海门中学高一下学期期中考试数学
新高一数学下期中模拟试卷及答案
新高一数学下期中模拟试卷及答案一、选择题1．已知直线l 过点(1,0)，且倾斜角为直线0l ：220x y --=的倾斜角的2倍，则直线l 的方程为（ ）A ．4330x y --=B ．3430x y --=C ．3440x y --=D ．4340x y --= 2．设l 为直线，,αβ是两个不同的平面，下列命题中正确的是( )A ．若//l α，//l β，则//αβB ．若l α⊥，l β⊥，则//αβC ．若l α⊥，//l β，则//αβD ．若αβ⊥，//l α，则l β⊥ 3．已知,,,A B C D 是同一球面上的四个点，其中ABC ∆是正三角形，AD ⊥平面ABC ，26AD AB ==，则该球的体积为（ ）A ．48πB ．24πC ．16πD ．4．已知三棱锥S ABC -的所有顶点都在球O 的球面上，SC 为球O 的直径，且SC OA ⊥，SC OB ⊥，OAB 为等边三角形，三棱锥S ABC -的体积为3，则球O 的半径为( )A ．3B ．1C ．2D ．45．设α表示平面，a ，b 表示直线，给出下列四个命题：①a α//，a b b α⊥⇒//； ②a b //，a b αα⊥⇒⊥；③a α⊥，a b b α⊥⇒⊂；④a α⊥，b a b α⊥⇒//，其中正确命题的序号是（ ）A ．①②B ．②④C ．③④D ．①③ 6．已知圆()()22:341C x y -+-=和两点(),A m m -，(),B m m -()0m >，若圆C 上存在点P ，使得90APB ∠=︒，则m 的最大值为（ ）A ．B ．CD ．7．用一个平面去截正方体，则截面不可能是（ ）A ．直角三角形B ．等边三角形C ．正方形D ．正六边形8．在三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面1202ABC BAC AP AB ∠=︒==，，，M 是线段BC 上一动点，线段PM P ABC -的外接球的表面积是（ ）A ．92πB ．C ．18πD ．40π9．某几何体的三视图如图所示，图中的四边形都是边长为4的正方形，两条虚线互相垂直且相等，则该几何体的体积是（ ）A．1763B．1603C．1283D．3210．若方程21424x kx k+-=-+有两个相异的实根，则实数k的取值范围是（）A．13,34⎛⎤⎥⎝⎦B．13,34⎛⎫⎪⎝⎭C．53,124⎛⎫⎪⎝⎭D．53,12411．如图，平面四边形ABCD中，1AB AD CD===，2BD=，BD CD⊥，将其沿对角线BD折成四面体A BCD'-，使平面A BD'⊥平面BCD，若四面体A BCD'-的顶点在同一个球面上，则该球的表面积为（）A．3πB．3πC．4πD．3π12．如图，在三棱柱111ABC A B C-中，1CC⊥平面ABC，ABC是等腰三角形，BA BC=，123AC CC==，，D是AC的中点，点F在侧棱1A上，若要使1C F⊥平面BDF，则1AFFA的值为( )A ．1B ．12或2C ．22或2D ．13或3 二、填空题13．已知圆22:20(0)M x y ay a +-=>截直线0x y +=所得线段的长度是22，则圆M 与圆22:(1)(1)1N x y -+-=的位置关系是_________．14．如图，正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长为1，M 为B 1C 1中点，连接A 1B ，D 1M ，则异面直线A 1B 和D 1M 所成角的余弦值为________________________．15．直线与圆交于两点，则________．16．三棱锥P ABC -中，5PA PB ==，2AC BC ==，AC BC ⊥，3PC =，则该三棱锥的外接球面积为________. 17．若直线l ：-3y kx =与直线23-60x y +=的交点位于第一象限，则直线l 的倾斜角的取值范围是___________.18．正四棱锥P ABCD -底面的四个顶点,,,A B C D 在球O 的同一个大圆上，点P 在球面上.若163P ABCD V ，则球O 的体积是______． 19．在三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，AC BC ⊥，且三棱锥的最长的棱长为2，则此三棱锥的外接球体积为_____________.20．已知四面体ABCD 的外接球球心O 在棱CD 上，AB=3，CD=2，则A 、B 两点在四面体ABCD 的外接球上的球面距离是________.三、解答题21．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥面ABCD ，//AB CD ，且22,22CD AB BC ===，90ABC ∠=︒，M 为BC 的中点．（1）求证：平面PDM ⊥平面PAM ；（2）若二面角P DM A --为30，求直线PC 与平面PDM 所成角的正弦值．22．如图，梯形ABCD 中，AB ∥CD ,,E F 是线段AB 上的两点,且DE AB ⊥,CF AB ⊥,12AB =,5AD =,42BC =,4DE =.现将△ADE ,△CFB 分别沿DE ,CF 折起,使两点,A B 重合于点G ,得到多面体CDEFG （1）求证：平面DEG ⊥平面CFG ;（2）求多面体CDEFG 的体积23．如图，在平面直角坐标系xoy 中，点(0,3)A ，直线:24=-l y x ，设圆C 的半径为1， 圆心在l 上.（1）若圆心C 也在直线1y x =-上，过点A 作圆C 的切线，求切线方程；（2）若圆C 上存在点M ，使2MA MO =，求圆心C 的横坐标a 的取值范围.24．在正三棱柱111ABC A B C -中，点D 是BC 的中点.（1）求证：1A C //面1AB D ；（2）设M 是棱1CC 上的点，且满足1BM B D ⊥.求证：面1AB D ⊥面ABM .25．如图，已知四棱锥的底面是菱形，平面，点为的中点.（1）求证：∥平面；（2）求证：. 26．已知以点C （1，﹣2）为圆心的圆与直线x+y ﹣1=0相切．（1）求圆C 的标准方程；（2）求过圆内一点P （2，﹣）的最短弦所在直线的方程．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D解析：D【解析】设直线0l 的倾斜角为α，则斜率01tan 2k α==，所以直线l 的倾斜角为2α，斜率22tan 4tan 21tan 3k ααα===-，又经过点（1,0），所以直线方程为4(1)3y x =-，即4340x y --=，选D.2．B解析：B【解析】A 中，,αβ也可能相交；B 中，垂直与同一条直线的两个平面平行，故正确；C 中，,αβ也可能相交；D 中，l 也可能在平面β内.【考点定位】点线面的位置关系3．D解析：D【解析】【分析】根据球的性质可知球心O 与ABC ∆外接圆圆心O '连线垂直于平面ABC ；在Rt POE ∆和Rt OO A ∆'中利用勾股定理构造出关于半径R 和OO '的方程组，解方程组求得R ，代入球的体积公式可得结果.设O '为ABC ∆的外心，如下图所示：由球的性质可知，球心O 与O '连线垂直于平面ABC ，作OE AD ⊥于E设球的半径为R ，OO x '=ABC ∆为等边三角形，且3AB = 3AO '∴=OO '⊥平面ABC ，AD ⊥平面ABC ，OE AD ⊥OO AE x '∴==，3OE AO '==在Rt POE ∆和Rt OO A ∆'中，由勾股定理得：22222OE PE O O O A R ''+=+=，即()222363x x R +-=+= 解得：3x =，3R =∴球的体积为：343233V R ππ== 本题正确选项：D【点睛】本题考查棱锥外接球的体积求解问题，关键是能够确定棱锥外接球球心的位置，从而在直角三角形中利用勾股定理构造方程求得半径.4．C解析：C【解析】【分析】根据题意作出图形，欲求球的半径r ．利用截面的性质即可得到三棱锥S ABC -的体积可看成是两个小三棱锥S ABO -和C ABO -的体积和，即可计算出三棱锥的体积，从而建立关于r 的方程，即可求出r ，从而解决问题．【详解】解：根据题意作出图形：设球心为O ，球的半径r ．SC OA ⊥，SC OB ⊥，SC ∴⊥平面AOB ，三棱锥S ABC -的体积可看成是两个小三棱锥S ABO -和C ABO -的体积和．2343123S ABC S ABO C ABO V V V r r ---∴=+=⨯⨯=三棱锥三棱锥三棱锥，故选：C ．【点睛】本题考查棱锥的体积，考查球内接多面体，解题的关键是确定将三棱锥S ABC -的体积看成是两个小三棱锥S ABO -和C ABO -的体积和，属于中档题．5．B解析：B【解析】【分析】【详解】①a ∥α，a ⊥b ⇒b 与α平行，相交或b ⊂α，故①错误；②若a ∥b ，a ⊥α，由直线与平面垂直和判定定理得b ⊥α，故②正确；③a ⊥α，a ⊥b ⇒b 与α平行，相交或b ⊂α，故③错误；④若a ⊥α，b ⊥α，则由直线与平面垂直的性质得a ∥b ，故④正确．故选B ．6．B解析：B【解析】【分析】根据使得90APB ∠=︒的点P 在以AB 为直径的圆上,再分析轨迹圆与圆C 的关系即可.【详解】由题, 使得90APB ∠=︒的点P 在以AB 为直径的圆上,又两点(),A m m -,(),B m m -, 所以圆心为()0,0.()222m m m +-=.故P 的轨迹方程为2222x y m +=. 又由题意知,当圆()()22:341C x y -+-=内切于222x y m +=时m 取最大值. 2223416m,故32m =故选：B【点睛】本题主要考查了圆与圆的位置关系,重点是根据90APB ∠=︒求出点P 的轨迹.属于中等题型.7．A解析：A【解析】【分析】【详解】画出截面图形如图显然A正三角形C正方形：D正六边形可以画出三角形但不是直角三角形；故选A．用一个平面去截正方体，则截面的情况为：①截面为三角形时，可以是锐角三角形、等腰三角形、等边三角形，但不可能是钝角三角形、直角三角形；②截面为四边形时，可以是梯形（等腰梯形）、平行四边形、菱形、矩形，但不可能是直角梯形；③截面为五边形时，不可能是正五边形；④截面为六边形时，可以是正六边形．故可选A．8．C解析：C【分析】首先确定三角形ABC 为等腰三角形，进一步确定球的球心，再求出球的半径，最后确定球的表面积．【详解】解：如图所示：三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面2,2ABC AP AB ==，，M 是线段BC 上一动点，线段PM 3则：当AM BC ⊥时，线段PM 达到最小值，由于：PA ⊥平面ABC ，所以：222PA AM PM +=，解得：1AM =， 所以：3BM =，则：60BAM ∠=︒，由于：120BAC ∠=︒，所以：60MAC ∠=︒则：ABC 为等腰三角形． 所以：23BC =在ABC 中，设外接圆的直径为2324r ==， 则：2r =， 所以：外接球的半径2229222R ⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭， 则：94182S ππ=⋅⋅=， 故选：C ．【点睛】本题考查的知识要点：三棱锥的外接球的球心的确定及球的表面积公式的应用． 9．B【解析】该几何体为一个正方体去掉一个倒四棱锥，其中正方体棱长为4，倒四棱锥顶点为正方体中心，底面为正方体上底面，因此体积是32116042433-⨯⨯=，选B. 点睛： 1.解答此类题目的关键是由多面体的三视图想象出空间几何体的形状并画出其直观图．2．三视图中“正侧一样高、正俯一样长、俯侧一样宽”，因此，可以根据三视图的形状及相关数据推断出原几何图形中的点、线、面之间的位置关系及相关数据．10．D解析：D【解析】【分析】由题意可得，曲线22(1)4(1)x y y +-=与直线4(2)y k x -=-有2个交点，数形结合求得k 的范围.【详解】如图所示，化简曲线得到22(1)4(1)x y y +-=，表示以(0,1)为圆心，以2为半径的上半圆，直线化为4(2)y k x -=-，过定点(2,4)A ，设直线与半圆的切线为AD ，半圆的左端点为(2,1)B -，当AD AB k k k <，直线与半圆有两个交点，AD 221k =+，解得512AD k =， 4132(2)4AB k -==--，所以53,124k ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦. 故选：D【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，属于中档题.11．A解析：A【解析】【分析】设BC 的中点是E ，连接DE ，由四面体A′BCD 的特征可知，DE 即为球体的半径.【详解】设BC 的中点是E ，连接DE ，A′E，因为AB ＝AD ＝1，BD 由勾股定理得：BA⊥AD又因为BD⊥CD，即三角形BCD 为直角三角形所以DE 为球体的半径2DE =243S ππ== 故选A【点睛】 求解球体的表面积、体积的问题，其实质是求球体的半径，解题的关键是构造关于球体半径R 的方程式，构造常用的方法是构造直角三角形，再利用勾股定理建立关于半径R 的方程.12．B解析：B【解析】【分析】易证1BD C F ⊥，故要使1C F ⊥平面BDF ，只需1C F DF ⊥，然后转化到平面11AAC C 中，根据勾股定理计算，即可得结果.【详解】1CC ⊥平面ABC ，BD ⊂平面ABC ，所以1BD CC ⊥，又BA BC =，D 为AC 中点，所以BD AC ⊥，又1AC CC C =，所以BD ⊥平面11AAC C ，1C F 平面11AAC C ，所以1C F BD ⊥，因为DF BD D =，故要使1C F 平面BDF ，只需1C F DF ⊥，在四边形11AAC C 中，1231AC CC AD CD ====，，， 设AF x =，则13FA x =-，由22211C D DF C F =+得()()2219143x x ⎡⎤+=+++-⎣⎦， 即2320x x -+=，解得1x =或2x =，所以112AF FA =或者12AF FA =， 故选：B.【点睛】本题考查了棱柱的结构特征，考查了空间中直线与平面的垂直的性质，勾股定理，考查空间想象能力和推理能力，属于中档题．二、填空题13．相交【解析】【分析】根据直线与圆相交的弦长公式求出的值结合两圆的位置关系进行判断即可【详解】解：圆的标准方程为则圆心为半径圆心到直线的距离圆截直线所得线段的长度是即则圆心为半径圆的圆心为半径则即两个 解析：相交【解析】【分析】根据直线与圆相交的弦长公式，求出a 的值，结合两圆的位置关系进行判断即可．【详解】解：圆的标准方程为222:()(0)M x y a a a +-=>，则圆心为(0,)a ，半径R a =， 圆心到直线0x y +=的距离2d =，圆22:20(0)M x y ay a +-=>截直线0x y +=所得线段的长度是22222222a a ∴-即24a =，2a =，则圆心为(0,2)M ，半径2R =，圆22:(1)(1)1N x y -+-=的圆心为(1,1)N ，半径1r =，则2MN =3R r +=，1R r -=，R r MN R r ∴-<<+，即两个圆相交．故答案为：相交．【点睛】本题主要考查直线和圆相交的应用，以及两圆位置关系的判断，根据相交弦长公式求出a 的值是解决本题的关键．14．【解析】【分析】连接取的中点连接可知且是以为腰的等腰三角形然后利用锐角三角函数可求出的值作为所求的答案【详解】如下图所示：连接取的中点连接在正方体中则四边形为平行四边形所以则异面直线和所成的角为或其 解析：10. 【解析】【分析】 连接1CD 、CM ，取1CD 的中点N ，连接MN ，可知11//A B CD ，且1CD M ∆是以1CD 为腰的等腰三角形，然后利用锐角三角函数可求出1cos CD M ∠的值作为所求的答案．【详解】如下图所示：连接1CD 、CM ，取1CD 的中点N ，连接MN ，在正方体1111ABCD A B C D -中，11//A D BC ，则四边形11A BCD 为平行四边形， 所以11//A B C D ，则异面直线1A B 和1D M 所成的角为1CD M ∠或其补角，易知1111190B C D BC C CDD ∠=∠=∠=，由勾股定理可得15CM D M ==12CDN 为1CD 的中点，则1MN CD ⊥，在1Rt D MN ∆中，11110cos 5D N CD M D M ∠==， 因此，异面直线1A B 和1D M 所成角的余弦值为105，故答案为105．【点睛】本题考查异面直线所成角的余弦值的计算，求解异面直线所成的角一般利用平移直线法求解，遵循“一作、二证、三计算”，在计算时，一般利用锐角三角函数的定义或余弦定理求解，考查计算能力，属于中等题．15．22【解析】【分析】首先将圆的一般方程转化为标准方程得到圆心坐标和圆的半径的大小之后应用点到直线的距离求得弦心距借助于圆中特殊三角形半弦长弦心距和圆的半径构成直角三角形利用勾股定理求得弦长【详解】根 解析：【解析】【分析】首先将圆的一般方程转化为标准方程，得到圆心坐标和圆的半径的大小，之后应用点到直线的距离求得弦心距，借助于圆中特殊三角形半弦长、弦心距和圆的半径构成直角三角形，利用勾股定理求得弦长.【详解】 根据题意，圆的方程可化为， 所以圆的圆心为，且半径是， 根据点到直线的距离公式可以求得， 结合圆中的特殊三角形，可知，故答案为. 【点睛】该题考查的是有关直线被圆截得的弦长问题，在解题的过程中，熟练应用圆中的特殊三角形半弦长、弦心距和圆的半径构成的直角三角形，借助于勾股定理求得结果.16．【解析】【分析】由已知数据得两两垂直因此三棱锥外接球直径的平方等于这三条棱长的平方和【详解】∵∴∴又以作长方体则长方体的外接球就是三棱锥的外接球设外接球半径为则球表面积为故答案为：【点睛】本题考查球 解析：7π【解析】【分析】由已知数据得,,CA CB CP 两两垂直，因此三棱锥外接球直径的平方等于这三条棱长的平方和．【详解】 ∵5PA PB ==2AC BC ==3PC =，∴222222,PC CB PB PC CA PA +=+=，∴,PC CB PC CA ⊥⊥，又CA CB ⊥，以,,CA CB CP 作长方体，则长方体的外接球就是三棱锥P ABC -的外接球．设外接球半径为R ，则2222(2)7R CA CB CP =++=，7R =，球表面积为22744()7.2S R πππ==⨯= 故答案为：7π．【点睛】 本题考查球的表面积，解题关键是确定,,CA CB CP 两两垂直，以,,CA CB CP 作长方体，则长方体的外接球就是三棱锥P ABC -的外接球． 17．【解析】若直线与直线的交点位于第一象限如图所示：则两直线的交点应在线段上（不包含点）当交点为时直线的倾斜角为当交点为时斜率直线的倾斜角为∴直线的倾斜角的取值范围是故答案为解析：(,)62ππ 【解析】 若直线:3l y kx =-与直线2360x y +-=的交点位于第一象限，如图所示：则两直线的交点应在线段AB 上（不包含,A B 点）, 当交点为()0,2A 时，直线l 的倾斜角为2π，当交点为()3,0B 时，斜率(03330k -==-l 的倾斜角为6π ∴直线的倾斜角的取值范围是,62ππ⎛⎫⎪⎝⎭． 故答案为,62ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭ 18．【解析】【分析】正四棱锥底面的四个顶点在球的同一个大圆上则棱锥的高等于球的半径由此可由棱锥体积求得球的半径从而得球体积【详解】∵正四棱锥底面的四个顶点在球的同一个大圆上∴球心是正方形对角线交点是棱锥 解析：323π 【解析】【分析】正四棱锥P ABCD -底面的四个顶点,,,A B C D 在球O 的同一个大圆上，则棱锥的高等于球的半径，由此可由棱锥体积求得球的半径，从而得球体积．【详解】∵正四棱锥P ABCD -底面的四个顶点,,,A B C D 在球O 的同一个大圆上，∴球心O 是正方形ABCD 对角线交点，PO 是棱锥的高，设球半径为R ，则AB =，22)2ABCD S R ==，211162333P ABCD ABCD V S PO R R -==⨯⨯=，2R =， ∴3344322333V R πππ==⨯=球． 故答案为：323π． 【点睛】本题考查球的体积，考查正四棱锥与半球的截接问题．解题关键是确定球半径与正四棱锥中的线段长之间的关系．19．【解析】【分析】根据题意可得平面所以得出为三棱锥的最长边根据直角三角形的性质边的中点到三棱锥的各顶点距离都相等所以为球心球直径即为【详解】平面平面平面所以三棱锥中最长边为设中点为在中所以三棱锥的外接 解析：43π 【解析】【分析】根据题意可得，BC ⊥平面PAC ，所以BC PC ⊥，得出PB 为三棱锥的最长边，PA AB ⊥，根据直角三角形的性质，PB 边的中点到三棱锥的各顶点距离都相等，所以为球心，球直径即为PB .【详解】PA ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，PA BC ∴⊥,,,AC BC PA AC A BC ⊥=∴⊥平面PAC ，BC PC ⊥，,,,,PB BC PB PC PA AC PC AC PC PA ∴>>⊥∴>>，所以三棱锥中最长边为2PB =，设PB 中点为O ，在,Rt PAB Pt PBC ∆∆中，12AO CO PB ==，所以三棱锥的外接球的球心为O ， 半径为41,3V π∴=. 故答案为:43π. 【点睛】 本题考查几何体的“切”“接”球问题，确定球心是解题的关键，考查空间垂直的应用，属于中档题.20．【解析】【分析】根据球心到四个顶点距离相等可推断出O 为CD 的中点且OA ＝OB ＝OC ＝OD 进而在△A0B 中利用余弦定理求得cos ∠AOB 的值则∠AOB 可求进而根据弧长的计算方法求得答案【详解】解：球心 解析：23π 【解析】【分析】根据球心到四个顶点距离相等可推断出O 为CD 的中点，且OA ＝OB ＝OC ＝OD ，进而在△A 0B 中，利用余弦定理求得cos ∠AOB 的值，则∠AOB 可求，进而根据弧长的计算方法求得答案．【详解】解：球心到四个顶点距离相等，故球心O 在CD 中点，则OA ＝OB ＝OC ＝OD ＝1，再由AB =A 0B 中，利用余弦定理cos ∠AOB 11312112+-==-⨯⨯， 则∠AOB 23π=，则弧AB 23π=•123π=． 故答案为：23π． 【点睛】本题主要考查了余弦定理的应用、四面体外接球的性质等，考查了学生观察分析和基本的运算能力． 三、解答题21．（1）详见解析；（2． 【解析】【分析】（1）在直角梯形ABCD 中，由条件可得222AD AM DM =+，即DM AM ⊥．再由PA ⊥面ABCD ，得DM PA ⊥，利用线面垂直的判定可得DM ⊥平面PAM ，进一步得到平面PDM ⊥平面PAM ；（2）由（1）知，,PM DM AM DM ⊥⊥，则PMA ∠为二面角P DM A --的平面角为30，求得tan301PA AM =⋅︒=．以A 为坐标原点，分别以,,AE AB AP 所在直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，求出PC 的坐标及平面PDM 的一个法向量，由PC 与n 所成角的余弦值可得直线PC 与平面PDM 所成角的正弦值．【详解】（1）证明：在直角梯形ABCD 中，由已知可得，1,2,2AB CD BM CM ==== 可得223,6AM DM ==，过A 作AE CD ⊥，垂足为E ，则1,22DE AE ==29AD =，则222AD AM DM =+，∴DM AM ⊥．∵PA ⊥面ABCD ，∴DM PA ⊥，又PA AM A =，∴DM ⊥平面PAM ，∵DM ⊂平面PDM ，∴平面PDM ⊥平面PAM ；（2）解：由（1）知，,PM DM AM DM ⊥⊥，则PMA ∠为二面角P DM A --的平面角为30，则tan301PA AM =⋅︒=．以A 为坐标原点，分别以,,AE AB AP 所在直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系， 则()0,0,1P ，(22,1,0)D -，(22,1,0)C ，(2,1,0)M ，(22,1,1),(22,1,1),(2,1,1)PC PD PM =-=--=-． 设平面PDM 的一个法向量为(,,)n x y z =， 由22020n PD y z n PM x y z ⎧⋅=--=⎪⎨⋅=+-=⎪⎩，取1x =，得2321,,22n ⎛= ⎝⎭． ∴直线PC 与平面PDM 所成角的正弦值为：||230|cos ,|30||||106PC n PC n PC n ⋅<>===⋅⋅． 【点睛】 向量法是求立体几何中的线线角、线面角、面面角时常用方法.22．：（Ⅰ）见解析（Ⅱ）16【解析】【分析】【详解】（Ⅰ）证明：因为,DE EF CF EF ⊥⊥，所以四边形平面CDEF 为矩形，由5,4GD DE ==，42,4GC CF==得223GE GD CF =-=224GF GC CF =-=，所以5EF =，在EFG 中 ，有222EF GE FG =+，所以EG GF ⊥又因为,CF EF CF FG ⊥⊥，得CF ⊥平面EFG ， 所以CF EG ⊥，所以EG ⊥平面CFG ，即平面DEG ⊥平面CFG ;（Ⅱ）：在平面EGF 中，过点G 作GH EF ⊥于点H ，则125EG GF GH EF ⋅== 因为平面CDEF ⊥平面EFG ， 得GH ⊥平面CDEF ，1163CDEF CDEF V S GH =⋅=23．（1）3y =或34120x y +-=；（2）12[0,]5. 【解析】 【分析】 （1）两直线方程联立可解得圆心坐标，又知圆C 的半径为1，可得圆的方程，根据点到直线距离公式，列方程可求得直线斜率，进而得切线方程；（2）根据圆C 的圆心在直线l ：24y x =-上可设圆C 的方程为[]22()(24)1x a y a -+--=，由2MA MO =，可得M 的轨迹方程为22(1)4x y ++=，若圆C 上存在点M ，使2MA MO =，只需两圆有公共点即可.【详解】 （1）由24,{1,y x y x =-=-得圆心()3,2C ， ∵圆C 的半径为1，∴圆C 的方程为：22(3)(2)1x y -+-=，显然切线的斜率一定存在，设所求圆C 的切线方程为3y kx =+，即30kx y -+=． 232311k k -+=+，∴2(43)0k k +=，∴0k =或34k =-． ∴所求圆C 的切线方程为3y =或34120x y +-=． （2）∵圆C 的圆心在直线l ：24y x =-上，所以，设圆心C 为(,24)a a -， 则圆C 的方程为[]22()(24)1x a y a -+--=．又∵2MA MO =，∴设M 为(,)x y =22(1)4x y ++=，设为圆D ． 所以点M 应该既在圆C 上又在圆D 上，即圆C 和圆D 有交点，∴2121-≤+，由251280a a -+≥，得a R ∈， 由25120a a -≤，得1205a ≤≤． 综上所述，a 的取值范围为120,5⎡⎤⎢⎥⎣⎦． 考点：1、圆的标准方程及切线的方程；2、圆与圆的位置关系及转化与划归思想的应用.【方法点睛】本题主要考查圆的标准方程及切线的方程、圆与圆的位置关系及转化与划归思想的应用.属于难题.转化与划归思想是解决高中数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一，尤其在解决知识点较多以及知识跨度较大的问题发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度.运用这种方法的关键是将题设条件研究透，这样才能快速找准突破点.以便将问题转化为我们所熟悉的知识领域，进而顺利解答，希望同学们能够熟练掌握并应用于解题当中.本题（2）巧妙地将圆C 上存在点M ，使2MA MO =问题转化为，两圆有公共点问题是解决问题的关键所在.24．（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）记1A B 与1B A 交于O ，先证明OD //1A C ，根据线面平行的判定定理即可证明A 1C ∥平面AB 1D ；（2）先证明BM ⊥面1AB D ，即可根据面面垂直的判定定理进行证明即可．【详解】（1）设11A B AB O ⋂=，连OD .因为四边形11AA B B 是矩形，∴O 是1A B 的中点. 又D 是BC 的中点，∴1A C //OD .又1AC ⊄面1AB D ，OD ⊂面1AB D ， ∴1A C //面1AB D .（2）因为ABC ∆是正三角形，D 是BC 的中点，∴AD BC ⊥.∵平面ABC ⊥面11BB C C ，又平面ABC ⊥面11BB C C BC =，AD ⊂面ABC . ∴AD ⊥面11BB C C ，∵BM ⊂面11BB C C ，∴AD BM ⊥. 又∵1BM B D ⊥，1AD B D D ⋂=，AD ，1B D ⊂面1AB D ， ∴BM ⊥面1AB D ，又BM ⊂面ABM ， ∴面1AB D ⊥面ABM . 【点睛】垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型. (1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行. (2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直. (3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直. 25．（1）详见解析；（2）详见解析。
人教版高一下学期期中考试数学试卷及答案解析(共五套)
人教版高一下学期期中考试数学试卷（一）注意事项：本试卷满分150分，考试时间120分钟，试题共22题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.点C是线段AB靠近点B的三等分点，下列正确的是（）A．B．C．D．2.已知复数z满足z（3+i）＝3+i2020，其中i为虚数单位，则z的共轭复数的虚部为（）A．B．C．D．3.如图，▱ABCD中，∠DAB＝60°，AD＝2AB＝2，延长AB至点E，且AB＝BE，则•的值为（）A．﹣1 B．﹣3 C．1 D．4.设i是虚数单位，则2i+3i2+4i3+……+2020i2019的值为（）A．﹣1010﹣1010i B．﹣1011﹣1010iC．﹣1011﹣1012i D．1011﹣1010i5.如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，异面直线A1B与CD所成的角为（）A．30°B．45°C．60°D．135°6.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若（a﹣2b）cos C＝c（2cos B﹣cos A），△ABC的面积为a2sin，则C＝（）A．B．C．D．7.在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，下列四个结论中错误的是（）A．直线B1C与直线AC所成的角为60°B．直线B1C与平面AD1C所成的角为60°C．直线B1C与直线AD1所成的角为90°D．直线B1C与直线AB所成的角为90°8.如图，四边形ABCD为正方形，四边形EFBD为矩形，且平面ABCD与平面EFBD互相垂直．若多面体ABCDEF的体积为，则该多面体外接球表面积的最小值为（）A．6πB．8πC．12πD．16π二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，选对得分，选错、少选不得分）9.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2＝b2+bc，则角A可为（）A．B．C．D．10.如图，四边形ABCD为直角梯形，∠D＝90°，AB∥CD，AB＝2CD，M，N分别为AB，CD的中点，则下列结论正确的是（）A．B．C．D．11.下列说法正确的有（）A．任意两个复数都不能比大小B．若z＝a+bi（a∈R，b∈R），则当且仅当a＝b＝0时，z＝0C．若z1，z2∈C，且z12+z22＝0，则z1＝z2＝0D．若复数z满足|z|＝1，则|z+2i|的最大值为312.如图，已知ABCD﹣A1B1C1D1为正方体，E，F分别是BC，A1C的中点，则（）A．B．C．向量与向量的夹角是60°D．异面直线EF与DD1所成的角为45°三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）13.已知正方形ABCD的边长为2，点P满足＝（+），则||＝；•＝．14.若虛数z1、z2是实系数一元二次方程x2+px+q＝0的两个根，且，则pq＝．15.已知平面四边形ABCD中，AB＝AD＝2，BC＝CD＝BD＝2，将△ABD沿对角线BD折起，使点A到达点A'的位置，当A'C＝时，三棱锥A﹣BCD的外接球的体积为．16.已知一圆锥底面圆的直径为3，圆锥的高为，在该圆锥内放置一个棱长为a 的正四面体，并且正四面体在该几何体内可以任意转动，则a的最大值为．四、解答题（本大题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.在四边形ABCD中，AB∥CD，AD＝BD＝CD＝1．（1）若AB＝，求BC；（2）若AB＝2BC，求cos∠BDC．18.（1）已知z1=1﹣2i，z2=3+4i，求满足=+的复数z．（2）已知z，ω为复数，（1+3i）﹣z为纯虚数，ω=，且|ω|=5．求复数ω．19.如图，墙上有一壁画，最高点A离地面4米，最低点B离地面2米．观察者从距离墙x（x＞1）米，离地面高a（1≤a≤2）米的C处观赏该壁画，设观赏视角∠ACB＝θ．（1）若a＝1.5，问：观察者离墙多远时，视角θ最大？（2）若tanθ＝，当a变化时，求x的取值范围．20.如图，已知复平面内平行四边形ABCD中，点A对应的复数为﹣1，对应的复数为2+2i，对应的复数为4﹣4i．（Ⅰ）求D点对应的复数；（Ⅱ）求平行四边形ABCD的面积．21.如图所示，等腰梯形ABFE是由正方形ABCD和两个全等的Rt△FCB和Rt△EDA组成，AB＝1，CF＝2．现将Rt△FCB沿BC所在的直线折起，点F移至点G，使二面角E﹣BC﹣G的大小为60°．（1）求四棱锥G﹣ABCE的体积；（2）求异面直线AE与BG所成角的大小．22.如图，四边形MABC中，△ABC是等腰直角三角形，AC⊥BC，△MAC是边长为2的正三角形，以AC为折痕，将△MAC向上折叠到△DAC的位置，使点D在平面ABC内的射影在AB上，再将△MAC向下折叠到△EAC的位置，使平面EAC⊥平面ABC，形成几何体DABCE．（1）点F在BC上，若DF∥平面EAC，求点F的位置；（2）求直线AB与平面EBC所成角的余弦值．参考答案一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.点C是线段AB靠近点B的三等分点，下列正确的是（）A．B．C．D．【答案】D【分析】根据共线向量的定义即可得结论．【解答】解：由题，点C是线段AB靠近点B的三等分点，＝3＝﹣3，所以选项A错误；＝2＝﹣2，所以选项B和选项C错误，选项D正确．故选：D．【知识点】平行向量（共线）、向量数乘和线性运算2.已知复数z满足z（3+i）＝3+i2020，其中i为虚数单位，则z的共轭复数的虚部为（）A．B．C．D．【答案】D【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简，然后利用共轭复数的概念得答案．【解答】解：∵z（3+i）＝3+i2020，i2020＝（i2）1010＝（﹣1）1010＝1，∴z（3+i）＝4，∴z＝，∴＝，∴共轭复数的虚部为，故选：D．【知识点】复数的运算3.如图，▱ABCD中，∠DAB＝60°，AD＝2AB＝2，延长AB至点E，且AB＝BE，则•的值为（）A．﹣1 B．﹣3 C．1 D．【答案】C【分析】利用图形，求出数量积的向量，然后转化求解即可．【解答】解：由题意，▱ABCD中，∠DAB＝60°，AD＝2AB＝2，延长AB至点E，且AB＝BE，可知＝+＝，＝﹣＝﹣2，所以•＝（）•（﹣2）＝﹣2﹣2＝1．故选：C．【知识点】平面向量数量积的性质及其运算4.设i是虚数单位，则2i+3i2+4i3+……+2020i2019的值为（）A．﹣1010﹣1010i B．﹣1011﹣1010iC．﹣1011﹣1012i D．1011﹣1010i【答案】B【分析】利用错位相减法、等比数列的求和公式及其复数的周期性即可得出．【解答】解：设S＝2i+3i2+4i3+ (2020i2019)∴iS＝2i2+3i3+ (2020i2020)则（1﹣i）S＝i+i+i2+i3+……+i2019﹣2020i2020．＝＝i+＝＝﹣2021+i，∴S＝＝．故选：B．【知识点】复数的运算5.如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，异面直线A1B与CD所成的角为（）A．30°B．45°C．60°D．135°【答案】B【分析】易知∠ABA1即为所求，再由△ABA1为等腰直角三角形，得解．【解答】解：因为AB∥CD，所以∠ABA1即为异面直线A1B与CD所成的角，因为△ABA1为等腰直角三角形，所以∠ABA1＝45°．故选：B．【知识点】异面直线及其所成的角6.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若（a﹣2b）cos C＝c（2cos B﹣cos A），△ABC的面积为a2sin，则C＝（）A．B．C．D．【答案】C【分析】先利用正弦定理将已知等式中的边化角，再结合两角和公式与三角形的内角和定理，可推出sin B＝2sin A；然后利用三角形的面积公式、正弦定理，即可得解．【解答】解：由正弦定理知，＝＝，∵（a﹣2b）cos C＝c（2cos B﹣cos A），∴（sin A﹣2sin B）cos C＝sin C（2cos B﹣cos A），即sin A cos C+sin C cos A＝2（sin B cos C+cos B sin C），∴sin（A+C）＝2sin（B+C），即sin B＝2sin A．∵△ABC的面积为a2sin，∴S＝bc sin A＝a2sin，根据正弦定理得，sin B•sin C•sin A＝sin2A•sin，化简得，sin B•sin cos＝sin A•cos，∵∈（0，），∴cos＞0，∴sin＝＝，∴＝，即C＝．故选：C．【知识点】正弦定理、余弦定理7.在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，下列四个结论中错误的是（）A．直线B1C与直线AC所成的角为60°B．直线B1C与平面AD1C所成的角为60°C．直线B1C与直线AD1所成的角为90°D．直线B1C与直线AB所成的角为90°【答案】B【分析】连接AB1，求出∠ACB1可判断选项A；连接B1D1，找出点B1在平面AD1C上的投影O，设直线B1C与平面AD1C所成的角为θ，由cosθ＝可判断选项B；利用平移法找出选项C和D涉及的异面直线夹角，再进行相关运算，即可得解．【解答】解：连接AB1，∵△AB1C为等边三角形，∴∠ACB1＝60°，即直线B1C与AC所成的角为60°，故选项A正确；连接B1D1，∵AB1＝B1C＝CD1＝AD1，∴四面体AB1CD1是正四面体，∴点B1在平面AD1C上的投影为△AD1C的中心，设为点O，连接B1O，OC，则OC＝BC，设直线B1C与平面AD1C所成的角为θ，则cosθ＝＝＝≠，故选项B错误；连接BC1，∵AD1∥BC1，且B1C⊥BC1，∴直线B1C与AD1所成的角为90°，故选项C正确；∵AB⊥平面BCC1B1，∴AB⊥B1C，即直线B1C与AB所成的角为90°，故选项D正确．故选：B．【知识点】直线与平面所成的角、异面直线及其所成的角8.如图，四边形ABCD为正方形，四边形EFBD为矩形，且平面ABCD与平面EFBD互相垂直．若多面体ABCDEF的体积为，则该多面体外接球表面积的最小值为（）A．6πB．8πC．12πD．16π【答案】A【分析】由题意可得AC⊥面EFBD，可得V ABCDEF＝V C﹣EFBD+V A﹣EFBD＝2V A﹣EFBD，再由多面体ABCDEF 的体积为，可得矩形EFBD的高与正方形ABCD的边长之间的关系，再由题意可得矩形EFBD的对角线的交点为外接球的球心，进而求出外接球的半径，再由均值不等式可得外接球的半径的最小值，进而求出外接球的表面积的最小值．【解答】解：设正方形ABCD的边长为a，矩形BDEF的高为b，因为正方形ABCD，所以AC⊥BD，设AC∩BD＝O'，由因为平面ABCD与平面EFBD互相垂直，AC⊂面ABCD，平面ABCD∩平面EFBD＝BD，所以AC⊥面EFBD，所以V ABCDEF＝V C﹣EFBD+V A﹣EFBD＝2V A﹣EFBD＝2•S EFBD•CO'＝•a•b•a ＝a2b，由题意可得V ABCDEF＝，所以a2b＝2；所以a2＝，矩形EFBD的对角线的交点O，连接OO'，可得OO'⊥BD，而OO'⊂面EFBD，而平面ABCD⊥平面EFBD，平面ABCD∩平面EFBD＝BD，所以OO'⊥面EFBD，可得OA＝OB＝OE＝OF都为外接球的半径R，所以R2＝（）2+（a）2＝+＝+＝++≥3＝3×，当且仅当＝即b＝时等号成立．所以外接球的表面积为S＝4πR2≥4π•3×＝6π．所以外接球的表面积最小值为6π．故选：A．【知识点】球的体积和表面积二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，选对得分，选错、少选不得分）9.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2＝b2+bc，则角A可为（）A．B．C．D．【答案】BC【分析】由已知利用余弦定理整理可得cos A＝，对于A，若A＝，可得b＝＜0，错误；对于B，若A＝，可得b＝＞0，对于C，若A＝，可得b＝＞0，对于D，若A＝，可得c＝0，错误，即可得解．【解答】解：因为在△ABC中，a2＝b2+bc，又由余弦定理可得：a2＝b2+c2﹣2bc cos A，所以b2+bc＝b2+c2﹣2bc cos A，整理可得：c＝b（1+2cos A），可得：cos A＝，对于A，若A＝，可得：﹣＝，整理可得：b＝＜0，错误；对于B，若A＝，可得：＝，整理可得：b＝＞0，对于C，若A＝，可得：cos＝＝，整理可得：b＝＞0，对于D，若A＝，可得：cos＝﹣＝，整理可得：c＝0，错误．故选：BC．【知识点】余弦定理10.如图，四边形ABCD为直角梯形，∠D＝90°，AB∥CD，AB＝2CD，M，N分别为AB，CD的中点，则下列结论正确的是（）A．B．C．D．【答案】ABC【分析】由向量的加减法法则、平面向量基本定理解决【解答】解：由，知A正确；由知B正确；由知C正确；由N为线段DC的中点知知D错误；故选：ABC．【知识点】向量数乘和线性运算、平面向量的基本定理11.下列说法正确的有（）A．任意两个复数都不能比大小B．若z＝a+bi（a∈R，b∈R），则当且仅当a＝b＝0时，z＝0C．若z1，z2∈C，且z12+z22＝0，则z1＝z2＝0D．若复数z满足|z|＝1，则|z+2i|的最大值为3【答案】BD【分析】通过复数的基本性质，结合反例，以及复数的模，判断命题的真假即可．【解答】解：当两个复数都是实数时，可以比较大小，所以A不正确；复数的实部与虚部都是0时，复数是0，所以B正确；反例z1＝1，z2＝i，满足z12+z22＝0，所以C不正确；复数z满足|z|＝1，则|z+2i|的几何意义，是复数的对应点到（0，﹣2）的距离，它的最大值为3，所以D正确；故选：BD．【知识点】复数的模、复数的运算、虚数单位i、复数、命题的真假判断与应用12.如图，已知ABCD﹣A1B1C1D1为正方体，E，F分别是BC，A1C的中点，则（）A．B．C．向量与向量的夹角是60°D．异面直线EF与DD1所成的角为45°【答案】ABD【分析】在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，建立合适的空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，根据空间向量的坐标运算，以及异面直线所成角的向量求法，逐项判断即可．【解答】解：在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，以点A为坐标原点，分别以AB，AD，AA1为x 轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则A（0，0，0），A1（0，0，2），B（2，0，0），B1（2，0，2），C （2，2，0），D（0，2，0），D1（0，2，2），所以，故，故选项A正确；又，又，所以，，则，故选项B正确；，所以，因此与的夹角为120°，故选项C错误；因为E，F分别是BC，A1C的中点，所以E（2，1，0），F（1，1，1），则，所以，又异面直线的夹角大于0°小于等于90°，所以异面直线EF与DD1所成的角为45°，故选项D正确；故选：ABD．【知识点】异面直线及其所成的角三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）13.已知正方形ABCD的边长为2，点P满足＝（+），则||＝；•＝．【分析】根据向量的几何意义可得P为BC的中点，再根据向量的数量积的运算和正方形的性质即可求出．【解答】解：由＝（+），可得P为BC的中点，则|CP|＝1，∴|PD|＝＝，∴•＝•（+）＝﹣•（+）＝﹣2﹣•＝﹣1，故答案为：，﹣1．【知识点】平面向量数量积的性质及其运算14.若虛数z1、z2是实系数一元二次方程x2+px+q＝0的两个根，且，则pq＝．【答案】1【分析】设z1＝a+bi，则z2＝a﹣bi，（a，b∈R），根据两个复数相等的充要条件求出z1，z2，再由根与系数的关系求得p，q的值．【解答】解：由题意可知z1与z2为共轭复数，设z1＝a+bi，则z2＝a﹣bi，（a，b∈R 且b≠0），又，则a2﹣b2+2abi＝a﹣bi，∴（2a+b）+（a+2b）i＝1﹣i，∴，解得．∴z1＝+i，z2＝i，（或z2＝+i，z1＝i）．由根与系数的关系，得p＝﹣（z1+z2）＝1，q＝z1•z2＝1，∴pq＝1．故答案为：1．【知识点】复数的运算15.已知平面四边形ABCD中，AB＝AD＝2，BC＝CD＝BD＝2，将△ABD沿对角线BD折起，使点A到达点A'的位置，当A'C＝时，三棱锥A﹣BCD的外接球的体积为．【分析】由题意画出图形，找出三棱锥外接球的位置，求解三角形可得外接球的半径，再由棱锥体积公式求解．【解答】解：记BD的中点为M，连接A′M，CM，可得A′M2+CM2＝A′C2，则∠A′MC＝90°，则外接球的球心O在△A′MC的边A′C的中垂线上，且过正三角形BCD的中点F，且在与平面BCD垂直的直线m上，过点A′作A′E⊥m于点E，如图所示，设外接球的半径为R，则A′O＝OC＝R，，A′E＝1，在Rt△A′EO中，A′O2＝A′E2+OE2，解得R＝．故三棱锥A﹣BCD的外接球的体积为．故答案为：．【知识点】球的体积和表面积16.已知一圆锥底面圆的直径为3，圆锥的高为，在该圆锥内放置一个棱长为a的正四面体，并且正四面体在该几何体内可以任意转动，则a的最大值为．【分析】根据题意，该四面体内接于圆锥的内切球，通过内切球即可得到a的最大值．【解答】解：依题意，四面体可以在圆锥内任意转动，故该四面体内接于圆锥的内切球，设球心为P，球的半径为r，下底面半径为R，轴截面上球与圆锥母线的切点为Q，圆锥的轴截面如图：则OA＝OB＝，因为SO＝，故可得：SA＝SB＝＝3，所以：三角形SAB为等边三角形，故P是△SAB的中心，连接BP，则BP平分∠SBA，所以∠PBO＝30°；所以tan30°＝，即r＝R＝×＝，即四面体的外接球的半径为r＝．另正四面体可以从正方体中截得，如图：从图中可以得到，当正四面体的棱长为a时，截得它的正方体的棱长为a，而正四面体的四个顶点都在正方体上，故正四面体的外接球即为截得它的正方体的外接球，所以2r＝AA1＝a＝a，所以a＝．即a的最大值为．故答案为：．【知识点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）四、解答题（本大题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.在四边形ABCD中，AB∥CD，AD＝BD＝CD＝1．（1）若AB＝，求BC；（2）若AB＝2BC，求cos∠BDC．【分析】（1）直接利用余弦定理的应用求出结果；（2）利用余弦定理的应用建立等量关系式，进一步求出结果．【解答】解：（1）在四边形ABCD中，AD＝BD＝CD＝1．若AB＝，所以：cos∠ADB＝＝，由于AB∥CD，所以∠BDC＝∠ABD，即cos∠BDC＝cos∠ABD＝，所以BC2＝BD2+CD2﹣2•BD•CD•cos∠BDC＝＝，所以BC＝．（2）设BC＝x，则AB＝2BC＝2x，由余弦定理得：cos∠ADB＝＝，cos∠BDC＝＝＝，故，解得或﹣（负值舍去）．所以．【知识点】余弦定理18.（1）已知z1=1﹣2i，z2=3+4i，求满足=+的复数z．（2）已知z，ω为复数，（1+3i）﹣z为纯虚数，ω=，且|ω|=5．求复数ω．【分析】（1）把z1，z2代入=+，利用复数代数形式的乘除运算化简求出，进一步求出z；（2）设z=a+bi（a，b∈R），利用复数的运算及（1+3i）•z=（1+3i）（a+bi）=a﹣3b+（3a+b）i为纯虚数，可得，又ω==i，|ω|=5，可得，即可得出a，b，再代入可得ω．【解答】解：（1）由z1=1﹣2i，z2=3+4i，得=+==，则z=；（2）设z=a+bi（a，b∈R），∵（1+3i）•z=（1+3i）（a+bi）=a﹣3b+（3a+b）i为纯虚数，∴．又ω===i，|ω|=5，∴．把a=3b代入化为b2=25，解得b=±5，∴a=±15．∴ω=±（i）=±（7﹣i）．【知识点】复数的运算19.如图，墙上有一壁画，最高点A离地面4米，最低点B离地面2米．观察者从距离墙x（x＞1）米，离地面高a（1≤a≤2）米的C处观赏该壁画，设观赏视角∠ACB＝θ．（1）若a＝1.5，问：观察者离墙多远时，视角θ最大？（2）若tanθ＝，当a变化时，求x的取值范围．【分析】（1）首项利用两角和的正切公式建立函数关系，进一步利用判别式确定函数的最大值；（2）利用两角和的正切公式建立函数关系，利用a的取值范围即可确定x的范围．【解答】解：（1）如图，作CD⊥AF于D，则CD＝EF，设∠ACD＝α，∠BCD＝β，CD＝x，则θ＝α﹣β，在Rt△ACD和Rt△BCD中，tanα＝，tanβ＝，则tanθ＝tan（α﹣β）＝＝（x＞0），令u＝，则ux2﹣2x+1.25u＝0，∵上述方程有大于0的实数根，∴△≥0，即4﹣4×1.25u2≥0，∴u≤，即（tanθ）max＝，∵正切函数y＝tan x在（0，）上是增函数，∴视角θ同时取得最大值，此时，x＝＝，∴观察者离墙米远时，视角θ最大；（2）由（1）可知，tanθ＝＝＝，即x2﹣4x+4＝﹣a2+6a﹣4，∴（x﹣2）2＝﹣（a﹣3）2+5，∵1≤a≤2，∴1≤（x﹣2）2≤4，化简得：0≤x≤1或3≤x≤4，又∵x＞1，∴3≤x≤4．【知识点】解三角形20.如图，已知复平面内平行四边形ABCD中，点A对应的复数为﹣1，对应的复数为2+2i，对应的复数为4﹣4i．（Ⅰ）求D点对应的复数；（Ⅱ）求平行四边形ABCD的面积．【分析】（I）利用复数的几何意义、向量的坐标运算性质、平行四边形的性质即可得出．（II）利用向量垂直与数量积的关系、模的计算公式、矩形的面积计算公式即可得出．【解答】解：（Ⅰ）依题点A对应的复数为﹣1，对应的复数为2+2i，得A（﹣1，0），＝（2，2），可得B（1，2）．又对应的复数为4﹣4i，得＝（4，﹣4），可得C（5，﹣2）．设D点对应的复数为x+yi，x，y∈R．得＝（x﹣5，y+2），＝（﹣2，﹣2）．∵ABCD为平行四边形，∴＝，解得x＝3，y＝﹣4，故D点对应的复数为3﹣4i．（Ⅱ）＝（2，2），＝（4，﹣4），可得：＝0，∴．又||＝2，＝4．故平行四边形ABCD的面积＝＝16．【知识点】复数的代数表示法及其几何意义21.如图所示，等腰梯形ABFE是由正方形ABCD和两个全等的Rt△FCB和Rt△EDA组成，AB＝1，CF＝2．现将Rt△FCB沿BC所在的直线折起，点F移至点G，使二面角E﹣BC﹣G的大小为60°．（1）求四棱锥G﹣ABCE的体积；（2）求异面直线AE与BG所成角的大小．【分析】（1）推导出GC⊥BC，EC⊥BC，从而∠ECG＝60°．连接DG，推导出DG⊥EF，由BC⊥EF，BC⊥CG，得BC⊥平面DEG，从而DG⊥BC，进而DG⊥平面ABCE，DG是四棱锥G ﹣ABCE的高，由此能求出四棱锥G﹣ABCE的体积．（2）取DE的中点H，连接BH、GH，则BH∥AE，∠GBH既是AE与BG所成角或其补角．由此能求出异面直线AE与BG所成角的大小．【解答】解：（1）由已知，有GC⊥BC，EC⊥BC，所以∠ECG＝60°．连接DG，由CD＝AB＝1，CG＝CF＝2，∠ECG＝60°，有DG⊥EF①，由BC⊥EF，BC⊥CG，有BC⊥平面DEG，所以，DG⊥BC②，由①②知，DG⊥平面ABCE，所以DG就是四棱锥G﹣ABCE的高，在Rt△CDG中，．故四棱锥G﹣ABCE的体积为：．（2）取DE的中点H，连接BH、GH，则BH∥AE，故∠GBH既是AE与BG所成角或其补角．在△BGH中，，，则．故异面直线AE与BG所成角的大小为．【知识点】异面直线及其所成的角、棱柱、棱锥、棱台的体积22.如图，四边形MABC中，△ABC是等腰直角三角形，AC⊥BC，△MAC是边长为2的正三角形，以AC为折痕，将△MAC向上折叠到△DAC的位置，使点D在平面ABC内的射影在AB上，再将△MAC向下折叠到△EAC的位置，使平面EAC⊥平面ABC，形成几何体DABCE．（1）点F在BC上，若DF∥平面EAC，求点F的位置；（2）求直线AB与平面EBC所成角的余弦值．【分析】（1）点F为BC的中点，设点D在平面ABC内的射影为O，连接OD，OC，取AC 的中点H，连接EH，由题意知EH⊥AC，EH⊥平面ABC，由题意知DO⊥平面ABC，得DO∥平面EAC，取BC的中点F，连接OF，则OF∥AC，从而OF∥平面EAC，平面DOF∥平面EAC，由此能证明DF∥平面EAC．（2）连接OH，由OF，OH，OD两两垂直，以O为坐标原点，OF，OH，OD所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线AB与平面EBC所成角的余弦值．【解答】解：（1）点F为BC的中点，理由如下：设点D在平面ABC内的射影为O，连接OD，OC，∵AD＝CD，∴OA＝OC，∴在Rt△ABC中，O为AB的中点，取AC的中点H，连接EH，由题意知EH⊥AC，又平面EAC⊥平面ABC，平面EAC∩平面ABC＝AC，∴EH⊥平面ABC，由题意知DO⊥平面ABC，∴DO∥EH，∴DO∥平面EAC，取BC的中点F，连接OF，则OF∥AC，又OF⊄平面EAC，AC⊂平面EAC，∴OF∥平面EAC，∵DO∩OF＝O，∴平面DOF∥平面EAC，∵DF⊂平面DOF，∴DF∥平面EAC．（2）连接OH，由（1）可知OF，OH，OD两两垂直，以O为坐标原点，OF，OH，OD所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示空间直角坐标系，则B（1，﹣1，0），A（﹣1，1，0），E（0，1，﹣），C（1，1，0），∴＝（2，﹣2，0），＝（0，2，0），＝（﹣1，2，﹣），设平面EBC的法向量＝（a，b，c），则，取a＝，则＝（，0，﹣1），设直线与平面EBC所成的角为θ，则sinθ＝＝＝．∴直线AB与平面EBC所成角的余弦值为cosθ＝＝．【知识点】直线与平面平行、直线与平面所成的角人教版高一下学期期中考试数学试卷（二）注意事项：本试卷满分150分，考试时间120分钟，试题共22题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（2﹣i）z对应的点位于虚轴的正半轴上，则复数z对应的点位于（）1.已知复平面内，A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2.平行四边形ABCD中，点E是DC的中点，点F是BC的一个三等分点（靠近B），则＝（）A．B．C．D．3.已知向量＝（6t+3，9），＝（4t+2，8），若（+）∥（﹣），则t＝（）A．﹣1 B．﹣C．D．14.已知矩形ABCD的一边AB的长为4，点M，N分别在边BC，DC上，当M，N分别是边BC，DC的中点时，有（+）•＝0．若+＝x+y，x+y＝3，则线段MN的最短长度为（）A．B．2 C．2D．25.若z∈C且|z+3+4i|≤2，则|z﹣1﹣i|的最大和最小值分别为M，m，则M﹣m的值等于（）A．3 B．4 C．5 D．96.已知球的半径为R，一等边圆锥（圆锥母线长与圆锥底面直径相等）位于球内，圆锥顶点在球上，底面与球相接，则该圆锥的表面积为（）A．R2B．R2C．R2D．R27.农历五月初五是端午节，民间有吃粽子的习惯，粽子又称粽籺，俗称“粽子”，古称“角黍”，是端午节大家都会品尝的食品，传说这是为了纪念战国时期楚国大臣、爱国主义诗人屈原．小明在和家人一起包粽子时，想将一丸子（近似为球）包入其中，如图，将粽叶展开后得到由六个边长为4的等边三角形所构成的平行四边形，将粽叶沿虚线折起来，可以得到如图所示的粽子形状的六面体，则放入丸子的体积最大值为（）A．πB．πC．πD．π8.已知半球O与圆台OO'有公共的底面，圆台上底面圆周在半球面上，半球的半径为1，则圆台侧面积取最大值时，圆台母线与底面所成角的余弦值为（）A．B．C．D．二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，选对得分，选错、少选不得分）9.下列有关向量命题，不正确的是（）A．若||＝||，则＝B．已知≠，且•＝•，则＝C．若＝，＝，则＝D．若＝，则||＝||且∥10.若复数z满足，则（）A．z＝﹣1+i B．z的实部为1 C．＝1+i D．z2＝2i11.如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别为线段AD，CD的中点，AF∩CE＝G，则（）A．B．C．D．12.已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1，棱长为2，E为线段B1C上的动点，O为AC的中点，P 为棱CC1上的动点，Q为棱AA1的中点，则以下选项中正确的有（）A．AE⊥B1CB．直线B1D⊥平面A1BC1C．异面直线AD1与OC1所成角为D．若直线m为平面BDP与平面B1D1P的交线，则m∥平面B1D1Q三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）13.已知向量＝（m，1），＝（m﹣6，m﹣4），若∥，则m的值为．14.将表面积为36π的圆锥沿母线将其侧面展开，得到一个圆心角为的扇形，则该圆锥的轴截面的面积S＝．15.如图，已知有两个以O为圆心的同心圆，小圆的半径为1，大圆的半径为2，点A 为小圆上的动点，点P，Q是大圆上的两个动点，且•＝1，则||的最大值是．16.如图，在三棱锥A﹣BCD的平面展开图中，已知四边形BCED为菱形，BC＝1，BF＝，若二面角A﹣CD﹣B的余弦值为﹣，M为BD的中点，则CD＝，直线AD与直线CM所成角的余弦值为．四、解答题（本大题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.已知，．（1）若与同向，求；（2）若与的夹角为120°，求．18.已知a、b、c是△ABC中∠A、∠B、∠C的对边，a＝4，b＝6，cos A＝﹣．（1）求c；（2）求cos2B的值．19.已知：复数z1与z2在复平面上所对应的点关于y轴对称，且z1（1﹣i）＝z2（1+i）（i为虚数单位），|z1|＝．（Ⅰ）求z1的值；（Ⅱ）若z1的虚部大于零，且（m，n∈R），求m，n的值．20.（Ⅰ）在复数范围内解方程|z|2+（z+）i＝（i为虚数单位）（Ⅱ）设z是虚数，ω＝z+是实数，且﹣1＜ω＜2．（1）求|z|的值及z的实部的取值范围；（2）设，求证：μ为纯虚数；（3）在（2）的条件下求ω﹣μ2的最小值．21.如图，直三棱柱A1B1C1﹣ABC中，AB＝AC＝1，，A1A＝4，点M为线段A1A 的中点．（1）求直三棱柱A1B1C1﹣ABC的体积；（2）求异面直线BM与B1C1所成的角的大小．（结果用反三角表示）22.如图所示，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点G在棱D1C1上，且D1G＝D1C1，点E、F、M分别是棱AA1、AB、BC的中点，P为线段B1D上一点，AB＝4．（Ⅰ）若平面EFP交平面DCC1D1于直线l，求证：l∥A1B；（Ⅱ）若直线B1D⊥平面EFP．（i）求三棱锥B1﹣EFP的表面积；（ii）试作出平面EGM与正方体ABCD﹣A1B1C1D1各个面的交线，并写出作图步骤，保留作图痕迹．设平面EGM与棱A1D1交于点Q，求三棱锥Q﹣EFP的体积．答案解析一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（2﹣i）z对应的点位于虚轴的正半轴上，则复数z对应的点位于（）1.已知复平面内，A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】B【分析】直接利用复数的运算和几何意义的应用求出该点所表示的位置．【解答】解：设z＝a+bi（a，b∈R），所以（2﹣i）（a+bi）＝2a+b+（2b﹣a）i，由于对应的点在虚轴的正半轴上，所以，即，所以a＜0，b＞0．故该点在第二象限．故选：B．【知识点】复数的代数表示法及其几何意义2.平行四边形ABCD中，点E是DC的中点，点F是BC的一个三等分点（靠近B），则＝（）A．B．C．D．【答案】D【分析】利用平行四边形的性质以及向量相等的概念，再利用平面向量基本定理进行转化即可．【解答】解：因为ABCD为平行四边形，所以，故．故选：D．【知识点】平面向量的基本定理3.已知向量＝（6t+3，9），＝（4t+2，8），若（+）∥（﹣），则t＝（）A．﹣1 B．﹣C．D．1【答案】B【分析】根据平面向量的坐标表示和共线定理，列方程求出t的值．【解答】解：向量＝（6t+3，9），＝（4t+2，8），所以+＝（6t+3，11），﹣＝（4t+2，5）．又（+）∥（﹣），所以5（6t+3）﹣11（4t+2）＝0，解得t＝﹣．故选：B．【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示4.已知矩形ABCD的一边AB的长为4，点M，N分别在边BC，DC上，当M，N分别是边BC，DC的中点时，有（+）•＝0．若+＝x+y，x+y＝3，则线段MN的最短长度为（）A．B．2 C．2D．2【答案】D【分析】先根据M，N满足的条件，将（+）•＝0化成的表达式，从而判断出矩形ABCD为正方形；再将+＝x+y，左边用表示出来，结合x+y ＝3，即可得NC+MC＝4，最后借助于基本不等式求出MN的最小值．【解答】解：当M，N分别是边BC，DC的中点时，有（+）•＝＝＝，所以AD＝AB，则矩形ABCD为正方形，设，，则＝．则x＝2﹣λ，y＝2﹣μ．又x+y＝3，所以λ+μ＝1．故NC+MC＝4，则MN＝＝（当且仅当MC＝NC＝2时取等号）．故线段MN的最短长度为2．故选：D．【知识点】平面向量数量积的性质及其运算5.若z∈C且|z+3+4i|≤2，则|z﹣1﹣i|的最大和最小值分别为M，m，则M﹣m的值等于（）A．3 B．4 C．5 D．9【答案】B【分析】由题意画出图形，再由复数模的几何意义，数形结合得答案．【解答】解：由|z+3+4i|≤2，得z在复平面内对应的点在以Q（﹣3，﹣4）为圆心，以2为半径的圆及其内部．如图：|z﹣1﹣i|的几何意义为区域内的动点与定点P得距离，则M＝|PQ|+2，m＝|PQ|﹣2，则M﹣m＝4．故选：B．【知识点】复数的运算6.已知球的半径为R，一等边圆锥（圆锥母线长与圆锥底面直径相等）位于球内，圆锥顶点在球上，底面与球相接，则该圆锥的表面积为（）A．R2B．R2C．R2D．R2【答案】B【分析】设圆锥的底面半径为r，求得圆锥的高，由球的截面性质，运用勾股定理可得r，由圆锥的表面积公式可得所求．【解答】解：如图，设圆锥的底面半径为r，则圆锥的高为r，则R2＝r2+（r﹣R）2，解得r＝R，则圆锥的表面积为S＝πr2+πr•2r＝3πr2＝3π（R）2＝πR2，故选：B．【知识点】球内接多面体、旋转体（圆柱、圆锥、圆台）7.农历五月初五是端午节，民间有吃粽子的习惯，粽子又称粽籺，俗称“粽子”，古称“角黍”，是端午节大家都会品尝的食品，传说这是为了纪念战国时期楚国大臣、爱国主义诗人屈原．小明在和家人一起包粽子时，想将一丸子（近似为球）包入其中，如图，将粽叶展开后得到由六个边长为4的等边三角形所构成的平行四边形，将粽叶沿虚线折起来，可以得到如图所示的粽子形状的六面体，则放入丸子的体积最大值为（）A．πB．πC．πD．π【答案】A【分析】先根据题意求得正四面体的体积，进而得到六面体的体积，再由图形的对称性得，内部的丸子要是体积最大，就是丸子要和六个面相切，设丸子的半径为R，则，由此求得R，进而得到答案．【解答】解：由题意可得每个三角形面积为，由对称性可知该六面体是由两个正四面体合成的，可得该四面体的高为，故四面体的体积为，∵该六面体的体积是正四面体的2倍，。
江苏省海门中学高一数学下学期期中考试试卷苏教版
江苏省海门中学2011—2012学年第二学期期中考试试卷高一数学注意事项：1．本试卷共4页，均为非选择题（第1题～第20题，共20题）。
本卷满分为160分，考试时间为120分钟。
2．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考试科目等用0.5毫米黑色墨水的签字写在答题纸上，并贴好条形码．3．主观题请在规定区域答题，在其他位置作答一律无效．请务必保持答题纸的整洁，不要折叠，考试结束，将答题纸交回．4．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗。
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1．经过点A(3,2), 且与直线024=-+y x 垂直的直线方程是 ▲ 2．已知A （2，-4），B （0，6），C （-1，5），则=+2 ▲3．在ABC ∆中, 如果7:5:3sin :sin :sin =C B A ,则ABC ∆的最大角的大小是 ▲ 4．在等差数列{}n a 中，已知106=S ，3012=S ，则=18S ▲5．已知直线13:1=+y ax l ，1)1(2:2=++y a x l ，若1l ∥2l ，则实数a 的值是 ▲ ． 6．设)4,(x =,)2,1(-=，若与的夹角为锐角，则x 的取值范围为 ▲ 。
7．已知z y x ,,成等比数列，a 是y x ,的等差中项，b 是z y ,的等差中项，则=+bza x ▲ 8．已知线段AB 两个端点A ()23，-，B ()--32，，直线l 过点)2,1(P 且过线段AB 相交，则l 的斜率k 的取值范围为 ▲9．已知等比数列{}n a 中，公比0>q ，且14239,8a a aa +==，则2011201220092010a a a a +=+ ▲ ． 10．在ABC ∆中，D 在线段BC 上，2=, n m +=，则mn= ▲ .11．运算符号：“∏”，这个符号表示若干个数相乘，例如：可将1×2×3×…×n 记作∏=ni i 1，∏=*=∈ni i n a T N n 1).(记，其中a i 为数列)}({*∈N n a n 中的第i 项.若=∈=*n n a N n n T 则),(2 ▲ .12．在△ABC 中，A =60,b =1,ABC ∆外接圆的半径为 ▲ . 13．设,,是任意的非零向量，且互相不共线，有下列命题：（1）0)()(=⋅-⋅b a c c b a ；(2)-<-；(3))()(⋅-⋅ 与垂直；（4）已知是单位向量,-=+, 则在方向上的投影为21。
2022年广东省汕头市海门中学高一数学理模拟试题含解析
2022年广东省汕头市海门中学高一数学理模拟试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知函数满足当时，；当时，，则（）A．B． C. D．参考答案：A∵3＜2＋log23＜4,所以f(2＋log23)＝f(3＋log23)且3＋log23＞4∴＝f(3＋log23)＝2. 已知向量=（，），=（，），则∠ABC=（）A．30°B．45°C．60°D．120°参考答案：A【考点】9S：数量积表示两个向量的夹角．【分析】根据向量的坐标便可求出，及的值，从而根据向量夹角余弦公式即可求出cos∠ABC的值，根据∠ABC的范围便可得出∠ABC的值．【解答】解：，；∴；又0°≤∠ABC≤180°；∴∠ABC=30°．故选A．3. 如图，函数、、的图象和直线将平面直角坐标系的第一象限分成八个部分：①②③④⑤⑥⑦⑧。
则函数的图象经过的部分是（）。
A、④⑦B、④⑧C、③⑦D、③⑧参考答案：B4. 从一箱产品中随机地抽取一件，设事件A=｛抽到一等品｝，事件B =｛抽到二等品｝，事件C =｛抽到三等品｝，且已知P(A)= 0.65 ，P(B)=0.2 ，P(C)=0.1。
则事件“抽到的不是一等品”的概率为A．0.7 B．0.65 C．0.35 D．0.3 参考答案：C略5. 如图给出的四个对应关系，其中构成映射的是（）A．（1）（2）B．（1）（4）C．（1）（2）（4）D．（3）（4）参考答案：B【考点】映射．【专题】计算题；函数的性质及应用．【分析】根据映射的定义，在集合A中的任意一个元素，在集合B中都有唯一确定的元素与之对应．【解答】解：（1）（4）可以构成映射；在（2）中，1，4在后一个集合中找不到对应的元素，故不是映射；在（3）中，1对应了两个数3，4，故也不是映射；故选B．【点评】本题考查了映射的定义，属于基础题．6. 函数等于A． B． C． D．参考答案：B7. 如图，PA⊥矩形ABCD，下列结论中不正确的是( )A．PD⊥BD B．PD⊥CDC．PB⊥BC D．PA⊥BD参考答案：A略8. 令a=60.7，b=0.76，c=log0.76，则三个数a、b、c的大小顺序是（）A．b＜c＜a B．b＜a＜c C．c＜a＜b D．c＜b＜a 参考答案：D【考点】指数函数的单调性与特殊点．【分析】由指数函数和对数函数的图象可以判断a、b、c和0 和1的大小，从而可以判断a、b、c的大小．【解答】解：由指数函数和对数函数的图象可知：a＞1，0＜b＜1，c＜0，所以c＜b＜a故选D9. 中，，，为使此三角形只有一个，满足条件( )A. B. C.或 D.或参考答案：C10. 已知f(x)=，则f(f(1))=（）A.1B.2C.3D.4参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 某同学在研究函数时，给出了下面几个结论：①等式对任意的x∈R恒成立；②函数的值域为(－1,1)；③若，则一定有；④函数在R上有三个零点.其中正确结论的序号是____________(写出所有正确结论的序号).参考答案：①②③由题意，①项，，故①正确．②项，当时，，则，当时，，则，∴值域为，故②正确．③项，当时，．当时，，故在上严格单调递增．∴若，则一定有，故③正确．④项，当时，．当时，，故在上单调递减．，∴函数在上只有一个零点，故④错误．12. 设函数，给出以下四个论断：①它的图象关于直线对称；③它的最小正周期是；②它的图象关于点（，0）对称；④在区间[]上是增函数.以其中两个论断作为条件，余下论断作为结论，写出一个正确的命题：条件_ ▲ _ ，结论_ ▲ （填序号）．参考答案：①③②④或②③①④.13. 函数的最小正周期是____.参考答案：π【分析】将三角函数化简为标准形式，再利用周期公式得到答案.【详解】由于所以【点睛】本题考查了三角函数的化简，周期公式，属于简单题.14. 函数的值域___________．参考答案：(0,2]∵，∴，∴。
海门中学数学高一下期中经典练习(含答案解析)
一、选择题1．(0分)[ID ：12426]已知m ，n 表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是（ ） A ．若//,//,m n αα则//m nB ．若m α⊥，n α⊂，则m n ⊥C ．若m α⊥，m n ⊥，则//n αD ．若//m α，m n ⊥，则n α⊥ 2．(0分)[ID ：12414]已知正四棱锥P ABCD -的所有顶点都在同一球面上，若球的半径为3，则该四棱锥的体积的最大值为（ ）A ．643B ．32C ．54D ．643．(0分)[ID ：12411]已知m ，n 是空间中两条不同的直线，α，β为空间中两个互相垂直的平面，则下列命题正确的是（ ）A ．若m α⊂，则m β⊥B ．若m α⊂，n β⊂，则m n ⊥C ．若m α⊄，m β⊥，则//m αD ．若m αβ=，n m ⊥，则n α⊥4．(0分)[ID ：12401]已知(2,0)A -，(0,2)B ，实数k 是常数，M ，N 是圆220x y kx ++=上两个不同点，P 是圆220x y kx ++=上的动点，如果M ，N 关于直线10x y --=对称，则PAB ∆面积的最大值是（ ）A ．3B ．4C ．6D ．3+ 5．(0分)[ID ：12398]已知定义在R 上的函数()21()x m f x m -=-为实数为偶函数,记0.5(log 3),a f 2b (log 5),c (2)f f m ,则,,a b c ,的大小关系为（ ）A ．a b c <<B ．c a b <<C ．a c b <<D ．c b a << 6．(0分)[ID ：12377]<九章算术>中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑.若三棱锥P ABC -为鳖臑，PA ⊥平面,2,4ABC PA AB AC ===，三棱锥P ABC -的四个顶点都在球O 的球面上，则球O 的表面积为（ ）A ．8πB ．12πC ．20πD ．24π7．(0分)[ID ：12373]已知m 和n 是两条不同的直线，α和β是两个不重合的平面，那么下面给出的条件中一定能推出m ⊥β的是( )A ．α⊥β，且m ⊂αB ．m ⊥n ，且n ∥βC ．α⊥β，且m ∥αD ．m ∥n ，且n ⊥β 8．(0分)[ID ：12355]已知点A （1，2），B （3，1），则线段AB 的垂直平分线的方程是（ ）A ．4x 2y 5+=B ．4x 2y 5-=C ．x 2y 5+=D ．x 2y 5-= 9．(0分)[ID ：12353]已知圆()()22:341C x y -+-=和两点(),A m m -，(),B m m -()0m >，若圆C 上存在点P ，使得90APB ∠=︒，则m 的最大值为（ ）A ．B ．CD ．10．(0分)[ID ：12393]点A 、B 、C 、D 在同一个球的球面上，，AC=2，若四面体ABCD 体积的最大值为23，则这个球的表面积为（ ） A ．1256π B ．8π C ．2516π D ．254π 11．(0分)[ID ：12371]若方程21424x kx k +-=-+ 有两个相异的实根，则实数k 的取值范围是（ ）A ．13,34⎛⎤ ⎥⎝⎦ B ．13,34⎛⎫ ⎪⎝⎭ C ．53,124⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ．53,12412．(0分)[ID ：12418]如图，正四面体ABCD 中，,E F 分别是线段AC 的三等分点，P 是线段AB 的中点，G 是线段BD 的动点，则( )A ．存在点G ，使PG EF ⊥成立B ．存在点G ，使FG EP ⊥成立C ．不存在点G ，使平面EFG ⊥平面ACD 成立D ．不存在点G ，使平面EFG ⊥平面ABD 成立 13．(0分)[ID ：12380]如图是一个几何体的三视图（侧视图中的弧线是半圆），则该几何体的表面积是（ ）A ．20＋3πB ．24＋3πC ．20＋4πD ．24＋4π14．(0分)[ID ：12338]某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），其俯视图为等边三角形，则该几何体的体积（单位：3cm ）是（ ）A ．43B ．1033C ．23D ．83315．(0分)[ID ：12334]如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1CC ⊥平面ABC ，ABC 是等腰三角形，BA BC =，123AC CC ==，，D 是AC 的中点，点F 在侧棱1A 上，若要使1C F ⊥平面BDF ，则1AF FA 的值为( )A ．1B ．12或2C ．22或2D ．13或3 二、填空题16．(0分)[ID ：12460]正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，P 为1CC 上的动点，Q 为1BD 上的动点，则线段PQ 的长度的最小值为______.17．(0分)[ID ：12515]若直线y x b =+与曲线234y x x =-b 的取值范围是______．18．(0分)[ID ：12486]以(3,2)a =-方向向量的直线平分圆2220x y y =++，直线l 的方程为________.19．(0分)[ID ：12466]如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面,,//,2,1ABCD AD AB AB DC AD DC AP AB ⊥====，若E 为棱PC 上一点，满足BE AC ⊥，则PE EC =__________．20．(0分)[ID ：12447]在一个密闭的容积为1的透明正方体容器内装有部分液体，如果任意转动该正方体，液面的形状都不可能是三角形，那么液体体积的取值范围是 ．21．(0分)[ID ：12446]底面边长为2的正三棱柱111ABC A B C -被不平行于底面的平面MNP 所截，其中3AM =，4BN =，5PC =，则多面体ABC MNP -体积为________22．(0分)[ID ：12440]圆台的两个底面面积之比为4：9，母线与底面的夹角是60°，轴截面的面积为1803，则圆台的侧面积为_____．23．(0分)[ID ：12507]在平面直角坐标系内，到点A （1，2），B （1，5），C （3，6），D （7，﹣1）的距离之和最小的点的坐标是 ．24．(0分)[ID ：12506]在各棱长均为1的正四棱锥P ABCD -中，M 为线段PB 上的一动点，则当AM MC +最小时，cos AMC ∠=_________25．(0分)[ID ：12456]已知四面体ABCD 的外接球球心O 在棱CD 上，AB=3，CD=2，则A 、B 两点在四面体ABCD 的外接球上的球面距离是________.三、解答题26．(0分)[ID ：12606]已知过原点的动直线l 与圆1C :22650x y x +-+=相交于不同的两点A ，B ．（1）求圆1C 的圆心坐标；（2）求线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程；（3）是否存在实数k ，使得直线L:()4y k x =-与曲线C 只有一个交点？若存在，求出k 的取值范围；若不存在，说明理由．27．(0分)[ID ：12573]如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，D 是BC 的中点．AB AC ⊥，1AB AC ==，12AA =．（Ⅰ）求直线1AC 与平面11BCC B 所成角的正弦值；（Ⅱ）求二面角1A A B C --的余弦值．28．(0分)[ID ：12552]如图，ABCD 是边长为3的正方形，DE ⊥平面ABCD ，AF ⊥平面ABCD ，33DE AF ==.（1）证明：平面//ABF 平面DCE ；（2）在DE 上是否存在一点G ，使平面FBG 将几何体ABCDEF 分成上下两部分的体积比为3:11？若存在，求出点G 的位置；若不存在，请说明理由.29．(0分)[ID ：12547]已知直线1:20l ax y a +--=，22:0l x ay ++=，点(5,0)P - （1）当12//l l 时，求a 的值；（2）求直线1l 所过的定点Q ，并求当点P 到直线1l 的距离最大时直线1l 的方程.30．(0分)[ID ：12538]求满足下列条件的直线方程：（1）经过两条直线23100x y -+=和3420x y +-=的交点，且平行于直线10x y -+=；（2）经过两条直线280x y +-=和210x y -+=的交点，且垂直于直线320x y --=.【参考答案】2016-2017年度第*次考试试卷 参考答案**科目模拟测试一、选择题1．B2．A3．C4．D5．B6．C7．D8．B9．B10．D11．D12．C13．A14．B15．B二、填空题16．【解析】【分析】首先根据数形结合分析可知线段的长度的最小值转化为在平面上投影线段的最小值然后转化为点到直线的距离的最小值【详解】当平面时线段与其在平面上投影相等当与平面不平行时是斜线段大于其在平面上17．【解析】【分析】由曲线y=3+得（x﹣2）2+（y﹣3）2=40≤x≤4直线y=x+b与曲线y=3+有公共点圆心（23）到直线y=x+b的距离d不大于半径r=2由此结合图象能求出实数b的取值范围【详18．【解析】【分析】由为方向向量设直线的方程为：若要求直线平分圆则圆心在要求的直线上故得解【详解】根据题意要求的直线的方向向量为：设直线的方程为：圆即圆心为若要求直线平分圆则圆心在要求的直线上则有：则直19．【解析】【分析】过作交于连接根据可得平面通过解三角形求得的值也即求得的值【详解】过作交于连接根据可得平面故由于所以由于所以在直角三角形中所以而故根据前面证得可得【点睛】本小题主要考查空间点位置的确定20．【解析】【分析】【详解】试题分析：如图正方体ABCD-EFGH此时若要使液面不为三角形则液面必须高于平面EHD且低于平面AFC而当平面EHD平行水平面放置时若满足上述条件则任意转动该正方体液面的形状21．【解析】【分析】将多面体分为四棱锥与三棱锥两部分相加求和即可【详解】如图将多面体分为四棱锥与三棱锥两部分其中四棱锥的高为为梯形则故多面体体积为故答案为：【点睛】本题主要考查了多面体体积的求解方法根据22．【解析】【分析】首先通过两个底面面积之比为得到半径比设出上底半径为下底半径为由因为母线与底面的夹角是得到母线长为高为就可以根据轴截面的面积解出代公式求出侧面积即可【详解】圆台的两个底面面积之比为则半23．（24）【解析】【分析】【详解】取四边形ABCD对角线的交点这个交点到四点的距离之和就是最小值可证明如下：假设在四边形ABCD中任取一点P在△APC中有AP＋PC＞AC在△BPD中有PB＋PD＞BD24．【解析】【分析】将侧面和侧面平展在一个平面上连即可求出满足最小时点的位置以及长解即可求出结论【详解】将侧面和侧面平展在一个平面上连与交点即为满足最小正四棱锥各棱长均为在平展的平面中四边形为菱形且在正25．【解析】【分析】根据球心到四个顶点距离相等可推断出O为CD的中点且OA＝OB＝OC ＝OD进而在△A0B中利用余弦定理求得cos∠AOB的值则∠AOB可求进而根据弧长的计算方法求得答案【详解】解：球心三、解答题26．27．28．29．30．2016-2017年度第*次考试试卷参考解析【参考解析】**科目模拟测试一、选择题1．B解析：B【解析】试题分析：线面垂直，则有该直线和平面内所有的直线都垂直，故B正确.考点：空间点线面位置关系．2．A解析：A【解析】【分析】设底面ABCD 的边长为a ，四棱锥的高为h ，可得22122a h h =-，得出四棱锥的体积关于h 的函数()V h ，求出V 的极大值点，即可得到四棱锥的体积的最大值.【详解】正四棱锥P ABCD -的所有顶点都在同一球面上，若球的半径为3，设底面ABCD 的边长为a ，四棱锥的高为h ，设正四棱锥的底面ABCD 的中心为1O . 则22a OA =,1PO ⊥ 平面ABCD . 则22211OO O A OA +=,即()2222332a h ⎛⎫+-= ⎪ ⎪⎝⎭，可得22122a h h =-. 则该四棱锥的体积为()221112233V a h h h h =⨯=- 令()()2122f h h h h =-，则()2246f h h h '=-当04h <<时，()0f h '>，f h 单调递增.当4h >时，()0f h '<，f h 单调递减.所以当4h =时，该四棱锥的体积有最大值，最大值为：()216412424433⨯⨯-⨯⨯= . 故选：A【点睛】本题考查了四棱锥与球的组合体，求椎体的体积，关键是利用了导数求体积的最值．属于中档题．3．C解析：C由题设，,αβ⊥ 则A. 若m α⊂，则m β⊥，错误；B. 若m α⊂，n β⊂，则m n ⊥ 错误；D. 若m αβ⋂=，n m ⊥，当n β⊄ 时不能得到n α⊥，错误.故选C.4．D解析：D【解析】【分析】根据圆上两点,M N 关于直线10x y --=对称，可知圆心在该直线上，从而求出圆心坐标与半径，要使得PAB ∆面积最大，则要使得圆上点P 到直线AB 的距离最大，所以高最大为12+，PAB S ∆最大值为3 【详解】由题意，圆x 2+y 2+kx=0的圆心（-2k ，0）在直线x-y-1=0上， ∴-2k -1=0，∴k=-2,∴圆x 2+y 2+kx=0的圆心坐标为（1，0），半径为1 ∵A （-2，0），B （0，2），∴直线AB 的方程为2x -+2y =1，即x-y+2=0∴圆心到直线AB .∴△PAB 面积的最大值是112||(1)2222AB +=⨯= 故选D ．【点睛】 主要考查了与圆有关的最值问题，属于中档题.该题涉及到圆上动点到定直线（圆与直线相离）的最大距离.而圆上动点到定直线的最小距离为圆心到直线距离减去半径，最大距离为圆心到直线距离加上半径.5．B解析：B【解析】由()f x 为偶函数得0m =,所以0,52log 3log 32121312,a =-=-=-=2log 521514b =-=-=,0210c =-=,所以c a b <<,故选B.考点：本题主要考查函数奇偶性及对数运算.6．C【解析】【分析】先作出三棱锥P ABC -的图像，根据P ABC -四个面都为直角三角形和PA ⊥平面ABC ，可知PC 中点即为球心，利用边的关系求出球的半径，再由24S R π=计算即得.【详解】三棱锥P ABC -如图所示，由于P ABC -四个面都为直角三角形，则ABC 是直角三角形，且2ABC π∠=，2223BC AC AB ∴=-=，又PA ⊥平面ABC ，且PAC 是直角三角形，∴球O 的直径2222PC R PA AB BC ==++2025==，5R ∴=，则球O 的表面积2420S R ππ==.故选：C【点睛】本题考查多面体外接球的表面积，是常考题型.7．D解析：D【解析】【分析】根据所给条件，分别进行分析判断，即可得出正确答案.【详解】解：αβ⊥且m α⊂⇒m β⊂或//m β或m 与β相交，故A 不成立；m n ⊥且//n β⇒m β⊂或//m β或m 与β相交，故B 不成立；αβ⊥且//m α⇒m β⊂或//m β或m 与β相交，故C 不成立；//m n 且n β⊥⇒m β⊥，故D 成立；故选：D【点睛】本题考查直线与平面的位置关系，线面垂直判定，属于基础题.8．B解析：B【解析】【分析】【详解】因为线段AB 的垂直平分线上的点(),x y 到点A ，B 的距离相等，=．即：221244x x y y +-++-229612x x y y =+-++-，化简得：425x y -=．故选B ．9．B解析：B【解析】【分析】根据使得90APB ∠=︒的点P 在以AB 为直径的圆上,再分析轨迹圆与圆C 的关系即可.【详解】由题, 使得90APB ∠=︒的点P 在以AB 为直径的圆上,又两点(),A m m -,(),B m m -,所以圆心为()0,0.=.故P 的轨迹方程为2222x y m +=. 又由题意知,当圆()()22:341C x y -+-=内切于222x y m +=时m 取最大值.223416,故m =故选：B【点睛】本题主要考查了圆与圆的位置关系,重点是根据90APB ∠=︒求出点P 的轨迹.属于中等题型. 10．D解析：D【解析】试题分析：根据题意知，ABC 是一个直角三角形，其面积为1．其所在球的小圆的圆心在斜边AC 的中点上，设小圆的圆心为Q ，若四面体ABCD 的体积的最大值，由于底面积ABC S 不变，高最大时体积最大，所以，DQ 与面ABC 垂直时体积最大，最大值为12·33ABC S DQ =，即12133DQ ⨯⨯=，∴2DQ =，设球心为O ，半径为R ，则在直角AQO 中，222OA AQ OQ =+，即()22212R R =+-，∴54R =，则这个球的表面积为：2525444S ππ⎛⎫== ⎪⎝⎭；故选Ｄ．考点：球内接多面体，球的表面积．11．D解析：D【解析】【分析】由题意可得，曲线22(1)4(1)x y y +-=与直线4(2)y k x -=-有2个交点，数形结合求得k 的范围.【详解】如图所示，化简曲线得到22(1)4(1)x y y +-=，表示以(0,1)为圆心，以2为半径的上半圆，直线化为4(2)y k x -=-，过定点(2,4)A ，设直线与半圆的切线为AD ，半圆的左端点为(2,1)B -，当AD AB k k k <，直线与半圆有两个交点，AD 221k =+，解得512AD k =， 4132(2)4AB k -==--，所以53,124k ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦. 故选：D【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，属于中档题.12．C解析：C【解析】【分析】利用空间中线线、线面、面面间的位置关系对选项进行一一验证，即可得答案．【详解】正四面体ABCD 中，,E F 分别是线段AC 的三等分点，P 是线段AB 的中点，G 是直线BD 的动点，在A 中，不存在点G ，使PG EF ⊥成立，故A 错误；在B 中，不存在点G ，使FG EP ⊥成立，故B 错误；在C 中，不存在点G ，使平面EFG ⊥平面ACD 成立，故C 正确；在D 中，存在点G ，使平面EFG ⊥平面ABD 成立，故D 错误.故选：C.【点睛】本题考查命题真假的判断、考查空间中线线、线面、面面间的位置关系，考查转化与化归思想，考查空间想象能力．13．A解析：A【解析】【分析】【详解】由几何体的三视图分析可知，该几何体上部为边长为2的正方体，下部为底面半径为1、高为2的半圆柱体， 故该几何体的表面积是20＋3π，故选A.考点：1、几何体的三视图；2、几何体的表面积. 14．B解析：B【解析】 由题意可知该几何体为正三棱柱去掉一个小三棱锥，1104323333V =⋅=. 故选：B. 15．B解析：B【解析】【分析】易证1BD C F ⊥，故要使1C F ⊥平面BDF ，只需1C F DF ⊥，然后转化到平面11AAC C 中，根据勾股定理计算，即可得结果.【详解】1CC ⊥平面ABC ，BD ⊂平面ABC ，所以1BD CC ⊥，又BA BC =，D 为AC 中点，所以BD AC ⊥，又1AC CC C =，所以BD ⊥平面11AAC C ，1C F 平面11AAC C ，所以1C F BD ⊥，因为DF BD D =，故要使1C F 平面BDF ，只需1C F DF ⊥，在四边形11AAC C 中，1231AC CC AD CD ====，，， 设AF x =，则13FA x =-，由22211C D DF C F =+得()()2219143x x ⎡⎤+=+++-⎣⎦， 即2320x x -+=，解得1x =或2x =， 所以112AF FA =或者12AF FA =， 故选：B.【点睛】本题考查了棱柱的结构特征，考查了空间中直线与平面的垂直的性质，勾股定理，考查空间想象能力和推理能力，属于中档题．二、填空题16．【解析】【分析】首先根据数形结合分析可知线段的长度的最小值转化为在平面上投影线段的最小值然后转化为点到直线的距离的最小值【详解】当平面时线段与其在平面上投影相等当与平面不平行时是斜线段大于其在平面上解析：22【解析】首先根据数形结合分析可知线段PQ 的长度的最小值转化为PQ 在平面ABCD 上投影线段的最小值，然后转化为点到直线的距离的最小值.【详解】当//PQ 平面ABCD 时，线段PQ 与其在平面ABCD 上投影相等，当PQ 与平面ABCD 不平行时，PQ 是斜线段，大于其在平面ABCD 上投影的长度， ∴求线段PQ 的最小值就是求其在平面ABCD 上投影的最小值，点P 在平面ABCD 的投影是点C ，点Q 在平面ABCD 的投影在BD 上，∴求线段PQ 的最小值转化为点C 到BD 的距离的最小值，连接,AC BD ，交于点O ，AC BD ⊥，∴点C 到BD 的距离的最小值22CO =.2 【点睛】 本题考查几何体中距离的最小值，意在考查空间想象能力和数形结合分析问题的能力，属于中档题型.17．【解析】【分析】由曲线y=3+得（x ﹣2）2+（y ﹣3）2=40≤x≤4直线y=x+b 与曲线y=3+有公共点圆心（23）到直线y=x+b 的距离d 不大于半径r=2由此结合图象能求出实数b 的取值范围【详解析：122,3⎡⎤-⎣⎦【解析】【分析】由曲线24x x -x ﹣2）2+（y ﹣3）2=4，0≤x≤4，直线y=x+b 与曲线24x x -2，3）到直线y=x+b 的距离d 不大于半径r=2，由此结合图象能求出实数b 的取值范围．由曲线y=3+24x x -，得（x ﹣2）2+（y ﹣3）2=4，0≤x≤4，∵直线y=x+b 与曲线y=3+24x x -有公共点，∴圆心（2，3）到直线y=x+b 的距离d 不大于半径r=2， 即23212b 1+222bd -+=≤⇒-≤≤∵0≤x≤4，∴x=4代入曲线24x x -y=3，把（4，3）代入直线y=x+b ，得b min =3﹣4=﹣1，②联立①②，得-1b 122≤≤+∴实数b 的取值范围是[﹣1，2]．故答案为1,122⎡-+⎣.【点睛】本题考查实数的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意数形结合思想的合理运用．一般直线和圆的题很多情况下是利用数形结合来解决的，联立的时候较少；在求圆上的点到直线或者定点的距离时，一般是转化为圆心到直线或者圆心到定点的距离，再加减半径，分别得到最大值和最小值；涉及到圆的弦长或者切线长时，经常用到垂径定理．18．【解析】【分析】由为方向向量设直线的方程为：若要求直线平分圆则圆心在要求的直线上故得解【详解】根据题意要求的直线的方向向量为：设直线的方程为：圆即圆心为若要求直线平分圆则圆心在要求的直线上则有：则直 解析：2 330x y ++=【解析】【分析】由(3,2)a =-为方向向量，设直线的方程为：230x y m ++=，若要求直线平分圆，则圆心在要求的直线上，故得解.【详解】根据题意，要求的直线的方向向量为：(3,2)a =-，设直线的方程为：230x y m ++=圆2220x y y =++，即22(1)1x y ++=，圆心为(0,1)-， 若要求直线平分圆，则圆心在要求的直线上，则有：303m m -+=∴=则直线l 的方程为：2 330x y ++=【点睛】本题考查了直线的方向向量以及求与已知直线平行的直线方程，考查了学生概念理解，数学运算的能力，属于基础题.19．【解析】【分析】过作交于连接根据可得平面通过解三角形求得的值也即求得的值【详解】过作交于连接根据可得平面故由于所以由于所以在直角三角形中所以而故根据前面证得可得【点睛】本小题主要考查空间点位置的确定 解析：13 【解析】 【分析】过B 作BF AC ⊥，交AC 于F ，连接EF ，根据BE AC ⊥，可得AC ⊥平面BEF ，通过解三角形求得:AF FC 的值，也即求得PE EC 的值. 【详解】过B 作BF AC ⊥，交AC 于F ，连接EF ，根据BE AC ⊥，可得AC ⊥平面BEF ，故AC EF ⊥，由于PA AC ⊥，所以//EF PA .由于AD CD =，所以π4DAC BAC ∠=∠=.在直角三角形ABF 中，π1,4AB BAF =∠=，所以2222AF AB ==，而22AC =，故:1:3AF FC =.根据前面证得//EF PA ，可得::1:3PE EC AF FC ==.【点睛】本小题主要考查空间点位置的确定，考查线面垂直的证明，考查简单的解特殊角三角形的知识.属于基础题.20．【解析】【分析】【详解】试题分析：如图正方体ABCD-EFGH 此时若要使液面不为三角形则液面必须高于平面EHD 且低于平面AFC 而当平面EHD 平行水平面放置时若满足上述条件则任意转动该正方体液面的形状解析：15,66⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】【分析】【详解】试题分析：如图，正方体ABCD-EFGH ，此时若要使液面不为三角形，则液面必须高于平面EHD ，且低于平面AFC ．而当平面EHD 平行水平面放置时，若满足上述条件，则任意转动该正方体，液面的形状都不可能是三角形．所以液体体积必须＞三棱柱G-EHD 的体积16，并且＜正方体ABCD-EFGH 体积-三棱柱B-AFC 体积15166-=考点：1．棱柱的结构特征；2．几何体的体积的求法21．【解析】【分析】将多面体分为四棱锥与三棱锥两部分相加求和即可【详解】如图将多面体分为四棱锥与三棱锥两部分其中四棱锥的高为为梯形则故多面体体积为故答案为：【点睛】本题主要考查了多面体体积的求解方法根据 解析：3【解析】【分析】将多面体ABC MNP -分为四棱锥N ACPM -与三棱锥N ABC -两部分相加求和即可.【详解】如图, 将多面体ABC MNP -分为四棱锥N ACPM -与三棱锥N ABC -两部分. 其中四棱锥N ACPM -的高为2sin 603⨯︒=.ACPM 为梯形.则()3521833323N ACPM V -+⨯=⨯=123434323N ABC V -=⨯=. 故多面体ABC MNP -834343+=故答案为：43【点睛】本题主要考查了多面体体积的求解方法,根据多面体的特征分为两个棱锥计算即可.属于中档题.22．【解析】【分析】首先通过两个底面面积之比为得到半径比设出上底半径为下底半径为由因为母线与底面的夹角是得到母线长为高为就可以根据轴截面的面积解出代公式求出侧面积即可【详解】圆台的两个底面面积之比为则半解析：360π【解析】【分析】首先通过两个底面面积之比为4:9，得到半径比，设出上底半径为2k，下底半径为3k，由因为母线与底面的夹角是60，得到母线长为2k，高为3k.就可以根据轴截面的面积k=，代公式求出侧面积即可.解出6【详解】圆台的两个底面面积之比为4:9，则半径比为2:3所以设圆台的上底半径为2k，下底半径为3k，由于母线与底面的夹角是60，所以母线长为2k3k.由于轴截面的面积为1803，所以()46318032k k k +⨯=，解得6k =.所以圆台的上底半径为12，下底半径为18.母线长为12.所以圆台的侧面积为()121812360ππ+⨯=.故答案为：360π【点睛】本题主要考查圆台的性质以及圆台的侧面积，同时考查了线面成角问题，属于中档题.23．（24）【解析】【分析】【详解】取四边形ABCD 对角线的交点这个交点到四点的距离之和就是最小值可证明如下：假设在四边形ABCD 中任取一点P 在△APC 中有AP ＋PC ＞AC 在△BPD 中有PB ＋PD ＞BD解析：（2，4）【解析】【分析】【详解】取四边形ABCD 对角线的交点，这个交点到四点的距离之和就是最小值．可证明如下： 假设在四边形ABCD 中任取一点P ，在△APC 中，有AP ＋PC ＞AC ，在△BPD 中，有PB ＋PD ＞BD ，而如果P 在线段AC 上，那么AP ＋PC ＝AC ；同理，如果P 在线段BD 上，那么BP ＋PD ＝BD.如果同时取等号，那么意味着距离之和最小，此时P 就只能是AC 与BD 的交点． 易求得P(2,4)．24．【解析】【分析】将侧面和侧面平展在一个平面上连即可求出满足最小时点的位置以及长解即可求出结论【详解】将侧面和侧面平展在一个平面上连与交点即为满足最小正四棱锥各棱长均为在平展的平面中四边形为菱形且在正解析：13- 【解析】【分析】将侧面PAB 和侧面PBC 平展在一个平面上，连AC ，即可求出满足AM MC +最小时，点M 的位置，以及,AM CM 长，解AMC ，即可求出结论.【详解】将侧面PAB 和侧面PBC 平展在一个平面上， 连AC 与PB 交点即为满足AM MC +最小， 正四棱锥P ABCD -各棱长均为1，在平展的平面中四边形PABC 为菱形，且60PAB ∠=，2AM MC ==P ABCD -中，AC =在ACM 中，222332144cos 32324AM CM AC AMC AM CM +-+-∠===-⋅⋅. 故答案为:13-.【点睛】本题考查线线角，要注意多面体表面的长度关系转化为共面的长度关系，考查直观想象能力，属于中档题.25．【解析】【分析】根据球心到四个顶点距离相等可推断出O 为CD 的中点且OA ＝OB ＝OC ＝OD 进而在△A0B 中利用余弦定理求得cos ∠AOB 的值则∠AOB 可求进而根据弧长的计算方法求得答案【详解】解：球心 解析：23π 【解析】 【分析】根据球心到四个顶点距离相等可推断出O 为CD 的中点，且OA ＝OB ＝OC ＝OD ，进而在△A 0B 中，利用余弦定理求得cos ∠AOB 的值，则∠AOB 可求，进而根据弧长的计算方法求得答案． 【详解】解：球心到四个顶点距离相等，故球心O 在CD 中点，则OA ＝OB ＝OC ＝OD ＝1， 再由AB =A 0B 中，利用余弦定理cos ∠AOB 11312112+-==-⨯⨯，则∠AOB 23π=，则弧AB 23π=•123π=． 故答案为：23π． 【点睛】本题主要考查了余弦定理的应用、四面体外接球的性质等，考查了学生观察分析和基本的运算能力．三、解答题26．（1）()3,0；（2）223953243x y x ⎛⎫⎛⎫-+=<≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（3）存在，252577k -≤≤或34k =±．【解析】 【分析】（1）通过将圆1C 的一般式方程化为标准方程即得结论；（2）设当直线l 的方程为y=kx ，通过联立直线l 与圆1C 的方程，利用根的判别式大于0、韦达定理、中点坐标公式及参数方程与普通方程的相互转化，计算即得结论；（3）通过联立直线l 与圆1C 的方程，利用根的判别式△=0及轨迹C 的端点与点（4，0）决定的直线斜率，即得结论 【详解】（1）由22650x y x +-+=得()2234x y -+=，∴ 圆1C 的圆心坐标为()3,0； （2）设(),M x y ，则∵ 点M 为弦AB 中点即1C M AB ⊥， ∴11⋅=-C M AB k k 即13y yx x⋅=--， ∴ 线段AB 的中点M 的轨迹的方程为223953243x y x ⎛⎫⎛⎫-+=<≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； （3）由（2）知点M 的轨迹是以3,02C ⎛⎫⎪⎝⎭为圆心32r =为半径的部分圆弧EF （如下图所示，不包括两端点），且525,33E ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，525,33F ⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭，又直线L ：()4y k x =-过定点()4,0D ，当直线L 与圆L32=得34k =±，又0354DE DFk k ⎛- ⎝⎭=-=-=-3325,,4477k ⎡⎧⎫∈--⎨⎬⎢⎩⎭⎣⎦时，直线L ：()4y k x =-与曲线L 只有一个交点． 考点：1.轨迹方程；2.直线与圆相交的位置关系；3.圆的方程27．23.【解析】 【分析】（Ⅰ）由题意结合线面垂直的判定可得AD ⊥平面11BCC B ，则1ACD ∠即为直线1AC 与平面11BCC B 所成的角，求得AD =，1AC =后即可得解； （Ⅱ）作1AE A B ⊥，垂足为E ，连接1A C ，CE ，由题意可得5BE =，由余弦定理可得295CE =，进而可得90BEC ∠=，则AEC ∠即为二面角1A A B C --的平面角，再由余弦定理即可得解. 【详解】（Ⅰ）三棱柱111ABC A B C -是直三棱柱，∴1BB ⊥平面ABC ，∴1BB AD ⊥，AB AC =，D 是BC 的中点，∴AD BC ⊥，又1BB BC B=，∴AD ⊥平面11BCC B ，∴1AC D ∠即为直线1AC 与平面11BCC B 所成的角，1AB AC ==，12AA =，∴AD =，1AC = ∴11sin AD AC D AC ∠===， ∴直线1AC 与平面11BCC B（Ⅱ）作1AE A B ⊥，垂足为E ，连接1A C ，CE ，1AB AC==，112AA A C==，∴115A B AC==，2BC=，由1ABE A BA∽可得55BE=，255AE=在1A BC中，2221111210cos210210A B BC ACA BCA B BC+-∠===⋅，∴在EBC中，22292cos5CE BE BC BE BC EBC=+-⋅⋅∠=即355CE=，∴222CE BE BC+=即90BEC∠=，∴AEC∠即为二面角1A AB C--的平面角，在AEC中，222491255cos232535255AE CE ACAECAE CE+-+-∠===⋅⨯⨯.∴二面角1A AB C--的余弦值为23.【点睛】本题考查了线面角和面面角的求解，考查了空间思维能力和计算能力，属于中档题. 28．（1）见解析（2）存在点G且1EG=满足条件.【解析】试题分析：（1）根据//,//DE AF AB CD，结合面面平行的判定定理可知两个平面平行；（2）先求出整个几何体的体积.假设存在一点G，过G作//MG BF交EC于M，连接,BG BM，设EG t=，求得几何体GFBME的体积，将其分割成两个三棱锥,B EFG B EGM--，利用t表示出两个三棱锥的高，再利用体积建立方程，解方程组求得t的值.试题解析：解：（1）∵DE ⊥平面ABCD ，AF ⊥平面ABCD ， ∴//DE AF ，∴//AF 平面DCE ，∵ABCD 是正方形，//AB CD ，∴//AB 平面DCE ，∵AB AF A ⋂=，AB ⊂平面ABF ，AF ⊂平面ABF ，∴平面//ABF 平面DCE .（2）假设存在一点G ，过G 作//MG BF 交EC 于M ，连接,BG BM ，()1331133213332322ABCDEF B ADEF B CDEV V V --+⨯⨯=+=⨯⨯+⨯⨯=， 设EG t =，则21392144GFBME B EFG B EGM V V V --=+=⨯=， 设M 到ED 的距离为h ，则331h EM t EC ==-，32h t =，234EGM S t ∆= ∴2131393334324t t ⨯⨯+⨯⨯=，解得1t =，即存在点G 且1EG =满足条件. 点睛：本题主要考查空间点线面的位置关系，考查几何体体积的求法，考查探究性问题的解决方法.第一问要证明面面平行，根据面面平行的判定定理可知，只需找到平面的两条相交直线和另一个平面的两条相交直线平行即可.第二问要对几何体进行分割，先假设存在，接着计算出总的体积，然后再次利用分割法用体积来列方程组，求解出G 的位置的值.29．（1）1a =±;（2）(1,2)Q ;350x y +-=. 【解析】 【分析】（1）由平行可知系数的关系为21a =，进而可求a 的值；（2）整理直线1l 方程可知()120a x y -+-=，由1020x y -=⎧⎨-=⎩可求得定点坐标.由分析知，当当(5,0)P -在直线上的射影为(1,2)Q 时，点P 到直线1l 距离最大，由1PQ l ⊥可求出1l 的斜率，结合已知的1l 的方程，可求出此时a 的值，进而可求出直线1l 的方程. 【详解】 解：（1）12//l l ，21a ∴=，解得1a =±检验：当1a =时12:30:20l x y l x y +-=++=，符合12//l l当1a =-时12:10:20l x y l x y -+=-+=，符合12//l l 综上：1a =±.（2）解：1:20l ax y a +--=整理可得()120a x y -+-= ，由1020x y -=⎧⎨-=⎩， 解得12x y =⎧⎨=⎩，所以定点(1,2)Q .则当(5,0)P -在直线上的射影为(1,2)Q 时，距离最大. 此时1PQ l ⊥ ，直线PQ 的斜率为201153PQ k -==+，则1l 的斜率113PQk k =-=- ， 即3a -=-，解得3a =，此时直线1l 的方程为350x y +-=. 【点睛】本题考查了两点斜率的求解，考查了直线平行、垂直.本题的难点是分析何时点P 到直线1l 的距离最大.易错点是做第一问时，求出1a =± 后未检验.对于已知直线平行，根据系数关系求出参数值后，应带回直线方程进行验证.30．（1）40x y -+=（2）390x y +-= 【解析】 【分析】 【详解】得23100{3420x y x y -+=+-=⇒2{2x y =-=即两直线交点坐标为()2,2-. ∵所求直线与已知直线平行.∴设直线方程1:0l x y C -+=；将交点坐标代入直线方程，解得4C =. ∴直线1:40l x y -+=. （2）联立两直线方程得280{210x y x y +-=-+=⇒32x y =⎧⎨=⎩即两直线交点坐标为()3,2. ∵所求直线与已知直线垂直.∴设直线方程2:30l x y C ++=；将交点坐标代入直线方程，解得9C =-. ∴直线2:390l x y +-=.。
人教版高一年级第二学期期中考试数学试卷与答案解析(共五套)
8．已知 ,且 ，则 （ ）
A．4B．3C． D．
9．在△ 中， 为 边上的中线， 为 的中点，则
A． B．
C． D．
10．△ABC的内角A、B、C的对边分别为 、b、c.已知 ， ， ，则b=
A． B． C．2D．3
11．已知向量 ， 是不平行于 轴的单位向量，且 ，则 （ ）
解得 （ 舍去），故选D.
11．已知向量 ， 是不平行于 轴的单位向量，且 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设 ，其中 ，则 .
由题意得 ，解得 ，即 .
故选：B.
12．若非零向量 满足 ，且 ，则 的夹角为
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】∵ ，所以 ，即 ，
即 ，∴
，又 ，故 ，故选A.
A．3B．2C． D．
【答案】D
【解析】点 是 所在平面上一点，过 作 ，如下图所示：
由 ，
故 ，
所以 与 的面积之比为 ，
故选：D．
7．设复数z满足(1＋i)z＝2i，则|z|＝（ ）
A． B． C． D．2
【答案】C
【解析】题意， ，所以 .故选：C.
8．已知 ,且 ，则 （ ）
A．4B．3C． D．
（2）因为 为三角形内角，
所以 ，
，
由正弦定理得： ，
又∵ ．
，解得 或 （舍）．
．
22．在 中，角 所对的边分别为 ，已知 .
(1)求角 的大小；
(2)若 ，求 的取值范围．
【答案】（1） ；（2）
【解析】（1）∵ ，
∴ ，
即 ，
∵ ，∴ ，∴ ．
高一下学期期中数学试卷-(解析版)
高一下学期期中数学试卷一、填空题（共12小题）.1．2021°角是第象限角．2．已知扇形的面积为2，扇形圆心角的弧度数是2，则扇形的弧长为．3．已知tanθ＝2，则＝．4．函数y＝arcsin（2x﹣1）的定义域为．5．S n为数列{a n}的前n项的和，，则a n＝．6．已知角α的顶点在坐标原点，始边与x轴的正半轴重合，为其终边上一点，则＝．7．已知，若，则sinα＝．8．如图所示，有一电视塔DC，在地面上一点A测得电视塔尖C的仰角是45°，再向塔底方向前进100米到达点B，此时测得电视塔尖C的仰角为60°，则此时电视塔的高度是米．（精确到0.1米）9．已知数列{a n}与{b n}都是等差数列，且a1＝1，b1＝4，a25+b25＝149，则数列{a n+b n}的前25项和等于．10．“中国剩余定理”又称“孙子定理”．1852年英国来华传教伟烈亚利将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得出的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”．“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将2至2017这2016个数中能被3除余1且被5除余1的数按由小到大的顺序排成一列，构成数列{a n}，则此数列的项数为．11．已知公式cos3θ＝4cos3θ﹣3cosθ，θ∈R，借助这个公式，我们可以求函数f（x）＝4x3﹣3x﹣2（x∈[0，]）的值域．则该函数的值域是．12．函数f（x）＝sin（ωx）（其中ω＞0）的图象与其对称轴在y轴右侧的交点从左到右依次记为A1，A2，A3，…，A n，…，在点列{A n}中存在四个不同的点成为某菱形的四个顶点，将满足上述条件的ω值从小到大组成的数列记为{ωn}，则ω2020＝．二.选择题13．“tan x＝1”是“”成立的（）条件A．充分非必要B．必要非充分C．充要D．既非充分又非必要14．要得到函数y＝2sin（2x+）的图象，只需要将函数y＝2sin（2x﹣）的图象（）A．向右平移π个长度单位B．向左平移π个长度单位C．向右平移个长度单位D．向左平移个长度单位15．设等差数列{a n}的前n项和为S n，且满足S15＞0，S16＞0，则中最大项为（）A．B．C．D．16．函数f（x）＝sin x在区间（0，10π）上可找到n个不同数x1，x2，…，x n，使得＝＝…＝，则n的最大值等于（）A．8 B．9 C．10 D．11三.解答题17．已知，，，求：（1）tanα和tanβ的值；（2）tan（α﹣2β）的值．18．已知函数f（x）＝sin n x+cos x（x∈R）．（1）当n＝1时，判断函数f（x）的奇偶性，并说明理由；（2）当n＝2时，求f（x）的最值并指出此时x的取值集合．19．在△ABC中，4sin B sin2（+）+cos2B＝1+．（1）求角B的度数；（2）若a＝4，S△＝5，求边b的值．20．在等差数列{a n}中，a3+a4＝﹣2，a5+a7＝8．（1）求{a n}的通项公式；（2）求{a n}的前n项和S n的最小值；（3）设，求数列{b n}的前10项和，其中[x]表示不超过x的最大整数．21．已知函数f（x）＝cos2x+2sin x cos x+l，x∈R．（1）把f（x）表示为A sin（ωx+φ）+B（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的形式，并写出函数f（x）的最小正周期、值域；（2）求函数f（x）的单调递增区间；（3）定义：对下任意实数x1、x2，max{x1、x2}＝．设g（x）＝max{a sin x，a cos x}．x ∈R（常数a＞0），若对于任意x1∈R，总存在x2∈R，使得g（x1）＝f（x2）恒成立，求实数a的取值范围．参考答案一.填空题1．2021°角是第三象限角．解：2021°＝360°×5+221°，是第三象限角．故答案为：三．2．已知扇形的面积为2，扇形圆心角的弧度数是2，则扇形的弧长为2．解：设扇形的半径为r，则×2×r8＝2，∴扇形的弧长＝2×＝4．故答案为：2．3．已知tanθ＝2，则＝．解：∵tanθ＝2，∴＝＝．故答案为：．4．函数y＝arcsin（2x﹣1）的定义域为[0，1] ．解：设t＝2x﹣1，∵反正弦函数y＝arcsin t的定义域为[﹣1，1]，所以函数的定义域为：[0，7]．故答案为：[0，1]．5．S n为数列{a n}的前n项的和，，则a n＝．解：因为，所以a3＝S1＝2﹣3+1＝0，当n≥7时a n＝S n﹣S n﹣1＝（2n6﹣3n+1）﹣[2（n﹣1）2﹣3（n﹣5）+1]＝4n﹣5，∴a n＝．故答案为：．6．已知角α的顶点在坐标原点，始边与x轴的正半轴重合，为其终边上一点，则＝．解：由题意可得cosα＝，则sin（）＝cosα＝．故答案为：﹣7．已知，若，则sinα＝．解：，所以α+∈（，），又，所以sin（α+）＝＝；＝sin（α+）cos﹣cos（α+）sin＝．故答案为：．8．如图所示，有一电视塔DC，在地面上一点A测得电视塔尖C的仰角是45°，再向塔底方向前进100米到达点B，此时测得电视塔尖C的仰角为60°，则此时电视塔的高度是236.6 米．（精确到0.1米）解：设电视塔的高度为x，则在Rt△BCD中，∠CBD＝60°，则，解得．由于，整理得，解得x≈236.5．故答案为：236.69．已知数列{a n}与{b n}都是等差数列，且a1＝1，b1＝4，a25+b25＝149，则数列{a n+b n}的前25项和等于1925 ．解：∵等差数列{a n}、{b n}满足a1＝1，b6＝4，a25+b25＝149，∴数列{a n+b n}的前25项和＝+＝+（a25+b25）＝+×149＝1925．故答案为：1925．10．“中国剩余定理”又称“孙子定理”．1852年英国来华传教伟烈亚利将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得出的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”．“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将2至2017这2016个数中能被3除余1且被5除余1的数按由小到大的顺序排成一列，构成数列{a n}，则此数列的项数为134 ．解：由能被3除余1且被5除余1的数就是能被15整除余7的数，故a n＝15n﹣14．得n≤135，故此数列的项数为135﹣1＝134．故答案为：13411．已知公式cos3θ＝4cos3θ﹣3cosθ，θ∈R，借助这个公式，我们可以求函数f（x）＝4x3﹣3x﹣2（x∈[0，]）的值域．则该函数的值域是[﹣3，﹣2] ．解：设x＝cosθ，．则f（x）＝4x4﹣3x﹣2＝4cos6θ﹣3cosθ﹣2＝cos3θ﹣2．∴cos3θ﹣5．∈[﹣3，﹣2]故答案为：[﹣3，﹣2]12．函数f（x）＝sin（ωx）（其中ω＞0）的图象与其对称轴在y轴右侧的交点从左到右依次记为A1，A2，A3，…，A n，…，在点列{A n}中存在四个不同的点成为某菱形的四个顶点，将满足上述条件的ω值从小到大组成的数列记为{ωn}，则ω2020＝．解：根据题意作出图象如下，设f（x）＝sin（ωx）的最小正周期为，所以，即，解得；若A1A4A5A7为菱形，则若A1A k﹣1A k A m为菱形，则，解得，故答案为：．二.选择题13．“tan x＝1”是“”成立的（）条件A．充分非必要B．必要非充分C．充要D．既非充分又非必要解：tan x＝1⇔x＝kπ+，k∈Z．∴“tan x＝1”是“”成立的必要不充分条件．故选：B．14．要得到函数y＝2sin（2x+）的图象，只需要将函数y＝2sin（2x﹣）的图象（）A．向右平移π个长度单位B．向左平移π个长度单位C．向右平移个长度单位D．向左平移个长度单位解：只需要将函数y＝2sin（2x﹣）的图象向左平移个长度单位，可得函数y＝3sin[2（x+）﹣]＝2sin（2x+）的图象，故选：D．15．设等差数列{a n}的前n项和为S n，且满足S15＞0，S16＞0，则中最大项为（）A．B．C．D．解：∵等差数列前n项和S n＝•n2+（a1﹣）n，由S15＝15a8＞0，S16＝16×＜0可得：故Sn最大值为S8．故S n最大且a n取最小正值时，有最大值，故选：D．16．函数f（x）＝sin x在区间（0，10π）上可找到n个不同数x1，x2，…，x n，使得＝＝…＝，则n的最大值等于（）A．8 B．9 C．10 D．11解：设＝＝…＝＝k，则条件等价为f（x）＝kx，的根的个数，由图象可知y＝kx与函数f（x）最多有10个交点，故选：C．三.解答题17．已知，，，求：（1）tanα和tanβ的值；（2）tan（α﹣2β）的值．解：（1）∵，，∴cosα＝﹣＝﹣，∵，∴．∴tan（α﹣2β）＝＝＝．18．已知函数f（x）＝sin n x+cos x（x∈R）．（1）当n＝1时，判断函数f（x）的奇偶性，并说明理由；（2）当n＝2时，求f（x）的最值并指出此时x的取值集合．解：（1）当n＝1时，f（x）＝sin x+cos x＝（sin x+cos x）＝cos（x）．∴f（x）≠f（﹣x）≠﹣f（﹣x），∴f（x）为非奇非偶函数；当时，，此时x的取值集合是；当cos x＝﹣1时，f（x）min＝﹣1，此时x的取值集合是{x|x＝2kπ+π，k∈Z}．19．在△ABC中，4sin B sin2（+）+cos2B＝1+．（1）求角B的度数；（2）若a＝4，S△＝5，求边b的值．解：（1）由4sin B•sin2（+）+cos2B＝1+，得：2sin B•[7﹣cos（+B）]+1﹣2sin2B＝1+，可得sin B＝，∴B＝，或B＝；∴ac sin B＝×4×c×＝5，解之得c＝6，∴当B＝时，b＝＝；即边b的值等于或．20．在等差数列{a n}中，a3+a4＝﹣2，a5+a7＝8．（1）求{a n}的通项公式；（2）求{a n}的前n项和S n的最小值；（3）设，求数列{b n}的前10项和，其中[x]表示不超过x的最大整数．解：（1）设等差数列{a n}的公差为d，∵a3+a4＝﹣2，a5+a7＝8．∴2a1+5d＝﹣2，2a1+10d＝8，∴a n＝﹣6+2（n﹣1）＝2n﹣8．∴当n＝2或4时，S n取得最小值，（3），∴数列{b n}的前10项和＝﹣2﹣1﹣1+8+0+0+0+1+2+8＝2．21．已知函数f（x）＝cos2x+2sin x cos x+l，x∈R．（1）把f（x）表示为A sin（ωx+φ）+B（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的形式，并写出函数f（x）的最小正周期、值域；（2）求函数f（x）的单调递增区间；（3）定义：对下任意实数x1、x2，max{x1、x2}＝．设g（x）＝max{a sin x，a cos x}．x ∈R（常数a＞0），若对于任意x1∈R，总存在x2∈R，使得g（x1）＝f（x2）恒成立，求实数a的取值范围．解：（1）函数f（x）＝cos2x+2sin x cos x+l＝cos2x+sin2x+1＝2sin（2x+）+6，x∈R；∴f（x）的最小正周期为T＝＝π，值域为[﹣1，3]；解得﹣+kπ≤x≤+kπ，k∈Z，（3）若对于任意x1∈R，总存在x2∈R，使得g（x2）＝f（x2）恒成立，由g（x）的值域为[﹣a，a]，f（x）的值域为[﹣1，8]，解得0＜a≤；所以实数a的取值范围是（0，]．。
2020-2021下海市高一数学下期中试卷(及答案)
2020-2021下海市高一数学下期中试卷(及答案)一、选择题1．已知三棱锥A BCD -中，AB CD ==2==AC BD ，AD BC ==三棱锥的四个顶点在同一个球面上，则此球的体积为（ ）A ．32πB ．24πCD ．6π2．已知m ，n 表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是（ ）A ．若//,//,m n αα则//m nB ．若m α⊥，n α⊂，则m n ⊥C ．若m α⊥，m n ⊥，则//n αD ．若//m α，m n ⊥，则n α⊥3．已知直线m 、n 及平面α，其中m ∥n ，那么在平面α内到两条直线m 、n 距离相等的点的集合可能是：（1）一条直线；（2）一个平面；（3）一个点；（4）空集。
其中正确的是（ ）A ．（1）（2）（3）B ．（1）（4）C ．（1）（2）（4）D ．（2）（4） 4．直线20x y ++=截圆222210x y x y a ++-+-=所得弦的长度为4，则实数a 的值是（ ）A ．－3B ．－4C ．－6D ．35．四棱锥P ABCD -的底面ABCD 为正方形，PA ⊥底面ABCD ，2AB =，72PA =，若该四棱锥的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（ ） A ．812π B ．814π C ．65π D ．652π 6．用一个平面去截正方体，则截面不可能是（ ）A ．直角三角形B ．等边三角形C ．正方形D ．正六边形7．在三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面1202ABC BAC AP AB ∠=︒==，，，M 是线段BC 上一动点，线段PM P ABC -的外接球的表面积是（ ）A ．92πB ．C ．18πD ．40π8．在长方体1111ABCD A B C D -中，11111,2AA A D a A B a ===，点P 在线段1AD 上运动，当异面直线CP 与1BA 所成的角最大时，则三棱锥11C PA D -的体积为（ ）A ．34a B ．33a C ．32a D ．3a 3a 9．已知AB 是圆22620x y x y +-+=内过点(2,1)E 的最短弦，则||AB 等于（ ）A B ． C ．D ．10．若圆锥的高等于底面直径，则它的底面积与侧面积之比为A ．1∶2B ．1C ．1∶5D ．3∶211．α，β是两个不重合的平面，在下列条件中，可判断平面α，β平行的是（ ） A ．m ，n 是平面α内两条直线，且//m β，//n βB ．α内不共线的三点到β的距离相等C ．α，β都垂直于平面γD ．m ，n 是两条异面直线，m α⊂，n β⊂，且//m β，//n α12．如图，正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长为1，线段B 1D 1上有两个动点E 、F ，且EF=12．则下列结论中正确的个数为①AC ⊥BE ；②EF ∥平面ABCD ；③三棱锥A ﹣BEF 的体积为定值；④AEF ∆的面积与BEF ∆的面积相等，A ．4B ．3C ．2D ．1二、填空题13．光线由点P(2,3)射到直线x+y+1=0上，反射后过点Q(1,1) ，则反射光线方程为__________．14．若一个圆柱的侧面展开图是边长为2的正方形，则此圆柱的体积为 .15．如图，正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长为1，M 为B 1C 1中点，连接A 1B ，D 1M ，则异面直线A 1B 和D 1M 所成角的余弦值为________________________．16．已知圆22:(2)1M x y +-=，Q 是x 轴上的动点，QA ，QB 分别切圆M 于A ，B 两点，则动弦AB 的中点P 的轨迹方程为__________.17．若直线()():1210l m x m y m -+--=与曲线()2:422C y x =--+有公共点，则直线l 的斜率的最小值是_________. 18．已知点()1,0A -，()2,0B ，直线l ：50kx y k --=上存在点P ，使得2229PA PB +=成立，则实数k 的取值范围是______.19．如图所示，二面角l αβ--为60,,A B o是棱l 上的两点，,AC BD 分别在半平面内,αβ，且AC l ⊥，，4,6,8AB AC BD ===，则CD 的长______．20．已知球的表面积为20π，球面上有A 、B 、C 三点．如果2AB AC ==，22BC =ABC 的距离为__________．三、解答题21．已知圆C 过点()1,1A ，()3,1B -，圆心C 在直线250x y --=上，P 是直线34100x y -+=上任意一点．（1）求圆C 的方程；（2）过点P 向圆C 引两条切线，切点分别为M ，N ，求四边形PMCN 的面积的最小值．22．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，D 是BC 的中点．AB AC ⊥，1AB AC ==，12AA =．（Ⅰ）求直线1AC 与平面11BCC B 所成角的正弦值；（Ⅱ）求二面角1A A B C --的余弦值．23．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形，//AD BC ，90ADC ∠=︒，12BC AD =，PA PD =，M ，N 分别为AD 和PC 的中点．（1）求证：//PA 平面MNB ；（2）求证：平面PAD ⊥平面PMB ．24．（1）用符号表示下来语句，并画出同时满足这四个语句的一个几何图形： ①直线l 在平面α内；②直线m 不在平面α内；③直线m 与平面α交于点A ；④直线l 不经过点A .（2）如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱1BB 的中点，F 为棱1CC 的三等分点，画出由1,,D E F 三点所确定的平面β与平面ABCD 的交线.(保留作图痕迹)25．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是菱形． （1）求证：BD PC ⊥；（2）若平面PBC 与平面PAD 的交线为l ，求证：//BC l ．26．在ABC ∆中，已知()1,2A ，()3,4C ，点B 在x 轴上，AB 边上的高线CD 所在直线的方程为220x y --=.（1）求B 点坐标；（2）求ABC ∆面积.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C解析：C【解析】【分析】作出三棱锥A BCD -的外接长方体AEBF GDHC -，计算出该长方体的体对角线长，即可得出其外接球的半径，然后利用球体体积公式可计算出外接球的体积.【详解】作出三棱锥A BCD -的外接长方体AEBF GDHC -，如下图所示：设DG x =，DH y =，DE z =，则2223AD x z =+=，2224DB y z =+=，2225DC x y =+=，上述三个等式相加得()222222234512AD BD CD x y z ++=++=++=， 2226x y z ++=6R =，因此，此球的体积为3466 3ππ⎛⎫⨯=⎪⎪⎝⎭.故选：C.【点睛】本题考查三棱锥外接球体积的计算，将三棱锥补成长方体，利用长方体的体对角线作为外接球的直径是解题的关键，考查空间想象能力与计算能力，属于中等题.2．B解析：B【解析】试题分析：线面垂直，则有该直线和平面内所有的直线都垂直，故B正确.考点：空间点线面位置关系．3．C解析：C【解析】【分析】根据题意，对每一个选项进行逐一判定，不正确的只需举出反例，正确的作出证明，即可得到答案.【详解】如图（1）所示，在平面内不可能由符合题的点；如图（2），直线,a b到已知平面的距离相等且所在平面与已知平面垂直，则已知平面为符合题意的点；如图（3），直线,a b所在平面与已知平面平行，则符合题意的点为一条直线，综上可知（1）（2）（4）是正确的，故选C.【点睛】本题主要考查了空间中直线与平面之间的位置关系，其中熟记空间中点、线、面的位置关系是解答此类问题的关键，着重考查了空间想象能力，以及推理与论证能力，属于基础题. 4．A解析：A【解析】【分析】求出圆心坐标和半径，根据圆的弦长公式，进行求解即可.【详解】由题意，根据圆的方程222210x y x y a ++-+-=，即22(1)(1)2x y a ++-=-， 则圆心坐标为(1,1)-，半径1r a =-，又由圆心到直线的距离为11222d -++==， 所以由圆的弦长公式可得222(1)(2)4a --=，解得3a =-，故选A.【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系的因公，以及弦长公式的应用，其中根据圆的方程，求得圆心坐标和半径，合理利用圆的弦长公式列出方程求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.5．B解析：B【解析】【分析】根据题意可知，该四棱锥的外接球即为其所在长方体的外接球，根据公式即可求得.【详解】根据题意，为方便说明，在长方体中找出该四棱锥如图所示：由图可知在长方体中的四棱锥P ABCD -完全满足题意，故该四棱锥的外接球即是长方体的外接球，故外接球半径222722294R ⎛⎫++ ⎪⎝⎭==， 故该球的表面积为28144S R ππ==. 故选：B .【点睛】本题考查四棱锥外接球的问题，关键的步骤是将问题转化为求长方体的外接球. 6．A解析：A【解析】【分析】【详解】画出截面图形如图显然A正三角形C正方形：D正六边形可以画出三角形但不是直角三角形；故选A．用一个平面去截正方体，则截面的情况为：①截面为三角形时，可以是锐角三角形、等腰三角形、等边三角形，但不可能是钝角三角形、直角三角形；②截面为四边形时，可以是梯形（等腰梯形）、平行四边形、菱形、矩形，但不可能是直角梯形；③截面为五边形时，不可能是正五边形；④截面为六边形时，可以是正六边形．故可选A．7．C解析：C【解析】【分析】首先确定三角形ABC为等腰三角形，进一步确定球的球心，再求出球的半径，最后确定球的表面积．【详解】解：如图所示：三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面2,2ABC AP AB ==，，M 是线段BC 上一动点，线段PM 3则：当AM BC ⊥时，线段PM 达到最小值，由于：PA ⊥平面ABC ，所以：222PA AM PM +=，解得：1AM =， 所以：3BM =，则：60BAM ∠=︒，由于：120BAC ∠=︒，所以：60MAC ∠=︒则：ABC V 为等腰三角形． 所以：23BC =在ABC V 中，设外接圆的直径为2324r ==， 则：2r =， 所以：外接球的半径2229222R ⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭， 则：94182S ππ=⋅⋅=， 故选：C ．【点睛】本题考查的知识要点：三棱锥的外接球的球心的确定及球的表面积公式的应用． 8．B解析：B【解析】【分析】当P 与A 重合时，异面直线CP 与BA 1所成的角最大，由此能求出当异面直线CP 与BA 1所成的角最大时，三棱锥C ﹣PA 1D 1的体积．【详解】如图，当P 与A 重合时，异面直线CP 与BA 1所成的角最大，∴当异面直线CP 与BA 1所成的角最大时，三棱锥C ﹣PA 1D 1的体积：11C PA D V -=11C AA D V -=1113AA D S AB ⨯⨯V =1111132AA A D AB ⎛⎫⨯⨯⨯⨯ ⎪⎝⎭=11232a a a ⎛⎫⨯⨯⨯⨯ ⎪⎝⎭=33a ．故选:B ．【点睛】求锥体的体积要充分利用多面体的截面和旋转体的轴截面，将空间问题转化为平面问题求解，注意求体积的一些特殊方法——分割法、补形法、等体积法. ①割补法：求一些不规则几何体的体积时，常用割补法转化成已知体积公式的几何体进行解决．②等积法：等积法包括等面积法和等体积法．等积法的前提是几何图形(或几何体)的面积(或体积)通过已知条件可以得到，利用等积法可以用来求解几何图形的高或几何体的高，特别是在求三角形的高和三棱锥的高时，这一方法回避了通过具体作图得到三角形(或三棱锥)的高，而通过直接计算得到高的数值．9．D解析：D【解析】【分析】求出圆的标准方程，确定最短弦的条件，利用弦长公式进行求解即可．【详解】圆的标准方程为（x ﹣3）2+（y +1）2＝10，则圆心坐标为C （3，﹣1），半径为10 过E 的最短弦满足E 恰好为C 在弦上垂足，则CE 22(32)[11]5=-+--=（）， 则|AB |222(10)(5)25=-=，故选D ．【点睛】本题主要考查圆的标准方程的求解，以及直线和圆相交的弦长问题,属于中档题．10．C解析：C【解析】【分析】由已知，求出圆锥的母线长，进而求出圆锥的底面面积和侧面积，可得答案【详解】设圆锥底面半径为r，则高h＝2r，∴其母线长l＝r．∴S侧＝πrl＝πr2，S底＝πr故选C．【点睛】本题考查的知识点是旋转体，圆锥的表面积公式，属于基础题．11．D解析：D【解析】【分析】A中，根据面面平行的判定定理可得：α∥β或者α与β相交．B中，根据面面得位置关系可得：α∥β或者α与β相交．C中，则根据面面得位置关系可得：α∥β或者α与β相交．D中，在直线n上取一点Q，过点Q作直线m 的平行线m′，所以m′与n是两条相交直线，m′⊂β，n⊂β，且m′∥β，n∥α，根据面面平行的判定定理可得α∥β，即可得到答案．【详解】由题意，对于A中，若m，n是平面α内两条直线，且m∥β，n∥β，则根据面面平行的判定定理可得：α∥β或者α与β相交．所以A错误．对于B中，若α内不共线的三点到β的距离相等，则根据面面得位置关系可得：α∥β或者α与β相交．所以B错误．对于C中，若α，β都垂直于平面γ，则根据面面得位置关系可得：α∥β或者α与β相交．所以C错误．对于D中，在直线n上取一点Q，过点Q作直线m 的平行线m′，所以m′与n是两条相交直线，m′⊂β，n⊂β，且m′∥β，n∥α，根据面面平行的判定定理可得α∥β，所以D正确．故选D．【点睛】本题主要考查了平面与平面平行的判定与性质的应用，其中解答中灵活运用平面与平面平行额判定与性质进行判定是解答的关键，着重考查学生严密的思维能力和空间想象能力，属于基础题．12．B解析：B【解析】试题分析：①中AC⊥BE，由题意及图形知，AC⊥面DD1B1B，故可得出AC⊥BE，此命题正确；②EF∥平面ABCD，由正方体ABCD-A1B1C1D1的两个底面平行，EF在其一面上，故EF与平面ABCD无公共点，故有EF∥平面ABCD，此命题正确；③三棱锥A-BEF的体积为定值，由几何体的性质及图形知，三角形BEF的面积是定值，A点到面DD1B1B距离是定值，故可得三棱锥A-BEF的体积为定值，此命题正确；④由图形可以看出，B到线段EF的距离与A到EF的距离不相等，故△AEF的面积与△BEF的面积相等不正确考点：1．正方体的结构特点；2．空间线面垂直平行的判定与性质二、填空题13．4x－5y+1=0【解析】【分析】先求P点关于直线x+y+1=0对称点M再根据两点式求MQ方程即得结果【详解】因为P点关于直线x+y+1=0对称点为所以反射光线方程为【点睛】本题考查点关于直线对称问解析：4x－5y+1=0【解析】【分析】先求P点关于直线x+y+1=0对称点M，再根据两点式求 MQ方程，即得结果.【详解】因为P点关于直线x+y+1=0对称点为(4,3)M--，所以反射光线方程为13:1(1),451014MQ y x x y+-=--+=+.【点睛】本题考查点关于直线对称问题，考查基本分析求解能力，属基本题.14．2π【解析】试题分析：设圆柱的底面半径为r高为h底面积为S体积为V则有2πr=2⇒r=1π故底面面积S=πr2=π×(1π)2=1π故圆柱的体积V=Sh=1π×2=2π考点：圆柱的体积解析：【解析】试题分析：设圆柱的底面半径为，高为，底面积为，体积为，则有，故底面面积，故圆柱的体积.考点：圆柱的体积15．【解析】【分析】连接取的中点连接可知且是以为腰的等腰三角形然后利用锐角三角函数可求出的值作为所求的答案【详解】如下图所示：连接取的中点连接在正方体中则四边形为平行四边形所以则异面直线和所成的角为或其10【解析】 【分析】连接1CD 、CM ，取1CD 的中点N ，连接MN ，可知11//A B CD ，且1CD M ∆是以1CD 为腰的等腰三角形，然后利用锐角三角函数可求出1cos CD M ∠的值作为所求的答案． 【详解】 如下图所示：连接1CD 、CM ，取1CD 的中点N ，连接MN ，在正方体1111ABCD A B C D -中，11//A D BC ，则四边形11A BCD 为平行四边形， 所以11//A B C D ，则异面直线1A B 和1D M 所成的角为1CD M ∠或其补角，易知1111190B C D BC C CDD ∠=∠=∠=o，由勾股定理可得152CM D M ==，12CDN Q 为1CD 的中点，则1MN CD ⊥，在1Rt D MN ∆中，11110cos D N CD M D M ∠==， 因此，异面直线1A B 和1D M 1010【点睛】本题考查异面直线所成角的余弦值的计算，求解异面直线所成的角一般利用平移直线法求解，遵循“一作、二证、三计算”，在计算时，一般利用锐角三角函数的定义或余弦定理求解，考查计算能力，属于中等题．16．【解析】【分析】转化条件点三点共线即可得到点满足的条件化简即可得解【详解】由圆的方程可知圆心半径为设点点三点共线可得由相似可得即联立消去并由图可知可得故答案为：【点睛】本题考查了圆的性质和轨迹方程的解析：2271416x y ⎛⎫+-=⎪⎝⎭(2)y < 【解析】 【分析】转化条件点P 、M 、Q 三点共线、2MQ PM BM ⋅=即可得到点P 满足的条件，化简即可得解. 【详解】由圆的方程可知圆心()0,2，半径为1.设点(),P x y ，(),0Q a ，点P 、M 、Q 三点共线， 可得22y x a-=-， 由相似可得2MQ PM BM ⋅=即1=， 联立消去a 并由图可知2y <，可得()2271()2416x y y +-=<.故答案为：()2271()2416x y y +-=<【点睛】本题考查了圆的性质和轨迹方程的求法，考查了转化能力和运算能力，属于中档题.17．【解析】【分析】将直线的方程化为可求出直线所过的定点坐标作出曲线的图象利用数形结合思想可得出当直线与曲线有公共点时直线的斜率的最小值【详解】将直线的方程化为由得则直线过定点将曲线的方程变形为曲线为圆解析：15【解析】 【分析】将直线l 的方程化为()()210m x y x y +--+=，可求出直线l 所过的定点坐标，作出曲线C 的图象，利用数形结合思想可得出当直线l 与曲线C 有公共点时，直线l 的斜率的最小值. 【详解】将直线l 的方程化为()()210m x y x y +--+=，由2100x y x y +-=⎧⎨+=⎩，得11x y =-⎧⎨=⎩. 则直线l 过定点()1,1P -，将曲线C 的方程变形为()()()222242x y y -+-=≥，曲线C 为圆()()22224x y -+-=的上半圆，如下图所示：由图象可知，当直线l 过点A 时，直线l 的斜率取最小值211415PA k -==+. 故答案为：15. 【点睛】本题考查利用直线与圆的位置关系求直线斜率的最值，考查数形结合思想的应用，属于中等题.18．【解析】【分析】先求出直线经过的定点设直线上的点坐标由可求得点的轨迹方程进而求得斜率的取值范围【详解】解：由题意得：直线因此直线经过定点；设点坐标为；化简得：因此点为与直线的交点所以应当满足圆心到直解析：1515,1515⎡-⎢⎣⎦【解析】 【分析】先求出直线l 经过的定点，设直线上的p 点坐标，由2229PA PB +=可求得点P 的轨迹方程，进而求得斜率k 的取值范围． 【详解】解：由题意得：直线:(5)l y k x =-， 因此直线l 经过定点(5,0)；设点P 坐标为0(x ，0)y ；2229PA PB +=Q ，∴22220000(1)22(2)9y x y x +++++=化简得：2200020x y x +-=，因此点p 为2220x y x +-=与直线:(5)l y k x =-的交点．所以应当满足圆心(1,0)到直线的距离小于等于半径∴211k +解得：1515[k ∈故答案为1515[,]k ∈- 【点睛】本题考查了求轨迹方程，一次函数的性质，考查了直线与圆的位置关系，是中档题．19．【解析】【分析】推导出两边平方可得的长【详解】二面角为是棱上的两点分别在半平面内且的长故答案为：【点睛】本题考查线段长的求法考查空间中线线线面面面间的位置关系等基础知识考查运算求解能力考查函数与方程解析：217. 【解析】 【分析】推导出CD CA AB BD =++u u u r u u u r u u u r u u u r，两边平方可得CD 的长． 【详解】Q 二面角l αβ--为60︒，A 、B 是棱l 上的两点，AC 、BD 分别在半平面α、β内，且AC l ⊥，BD l ⊥，4AB =，6AC =，8BD =，∴CD CA AB BD =++u u u r u u u r u u u r u u u r， ∴22()CD CA AB BD =++u u u r u u u r u u u r u u u r2222CA AB BD CA BD =+++u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r g361664268cos12068=+++⨯⨯⨯︒=，CD ∴的长||68217CD ==u u u r．故答案为：217．【点睛】本题考查线段长的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．20．【解析】设球的半径为表面积解得∵在中∴从圆心作平面的垂线垂足在斜边的中点处∴球心到平面的距离故答案为点睛：本题考查的知识点是空间点线面之间的距离计算其中根据球心距球半径解三角形我们可以求出所在平面截 3【解析】设球的半径为r ，表面积24π20πS r ==，解得5r =ABC V 中，2AB AC ==，22BC =222AB AC BC +=，∴90BAC ∠=︒，从圆心作平面ABC 的垂线，垂足在斜边BC 的中点处，∴球心到平面ABC 的距离d ==点睛：本题考查的知识点是空间点、线、面之间的距离计算，其中根据球心距d ，球半径R ，解三角形我们可以求出ABC V 所在平面截球所得圆（即ABC V 的外接圆半径），构造直角三角形，满足勾股定理，我们即可求出球心到平面ABC 的距离是与球相关的距离问题常用方法. 三、解答题21．（1）()()22314x y -+-=（2）【解析】 【分析】（1）首先列出圆的标准方程()()()2220x a y b r r -+-=>，根据条件代入，得到关于,,a b r 的方程求解；（2）根据切线的对称性，可知，12222S PM PM =⨯⨯⨯=，这样求面积的最小值即是求PM 的最小值，当点P 是圆心到直线的距离的垂足时，PM 最小. 【详解】解：（1）设圆C 的方程为()()()2220x a y b r r -+-=>．由题意得()()()()222222250,11,31,a b a b r a b r ⎧--=⎪⎪-+--=⎨⎪-+--=⎪⎩解得3,1,2.a b r =⎧⎪=⎨⎪=⎩故圆C 的方程为()()22314x y -+-=．另解：先求线段AB 的中垂线与直线250x y --=的交点，即2,25,y x y x =-⎧⎨=-⎩解得3,1,x y =⎧⎨=⎩从而得到圆心坐标为()3,1，再求24r =，故圆C 的方程为()()22314x y -+-=．（2）设四边形PMCN 的面积为S ，则2PMC S S =V ． 因为PM 是圆C 的切线，所以PM CM ⊥， 所以12PMC S PM CM PM =⋅=V ，即22PMC S S PM ==V ． 因为PM CM ⊥，所以PM ==因为P 是直线34100x y -+=上的任意一点，所以3PC ≥=，则PM =，即2PMC S S =≥V故四边形PMCN的面积的最小值为 【点睛】本题考查了圆的标准方程，和与圆，切线有关的最值的计算，与圆有关的最值计算，需注意数形结合. 22．23.【解析】 【分析】（Ⅰ）由题意结合线面垂直的判定可得AD ⊥平面11BCC B ，则1AC D ∠即为直线1AC 与平面11BCC B所成的角，求得2AD =，1AC =后即可得解； （Ⅱ）作1AE A B ⊥，垂足为E ，连接1A C ，CE，由题意可得5BE =，由余弦定理可得295CE =，进而可得90BEC ∠=o ，则AEC ∠即为二面角1A A B C --的平面角，再由余弦定理即可得解. 【详解】（Ⅰ）Q 三棱柱111ABC A B C -是直三棱柱，∴1BB ⊥平面ABC ，∴1BB AD ⊥， Q AB AC =，D 是BC 的中点，∴AD BC ⊥，又1BB BC B =I ，∴AD ⊥平面11BCC B ，∴1AC D ∠即为直线1AC 与平面11BCC B 所成的角， Q 1AB AC ==，12AA =，∴AD =，1AC =∴11sin AD AC D AC ∠===， ∴直线1AC 与平面11BCC B所成角的正弦值为10.（Ⅱ）作1AE A B ⊥，垂足为E ，连接1A C ，CE ，Q 1AB AC ==，112AA A C ==，∴11A B AC ==，BC = 由1ABE A BA V V ∽可得5BE =，5AE = 在1A BC V中，2221111cos 2A B BC AC A BC A B BC +-∠===⋅，∴在EBC V 中，22292cos 5CE BE BC BE BC EBC=+-⋅⋅∠=即355CE =， ∴222CE BE BC +=即90BEC ∠=o ， ∴AEC ∠即为二面角1A A B C --的平面角，在AEC V 中，222491255cos 232535255AE CE AC AEC AE CE +-+-∠===⋅⨯⨯. ∴二面角1A A B C --的余弦值为23.【点睛】本题考查了线面角和面面角的求解，考查了空间思维能力和计算能力，属于中档题. 23．（1）见解析；（2）见解析. 【解析】 【分析】（1）通过证明//NQ PA ，即可得到本题结论；（2）由题，先证PM AD ⊥和AD MB ⊥，即可得到AD ⊥平面PMB ，由此即可得到本题结论. 【详解】（1）连接AC 交MB 于Q ，连接,NQ MC ．因为//AM BC ，12AM AD BC ==， 所以四边形ABCM 是平行四边形， 所以Q 是AC 的中点．又N 是PC 的中点， 所以//NQ PA ，因为NQ ⊂平面MNB ，PA ⊄平面MNB ， 所以//PA 平面MNB ；（2）因为PA PD =，AM MD =，所以PM AD ⊥， 因为//MD BC ，MD BC =， 所以四边形BCDM 是平行四边形，所以//MB DC ，因为=90ADC ∠︒，即AD DC ⊥，所以AD MB ⊥， 因为PM MB M ⋂=，,PM MB ⊂平面PMB ， 所以AD ⊥平面PMB ，又AD ⊂平面PAD ， 所以平面PAD ⊥平面PMB ． 【点睛】本题主要考查线面平行的判定与面面垂直的判定，考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力.24．（1）①l α⊂；②m α⊄；③m A α=I ；④A l ∉，示意图答案见解析（2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）根据题意，作出示意图即可； （2）根据题意，作出示意图即可. 【详解】（1）l α⊂；m α⊄；m A α=I ；A l ∉；示意图如下：（2）如图，直线IL 即为所求.【点睛】本题考查了空间点､线､面之间的位置关系，属于基础题.25．（1）见解析；（2）见解析【解析】【分析】（1）要想证明线线垂直，可以考虑线面垂直.已知底面ABCD 是菱形，显然有BD AC ⊥ ，已知PA ⊥平面ABCD ，可以得到PA BD ⊥，这样就可以根据线面垂直的判定定理，证明出BD ⊥平面APC ，进而可以证明出BD PC ⊥;（2）可以先证明出线面平行，然后利用线面平行的性质定理证明出//BC l .【详解】（1）证明：连接AC ，交BD 于点O ．∵四边形ABCD 为菱形，所以BD AC ⊥又∵PA ⊥平面ABCD ，BD ⊂ 平面ABCD ,∴PA BD ⊥又∵PA AC A ⋂=, PA ⊂平面PAC , AC ⊂平面PAC∴BD ⊥平面APC ，又∵PC ⊂平面APC∴ BD PC ⊥（2）∵四边形ABCD 为菱形，∴//BC AD∵AD ⊂平面PAD ，BC ⊄平面PAD ．∴//BC 平面PAD .又∵BC ⊂平面PBC ，平面PBC ⋂平面PAD l =.∴//BC l ．【点睛】本题考查了线面垂直的判定定理、线面平行的判定定理以及性质定理.关键是考查了转化思想.26．(1) ()5,0B ; (2)6【解析】【分析】(1)根据AB 边上的高线CD 所在直线的方程为220x y --=求得AB 的斜率,再设B 点坐标利用斜率求解即可.(2)求得直线AC 的方程,再计算B 点到直线AC 的距离与线段AC 的长度即可.【详解】(1)由AB 边上的高线CD 所在直线的方程为220x y --=,其斜率为2,故直线AB 的斜率为1122k -==-.设()0,0B x 则00201512x x -=-⇒=-.故()5,0B (2)因为()1,2A ,()3,4C ,故42:131AC k -=-,故:2110AC l y x x y -=-⇒-+=. 又AC ==又B 点到直线AC的距离d == .故11622ABC S AC d ∆=⋅=⨯=. 【点睛】 本题主要考查了直线方程的表达式与解析几何中的距离公式等,需要根据题意选取公式求解即可.属于中等题型.。
江苏省海门中学2024届数学高一第二学期期末综合测试试题含解析
江苏省海门中学2024届数学高一第二学期期末综合测试试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。
用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。
将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。
答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．从一批产品中取出三件产品，设事件A 为“三件产品全不是次品”，事件B 为“三件产品全是次品”，事件C 为“三件产品不全是次品”，则下列结论正确的是（ ） A ．事件A 与C 互斥 B ．事件B 与C 互斥 C ．任何两个事件均互斥D ．任何两个事件均不互斥2．执行如图所示的程序框图，若输人的n 值为2019，则S ＝A ．B ．C ．D ．3．如图，在长方体1111ABCD A B C D 中，M ，N 分别是棱BB 1，B 1C 1的中点，若∠CMN =90°，则异面直线AD 1和DM 所成角为（ ）A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°4．在等比数列{}n a 中，546、、a a a 成等差数列，则公比q 等于（ ） A ．1 或 2B ．−1 或 −2C ．1 或 −2D ．−1 或 25．已知200辆汽车通过某一段公路时的时速的频率分布直方图如图所示，时速在[)60,70的汽车辆数为()A ．8B ．80C ．65D ．706．已知等比数列{a n }中，a 3•a 13＝20，a 6＝4，则a 10的值是（ ） A ．16B ．14C ．6D ．57．已知a 与b 的夹角为120，3a =，13a b +=，则b =（ ） A ．4 B ．3C ．2D ．18．已知函数，且实数，满足，若实数是函数的一个零点，那么下列不等式中不可能成立的是（ ） A ．B ．C ．D ．9．在Rt ABC ∆中，2,CA CB M N ==，是斜边AB 上的两个动点，且2MN =则CM CN ⋅的取值范围为（ ）A ．322⎡⎤⎢⎥⎣⎦，B ．31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．[]12，D ．[)2+，∞10．设P 是△ABC 所在平面内的一点，且2CP PA =，则△PAB 与△PBC 的面积之比是（ ） A ．13B ．12C ．23D ．34二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
2014-2015年江苏省南通市海门市实验学校高一(下)期中数学试卷和答案
2014-2015学年江苏省南通市海门市实验学校高一（下）期中数学试卷一、填空题（共14小题，每小题5分，共70分，请把答案填在答题纸相应位置上）1．（5分）若直线（a﹣1）x+ay+2=0和2x+3y+1=0互相平行，则a=．2．（5分）已知关于x的不等式x2﹣ax+2a＞0在R上恒成立，则实数a的取值范围是．3．（5分）在同一直角坐标系中，表示直线y=ax与y=x+a正确的是（）A．B．C．D．4．（5分）已知数列，…，，那么9是数列的第项．5．（5分）在△ABC中，B=135°，C=15°，a=5，则此三角形的最大边长为．6．（5分）已知y轴上一点P到A（1，5）和B（4，2）的距离相等，则点P的坐标为．7．（5分）已知点A（﹣1，2），B（2，4），若直线x﹣ay+3=0与线段AB有公共点，则a的取值范围是．8．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，S m﹣1=﹣2，S m=0，S m+1=3，则正整数m的值为．9．（5分）已知a＞0，x，y满足约束条件，若z=2x+y的最小值为1，则a=．10．（5分）已知直线，则直线l的倾斜角为．11．（5分）△ABC中，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边，如果a，b，c成等差数列，∠B=30°，△ABC的面积为，那么b=．12．（5分）如图，互不相同的点A1，A2，…，A n，…和B1，B2，…，B n，…分别在角O的两条边上，所有A n B n相互平行，且所有梯形A n B n B n+1A n+1的面积均相等，设OA n=a n，若a1=1，a2=2，则数列{a n}的通项公式是．13．（5分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别a，b，c，给出下列结论：①A＞B＞C，则sinA＞sinB＞sinC；②若==，△ABC为等边三角形；③必存在A，B，C，使tanAtanBtanC＜tanA+tanB+tanC成立；④若a=40，b=20，B=25°，△ABC必有两解．其中，结论正确的编号为（写出所有正确结论的编号）．14．（5分）在正项等比数列{a n}中，，a6+a7=3，则满足a1+a2+…+a n＞a1a2…a n 的最大正整数n的值为．二、解答题（共六大题，共90分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．解答时写在答题纸的指定区域内．）15．（14分）设△ABC的内角A、B、C所对的边分别是a、b、c，且a+c=6，b=2，cosB=．（1）求a，c的值．（2）求sin（A﹣B）的值．16．（14分）已知不等式ax2﹣3x+6＞4的解集为{x|x＜1，或x＞b}，（1）求a，b；（2）解不等式ax2﹣（ac+b）x+bc＜0．17．（14分）过点（2，3）的直线l被两平行直线l1：2x﹣5y+9=0与l2：2x﹣5y﹣7=0所截线段AB的中点恰在直线x﹣4y﹣1=0上，求直线l的方程．18．（16分）数列{a n}的前n项和记为S n，a1=t，．（1）当t为何值时，数列{a n}是等比数列；（2）在（1）的结论下，若等差数列{b n}的前n项和T n有最大值，且T3=15，又a1+b1，a2+b2，a3+b3成等比数列，求T n；（3）在（1）的结论下，设c n=log3a n+1，求数列{a n+c n}的前n项和R n．19．（16分）如图，游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径．一种是从A沿直线步行到C，另一种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C．现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为50m/min．在甲出发2min后，乙从A乘缆车到B，在B处停留1min后，再从B匀速步行到C．假设缆车匀速直线运动的速度为130m/min，山路AC长为1260m，经测量，cosA=，cosC=（1）求索道AB的长；（2）问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？（3）为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？20．（16分）已知数列{a n}满足a1=0，a2=2，且对任意m、n∈N*都有a2m﹣1+a2n﹣=2a m+n﹣1+2（m﹣n）21（1）求a3，a5；（2）设b n=a2n+1﹣a2n﹣1（n∈N*），证明：{b n}是等差数列；（3）设c n=（a n+1﹣a n）q n﹣1（q≠0，n∈N*），求数列{c n}的前n项和S n．2014-2015学年江苏省南通市海门市实验学校高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（共14小题，每小题5分，共70分，请把答案填在答题纸相应位置上）1．（5分）若直线（a﹣1）x+ay+2=0和2x+3y+1=0互相平行，则a=3．【解答】解：若直线（a﹣1）x+ay+2=0和2x+3y+1=0互相平行，则=﹣，解得a=3，故答案为：3．2．（5分）已知关于x的不等式x2﹣ax+2a＞0在R上恒成立，则实数a的取值范围是（0，8）．【解答】解：因为不等式x2﹣ax+2a＞0在R上恒成立．∴△=（﹣a）2﹣8a＜0，解得0＜a＜8故答案为：（0，8）．3．（5分）在同一直角坐标系中，表示直线y=ax与y=x+a正确的是（）A．B．C．D．【解答】解：由y=x+a得斜率为1排除B、D，由y=ax与y=x+a中a同号知若y=ax递增，则y=x+a与y轴的交点在y轴的正半轴上；若y=ax递减，则y=x+a与y轴的交点在y轴的负半轴上；故选：C．4．（5分）已知数列，…，，那么9是数列的第14项．【解答】解：由=9．解之得n=14由此可知9是此数列的第14项．故答案为：145．（5分）在△ABC中，B=135°，C=15°，a=5，则此三角形的最大边长为．【解答】解：因为B=135°为最大角，所以最大边为b，根据三角形内角和定理：A=180°﹣（B+C）=30°在△ABC中有正弦定理有：故答案为：．6．（5分）已知y轴上一点P到A（1，5）和B（4，2）的距离相等，则点P的坐标为（0，1）．【解答】解：设P（0，y），∵y轴上一点P到A（1，5）和B（4，2）的距离相等，∴PA=PB，即=，解得y=1，∴P（0，1）．故答案为：（0，1）．7．（5分）已知点A（﹣1，2），B（2，4），若直线x﹣ay+3=0与线段AB有公共点，则a的取值范围是[1，] ．【解答】解：由题意可得线x﹣ay+3=0过定点C（﹣3，0），且斜率为（a=0时，直线x=﹣3与线段AB无公共点，故a≠0）由斜率公式可得k AC==1，k BC==，由直线与线段AB有公共点可得≤≤1，解得1≤a≤故答案为：[1，]8．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，S m﹣1=﹣2，S m=0，S m+1=3，则正整数m的值为5．【解答】解：由题意可得a m=S m﹣S m﹣1=0﹣（﹣2）=2，a m+1=S m+1﹣S m=3﹣0=3，﹣a m=3﹣2=1，∴等差数列{a n}的公差d=a m+1由通项公式可得a m=a1+（m﹣1）d，代入数据可得2=a1+m﹣1，①再由求和公式可得S m=ma1+d，代入数据可得0=ma1+，②联立①②可解得m=5故答案为：59．（5分）已知a＞0，x，y满足约束条件，若z=2x+y的最小值为1，则a=．【解答】解：先根据约束条件画出可行域，设z=2x+y，将最大值转化为y轴上的截距，当直线z=2x+y经过点B时，z最小，由得：，代入直线y=a（x﹣3）得，a=；故答案为：10．（5分）已知直线，则直线l的倾斜角为π+θ．【解答】解：设直线的倾斜角为α直线，则直线y=tanθx+，则直线的斜率k=tanθ=tanα，则α=π+θ，故答案为：π+θ11．（5分）△ABC中，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边，如果a，b，c成等差数列，∠B=30°，△ABC的面积为，那么b=．【解答】解：∵a，b，c成等差数列，∴2b=a+c．平方得a2+c2=4b2﹣2ac．又△ABC的面积为，且∠B=30°，故由S=acsinB=ac•sin30°=ac=，△得ac=6，∴a2+c2=4b2﹣12．由余弦定理cosB====．解得b2=4+2．又∵b为边长，∴b=1+．故答案为：1+12．（5分）如图，互不相同的点A1，A2，…，A n，…和B1，B2，…，B n，…分别在角O的两条边上，所有A n B n相互平行，且所有梯形A n B n B n+1A n+1的面积均相等，=a n，若a1=1，a2=2，则数列{a n}的通项公式是．设OA【解答】解：设，∵OA 1=a1=1，OA2=a2=2，A1B1∥A2B2，∴A1B1是三角形OA2B2的中位线，∴==，∴梯形A1B1B2A2的面积=3S．故梯形A n B n B n+1A n+1的面积=3S．∵所有A n B n相互平行，∴所有△OA n B n（n∈N*）都相似，∴，，，…，∵，∴，，…．∴数列{}是一个等差数列，其公差d=3，故=1+（n﹣1）×3=3n﹣2．∴．因此数列{a n}的通项公式是．故答案为．13．（5分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别a，b，c，给出下列结论：①A＞B＞C，则sinA＞sinB＞sinC；②若==，△ABC为等边三角形；③必存在A，B，C，使tanAtanBtanC＜tanA+tanB+tanC成立；④若a=40，b=20，B=25°，△ABC必有两解．其中，结论正确的编号为①④（写出所有正确结论的编号）．【解答】解：①在三角形中，A＞B＞C，得a＞b＞c．，由正弦定理可知sinA＞sinB＞sinC，所以①正确．②由正弦定理条件知，，即sinBcosC=cosBsinC，所以sinBcosC﹣cosBsinC=sin（B﹣C）=0，解得B=C．所以△ABC为等腰三角形，所以②错误．③若A、B、C有一个为直角时不成立，若A、B、C都不为直角因为A+B=π﹣C，所以tan（A+B）=tan（π﹣C）即=﹣tanC，则tanA+tanB=﹣tanC+tanAtanBtanC所以tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC即③错误．④因为，即asinB＜b＜a，所以，△ABC必有两解．所以④正确．故答案为：①④．14．（5分）在正项等比数列{a n}中，，a6+a7=3，则满足a1+a2+…+a n＞a1a2…a n 的最大正整数n的值为12．【解答】解：设正项等比数列{a n}首项为a1，公比为q，由题意可得，解之可得：a1=，q=2，故其通项公式为a n==2n﹣6．记T n=a1+a2+…+a n==，S n=a1a2…a n=2﹣5×2﹣4…×2n﹣6=2﹣5﹣4+…+n﹣6=．由题意可得T n＞S n，即＞，化简得：2n﹣1＞，即2n﹣＞1，因此只须n＞，即n2﹣13n+10＜0解得＜n＜，由于n为正整数，因此n最大为的整数部分，也就是12．故答案为：12二、解答题（共六大题，共90分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．解答时写在答题纸的指定区域内．）15．（14分）设△ABC的内角A、B、C所对的边分别是a、b、c，且a+c=6，b=2，cosB=．（1）求a，c的值．（2）求sin（A﹣B）的值．【解答】解：（1）由余弦定理b2=a2+c2﹣2accos B，得b2=（a+c）2﹣2ac（1+cos B），又b=2，a+c=6，cos B=，所以ac=9，解得a=3，c=3．（2）在△ABC中，sin B==，由正弦定理得sin A==．因为a=c，所以A为锐角．所以cos A==．则：sin（A﹣B）=sin Acos B﹣cos Asin B=．16．（14分）已知不等式ax2﹣3x+6＞4的解集为{x|x＜1，或x＞b}，（1）求a，b；（2）解不等式ax2﹣（ac+b）x+bc＜0．【解答】解：（1）因为不等式ax2﹣3x+6＞4的解集为{x|x＜1，或x＞b}，所以1和b是方程ax2﹣3x+2=0的两个实数根，且b＞1；由根与系数的关系，得，解得a=1，b=2；（2）所求不等式ax2﹣（ac+b）x+bc＜0化为x2﹣（2+c）x+2c＜0，即（x﹣2）（x﹣c）＜0；①当c＞2时，不等式（x﹣2）（x﹣c）＜0的解集为{x|2＜x＜c}；②当c＜2时，不等式（x﹣2）（x﹣c）＜0的解集为{x|c＜x＜2}；③当c=2时，不等式（x﹣2）（x﹣c）＜0的解集为∅．17．（14分）过点（2，3）的直线l被两平行直线l1：2x﹣5y+9=0与l2：2x﹣5y ﹣7=0所截线段AB的中点恰在直线x﹣4y﹣1=0上，求直线l的方程．【解答】解：设线段AB的中点P的坐标（a，b），由P到l1、l2的距离相等，得=，经整理得，2a﹣5b+1=0，又点P在直线x﹣4y﹣1=0上，所以a﹣4b﹣1=0，解方程组，得，即点P的坐标（﹣3，﹣1），又直线l过点（2，3），所以直线l的方程为，即4x﹣5y+7=0．18．（16分）数列{a n}的前n项和记为S n，a1=t，．（1）当t为何值时，数列{a n}是等比数列；（2）在（1）的结论下，若等差数列{b n}的前n项和T n有最大值，且T3=15，又a1+b1，a2+b2，a3+b3成等比数列，求T n；（3）在（1）的结论下，设c n=log3a n+1，求数列{a n+c n}的前n项和R n．【解答】解：（1）由题意，∵…①得a2=2a1+1，当n≥2时，可得…②两式相减（①﹣②）：得：a n﹣a n=2（S n﹣S n﹣1）+1=3a n．即：a n+1∵通项公式，若数列{a n}是等比数列，其首项a1=t=31﹣1=1即当t=1时，数列{a n}为等比数列．（2）根据（1）可得：a1=1，a2=3，a3=9，设{b n}的公差为d，则（3+b2）2=（9+b3）（1+b1）即（3+b2）2=（9+b2﹣d）（1+b2﹣d），T3=3b2=15根据以上两式得b2=5，d=﹣10或d=2（舍去）∴b1=15．∴=﹣5n2+20n；（3）由（1）得通项公式，=3n那么：a n+1∵c n=log3a n+1，∴c n=n．可得{c n}是等差数列，公差d=1，首项为1．那么：数列{a n+c n}的前n项和R n=S n=（）+（）∴．19．（16分）如图，游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径．一种是从A沿直线步行到C，另一种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C．现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为50m/min．在甲出发2min后，乙从A乘缆车到B，在B处停留1min后，再从B匀速步行到C．假设缆车匀速直线运动的速度为130m/min，山路AC长为1260m，经测量，cosA=，cosC=（1）求索道AB的长；（2）问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？（3）为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？【解答】解：（1）在△ABC中，因为cosA=，cosC=，所以sinA=，sinC=，从而sinB=sin[π﹣（A+C）]=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC==由正弦定理，得AB===1040m．答：索道AB的长为1040m．（2）假设乙出发t分钟后，甲、乙两游客距离为d，此时，甲行走了（100+50t）m，乙距离A处130t m，所以由余弦定理得d2=（100+50t）2+（130t）2﹣2×130t×（100+50t）×=200（37t2﹣70t+50）=200[37（t﹣）2+]，因0≤t≤，即0≤t≤8，答：当t=min时，甲、乙两游客距离最短．（3）由正弦定理，得BC===500m，乙从B出发时，甲已经走了50×（2+8+1）=550m，还需走710m才能到达C．设乙步行的速度为v m/min，由题意得﹣3≤≤3，解得，答：为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在[]范围内．20．（16分）已知数列{a n}满足a1=0，a2=2，且对任意m、n∈N*都有a2m﹣1+a2n﹣1=2a m+n﹣1+2（m﹣n）2（1）求a3，a5；（2）设b n=a2n+1﹣a2n﹣1（n∈N*），证明：{b n}是等差数列；（3）设c n=（a n+1﹣a n）q n﹣1（q≠0，n∈N*），求数列{c n}的前n项和S n．【解答】解：（1）由题意，令m=2，n=1，可得a3=2a2﹣a1+2=6再令m=3，n=1，可得a5=2a3﹣a1+8=20（2）当n∈N*时，由已知（以n+2代替m）可得a2n+3+a2n﹣1=2a2n+1+8于是[a2（n+1）+1﹣a2（n+1）﹣1]﹣（a2n+1﹣a2n﹣1）=8即b n+1﹣b n=8所以{b n}是公差为8的等差数列（3）由（1）（2）解答可知{b n}是首项为b1=a3﹣a1=6，公差为8的等差数列则b n=8n﹣2，即a2n+1﹣a2n﹣1=8n﹣2另由已知（令m=1）可得a n=﹣（n﹣1）2．那么a n+1﹣a n=﹣2n+1=﹣2n+1=2n于是c n=2nq n﹣1．当q=1时，S n=2+4+6++2n=n（n+1）当q≠1时，S n=2•q0+4•q1+6•q2+…+2n•q n﹣1．两边同乘以q，可得qS n=2•q1+4•q2+6•q3+…+2n•q n．上述两式相减得（1﹣q）S n=2（1+q+q2+…+q n﹣1）﹣2nq n=2•﹣2nq n=2•所以S n=2•综上所述，S n=．。
海门中学09-10学年高一下学期期中试卷
海门中学09-10学年高一下学期期中试卷物 理一、单项选择题：本题共7小题，每小题3分，共计21分．每小题只有一个选项符合题意． 1.宇宙飞船正在离地面高h R =地的轨道上做匀速圆周运动，飞船内一弹簧秤下悬挂一质量为m 的重物，g 为地面处重力加速度，则弹簧秤的读数为A ．mgB ．12mg C ．14mg D ．02. 两个分别带有电荷量Q -和+3Q 的相同金属小球（均可视为点电荷），固定在相距为r 的两处，它们间库仑力的大小为F 。
两小球相互接触后将其固定距离变为2r，则两球间库仑力的大小为 A ．112F B ．34F C ．43F D ．12F 3.如图所示，水平天花板下用长度相同的绝缘细线悬挂起来的两个相同的带电小球A 、B ，左边放一个带正电的固定球Q +时，两悬线都保持竖直方向．下面说法中正确的是A ．A 球带正电，B 球带负电，并且A 球带电荷量较大B ．A 球带负电，B 球带正电，并且A 球带电荷量较大C ．A 球带负电，B 球带正电，并且A 球带电荷量较小D ．A 球带正电，B 球带负电，并且A 球带电荷量较小4．如右图所示，质量为m 的物体用细绳经过光滑小孔牵引在光滑水平面 上做匀速圆周运动，拉力为某个值F 时，转动半径为R ，当拉力逐渐减小到F/4时，物体仍做匀速圆周运动，半径为2R ，则外力对物体所做的功 大小是A ．4FRB ．43FRC ．25FR D ．零5.水能是可再生能源，可持续地利用它来发电，为人类提供“清洁”的能源.一水力发电站，水流的落差为h=20m,水流冲击水轮机发电时，水流动能的20%将转化为电能，若发电机的功率是200kw,g 取10m/s 2,则每分钟流下的水量是（水流初始动能不计）A ．1.5×106 kgB ．3×105 kgC ．6×104 kgD ．6×105kg6.某消防队员从一平台上跳下，下落2m 后双脚触地，接着他用双腿弯屈的方法缓冲，使自身重心又下降了0.5m ．在着地过程中地面对他双脚的平均作用力估计为 A ．自身所受重力的2倍B ．自身所受重力的4倍 C ．自身所受重力的5倍D ．自身所受重力的10倍7.如图，一很长的、不可伸长的柔软轻绳跨过光滑定滑轮，绳两端各系一小球a 和b ．a 球质量为m ，静置于地面；b 球质量为3m ， 用手托住，高度为h ，此时轻绳刚好拉紧．从静止开始释放b 后，a 可能达到的最大高度为A ．hB ．1.5hC ．2hD ．2.5h二、多项选择题：本题共7小题．每小题4分．共计28分．每小题有多个选项符合题意．全部选对的得4分。
江苏省海门中学09-10学年高一上学期期中考试(数学)
江苏省海门中学09-10学年高一上学期期中考试数学一 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分。
请把答案填写在横线上．．．.1.用列举法表示集合{(,)|01,02,,}x y x y x y Z ≤≤≤<∈ .2.不等式组210360x x ->⎧⎨-≤⎩的解集为A ， ,U R =则U C A = . 3.已知集合{|2},{|1},A x x B x x =<=>则A B ⋃= .4.函数1()f x x=的定义域是 . 5.已知函数2,0(),,0x x f x x x ≥⎧=⎨<⎩则((2))f f -= . 6.函数[]2()23,1,3f x x x x =+-∈的值域为 . 7.已知函数()19,f x ax =+且(3)7,f =若()15,f t =则t = .8.当0k >时，函数()f x 的图像向 平移 个单位得到函数()y f x k =+的图像.9.若函数()(21)f x k x =+在R 上是增函数，则k 范围是 .10.化简2111333324()3a ba b ---÷-= . 11.在21332232,(),()34-中最大的是 . 12.已知函数()f x 是奇函数，当0x <时，()23,f x x =+则当0x >时，()f x = .13.已知函数2()1f x x mx =++是偶函数，则实数m 的值为 .14.计算93283log log ⨯= .二 解答题：本大题共6小题，共计90分，解答时应写出文字说明、证明或演算步骤.15. （本小题满分14分） 设集合2{|40,},A x x x x R =+=∈22{|210,},B x x x R =+-=∈（a+1）x+a 若A B B ⋂=，求实数a 的取值范围.16. （本小题满分14分） 求证：函数1()1f x x=-+在区间(0,)+∞上是单调增函数.17. （本小题满分14分）某种储蓄按复利计算利息，若本金为a 元，每期利率为r ，设存期是,x 本利和（本金加上利息）为y 元，（1）写出本利和y 随x 变化的函数关系式；(2)如果存入本金1000元，每期利率为2.25%，试计算4期后的本利和45(1.0225 1.09308,1.0225 1.11768)==.18. （本小题满分16分）一邮递员以每小时5公里的速度用3小时由邮政总局到达分局，在分局停留2小时后，再以每小时3公里的速度返回总局，（1）是写出邮递员在运动过程中，到总局的距离y 与运动时间x 的函数关系式，并写出定义域；（2）作出函数()y f x =图像，并根据图像，求其y 的最大值.19. （本小题满分16分）已知二次函数()f x 满足2(1)(1)24,f x f x x x ++-=-+(1)求()f x 解析式；（2）求当[,2],x a a ∈+时，()f x 最大值.20. （本小题满分16分）定义R 在上的单调函数()f x 满足32(3)log ,f =且对任意,,x y R ∈都有()()(),f x y f x f y +=+（1）求(0);f（2）求证:()f x 为奇函数；（3）若(3)(392)0,x x xf k f ⋅+--<对任意x R ∈恒成立,求实数k 的取值范围.海门中学高一数学期中试卷答案一 填空题（5分⨯14=70分） 1. {}（0，0），（0，1），（1，0），（1，1）2. 12-∞⋃∞（，】（2，+）3. R4. ⋃∞[-1,0)（0，+）5.46.【0，12】7.-18.左，k 9. 12∞（-，+）10.-6a 11. 23212. 23x -13.0 14. 103二 解答题（15分⨯6=90分）2215.{4,0},,,(1),[2(1)]4(1)0,1,(2),0{4},,2(1)80{0},,2(1)00{04},,2(1)4A AB B B A B a a a B B a a B a a B a a =-⋂=∴⊆=∅∆=+--<∴<-≠∅∆=⎧=-⎨-+=-⎩∆=⎧=⎨-+=⎩∆>⎧=-⎨-+=-⎩≤解：若无解；若=-1；若，=1；综上，a=1或a -1. 12,121212211212,121212121216.01111()()1(1),00,0,0,()(),().x x x x f x f x x x x x x x x x x x x x x x f x f x x x f x <<--=-+--+=-=<<∴-<>-∴<<∞证：任意即故在（0，+）上为增函数*4417.:(1)y=a(1+r)(),(2)1000, 2.25%,4,1000(1 2.25%)1000 1.02251093.08(x x N a r x y ∈====⨯+=⨯≈解元）答：4期后本利和为1093.08元。
江苏省南通市高一下学期4月期中联考数学试题(解析版)
高一下学期4月期中数学试题一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，则集合A 的子集个数为（ ） 2{Z |340}A x x x =∈--<A. 3 B. 4 C. 8 D. 16【答案】D 【解析】【分析】解一元二次不等式，并结合已知用列举法表示集合A ，再计算其子集个数. 【详解】因为，即，解得，2340x x --<()()410x x -+<14x -<<因此含有4个元素， {}{}Z140,1,2,3A x x =∈-<<=∣所以集合A 的子集个数为. 4216=故选：D2. 已知非零向量，则“”是“”的（ ）,,a b c a c b c ⋅=⋅ a b =A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分又不必要条件【答案】B 【解析】【分析】考虑两者之间的推出关系后可得两者之间的条件关系.【详解】如图所示，,当时，与垂直，,,,OA a OB b OC c BA a b ====-AB OC ⊥a b -c，所以成立，此时，a b ≠∴不是的充分条件，a b =当时，，∴,∴成立，a b = 0a b -= ()00a b c c -⋅=⋅=r r r r r ∴是的必要条件，a b = 综上，“”是“”的必要不充分条件故选：B.3. 已知实数满足（是虚数单位）（ ） ,x y 34ii 12ix y+=--i =A. 5 B. 3C.D.【答案】C 【解析】【详解】根据已知条件，结合复数的四则运算及复数相等，即可求解．【解答】因为， 34i (34i)(12i)310i 812i i 12i (12i)(12i)5x y ++++-===-+=---+则，，=1x -=2y -==故选：C ．4. 时钟的分针从刻度12顺时针转到刻度6，相应的时针转过角度为，则的值为（ ） αtan αA .B. C.D. 2-1+【答案】A 【解析】【分析】根据给定条件得，再利用差角的正切公式，结合特殊角的三角函数值求解作答． π12α=-【详解】时钟的分针从刻度12顺时针转到刻度6，用时小时，而时钟的时针顺时针旋转1小时，转过12的角度为， π6-因此，π12α=-ππtantanππ43tan tan()2ππ431tan tan 43α-=-===-+故选：A5. 已知与是方程的两个根，则实数的值为（ ） sin θcos θ2103x x m ++=m A. B.C.D. 43-434949-【答案】D 【解析】【分析】由一元二次方程根与系数的关系及同角三角函数基本关系式求解． 【详解】与是方程的两个根， sin θ cos θ2103x x m ++=，两边平方得：，1sin cos 3θθ∴+=-21(sin cos )9θθ+=，得． 112sin cos 9θθ∴+=4sin cos 9θθ=-即． 4sin cos 9m θθ==-故选：D ．6. 求的值为（ ） 2cos10tan 20cos 20-A.B. C.D. 【答案】A 【解析】【分析】由已知结合和差角公式进行化简即可求解．【详解】 2cos10tan 20cos 20︒︒︒- 2cos10sin 20cos 20cos 20︒︒︒︒=-()cos 3020sin 20cos 202︒︒︒--===故选：A ．7. 已知在中，，分别为边，上一点，且，，与交于ABC D E AB AC 3AB DB =2AE EC =CD BE ，若，则为（ ）F AF mAB nAC =+(),m n A. B. 66,55⎛⎫ ⎪⎝⎭22,55⎛⎫ ⎪⎝⎭C. D. 62,55⎛⎫⎪⎝⎭26,55⎛⎫⎪⎝⎭【答案】B 【解析】【分析】利用平面向量的基本定理可得，、分别为，的三等分点，将分别用两个线性D E AB AC AF运算表示，对应系数相等，即可求出答案．【详解】设，，DF DC λ= EF EB μ=，2222233333AF AD DF AB DC AB AC AB AB AC λλλλ⎛⎫⎛⎫=+=+=+-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭又， 2222233333AF AE EF AC EB AC AB AC AB AC μμμμ⎛⎫⎛⎫=+=+=+-=+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，22332233λμλμ⎧-=⎪⎪∴⎨⎪=-⎪⎩得 2525λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩代入得：2255AF AB AC =+ 故选：B ．8. 正三角形的边长为3，点在边上，且，三角形的外接圆的一条弦过ABC D AB 2BD DA =ABC MN 点，点为边上的动点，当弦的长度最短时，的取值范围是（ ） D P BC MN PM PN ⋅A. ，B. ， [1-5][1-7]C. ，D. ，[02][15]【答案】D 【解析】【分析】设为外接圆的圆心，结合垂径定理和正弦定理，可得O ABC MN =出，于是问题转化为求的取值范围，然后结合三角函数知识与余弦定2214PM PN PD NM ⋅=- ||PD理，即可得解．【详解】解：设为外接圆的圆心， O ABC 因为，所以， 2BD DA =113OD AC ==当弦的长度最短时，，MN MN OD ⊥在中，由正弦定理知，外接圆半径，即ABC112sin 2AB R C =⋅==OM =所以，2MN MD ====因为，即，()()224PM PNPM PNPM PN +=-+⋅()2224PDNM PM PN =+⋅ 所以，(2222211244PM PN PD NM PD PD ⋅=-=-⋅=-因为点为线段上的动点，P BC 所以当点与点重合时，；P Q ()DQ BC ⊥min ||sin602PD DQ BD ==︒== 当点与点重合时，，P C max ||PD CD =在中，由余弦定理知，BCD △， 2221||||2cos 9423272CD BC BD BC BD ABC =+-⋅∠=+-⨯⨯⨯=所以max ||PD CD ==综上，，PD ∈所以．22[1,5]PM PN PD ⋅=-∈故选：D ．二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
2022-2023学年江苏省南通市高一年级下册学期4月期中数学试题【含答案】
2022-2023学年江苏省南通市高一下学期4月期中数学试题一、单选题1．复数()()1i 3i z =-+的虚部为（）A ．－2iB ．－2C ．4iD ．4【答案】B【分析】利用复数乘法法则化简，得到虚部.【详解】()()21i 3i 3i 3i i 42i z =-+=+--=-，故虚部为-2.故选：B2．已知1e ，2e 是两个不共线的向量，向量122a e e =- ，12b ke e =+ ．若a b ∥，则k =（）A ．－2B ．12-C ．2D ．12【答案】A【分析】利用共线向量定理列方程求解即可.【详解】因为a b ∥ ，所以存在唯一实数λ，使b a λ=，所以()12121222ke e e e e e λλλ+=-=- ，因为1e ，2e是两个不共线的向量，所以21k λλ=⎧⎨=-⎩，解得21k λ=-⎧⎨=-⎩，故选：A3．已知点()()1,1,2,1A B --，若直线AB 上的点D 满足2AD BD =，则D 点坐标为（）A ．1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．10,3⎛⎫⎪⎝⎭C ．11,3⎛⎫ ⎪⎝⎭-D ．()5,3-【答案】D【分析】由向量的坐标运算即可求解.【详解】设(,)D x y ，则()()1,1,222,1AD x y BD x y +-=-+=，由2AD BD =得()122x x +=-且()121y y -=+，解得5,3x y ==-，故()5,3D -,故选：D4．已知2sin cos 3αβ+=-，1cos sin 3αβ+=，则sin （α＋β）=（）A ．139B ．1318C ．1318-D ．139-【答案】C【分析】分别对已知两个等式两边平方相加，化简后利用两角和的正弦公式可求得结果.【详解】因为21sin cos ,cos sin 33αβαβ+=-+=，所以()()2241sin cos ,cos sin 99αβαβ+=+=，所以224sin 2sin cos cos 9ααββ++=，221cos 2cos sin sin 9ααββ++=，两式相加可得：22225sin 2sin cos cos cos 2cos sin sin 9ααββααββ+++++=，所以522sin cos 2cos sin 9αβαβ++=()522sin cos cos sin 9αβαβ++=，所以()522sin 9αβ++=，解得()13sin 18αβ+=-，故选：C.5．已知向量()2,23a =- ，()1,3b = ，则a 在b方向上的投影向量为（）A ．2bB ．2C ．bD ．1【答案】C【分析】根据数量积的坐标表示及投影向量的定义求解.【详解】()342123a b ⋅-+==⨯⨯，2b = ，则a 在b 方向上的投影向量为422b a b b b b b ⎛⎫⎛⎫⎪== ⎪ ⎪⎭⎝⋅⎝⎭.故选：C.6．已知12,C z z ∈，121z z ==，123z z +=，则12z z -=（）A ．1B ．2C ．3D ．2【答案】A【分析】设12i,i z a b z c d =+=+，根据模长得到22221a b c d +=+=，221ac bd +=，从而得到2121z z -=，得到121z z -=.【详解】设12i,i ,,,R z a b z c d a b c d ∈=+=+，，则22221a b c d +=+=①，()()12i z z a c b d +=+++，则()()223a c b d +++=②，②-①得，221ac bd +=，()()12i z z a c b d -=-+-，则()()222222212221z z a b c d ac a c d bd b +++-=-+--=-=，故121z z -=.故选：A7．在ABC 中，tan :tan :tan 1:2:3A B C =，则ABAC =（）A ．2B ．324C ．223D ．23【答案】B【分析】根据题意结合两角和差的正切公式求得tan 2,tan 3B C ==，进而可求sin ,sin B C ，结合正弦定理运算求解.【详解】因为tan :tan :tan 1:2:3A B C =，不妨设tan ,tan 2,tan 3,0A k B k C k k ===>，又因为()tan tan tan tan tan tan 1A BC A B A B +=-+=-，即22332121k k kk k k k +==⨯--，解得1k =，所以tan 10,tan 20,tan 30A B C =>=>=>，因为sin tan 2cos BB B==，即sin 2cos B B =，且22222sin cos 4cos cos 5cos 1B B B B B +=+==，即21cos 5B =，又因为π0,2B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则cos 0B >，解得525cos ,sin 55B B ==，同理可得310sin 10C =，所以310sin 3210sin 4255AB C AC B ===.故选：B.8．用向量方法推导正弦定理采取如下操作：如图1，在锐角△ABC 中，过点B 作与BC垂直的单位向量j ，因为BC CA BA +=，所以()j BC CA j BA ⋅+=⋅ ．由分配律，得)j BC j CA j BA ⋅+⋅=⋅ ，即πππcos cos cos 222j BC j CA C j BA B ⎛⎫⎛⎫+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，也即sin sin b C c B =．请用上述向量方法探究，如图2，直线l 与△ABC 的边AB ，AC 分别相交于D ，E ．设AB c =，BC a =，=CA b ，ADE θ∠=，则θ与△ABC 的边和角之间的等量关系为（）A ．sin()sin()sin aB b A c θθθ-++=B ．sin()sin()sin a B b A c θθθ++-=C ．cos()cos()cos a B b A c θθθ-++=D ．cos()cos()cos a B b A c θθθ++-=【答案】C【分析】设DE m DE = ，利用AC C AB B += 得到m AC m CB m AB ⋅+⋅=⋅ ，由向量数量积公式求出答案.【详解】设DE m DE= ，则1m = ，且m 与AC 的夹角为()πA θ-+，m 与CB 的夹角为()πB θ--，m 与AB的夹角为πθ-，因为AC C AB B +=，所以()m AC CB m AB ⋅+=⋅ ，即m AC m CB m AB ⋅+⋅=⋅，即()()()cos πcos πcos πm AC A m CB B m AB θθθ⋅-++⋅--=⋅-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦ ，所以()()cos cos cos AC A CB B AB θθθ-+--=-，即cos()cos()cos a B b A c θθθ-++=，C 正确.故选：C二、多选题9．已知ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，下列条件中，能使ABC 的形状唯一确定的有（）A ．2,4,75a b C ==∠=︒B ．2a =，3b =，45A ∠=︒C ．2a =，∠B =30°，∠C =60°D ．2a =，3b =，∠B =60°【答案】ACD【分析】利用余弦定理求出c ，由此可判断A ；由正弦定理及大边对大角可判断B ，D ；先求出A ，根据正弦定理求出,b c ，可判断C ；【详解】对于A ，()cos75cos 3045cos30cos45sin 30sin 45︒=︒+︒=︒︒-︒︒32126222224-=⨯-⨯=，因为2,4,75a b C ==∠=︒，由余弦定理可得：()2222cos 416224cos 7520462c a b ab C =+-=+-⨯⨯⨯︒=--，解得：()20462c =--，故三角形的解唯一，故A 正确；对于B ，根据正弦定理：sin sin a b A B =，可得23sin 45sin B =︒，即3sin 2B =，又因为b a >，所以B A ∠>∠，所以π3B ∠=或2π3，故B 不正确；对于C ，90A B C π∠=-∠-∠=︒，由正弦定理可得：62,22a b ==，即三角形的解唯一确定的，故C 正确；对于D ，根据正弦定理：sin sin a b A B =，可得23sin sin 60A =︒，即2sin 2A =，又因为b a >，所以B A ∠>∠，所以π4A ∠=，故三角形的解唯一，D 正确；故选：ACD.10．下列命题正确的有（）A ．对于复数z ，则22z z=B ．对于向量a，则22a a = C ．若1z ，2z 为复数，则1212z z z z =⋅D ．若a ，b为向量，则a b a b⋅= 【答案】BC【分析】设复数()i ,z a b a b =+∈R ，分别计算2z 、2z 可判断A ；由数量积公式可判断B ；设()1i ,=+∈z x y x y R ，()2i ,=+∈z m n m n R ，分别计算1212、⋅z z z z 可判断C ；由数量积公式可判断D.【详解】对于A.，设复数()i ,z a b a b =+∈R ，则()2222i 2i z a b a b ab =+=-+，222z a b =+，故A 错误；对于B ，22cos 0== a a a a ，故B 正确；对于C ，设()1i ,=+∈z x y x y R ，()2i ,=+∈z m n m n R ，则()()22221212i i z z x y m m xy mn z z =++=+⨯+=⋅，故C 正确；对于D ，若a ，b 为向量，设a 、b的夹角为θ，且[]0,πθ∈，则cos θ⋅=≤ a b a b a b ，故D 错误.故选：BC.11．下列等式成立的有（）A ．2π13sin 1224-=B ．tan80tan 35tan80tan 351--= C ．1cos 20cos 40cos 60cos808=D ．cos10sin 2320cos 20=-【答案】BD【分析】利用二倍角的余弦公式可判断A 选项；利用两角差的正切公式可判断B 选项；利用二倍角的正弦公式结合诱导公式可判断C 选项；利用两角差的余弦公式可判断D 选项.【详解】对于A 选项，22π11π1π3sin 12sin cos 122212264⎛⎫-=--=-=- ⎪⎝⎭，A 错；对于B 选项，因为()tan80tan 35tan 45tan 803511tan80tan 35-=-==+，所以，tan 80tan 35tan 80tan 35tan 80tan 351tan 80tan 351--=+-= ，B 对；对于C 选项，1sin 20cos 20cos 40cos802cos 20cos 40cos 60cos80sin 20=()111sin 80cos80sin160sin 40cos 40cos8018164sin 20sin16016sin 18020====-，C 错；对于D 选项，()2cos 3020sin 202cos10sin c c 0os 022os 20---=()2cos30cos 20sin 30sin 20sin 203cos 20sin 20sin 203cos 20cos 20+-+-===，D 对.故选：BD.12．剪纸艺术是一种中国传统的民间工艺，它源远流长，经久不衰，已成为世界艺术宝库中的一种珍藏．某学校为了丰富学生的课外活动，组织了剪纸比赛，小明同学在观看了2022年北京冬奥会的节目《雪花》之后，被舞台上漂亮的“雪花”图案（如图1）所吸引，决定用作品“雪花”参加剪纸比赛．小明的参赛作品“雪花”，它的平面图可简化为图2的平面图形，该平面图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，其中，六边形ABCDEF 为正六边形，444CD CK JK ===，CK JK ⊥，HIJ 为等边三角形，P 为该平面图形上的一个动点（含边界），则（）A ．13CI =+B ．()213JH JK ⋅=+C ．若FP FA FE λμ=+ ，则λ＋μ的最大值为932+D ．AP AB ⋅ 的取值范围是1243,2843⎡⎤--+⎣⎦【答案】ACD【分析】把题中图2的平面图形顺时针旋转30︒，设正六边形ABCDEF 的中心为O ，连接CH ，CJ ，连接FI ，交HJ 于点L ，过I 作IM AB ⊥，垂足为点M ，过C 作CN AB ⊥，垂足为点N ，利用数量积结合选项即可逐一求解．【详解】如图，把题中图2的平面图形顺时针旋转30︒，设正六边形ABCDEF 的中心为O ，连接CH ，CJ ，连接FI ，交HJ 于点L ，易得O ，C 在FI 上，HJ CI ⊥．过I 作IM AB ⊥，垂足为点M ，过C 作CN AB ⊥，垂足为点N ．由题意得22CH CJ CK ===，2ππ5π=3412LCJ ∠=-，所以6231cos 242CL CJ LCJ --=∠=⨯=，6222sin 22314HJ HL CJ LCJ +==∠=⨯=+，所以3333(31)222IL HJ +==⨯+=，所以31331322CI -+=+=+，A 正确．计算π31(31)1cos 32JH JK +⋅=+⨯⨯=，所以B 错误；FP FA FE λμ=+ ，所以222π44cos41683FP FE FA FE FE λμλμμλ⋅=⋅+=⨯⨯⨯+⨯=- ，2168FP FA FA FE FA λμλμ⋅=+⋅=-，所以8()FP FE FP FA λμ⋅+⋅=+ ，即1()8FP FE FA λμ⋅+=+ ，连接AE ，取AE 的中点Q ，连接QF ，则128FP FQ λμ⋅=+，所以14FP FQ λμ+=⋅，当点P 与点I 重合时λμ+取得最大值，所以λμ+的最大值为：11π1193()cos (813)4443422FI FQ FC CI FE +⋅=⨯+⨯=⨯++⨯⨯= ，C 正确；因为四边形CNMI 为矩形，所以13MN CI ==+，π1cos 4232BN BC ==⨯=，所以42(13)73AM AB BN NM =++=+++=+，当P 与I 重合时，AP AB ⋅取得最大值为||||(73)42843AM AB =+⨯=+ ，当P 与X 重合时，AP AB ⋅取得最小值为||||(132)41243AY AB =-++⨯=-- ，所以AP AB ⋅的取值范围是[1243--，2843]+，D 正确．故选：ACD ．【点睛】平面向量解决几何最值问题，通常有两种思路：①形化，即用平面向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或取值范围问题，然后根据平面图形的特征直接进行求解；②数化，即利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域，不等式的解集，方程有解等问题，然后利用函数，不等式，方程的有关知识进行求解.三、填空题13．写出一个满足i 2z -=的复数z =.【答案】3i （答案不唯一）【分析】根据复数的模长求解即可求解.【详解】设复数i z a b =+，则()2212a b +-=，满足该关系的a ，b 都是正确的故答案为：3i14．已知单位向量a ，b 满足0a b ⋅= ，若向量c a b =+ ，则向量a ，c的夹角为．【答案】4π/45︒【分析】依题意不妨设()1,0a = ，()0,1b = ，即可求出c，再由坐标法计算可得.【详解】因为单位向量a ，b满足0a b ⋅= ，不妨设()1,0a = ，()0,1b =，则()1,1c a b =+= ，所以11011c a ⋅=⨯+⨯= ，22112c =+= ，则2cos ,2c a a c a c ⋅==⋅，又[],0,πa c ∈ ，所以π,4a c =.故答案为：π415．已知112sin tan αα=+，则sin 21cos 2αα=+．【答案】43-/113-【分析】利用同角三角函数关系得到4sin 5α=，进而求出4tan 3α=-，利用二倍角公式化简得到sin 24tan 1cos 23ααα==-+.【详解】由题意得1cos 2sin sin ααα=+，故2sin cos 1αα+=，即cos 12sin αα=-，因为22sin cos 1αα+=，所以22sin 14sin 4sin 1ααα+-+=，即24sin 5sin 0αα-+=，因为sin 0α≠，解得4sin 5α=，故43cos 1255α=-⨯=-，4tan 3α=-，2sin 22sin cos 4tan 1cos 22cos 3αααααα===-+.故答案为：43-四、双空题16．已知锐角三角形ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，设ABC 的面积为S ，且()22sin 2ac A S -=，cos b cc A -=，3b ac-的取值范围是．【答案】213,2334⎡⎫--⎪⎢⎣⎭【分析】由面积公式结合已知条件得22a c bc -=，进而由余弦定理可得cos b cc A-；由2cos b c c A -=，结合正弦定理可得sin sin 2sin cos B C C A -=，结合两角和的正弦公式可求得2A C =，π3B C =-，故3sin 33sin 2sin b a C Cc C--=，结合二倍角公式化简，利用二次函数的性质求得3b a c -的取值范围．【详解】()221sin 22sin sin 2a c A S bc A bc A -==⨯= ，sin 0A ≠ ，22a c bc ∴-=，又由余弦定理可得2222cos a b c bc A =+-，22222()cos , 22cos b c a b c b b c c A b c A b bc+---∴=∴==-；由2cos b c c A -=，结合正弦定理可得sin sin 2sin cos B C C A -=，即sin()sin 2sin cos A C C C A +-=，即sin cos cos sin sin A C A C C -=，即sin()sin A C C -=，因为ππ,0πA C C -<-<<<，所以A C C -=或πA C C -=-(舍)，所以2A C =，则π3B C =-，故()sin 23sin 23sin 33sin 2sin sin C C C b a C C c C C +---==sin 2cos cos 2sin 3sin 2sin C C C C C C +-=()222sin cos 2cos 1sin 6sin cos sin C C C C C CC+--=()222cos 2cos 16cos C C C=+--223134cos 6cos 14cos 44C C C ⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭，在锐角三角形ABC 中，可得π022π32A C A C C ⎧<=<⎪⎪⎨⎪+=>⎪⎩，即ππ64C <<，所以23cos 22C <<，当3cos 4C =时，2313134cos 444C ⎛⎫--=- ⎪⎝⎭，当2cos 2C =时，23134cos 13244C ⎛⎫--=- ⎪⎝⎭，当3cos 2C =时，23134cos 23313244C ⎛⎫--=->- ⎪⎝⎭，所以3b a c -的取值范围是13,2334⎡⎫--⎪⎢⎣⎭．故答案为：2，13,2334⎡⎫--⎪⎢⎣⎭．五、解答题17．已知复数：112z i =+，22i z =-．(1)若复数z 满足1211z z z =+，求z ；(2)在复平面内，O 为原点，向量OA ，OB ，OC 分别对应复数1z ，2z ，3z ，且OC 与AB同向，3122z z z =-，求3z ．【答案】(1)31i55z =+(2)326iz =-【分析】（1）根据复数的运算及共轭复数的概念求解；（2）利用复数的几何表示求解.【详解】（1）因为12111112i 2i 3i12i 2i 555z z z -+-=+=+=+=+-，所以31i 55z =+.（2）因为()1,2OA =，()2,1OB =- ，所以()1,3AB OB OA =-=- ．因为3122z z z =-，所以2OC BA =，又因为OC 与AB同向，所以()22,6OC AB ==- ，所以326i z =-.18．已知a ，b ，c 分别为ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，且1cos 2b c a C -=．(1)求A ；(2)已知2a =，______，且M 为BC 的中点，求线段AM 的长．在①ABC 周长为6；②ABC 面积为3这两个条件中任选一个填在上面横线上，作为条件，并解决该问题．（注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分．）【答案】(1)π3A =(2)3AM =【分析】（1）利用正弦定理将边化角，再由诱导公式及两角和的正弦公式求出cos A ，即可得解；（2）若选①，可得4b c +=，由余弦定理求出bc 、22b c +，再根据()12AM AB AC =+uuur uuu r uuu r及数量积的运算律计算可得；若选②，由面积公式求出bc ，由余弦定理求出22b c +，再根据()12AM AB AC =+uuur uuu r uuu r及数量积的运算律计算可得；【详解】（1）因为1cos 2b c a C -=，由正弦定理得1sin sin sin cos 2B C A C -=，又πA B C ++=，所以()sin sin sin cos cos sin B A C A C A C =+=+，代入上式得1cos sin sin 2A C C =，因为sin 0C >，所以1cos 2A =，又0πA <<，所以π3A =．（2）选择①：因为ABC 周长为6，又2a =，所以4b c +=．由余弦定理2222cos a b c bc A =+-，且2a =，π3A =，由余弦定理得()22243b c bc b c bc =+-=+-，则()2443b c bc +-==，228b c +=．因为()12AM AB AC =+uuur uuu r uuu r ，所以()()2222211244AM AB AC AB AC AB AC=+=++⋅ ()2212cos 4AB AC AB AC A =++⋅ ，即()()2221184344AM c b bc =++=+=，所以3AM =．选择②因为ABC 面积为3，则1πsin 323bc =，解得4bc =．由余弦定理2222cos a b c bc A =+-，且2a =，π3A =，解得228b c +=，因为()12AM AB AC =+uuur uuu r uuu r ，所以()()222211244AM AB AC AB AC AB AC =+=++⋅()2212cos 4AB AC AB AC A =++⋅ ，即()()2221184344AM c b bc =++=+=，所以3AM =．19．已知32cos ,2a x ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，πsin ,13b x ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，设()f x a b =⋅ ．(1)求当()f x 取最大值时，对应的x 的取值；(2)若05π2π,123x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，且()045f x =，求0πtan 212x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值．【答案】(1)()5ππZ 12x k k =+∈，()f x 取最大值1(2)17-【分析】（1）首先由()f x a b =⋅，结合两角差的正弦公式，二倍角公式及降幂公式得出π()sin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，即可得出答案；（2）由05π2π,123x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦及同角三角函数的平方关系得出0πcos 23x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，再由同角三角函数的商数关系得出0πtan 23x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，由00πππtan 2tan21234x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦及两角和的正切公式计算即可．【详解】（1）()f x a b=⋅π32cos sin 32x x ⎛⎫=-+⎪⎝⎭ππ32cos sin cos cos sin 332x x x ⎛⎫=-+⎪⎝⎭23sin cos 3cos 2x x x =-+13sin 2cos 222x x =-πsin 23x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，当()ππ22πZ 32x k k -=+∈，即()5ππZ 12x k k =+∈，()f x 取最大值1．（2）因为()045f x =，所以04sin 25π3x ⎛⎫ ⎪⎭=-⎝，又05π2π,123x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以0ππ2,π32x ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，所以200ππ3cos 21sin 2335x x ⎛⎫⎛⎫-=---=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以000πsin 2π43tan 2π33cos 23x x x ⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭-==- ⎪⎛⎫⎝⎭- ⎪⎝⎭，所以0000ππ4tan 2tan 1πππ1343tan 2tan 24ππ1234711tan 2tan 334x x x x ⎛⎫-+-+ ⎪⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎝⎭-=-+===- ⎪ ⎪⎢⎥⎛⎫⎝⎭⎝⎭⎣⎦+-- ⎪⎝⎭．20．如图，某景区有一块圆形水域，水域边上有三处景点A ，B ，C ，景点之间有观景桥相连，已知AB ，BC ，AC 长度分别为30m ，50m ，70m ．(1)求圆形水域面积；(2)为了充分利用水域，现进行景区改造，准备在优弧 AC 上新建景点D ，修桥DC ，DA 与景点A ，C 相连，并准备在ACD 修建一块圆形观赏鱼饲养区，使其分别与桥AC ，DC ，DA 相切，求圆形观赏鱼饲养区半径的最大值．【答案】(1)4900π3平方米(2)3533米．【分析】（1）由余弦定理可得2π3ABC ∠=，结合正弦定理可得外接圆半径，即可由圆的面积求解，（2）由余弦定理以及等面积法，结合基本不等式即可求解.【详解】（1）因为ABC 中，由余弦定理得，2222223050701cos 2230502AB BC AC ABC AB BC +-+-∠===-⋅⨯⨯，又因为()0,πABC ∠∈，所以2π3ABC ∠=．设圆形水域半径为R 米，由正弦定理70140322πsin 3sin 3AC R ABC ===∠，所以圆形水域面积为：24900ππ3R =平方米．（2）因为πABC ADC ∠+∠=，所以23ADC ∠=π，所以1π3sin 234ADC S AD DC AD DC =⋅⋅=⋅△，由余弦定理得222π2cos 3AC AD DC AD DC =+-⋅⋅，所以()22249003AD DC AD DC AD DC AD DC =+-⋅=+-⋅，所以()249003AD DC AD DC +-⋅=．①设圆形观赏鱼饲养区的半径为r 米，则23270ACD S AD DCr AC CD DA CD DA ⋅==⋅++++△，将①式代入上式得()()2490033706706AD DC r CD DA CD DA +-=⋅=+-++．因为()()22490034AD DC AD DC AD DC +-+=⋅≤，解得140AD DC +≤．当且仅当70m AD DC ==时，AD DC +取得最大值为140m ，所以r 的最大值为3533米．答：圆形观赏鱼饲养区半径的最大值为3533米．21．平行四边形ABCD 中，点M ，N 分别在边AD ，AB 上，且13AM AD = ，12AN AB = ，线段AC交MN 于点H ．(1)若AB x AH yMN =+，求x ＋y 的值；(2)若AB =6，11AC BD ⋅=-，736MN AC ⋅= ，求AB AC ⋅uuu r uuu r 的值．【答案】(1)165(2)51【分析】（1）设AH AC λ= ，NH NM λ=，由平面向量基本定理可建立λμ，的方程组，进一步可得11115523AB x AB AD y AB AD ⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由此建立关于,x y 的方程组，解出即可得出答案；（2）由题意可得2211AD AB -=-，进一步可得15AB AD ⋅= ，由此可得出AB AC ⋅uuu r uuu r 的值．【详解】（1）设AH AC λ= ，则AH AB AD λλ=+，①又()AH AN NH AN NM AN AM AN μμ=+=+=+- ，所以()1AH AM AN μμ=+- ．又因为13AM AD = ，12AN AB =，所以()11132AH AD AB μμ=+- ②由平面向量基本定理，且AB，AD 不共线，则()1,311,2λμλμ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩解得1,53,5λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以1155AH AB AD =+ ，1123MN AB AD =- ，代入已知得11115523AB x AB AD y AB AD ⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．整理得11115253AB x y AB x y AD ⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．所以111,52110,53x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，解得2,6,5x y =⎧⎪⎨=⎪⎩所以x ＋y 的值为165．（2）因为11AC BD ⋅=-，所以()()11AB AD AD AB +⋅-=- ，即2211AD AB -=-．又AB =6，所以AD =5．又736MN AC ⋅= ，则()1173236AB AD AB AD ⎛⎫-⋅+= ⎪⎝⎭，即22111732366AB AD AB AD -+⋅= ，所以2517318366AB AD -+⋅=，解得15AB AD ⋅= ．所以()251AB AC AB AB AD AB AB AD ⋅=⋅+=+⋅=．22．已知a ，b ，c 分别为ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，且()22cos cos 2cos 2cos cos B A C B A C --=+-．(1)求角B ；(2)若D 为AC 上一点，2CD DA = ，且33sin sin 4bc ABD ab CBD ac ∠+∠=，求角C ．【答案】(1)π3B =(2)π6C =．【分析】（1）利用三角恒等变换化简得222sin sin sin sin sin A C B A C +-=，再利用正弦定理进行边角转化，最后利用余弦定理即可得到答案；（2）利用正弦定理化简得32AC BD =，设DA x =，再利用余弦定理即可解出223a c x ==，则有222a b c =+，则π2A =，π6C =.【详解】（1）因为()22cos cos 2cos 2cos cos B A C B A C --=+-，所以()()()()()22221sin 12sin 12sin cos cos B A C A C A C -----=-++-，所以2222sin 2sin 2sin A C B+-()()cos cos sin sin cos cos sin sin 2sin sin A C A C A C A C A C =--++=，所以222sin sin sin sin sin A C B A C +-=．由正弦定理得222a cb ac +-=，所以由余弦定理得2221cos 22a cb B ac +-==．又因为()0,πB ∈，所以π3B =．（2）因为33sin sin 4bc ABD ab CBD ac ∠+∠=，所以sin sin 334ABD CBD a c b∠∠+=，由正弦定理得sin sin 333sin sin 4sin 2ABD CBD A C ABC ∠∠+==∠①在ABD △中，sin sin ABD ADA BD ∠=②，在BCD △中，sin sin CBD CD C BD∠=③将②③代入①得32AD CD BD BD +=，即32AC BD =．因为2CD DA = ，设DA x =，则2CD x =，223BD AC x ==，由余弦定理，222π2cos 3AC BA BC BA BC =+-⋅⋅，则2229a c ac x +-=④由余弦定理222222cos 22AB AC BC AB AD BD A AB AC AB AD +-+-==⋅⋅，即22222294232c x a c x x x x +-+-=⨯，则222218a c x +=⑤联立④⑤，解得223a c x ==．所以222a b c =+，从而π2A =，所以π6C =．。
2023-2024学年江苏省南通市高一下学期期中数学质量检测试题(含解析)
2023-2024学年江苏省南通市高一下册期中数学质量检测试题一、单选题1．复数z =（a ²-1）+（a +1）i ，（a ∈R ）为纯虚数，则的取值是A ．3B ．-2C ．-1D ．1【正确答案】D【详解】依题意可得，210{10a a -=+≠，解得1a =，故D2．如图，在ABC ∆中，23AD AC = ，13BP PD = ，若AP AB AC λμ=+ ，则λμ+的值为A ．1112B ．34C ．89D ．79【正确答案】A根据向量线性运算，可利用AB 和AC 表示出AP，从而可根据对应关系求得结果.【详解】由题意得：()11314444AP AB BP AB BD AB AD AB AB AD=+=+=+-=+3123144346AB AC AB AC =+⨯=+又AP AB AC λμ=+ ，可知：31114612λμ+=+=本题正确选项：A本题考查向量的线性运算问题，涉及到向量的数乘运算、加法运算、减法运算，属于常规题型.3．在ABC ，其内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若cos cos a B b A a +=，则ABC 的形状是（）A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰或直角三角形【正确答案】A【分析】根据正弦定理可得结合条件可得sin sin C A =，进而即得.【详解】因为在ABC ，cos cos a B b A a +=，所以()sin cos sin cos sin sin A B B A A B A +=+=，又πA B C ++=，所以sin sin C A =，c a =，所以ABC 为等腰三角形.故选：A.4．已知||3,||5a b == ，设,a b的夹角为120︒，则b 在a 上的投影向量是（）A ．56aBC ．56a- D ．【正确答案】C【分析】列出投影向量公式，即可计算求解.【详解】b 在a上的投影向量5cos1206a b aa⋅=- 故选：C 5．函数()2sin ()ln 2xf x x =+的图象大致是（）A ．B ．C ．D ．【正确答案】A先根据条件分析出()f x 的奇偶性，然后取特殊值计算函数值分析得到()f x 的大致图象.【详解】因为()()()()()22sin sin ln +2ln 2x xf x f x x x ---===-⎡⎤-+⎣⎦，且()f x 的定义域为R 关于原点对称，所以()f x 是奇函数，所以排除BC ，又因为当0x >且x 较小时，可取0.1x =，所以()()()sin 0.10.10ln 20.01f =>+，所以排除D ，故选：A.本题考查根据函数解析式辨别函数图象，难度一般.辨别函数图象的常用方法：分析函数的奇偶性、单调性，计算特殊值的大小等.6．如图是函数()()cos f x x ωϕ=+的部分图象，则3f π⎛⎫= ⎪⎝⎭（）A ．B ．2-C ．12-D ．1-【正确答案】A【分析】由三角函数图象求出函数解析式，再计算函数值．【详解】22(36T πππ=⨯-=，所以22πωπ==，cos(2)06πϕ⨯+=，,32k k Z ππϕπ+=+∈，注意到(,0)6π在余弦函数的减区间里，因此2,6k k Z πϕπ=+∈，不妨取6πϕ=，()cos(2)6f x x π=+，cos(2)3362f πππ⎛⎫=⨯+=- ⎪⎝⎭.故选：A ．7．中华人民共和国国歌有84个字，37小节，奏唱需要46秒，某校周一举行升旗仪式，旗杆正好处在坡度15︒的看台的某一列的正前方，从这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60︒和30︒，第一排和最后一排的距离为米（如图所示），旗杆底部与第一排在同一个水平面上．要使国歌结束时国旗刚好升到旗杆顶部，升旗手升旗的速度应为（米/秒）A ．23B C D ．23【正确答案】B【分析】如解析中图形，可在HAB ∆中，利用正弦定理求出HB ，然后在Rt HBO ∆中求出直角边HO 即旗杆的高度，最后可得速度．【详解】如图，由题意45,105HAB HBA ∠=︒∠=︒，∴30AHB ∠=︒，在HAB ∆中，sin sin HB AB HAB AHB =∠∠，即sin 45HB =︒20HB =．∴sin 20sin 60OH HB HBO =∠=︒=4623v ==（米/秒）．故选B ．本题考查解三角形的应用，解题关键是掌握正弦定理和余弦定理，解题时要根据条件选用恰当的公式，适当注意各个公式适合的条件．8．冈珀茨模型()tb y ka =是由冈珀茨()Gompertz 提出，可作为动物种群数量变化的模型，并用于描述种群的消亡规律.已知某珍稀物种t 年后的种群数量y 近似满足冈珀茨模型：0.1251.4e0e ty k -=⋅（当0=t 时，表示2020年初的种群数量），请预测从哪一年年初开始，该物种的种群数量将不足2022年初种群数量的一半（）(ln20.7)≈A ．2031B ．2020C ．2029D ．2028【正确答案】D【分析】由已知模型列出不等式后，取对数变形求解【详解】0.1251.4e0e ty k -=⋅ ，当0=t 时， 1.40e y k =⋅，∴当t m =时，0.1251.4e0e my k -=⋅，(N)m m ∈ 年后，该物种的种群数量将不足2020年初种群数量的一半，∴0.1251.4e1.400e e 12mk k -⋅<⋅，由题可知，0k 是大于0的常数，即0.1251.4e1.42e e m-⋅<，两边取对数可得，0.125ln2 1.4e1.4m-+<，ln20.7≈ ，∴0.1251e 2m -<，两边取对数可得，0.125ln20.7m -<-≈-，解得 5.6m >，*N m ∈，故m 的最小值为6.故选：D.二、多选题9．已知复数z i =(i 为虚数单位)，z 为z 的共辄复数，若复数0zz z=，则下列结论正确的是（）A ．0z 在复平面内对应的点位于第四象限B ．01z =C ．0z 的实部为12D ．0z 【正确答案】ABC【分析】由复数的运算求得0z ，再根据复数的定义计算后判断各选项．【详解】由题意22031422i z i -+====-，0z 对应点坐标为1,2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭在第四象限，A 正确；01z ==，B 正确；0z 的实部为12，C 正确，虚部是D 错误．故选：ABC ．关键点点睛：本题考查复数的运算，考查复数的定义及几何意义，解题时通过复数的运算化复数为代数形式，然后根据复数的定义求解判断．10．在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c .根据下列条件，判断三角形解的情况，其中正确的是（）A ．5,7,8a b c ===，有唯一解B ．18,20,60b c B ===°，无解C ．8,45a b B ===︒，有两解D ．30,25,150a b A ===︒，有唯一解【正确答案】AD【分析】根据三边确定可判断A 选项；由正弦定理，在结合大边对大角可判断B ，C ，D 选项.【详解】解：选项A ，5,7,8a b c ===，已知三边三角形确定，有唯一解，A 正确；选项B ，由正弦定理得：sin sin b c B C=，则20sin 2sin 118c B C b ===，再由大边对大角可得C B >，故C 可以为锐角，也可以为钝角，故三角形有两解，B 错误；选项C ，由正弦定理得：sin sin a b A B=，则8sin 1sin 12a B A b ==<，且a b <，由大边对大角可得A B <，则A 只能为锐角，故三角形有唯一解，C 错误；选项D ，由正弦定理得：sin sin a b A B =，sin 25sin1505sin 13012b A B a ︒===<，由于150A =︒，则B 是锐角，有唯一解，D 正确.故选：AD.11．折扇又名“撒扇”“纸扇”，是一种用竹木或象牙做扇骨，韧纸或绫绢做扇面的能折叠的扇子，如图1.其平面图如图2的扇形AOB ，其中120,33AOB OA OC ∠=︒==，点E 在弧CD 上.（）A ．2OA CD ⋅=-B ．若OE uOC uOD =+，则1u =C ．若30DOE ∠=︒，则OE =+D ．EA EB ⋅ 的最小值为132-【正确答案】BCD【分析】A 选项先利用()OA CD OA CO OD ⋅=⋅+，再按照数量积运算即可；B 选项由平行四边形法则即可判断；C选项通过0,OC OE OD OE ⎧⋅=⎪⎨⋅⎪⎩解方程组即可；D 选项先表示出EA EB ⋅ ，再结合正弦函数的范围求出最小值.【详解】()19()3113122OA CD OA CO OD OA CO OA OD ⎛⎫⋅=⋅+=⋅+⋅=⨯⨯-+⨯⨯-=- ⎪⎝⎭，A 错误；由OE uOC uOD =+知，E 为弧CD 的中点，又120AOB ∠=︒，由平行四边形法则可知则OE OC OD =+，故1u =，B 正确.由30DOE ∠=︒知，0,11cos30OC OE OD OE ⋅=⋅=⨯⨯=OE xOC yOD =+ ，则()()10,212OC OE OC xOC yOD x y OD OE OD xOC yOD x y ⎧⋅=⋅+=-=⎪⎪⎨⎪⋅=⋅+=-+=⎪⎩解得,3x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩故33OE =+，C 正确.2()()EA EB EO OA EO OB EO EO OB OA EO OA OB⋅=+⋅+=+⋅+⋅+⋅ ()913cos 3cos 1202BOE BOE ∠=----︒∠()273713cos sin 3sin 302222BOE BOE BOE ∠∠∠=----︒-=+≥-，当且仅当60BOE ∠=︒时，等号成立，故EA EB ⋅ 的最小值为132-，D 正确.故选：BCD.12．如图，已知O 的内接四边形ABCD 中，2,6,4AB BC AD CD ====，下列说法正确的是（）A ．四边形ABCD的面积为BC ．4BO CD ⋅=-D ．过D 作DF BC ⊥交BC 于F 点，则10DO DF ⋅=【正确答案】ABCD【分析】A 选项，利用圆内接四边形对角互补及余弦定理求出1cos 7D =-，1cos 7B =，进而求出sin ,sin B D ，利用面积公式进行求解；B 选项，在A 选项基础上，由正弦定理求出外接圆直径；C 选项，作出辅助线，利用数量积的几何意义进行求解；D 选项，结合A 选项和C 选项中的结论，先求出∠DOF 的正弦与余弦值，再利用向量数量积公式进行计算.【详解】对于A ，连接AC ，在△ACD 中，21616cos 32AC D +-=，2436cos 24AC B +-=，由于πB D +=，所以cos cos 0B D +=，故22324003224AC AC --+=，解得：22567AC =，所以1cos 7D =-，1cos 7B =，所以sin sin 7B D ==，故11sin 2622ABC S AB BC B =⋅=⨯⨯=11sin 442277ADC S AD DC D =⋅=⨯⨯⨯=，故四边形ABCD的面积为77+=，A正确；对于B ，设外接圆半径为R，则2sin 37AC R B ==，故该外接圆的直径为3B 正确；对于C ，连接BD ，过点O 作OG ⊥CD 于点F ，过点B 作BE ⊥CD 于点E ，则由垂径定理得：CG=122CD =，由于πA C +=，所以cos cos 0A C +=，即22416163601648BD BD +-+-+=，解得：BD =，所以1cos 2C =，所以π3C =，且1cos 632CE BC C =⋅=⨯=，所以321EF =-= ，即BO在向量CD 上的投影长为1，且EG uuu r 与CD反向，故4EG BO CD CD ⋅=-=-⋅ ，C正确；对于D ，由C 选项可知：π3C =，故sin 604DF CD =⋅︒== 且30CDF ∠=︒，因为AD=CD ，由对称性可知：DO 为∠ADC 的平分线，故1302ODF ADC ∠=∠-︒，由A 选项可知：1cos 7ADC ∠=-，显然12ADC ∠为锐角，故1cos 27ADC ∠==，1sin 27ADC ∠=，所以111cos cos 30cos cos30sin sin 3022214ODF ADC ADC ADC ⎛⎫∠=∠-︒=∠⋅︒+∠⋅︒= ⎪⎝⎭，所以cos34101DO DF DO ODF DF ∠=⨯=⋅=⋅ ，D 正确.故选：ABCD求解平面向量数量积的方法通常有：一是利用平面向量数量积公式进行求解；二是建立平面直角坐标系，用坐标求解；三是用向量的几何意义进行求解.三、填空题13．i 表示虚数单位，则220221i i i +++⋅⋅⋅+=___________.【正确答案】i【分析】根据234i i i i 0+++=以及周期性求出答案即可．【详解】解：因为1i i =，2i 1=-，3i i =-，41i =，所以234i i i i 0+++=，2022=50542⨯+，所以2202221i i i 1i i i +++⋅⋅⋅+=++=；故i14．()sin 501︒+︒的值__________.【正确答案】1【分析】由sin10tan10cos10︒︒=︒，结合辅助角公式可知原式为2sin50sin 40cos10︒︒︒，结合诱导公式以及二倍角公式可求值.【详解】解：()cos10sin 501tan10sin 50cos10︒+︒︒︒=︒⨯︒()2sin50cos30sin10sin 30cos102sin50sin 402sin50cos50cos10cos10cos10︒︒︒+︒︒︒︒︒︒===︒︒︒()sin 10902sin50cos50sin100cos101cos10cos10cos10cos10︒+︒︒︒︒︒====︒︒︒︒.故答案为:1.本题考查了同角三角函数的基本关系，考查了二倍角公式，考查了辅助角公式，考查了诱导公式.本题的难点是熟练运用公式对所求式子进行变形整理.15．已知()π10,π,sin 63αα⎛⎫∈-= ⎪⎝⎭，则πcos 26α⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为___________.【正确答案】9-【分析】根据同角的基本关系可得6πcos α⎛⎫- ⎪⎝⎭，再根据正弦的二倍角公式，可得πsin26α⎛⎫- ⎪⎝⎭，再根据诱导公式可得πcos 26α⎛⎫+ ⎪⎝⎭，由此即可求出结果.【详解】因为π1sin 63α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，()0,πα∈，ππ5π,666α⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭,又因为π15π1sin sin6362α⎛⎫-=<= ⎪⎝⎭，所以ππ0,,62α⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭所以63πcos α⎛⎫-== ⎪⎝⎭,所以πππsin 2=2sin cos =6669ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭,ππππππcos 2cos 2cos 2sin 2=6326269αααα⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-+=-+=---⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦⎝⎭.故答案为.9-16．已知函数()4,44,4x x f x x x -≥⎧=⎨-+<⎩．若存在正实数k ，使得方程()k f x x =有三个互不相等的实根1x ，2x ，3x ，则123x x x ++的取值范围是__________．【正确答案】(8,6+分离参数可得()k xf x =，做出()y xf x =的函数图象，根据二次函数的对称性求出12x x +的值，并求出3x 的范围即可得出答案．【详解】由()0kf x x -=可看到()224,44,40x x x k xf x x x x x ⎧-==⎨-+<≠⎩且，令()224,44,40x x x g x x x x x ⎧-=⎨-+<≠⎩且，作出()y g x =的函数图象如图所示：()0kf x x-= 有三个不相等的实数根1x ，2x ，3x ，∴直线y k =与()y g x =的图象有三个交点，设三个交点的横坐标从小到大分别为1x ，2x ，3x ，由二次函数的对称性可知124x x +=，令244x x -=可得222x =+或222x =-（舍)，3422x ∴<<+123862x x x ∴<++<+．即123x x x ++的取值范围是(8,622+，故(8,622+．结论点睛：函数零点的几种等价形式：函数()()y f x g x =-的零点⇔函数()()y f x g x =-在x 轴的交点⇔方程()()0f x g x -=的根⇔函数()y f x =与()y g x =的交点.四、解答题17．在平面直角坐标系xOy 中，已知点(3,1)A ，(2,2)B -，(1,4)C -（1）以线段AB ，AC 为邻边作平行四边形ACDB ，求向量AD的坐标和AD ；（2）设实数t 满足()//AB tOC BC -，求t 的值．【正确答案】（1）(9,4)AD =- ，||97AD = （2）116t =.【分析】（1）利用向量加法的平行四边形法及其模的计算公式即可得出答案．（2）利用向量共线的坐标表示即可得出答案．【详解】解析：（1）由向量加法的平行四边形法则知：(5,1)(4,3)(9,4)AD AB AC =+=-+-=- 从而22||(9)497AD -+（2）(5,1)(,4)(5,14)AB tOC t t t t -=---=--(1,4)(2,2)(1,2)BC =---=从而由()//AB tOC BC - ，得：(5)214t t -⨯=-，解得.116t =18．在ABC ∆中,内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,已知(),2m a c b =- ,()cos ,cos n C A = ,且m n ⊥.(1)求角A 的大小;(2)若5b c +=,ABC ∆求ABC ∆的周长【正确答案】(1)3π；(2)5（1）由向量垂直关系得到数量积为零的等式，利用正弦定理边化角，结合两角和差公式、诱导公式可化简得到cos A ，进而求得A ；（2）根据三角形面积公式构造方程求得bc ，利用余弦定理可求得a ，进而得到所求周长.【详解】（1）m n ⊥()cos 2cos 0m n a C c b A ∴⋅=+-=由正弦定理得：()sin cos sin 2sin cos 0A C CB A +-=即：()sin cos cos sin 2sin cos sin 2sin cos 0AC A C B A A C B A +-=+-=A B C π++= ()sin sin A C B∴+=sin 2sin cos 0B B A ∴-=()0,B π∈ sin 0B ∴≠1cos 2A ∴=()0,A π∈ 3A π∴=（2）11sin sin 223ABC S bc A bc bc π∆== 4bc ∴=由余弦定理得：()22222cos 22cos2512133a b c bc A b c bc bc π=+-=+--=-=a ∴ABC ∆∴的周长5L abc =++=本题考查解三角形的相关知识，涉及到正弦定理边化角的应用、利用两角和差公式和诱导公式化简、平面向量数量积、三角形面积公式和余弦定理的应用等知识，属于常考题型.19．已知1tan ,0432ππαα⎛⎫-=<< ⎪⎝⎭.（1）求tan α的值；（2）求sin ,cos αα的值；（3）求sin 24απ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值.【正确答案】（1）2；（2）sin a a ==（3）10.【分析】（1）根据两角差的正切公式将tan 4πα⎛⎫- ⎪⎝⎭展开，即可计算出tan α的值；（2）已知tan α的值，可通过商数关系以及平方和关系求解出sin ,cos αα的值；（3）先计算出sin 2,cos 2αα的值，然后根据两角和的正弦公式求解出结果.【详解】()1由tan 11tan 41tan 3πααα-⎛⎫-== ⎪+⎝⎭，解得tan 2α=；()2由tan 2α=，可知22sin 2cos sin cos 102ααααπα=⎧⎪⎪+=⎨⎪<<⎪⎩，解得sin 5cos 5αα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩()3由()2可知4sin 22sin cos 25ααα===，223cos 22cos 1215αα=-=⨯-=-⎝⎭，所以)432sin 2cos 24si 55n πααα⎛⎫+=+=-= ⎪⎝⎝⎭⎛⎫⎪⎭20．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且2cos 2b C a c =+．(1)求角B 的大小；(2)若b =D 为AC 边上的一点，1BD =，且______，求ABC 的面积．①BD 是B ∠的平分线；②D 为线段AC 的中点．（从①，②两个条件中任选一个，补充在上面的横线上并作答）．【正确答案】(1)2π3B =【分析】（1）利用正弦定理化简2cos 2b C a c =+，再根据三角形中角的范围可求得2π3B =；（2）若选①：利用三角形面积关系和余弦定理求得4ac =，然后根据面积公式即可；若选②：根据中点的向量关系式并同时平方，结合余弦定理求得4ac =，然后根据面积公式即可.【详解】（1）由正弦定理知：2sin cos 2sin sin B C A C =+又：()sin sin sin cos cos sin A B C B C B C =+=+代入上式可得：2cos sin sin 0B C C +=()0,πC ∈，则sin 0C >故有：1cos 2B =-又()0,πB ∈，则2π3B =故B ∠的大小为：2π3（2）若选①：由BD 平分ABC ∠得：ABC ABD BCDS S S =+△△△则有：12π1π1πsin1sin 1sin 232323ac c a =⨯⨯+⨯⨯，即ac a c =+在ABC 中，由余弦定理可得：2222π2cos3b ac ac =+-又b =2212a c ac ++=联立2212ac a c a c ac =+⎧⎨++=⎩可得：()--=2120ac ac 解得：4ac =（3ac =-舍去）故12π1sin 42322ABC S ac ==⨯⨯△若选②：可得：12BD BA BC →→→⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，222211244BD BA BC BA BA BC BC →→→→→→→⎛⎫⎛⎫=+=+⋅+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭2212π12cos 43c ac a ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，可得：224a c ac +-=在ABC 中，由余弦定理可得：2222π2cos3b ac ac =+-，即2212a c ac ++=联立2222412a c ac a c ac ⎧+-=⎨++=⎩解得：4ac =故12π1sin 42322ABC S ac ==⨯⨯△21．如图，公园里有一湖泊，其边界由两条线段,AB AC 和以BC 为直径的半圆弧 BC 组成，其中AC 为2百米，,AC BC A ⊥∠为3π．若在半圆弧 BC，线段AC ，线段AB 上各建一个观赏亭,,D E F ，再修两条栈道,DE DF ，使//,//DE AB DF AC .记32CBD ππθθ⎛⎫∠=≤< ⎪⎝⎭．（1）试用θ表示BD 的长；（2）试确定点E 的位置，使两条栈道长度之和最大.【正确答案】（1）θ；（2）E 与C 重合.【详解】分析：（1）解直角三角形BDC 用θ表示BD 的长.(2)先利用正弦定理求出DF ＝4cosθsin(π6＋θ)，再求出DE ＝AF=4－42cos θ，再利用三角函数求DE ＋DF 的最大值.详解：（1）连结DC ．在△ABC 中，AC 为2百米，AC ⊥BC ，∠A 为3π，所以∠CBA ＝6π，AB ＝4，BC＝因为BC 为直径，所以∠BDC ＝2π，所以BD ＝BC cos θ＝θ．（2）在△BDF 中，∠DBF ＝θ＋6π，∠BFD ＝3π，BD＝θ，所以62DF BF BDsin BFD sin sin ππθθ==∠⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以DF ＝4cos θsin(6π＋θ)，且BF ＝42cos θ，所以DE ＝AF =4－42cos θ，所以DE ＋DF ＝4－42cos θ＋4cos θsin(6π＋θsin2θ－cos2θ＋3＝2sin(2θ－6π)＋3．因为3π≤θ＜2π，所以2π≤2θ－6π＜56π，所以当2θ－6π＝2π，即θ＝3π时，DE ＋DF 有最大值5，此时E 与C 重合．答：当E 与C 重合时，两条栈道长度之和最大．点睛：（1）本题主要考查解三角形和三角函数的图像和性质，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和分析推理能力、计算能力,意在考查学生函数思想方法.(2)本题的关键是想到函数的思想方法，先求出DE ＋DF =sin2θ－cos2θ＋3＝2sin(2θ－6π)＋3，再根据3π≤θ＜2π，利用三角函数的图像性质求函数的最大值.22．已知函数22()log 2xg x x =+.(1)证明：(2)()2g x g x -+-=；(2)若存在一个平行四边形的四个顶点都在函数()f x 的图象上，则称函数()f x 具有性质P ，判断函数()g x 是否具有性质P ，并证明你的结论；(3)设点(4,0)A -，函数()()2.g x h x =设点B 是曲线()y h x =上任意一点，求线段AB 长度的最小值.【正确答案】(1)证明见解析(2)函数()g x 具有性质P ；证明见解析(3)min ||AB =【分析】（1）表示出(2)()g x g x -+-根据对数的运算法则计算可得；（2）由（1）知，()g x 的图象关于点(1,1)M -中心对称，在函数上取四点(2,0)C ，(4,2)D -，2,13E ⎛⎫- ⎪⎝⎭，8,33F ⎛⎫- ⎪⎝⎭，即可判断；（3）令0002,2x B x x ⎛⎫ ⎪+⎝⎭，表示出2AB ，再利用换元法及二次函数的性质计算可得.【详解】（1）因为22()log 2xg x x =+，所以222(2)2(2)()log log 2x xg x g x x x---+-=+-222(2)2log log 422x x x x --⎡⎤=⋅==⎢⎥-⎣⎦；（2）由（1）知，()g x 的图象关于点(1,1)M -中心对称，且()20g =，()()2244log 242g ⨯--==-+，22223log 12323g ⨯⎛⎫==- ⎪⎝⎭+，28283log 38323g ⎛⎫⨯- ⎪⎛⎫⎝⎭-== ⎪⎝⎭-+，取函数()g x 图象上两点(2,0)C ，(4,2)D -，显然线段CD 的中点恰为点M ；再取函数()g x 图象上两点2,13E ⎛⎫- ⎪⎝⎭，8,33F ⎛⎫- ⎪⎝⎭，显然线段EF 的中点也恰为点M .因此四边形CEDF 的对角线互相平分，所以四边形CEDF 为平行四边形，所以函数()g x 具有性质P ；（3）因为22()log 2x g x x =+，则202xx >+，解得0x >或<2x -，所以()g x 的定义域为()(),20,-∞-⋃+∞，所以()2()22g x xh x x ==+，()(),20,x ∈-∞-⋃+∞，令0002,2x B x x ⎛⎫ ⎪+⎝⎭，0(2x <-或00)x >，则()()22222000002444222x AB x x x x ⎛⎫⎛⎫++=++- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭=2002001616(2)4(2)44(2)2x x x x =+++++-+++，记02(0x t t +=<或2)t >，则2222161644||48()4()16AB t t t t t t t t=++-+=-+-+，记4t u t-=，则222||416(2)12AB u u u =++=++，所以当2u =-，即03x =-min ||AB =。
2023-2024学年江苏省南通市高一下册期中数学模拟试题(含解析)
2023-2024学年江苏省南通市高一下册期中数学模拟试题一、单选题1．sin 64cos 4cos 64sin 4︒︒︒︒-=（）A．2B ．12C．D ．12-【正确答案】A【分析】直接运用两角差的正弦公式即可.【详解】()sin 64cos 4cos64sin 4sin 644sin 60︒︒︒︒︒︒︒-=-==故选：A ．2．已知a ，b 为不共线的向量，且5AB a b =+ ，28BC a b =-+ ，42CD a b =+则（）A ．,,ABC 共线B ．,,A B D 共线C ．,,A CD 共线D ．,,B C D 共线【正确答案】B【分析】根据AB ，BC ，CD 求出AC 和BD，再根据AB 与BC 不共线，可得,,A B C 不共线，根据AB 与BD共线，且有公共点B ，可得,,A B D 共线，根据AC 与CD 不共线，可得,,A C D不共线，根据BC 与CD不共线，可得,,B C D 不共线.【详解】因为5AB a b =+ ，28BC a b =-+ ，42CD a b =+，所以210BD BC CD a b =+=+ ，13AC AB BC a b =+=-+，因为a ，b 为不共线，所以,a b为非零向量，若存在R λ∈，使得AB BC λ=，则5(28)a b a b λ+=-+ 28a b λλ=-+，即(12)(85)a b λλ+=- ，因为a ，b 不共线，所以120850λλ+=⎧⎨-=⎩，即1258λλ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，此方程组无解，故AB 与BC不共线，所以,,A B C 不共线，故A 不正确；因为12AB BD = ，即AB 与BD 共线，又AB 与BD有公共点B ，所以,,A B D 共线，故B 正确；若存在R λ∈，使得AC CD λ= ，则1342a b a b λλ-+=+，即(14)(132)a b λλ+=- ，因为a ，b 不共线，所以1401320λλ+=⎧⎨-=⎩，即14132λλ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，此方程组无解，故AC 与CD不共线，所以,,A C D 不共线，故C 不正确；若存在R λ∈，使得BC CD λ= ，则2842a b a b λλ-+=+，即(42)(82)a b λλ+=- ，因为a ，b 不共线，所以420820λλ+=⎧⎨-=⎩，即124λλ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，此方程组无解，故BC 与CD不共线，所以,,B C D 不共线，故D 不正确.故选：B3．设()()21238i z z z z -+=++（i 为虚数单位），则复数z 的虚部为（）A ．2iB ．2C ．2i-D ．2-【正确答案】B【分析】设()i ,R z a b a b =+∈，则i z a b =-，利用复数运算以及复数相等可求得a 、b 的值，即可得解.【详解】设()i ,R z a b a b =+∈，则i z a b =-，由()()21238i z z z z -+=++可得124i 68i b a +=+，所以，61248a b =⎧⎨=⎩，解得2a b ==，因此，复数z 的虚部为2.故选：B.4．在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且3B π=，3b =，a =c =（）．AB．C．3D ．3【正确答案】B【分析】利用余弦定理可构造方程直接求得结果.【详解】在ABC中，由余弦定理得：22222cos 39b a c ac B c =+-=+=，即260c -=，解得：c =c =，c ∴=故选：B.5．已知在ABC 中，2AB =，3AC =，3BAC π∠=，点D 为边BC 上靠近B 的三等分点，则AD BC ⋅的值为（）A ．113-B ．13-C ．23D ．43【正确答案】D【分析】利用AB 、AC表示向量AD 、BC ，利用平面向量数量积的运算性质可求得AD BC ⋅ 的值.【详解】如下图所示：()11213333AD AB BD AB BC AB AC AB AB AC =+=+=+-=+，由平面向量数量积的定义可得1cos 23332AB AC AB AC π⋅=⋅=⨯⨯= ，因此，()()()22112233AD BC AB AC AC AB AC AB AC AB ⋅=+⋅-=+⋅- ()2214332233=⨯+-⨯=.故选：D.6．已知ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且满足cos cos b C a c B =+，则该三角形的形状是（）A ．等腰三角形B ．等边三角形C ．直角三角形D ．等腰或直角三角形【正确答案】C【分析】利用正弦定理将边化为角，再逆用两角差的正弦公式及三角形内角和定理求解即可.【详解】因为cos cos b C a c B =+，由正弦定理可得：sin cos sin sin cos B C A C B =+，所以[]sin cos sin cos sin ()B C C B B C π-=-+，所以sin()sin()B C B C -=+，所以B C B C -=+或B C B C π-=--，即0C =(舍去)或2B π=，故ABC 为直角三角形，7．已知π1sin 63α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则πsin 26α⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为（）A ．79B ．79-C ．29D ．29-【正确答案】A【分析】利用三角函数的诱导公式及二倍角的余弦公式即可求解.【详解】由πππ22632αα+-+=，得πππ22623αα+=+-，所以ππππsin 2sin 2cos 26233ααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+-=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以22πππ17sin 2cos 212sin 1263639ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-=--=-⨯= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭．故选：A ．8．某观测站C 在目标A 的南偏西25 方向，从A 出发有一条南偏东35 走向的公路，在C 处测得与C 相距31km 的公路B 处有一个人正沿着此公路向A 走去，走20km 到达D ，此时测得CD 距离为21km ，若此人必须在20分钟内从D 处到达A 处，则此人的最小速度为()A ．30/km hB ．45/km hC ．14/km hD ．15/km h【正确答案】B【详解】由已知得∠CAB ＝25°＋35°＝60°，BC ＝31，CD ＝21，BD ＝20，可得2222223120212322312031BC BD CD cosB BC BD +-+-==⨯⨯⨯＝，那么sinB 于是在△ABC 中，BC sinBAC sin CAB⨯∠＝＝24，在△ABC 中，BC 2＝AC 2＋AB 2－2AC ·AB cos60°，即312＝242＋AB 2－24AB ，解得AB ＝35或AB ＝－11(舍去)，因此AD ＝AB －BD ＝35－20＝15.故此人在D 处距A 处还有15km ，若此人必须在20分钟，即13小时内从D 处到达A 处，则其最小速度为15÷13＝45(km/h)．二、多选题9．欧拉公式i cos isin (e θθθ=+其中i 为虚数单位，)R θ∈是由瑞士著名数学家欧拉创立的，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为数学中的“天桥”.依据欧拉公式，下列选项正确的是（）A ．i4e π=B ．i 2e π为纯虚数C ．复数i e π的模长等于1D ．i 6e π的共轭复数为12【正确答案】ABC【分析】利用欧拉公式计算出各选项指数式的复数代数形式，即可判断各项的正误.【详解】A ：由题意，i 4cosisin 4422e πππ=+=+，正确；B ：由题意，i 2cosisin i 22eπππ=+=为纯虚数，正确；C ：由题意，i cos isin 1e πππ=+=-，其模长为1，正确；D ：由题意，i 6i cosisin 6622e πππ=+=+，则其共轭复数为i 22-，错误.故选：ABC10．设向量(),2a k = ，()1,1b =-r，则下列叙述错误的是（）A ．若a 与b的夹角为钝角，则2k <且2k ≠-B ．a r 的最小值为2C ．与b 共线的单位向量只有一个为22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭D ．若2a b =，则k =-【正确答案】CD【分析】利用向量的夹角公式可判断A 的正误；利用向量的模长公式及二次函数的性质可判断B 的正误；利用向量共线的坐标表示可判断C 的正误；利用模长公式可求出k 的值，进而判断D 的正误.【详解】A ：若a 与b 的夹角为钝角，则有20a b k ⋅=-<，且a 与b 不共线，即2k <且2k ≠-，故A 正确；B ：a =r 0k =时，a r 有最小值为2，故B 正确；C ：与b 共线的单位向量有22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭和22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭两个，故C 错误；D ：若2a b ==2k =±，故D 错误；故选：CD.11．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，以下说法中正确的是（）A ．若AB >，则sin sin A B>B ．若4,5,6a b c ===，则ABC 为钝角三角形C ．若5,10,4a b A π===，则符合条件的三角形不存在D ．若cos cos a A b B =，则ABC 一定是等腰三角形【正确答案】AC【分析】利用正余弦定理，三角函数的性质逐一判断即可.【详解】若A B >，则a b >，所以由正弦定理可得sin sin A B >，故A 正确；若4a =，5b =，6c =，则222c a b <+，即222cos 02a b c C ab+-=>，所以角C 为锐角，即ABC 为锐角三角形，故B 错误；若5a =，10b =，π4A =，根据正弦定理可得sin 10sin 15b AB a ===>所以符合条件的三角形不存在，即C 正确；若cos cos a A b B =，则sin cos sin cos A A B B =，即sin 2sin 2A B =,因为2(0,),2(0,)A πB π∈∈,所以22A B =或22A B π+=，即A B =或2A B π+=，所以ABC 为等腰或直角三角形，故D 错误.故选：AC12．已知ABC 中，1AB =，4AC =，BC =，D 在BC 上，AD 为BAC ∠的角平分线，E 为AC 中点下列结论正确的是（）A ．BE =B ．ABCC ．AD =D ．P 在ABE 的外接圆上，则2PB PE +的最大值为【正确答案】ACD【分析】先由余弦定理算出3BAC π∠=，再计算ABC 面积，验证B 选项，在ABE 中，利用余弦定理求BE 验证A 选项，用等面积法ABC ABD ACD S S S =+ ，求AD 验证C 选项，用正弦定理表示PB ，PE ，结合三角函数性质验证D 选项.【详解】解：在ABC 中，由余弦定理得2221cos 22AC AB BC BAC AC AB +-∠==⋅，因为()0,BAC π∠∈，所以3BAC π∠=.所以1sin 2ABC S AB AC BAC =⋅∠= B 错误；在ABE 中，2222cos 3BE AE AB AE AB BAE =+-⋅∠=，所以BE =A 正确；因为AD 为BAC ∠的角平分线，由等面积法得11sin sin 2222ABC ABD ACD BAC BAC S S S AB AD AC AD ∠∠=+=⋅+⋅ ，54AD ，解得5AD =，故C 正确；P 在ABE 的外接圆上，如图则3BPE BAE π∠=∠=，BE 所以在BPE 中，记PBE α∠=，BEP β∠=，由正弦定理得2sin PB β=，2sin PE α=，又23παβ+=，所以22=2sin 4sin 2sin 4sin 5sin 3PB PE πβααααα⎛⎫++=-+=+ ⎪⎝⎭()αϕ+，其中tan ϕ=又因为20,3πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以2PB PE +的最大值为，故D 正确.故选：ACD本题考查正余弦定理的综合应用，考查数学运算能力，是中档题.三、填空题13．在复平面内，AB对应的复数是1i -，AD 对应的复数是2i 3-，则DB 对应的复数是______．【正确答案】43i-【分析】由向量的线性运算和复数的减法运算可求得答案.【详解】解：由题意可知，DB AB AD =-，则DB对应的复数是()()1i 2i 343i ---=-.故答案为.43i -14．2cos10sin20cos20-︒︒︒=__________.【分析】利用()cos10cos 3020︒=︒-︒展开计算即可【详解】()2cos 3020sin202cos10sin20cos20cos20︒︒︒︒︒=︒︒---==故答案为15．已知向量,a b的夹角为23π，若1,a a b =+= b ___________．【正确答案】3【详解】由题意可得：()222222121cos 73a ba b a b b b π+=++⋅=++⨯⨯⨯=，整理可得：()()22160,320b b b b -⨯⨯-=∴-+=，据此可得.3b =r四、双空题16．已知由sin 22sin cos x x x =，2cos 22cos 1x x =-，()cos 3cos 2x x x =+可推得三倍角余弦公式3cos34cos 3cos x x x =-，已知cos54sin 36= ，结合三倍角余弦公式和二倍角正弦公式可得sin18= ______________；如图，已知五角星ABCDE 是由边长为2的正五边形GHIJK 和五个全等的等腰三角形组成的，则HE HG ⋅=___________【正确答案】5+【分析】由cos54sin 36= 结合三倍角的余弦公式、二倍角的正弦公式可得出关于sin18 的二次方程，结合0sin181<< 可求得sin18 的值；求得18HEG ∠= ，54EHG ∠= ，过点H 作HM BE ⊥，垂足为点M ，求得2cos18HM =，2cos18sin18EH =，然后利用平面向量数量积的定义可求得结果.【详解】因为()cos54cos 9036sin 36=-=，所以，34cos 183cos182sin18cos18-= ，即24cos 1832sin18-= ，即()241sin 1832sin18--=，即24sin 182sin1810+-= ，因为0sin181<< ，解得21sin1884-+==.在五角星ABCDE 中，EG EI =，HG HI =，HE HE =，故EHG EHI ≅△△，从而可得1182HEG CEB ∠== ，1542EHG IHG ∠=∠=，过点H 作HM BE ⊥，垂足为点M ，则18GHM ∠= ，于是cos HMGHM GH∠=，从而有cos 2cos18HM GH GHM =∠=，于是2cos18sin sin18HM EH HEG ==∠，所以，222cos18cos542sin 368cos 1888sin 18sin18HE HG HE HG ⋅=⋅=⨯⨯==-(288835=-⨯=--=+⎝⎭.故14；5+五、解答题17．已知复112i z =-，234i z =+，i 为虚数单位.(1)若复数12z az +对应的点在第四象限，求实数a 的取值范围；(2)若1212z z z z z -=+，求z 的模.【正确答案】(1)11,32⎛⎫- ⎪⎝⎭【分析】（1）利用复数代数形式的运算法则化简复数12z az +，求出对应点利用点在第四象限，得到不等式组，即可求实数a 的取值范围；（2）利用复数代数形式的除法运算化简复数1212z z z z z -=+，从而求出其模．【详解】（1）解：112i z =- ，234i z =+，∴复数()()1212i 34i (13)(42)i z az a a a +-+==-+++，则复数12z az +在复平面内所对应的点为()13,42a a +-，由题意可得130420a a +>⎧⎨-<⎩，解得1132a -<<，即11,32a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭．（2）解：1212(12i)(34i)26i 13i(12i)(34i)42i 2iz z z z z ---+--+====-+-++++2(13i)(2i)2i 6i 3i 55i1i (2i)(2i)55+--+-+=-=-=-=--+-，所以z =18．已知平面向量()1,2a =r，()3,2b =-- ．(1)b 在a 方向上的投影向量；(2)当k 为何值时，ka b + 与3a b - 垂直．【正确答案】(1)72,55⎛⎫-- ⎪⎝⎭(2)2313k =【分析】（1）直接利用投影向量的定义计算即可；（2）由数量积的坐标表示计算即可.【详解】（1）b 在a 方向上的投影向量72cos ,,55a a b a b a b a a a ⋅⎛⎫=<>=⋅=-- ⎪⎝⎭.（2）∵ka b + 与3a b - 垂直，()3,22ka b k k +=-- ，()310,8a b -= ，∴()()30ka b a b +⋅-= ，即()()1038220k k -+-=，解得2313k =．19．已知向量(cos 2sin )a αβα=+，(sin cos 2cos )b αβα=- ，且//a b r r .（1）求cos()αβ+的值；（2）若,0,2παβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且1tan 3α=，求2αβ+的值.【正确答案】（1；（2）4π.【分析】（1）由共线向量的坐标表示列出等式，利用两角和的余弦公式化简等式即可得解；（2）由cos()αβ+的值求出tan()αβ+，再利用两角和的正切公式求出tan(2)αβ+，根据2αβ+的范围即可求得2αβ+.【详解】（1）因为//a b r r，所以cos 2cos )sin 2sin )0αβααβα--+=，()22cos sin sin )2cos sin 2αβαβαα-=+=，)2αβ+=，即cos()αβ+.（2）由,0,2παβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭得0αβ<+<π，又因为cos()05αβ+=>，所以02παβ<+<，则sin()5αβ+=，1tan()2αβ+=，因为1tan 3α=，所以11tan tan()32tan(2)1111tan tan()132ααβαβααβ++++===-+-⨯，因为02πα<<，所以02αβπ<+<，所以24παβ+=.本题考查两角和与差的余弦、正切公式，已知三角函数值求角，涉及向量共线的坐标表示，属于中档题.20．在ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .已知sin 4sin a A b B =，222)ac a b c =--.（I ）求cos A 的值；（II ）求sin(2)B A -的值.【正确答案】（Ⅰ）5-（Ⅱ）5-【详解】试题分析：利用正弦定理“角转边”得出边的关系2a b =，再根据余弦定理求出cos A ，进而得到sin A ，由2a b =转化为sin 2sin A B =，求出sin B ，进而求出cos B ，从而求出2B 的三角函数值，利用两角差的正弦公式求出结果.试题解析：（Ⅰ）解：由sin 4sin a A b B =，及sin sin a b A B =，得2a b =.由)222ac a b c =--，及余弦定理，得2225cos 25b c a A bc ac +-===-.（Ⅱ）解：由（Ⅰ），可得sin 5A =，代入sin 4sin a A b B =，得sin sin 4a A B b ==.由（Ⅰ）知，A为钝角，所以cos 5B ==.于是4sin22sin cos 5B B B ==，23cos212sin 5B B =-=，故()432sin 2sin2cos cos2sin 55555B A B A B A ⎛-=-=⨯--⨯=- ⎝⎭.正弦定理、余弦定理、解三角形【名师点睛】利用正弦定理进行“边转角”寻求角的关系，利用“角转边”寻求边的关系，利用余弦定理借助三边关系求角，利用两角和差公式及二倍角公式求三角函数值.利用正、余弦定理解三角形问题是高考高频考点，经常利用三角形内角和定理，三角形面积公式，结合正、余弦定理解题.21．某公园为了吸引更多的游客，准备进一步美化环境．如图，准备在道路AB 的一侧进行绿化，线段AB 长为4百米，C ，D 都设计在以AB 为直径的半圆上．设COB θ∠=．（1）现要在四边形ABCD 内种满郁金香，若3COD π∠=，则当θ为何值时，郁金香种植面积最大；（2）为了方便游客散步，现要铺设一条栈道，栈道由线段BC ，CD 和DA 组成，若BC ＝CD ，则当θ为何值时，栈道的总长l 最长，并求l 的最大值（单位：百米）．【正确答案】（1）当3πθ=时，郁金香种植面积最大；（1）当3πθ=为时，栈道的总长l 最长，l 的最大值为6百米.【分析】(1)求出利用三角形的面积公式可得四边形ABCD 关于θ的函数，利用三角函数的恒等变换可以得到“一角一函”的形式,然后根据角的范围利用正弦函数的性质可求得面积最大值；(2)利用余弦定理求得,BC DA 关于θ的三角函数，相加可求出l 关于θ的三角函数表达式，利用二倍角公式和换元思想转化为二次函数的最值，进而求解.【详解】解：(1)∵线段AB 长为4百米，所以圆的半径为2百米，即2OA OB OC OD ====,当3COD π∠=时，由三角形的面积公式得：ABCD BOC COD DOAS S S S =++ 2221112sin 2sin 2sin 22323⎛⎫=⨯+⨯+⨯-- ⎪⎝⎭πθππθ64⎛⎫=++ ⎪⎝⎭θπ，203θπ∴<<，则5666ππθπ<+<，sin 16πθ⎛⎫∴+≤ ⎪⎝⎭，当62ππθ+=，即3πθ=时取等号，∴当3πθ=时，6⎛⎫+ ⎪⎝⎭πθ∴当3πθ=时，郁金香种植面积最大；(2)由余弦定理得：4sin2BC ==θ，4cos DA ==θ，8sin 4cos 022l ⎛⎫∴=+<< ⎪⎝⎭θπθθ，令sin 2t θ=，∵024θπ<<，∴02t <<，()2228sin 412sin 2284121862l t t t ⎛⎫∴=+- ⎪⎝⎭=+-⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭θθ，12t ∴=，即3πθ=时，l 的最大值为6.故当3πθ=为时，栈道的总长l 最长，l 的最大值为6百米.22．如图，在平面凸四边形ABCD 中（凸四边形指没有角度数大于180°的四边形），2AB =，5BC =，6CD =．(1)若120B =︒，1cos 6D =，求AD ；(2)已知3AD =，求四边形ABCD 的面积为S 的最大值．【正确答案】(1)3AD =(2)【分析】（1）在ABC 中，由余弦定理得出AC ，在ACD 中由余弦定理得出AD ；（2）在ABC 和ADC △中，由余弦定理得出9cos 5cos 4D B -=，进而由三角形面积公式以及余弦函数的性质得出S 的最大值．【详解】（1）连接AC ，在ABC 中，由余弦定理，得22212cos120425225392AC AB BC AB BC ︒=⎛⎫+⋅=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭-，所以AC =由余弦定理，得2222cos 39AC AD CD AD CD D =+-⋅=，即213626396AD AD +-⨯⨯=，所以3AD =；（2）在ABC 和ADC △中，2222cos 2920cos AC AB BC AB BC B B +⋅--==，222c 4536cos 2os D AC AD CD AD CD D =-=+-⋅，所以9cos 5cos 4D B -=，又1136sin 25sin 9sin 5sin 22ADC ABC S S S D B D B =+=⨯⨯+⨯⨯=+ ，所以()()()222169sin 5sin 9cos 5cos 10690cos 10690196S D B D B B D +=++-=-+≤+=，所以当3π2B D +=时，S 取最大值为。
2021-2022学年江苏省南通市海门市高一(下)期末数学试卷【答案版】
2021-2022学年江苏省南通市海门市高一（下）期末数学试卷一、解答题。
（共8小题，满分40分）1．已知复数z 满足z •i ＝1+2i （i 为虚数单位），则复数z 的虚部是（ ） A ．2B ．﹣2C ．1D ．﹣12．现有一组数据8，7，9，9，7，则这组数据的方差是（ ） A ．2√55B ．25C ．45D ．13．函数f(x)=√3sinx −cosx 图象的一条对称轴方程为（ ） A ．x =π6B ．x =π3C ．x =2π3D ．x =7π64．在△ABC 中，已知D 是AB 边上一点，且3CD →=CA →+2CB →，则（ ） A ．AD →=2BD →B ．AD →=12DB →C ．AD →=2DB →D ．AD →=13AB →5．如图，直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，D 是CC 1的中点，则V D−A 1B 1C 1V D−ABB 1A 1=（ ）A ．16B ．15C ．14D ．236．若sin （α+π4）=13，则sin2α＝（ ） A ．−79B ．79C ．1−√23D ．2√237．若一个圆台的高为√3，母线长为2，侧面积为6π，则该圆台的体积为（ ） A ．5√3π3B ．7√3π3 C ．5√3π D ．7√3π8．△ABC 中，若A ，B ∈（0，π2），sin C ＝sin A sin B ，则tan （A +B ）的取值范围是（ ）A ．[−43，﹣1）B ．[−43，﹣1] C ．（1，43]D ．[1，43]二、多选题。
（本大题共4小题，共20.0分。
在每小题有多项符合题目要求）9．分别抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件A ＝“第一枚正面朝上”，事件B ＝“第二枚正面朝上”，下列结论中正确的是（ ）A ．该试验样本空间共有4个样本点B ．P(AB)=14C ．A 与B 为互斥事件D ．A 与B 为相互独立事件10．设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若c =√2b ，B ＝30°，则角A 能为（ ） A ．135°B ．105°C ．45°D ．15°11．向量是近代数学中重要和基本的概念之一，它既是代数研究对象，也是几何研究对象，是沟通代数与几何的桥梁．若向量a →，b →满足|a →|=|b →|=2，|a →+b →|=2√3，则（ ） A ．a →⋅b →=−2B ．a →与b →的夹角为π3C ．|a →−b →|＜|a →+b →|D ．a →−b →在b →上的投影向量为12b →12．在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，点P 是线段B 1C 上一动点，则下列各选项正确的是（ ）A ．D 1P ⊥AC 1B ．D 1P ∥平面A 1BDC ．直线D 1P 与平面BCC 1B 1所成角随PB 1长度变化先变小再变大 D ．存在点P 使得过A 有4条直线分别与A 1B 1和AP 所成角大小为30° 三、填空题。
2023-2024学年江苏省南通市高一下册期中模拟数学试题(含解析)
2023-2024学年江苏省南通市高一下册期中模拟数学试题一、单选题1．已知i 是虚数单位，若i2iz =-，则||z =（）A ．1B C ．5D ．3【正确答案】C【分析】根据复数的除法运算，化简12i55z =-+，进而即可求出答案.【详解】因为()()()i 2i i 12i 12i 2i 2i 2i 555z +-+====-+--+，所以||5z ==．故选：C.2．若4sin(π)5α+=-，则cos(π2)α-=（）A ．35B ．35-C ．725D ．725-【正确答案】C【分析】结合诱导公式和二倍角公式求得正确答案.【详解】由4sin(π)sin 5αα+=-=-，得4sin 5α=，所以2247cos(π2)cos 22sin 121525ααα⎛⎫-=-=-=⨯-= ⎪⎝⎭.故选：C3．记ABC 的内角,,A B C 的对边分别为π,,,2,3,3a b c a c B ===，则AC 边上的高为（）A ．14B ．7C ．14D ．7【正确答案】D【分析】根据余弦定理求出b ，再根据面积公式列式可求出结果.【详解】由22212cos 4922372b ac ac B =+-=+-⨯⨯⨯=，得b .设AC 边上的高为h ，因为11sin 22ABCS ac B bh == ，所以23sin7ac B h b ⨯==，即AC 边上的高为7.故选：D4．利用公式：()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+，()sin sin cos cos sin αβαβαβ-=-，可得：()()1sin cos sin sin 2αβαβαβ=++-⎡⎤⎣⎦．则化简sin 20cos70sin10sin 50 +的值是（）A ．14B C ．12D 【正确答案】A【分析】根据题目所给公式计算化简即可求值.【详解】由()()1sin cos sin sin 2αβαβαβ=++-⎡⎤⎣⎦可得，()())sin 20cos 702070207111sin sin sin 90sin(502220⎡⎤+=+-⎣⎦=+-，()sin10sin 50sin10sin 9050sin10cos 40=-=()()111sin sin si )1040n 50sin(300210422⎡=⎤+=+-⎣+-⎦，所以)s 1111sin 90sin(50)sin 50sin(302n 222i 20cos 70sin10sin 50+++-+-=1111111sin 90sin 50sin 50sin 302222244=-+-=-= ，故选:A.5．如图在ABC 中，3BAC π∠=．2AD DB =，P 为CD 上一点，且满足()12AP m AC AB m =+∈R ，若3AC =，4AB =，则AP CD ⋅的值为（）A ．3-B ．1312-C ．1312D ．112-【正确答案】C【详解】由2AD DB = 及()12AP m AC AB m =+∈R，将()34AP mAC AD m =∈+R ．由三点共线可求m 的值，再用AB、AC 表示CD ，进而求AP CD ⋅ 即可.【分析】()12AP mAC AB m =+∈R ，2AD DB =，即23AD AB = ，()34AP mAC AD m =+∈∴R，因为C 、P 、D 共线，设CP CD λ=，即()AP AC AD AC λ-=- ，所以，()1AP AC AD λλ=-+ ，所以，134m λλ-=⎧⎪⎨=⎪⎩，故31144m =-=，所以，1142AP AC AB =+ ，而23CD AD AC AB AC =-=-，由平面向量数量积的定义可得π1cos 43632AB AC AB AC ⋅=⋅=⨯⨯= ，22112111423334AP CD AC AB AC AB AB AC AC⎛⎫⎛⎫∴⋅=+-=-⋅- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ 221111346333412=⨯-⨯-⨯=.故选：C.6．设1cos662a =︒-︒，22tan131tan 13b ︒=+︒，c =）A ．a b c >>B ．a b c <<C ．a c b<<D ．b<c<a【正确答案】C【分析】利用辅助角公式化简a ，利用倍角公式化简,b c ，利用正弦函数的单调性比较大小.【详解】()1cos 66sin 306sin 2422a =-==︒-︒︒︒︒，2222tan132sin13cos13sin 261tan 13cos 13sin 13b ︒︒︒︒︒==︒︒=++，sin 25c ==︒.因为函数sin y x =在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上是增函数，所以a c b <<.故选：C.7．ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若三角形中1cos 3A =，S =且()()sin 2sin 12cos A B B A -=-，则c =（）A ．3B ．32C ．2D ．4【正确答案】D【分析】易知sin 3A =，利用两角差的正弦公式化简原等式，可推出tan B sin B 和cos B 的值，再结合三角形的内角和定理与两角和的正弦公式，求得sin C 的值，然后由正弦定理，知34b c =，最后由1sin 2S bc A =⋅，得解．【详解】1cos 3A =Q ，且(0,)A π∈，sin 3A ∴==，sin()2sin (12cos )A B B A -=- ，sin cos cos sin 2sin 4sin cos A B A B B B A ∴-=-，即sin cos 2sin 3sin cos A B B B A =-，12sin 3sin sin 3B B B B =-⨯=，tan 3B ∴=，(0,)B π∈，sin B ∴cos B =，1sin sin()sin cos cos sin 3C A B A B A B ∴=+=+=+由正弦定理知，sin sin b cB C=，，即34b c =，113sin 224S bc A c c =⋅=⋅⋅ 4c ∴=．故选：D8．ABC 中，若,02A B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，sin sin sin C A B =，则()tan A B +的取值范围是（）A ．4,13⎡⎫--⎪⎢⎣⎭B ．4,13⎡⎤--⎢⎥⎣⎦C ．41,3⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．41,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦【正确答案】A【分析】利用三角函数恒等变换进行化简，可得tan tan tan tan A B A B +=，利用基本不等式得tan tan 4A B ≥，利用两角和的正切公式表示()tan A B +，结合以上条件即可求解()tan A B +的取值范围．【详解】∵,02A B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，∴cos cos 0A B ≠，∵sin sin sin C A B =，即()sin sin sin A B A B +=，∴sin cos cos sin sin sin A B A B A B +=，两边同时除以cos cos A B ，得tan tan tan tan A B A B +=，∵tan ,tan 0A B >，∴tan tan A B +≥，当且仅当tan tan A B =时等号成立，∴tan tan A B ≥，即tan tan 4A B ≥，tan tan tan tan 1tan()11tan tan 1tan tan 1tan tan A B A BA B A B A BA B++===---，∵tan tan 4A B ≥，∴110tan tan 4A B <≤⋅，∴1311tan tan 4A B -<-≤-⋅，∴411131tan tan A B-≤<--⋅，即()tan A B +的取值范围是4,13⎡⎫--⎪⎢⎣⎭．故选：A ．二、多选题9．在复平面内，复数z =）A ．复数z 的模长为1B ．复数z 在复平面内对应的点在第二象限C ．复数z 是方程210x x -+=的解D ．复数ω满足max 1,1z ωω-==+则【正确答案】AC【分析】根据复数的除法运算法则化简复数得12z =-，进而可判断AB,将12z =代入方程中即可验证C ，根据复数的几何意义即可判断D.【详解】由z =得21122z ==-，则12z =对于A,1z ==，故A 正确，对于B,复数z在复平面内对应的点为1,2⎛⎫⎪⎪⎝⎭，故该点位于第四象限，故B 错误，对于C,211131i 1i i 10222242422⎛⎫⎛⎫---+=---++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,故12z =-是210x x -+=的复数根，故C 正确，对于D ，设复数ω对应的向量为(),OW x y = 到,复数z对应的向量为1,22OZ ⎛=- ⎝⎭,由1z ω-=得1ZW = 的距离为1，故复数ω对应点的(),x y在以1,22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭为圆心，半径为1的圆上，故ω的最大值为112OZ r +=+=，故D 错误，故选：AC10．在ABC 中，记角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．若2AB AC ⋅=，2a =，则（）A ．228b c +=B ．向量BA ，AC 夹角的最小值为3πC ．内角A 的最大值为3πD ．ABC【正确答案】AC【分析】根据向量的运算法则结合余弦定理得到228b c +=，根据均值不等式得到4bc ≤，计算1cos 2A ≥，得到AC 正确，B 错误，利用面积公式得到ABC S=△案.【详解】224cos 22b c AB AC bc A +-⋅=== ，228b c +=，故A 对；2282b c bc +=≥，4bc ≤，当且仅当b c =时取等，cos 2bc A =，21cos 2A bc =≥，即max 3A π=，故B 错，C 对；111sin 222ABCS bc A bc bc ==△，故D 错.故选：AC11．向量是近代数学中重要和基本的概念之一，它既是代数研究对象，也是几何研究对象，是沟通代数与几何的桥梁.若向量a ，b 满足2a b ==，a b += ）A ．2a b ⋅=-B ．a 与b的夹角为π3C ．a b a b-<+ D ．a b - 在b上的投影向量为12br 【正确答案】BC【分析】利用向量的模长公式以及题中条件即可判断A,C,由夹角公式可判断B ，根据投影向量的求法即可判断D.【详解】2a b ==，a b += 22212||2424a b a a b b a b =+=+⋅+=+⋅+,解得2⋅= a b ,故A 错误·cos ,2a b a b a b ⋅== ,1cos ,2a b a b a b ⋅==，由于()0π，，a b ∈ ，a ∴r 与b 的夹角为π3，故B 正确,22a b a b -=<+=故C 正确a b - 在b 上的投影向量为()21··22b a b b a b b b b b bbb b⋅-⋅-==-=-，故D 错误,故选：BC三、单选题12．1748年，瑞士数学家欧拉发现了复指数函数和三角函数的关系，并写出以下公式i e cos isin x x x =+（e 是自然对数的底，i 是虚数单位），这个公式在复变论中占有非常重要的地位，被普为“数学中的天桥”.下列说法正确的是（）A ．i e 10x +=B ．3112⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭C ．i i e e cos 2x xx -+=D ．i i e e sin 2x xx --=【正确答案】C【分析】根据题设中的公式和复数运算法则，逐项计算后可得正确的选项.【详解】对于A ，当2x π=时，因为i 2ecosisin i 22πππ=+=，所以i 2e 1i 10π+=+≠，故i e 10x +=不一定成立，选项A 错误；对于B，333i i 31i cos isin e e cos isin 12233ππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+===+=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以B 错误；对于C ，由i e cos isin x x x =+，i e cos()isin()cos isin x x x x -=-+-=-，所以i i e e 2cos x x x -+=,得出i i e e cos 2x xx -+=,选项C 正确；对于D ，由C 选项的分析得i i e e 2isin xxx -=-，得出i i e e sin i 2x xx ---=，选项D 错误.故选：C.四、填空题13．复数2i +与复数13i+在复平面上对应点分别是,A B ，则tan ∠AOB ＝______．【正确答案】1【分析】根据复数运算法则可得,A B 两点的坐标，再根据两角和的正切公式即可算出tan 1AOB ∠=.【详解】根据复数运算法则可得()()()23i 13i 31i 3i 3i 3i 9i 1010--===-++--，所以2i +与13i +对应的点的坐标为31(2,1),,1010A B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，如下图所示：易知11tan ,tan 23==αβ；则()11tan tan 23tan tan 1111tan tan 123AOB αβαβαβ++∠=+===--⨯.故114．已知sin2β=()5cos 13αβ+=，π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()0,πβ∈，则sin α=________．【正确答案】1665【分析】通过构角()ααββ=+-，再利用正弦的两角差的公式得()()sin sin cos cos sin ααββαββ=+-+，利用已知条件，通过进一步缩小β和αβ+的范围，再利用同角三角函数关系和二倍角公式求出sin β，cos β，()sin αβ+的值，进而可求出sin α【详解】因为()sin sin ααββ=+-⎡⎤⎣⎦，由正弦的两角差的公式得()()sin sin cos cos sin ααββαββ=+-+．又因为()0,πβ∈，π0,22β⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭，又sin 2β=cos 25β=，又因为1sin 252β=<，0,26βπ⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭，0,3πβ⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭，所以4sin 2sin cos 225βββ==，3cos 5β==．又0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ ，5π0,6αβ⎛⎫∴+∈ ⎪⎝⎭，又()5cos13αβ+=，所以()12sin 13αβ+=，()()()sin sin sin cos cos sin ααββαββαββ∴=+-=+-+⎡⎤⎣⎦123541613513565=⨯-⨯=，故1665．15．设ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，.c 已知6a =，2b =，要使ABC 为钝角三角形，则c 的大小可取__________(取整数值，答案不唯一)．【正确答案】5（填7也对，答案不唯一）【分析】利用三角形两边和与差点关系，求出48c <<，再分别讨论a 和c 为钝角时，边c 的取值范围，根据题意即可得到答案.【详解】首先由a ，b ，c 构成三角形有48a b c a b =-<<+=，若c 为钝角所对边，有22240c a b >+=，c >若a 为钝角所对边，有2222364a b c c =>+=+，c <，由b a <，b 不可能为钝角所对边，综上，c 的取值范围是()4,由题意，c 取整数值，故c 的大小可取5或7.故5（填7也对，答案不唯一）.16．如图，P 为矩形ABCD 边AB 中点，M ，N 分别在线段EF 、CD 上，其中4AB =，3BC =，1AE BF ==，若4PM PN ⋅=，则PM PN +uuu r uuu r 的最小值为__________．【正确答案】【分析】根据题意建立如图所示的平面直角坐标系，设(,1),(,3)M m N n ，然后表示出,PM PN，由4PM PN ⋅=可得232n m n -=-，代入PM PN + 中求其模，利用基本不等式可求出其最小值.【详解】解：建立如图所示的平面直角坐标系，可知()20P ，，M ，N 分别在线段EF 、CD 上，设(,1),(,3)M m N n （04,04m n ≤≤≤≤），则(2,1),(2,3)PM m PN n =-=-，所以(2)(2)32()74PM PN m n mn m n ⋅=--+=-++=，所以2302n m n -=≥-，(4,4)PM PN m n +=+-，所以PM PN +==设2n t -=，则PM PN += 当且仅当1,3,3t n m ===时，取等号，所以PM PN +uuu r uuu r的最小值为故五、解答题17．已知sin 24sin 3cos 24cos 1αααα-=-+，π0.2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，(1)求tan α和sin2α的值;(2)若πsin 2sin 2ββ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，π02β⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，求αβ+的大小．【正确答案】(1)tan 3α=，3sin 25α=；(2)3π4【分析】（1）结合二倍角公式，商数关系即可化简求得tan 3α=，以及22tan sin2tan 1ααα=+求值；（2）条件等式由诱导公式可得sin 2cos tan 2βββ=⇒=，即可由和差公式求得()tan αβ+，结合αβ+范围即可.【详解】（1）()()2sin cos 2sin 24sin sin cos 4sin tan 3cos 24cos 12cos 4cos 2cos cos 2αααααααααααααα---====-+--２２，2222sin cos 2tan 3sin2sin cos tan 15ααααααα===++；（2）πsin 2sin 2cos tan 22ββββ⎛⎫=+=⇒= ⎪⎝⎭，()tan tan tan 11tan tan αβαβαβ++==--，∵()0,παβ+∈，∴3π4αβ+=.18．已知复平面内的点A ，B 对应的复数分别为1i z m m =-，()222212i z m m =-+-（m ∈R ），设AB对应的复数为z .（1）当实数m 取何值时，复数z 是纯虚数；（2）若复数z 在复平面上对应的点位于第四象限，求实数m 的取值范围.【正确答案】（1）12m =-；（2）122m -<<-.【分析】（1）求出21z z z =-，z 是纯虚数，虚部不为0，实部为0，即可求解；（2）根据z 的值，求出对应点到坐标，根据已知列出不等式，即可求出结论.【详解】点A ，B 对应的复数分别为()2212i,212i z m m z m m =-=-+-，AB ∴ 对应的复数为z ，222121(2)z z z m m m m i ∴=-=--++-，（1）复数z 是纯虚数，2221020m m m m ⎧--=∴⎨+-≠⎩，解得11221m m m m ⎧=-=⎪⎨⎪≠-≠⎩或且，12m ∴=-；（2）复数z 在复平面上对应的点坐标为22(21,2)m m m m --+-，位于第四象限，2221020m m m m ⎧-->∴⎨+-<⎩，即11221m m m ⎧-⎪⎨⎪-<<⎩或，122m ∴-<<-.本题考查复数的代数表示法、几何意义、复数的分类，属于基础题.19．某地棚户区改造建筑平面示意图如图所示，经规划调研确定，棚改规划建筑用地区域近似为圆面，该圆面的内接四边形ABCD 是原棚户区建筑用地，测量可知边界4AB AD ==万米，6BC =万米，2CD =万米.（1）请计算原棚户区建筑用地ABCD 的面积及AC 的长；（2）因地理条件的限制，边界,AD DC 不能更改，而边界,AB BC 可以调整，为了提高棚户区建筑用地的利用率，请在圆弧ABC 上设计一点P ，使得棚户区改造后的新建筑用地APCD 的面积最大，并求出最大值.【正确答案】(1)AC =.ABCD S =.(2)所求面积的最大值为P 为弧ABC 的中点.【详解】试题分析：(1)利用圆内接四边形得到对角互补，再利用余弦定理求出相关边长，再利用三角形的面积公式和分割法进行求解；(2)利用余弦定理和基本不等式进行求解．试题解析：(1)根据题意知，四边形ABCD 内接于圆，∴∠ABC ＋∠ADC ＝180°.在△ABC 中，由余弦定理，得AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos ∠ABC ，即AC 2＝42＋62－2×4×6×cos ∠ABC .在△ADC 中，由余弦定理，得AC 2＝AD 2＋DC 2－2AD ·DC ·cos ∠ADC ，即AC 2＝42＋22－2×4×2×cos ∠ADC .又cos ∠ABC ＝－cos ∠ADC ，∴cos ∠ABC ＝，AC 2＝28，即AC ＝2万米，又∠ABC ∈(0，π)，∴∠ABC ＝.∴S 四边形ABCD ＝S △ABC ＋S △ADC ＝×4×6×sin ＋×2×4×sin＝8(平方万米)．(2)由题意知，S 四边形APCD ＝S △ADC ＋S △APC ，且S △ADC ＝AD ·CD ·sin＝2(平方万米)．设AP ＝x ，CP ＝y ，则S △APC ＝xy sin ＝xy .在△APC 中，由余弦定理，得AC 2＝x 2＋y 2－2xy ·cos ＝x 2＋y 2－xy ＝28，又x 2＋y 2－xy ≥2xy －xy ＝xy ，当且仅当x ＝y 时取等号，∴xy ≤28.∴S 四边形APCD ＝2＋xy ≤2＋×28＝9(平方万米)，故所求面积的最大值为9平方万米，此时点P 为弧ABC 的中点．20．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且sin sin sin A B c bC a b++=-．(1)若a =，2b =，求角;B (2)设BAC ∠的角平分线AD 交BC 于点D ，若ABCAD 长的最大值．【正确答案】(1)6B π=(2)1【分析】（1）从正弦定理出发进行角换边，再利用余弦定理求得角A ，再利用一次正弦定理求得角度B .（2）利用角平分线性质及面积公式得到bcAD b c=+，再利用基本不等式得出AD 最值.【详解】（1）解：因为sin sin sin A B c bC a b++=-，依据正弦定理sin sin sin a b cA B C==，所以222a b c ba b bc c c a b++=⇒-=+-，即222b c a bc +-=-，由余弦定理变形知2221cos 222b c a bc A bc bc +--===-，因为()0A π∈，，所以23A π=．因为a =，2b =，则在ABC 中，由正弦定理得：又21sin sin sin sin 2a b B A B B =⇔=⇒=，因为b a B A <⇔<，所以6B π=．（2）法一：因为1sin 424ABC S bc BAC bc bc =∠=⇒= ，AD 是23BAC π∠=的角平分线，而ABC ABD ACD S S S =+ ，所以111sin 2333sin 222AB AD AC AD AB AC πππ⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=⨯⨯⨯，即()b c AD bc +=，所以bcAD b c=+，因为0b >，0c >，b c +≥4bc =，故AD 1;bc b c =≤+当且仅当2b c ==取等，所以AD 最大值为1．答：当2b c ==时，AD 最大值为1．法二：因为1sin 42ABC S bc BAC bc bc =∠⇒= ,设ABD θ∠=，03θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，π，在ABD △，ACD 中由正弦定理知：sin sin sin sin 3AD c ADcADB πθθθ=⇔=∠⎛⎫+ ⎪⎝⎭①，sin sin sin sin 333AD b AD bADC πππθθθ=⇔=∠⎛⎫⎛⎫⎛⎫--+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭②，因为4bc =，所以①⋅②得，228sin sin sin sin()33sin ()1cos 21cos 2333bc AD ππθθθθππθθθ⎛⎫-- ⎪⎝⎭===⎛⎫⎫++-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭4sin 224cos 2266341cos 21cos 21cos 2333ππθθπππθθθ⎛⎫⎛⎫+--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭===-⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-+-+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，令1cos 23t πθ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，03θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，π，由于3223332t πππθ⎛⎫⎛⎤-∈-⇒∈ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦，，所以264AD t =-，易得此函数在3,22t ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦为单调递增函数，所以当26t πθ=⇔=时，AD 最大值为1．本题考查正余弦定理解三角形，利用正弦定理解决范围与最值问题，涉及求余弦定理的值域或最值，利用单调性求最值，属于较难题．21．ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .①sin sin 2A Ca b A +=；②()(sin sin )sin ()a b A B C a c -+=-；③22cos a c b C -=.（1）在上述三个条件中任选一个，求B ；（2）在（1）所选定的条件下，若ABC 为锐角三角形，且2c =，求ABC 面积的取值范围.【正确答案】（1）条件选择见解析，3B π=；（2S <<【分析】（1）选①，由诱导公式变形，再由正弦定理化边为角，然后由二倍角公式变形后可得B ；选②，由正弦定理化角为边，然后由余弦定理得角；选③，先由余弦定理化角为边，然后再由余弦定理求得角；（2）求出三角形面积，由正弦定理化为角的表达式，然后然后由诱导公式，两角和的正弦公式，同角关系式化为C 的代数式，再由C 角范围得结论．【详解】（1）选①sinsin sin sin cos sin 222A CB Ba b A a b A a b A π+-=⇒=⇒=由正弦定理得：2sin cos2sin sin 4sin cos sin 222B B BR A R B A R A ==在三角形中(0,)A B π∈、得sin 0B ≠，cos02B≠1sin22B ∴=3B π∴=选②.由正弦定理得：222()1()()cos 222a b c a b a c a c b ac B R R +-=-⇒+-=⇒=在三角形中(0,)B π∈，3B π∴=选③.222222222122cos 22a b c a b c a c b a c b ac B ab a +-+--=⋅=⇒+-=⇒=在三角形中(0,)B π∈，3B π∴=（2）由正弦定理sin 2sin a a A c C==，1sin 22S ac B a ====sin cos cos sin sin B C B C C +⎫=⎪⎭cos 31sin cossin 2tan C B B C C ⎫=+=⋅+⎪⎭由锐角三角形，2B C π+>，2C π<，所以,62C ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.2S <<22．由两角和差公式我们得到倍角公式2cos22cos 1θθ=-，实际上cos3θ也可以表示为cos θ的三次多项式．(1)试用cos θ表示cos3θ．(2)求sin18︒的值；(3)已知方程314302x x --=在()1,1-上有三个根，记为1x ，2x ，3x ，求333123444x x x ++的值．【正确答案】(1)3cos34cos 3cos θθθ=-14(3)32【分析】（1）通过拆角，再利用和差角和倍角公式，即可求出结果；（2）通过方程cos54sin36︒=︒，利用（1）中条件和倍角公式，建立关于sin18︒的方程，从而求出结果；（3）通过换元()cos 0πx θθ=<<，利用（1）中条件，求出314302x x --=的三个根，再通过构角，借助余弦的和差角公式即可求出结果.【详解】（1）因为()()22cos3cos 2cos2cos sin2sin 2cos 1cos 2sin cos θθθθθθθθθθθ=+=-=--()322cos cos 21cos cos θθθθ=---34cos 3cos θθ=-（2）因为90218318⨯+=⨯︒︒︒由诱导公式知，cos54sin36︒=︒，所以由（1）及正弦的二倍角公式得34cos 183cos182sin18cos18︒-︒=︒︒又因为cos180︒>，所以24cos 1832sin18︒-=︒，所以()241sin 1832sin18︒︒--=整理得24sin 182sin1810︒+︒-=解得1sin184-︒=或14，又sin180︒>，所以sin18︒=（3）因()1,1x ∈-，令()cos 0πx θθ=<<，故由314302x x --=可得：()314cos 3cos 00π2θθθ--=<<（*）由（1）得：1cos32θ=，因0πθ<<．，故033πθ<<，故π33θ=或5π33θ=或7π33θ=，即方程（*）的三个根分别为π9，5π9，7π9，又314302x x --=，故31432x x =+，所以()333123123344432x x x x x x ++=+++π5π7π33cos cos cos 9992⎛⎫=+++⎪⎝⎭π2ππ2π2π33cos 3cos 3cos π393992⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+++-+⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭π2ππ2ππ2ππ2π2π33cos cos sin sin 3cos cos sin sin 3cos 3939393992⎛⎫⎛⎫=++--+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭12π2π36cos 3cos 2992=⨯-+32=.。
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海门中学2011—2012学年高一下学期期中数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1．经过点A(3,2), 且与直线024=-+y x 垂直的直线方程是 ▲ 2．已知A （2，-4），B （0，6），C （-1，5），则=+BC AB 2 ▲3．在ABC ∆中, 如果7:5:3sin :sin :sin =C B A ,则ABC ∆的最大角的大小是 ▲ 4．在等差数列{}n a 中，已知106=S ，3012=S ，则=18S ▲5．已知直线13:1=+y ax l ，1)1(2:2=++y a x l ，若1l ∥2l ，则实数a 的值是 ▲ ． 6．设)4,(x =,)2,1(-=，若与的夹角为锐角，则x 的取值范围为 ▲ 。
7．已知z y x ,,成等比数列，a 是y x ,的等差中项，b 是z y ,的等差中项，则=+bza x ▲ 8．已知线段AB 两个端点A ()23，-，B ()--32，，直线l 过点)2,1( P 且过线段AB 相交，则l 的斜率k 的取值范围为 ▲9．已知等比数列{}n a 中，公比0>q ，且14239,8a a a a +==，则2011201220092010a a a a +=+ ▲ ．10．在ABC ∆中，D 在线段BC 上，DC BD 2=, AC n AB m AD +=，则mn= ▲ . 11．运算符号：“∏”，这个符号表示若干个数相乘，例如：可将1×2×3×…×n 记作∏=ni i 1，∏=*=∈ni i n a T Nn 1).(记，其中a i 为数列)}({*∈N n a n 中的第i 项.若=∈=*n n a N n n T 则),(2 ▲ .12．在△ABC 中，A =60o,b =1,ABC ∆外接圆的半径为 ▲ .13．设,,是任意的非零向量，且互相不共线，有下列命题：（1）0)()(=⋅-⋅b a c c b a ；(2)-<-；(3))()(⋅-⋅ 与垂直；（4）已知是单位向量,-=+则a 在e 方向上的投影为21。
其中正确的命题序号是 ▲ .14．定义函数()f x ＝[[]]x x ，其中[]x 表示不超过x 的最大整数， 如：[1.5]＝1，[ 1.3]-＝－2．当x ∈[0，)n (n ∈*N )时，设函数()f x 的值域为A ，记集合A 中的元素个数构成一个数列{}n a ，则数列{}n a 的通项公式为 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共90分.请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．(本题满分15分)设1e ,2e 是两个互相垂直的单位向量，已知向量2123e e AB +=，21e e CB λ-=，212e e CD +-=，（1）若A 、B 、D 三点共线，试求实数λ的值.（2）若A 、B 、D 三点构成一个直角三角形，试求实数λ的值.16．过点P （3，0）作直线l ，使它被两条相交直线:1l 022=--y x 和:2l 02=-+y x 所截得的线段恰好被P 点平分。
（1）求直线l 的方程；（2）若直线l 与x 轴的交点Q ，直线3l 经过点Q 且与向量(2,3)a =r垂直，求直线3l 的方程。
17．已知在△ABC 中， a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，且272cos 2sin 42=-+A C B （1）若C B A cos sin 2sin =，试判断△ABC 的形状； （2）若a=3，b+c=3，求b 和c 的值．18．如图所示，某种卷筒卫生纸绕在盘上，空盘时盘芯直径20mm ,满盘时直径100mm ，已知卫生纸的厚度为0.1mm ，试问满盘时卫生纸的总长度大约是多少米（π取3.14，精确到1m ）？19．(本题满分16分)已知函数2231()sin 2(cos sin )122f x x x x =---，R x ∈,将函数()f x 向左平移6π个单位后得函数()g x ，设ABC ∆三个角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c . （Ⅰ）若7=c ，0)(=C f ，sin 3sin B A =，求ABC ∆的面积；（Ⅱ）若0)(=B g 且)cos ,(cos B A m =，)tan cos sin ,1(B A A n -=，求n m ⋅的取值范围.20．(本题满分16分)设数列{}n a 的前ｎ项和为n S ，已知1(,n n S pS q p q +=+为常数，*n N ∈），1232,1,3a a a q p ===-（1）求ｐ，ｑ的值；（2）求数列{}n a 的通项公式；（3）若0>>b a 则b a 11<，那么是否存在正整数ｍ，ｎ，使1221m n mn S m S m +-<-+成立？若存在，求出所有符合条件的有序实数对（ｍ，ｎ）；若不存在，说明理由。
海门中学2011—2012学年第二学期期中考试试卷高一数学(参考答案)一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1．054=+-y x 2．（-4，8） 3． 0120 4．60 5． 3a =-6． 8<x 且2-≠x 7．2 8． 5-≤k 或1≥k 9． 4 或4110． 12 11．211()21n n a n n n =⎧⎪=⎨≥⎪-⎩ 12． 3 13． (3) (4) 14． n a ＝1＋(1)2n n -．二、解答题：本大题共6小题，共90分.请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．解：（1）=-=)2(21e e +--)(21e e λ-=21)1(3e e λ++- ∵A 、B 、D 三点共线，∴μ= 即2123e e +=μ[21)1(3e e λ++-]3)1(233-=⇒⎩⎨⎧+=-=⇒λλμμ（2）=++=2)2(e +λ 若090=∠A 则20)2(222-=⇒=+=⋅λλe AD AB若090=∠B 则270)1(292221=⇒=++-=⋅λλe e BD AB若090=∠D 则20)2)(1(22-=⇒=++=⋅λλλe AD BD 或1-=λ 综上所述实数λ的值为2-=λ或1-=λ或27=λ 16．解：（1）设直线l 与1l 的交点坐标为A ),(y x ，则l 与2l 的交点坐标为B ),6(y x --由方程组⇒⎩⎨⎧=---=--026022y x y x ⎩⎨⎧==22y x 即A （2，2） 所以直线l 的方程为：062=-+y x ……7分 （2）Θ直线l 与x 轴的交点Q 的坐标为)0,3(Θ直线3l 经过点Q 且与向量(2,3)a =r垂直∴直线3l 的斜率为32-所以直线3l 的方程为)3(32--=x y 即0632=-+y x ……14分 17．解：（1）由已知得2［1－cos （B+C ）］－（2cos 2A －1）=27， 2分 ∵cos （B+C ）=－cosA ， 3分∴4cos 2A －4cosA+1=0， ∴（2cosA －1）2=0，即cosA=21． ∴A=60°． 6分 ∵ C B A cos sin 2sin = ∴0)sin(cos sin 2)sin(=-⇒=+C B C B C B ∴060===A C B ，故△ABC 是等边三角形 （2）∵a 2=b 2+c 2－2bccosA=b 2+c 2－bc=（b+c ）2－3bc ，∵a=3，b+c=3，8分 ∴3=9－3bc ，∴bc=2， 10分由⎩⎨⎧==+,2,3bc c b 解之得⎩⎨⎧==12c b 或⎩⎨⎧==21c b ． 12分18．解：卫生纸的厚度为０．１ｍｍ，可以把绕在盘上的卫生纸近似地看做是一组同心圆，由内向外各圈的半径分别为10.05， 10.15，…，49.95．因为各圈半径组成首项为10.05，公差为0.1的等差数列， 设圈数为ｎ，则49.95＝10.05＋（ｎ－１）×0.1， 所以ｎ＝４００．显然，各圈的周长组成一个首项为2０．１π，公差为０．２π，项数为４００的等差数列．根据等差数列的求和公式，得)(240002.02)1400(4004001.20mm S πππ=⨯-⨯+⨯=)(36.75)(24000m mm =π答 满盘时卫生纸的长度约为75ｍ．19．解:（Ⅰ）221()2(cos sin )12f x x x x =---12cos 21sin(2)126x x x π=--=-- …………………1分 ()sin(2)106f C C π=--=,所以sin(2)16C π-=因为112(,)666C πππ-∈-,所以262C ππ-=,所以3C π=……………3分由余弦定理知：222cos73a b ab π+-=，因为sin 3sin B A =,由正弦定理知：3b a =…解得：3,1==b a ………6分所以ABC ∆的面积为4333sin 3121=⨯⨯⨯=∆πABC S （Ⅱ）由条件知()sin(2)16g x x π=+-所以()sin(2)106g B B π=+-=,所以sin(2)16B π+=因为132(,)666B πππ+∈,所以262B ππ+= 即6B π=(cos m A =u r，(1,sin )n A A =-r于是1cos )cos sin()26m n A A A A A A π⋅=+==+u r r 5(0,)66B A ππ=∴∈Q 得 ),6(6πππ∈+A ……………………………10分20．解：⑴ 由题意，知2132,,S pa q S pS q =⎧⎨=⎩++即32,333,p q q p p q =⎧⎨-=⎩+++解之得1,22p q ⎧=⎪⎨⎪=⎩．……… 4分⑵ 由⑴知，1122n n S S +=+，①当2n ≥时，1122n n S S -=+，②①-②得，()1122n n a a n +=≥，……………………… 6分又2112a a =，所以()*112n n a a n +=∈N ，所以{}n a 是首项为2，公比为12的等比数列，所以212n n a -=．………………………… 8分⑶由⑵得，12(1)124(1)1212n n nS -==--，由1221mn m n S m S m +-<-+，得114(1)221214(1)2m nmn mm --<+--+，即2(4)422(4)221n m n m m m --<--+，……………………… 10分 即212(4)221n mm >--+，因为210m +>，所以2(4)2n m ->， 所以4m <，且122(4)24n m m <-<++，()*因为*m ∈N ，所以1m =或2或3．…………………………… 12分 当1m =时，由()*得，2238n <⨯<，所以1n =； 当2m =时，由()*得，22212n <⨯<，所以1n =或2； 当3m =时，由()*得，2220n <<，所以2n =或3或4， 综上可知，存在符合条件的所有有序实数对(,)m n 为：(1,1),(2,1),(2,2),(3,2),(3,3),(3,4)．…………………………………………… 16分。