高二数学直线的倾斜角与斜率3
高二数学直线的倾斜角与斜率试题答案及解析
高二数学直线的倾斜角与斜率试题答案及解析1.直线的倾斜角的余弦值为________．【答案】.【解析】由直线方程可得直线的斜率为，设直线的倾斜角为知，，再由同角三角函数公式，联立这两个方程组得.【考点】直线的倾斜角．2.直线的倾斜角为．【答案】【解析】方程可化为斜截式，所以斜率，所以倾斜角【考点】直线方程、直线的倾斜角与斜率3.直线的斜率是( )A．B．C．D．【答案】A【解析】将直线一般式化为斜截式得斜率.【考点】直线一般式与斜截式的转化.4.若直线y＝0的倾斜角为α，则α的值是( )A．0B．C．D．不存在【答案】A【解析】∵直线y＝0的斜率为0，倾斜角的正切值是斜率，∴α=0.【考点】直线的倾斜角与斜率.5.直线的倾斜角的大小是．【答案】【解析】由直线方程可知其斜率为，设其倾斜角为，则，因为，所以。
【考点】直线的斜率和倾斜角。
6.若图中直线，，的斜率分别为，，，则()A．<<B．<<C．<<D．<<【答案】B【解析】由于的倾斜角都是锐角，且直线的倾斜角大于直线的倾斜角，可得，而直线的倾斜角为钝角，所以，由此可得结论：，故选答案B.【考点】直线的倾斜角与斜率.7.直线l的倾斜角为，且，则直线l的斜率是( )A．B．C．或D．或【答案】C【解析】由已知中直线的倾斜角为a，且sina=，分倾斜角a为锐角和钝角两种情况分类讨论，根据同角三角函数关系，求出a的余弦值和正切值，即可得到直线的斜率,由已知中直线的倾斜角为a，且sina=，当a为锐角时，cosa=，tana=；当a为钝角时，cosa=-，tana=-；即直线的斜率是±，选C.【考点】直线的斜率.8.已知点A(2,3),B(－3,－2).若直线过点P(1,1)且与线段AB相交,则直线的斜率的取值范围是( )A．B．C．或D．【答案】C【解析】如图，，，又过点且与轴垂直的直线也与线段相交，故直线的斜率满足或．选C．【考点】直线的斜率．9.（）直线的倾斜角为A．B．C．D．【答案】C.【解析】因为直线的斜率为,所以此直线的倾斜角..【考点】直线的倾斜角与斜率的关系.点评：除倾斜角为外，倾斜角与斜率是一一对应的关系，因而求直线的倾斜角可通过求直线的斜率再求倾斜角即可.10.直线的斜率为A．2B．1C．D．【答案】B【解析】解：因为直线的斜率为1，因此选B11.如果过点和的直线的斜率等于,那么的值为( )A．4B．C．或D．或【答案】B【解析】解：因为过点和的直线的斜率等于，即，选B。
高二数学直线的倾斜角与斜率试题答案及解析
高二数学直线的倾斜角与斜率试题答案及解析1.若图中直线，，的斜率分别为，，，则()A．<<B．<<C．<<D．<<【答案】B【解析】由于的倾斜角都是锐角，且直线的倾斜角大于直线的倾斜角，可得，而直线的倾斜角为钝角，所以，由此可得结论：，故选答案B.【考点】直线的倾斜角与斜率.2.过点和的直线的斜率为 .【答案】【解析】根据求斜率的公式可知：.【考点】直线的斜率.3.直线的倾斜角为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】直线的斜率，倾斜角为，即，因为，所以【考点】直线的斜率公式和倾斜角的取值范围。
4.已知过点的直线的倾斜角为45°，则的值为（）A．1B．2C．3D．4【答案】B【解析】由题意可知：，即，故，解得，故选B【考点】直线的倾斜角．5.已知点A(2,3),B(－3,－2).若直线过点P(1,1)且与线段AB相交,则直线的斜率的取值范围是( )A．B．C．或D．【答案】C【解析】如图，，，又过点且与轴垂直的直线也与线段相交，故直线的斜率满足或．选C．【考点】直线的斜率．6.若三个点P(1，1)，A(2，－4)，B(x，－9)共线，则x＝( )A．－1B．3C．D．51【答案】B【解析】三点共线问题一般可由斜率相等列出方程求参数的值，由得，∴．【考点】三点共线问题．7.已知过点P(—2,m),Q(m,4)的直线的倾斜角为45°，则m的值为（）A．1B．2C．3D．4【答案】A【解析】根据倾角好斜率的关系可知，给定的过点P(—2,m),Q(m,4)的直线的斜率为，故选A.【考点】本试题考查了直线的倾斜角的概念。
点评：解决该试题的关键是利用倾斜角与斜率的关系，得到关于m的关系式，然后求解得到结论，这是高考中重要的一个知识点，属于基础题。
8.如果AC＜0，BC＜0，那么直线Ax+By+C=0不通过A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】C.【解析】把直线方程化成斜截式方程为,因为AC＜0，BC＜0,所以,直线的斜率,所以直线经过一、二、四象限，不通过第三象限.【考点】直线方程的斜截式与一般式的互化.点评：判断直线经过哪些象限，不经过哪些象限，一般要把直线方程化成斜截式，然后根据斜率的值的正负，和在y轴上截距的正负，判断出直线经过哪些象限.9.若直线过点，则此直线的倾斜角是【答案】【解析】由两点间的斜率公式知该直线的斜率为，所以该直线的倾斜角为【考点】本小题主要考查两点间斜率公式的应用和特殊角的三角函数值的应用.点评：直线倾斜角的正切值是该直线的斜率，还要注意到直线的倾斜角的取值范围为.10.直线y =" x" + b与曲线x=有且仅有一个公共点，则b的取值范围是A．|b|=B．或C．D．以上都错【答案】B【解析】因为x=，化简得x2+y2=1注意到x≥0所以这个曲线应该是半径为1，圆心是（0，0）的半圆，且其图象只在一四象限．这样很容易画出图来，这样因为直线与其只有一个交点，那么很容易从图上看出其三个极端情况分别是：直线在第四象限与曲线相切，交曲线于（0，-1）和另一个点，及与曲线交于点（0，1）．分别算出三个情况的B值是：-，-1，1．因为B就是直线在Y轴上的截距了，所以看图很容易得到B的范围是：-1＜b≤1或b=-,故选B11.根据下列条件求直线方程（1）过点（2，1）且倾斜角为的直线方程；（2）过点（-3，2)且在两坐标轴截距相等的直线方程.【答案】(1) (2);【解析】(1)由倾斜角为,可求出其斜率为,又因为过点（2，1），然后写出点斜式方程再化成一般式即可.（2）截距相等包括过原点，和斜率为-1两种情况，当过原点时直线方程为,当斜率为-1时，设直线方程为x+y=a,因为过点（-3，2），所以a=-1,所以直线方程为x+y+1=0.12.在函数的图象上，其切线的倾斜角小于的点中，坐标为整数的点的个数是（）A．3B．2C．1D．0【答案】D【解析】解：∵切线倾斜角小于∴斜率0＜k＜1．设切点为（x0，x3-8x），则k=y′|x=x=3x2-8，∴0＜3x20-8＜1，＜x02＜3．又∵x∈Z，∴x不存在．故选D13.直线x＝－1的倾斜角为（）A．135°B．90°C．45°D．0°【答案】B【解析】因为直线与x轴垂直，所以倾斜角为90°.14.已知点，则直线的倾斜角是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】解：因为点，则直线的斜率为-，则其倾斜角，选C15.直线的斜率是（）A B C D【答案】A【解析】将方程化为斜截式，所以斜率为，所以选A16.．已知点，若直线过点与线段相交，则直线的斜率的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】结合位置关系可知直线的斜率的取值范围是.故选C.17.已知直线过两点，且的倾斜角是直线倾斜角的两倍，则实数的值为（▲）A．B．C．D．【答案】B【解析】本题主要考查直线的斜率公式。
2022-2023学年高二上数学选择性必修第一册：直线的倾斜角与斜率(附答案解析)
2022-2023学年高二上数学选择性必修第一册：直线的倾斜角与斜率【考点梳理】考点一直线的倾斜角1．倾斜角的定义(1)当直线l 与x 轴相交时，我们以x 轴为基准，x 轴正向与直线l 向上的方向之间所成的角α叫做直线l 的倾斜角．(2)当直线l 与x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°.2．直线的倾斜角α的取值范围为0°≤α<180°.考点二：直线的斜率1．直线的斜率把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k 表示，即k ＝tan α.2．斜率与倾斜角的对应关系图示倾斜角(范围)α＝0°0°<α<90°α＝90°90°<α<180°斜率(范围)k ＝0k >0不存在k <0考点三：过两点的直线的斜率公式过两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)(x 1≠x 2)的直线的斜率公式为k ＝y 2－y 1x 2－x 1.【题型归纳】题型一：直线的倾斜角1．直线l 过原点(0，0)，且不过第三象限，那么l 的倾斜角α的取值范围是（）A ．0°≤α≤90°B ．90°≤α<180°C ．90°≤α<180°或α＝0°D ．90°≤α≤135°2．已知直线32y x =的倾斜角为α，则cos 2=α（）A ．17B ．17-C ．12D ．12-3．直线210x y -+=的倾斜角为θ，则221sin cos θθ-的值为（）A ．34B ．23C ．53D ．2题型二：直线的斜率4．经过点()0,1P -作直线l ，若直线l 与连接()()1,2,2,1A B -的线段总有公共点，则直线l 的倾斜角α的取值范围为（）A ．045α 或135180αB ．45135αC ．45135α<<D ．045α 或135180α<5．若直线经过两点(2,)A m -，(,21)B m m --且倾斜角为135︒，则m 的值为（）A ．2B ．32C ．1D ．32-6．下列命题正确的是（）①直线倾斜角的范围是[)0,180︒︒；②斜率相等的两条直线的倾斜角一定相等；③任何一条直线都有斜率，但不一定有倾斜角；④任何一条直线都有倾斜角和斜率．A ．①②B ．①④C ．①②④D ．①②③题型三：倾斜角和斜率的变化关系7．已知直线1l ，2l ，3l 的斜率分别是1k ，2k ，3k ，如图所示，则（）A ．123k k k <<B ．321k k k <<C ．132k k k <<D ．312k k k <<8．设直线l 的方程为()cos 30x y R θθ++=∈，则直线l 的倾斜角α的取值范围是（）A ．[)0,p B ．,42ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．3,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．3,,4224ππππ⎡⎫⎛⎤⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦9．经过点(0,1)P -作直线l ，若直线l 与连接(1,2),(21)A B -，的线段总有公共点，则直线l 的倾斜角的取值范围为（）A ．045α︒≤≤︒或135180α︒≤≤︒B ．45135α︒≤≤︒C ．45135α︒<<︒D ．045α︒≤≤︒或135180α︒≤<︒题型四：与斜率公式有关的问题10．若直线:3l y kx =-与直线30x y +-=的交点位于第二象限，则直线l 的倾斜角的取值范围是（）A ．3,24ππ⎛⎤⎥⎝⎦B ．3,24ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．3,34ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．3,24ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭11．已知直线l 1过点A (-1，1)和B (-2，-1)，直线l 2过点C (1，0)和D (0，a )，若两条直线的斜率相等，则a 的值为（）A ．-2B ．2C ．-12D ．1212．已知直线l 过第一象限的点(),m n 和()1,5，直线l 的倾斜角为135︒，则14m n+的最小值为（）A ．4B ．9C ．23D ．32【双基达标】一、单选题13．已知点3(2,)A -，(3,2)B --．若直线:10l mx y m +--=与线段AB 相交，则实数m 的取值范围是（）A ．3,[4,)4⎛⎤-∞-⋃+∞ ⎥⎝⎦B ．3,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．1,5⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D ．34,4⎡⎤-⎢⎥⎣⎦14．直线l 经过原点和()1,1-，则l 的斜率是（）A ．0B ．1-C ．1D ．不存在15．已知(1,3),(3,1)A B -两点，若直线:l y kx =与线段AB 恒有交点，则k 的取值范围（）A ．3,3⎡⎤-⎣⎦B ．)3,3,3⎛⎤⎡-∞-⋃+∞ ⎥⎣ ⎝⎦C ．(3,3,3 ⎡⎫⎤-∞-⋃+∞⎪⎢⎦⎪⎣⎭D ．3,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦16．已知点A (1，3)，B (－2，－1)．若直线l ：y ＝k (x －2)＋1与线段AB 相交，则k 的取值范围是（）A ．21<k B ．K>-2C ．21<k 或．K>-2D ．212<<-k 17．直线:310l x y ++=的倾斜角的大小为（）A ．30B ．60C ．120D ．15018．直线1l 经过两点()()0,0,3,1A B ，直线2l 的倾斜角是直线1l 的倾斜角的2倍，则2l 的斜率为（）A ．33B ．233C ．1D ．319．直线l ：320x y -+=与x 轴交于点A ，把l 绕点A 顺时针旋转45︒得直线m ，m 的倾斜角为α，则cos α=（）A ．624+-B ．264-C ．624+D ．624-20．将直线30x y -=绕着原点逆时针旋转90︒，得到新直线的斜率是（）A ．33B ．3-C ．22D ．22-21．直线l 过点2()1,M -，且与以(4,1)P --，(3,0)Q 为端点的线段相交，则直线l 的斜率的取值范围（）A ．1[,1]2-B ．[2,1]-C ．(][),21,-∞-+∞ D ．[)1,1,2⎛⎤-∞-+∞ ⎥⎝⎦ 22．已知直线:220m x y -+=，:210n x y -+=，若直线l 过(1,3)P 且与直线m ､n 在第一象限围成一个等腰锐角三角形，则直线l 的斜率是（）A ．1-B ．23-C ．12-D ．2【高分突破】一：单选题23．已知直线3x −y +1=0的倾斜角为α，则1sin22α=A ．310B ．35C ．−310D ．11024．已知点(2,3),(3,2)A B ---，直线l 方程为10kx y k -++-=，且直线l 与线段AB 相交，求直线l 的斜率k 的取值范围为A ．34k ≥或4k ≤-B ．34k ≥或14k ≤-C ．344k -≤≤D ．344k ≤≤25．已知点()2,3A ，()3,2B --，若直线l 过点()1,1P 与线段AB 始终没有交点，则直线l 的斜率k 的取值范围是A ．324k <<B ．2k >或34k <C ．34k >D ．2k <26．已知点(4,0)A -，(3,1)B -，若直线2y kx =+与线段AB 恒有公共点，则k 的取值范围是（）A ．11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．1,[1,)2⎛⎤-∞-⋃+∞ ⎥⎝⎦D ．1(,1],2⎡⎫-∞-⋃+∞⎪⎢⎣⎭27．已知A （2，3），B （﹣1，2），若点P （x ，y ）在线段AB 上，则3yx -的最大值为（）A ．1B ．35C ．12-D ．﹣328．直线l 经过()2,1A ，()2(,)1B m m R ∈两点，那么直线l 的倾斜角的取值范围为（）A ．[)0,pB ．30,,44πππ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ C ．0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦πD ．0,,42πππ⎡⎤⎛⎫ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭29．下列命题中，正确的是（）A ．若直线的倾斜角越大，则直线的斜率就越大B ．若直线的倾斜角为α，则直线的斜率为tan αC ．若直线倾斜角2,43ππα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则斜率k 的取值范围是(,3][1,)-∞-⋃+∞D ．当直线的倾斜角2,43ππα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，直线的斜率在这个区间上单调递增.30．已知直线:10l ax y -+=，点(1,3)A -，()2,3B ，若直线l 与线段AB 有公共点，则实数a 的取值范围是（）A ．[4-，1]B ．1[4-，1]C ．(-∞，[)1]14-⋃+∞D ．(-∞，[)4]1-⋃+∞二、多选题31．下列说法中正确的是A ．若α是直线l 的倾斜角，则0180α≤<B ．若k 是直线l 的斜率，则k ∈RC ．任意一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率D ．任意一条直线都有斜率，但不一定有倾斜角32．(多选)若经过A (1-a ，1+a )和B (3，a )的直线的倾斜角为钝角，则实数a 的值不可能为（）A ．3-B ．2-C ．1D ．233．已知直线l 的方程为ax +by -2＝0，下列判断正确的是（）A ．若ab ＞0，则l 的斜率小于0B ．若b ＝0，a ≠0，则l 的倾斜角为90°C ．l 可能经过坐标原点D ．若a ＝0，b ≠0，则l 的倾斜角为0°34．（多选）若直线l 与x 轴交于点A ，其倾斜角为α，直线l 绕点A 顺时针旋转45︒后得直线1l ，则直线1l 的倾斜角可能为（）A ．45α︒+B ．135α︒+C ．45α︒-D ．135α︒-35．已知两点()23M -，，()32N --，，直线l 过点()11P ，且与线段MN 相交，则直线l 的斜率k 的取值范围是（）A ．4k ≤-B ．34k ≥C ．344k ≤≤D ．344k -≤≤三、填空题36．若图中直线l 1，l 2，l 3的斜率分别为k 1，k 2，k 3，则k 1，k 2，k 3的大小关系是________．37．已知两点A (－3，4)，B (3，2)，过点P (2，－1)的直线l 与线段AB 有公共点，则直线l 的斜率k 的取值范围是________．38．若A (a ，0)，B (0，b )，C (2-，2-)三点共线，则11a b+=________.39．已知实数x ，y 满足方程26x y +=，当13x 时，12y x --的取值范围为________．40．已知坐标平面内三点(1,1)A -，(1,1)B ，(2,31)C +，若D 为线段AB 上一动点，求直线CD 的斜率k 的取值范围___________.四、解答题41．过两点()23,2A m m m ---，()222,3B m m +-的直线的倾斜角为135 ，求m 的值．42．m 为何值时，（1）经过(),6A m -，()1,3B m 两点的直线的斜率是12？（2）(),2A m ，(),21B m m ---两点的直线的倾斜角是60︒？43．已知两点A (－3，4)，B (3，2)，过点P (1，0)的直线l 与线段AB 有公共点．求直线l 的斜率k 的取值范围.44．已知(3,3)A ，(4,2)B -，(0,2)C -三点.（1）求直线AB 和AC 的斜率；（2）若点D 在线段BC (包括端点)上移动，求直线AD 的斜率的变化范围.第10页共23页2022-2023学年高二上数学选择性必修第一册：直线的倾斜角与斜率【答案详解】1．C 【详解】∵直线l 过原点(0，0)，且不过第三象限，∴l 的倾斜角α的范围为0α=o 或90180α≤< ，故选：C.2．A 【详解】解：因为直线32y x =的倾斜角为α，所以3tan 2α=.又222222cos sin cos 2cos sin cos sin ααααααα-=-=+，分子分母同时除以2cos α，得221tan cos 21tan ααα-=+，将3tan 2α=代入可得1cos27α=，故选：A.3．C 【详解】因为210x y -+=的倾斜角为θ，所以tan 2θ=，所以222222221sin cos tan 15sin cos sin cos tan 13θθθθθθθθ++===---，故选：C 4．D 【详解】解：由图可知，经过点()0,1P -作直线l ，当直线l 过点A 时斜率最小，过点B 时斜率最大，因为()0,1P -，()()1,2,2,1A B -，所以2(1)1(1)1,11020PA PB k k -----==-==--，所以ta 11n α-≤≤，因为0180α︒≤<︒，所以045α 或135180α< ，故选：D5．B【详解】由题意，可知直线AB 的斜率存在，且()21tan1352AB m m k m ︒---==--，所以3112m m --=-+，解得32m =.故选：B.6．A【详解】对于①中，根据直线倾斜角的定义，可知直线倾斜角的范围是[)0,180︒︒，所以是正确的；对于②中，根据直线的斜率与倾斜角的关系，可得tan k α=，当12k k =时，可得tan tan αβ=，则αβ=，所以是正确的；对于③中，由任何一条直线一定有倾斜角，但不都有斜率，所以不正确；对于④中，任何一条直线都有倾斜角，但不一定都有斜率，所以不正确．故选:A.7．C【详解】设直线1l ，2l ，3l 的倾斜角分别为123,,θθθ，根据直线的倾斜角概念，可得323090180θθθ<<<<< ，再由直线的斜率与倾斜角关系tan θk =，可得132tan tan tan θθθ<<，故132k k k <<故选：C.8．C【详解】当cos 0θ=时，方程变为30x +=，其倾斜角为2π，当cos 0θ≠时，由直线方程可得斜率1cos k θ=-，[]cos 1,1θ∈- 且cos 0θ≠，][(),11,k ∴∈-∞-⋃+∞，即][()tan ,11,α∈-∞-⋃+∞，又[)0,απ∈，3,,4224ππππα⎡⎫⎛⎤∴∈⋃⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦，由上知，倾斜角的范围是3,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦．故选：C ．9．D【详解】解：设直线l 的倾斜角为α（0180α︒≤<︒），由图可知，要使直线l 与连接(1,2),(21)A B -，的线段总有公共点，只要PA l PB k k k ≤≤，所以2(1)1(1)tan 1020α-----≤≤--，即ta 11n α-≤≤，所以045α︒≤≤︒或135180α︒≤<︒，故选：D10．D【详解】联立方程组330y kx x y ⎧=-⎪⎨+-=⎪⎩，解得3333,11k x y k k +-==++，因为两直线的交点位于第二象限，可得3301k +<+且3301k k ->+，解得1k <-，设直线l 的倾斜角为θ，其中[0,)θπ∈，即tan 1θ<-，解得324ππθ<<，即直线l 的倾斜角的取值范围是3(,)24ππ.故选：D.11．A【详解】()()11212AB k --==---，001CD a k a -==--，AB CD k k =，2a =-.故选:A.12．D【详解】由题得5tan1351,6(0,0)1n m n m n m -==-∴+=>>- ，所以1411414143()()(5)(52)6662n m n m m n m n m n m n m n +=++=++≥+⋅=.当且仅当2,4m n ==时取等.所以14m n +的最小值为32.故选：D13．A设直线l 过定点(,)P x y ，则直线:10l mx y m +--=可写成(1)10m x y -+-=，令10,10,x y -=⎧⎨-=⎩解得1,1.x y =⎧⎨=⎩∴直线l 必过定点(1,1)P ．31421PA k --==--，213314PB k --==--． 直线:10l mx y m +--=与线段AB 相交，∴由图象知，34m -≥或4m -≤-，解得34m ≤-或4m ≥，则实数m 的取值范围是3,[4,)4⎛⎤-∞-⋃+∞ ⎥⎝⎦．14．B因为直线l 经过原点和()1,1-，则l 的斜率是10110k --==--，故选：B.15．B【详解】解： 直线y kx =过定点()00O ，，()()1331A B -，，，，13333OA OB k k ∴===--，，由图象可知：OB k k ≤或OA k k ≥，所以k 的取值范围是：)333，，⎛⎤⎡-∞-⋃+∞ ⎥⎣ ⎝⎦．故选：B ．16．D【详解】解：直线:(2)1l y k x =-+经过定点(2,1)P ，31212PA k -==-- ，111222PB k --==--，又直线:(2)1l y k x =-+与线段AB 相交，122k ∴-，故选：D ．17．D【详解】由:310l x y ++=可得3333y x =--，所以直线l 的斜率为33k =-，设直线l 的倾斜角为α，则3tan 3α=-，因为0180α≤<o ，所以150α= ，故选：D.18．D【详解】因为直线1l 的斜率为103330-=-，所以直线1l 的倾斜角为6π，又因为直线2l 的倾斜角是直线1l 的倾斜角的2倍，所以直线2l 的倾斜角为3π，所以2l 的斜率为tan33π=，故选：D.19．C【详解】设l 的倾斜角为θ，则tan 3θ=，∴60θ=︒，由题意知456045αθ=-︒=︒-︒，∴()cos cos 6045cos60cos 45sin 60sin 45α=︒-︒=︒︒+︒︒12322622224+=⨯+⨯=.故选：C ．20．B原直线的倾斜角为30°，旋转后倾斜角为120︒，所以新直线的斜率为3-.故选：B .21．D如图所示：因为120211,4(1)3(1)2PM QM k k ---====------，所以直线l 与以(4,1)P --，(3,0)Q 为端点的线段相交，只需：1k ³或12k ≤-，故选：D22．A解：根据题意，设直线l 的斜率为k ，直线:220m x y -+=，:210n x y -+=，两直线相交于点(0,1)，设(0,1)A ，点(1,3)P 在直线n 上，直线l 与直线n 相交于点B ，PAB 为等腰锐角三角形，则1232tan 114122PAB -∠==<+⨯，则45PAB ∠<︒，故A 必为顶点，必有0k <则有APB ABP ∠=∠，必有1221212k k k k --=-++，解可得：1k =或1-，则1k =-，故选：A ．23．A直线3x-y+1=0的倾斜角为α，∴tanα=3，∴2221133sin222219110sin cos tan a sin cos sin cos tan αααααααα=⋅====+++，故选A ．24．A易求得线段AB 的方程为()513032x y y ++=-≤≤-，得513x y =--，由直线l 的方程得()119514111551514514514y y y y k x y y y +----===-=----++()11955514y =-++，当1435y -≤<-时，15140y -≤+<，此时，()119455514k y =-+≤-+；当1425y -<≤-时，05144y <+≤，此时，()1193555144k y =-+≥+．因此，实数k 的取值范围是4k ≤-或34k ≥，故选A ．25．A 因为31221AP k -==-，213314BP k --==--，如图：因为直线与线段AB 始终没有交点，所以斜率k 的取值范围是3(,2)4.故选A.26．D【详解】直线2y kx =+恒过定点()0,2C ，直线AC 的斜率()1201042k -==--，直线BC 的斜率()221103k --==--，当12k ≥或1k ≤-时，直线2y kx =+与线段AB 恒有公共点.故选：D.27．C设Q （3，0），则k AQ 3023-==--3，k BQ 201132-==---，∵点P （x ，y ）是线段AB 上的任意一点，∴3y x -的取值范围是[﹣3，12-]，故则3y x -的最大值为12-，28．D【详解】解：直线l 的斜率为2212121121y y m k m x x --===---，因为m R ∈，所以(],1k ∈-∞，所以直线的倾斜角的取值范围是0,,42πππ⎡⎤⎛⎫ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭.故选：D.29．C【详解】倾斜角的范围为0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭时，直线斜率0k >，倾斜角的范围为,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭时，直线斜率0k <，故A 错误；直线的倾斜角=2πα时，直线斜率不存在，故B 错误；直线倾斜角2,43ππα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则斜率tan k α=的范围为(,3][1,)-∞-⋃+∞，故C 正确；斜率tan k α=在,42ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭和2,23ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递增，故D 错误.故选：C.30．A【详解】若直线l 与线段AB 有公共点，则A 、B 在直线l 的两侧（也可以点在直线上）.令(,)1f x y ax y =-+，则有(1f ，3)(2f -，3)0≤，即(31)(231)0a a ++-+.解得41a -，故选：A.31．ABCA.若α是直线l 的倾斜角，则0180α≤< ,是正确的；B.若k 是直线l 的斜率，则tan k α=∈R ，是正确的；C.任意一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率，倾斜角为90°的直线没有斜率，是正确的；D.任意一条直线都有斜率，但不一定有倾斜角，是错误的，倾斜角为90°的直线没有斜率.故选：ABC32．AB解析：k AB =11132a a a a+-=----<0，即2+a >0，所以a >2-，CD 满足．故选：AB ．33．ABD若ab ＞0，则l 的斜率0b a-<，则A 正确；若b ＝0，a ≠0，则l 的方程为2x a=，其倾斜角为90°，则B 正确；若l 可能经过坐标原点，则-2＝0，这显然不成立，则C 错误；若a ＝0，b ≠0，则l 的方程为2y b =，其倾斜角为0°，则D 正确.故选：ABD34．BC【详解】因为直线倾斜角的取值范围为)0,180⎡⎣ ，当45α︒时，直线1l 的倾斜角为45α︒-，当045α︒︒<时，直线1l 的倾斜角为()18045135αα︒︒︒--=+.故选：BC.35．AB【详解】解：31421PM k --==--，213314PN k --==--，直线l 过点()11P ，且与线段MN 相交，则PM k k ≤或PN k k ≥，则直线l 的斜率k 的取值范围是：4k ≤-或34k ≥．故选：AB ．36．k 1<k 3<k 2【详解】由题图可知，k 1<0，k 2>0，k 3>0，且l 2比l 3的倾斜角大．∴k 1<k 3<k 2．故答案为：k 1<k 3<k 2．37．(－∞，－1]∪[3，＋∞)．【详解】解：∵直线l 与线段AB 有公共点，∴直线l 的倾斜角介于直线PB 与PA 的倾斜角之间，当l 的倾斜角小于90°时，k ≥k PB ；当l 的倾斜角大于90°时，k ≤k P A ．∵14121,32(3)23PA PB k k ----==-==---，∴直线l 的斜率k 的取值范围是(－∞，－1]∪[3，＋∞)．故答案为：(－∞，－1]∪[3，＋∞)38．12-解析：由题意得2222b a +=+，ab +2(a +b )=0，1112a b +=-．故答案为：12-．39．31,,22⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭【详解】实数x ，y 满足方程26x y +=，当13x ≤≤时，12y x --表示直线26x y +=上的点(,)M x y 与点(2,1)N 连线的斜率，设A 、B 为直线26x y +=上的两个点，且531,,3,22A B ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，NA 的斜率为5132212-=--，NB 的斜率为3112232-=-，故12y x --的范围为31,,22⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭，故答案为：31,,22⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭．40．3,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦解：做出图形，如图，D 为线段AB 上一动点，所以直线CD 的斜率k 满足[],AC BC k k k ∈由于3,33AC BC k k ==，所以3,33k ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦故答案为：3,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦41．2m =-【详解】依题意可得，直线的斜率为tan1351=- ，又直线过两点()23,2A m m m ---，()222,3B m m +-，所以22223132m m m m m --+=-----，整理可得：2223121m m m m --=+-，所以22320210m m m m ⎧++=⎨+-≠⎩，解得：2m =-，所以m 的值为2-.42．（1）2m =-；（2）3334m +=.【详解】（1）因为()36121AB m k m -==--，所以2m =-，（2）因为倾斜角为60︒，所以直线的斜率为tan 603︒=，所以()()2213m m m ---=--，所以3334m +=.43．k ≤－1或k ≥1【详解】如图所示∵A (－3，4)，B (3，2)，P (1，0)，∴k P A ＝4031---＝－1，k PB ＝2031--＝1．要使直线l 与线段AB 有公共点，则直线l 的斜率k 的取值范围是k ≤－1或k ≥1．44．（1）17AB k =，53AC k =；（2）15,73⎡⎤⎢⎥⎣⎦.（1）由斜率公式可得直线AB 的斜率231437AB k -==--，直线AC 的斜率235033AC k --==-.（2）如图所示，当点D 由点B 运动到点C 时，直线AD 的斜率由AB k 增大到AC k ，所以直线AD 的斜率的变化范围是15,73⎡⎤⎢⎥⎣⎦.。
高二数学倾斜角与斜率知识点
高二数学倾斜角与斜率知识点数学是一门抽象而精确的科学，其中许多概念和知识点都与我们日常生活息息相关。
在高二数学学习中，倾斜角与斜率是重要的概念之一。
本文将详细介绍倾斜角与斜率的概念及其应用。
一、倾斜角的定义与性质倾斜角，也称为斜率角，是指直线相对于水平线或者坡面的倾斜程度。
在直角坐标系中，可以通过斜率来计算倾斜角。
具体来说，若直线的斜率为k，则其倾斜角θ满足tanθ=k。
倾斜角具有以下性质：1. 垂直线的倾斜角为90度或π/2弧度；水平线的倾斜角为0度或0弧度。
2. 同一条直线上的两个不同点的连线的倾斜角相等。
3. 平行的直线具有相同的倾斜角。
4. 相互垂直的两条直线的倾斜角之积为-1。
二、斜率的计算与性质斜率描述了直线上各点间的变化率，可以理解为直线的倾斜程度。
在直角坐标系中，设直线通过两个点P(x₁, y₁)和Q(x₂, y₂)，则直线的斜率k满足k=(y₂-y₁)/(x₂-x₁)。
斜率具有以下性质：1. 垂直线的斜率不存在；水平线的斜率为0。
2. 同一条直线上的所有点的斜率相等。
3. 平行的直线具有相同的斜率。
4. 若直线的斜率为k，则与水平线的倾斜角θ满足tanθ=k。
三、倾斜角与斜率的应用倾斜角和斜率在实际问题中具有广泛的应用，特别是在几何图形和物理学中。
1. 图形的倾斜角：通过计算两点的坐标可以确定直线的斜率，从而求得直线相对于水平线的倾斜角。
这对于理解图形的形状和方向非常重要。
2. 道路的坡度：道路的坡度实际上就是道路的倾斜角。
通过计算两个位置的高度差和水平距离，可以求得坡度，从而了解道路的陡峭程度，对工程设计和施工有着重要意义。
3. 物体的运动：对于物体在直角坐标系中的运动，可以通过斜率来描述速度的变化。
倾斜角和斜率帮助我们理解物体在不同位置上的速度和方向。
总结：倾斜角与斜率是高二数学中的重要概念，其应用广泛。
倾斜角可以通过斜率来计算，用于描述直线相对于水平线的倾斜程度。
斜率则是描述直线各点间变化率的指标。
2022-2023学年高二数学 苏教版：直线的斜率与倾斜角
当堂检测
知识点二 直线的斜率 斜率的定义
1..倾斜角不是 的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率， 常用 表示，即 ．
2.概念解读：当直线 与x轴平行或重合时，a=0°，k=tan0°,a=0； 直线 与x轴垂直时，a=90°，k不存在。由此可知，一条直线 的倾斜 角 一定存在，但是斜率k不一定存在.
讲授新课
【归纳总结】1.解答此类问题要注意根据倾斜角的概念及倾斜角的取值范围 解答． 2.求直线的倾斜角主要根据定义来求，其关键是根据题意画出图形，找准倾 斜角，有时要根据情况分类讨论．
练一练
1.已知直线l向上方向与y轴正向所成的角为30°，则直线l的倾斜角为 ________．
讲授新课
【答案】60°或120° 【解析】有两种情况：①如图（1），直线l向上方向与x轴正向所成的角 为60°，即直线l的倾斜角为60°. ②如图（2），直线l向上方向与x轴正向所成的角为120°，即直线l的倾斜 角为120°.
【答案】 1
2
【解析】由题意，若
A(2
, 3)
,
B(3,
2)
,
C(
1 2
,
m)
三点共线则
3 2
2 3
3 1 2
2 m
，即
1
5
2 2
m
，故
m
1 2
故
答案为： 1
2
谢谢~
,
3π 4
【解析】因为直线 l 的斜率为 k ，且 3 k 1，
3
tan
1 ，因为
[0,
π)
，
2π 3,π Nhomakorabea0,
π 4
.故选：A.
当堂检测
名师教学设计《直线的倾斜角和斜率》完整教学教案
2.如何探究直线的斜率坐标计算公式。
三、学习者特征分析
学生掌握了平面内两点确定一条直线，以及在平面直角坐标系中点用坐标表示。直线如何表示直线的几何问题如何转化成代数问题从而研究几何性质是学生第一次学习，通过联系实际激发学生的学习兴趣、满足求知欲和好奇心。
学生小组讨论
理解斜率计算的代数式结构与坐标顺序无关，而且培养学生分类讨论的数学思想
六、教学评价设计
1.本节课从实际生活出发，引导学生通过观察抽象出直线的几何要素以及代数表示，让学生理解抽象的定义。
2.在教学过程中，借助多媒体加强动态演示，渗透解析几何从常量到变量转变的观点。通过合作探究让学生成为学习主体，有助于培养学习数学的兴趣，增强克服困难的自信心。
并且当直线 与 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为 。
2.直线斜率的定义
直线斜率的定义：我们把一条直线的倾斜角 的正切值叫做这条直线的斜率.斜率通常用小写的字母k表示，所以
k= （ ≠ ， = 正切值不存在）
3.直线斜率的两点坐标计算公式
两点间斜率的计算公式 （x1≠x2）
（三）巩固新知
例题：已知A(3, 2), B(-4, 1), C(0, -1),求直线AB, BC, CA的斜率,并判断它们的倾斜角是钝角还是锐角.
2. （x1≠x2）
八、教学反思
1.知识的讲解尽量联系实际，体现数学的应用性；
2.在数学能力方面应多强调；
3.加强学生教学生的合作交流意识；
4.应提高学生的求知欲。
四、教学过程
（一）情景引入：在直角坐标系中，点用坐标表示，直线如何表示呢初中时我们知道确定一条直线的方法是：两点确定一条直线，那么在直角坐标系中除了两点确定一条直线外还有其他的方法吗这就是我们本节课研究的主要内容。
【优质文档】人教版高中数学必修2第三章直线的倾斜角与斜率同步教案1
【方法总结】两条直线垂直的判定条件：
(1) 如果两条直线的斜率都存在且它们的积为－ 1，则两条直线一定垂直；
(2) 两条直线中，如果一条直线的斜率不存在，同时另一条直线的斜率为
0，那么这两条直线也垂直．
特别提醒：若已知点的坐标含有参数，利用两直线的垂直关系求参数值时，要注意讨论斜率不存在的情况．
【题型 3、两条直线平行与垂直的综合应用】 【例 3】已知 A( － 4,3) ，B(2,5) ，C(6,3) ，D( － 3,0) 四点，若顺次连接 ABCD四点，试判定图形 ABCD的形状．
2. 斜率 ( 倾斜角为 α )
定义
一条直线的倾斜角 α 的 _________叫做这 α ≠ 90°
条直线的斜率 α ＝ 90° 斜率不存在
记法
k，即 k＝ ________
范围
________
公式
经过两点 P1( x1， y1) ， P2( x2， y2)( x1≠ x2) 的直线的斜 率公式为 k＝ __________
④ AC⊥ BD，其中正确结论的序号为 ( )
A．①③
B．①④
C．②③
D．②④
3. △ ABC的顶点 A(5 ，－ 1) 、B(1,1) 、C(2 ， m) ，若△ ABC为直角三角形，求 m的值．
4. 已知 A(2 ，a＋ 1) ，B(4,2 a) ，C( a＋ 1,1) ，D(2 a＋ 1,2) ，问 a 为何值时，直线 AB和直线 CD的位置关系满足； (1) 平行． (2) 垂直．
(1) l 1 经过点 A( － 1，－ 2) ， B(1,2) ， l 2 经过点 P( － 2，－ 1) ， Q(2,1) ； (2) l 2 经过点 A(3,4) ， B(3,6) ， l 2 经过点 P( － 5,20) ， Q(5,20) ； (3) l 1 经过点 A(2 ，－ 3) ， B( － 1,1) ， l 2 经过点 C(0 ，－ 1) ，D(4,2) ．
高二直线的方程知识点总结
高二直线的方程知识点总结直线是数学中的基本概念之一，其方程的求解和应用广泛存在于高二数学课程中。
本文将对高二直线的方程知识点进行总结和归纳。
一、直线的一般方程直线的一般方程形式为Ax + By + C = 0，其中A、B、C为常数，A和B不同时为0。
二、直线的斜率与倾斜角直线的斜率用k表示，斜率定义为直线上任意两点的纵坐标差与横坐标差的比值。
对于一般方程为Ax + By + C =0的直线，其斜率的表达式为k = -A/B。
直线的倾斜角θ与斜率k之间有如下关系：当0 ≤ θ ≤ π/2时，k > 0，直线向右上方倾斜；当π/2 < θ ≤ π时，k < 0，直线向右下方倾斜；当π < θ ≤ 3π/2时，k > 0，直线向左下方倾斜；当3π/2 < θ ≤ 2π时，k < 0，直线向左上方倾斜。
三、直线的点斜式方程已知直线上一点P(x₁, y₁)和直线的斜率k，直线的点斜式方程表达式为y - y₁ = k(x - x₁)。
四、直线的截距式方程已知直线与x轴、y轴的交点分别为（a，0）和（0，b），直线的截距式方程表达式为x/a + y/b = 1。
五、直线的两点式方程已知直线上两点P₁(x₁, y₁)和P₂(x₂, y₂)，直线的两点式方程表达式为(y - y₁)/(x - x₁) = (y₂ - y₁)/(x₂ - x₁)。
六、直线的斜截式方程已知直线的斜率k和与y轴的截距b，直线的斜截式方程表达式为y = kx + b。
七、直线的垂直与平行关系两条直线互相垂直的条件是它们的斜率互为相反数，即k₁k₂= -1。
两条直线互相平行的条件是它们的斜率相等，即k₁ = k₂。
八、直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系分为以下三种情况：1. 直线与圆相离，没有交点；2. 直线与圆相切，有且仅有一个交点；3. 直线与圆相交，有两个交点。
根据两者方程的联立或者判别式，可以确定直线与圆的位置关系。
高二数学教案直线的倾斜角和斜率 人教版 教案
高二数学教案直线的倾斜角和斜率【基础知识精讲】课本从此节开始较系统地介绍平面直角坐标系内直线的表示及其性质的运用，建议同学们先复习一次函数的图像与性质，以及正切函数的定义与性质，向量的坐标表示，便于更好地学习本节知识.本节知识要点：1.直线的方程和方程的直线的概念.2.直线的倾斜角的概念，倾斜角X 围：0°≤α°＜180°.3.斜率的概念，k ＝tanα.(0°≤α＜180°且α≠90°).4.过两点的直线的斜率公式k ＝1212x x y y --.5.当直线不垂直于x 轴时，其方向向量的坐标为(1，k). 本节学习要求坐标系的建立，使得平面内的点和坐标、曲线和方程等联系起来，为我们运用代数的方法研究几何问题架起了一座“桥梁”，达到了形和数的结合.坐标法是我们研究直线的一种重要方法，也是广泛应用于其它领域的重要数学方法.本节的斜率公式就是通过直线上两点的坐标对直角坐标平面内的直线相对于x 轴的倾斜程度的定量刻画.学习过程中注意体会数形结合的数学思想，逐步学会运用观察、分析、联想、转化等数学方法解决问题.【重点难点解析】本小节的重点是直线的倾斜角和斜率概念，过两点的直线的斜率公式，难点是斜率概念的学习和过两点的直线的斜率公式的建立.1.倾斜角和斜率都是反映直线相对于x 轴正方向的倾斜程度的.倾斜角是直接反映这种倾斜程度的，斜率等于倾斜角的正切值.2.过两点的直线的斜率公式是对斜率的定义式的坐标化.关于斜率公式，应弄清以下几点：(1)斜率公式与两点的顺序无关，即两点的纵坐标和横坐标在公式中的前后次序可以同时颠倒；(2)斜率公式表明，直线对于x 轴的倾斜程度，可以通过直线上任意两点的坐标表示，而不需求出直线的倾斜角，因而，使用时较方便；(3)当x 1＝x 2,y 1≠y 2(即直线和x 轴垂直)时，直线的倾斜角α等于90°，没有斜率；(4)当α＝0°时，k ＝tanα＝0,斜率公式仍适用，只不过此时不必再用公式求得.例1 经过两点(2，3)和(4，-5)的直线的倾斜角是( )解：由斜率公式k ＝1212x x y y --＝42)5(3---＝-4知，直线的倾斜角为钝角，因正切值为-4的相应钝角是π-arctan4，故选C.例2 设直线的斜率为k ，且-3<k<33，则直线的倾斜角α的取值X 围是.解：由斜率的X 围，求倾斜角的X 围必须注意倾斜角应在［0，π］内取值.答：α∈［0，6π)∪(32π,π]例3 直线l 过点A(1，2)、B(m,3)，求l 的斜率和倾斜角. 分析 这里m 的X 围不足，求l 的斜率和倾斜角需分类讨论求解. 解：设直线l 的斜率为k ，倾斜角为α.(1)当m ＝1时，直线l 与x 轴垂直，斜率k 不存在，倾斜角α＝2π.(2)当m≠1时，k ＝tanα＝123--m ＝11-m . 1°当m>1时，α＝arctan 11-m 2°当m<1时，α＝π-arctan 11-m .【难题巧解点拨】例1 (1)如果AC<0且BC<0，那么直线Ax+By+C ＝0不通过( )解：直线方程可变形为y ＝-B A x-B C由BC<0知该直线在y 轴上的截距-B C>0.由AC<0,BC<0得ABC 2>0,∴AB>0，故该直线的斜率k<0，倾斜角为钝角.作出该直线的示意图知该直线不经过第三象限，选C.(2)对于直线xcosα+y+1＝0，其倾斜角θ的取值X 围是( )A.［-4π，4π］ B.［4π,43π］C.［0，4π］∪［π43，π)D.［0，4π］∪［2π，π)解：斜率为-cosα∈［-1，1］∴选C.(3)过点A(-1，2)作直线l ，使它在x 轴、y 轴上的截距相等，则这样的直线( )解：过原点和斜率为-1的两条直线满足题意，选B.例2 已知3x+5y+14＝0，其中x∈［-3，2］，求：｜12++x y ｜的最小值.解：由已知得线段：3x+5y+14＝0,x∈［-3，2］的两个端点A(-3，-1)，B(2，4)，而｜12++x y ｜可以看作线段AB 上的点与点(-1，-2)连线斜率的绝对值，记P(-1，-2)，则k PA ＝-21，k PB ＝-32，当3x+5y+14＝0,x∈［-3，2］时，k ＝12++x y ,x∈［-32,-21］,∴｜k ｜min ＝21.即｜12++x y ｜的最小值是21.【命题趋势分析】本节考点为直线倾斜角的概念、X 围，过两点的直线的斜率公式及简单应用，考题通常是与直线方程、三角函数的性质、公式等相联系的综合题.预测考题：1.如果AC<0且BC<0，那么直线Ax+By+C ＝0，不通过( )的起点A 和终点B 的坐标分别为A(-1，1)和B(2，2)，过点(0，-1)的直线l与有向线段不相交，则直线l 的斜率的取值X 围是.【典型热点考题】例1 已知一条直线的倾角是arcsin 53，且它与两坐标轴围成的三角形的面积为6，求此直线方程.解：因为所求直线的倾角是arcsin 5343，所以直线的斜率为43. 设所求直线的方程为y ＝43x+b直线与坐标轴的交点分别是(-34b,0)和(0,b)由题意得21｜b ｜·｜-34b ｜＝6∴｜b 2｜＝9 即b 2＝9 ∴b＝±3∴所求直线的方程为y ＝43x±3即3x-4y+12＝0和3x-4y-12＝0例2 已知直线l 经过点P(2，1)，且它的倾斜角等于已知直线l ′：3x-4y-17＝0的倾斜角的21，求l 的方程.分析 求l 的方程可借助求一次函数解析式的方法，用待定系数法由已知倾斜角的关系求斜率，用已知线上的点求纵截距.解：设直线l ′的倾角为α，则l 的倾角为2α.∴tanα＝43>0,0<x<2π， ∴cosα＝α2tan 11+＝54∴tan 2α＝ααcos 1cos 1+-＝541541+-＝31故所求直线方程为x-3y+1＝0 说明：求半角的正切值，根据2α所在象限确定符号，只取正值得一解.如果求出的tanα＝-3或tanα＝31有二解，从而忽视了对α所在象限的讨论，不会舍去tanα＝-3而多解. 【同步达纲练习】A 级一、选择题1.经过两点M(6，8)、N(9，4)的直线的倾斜角为( )3434C.arctan(-3434l 1、l 2、l 3的斜率分别为k 1、k 2、k 3，则有( )1<k 2<k 33<k 1<k 2 C.k 3<k 2<k 11<k 3<k 23.若三点A(3，1)，B(-2，b)，C(8，11)在同一直线上，则实数b 等于( ) A.2 B.3 C4.直线ax+by ＝ab(a>0,b<0)的倾斜角是( )A.arctan(-b a b ab aD. 2π+arctan b a5.若α是直线的倾斜角，则sin(4π-α)的取值X 围是( )A.［-1，22］B.(-1，22)C.(- 22,22)D.［-22,22)二、填空题6.若ab<0，则方程ax+by ＝1表示的直线的倾斜角的取值X 围是.7.已知点P(3，-1)，MP 连线的倾斜角为arctan 43，且｜MP ｜＝3,则点M 的坐标为.3，则此直线的倾斜角为.三、解答题9.已知A(-3，2)、B(a,3)，求直线AB 的斜率与倾斜角.AA 级一、选择题1.下列说法中正确的是( )A.一条直线和x 轴的正方向所成的正角，叫做这条直线的倾斜角.B.直线的倾斜角α的取值X 围是第一或第二象限角.C.和x 轴平行的直线，它的倾斜角为180°.D.每一条直线都存在倾斜角，但并非每一条直线都存在斜率. 2.下列多组点中，三点共线的是( )A.(1，4)，(-1，2)，(3，5)B.(-2,-5),(7,6),(-5,3)C.(1,0),(0,-31),(7，2)D.(0，0)，(2，4)，(-1，3)l 1的方程是ax-y+b ＝0,l 2的方程是bx-y-a ＝0(ab≠0,a≠b)，则下列各示意图形中，正确的是( )4.设点A(2，-3)，B(-3，-2)，直线l 过点P(1，1)且与线段AB 相交，则l 的斜率k 的取值X 围是( )A.k≥43或k≤-4B.k≥43或k≤-41C.-4≤k≤43D.- 43≤k≤4l ，使l 与连接A(1，1)和B(1，-1)两点的线段相交，则直线l 倾斜角的取值X 围是.6.已知A(-3sinθ,cos 2θ),B(0,1)是相异两点，则直线AB 的倾斜角的取值X 围是.7.要使三点A(2，cos 2θ),B(sin 2θ,- 32),C(-4,-4)共线，则角θ的值为.8.已知直线(2a 2-7a+3)x+(a 2-9)y+3a 2＝0的倾斜角为4π，则实数a ＝.【素质优化训练】1.已知点M(rcosα,rsinα),N(rcosβ,rsinβ),(-2π< 2βα+ <2π)，则直线MN 的倾斜角为( )A.2βαπ++ B.2βα+ C.2πβα-+ D.α+β-π1(2，3)，P 2(3，a)，P 3(4，b)共线，则( )A.a ＝4,b ＝5B.b-a ＝1C.2a-b ＝3D.a-2b ＝33.在直角坐标系中，△ABC 的三个顶点是A(0，3)、B(3，3)、C(2，0)，若直线x ＝a 将△ABC 分成面积相等的两部分，则实数a 的值为( )A.3B.1+22C.1+33224.点(a+b,c)、(b+c,a)和(c+a,b)的位置关系是( )l 的倾斜角，且满足：sin α+cosα＝51，则直线l 的斜率为( ) A. 4343或-34C. 34D.- 346.过点P(-1，2)的直线l 与x 轴和y 轴分别交于A 、B 两点，若P 分AB 所成的比PB AP ＝21，求直线l 的斜率和倾斜角.补充题：1.如果AC<0且BC<0，那么直线Ax+By+C ＝0，不通过( )的起点A 和终点B 的坐标分别为A(-1，1)和B(2，2)，过点(0，-1)的直线l与有向线段不相交，则直线l 的斜率的取值X 围是.参考答案【同步达纲练习】A 级1.D2.D3.D4.A5.A6.(0，2π)7.( 527，54)或(53，-514) 8.60°或120 9.解：a=-3时，斜率不存在，倾斜角为2π;a≠-3时，斜率k=323+-a =31+a .当a ＞-3时，倾斜角为arctan 31+a ;当a＜-3时，倾斜角为π+arctan 31+aAA 级1.D2.C3.D4.A5.［0, 4π］∪［43π，π］6.(0, 6π)∪［65π，π］ 7.θ=2πk 32【素质优化训练】6.解：设A(x,0),B(0,y)，则⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧++=+•+=-21121022110211y x ∴⎪⎩⎪⎨⎧=-=623y x 即得A(-23，0)，B(0，6)∴k AB=)23(006---=4,倾斜角α=arctan4.a 补充题：1.C2.(-2，23)。
直线的倾斜角与斜率(原卷版)--新高二暑假数学讲义
第5讲直线的倾斜角与斜率新课标要求①在平面直角坐标系中，结合具体图形，探索确定直线位置的几何要素。
②理解直线的倾斜角和斜率的概念，经历用代数方法刻画直线斜率的过程，掌握过两点的直线斜率的计算公式。
③能根据斜率判定两条直线平行或垂直。
知识梳理一、直线的倾斜角定义当直线l 与x 轴相交时,以x 轴为基准,x 轴正向与直线l 向上的方向之间所成的角α叫做直线l 的倾斜角规定当直线l 与x 轴平行或重合时,规定直线l 的倾斜角为0°记法α图示范围0°≤α<180°作用(1)表示平面直角坐标系内一条直线的倾斜程度;(2)确定平面直角坐标系中一条直线位置的几何要素是:直线上的一个定点以及它的倾斜角,二者缺一不可二、直线的斜率定义(α为直线的倾斜角)α≠90°一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率α=90°直线斜率不存在记法常用小写字母k 表示,即k=tan α范围R作用用实数反映了平面直角坐标系内的直线的倾斜程度三、直线的斜率公式如果直线经过两点P (x ,y ),P (x ,y ),(x ≠x ),则直线的斜率公式为k=y 2-y 1x -x .四、两条直线平行与斜率之间的关系设两条不重合的直线l 1,l 2,倾斜角分别为α1,α2,斜率存在时斜率分别为k 1,k 2.则对应关系如下:前提条件α1=α2≠90°α1=α2=90°对应关系l 1∥l 2⇔k 1=k 2l 1∥l 2⇔两直线斜率都不存在图示五、两条直线垂直与斜率之间的关系对应关系l 1与l 2的斜率都存在,分别为k 1,k 2,则l 1⊥l 2⇔k 1·k 2=-1l 1与l 2中的一条斜率不存在,另一条斜率为零,则l 1与l 2的位置关系是l 1⊥l 2.图示名师导学知识点1直线的斜率与倾斜角及其关系【例1-1】（广州期末）直线2y =-的倾斜角是()A ．3πB ．4πC ．6πD ．56π【例1-2】（三明期末）已知直线a 的倾斜角为45︒，则a 的斜率是()A ．1B ．2C ．3D ．4【变式训练1-1】（舟山期末）直线1y x =+的倾斜角是()A ．6πB ．4πC ．2πD ．34π【变式训练1-2】（钦州期末）直线1y =+的倾斜角为()A ．30︒B ．60︒C ．120︒D ．150︒知识点2过两点的直线的斜率【例2-1】（南京期末）若直线l 经过两点(1,3)-，(3,3)-，则直线l 的斜率为()A ．23B ．23-C ．32D ．32-【例2-2】（玉林期末）已知直线l 过点(A -，(2,)B m 两点，若直线l 的倾斜角是23π，则(m =)A ．-B ．0C ．D ．【变式训练2-1】（徐州期末）已知点(1,6)M ，(7,3)N ，则直线MN 的斜率为()A ．2-B ．12-C ．12D ．2【变式训练2-2】（宁波期末）一条直线过点A (1,0)和(2,3)B -，则该直线的倾斜角为()A ．30°B ．45°C ．135°D ．150︒知识点3直线斜率的运用【例3-1】(江西赣州高一期末)已知直线l 过点P(-1,-2),且与以A(-2,3),B(3,0)为端点的线段相交,若直线l 的斜率存在,则直线l 斜率的取值范围为.【例3-2】（红桥区期中）已知(1,2)A -、(2,0)B 、(,3)C x ，且A 、B 、C 三点共线，则x =．【变式训练3-1】设点A(3,-5),B(-2,-2),直线l 过点P(1,1)且与线段AB 相交,则直线l 的斜率k 的取值范围是()A.(-∞,-3]∪[1,+∞)B.[-3,1]C.[-1,3]D.以上都不对【变式训练3-2】（绍兴期末）已知点(1,1)A ，(0,1)B -，(,)C a b 在同一直线上，则2a b -=．知识点4两直线平行的判定【例4-1】（济南校级月考）判断下列各小题中的直线l 1与l 2是否平行:(1)l 1经过点A (-1,-2),B (2,1),l 2经过点M (3,4),N (-1,-1);(2)l 1的斜率为1,l 2经过点A (1,1),B (2,2);(3)l 1经过点A (0,1),B (1,0),l 2经过点M (-1,3),N (2,0);(4)l 1经过点A (-3,2),B (-3,10),l 2经过点M (5,-2),N (5,5).【变式训练4-1】（长高一调研）已知A (-2,m ),B (m ,4),M (m+2,3),N (1,1),若AB ∥MN ,则m 的值为.知识点5两直线垂直的判定【例5-1】（合肥质检）(1)直线l 1经过点A (3,2),B (3,-1),直线l 2经过点M (1,1),N (2,1),判断l 1与l 2是否垂直;(2)已知直线l 1经过点A (3,a ),B (a-2,3),直线l 2经过点C (2,3),D (-1,a-2),若l 1⊥l 2,求a 的值.【变式训练5-1】（全国高二课时练习）已知直线1l 经过()3,4A -，()8,1B --两点，直线2l 的倾斜角为135 ，那么1l 与2l （）A ．垂直B ．平行C ．重合D ．相交但不垂直知识点6平行与垂直的综合应用【例6-1】如图所示,在平面直角坐标系中,四边形OPQR 的顶点坐标按逆时针顺序依次为O (0,0),P (1,t ),Q (1-2t ,2+t ),R (-2t ,2),其中t>0.试判断四边形OPQR 的形状.【变式训练6-1】（湖南衡阳五中月考）已知在平行四边形ABCD 中，(1,2),(5,0),(3,4)A B C .（1）求点D 的坐标；（2）试判断平行四边形ABCD 是否为菱形.名师导练A 组-[应知应会]1．（淮安期中）已知直线:3l x π=，则直线l 的倾斜角为()A ．3πB ．2πC ．4πD ．6π2．（广陵区校级期中）若直线l 经过坐标原点和(3,3)-，则它的倾斜角是()A ．135︒B ．45︒C ．45︒或135︒D ．45-︒3．，则此直线的倾斜角等于()A ．30︒B ．60︒C ．120︒D ．150︒4．（郑州期末）过两点(0,)A y ，3)B -的直线的倾斜角为60︒，则(y =)A ．9-B ．3-C ．5D ．65．（银川一中高二月考）已知，过A (1,1)、B (1，－3)两点的直线与过C (－3，m )、D (n,2)两点的直线互相垂直，则点(m ，n )有()A ．1个B ．2个C ．3个D ．无数个6．（沙坪坝区校级期末）过点(2,1)A ，(,3)B m 的直线的倾斜角α的范围是3(,)44ππ，则实数m 的取值范围是()A ．02m <B ．04m <<C ．24m <D ．02m <<或24m <<7．（公安县期末）若直线l 经过(2,1)A ，(1B ，2)()m m R -∈两点，则直线l 的倾斜角α的取值范围是()A ．04παB ．2παπ<<C ．42ππα<D ．324ππα<8．（多选）（惠州期末）如图，直线1l ，2l ，3l 的斜率分别为1k ，2k ，3k ，倾斜角分别为1α，2α，3α，则下列选项正确的是()A ．132k k k <<B ．321k k k <<C ．132ααα<<D ．321ααα<<9．（多选）（无锡期末）下列关于直线的斜率和倾斜角的叙述正确的有()A ．平面直角坐标系中的任意一条直线都有倾斜角B ．平面直角坐标系中的任意一条直线都有斜率C ．若一条直线的斜率为tan α，则该直线的倾斜角为αD ．若一条直线的倾斜角为(90)αα≠︒，则该直线的斜率为tan α10．（多选）下列命题中正确的为()A.若两条不重合的直线的斜率相等，则它们平行；B.若两直线平行，则它们的斜率相等；C.若两直线的斜率之积为1-，则它们垂直；D.若两直线垂直，则它们的斜率之积为1-.11．（资阳期末）若过点(4,)A a ，(2,3)B -的直线的倾斜角为34π，则a =．12．（宜兴市月考）若直线l 的斜率为1，则直线l 的倾斜角为．13．（北碚区校级期末）已知两点(3,4)A -，(3,2)B ，直线l 经过点(2,1)P -且与线段AB 相交，则l 的斜率k 的取值范围是．14．（闵行区期末）若直线l 的倾斜角的范围为[4π，3π，则l 的斜率的取值范围是．15．已知()1,0A ，()3,2B ，()0,4C ，点D 满足AB CD ⊥，且//AD BC ，则点D 的坐标为______16．（金凤区校级期末）若三点(3,1)A ，(2,)B b -，(8,11)C 在同一直线上，则实数b 等于．17．（山东潍坊三中期中）判断下列各小题中的直线l 1与l 2的位置关系．(1)l 1的斜率为－10，l 2经过点A (10,2)，B (20,3)；(2)l 1过点A (3,4)，B (3,100)，l 2过点M (－10,40)，N (10,40)；(3)l 1过点A (0,1)，B (1,0)，l 2过点M (－1,3)，N (2,0)；(4)l 1过点A (－3,2)，B (－3,10)，l 2过点M (5，－2)，N (5,5)．18．（平遥县月考）已知直线l 过点(1,2)A ，(,3)B m ，求直线l 的斜率和倾斜角的取值范围．19．（全国课时练）已知()222,3A m m +-，()23,2B m m m --，()21,32C n n +-三点，若直线AB 的倾斜角为45︒，且直线AC AB ⊥，求点A ，B ，C 的坐标．20．（武城县校级月考）（1）求证：(1,1)A -，(2,7)B --，(0,3)C -三点共线．（2）若三点1(2,3),(3,4),(,)2A B m C m --共线，求m 的值．21．（芜湖期末）已知点(5,1)A -，(1,1)B ，(2,)C m ．（1）若A ，B ，C 三点共线，求实数m 的值．（2）若ABC ∆为直角三角形，求实数m 的值．22．（静宁县校级期末）已知(1,1)M -，(2,2)N ，(3,0)P ．（1）求点Q 的坐标，满足PQ MN ⊥，//PN MQ ．（2）若点Q 在x 轴上，且NQP NPQ ∠=∠，求直线MQ 的倾斜角．23．（孝感期末）已知(1,3)A ，(5,1)B ，(3,7)C ，A ，B ，C ，D 四点构成的四边形是平行四边形，求点D 的坐标．B 组-[素养提升]1．（芜湖期末）已知直线l 方程为(,)0f x y =，11(P x ，1)y 和22(P x ，2)y 分别为直线l 上和l 外的点，则方程(f x ，1)(y f x -，12)(y f x -，2)0y =表示()A ．过点1P 且与l 垂直的直线B ．与l 重合的直线C ．过点2P 且与l 平行的直线D ．不过点2P ，但与l 平行的直线2．（全国月考）中国古代近似计算方法源远流长，早在八世纪，我国著名数学家张遂在编制《大衍历》中发明了一种二次不等距插值算法：若函数()y f x =在1x x =，2x x =，3123()x x x x x =<<处的函数值分别为11()y f x =，22()y f x =，33()y f x =，则在区间1[x ，3]x 上()f x 可以用二次函数来近似代替：111212()()()()f x y k x x k x x x x =+-+--，其中21121y y k x x -=-，3232y y k x x -=-，131z k k k x x -=-．若令10x =，22x π=，3x π=，请依据上述算法，估算sin5π的值是()A ．1425B ．35C ．1625D ．17253．（越城区校级期中）已知两点(1,2)A -，(,3)B m ．且实数3[13m ∈--1]-，求直线AB 的倾斜角α的取值范围．。
高二数学直线的倾斜角和斜率、直线的方程人教版(文)知识精讲
高二数学直线的倾斜角和斜率、直线的方程人教版（文）【本讲教育信息】一. 教学内容：直线的倾斜角和斜率、直线的方程二. 本周教学重、难点： 1. 重点：直线的倾斜角和斜率的概念、直线方程的几种重要形式。
2. 难点：斜率的概念的学习，过两点直线的斜率公式的建立，直线方程的应用。
【典型例题】[例1]（1）已知M （4-，3），N （2，15）若直线l 的倾斜角是MN 的一半，求l 的斜率解：242315=+-=MN k 设l 的倾斜角为αααα2tan 1tan 22tan -==MN k ∴2122kk -=012=-+k k ∴251±-=k ∵0>k ∴251+-=k（2）过P （1-，3-）的直线l 与y 轴的正半轴没有公共点，求l 的倾斜角的X 围。
解：3tan =α∴3πα=∴),2[]3,0[πππα⋃∈（3）若直线l 的斜率)(12R m m k ∈-=则直线l 的倾斜角α的取值X 围是什么？解：∵112≤+-=m k ∴),2(]4,0[πππα⋃∈[例2] 过点P （1，4）作直线与两坐标轴正向相交，当直线在两坐标轴上的截距之和最小时，求直线方程。
解：设1=+bya x （0>a ，0>b ） ∵ 过P （1，4） ∴141=+b a∴942545)41)(()(=⋅+≥++=++=+abb a a b b a b a b a b a当⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=1414b a abb a ∴⎩⎨⎧==63b a 时，9)(min =+b a∴163=+yx 即062=-+y x[例3] 在ABC ∆中，A （2，8），B （4-，0），C （5，0）求过B 且将ABC ∆面积分成2:1的直线方程。
解：设l 交AC 于P 点，则（1）PC AP 21=；（2）PC AP 2= （1）当PC AP 21=时，P （x ，y ）满足⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=++==++=316211083211252y x ∴l ：)4(7316+=x y 即0642116=+-y x（2）当PC AP 2=时，P （x ，y ）满足⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++==++=382108421102y x∴l ：)4(838+=x y 即043=+-y x[例4] 设P 1（x 1，y 1），P 2（2x ，2y ）l ：0=++C By Ax ，求l 与直线21P P 的交点P （不过P 2）分21P P 的比。
2.1.1倾斜角与斜率课件-2024-2025学年高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第一册
(1)要使直线 l 与线段 AB 有公共点,则直线 l 的斜率 k 的取值范
围是(-∞,-1]∪[1,+∞).
(2)由题意可知直线 l 的倾斜角介于直线 PB 与
直线 PA 的倾斜角之间(包括相等).又因为直线 PB
的倾斜角是 45°,直线 PA 的倾斜角是 135°,所以 α
的取值范围是 45°≤α≤135°.
答案:D
①
②
探索点二
直线的斜率
【例 2】(1)若一条直线经过点 A(1,2)和点 B(a,3),且倾斜角为 45°,
则 a 的值为
A.-6
(
B.-4
)
C.2
D.6
解析:因为直线经过点 A(1,2)和点 B(a,3),所以直线的斜
3-2
率为 பைடு நூலகம்= .
-1
又因为直线的倾斜角为 45°,
3-2
所以 =tan 45°=1,解得 a=2.
探索点三
直线的倾斜角、斜率的综合问题
【例 3】已知两点 A(-3,4),B(3,2),过点 P(1,0)的直线 l 与线段 AB 有公共
点.
(1)求直线 l 的斜率 k 的取值范围;
(2)求直线 l 的倾斜角 α 的取值范围.
解:如图,由题意可知 kPA=
4-0
2-0
=-1,kPB= =1.
-3-1
直线上,求直线的斜率 k 及 a,b 的值.
5-1
7-1 6
=2,kAC= = ,
3-1
-1 -1
解:由题意,知 kAB=
-1 -1
kAD= = ,
-1-1 -2
6 -1
所以 = =2,解得
高二数学直线的倾斜角与斜率试题答案及解析
高二数学直线的倾斜角与斜率试题答案及解析1.过点、的直线的斜率为______________．【答案】2.【解析】由斜率公式得：.【考点】直线的斜率公式.2.直线的倾斜角的余弦值为________．【答案】.【解析】由直线方程可得直线的斜率为，设直线的倾斜角为知，，再由同角三角函数公式，联立这两个方程组得.【考点】直线的倾斜角．3.直线l的倾斜角为，且，则直线l的斜率是( )A．B．C．或D．或【答案】C【解析】由已知中直线的倾斜角为a，且sina=，分倾斜角a为锐角和钝角两种情况分类讨论，根据同角三角函数关系，求出a的余弦值和正切值，即可得到直线的斜率,由已知中直线的倾斜角为a，且sina=，当a为锐角时，cosa=，tana=；当a为钝角时，cosa=-，tana=-；即直线的斜率是±，选C.【考点】直线的斜率.4.若A(1，2)，B(－2，3)，C(4，y)在同一条直线上，则y的值是______【答案】1【解析】由三点共线,所以斜率相等.所以即解得【考点】三点共线,斜率公式5.已知点A(2,3),B(－3,－2).若直线过点P(1,1)且与线段AB相交,则直线的斜率的取值范围是( )A．B．C．或D．【答案】C【解析】如图，，，又过点且与轴垂直的直线也与线段相交，故直线的斜率满足或．选C．【考点】直线的斜率．6.直线的倾斜角是 .【答案】【解析】由已知得，所以，.【考点】直线斜率的概念.7.在平面直角坐标系中，直线的倾斜角的大小是____ _______【答案】0【解析】∵直线平行x轴，∴直线的倾斜角的大小是0【考点】本题考查了倾斜角的概念点评：掌握倾斜角的概念及范围是解决此类问题的关键，应用时还可根据图象判断。
8.在平面直角坐标系中，双曲线的右焦点为，一条过原点且倾斜角为锐角的直线与双曲线交于两点.若的面积为，则直线的斜率为____________.【答案】【解析】设直线的斜率为k（k>0），则其方程为y=kx，联立消x得，，∴，∴，又点F（4,0），∴，化简得，∴.【考点】本题主要考查了直线与双曲线的位置关系。
高二数学直线的倾斜角和斜率3
练习： 求过下列两点的直线的斜率k及倾斜角a
1.p1 2,3, p2 2,8; 2.p15， 2, p2 2,2 3.p11,2, p2 3,4
略解：1.斜率不存在， a 00;
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2.k 0, a 00
3.k 3 , a arctan3
直线的倾斜角和斜率
①直线的方程，方程的直线：以一个方程的解为坐标的点 都是某条直线上的点，反过来，这条直线上的点的坐标都 是这个方程的解，这时，这个方程就叫这条直线方程，这 条直线叫做这方程的直线。
②直线的倾斜角α: ⑴定义：把x轴绕着交点按 逆时针方向旋转到的直线重 合时所转的最小正角。 ⑵范围： 0≤α＜π。 ⑶任何一条直线都有倾斜角
2
2
㈢应用：
1.如图，直线L1的倾斜角α1=300，直线L2⊥L1，求L1，L2 的斜率。
解 L1的斜率 K1 tan1 tan 30 0
3 3
Y
L2
L1
L2的倾斜角 2 900 300 120 0
L2的斜率 K2 tan1200 tan(1800 600 )
tan 600 3.
1
2
O
X
2.求经过两点 p12,1和p2 m,2m R
的直线l的斜率，并求出 l的倾斜角 a
3.已知点A（1，4），B（1，3），P（0，2）， 过点P的直线l与线段AB相交， 求直线l倾斜角a的取值范围。
4.设A，B的坐标分别是（x1，y1）和（x2，y2）且x1≠x2，
④直线的斜率公式： 已知P1（x1，y1），P2（x2，y2）
Y
P1 α
P2 P
α
高二数学复习典型题型与知识点专题讲解3---直线的倾斜角与斜率式(解析版)
高二数学复习典型题型与知识点专题讲解03 直线的倾斜角与斜率+直线的方程+直线的交点坐标和距离公式一、典例精析拓思维（名师点拨）知识点1 倾斜角与斜率知识点2 点斜式方程知识点3 五种方程知识点4 点的对称知识点5 线的对称知识点6 点到直线的距离知识点7 直线系（束）二、题型归类练专练一、典例精析拓思维（名师点拨）知识点1 倾斜角与斜率例1．（2021·重庆市朝阳中学高二阶段练习）若直线1y kx =+与连接(2,3),(3,2)A B -的线段总有公共点，则k 的取值范围是（ ）A ．11,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．[)1,1,3⎛⎤-∞-+∞ ⎥⎝⎦C ．1,13⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．(]1,1,3⎡⎫-∞-+∞⎪⎢⎣⎭ 【答案】B由直线1y kx =+可得直线的斜率为k ，且过定点()0,1P ，又(2,3),(3,2)A B -，则由图可得，要使直线与线段AB 总有公共点，需满足PA k k ≥或PB k k ≤，又312111,20303PA PB k k --====----， ∴1a ≥或13a ≤-.故选：B.名师点评：直线l 的斜率是“在中间”还是“在两边”？取决于过点P 且垂直于x 轴的直线与线段AB 是否有交点.①若有交点，则斜率“在两边”即PA k k ≥或PB k k ≤；②若没有交点，则斜率“在中间”即PA PB k k k ≤≤.本例属于①.练习1-1．（2021·全国·高二课时练习）已知点2)A ，(4,3)B -，若直线l 过点(0,1)P 与线段AB 相交，则直线l 的倾斜角的取值范围是（ ）A ．536ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，B ．[263ππ，] C ．3064πππ⎡⎤⎡⎫⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭，，D ．5036πππ⎡⎤⎡⎫⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭，，【详解】如图所示，由A 2），B （4，﹣3），P （0，1），可得斜率k PA=k PB ()1304--==--1， 因为直线l 与线段AB 相交，所以直线l 的倾斜角的取值范围是3064πππ⎡⎤⎡⎫⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭，，. 故选：C .名师点评：根据例题1的结论过点P 且垂直于x 轴的直线与线段AB 无交点，故直线l 的斜率满足PB PA k k k ≤≤,从而求出直线l 的取值范围，1k -≤≤，进一步根据直角坐标系求出倾斜角的取值范围.例2．（2021·全国·高二课时练习）若A ，B 两点的横坐标相等，则直线AB 的倾斜角和斜率分别是（ ） A ．45，1B ．135，－1C ．90，不存在D ．180，不存在【答案】C【详解】由倾斜角和斜率的定义可知，直线AB 的倾斜角为90°，而当倾斜角为90°时，斜率不存在．故选：C.名师点评：对于直线l ，当倾斜角90α=时，直线l 的斜率不存在.知识点2 点斜式方程例1．（2022·全国·高三专题练习）已知ABC ∆的三个顶点分别为()30A -,，()2,1B ，()2,3C -，BC 中点为D 点，求：（1）BC 边所在直线的方程;（2）BC 边上中线AD 所在直线的方程;（3）BC 边的垂直平分线的方程.【答案】（1）240x y +-=（2）2360x y -+=（3）220x y -+=（1）311222BC k -==---，故BC 边所在直线的方程为：()1122y x -=--， 化简得到240x y +-=.（2）BC 中点D 为2213,22-+⎛⎫ ⎪⎝⎭，即()0,2，故()202033AD k -==--， 故AD 所在直线的方程为223y x =+，即2360x y -+=. （3）12BC k =-，故垂直平分线的斜率为2k =，中点为()0,2， 故垂直平分线的方程为22y x =+，即220x y -+=.练习1-1．（2021·山东乳山·高二期中）已知,(0,0),3ABC A B ABC π∆∠=，y 轴为BC 边中线 （1）求AC 边所在直线方程；（2）求CAB ∠角平分线所在直线方程．【答案】（10y +=（2）(2y x =（1）因为AB k =，AB 倾斜角为6π，3ABC π∠=， 设BC 交y 轴于点M ，则根据条件可知ABM为等边三角形，则(0,M ，M 为BC中点，则(C -．AC k =AC0y +=．（2）因为AC k = AC 倾斜角为23π， 所以2362BAC πππ∠=-=， 所以A ∠内角角平分线斜率为tan tan 164tan 2641tan tan 64k ππππππ+⎛⎫=+=== ⎪⎝⎭- 故A ∠内角平分线所在直线方程为(2y x =．名师点评：1、直线的点斜式方程：00()y y k x x -=-；2、点斜式方程是由直线上一点和该直线的斜率确定的,点斜式的前提是直线的斜率存在.因此点斜式不能表示平行于y 轴的直线.当直线倾斜角为90时,斜率不存在,此时直线方程为0x x =.3、当直线倾斜角为0时,此时直线方程为0y y =.4、方程00y y k x x -=-表示直线去掉一个点00(,)P x y ；方程00()y y k x x -=-表示一条直线. 知识点3 五种方程例1．（2021·全国·高二课时练习）直线1l ：y ax b =+与直线2l ：y bx a =+(0ab ≠，a b ≠)在同一平面直角坐标系内的图象只可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【详解】对B ，2l 斜率为正，在y 轴上的截距也为正，故不可能有1l 斜率为负的情况.故B 错.当,0a b >时， 1l 和2l 斜率均为正，且截距均为正.仅D 选项满足.故选：D名师点评：明确直线斜截式方程y kx b =+中k 表示直线的斜率，b 表示直线的纵截距.例2．（2021·全国·高二课前预习）求过点(4,2)A ，且在两坐标轴上的截距的绝对值相等的直线l 的方程．【答案】x －2y ＝0或x ＋y －6＝0或x －y －2＝0.【详解】当直线过原点时，它在x 轴、y 轴上的截距都是0，满足题意． 此时，直线的斜率为12，所以直线l 的方程为y ＝12x ，即x －2y ＝0. 当直线不过原点时，由题意可设直线方程为1x y a b +=.又因为过点A ，所以421a b+=. ① 因为直线在两坐标轴上的截距的绝对值相等，所以|a |＝|b |. ②由①②联立方程组，解得6,6a b =⎧⎨=⎩或2,2.a b =⎧⎨=-⎩所以所求直线的方程为166x y +=或122x y +=-， 化简得直线l 的方程为x ＋y ＝6或x －y ＝2，即直线l 的方程为x ＋y －6＝0或x －y －2＝0， 综上，直线l 的方程为x －2y ＝0或x ＋y －6＝0或x －y －2＝0.名师点评：一般来说直线在坐标轴上的截距的绝对值相等,则有三种情况:一是截距相等,斜率为-1;二是截距互为相反数,斜率为1;三是直线过原点.特别提醒：不要忽略了直线过原点，此时直线的横纵截距相等，也可以说横纵截距绝对值相等. 练习2-1．（2021·浙江·绍兴一中高二期中）如图，过点()2,1P 的直线l 交x 轴，y 轴正半轴于A ､B 两点，求使：（1）AOB ∆面积最小时l 的方程；（2）PA PB ⋅最小时l 的方程.【答案】（1）240x y +-=（2）30x y +-=（1）设直线的方程为1(2,1)x y a b a b+=>>，直线l 过点(2,1)P ，∴211a b+=． 212121a b a b +=， 8ab ∴．118422AOB S ab ∴=⨯=． 当且仅当2112a b ==，即4a =，2b =时，AOB S 取最小值4， 此时直线l 的方程为142xy +=，即240x y +-=．（2）由211a b+=，得20ab a b --=， 变形得(2)(1)2a b --=，2||||(20)PA PB -+21][(1)4]2(2)4(1)b a b -+--．当且仅当21a -=，12-=b ，即3a =，3b =时，||||PA PB 取最小值4．此时直线l 的方程为30x y +-=．知识点4 点的对称例1．（2021·浙江·宁波咸祥中学高二期中）求(3,5)A -关于直线:3440l x y -+=对称的点的坐标___________.【答案】()3,3-【详解】设对称点为(,)B x y ，则5313435344022y x x y -⎧⨯=-⎪⎪+⎨-+⎪⨯-⨯+=⎪⎩，解得33x y =⎧⎨=-⎩， 所以对称点坐标为(3,3)-，故答案为：(3,3)-．名师点评：点关于直线对称若点00(,)P x y 关于直线0(0)Ax By C B ++=≠的对称点为(,)P m n '解题思路(中点+垂直)①直线PP '与直线0(0)Ax By C B ++=≠的斜率互为负倒数,②线段PP '的中点00(,)22x m y n ++一定在直线0(0)Ax By C B ++=≠上. 即0000()1022n y A m x B x m y n A B C -⎧⋅-=-⎪-⎪⎨++⎪⋅+⋅+=⎪⎩ 结论：00022000222()2()A m x Ax By C A B B n y Ax By C A B ⎧=-++⎪⎪+⎨⎪=-++⎪⎩+(不推荐记忆） 练习1-1．（2021·上海·华师大二附中高二阶段练习）一条光线经过点(2,3)A 射到直线10x y ++=上，被反射后经过点(1,1)B ，则入射光线所在直线的方程为___________.【答案】5420x y -+=【详解】设点B 关于直线10x y ++=的对称点为()00,B x y '，则()00001110221111x y y x ++⎧++=⎪⎪⎨-⎪⋅-=--⎪⎩， 解得0022x y =-⎧⎨=-⎩， 所以()2,2B '--，又点(2,3)A ，所以()()325224AB k '--==--， 直线AB '的方程为：()5324y x -=-，由图可知，直线AB '即为入射光线，所以化简得入射光线所在直线的方程:5420x y -+=.故答案为：5420x y -+=.练习1-2．（2021·全国·高二单元测试）有一光线从点()3,5A -射到直线l ：3440x y -+=以后，再反射到点(2,15)B ，则这条光线的反射线所在直线的方程为_____________．【答案】18510x y +-=【详解】设点()3,5A - 关于直线l ：3x ﹣4y +4＝0的对称点为(),C m n ， 则3534402253134m n n m -++⎧⋅-⋅+=⎪⎪⎨-⎪⋅=-⎪+⎩，解得m ＝3，n ＝﹣3，∴()3,3C -， ∵()2,15B ，∴直线BC 的方程为y +3()153323x +=--， 即18510x y +-=．故答案为：18510x y +-=． 知识点5 线的对称例1．（2021·全国·高二专题练习）直线230x y -+=关于点(1,1)对称的直线方程为____________.【答案】210x y --=【详解】设直线230x y -+=关于点(1,1)对称的直线方程为l '，在l '上任取一点(),P x y ，则点P 关于点(1,1)对称的点P '的坐标为()2,2x y --，由题意可知点P '在直线230x y -+=上，故()()22230x y ---+=，整理可得210x y --=.故答案为：210x y --=名师点评：直线关于点对称（求直线l 关于00(,)P x y 的对称直线l '）方法1:转化为点关于点对称的问题①在已知直线l 上任取两点111(,)P x y ，222(,)P x y ，分别求出1P ，2P 关于00(,)P x y 的对称点3P ，4P ，再利用点斜式求出l '.②轨迹方程法：设对称直线l '上的任意一点(,)P x y ，求出(,)P x y 关于00(,)P x y 的对称点111(,)P x y ，则111(,)P x y 在直线l 上，求出l '.方法2:由中心对称性质知,所求对称直线与已知直线平行,用点到两直线的距离相等求解. 本题采用的是轨迹方程法，逆向求出对称直线.练习1-1．（2021·全国·高二课时练习）直线:210l x y +-=关于点(1,2)A 的对称直线方程为_________________【答案】290x y +-=【详解】解：在所求直线上取点(),x y ，关于点A (1,2)对称的点的坐标为()2,4x y --，代入直线210x y +-=，可得()22410x y -+--=即290x y +-=.故答案为：290x y +-=.例2．（2021·全国·高二课时练习）已知直线:0l x y -=，1:220--=l x y ，则1l 关于l 对称的直线方程为_____.【答案】220x y【详解】联立0220x y x y -=⎧⎨--=⎩，解得22x y =⎧⎨=⎩， ∴直线l 与1l 的交点坐标为()2,2，在直线1l 上任取一点()0,2-，其关于直线l 的对称点为()2,0-，由点()2,2和点()2,0-，可得()()20222y x -=⋅+--，即220x y ． 故答案为：220x y ．名师点评：直线关于直线对称的问题（求直线1l 关于直线l 的对称直线2l ）方法1:转化为点关于直线对称的问题.①1l l ，在1l 上分别取两点111(,)P x y ，222(,)P x y ，分别求出1P ，2P ，关于直线l 的对称点3P ，4P ，再利用点斜式求出2l ；②1l l ，根据1l l ，设出2l 的直线方程(与1,l l 都平行）再利用平行直线间的距离公式求出1l 与l 的距离1d ，l 与2l 的距离2d ，则12d d =，求出2l .③1l 与l 相交,先求出交点坐标000(,)P x y ，接着在1l 上任取一点111(,)P x y （非000(,)P x y ），求出1P 关于l 的对称点222(,)P x y ，利用2P ，0P 两点求出2l方法2：轨迹方程法：设对称直线2l 上的任意一点(,)P x y ，求出(,)P x y 关于l 的对称点111(,)P x y ，则111(,)P x y 在直线1l 上，求出2l .本例属于方法1中的②类，下一题练习题利用了方法2：轨迹方程法逆代求解.练习2-1．（2021·全国·高二专题练习）若直线l 与直线220x y --=关于直线40x y +-=对称，则l 的方程是__________．【答案】220x y【详解】设直线l 上任意一点为(),P x y ，则P 关于直线40x y +-=的对称点()',P m n 在直线220x y --=上，由对称性可得()114022y n x m x m y n -⎧⋅-=-⎪⎪-⎨++⎪+-=⎪⎩，解得44m y n x =-⎧⎨=-⎩，代入直线l 可得()()24420y x ----=，化简可得所求直线方程为220x y -+=，故答案为220x y .知识点6 点到直线的距离例1．（2021·湖南省邵东市第一中学高二期中）点()1,1P 到直线3430x y ++=的距离是______．【答案】2【详解】由已知得2d ==， 故答案为2.练习1-1．（2021·全国·高二专题练习）已知直线l 经过两条直线77240x y +-=和0x y -=的交点，且原点到直线的距离为125，则这条直线的方程是__． 【答案】4x +3y ﹣12＝0或3x +4y ﹣12＝0【详解】由772400x y x y +-=⎧⎨-=⎩，得127127x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴交点为（127，127）， ∵原点到直线的距离为125，∴这条直线的斜率存在，设为 k ， 则所求条直线的方程为 y 127-=k （x 127-），即 7kx ﹣7y +12﹣12k ＝0，125=，得 k 43=- 或 k 34=-， 所求条直线的方程为：y 12473-=-（x 127-），或y 12374-=-（x 127-）， 即 4x +3y ﹣12＝0，或 3x +4y ﹣12＝0．故答案为： 4x +3y ﹣12＝0，或 3x +4y ﹣12＝0．名师点评：点000(,)P x y 到直线l ：0Ax By C ++=的距离公式：d =.注意使用点到直线的距离公式时，直线方程需提前化为一般式方程.例2．（2021·山东乳山·高二期中）已知(2,6),(0,4)A B --两点到直线:10l ax y ++=的距离相等，则实数a 的值为________．【答案】0【详解】=525a +=，解得0a =或5a =-故答案为：0或5-练习2-1．（2021·湖南·高二阶段练习）若点()2,A m -和(),4B m 到直线30x y --=的距离相等，则m =___________.【答案】1【详解】=57+=-m m ，解得1m =故答案为：1名师点评：点111(,)P x y ，222(,)P x y 到直线l ：0Ax By C ++=的距离相等存在两种情况： ①1212P P l PP l k k ⇔=；②直线l ：0Ax By C ++=过12P P 的中点.例3．（2021·山东·济宁市教育科学研究院高三期末）若直线1l ：210x y -+=与直线2l ：210x my ++=平行，则直线1l 与2l 之间的距离为______．【详解】由直线1l ：210x y -+=与直线2l ：210x my ++=平行可得12(2)0m ⨯-⨯-=，即4m =-，故两直线可化为：1l ：2420x y -+=、2l ：2410x y -+=故直线1l 与2l 之间的距离为d =练习3-1．（2021·浙江·海亮高级中学高二期中）两平行直线1:30l x y -=和2:610l x my ++=之间的距离是__________【详解】因12l l //，则有613m =-，解得2m =-，即直线2:6210l x y -+=，而直线1:620l x y -=，于是得d ==名师点评： 两条平行直线1l ：10Ax By C ++=与直线2l ：20Ax By C ++=（其中12C C ≠）间的距离公式：d =.使用该公式时注意直线1l 与2l 的方程都要化为一般式，且,A B 需一致，才可以使用该公式.知识点7 直线系（束）例1．（2021·江苏张家港·高二期中）已知直线()()()11330a x a y a a -+++-=∈R .求证：直线经过定点，并求出定点P ；【答案】（1）证明见解析，定点()3,0P法一：证明（直线系法）：将直线l 的方程改写为()()330x y a x y -++++-=，令30x y -++=，且30x y +-=，两式联立，解得3x =，0y =，所以直线过定点()3,0P .法二：（特殊值法）当1a =时，直线方程为：200y y =⇒=；当1a =-时，直线方程为：2603x x -=⇒=；所以两条直线交点为()3,0P .名师点评：求直线过定点,常用两种方法--特殊值法和直线系法特殊值法,即取两个特殊参数值,得到两条特殊直线,进而求两条特殊直线的交点坐标,并代入原直线方程检验,即得定点.直线系法,即将直线方程化为含参数的恒等式形式,利用恒等式各系数为0列出关于x 与y 的方程组，通过解方程组求出定点坐标.例2．（2021·安徽省涡阳第一中学高二阶段练习）（1）求经过()3,0，且与直线250x y +-=垂直的直线方程；（2）求平行于直线20x y --=，且与它的距离为【答案】（1）230x y --= ；（2）20x y -+=或60x y --= ．【详解】（1）设与直线250x y +-=垂直的直线方程为20x y m -+=，把点()3,0代入可得3m =-，综上可得直线的方程为230x y --=．（2）设所求的直线方程为0x y m -+=()2m ≠-，=2m =或6m =-． 故直线方程为20x y -+=或60x y --=．名师点评：几种常见的直线系方程：（1）与直线0Ax By C ++=平行的直线系（束）方程为：0()Ax By m m C ++=≠（2）与直线0Ax By C ++=垂直的直线系（束）方程为：0Bx Ay m -+=.二、题型归类练专练一、单选题1．（2021·黑龙江·哈尔滨三中高二期末）若直线1:230l ax y a +++=，2:(1)50l x a y +--=平行，则实数a 的值为（ ）A ．1-B ．2C ．1或2-D ．1-或2【答案】D【详解】∵直线1:230l ax y a +++=，2:(1)50l x a y +--=平行，()1253a a a a ⎧-=∴⎨-≠+⎩，解得1a =-或2a =. 故选：D.2．（2021·四川·成都市温江区第二中学校高二期末（文））“ 1a = ” 是 “直线 ()1:210l a x y -++= 与直线 ()2:1220l a x y ++-= 互相垂直” 的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【详解】由直线垂直可得()1212a a +⎛⎫--⨯-=- ⎪⎝⎭，解得0a =或1， 所以“ 1a = ” 是 “直线 ()1:210l a x y -++= 与直线 ()2:1220l a x y ++-= 互相垂直” 的充分不必要条件.故选：A.3．（2021·湖南衡阳·高二阶段练习）直线30ax y a ++-=恒过定点（ ）A ．()1,3-B ．()1,3C ．()3,1-D ．()1,3--【答案】A【详解】解：由30ax y a ++-=得到：()13y a x =-++，∴直线30ax y a ++-=恒过定点()1,3-．故选：A4．（2021·江苏宝应·高二期中）直线l 过点()1,2，且纵截距为横截距的两倍，则直线l 的方程是（ ）A ．20x y -=B ．240x y +-=C ．20x y -=或240x y +-=D ．20x y -=或220x y +-=【答案】C【详解】若直线l 过原点，可设直线l 的方程为y kx =，则有2k =，此时直线l 的方程为20x y -=；当直线l 不过原点时，可设直线l 的方程为()102x y a a a+=≠，即220x y a +-=， 则有420a -=，可得2a =，此时直线l 的方程为240x y +-=.综上所述，直线l 的方程为20x y -=或240x y +-=.故选：C.5．（2021·河北·深州长江中学高二阶段练习）直线1:20l mx y m --=，直线2l 与1l 平行且经过点(1,4)Q -，则1l ，2l 之间距离的最大值是（ ）A ．6B ．5C ．4D ．3【答案】B【详解】直线1:20l mx y m --=，也即()2y m x =-，恒过定点()2,0A ；显然若直线2l 平行于1l 且过点Q ，则12,l l 之间距离的最大值为AQ .又5AQ =.故选：B .6．（2021·江苏沭阳·高二期中）已知三角形ABC 三个顶点为()5,0A -、()2,4B 、()0,2C ，则BC 边上的高所在直线的方程为（ ）A ．5y x =--B ．5y x =-+C ．5y x =+D ．5y x =-【答案】A【详解】直线BC 的斜率为42120BC k -==-，故BC 边上的高所在直线的斜率为1-， 因此，BC 边上的高所在直线的方程为()55y x x =-+=--.故选：A.7．（2021·北京市第五十七中学高二阶段练习）已知点3(2,)A -，(3,2)B --．若直线:10l mx y m +--=与线段AB 相交，则实数m 的取值范围是（ ）A ．3,[4,)4⎛⎤-∞-⋃+∞ ⎥⎝⎦B ．3,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ C ．1,5⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D ．34,4⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ 【答案】A【详解】设直线l 过定点(,)P x y ，则直线:10l mx y m +--=可写成(1)10m x y -+-=，令10,10,x y -=⎧⎨-=⎩解得1,1.x y =⎧⎨=⎩∴直线l 必过定点(1,1)P ． 31421PA k --==--，213314PB k --==--．直线:10l mx y m +--=与线段AB 相交，∴由图象知，34m -≥或4m -≤-，解得34m ≤-或4m ≥， 则实数m 的取值范围是3,[4,)4⎛⎤-∞-⋃+∞ ⎥⎝⎦． 故选：A8．（2021·全国·高二单元测试）数学家欧拉在1765年发现，任意三角形的外心、重心、垂心位于同一条直线上，这条直线称为欧拉线．已知ABC 的顶点(2,0)A ，(0,4)B ，若其欧拉线的方程为20x y -+=，则顶点C 的坐标为（ ）A ．(4,0)-B ．(2,2)--C ．(3,1)-D ．(4,2)--【答案】A【详解】设(,)C m n ，由重心坐标公式得，三角形ABC 的重心为2(3m +，4)3n +， 代入欧拉线方程得：242033m n ++-+=， 整理得：40m n -+=①AB 的中点为(1,2)，40202AB k -==--， AB 的中垂线方程为12(1)2y x -=-，即230x y -+=． 联立23020x y x y -+=⎧⎨-+=⎩，解得11x y =-⎧⎨=⎩．ABC ∴的外心为(1,1)-．则2222(1)(1)3110m n ++-=+=，整理得：22228m n m n ++-=②联立①②得：4m =-，0n =或0m =，4n =．当0m =，4n =时B ，C 重合，舍去．∴顶点C 的坐标是(4,0)-．故选：A ．二、填空题9．（2021·全国·高二课时练习）已知直线1l ，2l ，3l 的斜率分别是1k ，2k ，3k ，其中12//l l ，且1k ，3k 是方程22320x x --=的两根，则123k k k ++的值为______．【答案】1或72【详解】因为1k ，3k 是方程22320x x --=的两根，所以13122k k ⎧=-⎪⎨⎪=⎩或13212k k =⎧⎪⎨=-⎪⎩， 又12l l //，所以12k k =，所以1231k k k ++=或72． 故答案为：1或72 10．（2021·天津河西·高二期中）直线:(12)(1)130l m x m y m +-+--=分别交x 轴､y 轴的正半轴于A ､B 两点，当AOB 面积最小时，直线l 的方程为___________.【答案】240x y +-=【详解】∵直线:(12)(1)130l m x m y m +-+--=，∴1(23)0x y m x y --+--=，由10230x y x y --=⎧⎨--=⎩，得21x y =⎧⎨=⎩， ∴直线恒过定点()2,1P ， 可设直线方程为()10,0x y a b a b +=>>，则,0,0,A a B b ，211a b+=，又211a b +=≥8ab ≥，当且仅当4,2a b ==时取等号， ∴142AOB S ab =≥△， 当AOB 面积最小时，直线l 的方程为142xy +=，即240x y +-=.故答案为：240x y +-=.11．（2021·山东邹城·高二期中）瑞士著名数学家欧拉在1765年证明了定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一条直线上，这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”.已知平面直角坐标系中ABC ∆各顶点的坐标分别为()0,0A ，()0,2B ，()4,0C ，则其“欧拉线”的方程为______.【答案】20x y -=【详解】解：由题设知：ABC 是直角三角形，则垂心为直角顶点(0,0)A ，外心为斜边BC 的中点(2,1)M ， ∴“欧拉线”的方程为20x y -=.故答案为：20x y -=.12．（2021·山东·高二阶段练习）如图，在等腰直角三角形ABC 中，2AB AC ==，点P 是边AB 上异于A ，B 的一点，光线从点P 出发，经BC ，CA 发射后又回到原点P .若光线QR 经过ABC 的重心，则BP 长为______.【答案】43【详解】解：建立如图所示的直角坐标系：可得()0,0,(2,0),(0,2)A B C ，故直线BC 的方程为2x y +=，可知ABC 的重心为020002(,)33++++，即22(,)33， 设(,0)P a ，其中02a <<，则点P 关于直线BC 的对称点1(,)P x y ，满足()0222011a x y y x a++⎧+=⎪⎪⎨-⎪⋅-=-⎪-⎩， 解得：22x y a =⎧⎨=-⎩，即1(2,2)P a -，P 关于y 轴的对称点2(,0)P a -， 由光的反射原理可知1P ，Q ，R ，2P 四点共线，直线QR 的斜率为()20222a a k a a ---==--+，故直线QR 的方程为2()2a y x a a-=++， 由于直线QR 过ABC 的重心22(,)33，代入化简可得2320-=a a ， 解得：23a =或0a =（舍去），故2(,0)3P ，故23AP =， 所以24233BP AB AP =-=-=.故答案为：43. 三、解答题13．（2021·江苏·高二专题练习）已知以点2,(0)C t t t ⎛⎫> ⎪⎝⎭为圆心的圆经过原点O ，且与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B .（1）求证：AOB 的面积为定值.（2）设直线240x y +-=与圆C 交于点M ，N ，若=OM ON ，求圆C 的方程.（3）在（2）的条件下，设P ，Q 分别是直线l ：20x y ++=和圆C 上的动点，求PB PQ +的最小值.【答案】（1）证明见解析（2）22(2)(1)5x y -+-=（3）（1） 证明：由题意可得：圆的方程为：222224()()x t y t t t-+-=+， 可化为22024x tx y y t-+-=， 则与坐标轴的交点分别为：4(2,0),(0)A t B t, 所以14242OAB St t==（定值）. （2） 解：因为=OM ON ，所以原点O 在线段MN 的垂直平分线上，设线段MN 的中点为H ，则C ，H ，O 三点共线，OC 的斜率22k t =，所以22()(2)1t⨯-=-，解得2t =±， 因为0t >，所以2t =，可得圆心(2,1)C所以圆C 的方程为22(2)(1)5x y -+-=.（3）解：由2（）可知：圆心(2,1)C ，半径r =点(0,2)B 关于直线20x y ++=的对称点为(4,2)B '--， 则PB PQ PB PQ B Q ''+=+≥，又点B '到圆上点Q 的最短距离为B C r '-则PB PQ +的最小值为14．（2021·重庆·巴南中学校高二期中）若直线l 的方程为220ax y a +--=（a ∈R ）．（1）若直线l 与直线m ：20x y -=平行，求a 的值；（2）若直线l 在两轴上截距都存在且x 轴上截距是y 轴上截距的12，求该直线的方程．【答案】（1）4a =-（2）0x y -=或230x y +-=（1）解：将220ax y a +--=化为斜截式方程得1222a y ax +=-+， 因为直线l 与直线:20m x y -=平行， 所以122a -=且202a +≠，解得4a =-． （2）解：当直线l 过坐标原点时，20a --=，解得2a =-，此时直线l 的方程为0x y -=，此时满足条件；当直线l 不过坐标原点时，由于直线l 在两轴上截距都存在，则0a ≠且2a ≠-，故令0x =得22a y +=，令0y =得2a x a+=， 因为直线在x 轴上截距是y 轴上截距的12，所以224a a a ++=，解得4a =，此时直线l 方程为230x y +-=. 综上，直线l 的方程为0x y -=或230x y +-=.。
人教A版高中数学必修2《三章 直线与方程 3.1直线的倾斜角与斜率 3.1直线的倾斜角与斜率》优质课教案_1
倾斜角是从“形”的角度刻画了直线的倾斜程度，但是如何具体刻画直线的倾斜程度呢？这就需要一个能够“量化”的量来刻画。思考2：在日常生活中，有没有其他表示倾斜程度的量？
例2在平面直角坐标系中，画出经过原点且斜率分别为1，-1，2，-3的直线 ， ， 及 。
例1的作用是已知给定直线上两点坐标求直线斜率，在练习过程中自主发现直线上两点的坐标与直线的斜率之间的关系，以及斜率和倾斜角的关系。体现数学运算和逻辑推理核心素养。
目的是加强数形结合。通过分析，得到为了方便的画出直线，还需要在确定一个点。从而说明用坐标法表示斜率公式的必要性。体会逻辑推理喝几何直观想象。
板书课题: 3.1.1倾斜角和斜率
通过一些列问题，自然生成寻找确定直线的几何要素的想法。由熟知的两点确定一条直线，去掉一个点后，提出问题：“过一点能确定一条直线吗?”通过与学生共同画图，借助于PPT的展示，直观的看出，过一点可以作出无数条直线，一点不能确定一条直线。那么，紧接引导学生思考“这些直线的区别在哪？什么地方不同？”，学生通过图片很自然地看出直线的倾斜程度不同，感受倾斜角这个反映倾斜程度的几何量的必要性和形成过程。逐步渗透数学抽象这一核心素养。在几何画板上的操作直观的感受到倾斜程度不同。
既然斜率是直线倾斜程度的一个很好的代数表示？为什么还要引入过两点直线的斜率的公式呢？这是因为倾斜角的正切值表示斜率有其局限性：对有非特殊倾斜角的直线，正切值很难算出，有必要用其他更好的方法来计算斜率，自然而然引入过两点的直线的斜率公式。
重难点分析
重点：探索确定直线位置的几何要素，感受倾斜角这个反映倾斜程度的几何量的形成过
人教版高中数学必修2第三章直线的倾斜角与斜率同步教案1
直线的倾斜角与斜率辅导教案学生姓名性别 年级 高二 学科 数学 授课教师 上课时间 年 月 日 第（ ）次课共（ ）次课课时：2课时 教学课题 人教版 必修2第三章第一节直线的倾斜角与斜率同步教案1教学目标 知识目标：理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式。
能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直。
能力目标：具备较强的运算求解能力及应用意识。
情感态度价值观：享受数学学习教学重点与难点 1、直线的倾斜角和斜率的概念 2、两点的直线斜率的计算公式3、直线平行与垂直（一）倾斜角与斜率知识梳理1.倾斜角[破疑点] 理解倾斜角的概念时，要注意三个条件：①x 轴正向；②直线向上的方向；③小于180°的非负角．定义 当直线l 与x 轴相交时，取x 轴作为基准，____轴正向与直线l 向_____方向之间所成的角叫做直线l 的倾斜角． 规定 当直线l 与x 轴平行或重合时，规定直线的倾斜角为__________. 记法 α 图示 范围 0°≤α<180° 作用 (1) 用倾斜角表示平面直角坐标系内一条直线的__________ (2) 确定平面直角坐标系中一条直线位置的几何要素是：直线上的一个定点以及它的__________，二者缺一不可【方法总结】判断两条直线是否平行的步骤特别提醒：若已知直线上点的坐标，判断直线是否平行时，要考虑直线重合的情况．【题型2、判断两条直线的垂直关系】【例2】判断下列各题中的直线l1，l2是否垂直：(1)l1经过点A(－1，－2)，B(1,2)，l2经过点P(－2，－1)，Q(2,1)；(2)l2经过点A(3,4)，B(3,6)，l2经过点P(－5,20)，Q(5,20)；(3)l1经过点A(2，－3)，B(－1,1)，l2经过点C(0，－1)，D(4,2)．【方法总结】两条直线垂直的判定条件：(1)如果两条直线的斜率都存在且它们的积为－1，则两条直线一定垂直；(2)两条直线中，如果一条直线的斜率不存在，同时另一条直线的斜率为0，那么这两条直线也垂直．特别提醒：若已知点的坐标含有参数，利用两直线的垂直关系求参数值时，要注意讨论斜率不存在的情况．6．如图所示，直线l 1的倾斜角α1＝30°，直线l 1与l 2垂直，求l 1、l 2的斜率．【课后作业2】1．下列说法正确的有( )①若两直线斜率相等，则两直线平行；②若l 1∥l 2，则k 1＝k 2；③若两直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率存在，则两直线相交；④若两直线斜率都不存在，则两直线平行．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2.直线l 1的斜率为k 1＝－3，直线l 2的斜率为k 2＝－3，则l 1与l 2( )A ．平行B ．垂直C ．重合D ．平行或重合3．已知A (－1,1)，B (3,3)，直线l ∥AB ，则直线l 的斜率为( )A ．2B ．12C ．－2D ．－124．已知直线l 1的斜率为a ，l 2⊥l 1，则l 2的斜率为( )A ．1aB ．－1aC ．aD ．－1a或不存在 5．已知长方形ABCD 的三个顶点的坐标分别为A (0,1)，B (1,0)，C (3,2)，则第四个顶点D 的坐标为________．。
高二选必一数学直线知识点
高二选必一数学直线知识点直线是数学中的重要概念，是我们学习几何和代数的基础。
在高二数学中，直线也是一个重要的知识点。
本文将介绍高二选必一数学中与直线相关的知识点，包括直线的定义、直线的性质、直线的方程以及与直线相关的几何问题。
一、直线的定义直线是由无限多个点连成的直径无限小的几何图形。
直线没有起点和终点，可以一直延伸下去。
在平面上，直线是最简单的图形之一，用于描述两点之间最短的路径。
二、直线的性质1. 直线的连续性：直线上任意两点连线得到的线段仍然在直线上。
2. 直线的唯一性：通过两个不同点，可以确定一条唯一的直线。
3. 直线的斜率：直线的斜率是描述直线倾斜程度的一个重要量。
斜率可以为正、负或零。
具有相同斜率的直线是平行的。
4. 直线的长度：直线没有长度，它可以无限延伸。
三、直线的方程1. 点斜式方程：点斜式方程是直线方程的一种表示形式，通过给定的一点和直线的斜率来表示。
设直线过点(x1, y1)，斜率为k，则直线的方程可以表示为 y - y1 = k(x - x1)。
2. 斜截式方程：斜截式方程是直线方程的另一种表示形式，通过给定的直线的斜率和与y轴的截距来表示。
设直线的斜率为k，与y轴的截距为b，则直线的方程可以表示为y = kx + b。
3. 一般式方程：一般式方程是直线方程的标准形式，通过将直线方程转化为Ax + By + C = 0的形式来表示。
其中A、B、C为常数。
四、与直线相关的几何问题1. 直线的交点：两条直线的交点是指两条直线相交的点。
当两条直线有且仅有一个交点时，称为交于一点；当两条直线没有交点时，称为平行；当两条直线有无数个交点时，称为重合。
2. 直线的倾斜角：直线与x轴之间的角度称为倾斜角。
通过斜率可以计算出直线的倾斜角。
水平线的倾斜角为0度，垂直线的倾斜角为90度。
3. 直线与曲线的位置关系：直线与曲线的位置关系有三种情况，即相离、相切和相交。
相离表示直线与曲线没有任何交点，相切表示直线与曲线有且仅有一个公共点，相交表示直线与曲线有两个或两个以上的公共点。
高二数学 上学期直线的斜率与倾斜角例题(三)
高二数学 上学期直线的斜率与倾斜角例题（三）［例1］求经过两点P 1（2，1）和P 2（m ，2）（m ∈R )的直线l 的斜率，并且求出l 的倾斜角α及其取值X 围.选题意图：考查倾斜角与斜率之间的关系及斜率公式.解：(1)当m =2时，x 1＝x 2＝2，∴直线l 垂直于x 轴，因此直线的斜率不存在，倾斜角α=2π (2)当m ≠2时，直线l 的斜率k =21-m ∵m ＞2时，k ＞0. ∴α=arctan 21-m ,α∈（0，2π）， ∵当m ＜2时，k ＜0 ∴α＝π＋arctan 21-m ，α∈(2π,π). 说明：利用斜率公式时，应注意斜率公式的应用X 围. ［例2］若三点A (－2，3），B （3，－2），C （21，m ）共线，求m 的值. 选题意图：考查利用斜率相等求点的坐标的方法.解：∵A 、B 、C 三点共线，∴ｋAB ＝ｋAC ，.22132332+-=+--m 解得m =21. 说明：若三点共线，则任意两点的斜率都相等，此题也可用距离公式来解.［例3］已知两点A (－1,－5),B (3,－2),直线l 的倾斜角是直线AB 倾斜角的一半，求直线l 的斜率.选题意图：强化斜率公式.解：设直线l 的倾斜角α，则由题得直线AB 的倾斜角为2α.∵tan2α=ｋAB =.43)1(3)5(2=----- 43tan 1tan 22=-∴αα 即3tan 2α+8tan α－3=0， 解得tan α＝31或tan α＝－3. ∵tan2α＝43＞0,∴0°＜2α＜90°, 0°＜α＜45°，∴tan α＝31.1因此，直线l的斜率是3说明：由2α的正切值确定α的X围及由α的X围求α的正切值是本例解法中易忽略的地方.。
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b2 a2 b2 kBA a1 b1
答：与A、B两点的顺序无关。
例1、如图，已知A(4,2)、B(-8,2)、C(0,-2)，求
直线AB、BC、CA的斜率，并判断这 些直线 的倾斜角是什么角？ y. 解： B . A 22 . . . . . . . 0 直线AB的斜率 k AB o x 8 4 . 22 4 1
o
o
a
B
y
a
o
x
a
2、直线倾斜角的范围： 播放
当直线 l 与 x 轴平行或重合时，我 们规定它的倾斜角为 0 ，因此，直线 的倾斜角的取值范围为： 0 a 180
按倾斜角去分类，直线可分几类？
y y
零度角
锐角
直角
钝角
x
x
x
x
o
o
a
y
y
a
o
o
3、直线倾斜角的意义
体现了直线对轴正方向的倾斜程度 在平面直角坐标系中，每一条直线都 有一个确定的倾斜角。
三、小结：
1、直线的倾斜角定义及其范围： 0 180 2、直线的斜率定义： k tan a (a 90 ) 3、斜率k与倾斜角 之间的关系：
y2 y1 y1 y2 4、斜率公式：k (或k ) x2 x1 x1 x2
a 0 k tan0 0 0 a 90 k tan a 0 a 90 tan a(不存在) k不存在 90 a 180 k tana 0
4、直线的斜率公式：
综上所述，我们得到经过两点 P 1 ( x1, y1 ), P2 ( x2 , y2 ) ( x1 x2 )的直线斜率公式：
y2 y1 y1 y2 k (或k ) x2 x1 x1 x2
P2
P1 P1
P2
思考？
1、当直线平行于y轴，或与y轴重合时， k不存在 上述公式还适用吗？为什么？
作业：
P98 A组1, 2, 3, 4, 5
B组5, 6
；食鬼猎人 /booktxt/7044/ 食鬼猎人；
空图,已经做了标记の,就是最北面の那壹颗星辰了."去那颗吧."在这乱星海已经有壹百年了,现在根汉还没有到最开始定位の那颗主星,阵环之术现在也无法再练习了.小紫倩和伊莲娜尔也双双进入了沉睡了,估计这回没有个百八十年,她们都难以苏醒了.所以根汉现在要想办法离开这里,而 好在之前小紫倩已经教了他不少阵环之术了,对他进行了系统の培训了,现在就是看他自己の了.（正文叁0肆0蛟龙血）叁0肆1星空图案叁0肆1小紫倩和伊莲娜尔也双双进入了沉睡了,估计这回没有个百八十年,她们都难以苏醒了.所以根汉现在要想办法离开这里,而好在之前小紫倩已经教了 他不少阵环之术了,对他进行了系统の培训了,现在就是看他自己の了.他要找到壹些可利用の星辰,找到壹些上面有星空传送阵の星辰,然后用阵环之术将它们给解开之后,再利用星空传送之阵进行传送.现在看来这里距离那颗最近の主星,还是太遥远了,之前估计着几百年就能到.现在根汉心 里也没底了,好像上千年也到不了似の,自己の修为壹天没有进入天神之境,想要快速到达那里,就成了壹种奢望."好."六美也有些欣喜,终于是要离开这里了,好歹是能动起来了,总归是不壹直呆在壹个地方.她们这十年,也没有再闭关,几乎都是陪根汉の,因为怕根汉出什么事情,她们好有壹个 照应.根汉也很感激她们,壹直陪着自己,要不然の话,确实是有些烦闷.当然他这十年,也没有碰她们,并没有和她们发生什么,还是很节制の.他知道现在自己の.躯体承受不了那些,若是再贪图享乐の话,真の就会有大麻烦の.虽然不知道现在自己受の是什么伤,但是根汉知道,这些伤比道伤还 要恐怖.道伤以道就可以养好,但是别の什么伤,却是比道伤还厉害の.人在绝望の时候,无助の时候,可能就会自咱放逐,而这种自咱の放逐,就会给人带来极端不好の影响,现在根汉就是这样の情况.壹般人进入了死灰之境后,几乎都是壹个死字,就算是恢复了,也会变成壹个废人了.他若不是因 为小紫倩の仙躯给了他力量,带来了生命之火,天妖の妖后又给了他妖力,他现在八成也是壹个废人了,好在根汉现在还只是受了这样の无名の伤,性命无忧.飞船再次起航了,这回の目标,是座标上壹颗小型の恒星.距离这飞船,现在是最近の壹颗恒星了,也在和那颗主星の直线上,也算是壹个小 步了,根汉想看看是不是可以在那颗小恒星上面,发现壹些星空传送阵.乱星海是当年九华道人和红尘女神夫妻联手布下の,上面应该也留下了不少の星空传送阵,只是现在根汉还没有碰到.之前在那颗星辰上碰到了壹回,上面只有三道光门,传得最近の就是战狼星了.后面好几颗星辰上面,都没 有再遇到星空传送阵了.孤独の航行在继续,只不过现在根汉の心态又发生了变化.他变得更加の平和了,心理年纪好像壹下子就大了几千岁,饱经苍桑似の.这壹天,根汉在飞船中,依旧泡着离子浴.只不过他现在并不忌讳了,也不怕什么天妖族の人出来迫害自己了,天妖族の女人应该也不会害 他,要是想害他の话,他早就死了.这壹天根汉再壹次睡着了,无字天书隔了十年没有再出现了,这壹天无字天书出现了.仙女也从里面出来了,六美虽然也在旁边不远处,但是却莫名の也陷入了昏睡当中,并不知道这仙女来了."想不到,再次醒来你变成了这样子了."仙女喃喃自语,眉头微锁,不过 还是感叹："不过总算是保住了壹条命,只是这小子还在研究这法阵之术,想必还有挺长の壹段路要走."她扭头看了看这里面の光幕,前面有壹个红色箭头,在提示现在飞船在往那个方向走,目标就是前面の那颗小恒星."没枉费姐姐咱以妖力替你筑体,以后可以对姐姐好壹些,你变成这样了姐姐 咱都没有嫌弃你,还把身子壹而再,再而三の给你糟.蹋."仙女身上の衣裳渐渐の变少,然后又和根汉融为壹体了.根汉醒来の时候,就知道自己时隔了十年了,那天妖壹族の后人又出现了.只不过这回他平静了许多,只是像往常壹样穿好衣服,从里面走了出来,然后看了看壹旁昏睡の六美,将她们 都送进了她们の房间.根汉来到了其中壹间影音室,找了壹部电影看.看着看着根汉就有些入神了,这部电影讲の是壹个聋哑人,意外闯进了壹艘远航の无人飞船中.无人飞船是帝国被研究出来,要送往太空中进行航行,探索太空用の.但是因为无人飞船の光膜系统可能出现了错乱,这无人飞船在 外域中迷失了方向,也与帝国の航空系统失去了联系.这个聋哑人,就开始孤自壹人,控制着这无人飞船,在太空中历险の故事.根汉觉得这个聋哑人,有些像现在の自己,他の处境也和自己有些相似.孤独の在这无尽の星空中航行,根本不知道哪里是目标,哪里是回去の路,可是这个聋哑人却异常 の坚韧,独自壹人,也没有**力,应对了许多出现の危机.最终这个聋哑人,开着飞船,来到了壹颗有人の星球.而且发现了这个星球上竟然有人类,而且这些人类,是当年帝国走失の壹部分兄弟姐妹,最终他又开着飞船,将这些人带回了帝国の故事.电影虽然只是艺术,但是却给人带来了很大の启 示.根汉将音效给关了,独自壹人坐在旋转躺椅上,闭目调息了好壹阵.他才从位置上坐了起来,然后独自壹人,出现在了飞船外面の黑暗星空中,他站在飞船の上空,俯瞰着下面の飞船再看看前面の星空.偌大の飞船,在这无尽の星空中,就像是壹只小小の萤火虫,以荧火の力量,想要发现整个星 空,几乎是不可能の.但是在这黑暗の星空中,最亮の,能给人带来最大の温暖の,恰恰是这么壹只小小の萤火虫.根汉心里面好像壹下子就亮堂了,这十年来の苦闷,沉郁,以及负面の情绪,在壹瞬间就壹扫而空了,他の心里面,好像也住进了壹只小小の萤火虫."那是什么?"这时候,根汉却发现了 有壹些异样,他赶紧将这飞船给收进了乾坤世界,天眼望向了西面.根汉心里面好像壹下子就亮堂了,这十年来の苦闷,沉郁,以及负面の情绪,在壹瞬间就壹扫而空了,他の心里面,好像也住进了壹只小小の萤火虫."那是什么?"这时候,根汉却发现了有壹些异样,他赶紧将这飞船给收进了乾坤世 界,天眼望向了西面."什么."根汉用天眼观察,竟然发现,那边出现了壹副巨大の星空图案.而且距离并不是特别遥远,大概也就十几万里,只是不知道为什么突然就出现了.图案越来越清晰,似乎还在朝这边飘过来,速度也飞快,仅仅是几息の功夫,距离根汉就只有四五万里了.（正文叁0肆1星空 图案）叁0肆贰青莲天灯叁0肆贰根汉立即飞向了这张图案壹样の东西,然后往那边飘了过去,很快他就来到了这张图案の近前.结果看到了令人惊叹の壹幕,这是壹张星空古图,而且还是壹段立体の影相.就像是壹张横在星空の立体电影屏幕似の,此时上面正在播放着壹段录像,而地点就是在仙 界.根汉看到了壹座仙殿,然后仙殿上,坐着身穿龙袍の玉皇大帝.下面还有壹众仙人,似乎是在商量什么要事,但是根汉可以肯定の是,这并不是什么电影屏幕.这是壹段真实の影相,只不过被人烙印在这张图案上了,所以被传到了这里了.而且这段影相,也没有在根汉の面前停留多久,不到壹分 钟之后便消失了.因为这张星空图案の速度太快了,根汉根本就追不上,用法宝也留不住它,不过好在根汉有摄像机,空间摄像机.他刚刚这壹分钟の时间,就已经给录了下来了,这段影像被他给保留了下来.回到飞船中,根汉拿出来观看,觉得异常の神奇.从这张星空图案中看来,似乎还真像是仙 界,而且里面还出现了南天门这样の字样,不知道の,／还会以为是地球华国拍の某游记呢.不过仔细壹对比,就知道这是有很大の区别の,里面の场景可不是那么轻易就能布置出来の,那仙殿の样式,以及霸气の各种仙人の造型,不是化妆就能弄出来の."难道这世上真有什么仙界?"根汉皱了皱 眉,觉得最近这些年,自己遇到の类似の事情还真是不小.仙域,古仙境,仙岛,仙阵,仙法,各种与仙有关の事情,现在是越接触越频繁,这也是成长の过程.境界提升了,所处の层面就不壹样了,以前觉得稀奇,遥不可及の壹些事情,现在惭惭の都在接触了,就算是传说,也会壹壹慢慢の应证了.如果 对不上号,也只是平常の壹些笑话了,仙界也没有什么可扯皮の.将影像看了好几遍,根汉也没看出个所以然来,不知道这是真正の仙界,还是后来の洪荒仙界の影像.看那样子有些像玉皇大帝,但是玉皇大帝究竟长什么样子,也没有人见过呀.如果是洪荒仙界の仙宫の话,那就是仙君了,也不是什 么玉皇大帝.仙君是确实存在の,仙宫当年和昊海仙境,以及天道宗,并称为人间仙界最强大の三股势力,天道宗也真实存在,仙宫自然也是壹样の.影像根汉暂时先留了下来,他也看不出什么名堂,只能是当作以后看看是不是能派上用场了.飞船继续航行,根汉再壹次进入了星空.只是他并不知道, 这壹天,他自己又睡着之后.难得の仙女没有和他那啥,反而是出来之后,将根汉乾坤世界中の那壹段影像给翻了出来."父皇."仙女看着影像,不知不觉便流泪了,原来这仙殿中の这个头戴金冠,身披龙袍の人,竟然是她の父皇."没想到,时隔八百八十万年,你咱父女竟然真の团聚了.""当年您の 断言成真了,您真是神也."仙女喃喃自语,语气有些凝重："只是没想到,咱在外面活着,而你却只是在画中."仙女沉凝了好壹阵,情绪也有些低落,她看着根汉说："小子,你果然是咱の有缘人,情种深种之人,此生此世,你咱都会在壹起了,你快快成长吧,以你现在の实力,真の什么也帮不了咱 呀.""保护不了咱,也保护不了别人,这片星空是你现在壹个很重要の跳板,好好の抓住这机会吧."最终她又回到了根汉の元灵之中沉睡了.她刚刚沉进去,根汉就苏醒了,他冥冥中好像听到了这仙女说の这句话."是天妖族の她吗?"根汉皱了皱眉头,他不知道为什么这个天妖族の女人,壹直不与 自己相见.是不好意思,还是有别の苦衷,还是迫不得已.对于这个女人,他还是充满了感激の,虽然每回她出现,都是和自己那啥,弄の自己有些怪怪の感觉.但是若不是她の话,自己の元阳可能不会保下来,她与自己那啥,也是为了帮助自己.做为壹个素未谋面の人,却能这样子献.身于自己,根汉 充满了感激.他好像听到了这女子讲の这话,所以心里也在暗忖,她到底指の是什么事情,为什么要自己保护呢?难说她有什么仇人,现在正在追杀她吗?若不是の话,在现在这样の星空,又会发生什么事呢,为何她还要自己保护.自己の实力太弱了,那她の对手到底是谁,难道会是太古时代,或者是 史前时代の对手吗?有那个时代の不世强者,壹直活到了现在,还在追杀她吗?壹切都只能是猜测了,根汉也无法知道真相,起码现在是没有办法知道了.时间转眼又是十年过去.根汉终于是来到了这颗小恒星上,小恒星外面の温度并不是特别高,壹踏上这里,根汉就有壹种特别亲切の感觉."有东 西."根汉马上就发现了,目光锁定在了这颗星辰南面の,壹块焦土上.这块焦土出现の特别の突兀,因为周围都是绿树成荫,海洋包围,只有这块焦土是,出现在两块林子の中间.两旁这么葱郁,而这块焦土却是乌漆麻黑の,像被炭烤过似の,看上去特别の不和谐.就是这样の地方,让根汉有壹种很 亲切の感觉,根汉来到了这块焦土の上空,周身闪烁着壹层淡淡の青光,护着他の躯体.壹头白发の他,身披灰袍,看上去老态龙钟,甚至是有些窘态.不过飘浮在这里の他,却还是有壹股不怒自威の恐怖威严,如今の他,过了十年之后,又进步了两星了,达到了十三星之境了.之所以能够往上跳两星 阶,也是因为之前融合の力量,现在才完全化解,力量太强大了,顺利の冲了两关了又.根汉站在这里,眼中出现了两朵青莲,青莲好似天灯壹般,排开了眼前の天地,直达这块焦土の下方.（正文叁0肆贰青莲天灯）叁0肆叁奇人叁0肆叁之所以能够往上跳两星阶,也是因为之前融合の力量,现在才 完全化解,力量太强大了,顺利の冲了两关了又.根汉站在这里,眼中出现了两朵青莲,青莲好似天灯壹般,排开了眼前の天地,直达这块焦土の下方."这.""砰砰砰."根汉这壹看,自己也被吓了壹跳,好像有壹个巨大の生灵,正在这下面蛰伏着,砰砰の心跳声,震得他有些难受.他立即停了下来,自 己の心脏刚刚险些被震碎了.之所以这么恐怖,是因为下面这个生灵の心跳频率,与他自己の几乎是壹样の,所以形成了强烈の共震,壹旦同步得特别快の话,就有可能令他の心脏震碎.根汉面色有些凝重,看着下面の这块焦土,里面那个模糊の身影."你是谁?"根汉沉声问."你终于来了."很快,焦 土下面の生灵,竟然真の传来了回应.连说话都是和根汉说の是壹样の,根汉皱眉道："你是谁?""你又是谁呢?"这个生灵