数学建模讲义3

阻滞增长模型( 模型) 阻滞增长模型(Logistic模型) 模型
人口增长到一定数量后，增长率下降的原因： 人口增长到一定数量后，增长率下降的原因： 资源、 资源、环境等因素对人口增长的阻滞作用 且阻滞作用随人口数量增加而变大 r是x的减函数 是 的减函数
假设
r(x) = r sx (r, s > 0)
图
Malthus模型和Logistic模型的总结 Malthus模型和Logistic模型的总结 模型和Logistic Malthus模型和Logistic模型均为对微分方程（ ） Malthus模型和Logistic模型均为对微分方程（3.7） 模型和Logistic模型均为对微分方程 所作的模拟近似方程。前一模型假设了种群增长率r为一常 所作的模拟近似方程。前一模型假设了种群增长率 为一常 ，（r被称为该种群的内禀增长率）。后一模型则假设环 被称为该种群的内禀增长率）。 数，（ 被称为该种群的内禀增长率）。后一模型则假设环 境只能供养一定数量的种群，从而引入了一个竞争项。 境只能供养一定数量的种群，从而引入了一个竞争项。 用模拟近似法建立微分方程来研究实际问题时必须对 求得的解进行检验，看其是否与实际情况相符或基本相符。 求得的解进行检验，看其是否与实际情况相符或基本相符。 相符性越好则模拟得越好， 相符性越好则模拟得越好，否则就得找出不相符的主要原 对模型进行修改。 因，对模型进行修改。 Malthus模型与Logistic模型虽然都是为了研究种群数量的 Malthus模型与Logistic模型虽然都是为了研究种群数量的 模型与Logistic 增长情况而建立的，但它们也可用来研究其他实际问题， 增长情况而建立的，但它们也可用来研究其他实际问题，只要这 些实际问题的数学模型有相同的微分方程即可， 些实际问题的数学模型有相同的微分方程即可，下面我们来看两 个较为有趣的实例。 个较为有趣的实例。
x(t + t ) x(t ) = rx(t )t
写微分方程的形式为
dx = rx , x ( 0 ) = x 0 dt
求积分，结果为： 求积分，结果为：
x(t ) = x0 (e ) ≈ x0 (1 + r)
r t
t
随着时间增加， 随着时间增加，人口按指数规律无限增长
模型检验 模型预测 假如人口数真能保持每34.6年增加一倍，那么人口数将 假如人口数真能保持每 ，可发现人口增长的实际情况 年增加一倍 比较历年的人口统计资料， 比较历年的人口统计资料 年增加一倍， 与马尔萨斯模型的预报结果基本相符，例如，1961年世界人 例如， 以几何级数的方式增长。例如， 以几何级数的方式增长。例如，到2510年，人口达年世界人 ， 与马尔萨斯模型的预报结果基本相符，年 人口达2×1014个 × 即使海洋全部变成陆地，每人也只有9.3平方英尺的活动范围 口数为30.6 （即3.06×109），人口增长率约为 ，人口数 人口增长率约为2%， 平方英尺的活动范围， 即使海洋全部变成陆地，每人也只有 平方英尺的活动范围， 口数为 × ），人口增长率约为 而到2670年，Malthus模型实际上只有在群体总数 大约每35年增加一倍。×10 年增加一倍。检查 人口达36× 年至1961的260年人口实际 大约每 年 Malthus模型 15个，只好一个人站在另一人的 年增加一倍 模型实际上只有在群体总数 年至 的 年人口实际 而到 人口达 检查1700年至 不太大时才合理，到总数增大时， 不太大时才合理，到总数增大时， 肩上排成二层了。 马尔萨斯模型是不完善的。 肩上排成二层了。 故马尔萨斯模型是不完善的。 ，人口数 数量，发现两者几乎完全一致，且按马氏模型计算， 数量，发现两者几乎完全一致，且按马氏模型计算 所以Malthus模型假设的人口净 Malthus模型假设的人口 所以Malthus模型假设的人口净 生物群体的各成员之间由于有限的 量每34.6年增加一倍，两者也几乎相同。 年增加一倍， 量每 年增加一倍 两者也几乎相同。 增长率不可能始终保持常数， 增长率不可能始终保持常数， 生存空间， 生存空间，有限的自然资源及食物 它应当与人口数量有关。 它应当与人口数量有关。 等原因， 等原因，就可能发生生存竞争等现
F p (r ,t) = r
人口发展方程
t , 年龄 [ r , r + dr ]人数
(r , t ) ~ 死亡率
( t , t + dt )内
dt = dr1 死亡人数
t + dt , 年龄 [ r + dr1 , r + dr1 + dr ]人数
p ( r , t ) dr p(r + dr1 , t + dt )dr = (r, t ) p(r, t )drdt
1860 31.4 1870 38.6 1880 50.2 …… 1960 …… 179.3 1970 204.0 1980 226.5 1990 251.4
r=0.2557, xm=392.1 专家估验1
用模型计算2000年美国人口，与实际数据比较 年美国人口， 用模型计算 年美国人口
3.5 x 10
11
马马马马马马马马马马
象。
N/ 马
3
2.5
几何级数的增长
2
1.5
1
0.5
0 1950
2000
2050 t/年
2100
2150
2200
指数增长模型的应用及局限性
与19世纪以前欧洲一些地区人口统计数据吻合 世纪以前欧洲一些地区人口统计数据吻合 适用于 世纪后迁往加拿大的欧洲移民后代 适用于19世纪后迁往加拿大的欧洲移民后代 可用于短期人口增长预测 不符合 世纪后多数地区人口增长规律 不符合19世纪后多数地区人口增长规律 不能预测较长期的人口增长过程 19世纪后人口数据 19世纪后人口数据 不是常数(逐渐下降) 人口增长率r不是常数(逐渐下降)
r~固有增长率 (x很小时 固有增长率 很小时 很小时) xm~人口容量（资源、环境能容纳的最大数量） 人口容量（ 人口容量 资源、环境能容纳的最大数量）
r(xm) = 0
r s= xm
x r ( x ) = r (1 ) xm
dx = rx dt
dx/dt
dx x = r ( x) x = rx(1 ) dt xm
模型检验2 模型检验 用Logistic模型来描述种群增长的规律效果如何呢？1945 Logistic模型来描述种群增长的规律效果如何呢？ 模型来描述种群增长的规律效果如何呢 年克朗皮克（Crombic）做了一个人工饲养小谷虫的实验， 年克朗皮克（Crombic）做了一个人工饲养小谷虫的实验，数 学生物学家高斯（ F Gauss 也做了一个原生物草履虫实验， Gauss） 学生物学家高斯（EFGauss）也做了一个原生物草履虫实验， 实验结果都和Logistic曲线十分吻合。 Logistic曲线十分吻合 实验结果都和Logistic曲线十分吻合。 大量实验资料表明用Logistic模型来描述种群的增长， 大量实验资料表明用Logistic模型来描述种群的增长，效 Logistic模型来描述种群的增长 果还是相当不错的。例如，高斯把 只草履虫放进一个盛有 果还是相当不错的。例如，高斯把5只草履虫放进一个盛有 0.5cm3营养液的小试管，他发现，开始时草履虫以每天 营养液的小试管，他发现，开始时草履虫以每天230.9% 的速率增长，此后增长速度不断减慢， 的速率增长，此后增长速度不断减慢，到第五天达到最大量 375个，实验数据与r=2.309，a=0.006157，N(0)=5的Logistic 个 实验数据与 ， ， 的 曲线： 曲线： 375 N (t ) = 几乎完全吻合， 几乎完全吻合，见图 1 + 74e 2.309 t
x xm xm/2 x0 0 t
0
xm/2
xm x
x (t ) =
xm xm 1) e rt 1+ ( x0
x(t)~S形曲线 形曲线, 形曲线 x增加先快后慢 增加先快后慢
参数估计
用指数增长模型或阻滞增长模型作人口预报， 用指数增长模型或阻滞增长模型作人口预报， 必须先估计模型参数 r 或 r, xm 利用统计数据用最小二乘法作拟合 利用统计数据用最小二乘法作拟合 最小二乘法 例：美国人口数据（单位~百万） 百万） 美国人口数据（单位 百万
背景： 背景：
世界人口增长概况
1625 1830 1930 1960 1974 1987 1999 年 人口(亿 10 20 30 40 50 60 人口 亿) 5 中国人口增长概况 1908 1933 1953 1964 1982 1990 1995 2000 年 人口(亿 人口 亿) 3.0 4.7 6.0 7.2 10.3 11.3 12.0 13.0 研究人口变化规律 控制人口过快增长
常用的计算公式
今年人口 x0, 年增长率 r， k年后人口 年后人口
x k = x 0 (1 + r )
k
指数增长模型——马尔萨斯提出 (1798) 马尔萨斯提出 指数增长模型 )
人口(相对 相对)增长率 是常数,不考虑移民 基本假设 : 人口 相对 增长率 r 是常数 不考虑移民 x(t) :时刻 的人口，则某段时间内人口的增长数目 时刻t的 时刻 人口，
x(2000) = x(1990) + x = x(1990) + rx(1990)[1 x(1990)/ xm ]
x ( 2000 ) = 274 .5
实际为281.4 (百万 百万) 实际为 百万
模型应用1 预报美国2010年的人口 模型应用1——预报美国 预报美国 年的人口 加入2000年人口数据后重新估计模型参数 年人口数据后重新估计模型参数 加入 r=0.2490, xm=434.0 x(2010)=306.0 Logistic 模型在经济领域中的应用(如耐用消 模型在经济领域中的应用( 费品的售量) 费品的售量)