不等式的解法归类
不等式的解法高中数学公式
不等式的解法高中数学公式
（原创版）
目录
1.不等式的基本概念
2.不等式的解法
3.高中数学公式在不等式解法中的应用
正文
不等式是数学中一个重要的概念，它用来表示两个数或者表达式之间的大小关系。
在高中数学中，我们经常需要解决各种不等式问题，因此熟悉不等式的解法非常重要。
不等式的解法主要包括以下几种：
一、基本不等式
基本不等式是指对于任意的实数 a、b，都有 a + b ≥2ab 成立。
当且仅当 a = b 时，等号成立。
二、线性不等式
线性不等式是指形如 ax + b > 0（或者小于 0）的不等式。
解这类不等式，我们可以通过移项、合并同类项，然后化简得到解集。
三、二次不等式
二次不等式是指形如 ax + bx + c > 0（或者小于 0）的不等式。
解这类不等式，我们可以通过求解二次方程 ax + bx + c = 0 的根，然后根据二次方程的解与不等式的关系来确定解集。
四、绝对值不等式
绝对值不等式是指形如|x| > a（或者小于 a）的不等式。
解这类不等式，我们需要分别讨论 x > 0 和 x < 0 的情况，然后根据绝对值的定
义来确定解集。
在解决不等式问题时，我们还需要运用一些高中数学公式，如平方根、正切、余弦、正弦等函数的性质，以及对数函数、指数函数的性质。
这些公式和性质可以帮助我们更方便地化简不等式，从而更快地得到解集。
总之，熟悉不等式的解法以及高中数学公式在不等式解法中的应用，对于解决高中数学中的不等式问题具有重要意义。
数学解不等式的方法总结
数学解不等式的方法总结引言不等式在数学中占据着重要的地位，它不仅是数学分析和代数的基础，也是应用数学中的重要工具。
解不等式是数学学习中的一项基本技能，因此，掌握解不等式的方法对于学生来说至关重要。
本文将总结几种常见的解不等式的方法，帮助读者更好地理解和应用这些方法。
一、一元一次不等式一元一次不等式是最基本的不等式类型，其解法与一元一次方程类似。
首先，将不等式转化为等式，然后通过移项、合并同类项等方法将其化简为标准形式，即形如ax+b>0或ax+b<0的形式。
接下来，根据系数a的正负情况，可以得到不等式的解集。
例如，对于不等式3x+2>5，我们首先将其转化为等式3x+2=5，然后移项得到3x=3，最后除以系数3得到x=1。
因此，不等式3x+2>5的解集为x>1。
二、一元二次不等式一元二次不等式的解法相对复杂一些。
首先，将不等式转化为等式，然后通过求解二次方程的方法得到其解集。
需要注意的是，解二次方程得到的解集并不一定满足原不等式，还需要通过判断不等式的符号来确定最终的解集。
例如，对于不等式x^2-4x+3>0，我们首先将其转化为等式x^2-4x+3=0，然后求解得到x=1和x=3。
接下来，我们需要判断不等式在这两个解的区间上的符号。
通过代入一个测试点，如x=2，我们可以得到不等式在x<1和x>3的区间上为负，而在1<x<3的区间上为正。
因此，不等式x^2-4x+3>0的解集为x<1或x>3。
三、绝对值不等式绝对值不等式是一类常见的不等式类型，其解法与一元一次不等式类似。
首先，将不等式转化为等式，然后根据绝对值的定义将其化简为两个不等式，其中一个去掉绝对值符号，另一个取相反的不等号。
接下来，根据不等式的符号确定解集。
例如，对于不等式|2x-1|<3，我们首先将其转化为等式|2x-1|=3，然后化简得到两个不等式2x-1=3和2x-1=-3。
不等式求解方法归纳
一、不等式基本知识1、基本性质性质一：a b b a <⇔>（对称性）性质二：c a c b b a >⇒>>,,（传递性）性质三：c b c a b a +>+⇔>性质四：bc ac c b a bc ac c b a <⇔<>>⇔>>0,;0,2、运算性质d b c a d c b a +>+⇒>>,（加法法则）；bd ac d c b a >⇒>>>>0,0（乘法法则）n n b a N n b a >⇒∈>>+,0（乘方法则）；n n b a N n b a >⇒∈>>+,0（开方法则） 3、常用不等式（1）ab b a b a ≥+≥+222)2(2 （2）||222ab b a ≥+ 取等号条件：一正、二定、三相等（3）2|1|≥+x x （4）若ma mb a b m b a ++<>>>,0,0 （5）n n n x x x n x x x x ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅≥+⋅⋅⋅+++21321(0≥i x )二、不等式的证明方法常用的方法有：比较法、分析法、综合法、归纳法、反证法、类比法、放缩法、换元法、判别式法、导数法、几何法、构造函数、数轴穿针法等。
1、比较法例1、若,0,0>>b a 求证：b a ba ab +≥+22。
证明：abb a b a b a ab b ab a b a b a b a a b 22222))(()())(()(-+=+-+-+=+-+0≥，∴b a a b b a +≥+22。
2、分析法例2已知y x b a ,,,都是正实数，且.,11y x b a >>求证：yb y x a x +>+。
解： y x b a ,,,都是正实数，∴要证yb y x a x +>+，只要证)()(x a y y b x +>+，即证ay bx >，也就是ab ay ab bx >，即,b y a x >而由.,11y x b a >>，知by a x >成立，原式得证。
高中不等式的解法全集
1、一元二次不等式的解法
一化：化二次项前的系数为正数.
二判：判断对应方程的根.
三求：求对应方程的根.
四画：画出对应函数的图象.
五解集：根据图象写出不等式的解集.
规律：当二次项系数为正时，小于取中间，大于取两边.
2、高次不等式的解法：穿根法.
分解因式，把根标在数轴上，从右上方依次往下穿（奇穿偶切），结合原式不等号的方向，写出不等式的解集.
3、分式不等式的解法：先移项通分标准化，则
规律：把分式不等式等价转化为整式不等式求解.
4、无理不等式的解法：转化为有理不等式求解
规律：把无理不等式等价转化为有理不等式，诀窍在于从“小”的一边分析求解.
5、指数不等式的解法：
规律：根据指数函数的性质转化.
6、对数不等式的解法
规律：根据对数函数的性质转化.
7、含绝对值不等式的解法：
⑶同解变形法，其同解定理有：
规律：关键是去掉绝对值的符号.
8、含有两个（或两个以上）绝对值的不等式的解法：
规律：找零点、划区间、分段讨论去绝对值、每段中取交集，最后取各段的并集.
9、含参数的不等式的解法
10、恒成立问题
.。
不等式的解法
不等式的解法不等式是数学中的一种基本关系符号，用于表示两个数的大小关系。
解不等式就是找到使不等式成立的数值范围，即满足不等式条件的数值。
在解不等式时，我们需要注意不等式的不同类型，包括一元一次不等式、一元二次不等式、绝对值不等式等。
下面将分别介绍这些类型不等式的解法。
一元一次不等式的解法：一元一次不等式的一般形式为：ax + b > c，其中a、b、c为已知常数，x为未知数。
我们可以按照以下步骤来解一元一次不等式：1. 将不等式转化为等价的形式，即去掉不等号，得到ax + b = c。
2. 根据已知条件和不等式的类型，确定不等号方向。
3. 利用正、负数的性质，将不等式中的未知数系数与常数项分离，得到x > c/a的形式。
4. 根据解集的要求，确定解的范围，即x的取值范围。
一元二次不等式的解法：一元二次不等式的一般形式为：ax^2 + bx + c > 0，其中a、b、c为已知常数，x为未知数。
解一元二次不等式的一种常用方法是利用因式分解和区间判断法，具体步骤如下：1. 将不等式转化为等价的形式，即ax^2 + bx + c = 0。
2. 根据已知条件和不等式的类型，确定不等号方向。
3. 利用因式分解将二次项拆解，得到(x + m)(x + n) > 0的形式。
4. 根据区间判断法，确定(x + m)(x + n)的符号性质，并绘制出二次函数的图像。
5. 根据二次函数图像和解集的要求，确定不等式的解集。
绝对值不等式的解法：绝对值不等式的一般形式为：|ax + b| > c，其中a、b、c为已知常数，x为未知数。
解绝对值不等式的一种常用方法是利用绝对值的性质和分情况讨论，具体步骤如下：1. 将不等式转化为等价的形式，即ax + b > c或ax + b < -c。
2. 将不等式分为两种情况讨论：- 当ax + b > c时，得到ax + b - c > 0的形式，利用绝对值的非负性质得到ax + b - c = ax + b - c > 0，即ax + b - c = ax + b > c。
高二数学知识点：不等式的解法
高二数学知识点：不等式的解法不等式的解法：(1)一元二次不等式：一元二次不等式二次项系数小于零的，同解变形为二次项系数大于零;注：要对进行讨论：(2)绝对值不等式：若，则;;注意：(1)解有关绝对值的问题，考虑去绝对值，去绝对值的方法有：⑴对绝对值内的部分按大于、等于、小于零进行讨论去绝对值;(2).通过两边平方去绝对值;需要注意的是不等号两边为非负值。
(3).含有多个绝对值符号的不等式可用“按零点分区间讨论”的方法来解。
(4)分式不等式的解法：通解变形为整式不等式;(5)不等式组的解法：分别求出不等式组中，每个不等式的解集，然后求其交集，即是这个不等式组的解集，在求交集中，通常把每个不等式的解集画在同一条数轴上，取它们的公共部分。
(6)解含有参数的不等式：解含参数的不等式时，首先应注意考察是否需要进行分类讨论.如果遇到下述情况则一般需要讨论：①不等式两端乘除一个含参数的式子时，则需讨论这个式子的正、负、零性.②在求解过程中，需要使用指数函数、对数函数的单调性时，则需对它们的底数进行讨论.③在解含有字母的一元二次不等式时，需要考虑相应的二次函数的开口方向，对应的一元二次方程根的状况(有时要分析△)，比较两个根的大小,设根为(或更多)但含参数，要讨论几种常见不等式的解法：1.一元一次不等式的解法任何一个一元一次不等式经过变形后都可以化为axb或axb而言，当a0时，其解集为(ab，+)，当a0时，其解集为(-，ba)，当a=0时，b0时，期解集为R，当a=0，b0时，其解集为空集。
例1：解关于x的不等式ax-2b+2x解：原不等式化为(a-2)xb+2①当a2时，其解集为(b+2a-2，+)②当a2时，其解集为(-，b+2a-2)③当a=2，b-2时，其解集为④当a=2且b-2时，其解集为R.2.一元二次不等式的解法任何一个一元二次不等式都可化为ax?2+bx+c0或ax?2+bx+c0(a0)的形式，然后用判别式法来判断解集的各种情形(空集，全体实数，部分实数)，如果是空集或实数集，那么不等式已经解出，如果是部分实数，则根据“大于号取两根之外，小于号取两根中间”分别写出解集就可以了。
各类不等式的解法
各类不等式的一、不等式的基本性质不等式的基本性质有：(1)对称性或反身性：a>b b<a;(2)传递性：若a>b, b>c,则a>c;(3)可加性：a>b a+c>b+c,此法则又称为移项法则；⑷ 可乘性：a>b，当c>0 时，ac>bc;当c<0 时，acvbc。
不等式运算性质：(1)同向相加：若a>b, c>d，则a+c>b+d;(2)正数同向相乘：若a>b>0, c>d>0,则ac>bd。
特例：(3)乘方法则：若a>b>0, n€N +，则a n b n；1 1⑷开方法则：若a>b>0, n€N +，则a下b n；1 1(5)倒数法则：若ab>0, a>b,则-匚。
a b例1： 1)、8 ,6与. 7 ■. 5的大小关系为 .2 ）、设1,且n 1,则n3 1与n1 2 n的大小关系是n3 )已知一元二次不等式ax 2 bx c 0(a 0)或ax 2 bx c 0(a. 0)的求解原理：利用二次函 数的图象通过二次函数与二次不等式的联系从而推证出任何一元二次不等式的解集。
【例题讲解】2.解不等式组23不等式2kx 2kx 0对于一切实数x 都成立?三、分式不等式与高次不等式的解法7x 5x10 22(2)x52x 2x 3 0 4x3.若不等式 2ax bx c 0的解集为(-2,3),求不等式cx 2 ax b 0的解集1.解下列不等式： X 25 ⑷(1) 2x 2 3x 22(2) 9x 2 6x 1⑶ 4x4.当k 为何值时,1. 分式不等式解法2. 高次不等式解法：数轴标根法（奇穿偶切）典型例题例1解下列不等式例2解下列不等式:(1 ) (x+1)(x-1)(x-2)>0 (-x-1)(x-1)(x-2)<0(3) x(x-1) 2(x+1) 3(x+2) < 0(x-3)(x+2)(x-1) 2(x-4)>0四、无理不等式的解法解无理不等式的基本方法就是将其转化为有理不等式组， 在转化过程中一定 要注意等价变换(f(x)°)定义域x — 32 ⑴审 V 0(2)3+ x V 02 — x(3)x —5 > 3^ — 3(2)(4)(5) 2x 3x 215x 0⑺三1总(6) (x 4)(x 5)2(2 x)30 .(8)x 24x 1 3x 2 7x 2题型 I ： ■■ f (x) ,g(x)型g(x) 0f(x) g(x)例1 解不等式⑴1 x 3x 2 0 ⑵.,5 2x .、x 1题型H：. f(x) 例2解不等式g(x)型f(x)g(x)f(x)十 f(x) 00 或2 g(x) 0[g(x)]2x2 3x 1 1 2x题型川：.f(x)f (x) 0 g(x)型g(x) 0例3解不等式f(x) [g(x)]2 .2x2 3x 1 1 2 !x例4解不等式2 x 1 . x 1 1例5解不等式x2■.6x x2 3五、绝对值不等式的解法含有绝对值的不等式的解法关键就在于去掉绝对值，而去掉绝对值，则需要对绝对值中的零点进行讨论，一般来说一个零点分两个范围，两个零点分三个零点，依次类推•(1)含有一个绝对值：不等式x a(a 0)的解集是x a x a ；不等式x a(a 0)的解集是xx a,或x a不等式ax b c(c 0)的解集为x| c ax b c (c 0);不等式ax b c(c 0)的解集为x |ax b c,或ax b c (c 0)(2)含有多个绝对值：零点分段法(4) 1 | 2x-1 | < 5.例 2 解不等式：(1) |x -3|-| x +1|<1. + 1|| > 1.例 3 已知函数 f (x )=| x -2|-| x -5| . (I )证明：-3< f (x ) <3;(II )求不等式f (x ) >x 2-8x +15的解集.六、指数不等式与对数不等式 利用指数函数及对数函数的单调性转化为代数不等式 例1.解不等式0.2 例2.解不等式log x - 1 .5例3.解不等式：\ log a x 1 3 log a x (0 a 1)例4. a 1时解关于x 的不等式log a [a 2x2x(a x2x 1) 1]0 七、基本不等式（也叫均值不等式）1 .基本不等式(5) |4x-3|>2x+1(2) |x | -|2x基本不等式 不等式成立的条件 等号成立的条件2.常用的几个重要不等式22a +b 2(1)a + b > 2ab(a , b € R) (2)ab< (-^) (a , b € R)上述四个不等式等号成立的条件都是 a = b.3. 算术平均数与几何平均数设a>0，b>0,则a ，b 的算术平均数为一厂，几何平均数为；ab ，基本 不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.4. 利用基本不等式求最值设x , y 都是正数.（1） 如果积xy 是定值P ,那么当x = y 时和x + y 有最小值2 P. 1 （2） 如果和x + y 是定值S ,那么当x = y 时积xy 有最大值4S 2.练习1 .已知两个正数a,b 的等差中项为4,则a, b 的等比中项的最大值为（ ）A . 2B. 4C. 8D. 162.若a , b € R,且ab>0,则下列不等式中，恒成立的是（）2 2/12a A . a + b>2ab B . a + b >2 ab + >+ >2vb Vabb2 2a +b a + b 2(3) >(丁)(a , b € R)⑷十+ 2（a , b 同号且不为零）3.若x + 2y= 4,则2x+ 4y的最小值是（）A. 4B. 8C. 2 2D. 4- 214.当x>1时，求函数f（x）=x + -- 的最小值________ .x — 15.已知x, y>0,且满足3+ 4= 1,则xy的最大值为_____________ .6.某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x吨，运费为4万元/次,一年的总存储费用为4x万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，贝y x= ______________ .7.已知a、b、c为正实数，且a+b+ c = 1,1 1 1求证:（-—1）（ b—1）（ C—1）>8.a b c八、不等式的证明（一）比较法：1.比较法之一（作差法）步骤：作差——变形——判断与o的关系——结论2.比较法之二（作商法）步骤：作商——变形——判断与1的关系——结论例1 求证：x + 3 > 3 xa b例 2 a ,b ? R+,且 a b，求证：a a b b（ab）2 a b b a2 用综合法证明不等式的逻辑关系是：A B B2 L B n B（二）综合法1.综合法：利用某些已经证明过的不等式（例如算术平均数与几何平均数定理）和不等式的性质推导出所要证明的不等式成立，这种证明方法通常叫做综合法•3 •综合法的思维特点是：由因导果，即由已知条件出发，利用已知的数学 定理、性质和公式，推出结论的一种证明方法。
不等式的解法与应用
不等式的解法与应用不等式是数学中常见的一种关系表达式，它描述了数值之间的大小关系。
解不等式是数学中的基本技能之一，它在各个领域都有广泛的应用。
本文将探讨不等式的解法和一些实际应用。
一、基本不等式的解法解不等式的方法可以分为两类：代数法和图像法。
代数法是通过代数运算来求解不等式。
以一元一次不等式为例，我们可以利用加减乘除的性质来推导出不等式的解集。
例如，对于不等式2x + 3 > 7，我们可以先将等式2x + 3 = 7求解得到x = 2，然后根据不等式的性质，将x = 2代入原不等式，得到2 × 2 + 3 = 7，显然成立。
因此，不等式的解集为x > 2。
图像法是通过绘制不等式的图像来求解不等式。
以一元一次不等式为例，我们可以将不等式转化为方程，然后绘制出方程的图像。
例如，对于不等式2x + 3 > 7，我们可以将不等式转化为方程2x + 3 = 7，得到x = 2。
然后我们绘制出方程2x + 3= 7的图像，发现x > 2的部分对应的是图像上方的区域。
因此，不等式的解集为x > 2。
二、不等式的应用不等式在实际生活中有着广泛的应用。
下面将介绍不等式在经济学、物理学和生物学中的应用。
1. 经济学中的应用经济学中常常用不等式来描述供需关系、利润最大化等问题。
例如，在市场经济中，供应商希望以最高的价格卖出商品，而消费者希望以最低的价格购买商品。
这就形成了一个不等式的关系，供应商的期望价格大于等于消费者的期望价格。
通过解这个不等式，我们可以得到供需平衡的价格区间。
2. 物理学中的应用物理学中的许多问题可以用不等式来描述。
例如，运动物体的速度与位移之间的关系可以用不等式来表示。
根据物理学的定律，速度等于位移除以时间，因此可以得到不等式v ≥ s/t，其中v表示速度，s表示位移，t表示时间。
通过解这个不等式，我们可以得到速度的最小值。
3. 生物学中的应用生物学中的种群增长问题可以用不等式来描述。
解不等式的方法归纳
解不等式的方法归纳在数学中，不等式是一种表示数值之间关系的数学语句。
解不等式是指找到使不等式成立的数值范围。
解不等式的方法主要包括图像法、代数法和数轴法。
在本文中，我们将对这些方法进行归纳和总结。
一、图像法图像法是一种直观的解不等式方法，通过在坐标平面上绘制不等式的图像，可以很清楚地找到使不等式成立的数值范围。
当不等式是一次函数时，我们可以使用图像法解决。
例如，对于线性不等式3x + 4 < 7，我们可以绘制出线性函数y = 3x + 4的图像，并找到y坐标小于7的x的范围。
图像法特别适用于一次函数和简单的几何图形。
二、代数法代数法是一种基于代数运算的解不等式方法。
通过代数运算，我们可以将不等式转化为等价的形式，并找到使等价不等式成立的数值范围。
代数法非常灵活，适用于各种类型的不等式。
例如，对于二次不等式x^2 - 3x > 2，我们可以将其转化为等价不等式x^2 - 3x - 2 > 0，然后通过求解方程或利用二次函数的性质找到x的范围。
三、数轴法数轴法是一种基于数轴的解不等式方法。
通过在数轴上标记出关键点，并结合区间的概念，可以清晰地找到使不等式成立的数值范围。
数轴法尤其适用于一元一次不等式和绝对值不等式。
例如，对于一元一次不等式2x + 5 ≤ 9，我们可以在数轴上标记出x = 2的位置，并确定 x 的范围在闭区间[2, 9] 内。
综上所述，解不等式的方法可以根据具体情况选择使用图像法、代数法或数轴法。
其中图像法适用于一次函数和几何图形，代数法适用于各种类型的不等式，而数轴法则适用于一元一次不等式和绝对值不等式。
不同方法的应用取决于不等式的形式和具体求解的目标。
在实际解题过程中，我们可以根据问题的要求选择合适的方法以求得准确的解答。
通过掌握这些解不等式的方法，并在实践中不断应用，我们可以提高解题的效率和准确性。
同时，对于解不等式的方法归纳和总结，有助于我们更深入地理解不等式的性质和求解方法，为解决更复杂的问题打下坚实的基础。
不等式的解法及知识点
不等式的解法及知识点
不等式解法有哪些？对此想了解不等式的朋友可以来看看，下⾯由店铺⼩编为你准备了“不等式的解法及知识点”，仅供参考，持续关注本站将可以持续获取更多的内容资讯！
不等式的解法及知识点
不等式的解法
不等式的解法：1、找出未知数的项、常数项，该化简的化简。
2、未知数的项放不等号左边，常数项移到右边。
3、不等号两边进⾏加减乘除运算。
4、不等号两边同除未知数的系数，注意符号的改变。
不等式知识点
拓展阅读：不等式的基本性质
1.如果x>y，那么y<X;如果Yy;(对称性)
2.如果x>y，y>z;那么x>z;(传递性)
3.如果x>y，⽽z为任意实数或整式，那么x+z>y+z,即不等式两边同时加或减去同⼀个整式，不等号⽅向不变;
4.如果x>y，z>0，那么xz>yz ,即不等式两边同时乘以(或除以)同⼀个⼤于0的整式，不等号⽅向不变;
5.如果x>y，z<0，那么xz<YZ, p 即不等式两边同时乘以(或除以)同⼀个⼩于0的整式，不等号⽅向改变;
6.如果x>y，m>n，那么x+m>y+n;
7.如果x>y>0，m>n>0，那么xm>yn;
8.如果x>y>0，那么x的n次幂>y的n次幂(n为正数)，x的n次幂<Y的N次幂(N为负数)。
高中数学——“不等式的解法”归类专题(参考)
“不等式的解法”专题一．整式不等式的解法步骤：正化，求根，标轴，穿线（奇过偶不过），定解1. 一元一次不等式ax >b 解的讨论： 当a>0时解集为⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞,a b ，当a<0时解集为,b a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭当a=0且b<0时解集为R ，当a=0且b ≥0时，解集为Φ；2. 一元二次不等式我们总可化为ax 2+bx+c>0和ax 2+bx+c+<0(a>0)两形式之一，记△=b 2-4ac 。
跟踪训练1.若01,a <<则不等式()10x a x a ⎛⎫--< ⎪⎝⎭的解是 2. x 的取值范围是3. 若ax 2＋bx －1＜0的解集为{x|－1＜x ＜2}，则a ＝________，b ＝________．4.解下列不等式(1)(x －1)(3－x)＜5－2x (2)x(x ＋11)≥3(x ＋1)2 (3)(2x ＋1)(x －3)＞3(x 2＋2)(4)3x 2-+--+-31325113122x x x x x x ＞＞()()二．分式不等式的解法先移项通分化为一边为()()f xg x ，一边为0的形式，再等价转化为整式不等式，即： ()()0()()0()()0;0()0()()f x g x f x f x f x g x g x g x g x ≥⎧>⇔>≥⇔⎨≠⎩跟踪训练 1.下列不等式与012≤+x x同解的是（ ） (A)01≤+xx (B)0)1(≤+x x (C) 0)1lg(≤+x (D)21|1|≤+x x 2. 不等式x x<1的解集为 .3. 不等式1213≥--xx 的解集为（ ） (A){x |43≤x ≤2} (B) {x |43≤x <2} (C) {x |x >2或x ≤43} (D){x |x ＜2} 4. 不等式21≥+x x的解集为 .5.解不等式237223x x x -≥+- 巩固训练不等式(x －2)2·(x －1)>0的解集为 . 不等式(x ＋1) ·(x －1)2≤0的解集为 .1. 不等式(x 2－2x －3)(x 2－4x +4)<0的解集为（ ） A .{x | x <－1或x >3} B .{x | －1<x <3}C .{x | x <－3或x >1}D .{x | －1<x <2或2<x <3} 2.与不等式023≥--xx 同解的不等式是 （ ） A.(x －3)(2－x )≥0 B.lg(x －2)≤0 C.032≥--x xD.(x －3)(2－x )>0 3.不等式12x x-≥的解集为（ ） A. [1,0)- B. [1,)-+∞C. (,1]-∞-D. (,1](0,)-∞-+∞U含绝对值的不等式1.应用分类讨论思想去绝对值；2.应用数形结合思想；3.应用平方法（要求不等式两端同号）基础训练1. 不等式|8－3x|＞0的解集是（ ）A B RC {x|x }D {83}．．．≠．∅83 2.不等式1|1|3x <+<的解集为（ ）.C. (4,0)-D. (4,2)(0,2)--U3. 不等式4＜|1－3x|≤7的解集为指数、对数不等式的解法解指数、对数不等式的一些常用方法：（1） 同底法：能化为同底数先化为同底，再根据指数、对数的单调性转化为代数不等式，底是参数时要注意分类讨论，并注意到对数真数大于零的限制条件 （2） 转化法：多用于指数不等式，通过两边取对数转化为对数不等式（3） 换元法：多用于不等式两边均有统一的组合形式，或取对数后再换元，注意所换“元”的范围 （4） 数形结合 基础训练 1. 不等式2261xx +-<的解集为2.不等式1(33>的解集为 3. 不等式2log (2)0x -≤的解集为 4.函数()f x =为5. 不等式20.20.2log (23)log (31)x x x +->+的解集为6. 不等式0.51log x x ->的解集为 巩固训练 1.已知当94x =时，不等式22log (2)log (23)a a x x x x -->-++成立，则不等式的解集为 2.设1232,(2)()log (1),(2)x e x f x x x -⎧<⎪=⎨-≥⎪⎩，则不等式()2f x >的解集为 3. 已知集合22{228,},{log 1,}x A x x Z B x x x R -=≤≤∈=>∈，则()R A C B ⋂的元素个数为_____个5 若关于x 的方程2222x xxxa ---=+有解，求实数a 的取值范围6 已知0,1a a >≠，若2log 2log a a <，求实数a 的取值范围不等式解法六种典型例题典型例题一（整式不等式） 例1. 解不等式：（1）015223>--x x x ； （2）0)2()5)(4(32<-++x x x说明：用“穿根法”解不等式时应注意：①各一次项中x 的系数必为正；②对于偶次或奇次重根可转化为不含重根的不等式，也可直接用“穿根法”，但注意“奇穿偶不穿”。
不等式的解法
不等式的解法不等式是数学中常见的一种关系表达式，它描述了两个数之间的大小关系。
在解决实际问题时，经常会遇到需要求解不等式的情况，本文将介绍常见的不等式解法方法，帮助读者更好地理解和掌握不等式的求解过程。
一、一元一次一元一次不等式是指只含有一个未知数并且次数为1的不等式。
常见的一元一次不等式形式为ax + b < c或者ax + b > c。
求解一元一次不等式的方法如下：1. 将不等式转化为等式，得到ax + b = c的形式。
2. 根据a的正负情况，分别讨论两种情况：- 当a > 0时，解为x > (c - b) / a。
- 当a < 0时，解为x < (c - b) / a。
3. 以解集的形式表示不等式的解。
例如，对于不等式3x + 4 > 10，可以按照上述步骤求解：1. 将不等式转化为等式，得到3x + 4 = 10。
2. 根据3的正负，讨论两种情况：- 当3 > 0时，解为x > (10 - 4) / 3，即x > 2。
- 当3 < 0时，解为x < (10 - 4) / 3，即x < 2。
3. 不等式的解为解集{x | x > 2}。
二、二元一次二元一次不等式是指含有两个未知数并且次数为1的不等式。
常见的二元一次不等式形式为ax + by > c或者ax + by < c。
求解二元一次不等式的方法如下：1. 将不等式转化为等式，得到ax + by = c的形式。
2. 根据a、b的正负情况，分别讨论四个象限的情况：- 当a > 0，b > 0时，解为x > (c - by) / a。
- 当a > 0，b < 0时，解为x > (c - by) / a。
- 当a < 0，b > 0时，解为x < (c - by) / a。
- 当a < 0，b < 0时，解为x < (c - by) / a。
方法技巧专题30不等式的解法与基本不等式
方法技巧专题30不等式的解法与基本不等式不等式是数学中常见的一类问题，解决不等式问题需要掌握一些方法和技巧。
本文将介绍不等式的解法以及基本不等式。
一、不等式的解法1.同加同减法：对于不等式a<b，可以在两边同时加上（或减去）同一个数得到新的不等式，即：a+c<b+ca-c<b-c2.同乘同除法：对于不等式a<b，可以在两边同时乘上（或除以）同一个正数得到新的不等式，即：a*c<b*c，c>0a/c<b/c，c>0需要注意的是，当同乘或同除的数为负数时，不等号的方向需要颠倒，即：a*c>b*c，c<0a/c>b/c，c<03.倒置不等号：对于不等式a<b，如果两边同时乘以-1，不等号的方向需要颠倒，即：-a>-b4.分类讨论：对于一些复杂的不等式，可以通过分类讨论的方法进行求解。
根据不等式中出现的变量或系数的范围，将不等式分为几个情况进行讨论，然后逐一解决。
5.代换法：对于一些复杂的不等式，可以通过代换一些变量来简化问题。
选择合适的代换变量，使得不等式中的形式更加简单，从而更容易求解。
二、基本不等式基本不等式是不等式求解中常用且重要的技巧，掌握了基本不等式可以更方便地求解复杂的不等式问题。
以下是几个常用的基本不等式：1.平均值不等式：对于任意一组非负实数a1, a2, ..., an，平均值不等式成立：(a1 + a2 + ... + an) / n ≥ √(a1 * a2 * ... * an)即算术平均数大于等于几何平均数。
2.均值不等式：对于任意一组非负实数a1, a2, ..., an，有下列不等式成立：(a1 + a2 + ... + an) / n ≥ (√a1 + √a2 + ... + √an) / √n 即算术平均数大于等于几何平均数。
3.柯西-施瓦茨不等式：对于任意一组实数a1, a2, ..., an和b1, b2, ..., bn，有下列不等式成立：(a1 * b1 + a2 * b2 + ... + an * bn)^2 ≤ (a1^2 + a2^2 + ... + an^2) * (b1^2 + b2^2 + ... + bn^2)即两组数的乘积之和的平方不超过各自平方和的乘积之和。
不等式的解法
不等式的解法以《不等式的解法》为标题，写一篇3000字的中文文章不等式是数学中常见的运算，也是更高级的数学研究的基础。
不等式的解法并不简单，但是理解不等式的本质和解决方案，能够使我们更好地掌握不等式的应用范围。
因此，本文将探讨不等式的解法，包括对不等式的逻辑推理，及其解决方案。
首先，我们要明确，什么是不等式？不等式是一种表达式，它涉及两个数值，它们之间通过比较运算符连接，以得到比较结果。
比较运算符可以是“大于”、“小于”、“不等于”、”等于”等，这些符号也叫做不等式的运算符。
一般来说，不等式的解法可以分为两类：一类是逻辑推理，即根据不等式的运算符，以及不等式两边的数值，来思考如何正确地求出不等式的解。
比如，当一个不等式的运算符是“大于”时，那么就可以推断出相应的解为大于该不等式中的数据值；当运算符是“小于”时，那么就可以推断出相应的解为小于该不等式中的数据值。
另一类解法则是基于具体数学计算和推理而定，比如解二次不等式，需要借助四则运算，以及分裂等式和求根法来解出它的解。
另外，对于三次以上的不等式，则要求我们能够熟练地使用数学推理，知道何时使用分裂等式和求根法，以及何时需要用到什么样的知识去解决不等式。
此外，要解决不等式还要掌握一些数学关系，这样可以更好地推理出不等式的解。
比如，不等式中的数值可以分解为两个平方和，这样就可以通过推导出数值关系，来求得不等式的解。
另外，对于有斜率的不等式，则可以写出直线的方程，来求其是否有解，以及如何求取解。
最后，还要指出的是，不等式的解法不仅仅是求解的问题，而且还要掌握一定的数学知识，因为不等式有时会涉及到非常深奥的数学概念。
所以，要想正确地解决不等式，除了正确地记住不等式的运算符，掌握不等式中相关数学关系，以及熟练掌握解不等式的计算方法，还要熟悉高等数学的各种概念。
总之，不等式的解法并不简单，需要我们掌握不等式的逻辑推理，具体的计算方法，以及相关的数学知识等，从而才能熟练地解决不等式。
高二数学不等式的解法举例
6.4不等式的解法举例（1）
一、定 义：
同解不等式： 如果两个不等式的解集相等，那么这两 个不等式就叫做同解不等式。 如：2x+6<0与x<-3 不等式的同解变形： 一个不等式变形为另一个不等式时，如果这 两个不等式是同解不等式，那么这种变形就 叫做不等式的同解变形。 如：2x+6<0 与x<-3
(5) 2x 5 x 1
作业：
(1) x 1 3 x 解下列不等式： (2) 3 x x 2 (3) 6 5 x x | x 3 |
2
b x 2a
Ø
R Ø
x1<x<x2
二次函数的图 象 (a>0) y= ax2+bx+c
四、一元二次不等式的解法：
例4.解下列不等式（组）：
(1)2+x-x2≥0
(2) x2-2x-8≤0 x2-1>0
2
x | 1 x 2
x | 2 x 1或1 x 4
（ 3）x 3x 4 0
思 考
(ax 1)( x 2) 0的解集是什么
五、含绝对值的不等式的解法：
例5.解不等式 | x 5x 5 | 1
2
x |1 x 2或3 x 4
例6、解不等式
x2 4 x 2
x | x 2或1 x 3
六、分式与高次不等式的解法：
解高次不等式的方法——穿针引线
1、把未知数x的系数转化成正数，把因式 分解成(x－a)(x－b)(x－c)……形式 2、在数轴上把每个因式的根标出来 3、按照从左至右从上至下的顺序 开始画曲线 4、若因式的指数是奇数次方，则曲线可 以穿过数轴；若因式的指数是偶数次方 则曲线不穿过数轴 5、不等式为大于零则取数轴上方所取得x范围； 不等式为小于零则取数轴下方所取的x范围
不等式解法的精辟总结
不等式解法一、一元二次不等式解法1、 ax 2+bx+c>0 (或ax 2+bx+c<0) (a>0) 形式解题步骤：① 转化为一元二次方程ax 2+bx+c=0，并求此方程的解；② 根据方程ax 2+bx+c=0解的情况，结合f(x)= ax 2+bx+c 的图像写出解集；③ x 2+bx+c>0 (a<0) 的情况首先转化为-ax 2-bx-c<0，再利用上表进行解答。
2、 经典练习1) x 2-4x-21≤0 2) 3x 2+x-14>0 3) -5x 2+3x+14>04) 06222>-+x x 5) 033442<-+-x x 6) 12x 2-8x-15≤0二、高次不等式1、高中阶段只解决比较简单的高次不等式，举例如下：例题1 x 3-6x 2+11x-6>0解： ① 试根，令x 3-6x 2+11x-6=0，将1带入成立，则此三次式可分解出因式（x-1）② 多项式除法将x 3-6x 2+11x-6分解为（x-1）（x 2-5x+6），再将x 2-5x+6分解为 （x-2）(x-3)， 最终分解为：（x-1）（x-2）(x-3)=0，③④ 写出解集，x 3-6x 2+11x-6>0的解集为：{x ∣1< x<2或x>3}.(注：写成集合) 方法归纳如下：① 试根，一般取[-3,3]之间的整数② 用多项式除法分解因式将其分解为（x-a ）（x-b ）(x-c)……=0的形式③ 用数轴标根法，在数轴上依次标出所有根④ 写出解集，> 0取x 轴上方部分，< 0取x 轴下方部分2、经典练习：1) x 3-3x 2+2x ≤0 2) x 3-x 2-x+1>0 (二重根情况的处理)。
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不等式的解法归类一、简单的一元高次不等式的解法： 1.一元二次不等式的一般解法：1）形如：（x －a ） · (x －b ）＞0 等价于⎩⎨⎧〉-〉-00b x a x 或⎩⎨⎧〈-〈-00b x a x 。
2）形如：（x －a ） · (x －b ）＜0 等价于⎩⎨⎧〈-〉-0b x a x 或 ⎩⎨⎧〉-〈-0b x a x 。
2.简单的一元高次不等式的穿针引线法：一元高次不等式f(x)＞0(或＜0)用穿针引线法（或数轴标根法、根轴法、区间法）求解。
用此法解一元高次不等式，先将不等式化为一端为零，一端为一次因式（或二次因式不可分解因式）之积，然后求出零点，并在数轴上依次标出，再用光滑曲线从右至左，自上而下依次通过这些零点。
则大于零（小于零）的不等式的解集对应着曲线在数轴上方（下方）部分的实数x 的取值集合。
【注意事项】分解因式后，各因式中x 的系数一定要化为正数；画线时，遇奇数次重根一次穿过，遇偶数次重根穿而不过；考查各重根是否在解集内，再决定其去留。
【典型例题】解不等式：1) x 2-2x-3＞0; 2) (x+2)·(x+1)2·(x-1)3·(x-2)≤0. 【解析】1）不等式x 2-2x-3＞0 可化为（x-3）（x+1）＞0 它等价于⎩⎨⎧〉+〉-0103x x 或 ⎩⎨⎧〈+〈-0103x x 即 x ＞3 或x ＜-1。
还可以用穿针引线法解答：令x 2-2x-3=0 ，即 （x-3）（x+1）=0. 则零点分别为 -1,3.将零点依次标在数轴上，并画出光滑的曲线，如图所示： + + -1 3因为不等式大于零，所以取X 轴上方的阴影部分。
则不等式的解集为： x ＞3 或x ＜-1。
2）用穿针引线法解答：令 (x+2)·(x+1)2·(x-1)3·(x-2)=0 ，则零点分别为：-2，-1,1,2，将零点依次标在数轴上，并画出光滑的曲线，如图所示：X-2 -1 1 2故原不等式的解集为{x|x ≤-2或1≤x ≤2或x=-1} 。
二、分式不等式的解法：解分式不等式首先通过移项、通分等化为标准形式：)()(x g x f ＞0（≥0）或)()(x g x f ＜0（≤0）然后同解变形。
1. )()(x g x f ＞0⇔①与⎩⎨⎧)()(x g x f 或 或⎩⎨⎧)()(x g x f 同解；②与f(x)·g(x)＞0 同解。
2.)()(x g x f ＜0⇔①与 ⎩⎨⎧〉〈0)(0)(x g x f 或 ⎩⎨⎧〈〉0)(0)(x g x f 同解； ②与f(x)·g(x)＜0 同解。
3.)()(x g x f ≥0⇔①与⎩⎨⎧〉≥0)(0)(x g x f 或 ⎩⎨⎧〈≤0)(0)(x g x f 同解； X＞0 ＞0＜ 0＜ 0②与⎩⎨⎧≠≥0)(0)(x g x g x f ）（，同解。
4.)()(x g x f ≤0⇔①与⎩⎨⎧〉≤0)(0)(x g x f 或 ⎩⎨⎧〈≥0)(0)(x g x f 同解； ②与⎩⎨⎧≠≤0)(0)(x g x g x f ）（，同解。
【典型例题】解不等式：232532≤-+-x x x 。
【思路分析】此不等式为非标准形式的分式不等式，首先化为标准形式)()(x g x f ≤0 。
然后再化为等价不等式（组），最后求解。
【解析】原不等式等价为：02-32532≤-+-x x x ，即0321222≤-+-+x x x x 。
即 ⎩⎨⎧≠-+≥-+-+03203212222x x x x x x ））（（，即等价变形为：⎩⎨⎧≠-≠≥-++-13013112x x x x x x 且））（）（）（（，如图所示可得原不等式的解集为1} x 21x 1- -3x |{x 〉≤≤〈或或。
+ + + -3 -1 1/2 1X三、不等式的性质：下列性质中的a,b 可以是实数，也可以是式子。
1. 传递性：若a ＞b, b ＞c, 则a ＞c 。
2. 可加性：若a ＞b, 则 a+c ＞b+c 。
（c 可以是任意实数）3. 可乘性：若a ＞b,c ＞0 ,则 ac ＞bc 。
（注意c 的符号）4. 可乘性：若a ＞b,c ＜0 ,则 ac ＜bc 。
（注意c 的符号）5. 若a ＞b ，c ＞d ,则 a+c ＞b+d 。
6. 若a ＞b ＞0 ，c ＞d ＞0 ,ac ＞bd 。
7. 若a ＞b ＞0 ，则 a n ＞b n (n ∈N+) 。
8. 若a ＞b ＞0 ，则 n a ＞ n b (n ∈N+) 。
【经典例题】1. 已知-2π≤α＜β≤2π ，则 2βα-的取值范围是 。
【解析】∵α＜β ， ∴α－β＜0，∵-2π＜β≤2π ， ∴-2π≤－β＜2π 由不等式的同向可加性，得 －π≤α－β＜0 ， ∴ -2π≤2βα-＜0 。
故填 [-2π , 0).【经典例题】2. 设a ＞b ＞c,求证：ac c b b a -+-+-111＞0. 【证明】∵ a ＞b ＞c,∴ －c ＞-b, ∴ a-c ＞a-b ＞0,∴b a -1＞c 1-a ＞0 , ∴ b a -1+ac -1＞0 . 又 b －c ＞0 ，∴c 1-b ＞0 ， ∴b a -1+c 1-b +ac -1＞0.【经典例题】3. 已知-2＜a ＜7,1＜b ＜2,分别求a+b,a-b,ba 的取值范围。
【解析】∵-2＜a ＜7,1＜b ＜2,∴-1＜a+b ＜9， ∵1＜b ＜2,∴-2＜-b ＜-1，∴-4＜a-b ＜6. ∵1＜b ＜2,∴21＜b1＜1. ∴当0≤a ＜7时，0≤ba ＜7；当-2＜a ＜0时，0＜-a ＜2,0＜-ba ＜2,∴-2＜ba ＜0. 综上所述，-2＜ba ＜7.【经典例题】4. 已知 1≤a+b ≤4 ,-1≤a-b ≤2, 求3a-2b 的取值范围。
【解析】不能直接利用性质求出结果，容易导致范围扩大。
设3a-2b=m(a+b)+n(a-b),则有，3a-2b=（m+n ）a+(m-n)b,∴⎩⎨⎧-=-=+23n m n m ,即 ⎪⎩⎪⎨⎧==2521n m ，∴3a-2b=21（a+b)+25(a-b), 又∵1≤a+b ≤4 ,-1≤a-b ≤2,∴21≤21（a+b ）≤2 ,-25≤25（a-b ）≤5, ∴ -2≤3a-2b ≤7.【易错警示】同向（异向）不等式的两边可以相加（相减），这种转化不是等价变形，在一个解题过程中多次使用这种转化时，就有可能扩大真实的取值范围。
【举一反三】已知函数f(x)=ax 2-c,-4≤f(1)≤-1,-1≤f(2)≤5,求f(3)的取值范围。
【解法一】∵f(x)=ax 2-c ，∴⎩⎨⎧-=-=c a f c a f 4)2()1( ，解得⎪⎩⎪⎨⎧-=-=)1(34)2(31)]1()2([31f f c f f a∴f(3)=9a-c=38f(2)-35f(1), 又 ∵ -4≤f(1)≤-1,-1≤f(2)≤5,∴35≤-35f(1)≤320, -38≤38f(2)≤340, ∴-1≤38f(2)-35f(1)≤20 ，即 -1≤f(3)≤20 。
【解法二】∵f(x)=ax 2-c ，∴f(3)=9a-c 。
令9a-c =m(a-c)+n(4a-c)=(m+4n)a-(m+n)c , ∴ m+4n=9 ,m+n=1 ,∴ n=8/3 ,m=-5/3.∴9a-c =m(a-c)+n(4a-c)=-35(a-c)+38(4a-c), ∵-4≤a-c ≤-1,-1≤4a-c ≤5,∴35≤-35(a-c)≤320,-38≤38(4a-c)≤340, ∴ 35-38≤-35(a-c)+38(4a-c)≤320+340,∴ -1≤-35(a-c)+38(4a-c)≤20 ,即 -1≤f(3)≤20 。
四、比较两数（或式）大小的方法：作差法和作商法。
1.作差法的一般步骤：作差→变形→定号→得结论。
多项式比较大小常用作差法；2.作商法的一般步骤：作商→变形→判断商与1的大小→得结论。
此方法适用均为正数且是指数幂形式的两数（式）比较大小。
【典型例题】1.已知x ＞2，比较x 3+11x 与6x 2+6的大小。
【解析】用作差法比较大小。
x 3+11x-（6x 2+6）=x 3-3x 2-3x 2+11x-6=x 2(x-3)+(-3x+2)(x-3) =(x-3)(x 2-3x+2)=(x-3)(x-2)(x-1), (*) (1)当x ＞3时，(*)式＞0，所以x 3+11x ＞6x 2+6 (2)当x = 3时，(*)式= 0，所以x 3+11x=6x 2+6 (3)当2＜x ＜3时，(*)式＜0，所以x 3+11x ＜6x 2+6【举一反三】1.已知a ＞0，试比较a 与a1。
【举一反三】2.设m ∈R,x ∈R,比较x 2-x+1与-2m 2-2mx 的大小。
【典型例题】2.比较a a b b 与a b b a (a,b 为互不相等的正数)的大小。
【解析】因为两个代数式均为幂的形式，所以可以用作商法比较大小。
.)(b a a b b a a b b a bab a b a b a ---=⋅= （1）当a ＞b ＞0时，ba ＞1，且a-b ＞0， 所以 b a ba -)(＞1，即 a ab b ＞a b b a 。
（2）当b ＞a ＞0时，0＜ba ＜1，且a-b ＜0， 所以 b a ba -)(＞1，即 a ab b ＞a b b a 。
综上， a a b b ＞a b b a 。
【举一反三】当a ＞b ＞0时，比较a a b b与2ba ab +）（的大小。
【典型例题】3.设f(x)=1+log x 3, g(x)=2log x 2,其中x ＞0且x ≠1,比较f(x)与g(x)的大小。
【解析】利用作差法比较大小。
f(x)－g(x)=1+log x 3 - 2log x 2=log x (3x)-log x 4=)43(log x x . (1) 当x 43=1时，即x=43时，)43(log x x =0，∴ f(x) = g(x)；(2) 当⎪⎩⎪⎨⎧〈〈〈〈14301x 0x ，或 ⎪⎩⎪⎨⎧〉〉1431x x即 0＜x ＜1 或 x ＞34时，)43(log x x ＞0，∴ f(x) ＞ g(x)； （3）当1＜x ＜34时，)43(log x x ＜0，∴ f(x) ＜ g(x)。
综上所述，当x=43时，f(x) = g(x)；当0＜x ＜1 或 x ＞34时， f(x) ＞ g(x)； 当1＜x ＜34时， f(x) ＜ g(x)。