高中数学第二章圆锥曲线与方程2.2.2双曲线的几何性质课件新人教B版选修1_1
新课标人教B版高中数学选修2-1第二章圆锥曲线与方程教案
第二章圆锥曲线与方程2.1曲线与方程2.1.1曲线与方程 2.1.2求曲线的轨迹方程一、教学目标(一)知识教学点使学生掌握常用动点的轨迹以及求动点轨迹方程的常用技巧与方法．(二)能力训练点通过对求轨迹方程的常用技巧与方法的归纳和介绍，培养学生综合运用各方面知识的能力．(三)学科渗透点通过对求轨迹方程的常用技巧与方法的介绍，使学生掌握常用动点的轨迹，为学习物理等学科打下扎实的基础．二、教材分析1．重点：求动点的轨迹方程的常用技巧与方法．(解决办法：对每种方法用例题加以说明，使学生掌握这种方法．)2．难点：作相关点法求动点的轨迹方法．(解决办法：先使学生了解相关点法的思路，再用例题进行讲解．)教具准备：与教材内容相关的资料。
教学设想：激发学生的学习热情，激发学生的求知欲，培养严谨的学习态度，培养积极进取的精神．三、教学过程学生探究过程：(一)复习引入大家知道，平面解析几何研究的主要问题是：(1)根据已知条件，求出表示平面曲线的方程；(2)通过方程，研究平面曲线的性质．我们已经对常见曲线圆、椭圆、双曲线以及抛物线进行过这两个方面的研究，今天在上面已经研究的基础上来对根据已知条件求曲线的轨迹方程的常见技巧与方法进行系统分析．(二)几种常见求轨迹方程的方法1．直接法由题设所给(或通过分析图形的几何性质而得出)的动点所满足的几何条件列出等式，再用坐标代替这等式，化简得曲线的方程，这种方法叫直接法．例1(1)求和定圆x2+y2=k2的圆周的距离等于k的动点P的轨迹方程；(2)过点A(a，o)作圆O∶x2+y2=R2(a＞R＞o)的割线，求割线被圆O截得弦的中点的轨迹．对(1)分析：动点P的轨迹是不知道的，不能考查其几何特征，但是给出了动点P的运动规律：|OP|=2R 或|OP|=0．解：设动点P(x，y)，则有|OP|=2R或|OP|=0．即x2+y2=4R2或x2+y2=0．故所求动点P的轨迹方程为x2+y2=4R2或x2+y2=0．对(2)分析：题设中没有具体给出动点所满足的几何条件，但可以通过分析图形的几何性质而得出，即圆心与弦的中点连线垂直于弦，它们的斜率互为负倒数．由学生演板完成，解答为：设弦的中点为M(x，y)，连结OM，。
高中数学 第2章 圆锥曲线与方程 2.2.2 双曲线的简单几何性质 新人教A版选修1-1
解析答案
(2)与双曲线1x62 －y42＝1 有公共焦点，且过点(3 2，2). 解 设所求双曲线方程为16x－2 k－4＋y2 k＝1(16－k>0，4＋k>0)， ∵双曲线过点(3 2，2)， ∴136－2k2－4＋4 k＝1，
解得k＝4或k＝－14(舍去). ∴所求双曲线的标准方程为1x22 －y82＝1.
∴c＝ a2＋b2＝ 16＝4.
∴双曲线的实轴长 2a＝4，虚轴长 2b＝4 3.
焦点坐标为F1(0，－4)，F2(0,4)，
顶点坐标为A1(0，－2)，A2(0,2)，
渐近线方程为 y＝± 33x，离心率 e＝2.
解析答案
题型二 根据双曲线的几何性质求标准方程 例2 求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)一个焦点为(0,13)，且离心率为153； 解 依题意可知，双曲线的焦点在y轴上，且c＝13，
当λ<0时，焦点在y轴上.
答案
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题型探究
重点突破
题型一 已知双曲线的标准方程求其几何性质
例1 求双曲线9y2－4x2＝－36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、 离心率、渐近线方程. 解 将 9y2－4x2＝－36 化为标准方程x92－y42＝1，即3x22－2y22＝1， ∴a＝3，b＝2，c＝ 13.
答案 不一样.椭圆的离心率0<e<1，而双曲线的离心率e>1.
(2)若双曲线确定，则渐近线确定吗？反过来呢？
答案 当双曲线的方程确定后，其渐近线方程也就确定了；
反过来，确定的渐近线却对应着无数条双曲线， 如具有相同的渐近线 y＝±bax 的双曲线可设为ax22－by22＝λ(λ≠0，λ∈R)， 当λ>0时，焦点在x轴上，
高中数学新人教B版选修1-1课件：第二章圆锥曲线与方程2.1.2椭圆的几何性质(一)(第1课时)
a＝4 2， 解得b＝4，
c＝4.
所以所求的椭圆方程为3x22 ＋1y62 ＝1 或3y22 ＋1x62 ＝1，
离心率
e＝ac＝
2 2.
当焦点在 x 轴上时，焦点坐标为(－4,0)，(4,0)，
顶点坐标为(－4 2，0)，(4 2，0)，(0，－4)，(0,4)；
当焦点在 y 轴上时，焦点坐标为(0，－4)，(0,4)，
[题后感悟] (1)利用椭圆的几何性质求标准方程通常采用待定系数 法． (2)根据已知条件求椭圆的标准方程的思路是“选标准， 定参数”，一般步骤是：①求出a2，b2的值；②确定焦 点所在的坐标轴；③写出标准方程． (3)解此类题要仔细体会方程思想在解题中的应用．
2.求合适下列条件的椭圆的标准方程． (1)在x轴上的一个焦点，与短轴两个端点的连线互相垂 直，且焦距为6； (2)以坐标轴为对称轴，长轴长是短轴长的5倍，且经过 点A(5,0)．
2a＝5×2b， 由题意，得2a52 ＋b02＝1，
解得ab＝ ＝51， ，
故所求的标准方程为2x52 ＋y2＝1；
若椭圆的焦点在 y 轴上，设其标准方程为ay22＋bx22＝1(a＞b＞0)，
2a＝5×2b， 由题意，得a02＋2b52 ＝1，
解得ab＝ ＝255，，
故所求的标准方程为6y225＋2x52 ＝1.
∴b2＝4c2，∴a2－c2＝4c2，∴ac22＝15.……………10 分 ∴e2＝15，即 e＝ 55，所以椭圆的离心率为 55.…12 分
[题后感悟] (1)求离心率e时，除用关系式a2＝b2＋c2外，还要注意e ＝的代换，通过方程思想求离心率． (2)在椭圆中涉及三角形问题时，要充分利用椭圆的定 义、正弦定理及余弦定理、全等三角形、类似三角形 等知识．
高二数学(人教B版)选修1-1全册课件1、2-2-2双曲线的几何性质
x2 y2 故可设方程为2b2－b2＝1，代入点(2，－2)，得 b2＝－2(舍 a 2 y2 去)．当焦点在 y 轴上时，可知b＝ 2 ，故可设方程为a2－ x2 2 2＝1，代入点(2，－2)，得 a ＝2，∴所求双曲线方程为 2a y2 x2 2 － 4 ＝1.
第二章 圆锥曲线与方程
(选修1-1)
标准方程
人 教 B 版 数 学
图形
第二章 圆锥曲线与方程
(选修1-1)
焦点 焦距 范围 性 质 顶点 对称性 轴长 渐近线 离心率
F1(－c,0)、F2(c,0)
F1(0，－c)、F2(0，c)
|F1F2|＝2c x≥a或x≤－a，y∈R y≥a或y≤－a，x∈R (－a,0)、(a,0) (0，－a)、(0，a)
第二章 圆锥曲线与方程
(选修1-1)
[解析]
(1)证法 1：由题意知直线 l 的方程为
a y＝－b(x－c)． a y＝－b(x－c)， 由 y＝bx， a
a2 ab P c ， c .
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解得
→ → → ∵|OA|、|OB|、|OF|成等比数列，∴xA· 2. c＝a
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2 ± 2 x，但焦点的位置不确定，所以应进行分类讨论．
第二章 圆锥曲线与方程
(选修1-1)
1 已知双曲线的渐近线方程为 y＝± x，焦距为 10，求 2 双曲线方程．
[解析] 解法 1：当焦点在 x 轴上时，设所求双曲线 x2 y2 1 方程为a2－b2＝1，由渐近线方程为 y＝± x 得， 2 b 1 ＝2，2c＝10，由 c2＝a2＋b2 得 a2＝20，b2＝5. a x2 y2 ∴双曲线方程为 － ＝1. 20 5
人教B版高中数学【选修1-1】第2章-2.1-2.2.2双曲线的几何性质-课件
【思路探究】
(1)双曲线的焦点位置确定了吗？如果不确定
该怎么办？(2)与双曲线 x2－2y2＝2 有公共渐近线的双曲线有什么 特点？如何设出方程？
【自主解答】
(1)设双曲线的标准方程为
x 2 y2 y2 x2 － ＝1 或 2－ 2＝1(a＞0，b＞0)． a2 b2 a b c 5 由题意知 2b＝12， ＝ 且 c2＝a2＋b2， a 4 ∴b＝6，c＝10，a＝8， x2 y2 y2 x2 ∴双曲线标准方程为 － ＝1 或 － ＝1. 64 36 64 36
2．过程与方法 培养学生的观察能力、 想象能力、 数形结合能力和逻辑推理能 力，以及类比的学习方法． 3．情感、态度与价值观 培养学生对待知识的科学态度和探索精神， 而且能够运用运动 的、变化的观点分析理解事物．
●重点、难点 重点：由方程导出性质及其应用． 难点：渐近线的理解． 从学生的认知水平来看， 对渐近线分析方法的理解和掌握有一 定的困难． 同时渐进线概念如何顺应学生思维的自然呈现， 是教法 中的一个困惑．因此，将渐近线的呈现与分析设置为本课时的难 点．为突破该难点，从“如何画双曲线草图”入手，分析作草图必 须的条件， 以“双曲线的走向”为切入口， 通过复习反比例函数图
【思路探究】
2 2 x y 【自主解答】 双曲线的方程 25y2－4x2＋100＝0 可化为 － 25 4
＝1.
∴实半轴长 a＝5，虚半轴长 b＝2，顶点坐标为(－5,0)，(5,0)． 由 c＝ a2＋b2＝ 29，焦点坐标为( 29，0)，(－ 29，0)． c 29 2 离心率 e＝ ＝ ，渐近线方程 y＝± x. a 5 5
故两条双曲线的实轴长、 虚轴长、 焦距都不相等， 离心率相等．
(2)椭圆的焦点坐标为(± 3，0)，所以双曲线的顶点为(± 3， 2 6 c 2 6 0)，即 a＝ 3，又 e＝ ，所以 e＝ ＝ ，解得 c＝2 2，所以 3 a 3 b＝ c2－a2＝ 5.所以双曲线的焦点坐标为(2 2， 0)， (－2 2， 0)． 双 b 5 15 曲线的渐近线方程为 y＝± x＝± x＝± x. a 3 3
(人教版)高中数学选修1-1课件：第2章 圆锥曲线与方程2.2.1
数学 选修1-1
第二章 圆锥曲线与方程
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(2)方法一：若焦点在 x 轴上， 设双曲线的标准方程为ax22－by22＝1(a＞0，b＞0)． 因为 M(1,1)，N(－2,5)在双曲线上，
a12－b12＝1， 所以－a222－5b22＝1， 若焦点在 y 轴上，
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2．根据下列条件，求双曲线的标准方程： (1)双曲线的中心在原点，焦点在 y 轴上，且经过点(0,2)与 ( 5，2 2)； (2)c＝ 6，经过点(－5,2)，焦点在 x 轴上．
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双曲线的定义
定义
平面内与两个定点F1，F2的距离的_差__的__绝__对__值_ _是__常__数___的点的轨迹叫做双曲线
焦点 焦距 集合语言
_两__个__定__点__F_1，__F__2 _叫做双曲线的焦点
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1．了解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过 程．
2．掌握双曲线的标准方程． 3．会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的应用问 题．
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我海军“马鞍山”舰和“千岛湖”舰组成第四批护航编队 远赴亚丁湾，在索马里流域执行护航任务．
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新教材高中数学第二章直线与圆锥曲线的位置关系课件新人教B版选择性必修第一册ppt
2．中点弦问题常用的求解方法 (1)点差法：即设出弦的两端点坐标后，代入圆锥曲线方程，并将两式相减，式中 含有 x1＋x2，y1＋y2，yx11－－yx22 三个未知量，这样就直接联系了中点和直线的斜率， 借用中点公式即可求得斜率． (2)根与系数的关系法：即联立直线与圆锥曲线的方程得到方程组，化为一元二次 方程后由根与系数的关系求解．
y＝kx－k＋1， 即 y＝kx－k＋1，联立方程x2－y42＝1，
消去 y 得：(4－k2)x2－2k(1－k)x－[(1－k)2＋4]＝0， 因为直线 l 和双曲线 Γ 有且仅有一个公共点， 所以 Δ＝4k2(1－k)2＋4(4－k2)[(1－k)2＋4]＝0， 化简得：80－32k＝0，所以 k＝25 ， 所以直线 l 的方程为：y＝52 x－23 ，即 5x－2y－3＝0.
(2)由A→P ＝3P→B 可得 y1＝－3y2.
由y＝32x＋t， 可得 y2－2y＋2t＝0. y2＝3x，
所以 y1＋y2＝2.从而－3y2＋y2＝2，故 y2＝－1，y1＝3.
代入 C 的方程得 x1＝3，x2＝31 .
故|AB|＝4
13 3
.
角度 2 中点弦问题 【典例】已知 P(1，1)为椭圆x42 ＋y22 ＝1 内一定点，经过 P 引一条弦，使此弦被 P 点平分，则此弦所在的直线方程为________．
1．斜率为 1 的直线 l 与椭圆x42 ＋y2＝1 相交于 A，B 两点，则|AB|的最大值为(
)
A．2 B．45 5
C．4
10 5
D．8
10 5
【解析】选 C.设 A，B 两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)， 直线 l 的方程为 y＝x＋t， 由xy＝2＋x4＋y2t＝，4， 消去 y，得 5x2＋8tx＋4(t2－1)＝0， 则 x1＋x2＝－85 t，x1x2＝4（t25－1） . 所以|AB|＝ 1＋k2 |x1－x2|
2019年高中数学第2章圆锥曲线与方程2.2双曲线2.2.1双曲线的定义与标准方程讲义含解析湘教版选修2_1
2．2.1 双曲线的定义与标准方程[读教材·填要点]1．双曲线的定义的点的轨迹叫|)2F 1F |小于(的定值0的绝对值为大于距离之差的2F ，1F 平面上到两个定点焦距．叫作双曲线的焦点，两个焦点之间的距离叫作双曲线的2F ，1F 定点作双曲线．这两个2．双曲线的标准方程[小问题·大思维]1．双曲线的定义中，为什么要规定定值小于|F 1F 2|？若定值等于|F 1F 2|或等于0或大于|F 1F 2|，点的轨迹又是怎样的曲线？提示：(1)如果定义中定值改为等于|F 1F 2|，此时动点的轨迹是以F 1，F 2为端点的两条射线(包括端点)．(2)如果定义中定值为0，此时动点轨迹为线段F 1F 2的垂直平分线．(3)如果定义中定值改为大于|F 1F 2|，此时动点轨迹不存在．2．在双曲线的定义中，如果将“差的绝对值”改为“差”，那么点的轨迹还是双曲线吗？提示：不是．是双曲线的一支．3．若方程x2m －y2n＝1表示双曲线，m ，n 应满足什么条件？提示：若方程x2m －y2n＝1表示双曲线，则m ·n >0.在△ABC 中，已知|AB |＝42，且三内角A ，B ，C 满足sin B －sin A ＝12sin C ，建立适当的坐标系，求顶点C 的轨迹方程，并指明表示什么曲线．[自主解答] 如图所示，以AB 边所在的直线为x 轴，AB 的垂直平分线为y 轴，建立直角坐标系，则A (－22，0)，B (22，0)．由正弦定理得sin A ＝a2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R .∵sin B －sin A ＝12sin C ，∴b －a ＝c2.从而有|CA |－|CB |＝12|AB |＝22＜|AB |.由双曲线的定义知，点C 的轨迹为双曲线的右支． ∵a ＝2，c ＝22， ∴b 2＝c 2－a 2＝6.∴顶点C 的轨迹方程为x22－y26＝1(x ＞2)．故C 点的轨迹为双曲线的右支且除去点(2，0)．解答此类问题要注意定义中的两个关键性条件：(1)差的绝对值是定值，(2)常数大于0小于两定点间的距离．同时具备这两个条件才是双曲线．1．已知F 1，F 2分别是双曲线x29－y216＝1的左、右焦点，若P 是双曲线左支上的点，且|PF 1|·|PF 2|＝32.试求△F 1PF 2的面积．解：因为P 是双曲线左支上的点，所以|PF 2|－|PF 1|＝6，两边平方得|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|＝36，所以|PF 1|2＋|PF 2|2＝36＋2|PF 1|·|PF 2|＝36＋2×32＝100.在△F 1PF 2中，由余弦定理，得cos ∠F 1PF 2＝|PF1|2＋|PF2|2－|F1F2|22|PF1|·|PF2|＝100－1002|PF1|·|PF2|＝0，所以∠F 1PF 2＝90°，所以S △F 1PF 2＝12|PF 1|·|PF 2|＝12×32＝16.根据下列条件，求双曲线的标准方程．(1)c ＝6，经过点(－5,2)，焦点在x 轴上；(2)过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，154，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫－163，5且焦点在坐标轴上．[自主解答] (1)∵焦点在x 轴上，c ＝6， ∴设所求双曲线方程为x2λ－y26－λ＝1(其中0<λ<6)．∵双曲线经过点(－5,2)， ∴25λ－46－λ＝1. ∴λ＝5或λ＝30(舍去)． ∴所求双曲线方程是x25－y 2＝1.(2)设双曲线的标准方程为mx 2＋ny 2＝1(mn <0)，∵双曲线过P ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，154，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫－163，5，∴⎩⎪⎨⎪⎧9m ＋22516n ＝1，2569m ＋25n ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－116，n ＝19.∴所求双曲线方程为y29－x216＝1.1．双曲线标准方程的两种求法(1)定义法：根据双曲线的定义得到相应的a ，b ，c ，再写出双曲线的标准方程．(2)待定系数法：先设出双曲线的标准方程y2a2－x2b2＝1或y2a2－x2b2＝1(a ，b 均为正数)，然后根据条件求出待定的系数代入方程即可． 2．求双曲线标准方程的两个关注点(1)定位：“定位”是指确定与坐标系的相对位置，在“标准方程”的前提下，确定焦点位于哪条坐标轴上，以判断方程的形式；(2)定量：“定量”是指确定a 2，b 2的具体数值，常根据条件列方程求解．2．求适合下列条件的双曲线的标准方程．(1)a ＝4，经过点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－4103；(2)经过点(3,0)，(－6，－3)．解：(1)当焦点在x 轴上时，设所求标准方程为x216－y2b2＝1(b >0)，把A 点的坐标代入，得b 2＝－1615×1609<0，不符合题意；当焦点在y 轴上时，设所求标准方程为y216－x2b2＝1(b >0)，把A 点的坐标代入，得b 2＝9，∴所求双曲线的标准方程为y216－x29＝1.(2)设双曲线的方程为mx 2＋ny 2＝1(mn <0)，∵双曲线经过点(3,0)，(－6，－3)，∴⎩⎪⎨⎪⎧9m ＋0＝1，36m ＋9n ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝19，n ＝－13，∴所求双曲线的标准方程为x29－y23＝1.设P 为双曲线x 2－y212＝1上的一点，F 1，F 2是该双曲线的两个焦点，若|PF 1|∶|PF 2|＝3∶2，则△PF 1F 2的面积为( )A ．6 3B ．12C ．12 3D ．24[自主解答] 如图所示，∵|PF 1|－|PF 2|＝2a ＝2，且|PF 1|∶|PF 2|＝3∶2，∴|PF 1|＝6，|PF 2|＝4. 又∵|F 1F 2|＝2c ＝213， ∴|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2，∴S △PF 1F 2＝12|PF 1|·|PF 2|＝12×6×4＝12.[答案] B在解决与焦点三角形有关的问题的时候，首先要注意定义条件||PF 1|－|PF 2||＝2a 的应用．其次是要利用余弦定理、勾股定理等知识进行运算．在运算过程中要注意整体思想的应用和一些变形技巧的应用．若本例中的|PF 1|∶|PF 2|＝3∶2改为PF ―→1·PF ―→2＝0，求△PF 1F 2的面积．解：由题意PF ―→1·PF ―→2＝0，则PF 1⊥PF 2，∴△PF 1F 2为直角三角形． ∴|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2，∴(|PF 1|－|PF 2|)2＋2|PF 1|·|PF 2|＝|F 1F 2|2，又∵||PF 1|－|PF 2||＝2a ＝2，|F 1F 2|2＝4c 2＝4(a 2＋b 2)＝4(1＋12)＝52，∴4＋2|PF 1|·|PF 2|＝52，∴|PF 1|·|PF 2|＝24，∴S △PF 1F 2＝12|PF 1|·|PF 2|＝12.3．双曲线x29－y216＝1的两个焦点为F 1，F 2，点P 在双曲线上，若PF 1⊥PF 2，求点P 的坐标．解：由双曲线的方程知：a ＝3，b ＝4，c ＝5，不妨设点P 在第一象限，坐标为(x ，y )，F 1为左焦点，那么：⎩⎪⎨⎪⎧|PF1|－|PF2|＝6， ①|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝100. ②由①得：(|PF 1|－|PF 2|)2＝36.所以|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|＝36.∴|PF 1||PF 2|＝32.在直角三角形PF 1F 2中，|PF 1|·|PF 2|＝|F 1F 2|·y ＝32，所以y ＝165，代入双曲线的方程得：x ＝3415，即点P 的坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫3415，165，再根据双曲线的对称性得点P 的坐标还可以是⎝⎛⎭⎪⎫－3415，165，⎝ ⎛⎭⎪⎫3415，－165，⎝⎛⎭⎪⎫－3415，－165.解题高手多解题条条大路通罗马，换一个思路试一试设双曲线与椭圆x227＋y236＝1有相同的焦点，且与椭圆相交，一个交点A 的纵坐标为4，求此双曲线的方程．[解] 法一：∵椭圆的焦点在y 轴上，由题意可设双曲线方程为y2a2－x2b2＝1(a ＞0，b ＞0)．由题意知c 2＝36－27＝9，c ＝3.又点A 的纵坐标为4，则横坐标为±15，于是有⎩⎪⎨⎪⎧42a2－15b2＝1，a2＋b2＝9，解得⎩⎪⎨⎪⎧a2＝4，b2＝5.所以双曲线方程为y24－x25＝1.法二：将点A 的纵坐标代入椭圆方程得A (±15，4)， 又两焦点分别为F 1(0,3)，F 2(0，－3)．所以2a ＝|15－＋＋－15－＋－|＝4，a ＝2，b 2＝c 2－a 2＝9－4＝5，所以双曲线方程为y24－x25＝1.法三：由题意设双曲线方程为x227－λ＋y236－λ＝1(27＜λ＜36)，将A (±15，4)代入得1527－λ＋1636－λ＝1.解得λ＝32或λ＝0(舍去)．∴所求双曲线的方程为y24－x25＝1.1．若双曲线E ：x29－y216＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线E 上，且|PF 1|＝3，则|PF 2|等于( )A ．11B ．9C ．5D ．3解析：由双曲线的定义有||PF 1|－|PF 2||＝|3－|PF 2||＝2a ＝6，∴|PF 2|＝9或|PF 2|＝－3(舍去)． 答案：B2．双曲线方程为x 2－2y 2＝1，则它的右焦点坐标为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫22，0B.⎝⎛⎭⎪⎫52，0C.⎝⎛⎭⎪⎫62，0 D.()3，0解析：将双曲线方程化为标准方程为x 2－y212＝1，∴a 2＝1，b 2＝12.∴c ＝a2＋b2＝62，故右焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫62，0.答案：C3．平面内有两个定点F 1(－5,0)和F 2(5,0)，动点P 满足|PF 1|－|PF 2|＝6，则动点P 的轨迹方程是( )A.x216－y29＝1(x ≤－4) B.x29－y216＝1(x ≤－3)C.x216－y29＝1(x ≥4) D.x29－y216＝1(x ≥3)解析：由题意，得c ＝5，a ＝3，∴b ＝4， ∴P 点的轨迹方程是x29－y216＝1(x ≥3)．答案：D4．若方程x21＋k －y21－k＝1表示双曲线，则k 的取值范围是________． 解析：由题意知，(1＋k )(1－k )>0，即－1<k <1.答案：(－1,1)5．若双曲线8kx 2－ky 2＝8的一个焦点为(0,3)，则实数k 的值为________．解析：由8kx 2－ky 2＝8，得x21k －y28k＝1.又∵焦点在y 轴上，∴a 2＝－8k ，b 2＝－1k.∵c ＝3，由c 2＝a 2＋b 2得9＝－8k －1k，∴k ＝－1.答案：－16．求适合下列条件的双曲线的标准方程：(1)a ＝5，c ＝7；(2)以椭圆x225＋y29＝1的长轴端点为焦点，且经过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫5，94.解：(1)由题设知a ＝5，c ＝7，则b 2＝c 2－a 2＝24.由于焦点所在的坐标轴不确定，故所求双曲线的标准方程是x225－y224＝1 或y225－x224＝1.(2)因为椭圆x225＋y29＝1的长轴端点为A 1(－5,0)，A 2(5，0)，所以所求双曲线的焦点为F 1(－5,0)，F 2(5,0)．由双曲线的定义知，||PF 1|－|PF 2||＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪ ＋＋⎝ ⎛⎭⎪⎫94－02－ －＋⎝ ⎛⎭⎪⎫94－02＝8，即2a ＝8，则a ＝4.又c ＝5，所以b 2＝c 2－a 2＝9，故所求双曲线的标准方程为x216－y29＝1.一、选择题1．双曲线x2m2＋12－y24－m2＝1的焦距是( )A ．4B ．22C ．8D ．与m 有关解析：c 2＝m 2＋12＋4－m 2＝16，∴c ＝4,2c ＝8.答案：C2．已知方程x2m2＋n －y23m2－n＝1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n 的取值范围是( )A ．(－1,3)B ．(－1，3)C ．(0,3)D ．(0，3)解析：由题意得(m 2＋n )(3m 2－n )>0，解得－m 2<n <3m 2，又由该双曲线两焦点间的距离为4，得m 2＋n ＋3m 2－n ＝4，即m 2＝1，所以－1<n <3.答案：A3．已知点F 1(－2，0)，F 2(2，0)，动点P 满足|PF 2|－|PF 1|＝2.当点P 的纵坐标是12时，点P 到坐标原点的距离是( )A.62B.32C.3D ．2解析：因为动点P 满足|PF 2|－|PF 1|＝2为定值，又2<22，所以P 点的轨迹为双曲线的一支．因为2a ＝2，所以a ＝1.又因为c ＝2，所以b 2＝c 2－a 2＝1.所以P 点轨迹为x 2－y 2＝1的一支．当y ＝12时，x 2＝1＋y 2＝54，则P 点到原点的距离为|PO |＝x2＋y2＝54＋14＝62.答案：A4．已知双曲线C ：x29－y216＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 为C 右支上的一点，且|PF 2|＝|F 1F 2|，则△PF 1F 1的面积等于( )A ．24B ．36C ．48D ．96解析：依题意得|PF 2|＝|F 1F 2|＝10，由双曲线的定义得|PF 1|－|PF 2|＝6，|PF 1|＝16，因此△PF 1F 2的面积等于12×16×102－⎝ ⎛⎭⎪⎫1622＝48.答案：C 二、填空题5．设m 是常数，若点F (0,5)是双曲线y2m －x29＝1的一个焦点，则m ＝________.解析：由点F (0,5)可知该双曲线y2m －x29＝1的焦点落在y 轴上，所以m >0，且m ＋9＝52，解得m ＝16. 答案：166．已知双曲线的两个焦点分别为F 1(－3,0)和F 2(3,0)，且P ⎝ ⎛⎭⎪⎫52，1在双曲线右支上，则该双曲线的方程是______________． 解析：法一：利用双曲线定义．2a ＝|PF 1|－|PF 2|＝1214＋1－ 14＋1＝552－52＝25，∴a ＝5，b 2＝c 2－a 2＝4. 故所求方程为x25－y24＝1.法二：待定系数法．设双曲线方程为x2a2－y29－a2＝1，则有254a2－19－a2＝1，∴4a 4－65a 2＋225＝0.∴a 2＝5或a 2＝454>9(舍去)．∴双曲线方程为x25－y24＝1.答案：x25－y24＝17．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线x24－y212＝1上一点M 的横坐标为3，则点M 到此双曲线的右焦点的距离为________．解析：由题易知，双曲线的右焦点为(4,0)，点M 的坐标为(3，15)或(3，－15)，则点M 到此双曲线的右焦点的距离为4.答案：48．已知F 是双曲线x24－y212＝1的左焦点，A (1,4)，P 是双曲线右支上的动点，则|PF |＋|PA |的最小值为________．解析：设右焦点为F 1，依题意，|PF |＝|PF 1|＋4，∴|PF |＋|PA |＝|PF 1|＋4＋|PA |＝|PF 1|＋|PA |＋4≥|AF 1|＋4＝5＋4＝9.答案：9三、解答题9．若方程x25－m ＋y2m2－2m －3＝1表示焦点在y 轴上的双曲线，求实数m 的取值范围．解：∵方程x25－m ＋y2m2－2m －3＝1表示焦点在y 轴上的双曲线，∴⎩⎪⎨⎪⎧5－m ＜0，m2－2m －3＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧m ＞5，m ＞3或m ＜－1.∴m ＞5.即m 的取值范围是(5，＋∞)．10．已知双曲线过点(3，－2)且与椭圆4x 2＋9y 2＝36有相同的焦点．(1)求双曲线的标准方程；(2)若点M 在双曲线上，F 1，F 2是双曲线的左、右焦点，且|MF 1|＋|MF 2|＝63，试判断△MF 1F 2的形状．解：(1)椭圆的方程可化为x29＋y24＝1，焦点在x 轴上，且c ＝9－4＝ 5.故可设双曲线方程为x2a2－y2b2＝1(a >0，b >0)．依题意得⎩⎪⎨⎪⎧9a2－4b2＝1，a2＋b2＝5.解得a 2＝3，b 2＝2.故双曲线的标准方程为x23－y22＝1.(2)不妨设M 在双曲线的右支上，则有|MF1|－|MF2|＝2 3.又|MF1|＋|MF2|＝63，解得|MF1|＝43，|MF2|＝2 3.又|F1F2|＝2c＝25，因此在△MF1F2中，|MF1|边最长，由余弦定理可得cos∠MF2F1＝|MF2|2＋|F1F2|2－|MF1|2 2|MF2|·|F1F2|＝3＋5－32×23×25＝－215<0.所以∠MF2F1为钝角，故△MF1F2是钝角三角形．。
(新)高中数学第二章圆锥曲线与方程2_4_2抛物线的几何性质学案新人教B版选修2-1
2.4.2 抛物线的几何性质学习目标 1.了解抛物线的范围、对称性、顶点、焦点、准线等几何性质.2.会利用抛物线的性质解决一些简单的抛物线问题．知识点一抛物线的范围思考观察下列图形，思考以下问题：(1)观察焦点在x轴的抛物线与双曲线及椭圆的图形，分析其几何图形存在哪些区别？(2)根据图形及抛物线方程y2＝2px(p>0)如何确定横坐标x的范围？梳理抛物线y2＝2px(p>0)中，x∈__________，y∈__________.抛物线y2＝－2px(p>0)中，x∈__________，y∈__________.抛物线x2＝2py(p>0)中，x∈__________，y∈__________.抛物线x2＝－2py(p>0)中，x∈__________，y∈__________.知识点二四种形式的抛物线的几何性质标准方程y2＝2px(p>0) y2＝－2px(p>0) x2＝2py(p>0) x2＝－2py(p>0) 图形范围x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R 对称轴x轴x轴y轴y轴焦点F(p2，0)F(－p2，0)F(0，p2)F(0，－p2)准线方程 x ＝－p 2x ＝p 2y ＝－p 2y ＝p 2顶点坐标 O (0，0) 离心率 e ＝1通径长 2p知识点三 直线与抛物线的位置关系直线y ＝kx ＋b 与抛物线y 2＝2px (p >0)的交点个数决定于关于x 的方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋b ，y 2＝2px解的个数，即二次方程k 2x 2＋2(kb －p )x ＋b 2＝0解的个数．当k ≠0时，若Δ>0，则直线与抛物线有______个不同的公共点；若Δ＝0时，直线与抛物线有______个公共点；若Δ<0时，直线与抛物线________公共点．当k ＝0时，直线与抛物线的轴__________，此时直线与抛物线有______个公共点．类型一 依据抛物线的几何性质求标准方程例1 抛物线的顶点在原点，对称轴重合于椭圆9x 2＋4y 2＝36短轴所在的直线，抛物线焦点到顶点的距离为3，求抛物线的方程及抛物线的准线方程． 引申探究将本例改为“若抛物线的焦点F 在x 轴上，直线l 过F 且垂直于x 轴，l 与抛物线交于A ，B 两点，O 为坐标原点，若△OAB 的面积等于4”，求此抛物线的标准方程．反思与感悟 用待定系数法求抛物线方程的步骤跟踪训练1 已知抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为x 轴，且与圆x 2＋y 2＝4相交于A ，B 两点，|AB |＝23，求抛物线方程．类型二 抛物线的焦半径和焦点弦问题例2 (1)过抛物线y 2＝8x 的焦点，倾斜角为45°的直线被抛物线截得的弦长为________． (2) 直线l 过抛物线y 2＝4x 的焦点，与抛物线交于A ，B 两点，若|AB |＝8，则直线l 的方程为________________．(3)过抛物线y 2＝4x 的焦点作直线交抛物线于点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，若|AB |＝7，则AB 的中点M 到抛物线准线的距离为________________．反思与感悟 (1)抛物线上任一点P (x 0，y 0)与焦点F 的连线得到的线段叫做抛物线的焦半径，对于四种形式的抛物线来说其焦半径的长分别为： ①抛物线y 2＝2px (p >0)，|PF |＝|x 0＋p 2|＝p2＋x 0；②抛物线y 2＝－2px (p >0)，|PF |＝|x 0－p 2|＝p2－x 0；③抛物线x 2＝2py (p >0)，|PF |＝|y 0＋p 2|＝p2＋y 0；④抛物线x 2＝－2py (p >0)，|PF |＝|y 0－p2|＝p2－y 0.(2)已知AB 是过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点的弦，F 为抛物线的焦点，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则：①y 1·y 2＝－p 2，x 1·x 2＝p 24；②|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝2psin 2θ(θ为直线AB 的倾斜角)； ③S △ABO ＝p 22sin θ(θ为直线AB 的倾斜角)；④1|AF |＋1|BF |＝2p ； ⑤以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切．(3)当直线经过抛物线的焦点，且与抛物线的对称轴垂直时，直线被抛物线截得的线段称为抛物线的通径，显然通径长等于2p .跟踪训练2 已知直线l 经过抛物线y 2＝6x 的焦点F ，且与抛物线相交于A ，B 两点． (1)若直线l 的倾斜角为60°，求|AB |的值； (2)若|AB |＝9，求线段AB 的中点M 到准线的距离．类型三 抛物线综合问题命题角度1 与抛物线有关的最值问题例3 抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，点P (x ，y )为该抛物线上的动点，若点A (－1，0)，求|PF ||PA |的最小值．反思与感悟 (1)若曲线和直线相离，在曲线上求一点到直线的距离最小问题，可找到与已知直线平行的直线，使其与曲线相切，则切点为所要求的点．(2)以上问题一般转化为“两点之间线段最短”或“点到直线的垂线段最短”来解决． 跟踪训练3 已知直线l 1：4x －3y ＋6＝0和直线l 2：x ＝－1，抛物线y 2＝4x 上一动点P 到直线l 1和直线l 2的距离之和的最小值是( ) A ．2 B ．3 C.115 D.3716命题角度2 定值或定点问题例4 抛物线y 2＝2px (p >0)上有两动点A ，B 及一个定点M ，F 为抛物线的焦点，若|AF |，|MF |，|BF |成等差数列．(1)求证：线段AB 的垂直平分线过定点Q ；(2)若|MF |＝4，|OQ |＝6(O 为坐标原点)，求抛物线的方程．反思与感悟 在抛物线的综合性问题中，存在着许多定值问题，我们不需要记忆关于这些定值的结论，但必须牢牢掌握研究这些定值问题的基本方法，如设直线的点斜式方程、根与系数关系的利用、焦半径的转化等．跟踪训练4 在平面直角坐标系xOy 中，直线l 与抛物线y 2＝4x 相交于不同的A ，B 两点，OA →·OB →＝－4，求证：直线l 必过一定点．1．已知点A (－2，3)在抛物线C ：y 2＝2px 的准线上，记C 的焦点为F ，则直线AF 的斜率为( )A ．－43B ．－1C ．－34D ．－122．已知点P 是抛物线y 2＝2x 上的一个动点，则点P 到点(0，2)的距离与点P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为( ) A.172 B ．3 C. 5 D.923．过抛物线y 2＝4x 的焦点作直线l 交抛物线于A ，B 两点，若线段AB 的中点的横坐标为3，则|AB |＝________.4．已知过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 作倾斜角为45°的直线交抛物线于A ，B 两点，若线段AB 的长为8，则p ＝________.5．已知抛物线C ：y 2＝8x 的焦点为F ，准线与x 轴的交点为K ，点A 在抛物线C 上，且|AK |＝2|AF |，则△AFK 的面积为________.1．抛物线的中点弦问题用点差法较简便．2．轴对称问题，一是抓住对称两点的中点在对称轴上，二是抓住两点连线的斜率与对称轴所在直线斜率的关系．3．在直线和抛物线的综合问题中，经常遇到求定值、过定点问题．解决这类问题的方法很多，如斜率法、方程法、向量法、参数法等．解决这些问题的关键是代换和转化．提醒：完成作业 第二章 2.4.2答案精析问题导学 知识点一思考 (1)抛物线与另两种曲线相比较，有明显的不同，椭圆是封闭曲线，有四个顶点，有两个焦点，有中心；双曲线虽然不是封闭曲线，但是有两支，有两个顶点，两个焦点，有中心；抛物线只有一条曲线，一个顶点，一个焦点，无中心．(2)由抛物线y 2＝2px (p >0)有⎩⎪⎨⎪⎧2px ＝y 2≥0，p >0，所以x ≥0.所以抛物线x 的范围为x ≥0.抛物线在y 轴的右侧，当x 的值增大时，︱y ︱也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸．梳理 [0，＋∞) (－∞，＋∞) (－∞，0] (－∞，＋∞) (－∞，＋∞) [0，＋∞) (－∞，＋∞) (－∞，0] 知识点三两 一 没有 平行或重合 一 题型探究例1 解 椭圆的方程可化为x 24＋y 29＝1，其短轴在x 轴上，∴抛物线的对称轴为x 轴，∴设抛物线的方程为y 2＝2px 或y 2＝－2px (p >0)． ∵抛物线的焦点到顶点的距离为3， 即p2＝3，∴p ＝6. ∴抛物线的标准方程为y 2＝12x 或y 2＝－12x ， 其准线方程分别为x ＝－3或x ＝3. 引申探究解 由题意，设抛物线方程为y 2＝2mx (m ≠0)，焦点F (m 2，0)，直线l ：x ＝m2，所以A ，B 两点坐标为(m 2，m )，(m2，－m )，所以|AB |＝2|m |. 因为△OAB 的面积为4，所以12·|m2|·2|m |＝4，所以m ＝±2 2.所以抛物线的标准方程为y 2＝±42x .跟踪训练1 解 由已知，抛物线的焦点可能在x 轴正半轴上，也可能在负半轴上． 故可设抛物线方程为y 2＝ax (a ≠0)．设抛物线与圆x 2＋y 2＝4的交点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． ∵抛物线y 2＝ax (a ≠0)与圆x 2＋y 2＝4都关于x 轴对称， ∴点A 与B 关于x 轴对称， ∴|y 1|＝|y 2|且|y 1|＋|y 2|＝23， ∴|y 1|＝|y 2|＝3，代入圆x 2＋y 2＝4， 得x 2＋3＝4，∴x ＝±1，∴A (±1，3)或A (±1，－3)，代入抛物线方程，得(3)2＝±a ，∴a ＝±3. ∴所求抛物线方程是y 2＝3x 或y 2＝－3x .例2 (1)16 (2)x ＋y －1＝0或x －y －1＝0 (3)72跟踪训练2 解 (1)因为直线l 的倾斜角为60°，所以其斜率k ＝tan 60°＝ 3.又F ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，所以直线l 的方程为y ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －32. 联立⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝6x ，y ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －32，消去y 得x 2－5x ＋94＝0.若设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝5， 而|AB |＝|AF |＋|BF |＝x 1＋p 2＋x 2＋p2＝x 1＋x 2＋p ，所以|AB |＝5＋3＝8.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由抛物线定义知|AB |＝|AF |＋|BF |＝x 1＋p 2＋x 2＋p2＝x 1＋x 2＋p＝x 1＋x 2＋3，所以x 1＋x 2＝6.于是线段AB 的中点M 的横坐标是3，又准线方程是x ＝－32，所以M 到准线的距离等于3＋32＝92.例3 解 抛物线y 2＝4x 的准线方程为x ＝－1，如图，过点P 作PN 垂直x ＝－1于点N ，由抛物线的定义可知|PF |＝|PN |， 连接PA ， 在Rt△PAN 中，sin∠PAN ＝|PN ||PA |，当|PN ||PA |＝|PF ||PA |最小时，sin∠PAN 最小，即∠PAN 最小，即∠PAF 最大，此时，PA 为抛物线的切线， 设PA 的方程为y ＝k (x ＋1)， 联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x ＋1，y 2＝4x ，得k 2x 2＋(2k 2－4)x ＋k 2＝0， 所以Δ＝(2k 2－4)2－4k 4＝0， 解得k ＝±1，所以∠PAF ＝∠NPA ＝45°， |PF ||PA |＝|PN ||PA |＝cos∠NPA ＝22. 跟踪训练3 A例4 (1)证明 设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x 0，y 0)， 则|AF |＝x 1＋p 2，|BF |＝x 2＋p2，|MF |＝x 0＋p2，x 0为已知值． 由题意得x 0＝x 1＋x 22，∴线段AB 的中点坐标可设为(x 0，t )， 其中t ＝y 1＋y 22≠0(否则|AF |＝|MF |＝|BF |⇒p ＝0)．而k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝y 1－y 212py 21－y 22＝2p y 1＋y 2＝pt ， 故线段AB 的垂直平分线的方程为y －t ＝－t p(x －x 0)，即t (x －x 0－p )＋yp ＝0，可知线段AB 的垂直平分线过定点Q (x 0＋p ，0)．(2)解 由|MF |＝4，|OQ |＝6，得x 0＋p2＝4，x 0＋p ＝6，联立解得p ＝4，x 0＝2.∴抛物线方程为y 2＝8x .跟踪训练4 证明 设l ：x ＝ty ＋b ，代入抛物线y 2＝4x ， 消去x 得y 2－4ty －4b ＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝4t ，y 1y 2＝－4b . 又∵OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2 ＝(ty 1＋b )(ty 2＋b )＋y 1y 2 ＝t 2y 1y 2＋bt (y 1＋y 2)＋b 2＋y 1y 2 ＝－4bt 2＋4bt 2＋b 2－4b ＝b 2－4b ， 又∵OA →·OB →＝－4，∴b 2－4b ＝－4， 解得b ＝2，故直线过定点(2，0)． 当堂训练1．C 2.A 3.8 4.2 5.8。
第2章 2.6.2 双曲线的几何性质-【新教材】人教B版(2019)高中数学选择性必修第一册讲义
2.6.2双曲线的几何性质学习目标核心素养1．了解双曲线的简单几何性质(范围、对称性、顶点、实轴长和虚轴长等)．2．理解离心率的定义、取值范围和渐近线方程．(重点)3．能用双曲线的简单几何性质解决一些简单问题．(难点)1．通过对双曲线几何性质的学习，培养直观想象素养．2．借助于几何性质的应用，提升逻辑推理，数学运算素养．我们知道，椭圆是一条封闭的曲线，而双曲线是两支“开放式”的曲线，椭圆既是中心对称图形，又是轴对称图形，它具有四个顶点，离心率的范围是(0,1)，它的大小决定着椭圆的扁圆程度；双曲线和椭圆有着相似之处，那双曲线又有怎样的性质呢？让我们一起对双曲线的性质进行探究吧！1．双曲线的几何性质标准方程x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)y2a2－x2b2＝1(a＞0，b＞0)性质图形焦点(－c,0)，(c,0)(0，－c)，(0，c)焦距2c范围x≤－a或x≥a，y∈R y≤－a或y≥a，x∈R对称性对称轴：坐标轴；对称中心：原点顶点A1(－a,0)，A2(a,0)A1(0，－a)，A2(0，a)轴实轴：线段A1A2，长：2a；虚轴：线段B1B2，长：2b；半实轴长：a ，半虚轴长：b离心率 e ＝ca ∈(1，＋∞)渐近线y ＝±b a xy ＝±a b x思考1：能否用a ，b 表示双曲线的离心率？ [提示] 能. e ＝ca ＝a 2＋b 2a ＝1＋b 2a 2． 思考2：离心率对双曲线开口大小有影响吗？满足什么对应关系？ [提示] 有影响，因为e ＝ca ＝a 2＋b 2a ＝1＋b 2a 2，故当ba 的值越大，渐近线y ＝ba x 的斜率越大，双曲线的开口越大，e 也越大，所以e 反映了双曲线开口的大小，即双曲线的离心率越大，它的开口就越大．2．等轴双曲线实轴长和虚轴长相等的双曲线叫等轴双曲线，它的渐近线是y ＝±x ，离心率e ＝2．1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)等轴双曲线的离心率为2．( )(2)双曲线y 2a 2－x 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线方程为y ＝±b a x ．( )(3)离心率越大，双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的渐近线的斜率绝对值越大．( )[答案] (1)√ (2)× (3)√[提示] (1)√ 因为a ＝b ，所以c ＝2a ，所以e ＝ca ＝2． (2)× 由y 2a 2－x 2b 2＝1，得y ＝±a b x ，所以渐近线方程为y ＝±ab x ．(3)√ 由b a ＝c 2－a 2a ＝e 2－1(e ＞1)，所以e 越大，渐近线y ＝±ba x 斜率的绝对值越大．2．若0<k <a ，则双曲线x 2a 2－k 2－y 2b 2＋k 2＝1与x 2a 2－y 2b 2＝1有( )A ．相同的实轴B ．相同的虚轴C ．相同的焦点D ．相同的渐近线C [∵0＜k ＜a ，∴a 2－k 2＞0． ∴c 2＝(a 2－k 2)＋(b 2＋k 2)＝a 2＋b 2．] 3．x 2－y 24＝1的渐近线方程为( )A ．y ＝±2xB ．y ＝±12x C ．y ＝±4xD ．y ＝±14xA [双曲线x 2－y 24＝1焦点在x 轴上且a 2＝1，b 2＝4， ∴a ＝1，b ＝2，y ＝±ba x ＝±2x ．]4．已知双曲线的焦点为(－4,0)，(4,0)，离心率为2，则双曲线的标准方程为 ．x 24－y 212＝1 [∵e ＝c a ＝2，c ＝4，∴a ＝2，∴b 2＝c 2－a 2＝12，且焦点在x 轴上，故标准方程为x 24－y 212＝1．]5．已知双曲线的渐近线方程是y ＝±4x ，则其离心率为 ． 17或174[若双曲线焦点在x 轴上，依题意得，b a ＝4， ∴b 2a 2＝16，即c 2－a 2a 2＝16，∴e 2＝17，e ＝17． 若双曲线焦点在y 轴上，依题意得，ab ＝4． ∴b a ＝14，b 2a 2＝116，即c 2－a 2a 2＝116． ∴e 2＝1716，故e ＝174，即双曲线的离心率是17或174．]由双曲线的标准方程求其简单的几何性质22长、离心率和渐近线方程．[思路探究] 要将双曲线方程化成标准方程，然后由各个所求量的定义作答．[解] 将9y 2－4x 2＝－36变形为x 29－y 24＝1，即x 232－y 222＝1，∴a ＝3，b ＝2，c ＝13， 因此顶点为A 1(－3,0)，A 2(3,0)， 焦点坐标为F 1(－13，0)，F 2(13，0)， 实轴长是2a ＝6，虚轴长是2b ＝4， 离心率e ＝c a ＝133， 渐近线方程y ＝±b a x ＝±23x ．由双曲线的方程研究几何性质的解题步骤(1)把双曲线方程化为标准形式是解决本题的关键. (2)由标准方程确定焦点位置，确定a 、b 的值.(3)由c 2＝a 2＋b 2求出c 值，从而写出双曲线的几何性质.[跟进训练]1．求双曲线x 23－y 24＝1的实轴长、虚轴长、顶点坐标、焦点坐标、离心率和渐近线方程．[解] 由题意知a 2＝3，b 2＝4，所以c 2＝a 2＋b 2＝3＋4＝7，解得a ＝3，b ＝2，c ＝7． 因此，双曲线的实轴长2a ＝23，虚轴长2b ＝4． 顶点坐标为(－3，0)，(3，0)， 焦点坐标为(－7，0)，(7，0)． 离心率e ＝c a ＝73＝213，由于该双曲线的焦点在x 轴上，所以渐近线方程为y ＝±b a x ，即y ＝±233x ．由双曲线的几何性质确定标准方程(1)过点P (3，－2)，离心率e ＝52；(2)与双曲线x 29－y 216＝1有共同的渐近线，且过点(－3，23)．[思路探究] (1)(2)中焦点位置不明确，应先讨论焦点位置；再根据已知条件求解，对于(2)也可以根据渐近线方程设双曲线的方程求解．[解] (1)依题意，双曲线的焦点可能在x 轴上，也可能在y 轴上，分别讨论如下：①若双曲线的焦点在x 轴上，设双曲线的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)． 由e ＝52，得c 2a 2＝54．① 由点P (3，－2)在双曲线上，得9a 2－2b 2＝1． ②又a 2＋b 2＝c 2，结合①②，得a 2＝1，b 2＝14． ∴双曲线的方程为x 2－y 214＝1．②若双曲线的焦点在y 轴上，设双曲线的方程为y 2a 2－x 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)．同理有c 2a 2＝54，2a 2－9b 2＝1，a 2＋b 2＝c 2， 解得b 2＝－172(不合题意，舍去)． 故双曲线的焦点只能在x 轴上， ∴所求双曲线的方程为x 2－y 214＝1．(2)法一：双曲线x 29－y 216＝1的渐近线方程为y ＝±43x ． ①当所求双曲线的焦点在x 轴上时， 设标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)， 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ b a ＝43，9a 2－12b 2＝1，解得a 2＝94，b 2＝4．∴双曲线的方程为x 294－y 24＝1．②当所求双曲线的焦点在y 轴上时， 设标准方程为y 2a 2－x 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)， 由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧a b ＝43，12a 2－9b 2＝1，此方程组无解，∴所求双曲线的方程为x 294－y 24＝1．法二：∵所求双曲线与双曲线x 29－y 216＝1有共同的渐近线． ∴设所求双曲线的方程为x 29－y 216＝λ(λ≠0)． 将点(－3,23)代入，得99－1216＝λ，即λ＝14，∴双曲线的方程为x29－y216＝14，即为x294－y24＝1．求双曲线的标准方程的方法与技巧(1)根据双曲线的某些几何性质求双曲线方程，一般用待定系数法转化为解方程(组)，但要注意焦点的位置，从而正确选择方程的形式．(2)利用渐近线与双曲线的位置关系，设有公共渐近线的双曲线方程x2a2－y2b2＝λ(λ≠0)，这样可避免分类讨论，从而减少运算量，提高解题速度与准确性．拓展延伸：巧设双曲线的六种方法与技巧(1)焦点在x轴上的双曲线的标准方程可设为x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)．(2)焦点在y轴上的双曲线的标准方程可设为y2a2－x2b2＝1(a>0，b>0)．(3)与双曲线x2a2－y2b2＝1共焦点的双曲线方程可设为x2a2－λ－y2b2＋λ＝1(λ≠0，－b2＜λ＜a2)．(4)与双曲线x2a2－y2b2＝1具有相同渐近线的双曲线方程可设为x2a2－y2b2＝λ(λ≠0)．(5)渐近线为y＝kx的双曲线方程可设为k2x2－y2＝λ(λ≠0)．(6)渐近线为ax±by＝0的双曲线方程可设为a2x2－b2y2＝λ(λ≠0)．[跟进训练]2．求适合下列条件的双曲线的标准方程：(1)一个焦点为(0,13)，且离心率为135；(2)渐近线方程为y＝±12x，且经过点A(2，－3)．[解](1)依题意可知，双曲线的焦点在y轴上，且c＝13，又ca＝135，∴a＝5，b2＝c2－a2＝144，故其标准方程为y 225－x 2144＝1． (2)∵双曲线的渐近线方程为y ＝±12x ，若焦点在x 轴上，设所求双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，则ba ＝12．① ∵A (2，－3)在双曲线上，∴4a 2－9b 2＝1． ②由①②联立，无解．若焦点在y 轴上，设所求双曲线的标准方程为y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)，则a b ＝12．③ ∵A (2，－3)在双曲线上，∴9a 2－4b 2＝1． ④ 由③④联立，解得a 2＝8，b 2＝32． ∴所求双曲线的标准方程为y 28－x 232＝1．与双曲线有关的离心率问题[1．求离心率的突破点是什么？[提示] 通过已知条件结合双曲线的几何性质建立等式关系． 2．如何求离心率的取值范围？[提示] 利用定义结合已知条件建立不等关系求解．【例3】 已知A 、B 为双曲线E 的左、右顶点，点M 在E 上，△ABM 为等腰三角形，且顶角为120°，求E 的离心率．[解] 设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，如图所示，|AB|＝|BM|，∠ABM＝120°，过点M作MN⊥x轴，垂足为N，在Rt△BMN 中，|BN|＝a，|MN|＝3a，故点M的坐标为M(2a，3a)，代入双曲线方程得a2＝b2，所以e＝2．(变换条件)设F1，F2是双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的两个焦点，若PF1⊥PF2且∠PF1F2＝30°，求离心率．[解]在直角三角形PF1F2中，由题设可知：|F1F2|＝2c，|PF2|＝c，|PF1|＝3c，又|PF1|－|PF2|＝2a，所以2a＝3c－c，e＝ca＝23－1＝3＋1．求离心率的方法与技巧(1)求双曲线离心率的常见方法：一是依据条件求出a，c，再计算e＝ca；二是依据条件建立参数a，b，c的关系式，一种方法是消去b转化成离心率e的方程求解，另一种方法是消去c转化成含ba的方程，求出ba后利用e＝1＋b2a2求离心率．(2)求离心率的范围一般是根据条件建立a，b，c的不等式，通过解不等式得ca或ba的范围，再求得离心率的范围．与渐进线有关的问题【例4】如图，已知F1，F2为双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的焦点，过F2作垂直于x轴的直线交双曲线于点P，且∠PF1F2＝30°，求双曲线的渐近线方程．[思路探究]根据Rt△PF2F1中的边角关系及双曲线的定义可得a，b的关系，进而可求渐近线方程．[解]设F2(c,0)，(c＞0)，P(c，y0)，则c2a2－y20b2＝1，解得y0＝±b2a．∴|PF2|＝b2 a．在Rt△PF2F1中，∠PF1F2＝30°，则|PF1|＝2|PF2|．①由双曲线的定义，得|PF1|－|PF2|＝2a．②由①②，得|PF2|＝2a．∵|PF2|＝b2a，∴2a＝b2a，即b2＝2a2．∴ba＝2．∴渐近线方程为y＝±2x．1．双曲线x2a2－y2b2＝1的渐近线为y＝±ba x，双曲线y2a2－x2b2＝1的渐近线为y＝±abx，两者容易记混，可将双曲线方程中的“1”换成“0”，然后因式分解即得渐近线方程．2．若已知渐近线方程为mx±ny＝0，求双曲线方程，双曲线的焦点可能在x 轴上，也可能在y轴上，可用下面的方法来解决．方法一：分两种情况设出方程进行讨论．方法二：依据渐近线方程，设出双曲线方程m2x2－n2y2＝λ(λ≠0)，求出λ即可．显然方法二较好，避免了讨论．3．有共同渐近线的双曲线的方程．与双曲线x2a2－y2b2＝1有共同渐近线的双曲线方程可设为x2a2－y2b2＝λ(λ≠0)．若λ＞0，则实轴在x轴上；若λ＜0，则实轴在y轴上，再依据题设条件可确定λ．[跟进训练]3．双曲线C的对称轴与坐标轴重合，两个焦点分别为F1，F2，虚轴的一个端点为A，若△AF1F2是顶角为120°的等腰三角形．求双曲线C的渐近线方程．[解]双曲线C的对称轴与坐标轴重合，两个焦点分别为F1，F2，虚轴的一个端点为A，若△AF1F2是顶点为120°的等腰三角形．可得c＝3b，所以c2＝3b2，即a2＋b2＝3b2，a2＝2b2，解得ba＝22，或ab＝2．所以双曲线的渐近线方程为：y＝±2x或y＝±22x．1．渐近线是双曲线特有的性质．两方程联系密切，把双曲线的标准方程x2 a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)右边的常数1换为0，就是渐近线方程．反之由渐近线方程ax±by ＝0变为a2x2－b2y2＝λ，再结合其他条件求得λ就可得双曲线方程．2．准确画出几何图形是解决解析几何问题的第一突破口．对圆锥曲线来说，渐近线是双曲线特有的性质，利用双曲线的渐近线来画双曲线特别方便，而且较为精确，只要作出双曲线的两个顶点和两条渐近线，就能画出它的近似图形．1．中心在原点，实轴长为10，虚轴长为6的双曲线的标准方程是( )A ．x 225－y 29＝1B ．x 225－y 29＝1或y 225－x 29＝1C ．x 2100－y 236＝1 D ．x 2100－y 236或y 2100－x 236＝1B [实轴长为10，虚轴长为6，所以a ＝5，b ＝3． 当焦点在x 轴上时，方程为x 225－y 29＝1；当焦点在y 轴上时，方程为y 225－x 29＝1．] 2．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线方程是y ＝±33x ，则双曲线的离心率为( )A ．32B ．233C ．74D ．55B [由双曲线的渐近线方程是y ＝±33x 知b a ＝33，所以b ＝33a ，所以c 2＝a 2＋b 2＝a 2＋13a 2＝43a 2，所以e 2＝c 2a 2＝43，所以e ＝233．故选B ．] 3．已知双曲线的渐近线方程为y ＝±x 2，虚轴长为4，则该双曲线的标准方程是 ．x 216－y 24＝1或y 2－x 24＝1 [若双曲线的焦点在x 轴上，则b a ＝12，2b ＝4，解得b ＝2，a ＝4，所以此时双曲线的标准方程为x 216－y 24＝1；若双曲线的焦点在y 轴上，则a b ＝12，2b ＝4，解得b ＝2，a ＝1，所以此时双曲线的标准方程为y 2－x 24＝1．综上可知：该双曲线的标准方程是x 216－y 24＝1或y 2－x 24＝1．]点到渐近线的距离为1，则双曲线方程为 ．x 24－34y 2＝1 [双曲线右顶点为(a,0)，一条渐近线x －3y ＝0，∴1＝a 1＋3＝a 2．∴a ＝2， 又b a ＝33，∴b ＝233，∴双曲线方程为x 24－34y 2＝1．]5．中心在原点，焦点在x 轴上的一椭圆与一双曲线有共同的焦点F 1，F 2，且|F 1F 2|＝213，椭圆的长半轴与双曲线半实轴之差为4，离心率之比为3∶7．求这两条曲线的方程．[解] 由已知：c ＝13，设椭圆长、短半轴长分别为a ，b ，双曲线半实轴、半虚轴长分别为m ，n ，则⎩⎨⎧ a －m ＝4，7·13a ＝3·13m ，解得a ＝7，m ＝3．所以b ＝6，n ＝2．所以椭圆方程为x 249＋y 236＝1，双曲线方程为x 29－y 24＝1．。
高二数学(人教B版)选修1-1全册课件1、2-2-1双曲线及其标准方程
2．在双曲线的定义中，条件0<2a<|F1F2|不应忽视，若
2a＝|F1F2|，则动点的轨迹是 两条射线 ； 若 2a>|F1F2| ，
则动点的轨迹是 不存在 ． 3．双曲线定义中应注意关键词“ 绝对值 ”，若去掉 定义中“绝对值”三个字，动点轨迹只能是 双曲线一支 ．
第二章 圆锥曲线与方程
(选修1-1)
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本节重点：双曲线的定义及其标准方程． 本节难点：双曲线标准方程的推导．
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第二章 圆锥曲线与方程
(选修1-1)
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第二章 圆锥曲线与方程
(选修1-1)
1．对于双曲线定义的理解，要抓住双曲线上的点所要 满足的条件，即双曲线上点的几何性质，可以类比椭圆的
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，
第二章 圆锥曲线与方程
(选修1-1)
1 1 a2＝－16 解得 12＝－1 9 b
(不合题意，舍去)．
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y x 当双曲线的焦点在 y 轴上时， 设双曲线的方程为a2－b2 ＝1(a>0，b>0)． 3 ( 5)2 4 2 a2 －b2＝1 ∵P1、P2 在双曲线上，∴ 2 (4 7)2 3 4 a2－ b2 ＝1
2
第二章 圆锥曲线与方程
(选修1-1)
2
当 k>0 时，k＝6.
[辨析] 因为不能确定k的正负，需讨论．
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[正解]
x2 y2 当 k>0 时，方程化为标准形式： k － k ＝1 2
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k 3k ∵c ＝2＋k＝ 2 ，
2
人教B版高中数学【选修1-1】第2章-2.1-2.2.1双曲线及其标准方程-课件
焦点坐标 a，b，c 的关系
F1(－c,0)，F2(c,0) F1(0，－c)，F2(0，c) c2＝ a2＋b2
双曲线标准方程的理解
x2 y2 方程 ＋ ＝1 表示的曲线为 C，给出下列四个 4 －k k －1 命题： ①曲线 C 不可能是圆； ②若 1＜k＜4，则曲线 C 为椭圆； ③若曲线 C 为双曲线，则 k＜1 或 k＞4； 5 ④若曲线 C 表示焦点在 x 轴上的椭圆，则 1＜k＜ . 2 其中正确命题的序号是________．
(3)列式：由|MF1|－|MF2|＝± 2a， 可得 x＋c2＋y2－ x－c2＋y2＝± 2a.
(4)化简：移项，平方后可得 (c2－a2)x2－a2y2＝a2(c2－a2)． 令 c2－a2＝b2，得双曲线的标准方程为 x 2 y2 － ＝1(a＞0，b＞0)． a2 b2
2．双曲线的标准形式有两种，如何区别焦点所在的坐标轴？
【提示】 双曲线标准方程中 x2 与 y2 的系数的符号决定了焦 点所在的坐标轴：当 x2 系数为正时，焦点在 x 轴上；当 y2 的系数 为正时，焦点在 y 轴上，而与分母的大小无关．
双曲线的标准方程 焦点在 x 轴上 焦点在 y 轴上
标准方程
x2 y2 － ＝1 a2 b2
(a>0，b>0)
y2 x2 － ＝1 a2 b2
【答案】 ③④
1．双曲线焦点在 x 轴上⇔标准方程中 x2 项的系数为正；双曲 线焦点在 y 轴上⇔标准方程中 y2 项的系数为正．
x2 y2 2． 在曲线方程 ＋ ＝1 中， 若 m＝n＞0， 则曲线表示一个圆； m n 若 m＞0，n＞0，且 m≠n，则曲线表示一个椭圆；若 mn＜0，则曲 线表示双曲线．
2021 2021年高中数学新课标人教B版《选修一》《选修1 1》《第二章 圆锥曲线与方程》精选专题
2021 2021年高中数学新课标人教B版《选修一》《选修1 1》《第二章圆锥曲线与方程》精选专题----264b55f0-6ea1-11ec-bd8e-7cb59b590d7d2021-2021年高中数学新课标人教b版《选修一》《选修1-1》《第二章圆锥曲线与方程》精选专题2022-2022年高中数学新课程标准人民教育b版选修课1选修课1-1第二章圆锥曲线与方程选题论文[6]含答案考点及解析类别：_________________;分数：___________题号一二得分注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上评分员3总分1，多项选择题1.已知命题a．c．【答案】d【解析】，然后（）b．d．试题分析：根据全名命题的否定是一个特殊命题和无命题的特点，我们可以知道选择的D题：全名命题的否定。
2“点在曲线“向上”是“点”的坐标满足方程“关于（）a．充分非必要条件c．充要条件【答案】b【解析】b、必要条件和不足条件d．既非充分也非必要条件问题分析：“m点的坐标满足方程”？“曲线上的m点”；“曲线上的点m”不一定满足“点m的坐标满足方程”。
因此，“曲线上的点m”是“点m的坐标满足方程”的必要条件和不足条件。
所以选择B.测试点：充分必要条件的判断方法。
3下列命题中正确的一个是（）A.如果B“为真命题，则，“是的”，那么，使得“真理命题”的充要条件或”的逆否命题为“若，则，使得或，则”c．命题“若d、提议【答案】d【解析】试题分析：根据故a不正确，因为真命题要求，即有一个真即可，而同号，所以“，为真命题，要求“是的”两者都真，然后”的充分不必如果B不正确，则命题“If，then或”的反命题为“If and””，故c不正确，根据特称命题的否定形式，可知d是正确的，故选d．考点：复合命题的真值表，充要条件，逆否命题，特称命题的否定．4.命题“存在a．充要条件【答案】a【解析】试题分析：根据问题的含义，选择一个考点：充要条件的判断．5.下列命题中是假命题的是（）a．b．函数c、关于方程D.函数和函数[answer]D[分析]试题分析：对应a，当什么时候是幂函数，且在向上递减；对于B函数，解决方案是或；，使是幂函数，在上递减或恒成立，即，解得“错误命题”是一个命题b．必要不充分条件“关于（）c．充分不必要条件d、既不充分也不必要要条件，作为一个充要条件，至少有一个负根的充要条件是图像是关于一条直线对称的的值域为，则对于C，什么时候时，方程化为如果有根，那么；对于D，函数存在一个负根；当，即，若方程和功能，若关于的二次方程如果没有负根，那么至少有一个负根的充答案是对称的的图象关于直线所以，不存在关于要条件是为d．测试点：命题的真假6.给定两个命题p，q．若vp是q的必要而不充分条件，则p是vq的（）a．充分而不必要条件c．充要条件b、必要条件和不充分条件D.既不充分也不必要条件【答案】a【解析】试题分析：由是的，必要条件，但不是充分条件是的充分而不必要条件，故选a.试验场地：必要和充分条件。
2020人教版高二数学选修1-1(B版)电子课本课件【全册】
2.2.1 双
曲线及其标准方程
2020人教版高二数学选修1－1(B版) 电子课本课件【全册】
1.3.2 命题的四种形式
阅读与欣赏
什么是数理逻辑
2.1 椭圆
2.1.1 椭圆及其标准方程
2.2 双曲线
2.2.1 双曲线及其标准方程
2.3 抛物线
2.3.1 抛物线级其标准方程
本章小结
第三章 导数及其应用
3.数的导数
3.2.3 导数的四则运算法则
3.3.2 利用导数研究函数的极值
本章小结
附录 部分中英文词汇对照表
第一章 常用逻辑用语
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1.1 命题与量词 命题
1.1.1
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1.1.2 量词
什么是数
理逻辑
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第二章 圆锥曲线与方程
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2.1 椭圆
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1.2 基本逻辑联结词 1.2.1 “且”与“或”
2020人教版高二数学选修1－1(B版) 电子课本课件【全册】
1.2.2 “非”（否定）
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第一章 常用逻辑用语
1.1.2 量词
【数学】2.2.2《双曲线的几何性质》课件(新人教B版选修1-1)
y
B2
图 过 y 的 如 ,经 A, A 作轴 平 O F A A F x a 过 x 行 x=± ,经 B, B 作 线 B , 条 轴 平 线 =±b 四 直 的 行 y 线 成 个 形 . − ). 围 一 矩 (图 图 . − 矩 的 条 角所 的 形 两 对 线在 x y 几 画 实 可 看 直 的 程 ± = .由 何 板 验 以 线 方 是 a b x y , 曲 到双 线 − = 的 支 处 伸 ,与 两 各 向 延 时 这 a b
. .
曲 的 单 何 质 双 线 简 几 性
比 圆 何 质 研 方 ,我 根 类 椭 几 性 的究 法 们 据 曲 的 准 程 双 线 标 方 x y − = (a> ,b> a b 研 它 几 性. 究 的 何 质
)
()
思 类 椭 几 性 的究 认 考 比 圆 何 质 研,你 ,你 为 研 双 线 应 究 曲 x y − = (a> ,b> ) 的 些 质 哪 性 ? a b 如 研 这 性? 何 究 a 所表示的区域内.
称 对 性
x y 类 研 椭 比 究 圆 + = a b (a>b> ) 对 性 方 , 称 的 法 易 到 曲 关 x 轴 容 得 ,双 线 于 、 y轴 原 都 对 的 和 点 是 称 .这 , 标 是 曲 的 时坐 轴 双 线 对 轴 点 双 线 对 称 ,原 是 曲 的 称
F1
y
B2
b O a
N Q M
A1 B1
A2
F2
x
所以 | MN |= Y − y = b x− x −a a
(
b x− x −a x+ x +a ab . = ⋅ = a x+ x +a x+ x +a b 设 | MQ | 是点M到直线y = x的距离, 则 | MQ |<| MN | . a
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规律方法
讨论双曲线的几何性质，先要将双曲线方程化为标
准形式，然后根据双曲线两种形式的特点得到几何性质.
跟踪演练1
求双曲线x2－3y2＋12＝0的实轴长、虚轴长、焦点
坐标、顶点坐标、渐近线方程、离心率.
2 2 y x 2 2 解 将方程 x －3y ＋12＝0 化为标准方程 4 －12＝1，
∴a2＝4，b2＝12，
∴a＝2，b＝2 3，∴c＝ a ＋b ＝ 16＝4.
2 2
∴双曲线的实轴长 2a＝4，虚轴长 2b＝4 3.
焦 点 坐 标 为 F1(0 ， － 4) ， F2(0,4) ， 顶 点 坐 标 为 A1(0 ， － 2) ， A2(0,2)，
3 渐近线方程为 y＝± 3 x，离心率 e＝2.
要点二
2
2
上截得的弦长为4，其斜率为
解
设直线l的方程为y＝2x＋m，
y＝2x＋m， 2 2 2 2 由x y 得 10x ＋12mx＋3(m ＋2)＝0.(*) － ＝1 3 2
设直线l与双曲线交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，
由根与系数的关系，
6 3 2 得 x1＋x2＝－5m，x1x2＝10(m ＋2).
2
2
方法二
由渐近线方程y＝±3x，
2
y 可设所求双曲线方程为 x － 9 ＝λ (λ≠0)(*)
2
35 将点 P(2，－1)的坐标代入(*)，得 λ＝ 9 ，
x y ∴所求双曲线方程为35－35＝1. 9
2
2
要点三 例3
直线与双曲线的位置关系
直线l在双曲线
2，求l的方程.
x y － ＝ 1 3 2
要点一 例1
已知双曲线的标准方程求其几何性质
求双曲线9y2－16x2＝144的实半轴长和虚半轴长、焦点坐
标、离心率、渐近线方程.
y x 解 把方程 9y －16x ＝144 化为标准方程42－32＝1.
2 2
2
2
由此可知，实半轴长a＝4，虚半轴长b＝3；
c＝ a2＋b2＝ 42＋32＝5，焦点坐标是(0，－5)，(0,5)； 4 c 5 离心率 e＝a＝4；渐近线方程为 y＝±3x.
又y1＝2x1＋m，y2＝2x2＋m，
[知识链接]
类比椭圆的几何性质，结合图象，你能得到双 x y 曲线a2－b2＝1 (a>0，b>0)的哪些几何性质？
答案 (1)范围：x≥a或x≤－a；
(2)对称性：双曲线关于x轴、y轴和原点都是对称的； (3)顶点：双曲线有两个顶点A1(－a,0)，A2(a,0).
2 2
[预习导引] 1.双曲线的几何性质
根据双曲线的几何性质求标准方程
例2
求适合下列条件的双曲线的标准方程：
13 (1)一个焦点为(0,13)，且离心率为 5 ；
解 依题意可知，双曲线的焦点在y轴上，
c 13 且 c＝13，又a＝ 5 ， ∴a＝5，b＝ c2－a2＝12， y x 故其标准方程为25－144＝1.
2 2
1 解 方法一 ∵双曲线的渐近线方程为 y＝±2x，
①
y2 x2 或9k－ k ＝1
②
把(3,9 2)代入①，得 k＝－161 与 k>0 矛盾，无解； 把(3,9 2)代入②，得 k＝9，
y x 故所求双曲线方程为81－ 9 ＝1.
2 2
(2)过点P(2，－1)，渐近线方程是y＝±3x. 解 方法一 (首先确定所求双曲线的标准类型，
可在图中判断一下点P(2，－1)在渐近线y＝－3x 的上方还是下方)如图所示，x＝2与y＝－3x交点
跟踪演练2
求中心在原点，对称轴为坐标轴，且满足下列条
件的双曲线方程：
10 (1)双曲线过点(3,9 2)，离心率 e＝ 3 ； 2 c 10 2 10 2 解 e ＝ 9 ，得a2＝ 9 ，设 a ＝9k(k＞0)，
则c2＝10k，b2＝c2－a2＝k.
2 2
x y 于是，设所求双曲线方程为9k－ k ＝1
x y 若焦点在 x 轴上，设所求双曲线的标准方程为a2－b2＝1(a>0， b 1 b>0)，则a＝2. ① 4 9 ∵A(2，－3)在双曲线上，∴a2－b2＝1. ②
由①②联立，无解.
2 2
若焦点在y轴上，设所求双曲线的标准方程为
y x a 1 2－ 2＝1(a>0，b>0)，则 ＝ . b 2 a b 9 4 ∵A(2，－3)在双曲线上，∴a2－b2＝1.
第二章——
2.2.2 双曲线的几何性质
[学习目标]
1.掌握双曲线的简单几何性质，如范围、对称性、顶点、渐近线 和离心率等. 2.能用双曲线的简单几何性质解决一些简单问题. 3.能区别椭圆与双曲线的性质.
1 预习导学 2 课堂讲义 3 当堂检测
挑战自我，点点落实
重点难点，个个击破
当堂训练，体验成功
2
规律方法 由双曲线的几何性质求双曲线的标准方程，一般用 待定系数法.当双曲线的焦点不明确时，方程可能有两种形式， 此时应注意分类讨论， 为了避免讨论， 也可设双曲线方程为 mx
2 2
－ny ＝1 (mn>0)，从而直接求得.若已知双曲线的渐近线方程为 x2 y2 b y＝±ax，还可以将方程设为a2－b2＝λ (λ≠0)，避免讨论焦点的 位置.
为 Q(2 ，－ 6) ， P(2 ，－ 1) 在 Q(2 ，－ 6) 的上方，
所以焦点在x轴上.
x y 设双曲线方程为a2－b2＝1 (a>0，b>0).
2
2
b 2 35 ＝ 3 ， a a ＝ ， 9 依题意，得 解得 b2＝35. 42－ 12＝1， a b
x y ∴所求双曲线方程为35－35＝1. 9
由③④联立，解得a2＝8，b2＝32.
2
2
③
④
y x ∴所求双曲线的标准方程为 8 －32＝1.
2
2
1 方法二 由双曲线的渐近线方程为 y＝±2x，可设双曲线方程为 2 x 2 2－y ＝λ(λ≠0)， 2
∵A(2，－3)在双曲线上，
2 8 －32＝1.
标准方程
x y 2－ 2＝1 a>0， b b>0) (a
2
2
y x 2－ 2＝1 a>0， bb>0) (a
2
2
图形
范围 对称性 性
x≥a或x≤－a
y≥a或y≤－a
质
顶点坐标 渐近线 离心率
对称轴： 坐标轴 对称中心： 原点
A1(－a,0)，A2(a,0)
A1(0，－a)，A2(0，a)
等长
y＝±x