《对数函数》文字素材6(人教B版必修1)
高一必修一对数函数知识点
高一必修一对数函数知识点对数函数是高中数学中的一个重要内容，它涉及到了指数函数和对数函数的关系。
对数函数的学习对于高中数学学习的深入理解和能力的发展非常重要。
本文将为大家介绍高一必修一对数函数的主要知识点，并通过示例来加深理解。
一、对数函数的定义和性质1. 对数函数的定义：对数函数y=loga(x)定义为y=a^x，其中a>0且a≠1。
其中，a称为底数，x称为指数，y称为对数。
2. 对数函数的性质：- 当x>0时，对数函数y=loga(x)是严格单调递增函数。
- 当0<a<1时，对数函数关于x轴对称。
- 当a>1时，对数函数关于y轴对称。
二、对数函数的图像和性质1. 对数函数的图像：对数函数的图像随着底数a的不同而变化，当底数a>1时，对数函数的图像呈现上升的指数形状；当0<a<1时，对数函数的图像呈现下降的指数形状。
2. 对数函数的常用性质：- 对数函数的定义域为(0, +∞)，值域为(-∞, +∞)。
- 对数函数的图像经过点(1, 0)，即loga(1) = 0。
- 对数函数在x=1时取到最小值，即loga(1) = 0。
- 对数函数在x→+∞时，值趋近于正无穷；在x→0+时，值趋近于负无穷。
三、对数函数的基本性质1. 对数函数的指数运算：- loga(xy) = loga(x) + loga(y)- loga(x/y) = loga(x) - loga(y)- loga(x^p) = p·loga(x)2. 对数函数的换底公式：- loga(x) = logb(x) / logb(a)四、对数方程和对数不等式1. 对数方程的求解：- 求解对数方程时，需要根据对数函数的性质来进行等式变形和求解。
2. 对数不等式的求解：- 求解对数不等式时，需要根据对数函数的性质来确定不等式的取值范围。
五、常用对数的计算常用对数是以10为底的对数，用logx表示。
高一必修一《对数函数》知识点
高一必修一《对数函数》知识点高一必修一《对数函数》知识点数学是研究数量、结构、变化、空间以及信息等概念的一门学科，下面是小编整理的高一必修一《对数函数》知识点，希望对大家有帮助!1.对数(1)对数的定义：如果ab=N(a>0，a≠1)，那么b叫做以a为底N的对数，记作logaN=b.(2)指数式与对数式的关系：ab=NlogaN=b(a>0，a≠1，N>0).两个式子表示的a、b、N三个数之间的关系是一样的，并且可以互化.(3)对数运算性质:①loga(MN)=logaM+logaN.②loga(M/N)=logaM-logaN.③logaMn=nlogaM.(M>0，N>0，a>0，a≠1)④对数换底公式：logbN=(logab/logaN)(a>0，a≠1，b>0，b≠1，N>0).2.对数函数(1)对数函数的定义函数y=logax(a>0，a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的`定义域是(0，+∞).注意：真数式子没根号那就只要求真数式大于零,如果有根号,要求真数大于零还要保证根号里的式子大于零，底数则要大于0且不为1 对数函数的底数为什么要大于0且不为1呢?在一个普通对数式里a<0,或=1 的时候是会有相应b的值的。
但是，根据对数定义: logaa=1;如果a=1或=0那么logaa就可以等于一切实数(比如log1 1也可以等于2，3，4，5，等等)第二，根据定义运算公式：loga M^n = nloga M 如果a<0,那么这个等式两边就不会成立 (比如，log(-2) 4^(-2) 就不等于(-2)*log(-2) 4;一个等于1/16，另一个等于-1/16(2)对数函数的性质:①定义域：(0，+∞).②值域：R.③过点(1，0)，即当x=1时，y=0.④当a>1时，在(0，+∞)上是增函数;当0。
【数学】3.2.2《对数函数的图像与性质》课件(新人教B版必修1)
情感态度价值观目标：
通过本节课的学习增强学生的数形结合思想.
作业: P104.练习A 1—3
练习B 1
y l og1 x
2
-1 -2
3
思考：对数函数:y = loga x (a＞0,且a≠ 1) 图象随着a
的取值变化图象如何变化？有规律吗？
y 规律：在x轴 2 x 上方图象自左 1 11 向右底数越来 4 2 0 越大！ 1 2 3 4 -1 -2
y log2 x
y log3 x
x
y log1 x
比较下列各组中，两个值的大小： （1） log23.4与 log28.5
解： 考察函数y=log 2 x ,
∵a=2 > 1, ∴函数在区间（0，+∞） 上是增函数； ∵3.4<8.5 ∴ log23.4< log28.5
比较下列各组中，两个值的大小： （2） log 0.3 1.8与 log 0.3 2.7
注意：若底数不确定，那就要对底数进行分类讨论 即0<a<1 和 a > 1
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1、函数f(x)＝ln(x2－x)的定义域为(
)
A．(0,1)
B．[0,1]
)
C．(－∞，0)∪(1，＋∞) D．(－∞，0]∪[1，＋∞) － 2． (2014· 天津文， 4)设 a＝log2π， b＝log1 π， c＝π 2， 则(
自左向右看图象逐渐上升 在(0,+∞)上是： 增函数
探究：对数函数:y = loga x (a＞0,且a≠ 1) 图象与性质
探索发现:认 真观察函数
y 2
y log1
人教B版高中数学必修一 对数函数 课件课件PPT
28. 一切能激发生机的思想都是美好的。敌人只有一个，那就是自私，它能使生命的泉水变得浑浊而枯竭，它能使心灵的天空变得狭窄而阴暗 ，它能使理想的星辰变得昏暗而模糊。努力激发你心中的光明和力量，激发那无私的爱和奉献的喜悦。
4、办事贵有定见，不贵有成见，定见者，在我之知识学问，不与世为推移者也。 57. 没有哪种教育能及得上逆境。 5. 平凡的脚步也可以走完伟大的行程。 4. 取其让性命生锈，不如让性命领光发烧。 28、竞争颇似打网球，与球艺胜过你的对手比赛，可以提高你的水平。 21、成功的法则极为简单，但简单并不代表容易。 40. 人之所以有一张嘴，而有两只耳朵，原因是听的要比说的多一倍。 53、路就在你脚下，只要走，就能到达远方。 8、道虽迩不行不至，事虽少不为不成。 30. 当你感到悲哀痛苦时，最好是去学些什么东西。学习会使你永远立于不败之地。 10、生活中许多人是习惯性羚羊思维的牺牲品。通常，问题并不是在他们朝目标努力的过程中犯错，而是他们没有坚持继续向目标努力。 23. 不要评价别人的家庭，因为那和你无关。不要评价别人的学问，因为世上最不缺的就是学问。总之，不要评价任何人，哪怕是你的家人。
2… -2 …
y
描
2
点
1
11
42
0 1 23 4
x
连
-1
线
-2
★
复习:指数函数图象及性质：
a>1
0<a<1
高中数学人教版B必修一 第3章 3.2 3.2.2 对数函数
3.2.2对数函数学习目标：1.理解对数函数的概念、图象及性质．(重点)2.根据对数函数的定义判断一个函数是否为对数函数．(易混点)3.初步掌握对数函数的图象和性质，会解与对数函数相关的定义域、值域问题．(难点)[自主预习·探新知]1．对数函数的定义一般地，我们把函数y＝log a x(a＞0且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域为(0，＋∞)．2．对数函数y＝log a x(a>0且a≠1)的图象与性质思考：函数y＝log a x(a>0且a≠1)的底数变化对图象位置有何影响？图3-2-1[提示]观察图象，总结变化规律：(1)上下比较：在直线x＝1的右侧，a>1时，a越大，图象越靠近x轴，0<a<1时，a越小，图象越靠近x轴．(2)左右比较(比较图象与y＝1的交点)交点的横坐标越大，对应的对数函数的底数越大．[基础自测]1．思考辨析(1)函数y＝log x 12是对数函数．()(2)函数y＝2log3x是对数函数．()(3)函数y＝log3(x＋1)的定义域是(0，＋∞)．()[解析](1)×.对数函数中自变量x在真数的位置上，且x>0，所以(1)错；(2)×.在解析式y＝log a x中，log a x的系数必须是1，所以(2)错；(3)×.由对数式y＝log3(x＋1)的真数x＋1>0可得x>－1，所以函数的定义域为(－1，＋∞)，所以(3)错．[答案](1)×(2)×(3)×2．函数f(x)＝x－1＋lg x的定义域是()A．(0，＋∞)B．(0,1)C．[1，＋∞) D．(1，＋∞)C [∵⎩⎨⎧x －1≥x >0∴x ≥1.]3．下列不等号连接错误的一组是( ) A ．log 0.52.2>log 0.52.3 B ．log 34>log 65 C ．log 34>log 56D ．log πe>log e πD [函数y ＝log πx 在定义域上单调递增，e<π，则log πe<log ππ＝1.同理，log e π>log e e ＝1，则log πe<log e π.故D 错误．]4．函数y ＝log (3a －1)x 是(0，＋∞)上的减函数，则实数a 的取值范围是________.【导学号：60462229】⎝ ⎛⎭⎪⎫13，23 [由题意可得0<3a －1<1， 解得13<a <23，所以实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫13，23.][合 作 探 究·攻 重 难](1)①y ＝log x 2；②y ＝log a x (a ∈R )；③y ＝log 8x ；④y ＝ln x ；⑤y ＝log x (x ＋2)；⑥y ＝2log 4x ；⑦y ＝log 2(x ＋1)．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 (2)若对数函数f (x )的图象过点(4，－2)，则f (8)＝________.[思路探究] (1)根据对数函数的定义进行判断；(2)设出对数函数的解析式，利用条件求出其解析式，可得f (8)的值．[解析] (1)由于①中自变量出现在底数上，∴①不是对数函数；由于②中底数a ∈R 不能保证a >0，且a ≠1，∴②不是对数函数；由于⑤⑦的真数分别为(x ＋2)，(x ＋1)，∴⑤⑦也不是对数函数；由于⑥中log 4x 的系数为2，∴⑥也不是对数函数；只有③④符合对数函数的定义．(2)由题意设f (x )＝log a x ，则f (4)＝log a 4＝－2，所以a －2＝4，故a ＝12， 即f (x )＝log 12x ，所以f (8)＝log 128＝－3.[答案] (1)B (2)－3[规律方法] 1.判断一个函数是对数函数必须是形如y ＝log a x (a >0且a ≠1)的形式，即必须满足以下条件：(1)底数a >0且a ≠1；(2)自变量x 在真数的位置上，且x >0；(3)在解析式y ＝log a x 中，log a x 的系数必须是1，真数必须是x .2．对数函数的解析式的值中只有一个参数a ，故用待定系数法求对数函数的解析式时只需一个条件即可求出．[跟踪训练]1．若函数f (x )＝log (a ＋1)x ＋(a 2－2a －8)是对数函数，则a ＝________.【导学号：60462230】4[由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧a 2－2a －8＝0，a ＋1>0，a ＋1≠1，解得a ＝4.]3A ．0 B ．1 C ．2D ．3(2)求下列函数的定义域： ①y ＝lg (2－x )； ②f (x )＝lg (4－x )x －3；③y ＝log (2x －1)(－4x ＋8)．[思路探究] (1)代入a 的值⇒对数运算⇒解方程． (2)对数函数的性质⇒构建不等式组⇒解不等式组． [解析] (1)∵f (a )＝1，∴log 3(a ＋1)＝1，即a ＋1＝3，∴a ＝2.故选C. [答案] C(2)①由题意得⎩⎪⎨⎪⎧lg (2－x )≥0，2－x >0，即⎩⎪⎨⎪⎧2－x ≥1，2－x >0，也即x ≤1.故函数y ＝lg (2－x )的定义域为{x |x ≤1}． ②由⎩⎪⎨⎪⎧4－x >0，x －3≠0，得x <4且x ≠3.∴所求定义域为(－∞，3)∪(3,4)． ③由题意得⎩⎪⎨⎪⎧－4x ＋8>0，2x －1>0，2x －1≠1，解得⎩⎨⎧x <2，x >12，x ≠1.故函数y ＝log (2x －1)(－4x ＋8)的定义域为{x ⎪⎪⎪12<x <2且x ≠1}.母题探究：1.(变条件)把本例(2)①函数变成“y＝”，结果如何？[解] 由题意可知所以⎩⎪⎨⎪⎧2－x ≤1，2－x >0，即1≤x <2.故函数y ＝的定义域为{x |1≤x <2}．2．(变结论)把本例(2)①中x 的范围限定为[－8,1]，求函数的值域． [解] 因为y ＝lg (2－x )在x ∈[－8,1]上为减函数，所以y max ＝lg (2＋8)＝1，y minlg (2－1)＝0.所以函数的值域为[0,1]．[规律方法] 求与对数函数有关的定义域时应注意的两点(1)要遵循以前已学习过的求定义域的方法，如分式分母不为零，偶次根式被开方式大于或等于零等．(2)遵循对数函数自身的要求：一是真数大于零；二是底数大于零且不等于1；三是按底数的取值应用单调性，有针对性的解不等式．提醒：函数的定义域最后的结果一定要用集合的形式表示．[探究问题1．对数函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)的图象过哪一定点？函数f (x )＝log a (2x －1)＋2(a >0且a ≠1)的图象又过哪一定点呢？提示：对数函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)的图象过定点(1,0)；在f (x )＝log a (2x －1)＋2中，令2x －1＝1，即x ＝1，则f (x )＝2，所以函数f (x )＝log a (2x －1)＋2(a >0且a ≠1)的图象过定点(1,2)．2．从左向右，对数函数y＝log a x(a>0且a≠1)的图象呈上升趋势还是下降趋势？其图象是上凸还是下凸？提示：当0<a<1时，对数函数y＝log a x(a>0且a≠1)的图象从左向右呈下降趋势，此时其图象下凸；当a>1时，对数函数y＝log a x(a>0且a≠1)的图象从左向右呈上升趋势，此时其图象上凸．3．如图3-2-2，曲线C1，C2，C3，C4分别对应y＝log a1x，y＝log a2x，y＝log a3x，y＝log a4x的图象，你能指出a1，a2，a3，a4以及1的大小关系吗？图3-3-2提示：作直线y＝1，它与各曲线C1，C2，C3，C4的交点的横坐标就是各对数的底数，由此可判断出各底数的大小必有a4>a3>1>a2>a1>0.(x＋c)(a，c为常数．其中a>0，a≠1)的图象如图(1)已知函数y＝log3-2-3，则下列结论成立的是()【导学号：60462231】图3-2-3A．a>1，c>1B．a>1,0<c<1C．0<a<1，c>1D．0<a<1,0<c<1(2)已知函数f(x)＝|lg x|，若0<a<b，且f(a)＝f(b)，则a＋2b的取值范围是() A．(22，＋∞)B．[22，＋∞)C．(3，＋∞) D．[3，＋∞)[思路探究](1)已知对数函数的图象⇒图象平移规律求解．(2)作对数函数图象⇒图象变换⇒构建关于a，b的方程⇒研究函数单调性求解．[解析](1)∵函数单调递减，∴0<a<1，当x＝1时，log a(x＋c)＝log a(1＋c)<0，即1＋c>1，∴c>0，当x＝0时，log a(x＋c)＝log a c>0，即c<1.∴0<c<1，故选D.(2)因为f(a)＝f(b)，所以|lg a|＝|lg b|所以a＝b(舍去)或b＝1a，所以a＋2b＝a＋2a，又0<a<b，所以0<a<1<b，令f(a)＝a＋2 a.由“对勾”函数的性质知f(a)在a∈(0,1)上为减函数，所以f(a)>f(1)＝1＋2 1＝3.即a＋2b的取值范围是(3，＋∞)，故选C.[答案](1)D(2)C[规律方法] 1.画对数函数图象时要注意的问题(1)明确图象位置：对数函数图象都在y轴右侧，当x趋近于0时，函数图象会越来越靠近y轴，但永远不会与y轴相交．(2)强化讨论意识：画对数函数图象之前要对底数a的取值范围是a>1，还是0<a<1进行判断．(3)牢记特殊点：对数函数y＝log a x(a>0，且a≠1)的图象经过点(1,0)，(a,1)和⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，－1. 2．常见的函数图象的变换技巧(1)y ＝f (x )―――――――――――→保留y 轴右边的图象并作关于y 轴对称的图象y ＝f (|x |)．(2)y ＝f (x )―――――――――――→保留x 轴上方的图象将x 轴下方的图象翻折上去y ＝|f (x )|.(3)y ＝f (x )―――――→关于y 轴对称y ＝f (－x )． (4)y ＝f (x )―――――→关于x 轴对称y ＝－f (x )． [跟踪训练]3．函数y ＝a －x 与y ＝log a (－x )的图象可能是( )C [∵在y ＝log a (－x )中，－x ＞0，∴x ＜0，∴图象只能在y 轴的左侧，故排除A 、D ；当a ＞1时，y ＝log a(－x )是减函数，y ＝a －x ＝⎝⎛⎭⎪⎫1a x是减函数，故排除B ； 当0＜a ＜1时，y ＝log a (－x )是增函数，y ＝a －x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a x 是增函数，∴C 满足条件，故选C.][当 堂 达 标·固 双 基]1．已知函数f (x )＝11－x的定义域为M ，g (x )＝ln(1＋x )的定义域为N ，则M ∩N 等于( )A ．{x |x >－1}B ．{x |x <1}C ．{x |－1<x <1}D ．∅C [由题意得M ＝{x |x <1}，N ＝{x |x >－1}，则M ∩N ＝{x |－1<x <1}．]2．函数f(x) ＝log(x2－4)的单调递增区间是()【导学号：60462232】A．(0，＋∞) B．(－∞，0)C．(2，＋∞) D．(－∞，－2)D[函数y＝f(x)的定义域为(－∞，－2)∪(2，＋∞)，因为函数y＝f(x)是由y ＝log t与t＝g(x)＝x2－4复合而成，又y＝log t在(0，＋∞)上单调递减，g(x)在(－∞，－2)上单调递减，所以函数y＝f(x)在(－∞，－2)上单调递增．] 3．若f(x)是对数函数，且f(2)＝2，则f(x)＝________.log2x[设f(x)＝log a x(a>0且a≠1)，则f(2)＝log a2＝2，即a＝2，所以f(x)＝log2x.]4．函数f(x)＝log2(3x＋1)的值域是________．(0，＋∞)[∵3x＋1>1，且y＝log2x在(1，＋∞)上单调递增，∴log2(3x＋1)>log21＝0，故函数f(x)的值域是(0，＋∞)．]5．已知f(x)＝log3x.(1)作出这个函数的图象；(2)当0<a<2时，利用图象判断是否有满足f(a)>f(2)的a值．[解](1)作出函数y＝log3x的图象如图所示：(2)令f(x)＝f(2)，即log3x＝log32，解得x＝2.由如图所示的图象知：当0<a<2时，恒有f(a)<f(2)．故当0<a<2时，不存在满足f(a)>f(2)的a值．。
对数函数高一必修一知识点
对数函数高一必修一知识点对数函数是高一必修一数学课程中的重要知识点之一。
它是解决指数函数的反问题时所应用的数学工具。
在实际应用中，对数函数起着很大的作用。
本文将介绍对数函数的基本定义、性质及其在实际生活中的应用。
一、对数函数的基本定义对数函数的定义基于指数函数，而指数函数又是以指数为底数的常数幂函数。
设a是一个正实数，且a ≠ 1，x是任意实数，则以a为底数的对数函数定义如下：y = logₐx其中，a称为底数，x称为真数，y称为以a为底x的对数。
二、对数函数的性质1. 定义域和值域：由对数函数的定义可知，底数a为正实数且a ≠ 1，因此对数函数的定义域为(0, +∞)。
而对数函数的值域则为R（实数集）。
2. 对数函数的图象特点：对数函数y = logₐx的图象是一条曲线，对于a > 1时，该曲线从左下方逐渐上升，且永远不会超过x轴；对于0 < a < 1时，该曲线从左上方逐渐下降，且永远不会超过x轴。
此外，对于任意a 值，对数函数的图象均会通过点(1, 0)。
3. 对数函数的性质：（1）相等性质：logₐa = 1，即a的以a为底的对数等于1。
（2）互逆性质：logₐa = x 等价于aˣ = a。
（3）对数的连乘性：logₐ(ab) = logₐa + logₐb。
（4）对数的连除性：logₐ(a/b) = logₐa - logₐb。
（5）对数的连乘法则：logₐaⁿ = nlogₐa。
（6）对数的换底公式：logₐx = logᵦx / logᵦa。
三、对数函数在实际生活中的应用1. 比特率计算：对数函数在信息论中扮演着重要的角色。
在计算机科学中，比特率常被用于衡量数据传输的速率。
其计算公式为：log₂N，其中N为表示不同状态的离散符号数量。
对数函数在这里帮助我们将离散的符号数量转化为连续的比特率。
2. pH值计算：生活中，我们经常会用到pH值来衡量一个溶液的酸碱程度。
人教B版必修一3.2.2《对数函数》3
1 2 [ f ( x1 )
f ( x2 )]
的大小，并利用函数图象给予几何解释.
求下列函数的值域。
y
log
4
(3x
1)
1 2
log
2
(
x
1),
x
0,1
求函数 y log2 (x2 2x 3) 的单调区间。
x∈(0, 1)时，y>0 x∈(1, +∞)时，y<0.
在(0,+∞)上是增函数 在(0,+∞)上是减函数
Ⅰ Ⅱ
Ⅳ Ⅲ
思考：底数a是如何影响函数y=logax的? 规律:在第一象限内，自左向右， 图象对应的对数函数的底数逐渐变大.
Ⅰ Ⅱ
Ⅳ Ⅲ
比较a、b、c、d、1、0的
y
大小。y=logd x
画出函数y=log2|x|的图象，并根据 图象写出函数的单调区间。 出函数y=|log2x|的图象，并根据 图象写出函数的单调区间。
画出函数
y=log2x, y=log2(-x), y=-log2x 的大致图象。
已知f(x)＝logax (a＞0, a≠1)，当0＜x1＜
x2时，试比较
f ( x1 x2 ) 与 2
1
0 ba1 d
y=logc x
c
x
y=logb x
y=loga x
答：0<b<a<1<d<c
说明以下几个函数的图象与 函数y=log3x的图象的关系。
y=log3x+2
y=log3(x+2) y=log3x
y=log3(x-2)
y=log3x-2
2024-2025学年高一数学必修第一册(人教B版)对数函数的性质与图像-课件
图像
性质
定义域 值域 奇偶性 单调性 过定点
(0, )
R
非奇非偶函数
增函数
减函数
(1, 0)
例1. 比较下列各组数中两个值的大小： ⑴ log 23.4 , log 23.5
例1. 比较下列各组数中两个值的大小： y
⑴ log 23.4 , log 23.5
y=log 2x
O
解 ⑴因为函数 y = log 2x在(0,+∞)上是增函数, 又因为 3.4 ＜ 3.5, 所以 log 23.4＜log 23.5 .
y log1 x
x…
3
1
1
1
Байду номын сангаас
1
2
4
（4）单调性 >1时,增函数； 0< <1时,减函数 ；
8 … （5）过定点 ( 1,0) .
27 9 3
y … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
探究对数函数的性质：
y ＝log ax （1）定义域是( 0,＋∞)；
（2）值域是R；
（3）非奇非偶函数;
（4）单调性是 >1时，增函数； 0< <1时,减函数 ；
对数函数的概念：
一般地，函数y ＝log ax ( a > 0 ,且 a ≠ 1 )称为对数函数. 研究一个函数的一般过程：
定义——性质——图像——应用.
探究对数函数的性质：
y log2 x
（1）定义域 ( 0,＋∞)；
x … 1 1 1 1 2 4 8 … （2）值域
8 42
y … -3 -2 -1 0 1 2 3 … （3）奇偶性
谢谢.
引入概念：
2019版数学人教B版必修1课件：3.2.2 对数函数 .pdf
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【做一做2-3】 若a>0,且a≠1,则函数y=loga(x-1)-1的图象恒过
点
.
解析:由函数y=logax的图象恒过点(1,0)可知, 当x-1=1,即x=2时,y=-1.
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3.2.2 对数函数
12
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【做一做 1-1】 给出以下函数:①y=-log3x;②
y=log 3������; ③y=logx4;④y=2log5x;⑤y=log2(x-2);⑥y=log2(4x).其中是
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归纳总结1.对数函数的图象都经过定点(1,0)是因为不论a取何值,
总有loga1=0.对于函数y=logaf(x)+b(a>0,a≠1),若令f(x)=1,解得x=x0, 则该函数图象一定经过定点(x0,b).
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3.2.2 对数函数
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高中数学《对数函数》文字素材新人教B版必修
对数函数中与二次函数有关的问题一、对数函数与二次函数的有关复合函数的单调性问题例1．求函数)32(log 221--=x x y 的单调区间，并用单调定义给予证明解：定义域 130322-<>⇒>--x x x x 或单调减区间是),3(+∞ 设2121),3(,x x x x <+∞∈且 则)32(log 121211--=x x y )32(log 222212--=x x y---)32(121x x )32(222--x x =)2)((1212-+-x x x x∵312>>x x ∴012>-x x 0212>-+x x ∴)32(121--x x >)32(222--x x 又底数1210<< ∴012<-y y 即 12y y < ∴y 在),3(+∞上是减函数同理可证：y 在)1,(--∞上是增函数例2.已知y=a log (2-xa )在［0，1］上是x 的减函数，求a 的取值范围. 解：∵a ＞0且a ≠1当a ＞1时，函数t=2-xa >0是减函数由y=a log (2-xa )在［0，1］上x 的减函数，知y=a log t 是增函数， ∴a ＞1由x ∈［0，1］时，2-xa ≥2-a ＞0,得a ＜2, ∴1＜a ＜2当0<a<1时，函数t=2-xa >0是增函数由y=a log (2-xa )在［0，1］上x 的减函数，知y=a log t 是减函数， ∴0<a<1由x ∈［0，1］时，2-xa ≥2-1＞0, ∴0<a<1 综上述，0<a<1或1＜a ＜2例3.（天津卷）已知函数)(x f y =的图象与函数xa y =（0>a 且1≠a ）的图象关于直线x y =对称，记]1)2(2)()[()(-+=f x f x f x g ．若)(x g y =在区间]2,21[上是增函数，则实数a 的取值范围是（ ）A ．),2[+∞B ．)2,1()1,0(YC ．)1,21[D ．]21,0(解析：已知函数)(x f y =的图象与函数xa y =（0>a 且1≠a ）的图象关于直线x y =对称,则()log a f x x =，记()()[()(2)1]g x f x f x f =+-=2(log )(log 21)log a a a x x +-．当a >1时，若)(x g y =在区间]2,21[上是增函数，log a y x =为增函数，令log a t x =，t ∈[1log 2a, log 2a ]，要求对称轴log 211log 22a a --≤，矛盾；当0<a <1时，若)(x g y =在区间]2,21[上是增函数，log a y x =为减函数，令log a t x =，t ∈[log 2a ,1log 2a ]，要求对称轴log 211log 22a a --≥，解得12a ≤,所以实数a 的取值范围是]21,0(,选D. 二、对数函数与二次函数的有关复合函数的定义域、值域问题例4 求下列函数的定义域、值域：（1）)52(log 22++=x x y （2）)54(log 231++-=x x y（3）)(log 2x x y a --=10(<<a解：（1）∵44)1(5222≥++=++x x x 对一切实数都恒成立 ∴函数定义域为R从而24log )52(log 222=≥++x x 即函数值域为,2[+∞（2）要使函数有意义，则须：5105405422<<-⇒<--⇒>++-x x x x x由51<<-x ∴在此区间内 9)54(max 2=++-x x∴ 5402≤++-≤x x从而 29log )54(log 31231-=≥++-x x 即：值域为2-≥y∴定义域为[-1,5]，值域为,2[+∞-（3）要使函数有意义，则须：⎩⎨⎧≥-->--)2(0)(log )1(022x x x x a由①：01<<-x由②：∵10<<a 时 则须 12≤--x x ，R x ∈ 综合①②得 1<<-x 当01<<-x 时 41)(max 2=--x x ∴4102≤--<x x ∴41log )(log 2aa x x ≥-- ∴ 41log a y ≥∴定义域为(-1,0)，值域为)41log [∞+，a例5、已知函数2log (1)(0,1)a y x mx a a =++≠f（1） 若定义域为(,)-∞+∞，求m 的取值范围； （2） 若值域为(,)-∞+∞，求m 的取值范围. 解：（1）由题意知，210x mx ++f 对任意实数x 恒成立所以 240m ∆=-p 解得：22m -p p（3） 设21v x mx =++，则log a y v = 因为函数y 的值域是(,)-∞+∞， 所以240m ∆=-≥ 解得： 22m m ≥≤-或评注：这是一个由对数函数log a y v =与二次函数21v x mx =++复合而成的“对数型函数”的问题。
人教B版高中数学必修一对数函数文字素材
“同正异负” 你注意到了吗结合对数函数的图象，我们可以归纳出下面的重要性质．性质：在对数函数y =log a x （a ＞0且a ≠1）中，（1）若0＜a ＜1且0＜x ＜1，或a ＞1且x ＞1，则有y ＞0；（2）若0＜a ＜1且x ＞1，或a ＞1且0＜x ＜1，则有y ＜0．以上性质可以简称为：同区间为正，异区间为负．在对数函数的学习中，以上性质往往容易被忽视，但它恰恰就是解决一些对数函数问题的关键所在．下面结合几个实例加以分析．例1 如果log a 3＞log b 3＞0，那么a ，b 间的关系是（ ）．（A ）0＜a ＜b ＜1 （B ）1＜a ＜b（C ）0＜b ＜a ＜1 （D ）1＜b ＜a解析：由于log a 3＞log b 3＞0，3＞1，结合“同区间为正”可得：a ＞1，b ＞1，又由log a 3＞log b 3＞0得33110log log a b>>， 即log 3b ＞log 3a ，所以b ＞a ，所以b ＞a ＞1，故选（B ）．例2 若定义在区间（－１，０）内的函数f （x ）=log 2a （x +1）满足f （x ）＞0，则a 的取值范围是（ ）．（A ）102⎛⎫ ⎪⎝⎭， （B ）102⎛⎤ ⎥⎝⎦， （C ）12⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭， （D ）（０，＋∞）解析：∵-1＜x ＜0，∴0＜x +1＜1，又f （x ）＞0，结合“同区间为正”可得：０＜2a ＜1，解得0＜a ＜12，故选（A ）． 例3 已知11log log 44a a =，且｜logb a ｜=-log b a ，则有（ ）． （A ）a ＞1且b ＞1 （B ）0＜a ＜1且b ＞1（C ）a ＞1且0＜b ＜1 （D ）0＜a ＜1且0＜b ＜1 解析：∵11log log 44a a =，∴1log 4a ＞0同理可得logb a ＜0．结合同区间为正，异区间为负，得0＜a ＜1，b ＞1，故选（B ）． 例4 设0＜a ＜1，函数f （x ）=log a （a 2x -2a x -2），则使f （x ）＜0的x 的取值范围是（ ）．（A ）（-∞，0） （B ）（０，＋∞）（C ）（－∞，log a 3） （D ）（log a 3，＋∞）解析：由于０＜a ＜1，由“异区间为负”可得：a 2x -2a x -2＞1，则（a x -3）（a x +1）＞0，所以a x ＞3，即x ＜log a 3，故可排除（A ）、（B ）、（D ），选（C ）．例5 若log 2a 211a a++＜0，则a 的取值范围是（ ）． （A ）12⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭， （B ）（１，+∞） （C ）112⎛⎫⎪⎝⎭，（D ） 102⎛⎫ ⎪⎝⎭， 解析：由“异区间为负”可得：2021111a a a <<⎧⎪⎨+>⎪+⎩，，或2211011a a a >⎧⎪⎨+<<⎪+⎩，． 解得12＜a ＜1，故选（C ）．。
人教B版高中数学必修一课件-3.2.2 对数函数
1.对数函数的概念
y log x(a 0且a 1, x 0) a
2.对数函数的图像与性质
对数函数
a 1
0 a 1
图像
定义域 值域
过定点 单调性
(0,+∞)
R (1,0)，即当x=1时，y=0 在定义域上增 在定义域上减
y log x 2 y log x 3 y log x a
(1)y= lg (2 x).
1
(2)y=
log3 (3x
. 2)
(3)y=log(2x-1)(-4x+8).
课时自测
课时小结 1. 2. 3.
课后作业 1.课时作业3.2.2 2.微课预习下一节课内容
与君共勉
谢谢
y log1 x
a
y log1 x
3
y log1 x
2
限时小测
典例分析
类型一 对数函数概念的应用
【典例】1.下列给出的函数：
①y=log5x+1； ②y=logax2(a>0，且a≠1)；
③ y log x； (y=logx 3(x>0，且x≠1)；⑥y= log 2 x.
其中是对数函数的为( )
A.③④⑤ B.②④⑥ C.①③⑤⑥ D.③⑥
类型一 对数函数概念的应用
【典例】 2.(2016·淄博高一检测) 若函数 y=log(2a-1)x+(a2-5a+4)是对数函数，则 a=______.
类型一 对数函数概念的应用 【典例】 3.已知对数函数的图象过点
(
1 ， 16
4)，则
f(4)=_____.
类型二 与对数函数有关的函数定义域、函数值 问题
人教B版高中数学必修一对数及其运算文字素材
对数及其性质●知识梳理（1）对数的定义：如果a （1,0≠a a φ）的b 次幂等于N ，就是N a b =，数b 就叫做以a 为底的N 的对数，记作b N a =log （1,0≠a a φ，负数和零没有对数）；其中a 叫底数，N 叫真数. （2）指数式与对数式的关系：a b =N ⇔log a N =b （a ＞0，a ≠1，N ＞0）.两个式子表示的a 、b 、N 三个数之间的关系是一样的，并且可以互化.（3）对数运算性质:()na n a a a cb a b b a N a na a n a a a a a a a a a a a a cb a NN Na M n M M n M N M NM N M N M n a 1121log log ...log log 1log log log log log log log 1log log log log log log log log )(log 32log )12)1(=⋅⋅⋅⇒=⋅⋅===±=-=+=⋅-推论：换底公式： （以上10且...a a ,a 1,c 0,c 1,b 0,b 1,a 0,a 0,N 0,M n 21≠≠≠≠φφφφφφ）注（1）当0,πb a 时，)log()log()log(b a b a -+-=⋅.（2）当0φM 时，取“+”，当n 是偶数时且0πM 时，0φn M ，而0πM ，故取“—”. 例如：x x x a a a log 2(log 2log 2Θ≠中x ＞0而2log x a 中x ∈R ）.⑵x a y =（1,0≠a a φ）与x y a log =互为反函数.●例题讲解例1已知lg2=0.3010,lg3=0.4771,求lg1.44的值.分析：此题应注意已知条件中的真数2，3，与所求中的真数有内在联系，故应1.44进行恰当变形：1.44=1.22=(3×22×10-1)2，然后应用对数的运算性质即可出现已知条件的形式.解：lg1.44=lg(3×22×10-1)2=2(lg3+2lg2-1)=2(0.4771+2×0.3010-1)=0.1582评述：此题应强调学生注意已知与所求的内在联系.例2已知log a x =log a c +b ,求x分析：由于x 作为真数，故可直接利用对数定义求解；另外，由于等式右端为两实数和的形式，b 的存在使变形产生困难，故可考虑将log a c 移到等式左端，或者将b 变为对数形式.解法一：由对数定义可知：x =b b c b c a c a a a a a ⋅=⋅=+log log解法二：由已知移项可得log a x -log a c =b即log a b cx = 由对数定义知:b ac x = ∴x =c ·a b解法三：∵b =log a a b∴log a x =log a c +log a a b =log a c ·a b∴x =c ·a b评述：此题有多种解法，体现了基本概念和运算性质的灵活运用，建议解答不要直接给出，最后引导学生得出，可加强学生对于对数定义及运算性质的理解.举一反六：一、 用log a x ，log a y ，log a z 表示下列各式：（1）log a z xy ； （2）log a 32zy x ． 解：（1）log a zxy ＝ log a （xy ）－ log a z＝ log a x ＋log a y －log a z ；（2）log a 32z y x＝ log a （x 2y ）－log a （3z ） ＝ log a x 2＋log ay －log a 3z ＝ 2log a x ＋21log a y －31log a z ． 二、 求下列各式的值：（1）log 2（47×25）； （2）lg 5100．解：（1）log 2（47×25）＝ log 247＋ log 225＝ 7log 24＋5 log 22＝7×2＋5×1＝19；（2）lg 5100 ＝51lg102 ＝52lg10＝25． 三、运用对数的运算性质做下列三题1.已知log 312=a ,试用a 表示log 324.2.已知log 52=a ,求2log 510+log 50.5的值.3.已知log 147=a ,log 145=b ,求log 3528.解：1.∵ｌｏｇ３１２＝ｌｏｇ３３×２２＝ｌｏｇ３３＋ｌｏｇ３２２＝１＋２ｌｏｇ３２由ｌｏｇ３１２＝ａ得１＋２ｌｏｇ３２＝ａ∴ｌｏｇ３２＝21-a 又ｌｏｇ３２４＝ｌｏｇ３（３×２３）＝ｌｏｇ３３＋ｌｏｇ３２３＝１＋３ｌｏｇ３２＝１＋３31321+=-a a 2.２ｌｏｇ５１０＋ｌｏｇ５０.５＝２ｌｏｇ５（５×２）＋ｌｏｇ５21 ＝２（ｌｏｇ５５＋ｌｏｇ５２）＋ｌｏｇ５２－１ ＝２＋２ｌｏｇ５２－ｌｏｇ５２＝２＋ｌｏｇ５２＝２＋ａ3.ｌｏｇ３５２８＝ｌｏｇ３５（４×７）＝ｌｏｇ３５２２＋ｌｏｇ３５７＝２ｌｏｇ３５２＋ｌｏｇ３５７＝２ｌｏｇ３５714＋ｌｏｇ３５７ ＝２ｌｏｇ３５１４－２ｌｏｇ３５7＋ｌｏｇ３５７＝２ｌｏｇ３５１４－ｌｏｇ３５７b a a +-=+-=⨯-=-=27log 5log 7log 275log 7log 235log 7log 35log 14log 2141414141414141414四、已知ｘ的对数，求ｘ：(1)ｌｇｘ＝ｌｇａ＋ｌｇｂ；（２）ｌｏｇａｘ＝ｌｏｇａｍ－ｌｏｇａｎ；（３）ｌｇｘ＝３ｌｇｎ＋ｌｇｍ；（４）ｌｏｇａｘ＝21ｌｏｇａｂ－ｌｏｇａｃ. 解：(1)ｌｇｘ＝ｌｇａ＋ｌｇｂ＝ｌｇ（ａｂ）∴ｘ＝ａｂ；(2)ｌｏｇａｘ＝ｌｏｇａｍ－ｌｏｇａｎ＝ｌｏｇａn m ∴ｘ＝nm (3)ｌｇｘ＝３ｌｇｎ＋ｌｇｍ＝ｌｇｎ３＋ｌｇｍ＝ｌｇｎ３ｍ∴ｘ＝ｎ３ｍ；(4)ｌｏｇａｘ＝21ｌｏｇａｂ－ｌｏｇａｃ＝ｌｏｇａ21b －ｌｏｇａｃ ＝ｌｏｇａcb∴ｘ＝cb . 五、化简：lg 25+lg2·lg50解：ｌｇ２５＋ｌｇ２·ｌｇ５０＝ｌｇ２５＋ｌｇ２·ｌｇ（５２×２） ＝ｌｇ２５＋ｌｇ２（２ｌｇ５＋ｌｇ２）＝ｌｇ２５＋２ｌｇ５·ｌｇ２＋ｌｇ２２＝（ｌｇ５＋ｌｇ２）２＝（ｌｇ５×２）２＝（ｌｇ１０）２＝1六、已知a ,b ,c ＞0，且3a =4b =6c ,求证：c b a 212=+ 证明：设３ａ＝４ｂ＝６ｃ＝N ，由对数定义得ａ＝ｌｏｇ３N ，ｂ＝ｌｏｇ４N ，ｃ＝ｌｏｇ６N ∴NN b a 43log 1log 212+=+＝２ｌｏｇN ３＋ｌｏｇN ４＝ｌｏｇN ３２＋ｌｏｇN ４ ＝ｌｏｇN ９×４＝ｌｏｇN ６２ 而36log 6log 2log 226N N Nc === ∴c b a 212=+。
37132_《对数函数》文字素材1(新人教B必修1)
当a＞1时，图象向上越靠近y轴，底数越大；
当0＜a＜1时，图象向上越靠近y轴，底数越小．
当a＞1时，图象向右越靠近x轴，底数越大；
当0＜a＜1时，图象向右越靠近x轴，底数越小．
名称
指数函数对数函数
一般形式
定义域
R
（0，＋∞）
值域
，
当 时，
当 时，
单调性
当 时， 是增函数；
当 时， 是减函数．
当 时， 是增函数；当 时， 是减函数．
图象
（a＞0且a≠1）的图象与 （a＞0且a≠1）的图象关于直线y=x对称．
当a＞1时， 当0＜a＜1时，
指数函数与对数函数对照表
前面我们刚学了指数函数，现在我们又学了对数函数，而且同底的指数函数和对数函数互为反函数，你能分清它们之间的区别与联系吗？下表可帮助同学们理顺它们之间的关系，以形成对它们的整体认识．
指数函数和对数函数对照表
理解并熟记表格最后一项中的补充性质，对我们认识函数的性质，运用数形结合的思想解题都有很大好处．
人教B版高中数学必修一最新资料对数函数(1)
3.2.2对数函数（一）教学过程：1、 复习对数的概念函数 y = log a x （a>1）y = log a x (0<a<1)图 像定义域 R +R + 值 域RR单调性增函数 减函数 过定点 （1，0）（1，0）取值范围0<x<1时，y<0 x>1时，y>00<x<1时， y>0 x>1时，y<0例1 求下列函数的定义域：(其中a>0,a ≠1) (1)y=log a x2(2)y=log a(4-x)练习1 求函数y=log a (9-x 2)的定义域 例2 比较下列各组数中两个值的大小：(1) log 23.4 , log 28.5 ⑵ log 0.31.8 , log 0.32.7 ⑶ log a 5.1 , log a 5.9 ( a ＞0 , 且a ≠1 ) 练习2: 比较下列各题中两个值的大小:⑴ log 106 log 108 ⑵ log 0.56 log 0.54 ⑶ log 0.10.5 log 0.10.6 ⑷ log 1.50.6 log 1.50.4练习3：已知下列不等式，比较正数m ，n 的大小：(1) log3 m < log3n (2) log0.3m > log0.3n(3) log a m < log a n (0<a<1)(4) log a m > log a n (a>1)例3 填空题：(1)log20.3____0 (2)log0.75____ 0(3)log34____ 0 (4)log0.60.5____ 0思考：log a b>0时a、b的范围是____________,log a b<0时a、b的范围是____________。
结论：对于(0,1),(1,+∞)两区间而言，log a x的值当a、x在同区间为正，异区间为负。
人教B版高中数学必修一对数函数文字素材对数的起源
对数的起源对数产生于以加减运算代替乘除运算的探索中．以加（减）代乘（除）的想法早就存在了．一个简单的三位数乘法（例如265×438），一般需要四次运算才能得出结果，但同样数字的加法却只需一次运算．涉及的数字越大，则乘（或除）所需要的运算次数比加（或减）所需的运算次数相差得越多．因此，在6世纪以前，就曾有人作尝试，试图实现以加（减）代乘（除）．但由于压力不大，并不感到非如此不可，因此未能达到目的．16世纪中叶，由于天文和航海而引起的大数计算日益激增，这种计算不仅花去了人们大量的精力，而且难以精确，于是，以加（减）代乘（除）的设想再次被提出，并被作为必须解决的问题加以考虑了．起初，曾采用以下两个公式来实现乘除向加减的转化：])()[(412)cos()cos(sin sin 22b a b a ab B A B A B A --+=+--= 但由于它们都需要通过另一种运算（三角或平方）来实现转化，并不真正地提高效率，所以很快就被搁置不用了．能不能使乘（除）直接向加（减）转化呢？能！1484年，法国数学家舒开（Chuquet ，?—1500）通过把等差数列与等比数列，如：0，1，2，3，4，… 等差 1，2，4，8，16，… 等比或 0，1，2，3，4，… 等差 1，3，9，27，81，… 等比比较发现：等比数列中任何两项的积，可以用与这两项序号对应的等差数列的和来表示（注：这一点最早由阿基米德发现）．由于当时舒开并不力图解决这个问题，因此他仅提出了这个发现，而没加以深入地研究．半个世纪后，同样的事实再次被德国数学家史提非提出．史提非以如下一组数列为例指出：“等比数列中数的乘、除、乘方、开方可以转化为等差数列中数的加、减、乘、除来实现．”如4×8，因为4和8对应的等差数列的数分别是2和3，而2+3=5，所以4×8的结果是5所对应的等比数中的数32．又如82，因为8对应的等差数列中的数是3，3×2=6，所以82的结果是6所对应的等比数列中的数64．就这样，史提非轻巧地实现了运算的转化，并且他意识到：“只要把这个思想进一步发挥，那么必定能得出关于数的性质的全新的论述．”遗憾的是史提非后来再也没进行深入的研究，他放弃了进一步发挥思想的权利，因而也就失去了对数发明者的资格．布尔基与耐普尔 数学史册上的对数发明者是两个人：英国的约翰·耐普尔（John Naeipr ，1550－1617）和瑞士的乔伯斯特·布尔基（Job st Bürgi，1552－1632）．布尔基原是个钟表技师，1603年被选为布拉格宫庭技师后，开始与著名的天文学家开普勒接触，了解到天文学计算的一些具体情况．他体察天文学家的辛劳，并决定为他们提供简便的计算方法．布尔基所提出的简便计算方法就是一张实用的对数表．从原则上说，史提非已经解决了将乘（除）运算转为加（减）运算的途径.但是史提非所给出的两个数列中的数字十分有限,它不能付之于实用，实用的对数表必须包括所有要乘的数在内．为了做到这一点，布尔基采取尽可能细密地列出等比数列的办法．他给出的等比数列相当于: 1，1.0001，(1.0001)2，(1.0001)3，…，（1.0001）104，…其相应的等差数列是： 0，0.0001，0.0002，0.0003，…，1，…这里，等差数列中的1，对应于等比数列中的（1.0001）104．就是说，布尔基在造表时，把对数的底取为（1.0001）104=2.71814593…，与自然对数的底e=2.718281828…相差不远．但需要的指出是，无论是布尔基还是后面要讲到的耐普尔，他们都没有关于对数“底”的观念．因为他们都不是从a x =N 的关系出发来定义对数x=log a N 的．耐普尔原是苏格兰的贵族．生于苏格兰的爱丁堡，十二岁进入圣安德鲁斯大学的斯帕希杰尔学院学习．十六岁大学尚未毕业时又到欧洲大陆旅行和游学，丰富了自己的学识．耐普尔虽不是专业数学家，但酷爱数学，他在一个需要改革计算技术的时代里尽心尽力．正如他所说：“我总是尽量使自己的精力和才能去摆脱麻烦而单调的计算，因为这种令人厌烦的计算常使学习者望而生畏．”耐普尔一生先后为改进计算得出了球面三角中的“耐普尔比拟式”、“耐普尔圆部法则”以及作乘除用的“耐普尔算筹”，而为制作对数表他花了整整20年时间．1614年，耐普尔发表了他的《关于奇妙的对数表的说明》一书，书中不仅提出数学史上的第一张对数表（布尔基的对数表发表于1620年），而且阐述了这个发明的思想过程．他说：假定有两个质点P和Q，分别沿着线段AZ和射线A'Z'以同样的初速运动，其中Q保持初速不变，而P作减速运动，其速度与这个点离Z的距离成正比，现在，如果当P位于某点B时，Q位于B'，那么，A'B'就是BZ的对数！同样的A'C'是CZ的对数，等等（图 1）．建立了这个模型以后，耐普尔通过代入具体的数字得出BZ、CZ、DZ、EZ、FZ…一系列数值为：，…以及作为它们的对数的A'B'，A'C'，A'D'，A'E'，A'F'，…一系列数值为：1，2，3，4，5，…显然，这也是一组相互对应的等比数列和等差数列，因此耐普尔实质是把等差数列中的数定义为对应的等比数列中的数的对数！这说明，耐普尔借助于质点运动建立起来的对数概念，其原理仍不外乎等比数列与等差数列关系的合理运用．对数发展简史对数产生于十七世纪的前二十五年．那时航海人员为了确定船舶在大海中的航程与位置，天文工作者为了处理观察行星运动所得的数据，都必须对具有很多数位的数作繁复的计算．对数就是适应这种需要而产生的.对数的创始人是苏格兰数学家纳皮尔(Napier，1550—1617年)．纳皮尔对数字计算很有研究，由他发明的作乘除法用的“纳皮尔算筹”与球面三角中的“纳皮尔比拟式”等在当时都颇负盛名．但是这些成就与他所创始的对数比起来就显得微不足道了．恩格斯曾把对数的发明、解析几何学的创始以及微积分学的创始并列为十七世纪数学的三大成就．纳皮尔于1614年出版了《奇妙的对数定律说明书》，向世人公布了他的对数发明，并解释了这项发明的特点．当时指数概念尚未形成，纳皮尔不是从指数出发，而是通过研究直线运动得出对数概念的．与纳皮尔同时代的瑞士人别尔基(Bürgi，1552—1632年)也独立地发现了对数，可能还早于纳皮尔，但迟至1620年才发表，这时纳皮尔对数已经闻名全欧了．英国数学家布里格斯(Briggs，1561—1630年)最先认识到对数的重要性．他于1616年专程去苏格兰拜访纳皮尔，并提出改良对数的建议，以便于应用．第二年纳皮尔逝世，布里格斯以全部精力继承纳皮尔的事业，于1624年出版《对数算术》一书，公布了以10为底的十四位对数表，这种对数被称为常用对数．布里格斯还用“首数”这个术语来称呼对数的整数部分．而“对数尾数”一词是由英国牛津大学教授华里斯(Wallis)首先使用的(1693年)．此后，一直到十八世纪，瑞士数学家欧拉(Euler，1707—1783年)才发现了指数与对数的天然联系，他指出“对数源出于指数”，这个见解很快被人们普遍接受．由于欧拉的著作的影响，首数与尾数等术语得以通行，并在学校里开始教对数．对数和指数发展简史对数的创始人是苏格兰数学家纳皮尔(Napier，1550年～1617年)．他对数字计算很有研究，他发明的球面三角中“纳皮尔比拟式”、“纳皮尔算筹”在当时都很有名，而贡献最大的发明是对数．恩格斯曾把对数的发明与解析几何的创始、微积分学的建立并称为17世纪数学的三大成就．纳皮尔于1614年在爱丁堡出版了《奇妙的对数定律说明书》，公布了他的对数发明，并解释了这项发明的特点．继承纳皮尔关于对数研究事业的著名人物应首推英国数学家布里格斯(Briggs，1561年～1630年)，他于1624年出版了《对数算术》一书，公布了以10为底的14位对数表，并称以10为底的对数为常用对数．指数符号最早开始使用的是法国数学家笛卡尔(Descartes，1596年～1650年)，他于1637年开始用符号a n表示正整数幂，用a3代表aaa，用a4代表aaaa．分数指数幂在17世纪初开始出现，最早使用分数指数记号的是荷兰工程师司蒂文(Stevin)，以后又有人将其扩展到负指数，直到18世纪初英国数学家牛顿(Newton，1642年～1727年)开始使用a n表示任意实数指数幂．这样，指数概念才由最初的正整数指数逐步扩展到实数指数．一直到18世纪，瑞士数学家欧拉(Euler，1707年～1783年)才发现指数与对数的联系，他指出“对数源出于指数”，这个见解很快被人们接受．。
人教新课标高中数学B版必修1《3.2.2 对数函数》 课件(共17张PPT)
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自习提纲：
1、对数函数的定义：
形如 y logax (a 0且a 1) 的函数叫对数函数。
2、尝试作出 y log 2 x、y log 1 x y log3 x、y log 1 x
的图象。 y
2
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补充作业：
1、已知loga2<logb2<0 则（ ）
A、0<a<b<1 C、a>b>1
B、0<b<a<1 D、0>b>a>1
2、若0<x<1,a>0且a1
比较|loga(1-x)|和|loga(1+x) |的大小
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底数越大，图象越靠近x轴
底数越小，图象越靠近x轴
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必答题：
A组：我是 二
高
人
B组： 我爱 二
高
中
应用提高：
二
高
将
因
我们 而
精
彩
BACK
例1：求下列函数的定义域。 (1) y log a x2 (2) y loga (4 x)
(1)(,0) (0,) (2)(,4)
你做对了吗？呵呵
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请做A组—2（2）（3） 请做B组—2（2）（4）
的大小
解
log
0.2 0.8
log
0.3 0.8
且
log
0.8
0.2
、log
0.3 0.8
1 log 0.log 0.20.8
log
0.8 0.3
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请你比较log
3
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与对数函数有关的参数范围问题
渗透于函数、不等式、方程中与对数有关的参数范围问题，是一个难点.此类题型思维性较强，条件具有隐蔽性，且解题方法灵活多样，能较好体现对学生的能力考查，因此备受高考命题者的青睐.下面举例说明.
一、对数型函数中的参数范围问题
此类题主要利用函数的性质(奇偶性、单调性、定义域与值域的限制等)实施价转化，常结合数形结合、分离参数等方法进行解答，要特别注意的是真数和底数对变量的限制条件.
例1设f(x)=lg 1+2x +4x a 3
,其中x ∈R,如果当x ∈(-∞,1)时,f(x)有意义，求a 的取值范围.
解：由题设得：当x ∈(-∞,1)时,1+2x +4x a ＞0…①恒成立，变形得：a ＞-[(14)x +(12
)x ], 要使①式恒成立,对x ∈(-∞,1],a ≥-[(14)x +(12)x ]的最大值,∵(14)x 和(12
)x 在(-∞,1]上都是减函数，
∴-[(14)x +(12)x ]在x ∈(-∞,1]上都是增函数，∴当x=1时，-[(14)x +(12
)x ]取得最大值﹣34
, ∴a ≥﹣34,∴a 的取值范围是a ≥﹣34
. 例2是否存在实数a,使得f(x)=log a (ax-x)在区间[2,4]上是增函数，若存在，求出a 的值.
解：设t=x,由对数定义有ax-x ＞0⇒at 2-t ⇒at(t ﹣1a
)＞0, 又知u(t)=at 2-t=(t ﹣12a )2﹣14a (t ＞1a )是以t=12a 为对称轴的抛物线，且有t ＞1a ＞12a
， 即定义区间t ∈(1a ,+∞)在对称轴t=12a
的右侧，因抛物线开口向上，知u(t)在定义区间上单调增，
要使原函数在x ∈[2,4]上单调增，应a ＞1且1a ≤2,解得a ＞1. 二、对数型不等式中的参数范围问题
此类题型主要涉及恒成立不等式中变量的取值范围问题，可根据a ＞f(x)恒成立⇔a ＞f(x)max ,a ＜f(x)恒成立⇔a ＜f(x)min ，因而利用分离参数的方法容易凑效，或者将不等式转化为所熟悉的常见不等式进行解答，或者从不等式的结构上联想相对应的函数，再利用函数的性质求解．
例3设对所有实数x,不等式
x 2log 24(a+1)a +2x log 22a a+1+log 2(a+1)24a 2
＞0,恒成立，求a 的取值范围.
解法1：(换元转化)令u=log 2a+12a ,则(3+u)x 2-2ux+2u ＞0,
∴⎩⎨⎧ 3+u ＞04u 2-8u(u+3)＜0
,解得u ＞0,∴a+12a ＞1,解得0＜a ＜1. 解法2：(分离参数)原不等式可化成：x 2(3+log 2a+12a )-2x ·log 2a+12a +2log 2a+12a
＞0, 即(x 2-2x+2)·log 2a+12a
+3x 2＞0,∴x 2-2x+2=(x-1)2+1＞0, 要使原不等式恒成立，当且仅当log 2a+12a
＞0，解得0＜a ＜1. 例4 a 为何值时，对区间[0,3]上任意实数x ，不等式log (2a 2－1)(2x+2)＜-1都成立？ 分析：∵0≤x≤3,∴2≤2x+2≤8.又∵log (2a 2﹣1)(2x+2)＜log (2a 2﹣1)
12a 2-1
恒成立. 当2a 2-1＞1时, 12a 2-1＞8,2a 2-1＜18
(舍)； 当0＜2a 2-1＜1时, 12a 2-1＜2, 2a 2-1＞12,∴12＜2a 2-1＜1,即32
＜|a|＜1, ∴32＜a ＜1或-1＜a ＜-32. 例5 若不等式x 2-㏒m x ＜0在(0，12
)内恒成立，则实数m 的取值范围是( ) A. 116≤m ＜1 B. 0＜m ≤116 C.0＜m ＜14 D. m ≥116
分析：题中不等式由一个整式与对数式构成，可借助函数y= x 2与y=㏒m x 的图象进行
处理，因为㏒m x ＞x 2≥0，x ∈ (0，12
)，0＜m ＜1. 在直角坐标系中分别作出y= x 2与y=㏒m x 的图象.
由图象可知，只要当x=12时，㏒m x ≥x 2，就满足条件，即㏒m 12≥(12)2，解得116
≤m ＜1，故选(A).
三、对数型方程中的参数范围问题
求含有对数的方程中的参数的范围，其解题策略主要是将方程转化为由方程和不等式的一个混合组，然后利用数形结合、分离参数、二次函数的图象与性质等进行解答.
例7如果方程lg(x-a)lgx-lg3
=2至少有一个实数根，求a 的取值范围. 解：原方程等价变形为⎩⎨⎧
x ＞a
x ＞0且x ≠3x-a=(x 3)2⇔⎩⎨⎧ x ＞0且x ≠3 ①x 2-9x+9a=0 ②,方程②的根满足条件①才是原方程的根，
即方程②应有不等于3的正根.∵x 1+x 2=9＞0(此时x 1，x 2中至少有一个正根)，
∴方程②有正根的条件是△=81-36a ≥0⇒a ≤94
,令x=3得a=2,但当a=2时方程②有两解x 1=3，x 2=6，其中x 2为原方程的根，∴a=2也符合题意，故a 的取值范围是(-∞,94].。