小学奥数之最短路线

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小学三年级奥数第22讲最短路线

最短路线
【例1】(☆☆)
【课前铺垫】
一只蚂蚁在长方形格纸上的A点，它想去B点玩，但是不知走哪条路最
近。

小朋友们，你能给它找到几条这样的最短路线呢？
标数法：用来解决最短路线问题的方法，在给出的图形中的每一个结点标出
到达该点的
，。

【例2】(☆☆☆)【例3】(☆☆☆)
寒假到了，艾伦和爸爸决定去黄山玩。

聪明的小朋友请你找找看从北京到黄山的最短路线共有几条呢？阿强和牛牛结伴骑车去图书馆看书，第一天他们从学校直接去图书馆；第二天他们先去公园看大熊猫再去图书馆；第三天公园修路不能通行。

聪明的小朋友们，请你帮阿强和牛牛想想这三天从学校到图书馆的最短路线分别有多少种不同的走法？
1
【例4】(☆☆☆☆)【例5】(☆☆☆☆☆)
图中的“我爱史老师”有多少种不同的读法。

一只密蜂从A处出发，A回到家里B处，每次只能从一个蜂房爬向右侧
邻近的蜂房而不准逆行，共有多少种回家的方法？
【例6】(☆☆☆☆☆)
城市街道如下图所示，有几处街区有积水不能通行，那么从A到B的最
短路线有几条？
【本讲总结】
最短路线
宗旨：不走冤枉路，就要朝着目标走
方法：标数法
标数法四步：
1．找目标、定方向
2．从起点标数，起点标1
3．按顺序每个点都要标到
4．某点数字＝指向该点箭头
尾巴上的数字相加
注意：
．坏点可以划去或看成
2．必须经过，分段标出
2。

六年级下册奥数试题——最短路线.(含答案)人教版

8-8 最短路线教学目标1.准确运用“标数法”解决题目2.培养学生的实际操作能力．知识精讲知识点说明从一个地方到另外一个地方，两地之间有许多条路，就有许多种走法，如果你能从中选择一条最近的路走，也就是指要选择一条最短的路线走，这样你就可以节省许多时间了，那么如何能选上最短的路线呢？亲爱的小朋友们，你要记住两点：⑴两点之间线段最短．⑵尽量不走回头路和重复路，这样的话，你就做到了省时省力．例题精讲例 1】一只蚂蚁在长方形格纸上的 A 点，它想去 B 点玩，但是不知走哪条路最近．小朋友们，你能给它找到几条这样的最短路线呢？解析】（方法一）从A点走到B点，不论怎样走，最短也要走长方形AHBD 的一个长与一个宽，因此，在水平方向上，所有线段的长度和应等于AD ；在竖直方向上，所有线段的长度和应等于DB ．这样我们走的这条路线才是最短路线．为了保证这一点，我们就不应该走“回头路”，只能向右和向下走．所有最短路线：A C D GB 、AC F G B、 A E F G BA C F I B、 A E F I B、 A E H I B这种方法不能保证“不漏”．如果图形再复杂些，做到“不重”也是很困难的．（方法二）遵循“最短路线只能向右和向下走”，观察发现这种题有规律可循．①看C点：只有从A到C的这一条路线．同样道理：从A到D 、从 A 到 E 、从 A 到H 也都只有一条路线．我们把数字“ 1 ”分别标在C、D、E、 H 这四个点上．②看 F 点：从 A 点出发到 F ，可以是 A C F ，也可以是 A E F ，共有两种走法．那么我们在F点标上数字“ 2”（2=1 1）．③ 看G 点：从 A G 有三种走法，即： A C D G 、 A C F G 、 A E F G．在G点标上数字“ 3”（3=1 2）．④看I 点：共有三种走法，即：A C F I 、 A E F I 、 A E H I ，在I 点标上“ 3” （3=1 2）．⑤看B点：从上向下走是G B ，从左向右走是I B ，那么从出发点 A B有六种走法，即： A C D G B、 A C F G B、A E F G B、A C F I B、A E F I B、A E H I B，在B点标上“ 6”（ 6 33），观察发现每一个小格右下角上标的数正好是这个小格右上角与左下角的数的和，这个和就是从出发点 A 到这点的所有最短路线的条数．此法能够保证“不重”也“不漏”，这种方法叫“对角线法”或“标号法”．巩固】如图所示，从A点沿线段走最短路线到 B 点，每次走一步或两步，共解析】共有 9种，即： A A B O C 、B O DC 、A D OBC ,最短的路是: A OC 、 A O B C 、 A B CA D C 、 A D O C C ．解析】这是一个较复杂的最短路线问题，我们退一步想想，先看看简单的情况．从 A 到 B 的各种不同走法中先选择一条路线来分析：如果按路线 A →C →D →E → F → B 来走，这条路线共有 5条线段，每次走一步或两步，要求从 A 走到 B ，会有几种走法？这不是“上楼梯”问题吗．根据“上楼梯”问题的解法可得在 A →C →D →E →F → B 这条路线中有 8 种符合条件的走法．而对于从 A 到 B 的其他每条最短路线而言，每一条路线都有 5 条线段，所以每条路线都有 8 种走法．进一步：从 A 到B 共有多少条最短路线？这正是 “最短路线”问题！用“标数法”来解决，有 10 条．综上所述，满足条件的走法有 8 10 80种．巩固】从A 到 B 的最短路线有几条呢？解析】图中从 A 到B 的最短路线都为 6 条．巩固】有一只蜗牛从 A 点出发 ,要沿长方形的边或对角线爬到 C 点,中间不许爬回 A 点,也不能走重复的路，那么，它有多少条不同的爬行路线？最短的是哪条呢？有多少种不同走法？D DE EFBDEACFB AC CB例 2】阿呆和阿瓜到少年宫参加 2008 北京奥运会志愿者培训．如果他们从学校出发，共有多少种不同的最短路线？解析】从学校到少年宫的最短路线，只能向右或向下走．我们可以先看 A点：从学校到 A 点最短路线只有 1种走法，我们在 A 点标上 1．B 、E 、F 、G 点同理．再看 J 点：最短路线可以是 A J 、E J 共2条，我们在 J 点标上 2．我们发现 2 1 1正好是对角线 A 点和 E 点上的数字和．所有的最短路线都符合这个规律，最终从学校到少年宫共有 10 种走法．巩固】方格纸上取一点 A 作为起点，再在 A 的右上方任取一点 B 作为终点，画一条由 A 到B 的最短路线，聪明的小朋友，你能画出来吗？总共能画出几条呢？解析】根据“标号法”可知共有 10 种，如图．学校学校1 1 12 3J136 1 4 I10BAAC D 少年宫巩固】如图，从 F 点出发到G 点，走最短的路程，有多少种不同的走法？G分析】共有 115种．小聪明想从北村到南村上学，可是他不知道最短路线的走法共有几种？小朋友们，快帮帮忙呀！北村“五一”长假就要到了，小新和爸爸决定去黄山玩．聪明的小朋友请你找找看从北京到黄山的最短路线共有几条呢？采用对角线法（如图）这道题的图形与前几题的图形又有所区别，因此，在解题时要格外注意是由哪两点的数之和来确定另一点的．从北京到黄山最近的道路共有 10 条．2456 3 6 10 1521 4 10 20 3565 1535 7126 北村1 1 11 1 1 1巩固】分析】根据“对角线法”知共有 126种，如图．南村北京1 1 12 1122 3241 3710黄山解析】北京巩固】从甲到乙的最短路线有几条？解析】有11条．例 4 】古希腊有一位久负盛名的学者，名叫海伦．他精通数学、物理，聪慧过人．人一天一位将军向他请教一个问题：如下图，将军从甲地骑马出发，要到河边让马饮水，然后再回到乙地的马棚，为了使行走的路线最短，应该让马在什么地方饮水？甲地乙地河流解析】本题主要体现最值思想和对称的思想，教师应充分引导孩子观察行走路线的变化情况逐步引导学生通过对称来找到相应的点，进一步了解图形最值问题中应该如何解决问题．例 5 】学校组织三年级的小朋友去帮助农民伯伯锄草，大家从学校乘车出发，去往的李家村（如图）．爱动脑筋的嘟嘟就在想，从学校到李家村共有多少种不同的最短路线呢？解析】我们采用对角线法（如图），从学校到李家村共有81种不同的最短路线．学校2 310 103 64 105 15 25 356 21 46 81甲学校11拓展］亲爱的小朋友们，你们觉得从 A 到 B 共有几条最短路线呢？解析】此题与上题不同，但方法相同．我们采用对角线法（如图）可知：可以选择的最短路线共有 41 条．例 6】阿花和阿红到少年宫参加 2008 北京奥运会志愿者培训．他们从学校出发到少年宫最多有多少种不同的行走路线？少年宫少年宫解析】采用对角线法（如图）．可得从学校到少年宫共有 90 种走法．铺垫］小海龟在小猪家玩，它们想去游乐场坐碰碰车，爱动脑筋的小朋友，请你想一想，从小猪家到游乐场共有几条最短路线呢？解析】 “对角线”法（如图），共 14 条．例 7 】阿强和牛牛结伴骑车去图书馆看书，第一天他们从学校直接去图书馆；游乐场游乐场14 59 5243 211 1 1 小猪家第二天他们先去公园看大熊猫再去图书馆；第三天公园修路不能通行．咱们学而思的小朋友都很聪明，请你们帮阿强和牛牛想想这三天从学校到图书馆的最短路线分别有多少种不同的走法？仍然用对角线法求解．第一天（无限制条件）共有 16条；第二天（必须经过公园）共有 8条；第三天（必须不经过公园）共有 8 条．大熊和美子准备去看望养老院的李奶奶，可是市中心在修路（城市的街道如图所示）,他们从学校到养老院最短路线共有几条呢？聪明的小朋友，请你们快想想吧！方法二）可以直接求，即把含有市中心的田字格挖去，共有 66 条．解析】巩固】市中心学校解析】（方法一）用“对角线法”求出：从学校到养老院共心的 60 条，所以可行的路有： 126 60 66（条）． 126条．必经过市中515 35 70 126 410 203556 3610 市中心152123456学校养老院111学校养老院养老院养老院5 15 25 40 661 4 10 10 15 2651 3 6111 2 3 4 5 6学校 1 1 1例 8】如图，从X 到Y 最短路线总共有几种走法？分析】如图，共有716种．例 9】如图，从A到B沿网格线不经过线段CD和EF 的最短路径的条数是多少条？解析】由于不能经过线段CD和EF ，所以我们必须先在网络图中拆除然后再在拆除了CD和EF以后的网络图中进行标数（如下图所示）．运用标数法可求出满足条件的最短路径有78 条．Y18 3685170 342 71617 28 49 85 172 37416 21 2 36 87 2021 5 15 15 51 115151 4 10 36 6413 6 10 15 21 281 2 3 4 5 6 7X 1 1 1 1 11CD和EF ，巩固】下图为某城市的街道示意图，C处正在挖下水道，不能通车，从A到B 处的最短路线共有多少条？解析】从A到B的最短路线有431条.解析】本题中的运动方向已经由箭头标示出来，所以关键要分析每一点的入口情况．B431B174110 5564 55 55 30 129C25 18 12 7 398 7 6 5 4 3 2 111 1 1 1 1 1 1例 10 】按图中箭头所指的方向行走，从A到I 共有多少条不同的路线？1742571910A通过标数法我们可以得出从 A 到I 共有 29条不同的路径．例 11】按图中箭头方向所指行走，从 A 到G 有多少种不同的路线？解析】运用标数法原理进行标数，整个标数流程如下图从 A 到 G 共有 21 条不同的路线．巩固】 ⑴按下图左箭头方向所指，从 X 到Y 有多少种不同的路线？ ⑵如下图右所示，这个问题有一个规则：只能沿着箭头指的方向走，你能否根据规则算出所有从入口到出口的路径共有多少条？C EBAEB2 1AC GG分析］ ⑴利用标数法求得 X 到Y 有34种不同的路线，如下图左所示． ⑵由题将路线图转化为下图右所示，根据标数法求得从入口到出口的路径共有 10 条．例 12】 ⑴如下图左，如果只允许向下移动，从 A 点到 B 点共有多少种不同的路线？⑵如下图右，要从 A 点到 B 点，要求每一步都是向右，向上或者斜上方，问共有多少种不同的走法？34Y入口出口5 8 31X13AB解析】⑴按题目要求，只能向下移动，利用标数法求得A到B共有路线68种，如下图左所示．⑵按题目要求，只能走下图右的3个方向，利用标数法求得共有22 种不同的走法，如下图右．巩固】图中有 10个编好号码的房间，你可以从小号码房间走到相邻的大号码房间，但不能从大号码房间走到小号码房间，从 1号房间走到 10 号房间共有多少种不同走法？分析】图中并没有标出行走的方向，但题中“你可以从小号码房间走到相邻的大号码房间，但不能从大号码房间走到小号码房间”这句话实际上就规定了行走的方向．如下图所示，我们可以把原图转化成常见的城市网络图，然后再根据标数法的思想标数：从图中可以看出，从 1 号走到 10号房间共有 22 种不同的走法．A68 BB 22 16 61例 13】一只密蜂从A处出发，A回到家里B处，每次只能从一个蜂房爬向右侧邻近的蜂房而不准逆行，共有多少种回家的方法？解析】蜜蜂“每次只能从一个蜂房爬向右侧邻近的蜂房而不准逆行 ”这意味着它只能从小号码的蜂房爬进相邻的大号码的蜂房．明确了行走路径的方向，就可运用标准法进行计算．如图所示，小蜜蜂从 A 出发到 B 处共有 89种不同的回家方法．例 14 】在图中，用水平或垂直的线段连接相邻的字母，当沿着这些线段行走时，正好拼出“ APPLE ”的路线共有多少条？PP LPP P L E L P分析］要想拼出英语“ APPLE ”的单词，必须按照“ A P P L E ”的次序拼写．在图中的每一种拼写方式都对应着一条最短路径．如下图所示，运用标数法原理标数不难得出共有 31 种不同的路径．P P L P P A P L E L P P A1311 2 7 2 11 2 4 15 4 2 1 2 4 8 31 8 4 2 1铺垫］图中的“我爱希望杯”有多少种不同的读法．我 1 爱 1 希望 1 杯1 1 1 1爱 1 希 2 望 3 杯 41234希望杯希1望1望 3杯4杯6 望 1杯1 4分析］从我（ 1个）、爱（ 2个）、希（ 3个）、望（ 4个）、杯（ 5个）中组成“我爱希望杯”即相同的字只能选一个而且不能重复选，所以共有1 4 6 4116（种）．拓展］如下图左所示，科学家“爱因斯坦”的英文名拼写为“ Einstein ”，按图中箭头所示方向有多少种不同的方法拼出英文单词“ Einstein ” .1i E1 1 i2 i 1 1s n3 n 3 n 1 t4 s t 6 s t 4 s 10 t 10 t ee 1i 0 2i 0i 10 3n 0 i 3n 0 i分析］因为“ Einstein ”的拼读顺序为“ E i n s t e i n ”，每一种拼法都对应着网络图中的一条最短路径，所以可以运用标数法来解决．如上图右所示，从E 点到n 点的最短路径有 30条，所以共有 30 30 60（种）不同拼法 . 注意图中的三个字母 “i ”，左、右的两个字母“i ”只能由一个字母。

小学奥数-最短路线

最短路线
1、请你画出从小明家去图书馆的最短路线，并说出理由。

2、一只小蚂蚁想从下图中的点A爬到对边BC。

沿怎样的路线爬行需要的时间最少？在图中画一画。

3、如图，三角形ABC的三条边AB，AC，BC分别表示三条公路。

在D点处有一名士兵接到一个紧急任务，需要他先到达BC公路，然后再到达AB公路。

他怎样走才能以最短的时间完成任务呢？在图中画出路线。

（假设士兵的速度一定）
4、如图，三角形ABC的三条边AB，AC，BC分别表示三条公路。

在D处有一个村庄，现准备修一条通往公路的小路，在图中画出最短的小路。

5、一只小蚂蚁想从下图中的点A爬到对边CD。

你能帮它开辟一条最短的路线，使它尽快到达吗?在图中画一画。

6、一个邮递员投送信件的街道如下图所示，你能帮他设计一条最短路线，使自己从邮局出发，走遍每一条街道并回到邮局吗？
7、如右图，每个小方格的边长是1厘米，一条贪吃的蛇从左下角出发，沿着格线爬行，如果它想吃掉图中的3个“”，最少要爬多远？请你画出路线。

8、下图是一个公园的平面图，A点是出入口，B，C，D，E，F，G，H，I，J是各个景点，你能帮游客设计一条最短路线，使他从出入口出发，走遍每一条路后，最终回到出入口吗?。

六年级上册数学试题奥数系列_第17讲：最短路线问题_全国通用(含解析)

第17讲最短路线问题知识网络人们在日常生产、生活实践中，常常会遇到带有某种限制条件的最近路线即最短路线问题。

通常最短路线问题是以“平面内连接两点的线中，直线段最短”为原则引申出来的。

常见的最短路线问题，按研究问题的限制条件允许已知的两点所在面的不同，分成四类：（1）如果两点位于同一平面上，那么所求的最短路线是线段。

（2）如果两点位于不同的不同的平面上，如凸多面体的表面，那么所求的最短路线是曲线。

（3）如果两点位于可展开为平面的曲面上，如圆柱面、圆锥面，那么所求的最短路线是曲线。

（4）如果两点位于不可展开为平面的曲面上，如球面，这时所求的最短路线是曲线。

重点·难点最短路线问题的所有问题都是从一个基本定理引出来的：“两点之间，直线段最短。

”如何将一些不能直接应用此定理的题型转化为可利用此定理的题型，是解决本讲问题的关键。

这里常用“对称”的方法转化问题。

学法指导对于平面上的最短路线问题，一般是尽量化简问题，使得能够应用基本定理。

而凸多面体和可展开为平面的曲面的最短路线问题，是将它们展开为平面，将问题转化平面上的最短路线问题来解决。

对不可展为平面的曲面，主要是球面，我们用以下面的这个具体例子来说明：设球面上有A、B两点，我们用过A点、B点及球心O的平面截球，在球的表面上留下的截痕为圆周（称大圆），在这个大圆周上A、B两点之间的不超过半个圆周的弧线就是所求的A、B两点间的最短路线。

经典例题[例1]有一个牧马人带着马群从营房A点出发，到草地MN放牧。

傍晚到营房B之前先带马群到小河PQ去给马饮水，如图1所示。

想一想：牧人应该走哪一条路线，才能使整个放牧的路程（即从A→MN→PQ→B）最短？思路剖析考虑这个问题可先假设牧马人从A点先到达草地MN上的某点E，然后再从E到达小河岸PQ上的某点F，最后再从F点回到B点。

依题意，本题是求A→E→F→B的这条路线最短。

我们用对称法求解。

解答如图2所求，首先，我们作A点关于草地MN的对称点，作B点关于小河PQ的对称点连接，交直线MN于点E，交直线PQ于点F，连接AE、BF，则折线段AE+EF+FB 就是所求的最短路线。

小学奥数全国推荐三年级奥数通用学案附带练习题解析答案23最短路线(一)

年级三年级学科奥数版本通用版课程标题最短路线（一）本讲中，我们将解决一个特殊的计数问题：最短路线问题。

怎样计数从A到B的最短路线的条数呢？我们将介绍一种非常巧妙的方法——对角线法（也叫标号法）。

一、例证：小冬和小悦到少年宫参加志愿者培训。

如果他们从学校出发，最多有多少种不同的行走路线？分析：要求从学校到少年宫的最短路线，只能向右或向下走。

我们可以先看A点：从学校到A点最短路线只有1种走法，我们在A点标上1。

B、E、F、G点同理。

再看J点：最短路线可以是A－J、E－J共2条，我们在J点标上2。

我们发现2＝1＋1正好是对角线A点和E点上的数字和。

是不是所有的最短路线都符合这个规律呢？再看I、C、H、D点，我们发现每一个小格右下角上标的数正好是这个小格右上角与左下角的数的和，这样，我们可以通过计算来确定从学校到少年宫共有10种走法。

二、总结：每个格左下角与右上角所标的数字和即为这格右下角应标的数字，我们称这种方法为对角线法，也叫标号法。

例1利用标号法确定从A点到B点所有最短路线有多少条。

分析与解：从Ａ到Ｂ的最短路线，只能向上或向右走，先标最短路线只有一种走法的几个点（C、D、H、G），利用标号法得到一共有6条最短路线。

本题中每格右上角的数是右下角和左上角的两个数之和。

例2 小猫汤姆和老鼠杰克在博物馆看连环画，突然它们发现了一张千年藏宝图，于是它们决定去寻宝。

请你帮他们想想共有几条最短路线能到藏宝地呢？分析与解：先标出最短路线只有1种走法的几个点，用对角线法标出其他点上的数，共有20条最短路线。

例3亲爱的同学们，你们觉得小明从学校到家一共有几条最短路线呢？分析与解：我们采用对角线法（如图），但本题图形有变化，例如D点，从学校到C点有2种走法，再到D点最短路线的选择只能从C点走，所以从学校到D点的最短路线与从学校到C点的最短路线走法相同，有2 种走法，同理可以知道E点的最短路线也有2种走法，从而得到小明可以选择的最短路线共有12条。

小学初级奥数第21讲-加法原理之最短路线

B
C
A
例三
下图是某地街道平面图，标有处的道路是不准通行的。问消防车从消防队到着火点有多少条最短通路？
着火点
消防队
练一练
如图，某城市的街道由五条东西向马路和七条南北向马路组成，现在要从西南角的A处沿最短的路线走到东北角B出，由于修路，十字路口C不能通过，那么共有多少种不同走法？
B
C
A
<作业1> 从A处到B处共有多少条最短路线？
B A
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
课后作业
<作业2> 小刚到书店去买书，从他家到书店最多有几种最近的走法？
小刚家
课后作业
书店
课后作业
<作业3> 左下图是某街区的道路图，C点和D点正在修路不能通过，那么从A点到B点的最短路线有多少条？
B D C
A
例一如图所示，从A到B的最短线路有多少条？ B
A
练一练小伟从家到爷爷家经过的所有路线如下图所示，那么，小伟从家到爷爷家有几条最短路线？
小伟家
爷爷家
例二
如图所示，小明家在A地，小学在B地，电影院在C地。小明从家去小学，走最短的线路，有多少种走法？小明从家去电影院，走最短的线路，有多少种走法？

小学奥数之最短路线

小学奥数之最短路线1•假如直线AB是一条公路，公路两侧有甲、乙两个村子（图1）。

现在要在公路上修建一个公共汽车站，让这两个村子的人到汽车站的路线之和最短。

问〃车站应该建在什么地方？2•—个邮递员投送信件的街道如图3所示，图上数字表示各段街道的千米数。

他从邮局出发，要走遍各街道，最后回到邮局。

问下次什么样的路线最合理？全程要走多少千米？3图5中的线段表示的是小明从家到学校所能经过的所有街道。

小明上学走路的方向都是向东或向南，因为他不想偏离小明家△4．如图8，从甲地到乙地最近的道路有几条？甲学校的方向而走冤枉路。

那么小明从家到学校可以有我少条不同的路线？学校5．某城市的街道非常整齐，如图10所示。

从本南角A 处人匕到东北角B处要求走最近的路并且不能通过十字路口C（正在修路），共有多少种不同的走法？B—6图13是一个街区街道的平面图。

邮递员从邮局出发，跑遍所有街道投送信件。

请你为他安排一条最短的路线，并按图中标出的千米数算出这条路线的长度（单位：千米）。

3邮局14是一个街道平面图。

王宏处到B处，在不走回头路，不走重复路的条件下，可以有多少种不同的路线？请你用交叉点上标数的方法计算一下。

8．从学校到少年宫有4条东西向的马路和3条南北向的马路相通。

如图15，李楠从学校出发，步行到少年宫（只放向9•如图16,从P到Q共有多少咱不同的最短路线？10•如图17所示，某城市的街道图，若从AZ走到B（只能由北向南、由西向东），则共有多少种不同的走法？11．如图18所示，从甲地到乙地，最近的道路有几条？能通车，12•图19为某城市的街道示意图，C处正在挖下水道，不13．如图20所示是一个街道的平面图，在不走回头路、不走重复路和条件下，可以有多少种不同的走法？B。

最短路线奥数解题技巧

最短路线奥数解题技巧最短路线问题是数学课程中一个非常重要的问题，它可以用于优化工程、计算机网络和其他领域中的问题。

解决最短路线问题有许多技巧，下面我们将介绍其中一些。

1. Dijkstra算法Dijkstra算法是解决最短路线问题的一种常见方法，它适用于有向有权图。

这个算法的实现方法很简单，可以按照下面的步骤来完成：- 找到从开始节点到第一个节点的最短路径- 标记这个节点为“已完成”- 重复以上步骤，以找到下一个最近的节点- 继续进行，直到到达目标节点，或者没有其他节点可以加入路径为止。

2. Bellman-Ford算法Bellman-Ford算法是另一个用于解决最短路线问题的方法，它可以被应用于带有负权边的图。

使用这个算法，你可以找到从起点到目标点的最短路线和任何其他边缘的最小距离。

3. Floyd-Warshall算法Floyd-Warshall算法是解决所有对最短路线问题的完整解决方案。

使用这个算法，可以找到从任意一个节点到任何一个节点的最短路径。

然而，这个算法的速度随着图的大小而降低，并且主要用于较小的图像。

4. A*算法A*算法是一种启发式搜索算法，可以用于求解最短路径问题。

它使用一些规则来指导它搜索最快的路径，这样可以更快地找到最短路径。

使用A*算法时，您需要知道每个节点的邻居和路径的代价，然后您可以计算一个估计代价，在搜索过程中做出更明智的决策。

5. 贪心算法贪心算法是可用于一个特殊的最短路线问题——旅行推销员问题。

在这个问题中，你必须找到一个充分优化的路径，可以访问一系列城市，并且没有城市被重复访问。

贪心算法使用了一个简单的策略——尽可能的选择下一个最近的未访问的城市——来解决这个问题，尽管在选择时也有权衡。

以上就是解决最短路线问题的一些基本技巧，它们都将有助于你在实际应用中更好的解决问题。

当然，在实际应用中需要考虑不同场景下选择的合适的算法。

五年级奥数之最短路线覆盖面广,针对性强,重点突出,使用方便

随堂练习 1
1、如图所示，从 A 点沿线段走最短路线到 B 点，每次走一步或两步，共有多少种不同走法？ B
A 2、有一只蜗牛从 A 点出发,要沿长方形的边或对角线爬到 C 点,中间不许爬回 A 点,也不能走重复的路，那么，它有多少条不同的爬行路线？最短的是哪条呢？
A
D
O
B
C
课堂精讲 2：
阿呆和阿瓜到少年宫参加 2008 北京奥运会志愿者培训．如果他们从学校出发，共有多少种不同的最短路线？
课堂精讲 1：
一只蚂蚁在长方形格纸上的 A 点，它想去 B 点玩，但是不知走哪条路最近．小朋友们，你能给它找到几条这样的最短路线呢？
A
A
C
D
1
1
E1
F2
3G
B
1
3
6
H
I
B
解析：（1）从 A 点走到 B 点，不论怎样走，最短也要走长方形 AHBD 的一个长与一个宽，因此，在水平方向上，所有线段的长度和应等于 AD ；在竖直方向上，所有线段的长度和应等于 DB ．这样我们走的这条路线才是最短路线．为了保证这一点，我们就不应该走“回头路”，只能向右和向下走．所有最短路线：
养老院
1
5
15
35
70
126
1
Hale Waihona Puke 41020
35
56
1
3
6
10 市中心 15
21
1
2
3
4
5
6
学校
1
1
1
1
1
（2）可以直接求，即把含有市中心的田字格挖去，共有 66 条．
1
5
15

小学奥数系列：第四讲最短路线问题

第四讲最短路线问题在日常工作、生活和娱乐中，经常会遇到有关行程路线的问题.在这一讲里，我们主要解决的问题是如何确定从某处到另一处最短路线的条数。

例1下图4—1中的线段表示的是汽车所能经过的所有马路，这辆汽车从A走到B处共有多少条最短路线？分析为了叙述方便，我们在各交叉点都标上字母.如图4—2.在这里，首先我们应该明确从A到B的最短路线到底有多长？从A点走到B点，不论怎样走，最短也要走长方形AHBD 的一个长与一个宽，即AD＋DB.因此，在水平方向上，所有线段的长度和应等于AD；在竖直方向上，所有线段的长度和应等于DB.这样我们走的这条路线才是最短路线.为了保证这一点，我们就不应该走“回头路”，即在水平方向上不能向左走，在竖直方向上不能向上走.因此只能向右和向下走。

有些同学很快找出了从A到B的所有最短路线，即：A→C→D→G→B A→C→F→G→BA→C→F→I→B A→E→F→G→BA→E→F→I→B A→E→H→I→B通过验证，我们确信这六条路线都是从A到B的最短路线.如果按照上述方法找，它的缺点是不能保证找出所有的最短路线，即不能保证“不漏”.当然如果图形更复杂些，做到“不重”也是很困难的。

现在观察这种题是否有规律可循。

1.看C点：由A、由F和由D都可以到达C，而由F→C是由下向上走，由D→C是由右向左走，这两条路线不管以后怎样走都不可能是最短路线.因此，从A到C只有一条路线。

同样道理：从A到D、从A到E、从A到H也都只有一条路线。

我们把数字“1”分别标在C、D、E、H这四个点上，如图4—2。

2.看F点：从上向下走是C→F，从左向右走是E→F，那么从A点出发到F，可以是A →C→F，也可以是A→E→F，共有两种走法.我们在图4—2中的F点标上数字“2”.2=1＋1.第一个“1”是从A→C的一种走法；第二个“1”是从A→E的一种走法。

3.看G点：从上向下走是D→G，从左向右走是F→G，那么从A→G我们在G点标上数字“3”.3＝2+1，“2”是从A→F的两种走法，“1”是从A→D的一种走法。

四年级奥数：最短路线

四年级奥数：最短路线在日常生活、工作中，经常会遇到有关行程路线的问题.比如：邮递员送信，要穿遍所有的街道，为了少走冤枉路，需要选择一条最短的路线；旅行者希望寻求最佳旅行路线，以求能够走最近的路而达到目的地，等等.这样的问题，就是我们所要研究学习的“最短路线问题”.典型例题例[1] 假如直线AB 是一条公路，公路两旁有甲乙两个村子，如下图1.现在要在公路上修建一个公共汽车站，让这两个村子的人到汽车站的路线之和最短.问：车站应该建在什么地方？分析如果只考虑甲村的人距离公路AB 最近，只要由甲村向公路AB 画一条垂直线，交AB 于C 点，那么C 点是甲村到公路AB 最近的点，但是乙村到C 点就较远了.反过来，由乙村向公路AB 画垂线，交AB 于D 点，那么D 点是乙村到公路AB 最近的点.但是这时甲村到公路AB 的D 点又远了.因为本题要求我们在公路AB 上取的建站点，能够兼顾甲村和乙村的人到这个车甲村乙村乙村图1图2站来不走冤枉路（既路程之和最短），根据我们的经验：两个地点之间走直线最近，所以，只要在甲村乙村间连一条直线，这条直线与公路AB 交点P ，就是所求的公共汽车站的建站点了（图2）.解用直线把甲村、乙村连起来.因为甲村乙村在公路的两侧，所以这条连线必与公路AB 有一个交点，设这个交点为P ，那么在P 点建立汽车站，就能使甲村乙村的人到汽车站所走的路程之和最短.例[2] 一个邮递员投送信件的街道如图3所示，图上数字表示各段街道的千米数.他从邮局出发，要走遍各街道，最后回到邮局.问：走什么样的路线最合理？全程要走多少千米？分析选择最短的路线最合理.那么，什么路线最短呢？一笔画路线应该是最短的.邮递员从邮局出发，还要回到邮局，按一笔画问题，就是从偶点出发，回到偶点.因此，要能一笔把路线画出来，必须途径的各点全是偶点.但是图中有8个奇点，显然邮递员要走遍所有街道而又不走重复的路是不可能的.要使邮递员从邮局出发，仍回到邮局，必须使8个奇点都变成偶点，就是要考虑应在哪些街道上重复走，也就是相当于在图上添哪些线段，能使奇点变成偶点.如果有不同的添法，3就还要考虑哪一种添法能使总路程最短.为使8个奇点变成偶点，我们可以用图4的4种方法走重复的路线.图4中添虚线的地方，就是重复走的路线.重复走的路程分别为：（a ）3×4=12（千米）（b ） 3×2＋2×2=10（千米）（c ） 2×4=8（千米）（d ） 3×2＋4×2=14（千米）当然，重复走的路程最短，总路程就最短.从上面的计算不难找出最合理的路线了.解邮递员应按图4（c ）所示的路线走，这条路重复的路程最短，所以最合理.全程为：（1＋2＋4＋2＋1）×2＋3×6＋2×4 =20＋18＋83333( a )( b )( c )( d )图4=46（千米）例[3] 图5中的线段表示的是小明从家到学校所能经过的所有街道.小明上学走路的方向都是向东或向南，因为他不想偏离学校的方向而走冤枉路.那么小明从家到学校可以有多少条不同的路线？分析为了叙述的方便，我们在各交叉点标上字母（见图6）.我们从小明家出发，顺序往前推.由于从小明家到A 、B 、C 、D 各处都是沿直线行走，所以都只有一种走法.我们分别在交叉点处标上“1”.而从小明家到E 处，就有先到A 或先到D 的两种走法，正好是两个对角上标的数1+1的和.从小明家到F 点，则有3条路线，又正好是两个对角上标的数1+2的和.标在各交叉点的数，就是依次顺序推出的到各交叉点能有多少种不同的路线的数.从中我们可以看出，每个格内上右角与下左角两个对角上的数的和，正好等学校小明家A B F EF D EF于下右角上的数.解从小明家到学校有13条不同的路线.如图7所示.图7学校H MNK。

小学奥数最短路线问题(有答案)

小学六年级奥数教案—运筹学初步本讲主要讲统筹安排问题、排队问题、最短路线问题、场地设置问题等。

这些都是人们日常生活、工作中经常碰到的问题，怎样才能把它们安排得更合理，多快好省地办事，就是这讲涉及的问题。

当然，限于现有的知识水平，我们仅仅是初步探索一下。

1.统筹安排问题例1星期天妈妈要做好多事情。

擦玻璃要20分钟，收拾厨房要15分钟，洗脏衣服的领子、袖口要10分钟，打开全自动洗衣机洗衣服要40分钟，晾衣服要10分钟。

妈妈干完所有这些事情最少用多长时间？分析与解：如果按照题目告诉的几件事，一件一件去做，要95分钟。

要想节约时间，就要想想在哪段时间里闲着，能否利用闲着的时间做其它事。

最合理的安排是：先洗脏衣服的领子和袖口，接着打开全自动洗衣机洗衣服，在洗衣服的40分钟内擦玻璃和收拾厨房，最后晾衣服，共需60分钟（见下图）。

例1告诉我们，当有许多事要做时，科学地安排好先后顺序，就能用较少的时间完成较多的事情。

2.排队问题例2理发室里有甲、乙两位理发师，同时来了五位顾客，根据他们所要理的发型，分别需要10，12，15，20和24分钟。

怎样安排他们的理发顺序，才能使这五人理发和等候所用时间的总和最少？最少要用多少时间？分析与解：一人理发时，其他人需等待，为使总的等待时间尽量短，应让理发所需时间少的人先理。

甲先给需10分钟的人理发，然后15分钟的，最后24分钟的；乙先给需12分钟的人理发，然后20分钟的。

甲给需10分钟的人理发时，有2人等待，占用三人的时间和为（10×3）分；然后，甲给需 15分钟的人理发，有 1人等待，占用两人的时间和为（15×2）分；最后，甲给需 24分钟的人理发，无人等待。

甲理发的三个人，共用（10×3＋15×2＋24）分，乙理发的两个人，共用（12×2＋20）分。

总的占用时间为（10×3＋15×2＋24）＋（12×2＋20）=128（分）。

奥数最短路线标数法

奥数最短路线标数法引言奥数最短路线标数法是一种在奥数竞赛中常用的解题方法。

通过标记每个节点的标号，根据节点之间的关系来寻找最短路径。

该方法广泛应用于奥数竞赛中的各类问题。

路线标数法的基本原理路线标数法通过为每个节点标记一个标号，从初始节点出发，根据节点之间的关系逐步更新标号，最终得到目标节点的标号，以确定最短路径。

具体来说，路线标数法由以下几个步骤组成：1.初始化：将目标节点的标号设为0，其他节点的标号设为无穷大。

2.逐层标号：从初始节点开始，逐层标号每个节点，即将与当前已标号节点相邻的未标号节点的标号设为当前节点的标号加一。

重复该步骤直到无法继续标号为止。

3.路线回溯：从目标节点开始，逆向回溯每个已标号节点，通过比较相邻节点的标号来确定最短路径。

奥数实例问题描述考虑一个由6个节点和5条边构成的图，如下所示：A/ \1 2/ \B - 4 - C|\ /|3 E - 5其中，A、B、C、D、E、F为节点，1、2、3、4、5为边。

问题：求A节点到E节点的最短路径。

解题步骤1.初始化：将目标节点E的标号设为0，其他节点的标号设为无穷大。

2.逐层标号：从A节点开始，逐层标号每个节点。

首先标号A节点为1，然后标号与A相邻的节点B和C为2，再标号与B和C相邻的节点1、4、2。

最终得到E节点标号为3。

3.路线回溯：从目标节点E开始，逆向回溯每个已标号节点。

将标号依次减少的路径为最短路径，即A-B-E。

路线标数法的应用路线标数法在奥数竞赛中广泛应用于各类问题的求解，包括路径问题、最短路径问题、连通问题等。

下面介绍几个常见的应用场景。

平面图问题在平面上给定一些点和线段，求解从一个点到另一个点的最短路径。

通过将点和线段抽象为图的节点和边，使用路线标数法可以方便地解决该类问题。

连通问题求解是否存在从一个点到另一个点的连通路径。

通过构建图，将已知连通关系转化为图的节点之间的边，并使用路线标数法进行求解。

最小生成树问题给定一个带权图，求解能够连接所有节点，并且总权值最小的树。

奥数最短距离

最短路线例1．下图是从学校到邮局经过的所有马路，问从学校到邮局共有几条最短路线？思路分析：为了便于叙述，在各交叉点上标出字母．要想从家到学校走的路程最短，就不能走回头路，这道题中，最短也要走长方形ACGI的一个长和一个宽．为保证走得路线最短，只能向下和向右走．如果我们一条一条地数，可以发现共有以下六条路线最短：A→B→C→F→I；A→D→G→H→I；A→B→E→F→I；A→D→E→F→I；A→B→E→H→I；A→D→E→H→I；但如果按上述方法找，难免发生重复遗漏的路线．下面我们观察一下，看看是否有规律可循．①从A点出发向下或向右走只能到达B、D两点，到B点有一种走法，到D点同样只有一种走法，所以在B点、D点处各标角码1，表示从A点到此点的最近走法只有1种．②从B点可以向右走到达C点，因为从A到C的最短路线也仅有1条，所以角码为1．从B点向下可到E点，另外从D点到达E点的距离也最短，所以E点角标角码2．如图所示．继续做下去，我们会发现，每一个小格右下角的数正好是这个小格右上角与左下角的数的和，这个和就是从出发点A到I点所有最短路线的条数．例2．一个邮递员投送信件，街道如图所示，图上的数字表示各段街道的公里数．他从邮局出发，走遍各街道，最后回到邮局，怎样走路线最合理？思路分析：由于街道是含8个奇点的图形，所以，不可能不重复地走遍所有街道，为了保证邮递员从邮局出发再回到邮局，图形中8个奇点都应变为偶点．即将奇点两两相配对用线连结，有很多连法，下图仅列出了三种情形：添加的路线的里程分别是：(1)3×4＝12(公里)(2)3×2＋2×2＝10(公里)(3)2×4＝8(公里)由此可见邮递员按图(3)的路线走，重复的路最少，最合理．全程共走：3×6＋1×4＋2×8＋2×4＝46(公里)例3．小刚家和小明家之间各条道路的示意图，请问要从小刚家到小明家，最近路线有几条？思路分析：要求从小刚家到小明家的最近路线有几条，就是要求从小刚家到小明家的最短路线．把各交点标上字母，如下图．这道题和前面例1有所不同，要格外注意由哪两点的和来确定另一点的．①由A→B，A→C各有1种走法，可以确定A→D有1＋1＝2(种)走法．②由A→I有1种走法，A→D有2种走法，可以确定A→J有1＋2＝3(种)走法．③由A→M有1种走法，A→J有3种走法，可以确定A→N有1＋3＝4(种)走法．④A→E有2种走法，A→J有3种走法，A→K有2＋3＝5(种)走法．⑤A→E有2种走法，A→G有2种走法，A→H与2＋2＝4(种)走法．⑥A→K有5种走法，A→H有4种走法，A→L有5＋4＝9(种)走法．⑦A→N有4种走法，A→K有5种走法，A→O有4＋5＝9(种)走法．⑧A→O有9种走法，A→L有9种走法，A→L上有9种走法，A→P有9＋9＝18(种)走法．。

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