm/s的速度运动，同时点F从点B出发，沿射线BC以2cm/s的速度运动，设运动时间为t，当t为( )s时，以A，F，C，E为顶点的四边形是平行四边形？（）A．2 B．3 C．6 D．2或6【答案】D分别从当点F在C的左侧时与当点F在C的右侧时去分析，由当AE=CF时，以A、C、E、F为顶点四边形是平行四边形，可得方程，解方程即可求得答案．【详解】①当点F在C的左侧时，根据题意得：AE=tcm，BF=2tcm，则CF=BC-BF=6-2t（cm），∵AG∥BC，∴当AE=CF时，四边形AECF是平行四边形，即t=6-2t，解得：t=2；②当点F在C的右侧时，根据题意得：AE=tcm，BF=2tcm，则CF=BF-BC=2t-6（cm），∵AG∥BC，∴当AE=CF时，四边形AEFC是平行四边形，即t=2t-6，解得：t=6；综上可得：当t=2或6s时，以A、C、E、F为顶点四边形是平行四边形．故选D．【点睛】本题考查了平行四边形的判定．此题难度适中，注意掌握分类讨论思想、数形结合思想与方程思想的应用．3．如图．在△ABC中，AB＝AC，AD为∠BAC的平分线，AN为△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为E．（1）求证：四边形ADCE是矩形．（2）若连接DE，交AC于点F，试判断四边形ABDE的形状（直接写出结果，不需要证明）．（3）△ABC再添加一个什么条件时，可使四边形ADCE是正方形．并证明你的结论．【答案】（1）证明见解析；（2）四边形ABDE是平行四边形；（3）当∠BAC＝90°时，四边形ADCE是正方形，证明见解析【分析】（1）由等腰三角形的性质可得AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD，又由AN为△ABC的外角∠CAM的平分线，可得∠DAE＝90°，又由CE⊥AN，由矩形的判定可证四边形ADCE 为矩形；（2）利用（1）中矩形的对角线相等推知：AC＝DE；结合已知条件可以推知AB∥DE，又AE＝BD，则易判定四边形ABDE是平行四边形；（3）由等腰直角三角形的性质可得AD＝CD＝BD，即可证四边形ADCE是正方形．【详解】证明：（1）∵在△ABC中，AB＝AC，AD为∠BAC的平分线，∴AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD，∴∠ADC＝90°，∵AN为△ABC的外角∠CAM的平分线，∴∠MAN＝∠CAN，∴∠DAE＝90°，∵CE⊥AN，∴∠AEC＝90°，∴四边形ADCE为矩形；（2）四边形ABDE是平行四边形，理由如下：由（1）知，四边形ADCE为矩形，则AE＝CD，AC＝DE．又∵AB＝AC，BD＝CD，∴AB＝DE，AE＝BD，∴四边形ABDE是平行四边形；（3）当∠BAC＝90°时，四边形ADCE是正方形，理由：∵∠BAC＝90°，AB＝AC，AD为∠BAC的平分线，∴AD＝CD＝BD，又∵四边形ADCE是矩形，∴四边形ADCE是正方形．【点睛】本题考查平行四边形、矩形和正方形的判定方法，掌握特殊四边形的判定定理是解题的关键．4．如图，在△ABC中，已知∠BDC＝∠EFD，∠AED＝∠ACB．（1）试判断∠DEF与∠B的大小关系，并说明理由；（2）若D、E、F分别是AB、AC、CD边上的中点，S△DEF＝4，S△ABC=【答案】（1）∠DEF=∠B，理由见解析；（2）32【分析】（1）延长EF交BC于G，根据平行四边形的判定和性质即可得到结论；（2）根据三角形一边的中线平分三角形的面积，即可得到结论．【详解】（1）∠DEF=∠B，理由如下：延长EF交BC于G，∵∠BDC=∠EFD，∴EF∥BD，∵∠AED=∠ACB，∴DE∥BC，∴四边形DEGB是平行四边形，∴∠DEF=∠B ；（2）∵F 是CD 边上的中点，S △DEF =4，∴S △DEC =2S △DEF =8，∵E 是AC 边上的中点，∴S △ADC =2S △DEC =16，∵D 是AB 边上的中点，∴S △ABC =2S △ACD =32．【点睛】本题考查了平行线的性质和判定，平行四边形的判定和性质，三角形的面积，正确的识别图形是解题的关键．5．已知，菱形ABCD 中，60B ∠=︒，E 、P 分别是边BC 和CD 上的点，且60EAP ∠=︒．（1）求证：BC EC CP =+（2）如图2，F 在CA 延长线上，且FE FB =，求证：AF EC =（3）如图3，在（2）的条件下，6AF =，10BE =，O 是FB 的中点，求OA 的长．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）7【分析】（1）连接AC ，如图1，根据菱形的性质得AB=BC ，而∠B=60°，则可判定△ABC 为等边三角形，得到∠BAC=60°，AC=AB ，易得∠ACF=60°，∠BAE=∠CAF ，然后利用ASA 可证明△AEB ≌△AFC ，即可解答；（2）过点F 作FH ∥AB ，交CB 的延长线于点H ，利用平行线的性质求得△FHC 是等边三角形，得到CF=CH=FH ，然后利用AAS 定理求得△HBF ≌△CEF ，从而问题得解； （3）过点B 作BK ∥FC ，交HF 于点K ，根据两组对边分别平行求得四边形KBAF 是平行四边形，从而求得12OA AK =，FK=16，过点A 作AM ⊥FH ，然后利用含30°的直角三角形的性质求得MF=132AF =,AM ==从而求得KM=13，然后利用勾股定理求解即可．【详解】解：（1）连接AC ，如图1，∵四边形ABCD 为菱形，∴AB=BC ，∵∠B=60°，∴△ABC 为等边三角形，∴∠BAC=60°，AC=AB ，∴∠BAE+∠EAC=60°，∵AB ∥CD ，∴∠BAC=∠ACP=60°，∵∠EAP=60°，即∠EAC+∠CAP=60°， ∴∠BAE=∠CAP ，在△AEB 和△APC 中，BAE CAP AB ACB ACD ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴△AEB ≌△APC ，∴BE=CF∴BC EC BE EC CP =+=+；（2）过点F 作FH ∥AB ，交CB 的延长线于点H∵FH∥AB∴∠H=∠CGH=60°∴△FHC是等边三角形∴CF=CH=FH又∵△ABC是等边三角形∴CA=CB∴AF=BH又∵FB=FE∴∠FEB=∠FEB，即∠FBH=∠FEC在△HBF和△CEF中FBH FECFHB FCE FH FC∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△HBF≌△CEF∴BH=EC∴AF=EC（3）过点B作BK∥FC，交HF于点K，∵BK ∥FC ，FH ∥AB∴四边形KBAF 是平行四边形∴KB=AF=EC=6，12OA AK = ∴FK=AB=BC=BE+EC=BE+AF=16过点A 作AM ⊥FH由（2）可知，∠CFH=60°∴在Rt △AMF 中，∠MAF=30°∴MF=132AF =,AM == ∴KM=16-3=13在Rt △AKM 中，14AK ===∴AO=7．【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，及平行四边形的判定和性质，题目有一定的综合性，正确添加辅助线解题是关键的突破点．6．如图，反比例函数y ＝k x（x ＞0）过点A （3，4），直线AC 与x 轴交于点C （6，0），过点C 作x 轴的垂线交反比例函数图象于点B ，（1）求反比例函数和直线AC 的解析式；（2）求△ABC的面积；（3）在平面内有点D，使得以A，B，C，D四点为顶点的四边形为平行四边形，请直接写出符合条件的所有D点的坐标．【答案】（1）反比例函数解析式为：y＝12x；直线AC的解析式为：y＝﹣43x+8；（2）3；（3）符合条件的点D的坐标是：（3，2）或（3，6）或（9，﹣2）．【分析】（1）将A点的坐标代入反比例函数y＝kx求得k的值，然后将A，C坐标代入直线解析式解答即可；（2）把x=6代入反比例函数解析式求得相应的y的值，即得点B的坐标，进而利用三角形面积公式解答即可；（3）使得以A、B、C、D为顶点的四边形为平行四边形，如图所示，找出满足题意D 的坐标即可．【详解】解：（1）把点A（3，4）代入y＝kx（x＞0），得k＝xy＝3×4＝12，故该反比例函数解析式为：y＝12x，把A（3，4），C（6，0）代入y＝mx+n中，可得：34 60 m nm n+=⎧⎨+=⎩，解得：438mn⎧=-⎪⎨⎪=⎩，所以直线AC的解析式为：y＝﹣43x+8；（2）∵点C（6，0），BC⊥x轴，∴把x＝6代入反比例函数y＝12x，得y＝126＝2，则B（6，2），所以△ABC的面积＝1(63)232⨯-⨯=；（3）①如图，当四边形ABCD为平行四边形时，AD∥BC且AD＝BC．∵A（3，4）、B（6，2）、C（6，0），∴点D的横坐标为3，y A﹣y D＝y B﹣y C即4﹣y D＝2﹣0，故y D＝2．所以D（3，2）．②如图，当四边形ACBD′为平行四边形时，AD′∥CB且AD′＝CB．∵A（3，4）、B（6，2）、C（6，0），∴点D的横坐标为3，y D′﹣y A＝y B﹣y C即y D﹣4＝2﹣0，故y D′＝6．所以D′（3，6）．③如图，当四边形ACD″B为平行四边形时，AC＝BD″且AC∥BD″．∵A（3，4）、B（6，2）、C（6，0），∴x D″﹣x B＝x C﹣x A即x D″﹣6＝6﹣3，故x D″＝9．y D″﹣y B＝y C﹣y A即y D″﹣2＝0﹣4，故y D″＝﹣2．所以D″（9，﹣2）．综上所述，符合条件的点D 的坐标是：（3，2）或（3，6）或（9，﹣2）．【点睛】本题考查了反比例函数综合题，涉及的知识有：待定系数法确定函数解析式，平行四边形的判定与性质，解答（3）题时，采用了“数形结合”和“分类讨论”的数学思想． 7．如图所示，90BAC DAE ∠=∠=︒，M 是BE 的中点，AB AC =，AD AE =，求证AM CD ⊥．【答案】见解析【分析】延长AM 到F ，使MF ＝AM ，交CD 于点N ，构造平行四边形，利用条件证明△ABF ≌△CAD ，可得出∠BAF ＝∠ACD ，再结合条件可得到∠ANC ＝90°，可证得结论．【详解】证明：延长AM 到F ，使MF ＝AM ，交CD 于点N ，∵BM ＝EM ，∴四边形ABFE 是平行四边形，∴BF＝AE，∠ABF＋∠BAE＝180°，∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠CAD＋∠BAE＝180°，∴∠ABF＝∠CAD，∵BF＝AE，AD＝AE，∴BF＝AD，在△ABF和△CAD中，BF ADABF CADAB AC⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，∴△ABF≌△CAD（SAS），∴∠BAF＝∠ACD，∵∠BAC＝90°，∴∠BAF＋∠CAF＝90°，∴∠ACD＋∠CAF＝90°，∴∠AHC＝90°，∴AM⊥CD．【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，通过辅助线构造平行四边形证明三角形全等得到∠BAF ＝∠ACD 是解题的关键．8．如图所示，CD 是ABC ∆的中线，12∠=∠，求证：AE BC =.【答案】见解析【解析】【分析】要证AE BC =，可设法将AE 、BC 集中到一个图形中，由已知CD 是ABC ∆的中线，故倍长中线可得到平行四边形AFBC .【详解】证明：延长CD 至F ，使DF CD =，连AF ，BF ，又∵DA DB =，∴四边形AFBC 为平行四边形，21AFC ∴∠=∠=∠，AE AF BC ∴==.【点睛】中线倍长，利用平行四边形的判定定理对角线互相平分的四边形是平行四边形，据此达到转移线段或角的目的.9．如图所示，ABCD 中，E 是BC 的中点，9AE =，12BD =，10AD =.求证：AE BD ⊥.【答案】见解析【解析】【分析】过D 作DF AE ∥交BC 的延长线于F ，得四边形AEFD 为平行四边形，由已知可得△BDF 三边长，再由勾股定理可知∠BDF =90°，即可证明结论.【详解】证明：过D 作DF AE ∥交BC 的延长线于F ，AE DF ∴∥，又AD EF ，∴四边形AEFD 为平行四边形，10EF AD ∴==，9DF AE ==，15BF ∴=.22222129225BD DF BF +=+==，90BDF ∴∠=︒，∴AE BD ⊥.【点睛】此题主要考查了勾股定理逆定理，平行四边形的性质，关键是平移AE 构造△DBF ，证出△BDF 是直角三角形．10．如图所示，ABC ∆中，90C ∠=︒，D ，E 分别为BC ，AC 上一点，BD CE =，AE BC =，求证：AD .【答案】见解析【解析】【分析】过A 作AG BD ，且AG BD =，连BG ，EG ，则ADBG 为平行四边形．再证明AEG CBE ∆∆≌，则GE =BE ，得△ADF 为等腰直角三角形即可证明结论【详解】证明：过A 作AG BD ，且AG BD =，连BG ，EG ，则四边形ADBG 为平行四边形，∵∠C =90°，∴∠GAE =∠C =90°，在△AEG 和△CBE 中，AG=CE AE=CB GAE C ⎧⎪∠=∠⎨⎪⎩，AEG CBE ∆∆≌，∴GE =BE ，∠GEA =∠EBC ，∴∠GEB =90°. BEG ∴为等腰直角三角形，∴AD BG ==【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质的运用，平角的性质的运用，平行四边形的判定及性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，解答时证明三角形全等是关键． 11．如图所示，四边形ACED 中，CE AD ∥，以DC ，DE 为边作平行四边形DCFE ，EC 的延长线交AF 于B ，求证：AB FB =.【答案】见解析【解析】【分析】延长FC 交AD 于点G ，可证明四边形CEDG 为平行四边形，可得FC =DE =CG ，可知BC 为△F AG 的中位线，可证明AB =FB ．【详解】证明：如图，延长FC 交AD 于点G ，∵四边形CDEF 为平行四边形，∴CF ∥DE ，CF =DE ，又∵CE ∥AD ，∴四边形CEDG 为平行四边形，∴CG =DE ，∴CF =CG ，且BC ∥AG ，∴BC 是△F AG 的中位线，∴B 为AF 的中点，即AB =FB ．【点睛】本题主要考查平行四边形的性质和判定，掌握平行四边形的性质和判定是解题的关键，即①两组对边分别平行的四边形⇔平行四边形，②两组对边分别相等的四边形⇔平行四边形，③一组对边分别平行且相等的四边形⇔平行四边形，④两组对角分别相等的四边形⇔平行四边形，⑤对角线互相平分的四边形⇔平行四边形．12．如图所示，ABC ∆中，90ACB ∠=︒，CD AB ⊥于D ，AE 平分CAB ∠交BC 于E ，交CD 于F ，FG AB ∥交BC 于G .求证：CE BG =.【答案】见解析【解析】【分析】要证CE BG∥，故过F作=，可设法将CE、BG集中到一个图形中，由已知FG ABFM BC，从而得到平行四边形FMBG.【详解】证明：过F作FM BC交AB于M，又FG AB∥，∴四边形FMBG是平行四边形，B BAC ACD BAC∠+∠=︒=∠+∠，∴=，由90BG FM∴∠=∠=∠，又AE平分CABB ACD AMF∠，∴=，又CEF B BAE ACD CAE CFE∠=∠+∠=∠+∠=∠，∴∆≅∆，CF MFACF AMF∴=，CE CF∴=.CE BG【点睛】此题主要考查平行四边形性质和判断理解及运用．利用平行四边形的判定定理作平行线，可构造平行四边形来达到转移线段或角的目的. 正确作出辅助线是解答本题的关键．13．如图所示，四边形ACED中，CE AD∥，以DC，DE为边作平行四边形DCFE，EC的延长线交AF于B，求证：2.AF BF【答案】见解析【解析】【分析】∥交CB的延长线于M，连结FM，先证明四边形AMED是平行四边形，过A作AM DE再证明四边形AMFC为平行四边形，然后根据平行四边形的性质即可得证.【详解】∥交CB的延长线于M，连结FM，证明：过A作AM DE∥，∵CE AD∴四边形AMED是平行四边形，∴AM=ED，∵四边形DCFE是平行四边形，∴DE∥CF,DE=CF,∴AM平行且等于CF，∴四边形AMFC为平行四边形，∴AB FB=，∴2=.AF BF【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，平行四边形的判定方法有：①两组对边分别平行的四边形是平行四边形；②一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；③两组对边分别相等的四边形是平行四边形；④对角线互相平分的四边形是平行四边形.=.14．如图所示，在三角形ABC中，AD是中线及角平分线，求证：AB AC【答案】见解析【解析】【分析】=，连结BE，CE，证四边形ABEC是平行四边形，得到BE=AC，延长AD至E，使DE ADBE∥AC，再证明△ABE是等腰三角形即可.【详解】证明：延长AD到E，使AD=DE，连接BE，CE，∵ BC、AE，相互平分，∴ ABEC是平行四边形，∴BE=AC，BE∥AC，∴∠BAD=∠DAC=∠BED，∴ AB=BE ，∴ AB=AC.【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，及等腰三角形的判定，正确作出辅助线是解答本题的关键.15．如图所示，ABC ∆中，90ACB ∠=︒，CD AB ⊥于D ，AE 平分CAB ∠交BC 于E ，交CD 于F ，FG AB ∥交BC 于G .求证：CG BE =.【答案】见解析【解析】【分析】过F 作FM BC 交AB 于M ，可证四边形BMFG 为平行四边形，从而FM BG =，再证明AFM AFC ∆≅∆，可证CF FM =，再证明CE=CF ，即可得出结论.【详解】证明：过F 作FM BC 交AB 于M ，∵FG AB∥，∴四边形BMFG为平行四边形，∴FM BG=，∵∠ACD+∠BAC=90°，∠B+∠BAC=90°，∴∠B=∠ACD，∵FM BC，∴AMF B∠=∠.∠=∠=∠.∴AMF B ACD∵AE平分CAB∠，∴∠CAF=∠BAF，∆≅∆.∴AFM AFC=.∴CF FM∠=∠+∠+∠=∠，又CEF B ACF CAE CFE∴CE=CF，∴CE CF BG==，∴CG BE=.【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质及等腰三角形的的判定，正确作出辅助线是解答本题的关键.16．如图，已知AD 为△ABC 的中线，点E 为AC 上一点，连接BE 交AD 于点F ，且AE ＝FE.求证：BF ＝AC ．【答案】证明见解析【分析】方法一：当题中有三角形中线时，常加倍中线构造平行四边形，利用平行四边形和等腰三角形的性质证得结论．方法二：向中线作垂线，证明BDG CDH ∆≅∆，得到BG CH =，再根据AE ＝FE ，得到角的关系，从而证明BGF CHA ∆≅∆，最终得到结论.【详解】方法一：延长AD 到G ，使DG ＝AD ，连接BG ，CG ，∵DG ＝AD ，BD ＝DC ，∴四边形ABGC 是平行四边形，∴AC//BG ，∠CAD ＝∠BGD ，又∵AE ＝FE ，∴∠CAD ＝∠AFE ，∴∠BGD ＝∠AFE ＝∠BFG ，∴BG ＝BF ，∵BG ＝A C ，∴BF ＝AC方法二：如图，分别过点B 、C 作BG AD ⊥，CH AD ⊥，垂足为G 、H ，则90BGD CHD ∠=∠=︒.BD CD =，BDG CDH ∠=∠，BDG CDH ∴∆≅∆，BG CH ∴=.AE FE =，EAF EFA ∴∠=∠，BFG EFA ∠=∠，BFG CAH ∴∠=∠，又90BGF CHA ∠=∠=︒，BGF CHA ∴∆≅∆，BF AC ∴=.【点睛】本题是较为典型的题型，至少可以用到两种方法来解题，此题的特点就是必须有中线这个条件才能构造平行四边形或双垂线.17．如图，D 为ABC 的AB 边上一点，E 为AC 延长线上的一点，且CE=BD ． （1）当AB=AC 时，求证：DE>BC（2）当AB≠AC 时，DE 与BC 有何大小关系？给出结论，画出图形，并证明．【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】试题分析：（1）如图1，过点D作DF∥BC，过点C作CF∥AB，连接EF，从而可得DF=BC，这样就把分散的线段集中到了△DEF中，只需证DE>DF即可；易证∠1=∠2，∠3=∠4，∠3>∠5，从而可得∠DFE>∠DEF，∴DE>DF，从而得到：DE>BC；（2）当AB AC时，我们要分AB>AC和AB<AC两种情况来讨论，其中：①当AB>AC，且AB=AE时，如图2，结合已知条件此时我们易证△ABC≌△AED，从而得到BC=DE；②当AB>AC，且AB>AE时，如图3，延长AE到F，使AF=AB，在AB上截取AN=AC，易证△ABC≌△AFN，得到∠F=∠B；再过D作DM∥BC，过C作CM∥BD，得到四边形DBCM是平行四边形，由此可得∠DMC=∠B=∠F，DM=BC；连接ME，则法通过在△DME中证∠DEM>∠DME得到DM>DE，从而得到BC>DE；③当AB>AC，且AB<AE时，如图4，延长AB到F，使AF=AE，在AE上截取AN=AD，连接NF，易证△AFN≌△AED，可得∠F=∠AED，由∠ABC>∠F得到∠ABC>∠AED；再作DM∥BC，CM∥AB，可得四边形DBCM是平行四边形，得到DM=BC，∠DMC=∠ABC，就可得∠DMC>∠AED；连接ME，在△DME中通过证∠DME>∠DEM，得到DE>DM，就可得到DE>BC；④当AB<AC<AE时，如图5，延长AB至F，使AF=AE，在AC上截取AN=AD；过点D作DM∥BC，过点C作CM∥AB，连接ME；同上可证：DE>BC.试题解析：（１）作DF∥BC，CF∥BD（如图1），得□BCFD，从而∠DFC＝∠B，DF＝BC，CF＝BD．又BD＝CE，∴CF＝CE，∴∠1＝∠2．∵AB＝AC，∴∠ACB＝∠B．而∠DFE＝∠DFC＋∠1＝∠B＋∠1＝∠ACB＋∠2＞∠AED＋∠2＝∠DEF，即在△DEF中，∵∠DFE＞∠DEF，∴DE＞DF，即DE＞BC．（２）当AB≠AC时，DE与BC的大小关系如下：当AB＞AC但AB＝AE时，DE＝BC；当AB＞AC且AB＞AE时，DE＜BC；当AB＞AC但AB＜AE时，DE＞BC；当AB＜AC时，DE＞BC．证明如下：①当AB＞AC但AB＝AE时（如图2），∵BD＝CE，∴AB－BD＝AE－CE，即AD＝AC．在△ABC和△AED中，∵AB＝AE，∠A＝∠A，AC＝AD，∴△ABC≌△AED（SAS），∴BC＝ED；②当AB＞AC且AB＞AE时，延长AE到F，使AF＝AB，在AB上截取AN＝AC（如图3），连结NF．在△ABC和△AFN中，∵AB＝AF，∠A＝∠A，AC＝AN，∴△ABC≌△AFN（SAS），∴∠B＝∠F．∵∠AED＞∠F，∴∠AED＞∠B．过D点作DM∥BC，过点C作CM∥AB，连结EM，则四边形DBCM为平行四边形，∴∠DMC＝∠B，CM＝BD，DM=BC，∵BD=CE，∴CM＝CE，∴∠CME＝∠CEM，∵∠DMC＝∠B＜∠AED，∴∠CME＋∠DMC＜∠AED＋∠CEM，即∠DME＜∠DEM，∴DE＜DM，∴DE＜BC；③当AB＞AC但AB＜AE时，延长AB到F，使AF＝AE，在AE上截取AN＝AD（如图4），连结NF,在△AFN和△AED中，∵AF＝AE，∠A＝∠A，AN＝AD，∴△AFN≌△AED（SAS），∴∠F＝∠AED，∵∠ABC＞∠F，∴∠ABC＞∠AED，过D点作DM∥BC，过点C作CM∥AB，连接EM，则四边形DBCM为平行四边形，∴∠DMC＝∠ABC，CM＝BD，∵BD＝CE，∴CM＝CE，∴∠CME＝∠CEM，∵∠DMC＝∠ABC＞∠AED，∴∠DMC＋∠CME＞∠AED＋∠CEM，即∠DME＞∠DEM，∴ DE＞DM，∴ DE＞BC；④当AB＜AC时，此时，AB必小于AE，即AB＜AE延长AB到Ｆ，使AF＝AE，在AE上截取AN＝AD（如图5）．连结NF．在△AFN和△AED中，∵AF＝AE，∠A＝∠，AN＝AD，∴△AFN≌△AED（SAS），∴∠F＝∠AED，即∠F＝∠4．∵∠ABC＞∠F，∴∠ABC＞∠AED，过D作DM∥BC，过点C作CM∥AB，连结CM，则四边形DBCM平行四边形，∴∠DMC＝∠ABC，CM＝BD，DM=BC，∵BD＝CE，∴CM＝CE，∴∠CME＝∠CEM．∵∠DMC＝∠ABC＞∠AED，∴∠DMC＋∠CDE＞∠AED＋∠CEM，即∠DME＞∠DEM，∴DE＞DM，∴DE＞BC.点睛：本题这种由一个“基本情形”（特殊情形）推广到“一般情形”的探究型问题，首要的是要弄清基本问题的解题思路（本题就是把线段BC通过平移到DM的位置，从而使两条分散的线段集中到一个△DME中，再利用“在同一个三角形中，较大的角所对的边也较大”来解决问题的）；而在推广到“一般情形”时，就是通过作辅助线把“一般情形”转化为“基本情形”来解（本题中第二问就是按这样的思路来寻找到解题方法的）.三、填空题18．如图，在梯形ABCD 中，AB CD AD BC =，∥ ，对角线AC BD ⊥，且AC =则梯形ABCD 的中位线的长为_________.【答案】5【解析】【详解】解：过C 作CE ∥BD 交AB 的延长线于E ，∵AB ∥CD ，CE ∥BD ，∴四边形DBEC 是平行四边形，∴CE=BD ，BE=CD∵等腰梯形ABCD 中，AC=BD ∴CE=AC∵AC ⊥BD ，CE ∥BD ，∴CE ⊥AC∴△ACE是等腰直角三角形，∵AC=∴AC=10，∴AB+CD =AB+BE=10，∴梯形的中位线=12AE=5，故答案为：5．【点睛】本题考查了梯形的中位线定理，牢记定理是解答本题的重点，难点是题目中的辅助线的做法．。
2020春冀教版八年级数学下册 第22章 全章考点专训(付,142) 点拨习题
∠CDF＝∠ADF＝ 1 ∠ADC. 2
∴∠ABE＝∠CBE＝∠CDF＝∠ADF.
∵∠DFB＝∠C＋∠CDF，∠BED＝∠ABE＋∠A，
∴∠DFB＝∠BED.
∴四边形BFDE是平行四边形．
方法 4 利用两组对边分别相等判定平行四边形
4．如图，已知△ABD，△BCE，△ACF都是等边三角 形．求证：四边形ADEF是平行四边形．
证明：(1)∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB∥DC. ∴∠ABE＝∠ECF.又∵点E为BC的中点， ∴BE＝CE.又∵∠AEB＝∠FEC，∴△ABE≌△FCE. ∴AB＝CF. 又∵AB∥CF， ∴四边形ABFC为平行四边形．∴AE＝EF. ∵∠AEC为△ABE的外角， ∴∠AEC＝∠ABC＋∠EAB. 又∵∠AEC＝2∠ABC， ∴∠ABC＝∠EAB. ∴AE＝BE. ∴AE＋EF＝BE＋CE，即AF＝BC. ∴四边形ABFC为矩形．
3．如图，在▱ABCD中，BE平分∠ABC，交AD于点E， DF平分∠ADC，交BC于点F，那么四边形BFDE是 平行四边形吗？请说明理由．
解：四边形BFDE是平行四边形．
理由：在▱ABCD中，∠ABC＝∠CDA，∠A＝∠C.
∵BE平分∠ABC，DF平分∠ADC，
∴∠ABE＝∠CBE＝
1 2
∠ABC，
解：(2)直线EG经过一个定点．理由如下： 如图，连接BD，DE，BG.设EG与BD交于O点． ∵BE ＝∥ DG， ∴四边形BGDE为平行四边形． ∴BD，EG互相平分．∴BO＝OD. ∴点O为正方形ABCD的对角线的交点． ∴直线EG必过正方形ABCD的对角线的交点．
习题课 阶段方法技巧训练（一）
∵点P的速度为5 cm/s，点Q的速度为4 cm/s，
平行四边形的判定与性质题型总结(归纳的很整齐)
平行四边形平行四边形的性质第一课时平行四边形的边、角特征知识点梳理1、有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形，平行四边形ABCD记作□ABCD。
2、平行四边形的对边相等，对角相等，邻角互补。
3、两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条直线之间的距离。
知识点训练1．如图，两张对边平行的纸条，随意交叉叠放在一起，转动其中一张，重合的部分构成一个四边形，这个四边形是________．2．如图，在□ABCD中，EF∥BC，GH∥AB，EF，GH相交于点O，那么图中共有平行四边形( )A．6个B．7个C．8个D．9个3．在□ABCD中，AB＝6 cm，BC＝8 cm，则□ABCD的周长为 cm.4．用40 cm长的绳子围成一个平行四边形，使其相邻两边的长度比为3∶2，则较长的边的长度为 cm.5．在□ABCD中，若∠A∶∠B＝1∶5，则∠D＝；若∠A＋∠C＝140°，则∠D＝．6．如图，在□ABCD中，DE平分∠ADC，AD＝6，BE＝2，则□ABCD的周长是．7．如图，在平行四边形ABCD中，过点C的直线CE⊥AB，垂足为E，若∠EAD＝53°，则∠BCE的度数为( )A．53°B．37°C．47°D．123°8．如图所示，已知在平行四边形ABCD中，BE＝DF.求证：AE＝CF.9．如图，点E，F分别是□ABCD中AD，AB边上的任意一点，若△EBC的面积为10 cm²，则△DCF的面积为。
10．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，记△ABO的面积为S1，△COD的面积为S2，则S1，S2的大小关系是( )A．S1>S2 B．S1＝S2 C．S1＜S2 D．无法比较11．在□ABCD中，∠A∶∠B∶∠C∶∠D的值可能是( )A．1∶2∶3∶4 B．1∶2∶2∶1C．2∶2∶1∶1 D．2∶1∶2∶112．如图，将平行四边形ABCD折叠，使顶点D恰落在AB边上的点M处，折痕为AN，那么对于结论：①MN∥BC；②MN＝AM，下列说法正确的是( )A．①②都对 B．①②都错 C．①对②错 D．①错②13．如图，在□ABCD中，BE⊥CD，BF⊥AD，垂足分别为E，F，CE＝2，DF＝1，∠EBF＝60°，则□ABCD的周长为__．14．如图，□ABCD与□DCFE的周长相等，且∠BAD＝60°，∠F＝110°，则∠DAE的度数为。
平行四边形构造方法专训
平行四边形构造方法专训1.使用直尺和指南针构造平行四边形：首先，画出一条代表平行四边形的一条边。
然后，使用指南针在一端画出这条边的等长线段，再使用直尺连接这两条线段的另一端，就可以得到平行四边形的另一条边。
接下来，重复这个过程，将第二条边也延长为等长线段，并使用直尺连接两条延长线段的另一端，即可得到平行四边形的剩余两条边。
确保所画的边是平行的，并且相邻边相等，就构造成功了一个平行四边形。
2.使用平行线判定构造平行四边形：如果有两条直线，并且已知这两条直线上的两点A和B，以及另一条直线上的一点C，则可以通过平行线判定来构造一个平行四边形。
首先，通过点A和B分别画一条直线，然后通过点C画一条与两条直线相交的直线。
如果两条相交的线段是平行的，则可以通过将点C向任意方向移动，构建出一个平行四边形。
这是因为平行线的性质决定了它们之间的距离始终保持不变。
3.使用平行四边形的特性构造平行四边形：如果已知一个平行四边形的一个内角，以及该角对应的两个相邻边的长度，则可以通过平行四边形的性质来构造其他三个角和边。
首先，通过已知的一个内角，使用直尺在平行四边形内部画出另一个角的边。
然后，使用指南针测量已知两边的长度，并在另一个角的边上重复这个长度。
接下来，使用直尺连接两个角的顶点，并确保连接的线和已知边平行。
最后，使用指南针测量其中一个角的对角线的长度，并在相对角的边上重复这个长度，即可构造出平行四边形的最后一条边。
以上是三种常见的平行四边形构造方法，通过这些方法，我们可以准确和简便地构建出一个平行四边形。
与此同时，这些方法也让我们了解到了平行四边形的构成特性和性质，为进一步研究更复杂的几何形状奠定了基础。
总结一下，平行四边形的构造方法有很多，其中包括使用直尺和指南针、平行线判定以及利用平行四边形的已知特性。
每种方法都有其独特的优势和适用场景，在实际应用中可以根据需要灵活选择。
通过学习这些构造方法，我们能够更深入地理解平行四边形的性质和特点，并将这些知识应用到解决实际问题中。
第18章：《四边形》八大专题训练
第18章：《四边形》八大专题训练专训1 判定平行四边形的五种常用方法◐名师点金◑判定平行四边形的方法通常有四种，即定义和四种判定定理，选择判定方法时，一定要结合题目的条件，选择恰当的方法，从而简化解题过程．方法1：利用两组对边分别平行判定平行四边形1．如图，在□ABCD中，E，F分别为AD，BC上的点，且BF＝DE，连结AF，CE，BE，DF，AF与BE相交于M点，DF与CE相交于N点．求证：四边形FMEN为平行四边形．方法2：利用两组对边分别相等判定平行四边形2．如图，已知△ABD，△BCE，△ACF都是等边三角形．求证：四边形ADEF是平行四边形．方法3：利用一组对边平行且相等判定平行四边形3．如图，AB∥CD，AB＝CD，点E，F在BC上，且BE＝CF.(1)求证：△ABE≌△DCF；(2)试证明：以A，F，D，E为顶点的四边形是平行四边形．方法4：利用两组对角分别相等判定平行四边形4.如图,在□ABCD中,BE平分∠ABC,交CD于点E,DF平分∠ADC,交AB于点F,那么四边形BFDE是平行四边形吗？请说明理由。
方法5：利用对角线互相平分判定平行四边形5．如图①，□ABCD中，点O是对角线AC的中点，E F过点O，与AD，BC分别相交于点E，F，GH过点O，与AB，CD分别相交于点G，H，连结EG，FG，FH，EH.(1)求证：四边形EGFH是平行四边形；(2)如图②，若EF∥AB，GH∥BC，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图②中与四边形AGHD 面积相等的所有平行四边形(四边形AGHD除外)．专训2 平行四边形的性质与判定的四种常见应用题型◐名师点金◑平行四边形的性质与判定定理的应用是中考的重点内容之一，从平行四边形的边、角、对角线等方面进行考查，题型多样，一般以简单题为主，有向解决实际问题方面发展的趋势．题型1：利用性质与判定判定平行四边形1．如图，在□ABCD中，AE，CF分别是∠DAB，∠BCD的平分线．求证：四边形AFCE是平行四边形．题型2：利用性质与判定探究线段的关系2．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，AE∥BC，CE⊥AE，垂足为E.(1)求证：△ABD≌△CAE；(2)连结DE，线段DE与AB之间有怎样的位置和数量关系？请说明理由．题型3：利用性质与判定探究四边形的动点问题3．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝5，BC＝8，M是CD的中点，P是BC边上的一个动点(点P 与点B，C不重合)，连结PM并延长交AD的延长线于点Q.问：当BP取何值时，四边形ABPQ是平行四边形？请说明理由．题型4：利用性质与判定解决翻折问题4．如图，在长方形纸片ABCD中，翻折∠B，∠D，使BC，AD都恰好落在AC上，F，H分别是B，D落在AC上的两点，E，G分别是折痕CE，AG与AB，CD的交点．(1)求证：四边形AECG是平行四边形；(2)若AB＝4 cm，BC＝3 cm，求线段EF的长．专训3 特殊平行四边形间的关系的综合应用◐名师点金◑菱形、矩形、正方形都是特殊的平行四边形,其性质除具有平行四边形的一切性质外,还都有各自的性质.它们的判定方法也各不相同,它们的性质和判定的应用很广泛,在应用中常常将不同的特殊平行四边形综合在同一题中进行考查,因此需正确区分各种特殊平行边形的性质和判定。
人教版初二数学8年级下册 第18章(平行四边形)动点问题专项训练(含答案)
人教版数学八年级下期第十八章平行四边形动点问题训练1.如图，P为正方形ABCD的边BC上一动点（P与B、C不重合），点Q在CD边上，且BP=CQ，连接AP、BQ交于点E，将△BQC沿BQ所在的直线对着得到△BQN，延长QN交BA的延长线于点M．（1）求证：AP⊥BQ；（2）当P在BC何处时，点N是MQ的中点．（3）若AB=3，P是BC的三等分点，求QM的长；2.如图，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的动点，连接AE，以AE为边在AE的右上侧作Rt△AEF，使得∠AEF=90°，AE=EF，再过点F作FG⊥BC，交BC的延长于点G．（1）求证：∠BAE=∠GEF；（2）求证：CG=FG；（3）填空：若正方形ABCD的边长是2，当点E从点B运动到点C的过程中，点F也随之运动，则点F运动的痕迹的长是______．3.如图，点P是正方形ABCD（在小学，同学们学习过：正方形四边相等，四个角都是直角）对角线AC上一动点，点E在射线BC上，且PB=PE，连结PD，O为AC 中点．（1）如图①，当点P在线段AO上时，猜想PE与PD的关系，并说明理由；（2）如图②，当点P在线段OC上时，（1）中的猜想还成立吗？请说明理由．4.如图，已知菱形ABCD中，∠BAD=60°，点E、F分别是AB、AD上两个动点，若AE=DF，连接BF与DE相交于点G，连接CG，（1）求∠BGE的大小；（2）求证：GC平分∠BGD．5.如图，在平行四边形ABCD中，AB=10，AD=16，∠A=60°，P是射线AD上一点，连接PB，沿PB将△APB折叠，得△A'PB．（1）如图1所示，当∠DPA'=10°时，∠A'PB=______度；（2）如图2所示，当PA'⊥BC时，求线段PA的长度；（3）当点P为AD中点时，点F是边AB上不与点A，B重合的一个动点，将△APF 沿PF折叠，得到△A'PF，连接BA'，求△BA'F周长的最小值．6.如图，边长为8的正方形ABCD的対角线AC，BD交于点O，M是AB边上一动点，ME⊥AO，MF⊥BO．（1）求证：四边形OEMF为矩形；（2）连接EF，求EF的最小值．7.如图，在正方形ABCD中，点E是AD边上的一个动点，连接BE，以BE为斜边在正方形ABCD内部构造等腰直角三角形BEF，连接CF．（1）求证：∠DEF+∠CBF=90°；，求△BEF的面积；（2）若AB=3，△BCF的面积为32（3）求证：DE=2CF．8.如图，在菱形ABCD中，AB＝2，∠DAB＝60°，点E是AD边的中点，点M是AB边上的一个动点（不与点A重合），延长ME交CD的延长线于点N，连接MD，AN．（1）求证：△NDE≌△MAE；（2）求证：四边形AMDN是平行四边形；（3）当AM的值为何值时，四边形AMDN是矩形？请说明理由．9.如图，已知四边形ABCD为正方形，AB=42，点E为对角线AC上一动点，连接DE、过点E作EF⊥DE．交BC点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFC，连接CG．（1）求证：矩形DEFG是正方形；（2）探究：CE+CG的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．10.如图,已知矩形ABCD中,E是AD边上的一个动点,点F,G,H分别是BC,BE,CE的中点.(1)求证:△BGF≅△FHC;(2)设AD=a,当四边形EGFH是正方形时,求矩形ABCD的面积.11.如图，已知矩形ABCD中，AB＝5，AD＝2＋13．菱形EFGH的顶点H在边AD上，且AH＝2，顶点G、E分别是边DC、AB上的动点，连结CF．（1）当四边形EFGH为正方形时，直接写出DG的长；（2）若△FCG的面积等于3，求DG的长；（3）试探究点G运动至什么位置时，△FCG的面积取得最小值.12.如图，P为正方形ABCD的边AD上的一个动点，AE⊥BP，CF⊥BP，垂足分别为点E，F，已知AD=4，试说明AE2+CF2的值是一个常数．13.如图，在△ABC中，CA＝CB，∠ACB=90°，AB＝5，点D是边AB上的一个动点，连接CD，过C点在上方作CE⊥CD，且CE=CD，点P是DE的中点.(1)如图①，连接AP，判断线段AP与线段DE的数量关系并说明理由；(2)如图②，连接CP并延长交AB边所在直线于点Q，若AQ＝2，求BD的长.14.如图,D、E分别是△ABC的边AB、AC的中点,O是△ABC内一动点,F、G分别是OB、OC的中点.判断四边形DEGF的形状,并说明理由.15.在正方形ABCD中，如图1，点E是AB边上的一个动点（点E与点A、B不重合），连接CE，过点B作BF⊥CE于点G，交AD于点F.（1）求证：△ABF≌△BCE.（2）如图2，当点E运动到AB中点时，连接DG，若AB=2，求DG的长.16.如图，在矩形ABCD中，BC=4，AB=10，E为CD边上的一点，DE=7，动点P从点A出发，以每秒1个单位的速度沿着边AB向终点B运动，连接PE．设每秒运动的时间为t秒．（1）求BE的长；（2）当t为多少秒时，△BPE是直角三角形．参考答案1.（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC=∠C=90°，AB=BC，在△ABP和△BCQ中，AB=BC∠ABC=∠CBP=CQ，∴△ABP≌△BCQ（SAS），∴∠BAP=∠CBQ，∵∠BAP+∠APB=90°，∴∠CBQ+∠APB=90°，∴∠BEP=90°，∴AP⊥BQ；（2）解：由折叠的性质得：NQ=CQ，∠BNQ=∠C=90°，∠NBQ=∠CBQ，∴∠BNM=90°，∵点N是MQ的中点，∴NQ=MN，由（1）得：MQ=MB，∴MN=12MB，∴∠MBN=30°，∴∠CBN=60°，∴∠NBQ=∠CBQ=30°，∴CQ=33BC，∴BP=CQ=33BC，即BP=33BC时，点N是MQ的中点．（3）解：∵四边形ABCD是正方形，AB=3，P是BC的三等分点，∴BP=2CP，或CP=2BP，①当BP=2CP时，BP=2，由折叠的性质得：NQ=CQ=BP=2，BN=BC=3，∵∠NQB=∠CQB=∠ABQ，∴MQ=MB，设MQ=MB=x，则MN=x-2，在Rt△MBN中，MB2=BN2+MN2，即x 2=32+（x -2）2，解得：x =134，即MQ =134；②当CP =2BP 时，BP =1，由折叠的性质得：NQ =CQ =BP =1，BN =BC =3，∵∠NQB =∠CQB =∠ABQ ，∴MQ =MB ，设MQ =MB =x ，则MN =x -1，在Rt △MBN 中，MB 2=BN 2+MN 2，即x 2=32+（x -1）2，解得：x =5，即MQ =5；综上所述，若AB =3，P 是BC 的三等分点，QM 的长为134或5．2.解：（1）∵∠AEF =90°，∴∠AEB +∠FEG =90°，∵四边形ABCD 是正方形，∴∠B =90°，∴∠AEB +∠BAE =90°，∴∠BAE =∠GEF ，（2）在△ABE 和△EGF 中，∠ABE =∠EGF ∠BAE =∠GEF AE =EF，∴△ABE ≌△EGF （AAS ），∴BE =GF ，AB =EG ，∴BE =CG ，∴CG =FG ；（3）223.解:（1）当点P在线段AO上时PE=PD且PE⊥PD.理由：当点P在线段AO上时,在△ABP和△ADP中AB=AD∠BAP=∠DAP=45∘AP=AP∴△ABP≌△ADP,∴BP=DP,∵PB=PE,∴PE=PD,如图，过点P作PM⊥CD于点M,作PN⊥BC于点N,∵AC平分∠BCD，∴PM=PN，在Rt△PNE与Rt△PMD中,∵PD=PE,PM=PN∴Rt△PNE≌Rt△PMD,∴∠DPM=∠EP N,易得∠MPN=90∘,∴∠DPE=90∘,故PE⊥PD,PE与PD的数量关系和位置关系分别为:PE=PD,PE⊥PD;（2）当点P在线段OC上时，（1）中的猜想成立；如图2,当点P在线段OC上时，∵四边形ABCD是正方形，AC为对角线，∴BA=DA，∠BAP=∠DAP=45°，又PA=PA，∴△BAP≌△DAP(SAS)，∴PB=PD，又∵PB=PE，∴PE=PD，①当点E与点C重合时，PE⊥PD；②当点E在BC的延长线上时，如图2所示，∵△BAP≌△DAP，∴∠ABP=∠ADP，∠CDP=∠CBP，∵PB=PE，∴∠CBP=∠PEC，故∠PEC=∠PDC，∵∠1=∠2，∴∠DPE=∠DCE=90°，∴PE⊥PD，综上所述：PE⊥PD，当点P在线段OC上时，（1）中的猜想成立；4.解：（1）∵四边形ABCD是菱形∴AD=AB，∠BAD=60°∴△ADB是等边三角形∴AD=AB=BD，∠DAB=∠ADB=∠ABD∵AE=DF，∠DAB=∠ADB=60°，AD=BD∴△ADE≌△DBF（SAS）∴∠ADE=∠DBF又∠BGE=∠BDE+∠DBF=∠BDE+∠ADE=∠ADB∴∠BGE=∠ADB=60°（2）如图，过点C作CN⊥BF于点N，过点C作CM⊥ED于点M，由（1）得∠ADE=∠DBF∴∠CBF=60°+∠DBF=60°+∠ADE=∠DEB又∠DEB=∠MDC∴∠CBF=∠CDM∵BC=CD，∠CBF=∠CDM，∠CMD=∠CNG=90°∴Rt△CBN≌Rt△CDM（AAS）∴CN=CM，且CN⊥BF，CM⊥ED∴点C在∠BGD的平分线上即GC平分∠BGD5.856.（1）证明：∵ME⊥AO，MF⊥BO，∴∠MEO=90°，∠MFO=90°，∵正方形ABCD的対角线AC，BD交于点O，∴∠EOF=90°，∴四边形OEMF为矩形；（2）解：∵边长为8的正方形ABCD的対角线AC，BD交于点O，∴利用勾股定理可以得到OA=OB=42，当M在AB的中点时，EF有最小值，最小值=OE2+OF2=(22)2+(22)2=4.7.证明：（1）过点F作MN⊥AD于点M，交BC于点N，∴∠MEF+∠EFM=90°，∵∠EFB=90°，∴∠BFN +∠EFM =90°，∴∠MEF =∠BFN ，在正方形ABCD 中，AD ∥BC ．∴MN ⊥BC ，∴∠FBN +∠BFN =90°，∴∠FBN +∠MEF =90°，即∠DEF +∠CBF =90°；证法二：在正方形ABCD 中，AD ∥BC ，∴∠DEB +∠CBE =180°，即∠DEF +∠BEF +∠EBF +∠CBF =180°，∵∠EFB =90°，∴∠BEF +∠EBF =90°，∴∠DEF +∠CBF =90°；（2）由（1）得MN ⊥AD ，∴正方形ABCD 的性质得四边形MNCD 是矩形，∴MN =CD =AB =3，在△BFN 与△FEM 中，由（1）得∠MEF =∠BFN ，∠EMF =∠FNB =90°，∵△BEF 为等腰直角三角形，∴BF =EF ，在△BFN 与△FEM 中，∠EMF =∠FNB ∠MEF =∠BFN BF =EF，∴△BFN ≌△FEM （AAS ），∵BC =AB =3，∴S △BCF =12BC ⋅FN =32FN =32，∴FN =1．∴BN =FM =MN -FN =2，在Rt △BFN 中，EF =BN 2+FN 2=12+22=5，∴S △BEF =12BF 2=12×(5)2=52；（3）在△BFN与△FEM中由（2）△BFN≌△FEM，MD=NC，∴BN=FM，EM=FN，∵MN=AB=BC，∴FM+FN=BN+NC，∴FN=NC=MD=EM，∴∠FCN=45°，DE=2MD=2CN，CF，在Rt△FNC中，CN=22∴DE=2×2CF=2CF．28.（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴ND∥AM，∴∠NDE=∠MAE，∵点E是AD中点，∴DE=AE，在△NDE和△MAE中，∠NDE=∠MAEDE=AE，∠DEN=∠AEM∴△NDE≌△MAE（ASA）；（2）∵△NDE≌△MAE，∴ND=MA，∴四边形AMDN是平行四边形；（3）解：当AM=1时，四边形AMDN是矩形．理由如下：∵四边形ABCD是菱形，∴AD=AB=2，∵四边形AMDN是矩形，∴DM⊥AB，即∠DMA=90°，∵∠DAB=60°，∴∠ADM=30°，∴AM=12AD=1．9.解：（1）如图所示，过E作EM⊥BC于M点，过E作EN⊥CD于N点，∵正方形ABCD，∴∠BCD=90°，∠ECN=45°，∴∠EMC=∠ENC=∠BCD=90°，且NE=NC，∴四边形EMCN为正方形，∵四边形DEFG是矩形，∴EM=EN，∠DEN+∠NEF=∠MEF+∠NEF=90°，∴∠DEN=∠MEF，又∠DNE=∠FME=90°，在△DEN和△FEM中，∠DNE=∠FME EN=EM∠DEN=∠FEM，∴△DEN≌△FEM（ASA），∴ED=EF，∴矩形DEFG为正方形，（2）CE+CG的值为定值，理由如下：∵矩形DEFG为正方形，∴DE=DG，∠EDC+∠CDG=90°，∵四边形ABCD是正方形，∵AD=DC，∠ADE+∠EDC=90°，∴∠ADE=∠CDG，在△ADE和△CDG中，AD=CD∠ADE=∠CDG DE=DG，∴△ADE≌△CDG（SAS），∴AE=CG，∴AC=AE+CE=2AB=2×42=8，∴CE+CG=8是定值．10. (1)∵点F,H分别是BC,CE的中点,∴FH //BE ,FH =12BE ,∴∠CFH =∠CBG .又∵点G 是BE 的中点,∴FH =BG .又∵BF =FC ,∴△BGF ≅△FHC .(2)连接EF ,GH .当四边形EGFH 是正方形时,可知EF ⊥GH且EF =GH .∵在△BEC 中,点G ,H 分别是BE ,EC 的中点,∴GH =12BC =12AD =12a ,且GH //BC ,∴EF ⊥BC .又∵AD //BC ,AB ⊥BC ,∴AB =EF =GH =12a ,∴S 矩形ABCD =AB ⋅AD =12a ⋅a =12a 211.解：（1）∵四边形EFGH 为正方形，∴HG =HE ，∠ADG =∠HAE =90°，∵∠DHG +∠AHE =90°，∠DHG +∠DGH =90°，∴∠DGH =∠AHE ，∴△DGH ≌△AHE （AAS ），∴DG =AH =2；（2）如图，作FM⊥DC，M为垂足，连结GE．∵AB∥CD，∴∠AEG＝∠MGE，∵HE∥GF，∴∠HEG＝∠FGE，∴∠AEG-∠HEG＝∠MGE-∠FGE，即∠AEH＝∠MGF，又∠A＝∠M＝90°，HE＝FG，∴△AHE≌△MFG，∴FM＝HA＝2，即无论菱形EFGH如何变化，点F到直线CD的距离恒等于2，∴S▵FCG=1×2⋅GC=3，2解得GC＝3，∴DG＝2；（3）设DG＝x，则CG＝5-x，由（2）可知，S△FCG＝5-x．要使△FCG的面积最小，须使x最大，∵在Rt△DHG中，DH=13，∴当GH取得最大时，x最大当点E与点B重合时，HE最大，此时，HE=22+52=29，则GH=HE=29，在Rt△DHG中，x=(29)2−(13)2=4，∴当DG＝4时，△FCG的面积取得最小值．12.解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠AEB=∠BFC=90°，AB=BC，又∵∠ABE+∠FBC=∠BCF+∠FBC，∴∠ABE=∠BCF，在△ABE和△BCF中，AB=BC∠ABE=∠BCF∴△ABE≌△BCF（AAS），∠AEB=∠BFC∴AE=BF，∴AE2+CF2=BF2+CF2=BC2=AD2=16为常数．13.解：（1）AP=1DE，理由如下：2连接AE.∵CE⊥CD，∴∠ACE+∠ACD=90°，∵∠ACB=90°，∴∠BCD+∠ACD=90°，∴∠ACE=∠BCD，在△BCD和△ACE中，CE=CD∠ACE=∠BCD，AC=BC∴△BCD≌△ACE（SAS），∴∠EAC=∠B=45°，∴∠EAD=90°，∵P为DE中点，DE.∴AP=12（2）①当Q在边AB上时，连接AE，EQ.∵P 为DE 中点，CE =CD ，∴PC 垂直平分DE ，∴DQ =QD ，∵AB =5，AQ =2，∴BD =3，设BD =AE =x ，则QD =EQ =3-x ，在Rt △AEQ 中，AE 2+AQ 2=QE 2，即x 2+22=(3-x )2解得x =56;当Q 在BA 延长线上时，连接AE ，EQ ，如图，设BD =AE =x ，同理可得AE 2+AQ 2=QE 2，即x 2+22=(7-x )2解得x =4514.综上可得BD =56或4514.14.解析 四边形DEGF 是平行四边形.理由:∵D 、E 分别是△ABC 的边AB 、AC 的中点,∴DE =12BC ,DE //BC ,∵F、G分别是OB、OC的中点,BC,FG//BC,∴FG=12∴DE=FG,DE//FG,∴四边形DEGF是平行四边形15.（1）证明：∵BF⊥CE，∴∠CGB=90°，∴∠GCB+∠GBC=90°，又∵四边形ABCD为正方形，∴∠GBA+∠GBC=90°，∴∠GCB=∠FBA，又∵BC=AB，∠FAB=∠EBC=90°，在△ABF与△BCE中，∠GCB=∠FBABC=AB，∠EBC=∠FAB∴△ABF≌△BCE（SAS）；（2）解：过点D作DH⊥CE于点H，∵E为AB中点，∴EB=1，∵AB=2，∴BC=2，∴CE=BC2+EB2=22+12=5，在Rt △CEB 中，由CE •BG =EB •BC 得BG =EB ⋅BC CE =1×25=255，∴CG =455，∵∠DCE +∠BCE =∠BCE +∠CBF =90°，∴∠DCE =∠CBF ，又∵DC =BC =2，∠CHD =∠CGB =90°，在△CHD 与△BGC 中，∠CHD =∠CGB =90°∠DCE =∠CBF DC =BC，∴△CHD ≌△BGC （AAS ）∴CH =BG =255，∴GH =CG -CH =255=CH ，∵DH =DH ，∠CHD =∠GHD =90°，在△DGH 与△DCH 中，GH =CH ∠GHD =∠CHD DH =DH，∴△DGH ≌△DCH （SAS ），∴DG =DC =2．16.解：（1）在矩形ABCD 中，∠C =∠B =90°，CD =AB =10，在Rt △BCE 中，CE =CD -ED =10-7=3，根据勾股定理得，BE =BC 2+CE 2=42+32=5，（2）①当以P 为直角顶点时，即∠BPE =90°，则∠C =∠B =∠BPE =90°，∴四边形CBPE 是矩形，∴BP =CE =3，即10-t =3，∴t =7，②当以E 为直角顶点时，即∠BEP =90°，由勾股定理得，BE 2+PE 2=BP 2，过点P 作PF ⊥CD 于F ，则PF=AD=4，DF=AP，设AP=t，则EF=7-t，BP=10-t，PE2=42+（7-t）2，∴52+42+（7-t）2=（10-t）2，，解得，t=53∴当t=7或5秒时，△BPE是直角三角形．3。
构造平行四边形8招
构造平行四边形8招吴健张崇俊平行四边形是特殊的四边形，它具有对边相等、对角相等、对角线互相平分等诸多性质。
在证（解）一些几何问题时，若能根据图形的特征，添加恰当的辅助线构造平行四边形，并利用其性质可使问题化难为易，化繁为简，证明过程极为简便。
下面分类举例说明。
一、构造平行四边形证两线段平行例1 在△ABC，AC>AB，在它的两边AB、AD上分别截取BD=CE，F、G分别是BC 和DE的中点，求证：FG和∠BAC的平分线AT平行。
分析：要证FG∥AT，须证四边形GFKN是平行四边形，而四边形GFKN可通过角平分线AT和中点去构造。
如图。
证明：过B、D分别作AT的垂线，垂足分别为K、N，且分别交AC于M、Q，连接GN、FK，则由AT平分∠BAC，得DN=NQ，又由DG=EG得NG EQ，同理FK MC。
又由TA平分∠BAC，DN⊥AN，BK⊥AK得BD=MQ，又BD=CE，∴QE=MC，∴NG FK。
∴四边形GFKN是平行四边形。
故FG和∠BAC的平分线平行。
二、构造平行四边形证两线段相等例2 如图，△ABC中，AB=AC，E是AB上一点，F是AC延长线上一点，BE=CF，EF交BC于D，求证：DE=DF。
证明：过E作EG∥AC交BC于G，连接CE、GF。
∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB。
∵∠EGB=∠ACB，∴∠ABC=∠EGB，∴EG=BE。
∵BE=CF，∴EG=CF，又EG∥CF，∴四边形EGFC是平行四边形，∴DE=DF。
三、构造平行四边形证两线段互相平分例3 平行四边形ABCD中，E、F分别在AD、BC上，且AE=CF，AF与BE相交于G，CE与DF相交于H，求证EF与GH互相平分。
分析：欲证EF与GH互相平分，只须四边形EGFH为平行四边形，利用已知条件可知四边形AFCE、四边形EBFD都是平行四边形，所以可得AF∥EC，BE∥DF，从而四边形GFHE为平行四边形。
证明：平行四边形ABCD中，AD BC。
数学 平行四边形的专项 培优练习题附答案
∴ FG＝DG，∴ BM＝FG， ∵ ∠ BAC＝∠ EAH＝45°，
∴ ∠ BAE＝∠ FAH，
∵ FG⊥AC，
∴ ∠ AFH＝90°，
在△ ABE 和△ AFH 中，
B AFH 90
AB
AF
，
BAE FAH
∴ △ ABE≌ △ AFH（ASA），
∴ BE＝FH， ∵ BM＝BE+EM，FG＝FH+HG，
（2）证明：延长 GF 交 BC 于 M，连接 AG，如图 2 所示：
则△ CGM 和△ CFG 是等腰直角三角形，
人教版初二下册探究平行四边形中解题技巧与方法知识点总结
人教版初二下册探究平行四边形中解题技巧与方法知识点总结一、平行四边形的性质与鉴定：1、本质：“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”，与角巨细、边长短变化无关，是特殊四边形。
2、借助全等三角形的鉴定和性质易得平行四边形性质：边：对边平行且相等；角：对角相等，邻角互补；对角线：对角线互相平方；注意：凡可用平行四边形性质办理的不思虑三角形全等办理。
3、平行四边形鉴定：①由边：两组对边分别平行；或一组对边平行且相等；或两组对边分别相等，都可以断定为平行四边形。
②由角：两组对角分别相等的四边形是平行四边形。
③对角线：对角线互相中分的四边行是平行四边形。
鉴定平行四边形要领：▲需要两个条件；A:先应看已知条件给出了或由已知条件易推出要证的四边形中有哪些性质。
B:以易得的一组鉴定条件为基础，寻找与其搭配的另一组鉴定条件：二、特殊平行四边形的性质与鉴定特殊之处是因除去平行四边形性质之外具有自己的性质，不属于平行四边形范畴。
（一）矩形性质与鉴定：1、矩形是一个角是直角的平行四边形，可见是特殊平行四边形，具有平行四边形所有性质。
2、矩形四个角是直角，两对角线相等，是平行四边形没有的，避免将矩形特殊性质用在平行四边形上。
3.矩形的鉴定有三个，实际上有两个是鉴别平行四边形的，一个是矩形特殊条件：当题设中有多个直角或垂直时，利用三个角是直角证明矩形；图中有对角线，采取对角线相等。
两条对角线分的四个三角形面积相等，且分成两对全等的等腰三角形。
（二）、菱形性质与鉴定：1、菱形是一组邻边相等的平行四边形，可见为特殊平行四边形，具有平行四边形所有性质。
2、菱形特殊性质：四边相等，对角线互相垂直，每条对角线中分一组对角，切莫与矩形性质混淆。
3、菱形鉴定需三个条件，定义鉴定最重要和基本鉴定要领。
（三）正方形的性质与鉴定1、正方形有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形，可见不仅是特殊平行四边形，还是“一组邻边相等的菱形”和“一个角是直角的矩形”具有平行四边形、矩形、菱形的所有性质，中学研究的重点图形。
构造平行四边形规律总结
第十八章 规律总结“构造平行四边形”大堡中学 郭平 规律描述：三角形的中位线定理是指：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半。
在证明这个定理的时候用到做辅助线“构造平行四边形”，利用平行四边形的性质来证明，我把这个方法叫做“倍长构造平行四边形”，这个倍长作辅助线的方法在后面证明直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的时候也用到。
知识点：平行四边形的性质：平行四边形的对边平行且相等。
平行四边形的判定： 1.对角线互相平分的四边形是平行四边形；2. 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；例1已知：如图，点D 、E 、分别为△ABC 边AB 、AC 的中点，求证：DE ∥BC 且 DE=21BC ． 分析：所证明的结论既有平行关系，又有数量关系，联想已学过的知识，可以把要证明的内容转化到一个平行四边形中，利用平行四边形的对边平行且相等的性质来证明结论成立，从而使问题得到解决，这就需要添加适当的辅助线来构造平行四边形．方法1：如图（1），延长DE 到F ，使EF=DE ，连接CF ，由△ADE ≌△CFE ，可得AD ∥FC ，且AD=FC ，因此有BD ∥FC ，BD=FC ，所以四边形BCFD 是平行四边形．所以DF ∥BC ，DF=BC ，因为DE=21DF ，所以DE ∥BC 且DE=21BC ． （也可以过点C 作CF ∥AB 交DE 的延长线于F 点，证明方法与上面大体相同）方法2：如图（2），延长DE 到F ，使EF=DE ，连接CF 、CD 和AF ，又AE=EC ，所以四边形ADCF 是平行四边形．所以AD ∥FC ，且AD=FC ．因为AD=BD ，所以BD ∥FC ，且BD=FC ．所以四边形ADCF 是平行四边形．所以DF ∥BC ，且DF=BC ，因为DE=21DF ，所以DE ∥BC 且DE=21BC ．例2 如图，在矩形ABCD 中，AC 、BD 相交于点O ，我们观察Rt ∆ABC,在Rt ∆ABC 中，BO 是斜边AC 上的中线，BO 与AC有什么关系？OB 与AC 的数量关系是：OB=21AC分析：此题也是通过延长BO 一倍，构造矩形，来证明要证的结论。
专题训练六构造平行四边形解题ppt课件
类型之一：证两线段相等 1．已知：如图，在四边形 ABCD 中，AB＝DC，AD＝BC，E， F 在对角线 AC 上，且 AE＝CF. 求证：BE＝DF.
“雪亮工程"是以区（县）、乡（镇） 、村（ 社区） 三级综 治中心 为指挥 平台、 以综治 信息化 为支撑 、以网 格化管 理为基 础、以 公共安 全视频 监控联 网应用 为重点 的“群 众性治 安防控 工程” 。
类型之六：证面积问题 6．如图，点 E 是梯形 ABCD 的腰 DC 的中点． 求证：S△ABE＝21S 梯形 ABCD.
8．如图，六边形 ABCDEF 中，若∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝∠E＝ ∠F，且 AB＋BC＝11，AF－CD＝3，则 BC＋DE 等于多少？
解：由已知∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝∠E＝∠F 可知这些角均为 120°，于是延长 FA，CB 交于点 P，延长 FE，CD 交于点 Q.易得 △ABP 和△EDQ 均为等边三角形，由∠F＝∠C＝120°和∠P＝∠Q ＝60°，得∠F＋∠P＝180°，∠F＋∠Q＝180°，所以 FQ∥PC，PF∥CQ， 所以四边形 FPCQ 为平行四边形，则 PA＋AF＝CD＋DQ，即 AF－ CD＝DQ－PA＝DE－AB.又已知 AF－CD＝3，则得 DE－AB＝ 3……①，又 AB＋BE＝11……②，将①②两式相加可得 BC＋DE＝ 14.
解：延长 AD 至点 E，使 ED＝AD，连结 BE，CE.∵AD 是 BC 边上的中线，∴BD＝DC.∵ED＝AD，∴四边形 ABEC 为平行四边 形，∴BE＝AC.在△ABE 中，∵AB－BE＜AE＜AB＋BE，即 10－6 ＜2AD＜10＋6，∴2＜AD＜8.
九年级暑假班拓展-第10讲-构造平行四边形巧解几何问题II
第十讲.构造平行四边形巧解几何问题II【教学目标】1.巩固平行四边形的相关知识；2.学会添恰当的辅助线构造出平行四边形；3.掌握平行四边形中常见的辅助线作法；4.掌握平行四边形的综合应用。
【知识、方法梳理】1.平行四边形是一种极重要的几何图形．这不仅是因为它是研究更特殊的平行四边形——矩形、菱形、正方形的基础，还因为由它的定义知它可以分解为一些全等的三角形，并且包含着有关平行线的许多性质，因此，它在几何图形的研究上有着广泛的应用。
2.由平行四边形的定义决定了它有以下几个基本性质：(1)平行四边形对角相等； (2)平行四边形对边相等； (3)平行四边形对角线互相平分．3.除了定义以外，平行四边形还有以下几种判定方法：(1)两组对角分别相等的四边形是平行四边形； (2)两组对边分别相等的四边形是平行四边形； (3)对角线互相平分的四边形是平行四边形； (4)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．【典例精讲】例1 .如图示。
在平行四边形ABCD 中，AE BC ⊥，CF AD ⊥，DN BM =。
求证：EF 与MN 互相平分。
FA C M NFACM N【分析】只要证明ENFM 是平行四边形即可，由已知，提供的等量要素很多，可从全等三角形下手．【证明】因为ABCD 是平行四边形，所以AD BC ，AB CD ，∠B=∠D ．又AE ⊥BC ，CF ⊥AD ，所以AECF 是矩形，从而AE=CF所以Rt △ABE ≌Rt △CDF(HL ，或AAS)，BE=DF 。
又由已知BM=DN ， 所以△BEM ≌△DFN(SAS)， ME=NF ． ①又因为AF=CE ，AM=CN ，∠MAF=∠NCE ，所以△MAF ≌△NCE(SAS)，所以 MF=NF ． ②由①，②，四边形ENFM 是平行四边形，从而对角线EF 与MN 互相平分．例2 .如图所示。
Rt ABC ∆中，90BAC ∠=，AD BC ⊥于D ，BG 平分ABC ∠，EF BC ∥且交AC 于F 。
1构造平行四边形证几何题技巧
构造平行四边形证几何题技巧总结总论：一、有关线段的证明１. 构造平行四边形证两线段平行２. 构造平行四边形证两线段相等３. 构造平行四边形证线段的不等关系４. 构造平行四边形证线段的倍分关系５. 构造平行四边形证两线段互相平分６. 构造平行四边形证线段的和差关系二、有关角的证明７. 构造平行四边形证角的不等关系与相等关系三、有关点的证明８、证三线共点四、有关线段长度、角的度数、面积等计算与证明９、在计算角的度数中的妙用10.在计算线段长度中的妙用1１、证特殊图形1２、证面积问题在证明或计算某些几何问题时，若能根据图形的特征，添加恰当的辅助线构造出平行四边形，并利用其性质可使问题化难为易，化繁为简，下面举例说明。
一、有关线段的证明１. 构造平行四边形证两线段平行例1. 已知如图，平行四边形ABCD的对角线AC和BD交于O，E、F分别为OB、OD的中点，过O任作一直线分别交AB、CD于G、H。
求证：GF//EH。
证明：连结GE、FHΘ四边形ABCD是平行四边形COHAOGDCOBAO,OCOA∠=∠∠=∠=∴又OHOGCOHAOG=∴∆≅∆∴又OFOE=Θ∴四边形EHFG是平行四边形EH//G F∴例2在△ABC中，AE、BD、CF为中线，FM∥BD，DM∥AB。
求证：MC∥AE证明：连结AM、FD。
∵FM∥BD，DM∥AB，∴四边形FBDM为平行四边形∴BF∥DM ∵AF＝BF ∴AF DM∴四边形AFDM为平行四边形∴AM FD又∵F、D、E分别为AB、AC、BC边中点∴FD EC∴AM EC，∴四边形AECM为平行四边形∴MC∥AE。
２. 构造平行四边形证两线段相等例3. 如图，ABC∆中，D在AB上，E在AC的延长线上，BD=CE连结DE，交BC于F，∠BAC外角的平分线交BC的延长线于G，且AG//DE。
求证：BF=CF分析：过点C作CM//AB交DE于点M，可以证明BD=CM，然后再利用平行四边形的性质得到BF=CF 证明：过点C作CM//AB交BE于点M，连接BM、CD，则∠CME=∠ADECMBDBDCECMECME2E,1ADE21DE//AG//===∠=∠∴∠=∠∠=∠∴∠=∠ΘΘ且∴四边形BMCD为平行四边形故BF=CFB E CMAF D３. 构造平行四边形证线段的不等关系例4. 如图，AD 是ABC ∆的边BC 上的中线，求证：)AC AB (21AD +<分析：欲证)AC AB (21AD +<，即要证AC AB AD 2+<，设法将2AD 、AB 、AC 归结到一个三角形中，利用三角形任意两边之和大于第三边来证明。
平行四边形--取中点,作平行线构造中位线
18.1.2(3.4)--取中点构造中位线一．【知识要点】1.已知中点，要求线段倍分关系，平行位置关系，通常要构造三角形中位线。
二．【经典例题】1.如图，四边形ABCD中，M，N分别为AD，BC的中点，连BD，若AB=10，CD=8，求MN的取值范围。
2.如图，在△ABC中，∠C=90°，CA=CB,E,F分别为CA,CB上一点，CE=CF，M，N分别为AF，BE的中点，求证:AE=.3.如图，在△ABC中，∠ABC=90°，BA=BC,△BEF为等腰直角三角形、∠BEF=90°，M为AF的中点，求证:12ME CF=。
4.（绵阳2020年期末18题）如图，在△ABC中，点E是AC的中点，点M是BE的中点,射线AM交BC于点F，若△BMF的面积为2，则△AME的面积为_______________.5.如图，△ABC的中线AD、BE相交于M，求证：AM=2DM三．【题库】 【A 】1．已知，如图平行四边形ABCD 中，E 是CD 的中点，F 是AE 的中点，FC 与BE 交于点G ，求证：GF ＝GC ．【B 】【C 】1.如图，△ABC 的中线AD 、BE 相交于点M ，求证AM=2DM.2.如图，AB ∥CD ，点M 为AD 的中点，N 为BC 的中点，连MN. (1)求证:MN ∥CD; (2)求证:()12MN CD AB =-3.如图，AD 为△ABC 的中线，F 为AC 上一点，BF 交AD 于E ，且AE=DE ，求证:CF=2AF【D】1.如图，点P为△ABC的边BC的中点，分别以AB，AC为斜边作Rt△ABD和Rt△ACE,且∠BAD=∠CAE，求证:PD=PE2.如在△ABC中，AD平分∠CAB交BC手E,若∠BDA=90，.E是AD的中点，DE=2,AB=5,求AC 的长。
3.如图，已知PB=PC=PA=2，∠BPC=120°，PA∥BC，且四边形PBAD为平行四边形，连CD，求CD的长。
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平行四边形构造方法专训
一、利用平行线构造平行四边形
试题１、△ABC中，D，F是AB边上两点，且AD=BF，作DE//BC，FG//BC，分别交AC于点E，G．求证：DE+FG=BC．
试题２、已知E为平行四边形ABCD中DC边的延长线上一点，且CE=DC，连接AE，分别交BC，BD于点F，G，连接AC交BD于O，连接OF．试说明：AB=2OF．
试题３、如图5，△ABC中，E，F分别是AB，BC边的中点，M，N是AC的三等分点，EM，FN 的延长线交于点D．求证：AB//CD．
试题３、AB、CD交于点O，AC∥D，AO=BO,E,F分别为OC，OD的中点，连结AF、BE,
求证：AF∥BE.
试题４、如图6，四边形ABCD中，AB∥CD，且∠ADC=2∠ABC，试说明:AB=AD+CD.
试题５、在等腰梯形ABCD中，AD//BC，AC⊥BD，AD+BC=10，DE⊥BC于E.求DE的长.
试题６、如右图2，在平行四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，如果AC=12，
BD=10，AB=m，那么m的取值范围是；
试题７、在平行四边形ＡＢＣＤ中，∠ＢＡＤ的平分线交直线ＢＣ于点Ｅ，交直线ＤＣ于点Ｆ。
（１）在图１中证明ＣＥ＝ＣＦ；
（２）若∠ＡＢＣ＝90°，Ｇ是ＥＦ的中点（如图２），直接写出∠ＢＤＧ的度数；
（３）若∠ＡＢＣ＝１２０°，ＦＧ∥ＣＥ，ＦＧ＝ＣＥ，分别连续DＥ、ＤＧ（如图
３），求∠ＢＤＧ的度数。
试题８、已知等腰梯形ＡＢＣＤ中，ＡＤ∥ＢＣ，ＡＢ＝ＣＤ，∠Ｂ＝60°，ＡＤ＝15cm，ＢＣ＝49cm，求它的腰长
试题９、（2007黑龙江）在△ABC中，AB=AC，点P为△ABC所在平面内一点，过点P分别作PE∥AC交AB于点E，PF∥AB交BC于点D，交AC于点F．若点P在BC边上（如图1），此时PD=0，可得结论：PD+PE+PF=AB．请直接应用上述信息解决下列问题：
当点P分别在△ABC内（如图2），△ABC外（如图3）时，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，PD，PE，PF与AB之间又有怎样的数量关系，请写出你的猜想，
二、和用相等线段构造平行四边形
试题１、例1 如图1，已知点O是平行四边形ABCD的对角线AC的中点，四边形OCDE是平行四边形.
求证:OE与AD互相平分.
试题２、在Rt⊿ABC中，∠BAC=90°，延长BA到D，使AD=AB，点E、F分别为BC、AC的中点，求证：DF=BE．
试题３、平行四边形ABCD中，E、G、F、H分别是四条边上的点，且AE=CF,BG=DH,试说明：
EF与GH互相平分.
试题４、如图所示，在平行四边形ＡＢＣＤ中，Ｅ，Ｆ分别是ＡＣ，ＣＡ延长线上的点，且ＡＥ＝ＣＦ，则与具有怎么样的位置关系？试说明理由
三、利用线段中点构造平行四边形
试题１、（7分）（2015广东茂名18，7分）补充完整三角形中位线定理，并加以证明：
（1）三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半；
（2）已知：如图，DE是△ABC的中位线，求证：DE∥BC，DE=BC．
试题２、在正△ABC中，P为边AB上一点，Q为边AC上一点，且AP=CQ．今量得A点与线段PQ的中点M之间的距离是19cm，则P点到C点的距离等于cm．
试题３、分别以△ABC的边AB，AC为一边在三角形外作正方形ABEF和ACGH，M为FH的中点．求证：MA⊥BC．
试题４、已知E为BC的中点，A在DE上，且AB=CD,求证：∠CDE=∠BAE.
试题５、如图，已知四边形ABCD中，点E，F，G，H分别是AB、CD、AC、BD的中点，
并且点E、F、G、H有在同一条直线上．
求证：EF和GH互相平分．
试题６、（2006大连）如图1，P为Rt△ABC所在平面内任意一点（不在直线AC上），
∠ACB=90°，M为AB边中点．操作：以PA、PC为邻边作平行四边形PADC，连续PM并延长到点E，使ME=PM，连接DE．
探究：
（1）请猜想与线段DE有关的三个结论；
（2）请你利用图2，图3选择不同位置的点P按上述方法操作；
（3）经历（2）之后，如果你认为你写的结论是正确的，请加以证明；
如果你认为你写的结论是错误的，请用图2或图3加以说明；
（注意：错误的结论，只要你用反例给予说明也得分）
（4）若将“Rt△ABC”改为“任意△ABC”，其他条件不变，利用图4操作，并写出与线段DE有关的结论（直接写答案）．。