二次根式(第一课时)的概念

二次根式的概念
知识点：
1.二次根式：式子___ _ 叫做二次根式。

2.最简二次根式：必须同时满足下列条件：
⑴被开方数中___ _ ⑵被开方数中 ___ _； ⑶分母中___ _。

3.同类二次根式：
二次根式化成最简二次根式后，若___ _ 相同，则这几个二次根式就是同类二次根式。

4.二次根式的性质：
（1）（a ）2
=a （a ≥0）； （2）
【例1】填空题：
（1）()2
3-的平方根是 ；16的算术平方根是 ；25-的算术平方根是 ；38的立方根是 。

（2）若2
2
-
是a 的立方根，则a ＝ ；若b 的平方根是±6，则b ＝ 。

（3）若x 21-有意义，则x ；若32
1
-x 有意义，则x 。

（4）若02
=+m m ，则m ；若()
13312
-=-a a ，则a ；若12
-=a
a ，
则a ；若
(
)
1
1
1--+x 有意义，则x 的取值范围是 ；
（5）若x -2有意义，则(
)
2
2x -＝ 。

（6）若a ＜0，则a a -2＝ ；若b ＜0，化简b a b ab a 32+＝ 。

【例2】选择题：
1、式子
1
313--=
--x x
x x 成立的条件是（ ）A 、x ≥3 B 、x ≤1 C 、1≤x ≤3 D 、1＜x ≤3 2、下列等式不成立的是（ ） A 、()
a a =2 B 、a a =2
C 、33a a -=-
D 、a a
a -=-1
3、若x ＜2，化简
()x x -+-322
的正确结果是（ ）
A 、－1
B 、1
C 、52-x
D 、x 25-
4、式子3
ax --（a ＞0）化简的结果是（ ） A 、ax x - B 、ax x -- C 、ax x D 、ax x - 【例3】解答题：
（1）已知51=-
a
a ，求a
a 1
-
的值。

（2）设m 、n 都是实数，且满足2
2
4422-+-+-=m m m n ，求mn 的值。

探索与创新：
【问题一】最简根式()y x y x -+22
1
与
()62
1
23+-+y y x 能是同类根式吗？若能，求出x 、y 的值；若不能，请说明
理由。

【问题二】观察下面各式及其验证过程：（1）3
22322
+= 验证：32
21
22)12(2122)22(323222
2233+=-+-=-+-== （2）833833+= 验证：8331
33)13(3133)33(8383322233+=-+-=-+-== a
（a ＞0） ==a a 2 a -（a ＜0） 0 （a =0）；
（3）按照上述两个等式及其验证过程的基本思路，猜想15
4
4的变形结果并进行验证； （4）针对上述各式反映的规律，写出用n （n 为任意自然数，且n ≥2）表示的等式，并给出证明。

分析：本题是一道常见的探索性题型，通过从特殊到一船的归纳方法来观察和分析，类比得出用n 表示的等式：1
12
2-+=-n n
n n n n 跟踪训练： 一、填空题：
1、()2
21-的平方根是 ；
81
49
的算术平方根是 ；3216-的立方根是 ； 2、当a 时，23-a 无意义；
3
22x
x +-有意义的条件是 。

3、如果a 的平方根是±2，那么a ＝ 。

4、最简二次根式b a 34+与162++-b b a 是同类二次根式，则a ＝ ，b ＝ 。

5、如果b a b b ab b a )(2322-=+-，则a 、b 应满足 。

6、把根号外的因式移到根号内：a 3-＝ ；当b ＞0时，x x
b ＝ ；a
a --11
)
1(＝ 。

7、若04.0-=m ，则22m m -＝ 。

8、若m ＜0，化简：3322m m m m ++
+＝ 。

二、选择题：
1、如果一个数的平方根与它的立方根相同，那么这个数是（ ）
A 、±1
B 、0
C 、1
D 、0和1 2、在3
16x 、32
-
、5.0-、x
a 、325中，最简二次根式的个数是（ ） A 、1 B 、2 C 、3 D 、4
3、下列说法正确的是（ ）
A 、0没有平方根
B 、－1的平方根是－1
C 、4的平方根是－2
D 、()2
3-的算术平方根是3 4、164+的算术平方根是（ ）A 、6 B 、－6 C 、6 D 、6± 5、对于任意实数a ，下列等式成立的是（ ）
A 、a a =2
B 、a a =
2
C 、a a -=2
D 、24a a =
6、设7的小数部分为b ，则)4(+b b 的值是（ ）
A 、1
B 、是一个无理数
C 、3
D 、无法确定 7、若1
21+=
x ，则122
++x x 的值是（ ）A 、2 B 、22+ C 、2 D 、12-
8、如果1≤a ≤2，则2122
-++-a a a 的值是（ ）A 、a +6 B 、a --6 C 、a - D 、1 9、二次根式：①2
9x -；②))((b a b a -+；③122
+-a a ；④
x
1
；⑤75.0中最简二次根式是（ ） A 、①② B 、③④⑤ C 、②③ D 、只有④ 三、计算题： 1、25
90121.0÷- 2、2
21237-； 3、
(
)
1
2120232
51-⎪⎭
⎫
⎝⎛-+--
+。

四、若a 、b 为实数，且b ＜222+-+-a a ，化简：a b b b
24421
2++--。

五、如果13的小数部分是a ，a
1
的小数部分是b ，试求b 的值。

六、已知342--+=b a a A 是2+a 的算术平方根，9232-+-=b a b B 是b -2的立方根，求A ＋B 的n 次方根的值。

七、已知正数a 和b ，有下列命题： （1）若2=+b a ，则ab ≤1； （2）若3=+b a ，则ab ≤
2
3； （3）若6=+b a ，则ab ≤3；
根据以上三个命题所提供的规律猜想：若9=+b a ，则ab ≤ 。

八、由下列等式：37
22
＝2 3
7
2，32633＝3
3
263，363
4
4＝4 3
63
4
，……所提示的规律，可得出一般的结论是 。

九、阅读下面的解题过程，判断是否正确？若不正确，请写出正确的解答。

已知m 为实数，化简：m
m m 13
---- 解：原式＝m m
m m m -⋅---1
＝()m m ---1
例题一答案答案：（1）3±，2，51，32；（2）4
2-，6；（3）x ≤21，x ≠2；（4）m ≤0，a ≥31，a ＜0，x ≥－1且x ≠0；（5）x -2；（6）a 2-，ab ab 2-
例题2答案：答案：DDDA
例3解答略解：（1）由51
=-a a 得：71=+a a ，454112
2=-⎪⎭⎫ ⎝
⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-a a a a 故531±=-a a
（2）⎪⎩
⎪⎨⎧≠-≥-≥-0
204042
2m m m 解得2-=m ，21-=n
∴mn ＝1
例3创新题答案
分析：二次根式的被开方数必须是非负数，否则根式无意义，不是同类二次根式。

略解：假设他们是同类根式，则有：
()()⎪⎩⎪⎨⎧-+=++=-2
362
1221
y x y x y y x 解得⎩⎨⎧-==21y x 把⎩⎨⎧-==2
1
y x 代入两根式皆为1-无意义，故它们不能是同类根式。

参考答案一、填空题：
1、±21，37，3
6-；2、32<a ，x ≤2且x ≠－8；3、16；4、1，1；5、a ≤b 且b ≥0；6、a 9-，x
b 2，
a --1；7、0.12；8、m 二、选择题：BADCD ，CCDA
三、解答题： 1、－0.55；2、35；3、553- 四、a ＝2，b ＜2，原式＝3
五、4
1
13-=
b 六、a ＝2，b ＝3，A ＝2，B ＝－1；
当n 为奇数时，A ＋B 的n 次方根为1；当n 为偶数时，A ＋B 的n 次方根为±1； 七、
2
9 八、33
1
-+
n n
n ＝n 3
3
1
-n n
（n 为大于1的自然数） 九、不正确，正确解答是：原式＝m m
m m m -⋅+-1
＝()m m -+1。