两条直线的位置关系练习题
高三数学两条直线的位置关系试题答案及解析
高三数学两条直线的位置关系试题答案及解析1.直线和直线垂直，则实数的值为（）A．1B．0C．2D．-1或0【答案】D【解析】若直线与直线垂直，则，解得m=-1，或m=0．故选Ｄ．【考点】两条直线垂直的条件．2.已知直线l1：x＋a2y＋1＝0和直线l2：(a2＋1)x－by＋3＝0(a，b∈R)．(1)若l1∥l2，求b的取值范围；(2)若l1⊥l2，求|ab|的最小值．【答案】（1）(－∞，－6)∪(－6,0] （2）2【解析】解：(1)因为l1∥l2，所以－b－(a2＋1)a2＝0，即b＝－a2(a2＋1)＝－a4－a2＝－(a2＋)2＋．因为a2≥0，所以b≤0．又因为a2＋1≠3，所以b≠－6．故b的取值范围是(－∞，－6)∪(－6,0]．(2)因为l1⊥l2，所以(a2＋1)－a2b＝0．显然a≠0，所以ab＝a＋，|ab|＝|a＋|≥2，当且仅当a＝±1时等号成立，因此|ab|的最小值为2．3.将一张坐标纸折叠一次，使得点(0,2)与点(4,0)重合，点(7,3)与点(m，n)重合，则m＋n＝() A．4B．6C．D．【答案】C【解析】由题可知纸的折痕应是点(0,2)与点(4,0)连线的中垂线，即直线y＝2x－3，它也是点(7,3)与点(m，n)连线的中垂线，于是，解得故m＋n＝．4.已知过点A（﹣2，m）和B（m，4）的直线与直线2x+y﹣1=0平行，则m的值为（）A．0B．﹣8C．2D．10【答案】B【解析】∵直线2x+y﹣1=0的斜率等于﹣2，∴过点A （﹣2，m ）和B （m ，4）的直线的斜率K 也是﹣2， ∴=﹣2，解得，故选 B ．5. 两平行直线x ＋3y －4＝0与2x ＋6y －9＝0的距离为________． 【答案】【解析】在直线x ＋3y －4＝0上取点P(4，0)，则点P(4，0)到直线2x ＋6y －9＝0的距离d 即为两平行直线之间的距离．d ＝6. 已知直线x ＋ay ＝2a ＋2与直线ax ＋y ＝a ＋1平行，则实数a 的值为________． 【答案】1【解析】由平行直线斜率相等得＝a ，解得，a ＝±1，由于当a ＝－1时两直线重合，∴ a ＝1.7. 已知两直线l 1：ax －by ＋4＝0，l 2：(a －1)x ＋y ＋b ＝0，分别求满足下列条件的a 、b 的值． (1) 直线l 1过点(－3，－1)，且l 1⊥l 2；(2) 直线l 1与l 2平行，且坐标原点到l 1、l 2的距离相等． 【答案】（1）a ＝2，b ＝2（2）或【解析】(1) ∵ l 1⊥l 2，∴ a(a －1)＋(－b)·1＝0, 即a 2－a －b ＝0 ①.又点(－3，－1)在l 1上，∴ －3a ＋b ＋4＝0 ②，由①②解得 a ＝2，b ＝2.(2) ∵ l 1∥l 2且l 2的斜率为1－a. ∴ l 1的斜率存在，即＝1－a ，b ＝.故l 1和l 2的方程可分别表示为l 1：(a －1)x ＋y ＋＝0，l 2：(a －1)x ＋y ＋＝0.∵ 原点到l 1和l 2的距离相等，∴ 4，解得a ＝2或.因此或8. 已知两条直线l 1：(a －1)x ＋2y ＋10，l 2：x ＋ay ＋3＝0平行，则a ＝( ) A ．－1 B ．2 C ．0或－2 D ．－1或2【答案】D【解析】l 1∥l 2的充要条件是(a －1)a ＝1×2，解得a ＝－1,29. 已知直线l ：y ＋m(x ＋1)＝0与直线my －(2m ＋1)x ＝1平行，则直线l 在x 轴上的截距是( ) A ．1B ．－1C ．D ．－2【答案】B【解析】因为直线l ：y ＋m(x ＋1)＝0与直线my －(2m ＋1)x ＝1平行，所以1×(－2m －1)－m 2＝0，解得m ＝－1.故直线l ：y ＝x ＋1在x 轴上的截距是－1，选B.10. 已知直线与直线，若，则的值为（ ） A ．1 B ．2 C ．6 D ．1或2【答案】C【解析】的斜率为，的斜率为，由，有，所以.【考点】直线的斜率.11.若直线和平行，则实数的值为 .【答案】-3或2【解析】由两直线平行的充要条件得：.【考点】两直线平行的条件.12.已知直线平行，则实数的值为( )A．B．C．或D．1或【答案】Ａ【解析】直线平行，则，解得．【考点】两直线位置关系．13.双曲线的左、右焦点分别为，渐近线分别为，点P在第一象限内且在上，若，，则双曲线的离心率为 .【答案】2【解析】由题设条件显然得出，故，而P点在渐近线上，可求得P点坐标为，下面由可得．【考点】双曲线的离心率．14.直线和直线平行，则（）A．B．C．7或1D．【答案】B【解析】根据题意有，解得，选B.【考点】直线与直线平行.15.直线的斜率为，，直线过点且与轴交于点，则点坐标为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由题意可知，直线的方程为即，令，得，所以点坐标为.【考点】本小题主要考查两条直线平行的斜率关系和直线的交点的求法，考查运算求解能力.点评：直线的平行与垂直是两种特殊的位置关系，它们的斜率关系的判断和应用要重点掌握. 16.直线与直线平行的充要条件是．【答案】-2.【解析】,当a=2时，两直线重合；当a=-2时，两直线平行17.若过点A（-2,m），B（m,4）的直线与直线2x+y+2=0平行，则m的值为【答案】【解析】直线AB的斜率为，直线2x+y+2=0的斜率为-2；则根据两直线平行，若斜率存在，则相等可得：，解得m=-8.18.为研究变量和的线性相关性，甲、乙二人分别作了研究，利用线性回归方法得到回归直线方程和，两人计算知相同，也相同，下列正确的是( )A．与重合B．与一定平行C．与相交于点D．无法判断和是否相交【答案】C【解析】略19.已知直线l经过点P(2，1)，且与直线2x＋3y＋1＝0垂直，则l的方程是▲【答案】【解析】略20.若直线与直线平行，则实数的值为【答案】3【解析】略21.在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的长为2，宽为1，AB、AD边分别在x轴、y轴的正半轴上，A点与坐标原点重合如右图所示．将矩形折叠，使A点落在线段DC上．若折痕所在直线的斜率为k，试写出折痕所在直线的方程．【答案】①当k＝0时，此时A点与D点重合，折痕所在的直线方程y＝，②当k≠0时，将矩形折叠后A点落在线段CD上的点为G(a,1)，所以A与G关于折痕所在的直线对称，有kOG·k＝－1，k＝－1⇒a＝－k，故G点坐标为G(－k,1)，从而折痕所在的直线与OG的交点坐标(线段OG的中点)为M，折痕所在的直线方程y－＝k，即y＝kx＋＋由①②得折痕所在的直线方程为：k＝0时，y＝；k≠0时y＝kx＋＋.【解析】略22.△ABC的两条高所在直线的方程为2x－3y＋1＝0和x＋y＝0，顶点A的坐标为(1,2)，求BC边所在直线的方程．【答案】可以判断A不在所给的两条高所在的直线上，则可设AB，AC边上的高所在的直线方程分别为2x－3y＋1＝0，x＋y＝0，则可求得AB，AC所在的直线方程为y－2＝－(x－1)，y－2＝x－1，即3x＋2y－7＝0，y－x－1＝0.由得B(7，－7)，由得C(－2，－1)，所以直线BC的方程为2x＋3y＋7＝0.【解析】略23.m=-2是直线(2-m)+m+3=0与直线-m-3=0垂直的（）A．充分不必要条件B．必要不充分C．充要条件D．非充分也非必要条件【答案】A【解析】略24.直线与平行，则的值为。
两条直线的位置关系练习
两条直线的位置关系练习题一、选择题1．下列说法正确的是 ( )A.不相交的两条直线是平行线.B.如果线段AB与线段CD不相交,那么直线AB与直线CD平行.C.同一平面内,不相交的两条射线叫做平行线.D.同一平面内,没有公共点的两条直线是平行线.2．点A为直线外一点,点B在直线上,若AB=5厘米,则点A到直线的距离为( )A. 就是5厘米B. 大于5厘米C. 小于5厘米D.最多为5厘米3．如图所示，已知O是直线AB上一点，∠1＝40°，OD平分∠BOC，则∠2的度数是( )A．20° B．25° C．30° D．70°4．如图所示，点A到BD的距离是指( )A．线段AB的长度 B．线段AD的长度 C．线段AE D．线段AE的长度5．如图所示，∠1和∠2是对顶角的图形共有（）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个6.如图，AB⊥CD于点O，直线EF经过点O，若∠1＝26°，则∠2的度数是（）A．26° B．64° C．54° D．以上答案都不对二、填空题7．如图，MC∥AB，NC∥AB，则点M，C，N在同一条直线上，理由是．8．如图，直线a，b相交，∠1＝60°，则∠2＝________，∠3＝________，∠4＝________．9．如图所示，直线AB，CD，EF相交于点O，CD⊥AB，若∠COE＝30°，则∠AOE＝_____，∠AOF＝______．10．如图，直线AB与CD的位置关系是________，记作________于点________，此时∠AOD ＝______＝______＝______＝90°．11.如图，∠AOB＝90°，则AB BO；若OA＝3 cm，OB＝2 cm，则A点到OB的距离是________cm，点B到OA的距离是________cm；O点到AB上各点连结的所有线段中________最短．12．如图所示，已知直线AB、CD相交于点O，OA平分∠EOC，∠EOC＝100°，则∠BOD的度数是．三、解答题13．如图，三条直线AB、CD和EF相交于一点O，∠COE+∠DOF＝50°，∠BOE＝70°，求∠AOD和∠BOD．14．如图，直线EF，CD相交于点O，OA⊥OB，若∠AOE=40°，∠COF=81°，求∠BOD的度数．15．如图所示，小明家在A处，他要去在同一条路上的小丽家或小红家或小华家或小刚家问作业，则最少要走多少米可以问到作业?【答案与解析】一、选择题1. 【答案】D；【解析】考查平行线的概念．2．【答案】D；【解析】点到直线的距离是该点到直线上所有点的距离中最小者．3. 【答案】D；【解析】∠1＝40°，∠BOC＝140°，∠2＝12∠BOC＝70°．4. 【答案】D；5. 【答案】B【解析】只有（3）中的∠1与∠2是对顶角．6. 【答案】B；【解析】∠BOE＝90°－∠1＝64°，又∠AOF＝∠BOE＝64°．二、填空题7．【答案】经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行；【解析】解：∵MC∥AB，NC∥AB，∴点M，C，N在同一条直线上，理由是：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．故答案为：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．8. 【答案】120°， 60°， 120°；9. 【答案】60°， 120°；【解析】∠AOE＝90°－∠COE＝60°，∠AOF＝∠AOD+∠DOF＝90°＋∠EOC＝90°+30°=120°．10.【答案】垂直，AB⊥CD， O，∠BOD，∠BOC，∠AOC；【解析】垂直的定义．11.【答案】＞， 3， 2，垂线段；【解析】点到直线的距离的定义12.【答案】50°；【解析】由题意知：∠BOD＝∠AOC=12∠EOC＝50°．三、解答题13.【解析】解：∵∠COE＝∠DOF(对顶角相等)，∠COE+∠DOF＝50°(已知)，∴∠COE＝150252⨯=°°．∵∠BOE＝70°，∴∠BOC＝∠BOE－∠COE＝70°－25°＝45°．∵∠AOD＝∠BOC(对顶角相等)．∴∠AOD＝45°．∴∠BOD＝180°－∠AOD＝180°－45°＝135°．14.【解析】解：∵∠COF=81°，∴∠DOE=∠COF=81°，∵OA⊥OB，∴∠AOB=90°，又∵∠AOE=40°，∴∠BOE=∠AOB﹣∠AOE=90°﹣40°=50°，∴∠BOD=∠DOE﹣∠BOE=81°﹣50°=31°．15.【解析】解：小明到小红家问作业最近，所以小明至少要走15米．。
两条直线的位置关系综合练习题及标准答案
两条直线的位置关系综合练习题及答案（一)知识梳理:１、两直线的位置关系（1)平行的判断：①当21,l l 有斜截式（或点斜式)方程222111:,:b x k y l b x k y l +=+=,则⇔21//l l 1212,k k b b =≠ .②当21,l l 有一般式方程:0:,0:22221111=++=++C y B x A l C y B x A l ，则⇔21//l l 122112210,0A B A B C B C B -=-≠ .（2)垂直的判断:①当21,l l 有斜截式（或点斜式）方程222111:,:b x k y l b x k y l +=+=，则⇔⊥21l l 222111:,:b x k y l b x k y l +=+= ．②当21,l l 有一般式方程：0:,0:22221111=++=++C y B x A l C y B x A l ,则⇔⊥21l l 12120A A B B += .2、两条直线的交点:若0:,0:22221111=++=++C y B x A l C y B x A l则21,l l 的交点为＿_方程11122200A x B y C A x B y C ++=⎧⎨++=⎩的解. 3、点到直线的距离：(１)点到直线的距离公式：点),(00y x P 到直线0Ax By C ++=的距离为d =＿． （2)两平行直线间的距离求法：两平行直线:1122:0,:0l Ax By C l Ax By C ++=++=，则距离d d ==（二)例题讲解：考点1：直线的平行与垂直关系例1、（1）已知直线l 的方程为34120x y +-=,求与l 平行且过点()1,3-的直线方程；（2)已知直线12:23100,:3420l x y l x y -+=+-=,求过直线1l 和2l 的交点,且与直线3:3240l x y -+=垂直的直线l 方程.易错笔记：解:（1）设与直线l 平行的直线1l 的方程为340x y C ++=,则点()1,3-在直线340x y C ++=上,将点()1,3-代入直线340x y C ++=的方程即可得:()31430C ⨯-+⨯+=，∴9C =-，∴所求直线方程为：3490x y +-=.(2)设与直线3:3240l x y -+=垂直的直线l 方程为：230x y C ++=,方程231003420x y x y -+=⎧⎨+-=⎩的解为:22x y =-⎧⎨=⎩, ∴直线12:23100,:3420l x y l x y -+=+-=的交点是()2,2-,∴直线l 过直线12:23100,:3420l x y l x y -+=+-=的交点()2,2-，∴()22320C ⨯-+⨯+=，∴2C =-,∴直线l 方程为:2320x y +-=.考点2:直线的交点问题例2、已知直线方程为()()212430m x m y m ++-+-=,(1）求证：无论m 取何值，此直线必过定点；(2)过这定点引一直线，使它夹在两坐标轴间的线段被这定点平分,求这条直线方程.解：(1)设直线方程为()()212430m x m y m ++-+-=过定点(),A B ,∴2423A B A B +=-⎧⎨-=⎩,∴12A B =-⎧⎨=-⎩, ∴直线方程为()()212430m x m y m ++-+-=过定点()1,2--.(2） 由题意知，直线l 在x 轴上的截距0a ≠,在y 轴上的截距0b ≠，∴设直线l 的方程为:1x y a b+=,∴直线l 在x 轴上的交点坐标为(),0M a ，直线l 在y 轴上的交点坐标为()0,N b ,直线l 夹在两坐标轴间的线段被点()1,2--平分，∴点()1,2--是线段MN 的中点, ∴012022a b +⎧=-⎪⎪⎨+⎪=-⎪⎩，∴2,4a b =-=-, ∴直线l 的方程为：124x y +=--,即240x y ++=. 易错笔记:。
高三数学两条直线的位置关系试题答案及解析
高三数学两条直线的位置关系试题答案及解析1.直线和直线垂直，则实数的值为（）A．1B．0C．2D．-1或0【答案】D【解析】若直线与直线垂直，则，解得m=-1，或m=0．故选Ｄ．【考点】两条直线垂直的条件．2.已知l1：2x＋my＋1＝0与l2：y＝3x－1，若两直线平行，则m的值为________．【答案】－【解析】由题意知，m≠0，则直线l1的方程为：y＝－x－，∴，解得m＝－．3.已知直线l1：ax－y＋2a＝0，l2：(2a－1)x＋ay＋a＝0互相垂直，则实数a的值是________．【答案】0或1【解析】因为直线l1：ax－y＋2a＝0，l2：(2a－1)x＋ay＋a＝0互相垂直，故有a(2a－1)＋a(－1)＝0，可知a的值为0或1．4.曲线在点处的切线与直线互相垂直，则a为（）A．4B．2C．1D．3【答案】A【解析】∵,∴曲线在点处的切线的斜率为，又∵切线与直线互相垂直∴×，∴a=4．5.已知两条直线和互相平行，则等于( )A．1或－3B．－1或3C．1或3D．－1或－3【答案】A【解析】因为直线的斜率存在且为，所以，所以的斜截式方程为，因为两直线平行，所以且，解得或，选A．6.经过两直线x＋3y－10＝0和3x－y＝0的交点，且和原点相距为1的直线的条数为()．A．0B．1C．2D．3【解析】设所求直线l的方程为x＋3y－10＋λ(3x－y)＝0，即(1＋3λ)x＋(3－λ)y－10＝0，∵原点到直线的距离，∴，即直线方程为x＝1或4x＋3y＋5＝0，选C．7.两平行直线x＋3y－4＝0与2x＋6y－9＝0的距离为________．【答案】【解析】在直线x＋3y－4＝0上取点P(4，0)，则点P(4，0)到直线2x＋6y－9＝0的距离d即为两平行直线之间的距离．d＝8.设a∈R，则“a＝1”是“直线l1：ax＋2y－1＝0与直线l2：x＋(a＋1)y＋4＝0平行”的________条件．【答案】充分不必要【解析】由a＝1，可得l1∥l2；反之，由l1∥l2，可得a＝1或a＝－2.9.已知直线l1:y=2x+1,l2:y=2x+5,则直线l1与l2的位置关系是()A．重合B．垂直C．相交但不垂直D．平行【答案】D【解析】∵直线l1:y=2x+1,l2:y=2x+5,斜率k1=k2=2,∴l1∥l2.10.“”是“直线与直线互相垂直”的( )A．充要条件；B．充分不必要条件；C．必要不充分条件；D．既不充分也不必要条件.【答案】B【解析】本题考查两条直线垂直的判定，直线与直线互相垂直的充要条件是，即或，故本题应该选B.【考点】两直线垂直的充要条件.11.已知直线，若，则的值为（）A．B．C．D．或【答案】【解析】，则，所以或.【考点】两直线的平行关系.12.已知过点和点的直线与直线平行，则实数的值为（）A．B．C．D．【解析】直线的斜率为，过点和点的直线与直线平行，故，解得．【考点】两直线的位置关系．13.已知点直线，为平面上的动点，过点作直线的垂线，垂足为，且.（1）求动点的轨迹方程；（2）、是轨迹上异于坐标原点的不同两点，轨迹在点、处的切线分别为、，且，、相交于点，求点的纵坐标.【答案】（1）动点的轨迹方程为；（2）点的纵坐标为.【解析】（1）设动点的坐标为，直接利用题中的条件列式并化简，从而求出动点的轨迹方程；（2）先设点，利用导数求出曲线在点和点处的切线方程，并将两切线方程联立，求出交点的坐标，利用两切线垂直得到，从而求出点的纵坐标.试题解析：（1）设，则，∵，∴．即，即，所以动点的轨迹M的方程． 4分（2）设点、的坐标分别为、，∵、分别是抛物线在点、处的切线，∴直线的斜率，直线的斜率.∵,∴, 得. ①∵、是抛物线上的点,∴∴直线的方程为,直线的方程为.由解得∴点的纵坐标为.【考点】1.动点的轨迹方程；2.利用导数求切线方程；3.两直线的位置关系；4.两直线的交点14.若直线过点，且与直线垂直，则直线的方程为___________.【答案】【解析】根据与已知直线垂直的直线系方程可设与与直线垂直的直线方程为2x+y+c=0，再把点（-1，3）代入，即可求出c值，得到所求方程. 解：∵所求直线方程与直线垂直，∴设方程为2x+y+c=0，∵直线过点（-1，3），∴2×（-1）+3+c=0，∴c=-1∴所求直线方程为故答案为【考点】两直线的垂直关系点评：本题考查直线方程的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意两条直线互相垂直的条件的灵活运用．15.如果直线ax+2y+2=0与直线3x-y-2=0平行，那么系数a的值为．【答案】-6【解析】据它们的斜率相等，可得=3，解方程求a的值．∵直线ax+2y+2=0与直线3x-y-2=0平行，∴它们的斜率相等，∴ =3，∴a=-6．故填写-6.【考点】两直线平行点评：本题考查两直线平行的性质，两直线平行，斜率相等．16.已知两条直线：与：的交点，求满足下列条件的直线方程（1）过点P且过原点的直线方程；（2）过点P且垂直于直线：直线的方程；(10分)【答案】解：由解得∴点P的坐标是（，2）（1）所求直线为y=-x（2）∵所求直线与垂直，∴设直线的方程为把点P的坐标代入得，得∴所求直线的方程为【解析】略17.．已知过、两点的直线与直线平行，则的值为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】故选B18.已知直线与直线，若，则实数的值为______【答案】10【解析】略19.直线与直线平行，则实数m= 。
高二数学两条直线的位置关系试题答案及解析
高二数学两条直线的位置关系试题答案及解析1.已知点A（﹣2，4），B（4，2），直线l：ax﹣y+8﹣a=0，若直线l与直线AB平行，则a= _________．【答案】【解析】两直线平行斜率相等且截距不相等，计算得，答案为.【考点】直线平行的位置关系2.若直线与直线互相垂直，那么的值等于 ( )A．1B．C．D．【答案】D【解析】若直线垂直，则斜率之积为-1，即,故为D.【考点】直线垂直与直线方程.3.（1）推导点到直线的距离公式；（2）已知直线：和：互相平行，求实数的值.【答案】（1）详见解析；（2）或【解析】（1）设点，直线，过点做直线的垂线，垂足为，求出点的坐标，在直线上在取不同于点的一点，用两点间距离可求得，根据直角三角形中勾股定理可求得，即点到直线的距离。
（2）根据两直线平行斜率相等即可求出。
试题解析：（1）（略） 6分（2）∥，，解得1或-3.经检验均符合题意，故1或-3. 12分【考点】1点到线的距离公式；2两直线平行时斜率的关系。
4.若直线与直线平行，则实数( )A．B．C．D．【答案】D【解析】因两直线平行，所以，解得。
故D正确。
【考点】两直线平行。
5.已知函数．（1）求曲线在点处的切线方程；（2）直线为曲线的切线，且经过原点，求直线的方程及切点坐标．【答案】（1）（2）直线的方程为，切点坐标为【解析】（1）在点处的切线的斜率，切线的方程为；（2）设切点为，则直线的斜率为，直线的方程为：．又直线过点，，整理，得，，，的斜率，直线的方程为，切点坐标为【考点】直线与曲线相切问题及导数的几何意义点评：求曲线过某一点处的切线时，通常设出切点，利用切点坐标满足直线方程，曲线方程及曲线在切点处的导数值等于切线斜率找到关于切点的关系式即可求得切点6.已知直线的一个法向量为，且经过点，则直线的方程是．【答案】【解析】因为根据题意可知直线的一个法向量为,因此可知垂直于直线l 的直线斜率为，直线l的斜率为其负倒数，即为那么利用点斜式可知直线l的方程为=,变形可知为。
七下2.1两条直线的位置关系练习
2.1两条直线的位置关系（1）1.我们知道，在同一平面内，两条直线的位置关系有相交和平行两种. 若两条直线只有一个公共点，我们称这两条直线为 在同一平面内，不相交的两条直线叫做2．如上图，直线 AB 与 CD 相交于点 O ，那么 ∠ 1与 ∠ 2 的位置有什么关系？它们的大小有什么关系？在上图中，直线 AB 与CD 相交于点 O ，∠ 1 与 ∠ 2有公共顶点 O ，它们的两边 ，具有这种位置关系的两个角叫做 对顶角有如下性质：对顶角3．在上图中， ∠ 1 与 ∠ 3 有什么数量关系？ 如果两个角的和是180°，那么称这两个 角 .类似地，如果两个角的和是90°，那么称这两个 角 . 4.（1）在图2中，∠2+∠1=90°，∠2+∠3=90°那么∠1与∠3的大小关系是________。
证明：∵∠2+∠1=90°∴∠1=90°-又∵∠2+∠3=90°∴∠3=90°- ∴∠1____∠3 结论：①同角的余角______; 符号语言：∵∠2+∠1=90°，∠2+∠3=90°∴∠（2）在图3中，∠1+∠2=90°，∠3+∠4=90°若∠1=∠3，问∠2与∠4的大小是________。
证明：∵∠1+∠2=90°，∠1=∠3∴∠___+∠2=90° ∴∠2=90°-∠___又∵∠3+∠4=90°∴∠4=90°-∠___∴∠2____∠4 结论：②等角的余角______。
符号语言：∵∠1+∠2=90°，∠3+∠4=90°，∠1=∠3 ∴∠2____∠4 5.（1）若图4中，∠1+∠2=180°,∠1+∠3=180°则∠2，∠3的大小关系是_______结论：③同角的补角_______.符号语言：∵∠1+∠2=180°，∠1+∠3=180°∴∠2____∠3 （2）若图5中，∠1+∠2=180°，∠3+∠4=180°∠1=∠3,则∠2,∠4的关系是：_______ 证明：132图4 图33412图5结论：④等角的补角_______.符号语言：∵∠1+∠2=180°，∠3+∠4=180°∠1=∠3∴∠2____∠4自学检测：6. 如图，直线 a ，b 相交， ∠ 1 = 38°，求 ∠ 2， ∠ 3， ∠ 4 的度数．7.如图，∠AOB 为一直线，∠1=∠2，∠3=∠4，则图 中互余的角共有（ ） A 、5对 B 、4对 C 、3对 D 、2对 8.一个角比它的余角的2倍大12°，试求这个角的度数。
数学一轮复习课后限时集训49两条直线的位置关系理含解析
课后限时集训(四十九）两条直线的位置关系建议用时：40分钟一、选择题1．直线2x＋y＋m＝0和x＋2y＋n＝0的位置关系是(）A．平行B．垂直C．相交但不垂直D．不能确定C[直线2x＋y＋m＝0的斜率k1＝－2，直线x＋2y＋n＝0的斜率k2＝－错误!,则k1≠k2，且k1k2≠－1.故选C.]2．已知过点A(－2，m）和B（m，4)的直线为l1，直线2x ＋y－1＝0为l2，直线x＋ny＋1＝0为l3.若l1∥l2，l2⊥l3，则实数m＋n的值为（）A．－10 B．－2C．0 D．8A[因为l1∥l2，所以k AB＝错误!＝－2。
解得m＝－8。
又因为l2⊥l3，所以－错误!×（－2)＝－1，解得n＝－2，所以m＋n＝－10。
］3．经过两直线l1：2x－3y＋2＝0与l2:3x－4y－2＝0的交点，且平行于直线4x－2y＋7＝0的直线方程是()A．x－2y＋9＝0 B．4x－2y＋9＝0C．2x－y－18＝0 D．x＋2y＋18＝0C[由错误!解得错误!所以直线l1，l2的交点坐标是（14,10)．设与直线4x－2y＋7＝0平行的直线l的方程为4x－2y＋C＝0(C≠7)．因为直线l过直线l1与l2的交点(14,10），所以C＝－36.所以直线l的方程为4x－2y－36＝0，即2x－y－18＝0。
故选C。
] 4．若直线l1：x＋3y＋m＝0（m〉0）与直线l2：2x＋6y－3＝0的距离为错误!，则m＝（）A．7 B．错误!C．14 D．17B[直线l1：x＋3y＋m＝0(m>0)，即2x＋6y＋2m＝0，因为它与直线l2：2x＋6y－3＝0的距离为10，所以｜2m＋3|4＋36＝错误!,求得m＝错误!.］5．一只虫子从点(0，0）出发，先爬行到直线l：x－y＋1＝0上的P点，再从P点出发爬行到点A（1，1)，则虫子爬行的最短路程是(）A。
错误!B．2C．3 D．4B［点(0,0）关于直线l：x－y＋1＝0的对称点为(－1，1），则最短路程为错误!＝2。
两条直线的位置关系同步测试题
两条直线的位置关系同步测试题一．选择题（共10小题）1．如图所示，直线AB，CD相交于点O，已知∠AOD=160°，则∠BOC的大小为（）A．20°B．60°C．70°D．160°2．如图所示，直线AB⊥CD于点O，直线EF经过点O，若∠1=26°，则∠2的度数是（）A．26°B．64°C．54°D．以上答案都不对3．体育课上，老师测量跳远成绩的依据是（）A．平行线间的距离相等B．两点之间，线段最短C．垂线段最短D．两点确定一条直线4．如图，计划把河水l引到水池A中，先作AB⊥l，垂足为B，然后沿AB开渠，能使所开的渠道最短，这样设计的依据是（）A．两点之间线段最短B．垂线段最短C．过一点只能作一条直线D．平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直5．如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠AOD，若∠COE=140°，则∠BOC=（）A．50°B．60°C．70°D．80°6．如图，直线AB、CD相交于点O，射线OM平分∠AOC，ON⊥OM．若∠BOD=70°，则∠CON的度数为（）A．35°B．45°C．55°D．65°7．如图，直线AB与直线CD相交于点O，E是∠COB内一点，且OE⊥AB，∠AOC=35°，则∠EOD的度数是（）A．155°B．145°C．135° D．125°8．两条直线最多有一个交点，三条直线最多有三个交点，四条直线最多有6个交点，……，那么7条线段最多（）A．28个交点B．24个交点C．21个交点D．15个交点9．如图，∠AOB=180°，OD、OE分别是∠AOC和∠BOC的平分线，则与OD垂直的射线是（）A．OA B．OC C．OE D．OB10．在一个三角形中，一个外角是其相邻内角的3倍，那么这个外角是（）A．150°B．135°C．120° D．100°二．填空题（共10小题）11．如图，直线AB，CD相交于点O，EO⊥AB于点O，∠EOD=50°，则∠BOC的度数为．12．如图，直线a与直线b相交于点O，∠1=30°，∠2=．13．如图，已知直线AB与CD相交于点O，OA平分∠COE，若∠DOE=70°，则∠BOD=．14．如图，直线AB和CD相交于点O，OE⊥AB，∠AOD=125°，则∠COE的度数是度．15．如图，直线AB、CD、EF相交于点O，CD⊥EF，OG平分∠BOF．若∠FOG=29°，则∠BOD的大小为度．16．两条直线相交所成的四个角中，有两个角分别是（2x﹣10）°和（110﹣x）°，则x=．17．在同一平面内，若a⊥b，b⊥c，则a与c的位置关系是．18．如图，已知AO⊥BC于O，∠AOD=30°，那么∠DOC=°．19．已知，∠B与∠A互为邻补角，且∠B=2∠A，那么∠A为度．20．∠A的两边分别垂直于∠B的两边，且∠A的度数比∠B的度数的2倍少24°，则∠A、∠B的度数分别是．三．解答题（共20小题）21．如图，直线AB，CD相交于点O，OA平分∠EOC．若∠EOC=68°，求∠BOD的度数．22．求证：对顶角相等（请画出图形，写出已知、求证、证明．）23．如图，直线AB，CD相交于点O，OA平分∠EOC．（1）若∠EOC=80°，求∠BOD的度数；（2）若∠EOC=∠EOD，求∠BOD的度数．24．如图，直线AB，CD相交于O点，OM平分∠AOB．（1）若∠1=∠2，求∠NOD的度数；（2）若∠BOC=4∠1，求∠AOC与∠MOD的度数．25．如图，AB与CD相交于O，OE平分∠AOC，OF⊥AB于O，OG⊥OE于O，若∠BOD=40°，求∠AOE和∠FOG的度数．26．如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠AOD，∠FOC=90°，∠1=40°求：（1）∠3的度数；（2）求∠2的度数．27．已知∠AOC=146°，OD为∠AOC的平分线，射线OB⊥OA于O，部分图形如图所示，请补全图形，并求∠BOD的度数．28．已知，如图，直线AB和CD相交于点O，∠COE是直角，OF平分∠AOE，∠COF=34°，求∠AOC和∠BOD的度数．29．如图：已知直线AB、CD相交于点O，∠COE=90°（1）若∠AOC=36°，求∠BOE的度数；（2）若∠BOD：∠BOC=1：5，求∠AOE的度数．30．如图，直线AB，CD相交于点O，射线OM平分∠AOC，ON⊥OM．（1）若∠BOD=70°，求∠AOM和∠CON的度数．（2）若∠BON=50°，求∠AOM和∠CON的度数．31．如图，已知直线AB和CD相交于点O，∠COE是直角，OF平分∠AOE，∠COF=32°，求∠AOC和∠BOE的度数32．已知：如图，OA⊥OB，∠BOC=50°，且∠AOD：∠COD=4：7，OE为∠BOC的角平分线，求出∠DOE的度数．33．如图，直线AB、CD、EF相交于点O，OG⊥CD．（1）已知∠BOD=36°，求∠AOG的度数；（2）如果OC是∠AOE的平分线，那么OG是∠AOF的平分线吗？说明理由．34．如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOD，OF⊥CD，∠BOE=36°，求∠AOF的大小．35．如图，O为直线AB上一点，OC⊥OD．已知∠AOC的度数比∠BOD的度数的2倍多6°．（1）求∠BOD的度数．（2）若OE平分∠BOD，OF平分∠BOC，求∠EOF的度数．36．如图，直线AB、CD相交于点O，OM⊥AB．（1）若∠1=∠2，判断ON与CD的位置关系，并说明理由．（2）若∠BOC=4∠1，求∠MOD的度数．37．如图，已知直线AB和CD相交于点O，在∠COB的内部作射线OE．（1）若∠AOC=36°，∠COE=90°，求∠BOE的度数；（2）若∠COE：∠EOB：∠BOD=4：3：2，求∠AOE的度数．38．如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOD，OF平分∠COE．（1）若∠AOC=76°，求∠BOF的度数；（2）若∠BOF=36°，求∠AOC的度数；（3）若|∠AOC﹣∠BOF|=α°，请直接写出∠AOC和∠BOF的度数．（用含的代数式表示）39．如图，直线AB、CD相交于点O．已知∠BOD=75°，OE把∠AOC分成两个角，且∠AOE=∠EOC（1）求∠AOE的度数；（2）将射线OE绕点O逆时针旋转α°（0°＜α＜360°）到OF．①如图2，当OF平分∠BOE时，求∠DOF的度数；②若∠AOF=120°时，直接写出α的度数．40．如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠AOC，∠BOC﹣∠BOD=20°，求∠BOE 的度数．两条直线的位置关系同步测试题参考答案一．选择题（共10小题）1．D；2．B；3．C；4．B；5．D；6．C；7．D；8．C；9．C；10．B；二．填空题（共10小题）11．140°；12．150°；13．55°；14．35；15．32；16．40或80；17．a∥c；18．60；19．60；20．112°、68°；三．解答题（共20小题）21．；22．；23．；24．；25．；26．；27．；28．；29．；30．；31．；32．；33．；34．；35．；36．；37．；38．；39．；40．；。
高二数学两条直线的位置关系试题
高二数学两条直线的位置关系试题1.已知R且，直线和．（1）求直线∥的充要条件；（2）当时，直线恒在x轴上方，求的取值范围．【答案】（1）；（2）。
【解析】（1）当两直线斜率存在时，两直线平行的充要条件是斜率相等，截距不等。
故且。
（2）可以从函数的角度去分析，时，单调递增，只需；时，单调递减，只需。
试题解析：（1）由题意得解得．当时，，，此时∥． 7分（说明：求得即可，不扣分）（2）设．法1：由题意得即解得． 14分法2：或解得． 14分【考点】（1)两直线斜率存在时，两直线平行的充要条件的应用；（2）用一次函数思想去解决直线问题。
2.直线与直线垂直，则（）A．B．C．D．不存在【答案】B【解析】由与垂直，得2a+a=0,解得，a=0.故选B.【考点】直线的一般式得到垂直的充要条件.3.已知点A（﹣2，4），B（4，2），直线l：ax﹣y+8﹣a=0，若直线l与直线AB平行，则a= _________．【答案】【解析】两直线平行斜率相等且截距不相等，计算得，答案为.【考点】直线平行的位置关系4.若直线与直线垂直，则________.【答案】【解析】因为，所以，即有【考点】两条直线的位置关系判定.5.“ ”是“直线与直线平行”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】当直线与直线平行时有，，解得，所以“直线与直线平行”的充分不必要条件，故选A．【考点】两条直线平行的充要条件．6.“”是“直线与直线相互垂直”的 ( )A．充分必要条件B．充分而不必要条件C．必要而不充分条件D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】因为“直线与直线相互垂直”的充要条件是，即或；所以“” 是“或” 充分而不必要条件，因此“”是“直线与直线相互垂直”的充分而不必要条件.【考点】由直线方程一般式判断直线垂直7.求经过直线的交点M,且满足下列条件的直线方程：(1)与直线2x+3y+5=0平行;(2)与直线2x+3y+5=0垂直.【答案】（1）2x+3y－4＝0；（2）3x-2y+7=0.【解析】（1）与直线2x+3y+5=0平行的直线假设为2x+3y+c=0平行,代入交点坐标即可求出c 的值.（2）与直线2x+3y+5=0垂直的直线假设为3x-2y+b=0,代入交点解出b的值即可.试题解析：由题意知：两条直线的交点为（－1，2），（1）因为过（－1，2），所以与2x+3y+5=0平行的直线为2x+3y－4＝0.（2）设与2x+3y+5=0垂直的直线方程为3x-2y+b=0，又过点（－1，2），代入得b=7,故，直线方程为3x-2y+7=0.本题考查与已知直线平行的直线的假设技巧，与已知直线垂直的直线的假设技巧.这种方法要熟练.【考点】1.平行直线间的关系.2.垂直直线间的关系.8.已知两直线，，当时，有∥.【答案】1.【解析】根据两条直线平行的充要条件知，时，两直线不平行，时，两直线平行，解得.【考点】两直线平行的充要条件.9.给出下列四个命题，其中正确的是（）在空间若两条直线不相交，则它们一定平行；②平行于同一条直线的两条直线平行；③一条直线和两条平行直线中的一条相交，那么它也和另一条相交；④空间四条直线a，b，c，d，如果a∥b，c∥d，且a∥d，那么b∥c．A．①②③B．②④C．③④D．②③【答案】A【解析】①中两直线有可能异面；③中这两直线也有可能相异面，这是一道概念题，主要考查了两直线之间的位置关系和公理四，正确理解概念是解题的关键。
两条直线的位置关系训练题
两条直线的位置关系训练题一、题点全面练1．若直线l 1：y ＝k (x －4)与直线l 2关于点(2,1)对称，则直线l 2过定点( )A ．(0,4)B ．(0,2)C ．(－2,4)D ．(4，－2)解析：选B 由题知直线l 1过定点(4,0)，则由条件可知，直线l 2所过定点关于(2,1)对称的点为(4,0)，故可知直线l 2所过定点为(0,2)，故选B.2．若点P 在直线3x ＋y －5＝0上，且P 到直线x －y －1＝0的距离为2，则点P 的坐标为( )A ．(1,2)B.(2,1) C ．(1,2)或(2，－1) D ．(2,1)或(－1,2)解析：选C 设P (x,5－3x )，则d ＝|x －5＋3x －1|12＋－2＝2，化简得|4x －6|＝2，即4x －6＝±2，解得x ＝1或x ＝2，故P (1，2)或(2，－1)．3．已知直线l 的倾斜角为3π4，直线l 1经过点A (3,2)和B (a ，－1)，且直线l 与l 1平行，则实数a 的值为( )A ．0B.1 C ．6 D ．0或6解析：选C 由直线l 的倾斜角为3π4得l 的斜率为－1， 因为直线l 与l 1平行，所以l 1的斜率为－1.又直线l 1经过点A (3,2)和B (a ，－1)，所以l 1的斜率为33－a ，故33－a＝－1，解得a ＝6. 4．(2018·北京东城区期末)如果平面直角坐标系内的两点A (a －1，a ＋1)，B (a ，a )关于直线l 对称，那么直线l 的方程为( )A ．x －y ＋1＝0B.x ＋y ＋1＝0 C ．x －y －1＝0D ．x ＋y －1＝0 解析：选A 因为直线AB 的斜率为a ＋1－a a －1－a ＝－1，所以直线l 的斜率为1.设直线l 的方程为y ＝x ＋b ，由题意知直线l 过点⎝ ⎛⎭⎪⎫2a －12，2a ＋12，所以2a ＋12＝2a －12＋b ，解得b ＝1，所以直线l 的方程为y ＝x ＋1，即x －y ＋1＝0.故选A.5．已知点P (－2,0)和直线l ：(1＋3λ)x ＋(1＋2λ)y －(2＋5λ)＝0(λ∈R)，则点P 到直线l 的距离d 的最大值为( )A ．2 3 B.10 C.14 D ．215解析：选B 由(1＋3λ)x ＋(1＋2λ)y －(2＋5λ)＝0，得(x ＋y －2)＋λ(3x ＋2y －5)＝0，此方程是过直线x ＋y －2＝0和3x ＋2y －5＝0交点的直线系方程．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y －2＝0，3x ＋2y －5＝0，可知两直线的交点为Q(1,1)，故直线l 恒过定点Q(1,1)，如图所示，可知d ＝|PH |≤|P Q|＝10，即d 的最大值为10.6．已知直线l 1：ax ＋y －1＝0，直线l 2：x －y －3＝0，若直线l 1的倾斜角为π4，则a ＝________；若l 1⊥l 2，则a ＝________；若l 1∥l 2，则两平行直线间的距离为________．解析：若直线l 1的倾斜角为π4，则－a ＝k ＝tan π4＝1，故a ＝－1；若l 1⊥l 2，则a ×1＋1×(－1)＝0，故a ＝1；若l 1∥l 2，则a ＝－1，l 1：x －y ＋1＝0，两平行直线间的距离d ＝|1－－2＝2 2.答案：－1 1 2 27．将一张坐标纸折叠一次，使得点(0,2)与点(4,0)重合，点(7,3)与点(m ，n )重合，则m ＋n ＝________.解析：由题意可知，纸的折痕应是点(0,2)与点(4,0)连线的中垂线，即直线y ＝2x －3，它也是点(7,3)与点(m ，n )连线的中垂线，于是⎩⎪⎨⎪⎧ 3＋n 2＝2×7＋m 2－3，n －3m －7＝－12，解得⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝35，n ＝315，故m ＋n ＝345. 答案：3458．以点A (4,1)，B (1,5)，C (－3,2)，D (0，－2)为顶点的四边形ABCD 的面积为________．解析：因为k AB ＝5－11－4＝－43，k DC ＝2－－－3－0＝－43. k AD ＝－2－10－4＝34，k BC ＝2－5－3－1＝34. 则k AB ＝k DC ，k AD ＝k BC ，所以四边形ABCD 为平行四边形．又k AD ·k AB ＝－1，即AD ⊥AB ，故四边形ABCD 为矩形．故S 四边形ABCD ＝|AB |·|AD |＝－2＋－2×－2＋－2－2＝25.答案：259．正方形的中心为点C (－1,0)，一条边所在的直线方程是x ＋3y －5＝0，求其他三边所在直线的方程．解：点C 到直线x ＋3y －5＝0的距离d ＝|－1－5|1＋9＝3105. 设与x ＋3y －5＝0平行的一边所在直线的方程是 x ＋3y ＋m ＝0(m ≠－5)，则点C 到直线x ＋3y ＋m ＝0的距离d ＝|－1＋m |1＋9＝3105， 解得m ＝－5(舍去)或m ＝7，所以与x ＋3y －5＝0平行的边所在直线的方程是x ＋3y ＋7＝0.设与x ＋3y －5＝0垂直的边所在直线的方程是3x －y ＋n ＝0，则点C 到直线3x －y ＋n ＝0的距离d ＝|－3＋n |9＋1＝3105，解得n ＝－3或n ＝9， 所以与x ＋3y －5＝0垂直的两边所在直线的方程分别是3x －y －3＝0和3x －y ＋9＝0.10．已知点P (2，－1)．(1)求过点P 且与原点的距离为2的直线l 的方程；(2)求过点P 且与原点的距离最大的直线l 的方程，并求出最大距离；(3)是否存在过点P 且与原点的距离为6的直线？若存在，求出方程；若不存在，请说明理由．解：(1)过点P 的直线l 与原点的距离为2，而点P 的坐标为(2，－1)，显然，过点P (2，－1)且垂直于x 轴的直线满足条件，此时l 的斜率不存在，其方程为x ＝2.若斜率存在，设l 的方程为y ＋1＝k (x －2)，即kx －y －2k －1＝0. 由已知得|－2k －1|k 2＋1＝2，解得k ＝34. 此时直线l 的方程为3x －4y －10＝0.综上可得直线l 的方程为x ＝2或3x －4y －10＝0.(2)作图可得过点P 与原点O 的距离最大的直线是过点P 且与PO 垂直的直线，如图．由l ⊥OP ，得k l ·k OP ＝－1，因为k OP ＝－12， 所以k l ＝－1k OP ＝2.由直线方程的点斜式得y ＋1＝2(x －2)，即2x －y －5＝0.所以直线2x －y －5＝0是过点P 且与原点O 的距离最大的直线，最大距离为|－5|5＝ 5. (3)由(2)可知，过点P 不存在到原点的距离超过5的直线，因此不存在过点P 且到原点的距离为6的直线．二、专项培优练(一)易错专练——不丢怨枉分1．(2019·青岛模拟)直线x ＋a 2y ＋6＝0和(a －2)x ＋3ay ＋2a ＝0无公共点，则a 的值为( )A ．3或－1B.0或3 C ．0或－1 D ．－1或0或3 解析：选C 两直线无公共点，即两直线平行．当a ＝0时，这两条直线分别为x ＋6＝0和x ＝0，无公共点；当a ≠0时，由－1a 2＝－a －23a，解得a ＝3或a ＝－1.若a ＝3，这两条直线分别为x ＋9y ＋6＝0，x ＋9y ＋6＝0，两直线重合，有无数个公共点，不符合题意，舍去；若a ＝－1，这两条直线分别为x ＋y ＋6＝0和3x ＋3y ＋2＝0，两直线平行，无公共点．综上，a ＝0或a ＝－1.2．已知A (1,2)，B (3,1)两点到直线l 的距离分别是2，5－2，则满足条件的直线l 共有( )A ．1条B.2条 C ．3条 D ．4条解析：选C 当A ，B 两点位于直线l 的同一侧时，一定存在这样的直线l ，且有两条．又|AB |＝－2＋－2＝5，而点A 到直线l 与点B 到直线l 的距离之和为2＋5－2＝5，所以当A ，B 两点位于直线l 的两侧时，存在一条满足条件的直线．综上可知满足条件的直线共有3条．故选C.3．l 1，l 2是分别经过A (1,1)，B (0，－1)两点的两条平行直线，当l 1，l 2间的距离最大时，直线l 1的方程是____________________．解析：当两条平行直线与A ，B 两点连线垂直时，两条平行直线间的距离最大．因为A (1,1)，B (0，－1)，所以k AB ＝－1－10－1＝2，所以当l 1，l 2间的距离最大时，直线l 1的斜率为k ＝－12，此时，直线l 1的方程是y －1＝－12(x －1)，即x ＋2y －3＝0. 答案：x ＋2y －3＝04．若直线l 过点P (－1,2)且到点A (2,3)和点B (－4,5)的距离相等，则直线l 的方程为______________________．解析：当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y －2＝k (x ＋1)，即kx －y ＋k ＋2＝0. 由题意知|2k －3＋k ＋2|k 2＋1＝|－4k －5＋k ＋2|k 2＋1， 即|3k －1|＝|－3k －3|，∴k ＝－13. ∴直线l 的方程为y －2＝－13(x ＋1)，即x ＋3y －5＝0. 当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x ＝－1，也符合题意．答案：x ＋3y －5＝0或x ＝－15．在平面直角坐标系中，已知点P (－2,2)，直线l ：a (x －1)＋b (y ＋2)＝0(a ，b ∈R 且不同时为零)，若点P 到直线l 的距离为d ，则d 的取值范围是________．解析：易知直线l 经过定点(1，－2)，则点P 到直线l 的最大距离为－2－2＋＋2＝5，最小距离为0，所以d 的取值范围是[0,5]．答案：[0,5](二)交汇专练——融会巧迁移6．[与导数交汇]若点P 是曲线y ＝x 2－ln x 上任意一点，则点P 到直线y ＝x －2的最小距离为( )A.22B.1C. 2 D ．2解析：选C 因为点P 是曲线y ＝x 2－ln x 上任意一点，所以当点P 处的切线和直线y＝x －2平行时，点P 到直线y ＝x －2的距离最小．因为直线y ＝x －2的斜率等于1，曲线y＝x 2－ln x 的导数y ′＝2x －1x ，令y ′＝1，可得x ＝1或x ＝－12(舍去)，所以在曲线y ＝x 2－ln x 上与直线y ＝x －2平行的切线经过的切点坐标为(1,1)，所以点P 到直线y ＝x －2的最小距离为2，故选C.7.[与不等式交汇]如图，已知直线l 1∥l 2，点A 是l 1，l 2之间的定点，点A 到l 1，l 2之间的距离分别为3和2，点B 是l 2上的一动点，作AC ⊥AB ，且AC 与l 1交于点C ，则△ABC 的面积的最小值为________．解析：以A 为坐标原点，平行于l 1的直线为x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，设B (a ，－2)，C (b,3)．∵AC ⊥AB ，∴ab －6＝0，ab ＝6，b ＝6a. Rt △ABC 的面积S ＝12a 2＋4·b 2＋9 ＝12a 2＋4· 36a 2＋9＝12 72＋9a 2＋144a 2 ≥1272＋72＝6(当且仅当a 2＝4时取等号)． 答案：68．[与物理知识交汇]如图，已知A (－2,0)，B (2,0)，C (0,2)，E (－1,0)，F (1,0)，一束光线从F 点出发射到BC 上的D 点，经BC 反射后，再经AC 反射，落到线段AE 上(不含端点)，则直线FD 的斜率的取值范围为________．解析：从特殊位置考虑．如图所示，∵点A (－2,0)关于直线BC ：x ＋y ＝2的对称点为A 1(2,4)，∴＝4.又点E (－1,0)关于直线AC ：y ＝x ＋2的对称点为E 1(－2，1)，点E 1(－2,1)关于直线BC ：x ＋y ＝2的对称点为E 2(1,4)，此时直线E 2F 的斜率不存在，∴k FD ＞，即k FD ∈(4，＋∞)．答案：(4，＋∞)。
高三数学两条直线的位置关系试题答案及解析
高三数学两条直线的位置关系试题答案及解析1.已知l1：2x＋my＋1＝0与l2：y＝3x－1，若两直线平行，则m的值为________．【答案】－【解析】由题意知，m≠0，则直线l1的方程为：y＝－x－，∴，解得m＝－．2.已知直线l经过直线2x＋y－5＝0与x－2y＝0的交点．(1)点A(5,0)到l的距离为3，求l的方程；(2)求点A(5,0)到l的距离的最大值．【答案】（1）x＝2或4x－3y－5＝0（2）【解析】解：(1)经过两已知直线交点的直线系方程为(2x＋y－5)＋λ(x－2y)＝0，即(2＋λ)x＋(1－2λ)y－5＝0．∴＝3．即2λ2－5λ＋2＝0，∴λ＝2或．∴l的方程为x＝2或4x－3y－5＝0．(2)由解得交点P(2,1)，如图，过P作任一直线l，设d为点A到l的距离，则d≤|PA|(当l⊥PA时等号成立)．∴dmax＝|PA|＝．3.已知直线，，若直线与的夹角为，则= ．【答案】0或【解析】由夹角公式得解得=0或=【考点】夹角公式4. (2014·随州模拟)已知点P在直线x+2y-1=0上,点Q在直线x+2y+3=0上,PQ中点为M(x0,y)且y 0≥x+2,则的取值范围是____________.【答案】【解析】因为直线x+2y-1=0与直线x+2y+3=0平行,所以PQ的中点M在直线x+2y+1=0上,又因为直线x+2y+1=0与y=x+2的交点坐标为A,所以kOA==-,故-<≤-.5.已知两条直线y=ax-2和y=(a+2)x+1互相垂直,则a等于________.【答案】-1【解析】因为两条直线垂直,所以a(a+2)=-1,即a2+2a+1=0,所以a=-1.6.若由不等式组确定的平面区域的边界为三角形，且它的外接圆的圆心在x轴上，则实数m的值为()A．B．－C．D．－【答案】B【解析】根据题意，三角形的外接圆的圆心在x轴上，则直线x＝my＋n与直线x－y＝0垂直，∴×＝－1，即m＝－．7.过点A(1，2)且垂直于直线2x＋y－5＝0的直线方程为()A．x－2y＋4＝0B．2x＋y－7＝0C．x－2y＋3＝0D．x－2y＋5＝0【答案】C【解析】直线2x＋y－5＝0的斜率为－2，因此所求直线的斜率为，方程为y－2＝(x－1)，化为一般式为x－2y＋3＝0.8.若直线l1：ax＋2y＋6＝0与直线l2：x＋(a－1)y＋(a2－1)＝0平行，则实数a＝________.【答案】－1【解析】由a(a－1)－2×1＝0得：a＝－1，或a＝2，验证，当a＝2时两直线重合，当a＝－1时两直线平行．9.已知直线，若，则的值为（）A．B．C．D．或【答案】【解析】，则，所以或.【考点】两直线的平行关系.10.已知过点A(－2，m)和(m,4)的直线与直线2x＋y－1＝0平行，则m的值为 ()A．0B．－8C．2D．10【答案】B【解析】，则.【考点】直线平行的充要条件.11.已知，则直线与坐标轴围成的三角形面积是（）A．1B．2C．3D．4【答案】B【解析】由于，故直线与直线平行，则有且，由整理得，解得或，由，得，所以，故直线的方程为，交轴于点，交轴于点，故直线与坐标轴围成的三角形面积是，故选B.【考点】1.两直线的位置关系；2.三角形的面积12.直线与的位置关系是（）A．平行B．垂直C．斜交D．与的值有关【答案】B【解析】因为，所以两条直线垂直.13.直线与直线平行的充要条件是．【答案】-2.【解析】,当a=2时，两直线重合；当a=-2时，两直线平行14.已知定点A(0，1),点B在直线x+y=0上运动，当线段AB最短时，点B的坐标是___________________.【答案】(-，)【解析】本题考查两点间的距离公式、求最值和点到直线的距离等，以及基本的运算技能，本题大致有两种做法：解法一：代数法，根据两点间的距离公式建立一个函数关系，即｜AB｜2=(x-0)2+(y-1)2，又y=x，则｜AB｜2=x2+(x+1)2=2x2+2x+1，转化为二次函数求最值，可见当x=-时，｜AB｜2最小为，∴｜AB｜≥，∴B(-，)；解法二：几何法，直线上的点B与A点的连线中当AB与x+y=0垂直时，AB最短，∴AB:y=x+1，∴B点为的交点为(-，).15.(本题满分13分)已知直线：，：，求：（1）直线与的交点的坐标；（2）过点且与垂直的直线方程．【答案】（1）解方程组得，所以交点（2）的斜率为3，故所求直线为即为【解析】略16.．已知过、两点的直线与直线平行，则的值为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】故选B17.为研究变量和的线性相关性，甲、乙二人分别作了研究，利用线性回归方法得到回归直线方程和，两人计算知相同，也相同，下列正确的是( )A．与重合B．与一定平行C．与相交于点D．无法判断和是否相交【答案】C【解析】略18.已知直线过点，且与直线垂直，则直线的方程为【答案】【解析】略19.设点，，如果直线与线段有一个公共点，那么A．最小值为B．最小值为C．最大值为D．最大值为【答案】A【解析】略20.是直线和直线垂直的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】略21.如下图所示，已知A(4,0)、B(0,4)，从点P(2,0)射出的光线经直线AB反向后再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到P点，则光线所经过的路程是()A．2B．6C．3D．2【答案】A【解析】设点P关于y轴的对称点P′，点P关于直线AB：x+y-4=0的对称点P″，由对称特点可求P′和P″的坐标，在利用入射光线上的点关于反射轴的对称点在反射光线所在的直线上，光线所经过的路程|P′P″|．解：点P关于y轴的对称点P′坐标是（-2，0），设点P关于直线AB：x+y-4=0的对称点P″（a，b），由解得，故光线所经过的路程|P′P″|=2．故答案为2．22.两平行直线l1：3x＋4y＋5＝0，l2：6x＋my＋n＝0间的距离为3，则m＋n＝________【答案】48或－12【解析】略23.过点P(5，－2)，且与直线x－y＋5＝0相交成45°角的直线l的方程是()A．y＝－2B．y＝2，x＝5C．x＝5D．y＝－2，x＝5【答案】D【解析】略24.平面直角坐标系中，点(3，t)和(2t，4)分别在顶点为原点，始边为x轴的非负半轴的角，的终边上，则t的值为A．±6或±1B．6或1C．6D．1【答案】D【解析】根据任意角的三角函数定义分别求出tanα和tan（α+45°），然后利用两角和与差的正切函数公式及特殊角的三角函数值得到一个关于t的方程，求出t的值，然后利用α和α+45°是始边为x轴的非负半轴的角，得到满足题意t的值即可．解：由题意得tanα=，tan（α+45°）=而tan（α+45°）=，化简得：t2+5t-6=0即（t-1）（t+6）=0，解得t=1，t=-6因为点（3，t）和（2t，4）分别在顶点为原点，始边为x轴的非负半轴的角α，α+45°的终边上，所以t=-6舍去则t的值为1故选D25.m=-2是直线(2-m)+m+3=0与直线-m-3=0垂直的（）A．充分不必要条件B．必要不充分C．充要条件D．非充分也非必要条件【答案】A【解析】略26.已知点 A（2, -3）, B（ -3, -2） ,直线与线段AB相交 ,则直线l的斜率的范围是（）A．≥≤B．≤≤C．＜D．≤≤4．【答案】A【解析】略27.“”是“直线与直线相互垂直”的（）A．充分必要条件B．充分而不必要条件C．必要而不充分条件D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】略28.若直线x＋(1＋m)y＋2＋m＝0与直线2mx＋4y＋6＝0平行，则的值为 .【答案】-2【解析】略29.直线绕原点逆时针旋转，再向右平移１个单位，所得到的直线为(A．B．C．D．【答案】A【解析】∵直线绕原点逆时针旋转的直线为，从而淘汰（Ｃ），（D）又∵将向右平移１个单位得，即故选A；【点评】此题重点考察互相垂直的直线关系，以及直线平移问题；【突破】熟悉互相垂直的直线斜率互为负倒数，过原点的直线无常数项；重视平移方法：“左加右减”；30.（本小题满分12分）已知平面上的动点及两定点、，直线、的斜率分别为、，且，设动点的轨迹为曲线.（1）求曲线的方程；（2）过点的直线与曲线交于两点M、N，过点作轴，交曲线于点.求证：直线过定点，并求出定点坐标.【答案】（1）由题知，且，，则.整理得曲线的方程为 5分（2）设直线与轴交于，则直线的方程为，记，，由对称性知，由，消去得， 7分所以，且，， 9分由三点共线知，，即，所以，整理得， 10分所以，，即，解得，所以直线过定点 12分【解析】试题分析（1）由题知x≠±2，且，，由直接法求出曲线C的方程．（2）设NQ与x轴交于D（t，0），则直线NQ的方程为x=my+t（m≠0），记N（x1，y1），Q（x2，y2），由对称性知M（x2，﹣y2），由，得（3m2+4）y2+6mty+3t2﹣12=0，由此利用根的判别式，韦达定理、三点共线，结合已知条件能证明直线NQ过定点D（1，0）．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．点评：本题考查曲线方程的求法，考查直线过定点的证明．。
两条直线的位置关系综合练习题及答案
则 l , l 的交点为__方程 ⎨ 的解.A x +B y +C = 0⎩ A 2+ B 2_.+ B两条直线的位置关系综合练习题及答案（一）知识梳理：1、两直线的位置关系（1）平行的判断：①当 l , l 有斜截式（或点斜式）方程 l : y = k x + b , l : y = k x + b ，1 2111222则 l // l ⇔k = k , b ≠ b .1 21212②当 l , l 有一般式方程： l : A x + B y + C = 0, l : A x + B y + C = 0 ，1 211112222则 l // l ⇔A B - A B = 0, C B - C B ≠ 0 .1 21 22 11 22 1（2）垂直的判断：①当 l , l 有斜截式（或点斜式）方程 l : y = k x + b , l : y = k x + b ，1 2111222则 l ⊥ l ⇔l : y = k x + b , l : y = k x + b .1 2111222②当 l , l 有一般式方程： l : A x + B y + C = 0, l : A x + B y + C = 0 ，1 211112222则 l ⊥ l ⇔ A A + B B = 0 .1 21 21 22、两条直线的交点：若 l : A x + B y + C = 0, l : A x + B y + C = 01 1112222⎧ A x + B y + C = 01 1 1 12 2 2 23、点到直线的距离：（1）点到直线的距离公式：点 P( x , y ) 到直线 Ax + By + C = 0 的距离为 d =0 0(2)两平行直线间的距离求法：Ax + By + C0 0 0两平行直线： l : Ax + By + C = 0, l : Ax + By + C = 0 ，则距离 d = d =1122C - C2 1A 2 2.（二）例题讲解：考点 1：直线的平行与垂直关系例 1、（1）已知直线 l 的方程为 3x + 4 y - 12 = 0 ，求与 l 平行且过点 (-1,3 ) 的直线方程；（2）已知直线 l : 2 x - 3 y + 10 = 0, l : 3x + 4 y - 2 = 0 ，求过直线 l 和 l 的交点，且与直线l : 3x - 2 y + 4 = 0 12123垂直的直线 l 方程.⎩y=2⎧∴⎨，∴⎨，A-2B=3B=-2∴设直线l的方程为：x+=1，∴直线l在x轴上的交点坐标为M(a,0)，直线l在y轴上的交点坐标为⎧a+0⎪⎪2∴⎨，∴a=-2,b=-4，⎪=-2∴直线l的方程为：x易错笔记：解：（1）设与直线l平行的直线l的方程为3x+4y+C=0，则点(-1,3)在直线3x+4y+C=0上，将点1(-1,3)代入直线3x+4y+C=0的方程即可得：3⨯(-1)+4⨯3+C=0，∴C=-9，∴所求直线方程为：3x+4y-9=0.（2）设与直线l:3x-2y+4=0垂直的直线l方程为：2x+3y+C=0，3方程⎨2x-3y+10=0⎩3x+4y-2=0⎧x=-2的解为：⎨，∴直线l:2x-3y+10=0,l:3x+4y-2=0的交点是(-2,2)，12∴直线l过直线l:2x-3y+10=0,l:3x+4y-2=0的交点(-2,2)，12∴2⨯(-2)+3⨯2+C=0，∴C=-2，∴直线l方程为：2x+3y-2=0.考点2：直线的交点问题例2、已知直线方程为(2+m)x+(1-2m)y+4-3m=0，(1)求证：无论m取何值，此直线必过定点；(2)过这定点引一直线，使它夹在两坐标轴间的线段被这定点平分，求这条直线方程.解：(1)设直线方程为(2+m)x+(1-2m)y+4-3m=0过定点(A,B)，⎧2A+B=-4⎧A=-1⎩⎩∴直线方程为(2+m)x+(1-2m)y+4-3m=0过定点(-1,-2).(2)由题意知，直线l在x轴上的截距a≠0，在y轴上的截距b≠0，ya bN(0,b)，直线l夹在两坐标轴间的线段被点(-1,-2)平分，∴点(-1,-2)是线段MN的中点，=-10+b⎪⎩2y+=1，即2x+y+4=0.-2-4易错笔记：B ．C ．D ．5 25A ．0B ． 11 0解： 方程 ⎨⎧2 x + 3 y + 8 = 0 ⎩ x - y - 1 = 0 ⎩ y = -2∴ 直线 x + ky = 0 过点 (-1, -2)，∴ -1 + k (-2) = 0 ，∴ k = - ，故选 B .A ． 17⎪⎩4 ⨯14 - (-3)m ≠ 0 ，∴ m = 8 ，∴ 直线 6 x + my + 14 = 0 的方程为 6 x + 8 y + 14 = 0 ，即 3x + 4 y +7 =0 ，离，∴ 直线 3x + 4 y - 3 = 0 与直线 6 x + my + 14 = 0 的距离 d = C 2 - C 1 = 7 - -3 = 2 ，故选 D.（三）练习巩固：一、选择题1、直线 3x + y + 1 = 0 和直线 6 x + 2 y + 1 = 0 的位置关系是（ B ）A ．重合B ．平行C ．垂直D ．相交但不垂直2、点 (2,1 ) 到直线 3x - 4 y + 2 = 0 的距离是（ A ）A ． 4 4 255 4 43、如果直线 x + 2ay - 1 = 0 与直线 (3a - 1) x - ay - 1 = 0 平行，则 a 等于（ A ）D ．0 或16C ．0 或 16解： 1⋅ (-a )- 2a (3a -1) = 0 ①，且 2a (- )- (-a ) ≠ ②，由①得：a = 0 或 a =16，由②得：a ≠ 0 ，∴ a = 0 .4、若三条直线 2 x + 3 y + 8 = 0, x - y - 1 = 0 和 x + ky = 0 相交于一点，则 k =（ B ）A ．-2B ． - 1C ．2D ． 12 2⎧ x = -1 的解为： ⎨ ，∴ 直线 2 x + 3 y + 8 = 0, x - y - 1 = 0 的交点是 (-1, -2)，三条直线 2 x + 3 y + 8 = 0, x - y - 1 = 0 和 x + ky = 0 相交于一点 (-1, -2)，1 25、已知点 M (4,2 )与 M (2,4 )关于直线 l 对称，则直线 l 的方程为（ D ）A ． x + y + 6 = 0B ． x + y - 6 = 0C ． x + y = 0D ． x - y = 06、已知直线 3x + 4 y - 3 = 0 与直线 6 x + my + 14 = 0 平行，则它们间的距离是（ D ）17B ．C ．8D ．210 5解： 直线 3x + 4 y - 3 = 0 与直线 6 x + my + 14 = 0 平行，⎧⎪3m - 4 ⨯ 6 = 0 ∴⎨∴ 直线 3x + 4 y - 3 = 0 与直线 3x + 4 y + 7 = 0 之间的距离 d = C 2 - C 1 = 7 - (-3) = 2 .A 2 +B 232 + 42直线 3x + 4 y - 3 = 0 与直线 6 x + 8 y + 14 = 0 的距离等于直线 3x + 4 y - 3 = 0 与直线 3x + 4 y + 7 = 0 之间的距( )A 2 +B 232 + 42二、填空题一个值是_______. 9、已知直线 l 的斜率为 3，直线 l 经过点 A (1,2 ) ，B (2, a )，若直线 l // l ，a = _ 3 _；若 l ⊥ l ，则 a = __ __.3x - x k x - x 5解： 方程 ⎨的解为： ⎨ ， 2 x + y + 2 = 0 y = 2=3⨯(-2)-4⨯2+232 + (-4)2 =) A 2 + B 2 = = ⎪ 7、如果三条直线 l : mx + y + 3 = 0,l : x - y - 2 = 0,l : 2x - y + 2 = 0 不能成为一个三角形三边所在的直线，那么 m 的12 3．．8、过点 (2,3 )且平行于直线 2 x + y - 5 = 0 的方程为______ 2 x + y - 7 = 0 __________.过点 (2,3 )且垂直于直线 3x + 4 y - 3 = 0 的方程为______ 4 x - 3 y + 1 = 0 __________.分析：设与直线 2 x + y - 5 = 0 平行的直线方程为： 2 x + y + C = 0 ，则点 (2,3 )在直线 2 x + y + C = 0 上， 将点 (2, 3)代入直线 2 x + y + C = 0 的方程即可得： 2 ⨯ 2 + 3 + C = 0 ， ∴ C = -7 ，∴ 所求直线方程为：2 x + y - 7 = 0 .分析：设垂直于直线 3x + 4 y - 3 = 0 的方程为：4 x - 3 y + C = 0 ，则点 (2,3 )在直线 4 x - 3 y + C = 0 上，将点 (2,3 )代入直线 4 x - 3 y + C = 0 的方程即可得： 4 ⨯ 2 - 3 ⨯ 3 + C = 0 ，∴ C = 1 ，∴ 所求直线方程为： 4 x - 3 y + 1 = 0 .51 2 1 2 1 2当直线 l // l 时： 直线 l 的斜率： k = 3 ，且直线 l // l ，∴ 直线 l 的斜率 k = k = 3 ，1 21112221直线 l 经过点 A (1,2 ) ， B (2, a )，∴ 直线 l 的斜率 k = y 2 - y 1 = 2 2 2 21∴ a = 5 .当直线 l ⊥ l 时，设直线 l 的斜率为 k ，直线 l 的斜率为 k ，121122a - 2 2 - 1= a - 2 = 3 ，则直线 l 的斜率： k = 3 ，直线 l ⊥ l ，∴ k ⋅ k = -1 ，∴ 直线 l 的斜率 k = -1111 2 1 2 2 2 11=- ，3又 直线 l 经过点 A (1,2 ) ， B (2, a )，∴ 直线 l 的斜率 k = y 2 - y 1 =2 2 2 2 1a - 2 1= a - 2 = - ， 2 - 1 35∴ a = .310、设直线 l :3 x + 4y - 2 = 0,l : 2x + y + 2 = 0,l :3 x - 4y + 2 = 0 ，则直线 l 与 l 的交点到 l 的距离为__ 12 __.12 3 1 2 3⎧3x + 4 y - 2 = 0 ⎧ x = -2⎩ ⎩∴ 直线 2 x + 3 y + 8 = 0, x - y - 1 = 0 的交点是 (-2,2 )，∴ 点 (-2,2 )到直线 l 的距离为：3d = Ax 0 + By 0 + C12 .511、过点 A (-1,2 )，且与原点距离等于 22的直线方程为 x - y + 3 = 0 或 7 x - y + 9 = 0 ．解：设所求直线的斜率为 k ，则kx - y + k + 2 = 0 ，直 线 过 点 A (-1, 2 ， ∴ 方 程 为 y - 2 = k ⎡⎣ x - (-1)⎤⎦ = k (x + 1) ， 即∴ 直 线 到 原 点 的 距 离 为 ： d = Ax 0 + By 0 + C k ⋅ 0 - 1⋅ 0 + k + 2 k 2 + (-1)2 = k + 2 k 2 + (-1)2 = 22 ，(k + 2)2 ⎛ 2 ⎫2 k 2 + (-1)2 ⎝ 2 ⎭ =12，∴ k 2 + 8k + 7 = 0 ，∴ k = 1 或 k = 7 ，(2 ) ， ⎪⎩2m ⋅ m - 3 ⨯ 6 ≠ 0⎪⎩ 2m ⋅ m - 3 ⨯ 6 = 0 (2 )∴ 1 a b ∆AOB 面积为 4，∴ = = ， 直线 l 过原点 O (0,0 )， k -2 2∴ 所求直线的方程为： x - y + 3 = 0 或 7 x - y + 9 = 0 ．三、解答题12、已知直线 l : x + m y + 6 = 0,l : (m - 2)x + 3y + 2m = 0 ，求 m 的值，使得 12(1) l 和 l 相交；（2） l ⊥ l 垂直；(3) l // l ； (4) l 和 l 重合. 1 21 2 1 2 1 2解：(1)l 和 l 相交，∴ m (m - 2)-1⨯ 3 ≠ 0 ，∴ m ≠ -1．1 2(2)(3)l ⊥ l 垂直，∴ 1⋅ (m - 2)+ m ⨯ 3 = 0 ，∴ m = 1 2 ⎧⎪m (m - 2)- 1⨯ 3 = 0 (1)l // l ，∴ ⎨1 2 1 2.由（1）得： m = 3 或 m = -1，由（2）得： m ≠ ±3 ，∴ m = -1.(4)⎧⎪m (m - 2)- 1⨯ 3 = 0 (1)l 和 l 重合，∴ ⎨ ， 1 2由（1）得： m = 3 或 m = -1，由（2）得： m = 3 或 m = -3 ，∴ 当 m = 3 ，或 m = -3 ，或 m = -1时， l 和 l 重合.1 2y13、已知直线 l 过点 (1,2 ) ，且与 x ， y 轴正半轴分别交于点 A 、 BB（1）、求 ∆AOB 面积为 4 时直线 l 的方程；(1,2)AOx（2）、在（1）的前提之下，求边 AB 上的高所在的直线方程.解：（1）、由题意知，直线 l 在 x 轴上的截距 a > 0 ，在 y 轴上的截距 b > 0 ，x y∴ 设直线 l 的方程为： + a b= 1 ， 直线 l 过点 (1,2 ) ，2 + = 1①， 1 1a b = ab = 4 ②，由①、②得： a = 2 ， b = 4 ，2 2x y∴ 直线 l 的方程为： + = 1 ，即 2 x + y - 4 = 0 .2 4（2）、设边 AB 上的高所在的直线为 l ，斜率为 k ，直线 l 过原点 O (0,0 )，111直线 l 的方程为： 2 x + y - 4 = 0 ，∴ 边 AB 所在的直线方程为： 2 x + y - 4 = 0 ，斜率为斜率 k = -2 ，l ⊥ l ，∴ k ⋅ k = -1 ，∴ k =1 1 1 -1 -1 11∴ 直线 l 的方程为：y - 0 = 1 1 (x - 0) ，即 x - 2 y = 0 .综上所述：边 AB 上的高所在的直线方程为：x - 2 y = 0 .2。
两条直线的位置关系综合练习题及答案
两条直线的位置关系综合练习题及答案（一）知识梳理：1、两直线的位置关系（1）平行的判断：①当l i」2有斜截式（或点斜式）方程h : y = ：y = k?x • b2，则1l//* 二 _k i =k2,b i =6丄②当h, l2有一般式方程：l1: A1x B1y G = 0,12: A2x B2y C2= 0，则h // 丨2 = _ AB2「民 3 = 0,C1B2「C2B^- 0 .（2）垂直的判断：①当丨1,丨2有斜截式（或点斜式）方程丨 1 : y二«x • 4,丨 2 : y二k?x • b2，贝V h _ 丨2 = — 11: y = k1x d,丨2: y = k2x b2_•②当丨1,丨2有一般式方程：丨1 ： Ax B』C = 0,丨 2 : A?x B?y C2 = 0 ,则h _ 丨2二_ AA B1B2=0丄2、两条直线的交点：右丨 1 : A1X ' B1 y ' C1 —0, 1 2 : A2X ' B2 y ' C2 —0l A,x B1y C^ 0 sr则11,12的交点为方程2 1的解.Ax B?y C2 =03、点到直线的距离：（1）点到直线的距离公式：点P（x°,y°）到直线Ax + By+C=0的距离为^l Ax^By^C J _.JA2十B2（2）两平行直线间的距离求法：一|c2-C」两平行直线：11: Ax By C^0,12: Ax By C^0，则距离d = d 2.VA2+ B2（二）例题讲解：考点1 :直线的平行与垂直关系例1、（1）已知直线丨的方程为3x 4y -1^0，求与丨平行且过点-1,3的直线方程；（2）已知直线h :2x-3y • 10 =0,丨 2 ：3x • 4y-2 =0，求过直线11和丨2的交点，且与直线l3：3x-2y ' 4 = 0 垂直的直线I方程•易错笔记：解：（1 ）设与直线I平行的直线h的方程为3x・4y・C=0，则点-1,3在直线3x 4y ^0上，将点-1,3代入直线3x 4y C =0的方程即可得：3 -1 4 3^0，C - -9，所求直线方程为：3x 4y -9 =0.（2）设与直线|3:3x -2y 4=0垂直的直线I方程为：2x 3y ^0，方程2x-3y 10-0的解为：x=—2 彳，3x +4y-2 =0 “2.直线h：2x-3y 10=0」2：3x 4y-2=0 的交点是-2,2 ，.直线I 过直线h :2x-3y 10 =0,l2 ：3x 4y-2 =0的交点-2,2，2 -23 2 C =0，C - -2，直线I 方程为：2x 3y-2=0.考点2:直线的交点问题例2、已知直线方程为2 • m x • 1 - 2m y • 4 - 3m = 0，（1）求证：无论m取何值，此直线必过定点；（2）过这定点引一直线，使它夹在两坐标轴间的线段被这定点平分，求这条直线方程解：（1）设直线方程为2A B 二-4 2 m x 亠〔1 -2m y 4 -3m = 0过定点A, B ，A= -1A -2B =3 8 = -2-直线方程为2 m x ^2m y • 4 - 3m = 0过定点-1, -2 .⑵由题意知，直线I在x轴上的截距a = 0，在y轴上的截距b = 0，■设直线I的方程为：- —=1，-直线1在x轴上的交点坐标为M a,0，直线I在y轴上的交点坐标为a bN 0,b，直线I夹在两坐标轴间的线段被点-1, -2平分, •点-1, -2是线段MN的中点,口「120 b22直线I的方程为：易错笔记：——=1，即2x y 4=0. -2 -4(三) 练习巩固:、选择题1、直线3x y ^0和直线6x 2y ^0的位置关系是；直线3x ，4y -3 =0与直线6x 8y 1^0的距离等于直线 3x ，4y -3 =0与直线3x 4y 0之间的距A .重合B.平行C2、点21到直线3x -4y • 2 =0的距离是A. 4B. 554.相交但不垂直± D 2525 4 3、如果直线x - 2ay =0与直线(3a -1)x - ay -1 =0平行,则a 等于 .0或丄61解：1 人—a ；-2a 3a -1 = 0①，且 2a 1i • a 0 ②，由①得：a =0或 a,由②得：a = 0 , a = 0.6A. 0C. 0 或 1 D4、若三条直线2x 3y • 8 = 0, x 「y 「1 = 0和x ky =0相交于一点，则k 二A. -2解：；方程2x 3y ^0的解为:_y _1 =0x =—1y 一2■直线 2x • 3y • 8 = 0,x - y -1 = 0 的交点是 -1, -2 ,三条直线 2x 3y 8=0,x -y 「1=0 和 x ky = 0 相交于一点 -1,-2 , •直线 x k^ 0过点 -1,-2 , ■ -1k -2 =0,，故选 B.5、已知点M 4,2与M 2,4关于直线I 对称，则直线I 的方程为A. x y 6=0 B . x y_6=0 C . x y=0 D . X-y=06、已知直线3x 4y -3 =0与直线6x my 1^=0平行，贝U 它们间的距离是A17 厂17 厂cA.B.C . 810 5解：：直线3x • 4y -3 =0与直线6x my 1^0平行，3m-4 6=0二 2，二 m =8，二直线 6x + my+14=0 的方程为 6x +8y + 14 = 0 ,即 3x+4y+74 14 -i —3 m = 0直线3x Vy-3=0与直线3x 4y ^0之间的距离C 2 _C 1 7一 一3 =2. A 2 B 2. 32 ' 4210、设直线 h :3x+4y —2=0,l 2 ：2x+y+2=0,l 3：3x —4y+2=0，则直线 l 1 与 l 2的交点到 l 3 的距离为―125解：；方程3x '4y-2=0的解为:(2x + y+2 = 0x = _2 y =2直线2x 3y •8=0,x -y-1=0的交点是 -2,2，•点-2,2至煩线I 3的距离为:x |Ay +By 。
两直线的位置关系题目
两直线的位置关系题目
1. 已知直线y = 2x + 1和直线y = -3x + 4，请问这两条直线是
否平行？
2. 给出两条直线的斜率和截距，判断它们的位置关系。
3. 已知两条直线的方程分别为2x - 3y = 6和4x + 5y = 10，请
问它们的位置关系是相交、平行还是重合？
4. 给出两条平行直线的方程，请求它们的间距。
5. 给出两条直线的斜率和截距，判断它们是否相交，并求出相交点的坐标。
6. 给出两条直线的斜率和截距，判断它们是否垂直。
7. 已知两直线的方程分别为y = 3x - 2和y = -1/3x + 4，请问它
们的位置关系是相交还是平行？
8. 给出两条直线的截距和过一个点的斜率，判断它们是否相交。
9. 给出两条直线的斜率和过两个不同点的截距，判断它们是否相交。
10. 给出两条直线的截距和斜率，判断它们是否平行或重合。
七年级下 两条直线位置关系(150题)
七年级上两条直线位置关系（150题）一.选择题（本大题共33小题.共99.0分。
在每小题列出的选项中.选出符合题目的一项）1. 如果一个角的度数比它补角的2倍多30°.那么这个角的度数是( )A. 50°B. 70°C. 130°D. 160°2. 同一平面内两两相交的四条直线.最多有m个交点.最少有n个交点.那么m n是( )A. 1B. 6C. 8D. 43. 如图.河道l的一侧有A.B两个村庄.现要铺设一条引水管道把河水引向A.B两村.下列四种方案中最节省材料的是( )A. B.C. D.4. 如图所示.若∠1=∠2.则在①∠3和∠2.②∠4和∠2.③∠3和∠6.④∠4和∠8中.相等的有( )A. 1对B. 2对C. 3对D. 4对5. 如图.将军要从村庄A去村外的河边饮马.有三条路AB.AC.AD可走.将军沿着AB路线到的河边.他这样做的道理是( )A. 两点之间.线段最短B. 两点之间.直线最短C. 两点确定一条直线D. 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中.垂线段最短6. 如图.直线AB.CD相交于点O.OM⊥AB.若∠MOD=30∘.则∠COB的度数为( )A. 60∘B. 90∘C. 120∘D. 150∘7. 如图.点P是直线a外的一点.点A.B.C在直线a上.且PB⊥a.垂足是B.PA⊥PC.则下列不正确的语句是( )A. 线段PB的长是点P到直线a的距离B. PA.PB.PC三条线段中.PB最短C. 线段AP的长是点A到直线PC的距离D. 线段AP的长是点C到直线PA的距离8. 如图.直线a.b相交于点O.如果∠1+∠2=60°.那么∠3是A. 150°B. 120°C. 60°D. 30°9. 下列生活实例中.数学原理解释错误．．的是( )A. 测量两棵树之间的距离.要拉直皮尺.应用的数学原理是：两点之间.线段最短B. 用两颗钉子就可以把一根木条固定在墙上.应用的数学原理是：两点确定一条直线C. 测量跳远成绩.应用的数学原理是：连结直线外一点与直线上各点的所有线段中.垂线段最短D. 从一条河向一个村庄引一条最短的水渠.应用的数学原理是：在同一平面内.过一点有且只有一条直线与已知直线垂直10. 将一副三角板按如图所示位置摆放.其中∠α与∠β一定互余的是( )A. B.C. D.11. 如图.直线AB.CD交于点O.射线OE平分∠COB.若∠BOD=40°.则∠AOE等于( )A. 40°B. 100°C. 110°D. 140°12. 如图.三角尺COD的顶点O在直线AB上.∠COD=90∘.现将三角尺COD绕点O旋转.若旋转过程中顶点C始终在直线AB的上方.设∠AOC=α.∠BOD=β.则下列说法中.正确的是( )A. 若α=10∘.则β=70∘B. α与β一定互余C. α与β有可能互补D. 若α增大.则β一定减小13. 下列说法正确的是( )A. 大小相等的两个角互为对顶角B. 有公共顶点且相等的两个角是对顶角C. 两角之和为180°.则这两个角互为邻补角D. 一个角的邻补角可能是锐角.钝角或直角14. 如图是一跳远运动员跳落沙坑时留下的痕迹.则表示该运动员成绩的是( )A. 线段AP1的长B. 线段BP1的长C. 线段CP2的长D. 线段CP3的长15. 如图.图中∠α的度数等于( )A. 135∘B. 125∘C. 115∘D. 105∘16. 若∠A=23°.则∠A的补角是．( )A. 57°B. 67°C. 157°D. 167°17. 下列图形中线段PQ的长度表示点P到直线a的距离的是( )A. B. C. D.18. 下列选项中.不是运用“垂线段最短”这一性质的是( )A. 立定跳远时测量落点后端到起跳线的距离B. 从一个村庄向一条河引一条最短的水渠C. 把弯曲的公路改成直道可以缩短路程D. 直角三角形中任意一条直角边的长度都比斜边短19. 如图.O是BC上一点.AO⊥BC于点O.直线DE经过O点.∠BOD=25°.则∠AOE的度数为( )A. 100°B. 105°C. 115°D. 125°20. 如图.点O是直线AB上一点.若∠BOC=26∘.则∠AOC为( )A. 154∘B. 144∘C. 116∘D. 26∘21. 已知∠α=30°.那么∠α的余角等于( )A. 30°B. 60°C. 70°D. 150°22. 如图.直线a与直线b相交于一点.若∠1+∠3=240∘.则∠2的度数为( )A. 55∘B. 60∘C. 62∘D. 120∘23. 如图.直线a.b相交于点O.若∠1+∠2=88°.则∠3等于( )A. 92°B. 112°C. 136°D. 156°24. 如图.从教学楼到图书馆总有少数同学不走人行道而横穿草坪.用我们所学的数学知识可以解释他们的动机是( )A. 两点确定一条直线B. 两点之间线段最短C. 过一点.有无数条直线D. 垂线段最短25. 体育课上.老师测量小明跳远成绩的依据是( )A. 两点确定一条直线B. 两点之间.线段最短C. 垂线段最短D. 过直线上一点且垂直于这条直线的直线有且只有一条26. 如图所示.下列说法不正确的是( )A. 线段BD是点B到AD的垂线段B. 线段AD是点A到BC的垂线段C. 点C到AB的垂线段是线段ADD. 点B到AC的垂线段是线段AB27. 平面内过直线l外一点O作直线l的垂线能作出( )A. 0条B. 1条C. 2条D. 无数条28. 如图.直线AB.CD相交于点O.射线OM平分∠BOD.若∠BOD=42°.则∠AOM等于( )A. 138°B. 148°C. 159°D. 169°29. 如图.要把小河里的水引到田地A处.则作AB⊥l.垂足为点B.沿AB挖水沟.水沟最短.理由是( )A. 两点之间线段最短B. 两点确定一条直线C. 垂线段最短D. 过一点可以作无数条直线30. 下面图形中.∠1与∠2是对顶角的是( )A. B.C. D.31. 点P为直线l外一点.点A.B.C在直线l上.若PA=4cm.PB=6cm.PC=8cm.则点P到直线l的距离是( )A. 4cmB. 5mC. 不大于4cmD. 6cm32. 如图.斑马线的作用是为了引导行人安全地通过马路．小丽觉得行人沿垂直马路的方向走过斑马线更为合理.这一想法体现的数学依据是( )A. 垂线段最短B. 两点确定一条直线C. 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直D. 过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行33. 下列说法中.正确的是( )A. 相等的角是对顶角B. 若AB=BC.则点B是线段AC的中点C. 在同一平面内.过一点有且仅有一条直线垂直于已知直线D. 一个锐角的补角大于等于该锐角的余角二.填空题（本大题共19小题.共57.0分）34. 如图.3条直线两两相交最多有3个交点.4条直线两两相交最多有6个交点.按照这样的规律.则20条直线两两相交最多有______ 个交点．35. 如图.直线a.b交于点O.若∠1+∠2=72°.则∠1=_____．36. 如图.直线AB.CD相交于O.OD平分∠AOF.OE⊥CD于点O.∠1=55°.那么∠BOF的度数是______．37. 已知∠AOB和∠BOC互为邻补角.且∠AOB<∠BOC.OD平分∠BOC.射线OE在∠AOB内部.且4∠BOE+∠BOC= 180°.∠DOE=70°.OM⊥OB.则∠MOE=________．38. 如图.当剪刀口∠AOB增大21°时.∠COD增大________°．39. 如图.直线AB.CD相交于点O.OE平分∠BOC.OF⊥OE于点O.若∠AOD=80∘.则∠AOF等于____________．40. 若一个角的补角等于这个角的余角的5倍.则这个角的度数是__________．41. 如图.直线a.b相交.若∠1与∠2互余.则∠3的度数为______．42. 如图.直线AB.CD相交于点O.EO⊥OF.且OC平分∠AOE.若∠BOF=38°.则∠DOF=______度．43. 如图所示.计划把河水引到水池A中.先作AB⊥CD.垂足为B.然后沿AB开渠.能使所开的渠道最短.这样设计的依据是．44. 若一个角和它的余角相等.则这个角的补角的度数为____．45. 如图.直线AB.CD相交于点O.已知∠AOC=70°.OE把∠BOD分成两部分.且∠BOE：∠EOD=3:2.则∠EOD=___________．46. 如图是一把剪刀.若∠AOB+∠COD=80°.则∠AOC=____度．47. 如图.AH⊥BC.若AB=3cm.AC=4.5cm.AH=2cm.则点A到直线BC的距离为______．48. 如图所示.想在河堤两岸搭建一座桥.搭建方式最短的是____.理由是________．49. 如图.计划把河水引到水池A中.先作AB⊥CD.垂足为B.然后沿AB开渠.能使所开的渠道最短.这样设计的依据是________．50. 如图.直线AB.CD交于O.EO⊥AB于O.若∠1=70°.则∠2=_____度．51. 如图.点O在直线AB上.OC⊥OD.若∠AOC=125∘.则∠BOD=_________．52. 如图.AB⊥l 1.AC⊥l 2.已知AB=4.BC=3.AC=5.则点A到直线l 1的距离是．三.解答题（本大题共98小题.共784.0分。
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两条直线的位置关系练习题
1、若点A到直线l的距离为7cm，点B到直线l的距离为3cm，则线段AB的长度为
（）
A．10cm??????? B．4cm??????? C．10cm或4cm??????? D．至少4cm
2、如图，在△ABC中，∠C=90°，D是边BC上一点，且∠ADC=60°，那么下列说法中错误的是（）
A．直线AD与直线BC的夹角为60°
B．直线AC与直线BC的夹角为90°
C．线段CD的长是点D到直线AC的距离
D．线段AB的长是点B到直线AD的距离
3、如图，AB⊥BC，BD⊥AC于点D，则B到AC的距离是下列哪条线段的长度？（）
A．AB?????? B．BC?????? C．BD?????? D．CD
4、三条互不重合的直线的交点个数可能是(?? )
A．0，1，3 B．2，3，3 C．0，1，2，3 D．0，1，2
5、已知直线AB和CD相交于O点，OE⊥AB，∠1=55°，则∠BOD= 度；若OF平分
∠DOB，则∠EOF的度数是度．
?6、在同一平面内，三条直线两两相交，最多有3个交点，那么4条直线两两相交，最多有________个交点，8条直线两两相交，最多有______个交点．
7、如图，线段AB的长为2，C为AB上一个动点，分别以AC、BC为斜边在AB的同侧作两个等腰直角三角形△ACD和△BCE，那么DE长的最小值是．
?8、如图，已知AB、CD、EF相交于点O，EF⊥AB，OG为∠COF的平分线，OH为∠DOG的平分线，若∠AOC：∠COG=4：7，则∠GOH= ? ．
?9、如图，直线a、b相交于点O，下列说法：①若∠1=∠2，则a⊥b；②若∠1=∠3，则a⊥b；③若∠1+∠3=180°，则a⊥b；④若∠1+∠2=180°，则a⊥b．其中正确的有
（填序号）
?10、如图，已知∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足是D，则图中与∠B相等的角是．
11、如图所示，AC⊥BC，CD⊥AB，点A到BC边的距离是线段?? 的长，点B到CD边的距离是线段?? 的长，图中的直角有? ，∠A的余角有? ，和∠A相等的角有? ．
12、如图，AC⊥BC，CD⊥AB，点B到CD边的距离是线段的长．
13、按照题目的要求，分别画出图形，并回答有关问题．
（1）画长3cm的线段AB，取AB的中点O，过O作线段AB的垂线l（2），在l（2）上任取一点P，连接PA，PB，量一量线段PA，PB的长度，你发现什么结论？
（4）画一个∠ABC，作出∠ABC的角平分线BD，在BD上任取一点P（除B点外），过P分别作PM⊥BA，PN⊥BC，垂足分别是M，N，量一量线段PM，PN的长度，你发现什么结论？
14、如图，AB与CD交于点O，OM为射线．
（1）写出∠BOD的对顶角．
（2）写出∠BOD与∠COM的邻补角．
（3）已知∠AOC=70°，∠BOM=80°，求∠DOM和∠AOM的度数．
15、我们知道，两条直线相交，有且只有一个交点，三条直线相交，最多只有三个交点，那么，四条直线相交，最多有多少个交点？一般地，n条直线最多有多少个交点？说明理由．
16、如图，AB、CD相交于O点，若∠EOD=40°，∠BOC=130°，猜想射线OE与直线AB的位置关系，并求证．
17、如图，AB、CD、EF相交于点O，AB⊥CD于点0，∠DOE=145°．求∠AOF的度数．
18、如图，建筑工人经常要测量两堵围墙所成的∠AOB，但人不能进入围墙，聪明的你帮助工人师傅想想办法吧．要求：写出测量方案，给出∠AOB的表达式．
19、如图，一条光线AO射到墙上的镜子CD后沿OB方向反射出去，已知OM⊥CD，
∠1=∠2．
求证：∠2+∠3=90°．
20、已知方格纸上点O和线段AB，根据下列要求画图：
（1）画直线OA；
（2）过B点画直线OA的垂线，垂足为D；
（3）取线段AB的中点E，过点E画BD的平行线，交AO于点F．
21、如图，用数字标出的八个角中，同位角、内错角、同旁内角分别有哪些？请把它们一一写出来．
22、画长3cm的线段AB，取AB的中点O，过O作线段AB的垂线，在上任取一点P，连接PA，PB，量一量线段PA，PB的长度，你发现什么结论？
23、在下列各图中，用三角板分别过点C画线段AB的垂
线.
24、如图，已知OA∥CD，OB∥CD，那么∠AOB是平角，为什么?
25、如图的点阵中，哪些线段是互相平行的，请写出来.
26、按图所示，所示的方法将几何体切开，所得的三个截面有没有互相平行的线段?如果有，填上字母表示出
来.
27、如图，AB、CD是一河的两岸，并且AB∥CD，点E为直线AB、CD外一点，现想过点E 作岸CD的平行线，请说出作法，并说明理由.
28、如图，在长方体中，A1B1∥AB，AD∥BC，你还能再找出图中的平行线
吗?
29、判断：互相垂直的两条直线形成的四个角都等于90o. （???）
30、判断：如图，线段AB与线段CD不可能互相垂直，因为它们不可能相交.（???）
31、判断：一条线段有无数条垂线.??????????????????????????????????（???）
32、判断：过直线外一点A作的垂线，垂线的长度叫做点A到直线的距离.（???）
33、判断：过直线上一点不存在直线与已知直线垂直.?????????????????（???）
34、判断：在平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直?（???）。