5.2不等式的基本性质
5.2不等式的基本性质
5.2不等式的基本性质教学目的:1．使学生理解不等式的概念，初步掌握不等式的三条基本性质；2．培养学生对比以及观察、分析问题的能力，并初步领会对比的思想方法．教学重点：不等式的三条基本性质．教学难点：不等式的基本性质3．教学过程:引言：运用对比的方法，引导学生猜想出不等式的三条基本性质，并通过实例加以验证首先，让学生用“＞”或“＜”号填空：(1)7+3______4+3； (2)7+(-3)______ 4+(-3)；(3)7×3 ______ 4×3； (4)7×(-3)______ 4×(-3)．然后，启发学生由上面第(1)、(2)小题猜想出与等式的基本性质类似的不等式的性质．并请学生叙述不等式的基本性质1．此时，教师应抓住学生叙述中的问题予以纠正．即不能笼统地说“仍是不等式”，要改为书中所说的“不等号的方向不变”．对比等式中关于两边都乘以或除以同一个数的性质，让学生思考不等式类似的性质．引导学生观察上述第(3)、(4)小题，并将题中的3换成5，-3换成-5，按题中的要求再做一遍，并猜想出结论．然后让学生试着叙述所得到的不等式的基本性质2，3．(在观察上述练习题时，引导学生注意不等号的方向，并用彩色粉笔标出来，并问原因是什么？当学生在叙述不等式的基本性质感到困难时，教师应作适当的引导，启发．并依次板书这几条基本性质)不等式基本性质：1．不等式的两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式，不等号的方向不变．2．不等式两边都乘以(或除以)同一个正数，不等号的方向不变．3．不等式两边都乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．此时，教师要特别强调不等式基本性质3，并举例：若a ＜b ，c ＜0，则ac ＞bc(或c a ＞c b) 然后，让学生用不等式-2＜4两边都分别加上5，-6，两边都分别乘以3， -3来验证上述不等式的三条基本性质．问题：(1)在不等式 -2＜6两边都乘以m 后，结论将会怎样？(当字母m 的取值不明确时，需对m 分情况讨论)(2)比较等式性质与不等式的基本性质的异同．(问这两个问题的目的在于，强化学生对不等式基本性质的理解，特别是对不等式基本性质3的理解)五、应用举例，变式练习例1 根据不等式基本性质，把下列等式化成x ＞a 或x ＜a 的形式：(1)x-2＜3； (2)6x ＜5x-1；解：(1)由不等式的基本性质1可知，不等式的两边都加上2，不等号的方向不变，所以x-2+2＜3+2，x ＜5．(2)、(3)、(4)题略．(解题时，要求学生要联想解一元一次方程的思想方法，并将原题与x ＞a 或x ＜a 对照着用哪条基本性质能达到题目要求．同时强调推理的根据，尤其要注意不等式基本性质3和基本性质2的区别，解题书写要规范)例2 设a ＞b ，用“＜”或“＞”号填空：(3)-4a ______ -4b ； (4)ma ______mb ．(m ≠0)解：(1)因为a ＞b ，两边都减去3，所以由不等式基本性质1，得a-3＞b-3．(2)，(3)题略．(4)因为a＞b，两边都乘以m．当m＞0时，由不等式基本性质2，得ma＞mb，当m＜0时，由不等式基本性质3，得ma＜mb．(解题时，要让学生明白推理要有根据，并要求以后做类似的习题时，都要写出根据，逐步培养学生逻辑思维的能力)练习(投影)1．根据不等式的基本性质，把下列不等式化成x＞a或x＜a的形式：(1)x+1＞2； (2)4x＜3x-5；(5)3x＜x+4； (6)x＜3x+4．2．设a＜b，用“＞”或“＜”号填空：(1)a+5______ b+5； (2)2a ______ 2b；3. 7页 1.2.3六、小结七、作业1．根据不等式的基本性质，把下列不等式化成x＞a或x＜a的形式：(5)4x＜2x+6．2．设 a＞b，用“＞”或“＜”号填空：(1)a+3 ______ b+3； (2)5a ______ 5b；(5)ma______ mb(m≠0)．3．8页3题，4题4．9页B组，C组做书上。
不等式的基本性质与解法
不等式的基本性质与解法不等式是数学中常见的一种数学关系，它描述了两个数之间的大小关系。
在解决实际问题中，经常需要研究不等式的基本性质和解法。
本文将介绍不等式的基本性质以及解决不等式的方法，并且给出一些例子来说明。
一、不等式的基本性质1. 加减性性质：对于两个不等式，如果它们的左右两边分别相加或相减，那么它们的不等关系不变。
例如：对于不等式 2x < 6 和 3x > 9，我们可以将两个不等式的左右两边分别相加得到 2x + 3x < 6 + 9，即 5x < 15。
不等式的不等关系保持不变。
2. 乘除性性质：对于不等式，如果两边都乘以一个正数，则不等关系保持不变；如果两边都乘以一个负数，则不等关系发生改变。
例如：对于不等式 2x < 6，如果两边同时乘以一个正数 3，我们得到 3 * 2x < 3 * 6，即 6x < 18，不等关系保持不变。
但如果两边同时乘以一个负数 -3，我们得到 -3 * 2x > -3 * 6，即 -6x > -18，不等关系发生改变。
3. 反号性质：对于不等式，如果两边同时取负号，不等关系发生改变。
例如：对于不等式 2x < 6，如果两边同时取负号，我们得到 -2x > -6，不等关系发生改变。
4. 绝对值性质：对于不等式，如果绝对值符号"|" 出现在不等式中，我们需要分别讨论绝对值大于零和绝对值小于零的情况。
例如：对于不等式|2x - 4| < 6，我们可以将其分为两个部分来讨论。
当 2x - 4 > 0 时，不等式简化为 2x - 4 < 6，解得 x < 5；当 2x - 4 < 0 时，不等式简化为 -(2x - 4) < 6，解得 x > -1。
二、不等式的解法1. 图像法：对于一些简单的一元不等式，我们可以使用图像法来解决。
将不等式转化为图像表示，通过观察图像来确定不等式的解集。
不等式的四条基本性质
不等式的四条基本性质
不等式的四条基本性质是数学中一种重要的概念，它是解决方程的基础，是一门数学的基本知识。
归纳一下，不等式的四条基本性质包括：转置法则、结合率、分配法则、乘法法则。
首先，不等式的转置法则表明当两个不等式之间没有任何改动时，它们保持其相等状态。
例如，对于x>y，则y<x恒成立。
其次，不等式的结合率表明将二元不等式（即只包含两个未知量的不等式）通过乘以一个正实数结合到一起，它不会改变不等式的解的乘法，即任何一个二元不等式的乘法都是它的解的结合率。
例如，若x>0，不论乘以多少正实数都会使x
的大小保持不变，最终仍然>0。
再次，不等式的分配法则表明，当将一个正实常数分别与不等式的两边相乘时，它将被均匀地分配到不等式的两边。
例如，我们如果将2x与3x分别乘以k，那么可以得到(2kx + 3kx)>0，原来的不等式不变，同时常数k也是均匀地分配到不等式的两边。
最后，不等式的乘法法则表明，当将一个变量和一个正实常数相乘时，不等式的大小状态将保持不变。
例如，当我们将一个变量x和c乘起来，x>0时，必然有cx>0，而x<0时，有cx<0，因此这条不等式的大小状态不变。
总的来说，不等式的四条基本性质是探究方程解的根基，由它们可以更进一步地求解数学方程，对学习数学解题技巧再次有所帮助。
不等式的基本性质与解法
不等式的基本性质与解法不等式在数学中起着重要的作用，它描述了数值之间的大小关系。
解不等式是解决问题、推导结论的常用方法之一。
本文将介绍不等式的基本性质与解法，帮助读者更好地理解和应用不等式。
一、不等式的基本性质1.1 传递性：若a>b，b>c，则a>c。
这个性质说明了不等式在数值之间的传递性，即如果一个数大于另一个数，而后者又大于第三个数，则第一个数一定大于第三个数。
1.2 加法性：若a>b，则a+c>b+c。
这个性质说明了不等式在两边同时加上一个相同的数时，不等号的方向不变。
1.3 减法性：若a>b，则a-c>b-c。
与加法性类似，减法性说明了不等式在两边同时减去一个相同的数时，不等号的方向不变。
1.4 乘法性：若a>b且c>0，则ac>bc；若a>b且c<0，则ac<bc。
乘法性说明了不等式在两边同时乘以一个正数或负数时，不等号的方向会发生变化。
1.5 除法性：若a>b且c>0，则a/c>b/c；若a>b且c<0，则a/c<b/c。
除法性说明了不等式在两边同时除以一个正数或负数时，不等号的方向会发生变化。
二、不等式的解法2.1 图解法：对于一元一次不等式，可以通过图像来解决。
首先将不等式转换为等式，画出等式对应的直线，然后根据不等号的方向确定直线上的某一边的解集。
这种方法适用于简单的线性不等式。
2.2 求解法：对于更复杂的不等式，通常需要应用一些不等式性质和运算法则。
例如，可以通过加、减、乘、除等操作将不等式化简为简单的形式，再求解。
2.3 分类讨论法：对于一元高次不等式，可以将不等式中的变量分别取不同的值，然后根据不等式的性质进行分类讨论。
通过逐个排除不符合条件的情况，最终得到解集。
2.4 绝对值法：对于含有绝对值的不等式，可以通过拆分绝对值的定义，建立不等式的多种情况，然后分别求解。
不等式的基本性质
，得 x ＞2.
性质3(乘法法则) 如果 a＞b，c＞0，那么 a c＞b c． 如果 a＞b，c＜0，那么 a c＜b c． 如果不等式的两边都乘同一个正数，不等号的方向不变． 如果不等式的两边都乘同一个负数，不等号的方向改变． 证明：因为 a c－b c = (a－b)c，
b b a＞b 又由 a＞b，即 a－b＞0， a 所以 当 c＞0时，(a－b)c＞0，即 a c＞b c； 所以 当 c＜0时，(a－b)c＜0，即 a c＜b c． 2 a＞2 b ＜ b ． 如果 a＞b，那么 a ___
5.2 不等式的基本性质
a﹤ b 我今年a岁,爸爸今年b岁,则我们的年龄大小关系为_____ b﹤c 爸爸今年b岁,爷爷今年c岁，则爸爸爷爷的年龄大小关系为____ 你能说出我和爷爷年龄的大小关系吗？ a﹤ c
不等式的基本性质1 若a﹤b,b﹤c.则a﹤c . 这个性质也叫做不等式的传递性。
已知a<b，b<c,在数轴上表示如图
判断下列不等式是否成立，并说明理由： 1. 若 a＜b，则 a c＜b c． （×）
2. 若 a c＞b c，则 a＞b．
3. 若 a＞b，则 a c2＞b c2．
（×）
（× ）
4. 若 a c2＞b c2，则 a＞b．
（√）
5. 若 a＞b，则 a(c2＋1)＞b(c2＋1)．（ √ ）
看谁答的又快又准： 练习 ： 已知m﹥n，用“﹤”或“﹥”填空 （1）m+5___n+5 （2）m-4___n-4
不等式的基本性质2 不等式的基本性质2 不等式的基本性质3
（3）6m___6n
1 1 m____ n （ 4） 3 3
不等式的基本性质3
不等式的基本性质
a>b>0，c>d>0 如果a>b，c>d,那么ac>bd是否成立？ 如果a>b>0，那么1/a<1/b是否一定成立？ 如果a<b<0，那么1/a>1/b是否一定成立？ 同号倒数改向性 例：若a、bR，请写出不等式a>b和1/a>1/b同时成立的 充要条件。
正数同向相乘法性
例 求证：如果a>b>0，那么a2>b2。 如果a>b>0，那么an>bn。(nN*)
7、已知三个不等式：（1）ab>0；（2）－c/a<－d/b；
（3）bc>ad，以其中两个作为条件，余下一个作为结论， 则可以组成多少个真命题？ 8、已知命题甲：a>b，命题乙：1/a<1/b， 命题丙：c/a2>c/b2。 （1）若甲是乙的必要非充分条件，求a、b应满足的条件； （2）若a<0，b<0，判断丙是甲的什么条件，并加以证明。 9、（1）设2<a5,3b<10，求a+b、a-b及a/b的取值范围； （2）若二次函数f(x)的图像过原点，且1f(-2) 2, 3f(3)
2、如果a>b，那么a+c>b+c。
3、如果a>b，c>0，那么ac>bc；如果a>b，c<0，那么ac<bc。 4、如果a>b，c>d,那么a＋c>b＋d。 5、如果a>b>0，c>d>0,那么ac>bd。 6、如果a、b同号，那么1/a<1/b。
7、如果a>b>0，那么an>bn (nN*) 。
4、解关于x的不等式：（1）ax+4<2x+a2，其中a>2 （2）m(x+2)>x+m。
不等式的性质
不等式的性质不等式是数学中的一个重要概念，它描述了两个数之间的关系。
与等式不同，不等式允许有不同的可能性，因此在解决问题时更具灵活性。
不等式的性质包括以下几个方面：基本性质、平移性质、乘法性质和倒数性质。
基本性质不等式的基本性质是指不等式的传递性、对称性和反射性。
不等式的传递性意味着如果一个数大于另一个数，而后者又大于第三个数，那么第一个数一定大于第三个数。
例如，如果a > b且b > c，则a > c。
不等式的对称性表示当两个数的顺序发生变化时，不等号的方向也会发生变化。
例如，如果a > b，则b < a。
不等式的反射性表示任何数都大于或小于自身。
例如，对于任何数a，都有a > a或a < a。
这些基本性质帮助我们在解决不等式问题时建立起一些规则和判断依据。
平移性质不等式的平移性质指的是当不等式的两边加减同一个数时，不等式的方向仍然保持不变。
例如，如果a > b，那么a + c > b + c，其中c是任意实数。
这个性质可以用来简化不等式的解题过程。
我们可以通过加减同一个数将不等式变形为一个更简单的形式，使得问题更容易处理。
乘法性质不等式的乘法性质是指当不等式的两边同时乘以同一个正数时，不等式的方向保持不变；当两边乘以同一个负数时，不等式的方向发生改变。
例如，如果a > b且c > 0，则ac > bc；如果a > b且c < 0，则ac < bc。
乘法性质也可以用来简化不等式的解题过程。
通过乘以一个适当的数，我们可以使得不等式变得更易处理。
需要注意的是，在乘法性质中，如果乘的是一个负数，不等式的方向就会发生改变。
这是因为负数的平方大于本身。
所以，在运用乘法性质时需要特别小心。
倒数性质不等式的倒数性质是指，如果a > b且a和b都是正数，则1/a < 1/b。
这个性质可以通过两个数的倒数比较来推导。
简述不等式的4个基本性质
简述不等式的4个基本性质不等式是数学中一类非常重要的结构，其中内容涉及多个知识点，为研究和应用这类结构提供了有效的框架。
其中，不等式的4个基本性质是很重要的，它们是：（1）不等式的交换性；（2）不等式的可分解性；（3）不等式的传递性；（4）不等式的联合性。
本文旨在阐述这4个基本性质，并通过实例阐释它们的作用。
首先，让我们讨论不等式的交换性。
它的定义是：对于任一不等式，如果其双边都是相同的，那么可以交换左右两边。
比如，a>b，b<c，那么有a>c的结果，即a>b，b<c的结果等价于a>c的结果。
交换性的作用是，当某一不等式的两边均有相同的运算符时，可以通过交换左右两边，得到一个不同的不等式，而其结果也是完全相同的。
其次，让我们讨论不等式的可分解性。
它的定义是：对于一个不等式，可以将其分解成几个不等式的乘积，且其中的乘法操作不会改变其结果。
比如，有一个不等式x>2，那么，可以将其分解成x+1>3和x-3>-1两个不等式的乘积，且两边乘积的结果是不变的。
可分解性的作用是，可以将一个复杂的不等式，分解成若干个相对简单的不等式，有效拆解复杂问题，达到简化分析过程的目的。
第三，让我们讨论不等式的传递性。
它的定义是：如果某一不等式的两边都有相同的运算符，并且有一个中间变量，那么这个不等式的结果可以从左到右或者从右到左传递。
比如，a>b，b>c，那么可以得到a>c的结果。
传递性的作用是，当某一不等式的两边均有相同的运算符，并且有一个中间变量时，可以以中间变量为准，从左到右或者从右到左传递这个不等式的结果，从而可以得到更精确的结果。
最后，让我们讨论不等式的联合性。
它的定义是：当不等式上有满足某一条件的两个变量时，可以联合这两个变量，形成一个更大的范围。
比如，x>2，y>3，那么有x和y同时大于2和3，即x、y>2、3。
联合性的作用是，当不等式上有满足某一条件的两个变量时，可以将其联合，得到一个更大的范围，从而可以获得更精确的结果。
5.2不等式基本性质
如果a=b，且c≠o， 如果 ， ， 那么ac=bc， ， 那么 a b = c c
不等式
若a＜b, b＜c, 则a＜c ＜ ＜ ＜ 如果a＞b,那么 如果 ＞ 那么 a+c＞b+c，a-c＞b-c ＞ ， ＞ 如果a＞ 且 ＞ 如果 ＞b,且c＞0, b a 那么ac＞ 那么 ＞bc , ＞ . c c 如果a＞ 且 ＜ 如果 ＞b,且c＜0, b a 那么ac＜ 那么 ＜bc, ＜ . c c
c
b-c b a-c
c
a
若a＞b,则a+c＞b+c, a-c＞b-c. b,则a+c＞ a-
不等式的基本性质2 不等式的基本性质2
不等式的两边都加上（ 或减去） 不等式的两边都加上 （ 或减去 ） 同 一个数，所得到的不等式仍成立。 一个数，所得到的不等式仍成立。
如果a＞ ，那么a+c＞b+c，a-c＞b-c； 即 如果 ＞b，那么 ＞ ， ＞ ； 如果a＜ ，那么a+c＜b+c，a-c＜b-c. 如果 ＜b，那么 ＜ ， ＜
小明和小华在探究数学问题. 小明和小华在探究数学问题 小明说： 小明说： “ 3y＞4y ”. ＞ 小华认为小明说错了，应该是 ＜ ， 小华认为小明说错了，应该是3y＜4y， 聪明的你觉得呢?为什么？ 聪明的你觉得呢 为什么？ 为什么
5.2 不等式的基本性质
观察图形回答： 观察图形回答：
a b c
已知a<0，试比较 与a的大小. 例 已知 ，试比较2a与 的大小 利用不等式基本性质2: 利用不等式基本性质2: 作差法: 数形结合: 作差法 数形结合 不等式的基本性质3: 不等式的基本性质3: ∵a＜ a=a ＜ ， ∵2a－0， ＜0， － ，
不等式及其性质与解法
（1）一元一次不等式：只含有一个未知数且未知数的次数是一次的不等式叫做一元一次不等式。
（2）一元一次不等式的解法：求接方法与解一元一次方程类似，根据不等式性质将不等式变形，从而等到解集.（3）一般步骤：一、去分母；二、去括号；三、移项；四、合并，化成b ax >或b ax <的形式（其中0≠a ）；五、两边都除以未知数的系数，得到不等式的解集。
热身练习1、判断下列各题是否正确？正确的打“√”，错误的打“×”。
（1） 不等式两边同时乘以一个整数，不等号方向不变.（ × ） （2） 如果a ＞b ，那么3－2a ＞3－2b.（ × ） （3） 如果a ＜b ，那么a 2＜b 2.（ × ） （4） 如果a 为有理数，则a ＞－a.（ × ） （5） 如果a ＞b ，那么ac 2＞bc 2.（ × ） （6） 如果－x ＞８，那么x ＞－8.（ × ） （7） 若a ＜b ，则a ＋c ＜b ＋c.（ √ ）2、若x ＞ｙ，则ax ＞ay ，那么a 一定为（ A ）。
[来源A 、a ＞０B 、ａ＜０C 、ａ≥0D 、a ≤03、有理数b 满足︱b ︱＜3，并且有理数a 使得a ＜b 恒成立，则a 得取值范围是（ C ）。
A 、小于或等于3的有理数 B 、小于3的有理数 C 、小于或等于－3的有理数 D 、小于－3的有理数4、若b a <，则下列各式中一定成立的是（ B ） A 、0>-b a B 、0<-b a C 、0>ab D 、0<ab5、如果t>0,那么a+t 与a 的大小关系是 ( A ).A 、a+t>aB 、a+t<aC 、a+t ≥aD 、不能确定 6、同时满足不等式2124xx -<-和3316-≥-x x 的整数x 是 （ B ）． A 、1，2，3 B 、0，1，2，3 C 、1，2，3，4 D 、0，1，2，3，47、若三个连续正奇数的和不大于27，则这样的奇数组有（ B ）A ．3组B ．4组C ．5组D ．6组 8、若a ＜0，则－2b a +__<__－2b[来源:学.科.网] 11．设a ＜b ，用“＞”或“＜”填空：[来源:Z*xx*ka －1__<__b －1， a ＋3__<__b ＋3， －2a__>__－2b ，3a __<__3b12．实数a ，b 在数轴上的位置如图所示，用“＞”或“＜”填空：a －b__<__0， a ＋b__<__0，ab __>__0，a 2__>__b 2，a 1__>__b1，︱a ︱__>__︱b ︱ 13．若a ＜b ＜0，则21（b －a ）_>___0 14、不等式2(x + 1) - 12732-≤-x x 的解集为_____1314≥x ________。
不等式的基本性质
一、实数比较大小的理论依据
a b 0
ab ab ab
a b 0 a b 0
要比较两个实数的大小，只要考察他们的差与0 的大小就可以了.
二、不等式的基本性质
性质1： 如果 a > b ，那么
如果 b < a ，那么 a>b b<a b<a；
例5：已知f ( x) ax c, 且 4 f (1) 1,
2
1 f (2) 5, 求f (3)的取值范围。
【方法指导】(1)利用排除法(利用特值)可解， (2)利用两命题间的关系可解. 【解析】(1)当c<0时，ac<bc，A不正确;当 a>0>b时，B不正确;当a＝1，b＝－2时， a2<b2，C不正确;因为a>b，所以ea>eb，D正 确. (2)若(a－b)a2<0，则必有a－b<0，即a<b;而 当a<b时，不能推出(a－b)a2<0，如a＝0，b ＝1.所以“(a－b)a2<0”是“a<b”的充分不必要 条件.
a > b.
性质2：如果 a > b ，且 b > c ，那么 a > c .
a > b ，b > c a>c
等价命题是：
c<b, b<a c<a
性质3：如果 a > b，那么 a + c > b + c。
(1) 等价命题：如果 a < b，那么
a+c<b+c (2) 移项法则：如果 a + b > c，那么 a > c－b 也就是说，不等式中任何一项都可以改变符号后移到
浙教版数学八年级上第五章 5.2 不等式的基本性质(比赛用)
双休日，小明、小慧分别进行1小时 当不等式两边加上 和0.5小时的体育运动. 由于运动会临近， 或减去同一个数时, 他们需要对参加的体育项目进行训练，两 不等号的方向保持 人都增加了0.5 1 小时的运动时间，请问增加 不变 运动时间之后，谁的运动时间长？ 小明 1> 0.5 1+0.5 > 0.5+0.5 1+1> 0.5+1 1+(-1)__0.5+(-1) > 1-2__0.5-2 > > 1-(-3)__0.5-(-3) 若a>b，
若x>y，比较2-3x与2-3y的大小， 并说明理由.
解：∵x>y ∴-3x<-3y （不等式的基本性质3） ∴2-3x<2-3y （不等式的基本性质2）
初 出 茅 庐
小 试 牛 刀
崭 露 头 角
百 尺 竿 头
锋 芒 毕 露
大 显 身 手
某品牌计算机键盘的单价在60元 至70元之间（包括60元，70元），买 3个这样的键盘需要多少钱（用适当 的不等式表示）？ 解：设计算机键盘的单价为x元， 由题意得：
选择适当的不等号填空，并，则a____-b ；
< （2）若a>0，且(b-1)a<0，则b____1.
已知a<0，试比较2a与a的大小.
解法一：∵2＞1，a＜0， 你能想到 ∴2a＜a（不等式的基本性质3） 哪些方法 呢？ 解法二：在数轴上分别表示2a和a的点（a<0）,
60≤X≤70
∴180≤3X≤210
若x>y，且(a-3)x<(a-3)y， 求a的取值范围. 解：∵x>y，且(a-3)x<(a-3)y， ∴a-3<0（不等式的基本性质3） ∴a<3（不等式的基本性质2）
不等式的性质是什么
不等式的性质是什么?不等式的性质是什么?不等式的性质有对称性，传递性，加法单调性，即同向不等式可加性;乘法单调性;同向正值不等式可乘性;正值不等式可乘方;正值不等式可开方;倒数法则。
一、不等式的基本性质1.如果x>y，那么y<X;如果Yy;(对称性)2.如果x>y，y>z;那么x>z;(传递性)3.如果x>y，而z为任意实数或整式，那么x+z>y+z,即不等式两边同时加或减去同一个整式，不等号方向不变;4.如果x>y，z>0，那么xz>yz ,即不等式两边同时乘以(或除以)同一个大于0的整式，不等号方向不变;5.如果x>y，z<0，那么xz<YZ, p 即不等式两边同时乘以(或除以)同一个小于0的整式，不等号方向改变;<>6.如果x>y，m>n，那么x+m>y+n;7.如果x>y>0，m>n>0，那么xm>yn;8.如果x>y>0，那么x的n次幂>y的n次幂(n为正数)，x的n次幂<Y的N 次幂(N为负数)。
< p>二、不等式的基本性质的另一种表达方式有1.对称性;2.传递性;3.加法单调性，即同向不等式可加性;4.乘法单调性;5.同向正值不等式可乘性;6.正值不等式可乘方;7.正值不等式可开方;8.倒数法则。
如果由不等式的基本性质出发，通过逻辑推理，可以论证大量的初等不等式。
三、不等式的特殊性质不等式性质1：不等式的两边同时加上(或减去)同一个数(或式子)，不等号的方向不变;不等式性质2：不等式的两边同时乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变;不等式性质3：不等式的两边同时乘(或除以)同一个负数，不等号的方向变。
总结：当两个正数的积为定值时，它们的和有最小值;当两个正数的和为定值时，它们的积有最大值。
不等式的四个基本性质
不等式的四个基本性质
《不等式的四个基本性质》
不等式是数学中一个重要的概念，它是用来判断两个数大小关系的符号表达式，用於限定变量的一系列值范围，是数学中重要的研究问题，涉及到许多数学应用，如优化问题等。
一般而言，不等式的四个基本性质是指：互换律、结合律、抵消律和对称性。
首先，不等式的互换律指的是变量在不等式中的顺序不会造成结论的改变，也就是说如果“x > y”，那么“y < x”也是成立的，数学上就满足交换律，所以这也是
不等式的一个基本性质。
其次，不等式的结合律是指可以在不等式的右边或左边添加同号的数，而不会改变不等式的结果，也就是说，“x > y”，当把m+n（m和n为正数）添加到右边时，“x > y + m+n ”也同样成立，所以这也是不等式的一个基本性质。
此外，不等式的抵消律指的是在不等式式左右加上少量
同号的数，可以抵消掉它们，也就是将等式变成不等式。
比如，“x = y + m+n”时，可以令“x > y+m-n”成立，因此抵消律也是不等式的一个基本性质。
最后一个不等式的基本性质是对称性，指的是不等式可以将大于（>）和小于（<）符号进行互换，使得其结果改变，而不必改变数字部分。
如“x > 2”，可以将大
于号换成小于号，得“x < 2”，所以对称性也是不等
式的一个基本性质。
总之，不等式的四个基本性质分别是：互换律、结合律、抵消律和对称性，是在探究不等式时需要遵循的基本性质，是研究不等式的前提。
理解并熟练掌握这四个性质有利于解决更多复杂不等式。
不等式的基本性质
题型一
题型二
题型三
题型四
反思对于考查不等式的基本性质的选择题,解答时,一是利用不等
式的相关性质,其中,特别要注意不等号变号的影响因素,如数乘、
取倒数、开方、平方等;二是对所含字母取特殊值,结合排除法去
选正确的选项,这种方法一般要注意选取的值应具有某个方面的代
表性,如选取0、正数、负数等.
题型一
题型二
谢谢！
≤ .
2 2 2 2
2
2
2
题型一
题型二
题型三
题型四
π+ππ≤ 和− ≤2
2
2
2
-
π
π
≤ 的错误,导致该种错误的原因是忽视了 , 不能同时取到
2
2
2 2
4
π
和 − 以及忽视了α,β 的大小关系.
4
错因分析:在解答本题的过程中易出现 − ≤
题型一
题型二
正解: ∵
题型三
题型四
π
π
− 2≤α<β≤2,
π π -
π
即
的取值范围为 - ,
,
的取值范围为 - ,0 .
2
2 2 2
2
题型一
题型二
题型三
题型四
反思求代数式的取值范围是不等式性质应用的一个重要方面,严
格依据不等式的性质和运算法则进行运算,是解答此类问题的基础.
在使用不等式的性质时,如果是由两个变量的取值范围求其差的取
值范围,一定不能直接作差,而要先转化为同向不等式后再求和.
第一讲 不等式
和绝对值不等式
一 不等式
1.不等式的基本
性质
学习目标：
八年级上52不等式的基本性质的教学反思
八年级上《5.2不等式的基本性质》的教学反思横溪镇中学徐丽波在七年级的时候学过一元一次方程的解法，而列方程也是处理很多实际问题的一种很好的途径。
而生活中的例子告诉我们列方程并不是唯一方法，生活中的数学还存在很多不等量关系，所以会列不等式与解不等式就变得更加重要，而不等式的基本性质将是整章的关键。
本解课的整体过程是：首先是不等式的基本性质1的推出：让学生在数轴上从左到右，任意画三个数，如“-5”，“-2”，“3.5”，不同学声画的数不同，然后让学生体会，-5与-2的大小关系，-2与3.5的大小关系，然后总结出-5与3.5的大小关系。
由于每一个同学画的数字不一样，所以我们可以总结出不等式的基本性质1（不等式的传递性）。
其次在学生完成后，继续利用数轴，在数轴上任意画两个数a<b，让学生同时向右移动相同的单位，如移动c长（其中c>0）,然后让学生思考移动后的数的大小，结果仍然满足a+c<b+c，同样的方法推出a-c<b-c。
然后让学生总结不等式的基本性质2。
由于以前学过等式的基本性质2推出移项法则。
所以在此选择两道实际的例子推理出移项仍然满足于不等式！接着再次总结一下移项容易犯的几种错误：①移项没有变号；②没移动的项也改变了符号；③移项改变了不等式的方向（不等式专有）。
接着利用多媒体展示两组数据：①2〈５，－３〈１，０〈4.5三个式子两边同乘以２，结果如何？②2〈５，－３〈１，０〈4.5三个式子两边同乘以－１又如何？如果换成除以呢？然后总结出不等式的基本性质３（其中的总结过程都由学生完成），由于两边乘（除）负数很多学生容易忘记了变方向，所以设计了一部分的对应练习。
然后讲解例１，由于解方程已经奠定了基础，所以不等式的基本性质的推出，大部分学生掌握，所以例１这样的基础题目容易解决，为了培养学生的发散思维能力，这道例题设计了几种解决方法，其中包含数轴解决，同时也让学生体会了数形结合的方法。
不等式的基本性质及解
不等式的基本性质及解一、不等式的基本性质（1）若a>b ，则a-b>0；（可减性）（2）若a>b ，则a+c>b+c ；（可加性）（3）若a>b ，b>c ，则a>c ；（可传递性）（4）若a>b ，c>0，则ac>bc ；（可乘性）（5）若a>b ，c<0，则ac<bc ；（可乘性）（6）若a>b>c ，c>d>0，则ac>bd ；（可乘性）（7）若a>b>0，则a 1<b1。
二、不等式(组)的解法解不等式就是求出字母所表示的未知数的取值范围，称为不等式的解。
为了解不等式，需要进行变换，以保持变换后的不等式和原不等式的解相同。
下面两种运算也保证新不等式和原不等式有相同的解：（1）不等式的两边同时加上（或同减去）同一个数或代数式；（2）不等式的两边同时乘以（或同除以）同一个正数或大于0的代数式。
其中（1）表明任意一项可以变号以后移到不等式的另一边，这和方程的情况一样。
（2）表明分式不等式可以有条件地去分母，但要的别注意的是“不等式的两边同时乘以（或同除以）同一个正数或大于0的代数式”，不等号的方向要改变。
一般地，解不等式通过去分母、移项、合并同类项把不等式化为标准形式，再根据x 系数的符号，求得不等式的解。
1．一元一次不等式的标准形式：b >ax 或ax ≥b （a ≠0）例1．解不等式ax ≥b （a ≠0） b >ax例2．解下列不等式（1）32-+)1+(2x x ≥1-x 27 （2）)2( x 2)x -1)(1+(2>)3-(2+(3-x x x说明：一个较复杂的不等式并不能一眼就断定它是或不是一次不等式，需要根据整理、化简，最后才能看出。
例3．解下列不等式组（1）)(3+1(y y 2)(22--1(>)1+y y 2)1+ （2）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-≥+-+<)3(217)1(3)215(x 2-x x x例4．已知关于x 的不等式0>5b -a +b)x -(2a 的解是710<x ，求关于x 的不等式b ax >的解。
不等式的基本性质
复习：用不等式表示 ⑴ a与1的和是正数; a+1>0 2y+1<3 3y+2x≥0 3x+2≤5
⑵ y的2倍与1的和小于3;
⑶ y的3倍与x的2倍的和是非负 数 ⑷ x乘以3的积加上2最多为5.
写一写 : 写出下列数轴所表示的不等式的解集:
○ ●
-3 ⑴
0
0 ⑵
2
X > -3
< （1） 2__3 2×2 ___ < 3 ×2 2×5 ___ < 3 ×5 2÷4 ___ < 3 ÷4 2÷7 ___ < 3÷7 (2) 6___11 < 6×2 ___ < 11×2 < 11×3 6×3 ___ 6÷5 ___ < 11÷5 6÷8 ___ < 11÷8
不等式性质2： 在不等式两边都乘以或除以同一 个正数，不等号的方向不变。
小结
1、本节课的主要内容： 需要注意的问题：
有哪些收获和疑惑？
2、注意数学中常用的三种语言： 文字语言、图形语言、符号语言 三者之间的转换。
布置作业： 课本P102作业题、作业本
继续探究，若不等式的两边乘以或除以同一个 负数又会发生怎样的变化呢？
填一填、想一想
• 在横线上填上适当的符号，并将你所得的 规律总结出来。
（1）、2 ___3 < > × (-2) 2× (-2)___3 2× (-5)___3 > × (-5) (2)、2÷ (-2)___3 ÷ (-2) > 2÷ (-5) ___3 ÷ (-5) >
4x 3 3 x 4
5 x 1 (1) 6 5 x 6
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5.2不等式的基本性质知识技能全解一、课程标准要求1、能说出不等式的三个基本性质，并能区分它们与等式基本性质的异同；2、能运用不等式的基本性质对不等式进行简单变形；3、通过对比不等式的性质和等式的性质，培养求异思维，提高大家的辨别能力.4、通过观察、试验、归纳获得数学猜想，培养自主探究与合作交流的数学素养。
二．教材知识全解知能1 不等式的基本性质1若a ＜b ， b ＜c ，则a ＜c ，这个性质也叫做不等式的传递性。
例1、（1）如果a ＜- 9，而- 9＜ 3 ，那么a_____3；（2）若5,5a b <<，你能说出a 与b 的大小关系吗？分析：（1）根据不等式的传递性可知a<3；（2）利用不等式的传递性同样可知a b <。
解：（1）<；（2）a b <.友情提示：同样，若,a b b c >>，则a c >。
知能2 不等式的基本性质2和基本性质3基本性质2：不等式的两边都加上（或减去）同一个整式，所得的不等式成立；基本性质3：不等式的两边都乘（或都除以）同一个正数，所得的不等式仍成立；不等式的两边都乘（或都除以）同一个负 数， 必须把不等号的方向改变，所得的不等式成立。
友情提示： （1）不等式的性质2的学习与等式的性质的学习类似，可对比等式的性质掌握；（2）要理解不等式的性质2中的“同一个整式”的含义不仅包括相同的数，还有相同的其他单项式或多项式；（3）“不等式成立”说明“不等号的方向不变”，指的是如果原来是“>”，那么变化后仍是“>”；如果原来是“≤”，那么变化后仍是“≤”；“把不等号的方向改变”指的是如果原来是“>”，那么变化后将成为“<”；如果原来是“≤”，那么变化后将成为“≥”；（4）运用不等式的性质对不等式进行变形时，要特别注意性质3，在乘（除）以同一个数时，必须先弄清这个数是正数还是负数，如果是负数，要记得不等号的方向一定要改变。
例4、已知a b <，用“<”或“>”号填空：（1）4___4a b --； （2）3___3a b ；（3）___a b --； （4）____0a b -.分析：欲想填上答案，需了解后来的不等式是由前一不等式怎样变化得来的。
（1）是在a b <的两边都减去4，由不等式的性质2，知不等号的方向不变，应填“<”；（1）是在a b <的两边都减去4，由不等式的性质2，知不等号的方向不变，应填“<”；（2）是在a b <的两边都乘以3，由不等式的性质3，知不等号的方向不变，应填“<”；（3）是在a b <的两边都乘以1-，由不等式的性质3，知不等号的方向要改变，应填“>”；（4）是在a b <的两边都减去b ，由不等式的性质2，知不等号的方向不变，应填“<”。
解：（1）< （2）< （3）> （4）<误区警示：应用不等式的性质1和2中当不等式的两边都乘（或除以）同一个正数时，不等号的方向不变；在应用性质3时，当不等式的两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。
教材P100做一做答案：（1）<，< （2）≥，≥教材P100做一做答案：加入后产品A 的进口税仍超过产品B 的进口税的1倍一倍以上。
因为两种产品的进口税都下调了15%，即都是原来的85%，这样在原不等式的两边都乘以同一个正数，不等式还成立。
典型例题全解一．知能综合题例1．用“>”或“<”填空：（1）若a b <，则3___3;a b ++（2）若ab >，则33___;22a b （3）若a b >，则11_____.33a b -- （4）若0b <，则____.a b a +分析：（1）不等式两边都加3，由不等式性质2，得3 3.a b +<+（2）不等式的两边都乘以正数32，由不等式性质3，不等号方向不改变。
（3）不等式两边乘负数13-，由不等式性质3，不等号必须改变。
（4）原不等式都加a ，由不等式性质2，不等号不变。
解：（1）<；（2）>；（3）<；（4）<.方法总结：先观察原不等式怎样变形，再结合不等式性质看原不等式是否变号。
例2、根据不等式的性质，把下列不等式化成x a >或x a <的形式。
（1）47x +>；（2）514x x <+；（3）415x ->-；（4）2542x x +<-. 分析：根据题中要求，只需要利用不等式的性质，把所给不等式一步步化成所需要的形式。
解： （1）根据不等式的性质2，在不等式的两边都减去4，不等号的方向不变，所以4474x +->-，即3x >；（2）根据不等式的性质2，在不等式的两边都减去4x ，不等号的方向不变，所以54144x x x x -<+-，即1x <；（3）根据不等式的性质3，在不等式的两边都乘以54-，不等号的方向改变，所以4551544x ⎛⎫⎛⎫-⨯-<-⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即54x <； （4）根据不等式的性质2，在不等式的两边都加上4x -，不等号的方向不变，所以254424x x x x +-<--，所以522x -<-；根据不等式的性质2，在不等式的两边都加上5-，不等号的方向不变，所以52525x --<--，所以27x -<-；根据不等式的性质3，在不等式的两边都乘以12-，不等号的方向改变，所以112722x ⎛⎫⎛⎫-⨯->-⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以7.2x > 点拨：在运用不等式的性质变形时要注意每一步的依据，由不等式的性质判断不等号的方向是否改变。
二．实践应用题1．数学与生活例3．甲从一个鱼摊上买了3条鱼，平均每条a 元，又从另一个鱼摊上买了2条鱼，平均每条b 元，后来他又以2a b +元的价格把鱼全部卖给了乙，结果赔了钱，原因是（ ） A 、a b > B 、a b < C 、a b = D 、与a 和b 的大小无关 分析：由已知条件得()()532022a b b a a b +--+=<，得a b >。
解：A.方法总结：把买卖的钱数作差比较，推导出a 与b 的关系，作差法是比较两数（或式）大小的常用方法。
2．数学与生产例4．2006年6月“世界杯”足球赛期间，某公司发行了两种规格的长方形纪念卡片，第一种规格的相邻两边长分别为35x +和6，第二种规格的相邻两边长分别为611m +和3，哪一种规格的纪念卡片面积较大？根据是什么？分析：用长方形的面积公式可求出两种规格的纪念卡片的面积，再利用不等式的两个性质进行比较，可得出结论。
解：第一种规格纪念卡片的面积为()3561830,m m +⨯=+ 第二种规格纪念卡片的面积为()61131833m m +⨯=+，因为33>30，所以第二种规格的纪念卡片的面积较大，依据是不等式的性质1。
点拨：解决此类题的关键是要正确表示题中的各个量，然后利用不等式的性质进行比较。
三．拓展创新题1．探索性问题 例5．若关于x 的不等式()12a x ->可化为21x a<-，试确定a 的取值范围。
分析：本题考查不等式的基本性质，要特别注意不等号的方向发生了变化，说明x 的系数10.a -<解： 因为关于x 的不等式()12a x ->可化为21x a<-，不等号的方向发生了改变，所以10a -<，即 1.a > 点拨：解决此类题的关键是看不等号的方向是否发生了改变，选择并正确运用不等式的性质。
2．拓展题例6、若,a b a a b b ->+<，则有（ ）A 、0ab <B 、0b a> C 、0a b +> D 、0a b -< 分析：先根据一致条件，由不等式性质得出,a b 的符号，再根据有理数法则进行选择。
解：∵a b a ->，∴0b ->（利用不等式的性质2，两边都减去a ）∴0b <（利用不等式性质3，两边都乘1-，不等号改变）又∵a b b +<，∴0a <（利用不等式性质2，两边都减去b ）∴a 与b 同号，∴选B.答案：B.点拨：根据情况利用不等式性质把条件进行转化。
挑战课标中考一．中考考点点击利用不等式的性质，对不等式进行简单变形是中考的热点之一，其题型主要是填空题或选择题。
二．中考典题全解例1、（2005绵阳）如果关于x 的不等式 (a +1) x >a +1的解集为x <1，那么a 的取值范围是（ ）。
A. a >0B. a <0C. a >-1D. a <-1分析：本题是运用不等式的性质2对不等式进行变形，不等式的两边都除以1a +，注意到不等号的方向发生了改变，说明10a +<，所以 1.a <-解：D.新课标剖析：本题考查不等式的性质，要特别注意不等号的方向发生了变化，说明10a +<。
例2、（2005佛山）要使代数式3有意义，则x 的取值范围是（ ）。
A.2x ≠ B.2x ≥ C.2x > D.2x ≤分析：由被开方数为非负数，知20x -≥，所以2x ≥.解 ：B.新课标剖析：本题考查二次根式的被开方数不小于零的性质，根据题意列出不等式，运用不等式的性质求解即可。
知能整合提升一．知识梳理123⎧⎪⎨⎪⎩不等式基本性质不等式的基本性质不等式基本性质不等式基本性质二．学法点津在学习不等式的基本性质时，一定要和等式的基本性质类比学习，把握它们的相同点和不同点： 相同点是：不管是等式还是不等式，都可以在它的两边都加（或都减）同一个数或同一个整式。
不同点是：对于等式来说，在等式的两边乘以（或除以）同一个正数（或同一个负数）的情况是一样的——等式仍然成立。
但是对于不等式来说，却不大一样，在用同一个正数去乘（或除）不等式的两边时，不等号的方向不变；而在用同一个负数去乘（或除）不等式的两边时，不等号都要改变方向，这是在不等式变形时特别要注意的地方。
注意：不等式的性质是不等式变形的重要依据，是学习不等式的基础，它与等式的两条性质既有联系，又有区别，将不等式的基本性质与等式的基本性质加以比较，弄清它们之间的相同点与不同点，这样有助于加深理解不等式的基本性质。
三．误区警示本节常见的思维误区是：在利用不等式的性质3时，特别是不等式两边同乘以或除以同一个负数时．．．．．．．．．．．容易忘记变号．．．．．．。
例1．若,a b c >为实数，则22___ac bc .分析：因为,ab c >为实数，所以20c ≥。