中考数学二次函数-经典压轴题及详细答案

-X 二次函数真题与模拟题分类汇编(难题易错题)

1.已知二次函数y = α√-2αχ + 3的最大值为4,且该抛物线与A 轴的交点为C ,顶点为

D ∙

(1) 求该二次函数的解析式及点C , D 的坐标: (2) 点P(ΛO)是X 轴上的动点，

① 求IPC - PDl 的最大值及对应的点P 的坐标：

② 设0(0,2/)是y 轴上的动点，若线段PQ 与函数y = a ∖x ∖1

-2a ∖x ∖+3的图像只有一个 公共

点，求f 的取值范围.

【答案】(i) y = -χ2+2x + 3, C 点坐标为(0,3),顶点D 的坐标为(1,4)； (2)①最

_ 3

7

大值是J∑, P 的坐标为(一 3,0),②,的取值范围为U_3或才Qv3或心?・

2 2

【解析】 【分析】

孕=1,计算对称轴，即顶点坐标为(1, 4),再将两点代 2a

入列二元一次方程组求出解析式：

(2)根据三角形的三边关系：可知P 、C 、D 三点共线时IPC-PDl 取得最大值，求出直线CD 与X

轴的交点坐标，就是此时点P 的坐标；

—χ-+ 2Λ"+3, X n 0,

, ,此函数是两个二次函数

—XJ — 2x + 3, X < 0.

的一部分，分三种情况进行计算：①当线段PQ 过点(0, 3 ),即点Q 与点C 重合时，两 图象有一个公共点，当线段PQ 过点(3, 0),即点P 与点(3, 0)重合时，两函数有两 个公共点，写出t 的取值：②线段PQ 与当函数y=a∣x∣2-2a∣×∣+c (x>0)时有一个公共点 时，求t 的值：③当线段PQ 过点

(-3, 0),即点P 与点(-3, 0)重合时，线段PQ 与当 函数y=a∣x∣2-2a∣x∣+c (×<0)时也有一个公共

点,则当t 冬3时,都满足条件;综合以上结 论，得出t 的取值. 【详解】

—2a

(I) VX= ・•・y = ax'-ax+3的对称轴为X = 1・ T y = ax 2 -ax + 3人最大值为4,

•••抛物线过点(1,4). 得 a-2a+3 = 4, 解得a = -l.

•••该二次函数的解析式为y = —X? + 2x + 3.

C 点坐标为(0,3),顶点

D 的坐标为(1,4). (2) ①.∙ IPC-PDI≤CD,

(1)先利用对称轴公式X=

(3)先把函数中的绝对值化去，可知y = <

.∙.当P,C,D三点在一条直线上时，IPC—PD|取得最大值.

连接DC并延长交y轴于点P, IPC-PDI = CD = λ^l2+(4-3)2= √2 •

∙,∙∣PC-PD∣的最大值是•

易得直线CD的方程为y = χ + 3.

把P(t,0)代入，得t=-3.

此时对应的点P的坐标为(-3,0).

r

©y = alxl2-2a|x|+3 的解析式可化为y = ]^x, + ?A + 处≥。，

—X ~ —2x + 3, X V 0.

设线段PQ所在直线的方程为y = kx + b,将P(t,O), Q(0,2t)的坐标代入，可得线段

PQ所在直线的方程为y = -2x + 2t・

(1)当线段PQ过点(-3,0),即点P与点(—3,0)重合时,线段PQ与函数

—X 厶+ 2x + 3, Λ,≥ 0,

y= , 的图像只有一个公共点，此时t=-3・

—X" — 2x + 3, JVV 0.

广 .

・・・当t≤-3∣⅛,线段PQ与函数y = {-x,+2x + 3,Λ'0,的图像只有一个公共点.

—X ~ — 2Λ, + 3, X < 0.

(2)当线段PQ过点(0、3),即点Q与点C重合时，线段PQ与函数

■ ■)

y= -x, + 2x+3,x≥O,的图像只有—个公共点此时t = γ

—X — 2x + 3, X < 0. 2

当线段PQ过点(3,0),即点P与点(3,0)重合时，t=3,此时线段PQ与函数

y = <[-x^+"+H ≥ °，的图像有两个公共点.

—x~ — 2x + 3, X V 0. 3

3 7

综上所述，t的取值范围为t≤-3或-≤t<3或t = L

3 —X ~ + 2x + 3, % ≥ 0,

所以当-≤t<3时，线段PQ与函数y= . 的图像只有一个公共点.

2 -X ・_2兀 + 3,XV 0.

(3)将y = -2x + 2t 带入y = -x2+2x + 3(x ≥0),并整理，得x?-4x + 2t-3 = 0∙

Δ = 16-4(2t-3) = 28-8t.

令28-8t=0,解得u?・

2

■3

・・・当t =-时，线段PQ与函数y =]-X.+2X +3,Λ'0,的图像只有一个公共点.

2 -x^ —2x÷ 3, X < 0.

2 2

【点睛】

本题考查了二次函数的综合应用，先利用待左系数法求解析式，同时把最大值与三角形的三边关系联系在一起：同时对于二次函数利用动点求取值问题，从特殊点入手，把函数分成几部分考虑，按自变量从大到小的顺序或从小到大的顺序求解.

2.如图，抛物线y=a×2+bx+3(α≠0)的对称轴为直线X= - 1,抛物线交X轴于4、C两点，与直线y=X-I交于人、B两点，直线&3与抛物线的对称轴交于点F.

(1)求抛物线的解析式.

(2)点P在直线AB上方的抛物线上运动，若AABP的而积最大，求此时点P的坐标.

(3)在平而直角坐标系中，以点B、E、C、D为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出符合条件点D的坐标.

【答案】(l)y= - χ2 - 2x+3： (2)点P(-£, £);⑶符合条件的点D的坐标为Dl(0, 3),

2 4

D2( - 6, - 3), D3( - 2, - 7).

【解析】

【分析】

(1)令y=0,求出点A的坐标，根据抛物线的对称轴是X=-I,求出点C的坐标，再根据待泄系数法求出抛物线的解析式即可；

(2)设点P(m, -m2-2m+3),利用抛物线与直线相交，求岀点B的坐标，过点P作PFll y 轴交直线AB卜点F,利用SAABP=SAPBF+S A MA,用含m的式子表ZF出△ ABP的而枳，利用二次函数的最大值，即可求得点P的坐标；

⑶求出点E的坐标，然后求出直线BC、直线BE、直线CE的解析式，再根据以点B、E、C、D 为顶点的四边形是平行四边形，得到直线DID2、直线D1D3.直线D2D3的解析式，即可求出交点坐标.

【详解】

解：⑴令y=0,可得：X - 1 = 0,解得：x = l,

.∙.点A(l, 0),

V抛物线y=aχ2+bx+3(aH0啲对称轴为直线X= - 1,

.∙. - 1×2 -1=-3,即点C( - 3, 0),