1.7定积分的简单应用(3课时)

1.7
1.7.1
定积分的简单应用
定积分在几何中的应用
问题提出
b
1 5730 p 2
t
1.定积分ò f (x )dx 的含义及其几何意 a 义分别是什么 n b b- a f ( xi ) òa f (x )dx = nlim å n i= 1
y
y＝f(x)
ò
O
b
a
f (x )dx
作业： P59练习：1，2. P60习题1.7A组：2，3.
定积分的应用习题课
例1 如图，曲线y＝x2 (x≥0)与切线l 1 及x轴所围成图形的面积为 ，求切线l 12 的方程.
y y ＝x 2
y＝2x－1
l A
O
C
B
x
例2 设动抛物线y＝ax2＋bx(a＜0， b＞0)与x轴所围成图形的面积为S，若该 抛物线与直线x＋y＝4相切，当a，b变化 时，求S的最大值.
思考3：该图形的面积用定积分怎样表示？
y y ＝x 2 1 O C B D A 1 x y 2＝x
S =
蝌
0
1
xdx -
1 0
x dx
2
思考4：利用微积分基本定理计算，该图 形的面积等于多少？
y y ＝x 2 y 2＝x
1 O
3 2 1 0
C
B
D A 1
x
2 1 3 1 1 S = x | - x |0 = 3 3 3
4 位移: m 3
路程:4m
作业：
P60习题1.7A组：4，5，6.
28 W = (J ) 3
例3 某汽车在高速公路上直线行驶， 刹车后汽车的速度为v(t)＝12－0.6t （m/s），求刹车后汽车需前进多少m才 能停住？ 120m
小结作业
1.在物理中，定积分主要应用于求变速 直线运动的位移和变力所作的功，其基 本原理如下： 原理1（求变速直线运动的位移）： 若物体运动的速度函数为v(t)，则物体 在a≤t≤b时段内的位移是:
4 C B A O D 4 8 x
y=
2x
S＝S曲边梯形OABC－S三角形ABD.
思考3：该图形的面积用定积分怎样表 示？ y
y ＝x －4 4 C
B
A
y=
2x
O
D 4
8
8 4
x
S =
蝌
0
8
2xdx -
(x - 4)dx
思考4：利用微积分基本定理计算，该图 形的面积等于多少？
y
y ＝x －4 C B A O
v(m/s) 30
A
B
ò
ò
10
0
40
3tdt＝150
30dt＝900
O 10
C 10 40 60 t(s)
ò
60
40
3 (- t + 90)dt ＝300 2
思考4：根据定积分的几何意义，如何计 算汽车在这1min内行驶的路程？
v(m/s) 30 A B C 60 t(s)
O 10
40
30 + 60 s= ? 30 2
s=
ò
b
a
v(t )dt
原理2（求变力所作的功）： 如果物体在变力F(x)的作用下做直线运 动，则物体沿着与F(x)相同的方向从x＝ a移动到x＝b(a＜b)所作的功为:
W =
ò
b
a
F (x )dx
2.利用定积分求变速直线运动的位移， 其积分变量是时间，被积函数是速度对 时间的函数；利用定积分求变力所作的 功，其积分变量是位移，被积函数是力 对位移的函数.
O
10
40
C 60 t(s)
思考2：汽车在[0，10]，[10，40]，[40， 60]（单位：s）三个时段内行驶的路程， 用定积分分别如何表示？
v(m/s) 30
A
B
C 60 t(s)
ò
ò
ò
60
10
0
40
3tdt
30dt
O 10
40
10
40
3 (- t + 90)dt 2
思考3：根据定积分计算，汽车在这1min 内行驶的路程是多少m？
a
b x
2.微积分基本定理是什么？
如果f(x)是区间[a，b]上的连续函数， 并且 F ¢ (x ) = f (x ) ，则
f ( x ) dx = 蝌
a b b a
F¢ (x )dx = F (b) - F (a ) .
3.用定积分可以表示曲边梯形的面 积，微积分基本定理为定积分的计算提 供了一种有效的方法，二者强强联合， 可以解决平面几何中曲边图形的面积问 题.
探究（一）：曲线y2＝x与y＝x2所围成图
形的面积 思考1：曲线y2＝x与y＝x2所围成的图形 是什么？其交点坐标是什么？
y
y ＝x2 1 O 1 y 2＝x
(1,1)
x
(0,0)
思考2：如何将该图形的面积转化为曲边 梯形的面积？ y
y ＝x 2 1 O C B D A 1 x y 2＝x
S＝S曲边梯形OABC－S曲边梯形OADC.
y y＝ x－ x 2
k = 1-
3
1 2
y＝kx
1
O 1 －k x
小结作业
1.定积分在几何中的应用，主要用 于求平面曲边图形的面积.解题时，一般 先要画出草图，再根据图形确定被积函 数以及积分的上、下限. 2.定积分只能用于求曲边梯形的面 积，对于非规则曲边梯形，一般要将其 分割或补形为规则曲边梯形，再利用定 积分的和与差求面积.对于分割或补形中 的多边形的面积，可直接利用相关面积 公式求解.
探究（一）：变速直线运动的路程
思考1：一辆汽车在1min内的速度－时间 曲线如图所示，那么汽车的速度v与时间 t的函数关系是什么？
v(m/s)
30 A B
O
10
40
C 60 t(s)
v(m/s) 30
A
B
ì ï ï ï 3t (0 ＃t 10) ï ï ï ï v(t ) = í 30 (10 < t < 40) ï ï ï 3 ï t + 90(40 ＃ t 60) ï ï ï î 2
探究（二）：直线y＝x－4与曲线 y =
2x
及x轴所围成图形的面积 思考1：直线y＝x－4与曲线 y = 2x 及 x轴所围成的图形是什么？各顶点的坐标 是什么？ y
y ＝x －4 4
y= (8,4)
4
8 x
2x
(0,0)
O
(4,0)
思考2：如何将该图形的面积转化为曲边 梯形的面积？ y y ＝x －4
l
理论迁移
例1 一质点A以速度v1(t)＝3t2＋1 （m/s）在直线l上运动，另一质点B以速 度v2(t)＝10t（m/s）也在直线l上运动， 若两质点同时出发并同向运动，求经过 多少时间，质点A比质点B多运动5m？
5s
例2 在某介质内作变速直线运动的物 体，经过时间t(单位：s)所走过的路程 s＝4t2（单位：m），若介质阻力F与物 体的运动速度v成正比，且当v＝10 m/s 时，F＝5N，求物体在位移区间[1，4]内 克服介质阻力所作的功.
y l
S max
5 = 6
O
A
x
y＝ax2源自文库bx
例3 设地球质量为M，半径为R，引力 常数为G，求把质量为m（单位：kg）的 物体从地球表面升高h（单位：m）所作 的功.
GMmh W = R (R + h )
例4 一质点从时刻t＝0（单位：s） 开始，以速度v＝t2－4t＋3（单位：m/s） 作直线运动，当t＝4s时，求质点的位移 和运动的路程.
3.位于x轴下方的曲边梯形的面积， 等于相应定积分的相反数.一般地，设由 直线x＝a，x＝b(a＜b)，y＝0和曲线y＝ f(x)所围成的曲边梯形的面积为S，则.
S =
ò
b
a
| f (x ) | dx
y
y＝|f(x)|
O a y＝f(x)
b x
作业： P58练习：（1），（2）. P60习题1.7B组：1，2，3.
3 2
4
y=
2x
D 4
8
x
2 2 1 8 S = x |0 - 创4 3 2
40 4= 3
理论迁移
1 y= - x 例1 计算由直线y＝2－x， 3
和曲线 y =
y
x 所围成的平面图形的面积.
B
y ＝2 －x
y=
2 3 x A
x
13 S = 6
1 O －1
1
例2 如图，直线y＝kx将抛物线 y＝x－x2与x轴所围成的平面图形分成 面积相等的两部分，求实数k的值.
1.7
1.7.2
定积分的简单应用
定积分在物理中的应用
问题提出
1.以速度v＝v(t)作变速直线运动的物 体，在a≤t≤b时段内行驶的路程s等于什 么？
b- a s = lim å v( xi ) = n n i= 1
n
ò
b
a
v(t )dt
2.用定积分可以表示作变速直线运动的 物体在某时段内的路程，利用微积分基 本定理可以求定积分的值，因此，运用 定积分可以解决物理中的某些计算问题.
1350(m )
探究（二）：变力作功
思考1：一物体在恒力F（单位：N）的作 用下做直线运动，如果物体沿着与F相同 的方向移动了s（单位：m），则力F所作 的功W等于多少？ W＝Fs
思考2：如果物体在变力F(x)的作用下做 直线运动，并且物体沿着与F(x)相同的 方向从x＝a移动到x＝b(a＜b)，那么如 何计算变力F(x)所作的功W？
W =
ò
b
a
F (x )dx
思考3：如图，在弹性限度内，将一弹簧 从平衡位置拉到离平衡位置xm处，那么 拉伸弹簧所需的力F(x)与x的函数关系是 什么？ F(x)＝kx，
其中k为弹力系数.
x
思考4：如果将弹簧从平衡位置拉到离平 衡位置l m处，那么克服弹力所作的功为 多少？
l
1 2 l 1 2 W = ò kxdx = kx |0 = kl (J ) 0 2 2