分类加法计数原理和分步乘法计数原理(汇报课)
分类加法计数原理与分步乘法计数原理PPT教学课件
11．某文艺团体有10人，每人至少会唱歌或跳舞中的一 种，其中7人会唱歌，5人会跳舞，从中选出会唱歌与会跳舞 的各1人，有多少种不同的选法？
解析：首先求得只会唱歌的有5人，只会跳舞的有3人， 既会唱歌又会跳舞的有2人．按“多面手”2人当选情况分四 类．
(2)第一象限内的点，即x，y必须为正数，从而只能取A、 B中的正数，同样分两类．N＝2×2＋2×2＝8(个)．
即这些点中，位于第一象限的有8个点．
跟踪练习
3．设有5幅不同的国画，2幅不同的油画，7幅不同的水 彩画，从这些画中选出2幅不同种类的画布置房间，有几种不 同的选法？
解析：要完成的“一件事”是“从现有的这些画中选出2 幅不同种类的画”．分3类，每一类又分两步：
点评：明确要完成一个圆的方程的实质是得到一组a，b， r的值，应分三步完成，应用分步乘法计数原理来解．
1．对分类计数原理的理解
(1)分类计数原理的特点：各类中的每一种方法都可以完 成要做的事情．
(2)应用分类计数原理要注意的问题．
第一类办法：从书架上层任取一本数学书，有5种不同的 方法；
第二类办法：从书架中层任取一本语文书，有3种不同的 方法；
第三类办法：从书架下层任取一本英语书，有2种不同的 方法．
只要在书架上任意取出一本书，任务即完成．由分类加 法计数原理知，不同的取法共有N＝5＋3＋2＝10(种)．
(2)从书架上任取三本书，其中数学书、语文书、英语书 各一本，可以分成三个步骤完成：
自测自评
1．某班有男生26人，女生24人，从中选一位同学为数学 课代表，则不同选法的种数是___5_0____．
2．从A地到B地要经过C地和D地，从A地到C地有3条路， 从C地到D地有2条路，从D地到B地有4条路，则从A地到B地 不同走法的种数是______2_4_．
排列与组合,分步乘法计数原理,分类加法计数原理
排列：1、排列的概念：从n个不同元素中取出m (mWn)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列。
2、全排列：把n个不同元素全部取出的一个排列，叫做这n个元素的一个全排列。
3、排列数的概念：从n个不同元素中取出m (mWn)个元素的所有排列的个数，叫做从 n 个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号白；表示。
4、阶乘：自然数1到n的连乘积，用n!=1X2X3X・・・Xn表示。
规定：0!=15、排列数公式：*”n (n-1)(n-2)(n-3)…(n-m+1)='卡—活"。
组合：1、组合的概念：从n个不同元素中取出m个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m 个元素的一个组合。
2、组合数的概念：从n个不同元素中取出m个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数用符号C；表示。
b=屋=题…---掰+。
_ /3、组合数公式：1H史耀！的I一对；4、组合数性质：K - …,5、排列数与组合数的关系：量二5,排列与组合的联系与区别：从排列与组合的定义可以知道，两者都是从n个不同元素中取出m个(mWn, n, m£N) 元素，这是排列与组合的共同点。
它们的不同点是：排列是把取出的元素再按顺序排列成一列，它与元素的顺序有关系，而组合只要把元素取出来就可以，取出的元素与顺序无关.只有元素相同且顺序也相同的两个排列才是相同的排列，否则就不相同；而对于组合，只要两个组合的元素相同，不论元素的顺序如何，都是相同的组合，如a, b与b, a是两个不同的排列，但却是同一个组合。
排列应用题的最基本的解法有:(1)直接法：以元素为考察对象，先满足特殊元素的要求，再考虑一般元素，称为元素分析法，或以位置为考察对象，先满足特殊位置的要求，再考虑一般位置，称为位置分析法;(2)间接法：先不考虑附加条件，计算出总排列数，再减去不符合要求的排列数。
排列的定义的理解：①排列的定义中包含两个基本内容，一是取出元素；二是按照一定的顺序排列；②只有元素完全相同，并且元素的排列顺序也完全相同时，两个排列才是同一个排列，元素完全相同，但排列顺序不一样或元素不完全相同，排列顺序相同的排列，都不是同一个排列；③定义中规定了 mWn,如果m<n,称为选排列；如果m=n,称为全排列；④定义中“一定的顺序”，就是说排列与位置有关，在实际问题中，要由具体问题的性质和条件进行判断，这一点要特别注意；⑤可以根据排列的定义来判断一个问题是不是排列问题，只有符合排列定义的说法，才是排列问题。
分类加法计数原理与分步乘法计数原理
分类加法计数原理与分步乘法计数原理11分类加法计数原理又被称为情况分类计数法，它是将一个计数问题分解为若干个相互独立的子问题，然后对每个子问题进行计数，并将计数结果相加得到最终的答案。
该原理适用于问题可以被划分为多个不重叠情况的情况，每种情况又可以用数学方法计数的情况。
以一个具体的例子来说明，假设有一个5人小组，要从10个人中选出3个人组成小组，要求其中必须包含代表A和代表B两人。
这个问题可以使用11分类加法计数原理来求解，具体步骤如下：（1）将问题划分为几个情况：选出的小组中分为三种情况，即A和B分别在小组中被选中（情况1），A被选中但B没有被选中（情况2），B被选中但A没有被选中（情况3）。
（2）计算每个情况下的可能性：情况1中，需要从除去A和B以外的8个人中选出1个人，共有8种选择方式；情况2和情况3中，需要从除去A和B以外的8个人中选出2个人，共有C(8,2)=28种选择方式。
（3）求解最终答案：将每个情况下的可能性求和，即8+28+28=64、所以符合条件的小组共有64种。
通过以上步骤，我们可以使用11分类加法计数原理解决了该问题。
分步乘法计数原理指的是将一个计数问题分解为若干个小问题，并将每个小问题的计数结果相乘得到最终的答案。
该原理适用于问题可以划分为几个步骤，并且每个步骤的结果可以相互独立地计数的情况。
同样以例子来说明，假设有一个国际象棋棋盘，要求将8个皇后放置在棋盘上，使得彼此之间不能互相攻击。
这个问题可以使用分步乘法计数原理来求解，具体步骤如下：（1）将问题划分为几个步骤：要放置8个皇后，可以将问题划分为逐行放置皇后，每行只能放置一个皇后的步骤。
（2）计算每个步骤的可能性：在棋盘上的第一行放置皇后，有8种选择；在棋盘上的第二行放置皇后，有7种选择；以此类推，最后一行只有一个位置可以放置皇后。
（3）求解最终答案：将每个步骤的可能性相乘，即8×7×6×5×4×3×2×1=40,320。
分类加法计数原理与分步乘法计数原理
自然数2520有多少个约数？ 有多少个约数？ 例3.自然数 自然数 有多少个约数 解：2520＝23×32×5×7 ＝ × 分四步完成： 分四步完成： 第一步： 第一步：取20，21，22，23，24有4种; 种 第二步： 第二步：取30，31，32有3种； 种 第三步：取50，51有2种； 第三步： 种 第四步： 第四步：取70，71有2种。 种 由分步计数原理，共有4× × × ＝ 种 由分步计数原理，共有 ×3×2×2＝48种 练习： 张 元币 元币， 张 角币 角币， 张 分币 分币， 张 分币 分币， 练习：5张1元币，4张1角币，1张5分币，2张2分币，可组成 多少种不同的币值？（ 张不取， ？（1张不取 角不计在内） 多少种不同的币值？（ 张不取，即0元0分0角不计在内） 元 分 角不计在内 元：0，1，2，3，4，5 ， ， ， ， ， 角：0，1，2，3，4 ， ， ， ， 分：0，2，4，5，7，9 ， ， ， ， ， 6×5×6－1＝179 × × － ＝
பைடு நூலகம்
（染色问题） 染色问题）
1.如图 要给地图 、B、C、D四个区域分别涂上 种 如图,要给地图 四个区域分别涂上3种 如图 要给地图A、 、 、 四个区域分别涂上 不同颜色中的某一种,允许同一种颜色使用多次 允许同一种颜色使用多次,但相 不同颜色中的某一种 允许同一种颜色使用多次 但相 邻区域必须涂不同的颜色,不同的涂色方案有多少种 不同的涂色方案有多少种？ 邻区域必须涂不同的颜色 不同的涂色方案有多少种？
深化理解 4. 何时用分类计数原理、分步计数原理呢 何时用分类计数原理、分步计数原理呢? 完成一件事情有n类方法 答:完成一件事情有 类方法 若每一类方法中的任 完成一件事情有 类方法,若每一类方法中的任 何一种方法均能将这件事情从头至尾完成,则计算完 何一种方法均能将这件事情从头至尾完成 则计算完 成这件事情的方法总数用分类计数原理. 成这件事情的方法总数用分类计数原理 完成一件事情有n个步骤 若每一步的任何一种 完成一件事情有 个步骤,若每一步的任何一种 个步骤 方法只能完成这件事的一部分,并且必须且只需完成 方法只能完成这件事的一部分 并且必须且只需完成 互相独立的这n步后 才能完成这件事,则计算完成这 步后,才能完成这件事 互相独立的这 步后 才能完成这件事 则计算完成这 件事的方法总数用分步计数原理. 件事的方法总数用分步计数原理
分类加法分步乘法
典例1：由数字0，1，2，3，4，5可 以组成多少个无重复数字的三位数？ 百位 十位 个位
5种 5种 4种 N＝5×5×4＝100（种）
变式1： 由数字0,1,2,3,4,5可以组成多少个无重复数字 的三位偶数？ 第1类，个位数字是0，有5 4 20；
第2类，个位数字是2，有4 4=16； 第3类，个位数字是4，有4 4=16； 共有20+16+16=52 变式2： 用0,1,2,3,4,5可以组成多少个无重复数字的比 2000大的四位偶数？
第1类：从会唱歌者中选1人唱歌；
第2类：从会跳舞者中选1人跳舞； 第3类：从能歌善舞者中选1人唱歌 或跳舞；
N＝5＋4＋2×2＝13（种）
5、从5人中选4人参加数、理、化学 科竞赛，其中数学2人，理、化各1人， 求共有多少种不同的选法？ 物理1人 化学1人 数学2人
5种
4种
3种
N＝5×4×3＝60（种）
练习：
1、 一种号码锁有4个拨号盘， 每个拨号盘上有从0到9共10个数字， 这4个拨号盘可以组成多少个四位 数字号码？
N＝10×10×10×10＝10000（种）
2、要从甲、乙、丙3名工人中选出2 名分别上日班和晚班，有多少种不 同的选法？ 第一步：选1人上日班； 有3种方法
第二步：选1人上晚班. 有2种方法
N＝3×2＝6（种）
3、有架楼梯共6级，每次只允许上一 级或两级，求上完这架楼梯共有多少 种不同的走法？ 1种走法 第1类：走3步 6种走法 第2类：走4步 5种走法 第3类：走5步 第4类：走6步 1种走法
N＝1＋6＋5＋1＝13（种）
4、某班有5人会唱歌，另有4人会跳 舞，还有2人能歌善舞，从中任选1 人表演一个节目，共可表演多少个 节目？
6.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理课件(人教版)
6.1 分类加法计数原理 与分步乘法计数原理
1．理解分类加法计数原理与分步乘法 计数原理．(重点) 2．会用这两个原理分析和解决一些简 单的实际计数问题．(难点)
1.核糖核酸(RNA)分子有碱基按一定顺序排列而成。 已知碱基有4种，但由成百上千个碱基组成的RNA分 子的种数非常巨大。为什么？
B 果将这 2 个新节目插人节目单中，那么不同的插法种数为( )
A.12
B.20
C.36
D.120
解析：利用分步计数原理，第一步插入第一个新节目，有 4 种方法，第二步插 入第二个新节目，此时有 5 个空，故有 5 种方法.因此不同的插法共有 45 20 种.故选 B.
2.如图，用 4 种不同的颜色对 A，B，C，D 四个区域涂色，要求相邻的两个区
工程学
如果这名同学只能选一个专业，那么他共有多少种选择？
解：这名同学可以选择 A，B 两所大学中的一所. 在 A 大学中有 5 种专业选择方法，在 B 大学中有 4 种专业选择方法. 因为没有一个强项专业是两所大学共有的， 所以根据分类加法计数原理， 这名同学可能的专业选择种数为 N 5 4 9 .
完成一件事需要两个步骤，做第 1 步有 m 种不同的方
法，做第 2 步有 n 种不同的方法，那么完成这件事共有 N
＝m×n种不同的方法．
例 1 在填写高考志愿表时，一名高中毕业生了解到，A，B
两所大学各有一些自己感兴趣的强项专业，如下表.
A 大学
B 大学
生物学
数学
化学
会计学
医学
信息技术学
物理学
法学Biblioteka 例5 给程序模块命名，需要用3个字符，其中首字符要求用字母 A~G或U~Z，后两个字符要求用数字1~9，最多可以给多少个程 序模块命名？
分类加法计数原理与分步乘法计数原理
分类加法计数原理与分步乘法计数原理分类加法计数原理是指将一个计数问题分成若干个子问题，然后将子问题的计数结果相加得到最终的计数结果。
其基本思想是将问题中的元素分成若干个不重叠的类别，然后分别计数各个类别的元素个数，最后将各类别的计数结果相加。
这个原理常用于解决包含多个步骤的计数问题。
举个例子来说明分类加法计数原理的应用：假设有一个盒子，里面有红球、蓝球和绿球，分别有3个、4个和5个。
现在要从盒子中任选3个球，问有多少种选择方法。
我们可以将这个问题分为三个子问题：选取3个红球的方法数、选取3个蓝球的方法数和选取3个绿球的方法数。
然后分别计数这三个子问题的方法数，最后将它们相加得到总的方法数。
与分类加法计数原理相对应的是分步乘法计数原理。
分步乘法计数原理是指将一个计数问题分成若干个步骤，然后将各个步骤的计数结果相乘得到最终的计数结果。
这个原理常用于解决包含多个独立步骤的计数问题。
举个例子来说明分步乘法计数原理的应用：假设有一个密码锁，需要输入5位密码，每位密码都是从0到9的数字。
问一共有多少种可能的密码组合。
我们可以将这个问题分为5个步骤：第一位密码的选择、第二位密码的选择、第三位密码的选择、第四位密码的选择和第五位密码的选择。
然后计数每个步骤的可能性，最后将它们相乘得到总的可能性。
分步乘法计数原理也可以用于解决其他的计数问题，例如从一个字母表中选择若干个字母组成单词的方法数、从一个数列中选择若干个数的方法数等等。
总的说来，分类加法计数原理和分步乘法计数原理是解决组合数学中计数问题的重要方法。
它们可以帮助我们系统地分析和解决各种计数问题，提高我们的计算能力和思维能力。
无论是在学术研究还是在实际应用中，这两个原理都有着广泛的应用价值。
分类加法计数原理与分步乘法计数原理课件
2 示例案例
我们将通过一些具体的案例来演示分类加法计数原理的应用，以加深理解。
分步乘法计数原理介绍
现在，我们来学习分步乘法计数原理，了解它的定义及应用场景，并通过实例来进一步理解。
1 定义及应用场景
2 示例案例
分步乘法计数原理是一种将多个步骤分 别计数再相乘的方法，通常用于解决复 杂的计数问题。
通过一些具体的案例，我们可以更好地 理解分步乘法计数原理的应用和实际效 果。
分类加法计数原理与法计数原理和分步乘法计数原理的相似之处和不同之处。
共同点
两种计数原理都用于解决复杂计数问题，并能够得到准确的结果。
分类加法计数原理与分步 乘法计数原理课件
欢迎来到分类加法计数原理与分步乘法计数原理的课件！在这个课件中，我 们将深入探讨这两个重要的计数原理，并比较它们的共同点和不同点。
分类加法计数原理介绍
在这一部分，我们将学习分类加法计数原理的定义及其应用场景，并通过一些示例案例来帮助理 解。
1 定义及应用场景
实际应用举例
我们将通过一些实际应用的案例来展示这两 种计数原理的实际效果。
不同点
分类加法计数原理适用于将多个分类的计数结果相加，而分步乘法计数原理适用于将多个步 骤的计数结果相乘。
结论
分类加法计数原理和分步乘法计数原理在不同的场景下都发挥着重要的作用。
适用场景
分类加法计数原理适用于需要将多个分类的 计数结果相加的问题。分步乘法计数原理适 用于需要将多个步骤的计数结果相乘的问题。
分类加法计数原理和分步乘法计数原理汇报
例如，一个班里有30名学生，其中10名是男生，20名是女生，现在要从中选出5名学 生参加比赛，要求选出的学生中必须有男生和女生。根据分类加法计数原理，可以先分 别计算选出5名男生和选出5名女生的情况下的方法数，然后将两种情况下的方法数相
加，得到总的方法数。
分类加法计数原理的实例
实例
一个班里有30名学生，其中10名是男生，20名是女生，现在要从中选出5名学生参加比赛。根据分类 加法计数原理，选出5名男生有$C_{10}^{5}$种方法，选出5名女生有$C_{20}^{5}$种方法，因此总 共有$C_{10}^{5} + C_{20}^{5}$种不同的方法可以选出5名学生参加比赛。
计算机科学中的应用
计算机科学应用
分类加法计数原理和分步乘法计数原理在计算机科学 中也有着广泛的应用。例如，在算法设计、数据结构 、人工智能等领域中，这两个原理可以帮助我们设计 更高效的算法和数据结构，从而提高计算机程序的执 行效率和性能。
计算机科学应用实例
在计算机科学中，我们经常需要设计算法和数据结构 来处理各种问题。分类加法计数原理可以帮助我们将 问题分解为多个子问题，然后分别设计算法和数据结 构来解决每个子问题，最后将它们组合起来形成完整 的解决方案。而分步乘法计数原理则可以帮助我们将 问题分解为多个步骤，然后分别设计算法和数据结构 来解决每一步的问题，最后将它们组合起来形成完整 的解决方案。
分步乘法计数原理适用于事件需要按 照一定的顺序和步骤进行分解的情况 ，例如计算完成某项任务需要经过几 个步骤，每个步骤的概率是多少等。
优缺点比较
分类加法计数原理的优点在于能够清晰地展示不同类别的数 量，便于比较和分析；缺点在于对于复杂事件，可能难以准 确地划分类别。
分类加法计数原理与分步乘法计数原理
分类加法计数原理与分步乘法计数原理1.分类计数问题：要计算一些集合中满足其中一种条件的元素的数目。
可以将该集合分为若干个子集，分别计算每个子集中满足条件的元素的数目，然后将这些数目相加即可得到最终的结果。
例如，一些班级有30个学生，其中有10个男生和20个女生，要计算全班学生中身高超过1.7米的男生的人数。
可以将问题分解为两个部分，分别计算身高超过1.7米的男生和身高不超过1.7米的男生的人数，然后将这两个数目相加即可得到最终的结果。
2.多重条件计数问题：要计算满足多个条件的元素的数目。
可以将满足不同条件的元素分为不同的类别，然后计算每个类别中满足条件的元素的数目，最后将这些数目相加得到最终的结果。
例如，一些商店有3种颜色的衬衫（红色、蓝色和绿色），每种颜色的衬衫分别有5件、3件和4件。
要计算购买2件衬衫的方法数目，其中要求至少购买一件红色的衬衫。
可以将购买2件衬衫分为两种情况：一种是购买一件红色的衬衫和一件其他颜色的衬衫，另一种是购买两件红色的衬衫。
然后分别计算这两种情况下的购买方法数目，最后将这两个数目相加即可得到最终的结果。
分步乘法计数原理是指将一个计数问题分解为若干个步骤，每个步骤的计数独立进行，最后将每个步骤的计数结果相乘得到最终的结果。
该方法的基本思想是通过分步骤计数来简化问题，使得每个步骤的计数更加直观和容易。
分步乘法计数原理通常适用于以下两种情况：1.顺序计数问题：要计算一些事件发生的不同顺序的可能性。
可以将该事件分为若干个步骤，分别计算每个步骤的可能性，然后将这些可能性相乘得到最终的结果。
例如，一些球队有10名队员，要计算选择3名队员组成一支首发阵容的方法数目。
可以将选择队员分为三个步骤：先选择首发中锋（有10种选择），然后选择首发后卫（有9种选择），最后选择首发前锋（有8种选择）。
然后将这三个步骤的选择数目相乘即可得到最终的结果。
2.分步限制问题：要计算满足多个条件的元素的数目。
分类加法计数原理与分步乘法计数原理
5本，从中选出不属于同一学科的书2本，则不同的选法
有 ( )
AB．315种
D．153种
3．从5位同学中选派4位同学在星期五、星期六、星期日
参加公益活动，每人一天，要求星期五有2人参加，星 期六、星期日各有1人参加，则不同的选派方法共有 ( A．40种 B．60种 )
C．100种
完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方
法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有 N＝ m×n 种不同的方法．
[思考探究] 在解决具体问题时，如何选择分类加法计数原理和分步乘法 计数原理？ 提示：如果已知的每类办法中的每一种方法都能完成这件 事，应该用分类加法计数原理；如果每类办法中的每一种 方法只能完成事件的一部分，就用分步乘法计数原理．
解析：由题意可列式为
D．120种
＝60(种)．
答案：B
4．若x、y∈N*，且x＋y≤6，则有序自然数对(x，y)共有 ________个． 解析：当x＝1,2,3,4,5时，y值依次有5,4,3,2,1个，由 分类计数原理，不同的数对(x，y)共有5＋4＋3＋2＋ 1＝15(个)． 答案：15
5．如图用6种不同的颜色把图中A、 B、C、D四块区域分开，若相
[特别警示]
在解题时，应首先分清楚怎样才算完成这件事，
有些题目在解决时需要进行分类讨论，分类时要适当地确
定分类的标准，按照分类的标准进行，做到不重不漏．
在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的两 位数共有多少个？
[思路点拨]
[课堂笔记] 法一：根据题意，将十位数上的数字分别是
1,2,3,4,5,6,7,8的情况分成8类，在每一类中满足题目条件的 两位数分别是8个，7个，6个，5个，4个，3个，2个，1 个． 由分类计数原理知：符合题意的两位数的个数共有：
6.1 第1课时 分类加法计数原理与分步乘法计数原理
3.利用分类加法计数原理解题的一般步骤 (1)分类,即将完成这件事情的方法分成若干类; (2)计数,求出每一类中的方法数; (3)结论,将各类的方法数相加得出结果.
变式训练1甲盒中有3个编号不同的红球,乙盒中有5个编号不同的白球,某 同学要从甲、乙两盒中摸出1个球,则不同的方法有( ) A.3种 B.5种 C.8种 D.15种 答案 C 解析 要完成“摸出1个球”这件事,有两类不同的方法.第1类,从甲盒中取出1 个球,有3种不同的取法;第2类,从乙盒中取出1个球,有5种不同的取法.故共 有3+5=8(种)不同的方法.
数为4×2=8.
探究三 两个计数原理的应用
例3现有高一年级四个班的学生34人,其中一、二、三、四班各有7人、8 人、9人、10人,他们自愿组成数学课外小组. (1)选其中一人为负责人,有多少种不同的选法? (2)每班选一名组长,有多少种不同的选法? (3)推选两人做中心发言,这两人需来自不同的班级,有多少种不同的选法?
反思感悟1.使用两个原理的原则 使用两个原理解题时,一定要从“分类”“分步”的角度入手.“分类”是对于较 复杂应用问题的元素分成互相排斥的几类,逐类解决,用分类加法计数原 理;“分步”就是把问题分化为几个互相关联的步骤,然后逐步解决,这时可 用分步乘法计数原理. 2.应用两个计数原理计数的四个步骤 (1)明确完成的这件事是什么. (2)思考如何完成这件事. (3)判断它属于分类还是分步,是先分类后分步,还是先分步后分类. (4)选择计数原理进行计算.
答案 B
方法点睛利用分类加法计数原理解题时的注意点 (1)切实理解“完成一件事”的含义,根据问题的特点确定一个合适的分类标 准,分类标准要统一,不能遗漏; (2)分类时,注意完成这件事情的任何一种方法必属于某一类方案,分类的 关键在于做到“不重不漏”; (3)确定题目中是否有特殊条件限制.
分类加法计数原理与分步乘法计数原理 课件
5．两个原理的联系与区别 分类加法计数原理和分步乘法计数原理，回答的都是 有关做一件事的 不同方法的种数 问题．区别在于： 分类加法计数原理针对的是 分类 问 题 ， 其 中 各 种 方 法 相互独立 ，其中任何一种方法都可以完成这件 事；分步乘法计数原理针对的是 分步 问 题， 各 个步骤 中的方法 互相依存 ，只有各个步骤都完成才算完 成这件事．
[例1] 在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的 两位数共有多少个？
[分析] 该问题与计数有关，可考虑选用两个基本原 理来计算，完成这件事，只要两位数的个位、十位确定了， 这件事就算完成了，因此可考虑按十位上的数字情况或按 个位上的数字情况进行分类．
[解析] 解法一：按十位数上的数字分别是 1,2,3,4,5,6,7,8的情况分为8类，在每一类中满足题目条件的 两位数分别是8个，7个，6个，5个，4个，3个，2个，1 个．
m1＋m2＋…＋mn 种不同的方法．
3．分步乘计数原理 完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法， 做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝ m×种n 不同的方法． 4．分类计数乘法原理的推广 完成一件事需要分成n个步骤，做第1步有m1种不同的 方法，做第2步有m2种不同的方法，…，做第n步有mn种不 同的方法，那么完成这件事共有N＝ m1×m2×…×mn 种 不同的方法．
(2)分为三步：国画、油画、水彩画各有5种、2种、7 种不同的选法，根据分步乘法计数原理，共有5×2×7＝70 种不同的选法．
(3)分为三类：第一类是一幅选自国画，一幅选自油画， 由分步乘法计数原理知，有5×2＝10种不同的选法．
第二类是一幅选自国画，一幅选自水彩画，有5×7＝ 35种不同的选法．
所以从书架上任取三本书，其中数学书、语文书、英 语书各一本，共有30种不同的取法．
分类加法计数原理与分步乘法计数原理说课稿
分类加法计数原理与分步乘法计数原理说课稿work Information Technology Company.2020YEAR一、说教材分析：1、教材地位：本节课是高中数学选修2-3第一章计数原理中1.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理，本小节共需4课时，这节课是第一课时。
先说本章及本节的教材地位。
计数问题是数学中的重要研究对象之一，也是人们了解客观世界的一种最基本的方法。
分类加法计数原理、分步乘法计数原理这两个计数原理是人们在大量实践的基础上归纳出来的基本规律。
它们不仅是推导本章1.2排列与组合中排列数、组合数计算公式的依据，也是求解排列、组合问题的基本思想，且教材将排列、组合及二项式定理的研究都作为两个计数原理的典型应用而设置的。
可见，其基本思想方法贯穿本章内容的始终，因而，它们是学好本章内容的关键。
另一方面，这两个计数原理也是学生今后学习概率及今后进一步学习高等数学有关分支的预备知识。
因此，理解和掌握两个计数原理应该是最基本而重要的。
由于本节课是本章的第一节课，虽然正确运用两个计数原理是本章的重点，但由于学生要达到会用的境界，需要经过一定的应用性训练的。
且《数学教育学》告诉我们，在定理、原理的教学中，尽量先让学生通过对具体实例的观察、测量、计算等实践活动，来归纳猜想具体的内容，这样做有利于学生对他们的理解。
依据这个来设计本节教学目标与重点、难点。
2 教学目标知识与技能：①通过实例，总结两个基本计数原理;正确理解完成一件事情的含义;②初步学会区分分类和分步③会利用两个原理分析和解决一些简单的应用问题。
过程与方法：①通过典型的、学生熟悉的实例(座位编号问题)，得出解答后，利用探究引导学生分析问题的本质，然后再抽象概括出基本原理;②通过简单应用使学生初步熟悉原理;③最后通过探究引导学生将原理推广到更加一般的情形;④初步学会区分分类和分步。
情感态度与价值观：①体会数学来源生活，并为生活服务，以此激发学生学习本章的兴趣;②使学生通过概括两个基本原理及推广，进一步加深特殊与一般的关系;③通过分类和分步让学生初步学会将复杂问题进行分解，将综合问题化解为单一问题的组合，再对单一问题各个击破，达到化难为易，化繁为简。
分类加法计数原理与分步乘法计数原理 课件
1．分类加法计数原理 完成一件事有两类不同方案，在第 1 类方案中有 m 种不同的方法， 在第 2 类方案中有 n 种不同的方法．那么完成这件事共有 N＝ _m_＋__n__种不同的方法．
■名师点拨 对分类加法计数原理的理解
分类加法计数原理中的“完成一件事有两类不同方案”，是指完 成这件事的所有方法可以分为两类，即任何一类中的任何一种方 法都可以完成任务，两类中没有相同的方法，且完成这件事的任 何一种方法都在某一类中．
利用两个计数原理的解题策略 用两个计数原理解决具体问题时，首先，要分清是“分类”还是 “分步”，区分“分类”还是“分步”的关键是看这种方法能否 完成这件事情；其次，要清楚“分类”或“分步”的具体标准， 在“分类”时要遵循“不重不漏”的原则，在“分步”时要正确 设计“分步”的程序，注意步与步之间的连续性；有些题目中“分 类”与“分步”同时进行，即“先分类后分步”或“先分步后分 类”．
分类加法计数原理
在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的两位数共有 多少个？
【解】 法一：按十位上的数字分别是 1，2，3，4，5，6，7，8 分成 8 类，在每一类中满足条件的两位数分别有 8 个、7 个、6 个、5 个、4 个、3 个、2 个、1 个．由分类加法计数原理知，满 足条件的两位数共有 8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝36(个)． 法二：按个位上的数字分别是 2，3，4，5，6，7，8，9 分成 8 类，在每一类中满足条件的两位数分别有 1 个、2 个、3 个、4 个、 5 个、6 个、7 个、8 个．由分类加法计数原理知，满足条件的两 位数共有 1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＝36(个)．
解：据条件知 m>0，n>0，且 m≠n，故需分两步完成，第一步确 定 m，有 3 种方法，第二步确定 n，有 2 种方法，故组成椭圆的 个数为 3×2＝6(个)．
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本堂课你学到了什么？
一个中心： 计数
两个原理： 分类加法计数原理
分步乘法计数原理
三个关键：
完成一件事
分类 类类独立 步步完成
分步
作业
校本第54页
练习1~8题
思考、（1）4名同学分别报名参加学校的足球队、篮球队、乒 乓球队，每人限报其中的一个运动队，不同的报法的种数是 34 3 还是 4 ？ （2）3个班分别从5个景点中选择一处游览，不同的选法种数 5 3 是 3 还是 5 ？
完成这件事情共有多少 种不同的方法？
5x4=20种
A到 B
B到 C
第1车次
第一车次
第2车次
5× 4
第3车次
第4车次 树形图
问题五：用前6个大写英文字母和1-9九个阿拉伯数字，以 A1，A2，……，B1，B2，……的方式给教室里的座位编 号，总共能编出多少个不同的号码？
问题剖析 要完成的一件事情是什么？ 完成这个事情需要分几步？ 给座位编号 2步
注意点 类类独立 不重不漏
例题讲解
有一项活动，需在3名教师、8名男生和5名女生中选人参加。 (1)若只需一人参加有多少种选法？
(2)若需教师、男生、女生各一人参加，有多少种选法？
解：（2 1）完成这件事需要分别选出 ）只选一人就可以完成这件事而选出的 1名教师、11 名男生、 人有3种类 1名 型，即教师、男生、女生，因此要分类相加； 女生，因此要分步完成： 第一类选出的是教师，有 第一步选1名教师，有3种选法； 3种方法； 第二类选出的是男生，有 第二步选1名男生，有8种方法； 8种方法； 第三类选出的是女生，有 第三步选 1名是女生，有55 种方法 种方法 .. 所以，根据分类加法计数原理共有3x8x5=120 所以，根据分步乘法计数原理共有 3+8+5=16种
问：如果这名同学只能选一个专业，那么他共有多少种选择呢?
问题剖析 要完成的一件事情是什么？ 完成这个事情的方案有几类？ 从A大学或B大学选择一个专业 2类
每类方案中的任一种方法能否独 能 立完成这件事？
每类方案中分别有几种不同的方 5种 4种 法？ 完成这件事情共有多少种不同的 5+4=9种 方法？
练习1：在填写高考志愿表时，一名高中毕业生了解到，
Ａ，Ｂ两所大学各有一些自己感兴趣的强项专业，具体如下: A大学 B大学 生物学 化学 医学 物理学 工程学 数学 会计学 信息技术学 法学
问：如果这名同学第一志愿填了A大学，第二志愿填了B大学， 每所大学只能选一个专业，那么他共有多少种选择呢?
练习2
解：分3类 第一类，从第一层取1本，从第二层取1本，有5x4=20种 第二类，从第一层取1本，从第三层取1本，有5x3=15种； 第三类，从第二层取一本，从第三层取1本，有3x4=12种 所以 ，共有47种
练习4.由数字0，1，2，3，4可以组成多少个无重复数字的三位整数？
变式：由数字0，1，2，3，4可以组成多少个无重复数字的三位偶 数？
1.1 分类加法计数原理与 分步乘法计数原理
第一课时
探究一
• 问题一：从A地到B地，可以乘火车或汽 车，一天中火车有5个车次，汽车有6个 车次。那么乘坐这些交通工具从A地到B 地，在一天中一共有多少种选择呢？
问题剖析 要完成的一件事情是什么？ 从A到B 完成这个事情的方案有几类 2类 ？
每类方案中的任一种方法 能否独立完成这件事？
宣城市的部分电话号码是0563303xxxx,后面的每个数字
来自0--9这10个数，问可以产生多少个不同的电话号码？
变：要求4个数不能重复，可以产生多少个不同的 电话号码？
练习3：书架的第1层放有5本不同的计算机书，第2层
放有4本不同的文艺书，第3层放有3本不同的体育书，
(3) 从书架上任取 本不同种类的书，有多少种不同的取法？ (2)从书架上任取 从书架上每一层各取 1本书，有多少种不同的取法？ (1) 12 本书，有多少种不同的取法？
问题5：分类加法计数原理与分步乘法计数原理的相同
点和不同点是什么?
分类加法计数原理 相同点 分步乘法计数原理
用来计算完成一件事的方法种数 分类、 相加
分步、 相乘 每步依次完成才算完 成这件事情（每步中 的每一种方法不能独 立完成这件事） 步步进行 缺一不可
不同点 每类方案中的每一种 方法都能独立完成这 件事
问:两个问题的共同特征是什么？
1、完成一件事情有两类不同方案，每类方案中有 若干种不同的方法 2、每类方案中的任一种方法都能独立完成这件事
分类加法计数原理
完成一件事有两类不同方案,在第1类方案中有m 种不同的方法,在第2类方案中有n种不同的方法.那 么完成这件事共有
N=m+n
种不同的方法. 每类中的任一种方 法都能独立完成这 件事情.
每步中的任一方法能否独立完成 这件事？
每步中分别有几种不同的方法？
不能
6种 9种
完成这件事情共有多少种不同的 6x9=54种 方法？
字母
数字
1
得到的号码
A1 A2
2
3 A 4 5 6
A3
A4 A5 A6 A7 A8 A9
6 ×9
7
8 9
问:两个问题的共同特征是什么？
1、完成一件事情都需要两步,每步都有若干种不同的方 法 2、两步都得完成才能完成这件事情
N=m1+m2+…+mn
种不同的方法.
探究二
问题四：乘火车从A地到C地需经B地转车，
一天中从A地到B地的火车有5个车次，从B 地到C地的火车有4个车次。那么，乘火车 从A地到C地，在一天中共有多少种选择呢？
A
5种Байду номын сангаас
B
4种
C
问题剖析 要完成的一件事情是什么？ 从A到C 完成这个事情需要 几步？ 每步中的任一种方法能否 独立完成这件事？ 每步中分别有几种不同 的方法？ 2步 不能，两步都得完成才能完 成这件事情 5种 ，4种
问题三：在填写高考志愿表时，一名高中毕业生了解到，Ａ， Ｂ,C三所大学各有一些自己感兴趣的强项专业，具体如下:
A大学 生物学 化学 医学 物理学 工程学 B大学 数学 会计学 信息技术学 法学 C大学 新闻学
金融学
人力资源学
问：如果这名同学只能选一个专业，那么他共有多少种选择呢?
5
+
4
+
3
=12
分类加法计数原理
完成一件事有三类不同方案，在第 1 类方案中有 m1 种不同的方法，在第2类方案中有m2 种不同的方法，在第 3 类方案中有 m3 种不同的方法，那么完成这件事共有 种不同的方法.
N=m1+m2+m3
完成一件事有n类不同方案，在第1类方案中有m1种不同
的方法，在第2类方案中有m2种不同的方法，…，在第n类方 案中有mn种不同的方法,那么完成这件事共有
分步乘法计数原理
完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种 不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么 完成这件事共有
N =m n
种不同的方法. 只有各个步骤都 完成才算做完这件 事情。
分步乘法计数原理
做一件事情，完成它需要分成n个步骤，
做第一步有m1种不同的方法，做第二步有 m2种不同的方法,……，做第n步有mn种不 同的方法，那么完成这件事有 N = m 1 × m 2 × …× m n 种不同的方法.
能
每类方案中分别有几种不同 火车5种 ，汽车6种 的方法？
完成这件事情共有多少种 不同的方法？
5+6=11种
问题二：在填写高考志愿表时，一名高中毕业生了解到， Ａ，Ｂ两所大学各有一些自己感兴趣的强项专业，具体如下: A大学 生物学 化学 医学 物理学 工程学 B大学 数学 会计学 信息技术学 法学