1.7定积分的简单应用(3课时)
人教a版数学【选修2-2】1.7《定积分的简单应用》ppt课件
[答案]
1 2
2 3
[解析] 曲线y=x 与y=cx 由题意知
1 1 的交点为c ,c2.
2 1 =3.∴c=2.
典例探究学案
不分割型平面图形面积的求解
如图,求曲线y=x2与直线y=2x所围图形的面 积S.
[分析] 从图形上可以看出,所求图形的面积可以转化为一 个三角形与一个曲边三角形面积的差,进而可以用定积分求 出面积.为了确定出积分的上、下限,我们需要求出直线和 抛物线的交点的横坐标.
(1)(2014· 山东理,6)直线y=4x与曲线y=x3在第一象限内 围成的封闭图形的面积为( A.2 2 C.2 ) B.4 2 D.4
(2)由y=-x2与y=x-2围成图形的面积S=________.
9 [答案] (1)D (2)2
[解析] (1)如图所示
y=4x, 由 3 y = x .
[答案] C
) B.gt2 0 1 2 D.6gt0
[解析] 如果变速直线运动的速度为 v=v(t)(v(t)≥0), 那么
b 从时刻 t=a 到 t=b 所经过的路程是 v(t)dt,
a
故应选 C.
2 4.若两曲线y=x 与y=cx (c>0)围成的图形的面积是 3 ,
2 3
则c=________.
[解析]
y=2x, 解方程组 2 y = x ,
得x1=0,x2=2.
故所求图形的面积为 S= 2xdx- x
2 0 2 0
2
2 2 dx=x 0
1 3 4 2 -3x 0 =3.
[方法规律总结] 利用定积分求平面图形的面积的步骤 (1)画出草图,在直角坐标系中画出曲线或直线的大致图象. (2)将平面图形分割成曲边梯形,并分清在x轴上方与下方的 部分. (3)借助图形确定出被积函数. (4)求出交点坐标,确定积分的上、下限. (5)求出各部分的定积分,并将面积表达为定积分的代数和( 定积分为负的部分求面积时要改变符号处理为正),求出面 积.
201x-201X学年高中数学 第一章 导数及其应用 1.7 定积分的简单应用 1.7.2 定积分在
1.7.2 定积分在物理中的应用[课时作业][A 组 基础巩固]1.如果某质点以初速度v (0)=1,加速度a (t )=6t 做直线运动,则质点在t =2 s 时的瞬时速度为( )A .5B .7C .9D .13解析:v (2)-v (0)=⎠⎛02a (t )d t =⎠⎛026t d t =3t 2| 20, ∴v (2)=v (0)+3×22=1+12=13.答案:D2.一物体以速度v =(3t 2+2t )m/s 做直线运动,则它在t =0 s 到t =3 s 时间段内的位移是( )A .31 mB .36 mC .38 mD .40 m解析:S =⎠⎛03(3t 2+2t )d t =(t 3+t 2)|30=33+32=36 m ,故应选B. 答案:B3.以初速度40 m/s 竖直向上抛一物体,t 秒时刻的速度v =40-10t 2,则此物体达到最高时的高度为( ) A.1603m B.803m C.403m D.203m 解析:v =40-10t 2=0,t =2,⎠⎛02(40-10t 2)d t =⎝ ⎛⎭⎪⎫40t -103t 3| 20=40×2-103×8=1603(m). 答案:A4.一物体在力F (x )={ 100≤x ≤23x +4x >2(单位:N)的作用下沿与力F 相同的方向,从x =0处运动到x =4(单位:m)处,则力F (x )所做的功为( )A .44 JB .46 JC .48 JD .50 J解析:W =⎠⎛04F (x )d x =⎠⎛0210 d x +⎠⎛24(3x +4)d x =10x | 20+(32x 2+4x )| 42=46(J). 答案:B5.汽车以36 km/h 的速度行驶,到某处需要减速停车,设汽车以等加速度a =-5 m/s 2刹车,从开始刹车到停车,汽车走的路程为( )A .5 mB .9.8 mC .10 mD .15 m解析:v 0=36 km/h =10 m/s ,a =-5 m/s 2.设t s 后速度为v ,则v =v 0+⎠⎛0t a d t =10-⎠⎛0t 5d t =10-5t , 令v =0,得t =2(s).设汽车由开始刹车到停车所走过的路程为s ,则s =⎠⎛02v d t =⎠⎛02(10-5t )d t =10(m). 答案:C6.物体以速度v (t )=t 2(单位:km/h)做直线运动,它在时间段[0,1]内运动的路程s (单位:km)为________.解析:s =⎠⎛01v (t )d t =⎠⎛01t 2d t =13t 3| 10=13. 答案:137.如果10 N 的力能使弹簧压缩10 cm ,为在弹性限度内将弹簧拉长6 cm ,则力所做的功为________.解析:由F (x )=kx ,得k =100,F (x )=100x ,W =∫0.060100x d x =0.18(J).答案:0.18 J8.一物体沿直线以v =1+t m/s 的速度运动,则该物体运动开始后10s 内所经过的路程是________.解析:s =∫1001+t d t =23(1+t )32|100=23(1132-1). 答案:23(1132-1) 9.设有一根长25 cm 的弹簧,若加以100 N 的力,则弹簧伸长到30 cm ,又已知弹簧伸长所需要的拉力与弹簧的伸长量成正比,求使弹簧由25 cm 伸长到40 cm 所做的功.解析:设x 表示弹簧伸长的量(单位:m),F (x )表示加在弹簧上的力(单位:N).由题意F (x )=kx ,且当x =0.05 m 时,F (0.05)=100 N ,即0.05k =100,∴k =2 000,∴F (x )=2 000x .∴将弹簧由25 cm 伸长到40 cm 时所做的功为W =∫0.150 2 000x d x =1 000x 2| 0.150=22.5(J).10.一辆汽车做变速直线运动,其速度函数v =v (t )=⎩⎨⎧ 3t 2,t ∈[0,2]2t +4,t ∈2,10],24,t ∈10,58],-6t -582+24,t ∈58,60].(其中时间t 的单位:s ,速度v 的单位:m/s)(1)求汽车前2 s 经过的路程s 1;(2)求汽车前30 s 经过的路程s 2;(3)求汽车1 min 内经过的路程s .解析:(1)当0≤t ≤2时,v =3t 2.∴s 1=⎠⎛023t 2d t =t 3| 20=8(m). (2)当0≤t ≤2时,v =3t 2;当2<t ≤10时,v =2t +4;当10<t ≤30时,v =24.∴s 2=⎠⎛023t 2d t +∫102(2t +4)d t +⎠⎛103024d t=t3|20+(t2+4t)|102+24t|3010=8+(140-12)+24×(30-10)=616(m).(3)s =⎠⎛023t 2d t +∫102(2t +4)d t +⎠⎛105824d t +⎠⎛5860[-6(t -58)2+24]d t =t 3| 20+(t 2+4t )| 102+24t | 5810+[-2(t -58)3+24t ]| 6058 =8+128+24×48+(-16+24×2)=1 320(m).[B 组 能力提升]1.一辆汽车在高速公路上行驶,由于遇到紧急情况而刹车,以速度 v (t )=7-3t +251+t (t 的单位:s ,v 的单位:m/s)行驶至停止.在此期间汽车继续行驶的距离(单位:m)是( )A .1+25ln 5B .8+25ln 113C .4+25ln 5D .4+50ln 2解析:令7-3t +251+t =0,则t =4或t =-83<0,舍去. ⎠⎛04⎝ ⎛⎭⎪⎫7-3t +251+t d t =⎣⎢⎡⎦⎥⎤7t -32t 2+25ln 1+t | 40 =4+25ln 5.答案:C 2.做直线运动的质点在任意位置x 处,所受的力F (x )=1+e x ,则质点沿着与F (x )相同的方向,从点x 1=0处运动到点x 2=1处,力F (x )所做的功为________.解析:W =⎠⎛01F (x )d x =⎠⎛01(1+e x )d x =(x +e x )|10=(1+e)-1=e. 答案:e3.一物体做变速直线运动,其v t 曲线如图所示,该物体在12~6 s 间的运动路程为________.解析:v (t )=⎩⎪⎨⎪⎧ 2t , 0≤t ≤12, 1<t <313t +1, 3≤t ≤6,由变速直线运动的路程公式,可得=t 2⎪⎪⎪ 112+2t | 31+(16t 2+t )| 63=494(m). 所以物体在12~6 s 间的运动路程是494m. 答案:494m 4.A 、B 两站相距7.2 km ,一辆电车从A 站开往B 站,电车开出t s 后到达途中C 点,这一段速度为1.2t (m/s),到C 点速度达24 m/s ,从C 点到B 站前的D 点以等速行驶,从D 点开始刹车,速度为(24-1.2t )m/s ,在B 站恰好停车.试求(1)A 、C 间的距离;(2)B 、D 间的距离;(3)电车从A 站到B 站所需的时间.解析:(1)设从A 到C 经过t 1 s ,由1.2t 1=24得t 1=20,所以AC =∫2001.2t d t =0.6t 2| 200=240 (m). (2)设从D 到B 经过t 2 s ,由24-1.2t 2=0得t 2=20,所以BD =∫200(24-1.2t )d t=(24t -0.6t 2)| 200=240(m).(3)CD =7 200-2×240=6 720(m),从C 到D 的时间t 3=6 72024=280(s), 所以从A 站到B 站的时间为20+280+20=320(s).5.证明:把质量为m (单位:kg)的物体从地球的表面升高h (单位:m)所做的功W =G ·Mmh k k +h,其中G 是地球引力常数,M 是地球的质量,k 是地球的半径. 证明:根据万有引力定律,对于两个距离为r ,质量分别为m 1、m 2的质点,它们之间的引力f 为f =G ·m 1m 2r2,其中G 为引力常数.则当质量为m的物体距离地面高度为x(0≤x≤h)时,地心对它有引力f(x)=G·Mm k +x 2,故该物体从地面升到h 处所做的功为 W =⎠⎛0hf (x )d x =⎠⎛0h G ·Mm k +x 2 d x=GMm ⎠⎛0h 1k +x 2 d x=GMm (-1k +x)| h 0 =GMm (-1k +h +1k ) =G ·Mmh k k +h. 于是得证.如有侵权请联系告知删除,感谢你们的配合!。
高中数学选修课件第四章§定积分的简单应用
当n→∞时,积分和的极限存在,则称函数f(x)在[a,b]上 可积,该极限值称为f(x)在[a,b]上的定积分。
积分和
将积分区间[a,b]分成n个小区间,每个小区间的长度为Δx = (b-a)/n,取每个小区间的任意一点ξi,对应的函数值 为f(ξi),则f(x)在[a,b]上的积分和为Σf(ξi)Δx。
拓展延伸及未来发展趋势
定积分在物理学中的应用
定积分在物理学中有着广泛的应用,如计算变力做功、液体静压力等,需要进一步学习和 掌握。
定积分在经济学中的应用
定积分也可以应用于经济学领域,如计算收益、成本等经济量,为决策提供科学依据。
定积分与计算机技术的结合
随着计算机技术的发展,定积分与计算机技术的结合将越来越紧密,如利用计算机进行定 积分的数值计算、绘制定积分的图形等。这将为定积分的应用提供更广阔的空间和更高效 的手段。
A
一阶导数法
通过求解一阶导数等于零的点来找到函数的极 值点,从而确定最优解。
二阶导数法
通过判断二阶导数的符号来确定函数的凹 凸性,从而确定最优解。
B
C
约束优化方法
在存在约束条件的情况下,通过构造拉格朗 日函数等方法来求解最优解。
数值计算方法
对于难以求解的复杂函数,可以采用数值计 算方法(如牛顿法、梯度下降法等)来逼近 最优解。
几何应用
通过具体案例介绍如何利用定积 分求解平面图形的面积,如求解 由直线和曲线围成的图形面积等
。
物理应用
介绍定积分在物理中的应用,如求 解变力做功、液体静压力等问题中 涉及的面积计算。
经济应用
通过实际案例介绍定积分在经济领 域的应用,如求解由需求曲线和价 格曲线围成的面积所表示的消费者 剩余或生产者剩余等。
1.7定积分的简单应用
∫
b
a
f (x)dx = S1 − S2 + S3
S1 S2
S3
类型1.求由一条曲线y=f(x)和直线x=a,x=b(a<b) 类型1.求由一条曲线y=f(x)和直线x=a,x=b(a<b) 1.求由一条曲线y=f(x)和直线 及x轴所围成平面图形的面积S 轴所围成平面图形的面积S
y
y = f (x)
π
x
∫
2
−
π
2
f ( x)dx = A2 − A1 = 0
由一条曲线和直线所围成平面图形的面积的求解
2
练习. 求抛物线y=x 直线x=2 y=0所围成的 x=2, 练习. 求抛物线y=x -1,直线x=2,y=0所围成的 图形的面积。 图形的面积。
1=0得到抛物线与 得到抛物线与x 解:如图:由x2-1=0得到抛物线与x轴 如图: 的交点坐标是( 1,0),(1,0).所求面积 的交点坐标是(-1,0),(1,0).所求面积 如图阴影所示: 如图阴影所示: 所以: 所以:
∫
1
2
求两曲线围成的平面图形的面积的一般步骤: 求两曲线围成的平面图形的面积的一般步骤: (1)作出示意图;(弄清相对位置关系) (1)作出示意图;(弄清相对位置关系) 作出示意图;(弄清相对位置关系 (2)求交点坐标;(确定积分的上限 下限) (2)求交点坐标;(确定积分的上限,下限) 求交点坐标;(确定积分的上限, (3)确定积分变量及被积函数; (3)确定积分变量及被积函数; 确定积分变量及被积函数 (4)列式求解. (4)列式求解. 列式求解
1.7定积分的简单应用 定积分的简单应用
一、复习
平面图形的面积: 1.平面图形的面积:
推荐高中数学第一章导数及其应用1.7定积分的简单应用学案含解析新人教A版选修2_2
1.7定积分的简单应用积为S 1.由直线x =a ,x =b ,曲线y =g(x )和x 轴围成的曲边梯形的面积为S 2.问题1:如何求S 1? 提示:S 1=⎠⎛a b f(x)d x.问题2:如何求S 2? 提示:S 2=⎠⎛ab g(x)d x.问题3:如何求阴影部分的面积S? 提示:S =S 1-S 2.平面图形的面积由两条曲线y =f (x ),y =g (x )和直线x =a ,x =b (b >a )所围图形的面积.(1)如图①所示,f (x )>g (x )>0,所以所求面积S =⎠⎛ab d x .(2)如图②所示,f (x )>0,g (x )<0,所以所求面积S =⎠⎛a b f (x )d x +⎪⎪⎪⎪⎠⎛a b=⎠⎛ab d x .相交曲线所围图形的面积求法如下图,在区间上,若曲线y =f (x ),y =g (x )相交,则所求面积S =S 1+S 2=⎠⎛ac d x +⎠⎛c b-=⎠⎛ab |f (x )-g (x )|d x .问题:在《1.5.2 汽车行驶的路程》中,我们学会了利用积分求物理中物体做变速直线运动的路程问题,利用积分还可以解决物理中的哪些问题?提示:变力做功.1.变速直线运动的路程做变速直线运动的物体所经过的路程s ,等于其速度函数v =v (t )(v (t )≥0)在时间区间上的定积分,即s =⎠⎛ab2.变力做功如果物体在变力F(x)的作用下做直线运动,并且物体沿着与F (x )相同的方向从x =a 移动到x =b(a<b),那么变力F(x)所做的功为W =⎠⎛ab F(x )d x.求变速直线运动的路程的注意点对于给出速度-时间曲线的问题,关键是由图象得到速度的解析式及积分的上、下限,需要注意的是分段解析式要分段求路程,然后求和.计算曲线由⎩⎪⎨⎪⎧y =x +3,y =x2-2x +3,解得x =0或x =3.如图.因此所求图形的面积为S =⎠⎛03(x +3)d x -⎠⎛03(x 2-2x +3)d x=⎠⎛03d x =⎠⎛03(-x 2+3x )d x =⎝ ⎛⎭⎪⎫-13x3+32x23=92.求由两条曲线围成的平面图形的面积的解题步骤(1)画出图形;(2)确定图形范围,通过解方程组求出交点的坐标,定出积分上、下限; (3)确定被积函数,特别要注意分清被积函数图象上、下位置; (4)写出平面图形面积的定积分表达式;(5)运用微积分基本定理计算定积分,求出平面图形的面积.求曲线y =e x,y =e -x及x =1所围成的图形面积.解:作图,并由⎩⎪⎨⎪⎧y =ex ,y =e -x ,解得交点(0,1). 所求面积为⎠⎛01(e x-e -x)d x =(e x +e -x)1=e +1e-2.先求抛物线和直线的交点,解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y2=2x ,y =-x +4,求出交点坐标为A (2,2)和B (8,-4).法一:选x 为积分变量,变化区间为,将图形分割成两部分(如图),则面积为S =S 1+S 2=2⎠⎛022xd x +⎠⎛28(2x -x +4)d x=423x322+⎝ ⎛⎭⎪⎫223x -12x2+4x 82=18.法二:选y 作积分变量,则y 的变化区间为,如图得所求的面积为 S =⎠⎛-42⎝ ⎛⎭⎪⎫4-y -y22d y =⎝ ⎛⎭⎪⎫4y -12y2-16y324-=18.需分割的图形的面积的求法由两条或两条以上的曲线围成的较为复杂的图形,在不同的区间上位于上方和下方的曲线不同.求出曲线的不同的交点横坐标,将积分区间细化,分别求出相应区间上曲边梯形的面积再求和,注意在每个区间上被积函数均是由上减下.试求由抛物线y =x 2+1与直线y =-x +7以及x 轴、y 轴所围成图形的面积.解:画出图形(如下图).解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y =x2+1,y =-x +7,得⎩⎪⎨⎪⎧x =2,y =5或⎩⎪⎨⎪⎧x =-3,y =10(舍去),即抛物线与直线相交于点(2,5).于是所求面积为S =⎠⎛02(x 2+1)d x +⎠⎛27(7-x)d x=⎝ ⎛⎭⎪⎫13x3+x 20+⎝⎛⎭⎪⎫7x -12x272=143+252 =1036.A ,BC 点,这一段的速度为1.2t m/s ,到C 点的速度为24 m/s ,从C 点到B 点前的D 点以等速行驶,从D 点开始刹车,速度为(24-1.2t ) m/s ,经t s 后,在B 点恰好停车.试求:(1)A ,C 间的距离; (2)B ,D 间的距离. (1)设A 到C 的时间为t 1, 则1.2t 1=24,t 1=20 s ,则AC =⎠⎛0201.2t d t =0.6t220=240(m).(2)设D 到B 的时间为t 2, 则24-1.2t 2=0,t 2=20 s , 则DB =⎠⎛020 (24-1.2t )d t求变速直线运动的路程、位移应关注三点(1)分清运动过程中的变化情况;(2)如果速度方程是分段函数,那么要用分段的定积分表示;(3)明确是求位移还是求路程,求位移可以正负抵消,求路程不能正负抵消.一点在直线上从时刻t =0(单位:s )开始以速度v =t 2-4t +3(单位:m /s )运动,求: (1)在t =4 s 时的位置; (2)在t =4 s 时运动的路程. 解:(1)在t =4 s 时该点的位移为⎠⎛04(t 2-4t +3)d t =⎝ ⎛⎭⎪⎫13t3-2t2+3t 40=43(m ), 即在t =4 s 时该点距出发点43m .(2)∵v(t)=t 2-4t +3=(t -1)(t -3), ∴在区间及上v(t)≥0, 在区间上,v(t)≤0. ∴在t =4 s 时的路程为s =⎠⎛01(t 2-4t +3)d t -⎠⎛13(t 2-4t +3)d t +⎠⎛34(t 2-4t +3)d t =⎝ ⎛⎭⎪⎫13t3-2t2+3t 10-⎝ ⎛⎭⎪⎫13t3-2t2+3t 31+13t 3-2t 2+3t43=4(m ), 即在t =4 s 时运动的路程为4 m .一物体在力F (x )(单位:N)的作用下沿与力F 相同的方向运动,力位移曲线如图所示.求该物体从x =0 m 处运动到x =4 m 处力F (x )做的功.由力位移曲线可知F (x )=⎩⎪⎨⎪⎧10,0≤x≤2,3x +4,2<x≤4,因此该物体从x =0处运动到x =4处力F (x )做的功为W =⎠⎛0210d x +⎠⎛24(3x +4)d x =10x 2+⎝ ⎛⎭⎪⎫32x2+4x 42=46(J).解决变力做功应关注两点(1)首先将变力用其方向上的位移表示出来,这是关键的一步; (2)根据变力做功的公式将其转化为求定积分的问题.设有一长25 cm 的弹簧,若加以100 N 的力,则弹簧伸长到30 cm ,又已知弹簧伸长所需要的拉力与弹簧的伸长量成正比,求使弹簧由25 cm 伸长到40 cm 所做的功.解:设x 表示弹簧伸长的量(单位:m),F (x )表示加在弹簧上的力(单位:N).由题意F (x )=kx ,且当x =0.05 m 时,F (0.05)=100 N ,解得即0.05k =100,∴k =2 000, ∴F (x )=2 000x .∴将弹簧由25 cm 伸长到40 cm 时所做的功为W =⎠⎛00.152 000x d x =1 000x 2.015=22.5(J).4.利用定积分求面积的策略由抛物线y 2=8x (y >0)与直线x +y -6=0及y =0所围成图形的面积为( ) A .16-3223B .16+3223C.403D.403+3223由题意,作图形如图所示,由⎩⎪⎨⎪⎧y2=>,x +y -6=0,得⎩⎪⎨⎪⎧x =2,y =4,所以抛物线y 2=8x (y >0)与直线x +y -6=0的交点坐标为(2,4).法一:(选y 为积分变量)S =⎠⎛04⎝ ⎛⎭⎪⎫6-y -18y2d y=⎝⎛⎭⎪⎫6y -12y2-124y340=24-8-124×64=403.法二:(选x 为积分变量)S =⎠⎛02(8x)d x +⎠⎛26(6-x )d x=8×23x 322+⎝⎛⎭⎪⎫6x -12x262=163+⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫6×6-12×62-⎝ ⎛⎭⎪⎫6×2-12×22=403.C1.本题易搞错被积函数及积分上、下限,误认为S =⎠⎛04-x -8x)d x ,从而得出S =16-3223的错误答案.2.求平面图形面积时,应首先求出交点坐标,确定积分上、下限,然后确定被积函数,判定积分的正负,用公式求解面积.如本例法一中的被积函数为f(y)=6-y -18y 2,y ∈(0,4],法二中的被积函数为f(x)=⎩⎨⎧8x ,,2],6-x ,,6].3.利用定积分求面积时,应根据具体问题选择不同的方法求解,常见类型有以下几种: (1)换元积分:当两区域所围成图形纵坐标一致时,换元变成对y 积分可简化运算.如本例中的法一. (2)分割求和:当两曲线处于不同区间时,可分割成几块,分别求出面积再相加,如本节例2的求解法.事实上,本例中的法二就是分割求和.(3)上正下负:若a ≤x ≤c 时,f(x)<0,则⎠⎛a c f(x)d x <0;若c ≤x ≤b 时,f(x)≥0,则⎠⎛cb f(x)d x ≥0.此时曲线y =f(x)和直线x =a ,x =b(a <b)及y =0所围图形的面积是 S =⎪⎪⎪⎪⎠⎛ac +⎠⎛c b f(x)d x =-⎠⎛ac f(x)d x +⎠⎛c bd x.例:求正弦曲线y =sin x ,x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0,3π2和直线x =0,x =3π2及y =0所围图形的面积S .解:作出曲线y =sin x 和直线x =0,x =3π2,y =0的草图,如图所示,所求面积为图中阴影部分的面积.由图可知,当x ∈时,曲线y =sin x 位于x 轴的上方; 当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π,3π2时,曲线位于x 轴下方. 因此,所求面积应为两部分的和,即S =π⎰32|sin x |d x =⎠⎛0πsin x d x -ππ⎰32sin x d x =-cos xπ+cos xππ32=3.(4)上下之差:若在区间上f (x )>g (x ),则曲线f (x )与g (x )所围成的图形的面积S =⎠⎛a b d x .例:求由曲线y 2=x ,y =x 3所围图形的面积S .解:作出曲线y 2=x ,y =x 3的草图,如图所示,所求面积为图中阴影部分的面积.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y2=x ,y =x3得交点的横坐标为x =0及x =1.因此,所求图形的面积为S =⎠⎛01xd x -⎠⎛01x 3d x =23x 321-14x 41=512.1.(山东高考)直线y =4x 与曲线y =x 3在第一象限内围成的封闭图形的面积为( ) A .22B .4 2 C .2 D .4解析:选D 由4x =x 3,解得x =0或x =2或x =-2(舍去),根据定积分的几何意义可知,直线y =4x 与曲线y =x 3在第一象限内围成的封闭图形的面积为⎠⎛02-=⎝⎛⎭⎪⎫2x2-14x42=4.2.一物体沿直线以v =3t +2(t 的单位:s ,v 的单位:m/s)的速度运动,则该物体在3 s ~6 s 间的运动路程为( )A .46 mB .46.5 mC .87 mD .47 m解析:选B s =⎠⎛36 (3t +2)d t =⎝ ⎛⎭⎪⎫32t2+2t 63=(54+12)-⎝ ⎛⎭⎪⎫272+6=46.5(m).3.(天津高考)曲线y =x 2与直线y =x 所围成的封闭图形的面积为________.解析:如图,阴影部分的面积即为所求.由⎩⎪⎨⎪⎧y =x2,y =x 得A(1,1).故所求面积为S =⎠⎛01(x -x 2)d x =⎝ ⎛⎭⎪⎫12x2-13x3⎪⎪⎪10=16. 答案:164.设a >0,若曲线y =x 与直线x =a ,y =0所围成封闭图形的面积为a 2,则a =________. 解析:由已知得S =⎠⎛0a xd x =23x 32a=23a 32=a 2,所以a 12=23,所以a =49. 答案:495.一物体在变力F (x )=36x2(x 的单位:m ,F 的单位:N)的作用下沿坐标平面内x 轴的正方向由x =8处运动到x =18处,求力F (x )在这一过程中所做的功.解:由题意得力F (x )在这一过程中所做的功为F (x )在上的定积分,从而W =⎠⎛818F (x )d x =-36x -1188=(-36×18-1)-(-36×8-1)=(-2)-⎝ ⎛⎭⎪⎫-92=52(J).从而可得力F (x )在这一过程中所做的功为52 J.一、选择题1.用S 表示下图中阴影部分的面积,则S 的值是( )A .⎠⎛a c f (x )d xB.⎪⎪⎪⎪⎠⎛acC.⎠⎛a b f(x)d x +⎠⎛bc f(x)d x D .⎠⎛b c f (x )d x -⎠⎛ab f (x )d x解析:选D 由图可知,x 轴上方阴影部分的面积为⎠⎛b c ,x 轴下方阴影部分的面积为-⎠⎛ab f (x )d x ,故D 正确. 2.曲线y =x 3与直线y =x 所围图形的面积等于( ) A.⎠⎛-11(x -x 3)d x B.⎠⎛-11(x 3-x )d x C .2⎠⎛01(x -x 3)d xD .2⎠⎛-10(x -x 3)d x解析:选C 由⎩⎪⎨⎪⎧y =x ,y =x3,求得直线y =x 与曲线y =x 3的交点分别为(-1,-1),(1,1),(0,0),由于两函数都是奇函数,根据对称性得S =2⎠⎛01(x -x 3)d x .3.由直线x =-π3,x =π3,y =0与曲线y =cos x 所围成的封闭图形的面积为( )A.12 B .1 C.32D. 3 解析:选D 结合函数图象可得所求的面积是定积分∫π3-π3cos x d x =sin x π3-π3= 3. 4.一质点运动的速度与时间的关系为v (t )=t 2-t +2,质点做直线运动,则它在时间内的位移为( )A.176B.143C.136 D.116解析:选A 质点在时间内的位移为⎠⎛12(t 2-t +2)d t =⎝ ⎛⎭⎪⎫13t3-12t2+2t 21=176. 5.由抛物线y =x 2-x ,直线x =-1及x 轴围成的图形的面积为( ) A.23 B .1 C.43 D.53解析:选B S =⎠⎛0-1(x 2-x )d x +⎠⎛01(x -x 2)d x=⎝ ⎛⎭⎪⎫13x3-12x20-1+⎝ ⎛⎭⎪⎫12x2-13x310=1.二、填空题6.曲线y =sin x (0≤x ≤π)与直线y =12围成的封闭图形的面积为________.解析:由于曲线y =sin x (0≤x ≤π)与直线y =12的交点的横坐标分别为x =π6及x =5π6,因此所求图形的面积为∫5π6π6sin x -12d x =-cos x -12x 5π6π6=3-π3.答案:3-π37.物体A 以速度v =3t 2+1(t 的单位:s ;v 的单位:m/s)在一直线上运动,在此直线上,物体A 出发的同时,物体B 在物体A 的正前方5 m 处以v =10t 的速度与A 同向运动,则两物体相遇时物体A 运动的距离为________m.解析:设t =a 时两物体相遇,依题意有⎠⎛0a (3t 2+1)d t -⎠⎛0a 10t d t =(t 3+t )a 0-5t 2a 0=5,即a 3+a -5a 2=5,(a -5)(a 2+1)=0,解得a =5,所以⎠⎛05(3t 2+1)d t =53+5=130.答案:1308.有一横截面面积为4 cm 2的水管控制往外流水,打开水管后t s 末的流速为v (t )=6t -t 2(单位:cm/s)(0≤t ≤6),则t =0到t =6这段时间内流出的水量为________.解析:由题意可得t =0到t =6这段时间内流出的水量V =⎠⎛064(6t -t 2)d t =4⎠⎛6(6t -t 2)d t =4⎝⎛⎭⎪⎫3t2-13t360=144(cm 3).故t =0到t =6这段时间内流出的水量为144 cm 3. 答案:144 cm 3三、解答题9.求由曲线y =x 2和直线y =x 及y =2x 所围图形的面积S .解:由⎩⎪⎨⎪⎧y =x2,y =x 得A (1,1),由⎩⎪⎨⎪⎧y =x2,y =2x 得B (2,4).如图所示,所求面积(即图中阴影部分的面积)为S =⎠⎛01(2x -x )d x +⎠⎛12-x 2)d x =⎠⎛01x d x +⎠⎛12-x 2)d x =12x 210+⎝⎛⎭⎪⎫x2-13x321=76.10.有一动点P 沿x 轴运动,在时间t 时的速度为v (t )=8t -2t 2(速度的正方向与x 轴正方向一致).(1)点P 从原点出发,当t =6时,求点P 离开原点的路程和位移; (2)求点P 从原点出发,经过时间t 后又返回原点时的t 值. 解:(1)由v (t )=8t -2t 2≥0,得0≤t ≤4, 即当0≤t ≤4时,P 点向x 轴正方向运动; 当t >4时,P 点向x 轴负方向运动.最新中小学教案、试题、试卷故t =6时,点P 离开原点的路程为s 1=⎠⎛04(8t -2t 2)d t -⎠⎛46(8t -2t 2)d t=⎝⎛⎭⎪⎫4t2-23t340-⎝ ⎛⎭⎪⎫4t2-23t364=1283. 当t =6时,点P 的位移为⎠⎛06(8t -2t 2)d t =⎝ ⎛⎭⎪⎫4t2-23t360=0. (2)依题意⎠⎛0t (8t -2t 2)d t =0,即4t 2-23t 3=0,解得t =0或t =6,而t =0对应于P 点刚开始从原点出发的情况, ∴t =6是所求的值.。
2014年人教A版选修2-2课件 1.7 定积分的简单应用
= ee1 = 1.
O
B
x
【小结】
求曲边图形的面积 (1) 将函数曲线所围成的曲边图形分成几个 曲边梯形的和或差. (2) 每个曲边梯形的面积等于函数在给定区间 上的定积分. (3) 当给定区间的函数在 x 轴下方时, 函数在 此区间上的定积分为负, 曲边梯形的面积等于定 积分的相反数.
习题 1.7 A组 第 1 题. B组 第 1、 2、 3 题 .
练习: (课本58页) 只一题.
练习: (课本58页) 求下列曲线所围成的图形的面积: (1) y=x2, y=2x3; (2) y=ex, y=e, x=0. 解: (1) 画出图形, 解出交点 A(3, 9),
y y=x2
y=2x3 A
S = 0 (2 x 3)dx 0 x 2dx 1 2 3 3 = ( x 3 x)|0 ( x 3 )|0 3 = 32 3 3 1 33 3 = 9.
3
3
B C
O
C
x
练习: (课本58页) 求下列曲线所围成的图形的面积: (1) y=x2, y=2x3; (2) y=ex, y=e, x=0. 解: (2) 画出图形, 解出交点 A(1, e),
1 S = e1 0e xdx = e (e x )|1 0
y C 1
y= ex A y= e
y y= x4 B
y = 2x
A
C
x
例2. 计算直线 y=x4, 曲线 y= 2 x 以及 x 轴所围 图形的面积 S.
解: 画出图形, y = 2x D 解法二 (课本), S2 S1 解交点得 A(4, 0), B (8, 4). A C x O 所求面积应为 曲边梯形 ODA的面积S1与图形ADB的面 积S2之和. 而S2又等于曲边梯形DACB与△BAC的面积之差. 4 8 8 ∴面积 S= 0 2 x dx [4 2 xdx 4( x 4)dx] 3 3 2 2 2 2 1 8 4 2 2 =( x ) |0 ( x ) |4 ( x 2 4 x) |8 4 3 3 2 = 40 . 3
高中数学人教A版选修2-2学案:第一章 1.7 定积分的简单应用含解析
定积分的简单应用预习课本P56~59,思考并完成下列问题(1)利用定积分求平面图形的面积时,需要知道哪些条件?(2)两条曲线相交围成的平面图形能否用定积分求其面积?[新知初探]1.定积分与平面图形面积的关系(1)已知函数f (x )在[a ,b ]上是连续函数,由直线y =0,x =a ,x =b 与曲线y =f (x )围成的曲边梯形的面积为S .f (x )的符号 平面图形的面积与定积分的关系f (x )≥0 S =⎠⎛a bf (x )d x f (x )<0S =-⎠⎛a b f (x )d x(2)一般地,如图,如果在公共的积分区间[a ,b ]上有f (x )>g (x ),那么直线x =a ,x =b 与曲线y =f (x ),y =g (x )围成的平面图形的面积为S =⎠⎛a b[f (x )-g (x )]d x .[点睛] 对于不规则平面图形面积的处理原则定积分只能用于求曲边梯形的面积,对于非规则的曲边梯形,一般要将其分割或补形为规则的曲边梯形,再利用定积分的和与差求面积.对于分割或补形中的多边形的面积,可直接利用相关面积公式求解.2.变速直线运动的路程做变速直线运动的物体所经过的路程s ,等于其速度函数v =v (t )(v (t )≥0)在时间区间[a ,b ]上的定积分,即s =⎠⎛a bv (t )d t .3.力做功(1)恒力做功:一物体在恒力F (单位:N)的作用下做直线运动,如果物体沿着与F 相同的方向移动了s ,则力F 所做的功为W =Fs .(2)变力做功:如果物体在变力F (x )的作用下做直线运动,并且物体沿着与F (x )相同的方向从x =a 移动到x =b (a <b ),那么变力F (x )所做的功为W =⎠⎛a bF (x )d x .[点睛] 变速直线运动物体的路程、位移与定积分的关系如果做变速直线运动物体的速度-时间函数为v =v (t ),则物体在区间[a ,b ]上的位移为定积分⎠⎛a bv (t )d t ;物体在区间[a ,b ]上的路程为⎠⎛a b|v (t )|d t .[小试身手]1.判断(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)曲线y =x 3与直线x +y =2,y =0围成的图形面积为⎠⎛01x 3d x +⎠⎛12(2-x )d x .( ) (2)曲线y =3-x 2与直线y =-1围成的图形面积为⎠⎛-2 2(4-x 2)d x .( )(3)速度是路程与时间的函数关系的导数.( )(4)一个物体在2≤t ≤4时,运动速度为v (t )=t 2-4t ,则它在这段时间内行驶的路程为⎠⎛24(t 2-4t )d t .( )答案:(1)√ (2)√ (3)√ (4)×2.曲线y =cos x ⎝⎛⎭⎫0≤x ≤3π2与坐标轴所围成的图形面积是( ) A .2 B .3 C.52 D .4答案:B3.已知做自由落体运动的物体的速度为v =gt ,则物体从t =0到t =t 0所走过的路程为( )A.13gt 20B. gt 20C. 12gt 20D.14gt 20答案:C4.一列车沿直线轨道前进,刹车后列车速度v (t )=27-0.9t ,则列车从刹车到停车所前进的路程为________.答案:405利用定积分求平面图形的面积[典例] 求抛物线y 2=2x 和直线y =-x +4所围成的图形的面积.[解] 先求抛物线和直线的交点,解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y 2=2x ,y =-x +4,求出交点坐标为A (2,2)和B (8,-4).法一:选x 为积分变量,变化区间为[0,8],将图形分割成两部分(如图),则面积为S =S 1+S 2=2⎠⎛022x d x +⎠⎛28()2x -x +4d x =423x 3220+⎝⎛⎭⎫223x 32-12x 2+4x 82=18.法二:选y 作积分变量,则y 的变化区间为[-4,2],如图得所求的面积为 S =⎠⎛2-4⎝⎛⎭⎫4-y -y22d y =⎝⎛⎭⎫4y -y 22-y362-4=18.利用定积分求由两条曲线围成的平面图形的面积的解题步骤 (1)画出图形.(2)确定图形范围,通过方程组求出交点的横坐标,确定积分上限和积分下限. (3)确定被积函数及积分变量,确定时可以综合考察下列因素:①被积函数的原函数易求;②较少的分割区域;③积分上限和积分下限比较简单. (4)写出平面图形的面积的定积分表达式.(5)运用微积分基本定理计算定积分,求出平面图形的面积. [活学活用]求曲线y =e x ,y =e -x 及直线x =1所围成的图形的面积.解: 如图,由⎩⎪⎨⎪⎧y =e x ,y =e -x ,解得交点为(0,1), 所求面积为S =⎠⎛01(e x -e -x )d x =(e x +e -x )10=e +1e -2.求变速直线运动的路程、位移[典例] 有一动点P 从原点出发沿x 轴运动,在时刻为t 时的速度为v (t )=8t -2t 2(速度的正方向与x 轴正方向一致).求(1)t =6时,点P 离开原点后运动的路程和点P 的位移; (2)经过时间t 后又返回原点时的t 值. [解] (1)由v (t )=8t -2t 2≥0得0≤t ≤4, 即当0≤t ≤4时,P 点沿x 轴正方向运动, 当t >4时,P 点向x 轴负方向运动. 故t =6时,点P 离开原点后运动的路程 s 1=⎠⎛04(8t -2t 2)d t -⎠⎛46(8t -2t 2)d t =⎝⎛⎭⎫4t 2-23t 3⎪⎪⎪ 40-⎝⎛⎭⎫4t 2-23t 3⎪⎪⎪64=1283. 当t =6时,点P 的位移为⎠⎛06(8t -2t 2)d t =⎝⎛⎭⎫4t 2-23t 3⎪⎪⎪60=0.(2)依题意,⎠⎛0t(8t -2t 2)d t =0, 即4t 2-23t 3=0,解得t =0或t =6,因为t =0对应于点P 刚开始从原点出发的情况,所以t =6为所求,(1)用定积分解决变速直线运动的位移和路程问题时,将物理问题转化为数学问题是关键.(2)路程是位移的绝对值之和,因此在求路程时,要先判断速度在区间内是否恒正,若符号不定,应求出使速度恒正或恒负的区间,然后分别计算,否则会出现计算失误.[活学活用]一质点在直线上从时刻t =0(s)开始以速度v =t 2-4t +3(m/s)运动,求点在t =4 s 时的位置及经过的路程.解:在t =4 s 时该点的位移为 ⎠⎛04(t 2-4t +3)d t =⎝⎛⎭⎫13t 3-2t 2+3t ⎪⎪⎪4=43(m). 即在t =4 s 时该点距出发点43m.又因为v (t )=t 2-4t +3=(t -1)(t -3), 所以在区间[0,1]及[3,4]上的v (t )≥0, 在区间[1,3]上,v (t )≤0.所以在t =4 s 时的路程为s =⎠⎛01(t 2-4t +3)d t -⎠⎛13(t 2-4t +3)d t +⎠⎛34(t 2-4t +3)d t =⎝⎛⎭⎫t 33-2t 2+3t ⎪⎪⎪1-⎝⎛⎭⎫t 33-2t 2+3t ⎪⎪⎪31+⎝⎛⎭⎫t 33-2t 2+3t ⎪⎪⎪ 43=4(m).求变力做功[典例] 一物体在变力F (x )=⎩⎪⎨⎪⎧2x +4,0≤x ≤2,x 2+2x ,2≤x ≤5,(x 的单位:m ,F 的单位:N)的作用下,沿着与力F 相同的方向从x =0运动到x =5处,求变力所做的功.[解] 变力F (x )所做的功为 W =⎠⎛02(2x +4)d x +⎠⎛25(x 2+2x )d x=(x 2+4x ) ⎪⎪⎪2+⎝⎛⎭⎫13x 3+x 2⎪⎪⎪52=12+60=72(J).求变力做功的方法步骤(1)要明确变力的函数式F (x ),确定物体在力的方向上的位移. (2)利用变力做功的公式W =⎠⎛ab F (x )d x 计算.(3)注意必须将力与位移的单位换算为牛顿与米,功的单位才为焦耳. [活学活用]在弹性限度内,用力把弹簧从平衡位置拉长10 cm 所用的力是200 N ,求变力F 做的功. 解:设弹簧所受到的拉力与弹簧伸长的函数关系式为F (x )=kx (k >0),当x =10 cm =0.1 m 时,F (x )=200 N ,即0.1k =200,得k =2 000,故F (x )=2 000x , 所以力F 把弹簧从平衡位置拉长10 cm 所做的功是W =⎠⎛0 0.12 000x d x =1 000x 2⎪⎪⎪1=10(J).层级一 学业水平达标1.在下面所给图形的面积S 及相应的表达式中,正确的有( )A .①③B .②③C .①④D .③④解析:选D ①应是S =⎠⎛a b[f (x )-g (x )]d x ,②应是S =⎠⎛0822x d x -⎠⎛48(2x -8)d x ,③和④正确.故选D.2.一物体以速度v =(3t 2+2t )m/s 做直线运动,则它在t =0 s 到t =3 s 时间段内的位移是( )A .31 mB .36 mC .38 mD .40 m解析:选B S =⎠⎛03(3t 2+2t )d t =(t 3+t 2)30=33+32=36(m),故应选B. 3.如图所示,阴影部分的面积是( ) A .2 3 B .2- 3 C.323D.353解析:选C S =⎠⎛-3 1(3-x 2-2x )d x ,即F (x )=3x -13x 3-x 2,则F (1)=3-13-1=53,F (-3)=-9+9-9=-9.∴S =F (1)-F (-3)=53+9=323.故应选C.4.由y =x 2,y =14x 2及x =1围成的图形的面积S =( )A.14B.12C.13D .1解:选A 图形如图所示,S =⎠⎛01x 2d x -⎠⎛0114x 2d x=⎠⎛0134x 2d x=14x 310=14. 5.曲线y =x 3-3x 和y =x 围成的图形面积为( ) A .4 B .8 C .10D .9解析:选B 由⎩⎪⎨⎪⎧ y =x 3-3x ,y =x ,解得⎩⎪⎨⎪⎧ x =0,y =0或⎩⎪⎨⎪⎧ x =2,y =2或⎩⎪⎨⎪⎧x =-2,y =-2.∵两函数y =x 3-3x 与y =x 均为奇函数,∴S =2⎠⎛02[x -(x 3-3x )]d x =2·⎠⎛02(4x -x 3)d x=2⎝⎛⎭⎫2x 2-14x 4⎪⎪⎪20=8,故选B.6.若某质点的初速度v (0)=1,其加速度a (t )=6t ,做直线运动,则质点在t =2 s 时的瞬时速度为________.解析:v (2)-v (0)=⎠⎛02a (t )d t =⎠⎛026t d t =3t 2⎪⎪⎪2=12,所以v (2)=v (0)+3×22=1+12=13. 答案:137.一物体沿直线以速度v =1+t m/s 运动,该物体运动开始后10 s 内所经过的路程是______.解析:S =⎠⎛0101+t d t =23(1+t )32 ⎪⎪⎪10=23⎝⎛⎭⎫1132-1. 答案: 23⎝⎛⎭⎫1132-1 8.由y =1x,x =1,x =2,y =0所围成的平面图形的面积为________.解析:画出曲线y =1x (x >0)及直线x =1,x =2,y =0,则所求面积S 为如图所示的阴影部分面积.∴S =⎠⎛121x d x =ln x ⎪⎪⎪21=ln 2-ln 1=ln 2.答案:ln 29.计算曲线y =x 2-2x +3与直线y =x +3所围图形的面积.解:由⎩⎪⎨⎪⎧y =x +3,y =x 2-2x +3,解得x =0及x =3.从而所求图形的面积S =⎠⎛03[(x +3)-(x 2-2x +3)]d x =⎠⎛03(-x 2+3x )d x =⎝⎛⎭⎫-13x 3+32x 2⎪⎪⎪30=92. 10. 设y =f (x )是二次函数,方程f (x )=0有两个相等的实根,且f ′(x )=2x +2. (1)求y =f (x )的表达式;(2)求y =f (x )的图象与两坐标轴所围成图形的面积. 解:(1)∵y =f (x )是二次函数且f ′(x )=2x +2, ∴设f (x )=x 2+2x +c . 又f (x )=0有两个等根,∴4-4c =0,∴c =1,∴f (x )=x 2+2x +1.(2)y =f (x )的图象与两坐标所围成的图形的面积S =⎠⎛-10(x 2+2x +1)d x =13x 3+x 2+x ⎪⎪⎪-1=13. 层级二 应试能力达标1.一物体在力F (x )=4x -1(单位:N)的作用下,沿着与力F 相同的方向,从x =1运动到x =3处(单位:m),则力F (x )所做的功为( )A .8 JB .10 JC .12 JD .14 J解析:选D 由变力做功公式有:W =⎠⎛13(4x -1)d x =(2x 2-x ) ⎪⎪⎪31=14(J),故应选D.2.若某产品一天内的产量(单位:百件)是时间t 的函数,若已知产量的变化率为a =36t,那么从3小时到6小时期间内的产量为( )A.12B .3-322 C .6+3 2D .6-3 2解析:选D ⎠⎛3636t d t =6t ⎪⎪⎪63=6-32,故应选D.3.以初速40 m/s 竖直向上抛一物体,t s 时刻的速度v =40-10t 2,则此物体达到最高时的高度为( )A.1603 m B.803 m C.403m D.203m 解析:选A 由v =40-10t 2=0,得t 2=4,t =2. ∴h =⎠⎛02(40-10t 2)d t =⎝⎛⎭⎫40t -103t 3⎪⎪⎪2=80-803=1603(m).故选A. 4.(山东高考)直线y =4x 与曲线y =x 3在第一象限内围成的封闭图形的面积为( ) A .2 2 B .4 2 C .2D .4解析:选D 由4x =x 3,解得x =0或x =2或x =-2(舍去),根据定积分的几何意义可知,直线y =4x 与曲线y =x 3在第一象限内围成的封闭图形的面积为⎠⎛02(4x -x 3)d x=⎝⎛⎭⎫2x 2-14x 4⎪⎪⎪2=4.5.椭圆x 216+y 29=1所围区域的面积为________.解析:由x 216+y 29=1,得y =±3416-x 2.又由椭圆的对称性知,椭圆的面积为S =4⎠⎛043416-x 2d x =3⎠⎛0416-x 2d x. 由y =16-x 2,得x 2+y 2=16(y ≥0).由定积分的几何意义知⎠⎛0416-x 2d x 表示由直线x =0,x =4和曲线x 2+y 2=16(y ≥0)及x 轴所围成图形的面积,∴⎠⎛0416-x 2d x =14×π×16=4π,∴S =3×4π=12π.答案:12π6.如图,在边长为e (e 为自然对数的底数)的正方形中随机撒一粒黄豆,则它落到阴影部分的概率为____________.解析:∵S 阴=2⎠⎛01(e -e x )d x =2(e x -e x ) ⎪⎪⎪1=2,S 正方形=e 2,∴P =2e 2.答案:2e27.求由曲线xy =1及直线x =y ,y =3所围成平面图形的面积.解:作出曲线xy =1,直线x =y ,y =3的草图,所求面积为图中阴影部分的面积.求交点坐标:由⎩⎪⎨⎪⎧xy =1,y =3,得⎩⎪⎨⎪⎧x =13,y =3,故A ⎝⎛⎭⎫13,3;由⎩⎪⎨⎪⎧xy =1,y =x , 得⎩⎪⎨⎪⎧ x =1,y =1或⎩⎪⎨⎪⎧x =-1,y =-1(舍去), 故B(1,1);由⎩⎪⎨⎪⎧y =x ,y =3得⎩⎪⎨⎪⎧x =3,y =3,故C(3,3),8.函数f(x)=ax 3+bx 2-3x ,若f(x)为实数集R 上的单调函数,且a ≥-1,设点P 的坐标为(b ,a ),试求出点P 的轨迹所形成的图形的面积S .解:当a =0时,由f (x )在R 上单调,知b =0.当a ≠0时,f (x )在R 上单调⇔f ′(x )≥0恒成立或f ′(x )≤0恒成立.∵f ′(x )=3ax 2+2bx -3,∴⎩⎪⎨⎪⎧Δ=4b 2+36a ≤0,a ≥-1.∴a ≤-19b 2且a ≥-1.因此满足条件的点P (b ,a )在直角坐标平面xOy 的轨迹所围成的图形是由曲线y =-19x 2与直线y =-1所围成的封闭图形.联立⎩⎪⎨⎪⎧y =-19x 2,y =-1,解得⎩⎪⎨⎪⎧ x =-3,y =-1或⎩⎪⎨⎪⎧x =3,y =-1,如图,其面积S =⎠⎛3-3⎝⎛⎭⎫1-19x 2d x =⎝⎛⎭⎫x -x 327⎪⎪⎪3-3=(3-1)-(-3+1)=4.(时间: 120分钟 满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.若f (x )=sin α-cos x ,则f ′(x )等于( ) A .sin x B .cos x C .cos α+sin xD .2sin α+cos x解析:选A 函数是关于x 的函数,因此sin α是一个常数.2.以正弦曲线y =sin x 上一点P 为切点的切线为直线l ,则直线l 的倾斜角的范围是( )A.⎣⎡⎦⎤0,π4∪⎣⎡⎭⎫3π4,π B .[0,π) C.⎣⎡⎦⎤π4,3π4D.⎣⎡⎦⎤0,π4∪⎝⎛⎦⎤π2,3π4 解析:选A y ′=cos x ,∵cos x ∈[-1,1],∴切线的斜率范围是[-1,1],∴倾斜角的范围是⎣⎡⎦⎤0,π4∪⎣⎡⎭⎫3π4,π. 3.函数f (x )的定义域为开区间(a ,b ),导函数f ′(x )在(a ,b )内的图象如图所示,则函数f (x )在开区间(a ,b )内有极小值点( )A .1个B .2个C .3个D .4个解析:选A 设极值点依次为x 1,x 2,x 3且a <x 1<x 2<x 3<b ,则f (x )在(a ,x 1),(x 2,x 3)上递增,在(x 1,x 2),(x 3,b )上递减,因此,x 1,x 3是极大值点,只有x 2是极小值点.4.函数f (x )=x 2-ln x 的单调递减区间是( ) A. ⎝⎛⎦⎤0, 22 B.⎣⎡⎭⎫22,+∞ C. ⎝⎛⎦⎤-∞,-22,⎝⎛⎭⎫0, 22 D.⎣⎡⎭⎫-22, 0,⎝⎛⎦⎤0, 22 解析:选A ∵f ′(x )=2x -1x =2x 2-1x ,当0<x ≤22时,f ′(x )≤0,故f (x )的单调递减区间为⎝⎛⎦⎤0,22. 5.函数f (x )=3x -4x 3(x ∈[0,1])的最大值是( ) A .1 B.12 C .0D .-1解析:选A f ′(x )=3-12x 2,令f ′(x )=0, 则x =-12(舍去)或x =12,f (0)=0,f (1)=-1,f ⎝⎛⎭⎫12=32-12=1,∴f (x )在[0,1]上的最大值为1.6.函数f (x )=x 3+ax 2+3x -9,已知f (x )在x =-3处取得极值,则a =( ) A .2 B .3 C .4D .5解析:选D f ′(x )=3x 2+2ax +3,∵f ′(-3)=0. ∴3×(-3)2+2a ×(-3)+3=0,∴a =5.7.函数f (x )=13ax 3+12ax 2-2ax +1的图象经过四个象限,则实数a 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫-310,67 B.⎝⎛⎭⎫-85,-316 C.⎝⎛⎭⎫-83,-116 D.⎝⎛⎭⎫-∞,-310∪⎝⎛⎭⎫67,+∞ 解析:选D f ′(x )=ax 2+ax -2a =a (x +2)(x -1),要使函数f (x )的图象经过四个象限,则f (-2)f (1)<0,即⎝⎛⎭⎫103a +1⎝⎛⎭⎫-76a +1<0,解得a <-310或a >67. 故选D.8.已知函数f (x )的导函数f ′(x )=a (x -b )2+c 的图象如图所示,则函数f (x )的图象可能是( )解析:选D 由导函数图象可知,当x <0时,函数f (x )递减,排除A 、B ;当0<x <x 1时,f ′(x )>0,函数f (x )递增.因此,当x =0时,f (x )取得极小值,故选D.9.定义域为R 的函数f (x )满足f (1)=1,且f (x )的导函数f ′(x )>12,则满足2f (x )<x +1的x 的集合为( )A .{x |-1<x <1}B .{x |x <1}C .{x |x <-1或x >1}D .{x |x >1}解析:选B 令g (x )=2f (x )-x -1,∵f ′(x )>12,∴g ′(x )=2f ′(x )-1>0,∴g (x )为单调增函数, ∵f (1)=1,∴g (1)=2f (1)-1-1=0,∴当x <1时, g (x )<0,即2f (x )<x +1,故选B.10.某产品的销售收入y 1(万元)是产量x (千台)的函数:y 1=17x 2,生产成本y 2(万元)是产量x (千台)的函数:y 2=2x 3-x 2(x >0),为使利润最大,应生产( )A .6千台B .7千台C .8千台D .9千台解析:选A 设利润为y ,则y =y 1-y 2=17x 2-(2x 3-x 2)=18x 2-2x 3,y ′=36x -6x 2,令y ′=0得x =6或x =0(舍),f (x )在(0,6)上是增函数,在(6,+∞)上是减函数,∴x =6时y 取得最大值.11.已知定义在R 上的函数f (x ),f (x )+x ·f ′(x )<0,若a <b ,则一定有( ) A .af (a )<bf (b ) B .af (b )<bf (a ) C .af (a )>bf (b )D .af (b )>bf (a )解析:选C [x ·f (x )]′=x ′f (x )+x ·f ′(x )=f (x )+x ·f ′(x )<0, ∴函数x ·f (x )是R 上的减函数, ∵a <b ,∴af (a )>bf (b ).12.若函数f (x )=sin x x ,且0<x 1<x 2<1,设a =sin x 1x 1,b =sin x 2x 2,则a ,b 的大小关系是( )A .a >bB .a <bC .a =bD .a ,b 的大小不能确定解析:选A f ′(x )=x cos x -sin xx 2,令g (x )=x cos x -sin x ,则g ′(x )=-x sin x +cos x-cos x =-x sin x .∵0<x <1,∴g ′(x )<0,即函数g (x )在(0,1)上是减函数,得g (x )<g (0)=0,故f ′(x )<0,函数f (x )在(0,1)上是减函数,得a >b ,故选A.二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,满分20分.把答案填在题中的横线上) 13.若f (x )=13x 3-f ′(1)x 2+x +5,则f ′(1)=________.解析:f ′(x )=x 2-2f ′(1)x +1,令x =1,得f ′(1)=23.答案:2314.设a >0,若曲线y =x 与直线x =a ,y =0所围成封闭图形的面积为a 2,则a =__________.解析:S =⎠⎛0ax d x =23x 32a0=23a 32=a 2,∴a =49. 答案:4915.已知函数f (x )满足f (x )=f (π-x ),且当x ∈⎝⎛⎭⎫-π2,π2时,f (x )=x +sin x ,设a =f (1),b =f (2),c =f (3),则a ,b ,c 的大小关系是________.解析:f (2)=f (π-2),f (3)=f (π-3), 因为f ′(x )=1+cos x ≥0, 故f (x )在⎝⎛⎭⎫-π2,π2上是增函数, ∵π2>π-2>1>π-3>0, ∴f (π-2)>f (1)>f (π-3),即c <a <b . 答案:c <a <b 16.若函数f (x )=4xx 2+1在区间(m,2m +1)上单调递增,则实数m 的取值范围是__________.解析:f ′(x )=4-4x 2(x 2+1)2,令f ′(x )>0,得-1<x <1,即函数f (x )的增区间为(-1,1). 又f (x )在(m,2m +1)上单调递增, 所以⎩⎪⎨⎪⎧m ≥-1,m <2m +1,2m +1≤1.解得-1<m ≤0.答案:(-1,0]三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分12分)若函数y =f (x )在x =x 0处取得极大值或极小值,则称x 0为函数y =f (x )的极值点.已知a ,b 是实数,1和-1是函数f (x )=x 3+ax 2+bx 的两个极值点.(1)求a 和b 的值;(2)设函数g (x )的导函数g ′(x )=f (x )+2,求g (x )的极值点. 解:(1)由题设知f ′(x )=3x 2+2ax +b ,且f ′(-1)=3-2a +b =0,f ′(1)=3+2a +b =0, 解得a =0,b =-3. (2)由(1)知f (x )=x 3-3x . 因为f (x )+2=(x -1)2(x +2),所以g ′(x )=0的根为x 1=x 2=1,x 3=-2, 于是函数g (x )的极值点只可能是1或-2. 当x <-2时,g ′(x )<0;当-2<x <1时, g ′(x )>0,故-2是g (x )的极值点. 当-2<x <1或x >1时,g ′(x )>0, 故1不是g (x )的极值点. 所以g (x )的极值点为-2.18. (本小题满分12分)(北京高考)设函数f (x )=x e a -x +bx ,曲线y =f (x )在点(2,f (2))处的切线方程为y =(e -1)x +4.(1)求a ,b 的值; (2)求f (x )的单调区间. 解:(1)因为f (x )=x e a -x +bx , 所以f ′(x )=(1-x )e a -x +b .依题设有⎩⎪⎨⎪⎧f (2)=2e +2,f ′(2)=e -1,即⎩⎪⎨⎪⎧2e a -2+2b =2e +2,-e a -2+b =e -1.解得⎩⎪⎨⎪⎧a =2,b =e.(2)由(1)知f(x)=x e2-x+e x.由f′(x)=e2-x(1-x+e x-1)及e2-x>0知,f′(x)与1-x+e x-1同号.令g(x)=1-x+e x-1,则g′(x)=-1+e x-1.所以当x∈(-∞,1)时,g′(x)<0,g(x)在区间(-∞,1)上单调递减;当x∈(1,+∞)时,g′(x)>0,g(x)在区间(1,+∞)上单调递增.故g(1)=1是g(x)在区间(-∞,+∞)上的最小值,从而g(x)>0,x∈(-∞,+∞).综上可知,f′(x)>0,x∈(-∞,+∞),故f(x)的单调递增区间为(-∞,+∞).19.(本小题满分12分)某个体户计划经销A,B两种商品,据调查统计,当投资额为x(x≥0)万元时,在经销A,B商品中所获得的收益分别为f(x)万元与g(x)万元,其中f(x)=a(x-1)+2,g(x)=6ln(x+b)(a>0,b>0).已知投资额为零时收益为零.(1)求a,b的值;(2)如果该个体户准备投入5万元经销这两种商品,请你帮他制定一个资金投入方案,使他能获得最大利润.解:(1)由投资额为零时收益为零,可知f(0)=-a+2=0,g(0)=6ln b=0,解得a=2,b=1.(2)由(1)可得f(x)=2x,g(x)=6ln(x+1).设投入经销B商品的资金为x万元(0<x≤5),则投入经销A商品的资金为(5-x)万元,设所获得的收益为S(x)万元,则S(x)=2(5-x)+6ln(x+1)=6ln(x+1)-2x+10(0<x≤5).S′(x)=6x+1-2,令S′(x)=0,得x=2.当0<x<2时,S′(x)>0,函数S(x)单调递增;当2<x≤5时,S′(x)<0,函数S(x)单调递减.所以当x=2时,函数S(x)取得最大值,S(x)max=S(2)=6ln 3+6≈12.6万元.所以,当投入经销A商品3万元,B商品2万元时,他可获得最大收益,收益的最大值约为12.6万元.20.(本小题满分12分)已知函数f (x )=ax 2+2ln(1-x )(a 为常数).(1)若f (x )在x =-1处有极值,求a 的值并判断x =-1是极大值点还是极小值点; (2)若f (x )在[-3,-2]上是增函数,求a 的取值范围. 解:(1)f ′(x )=2ax -21-x,x ∈(-∞,1), f ′(-1)=-2a -1=0, 所以a =-12.f ′(x )=-x -21-x =(x +1)(x -2)1-x. ∵x <1,∴1-x >0,x -2<0, 因此,当x <-1时f ′(x )>0, 当-1<x <1时f ′(x )<0, ∴x =-1是f (x )的极大值点.(2)由题意f ′(x )≥0在x ∈[-3,-2]上恒成立, 即2ax -21-x≥0在x ∈[-3,-2]上恒成立 ∴a ≤1-x 2+x 在x ∈[-3,-2]上恒成立,∵-x 2+x =-⎝⎛⎭⎫x -122+14 ∈[-12,-6], ∴1-x 2+x ∈⎣⎡⎦⎤-16,-112, ∴⎝⎛⎭⎫1-x 2+ x min =-16,a ≤-16.即a 的取值范围为⎝⎛⎦⎤-∞,-16. 21.(本小题满分12分)已知函数f (x )=x 2-m ln x ,h (x )=x 2-x +a . (1)当a =0时,f (x )≥h (x )在(1,+∞)上恒成立,求实数m 的取值范围;(2)当m =2时,若函数k (x )=f (x )-h (x )在区间(1,3)上恰有两个不同零点,求实数a 的取值范围.解:(1)由f (x )≥h (x ), 得m ≤xln x在(1,+∞)上恒成立. 令g (x )=xln x ,则g ′(x )=ln x -1(ln x )2, 当x ∈(1,e)时,g ′(x )<0;当x ∈(e ,+∞)时,g ′(x )>0,所以g (x )在(1,e)上递减,在(e ,+∞)上递增. 故当x =e 时,g (x )的最小值为g (e)=e. 所以m ≤e.即m 的取值范围是(-∞,e]. (2)由已知可得k (x )=x -2ln x -a . 函数k (x )在(1,3)上恰有两个不同零点,相当于函数φ(x )=x -2ln x 与直线y =a 有两个不同的交点. φ′(x )=1-2x =x -2x,当x ∈(1,2)时,φ′(x )<0,φ(x )递减, 当x ∈(2,3)时,φ′(x )>0,φ(x )递增. 又φ(1)=1,φ(2)=2-2ln 2,φ(3)=3-2ln 3, 要使直线y =a 与函数φ(x )=x -2ln x 有两个交点, 则2-2ln 2<a <3-2ln 3.即实数a 的取值范围是(2-2ln 2,3-2ln 3).22.(本小题满分12分)已知函数f (x )=(x -2)e x +a (x -1)2有两个零点. (1)求a 的取值范围;(2)设x 1,x 2是f (x )的两个零点,证明:x 1+x 2<2. 解:(1)f ′(x )=(x -1)e x +2a (x -1)=(x -1)(e x +2a ). ①设a =0,则f (x )=(x -2)e x ,f (x )只有一个零点. ②设a >0,则当x ∈(-∞,1)时,f ′(x )<0; 当x ∈(1,+∞)时,f ′(x )>0,所以f (x )在(-∞,1)内单调递减,在(1,+∞)内单调递增. 又f (1)=-e ,f (2)=a ,取b 满足b <0且b <ln a2,则f (b )>a2(b -2)+a (b -1)2=a ⎝⎛⎭⎫b 2-32b >0, 故f (x )存在两个零点.③设a <0,由f ′(x )=0得x =1或x =ln(-2a ). 若a ≥-e2,则l n(-2a )≤1,故当x ∈(1,+∞)时,f ′(x )>0,因此f (x )在(1,+∞)内单调递增. 又当x ≤1时,f (x )<0,所以f (x )不存在两个零点. 若a <-e2,则ln(-2a )>1,故当x∈(1,ln(-2a))时,f′(x)<0;当x∈(ln(-2a),+∞)时,f′(x)>0.因此f(x)在(1,ln(-2a))内单调递减,在(ln(-2a),+∞)内单调递增.又当x≤1时,f(x)<0,所以f(x)不存在两个零点.综上,a的取值范围为(0,+∞).(2)证明:不妨设x1<x2,由(1)知,x1∈(-∞,1),x2∈(1,+∞),2-x2∈(-∞,1),又f(x)在(-∞,1)内单调递减,所以x1+x2<2等价于f(x1)>f(2-x2),即f(2-x2)<0.由于f(2-x2)=-x2e2-x2+a(x2-1)2,而f(x2)=(x2-2)e x2+a(x2-1)2=0,所以f(2-x2)=-x2e2-x2-(x2-2)e x2.设g(x)=-x e2-x-(x-2)e x,则g′(x)=(x-1)(e2-x-e x).所以当x>1时,g′(x)<0,而g(1)=0,故当x>1时,g(x)<0.从而g(x2)=f(2-x2)<0,故x1+x2<2.。
1.7定积分在物理中的简单应用
b xБайду номын сангаас
六.精彩一练 练习:如果1N能拉长弹簧1cm 为了将弹簧拉长6cm 需做功( 1N能拉长弹簧1cm, 6cm, 1、练习:如果1N能拉长弹簧1cm,为了将弹簧拉长6cm,需做功( A 0.18J B 0.26J C 0.12J D 0.28J
x A
O
)
BC
x
五.归纳总结
、
总结: 总结:1、定积分的几何意义是: 定积分的几何意义是:
在区间[a , b]上的曲线 y = f ( x )与直线 x = a
x = b以及x 轴所围成的图形的面积的 代数和, 代数和,即
∫
b
a
f ( x )dx = S x轴上方-S x轴下方
因此求一些曲边图形的面积要可以利用定积分 的几何意义以及微积分基本定理, 的几何意义以及微积分基本定理,但要特别注 意图形面积与定积分不一定相等,如函数 意图形面积与定积分不一定相等, 的图像与 x 轴围成的图形的面积为4,而其定积分为0. 轴围成的图形的面积为4,而其定积分为0. 4,而其定积分为 2、求曲边梯形面积的方法与步骤: 求曲边梯形面积的方法与步骤: (1)画图 并将图形分割为若干个曲边梯形; 画图, (1)画图,并将图形分割为若干个曲边梯形; (2)对每个曲边梯形确定其存在的范围 对每个曲边梯形确定其存在的范围, (2)对每个曲边梯形确定其存在的范围,从而确 定积分的上、下限; 定积分的上、下限; (3)确定被积函数 确定被积函数; (3)确定被积函数; (4)求出各曲边梯形的面积和 求出各曲边梯形的面积和, (4)求出各曲边梯形的面积和,即各积分的绝对 值的和。 值的和。
几种常见的曲边梯形面积的计算方法: 3、几种常见的曲边梯形面积的计算方法: 型区域: x型区域:
1.7定积分的简单应用(共两课时)
1.7 定积分的简单应用(共两课时)一、感悟要点1.知识与技能能利用定积分求曲边梯形的面积,以及解决物理中的变速直线运动的路程,变力做功问题。
2.过程与方法通过利用定积分求曲边梯形的面积,体会定积分的基本思想,学会其方法,通过定积分在物理中应用,学会用数学工具解决物理问题,进一步体会定积分的价值。
3.情感态度与价值观通过本节学习,进一步感受数学的应用价值,提高数学的应用意识,坚定学好数学的信心。
二、学习重难点1.重点:应用定积分解决平面图形的面积、变速直线运动的路程和变力做功等问题,使学生在解决问题的过程中体验定积分的价值。
2.难点:将实际问题化归为定积分的问题。
三、温习旧知1.定积分的几何意义和微积分基本定理分别是什么?2.曲边梯形的面积表达式是什么?3.匀变速直线运动中,s与v,t间的关系是什么?4.如果物体在变力F(x)的作用下做直线运动,那么如何计算变力F(x)所做的功W 呢?四、例题精析例1 计算由两条抛物线2yx =和2y x =所围成的图形的面积.解析:【教学札记】合作探究:由例1总结求由两条曲线围成的平面图形面积的步骤是什么?(1) 画出图形;(2) 确定图形范围,通过解方程组求出交点的横坐标,定出积分上下限;(3) 确定被积函数,特别是要分清被积函数的上下位置;(4) 写出平面图形的面积的定积分表达式;(5) 运用微积分基本公式计算定积分,求出平面图形的面积。
例2 计算由曲线y =4y x =-以及x 轴所围成的图形的面积.解析:【教学札记】探究:这道题还有其它解法吗?解法二:将所求平面图形的面积看成一个曲边梯形与一个三角形的面积之差:解法三:将所求平面图形的面积看成位于y 轴右边的一个梯形与一个曲边梯形的面积之差,因此可以取y 为积分变量,还需把函数y=x-4变形为x=y-4,,函数y =22y x =.变式训练:计算有曲线22y x =和直线y=x-4所围成的图形面积.作业:58P 练习,60P A 组第1题.例3 一辆汽车的速度-时间曲线如图所示,求汽车在这1min 行驶的路程。
1.7.1 定积分在几何中的简单应用
a
O a
b
f (x )d x f (x )d x
a
c
b
a
b
f (x )d x -S f (x )d x
a
c
f
c
f (x )d x 。
c
yf (x)
b x
当f(x)0时,由yf (x)、xa、xb 与 x 轴所围成
的曲边梯形位于 x 轴的下方,
一、复习回顾
2、牛顿—莱布尼茨公式
2 2
-1
O
1A
x
-1
=
2 3
3
1
x
2
0
1 3
x
3
1 0
=
2 3
-
1 3
=
1 3
归纳
定 积 分 的 简 单 应 用
求由曲线围成的平面图形面积的解题步骤:
(1)画草图,求出曲线的交点坐标
(2)将曲边形面积转化为曲边梯形面积 (3)确定被积函数及积分区间 (4)计算定积分,求出面积
四、例题实践求曲边形面积
1.7.1定积分在几何中的简单应用
定 积 分 的 简 单 应 用
一、复习回顾 1、定积分的几何意义:
当 f(x ) 0 时 , 积 分
a f ( x ) dx
b
在 几 何 上 表 示 由 y = f (x )、
xa、xb与 x轴所围成的曲边梯形的面积。
y yf (x) O a b y
x
b
思考
如图, 一桥拱的形状为抛 定 积 物线, 已知该抛物线拱的高为 分 常数h, 宽为常数b. 的 2 简 求证: 抛物线拱的面积 S bh 3 单 应 用 建立平面直角坐标系 确定抛物线方程
1.7定积分的简单应用(zi用)
22 3
3
x2
|80
( 1 2
x2
4 x) |84
40 3
法2:s 8 2xdx 1 4 (8 4)
0
2
22 3
3
x2
|80
8
X型求解法
2 2 16 2 8 40
3
3
法3:s
4
[(4
y)
1
y2 ]dy
0
2
(4
y
1 2
y2
1 6
y3
)
|04
x 1 y2 2
x 4 y
4 4 1 42 1 43 40
4
(0 ≤ x ≤ 2) (单位:N)的作用下,沿着 ( x 2)
与力 F 相同的方向,从 x=0 处运动到 x=4 处(单位:m),则力 F(x)所
作的功为( )J
(A)44 (B)46 (C)48 (D)50
B
析:W
4
F ( x)dx
2
10dx
4
(3x 4)dx
0
0
2
10 x
|02
的交点坐标是(-1,0),(1,0).所求面积
如图阴影所示:
所以:
S 2 (x2 1)dx 1 (x2 1)dx
1
1
x
( x3 x) 2 ( x3 x) 1 8
3
13
1 3
类型2:由两条曲线y=f(x)和y=g(x),直线 x=a,x=b(a<b)所围成平面图形的面积S
y f (x)
1.7定积分的简单应用
定积分在几何和物理中的应用
1.7.1 定积分的简单应用
定积分在几何中的应用
定积分的简单应用(1.7)
第□讲
定积分的简单应用
[知识要点]:
1.微积分基本定理
如果 ,且 在在 上
,则 .
即: 从 到 的积分等于.其中
叫做 的一个原函数.由于
,也是 的原函数,其中
为常数.
一般地,原函数在 上的改变量 ,简记作.
因此,微积分基本定理可以写成形式:
6.若 ,则
A.0 B.1 C.0或1 D.以上都不对
7.与定积分 相等的是
8.与定积分 相等的是
第 页
☆ 蔡 老 师 高 考 与 中 考 数 学 研 究 中 心 (21216123)△
第 □ 讲
定积分的简单应用
C.综合提高
9.由曲线 ,直线 和 轴围成的封闭图形的面积(如下图)是
10.计算定积分:
.
2.求定积分主要是要找到被积函数的.也就是说,要找到一个函数,它的导函数等于
.由此可见,求导运算与求原函数运算互为
[激活思维]:
例1计算下列定积分:
(1) ; (2) ;
(3) ; (4) .
例2计算下列定积分:
变式引申:求曲线 与直线
, 所围图形的面积(见下图).
(1) ; (2) ;
(3) ; (4) ;
(5) (6)
(7) ; (8) .
[备选练习]:
1.如下图,计算定积分 .
2.计算定积分:
(1) ; (2)
(3) ; (4) .
第 页
[分级训练]:
A.基础训练
1.下列积分正确的一个是
2.设 在 上连续,将 等分,在每个小区间上任取 ,则 是
3.下列命题中不正确的是
专题1.5 定积分的概念 1.6 微积分基本定理 1.7 定积分的简单应用-20届高中数学同步讲义(理)
1.定积分的概念一般地,如果函数()f x 在区间[,]a b 上连续,用分点011i i n a x x x x x b -=<<<<<<=将区间[,]a b 等分成n 个小区间,在每个小区间1[,]i i x x -上任取一点(1,2,,)i i n ξ=,作和式11()()nni i i i b af x f nξξ==-∆=∑∑(其中x ∆为小区间长度),当n →∞时,上述和式无限接近某个常数,这个常数叫做函数()f x 在区间[,]a b 上的定积分,记作________,即1()d lim ()nbi an i b af x x f nξ→∞=-=∑⎰. 这里,a 与b 分别叫做积分下限与积分上限,区间[,]a b 叫做积分区间,函数()f x 叫做被积函数,x 叫做积分变量,()d f x x 叫做被积式.2.定积分的几何意义从几何上看,如果在区间[,]a b 上函数()f x 连续且恒有()0f x ≥,那么定积分()d baf x x ⎰表示由直线,()x a x b a b ==≠,0y =和曲线()y f x =所围成的__________.这就是定积分()d baf x x ⎰的几何意义.3.定积分的性质由定积分的定义,可以得到定积分的如下性质: ①()d __________(ba kf x x k =⎰为常数); ②1212[()()]d ()d ()d bb ba aaf x f x x f x x f x x ±=±⎰⎰⎰;③()d ()d ()d bc baacf x x f x x f x x =+⎰⎰⎰(其中a c b <<). 4.微积分基本定理一般地,如果()f x 是区间[,]a b 上的连续函数,并且()()F x f x '=,那么___________.这个结论叫做微积分基本定理,又叫做牛顿-莱布尼茨公式.为了方便,我们常常把()()F b F a -记成()|ba F x ,即()d ()|()()bb a af x x F x F b F a ==-⎰.微积分基本定理表明,计算定积分()d baf x x ⎰的关键是找到满足()()F x f x '=的函数()F x .通常,我们可以运用基本初等函数的求导公式和导数的四则运算法则从反方向上求出()F x .学&科网5.定积分在几何中的应用定积分在几何中的应用主要是计算由两条曲线所围图形的面积.由曲边梯形面积的求法,我们可以将求由两条曲线所围图形的面积问题转化为求两个曲边梯形的面积问题,进而用定积分求出面积.6.定积分在物理中的应用①变速直线运动的路程:我们知道,做变速直线运动的物体所经过的路程s ,等于其速度函数()(()0)v v t v t =≥在时间区间[,]a b 上的定积分,即________s =.②变力做功:一物体在恒力F (单位:N )的作用下做直线运动,如果物体沿着与F 相同的方向移动了s (单位:m ),则力F 所做的功为W Fs =.已知某物体在变力()F x 的作用下做直线运动,并且该物体沿着与()F x 相同的方向从x a =移动到()x b b a =>,求变力()F x 所做的功W ,与求曲边梯形的面积及求变速直线运动的路程一样,可用“四步曲”解决,得到_________W =.K 知识参考答案:6.①()d bav t t ⎰②()d baF x x ⎰K —重点 定积分的几何意义,定积分的基本性质,运用微积分基本定理计算定积分,定积分的应用 K —难点 运用微积分基本定理计算定积分,用定积分求几何图形的面积 K —易错 运用微积分基本定理计算定积分时,弄错积分的上、下限利用定积分的几何意义计算定积分利用定积分所表示的意义求()d baf x x ⎰的值的关键是确定由曲线()y f x =,直线x a =,直线x b =及x轴所围成的平面图形的形状.利用定积分的几何意义求π22π22()sin d d cos x x f x x x --+⎰⎰,其中21,0()31,0x x f x x x -≥⎧=⎨-<⎩.【答案】6-. 【解析】ππ20222ππ2222d d d ()sin cos (31)(21)sin cos d d f x x x x x x x x x x x x ----+=-+-+⎰⎰⎰⎰⎰.∵sin cos y x x =为奇函数,∴π2π2sin cos d 0x x x -=⎰.利用定积分的几何意义,如下图:学科@网∴271(31)28d 2x x -+-=-⨯=-⎰,2031(21)122d x x +-=⨯=⎰,故π22π22()sin co 6d s 820d f x x x x x --+=-++=-⎰⎰.【名师点睛】(1)利用定积分的几何意义求解时,常见的平面图形的形状是三角形、直角梯形、矩形、圆等可求面积的平面图形.(2)设函数()f x 在闭区间[,]a a -上连续,则若()f x 是偶函数,则0()d 2()d aaaf x x f x x -=⎰⎰;若()f x 是奇函数,则()d 0aaf x x -=⎰.利用微积分基本定理计算定积分求函数()f x 在某个区间上的定积分时,要注意:(1)掌握基本初等函数的导数以及导数的运算法则,正确求解导数等于被积函数的函数.当这个函数不易求时,可将被积函数适当变形后再求解.具体方法是能化简的化简,不能化简的变为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数、对数函数与常数的和或差. (2)精确定位积分区间,分清积分下限与积分上限.计算下列定积分:(1)221(23)d x x x ++⎰; (2)πcos d (e )x x x --⎰; (3)π22d sin 2x x⎰;(4)94(1)d x x x +⎰.【答案】(1)253;(2)π11e -;(3)π24-;(4)2716.【名师点睛】微积分基本定理揭示了导数与定积分之间的关系,即求定积分与求导互为逆运算,求定积分时只需找到被积函数的一个原函数.定积分在几何中的应用对于简单图形的面积求解,我们可以直接运用定积分的几何意义,此时, (1)确定积分上、下限,一般为两交点的横坐标. (2)确定被积函数,一般是上曲线与下曲线对应函数的差. 这样所求的面积问题就转化为运用微积分基本定理计算定积分了.求由曲线22y x =+与3y x =,0x =,2x =所围成的平面图形的面积(画出图形).【答案】图形见解析,平面图形的面积为1S =.【解析】画出曲线22y x =+与3y x =,则下图中的阴影部分即为所要求的平面图形.解方程组223y x y x ⎧=+⎨=⎩,可得12x x ==或.故平面图形的面积为322312221201133(2)3d 3(2)d (2)|(2)|3223x x x x S x x x x x x x x =+-+-+=+-+--⎰⎰1=,所以所求图形的面积为1.【名师点睛】(1)定积分可正、可负或为零,而平面图形的面积总是非负的.(2)若图形比较复杂,可以求出曲线的交点的横坐标,将积分区间细化,分别求出相应区间上平面图形的面积再求和,注意在每个区间上被积函数均是由上减下.学科&网定积分在物理中的应用(1)已知变速直线运动的方程,求在某段时间内物体运动的位移或者经过的路程,就是求速度方程的定积分.(2)利用定积分求变力做功的问题,关键是求出变力与位移之间的函数关系,确定好积分区间,得到积分表达式,再利用微积分基本定理计算即可.设有一长25 cm 的弹簧,若加以100 N 的力,则弹簧伸长到30 cm ,又已知弹簧伸长所需要的拉力与弹簧的伸长量成正比,求使弹簧由25 cm 伸长到40 cm 所做的功. 【答案】将弹簧由25 cm 伸长到40 cm 时所做的功为22.5J .【名师点睛】求解时注意单位的换算,把cm 换算为m .1.定积分()d baf x x ⎰的大小A .与()f x 和积分区间[],a b 有关,与i ξ的取法无关B .与()f x 有关,与区间[],a b 以及i ξ的取法无关C .与()f x 以及i ξ的取法有关,与区间[],a b 无关D .与()f x 、区间[],a b 和i ξ的取法都有关2.在求由抛物线26y x =+与直线1x =,2x =,0y =所围成的平面图形的面积时,把区间[1,2]等分成n 个小区间,则第i 个区间为 A .1[,]i in n- B .1[,]n i n in n +-+ C .[1,]i i -D .1[,]i i n n+3.已知31()d 56f x x =⎰,则A .21()d 28f x x =⎰ B .32()d 28f x x =⎰C .212()d 56f x x =⎰D .2312()d ()d 56f x f x x x +=⎰⎰4.定积分1(2e )d x x x +=⎰A .e 2+B .e 1+C .eD .e 1-5.直线34x y x y ==与曲线在第一象限内围成的封闭图形的面积为 A .22B .42C .2D .46.计算:11||d x x -=⎰A .11d x x -⎰B .11d x -⎰C .11()d d x x x x --+⎰⎰D .110d ()d x x x x -+-⎰⎰7.由直线0y =,e x =,2y x =及曲线xy 2=所围成的封闭图形的面积S = A .2ln 23+ B .3 C .22e 3-D .e8.定积分0|sin cos |d x x x π-=⎰A .22+B .22-C .2D .229.已知1201d 3x x =⎰,2217d 3x x =⎰,则220(1)d x x +=⎰________________. 10.计算:121(sin )d x x x -+=⎰________________.11.计算π220sin d 2xx =⎰________________.12.若11(2)d 3ln 2ax x x+=+⎰,则实数a =________________.13.已知函数22()31f x x x =++,若11()()d 2f x x f a -=⎰成立,则实数a =________________. 14.已知函数2max (),{}f x x x =,则22()d f x x -=⎰________________.15.已知()y f x =是二次函数,方程()0f x =有两个相等的实根,且()22f x x '=+.(1)求()f x 的解析式;(2)求曲线()y f x =与曲线241y x x =--+所围成的图形的面积S .16.如图,抛物线的方程为21y x =-,则图中阴影部分的面积可表示为A .220()1d x x -⎰ B .|220()1d x x -⎰|C .220||1d x x -⎰D .1222011d 1)d (()x x x x -+-⎰⎰17.设113d a x x =⎰,120d b x x =⎰,130d c x x =⎰,则a ,b ,c 的大小关系是A .c a b >>B .a b c >>C .a b c =>D .a c b >>18.一辆汽车在高速公路上行驶,由于遇到紧急情况而刹车,以速度25()731v t t t=-++(t 的单位:s ,v 的单位:m /s )行驶至停止.在此期间汽车继续行驶的距离(单位:m )是 A .125ln5+ B .11825ln3+ C .425ln5+D .450ln 2+19.下列命题不正确的是A .若()f x 是连续的奇函数,则()d 0aa f x x -=⎰B .若()f x 是连续的偶函数,则0()d 2()d aa af x f x x x -=⎰⎰C .若()f x 在[],a b 上连续且恒正,则()d 0bax f x >⎰D .若()f x 在[),a b 上连续且()d 0baf x x >⎰,则()f x 在[),a b 上恒正20.如图,阴影区域是由函数cos y x =的一段图象与x 轴围成的封闭图形,那么这个阴影区域的面积是A .1B .2C .π2D .π21.已知()f x 是一次函数,若1()d 5f x x =⎰,117()d 6x x x f =⎰,则函数()f x 的解析式为 A .3(4)f x x =+B .4(3)f x x =+C .2(4)f x x =-+D .4(3)f x x =-+22.已知分段函数21,0()e ,0x x x f x x -⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩,则31(2)d f x x -=⎰A .13e + B .2e - C .713e-D .12e-23.已知π207sin()d 4x x ϕ-=⎰,则sin 2ϕ=________________. 24.若0cos 2cos d tt x x =-⎰,其中,()0t ∈π,则t =________________.25.已知函数21,10()1,01x x f x x x +-≤≤⎧⎪=⎨-<≤⎪⎩,则11()d f x x -=⎰________________. 26.如图,求由曲线1y x=,2y x =与直线2x =,0y =所围成的阴影部分的面积.1.【答案】A【解析】由定积分定义及求曲边梯形面积的四个步骤,可知定积分()d baf x x ⎰的大小与()f x 和积分区间[],a b 有关,与i ξ的取法无关,故选A .学#科网2.【答案】B【解析】在区间[1,2]上等间隔地插入1n -个点,将它等分成n 个小区间[1,1n n +],[1n n +,2n n+], (1),]n i n i n n +-+,…,[21n n-,2],所以第i 个区间为1[,]n i n in n +-+ 1,2,(),i n =.故选B .3.【答案】D 【解析】由题可得323112()d ()d ()d 56f x f x x x x f x =+=⎰⎰⎰,故选D .4.【答案】C 【解析】121212000(2e )d (e )|(1e )(0e )e x x x x x +=+=+-+=⎰,故选C .5.【答案】D【解析】由已知得23242001(4)d (2)|44S x x x x x =-=-=⎰,故选D . 6.【答案】C7.【答案】B【解析】由题可得1e21e010122d d 2ln 3S x x x x x x=+=+=⎰⎰,故选B .8.【答案】D 【解析】44044|sin cos |d (cos sin )d (sin cos )d (sin cos )(sin cos )x x x x x x x x x x x x x πππππππ-=-=-=++--=⎰⎰⎰22,故选D .9.【答案】143【解析】根据定积分的性质可得2122220011714(1)d d d 22333x x x x x x +=++=++=⎰⎰⎰. 10.【答案】23【解析】12311112(sin )d (cos )33x x x x x --+=-=⎰.学*科网 11.【答案】π24- 【解析】πππ22220001cos 1π2sin d d (sin )2224x x x x x x --==-=⎰⎰. 12.【答案】2【解析】221111111(2)d 2d d ln 1ln 3ln 2aa a aa x x x x x x xa a xx +=+=+=-+=+⎰⎰⎰,解得2a =.13.【答案】1-或1314.【答案】112【解析】如图,可得222,0(){},01,1max ,x x x f x x x x x x ⎧≤=⎪=<<⎨⎪≥⎩,所以201222221d d d d 11()2f x x x x x x x x --=++=⎰⎰⎰⎰. 15.【答案】(1)2()21f x x x =++;(2)9.【解析】(1)设2()(0)f x ax bx c a =++≠,由题意可得240222b ac ax b x ⎧-=⎨+=+⎩,所以1,2,1a b c ===,所以2()21f x x x =++.(2)由2221341y x x x y x x ⎧=++⎪⇒=-⎨=--+⎪⎩或0x =, 所以022320332[(41)(21)]d (3)|93S x x x x x x x --=--+-++=--=⎰. 16.【答案】C【解析】由图形可知阴影部分的面积为1222011d 1)d (()x x x x -+-⎰⎰,而21220||(1)d 1d x x x x -=-+⎰⎰221()1d x x -⎰,故选C .17.【答案】B【解析】由题可得141133033d 44a x x x===⎰,1231011d 33b x x x ===⎰,1341011d 44c x x x===⎰,因为113434<<,所以a b c >>.故选B . 18.【答案】C【解析】令25()7301v t t t =-+=+,解得4t =或83t =-(舍去).故所求距离是4025(73)d 1t t t -+=+⎰242033[725ln(1)]|74425ln 5425ln 522t t t -++=⨯-⨯+=+,故选C . 19.【答案】D20.【答案】B【解析】根据余弦函数的对称性可得,曲线从π2x =-到π2x =与x 轴围成的面积与从π2x =到3π2x =与x 轴围成的面积相等,故阴影部分的面积ππ22ππ22cos d sin 2S x x x--===⎰,故选B .21.【答案】A【解析】由题可设((0))f x ax b a =+≠,则11001()d ()d 52f x ax b x x a b =+=+=⎰⎰,1()d xf x x =⎰11117()d 326x ax b x a b +=+=⎰,所以152a b +=且1117326a b +=, 解得4a =,3b =,所以3(4)f x x =+.故选A .学科@网 22.【答案】C23.【答案】916【解析】由题可得πππ2220sin()d (sin cos cos sin )d (cos cos sin sin )|x x x x x x x ϕϕϕϕϕ-=-=-+=⎰⎰7(sin cos )4ϕϕ--=,两边同时平方可得71sin 216ϕ-=,所以9sin 216ϕ=.24.【答案】π2【解析】由于00cos 2co s s s d in in tt t t x xx -=--==⎰,所以22sin sin 10t t --=,所以sin 1t =(负值舍去),又,()0t ∈π,所以t =π2. 25.【答案】124π+ 【解析】由题可得21012011121π1()d ()d d ()1|22144f x x x x x x x x ---π=+=++++=-⎰⎰⎰.26.【答案】2ln 23+.【解析】由题图知阴影部分的面积3121220101122d d|ln|ln233S x x x x xx=+=+=+⎰⎰.。
1.5定积分的概念+1.6微积分基本定理+1.7定积分的简单应用
(6) 0π2 (3x+sinx)dx
(7)
3
(3x2-2x+1)dx
-1
(8)12x12dx
(1)1xdx 0
[解析] ∵(x22)′=x,∴1xdx=x22|10=12. 0
(2)
π
2 sinxdx
0
[解析]
∵(-cosx)′=sinx,∴
π2sinxdx=-cosx|π02
0
=(-cosπ2)-(-cos0)=1.
⑦ʃbaaxdx=lnaxaba(a>0 且 a≠1). ⑧ʃbaexdx=ex|ba.
其中②③为①的特例, ⑧为⑦的特例
知识点四 定积分的性质
(1)bkf(x)dx=
kbf(x)dx a
(k
为常数);
a
(2)b[f1(x)±f2(x)]dx=
bf1(x)dx±bf2(x)dx
a
a
;
a
cf(x)dx+bf(x)dx
知识点二 定积分的概念 如果函数 f(x)在区间[a,b]上连续,用分点 a=x0<x1<…<xi-1<xi<…<xn
=b 将区间[a,b]等分成 n 个小区间,在每个小区间[xi-1,xi]上任取一
n
n b-a
点 ξi(i=1,2,…,n)作和式 f(ξi)Δx= n f(ξi),当 n→∞时,上述和
答案 已知图形是由直线x=1,y=0和曲线y=x2所围成的,可称为曲边梯 形,曲边梯形的一条边为曲线段,而“直边图形”的所有边都是直线段.
梳理 曲边梯形的概念及面积求法 (1)曲边梯形:由直线x=a,x=b(a≠b),y=0和曲线 y=f(x)所围成的图形称为曲边梯形(如图①所示). (2)求曲边梯形面积的方法 把区间[a,b]分成许多小区间,进而把曲边梯形拆分为 一些小曲边梯形.对每个小曲边梯形“以直代曲”,即 用矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积,得到每个小 曲边梯形面积的近似值,对这些近似值求和,就得到曲 边梯形面积的近似值(如图②所示). (3)求曲边梯形面积的步骤:①分割;②近似代替;③求和;④取极限.
定积分的简单应用(老师版)
[学习目标] 1.理解定积分的几何意义,会通过定积分求由两条或多条曲线围成的图形的面积.2.掌握利用定积分求曲边梯形面积的几种常见题型及方法.3.通过具体实例了解定积分在物理中的应用,会求变速直线运动的路程和变力做功的问题.知识点一 定积分在求几何图形面积方面的应用1.求由一条曲线y =f (x )和直线x =a ,x =b (a <b )及y =0所围成的平面图形的面积S . (1)如图①,f (x )>0,⎠⎛ab f (x )d x >0,所以S =⎠⎛ab f (x )d x .(2)如图②,f (x )<0,⎠⎛ab f (x )d x <0,所以S =⎪⎪⎪⎪⎠⎛a bf (x )d x =-⎠⎛ab f (x )d x .(3)如图③,当a ≤x ≤c 时,f (x )≤0,⎠⎛a c f (x )d x <0;当c ≤x ≤b 时,f (x )≥0,⎠⎛ab f (x )d x >0.所以S =⎪⎪⎪⎪⎠⎛acf (x )d x +⎠⎛cbf (x )d x =-⎠⎛a c f (x )d x +⎠⎛cb f (x )d x .2.求由两条曲线f (x )和g (x )(f (x )>g (x )),直线x =a ,x =b (a <b )所围成平面图形的面积S . (1)如图④,当f (x )>g (x )≥0时,S =⎠⎛ab [f (x )-g (x )]d x .(2)如图⑤,当f (x )>0,g (x )<0时,S =⎠⎛ab f (x )d x +⎪⎪⎪⎪⎠⎛abg (x )d x =⎠⎛ab[f (x )-g (x )]d x . 3.当g (x )<f (x )≤0时,同理得S =⎠⎛ab [f (x )-g (x )]d x .思考 (1)怎样利用定积分求不分割型图形的面积? (2)当f (x )<0时,f (x )与x 轴所围图形的面积怎样表示?答案 (1)求由曲线围成的面积,要根据图形,确定积分上下限,用定积分来表示面积,然后计算定积分即可. (2)如图,因为曲边梯形上边界函数为g (x )=0,下边界函数为f (x ),所以 S =⎠⎛a b (0-f (x ))d x =-⎠⎛ab f (x )d x .4.利用定积分求平面图形面积的步骤:(1)画出图形:在平面直角坐标系中画出曲线或直线的大致图象;(2)确定图形范围,通过解方程组求出交点的横坐标(或纵坐标),确定积分上、下限;(3)确定被积函数;(4)写出平面图形面积的定积分表达式;(5)利用微积分基本定理计算定积分,求出平面图形的面积,写出答案. 知识点二 定积分在物理中的应用 1.在变速直线运动中求路程、位移路程是位移的绝对值之和,从时刻t =a 到时刻t =b 所经过的路程s 和位移s ′分别为: (1)若v (t )≥0,则s =⎠⎛a b v (t )d t ,s ′=⎠⎛ab v (t )d t .(2)若v (t )≤0,则s =-⎠⎛a b v (t )d t ,s ′=⎠⎛ab v (t )d t .(3)若在区间[a ,c ]上v (t )≥0,在区间[c ,b ]上v (t )<0, 则s =⎠⎛a c v (t )d t -⎠⎛c b v (t )d t ,s ′=⎠⎛ab v (t )d t .2.定积分在物理中的应用(1)做变速直线运动的物体所经过的路程s ,等于其速度函数v =v (t )(v (t )≥0)在时间区间[a ,b ]上的定积分,即s =⎠⎛ab v (t )d t .(2)一物体在恒力F (单位:N)的作用下做直线运动,如果物体沿着与F 相同的方向移动了s (单位:m),则力F 所做的功为W =Fs ;而若是变力所做的功W ,等于其力函数F (x )在位移区间[a ,b ]上的定积分,即W =⎠⎛ab F (x )d x .思考 下列判断正确的是 .(1)路程是标量,位移是矢量,路程和位移是两个不同的概念; (2)利用定积分求变速直线运动的路程和位移是同一个式子⎠⎛t 1t 2v (t )d t ;(3)利用定积分求变速直线运动的路程和位移不是同一个式子⎠⎛t 1t 2v (t )d t .答案 (1)(3)解析 (1)显然正确.对于(2)(3)两个判断,由于当v (t )≥0时,求某一时间段内的路程和位移均用⎠⎛t 1t 2v (t )d t 求解;当v (t )<0时,求某一时间段内的位移用⎠⎛t 1t 2v (t )d t 求解,这一时段的路程是位移的相反数,即路程为-⎠⎛t 1t 2v (t )d t .所以(2)错(3)正确. 题型一 利用定积分求平面图形的面积问题例1 求由抛物线y 2=x5,y 2=x -1所围成图形的面积.解 在同一个平面直角坐标系上画出两个抛物线的大致图形,如图. 方法一 以x 为积分变量.由⎩⎪⎨⎪⎧y 2=x 5,y 2=x -1,得两个抛物线的两个交点坐标分别为A ⎝⎛⎭⎫54,12,B ⎝⎛⎭⎫54,-12. 设点P (1,0),则所求面积S =2⎝ ⎛⎭⎪⎫⎠⎜⎛054x 5d x -⎠⎜⎛154x -1d x=2()355324420312x x ⎤--⎥⎢⎥⎣⎦=23. 方法二 以y 为积分变量.由⎩⎪⎨⎪⎧y 2=x 5,y 2=x -1,可得两个抛物线的两个交点坐标分别为A ⎝⎛⎭⎫54,12,B ⎝⎛⎭⎫54,-12. 设点P (1,0),则所求面积S =2⎠⎜⎛012 (y 2+1-5y 2)d y=2⎝⎛⎭⎫y -43y 3⎪⎪⎪⎪120=23. 反思与感悟 若以x 为积分变量,则被积函数的原函数不易确定,而且计算也比较麻烦;若以y 为积分变量,则可以避免这种情况.选取积分变量有时对解题很关键.跟踪训练1 在曲线y =x 2(x ≥0)上的某一点A 处作一切线,使之与曲线以及x 轴所围成图形的面积为112.试求:切点A 的坐标和过切点A 的切线方程.解 如图所示,设切点A (x 0,y 0),由y ′=2x 得过A 点的切线方程为y -y 0=2x 0(x -x 0),即y =2x 0x -x 20. 令y =0,得x =x 02即C ⎝⎛⎭⎫x 02,0. 设由曲线和过A 点的切线及x 轴所围成图形的面积为S ,则S =S 曲边△AOB -S △ABC .S 曲边△AOB =00x ⎰x 2d x =13x 3⎪⎪⎪x 00=13x 30,S △ABC =12|BC |·|AB |=12⎝⎛⎭⎫x 0-x 02·x 20=14x 30, 即S =13x 30-14x 30=112x 30=112,所以x 0=1. 从而切点为A (1,1),切线方程为y =2x -1 题型二 运用定积分求解物理问题例2 一点在直线上从时刻t =0(s)开始以速度v =t 2-4t +3(m/s)运动,求: (1)此点在t =4 s 时的位置; (2)此点在t =4 s 时运动的路程.解 因为位置决定于位移,所以它是v (t )在[0,4]上的定积分,而路程是位移的绝对值之和,所以需要判断在[0,4]上哪些时间段的位移为负. (1)在t =4 s 时,该点的位移为⎠⎛04(t 2-4t +3)d t =⎝⎛⎭⎫13t 3-2t 2+3t ⎪⎪⎪40=43(m). 即在t =4 s 时该点在距出发点43 m 处.(2)∵v (t )=t 2-4t +3=(t -1)(t -3), ∴在区间[0,1]及[3,4]上,v (t )≥0, 在区间[1,3]上,v (t )≤0, ∴该点在t =4 s 时的路程为S =⎠⎛01(t 2-4t +3)d t +⎪⎪⎪⎪⎠⎛13(t 2-4t +3)d t +⎠⎛34(t 2-4t +3)d t =⎠⎛01(t 2-4t +3)d t -⎠⎛13(t 2-4t +3)d t +⎠⎛34(t 2-4t +3)d t =4(m).反思与感悟 解决此类问题的一般步骤:(1)求出每一时间段上的速度函数;(2)根据定积分的物理意义,求出对应时间段上的定积分.跟踪训练2 有一辆汽车以每小时36 km 的速度沿平直的公路行驶,在B 处需要减速停车.设汽车以2 m/s 2的加速度刹车,问:从开始刹车到停车,汽车行驶了多远?解 设从开始刹车到停车,汽车经过了t s. v 0=36 km/h =10 m/s ,v (t )=v 0-at =10-2t . 令v (t )=0,解得t =5.所以从开始刹车到停车,汽车行驶的路程为s =⎠⎛05(10-2t )d t =(10t -t 2)⎪⎪⎪50=25(m). 故从开始刹车到停车,汽车行驶了25 m. 题型三 用定积分解决变力做功问题例3 设有一个长为25 cm 的弹簧,若加以100 N 的力,则弹簧伸长到30 cm ,求使弹簧由25 cm 伸长到40 cm 所做的功.解 设x 表示弹簧伸长的长度,f (x )表示加在弹簧上的力,则f (x )=kx (其中常数k 为比例系数). 因为当f (x )=100时,x =5,所以k =20. 所以f (x )=20x .弹簧由25 cm 伸长到40 cm 时,弹簧伸长的长度x 从0 cm 变化到15 cm ,故所做的功W =⎠⎛01520x d x =10x 2⎪⎪⎪150=2 250(N·cm)=22.5(J).反思与感悟 (1)根据物理学知识,求出变力f (x )的表达式;(2)由功的物理意义知,物体在变力f (x )的作用下,沿力的方向做直线运动,使物体由一个位置移到另一个位置,因此,求功之前应先求出位移的起始位置和终止位置;(3)根据变力做功的公式W =⎠⎛ab f (x )d x 求出变力所做的功.跟踪训练3 如图所示,设气缸内活塞一侧存在一定量气体,气体做等温膨胀时推动活塞向右移动一段距离,若气体体积由V 1变为V 2,求气体压力所做的功.解 由物理学知识知,气体膨胀为等温过程,所以气体压强为P =CV (V 表示气体体积,C 为常数),而活塞上的压力为F =PQ =CQ V =CL(Q 表示截面积,L 表示活塞移动的距离,V =LQ ).记L 1,L 2分别表示活塞的初始位置和终止位置,于是有W =⎠⎛L 1L 2F (L )d L =⎠⎛L 1L 2C L d L =C ⎠⎛V 1V 21V d V =C (ln V )⎪⎪⎪V 2V 1=C (ln V 2-ln V 1).所以气体体积由V 1变为V 2,气体压力所做的功为C (ln V 2-ln V 1). 用定积分求平面图形面积时,因对图形分割不当致误例4 求由抛物线y 2=8x (y >0)与直线x +y -6=0及y =0所围成图形的面积. 错解 由题意,作出图形如图由⎩⎪⎨⎪⎧ y 2=8x (y >0),x +y -6=0得⎩⎪⎨⎪⎧x =2,y =4,所以抛物线y 2=8x (y >0)与直线x +y -6=0的交点坐标为(2,4), 所以所求面积为S =⎠⎛04(6-x -8x )d x=3242012623x x x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭=24-8-423×324=16-3223.错因分析 S =⎠⎛04(6-x -8x )d x =⎠⎛04(6-x )d x -⎠⎛048x d x .⎠⎛04(6-x )d x 表示由直线y =6-x 与直线x =0,直线x =4,直线y =0围成的图形的面积,⎠⎛048x d x 表示由抛物线y 2=8x (y >0)与直线x =0,直线x =4,直线y =0围成的图形的面积.上述S 显然不是所求图形的面积. 正解 S =⎠⎛028x d x +⎠⎛26(6-x )d x=3223x ⎫⎪⎭⎪⎪⎪ 20+⎝⎛⎭⎫6x -12x 2⎪⎪⎪62=163+⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫6×6-12×62-⎝⎛⎭⎫6×2-12×22 =163+8=403. 防范措施 合理划分积分上、下限及正确选择积分变量,最好结合图形进行处理. 1.在下面所给图形的面积S 及相应表达式中,正确的有( )S =⎠⎛ba [f (x )-g (x )]d x S =⎠⎛08(22x -2x +8)d x① ②S =⎠⎛14f (x )d x -⎠⎛47f (x )d x S =⎠⎛0a [g (x )-f (x )]d x +⎠⎛ab [f (x )-g (x )]d x③ ④A.①③B.②③C.①④D.③④答案 D解析 ①应是S =⎠⎛ab [f (x )-g (x )]d x ,②应是S =⎠⎛0822x d x -⎠⎛48(2x -8)d x ,③和④正确.故选D.2.曲线y =cos x (0≤x ≤32π)与坐标轴所围图形的面积是( )A.2B.3C.52 D.4答案 B解析 S =⎠⎜⎛0π2cos x d x -⎠⎜⎜⎛π23π2cos x d x =sin x ⎪⎪⎪⎪π20- sin x ⎪⎪⎪3π2 π2=sin π2-sin 0- sin 3π2+sin π2=1-0+1+1=3.3.一列车沿直线轨道前进,刹车后列车速度v (t )=27-0.9t ,则列车刹车后前进多少米才能停车( )A.405B.540C.810D.945 答案 A解析 停车时v (t )=0,由27-0.9t =0,得t =30, ∴s =⎠⎛030v (t )d t =⎠⎛030(27-0.9t )d t =(27t -0.45t 2)⎪⎪300=405. 4.由曲线y =x 2+4与直线y =5x ,x =0,x =4所围成平面图形的面积是 . 答案193解析 由图形可得S =⎠⎛01(x 2+4-5x )d x +⎠⎛14(5x -x 2-4)d x=⎝⎛⎭⎫13x 3+4x -52x 2⎪⎪⎪ 10+⎝⎛⎭⎫52x 2-13x 3-4x ⎪⎪⎪41 =13+4-52+52×42-13×43-4×4-52+13+4 =193. 5.一个弹簧压缩x cm 可产生4x N 的力,把它从自然长度压缩到比自然长度短5 cm ,求弹簧克服弹力所做的功. 解 设F (x )=kx ,∵弹簧压缩x cm 可产生4x N 的力,∴k =4. ∴弹簧克服弹力所做的功为W =4⎠⎛05x d x =4×⎝⎛⎭⎫12x 2⎪⎪⎪50=50(N·cm)=0.5(J). 1.利用定积分求平面图形面积的一般步骤:(1)在平面直角坐标系中画出图形;(2)通过解方程求出交点坐标;(3)写出平面图形面积的定积分表达式,当被求平面区域较复杂时,可分割求和;(4)运用微积分基本定理计算定积分,求出平面图形的面积. 2.路程问题.(1)用定积分解决变速直线运动的位移和路程问题时,将物理问题转化为数学问题是关键.(2)路程是位移的绝对值之和,因此在求路程时,要先判断速度在区间内是否恒正,若符号不定,应求出使速度恒正或恒负的区间,然后分别计算. 3.变力做功问题.(1)变力做功问题,首先要将变力用其方向上的位移表示出来,这是关键一步.(2)根据变力做功的公式,将其转化为求定积分的问题. 一、选择题1.用S 表示图中阴影部分的面积,则S 的值是( ) A. ⎠⎛ac f (x )d xB.⎪⎪⎪⎪⎠⎛acf (x )d x C. ⎠⎛ab f (x )d x +⎠⎛bc f (x )d xD.⎠⎛b c f (x )d x -⎠⎛ab f (x )d x答案 D解析 ∵x ∈[a ,b ]时, f (x )<0,x ∈[b ,c ]时,f (x )>0,∴阴影部分的面积S =⎠⎛b c f (x )d x -⎠⎛ab f (x )d x .2.一物体沿直线以v =2t +1 (t 的单位:s ,v 的单位:m/s)的速度运动,则该物体在1~2 s 间行进的路程为( ) A.1 m B.2 m C.3 m D.4 m 答案 D解析 s =⎠⎛12(2t +1)d t =(t 2+t )⎪⎪⎪21=4(m).3.一物体从A 处向B 处运动,速度为1.4t m/s(t 为运动的时间),到B 处时的速度为35 m/s ,则AB 间的距离为( ) A.120 m B.437.5 m C.360 m D.480 m答案 B解析 从A 处到B 处所用时间为25 s.所以|AB |=⎠⎛0251.4t d t =0.7t 2⎪⎪⎪250=437.5 (m).4.若y =f (x )与y =g (x )是[a ,b ]上的两条光滑曲线的方程,则这两条曲线及直线x =a ,x =b 所围成的平面区域的面积为( ) A.⎠⎛ab [f (x )-g (x )]d xB.⎠⎛a b [g (x )-f (x )]d xC.⎠⎛ab |f (x )-g (x )|d x D.⎪⎪⎪⎪⎠⎛a b[f (x )-g (x )]d x 答案 C解析 当f (x )>g (x )时,所求面积为⎠⎛a b [f (x )-g (x )]d x ;当f (x )≤g (x )时,所求面积为⎠⎛ab [g (x )-f (x )]d x .综上,所求面积为⎠⎛ab |f (x )-g (x )|d x .5.以初速度40 m/s 竖直向上抛一物体,t s 时速度v =40-10t 2,则此物体达到最高时的高度为( ) A.1603 m B.803 m C.403 m D.203m 答案 A解析 v =0时物体达到最高, 此时40-10t 2=0,则t =2 s. 又∵v 0=40 m/s ,∴t 0=0 s.∴h =⎠⎛02(40-10t 2)d t =⎝⎛⎭⎫40t -103t 3⎪⎪⎪20=1603(m). 6.如果1 N 的力使弹簧伸长1 cm ,在弹性限度内,为了将弹簧拉长10 cm ,拉力所做的功为( ) A.0.5 J B.1 J C.50 J D.100 J 答案 A解析 由于弹簧所受的拉力F (x )与伸长量x 成正比,依题意,得F (x )=x ,为了将弹簧拉长10 cm ,拉力所做的功为W =⎠⎛010F (x )d x =⎠⎛010x d x =12x 2⎪⎪⎪100=50 (N·cm)=0.5 (J).二、填空题7.由曲线y =x 与y =x 3所围成的图形的面积可用定积分表示为 . 答案 ⎠⎛01(x -x 3)d x解析 画出y =x 和y =x 3的草图,所求面积为如图所示阴影部分的面积,解方程组⎩⎨⎧y =x ,y =x3得交点的横坐标为x =0及x =1.因此,所求图形的面积为S =⎠⎛01(x -x 3)d x . 8.有一横截面的面积为4 cm 2的水管控制往外流水,打开水管后t 秒末的流速为v (t )=6t -t 2(单位:cm/s)(0≤t ≤6).则t =0到t =6这段时间内流出的水量为 cm 3. 答案 144解析 由题意可得t =0到t =6这段时间内流出的水量V =⎠⎛064(6t -t 2)d t =4 ⎠⎛06(6t -t 2)d t =4⎝⎛⎭⎫3t 2-13t 3⎪⎪⎪60=144 (cm 3).故t =0到t =6这段时间内流出的水量为144 cm 3.9.如图所示,将一弹簧从平衡位置拉到离平衡位置l m 处,则克服弹簧力所做的功为 J.答案 12kl 2 解析 在弹性限度内,拉伸(压缩)弹簧所需的力与弹簧拉伸(压缩)的长度成正比,即F (x )=kx ,其中k 为比例系数.由变力做功公式得W = ⎠⎛0l kx d x =12kx 2⎪⎪⎪10=12kl 2(J). 10.由两条曲线y =x 2,y =14x 2与直线y =1围成平面区域的面积是 . 答案 43解析 如图,y =1与y =x 2交点A (1,1),y =1与y =x 24交点B (2,1),由对称性可知面积 S =2⎝ ⎛⎭⎪⎫⎠⎛01x 2d x +⎠⎛121d x -⎠⎛0214x 2d x =43. 三、解答题11.求抛物线y =-x 2+4x -3与其在点A (1,0)和点B (3,0)处的切线所围成图形的面积.解 由y ′=-2x +4得在点A 、B 处切线的斜率分别为2和-2,则两直线方程分别为y =2x -2和y =-2x +6, 由⎩⎪⎨⎪⎧y =2x -2,y =-2x +6,得两直线交点坐标为C (2,2), ∴S =S △ABC -⎠⎛13(-x 2+4x -3)d x =12×2×2- ⎝⎛⎭⎫-13x 3+2x 2-3x ⎪⎪⎪ 31=2-43=23. 12.物体A 以速度v A =3t 2+1(米/秒)在一直线上运动,同时物体B 也以速度v B =10t (米/秒)在同一直线上与物体A 同方向运动,问多长时间物体A 比B 多运动5米,此时,物体A ,B 运动的距离各是多少?解 依题意知物体A ,B 均做变速直线运动.设a 秒后物体A 比B 多运动5米,则A 从开始到a 秒末所走的路程为s A =⎠⎛0a v A d t =⎠⎛0a (3t 2+1)d t =a 3+a ;B 从开始到a 秒末所走的路程为s B =⎠⎛0a v B d t =⎠⎛0a 10t d t =5a 2. 由题意得s A =s B +5,即a 3+a =5a 2+5,得a =5.此时s A =53+5=130(米),s B =5×52=125(米).故5秒后物体A 比B 多运动5米,此时,物体A ,B 运动的距离分别是130米和125米.13.定义F (x ,y )=(1+x )y ,x ,y ∈(0,+∞).令函数f (x )=F (1,log 2(x 2-4x +9))的图象为曲线C 1,曲线C 1与y 轴交于点A (0,m ),过坐标原点O 作曲线C 1的切线,切点为B (n ,t )(n >0),设曲线C 1在点A 、B 之间的曲线段与OA 、OB 所围成图形的面积为S ,求S 的值.解 ∵F (x ,y )=(1+x )y ,∴f (x )=F (1,log 2(x 2-4x +9))=2log 2(x 2-4x +9)=x 2-4x +9,故A (0,9),f ′(x )=2x -4. 又∵过O 作C 1的切线,切点为B (n ,t )(n >0),∴⎩⎪⎨⎪⎧ t =n 2-4n +9,t n=2n -4,解得B (3,6). ∴S =⎠⎛03(x 2-4x +9-2x )d x = ⎝⎛⎭⎫13x 3-3x 2+9x ⎪⎪⎪30=9.。
1.7定积分的简单应用(三).ppt1
ba x n
例:如图:在弹性限度内,将一弹簧从平衡位置拉到离 水平位置l 米处,求克服弹力所作的功. 解:在弹性限度内,拉伸(或压缩) 弹簧所需的力F(x)与弹簧拉伸 (或压缩)的长度 x 成正比.
即:F(x)=kx 所以据变力作功公式有
W F ( x )dx
0
L
L
0
1 2 答:克服弹力所作功的功为 kl J . 2
F ( x ) 所作的功 W=
a
F ( x )dx
Wi F ( xi ) x
Wn Wi F ( xi ) x
i 1 n n
F
y F ( x )
W lim F ( xi ) x F ( x )dx
b n i 1 a
n
i 1
Oห้องสมุดไป่ตู้
a
xi
b
x
1 2 L 1 2 kxdx kx |0 kl ( J ) 2 2
练习: 1.如果 1N 力能拉长弹簧 1cm,为了将弹簧拉长 6cm, 克服弹力所作的功为( A ) (A)0.18J (B)0.26J (C)0.12J (D)0.28J (0 ≤ x ≤ 2) 10 2. 一物体在力 F ( x ) ( 单位 :N) 3 x 4 ( x 2) 的作用下,沿着与力 F 相同的方向,从 x=0 处运动到 x=4 处(单位:m),则力 F(x)所作的功为(B )J (A)44 (B)46 (C)48 (D)50 3. 一物体以速度 v(t ) 2t 2 (m/s)作直线运动,媒质的 阻力 F(N)与速度 v(m/s)的关系为 F 0.7v 2 ,试求在 时刻 t 0 (s)到 t 2 (s)这段时间内阻力做的功. 102.4J
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W =
ò
b
a
F (x )dx
思考3:如图,在弹性限度内,将一弹簧 从平衡位置拉到离平衡位置xm处,那么 拉伸弹簧所需的力F(x)与x的函数关系是 什么? F(x)=kx,
其中k为弹力系数.
x
思考4:如果将弹簧从平衡位置拉到离平 衡位置l m处,那么克服弹力所作的功为 多少?
l
1 2 l 1 2 W = ò kxdx = kx |0 = kl (J ) 0 2 2
思考3:该图形的面积用定积分怎样表示?
y y =x 2 1 O C B D A 1 x y 2=x
S =
蝌
0
1
xdx -
1 0
x dx
2
思考4:利用微积分基本定理计算,该图 形的面积等于多少?
y y =x 2 y 2=x
1 O
3 2 1 0
C
B
D A 1
x
2 1 3 1 1 S = x | - x |0 = 3 3 3
1.7
1.7.1
定积分的简单应用
定积分在几何中的应用
问题提出
b
1 5730 p 2
t
1.定积分ò f (x )dx 的含义及其几何意 a 义分别是什么 n b b- a f ( xi ) òa f (x )dx = nlim å n i= 1
y
y=f(x)
ò
O
b
a
f (x )dx
O
10
40
C 60 t(s)
思考2:汽车在[0,10],[10,40],[40, 60](单位:s)三个时段内行驶的路程, 用定积分分别如何表示?
v(m/s) 30
A
B
C 60 t(s)
ò
ò
ò
60
10
0
40
3tdt
30dt
O 10
40
10
40
3 (- t + 90)dt 2
思考3:根据定积分计算,汽车在这1min 内行驶的路程是多少m?
s=
ò
b
a
v(t )dt
原理2(求变力所作的功): 如果物体在变力F(x)的作用下做直线运 动,则物体沿着与F(x)相同的方向从x= a移动到x=b(a<b)所作的功为:
W =
ò
b
a
F (x )dx
2.利用定积分求变速直线运动的位移, 其积分变量是时间,被积函数是速度对 时间的函数;利用定积分求变力所作的 功,其积分变量是位移,被积函数是力 对位移的函数.
y y= x- x 2
k = 1-
3
1 2
y=kx
1
O 1 -k x
小结作业
1.定积分在几何中的应用,主要用 于求平面曲边图形的面积.解题时,一般 先要画出草图,再根据图形确定被积函 数以及积分的上、下限. 2.定积分只能用于求曲边梯形的面 积,对于非规则曲边梯形,一般要将其 分割或补形为规则曲边梯形,再利用定 积分的和与差求面积.对于分割或补形中 的多边形的面积,可直接利用相关面积 公式求解.
y l
S max
5 = 6
O
A
x
y=ax2+bx
例3 设地球质量为M,半径为R,引力 常数为G,求把质量为m(单位:kg)的 物体从地球表面升高h(单位:m)所作 的功.
GMmh W = R (R + h )
例4 一质点从时刻t=0(单位:s) 开始,以速度v=t2-4t+3(单位:m/s) 作直线运动,当t=4s时,求质点的位移 和运动的路程.
28 W = (J ) 3
例3 某汽车在高速公路上直线行驶, 刹车后汽车的速度为v(t)=12-0.6t (m/s),求刹车后汽车需前进多少m才 能停住? 120m
小结作业
1.在物理中,定积分主要应用于求变速 直线运动的位移和变力所作的功,其基 本原理如下: 原理1(求变速直线运动的位移): 若物体运动的速度函数为v(t),则物体 在a≤t≤b时段内的位移是:
a
b x
2.微积分基本定理是什么?
如果f(x)是区间[a,b]上的连续函数, 并且 F ¢ (x ) = f (x ) ,则
f ( x ) dx = 蝌
a b b a
F¢ (x )dx = F (b) - F (a ) .
3.用定积分可以表示曲边梯形的面 积,微积分基本定理为定积分的计算提 供了一种有效的方法,二者强强联合, 可以解决平面几何中曲边图形的面积问 题.
探究(二):直线y=x-4与曲线 y =
2x
及x轴所围成图形的面积 思考1:直线y=x-4与曲线 y = 2x 及 x轴所围成的图形是什么?各顶点的坐标 是什么? y
y =x -4 4
y= (8,4)
4
8 x
2x
(0,0)
O
(4,0)
思考2:如何将该图形的面积转化为曲边 梯形的面积? y y =x -4
3 2
4
y=
2x
D 4
8
x
2 2 1 8 S = x |0 - 创4 3 2
40 4= 3
理论迁移
1 y= - x 例1 计算由直线y=2-x, 3
和曲线 y =
y
x 所围成的平面图形的面积.
B
y =2 -x
y=
2 3 x A
x
13 S = 6
1 O -1
1
例2 如图,直线y=kx将抛物线 y=x-x2与x轴所围成的平面图形分成 面积相等的两部分,求实数k的值.
4 C B A O D 4 8 x
y=
2x
S=S曲边梯形OABC-S三角形ABD.
思考3:该图形的面积用定积分怎样表 示? y
y =x -4 4 C
B
A
y=
2x
O
D 4
8
8 4
x
S =
蝌
0
8
2xdx -
(x - 4)dx
思考4:利用微积分基本定理计算,该图 形的面积等于多少?
y
y =x -4 C B A O
l
理论迁移
例1 一质点A以速度v1(t)=3t2+1 (m/s)在直线l上运动,另一质点B以速 度v2(t)=10t(m/s)也在直线l上运动, 若两质点同时出发并同向运动,求经过 多少时间,质点A比质点B多运动5m?
5s
例2 在某介质内作变速直线运动的物 体,经过时间t(单位:s)所走过的路程 s=4t2(单位:m),若介质阻力F与物 体的运动速度v成正比,且当v=10 m/s 时,F=5N,求物体在位移区间[1,4]内 克服介质阻力所作的功.
作业: P59练习:1,2. P60习题1.7A组:2,3.
定积分的应用习题课
例1 如图,曲线y=x2 (x≥0)与切线l 1 及x轴所围成图形的面积为 ,求切线l 12 的方程.
y y =x 2
y=2x-1
l A
O
C
B
x
例2 设动抛物线y=ax2+bx(a<0, b>0)与x轴所围成图形的面积为S,若该 抛物线与直线x+y=4相切,当a,b变化 时,求S的最大值.
探究(一):曲线y2=x与y=x2所围成图
形的面积 思考1:曲线y2=x与y=x2所围成的图形 是什么?其交点坐标是什么?
y
y =x2 1 O 1 y 2=x
(1,1)
x
(0,0)
思考2:如何将该图形的面积转化为曲边 梯形的面积? y
y =x 2 1 O C B D A 1 x y 2=x
S=S曲边梯形OABC-S曲边梯形OADC.
1.7
1.7.2
定积分的简单应用
定积分在物理中的应用
问题提出
1.以速度v=v(t)作变速直线运动的物 体,在a≤t≤b时段内行驶的路程s等于什 么?
b- a s = lim å v( xi ) = n n i= 1
n
ò
b
a
v(t )dt
2.用定积分可以表示作变速直线运动的 物体在某时段内的路程,利用微积分基 本定理可以求定积分的值,因此,运用 定积分可以解决物理中的某些计算问题.
4 位移: m 3
路程:4m
作业:
P60习题1.7A组:4,5,6.
1350(m )
探究(二):变力作功
思考1:一物体在恒力F(单位:N)的作 用下做直线运动,如果物体沿着与F相同 的方向移动了s(单位:m),则力F所作 的功W等于多少? W=Fs
思考2:如果物体在变力F(x)的作用下做 直线运动,并且物体沿着与F(x)相同的 方向从x=a移动到x=b(a<b),那么如 何计算变力F(x)所作的功W?
探究(一):变速直线运动的路程
思考1:一辆汽车在1min内的速度-时间 曲线如图所示,那么汽车的速度v与时间 t的函数关系是什么?
v(m/s)
30 A B
O
10
40
C 60 t(s)
v(m/s) 30
A
B
ì ï ï ï 3t (0 #t 10) ï ï ï ï v(t ) = í 30 (10 < t < 40) ï ï ï 3 ï t + 90(40 # t 60) ï ï ï î 2
v(m/s) 30
A
B
ò
ò
10
0
40
3tdt=150
30dt=900
O 10
C 10 40 60 t(s)
ò
60
40
3 (- t + 90)dt =300 2
思考4:根据定积分的几何意义,如何计 算汽车在这1min内行驶的路程?
v(m/s) 30 A B C 60 t(s)