经典求极限解题方法

求极限的各种方法

1．约去零因子求极限

例1：求极限1

lim 41--→x x x

【说明】1→x 表明1与x 无限接近，但1≠x ，所以1-x 这一零因子可以约去。

【解】6)1)(1(lim 1

)

1)(1)(1(lim

2121=++=-++-→→x x x x x x x x =4 2．分子分母同除求极限

例2：求极限1

3lim 32

3+-∞→x x x x

【说明】

∞

型且分子分母都以多项式给出的极限,可通过分子分母同除来求。【解】3131lim 13lim 3

11323=

+-=+-∞→∞→x x

x x x x x 【注】(1) 一般分子分母同除x 的最高次方；

(2) ????

???

=<∞>=++++++----∞→n

m b a n m n m b x b x b a x a x a n

m m m

m n n n n x 0lim 01101

1ΛΛ

3．分子(母)有理化求极限

例3：求极限)13(lim 22+-++∞

→x x x

【说明】分子或分母有理化求极限，是通过有理化化去无理式。【解】1

13)(13(lim

)13(lim 2

22222

+++++++-+=+-++∞

→+∞

→x x x x x x x x x x

32lim

=+++=+∞

→x x x

例4：求极限3

sin 1tan 1lim

x x +-+→ 【解】x

x x x

x x x x x x sin 1tan 1sin tan lim sin 1tan 1lim

3030

+-+-=+-+→→ 41

sin tan lim 21sin tan lim

sin 1tan 11

lim

30300

=-=-+++=→→→x x x x x x x

x x x x 【注】本题除了使用分子有理化方法外，及时分离极限式中的非零因子．．．．．．．．．．．是解题的关键

4．应用两个重要极限求极限

两个重要极限是1sin lim 0=→x

x 和e x n x x x n n x x =+=+=+→∞→∞→1

0)1(lim )11(lim )11(lim ，第

一个重要极限过于简单且可通过等价无穷小来实现。主要考第二个重要极限。

例5：求极限x

x x x ??

??-++∞→11lim

【说明】第二个重要极限主要搞清楚凑的步骤：先凑出１，再凑X

+，最后凑指数部分。

【解】2

2112111lim 121lim 11lim e x x x x x x x x

x x x =????

?????

???? ?

?-+???? ??+=??? ??-+=??? ??-+--+∞→+∞→+∞→

例6：(1)x

x x ??? ??-+∞→211lim ；(2)已知82lim =??

??-++∞

→x

x a x a x ，求a 。

5．用等价无穷小量代换求极限【说明】

(1)常见等价无穷小有：

当0→x 时,~)1ln(~arctan ~arcsin ~tan ~sin ~x x x x x x +1e x

()abx ax x x b

~11,2

cos 12-+-； (2) 等价无穷小量代换,只能代换极限式中的因式．．

； (3)此方法在各种求极限的方法中应作为首选．．．．．

。例7：求极限0ln(1)

lim

1cos x x x x →+=-

【解】 002

ln(1)lim lim 211cos 2

x x x x x x

x x →→+?==-.

例8：求极限x x

x x 30tan sin lim -→

【解】x x x x 30tan sin lim -→613lim 31cos lim sin lim 2

2102030-=-==-=-=→→→x x x x x x x x x x

6．用罗必塔法则求极限

例9：求极限220)

sin 1ln(2cos ln lim x

x x x +-→ 【说明】

∞∞或0

型的极限,可通过罗必塔法则来求。【解】220)sin 1ln(2cos ln lim x x x x +-→x x x

x x x 2sin 12sin 2cos 2sin 2lim 20+--=→ 3sin 112cos 222sin lim

20-=??

??+--=→x x x x x 【注】许多变动上显的积分表示的极限，常用罗必塔法则求解

例10：设函数f(x)连续，且0)0(≠f ，求极限.)()()(lim

??--→x x

x dt

t x f x dt

t f t x

【解】由于

=-=

-=-0

)())(()(x

u t x du u f du u f dt t x f ,于是

?????

-=--→→x

x x

x x x

x du

u f x dt

t tf dt t f x dt

t x f x dt

t f t x 0

)()()(lim

?+-+→x

x x xf du u f x xf x xf dt t f 0

)

()()

()()(lim

?+→x x

x x xf du u f dt

t f 0

)

()()(lim

x f x du

u f x dt

t f x

x +?

→=

)0()0()0(=+f f f

7．用对数恒等式求)()(lim x g x f 极限

例11：极限x

x x 20

)]1ln(1[lim ++→

【解】 x

x x 20

)]1ln(1[lim ++→=)]1ln(1ln[2

lim x x

x e

++→=.2)

1ln(2lim

)]

1ln(1ln[2lim

e e

x x

x x x ==+++→→

【注】对于∞1型未定式)()(lim x g x f 的极限，也可用公式

)()(lim x g x f )1(∞=)()1)(lim(x g x f e -

因为

===-+)1)(1ln()(lim ))(ln()(lim )()(lim x f x g x f x g x g e e x f )()1)(lim(x g x f e -

例12：求极限3

2cos lim 13x x x x

→??+??-?? ???????

【解1】原式2cos ln 33

1lim

x x x e

x +??

?→-=2

02cos ln 3lim x x x →+??

???= 20ln 2cos ln 3lim x x x →+-=（）01

sin 2cos lim 2x x x x →?-+=（）

011sin 1

lim 22cos 6

x x x x →=-?=-+

【解2】原式2cos ln 33

1lim

x x x e

x +??

?→-=202cos ln 3lim x x x

→+??

???=

cos 1

ln 3lim

x x x

→-+

=（1）

20cos 11lim 36x x x →-==-

8．利用Taylor 公式求极限

例13 求极限 ) 0 ( ,2

lim

0>-+-→a x a a x x x . 【解】 ) (ln 2

ln 122

2ln x a x a x e

a a

x x ο+++==,

) (ln 2

ln 122

2x a x a x a

ο++-=-;

). (ln 2222x a x a a x x ο+=-+-

∴ a x

x a x x a a x x x x 2

2222020ln ) (ln lim 2lim =+=-+→-→ο. 例14 求极限011lim (cot )x x x x

→-.

【解】 0

0111sin cos lim (cot )lim sin x x x x x

x x x x x x

→→--= 323

230()[1()]3!2!lim x x x x x x x x

οο→-+--+= 3

33011(

)()

2!3!lim 3x x x x ο→-+==.

9．数列极限转化成函数极限求解

例15：极限2

1sin lim n n n n ??? ?

∞→

【说明】这是∞1形式的的数列极限，由于数列极限不能使用罗必塔法则，若直接求有一定难度，若转化成函数极限，可通过7提供的方法结合罗必塔法则求解。

【解】考虑辅助极限6

1sin 1

11sin 222

lim lim 1sin lim -

???

? ??-→?

?? ?

-+∞

→+∞→===?

?? ?

+e e

x x y y y y x x x x x x

所以，6

1sin lim -

∞→=?

?? ?

e n n n n

10．n 项和数列极限问题

n 项和数列极限问题极限问题有两种处理方法 (1)用定积分的定义把极限转化为定积分来计算; (2)利用两边夹法则求极限.

例16：极限???

??++

++++∞→2222221

211

1lim n n n n n Λ 【说明】用定积分的定义把极限转化为定积分计算,是把)(x f 看成［0,1］定积分。

?=????

????? ??++??? ??+??

? ??∞→10)(211lim

dx x f n n f n f n f n n Λ 【解】原式＝??????

???

??+++??? ??++?

?? ??+∞→22211

2111111lim n n n n n n Λ 121

2ln

2111

2+--=+=?

dx x

例17：极限???

??++

++++∞→n n n n n 2221

211

1lim Λ 【说明】(1)该题遇上一题类似，但是不能凑成????

????? ??++??? ??+??

? ??∞→n n f n f n f n n Λ211lim

的形式，因而用两边夹法则求解；

(2) 两边夹法则需要放大不等式，常用的方法是都换成最大的或最小的。

【解】???

??++++++∞→n n n n n 2221

211

1lim Λ 因为

+≤

+++++

+≤

+n n n

n n n n

n n Λ

又 n

n n n +∞

→2

lim

=+=∞

→n n n

所以 ???

??++++++∞→n n n n n 2221

2111lim Λ＝１ 11．单调有界数列的极限问题

例18：设数列{}n x 满足110,sin (1,2,)n n x x x n π+<<==L

（Ⅰ）证明lim n n x →∞

存在，并求该极限；

（Ⅱ）计算2

1lim n x n n n x x +→∞

?? ???

. 【分析】一般利用单调增加有上界或单调减少有下界数列必有极限的准则来证明数列极限的存在.

【详解】（Ⅰ）因为10x π<<，则210sin 1x x π<=≤<. 可推得 10sin 1,1,2,n n x x n π+<=≤<=L ，则数列{}n x 有界. 于是

1sin 1n n

n n

x x x x +=<，（因当0sin x x x ><时，），则有1n n x x +<，可见数列{}n x 单调减少，故由单调减少有下界数列必有极限知极限lim n n x →∞

存在.

设lim n n x l →∞

=，在1sin n n x x +=两边令n →∞，得 sin l l =，解得0l =，即lim 0n n x →∞

（Ⅱ）因 22

1sin lim lim n

n x x n n n n n n x x x x +→∞

→∞

??= ?

???

，由（Ⅰ）知该极限为1∞型， 6

sin 0

1sin 110

lim lim sin 1lim -

-→??

? ??-→→===??

??+++e e

x x x

x x x x x x x x x (使用了罗必塔法则)

故 22

116sin lim lim e n

n x x n n n n n n x x x x -+→∞

→∞

??== ?

???

求函数极限的方法和技巧

求函数极限的方法和技巧在数学分析和微积分学中,极限的概念占有主要的地位并以各种形式出现而贯穿全部内容,因此掌握好极限的求解方法是学习数学分析和微积分的关键一环。本文就关于求函数极限的方法和技巧作一个比较全面的概括、综合,力图在方法的正确灵活运用方面,对读者有所助益。一、求函数极限的方法 1、运用极限的定义：例: 用极限定义证明：12 2 3lim 22=-+-→x x x x 证: 由24 4122322-+-=--+-x x x x x x ()22 22 -=--= x x x 0>?ε，取εδ=，则当δ<-<20x 时,就有 ε<--+-12 2 32x x x 由函数极限δε-定义有: 12 2 3lim 22=-+-→x x x x 。 2、利用极限的四则运算性质：若 A x f x x =→)(lim 0 B x g x x =→)(lim 0 (I)[]=±→)()(lim 0x g x f x x )(lim 0x f x x →±B A x g x x ±=→)(lim 0 (II)[]B A x g x f x g x f x x x x x x ?=?=?→→→)(lim )(lim )()(lim 0 (III)若 B ≠0 则：B A x g x f x g x f x x x x x x ==→→→)(lim ) (lim )()(lim 0 00 （IV ）cA x f c x f c x x x x =?=?→→)(lim )(lim 0 （c 为常数）上述性质对于时也同样成立-∞→+∞→∞→x x x ,, 例：求 4 5 3lim 22+++→x x x x 解: 453lim 22+++→x x x x = 2 5 4252322=++?+ 3、约去零因式（此法适用于型时0 ,0x x →）例: 求12 16720 16lim 23232+++----→x x x x x x x 解:原式=() ( ) ) 12102(65) 2062(103lim 2232232+++++--+---→x x x x x x x x x x x

求极限方法总结全

极限求解总结 1、极限运算法则设lim n →∞ a a =a ,lim n →∞ a a =a ,则 (1) lim n →∞ (a a ±a a )=lim n →∞ a a ±lim n →∞ a a =a ±a ; (2) lim n →∞ a a a a =lim n →∞ a a lim n →∞ a a =aa ; (3) lim n →∞a a a a = lim n →∞a a lim n →∞ a a = a a (a ≠0). 2、函数极限与数列极限的关系如果极限lim x →a 0 a (a )存在，{a a }为函数a (a )的定义域内任一收敛于a 0的数列，且满足:a a ≠a 0(a ∈a +)，那么相应的函数值数列{a (a )}必收敛，且lim a →∞ a (a a )= lim a →a 0 a (a ) 3、定理（1）有限个无穷小的和也是无穷小；（2）有界函数与无穷小的乘积是无穷小； 4、推论（1）常数与无穷小的乘积是无穷小；（2）有限个无穷小的乘积也是无穷小；

（3）如果lim a(a)存在，而c为常数，则lim[aa(a)]=a lim a(a) （4）如果lim a(a)存在，而n是正整数，则lim[a(a)]a=[lim a(a)]a 5、复合函数的极限运算法则设函数y=a[a(a)]是由函数u=a(a)与函数y=a(a)复合而成的，y=a[a(a)] 在点a0的某去心领域内有定义，若lim a→a0a(a)=a0，lim a→a0 a(a)=a，且存在a0> 0，当x∈U(a0,a0)时，有a(a)≠a0，则lim a→a0a[a(a)]=lim a→a0 a(a)=a 6、夹逼准则如果 (1)当x∈U(a0,a)(或|a|>M)时,g(x)≤a(a)≤h(x) (2)lim a→a0(a→∞)a(a)=a,lim a→a0(a→∞) a(a)=a 那么lim a→a0(a→∞) a(a)存在，且等于A 7、两个重要极限（1）lim a→0sin a a =1 （2）lim x→∞(1+1 x )x=a 8、求解极限的方法（1）提取因式法

几道经典极限问题

1、设0,01>>a x ，)(211n n n x a x x +=+，证明：}{n x 收敛并求其极限。证明：显然0>n x ，又a x a x x n n n ≥+= +)(211（中学中不等式）又1)1(2121≤+=+n n n x a x x ，所以}{n x 单调减少，有下界，故}{n x 收敛，令A x n n =∞→lim ，由 )(21A a A A +=，则a A =。 2、求20cos 2cos cos 1lim x nx x x n x -→。解答： +-+-=-→→→2 020202cos cos cos lim cos 1lim cos 2cos cos 1lim x x x x x x x nx x x x x n x 2 10cos 2cos cos )1cos(2cos cos lim x nx x x x n x x n n x --+-→，而21cos 1lim 20=-→x x x ， 2020202cos 1lim 2cos 1cos lim 2cos cos cos lim x x x x x x x x x x x x -=-=-→→→，因为22~cos 1x a x a -，所以22)2(41~2cos 1x x x =-，于是12cos 1lim 2 0=-→x x x ，同理 ,233cos 2cos cos 2cos cos lim 230=-→x x x x x x x ， 2cos 2cos cos )1cos(2cos cos lim 2 10n x nx x x x n x x n n x =---→ ，所以原式4 )1(22221+=+++= n n n 。 3、设0,0>>b a ，求][lim 0x b a x x ?+→。解答：令θ+=n x b ，其中10<<θ，当+→0x 时，+∞→n ，则θ+=n b x ，于是a b n n a b x b a x n x =?+=?∞→+→)(lim ][lim 0θ。 4、⑴证明：当x 充分小时，不等式422tan 0x x x ≤-≤成立。

求极限的方法总结

学号：0 学年论文求极限的方法总结 Method of Limit 学院理学院专业班级学生指导教师（职称）完成时间年月日至年月日

摘要极限的概念是高等数学中最重要、最基本的概念之一。许多重要的概念如连续、导数、定积分、无穷级数的和及广义积分等都是用极限来定义的。因此掌握好求极限的方法对学好高等数学是十分重要的。但求极限的方法因题而异，变化多端，有时甚至感到变幻莫测无从下手，通过通过归纳和总结，我们罗列出一些常用的求法。本文主要对了数学分析中求极限的方法进行一定的总结，以供参考。关键词：极限洛必达法则泰勒展开式定积分无穷小量微分中值定理

Abstract The concept of limit is the most important mathematics,one of the most basic important concepts such as continuity,derivative,definite integral,infinite series and generalized integrals and are defined by the mater the methods the Limit learn mathematics integrals and are defined by the limit varies by title,varied,anf sometimes even impossible to start very unpredictable,and summarized through the adoption,we set out the requirements of some commonly used this paper,the mathematical analysis of the method of seeking a certain limit a summary for reference. Keyword:Limit Hospital's Rule Taylor expansion Definite integral Infinitesimal Mean Value Theorem

大学数学经典极限方法(最全)

求极限的各种方法 1．约去零因子求极限例1：求极限1 1 lim 41--→x x x 【说明】1→x 表明1与x 无限接近，但1≠x ，所以1-x 这一零因子可以约去。【解】6)1)(1(lim 1 ) 1)(1)(1(lim 2121=++=-++-→→x x x x x x x x =4 2．分子分母同除求极限例2：求极限1 3lim 32 3+-∞→x x x x 【说明】 ∞ ∞ 型且分子分母都以多项式给出的极限,可通过分子分母同除来求。【解】3131lim 13lim 3 11323= +-=+-∞→∞→x x x x x x x 【注】(1) 一般分子分母同除x 的最高次方； (2) ???? ??? =<∞>=++++++----∞→n m b a n m n m b x b x b a x a x a n n m m m m n n n n x 0lim 01101 1

3．分子(母)有理化求极限例3：求极限)13(lim 22+-++∞ →x x x 【说明】分子或分母有理化求极限，是通过有理化化去无理式。【解】1 3) 13)(13(lim )13(lim 2 2 22222 2 +++++++-+=+-++∞ →+∞ →x x x x x x x x x x 01 32lim 2 2 =+++=+∞ →x x x 例4：求极限3 sin 1tan 1lim x x x x +-+→ 【解】x x x x x x x x x x sin 1tan 1sin tan lim sin 1tan 1lim 3030 +-+-=+-+→→ 41 sin tan lim 21sin tan lim sin 1tan 11 lim 30300 =-=-+++=→→→x x x x x x x x x x x 【注】本题除了使用分子有理化方法外，及时分离极限式中的非零因子．．．．．．．．．．．是解题的关键 4．应用两个重要极限求极限两个重要极限是1sin lim 0=→x x x 和e x n x x x n n x x =+=+=+→∞→∞→1 0)1(lim )11(lim )11(lim ，第一个重要极限过于简单且可通过等价无穷小来实现。主要考第二个重要极限。例5：求极限x x x x ?? ? ??-++∞→11lim 【说明】第二个重要极限主要搞清楚凑的步骤：先凑出１，再凑X 1 +，最后凑指数部分。【解】22 212 12112111lim 121lim 11lim e x x x x x x x x x x x =???? ????????? ??-+???? ??+=??? ??-+=??? ??-+--+∞→+∞→+∞→ 例6：(1)x x x ??? ??-+∞→211lim ；(2)已知82lim =??? ??-++∞ →x x a x a x ，求a 。

高等数学极限计算方法总结

极限计算方法总结《高等数学》是理工科院校最重要的基础课之一，极限是《高等数学》的重要组成部分。求极限方法众多，非常灵活，给函授学员的学习带来较大困难，而极限学的好坏直接关系到《高等数学》后面内容的学习。下面先对极限概念和一些结果进行总结，然后通过例题给出求极限的各种方法，以便学员更好地掌握这部分知识。一、极限定义、运算法则和一些结果 1．定义：（各种类型的极限的严格定义参见《高等数学》函授教材，这里不一一叙述）。说明：（1）一些最简单的数列或函数的极限（极限值可以观察得到）都可以用上面的极限严格定义证明，例如： )0,(0lim ≠=∞→a b a an b n 为常数且； 5 )13(lim 2 =-→x x ； ???≥<=∞→时当不存在，时当，1||1||0lim q q q n n ；等等（2）在后面求极限时，（1）中提到的简单极限作为已知结果直接运用，而不需再用极限严格定义证明。 2．极限运算法则定理1 已知 )(lim x f ，)(lim x g 都存在，极限值分别为A ，B ，则下面极限都存在，且有（1）B A x g x f ±=±)]()(lim[ （2）B A x g x f ?=?)()(lim （3）)0(,)()(lim 成立此时需≠=B B A x g x f 说明：极限号下面的极限过程是一致的；同时注意法则成立的条件，当条件不满足时，不能用。 3．两个重要极限（1） 1sin lim 0=→x x x

（2） e x x x =+→10 ) 1(lim ； e x x x =+∞ →)11(lim 说明：不仅要能够运用这两个重要极限本身，还应能够熟练运用它们的变形形式，作者简介：靳一东，男，（1964—），副教授。例如：133sin lim 0=→x x x ，e x x x =--→21 0) 21(lim ，e x x x =+ ∞ →3 )31(lim ；等等。 4．等价无穷小定理2 无穷小与有界函数的乘积仍然是无穷小（即极限是0）。定理3 当0→x 时，下列函数都是无穷小（即极限是0），且相互等价，即有： x ～x sin ～x tan ～x arcsin ～x arctan ～)1ln(x +～1-x e 。说明：当上面每个函数中的自变量x 换成)(x g 时（0)(→x g ），仍有上面的等价关系成立，例如：当0→x 时， 13-x e ～ x 3 ；)1ln(2x - ～ 2x -。定理4 如果函数)(),(),(),(11x g x f x g x f 都是0x x →时的无穷小，且 )(x f ～)(1x f ，)(x g ～)(1x g ，则当) ()(lim 110 x g x f x x →存在时，)() (lim 0x g x f x x →也存在且等于)(x f )()(lim 110 x g x f x x →，即)() (lim 0x g x f x x →=) ()(lim 110x g x f x x →。 5．洛比达法则定理5 假设当自变量x 趋近于某一定值（或无穷大）时，函数)(x f 和)(x g 满足：（1）)(x f 和)(x g 的极限都是0或都是无穷大；（2）)(x f 和)(x g 都可导，且)(x g 的导数不为0；（3）) () (lim x g x f ''存在（或是无穷大）；

求极限的常用方法(精髓版)考试必备

求极限的常用方法（精髓版）初等数学的研究对象基本上是不变的量，而高等数学的研究对象则是变动的量。极限方法就是研究变量的一种基本方法。极限分为数列的极限和函数的极限，下文研究的是函数的极限，这些方法对于数列的极限同样适用。 1．直接代入数值求极限例1 求极限1lim(21)x x →- 解 1lim(21)2111 x x →-=?-= 2．约去不能代入的零因子求极限例2 求极限11lim 41--→x x x 解 4221111(1)(1)(1) lim lim lim(1)(1)4 11x x x x x x x x x x x →→→--++==++=-- 3．分子分母同除最高次幂求极限例3 求极限13lim 3 2 3+-∞→x x x x 解 3131lim 13lim 11323=+-=+-∞→∞→x x x x x x x 注：一般地，分子分母同除x 的最高次幂有如下规律 ??????? =<∞>=++++++----∞→n m b a n m n m b x b x b a x a x a n n m m m m n n n n x 0lim 01101 1 4．分子(母)有理化求极限例4 求极限) 13(lim 22+-++∞ →x x x 解 1 3) 13)(13(lim )13(lim 2222222 2 +++++++-+=+-++∞ →+∞ →x x x x x x x x x x 1 32lim 2 2 =+++=+∞ →x x x 例5 求极限 x →解 01)2x x x →→→=== 5．应用两个重要极限的公式求极限两个重要极限是1sin lim 0=→x x x 和1lim(1)x x e x →∞+=，下面只介绍第二个公式的例子。例6 求极限 x x x x ??? ??-++∞→11lim

经典求极限解题方法

3．分子(母)有理化求极限例3：求极限)13(lim 22+-++∞ →x x x 【说明】分子或分母有理化求极限，是通过有理化化去无理式。【解】1 3) 13)(13(lim )13(lim 2 2 22222 2 +++++++-+=+-++∞ →+∞ →x x x x x x x x x x 01 32lim 2 2 =+++=+∞ →x x x 例4：求极限3 sin 1tan 1lim x x x x +-+→ 【解】x x x x x x x x x x sin 1tan 1sin tan lim sin 1tan 1lim 3030 +-+-=+-+→→ 41 sin tan lim 21sin tan lim sin 1tan 11 lim 30300 =-=-+++=→→→x x x x x x x x x x x 【注】本题除了使用分子有理化方法外，及时分离极限式中的非零因子．．．．．．．．．．．是解题的关键 4．应用两个重要极限求极限两个重要极限是1sin lim 0=→x x x 和e x n x x x n n x x =+=+=+→∞→∞→1 0)1(lim )11(lim )11(lim ，第一个重要极限过于简单且可通过等价无穷小来实现。主要考第二个重要极限。例5：求极限x x x x ?? ? ??-++∞→11lim 【说明】第二个重要极限主要搞清楚凑的步骤：先凑出１，再凑X 1 +，最后凑指数部分。【解】2 2 2 12 1 2112111lim 121lim 11lim e x x x x x x x x x x x =???? ????? ???? ? ?-+???? ??+=??? ??-+=??? ??-+--+∞→+∞→+∞→ 例6：(1)x x x ??? ??-+∞→211lim ；(2)已知82lim =?? ? ??-++∞ →x x a x a x ，求a 。

高等数学求极限的常用方法(附例题和详解)

高等数学求极限的14种方法一、极限的定义 1.极限的保号性很重要：设 A x f x x =→)(lim 0 ，（i ）若A 0>，则有0>δ，使得当δ<-<||00x x 时，0)(>x f ；（ii ）若有,0>δ使得当δ<-<||00x x 时，0A ,0)(≥≥则x f 。 2.极限分为函数极限、数列极限，其中函数极限又分为∞→x 时函数的极限和0x x →的极限。要特别注意判定极限是否存在在：（i ）数列{} 的充要条件收敛于a n x 是它的所有子数列均收敛于a 。常用的是其推论，即“一个数列收敛于a 的充要条件是其奇子列和偶子列都收敛于a ” （ii ）A x x f x A x f x =+∞ →= -∞ →? =∞ →lim lim lim )()( (iii) A x x x x A x f x x =→=→?=→+ - lim lim lim 0 )( (iv)单调有界准则（v ）两边夹挤准则（夹逼定理/夹逼原理）（vi ）柯西收敛准则（不需要掌握）。极限 ) (lim 0 x f x x →存在的充分必要条件是： εδεδ<-∈>?>?|)()(|)(,0,021021x f x f x U x x o 时，恒有、使得当二．解决极限的方法如下： 1.等价无穷小代换。只能在乘除．．时候使用。例题略。 2.洛必达（L ’hospital ）法则（大题目有时候会有暗示要你使用这个方法）它的使用有严格的使用前提。首先必须是X 趋近，而不是N 趋近，所以面对数列极限时候先要转化成求x 趋近情况下的极限，数列极限的n 当然是趋近于正无穷的，不可能是负无穷。其次,必须是函数的导数要存在，假如告诉f （x ）、g （x ）,没告诉是否可导，不可直接用洛必达法则。另外，必须是“0比0”或“无穷大比无穷大”,并且注意导数分母不能为0。洛必达法则分为3种情况：（i ）“ 00”“∞ ∞ ”时候直接用 (ii)“∞?0”“∞-∞”，应为无穷大和无穷小成倒数的关系，所以无穷大都写成了无穷小的倒数形式了。通项之后，就能变成(i)中的形式了。即)(1)()()()(1)()()(x f x g x g x f x g x f x g x f ==或；) ()(1 )(1 )(1 )()(x g x f x f x g x g x f -=- (iii)“00”“∞1”“0 ∞”对于幂指函数,方法主要是取指数还取对数的方法，即 e x f x g x g x f ) (ln )() () (=，这

求极限的方法总结

求极限的几种常用方法一、约去零因子求极限例如求极限limx→1x4-1x-1，本例中当x→1时，x-1→0，表明x 与1无限接近，但x≠1,所以x-1这一因子可以约去。二、分子分母同除求极限求极限limx→∞x3-x23x3+1 ∞∞型且分子分母都以多项式给出的极限,可通过分子分母同除来求。 limx→∞x3-x23x3+1=limx→∞1-1x3+1x3=13 三、分子(母)有理化求极限例:求极限limx→∞(x3+3-x2+1) 分子或分母有理化求极限，是通过有理化化去无理式。 ()()()()131313lim 13lim 22222222+++++++-+=+-++∞→+∞→x x x x x x x x x x 0132lim 22=+++=+∞→x x x 例：求极限limx→01+tanx -1+sinxx3 30sin 1tan 1lim x x x x +-+→=() x x x x x x sin 1tan 1sin tan lim 30+++-→ =300sin tan lim sin 1tan 11lim x x x x x x x -+++→→= 41sin tan lim 2130=-→x x x x 本题除了使用分子有理化方法外，及时分离极限式中的非零因子是解题的关键。四、应用两个重要极限求极限

(2)limx→∞(1+1x)x=limx→0(1+x)1x=e 在这一类型题中，一般也不能直接运用公式，需要恒等变形进行化简后才可以利用公式。例：求极限limx→∞(x+1x-1)x 第二个重要极限主要搞清楚凑的步骤：先凑出1，再凑1+1x，最后凑指数部分。 limx→∞(x+1x-1)x=limx→∞(1+2x-1)x=limx→∞[1+1x-122x-1(1+ 2x-1)12]2=e2 五、利用无穷小量的性质求极限无穷小量的性质：无穷小量与有界量的乘积还是无穷小量。这种方法可以处理一个函数极限不存在但有界，和另一个函数的极限是零的极限的乘积的问题。例：求limx→∞sinxx 因为sinx≤1, limx→∞1x=0,所以limx→∞sinxx=0 六、用等价无穷小量代换求极限常见等价无穷小有：当x→0时,x~sinx~tanx~arcsinx~arctanx~ln1+x~ex1， 1-cosx~12x2，(1+ax)b-1~abx 等价无穷小量代换,只能代换极限式中的因式。此方法在各种求极限的方法中应作为首选。例：limx→0xln(1+x)1-cosx=limx→0xx12x2=2

求极限的方法及例题总结

1．定义：说明：（1）一些最简单的数列或函数的极限（极限值可以观察得到）都可以用上面的极限严格定义证明，例如：；5 )13(lim 2 =-→x x （2）在后面求极限时，（1）中提到的简单极限作为已知结果直接运用，而不需再用极限严格定义证明。利用导数的定义求极限这种方法要求熟练的掌握导数的定义。 2．极限运算法则定理1 已知)(lim x f ，)(lim x g 都存在，极限值分别为A ，B ，则下面极限都存在，且有（1）B A x g x f ±=±)]()(lim[ （2）B A x g x f ?=?)()(lim （3） )0(,)()(lim 成立此时需≠=B B A x g x f 说明：极限号下面的极限过程是一致的；同时注意法则成立的条件，当条件不满足时，不能用。

. 利用极限的四则运算法求极限这种方法主要应用于求一些简单函数的和、乘、积、商的极限。通常情况下，要使用这些法则，往往需要根据具体情况先对函数做某些恒等变形或化简。 8.用初等方法变形后，再利用极限运算法则求极限例1 1213lim 1 --+→x x x 解：原式=4 3)213)(1(33lim )213)(1(2)13(lim 1221=++--=++--+→→x x x x x x x x 。注：本题也可以用洛比达法则。例2 ) 12(lim --+∞ →n n n n 解：原式= 2 3 11213lim 1 2)]1()2[(lim = -++ = -++--+∞ →∞ →n n n n n n n n n n 分子分母同除以。例3 n n n n n 323)1(lim ++-∞→

高数求极限的16种方法(超经典)高彦辉总结

L .+'''+.+'''+. + 天天快乐+ '+. .+' "+.+" 爱爱爱爱祝爱爱愿爱爱你爱爱永爱爱远爱爱被爱爱爱爱爱包爱爱围爱爱爱爱爱爱爱爱漂亮吧!送给你,希望你会幸福一生,梦想成真！高数中求极限的16种方法假如高等数学是棵树木得话，那么极限就是他的根，函数就是他的皮。树没有跟，活不下去，没有皮，只能枯萎，可见这一章的重要性。

为什么第一章如此重要？各个章节本质上都是极限，是以函数的形式表现出来的，所以也具有函数的性质。函数的性质表现在各个方面。首先，对极限的总结如下: 极限的保号性很重要，就是说在一定区间内函数的正负与极限一致。 1 .极限分为一般极限，数列极限（区别在于数列极限时发散的，是一般极限的一种） 2.解决极限的方法如下：（我能列出来的全部列出来了！！！！！你还能有补充么？？？） 1 等价无穷小的转化，（只能在乘除时候使用，但是不是说一定在加减时候不能用但是前提是必须证明拆分后极限依然存在）e的X次方-1 或者（1+x）的a次方-1等价于Ax 等等。全部熟记（x趋近无穷的时候还原成无穷小） 2 LHopital 法则（大题目有时候会有暗示要你使用这个方法）首先他的使用有严格的使用前提！！！！！！必须是X趋近而不是N 趋近！！！！！！！（所以面对数列极限时候先要转化成求x趋近情况下的极限，当然n趋近是x趋近的一种情况而已，是必要条件（还有一点数列极限的n当然是趋近于正无穷的不可能是负无穷！）必须是函数的导数要存在！！！！！！！！（假如告诉你g（x）, 没告诉你是否可导，直接用无疑于找死！！）必须是0比0 无穷大比无穷大！！！！！！！！！当然还要注意分母不能为0LHopital 法则分为3中情况 1 0比0 无穷比无穷时候直接用2 0乘以无穷无穷减去无穷（应为无穷大于无穷小成倒数的关系）所以无穷大都写成了无穷小的倒数形式了。通项之后这样就能变成1中的形式了 3 0的0次方1的无穷次方无穷的0次方对于（指数幂数）方程方法主要是取指数还取对数的方法，这样就能把幂上的函数移下来了，就是写成0与无穷的形式了，（这就是为什么只有3种形式的原因，LNx两端都趋近于无穷时候他的幂移下来趋近于0 当他的幂移下来趋近于无穷的时候LNX趋近于0）3泰勒公式(含有e的x次方的时候，尤其是含有正余旋的加减的时候要特变注意！！！！）E的x展开sina 展开cos 展开ln1+x展开对题目简化有很好帮助4面对无穷大比上无穷大形式的解决办法取大头原则最大项除分子分母！！！！！！！！！！！看上去复杂处理很简单！！！！！！！！！！5无穷小于有界函数的处理办法面对复杂函数时候，尤其是正余旋的复杂函数与其他函数相乘的时候，一定要注意这个方法。面对非常复杂的函数可能只需要知道它的范围结果就出来了！！！6夹逼定理（主要对付的是数列极限！）这个主要是看见极限中的函数是方程相除的形式，放缩和扩大。7等比等差数列公式应用（对付数列极限）（q绝对值符号要小于1）8各项的拆分相加（来消掉中间的大多数）（对付的还是数列极限）可以使用待定系数法来拆分化简函数9求左右求极限的方式（对付数列极限）例如知道Xn与Xn+1的关系，已知Xn的极限存在的情况下，xn的极限与xn+1的极限时一样的，应为极限去掉有限项目极限值不变化10 2 个重要极限的应用。这两个很重要！！！！！对第一个而言是X趋近0时候的sinx与x比值。第2个就如果x趋近无穷大无穷小都有对有对应的形式（地2个实际上是用于函数是1的无穷的形式）（当底数是1 的时候要特别注意可能是用地2 个重要极限）11 还有个方法，非常方便的方法就是当趋近于无穷大时候不同函数趋近于无穷的速度是不一样的！！！！！！！！！！！！！！！x的x次方快于x！快于指数函数快于幂数函数快于对数函数（画图也能看出速率的快慢）!!!!!!当x趋近无穷的时候他们的比值的极限一眼就能看出来了12 换元法是一种技巧，不会对模一道题目而言就只需要换元，但是换

极限的常用求法及技巧.

极限的常用求法及技巧引言极限是描述数列和函数在无限过程中的变化趋势的重要概念。极限的方法是微积分中的基本方法，它是人们从有限认识无限，从近似认识精确，从量变认识质变的一种数学方法，极限理论的出现是微积分史上的里程碑，它使微积分理论更加蓬勃地发展起来。极限如此重要，但是运算题目多，而且技巧性强，灵活多变。极限被称为微积分学习的第一个难关，为此，本文对极限的求法做了一些归纳总结，我们学过的极限有许多种类型：数列极限、函数极限、积分和的极限（定积分），其中函数极限又分为自变量趋近于有限值的和自变量趋近于无穷的两大类，如果再详细分下去，还有自变量从定点的某一侧趋于这一点的所谓单边极限和双边极限，x 趋于正无穷，x 趋于负无穷。函数的极限等等。本文只对有关数列的极限以及函数的极限进行了比较全面和深入的介绍.我们在解决极限及相关问题时，可以根据题目的不同选择一种或多种方法综合求解，尤其是要发现数列极限与函数极限在求解方法上的区别与联系，以做到能够举一反三，触类旁通。 1数列极限的常用求法及技巧数列极限理论是微积分的基础,它贯穿于微积分学的始终,是微积分学的重要研究方法。数列极限是极限理论的重要组成部分,而数列极限的求法可以通过定义法,两边夹方法,单调有界法,施笃兹公式法,等方法进行求解.本章节就着重介绍数列极限的一些求法。 1.1利用定义求数列极限利用定义法即利用数列极限的定义设{}n a 为数列。若对任给的正数N ，使得n 大于N 时有 ε<-a a n 则称数列{}n a 收敛于a ,定数a 称为数列{}n a 的极限，并记作,lim n a n a =∞ →或 )(,∞→∞→n a n

数学分析中求极限的方法总结

数学分析中求极限的方法总结 This model paper was revised by the Standardization Office on December 10, 2020

数学分析中求极限的方法总结 1 利用极限的四则运算法则和简单技巧极限的四则运算法则叙述如下：定理：如果0 x x lim f x =,lim g x =x x →→A B （）（）（1）[]0 lim ()()lim ()lim ()x x x x x x f x g x f x g x →→→±=±=A ±B （2）[]0 x x lim f x g x =lim f x)lim ()x x x x g x →→→??=A?B （）（）（（3）若B ≠0 （4）0 x lim c ()lim ()x x x f x c f x c →→?=?=A （5）[]00lim ()lim ()n n n x x x x f x f x →→??==A ????（n 为自然数）上述性质对于,,x x x →∞→+∞→-∞也同样成立i 由上述的性质和公式我们可以看书函数的和、差、积、商的极限等于函数极限的和、差、积、商。例1. 求225 lim 3x x x →+-的极限解：由定理中的第三式可以知道例2. 求3 x →的极限

式子经过化简后就能得到一个只有分母含有未知数的分式，直接求极限即可例3. 已知 ()1111223 1n x n n = +++ ??-?，求lim n n x →∞ 解：观察 11=112 2-? 111=2323- ?因此得到 ()1111223 1n x n n = +++ ??-? 所以 1lim lim 11n n n x n →∞→∞ ?? =-= ??? 2 利用导数的定义求极限导数的定义：函数f(x)在0x 附近有定义，χ??，则如果存在，则此极限值就称函数f(x)在点0x 的导数记为 () 0'f x 。即在这种方法的运用过程中，首先要选好f(x)。然后把所求极限都表示成f(x)在定点 x 的导数。

求极限的常用方法典型例题

求极限的常用方法典型例题掌握求简单极限的常用方法。求极限的常用方法有 (1) 利用极限的四则运算法则； (2) 利用两个重要极限； (3) 利用无穷小量的性质（无穷小量乘以有界变量还是无穷小量）； (4) 利用连续函数的定义。例求下列极限：（1）x x x 33sin 9lim 0-+→ （2）1)1sin(lim 21--→x x x （3）x x x 1 0)21(lim -→ （4）2 22)sin (1cos lim x x x x x +-+∞→ （5）)1 1e (lim 0-+→x x x x 解（1）对分子进行有理化，然后消去零因子，再利用四则运算法则和第一重要极限计算，即 x x x 33sin 9lim 0-+→ =) 33sin 9()33sin 9)(33sin 9(lim 0++++-+→x x x x x =3 3sin 91lim 3sin lim 00++?→→x x x x x =2 1613=? （2）利用第一重要极限和函数的连续性计算，即 )1)(1()1sin(lim 1 )1sin(lim 121-+-=--→→x x x x x x x 11lim 1)1sin(lim 11+?--=→→x x x x x 2 11111=+?= （3）利用第二重要极限计算，即 x x x 1 0)21(lim -→＝2210])21[(lim --→-x x x 2e -=。（4）利用无穷小量的性质（无穷小量乘以有界变量还是无穷小量）计算，即

222222222)sin 1(lim ]1cos 1[lim )sin 1(1cos 1lim )sin (1cos lim x x x x x x x x x x x x x x x x +-+=+-+=+-+∞→∞→∞→∞→= 1 注：其中当∞→x 时，x x x x sin 1sin =，)1(cos 11cos 2222-=-x x x x 都是无穷小量乘以有界变量，即它们还是无穷小量。（5）利用函数的连续性计算，即 )11e (lim 0-+→x x x x ＝11 01e 00-=-+?

求二元函数极限的几种方法

11 1.二元函数极限概念分析定义1 设函数f 在2D R ?上有定义，0P 是D 的聚点，A 是一个确定的实数.如果对于任意给定的正数ε，总存在某正数δ,使得00(;)P U P D δ∈时，都有 ()f P A ε-<, 则称f 在D 上当0P P →时，以A 为极限，记0 lim ()P P P D f P A →∈=. 上述极限又称为二重极限. 2．二元函数极限的求法利用二元函数的连续性命题若函数(,)f x y 在点00(,)x y 处连续，则 0000(,)(,) lim (,)(,)x y x y f x y f x y →=. 例1 求2 (,)2f x y x xy =+ 在点(1,2)的极限. 解：因为2 (,)2f x y x xy =+在点(1,2)处连续，所以 12 212 2lim (,) lim(2) 12125.x y x y f x y x xy →→→→=+=+??= 例2 求极限()()2 21,1,21 lim y x y x +→．解：因函数在()1,1点的邻域内连续，故可直接代入求极限，即 ()()221,1,21lim y x y x +→=31 ．

22 利用恒等变形法将二元函数进行恒等变形，例如分母或分子有理化等. 例3 求 00 x y →→ 解： 00 x y →→ 00 x y →→= 00 x y →→= 00 1. 4 x y →→==-例4 ()() 2 2220,0,321 )31)(21(lim y x y x y x +-++→．解：原式()() ( )) () () ,0,02 211lim 231x y x y →+= + ()( 22 ,0,0lim x y →= + 11022 = +=．

极限经典例题集

例题1．在数列{a n}中，a1=1，当n≥2时，a n，S n，成等比数列。（1）求a2，a3，a4；（2）猜想a n的表达式并用数学归纳法证明；（3）求；（4）（思考题）不使用猜想a n的表达式并用数学归纳法证明的方法直接求a n。 1..解析：∵a n，S n，成等比数列，∴（n≥2）（*）（1）把a1=1，S2=a1+a2=1+a2代入（*）式得：把a1=1，，代入（*）得：。同理可得：由此可以推出：（2）（i）当n=1，2，3，4时，由（*）知猜想成立。（ii）假设n=k（k≥2）时，成立。故 ∴或（舍去）由得

即n=k+1时，命题也成立。由（i）（ii）可知，对一切n∈N成立。（3）由（2）得数列前n项的和，所有项和（4）对于{a n}的通项还可以这样来求： ∵，∴ ，故是以为首项，为公差的等差数列故，注：对于含有a n，S n的关系式中，常将a n用S n－S n－1（n≥2）代（或S n+1－S n用a n+1代），化成S n，S n+1（或a n，a n+1）的递归关系式。例1.数列{a n}满足下列条件，求其通项公式a n。 (1)a1=1， (2)a1=2， (3)a1=2，{a n}的前n项和S n满足解： (1)

…… 将以上各式叠加，得 ∴ 又n=1时， (2) …… 将以上各式叠乘，得 ∴a n=n(n+1)(n≥2) 当n=1时，1×(1+1)=2 = a1∴a n=n(n+1)(n∈N*) (3)

∴2S n-1S n=S n-1-S n(n≥2) 在上式两边同除以S n S n-1，得 ∴数列为首项，公差为2的等差数列。例2、在等差数列{a n}中 (1)若a p=q，a q=p(p、q∈N*且q≠p)，求a p+q； (2){a n}共有n项，其前四项之和为124，其最后四项之和为156，其所有项之和为210，求项数n； (3)若{a n}前n项和记为S n，且有，求S m+n的范围解： (1) ∵a q=a p+(q-p)d ∴a p+q=a p+(q+p-p)d=q+q×(-1)=0 (2) ∵a1+a2+a3+a4=124 a n+a n-1+a n-2+a n-3=156 ∴(a1+a n)+(a2+a n-1)+(a3+a n-2)+(a4+a n-3)=280 ∴4(a1+a n)=280∴a1+a n=70 ∴n=6

确定函数极限的常用方法

确定函数极限的常用方法内容摘要在数学分析中,极限思想贯穿于始末,求极限的方法也显得至关重要。本文主要探讨、总结求函数极限的一般方法，并展示了利用积分求极限的特殊方法,而且把每一种方法的特点及注意事项作了重点说明,并以实例进行了具体注解,使方法更具针对性、技巧性和可操作性。关键词：函数，求极限，基本方法

Common method to determine the limit of function Abstract In mathematical analysis, the limit idea throughout the story, the limit methods are crucial. This paper mainly discussed, summed up the general method of seeking the limit of a function and demonstrated the use of special methods for Integral limit, and the characteristics of each method and precautions were highlighted, and specific examples to comment, make way more and targeted, skill and operability. keyword：Function, Limit, The basic method

目录一、引言 (1) 二、函数极限的基本知识 (1) （一）函数极限的定义 (1) （二）函数极限的性质 (1) 三、函数极限的基本解法 (2) （一）定义法 (2) （二）利用极限四则运算法则 (2) （三）利用迫敛性定理求极限 (3) （四）利用两个重要极限求极限 (3) （五）利用左右极限求极限 (4) （六）幂指函数求极限 (4) 四、函数极限的微积分解法. (5) （七）利用无穷小量求极限 (5) （八）利用洛比达法则求极限 (7) （九）利用单调有界准则求极限 (9) （十）利用中值定理求极限 (10) 五、小结 (11) 参考文献 (11) 致谢 (11)