反比例函数的图象与性质作业
反比例函数的图象与性质
2、函数 y
2
4、一平行四边形的面积是12cm2，它的一边是acm，这边上的高是
12 hcm， 则a与h的函数关系式是 a ， 这个函数是反比例 函数。 h
k 5、若点P(2，－3)在函数 y 的图象上，那么这个函数的图象 x 二、四象限内，在每一象限内，y随x的增大而 增大 是 双曲线 ， 它在 。 2m 1 6、若反比例函数 y 的图象在第一、三象限，那么m的取值 x 1 范围是 m 2 ，在每一象限内，y随x 的增大而 减少 。
13、直线y=2x－b与双曲线 y 标是 A.(－1，2) ( B ) B.(2，－1)
2 1 交于点( ,4 )，则另一个交点的坐 x 2
C.(2，9)
D.(5，4)
14、如图，A为双曲线上一点，过A作AC⊥x轴，垂 足为C，且S△AOC =2． (1)求该反比例函数解析式； (2)若点(-1,y1),(-3,y2)在双曲 线上，试比较y1、 y2的大小．
4、在同一直角坐标系中，表示函数 y ax b ，与 y
ab ( ab 0) 的图象只能是 x
5、已知： a, b 0 点 pa , b 在反比例函数 y 过的象限为 （ A．第一象限 ） B．第二象限
a 的图象上，则直线 y ax b 不经 x
C．第三象限
D．第四象限
7、函数y=kx与 y
k 在同一直角坐标中的图象可能是 ( C ) x
8、已知直线y=ax+b如图所示，则函数 y 的图象应在 ( D ) A.第一、二象限 C.第一、三象限
ab x
B.第二、三象限 D.第二、四象限
9、 若y=－2xm－2+3n－1是反比例函数， 则y=5－m+x3n是 一次 函数。
反比例函数的图像和性质的综合应用
解析
根据题意，将点 A（-2 ，3）和点 B（3，-2 ）分别代入两个函数中 ，得到关于 m、k、b 的方程组，解方程组求 得 m、k、b 的值，即 可得到两个函数的解析
式。
05
反比例函数在几何图形中应用
相似三角形判定定理推广
预备定理
平行于三角形的一边，并且和 其他两边相交的线段，所截得 的三角形的三边与原三角形三 边对应成比例。
反比例函数图像在平面直角坐标系中 ，沿y轴方向平移，函数表达式不变， 图像沿y轴平移。
伸缩变换规律
01
当k>0时，图像分别位于第一、三象限，每一个象限内，从 左往右，y随x的增大而减小；
02
当k<0时，图像分别位于第二、四象限，每一个象限内，从 左往右，y随x的增大而增大。
03
k>0时，函数在x<0上同为减函数、在x>0上同为减函数； k<0时，函数在x<0上为增函数、在x>0上同为增函数。
3
平行四边形面积问题
通过已知相邻两边及其夹角求解面积，或已知面 积和一边长度及夹角求解另一边长度，应用反比 例函数进行求解。
速度、时间、距离关系分析
匀速直线运动问题
通过已知速度和时间求解距离，或已 知距离和时间求解速度，利用反比例 关系建立方程。
变速直线运动问题
曲线运动问题
通过已知速度和方向的变化规律，求 解某时刻的速度或某段时间内的平均 速度及运动轨迹，结合反比例函数进 行综合分析。
解析
根据题意，将点（-2， -1）代入两个函数中， 得到关于 k、m、n 的 方程组，解方程组求得 k、m、n 的值，即可 得到两个函数的解析式 。再将 x = 3 代入两个 函数中，得到关于 k、 m、n 的另一个方程， 与前面的方程组联立求 解，即可得到最终的解
反比例函数的图象与性质(一)
不同点：
程序
学习内容
补充栏
问
题
序
列
Ⅱ
随堂练习：
１、画出反比例函数 与 的图像。
2、反比例函数与直线相交于点A，A的横坐标为-1，则反比例函数的解析式为__________。
3、已知反比例函数 ，若函数图像位于第一、三象限，则k的取值范围是_________。
4、已知如图的曲线是反比例函数 （m为常数）图像的一支
课题
反比例函数的图象与性质（一）
授课日期
设计人
孙学民
李淑华
沈培玉
学习目标
1．进一步熟悉作函数图象的主要步骤，会作反比例函数的图象．
2．体会函数的三种表示方法的互相转换，对函数进行认识上的整合．
3．逐步提高从函数图象小获取信息的能力，探索并掌握反比例函数的主要性质
重点
画反比例函数的图象；并从函数图象中获取信息，探索并研究反比例函数的主要性质．
反思
作图步骤：
1．列表
2．描点
3．连线
问题２：（1）你认为作反比例函数图象时应注意哪些问题？
（2）如果在列表时所选取的数值不同，那么图象的形状是否相同？
（3）连接时能否连成折线？为什么必须用光滑的曲线连接各点？
（4）曲线的发展趋势如何？
问题3：完成课本148页做一做
问题4：观察 和 的图象，它们有什么相同点探究．
课时
1
程序
学习内容
补充栏
问
题
序
列
Ⅰ
旧知回顾：
1．一次函数的图像是怎样的呢？你能画出y=2x—1的图像吗？作函数图像的步骤？
2．什么叫做反比例函数？
3．你所提供一个生活环境来表现反比例函数中两个变量之间的相依关系吗？
反比例函数反比例函数的图象与性质
2023-11-06
contents
目录
• 反比例函数概述 • 反比例函数的图象 • 反比例函数的性质 • 反比例函数的应用 • 反比例函数的扩展知识
01
反比例函数概述
反比例函数的定义
反比例函数定义
一般地，形如y=k/x（k为常数，k≠0）的函数称为反比例函数 。
反比例函数的积分特性
反比例函数在区间(-∞,0)和(0,+∞) 上的积分等于常数k。
VS
反比例函数在区间(-∞,x)和(x,+∞)上 的积分等于常数k乘以x。
04
反比例函数的应用
用反比例函数解决实际问题
电力分布
在电力分布问题中，常常 需要使用反比例函数来计 算电力的分布情况，以便 合理规划电力设施。
反比例函数的定义域和值域
定义域为{x|x≠0}，值域为{y|y≠0}。
反比例函数的单调性
在区间(-∞,0)和(0,∞)上单调递减。
反比例函数的基本形式
反比例函数的基本形式
01
一般地，形如y=k/x（k为常数，k≠0）的函数称为反比例函数。Biblioteka 反比例函数的解析式02
反比例函数通常被表示为y = k / x的形式，其中k是常数且不
热传导
在热传导中，可以使用反比例函数 来描述热量在介质中的传导规律。
在几何中的应用
圆的面积
在计算圆的面积时，可以使用 反比例函数来描述圆的面积与
半径之间的关系。
球的体积
在计算球的体积时，可以使用 反比例函数来描述球的体积与
半径之间的关系。
光线反射
在光线反射问题中，可以使用 反比例函数来描述光线反射的
反比例函数的图像和性质
二
四
返回
3
2．(中考•海南)已知反比例函数y＝ k 的图象经过点 P(－1，2)，则这个函数的图象位x 于( )
D A．第二、三象限 B．第一、三象限 C．第三、四象限 D．第二、四象限
返回
4
3．当x＞0时，函数y＝－ 5 的图象在( A )
A．第四象限
x
B．第三象限
C．第二象限
D．第一象限
返回
如图所示，则一次函数y＝mx＋n与反比例函数
y＝ 的图象可能是( )
mn
C
x
返回
8
知识点 2 反比例函数的性质
7．对于反比例函数y＝ k ， 当k＞0时，在每个象x限内，y随x的增大而__减__小____；
当k＜0时，在每个象限内，y随x的增大而________． 增大
返回
9
8．(中考•扬州)已知点A(x1，3)，B(x2，6)都在反比例
(2)若反比例函数y2＝ k 的图象与函数y1的图象相交于 点A，且点A的纵x坐标为2.
①求k的值； ②结合图象，当y1＞y2时，写出x的取值范围．
19
解：(1)由题意得，y1＝|x|，即y1＝|x|＝ 函数图象如图所示．
x，x≥0, －x，x＜0.
20
(2)①∵点A的纵坐标为2，点A在函数y1的图象上， ∴|x|＝2，x＝±2. ∴A的坐标为(2，2)或(－2，2)． ∴k＝±4.
C．y2＜y1＜y3 D．y3＜y1＜y2
返回
13
题型 1 列表法在求反比例函数解析式和画反比例
12．已知y是x的反比例函数，下表给出了x与y的一些值．
14
(1)写出这个反比例函数的解析式； (2)根据函数解析式完成此表； (3)根据表格中数据画出这个反比例函数的图象．
练习-反比例函数的图象和性质习题
反比例函数的图象和性质习题课前自主练1．函数y=kx（k是______的常数）叫做______．2．已知函数的解析式，要画出函数的图象，一般分为________•、•________•、•_________三个步骤，这样画图象的方法叫做_________．3．用图象表示函数，其特点是________，列表描点时，•描出的点越多，•图象就越_________．4．不在函数y=11x的图象上的点是（）A．（0，1） B．（-2，-1） C．（-1，1） D．（，2）5．已知点P（9，m）在函数y=x的图象上，则m的值为（）A．±3 B．3 C．-3 D．81课中合作练题型1：反比例函数的图象6．（基础题）反比例函数y=-1x的常数k=________，它的图象是_______，•在第______、_____象限，当x>0时，它的图象在第_____象限，当x<0时，它的图象在第______象限．7．（拓展题）反比例函数的图象经过（3，-4），则它的解析式为______，它的图象在第______象限．8．（综合题）对正比例函数y=kx和反比例函数y=kx，在同一坐标系中的图象可能是（）9．（基础题）双曲线y=kx（k≠0），当k>0时，它的两个分支分别在第______象限，在每个象限内y随x的增大而______；当k<0，它的两个分支在第______象限，在每个象限内y随x的增大而________．10．（拓展题）已知反比例函数的图象经过点（-3，2）．（1）求它的解析式．（2）分别判断A（2，3），B（-6，1），C（66）是否在图象上．（3）说明y随x的变化而增减情况．课后系统练基础能力题11．反比例函数y=kx，若k<0，则（）A．y的值为负; B．双曲线在一、三象限C．y随x的增大而增大; D．在所在的每一个象限，y随x的增大而增大12．如果双曲线y=12mx，当x<0时，y随x的增大而增大，那么m的取值范围是（）A．m<0 B．m<12C．m>12D．m≥1213．反比例函数y=mx m+2的图象在（）A．第一、二象限 B．第一、三象限; C．第二、四象限 D．第三、四象限14．若点（-2，y1）、（-1，y2）、（1，y3）在反比例函数y=2x的图象上，则下列结论中，正确的是（）A．y1>y2>y3 B．y2>y1>y3 C．y3>y1>y2 D．y3>y2>y115．（综合题）根据下列条件判断双曲线y=kx在哪个象限内：（1）通过点（-3，-1）；（2）所在的每个象限内，y随x的增大而增大．16．（综合题）已知y与x+2成反比例，且当x=1时，y=13．（1）写出这个函数的解析式;（2）该图象能否与x轴、y轴相交？（3）其图象能否经过点（-1，1）．17．（拓展题）已知矩形的面积为6cm2，它的一组邻边长分别是xcm、ycm．•请写出y与x 之间的函数关系式，并求出自变量的取值范围．参考答案1．不为零，反比例函数 2．列表，描点，连线，描点法 3．直观，准确4．C 5．•B 6．-1，双曲线，二，四，四，二7．y=12x-，二、四 8．A 9．一、三，减小，二、四，•增大 •10．（1）y=6x-（2）A不在 B在 C在（3）在所在象限内，y随x的增大而增大11．D 12．C 13．C 14．C15．（1）在一、三象限（2）在二、四象限 16．（1）y=12 x+（2）不能与x轴相交，能与y轴相交（3）能 17．y=6x（x>0）．。
(完整版)反比例函数的图像和性质练习题
A．x＜﹣1或0＜x＜3B．﹣1＜x＜0或x＞3C．﹣1＜x＜0D．x＞3
10、如图，点P是x轴正半轴上一个动点，过点P作x轴的垂线PQ交双曲线y＝ 于点Q，连结OQ，点P沿x轴正方向运动时，Rt△QOP的面积（ ）．
A、逐渐增大 B、逐渐减小 C、保持不变 D、无法确定
（第10题图） （第11题图） （第12题图）
（3）当气球内的气压大于144千帕时,气球将爆炸,为了安全起见,气球的体积应不小于多少立方米？
24、如图， 已知反比例函数y＝ 的图象与一次函数y＝ax＋b的图象交于M（2，m）和N（－1，－4）两点．
（1）求这两个函数的解析式；
（2）求△MON的面积；
（3）请判断点P（4，1）是否在这个反比例函数的图象上，
反比例函数的图像和性质练习题
一、选择题
1．下列函数中，y与x成反比例函数是（ ）
A、 B、 C、 D、
2．反比例函数 的图象两支分布在第二、四象限，则k取值范围为（ ）
A．k＜２B．ｋ＞２C． D．
3．如果双曲线y= 经过点（-2，3），那么此双曲线也经过点（ ）
A．（-2，-3）B．（3，2）C．（3，-2）D．（-3，-2）
7．一次函数 与反比例函数 在同一坐标系中的图像大致是（ ）
（第6题图） （第7题图）
8．面积为2的△ABC，一边长为x，这边上的高为y，则y与x的变化规律用图象表示大致是（）
（第8题图） （第9题图）
9、已知一次函数y1=kx+b与反比例函数y2= 在同一直角坐标系中的图象如图所示，则当y1＜y2时，x的取值范围是（）
19、如图，点A是反比例函数 图象上一点，AB⊥y轴于点B， 那么△AOB的面积是。
函数及其图象反比例函数反比例函数的图象和性质
反比例函数图像的变换规律
伸缩变换
当k值变化时，反比例函数的图像 会沿着x轴或y轴方向伸缩。当k增 大时，图像会向原点靠近；当k减 小时，图像会远离原点。
平移变换
当反比例函数沿x轴或y轴平移时 ，其图像也会相应地沿x轴或y轴 方向移动。
03
反比例函数的性质
反比例函数的单调性
递减性
当$k > 0$时，反比例函数在$(\infty,0)$和$(0,+\infty)$上单调递 减。
溶质溶解度
在溶质溶解度中，溶解度 与温度也成反比关系，即 温度越高，溶解度越低。
反比例函数在经济问题中的应用
供需关系
在市场经济中，供需关系 呈反比关系，即供应量越 大，需求量越小；反之亦 然。
货币流通速度
在货币流通中，货币流通 速度与货币供应量也成反 比关系，即货币供应量越 大，货币流通速度越慢。
热力学中的气体定律
在热力学中，气体的压强与体积也成反比关系，即压强越大，体积 越小。
反比例函数在化学问题中的应用
01
02
03
化学反应速率
在化学反应中，反应速率 与反应物的浓度成反比关 系，即浓度越高，反应速 率越快。
化学平衡
在化学平衡中，反应物的 转化率与反应温度成反比 关系，即温度越高，转化 率越低。
04
反比例函数的图像是双 曲线。
反比例函数的应用场景
在物理学中，反比例函数可以用来描述一些物理量之间的关系，例如电 流与电阻之间的关系可以表示为 $I = \frac{V}{R}$。
在化学中，反比例函数可以用来描述一些化学反应速率与反应物浓度之 间的关系。
在经济学中，反比例函数可以用来描述一些经济现象之间的关系，例如 需求与价格之间的关系可以表示为 $D = \frac{N \times P}{M}$。
2020-2021学年苏科版八年级下数学反比例函数的图像与性质练习含解析
反比例函数的图像与性质同步练习一．选择题1．若双曲线y＝图象的一个分支位于第四象限，则k的取值范围是（）A．k＜﹣1B．k＜1C．k＜0D．k≤02．如图，矩形ABCD的中心位于直角坐标系的坐标原点O，其面积为8，反比例函数y＝的图象经过点D，则m的值为（）A．2B．4C．6D．83．点（x1，y1）、（x2，y2）、（x3，y3）在反比例y＝﹣上，且x1＜0＜x2＜x3，则有（）A．y1＜y2＜y3B．y2＜y3＜y1C．y1＜y3＜y2D．y3＜y2＜y14．反比例函数y＝的图象经过点（2，1），则下列说法错误的是（）A．k＝2B．函数图象分布在第一、三象限C．y随x的增大而减小D．当x＞0时，y随x的增大而减小5．函数y＝和y＝﹣kx+k（k≠0）在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（）A．B．C．D．6．已知点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）都在反比例函数y＝（k≠0）的图象上，且x1＜x2＜x3（）A．若y3＜y1＜y2，则x1•x2•x3＜0B．若y1＜y3＜y2，则x1•x2•x3＜0C．若y2＜y3＜y1，则x1•x2•x3＞0D．若y2＜y1＜y3，则x1•x2•x3＜07．如图，AB⊥OA于点A，AB交反比例函数y＝（x＜0）的图象于点C，且AC：BC＝1：3，若S△AOB＝4，则k＝（）A．4B．﹣4C．2D．﹣28．如图，在△AOB中，S△AOB＝2，AB∥x轴，点A在反比例函数y＝的图象上，若点B 在反比例函数y＝的图象上，则k的值为（）A．﹣B．C．3D．﹣39．如图，直线y＝﹣x与双曲线y＝（k＜0，x＜0）交于点A，将直线y＝﹣x向上平移2个单位长度后，与y轴交于点C，与双曲线交于点B，若OA＝2BC，则k的值为（）A．B．﹣7C．D．10．如图，在等腰△AOB中，AO＝AB，顶点A为反比例函数（其中x＞0）图象上的一点，点B在x轴正半轴上，过点B作BC⊥OB，交反比例函数的图象于点C，连接OC交AB于点D，若，则△BCD的面积为（）A．B．6C．D．5二．填空题11．如果反比例函数y＝（k为正整数），在每个象限内，当自变量x的值逐渐增大时，y的值随着逐渐减小，那么正整数k的值为．12．如图，正方形ABCD的顶点C，D在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，顶点A，B 分别在x轴，y轴的正半轴上，则点C的坐标为．13．如图，点A，B在反比例函数y＝（k＞0）的图象上，线段AB分别交x轴、y轴于点C，D，AE⊥x轴于点E，BF⊥x轴于点F，若BF＝2AE，△ACE的面积是1，则k的值是．14．如图，在Rt△OAB中，∠OAB＝90°，∠B＝45°，点A，B恰巧都落在反比例函数y ＝的图象上，若点A的横坐标为1，则k的值为．15．如图，已知反比例函数y1＝，y2＝在第一象限的图象，过y2上任意一点P作x轴的垂线交y1于点A，交x轴于点B，过点P作y轴的垂线交y1于点C，交y轴于点D，连接AC，BD，则＝．三．解答题16．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点A（2，1），B（﹣1，n）两点．（1）求n的值；（2）连接OA和OB，则△OAB的面积为．17．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知矩形OABC的顶点O与坐标原点重合，顶点A，C分别在坐标轴上，顶点B的坐标为（4，2），反比例函数y＝（x＞0）的图象与AB，BC交于点M，N，直线MN与坐标轴交于D（0，3）和E（6，0）两点．（1）求直线MN的函数表达式和k的值；（2）求△BMN的面积．18．如图，一次函数y1＝k1x+b的图象与反比例函数y2＝的图象相交于A，B两点，其中点A的坐标为（1，2），点B的纵坐标为﹣1．（1）求这两个函数的表达式；（2）点C为反比例函数图象上的一点，且点C在点A的上方，当S△CAB＝S△AOB时，求点C的坐标．参考答案一．选择题1．解：∵双曲线y＝的图象的一支位于第四象限，∴k+1＜0，解得k＜﹣1．故选：A．2．解：∵矩形的中心为直角坐标系的原点O，∴矩形OCAD的面积是8，设D（x，y），则4xy＝8，xy＝2，反比例函数的解析式为y＝，∴m＝2．故选：A．3．解：∵k＜0，∴函数图象在二，四象限，由x1＜0＜x2＜x3可知，横坐标为x1的点在第二象限，横坐标为x2，x3的点在第四象限．∵第四象限内点的纵坐标总小于第二象限内点的纵坐标，∴y1最大，在第二象限内，y随x的增大而增大，∴y2＜y3＜y1．故选：B．4．解：∵反比例函数y＝的图象经过点（2，1），∴k＝2×1＝2，故说法A正确；∴该函数的图象在第一、三象限，故选项B正确；当x＞0时，y随x的增大而减小，故选项C错误、选项D正确；故选：C．5．解：当k＞0时，反比例函数的图象位于第一、三象限，一次函数的图象交y轴于正半轴，y随着x的增大而减小，B选项符合，A、C选项错误；当k＜0时，反比例函数的图象位于第二、四象限，一次函数的图象交y轴于负半轴，y 随着x的增大而增大，D错误；故选：B．6．解：A、∵y3＜y1＜y2，如果k＞0，y3最小，则有y1＞y2，不符合题意，如果k＜0，则有x1＜0，x2＜0，x3＞0，则x1•x2•x3＞0，本选项不正确，B、由题意当y1＜y3＜y2，函数图象如图所示，∴x1＜0，x2＞0．x3＞0，∴x1•x2•x3＜0，本选项正确．C、∵y2＜y3＜y1，如果k＞0，则x1＜0，x2＜0，x3＜0，则x1•x2•x3＜0，如果k＜0，则x1＜0，x2＞0，x3＞0，则x1•x2•x3＜0，本选项不正确．D、∵y2＜y1＜y3，如果k＞0，则x1＜0，x2＜0，x3＞0，则x1•x2•x3＞0，如果k＜0，不可能y2最小，故本选项错误，不符合题意；故选：B．7．解：连接OC，如图，∵AB⊥OA，AC：BC＝1：3，∴AC：AB＝1：4，∴S△AOC＝S△AOB＝1，而S△AOC＝|k|＝1，又∵k＜0，∴k＝﹣2．故选：D．8．解：设AB与y轴交于C，∵A在反比例函数y＝的图象上，AB∥x轴，∴OC•AC＝1，∴S△AOC＝OC•AC＝，∵S△AOB＝2，∴S△BOC＝，∴BC•OC＝，∴BC•OC＝3，∵点B在反比例函数y＝的图象上且B在第二象限，∴k＝﹣3，故选：D．9．解：分别过点A、B作AD⊥x轴于D，BE⊥x轴于E，CF⊥BE于F，设A（﹣4a，a）（a ＞0），∵OA＝2BC，BC∥OA，CF∥x轴，∴△BCF∽△AOD，∴CF＝OD＝2a，∵点B在直线y＝﹣x+2上，∴B（﹣2a，a+2），∵点A、B在双曲线y＝上，∴﹣4a•a＝﹣2a•（a+2），解得a＝，∴A点的坐标为（﹣，），∴k＝﹣×＝﹣．故选：A．10．解：过点A作AH⊥x轴于点H，AH交OC于点E，∵OA＝AB，AH⊥OB，∴2OH＝2BH＝OB＝8，OH＝BH＝4，∵OA＝4＝，∴AH＝12，∵A（4，12），∴k＝4×12＝48，∴，∵OB＝6，∴C（8，6），∵AH⊥x轴，BC⊥x轴，∴AH∥BC，由平行线分线段成比例得：，OE＝CE，，∴EH＝3，AE＝AH﹣EH＝9，，设CD＝2x，则DE＝3x，CE＝OE＝5x，OC＝10x．∴，所以三角形BCD的面积．故选：C．二．填空题11．解：∵反比例函数y＝（k为正整数），在每个象限内，当自变量x的值逐渐增大时，y的值随着逐渐减小，∴2﹣k＞0，解得k＜2，而k为正整数，∴k＝1，故答案为：1．12．解：如图，过点C作CE⊥y轴于E，过点D做DF⊥x轴于F，设C（a，），则CE＝a，OE＝，∵四边形ABCD为正方形，∴BC＝AB＝AD，∵∠BEC＝∠AOB＝∠AFD＝90°，∴∠EBC+∠OBA＝90°，∠ECB+∠EBC＝90°，∴∠ECB＝∠OBA，同理可得：∠DAF＝∠OBA，∴Rt△BEC≌Rt△AOB≌Rt△DF A（AAS），∴OB＝EC＝AF＝a，∴OA＝BE＝FD＝﹣a，∴OF＝a+﹣a＝，∴点D的坐标为（，﹣a），把点D的坐标代入y＝（x＞0），得到（﹣a）＝2，解得a＝﹣1（舍），或a＝1，∴点C的坐标为（1，2），故答案为：（1，2）．13．解：连接OA、OB，∵AE⊥x轴于点E，BF⊥x轴于点F，∠ACE＝∠BCF，∴△ACE∽△BCF，∴，∴S△BCF＝4．设△AOC的面积是a，则△BOC的面积是2a，根据反比例函数中k的几何意义可得：S△AOE＝S△BOF，∴4﹣2a＝1+a，解得a＝1，∴△AOE的面积是1+1＝2，所以k＝4．故答案为：4．14．解：过点B作BM⊥y轴于点M，过点A作AN⊥x轴于点N，并延长MB，NA交于一点P，∴四边形MONP是矩形，由点A的横坐标为1，则A点坐标为：（1，k），在Rt△OAB中，∠OAB＝90°，∠B＝45°，∴△OAB是等腰直角三角形，∴AB＝AO，∵∠OAB＝90°，∴∠BAP+∠OAN＝90°，∵∠AON+∠OAN＝90°，∴∠BAP＝∠AON，在△AON和△BAP中，，∴△AON≌△BAP（AAS），∴AP＝NO＝1，PB＝AN＝k，∴MB＝1﹣k，∴B（1﹣k，1+k），∵B在反比例函数y＝的图象上，∴k＝（1﹣k）（1+k），即k2﹣k﹣1＝0，解得：k1＝，k2＝（不合题意舍去）．故答案为．15．解：设点P的坐标为（m，），则C（，），D（0，），A（m，），B（m，0），∴PC＝m﹣＝m，PD＝m，P A＝﹣＝，PB＝，∴＝，＝，∴＝＝，又∵∠P＝∠P，∴△P AC∽△PBD，∴＝（）2＝（）2＝，故答案为：．三．解答题16．解：（1）设反比例函数的解析式为．把A（2，1）代入中，得．∴k＝2．∴，把B（﹣1，n）代入中，得．（2）设一次函数的解析式是y＝ax+b，把A（2，1），B（﹣1，﹣2）代入得：，解得：，∴y＝x﹣1，设AB交x轴于C，当y＝0时，0＝x﹣1，∴x＝1，∴C（1，0），∴OC＝1，∴S△AOB＝S△AOC+S△BOC＝×1×1+×1×2＝1.5，故答案为：1.5．17．解：（1）设直线MN的解析式是y＝kx+b，把D、E的坐标代入得：，解得：，∴直线MN的解析式是：y＝﹣x+3，∵矩形AOCB，B（4，2），∴把y＝2代入y＝﹣x+3得：x＝2，∴M的坐标是（2，2）．∵反比例函数y＝（x＞0）经过点M，∴k＝2×2＝4，即反比例函数的解析式是y＝；（2）∵B（4，2），∴把x＝4代入y＝﹣x+3得：y＝1，∴N的坐标是（4，1），∴BN＝2﹣1＝1，∵M（2，2），∴BM＝4﹣2＝2，∴S△BMN＝＝1．18．解：（1）把点A（1，2）代入反比例函数y2＝得，k2＝1×2＝2，∴反比例函数的解析式为y2＝，将y＝﹣1代入y2＝得，﹣1＝，交点x＝﹣2，∴B（﹣2，﹣1），将A、B的坐标代入y1＝k1x+b得，解得，∴一次函数的解析式为y1＝x+1；（2）∵y1＝x+1，∴直线与y轴的交点为（0，1），∵点C为反比例函数图象上的一点，且点C在点A的上方，S△CAB＝S△AOB，∴点C就是直线y＝x+1向上平移1个单位后与反比例函数的交点，将直线y＝x+1向上平移1个单位后得到y＝x+2，解得或，∴C点的坐标为（﹣1+，1+）．。
反比例函数的图象与性质
第17讲 反比例函数的图象与性质考点·方法·破译1．反比例函数的定义：形如k y x=（或1y kx -=，k ≠0）,y 叫做x 的反比例函数. 2．反比例函数的图象特征：反比例函数的图象是双曲线，关于y ＝x 或y ＝－x 轴对称，关于原点O 成中心对称，当k ＞0时，图象的两支分别在第一、三象限，当k ＜0时，图象的两支分别在第二、四象限，3．反比例函数的性质：当k ＞0时，在每个象限内，y 随x 增大而减小；当k ＜0时，在每个象限内，y 随x 增大而增大.经典·考题·赏析【例１】（西宁）已知函数ky x=-中，x ＞0时，y 随x 增大而增大，则y ＝kx －k 的大致图象为（ ）k ＞0，而一 次A 01．已知反比例函数a y x=（a ≠0）的图象，在每一象限内，y 的值随着x 值增大而减小，则一次函数y ＝－ax ＋a 的图象不经过（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 02．（龙岩）函数y ＝x ＋m 与my x=（m ≠0）在同一象限内的图象可以是（ 03（2，y 1随着x 其中正确结论的序号是 . 【例2】如图，A 、B 分别是反比例函数10y x =，6y x=图象上的点，过点A 、B 作x 轴的垂线，垂足分别为C 、D ，连接OB 、OA ，OA 交BD于E 点，△BOE 的面积为S 1，四边形ACDE 的面积为S 2，则S 2－S 1＝ .ABCDABC D【解法指导】在反比例函数kyx=中，k的几何意义为：中122121106()()22222ODE OBEk kS S S S S S∆∆-=+-+=-=-=【变式题组】01．（宁波）如图，正方形ABOC的边长为2，反比例函数kyx=过点A，则k的值是（）A．2 B．－2 C．4 D．－402．（兰州）如图，在直角坐标系中，点A是x轴正半轴上的一个定点，点B是双曲线3yx=（x＞0）上的一个动点，当点B的横坐标逐渐增大时，△OAB的面积将会（）A．逐渐增大B．不变C．逐渐减小D．先增大后减小03．（牡丹江）如图，点A、B是双曲线3yx=上的点，分经过A、B两点向x轴、y轴作垂线，若S阴影＝1，则S1＋S2＝.04．（河池）如图，A、B是函数2yx=的图象上关于原点对称的任意两点，BC∥x轴，AC∥y 轴，△ABC的面积记为S，则（）A．S＝2 B．S＝4 C．2＜S＜4 D．S＞405．（泰安）如图，双曲线kyx=（k＞0）经过矩形OABC的边BC的中点E，交AB于点D，若梯形ODBC的面积为3，则双曲线的解析式为（）A．1yx=B．2yx=C．3yx=D．6yx=【例3】（成都）如图，一次函数y＝kx＋b的图象与反比例函数myx=的图象交于点A（－2，1），B（1，n）两点⑴试确定上述反比例函数和一次函数的表达式；第1题图第2题图第3题图第4题图第5题图⑵求△AOB 的面积.【解法指导】利用割补法求图形面积.解：⑴∵点A （－2，1）在反比例函数my x=的图象上， ∴m ＝(－2)×1＝－2，∴反比例函数的表达式为2y x=-.∵点 B （1，n ）也在反比例函数2y x=-图象上，∴n ＝－2，即B （1，－2）把点A （－2，1）点B （1，－2）代入一次函数y ＝kx ＋b 中，得212k b k b -+=⎧⎨+=-⎩ 解得11k b =-⎧⎨=-⎩ ∴一次函数的表达式为y ＝－x －1． ⑵在y ＝－x －1中，当y ＝0时，得x ＝－1，∴直线y ＝－x －1与x 轴的交点为C （－1，0），∵线段OC 将△AOB 分成△AOC 和△BOC ，∴1113111212222AOB AOC BOC S S S ∆∆∆=+=⨯⨯+⨯⨯=+=.【变式题组】01．（徐州）如图，已知A (n ,－2),B (1,4)是一次函数y ＝kx ＋b 的图象和反比例函数my x=的图象的两个交点，直线AB 与y 轴交于点C ．⑴求反比例函数和一次函数的关系式； ⑵求△AOC 的面积； ⑶求不等式kx ＋b mx-＜0的解集（直接写出答案）02．已知反比例函数112k y x=的图象与一次函数22y k x b =+的图象交于A 、B 点，A (1，n )，B (12-，－2). ⑴求两函数的解析式；⑵在x 轴上是否存在点P ，使△AOP 为等腰三角形？若存在，请你直接写出P 点的坐标；若不存在，说明理由. ⑶求AOB △S ；⑷若y 1＞y 2，求x 的取值范围.03．如图，A 是反比例函数1ky x=（x ＞0）上一点，AB ⊥x 轴，C 是OB 的中点，一次函数y 2＝ax ＋b 的图象经过点A 、C 两点，并交y 轴为D （0，－2），AOD S ∆＝4. ⑴求两函数的解析式；⑵在y 轴右侧，若y 1＞y 2时，求x 的取值范围.04．如图，Rt △ABO 的顶点A 是双曲线ky x=与直线y ＝－x －(k ＋1)在第二象限的交点，AB ⊥x 轴于B ，32ABO S ∆=. ⑴求这两个函数的解析式； ⑵求A 、C 两点的坐标；⑶若P 是y 轴上一动点，5PAC S ∆=，求点P 的坐标.【例4】（咸宁）两个反比例函数k y x =和1y x=在第一象限内的图象如图所示，点P 在k y x =的图象上，PC ⊥x 轴于点C ，交1y x =的图象于点A ，PD ⊥y 轴于点D ，交1y x=的图象于点B ，当点P 在ky x=的图象上运动时，以下结论：①△ODB 与△OCA 的面积相等；②四边形PAOB 的面积不会发生变化；③PA 与PB 始终相等；④当点A 是PC 的中点时，点B 一定是PD 的中点.其中一定正确的是 （把你认为正确的序号都填上）【解法指导】∵A 、B 两点在1y x=的图象上，根 据反比例函数ky x=中k 的几何意义可知12ODB OAC S S ∆∆==，因而①正确；∵1ODB OAC PDOC PAOB S S S S k ∆∆=--=-矩形四边形，当k 不变时，若P 变动，而四边形PAOB 的面积不变．因1x =而是②正确；若设P （t ,k t ），则A （t ,1t），B （,t k k t ），∴PA ＝11k k t t t --=，PB ＝t t k -.若PA ＝PB ，则有1(1)k t k t k--=.∵k ≠1,∴2t k =,∵t ＞0,t =,∴当P时，有PA ＝PB ，并不是PA 与PB 始终相等，因而③不正确；当A 为PC 的中点时，OAC OPA OBD S S S ∆∆∆==，OPC ODP S S ∆∆=，∴ODB OPB S S ∆∆=，∴DB ＝PB ，因而④正确；故填①，②．④.【变式题组】01．（武汉）如图，已知双曲线ky x=（k ＞0）经过矩形OABC 的边AB 的中点F ，交BC 于点E ，且四边形OEBF 的面积为2，则k ＝ . 02．如图，矩形ABCD 对角线BD 中点E 与A 都在反比例函数ky x=的图象上，且3ABCD S =矩形，则k ＝ .03．如图，P 为x 轴正半轴上一点，过点P 作x 轴的垂线，交函数1y x =（x ＞0）的图象于点A ，交函数4y x=（x ＞0）的图象于点B ，过点B 作x 轴的平行线，交1y x=（x ＞0）于点C ，连接AC ，当点P 的坐标为（t ，0）时，△ABC 的面积是否随t 的变化而变化？ 04．函数2y x =（x ＞0）与8y x=（x ＞0）的图象如图所示，直线x ＝ t （t ＞0）分别与两个函数图象交于A 、C 两点，经过A 、C 分别作x 轴的平行线，交两个函数图象于B 、D两点，探索线段AB 与CD 的比值是否与t 有关，请说明理由.第1题图第3题图05．如图，梯形AOBC的顶点A、C有反比例函数的图象上，OA∥BC，上底OA在直线y＝x上，下底BC交x轴于E（2，0），求四边形AOEC的面积.演练巩固·反馈提高01．（恩施自治州）如图，一次函数y1＝x－1与反比例函数22yx=的图象点A（2，1）、B （－1，－2），则使y1＞y2的x的取值范围是（）A．x＞2 B．x＞2或－1＜x＜0C．－1＜x＜2 D．x＞2或x＜－102．（常州）若反比例函数1kyx-=的图象在其每个象限内，y随x的增大而减小，则k的值可以是（）A．－1 B．3 C．0 D．－303．（荆州）如图，直线l是经过点（1，0）且与y轴平行的直线，Rt△ABC中直角边AC＝4，BC＝3，将BC边在直线l上滑动，使A、B在函数kyx=的图象上，那么k的值是（）A．3 B．6 C．12 D．15 404．（丽水）点P在反比例函数1yx=（x＞0）的图象上，且横坐标为2，若将点P先向右第4题图平移两个单位，再向上平移一个单位后所得点为P /，则在第一象限内，经过点P /的反比例函数图象的解析式是（ ） A ． 5y x =-（x ＞0） B ． 5y x =（x ＞0） C ． 6y x =-（x ＞0） D ． 6y x=（x ＞0）05．（铁岭）如图所示，反比例函数y 1与正比例函数y 2的图象的一个交点坐标是A （2，1），若y 2＞y 1＞0，则x 的取值范围在数轴上表示为（ ）06．（泰安）函数1y x x=+图象如图所示，下列对该函数性质的论断不可能正确的是（ ） A ．该函数的图象是中心对称图形 B ．当x ＞0时，该函数在x ＝1时取得上值2C ．在每个象限内，y 随x 的增大而减小D ． y 的值不可能为1 07．（芜湖）在平面直角坐标系xOy 中，直线y ＝x 向上平移一个单位长度得到直线l , 直线l与反比例函数ky x=的图象的一个交点为A （a ,2）则k 的值等于 . 08．（广安）如图，在反比例函数4y x=-（x ＞0）的图象上有三点P 1、P 2、P 3，它们的横坐标依次为1，2，3，分别过这3个点作x 轴、y 轴的垂线，设斩中阴影部分的面积依次为S 1、S 2、S 3，则S 1＋S 2＋S 3＝ .09．（十堰）已知函数y ＝－x ＋1的图象与x 轴、y 轴分别交于点C 、B ，与双曲线ky x=交于点A 、D ，若AB ＋CD ＝BC ，则k 的值为 . 10．（遵义）如图，在平面直角坐标系中，函数ky x=（x ＞0，常数k ＞0）的图象经过点A （1，2），B （m ,n ）,(m ＞1),过点B 作y 轴的垂线，垂足为C ，若△ABC 的面积为2，则点B 的坐标为 .11．如图，点P 的坐标为（2，32），过点P 作x 轴的平行线交y 01 2 0 1 2 0 1 2 0 1 2 A B CD y x A (2,1) 0 1 2 1 Y 1 Y 2第5题图B l C1 O yx A 第3题图y x 0 1 －2 －1 第6题图2 y x0 1 2 3 第8题图P 1 P 2 P 3轴于点A，交双曲线kyx=（x＞0）于点N，作PM⊥AN，交双曲线于kyx=（x＞0）于点M．连接AM，已知PN＝4，⑴求k的值；⑵求△APM的面积.12．如图，反比例函数kyx=的图象与直线y＝x＋m在第一象限交于点P（6，2），A、B为直线上的两点，点A的横坐标为2，点B的横坐标3，D、C 为反比例函数图象上的两点，且AD、BC平行于y轴，⑴直接写出k、m的值；⑵求梯形ABCD的面积.13．如图，已知双曲线kyx=（x＞0）经过Rt△OAB斜边的中点D，与直角边AB相交于点C，若△OBC的面积为3，求k的值.14．如图，Rt△ABC的直角边BC在x轴的正半轴上，斜边AC边上的中线BD反向延长交y轴负半轴于E，双曲线kyx=（x＞0）的图象经过点A，若BECS∆＝8，求k的值.15．如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，BC所在直线的解析式为42033y x=-+，AC＝3，若AB的D在双曲线ayx=（x＞0）上，将三角形向左平移，当点B 落在双曲线上时，求三角形平移的距离.16．（荆州）如图，D 为反比例函数ky x=（k ＜0）图象上一点，过D 作DC ⊥y 轴于C ，DE ⊥x 轴于E ，一次函数y x m =-+与323y x =-+的图象都经过点C ，与x 轴分别交于A 、B 两点，若梯形DCAE 有面积为4，求k 的值.17．（四川广安）如图，一次函数y kx b =+的图象与反比例函数my x=的图象相交于点A （－1，2）、点B （－4，n ）⑴求一次函数和反比例函数的解析式； ⑵求△AOB 的面积.培优升级·奥赛检测01．如图，直线l 与反比例函数m y x =与ny x=（m ＞n ＞0）的图象分别交于点A 、B ，且直线l ∥x 轴，连接PA 、PB ，小芳与小丽同学针对△PAB 面积的讨论，有以下两种意见：小芳：点P 在x 轴上移动时，△PAB 的面积总保持不变； 小丽：当直线l 上下平移时，△PAB 的面积总保持不变； 那么，你认为她们的说法中（ ）A ．只有小芳正确B ．只有小丽正确C ．两人都正确D ．两人都不正确02．（南昌市八年级竞赛题）在函数21a y x+=-（a 为常数）的图象上有三点：（－1，y 1）,(21,4y -),( 31,2y )则函数值y 1、y 2、y 3的大小关系是（ ）A．y1＜y2＜y3B．y3＜y2＜y1C．y3＜y1＜y2D．y2＜y1＜y3 03．（济南）如图，等腰直角三角形ABC位于第一象限，AB＝AC＝2，直角顶点A在直线y ＝x上，其中A点的横坐标为1，且两条直角边AB、AC分别平行于x轴、y轴，若双曲线kyx=（k≠0）与△ABC有交点，则k的取值范围是（）A．1＜k＜2 B．1≤k≤3 C．1≤k≤4 D．1≤k＜404．（第十八届“希望杯”初二）直线l交反比例函数3yx=的图象于点A，交x轴于点B，点A、B与坐标原点O构等边三角形，则直线l的函数解析式为05．（成都）如图，正方形OABC的面积是4，点B在反比例函数kyx=（k＞0，x＜0）的图象上，若点R是该反比例函数图象上异于点B的任意一点，过点R分别作x轴、y轴的垂线，垂足为M、N，从矩形OMRN的面积中减去其与正方形OABC重合部分的面积，记剩余部分的面积为S，则当S＝m（m为常数，且0＜m＜4）时，点R的坐标是.（用含m的代数式表示）06．如图，已知直线12y x=与双曲线kyx=（k＞0）交于A点，且点A的横坐标为4，若双曲线kyx=（k＞0）上一点B的纵坐标为8，求△AOB的面积.07．（北京）如图，A、B两点在函数myx=（x＞0）的图象上，⑴求m的值及直线AB的解析式；⑵如果一个点的横、纵坐标均为整数，那么我们称这个点是格点，请直接写出图中阴影部分（不包括边界）所含格点的个数.08．（温州）如图，在平面直角坐标系中，直线AB与y轴和x轴分别交于点A、点B，与反比例函数myx=在第一象限的图象交于点C（1，6）点D（3，n）.过点C作CE⊥y轴于E，过点D作DF⊥x轴于点F，⑴求m、n的值；⑵求直线AB的函数解析式；⑶求证：△AEC≌△DFB．09．如图，已知正方形OABC的面积为9，点O为坐标原点，点A在x轴上，点C在y轴上，点B在函数kyx=（k＞0，x＞0）的图象上，点P（m，n）是函数kyx=（k＞0，x＞0）的图象上的任意一点，过点P作x轴、y轴的垂线，垂足分别为E、F，并设在矩形OEPF 中和正方形OABC不重合的部分面积为S.⑴求点B的坐标和k的值；⑵当92S=时，求点P的坐标；⑶写出S关于m的函数关系式.。
湘教版九年级数学上册作业课件 第1章 反比例函数 第3课时 反比例函数
解：(1)设反比例函数表达式为 y＝kx ，由题意，得 k＝xy ＝2×3＝6，∴反比例函数的表达式为 y＝6x
(2)设 B 点坐标为(a，b)，如图，作 AD⊥BC 于 D，则 D(2，b)，∵反比例函数 y＝6x 的图象经过点 B(a，b)，∴b＝6a ，∴AD＝3－a6 .∴S△ABC＝21 BC·AD＝12 a(3－a6 ) ＝6，解得 a＝6，
知识点 2 反比例函数比例系数 k 的几何意义
4．(2019·赤峰)如图，点 P 是反比例函数 y＝kx (k≠0)的图象上任意一点，过点 P 作 PM⊥x 轴， 垂足为 M.若△ POM 的面积等于 2，则 k 的值等 于( A ) A．－4 B．4 C．－2 D．2
第4题图
5．(2019·兰州)如图，矩形 OABC 的顶点 B 在反比例函数 y＝kx (k＞0)
14．(2019·天水)如图，一次函数 y＝kx＋b 与反 比例函数 y＝4x 的图象交于 A(m，4)，B(2，n) 两点，与坐标轴分别交于 M，N 两点． (1)求一次函数的表达式； (2)根据图象直接写出 kx＋b－4x ＞0 中 x 的取值 范围； (3)求△ AOB 的面积．
解：(1)∵点 A 在反比例函数 y＝4x 上，∴m4 ＝4，解得 m＝1，∴点 A 的坐标为 (1，4)，又∵点 B 也在反比例函数 y＝4x 上，∴24 ＝n，解得 n＝2，∴点 B 的坐标
坐标系中的图象可能是( D )
11．(2019·江西)已知正比例函数 y1 的图象与反比例函
数 y2的图象相交于点 A(2，4)，下列说法正确的是( C )
A．反比例函数 y2 的表达式是 y2＝－8x B．两个函数图象的另一交点坐标为(2，－4) C．当 x＜－2 或 0＜x＜2 时，y1＜y2 D．正比例函数 y1 与反比例函数 y2 都随 x 的增大而增 大
反比例函数的图象与性质2-2
2、如图RtΔAOB的顶点A是直线 y=x+3m 与 m 双曲线 y 在第一象限的交点，且SΔAOB =3。 x y （1）求m的值； （2）求ΔACB的面积。
A
COB来自x1、反比例函数图象和性质； 2、进一步体会数形结合的数学思想；
3、进一步体会变量之间的关系，并用于实 际的解题中。
问题3：画出函数的图象；
k 已知反比例函数 y 的图象经过点A（2,-4）. x
问题4：点B（1/2，-16）、C（-3，5）在这个 函数的图象上吗？ 1 8 （4）把x= 代入y=- ,得y=-16. 2 x 1 8 所以点B（ ， ）在函数y=- 的图象上. -16 2 x 8 8 8 把x=-3代入y=- ，得y= .因为 5， x 3 3 8 所以点C（-3，）不在函数y=- 的图象上. 5 x
图象在一、三象限； 在每一象限内，y 随x的增大而减少.
4 3 1 y ,y ,y x x x
图象在二、四象限； 在每一象限内，y 随x的增大而增大.
通过对上述图象的观察，完成下列表格：
形状 双曲线 所在象限 一、三象限 增减性（在每 随x的增大 一象限内） 而减少 即是轴对称， 对称性 又是中心对称 与x、y轴 不相交 是否相交
k 一次函数y=kx-k与反比例函数 y 在同一直角 x 坐标系内的图象大致是 （ ）
C
A
B
C
D
先假设某个函数图象已经画好，再确 定另外的是否符合条件.
1、分别举出具有下列特征的反比例函数： 2、如图，P1、P2、P3是双曲线上的三点， （1）图象分布在第一、三象限； 过这三点分别作y轴的垂线，得到三个三角形 （2）图象在每一个象限内，y随x的增大而增大. △P1A1O、△ P2A2O、 △ P3A3O，设他们的 面积分别是S1、S2、S3.则 （ D ）
九上数学 第27讲 第六章 6.2反比例函数性质和图像
第27讲 《反比例函数》培优训练6.2 反比例函数图像和性质【基础知识精讲】反比例函数y=kx （k ≠0）中k 的几何意义： 过函数 y=kx（k ≠0）的图像上任一点),(y x p 作PM ⊥x 轴，PN ⊥y 轴，所得矩形PMON 的面积S=∣xy ∣=∣k ∣；所得△POM 的面积S=21∣k ∣。
【例题巧解点拨】例1．正比例函数y=x 与反比例函数y=1x的图象相交于A 、C 两点，AB ⊥x 轴于B ，CD •⊥x 轴于D ，如图1所示，则四边形ABCD 为_______．图1 图2 图3练习：如图2，P 是反比例函数图象在第二象限上的一点，且矩形PEOF 的面积为8，则反比例函数的表达式是_____________________．例2.如图3，两个反比例函数y=3x ，y=6x在第一象限内的图象如图所示，点P 1，P 2，P 3……P 2018，在反比例函数y=6x的图象上，它们的横坐标分别是x 1，x 2，x 3，…x 2018，纵坐标分别是1，3，•5•……，•共2018个连续奇数，过点P 1，P 2，P 3，…，P 2018分别作y 轴的平行线与y=3x的图象交点依次是Q 1（x 1，y 1），Q 2（x 2，y 2），Q 3（x 3，y 3），…，Q 2018（x 2018，y 2018），则y 2018=________．练习：1、如图：函数y=-kx （k ≠0）与y=-4x的图象交于A 、 B 两点，过点A 作AC ⊥y 轴，•垂足为点C ，则△BOC 的面积为________．2、如图，正比例函数y=3x 的图象与反比例函数y=kx（k>0）的图象交于点A ，若 取k 为1，2，3，…，20，对应的Rt △AOB 的面积分别为S 1，S 2，…，S 20，则S 1+S 2+…+S 20=_________．例3．如图所示,直线122y x =+分别交x 轴、y 轴于A ，C 两点，P 是该直线上在第一象 限内的一 点，PB ⊥x 轴于B ，9ABPS =.(1)求P 点坐标; (2)双曲线ky x=经过点P ，能否在双曲线上PB 的右侧求作一点R ，作RT ⊥x 轴于T ，使△BRT 与△AOC 相似? 如能，求出点R 坐标；若不能，说明理由。
反比例函数的图象及其性质
(1) y 3 x
3 K<0 图象经过2、4象 (2) y 限，此时y随x的增大
x 而减小。
1、反比例函数的图象分布在哪些象限？ 是由什么决定的？
图象
分析 2、在反比例函数的图 象中y随 x的变化
而出现了怎样的变化？
课堂随练
1、反比例函数 y 3 的图象在
象
x
————
限，在每个象限内y随x的增大而 ——————
活动1
在直角坐标系中画出下列函数的图象
(1) y 6 (2) y 6
x
x
结果 猜想
反比例函数的图象的形状是：双曲线
x … -6 -3 -2 -1 1 2 3 6
… y1
-1 -2 -3 -6 6 3 2 1
… y2
1 2 3 6 -6 -3 -2 -1
活动2
K>0 图象经过1、3象
在直角坐标系中画出下列函数的图限 而象增，大此。时y随x的增大
2、反比例函数 y m 2的图象在2、4象
x
限，则m的取值范围是 ——————
3、反比例函数 y - k2 1 的图象分布在
x
————
象限。
课堂随练
4、在反比例函数
y
3 2x
的图象中，当
x<0时，y随x 的增大，这部分图象 ———
在 象限。 ————
5、若反比例函数
y
k x
(k
0) 的图象上有两点
A(x1, y1) ，B(x2 , y2 ) ，且 x1 x2 0 则 y1 y2 —— 0。
6、点
(3, y1)
，(2, y2 )
，(2, y2 )
在函数
y
湘教版数学九年级上册_课时作业：第3课时_反比例函数y=k÷x(k≠0)的图象与性质
1.2 第3课时 反比例函数y ＝kx (k ≠0)的图象与性质一、选择题1．如图K －4－1，反比例函数y ＝kx的图象可能是( )图K －4－12．下列关于反比例函数y ＝k －1x的说法，不正确的是 ( ) A ．该反比例函数的图象与坐标轴无交点B ．当k ＞0时，该反比例函数的图象在第一、三象限C ．如果该反比例函数的图象过点(1，3)，那么也一定过点(－1，－3)D ．当在每一象限内，y 随x 的增大而减小时，k ＞13．已知反比例函数y ＝6x ，当1＜x ＜3时，y 的取值范围是( )A ．0＜y ＜1B ．1＜y ＜2C ．2＜y ＜6D ．y ＞64．如图K －4－2，在平面直角坐标系中，P 是反比例函数y ＝kx (x ＞0)图象上的一点，过点P 作P A ⊥x 轴于点A ，PB ⊥y 轴于点B .若四边形OAPB 的面积为3，则k 的值为( )图K －4－2A ．3B ．－3 C.32 D ．－325．如果k ＜0，那么函数y ＝(1－k )x 与y ＝ kx在同一坐标系中的图象可能是( )图K －4－36．一次函数y ＝kx ＋b (k ≠0)的图象经过A (－1，－4)，B (2，2)两点，P 为反比例函数y ＝kbx图象上一动点，O 为坐标原点，过点P 作y 轴的垂线，垂足为C ，则△PCO 的面积为( ) A ．2 B ．4 C ．8 D ．不确定二、填空题7．如图K －4－4，反比例函数y ＝kx 的图象经过点A (2，1)．若y ≤1，则x 的取值范围是____________．图K －4－48．已知一次函数y ＝x ＋1的图象与反比例函数y ＝kx 的图象相交，其中有一个交点的横坐标是2，则k 的值为________.9．设函数y ＝3x 与y ＝－2x －6的图象的交点坐标为(a ，b )，则1a ＋2b 的值是________．10．如图K －4－5，在平面直角坐标系中，M 为x 轴正半轴上一点，过点M 的直线l ∥y 轴，且直线l 与反比例函数y ＝8x (x >0)和y ＝kx(x >0)的图象分别交于点P ，Q .若S △POQ ＝14，则k 的值为________．图K －4－5 图K －4－611．函数y 1＝x (x ≥0)，y 2＝4x (x ＞0)的图象如图K －4－6所示，由有下列结论：①两函数图象的交点A 的坐标为(2，2)；②当x ＞2时，y 2＞y 1；③当x ＝1时，BC ＝3；④当x 逐渐增大时，y 1随着x 的增大而增大，y 2随着x 的增大而减小．其中正确结论的序号是________．三、解答题12．如图K －4－7，反比例函数y 1＝mx (x >0)的图象与一次函数y 2＝－x ＋b (x >0)的图象交于点A ，B ，其中A (1，2)．(1)求m ，b 的值；(2)若点B 的坐标为(2，y B )，求y B 的值，并写出y 2>y 1时，x 的取值范围.图K －4－713．如图K －4－8，一次函数y ＝kx ＋b (k ≠0)的图象与反比例函数y ＝ax (a ≠0)的图象在第二象限交于点A (m ，2)，与x 轴交于点C (－1，0)，过点A 作AB ⊥x 轴于点B ，△ABC 的面积是3.(1)求一次函数和反比例函数的表达式；(2)若直线AC 与y 轴交于点D ，求△ABD 的面积．图K －4－814．反比例函数y ＝kx (k 为常数，且k ≠0)的图象经过点A (1，3)，B (3，m )．(1)求反比例函数的表达式及点B 的坐标；(2)在x 轴上找一点P ，使P A ＋PB 的值最小，求满足条件的点P 的坐标．图K －4－9新定义问题：在平面直角坐标系中，我们不妨把纵坐标是横坐标的2倍的点称之为“倍点”，例如点(－2，－4)，(1，2)，(3，6)……都是“倍点”，显然这样的“倍点”有无数多个．(1)若点M (2，a )是反比例函数y ＝kx 的图象上的“倍点”，求这个反比例函数的表达式．(2)对于一次函数y ＝3mx －1的图象上是否存在“倍点”，嘉琪说：“当m ＝23时，函数图象上不存在‘倍点’，当m ≠23时，函数图象上存在‘倍点’．”你认为她的说法正确吗？如果正确，请求出存在的“倍点”；如果不正确，请说明理由．详解详析[课堂达标]1．[解析] D A ．∵反比例函数的图象在第一、三象限或第二、四象限，∴选项A 不符合题意．B .k ＝－2×6＝－12，k ＝4×(－2)＝－8.∵－12≠－8，∴选项B 不符合题意．C .k ＝4×2＝8，k ＝－2×(－2)＝4.∵8≠4，∴选项C 不符合题意．D .k ＝4×2＝8，k ＝－2×(－4)＝8.∵8＝8，∴选项D 符合题意．故选D .2．[解析] B A ．反比例函数的图象与坐标轴无交点，正确，不符合题意；B .当k －1＞0，即k ＞1时，该反比例函数的图象在第一、三象限，故错误，符合题意；C .如果该反比例函数的图象过点(1，3)，那么也一定过点(－1，－3)，正确，不符合题意；D .当在每一象限内，y 随x 的增大而减小时，k －1>0，k ＞1，正确，不符合题意．故选B .3．[解析] C ∵k ＝6＞0，∴在每个象限内，y 随x 的增大而减小．又∵当x ＝1时，y ＝6，当x ＝3时，y ＝2，∴当1＜x ＜3时，2＜y ＜6.故选C . 4．[答案] A 5．[答案] C6．[解析] A 将A(－1，－4)，B(2，2)代入一次函数表达式，得⎩⎨⎧－k ＋b ＝－4，2k ＋b ＝2，解得⎩⎨⎧k ＝2，b ＝－2，∴反比例函数的表达式为y ＝－4x .∵P 为反比例函数y ＝kbx 图象上一动点，O 为坐标原点，过点P 作y 轴的垂线，垂足为C ，∴△PCO 的面积为12|k|＝2.故选A .7．[答案] x≥2或x ＜0 8．[答案] 6[解析] 把x ＝2代入y ＝x ＋1，得y ＝3，∴这个交点的坐标为(2，3)．把(2，3)代入y ＝kx ，得k ＝6.9．[答案] －2 10．[答案] －20[解析] ∵S △POQ ＝S △OMQ ＋S △OMP ，∴12|k|＋12×|8|＝14，∴|k|＝20.由函数y ＝kx 的图象可知k<0，∴k ＝－20.11．[答案] ①③④[解析] ①将y 1＝x(x≥0)，y 2＝4x(x ＞0)组成方程组，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，y ＝4x ，由于x ＞0，解得x ＝2，y ＝2，故点A 的坐标为(2，2)．②由图可知，当x ＞2时，y 1＞y 2.③当x ＝1时，y 1＝1，y 2＝4，则BC ＝4－1＝3.④当x 逐渐增大时，y 1随着x 的增大而增大，y 2随着x 的增大而减小．综上，正确的结论为①③④.12．解：(1)∵反比例函数y 1＝m x (x>0)的图象过点A(1，2)，∴2＝m1，解得m ＝2.∵一次函数y 2＝－x ＋b(x>0)的图象过点A(1，2)，∴2＝－1＋b ，解得b ＝3. (2)将点B 的横坐标2代入y ＝2x ，得y B ＝1，∴点B 的坐标为(2，1)．根据图象可得，当1<x<2时，y 2>y 1.13．解：(1)∵一次函数y ＝kx ＋b(k≠0)的图象与反比例函数y ＝ax (a≠0)的图象在第二象限交于点A(m ，2)，与x 轴交于点C(－1，0)，∴点A(a 2，2)．∵△ABC 的面积是3，∴3＝12·AB·BC.即3＝12×2×(－1－a 2)，解得a ＝－8，∴反比例函数的表达式为y ＝－8x.∴A(－4，2)．把A(－4，2)，C(－1，0)代入y ＝kx ＋b ，得⎩⎨⎧2＝－4k ＋b ，0＝－k ＋b ，解得⎩⎨⎧k ＝－23，b ＝－23，∴一次函数的表达式为y ＝－23x －23.(2)∵直线AC 与y 轴交于点D ，当x ＝0时，y ＝－23×0－23＝－23，∴D(0，－23)，∴OD ＝23.∴S △ABD ＝S △BCA ＋S △BCD ＝12·BC·(AB ＋OD)＝12×3×(2＋23)＝4.14．解：(1)因为图象经过点A(1，3)，所以3＝k1.∴k ＝3，∴反比例函数的表达式为y ＝3x .当x ＝3时，m ＝33＝1，∴点B 的坐标(3，1)．(2)如图，作点B 关于x 轴的对称点C ，点C 的坐标为(3，－1)．再连接AC 与x 轴交于点P ，此时PA ＋PB 的值最小． 设直线AC 的函数表达式为y ＝ax ＋b(a≠0)．因为图象过(1，3)和(3，－1)两点，可得⎩⎨⎧a ＋b ＝3，3a ＋b ＝－1，解得⎩⎨⎧a ＝－2，b ＝5，∴y ＝－2x ＋5.当y ＝0时，x ＝2.5，∴满足条件的点P 的坐标为(2.5，0)．[素养提升]解：(1)∵点M(2，a)是“倍点”， ∴a ＝2×2＝4，∴点M 的坐标为(2，4)． ∵点M(2，4)在反比例函数y ＝kx 的图象上，∴4＝k2，解得k ＝8，∴反比例函数的表达式为y ＝8x .(2)嘉琪的说法是正确的．设函数y ＝3mx －1的图象上存在的“倍点”的坐标为(n ，2n)， 则有2n ＝3mn －1.整理，得(3m －2)n ＝1. ①当3m －2＝0时，m ＝23，此时不存在n 的值，使等式(3m －2)n ＝1成立，∴函数y ＝3mx －1的图象上不存在“倍点”； ②当3m －2≠0时，m≠23，由(3m －2)n ＝1，解得n ＝13m －2，那么2n ＝23m －2，∴当m≠23时，函数图象上存在“倍点”为(13m －2，23m －2)．。
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反比例函数的图像与性质
一、填空题 1.函数y =－x ，y =x 1
，y ＝－x 2，y =
1
2+x ，y =－
x
21中________表示y 是x 的反比例函数.
2.反比例函数y =3
2x 中k =_________.
3.已知y =(m －1)x 4
32
+-m m
是反比例函数，则m =_________.
4.反比例函数的图象是_________.
5.函数y =－
x
2的图象的两个分支分布在第_________象限，在每个象限内，y 随x 的增
大而_________，函数y =x
2的图象的两个分支分布在第_________象限，在每一个象限内，y
随x 的减小而_________.
6.如果反比例函数y =(m －3)x 4
62
+-m m 的图象在第二、四象限，那么m =_________.
7.反比例函数y =
x
k 的图象上有一点A (x , y )，且x , y 是方程a 2
－a －1=0的两个根，则
k =_________.
8.y 与x +1成反比例，当x =2时，y =1，则当y =－1时，x =_________.
9.函数y =
x
k (k ＞0)的图象上两点A (x 1, y 1)和B (x 2, y 2),且x 1＞x 2＞0，分别过A 、B 向x 轴
作AA 1⊥x 轴于A 1，BB 1⊥x 轴于B 1，则O AA S 1
∆_________O BB S 1
∆ (填“＞”“=”或“＜”)，
若O AA S 1
∆=2，则函数解析式为_________.
10.反比例函数y =x
k ，在x =1处自变量减少
2
1，函数值相应增加1，则k =_________.
11.反比例函数y =
x
k 的图象既是_________图形又是_________图形，它有_________条
对称轴，且对称轴互相_________，对称中心是_________.
12.如果点(a ,－3a )在双曲线y =x
k 上，那么k _________0.
二、选择题 13.若反比例函数y =x
k 的图象经过点(－2, 4)，那么这个函数是（ ） A.y =
x
8 B.y =
8
x
C.y =－
x
8 D.y =－
8
x
14.正比例函数y =2x 与反比例函数y =x
1在同一坐标系的大致图象为（ ）
三、解答题
15.如图2，第一象限的角平分线OM 与反比例函数的图象相交于点A ，已知OA =22.
图2
(1)求点A 的坐标；
(2)求此反比例函数的解析式.
16.反比例函数y =－
x
6与直线y =－x +2的图象交于A 、B 两点，点A 、B 分别在第四、
二象限，求：(1)A 、B 两点的坐标； (2)△ABO 的面积.
*18.如图3，一次函数的图象与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，与反比例函数的图象交于C 、D 两点，如果A 点的坐标为(2，0)，点C 、D 分别在第一、三象限，且OA =OB =AC =BD ，试求一次函数和反比例函数的解析式.
图3。